b'\n_START_ARTICLE_\nKwaterniony\n_START_PARAGRAPH_\nKwaterniony (daw. czwarki Hamiltona) \xe2\x80\x93 struktura algebraiczna (liczby) b\xc4\x99d\xc4\x85ca rozszerzeniem cia\xc5\x82a liczb zespolonych. Kwaterniony zosta\xc5\x82y wprowadzone przez irlandzkiego matematyka Williama Hamiltona w 1843 i s\xc5\x82u\xc5\xbcy\xc5\x82y opisowi mechaniki w przestrzeni tr\xc3\xb3jwymiarowej. Pocz\xc4\x85tkowo kwaterniony by\xc5\x82y uwa\xc5\xbcane za tw\xc3\xb3r patologiczny, poniewa\xc5\xbc nie spe\xc5\x82nia\xc5\x82y regu\xc5\x82y przemienno\xc5\x9bci (nale\xc5\xbcy mie\xc4\x87 na uwadze, i\xc5\xbc kwaterniony pojawi\xc5\x82y si\xc4\x99 przed macierzami). Kwaterniony znajduj\xc4\x85 zastosowanie tak w matematyce teoretycznej, jak i stosowanej, zobacz sekcj\xc4\x99 Zastosowania._NEWLINE_Wsp\xc3\xb3\xc5\x82czesna matematyka traktuje kwaterniony jako czterowymiarow\xc4\x85, unormowan\xc4\x85 algebr\xc4\x99 z dzieleniem nad liczbami rzeczywistymi. Algebra kwaternion\xc3\xb3w jest oznaczana przez  od pierwszej litery nazwiska tw\xc3\xb3rcy. Zajmuje ona specjalne miejsce w algebrze, poniewa\xc5\xbc zgodnie z twierdzeniem Frobeniusa jest jednym z trzech sko\xc5\x84czenie wymiarowych pier\xc5\x9bcieni z dzieleniem zawieraj\xc4\x85cych liczby rzeczywiste jako podpier\xc5\x9bcie\xc5\x84.\n_START_SECTION_\nKonstrukcje\n_START_PARAGRAPH_\nJest kilka sposob\xc3\xb3w konstruowania kwaternion\xc3\xb3w.\n_START_SECTION_\nGeometryczna interpretacja mno\xc5\xbcenia\n_START_PARAGRAPH_\nJak liczb\xc4\x99 zespolon\xc4\x85 tak i kwaternion mo\xc5\xbcna przedstawi\xc4\x87 w postaci sumy cz\xc4\x99\xc5\x9bci rzeczywistej oraz urojonej  W tej postaci  za\xc5\x9b  jest wektorem tr\xc3\xb3jwymiarowym. Wtedy iloczyn dw\xc3\xb3ch wektor\xc3\xb3w urojonych mo\xc5\xbcna wyrazi\xc4\x87 jako:  a dw\xc3\xb3ch kwaternion\xc3\xb3w \xe2\x80\x93 jako: _NEWLINE_We wzorach tych kropka oznacza iloczyn skalarny, a krzy\xc5\xbcyk iloczyn wektorowy w przestrzeni tr\xc3\xb3jwymiarowej.\n_START_SECTION_\nZastosowania\n_START_PARAGRAPH_\nKwaterniony s\xc4\x85 u\xc5\xbcywane w grafice komputerowej do wykonywania obrot\xc3\xb3w w przestrzeni tr\xc3\xb3jwymiarowej. Klasa obs\xc5\x82uguj\xc4\x85ca kwaterniony zdefiniowana jest w pakiecie DirectX. Klasy pozwalaj\xc4\x85ce wykonywa\xc4\x87 operacje na kwaternionach dost\xc4\x99pne s\xc4\x85 r\xc3\xb3wnie\xc5\xbc w OpenGL oraz wielu istniej\xc4\x85cych silnikach 3D. Cz\xc4\x99\xc5\x9bci urojone kwaternionu s\xc5\x82u\xc5\xbc\xc4\x85 do zdefiniowania p\xc5\x82aszczyzny obrotu (opisuj\xc4\x85 wektor prostopad\xc5\x82y do p\xc5\x82aszczyzny obrotu), cz\xc4\x99\xc5\x9b\xc4\x87 rzeczywista do okre\xc5\x9blenia k\xc4\x85ta obrotu. Zalety u\xc5\xbcycia kwaternion\xc3\xb3w to brak mo\xc5\xbcliwo\xc5\x9bci wyst\xc4\x85pienia efektu Gimbal Lock (utraty stopnia swobody) oraz proste obliczeniowo metody s\xc5\x82u\xc5\xbc\xc4\x85ce interpolacji SLERP i LERP._NEWLINE_Ich zastosowania w matematyce s\xc4\x85 jednak o wiele szersze._NEWLINE_Sam Hamilton u\xc5\xbcywa\xc5\x82 kwaternion\xc3\xb3w do linearyzacji r\xc3\xb3wna\xc5\x84 r\xc3\xb3\xc5\xbcniczkowych, m.in. w mechanice niebieskiej \xe2\x80\x93 obr\xc3\xb3t to pomno\xc5\xbcenie przez sta\xc5\x82e kwaterniony. Kwaternion\xc3\xb3w Hamiltona u\xc5\xbcywa si\xc4\x99 do konstrukcji wi\xc4\x85zek wektorowych w geometrii r\xc3\xb3\xc5\xbcniczkowej. U\xc5\xbcyto ich te\xc5\xbc w teorii liczb do badania liczby przedstawie\xc5\x84 liczby naturalnej jako sumy czterech kwadrat\xc3\xb3w liczb ca\xc5\x82kowitych (co akurat przydaje si\xc4\x99 w r\xc3\xb3wnaniach r\xc3\xb3\xc5\xbcniczkowych cz\xc4\x85stkowych)._NEWLINE_Uog\xc3\xb3lnionych algebr kwaternion\xc3\xb3w u\xc5\xbcywa si\xc4\x99 w teorii liczb (\xc5\x82adne sformu\xc5\x82owanie zasady lokalno-globalnej Minkowskiego-Hasse), geometrii algebraicznej (sto\xc5\xbckowe jako rozmaito\xc5\x9bci Severi-Brauera); pojawiaj\xc4\x85 si\xc4\x99 w teorii kohomologii Galois (kohomologii etalnych) jako elementy rz\xc4\x99du 2 w grupie Brauera cia\xc5\x82a (s\xc5\x82ynne twierdzenie Merkurjewa z 1981 identyfikuje owe elementy rz\xc4\x99du dwa jako klasy iloczyn\xc3\xb3w tensorowych uog\xc3\xb3lnionych algebr kwaternion\xc3\xb3w); algebraiczna K-teoria rzutowej krzywej sto\xc5\xbckowej wyra\xc5\xbca si\xc4\x99 przez algebraiczn\xc4\x85 K-teori\xc4\x99 cia\xc5\x82a wsp\xc3\xb3\xc5\x82czynnik\xc3\xb3w i K-teori\xc4\x99 odpowiedniej uog\xc3\xb3lnionej algebry kwaternion\xc3\xb3w. Og\xc3\xb3lniej, R. Swan udowodni\xc5\x82 w 1985, \xc5\xbce algebraiczna K-teoria kwadryki rzutowej wyra\xc5\xbca si\xc4\x99 przez algebraiczne K-teorie cia\xc5\x82a i odpowiedniej algebry Clifforda, kt\xc3\xb3ra jest albo algebr\xc4\x85 macierzy nad iloczynem tensorowym uog\xc3\xb3lnionych algebr kwaternion\xc3\xb3w, albo iloczynem kartezja\xc5\x84skim dw\xc3\xb3ch takich algebr (macierzy).'