b'\n_START_ARTICLE_\nSprz\xc4\x99\xc5\xbcenie zespolone\n_START_SECTION_\nDefinicja\n_START_PARAGRAPH_\nSprz\xc4\x99\xc5\xbceniem liczby zespolonej w postaci algebraicznej  gdzie  jest liczba  nazywana liczb\xc4\x85 sprz\xc4\x99\xc5\xbcon\xc4\x85 do  i oznaczana zwykle symbolem  W fizyce oraz naukach technicznych stosuje si\xc4\x99 r\xc3\xb3wnie\xc5\xbc zapis _NEWLINE_W postaci biegunowej sprz\xc4\x99\xc5\xbcenie liczby  dane jest przez  Mo\xc5\xbcna to \xc5\x82atwo sprawdzi\xc4\x87 za pomoc\xc4\x85 wzoru Eulera.\n_START_SECTION_\nUwagi\n_START_PARAGRAPH_\nLiczby zespolone przedstawiane s\xc4\x85 cz\xc4\x99sto jako punkty p\xc5\x82aszczyzny w uk\xc5\x82adzie wsp\xc3\xb3\xc5\x82rz\xc4\x99dnych kartezja\xc5\x84skich (por. diagram). O\xc5\x9b -\xc3\xb3w zawiera liczby rzeczywiste, za\xc5\x9b o\xc5\x9b -\xc3\xb3w zawiera wielokrotno\xc5\x9bci liczby  Przy takiej interpretacji sprz\xc4\x99\xc5\xbcenie zespolone odpowiada symetrii wzgl\xc4\x99dem osi _NEWLINE_Pary liczb sprz\xc4\x99\xc5\xbconych s\xc4\x85 warte uwagi, poniewa\xc5\xbc jednostka urojona  jest jako\xc5\x9bciowo r\xc3\xb3\xc5\xbcna od swojej odwrotno\xc5\x9bci addytywnej i multiplikatywnej  jako \xc5\xbce obie z nich spe\xc5\x82niaj\xc4\x85 definicj\xc4\x99 jednostki urojonej:  dla  Dlatego w najbardziej \xe2\x80\x9enaturalnych\xe2\x80\x9d okoliczno\xc5\x9bciach, je\xc5\xbceli liczba zespolona daje rozwi\xc4\x85zanie problemu, to daje je r\xc3\xb3wnie\xc5\xbc jej sprz\xc4\x99\xc5\xbcenie, jak to jest w przypadku rozwi\xc4\x85za\xc5\x84 zespolonych r\xc3\xb3wnania kwadratowego o wsp\xc3\xb3\xc5\x82czynnikach rzeczywistych._NEWLINE_Sprz\xc4\x99\xc5\xbcenie zespolone jest jedynym opr\xc3\xb3cz identyczno\xc5\x9bci ci\xc4\x85g\xc5\x82ym automorfizmem cia\xc5\x82a liczb zespolonych, a przy tym dzia\xc5\x82anie to jest inwolucj\xc4\x85, czyli  Zachowuje ono modu\xc5\x82 oraz zmienia argument liczby zespolonej na przeciwny.\n_START_SECTION_\nUog\xc3\xb3lnienia\n_START_PARAGRAPH_\nSprz\xc4\x99\xc5\xbcenie mo\xc5\xbcna uog\xc3\xb3lni\xc4\x87 na kwaterniony: sprz\xc4\x99\xc5\xbceniem kwaternionu  jest kwaternion  Mo\xc5\xbcna tak\xc5\xbce uog\xc3\xb3lni\xc4\x87 je na przypadek dowolnego innego cia\xc5\x82a kwadratowego, np. w ciele  mo\xc5\xbcna okre\xc5\x9bli\xc4\x87 je wzorem  a tak\xc5\xbce na liczby dualne. Sprz\xc4\x99ga\xc4\x87 mo\xc5\xbcna r\xc3\xb3wnie\xc5\xbc dwumiany. Sprz\xc4\x99\xc5\xbcenie we wszystkich podanych przypadkach ma dwie wa\xc5\xbcne w\xc5\x82asno\xc5\x9bci: jest automorfizmem oraz inwolucj\xc4\x85.'