b'\n_START_ARTICLE_\nEkwalizator i koekwalizator\n_START_PARAGRAPH_\nW teorii kategorii poj\xc4\x99cie ekwalizatora jest uog\xc3\xb3lnieniem poj\xc4\x99cia j\xc4\x85dra morfizmu. Jest to formalizacja intuicyjnego poj\xc4\x99cia podobiektu, na kt\xc3\xb3rym dwa dane morfizmy s\xc4\x85 r\xc3\xb3wne.\n_START_SECTION_\nEkwalizator\n_START_PARAGRAPH_\nZa\xc5\x82\xc3\xb3\xc5\xbcmy, \xc5\xbce \xcf\x86: A \xe2\x86\x92 B i \xcf\x88: A \xe2\x86\x92 B s\xc4\x85 r\xc3\xb3wnoleg\xc5\x82\xc4\x85 par\xc4\x85 morfizm\xc3\xb3w kategorii  Ekwalizator pary \xcf\x86, \xcf\x88 to obiekt E wraz z morfizmem \xce\xbb: E \xe2\x86\x92 A spe\xc5\x82niaj\xc4\x85cym nast\xc4\x99puj\xc4\x85ce dwa warunki:_NEWLINE_(i) \xcf\x86\xce\xbb = \xcf\x88\xce\xbb,_NEWLINE_(ii) dla dowolnego obiektu X i dowolnego morfizmu \xce\xbe: X \xe2\x86\x92 A spe\xc5\x82niaj\xc4\x85cego warunek \xcf\x86\xce\xbe = \xcf\x88\xce\xbe istnieje jeden i tylko jeden morfizm \xce\xb8: X \xe2\x86\x92 E taki, \xc5\xbce \xce\xbb\xce\xb8 = \xce\xbe._NEWLINE_Standardowe rozumowanie pokazuje, \xc5\xbce je\xc5\x9bli para \xcf\x86, \xcf\x88 ma ekwalizator \xce\xbb, to jest on przez te morfizmy wyznaczony jednoznacznie z dok\xc5\x82adno\xc5\x9bci\xc4\x85 do izomorfizmu oraz \xce\xbb jest monomorfizmem._NEWLINE_W kategoriach Set, Grp, Top i wielu innych ekwalizatorem r\xc3\xb3wnoleg\xc5\x82ej pary \xcf\x86, \xcf\x88 mofizm\xc3\xb3w jest podobiekt  wraz z w\xc5\x82o\xc5\xbceniem to\xc5\xbcsamo\xc5\x9bciowym\n_START_SECTION_\nKoekwalizator\n_START_PARAGRAPH_\nPoj\xc4\x99ciem dualnym do ekwalizatora jest koekwalizator. Je\xc5\x9bli \xcf\x86: A\xe2\x86\x92B i \xcf\x88: A\xe2\x86\x92B s\xc4\x85 r\xc3\xb3wnoleg\xc5\x82\xc4\x85 par\xc4\x85 morfizm\xc3\xb3w, to koekwalizatorem tej pary jest obiekt K wraz z morfizmem \xce\xbb: B \xe2\x86\x92 K spe\xc5\x82niaj\xc4\x85cym nast\xc4\x99puj\xc4\x85ce dwa warunki:_NEWLINE_(i*) \xce\xbb\xcf\x86 = \xce\xbb\xcf\x88,_NEWLINE_(ii*) dla dowolnego obiektu X i dowolnego morfizmu \xce\xbe: B \xe2\x86\x92 X spe\xc5\x82niaj\xc4\x85cego warunek \xce\xbe\xcf\x86 = \xce\xbe\xcf\x88 istnieje jeden i tylko jeden morfizm \xce\xb8: K \xe2\x86\x92 X taki, \xc5\xbce \xce\xb8\xce\xbb = \xce\xbe._NEWLINE_Je\xc5\x9bli para \xcf\x86, \xcf\x88 ma koekwalizator \xce\xbb, to jest on wyznaczony jednoznacznie z dok\xc5\x82adno\xc5\x9bci\xc4\x85 do izomorfizmu oraz jest epimorfizmem._NEWLINE_W kategoriach Set i Top koekwalizatorem r\xc3\xb3wnoleg\xc5\x82ej pary \xcf\x86, \xcf\x88 mofizm\xc3\xb3w jest obiekt ilorazowy K = B/~, gdzie ~ jest najmniejsz\xc4\x85 relacj\xc4\x85 r\xc3\xb3wnowa\xc5\xbcno\xc5\x9bci w B tak\xc4\x85, \xc5\xbce \xcf\x86(a) ~ \xcf\x88(a) dla ka\xc5\xbcdego a \xe2\x88\x88 A, wraz z kanoniczn\xc4\x85 suriekcj\xc4\x85 \xce\xbb: B \xe2\x86\x92 B/~. Natomiast w kategorii Grp nale\xc5\xbcy dzieli\xc4\x87 grup\xc4\x99 B przez podgrup\xc4\x99 normaln\xc4\x85 generowan\xc4\x85 przez wszystkie ilorazy \xcf\x86(a)\xcf\x88(a)\xe2\x80\x931, a \xe2\x88\x88 A.\n_START_SECTION_\nJ\xc4\x85dro i koj\xc4\x85dro morfizmu\n_START_PARAGRAPH_\nZa\xc5\x82\xc3\xb3\xc5\xbcmy, \xc5\xbce kategoria  ma obiekt zerowy i morfizmy zerowe 0A,B: A \xe2\x86\x92 B. J\xc4\x85dro morfizmu \xcf\x86: A \xe2\x86\x92 B to ekwalizator pary \xcf\x86, 0A,B. W kategoriach Grp, Ab, VectK j\xc4\x85drem morfizmu jest przeciwobraz elementu neutralnego._NEWLINE_Dualnie, koj\xc4\x85dro morfizmu \xcf\x86: A \xe2\x86\x92 B to koekwalizator pary \xcf\x86, 0A,B._NEWLINE_W kategoriach Ab i VectK koj\xc4\x85drem morfizmu jest epimorfizm kanoniczny \xcf\x80: B \xe2\x86\x92 B/N, gdzie N = \xcf\x86(A); w kategorii Grp jako N nale\xc5\xbcy wzi\xc4\x85\xc4\x87 najmniejsz\xc4\x85 podgrup\xc4\x99 normaln\xc4\x85 zawieraj\xc4\x85c\xc4\x85 \xcf\x86(A).'