b'\n_START_ARTICLE_\nTwierdzenie Hilberta o zerach\n_START_PARAGRAPH_\nTwierdzenie Hilberta o zerach (niem. Nullstellensatz) -- udowodnione przez Davida Hilberta twierdzenie w algebrze stanowi\xc4\x85ce fundament klasycznej geometrii algebraicznej. Wyra\xc5\xbca ono wzajemnie jednoznaczn\xc4\x85 odpowiednio\xc5\x9b\xc4\x87 pomi\xc4\x99dzy rozmaito\xc5\x9bciami algebraicznymi nad cia\xc5\x82ami algebraicznie domkni\xc4\x99tymi a idea\xc5\x82ami radykalnymi w pier\xc5\x9bcieniu wielomian\xc3\xb3w o wsp\xc3\xb3\xc5\x82czynnikach w tym ciele. Pozwala to na badanie rozmaito\xc5\x9bci algebraicznych, czyli geometrycznych obiekt\xc3\xb3w, metodami algebraicznymi.\n_START_SECTION_\nZwi\xc4\x85zek pomi\xc4\x99dzy algebr\xc4\x85 a geometri\xc4\x85\n_START_PARAGRAPH_\nZe s\xc5\x82abego Nullstellensatza mo\xc5\xbcna wywnioskowa\xc4\x87, \xc5\xbce ka\xc5\xbcdy niesprzeczny uk\xc5\x82ad r\xc3\xb3wna\xc5\x84 wielomianowych  zmiennych  ma rozwi\xc4\x85zanie: niesprzeczno\xc5\x9b\xc4\x87 oznacza dok\xc5\x82adnie tyle, \xc5\xbce idea\xc5\x82  nie jest ca\xc5\x82ym pier\xc5\x9bcieniem. Znany fakt z algebry m\xc3\xb3wi, \xc5\xbce w tym wypadku jest zawarty w pewnym ideale maksymalnym  kt\xc3\xb3ry na mocy s\xc5\x82abego Nullstellensatza jest postaci  dla pewnych  Poniewa\xc5\xbc  otrzymujemy, \xc5\xbce  dla pewnych  a wtedy oczywi\xc5\x9bcie  co oznacza, \xc5\xbce punkt  jest wsp\xc3\xb3lnym miejscem zerowym wielomian\xc3\xb3w _NEWLINE_Oznaczaj\xc4\x85c przez  zbi\xc3\xb3r wsp\xc3\xb3lnych zer wielomian\xc3\xb3w z idea\xc5\x82u  otrzymujemy, \xc5\xbce  czyli niesprzeczny uk\xc5\x82ad r\xc3\xb3wna\xc5\x84 daje nam nietrywialny obiekt geometryczny. W drug\xc4\x85 stron\xc4\x99, mo\xc5\xbcna wywnioskowa\xc4\x87 z tego s\xc5\x82aby Nullstellensatz: je\xc5\xbceli  jest idea\xc5\x82em maksymalnym, to  oznacza, \xc5\xbce pewien punkt  czyli I jest zawarty w j\xc4\x85drze homomorfizmu  ale I jest idea\xc5\x82em maksymalnym, zatem  Z drugiej strony,  oraz idea\xc5\x82  jest jak \xc5\x82atwo sprawdzi\xc4\x87 maksymalny, zatem _NEWLINE_S\xc5\x82aby Nullstellensatz m\xc3\xb3wi zatem o zwi\xc4\x85zku pomi\xc4\x99dzy idea\xc5\x82ami, b\xc4\x99d\xc4\x85cymi obiektami algebraicznymi, a zbiorami zer idea\xc5\x82\xc3\xb3w, b\xc4\x99d\xc4\x85cymi obiektami geometrycznymi. Mocny Nullstellensatz wyra\xc5\xbca ten zwi\xc4\x85zek w nieco konkretniejszy spos\xc3\xb3b: m\xc3\xb3wi on, \xc5\xbce ka\xc5\xbcda rozmaito\xc5\x9b\xc4\x87 algebraiczna w n-wymiarowej przestrzeni afinicznej  odpowiada dok\xc5\x82adnie jednemu idea\xc5\x82owi radykalnemu'