b'\n_START_ARTICLE_\nTwierdzenie Banacha o kontrakcji\n_START_PARAGRAPH_\nTwierdzenie Banacha o kontrakcji (lub o punkcie sta\xc5\x82ym, nazywane te\xc5\xbc niekiedy Banacha zasad\xc4\x85 kontrakcji) g\xc5\x82osi, \xc5\xbce dowolna kontrakcja przestrzeni metrycznej zupe\xc5\x82nej w siebie ma dok\xc5\x82adnie jeden punkt sta\xc5\x82y; co wi\xc4\x99cej, jest on granic\xc4\x85 ci\xc4\x85gu iteracji danej kontrakcji, zaczynaj\xc4\x85cego si\xc4\x99 w dowolnym punkcie przestrzeni.\n_START_SECTION_\nZastosowania\n_START_PARAGRAPH_\nTwierdzenie Banacha, mimo swej prostoty, ma liczne i wa\xc5\xbcne zastosowania. Mo\xc5\xbcna np. przy jego pomocy wykaza\xc4\x87 twierdzenie o funkcji odwrotnej, istnienie atraktora uk\xc5\x82adu przekszta\xc5\x82ce\xc5\x84 zw\xc4\x99\xc5\xbcaj\xc4\x85cych, czy zbie\xc5\xbcno\xc5\x9bci niekt\xc3\xb3rych algorytm\xc3\xb3w numerycznych (zob. np. metoda Gaussa-Seidla); jest ono te\xc5\xbc wykorzystywane m.in. w teorii r\xc3\xb3wna\xc5\x84 ca\xc5\x82kowych i r\xc3\xb3\xc5\xbcniczkowych. \xc5\xbbartobliwym jego zastosowaniem (i ilustracj\xc4\x85) jest obserwacja, \xc5\xbce gdy po\xc5\x82o\xc5\xbcymy map\xc4\x99 Polski na ziemi gdzie\xc5\x9b w Polsce, to dok\xc5\x82adnie jeden punkt na mapie pokrywa si\xc4\x99 z odpowiadaj\xc4\x85cym mu punktem na ziemi.\n_START_SECTION_\nTwierdzenie Bessagi\n_START_PARAGRAPH_\nJe\xc5\x9bli  jest tak\xc4\x85 funkcj\xc4\x85 okre\xc5\x9blon\xc4\x85 na niepustym zbiorze  \xc5\xbce ka\xc5\xbcda jej iteracja ma dok\xc5\x82adnie jeden punkt sta\xc5\x82y, to  mo\xc5\xbcna zmetryzowa\xc4\x87 w spos\xc3\xb3b zupe\xc5\x82ny tak, by  by\xc5\x82o kontrakcj\xc4\x85 wzgl\xc4\x99dem tej metryki (i to o dowolnej, z g\xc3\xb3ry zadanej sta\xc5\x82ej kontrakcji z przedzia\xc5\x82u ).'