b'\n_START_ARTICLE_\nPrzestrze\xc5\x84 styczna\n_START_SECTION_\nPrzestrze\xc5\x84 styczna do 2-wymiarowej powierzchni\n_START_PARAGRAPH_\nWszystkie krzywe przechodz\xc4\x85ce przez dany punkt  le\xc5\xbc\xc4\x85cy na 2-wymiarowej powierzchni  (np. powierzchni sfery czy elipsoidy itp.) maj\xc4\x85 wektor styczny, zaczepiony w tym punkcie. Suma dw\xc3\xb3ch wektor\xc3\xb3w stycznych jest nadal wektorem stycznym do jakiej\xc5\x9b krzywej na tej powierzchni, przechodz\xc4\x85cej przez punkt  To samo dotyczy mno\xc5\xbcenia wektor\xc3\xb3w stycznych przez skalar._NEWLINE_Wszystkie wektory styczne do krzywych na powierzchni rozpinaj\xc4\x85 wi\xc4\x99c w punkcie  2-wymiarow\xc4\x85 przestrze\xc5\x84 styczn\xc4\x85 \xe2\x80\x93 p\xc5\x82aszczyzn\xc4\x99 styczn\xc4\x85 w punkcie  do powierzchni _NEWLINE_P\xc5\x82aszczyzna styczna w punkcie  stanowi wi\xc4\x99c przybli\xc5\xbcenie p\xc5\x82askie (liniowe w 2 wymiarach) powierzchni zakrzywionej  przybli\xc5\xbcenie to jest tym lepsze, im bli\xc5\xbcej punktu  znajduj\xc4\x85 si\xc4\x99 punkty rozmaito\xc5\x9bci.\n_START_SECTION_\nPrzestrze\xc5\x84 styczna do 3-wymiarowej przestrzeni euklidesowej\n_START_PARAGRAPH_\nW 3-wymiarowej przestrzeni euklidesowej  wektor zaczepiony w pewnym punkcie jest okre\xc5\x9blony przez punkt zaczepienia oraz 3 wsp\xc3\xb3\xc5\x82rz\xc4\x99dne. Wektory zaczepione w r\xc3\xb3\xc5\xbcnych punktach uwa\xc5\xbca si\xc4\x99 za odr\xc4\x99bne, nawet je\xc5\x9bli maj\xc4\x85 te same wsp\xc3\xb3\xc5\x82rz\xc4\x99dne. Wektory zaczepione w tym samym punkcie  tworz\xc4\x85 3-wymiarow\xc4\x85 przestrze\xc5\x84 euklidesow\xc4\x85, gdy\xc5\xbc spo\xc5\x9br\xc3\xb3d wszystkich takich wektor\xc3\xb3w mo\xc5\xbcna wybra\xc4\x87 tylko 3 liniowo niezale\xc5\xbcne. Wektory te tworz\xc4\x85 baz\xc4\x99 przestrzeni stycznej do  w punkcie  i oznacza symbolem _NEWLINE_Wektory nale\xc5\xbc\xc4\x85 do tej samej przestrzeni stycznej, je\xc5\xbceli maj\xc4\x85 ten sam punkt zaczepienia. Wektory zaczepione w r\xc3\xb3\xc5\xbcnych punktach przestrzeni  nale\xc5\xbc\xc4\x85 do r\xc3\xb3\xc5\xbcnych przestrzeni stycznych.\n_START_SECTION_\nPrzestrze\xc5\x84 styczna do 3-wymiarowej rozmaito\xc5\x9bci\n_START_PARAGRAPH_\nKrzywe w 3-wymiarowej, dowolnej rozmaito\xc5\x9bci  przechodz\xc4\x85ce przez ustalony punkt  maj\xc4\x85 wektory do nich styczne w tym punkcie. Wektory te rozpinaj\xc4\x85 3-wymiarow\xc4\x85 przestrze\xc5\x84 euklidesow\xc4\x85, styczn\xc4\x85 do przestrzeni  w punkcie  kt\xc3\xb3ra jest aproksymacj\xc4\x85 p\xc5\x82ask\xc4\x85 rozmaito\xc5\x9bci w og\xc3\xb3lnym przypadku dowolnie zakrzywionej.\n_START_SECTION_\nPrzestrze\xc5\x84 styczna do n-wymiarowej rozmaito\xc5\x9bci\n_START_PARAGRAPH_\nRozmaito\xc5\x9b\xc4\x87 w najog\xc3\xb3lniejszym przypadku jest przestrzeni\xc4\x85 topologiczna, kt\xc3\xb3ra ma lokalnie w\xc5\x82asno\xc5\x9bci przestrzeni euklidesowej. Rozmaito\xc5\x9b\xc4\x87 ma wymiar  je\xc5\xbceli przez ka\xc5\xbcdy punkt  rozmaito\xc5\x9bci przechodz\xc4\x85 krzywe, kt\xc3\xb3rych wektory styczne tworz\xc4\x85 n-wymiarowe przestrzenie styczne (przestrzenie euklidesowe).'