b'\n_START_ARTICLE_\nPochodna kowariantna\n_START_SECTION_\nMotywacja\n_START_PARAGRAPH_\nW uk\xc5\x82adach krzywoliniowych pochodna cz\xc4\x85stkowa, np. z funkcji skalarnej, nie ma na og\xc3\xb3\xc5\x82 charakteru tensorowego. Aby otrzyma\xc4\x87 wielko\xc5\x9b\xc4\x87 tensorow\xc4\x85 (a wi\xc4\x99c wielko\xc5\x9b\xc4\x87 geometryczn\xc4\x85, czyli tak\xc4\x85, kt\xc3\xb3ra nie zale\xc5\xbcy od przyj\xc4\x99tego uk\xc5\x82adu wsp\xc3\xb3\xc5\x82rz\xc4\x99dnych), definiuje si\xc4\x99 pochodn\xc4\x85 kowariantn\xc4\x85 : jest ona r\xc3\xb3wna pochodnej cz\xc4\x85stkowej uzupe\xc5\x82nionej o dodatkowe sk\xc5\x82adniki, zwi\xc4\x85zane z krzywoliniowo\xc5\x9bci\xc4\x85 uk\xc5\x82adu wsp\xc3\xb3\xc5\x82rz\xc4\x99dnych._NEWLINE_Podobnie jest dla innych tensor\xc3\xb3w (wielko\xc5\x9bci skalarne s\xc4\x85 tensorami 0-go rz\xc4\x99du, wektory s\xc4\x85 tensorami 1-go rz\xc4\x99du; definiuje si\xc4\x99 tensory 2-go i wy\xc5\xbcszych rz\xc4\x99d\xc3\xb3w). Tensory s\xc4\x85 obiektami geometrycznymi, dlatego operacje wykonywanie na nich powinny nie zale\xc5\xbce\xc4\x87 od wyboru uk\xc5\x82adu wsp\xc3\xb3\xc5\x82rz\xc4\x99dnych. W trakcie rozwoju teorii tensor\xc3\xb3w poszukiwano takich dzia\xc5\x82a\xc5\x84 na tensorach, kt\xc3\xb3re w wyniku daj\xc4\x85 inne tensory. Jednym z takich dzia\xc5\x82a\xc5\x84 jest obliczanie pochodnej tensora. Pierwsze podej\xc5\x9bcie, polegaj\xc4\x85ce na obliczaniu pochodnej cz\xc4\x85stkowej, prowadzi\xc5\x82o w uk\xc5\x82adach krzywoliniowych do obiektu, kt\xc3\xb3ry nie by\xc5\x82 tensorem._NEWLINE_Odkryto, \xc5\xbce charakter tensorowy b\xc4\x99dzie mia\xc5\x82a tzw. pochodna kowariantna tensora \xe2\x80\x93 pochodna cz\xc4\x85stkowa uzupe\xc5\x82niona o dodatkowe sk\xc5\x82adniki, zwi\xc4\x85zane z krzywoliniowo\xc5\x9bci\xc4\x85 uk\xc5\x82adu wsp\xc3\xb3\xc5\x82rz\xc4\x99dnych._NEWLINE_Pochodna kowariantna tensora redukuje si\xc4\x99 do pochodnej cz\xc4\x85stkowej w prostoliniowym kartezja\xc5\x84skim uk\xc5\x82adzie wsp\xc3\xb3\xc5\x82rz\xc4\x99dnych.\n_START_SECTION_\nZasady modyfikacji tensor\xc3\xb3w\n_START_PARAGRAPH_\nJe\xc5\xbceli chce si\xc4\x99 r\xc3\xb3wnania tensorowe znane ze wsp\xc3\xb3\xc5\x82rz\xc4\x99dnych ortokartezja\xc5\x84skich zapisa\xc4\x87 we wsp\xc3\xb3\xc5\x82rz\xc4\x99dnych krzywoliniowych, to obowi\xc4\x85zuje zasada, i\xc5\xbc pochodne cz\xc4\x85stkowe przechodz\xc4\x85 na pochodne kowariantne, a r\xc3\xb3\xc5\xbcniczki zupe\xc5\x82ne przechodz\xc4\x85 na r\xc3\xb3\xc5\xbcniczki absolutne.\n_START_SECTION_\nPole tensorowe\n_START_PARAGRAPH_\nUto\xc5\xbcsamiamy poj\xc4\x99cie tensora z polem tensorowym,, tzn. zak\xc5\x82adamy, \xc5\xbce sk\xc5\x82adowe tensor\xc3\xb3w (skalara, wektora, ...) mo\xc5\xbcna wyra\xc5\xbca\xc4\x87 w lokalnych bazach za pomoc\xc4\x85 funkcji wsp\xc3\xb3\xc5\x82rz\xc4\x99dnych, kt\xc3\xb3re s\xc4\x85 funkcjami g\xc5\x82adkimi, zmieniaj\xc4\x85cymi si\xc4\x99 na og\xc3\xb3\xc5\x82 przy przechodzeniu z danego punktu przestrzeni do innego. Za\xc5\x82o\xc5\xbcenie to pozwala wykonywa\xc4\x87 np. operacje r\xc3\xb3\xc5\xbcniczkowania na wsp\xc3\xb3\xc5\x82rz\xc4\x99dnych tensor\xc3\xb3w.\n_START_SECTION_\nInterpretacja pola kompensacyjnego\n_START_PARAGRAPH_\nPole kompensacyjne wynika z krzywoliniowo\xc5\x9bci uk\xc5\x82adu wsp\xc3\xb3\xc5\x82rz\xc4\x99dnych (nie jest miar\xc4\x85 zakrzywienia przestrzeni). W przestrzeni kartezja\xc5\x84skiej jest ono r\xc3\xb3wne 0 i pochodna kowariantna pokrywa si\xc4\x99 z pochodn\xc4\x85 cz\xc4\x85stkow\xc4\x85. We wsp\xc3\xb3\xc5\x82rz\xc4\x99dnych krzywoliniowych wektory bazowe maj\xc4\x85 niezerowe pochodne wzgl\xc4\x99dem wsp\xc3\xb3\xc5\x82rz\xc4\x99dnych kartezja\xc5\x84skich \xe2\x80\x93 wtedy pole kompensacyjne staje si\xc4\x99 niezerowe._NEWLINE_Pole kompensacyjne nie jest tensorem. Tensorem jest komutator dw\xc3\xb3ch p\xc3\xb3l kompensacyjnych \xe2\x80\x93 nazywa si\xc4\x99 go tensorem krzywizny Riemanna. Je\xc5\xbceli sk\xc5\x82adowe tego tensora s\xc4\x85 niezerowe,to przestrze\xc5\x84 jest zakrzywiona.\n_START_SECTION_\nPochodna kowariantna w innych teoriach\n_START_PARAGRAPH_\nPochodna cz\xc4\x85stkowa jest nieodpowiedni\xc4\x85 wielko\xc5\x9bci\xc4\x85 tak\xc5\xbce w innych teoriach, dlatego tak\xc5\xbce w nich trzeba wprowadza\xc4\x87 pola kompensacyjne i pochodn\xc4\x85 kowariantn\xc4\x85. Jednak o ile w teorii wzgl\xc4\x99dno\xc5\x9bci dodatkowy sk\xc5\x82adnik pojawiaj\xc4\x85cy si\xc4\x99 przy transformowaniu pochodnej cz\xc4\x85stkowej zawiera wy\xc5\x82\xc4\x85cznie wsp\xc3\xb3\xc5\x82rz\xc4\x99dne czasoprzestrzenne i ich pochodne, o tyle w innych teoriach sk\xc5\x82adnik ten mo\xc5\xbce zale\xc5\xbce\xc4\x87 od innych parametr\xc3\xb3w. Pole kompensacyjne nie ma wtedy naturalnego wyprowadzenia i trzeba je ustali\xc4\x87 arbitralnie._NEWLINE_Na przyk\xc5\x82ad w teoriach p\xc3\xb3l kwantowych z cechowaniem pochodna zale\xc5\xbcy od dodatkowego parametru (albo parametr\xc3\xb3w), kt\xc3\xb3ry nie ma nic wsp\xc3\xb3lnego ze wsp\xc3\xb3\xc5\x82rz\xc4\x99dnymi czasoprzestrzennymi. Np. pochodna kwantowego pola elektronu zale\xc5\xbcy od potencja\xc5\x82u elektrycznego; wprowadza si\xc4\x99 pole kompensuj\xc4\x85ce, kt\xc3\xb3re mo\xc5\xbcna zidentyfikowa\xc4\x87 jako pole fotonu. Pole fotonu nie jest poprawnym tensorem (\xc5\x9bci\xc5\x9blej: wektorem) w przestrzeni Lorentza, poniewa\xc5\xbc wykazuje dodatkow\xc4\x85 niezmienniczo\xc5\x9b\xc4\x87 wzgl\xc4\x99dem cechowania. Pozwala jednak na zdefiniowanie pochodnej pola elektronu b\xc4\x99d\xc4\x85cej poprawnym tensorem. Interpretacja fizyczna tego faktu jest taka, \xc5\xbce obecno\xc5\x9b\xc4\x87 pola elektrycznego wp\xc5\x82ywa na ruch elektronu._NEWLINE_Fakt ten jest odzwierciedleniem og\xc3\xb3lnej zasady, \xc5\xbce ka\xc5\xbcde oddzia\xc5\x82ywanie wynika z jakiej\xc5\x9b symetrii cechowania. Pochodne cz\xc4\x85stkowe p\xc3\xb3l materii nie s\xc4\x85 poprawnymi tensorami; trzeba wprowadzi\xc4\x87 pochodn\xc4\x85 kowariantn\xc4\x85, zdefiniowan\xc4\x85 za pomoc\xc4\x85 p\xc3\xb3l kompensuj\xc4\x85cych zwanych polami cechowania. Kwanty p\xc3\xb3l cechowania odpowiadaj\xc4\x85 cz\xc4\x85stkom fizycznym, zwanym bozonami cechowania. W\xc5\x82a\xc5\x9bnie z tego faktu wzi\xc4\x85\xc5\x82 si\xc4\x99 pogl\xc4\x85d, \xc5\xbce ka\xc5\xbcde oddzia\xc5\x82ywanie polega na wymianie wirtualnego bozonu. Przyk\xc5\x82adowo, polem cechowania w elektrodynamice jest foton, a w teorii oddzia\xc5\x82ywa\xc5\x84 elektros\xc5\x82abych \xe2\x80\x93 foton, bozon Z i bozony W._NEWLINE_Og\xc3\xb3lna teoria wzgl\xc4\x99dno\xc5\x9bci podaje jeden wz\xc3\xb3r na pole kompensacyjne, w innych teoriach trzeba ustali\xc4\x87 je na podstawie obserwacji. Istnieje jednak hipoteza, \xc5\xbce pola kompensacyjne wszystkich teorii da si\xc4\x99 wyprowadzi\xc4\x87 w spos\xc3\xb3b podobny do znanego z teorii wzgl\xc4\x99dno\xc5\x9bci, jednak w wi\xc4\x99kszej ilo\xc5\x9bci wymiar\xc3\xb3w. Wszystkie oddzia\xc5\x82ywania by\xc5\x82yby spowodowane zakrzywieniem czasoprzestrzeni: grawitacja \xe2\x80\x93 czterech znanych wymiar\xc3\xb3w, a pozosta\xc5\x82e \xe2\x80\x93 dodatkowych wymiar\xc3\xb3w. Teoria Kaluzy-Kleina to przyk\xc5\x82ad teorii podobnej do teorii wzgl\xc4\x99dno\xc5\x9bci, gdzie elektromagnetyzm t\xc5\x82umaczony jest jako zakrzywienie pi\xc4\x85tego wymiaru.'