The redefinition of the teacher's competences is an issue which has raised in the educational system in the last decades following socioeconomic changes imposed by the learning society (Hutchins, 1968; Husén, 1974; Argyris & SchÖn, 1998; Tomassini, 1993; Quaglino,1999). At the same time the educational research on the school system shifts its key interest on teachers due to issues relating the changes of the knowledge required by the contemporary society and the discontent towards the results of the previous approach to the educational research, considering the teaching as the direct cause of learning (Altet, 2008; Damiano, 2006; Groppo, 1975). The teacher factor, with his ideas and transformation of knowledge effecting his thought and action, has been left on the background for too long. Specifically the teacher's knowledge of the subject taught had almost not interested the research until the late 80s, when Shulman (1986. 1987) in his well known seminal papers considered the issue of the kind of subject-matter knowledge of teachers as the key issue in order to understand the pedagogy/learning processes. The new competences required from teachers by the contemporary society of knowledge cover also a more explicit and clear assumption of typical competences on the subject taught (Baldacci, 2010; Magnoler e Sorzio in corso di stampa). In order to obtain information on the subject-matter knowledge of the teachers of mathematics at the primary school, this investigation addressed two fields of research: the research relating the pedagogical content knowledge (PCK) of mathematics and the research relating the teacher's belief on the mathematics and on teaching and learning mathematics. Very seldom are combined this kinds of researches because they pertain to different fields and also are not clearly defined by the educational research (Graeber & Tirosh, 2008). The knowledge gained, however, is that there exist a relationship between the two fields and they interact between each other (Mason, 2001, 2006, Philipp, 2007, Handal, 2003).
The investigation on the subject-matter knowledge addressed on the knowledge of the teachers of mathematics in the primary school, based on the fact that nowadays mathematics are a key subject for the education of citizens (UMI, 2001; NRC, 2001). Moreover the mathematics conception of the specialists is still distant, though variegated, from the kind of mathematics taught at school (Schoenfeld, 1988; 1991; 1992). We believe that a starting point to better define the teacher's competences and mathematical knowledge for teaching is to know the position of those specialist in mathematics who can provide an epistemological view of that kind of knowledge (Ernest, 1988; Speranza, 1996). The issue of the research was defined around the following question: the description of which is the pedagogical content knowledge (PCK) of mathematics by the teachers of mathematics in the primary school e how they use it in view of their personal ideas on this subject and its teaching.
In order to address this basic question, more detailed questions have been formulated to which the employed investigation tools could provide appropriate answers.
The research involved nine teachers of primary school and one teacher of secondary school, first grade, working in three different schools in different provinces in Friuli Venezia Giulia. The teachers have been interviewed twice on issues relating the PCK of mathematics and their beliefs on mathematics, its teaching and its learning.
Moreover the teachers took part in the research on the basis of a research project of education developed from the undersigned which included also the videorecording of lessons, held but not used in this doctoral research, and workshops addressed to all the teachers of mathematics of the schools which contributed to this project. Moreover, in the course of the investigation, meetings have been organized aiming at discussing some of the results of the first step of the interviews. Thanks to this the participant teachers could be more aware of the scope of the research.
The interviews on the PCK of mathematics were based on hypothetic scenarios of classroom useful for investigating the thought of the teachers on the mathematical thought of the students through the interpretation of their mistakes or difficulties when facing the mathematical issues of the primary school (Markovitz & Even, 1999; Biza & al.2007). The second set of interviews were organized semi-structurally in order to bring to light the subjectivity of the teachers in relation to their beliefs and attitudes on the teaching and learning of mathematics (Trinchero, 2002; Sorzio, 2005).
The analysis of the interviews on PCK was based on the PCK concept known in literature, particularly in relation to the area of interpretation of the student's thought by teachers (Even & Tirosh, 1995; Peng & Luo, 2009). The analysis of the semi-structured interviews was based on a coding process conducted by issues which have been the subject matter of investigation aiming at formulating categories best representing the beliefs and attitudes of the teachers(Soldana, 2009).
Moreover a hypothetic scenario on PCK has been expressly developed in order to investigate the beliefs of teachers on the mathematics as subject matter (Markovits & Even, 1999b)..
The scenarios of hypothetic teaching situations are tools used not only in the investigation on the thought of teachers but also in the education of the teachers of mathematics, because they help to get in the teacher's thought in relation to situations which are ideal but plausible and give the opportunity to organize a consideration on the proposed issues not possible during the practical activities in the classroom (Markovitz & Even, 1999; Biza & al.2007).
The results of the investigation pointed out that the teachers are not likely to go deep to the thought of the students through an analysis of their mistakes or specific corrective measures. Instead they tend to use rapid schemes of resolution of the mistakes which apply to broad class of mistakes. A very common scheme is the presentation of the practical example in order to link mathematics to the real life of the students, considering this an easier way to learn. To make the learning easier is one of the concerns of the teachers, who consider the inclination towards the mathematics essentially innate. The learning skills can improve mainly thanks to the cognitive maturity of the students. The teacher factor only affects less skilled students. The mathematics is perceived often as procedural and not always the conceptual aspect is appreciated in its pedagogical aspects. Evidently teachers express slightly different positions on the issues investigated; however a constant element for the teachers is the conflict between try to change the way to teach mathematics and the fear that this can bring to a lack of interest or learning deficiencies for the students. In order to partially solve said conflict, some proposals relating to education have been suggested.
La ridefinizione delle competenze degli insegnanti è una questione che ha investito la politica educativa degli ultimi decenni a seguito dei cambiamenti socioeconomici che la learning society ha imposto (Hutchins, 1968; Husén, 1974; Argyris & SchÖn, 1998; Tomassini, 1993; Quaglino,1999). Contemporaneamente la ricerca educativa sulla scuola ha spostato il suo principale centro di interesse sull’insegnante per una serie di questioni inerenti i cambiamenti dei saperi richiesti dalla società contemporanea e l’insoddisfazione verso i risultati dei precedenti approcci alla ricerca educativa che interpretavano l’insegnamento come causa diretta dell’apprendimento (Altet, 2008; Damiano, 2006; Groppo, 1975) . Il fattore insegnante con le sue concezioni e la trasformazione del sapere che mette in atto nel pensiero e nella pratica era stato per troppo tempo lasciato sullo sfondo. In particolare il sapere dell’insegnante relativo alla disciplina insegnata ha avuto quasi nessun interesse per la ricerca fino alla fine degli anni ’80 in cui Shulman (1986; 1987), in una sua ormai famosa serie di articoli, ha posto la questione sul tipo di sapere disciplinare che è in possesso degli insegnanti come una questione vitale per la comprensione dei processi di insegnamento/apprendimento. Le nuove competenze richieste agli insegnanti dalla società contemporanea definita della conoscenza contemplano anche una più esplicita e definita assunzione di quella che sono le tipiche competenze dell’insegnante rispetto alla disciplina (Baldacci, 2010; Magnoler e Sorzio in corso di stampa). Due sono i settori di ricerca a cui questa indagine si è rivolta per acquisire conoscenze sul sapere disciplinare degli insegnanti di matematica della scuola primaria: le ricerche sul contenuto pedagogico per l’insegnamento della matematica e le ricerche sulle convinzioni degli insegnanti rispetto alla matematica, al suo insegnamento e al suo apprendimento. Questi tipi di ricerche sono raramente combinati perche afferiscono a domini differenti e peraltro non chiaramente definiti in ricerca educativa (Graeber & Tirosh, 2008). Quello che però la ricerca ha acquisito è che c’è una relazione tra i due domini e che questi interagiscano uno con l’altro (Mason, 2001, 2006, Philipp, 2007, Handal, 2003).
L’indagine sul sapere disciplinare si è rivolta al sapere degli insegnanti di matematica di scuola primaria ritenendo che, al giorno d’oggi, la matematica abbia un’importanza fondamentale nella formazione del cittadino (UMI, 2001; NRC, 2001). Inoltre le concezioni della matematica degli esperti sono tuttora, seppur variegate, alquanto distanti dal tipo di matematica che viene condotta nelle classi scolastiche (Schoenfeld, 1988; 1991; 1992). Crediamo che un punto di partenza per definire meglio le competenze dei docenti e il loro sapere specifico inerente alla disciplina sia comunque quello di conoscere la posizione di chi in matematica è esperto e può fornire una visione di tipo epistemologico del sapere in oggetto (Ernest, 1988; Speranza, 1996). Il problema di ricerca è stato delineato attorno alla domanda seguente: la descrizione di quale sia la conoscenza del contenuto pedagogico dell’insegnamento della matematica degli insegnanti di matematica di scuola primaria e di come gli stessi insegnanti lo utilizzino alla luce delle personali convinzioni sulla disciplina e sul suo insegnamento.
Per rispondere a questa domanda base sono state definite domande più di dettaglio a cui gli strumenti di indagine utilizzati potevano fornire delle risposte adeguate.
La ricerca ha coinvolto nove insegnanti di scuola primaria e una insegnante di scuola secondaria di I grado in servizio in tre diversi Istituti Comprensivi di tre diverse province delle regione Friuli Venezia Giulia. Le insegnanti hanno partecipato alla ricerca facendosi intervistare per due volte ciascuna su temi riguardanti il contenuto pedagogico dell’insegnamento della matematica e le loro convinzioni sulla matematica, il suo insegnamento e il suo apprendimento.
Inoltre le insegnanti hanno partecipato alla ricerca sulla base di un progetto di ricerca-formazione elaborato dallo scrivente che comprendeva anche la videoregistrazione di lezioni, che sono state effettuate ma non utilizzate nella presente ricerca di dottorato, e di seminari estesi a tutte le insegnanti di matematica degli istituti comprensivi che hanno aderito al progetto. Inoltre nel corso dell’indagine sono stati svolti degli incontri per discutere alcuni dei risultati della prima fase delle interviste. Ciò ha permesso alle insegnanti partecipanti di essere maggiormente consapevoli degli obiettivi della ricerca.
Le interviste sul contenuto pedagogico dell’insegnamento della matematica consistono in scenari di classe ipotetici validi per sondare il pensiero dei docenti rispetto al pensiero matematico degli studenti, attraverso la interpretazioni dei loro errori o delle difficoltà che incontrano quando sono chiamati ad affrontare argomenti di matematica presenti nel curricolo di scuola primaria (Markovitz & Even, 1999; Biza & al.2007). Il secondo gruppo di interviste sono state organizzate in modo semi-strutturato per far emergere la soggettività delle insegnanti rispetto alle loro convinzioni e atteggiamenti nei riguardi dell’insegnamento e apprendimento della matematica (Trinchero, 2002; Sorzio, 2005).
L’analisi delle interviste sul PCK è stata condotta utilizzando il concetto di PCK per come è definito nelle letteratura in particolare rispetto alla dimensione della interpretazione del pensiero degli studenti da parte degli insegnanti (Even & Tirosh, 1995; Peng & Luo, 2009). L’analisi delle interviste semi-strutturate ha seguito una procedura di codifica guidata dai temi che sono stati oggetto di indagine per giungere alla costruzione di categorie che fossero le più rappresentative delle convinzioni e atteggiamenti degli insegnanti (Soldana, 2009).
Inoltre uno scenario ipotetico sul PCK è stati appositamente ideato per sondare le convinzioni delle insegnanti rispetto alla matematica come disciplina (Markovits & Even, 1999b).
Gli scenari di situazioni didattiche ipotetiche sono degli strumenti che trovano un impiego oltre che nella ricerca sul pensiero degli insegnanti anche nella formazione dei docenti di matematica perché permettono di penetrare il pensiero dei docenti al cospetto di situazioni ideali ma plausibili che danno la possibilità di organizzare una riflessione sui temi proposti che l’attività concreta in classe non consente (Markovitz & Even, 1999; Biza & al.2007).
I risultati dell’indagine hanno evidenziato come le insegnanti tendenzialmente non approfondiscano il pensiero degli studenti attraverso un’ analisi degli errori e ancora meno attraverso l’attuazione di specifici rimedi. Piuttosto tendono ad avvalersi di schemi rapidi di risoluzione dell’errore che hanno validità per classi molto ampie di errori. Uno schema molto utilizzato è l’esposizione all’evidenza dell’esempio concreto per agganciare la matematica all’esperienza reale dello studente ritenendo in questo modo che l’apprendimento sia facilitato. La facilitazione dell’apprendimento è una delle preoccupazioni delle insegnanti che ritengono fondamentalmente innata la propensione per la matematica. La capacità di apprendimento può migliorare principalmente per maturazione cognitiva degli alunni. Il fattore insegnante ha un influenza limitata solo per gli studenti con minori capacità. La matematica è percepita come fondamentalmente procedurale e l’aspetto concettuale non è sempre valorizzato nei suoi aspetti pedagogici. Le insegnanti esprimono ovviamente posizioni con sfumature diverse sui temi indagati; una costante è la presenza di tensioni nell’insegnante tra il tentare di cambiare il modo di insegnare la matematica e la preoccupazione che questo possa arrecare disinteresse o portare a carenze negli apprendimenti degli alunni. Alcune proposte di carattere formativo vengono formulate per risolvere in parte tali tensioni.