ਹੇਠ ਦਿੱਤੇ ਟੈਕਸਟ ਨੂੰ ਲੈਟੇਕਸ ਕੋਡ ਨਾਲ ਸੋਧ ਕੇ ਸਪਸ਼ਟ, ਸੰਖੇਪ ਅਤੇ ਪੇਸ਼ੇਵਰ ਬਣਾਓਃ\\' ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੋ {ਸਬੂਤ}\\'ਸਾਬਤ ਕਰਨ ਲਈ $\\' ਸਪੈਨ {\\'ਬੋਲਡਐਕਸ _ 1'\\'ਸਬਸੈੱਟ\\ \\Span {\\\\boldx _ 1,\\\\boldx _ 2} $, ਸਾਨੂੰ ਦੋਵੇਂ $\\\\Span {\\\\boldx _ 1}\\\\subseat\\\\Span {\\boldx _ 1,\\\\boldx _ 2} $ਅਤੇ $\\\\Span {\\boldx _ 1,\\\\boldx _ 2} ਦਰਸਾਉਣ ਦੀ ਜ਼ਰੂਰਤ ਹੈ।ਇਹ ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੈ ਕਿ $\\\\Span {\\\\boldx _ 1}\\\\spset\\ \\Span {\\\\boldx _ 1,\\\\boldx _ 2} $, ਕਿਉਂਕਿ ਕਿਸੇ ਵੀ ਵੈਕਟਰ ਲਈ $\\\\alfa\\ \\boldx _ 1 $, ਜਿੱਥੇ $\\\\alfa\\ \\in\\\\RR $ਹੈ, ਇਸ ਨੂੰ $\\\\alfa\\ \\boldx _ 1 +\\\\beta\\ \\boldx _ 2 $ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵੀ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ $\\\\beta = 0 $ਹੈ।ਕੋਈ ਵੀ $\\\\boldy\\ \\in\\\\span {\\\\boldx _ 1,\\\\boldx _ 2} $ਚੁਣੋ, ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਅਨੁਸਾਰ, ਇੱਥੇ ਮੌਜੂਦ ਹੈ $\\\\alfa _ 1,\\\\alfa _ 2 $\\nsuch ਕਿ \\n $\\n \\boldy\\n =\\\\alfa _ 1\\ \\ਬੋਲਡਕਸ _ 1 +\\\\ਆਲਫ਼ਾ _ 2\\\\ \\ਬੋਲਡਕਸ _ 2 \\ਨ\\\\ਅਲਫ਼ਾ _ 1 \\ਨ\\ਸ਼ੁਰੂਆਤ {ਪੀਮੈਟਰਿਕਸ} \\ਨ1 \\ਨ0 \\ਨ \\ਨ \\ਨ ਅੰਤ {ਪੀਮੈਟਰਿਕਸ} \\ਨ \\ਨ \\ਨ \\ਨ \\ਨਲਫ਼ਾ _ 2 \\ਨ \\ਨ ਸ਼ੁਰੂ {ਪੀਮੈਟਰਿਕਸ} \\ਨ-2 \\ਨ0 \\ਨ \\ਨ \\ਨ ਅੰਤ {ਪੀਮੈਟਰਿਕਸ} \\ਨ =\\ \\alfa _ 1 \\n\\ \\innast {pmatrix} \\n1\\n0\\n\\n\\n\\n ਅੰਤ {pmatrix} \\n2\\ \\alfa _ 2\\n\\ \\innast {pmatrix} \\n1\\n0\\n\\n\\n ਅੰਤ {pmatrix} \\n = (\\\\alfa _ 1-2)\\ \\alfa _ 2) \\n\\ \\left {pmatrix} \\n1\\n0\\n\\ \\end {pmatrix} \\n = (\\\\alfa _ 1-2\\\\alfa _ 2)\\\\boldx _ 1 $\\nHens $\\\\span {\\\\boldx _ 1,\\\\boldx _ 2}\\\\ ਉਪ ਸਮੂਹ\\\\span{\\\\boldx _ 1} $ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਦਾਅਵਾ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ \\n\\ \\end {ਸਬੂਤ} '] ", 'ਇਸ ਨੂੰ ਸਪਸ਼ਟ, ਸੰਖੇਪ ਅਤੇ ਪੇਸ਼ੇਵਰ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਹੇਠ ਦਿੱਤੇ ਟੈਕਸਟ ਨੂੰ ਲੈਟੇਕਸ ਕੋਡ ਨਾਲ ਸੋਧੋਃ $\\span {\\boldx _ 1} \\subseat\\span {\\boldx _ 1 ਸਾਬਤ ਕਰਨ ਲਈ,\\boldx _ 2} $, ਸਾਨੂੰ ਦੋਵੇਂ $\\span {\\boldx _ 1} \\sabseat \\span {\\boldx _ 1, \\boldx _ 2} $ਅਤੇ $\\span {\\boldx _ 1, \\boldx _ 2} \\sabseat \\span {\\boldx _ 1} $ਦਰਸਾਉਣ ਦੀ ਜ਼ਰੂਰਤ ਹੈ।ਸਪਸ਼ਟ ਕਰੋ ਕਿ $\\span {\\boldx _ 1} \\sabseat \\span {\\boldx _ 1, \\boldx _ 2} $, ਕਿਉਂਕਿ ਕਿਸੇ ਵੀ ਵੈਕਟਰ ਲਈ $\\alph\\boldx _ 1 $, ਜਿੱਥੇ $\\alph\\in\\RR $, ਇਹ ਵੀ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ$\\alfa\\boldx _ 1 + \\beta\\boldx _ 2 $ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, $\\beta = 0 $ਦੇ ਨਾਲ। ਉਲਟ ਵੇਖਣ ਲਈ, ਕੋਈ ਵੀ $\\boldy\\in\\span {\\boldx _ 1, \\boldx _ 2} $ਚੁਣੋ,ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਵਿੱਚ, ਇੱਥੇ $\\alfa _ 1, \\alfa _ 2 $ਮੌਜੂਦ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ $\\boldy = \\alfa _ 1 \\boldx _ 1 + \\alfa _ 2 \\boldx _ 2 \\alfa _ 1 \\bold {pmatrix} 1 0 \\end {pmatrix}ਅਲਫ਼ਾ _ 2 = ਸ਼ੁਰੂ {ਪੀ. ਮੈਟਰਿਕਸ}-2 0 = ਸ਼ੁਰੂ {ਪੀ. ਮੈਟਰਿਕਸ} = 1 0 = ਸ਼ੁਰੂ {ਪੀ. ਮੈਟਰਿਕਸ} 2 = ਸ਼ੁਰੂ {ਪੀ. ਮੈਟਰਿਕਸ} 1 0 = ਸ਼ੁਰੂ {ਪੀ. ਮੈਟਰਿਕਸ} 1 0 = ਸ਼ੁਰੂ {ਪੀ. ਮੈਟਰਿਕਸ} 1 0 = ਸ਼ੁਰੂ {ਪੀ. ਮੈਟਰਿਕਸ} = (\\ਅਲਫ਼ਾ _ 1-2)ਇਸ ਲਈ $\\Span {\\boldx _ 1, \\boldx _ 2} \\subseat \\Span {\\boldx _ 1} $ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।ਦਾਅਵਾ ਕੀਤਾ ਗਿਆ \\end {ਸਬੂਤ}', " ['ਹੇਠ ਦਿੱਤੇ ਟੈਕਸਟ ਨੂੰ ਲੈਟੇਕਸ ਕੋਡ ਨਾਲ ਸੋਧ ਕੇ ਸਪਸ਼ਟ, ਸੰਖੇਪ ਅਤੇ ਪੇਸ਼ੇਵਰ ਬਣਾਓਃ\\' ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੋ {ਸਬੂਤ}\\'ਸਾਬਤ ਕਰਨ ਲਈ $\\' ਸਪੈਨ {\\'ਬੋਲਡਐਕਸ _ 1'\\'ਸਬਸੈੱਟ\\ \\Span {\\\\boldx _ 1,\\\\boldx _ 2} $, ਸਾਨੂੰ ਦੋਵੇਂ $\\\\Span {\\\\boldx _ 1}\\\\subseat\\\\Span {\\boldx _ 1,\\\\boldx _ 2} $ਅਤੇ $\\\\Span {\\boldx _ 1,\\\\boldx _ 2} ਦਰਸਾਉਣ ਦੀ ਜ਼ਰੂਰਤ ਹੈ।ਇਹ ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੈ ਕਿ $\\\\Span {\\\\boldx _ 1}\\\\spset\\ \\Span {\\\\boldx _ 1,\\\\boldx _ 2} $, ਕਿਉਂਕਿ ਕਿਸੇ ਵੀ ਵੈਕਟਰ ਲਈ $\\\\alfa\\ \\boldx _ 1 $, ਜਿੱਥੇ $\\\\alfa\\ \\in\\\\RR $ਹੈ, ਇਸ ਨੂੰ $\\\\alfa\\ \\boldx _ 1 +\\\\beta\\ \\boldx _ 2 $ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵੀ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ $\\\\beta = 0 $ਹੈ।ਕੋਈ ਵੀ $\\\\boldy\\ \\in\\\\span {\\\\boldx _ 1,\\\\boldx _ 2} $ਚੁਣੋ, ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਅਨੁਸਾਰ, ਇੱਥੇ ਮੌਜੂਦ ਹੈ $\\\\alfa _ 1,\\\\alfa _ 2 $\\nsuch ਕਿ \\n $\\n \\boldy\\n =\\\\alfa _ 1\\ \\ਬੋਲਡਕਸ _ 1 +\\\\ਆਲਫ਼ਾ _ 2\\\\ \\ਬੋਲਡਕਸ _ 2 \\ਨ\\\\ਅਲਫ਼ਾ _ 1 \\ਨ\\ਸ਼ੁਰੂਆਤ {ਪੀਮੈਟਰਿਕਸ} \\ਨ1 \\ਨ0 \\ਨ \\ਨ \\ਨ ਅੰਤ {ਪੀਮੈਟਰਿਕਸ} \\ਨ \\ਨ \\ਨ \\ਨ \\ਨਲਫ਼ਾ _ 2 \\ਨ \\ਨ ਸ਼ੁਰੂ {ਪੀਮੈਟਰਿਕਸ} \\ਨ-2 \\ਨ0 \\ਨ \\ਨ \\ਨ ਅੰਤ {ਪੀਮੈਟਰਿਕਸ} \\ਨ =\\ \\alfa _ 1 \\n\\ \\innast {pmatrix} \\n1\\n0\\n\\n\\n\\n ਅੰਤ {pmatrix} \\n2\\ \\alfa _ 2\\n\\ \\innast {pmatrix} \\n1\\n0\\n\\n\\n ਅੰਤ {pmatrix} \\n = (\\\\alfa _ 1-2)\\ \\alfa _ 2) \\n\\ \\left {pmatrix} \\n1\\n0\\n\\ \\end {pmatrix} \\n = (\\\\alfa _ 1-2\\\\alfa _ 2)\\\\boldx _ 1 $\\nHens $\\\\span {\\\\boldx _ 1,\\\\boldx _ 2}\\\\ ਉਪ ਸਮੂਹ\\\\span{\\\\boldx _ 1} $ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਦਾਅਵਾ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, 'ਸੰਸ਼ੋਧਿਤ ਸਬੂਤ ਲਈ ਇੱਥੇ ਲੈਟੇਕਸ ਕੋਡ ਹੈਃ \\n\\ \\bn {\\\\mathbf {x} _ 1}\\\\ ਉਪ-ਸਮੂਹ ਨੂੰ ਸਾਬਤ ਕਰਨ ਲਈ\\ \\Span {\\\\mathbf {x} _ 1,\\\\mathbf {x} _ 2} $, ਸਾਨੂੰ $\\\\Span {\\\\mathbf {x} _ 1}\\\\subset\\\\Span {\\\\mathbf {x} _ 1,\\\\mathbf {x} _ 2} $ਅਤੇ $\\\\Span {\\\\mathbf {x} _ 1 ਦਿਖਾਉਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।ਇਹ ਮਾਮੂਲੀ ਗੱਲ ਹੈ ਕਿ $\\\\Span {\\\\mathbf {x} _ 1}\\\\ ਉਪ-ਸਮੂਹ\\\\Span {\\\\mathbf {x} _ 1,\\\\mathbf {x} _ 2,\\\\mathbf {x} _ 2।ਵੈਕਟਰ $\\\\alph\\ \\mathbf {x} _ 1 $, ਜਿੱਥੇ $\\\\alph\\ \\in\\\\mathbb {R} $, ਨੂੰ $\\\\alph\\ \\mathbf {x} _ 1 +\\\\beta\\ \\mathbf {x} _ 2 $ਨਾਲ $\\\\beta = ਨਾਲ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।0 $. \\n\\n ਉਲਟ ਲਈ, ਕੋਈ ਵੀ $\\\\mathbf {y}\\\\in\\\\span {\\\\mathbf {x} _ 1,\\\\mathbf {x} _ 2} $ਲਓ। ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਅਨੁਸਾਰ, ਇੱਥੇ $\\\\alfa _ 1,\\\\alfa _ 2 $ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਮੌਜੂਦ ਹੈ ਕਿ\\n\\ \\interest {ਅਲਾਈਨ *} \\n\\ \\mathbf {y} & =\\\\alfa _ 1\\ \\mathbf {x} _ 1 +\\\\alfa _ 2\\ \\mathbf {x} _ 2\\\\\\\\\\\\ \\n & =\\\\alfa _ 1\\\\interest {bmatrix} 1\\\\\\0 \\interest {bmatrix} +\\ \\alfa _ 2\\\\interest {bmatrix}-2\\\\\\0 \\interest {bmatrix}\\\\n & =\\\\alfa _ 1 \\interest {bmatrix} 1\\\\\\0 \\interest {bmatrix} +(bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix- 2\\\\alfa _ 2)\\\\mathbf {x} _ 1. \\n \\end {ਅਲਾਈਨ *} \\nHens, $\\Span {\\\\mathbf {x} _ 1,\\\\mathbf {x} _ 2}\\\\subseat\\\\Span {\\\\mathbf {x} _ 1} $ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਲੋਡ਼ ਹੋਵੇ।ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਟੈਕਸਟ ਨੂੰ ਲੈਟੇਕਸ ਕੋਡ ਨਾਲ ਸੋਧ ਕਰੋ, ਇਸ ਨੂੰ ਸੰਖੇਪ, ਸਟੀਕ ਅਤੇ ਪਹੁੰਚਯੋਗ ਬਣਾਓਃ \\n ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸਮੂਹ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ $X: =\\\\ {\\\\boldx _ 1,\\\\boldx _ 2,$X $ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ $\\\\mathbb {R} ^ 2 $ਦੋ ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਸੁਤੰਤਰ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੁਆਰਾ ਫੈਲਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ, ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ,ਸਟੈਂਡਰਡ ਬੇਸਿਸ ਵੈਕਟਰ $\\\\mathbf {e} _ 1 $ਅਤੇ $\\\\mathbf {e} _ 2 $, $\\\\mathbb {R} ^ 2 $ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਕੋਈ ਵੀ ਸੈੱਟ ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ\\ \\ref {f: 3 _ ਵੈਕਟਰਸ _ ਇਨ _ ਪਲੇਨ} ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ", 'ਇਸ ਨੂੰ ਸਪਸ਼ਟ, ਸੰਖੇਪ ਅਤੇ ਪੇਸ਼ੇਵਰ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਹੇਠ ਦਿੱਤੇ ਟੈਕਸਟ ਨੂੰ ਲੈਟੇਕਸ ਕੋਡ ਨਾਲ ਸੋਧੋਃ $\\span {\\boldx _ 1} \\subseat\\span {\\boldx _ 1 ਸਾਬਤ ਕਰਨ ਲਈ,\\boldx _ 2} $, ਸਾਨੂੰ ਦੋਵੇਂ $\\span {\\boldx _ 1} \\sabseat \\span {\\boldx _ 1, \\boldx _ 2} $ਅਤੇ $\\span {\\boldx _ 1, \\boldx _ 2} \\sabseat \\span {\\boldx _ 1} $ਦਰਸਾਉਣ ਦੀ ਜ਼ਰੂਰਤ ਹੈ।ਸਪਸ਼ਟ ਕਰੋ ਕਿ $\\span {\\boldx _ 1} \\sabseat \\span {\\boldx _ 1, \\boldx _ 2} $, ਕਿਉਂਕਿ ਕਿਸੇ ਵੀ ਵੈਕਟਰ ਲਈ $\\alph\\boldx _ 1 $, ਜਿੱਥੇ $\\alph\\in\\RR $, ਇਹ ਵੀ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ$\\alfa\\boldx _ 1 + \\beta\\boldx _ 2 $ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, $\\beta = 0 $ਦੇ ਨਾਲ। ਉਲਟ ਵੇਖਣ ਲਈ, ਕੋਈ ਵੀ $\\boldy\\in\\span {\\boldx _ 1, \\boldx _ 2} $ਚੁਣੋ,ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਵਿੱਚ, ਇੱਥੇ $\\alfa _ 1, \\alfa _ 2 $ਮੌਜੂਦ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ $\\boldy = \\alfa _ 1 \\boldx _ 1 + \\alfa _ 2 \\boldx _ 2 \\alfa _ 1 \\bold {pmatrix} 1 0 \\end {pmatrix}ਅਲਫ਼ਾ _ 2 = ਸ਼ੁਰੂ {ਪੀ. ਮੈਟਰਿਕਸ}-2 0 = ਸ਼ੁਰੂ {ਪੀ. ਮੈਟਰਿਕਸ} = 1 0 = ਸ਼ੁਰੂ {ਪੀ. ਮੈਟਰਿਕਸ} 2 = ਸ਼ੁਰੂ {ਪੀ. ਮੈਟਰਿਕਸ} 1 0 = ਸ਼ੁਰੂ {ਪੀ. ਮੈਟਰਿਕਸ} 1 0 = ਸ਼ੁਰੂ {ਪੀ. ਮੈਟਰਿਕਸ} 1 0 = ਸ਼ੁਰੂ {ਪੀ. ਮੈਟਰਿਕਸ} = (\\ਅਲਫ਼ਾ _ 1-2)ਇਸ ਲਈ $\\Span {\\boldx _ 1, \\boldx _ 2} \\subseat \\Span {\\boldx _ 1} $ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।ਦਾਅਵਾ ਕੀਤਾ ਗਿਆ \\end {ਸਬੂਤ}', ' [\'ਹੇਠ ਦਿੱਤੇ ਟੈਕਸਟ ਨੂੰ ਲੈਟੇਕਸ ਕੋਡ ਨਾਲ ਸੋਧ ਕੇ ਸਪਸ਼ਟ, ਸੰਖੇਪ ਅਤੇ ਪੇਸ਼ੇਵਰ ਬਣਾਓਃ\\\' ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੋ {ਸਬੂਤ}\\\'ਸਾਬਤ ਕਰਨ ਲਈ $\\\' ਸਪੈਨ {\\\'ਬੋਲਡਐਕਸ _ 1\'\\\'ਸਬਸੈੱਟ\\ \\Span {\\\\boldx _ 1,\\\\boldx _ 2} $, ਸਾਨੂੰ ਦੋਵੇਂ $\\\\Span {\\\\boldx _ 1}\\\\subseat\\\\Span {\\boldx _ 1,\\\\boldx _ 2} $ਅਤੇ $\\\\Span {\\boldx _ 1,\\\\boldx _ 2} ਦਰਸਾਉਣ ਦੀ ਜ਼ਰੂਰਤ ਹੈ।ਇਹ ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੈ ਕਿ $\\\\Span {\\\\boldx _ 1}\\\\spset\\ \\Span {\\\\boldx _ 1,\\\\boldx _ 2} $, ਕਿਉਂਕਿ ਕਿਸੇ ਵੀ ਵੈਕਟਰ ਲਈ $\\\\alfa\\ \\boldx _ 1 $, ਜਿੱਥੇ $\\\\alfa\\ \\in\\\\RR $ਹੈ, ਇਸ ਨੂੰ $\\\\alfa\\ \\boldx _ 1 +\\\\beta\\ \\boldx _ 2 $ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵੀ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ $\\\\beta = 0 $ਹੈ।ਕੋਈ ਵੀ $\\\\boldy\\ \\in\\\\span {\\\\boldx _ 1,\\\\boldx _ 2} $ਚੁਣੋ, ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਅਨੁਸਾਰ, ਇੱਥੇ ਮੌਜੂਦ ਹੈ $\\\\alfa _ 1,\\\\alfa _ 2 $\\nsuch ਕਿ \\n $\\n \\boldy\\n =\\\\alfa _ 1\\ \\ਬੋਲਡਕਸ _ 1 +\\\\ਆਲਫ਼ਾ _ 2\\\\ \\ਬੋਲਡਕਸ _ 2 \\ਨ\\\\ਅਲਫ਼ਾ _ 1 \\ਨ\\ਸ਼ੁਰੂਆਤ {ਪੀਮੈਟਰਿਕਸ} \\ਨ1 \\ਨ0 \\ਨ \\ਨ \\ਨ ਅੰਤ {ਪੀਮੈਟਰਿਕਸ} \\ਨ \\ਨ \\ਨ \\ਨ \\ਨਲਫ਼ਾ _ 2 \\ਨ \\ਨ ਸ਼ੁਰੂ {ਪੀਮੈਟਰਿਕਸ} \\ਨ-2 \\ਨ0 \\ਨ \\ਨ \\ਨ ਅੰਤ {ਪੀਮੈਟਰਿਕਸ} \\ਨ =\\ \\alfa _ 1 \\n\\ \\innast {pmatrix} \\n1\\n0\\n\\n\\n\\n ਅੰਤ {pmatrix} \\n2\\ \\alfa _ 2\\n\\ \\innast {pmatrix} \\n1\\n0\\n\\n\\n ਅੰਤ {pmatrix} \\n = (\\\\alfa _ 1-2)\\ \\alfa _ 2) \\n\\ \\left {pmatrix} \\n1\\n0\\n\\ \\end {pmatrix} \\n = (\\\\alfa _ 1-2\\\\alfa _ 2)\\\\boldx _ 1 $\\nHens $\\\\span {\\\\boldx _ 1,\\\\boldx _ 2}\\\\ ਉਪ ਸਮੂਹ\\\\span{\\\\boldx _ 1} $ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਦਾਅਵਾ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, \'ਸੰਸ਼ੋਧਿਤ ਸਬੂਤ ਲਈ ਇੱਥੇ ਲੈਟੇਕਸ ਕੋਡ ਹੈਃ \\n\\ \\bn {\\\\mathbf {x} _ 1}\\\\ ਉਪ-ਸਮੂਹ ਨੂੰ ਸਾਬਤ ਕਰਨ ਲਈ\\ \\Span {\\\\mathbf {x} _ 1,\\\\mathbf {x} _ 2} $, ਸਾਨੂੰ $\\\\Span {\\\\mathbf {x} _ 1}\\\\subset\\\\Span {\\\\mathbf {x} _ 1,\\\\mathbf {x} _ 2} $ਅਤੇ $\\\\Span {\\\\mathbf {x} _ 1 ਦਿਖਾਉਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।ਇਹ ਮਾਮੂਲੀ ਗੱਲ ਹੈ ਕਿ $\\\\Span {\\\\mathbf {x} _ 1}\\\\ ਉਪ-ਸਮੂਹ\\\\Span {\\\\mathbf {x} _ 1,\\\\mathbf {x} _ 2,\\\\mathbf {x} _ 2।ਵੈਕਟਰ $\\\\alph\\ \\mathbf {x} _ 1 $, ਜਿੱਥੇ $\\\\alph\\ \\in\\\\mathbb {R} $, ਨੂੰ $\\\\alph\\ \\mathbf {x} _ 1 +\\\\beta\\ \\mathbf {x} _ 2 $ਨਾਲ $\\\\beta = ਨਾਲ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।0 $. \\n\\n ਉਲਟ ਲਈ, ਕੋਈ ਵੀ $\\\\mathbf {y}\\\\in\\\\span {\\\\mathbf {x} _ 1,\\\\mathbf {x} _ 2} $ਲਓ। ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਅਨੁਸਾਰ, ਇੱਥੇ $\\\\alfa _ 1,\\\\alfa _ 2 $ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਮੌਜੂਦ ਹੈ ਕਿ\\n\\ \\interest {ਅਲਾਈਨ *} \\n\\ \\mathbf {y} & =\\\\alfa _ 1\\ \\mathbf {x} _ 1 +\\\\alfa _ 2\\ \\mathbf {x} _ 2\\\\\\\\\\\\ \\n & =\\\\alfa _ 1\\\\interest {bmatrix} 1\\\\\\0 \\interest {bmatrix} +\\ \\alfa _ 2\\\\interest {bmatrix}-2\\\\\\0 \\interest {bmatrix}\\\\n & =\\\\alfa _ 1 \\interest {bmatrix} 1\\\\\\0 \\interest {bmatrix} +(bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix- 2\\\\alfa _ 2)\\\\mathbf {x} _ 1. \\n \\end {ਅਲਾਈਨ *} \\nHens, $\\Span {\\\\mathbf {x} _ 1,\\\\mathbf {x} _ 2}\\\\subseat\\\\Span {\\\\mathbf {x} _ 1} $ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਲੋਡ਼ ਹੋਵੇ।ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਟੈਕਸਟ ਨੂੰ ਲੈਟੇਕਸ ਕੋਡ ਨਾਲ ਸੋਧ ਕਰੋ, ਇਸ ਨੂੰ ਸੰਖੇਪ, ਸਟੀਕ ਅਤੇ ਪਹੁੰਚਯੋਗ ਬਣਾਓਃ \\n ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸਮੂਹ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ $X: =\\\\ {\\\\boldx _ 1,\\\\boldx _ 2,$X $ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ $\\\\mathbb {R} ^ 2 $ਦੋ ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਸੁਤੰਤਰ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੁਆਰਾ ਫੈਲਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ, ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ,ਸਟੈਂਡਰਡ ਬੇਸਿਸ ਵੈਕਟਰ $\\\\mathbf {e} _ 1 $ਅਤੇ $\\\\mathbf {e} _ 2 $, $\\\\mathbb {R} ^ 2 $ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਕੋਈ ਵੀ ਸੈੱਟ ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ\',\' ਇੱਥੇ ਸੋਧਿਆ ਹੋਇਆ LaTeX ਕੋਡ ਹੈਃ $X: =\\\\ {\\mathbf {x} _ 1,\\\\mathbf {x} _ 2, ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸੈੱਟ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।$X $ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ $\\\\mathbb {R} ^ 2 $ਦੋ ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਸੁਤੰਤਰ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੁਆਰਾ ਫੈਲਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ, ਲਈਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਸਟੈਂਡਰਡ ਬੇਸਿਸ ਵੈਕਟਰ $\\\\mathbf {e} _ 1 $ਅਤੇ $\\mathbf {e} _ 2 $, $\\\\mathbb {R} ^ 2 $ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਕੋਈ ਵੀ ਸੈੱਟ ਲੀਨੀਅਰ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿਚਿੱਤਰ\\\\ref {ਅੰਕੀਃ 3 _ ਵੈਕਟਰਸ _ ਇਨ _ ਪਲੇਨ} ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ. \\n\\n\\ \\n\\n ਸ਼ੁਰੂ {ਚਿੱਤਰ} [h!] \\n\\ \\n\\n\\n\\ \\ਇੰਨਲੀਗਰਾਫਿਕਸ [ਚੌਡ਼ਾਈ = 0.5\\ਨਲਾਈਨ ਚੌਡ਼ਾਈ] {3_vectors_in_plane.pdf}\\n\\ \\ਕੈਪਸ਼ਨ {ਇੱਕ ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਵੈਕਟਰ} \\n\\\\لیبل {ਅੰਕੀਃ 3 _ ਵੈਕਟਰ _ ਇਨ _ ਪਲੇਨ} \\n\\ \\ਇੰਤ {ਚਿੱਤਰ} \\n\\n $ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ $\\\\mathbb {R} ^ 2 $ਅਯਾਮ ਦੀ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਹੈ।$2 $, ਇਸ ਦਾ ਇੱਕ ਅਧਾਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਦੋ ਰੇਖਿਕ ਸੁਤੰਤਰ ਵੈਕਟਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ, ਇਸ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਕੋਈ ਵੀ ਸੈੱਟ ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ\\\\ref {ਅੰਕੀਃ 3 _ ਵੈਕਟਰਾਂ _ ਇਨ _ ਪਲੇਨ} ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਤਿੰਨ ਵੈਕਟਰ $\\\\mathbf {x} _ 1 $, $\\\\mathbf {x} _ 2 $ਅਤੇ $\\\\mathbf {x} _ 3 $ਇੱਕ ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਹਨ,ਇਹ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਉਹ ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਹਨ। ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਸੈੱਟ $X $ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਹੈ। \', "ਲੈਟੇਕਸ ਕੋਡ ਨਾਲ ਹੇਠ ਦਿੱਤੇ ਟੈਕਸਟ ਨੂੰ ਸੋਧੋ, ਇਸ ਨੂੰ ਬਣਾਓ।ਸੰਖੇਪ, ਸਟੀਕ ਅਤੇ ਪਹੁੰਚਯੋਗਃ \\n\\n\\n\\n\\n $\\n =\\\\ {\\boldx _ 1,\\\\ldot \'s,\\\\boldx _ N।\\\\} $ਲੀਨੀਅਰਲੀ ਇੰਡੀਪੈਂਡੈਂਟ $\\\\ ਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ $\\\\Span (X) =\\\\RR ^ N $\\n\\ \\end {center} \\n\\n ਇੱਕ ਵਿਰੋਧਾਭਾਸ ਦੀ ਮੰਗ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ \\n\\n\\\\n ਸ਼ੁਰੂਆਤ {ਗਿਣਤੀ} \\n\\\\ਆਈਟਮ $X $ਲੀਨੀਅਰ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਸੁਤੰਤਰ \\n\\\\ਆਈਟਮ ਹੈ ਅਤੇ ਫਿਰ ਵੀ $EXAMPLEISTs\\\\,\\\\ਬੋਲਡਜ਼\\ \\in\\ \\Rr ^ N $ਨਾਲ $\\\\ਬੋਲਡਜ਼\\ \\ਨੋਟਿਨ\\ \\ਸਪੈਨ (X) $\\n\\ \\ਇੰਤ {ਐਨੂਮੈਰੇਟ} \\n\\n\\n ਪਰ ਫਿਰ $X\\ \\cup\\\\{\\\\ \\boldz\\\\\\}\\\\ ਉਪ ਸਮੂਹ\\\\Rr ^ N $ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਸੁਤੰਤਰ ਹੈ (ਕਿਉਂ?) \\n\\n ਇਸ ਸੈੱਟ ਵਿੱਚ $N + 1 $ਤੱਤ ਹਨ। \\n\\n ਅਤੇ ਫਿਰ ਵੀ $\\\\R ^ N $ਫੈਲਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ।$N $ਕੈਨੋਨੀਕਲ ਬੇਸਿਸ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੁਆਰਾ \\n\\n ਕੰਟ੍ਰੈਡਿਕਸ਼ਨ (ਕਿਸ ਦਾ?) \\n\\n\\n\\n\\n\\n ਅਗਲਾ ਚਲੋ ਕਨਵਰਸ ਨੂੰ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਾਂ \\n\\n\\n\\n ਸ਼ੁਰੂਆਤ {ਸੈਂਟਰ} \\n $\\\\span (X) =ਇੱਕ ਵਿਰੋਧਾਭਾਸ ਦੀ ਮੰਗ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ $\\n $X =\\\\ {\\\\boldx _ 1,\\\\ldot,\\\\boldx _ N\\\\} $ਲੀਨੀਅਰ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਸੁਤੰਤਰ \\n\\ \\end {center} \\n ਇੱਕ ਵਿਰੋਧਾਭਾਸ ਦੀ ਮੰਗ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ \\n\\n\\ \\left {enumerate} \\n\\ \\item $\\\\Span (X) =\\\\R ^ N $\\n\\ \\item ਅਤੇ ਫਿਰ ਵੀ $X $ਲੀਨੀਅਰ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਹੈ \\n\\ \\end {enumerate} \\n\\n ਕਿਉਂਕਿ $X $ਸੁਤੰਤਰ ਨਹੀਂ ਹੈ,$EXAMPLEIST X _ 0\\ \\sabsetneq X $ਨਾਲ $\\\\Span (X _ 0) = \\n\\ \\Span (X) $\\n\\n ਪਰ 1 ਨਾਲ ਇਹ ਸੰਕੇਤ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ $\\\\Rr ^ N $ਨੂੰ $K <N $ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੁਆਰਾ ਫੈਲਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਪਰ ਫਿਰ$N $ਕੈਨੋਨੀਕਲ ਅਧਾਰ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਲੀਨੀਅਰ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ \\n\\n ਵਿਰੋਧਾਭਾਸ\\n\\n\\ \\end {ਸਬੂਤ} "] ', 'ਇਸ ਨੂੰ ਸਪਸ਼ਟ, ਸੰਖੇਪ ਅਤੇ ਪੇਸ਼ੇਵਰ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਹੇਠ ਦਿੱਤੇ ਟੈਕਸਟ ਨੂੰ ਲੈਟੇਕਸ ਕੋਡ ਨਾਲ ਸੋਧੋਃ $\\span {\\boldx _ 1} \\subseat\\span {\\boldx _ 1 ਸਾਬਤ ਕਰਨ ਲਈ,\\boldx _ 2} $, ਸਾਨੂੰ ਦੋਵੇਂ $\\span {\\boldx _ 1} \\sabseat \\span {\\boldx _ 1, \\boldx _ 2} $ਅਤੇ $\\span {\\boldx _ 1, \\boldx _ 2} \\sabseat \\span {\\boldx _ 1} $ਦਰਸਾਉਣ ਦੀ ਜ਼ਰੂਰਤ ਹੈ।ਸਪਸ਼ਟ ਕਰੋ ਕਿ $\\span {\\boldx _ 1} \\sabseat \\span {\\boldx _ 1, \\boldx _ 2} $, ਕਿਉਂਕਿ ਕਿਸੇ ਵੀ ਵੈਕਟਰ ਲਈ $\\alph\\boldx _ 1 $, ਜਿੱਥੇ $\\alph\\in\\RR $, ਇਹ ਵੀ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ$\\alfa\\boldx _ 1 + \\beta\\boldx _ 2 $ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, $\\beta = 0 $ਦੇ ਨਾਲ। ਉਲਟ ਵੇਖਣ ਲਈ, ਕੋਈ ਵੀ $\\boldy\\in\\span {\\boldx _ 1, \\boldx _ 2} $ਚੁਣੋ,ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਵਿੱਚ, ਇੱਥੇ $\\alfa _ 1, \\alfa _ 2 $ਮੌਜੂਦ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ $\\boldy = \\alfa _ 1 \\boldx _ 1 + \\alfa _ 2 \\boldx _ 2 \\alfa _ 1 \\bold {pmatrix} 1 0 \\end {pmatrix}ਅਲਫ਼ਾ _ 2 = ਸ਼ੁਰੂ {ਪੀ. ਮੈਟਰਿਕਸ}-2 0 = ਸ਼ੁਰੂ {ਪੀ. ਮੈਟਰਿਕਸ} = 1 0 = ਸ਼ੁਰੂ {ਪੀ. ਮੈਟਰਿਕਸ} 2 = ਸ਼ੁਰੂ {ਪੀ. ਮੈਟਰਿਕਸ} 1 0 = ਸ਼ੁਰੂ {ਪੀ. ਮੈਟਰਿਕਸ} 1 0 = ਸ਼ੁਰੂ {ਪੀ. ਮੈਟਰਿਕਸ} 1 0 = ਸ਼ੁਰੂ {ਪੀ. ਮੈਟਰਿਕਸ} = (\\ਅਲਫ਼ਾ _ 1-2)ਇਸ ਲਈ $\\Span {\\boldx _ 1, \\boldx _ 2} \\subseat \\Span {\\boldx _ 1} $ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।ਦਾਅਵਾ ਕੀਤਾ ਗਿਆ \\end {ਸਬੂਤ}', ' [\'ਹੇਠ ਦਿੱਤੇ ਟੈਕਸਟ ਨੂੰ ਲੈਟੇਕਸ ਕੋਡ ਨਾਲ ਸੋਧ ਕੇ ਸਪਸ਼ਟ, ਸੰਖੇਪ ਅਤੇ ਪੇਸ਼ੇਵਰ ਬਣਾਓਃ\\\' ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੋ {ਸਬੂਤ}\\\'ਸਾਬਤ ਕਰਨ ਲਈ $\\\' ਸਪੈਨ {\\\'ਬੋਲਡਐਕਸ _ 1\'\\\'ਸਬਸੈੱਟ\\ \\Span {\\\\boldx _ 1,\\\\boldx _ 2} $, ਸਾਨੂੰ ਦੋਵੇਂ $\\\\Span {\\\\boldx _ 1}\\\\subseat\\\\Span {\\boldx _ 1,\\\\boldx _ 2} $ਅਤੇ $\\\\Span {\\boldx _ 1,\\\\boldx _ 2} ਦਰਸਾਉਣ ਦੀ ਜ਼ਰੂਰਤ ਹੈ।ਇਹ ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੈ ਕਿ $\\\\Span {\\\\boldx _ 1}\\\\spset\\ \\Span {\\\\boldx _ 1,\\\\boldx _ 2} $, ਕਿਉਂਕਿ ਕਿਸੇ ਵੀ ਵੈਕਟਰ ਲਈ $\\\\alfa\\ \\boldx _ 1 $, ਜਿੱਥੇ $\\\\alfa\\ \\in\\\\RR $ਹੈ, ਇਸ ਨੂੰ $\\\\alfa\\ \\boldx _ 1 +\\\\beta\\ \\boldx _ 2 $ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵੀ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ $\\\\beta = 0 $ਹੈ।ਕੋਈ ਵੀ $\\\\boldy\\ \\in\\\\span {\\\\boldx _ 1,\\\\boldx _ 2} $ਚੁਣੋ, ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਅਨੁਸਾਰ, ਇੱਥੇ ਮੌਜੂਦ ਹੈ $\\\\alfa _ 1,\\\\alfa _ 2 $\\nsuch ਕਿ \\n $\\n \\boldy\\n =\\\\alfa _ 1\\ \\ਬੋਲਡਕਸ _ 1 +\\\\ਆਲਫ਼ਾ _ 2\\\\ \\ਬੋਲਡਕਸ _ 2 \\ਨ\\\\ਅਲਫ਼ਾ _ 1 \\ਨ\\ਸ਼ੁਰੂਆਤ {ਪੀਮੈਟਰਿਕਸ} \\ਨ1 \\ਨ0 \\ਨ \\ਨ \\ਨ ਅੰਤ {ਪੀਮੈਟਰਿਕਸ} \\ਨ \\ਨ \\ਨ \\ਨ \\ਨਲਫ਼ਾ _ 2 \\ਨ \\ਨ ਸ਼ੁਰੂ {ਪੀਮੈਟਰਿਕਸ} \\ਨ-2 \\ਨ0 \\ਨ \\ਨ \\ਨ ਅੰਤ {ਪੀਮੈਟਰਿਕਸ} \\ਨ =\\ \\alfa _ 1 \\n\\ \\innast {pmatrix} \\n1\\n0\\n\\n\\n\\n ਅੰਤ {pmatrix} \\n2\\ \\alfa _ 2\\n\\ \\innast {pmatrix} \\n1\\n0\\n\\n\\n ਅੰਤ {pmatrix} \\n = (\\\\alfa _ 1-2)\\ \\alfa _ 2) \\n\\ \\left {pmatrix} \\n1\\n0\\n\\ \\end {pmatrix} \\n = (\\\\alfa _ 1-2\\\\alfa _ 2)\\\\boldx _ 1 $\\nHens $\\\\span {\\\\boldx _ 1,\\\\boldx _ 2}\\\\ ਉਪ ਸਮੂਹ\\\\span{\\\\boldx _ 1} $ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਦਾਅਵਾ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, \'ਸੰਸ਼ੋਧਿਤ ਸਬੂਤ ਲਈ ਇੱਥੇ ਲੈਟੇਕਸ ਕੋਡ ਹੈਃ \\n\\ \\bn {\\\\mathbf {x} _ 1}\\\\ ਉਪ-ਸਮੂਹ ਨੂੰ ਸਾਬਤ ਕਰਨ ਲਈ\\ \\Span {\\\\mathbf {x} _ 1,\\\\mathbf {x} _ 2} $, ਸਾਨੂੰ $\\\\Span {\\\\mathbf {x} _ 1}\\\\subset\\\\Span {\\\\mathbf {x} _ 1,\\\\mathbf {x} _ 2} $ਅਤੇ $\\\\Span {\\\\mathbf {x} _ 1 ਦਿਖਾਉਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।ਇਹ ਮਾਮੂਲੀ ਗੱਲ ਹੈ ਕਿ $\\\\Span {\\\\mathbf {x} _ 1}\\\\ ਉਪ-ਸਮੂਹ\\\\Span {\\\\mathbf {x} _ 1,\\\\mathbf {x} _ 2,\\\\mathbf {x} _ 2।ਵੈਕਟਰ $\\\\alph\\ \\mathbf {x} _ 1 $, ਜਿੱਥੇ $\\\\alph\\ \\in\\\\mathbb {R} $, ਨੂੰ $\\\\alph\\ \\mathbf {x} _ 1 +\\\\beta\\ \\mathbf {x} _ 2 $ਨਾਲ $\\\\beta = ਨਾਲ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।0 $. \\n\\n ਉਲਟ ਲਈ, ਕੋਈ ਵੀ $\\\\mathbf {y}\\\\in\\\\span {\\\\mathbf {x} _ 1,\\\\mathbf {x} _ 2} $ਲਓ। ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਅਨੁਸਾਰ, ਇੱਥੇ $\\\\alfa _ 1,\\\\alfa _ 2 $ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਮੌਜੂਦ ਹੈ ਕਿ\\n\\ \\interest {ਅਲਾਈਨ *} \\n\\ \\mathbf {y} & =\\\\alfa _ 1\\ \\mathbf {x} _ 1 +\\\\alfa _ 2\\ \\mathbf {x} _ 2\\\\\\\\\\\\ \\n & =\\\\alfa _ 1\\\\interest {bmatrix} 1\\\\\\0 \\interest {bmatrix} +\\ \\alfa _ 2\\\\interest {bmatrix}-2\\\\\\0 \\interest {bmatrix}\\\\n & =\\\\alfa _ 1 \\interest {bmatrix} 1\\\\\\0 \\interest {bmatrix} +(bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix- 2\\\\alfa _ 2)\\\\mathbf {x} _ 1. \\n \\end {ਅਲਾਈਨ *} \\nHens, $\\Span {\\\\mathbf {x} _ 1,\\\\mathbf {x} _ 2}\\\\subseat\\\\Span {\\\\mathbf {x} _ 1} $ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਲੋਡ਼ ਹੋਵੇ।ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਟੈਕਸਟ ਨੂੰ ਲੈਟੇਕਸ ਕੋਡ ਨਾਲ ਸੋਧ ਕਰੋ, ਇਸ ਨੂੰ ਸੰਖੇਪ, ਸਟੀਕ ਅਤੇ ਪਹੁੰਚਯੋਗ ਬਣਾਓਃ \\n ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸਮੂਹ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ $X: =\\\\ {\\\\boldx _ 1,\\\\boldx _ 2,$X $ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ $\\\\mathbb {R} ^ 2 $ਦੋ ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਸੁਤੰਤਰ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੁਆਰਾ ਫੈਲਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ, ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ,ਸਟੈਂਡਰਡ ਬੇਸਿਸ ਵੈਕਟਰ $\\\\mathbf {e} _ 1 $ਅਤੇ $\\\\mathbf {e} _ 2 $, $\\\\mathbb {R} ^ 2 $ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਕੋਈ ਵੀ ਸੈੱਟ ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ\',\' ਇੱਥੇ ਸੋਧਿਆ ਹੋਇਆ LaTeX ਕੋਡ ਹੈਃ $X: =\\\\ {\\mathbf {x} _ 1,\\\\mathbf {x} _ 2, ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸੈੱਟ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।$X $ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ $\\\\mathbb {R} ^ 2 $ਦੋ ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਸੁਤੰਤਰ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੁਆਰਾ ਫੈਲਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ, ਲਈਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਸਟੈਂਡਰਡ ਬੇਸਿਸ ਵੈਕਟਰ $\\\\mathbf {e} _ 1 $ਅਤੇ $\\mathbf {e} _ 2 $, $\\\\mathbb {R} ^ 2 $ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਕੋਈ ਵੀ ਸੈੱਟ ਲੀਨੀਅਰ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿਚਿੱਤਰ\\\\ref {ਅੰਕੀਃ 3 _ ਵੈਕਟਰਸ _ ਇਨ _ ਪਲੇਨ} ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ. \\n\\n\\ \\n\\n ਸ਼ੁਰੂ {ਚਿੱਤਰ} [h!] \\n\\ \\n\\n\\n\\ \\ਇੰਨਲੀਗਰਾਫਿਕਸ [ਚੌਡ਼ਾਈ = 0.5\\ਨਲਾਈਨ ਚੌਡ਼ਾਈ] {3_vectors_in_plane.pdf}\\n\\ \\ਕੈਪਸ਼ਨ {ਇੱਕ ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਵੈਕਟਰ} \\n\\\\لیبل {ਅੰਕੀਃ 3 _ ਵੈਕਟਰ _ ਇਨ _ ਪਲੇਨ} \\n\\ \\ਇੰਤ {ਚਿੱਤਰ} \\n\\n $ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ $\\\\mathbb {R} ^ 2 $ਅਯਾਮ ਦੀ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਹੈ।$2 $, ਇਸ ਦਾ ਇੱਕ ਅਧਾਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਦੋ ਰੇਖਿਕ ਸੁਤੰਤਰ ਵੈਕਟਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ, ਇਸ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਕੋਈ ਵੀ ਸੈੱਟ ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ\\\\ref {ਅੰਕੀਃ 3 _ ਵੈਕਟਰਾਂ _ ਇਨ _ ਪਲੇਨ} ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਤਿੰਨ ਵੈਕਟਰ $\\\\mathbf {x} _ 1 $, $\\\\mathbf {x} _ 2 $ਅਤੇ $\\\\mathbf {x} _ 3 $ਇੱਕ ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਹਨ,ਇਹ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਉਹ ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਹਨ। ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਸੈੱਟ $X $ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਹੈ। \', "ਲੈਟੇਕਸ ਕੋਡ ਨਾਲ ਹੇਠ ਦਿੱਤੇ ਟੈਕਸਟ ਨੂੰ ਸੋਧੋ, ਇਸ ਨੂੰ ਬਣਾਓ।ਸੰਖੇਪ, ਸਟੀਕ ਅਤੇ ਪਹੁੰਚਯੋਗਃ \\n\\n\\n\\n\\n $\\n =\\\\ {\\boldx _ 1,\\\\ldot \'s,\\\\boldx _ N।\\\\} $ਲੀਨੀਅਰਲੀ ਇੰਡੀਪੈਂਡੈਂਟ $\\\\ ਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ $\\\\Span (X) =\\\\RR ^ N $\\n\\ \\end {center} \\n\\n ਇੱਕ ਵਿਰੋਧਾਭਾਸ ਦੀ ਮੰਗ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ \\n\\n\\\\n ਸ਼ੁਰੂਆਤ {ਗਿਣਤੀ} \\n\\\\ਆਈਟਮ $X $ਲੀਨੀਅਰ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਸੁਤੰਤਰ \\n\\\\ਆਈਟਮ ਹੈ ਅਤੇ ਫਿਰ ਵੀ $EXAMPLEISTs\\\\,\\\\ਬੋਲਡਜ਼\\ \\in\\ \\Rr ^ N $ਨਾਲ $\\\\ਬੋਲਡਜ਼\\ \\ਨੋਟਿਨ\\ \\ਸਪੈਨ (X) $\\n\\ \\ਇੰਤ {ਐਨੂਮੈਰੇਟ} \\n\\n\\n ਪਰ ਫਿਰ $X\\ \\cup\\\\{\\\\ \\boldz\\\\\\}\\\\ ਉਪ ਸਮੂਹ\\\\Rr ^ N $ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਸੁਤੰਤਰ ਹੈ (ਕਿਉਂ?) \\n\\n ਇਸ ਸੈੱਟ ਵਿੱਚ $N + 1 $ਤੱਤ ਹਨ। \\n\\n ਅਤੇ ਫਿਰ ਵੀ $\\\\R ^ N $ਫੈਲਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ।$N $ਕੈਨੋਨੀਕਲ ਬੇਸਿਸ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੁਆਰਾ \\n\\n ਕੰਟ੍ਰੈਡਿਕਸ਼ਨ (ਕਿਸ ਦਾ?) \\n\\n\\n\\n\\n\\n ਅਗਲਾ ਚਲੋ ਕਨਵਰਸ ਨੂੰ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਾਂ \\n\\n\\n\\n ਸ਼ੁਰੂਆਤ {ਸੈਂਟਰ} \\n $\\\\span (X) =ਇੱਕ ਵਿਰੋਧਾਭਾਸ ਦੀ ਮੰਗ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ $\\n $X =\\\\ {\\\\boldx _ 1,\\\\ldot,\\\\boldx _ N\\\\} $ਲੀਨੀਅਰ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਸੁਤੰਤਰ \\n\\ \\end {center} \\n ਇੱਕ ਵਿਰੋਧਾਭਾਸ ਦੀ ਮੰਗ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ \\n\\n\\ \\left {enumerate} \\n\\ \\item $\\\\Span (X) =\\\\R ^ N $\\n\\ \\item ਅਤੇ ਫਿਰ ਵੀ $X $ਲੀਨੀਅਰ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਹੈ \\n\\ \\end {enumerate} \\n\\n ਕਿਉਂਕਿ $X $ਸੁਤੰਤਰ ਨਹੀਂ ਹੈ,$EXAMPLEIST X _ 0\\ \\sabsetneq X $ਨਾਲ $\\\\Span (X _ 0) = \\n\\ \\Span (X) $\\n\\n ਪਰ 1 ਨਾਲ ਇਹ ਸੰਕੇਤ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ $\\\\Rr ^ N $ਨੂੰ $K <N $ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੁਆਰਾ ਫੈਲਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਪਰ ਫਿਰ$N $ਕੈਨੋਨੀਕਲ ਬੇਸਿਸ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਲੀਨੀਅਰਲੀ ਡਿਪੈਂਡੈਂਟ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ \\n\\n ਕੰਟ੍ਰੈਡਿਕਸ਼ਨ \\n\\n\\ \\end {ਸਬੂਤ} "," ਇੱਥੇ ਸੋਧਿਆ ਹੋਇਆ LaTeX ਹੈ।ਕੋਡਃ \\n\\n ਸ਼ੁਰੂ {ਸਬੂਤ} \\n ਆਓ ਇਹ ਸਾਬਤ ਕਰਨ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੀਏ ਕਿ ਜੇਕਰ $X =\\\\ {\\\\mathbf {x} _ 1,\\\\ldot,\\\\mathbf {x} _ N\\\\} $ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਸੁਤੰਤਰ ਹੈ, ਤਾਂ$\\\\operatorname {span} (X) =\\\\mathbb {R} ^ N $. \\n\\n ਇੱਕ ਵਿਰੋਧਾਭਾਸ ਦੀ ਮੰਗ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ \\n\\ \\left {enumate} \\n\\ \\item $ਲੀਨੀਅਰ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਸੁਤੰਤਰ ਹੈ, ਅਤੇ \\n\\ \\item ਹੈ।ਇੱਥੇ ਮੌਜੂਦ ਹੈ $\\\\mathbf {z}\\\\in\\\\mathbb {R} ^ N $ਕਿ $\\\\mathbf {z}\\\\notin\\\\operatorname {span} (X) $. \\n\\ \\end {enumate} \\nThen $X\\ \\cup\\\\{\\mathbf {z}\\\\}\\\\ ਉਪ ਸਮੂਹ\\\\mathbb {R} ^ N $ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਸੁਤੰਤਰ ਹੈ। ਇਸ ਸੈੱਟ ਵਿੱਚ $N + 1 $ਤੱਤ ਹਨ। ਪਰ, $\\mathbb {R} ^ N $ਨੂੰ $N $ਦੁਆਰਾ ਫੈਲਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।ਪ੍ਰਮਾਣਿਕ ਅਧਾਰ ਵੈਕਟਰ। ਇਹ ਇੱਕ ਵਿਰੋਧਾਭਾਸ ਹੈ। \\n\\nNext, ਅਸੀਂ ਉਲਟ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਾਂਃ ਜੇਕਰ $\\\\operatorname {span} (X) =\\\\mathbb {R} ^ N $, ਤਾਂ $X =\\\\{\\\\mathbf {x} _ 1,\\\\ldots,\\\\mathbf {x} _ N\\\\} $ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਸੁਤੰਤਰ ਹੈ।$\\\\operatorname {span} (X) =\\\\mathbb {R} ^ N $, ਅਤੇ \\n\\ \\item $X $ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਹੈ।\\ \\sabsetneq X $ਅਜਿਹਾ ਹੈ ਕਿ $\\\\operatorname {span} (X _ 0) =\\\\operatorname {span} (X) $। ਪਹਿਲੇ ਕਥਨ ਦੁਆਰਾ, ਇਹ ਸੰਕੇਤ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ $\\\\mathbb {R} ^ N $ਫੈਲਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ।$K <N $ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੁਆਰਾ। ਹਾਲਾਂਕਿ, $N $ਪ੍ਰਮਾਣਿਕ ਅਧਾਰ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਫਿਰ ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਇੱਕ ਵਿਰੋਧਾਭਾਸ ਹੈ। ਸੰਖੇਪ ਵਿੱਚ,ਇਹ ਸਬੂਤ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ $\\\\mathbb {R} ^ N $ਵਿੱਚ ਫੈਲੇ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸੈੱਟ ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਸੁਤੰਤਰ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਉਲਟ ਹੈ। ਕੁੰਜੀ ਦੇ ਮਾਪ ਉੱਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਨਾ ਹੈਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਅਤੇ ਕੋਈ ਵੀ ਸਬਸੈੱਟ, ਅਤੇ ਵਿਰੋਧਾਭਾਸਾਂ ਦੀ ਭਾਲ ਕਰੋ। "," ਹੇਠ ਦਿੱਤੇ ਟੈਕਸਟ ਨੂੰ ਲੈਟੇਕਸ ਕੋਡ ਨਾਲ ਸੋਧ ਕਰੋ, ਇਸ ਨੂੰ ਸੰਖੇਪ, ਸਟੀਕ ਅਤੇ ਸਹੀ ਬਣਾਓ।ਪਹੁੰਚਯੋਗਃ \\n\\ \\left {ਸਬੂਤ} \\n\\n\\n\\n ਆਓ ਇਸ ਸਬੂਤ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੀਏ ਕਿ \\n\\n\\ \\left {center} \\n $X =\\\\ {\\\\ \\boldx _ 1,\\\\ldot,\\\\boldx _ N\\\\} $ਲੀਨੀਅਰ ਤੌਰ ਉੱਤੇ।ਸੁਤੰਤਰ $\\\\ ਦਾ ਅਰਥ ਹੈ $$\\\\Span (X) =\\\\Rr ^ N $\\n\\ \\end {center} \\n\\n ਇੱਕ ਵਿਰੋਧਾਭਾਸ ਦੀ ਮੰਗ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ \\n\\n\\ \\left {enumate} \\n\\ \\item $X $ਹੈਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਸੁਤੰਤਰ \\n\\\\ਆਈਟਮ ਅਤੇ ਫਿਰ ਵੀ $EXAMPLEISTs\\,\\\\boldz\\ \\in\\ \\Rr ^ N $ਨਾਲ $\\\\boldz\\ \\n (X) $\\n\\ \\end {enumate} \\n\\n ਪਰ ਫਿਰ $Xਇਸ ਸੈੱਟ ਵਿੱਚ $N + 1 $ਤੱਤ ਹਨ। \\n\\n ਅਤੇ ਫਿਰ ਵੀ $\\\\RR ^ N $ਨੂੰ $N $ਦੁਆਰਾ ਫੈਲਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।ਕੈਨੋਨਿਕਲ ਬੇਸਿਸ ਵੈਕਟਰਸ \\n\\n ਕੰਟ੍ਰੈਡਿਕਸ਼ਨ (ਕਿਸ ਦਾ?) \\n\\n\\n\\n\\n\\n ਅਗਲਾ ਚਲੋ ਕਨਵਰਸ ਨੂੰ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਾਂ \\n\\n\\n\\n ਸ਼ੁਰੂਆਤ {ਕੇਂਦਰ} \\n $\\\\span (X) =\\\\Rr ^ N $\\n$\\\\ ਦਾ ਅਰਥ ਹੈ $\\n $X =\\\\ {\\\\ \\boldx _ 1,\\\\ldots,\\\\boldx _ N\\\\} $ਲੀਨੀਅਰਲੀ ਇੰਡੀਪੈਂਡੈਂਟ \\n\\ \\end {center} \\n ਇੱਕ ਵਿਰੋਧਾਭਾਸ ਦੀ ਮੰਗ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ \\n\\n$\\\\left {enumerate} \\n\\ \\item $\\\\Span (X) =\\\\Rr ^ N $\\n\\ \\item ਅਤੇ ਫਿਰ ਵੀ $X $ਲੀਨੀਅਰ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਹੈ \\n\\ \\end {enumerate} \\n\\n ਕਿਉਂਕਿ $X $ਸੁਤੰਤਰ ਨਹੀਂ ਹੈ,$EXAMPLEIST X _ 0\\ \\sabsetneq X $ਨਾਲ $\\\\Span (X _ 0) = \\n\\ \\Span (X) $\\n\\n ਪਰ 1 ਨਾਲ ਇਹ ਸੰਕੇਤ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ $\\\\Rr ^ N $ਨੂੰ $K <N $ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੁਆਰਾ ਫੈਲਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਪਰ ਫਿਰ$N $ਕੈਨੋਨੀਕਲ ਅਧਾਰ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਲੀਨੀਅਰ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ \\n\\n ਵਿਰੋਧਾਭਾਸ\\n\\n\\ \\end {ਸਬੂਤ} "] ', 'ਇਸ ਨੂੰ ਸਪਸ਼ਟ, ਸੰਖੇਪ ਅਤੇ ਪੇਸ਼ੇਵਰ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਹੇਠ ਦਿੱਤੇ ਟੈਕਸਟ ਨੂੰ ਲੈਟੇਕਸ ਕੋਡ ਨਾਲ ਸੋਧੋਃ $\\span {\\boldx _ 1} \\subseat\\span {\\boldx _ 1 ਸਾਬਤ ਕਰਨ ਲਈ,\\boldx _ 2} $, ਸਾਨੂੰ ਦੋਵੇਂ $\\span {\\boldx _ 1} \\sabseat \\span {\\boldx _ 1, \\boldx _ 2} $ਅਤੇ $\\span {\\boldx _ 1, \\boldx _ 2} \\sabseat \\span {\\boldx _ 1} $ਦਰਸਾਉਣ ਦੀ ਜ਼ਰੂਰਤ ਹੈ।ਸਪਸ਼ਟ ਕਰੋ ਕਿ $\\span {\\boldx _ 1} \\sabseat \\span {\\boldx _ 1, \\boldx _ 2} $, ਕਿਉਂਕਿ ਕਿਸੇ ਵੀ ਵੈਕਟਰ ਲਈ $\\alph\\boldx _ 1 $, ਜਿੱਥੇ $\\alph\\in\\RR $, ਇਹ ਵੀ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ$\\alfa\\boldx _ 1 + \\beta\\boldx _ 2 $ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, $\\beta = 0 $ਦੇ ਨਾਲ। ਉਲਟ ਵੇਖਣ ਲਈ, ਕੋਈ ਵੀ $\\boldy\\in\\span {\\boldx _ 1, \\boldx _ 2} $ਚੁਣੋ,ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਵਿੱਚ, ਇੱਥੇ $\\alfa _ 1, \\alfa _ 2 $ਮੌਜੂਦ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ $\\boldy = \\alfa _ 1 \\boldx _ 1 + \\alfa _ 2 \\boldx _ 2 \\alfa _ 1 \\bold {pmatrix} 1 0 \\end {pmatrix}ਅਲਫ਼ਾ _ 2 = ਸ਼ੁਰੂ {ਪੀ. ਮੈਟਰਿਕਸ}-2 0 = ਸ਼ੁਰੂ {ਪੀ. ਮੈਟਰਿਕਸ} = 1 0 = ਸ਼ੁਰੂ {ਪੀ. ਮੈਟਰਿਕਸ} 2 = ਸ਼ੁਰੂ {ਪੀ. ਮੈਟਰਿਕਸ} 1 0 = ਸ਼ੁਰੂ {ਪੀ. ਮੈਟਰਿਕਸ} 1 0 = ਸ਼ੁਰੂ {ਪੀ. ਮੈਟਰਿਕਸ} 1 0 = ਸ਼ੁਰੂ {ਪੀ. ਮੈਟਰਿਕਸ} = (\\ਅਲਫ਼ਾ _ 1-2)ਇਸ ਲਈ $\\Span {\\boldx _ 1, \\boldx _ 2} \\subseat \\Span {\\boldx _ 1} $ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।ਦਾਅਵਾ ਕੀਤਾ ਗਿਆ \\end {ਸਬੂਤ}', ' [\'ਹੇਠ ਦਿੱਤੇ ਟੈਕਸਟ ਨੂੰ ਲੈਟੇਕਸ ਕੋਡ ਨਾਲ ਸੋਧ ਕੇ ਸਪਸ਼ਟ, ਸੰਖੇਪ ਅਤੇ ਪੇਸ਼ੇਵਰ ਬਣਾਓਃ\\\' ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੋ {ਸਬੂਤ}\\\'ਸਾਬਤ ਕਰਨ ਲਈ $\\\' ਸਪੈਨ {\\\'ਬੋਲਡਐਕਸ _ 1\'\\\'ਸਬਸੈੱਟ\\ \\Span {\\\\boldx _ 1,\\\\boldx _ 2} $, ਸਾਨੂੰ ਦੋਵੇਂ $\\\\Span {\\\\boldx _ 1}\\\\subseat\\\\Span {\\boldx _ 1,\\\\boldx _ 2} $ਅਤੇ $\\\\Span {\\boldx _ 1,\\\\boldx _ 2} ਦਰਸਾਉਣ ਦੀ ਜ਼ਰੂਰਤ ਹੈ।ਇਹ ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੈ ਕਿ $\\\\Span {\\\\boldx _ 1}\\\\spset\\ \\Span {\\\\boldx _ 1,\\\\boldx _ 2} $, ਕਿਉਂਕਿ ਕਿਸੇ ਵੀ ਵੈਕਟਰ ਲਈ $\\\\alfa\\ \\boldx _ 1 $, ਜਿੱਥੇ $\\\\alfa\\ \\in\\\\RR $ਹੈ, ਇਸ ਨੂੰ $\\\\alfa\\ \\boldx _ 1 +\\\\beta\\ \\boldx _ 2 $ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵੀ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ $\\\\beta = 0 $ਹੈ।ਕੋਈ ਵੀ $\\\\boldy\\ \\in\\\\span {\\\\boldx _ 1,\\\\boldx _ 2} $ਚੁਣੋ, ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਅਨੁਸਾਰ, ਇੱਥੇ ਮੌਜੂਦ ਹੈ $\\\\alfa _ 1,\\\\alfa _ 2 $\\nsuch ਕਿ \\n $\\n \\boldy\\n =\\\\alfa _ 1\\ \\ਬੋਲਡਕਸ _ 1 +\\\\ਆਲਫ਼ਾ _ 2\\\\ \\ਬੋਲਡਕਸ _ 2 \\ਨ\\\\ਅਲਫ਼ਾ _ 1 \\ਨ\\ਸ਼ੁਰੂਆਤ {ਪੀਮੈਟਰਿਕਸ} \\ਨ1 \\ਨ0 \\ਨ \\ਨ \\ਨ ਅੰਤ {ਪੀਮੈਟਰਿਕਸ} \\ਨ \\ਨ \\ਨ \\ਨ \\ਨਲਫ਼ਾ _ 2 \\ਨ \\ਨ ਸ਼ੁਰੂ {ਪੀਮੈਟਰਿਕਸ} \\ਨ-2 \\ਨ0 \\ਨ \\ਨ \\ਨ ਅੰਤ {ਪੀਮੈਟਰਿਕਸ} \\ਨ =\\ \\alfa _ 1 \\n\\ \\innast {pmatrix} \\n1\\n0\\n\\n\\n\\n ਅੰਤ {pmatrix} \\n2\\ \\alfa _ 2\\n\\ \\innast {pmatrix} \\n1\\n0\\n\\n\\n ਅੰਤ {pmatrix} \\n = (\\\\alfa _ 1-2)\\ \\alfa _ 2) \\n\\ \\left {pmatrix} \\n1\\n0\\n\\ \\end {pmatrix} \\n = (\\\\alfa _ 1-2\\\\alfa _ 2)\\\\boldx _ 1 $\\nHens $\\\\span {\\\\boldx _ 1,\\\\boldx _ 2}\\\\ ਉਪ ਸਮੂਹ\\\\span{\\\\boldx _ 1} $ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਦਾਅਵਾ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, \'ਸੰਸ਼ੋਧਿਤ ਸਬੂਤ ਲਈ ਇੱਥੇ ਲੈਟੇਕਸ ਕੋਡ ਹੈਃ \\n\\ \\bn {\\\\mathbf {x} _ 1}\\\\ ਉਪ-ਸਮੂਹ ਨੂੰ ਸਾਬਤ ਕਰਨ ਲਈ\\ \\Span {\\\\mathbf {x} _ 1,\\\\mathbf {x} _ 2} $, ਸਾਨੂੰ $\\\\Span {\\\\mathbf {x} _ 1}\\\\subset\\\\Span {\\\\mathbf {x} _ 1,\\\\mathbf {x} _ 2} $ਅਤੇ $\\\\Span {\\\\mathbf {x} _ 1 ਦਿਖਾਉਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।ਇਹ ਮਾਮੂਲੀ ਗੱਲ ਹੈ ਕਿ $\\\\Span {\\\\mathbf {x} _ 1}\\\\ ਉਪ-ਸਮੂਹ\\\\Span {\\\\mathbf {x} _ 1,\\\\mathbf {x} _ 2,\\\\mathbf {x} _ 2।ਵੈਕਟਰ $\\\\alph\\ \\mathbf {x} _ 1 $, ਜਿੱਥੇ $\\\\alph\\ \\in\\\\mathbb {R} $, ਨੂੰ $\\\\alph\\ \\mathbf {x} _ 1 +\\\\beta\\ \\mathbf {x} _ 2 $ਨਾਲ $\\\\beta = ਨਾਲ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।0 $. \\n\\n ਉਲਟ ਲਈ, ਕੋਈ ਵੀ $\\\\mathbf {y}\\\\in\\\\span {\\\\mathbf {x} _ 1,\\\\mathbf {x} _ 2} $ਲਓ। ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਅਨੁਸਾਰ, ਇੱਥੇ $\\\\alfa _ 1,\\\\alfa _ 2 $ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਮੌਜੂਦ ਹੈ ਕਿ\\n\\ \\interest {ਅਲਾਈਨ *} \\n\\ \\mathbf {y} & =\\\\alfa _ 1\\ \\mathbf {x} _ 1 +\\\\alfa _ 2\\ \\mathbf {x} _ 2\\\\\\\\\\\\ \\n & =\\\\alfa _ 1\\\\interest {bmatrix} 1\\\\\\0 \\interest {bmatrix} +\\ \\alfa _ 2\\\\interest {bmatrix}-2\\\\\\0 \\interest {bmatrix}\\\\n & =\\\\alfa _ 1 \\interest {bmatrix} 1\\\\\\0 \\interest {bmatrix} +(bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix- 2\\\\alfa _ 2)\\\\mathbf {x} _ 1. \\n \\end {ਅਲਾਈਨ *} \\nHens, $\\Span {\\\\mathbf {x} _ 1,\\\\mathbf {x} _ 2}\\\\subseat\\\\Span {\\\\mathbf {x} _ 1} $ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਲੋਡ਼ ਹੋਵੇ।ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਟੈਕਸਟ ਨੂੰ ਲੈਟੇਕਸ ਕੋਡ ਨਾਲ ਸੋਧ ਕਰੋ, ਇਸ ਨੂੰ ਸੰਖੇਪ, ਸਟੀਕ ਅਤੇ ਪਹੁੰਚਯੋਗ ਬਣਾਓਃ \\n ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸਮੂਹ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ $X: =\\\\ {\\\\boldx _ 1,\\\\boldx _ 2,$X $ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ $\\\\mathbb {R} ^ 2 $ਦੋ ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਸੁਤੰਤਰ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੁਆਰਾ ਫੈਲਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ, ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ,ਸਟੈਂਡਰਡ ਬੇਸਿਸ ਵੈਕਟਰ $\\\\mathbf {e} _ 1 $ਅਤੇ $\\\\mathbf {e} _ 2 $, $\\\\mathbb {R} ^ 2 $ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਕੋਈ ਵੀ ਸੈੱਟ ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ\',\' ਇੱਥੇ ਸੋਧਿਆ ਹੋਇਆ LaTeX ਕੋਡ ਹੈਃ $X: =\\\\ {\\mathbf {x} _ 1,\\\\mathbf {x} _ 2, ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸੈੱਟ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।$X $ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ $\\\\mathbb {R} ^ 2 $ਦੋ ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਸੁਤੰਤਰ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੁਆਰਾ ਫੈਲਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ, ਲਈਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਸਟੈਂਡਰਡ ਬੇਸਿਸ ਵੈਕਟਰ $\\\\mathbf {e} _ 1 $ਅਤੇ $\\mathbf {e} _ 2 $, $\\\\mathbb {R} ^ 2 $ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਕੋਈ ਵੀ ਸੈੱਟ ਲੀਨੀਅਰ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿਚਿੱਤਰ\\\\ref {ਅੰਕੀਃ 3 _ ਵੈਕਟਰਸ _ ਇਨ _ ਪਲੇਨ} ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ. \\n\\n\\ \\n\\n ਸ਼ੁਰੂ {ਚਿੱਤਰ} [h!] \\n\\ \\n\\n\\n\\ \\ਇੰਨਲੀਗਰਾਫਿਕਸ [ਚੌਡ਼ਾਈ = 0.5\\ਨਲਾਈਨ ਚੌਡ਼ਾਈ] {3_vectors_in_plane.pdf}\\n\\ \\ਕੈਪਸ਼ਨ {ਇੱਕ ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਵੈਕਟਰ} \\n\\\\لیبل {ਅੰਕੀਃ 3 _ ਵੈਕਟਰ _ ਇਨ _ ਪਲੇਨ} \\n\\ \\ਇੰਤ {ਚਿੱਤਰ} \\n\\n $ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ $\\\\mathbb {R} ^ 2 $ਅਯਾਮ ਦੀ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਹੈ।$2 $, ਇਸ ਦਾ ਇੱਕ ਅਧਾਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਦੋ ਰੇਖਿਕ ਸੁਤੰਤਰ ਵੈਕਟਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ, ਇਸ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਕੋਈ ਵੀ ਸੈੱਟ ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ\\\\ref {ਅੰਕੀਃ 3 _ ਵੈਕਟਰਾਂ _ ਇਨ _ ਪਲੇਨ} ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਤਿੰਨ ਵੈਕਟਰ $\\\\mathbf {x} _ 1 $, $\\\\mathbf {x} _ 2 $ਅਤੇ $\\\\mathbf {x} _ 3 $ਇੱਕ ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਹਨ,ਇਹ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਉਹ ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਹਨ। ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਸੈੱਟ $X $ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਹੈ। \', "ਲੈਟੇਕਸ ਕੋਡ ਨਾਲ ਹੇਠ ਦਿੱਤੇ ਟੈਕਸਟ ਨੂੰ ਸੋਧੋ, ਇਸ ਨੂੰ ਬਣਾਓ।ਸੰਖੇਪ, ਸਟੀਕ ਅਤੇ ਪਹੁੰਚਯੋਗਃ \\n\\n\\n\\n\\n $\\n =\\\\ {\\boldx _ 1,\\\\ldot \'s,\\\\boldx _ N।\\\\} $ਲੀਨੀਅਰਲੀ ਇੰਡੀਪੈਂਡੈਂਟ $\\\\ ਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ $\\\\Span (X) =\\\\RR ^ N $\\n\\ \\end {center} \\n\\n ਇੱਕ ਵਿਰੋਧਾਭਾਸ ਦੀ ਮੰਗ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ \\n\\n\\\\n ਸ਼ੁਰੂਆਤ {ਗਿਣਤੀ} \\n\\\\ਆਈਟਮ $X $ਲੀਨੀਅਰ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਸੁਤੰਤਰ \\n\\\\ਆਈਟਮ ਹੈ ਅਤੇ ਫਿਰ ਵੀ $EXAMPLEISTs\\\\,\\\\ਬੋਲਡਜ਼\\ \\in\\ \\Rr ^ N $ਨਾਲ $\\\\ਬੋਲਡਜ਼\\ \\ਨੋਟਿਨ\\ \\ਸਪੈਨ (X) $\\n\\ \\ਇੰਤ {ਐਨੂਮੈਰੇਟ} \\n\\n\\n ਪਰ ਫਿਰ $X\\ \\cup\\\\{\\\\ \\boldz\\\\\\}\\\\ ਉਪ ਸਮੂਹ\\\\Rr ^ N $ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਸੁਤੰਤਰ ਹੈ (ਕਿਉਂ?) \\n\\n ਇਸ ਸੈੱਟ ਵਿੱਚ $N + 1 $ਤੱਤ ਹਨ। \\n\\n ਅਤੇ ਫਿਰ ਵੀ $\\\\R ^ N $ਫੈਲਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ।$N $ਕੈਨੋਨੀਕਲ ਬੇਸਿਸ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੁਆਰਾ \\n\\n ਕੰਟ੍ਰੈਡਿਕਸ਼ਨ (ਕਿਸ ਦਾ?) \\n\\n\\n\\n\\n\\n ਅਗਲਾ ਚਲੋ ਕਨਵਰਸ ਨੂੰ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਾਂ \\n\\n\\n\\n ਸ਼ੁਰੂਆਤ {ਸੈਂਟਰ} \\n $\\\\span (X) =ਇੱਕ ਵਿਰੋਧਾਭਾਸ ਦੀ ਮੰਗ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ $\\n $X =\\\\ {\\\\boldx _ 1,\\\\ldot,\\\\boldx _ N\\\\} $ਲੀਨੀਅਰ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਸੁਤੰਤਰ \\n\\ \\end {center} \\n ਇੱਕ ਵਿਰੋਧਾਭਾਸ ਦੀ ਮੰਗ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ \\n\\n\\ \\left {enumerate} \\n\\ \\item $\\\\Span (X) =\\\\R ^ N $\\n\\ \\item ਅਤੇ ਫਿਰ ਵੀ $X $ਲੀਨੀਅਰ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਹੈ \\n\\ \\end {enumerate} \\n\\n ਕਿਉਂਕਿ $X $ਸੁਤੰਤਰ ਨਹੀਂ ਹੈ,$EXAMPLEIST X _ 0\\ \\sabsetneq X $ਨਾਲ $\\\\Span (X _ 0) = \\n\\ \\Span (X) $\\n\\n ਪਰ 1 ਨਾਲ ਇਹ ਸੰਕੇਤ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ $\\\\Rr ^ N $ਨੂੰ $K <N $ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੁਆਰਾ ਫੈਲਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਪਰ ਫਿਰ$N $ਕੈਨੋਨੀਕਲ ਬੇਸਿਸ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਲੀਨੀਅਰਲੀ ਡਿਪੈਂਡੈਂਟ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ \\n\\n ਕੰਟ੍ਰੈਡਿਕਸ਼ਨ \\n\\n\\ \\end {ਸਬੂਤ} "," ਇੱਥੇ ਸੋਧਿਆ ਹੋਇਆ LaTeX ਹੈ।ਕੋਡਃ \\n\\n ਸ਼ੁਰੂ {ਸਬੂਤ} \\n ਆਓ ਇਹ ਸਾਬਤ ਕਰਨ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੀਏ ਕਿ ਜੇਕਰ $X =\\\\ {\\\\mathbf {x} _ 1,\\\\ldot,\\\\mathbf {x} _ N\\\\} $ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਸੁਤੰਤਰ ਹੈ, ਤਾਂ$\\\\operatorname {span} (X) =\\\\mathbb {R} ^ N $. \\n\\n ਇੱਕ ਵਿਰੋਧਾਭਾਸ ਦੀ ਮੰਗ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ \\n\\ \\left {enumate} \\n\\ \\item $ਲੀਨੀਅਰ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਸੁਤੰਤਰ ਹੈ, ਅਤੇ \\n\\ \\item ਹੈ।ਇੱਥੇ ਮੌਜੂਦ ਹੈ $\\\\mathbf {z}\\\\in\\\\mathbb {R} ^ N $ਕਿ $\\\\mathbf {z}\\\\notin\\\\operatorname {span} (X) $. \\n\\ \\end {enumate} \\nThen $X\\ \\cup\\\\{\\mathbf {z}\\\\}\\\\ ਉਪ ਸਮੂਹ\\\\mathbb {R} ^ N $ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਸੁਤੰਤਰ ਹੈ। ਇਸ ਸੈੱਟ ਵਿੱਚ $N + 1 $ਤੱਤ ਹਨ। ਪਰ, $\\mathbb {R} ^ N $ਨੂੰ $N $ਦੁਆਰਾ ਫੈਲਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।ਪ੍ਰਮਾਣਿਕ ਅਧਾਰ ਵੈਕਟਰ। ਇਹ ਇੱਕ ਵਿਰੋਧਾਭਾਸ ਹੈ। \\n\\nNext, ਅਸੀਂ ਉਲਟ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਾਂਃ ਜੇਕਰ $\\\\operatorname {span} (X) =\\\\mathbb {R} ^ N $, ਤਾਂ $X =\\\\{\\\\mathbf {x} _ 1,\\\\ldots,\\\\mathbf {x} _ N\\\\} $ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਸੁਤੰਤਰ ਹੈ।$\\\\operatorname {span} (X) =\\\\mathbb {R} ^ N $, ਅਤੇ \\n\\ \\item $X $ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਹੈ।\\ \\sabsetneq X $ਅਜਿਹਾ ਹੈ ਕਿ $\\\\operatorname {span} (X _ 0) =\\\\operatorname {span} (X) $। ਪਹਿਲੇ ਕਥਨ ਦੁਆਰਾ, ਇਹ ਸੰਕੇਤ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ $\\\\mathbb {R} ^ N $ਫੈਲਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ।$K <N $ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੁਆਰਾ। ਹਾਲਾਂਕਿ, $N $ਪ੍ਰਮਾਣਿਕ ਅਧਾਰ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਫਿਰ ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਇੱਕ ਵਿਰੋਧਾਭਾਸ ਹੈ। ਸੰਖੇਪ ਵਿੱਚ,ਇਹ ਸਬੂਤ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ $\\\\mathbb {R} ^ N $ਵਿੱਚ ਫੈਲੇ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸੈੱਟ ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਸੁਤੰਤਰ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਉਲਟ ਹੈ। ਕੁੰਜੀ ਦੇ ਮਾਪ ਉੱਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਨਾ ਹੈਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਅਤੇ ਕੋਈ ਵੀ ਸਬਸੈੱਟ, ਅਤੇ ਵਿਰੋਧਾਭਾਸਾਂ ਦੀ ਭਾਲ ਕਰੋ। "," ਹੇਠ ਦਿੱਤੇ ਟੈਕਸਟ ਨੂੰ ਲੈਟੇਕਸ ਕੋਡ ਨਾਲ ਸੋਧ ਕਰੋ, ਇਸ ਨੂੰ ਸੰਖੇਪ, ਸਟੀਕ ਅਤੇ ਸਹੀ ਬਣਾਓ।ਪਹੁੰਚਯੋਗਃ \\n\\ \\left {ਪ੍ਰੂਫ} \\n\\n\\n\\n ਆਓ ਇਸ ਸਬੂਤ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੀਏ ਕਿ \\n\\n\\ \\left {center} \\n $X =\\\\ {\\\\ \\boldx _ 1,\\\\ldot,\\\\boldx _ N\\\\} $ਲੀਨੀਅਰ ਤੌਰ ਉੱਤੇ।ਸੁਤੰਤਰ $\\\\ ਦਾ ਅਰਥ ਹੈ $$\\\\Span (X) =\\\\Rr ^ N $\\n\\ \\end {center} \\n\\n ਇੱਕ ਵਿਰੋਧਾਭਾਸ ਦੀ ਮੰਗ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ \\n\\n\\ \\left {enumate} \\n\\ \\item $X $ਹੈਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਸੁਤੰਤਰ \\n\\\\ਆਈਟਮ ਅਤੇ ਫਿਰ ਵੀ $EXAMPLEISTs\\,\\\\boldz\\ \\in \\Rr ^ N $ਨਾਲ $\\\\boldz\\ \\notin\\ \\span (X) $\\n\\ \\end {enumate} \\n\\n ਪਰ ਫਿਰ $Xਇਸ ਸੈੱਟ ਵਿੱਚ $N + 1 $ਤੱਤ ਹਨ। \\n\\n ਅਤੇ ਫਿਰ ਵੀ $\\\\RR ^ N $ਨੂੰ $N $ਦੁਆਰਾ ਫੈਲਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।ਕੈਨੋਨਿਕਲ ਬੇਸਿਸ ਵੈਕਟਰਸ \\n\\n ਕੰਟ੍ਰੈਡਿਕਸ਼ਨ (ਕਿਸ ਦਾ?) \\n\\n\\n\\n\\n\\n ਅਗਲਾ ਚਲੋ ਕਨਵਰਸ ਨੂੰ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਾਂ \\n\\n\\n\\n ਸ਼ੁਰੂਆਤ {ਕੇਂਦਰ} \\n $\\\\span (X) =\\\\Rr ^ N $\\n$\\\\ ਦਾ ਅਰਥ ਹੈ $\\n $X =\\\\ {\\\\ \\boldx _ 1,\\\\ldots,\\\\boldx _ N\\\\} $ਲੀਨੀਅਰਲੀ ਇੰਡੀਪੈਂਡੈਂਟ \\n\\ \\end {center} \\n ਇੱਕ ਵਿਰੋਧਾਭਾਸ ਦੀ ਮੰਗ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ \\n\\n$\\\\left {enumerate} \\n\\ \\item $\\\\Span (X) =\\\\Rr ^ N $\\n\\ \\item ਅਤੇ ਫਿਰ ਵੀ $X $ਲੀਨੀਅਰ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਹੈ \\n\\ \\end {enumerate} \\n\\n ਕਿਉਂਕਿ $X $ਸੁਤੰਤਰ ਨਹੀਂ ਹੈ,$EXAMPLEIST X _ 0\\ \\sabsetneq X $ਨਾਲ $\\\\Span (X _ 0) = \\n\\ \\Span (X) $\\n\\n ਪਰ 1 ਨਾਲ ਇਹ ਸੰਕੇਤ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ $\\\\Rr ^ N $ਨੂੰ $K <N $ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੁਆਰਾ ਫੈਲਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਪਰ ਫਿਰ$N $ਕੈਨੋਨੀਕਲ ਬੇਸਿਸ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਲੀਨੀਅਰਲੀ ਡਿਪੈਂਡੈਂਟ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ \\n\\n ਕੰਟ੍ਰੈਡਿਕਸ਼ਨ\\n\\n\\ \\end {ਸਬੂਤ} ", \'ਇੱਥੇ ਇੱਕ ਸੋਧਿਆ ਹੋਇਆ ਅਤੇ ਪਹੁੰਚਯੋਗ ਹੈਸਬੂਤਃ \\n\\n\\ \\interest {ਸਬੂਤ} \\n ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜੇਕਰ $X =\\\\ {\\\\mathbf {x} _ 1,\\\\ldot,\\\\mathbf {x} _ N\\\\} $ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਸੁਤੰਤਰ ਹੈ, ਤਾਂ$\\\\operatorname {span} (X) =\\\\mathbb {R} ^ N $. \\n\\n\\ \\textbf {ਵਿਰੋਧਾਭਾਸ ਦੁਆਰਾ ਸਬੂਤਃ} ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ \\n\\ \\left {enumerate} \\n\\ \\item $ਲੀਨੀਅਰ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਸੁਤੰਤਰ ਹੈ,ਅਤੇ \\n\\\\ਆਈਟਮ ਉੱਥੇ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਮੌਜੂਦ ਹੈ $\\\\mathbf {z}\\\\in\\\\mathbb {R} ^ N $ਜੋ ਕਿ $\\\\operatorname {span} (X) $ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਹੈ।\\\\{\\\\mathbf {z}\\\\} $ਵਿੱਚ $N + 1 $ਵੈਕਟਰ ਹਨ ਅਤੇ ਇਹ ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਸੁਤੰਤਰ ਹੈ। ਪਰ, $\\\\mathbb {R} ^ N $ਸਿਰਫ $N $ਅਧਾਰ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੁਆਰਾ ਫੈਲਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ। ਇਹ ਇੱਕ ਹੈਵਿਰੋਧਾਭਾਸੀ. \\n\\n ਅਗਲਾ, ਅਸੀਂ ਉਲਟ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਾਂਃ ਜੇਕਰ $\\\\operatorname {span} (X) =\\\\mathbb {R} ^ N $, ਤਾਂ $X =\\\\ {\\\\mathbf {x} _ 1,\\\\ldot,\\\\mathbf {x} _ N\\\\} $ਹੈਲੀਨੀਅਰ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਸੁਤੰਤਰ। \\n\\n\\ \\textbf {ਵਿਰੋਧਾਭਾਸੀ ਦੁਆਰਾ ਸਬੂਤਃ} ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ \\n\\ \\left {enumate} \\n\\ \\item $\\\\operatorname {span} (X) =\\\\mathbb {R} ^ N $, ਅਤੇ\\n\\ \\item $X $ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਹੈ। \\n\\ \\end {enumate} \\nਤੱਦ ਇੱਕ ਉਪ ਸਮੂਹ $X _ 0\\ \\sabsetneq X $ਮੌਜੂਦ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ $\\\\operatorname {span} (X _ 0) =\\ \\operatorname {span} (X) $. ਪਹਿਲੇ ਸਟੇਟਮੈਂਟ ਦੁਆਰਾ, ਇਹ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ $\\\\mathbb {R} ^ N $ਨੂੰ $N $ਵੈਕਟਰਾਂ ਤੋਂ ਘੱਟ ਦੁਆਰਾ ਫੈਲਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।$\\\\mathbb {R} ^ N $ਫਿਰ ਲੀਨੀਅਰ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਇੱਕ ਵਿਰੋਧਾਭਾਸ ਹੈ। \\n\\n ਸਿੱਟਾ ਕੱਢਦੇ ਹੋਏ, ਇੱਕ ਸੈੱਟ $X $$\\\\mathbb {R} ^ N $ਨੂੰ ਫੈਲਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਅਤੇ ਸਿਰਫ ਤਾਂ ਹੀ ਜੇ ਇਹ ਹੋਵੇਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਸੁਤੰਤਰ। ਮੁੱਖ ਅੰਤਰਦ੍ਰਿਸ਼ਟੀ ਇਹ ਹਨਃ (1) ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਦਾ ਮਾਪ ਇੱਕ ਅਧਾਰ ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। (2) ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਸੁਤੰਤਰ ਅਤੇਫੈਲਾਅ ਸੈੱਟਾਂ ਵਿੱਚ ਮਾਪ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। (3) ਨਿਰਭਰ ਜਾਂ ਗੈਰ-ਫੈਲਾਅ ਸੈੱਟਾਂ ਵਿੱਚ ਘੱਟ ਵੈਕਟਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਮਾਪ ਅਤੇ ਮਾਪ ਨੂੰ ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖਦੇ ਹੋਏਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਵਿਰੋਧਾਭਾਸਾਂ \'ਤੇ ਪਹੁੰਚਦੇ ਹਾਂ। \\n\\ \\end {ਸਬੂਤ}\', \'ਹੇਠ ਦਿੱਤੇ ਪਾਠ ਨੂੰ ਸੋਧੋ, ਇਸ ਨੂੰ ਸੰਖੇਪ, ਸਟੀਕ ਅਤੇ ਪਹੁੰਚਯੋਗ ਬਣਾਓਃ \\nਸੰਖੇਪ ਵਿੱਚ, $S $ਦੇ ਹਰੇਕ ਤੱਤ ਨੂੰ \\nsmaller ਸੈੱਟ $B $ਤੋਂ ਵਿਲੱਖਣ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਵਧੇਰੇ ਵਿਸਤਾਰ ਵਿੱਚਃ $B $$S $ਨੂੰ ਫੈਲਾਉਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ, ਰੇਖਿਕ ਸੁਤੰਤਰਤਾ ਦੁਆਰਾ, ਹਰੇਕ ਤੱਤ ਨੂੰ $S $---- ਇੱਕ "ਘੱਟੋ ਘੱਟ" ਫੈਲਾਅ set.Since $B $$S $ਨੂੰ ਫੈਲਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਹਰ $\\\\ \\ਬੋਲਡੀ $$S $ਵਿੱਚਅਧਾਰ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਰੇਖਿਕ ਸੰਯੋਜਨ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਸੁਤੰਤਰਤਾ ਦੁਆਰਾ, ਇਹ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਵਿਲੱਖਣ ਹੈ। ', 'ਇਸ ਨੂੰ ਸਪਸ਼ਟ, ਸੰਖੇਪ ਅਤੇ ਪੇਸ਼ੇਵਰ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਹੇਠ ਦਿੱਤੇ ਟੈਕਸਟ ਨੂੰ ਲੈਟੇਕਸ ਕੋਡ ਨਾਲ ਸੋਧੋਃ $\\span {\\boldx _ 1} \\subseat\\span {\\boldx _ 1 ਸਾਬਤ ਕਰਨ ਲਈ,\\boldx _ 2} $, ਸਾਨੂੰ ਦੋਵੇਂ $\\span {\\boldx _ 1} \\sabseat \\span {\\boldx _ 1, \\boldx _ 2} $ਅਤੇ $\\span {\\boldx _ 1, \\boldx _ 2} \\sabseat \\span {\\boldx _ 1} $ਦਰਸਾਉਣ ਦੀ ਜ਼ਰੂਰਤ ਹੈ।ਸਪਸ਼ਟ ਕਰੋ ਕਿ $\\span {\\boldx _ 1} \\sabseat \\span {\\boldx _ 1, \\boldx _ 2} $, ਕਿਉਂਕਿ ਕਿਸੇ ਵੀ ਵੈਕਟਰ ਲਈ $\\alph\\boldx _ 1 $, ਜਿੱਥੇ $\\alph\\in\\RR $, ਇਹ ਵੀ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ$\\alfa\\boldx _ 1 + \\beta\\boldx _ 2 $ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, $\\beta = 0 $ਦੇ ਨਾਲ। ਉਲਟ ਵੇਖਣ ਲਈ, ਕੋਈ ਵੀ $\\boldy\\in\\span {\\boldx _ 1, \\boldx _ 2} $ਚੁਣੋ,ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਵਿੱਚ, ਇੱਥੇ $\\alfa _ 1, \\alfa _ 2 $ਮੌਜੂਦ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ $\\boldy = \\alfa _ 1 \\boldx _ 1 + \\alfa _ 2 \\boldx _ 2 \\alfa _ 1 \\bold {pmatrix} 1 0 \\end {pmatrix}ਅਲਫ਼ਾ _ 2 = ਸ਼ੁਰੂ {ਪੀ. ਮੈਟਰਿਕਸ}-2 0 = ਸ਼ੁਰੂ {ਪੀ. ਮੈਟਰਿਕਸ} = 1 0 = ਸ਼ੁਰੂ {ਪੀ. ਮੈਟਰਿਕਸ} 2 = ਸ਼ੁਰੂ {ਪੀ. ਮੈਟਰਿਕਸ} 1 0 = ਸ਼ੁਰੂ {ਪੀ. ਮੈਟਰਿਕਸ} 1 0 = ਸ਼ੁਰੂ {ਪੀ. ਮੈਟਰਿਕਸ} 1 0 = ਸ਼ੁਰੂ {ਪੀ. ਮੈਟਰਿਕਸ} = (\\ਅਲਫ਼ਾ _ 1-2)ਇਸ ਲਈ $\\Span {\\boldx _ 1, \\boldx _ 2} \\subseat \\Span {\\boldx _ 1} $ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।ਦਾਅਵਾ ਕੀਤਾ ਗਿਆ \\end {ਸਬੂਤ}', ' [\'ਹੇਠ ਦਿੱਤੇ ਟੈਕਸਟ ਨੂੰ ਲੈਟੇਕਸ ਕੋਡ ਨਾਲ ਸੋਧ ਕੇ ਸਪਸ਼ਟ, ਸੰਖੇਪ ਅਤੇ ਪੇਸ਼ੇਵਰ ਬਣਾਓਃ\\\' ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੋ {ਸਬੂਤ}\\\'ਸਾਬਤ ਕਰਨ ਲਈ $\\\' ਸਪੈਨ {\\\'ਬੋਲਡਐਕਸ _ 1\'\\\'ਸਬਸੈੱਟ\\ \\Span {\\\\boldx _ 1,\\\\boldx _ 2} $, ਸਾਨੂੰ ਦੋਵੇਂ $\\\\Span {\\\\boldx _ 1}\\\\subseat\\\\Span {\\boldx _ 1,\\\\boldx _ 2} $ਅਤੇ $\\\\Span {\\boldx _ 1,\\\\boldx _ 2} ਦਰਸਾਉਣ ਦੀ ਜ਼ਰੂਰਤ ਹੈ।ਇਹ ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੈ ਕਿ $\\\\Span {\\\\boldx _ 1}\\\\spset\\ \\Span {\\\\boldx _ 1,\\\\boldx _ 2} $, ਕਿਉਂਕਿ ਕਿਸੇ ਵੀ ਵੈਕਟਰ ਲਈ $\\\\alfa\\ \\boldx _ 1 $, ਜਿੱਥੇ $\\\\alfa\\ \\in\\\\RR $ਹੈ, ਇਸ ਨੂੰ $\\\\alfa\\ \\boldx _ 1 +\\\\beta\\ \\boldx _ 2 $ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵੀ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ $\\\\beta = 0 $ਹੈ।ਕੋਈ ਵੀ $\\\\boldy\\ \\in\\\\span {\\\\boldx _ 1,\\\\boldx _ 2} $ਚੁਣੋ, ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਅਨੁਸਾਰ, ਇੱਥੇ ਮੌਜੂਦ ਹੈ $\\\\alfa _ 1,\\\\alfa _ 2 $\\nsuch ਕਿ \\n $\\n \\boldy\\n =\\\\alfa _ 1\\ \\ਬੋਲਡਕਸ _ 1 +\\\\ਆਲਫ਼ਾ _ 2\\\\ \\ਬੋਲਡਕਸ _ 2 \\ਨ\\\\ਅਲਫ਼ਾ _ 1 \\ਨ\\ਸ਼ੁਰੂਆਤ {ਪੀਮੈਟਰਿਕਸ} \\ਨ1 \\ਨ0 \\ਨ \\ਨ \\ਨ ਅੰਤ {ਪੀਮੈਟਰਿਕਸ} \\ਨ \\ਨ \\ਨ \\ਨ \\ਨਲਫ਼ਾ _ 2 \\ਨ \\ਨ ਸ਼ੁਰੂ {ਪੀਮੈਟਰਿਕਸ} \\ਨ-2 \\ਨ0 \\ਨ \\ਨ \\ਨ ਅੰਤ {ਪੀਮੈਟਰਿਕਸ} \\ਨ =\\ \\alfa _ 1 \\n\\ \\innast {pmatrix} \\n1\\n0\\n\\n\\n\\n ਅੰਤ {pmatrix} \\n2\\ \\alfa _ 2\\n\\ \\innast {pmatrix} \\n1\\n0\\n\\n\\n ਅੰਤ {pmatrix} \\n = (\\\\alfa _ 1-2)\\ \\alfa _ 2) \\n\\ \\left {pmatrix} \\n1\\n0\\n\\ \\end {pmatrix} \\n = (\\\\alfa _ 1-2\\\\alfa _ 2)\\\\boldx _ 1 $\\nHens $\\\\span {\\\\boldx _ 1,\\\\boldx _ 2}\\\\ ਉਪ ਸਮੂਹ\\\\span{\\\\boldx _ 1} $ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਦਾਅਵਾ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, \'ਸੰਸ਼ੋਧਿਤ ਸਬੂਤ ਲਈ ਇੱਥੇ ਲੈਟੇਕਸ ਕੋਡ ਹੈਃ \\n\\ \\bn {\\\\mathbf {x} _ 1}\\\\ ਉਪ-ਸਮੂਹ ਨੂੰ ਸਾਬਤ ਕਰਨ ਲਈ\\ \\Span {\\\\mathbf {x} _ 1,\\\\mathbf {x} _ 2} $, ਸਾਨੂੰ $\\\\Span {\\\\mathbf {x} _ 1}\\\\subset\\\\Span {\\\\mathbf {x} _ 1,\\\\mathbf {x} _ 2} $ਅਤੇ $\\\\Span {\\\\mathbf {x} _ 1 ਦਿਖਾਉਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।ਇਹ ਮਾਮੂਲੀ ਗੱਲ ਹੈ ਕਿ $\\\\Span {\\\\mathbf {x} _ 1}\\\\ ਉਪ-ਸਮੂਹ\\\\Span {\\\\mathbf {x} _ 1,\\\\mathbf {x} _ 2,\\\\mathbf {x} _ 2।ਵੈਕਟਰ $\\\\alph\\ \\mathbf {x} _ 1 $, ਜਿੱਥੇ $\\\\alph\\ \\in\\\\mathbb {R} $, ਨੂੰ $\\\\alph\\ \\mathbf {x} _ 1 +\\\\beta\\ \\mathbf {x} _ 2 $ਨਾਲ $\\\\beta = ਨਾਲ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।0 $. \\n\\n ਉਲਟ ਲਈ, ਕੋਈ ਵੀ $\\\\mathbf {y}\\\\in\\\\span {\\\\mathbf {x} _ 1,\\\\mathbf {x} _ 2} $ਲਓ। ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਅਨੁਸਾਰ, ਇੱਥੇ $\\\\alfa _ 1,\\\\alfa _ 2 $ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਮੌਜੂਦ ਹੈ ਕਿ\\n\\ \\interest {ਅਲਾਈਨ *} \\n\\ \\mathbf {y} & =\\\\alfa _ 1\\ \\mathbf {x} _ 1 +\\\\alfa _ 2\\ \\mathbf {x} _ 2\\\\\\\\\\\\ \\n & =\\\\alfa _ 1\\\\interest {bmatrix} 1\\\\\\0 \\interest {bmatrix} +\\ \\alfa _ 2\\\\interest {bmatrix}-2\\\\\\0 \\interest {bmatrix}\\\\n & =\\\\alfa _ 1 \\interest {bmatrix} 1\\\\\\0 \\interest {bmatrix} +(bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix- 2\\\\alfa _ 2)\\\\mathbf {x} _ 1. \\n \\end {ਅਲਾਈਨ *} \\nHens, $\\Span {\\\\mathbf {x} _ 1,\\\\mathbf {x} _ 2}\\\\subseat\\\\Span {\\\\mathbf {x} _ 1} $ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਲੋਡ਼ ਹੋਵੇ।ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਟੈਕਸਟ ਨੂੰ ਲੈਟੇਕਸ ਕੋਡ ਨਾਲ ਸੋਧ ਕਰੋ, ਇਸ ਨੂੰ ਸੰਖੇਪ, ਸਟੀਕ ਅਤੇ ਪਹੁੰਚਯੋਗ ਬਣਾਓਃ \\n ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸਮੂਹ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ $X: =\\\\ {\\\\boldx _ 1,\\\\boldx _ 2,$X $ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ $\\\\mathbb {R} ^ 2 $ਦੋ ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਸੁਤੰਤਰ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੁਆਰਾ ਫੈਲਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ, ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ,ਸਟੈਂਡਰਡ ਬੇਸਿਸ ਵੈਕਟਰ $\\\\mathbf {e} _ 1 $ਅਤੇ $\\\\mathbf {e} _ 2 $, $\\\\mathbb {R} ^ 2 $ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਕੋਈ ਵੀ ਸੈੱਟ ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ\',\' ਇੱਥੇ ਸੋਧਿਆ ਹੋਇਆ LaTeX ਕੋਡ ਹੈਃ $X: =\\\\ {\\mathbf {x} _ 1,\\\\mathbf {x} _ 2, ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸੈੱਟ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।$X $ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ $\\\\mathbb {R} ^ 2 $ਦੋ ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਸੁਤੰਤਰ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੁਆਰਾ ਫੈਲਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ, ਲਈਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਸਟੈਂਡਰਡ ਬੇਸਿਸ ਵੈਕਟਰ $\\\\mathbf {e} _ 1 $ਅਤੇ $\\mathbf {e} _ 2 $, $\\\\mathbb {R} ^ 2 $ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਕੋਈ ਵੀ ਸੈੱਟ ਲੀਨੀਅਰ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿਚਿੱਤਰ\\\\ref {ਅੰਕੀਃ 3 _ ਵੈਕਟਰਸ _ ਇਨ _ ਪਲੇਨ} ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ. \\n\\n\\ \\n\\n ਸ਼ੁਰੂ {ਚਿੱਤਰ} [h!] \\n\\ \\n\\n\\n\\ \\ਇੰਨਲੀਗਰਾਫਿਕਸ [ਚੌਡ਼ਾਈ = 0.5\\ਨਲਾਈਨ ਚੌਡ਼ਾਈ] {3_vectors_in_plane.pdf}\\n\\ \\ਕੈਪਸ਼ਨ {ਇੱਕ ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਵੈਕਟਰ} \\n\\\\لیبل {ਅੰਕੀਃ 3 _ ਵੈਕਟਰ _ ਇਨ _ ਪਲੇਨ} \\n\\ \\ਇੰਤ {ਚਿੱਤਰ} \\n\\n $ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ $\\\\mathbb {R} ^ 2 $ਅਯਾਮ ਦੀ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਹੈ।$2 $, ਇਸ ਦਾ ਇੱਕ ਅਧਾਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਦੋ ਰੇਖਿਕ ਸੁਤੰਤਰ ਵੈਕਟਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ, ਇਸ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਕੋਈ ਵੀ ਸੈੱਟ ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ\\\\ref {ਅੰਕੀਃ 3 _ ਵੈਕਟਰਾਂ _ ਇਨ _ ਪਲੇਨ} ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਤਿੰਨ ਵੈਕਟਰ $\\\\mathbf {x} _ 1 $, $\\\\mathbf {x} _ 2 $ਅਤੇ $\\\\mathbf {x} _ 3 $ਇੱਕ ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਹਨ,ਇਹ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਉਹ ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਹਨ। ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਸੈੱਟ $X $ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਹੈ। \', "ਲੈਟੇਕਸ ਕੋਡ ਨਾਲ ਹੇਠ ਦਿੱਤੇ ਟੈਕਸਟ ਨੂੰ ਸੋਧੋ, ਇਸ ਨੂੰ ਬਣਾਓ।ਸੰਖੇਪ, ਸਟੀਕ ਅਤੇ ਪਹੁੰਚਯੋਗਃ \\n\\n\\n\\n\\n $\\n =\\\\ {\\boldx _ 1,\\\\ldot \'s,\\\\boldx _ N।\\\\} $ਲੀਨੀਅਰਲੀ ਇੰਡੀਪੈਂਡੈਂਟ $\\\\ ਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ $\\\\Span (X) =\\\\RR ^ N $\\n\\ \\end {center} \\n\\n ਇੱਕ ਵਿਰੋਧਾਭਾਸ ਦੀ ਮੰਗ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ \\n\\n\\\\n ਸ਼ੁਰੂਆਤ {ਗਿਣਤੀ} \\n\\\\ਆਈਟਮ $X $ਲੀਨੀਅਰ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਸੁਤੰਤਰ \\n\\\\ਆਈਟਮ ਹੈ ਅਤੇ ਫਿਰ ਵੀ $EXAMPLEISTs\\\\,\\\\ਬੋਲਡਜ਼\\ \\in\\ \\Rr ^ N $ਨਾਲ $\\\\ਬੋਲਡਜ਼\\ \\ਨੋਟਿਨ\\ \\ਸਪੈਨ (X) $\\n\\ \\ਇੰਤ {ਐਨੂਮੈਰੇਟ} \\n\\n\\n ਪਰ ਫਿਰ $X\\ \\cup\\\\{\\\\ \\boldz\\\\\\}\\\\ ਉਪ ਸਮੂਹ\\\\Rr ^ N $ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਸੁਤੰਤਰ ਹੈ (ਕਿਉਂ?) \\n\\n ਇਸ ਸੈੱਟ ਵਿੱਚ $N + 1 $ਤੱਤ ਹਨ। \\n\\n ਅਤੇ ਫਿਰ ਵੀ $\\\\R ^ N $ਫੈਲਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ।$N $ਕੈਨੋਨੀਕਲ ਬੇਸਿਸ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੁਆਰਾ \\n\\n ਕੰਟ੍ਰੈਡਿਕਸ਼ਨ (ਕਿਸ ਦਾ?) \\n\\n\\n\\n\\n\\n ਅਗਲਾ ਚਲੋ ਕਨਵਰਸ ਨੂੰ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਾਂ \\n\\n\\n\\n ਸ਼ੁਰੂਆਤ {ਸੈਂਟਰ} \\n $\\\\span (X) =ਇੱਕ ਵਿਰੋਧਾਭਾਸ ਦੀ ਮੰਗ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ $\\n $X =\\\\ {\\\\boldx _ 1,\\\\ldot,\\\\boldx _ N\\\\} $ਲੀਨੀਅਰ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਸੁਤੰਤਰ \\n\\ \\end {center} \\n ਇੱਕ ਵਿਰੋਧਾਭਾਸ ਦੀ ਮੰਗ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ \\n\\n\\ \\left {enumerate} \\n\\ \\item $\\\\Span (X) =\\\\R ^ N $\\n\\ \\item ਅਤੇ ਫਿਰ ਵੀ $X $ਲੀਨੀਅਰ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਹੈ \\n\\ \\end {enumerate} \\n\\n ਕਿਉਂਕਿ $X $ਸੁਤੰਤਰ ਨਹੀਂ ਹੈ,$EXAMPLEIST X _ 0\\ \\sabsetneq X $ਨਾਲ $\\\\Span (X _ 0) = \\n\\ \\Span (X) $\\n\\n ਪਰ 1 ਨਾਲ ਇਹ ਸੰਕੇਤ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ $\\\\Rr ^ N $ਨੂੰ $K <N $ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੁਆਰਾ ਫੈਲਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਪਰ ਫਿਰ$N $ਕੈਨੋਨੀਕਲ ਬੇਸਿਸ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਲੀਨੀਅਰਲੀ ਡਿਪੈਂਡੈਂਟ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ \\n\\n ਕੰਟ੍ਰੈਡਿਕਸ਼ਨ \\n\\n\\ \\end {ਸਬੂਤ} "," ਇੱਥੇ ਸੋਧਿਆ ਹੋਇਆ LaTeX ਹੈ।ਕੋਡਃ \\n\\n ਸ਼ੁਰੂ {ਸਬੂਤ} \\n ਆਓ ਇਹ ਸਾਬਤ ਕਰਨ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੀਏ ਕਿ ਜੇਕਰ $X =\\\\ {\\\\mathbf {x} _ 1,\\\\ldot,\\\\mathbf {x} _ N\\\\} $ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਸੁਤੰਤਰ ਹੈ, ਤਾਂ$\\\\operatorname {span} (X) =\\\\mathbb {R} ^ N $. \\n\\n ਇੱਕ ਵਿਰੋਧਾਭਾਸ ਦੀ ਮੰਗ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ \\n\\ \\left {enumate} \\n\\ \\item $ਲੀਨੀਅਰ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਸੁਤੰਤਰ ਹੈ, ਅਤੇ \\n\\ \\item ਹੈ।ਇੱਥੇ ਮੌਜੂਦ ਹੈ $\\\\mathbf {z}\\\\in\\\\mathbb {R} ^ N $ਕਿ $\\\\mathbf {z}\\\\notin\\\\operatorname {span} (X) $. \\n\\ \\end {enumate} \\nThen $X\\ \\cup\\\\{\\mathbf {z}\\\\}\\\\ ਉਪ ਸਮੂਹ\\\\mathbb {R} ^ N $ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਸੁਤੰਤਰ ਹੈ। ਇਸ ਸੈੱਟ ਵਿੱਚ $N + 1 $ਤੱਤ ਹਨ। ਪਰ, $\\mathbb {R} ^ N $ਨੂੰ $N $ਦੁਆਰਾ ਫੈਲਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।ਪ੍ਰਮਾਣਿਕ ਅਧਾਰ ਵੈਕਟਰ। ਇਹ ਇੱਕ ਵਿਰੋਧਾਭਾਸ ਹੈ। \\n\\nNext, ਅਸੀਂ ਉਲਟ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਾਂਃ ਜੇਕਰ $\\\\operatorname {span} (X) =\\\\mathbb {R} ^ N $, ਤਾਂ $X =\\\\{\\\\mathbf {x} _ 1,\\\\ldots,\\\\mathbf {x} _ N\\\\} $ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਸੁਤੰਤਰ ਹੈ।$\\\\operatorname {span} (X) =\\\\mathbb {R} ^ N $, ਅਤੇ \\n\\ \\item $X $ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਹੈ।\\ \\sabsetneq X $ਅਜਿਹਾ ਹੈ ਕਿ $\\\\operatorname {span} (X _ 0) =\\\\operatorname {span} (X) $। ਪਹਿਲੇ ਕਥਨ ਦੁਆਰਾ, ਇਹ ਸੰਕੇਤ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ $\\\\mathbb {R} ^ N $ਫੈਲਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ।$K <N $ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੁਆਰਾ। ਹਾਲਾਂਕਿ, $N $ਪ੍ਰਮਾਣਿਕ ਅਧਾਰ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਫਿਰ ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਇੱਕ ਵਿਰੋਧਾਭਾਸ ਹੈ। ਸੰਖੇਪ ਵਿੱਚ,ਇਹ ਸਬੂਤ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ $\\\\mathbb {R} ^ N $ਵਿੱਚ ਫੈਲੇ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸੈੱਟ ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਸੁਤੰਤਰ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਉਲਟ ਹੈ। ਕੁੰਜੀ ਦੇ ਮਾਪ ਉੱਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਨਾ ਹੈਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਅਤੇ ਕੋਈ ਵੀ ਸਬਸੈੱਟ, ਅਤੇ ਵਿਰੋਧਾਭਾਸਾਂ ਦੀ ਭਾਲ ਕਰੋ। "," ਹੇਠ ਦਿੱਤੇ ਟੈਕਸਟ ਨੂੰ ਲੈਟੇਕਸ ਕੋਡ ਨਾਲ ਸੋਧ ਕਰੋ, ਇਸ ਨੂੰ ਸੰਖੇਪ, ਸਟੀਕ ਅਤੇ ਸਹੀ ਬਣਾਓ।ਪਹੁੰਚਯੋਗਃ \\n\\ \\left {ਪ੍ਰੂਫ} \\n\\n\\n\\n ਆਓ ਇਸ ਸਬੂਤ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੀਏ ਕਿ \\n\\n\\ \\left {center} \\n $X =\\\\ {\\\\ \\boldx _ 1,\\\\ldot,\\\\boldx _ N\\\\} $ਲੀਨੀਅਰ ਤੌਰ ਉੱਤੇ।ਸੁਤੰਤਰ $\\\\ ਦਾ ਅਰਥ ਹੈ $$\\\\Span (X) =\\\\Rr ^ N $\\n\\ \\end {center} \\n\\n ਇੱਕ ਵਿਰੋਧਾਭਾਸ ਦੀ ਮੰਗ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ \\n\\n\\ \\left {enumate} \\n\\ \\item $X $ਹੈਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਸੁਤੰਤਰ \\n\\\\ਆਈਟਮ ਅਤੇ ਫਿਰ ਵੀ $EXAMPLEISTs\\,\\\\boldz\\ \\in \\Rr ^ N $ਨਾਲ $\\\\boldz\\ \\notin\\ \\span (X) $\\n\\ \\end {enumate} \\n\\n ਪਰ ਫਿਰ $Xਇਸ ਸੈੱਟ ਵਿੱਚ $N + 1 $ਤੱਤ ਹਨ। \\n\\n ਅਤੇ ਫਿਰ ਵੀ $\\\\RR ^ N $ਨੂੰ $N $ਦੁਆਰਾ ਫੈਲਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।ਕੈਨੋਨਿਕਲ ਬੇਸਿਸ ਵੈਕਟਰਸ \\n\\n ਕੰਟ੍ਰੈਡਿਕਸ਼ਨ (ਕਿਸ ਦਾ?) \\n\\n\\n\\n\\n\\n ਅਗਲਾ ਚਲੋ ਕਨਵਰਸ ਨੂੰ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਾਂ \\n\\n\\n\\n ਸ਼ੁਰੂਆਤ {ਕੇਂਦਰ} \\n $\\\\span (X) =\\\\Rr ^ N $\\n$\\\\ ਦਾ ਅਰਥ ਹੈ $\\n $X =\\\\ {\\\\ \\boldx _ 1,\\\\ldots,\\\\boldx _ N\\\\} $ਲੀਨੀਅਰਲੀ ਇੰਡੀਪੈਂਡੈਂਟ \\n\\ \\end {center} \\n ਇੱਕ ਵਿਰੋਧਾਭਾਸ ਦੀ ਮੰਗ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ \\n\\n$\\\\left {enumerate} \\n\\ \\item $\\\\Span (X) =\\\\Rr ^ N $\\n\\ \\item ਅਤੇ ਫਿਰ ਵੀ $X $ਲੀਨੀਅਰ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਹੈ \\n\\ \\end {enumerate} \\n\\n ਕਿਉਂਕਿ $X $ਸੁਤੰਤਰ ਨਹੀਂ ਹੈ,$EXAMPLEIST X _ 0\\ \\sabsetneq X $ਨਾਲ $\\\\Span (X _ 0) = \\n\\ \\Span (X) $\\n\\n ਪਰ 1 ਨਾਲ ਇਹ ਸੰਕੇਤ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ $\\\\Rr ^ N $ਨੂੰ $K <N $ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੁਆਰਾ ਫੈਲਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਪਰ ਫਿਰ$N $ਕੈਨੋਨੀਕਲ ਬੇਸਿਸ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਲੀਨੀਅਰਲੀ ਡਿਪੈਂਡੈਂਟ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ \\n\\n ਕੰਟ੍ਰੈਡਿਕਸ਼ਨ\\n\\n\\ \\end {ਸਬੂਤ} ", \'ਇੱਥੇ ਇੱਕ ਸੋਧਿਆ ਹੋਇਆ ਅਤੇ ਪਹੁੰਚਯੋਗ ਹੈਸਬੂਤਃ \\n\\n\\ \\interest {ਸਬੂਤ} \\n ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜੇਕਰ $X =\\\\ {\\\\mathbf {x} _ 1,\\\\ldot,\\\\mathbf {x} _ N\\\\} $ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਸੁਤੰਤਰ ਹੈ, ਤਾਂ$\\\\operatorname {span} (X) =\\\\mathbb {R} ^ N $. \\n\\n\\ \\textbf {ਵਿਰੋਧਾਭਾਸ ਦੁਆਰਾ ਸਬੂਤਃ} ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ \\n\\ \\left {enumerate} \\n\\ \\item $ਲੀਨੀਅਰ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਸੁਤੰਤਰ ਹੈ,ਅਤੇ \\n\\\\ਆਈਟਮ ਉੱਥੇ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਮੌਜੂਦ ਹੈ $\\\\mathbf {z}\\\\in\\\\mathbb {R} ^ N $ਜੋ ਕਿ $\\\\operatorname {span} (X) $ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਹੈ।\\\\{\\\\mathbf {z}\\\\} $ਵਿੱਚ $N + 1 $ਵੈਕਟਰ ਹਨ ਅਤੇ ਇਹ ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਸੁਤੰਤਰ ਹੈ। ਪਰ, $\\\\mathbb {R} ^ N $ਸਿਰਫ $N $ਅਧਾਰ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੁਆਰਾ ਫੈਲਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ। ਇਹ ਇੱਕ ਹੈਵਿਰੋਧਾਭਾਸੀ. \\n\\n ਅਗਲਾ, ਅਸੀਂ ਉਲਟ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਾਂਃ ਜੇਕਰ $\\\\operatorname {span} (X) =\\\\mathbb {R} ^ N $, ਤਾਂ $X =\\\\ {\\\\mathbf {x} _ 1,\\\\ldot,\\\\mathbf {x} _ N\\\\} $ਹੈਲੀਨੀਅਰ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਸੁਤੰਤਰ। \\n\\n\\ \\textbf {ਵਿਰੋਧਾਭਾਸੀ ਦੁਆਰਾ ਸਬੂਤਃ} ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ \\n\\ \\left {enumate} \\n\\ \\item $\\\\operatorname {span} (X) =\\\\mathbb {R} ^ N $, ਅਤੇ\\n\\ \\item $X $ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਹੈ। \\n\\ \\end {enumate} \\nਤੱਦ ਇੱਕ ਉਪ ਸਮੂਹ $X _ 0\\ \\sabsetneq X $ਮੌਜੂਦ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ $\\\\operatorname {span} (X _ 0) =\\ \\operatorname {span} (X) $. ਪਹਿਲੇ ਸਟੇਟਮੈਂਟ ਦੁਆਰਾ, ਇਹ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ $\\\\mathbb {R} ^ N $ਨੂੰ $N $ਵੈਕਟਰਾਂ ਤੋਂ ਘੱਟ ਦੁਆਰਾ ਫੈਲਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।$\\\\mathbb {R} ^ N $ਫਿਰ ਲੀਨੀਅਰ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਇੱਕ ਵਿਰੋਧਾਭਾਸ ਹੈ। \\n\\n ਸਿੱਟਾ ਕੱਢਦੇ ਹੋਏ, ਇੱਕ ਸੈੱਟ $X $$\\\\mathbb {R} ^ N $ਨੂੰ ਫੈਲਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਅਤੇ ਸਿਰਫ ਤਾਂ ਹੀ ਜੇ ਇਹ ਹੋਵੇਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਸੁਤੰਤਰ। ਮੁੱਖ ਅੰਤਰਦ੍ਰਿਸ਼ਟੀ ਇਹ ਹਨਃ (1) ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਦਾ ਮਾਪ ਇੱਕ ਅਧਾਰ ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। (2) ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਸੁਤੰਤਰ ਅਤੇਫੈਲਾਅ ਸੈੱਟਾਂ ਵਿੱਚ ਮਾਪ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। (3) ਨਿਰਭਰ ਜਾਂ ਗੈਰ-ਫੈਲਾਅ ਸੈੱਟਾਂ ਵਿੱਚ ਘੱਟ ਵੈਕਟਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਮਾਪ ਅਤੇ ਮਾਪ ਨੂੰ ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖਦੇ ਹੋਏਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਵਿਰੋਧਾਭਾਸਾਂ \'ਤੇ ਪਹੁੰਚਦੇ ਹਾਂ। \\n\\ \\end {ਸਬੂਤ}\', \'ਹੇਠ ਦਿੱਤੇ ਪਾਠ ਨੂੰ ਸੋਧੋ, ਇਸ ਨੂੰ ਸੰਖੇਪ, ਸਟੀਕ ਅਤੇ ਪਹੁੰਚਯੋਗ ਬਣਾਓਃ \\nਸੰਖੇਪ ਵਿੱਚ, $S $ਦੇ ਹਰੇਕ ਤੱਤ ਨੂੰ \\nsmaller ਸੈੱਟ $B $ਤੋਂ ਵਿਲੱਖਣ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਵਧੇਰੇ ਵਿਸਤਾਰ ਵਿੱਚਃ $B $$S $ਨੂੰ ਫੈਲਾਉਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ, ਰੇਖਿਕ ਸੁਤੰਤਰਤਾ ਦੁਆਰਾ, ਹਰੇਕ ਤੱਤ ਨੂੰ $S $---- ਇੱਕ "ਘੱਟੋ ਘੱਟ" ਫੈਲਾਅ set.Since $B $$S $ਨੂੰ ਫੈਲਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਹਰ $\\\\ \\ਬੋਲਡੀ $$S $ਵਿੱਚਅਧਾਰ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਰੇਖਿਕ ਸੰਯੋਜਨ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਸੁਤੰਤਰਤਾ ਦੁਆਰਾ, ਇਹ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਵਿਲੱਖਣ ਹੈ। \',\' ਇੱਥੇ ਇੱਕ ਸੋਧੀ ਹੋਈ ਵਿਆਖਿਆ ਹੈਕਿਸੇ ਅਧਾਰ ਦੇ ਪ੍ਰਭਾਵਃ ਜੇਕਰ $B $ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ $S $ਲਈ ਇੱਕ ਅਧਾਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਸ ਦੇ ਕਈ ਮੁੱਖ ਪ੍ਰਭਾਵ ਹੁੰਦੇ ਹਨਃ \\n\\n\\ \\interest {enumate} \\n\\ \\item $B $spans$S $. $S $ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ $B $ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਰੇਖਿਕ ਸੰਯੋਜਨ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। \\n\\ \\item $B $ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਸੁਤੰਤਰ ਹੈ। $B $ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਵੀ ਵੈਕਟਰ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦਾ।ਹੋਰ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਰੇਖਿਕ ਸੰਯੋਜਨ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। \\n\\ \\item $B $ਵਿੱਚ $S $ਨੂੰ ਫੈਲਾਉਣ ਲਈ ਲੋਡ਼ੀਂਦੇ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀ ਘੱਟੋ ਘੱਟ ਗਿਣਤੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।$B $ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਇੱਕ ਸੈੱਟ ਵਿੱਚ ਹੋਵੇਗਾ ਜੋ ਹੁਣ $S $ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਫੈਲਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ। \\n\\ \\item $S $ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਵੈਕਟਰ ਦੀ ਇੱਕ ਰੇਖਿਕ ਸੰਯੋਜਨ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ \\\\textbf {ਵਿਲੱਖਣ} ਨੁਮਾਇੰਦਗੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।$B $ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰ। ਰੇਖਿਕ ਸੁਤੰਤਰਤਾ ਦੇ ਕਾਰਨ, ਹਰੇਕ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ ਅਧਾਰ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਉਣ ਦਾ ਇੱਕੋ ਇੱਕ ਤਰੀਕਾ ਹੈ।ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ $S $ਦਾ ਅਧਾਰ $B $ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈਃ \\n\\ \\left {itemify} \\n\\ \\item $S $ਦੇ ਹਰੇਕ ਤੱਤ ਨੂੰ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਰੇਖਿਕ ਸੰਯੋਜਨ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵਿਲੱਖਣ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।$B $. \\n\\ \\item $B $ਲੀਨੀਅਰ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਸੁਤੰਤਰ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀ ਘੱਟੋ ਘੱਟ ਗਿਣਤੀ ਦੇ ਨਾਲ $S $ਨੂੰ ਫੈਲਾਉਂਦਾ ਹੈ।$S $, S $ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਵੈਕਟਰ $\\\\mathbf {y}\\\\ ਨੂੰ $B $ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਰੇਖਿਕ ਸੰਯੋਜਨ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਸੁਤੰਤਰਤਾ ਦੁਆਰਾ, ਇਹ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਵਿਲੱਖਣ ਹੈ।ਇਸ ਲਈ, ਇੱਕ ਅਧਾਰ ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਲੋਡ਼ੀਂਦੀ ਸਾਰੀ ਜਾਣਕਾਰੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। \\n\\n ਸੰਖੇਪ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਅਧਾਰ ਇੱਕ ਘੱਟੋ ਘੱਟ ਫੈਲਾਅ ਵਾਲਾ ਸੈੱਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।ਇਹ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀਆਂ ਵਿਲੱਖਣ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਦੀਆਂ ਮੁੱਖ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਹਨਃ ਇਹ ਸਪੇਸ ਨੂੰ ਫੈਲਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਇਹ ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਸੁਤੰਤਰ ਹੈ, ਇਸ ਕੋਲ ਹੈਸਪੇਸ ਦੇ ਮਾਪ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀ ਇੱਕੋ ਜਿਹੀ ਗਿਣਤੀ, ਅਤੇ ਇਹ ਸਾਰੇ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀ ਵਿਲੱਖਣ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। \',\' ਹੇਠ ਦਿੱਤੇ ਟੈਕਸਟ ਨੂੰ ਸੋਧੋ, ਇਸ ਨੂੰ ਬਣਾਓ।ਸੰਖੇਪ, ਸਟੀਕ ਅਤੇ ਪਹੁੰਚਯੋਗਃ \\n $B $ਦੇ $S $ਦਾ ਅਧਾਰ ਹੋਣ ਦੇ ਕੀ ਪ੍ਰਭਾਵ ਹਨ? ਸੰਖੇਪ ਵਿੱਚ, $S $ਦੇ ਹਰੇਕ ਤੱਤ ਨੂੰ ਵਿਲੱਖਣ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।\\nsmaller ਸੈੱਟ $B $ਤੋਂ। ਵਧੇਰੇ ਵਿਸਤਾਰ ਵਿੱਚਃ $B $$S $ਨੂੰ ਫੈਲਾਉਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ, ਰੇਖਿਕ ਸੁਤੰਤਰਤਾ ਦੁਆਰਾ, ਹਰੇਕ ਤੱਤ ਨੂੰ $S $---- ਇੱਕ "ਘੱਟੋ ਘੱਟ" ਫੈਲਾਅ ਨੂੰ ਫੈਲਾਉਣ ਦੀ ਜ਼ਰੂਰਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।set.Since $B $$S $ਵਿੱਚ ਫੈਲਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ, $S $ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ $\\\\boldy $ਨੂੰ ਅਧਾਰ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਰੇਖਿਕ ਸੰਯੋਜਨ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਸੁਤੰਤਰਤਾ ਦੁਆਰਾ, ਇਹ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਵਿਲੱਖਣ ਹੈ. \'] ', 'ਇਸ ਨੂੰ ਸਪਸ਼ਟ, ਸੰਖੇਪ ਅਤੇ ਪੇਸ਼ੇਵਰ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਹੇਠ ਦਿੱਤੇ ਟੈਕਸਟ ਨੂੰ ਲੈਟੇਕਸ ਕੋਡ ਨਾਲ ਸੋਧੋਃ $\\span {\\boldx _ 1} \\subseat\\span {\\boldx _ 1 ਸਾਬਤ ਕਰਨ ਲਈ,\\boldx _ 2} $, ਸਾਨੂੰ ਦੋਵੇਂ $\\span {\\boldx _ 1} \\sabseat \\span {\\boldx _ 1, \\boldx _ 2} $ਅਤੇ $\\span {\\boldx _ 1, \\boldx _ 2} \\sabseat \\span {\\boldx _ 1} $ਦਰਸਾਉਣ ਦੀ ਜ਼ਰੂਰਤ ਹੈ।ਸਪਸ਼ਟ ਕਰੋ ਕਿ $\\span {\\boldx _ 1} \\sabseat \\span {\\boldx _ 1, \\boldx _ 2} $, ਕਿਉਂਕਿ ਕਿਸੇ ਵੀ ਵੈਕਟਰ ਲਈ $\\alph\\boldx _ 1 $, ਜਿੱਥੇ $\\alph\\in\\RR $, ਇਹ ਵੀ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ$\\alfa\\boldx _ 1 + \\beta\\boldx _ 2 $ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, $\\beta = 0 $ਦੇ ਨਾਲ। ਉਲਟ ਵੇਖਣ ਲਈ, ਕੋਈ ਵੀ $\\boldy\\in\\span {\\boldx _ 1, \\boldx _ 2} $ਚੁਣੋ,ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਵਿੱਚ, ਇੱਥੇ $\\alfa _ 1, \\alfa _ 2 $ਮੌਜੂਦ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ $\\boldy = \\alfa _ 1 \\boldx _ 1 + \\alfa _ 2 \\boldx _ 2 \\alfa _ 1 \\bold {pmatrix} 1 0 \\end {pmatrix}ਅਲਫ਼ਾ _ 2 = ਸ਼ੁਰੂ {ਪੀ. ਮੈਟਰਿਕਸ}-2 0 = ਸ਼ੁਰੂ {ਪੀ. ਮੈਟਰਿਕਸ} = 1 0 = ਸ਼ੁਰੂ {ਪੀ. ਮੈਟਰਿਕਸ} 2 = ਸ਼ੁਰੂ {ਪੀ. ਮੈਟਰਿਕਸ} 1 0 = ਸ਼ੁਰੂ {ਪੀ. ਮੈਟਰਿਕਸ} 1 0 = ਸ਼ੁਰੂ {ਪੀ. ਮੈਟਰਿਕਸ} 1 0 = ਸ਼ੁਰੂ {ਪੀ. ਮੈਟਰਿਕਸ} = (\\ਅਲਫ਼ਾ _ 1-2)ਇਸ ਲਈ $\\Span {\\boldx _ 1, \\boldx _ 2} \\subseat \\Span {\\boldx _ 1} $ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।ਦਾਅਵਾ ਕੀਤਾ ਗਿਆ \\end {ਸਬੂਤ}', ' [\'ਹੇਠ ਦਿੱਤੇ ਟੈਕਸਟ ਨੂੰ ਲੈਟੇਕਸ ਕੋਡ ਨਾਲ ਸੋਧ ਕੇ ਸਪਸ਼ਟ, ਸੰਖੇਪ ਅਤੇ ਪੇਸ਼ੇਵਰ ਬਣਾਓਃ\\\' ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੋ {ਸਬੂਤ}\\\'ਸਾਬਤ ਕਰਨ ਲਈ $\\\' ਸਪੈਨ {\\\'ਬੋਲਡਐਕਸ _ 1\'\\\'ਸਬਸੈੱਟ\\ \\Span {\\\\boldx _ 1,\\\\boldx _ 2} $, ਸਾਨੂੰ ਦੋਵੇਂ $\\\\Span {\\\\boldx _ 1}\\\\subseat\\\\Span {\\boldx _ 1,\\\\boldx _ 2} $ਅਤੇ $\\\\Span {\\boldx _ 1,\\\\boldx _ 2} ਦਰਸਾਉਣ ਦੀ ਜ਼ਰੂਰਤ ਹੈ।ਇਹ ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੈ ਕਿ $\\\\Span {\\\\boldx _ 1}\\\\spset\\ \\Span {\\\\boldx _ 1,\\\\boldx _ 2} $, ਕਿਉਂਕਿ ਕਿਸੇ ਵੀ ਵੈਕਟਰ ਲਈ $\\\\alfa\\ \\boldx _ 1 $, ਜਿੱਥੇ $\\\\alfa\\ \\in\\\\RR $ਹੈ, ਇਸ ਨੂੰ $\\\\alfa\\ \\boldx _ 1 +\\\\beta\\ \\boldx _ 2 $ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵੀ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ $\\\\beta = 0 $ਹੈ।ਕੋਈ ਵੀ $\\\\boldy\\ \\in\\\\span {\\\\boldx _ 1,\\\\boldx _ 2} $ਚੁਣੋ, ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਅਨੁਸਾਰ, ਇੱਥੇ ਮੌਜੂਦ ਹੈ $\\\\alfa _ 1,\\\\alfa _ 2 $\\nsuch ਕਿ \\n $\\n \\boldy\\n =\\\\alfa _ 1\\ \\ਬੋਲਡਕਸ _ 1 +\\\\ਆਲਫ਼ਾ _ 2\\\\ \\ਬੋਲਡਕਸ _ 2 \\ਨ\\\\ਅਲਫ਼ਾ _ 1 \\ਨ\\ਸ਼ੁਰੂਆਤ {ਪੀਮੈਟਰਿਕਸ} \\ਨ1 \\ਨ0 \\ਨ \\ਨ \\ਨ ਅੰਤ {ਪੀਮੈਟਰਿਕਸ} \\ਨ \\ਨ \\ਨ \\ਨ \\ਨਲਫ਼ਾ _ 2 \\ਨ \\ਨ ਸ਼ੁਰੂ {ਪੀਮੈਟਰਿਕਸ} \\ਨ-2 \\ਨ0 \\ਨ \\ਨ \\ਨ ਅੰਤ {ਪੀਮੈਟਰਿਕਸ} \\ਨ =\\ \\alfa _ 1 \\n\\ \\innast {pmatrix} \\n1\\n0\\n\\n\\n\\n ਅੰਤ {pmatrix} \\n2\\ \\alfa _ 2\\n\\ \\innast {pmatrix} \\n1\\n0\\n\\n\\n ਅੰਤ {pmatrix} \\n = (\\\\alfa _ 1-2)\\ \\alfa _ 2) \\n\\ \\left {pmatrix} \\n1\\n0\\n\\ \\end {pmatrix} \\n = (\\\\alfa _ 1-2\\\\alfa _ 2)\\\\boldx _ 1 $\\nHens $\\\\span {\\\\boldx _ 1,\\\\boldx _ 2}\\\\ ਉਪ ਸਮੂਹ\\\\span{\\\\boldx _ 1} $ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਦਾਅਵਾ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, \'ਸੰਸ਼ੋਧਿਤ ਸਬੂਤ ਲਈ ਇੱਥੇ ਲੈਟੇਕਸ ਕੋਡ ਹੈਃ \\n\\ \\bn {\\\\mathbf {x} _ 1}\\\\ ਉਪ-ਸਮੂਹ ਨੂੰ ਸਾਬਤ ਕਰਨ ਲਈ\\ \\Span {\\\\mathbf {x} _ 1,\\\\mathbf {x} _ 2} $, ਸਾਨੂੰ $\\\\Span {\\\\mathbf {x} _ 1}\\\\subset\\\\Span {\\\\mathbf {x} _ 1,\\\\mathbf {x} _ 2} $ਅਤੇ $\\\\Span {\\\\mathbf {x} _ 1 ਦਿਖਾਉਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।ਇਹ ਮਾਮੂਲੀ ਗੱਲ ਹੈ ਕਿ $\\\\Span {\\\\mathbf {x} _ 1}\\\\ ਉਪ-ਸਮੂਹ\\\\Span {\\\\mathbf {x} _ 1,\\\\mathbf {x} _ 2,\\\\mathbf {x} _ 2।ਵੈਕਟਰ $\\\\alph\\ \\mathbf {x} _ 1 $, ਜਿੱਥੇ $\\\\alph\\ \\in\\\\mathbb {R} $, ਨੂੰ $\\\\alph\\ \\mathbf {x} _ 1 +\\\\beta\\ \\mathbf {x} _ 2 $ਨਾਲ $\\\\beta = ਨਾਲ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।0 $. \\n\\n ਉਲਟ ਲਈ, ਕੋਈ ਵੀ $\\\\mathbf {y}\\\\in\\\\span {\\\\mathbf {x} _ 1,\\\\mathbf {x} _ 2} $ਲਓ। ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਅਨੁਸਾਰ, ਇੱਥੇ $\\\\alfa _ 1,\\\\alfa _ 2 $ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਮੌਜੂਦ ਹੈ ਕਿ\\n\\ \\interest {ਅਲਾਈਨ *} \\n\\ \\mathbf {y} & =\\\\alfa _ 1\\ \\mathbf {x} _ 1 +\\\\alfa _ 2\\ \\mathbf {x} _ 2\\\\\\\\\\\\ \\n & =\\\\alfa _ 1\\\\interest {bmatrix} 1\\\\\\0 \\interest {bmatrix} +\\ \\alfa _ 2\\\\interest {bmatrix}-2\\\\\\0 \\interest {bmatrix}\\\\n & =\\\\alfa _ 1 \\interest {bmatrix} 1\\\\\\0 \\interest {bmatrix} +(bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix) = (bmatrix- 2\\\\alfa _ 2)\\\\mathbf {x} _ 1. \\n \\end {ਅਲਾਈਨ *} \\nHens, $\\Span {\\\\mathbf {x} _ 1,\\\\mathbf {x} _ 2}\\\\subseat\\\\Span {\\\\mathbf {x} _ 1} $ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਲੋਡ਼ ਹੋਵੇ।ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਟੈਕਸਟ ਨੂੰ ਲੈਟੇਕਸ ਕੋਡ ਨਾਲ ਸੋਧ ਕਰੋ, ਇਸ ਨੂੰ ਸੰਖੇਪ, ਸਟੀਕ ਅਤੇ ਪਹੁੰਚਯੋਗ ਬਣਾਓਃ \\n ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸਮੂਹ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ $X: =\\\\ {\\\\boldx _ 1,\\\\boldx _ 2,$X $ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ $\\\\mathbb {R} ^ 2 $ਦੋ ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਸੁਤੰਤਰ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੁਆਰਾ ਫੈਲਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ, ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ,ਸਟੈਂਡਰਡ ਬੇਸਿਸ ਵੈਕਟਰ $\\\\mathbf {e} _ 1 $ਅਤੇ $\\\\mathbf {e} _ 2 $, $\\\\mathbb {R} ^ 2 $ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਕੋਈ ਵੀ ਸੈੱਟ ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ\',\' ਇੱਥੇ ਸੋਧਿਆ ਹੋਇਆ LaTeX ਕੋਡ ਹੈਃ $X: =\\\\ {\\mathbf {x} _ 1,\\\\mathbf {x} _ 2, ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸੈੱਟ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।$X $ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ $\\\\mathbb {R} ^ 2 $ਦੋ ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਸੁਤੰਤਰ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੁਆਰਾ ਫੈਲਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ, ਲਈਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਸਟੈਂਡਰਡ ਬੇਸਿਸ ਵੈਕਟਰ $\\\\mathbf {e} _ 1 $ਅਤੇ $\\mathbf {e} _ 2 $, $\\\\mathbb {R} ^ 2 $ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਕੋਈ ਵੀ ਸੈੱਟ ਲੀਨੀਅਰ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿਚਿੱਤਰ\\\\ref {ਅੰਕੀਃ 3 _ ਵੈਕਟਰਸ _ ਇਨ _ ਪਲੇਨ} ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ. \\n\\n\\ \\n\\n ਸ਼ੁਰੂ {ਚਿੱਤਰ} [h!] \\n\\ \\n\\n\\n\\ \\ਇੰਨਲੀਗਰਾਫਿਕਸ [ਚੌਡ਼ਾਈ = 0.5\\ਨਲਾਈਨ ਚੌਡ਼ਾਈ] {3_vectors_in_plane.pdf}\\n\\ \\ਕੈਪਸ਼ਨ {ਇੱਕ ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਵੈਕਟਰ} \\n\\\\لیبل {ਅੰਕੀਃ 3 _ ਵੈਕਟਰ _ ਇਨ _ ਪਲੇਨ} \\n\\ \\ਇੰਤ {ਚਿੱਤਰ} \\n\\n $ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ $\\\\mathbb {R} ^ 2 $ਅਯਾਮ ਦੀ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਹੈ।$2 $, ਇਸ ਦਾ ਇੱਕ ਅਧਾਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਦੋ ਰੇਖਿਕ ਸੁਤੰਤਰ ਵੈਕਟਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ, ਇਸ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਕੋਈ ਵੀ ਸੈੱਟ ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ\\\\ref {ਅੰਕੀਃ 3 _ ਵੈਕਟਰਾਂ _ ਇਨ _ ਪਲੇਨ} ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਤਿੰਨ ਵੈਕਟਰ $\\\\mathbf {x} _ 1 $, $\\\\mathbf {x} _ 2 $ਅਤੇ $\\\\mathbf {x} _ 3 $ਇੱਕ ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਹਨ,ਇਹ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਉਹ ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਹਨ। ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਸੈੱਟ $X $ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਹੈ। \', "ਲੈਟੇਕਸ ਕੋਡ ਨਾਲ ਹੇਠ ਦਿੱਤੇ ਟੈਕਸਟ ਨੂੰ ਸੋਧੋ, ਇਸ ਨੂੰ ਬਣਾਓ।ਸੰਖੇਪ, ਸਟੀਕ ਅਤੇ ਪਹੁੰਚਯੋਗਃ \\n\\n\\n\\n\\n $\\n =\\\\ {\\boldx _ 1,\\\\ldot \'s,\\\\boldx _ N।\\\\} $ਲੀਨੀਅਰਲੀ ਇੰਡੀਪੈਂਡੈਂਟ $\\\\ ਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ $\\\\Span (X) =\\\\RR ^ N $\\n\\ \\end {center} \\n\\n ਇੱਕ ਵਿਰੋਧਾਭਾਸ ਦੀ ਮੰਗ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ \\n\\n\\\\n ਸ਼ੁਰੂਆਤ {ਗਿਣਤੀ} \\n\\\\ਆਈਟਮ $X $ਲੀਨੀਅਰ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਸੁਤੰਤਰ \\n\\\\ਆਈਟਮ ਹੈ ਅਤੇ ਫਿਰ ਵੀ $EXAMPLEISTs\\\\,\\\\ਬੋਲਡਜ਼\\ \\in\\ \\Rr ^ N $ਨਾਲ $\\\\ਬੋਲਡਜ਼\\ \\ਨੋਟਿਨ\\ \\ਸਪੈਨ (X) $\\n\\ \\ਇੰਤ {ਐਨੂਮੈਰੇਟ} \\n\\n\\n ਪਰ ਫਿਰ $X\\ \\cup\\\\{\\\\ \\boldz\\\\\\}\\\\ ਉਪ ਸਮੂਹ\\\\Rr ^ N $ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਸੁਤੰਤਰ ਹੈ (ਕਿਉਂ?) \\n\\n ਇਸ ਸੈੱਟ ਵਿੱਚ $N + 1 $ਤੱਤ ਹਨ। \\n\\n ਅਤੇ ਫਿਰ ਵੀ $\\\\R ^ N $ਫੈਲਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ।$N $ਕੈਨੋਨੀਕਲ ਬੇਸਿਸ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੁਆਰਾ \\n\\n ਕੰਟ੍ਰੈਡਿਕਸ਼ਨ (ਕਿਸ ਦਾ?) \\n\\n\\n\\n\\n\\n ਅਗਲਾ ਚਲੋ ਕਨਵਰਸ ਨੂੰ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਾਂ \\n\\n\\n\\n ਸ਼ੁਰੂਆਤ {ਸੈਂਟਰ} \\n $\\\\span (X) =ਇੱਕ ਵਿਰੋਧਾਭਾਸ ਦੀ ਮੰਗ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ $\\n $X =\\\\ {\\\\boldx _ 1,\\\\ldot,\\\\boldx _ N\\\\} $ਲੀਨੀਅਰ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਸੁਤੰਤਰ \\n\\ \\end {center} \\n ਇੱਕ ਵਿਰੋਧਾਭਾਸ ਦੀ ਮੰਗ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ \\n\\n\\ \\left {enumerate} \\n\\ \\item $\\\\Span (X) =\\\\R ^ N $\\n\\ \\item ਅਤੇ ਫਿਰ ਵੀ $X $ਲੀਨੀਅਰ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਹੈ \\n\\ \\end {enumerate} \\n\\n ਕਿਉਂਕਿ $X $ਸੁਤੰਤਰ ਨਹੀਂ ਹੈ,$EXAMPLEIST X _ 0\\ \\sabsetneq X $ਨਾਲ $\\\\Span (X _ 0) = \\n\\ \\Span (X) $\\n\\n ਪਰ 1 ਨਾਲ ਇਹ ਸੰਕੇਤ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ $\\\\Rr ^ N $ਨੂੰ $K <N $ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੁਆਰਾ ਫੈਲਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਪਰ ਫਿਰ$N $ਕੈਨੋਨੀਕਲ ਬੇਸਿਸ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਲੀਨੀਅਰਲੀ ਡਿਪੈਂਡੈਂਟ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ \\n\\n ਕੰਟ੍ਰੈਡਿਕਸ਼ਨ \\n\\n\\ \\end {ਸਬੂਤ} "," ਇੱਥੇ ਸੋਧਿਆ ਹੋਇਆ LaTeX ਹੈ।ਕੋਡਃ \\n\\n ਸ਼ੁਰੂ {ਸਬੂਤ} \\n ਆਓ ਇਹ ਸਾਬਤ ਕਰਨ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੀਏ ਕਿ ਜੇਕਰ $X =\\\\ {\\\\mathbf {x} _ 1,\\\\ldot,\\\\mathbf {x} _ N\\\\} $ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਸੁਤੰਤਰ ਹੈ, ਤਾਂ$\\\\operatorname {span} (X) =\\\\mathbb {R} ^ N $. \\n\\n ਇੱਕ ਵਿਰੋਧਾਭਾਸ ਦੀ ਮੰਗ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ \\n\\ \\left {enumate} \\n\\ \\item $ਲੀਨੀਅਰ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਸੁਤੰਤਰ ਹੈ, ਅਤੇ \\n\\ \\item ਹੈ।ਇੱਥੇ ਮੌਜੂਦ ਹੈ $\\\\mathbf {z}\\\\in\\\\mathbb {R} ^ N $ਕਿ $\\\\mathbf {z}\\\\notin\\\\operatorname {span} (X) $. \\n\\ \\end {enumate} \\nThen $X\\ \\cup\\\\{\\mathbf {z}\\\\}\\\\ ਉਪ ਸਮੂਹ\\\\mathbb {R} ^ N $ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਸੁਤੰਤਰ ਹੈ। ਇਸ ਸੈੱਟ ਵਿੱਚ $N + 1 $ਤੱਤ ਹਨ। ਪਰ, $\\mathbb {R} ^ N $ਨੂੰ $N $ਦੁਆਰਾ ਫੈਲਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।ਪ੍ਰਮਾਣਿਕ ਅਧਾਰ ਵੈਕਟਰ। ਇਹ ਇੱਕ ਵਿਰੋਧਾਭਾਸ ਹੈ। \\n\\nNext, ਅਸੀਂ ਉਲਟ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਾਂਃ ਜੇਕਰ $\\\\operatorname {span} (X) =\\\\mathbb {R} ^ N $, ਤਾਂ $X =\\\\{\\\\mathbf {x} _ 1,\\\\ldots,\\\\mathbf {x} _ N\\\\} $ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਸੁਤੰਤਰ ਹੈ।$\\\\operatorname {span} (X) =\\\\mathbb {R} ^ N $, ਅਤੇ \\n\\ \\item $X $ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਹੈ।\\ \\sabsetneq X $ਅਜਿਹਾ ਹੈ ਕਿ $\\\\operatorname {span} (X _ 0) =\\\\operatorname {span} (X) $। ਪਹਿਲੇ ਕਥਨ ਦੁਆਰਾ, ਇਹ ਸੰਕੇਤ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ $\\\\mathbb {R} ^ N $ਫੈਲਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ।$K <N $ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੁਆਰਾ। ਹਾਲਾਂਕਿ, $N $ਪ੍ਰਮਾਣਿਕ ਅਧਾਰ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਫਿਰ ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਇੱਕ ਵਿਰੋਧਾਭਾਸ ਹੈ। ਸੰਖੇਪ ਵਿੱਚ,ਇਹ ਸਬੂਤ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ $\\\\mathbb {R} ^ N $ਵਿੱਚ ਫੈਲੇ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸੈੱਟ ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਸੁਤੰਤਰ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਉਲਟ ਹੈ। ਕੁੰਜੀ ਦੇ ਮਾਪ ਉੱਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਨਾ ਹੈਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਅਤੇ ਕੋਈ ਵੀ ਸਬਸੈੱਟ, ਅਤੇ ਵਿਰੋਧਾਭਾਸਾਂ ਦੀ ਭਾਲ ਕਰੋ। "," ਹੇਠ ਦਿੱਤੇ ਟੈਕਸਟ ਨੂੰ ਲੈਟੇਕਸ ਕੋਡ ਨਾਲ ਸੋਧ ਕਰੋ, ਇਸ ਨੂੰ ਸੰਖੇਪ, ਸਟੀਕ ਅਤੇ ਸਹੀ ਬਣਾਓ।ਪਹੁੰਚਯੋਗਃ \\n\\ \\left {ਪ੍ਰੂਫ} \\n\\n\\n\\n ਆਓ ਇਸ ਸਬੂਤ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੀਏ ਕਿ \\n\\n\\ \\left {center} \\n $X =\\\\ {\\\\ \\boldx _ 1,\\\\ldot,\\\\boldx _ N\\\\} $ਲੀਨੀਅਰ ਤੌਰ ਉੱਤੇ।ਸੁਤੰਤਰ $\\\\ ਦਾ ਅਰਥ ਹੈ $$\\\\Span (X) =\\\\Rr ^ N $\\n\\ \\end {center} \\n\\n ਇੱਕ ਵਿਰੋਧਾਭਾਸ ਦੀ ਮੰਗ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ \\n\\n\\ \\left {enumate} \\n\\ \\item $X $ਹੈਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਸੁਤੰਤਰ \\n\\\\ਆਈਟਮ ਅਤੇ ਫਿਰ ਵੀ $EXAMPLEISTs\\,\\\\boldz\\ \\in \\Rr ^ N $ਨਾਲ $\\\\boldz\\ \\notin\\ \\span (X) $\\n\\ \\end {enumate} \\n\\n ਪਰ ਫਿਰ $Xਇਸ ਸੈੱਟ ਵਿੱਚ $N + 1 $ਤੱਤ ਹਨ। \\n\\n ਅਤੇ ਫਿਰ ਵੀ $\\\\RR ^ N $ਨੂੰ $N $ਦੁਆਰਾ ਫੈਲਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।ਕੈਨੋਨਿਕਲ ਬੇਸਿਸ ਵੈਕਟਰਸ \\n\\n ਕੰਟ੍ਰੈਡਿਕਸ਼ਨ (ਕਿਸ ਦਾ?) \\n\\n\\n\\n\\n\\n ਅਗਲਾ ਚਲੋ ਕਨਵਰਸ ਨੂੰ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਾਂ \\n\\n\\n\\n ਸ਼ੁਰੂਆਤ {ਕੇਂਦਰ} \\n $\\\\span (X) =\\\\Rr ^ N $\\n$\\\\ ਦਾ ਅਰਥ ਹੈ $\\n $X =\\\\ {\\\\ \\boldx _ 1,\\\\ldots,\\\\boldx _ N\\\\} $ਲੀਨੀਅਰਲੀ ਇੰਡੀਪੈਂਡੈਂਟ \\n\\ \\end {center} \\n ਇੱਕ ਵਿਰੋਧਾਭਾਸ ਦੀ ਮੰਗ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ \\n\\n$\\\\left {enumerate} \\n\\ \\item $\\\\Span (X) =\\\\Rr ^ N $\\n\\ \\item ਅਤੇ ਫਿਰ ਵੀ $X $ਲੀਨੀਅਰ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਹੈ \\n\\ \\end {enumerate} \\n\\n ਕਿਉਂਕਿ $X $ਸੁਤੰਤਰ ਨਹੀਂ ਹੈ,$EXAMPLEIST X _ 0\\ \\sabsetneq X $ਨਾਲ $\\\\Span (X _ 0) = \\n\\ \\Span (X) $\\n\\n ਪਰ 1 ਨਾਲ ਇਹ ਸੰਕੇਤ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ $\\\\Rr ^ N $ਨੂੰ $K <N $ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੁਆਰਾ ਫੈਲਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਪਰ ਫਿਰ$N $ਕੈਨੋਨੀਕਲ ਬੇਸਿਸ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਲੀਨੀਅਰਲੀ ਡਿਪੈਂਡੈਂਟ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ \\n\\n ਕੰਟ੍ਰੈਡਿਕਸ਼ਨ\\n\\n\\ \\end {ਸਬੂਤ} ", \'ਇੱਥੇ ਇੱਕ ਸੋਧਿਆ ਹੋਇਆ ਅਤੇ ਪਹੁੰਚਯੋਗ ਹੈਸਬੂਤਃ \\n\\n\\ \\interest {ਸਬੂਤ} \\n ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜੇਕਰ $X =\\\\ {\\\\mathbf {x} _ 1,\\\\ldot,\\\\mathbf {x} _ N\\\\} $ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਸੁਤੰਤਰ ਹੈ, ਤਾਂ$\\\\operatorname {span} (X) =\\\\mathbb {R} ^ N $. \\n\\n\\ \\textbf {ਵਿਰੋਧਾਭਾਸ ਦੁਆਰਾ ਸਬੂਤਃ} ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ \\n\\ \\left {enumerate} \\n\\ \\item $ਲੀਨੀਅਰ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਸੁਤੰਤਰ ਹੈ,ਅਤੇ \\n\\\\ਆਈਟਮ ਉੱਥੇ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਮੌਜੂਦ ਹੈ $\\\\mathbf {z}\\\\in\\\\mathbb {R} ^ N $ਜੋ ਕਿ $\\\\operatorname {span} (X) $ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਹੈ।\\\\{\\\\mathbf {z}\\\\} $ਵਿੱਚ $N + 1 $ਵੈਕਟਰ ਹਨ ਅਤੇ ਇਹ ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਸੁਤੰਤਰ ਹੈ। ਪਰ, $\\\\mathbb {R} ^ N $ਸਿਰਫ $N $ਅਧਾਰ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੁਆਰਾ ਫੈਲਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ। ਇਹ ਇੱਕ ਹੈਵਿਰੋਧਾਭਾਸੀ. \\n\\n ਅਗਲਾ, ਅਸੀਂ ਉਲਟ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਾਂਃ ਜੇਕਰ $\\\\operatorname {span} (X) =\\\\mathbb {R} ^ N $, ਤਾਂ $X =\\\\ {\\\\mathbf {x} _ 1,\\\\ldot,\\\\mathbf {x} _ N\\\\} $ਹੈਲੀਨੀਅਰ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਸੁਤੰਤਰ। \\n\\n\\ \\textbf {ਵਿਰੋਧਾਭਾਸੀ ਦੁਆਰਾ ਸਬੂਤਃ} ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ \\n\\ \\left {enumate} \\n\\ \\item $\\\\operatorname {span} (X) =\\\\mathbb {R} ^ N $, ਅਤੇ\\n\\ \\item $X $ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਹੈ। \\n\\ \\end {enumate} \\nਤੱਦ ਇੱਕ ਉਪ ਸਮੂਹ $X _ 0\\ \\sabsetneq X $ਮੌਜੂਦ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ $\\\\operatorname {span} (X _ 0) =\\ \\operatorname {span} (X) $. ਪਹਿਲੇ ਸਟੇਟਮੈਂਟ ਦੁਆਰਾ, ਇਹ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ $\\\\mathbb {R} ^ N $ਨੂੰ $N $ਵੈਕਟਰਾਂ ਤੋਂ ਘੱਟ ਦੁਆਰਾ ਫੈਲਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।$\\\\mathbb {R} ^ N $ਫਿਰ ਲੀਨੀਅਰ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਇੱਕ ਵਿਰੋਧਾਭਾਸ ਹੈ। \\n\\n ਸਿੱਟਾ ਕੱਢਦੇ ਹੋਏ, ਇੱਕ ਸੈੱਟ $X $$\\\\mathbb {R} ^ N $ਨੂੰ ਫੈਲਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਅਤੇ ਸਿਰਫ ਤਾਂ ਹੀ ਜੇ ਇਹ ਹੋਵੇਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਸੁਤੰਤਰ। ਮੁੱਖ ਅੰਤਰਦ੍ਰਿਸ਼ਟੀ ਇਹ ਹਨਃ (1) ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਦਾ ਮਾਪ ਇੱਕ ਅਧਾਰ ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। (2) ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਸੁਤੰਤਰ ਅਤੇਫੈਲਾਅ ਸੈੱਟਾਂ ਵਿੱਚ ਮਾਪ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। (3) ਨਿਰਭਰ ਜਾਂ ਗੈਰ-ਫੈਲਾਅ ਸੈੱਟਾਂ ਵਿੱਚ ਘੱਟ ਵੈਕਟਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਮਾਪ ਅਤੇ ਮਾਪ ਨੂੰ ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖਦੇ ਹੋਏਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਵਿਰੋਧਾਭਾਸਾਂ \'ਤੇ ਪਹੁੰਚਦੇ ਹਾਂ। \\n\\ \\end {ਸਬੂਤ}\', \'ਹੇਠ ਦਿੱਤੇ ਪਾਠ ਨੂੰ ਸੋਧੋ, ਇਸ ਨੂੰ ਸੰਖੇਪ, ਸਟੀਕ ਅਤੇ ਪਹੁੰਚਯੋਗ ਬਣਾਓਃ \\nਸੰਖੇਪ ਵਿੱਚ, $S $ਦੇ ਹਰੇਕ ਤੱਤ ਨੂੰ \\nsmaller ਸੈੱਟ $B $ਤੋਂ ਵਿਲੱਖਣ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਵਧੇਰੇ ਵਿਸਤਾਰ ਵਿੱਚਃ $B $$S $ਨੂੰ ਫੈਲਾਉਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ, ਰੇਖਿਕ ਸੁਤੰਤਰਤਾ ਦੁਆਰਾ, ਹਰੇਕ ਤੱਤ ਨੂੰ $S $---- ਇੱਕ "ਘੱਟੋ ਘੱਟ" ਫੈਲਾਅ set.Since $B $$S $ਨੂੰ ਫੈਲਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਹਰ $\\\\ \\ਬੋਲਡੀ $$S $ਵਿੱਚਅਧਾਰ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਰੇਖਿਕ ਸੰਯੋਜਨ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਸੁਤੰਤਰਤਾ ਦੁਆਰਾ, ਇਹ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਵਿਲੱਖਣ ਹੈ। \',\' ਇੱਥੇ ਇੱਕ ਸੋਧੀ ਹੋਈ ਵਿਆਖਿਆ ਹੈਕਿਸੇ ਅਧਾਰ ਦੇ ਪ੍ਰਭਾਵਃ ਜੇਕਰ $B $ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ $S $ਲਈ ਇੱਕ ਅਧਾਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਸ ਦੇ ਕਈ ਮੁੱਖ ਪ੍ਰਭਾਵ ਹੁੰਦੇ ਹਨਃ \\n\\n\\ \\interest {enumate} \\n\\ \\item $B $spans$S $. $S $ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ $B $ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਰੇਖਿਕ ਸੰਯੋਜਨ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। \\n\\ \\item $B $ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਸੁਤੰਤਰ ਹੈ। $B $ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਵੀ ਵੈਕਟਰ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦਾ।ਹੋਰ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਰੇਖਿਕ ਸੰਯੋਜਨ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। \\n\\ \\item $B $ਵਿੱਚ $S $ਨੂੰ ਫੈਲਾਉਣ ਲਈ ਲੋਡ਼ੀਂਦੇ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀ ਘੱਟੋ ਘੱਟ ਗਿਣਤੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।$B $ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਇੱਕ ਸੈੱਟ ਵਿੱਚ ਹੋਵੇਗਾ ਜੋ ਹੁਣ $S $ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਫੈਲਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ। \\n\\ \\item $S $ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਵੈਕਟਰ ਦੀ ਇੱਕ ਰੇਖਿਕ ਸੰਯੋਜਨ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ \\\\textbf {ਵਿਲੱਖਣ} ਨੁਮਾਇੰਦਗੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।$B $ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰ। ਰੇਖਿਕ ਸੁਤੰਤਰਤਾ ਦੇ ਕਾਰਨ, ਹਰੇਕ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ ਅਧਾਰ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਉਣ ਦਾ ਇੱਕੋ ਇੱਕ ਤਰੀਕਾ ਹੈ।ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ $S $ਦਾ ਅਧਾਰ $B $ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈਃ \\n\\ \\left {itemify} \\n\\ \\item $S $ਦੇ ਹਰੇਕ ਤੱਤ ਨੂੰ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਰੇਖਿਕ ਸੰਯੋਜਨ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵਿਲੱਖਣ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।$B $. \\n\\ \\item $B $ਲੀਨੀਅਰ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਸੁਤੰਤਰ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀ ਘੱਟੋ ਘੱਟ ਗਿਣਤੀ ਦੇ ਨਾਲ $S $ਨੂੰ ਫੈਲਾਉਂਦਾ ਹੈ।$S $, S $ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਵੈਕਟਰ $\\\\mathbf {y}\\\\ ਨੂੰ $B $ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਰੇਖਿਕ ਸੰਯੋਜਨ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਸੁਤੰਤਰਤਾ ਦੁਆਰਾ, ਇਹ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਵਿਲੱਖਣ ਹੈ।ਇਸ ਲਈ, ਇੱਕ ਅਧਾਰ ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਲੋਡ਼ੀਂਦੀ ਸਾਰੀ ਜਾਣਕਾਰੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। \\n\\n ਸੰਖੇਪ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਅਧਾਰ ਇੱਕ ਘੱਟੋ ਘੱਟ ਫੈਲਾਅ ਵਾਲਾ ਸੈੱਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।ਇਹ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀਆਂ ਵਿਲੱਖਣ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਦੀਆਂ ਮੁੱਖ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਹਨਃ ਇਹ ਸਪੇਸ ਨੂੰ ਫੈਲਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਇਹ ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਸੁਤੰਤਰ ਹੈ, ਇਸ ਕੋਲ ਹੈਸਪੇਸ ਦੇ ਮਾਪ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀ ਇੱਕੋ ਜਿਹੀ ਗਿਣਤੀ, ਅਤੇ ਇਹ ਸਾਰੇ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀ ਵਿਲੱਖਣ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। \',\' ਹੇਠ ਦਿੱਤੇ ਟੈਕਸਟ ਨੂੰ ਸੋਧੋ, ਇਸ ਨੂੰ ਬਣਾਓ।ਸੰਖੇਪ, ਸਟੀਕ ਅਤੇ ਪਹੁੰਚਯੋਗਃ \\n $B $ਦੇ $S $ਦਾ ਅਧਾਰ ਹੋਣ ਦੇ ਕੀ ਪ੍ਰਭਾਵ ਹਨ? ਸੰਖੇਪ ਵਿੱਚ, $S $ਦੇ ਹਰੇਕ ਤੱਤ ਨੂੰ ਵਿਲੱਖਣ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।\\nsmaller ਸੈੱਟ $B $ਤੋਂ। ਵਧੇਰੇ ਵਿਸਤਾਰ ਵਿੱਚਃ $B $$S $ਨੂੰ ਫੈਲਾਉਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ, ਰੇਖਿਕ ਸੁਤੰਤਰਤਾ ਦੁਆਰਾ, ਹਰੇਕ ਤੱਤ ਨੂੰ $S $---- ਇੱਕ "ਘੱਟੋ ਘੱਟ" ਫੈਲਾਅ ਨੂੰ ਫੈਲਾਉਣ ਦੀ ਜ਼ਰੂਰਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।set.Since $B $$S $ਵਿੱਚ ਫੈਲਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ, $S $ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ $\\\\boldy $ਨੂੰ ਅਧਾਰ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਰੇਖਿਕ ਸੰਯੋਜਨ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਸੁਤੰਤਰਤਾ ਦੁਆਰਾ, ਇਹ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਵਿਲੱਖਣ ਹੈ। \',\' ਇੱਥੇ ਇੱਕ ਸੋਧੀ ਹੋਈ ਵਿਆਖਿਆ ਹੈਃ \\n\\nIf $B $ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ $S $ਲਈ ਇੱਕ ਅਧਾਰ ਹੈ, ਇਸ ਦੇ ਕਈ ਪ੍ਰਭਾਵ ਹਨਃ \\n\\n1. $B $$S $ਤੱਕ ਫੈਲਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ। ਹਰ ਇੱਕ$S $ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ $B $ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਰੇਖਿਕ ਸੰਯੋਜਨ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। \\n\\n2. $B $ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਸੁਤੰਤਰ ਹੈ। $B $ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਵੀ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ ਇੱਕ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ।ਹੋਰ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਰੇਖਿਕ ਸੰਯੋਜਨ. \\n\\n3. $B $ਵਿੱਚ $S $ਨੂੰ ਫੈਲਾਉਣ ਲਈ ਲੋਡ਼ੀਂਦੇ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀ ਘੱਟੋ ਘੱਟ ਗਿਣਤੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।ਇਸ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਇੱਕ ਸੈੱਟ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਹੁਣ $S $. \\n\\n4 ਤੱਕ ਨਹੀਂ ਫੈਲਦਾ। $S $ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਵੈਕਟਰ ਦੀ $B $ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਰੇਖਿਕ ਸੰਯੋਜਨ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ\\\\textbf {ਅਦ੍ਵਿਤਿਯ} ਨੁਮਾਇੰਦਗੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।ਰੇਖਿਕ ਸੁਤੰਤਰਤਾ ਦੇ ਕਾਰਨ, ਹਰੇਕ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ ਅਧਾਰ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਣ ਦਾ ਇੱਕੋ ਇੱਕ ਤਰੀਕਾ ਹੈ। \\n\\n ਸੰਖੇਪ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਦਾ ਇੱਕ ਅਧਾਰ $B $$S $ਹੈ।ਮਤਲਬਃ $S $ਦੇ ਹਰੇਕ ਤੱਤ ਨੂੰ ਵਿਲੱਖਣ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਰੇਖਿਕ ਸੰਯੋਜਨ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।$B $. \\n\\ \\item $B $ਲੀਨੀਅਰ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਸੁਤੰਤਰ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀ ਘੱਟੋ ਘੱਟ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਨਾਲ $S $ਨੂੰ ਫੈਲਾਉਂਦਾ ਹੈ। \\n\\ \\end {itemify} \\n\\nਸਿੰਗ $B $$S $ਨੂੰ ਫੈਲਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਹਰ ਵੈਕਟਰ $\\\\mathbf {y} ਨੂੰ ਫੈਲਾਉਂਦਾ ਹੈ।\\ \\in S $ਨੂੰ $B $ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਰੇਖਿਕ ਸੰਯੋਜਨ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਸੁਤੰਤਰਤਾ ਦੁਆਰਾ, ਇਹ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਵਿਲੱਖਣ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਇੱਕ ਅਧਾਰ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਲੋਡ਼ੀਂਦੀ ਜਾਣਕਾਰੀ। \\n\\n ਸੰਖੇਪ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਅਧਾਰ ਇੱਕ ਘੱਟੋ ਘੱਟ ਫੈਲਾਅ ਸੈੱਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਵਿਲੱਖਣ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀ ਨੁਮਾਇੰਦਗੀ। ਇਸ ਦੀਆਂ ਮੁੱਖ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਹਨਃ ਇਹ ਸਪੇਸ ਨੂੰ ਫੈਲਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਇਹ ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਉੱਤੇ ਸੁਤੰਤਰ ਹੈ, ਇਸ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਇੱਕੋ ਜਿਹੀ ਹੈਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਸਪੇਸ ਦੇ ਮਾਪ ਵਜੋਂ, ਅਤੇ ਇਹ ਸਾਰੇ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀਆਂ ਵਿਲੱਖਣ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦਾ ਹੈ. \',\' ਹੇਠ ਦਿੱਤੇ ਟੈਕਸਟ ਨੂੰ ਸੋਧ ਕੇ, ਇਸ ਨੂੰ ਪੇਸ਼ੇਵਰ ਬਣਾਉਣ ਲਈ,ਸੰਖੇਪ ਅਤੇ ਸਖ਼ਤਃ ਇੱਕ ਗ਼ੈਰ-ਖਾਲੀ $S\\ \\ਉਪਸੈੱਟ\\\\Rr ^ N $ਇੱਕ \\navi {ਲੀਨੀਅਰ \\nsubspace} ਹੈ ਜੋ ਕਿ $\\\\Rr ^ N $ਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ ਵੀ $\\\\boldx ਲਈ,\\\\boldy\\\\in S\\\\;\\\\text {and}ਸਾਡੇ ਕੋਲ S $ਵਿੱਚ $\\\\alfa\\ \\boldx +\\\\beta\\ \\boldy\\ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਤਹਿਤ $S\\ \\sabset\\ \\Rr ^ N $"ਬੰਦ" ਹੈ।ਜੋਡ਼\\ਨੰਦ ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਨ। ਕਈ ਵਾਰ ਅਸੀਂ ਸਿਰਫ਼ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ\\\'ਨੇਵੀ {ਸਬ-ਸਪੇਸ}\'। ', 'ਇਸ ਨੂੰ ਸਪਸ਼ਟ, ਸੰਖੇਪ ਅਤੇ ਪੇਸ਼ੇਵਰ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਹੇਠ ਦਿੱਤੇ ਟੈਕਸਟ ਨੂੰ ਲੈਟੇਕਸ ਕੋਡ ਨਾਲ ਸੋਧੋਃ $\\span {\\boldx _ 1} \\subseat\\span {\\boldx _ 1 ਸਾਬਤ ਕਰਨ ਲਈ,\\boldx _ 2} $, ਸਾਨੂੰ ਦੋਵੇਂ $\\span {\\boldx _ 1} \\sabseat \\span {\\boldx _ 1, \\boldx _ 2} $ਅਤੇ $\\span {\\boldx _ 1, \\boldx _ 2} \\sabseat \\span {\\boldx _ 1} $ਦਰਸਾਉਣ ਦੀ ਜ਼ਰੂਰਤ ਹੈ।ਸਪਸ਼ਟ ਕਰੋ ਕਿ $\\span {\\boldx _ 1} \\sabseat \\span {\\boldx _ 1, \\boldx _ 2} $, ਕਿਉਂਕਿ ਕਿਸੇ ਵੀ ਵੈਕਟਰ ਲਈ $\\alph\\boldx _ 1 $, ਜਿੱਥੇ $\\alph\\in\\RR $, ਇਹ ਵੀ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ$\\alfa\\boldx _ 1 + \\beta\\boldx _ 2 $ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, $\\beta = 0 $ਦੇ ਨਾਲ। ਉਲਟ ਵੇਖਣ ਲਈ, ਕੋਈ ਵੀ $\\boldy\\in\\span {\\boldx _ 1, \\boldx _ 2} $ਚੁਣੋ,ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਵਿੱਚ, ਇੱਥੇ $\\alfa _ 1, \\alfa _ 2 $ਮੌਜੂਦ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ $\\boldy = \\alfa _ 1 \\boldx _ 1 + \\alfa _ 2 \\boldx _ 2 \\alfa _ 1 \\bold {pmatrix} 1 0 \\end {pmatrix}ਅਲਫ਼ਾ _ 2 = ਸ਼ੁਰੂ {ਪੀ. ਮੈਟਰਿਕਸ}-2 0 = ਸ਼ੁਰੂ {ਪੀ. ਮੈਟਰਿਕਸ} = 1 0 = ਸ਼ੁਰੂ {ਪੀ. ਮੈਟਰਿਕਸ} 2 = ਸ਼ੁਰੂ {ਪੀ. ਮੈਟਰਿਕਸ} 1 0 = ਸ਼ੁਰੂ {ਪੀ. ਮੈਟਰਿਕਸ} 1 0 = ਸ਼ੁਰੂ {ਪੀ. ਮੈਟਰਿਕਸ} 1 0 = ਸ਼ੁਰੂ {ਪੀ. ਮੈਟਰਿਕਸ} = (\\ਅਲਫ਼ਾ _ 1-2)ਇਸ ਲਈ $\\Span {\\boldx _ 1, \\boldx _ 2} \\subseat \\Span {\\boldx _ 1} $ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।ਦਾਅਵਾ ਕੀਤਾ ਗਿਆ \\end {ਸਬੂਤ} \n ']