text: यूक्लिड का 5वाँ स्वयंसिद्ध तथ्य ऊपर दिया जा चुका है। इसे स्वयंसिद्ध मानने के लिये गणितज्ञ कभी तैयार नहीं हुए, बल्कि उन्होंने इसे सिद्ध करने के बड़े बड़े यत्न किए; परंतु काई संतोषजनक उत्तर नहीं मिला। अनुसंधान के फलस्वरूप गणित का बहुत विकास हुआ और एक ऐसी ज्यामिति का आविष्कार हुआ जिसने ज्यामिति में पूर्ण क्रांति उत्पन्न कर दी। यूक्लिड ने समतल पर ही सब विवेचन किए, परंतु अब हर प्रकार के तलों पर अलग अलग विवेचनाएँ होती हैं। इसका विवेचन कठिन है, अत: इसके लिये पाठक इस विषय की विशेष पुस्तकों का अवलोकन करें।