การหาฐานนิยมในชุดข้อมูล การหาฐานนิยมในกรณีพิเศษ
โดยทั่วไปการหาฐานนิยมมักหาจากชุดของค่าทางสถิติหรือข้อมูลที่เป็นตัวเลข ดังนั้นก่อนหาฐานนิยม คุณต้องมีชุดของข้อมูลอยู่ในมือเสียก่อน โดยชุดข้อมูลมักประกอบด้วยสมาชิกจำนวนมาก ซึ่งยากที่จะคิดหรือจินตนาการในหัว จึงจำเป็นต้องจดข้อมูลเหล่านั้นลงกระดาษหรือพิมพ์ลงคอมพิวเตอร์ก่อน โดยถ้าคุณใช้ปากกากับกระดาษ ก็เขียนชุดข้อมูลนั้นลงไปตามลำดับ แต่ถ้าคุณใช้คอมพิวเตอร์ ก็อาจใช้สเปรดชีต (spreadsheet) ในการจัดการก็ได้ วิธีการหาฐานนิยมของชุดข้อมูลใดๆ นั้นไม่ยากเลย เพื่อให้ง่ายต่อการเข้าใจ สมมติให้ชุดของข้อมูลประกอบด้วย 18, 21, 11, 21, 15, 19, 17, 21, 17 ซึ่งเดี๋ยวเราจะนำมันมาใช้ในขั้นตอนถัดไป เพื่อให้ง่ายต่อการหาฐานนิยม คุณควรเรียงลำดับสมาชิกในชุดข้อมูลจากน้อยไปมากก่อน ซึ่งจริงๆ ไม่จำเป็นก็ได้ แต่ถ้าคุณเรียงลำดับ การหาฐานนิยมก็จะง่ายยิ่งขึ้น เพราะค่าหรือตัวเลขที่พบบ่อยๆ จะอยู่ติดกัน การเรียงลำดับนี้จำเป็นอย่างยิ่งสำหรับข้อมูลที่มีปริมาณมาก เพราะการดูข้อมูลยาวๆ แล้วหาจำนวนที่ซ้ำไปเรื่อยๆ อาจทำให้เกิดความผิดพลาดได้  ถ้าคุณใช้กระดาษกับดินสอ การเขียนชุดข้อมูลซ้ำอีกครั้งโดยเรียงลำดับใหม่จากน้อยไปมาก จะช่วยประหยัดเวลาในการหาฐานนิยมไปได้เยอะ โดยเริ่มจากการสแกนหาตัวเลขที่มีค่าน้อยที่สุดในชุดข้อมูล พอเจอแล้วก็ขีดตัวเลขนั้นทิ้ง แล้วนำมาเขียนเป็นเลขตัวแรกในชุดข้อมูลใหม่ ทำแบบนี้ไปเรื่อยๆ จากค่าน้อยสุดไปยังค่ามากสุด จากนั้นเช็คให้แน่ใจว่าเขียนครบทุกตัวแล้ว ถ้าคุณใช้คอมพิวเตอร์ก็ยิ่งง่ายใหญ่ เพราะในโปรแกรมสเปรดชีตต่างๆ จะมีฟังก์ชันในการจัดลำดับข้อมูลจากน้อยไปมาก เพียงคลิกแค่ไม่กี่ครั้ง โปรแกรมนี้ก็จะเรียงลำดับข้อมูลให้ใหม่ตามที่คุณต้องการ จากชุดข้อมูลที่เราสมมติขึ้นมาเป็นตัวอย่างในขั้นตอนที่แล้ว เมื่อนำมาเรียงลำดับ ก็จะได้ชุดข้อมูลใหม่ดังนี้ 11, 15, 17, 17, 18, 19, 21, 21, 21 นับจำนวนหรือความถี่ของสมาชิกแต่ละตัวที่ปรากฏในชุดข้อมูล เสร็จแล้วหาสมาชิกที่มีจำนวนมากที่สุดหรือปรากฏบ่อยครั้งที่สุด ซึ่งถ้าชุดข้อมูลมีจำนวนสมาชิกค่อนข้างน้อย การหาค่าที่ปรากฏบ่อยครั้งที่สุดก็จะทำได้อย่างรวดเร็ว เพราะหลังจากเรียงลำดับ ค่าดังกล่าวจะอยู่ติดกัน ซึ่งสังเกตเห็นได้อย่างชัดเจน  ถ้าคุณใช้กระดาษกับดินสอ ก็นำดินสอมาวงค่าที่เหมือนกันซึ่งอยู่ติดกัน เพื่อแบ่งเป็นกลุ่มๆ จากนั้นนับจำนวนของค่าที่ปรากฏอยู่ในวง แล้วเขียนจำนวนดังกล่าวไว้เหนือวงนั้น แต่ถ้าคุณใช้โปรแกรมสเปรดชีต ก็นับและพิมพ์จำนวนครั้งที่ปรากฏของแต่ละค่าไว้ในตารางด้านข้าง หรือไม่ก็ใช้ฟังก์ชันหาความถี่ของแต่ละค่าก็ได้ จากชุดข้อมูลตัวอย่าง 11, 15, 17, 17, 18, 19, 21, 21, 21 จะเห็นได้ว่า 11 มีหนึ่งจำนวน 15 มีหนึ่งจำนวน 17 มีสองจำนวน 18 มีหนึ่งจำนวน 19 มีหนึ่งจำนวน และ 21 มีสามจำนวน ดังนั้น 21 จึงมีจำนวนมากที่สุดในชุดข้อมูลนี้ เมื่อคุณรู้ว่าแต่ละค่ามีจำนวนเท่าไหร่แล้ว ก็หาค่าที่มีจำนวนมากที่สุดหรือมีความถี่มากที่สุด ซึ่งค่าดังกล่าวก็จะเป็น ฐานนิยมในชุดข้อมูลนั้นๆ ทั้งนี้ควรจำไว้ว่า ฐานนิยมในชุดข้อมูลหนึ่งอาจมีมากกว่าหนึ่งค่าก็ได้ โดยถ้ามีสองค่าก็จะเรียกว่า ทวิฐานนิยม (bimodal) หรือถ้ามีสามค่าก็จะเรียกว่า ไตรฐานนิยม (trimodal) ฯลฯ  จากชุดข้อมูลตัวอย่าง 11, 15, 17, 17, 18, 19, 21, 21, 21 จะเห็นได้ว่า 21 มีจำนวนมากที่สุดหรือพบบ่อยที่สุด ดังนั้น ฐานนิยมของชุดข้อมูลนี้คือ 21  แต่ถ้ามีค่าอื่นนอกเหนือจาก 21 มีสามจำนวน เหมือนกัน แล้วล่ะก็ (เช่น มี 17 เพิ่มมาอีกจำนวน) 21 กับจำนวนนั้นก็จะเป็นฐานนิยม ทั้งคู่ ค่าเฉลี่ย มัธยฐาน และฐานนิยม มักถูกกล่าวถึงพร้อมกันเสมอ เวลาพูดถึงแนวคิดในการหาค่ากลางทางสถิติ และด้วยเหตุที่เป็นค่ากลางเหมือนกัน อีกทั้งในบางชุดข้อมูล ค่าเฉลี่ย มัธยฐาน หรือฐานนิยม อาจเป็นค่าเดียวกันก็ได้ ดังนั้นจึงทำให้หลายคนสับสน อย่างไรก็ตาม ไม่ว่าฐานนิยมจะมีค่าเท่ากับค่าเฉลี่ยหรือมัธยฐานหรือไม่ เราก็ต้องคำนึงไว้เสมอว่าแนวความคิดเกี่ยวกับค่ากลางในแต่ละแบบนั้นแตกต่างกัน ลองดูรายละเอียดด้านล่าง  การหา ค่าเฉลี่ย ของชุดข้อมูล เราสามารถหาค่าเฉลี่ยได้โดยการนำผลรวมของสมาชิกทุกตัวในชุดข้อมูล มาหารด้วยจำนวนสมาชิกทั้งหมด เพื่อให้ง่ายต่อการเข้าใจ สมมติให้ชุดข้อมูลประกอบด้วย 11, 15, 17, 17, 18, 19, 21, 21, 21 ดังนั้นค่าเฉลี่ยมีค่าเท่ากับ (11 + 15 + 17 + 17 + 18 + 19 + 21 + 21 + 21) ÷ 9 = 160 ÷ 9 = 17.78 (สาเหตุที่เราหารด้วย 9 ก็เพราะในชุดข้อมูลมีสมาชิกทั้งหมด 9 ตัว)    {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/0\/0a\/Find-the-Mode-of-a-Set-of-Numbers-Step-5Bullet1.jpg\/v4-460px-Find-the-Mode-of-a-Set-of-Numbers-Step-5Bullet1.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/0\/0a\/Find-the-Mode-of-a-Set-of-Numbers-Step-5Bullet1.jpg\/v4-760px-Find-the-Mode-of-a-Set-of-Numbers-Step-5Bullet1.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":760,"bigHeight":570,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}  การหา มัธยฐาน ของชุดข้อมูล มัธยฐานคือ “ค่าที่อยู่ตรงกลาง” เมื่อเรียงลำดับชุดข้อมูลจากมากไปน้อยหรือน้อยไปมาก โดยจะอยู่ตรงกึ่งกลางระหว่างค่าที่น้อยกว่ากับค่าที่มากกว่า จากชุดข้อมูลที่สมมติขึ้น 11, 15, 17, 17, 18, 19, 21, 21, 21 จะเห็นได้ว่า 18 คือมัธยฐาน เนื่องจากอยู่ตรงกึ่งกลางของชุดข้อมูล คือเป็นจุดกึ่งกลางระหว่างค่าที่น้อยกว่า 4 จำนวน กับค่าที่มากกว่า 4 จำนวน ทั้งนี้ถ้าชุดข้อมูลมีจำนวนสมาชิกเป็นเลขคู่ มัธยฐานก็จะเป็นค่าเฉลี่ยของสองค่าที่อยู่ตรงกลาง    {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/8\/8d\/Find-the-Mode-of-a-Set-of-Numbers-Step-5Bullet2.jpg\/v4-460px-Find-the-Mode-of-a-Set-of-Numbers-Step-5Bullet2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/8\/8d\/Find-the-Mode-of-a-Set-of-Numbers-Step-5Bullet2.jpg\/v4-760px-Find-the-Mode-of-a-Set-of-Numbers-Step-5Bullet2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":760,"bigHeight":570,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} ถ้าทุกค่าในชุดข้อมูลมีจำนวนหรือความถี่เท่ากัน แสดงว่าชุดข้อมูลนั้นไม่มีฐานนิยม เนื่องจากไม่มีค่าใดที่มีจำนวนมากกว่าหรือปรากฏบ่อยครั้งกว่าค่าอื่น ตัวอย่างเช่นชุดข้อมูลที่ทุกค่ามีแค่จำนวนเดียว หรือทุกค่ามีสองจำนวน หรือสามจำนวน ฯลฯ สมมติให้ชุดข้อมูลประกอบด้วย 11, 15, 17, 18, 19, 21 จะเห็นได้ว่าแต่ละค่ามีแค่จำนวนเดียว ดังนั้นจึง 'ไม่มีฐานนิยม และถ้าสมมติให้ชุดข้อมูลประกอบด้วย 11, 11, 15, 15, 17, 17, 18, 18, 19, 19, 21, 21 ก็จะเห็นได้ว่าทุกค่ามีสองจำนวนเท่ากัน ดังนั้นจึงไม่มีฐานนิยมเช่นกัน โดยปกติข้อมูลที่ใช้ในทางสถิติมักเป็นข้อมูล quantitative ซึ่งอยู่ในรูปของตัวเลข ถึงกระนั้น ก็มีบางชุดข้อมูลที่ไม่ได้อยู่ในรูปของตัวเลข กล่าวคือฐานนิยมสามารถเป็นอะไรก็ได้ที่มีจำนวนมากที่สุดหรือปรากฏบ่อยครั้งที่สุดในชุดข้อมูล  ดังนั้นบางชุดข้อมูลจึงสามารถหาฐานนิยมได้ ขณะที่ไม่สามารถหาค่าเฉลี่ยหรือมัธยฐานได้เลย  ตัวอย่างเช่นการสำรวจทางชีวภาพเพื่อตรวจเช็คจำนวนของพันธุ์ไม้แต่ละชนิดในสวนสาธารณะ ซึ่งสามารถเขียนเป็นชุดข้อมูลได้ดังนี้ ซีดาร์, อัลเดอร์, ซีดาร์, ไพน์, ซีดาร์, ซีดาร์, อัลเดอร์, อัลเดอร์, ไพน์, ซีดาร์ (เราเรียกชุดข้อมูลดังกล่าวว่า ข้อมูลระดับนามบัญญัติ (nominal scale) เนื่องจากเป็นข้อมูลที่สามารถแบ่งกลุ่มได้โดยดูจากชื่อ) เราสามารถสรุปได้ว่าชุดข้อมูลนี้มี ซีดาร์ เป็นฐานนิยม เพราะว่ามีจำนวนมากที่สุดคือ 5 ต้น ขณะที่อัลเดอร์มี 3 ต้น และไพน์มี 2 ต้น จำไว้ว่า ตัวอย่างที่ยกขึ้นมาด้านบน ไม่สามารคำนวณหาค่าเฉลี่ยและมัธยฐานได้ เนื่องจากเป็นข้อมูลที่ไม่ใช่ตัวเลข จากที่กล่าวไว้ด้านบน ในบางกรณี ค่ากลางทั้งสามแบบอาจมีค่าเท่ากันก็ได้ ตัวอย่างเช่นกรณีที่ความถี่ของข้อมูลสามารถพล็อตลงไปในกราฟ แล้วออกมาอยู่ในรูปเส้นโค้งที่สมมาตร (เช่น เส้นการกระจายตัวแบบโค้งปกติ (Gaussian curve) หรือเส้นโค้งรูประฆัง) ฐานนิยม ค่าเฉลี่ย และมัธยฐาน จะมีค่าเท่ากัน เนื่องจากกราฟที่แสดงฟังก์ชันการแจกแจง (distribution function) มีความสัมพันธ์กับลักษณะของข้อมูล โดยข้อมูลที่มีความถี่น้อยจะอยู่ริมซ้ายและขวา ส่วนข้อมูลที่มีความถี่มากจะอยู่ตรงกลาง ดังนั้นฐานนิยมจึงอยู่ตรงกึ่งกลางของเส้นโค้ง ซึ่งเป็นจุดที่เส้นโค้งสูงสุดด้วย เพราะเป็นค่าที่มีจำนวนหรือความถี่มากที่สุด และด้วยเหตุที่เส้นโค้งมีความสมมาตร จุดที่เป็นฐานนิยมจึงเป็นมัธยฐานเช่นกัน (เพราะอยู่ตรงกึ่งกลางของชุดข้อมูล) นอกจากนี้ยังเป็นค่าเฉลี่ยอีกด้วย (เพราะเมื่อนำชุดข้อมูลมาคำนวณหาค่าเฉลี่ยแล้วก็มีค่าเท่ากับฐานนิยม)  ตัวอย่าง: สมมติให้ชุดข้อมูลประกอบด้วย 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5 ถ้าเรานำข้อมูลนี้ไปพล็อตในกราฟแสดงการแจกแจง เราก็จะได้เส้นโค้งแบบสมมาตรหรือเส้นโค้งรูประฆัง และเนื่องจากแกน x แสดงค่าของข้อมูล แกน y แสดงความถี่ เมื่อ 3 มีจำนวนมากที่สุดคือสามจำนวน ดังนั้นจุดสูงสุดของเส้นโค้งจะอยู่ที่แกน x = 3; y = 3 แล้วลดหลั่นลงมาตามความถี่ของแต่ละค่า (x = 2, x = 4; y = 2 และ x = 1, x = 5; y = 1) เพราะฉะนั้นจึงเห็นได้ว่า 3 คือ ฐานนิยม ของชุดข้อมูลนี้ และเนื่องจาก 3 อยู่ตรงกึ่งกลางระหว่างค่าที่น้อยกว่ากับค่าที่มากกว่า ดังนั้น 3 จึงเป็น มัธยฐาน ด้วย นอกจากนี้เมื่อคิดค่าเฉลี่ยแล้วก็มีค่าเท่ากับ 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 3 + 4 + 4 + 5 = 27 ÷ 9 = 3 ซึ่งจะเห็นได้ว่า 3 ก็เป็น ค่าเฉลี่ย เช่นกัน ในกรณีข้างต้น ใช้ไม่ได้กับกรณีที่ฐานนิยมมีมากกว่าหนึ่งค่า เพราะถ้าฐานนิยมมีตั้งแต่สองค่าขึ้นไป ก็ไม่มีทางที่จะเท่ากับค่าเฉลี่ยและมัธยฐานได้เลย เนื่องจากค่าเฉลี่ยกับมัธยฐานมีได้เพียงค่าเดียวเท่านั้น
เขียนสมาชิกแต่ละตัวในชุดข้อมูลลงไป. เรียงลำดับสมาชิกในชุดข้อมูลจากน้อยไปมาก. นับจำนวนของสมาชิกแต่ละตัวในชุดข้อมูล. หาค่าที่มีจำนวนมากที่สุดหรือพบบ่อยที่สุด. อย่าสับสนระหว่างฐานนิยมกับค่าเฉลี่ยและมัธยฐาน. จำไว้ว่า ถ้าทุกค่ามีจำนวนเท่ากัน แสดงว่าชุดข้อมูลนั้นไม่มีฐานนิยม. จำไว้ว่า แม้ชุดข้อมูลจะไม่ได้เป็นตัวเลขหรือจำนวน แต่เราก็ยังสามารถหาฐานนิยมได้. จำไว้ว่า ถ้ามีการแจกแจงฐานนิยมเดี่ยวแบบสมมาตร (unimodal symmetric distributions) แล้วล่ะก็ ฐานนิยม ค่าเฉลี่ย และมัธยฐาน จะมีค่าเท่ากัน.
https://www.wikihow.com/Find-the-Mode-of-a-Set-of-Numbers https://www.wikihow.com/Find-the-Mode-of-a-Set-of-Numbers
Finding the Mode of a Data Set Finding the Mode in Special Cases