ใช้การแยกตัวประกอบจำนวนเฉพาะ
วิธีนี้ใช้การแยกตัวประกอบของตัวเลขมาใช้หารากที่สองของจำนวนนั้น (ขึ้นอยู่กับตัวเลขด้วยว่าจะได้ค่าตรงเผงหรือเป็นแค่ค่าประมาณการ) ตัวประกอบของจำนวนนั้นคือกลุ่มจำนวนตัวเลขอื่นๆ ที่คูณกันเองแล้วได้เท่ากับเลขจำนวนนั้น  ตัวอย่างเช่น คุณสามารถบอกได้ว่าตัวประกอบของ 8 คือ 2 กับ 4 เพราะ 2 × 4 = 8 ในทางตรงข้าม กำลังสองสมบูรณ์คือจำนวนเต็มที่เป็นผลลัพธ์ของจำนวนเต็มอื่น ตัวอย่างเช่น  25, 36, และ 49 เป็นกำลังสองสมบูรณ์เพราะพวกมันคือ 52, 62, และ 72, ตามลำดับ คุณจึงน่าจะพอเดาได้ว่าตัวประกอบกำลังสองสมบูรณ์ก็คือตัวประกอบที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์ด้วยนั่นเอง ในการเริ่มหารากที่สองโดยการแยกตัวประกอบจำนวนเฉพาะนั้น อย่างแรกต้องลองลดจำนวนนั้นลงมาเป็นตัวประกอบกำลังสองสมบูรณ์ก่อน   ลองยกตัวอย่าง เราต้องการหารากที่สองของ 400 ด้วยมือ เริ่มด้วยการหารจำนวนนั้นเป็นตัวประกอบกำลังสองสมบูรณ์ เนื่องจาก 400 เป็นจำนวนทวีคูณของ 100, ซึ่งเราทราบว่ามันหารลงตัวด้วย 25 อันเป็นเลขกำลังสองสมบูรณ์ การคิดในใจเร็วๆ ทำให้เราทราบว่า 25 นำไปหาร 400 ได้ 16 ครั้ง ซึ่งประจวบเหมาะกับจำนวน 16 นั้นก็เป็นเลขกำลังสองสมบูรณ์เช่นกัน ดังนั้น ตัวประกอบกำลังสองสมบูรณ์ของ 400 คือ 25 กับ 16 เพราะ 25 × 16 = 400 เราจะเขียนมันออกมาได้ดังนี้: Sqrt(400) = Sqrt(25 × 16) คุณสมบัติผลลัพธ์ของรากที่สองบอกไว้ว่าสำหรับจำนวน a และ b ใดๆ, Sqrt(a × b) = Sqrt(a) × Sqrt(b) เพราะคุณสมบัตินี้ เราสามารถถอดรากที่สองของตัวประกอบกำลังสองสมบูรณ์และคูณมันด้วยกันเพื่อให้ได้คำตอบ  ตามตัวอย่างของเรา เราสามารถถอดรากที่สองของ 25 และ 16 ตามด้านล่างนี้:  Sqrt(25 × 16) Sqrt(25) × Sqrt(16) 5 × 4 = 20 ส่วนใหญ่แล้วตัวเลขที่คุณต้องหาในชีวิตจริงนั้นยากจะเป็นจำนวนที่มีตัวประกอบกำลังสองสมบูรณ์เหมือนอย่างเลข 400 ในกรณีเหล่านั้นมันอาจเป็นไปไม่ได้ที่จะได้คำตอบเป็นเลขจำนวนเต็ม คุณจึงต้องหาคำตอบให้มันติดรากที่สองจำนวนน้อยที่สุดและง่ายต่อการคิดมากที่สุด ซึ่งทำได้โดยการทอนตัวเลขนั้นลงเป็นการผสมกันระหว่างตัวประกอบกำลังสองสมบูรณ์กับตัวประกอบที่ไม่ได้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ แล้วเขียนให้ง่ายลง  สมมติว่าเราใช้รากที่สองของ 147 เป็นตัวอย่าง เลข 147 นั้นไม่ได้เป็นผลคูณของเลขกำลังสองสมบูรณ์ เราจึงไม่มีทางได้คำตอบเป็นจำนวนเต็มเหมือนข้างต้น อย่างไรก็ตาม มันเป็นผลคูณของเลขกำลังสองสมบูรณ์ตัวหนึ่งกับเลขอื่น นั่นคือ 49 กับ 3 เราสามารถใช้ข้อมูลนี้มาเขียนคำตอบให้อยู่ในรูปอย่างง่ายที่สุดดังนี้:  Sqrt(147) = Sqrt(49 × 3) = Sqrt(49) × Sqrt(3) = 7 × Sqrt(3) เมื่อทอนรากที่สองให้อยู่ในรูปอย่างง่ายที่สุดแล้ว ก็ไม่ใช่เรื่องยากที่จะหาค่าประมาณคร่าวๆ ของคำตอบโดยการเดาค่าของรากที่สองซึ่งยังติดอยู่และคูณกันไป วิธีหนึ่งในการหาค่าประมาณคือหากำลังสองสมบูรณ์ของทั้งสองด้านของจำนวนที่อยู่ในรากที่สอง คุณจะทราบว่าค่าทศนิยมของจำนวนที่อยู่ในรากที่สองนั้นจะอยู่ระหว่างเลขสองจำนวนนี้ คุณจึงสามารถเดาคร่าวๆ จำนวนระหว่างนั้นได้  กลับมาที่ตัวอย่างของเรา เนื่องจาก 22 = 4 และ 12 = 1, เรารู้ว่า Sqrt(3) จะอยู่ระหว่าง 1 กับ 2 – โดยน่าจะอยู่ใกล้ 2 มากกว่า 1 เราจะกำหนดคร่าวๆ ไว้ที่ 1.7 ซึ่ง 7 × 1.7 = 11.9 ถ้าเราตรวจสองคำตอบกับเครื่องคิดเลข ก็จะเห็นว่าเราได้ค่าใกล้เคียงกับคำตอบแท้จริงที่ 12.13 วิธีนี้ใช้ได้ผลกับเลขที่มีจำนวนสูงเช่นกัน เช่น Sqrt(35) สามารถกำหนดคร่าวๆ ว่าอยู่ระหว่าง 5 กับ 6 (โดยน่าจะใกล้เคียงกับ 6 มากๆ) เมื่อคิด 52 = 25 และ 62 = 36 แล้ว เลข 35 จะอยู่ระหว่าง 25 กับ 36, ดังนั้นรากที่สองของมันจะต้องอยู่ระหว่าง 5 กับ 6 และเนื่องจาก 35 ห่างจาก 36 แค่ตัวเดียว เราจึงบอกได้อย่างมั่นใจว่ารากที่สองของมันจะต่ำกว่า 6 เพียง นิดเดียว ตรวจสอบคำตอบกับเครื่องคิดเลขได้ราว 5.92 แสดงว่าเราตอบถูกต้อง การหาตัวประกอบกำลังสองสมบูรณ์นั้นไม่จำเป็นถ้าคุณสามารถหาตัวประกอบเฉพาะ (ตัวประกอบที่เป็นจำนวนเฉพาะด้วย) ของตัวเลขนั้น ให้เขียนตัวเลขในรูปแบบของตัวคูณร่วมน้อย จากนั้นดูคู่จำนวนเฉพาะที่ตรงกันในตัวประกอบเหล่านั้น เวลาเจอจำนวนเฉพาะที่ตรงกัน ให้เอาจำนวนเหล่านั้นออกจากเครื่องหมายกรณฑ์ และใส่จำนวนนั้นเพียง ตัวเดียว ข้างนอกเครื่องหมายกรณฑ์   ตัวอย่าง สมมติให้หารากที่สองของ 45 โดยใช้วิธีนี้ เรารู้ว่า 45 = 9 × 5 และรู้ด้วยว่า 9 = 3 × 3 ดังนั้น เราสามารถเขียนรากที่สองในรูปแบบตัวประกอบได้อย่างนี้: Sqrt(3 × 3 × 5) แค่เอา 3 ทั้งสองตัวออกจากเครื่องหมายกรณฑ์แล้วใส่เลข 3 แค่ตัวเดียวนอกเครื่องหมายกรณฑ์ เพื่อทำให้รากที่สองอยู่ในรูปที่ง่ายที่สุด: (3)Sqrt(5) จากตรงนี้ก็สามารถเดาค่าประมาณการได้แล้ว โจทย์ตัวอย่างข้อสุดท้าย ลองหารากที่สองของ 88:  Sqrt(88) = Sqrt(2 × 44) = Sqrt(2 × 4 × 11) = Sqrt(2 × 2 × 2 × 11) เรามี 2 อยู่ในเครื่องหมายกรณฑ์อยู่หลายตัว เนื่องจาก 2 เป็นจำนวนเฉพาะ เราสามารถยกออกมาคู่หนึ่งแล้วใส่มันนอกเครื่องหมายกรณฑ์เพียงหนึ่งตัว = รากที่สองในรูปแบบอย่างง่ายที่สุดคือ (2) Sqrt(2 × 11) หรือ (2) Sqrt(2) Sqrt(11) จากตรงนี้ เราสามารถประมาณค่า Sqrt(2) กับ Sqrt(11) แล้วหาคำตอบที่ใกล้เคียงตามที่ตั้งใจได้
หารตัวเลขของคุณให้เป็นตัวประกอบกำลังสองสมบูรณ์. ถอดรากที่สองของตัวประกอบกำลังสองสมบูรณ์ที่ได้. ถ้าตัวเลขของคุณไม่สามารถแยกตัวประกอบได้สมบูรณ์ ให้ทอนคำตอบลงให้อยู่ในรูปอย่างง่ายที่สุด. ถ้าจำเป็นก็ให้ประมาณค่าลงไป. อีกทางเลือก ในขั้นแรกให้ทอนจำนวนตัวเลขของคุณจนเหลือ ตัวคูณร่วมน้อย.
https://www.wikihow.com/Calculate-a-Square-Root-by-Hand
Using Prime Factorization