คำนวณความแปรปรวนของกลุ่มตัวอย่างหนึ่ง คำนวณความแปรปรวนของจำนวนประชากรทั้งหมด
ในกรณีส่วนใหญ่ นักสถิติจะเข้าถึงได้แต่กลุ่มตัวอย่าง หรือเป็นสับเซ็ตของจำนวนประชากรทั้งหมดที่พวกเขากำลังศึกษา เช่น แทนที่จะวิเคราะห์ปริมาณ "ราคาของรถยนต์ทุกคันในเยอรมนี" นักสถิติจะหาราคาแบบสุ่มจากรถยนต์ไม่กี่พันคัน เขาสามารถใช้กลุ่มตัวอย่างนี้ไปคาดการณ์ราคารถยนต์ของเยอรมนีอย่างใกล้เคียงได้ แต่มันจะไม่ได้เป็นตัวเลขที่แท้จริงเป๊ะๆ    ตัวอย่าง: วิเคราะห์ตัวเลขของจำนวนมัฟฟิ่นที่ถูกขายในแต่ละวันของโรงอาหาร คุณสุ่มตัวอย่างหกวันได้ผลออกมาดังนี้: 38, 37, 36, 28, 18, 14, 12, 11, 10.7, 9.9. นี่เป็นแค่กลุ่มตัวอย่าง มิใช่จำนวนประชากรทั้งหมด เนื่องจากคุณไม่มีข้อมูลทุกวันนับแต่โรงอาหารเปิดขาย   หากคุณมีข้อมูล ทั้งหมด ของประชากรทั้งหมด ข้ามไปยังวิธีการด้านล่างแทน ความแปรปรวนของชุดข้อมูลจะบอกคุณให้รู้ว่าข้อมูลนั้นมีการกระจายตัวอย่างไร ยิ่งความแปรปรวนใกล้เคียงกับศูนย์ แสดงว่าแต่ละจุดข้อมูลนั้นอยู่ใกล้ชิดกันเป็นกลุ่มก้อนมากกว่า เวลาจะใช้ชุดข้อมูลตัวอย่างนั้น ให้ใช้สูตรต่อไปนี้คำนวณความแปรปรวน:   s2{\displaystyle s^{2}} = ∑[(xi{\displaystyle x_{i}} - x̅)2{\displaystyle ^{2}}]/(n - 1)   s2{\displaystyle s^{2}} คือความแปรปรวน ความแปรปรวนจะวัดเป็นหน่วยยกกำลังสอง  xi{\displaystyle x_{i}} แทนที่จุดข้อมูลในชุดข้อมูล ∑, หมายถึง "รวม" จะบอกคุณให้คำนวณพจน์ต่อไปนี้สำหรับค่าแต่ละค่าของ xi{\displaystyle x_{i}} แล้วบวกมันเข้าด้วยกัน x̅ คือค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่าง n คือจำนวนสมาชิกของข้อมูล . สัญลักษณ์ x̅ หรือ "x-bar" หมายถึงค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่าง  คำนวณเหมือนกับที่คุณหาค่าเฉลี่ยใดๆ: บวกค่าทั้งหมดของจุดข้อมูลเข้าด้วยกัน แล้วหารด้วยจำนวนสมาชิกของข้อมูลนั้น    ตัวอย่าง: เริ่มต้นด้วยการบวกจุดข้อมูลแต่ละตัวเข้าด้วยกัน: 17 + 15 + 23 + 7 + 9 + 13 = 84 จากนั้นหารคำตอบที่ได้ด้วยจำนวนสมาชิกของข้อมูล ในกรณีนี้คือหก: 84 ÷ 6 = 14ค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่าง = x̅ = 14  คุณอาจมองว่าค่าเฉลี่ยเป็นเหมือน "จุดกึ่งกลาง" ของข้อมูล หากกลุ่มข้อมูลจับกลุ่มรวมตัวใกล้ค่าเฉลี่ย ความแปรปรวนก็จะต่ำ หากมันกระจายห่างออกจากค่าเฉลี่ย ก็แสดงว่าความแปรปรวนสูง ตอนนี้ได้เวลาต้องคำนวณ xi{\displaystyle x_{i}} - x̅ โดยที่ xi{\displaystyle x_{i}} คือจุดข้อมูลแต่ละตัวในชุดข้อมูล คำตอบแต่ละตัวจะบอกคุณถึงค่าเบี่ยงเบนจากค่าเฉลี่ย หรือพูดในภาษาทั่วไปคือ มันห่างจากค่าเฉลี่ยแค่ไหน .   ตัวอย่าง:x1{\displaystyle x_{1}} - x̅ = 17 - 14 = 3x2{\displaystyle x_{2}} - x̅ = 15 - 14 = 1x3{\displaystyle x_{3}} - x̅ = 23 - 14 = 9x4{\displaystyle x_{4}} - x̅ = 7 - 14 = -7x5{\displaystyle x_{5}} - x̅ = 9 - 14 = -5x6{\displaystyle x_{6}} - x̅ = 13 - 14 = -1 วิธีการตรวจนั้นง่ายมาก เพราะคำตอบที่คุณได้ควรรวมกันแล้วเป็นศูนย์ ทั้งนี้มาจากนิยามของค่าเฉลี่ยนั่นเอง เนื่องจากคำตอบที่เป็นลบ (ห่างจากค่าเฉลี่ยไปยังจำนวนที่ต่ำกว่า) จะหักลบพอดีกับคำตอบที่เป็นบวก (ห่างจากค่าเฉลี่ยไปยังจำนวนที่สูงกว่า) ดังที่บอกไว้ข้างต้น ค่าเบี่ยงเบนที่คุณรวบรวมมา (xi{\displaystyle x_{i}} - x̅) รวมกันแล้วเท่ากับศูนย์ นั่นหมายถึง "ค่าเบี่ยงเบนเฉลี่ย" จะรวมกันได้ศูนย์เช่นเดียวกันเสมอ มันจึงไม่ได้บอกอะไรแก่เราเลยว่าข้อมูลมีการกระจายตัวเช่นไร เพื่อแก้ปัญหานี้ ให้ใส่กำลังสองกับค่าเบี่ยงเบนแต่ละตัว นี่จะทำให้มันกลายเป็นจำนวนบวกทั้งหมด ดังนั้น ค่าบวกและลบจะได้ไม่หักลบกันเองจนกลายเป็นศูนย์    ตัวอย่าง:(x1{\displaystyle x_{1}} - x̅)2=32=9{\displaystyle ^{2}=3^{2}=9}(x2{\displaystyle (x_{2}} - x̅)2=12=1{\displaystyle ^{2}=1^{2}=1}92 = 81(-7)2 = 49(-5)2 = 25(-1)2 = 1 ตอนนี้คุณมีค่า (xi{\displaystyle x_{i}} - x̅)2{\displaystyle ^{2}} สำหรับจุดข้อมูลแต่ละตัวในกลุ่มตัวอย่าง ตอนนี้ถึงเวลาคำนวณตัวเศษทั้งหมดของสูตร: ∑[(xi{\displaystyle x_{i}} - x̅)2{\displaystyle ^{2}}]  ตัวซิกม่าพิมพ์ใหญ่, ∑, จะบอกเราถึงผลรวมค่าของพจน์ต่อไปนี้สำหรับแต่ละค่าของ xi{\displaystyle x_{i}} คุณได้ทำการคำนวณ (xi{\displaystyle x_{i}} - x̅)2{\displaystyle ^{2}} สำหรับแต่ละค่าของ xi{\displaystyle x_{i}} ในกลุ่มตัวอย่างแล้ว ดังนั้นที่คุณต้องทำก็เพียงรวมผลลัพธ์ที่ได้เข้าด้วยกัน   ตัวอย่าง: 9 + 1 + 81 + 49 + 25 + 1 = 166. เมื่อก่อนนักสถิติจะหารแค่ n เมื่อจะคำนวณความแปรปรวนของกลุ่มตัวอย่าง มันจะให้ค่าเฉลี่ยของค่าเบี่ยงเบนยกกำลังสอง ซึ่งเหมาะสมสำหรับความแปรปรวนของกลุ่มตัวอย่างนั้น แต่อย่าเพิ่งลืมว่ากลุ่มตัวอย่างนั้นเป็นเพียงการคาดคะเนจำนวนประชากรทั้งหมดที่มากกว่านั้น หากคุณสุ่มกลุ่มตัวอย่างอีกชุดแล้วทำการคำนวณแบบเดิม คุณอาจได้ผลที่แตกต่างกัน กลายเป็นว่า การหารด้วย n - 1 แทนที่จะเป็นแค่ n จะทำให้ได้ผลการคาดคะเนความแปรปรวนของจำนวนประชากรทั้งหมดได้ดีกว่า การแก้ไขนี้ทำกันทั่วจนปัจจุบันได้รับการยอมรับว่าเป็นนิยามของความแปรปรวนของกลุ่มตัวอย่าง   ตัวอย่าง: มีจำนวนสมาชิกค่าข้อมูลในกลุ่มตัวอย่างอยู่หก ดังนั้น n = 6 ความแปรปรวนของกลุ่มตัวอย่าง = s2=1666−1={\displaystyle s^{2}={\frac {166}{6-1}}=} 33.2 โปรดสังเกตว่า เนื่องจากมีเลขยกกำลังอยู่ในสูตร ความแปรปรวนจึงวัดเป็นหน่วยยกกำลังสองของข้อมูลเดิม มันอาจจะยากแก่การทำความเข้าใจอยู่หน่อย การใช้ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานจึงมักมีประโยชน์ แต่คุณก็ไม่ได้เสียแรงเปล่า เพราะค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานนั้นนิยามว่าเป็นรากที่สองของความแปรปรวน นั่นคือสาเหตุที่เขียนความแปรปรวนของกลุ่มตัวอย่างเป็น s2{\displaystyle s^{2}} และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของกลุ่มตัวอย่างเป็น s{\displaystyle s} ตัวอย่างเช่น ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของกลุ่มตัวอย่างข้างต้น = s = √33.2 = 5.76. คำว่า "ประชากร" หมายถึงจำนวนชุดทั้งหมดของกลุ่มสมาชิกที่มีความเกี่ยวข้อง เช่น หากคุณกำลังศึกษาอายุของผู้อาศัยอยู่ในรัฐเท็กซัส จำนวนประชากรทั้งหมดจะต้องรวมอายุของผู้อยู่ในเท็กซัสทุกคน คุณจะต้องสร้างตารางจัดเก็บข้อมูลที่ใหญ่มากสำหรับชุดข้อมูลจำนวนมากเช่นนี้ เราจะยกตัวอย่างชุดข้อมูลที่เล็กกว่านั้นให้ดู:  ตัวอย่าง: มีอ่างปลาทั้งหมดหกอ่างภายในห้องจัดแสดงของพิพิธภัณฑ์สัตว์น้ำ อ่างปลาทั้งหกนั้นประกอบไปด้วยประชากรปลาทั้งหมดดังนี้:x1=5{\displaystyle x_{1}=5}x2=5{\displaystyle x_{2}=5}x3=8{\displaystyle x_{3}=8}x4=12{\displaystyle x_{4}=12}x5=15{\displaystyle x_{5}=15}x6=18{\displaystyle x_{6}=18} เนื่องจากประชากรทั้งหมดมีอยู่ในฐานข้อมูล สูตรนี้จึงจะทำให้ได้ความแปรปรวนของประชากรที่ตรงพอดี เพื่อแยกมันออกจากความแปรปรวนแบบสุ่มตัวอย่าง (ซึ่งเป็นเพียงการคาดคะเน) นักสถิติจึงใช้ตัวแปรต่างกันออกไป:  σ2{\displaystyle ^{2}} = (∑(xi{\displaystyle x_{i}} - μ)2{\displaystyle ^{2}})/n  σ2{\displaystyle ^{2}} = ความแปรปรวนของประชากร นี่เป็นเครื่องหมายซิกม่าตัวพิมพ์เล็กยกกำลังสอง ความแปรปรวนนั้นวัดด้วยหน่วยยกกำลังสอง  xi{\displaystyle x_{i}} แทนจุดข้อมูล พจน์ที่อยู่ภายใน ∑ จะถูกคำนวณสำหรับค่าแต่ละค่าของ xi{\displaystyle x_{i}} แล้วนำมารวมกัน μ เป็นค่าเฉลี่ยของประชากร n เป็นจำนวนสมาชิกในประชากร เมื่อวิเคราะห์ประชากร สัญลักษณ์ μ ("มิว") แทนที่ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ในการหาค่าเฉลี่ยนั้น ให้บวกค่าของพจน์สมาชิกเข้าด้วยกัน แล้วหารด้วยจำนวนของสมาชิก   คุณสามารถคิดว่าค่าเฉลี่ยนั้นเป็น "การถัวเฉลี่ย" ก็ได้ แต่โปรดระวัง เพราะคำนี้มีนิยามได้หลายแบบในคณิตศาสตร์  ตัวอย่าง: ค่าเฉลี่ย = μ = 5+5+8+12+15+186{\displaystyle {\frac {5+5+8+12+15+18}{6}}} = 10.5 จุดข้อมูลที่อยู่ใกล้กับค่าเฉลี่ยจะทำให้ความแตกต่างใกล้เคียงกับศูนย์ ทำการลบซ้ำในแต่ละจุดข้อมูล แล้วคุณจะเริ่มมองภาพออกว่าข้อมูลมีการกระจายตัวขนาดไหน   ตัวอย่าง:x1{\displaystyle x_{1}} - μ = 5 - 10.5 = -5.5x2{\displaystyle x_{2}} - μ = 5 - 10.5 = -5.5x3{\displaystyle x_{3}} - μ = 8 - 10.5 = -2.5x4{\displaystyle x_{4}} - μ = 12 - 10.5 = 1.5x5{\displaystyle x_{5}} - μ = 15 - 10.5 = 4.5x6{\displaystyle x_{6}} - μ = 18 - 10.5 = 7.5 ตอนนี้บางคำตอบจากขั้นตอนที่แล้วจะกลายเป็นค่าลบ และบางตัวเป็นค่าบวก หากคุณวาดภาพข้อมูลลงบนเส้นตัวเลข ตัวเลขสองกลุ่มนี้จะแทนที่ตัวเลขที่อยู่ข้างซ้ายของค่าเฉลี่ยกับตัวเลขที่อยู่ข้างขวาของค่าเฉลี่ย ซึ่งมันจะไม่มีประโยชน์ต่อการคำนวณความแปรปรวน เนื่องจากมันจะหักลบกันเองจนหมด จึงให้ใส่ยกกำลังสองเข้าไปในตัวเลขทุกตัวเพื่อให้มันกลายเป็นค่าบวกแทน   ตัวอย่าง:(xi{\displaystyle x_{i}} - μ)2{\displaystyle ^{2}} สำหรับค่าแต่ละค่าของ i จาก 1 ถึง 6:(-5.5)2{\displaystyle ^{2}} = 30.25(-5.5)2{\displaystyle ^{2}} = 30.25(-2.5)2{\displaystyle ^{2}} = 6.25(1.5)2{\displaystyle ^{2}} = 2.25(4.5)2{\displaystyle ^{2}} = 20.25(7.5)2{\displaystyle ^{2}} = 56.25 ตอนนี้คุณจะมีค่าของจุดข้อมูลแต่ละตัวที่สัมพันธ์ (ทางอ้อม) ว่าจุดข้อมูลนั้นห่างจากค่าเฉลี่ยขนาดไหน หาค่าเฉลี่ยของค่าเหล่านี้โดยรวมมันเข้าด้วยกัน แล้วหารด้วยจำนวนสมาชิกของค่านั้น   ตัวอย่าง:ความแปรปรวนของประชากร = 30.25+30.25+6.25+2.25+20.25+56.256=145.56={\displaystyle {\frac {30.25+30.25+6.25+2.25+20.25+56.25}{6}}={\frac {145.5}{6}}=} 24.25 หากคุณไม่แน่ใจว่ามันจะตรงกับสูตรในตอนต้นของวิธีนี้หรือเปล่า ลองเขียนโจทย์ทั้งหมดออกมาเป็นแบบละเอียดก็ได้:  หลังจากหาความแตกต่างจากค่าเฉลี่ยและยกกำลังสองแล้ว คุณมีค่า (x1{\displaystyle x_{1}} - μ)2{\displaystyle ^{2}}, (x2{\displaystyle x_{2}} - μ)2{\displaystyle ^{2}}, และต่อไปเรื่อยๆ จนถึง (xn{\displaystyle x_{n}} - μ)2{\displaystyle ^{2}}, ที่ซึ่ง xn{\displaystyle x_{n}} เป็นจุดข้อมูลตัวสุดท้ายในกลุ่ม ในการหาค่าเฉลี่ยของค่าเหล่านี้ คุณบวกทั้งหมดเข้าด้วยกันแล้วหารด้วย n: ( (x1{\displaystyle x_{1}} - μ)2{\displaystyle ^{2}} + (x2{\displaystyle x_{2}} - μ)2{\displaystyle ^{2}} + ... + (xn{\displaystyle x_{n}} - μ)2{\displaystyle ^{2}} ) / n หลังจากเขียนตัวเลขภายในสัญลักษณ์ซิกม่าแล้ว คุณจะได้ (∑(xi{\displaystyle x_{i}} - μ)2{\displaystyle ^{2}})/n  สูตรสำหรับความแปรปรวนนั่นเอง
เขียนชุดข้อมูลของตัวอย่างของคุณ. เขียนสูตรความแปรปรวนของกลุ่มตัวอย่าง. คำนวณหาค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่าง ลบค่าเฉลี่ยออกจากจุดข้อมูลแต่ละตัว. ยกกำลังสองผลแต่ละตัว. หาผลรวมของค่าที่ถูกยกกำลังสอง. หารด้วย n – 1 โดยที่ n คือจำนวนสมาชิกของชุดข้อมูล. เข้าใจความแปรปรวนและค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน. เริ่มด้วยชุดข้อมูลของจำนวนประชากรทั้งหมด. เขียนสูตรความแปรปรวนของประชากรทั้งหมด. หาค่าเฉลี่ยของประชากร. ลบค่าเฉลี่ยจากแต่ละจุดข้อมูล. นำแต่ละคำตอบมายกกำลังสอง. หาค่าเฉลี่ยจากผลที่ได้. ย้อนทวนกลับไปหาสูตร.
https://www.wikihow.com/Calculate-Variance https://www.wikihow.com/Calculate-Variance
Calculating Variance of a Sample Calculating Variance of a Population