หาสมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง แก้โจทย์ที่เกี่ยวเนื่องกัน
กราฟจะทำให้เรามองโจทย์ออกได้ง่ายขึ้นและตรวจดูได้ว่าคำตอบดูเข้าทีหรือไม่ วาดกราฟของฟังก์ชันบนกระดาษกราฟโดยใช้เครื่องคิดเลขคอยอ้างอิงถ้าจำเป็น วาดเส้นสัมผัสเส้นโค้งผ่านจุดที่กำหนดมา (จำไว้ว่าเส้นสัมผัสเส้นโค้งจะผ่านจุดที่กำหนดมาให้นั้นและมีความชันเดียวกันกับกราฟตรงจุดนั้น)   ตัวอย่างที่ 1: วาดกราฟของพาราโบลา f(x)=0.5x2+3x−1{\displaystyle f(x)=0.5x^{2}+3x-1}. ลากเส้นสัมผัสเส้นโค้งผ่านจุด (-6, -1)คุณยังไม่ทราบสมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง แต่คุณสามารถบอกได้แล้วว่าความชันของมันมีค่าเป็นลบ และจุดตัดแกน y ของมันก็เป็นลบ (อยู่ใต้จุดยอดของพาราโบลาโดยมีค่า y เท่ากับ -5.5) หากคำตอบสุดท้ายที่ได้มาไม่ได้เป็นไปตามรายละเอียดที่ว่ามานี้ แสดงว่าคุณต้องตรวจทานดูว่าทำตรงไหนผิดพลาด สำหรับฟังก์ชัน f(x) แล้ว อนุพันธ์ตัวแรก f'(x) จะแทนสมการสำหรับความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ณ จุดใดๆ บน f(x) การหาอนุพันธ์นั้นทำได้หลายวิธี นี่เป็นตัวอย่างง่ายๆ โดยใช้กฎลูกโซ่:  ตัวอย่างที่ 1 (ต่อ): กราฟนี้เป็นไปตามฟังก์ชัน f(x)=0.5x2+3x−1{\displaystyle f(x)=0.5x^{2}+3x-1} ให้จำกฎลูกโซ่เวลาหาอนุพันธ์: ddxxn=nxn−1{\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}} อนุพันธ์ตัวแรกของฟังก์ชัน = f'(x) = (2)(0.5)x + 3 - 0.f'(x) = x + 3 แทนค่า a สำหรับ x ลงในสมหารนี้ และผลที่ได้จะเป็นความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งสำหรับ f(x) ในจุดที่ x = a อ่านโจทย์เพื่อดูว่าที่พิกัดของจุดไหนที่คุณจะได้เจอเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ใส่ค่าพิกัด x ของจุดนั้นลงไปใน f'(x) ผลที่ได้จะเป็นความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุดนั้น   ตัวอย่างที่ 1 (ต่อ): จุดที่โจทย์เอ่ยถึงคือ (-6, -1), ใช้พิกัดแกน x -6 เป็นค่าที่ใส่ลงไปใน f'(x):f'(-6) = -6 + 3 = -3ความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งจะเป็น -3 รูปแบบจุดและความชันของสมการเส้นตรงคือ y−y1=m(x−x1){\displaystyle y-y_{1}=m(x-x_{1})}, โดยที่ m คือความชันและ (x1,y1){\displaystyle (x_{1},y_{1})} คือพิกัดจุดบนเส้น ตอนนี้คุณทราบค่าทุกอย่างที่จำเป็นในการเขียนสมการเส้นสัมผัสเส้นโค้งในรูปแบบนี้แล้ว   ตัวอย่างที่ 1 (ต่อ): y−y1=m(x−x1){\displaystyle y-y_{1}=m(x-x_{1})}ความชันของเส้นคือ -3, ดังนั้น y−y1=−3(x−x1){\displaystyle y-y_{1}=-3(x-x_{1})}เส้นสัมผัสเส้นโค้งลากผ่านพิกัด (-6, -1), ดังนั้นสมการสุดท้ายจะเป็น y−(−1)=−3(x−(−6)){\displaystyle y-(-1)=-3(x-(-6))}ทอนได้เป็น y+1=−3x−18{\displaystyle y+1=-3x-18}y=−3x−19{\displaystyle y=-3x-19} หากคุณมีเครื่องคิดเลขแบบทำกราฟได้ ให้กราฟฟังก์ชันเดิมกับเส้นสัมผัสเส้นโค้งเพื่อตรวจทานดูว่าคำตอบถูกต้องหรือไม่ ถ้าทำในกระดาษ ให้ดูกราฟในตอนต้นเพื่อให้แน่ใจว่าไม่มีข้อผิดพลาดในคำตอบ   ตัวอย่างที่ 1 (ต่อ): กราฟตอนต้นแสดงให้เห็นว่าความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งเป็นลบ และจุดตัดแกน y นั้นต่ำกว่า -5.5 สมการเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่เราพบคือ y = -3x - 19 ในรูปแบบความชันและจุดตัด หมายถึง -3 คือความชันและ -19 คือจุดตัดบนแกน y ทั้งสองค่าล้วนเข้ากันกับสิ่งที่เราทำนายไว้ในตอนต้น ทำตามขั้นตอนทั้งหมดอีกครั้ง คราวนี้เป้าหมายคือการหาเส้นสัมผัสเส้นโค้งของ f(x)=x3+2x2+5x+1{\displaystyle f(x)=x^{3}+2x^{2}+5x+1} เมื่อ x = 2:  ใช้กฎลูกโซ่ อนุพันธ์ตัวแรก f′(x)=3x2+4x+5{\displaystyle f'(x)=3x^{2}+4x+5} ฟังก์ชันนี้จะบอกเราถึงความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง เนื่องจาก x = 2, หา f′(2)=3(2)2+4(2)+5=25{\displaystyle f'(2)=3(2)^{2}+4(2)+5=25} นี่คือความชันที่ x = 2 โปรดสังเกตว่าคราวนี้เราไม่มีจุดกำหนดมา มีเพียงพิกัดแกน x ในการหาพิกัดแกน y นั้น ให้แทนค่า x = 2 ลงในฟังก์ชันตอนแรก: f(2)=23+2(2)2+5(2)+1=27{\displaystyle f(2)=2^{3}+2(2)^{2}+5(2)+1=27} จุดนั้นคือ (2,27) เขียนสมการเส้นสัมผัสเส้นโค้งในรูปแบบจุดและความชัน: y−y1=m(x−x1){\displaystyle y-y_{1}=m(x-x_{1})}y−27=25(x−2){\displaystyle y-27=25(x-2)}ถ้าต้องใช้ ให้ทอนเหลือ y = 25x - 23 . นี่คือจุดที่กราฟขึ้นไปถึงจุดสูงสุด (จุดที่อยู่สูงกว่าจุดข้างๆ ทั้งสองข้าง) หรือจุดต่ำสุด (ต่ำกว่าจุดข้างๆ ทั้งสองข้าง) เส้นสัมผัสเส้นโค้งจะมีความชันเท่ากับ 0 ที่จุดเหล่านี้เสมอ (เป็นเส้นระนาบ) แต่ความชันที่เป็นศูนย์อย่างเดียวไม่ได้รับประกันการเป็นจุดสูงสุดต่ำสุด นี่คือวิธีหาจุดเหล่านี้:  หาอนุพันธ์ตัวแรกของฟังก์ชันเพื่อให้ได้ f'(x), สมการสำหรับความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง แก้โจทย์สำหรับ f'(x) = 0 เพื่อหาจุดสูงสุดต่ำสุด ที่เป็นไปได้  หาอนุพันธ์ตัวที่สองเพื่อให้ได้ f''(x), สมการที่จะบอกคุณว่าความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งเปลี่ยนแปลงไปเร็วขนาดไหน สำหรับจุดสูงสุดต่ำสุดที่เป็นไปได้แต่ละจุด ให้แทนค่าพิกัด a ของแกน x ลงใน f''(x) ถ้าหาก f''(a) เป็นบวกแล้ว จะมีจุดต่ำสุดที่ a, หาก f''(a) เป็นลบก็จะมีจุดสูงสุด และหาก f''(a) เป็น 0, มันจะเป็นแค่จุดเปลี่ยนเว้า ไม่ใช่จุดสูงสุดต่ำสุด หากมีจุดสูงสุดหรือต่ำสุดที่ a, ให้หา f(a) เพื่อให้ได้พิกัดแกน y เส้น"ปกติ"ของเส้นโค้งในจุดใดจุดหนึ่งจะตัดผ่านจุดนั้น แต่มีความชันตั้งฉากกับเส้นสัมผัสเส้นโค้ง การหาสมการของเส้นปกตินั้น ให้ใช้ประโยชน์ของข้อเท็จจริงที่ว่า (ความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง)(ความชันของเส้นปกติ) = -1, เมื่อทั้งคู่ต่างผ่านจุดเดียวกันบนกราฟ หรือพูดอีกแบบก็คือ:  หา f'(x), ความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง หากจุดบนแกน x = a, หา f'(a) เพื่อหาความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งตรงจุดนั้น คำนวณ −1f′(a){\displaystyle {\frac {-1}{f'(a)}}} เพื่อหาความชันของเส้นปกติ เขียนสมการเส้นปกติในรูปแบบความชันและจุด
วาดกราฟคร่าวๆ ของฟังก์ชันและเส้นสัมผัสเส้นโค้ง (ขอแนะนำ). นำอนุพันธ์ตัวแรกมาหาสมการสำหรับ ความชัน ของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง. ใส่ค่า x ของจุดที่คุณต้องหาตามโจทย์. เขียนสมการเส้นสัมผัสเส้นโค้งในรูปแบบจุดและความชัน. ยืนยันสมการลงบนกราฟ. ลองทำโจทย์ที่ยากกว่าเดิม. หาจุดต่ำสุดสูงสุดบนกราฟ หาสมการของเส้นปกติ.
https://www.wikihow.com/Find-the-Equation-of-a-Tangent-Line https://www.wikihow.com/Find-the-Equation-of-a-Tangent-Line
Finding the Equation of a Tangent Line Solving Related Problems