แยกตัวประกอบ รวมพจน์ที่เหมือนกัน ประยุกต์ใช้ทักษะการทอนเพิ่มเติม
การแยกตัวประกอบเป็นวิธีการทอนนิพจน์โดยเอาตัวประกอบที่มีร่วมในพจน์ทุกพจน์ภายในนิพจน์นั้นออกไป เริ่มด้วยการหาตัวประกอบร่วมที่มีค่าสูงที่สุดที่พจน์ทุกพจน์ภายในนิพจน์นั้นต่างมีร่วมกัน พูดอีกอย่างคือ จำนวนสูงที่สุดที่ซึ่งหารพจน์ทุกพจน์ภายในนิพจน์ได้ลงตัว  มาใช้สมการ 9x2 + 27x – 3 โปรดสังเกตว่าทุกพจน์ในสมการนี้สามารถหารลงตัวด้วย 3 เนื่องจากพจน์ทั้งหมด ไม่สามารถ หารลงตัวทั้งหมดด้วยจำนวนที่สูงกว่านี้ เราจึงบอกได้ว่า 3 เป็นตัวประกอบร่วมที่มีค่าสูงที่สุดในนิพจน์ ต่อไปให้หารทุกพจน์ในสมการด้วยตัวประกอบร่วมที่มีค่าสูงสุดที่คุณเพิ่งหาพบ พจน์ที่ได้ทั้งหมดจะมีตัวสัมประสิทธิ์ต่ำลงกว่าในนิพจน์เดิม  มาแยกตัวประกอบสมการของเราด้วยตัวประกอบร่วมที่มีค่าสูงสุดซึ่งก็คือ 3 โดยเราจะหารพจน์แต่ละพจน์ด้วย 3  9x2/3 = 3x2  27x/3 = 9x -3/3 = -1 ดังนั้น นิพจน์ใหม่ของเราจึงเป็น 3x2 + 9x - 1 นิพจน์ใหม่นี้ไม่เท่ากับนิพจน์เดิม ดังนั้นจึงไม่ถูกต้องถ้าจะบอกว่ามันถูกทอนลงให้อยู่ในรูปง่ายขึ้น ถ้าจะทำให้นิพจน์ใหม่มีค่าเท่ากับนิพจน์เดิม เราจำเป็นต้องคำนึงถึงข้อเท็จจริงที่ว่ามันถูกหารด้วยตัวประกอบร่วมที่มีค่าสูงสุดไปแล้ว ให้ใส่วงเล็บนิพจน์ใหม่แล้วเติมตัวประกอบร่วมสูงสุดของสมการเดิมเป็นตัวสัมประสิทธิ์ของนิพจน์ที่อยู่ในวงเล็บ  สำหรับนิพจน์ตัวอย่างของเรา 3x2 + 9x - 1, เราจะใส่นิพจน์ไว้ในวงเล็บและคูณด้วยตัวประกอบร่วมที่มีค่าสูงสุดของสมการเดิมเพื่อจะได้ 3(3x2 + 9x - 1) สมการนี้จะมีค่าเท่ากับสมการเดิม, 9x2 + 27x - 3 ตอนนี้คุณอาจนึกสงสัยว่าทำไมการแยกตัวประกอบถึงมีประโยชน์ถ้าเกิดว่าหลังจากแยกตัวประกอบร่วมที่มีค่าสูงสุดออกมาแล้ว สุดท้ายก็ยังต้องเอามันไปคูณกับนิพจน์ใหม่อยู่ดี ซึ่งที่จริงแล้วการแยกตัวประกอบทำให้นักคณิตศาสตร์สามารถใช้เคล็ดลับมากมายมาพลิกแพลงเพื่อทอนนิพจน์ หนึ่งในวิธีที่ง่ายที่สุดคือการใช้ประโยชน์จากข้อเท็จจริงที่ว่าการคูณตัวเศษและตัวส่วนด้วยจำนวนเดียวกันจะทำให้ได้เศษส่วนที่เท่ากัน ดูด้านล่างนี้: สมมติว่า 9x2 + 27x – 3 นิพจน์ตัวอย่างเดิมของเราเป็นตัวเศษของเศษส่วนที่มี 3 อยู่ในตัวส่วน เศษส่วนนี้จะมีหน้าตาเช่นนี้: (9x2 + 27x - 3)/3 เราสามารถใช้การแยกตัวประกอบมาทอนเศษส่วนนี้ได้  นำรูปแบบนิพจน์เดิมที่ทำการแยกตัวประกอบแล้วมาแทนนิพจน์ที่เป็นตัวเศษ: (3(3x2 + 9x - 1))/3 โปรดสังเกตว่า ตอนนี้ทั้งเศษและส่วนต่างมีตัวสัมประสิทธิ์ 3 ร่วมกัน เมื่อหารเศษและส่วนด้วย 3, เราจะได้: (3x2 + 9x - 1)/1 เนื่องจากเศษส่วนใดๆ ที่มี "1" ในตัวส่วนจะเท่ากับพจน์ที่เป็นตัวเศษ เราสามารถบอกได้ว่าเศษส่วนเดิมของเรานั้นสามารถทอนให้อยู่ในรูปอย่างง่ายได้เป็น 3x2 + 9x - 1 สมการทางพีชคณิตที่เรียบง่ายที่สุดคือมีตัวแปรสองสามตัวและมีสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มโดยไม่มีเศษส่วน ไม่ติดราก เป็นอาทิ จะสามารถแก้ได้ในไม่กี่ขั้นตอน และก็เหมือนโจทย์คณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ ขั้นตอนแรกของการทอนสมการก็คือเขียนมันลงไป! ในฐานะโจทย์ตัวอย่างสำหรับไม่กี่ขั้นตอนถัดไป สมมติว่ามีนิพจน์ 1 + 2x - 3 + 4x ขั้นต่อไปให้หาพจน์ที่เหมือนกันในสมการ จำไว้ว่าพจน์ที่เหมือนกันจะมีทั้งตัวแปรกับเลขยกกำลังตัวเดียวกัน  ตัวอย่าง ลองหาพจน์ที่เหมือนกันในสมการของเรา 1 + 2x - 3 + 4x ซึ่ง 2x กับ 4x ล้วนมีตัวแปรเดียวกันและยกกำลังเดียวกัน (ในกรณีนี้ ตัวแปร x ไม่ได้มีเลขยกกำลังใดๆ) นอกจากนั้น 1 กับ -3 ก็เป็นพจน์ที่เหมือนกัน เพราะต่างไม่ติดตัวแปรทั้งคู่ ดังนั้น ในสมการของเรา 2x และ 4x กับ 1 และ  -3 เป็นพจน์ที่เหมือนกัน ตอนนี้พอคุณหาพจน์ที่เหมือนกันได้แล้ว ก็สามารถรวมมันเพื่อทอนสมการให้ง่ายขึ้นได้ บวกพจน์นั้นด้วยกัน (หรือลบถ้ามันอยู่ในรูปติดลบ) เพื่อลดจำนวนพจน์ที่มีตัวแปรเดียวกันกับเลขยกกำลังเดียวกันให้เหลือเพียงพจน์เดียว  มาบวกพจน์ที่เหมือนกันในตัวอย่าง  2x + 4x = 6x  1 + -3 = -2 หลังจากรวมพจน์ที่เหมือนกันเข้าด้วยกัน ให้สร้างนิพจน์จากพจน์ใหม่ที่เล็กลงนี้ คุณควรได้นิพจน์ที่ดูง่ายขึ้นที่มีพจน์เดียวสำหรับตัวแปรกับเลขยกกำลังแต่ละตัว นิพจน์ใหม่นี้จะมีค่าเท่ากันกับนิพจน์เดิม  ในตัวอย่างของเรา พจน์ที่ถูกทอนค่าแล้วคือ 6x กับ -2, ดังนั้นนิพจน์ใหม่จะเป็น 6x - 2 นิพจน์ที่อยู่ในรูปง่ายขึ้นนี้มีค่าเท่ากับนิพจน์เดิม (1 + 2x - 3 + 4x), แต่สั้นลงและคำนวณได้ง่ายขึ้น ซึ่งจะง่ายต่อการแยกตัวประกอบด้วย ซึ่งเราจะได้เห็นต่อไปว่ามันเป็นทักษะการทอนที่สำคัญอีกอย่างเช่นกัน ในนิพจน์ที่เรียบง่ายอย่างมากเช่นในตัวอย่างข้างต้น การหาพจน์ที่เหมือนกันนั้นง่ายมาก กระนั้น ในนิพจน์ที่ซับซ้อนกว่านี้ อย่างในแบบที่มีทั้งวงเล็บ เศษส่วน และติดเครื่องหมายกรณฑ์นั้น พจน์เหมือนกันที่สามารถจับมารวมกันได้อาจมองไม่ออกในทันที ในกรณีเหล่านี้ให้ทำตามลำดับของการปฏิบัติการ ทำการคำนวณในพจน์ภายในนิพจน์ตามความจำเป็น จนกระทั่งเหลือแค่ลำดับการบวกและลบ  ตัวอย่าง สมมติว่ามีสมการ 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x จะทำผิดทันทีถ้ามองว่า 3x กับ 2x เป็นพจน์ที่เหมือนกันและนำมารวมกันทันที เพราะวงเล็บในนิพจน์กำกับให้เราต้องทำการคำนวณอื่นก่อน ดังนั้นตอนแรกให้ทำการคำนวณในนิพจน์ตามลำดับการปฏิบัติการเพื่อให้ได้พจน์ที่เรา สามารถ ใช้ได้ ดังต่อไปนี้:  5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x 15x - 5 + x2 + 8 - 3x ตอนนี้ เนื่องจากลำดับการปฏิบัติการเหลือเพียงการบวกและลบ เราสามารถรวมพจน์ที่เหมือนกันได้ x2 + (15x - 3x) + (8 - 5) x2 + 12x + 3 ดังที่ตั้งข้อสังเกตไว้ด้านบน ถ้าหากตัวเศษและตัวส่วนของนิพจน์มีตัวประกอบร่วมกัน ตัวประกอบเหล่านี้สามารถยกออกมาจากเศษส่วนได้ทั้งหมด บางครั้งอาจต้องทำการแยกตัวประกอบจำนวนเศษ, จำนวนส่วน หรือทั้งคู่ (ดังเช่นโจทย์ตัวอย่างด้านบน) ในขณะที่บางทีก็เห็นตัวประกอบร่วมได้ในทันที โปรดสังเกตว่ามีทางเป็นไปได้ที่จะหารพจน์ที่เป็นเศษด้วยนิพจน์ในตัวส่วนแบบแยกจากกันเพื่อให้ได้นิพจน์ในแบบทอนรูปลงมา  สมมติโจทย์ที่ไม่จำเป็นต้องใช้การแตกตัวประกอบออกมา สำหรับเศษส่วน (5x2 + 10x + 20)/10, เราอาจต้องการหารทุกพจน์ในตัวเศษด้วย 10 ในตัวส่วนเพื่อทอนมันลง ถึงแม้ว่าสัมประสิทธิ์ "5" ใน 5x2 จะมีค่าน้อยกว่า 10 และจึงไม่สามารถมี 10 เป็นตัวประกอบได้ ทำเช่นนั้นเราจะได้ ((5x2)/10) + x + 2 ถ้าต้องการเรายังอาจเขียนพจน์แรกใหม่เป็น (1/2)x2 เพื่อให้ได้ (1/2)x2 + x + 2 นิพจน์ที่อยู่ใต้เครื่องหมายกรณฑ์หรือติดรากนั้นเรียกว่านิพจน์ติดกรณฑ์ พวกมันสามารถทอนลงได้โดยการหาตัวประกอบยกกำลังสอง (ตัวประกอบที่ตัวมันเองเป็นตัวยกกำลังสองของจำนวนเต็ม) และทำการยกกำลังสองมันแยกออกมาเพื่อจะกำจัดมันออกไปจากเครื่องหมายกรณฑ์  สมมติตัวอย่างง่ายๆ - √(90) หากเราคิดถึงเลข 90 ว่าเป็นผลลัพธ์ของตัวประกอบสองตัวคือ 9 กับ 10, เราสามารถถอดรากที่สองของ 9 เพื่อให้ได้จำนวนเต็ม 3 และเอามันออกมาจากเครื่องหมายกรณฑ์ หรือพูดอีกอย่างก็คือ:  √(90) √(9 × 10) (√(9) × √(10)) 3 × √(10) 3√(10) นิพจน์พีชคณิตบางตัวต้องมีการคูณหรือหารพจน์ที่มีเลขยกกำลัง แทนที่จะมาคิดพจน์ยกกำลังแต่ละตัวแล้วค่อยทำการคูณหรือหารนั้น แค่ บวก เลขยกกำลังเวลาต้องคูณ และ ลบ เมื่อหารเพื่อประหยัดเวลา แนวคิดนี้สามารถใช้ทอนนิพจน์ที่ติดตัวแปรทั้งหลาย   ตัวอย่าง สมมติว่ามีนิพจน์ 6x3 × 8x4 + (x17/x15) ในแต่ละโอกาสที่จำเป็นต้องคูณหรือหารด้วยเลขยกกำลัง เราจะลบหรือบวกเลขยกกำลังนั้นก่อนตามลำดับเพื่อหาพจน์ที่ทอนให้ง่ายแล้ว ดูด้านล่างนี้:  6x3 × 8x4 + (x17/x15) (6 × 8)x3 + 4 + (x17 - 15) 48x7 + x2   สำหรับคำอธิบายว่าทำไมมันถึงใช้ได้ ดูด้านล่างนี้:  การคูณพจน์ยกกำลังนั้นก็เหมือนการคูณพจน์ที่ไม่ได้ยกกำลังต่อเนื่องกันเป็นแถวยาว ตัวอย่างเช่น เนื่องจาก x3 = x × x × x และ x 5 = x × x × x × x × x, x3 × x5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), หรือ x8  เช่นเดียวกัน การหารพจน์ยกกำลังก็เหมือนการหารพจน์ที่ไม่ได้ยกกำลังต่อเนื่องกันเป็นแถวยาว x5/x3 = (x × x × x × x × x)/(x × x × x) เนื่องจากพจน์แต่ละพจน์ในตัวเศษสามารถตัดออกได้ก็จากการมีพจน์ที่เหมือนกันในตัวส่วน เราจึงเหลือ x สองตัวในตัวเศษและไม่เหลืออะไรในตัวส่วน ทำให้เราได้คำตอบของ x2
หาตัวประกอบร่วมที่มีค่าสูงที่สุดภายในนิพจน์นั้น. หารพจน์ภายในนิพจน์ด้วยตัวประกอบร่วมที่มีค่าสูงสุด. แสดงนิพจน์ในฐานะผลลัพธ์ของตัวประกอบร่วมที่มีค่าสูงสุดกับพจน์ที่เหลือ. ใช้การแยกตัวประกอบเพื่อทอนเศษส่วน. เขียนสมการ. มองหาพจน์ที่เหมือนกัน. รวมพจน์ที่เหมือนกัน. สร้างนิพจน์ที่ถูกทอนลงแล้วจากพจน์ที่คุณทอนให้ง่ายขึ้น. ทำตามลำดับการปฏิบัติเวลารวมพจน์ที่เหมือนกัน. ทอนเศษส่วนโดยการหารด้วยตัวประกอบร่วม. ใช้ตัวประกอบยกกำลังสองในการทอนเครื่องหมายกรณฑ์. บวกเลขยกกำลังเวลาคูณพจน์ยกกำลังสองจำนวนและลบถ้าเป็นการหาร.
https://www.wikihow.com/Simplify-Algebraic-Expressions https://www.wikihow.com/Simplify-Algebraic-Expressions https://www.wikihow.com/Simplify-Algebraic-Expressions
Factoring Combining Like Terms Applying Additional Simplification Skills