เข้าใจว่าการคำนวณนี้เป็นไปได้อย่างไร หารากที่สามโดยการประมาณซ้ำ แก้โจทย์หารากที่สามตามตัวอย่าง
การทำความเข้าใจว่าทำไมขั้นตอนวิธีนี้จึงใช้ได้ผลในการหารากที่สามนั้น คุณจำต้องรู้ว่าการกระจายกำลังสามของเลขทวินามมีหน้าตาเช่นไร คุณอาจเคยเรียนในวิชาพีชคณิตมาแล้วในชั้นมัธยมปลาย (และถ้าเหมือนคนส่วนใหญ่ ก็มักจะส่งคืนคุณครูไปหมดแล้ว) เลือกตัวแปรสองตัว A{\displaystyle A} กับ B{\displaystyle B} สำหรับแทนตัวเลขหนึ่งหลัก แล้วสร้างทวินามของ (10A+B){\displaystyle (10A+B)} เพื่อแทนจำนวนเลขสองหลัก  ใช้พจน์ 10A{\displaystyle 10A} ในการสร้างเลขจำนวนสองหลัก ไม่ว่าคุณจะเลือกจำนวนใดสำหรับ A{\displaystyle A}, 10A{\displaystyle 10A} จะนำเลขนั้นไปใส่ไว้ในหลักสิบ เช่น หาก A{\displaystyle A} คือ 2 และ B{\displaystyle B} คือ 6 ดังนั้น (10A+B){\displaystyle (10A+B)} จะกลายเป็น 26 เรากำลังทวนย้อนกลับไป โดยการสร้างเลขกำลังสามก่อน แล้วค่อยดูทำไมคำตอบสำหรับรากที่สามถึงใช้ได้ เราจำเป็นต้องหาค่าของ (10A+B)3{\displaystyle (10A+B)^{3}} ทำได้โดยการคูณ (10A+B)∗(10A+B)∗(10A+B){\displaystyle (10A+B)*(10A+B)*(10A+B)} มันยาวเกินกว่าจะแสดงให้ดูตรงนี้ แต่ผลลัพธ์จะเท่ากับ 1000A3+300A2B+30AB2+B3{\displaystyle 1000A^{3}+300A^{2}B+30AB^{2}+B^{3}}  สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติมของการกระจายทวินามให้ได้ผลตามนี้ คุณสามารถหาอ่านบทความการคูณทวินามในวิกิฮาว สำหรับแบบที่ก้าวหน้ากว่าและลัดกว่า ให้อ่านบทความการคำนวณ (x+y)^n ด้วยสามเหลี่ยมปาสคาล สังเกตว่าวิธีการคำนวณรากที่สามนั้นได้ผลเหมือนการหารยาว ในการหารยาวนั้น คุณจะหาแฟกเตอร์สองตัวที่คูณกันแล้วได้ผลลัพธ์ของตัวเลขที่คุณเริ่มต้นหาร ในการคำนวณตรงนี้ ตัวเลขที่คุณกำลังไขมันอยู่ (ตัวเลขที่จะขึ้นไปอยู่ข้างบนของเครื่องหมายราก) เป็นรากที่สาม นั่นหมายถึงมันแทนพจน์ (10A+B) ตัวเลขแท้จริงของ A กับ B นั้นตอนนี้จะไม่มีความหมาย ตราบเท่าที่คุณจดจำความสัมพันธ์กับคำตอบ เมื่อคุณดูพหุนามที่ถูกกระจายออกมา คุณจะเห็นว่าทำไมขั้นตอนวิธีของรากที่สามถึงใช้ได้ผล จำไว้ว่าตัวหารในแต่ละขั้นของขั้นตอนวิธีคือผลรวมของพจน์สี่พจน์ที่คุณจำเป็นต้องคำนวณและนำมาบวกกัน พจน์เหล่านี้มีดังนี้:  พจน์แรกจะเป็นผลคูณของ 1000 คุณหาตัวเลขแรกที่สามารถยกกำลังสามและยังอยู่ภายในช่วงระยะสำหรับการหารยาวสำหรับคำตอบหน่วยแรก มันจึงเป็นพจน์ 1000A^3 ในการกระจายทวินาม พจน์ที่สองของการกระจายทวินามมีค่าสัมประสิทธิ์ของ 300 (จริงๆ แล้วมาจาก 3∗102{\displaystyle 3*10^{2}}) จำไว้ว่าในการคำนวณรากที่สามนั้น ตัวเลขหน่วยแรกของแต่ละขั้นตอนจะต้องคูณด้วย 300 หน่วยที่สองในแต่ละขั้นตอนของการคำนวณรากที่สามจะมาจากพจน์ที่สามของการกระจายทวินาม ในการกระจายทวินามนั้น คุณจะเห็นพจน์ 30AB^2 หน่วยสุดท้ายของแต่ละขั้นตอนคือพจน์ B^3 เมื่อทำขั้นตอนวิธีการหารยาว แต่ละขั้นจะยิ่งให้คำตอบที่แม่นยำขึ้น เช่น โจทย์ตัวอย่างใบบทความนี้คือหารากที่สามของ 10 คำตอบในขั้นตอนแรกเป็นแค่ 2 เพราะ 23{\displaystyle 2^{3}} นั้นใกล้เคียงแต่น้อยกว่า 10 ซึ่งจริงๆ แล้ว 23=8{\displaystyle 2^{3}=8} หลังจากรอบที่สอง คุณได้คำตอบ 2.1 เมื่อทดสอบดู 2.13=9.261{\displaystyle 2.1^{3}=9.261} ซึ่งใกล้เคียงกับค่าเป้าหมายที่ 10 ขึ้นกว่าเดิม หลังจากรอบที่สาม คราวนี้ได้ 2.15 ซึ่งให้ผล 2.153=9.94{\displaystyle 2.15^{3}=9.94} คุณสามารถทำไปโดยใช้เลขกลุ่มละสามหลักจนได้ค่าใกล้เคียงกับที่พอใจ หากคุณต้องหารากที่สามของเกือบทุกจำนวนใดๆ ให้เริ่มโดยการเลือกค่ากำลังสามสมบูรณ์ที่ใกล้เคียงกับมันมากที่สุด โดยที่ยังไม่เกินไปจากจำนวนเป้าหมาย  ตัวอย่าง หากคุณต้องการหารากที่สามของ 600 จำ (หรือใช้ตารางเลขยกกำลังสาม) ได้ว่า 83=512{\displaystyle 8^{3}=512} และ 93=729{\displaystyle 9^{3}=729} ดังนั้น คำตอบของรากที่สามของ 600 จะต้องเป็นเลขสักอย่างที่อยู่ระหว่าง 8 กับ 9 คุณจะใช้เลข 512 กับ 729 เป็นตัวจำกัดขอบเขตที่เหนือกว่าและต่ำกว่าสำหรับคำตอบ หน่วยแรกนั้นมาจากความรู้เรื่องตัวเลขยกกำลังสาม สำหรับหน่วยถัดไปนั้น ประมาณค่าตัวเลขระหว่าง 0 ถึง 9 โดยดูจากตัวเลขเป้าหมายนั้นอยู่ระหว่างตัวเลขที่เป็นขอบเขตจำกัดทั้งสองตัว  ในตัวอย่าง เป้าหมายของ 600 จะอยู่ประมาณครึ่งหนึ่งระหว่างตัวเลขขอบเขตของ 512 กับ 729 ดังนั้น เลือก 5 เป็นหน่วยถัดไป ลองคูณค่าประมาณดังกล่าวเพื่อดูว่าใกล้เคียงกับตัวเลขของโจทย์หรือไม่  ในตัวอย่างนี้ คูณ 8.5∗8.5∗8.5=614.1{\displaystyle 8.5*8.5*8.5=614.1} หลังจากยกกำลังสามค่าประมาณการสุดท้าย ตรวจดูว่าคำตอบนั้นใกล้เคียงกับตัวเลขของโจทย์หรือไม่ ถ้าตัวเลขนั้นสูงกว่า คุณต้องลดค่าประมาณการลงมาหนึ่งหรือกว่านั้น ถ้าผลต่ำกว่าก็อาจปรับเพิ่มขึ้นจนกระทั่งใกล้เคียงตัวเลขโจทย์  เช่น ในโจทย์ข้อนี้ 8.53{\displaystyle 8.5^{3}} มีค่าสูงกว่าเลข 600 ดังนั้นคุณควรลดค่าประมาณเหลือ 8.4 ยกกำลังสามตัวเลขนี้แล้วเทียบกับโจทย์ คุณจะพบว่า 8.4∗8.4∗8.4=592.7{\displaystyle 8.4*8.4*8.4=592.7} ตอนนี้มันน้อยกว่าเลขเป้าหมายแล้ว ดังนั้น คุณรู้ว่ารากที่สามของ 600 จะต้องมีค่าอย่างน้อย 8.4 แต่น้อยกว่า 8.5 ทำการประมาณตัวเลขจาก 0 ถึง 9 ต่อจนคำตอบใกล้เคียงกับที่ต้องการ ในแต่ละรอบเริ่มด้วยการดูว่าการคำนวณล่าสุดได้ค่าอยู่ระหว่างจำนวนขอบเขตเท่าไหร่  ในตัวอย่าง การคำนวณรอบที่แล้วแสดงว่า 8.43=592.7{\displaystyle 8.4^{3}=592.7} ในขณะที่ 8.53=614.1{\displaystyle 8.5^{3}=614.1} เลขเป้าหมาย 600 นั้นใกล้เคียงกับ 592 มากกว่า 614 ดังนั้นการเดาต่อไปให้เริ่มจากการเลือกตัวเลขที่น้อยกว่าครึ่งหนึ่งระหว่าง 0 กับ 9 เล็กน้อย เดาดีๆ น่าจะเป็น 4 จึงประมาณรากที่สามเป็น 8.44 มากเท่าที่ต้องการ ยกกำลังสามค่าที่ประมาณแล้วเทียบกับเลขเป้าหมาย คุณต้องหาเลขที่ต่ำกว่าหรือสูงกว่าเลขเป้าหมายเล็กน้อย  สำหรับตัวอย่าง เริ่มหาว่า 8.44∗8.44∗8.44=601.2{\displaystyle 8.44*8.44*8.44=601.2} ซึ่งมันสูงกว่าเป้าหมายเล็กน้อย ลดลงมาและทดสอบ 8.43 จะได้ 8.43∗8.43∗8.43=599.07{\displaystyle 8.43*8.43*8.43=599.07} ดังนั้น คุณรู้ว่ารากที่สามของ 600 คือเลขสักอย่างที่มากกว่า 8.43 และน้อยกว่า 8.44 ทำตามขั้นตอนประมาณการนี้ เปรียบเทียบแล้วปรับจำนวนตามความต้องการ จนกระทั่งได้คำตอบแม่นยำตามความพอใจ ยิ่งตัวเลขในจุดทศนิยมยิ่งมากก็ยิ่งใกล้ค่าที่แท้จริง  สำหรับโจทย์ตัวอย่างรากที่สามของ 600 นั้น เมื่อคุณใช้เลขทศนิยมสองหลักที่ 8.43 คุณจะอยู่ห่างจากเลขเป้าหมายน้อยกว่า 1 หากคุณจะหาทศนิยมสามหลัก คุณจะพบว่า 8.4343=599.93{\displaystyle 8.434^{3}=599.93} น้อยกว่าคำตอบที่แท้จริงแค่ 0.1 การแก้รากที่สามของจำนวนตัวเลขจะเหมือนโจทย์การหารยาวที่มีความแตกต่างเป็นพิเศษอยู่บ้าง ขั้นตอนแรกคือการกำหนดโจทย์ให้อยู่ในรูปแบบที่ถูกต้อง   เขียนจำนวนที่คุณจะหารากที่สาม เขียนจำนวนหลักให้อยู่ในกลุ่มทีละสาม โดยใช้จุดทศนิยมเป็นตัวเริ่มต้น สำหรับตัวอย่างนี้ เราจะหารากที่สามของ 10 ให้เขียนเป็น 10. 000 000 ซึ่ง 0 ที่เพิ่มเข้ามาก็เพื่อให้แก้โจทย์ได้แม่นยำขึ้น วาดเครื่องหมายรากที่สามเหนือตัวเลข มันจะทำหน้าที่เดียวกับเส้นหารยาว แตกต่างกันแต่เพียงหน้าตาของเครื่องหมาย ใส่จุดทศนิยมเหนือเส้นด้านบน โดยให้จุดทศนิยมตรงกันกับจุดของเลขเดิม คุณจะต้องใช้มันในการคิดคำนวณ ค่ารากที่สามเป็นดังนี้:   13=1∗1∗1=1{\displaystyle 1^{3}=1*1*1=1} 23=2∗2∗2=8{\displaystyle 2^{3}=2*2*2=8} 33=3∗3∗3=27{\displaystyle 3^{3}=3*3*3=27} 43=4∗4∗4=64{\displaystyle 4^{3}=4*4*4=64} 53=5∗5∗5=125{\displaystyle 5^{3}=5*5*5=125} 63=6∗6∗6=216{\displaystyle 6^{3}=6*6*6=216} 73=7∗7∗7=343{\displaystyle 7^{3}=7*7*7=343} 83=8∗8∗8=512{\displaystyle 8^{3}=8*8*8=512} 93=9∗9∗9=729{\displaystyle 9^{3}=9*9*9=729} 103=10∗10∗10=1000{\displaystyle 10^{3}=10*10*10=1000} เลือกตัวเลขที่เมื่อยกกำลังสามแล้วให้ผลที่มีจำนวนสูงที่สุดนั้นน้อยกว่าเลขกลุ่มแรกในกลุ่มทีละสามตัว  ในตัวอย่างนี้ เลขกลุ่มแรกในกลุ่มทีละสามตัวของโจทย์คือ 10 หาค่าที่มากที่สุดของเลขยกกำลังสามที่น้อยกว่า 10 ซึ่งเลขตัวนั้นคือ 8 อันเป็นรากที่สามของ 2 เขียนเลข 2 เหนือเส้นรากข้างบนตัวเลข 10 เขียนค่าของ 23{\displaystyle 2^{3}}, ซึ่งเท่ากับ 8 ใต้ตัวเลข 10 ขีดเส้นแล้วทำการลบกันเหมือนเวลาหารยาว ผลที่ได้คือ 2 หลังลบกันเสร็จ คุณมีเลขหน่วยแรกของคำตอบแล้ว คุณจะต้องดูว่าเจ้าเลขตัวเดียวนี้ใช่ผลที่แม่นยำแล้วหรือไม่ ซึ่งส่วนใหญ่ก็ยังไม่ใช่หรอก คุณสามารถตรวจสอบว่ามันใกล้เคียงพอหรือยัง ในตรงนี้เพราะ 23{\displaystyle 2^{3}} ได้แค่ 8 ยังไม่ใกล้เคียงกับ 10 คุณจึงต้องหาต่อ เอากลุ่มตัวเลขสามตัวถัดไปมาใส่ในเลขเศษ แล้วขีดเส้นแนวตั้งเล็กๆ ทางด้านซ้ายของเลขที่ได้ นี่จะเป็นเลขฐานสำหรับหาหน่วยถัดไปของคำตอบรากที่สาม ในตัวอย่างนี้ มันควรเป็นเลข 2000 ซึ่งมาจากเลขเศษของการลบคือ 2 ตามด้วยกลุ่มเลข 0 สามตัวที่คุณดึงลงมา  ทางด้านซ้ายของเส้นแนวตั้ง คุณจะต้องหาตัวหารถัดไป เป็นผลรวมของเลขแยกจากกันสามตัว หาที่ว่างเขียนตัวเลขเหล่านี้โดยขีดเส้นใต้เปล่าสามเส้น และเติมเครื่องหมายบวกระหว่างเส้นนั้น สำหรับส่วนแรกของตัวหาร เขียนตัวเลขยกกำลังสองของจำนวนใดๆ ที่อยู่ข้างบนของเครื่องหมายรากแล้วมาคูณด้วยสามร้อย ในกรณีนี้ ตัวเลขข้างบนคือ 2 และ 2^2 คือ 4 และ 4*300=1200 ดังนั้นเขียน 1200 ลงไปในที่ว่างแถวแรก ตัวหารสำหรับขั้นตอนนี้คือ 1200 บวกกับอะไรสักอย่างที่คุณจะหาต่อไป หาหน่วยถัดไปของคำตอบโดยการเลือกว่าอะไรที่คุณสามารถคูณด้วยตัวหาร 1200 อะไรสักอย่าง แล้วมาลบจากเศษที่เหลือของ 2000 ซึ่งมีเพียงแค่ 1 เนื่องจาก 2 คูณ 1200 จะได้ 2400  ซึ่งเกินกว่า 2000 เขียนเลข 1 ในพื้นที่ว่างถัดไปเหนือเครื่องหมายราก ตัวหารสำหรับขั้นตอนนี้จะมาจากสามส่วนด้วยกัน ส่วนแรกคือเลข 1200 ที่คุณมีอยู่แล้ว คุณจำต้องเพิ่มอีกสองพจน์เพื่อให้ตัวหารสมบูรณ์   ตอนนี้คำนวณ 3 คูณ 10 คูณตัวเลขแต่ละตัวในคำตอบที่อยู่เหนือเครื่องหมายราก สำหรับโจทย์ตัวอย่างนี้ นั่นหมายถึง 3*10*2*1 ซึ่งจะเท่ากับ 60 บวกมันเข้าไปในเลข 1200 ที่มีอยู่แล้ว ทำให้ได้ 1260 สุดท้าย บวกค่ายกกำลังสองของตัวเลขสุดท้าย ในตัวอย่างนั่นคือ 1 และ 1^2 ก็ยังเท่ากับ 1 ตัวหารทั้งหมดจึงเท่ากับ 1200+60+1 หรือ 1261 เขียนมันไว้ทางซ้ายของเส้นดิ่ง ทำให้คำตอบรอบนี้เสร็จสิ้นโดยการคูณหน่วยสุดท้ายของคำตอบ ในกรณีนี้คือเลข 1 คูณกับตัวหารที่คุณเพิ่งคำนวณได้คือ 1261 จะได้ 1*1261 =1261 เขียนมันใต้ค่า 2000 แล้วลบออก ก็จะได้ 739 หลังจากทำการลบในแต่ละขั้นตอนแล้ว คุณต้องมาดูว่าคำตอบที่ได้แม่นยำใกล้เคียงพอหรือยัง สำหรับรากที่สามของ 10 หลังการลบครั้งแรกนั้น รากที่สามมีแค่ 2 ซึ่งไม่ละเอียดเลย ตอนนี้หลังจากรอบที่สอง คำตอบเป็น 2.1   คุณสามารถตรวจทานความละเอียดของผลที่ได้โดยการยกกำลังสามให้มัน 2.1*2.1*2.1 ผลลัพธ์คือ 9.261 หากคุณเชื่อว่าค่าที่ได้ละเอียดพอแล้ว จะหยุดทำแค่นี้ก็ได้ หากต้องการคำตอบที่แม่นยำกว่านี้ ก็ทำต่ออีกรอบ ในกรณีนี้ ถ้าต้องการคำตอบที่ละเอียดแม่นยำขึ้น ทำซ้ำอีกรอบดังนี้:  เอากลุ่มเลขสามตัวถัดไปลงมา ในกรณีนี้ก็คือเลข 0 สามตัว ซึ่งจะมาใส่หลังเศษที่เหลือคือ 739 ก็จะได้ 739,000 เริ่มตัวหารด้วย 300 คูณกับเลขยกกำลังสองของตัวเลขที่ตอนนี้อยู่เหนือเครื่องหมายราก นั่นคือ 300∗212{\displaystyle 300*21^{2}} จะได้ 132,300 เลือกหน่วยถัดไปในคำตอบที่คุณสามารถคูณมันด้วย 132,300 แล้วได้ค่าน้อยกว่าค่าเศษ 739,000 ตัวเลือกที่ดีน่าจะเป็น 5 เพราะ 5*132,300=661,500 เขียนเลข 5 ในพื้นที่ว่างบนเครื่องหมายราก หา 3 คูณตัวเลขก่อนหน้านั้นที่อยู่เหนือเครื่องหมายราก, 21, คูณกับหน่วยสุดท้ายที่คุณเพิ่งเขียนลงไป, 5, คูณ 10 จะได้ 3∗21∗5∗10=3,150{\displaystyle 3*21*5*10=3,150}  สุดท้าย ยกกำลังสองหน่วยสุดท้าย นั่นคือ 52=25{\displaystyle 5^{2}=25}  รวมทุกส่วนของตัวหารจะได้ 132,300+3,150+25=135,475 หลังจากคำนวณตัวหารสำหรับรอบถัดไปและและคำตอบเพิ่มมาอีกหลักแล้ว ให้ทำดังต่อไปนี้:  คูณตัวหารด้วยหน่วยสุดท้ายของคำตอบ 135475*5=677,375 ลบ 739,000-677,375=61,625 ดูว่าคำตอบ 2.15 แม่นยำพอหรือยัง ยกกำลังสามมันจะได้ 2.15∗2.15∗2.15=9.94{\displaystyle 2.15*2.15*2.15=9.94} ผลที่อยู่ด้านบนของเครื่องหมายรากคือรากที่สามที่ละเอียดในระดับสามหลัก ในตัวอย่างรากที่สามของ 10 คือ 2.15 ตรวจทานมันโดยคำนวณ 2.15^3=9.94 ซึ่งใกล้เคียงกับ 10 หากคุณต้องการความละเอียดกว่านั้น ก็แค่ทำตามขั้นตอนที่ว่าซ้ำจนกว่าจะพอใจ
ตรวจสอบการกระจายทวินาม. ขยายทวินามเป็นกำลังสาม. จดจำความหมายของขั้นตอนวิธีการหารยาว. ตรวจสอบภาคการกระจาย. ดูว่าต้องการความแม่นยำขนาดไหน. ใช้ตัวเลขยกกำลังสามมาหาค่าที่เหนือกว่าและต่ำกว่า. ประมาณการหน่วยถัดไป. ตรวจสอบค่าที่ประมาณการมาโดยการยกกำลังสามให้มัน. ปรับค่าประมาณการนั้นตามความต้องการ. ประมาณการหน่วยถัดไปเพื่อความแม่นยำเพิ่มขึ้น. ตรวจสอบค่าประมาณนั้นและปรับตามความเหมาะสม. ทำไปเรื่อยๆ ตามความต้องการค่าที่แม่นยำ. กำหนดโจทย์. รู้รากที่สามของจำนวนเลขตัวเดียว. หาหน่วยแรกของโจทย์. หาหน่วยถัดไป. หาตัวเริ่มต้นของตัวหารถัดไป. หาจำนวนถัดไปในคำตอบรากที่สามของคุณ. ดูตัวหารที่เหลือ. คูณและลบ. ตัดสินว่าจะทำต่อเพื่อให้ได้ค่าแม่นยำขึ้นหรือไม่. หาตัวหารสำหรับรอบถัดไป. คูณตัวหารด้วยตัวเลขของคำตอบ. เขียนคำตอบสุดท้าย.
https://www.wikihow.com/Calculate-Cube-Root-by-Hand https://www.wikihow.com/Calculate-Cube-Root-by-Hand https://www.wikihow.com/Calculate-Cube-Root-by-Hand
Understanding How this Calculation Works Finding Cube Roots by Repeated Estimation Working Through a Sample Cube Root Problem