คำนวณแรงดึงจากเชือกหลายเส้น หาแรงดึงบนเชือกเส้นเดียว
บ่อยครั้งที่รอกมักจะถูกใช้ในการกำกับแรงดึงไปในทิศทางนอกเหนือจากขึ้นและลง ยกตัวอย่างเช่น หากตุ้มน้ำหนักถูกแขวนในแนวดิ่งจากปลายข้างหนึ่งของเชือก ในขณะที่ปลายอีกข้างผูกอยู่กับตุ้มน้ำหนักชิ้นที่สองบนเนินลาด ระบบรอกที่ไม่ขนานกันจะเกิดเป็นรูปทรงสามเหลี่ยมโดยมุมอยู่ที่ตุ้มน้ำหนักที่หนึ่ง ตุ้มที่สอง และก็รอก ในกรณีเช่นนี้ แรงดึงในเชือกจะได้รับผลทั้งจากแรงโน้มถ่วงบนตุ้มน้ำหนักและจากส่วนประกอบของแรงดึงที่ขนานไปกับเชือกส่วนที่เป็นแนวทแยง สมมติให้เรามีระบบที่ตุ้มน้ำหนัก 10 กก. (m1) แขวนในแนวดิ่งเชื่อมด้วยรอกกับตุ้มน้ำหนัก 5 กก. (m2) บนเนินลาด 60 องศา (ตีเสียว่าเนินลาดนี้ไร้แรงเสียดทาน) การจะหาแรงดึงในเชือกนั้น ง่ายที่สุดคือต้องหาสมการสำหรับแรงที่เพิ่มความเร่งให้ตุ้มน้ำหนักก่อน ทำตามได้ดังต่อไปนี้:  ตุ้มที่แขวนไว้นั้นหนักกว่าและเราไม่นำแรงเสียดทานมาคิด ฉะนั้นเรารู้ว่ามันจะเกิดความเร่งในทางหย่อนลงมาข้างล่าง กระนั้นแรงดึงในเชือกนั้นเป็นการดึงขึ้น มันเกิดความเร่งแบบนั้นเพราะมาจากแรงลัพธ์ F = m1(g) - T, หรือ 10(9.8) - T = 98 - T เรารู้ว่าตุ้มน้ำหนักบนเนินลาดจะเร่งขึ้นไปตามเนิน เนื่องจากเนินนั้นไร้แรงเสียดทาน เรารู้ว่าแรงดึงนั้นเป็นการดึงมันขึ้นมา มีแต่ น้ำหนักของตัวมันเองเท่านั้นที่ลากมันลงเนิน องค์ประกอบของแรงที่ดึงมันลงไปตามเนินนั้นแทนค่าด้วย sin(θ) ดังนั้นในกรณีนี้ เราบอกได้ว่าที่มันเกิดความเร่งขึ้นไปตามเนินเป็นเพราะแรงลัพธ์ F = T - m2(g)sin(60) = T - 5(9.8)(.87) = T - 42.63 ความเร่งของตุ้มน้ำหนักทั้งสองนั้นเท่ากัน ดังนั้นเราจึงได้ (98 - T)/m1 = (T - 42.63) /m2 หลังจากใช้การแก้โจทย์สมการนี้ ในที่สุดเราจะได้ T = 60.96 นิวตัน สุดท้าย ลองพิจารณาวัตถุชิ้นหนึ่งแขวนอยู่ในระบบเชือก "รูปตัว Y" โดยเชือกสองเส้นผูกกับเพดานซึ่งมาชนกันตรงจุดศูนย์กลางที่ซึ่งใช้เชือกเส้นที่สามแขวนวัตถุอยู่ แรงดึงในเชือกที่สามนั้นเห็นชัดเจน มันก็แค่แรงดึงอันมีผลมาจากแรงโน้มถ่วง หรือ m(g) แรงดึงในเชือกที่เหลืออีกสองเส้นนั้นต่างออกไป และจะต้องรวมกันแล้วเท่ากับแรงโน้มถ่วงในทิศทางแนวดิ่งขึ้นข้างบน และเท่ากับศูนย์ในทิศทางแนวระนาบทั้งสองด้าน หากตีเสียว่าระบบนี้กำลังอยู่นิ่ง แรงดึงในเชือกได้รับผลทั้งจากมวลของตุ้มน้ำหนักที่แขวนไว้อยู่ และจากมุมที่เชือกแต่ละเส้นชนเพดาน  สมมติว่าในระบบเชือกรูปตัว Y นี้มีตุ้มน้ำหนักตรงข้างล่างที่มีมวล 10 กก. และเชือกข้างบนสองเส้นนั้นผูกติดกับเพดานทำมุม 30 องศากับ 60 องศาตามลำดับ หากเราต้องการจะหาแรงดึงในเชือกเส้นบนแต่ละเส้น เราจำต้องพิจารณาองค์ประกอบแรงดึงทั้งในแนวดิ่งและแนวระนาบ กระนั้นในตัวอย่างนี้เชือกสองเส้นนั้นดูเหมือนจะตั้งฉากกัน ทำให้ง่ายต่อการคำนวณโดยอาศัยนิยามของฟังก์ชั่นตรีโกณมิติดังต่อไปนี้:  อัตราส่วนระหว่าง T1 or T2 กับ T = m(g) เท่ากับค่าไซน์ของมุมระหว่างเชือกแต่ละเส้นกับเพดาน ทำให้ T1, sin(30) = 0.5, ในขณะที่ T2, sin(60) = 0.87 คูณแรงดึงในเชือกเส้นข้างล่าง (T = mg) ด้วยค่าไซน์ของมุมแต่ละมุมเพื่อหา T1 และ T2  T1 = .5 × m(g) = .5 × 10(9.8) = 49 นิวตัน  T2 = .87 × m(g) = .87 × 10(9.8) = 85.26 นิวตัน แรงดึงในเชือกนั้นเป็นผลมาจากการใช้แรงดึงเชือกจากปลายด้านใดด้านหนึ่ง อย่างที่ทราบกันว่า แรง = มวล × ความเร่ง โดยการสันนิษฐานว่าเชือกนั้นยืดตึง ความเปลี่ยนแปลงใดๆ ในความเร่งหรือมวลของวัตถุที่เชือกรัดไว้อยู่จะทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงของแรงดึงในเชือก อย่าลืมว่าความเร่งมีค่าคงตัวเนื่องมาจากแรงโน้มถ่วง ถึงแม้ระบบจะอยู่ในสภาพนิ่ง ส่วนประกอบของมันก็ยังตกอยู่ใต้แรงนี้ เราสามารถคิดถึงแรงดันในเชือกว่าเป็น T = (m × g) + (m × a) โดยที่ "g" คือความเร่งอันเนื่องมาจากแรงโน้มถ่วงของวัตถุที่เชือกรัดไว้และ "a" คือความเร่งอื่นในวัตถุที่เชือกรัดไว้   สำหรับโจทย์ฟิสิกส์ส่วนใหญ่ เราจะตีว่าเชือกนั้นเป็น เชือกอุดมคติ หรือก็คือเชือกหรือสายเคเบิลนั้นบาง ไม่มีมวล และไม่สามารถยืดออกหรือขาดได้ ดังตัวอย่าง สมมติว่าระบบมีตุ้มน้ำหนักแขวนอยู่บนคานไม้ด้วยเชือกเส้นเดียว (ดูรูป) ทั้งตุ้มน้ำหนักและเชือกต่างไม่มีการเคลื่อนไหว ระบบทั้งระบบหยุดนิ่งกับที่ จากตรงนี้เราจึงทราบว่าถ้าจะให้ตุ้มน้ำหนักแขวนไว้ได้อย่างสมดุล แรงดึงจะต้องเท่ากับแรงโน้มถ่วงบนตุ้มน้ำหนัก หรือพูดอีกอย่างก็คือ แรงดึง (Ft) = แรงโน้มถ่วง (Fg) = m × g. ถ้าให้ตุ้มน้ำหนักหนัก 10 กก. แรงดึงจะเท่ากับ 10 kg × 9.8 m/s2 = 98 นิวตัน แรงโน้มถ่วงมิได้เป็นแรงเดียวที่มีผลต่อแรงดึงในเชือก แรงใดก็ตามที่เกี่ยวข้องกับความเร่งของวัตถุที่เชือกรัดไว้ก็มีผลด้วยเช่นกัน ยกตัวอย่าง หากวัตถุที่แขวนอยู่ถูกเร่งขึ้นโดยแรงบนเชือก แรงความเร่ง (มวล × ความเร่ง) จะถูกเพิ่มเข้าไปในแรงดึงที่เกิดจากน้ำหนักของวัตถุ  อย่างเช่นในตัวอย่างของเราที่วัตถุหนัก 10 กก. แขวนไว้ด้วยเชือกซึ่งแม้จะผูกอยู่กับคานไม้ แต่เชือกถูกดึงเพื่อยกตุ้มน้ำหนักขึ้นที่ความเร่ง 1 เมตร/วินาที2 ในกรณีนี้ เราจะต้องคำนวณความเร่งบนตุ้มน้ำหนักเช่นเดียวกับแรงโน้มถ่วงโดยแก้โจทย์ดังนี้:  Ft = Fg + m × a Ft = 98 + 10 kg × 1 m/s2  Ft = 108 นิวตัน วัตถุที่หมุนรอบจุดศูนย์กลางโดยเชือก (เหมือนลูกตุ้ม) จะเกิดแรงตึงบนเชือกที่เกิดจากแรงสู่ศูนย์กลาง แรงสู่ศูนย์กลาง (Centripetal force) คือแรงดึงของเชือกที่เพิ่มขึ้นมาโดย "การดึง" เข้าสู่ด้านในเพื่อให้วัตถุสามารถเคลื่อนที่เป็นวิถีโค้งและไม่ได้เป็นเส้นตรง ยิ่งวัตถุเคลื่อนที่เร็วขนาดไหน แรงสู่ศูนย์กลางก็ยิ่งเพิ่มมากขึ้นไปด้วย แรงสู่ศูนย์กลาง (Fc) เท่ากับ m × v2/r โดยที่ "m" คือมวล "v" คืออัตราความเร็ว และ "r" คือรัศมีวงกลมที่วัตถุเคลื่อนที่เป็นแนววิถีโค้ง   เนื่องจากทิศทางและขนาดของแรงสู่ศูนย์กลางเปลี่ยนไปตามวัตถุที่รัดเชือกซึ่งเคลื่อนที่และเปลี่ยนความเร็ว แรงดึงรวมในเชือกซึ่งจะดึงขนานไปกับเชือกสู่จุดศูนย์กลาง จำไว้ว่าแรงโน้มถ่วงนั้นจะกระทำต่อวัตถุอย่างต่อเนื่องในทิศทางดึงลง ดังนั้น หากวัตถุถูกเหวี่ยงขึ้นในแนวตั้ง แรงดึงรวมจะ มีค่าสูงสุด ตอนอยู่ด้านล่างของแนวโค้ง (สำหรับลูกตุ้ม นี่เรียกว่าจุดสมดุล) ซึ่งวัตถุจะเคลื่อนที่ด้วยความเร็วสูงสุด และ มีค่าน้อยที่สุด ตรงจุดยอดสุดของแนวโค้งเมื่อมันเคลื่อนที่ด้วยความเร็วต่ำสุด สมมติว่าในตัวอย่างโจทย์ของเราที่วัตถุไม่ได้มีความเร่งขึ้นไปทางข้างบนอีกต่อไป หากแต่จะแกว่งเหมือนลูกตุ้ม เราสมมติให้เชือกยาว 1.5 เมตรและตุ้มน้ำหนักเคลื่อนที่ด้วยความเร่ง 2 เมตร/วินาทีเมื่อมันแกว่งลงมาต่ำสุด หากเราต้องการจะคำนวณแรงดึงตรงจุดต่ำสุดของวงโค้งซึ่งเป็นตอนที่มันจะมีแรงดึงสูงสุด เราจะต้องตระหนักก่อนว่าแรงดึงจากแรงโน้มถ่วงตรงจุดนี้จะเท่ากับตอนที่ตุ้มน้ำหนักไม่เคลื่อนที่ นั่นคืออยู่ที่ 98 นิวตัน การจะหาแรงสู่ศูนย์กลางเพิ่มเติมนั้นจะแก้ได้ดังนี้:  Fc = m × v2/r Fc = 10 × 22/1.5 Fc =10 × 2.67 = 26.7 นิวตัน ดังนั้น แรงดึงรวมจะเป็น 98 + 26.7 = 124.7 นิวตัน อย่างที่บอกข้างต้น ทั้งทิศทางและขนาดของแรงสู่ศูนย์กลางจะเปลี่ยนไปในขณะที่วัตถุแกว่ง อย่างไรก็ดี ถึงแม้แรงโน้มถ่วงจะเป็นค่าคงที่เสมอ แรงดึงที่เป็นผลจากแรงโน้มถ่วง ก็มีความเปลี่ยนแปลง เมื่อวัตถุที่กำลังแกว่ง ไม่ได้ แกว่งลงมาต่ำสุด (จุดสมดุลของมัน) แรงโน้มถ่วงจะดึงลงไปทางข้างล่าง แต่แรงดึงจะดึงขึ้นไปตามมุม ด้วยเหตุนี้ แรงดึงจะไปลดแรงโน้มถ่วงเพียงส่วนหนึ่ง แต่ไม่ใช่เข้าไปลบจนหมดเลย   การแตกแรงโน้มถ่วงออกเป็นสองเวกเตอร์จะช่วยคุณนึกภาพแนวคิดนี้ได้ชัดขึ้น ในจุดใดก็ตามของวงรัศมีการแกว่งของวัตถุไปในแนวตั้งนั้น เชือกได้ทำมุม "θ" กับเส้นตรงผ่านทางจุดสมดุลและจุดศูนย์กลางของการแกว่ง เมื่อลูกตุ้มแกว่ง แรงโน้มถ่วง (m × g) สามารถแตกเป็นสองเวกเตอร์ - mgsin(θ) ทำหน้าที่เป็นเส้นสัมผัสวงการแกว่งในทิศทางของจุดสมดุล กับ mgcos(θ) ทำหน้าที่ขนานกับแรงดึงในทิศทางตรงกันข้าม แรงดึงนั้นจะหักล้างแต่เฉพาะกับ mgcos(θ) หรือแรงที่ดึงตรงข้ามกับมัน ไม่ใช่แรงโน้มถ่วงทั้งหมด (เว้นแต่ตรงจุดสมดุลที่พวกมันจะมีค่าเท่ากัน) สมมติว่าเมื่อลูกตุ้มของเราทำมุม 15 องศากับแนวดิ่ง มันจะเคลื่อนที่ด้วยความเร่ง 1.5 เมตร/วินาที เราจะหาแรงดึงโดยแก้โจทย์ตามนี้:  แรงดึงเนื่องจากแรงโน้มถ่วง (Tg) = 98cos(15) = 98(0.96) = 94.08 นิวตัน แรงสู่ศูนย์กลาง (Fc) = 10 × 1.52/1.5 = 10 × 1.5 = 15 นิวตัน แรงดึงรวม = Tg + Fc = 94.08 + 15 = 109.08 นิวตัน วัตถุใดๆ ที่ถูกดึงด้วยเชือกจะต้องประสบกับแรง "ต้าน" จากการเสียดทานกับอีกวัตถุหนึ่ง (หรือของเหลว) ซึ่งจะส่งผ่านแรงนี้ไปยังแรงดึงในเชือก แรงจากความเสียดทานระหว่างวัตถุสองชิ้นจะถูกคำนวณเหมือนกันในทุกสถานการณ์ นั่นคือตามสมการต่อไปนี้: แรงเนื่องมาจากความเสียดทาน (มักเขียนในรูปแบบ Fr) = (mu)N โดยที่ mu คือสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานระหว่างวัตถุสองชิ้น และ N คือแรงปกติระหว่างวัตถุสองชิ้น หรือแรงที่วัตถุสองชิ้นนี้กระทำต่อกันนั่นเอง โปรดสังเกตว่าแรงเสียดทานสถิต (static friction) คือแรงเสียดทานที่เป็นผลจากการพยายามจะทำให้วัตถุที่อยู่นิ่งกับที่ให้เคลื่อนที่ ซึ่งจะแตกต่างไปจากแรงเสียดทานจลน์ (kinetic friction) ที่เป็นผลเวลาพยายามทำให้วัตถุที่กำลังเคลื่อนที่อยู่ให้เคลื่อนที่ต่อไป  สมมติว่าตุ้มน้ำหนัก 10 กก. ไม่ได้แกว่งต่อไปแล้ว แต่ตอนนี้ถูกลากไปตามพื้นด้วยเชือก สมมติให้พื้นที่ค่าสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์อยู่ที่ 0.5 และตุ้มน้ำหนักนั้นเคลื่อนไปด้วยความเร็วคงที่ แต่เราต้องการจะเร่งมันขึ้นเป็น 1 m/s2 ปัญหาใหม่นี้จะมีการเปลี่ยนแปลงสำคัญสองอย่าง หนึ่งคือเราไม่จำเป็นต้องคำนวณแรงดึงอันเนื่องมาจากแรงโน้มถ่วง เพราะเชือกไม่ได้คอยพยุงตุ้มน้ำหนักจากแรงโน้มถ่วงนั้น สองคือเราต้องคิดแรงดึงที่เกิดโดยแรงเสียดทาน เช่นเดียวกับที่เกิดจากการพยายามเร่งมวลของตุ้มน้ำหนัก เราจะแก้โจทย์ได้ดังนี้:  แรงปกติ (N) = 10 กก. × 9.8 (ความเร่งจากแรงโน้มถ่วง) = 98 N แรงจากแรงเสียดทานจลน์ (Fr) = 0.5 × 98 N = 49 นิวตัน แรงจากความเร่ง (Fa) = 10 กก. × 1 m/s2 = 10 นิวตัน แรงดึงรวม = Fr + Fa = 49 + 10 = 59 นิวตัน
ยกน้ำหนักโดยใช้รอกที่มีเชือกในแนวดิ่งแต่ไม่ขนานกัน. ใช้เชือกหลายเส้นรับน้ำหนักวัตถุที่แขวนไว้. นิยามแรงบนปลายทั้งสองด้านของเชือก. คำนวณความเร่ง. คำนวณความเร่งแบบหมุน. เข้าใจว่าแรงดึงเนื่องจากแรงโน้มถ่วงจะเปลี่ยนไปตลอดแนวการแกว่งของวัตถุนั้น. คำนวณแรงเสียดทาน.
https://www.wikihow.com/Calculate-Tension-in-Physics https://www.wikihow.com/Calculate-Tension-in-Physics
Calculating Tensions On Multiple Strands Determining Tension On a Single Strand