หารากที่สองซึ่งไม่ใช่จำนวนเต็ม หารากที่สองซึ่งเป็นจำนวนเต็ม
การคาดคะเนรากที่สองซึ่งไม่ใช่จำนวนเต็มจะยากกว่า แต่ก็มีทางทำได้อยู่  สมมติว่าเราต้องการหารากที่สองของ 20 เรารู้ว่า 16 เป็นกำลังสองสมบูรณ์เพราะมีรากที่สองคือ 4 (4X4=16) และ 25 มีรากที่สองคือ 5 (5X5=25) ฉะนั้นรากที่สองของ 20 ต้องเป็นจำนวนที่อยู่ระหว่าง 4 และ 5 สมมติเราคาดคะเนว่ารากที่สองของ 20 เท่ากับ 4.5 คราวนี้เราจะนำ 4.5 มาตรวจคำตอบดู เราจะนำ 4.5 มาคูณกับตัวมันเอง 4.5X4.5 ดูผลคูณสิว่ามากกว่าหรือน้อยกว่า 20 ถ้าตัวเลขที่คาดคะเนไว้ไม่ใช่ พยายามคาดคะเนเป็นตัวเลขอื่น (อาจ 4.6 หรือ 4.4) และตรวจคำตอบจนกว่าจะมีตัวเลขที่คูณตัวมันเองได้ 20  ตัวอย่างเช่น 4.5X4.5 = 20.25 ตามหลักแล้วเราควรลองนำตัวเลขที่น้อยกว่ามาคูณกันก่อน ตัวเลขที่น้อยกว่าคือ 4.4. นำ 4.4X4.4 = 19.36 ผลคูณที่ได้ทำให้เรารู้ว่ารากที่สองของ 20 ต้องอยู่ระหว่าง 4.5 และ 4.4 ถ้าอย่างนั้นลอง 4.445X4.445 ผลคูณคือ 19.758 ซึ่งใกล้เคียงมากกว่า  ถ้าเราอยากตรวจสอบว่ามีตัวเลขอื่นที่คูณกับตัวมันเองแล้วใกล้เคียงกับ 20 กว่านี้อีกไหม ให้ลองนำ 4.475X4.475 = 20.03 ปัดจำนวนนี้ลง ก็จะได้ 20 เราจะเริ่มการหาค่าเฉลี่ยด้วยการหารากที่สองของตัวเลขที่มีค่าใกล้เคียงมากที่สุดก่อน  นำตัวเลขของเรามาหารรากที่สองของตัวเลขสักตัวหนึ่ง พอหารและได้คำตอบแล้ว หาค่าเฉลี่ยของคำตอบนั้นและตัวหารนั้น (ค่าเฉลี่ยคือผลบวกของจำนวนสองจำนวนหารด้วยสอง) จากนั้นนำตัวเลขของเรามาหารค่าเฉลี่ยที่เราได้ สุดท้ายหาค่าเฉลี่ยของคำตอบนั้นและค่าเฉลี่ยแรกที่เราได้ ถ้ายังไม่เข้าใจ จะแสดงตัวอย่างให้ดู เราอาจเข้าใจได้ง่ายมากขึ้น ตัวอย่างเช่น 10 อยู่ระหว่างกำลังสองสมบูรณ์ของ 9 (3X3=9) และ16 (4X4=16) รากที่สองของตัวเลขทั้งสองคือ 3 และ 4 ฉะนั้นนำ 10 มาหารตัวเลขแรกซึ่งก็คือ 3 เราก็จะได้  3.33 คราวนี้หาค่าเฉลี่ยของ 3 และ 3.33 ด้วยการนำจำนวนทั้งสองมาบวกกันและหารด้วย 2 เราก็จะได้ 3.1667 คราวนี้นำ 10 มาหาร 3.1667 คำตอบที่ได้คือ 3.1579 คราวนี้หาค่าเฉลี่ยของ 3.1579 และ 3.1667 ด้วยการนำจำนวนทั้งสองมาบวกกันและหารผลบวกที่ได้ด้วยสอง เราจะได้ 3.1623 ตรวจคำตอบด้วยการคูณคำตอบด้วยตัวของมันเอง (ในกรณีนี้คือ 3.1623) 3.1623 คูณกับ 3.1623 เท่ากับ 10.001 รากที่สองของจำนวนหนึ่งคือตัวเลขหนึ่งที่คูณตัวมันเองแล้วเท่ากับจำนวนนั้น หรือกล่าวอีกอย่างหนึ่งคือ “ตัวเลขใดก็ตามที่คูณกับตัวมันเองแล้วได้ตัวเลขที่ต้องการจะหารากที่สอง”  ตัวอย่างเช่น รากที่สองของ 1 คือ 1 เพราะ 1 คูณกับ 1 ก็เท่ากับ 1 (1X1=1) แต่รากที่สองของ 4 คือ 2 เพราะ 2 คูณกับ 2 เท่ากับ 4 (2X2=4) แนวคิดเรื่องรากที่สองก็เหมือนกับต้นไม้  ต้นไม้ต้นหนึ่งงอกจากผลของมัน ถึงแม้ลำต้นจะใหญ่กว่าผลของมันแต่ก็เชื่อมโยงกัน ในตัวอย่างที่ยกมา 4 คือต้นไม้ 2 คือผล ฉะนั้นรากที่สองของ  9 คือ 3 (3X3=9) รากที่สองของ 16 คือ 4 (4X4=16) รากที่สองของ 25 คือ 5 (5X5=25) รากที่สองของ 36 คือ 6 (6X6=36) รากที่สองของ 49 คือ 7 (7X7=49) รากที่สองของ 64 คือ 8 (8X8=64) รากที่สองของ 81 คือ 9 (9X9=81) และรากที่สองของ 100 คือ 10 (10X10=100) ถ้าเราต้องการหารากที่สองของจำนวนเต็ม เราสามารถหารจำนวนเต็มด้วยเลขต่างๆ จนกว่าจะได้คำตอบเป็นตัวเลขเดียวกับที่ใช้หารจำนวนเต็มนั้น  ตัวอย่างเช่น 16 หาร 4 ได้ 4 และ 4 หาร 2 ได้ 2 เป็นต้น นี้เป็นการแสดงให้เห็นว่า 4 คือรากที่สองของ 16 และ 2 คือรากที่สองของ 4 เมื่อหารกำลังสองสมบูรณ์ด้วยรากที่สองของมัน ผลหารที่ได้จะไม่อยู่ในรูปเศษส่วนหรือทศนิยม เพราะรากที่สองของกำลังสองสมบูรณ์จะเป็นจำนวนเต็ม นักคณิตศาสตร์ใช้สัญลักษณ์พิเศษที่เรียกว่าเครื่องหมายกรณฑ์เพื่อแสดงถึงรากที่สอง สัญลักษณ์นี้คล้ายเครื่องหมายถูกที่มีเส้นตรงลากจากปลายหางไปทางขวา  N คือตัวเลขที่เราต้องการหารากที่สอง ตัวเลขนี้จะอยู่ในเครื่องหมายกรณฑ์  ดังนั้น ถ้าเรากำลังพยายามหารากที่สองของ 9 เราก็ต้องเขียนสูตร ใส่ "N" (9) ไว้ในเครื่องหมายกรณฑ์และใส่ 3 หลังเครื่องหมายเท่ากับ นี้เป็นการแสดงให้เห็นว่า "รากที่สองของ 9 เท่ากับ 3"
ลองคาดคะเนแล้วตัดให้เหลือตัวเลขที่ใช่. หาค่าเฉลี่ย. หากำลังสองสมบูรณ์โดยใช้การคูณ. ใช้การหารเพื่อหารากที่สอง. ใส่เครื่องหมายกรณฑ์.
https://www.wikihow.com/Find-a-Square-Root-Without-a-Calculator https://www.wikihow.com/Find-a-Square-Root-Without-a-Calculator
Finding the Square Root of Other Numbers Finding the Square Root of Perfect Squares