Razionalizzare il Denominatore con una Radice Cubica Razionalizzare un Denominatore Binomiale Razionalizzare un Denominatore Monomiale Lavorare con i Reciproci
Sebbene sia piuttosto raro, può capitare di avere una frazione con una radice cubica al denominatore. Questo metodo è valido anche per tutte le radici di qualunque indice.  333{\displaystyle {\frac {3}{\sqrt[{3}]{3}}}}. Trovare un'espressione che possa razionalizzare il denominatore è un po' diverso, perché non puoi limitarti a moltiplicarlo semplicemente per il radicale.  331/3{\displaystyle {\frac {3}{3^{1/3}}}}. In questo caso, stai lavorando con una radice cubica, puoi quindi moltiplicarla per 32/332/3.{\displaystyle {\frac {3^{2/3}}{3^{2/3}}}.} Ricorda che la presenza di esponenti trasforma una moltiplicazione in una somma per la proprietà delle potenze: abac=ab+c.{\displaystyle a^{b}a^{c}=a^{b+c}.}   331/3⋅32/332/3{\displaystyle {\frac {3}{3^{1/3}}}\cdot {\frac {3^{2/3}}{3^{2/3}}}}. Questo metodo può essere generalizzato per ogni radice ennesima al denominatore. Se avessi 1a1/n,{\displaystyle {\frac {1}{a^{1/n}}},} potresti moltiplicare il numeratore e il denominatore per a1−1n.{\displaystyle a^{1-{\frac {1}{n}}}.} Così facendo, l'esponente al denominatore diventerebbe unitario. 331/3⋅32/332/3=32/3{\displaystyle {\frac {3}{3^{1/3}}}\cdot {\frac {3^{2/3}}{3^{2/3}}}=3^{2/3}}. Se devi esprimere la frazione in forma radicale, puoi isolare 1/3.{\displaystyle 1/3.}  32/3=(32)1/3=93{\displaystyle 3^{2/3}=(3^{2})^{1/3}={\sqrt[{3}]{9}}}. Se il denominatore contiene la somma di due termini, di cui almeno uno è irrazionale, non puoi moltiplicare la frazione, sia al numeratore sia al denominatore, per questo numero.   42+2{\displaystyle {\frac {4}{2+{\sqrt {2}}}}}. Per dimostrare il motivo, scrivi una frazione generica 1a+b,{\displaystyle {\frac {1}{a+b}},} in cui a{\displaystyle a} e b{\displaystyle b} sono numeri irrazionali. Di conseguenza, l'espressione (a+b)(a+b)=a2+2ab+b2{\displaystyle (a+b)(a+b)=a^{2}+2ab+b^{2}} contiene il termine crociato 2ab.{\displaystyle 2ab.} Se almeno uno di a{\displaystyle a} e b{\displaystyle b} è irrazionale, il termine crociato contiene un numero radicale. Applica questo concetto all'esempio.  42+2⋅2+22+2=4(2+2)4+42+2{\displaystyle {\frac {4}{2+{\sqrt {2}}}}\cdot {\frac {2+{\sqrt {2}}}{2+{\sqrt {2}}}}={\frac {4(2+{\sqrt {2}})}{4+4{\sqrt {2}}+2}}}.  Come si può notare, non c'è modo di sbarazzarsi di 42{\displaystyle 4{\sqrt {2}}} al denominatore eseguendo questo calcolo. Il coniugato di un'espressione è l'espressione stessa, ma con la parte irrazionale di segno opposto. Ad esempio, il coniugato di 2+2{\displaystyle 2+{\sqrt {2}}} è 2−2.{\displaystyle 2-{\sqrt {2}}.}   42+2⋅2−22−2{\displaystyle {\frac {4}{2+{\sqrt {2}}}}\cdot {\frac {2-{\sqrt {2}}}{2-{\sqrt {2}}}}}. Perché è possibile eliminare il radicale grazie al coniugato? Se consideri la frazione generica 1a+b,{\displaystyle {\frac {1}{a+b}},} moltiplicando il numeratore e il denominatore per il coniugato di quest'ultimo ottieni che il denominatore è (a+b)(a−b)=a2−b2.{\displaystyle (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}.} La chiave di questo metodo consiste nel fatto che non si genera un termine crociato; dato che entrambi i valori vengono elevati al quadrato, le radici quadrate scompaiono. 42+2⋅2−22−2=4(2−2)4−2=4−22{\displaystyle {\frac {4}{2+{\sqrt {2}}}}\cdot {\frac {2-{\sqrt {2}}}{2-{\sqrt {2}}}}={\frac {4(2-{\sqrt {2}})}{4-2}}=4-2{\sqrt {2}}}. Puoi affermare che è scritta correttamente quando non ci sono numera radicali al denominatore. Se quest'ultimo contiene una radice quadrata o un altro valore analogo, devi moltiplicare sia il numeratore sia il denominatore per un numero che ti permetta di "far scomparire" la radice. Ricorda che il numeratore può contenere un numero radicale, non devi quindi preoccupartene.   7327{\displaystyle {\frac {7{\sqrt {3}}}{2{\sqrt {7}}}}}. Puoi notare che al denominatore compare 7{\displaystyle {\sqrt {7}}}. La frazione con un monomio al denominatore è la più semplice da razionalizzare. Sia il numero superiore (numeratore) sia quello inferiore (denominatore) devono essere moltiplicati per lo stesso termine, perché equivale a moltiplicare tutta la frazione per 1.  7327⋅77{\displaystyle {\frac {7{\sqrt {3}}}{2{\sqrt {7}}}}\cdot {\frac {\sqrt {7}}{\sqrt {7}}}}. Se devi scrivere il reciproco di una serie di termini che contiene un radicale, devi razionalizzare prima di semplificare. Usa il metodo del denominatore monomiale o binomiale, in base al caso che devi affrontare.  2−3{\displaystyle 2-{\sqrt {3}}}. Il valore reciproco di una frazione è la frazione stessa con denominatore e numeratore invertiti. L'espressione 2−3{\displaystyle 2-{\sqrt {3}}} è una frazione, l'unica differenza è che il suo denominatore è pari a 1.  12−3{\displaystyle {\frac {1}{2-{\sqrt {3}}}}}. Ricorda che in realtà devi procedere a una moltiplicazione per il numero 1, devi quindi moltiplicare il numeratore e il denominatore per lo stesso fattore. L'esempio che è stato proposto nel passaggio precedente contiene un denominatore binomiale, devi pertanto moltiplicare il numeratore e il denominatore per il coniugato di quest'ultimo.  12−3⋅2+32+3{\displaystyle {\frac {1}{2-{\sqrt {3}}}}\cdot {\frac {2+{\sqrt {3}}}{2+{\sqrt {3}}}}}. 12−3⋅2+32+3=2+34−3=2+3{\displaystyle {\frac {1}{2-{\sqrt {3}}}}\cdot {\frac {2+{\sqrt {3}}}{2+{\sqrt {3}}}}={\frac {2+{\sqrt {3}}}{4-3}}=2+{\sqrt {3}}}. Non farti confondere dal fatto che il reciproco è anche il coniugato, si tratta solo di una coincidenza.
Osserva la frazione. Riscrivi il denominatore come una potenza. Moltiplica il numeratore e il denominatore per un'espressione che renda l'esponente del denominatore pari a 1. Semplifica la frazione, se necessario. Osserva la frazione. Moltiplica la frazione per il coniugato del denominatore. Semplifica la frazione, se necessario. Esamina la frazione. Moltiplica il numeratore e il denominatore per il radicale che si trova al denominatore. Esamina il problema. Scrivi il reciproco come faresti di solito. Moltiplica l'espressione per un termine che ti permetta di eliminare il radicale al denominatore. Semplifica la frazione, se necessario.
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Rationalizing Denominators with a Cube Root Rationalizing a Binomial Denominator Rationalizing a Monomial Denominator Working with Reciprocals