Tasso d'Interesse Composto Tasso d'Interesse Composto Continuo Tasso d'Interesse Semplice
In questo caso l'interesse si definisce composto perché l'importo generato, anziché essere prelevato, va sommato al capitale iniziale generando a sua volta un interesse. Un esempio molto semplice per chiarire il concetto è il seguente: se depositi un capitale di 100 € con un interesse annuale del 5%, trascorso un anno avrai guadagnato 5 €. Sommando questo importo al capitale iniziale, al termine del secondo anno avrai guadagnato il 5% sul nuovo capitale di 105 € e non su quello originale (100 €). Nel tempo, un tasso di interesse composto è in grado di generare grandi guadagni. La formula per calcolare il montante (M{\displaystyle M}) di un tasso di interesse composto è: M=C(1+in)nt{\displaystyle M=C(1+{\frac {i}{n}})^{nt}} Esattamente come avviene nel caso dell'interesse semplice, la formula per calcolare l'importo generato da un tasso di interesse composto parte dal capitale iniziale. Il processo di calcolo è identico sia nel caso di denaro preso in prestito o investito. Normalmente il capitale iniziale si indica con la variabile C{\displaystyle C}. Questa informazione deve essere concordata fra le parti in via preliminare e dovrebbe essere presentata sotto forma di numero decimale per poter eseguire i calcoli. Ricorda che, per convertire una percentuale in un numero decimale, basta semplicemente dividerla per 100 (oppure puoi spostare il separatore decimale di due posizioni verso sinistra). Assicurati di conoscere il periodo di tempo a cui va applicato il tasso di interesse, cioè ogni quanto maturano gli interessi (ogni mese, ogni trimestre, ogni anno, eccetera). Il tasso di interesse periodale viene indicato nella formula con la variabile i{\displaystyle i}. Ad esempio, il tasso di interesse passivo che si applica a una determinata carta di credito può essere del 15% annuo. Tuttavia, nella realtà questo tasso di interesse viene applicato ogni mese, quindi occorre conoscere il tasso di interesse mensile. Nel nostro esempio dovremo dividere il tasso di interesse annuo per 12 ottenendo un tasso mensile dell'1,25%. Applicare un tasso di interesse del 15% annuo o dell'1,25% mensile significa quindi eseguire la stessa operazione. In questo scenario l'importo di denaro maturato dagli interessi viene calcolato periodicamente e, anziché essere prelevato, viene sommato al capitale iniziale. In alcuni casi questa operazione viene compiuta una volta all'anno, mentre in altri può essere eseguita ogni mese o ogni trimestre. Quindi abbiamo la necessità di sapere a priori quante volte all'anno vengono calcolati gli interessi e sommati al capitale iniziale.  Se il tasso di interesse composto è annuale, allora avremo n=1{\displaystyle n=1}; Se il tasso di interesse composto è trimestrale, allora avremo n=4{\displaystyle n=4}. Si tratta del periodo di tempo complessivo a cui si applica il tasso di interessi. Normalmente questa informazione viene espressa in anni. Se hai la necessità di calcolare gli interessi su un periodo di tempo diverso, dovrai comunque esprimerlo in anni. Ad esempio, nel caso di un prestito di un anno, la durata t{\displaystyle t} sarà pari a 1. Mentre nel caso di un prestito di 18 mesi, la durata complessiva sarà pari a t=1,5{\displaystyle t=1,5}. Ad esempio, ipotizziamo di avere un conto deposito di 5.000 € con un tasso di interesse composto del 5% annuo maturato su base mensile. Quale sarà il nostro capitale finale trascorsi tre anni? Per prima cosa, determiniamo tutti i dati in nostro possesso e associamoli alle variabili corrette. Nel nostro esempio avremo:  C=5.000€{\displaystyle C=5.000{\text{€}}} i=0,05{\displaystyle i=0,05} n=12{\displaystyle n=12} t=3{\displaystyle t=3} Una volta compreso lo scenario finanziario in cui ci troviamo e dopo aver identificato i valori da assegnare alle rispettive variabili, puoi usare la formula descritta nel primo passaggio della sezione e procedere al calcolo dell'importo degli interessi.  Nel nostro esempio otterremo:  M=C(1+in)nt{\displaystyle M=C(1+{\frac {i}{n}})^{nt}} M=5.000(1+0,0512)12×3{\displaystyle M=5.000(1+{\frac {0,05}{12}})^{12\times 3}} M=5.000(1+0,00417)36{\displaystyle M=5.000(1+0,00417)^{36}} M=5.000(1,00417)36{\displaystyle M=5.000(1,00417)^{36}} M=5.000(1,1616){\displaystyle M=5.000(1,1616)} M=5.808{\displaystyle M=5.808}   A questo punto, possiamo affermare che, trascorsi tre anni, l'importo dell'interesse composto è pari a 808 €, che vanno sommati al capitale iniziale di 5.000 €. Come visto negli esempi precedenti, un tasso di interesse composto è in grado di far crescere il capitale iniziale con una velocità ben superiore a quella di un normale tasso di interesse semplice, dato che gli interessi maturati vengono reinvestiti a scadenze prefissate. Un tasso di interesse composto calcolato su base trimestrale è ovviamente più remunerativo rispetto a un tasso di interesse composto annuale. Un interesse composto calcolato su base mensile sarà quindi ancora più redditizio rispetto a quello calcolato su base trimestrale. Da questo concetto possiamo dedurre che l'interesse composto più vantaggioso in assoluto è quello che viene calcolato continuamente, cioè istante per istante. Quindi, teoricamente, più velocemente si è in grado di calcolare l'importo di denaro maturato dall'interesse composto e più rapidamente crescerà il capitale finale Tramite l'utilizzo di una serie di calcoli, alcuni esperti matematici hanno sviluppato una formula per simulare l'andamento dell'interesse composto nel tempo e poterlo sommare al capitale iniziale sotto forma di flusso continuo. La formula per calcolare gli interessi maturati da un tasso d'interesse composto continuo è la seguente: M=C×eit{\displaystyle M=C\times e^{it}} La formula in esame è simile a quella della sezione precedente, ma con delle leggere differenze. Le variabili di cui dobbiamo tenere conto in questo caso sono le seguenti:  La variabile M{\displaystyle M} rappresenta il capitale finale (o montante), cioè l'importo di denaro che avremo o dovremo restituire alla scadenza dell'investimento o del prestito; La variabile C{\displaystyle C} rappresenta il capitale iniziale; La lettera e{\displaystyle e} non è una variabile, ma rappresenta una costante matematica nota. In ambito matematico, la costante e{\displaystyle e} viene chiamata "numero di Eulero" e prende il nome dal suo scopritore Leonardo Eulero. La maggior parte delle calcolatrici grafiche moderne è dotata di un tasto apposito ex{\displaystyle e^{x}}, per eseguire i calcoli che implicano l'utilizzo di questa costante. Se premi il tasto in esame utilizzando il numero 1 come esponente per calcolare l'espressione e1{\displaystyle e^{1}}, scoprirai che il valore approssimato della costante e{\displaystyle e} è pari a 2,718.  La variabile i{\displaystyle i} rappresenta il tasso d'interesse periodale (normalmente annuale). La variabile t{\displaystyle t} rappresenta la durata del prestito e normalmente viene espressa in anni. Le banche normalmente utilizzano questo tipo di tasso d'interesse in relazione ai mutui che erogano. Ipotizziamo quindi di aver acceso un mutuo di 200.000 € a un tasso d'interesse del 4,2% per una durata complessiva di 30 anni. Le variabili che andremo a utilizzare nella formula assumeranno i seguenti valori:  C=200,000{\displaystyle C=200,000}  e{\displaystyle e} è una costante il cui valore è noto ed è pari a 2,718. i=0,042{\displaystyle i=0,042} t=30{\displaystyle t=30} Sostituendo alle variabili della formula i valori del nostro esempio scopriremo quanto avremo (o dovremo rimborsare) alla scadenza del mutuo trentennale in esame.  M=C×eit{\displaystyle M=C\times e^{it}} M=200.000×2,718(0,042×30){\displaystyle M=200.000\times 2,718^{(0,042\times 30)}} M=200.000×2,7181,26{\displaystyle M=200.000\times 2,718^{1,26}} M=200.000×3,525{\displaystyle M=200.000\times 3,525} M=705.000{\displaystyle M=705.000} A questo punto possiamo apprezzare in modo tangibile la mole della resa economica generata da un tasso d'interesse composto continuo. Si tratta della quantità di denaro che andremo a utilizzare come dato fondamentale per calcolare l'importo degli interessi. Il capitale è rappresentato dal denaro investito in un conto deposito o in un obbligazione o in qualunque sorta di investimento che genera un interesse. In questo scenario, si parla di "interessi attivi", dato che l'importo calcolato rappresenta un guadagno per l'investitore. Nel caso opposto, se il capitale è rappresentato da un mutuo, quindi da una somma di denaro chiesta in prestito, si parla di "interessi passivi" che andranno sommati al debito da saldare.  In entrambi i casi, sia per gli interessi attivi sia per quelli passivi, il capitale a cui va applicato il tasso di interesse viene generalmente indicato dalla variabile C{\displaystyle C}.  Ad esempio, ipotizziamo di aver prestato a un amico fidato una somma di denaro pari a 2.000 €. In questo caso il capitale C sarà pari a 2.000 €. Prima di poter calcolare di quanto si è valorizzato il capitale iniziale, occorre conoscere il tasso di crescita da applicare. Quest'ultimo è il tasso di interesse che normalmente viene stabilito a priori dalla banca o concordato fra le parti prima che la somma di denaro venga erogata. Ad esempio, ipotizziamo di aver prestato il nostro capitale (2.000 €) a un amico per un periodo di 6 mesi a un tasso di interesse dell'1,5%. In questo caso abbiamo un tasso di interesse semplice, che andrà applicato al capitale una sola volta nell'arco della durata dell'intero prestito. Per poter eseguire i calcoli, dobbiamo prima trasformare la percentuale del tasso di interesse in un numero decimale. Per farlo, occorre semplicemente dividere la percentuale per 100: 1,5% ÷ 100 = 0,015. In altre parole, dobbiamo conoscere la durata complessiva dell'operazione e il periodo di tempo a cui va applicato il tasso di interesse (annuo, mensile, trimestrale, eccetera). In alcuni casi occorre che le parti in causa si accordino sulla durata del prestito e la modalità di rimborso. Ad esempio, nel caso della maggior parte dei mutui bancari, queste condizioni sono già definite a priori dall'istituto di credito che eroga il denaro. Nel caso di prestiti in denaro fra privati, le due parti (il debitore e il creditore) dovranno accordarsi sulla durata desiderata dell'operazione.  È importante che la durata del prestito sia compatibile con il tasso di interesse applicato, cioè che vengano usate le stesse unità di misura temporali. Ad esempio, se il tasso di interesse è annuo, significa che anche la durata del prestito dovrà essere misurata in anni. Se il tasso di interesse pubblicizzato dall'istituito di credito è pari al 3%, ma la durata del prestito è di soli sei mesi, dovrai calcolare l'importo di denaro maturato da un tasso annuale del 3% con scadenza a sei mesi, quindi il coefficiente da utilizzare per il calcolo sarà 0,5. Facciamo un altro esempio: se il tasso di interesse concordato è dell'1% mensile e la durata del prestito è di sei mesi, il coefficiente da usare per il calcolo sarà 6. Occorre moltiplicare il capitale iniziale per il tasso di interesse e la durata del prestito. La formula matematica per eseguire questo calcolo è la seguente:  M=C∗i∗t{\displaystyle M=C*i*t} Nel nostro esempio il capitale iniziale (C{\displaystyle C}) è di 2.000 €, il tasso di interesse (i{\displaystyle i}) è di 0,015 per una durata di sei mesi. Dato che, in questo caso, l'accordo fra le parti prevede che il tasso di interesse si applichi una sola volta sull'intero periodo del prestito (sei mesi), la durata dell'operazione (t{\displaystyle t}) sarà pari a 1. Con queste informazioni, eseguendo i calcoli otterremo:  M=C∗i∗t=(2.000)(0,015)(1)=30{\displaystyle M=C*i*t=(2.000)(0,015)(1)=30}. A questo punto, possiamo affermare che l'importo degli interessi dovuti è di 30 €.  Se desideri calcolare il capitale finale da rimborsare, chiamato generalmente "montante" (M{\displaystyle M}), puoi utilizzare la formula generale M=C(1+i×t){\displaystyle M=C(1+i\times t)}. Eseguendo i calcoli con le informazioni in nostro possesso otterremo:  M=C(1+i×t){\displaystyle M=C(1+i\times t)} M=2.000(1+0,015×1){\displaystyle M=2.000(1+0,015\times 1)} M=2.000(1,015){\displaystyle M=2.000(1,015)} M=2.030{\displaystyle M=2.030} Ipotizziamo di avere un conto deposito di 5.000 € con un tasso di interesse annuo del 3%. Dopo soli tre mesi decidiamo di prelevare il capitale e gli interessi maturati fino a quel momento. In questo caso otterremo:  M=C(1+i×t){\displaystyle M=C(1+i\times t)} M=5.000(1+0,03×0,25){\displaystyle M=5.000(1+0,03\times 0,25)} M=5.000(1,0075){\displaystyle M=5.000(1,0075)} M=5.037,5{\displaystyle M=5.037,5} Dopo tre mesi il nostro conto deposito ha maturato interessi per un importo pari a 37,50 €. Nota che, in questo caso, la durata del periodo su cui vanno calcolati gli interessi è t = 0,25. Questo perché il tasso di interesse è annuale, ma noi abbiamo interrotto l'operazione dopo tre mesi, quindi dopo un quadrimestre, cioè un quarto (0,25) della durata totale di un anno.
Comprendi il significato di interesse composto. Determina il capitale iniziale. Determina il tasso di interesse. Impara a capire quando un tasso di interesse è composto. Determina la durata complessiva dell'operazione (prestito o investimento). Individua le variabili da usare in base allo scenario. Calcoliamo l'importo maturato dall'interesse composto utilizzando la formula mostrata nei passaggi precedenti. Comprendi il concetto di "Interesse Composto Continuo". Analizza il significato delle variabili necessarie per il calcolo degli interessi. Scopri i dettagli dell'operazione finanziaria a cui si applica il tasso d'interesse composto. Applichiamo la formula per il calcolo dell'importo maturato da un tasso d'interesse composto continuato. Determina l'ammontare del capitale a cui andrà applicato il tasso di interesse. Determina il tasso di interesse. Valuta la durata del prestito e il tasso di interesse periodale. Calcola l'importo degli interessi. Facciamo un altro esempio per fare un po' di pratica.
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