Razionalizzare il Denominatore Eseguire le Moltiplicazioni fra Radicali Eliminare le Frazioni dai Radicali Potenze Perfette Convertire una Potenza con Esponente Razionale in un Radicale Estrarre da un Radicale i Fattori del Radicando
Se il denominatore dell'espressione in esame è composto da un solo termine sotto radice, come ad esempio [numeratore]5{\displaystyle {\frac {[numeratore]}{\sqrt {5}}}}, è possibile moltiplicare sia il numeratore sia il denominatore per il radicale in esame ottenendo [numeratore]×55×5{\displaystyle {\frac {[numeratore]\times {\sqrt {5}}}{{\sqrt {5}}\times {\sqrt {5}}}}} = [numeratore]×55{\displaystyle {\frac {[numeratore]\times {\sqrt {5}}}{5}}}. Nel caso di radici cubiche o di indice superiore, per razionalizzare correttamente il denominatore occorre moltiplicarle per il radicale con indice corretto. Se al denominatore è presente l'espressione 53{\displaystyle {\sqrt[{3}]{5}}}, occorrerà moltiplicare sia il numeratore sia il denominatore della frazione per 532{\displaystyle {\sqrt[{3}]{5}}^{2}}.  Se il denominatore è composto dalla somma o dalla differenza di radici quadrate, ad esempio 2+6{\displaystyle {\sqrt {2}}+{\sqrt {6}}}, dovrai procedere moltiplicando il numeratore e il denominatore per il suo complesso coniugato, cioè la medesima espressione, ma che utilizza l'operatore opposto. Si ottiene quindi [numeratore]2+6=[numeratore]×(2−6)(2+6)×(2−6){\displaystyle {\frac {[numeratore]}{{\sqrt {2}}+{\sqrt {6}}}}={\frac {[numeratore]\times ({\sqrt {2}}-{\sqrt {6}})}{({\sqrt {2}}+{\sqrt {6}})\times ({\sqrt {2}}-{\sqrt {6}})}}}. A questo punto, per razionalizzare il denominatore di tale espressione si può fare ricorso all'identità relativa alla differenza fra radici quadrate (a+b)(a−b)=a2−b2{\displaystyle (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}} ottenendo (2+6)×(2−6)=(2)2−(6)2=2−6=−4{\displaystyle ({\sqrt {2}}+{\sqrt {6}})\times ({\sqrt {2}}-{\sqrt {6}})=({\sqrt {2}})^{2}-({\sqrt {6}})^{2}=2-6=-4}.  Questo approccio è funzionale nel caso di denominatori come 5+3{\displaystyle 5+{\sqrt {3}}} anche perché ogni numero intero può essere visto come la radice quadrata di un altro numero intero. Eccone un esempio pratico: 15+3=5−3(5+3)×(5−3)=5−352−32=5−325−3=5−322{\displaystyle {\frac {1}{5+{\sqrt {3}}}}={\frac {5-{\sqrt {3}}}{(5+{\sqrt {3}})\times (5-{\sqrt {3}})}}={\frac {5-{\sqrt {3}}}{5^{2}-{\sqrt {3^{2}}}}}={\frac {5-{\sqrt {3}}}{25-3}}={\frac {5-{\sqrt {3}}}{22}}}  Questo metodo funziona anche nel caso di una somma di radici quadrate, come ad esempio 5−6+7{\displaystyle {\sqrt {5}}-{\sqrt {6}}+{\sqrt {7}}}. Se si raggruppano i radicali nel seguente modo (5−6)+7{\displaystyle ({\sqrt {5}}-{\sqrt {6}})+{\sqrt {7}}} e si moltiplica l'espressione ottenuta per (5−6)−7{\displaystyle ({\sqrt {5}}-{\sqrt {6}})-{\sqrt {7}}}, la soluzione finale non rappresenta un numero razionale, ma sarà coerente con la forma a+b×30{\displaystyle a+b\times {\sqrt {30}}}, dove sia a{\displaystyle a} sia b{\displaystyle b} sono valori razionali. A questo punto puoi ripetere il processo usando il complesso coniugato di a+b×30{\displaystyle a+b\times {\sqrt {30}}}, dove (a+b×30)×(a−b×30){\displaystyle (a+b\times {\sqrt {30}})\times (a-b\times {\sqrt {30}})} è un numero razionale. In altre parole, se si può usare questo passaggio una prima volta per ridurre il numero dei radicali presenti al denominatore di una frazione, lo si può poi riutilizzare ripetutamente per semplificarli totalmente. Questo metodo funziona anche nel caso di denominatori composti da radici con indice superiore a 2, come ad esempio 34+97{\displaystyle {\sqrt[{4}]{3}}+{\sqrt[{7}]{9}}}. In tal caso occorre semplicemente moltiplicare sia il numeratore sia il denominatore per il complesso coniugato di quest'ultimo. Sfortunatamente, non è chiaramente intuibile cosa sia e come si ottenga il complesso coniugato di un'espressione complessa come quella presa come esempio. Un buon libro di testo sulla teoria dei numeri tratta l'argomento in modo più approfondito e completo, aspetto che esula invece dallo scopo di questo articolo. Giunti a questo punto, occorre gestire l'elemento con cui si è iniziato il processo di razionalizzazione del denominatore, cioè il suo complesso coniugato che si trova al numeratore della frazione in esame. Sviluppa il prodotto esattamente come faresti con un prodotto fra polinomi. Prosegui individuando ed eliminando o semplificando qualunque termine ottenuto e, ove possibile, combina fra loro quelli uguali.  a×b=a×b{\displaystyle {\sqrt {a}}\times {\sqrt {b}}={\sqrt {a\times b}}}. Ad esempio, riscrivi la seguente espressione matematica 2×6{\displaystyle {\sqrt {2}}\times {\sqrt {6}}} nella forma 12{\displaystyle {\sqrt {12}}}.  L'uguaglianza descritta nel passaggio precedente, a×b=a×b{\displaystyle {\sqrt {a}}\times {\sqrt {b}}={\sqrt {a\times b}}}, è valida solo nel caso di radicandi positivi. Non può essere applicata se a{\displaystyle a} e b{\displaystyle b} sono negativi, dato che implicherebbe erroneamente che la seguente uguaglianza sia vera: −1×−1=1{\displaystyle {\sqrt {-1}}\times {\sqrt {-1}}={\sqrt {1}}}. Il membro sinistro dell'equazione, per definizione, è pari a -1 (nel caso non si conoscano o si rifiuti l'esistenza dei numeri complessi, tale valore è indefinito), mentre il membro di destra è pari a 1. Se uno dei radicandi a{\displaystyle a} o b{\displaystyle b} è negativo o se lo sono entrambi, prima di tutto occorre modificarne il segno utilizzando la seguente regola: −5=i×5{\displaystyle {\sqrt {-5}}=i\times {\sqrt {5}}}. Se il radicando è un'espressione variabile, il cui segno non può essere dedotto dal contesto problema (e quindi può essere sia positivo che negativo), per il momento non eseguire alcuna operazione. In questo caso puoi utilizzare la seguente identità generale a×b=±a×±b×|a×b|{\displaystyle {\sqrt {a}}\times {\sqrt {b}}={\sqrt {\pm {a}}}\times {\sqrt {\pm {b}}}\times {\sqrt {|a\times b|}}}, che è valida per l'insieme di tutti i numeri reali assunti da a{\displaystyle a} e b{\displaystyle b}, ma che normalmente non introduce la complessità del dover gestire il segno dei radicandi. Questa identità può essere applicata solo se i radicali coinvolti hanno tutti lo stesso indice. In generale, è possibile moltiplicare fra loro radicali di qualunque tipo, come ad esempio 5×73{\displaystyle {\sqrt {5}}\times {\sqrt[{3}]{7}}}, ma occorre prima riscriverli in modo che abbiano tutti lo stesso indice. Per farlo, si possono convertire le radici in potenze con esponenti frazionari. Nel nostro esempio otterremo 5×73=512×713=536×726=12516×4916{\displaystyle {\sqrt {5}}\times {\sqrt[{3}]{7}}=5^{\frac {1}{2}}\times 7^{\frac {1}{3}}=5^{\frac {3}{6}}\times 7^{\frac {2}{6}}=125^{\frac {1}{6}}\times 49^{\frac {1}{6}}}. A questo punto, è possibile applicare le proprietà della moltiplicazione per ottenere come risultato finale 61256{\displaystyle {\sqrt[{6}]{6125}}}.  ab=ab{\displaystyle {\sqrt {\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}}}. Non eseguire questa sostituzione se il denominatore della frazione è negativo o se si tratta di un'espressione variabile il cui valore potrebbe essere negativo. In questo caso, inizia con il semplificare la frazione. Ad esempio, l'espressione 54{\displaystyle {\sqrt {\frac {5}{4}}}} può essere riscritta come 54{\displaystyle {\frac {\sqrt {5}}{\sqrt {4}}}}, che può essere semplificata in 52{\displaystyle {\frac {\sqrt {5}}{2}}}.  Con il termine "quadrato perfetto" si fa riferimento al prodotto di un qualunque numero per se stesso: ad esempio 81 è il prodotto di 9 x 9. In questo caso la semplificazione è molto semplice, in quanto basta eliminare il simbolo di radice e riportare il numero che rappresenta la radice quadrata del quadrato perfetto in esame.  Ad esempio, 121 è un quadrato perfetto perché è il prodotto di 11 x 11. È quindi possibile sostituire l'espressione 121{\displaystyle {\sqrt {121}}} con il numero 11. Per semplificare ulteriormente l'apprendimento di questo processo, è necessario memorizzare la serie dei primi dodici quadrati perfetti: 1 x 1 = 1, 2 x 2 = 4, 3 x 3 = 9, 4 x 4 = 16, 5 x 5 = 25, 6 x 6 = 36, 7 x 7 = 49, 8 x 8 = 64, 9 x 9 = 81, 10 x 10 = 100, 11 x 11 = 121, 12 x 12 = 144. Un cubo perfetto rappresenta il prodotto di un qualunque numero moltiplicato due volte per se stesso. Ad esempio, 27 è il risultato di 3 x 3 x 3. Per semplificare un radicale che rappresenta un cubo perfetto, basta semplicemente eliminare il segno di radice e riportare il numero che rappresenta la radice cubica del cubo perfetto. Ad esempio, il numero 343 è un cubo perfetto perché deriva dal prodotto di 7 x 7 x 7. Quindi la radice cubica di 343 risulta essere semplicemente 7. Se hai una radice con indice frazionario, cerca di semplificare anche questo tipo di termini. Ad esempio, la 423{\displaystyle {\sqrt[{\frac {2}{3}}]{4}}} può essere scritta come (4)3{\displaystyle ({\sqrt {4}})^{3}} cioè 23{\displaystyle 2^{3}}, che è uguale a 8. Questo principio si applica solo alle costanti e agli esponenti razionali. Se hai un termine come 2x{\displaystyle 2^{x}}, lascialo nella sua forma originale anche se il contesto del problema indica che x{\displaystyle x} potrebbe essere un esponente frazionario o negativo. e che risulta da tale operazione. nei suoi fattori primi.  I fattori rappresentano i numeri che, se moltiplicati fra loro, danno come risultato il numero originale. Ad esempio, i numeri 5 e 4 sono due fattori del numero 20. Per scomporre un radicale imperfetto nei suoi fattori, inizia con l'elencare tutti i divisori del radicando (nel caso di un numero molto grande, prendi nota di tutti quelli che riesci a individuare) finché non individui un fattore che rappresenta un quadrato perfetto. Ad esempio, prova a elencare tutti i fattori del numero 45: 1, 3, 5, 9, 15 e ovviamente 45. Noterai subito che il numero 9, oltre a essere un fattore di 45, è anche un quadrato perfetto perché 9=32{\displaystyle 9=3^{2}} e 9×5=45{\displaystyle 9\times 5=45}. Il numero 9 è un quadrato perfetto perché 9 è il risultato di 3×3{\displaystyle 3\times 3}. Porta il numero 9 fuori dal segno di radice trasformandolo in 3 e lasciando all'interno il numero 5. Se hai la necessità di riportare il numero 3 all'interno del radicale, dovrai elevarlo al quadrato per trasformarlo nuovamente nel numero 9 (nel caso di una radice con indice 2). A questo punto, puoi moltiplicarlo per 5 per ottenere il radicando originale, cioè 45. L'espressione 35{\displaystyle 3{\sqrt {5}}} è un modo più semplice di esprimere il radicale 45{\displaystyle {\sqrt {45}}}. Il processo completo è il seguente 45=9×5=9×5=35{\displaystyle {\sqrt {45}}={\sqrt {9\times 5}}={\sqrt {9}}\times {\sqrt {5}}=3{\sqrt {5}}}. La radice quadrata di a2{\displaystyle a^{2}} dovrebbe essere uguale al suo valore assoluto, cioè |a|{\displaystyle |a|}. Puoi semplificarlo ulteriormente indicando semplicemente a{\displaystyle a}, solo se sai che tale variabile ha segno positivo. L'espressione a3{\displaystyle {\sqrt {a^{3}}}} può essere scomposta in a×a{\displaystyle {\sqrt {a}}\times a}. Questo è possibile perché quando si esegue il prodotto fra variabili uguali si somma l'esponente, quindi a2×a{\displaystyle a^{2}\times a} è uguale a a3{\displaystyle a^{3}}. Da questo si deduce che all'interno di a3{\displaystyle a^{3}} è presente il quadrato perfetto a2{\displaystyle a^{2}}. A questo punto, è possibile portare fuori dalla radice la variabile a2{\displaystyle a^{2}} trasformandola in |a|. La forma semplificata di a3{\displaystyle a^{3}} è |a|a{\displaystyle |a|{\sqrt {a}}}. 
 Adesso il denominatore della frazione è stato razionalizzato, ma ovviamente il problema è stato spostato al numeratore. Se il denominatore della frazione è un numero intero negativo, moltiplica il numeratore e il denominatore per il coefficiente -1 per trasformarlo in un numero positivo. Se devi affrontare un'espressione matematica in cui è presente un prodotto fra radicali, combinali per ottenere un singolo radicale utilizzando questa proprietà: Esamina il radicando di ogni radicale su cui stai lavorando per individuare quelli che contengono delle frazioni. Nel caso presentino delle frazioni, sostituiscile con la frazione composta da due radicali distinti utilizzando la seguente identità: Prosegui semplificando tutti i quadrati perfetti risultanti dal passaggio precedente. Esegui qualunque altra semplificazione utile per raggiungere la soluzione finale del problema, per esempio ridurre le frazioni complesse, combinare fra loro i termini simili ecc. Semplifica qualunque espressione radicale che rappresenta un quadrato perfetto. Semplifica qualunque radicale che rappresenta un cubo perfetto. Individua tutti gli esponenti frazionari e convertili nella rispettiva forma radicale utilizzando la seguente identità xab=xba{\displaystyle x^{\frac {a}{b}}={\sqrt[{b}]{x}}^{a}}. Converti le potenze con esponenti negativi nella loro forma frazionaria equivalente utilizzando la seguente regola x−y=1xy{\displaystyle x^{-y}={\frac {1}{x^{y}}}}.  per poi semplificare ogni radicale che risulta da tale operazione. Scomponi un radicale imperfetto Estrai dal segno di radice qualunque fattore che rappresenta un quadrato perfetto. Ricerca un quadrato perfetto all'interno di una variabile. Estrai dal segno di radice tutte le variabili che rappresentano un quadrato perfetto. Combina fra loro tutti i termini uguali e semplifica, ove possibile, tutti i radicali risultanti da tale operazione.
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Rationalize the Denominator Combine Products of Radicals Remove Fractions from Radicals Perfect Powers Convert Rational Exponents to Radicals Extract Square Factors from Radicals