per Via Grafica per Via Algebrica
. Usa della carta millimetrata o una calcolatrice scientifica; assegna diversi valori a x{\displaystyle x}, inseriscili nell'equazione e calcola i rispettivi di y{\displaystyle y}. Riporta le coppie sul grafico e, dopo aver individuato diversi punti, collegali per disegnare il grafico. Quando determini i punti, controlla i valori positivi e quelli negativi corrispondenti di x{\displaystyle x}. Per esempio, se stai considerando la funzione f(x)=2x2+1{\displaystyle f(x)=2x^{2}+1}, usa questi dati:   f(1)=2(1)2+1=2+1=3{\displaystyle f(1)=2(1)^{2}+1=2+1=3}; di conseguenza le coordinate sono (1,3){\displaystyle (1,3)};  f(2)=2(2)2+1=2(4)+1=8+1=9{\displaystyle f(2)=2(2)^{2}+1=2(4)+1=8+1=9}; il punto grafico è definito dalla coppia (2,9){\displaystyle (2,9)};  f(−1)=2(−1)2+1=2+1=3{\displaystyle f(-1)=2(-1)^{2}+1=2+1=3}; il punto corrisponde a (−1,3){\displaystyle (-1,3)};  f(−2)=2(−2)2+1=2(4)+1=8+1=9{\displaystyle f(-2)=2(-2)^{2}+1=2(4)+1=8+1=9}; ottieni le coordinate (−2,9){\displaystyle (-2,9)}. Quando osservi la versione grafica di una funzione, puoi notare che una metà "rispecchia" l'altra; in altre parole è simmetrica. Se noti che la parte a destra dell'asse delle y (positiva) coincide con quella a sinistra (negativa), la funzione è pari.  Puoi testare la simmetria scegliendo singolarmente dei punti. Se il valore di y per un determinato valore di x è identico a quello generato da -x, la funzione è pari. I punti che sono stati selezionati in precedenza per tracciare il grafico di f(x)=2x2+1{\displaystyle f(x)=2x^{2}+1} hanno portato ai seguenti risultati:  (1,3) e (-1,3); (2,9) e (-2,9).   I valori immutati di y per x=1, x=-1 e per x=2, x=-2 segnalano che la funzione è pari. Per una prova inconfutabile, due coppie di dati non sono sufficienti, ma rappresentano una buona indicazione di massima. Si tratta del punto centrale (0,0) in cui si intersecano gli assi del sistema. Quando si parla di simmetria rispetto all'origine significa che per ciascun valore positivo di x si ottiene un y positivo e che per ciascun valore -x si ottiene un y negativo e viceversa; le funzioni dispari sono simmetriche rispetto all'origine.  Se scegli una serie di dati per x e i relativi opposti (-x), dovresti ottenere risultati opposti di y. Considera la funzione f(x)=x3+x{\displaystyle f(x)=x^{3}+x}. Questa genera la seguente serie di punti:   f(1)=13+1=1+1=2{\displaystyle f(1)=1^{3}+1=1+1=2}; il punto ha coordinate (1,2);  f(−1)=(−1)3+(−1)=−1−1=−2{\displaystyle f(-1)=(-1)^{3}+(-1)=-1-1=-2}; la coppia di dati è (-1,-2);  f(2)=23+2=8+2=10{\displaystyle f(2)=2^{3}+2=8+2=10}; ottieni (2,10);  f(−2)=(−2)3+(−2)=−8−2=−10{\displaystyle f(-2)=(-2)^{3}+(-2)=-8-2=-10}; il punto è definito da (-2,-10).   Di conseguenza, puoi affermare che f(x)=-f(-x) e puoi concludere che sia dispari. L'esempio finale mostra una funzione che non è simmetrica. Se guardi il grafico, puoi accorgerti che nessuna porzione si "rispecchia" da un lato all'altro dell'asse delle ordinate o rispetto all'origine. Considera la funzione f(x)=x2+2x+1{\displaystyle f(x)=x^{2}+2x+1}.  Seleziona alcuni varori per x e -x come segue:   f(1)=12+2(1)+1=1+2+1=4{\displaystyle f(1)=1^{2}+2(1)+1=1+2+1=4}; il punto è definito dalle coordinate (1,4);  f(−1)=(−1)2+2(−1)+(−1)=1−2−1=−2{\displaystyle f(-1)=(-1)^{2}+2(-1)+(-1)=1-2-1=-2}; la coppia di valori è (-1,-2);  f(2)=22+2(2)+2=4+4+2=10{\displaystyle f(2)=2^{2}+2(2)+2=4+4+2=10}; le coordinate sono (2,10);  f(−2)=(−2)2+2(−2)+(−2)=4−4−2=−2{\displaystyle f(-2)=(-2)^{2}+2(-2)+(-2)=4-4-2=-2}; il punto corrisponde a (2,-2).   A questo punto, dovresti avere una quantità sufficiente di coppie per affermare che non vi è alcuna simmetria. I valori di y per le coppie opposte di x non sono identici né opposti; la funzione non è né pari né dispari. Forse puoi riconoscere questa funzione, f(x)=x2+2x+1{\displaystyle f(x)=x^{2}+2x+1}, che può essere riscritta come f(x)=(x+1)2{\displaystyle f(x)=(x+1)^{2}}. A prima vista potresti pensare che si tratti di una funzione pari perché ha solo un esponente pari; tuttavia, questo esempio dimostra che non puoi trarre delle conclusioni partendo dalla forma tra parentesi dell'equazione. Devi espanderla nei termini individuali ed esaminare in seguito ogni esponente. In algebra, l'opposto di una variabile viene scritto con un segno negativo; questo concetto si applica indipendentemente dal fatto che la funzione contenga una x{\displaystyle x} o qualsiasi altra variabile. Se questa è già negativa (o è presente una sottrazione), il suo opposto è una variabile positiva (o addizione). Ecco alcuni esempi di variabili e dei rispettivi opposti:  L'opposto di x{\displaystyle x} è −x{\displaystyle -x}; L'opposto di q{\displaystyle q} è −q{\displaystyle -q}; L'opposto di −w{\displaystyle -w} è w{\displaystyle w}. Altera la funzione originale solamente per quanto riguarda il segno delle variabili. Per esempio:   f(x)=4x2−7{\displaystyle f(x)=4x^{2}-7} diventa f(−x)=4(−x)2−7{\displaystyle f(-x)=4(-x)^{2}-7};  g(x)=5x5−2x{\displaystyle g(x)=5x^{5}-2x} diventa g(−x)=5(−x)5−2(−x){\displaystyle g(-x)=5(-x)^{5}-2(-x)};  h(x)=7x2+5x+3{\displaystyle h(x)=7x^{2}+5x+3} diventa h(−x)=7(−x)2+5(−x)+3{\displaystyle h(-x)=7(-x)^{2}+5(-x)+3}. In questa fase non devi preoccuparti di risolverla per un determinato valore; devi semplicemente semplificarla per confrontare la versione nuova, f(-x), con quella originale, f(x). Ricorda le regole elementari delle potenze, secondo cui una base negativa elevata a un esponente pari genera un numero positivo, mentre una base negativa elevata a un esponente dispari genera un numero negativo.   f(−x)=4(−x)2−7{\displaystyle f(-x)=4(-x)^{2}-7};  f(−x)=4x2−7{\displaystyle f(-x)=4x^{2}-7};   g(−x)=5(−x)5−2(−x){\displaystyle g(-x)=5(-x)^{5}-2(-x)};   g(−x)=5(−x5)+2x{\displaystyle g(-x)=5(-x^{5})+2x};  g(−x)=−5x5+2x{\displaystyle g(-x)=-5x^{5}+2x};    h(−x)=7(−x)2+5(−x)+3{\displaystyle h(-x)=7(-x)^{2}+5(-x)+3};  h(−x)=7x2−5x+3{\displaystyle h(-x)=7x^{2}-5x+3}. Per ogni esempio che stai considerando, confronta la versione semplificata di f(-x) con la rispettiva f(x); allinea i termini fra loro per facilitare il processo e valutane il segno.  Se le due versioni sono identiche, significa che f(x)=f(-x), di conseguenza la funzione originale è pari. Ad esempio:   f(x)=4x2−7{\displaystyle f(x)=4x^{2}-7} e f(−x)=4x2−7{\displaystyle f(-x)=4x^{2}-7}. Le due funzioni sono identiche, quindi l'originale è pari.   Se ogni termine della nuova versione della funzione è opposto al rispettivo termine della versione originale, significa che f(x)=-f(-x), di conseguenza la funzione è dispari. Per esempio:   g(x)=5x5−2x{\displaystyle g(x)=5x^{5}-2x} ma g(−x)=−5x5+2x{\displaystyle g(-x)=-5x^{5}+2x}. Nota che se moltiplichi ciascun termine della prima funzione per -1, crei una nuova funzione. Questo significa che l'originale, g(x), è dispari.   Se la nuova funzione non rientra in questi due esempi, puoi affermare che non è né pari né dispari. Ecco un esempio:  h(x)=7x2+5x+3{\displaystyle h(x)=7x^{2}+5x+3} ma h(−x)=7x2−5x+3{\displaystyle h(-x)=7x^{2}-5x+3}. Il primo termine è invariato ma il secondo è l'opposto; di conseguenza la funzione non è pari e non è dispari.
Traccia il grafico della funzione Verifica la simmetria del grafico rispetto all'asse delle ordinate. Controlla la simmetria rispetto all'origine. Cerca l'assenza della simmetria. Ripassa le variabili opposte. Sostituisci ogni variabile presente nella funzione con il suo opposto. Semplifica la nuova funzione. Confronta le due funzioni.
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Testing the Function Graphically Testing the Function Algebraically