Convertire le Coordinate Cartesiane in Polari Tracciare le Coordinate Polari Disegnare un Punto
Traccia un segmento pari a 2 unità lungo l'asse delle ascisse (x) partendo dall'origine. Da questo riferimento disegna un secondo segmento pari a 1 unità e parallelo alla direzione positiva dell'asse delle ordinate (y); hai quindi localizzato il punto (2, 1) e puoi etichettarlo con la lettera P. Disegna un segmento che unisce i due punti e che corrisponde al raggio r{\displaystyle r} delle coordinate polari. Questo segmento è anche l'ipotenusa di un triangolo rettangolo, di conseguenza puoi calcolarne la lunghezza sfruttando i teoremi di geometria. Ad esempio:  I cateti del triangolo hanno lunghezze pari a 2 e 1 unità. Puoi trovare l'ipotenusa usando il teorema di Pitagora: 22+12=4+1=5≈2,236{\displaystyle {\sqrt {2^{2}+1^{2}}}={\sqrt {4+1}}={\sqrt {5}}\approx 2,236}. La formula generale per trovare r{\displaystyle r} dalle coordinate cartesiane è: r=x2+y2{\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}, dove x{\displaystyle x} è la coordinata delle ascisse e y{\displaystyle y} quella delle ordinate. Sfrutta la trigonometria per trovare questo valore:   tan⁡(θ)=oppostoadiacente=12{\displaystyle \tan(\theta )={\frac {opposto}{adiacente}}={\frac {1}{2}}}tan−1⁡(12)=θ=26,56∘{\displaystyle \tan ^{-1}({\frac {1}{2}})=\theta =26,56^{\circ }}  La formula generale per trovare θ{\displaystyle \theta } è θ=tan−1⁡(yx){\displaystyle \theta =\tan ^{-1}({\frac {y}{x}})}, dove y{\displaystyle y} è la coordinata cartesiana delle ordinate e x{\displaystyle x} è quella delle ascisse. A questo punto, hai trovato i valori di r{\displaystyle r} e θ{\displaystyle \theta }. Le coordinate cartesiane (2, 1) corrispondono approssimativamente a quelle polari (2,24; 26,6º) o a quelle precise (5,tan−1⁡(12)){\displaystyle ({\sqrt {5}},\tan ^{-1}({\frac {1}{2}}))}. Probabilmente, hai già individuato dei punti con coordinate cartesiane usando la notazione (x,y){\displaystyle (x,y)} per definirli all'interno di uno schema a griglia. Le coordinate polari utilizzano un grafico diverso basato sulle circonferenze:  Il centro del grafico (chiamato "origine" in un sistema cartesiano) è il polo e puoi identificarlo con la lettera O. Partendo dal polo, disegna una linea retta orizzontale verso destra. Questa è l'asse polare e puoi suddividerla in unità, proprio come faresti con l'asse delle x di un normale grafico cartesiano. Se hai un foglio di carta specifico per riportare le coordinate polari, potrebbero essere già presenti diverse circonferenze di varie dimensioni, tutte centrate nel polo; se utilizzi invece un normale foglio di carta bianca, non devi tracciarle. Su un sistema di riferimento polare ogni punto viene definito da una coppia di coordinate espresse nella forma (r,θ){\displaystyle (r,\theta )}:  La prima variabile, r{\displaystyle r}, indica il raggio, o coordinata radiale; significa che il punto definito si trova sulla circonferenza di raggio r{\displaystyle r} centrata sul polo (origine). La seconda variabile, θ{\displaystyle \theta }, rappresenta l'angolo, o coordinata angolare; significa che il punto si trova sulla linea che attraversa il polo e forma un angolo pari a θ{\displaystyle \theta } con l'asse polare. . Quando si considerano le coordinate polari, l'angolo è in genere espresso in radianti al posto dei gradi. In questo sistema, una rotazione completa (360° o angolo giro) corrisponde a un'ampiezza di 2π{\displaystyle \pi } radianti. Questo valore è stato scelto perché la circonferenza di un cerchio con raggio pari a 1 unità misura 2π{\displaystyle \pi } unità; prendendo dimestichezza con tali concetti puoi lavorare più facilmente con le coordinate polari. Se il libro di testo esprime gli angoli in gradi, non preoccuparti per il momento; è possibile riportare le coordinate polari utilizzando anche dei valori in gradi per θ{\displaystyle \theta }. Ogni punto che appartiene alla circonferenza P{\displaystyle P} possiede delle coordinate polari espresse nella forma (r,θ){\displaystyle (r,\theta )}. Inizia quindi a tracciare il cerchio di raggio r{\displaystyle r} e centrato sul polo.  Il polo è il punto centrale del grafico, il medesimo in cui metteresti l'origine di un piano cartesiano. Per esempio, per disegnare il punto (5,π2){\displaystyle (5,{\frac {\pi }{2}})}, punta il compasso nel polo, divarica l'asta con la mina di cinque unità lungo l'asse polare e fai ruotare lo strumento per tracciare il cerchio. Appoggia il goniometro facendo coincidere il suo centro con il polo; misura quindi l'ampiezza dell'angolo θ{\displaystyle \theta } partendo dall'asse. Se l'angolo è espresso in radianti e lo strumento è tarato solamente in gradi, puoi convertire le unità di misura o far riferimento alla circonferenza unitaria per un aiuto.  Per quanto riguarda il punto (5,π2){\displaystyle (5,{\frac {\pi }{2}})}, grazie alla circonferenza unitaria puoi capire che π2{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}} corrisponde a 1/4 di giro, cioè a un angolo di 90° dall'asse polare. Misura sempre gli angoli positivi muovendoti in senso antiorario rispetto all'asse polare; gli angoli negativi si misurano in senso orario. La fase successiva consiste nel disegnare una linea che delimita l'angolo misurato; prima di procedere, però, devi sapere in quale direzione tracciarla. Osserva le coordinate polari (r,θ){\displaystyle (r,\theta )} per capire:  Se r{\displaystyle r} è positivo, disegna una linea "in avanti" dal polo fino al segno dell'angolo che hai appena delineato. Se r{\displaystyle r} è negativo, traccia una linea "all'indietro" partendo dal segno dell'angolo sulla circonferenza fino al polo e proseguendo verso il lato opposto. Non farti confondere dalle coordinate cartesiane, il concetto di raggio positivo o negativo non corrisponde agli assi "x" e "y" negativi o positivi. Questo è il punto con coordinate polari (r,θ){\displaystyle (r,\theta )}. Il punto (5,π2){\displaystyle (5,{\frac {\pi }{2}})} si trova su una circonferenza di raggio 5 centrata nel polo a 1/4 di giro in senso antiorario partendo dell'asse polare; le coordinate cartesiane equivalenti sono (0;5).
Considera il punto P(2,1){\displaystyle P(2,1)} su un piano cartesiano. Trova la distanza fra l'origine O{\displaystyle O} e P{\displaystyle P}. Trova l'angolo compreso tra OP{\displaystyle OP} e il segmento positivo dell'asse delle x. Scrivi le coordinate polari. Prepara un piano polare. Comprendi il concetto di coordinate polari. Ripassa la circonferenza unitaria Disegna una circonferenza con raggio pari a r{\displaystyle r}. Misura l'angolo θ{\displaystyle \theta } dall'asse polare. Disegna una linea in base al segno di r{\displaystyle r}. Individua il punto in cui la linea retta e la circonferenza si intersecano.
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Converting Cartesian Coordinates to Polar Coordinates Plotting Polar Coordinates Plotting a Point