Fattorizzare i Radicandi Eseguire una Divisione con un Binomio che Contiene un Radicale Dividere i Radicandi Dividere Radici Quadrate con Coefficienti
Molto probabilmente l'espressione che devi risolvere è già in questa forma, ma in caso contrario riscrivila come frazione. Affrontare il problema dato sotto forma di frazione rende l'intera serie di passaggi molto più semplice, soprattutto quando si deve eseguire la fattorizzazione di una radice quadrata. Ricorda che, in matematica, la linea che separa il numeratore dal denominatore di una frazione rappresenta a tutti gli effetti una divisione. Ad esempio, ipotizzando di dover eseguire questo calcolo, 8÷36{\displaystyle {\sqrt {8}}\div {\sqrt {36}}}, riscriveremo il problema nella forma seguente: 836{\displaystyle {\frac {\sqrt {8}}{\sqrt {36}}}}. . Esegui questo passaggio come faresti nel caso di un qualunque numero intero, avendo l'accortezza di scrivere il risultato ottenuto all'interno del segno di radice. Nel nostro esempio otterremo:836=2×2×26×6{\displaystyle {\frac {\sqrt {8}}{\sqrt {36}}}={\frac {\sqrt {2\times 2\times 2}}{\sqrt {6\times 6}}}} La semplificazione di una radice quadrata prevede di estrarre dal segno di radice tutti i radicandi che rappresentano  un quadrato perfetto; nel nostro caso, dovremo quindi semplificare tutti i fattori che rappresentano un quadrato perfetto. Ricorda che un quadrato perfetto rappresenta il prodotto di un numero intero per se stesso. I radicandi che possono essere estratti dal segno di radice andranno a comporre il coefficiente della radice quadrata. Nel nostro esempio otterremo: 2×2×26×6{\displaystyle {\frac {\sqrt {{\cancel {2\times 2\times }}2}}{\sqrt {\cancel {6\times 6}}}}} 226{\displaystyle {\frac {2{\sqrt {2}}}{6}}} Quindi 836=226{\displaystyle {\frac {\sqrt {8}}{\sqrt {36}}}={\frac {2{\sqrt {2}}}{6}}} La forma canonica in cui devono essere espressi i radicali, prevede che al denominatore di una frazione non compaia mai un segno di radice. Se il risultato che hai ottenuto presenta un radicale al denominatore di una frazione, devi eseguire la relativa razionalizzazione. In pratica, bisogna fare in modo che il segno di radice venga eliminato dal denominatore della frazione in esame. Per farlo, occorre moltiplicare il numeratore e il denominatore della frazione per il radicale che dobbiamo eliminare. Ad esempio, nel caso dell'espressione 623{\displaystyle {\frac {6{\sqrt {2}}}{\sqrt {3}}}}, dobbiamo moltiplicare il numeratore e il denominatore per la 3{\displaystyle {\sqrt {3}}}, in modo da eliminare il radicale presente al denominatore:623×33{\displaystyle {\frac {6{\sqrt {2}}}{\sqrt {3}}}\times {\frac {\sqrt {3}}{\sqrt {3}}}}=62×33×3{\displaystyle ={\frac {6{\sqrt {2}}\times {\sqrt {3}}}{{\sqrt {3}}\times {\sqrt {3}}}}}=669{\displaystyle ={\frac {6{\sqrt {6}}}{\sqrt {9}}}}=663{\displaystyle ={\frac {6{\sqrt {6}}}{3}}}. A volte, si ottengono coefficienti che possono essere semplificati fra loro o che possono essere ridotti ai minimi termini. Semplifica i coefficienti presenti al numeratore e al denominatore dell'espressione ottenuta, esattamente come faresti per qualunque altra frazione. Nel nostro esempio, la frazione 26{\displaystyle {\frac {2}{6}}} può essere semplificata in 13{\displaystyle {\frac {1}{3}}}, quindi l'espressione 226{\displaystyle {\frac {2{\sqrt {2}}}{6}}} può essere riscritta come 123{\displaystyle {\frac {1{\sqrt {2}}}{3}}}, o più semplicemente 23{\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{3}}}. Il denominatore di una frazione è il numero o l'espressione che appare nella parte inferiore della linea divisoria e che rappresenta il divisore. Un binomio è un polinomio composto da due termini. Questo metodo può essere applicato solo alle divisioni fra radici quadrate che presentano un binomio al denominatore. Ad esempio, ipotizziamo di dover eseguire la seguente operazione 15+2{\displaystyle {\frac {1}{5+{\sqrt {2}}}}}. Al denominatore della frazione abbiamo un binomio, dato che l'espressione 5+2{\displaystyle 5+{\sqrt {2}}} non è altro che un polinomio composto da due termini. Il coniugato di un binomio è a sua volta un binomio, in cui l'operatore matematico è stato invertito. L'utilizzo del coniugato del binomio originale permette di eliminare la radice quadrata dal denominatore della frazione. Nel nostro esempio, i binomi 5+2{\displaystyle 5+{\sqrt {2}}} e 5−2{\displaystyle 5-{\sqrt {2}}} sono coniugati fra loro, dato che presentano gli stessi termini ma con segno opposto. In questo modo avrai la possibilità di eliminare il radicale dal denominatore, dato che il prodotto di un binomio per il suo coniugato rappresenta la differenza della radice quadrata di ogni termine del binomio, cioè (a−b)(a+b)=a2−b2{\displaystyle (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}}.  . Nel nostro esempio, otterremo:15+2{\displaystyle {\frac {1}{5+{\sqrt {2}}}}}=1(5−2)(5+2)(5−2){\displaystyle ={\frac {1(5-{\sqrt {2}})}{(5+{\sqrt {2}})(5-{\sqrt {2}})}}}=5−2(52−(2)2{\displaystyle ={\frac {5-{\sqrt {2}}}{(5^{2}-({\sqrt {2}})^{2}}}}=5+225−2{\displaystyle ={\frac {5+{\sqrt {2}}}{25-2}}}=5+223{\displaystyle ={\frac {5+{\sqrt {2}}}{23}}}A questo punto, possiamo affermare che 15+2=5+223{\displaystyle {\frac {1}{5+{\sqrt {2}}}}={\frac {5+{\sqrt {2}}}{23}}}. Se l'espressione a cui devi lavorare non è già scritta sotto forma di frazione, devi riscriverla in tal modo. Si tratta di un'operazione che semplifica l'esecuzione di tutti i passaggi necessari a dividere un'espressione per una radice quadrata. Ricorda che, in matematica, la linea che separa il numeratore dal denominatore di una frazione rappresenta a tutti gli effetti una divisione. Ad esempio, ipotizzando di dover affrontare il seguente calcolo 144÷36{\displaystyle {\sqrt {144}}\div {\sqrt {36}}}, il primo passo prevede di riscrivere l'espressione come segue: 14436{\displaystyle {\frac {\sqrt {144}}{\sqrt {36}}}}. Se il problema in esame contiene esclusivamente radici quadrate sia al numeratore sia al denominatore, è possibile inserire i radicandi sotto un unico segno di radice (il radicando è l'argomento del radicale, cioè il numero o l'espressione matematica che appare all'interno del segno di radice). In questo modo si facilita notevolmente il processo di semplificazione. Facendo riferimento al nostro esempio, la frazione 14436{\displaystyle {\frac {\sqrt {144}}{\sqrt {36}}}} può essere riscritta nella seguente forma: 14436{\displaystyle {\sqrt {\frac {144}{36}}}}. Esegui la divisione dei numeri presenti all'interno del segno di radice, come faresti nel caso di semplici numeri interi. Ricorda che il quoziente della divisione dovrà comunque rimanere il radicando di un radicale, quindi dovrà essere posto all'interno del segno di radice. Nel nostro esempio otterremo 14436=4{\displaystyle {\frac {144}{36}}=4}, quindi il risultato finale del problema iniziale è 14436=4{\displaystyle {\sqrt {\frac {144}{36}}}={\sqrt {4}}}. Se il radicando rappresenta un quadrato perfetto o se uno dei suoi fattori è un quadrato perfetto, devi semplificare l'espressione. Un quadrato perfetto rappresenta il risultato del prodotto di un numero intero per se stesso. Ad esempio, il numero 25 è un quadrato perfetto perché è il risultato del seguente prodotto: 5×5=25{\displaystyle 5\times 5=25}. Nel nostro esempio il numero 4 è un quadrato perfetto, dato che 2×2=4{\displaystyle 2\times 2=4}. Possiamo quindi semplificare il nostro risultato finale ottenendo:4{\displaystyle {\sqrt {4}}}=2×2{\displaystyle ={\sqrt {2\times 2}}}=2{\displaystyle =2}A questo punto, possiamo affermare che 14436=4=2{\displaystyle {\frac {\sqrt {144}}{\sqrt {36}}}={\sqrt {4}}=2}. Si tratta dei numeri posti di fronte al segno di radice. Per semplificarli, dividili o riducili ai minimi termini, come se fossero dei semplici numeri, ignorando per il momento i relativi radicali. Ad esempio, ipotizzando di dover eseguire il seguente calcolo 432616{\displaystyle {\frac {4{\sqrt {32}}}{6{\sqrt {16}}}}}, dovremo per prima cosa semplificare la frazione composta dai coefficienti dei radicali 46{\displaystyle {\frac {4}{6}}}. In questo caso, sia il numeratore sia il denominatore sono divisibili per 2, quindi possiamo ridurli come segue: 46=23{\displaystyle {\frac {4}{6}}={\frac {2}{3}}}. . Se l'espressione presente al numeratore è interamente divisibile per quella presente al denominatore, esegui semplicemente la divisione fra i due radicandi. In caso contrario, procedi semplificando ogni radicale, come faresti normalmente. Nel nostro esempio, dato che 32 è divisibile per 16, possiamo eseguire la divisione dei due radicandi ottenendo: 3216=2{\displaystyle {\sqrt {\frac {32}{16}}}={\sqrt {2}}} Ricorda che non è possibile avere un radicale al denominatore di una frazione; quando moltiplichi una frazione per un radicale, quest'ultimo andrà quindi riportato al numeratore. Nel nostro esempio, otterremo: 23×2=223{\displaystyle {\frac {2}{3}}\times {\sqrt {2}}={\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}} Questo passaggio viene chiamato razionalizzazione del denominatore. La forma canonica in cui devono essere espressi i radicali prevede che al denominatore di una frazione non compaia mai un segno di radice. Per razionalizzare il denominatore di una frazione, occorre moltiplicare il relativo numeratore e denominatore per il radicale da eliminare. Ad esempio, ipotizzando di dover razionalizzare la seguente espressione 4327{\displaystyle {\frac {4{\sqrt {3}}}{2{\sqrt {7}}}}}, abbiamo la necessità di moltiplicare sia il numeratore che il denominatore per 7{\displaystyle {\sqrt {7}}}, ottenendo:437×77{\displaystyle {\frac {4{\sqrt {3}}}{\sqrt {7}}}\times {\frac {\sqrt {7}}{\sqrt {7}}}}=43×77×7{\displaystyle ={\frac {4{\sqrt {3}}\times {\sqrt {7}}}{{\sqrt {7}}\times {\sqrt {7}}}}}=42149{\displaystyle ={\frac {4{\sqrt {21}}}{\sqrt {49}}}}=4217{\displaystyle ={\frac {4{\sqrt {21}}}{7}}}
Riscrivi il problema sotto forma di frazione. Scomponi ogni radicando nei suoi fattori Semplifica il numeratore e il denominatore della frazione ottenuta. Se necessario, razionalizza il denominatore. Se necessario, esegui tutte le ulteriori semplificazioni. Determina se il denominatore della frazione in esame è un binomio. Individua il coniugato del binomio in esame. Moltiplica il numeratore e il denominatore della frazione per il binomio coniugato del denominatore. Imposta la frazione. Usa un simbolo di radice unico. Procedi nel dividere i radicandi. Se necessario, esegui tutte le semplificazioni possibili. Semplifica i coefficienti dei radicali. Semplifica le radici quadrate Moltiplica i coefficienti ridotti ai minimi termini per il risultato ottenuto dalla semplificazione delle radici quadrate. Se necessario, elimina i radicali presenti al denominatore della frazione.
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Factoring Radicands Dividing by a Binomial with a Square Root Dividing Radicands Dividing Square Roots with Coefficients