Calcolare un Fattoriale Risolvere Problemi Fattoriali Semplici Semplificare un Fattoriale
Un fattoriale è indicato con un intero positivo e un punto esclamativo. Per esempio, se devi calcolare il fattoriale di 5, vedrai 5!{\displaystyle 5!}. Un fattoriale di un numero è semplicemente il prodotto degli interi positivi in ordine discendente rispetto a quel numero, fino a 1. In termini di formule, n!=n(n−1)⋅⋅⋅2⋅1{\displaystyle n!=n(n-1)\cdot \cdot \cdot 2\cdot 1}, in cui n{\displaystyle n} è un intero positivo. Per esempio, se stai calcolando 5!{\displaystyle 5!}, avresti 5(5−1)(5−2)(5−3)(5−4){\displaystyle 5(5-1)(5-2)(5-3)(5-4)} oppure, più semplicemente: 5⋅4⋅3⋅2⋅1{\displaystyle 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}. Puoi calcolare velocemente un fattoriale con una calcolatrice scientifica, che dovrebbe avere il simbolo x!{\displaystyle x!}. Se invece vuoi fare il calcolo a mano, per semplificarlo cerca prima due fattori che moltiplicati danno 10. Naturalmente, puoi ignorare anche l'1, perché tutti i numeri moltiplicati per 1 non cambiano. Per esempio, se devi calcolare 5!=5⋅4⋅3⋅2⋅1{\displaystyle 5!=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}, ignora l'1, poi inizia da 5⋅2=10{\displaystyle 5\cdot 2=10}. Ora ti restano solo 4⋅3=12{\displaystyle 4\cdot 3=12}. Dato che 10⋅12=120{\displaystyle 10\cdot 12=120}, sai che 5!=120{\displaystyle 5!=120}. .  Se stai usando una calcolatrice scientifica, premi il tasto 8{\displaystyle 8}, poi il tasto x!{\displaystyle x!}. Se esegui il calcolo a mano, scrivi i fattori da moltiplicare:8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1{\displaystyle 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}  Ignora l'1:8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1{\displaystyle 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2{\cancel {\cdot 1}}}  Porta fuori 5⋅2{\displaystyle 5\cdot 2}:(5⋅2)8⋅7⋅6⋅4⋅3{\displaystyle (5\cdot 2)8\cdot 7\cdot 6\cdot 4\cdot 3}=(10)8⋅7⋅6⋅4⋅3{\displaystyle =(10)8\cdot 7\cdot 6\cdot 4\cdot 3}  Raggruppa per primi tutti i numeri facili da moltiplicare, poi svolgi i prodotti:(10)(4⋅3)(7⋅6)(8){\displaystyle (10)(4\cdot 3)(7\cdot 6)(8)}=(10)(12)(42)(8){\displaystyle =(10)(12)(42)(8)}=(120)(336){\displaystyle =(120)(336)}=40320{\displaystyle =40320}Quindi, 8!=40,320{\displaystyle 8!=40,320}. 12!6!3!{\displaystyle {\frac {12!}{6!3!}}}.  Scrivi i fattori di ciascun fattoriale:1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6⋅7⋅8⋅9⋅10⋅11⋅12(1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6)(1⋅2⋅3){\displaystyle {\frac {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 10\cdot 11\cdot 12}{(1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6)(1\cdot 2\cdot 3)}}}  Annulla i termini comuni a numeratore e denominatore:1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6⋅7⋅8⋅9⋅10⋅11⋅12(1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6)(1⋅2⋅3)=7⋅8⋅9⋅10⋅11⋅121⋅2⋅3{\displaystyle {\frac {{\cancel {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot }}7\cdot 8\cdot 9\cdot 10\cdot 11\cdot 12}{({\cancel {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6}})(1\cdot 2\cdot 3)}}={\frac {7\cdot 8\cdot 9\cdot 10\cdot 11\cdot 12}{1\cdot 2\cdot 3}}}  Completa i calcoli:7⋅8⋅9⋅10⋅11⋅121⋅2⋅3{\displaystyle {\frac {7\cdot 8\cdot 9\cdot 10\cdot 11\cdot 12}{1\cdot 2\cdot 3}}}=665,2806{\displaystyle ={\frac {665,280}{6}}}=110,880{\displaystyle =110,880} Quindi, l'espressione 12!6!3!{\displaystyle {\frac {12!}{6!3!}}} si semplifica con 110,880{\displaystyle 110,880}. Immagina di avere 6 quadri che vuoi mettere in mostra su un muro. In quanti modi puoi ordinarli?  Dato che stai cercando di calcolare in quanti modi è possibile ordinare gli oggetti, puoi risolvere il problema semplicemente calcolando il fattoriale del numero di oggetti. Puoi calcolare il numero delle possibili disposizioni per 6 quadri appesi in fila risolvendo 6!{\displaystyle 6!}. Se stai usando una calcolatrice scientifica, premi il tasto 6{\displaystyle 6}, seguito dal tasto x!{\displaystyle x!}. Se esegui il calcolo a mano, scrivi i fattori da moltiplicare:6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1{\displaystyle 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}  Ignora l'1:6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1{\displaystyle 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2{\cancel {\cdot 1}}}  Porta fuori 5⋅2{\displaystyle 5\cdot 2}:(5⋅2)6⋅4⋅3{\displaystyle (5\cdot 2)6\cdot 4\cdot 3}=(10)6⋅4⋅3{\displaystyle =(10)6\cdot 4\cdot 3}  Raggruppa per primi gli altri numeri facili da moltiplicare, poi esegui tutti i prodotti:(10)(4⋅3)(6){\displaystyle (10)(4\cdot 3)(6)}=(10)(12)(6){\displaystyle =(10)(12)(6)}=(120)(6){\displaystyle =(120)(6)}=720{\displaystyle =720} Quindi, 6 quadri appesi in fila possono essere ordinati in 720 modi diversi. Hai 6 quadri. Immagina di disporne 3 in una fila su una parete. In quanti modi puoi ordinare 3 quadri?  Dato che hai 6 quadri diversi, ma ne usi solo 3, devi moltiplicare solo i primi 3 numeri nella sequenza del fattoriale di 6. Puoi usare la formula n!(n−r)!{\displaystyle {\frac {n!}{(n-r)!}}}, in cui n{\displaystyle n} è uguale al numero di oggetti che stai usando. Questa formula funziona solo se non ci sono ripetizioni (un oggetto non può essere scelto più di una volta) e se l'ordine ha importanza (vuoi scoprire i vari modi in cui gli elementi possono essere ordinati).  Puoi calcolare il numero di disposizioni possibili per 3 quadri scelti tra 6 e disposti in fila risolvendo 6!(6−3)!{\displaystyle {\frac {6!}{(6-3)!}}}. Sottrai i numeri nel denominatore:6!(6−3)!{\displaystyle {\frac {6!}{(6-3)!}}}=6!3!{\displaystyle ={\frac {6!}{3!}}}  Scrivi i fattori di ciascun fattoriale:6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅13⋅2⋅1{\displaystyle {\frac {6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{3\cdot 2\cdot 1}}}  Annulla i termini comuni di numeratore e denominatore:6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅13⋅2⋅1{\displaystyle {\frac {6\cdot 5\cdot 4\cdot {\cancel {3\cdot 2\cdot 1}}}{\cancel {3\cdot 2\cdot 1}}}}  Completa i calcoli: 6⋅5⋅4=120{\displaystyle 6\cdot 5\cdot 4=120}.Quindi 3 quadri scelti tra 6 possono essere ordinati in 120 modi diversi, se appesi in fila. Spesso comparirà come frazione. Per esempio, potresti dover semplificare 7!5!⋅4!{\displaystyle {\frac {7!}{5!\cdot 4!}}}. Dato che il fattoriale n!{\displaystyle n!} è un fattore di tutti i fattoriali di interi più grandi, per semplificare devi cercare fattori che puoi cancellare. Se scrivi tutti i termini, diventa più facile. Per esempio, se vuoi semplificare 7!5!⋅4!{\displaystyle {\frac {7!}{5!\cdot 4!}}}, riscrivi l'espressione come 1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6⋅7(1⋅2⋅3⋅4⋅5)⋅(1⋅2⋅3⋅4){\displaystyle {\frac {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7}{(1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5)\cdot (1\cdot 2\cdot 3\cdot 4)}}} In questo modo semplificherai i numeri rimasti da moltiplicare. Per esempio, dato che 5!{\displaystyle 5!} è un fattore di 7!{\displaystyle 7!}, puoi cancellare 5!{\displaystyle 5!} dal numeratore e dal denominatore:1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6⋅7(1⋅2⋅3⋅4⋅5)⋅(1⋅2⋅3⋅4)=6⋅7(1⋅2⋅3⋅4){\displaystyle {\frac {{\cancel {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}}\cdot 6\cdot 7}{({\cancel {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}})\cdot (1\cdot 2\cdot 3\cdot 4)}}={\frac {6\cdot 7}{(1\cdot 2\cdot 3\cdot 4)}}} Semplifica, se possibile. In questo modo otterrai l'espressione finale semplificata. Per esempio:6⋅7(1⋅2⋅3⋅4){\displaystyle {\frac {6\cdot 7}{(1\cdot 2\cdot 3\cdot 4)}}}=4224{\displaystyle ={\frac {42}{24}}}=74{\displaystyle ={\frac {7}{4}}}Quindi, 7!5!⋅4!{\displaystyle {\frac {7!}{5!\cdot 4!}}} semplificato è 74{\displaystyle {\frac {7}{4}}}.
Determina il numero di cui devi calcolare il fattoriale. Scrivi la sequenza dei numeri da moltiplicare. Moltiplica i numeri. Considera l'espressione 8! Semplifica l'espressione: Prova il problema seguente. Prova il problema seguente. Determina l'espressione da semplificare. Scrivi i fattori di ciascun fattoriale. Annulla tutti i termini comuni al numeratore e al denominatore. Completa i calcoli.
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