Usare la Regola della Catena Usare una Scorciatoia per le Derivate delle Funzioni Radicali Usare la Regola della Potenza
Si tratta di un metodo per le derivate che viene utilizzato quando la funzione originale combina due funzioni. Questa regola afferma che per due funzioni f(x){\displaystyle f(x)} e g(x){\displaystyle g(x)} la derivata della combinazione delle due può essere trovata come segue: Se y=f(g(x)){\displaystyle y=f(g(x))}, allora y′=f′(g)∗g′(x){\displaystyle y^{\prime }=f^{\prime }(g)*g^{\prime }(x)}. Per applicare tale norma devi prima definire le due funzioni che costituiscono quella combinata. Quando si tratta di funzioni radicali, quella esterna, f(g){\displaystyle f(g)}, è quella radicale e quella interna, g(x){\displaystyle g(x)}, è il radicando. Per esempio, supponi di voler trovare la derivata di 3x+2{\displaystyle {\sqrt {3x+2}}}. Definisci le due funzioni in questo modo:   f(g)=g=g12{\displaystyle f(g)={\sqrt {g}}=g^{\frac {1}{2}}};  g(x)=(3x+2){\displaystyle g(x)=(3x+2)}. Per applicare la regola della catena a questo genere di funzioni devi prima trovare la derivata della funzione radicale generale:   f(g)=g=g12{\displaystyle f(g)={\sqrt {g}}=g^{\frac {1}{2}}};   f′(g)=12g−12{\displaystyle f^{\prime }(g)={\frac {1}{2}}g^{-{\frac {1}{2}}}};  f′(g)=12g{\displaystyle f^{\prime }(g)={\frac {1}{2{\sqrt {g}}}}}.   In seguito calcola la derivata della seconda funzione:   g(x)=(3x+2){\displaystyle g(x)=(3x+2)};  g′(x)=3{\displaystyle g^{\prime }(x)=3}. Per prima cosa ripassa la norma: y′=f′(g)∗g′(x){\displaystyle y^{\prime }=f^{\prime }(g)*g^{\prime }(x)}; in seguito, combina le derivate come segue:   y′=12g∗3{\displaystyle y^{\prime }={\frac {1}{2{\sqrt {g}}}}*3};  y′=12(3x+2∗3{\displaystyle y^{\prime }={\frac {1}{2{\sqrt {(3x+2}}}}*3};  y′=32(3x+2{\displaystyle y^{\prime }={\frac {3}{2{\sqrt {(3x+2}}}}}. Ogni volta che devi trovare la derivata della radice quadrata di una variabile o di una funzione, puoi applicare un semplice schema. La derivata sarà sempre la derivata del radicando diviso il doppio della radice quadrata originale. In linguaggio matematico questa regola si esprime come: Se f(x)=u{\displaystyle f(x)={\sqrt {u}}}, allora f′(x)=u′2u{\displaystyle f^{\prime }(x)={\frac {u^{\prime }}{2{\sqrt {u}}}}}. Si tratta del termine o della funzione che si trova sotto il simbolo di radice; per applicare questo metodo rapido devi trovare la derivata di tale elemento. Osserva gli esempi seguenti:  Nella funzione 5x+2{\displaystyle {\sqrt {5x+2}}} il radicando è (5x+2){\displaystyle (5x+2)} e la sua derivata è 5{\displaystyle 5}; Nella funzione 3x4{\displaystyle {\sqrt {3x^{4}}}} il radicando è 3x4{\displaystyle 3x^{4}} e la sua derivata 12x3{\displaystyle 12x^{3}}; Nella funzione sin(x){\displaystyle {\sqrt {sin(x)}}} il radicando è sin⁡(x){\displaystyle \sin(x)} e la sua derivata cos⁡(x){\displaystyle \cos(x)}. Quando si calcola la derivata di una funzione radicale, si procede con una frazione il cui numeratore è la derivata del radicando. Di conseguenza, considerando le funzioni semplici prese in esame ottieni:  Se f(x)=5x+2{\displaystyle f(x)={\sqrt {5x+2}}}, allora f′(x)=5denom{\displaystyle f^{\prime }(x)={\frac {5}{\text{denom}}}}; Se f(x)=3x4{\displaystyle f(x)={\sqrt {3x^{4}}}}, allora f′(x)=12x3denom{\displaystyle f^{\prime }(x)={\frac {12x^{3}}{\text{denom}}}}; Se f(x)=sin⁡(x){\displaystyle f(x)={\sqrt {\sin(x)}}}, allora f′(x)=cos⁡(x)denom{\displaystyle f^{\prime }(x)={\frac {\cos(x)}{\text{denom}}}}. Usando questa scorciatoia il denominatore è pari a due volte la funzione radicale originale; considerando gli esempi precedenti ottieni:  Se f(x)=5x+2{\displaystyle f(x)={\sqrt {5x+2}}}, allora f′(x)=num25x+2{\displaystyle f^{\prime }(x)={\frac {\text{num}}{2{\sqrt {5x+2}}}}}; Se f(x)=3x4{\displaystyle f(x)={\sqrt {3x^{4}}}}, allora f′(x)=num23x4{\displaystyle f^{\prime }(x)={\frac {\text{num}}{2{\sqrt {3x^{4}}}}}}; Se f(x)=sin⁡(x){\displaystyle f(x)={\sqrt {\sin(x)}}}, allora f′(x)=num2sin⁡(x){\displaystyle f^{\prime }(x)={\frac {\text{num}}{2{\sqrt {\sin(x)}}}}}. Combina le due metà della frazione, il risultato è la derivata della funzione originale.  Se f(x)=5x+2{\displaystyle f(x)={\sqrt {5x+2}}}, allora f′(x)=525x+2{\displaystyle f^{\prime }(x)={\frac {5}{2{\sqrt {5x+2}}}}}; Se f(x)=3x4{\displaystyle f(x)={\sqrt {3x^{4}}}}, allora f′(x)=12x323x4{\displaystyle f^{\prime }(x)={\frac {12x^{3}}{2{\sqrt {3x^{4}}}}}}; Se f(x)=sin⁡(x){\displaystyle f(x)={\sqrt {\sin(x)}}}, allora f′(x)=cos⁡(x)2sin⁡(x){\displaystyle f^{\prime }(x)={\frac {\cos(x)}{2{\sqrt {\sin(x)}}}}}. Si tratta probabilmente del primo metodo che hai appreso per trovare le funzioni derivate e che afferma che per una variabile x{\displaystyle x} elevata a qualsiasi potenza a{\displaystyle a}, la derivata è:   f(x)=xa{\displaystyle f(x)=x^{a}};  f′(x)=axa−1{\displaystyle f^{\prime }(x)=ax^{a-1}}; Per esempio, rileggi le seguenti funzioni e le relative derivate:  Se f(x)=x2{\displaystyle f(x)=x^{2}}, allora f′(x)=2x{\displaystyle f^{\prime }(x)=2x}; Se f(x)=3x2{\displaystyle f(x)=3x^{2}}, allora f′(x)=2∗3x=6x{\displaystyle f^{\prime }(x)=2*3x=6x}; Se f(x)=x3{\displaystyle f(x)=x^{3}}, allora f′(x)=3x2{\displaystyle f^{\prime }(x)=3x^{2}}; Se f(x)=12x4{\displaystyle f(x)={\frac {1}{2}}x^{4}}, allora f′(x)=4∗12x3=2x3{\displaystyle f^{\prime }(x)=4*{\frac {1}{2}}x^{3}=2x^{3}}. Per trovare la derivata di una funzione radicale devi ricordare che la radice quadrata di un numero o di una variabile può essere riscritta sotto forma di potenza. Il termine che si trova sotto il segno di radice (radicando) viene riproposto come base della potenza e il suo esponente è il reciproco dell'indice; nel caso di radice quadrata questo corrisponde a ½. Considera gli esempi che seguono:   x=x12{\displaystyle {\sqrt {x}}=x^{\frac {1}{2}}};  4=412{\displaystyle {\sqrt {4}}=4^{\frac {1}{2}}};  3x=(3x)12{\displaystyle {\sqrt {3x}}=(3x)^{\frac {1}{2}}}. Se la funzione è una semplice radice quadrata, f(x)=x{\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}, sfrutta questo metodo come descritto di seguito per trovare la relativa derivata:   f(x)=x     {\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}\ \ \ \ \ } (scrivi la funzione originale);  f(x)=x(12)     {\displaystyle f(x)=x^{({\frac {1}{2}})}\ \ \ \ \ } (riscrivi il radicale come una potenza);   f′(x)=12x(12−1)   {\displaystyle f^{\prime }(x)={\frac {1}{2}}x^{({\frac {1}{2}}-1)}\ \ \ } (trova la derivata con la regola della potenza);  f′(x)=12x(−12)   {\displaystyle f^{\prime }(x)={\frac {1}{2}}x^{(-{\frac {1}{2}})}\ \ \ } (semplifica la potenza). In questa fase devi sapere che una potenza con esponente negativo corrisponde al reciproco della base elevata al medesimo esponente, ma con segno positivo. Di conseguenza, l'esponente −12{\displaystyle -{\frac {1}{2}}} indica che hai la radice quadrata della base al denominatore di una frazione. Continuando con l'esempio precedente, la derivata può essere semplificata come segue:   f′(x)=12x−12{\displaystyle f^{\prime }(x)={\frac {1}{2}}x^{-{\frac {1}{2}}}};  f′(x)=12∗1x{\displaystyle f^{\prime }(x)={\frac {1}{2}}*{\frac {1}{\sqrt {x}}}};  f′(x)=12x{\displaystyle f^{\prime }(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}}.
Ripassa la regola della catena per le funzioni. Definisci le funzioni per la regola della catena. Trova le derivate delle due funzioni. Combina quanto trovato con la regola della catena. Impara la scorciatoia per calcolare le derivate di qualsiasi funzione radicale. Trova la derivata del radicando. Scrivi la derivata del radicando come numeratore di una frazione. Scrivi il denominatore come il doppio della radice quadrata originale. Unisci il numeratore e il denominatore per trovare la derivata. Ripassa la regola della potenza delle derivate. Riscrivi la radice quadrata come una potenza. Applica la regola della potenza. Semplifica il risultato.
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Using the Chain Rule for Square Root Functions Using a Shortcut for Derivatives of Radical Functions Using the Power Rule