Trovare Graficamente il Codominio di una Funzione Trovare il Dominio di una Funzione Trovare il Codominio di una Funzione Quadratica
Spesso il modo più semplice per trovare il codominio di una funzione è quello di disegnarne il grafico. Molte funzioni con radici hanno un codominio di (-∞, 0] o [0, +∞) perché il vertice della parabola orizzontale si trova sull'asse delle ascisse. In questo caso, la funzione include tutti i valori positivi di y, se la semiparabola va verso l'alto, e tutti i valori negativi, se la semiparabola va verso il basso. Le funzioni con frazioni hanno degli asintoti che definiscono il codominio.  Alcune funzioni con radicali hanno un grafico che ha origine sopra o sotto l'asse delle ascisse. In questo caso, il codominio è determinato dal punto in cui inizia la funzione. Se la parabola ha origine in y = -4 e tende a salire, allora il suo codominio è [-4, +∞). Il modo più semplice per tracciare il grafico di una funzione è quello di usare una calcolatrice scientifica o un programma dedicato. Se non hai una calcolatrice di questo tipo, puoi tracciare uno schizzo su carta inserendo nella funzione dei valori per x e calcolando i corrispondenti per y. Trova sul grafico i punti con le coordinate che hai calcolato, per avere un'idea della forma della curva. Quando hai disegnato il grafico, dovresti riuscire a identificare chiaramente il punto di minino. Se non esiste un minimo ben definito, sappi che alcune funzioni tendono a -∞. Una funzione con frazioni includerà tutti i punti tranne quelli che si trovano sull'asintoto. In tal caso, il codominio assume valori come (-∞, 6) U (6, ∞). Anche in questo caso, la rappresentazione grafica è di grande aiuto. Tuttavia, alcune funzioni tendono a +∞ e, di conseguenza, non hanno un massimo. Proprio come con il dominio, anche il codominio deve essere espresso con delle parentesi quadre quando l'estremo è incluso e con delle tonde quando il valore estremo è escluso. La lettera maiuscola U indica l'unione fra due parti del codominio che sono separate da una porzione che non ne fa parte.  Ad esempio, il codominio [-2, 10) U (10, 2] include i valori di -2 e 2, ma esclude 10. Quando utilizzi il simbolo di infinito, ∞, usa sempre le parentesi tonde. Il dominio di una funzione è rappresentato da tutti i valori di x (disposti sull'asse delle ascisse) che fanno assumere alla variabile y un valore valido. La funzione potrebbe essere quadratica, una frazione oppure contenere delle radici. Per calcolare il dominio di una funzione, devi prima valutare i termini che contiene.  Un'equazione di secondo grado rispetta la forma: ax2 + bx + c. Ad esempio: f(x) = 2x2 + 3x + 4. Le funzioni con frazioni includono: f(x) = (1/x), f(x) = (x + 1)/(x – 1) e via discorrendo. Le equazioni con una radice assumono questo aspetto: f(x) = √x, f(x) = √(x2 + 1), f(x) = √-x e via dicendo. Per definire il dominio di una funzione devi usare sia le parentesi quadre [,] sia quelle tonde (,). Usi quelle quadre quando l'estremo dell'insieme è incluso nel dominio, mentre devi optare per quelle tonde se l'estremo dell'insieme non è incluso. La lettera maiuscola U indica l'unione fra due parti del dominio che possono essere separate da una porzione di valori esclusi dal dominio.  Ad esempio, il dominio [-2, 10) U (10, 2] include i valori di -2 e 2, ma esclude il numero 10. Usa sempre le parentesi tonde quando devi utilizzare il simbolo di infinito, ∞. Questo tipo di funzione genera una parabola che può essere rivolta verso l'alto o verso il basso. Tale parabola continua la sua estensione all'infinito, ben oltre l'asse delle ascisse che hai tracciato. Il dominio della maggior parte delle funzioni quadratiche è l'insieme di tutti i numeri reali. In altre parole, un'equazione di secondo grado include tutti i valori di x rappresentati sulla linea dei numeri, di conseguenza il suo dominio è R (il simbolo che indica l'insieme di tutti i numeri reali).  Per determinare il tipo di funzione in esame, assegna un qualunque valore a x e inseriscilo nell'equazione. Risolvila in base al valore scelto e trova il numero corrispondente per y. La coppia di valori di x e di y rappresenta le coordinate (x;y) di un punto sul grafico della funzione. Individua il punto con queste coordinate e ripeti il procedimento per un altro valore di x. Se tracci alcuni punti ricavati con questo metodo sul sistema di assi cartesiani, puoi avere un'idea approssimativa della forma della funzione quadratica. Quando lavori con una frazione, non puoi mai dividere il numeratore per zero. Se imponi il denominatore pari a zero e risolvi l'equazione per x, trovi i valori che dovranno essere esclusi dalla funzione.  Ad esempio, supponiamo di dover trovare il dominio di f(x) = (x + 1)/(x - 1). Il denominatore della funzione è (x - 1). Imponi il denominatore pari a zero e risolvi l'equazione per x: x – 1 = 0, x = 1. A questo punto, puoi scrivere il dominio che non può includere il valore 1 bensì tutti i numeri reali eccetto 1. Quindi il dominio scritto nella notazione corretta è: (-∞, 1) U (1, ∞). La notazione (-∞, 1) U (1, ∞) può essere letta come: tutti i numeri reali eccetto 1. Il simbolo di infinito (∞) rappresenta tutti i numeri reali. In questo caso, tutti quelli maggiori e minori di 1 fanno parte del dominio. Poiché non puoi estrarre la radice quadrata di un numero negativo, devi escludere dal dominio tutti i valori di x che conducono a un radicando inferiore a zero.  Ad esempio, identifica il dominio di f(x) = √(x + 3). Il radicando è (x + 3). Imponi questo valore pari o maggiore di zero: (x + 3) ≥ 0. Risolvi la disequazione per x: x ≥ -3. Il dominio della funzione è rappresentato da tutti i numeri reali maggiori o uguali a -3, quindi: [-3, ∞). Questo tipo di equazione rispetta la forma: ax2 + bx + c, ad esempio f(x) = 2x2 + 3x + 4. La rappresentazione grafica di una funzione quadratica è una parabola rivolta verso l'alto o verso il basso. Ci sono diversi metodi per calcolare il codominio di una funzione in base a quale tipologia appartiene. Il modo più semplice per trovare il codominio di altre funzioni, come quelle frazionarie o con radici, è quello di tracciarne il grafico con una calcolatrice scientifica. Il vertice di una funzione di secondo grado è la "punta" della parabola. Ricorda che questo genere di equazioni rispetta la forma: ax2 + bx + c. Per trovare la coordinata sulle ascisse usa l'equazione x = -b/2a. Questa equazione è una derivata dalla funzione quadratica base con pendenza pari a zero (al vertice del grafico la pendenza della funzione – o coefficiente angolare – è nulla).  Ad esempio, trova il codominio di 3x2 + 6x -2. Calcola la coordinata di x al vertice x = -b/2a = -6/(2*3) = -1; Inserisci il valore delle ordinate al vertice nella funzione e trova il corrispettivo numero delle ordinate. Il risultato indica l'estremo del codominio della funzione.  Calcola la coordinata di y: y = 3x2 + 6x – 2 = 3(-1)2 + 6(-1) -2 = -5. Le coordinate al vertice di questa funzione sono (-1; -5). Scegli un altro numero da assegnare alle ascisse e calcola l'ordinata corrispondente. Se il valore di y si trova sopra il vertice, allora la parabola prosegue verso +∞. Se il valore si trova sotto il vertice, la parabola si estende a -∞.  Imponi a x il valore di -2: y = 3x2 + 6x – 2 = y = 3(-2)2 + 6(-2) – 2 = 12 -12 -2 = -2. Dai calcoli ottieni la coppia di coordinate (-2; -2). Questa coppia ti fa capire che la parabola continua sopra il vertice (-1; -5); quindi il codominio include tutti i valori di y maggiori di -5. Il codominio di questa funzione è [-5, ∞). Questa è identica a quella utilizzata per il dominio. Adotta le parentesi quadre quando l'estremo è incluso nel codominio e quelle tonde per escluderlo. La lettera maiuscola U indica l'unione fra due parti del codominio che sono separate da una porzione di valori non inclusi.  Ad esempio, il codominio pari a [-2, 10) U (10, 2] include i valori -2 e 2,  ma esclude 10. Usa sempre le parentesi tonde quando devi considerare il simbolo di infinito, ∞.
Traccia il grafico. Trova il minimo della funzione. Trova il massimo della funzione. Scrivi il codominio rispettando la giusta notazione. Determina il tipo di funzione in esame. Scrivi il dominio rispettando la corretta notazione. Traccia il grafico dell'equazione di secondo grado. Imposta il denominatore pari a zero, se la funzione è una frazione. Imponi i termini all'interno della radice quadrata come pari o maggiori di zero, se stai lavorando con un'equazione di radici. Accertati che si tratti di una funzione quadratica. Trova il valore di x al vertice della funzione. Calcola il valore di y al vertice della funzione. Determina la direzione della parabola inserendo nell'equazione almeno un altro valore per x. Scrivi il codominio con la notazione corretta.
https://www.wikihow.com/Find-the-Domain-and-Range-of-a-Function https://www.wikihow.com/Find-the-Domain-and-Range-of-a-Function https://www.wikihow.com/Find-the-Domain-and-Range-of-a-Function
Finding the Range of a Function Graphically Finding the Domain of a Function Finding the Range of a Quadratic Function