Definire i Concetti Chiave Usare le Formule per il Calcolo del Raggio Trovare il Raggio come Distanza fra Due Punti
Il raggio (r) è la distanza che separa il centro della sfera da un punto qualunque della sua superficie. In linea generale, puoi trovare il raggio conoscendo il diametro, la circonferenza, la superficie e il volume della sfera.   Diametro (D): è il segmento che attraversa la sfera, in pratica è pari a due volte il raggio. Il diametro passa attraverso il centro e unisce due punti presenti sulla superficie. In altri termini, è la distanza massima che separa due punti del solido.  Circonferenza (C): è una distanza unidimensionale, una curva piana chiusa che "avvolge" la sfera nel suo punto più ampio. In altre parole, è il perimetro della sezione piana ottenuta intersecando la sfera con un piano che passa per il centro.  Volume (V): è lo spazio tridimensionale contenuto dalla sfera, cioè quello occupato dal solido.   Superficie o area (A): rappresenta la misura bidimensionale della superficie esterna della sfera.  Pi greco (π): è una costante che esprime il rapporto fra la circonferenza di un cerchio e il suo diametro. Le prime cifre di pi greco sono sempre 3,141592653, sebbene spesso venga arrotondato a 3,14. A questo proposito, puoi avvalerti del diametro, della circonferenza, del volume o dell'area. Puoi anche procedere al contrario e trovare tutti questi valori a partire dal quello del raggio. Tuttavia, per calcolare il raggio, devi sfruttare le formule inverse di quelle che ti consentono di giungere a tutti questi elementi. Impara le formule che utilizzano il raggio per trovare il diametro, la circonferenza, l'area e il volume.   D = 2r. Proprio come accade con i cerchi, il diametro di una sfera è il doppio del raggio.  C = πD oppure 2πr. Anche in questo caso, la formula è identica a quella che si usa con i cerchi; la circonferenza di una sfera è pari a π volte il suo diametro. Poiché il diametro è il doppio del raggio, si può definire la circonferenza come il prodotto fra π e due volte il raggio.  V = (4/3)πr3. Il volume di una sfera è pari al cubo del raggio (il raggio moltiplicato per se stesso tre volte) per π, il tutto moltiplicato per 4/3.   A = 4πr2. L'area della sfera è uguale a quattro volte il raggio elevato a potenza di due (moltiplicato per se stesso) per π. Dato che l'area di un cerchio è πr2, puoi anche dire che l'area di una sfera è pari a quattro volte l'area del cerchio definito dalla sua circonferenza. Il raggio è pari alla metà del diametro, quindi usa la formula: r = D/2. Questo è lo stesso procedimento che si utilizza per trovare il valore del raggio di un cerchio conoscendone il diametro. Se hai una sfera con un diametro di 16 cm, allora puoi trovarne il raggio dividendo: 16/2 = 8 cm. Se il diametro fosse di 42 cm, il raggio sarebbe pari a 21 cm. In questo caso, devi utilizzare la formula: r = C/2π. Poiché la circonferenza è uguale a πD, cioè a 2πr, se la dividi per 2π otterrai il raggio.  Supponi di avere una sfera con circonferenza di 20 m, per trovare il raggio procedi a questo calcolo: 20/2π = 3,183 m. Si tratta della stessa formula che utilizzeresti per trovare il raggio di un cerchio partendo dalla circonferenza. Usa la formula: r = ((V/π)(3/4))1/3. Il volume di una sfera si ottiene con l'equazione: V = (4/3)πr3; ti basta risolvere per "r" e ottieni: ((V/π)(3/4))1/3 = r, il che significa che il raggio di una sfera è pari al suo volume diviso per π, moltiplicato per ¾ e il tutto elevato a 1/3 (oppure sotto radice cubica). Se hai una sfera con il volume di 100 cm3, trova il raggio come segue:  ((V/π)(3/4))1/3 = r; ((100/π)(3/4))1/3 = r; ((31,83)(3/4))1/3 = r; (23,87)1/3 = r;  2,88 cm = r. In questo caso, usa la formula: r = √(A/(4π)). La superficie dell'area di una sfera si ottiene dall'equazione A = 4πr2. Risolvendola per "r" si giunge a: √(A/(4π)) = r, cioè il raggio di una sfera è pari alla radice quadrata della sua area divisa per 4π. Puoi anche decidere di elevare (A/(4π)) alla potenza di ½ e otterrai lo stesso risultato. Supponi di avere una sfera con superficie pari a 1200 cm2, trova il raggio in questo modo:  √(A/(4π)) = r; √(1200/(4π)) = r; √(300/(π)) = r; √(95,49) = r;  9,77 cm = r. Puoi immaginare il raggio di una sfera come la distanza che separa il centro del solido da un punto qualunque della sua superficie. Dato che questo concetto coincide con la definizione di raggio, conoscendo le coordinate del centro e di un altro punto della superficie, puoi trovare il raggio calcolando la distanza fra essi e applicando una variazione alla formula base della distanza. Per iniziare, trova le coordinate del centro della sfera. Dato che stai lavorando con un solido tridimensionale, le coordinate sono tre (x,y,z), anziché due (x,y). Il procedimento è più semplice da capire grazie a un esempio. Considera una sfera centrata nel punto con coordinate (4, -1, 12). Nei prossimi passaggi utilizzerai questo dato per trovare il raggio. Ora devi individuare le tre coordinate spaziali che identificano un punto presente sulla superficie del solido. Puoi usare un punto qualunque. Dato che tutti i punti che formano la superficie di una sfera sono equidistanti dal centro per definizione, puoi considerare quello che preferisci. Continuando con l'esempio precedente, prendi in considerazione il punto con coordinate (3, 3, 0) che giace sulla superficie del solido. Calcolando la distanza fra tale punto e il centro troverai il raggio. Ora che conosci le coordinate del centro e quelle del punto sulla superficie, non ti resta che calcolarne la distanza per trovare il raggio. Usa la formula della distanza tridimensionale: d = √((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 + (z2 - z1)2), dove d è la distanza, (x1,y1,z1) sono le coordinate del centro e (x2,y2,z2) sono le coordinate del punto sulla superficie. Utilizza i dati dell'esempio precedente e inserisci i valori (4, -1, 12) al posto delle variabili di (x1,y1,z1) e i valori (3, 3, 0) per (x2,y2,z2); in seguito risolvi in questo modo:  d = √((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 + (z2 - z1)2); d = √((3 - 4)2 + (3 - -1)2 + (0 - 12)2); d = √((-1)2 + (4)2 + (-12)2); d = √(1 + 16 + 144); d = √(161);  d = 12,69. Questo è il raggio della sfera. In una sfera, tutti i punti che giacciono sulla superficie sono equidistanti dal centro. Se consideri la formula della distanza tridimensionale espressa in precedenza e sostituisci la variabile "d" con "r" (raggio), ottieni la formula per calcolare il raggio a partire dalle coordinate del centro (x1,y1,z1) e da quelle di un punto qualunque sulla superficie (x2,y2,z2). Elevando a potenza di 2 entrambi i lati dell'equazione, si ottiene: r2 = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 + (z2 - z1)2. Nota che questa è praticamente identica all'equazione base di una sfera centrata sull'origine degli assi (0,0,0), cioè: r2 = x2 + y2 + z2.
Identifica i parametri di base della sfera. Usa vari elementi per trovare il raggio. Trova il raggio a partire dal diametro. Calcola il raggio a partire dalla circonferenza. Calcola il raggio conoscendo il volume della sfera. Trova il raggio a partire dal dato della superficie. Trova le coordinate (x,y,z) del centro della sfera. Trova le coordinate del punto sulla superficie della sfera. Trova il raggio con la formula d = √((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 + (z2 - z1)2). Sappi che, in generale, r = √((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 + (z2 - z1)2).
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Defining Key Concepts Using Radius Calculation Formulas Finding the Radius as the Distance Between Two Points