Trovare la Distanza fra Due Punti Trovare la Distanza con Spazio e Tempo
Cosa dovremmo fare se, invece di trovare la distanza compiuta da un oggetto in movimento, dovessimo trovare la distanza di due oggetti stazionari? In casi come questi, la formula della distanza basata sulla velocità non sarebbe di alcun aiuto. Fortunatamente, può essere usata un’altra formula che permette di calcolare facilmente la distanza in linea retta fra due punti. Però, per usare questa formula, avrai bisogno di conoscere le coordinate dei due punti. Se hai a che fare con una distanza unidimensionale (come su una linea numerata), le coordinate dei tuoi punti saranno date da due numeri, x1 e x2. Se hai a che fare con una distanza bidimensionale, avrai bisogno dei valori per due punti (x,y), (x1,y1) e (x2,y2). Infine, per le distanze tridimensionali, avrai bisogno di valori per  (x1,y1,z1) e (x2,y2,z2). Calcolare la distanza unidimensionale fra due punti quando conosci il valore di ognuno è una passeggiata. E’ sufficiente usare la formula d = |x2 - x1|. In questa formula, sottrai x1 da x2, poi prendi il valore assoluto di quanto ottenuto per trovare la soluzione x1 and x2. Tipicamente, userai la formula per la distanza unidimensionale se i tuoi punti si trovano su una linea retta.  Nota che questa formula us ail valore assoluto (il simbolo "| |"). Il valore assoluto implica che il termine contenuto al suo interno diventa positivo nel caso fosse negativo. Ad esempio, supponiamo di esserci fermata a lato di una strada perfettamente dritta. Se c’è una piccola città 5 miglia più avanti e una 1 miglio più indietro di noi, quanto distano le due città? Se impostiamo la città 1 come x1 = 5 e la città 2 come x1 = -1, possiamo trovare d, la distanza fra le due città, come:  d = |x2 - x1| = |-1 - 5| = |-6| = 6 miglia. Trovare la distanza fra due punti in uno spazio bidimensionale è più complicate di quanto fosse nel caso unidimensionale, ma non è difficile. Basta usare la formula d = √((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2). In questa formula, sottrai le coordinate x dei due punti, elevi al quadrato, sottrai le coordinate y, elevi al quadrato, sommi fra loro i due risultati, e prendi la radice quadrata per trovare la distanza fra i tuoi due punti. Questa formula funziona come nel pano bidimensionale; ad esempio, sui grafici x/y.  La formula della distanza 2-D si serve del Teorema di Pitagora, che dice che l’ipotenusa di un triangolo rettangolo è uguale alla somma dei quadrati dei cateti. Ad esempio, supponiamo di avere due punti sul piano x/y: (3, -10) e (11, 7) che rappresentano il centro di un cerchio e un punto sul cerchio, rispettivamente. Per trovare la distanza in linea retta fra questi due punti, possiamo procedere come segue: d = √((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2) d = √((11 - 3)2 + (7 - -10)2) d = √(64 + 289) d = √(353) = 18.79 In tre dimensioni, i punti hanno una coordinata z aggiuntiva. Per trovare la distanza fra due punti in uno spazio tridimensionale, usa d = √((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 + (z2 - z1)2). Questa è la formula della distanza 2-D modificata in modo da tenere in considerazione anche la coordinata z. Sottraendo fra loro le coordinate z, elevandole al quadrato, e procedendo come prima sul resto della formula, garantirà che il risultato finale rappresenti la distanza tridimensionale fra due punti.  Ad esempio, supponiamo di essere un astronauta che sta galleggiando nello spazio vicino a due asteroidi. Uno è a circa 8 km davanti a noi, 2km a destra e 5km in basso, mentre l’altro è 3km dietro a noi, 3 km a sinistra e 4km sopra di noi. Se rappresentiamo la posizione di questi due asteroidi con le coordinate  (8,2,-5) e (-3,-3,4), possiamo trovare la distanza reciproca dei due asteroidi come segue: d = √((-3 - 8)2 + (-3 - 2)2 + (4 - -5)2) d = √((-11)2 + (-5)2 + (9)2) d = √(121 + 25 + 81) d = √(227) =  15.07 km Quando stiamo cercando di calcolare la distanza che un oggetto in movimento ha percorso, per effettuare il calcolo sono fondamentali due informazioni, è possibile calcolare tale distanza con la formula d = s × t. Per capire meglio il processo di usare la formula della distanza, risolviamo un problema di esempio in questa sezione. Diciamo che stiamo percorrendo una strada a 120 miglia all’ora (circa 193 km/h) e vogliamo sapere quanto abbiamo percorso se abbiamo viaggiato per mezz’ora. Usando 120 mph come valore per la velocità e 0.5 ore come valore per il tempo, risolveremo questo problema al passo successivo. Una volta che conosci la velocità per un oggetto in movimento e il tempo per cui ha viaggiato, trovare la distanza che ha percorso è abbastanza semplice. Basta moltiplicare queste due quantità per trovare la risposta.  Nota, comunque, che se le unità di tempo usate nel valore della tua velocità sono diverse da quelle usate nel valore del tempo, dovrai convertire l’una o l’altra in modo da renderle compatibili. Per esempio se avessimo una velocità misurata in km/h e un tempo misurato in minuti, dovremmo dividere il tempo per 60 per convertirlo in ore. Risolviamo il nostro problema di esempio. 120 miglia/ora × 0.5 ore = 60 miglia. Nota che le unità nel valore del tempo (ore) si semplificano con l’unità al denominatore della velocità (ore) per lasciare solamente un unità di misura di distanza (miglia) La semplicità dell’equazione di base della distanza (d = s × t) rende abbastanza semplice usare l’equazione per trovare i valori delle altre variabili oltre la distanza. Isola semplicemente la variabile che vuoi trovare basandoti sulle regole dell’algebra, poi inserisci il valore delle altre due variabili per trovare il valore della terza. In altre parole, per trovare la velocità, usa l’equazione s = d/t e per trovare il tempo per cui hai viaggiato, usa l’equazione t = d/s.  Per esempio, diciamo di sapere che un’auto ha viaggiato per 60 miglia in 50 minuti, ma non sappiamo il valore della sua velocità. In questo caso, possiamo isolare la variabile s nell’equazione di base della distanza per ottenere s = d/t, poi dividiamo semplicemente 60 miglia / 50 minuti per ottenere la risposta pari a 1.2 miglia/minuto. Nota che nel nostro esempio, la nostra risposta per la velocità ha una unità di misura non comune (miglia/minuti). Per esprimere la nostra risposta nella forma miglia/ora, vogliamo moltiplicarlo per 60 minuti/ora per ottenere 72 miglia/ora. E’ importante capire che la formula base della distanza offre una visione semplicistica del movimento di un oggetto. La formula della distanza suppone che l’oggetto in movimento abbiamo una velocità costante; in altre parole, suppone che l’oggetto si stia muovendo ad un’unica velocità, che non varia. Per un problema astratto di matematica, come quelli in ambito accademico, in alcuni casi è possibile modellizzare il moto di un oggetto partendo da questo presupposto. Nella vita reale, invece, spesso non riflette accuratamente il movimento degli oggetti, che possono aumentare, diminuire la loro velocità, fermarsi e tornare indietro in alcuni casi.  Ad esempio, nel problema precedente, abbiamo concluso che per percorrere 6 miglia in 50 minuti, dovremmo viaggiare a 72 miglia/ora. Però, questo è vero solamente se potessimo viaggiare a quella velocità per tutto il percorso. Ad esempio, viaggiando ad 80 miglia/ora per metà del percorso e 64 miglia/ora per l’altra metà, avremmo sempre percorso 60 miglia in 50 minuti. Delle soluzioni basate sull’analisi come le derivate, sono spesso una scelta migliore che la formula della distanza per definire la velocità di un oggetto nelle situazioni del mondo reale in cui la velocità è variabile.
Trovare due punti con coordinate x, y e/o z. Trovare la distanza 1-D sottraendo i due punti. Trovare la distanza 2-D usando il Teorema di Piatagora. Trovare la distanza 3-D modificando la formula del caso 2-D. Trovare i valori per spazio e tempo. Moltiplichiamo la velocità e il tempo. Ribalta l’equazione per trovare i valori delle altre variabili. Nota che la variabile "s" nella formula della distanza fa riferimento alla velocità media.
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Finding the Distance between Two Points Finding Distance with Average Speed and Time