Individuare la Matrice Inversa tramite la Riduzione per Righe Calcolare l'Inversa Usando la Matrice Aggiunta
Prendi nota della matrice originale, traccia una linea verticale di separazione sulla sua destra, quindi riporta la matrice identità sulla destra della linea appena tracciata. Adesso dovresti avere una matrice composta da 3 righe e 6 colonne. Ricorda che la matrice identità è una matrice speciale, composta da elementi che assumono il valore 1 disposti lungo tutta la diagonale principale e da elementi che assumo il valore 0 in tutte le altre posizioni. Esegui una ricerca online per avere maggiori informazioni riguardanti la matrice identità e le sue proprietà. L'obiettivo è riuscire a spostare la matrice identità dal lato destro al lato sinistro della nuova matrice. Eseguendo le operazioni inerenti alla riduzione per righe sulla parte sinistra della matrice, dovrai obbligatoriamente applicarle anche al lato destro, in modo che inizi ad assumere la forma di una matrice identità. Ricorda che la riduzione per righe di una matrice si esegue tramite una combinazione di moltiplicazioni scalari e di addizioni o sottrazioni allo scopo di portare a 0 gli elementi che si trovano al di sotto della diagonale principale della matrice di riferimento. Per ottenere informazioni più dettagliate su come eseguire la riduzione per righe di una matrice, esegui una ricerca nel web. Prosegui eseguendo le operazioni matematiche richieste per ridurre la matrice di partenza finché il lato sinistro non rispecchierà esattamente la matrice identità (composta da 1 sulla diagonale principale e da 0 in tutte le altre posizioni). Una volta raggiunto l'obiettivo, sul lato destro della linea verticale di separazione, avrai esattamente l'inversa della matrice originale. Copia tutti gli elementi che appaiono sul lato destro della linea verticale di separazione della matrice di partenza all'interno della matrice inversa. Per sapere se la matrice che stai studiando è invertibile, occorre innanzitutto calcolarne il determinate. Se il determinante è pari a 0, significa che il tuo lavoro è già terminato perché la matrice in oggetto non possiede un'inversa. Il determinante di una matrice M si indica con l'espressione matematica det(M).  Per calcolare il determinante di una matrice 3x3, occorre per prima cosa selezionare una riga o una colonna specifica, calcolare quindi il minore di ciascun elemento della riga o colonna scelta e sommare fra loro i risultati ottenuti rispettandone il segno algebrico. Per avere maggiori dettagli su come si calcola il determinante di una matrice, fai riferimento a questo articolo. Questo passaggio implica di far ruotare la matrice di 180° lungo la diagonale principale. In altre parole significa invertire gli indici posizionali di ciascun elemento della matrice. Ad esempio, l'elemento che occupa la posizione (i,j) andrà ad occupare la posizione (j,i) e viceversa. Quando si traspongono gli elementi di una matrice, si nota che la diagonale principale (quella che parte dall'angolo superiore sinistro e termina nell'angolo inferiore destro) rimane inalterata. È possibile pensare al processo di trasposizione di una matrice come all'operazione che prevede di scambiare le righe con le colonne. La prima riga diventa quindi la prima colonna, la riga centrale diventa la colonna centrale e la terza riga diventa la terza colonna. Osserva l'immagine che correda questo passaggio per capire graficamente come gli elementi della matrice in esame hanno modificato la propria posizione dopo la trasposizione. Il minore rappresenta il determinante della matrice 2x2 ottenuta dall'eliminazione della riga e della colonna a cui appartiene un elemento specifico. Ogni numero, variabile o espressione presente in una matrice 3x3 è associato a una matrice 2x2 il cui determinante viene chiamato "minore" proprio perché fa riferimento a un insieme più piccolo di dati. Una volta scelto un elemento ed eliminati tutti quelli appartenenti alla stessa riga e colonna, si ottiene una matrice 2x2 di cui calcolare il minore.  Nell'esempio mostrato nei passaggi precedenti, se si desidera calcolare il minore dell'elemento che si trova sulla seconda riga della prima colonna, occorre eliminare dal calcolo tutti gli elementi che fanno parte della prima colonna e della seconda riga della matrice. Il determinante della matrice 2x2 rimasta rappresenta il minore dell'elemento scelto. Calcola il minore di ogni elemento appartenente alla riga o alla colonna selezionata eseguendo le operazioni e i calcoli mostrati finora in questa sezione dell'articolo. Per avere maggiori informazioni su come gestire le matrici 2x2, fai riferimento a questo articolo. Posiziona i risultati ottenuti nel passaggio precedente all'interno di una nuova matrice, detta dei cofattori, inserendo il minore di ciascun elemento nella relativa posizione della matrice originale. Ad esempio il minore dell'elemento (1,1) della matrice originale andrà posto nella medesima posizione della matrice dei cofattori. A questo punto, modifica il segno algebrico di ciascun elemento della nuova matrice moltiplicandolo per il segno riportato nella medesima posizione della matrice di riferimento che trovi all'interno della figura a corredo del passaggio.  Quando si esegue questa operazione, il primo elemento della prima riga della matrice mantiene il suo segno originale, il secondo elemento avrà il segno invertito mentre il terzo manterrà nuovamente il suo segno originale. Continua a elaborare il resto degli elementi delle righe successive utilizzando questo schema. Nota che i segni "+" e "-", che trovi nella matrice di riferimento, non indicano il segno algebrico che dovrà avere il relativo elemento della matrice dei cofattori, ma semplicemente che il relativo elemento dovrà avere il segno invertito (indicato dal simbolo "-") o mantenere quello originale (indicato dal simbolo "+"). Per avere maggiori informazioni su come ottenere la matrice di cofattori di una matrice data, consulta questo articolo. La matrice risultante da questo passaggio viene chiamata matrice aggiunta della matrice originale. La matrice aggiunta si indica con l'espressione matematica agg(M). Quest'ultimo è il determinate della matrice M di partenza che abbiamo calcolato nei primi passaggi per scoprire se era possibile invertirla. Dividi ogni valore della matrice aggiunta per il determinante. Posiziona il risultato ottenuto da ogni calcolo al posto del relativo elemento della matrice aggiunta. La nuova matrice risultante rappresenta l'inversa della matrice M originale.  Ad esempio, il determinante della matrice di riferimento per questa sezione, mostrata nelle relative immagini, è pari a 1. Dividere ogni elemento della matrice aggiunta per il determinate darà quindi come risultato la matrice aggiunta stessa (in questo caso siamo stati fortunati, ma non è sempre così purtroppo). Relativamente a quest'ultimo passaggio, anziché eseguire la divisione, altre fonti moltiplicano ogni elemento della matrice aggiunta per l'inverso del determinante della matrice originale, cioè 1/det(M). Matematicamente parlando, le due operazioni sono equivalenti.
Aggiungi la matrice identità alla matrice originale. Esegui la riduzione per righe della nuova matrice ottenuta. Prosegui nei calcoli finché non ottieni una matrice identità sul lato sinistro della matrice di partenza. Prendi nota della matrice inversa. Controlla il valore del determinante della matrice in esame. Calcola la trasposta della matrice originale. Calcola il minore di ciascun elemento della matrice trasposta. Crea la matrice dei cofattori (conosciuta anche come matrice dei complementi algebrici). Dividi ogni elemento della matrice aggiunta per il determinate.
https://www.wikihow.com/Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix https://www.wikihow.com/Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix
Using Linear Row Reduction to Find the Inverse Matrix Creating the Adjugate Matrix to Find the Inverse Matrix