Polinomi di Secondo Grado Polinomi di Primo Grado
A volte, si definisce anche polinomio quadratico; questo significa che non c'è alcuna variabile con un esponente maggiore di 2. Dato che si tratta di un polinomio di secondo grado, prevede due radici, o soluzioni. Per esempio, x2+8x−20{\displaystyle x^{2}+8x-20} è un polinomio di secondo grado perché la variabile x{\displaystyle x} ha un esponente pari a 2{\displaystyle 2}. Questo significa che il termine con esponente uguale a 2{\displaystyle 2} deve essere il primo a sinistra, seguito da quello di primo grado e infine dalla costante. Per esempio, dovresti riscrivere 8x+x2−20{\displaystyle 8x+x^{2}-20} in questa forma: x2+8x−20{\displaystyle x^{2}+8x-20}. Questo passaggio è necessario per risolvere tutti i polinomi. Per esempio: x2+8x−20=0{\displaystyle x^{2}+8x-20=0}. Per procedere devi separare il termine di primo grado (il termine x{\displaystyle x}); devi trovare due numeri la cui somma sia pari al coefficiente della variabile e il prodotto pari alla costante.  Per esempio, se consideri il polinomio di secondo grado x2+8x−20=0{\displaystyle x^{2}+8x-20=0}, devi trovare i due numeri (a{\displaystyle a} e b{\displaystyle b}) per cui a+b=8{\displaystyle a+b=8}, e a⋅b=−20{\displaystyle a\cdot b=-20}. Dato che la costante è negativa (−20{\displaystyle -20}), sai che uno dei due numeri è minore di zero. Dovresti renderti conto che 10+(−2)=8{\displaystyle 10+(-2)=8} e 10⋅(−2)=−20{\displaystyle 10\cdot (-2)=-20}. Di conseguenza, puoi riscrivere 8x{\displaystyle 8x} come 10x−2x{\displaystyle 10x-2x}; pertanto, l'equazione si presenta in questo modo: x2+10x−2x−20=0{\displaystyle x^{2}+10x-2x-20=0}. Estrai quello comune per i primi due termini del polinomio. Nell'esempio considerato finora, x2+10x−2x−20=0{\displaystyle x^{2}+10x-2x-20=0}, i primi due termini sono x2+10x{\displaystyle x^{2}+10x}. Il fattore comune è x{\displaystyle x}, quindi puoi riscriverli come x(x+10){\displaystyle x(x+10)}. Estrai il fattore comune degli altri due termini del polinomio. Per esempio, osservando x2+10x−2x−20=0{\displaystyle x^{2}+10x-2x-20=0}, i due termini successivi sono −2x−20{\displaystyle -2x-20} il cui fattore comune è −2{\displaystyle -2}, ottenendo di conseguenza −2(x+10){\displaystyle -2(x+10)}. Un binomio è un'espressione composta da due termini. Uno è già presente ed è rappresentato dalle espressioni raccolte fra parentesi e che sono uguali fra loro; l'altro è la combinazione dei fattori comuni che si trovano fuori dalle parentesi, ma che possono essere combinati per la proprietà distributiva.  Per esempio, dopo aver raccolto i fattori comuni, l'equazione x2+10x−2x−20=0{\displaystyle x^{2}+10x-2x-20=0} diventa x(x+10)−2(x+10)=0{\displaystyle x(x+10)-2(x+10)=0}. Il primo binomio è (x+10){\displaystyle (x+10)}. Il secondo è (x−2){\displaystyle (x-2)}. Di conseguenza il polinomio iniziale di secondo grado, x2+8x−20=0{\displaystyle x^{2}+8x-20=0}, può essere riscritto come: (x+10)(x−2)=0{\displaystyle (x+10)(x-2)=0}. Per farlo, devi risolvere il primo binomio per x{\displaystyle x}. Nell'esempio considerato, per calcolare la prima radice di (x+10)(x−2)=0{\displaystyle (x+10)(x-2)=0}, devi imporre il primo binomio uguale a 0{\displaystyle 0} e trovare x{\displaystyle x}. Quindi:x+10=0{\displaystyle x+10=0}x+10−10=0−10{\displaystyle x+10-10=0-10}x=−10{\displaystyle x=-10} La prima soluzione del polinomio di secondo grado x2+8x−20=0{\displaystyle x^{2}+8x-20=0} è −10{\displaystyle -10}. In tal caso, devi risolvere il secondo binomio per x{\displaystyle x}. Per esempio, per calcolare la seconda radice di (x+10)(x−2)=0{\displaystyle (x+10)(x-2)=0} devi imporre il secondo binomio pari a 0{\displaystyle 0} e svolgere le operazioni per trovare x{\displaystyle x}. Quindi:x−2=0{\displaystyle x-2=0}x−2+2=0+2{\displaystyle x-2+2=0+2}x=2{\displaystyle x=2} La seconda radice del polinomio di secondo grado x2+8x−20=0{\displaystyle x^{2}+8x-20=0} è 2{\displaystyle 2}. Con questo termine si indica un'espressione di primo grado. Questo significa che non ci sono variabili con esponente (o meglio con un esponente maggiore di 1); dato che si tratta di un'espressione di primo grado, prevede una sola soluzione, o radice. Per esempio, 5x+2{\displaystyle 5x+2} è un polinomio di primo grado perché la variabile x{\displaystyle x} ha esponente uguale a 1. Questo passaggio è necessario per risolvere tutti i polinomi. Per esempio, 5x+2=0{\displaystyle 5x+2=0}. Somma o sottrai la costante a entrambi i lati dell'equazione; la costante è il parametro senza variabile. Per esempio, per isolare x{\displaystyle x} nell'equazione 5x+2=0{\displaystyle 5x+2=0}, dovresti sottrarre 2{\displaystyle 2} da entrambi i lati:5x+2=0{\displaystyle 5x+2=0}5x+2−2=0−2{\displaystyle 5x+2-2=0-2}5x=−2{\displaystyle 5x=-2}. In genere, devi dividere entrambi i termini dell'equazione per il coefficiente della variabile; in questo modo ottieni la radice, o soluzione, del polinomio. Per esempio, per trovare il valore di x{\displaystyle x} in 5x=−2{\displaystyle 5x=-2}, dovresti dividere entrambi i termini per 5{\displaystyle 5}:5x=−2{\displaystyle 5x=-2}5x5=−25{\displaystyle {\frac {5x}{5}}={\frac {-2}{5}}}x=−25{\displaystyle x={\frac {-2}{5}}} di conseguenza, la soluzione di 5x+2{\displaystyle 5x+2} è x=−25{\displaystyle x={\frac {-2}{5}}}.
Determina se hai un polinomio di secondo grado. Assicurati che sia scritto in ordine di grado. Imposta un'equazione pari a zero. Riscrivi l'equazione come un'espressione in quattro termini. Raccogli in fattori. Raccogli in fattori il secondo gruppo. Riscrivi il polinomio come due binomi. Trova la prima soluzione, o radice. Trova la seconda radice, o soluzione. Determina se si stratta di un polinomio lineare. Imposta l'equazione uguale a zero. Isola il termine della variabile. Risolvi per la variabile.
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Solving a Quadratic Polynomial Solving a Linear Polynomial