Esaminare Argomenti più Complessi Imparare a Risolvere le Equazioni per "Semplificazione" Imparare le Regole di Base dell’Algebra Affinare le Abilità Algebriche Capire le Variabili
I grafici sono uno strumento preziosissimo dell’algebra, perché ti consentono di visualizzare dei concetti numerici attraverso delle immagini semplici da comprendere. Solitamente, all’inizio, i problemi grafici sono limitati alle equazioni con due variabili (x e y) e vengono utilizzati solo sistemi di riferimento con l’asse delle ascisse e delle ordinate. Con questo tipo di equazioni, tutto quello che devi fare è assegnare un valore alla variabile x per ottenere il corrispondente valore di y (o viceversa), così da ricavare una coppia di coordinate sul grafico.  Prendi in esempio l’equazione y = 3x, se assumi x = 2 allora y = 6. Questo significa che il punto con coordinate (2,6) (due spazi dall’origine verso destra e sei spazi dall’origine verso l’alto) fa parte del grafico dell’equazione. Le equazioni che rispettano la forma y = mx + b (dove m e b sono numeri) sono abbastanza comuni nell’algebra di base. Il grafico corrispondente ha sempre una pendenza m e incrocia l’asse delle ordinate nel punto y = b. Cosa fare quando il problema algebrico non prevede l’uso del segno di uguaglianza? Non preoccuparti, il processo necessario per giungere alla soluzione non è tanto diverso dal solito. Per le disequazioni, che utilizzano i simboli > ("maggiore di") e < ("minore di"), devi procedere come al solito. Otterrai una soluzione che sarà maggiore o minore della variabile.  Considera, ad esempio, la disequazione 3 > 5x – 2. Per risolverla, procedi come per una normale equazione:  3 > 5x – 2. 5 > 5x. 1 > x o x < 1.   Questo significa che la disequazione è vera per ogni valore di x inferiore a 1. In altri termini, significa che x potrebbe essere 0, -1, -2 e così via. Se sostituisci x con questi numeri, otterrai sempre un numero inferiore di 3. Anche questo è un argomento che mette in difficoltà chi si avvicina per la prima volta all’algebra. Si definiscono equazioni quadratiche quelle che vengono espresse con la forma ax2 + bx + c = 0, dove a, b e c sono numeri diversi da zero. Queste equazioni si risolvono usando la formula  x = [-b +/- √(b2 - 4ac)]/2a. Stai molto attento perché il simbolo +/- significa che devi sottrarre e sommare per trovare due soluzioni a questo tipo di problemi. Prendi in esame l’equazione quadratica 3x2 + 2x -1 = 0.  x = [-b +/- √(b2 - 4ac)]/2a. x = [-2 +/- √(22 - 4(3)(-1))]/2(3). x = [-2 +/- √(4 - (-12))]/6. x = [-2 +/- √(16)]/6. x = [-2 +/- 4]/6. x = -1 e 1/3. Può sembrarti impossibile risolvere più equazioni tutte insieme, ma quando queste sono semplici, sappi che non è tanto complesso. Gli insegnanti di algebra, spesso, utilizzano un approccio grafico per questo genere di problemi. Quando devi lavorare con un sistema a due equazioni, le soluzioni sono rappresentate dai punti di intersezione dei vari grafici.  Per esempio, considera il sistema che contiene queste due equazioni: y = 3x - 2 e y = -x - 6. Se tracci i corrispettivi grafici, ti accorgi che una retta è diretta verso l’alto con una pendenza piuttosto “ripida”, mentre l’altra si dirige verso il basso rispettando un angolo minore. Dato che queste linee si incrociano nel punto con coordinate (-1,-5), questo rappresenta la soluzione. Se vuoi fare una verifica, puoi inserire i valori delle coordinate nelle equazioni per accertarti che le uguaglianze vengano rispettate:  y = 3x - 2. -5 = 3(-1) - 2. -5 = -3 - 2. -5 = -5. y = -x - 6. -5 = -(-1) - 6. -5 = 1 - 6. -5 = -5.   Entrambe le equazioni sono "verificate", quindi la tua risposta è corretta. Risolvere un’equazione algebrica, di solito, significa trovare il valore dell’incognita che rende vera l’uguaglianza; l’equazione viene presentata come una serie di operazioni fra numeri e variabili scritte su entrambi i lati del segno uguale (=); ad esempio x + 2 = 9 × 4. Per trovare il valore dell’incognita, devi isolarla a destra o a sinistra dell’uguale (la scelta del lato non influisce sul risultato). Se teniamo in considerazione l’esempio precedente (x + 2 = 9 × 4), abbiamo bisogno di “sbarazzarci” del "+ 2" che si trova a sinistra. Per fare ciò ti basta sottrarre il numero 2, restando così con x = 9 × 4. Tuttavia, per mantenere vera l’uguaglianza, devi sottrarre il numero 2 anche dal lato destro dell’equazione e avrai quindi x = 9 × 4 - 2. Seguendo l’ordine delle operazioni, devi prima moltiplicare e infine sottrarre per ottenere x = 36 - 2 = 34. Come mostrato nel passaggio precedente, per isolare la x su un lato dell’equazione spesso bisogna eliminare i numeri che le sono vicini. Per ottenere questo risultato bisogna eseguire l’operazione "opposta" su entrambi i lati dell’equazione. Considera, per esempio, l’equazione x + 3 = 0. Dato che vicino alla x si trova un "+ 3", puoi aggiungere un "- 3" a entrambi i termini che si trovano ai lati del segno uguale e otterrai x = -3. In linea generale, l’addizione e la sottrazione sono operazioni "inverse", quindi l’una ti permette di eliminare l’altra. Ecco qualche esempio:  Per l’addizione, l’operazione inversa è la sottrazione. Ad esempio, x + 9 = 3 → x = 3 - 9. Per la sottrazione, l’operazione inversa è l’addizione. Ad esempio, x - 4 = 20 → x = 20 + 4. Lavorare con queste operazioni è leggermente più difficile rispetto alla somma e sottrazione, ma fra loro vige la stessa relazione "opposta". Se vedi "× 3" in un lato dell’equazione, puoi eliminarla dividendo entrambi i termini per 3 e così via. Quando lavori con la moltiplicazione e la divisione, devi applicare l’operazione inversa a tutti i numeri che compaiono sull’altro lato del segno di uguaglianza, a prescindere da quanti sono. Ecco un esempio:  Per la moltiplicazione, l’operazione inversa è la divisione. Ad esempio, 6x = 14 + 2→ x = (14 + 2)/6. Per la divisione, l’operazione inversa è la moltiplicazione. Per esempio, x/5 = 25 → x = 25 × 5. Le potenze sono un argomento pre-algebrico piuttosto avanzato; se ancora non le conosci, puoi leggere questo articolo e ricavare diverse informazioni. L’operazione "inversa" della potenza è l’estrazione di radice con indice pari all’esponente della potenza stessa. Per esempio, l’operazione inversa di una potenza con esponente 2 è la radice quadrata (√), per una potenza con esponente 3 è la radice cubica (3√) e così via. All’inizio potresti sentirti confuso ma, in questi casi, ti basta estrarre la radice di entrambi i termini che compaiono ai lati del segno di uguaglianza per eliminare una potenza. Al contrario, ti basta elevare a potenza per eliminare le radici. Ecco qualche esempio:  Se devi eliminare la potenza, estrai la radice. Per esempio, x2 = 49 → x = √49. Se devi eliminare le radici, eleva a potenza. Per esempio, √x = 12 → x = 122. Per iniziare ad apprendere l’algebra, devi conoscere le quattro operazioni fondamentali: addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione. La matematica delle scuole elementari è indispensabile per studiare l’algebra. Se non padroneggi questa materia, allora sarà molto difficile comprendere appieno i concetti più complessi che seguiranno. Se hai bisogno di ripassare le operazioni, puoi leggere questo articolo. Non devi essere per forza un genio nello svolgere le operazioni a mente per risolvere i problemi di matematica. Nella maggior parte dei casi ti sarà concesso di usare una calcolatrice per risparmiare tempo quando devi eseguire questi passaggi semplici. Tuttavia, devi essere comunque in grado di fare le quattro operazioni matematiche di base senza calcolatrice quando questo strumento non è consentito. Per i principianti, una delle parti più impegnative in merito alla risoluzione delle equazioni algebriche è proprio il punto di inizio. Per fortuna, c’è uno specifico ordine da rispettare: per prima cosa si risolvono le operazioni contenute nelle parentesi, poi le potenze, le moltiplicazioni, le divisioni, le addizioni e infine le sottrazioni. Un trucco mnemonico per aiutarti a ricordare questo ordine è l’acronimo inglese PEMDAS. Puoi fare qualche ricerca o rileggere il testo di matematica degli anni scolastici precedenti per ricordare come seguire l’ordine delle operazioni. Ecco qui un breve riassunto:   Parentesi.  Esponente.  Moltiplicazione.  Divisione.  Addizione.  Sottrazione. Questo ordine è molto importante quando si studia l’algebra, perché risolvere un problema seguendo un processo sbagliato, spesso, porta a un risultato scorretto. Ad esempio, se dovessi risolvere l'espressione 8 + 2 × 5 e sommassi prima il 2 con l’8, otterresti 10 × 5 = 50, ma il corretto ordine delle operazioni prevede che prima si moltiplichi il 2 con il 5 e poi venga sommato l’8, ottenendo 8 + 10 = 18. Solo la seconda risposta è quella giusta. In algebra sono molto comuni, quindi vale la pena ripassare come sommarli, sottrarli, moltiplicarli e dividerli prima di iniziare a studiare questo ramo della matematica. Qui di seguito vengono elencati alcuni argomenti in merito ai numeri negativi che dovresti ricordare e ripassare; puoi fare qualche ricerca per riportare alla memoria sia come sommare e sottrarre i numeri negativi, sia come moltiplicarli e dividerli.  Se tracci la linea dei numeri, il corrispondente valore negativo di un numero positivo si trova esattamente alla stessa distanza dallo zero, ma nella direzione opposta. Se sommi fra loro due numeri negativi ottieni un terzo valore ancora più negativo (in altri termini troverai un numero in valore assoluto maggiore, ma dato che è preceduto dal segno negativo, sarà ancora più basso). Due segni negativi si elidono, per cui sottrarre un numero negativo è equivalente a sommare un numero positivo. Moltiplicare o dividere fra loro due numeri negativi porta a un risultato positivo. Moltiplicare o dividere un numero positivo con uno negativo porta a un risultato negativo. Sebbene i problemi semplici siano risolvibili in poco tempo, quelli complessi richiedono diversi passaggi. Per evitare errori, devi mantenere un’organizzazione e una logica rigorosa, riscrivendo a capo l’espressione ogni volta che esegui delle operazioni o semplificazioni, finché non ottieni la risposta finale. Se stai affrontando un’equazione dove la variabile compare in entrambi i lati del segno di uguaglianza, cerca di mantenere incolonnati tutti i simboli "=" di ciascun passaggio, in modo che il foglio appaia ordinato, così sarai meno propenso a commettere errori. Considera, per esempio, l’espressione 9/3 - 5 + 3 × 4. Dovresti organizzare lo svolgimento di tale problema in questa maniera:  9/3 - 5 + 3 × 4. 9/3 - 5 + 12. 3 - 5 + 12. 3 + 7.  10. Se hai qualche difficoltà a visualizzare i problemi algebrici, allora prova a sfruttare dei diagrammi o delle immagini per illustrare l’equazione. Puoi anche usare un gruppo di oggetti fisici (come dei mattoncini o delle monete), se ne hai a disposizione.  Prova a risolvere l’equazione x + 2 = 3 con il metodo dei quadratini (☐).  x +2 = 3. ☒+☐☐ =☐☐☐. A questo punto puoi sottrarre 2 da entrambi i lati del segno di uguaglianza rimuovendo due quadrati (☐☐) e otterrai: ☒+☐☐-☐☐ =☐☐☐-☐☐. ☒=☐, cioè x = 1.   Risolvi un altro esempio, come 2x = 4.  ☒☒ =☐☐☐☐. Ora devi dividere entrambi i termini per due separando i quadratini in due gruppi: ☒|☒ =☐☐|☐☐. ☒ = ☐☐ cioè x = 2. Quando devi riscrivere un problema descrittivo in termini matematici, prova a verificare la formula inserendo dei semplici valori al posto dell’incognita. L’equazione ha senso per x=0, per x=1 o per x = -1? È facile commettere degli errori trascrivendo p=6d al posto di p=d/6, ma questi semplici trucchi ti aiutano a fare una rapida verifica prima di continuare nei calcoli. Ad esempio, considera il problema che stabilisce che un campo da calcio è 30 m più lungo di quanto è largo. Puoi rappresentare questo dato con l’equazione l = w + 30. Puoi verificare se l’uguaglianza ha senso inserendo qualche semplice valore al posto di w. Supponi che il campo sia largo 10 m, allora significa che è lungo 10 + 30 = 40 m. Se fosse largo 30 m, allora sarebbe lungo 30 + 30 = 60 m e così via. Tutto ciò ha senso, dato che la lunghezza del campo è maggiore della sua larghezza rispettando l’assunto del problema. L’equazione è quindi ragionevole. Spesso il risultato viene formulato con rappresentazioni avanzate che non sono costantemente dei numeri interi e semplici. Ti imbatterai molto di frequente in decimali, frazioni o numeri irrazionali. La calcolatrice sarà uno strumento utile per trovare queste soluzioni complesse, ma ricorda che il tuo insegnante potrebbe chiederti di formulare la risposta in maniera precisa e non con una serie infinita di cifre decimali. Ad esempio, considera il caso in cui la semplificazione di un'equazione ti abbia portato a x = 12507. Se digiti 12507 sulla calcolatrice, otterrai un numero con parecchie cifre (inoltre, dato che i monitor delle calcolatrici non sono enormi, non verrà neppure mostrata la soluzione completa). In questo caso è opportuno lasciare il risultato come 12507 oppure riscriverlo in maniera semplificata grazie alla notazione scientifica. Una delle abilità più difficili da acquisire quando si tratta di algebra è proprio la scomposizione in fattori; questa però ti permette di ridurre delle equazioni complesse a forme più semplici, per cui possiamo considerare la scomposizione una sorta di scorciatoia matematica. La scomposizione è una argomento algebrico semi-avanzato, quindi si consiglia di leggere l’articolo citato in precedenza per ripassare i concetti principali e dipanare eventuali dubbi. Qui di seguito trovi un breve elenco di consigli per scomporre in fattori le equazioni:  Le equazioni espresse con la forma ax + ba, possono essere semplificate come a(x + b). Per esempio, 2x + 4 = 2(x + 2). Le equazioni scritte come ax2 + bx possono essere scomposte come cx((a/c)x + (b/c)) dove c è il massimo comune divisore di a e b. Per esempio, 3y2 + 12y = 3y(y + 4). Le equazioni descritte come x2 + bx + c si possono rappresentare come (x + y)(x + z) dove y × z = c e yx + zx = bx. Per esempio, x2 + 4x + 3 = (x + 3)(x + 1). Per migliorare in algebra (e in tutti gli altri rami della matematica) è indispensabile fare molti compiti e ripetere i problemi. Non devi preoccuparti, se presti attenzione durante le lezioni, fai i tuoi compiti e chiedi ulteriore aiuto all’insegnante o ad altri studenti quando ne hai bisogno, allora l’algebra diventerà una materia che saprai padroneggiare alla perfezione. Se non riesci a destreggiarti con questa materia, non farti prendere dal panico! Non devi imparare da solo. Il professore è la prima persona a cui dovresti rivolgere le tue domande. Alla fine della lezione, chiedigli educatamente un po’ di aiuto. Un buon insegnante, solitamente, è più che felice di spiegarti una volta di più gli argomenti del giorno fissandoti un appuntamento alla fine delle lezioni e magari potrebbe anche darti ulteriore materiale di studio. Se per qualche ragione il tuo professore non può aiutarti, informati presso l’istituto se è attivo un servizio di tutoraggio. Molte scuole organizzano una sorta di corsi di recupero nel pomeriggio che ti permettono di avere altre spiegazioni e ti forniscono tutti gli strumenti di cui hai bisogno per eccellere con l’algebra. Ricordati che avvalersi di questi supporti gratuiti non è qualcosa di cui vergognarsi, al contrario è segno di intelligenza, dato che dimostri di essere abbastanza maturo da volere risolvere i tuoi problemi! Con lo studio dell’algebra, comincerai a notare la presenza di lettere e simboli nei problemi matematici, oltre ai numeri. Queste lettere vengono definite variabili. Non si tratta, però, di elementi che traggono in confusione, come potrebbe sembrare a prima vista; semplicemente sono un modo per esprimere dei numeri di cui non si conosce il valore. Qui di seguito trovi un breve elenco delle variabili più usate in algebra:  Le lettere come x, y, z, a, b, c. Le lettere dell’alfabeto greco come theta cioè θ. Ricorda che non tutti i simboli rappresentano delle variabili sconosciute; ad esempio il pi greco (π) è pari a circa 3,1459. Come già detto in precedenza, le variabili non sono altro che numeri di cui non si conosce il valore. In altri termini, ci sono dei numeri che possono sostituire il valore incognito e che rendono vera l’equazione. Il tuo obiettivo in un problema di algebra, di solito, è proprio quello di trovare il valore di tali  incognite; immaginale come un "numero misterioso" che devi scovare.  Valuta l’equazione 2x + 3 =  11, dove x è la variabile. Questo significa che esiste un numero che sostituito a x rende tutta l’espressione scritta a sinistra dell’uguale pari al valore di 11. Dato che 2 × 4 + 3 = 11, allora puoi dire che x = 4. Un trucco per iniziare a comprendere la funzione delle incognite, o variabili, è quello di sostituirle con un punto di domanda. Per esempio, puoi riscrivere l’equazione 2 + 3 + x = 9 come 2 + 3 + ? = 9. In questo modo è più semplice renderti conto di cosa stai cercando: il tuo obiettivo è quello di trovare quale numero sommato a 2 + 3 = 5 ti possa dare il valore 9. La risposta, ovviamente, è 4. Come comportarti se un’incognita viene ripetuta più volte all’interno dell’equazione? Sebbene possa sembrarti una domanda difficile a cui rispondere, sappi che l’unica cosa che devi fare è quella di considerare le variabili come un normale numero; in altri termini, puoi sommarle, sottrarle e così via con l’unico vincolo che devono essere simili. Questo significa che x + x = 2x ma x + y non è pari a 2xy.  Prendi in esame l’equazione 2x + 1x = 9. In tal caso puoi sommare 2x e 1x  fra loro per ottenere 3x = 9. Poiché 3 x 3 = 9, allora puoi affermare che x = 3. Ricorda che puoi sommare fra loro solo le variabili simili. Nell’equazione 2x + 1y = 9, non puoi procedere alla somma fra 2x e 1y, perché si tratta di due variabili diverse. Questo vale anche quando una stessa variabile viene ripetuta due volte, ma con esponente diverso. Supponi di dover risolvere l’equazione 2x + 3x2 = 10; in questo caso non puoi sommare 2x con 3x2 perché la variabile x viene espressa con esponenti diversi. Leggi questo articolo per saperne di più.
Impara la rappresentazione grafica delle equazioni lineari. Impara a risolvere le disequazioni. Affronta le equazioni quadratiche. Prova a esercitarti con i sistemi di equazioni. Cerca di isolare la variabile nelle equazioni algebriche. Cancella l’addizione con una sottrazione (e viceversa). Elimina la moltiplicazione con la divisione (e viceversa). Elimina gli esponenti estraendo la radice (e viceversa). Ripassa le operazioni matematiche di base. Impara l’ordine delle operazioni. Impara a usare i numeri negativi. Impara come organizzare i problemi lunghi. Usa delle immagini per semplificare i problemi. Usa il "buon senso", soprattutto quando devi risolvere dei problemi descrittivi. Ricorda che in algebra non sempre le soluzioni sono dei numeri interi. Quando avrai preso un po’ di familiarità con i concetti algebrici, puoi anche provare la scomposizione in fattori. Esercitati sempre e con costanza! Chiedi al tuo insegnante di aiutarti a capire gli argomenti e i passaggi più complessi. Cerca tutti i simboli che non sono numeri. Pensa alle variabili come a dei numeri "sconosciuti". Se una variabile appare più di una volta nel problema, puoi semplificarla.
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