Trovare il Termine Successivo Trovare il Termine Mancante all'Interno della Progressione Usare la Formula Esplicita per Trovare Informazioni Addizionali Trovare il Termine Ennesimo
Quando viene presentata una lista di numeri, l'enunciato del problema potrebbe includere l'informazione che si tratta di una sequenza aritmetica oppure puoi capirlo da solo. In entrambi i casi, il primo passaggio non cambia, scegli la prima coppia di termini consecutivi e sottrai il primo dal secondo; il valore risultante rappresenta la ragione della progressione.  Per esempio, supponi di avere l'elenco 1;4;7;10;13{\displaystyle 1;4;7;10;13}. Sottrai 4−1{\displaystyle 4-1} per trovare la differenza costante pari a 3. Considera un elenco decrescente come 25;21;17;13{\displaystyle 25;21;17;13}, puoi sempre sottrarre il primo termine della coppia dal secondo per trovare la ragione; in tal caso: 21−25=−4{\displaystyle 21-25=-4}. Il risultato negativo ti fa capire che stai lavorando con una progressione aritmetica decrescente, ma dovresti sempre controllare il segno della ragione per capire la direzione della sequenza. Trovare quella che separa due numeri consecutivi non garantisce che la progressione sia aritmetica; devi accertarti che la ragione sia costante per tutte le coppie di termini consecutivi presenti nell'elenco. Per farlo, trova la differenza fra altri due valori; se il risultato non cambia per una o due coppie ulteriori, probabilmente è stata scritta una sequenza aritmetica.  Considera sempre l'esempio precedente, 1;4;7;10;13{\displaystyle 1;4;7;10;13}, e scegli il secondo e terzo termine. Sottrai 7−4{\displaystyle 7-4} per trovare che la differenza è sempre 3. Per un'ulteriore verifica, controlla un'altra coppia eseguendo l'operazione 13−10{\displaystyle 13-10} il cui risultato è ancora 3; a questo punto, puoi essere abbastanza sicuro che la sequenza proposta sia una progressione numerica. È possibile che un elenco sembri una progressione aritmetica osservando solo i primi termini, mentre in realtà la differenza fra i numeri consecutivi va cambiando in seguito. Per esempio, considera la lista 1;2;3;6;9{\displaystyle 1;2;3;6;9} la differenza fra il primo e il secondo termine è pari a ,1 così come quella fra il secondo e il terzo. Tuttavia, lo scarto fra il terzo e quarto numero è 3; dato che la ragione non resta costante per l'intero elenco, non puoi affermare che si tratti di una sequenza aritmetica. Trovare il termine successivo di una progressione aritmetica è un procedimento molto semplice, quando conosci la differenza costante; ti basta sommare la ragione all'ultimo termine noto. Per esempio, considerando la sequenza 1;4;7;10;13{\displaystyle 1;4;7;10;13}, per trovare il termine successivo aggiungi la ragione pari a 3 all'ultimo numero elencato, 13+3{\displaystyle 13+3}, e ottieni 16. Puoi continuare in questo modo per quanto desideri, ad esempio puoi scrivere: 1;4;7;10;13;16;19;22;25{\displaystyle 1;4;7;10;13;16;19;22;25} e così via. In certi casi, il problema enuncia una sequenza numerica a cui manca un termine al centro. Come già descritto nella sezione precedente dell'articolo, inizia accertandoti che la lista sia davvero una sequenza aritmetica. Scegli una qualsiasi coppia di termini consecutivi e calcolane la differenza. Ripeti la cosa per un'altra coppia; se la differenza è costante, puoi presupporre di trovarti di fronte a una progressione aritmetica e continuare con la risoluzione del problema. Per esempio, supponi di avere l'elenco: 0;4{\displaystyle 0;4};___;12;16;20{\displaystyle 12;16;20}. Per prima cosa, sottrai 4−0{\displaystyle 4-0} per trovare 4. Controlla un'altra coppia di termini, come 16−12{\displaystyle 16-12}; anche in questo caso la differenza è 4, puoi quindi continuare con il resto dei calcoli. Il processo è simile a quello che seguiresti per trovare il termine successivo alla fine della sequenza; in questo caso, consideri l'ultimo valore noto prima dello spazio vuoto, sommi la ragione e trovi il termine mancante. Facendo riferimento all'esempio precedente, 0;4{\displaystyle 0;4};___;12;16;20{\displaystyle 12;16;20}, il numero che precede il termine mancante è 4; pertanto, sommando 4+4{\displaystyle 4+4} ottieni 8, il numero che devi scrivere nello spazio vuoto. Per assicurarti di aver trovato la soluzione corretta, svolgi una prova nella "direzione opposta" della sequenza. Una progressione aritmetica mantiene una ragione costante (in valore assoluto) indipendentemente dall'ordine in cui esegui la sottrazione fra due termini consecutivi. Se ti sposti lungo la sequenza da sinistra verso destra, devi sommare la costante, mentre devi sottrarla nella direzione opposta. Tenendo sempre in considerazione il medesimo esempio, 0;4{\displaystyle 0;4};___;12;16;20{\displaystyle 12;16;20}, il termine che si trova subito dopo lo spazio vuoto è 12; da questo togli il valore della ragione (4) per trovare il numero mancante: 12−4=8{\displaystyle 12-4=8}. Il valore 8 è il dato da inserire nello spazio vuoto. I valori che hai trovato sommando e sottraendo la ragione dovrebbero coincidere. In tal caso, hai trovato il termine mancante; se invece sono diversi, devi ricontrollare il lavoro svolto finora. Forse la sequenza non è veramente aritmetica. Nell'esempio descritto in precedenza, il risultato della somma (4+4{\displaystyle 4+4}) e della sottrazione (12−4{\displaystyle 12-4}) è costante, quindi il termine mancante è 8; la progressione completa è 0;4;8;12;16;20{\displaystyle 0;4;8;12;16;20}. Avvalendoti di questa equazione e di un po' di algebra elementare, puoi ricavare diverse informazioni in merito alla progressione aritmetica. Nella sua forma originale, a(n)=a(1)+(n−1)d{\displaystyle a(n)=a(1)+(n-1)d}, la formula permette di calcolare il termine an, di trovare cioè il termine ennesimo della sequenza; tuttavia, puoi manipolarla algebricamente per individuare le altre variabili.  Supponi di conoscere gli ultimi termini di una progressione e di dover calcolare il primo; modifica la formula esplicita per avere: a(1)=(n−1)d−a(n){\displaystyle a(1)=(n-1)d-a(n)}. Se conosci il termine iniziale e finale di una sequenza, ma vuoi conoscere quanti valori sono in essa contenuti, puoi disporre le variabili dell'equazione per poterla risolvere per "n": n=a(n)−a(1)d+1{\displaystyle n={\frac {a(n)-a(1)}{d}}+1}. Se hai bisogno di ripassare le regole elementari dell'algebra per comprendere questi passaggi, puoi leggere questo articolo oppure quest'altro. L'enunciato del problema potrebbe indicare che quello che occupa la cinquantesima posizione è pari a 300, che la ragione è 7 e che il tuo compito è trovare il primo termine. Sfrutta la formula esplicita modificata per risolvere per "a(1)" e trovare la risposta. Utilizza l'equazione a(1)=(n−1)d−a(n){\displaystyle a(1)=(n-1)d-a(n)} e sostituisci le variabili con le informazioni note. Dato che il cinquantesimo termine è 300, ne consegue che n=50, (n-1)=49 e a(n)=300. Conosci inoltre la ragione "d" che corrisponde a 7. L'equazione diventa quindi: a(1)=(49)(7)−300{\displaystyle a(1)=(49)(7)-300}. Svolgendo i calcoli: 343−300=43{\displaystyle 343-300=43}. La sequenza aritmetica con cui stai lavorando inizia con il termine 43 e rispetta una ragione di 7, per cui si può elencare come: 43;50;57;64;71;78…293;300. Supponi di conoscere sia il termine iniziale sia quello finale, ma devi sapere quanti valori contiene tutta la progressione. Utilizza la formula modificata: n=a(n)−a(1)d+1{\displaystyle n={\frac {a(n)-a(1)}{d}}+1}.  Considera una sequenza che inizia con il numero 100 e rispetta una ragione pari a 13. Il problema fornisce anche il termine finale che è 2856. Per trovare la lunghezza della progressione, sai che a(1)=100, d=13 e a(n)=2856. Inserisci questi dati nella formula e trovi: n=2856−10013+1{\displaystyle n={\frac {2856-100}{13}}+1}. Se svolgi le operazioni, ottieni: n=275613+1{\displaystyle n={\frac {2756}{13}}+1}, che è pari a 212+1=213. La sequenza contiene 213 termini. La progressione dell'esempio può essere scritta come: 100;113;126;139…2843;2856. Non tutte le progressioni iniziano con 0 o 1. Osserva l'elenco che ti è stato fornito e individua il primo numero che rappresenta anche il punto di partenza. Puoi determinare questo valore come variabile "a(1)".  Quando si lavora con le progressioni aritmetiche è pratica comune assegnare la variabile "a(1)" al primo termine dell'elenco; ovviamente, puoi utilizzare la lettera che preferisci, il risultato non cambia. Considera l'esempio di 3;8;13;18{\displaystyle 3;8;13;18}; il primo termine è 3{\displaystyle 3} che puoi identificare algebricamente come "a(1)". Procedi come descritto in precedenza, per l'esempio descritto la ragione è 8−3{\displaystyle 8-3}, cioè 5. Controlla altre coppie della progressione per accertarti che forniscano lo stesso risultato; puoi assegnare alla ragione il termine algebrico "d". Si tratta di un'equazione algebrica che puoi utilizzare per trovare qualsiasi termine di una progressione aritmetica senza dover elencare tutti i valori. La formula è: a(n)=a(1)+(n−1)d{\displaystyle a(n)=a(1)+(n-1)d}. L'espressione "a(n)" si legge come "termine ennesimo di a", dove "n" rappresenta la posizione occupata dal numero che vuoi trovare, mentre "a(n)" è il termine stesso. Per esempio, se devi trovare il centesimo termine di una progressione, n=100. Ricorda che in questo esempio "n" è pari a 100, mentre "a(n)" è il termine che occupa la centesima posizione e non il numero 100 vero e proprio. Sostituisci le variabili con le informazioni in tuo possesso per trovare il termine mancante. Per esempio, considerando la sequenza 3;8;13;18{\displaystyle 3;8;13;18}, sai che a(1) è il primo termine ed è pari a 3, mentre la ragione è 5. Supponi che il problema richieda di trovare il termine che occupa il centesimo posto, di conseguenza n=100 e (n-1)=99. In tal caso, la formula esplicita assume questo aspetto: a(100)=3+(99)(5){\displaystyle a(100)=3+(99)(5)}; svolgendo i calcoli ottieni 498, che è il centesimo termine della progressione.
Trova il valore costante (ragione) della progressione. Assicurati che la differenza sia costante. Somma la ragione all'ultimo termine espresso. Verifica che l'elenco fornito sia una progressione aritmetica. Somma la ragione all'ultimo termine precedente lo spazio vuoto. Sottrai la ragione al termine successivo allo spazio vuoto. Confronta i risultati. Modifica la posizione dei termini della formula per risolverla per altre variabili. Trova il primo termine di una progressione. Trova la lunghezza della sequenza. Identifica il primo termine della sequenza. Individua la ragione che nomini "d". Usa la formula esplicita. Inserisci i termini noti nella formula per risolvere il problema.
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Finding the Next Term in an Arithmetic Sequence Finding a Missing Internal Term Using the Explicit Formula to Find Additional Information Finding the Nth Term of an Arithmetic Sequence