Moltiplicazione Incrociata per Risolvere le Frazioni con una Variabile Usare la Divisione di Base per Determinare l'Equivalenza Ottenere Frazioni Equivalenti Usare la Moltiplicazione di Base per Determinare l'Equivalenza Usare la Formula Quadratica per Risolvere le Equazioni con più Variabili
Un difficile tipo di problema algebrico relativo alla questione delle frazioni equivalenti coinvolge le equazioni con due frazioni contenenti - una o ambedue - una variabile, impostandole uguali a vicenda. In casi come questo, sappiamo che le frazioni sono equivalenti perché sono gli unici termini ai lati opposti del segno uguale, ma spesso non è evidente come trovare l'incognita. Per fortuna, con una tecnica chiamata moltiplicazione incrociata, è facile risolvere questi tipi di problemi. In altre parole, devi moltiplicare il numeratore di una frazione per il denominatore dell'altra e viceversa, imporre queste due soluzioni uguali tra loro e quindi risolvere. Considera gli esempi 4/8 e 8/16. Non contengono alcuna variabile, ma possiamo dimostrare il concetto dato che sappiamo già che sono equivalenti. Moltiplicando in croce otteniamo: 4 x 16 = 8 x 8 o 64 = 64, che è ovviamente vero. Se i due numeri non sono uguali, le due frazioni non sono equivalenti. Dato che, quando dobbiamo risolvere per una variabile, la moltiplicazione incrociata è il modo più semplice per determinare l'equivalenza fra frazioni, procediamo aggiungendola nei nostri esempi. Consideriamo l'equazione 2 / x = 10/13. Incrociando, moltiplichiamo 2 per 13 e 10 per x, poi imponiamo le nostre soluzioni uguali tra loro:  2 × 13 = 26 10 × x = 10 x 10 x = 26. Da qui, trovare una soluzione per la nostra variabile è una questione di semplice algebra. x = 26/10 =2,6. Una delle cose migliori della moltiplicazione incrociata è che funziona essenzialmente allo stesso modo se hai a che fare con due frazioni semplici (come sopra) o con altre più complesse. Per esempio, se entrambe le frazioni contengono variabili, non cambia nulla, devi solo eliminare queste variabili alla fine durante il processo risolutivo. Analogamente, se i numeratori o denominatori delle tue frazioni contengono espressioni variabili (come x+1), devi semplicemente moltiplicare in modo diretto utilizzando la proprietà distributiva e risolvere come faresti normalmente. Per esempio, prendiamo in considerazione l'equazione ((x + 3)/2) = ((x + 1)/4). In questo caso, come sopra, la risolveremo con la moltiplicazione in croce:  (x + 3) × 4 = 4x + 12. (x + 1) × 2 = 2x + 2. 2x + 2 = 4x + 12, semplifica l'equazione sottraendo 2x da entrambi i lati. 2 = 2x + 12, isola la variabile sottraendo 12 da entrambi i lati. -10 = 2x, dividi entrambi i lati per 2 e risolvi per x.  -5 = x Per quelle semplici, senza variabili, è possibile esprimerne il valore sotto forma di numero decimale così da determinare l'equivalenza. Dato che una frazione è in pratica una divisione da risolvere, questo è il modo migliore per determinare l'equivalenza.  Considera sempre i 4/8 dell'esempio precedente. La frazione, in altri termini, esprime la divisione: 4:8=0,5. Ora procedi allo stesso modo per la seconda frazione (8/16) e ottieni 8:16=0,5. Dato che entrambe le divisioni portano a uno stesso risultato puoi dichiarare che le frazioni sono fra loro equivalenti. Quando usi questo metodo ricorda che due frazioni potrebbero perdere la loro equivalenza dopo alcune cifre decimali. Per esempio: 1/3 = 0,333 dove il tre è periodico mentre 3/10 = 0,3. Usando più di una cifra decimale sarai in grado di stabilire l'equivalenza o meno fra due frazioni. Quando devi lavorare con frazioni complesse, il metodo della divisione richiede più passaggi. Proprio come nel metodo della moltiplicazione, puoi dividere il numeratore e il denominatore per uno stesso numero e ottenere una frazione equivalente a quella di partenza. C'è solo un dettaglio a cui devi prestare attenzione: numeratore e denominatore risultanti devono essere numeri interi affinché la frazione sia valida. Prendiamo sempre in considerazione l'esempio dei 4/8. Se invece di moltiplicare dividiamo il numeratore e il denominatore per 2, otteniamo (4:2)/(8:2) = 2/4. 2 e 4 sono numeri interi quindi la nuova frazione ha valore. La maggior parte delle frazioni è espressa nei suoi minimi termini. Se così non fosse, puoi farlo rapidamente dividendola per il massimo comune divisore (MCD). Questo passaggio rispetta la logica del metodo di confrontare due frazioni convertendole a uno stesso denominatore, ma in questo caso si cerca di esprimere ogni frazione nei suoi termini minimi.  Quando una frazione è ridotta ai minimi termini, sia il denominatore che il numeratore hanno il valore più piccolo possibile, devono essere numeri primi fra loro. Per procedere a questa semplificazione, devi dividere sia il numeratore che il denominatore per il loro massimo comune divisore. Il massimo comune divisore (MCD) del numeratore e del denominatore è il numero più grande che può dividere entrambi in due numeri interi. Per quanto riguarda la frazione 4/8, dato che 4 è il numero più grande che può dividere sia 4 che 8, basta procedere alla divisione del numeratore e del denominatore: (4:4)/(8:4) = 1/2. Nell'altro esempio, quello in cui si considera la frazione 8/16, il MCD è 8, procedendo alla semplificazione si ottiene sempre 1/2. Due frazioni che sono diverse, ma equivalenti, per definizione, hanno numeratori e denominatori che sono multipli tra loro. In altre parole, moltiplicando il numeratore e il denominatore di una frazione per uno stesso numero si avrà una frazione equivalente. Anche se i numeri di questa nuova frazione saranno diversi, le frazioni avranno lo stesso valore.  Per esempio, se prendiamo la frazione 4/8 e moltiplichiamo numeratore e denominatore per 2, otteniamo (4×2)/(8×2) =8/16. Queste due frazioni sono equivalenti. (4×2)/(8×2) è essenzialmente come 4/8 × 2/2. Ricorda che quando si moltiplicano due frazioni, moltiplichiamo numeratore con numeratore e denominatore con denominatore. Nota che 2/2 è uguale a 1. Così, è facile capire perché 4/8 e 8/16 sono equivalenti: la seconda frazione è solo la prima moltiplicata per 2! Ogni frazione ha un numero infinito di frazioni equivalenti. Puoi moltiplicare il numeratore e il denominatore per qualunque numero intero, non importa quanto grande o piccolo, per ottenere delle frazioni equivalenti. Come la moltiplicazione, anche la divisione può essere utilizzata per individuare una nuova frazione che sia equivalente alla tua frazione di partenza. Ti basta dividere il numeratore e il denominatore di una frazione per lo stesso numero per ottenere una frazione equivalente. C'è però un avvertimento nell'applicare questo processo: la frazione risultante, per essere valida, deve avere numeri interi al numeratore e al denominatore. Per esempio, diamo un'occhiata nuovamente a 4/8. Se, invece di moltiplicare, dividiamo numeratore e denominatore per 2, otteniamo (4 ÷ 2) /(8 ÷ 2) = 2/4. 2 e 4 sono entrambi numeri interi, quindi questa frazione equivalente è valida. Molti problemi sulle frazioni prevedono di determinare se due frazioni sono equivalenti. Calcolando questo numero, puoi ridurre le frazioni agli stessi termini e capirne l'equivalenza.  Considera le frazioni 4/8 e 8/16. Il denominatore più piccolo è 8 e andrebbe moltiplicato per 2 per ottenere il denominatore più grande, 16. Quindi, in questo caso, il numero che stiamo cercando è 2. Se i numeri sono più grandi, dividi semplicemente il denominatore maggiore per quello minore. Nel nostro esempio 16 : 8 = 2. Il risultato, a volte, potrebbe non essere un numero intero. Se i denominatori fossero 2 e 7 allora il numero che stiamo cercando sarebbe 3,5. Ora le due frazioni sono diverse ma equivalenti per definizione poiché i numeratori e i denominatori sono fra loro multipli. In altre parole, moltiplicando il numeratore e il denominatore per uno stesso numero si ottiene una frazione equivalente alla prima. Sebbene i numeri in questa nuova frazione sono diversi, la frazione nel suo insieme rappresenta lo stesso valore. Per esempio, considera la frazione 4/8 del primo passaggio e moltiplica numeratore e denominatore per il numero che hai ottenuto prima (2). Otterrai: (4x2)/(8x2) = 8/16. Questo ci dimostra che le due frazioni sono equivalenti. Per risolvere i problemi sulle equivalenze che necessitano della formula quadratica, dobbiamo comunque iniziare da una moltiplicazione incrociata. Tuttavia ogni moltiplicazione incrociata che prevede di moltiplicare i termini variabili con altri termini variabili porta a una espressione che non può essere risolta facilmente con l'algebra. In questi casi hai bisogno di scomporre in fattori e poi procedere con la formula quadratica. Ad esempio, esaminiamo l'equazione ((x +1)/3) = (4 / (2x - 2)). Prima facciamo la moltiplicazione incrociata:  (x + 1) × (2x - 2) = 2x2 + 2x -2x - 2 = 2x2 - 2 4 × 3 = 12 2x2 - 2 = 12. Per farlo imponila come uguale a zero. Sottrai 12 da entrambi i lati e ottieni: 2x2 - 14 = 0. Alcuni valori potrebbero essere pari a 0. Anche se 2x2 - 14 = 0 è la forma più semplice dell'equazione, la vera equazione quadratica è 2x2 + 0x + (-14) = 0. Questo modo di scrivere l'equazione probabilmente ti sarà d'aiuto per rispettare la forma dell'equazione quadratica anche quando ci sono dei valori nulli. Questa è: x = (-b +/- √(b2 - 4ac))/2a e ti permette di trovare la soluzione per x. Non farti intimidire dalla lunghezza della formula, devi solo prendere i valori presenti nella tua equazione e inserirli al posto giusto, all'interno della formula, per trovare la soluzione.  x = (-b +/- √(b2 - 4ac))/2a. Per la nostra equazione, 2x2 - 14 = 0, a = 2, b = 0 e c = -14. x = (-0 +/- √(02 - 4(2)(-14)))/2(2). x = (+/- √( 0 - -112))/2(2). x = (+/- √(112))/2(2). x = (+/- 10,58/4). x = +/- 2,64. In questo modo puoi facilmente capire se hai eseguito correttamente i calcoli. Nel nostro esempio puoi inserire sia il valore 2,64 che -2,64 nell'equazione quadratica originale.
Usa la moltiplicazione incrociata per risolvere problemi di equivalenza di frazioni. La moltiplicazione incrociata è il procedimento per cui si moltiplica in diagonale sotto forma di "X". Introduci una variabile. Utilizza la moltiplicazione incrociata nello stesso modo per le equazioni con più incognite o espressioni con variabili. Converti ogni frazione nella sua forma decimale. Dividi numeratore e denominatore di una frazione per lo stesso numero in modo da convertirla in una frazione equivalente. Riduci la frazione ai minimi termini. Moltiplica numeratore e denominatore di una frazione per uno stesso numero in maniera da ottenere una frazione equivalente. Dividi il numeratore e il denominatore di una frazione per lo stesso numero per ottenere una frazione equivalente. Trova il numero per il quale è necessario moltiplicare il denominatore minore per ottenere il denominatore maggiore. Moltiplica il numeratore e il denominatore con il numero calcolato nel passaggio precedente. Moltiplica in croce due frazioni. Esprimi l'equazione come un'equazione di secondo grado (ax2 + bx + c = 0). Risolvi l'equazione inserendo i valori nella formula quadratica. Controlla la tua soluzione inserendola al posto di x nell'equazione.
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Using Cross Multiplication to Solve for a Variable Using Basic Division to Determine Equivalency Forming Equivalent Fractions Using Basic Multiplication to Determine Equivalency Using the Quadratic Formula to Solve for Variables