Usare il Rapporto Matematico Individuare gli Errori Comprendere il Rapporto Matematico
È possibile procedere esattamente come nelle frazioni eliminando i fattori comuni di tutti i termini del rapporto. Per eseguire questo calcolo, dividi tutti i termini del rapporto per i fattori comuni, finché otterrai dei numeri primi fra loro. Ricorda però che non devi mai perdere di vista le quantità originali che hanno portato alla costituzione del rapporto.  Riconsideriamo l’esempio della classe. Ci sono cinque ragazze e dieci ragazzi (5:10), entrambi i valori hanno come fattore il numero 5. Per tale ragione puoi dividere entrambi i numeri per 5 (il massimo comun divisore) e ottenere così 1 ragazza ogni 2 ragazzi (cioè 1:2). Tuttavia, devi ricordare le quantità originarie, anche quando procedi alla riduzione. Questo infatti non significa che nella classe ci sono solo tre studenti (1 femmina e 2 maschi), bensì 15. Il rapporto ridotto ai minimi termini esprime semplicemente la relazione che intercorre fra il numero di ragazzi e quello di ragazze: significa che ci sono 2 ragazzi per ogni ragazza e non esattamente due maschi e una femmina in termini assoluti. Alcuni rapporti non possono essere ridotti. Ad esempio 3:56 non può essere semplificato, perché i due numeri non hanno fattori comuni. Il 3 è un numero primo e 56 non è divisibile per 3. Un problema molto comune che precede l’uso di rapporti matematici è quello di aumentare o diminuire i numeri mantenendo invariata la proporzione fra gli stessi. Questo è possibile moltiplicando o dividendo i valori di un rapporto per lo stesso numero, in quanto otterrai un secondo rapporto che manterrà le proporzioni originali.  Per esempio, supponiamo che un fornaio abbia bisogno di triplicare le dosi della ricetta di una torta. Il normale rapporto fra farina e zucchero è di 2 a 1 (2:1), quindi entrambi i numeri devono essere moltiplicati per lo stesso valore di 3. A questo punto il fornaio sa che ha bisogno di 600 g di farina e 300 g di zucchero (6:3). Si può seguire lo stesso procedimento al contrario. Se il fornaio dovesse dimezzare le dosi di una ricetta, dovrebbe moltiplicare entrambe le quantità per ½ (oppure dividerle per 2). Il risultato porterebbe a 100 g di farina e 50 g di zucchero. Un altro tipo di problema piuttosto comune che prevede l’uso dei rapporti è quello di trovare l’incognita di un rapporto conoscendone l’altro termine e sapendo che è equivalente a un secondo rapporto. Il principio della moltiplicazione incrociata rende semplice la risoluzione. Scrivi ogni rapporto in notazione frazionaria e poi poni ogni frazione uguale all’altra. Infine procedi con la moltiplicazione incrociata per trovare la soluzione. Per esempio, supponiamo di avere un piccolo gruppo di studenti composto da 2 ragazzi e 5 ragazze. Se volessimo mantenere la proporzione, quanti ragazzi dovrebbero esserci in una classe con 20 ragazze? Per risolvere, per prima cosa devi scrivere i due rapporti, uno dei quali contiene il valore incognito: 2 ragazzi : 5 ragazze = x ragazzi : 20 ragazze. Se converti questi rapporti in forma frazionaria otterrai: 2/5 e x/20. A questo punto puoi procedere con la moltiplicazione crociata che ti porterà a scrivere 5x=40; non ti resta che risolvere per x dividendo entrambi i termini per 5. La soluzione finale è x=8. Molti problemi sono di questo tipo: "Per una ricetta servono 4 patate e 5 carote. Se tu invece vuoi metterci 8 patate, quante carote dovrai usare per tenere lo stesso rapporto?". Molti studenti cercano semplicemente di aggiungere la stessa cifra a ciascuna quantità. In realtà, devi usare la moltiplicazione, e non l'addizione, per mantenere il rapporto. Ecco un esempio sbagliato e uno giusto di come risolvere questo problema:  Metodo sbagliato: "8 – 4 = 4, quindi aggiungo 4 patate alla ricetta. Quindi significa che devo prendere le 5 carote e aggiungerne 4... aspetta! Il rapporto non funziona così. Riproviamo". Metodo corretto: "8 ÷ 4 = 2, quindi moltiplico il numero di carote per 2. Questo significa che devo raddoppiare anche il numero delle carote. 5 x 2 = 10, perciò nella nuova ricetta metterò 10 carote". A volte alcuni problemi sono difficili perché a un certo punto c'è un cambio di unità di misura. Converti sempre alla stessa unità, prima di trovare il rapporto. Ecco un problema con la sua soluzione:  Un drago ha 500 grammi d'oro e 10 chilogrammi di argento. Qual è il rapporto tra argento e oro nel tesoro del drago? Grammi e chilogrammi non sono la stessa unità, quindi occorre convertire. 1 kg = 1000 g, quindi 10 chilogrammi = 10 chilogrammi x 1000grammi1chilogrammo{\displaystyle {\frac {1000grammi}{1chilogrammo}}} = 10 x 1000 grammi = 10.000 grammi. Il drago ha 500 grammi d'oro e 10.000 grammi di argento. Il rapporto tra oro e argento è 500grammiOro10.000grammiArgento=5100=120{\displaystyle {\frac {500grammiOro}{10.000grammiArgento}}={\frac {5}{100}}={\frac {1}{20}}}. Nei problemi con rapporti è molto più facile trovare errori se si scrive l'unità dopo ogni valore. Ricorda, la stessa unità sulla parte superiore e inferiore di una frazione si annulla. Dopo aver annullato quanto più possibile, dovresti finire con le unità giuste per la tua soluzione.  Esempio di problema: Se hai 6 scatole, e in ogni 3 scatole hai 9 pietre, quante pietre hai? Metodo sbagliato: 6scatole∗3scatole9pietre=...{\displaystyle 6scatole*{\frac {3scatole}{9pietre}}=...} Aspetta, non si annulla niente, per cui la mia risposta dovrebbe essere "scatole x scatole / pietre". Ma non ha senso. Metodo corretto:6scatole∗9pietre3scatole={\displaystyle 6scatole*{\frac {9pietre}{3scatole}}=} 6scatole∗3pietre1scatola={\displaystyle 6scatole*{\frac {3pietre}{1scatola}}=}6scatole∗3pietre1scatola={\displaystyle {\frac {6scatole*3pietre}{1scatola}}=} 6∗3pietre1={\displaystyle {\frac {6*3pietre}{1}}=} 18 pietre. Sono utili non solo per risolvere problemi scolastici, ma anche nella vita reale per confrontare fra loro diverse quantità o importi. Nei casi più semplici si confrontano solo due valori, ma è anche possibile mettere a confronto tre o più quantità. In ogni situazione che preveda un raffronto fra numeri distinti o quantità, è possibile stabilire un rapporto matematico. I rapporti matematici descrivono i valori in maniera comparativa e sono in grado di spiegare come raddoppiare le formule chimiche o gli ingredienti di una ricetta. Una volta che li avrai compresi, sarai in grado di utilizzarli in ogni campo della tua vita. Come descritto in precedenza, un rapporto matematico mostra le quantità di almeno due elementi in relazione l’uno con l’altro. Ad esempio, se una torta contiene 200 g di farina e 100 g di zucchero, allora puoi asserire che il rapporto fra la quantità di farina e zucchero è di 2 a 1. I rapporti possono essere utilizzati per descrivere la relazione fra ogni quantità, anche quelle non direttamente collegate fra loro (come avviene nelle ricette). Ad esempio, se ci sono cinque ragazze e dieci ragazzi in una classe, allora il rapporto del numero di femmine rispetto ai maschi è di 5 a 10. Entrambe le quantità non sono fra loro correlate o dipendenti e cambierebbero per ogni studente che lasciasse l’aula o vi entrasse. Il rapporto si limita a confrontare le quantità. Questi possono essere scritti con parole o con simboli matematici.  Ti può capitare sovente di imbatterti in rapporti descritti con parole (come negli esempi precedenti). Questo accade perché si tratta di un concetto matematico molto usato e in molte maniere differenti; se ti trovi a lavorare con un rapporto al di fuori del campo scientifico o matematico, allora incontri più frequentemente la descrizione in parole. Spesso le proporzioni si indicano anche con l’uso dei due punti. Quando confronti due numeri, puoi scriverli interponendo il segno di punteggiatura “due punti” (per esempio 7:13); quando esamini più di due valori, allora scrivi un segno “due punti” fra ogni coppia di numeri (come 10:2:23). Se consideriamo l’esempio della classe che abbiamo descritto in precedenza, possiamo confrontare il numero delle ragazze con quello dei ragazzi con il rapporto 5 ragazze : 10 ragazzi o, più semplicemente, 5:10. I rapporti matematici si possono scrivere anche con la notazione frazionaria. Nel caso della classe di studenti, la proporzione fra le 5 ragazze e i 10 ragazzi può essere descritta come 5/10. Detto questo, sappi che puoi leggere questa notazione esattamente come se fosse una frazione, ma devi ricordare che non rappresenta la parte di un intero.
Riduci il rapporto nella sua forma più semplice. Usa la moltiplicazione e la divisione per "ridimensionare" i rapporti. Trova la variabile incognita quando vengono dati due rapporti equivalenti. Evita addizioni o sottrazioni in problemi con rapporti matematici. Converti alle stesse unità di misura. Scrivi le unità all'interno del problema. Impara come si usano i rapporti matematici. Imparane il significato. Nota come possono essere espressi i rapporti matematici.
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