Scomporre x2 + bx + c Scomposizione di Casi Speciali Scomporre Trinomi più Complessi
Potresti avere già imparato il metodo FOIL, cioè "First, Outside, Inside, Last" ovvero "Primo, fuori, dentro, ultimo", per moltiplicare delle espressioni come (x + 2)(x + 4). È utile sapere come funziona prima di arrivare alla scomposizione:  Moltiplica i termini First: (x+2)(x+4) = x2 + __ Moltiplica i termini Outside: (x+2)(x+4) = x2+4x + __ Moltiplica i termini Inside: (x+2)(x+4) = x2+4x+2x + __ Moltiplica i termini Last: (x+2)(x+4) = x2+4x+2x+8  Semplifica: x2+4x+2x+8 = x2+6x+8 Quando si moltiplicano due binomi con il metodo FOIL, si arriva a un trinomio (un'espressione con tre termini) nella forma ax2 + bx + c, dove a, b e c sono numeri qualunque. Se parti da un'equazione in questa forma, puoi scomporla nei due binomi.  Se l'equazione non è scritta in questo ordine, sposta i termini. Ad esempio, riscrivi 3x - 10 + x2 come x2 + 3x - 10. Siccome l'esponente più alto è 2 (x2), questo tipo di espressione è "quadratica". Per ora, ti basta scrivere (__ __) ( __ __) nello spazio dove potrai scrivere la risposta. La completeremo dopo. Non scrivere ancora + o - tra i termini vuoti, dato che non sappiamo quali saranno. Per gli esercizi semplici, dove il primo termine del tuo trinomio è solo x2, i termini in prima (First) posizione saranno sempre x e x. Questi sono i fattori del termine x2, visto che x per x = x2.  Il nostro esempio x2 + 3 x - 10 inizia con x2, quindi possiamo scrivere: (x __)(x __) Faremo degli esercizi più complicati nella sezione successiva, tra cui i trinomi che iniziano con un termine come 6x2 o -x2. Per ora, segui il problema di esempio. Se torna indietro e rileggi il passaggio del metodo FOIL, vedrai che moltiplicando tra loro gli ultimi termini (Last) avrai il termine finale del polinomio (quello senza x). Così, per fare la scomposizione, abbiamo bisogno di trovare due numeri che, moltiplicati, diano l'ultimo termine.  Nel nostro esempio, x2 + 3 x - 10, l'ultimo termine è -10. Quali sono i divisori di -10? Quali due numeri moltiplicati insieme danno -10? Ci sono alcune possibilità: -1 per 10, -10 per 1, -2 per 5 o -5 per 2. Scriviti queste coppie da qualche parte per ricordarle. Non cambiare ancora la nostra risposta. Al momento, siamo a questo punto: (x __)(x __). Abbiamo ristretto gli ultimi termini (Last) a qualche possibilità. Vai per tentativi per provare ogni possibilità, moltiplicando i termini esterni e interni (Outside e Inside) e confrontando il risultato con il nostro trinomio. Ad esempio:  Il nostro problema originale ha un termine in "x" che è 3x, che è quello che vogliamo trovare con questa prova. Prova con -1 e 10: (x - 1)(x + 10). Esterno + interno = Outside + Inside = 10x - x = 9x. Non vanno bene. Prova con 1 e -10: (x + 1)(x - 10). -10x + x = -9x. Non è vero. Infatti, una volta provato con -1 e 10, sai che 1 e -10 daranno proprio la risposta contraria alla precedente: -9x anziché 9x. Prova con -2 e 5: (x - 2)(x + 5). 5x - 2x = 3x. Questo corrisponde al polinomio originale, quindi questa è la risposta corretta: (x - 2)(x + 5). Nei casi semplici come questo, quando non esiste un numero davanti alla x, puoi utilizzare una scorciatoia: basta sommare insieme i due fattori e mettere dopo una "x" (-2 + 5 → 3x). Questo non funziona con i problemi più complicati, però, quindi è bene ricordare la "via lunga" sopra descritta. Controlla se la costante nel primo o terzo termine del trinomio è un numero primo. Un numero primo è divisibile unicamente solo per se stesso e 1, quindi esiste solo un paio di possibili fattori.  Per esempio, nel trinomio x2 + 6x + 5, 5 è un numero primo, per cui il binomio deve essere nella forma (__ 5)(__ 1) . Nel problema 3x2 + 10x + 8, 3 è un numero primo, così il binomio deve essere nella forma (3x __) ( x __). Per il problema 3x2 + 4x + 1, 3 e 1 sono numeri primi, quindi l'unica soluzione possibile è (3x + 1)(x + 1). (Dovresti ancora moltiplicare per controllare il lavoro svolto, poiché alcune espressioni non possono proprio essere fattorizzate – per esempio, 3x2 + 100x + 1 non è scomponibile in fattori.) Un trinomio quadrato perfetto può essere scomposto in due binomi identici e il fattore solitamente è scritto (x + 1)2 invece che (x+1)(x+1). Ecco alcuni quadrati che si presentano spesso nei problemi:   x2+2x+1=(x+1)2 e x2-2x+1=(x-1)2  x2+4x+4=(x+2)2 e x2-4x+4=(x-2)2  x2+6x+9=(x+3)2 e x2-6x+9=(x-3)2  Un trinomio quadrato perfetto nella forma ax2 + bx + c ha sempre i termini a e c che sono quadrati perfetti positivi (ad esempio 1, 4, 9, 16 o 25) e un termine b (positivo o negativo) che equivale a 2(√a * √c). Non tutti i trinomi possono essere presi in considerazione. Se sei bloccato su un trinomio (ax2 + bx + c), utilizza la formula quadratica per trovare la risposta. Se le uniche risposte sono la radice quadrata di un numero negativo, non esiste nessuna soluzione reale, quindi non ci sono dei fattori. Per i trinomi non-quadratici, utilizza il criterio di Eisenstein, descritto nella sezione Consigli. Supponiamo di voler semplificare 3x2 + 9x - 30. Cerca un divisore comune a ciascuno dei tre termini (il massimo comun divisore, MCD). In questo caso, è 3:  3x2 = (3)(x2) 9x = (3)(3x) -30 = (3)(-10) Pertanto, 3x2 + 9 x - 30 = (3) (x2 + 3 x -10). Possiamo scomporre di nuovo il trinomio utilizzando la procedura riportata nella sezione precedente. La nostra risposta finale sarà (3)(x - 2)(x + 5). A volte, potrebbe trattarsi di variabili o potrebbe essere necessario scomporre un paio di volte per trovare la più semplice espressione possibile. Ecco alcuni esempi:  2x2y + 14xy + 24y = (2y)(x2 + 7x + 12) x4 + 11x3 - 26x2 = (x2)(x2 + 11x - 26) -x2 + 6x - 9 = (-1)(x2 - 6x + 9) Non dimenticare di scomporre ulteriormente, utilizzando la procedura nel metodo 1. Controlla il risultato e trova esercizi simili agli esempi presenti nella parte inferiore di questa pagina. Alcuni trinomi non possono essere semplificati fino a ottenere dei fattori. Impara a risolvere dei problemi come 3x2 + 10x + 8, poi esercitati da solo con i problemi di esempio nella parte inferiore della pagina:  Imposta così la soluzione: (__ __)(__ __)  I nostri primi termini (First) avranno ognuno una x e si moltiplicheranno insieme per dare 3x2. C'è una sola opzione possibile qui: (3x __)(x __). Elenca i divisori di 8. Le possibili scelte sono 8 x 1 o 2 x 4. Provali utilizzando i termini esterno e interno (Outside e Inside). Nota che l'ordine dei fattori è importante, poiché il termine esterno viene moltiplicato per 3x invece che per x. Prova tutte le combinazioni possibili finché non ottieni un esterno + interno (Outside + Inside) che danno 10x (dal problema originale): (3x+1)(x+8) → 24x+x = 25x no  (3x+8)(x+1) → 3x+8x = 11x no  (3x+2)(x+4) → 12x+2x=14x no  (3x+4)(x+2) → 6x+4x=10x sì È la scomposizione corretta. Il libro di matematica potrebbe prenderti di sorpresa con un polinomio di esponente alto, come x4, anche dopo aver semplificato il problema. Prova a sostituire una nuova variabile in modo da ritrovarti con un esercizio che sai risolvere. Ad esempio:  x5+13x3+36x =(x)(x4+13x2+36) Usiamo una nuova variabile. Supponiamo che y = x2 e sostituiamo: (x)(y2+13y+36) =(x)(y+9)(y+4). Ora torniamo alla variabile iniziale. =(x)(x2+9)(x2+4) =(x)(x±3)(x±2)
Impara la tecnica FOIL. Cerca di capire la scomposizione in fattori. Scrivi uno spazio per la risposta in forma FOIL. Compila i primi termini (First). Utilizza la scomposizione per indovinare gli ultimi (Last) termini. Prova quali possibilità vanno bene con la moltiplicazione esterna e interna (Outside e Inside) dei termini. Verifica con i numeri primi. Controlla per vedere se il trinomio è un quadrato perfetto. Verifica se non esiste alcuna soluzione. Utilizza la scomposizione semplice per facilitare i problemi più complicati. Cerca delle scomposizioni più complicate. Risolvi i problemi con un numero davanti alla x2. Utilizza la sostituzione per i trinomi di grado più elevato.
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Factoring x2 + bx + c Factoring Special Cases Factoring More Complicated Trinomials