Risolvere Problemi Intermedi Usare l'Equazione Standard per il Calcolo della Velocità Calcolare la Velocità Istantanea
Dopo aver compreso il significato dell'equazione per il calcolo della velocità di un oggetto, la si può utilizzare per calcolare tutte le grandezze in esame. Per esempio, ipotizzando di conoscere la velocità di un oggetto e una delle altre due variabili (distanza o tempo), si può modificare l'equazione di partenza per poter risalire al dato mancante. Ipotizziamo di sapere che un treno ha viaggiato alla velocità di 20 km/h per 4 ore e abbiamo la necessità di calcolare la distanza che è riuscito a percorrere. In questo caso dobbiamo modificare l'equazione di base per il calcolo della velocità nel seguente modo:  Velocità = Spazio / Tempo; Velocità × Tempo = (Spazio / Tempo) × Tempo; Velocità × Tempo = Spazio;  20 km/h × 4 h = Spazio = 80 km. A volte potrebbe essere necessario riportare la velocità usando un'unità di misura diversa da quella ottenuta tramite i calcoli. In questo caso occorre utilizzare un fattore di conversione per poter esprimere il risultato ottenuto con l'unità di misura corretta. Per eseguire la conversione basta semplicemente esprimere la relazione esistente fra le unità di misura in esame sotto forma di frazione o moltiplicazione. Quando si esegue la conversione occorre utilizzare un rapporto di conversione tale per cui l'unità di misura precedente si elida in favore della nuova. Sembra un'operazione molto complessa, ma in realtà è semplicissima.  Per esempio, ipotizziamo di dover esprimere il risultato del problema in esame in miglia anziché in chilometri. Sappiamo che 1 miglio corrisponde all'incirca a 1,6 km, quindi possiamo eseguire la conversione in questo modo: 80 km × 1 mi / 1,6 km = 50 mi   Dato che l'unità di misura dei chilometri appare al denominatore della frazione che rappresenta il fattore di conversione, può essere semplificata con quella del risultato originale, ottenendo così la conversione in miglia.  Questo sito web fornisce tutti gli strumenti per convertire le unità di misura più comunemente utilizzate. Gli oggetti non sempre si spostano in linea retta. In questi casi non è possibile utilizzare il valore della distanza percorsa sostituendolo alla relativa variabile dell'equazione standard per il calcolo della velocità. Al contrario, occorre sostituire la variabile s della formula v = s / t con il modello matematico che replica la distanza percorsa dall'oggetto in esame. Per esempio, ipotizziamo che un aereo stia volando utilizzando una traiettoria circolare avente il diametro di 20 km e che percorra questa distanza per 5 volte. Il velivolo in esame compie questo tragitto in mezzora. In questo caso abbiamo la necessità di calcolare l'intera distanza percorsa dal velivolo prima di poterne determinare la velocità. In questo esempio possiamo calcolare la distanza percorsa dall'aereo utilizzando la formula matematica che definisce la circonferenza di un cerchio e la inseriremo al posto della variabile s dell'equazione di partenza. La formula per calcolare la circonferenza di un cerchio è la seguente: c = 2πr, dove r rappresenta il raggio della figura geometrica. Eseguendo le dovute sostituzioni otterremo:  v = (2 × π × r) / t; v = (2 × π × 10) / 0,5; v = 62,83/0,5 = 125,66 km/h. Purtroppo l'equazione più semplice per calcolare la velocità che abbiamo utilizzato fino ad ora ha un piccolo "difetto": tecnicamente definisce la velocità media a cui viaggia un oggetto. Questo significa che quest'ultimo, in base all'equazione in esame, si muove alla medesima velocità per l'intera distanza percorsa. Come vedremo nel prossimo metodo dell'articolo, calcolare la velocità istantanea di un oggetto risulta molto più complesso. Per illustrare la differenza esistente fra la velocità media e la velocità istantanea prova a immaginare l'ultima volta che hai usato l'automobile. È fisicamente impossibile che tu sia riuscito a viaggiare costantemente alla medesima velocità per l'intero tragitto. Al contrario, sei partito da fermo, hai accelerato fino alla velocità di crociera, hai rallentato a un incrocio a causa di un semaforo o di uno stop, hai accelerato nuovamente, ti sei trovato in coda nel traffico, eccetera fino ad arrivare a destinazione. In questo scenario, utilizzando l'equazione standard per il calcolo della velocità, tutte le singole variazioni di quest'ultima dovute alle normali condizioni del mondo reale non verrebbero evidenziate. Si ottiene invece una semplice media di tutti i valori assunti dalla velocità nell'arco dell'intera distanza percorsa. L'equazione base che la maggior parte delle persone usa per calcolare la velocità di un veicolo o di un oggetto è molto semplice da risolvere. Il primo dato da conoscere è la distanza che è stata percorsa dall'oggetto in esame. In altre parole la distanza che separa il punto di partenza da quello di arrivo. È molto più semplice riuscire a comprendere il significato di questa equazione con un esempio. Ipotizziamo di essere seduti in macchina diretti a un parco a tema che dista 160 km dal punto di partenza. Nei prossimi passaggi viene mostrato come usare questa informazione per risolvere l'equazione. Il prossimo dato che occorre conoscere per poter risolvere il problema è il tempo impiegato dall'oggetto per compiere l'intero percorso. In altre parole quanto tempo ha utilizzato per spostarsi dal punto di partenza al punto di arrivo. Nel nostro esempio ipotizziamo di aver raggiunto il parco tematico in due ore esatte di viaggio. Per calcolare la velocità di un qualunque oggetto è necessario possedere solo queste due semplici informazioni. Il rapporto fra la distanza percorsa e il tempo impiegato ci darà come risultato la velocità dell'oggetto osservato. Nel nostro esempio otterremo 160 km/2 ore = 80 km/h. Un passo importantissimo per poter esprimere correttamente i risultati ottenuti consiste nell'utilizzare le unità di misura nel modo giusto (per esempio chilometri orari, miglia orarie, metri al secondo, eccetera). Riportare il risultato dei calcoli senza aggiungere alcuna unità di misura renderebbe impossibile a chi dovrà interpretarlo o semplicemente leggerlo riuscire a capirne il significato. Inoltre, nel caso di di una verifica o di un test scolastico rischieresti di ottenere una valutazione inferiore. L'unità di misura della velocità è rappresentata dal rapporto fra l'unità di misura della distanza percorsa e quella del tempo impiegato. Dato che nel nostro esempio abbiamo misurato lo spazio n chilometri e il tempo in ore, l'unità corretta da utilizzare sono i km/h, cioè chilometri orari. I calcoli complessi relativi a questa grandezza fisica possono generare confusione perché in ambiti matematici e scientifici la velocità è definita come una grandezza vettoriale composta da due parti: intensità e direzione. Il valore assoluto dell'intensità rappresenta la rapidità o la velocità, per come la conosciamo noi nella realtà di tutti i giorni, con cui si muove un oggetto indipendentemente dalla sua posizione. Se prendiamo in considerazione il vettore velocità, un cambio nella sua direzione può comportare anche un cambio della sua intensità, ma non del valore assoluto cioè della velocità come la percepiamo nel mondo reale. Facciamo un esempio per comprendere meglio quest'ultimo concetto: Ipotizziamo di avere due automobili che stanno viaggiando in direzione opposta, entrambe alla velocità di 50 km/h, quindi entrambe si stanno spostano con la medesima rapidità. Tuttavia, dato che la loro direzione è opposta, utilizzando la definizione vettoriale della velocità possiamo affermare che un'automobile viaggia a -50 km/h mentre l'altra a 50 km/h. In campo teorico gli oggetti possono avere una velocità negativa (nel caso si stiano muovendo in direzione opposta rispetto a un punto di riferimento), ma nella realtà non esiste qualcosa che si possa muovere a una velocità negativa. In questo caso il valore assoluto dell'intensità del vettore che descrive la velocità di un oggetto risulta essere la relativa velocità, come la percepiamo e la usiamo nella realtà. Per questo motivo, nell'esempio entrambe le automobili hanno una velocità reale di 50 km/h. Ipotizzando di avere la funzione v(t), che descrive la posizione di un oggetto in base al tempo, la relativa derivata ne descriverà la velocità in relazione al tempo. Sostituendo semplicemente la variabile t con l'istante di tempo in cui desideriamo effettuare i calcoli otterremo la velocità dell'oggetto nel momento indicato. A questo punto calcolare la velocità istantanea risulta essere molto semplice.  Per esempio, ipotizziamo che la posizione di un oggetto, espressa in metri, sia rappresentata dalla seguente equazione 3t2 + t – 4, dove t rappresenta il tempo espresso in secondi. Vogliamo scoprire a quale velocità si muove l'oggetto in esame dopo 4 secondi, cioè con t = 4. Svolgendo i calcoli otterremo:  3t2 + t - 4 v'(t) = 2 × 3t + 1 v'(t) = 6t + 1   Sostituendo t = 4 otteniamo: v'(t) = 6(4) + 1 = 24 + 1 = 25 m/s. Tecnicamente il valore calcolato rappresenta il vettore velocità, ma dato che è un valore positivo e che non è indicata la direzione possiamo affermare che si tratta della velocità reale dell'oggetto. Per accelerazione si intende la variazione della velocità di un oggetto in base al tempo. Questo argomento è troppo complesso per poter essere analizzato con la dovuta attenzione in questo articolo. Tuttavia è sufficiente sapere che quando la funzione a(t) descrive l'accelerazione di un oggetto in base al tempo, l'integrale di a(t) ne descriverà la velocità in relazione al tempo. È bene precisare che occorre conoscere la velocità iniziale dell'oggetto per poter definire la costante risultante da un integrale indefinito.  Per esempio, ipotizziamo che un oggetto subisca un'accelerazione costante di a(t) = -30 m/s2. Ipotizziamo anche che abbia una velocità iniziale di 10 m/s. Adesso abbiamo la necessità di calcolarne la velocità nell'istante t = 12 s. Eseguendo i calcoli otterremo:  a(t) = -30 v(t) = ∫ a(t)dt =  ∫ -30dt = -30t + C   Per calcolare C, dobbiamo risolvere la funzione v(t) per t = 0. Dato che la velocità iniziale dell'oggetto è 10 m/s, otterremo:  v(0) = 10 = -30(0) + C 10 = C, quindi v(t) = -30t + 10   Adesso possiamo calcolare la velocità per t = 12 secondi: v(12) = -30(12) + 10 = -360 + 10 = -350. Dato che la velocità è rappresentata dal valore assoluto della componente intensità del relativo vettore, possiamo affermare che l'oggetto esaminato si sposta con una velocità di 350 m/s.
Utilizzare l'equazione inversa per calcolare lo spazio o il tempo. Converti le unità di misura in base alle necessità. Quando necessario, sostituisci la variabile "Spazio" dell'equazione iniziale con la formula per il calcolo della distanza totale percorsa. È bene ricordare che la formula v = s / t è relativa alla velocità media di un oggetto. Individua la distanza che è stato coperta dall'oggetto durante il movimento che ha compiuto. Individua il tempo utilizzato dall'oggetto in esame per coprire l'intera distanza. Per ottenere la velocità dell'oggetto in esame, dividiamo lo spazio che ha percorso per il tempo che ha impiegato. Non dimenticare di aggiungere le unità di misura. La velocità rappresenta la rapidità con cui un oggetto cambia la propria posizione nello spazio. Nel caso di una velocità negativa occorre utilizzare il relativo valore assoluto. Usare la funzione derivata della posizione. Usare l'integrale della funzione che descrive l'accelerazione.
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Solving Intermediate Problems Using the Standard Speed Equation Calculating Instantaneous Speed