Individuare le Soluzioni Reali Utilizzando l'Elenco dei Fattori Usare il Discriminante Risolvere le Equazioni Cubiche Senza Costante
Se l'equazione data rispetta la forma ax3+bx2+cx+d=0{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0} e il valore d{\displaystyle d} è diverso da 0, il metodo precedente non può essere applicato. Tuttavia non è il caso di preoccuparsi, esistono altri metodi che ti permetteranno di giungere alla soluzione del problema, come il seguente.  Per esempio ipotizza di dover risolvere l'equazione di terzo grado 2x3+9x2+13x=−6{\displaystyle 2x^{3}+9x^{2}+13x=-6}. In questo caso, per poter eguagliare a 0 l'intera equazione, hai la necessità di aggiungere il valore 6{\displaystyle 6} a entrambi i membri dell'espressione. La nuova equazione sarà 2x3+9x2+13x+6=0{\displaystyle 2x^{3}+9x^{2}+13x+6=0}. Dato che è presente la costante d=6{\displaystyle d=6}, non puoi fare affidamento al metodo precedente per individuare le soluzioni dell'equazione. Per individuare le soluzioni dell'equazione cubica di esempio, devi partire cercando i fattori dei coefficienti del termine x3{\displaystyle x^{3}} (che rappresenta il valore a{\displaystyle a}) e della costante dell'equazione (che rappresenta il valore d{\displaystyle d}). Ricorda che i fattori rappresentano i divisori di un numero, cioè quei valori che se moltiplicati opportunamente fra loro danno come risultato il numero stesso.  Per esempio analizzando il numero 6 si ottiene che i suoi fattori sono 1, 2, 3 e 6, dato che è il prodotto delle seguenti operazioni 6×1=6{\displaystyle 6\times 1=6} e 2×3=6{\displaystyle 2\times 3=6}. Nel problema di esempio a=2{\displaystyle a=2} e d=6{\displaystyle d=6}. I fattori del numero 2 sono 1 e 2, mentre i fattori del numero 6 sono 1, 2, 3 e 6. Crea un elenco di tutti i valori che ottieni dividendo ogni fattore del coefficiente a{\displaystyle a} per ogni fattore della costante d{\displaystyle d}. Normalmente otterrai un gran numero di valori frazionari e alcuni numeri interi. La soluzione reale di un'equazione cubica è caratterizzata da uno di questi numeri interi o dal suo negativo. Continuando con l'equazione di esempio, dovrai dividere i fattori del coefficiente a{\displaystyle a} (cioè i numeri 1 e 2) per tutti i fattori della costante d{\displaystyle d} (cioè i valori 1, 2, 3 e 6) ottenendo il seguente elenco di numeri: 1{\displaystyle 1}, 12{\displaystyle {\frac {1}{2}}}, 13{\displaystyle {\frac {1}{3}}}, 16{\displaystyle {\frac {1}{6}}}, 2{\displaystyle 2} e 23{\displaystyle {\frac {2}{3}}}. A questo punto occorre aggiungere anche tutti i rispettivi valori negativi per rendere l'elenco completo: 1{\displaystyle 1}, −1{\displaystyle -1}, 12{\displaystyle {\frac {1}{2}}}, −12{\displaystyle -{\frac {1}{2}}}, 13{\displaystyle {\frac {1}{3}}}, −13{\displaystyle -{\frac {1}{3}}}, 16{\displaystyle {\frac {1}{6}}}, −16{\displaystyle -{\frac {1}{6}}}, 2{\displaystyle 2}, −2{\displaystyle -2}, 23{\displaystyle {\frac {2}{3}}} e −23{\displaystyle -{\frac {2}{3}}}. La soluzione reale dell'equazione cubica di esempio è rappresentata da uno dei numeri interi presenti in questa lista. Si tratta di un approccio molto semplice, ma è richiesta una gran quantità di tempo per individuare la soluzione del problema. Dopo aver creato l'elenco completo dei fattori dell'equazione, seguendo le istruzioni dei passaggi precedenti, prendi in esame i numeri interi della lista, sostituiscili uno alla volta all'interno dell'equazione ed esegui i calcoli per verifica se il risultato è pari a 0{\displaystyle 0}. In questo modo troverai la soluzione reale dell'equazione in esame. Proseguendo con l'esempio precedente, prova a sostituire il valore 1{\displaystyle 1} ottenendo:   2(1)3+9(1)2+13(1)+6{\displaystyle 2(1)^{3}+9(1)^{2}+13(1)+6} cioè 2+9+13+6{\displaystyle 2+9+13+6}. In questo caso il valore 1 non può essere una soluzione dell'equazione perché il risultato dei calcoli è diverso da 0{\displaystyle 0}. Non ti resta che continuare usando il prossimo valore presente nell'elenco. Utilizzando il numero −1{\displaystyle -1} otterrai (−2)+9+(−13)+6{\displaystyle (-2)+9+(-13)+6} che, eseguendo gli opportuni calcoli, dà come risultato 0{\displaystyle 0}. Questo significa che il valore −1{\displaystyle -1} è una delle soluzioni reali dell'equazione di esempio. Se non hai molto tempo da dedicare alla risoluzione del problema sostituendo ogni valore all'interno dell'equazione ed eseguendo i calcoli, puoi utilizzare la regola di Ruffini per giungere alla soluzione in modo più rapido. Questo metodo consiste nell'applicare l'algoritmo della divisione polinomiale per dividere i numeri interi dell'elenco dei fattori per i valori delle variabili a{\displaystyle a}, b{\displaystyle b}, c{\displaystyle c} e d{\displaystyle d} dell'equazione. Se il risultato della divisione è pari a 0{\displaystyle 0}, significa che il numero preso in esame è una delle soluzioni reali dell'equazione.  La regola di Ruffini è un argomento molto complesso che per lo scopo di questo articolo non è necessario approfondire. Tuttavia di seguito trovi un esempio di come utilizzare questo strumento per individuare una delle soluzioni reali di un'equazione cubica:  -1 | 2  9  13  6 __| -2-7-6 __| 2  7    6   0   Dato che il risultato della divisione è pari a 0{\displaystyle 0}, significa che il valore −1{\displaystyle -1} è una delle soluzioni reali dell'equazione di esempio. Adottando questo metodo dovrai lavorare soprattutto con i coefficienti numerici dei termini dell'equazione cubica che devi risolvere. Prendi nota dei valori delle variabili a{\displaystyle a}, b{\displaystyle b}, c{\displaystyle c} e d{\displaystyle d} dell'equazione per evitare di dimenticarli. Per esempio, ipotizzando di dover risolvere l'equazione x3−3x2+3x−1{\displaystyle x^{3}-3x^{2}+3x-1}, dovrai prendere nota dei seguenti valori: a=1{\displaystyle a=1}, b=−3{\displaystyle b=-3}, c=3{\displaystyle c=3} e d=−1{\displaystyle d=-1}. Ricorda che se il coefficiente di un termine che presenta la variabile x{\displaystyle x} non è specificato, significa che tale valore è pari a 1{\displaystyle 1}. Utilizzare questo approccio per individuare le soluzioni di un'equazione cubica implica lo svolgimento di principi e calcoli matematici molto complessi, ma seguendo il procedimento descritto in modo rigoroso ti accorgerai che è uno strumento molto potente per risolvere tutti quei modelli di equazioni cubiche che sarebbero molto difficili da affrontare utilizzando gli altri metodi dell'articolo.  Inizia calcolando il Δ0{\displaystyle \Delta _{0}} (o discriminante zero), il primo di diversi valori molto importanti che dovrai individuare, sostituendo i valori appropriati all'interno della seguente formula: Δ0=b2−3ac{\displaystyle \Delta _{0}=b^{2}-3ac}.  Il discriminante è semplicemente un numero che fornisce informazioni preziose sulle radici (cioè le soluzioni) di un polinomio (forse sai già che il discriminante di un'equazione di secondo grado è pari a b2−4ac{\displaystyle b^{2}-4ac}). Continuando con il problema di esempio, otterrai:  b2−3ac{\displaystyle b^{2}-3ac} (−3)2−3(1)(3){\displaystyle (-3)^{2}-3(1)(3)} 9−3(1)(3){\displaystyle 9-3(1)(3)} 9−9=0=Δ0{\displaystyle 9-9=0=\Delta _{0}} Il secondo valore molto importante che devi calcolare è il Δ1{\displaystyle \Delta _{1}} (o discriminante 1{\displaystyle 1}). In questo caso i calcoli sono leggermente più laboriosi, ma sostanzialmente dovrai seguire il medesimo principio che hai utilizzato per calcolare il Δ0{\displaystyle \Delta _{0}}. Per calcolare il Δ1{\displaystyle \Delta _{1}} risolvi l'equazione 2b3−9abc+27a2d{\displaystyle 2b^{3}-9abc+27a^{2}d} sostituendo alle variabili i valori corrispondenti. Continuando con l'equazione di esempio otterrai:  2(−3)3−9(1)(−3)(3)+27(1)2(−1){\displaystyle 2(-3)^{3}-9(1)(-3)(3)+27(1)^{2}(-1)} 2(−27)−9(−9)+27(−1){\displaystyle 2(-27)-9(-9)+27(-1)} −54+81−27{\displaystyle -54+81-27} 81−81=0=Δ1{\displaystyle 81-81=0=\Delta _{1}}   Le radici o le soluzioni di un'equazione di terzo grado si ottengono utilizzando la formula −(b+unC+Δ0÷(unC))÷3a{\displaystyle -(b+u^{n}C+\Delta _{0}\div (u^{n}C))\div 3a}, dove u=(−1+−3)÷2{\displaystyle u=(-1+{\sqrt {-3}})\div 2} e n è pari rispettivamente ai valori 1, 2 o 3. Sostituisci tutte le variabili della formula con i valori noti corrispondenti ed esegui i calcoli. In questo caso è necessario svolgere una gran quantità di calcoli, ma alla fine riuscirai a individuare le tre soluzioni dell'equazione in esame.  Per ottenere le soluzioni dell'equazione di esempio dovrai utilizzare la formula indicata per tre volte sostituendo alla variabile n prima il valore 1 poi il numero 2 e infine 3. I valori che otterrai potrebbero essere le soluzioni all'equazione cubica di partenza. Per verificare se le soluzioni sono corrette, dovrai sostituire ogni valore all'interno dell'equazione originale e verificare se ottieni 0. Per esempio sostituendo il numero 1 all'interno dell'equazione x3−3x2+3x−1{\displaystyle x^{3}-3x^{2}+3x-1} otterrai come risultato 0, quindi significa che il valore 1 è una delle sue soluzioni. La forma normale delle equazioni di terzo grado è ax3+bx2+cx+d=0{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}. Tuttavia l'unico requisito per determinare se un'equazione è cubica è che ci sia il termine x3{\displaystyle x^{3}}, questo significa che gli altri termini visibili nella forma standard non hanno la necessità di essere presenti nell'equazione finale.  Se l'equazione che devi affrontare contiene una costante (indicata dal valore d{\displaystyle d}), dovrai utilizzare un altro metodo per poterla risolvere. Se a=0{\displaystyle a=0}, significa che non sei alle prese con un'equazione di terzo grado perché il termine x3{\displaystyle x^{3}} non è presente. Dato che l'equazione non presenta una costante numerica, tutti i suoi termini contengono la variabile x{\displaystyle x}. Questo significa che puoi raggrupparla come fattore comune e semplificare l'equazione di partenza. Usando questo approccio l'equazione originale può essere riscritta nella seguente forma: x(ax2+bx+c){\displaystyle x(ax^{2}+bx+c)}.  Per esempio ipotizza di dover risolvere l'equazione cubica 3x3−2x2+14x=0{\displaystyle 3x^{3}-2x^{2}+14x=0}  Raggruppando il fattore x{\displaystyle x} otterrai la seguente equazione x(3x2−2x+14)=0{\displaystyle x(3x^{2}-2x+14)=0} In molti casi sarai in grado di scomporre in fattori l'equazione di secondo grado (ax2+bx+c{\displaystyle ax^{2}+bx+c}), messa in evidenza dopo aver eseguito il raggruppamento del fattore comune x{\displaystyle x}. Per esempio se devi risolvere l'equazione x3+5x2−14x=0{\displaystyle x^{3}+5x^{2}-14x=0}, puoi procedere nel seguente modo:  Esegui il raggruppamento del fattore comune x{\displaystyle x}: x(x2+5x−14)=0{\displaystyle x(x^{2}+5x-14)=0}  Scomponi in fattori l'equazione di secondo grado: x(x+7)(x−2)=0{\displaystyle x(x+7)(x-2)=0}  Eguaglia a 0{\displaystyle 0} ogni fattore dell'equazione. Le soluzioni che otterrai saranno: x=0,x=−7,x=2{\displaystyle x=0,x=-7,x=2}. Questo approccio è utile nel caso non si riesca a eseguire la scomposizione in fattori manualmente. Puoi trovare le soluzioni dell'equazione di secondo grado eguagliando a 0{\displaystyle 0} l'apposita formula risolutiva (−b±b2−4ac2a{\displaystyle {\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}) e sostituendo accuratamente le variabili a{\displaystyle a}, b{\displaystyle b} e c{\displaystyle c} con i rispettivi valori. In questo modo riuscirai a individuare due delle tre soluzioni dell'equazione cubica di partenza.  Continuando con l'esempio precedente sostituisci le variabili a{\displaystyle a}, b{\displaystyle b} e c{\displaystyle c} della formula risolutiva delle equazioni quadratiche con i rispettivi valori 3{\displaystyle 3}, −2{\displaystyle -2} e 14{\displaystyle 14} ottenendo:  −b±b2−4ac2a{\displaystyle {\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}} −(−2)±((−2)2−4(3)(14)2(3){\displaystyle {\frac {-(-2)\pm {\sqrt {((-2)^{2}-4(3)(14)}}}{2(3)}}} 2±4−(12)(14)6{\displaystyle {\frac {2\pm {\sqrt {4-(12)(14)}}}{6}}} 2±(4−1686{\displaystyle {\frac {2\pm {\sqrt {(4-168}}}{6}}} 2±−1646{\displaystyle {\frac {2\pm {\sqrt {-164}}}{6}}}   Prima soluzione:  2+−1646{\displaystyle {\frac {2+{\sqrt {-164}}}{6}}} 2+12,8i6{\displaystyle {\frac {2+12,8i}{6}}}   Seconda soluzione: 2−12,8i6{\displaystyle {\frac {2-12,8i}{6}}} 0 e le soluzioni dell'equazione di secondo grado. Mentre un'equazione quadratica ha solo due soluzioni, un'equazione di terzo grado ne ha tre. Risolvendo l'equazione di secondo grado hai già ottenuto due delle tre soluzioni. Nei casi in cui puoi eseguire il raggruppamento del fattore comune x{\displaystyle x} dell'equazione cubica di partenza, la terza soluzione sarà sempre pari a 0{\displaystyle 0}.  Raggruppando il fattore comune x{\displaystyle x} nell'equazione di terzo grado otterrai la forma x(ax2+bx+c)=0{\displaystyle x(ax^{2}+bx+c)=0} composta da due fattori: la variabile x{\displaystyle x} esterna alla parentesi e l'equazione di secondo grado all'interno delle parentesi. In questo caso, se entrambi i fattori dell'equazione vengono eguagliati a 0{\displaystyle 0}, l'intera espressione verrà eguagliata a 0{\displaystyle 0}. Quindi le due soluzioni dell'equazione quadratica presente nelle parentesi rappresentano il risultato dell'aver eguagliato a 0{\displaystyle 0} tale fattore e sono a tutti gli effetti due soluzioni dell'equazione cubica di partenza. Eguagliando a 0{\displaystyle 0} il fattore esterno alla parentesi, x{\displaystyle x}, si ottiene che anche il valore 0 è una soluzione del problema.
Verifica che l'equazione cubica di partenza presenti una costante (cioè che il termine d{\displaystyle d} sia presente). Trova i fattori dei valori a{\displaystyle a} e d{\displaystyle d}. Dividi i fattori del coefficiente a{\displaystyle a} per quelli della costante d{\displaystyle d}. Sostituisci manualmente, uno alla volta, i numeri interi dell'elenco all'interno dell'equazione ed esegui calcoli per risalire alla soluzione. Puoi utilizzare la regola di Ruffini, conosciuta anche come "divisione sintetica", se vuoi adottare un approccio più complesso ma più rapido. Prendi nota dei valori delle variabili a{\displaystyle a}, b{\displaystyle b}, c{\displaystyle c} e  d{\displaystyle d}. Calcola quando il discriminante zero usando l'apposita formula. Svolgi i calcoli relativi alla seguente equazione Δ1=2b3−9abc+27a2d{\displaystyle \Delta _{1}=2b^{3}-9abc+27a^{2}d} . A questo punto risolvi il seguente calcolo Δ=(Δ12−4Δ3)÷−27a2{\displaystyle \Delta =(\Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3})\div -27a^{2}}. Adesso puoi calcolare il discriminante dell'equazione cubica partendo dai valori Δ0{\displaystyle \Delta _{0}} e Δ1{\displaystyle \Delta _{1}} che hai già individuato. Nel caso di un'equazione di terzo grado, se il discriminante è positivo, significa che avrà tre soluzioni reali. Se il discriminante è pari a zero, allora l'equazione avrà solo una o due soluzioni reali. Se il discriminante è negativo, l'equazione avrà una sola soluzione reale.

Un'equazione cubica ha sempre almeno una soluzione nell'insieme dei numeri reali perché, se rappresentata graficamente, la funzione interseca sempre l'asse delle ascisse (l'asse X) almeno una volta.
Nell'equazione di esempio, dato che sia il valore Δ0{\displaystyle \Delta _{0}} sia il valore Δ1{\displaystyle \Delta _{1}} sono uguali a 0{\displaystyle 0}, individuare il discriminante Δ{\displaystyle \Delta } sarà molto semplice. Esegui i seguenti calcoli:

(Δ12−4Δ03)÷(−27a2){\displaystyle (\Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3})\div (-27a^{2})}
((0)2−4(0)3)÷(−27(1)2){\displaystyle ((0)^{2}-4(0)^{3})\div (-27(1)^{2})}
0−0÷27{\displaystyle 0-0\div 27}

0=Δ{\displaystyle 0=\Delta }. In questo caso l'equazione in esame avrà una o due soluzioni.


 Risolvi la seguente equazione C=3(Δ12−4Δ3+Δ1)÷2{\displaystyle C=^{3}{\sqrt {\left({\sqrt {\Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3}}}+\Delta _{1}\right)\div 2}}}. L'ultima grandezza che devi calcolare è C{\displaystyle C}. Calcolando questo valore avrai la possibilità di individuare le tre radici che saranno le soluzioni dell'equazione cubica che stai analizzando. Esegui i calcoli normalmente sostituendo le variabili Δ1{\displaystyle \Delta _{1}} e Δ0{\displaystyle \Delta _{0}} con i valori corrispondenti.
Seguendo l'esempio precedente otterrai che C{\displaystyle C} è pari a:

3(Δ12−4Δ03)+Δ1÷2{\displaystyle ^{3}{\sqrt {{\sqrt {(\Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3})+\Delta _{1}}}\div 2}}}
3(02−4(0)3)+(0)÷2{\displaystyle ^{3}{\sqrt {{\sqrt {(0^{2}-4(0)^{3})+(0)}}\div 2}}}
3(0−0)+0÷2{\displaystyle ^{3}{\sqrt {{\sqrt {(0-0)+0}}\div 2}}}
0=C{\displaystyle 0=C}

 A questo punto calcola le tre radici dell'equazione usando i valori che hai in tuo possesso. Controlla se l'equazione cubica che devi risolvere contiene o meno la costante (nella forma standard è caratterizzata dal valore d{\displaystyle d}). Raggruppa il fattore comune x{\displaystyle x} dell'equazione. Se possibile, scomponi in fattori l'equazione quadratica che hai ottenuto nel passaggio precedente. Risolvi l'equazione di secondo grado ottenuta dal raggruppamento del fattore comune x{\displaystyle x} utilizzando l'apposita formula. Le soluzioni dell'equazione cubica di partenza saranno:
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Finding Integer Solutions with Factor Lists Using a Discriminant Approach Solving Cubic Equations without a Constant