Usare la Fattorizzazione in Numeri Primi
Questo metodo usa i fattori di un numero per trovarne la radice quadrata (secondo il tipo di numero, si può trovare una risposta numerica esatta o una semplice approssimazione). I fattori di un numero sono un qualunque insieme di altri numeri che moltiplicati tra loro danno come risultato il numero stesso. Per esempio, potresti dire che i fattori di 8 sono 2 e 4, perché 2 x 4 = 8. I quadrati perfetti, d'altra parte, sono numeri interi, prodotto di altri numeri interi. Ad esempio, 25, 36 e 49 sono quadrati perfetti, perché sono rispettivamente 52, 62 e 72. I fattori dei quadrati perfetti sono, come puoi indovinare, dei fattori che a loro volta sono quadrati perfetti. Per iniziare a trovare la radice quadrata attraverso la fattorizzazione in numeri primi, puoi provare inizialmente a ridurre il tuo numero nei suoi fattori primi che siano dei quadrati.  Poniamo un esempio. Vogliamo trovare a mano la radice quadrata di 400. Per iniziare, proviamo a dividere il numero sotto forma di fattori che siano quadrati perfetti. Siccome 400 è multiplo di 100, sappiamo che è divisibile per 25 - un quadrato perfetto. Una veloce divisione a mente ci permette di sapere che il 25 sta nel 400 16 volte. Per coincidenza, anche 16 è un quadrato perfetto. Così, i fattori quadrati perfetti di 400 sono 25 e 16, perché 25 x 16 = 400. Potremmo scriverlo come: Sqrt(400) = Sqrt(25 x 16) La proprietà del prodotto delle radici quadrate afferma che per qualunque numero a e b, Sqrt(a x b) = Sqrt(a) x Sqrt(b). In base a questa proprietà, possiamo ricavare le radici quadrate dei nostri fattori che sono dei quadrati perfetti e moltiplicarle insieme per ottenere la nostra risposta. Nel nostro esempio, dovremo fare le radici quadrate di 25 e di 16. Leggi sotto:  Sqrt(25 x 16) Sqrt(25) x Sqrt(16) 5 x 4 = 20 Nella vita reale, per la maggior parte dei casi, i numeri di cui dovrai trovare le radici quadrate non saranno dei bei numeri "tondi" con fattori perfettamente quadratici, come il 400. In questi casi, può risultare impossibile trovare la risposta esatta come intero. Invece, trovando tutti i fattori possibili che siano dei perfetti quadrati, puoi trovare la risposta in termini di una radice quadrata più piccola, più semplice e più facile da gestire. Per fare questo, devi ridurre il tuo numero a una combinazione di fattori di quadrati perfetti e non, per poi semplificare. Prendiamo la radice quadrata di 147 come esempio. 147 non è il prodotto di due quadrati perfetti, così non possiamo trovare un intero esatto, come abbiamo provato prima. Comunque, si tratta del prodotto tra un quadrato perfetto e un altro numero - 49 e 3. Possiamo usare questa informazione per scrivere la vostra risposta come segue in termini più semplici:  Sqrt(147) = Sqrt(49 x 3) = Sqrt(49) x Sqrt(3) = 7 x Sqrt(3) Con la tua radice quadrata sotto forma di fattori più piccoli, è solitamente semplice trovare una stima approssimata di un valore numerico indovinando i valori delle radici quadrate rimanenti e moltiplicandoli. Un modo per aiutarti a fare questa stima è trovare dei quadrati perfetti in entrambe le parti del numero della tua radice quadrata. Saprai che il valore decimale della tua radice quadrata sarà tra questi due numeri: in tal modo riuscirai ad approssimare un valore tra di essi. Torniamo al nostro esempio. Siccome 22 = 4 e 12 = 1, sappiamo che Sqrt(3) sta tra 1 e 2 - probabilmente più vicino a 2 piuttosto che a 1. Supponiamo di avere 1,7. 7 x 1,7 = 11,9. Se facciamo la prova con la nostra calcolatrice, possiamo vedere che siamo abbastanza vicini alla risposta esatta 12,13. Questo funziona anche con numeri più grandi. Per esempio, Sqrt(35) può essere stimata tra 5 e 6 (probabilmente molto vicina a 6). 52 = 25 e 62 = 36. 35 sta tra 25 e 36, di conseguenza la sua radice quadrata deve essere compresa tra 5 e 6. Siccome 35 è inferiore di una sola cifra a 36, possiamo dire con certezza che la sua radice quadrata è appena inferiore a 6. Facendo la prova con la calcolatrice, troviamo circa 5,92 - avevamo ragione. Non è necessario trovare dei fattori perfettamente quadratici se puoi determinare i fattori primi di un numero (quei fattori che sono anche numeri primi). Scrivi il tuo numero sotto forma dei suoi fattori primi. Poi cerca le possibili combinazioni di numeri primi tra i tuoi fattori. Quando trovi due fattori primi identici, rimuovi entrambi questi numeri dall'interno della radice quadrata e metti solo uno di questi numeri fuori dalla radice quadrata.  Per esempio, troviamo la radice quadrata di 45 usando questo metodo. Sappiamo che 45 = 9 x 5 e che 9 = 3 x 3. Possiamo quindi scrivere la nostra radice quadrata sotto forma di fattori: Sqrt(3 x 3 x 5). Rimuovi semplicemente i 3 e mettine solo uno fuori dalla radice quadrata: (3)Sqrt(5). A questo punto è semplice fare una stima. Come problema finale di esempio, proviamo a trovare la radice quadrata di 88:  Sqrt(88) = Sqrt(2 x 44) = Sqrt(2 x 4 x 11) = Sqrt(2 x 2 x 2 x 11). Abbiamo diversi 2 nella nostra radice quadrata. Siccome 2 è un numero primo, possiamo rimuoverne un paio e metterne uno fuori dalla radice quadrata. = la nostra radice quadrata ai minimi termini è (2) Sqrt(2 x 11) o (2) Sqrt(2) Sqrt(11). A questo punto, possiamo fare una stima di Sqrt(2) e di Sqrt(11) per trovare una risposta approssimativa.
Dividi il tuo numero in fattori che siano quadrati perfetti. Fai la radice quadrata dei tuoi fattori che sono quadrati perfetti. Se il tuo numero non è un fattore perfetto, riducilo ai minimi termini. Se serve, fai una stima approssimativa. In alternativa, come primo passo riduci il tuo numero ai suoi minimi termini.
https://www.wikihow.com/Calculate-a-Square-Root-by-Hand
Using Prime Factorization