Risoluzione dei Problemi con Equazioni Quadratiche Trovare il Punto di Intersezione di Due Rette
In questo tipo di equazioni le variabili sono di secondo grado (x2{\displaystyle x^{2}} o y2{\displaystyle y^{2}}). Le equazioni quadratiche descrivono delle linee curve che quindi possono avere più soluzioni o punti di intersezione (0, 1 o 2). Questa sezione dell'articolo mostra come individuare le soluzioni dei problemi algebrici che devi affrontare.  Esegui tutti i calcoli possibili per portare un'equazione nella sua forma base e poter determinare se è quadrica. Ad esempio, la seguente equazione y=(x+3)(x){\displaystyle y=(x+3)(x)} è quadratica, perché eseguendo i calcoli si ottiene y=x2+3x{\displaystyle y=x^{2}+3x}. Le equazioni che descrivono cerchi o ellissi presentano entrambi i termini x2{\displaystyle x^{2}} e y2{\displaystyle y^{2}}. Se hai delle particolari difficoltà a risolvere questo tipo di equazioni, fai riferimento alla sezione "Consigli". Se necessario, riscrivi ogni equazione in modo da isolare in un membro la variabile Y.   Esempio: Trova i punti di intersezione delle seguenti equazioni x2+2x−y=−1{\displaystyle x^{2}+2x-y=-1} e y=x+7{\displaystyle y=x+7}. Riscrivi l'equazione quadratica in base a Y:  y=x2+2x+1{\displaystyle y=x^{2}+2x+1} e y=x+7{\displaystyle y=x+7}. In questo esempio dobbiamo lavorare con un'equazione quadratica e una lineare. Anche i problemi che implicano due equazioni quadratiche si risolvono in modo molto simile. Dopo averle riscritte isolando l'incognita Y in un membro, possiamo eguagliare gli altri due dato che avranno le stesse soluzioni.   Esempio: y=x2+2x+1{\displaystyle y=x^{2}+2x+1} e y=x+7{\displaystyle y=x+7}  x2+2x+1=x+7{\displaystyle x^{2}+2x+1=x+7} Per farlo, utilizza le operazioni, le regole e i principi algebrici standard. Spostando tutti i termini in un solo membro otterremo quanto segue:   Esempio: x2+2x+1=x+7{\displaystyle x^{2}+2x+1=x+7}  Sottrai l'incognita X da entrambi i membri: x2+x+1=7{\displaystyle x^{2}+x+1=7} Sottrai il coefficiente 7 da entrambi i membri: x2+x−6=0{\displaystyle x^{2}+x-6=0} . Dopo aver portato a zero un membro dell'equazione, esistono tre metodi per individuarne la soluzione. Ognuno riterrà più semplice usare il metodo a lui più congeniale. Puoi scegliere di utilizzare la formula quadratica, il metodo relativo al "completamento del quadrato" o il metodo di fattorizzazione, come nel seguente esempio:   Esempio: x2+x−6=0{\displaystyle x^{2}+x-6=0}  L'obiettivo della fattorizzazione è quello di individuare due fattori che, moltiplicati fra loro, diano origine all'equazione in oggetto. Partiamo dal primo termine, sappiamo che x2{\displaystyle x^{2}} può essere scomposto nella forma seguente (x    )(x    ) = 0. L'ultimo termine è -6. Elenca tutti gli elementi o fattori che moltiplicati fra loro danno come risultato -6: −6∗1{\displaystyle -6*1}, −3∗2{\displaystyle -3*2}, −2∗3{\displaystyle -2*3} e −1∗6{\displaystyle -1*6}. Il termine centrale è rappresentato da X (che può essere scritto anche come 1 * x). Somma fra loro ciascuna coppia di fattori per individuare quale dia come risultato 1. La coppia corretta di valori è −2∗3{\displaystyle -2*3}, dato che −2+3=1{\displaystyle -2+3=1}. Completa la tua soluzione inserendo la coppia di fattori appena individuata: (x−2)(x+3)=0{\displaystyle (x-2)(x+3)=0}. Lavorando troppo rapidamente potresti fermarti dopo aver individuato solo una soluzione, senza accorgerti che ne è presente anche una seconda. Ecco come risolvere un problema algebrico che richiede di individuare le coordinate X dei due punti di intersezione di una linea curva:   Esempio (metodo di fattorizzazione): nel passaggio precedente abbiamo ottenuto l'equazione (x−2)(x+3)=0{\displaystyle (x-2)(x+3)=0}. In questo caso, se entrambi i fattori presenti nelle parentesi sono uguali a 0, l'equazione è vera. Quindi la prima soluzione è x−2=0{\displaystyle x-2=0} cioè x=2{\displaystyle x=2}; mentre la seconda è x+3=0{\displaystyle x+3=0} cioè x=−3{\displaystyle x=-3}.  Esempio (formula quadratica o completamento del quadrato): se hai utilizzato uno di questi due metodi per risolvere la tua equazione, avrai ottenuto come risultato una radice quadrata. Ad esempio, l'equazione in oggetto sarà diventata x=(−1+25)/2{\displaystyle x=(-1+{\sqrt {25}})/2}. Ricorda che la radice quadrata può essere scomposta in due forme: 25=5∗5{\displaystyle {\sqrt {25}}=5*5} e 25=(−5)∗(−5){\displaystyle {\sqrt {25}}=(-5)*(-5)}. Dovrai quindi scrivere entrambe le equazioni derivanti dalle due forme e risolverle in base a X. Avremo una sola soluzione e quindi un solo punto di intersezione nel caso di due linee tangenti. Due linee che non si intersecano non hanno invece punti di intersezione. Ecco come riconoscere questi casi particolari:  Equazioni con una sola soluzione: l'equazione derivante dalla fattorizzazione dei termini darà origine a due fattori identici (ad esempio (x-1)(x-1) = 0). Quando vengono utilizzati all'interno della formula quadratica il risultato è 0{\displaystyle {\sqrt {0}}}. Quindi in questo caso dovrai risolvere una sola equazione. Nessuna soluzione: in questo caso non esistono fattori che soddisfano i requisiti dell'equazione. Se inseriti nella formula quadratica, daranno come risultato la radice quadrata di un numero negativo (ad esempio −2{\displaystyle {\sqrt {-2}}}). In questo caso la tua risposta dovrà essere "non esistono soluzioni". Dopo aver calcolato il valore di X del punto di intersezione, inseriscilo all'interno di una delle equazioni di partenza. Procedi a risolverla in base a Y. Nel caso tu abbia individuato due valori di X, ripeti il passaggio una seconda volta.  Esempio: nel nostro caso abbiamo individuato due soluzioni, x=2{\displaystyle x=2} e x=−3{\displaystyle x=-3}. Una delle equazioni di partenza è y=x+7{\displaystyle y=x+7}. Procediamo alla sostituzione dei valori ottenendo y=2+7{\displaystyle y=2+7} e y=−3+7{\displaystyle y=-3+7}, quindi eseguiamo i calcoli arrivando ad avere che y=9{\displaystyle y=9} e y=4{\displaystyle y=4}. Avendo trovato la soluzione completa al nostro problema possiamo esprimerla nella forma corretta, cioè tramite le coordinate dei due punti di intersezione individuati. Nel caso in cui tu abbia individuato due punti di intersezione, fai attenzione ad abbinare correttamente i due valori di X con quelli di Y.  Esempio: quando abbiamo utilizzato il valore x=2{\displaystyle x=2}, abbiamo ottenuto la soluzione y=9{\displaystyle y=9}, quindi il punto di intersezione in oggetto sarà (2, 9). Seguendo la stessa logica, il secondo punto di intersezione si trova alle coordinate (-3, 4). Se necessario, esegui tutti i calcoli per impostare le equazioni in modo che l'incognita Y appaia isolata all'interno di uno dei membri dell'equazione. Se l'equazione in oggetto utilizza le funzioni f(x) o g(x) invece che l'incognita Y, isola questi termini. Ricorda che puoi semplificare un'equazione (utilizzando la proprietà o regola di cancellazione) applicando la stessa operazione a entrambi i membri che la compongono.  Se non conosci le equazioni che descrivono le due rette, ottienile a partire dalle informazioni a tua disposizione.  Esempio: ipotizziamo che le due rette siano descritte dalle seguenti equazioni: y=x+3{\displaystyle y=x+3} e y−12=−2x{\displaystyle y-12=-2x}. Per isolare l'incognita Y della seconda equazione, devi sommare il coefficiente 12 a entrambi i membri ottenendo y=12−2x{\displaystyle y=12-2x} Stiamo cercando il punto di intersezione delle due rette, cioè i valori di X e Y che soddisfano entrambe le equazioni. Queste ultime sono scritte in modo che l'incognita Y sia isolata nel membro sinistro. Sapendo che il membro destro di entrambe avrà la stessa soluzione, possiamo quindi scrivere una nuova equazione per rappresentare questa uguaglianza:  Esempio: Partendo dalle equazioni lineare note y=x+3{\displaystyle y=x+3} e y=12−2x{\displaystyle y=12-2x}, otterremo x+3=12−2x{\displaystyle x+3=12-2x}. . La nuova equazione ha solo un'incognita, cioè X. Risolvila applicando le stesse operazioni algebriche a entrambi i membri. Isola il termine X all'interno di uno dei due membri dell'equazione per poterla scrivere nella forma "x = __" (se questo passaggio è possibile, seleziona questo link per passare direttamente alla conclusione di questa sezione).   Esempio: x+3=12−2x{\displaystyle x+3=12-2x}  Sommiamo il termine 2x{\displaystyle 2x} a ogni membro: 3x+3=12{\displaystyle 3x+3=12} Sottraiamo il coefficiente 3 da ogni membro: 3x=9{\displaystyle 3x=9} Adesso dividiamo ogni membro per 3:  x=3{\displaystyle x=3}. Puoi usare una delle due equazioni lineari di partenza. Sostituisci a X la soluzione appena calcolata, quindi esegui tutti i calcoli per risolverla in base a Y.   Esempio: x=3{\displaystyle x=3} e y=x+3{\displaystyle y=x+3}  y=3+3{\displaystyle y=3+3} y=6{\displaystyle y=6} Per farlo, sostituisci il valore di X anche nella seconda equazione lineare per avere la certezza di ottenere lo stesso risultato. Nel caso si ottenga un valore di Y differente, significa che qualcosa non ha funzionato, bisognerà quindi revisionare il proprio lavoro alla ricerca dell'errore.   Esempio: x=3{\displaystyle x=3} e y=12−2x{\displaystyle y=12-2x}  y=12−2(3){\displaystyle y=12-2(3)} y=12−6{\displaystyle y=12-6} y=6{\displaystyle y=6} Questa soluzione è uguale a quella calcolata nel passaggio precedente, quindi significa che è quella corretta. Giunto a questo punto, avrai individuato l'ordinata e l'ascissa che descrivono il punto in cui le due rette date si intersecano. Scrivi le coordinate nella forma corretta rispettandone l'ordine (x, y):   Example: x=3{\displaystyle x=3} e y=6{\displaystyle y=6}  Le due rette si intersecano nel punto (3,6). Alcune equazioni non possono essere risolte in base a X, cioè non ammettono soluzioni. Questo non significa necessariamente che siano stati commessi degli errori di calcolo. Esistono due situazioni specifiche per cui si otterrà una soluzione "speciale":  Nel caso di due rette parallele, dove non esiste un punto di intersezione. In questo caso l'incognita X verrà cancellata in entrambi i membri dell'equazione dando origine a una diseguaglianza (ad esempio 0=1{\displaystyle 0=1}). La tua risposta sarà quindi: "le due linee in oggetto non si intersecano" oppure non esistono soluzioni reali". Il caso in cui le equazioni lineari di partenza descrivono la stessa retta che quindi si "interseca" in ogni suo punto. In questo caso l'incognita X verrà cancellata in entrambi i membri dell'equazione dando origine a un'uguaglianza sempre vera (ad esempio 3=3{\displaystyle 3=3}). La tua risposta sarà quindi: "le due linee in oggetto sono in realtà la stessa retta".
Riconoscere un'equazione quadratica. Scrivi l'equazione isolando l'incognita Y. Eguaglia le due equazioni. Riscrivi l'equazione ottenuta in modo che un membro sia uguale a 0. Risolvi l'equazione quadratica in oggetto Ricorda che in questo caso le soluzioni relative all'incognita X sono due. Risolvere problemi algebrici aventi una soluzione o nessuna. Sostituisci i valori di X nell'equazione originale. Descriviamo i punti di intersezione in base alle loro coordinate. Riscrivi entrambe le equazioni lineari in modo da isolare l'incognita Y all'interno del membro sinistro. Trova la soluzione che soddisfi entrambe le equazioni. Risolvi in base a X Utilizza il valore di X ottenuto per individuare il valore di Y. Verifica la correttezza del tuo lavoro. Prendi nota delle coordinate X e Y del punto di intersezione. Affronta le soluzioni inusuali.
https://www.wikihow.com/Algebraically-Find-the-Intersection-of-Two-Lines https://www.wikihow.com/Algebraically-Find-the-Intersection-of-Two-Lines
Problems with Quadratic Equations Finding the Intersection of Two Straight Lines