Un altro Esempio Usare la Funzione del Ricavo Trovare il Valore Massimo di Ricavo
Immagina che per un altro affare siano stati raccolti i dati relativi a prezzo e vendita. Usando quei dati, l'azienda ha definito in 100 $ il prezzo iniziale e ogni unità venduta in più abbasserà il prezzo di un centesimo. Utilizzando questi dati, la funzione del prezzo che ne deriva é: p=100−0.01q{\displaystyle p=100-0.01q} Ricorda che il ricavo è pari al prezzo moltiplicato la quantità. Usando la funzione del prezzo di cui sopra, la funzione del ricavo é:  R(q)=[100−0.01q]∗q{\displaystyle R(q)=[100-0.01q]*q} R(q)=100q−0.01q2{\displaystyle R(q)=100q-0.01q^{2}} Usando l'analisi matematica di base, trova la derivata della funzione del ricavo:  R(q)=100q−0.01q2{\displaystyle R(q)=100q-0.01q^{2}} R′(q)=100−(2)0.01q{\displaystyle R^{\prime }(q)=100-(2)0.01q} R′(q)=100−0.02q{\displaystyle R^{\prime }(q)=100-0.02q} Imposta a 0 la derivata e risolvi q{\displaystyle q} per trovare il numero ideale di vendite. Procedi come segue:  R′(q)=100−0.02q{\displaystyle R^{\prime }(q)=100-0.02q} 0=100−0.02q{\displaystyle 0=100-0.02q} 0.02q=100{\displaystyle 0.02q=100} q=100/0.02{\displaystyle q=100/0.02} q=5,000{\displaystyle q=5,000} Usa il valore di vendita ideale nella formula del prezzo originario per trovare il prezzo di vendita ottimale. Per questo esempio, la soluzione sarà:  p=100−0.01q{\displaystyle p=100-0.01q} p=100−0.01(5,000){\displaystyle p=100-0.01(5,000)} p=100−50{\displaystyle p=100-50} p=50{\displaystyle p=50} Utilizzando il rapporto per cui il ricavo è uguale al prezzo moltiplicato per la quantità, puoi trovare il ricavo massimo:  R(q)=p∗q{\displaystyle R(q)=p*q} R(q)=50∗5,000{\displaystyle R(q)=50*5,000} R(q)=250,000{\displaystyle R(q)=250,000} Usando questi dati e basandosi sulla funzione del prezzo p=100−0.01q{\displaystyle p=100-0.01q}, il ricavo massimo dell'azienda è 250.000 $. Questo presume un prezzo per unità di 50 $ per una vendita di 5.000 unità. Studi di Economia mostrano che, per gli affari più tradizionali, all'incremento della domanda di un certo articolo, il prezzo di quell'articolo dovrebbe decrescere. Al contrario, man mano che il prezzo si abbassa, la domanda dovrebbe aumentare. Utilizzando i dati aggiornati delle vendite, un'azienda può elaborare un diagramma che metta in relazione domanda e offerta. Quei dati possono essere utilizzati per definire una funzione del prezzo. Per maggiori informazioni riguardo a come tracciare un diagramma dei dati della domanda e dell'offerta, fai delle ricerche online. Tale funzione mette in relazione due informazioni principali. La prima è l'intersezione, il prezzo teorico se nessun articolo è venduto. Il secondo dato è una curva discendente. La curva del diagramma rappresenta il calo del prezzo per ogni articolo. Una funzione di prezzo campione potrebbe apparire come:   p=500−150q{\displaystyle p=500-{\frac {1}{50}}q}  p = prezzo q = domanda, in numero di unità   Questa funzione fissa il "prezzo base" a 500 $. Per ogni unità venduta, il prezzo si abbassa di 1/50 di dollaro (due centesimi). Il ricavo è il prodotto del prezzo moltiplicato per il numero di unità vendute. Dato che la funzione del prezzo include il numero di unità, il risultato sarà una variabile al quadrato. Usando la funzione del prezzo di cui sopra, la funzione del ricavo diventa:  R(q)=p∗q{\displaystyle R(q)=p*q} R(q)=[500−150q]∗q{\displaystyle R(q)=[500-{\frac {1}{50}}q]*q} R(q)=500q−150q2{\displaystyle R(q)=500q-{\frac {1}{50}}q^{2}} Nell'analisi matematica, la derivata di ogni funzione viene usata per trovare il tasso di cambiamento di quella funzione. Il valore massimo di una data funzione si verifica quando la derivata è uguale a zero. Così, per massimizzare il ricavo, trova la prima derivata della funzione del ricavo.  Supponiamo che la funzione del ricavo, in termini di numero di unità vendute, sia R(q)=500q−150q2{\displaystyle R(q)=500q-{\frac {1}{50}}q^{2}}. La prima derivata, di conseguenza, é: R′(q)=500−250q{\displaystyle R^{\prime }(q)=500-{\frac {2}{50}}q}  Per un ripasso delle derivate, leggi questo articolo. Quando la derivata è zero, il diagramma della funzione originale si trova a un punto massimo o un punto minimo. Questo sarà il valore massimo o quello minimo. Per alcune funzioni di livello più alto, ci può essere più di una soluzione alla derivata zero, ma non in una funzione di base che mette in relazione domanda e prezzo.  R′(q)=500−250q{\displaystyle R^{\prime }(q)=500-{\frac {2}{50}}q} 0=500−250q{\displaystyle 0=500-{\frac {2}{50}}q} Usa l'algebra elementare per risolvere la derivata per il numero di unità da vendere dove la derivata è uguale a zero. Questa operazione ti darà il numero di unità che massimizzeranno il ricavo.  0=500−250q{\displaystyle 0=500-{\frac {2}{50}}q} 250q=500{\displaystyle {\frac {2}{50}}q=500} 150q=250{\displaystyle {\frac {1}{50}}q=250} q=50∗250{\displaystyle q=50*250} q=12,500{\displaystyle q=12,500} Usando il numero ideale delle vendite ottenuto dal calcolo della derivata, puoi inserire quel valore nella formula originale del prezzo per trovare il prezzo ideale.  p=500−150q{\displaystyle p=500-{\frac {1}{50}}q} p=500−15012,500{\displaystyle p=500-{\frac {1}{50}}12,500} p=500−250{\displaystyle p=500-250} p=250{\displaystyle p=250} Una volta trovato il numero ottimale delle vendite e il miglior prezzo, moltiplicali per trovare il massimo ricavo. Ricorda che R=p∗q{\displaystyle R=p*q}. Il ricavo massimo per questo esempio, quindi, é:  R=p∗q{\displaystyle R=p*q} R=(250)(12,500){\displaystyle R=(250)(12,500)} R=3,125,000{\displaystyle R=3,125,000} Sulla base di questi calcoli, il numero ideale di unità da vendere è 12.500, al prezzo ideale di 250 $ al pezzo. Questo si tramuterà in un ricavo massimo, per questo esempio, di 3.125.000 $.
Inizia con la funzione del prezzo. Definisci la funzione del ricavo. Calcola la derivata della funzione del ricavo. Trova il valore massimo. Calcola il prezzo ideale. Combina il prezzo massimo di vendita e quello ideale per trovare il massimo ricavo. Interpreta i risultati. Comprendi la relazione tra il prezzo e la domanda. Crea una funzione del prezzo. Definisci la funzione del ricavo. Calcola la prima derivata della funzione del ricavo. Rendi la derivata uguale a 0. Risolvi il numero di unità a valore 0. Calcola il prezzo massimo. Combina i risultati per calcolare il massimo ricavo. Somma i risultati.
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Solving Another Sample Problem Using the Revenue Function Finding the Maximum Revenue Value