Usare la Forma Generale di una Funzione Quadratica Usare la Forma Standard di una Funzione Quadratica Usare le Derivate per Calcolare il Massimo o il Minimo di una Funzione Quadratica
Una funzione si dice quadratica quando presenta il termine x2{\displaystyle x^{2}}. Il termine x{\displaystyle x} (privo di esponente) potrebbe essere presente, ma potrebbe anche non esserlo. Ricorda che in una funzione quadratica il grado massimo dei termini (cioè la potenza massima) deve essere 2. La forma generale di una funzione quadratica è la seguente: f(x)=ax2+bx+c{\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}. Se necessario, combina i termini simili della funzione in esame per fare in modo che assuma la forma generale indicata. Per esempio, ipotizza di dover analizzare la funzione f(x)=3x+2x−x2+3x2+4{\displaystyle f(x)=3x+2x-x^{2}+3x^{2}+4}. Se raggruppi i termini simili (x2{\displaystyle x^{2}} e x{\displaystyle x}) eseguendo gli opportuni calcoli, otterrai la medesima funzione, ma espressa nella sua forma generale: f(x)=2x2+5x+4{\displaystyle f(x)=2x^{2}+5x+4} Il grafico di una funzione quadratica corrisponde a una parabola che può svilupparsi verso l'alto o verso il basso. Se il valore di a{\displaystyle a}, che rappresenta il coefficiente del termine x2{\displaystyle x^{2}}, è positivo, allora la parabola si svilupperà verso l'alto e il relativo vertice sarà rivolto verso il basso. Al contrario, se il valore di a{\displaystyle a} è negativo, allora la parabola si svilupperà verso il basso e il vertice sarà rivolto verso l'alto. Studia i seguenti esempi:  Nella funzione f(x)=2x2+4x−6{\displaystyle f(x)=2x^{2}+4x-6} il valore di a{\displaystyle a} è pari a 2, quindi la parabola che descrive si svilupperà verso l'alto; Nella funzione f(x)=−3x2+2x+8{\displaystyle f(x)=-3x^{2}+2x+8} il valore di a{\displaystyle a} è pari a -3, quindi la parabola che descrive si svilupperà verso il basso; Nella funzione f(x)=x2+6{\displaystyle f(x)=x^{2}+6} il valore di a{\displaystyle a} è pari a 1, quindi la parabola che descrive si svilupperà verso l'alto; Se la parabola descritta dalla funzione che stai studiando si sviluppa verso l'alto, dovrai calcolare il valore minimo. Al contrario, se la parabola è rivolta verso il basso, dovrai calcolare il valore massimo. L'espressione −b2a{\displaystyle -{\frac {b}{2a}}} corrisponde alla coordinata x{\displaystyle x} del vertice della parabola. Quando una funzione quadratica è espressa nella sua forma generale, ax2+bx+c{\displaystyle ax^{2}+bx+c}, usa i coefficienti dei termini x{\displaystyle x} e x2{\displaystyle x^{2}} per calcolare l'ascissa del vertice. Ecco un esempio pratico:  Studiando la funzione quadratica f(x)=x2+10x−1{\displaystyle f(x)=x^{2}+10x-1} puoi dedurre che a=1{\displaystyle a=1} e b=10{\displaystyle b=10}. Utilizzando i valori individuati otterrai che l'ascissa (cioè la coordinata x) del vertice della parabola sarà pari a:  x=−b2a{\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}} x=−10(2)(1){\displaystyle x=-{\frac {10}{(2)(1)}}} x=−102{\displaystyle x=-{\frac {10}{2}}} x=−5{\displaystyle x=-5}   Adesso ripeti il passaggio prendendo in considerazione la funzione f(x)=−3x2+6x−4{\displaystyle f(x)=-3x^{2}+6x-4}. In questo caso a=−3{\displaystyle a=-3} e b=6{\displaystyle b=6}. Utilizzando i valori individuati otterrai che la coordinata x del vertice della parabola sarà pari a:  x=−b2a{\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}} x=−6(2)(−3){\displaystyle x=-{\frac {6}{(2)(-3)}}} x=−6−6{\displaystyle x=-{\frac {6}{-6}}} x=−(−1){\displaystyle x=-(-1)} x=1{\displaystyle x=1} Sostituisci la variabile x della funzione con il valore dell'ascissa che hai appena calcolato nel passaggio precedente per ottenere il valore della funzione f(x). In questo modo otterrai il valore massimo o minimo di tale funzione, che corrisponderà all'ordinata del vertice (cioè la coordinata y).  Prendendo in considerazione la prima funzione di esempio, f(x)=x2+10x−1{\displaystyle f(x)=x^{2}+10x-1}, hai calcolato che l'ascissa del vertice (il valore di x) è pari a x=−5{\displaystyle x=-5}. Sostituisci la variabile x{\displaystyle x} della funzione con il valore −5{\displaystyle -5} per calcolarne il punto minimo:  f(x)=x2+10x−1{\displaystyle f(x)=x^{2}+10x-1} f(x)=(−5)2+10(−5)−1{\displaystyle f(x)=(-5)^{2}+10(-5)-1} f(x)=25−50−1{\displaystyle f(x)=25-50-1} f(x)=−26{\displaystyle f(x)=-26}   Prendendo in considerazione la seconda funzione di esempio f(x)=−3x2+6x−4{\displaystyle f(x)=-3x^{2}+6x-4}, hai calcolato che l'ascissa del vertice (il valore di x) è pari a x=1{\displaystyle x=1}. Sostituisci la variabile x{\displaystyle x} della funzione con il valore 1{\displaystyle 1} per calcolarne il punto massimo:  f(x)=−3x2+6x−4{\displaystyle f(x)=-3x^{2}+6x-4} f(x)=−3(1)2+6(1)−4{\displaystyle f(x)=-3(1)^{2}+6(1)-4} f(x)=−3+6−4{\displaystyle f(x)=-3+6-4} f(x)=−1{\displaystyle f(x)=-1} Esamina cosa ti è stato richiesto di calcolare. Se ti era stato chiesto di individuare le coordinate del vertice della parabola descritta dalla funzione quadratica in esame, dovrai fornire i valori delle coordinate x{\displaystyle x} e y{\displaystyle y} (o f(x){\displaystyle f(x)}). Si ti è stato chiesto di calcolare solamente il valore massimo o minimo della funzione, dovrai riportare solo il valore della coordinata y{\displaystyle y} (o f(x){\displaystyle f(x)}). Per sapere se dovrai calcolare il valore massimo o minimo della funzione, fai riferimento al valore del coefficiente a{\displaystyle a}.  Facendo riferimento alla prima funzione di esempio, f(x)=x2+10x−1{\displaystyle f(x)=x^{2}+10x-1}, il valore di a{\displaystyle a} è positivo, quindi dovrai calcolare il punto minimo della funzione. In questo caso il vertice della parabola ha le seguenti coordinate (−5,−26){\displaystyle (-5,-26)}, quindi il valore minimo è pari a −26{\displaystyle -26}. Facendo riferimento alla prima funzione di esempio, f(x)=−3x2+6x−4{\displaystyle f(x)=-3x^{2}+6x-4}, il valore di a{\displaystyle a} è negativo, quindi dovrai calcolare il punto massimo della funzione. In questo caso il vertice della parabola ha le seguenti coordinate (1,−1){\displaystyle (1,-1)}, quindi il valore massimo sarà pari a −1{\displaystyle -1}. La forma standard di una funzione quadratica qualsiasi (chiamata anche forma del vertice) è la seguente:  f(x)=a(x−h)2+k{\displaystyle f(x)=a(x-h)^{2}+k} Se la funzione in esame è già nella forma standard, dovrai semplicemente riconoscere correttamente le variabili a{\displaystyle a}, h{\displaystyle h} e k{\displaystyle k}. Se la funzione ti è stata fornita nella sua forma generale f(x)=ax2+bx+c{\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}, dovrai applicare la tecnica matematica del completamento del quadrato per poterla riscrivere nella forma standard. Per scoprire come si applica il completamento del quadrato leggi questo articolo. Esattamente come avviene per una funzione quadratica espressa nella sua forma generale, anche in questo caso la direzione in cui si sviluppa la parabola è determinata dal valore del coefficiente a{\displaystyle a}. Se il valore di a{\displaystyle a} è positivo, allora la parabola si svilupperà verso l'alto e il relativo vertice sarà rivolto verso il basso. Al contrario, se il valore di a{\displaystyle a} è negativo, allora la parabola si svilupperà verso il basso e il vertice sarà rivolto verso l'alto. Studia i seguenti esempi:  Nella funzione f(x)=2(x+1)2−4{\displaystyle f(x)=2(x+1)^{2}-4} il valore di a{\displaystyle a} è pari a 2, quindi, essendo positivo, la parabola che descrive si svilupperà verso l'alto; Nella funzione f(x)=−3(x−2)2+2{\displaystyle f(x)=-3(x-2)^{2}+2} il valore di a{\displaystyle a} è pari a -3, quindi, essendo negativo, la parabola che descrive si svilupperà verso il basso; Se la parabola descritta dalla funzione che stai studiando si sviluppa verso l'alto, dovrai calcolare il valore minimo. Al contrario, se la parabola è rivolta verso il basso, dovrai calcolare il valore massimo. Quando una funzione quadratica è espressa nella sua forma standard, individuarne il punto massimo o minimo è molto semplice dato che è indicato dalla variabile k{\displaystyle k}. Osservando le due funzioni di esempio del passaggio precedente, i valori della variabile k{\displaystyle k} sono i seguenti:  Nella funzione f(x)=2(x+1)2−4{\displaystyle f(x)=2(x+1)^{2}-4} il valore di k{\displaystyle k} è pari a -4. Si tratta del valore minimo della funzione, dato che la parabola che descrive si sviluppa verso l'alto; Nella funzione f(x)=−3(x−2)2+2{\displaystyle f(x)=-3(x-2)^{2}+2} il valore di k{\displaystyle k} è pari a 2. Si tratta del valore massimo della funzione, dato che la parabola che descrive si sviluppa verso il basso. Se ti è stato chiesto di calcolare le coordinate del vertice della parabola, che corrisponde al punto massimo o minimo, questi valori sono indicati dalle seguenti variabili (h,k){\displaystyle (h,k)}. Dato che la funzione quadratica è espressa nella forma standard, il termine (x−h){\displaystyle (x-h)} indica che la variabile h{\displaystyle h} ha segno negativo, quindi dovrai invertire il segno del valore numerico che segue la variabile x{\displaystyle x} presente all'interno delle parentesi.  Nella funzione f(x)=2(x+1)2−4{\displaystyle f(x)=2(x+1)^{2}-4} il termine (x+1) può essere riscritto come  (x-(-1)), quindi si deduce che il valore di h{\displaystyle h} è pari a -1. In questo caso le coordinate del vertice della parabola descritta da questa funzione sono (−1,−4){\displaystyle (-1,-4)}; Nella funzione f(x)=−3(x−2)2+2{\displaystyle f(x)=-3(x-2)^{2}+2} il termine (x-2) indica che il valore di h{\displaystyle h} è pari a 2. In questo caso le coordinate del vertice della parabola descritta da questa funzione sono (2,2){\displaystyle (2,2)}. Riscrivi la funzione quadratica in esame seguendo la forma generale: f(x)=ax2+bx+c{\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}. Se necessario, dovrai combinare fra loro i termini simili ed eseguire i dovuti calcoli per poter riscrivere la funzione nella sua forma generale. Parti dalla funzione di esempio f(x)=2x2−4x+1{\displaystyle f(x)=2x^{2}-4x+1}. Utilizzando dei semplici calcoli matematici è possibile ottenere la derivata di una funzione quadratica che è pari a f′(x)=2ax+b{\displaystyle f^{\prime }(x)=2ax+b}. Seguendo la funzione quadratica di esempio, f(x)=2x2−4x+1{\displaystyle f(x)=2x^{2}-4x+1}, si ottiene che la derivata è pari a: f′(x)=4x−4{\displaystyle f^{\prime }(x)=4x-4} Ricorda che la derivata di una funzione ne indica la pendenza nel punto selezionato. Dato che il punto massimo o minimo della funzione si ha quando la pendenza è pari a zero, per calcolare tale valore dovrai eguagliare a zero la derivata della funzione quadratica di partenza. Proseguendo con la funzione dell'esempio precedente otterrai:  f′(x)=4x−4{\displaystyle f^{\prime }(x)=4x-4} 0=4x−4{\displaystyle 0=4x-4} Utilizzando le regole basilari dell'algebra, riscrivi l'equazione ottenuta e risolvila per ottenere il valore di x quando la derivata è pari a zero. In questo modo otterrai niente meno che l'ascissa, cioè la coordinata x, del vertice della parabola, che corrisponderà al valore massimo o minimo della funzione di partenza.  0=4x−4{\displaystyle 0=4x-4} 4=4x{\displaystyle 4=4x} 1=x{\displaystyle 1=x} Il massimo o minimo di una funzione quadratica è dato dal valore f(x){\displaystyle f(x)} nel punto x{\displaystyle x} selezionato. Sostituisci la variabile x{\displaystyle x} della funzione di partenza con il valore calcolato in base alla derivata ed esegui i calcoli. Studiando la funzione f(x)=2x2−4x+1{\displaystyle f(x)=2x^{2}-4x+1} nel punto x=1{\displaystyle x=1} otterrai:  f(1)=2(1)2−4(1)+1{\displaystyle f(1)=2(1)^{2}-4(1)+1} f(1)=2−4+1{\displaystyle f(1)=2-4+1} f(1)=−1{\displaystyle f(1)=-1} La soluzione che hai trovato rappresenta il vertice della parabola descritta dalla funzione quadratica in oggetto, cioè il punto massimo o minimo. La funzione di esempio, f(x)=2x2−4x+1{\displaystyle f(x)=2x^{2}-4x+1}, ha il vertice alle coordinate (1,−1){\displaystyle (1,-1)}. Dato che il valore del coefficiente a{\displaystyle a} è positivo, la parabola si sviluppa verso l'alto, quindi il vertice rappresenta il punto più basso della funzione e di conseguenza il minimo è indicato dalla coordinata y di tale punto, cioè −1{\displaystyle -1}.
Imposta la forma generale della funzione quadratica in esame. Determina la direzione della parabola. Calcola il valore -b/2a. Calcola il valore della funzione corrispondente a f(x). Riporta i risultati ottenuti. Scrivi la funzione quadratica in esame nella sua forma standard. Determina la direzione che avrà la parabola. Identifica il valore massimo o minimo della funzione quadratica. Individua il vertice. Parti dalla forma generale della funzione. Usa le regole delle potenze per individuare la prima derivata di una funzione quadratica. Eguaglia a zero la derivata ottenuta. Risolvi l'equazione in base a x. Sostituisci la variabile x della funzione quadratica di partenza con il valore ottenuto nel passaggio precedente. Riporta il risultato ottenuto.
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Beginning with the General Form of the Function Using the Standard or Vertex Form Using Calculus to Derive the Minimum or Maximum