Nozioni Basilari sull'Accelerazione Angolare Calcolare l'Accelerazione Angolare Istantanea Calcolare l'Accelerazione Angolare Media
Quando pensano in termini di velocità, le persone tendono a considerare esclusivamente il moto lineare, cioè il movimento di un oggetto in linea retta. L'insieme di oggetti che sfrutta questo tipo di movimento include automobili, aerei, treni, biciclette, eccetera. Tuttavia il moto circolare descrive il movimento compiuto da oggetti rotanti. Pensa ad esempio al pianeta Terra che ruota sul proprio asse. La posizione o la velocità della Terra possono essere misurate con grandezze angolari. La velocità di rotazione di un CD (o di un giradischi per i più nostalgici), la rotazione degli elettroni sul proprio asse, la rotazione delle ruote di un'automobile sono tutti esempi di oggetti che hanno un moto circolare. Quando si studia un oggetto che segue un movimento lineare, come ad esempio un'auto, per tenere traccia della sua posizione, si misura semplicemente la distanza percorsa dal punto di partenza al punto attuale. Nel caso di un oggetto rotante, per misurare la sua posizione, normalmente si fa riferimento all'angolo centrale di un cerchio. Per convenzione, il punto iniziale o punto "zero" da cui si inizia a misurare una posizione angolare è il raggio orizzontale che parte dal centro del cerchio e si dirama verso il lato destro. A questo punto, la distanza percorsa dall'oggetto si misura calcolando l'ampiezza dell'angolo θ{\displaystyle \theta } rispetto al punto "zero" (il raggio orizzontale).  L'angolo che devi misurare per calcolare una posizione angolare viene generalmente indicato dalla lettera greca teta: θ{\displaystyle \theta }. Una posizione angolare positiva descrive un oggetto che ruota in senso antiorario, mentre una posizione angolare negativa descrive un oggetto che ruota in senso orario. Nel caso di oggetti che si muovono linearmente, la distanza percorsa si misura in metri, miglia, chilometri, centimetri o con qualunque altra unità di misura adatta a esprimere una lunghezza. Nel caso di un movimento circolare o rotatorio, per descriverne la posizione, si usano normalmente le radianti. Una radiante è definita come il rapporto fra la lunghezza dell'arco di circonferenza tracciato dall'angolo e la lunghezza del raggio di tale circonferenza. Come riferimento standard, in ambito matematico, si utilizza la "circonferenza unitaria" rappresentata da un cerchio avente il raggio pari a 1.  Una rotazione completa intorno alla circonferenza unitaria è quindi pari a 2π radianti. Di conseguenza, mezza rotazione è pari a π radianti e un quarto di rotazione è pari a π/2 radianti. In alcuni casi è utile convertire i radianti in gradi. Partendo dal presupposto che un angolo giro è pari a 360°, è possibile effettuare la conversione da radianti a gradi nel seguente modo:   360 degrees=2π radians{\displaystyle 360\ {\text{degrees}}=2\pi \ {\text{radians}}};  3602π degrees=1 radian{\displaystyle {\frac {360}{2\pi }}\ {\text{degrees}}=1\ {\text{radian}}};  57,3 degrees=1 radian{\displaystyle 57,3\ {\text{degrees}}=1\ {\text{radian}}}.   In base a questa dimostrazione abbiamo determinato che un radiante è pari a circa 57,3°. Si tratta di una grandezza vettoriale, che misura la variazione della velocità angolare di un oggetto rotante in base al tempo. In altre parole, misura la rapidità con cui la velocità di rotazione di un oggetto aumenta o diminuisce. Conoscendo la velocità angolare nell'istante iniziale e quella nell'istante finale, è possibile calcolare l'accelerazione angolare media dell'intero periodo osservato. Se la funzione che definisce la posizione dell'oggetto in esame è nota, è possibile utilizzarla per derivare l'accelerazione angolare istantanea in un qualunque istante di tempo scelto. Le persone generalmente utilizzano la parola "accelerazione" per indicare un amento della velocità e "decelerazione" per indicare una diminuzione della velocità. In ambito matematico e fisico, viene usato solo il termine "accelerazione". Se un oggetto sta aumentando la proprio velocità, significa che è soggetto a un'accelerazione positiva, mentre se sta diminuendo la propria velocità, significa che è soggetto a un'accelerazione negativa. In alcuni casi, la formula o la funzione da usare per predire la posizione di un oggetto in relazione al tempo potrebbe essere già nota. In altri casi, sarà invece necessario derivarla dopo aver eseguito numerosi esperimenti o dopo aver osservato un determinato fenomeno per un gran numero di ripetizioni. Per semplicità, in questo articolo ipotizziamo di essere già in possesso di tale funzione. Ad esempio, ipotizziamo che alcuni studi o esperimenti abbiano portato alla seguente funzione θ(t)=2t3{\displaystyle \theta (t)=2t^{3}}, dove θ(t){\displaystyle \theta (t)} è la misura angolare della posizione della rotazione in un determinato istante e t{\displaystyle t} è la variabile che rappresenta il tempo. Come detto in precedenza, la velocità misura la rapidità con cui un oggetto cambia la sua posizione in relazione al tempo. Utilizzando una terminologia molto semplice, pensiamo a questa grandezza fisica come alla velocità assunta da un oggetto. In ambito matematico, la variazione della posizione di un oggetto in base al tempo può essere calcolata derivando la funzione utilizzata per determinarne la posizione. Il simbolo che identifica la velocità angolare è ω{\displaystyle \omega }. Normalmente la velocità angolare si esprime come il rapporto fra radianti e tempo (cioè in radianti al minuto, radianti al secondo, eccetera).  Nel nostro esempio, dobbiamo quindi, per prima cosa, procedere a derivare la funzione che determina la posizione dell'oggetto nel tempo, θ(t)=2t3{\displaystyle \theta (t)=2t^{3}}: ω(t)=dθdt=6t2{\displaystyle \omega (t)={\frac {d\theta }{dt}}=6t^{2}}  Se lo desideri, puoi usare la funzione indicata per calcolare la velocità angolare di un oggetto rotante in un qualunque instante t{\displaystyle t}. Nel nostro esempio particolare, questo passaggio in cui definiamo la funzione per il calcolo della velocità angolare è solo un passo intermedio per giungere al nostro obiettivo, cioè calcolare l'accelerazione angolare. L'accelerazione è una grandezza fisica che misura la rapidità con cui la velocità di un determinato oggetto varia nel tempo. In ambito matematico, è possibile calcolare l'accelerazione angolare definendo la derivata della funzione che determina la velocità angolare di un oggetto. L'accelerazione angolare, normalmente si identifica con la lettera greca alfa: α{\displaystyle \alpha }. L'unità di misura dell'accelerazione angolare è espressa dal rapporto fra la velocità e il tempo o, più in generale, fra radianti e tempo al quadrato (ad esempio radianti per secondo quadrato, radianti per minuto quadrato, eccetera). Nel passaggio precedente, abbiamo usato la funzione che definisce la posizione dell'oggetto in esame per calcolare la velocità angolare ottenendo la seguente formula: ω(t)=6t2{\displaystyle \omega (t)=6t^{2}}. Adesso possiamo definire la funzione per calcolare l'accelerazione angolare come la derivata di ω{\displaystyle \omega }, ottenendo: α=dωdt=12t{\displaystyle \alpha ={\frac {d\omega }{dt}}=12t} Dopo aver definito la funzione per il calcolo dell'accelerazione come la derivata della funzione che definisce la velocità, che a sua volta è definita come la derivata della funzione che determina la posizione, siamo pronti per calcolare l'accelerazione angolare istantanea di un oggetto in un qualunque momento specifico.  In relazione al semplice problema preso come esempio in questo articolo, abbiamo ipotizzato di partire dalla funzione nota che determina la posizione dell'oggetto rotante in esame, che è espressa dall'equazione θ(t)=2t3{\displaystyle \theta (t)=2t^{3}}, e di usarla per calcolare l'accelerazione angolare di tale oggetto dopo una rotazione di 6,5 secondi. Possiamo risolvere il problema usando la derivata α{\displaystyle \alpha }, calcolata nei passaggi precedenti, e i dati in nostro possesso ottenendo:  α=dωdt=12t{\displaystyle \alpha ={\frac {d\omega }{dt}}=12t} α=(12)(6,5){\displaystyle \alpha =(12)(6,5)} α=78,0{\displaystyle \alpha =78,0}   Il risultato finale dovrebbe essere espresso in radianti per secondo quadrato. Possiamo quindi affermare che l'accelerazione angolare dell'oggetto rotante in esame, dopo 6,5 secondi, è di 78,0 rad/s2. Il primo metodo per calcolare l'accelerazione angolare media (α{\displaystyle \alpha }) consiste nel dividere la variazione della velocità angolare (ω{\displaystyle \omega }) nell'arco di tempo studiato, per la durata di tale periodo. La formula risultante da questo concetto può essere espressa come segue:  α=ΔωΔt=V finale - V inizialeIntervallo di tempo{\displaystyle \alpha ={\frac {\Delta \omega }{\Delta t}}={\frac {\text{V finale - V iniziale}}{\text{Intervallo di tempo}}}} Prendiamo in esame un CD nel momento in cui lo inseriamo all'interno di un normale lettore ottico. La sua velocità iniziale è nulla. In alternativa, possiamo prendere in esame un altro esempio. Ipotizziamo di sapere (grazie a misurazioni fisiche effettuate durante i test) che le ruote di un carrello per montagne russe ruotino alla velocità di 400 giri al secondo, che è pari a 2.513 radianti al secondo. Per calcolare un'accelerazione negativa (quindi una decelerazione) durante una fase di rallentamento o di arresto, occorre utilizzare questo dato come velocità iniziale. Il secondo dato di cui abbiamo bisogno per eseguire i calcoli è la velocità angolare con cui ruota l'oggetto alla fine dell'intervallo di tempo studiato. L'informazione raccolta rappresenta la velocità "finale".  Un CD audio, durante la normale riproduzione, gira a una velocità angolare di 160 radianti al secondo. Le ruote del carrello delle montagne russe, dopo aver completato la fase di arresto, hanno una velocità angolare pari a 0 radianti al secondo. Questo dato rappresenta la velocità angolare finale. Per poter calcolare la velocità angolare media di un oggetto rotante, abbiamo la necessità di conoscere la durata dell'esperimento o dei test su cui sono basate le misurazioni rilevate. È possibile ottenere questo dato effettuando una rilevazione fisica, tramite cronometro, oppure potrebbe essere fornito direttamente dal testo del problema di fisica o di matematica che stai affrontando.  Il manuale di istruzioni del lettore di CD utilizzato per la prova dovrebbe riportare la velocità raggiunta dal supporto ottico dopo un tempo di riproduzione pari a 4 secondi. I test effettuati sulle montagne russe in esame hanno evidenziamo che le ruote del carrello si fermano completamente dopo 2,2 secondi dall'inizio della fase di arresto. Se si conoscono la velocità angolare iniziale, quella finale e l'intervallo di tempo necessario per passare dalla prima alla seconda, è possibile utilizzare l'equazione iniziale per calcolare l'accelerazione angolare media.  In riferimento all'esempio del lettore CD, otterremo i seguenti calcoli:  α=ΔωΔt=V finale - V inizialeIntervallo di tempo{\displaystyle \alpha ={\frac {\Delta \omega }{\Delta t}}={\frac {\text{V finale - V iniziale}}{\text{Intervallo di tempo}}}} α=160−04,0{\displaystyle \alpha ={\frac {160-0}{4,0}}} α=1604,0{\displaystyle \alpha ={\frac {160}{4,0}}}  α=40{\displaystyle \alpha =40} rad/s2    In riferimento all'esempio delle montagne russe, otterremo i seguenti calcoli:  α=ΔωΔt=V finale - V inizialeIntervallo di tempo{\displaystyle \alpha ={\frac {\Delta \omega }{\Delta t}}={\frac {\text{V finale - V iniziale}}{\text{Intervallo di tempo}}}} α=0−2.5132,2{\displaystyle \alpha ={\frac {0-2.513}{2,2}}} α=−2.5132,2{\displaystyle \alpha ={\frac {-2.513}{2,2}}}  α=−1.142,3{\displaystyle \alpha =-1.142,3} rad/s2    Nota che l'accelerazione si esprime sempre con il rapporto fra distanza e tempo al quadrato. Nel caso dell'accelerazione angolare, la distanza viene normalmente espressa in radianti (dato che si tratta di un moto circolare), ma è sempre possibile convertire le radianti in un'altra unità di misura in base alle tue esigenze.
Comprendi il concetto di moto circolare. Comprendi il concetto di posizione angolare. Misura il moto circolare in radianti. Comprendi il concetto di accelerazione angolare. Determina la funzione per calcolare la posizione angolare. Individua la funzione per calcolare la velocità angolare. Definisci la funzione per calcolare l'accelerazione angolare. Applichiamo le formule individuate ai dati reali per calcolare l'accelerazione angolare istantanea. Misura la velocità angolare iniziale. Misura la velocità angolare finale. Misura l'intervallo di tempo intercorso fra il rilevamento della velocità iniziale e quello della velocità finale. Calcola l'accelerazione angolare media.
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