Parte 1 di 3: Scegliere l’approccio adatto Parte 2 di 3: Scomporre il dividendo Parte 3 di 3: Usare la divisione polinomiale lunga
Il livello di complessità del divisore (il polinomio per cui stai dividendo) rispetto al dividendo (il polinomio in cui stai dividendo) determina il miglior approccio da utilizzare.  Se il divisore è un monomio (polinomio con un solo termine), o una variabile con un coefficiente o una costante (un numero non seguito da una variabile), puoi probabilmente scomporre il dividendo e cancellare uno dei fattori e dividendi risultanti. Vedi la Parte 2 per istruzioni ed esempi. Se il divisore è un binomio (polinomio con 2 termini), potresti riuscire a scomporre il dividendo e cancellare uno dei fattori e divisori risultanti. Se il divisore è un trinomio (polinomio con 3 termini), potresti riuscire a scomporre sia il dividendo che il divisore, cancellare il fattore comune, e poi o scomporre ulteriormente il dividendo o usare la divisione lunga. Se il divisore è un polinomio con più di 3 fattori, dovrai probabilmente usare la divisione lunga. Vedi la Parte 3 per istruzioni ed esempi. Se il divisore polinomiale dell’equazione non ti suggerisce di provare a scomporre il dividendo, osserva il dividendo stesso.  Se il dividendo ha 3 o meno di 3 termini, puoi probabilmente scomporlo e cancellare il divisore. Se il dividendo ha più di 3 termini, dovrai probabilmente dividere il divisore per esso usando la divisione lunga. Se è questo il caso, puoi scomporre e probabilmente eliminare il divisore.  Se stai dividendo per 3 il binomio 3x – 9, puoi scomporre il 3 da entrambi i termini del binomio, rendendolo 3(x – 3). Puoi in seguito cancellare il divisore 3, ottenendo un quoziente di x – 3. Se stai dividendo per 6x il binomio 24x3 - 18x2, puoi scomporre 6x da entrambi i termini del binomio, rendendolo 6x(4x2 - 3). Puoi quindi cancellare il divisore, lasciando un quoziente di 4x2 - 3. Certi polinomi mostrano termini che ti dicono che possono essere scomposti. Se uno di quei fattori corrisponde al divisore, puoi cancellarlo, lasciando il restante fattore come il quoziente. Ecco alcune sequenze da cercare:  Differenza di quadrati perfetta. Si tratta del binomio di forma ‘’a 2x2 - b’’, in cui i valori di ‘’a 2’’ e ‘’b 2’’ sono quadrati perfetti. Questo binomio si scompone in due binomi (ax + b)(ax – b), in cui a e b sono le radici quadrate del coefficiente e la costante del precedente binomio. Trinomio quadrato perfetto. Questo trinomio ha la forma a2x2 + 2abx + b 2. Si scompone in (ax + b)(ax + b), che può anche essere scritto come (ax + b)2. Se il segno davanti al secondo termine è un meno, le scomposizioni binomiali saranno espresse così: (ax – b)(ax – b). Somma o differenza di cubi. Questo binomio ha la forma a3x3 + b3 o a3x3 - b3, in cui i valori di ‘’a 3’’ e ‘’b 3’’ sono cubi perfetti. Questo binomio si scompone in un binomio e un trinomio. Una somma di cubi si scompone in (ax + b)(a2x2 - abx + b2). Una differenza di cubi si scompone in (ax - b)(a2x2 + abx + b2). Se non vedi una sequenza speciale nel dividendo che ti suggerisca come scomporlo, puoi provare diverse combinazioni possibili per la scomposizione. Puoi farlo guardando prima alla costante e trovando varie scomposizioni per essa, poi al coefficiente del termine centrale.  Per esempio, se il dividendo fosse x2 - 3x – 10, guarderesti i fattori di 10 e useresti il 3 per aiutarti a determinare quale coppia di fattori è corretta. Il numero 10 può essere scomposto in fattori di 1 e 10 o 2 e 5. Poiché il segno davanti è 10 è negativo, uno dei fattori binomiali dovrà avere un numero negativo davanti alla propria costante. Il numero 3 è la differenza tra 2 e 5, perciò queste devono essere le costanti dei binomi scomposti. Poiché il segno davanti al 3 è negativo, il binomio col 5 dev’essere quello negativo. Le scomposizioni binomiali saranno quindi (x – 5)(x + 2). Se il divisore è una di queste due scomposizioni, quella può essere eliminata, e l’altra è il quoziente. Scrivi la divisione polinomiale lunga nello stesso modo in cui divideresti dei numeri. Il dividendo va sotto la linea di divisione lunga, mentre il divisore va sulla sinistra. Se stai dividendo x2 + 11 x + 10 per x +1, x2 + 11 x + 10 va sotto la linea, mentre x + 1 va sulla sinistra. Il risultato di questa divisione va in cima alla linea di divisione. Per il nostro esempio, dividendo x2, il primo termine del dividendo, per x, il primo termine del divisore produce x. Scriverai una x in cima alla linea di divisione, sopra x2. Scrivi il risultato della moltiplicazione sotto i termini più a sinistra del dividendo. Proseguendo col nostro esempio, moltiplicando x + 1 per x si ottiene x2 + x. Scriverai questo sotto i primi due termini del dividendo. Per farlo, prima inverti i segni del prodotto della moltiplicazione. Dopo aver sottratto, porta sotto i termini rimanenti del dividendo. L’inversione dei segni di x2 + x crea - x2 - x. Sottraendo questo dai primi due termini del dividendo otteniamo 10x. Dopo aver portato giù i termini rimanenti del dividendo, abbiamo 10x + 10 come quoziente provvisorio su cui continuare il processo di divisione. Dividi nuovamente il primo termine del divisore nel quoziente provvisorio, scrivi il risultato in cima alla linea di divisione dopo il primo termine del quoziente, moltiplica il risultato per il divisore, e poi calcola cosa sottrarre dal quoziente provvisorio.  Poiché x sta 10 volte in 10x, scriverai “+ 10” dopo la x nella posizione del quoziente sulla barra di divisione. Moltiplicando x +1 per 10 si ottiene 10x + 10. Scrivi questo sotto il quoziente provvisorio e inverti i segni per la sottrazione, rendendolo -10x – 10. Quando fai la sottrazione, hai un resto di 0. Ora, dividendo x2 + 11 x + 10 per x +1 ottieni un quoziente di x + 10. (Avresti potuto ottenere lo stesso risultato scomponendo, ma questo esempio è stato scelto per mantenere la divisione relativamente semplice).
Osserva la complessità del divisore. Osserva la complessità del dividendo. Controlla se tutti i termini del dividendo contengono un fattore in comune coi divisori. Cerca nel dividendo sequenze particolari che indicano la possibilità di scomporlo. Usa tentativi ed errori per scomporre il dividendo. Prepara la divisione. Dividi il primo termine del divisore nel primo termine del dividendo. Moltiplica la x nella posizione del quoziente per il divisore. Sottrai dal dividendo. Ripeti i tre passaggi precedenti sul quoziente provvisorio.
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Determining Which Approach to Use Factoring the Dividend Using Long Polynomial Division