Sommare, Sottrarre e Moltiplicare le Potenze Risolvere le Potenze Semplici Risolvere le Potenze con Esponente Frazionario
Se hai due potenze identiche, come 45+45{\displaystyle 4^{5}+4^{5}}, puoi semplificare l'espressione riscrivendola in maniera più concisa. Ricorda che 45{\displaystyle 4^{5}} può essere pensato come 1∗45{\displaystyle 1*4^{5}}, perciò 45+45=1∗45+1∗45=2∗45{\displaystyle 4^{5}+4^{5}=1*4^{5}+1*4^{5}=2*4^{5}}, dato che "1 di qualcosa più 1 di qualcosa = 2 di qualcosa", a prescindere da cosa sia quel "qualcosa". Ti basta sommare fra loro i numeri di termini simili (con stessa base ed esponente) e moltiplicare la somma per la potenza. A questo punto non ti resta che risolvere il calcolo 45{\displaystyle 4^{5}} e moltiplicare la soluzione per due. Ricorda che questo è possibile perché la moltiplicazione è un modo per riscrivere l'addizione, dato che 3+3=2∗3{\displaystyle 3+3=2*3}. Verifica le uguaglianze che seguono:   32+32=2∗32{\displaystyle 3^{2}+3^{2}=2*3^{2}}.  45+45+45=3∗45{\displaystyle 4^{5}+4^{5}+4^{5}=3*4^{5}}.  45−45+2=2{\displaystyle 4^{5}-4^{5}+2=2}.  4x2−2x2=2x2{\displaystyle 4x^{2}-2x^{2}=2x^{2}}. Se hai due potenze con la medesima base, come x2∗x5{\displaystyle x^{2}*x^{5}}, tutto quello che devi fare è sommare fra loro gli esponenti. Quindi: x2∗x5=x7{\displaystyle x^{2}*x^{5}=x^{7}}. Se non ti è chiaro il motivo di tutto ciò, prova a scomporre il problema:   x2∗x5{\displaystyle x^{2}*x^{5}}.  x2=x∗x{\displaystyle x^{2}=x*x}.  x5=x∗x∗x∗x∗x{\displaystyle x^{5}=x*x*x*x*x}.  x2∗x5=(x∗x)∗(x∗x∗x∗x∗x){\displaystyle x^{2}*x^{5}=(x*x)*(x*x*x*x*x)}. Dato che tutta l'espressione indica lo stesso numero ripetuto più volte, puoi dire che: x2∗x5=x∗x∗x∗x∗x∗x∗x{\displaystyle x^{2}*x^{5}=x*x*x*x*x*x*x}.  x2∗x5=x7{\displaystyle x^{2}*x^{5}=x^{7}}. Se hai una potenza che a sua volta viene elevata con un altro esponente, ti basta moltiplicare fra loro gli esponenti. Quindi: (x2)5=x2∗5=x10{\displaystyle (x^{2})^{5}=x^{2*5}=x^{10}}. Anche in questo caso, se hai delle perplessità, pensa al significato dei simboli usati. (x2)5{\displaystyle (x^{2})^{5}} prevede di moltiplicare (x2){\displaystyle (x^{2})} per se stesso 5 volte:   (x2)5{\displaystyle (x^{2})^{5}}.  (x2)5=x2∗x2∗x2∗x2∗x2{\displaystyle (x^{2})^{5}=x^{2}*x^{2}*x^{2}*x^{2}*x^{2}}. Dato che la base è costante puoi procedere con una semplice somma degli esponenti: (x2)5=x2∗x2∗x2∗x2∗x2=x10{\displaystyle (x^{2})^{5}=x^{2}*x^{2}*x^{2}*x^{2}*x^{2}=x^{10}} Se non sai cosa siano i numeri reciproci, non preoccuparti. Quando ti trovi di fronte a una potenza con esponente negativo, ad esempio 3−2{\displaystyle 3^{-}2}, trasforma semplicemente l'esponente in numero positivo e poni tutta la potenza come denominatore di una frazione al cui numeratore c'è il valore 1: 132{\displaystyle {\frac {1}{3^{2}}}}. Ecco altri esempi:   5−101510{\displaystyle 5^{-10}{\frac {1}{5^{10}}}}.  3x−4=3x4{\displaystyle 3x^{-}4={\frac {3}{x^{4}}}}. La divisione è l'operazione opposta alla moltiplicazione e, sebbene non sia sempre possibile risolverla seguendo un percorso a ritroso, in questo caso lo è. Se devi risolvere l'operazione 4442{\displaystyle {\frac {4^{4}}{4^{2}}}}, semplicemente sottrai l'esponente del denominatore da quello del numeratore, lasciando invariata la base: 4442=44−2=42{\displaystyle {\frac {4^{4}}{4^{2}}}=4^{4-2}=4^{2}} cioè 16. Come ti renderai conto presto, ogni valore che fa parte di una frazione, come 142{\displaystyle {\frac {1}{4^{2}}}}, può essere riscritto come 4−2{\displaystyle 4^{-2}}. Gli esponenti negativi creano le frazioni. Gli esercizi che seguono ripropongono i concetti descritti finora. Per vedere la soluzione, ti basta evidenziare l'intera riga del problema.   53{\displaystyle 5^{3}} = 125   22+22+22{\displaystyle 2^{2}+2^{2}+2^{2}} = 12   x12−2x12{\displaystyle x^{1}2-2x^{1}2} = -x^12   y3∗y{\displaystyle y^{3}*y} = y4{\displaystyle y^{4}} Ricorda che un numero senza esponente in verità è potenza di 1   (Q3)5{\displaystyle (Q^{3})^{5}} = Q15{\displaystyle Q^{1}5}   r5r2{\displaystyle {\frac {r^{5}}{r^{2}}}} = r3{\displaystyle r^{3}} Quando ti trovi di fronte a questa operazione, come 23{\displaystyle 2^{3}}, puoi vedere due parti semplici. Il numero inferiore, in questo caso 2, è detto base. Il numero più piccolo, scritto in apice, nell'esempio è 3, viene chiamato esponente o potenza. Se stai esprimendo a parole l'operazione 23{\displaystyle 2^{3}}, dovrai dire "due alla terza", "due alla terza potenza" oppure "due elevato alla terza potenza".  Se un numero è elevato alla seconda potenza, come 52{\displaystyle 5^{2}}, allora puoi dire che la base è al quadrato, come "cinque al quadrato". Se un numero è elevato alla terza potenza, come 103{\displaystyle 10^{3}}, allora puoi dire che la base è al cubo, come "dieci al cubo". Se un numero non ha alcun esponente, come il semplice 4, allora tecnicamente è elevato alla prima potenza e può essere riscritto: 41{\displaystyle 4^{1}}. Se l'esponente è 0, la base è un numero "non nullo" elevato alla "potenza di zero", allora il risultato è sempre 1: 40=1{\displaystyle 4^{0}=1}, ma anche (3/8)0=1{\displaystyle (3/8)^{0}=1}. Puoi trovare ulteriori dettagli nella sezione "Consigli". Se devi calcolare una potenza a mano, inizia a riscrivere il problema come una moltiplicazione. Devi moltiplicare il valore alla base per se stesso per un numero di volte pari all'esponente. Se devi quindi risolvere la potenza 34{\displaystyle 3^{4}}, allora devi riscrivere il numero 3 come quattro fattori: 3∗3∗3∗3{\displaystyle 3*3*3*3}. Ecco altri esempi:   45=4∗4∗4∗4∗4{\displaystyle 4^{5}=4*4*4*4*4}.  82=8∗8{\displaystyle 8^{2}=8*8}.  Dieci al cubo =10∗10∗10{\displaystyle =10*10*10}. Moltiplica i primi due numeri per trovare il prodotto. Per esempio, con la potenza 45{\displaystyle 4^{5}}, inizi i tuoi calcoli scrivendo 4∗4∗4∗4∗4{\displaystyle 4*4*4*4*4}. Questo calcolo sembra alquanto complesso, ma basta procedere considerando un passaggio alla volta. Comincia moltiplicando i primi due numeri 4. In seguito riscrivi l'espressione sostituendoli con il loro prodotto, come mostrato in questo esempio:   45=4∗4∗4∗4∗4{\displaystyle 4^{5}=4*4*4*4*4}.  4∗4=16{\displaystyle 4*4=16}.   45=16∗4∗4∗4{\displaystyle 4^{5}=16*4*4*4}. Continua in questo modo man mano che il valore "cresce esponenzialmente". Procedendo con le operazioni, devi moltiplicare 16 per il 4 successivo, quindi:   45=16∗4∗4∗4{\displaystyle 4^{5}=16*4*4*4}.  16∗4=64{\displaystyle 16*4=64}.   45=64∗4∗4{\displaystyle 4^{5}=64*4*4}.  64∗4=256{\displaystyle 64*4=256}.   45=256∗4{\displaystyle 4^{5}=256*4}.  256∗4=1024{\displaystyle 256*4=1024}.  Come mostrato, devi continuare a moltiplicare la base per il prodotto della prima coppia di numeri finché non ottieni il risultato finale. Ti basta procedere moltiplicando i primi due numeri e poi moltiplicarne il prodotto per quello successivo rispettando la sequenza. Questa logica è valida qualunque sia l'esponente. Alla fine dei calcoli avrai: 45=4∗4∗4∗4∗4=1024{\displaystyle 4^{5}=4*4*4*4*4=1024}. 82{\displaystyle 8^{2}}.  34{\displaystyle 3^{4}}.  107{\displaystyle 10^{7}}. È praticamente impossibile calcolare a mano le potenze con esponenti molto grandi, ad esempio 915{\displaystyle 9^{15}}, ma con la calcolatrice è tutto più semplice. Il tasto per inserire l'esponente in genere è ben evidente. La calcolatrice presente in Windows Seven può essere convertita come scientifica cliccando sul tasto "Visualizza" e selezionando l'opzione "Scientifica". Quando vuoi riportarla alla versione standard, clicca sempre il tasto "Visualizza" e seleziona "Standard".  Digita l'espressione su Google per controllare la tua soluzione. Puoi usare il tasto "^" presente sulla tastiera del tuo computer, tablet o smartphone per digitare la potenza nella barra di ricerca di Google, il quale ti fornirà immediatamente la risposta e ti suggerirà espressioni simili. L'espressione matematica x12{\displaystyle x^{\frac {1}{2}}} è esattamente identica a x{\displaystyle {\sqrt {x}}}. Questo concetto si estende a tutte le potenze con esponente fratto, a prescindere dalla base, quindi x14{\displaystyle x^{\frac {1}{4}}} indica la quarta radice di x che può essere anche scritta come x4{\displaystyle {\sqrt[{4}]{x}}}. La radice è l'operazione inversa della potenza. Per esempio, se consideri la soluzione di x4{\displaystyle {\sqrt[{4}]{x}}} e la elevi alla potenza di 4, allora troverai di nuovo x{\displaystyle x}, proprio come 164=2{\displaystyle {\sqrt[{4}]{16}}=2} può essere verificata con 24=16{\displaystyle 2^{4}=16}. Un altro esempio: se x4=2{\displaystyle {\sqrt[{4}]{x}}=2} allora 24=x{\displaystyle 2^{4}=x} quindi x=2{\displaystyle x=2}. L'espressione x53{\displaystyle x^{\frac {5}{3}}} potrebbe apparirti impossibile, ma in realtà è facilmente risolvibile se ricordi come si moltiplicano gli esponenti. Trasforma la base in una radice, come accade per i normali esponenti frazionari, poi eleva il tutto alla potenza indicata dal numeratore. Se hai difficoltà a ricordare questo meccanismo, prova ad analizzarlo da un punto di vista teorico. Dopo tutto 53{\displaystyle {\frac {5}{3}}} in verità è pari a (13)∗5{\displaystyle ({\frac {1}{3}})*5}. Per esempio:   x53{\displaystyle x^{\frac {5}{3}}}.  x53=x5∗x13{\displaystyle x^{\frac {5}{3}}=x^{5}*x^{\frac {1}{3}}}.  x13=x3{\displaystyle x^{\frac {1}{3}}={\sqrt[{3}]{x}}}.  x53=x5∗x13{\displaystyle x^{\frac {5}{3}}=x^{5}*x^{\frac {1}{3}}} = (x3)5{\displaystyle ({\sqrt[{3}]{x}})^{5}}. In genere è molto più semplice sommare e sottrarre le potenze frazionarie fra loro prima di risolverle o trasformarle in radici. Se le potenze hanno fra loro basi ed esponenti identici, puoi procedere normalmente alla somma e alla sottrazione. Se le basi sono uguali, puoi moltiplicare e dividere le potenze come sempre, purché tu sia in grado di sommare e sottrarre le frazioni. Ecco alcuni esempi:   x53+x53=2(x53){\displaystyle x^{\frac {5}{3}}+x^{\frac {5}{3}}=2(x^{\frac {5}{3}})}.  x53∗x23=x73{\displaystyle x^{\frac {5}{3}}*x^{\frac {2}{3}}=x^{\frac {7}{3}}}.
Puoi sommare o sottrarre le potenze fra loro solo se hanno la stessa base ed esponente. Moltiplica le potenze con la stessa base sommando fra loro gli esponenti. Moltiplica fra loro gli esponenti di una potenza elevata a potenza, come (x2)5{\displaystyle (x^{2})^{5}}. Trasforma le potenze con esponente negativo in frazioni, cioè nel valore reciproco. Dividi due potenze con la stessa base sottraendo fra loro gli esponenti. Prova a risolvere i problemi imparando a "manipolare" le potenze. Impara la terminologia delle potenze. Moltiplica la base per se stessa per un numero di volte indicate dall'esponente. Risolvi l'espressione. Moltiplica il prodotto del primo calcolo (16) con il numero successivo. Prova a risolvere questi esempi, controllando la soluzione con la calcolatrice: Per digitare una potenza sulla calcolatrice, usa il tasto "exp", "xn{\displaystyle x^{n}}" oppure "^". Tratta le potenze frazionarie, x12{\displaystyle x^{\frac {1}{2}}}, come una radice. Trasforma il numeratore come esponente nel caso delle frazioni miste. Somma, sottrai e moltiplica le potenze frazionarie esattamente come le altre.
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Adding, Subtracting and Multiplying Exponents Solving Basic Exponents Solving Fractional Exponents