Dividere Manualmente i Logaritmi Logaritmi con Frazione
Il metodo descritto in questa sezione permette di risolvere le divisioni in questa forma: logb⁡(x)logb⁡(a){\displaystyle {\frac {\log _{b}(x)}{\log _{b}(a)}}}; tuttavia, non è applicabile per alcuni casi specifici:  Il logaritmo di un numero negativo è indefinito per tutte le basi (ad esempio log⁡(−3){\displaystyle \log(-3)} o log4⁡(−5){\displaystyle \log _{4}(-5)}); in questo caso, scrivi "nessuna soluzione"; Il logaritmo di 0 è indefinito per tutte le basi; se trovi un termine come ln⁡(0){\displaystyle \ln(0)}, scrivi "nessuna soluzione"; Il logaritmo di 1 in qualsiasi base (log⁡(1){\displaystyle \log(1)}) è sempre pari a zero, dato che x0=1{\displaystyle x^{0}=1} per ogni x; sostituisci il logaritmo con il numero 0 invece di usare il metodo descritto in seguito; Se due logaritmi hanno base differente, come log3(x)log4(a){\displaystyle {\frac {log_{3}(x)}{log_{4}(a)}}} e non puoi semplificare uno dei due come numero intero, il problema non è risolvibile a mano. Supponendo che il problema non rientri in uno dei casi sopra descritti, puoi semplificarlo in un solo logaritmo; per farlo, usa la formula logb⁡(x)logb⁡(a)=loga⁡(x){\displaystyle {\frac {\log _{b}(x)}{\log _{b}(a)}}=\log _{a}(x)}.  Primo esempio: risolvi il problema log⁡16log⁡2{\displaystyle {\frac {\log {16}}{\log {2}}}}.Per prima cosa, converti la frazione in un logaritmo usando la formula descritta in precedenza: log⁡16log⁡2=log2⁡(16){\displaystyle {\frac {\log {16}}{\log {2}}}=\log _{2}(16)}. Questa è la formula di "cambio di base" che deriva dalle proprietà elementari dei logaritmi. Ricorda che per risolvere loga⁡(x){\displaystyle \log _{a}(x)} devi pensare "a?=x{\displaystyle a^{?}=x}", cioè "per quale potenza devo elevare a per ottenere x?". Questo processo non è sempre fattibile senza l'ausilio di una calcolatrice, ma se sei fortunato, potresti imbatterti in un logaritmo semplice. Primo esempio: riscrivi log2⁡(16){\displaystyle \log _{2}(16)} come 2?=16{\displaystyle 2^{?}=16}; il valore di "?" è la soluzione del problema. Puoi trovarlo con un processo di tentativi ed errori:22=2∗2=4{\displaystyle 2^{2}=2*2=4}23=4∗2=8{\displaystyle 2^{3}=4*2=8}24=8∗2=16{\displaystyle 2^{4}=8*2=16}16 è il risultato che stavi cercando, quindi la soluzione di log2⁡(16){\displaystyle \log _{2}(16)} è 4. Alcuni sono davvero molto complessi da risolvere a mano; se hai bisogno di trovare un numero per scopi pratici, dovresti usare una calcolatrice. Se stai risolvendo un problema scolastico, è probabile che il docente si aspetti che tu lasci la soluzione in forma di logaritmo. Ecco un altro esempio più complesso che si avvale di questo metodo:  Secondo esempio: trova la soluzione di log3⁡(58)log3⁡(7){\displaystyle {\frac {\log _{3}(58)}{\log _{3}(7)}}}. Trasforma la frazione in un unico logaritmo: log3⁡(58)log3⁡(7)=log7⁡(58){\displaystyle {\frac {\log _{3}(58)}{\log _{3}(7)}}=\log _{7}(58)}. Nota che 3 di ogni logaritmo iniziale sparisce e questo accade per qualsiasi base. Riscrivilo sotto forma di 7?=58{\displaystyle 7^{?}=58} e cerca le possibili soluzioni per "?":72=7∗7=49{\displaystyle 7^{2}=7*7=49}73=49∗7=343.{\displaystyle 7^{3}=49*7=343.} Dato che 58 ricade fra due potenze consecutive, la soluzione di log7⁡(58){\displaystyle \log _{7}(58)} non è un numero intero. Lascia log7⁡(58){\displaystyle \log _{7}(58)} come risposta. Questa sezione dell'articolo ti insegna a risolvere i problemi che includono le espressioni: loga⁡(xy){\displaystyle \log _{a}({\frac {x}{y}})}. Per esempio, considera:"Risolvi per "n" se log3⁡(276n)=−6−log3⁡(6){\displaystyle \log _{3}({\frac {27}{6n}})=-6-\log _{3}(6)}". Il logaritmo di un numero minore di zero è indefinito; se "x" o "y" sono negativi, accertati che il problema possa essere risolto prima di continuare:  Se "x" o "y" è negativo, non c'è soluzione; Se "x" e "y" sono entrambi negativi, togli il segno "-" usando la proprietà: −x−y=xy{\displaystyle {\frac {-x}{-y}}={\frac {x}{y}}}; Non ci sono logaritmi di numeri negativi, puoi quindi procedere con la fase successiva. Una proprietà utile è descritta dalla formula: loga⁡(xy)=loga⁡(x)−loga⁡(y){\displaystyle \log _{a}({\frac {x}{y}})=\log _{a}(x)-\log _{a}(y)}. In altri termini, il logaritmo di una frazione è uguale al logaritmo del numeratore meno quello del denominatore.  Usa questa proprietà per espandere i termini a sinistra del segno di uguaglianza:log3⁡(276n)=log3⁡(27)−log3⁡(6n){\displaystyle \log _{3}({\frac {27}{6n}})=\log _{3}(27)-\log _{3}(6n)}. Riporta quanto ottenuto nell'equazione originale:log3⁡(276n)=−6−log3⁡(6){\displaystyle \log _{3}({\frac {27}{6n}})=-6-\log _{3}(6)}→log3⁡(27)−log3⁡(6n)=−6−log3⁡(6){\displaystyle \log _{3}(27)-\log _{3}(6n)=-6-\log _{3}(6)}. Se qualsiasi nuovo logaritmo dell'espressione ha un numero intero come soluzione, puoi semplificarlo in questa fase.  L'esempio considerato finora ha un nuovo termine: log3⁡(27){\displaystyle \log _{3}(27)}. Poiché 33 = 27, devi semplificare log3⁡(27){\displaystyle \log _{3}(27)} in 3. L'equazione completa ora appare come:3−log3⁡(6n)=−6−log3⁡(6){\displaystyle 3-\log _{3}(6n)=-6-\log _{3}(6)}. Proprio come in tutti i problemi di algebra, vale la pena isolare il termine che contiene la variabile in un lato dell'equazione; combina i termini come possibile per semplificare il problema.  3−log3⁡(6n)=−6−log3⁡(6){\displaystyle 3-\log _{3}(6n)=-6-\log _{3}(6)}9−log3⁡(6n)=−log3⁡(6){\displaystyle 9-\log _{3}(6n)=-\log _{3}(6)}log3⁡(6n)=9+log3⁡(6){\displaystyle \log _{3}(6n)=9+\log _{3}(6)}. Per isolare la variabile dal resto dell'equazione riscrivi i termini utilizzando diverse proprietà degli stessi.  Nell'esempio considerato in precedenza, n è ancora "intrappolato" dentro il termine log3⁡(6n){\displaystyle \log _{3}(6n)}.Per poter isolare la variabile, usa la proprietà del prodotto fra logaritmi: loga⁡(bc)=loga⁡(b)+log⁡a(c){\displaystyle \log _{a}(bc)=\log _{a}(b)+\log {a}(c)}log3⁡(6n)=log3⁡(6)+log3⁡(n){\displaystyle \log _{3}(6n)=\log _{3}(6)+\log _{3}(n)}. Inserisci quanto trovato nell'equazione completa:log3⁡(6n)=9+log3⁡(6){\displaystyle \log _{3}(6n)=9+\log _{3}(6)}log3⁡(6)+log3⁡(n)=9+log3⁡(6){\displaystyle \log _{3}(6)+\log _{3}(n)=9+\log _{3}(6)}. Ripeti più volte le medesime tecniche algebriche e logaritmiche finché non giungi al risultato. Se non è un numero intero, usa una calcolatrice e arrotonda la soluzione al decimale più significativo.  log3⁡(6)+log3⁡(n)=9+log3⁡(6){\displaystyle \log _{3}(6)+\log _{3}(n)=9+\log _{3}(6)}log3⁡(n)=9{\displaystyle \log _{3}(n)=9}Poiché 39 = 19683, n = 19683.
Osserva il problema alla ricerca di numeri negativi o 1. Converti l'espressione in logaritmo. Calcola la soluzione a mano se possibile. Lascia la risposta in forma logaritmica se non puoi semplificarla. Inizia dalla divisione che si trova all'interno del logaritmo. Controlla la presenza di numeri negativi. Espandi il quoziente in due logaritmi. Semplifica il logaritmo se possibile. Isola la variabile. Sfrutta altre proprietà dei logaritmi quando necessario. Continua la semplificazione finché non trovi la soluzione.
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Dividing Logarithms by Hand Working with the Log of a Quotient