Comprendere il Funzionamento del Calcolo Manuale delle Radici Cubiche Calcolare una Radice Cubica attraverso Approssimazioni Successive Imparare a Risolvere una Radice Cubica Usando un Problema di Esempio
Per capire il motivo per cui l'algoritmo di calcolo delle radici cubiche utilizzato nell'articolo funziona, occorre osservare come si sviluppano le potenze cubiche nell'ambito dei binomi. Se hai frequentato la scuola superiore o l'università, molto probabilmente hai già studiato questo concetto di algebra (e molto probabilmente lo hai già rimosso dalla mente come fa la maggior parte delle persone). Scegliamo due variabili A{\displaystyle A} e B{\displaystyle B} per rappresentare numeri composti da una sola cifra. A questo punto impostiamo il binomio (10A+B){\displaystyle (10A+B)} per rappresentare l'insieme di numeri composti da due cifre. Il termine 10A{\displaystyle 10A} è la parte dell'espressione che genera i numeri composti da due cifre. Indipendentemente dal valore assunto da A{\displaystyle A}, l'espressione 10A{\displaystyle 10A} genererà un numero uguale o superiore alla decina. Ad esempio, ipotizzando che A=2{\displaystyle A=2} e B=6{\displaystyle B=6}, il binomio (10A+B){\displaystyle (10A+B)} assumerà un valore complessivo pari a 26. A questo punto facciamo un passo indietro per scoprire come si sviluppa il cubo di un binomio per poi osservare perché l'algoritmo usato nell'articolo è efficace per calcolare le radici cubiche. Partiamo calcolando il valore della seguente espressione: (10A+B)3{\displaystyle (10A+B)^{3}}. Per farlo, eseguiamo una semplice moltiplicazione ottenendo: (10A+B)×(10A+B)×(10A+B){\displaystyle (10A+B)\times (10A+B)\times (10A+B)}. Si tratta di un procedimento troppo lungo per essere riportato interamente in questa sezione, ma possiamo affermare con assoluta certezza che il risultato finale è pari a 1000A3+300A2B+30AB2+B3{\displaystyle 1000A^{3}+300A^{2}B+30AB^{2}+B^{3}}. Per avere maggiori dettagli su come si sviluppa la moltiplicazione dei binomi per arrivare al risultato mostrato, puoi eseguire una semplice ricerca nel web. Se desideri studiare una versione avanzata, ma più breve, dell'intero procedimento, studia l'applicazione del Triangolo di Tartaglia (noto anche come Triangolo di Pascal) nello sviluppo del binomio (x+y)n{\displaystyle (x+y)^{n}}. Coma hai notato, il calcolo manuale delle radici cubiche è molto simile a quello utilizzato per eseguire le divisioni in colonna. Quando si esegue una divisione, lo scopo è quello di individuare due fattori (due numeri) il cui prodotto dà origine al dividendo di partenza. Nel calcolo descritto nel primo metodo dell'articolo, il numero che si sta cercando (il valore riportato nella parte superiore del simbolo di radice) è la radice cubica in esame. Questo significa che rappresenta esattamente il binomio che stiamo studiando adesso, cioè (10A+B). I valori reali delle variabili A e B sono irrilevanti a questo punto dell'analisi, l'importante è avere chiara in mente la relazione che lega il binomio in esame con la radice cubica di un numero. Quando si analizza il polinomio ottenuto dallo sviluppo dell'espressione (10A+B)3{\displaystyle (10A+B)^{3}} è subito chiaro il perché l'algoritmo adottato per calcolare manualmente la radice cubica di un qualunque numero è corretto. A questo punto, sai che il divisore di ogni passaggio dell'algoritmo è la somma di 4 termini distinti, che sono frutto di operazioni matematiche ben precise. Questi termini si ottengono nel seguente modo:  Il primo termine è composto da un multiplo di 1.000. È il primo numero che va elevato al cubo e deve rientrare nell'intervallo corretto relativo alla prima divisione in colonna dell'algoritmo da cui deriva la prima cifra del risultato finale. Tale valore corrisponde al termine 1.000A^3 dell'espressione ottenuta dallo sviluppo del cubo di un binomio. Il secondo termine ottenuto dallo sviluppo del cubo di un binomio presenta il coefficiente 300 (tale valore deriva in realtà dal seguente calcolo 3×102{\displaystyle 3\times 10^{2}}). Riesaminando la serie di operazioni utilizzate per calcolare la radice cubica, si osserva che la prima cifra di ogni passaggio viene moltiplicata per il coefficiente 300. La seconda cifra di ogni passaggio del calcolo del nuovo divisore deriva esattamente dal terzo termine dell'espressione ottenuta dallo sviluppo del cubo di un binomio, cioè 30AB2{\displaystyle 30AB^{2}}. L'ultima cifra che serve a completare il nuovo divisore di ogni passaggio dell'algoritmo è data dal termine B3{\displaystyle B^{3}}. Quando si applica l'algoritmo per il calcolo manuale delle radici cubiche, si nota che ad ogni passaggio successivo che viene completato la precisione del risultato finale aumenta di conseguenza. Nell'esempio preso in esame in questo articolo, si chiedeva semplicemente di calcolare la 103{\displaystyle {\sqrt[{3}]{10}}}. Nel primo passaggio il risultato individuato era 2, dato che 23{\displaystyle 2^{3}} (cioè 8) è il più grande cubo perfetto inferiore a 10. Dopo aver eseguito la seconda serie di calcoli, la soluzione finale era 2,1. Eseguendo la verifica di tale risultato, si ottiene che 2,13=9,261{\displaystyle 2,1^{3}=9,261}, che è un valore molto più vicino a 10 rispetto a 8. Dopo aver eseguito la terza serie di calcoli il risultato finale era pari 2,15, da cui si ottiene 2,153=9,94{\displaystyle 2,15^{3}=9,94}: un valore ancora più vicino a 10. È quindi evidente che, per ottenere il risultato finale con il grado di accuratezza desiderato, basta semplicemente continuare ad applicare l'algoritmo descritto nell'articolo per il numero di volte necessario. Questo metodo può essere applicato praticamente a qualunque numero. Parti scegliendo il cubo perfetto che è il più vicino possibile al numero in esame, ma senza superarlo. Ad esempio, se hai la necessità di calcolare la radice cubica di 600, usa una tabella dei cubi perfetti oppure esegui i calcoli per individuare quello che più si avvicina al radicando in esame. Nel nostro caso, otterremo che 83=512{\displaystyle 8^{3}=512} e 93=729{\displaystyle 9^{3}=729}. Da questa prima analisi possiamo dedurre che la soluzione al nostro problema deve obbligatoriamente essere un numero compreso fra 8 e 9. Utilizzeremo quindi i valori 512 e 729 rispettivamente come limite inferiore e superiore dei nostri calcoli. La prima cifra della soluzione finale è stata estrapolata osservando direttamente il cubo perfetto, più grande, che si avvicina al radicando senza superarlo. Per individuare la prossima cifra occorre eseguire una stima scegliendo un valore compreso fra 0 e 9, tale per cui il cubo del risultato finale ricada all'interno dei limiti impostati nel passaggio precedente. Nel nostro esempio, la radice quadrata di 600 si trova circa a metà dell'insieme di valori compresi fra 512 e 729. Scegliamo quindi il numero 5 come prossima cifra del nostro risultato finale. Calcola il cubo della soluzione finale stimata per verificare se il risultato è sufficientemente vicino al radicando di partenza. Nel nostro esempio, otterremo: 8,5×8,5×8,5=614,1{\displaystyle 8,5\times 8,5\times 8,5=614,1}. Dopo aver calcolato il cubo della soluzione parziale individuata fino a questo punto, verifica se il risultato è comparabile con il radicando di partenza. Se il valore ottenuto è maggiore di quest'ultimo, significa che la cifra scelta è scorretta, quindi occorre selezionare un numero inferiore di una o più unità. Al contrario, se il valore ottenuto è troppo piccolo rispetto al radicale di partenza, potresti dover scegliere un valore più grande finché il relativo cubo non è maggiore del numero di partenza. Nel nostro esempio, 8,53{\displaystyle 8,5^{3}} dà un risultato maggiore di 600. Questo significa che dobbiamo ridurre la stima della soluzione finale a 8,4. Esegui il cubo di quest'ultimo numero e confrontalo con il radicando di partenza. Eseguendo i calcoli otterremo 8,4×8,4×8,4=592,7{\displaystyle 8,4\times 8,4\times 8,4=592,7}. A questo punto abbiamo ottenuto un valore inferiore al radicando di partenza, quindi possiamo dedurre che la 6003{\displaystyle {\sqrt[{3}]{600}}} è compresa fra i numeri 8,4 e 8,5. Possiamo proseguire in questo processo di approssimazioni successive continuando a scegliere una serie di numeri compresi fra 0 e 9, finché non raggiungiamo il livello di precisione di cui abbiamo bisogno. Ad ogni approssimazione della stima della soluzione finale occorre verificarne la correttezza osservando se il relativo cubo rientra all'interno dei limiti prefissati. Nel nostro esempio l'ultima serie di calcoli ha evidenziato che 8,43=592,7{\displaystyle 8,4^{3}=592,7} mentre 8,53=614,1{\displaystyle 8,5^{3}=614,1}. Il radicando di partenza, 600, è leggermente più vicino al limite inferiore, 592, rispetto al limite superiore, 614. Possiamo quindi dedurre che la prossima cifra da scegliere dovrebbe ricadere nella metà inferiore dell'intervallo di selezione a nostra disposizione, composto dai numeri che vanno da 0 a 9. Una buona scelta potrebbe essere il numero 4 ottenendo una stima del risultato finale pari a 8,44. Ogni volta che è necessario, esegui il cubo del risultato finale stimato fino a quel punto per verificarne la correttezza confrontando il valore ottenuto con il radicando di partenza. Lo scopo è quello di individuare i due numeri che dovranno essere utilizzati come limite inferiore e superiore per poter effettuare l'approssimazione successiva. Nel nostro esempio riprendiamo effettuando la verifica dell'ultima approssimazione scoprendo che 8,44×8,44×8,44=601,2{\displaystyle 8,44\times 8,44\times 8,44=601,2}. Il risultato ottenuto è leggermente superiore al radicando di partenza, quindi occorre stimare una soluzione finale leggermente inferiore a quella presa in esame, proviamo con 8,43 e ripetiamo la verifica. Eseguendo i calcoli otteniamo 8,43×8,43×8,43=599,07{\displaystyle 8,43\times 8,43\times 8,43=599,07}. A questo punto possiamo affermare che la 6003{\displaystyle {\sqrt[{3}]{600}}} è compresa fra i valori 8,43 e 8,44. Continua a eseguire le stime, le approssimazioni e le relative verifiche come descritto, finché la soluzione finale non raggiunge l'accuratezza desiderata. Nota che all'aumentare del numero di decimali utilizzati nel risultato stimato, quest'ultimo si avvicinerà sempre di più al valore reale della 6003{\displaystyle {\sqrt[{3}]{600}}}. Nel nostro esempio, utilizzando un valore finale composto da due cifre decimali, 8.43, l'errore commesso è inferiore a 1. Tuttavia, continuando nel processo di approssimazione, aggiungendo un altro decimale si ottiene 8,4343=599,93{\displaystyle 8,434^{3}=599,93} con un errore inferiore a 0,1 cioè la differenza esistente fra il risultato stimato e quello reale è inferiore a un decimo. Calcolare la radice cubica di un numero è come eseguire una divisione in colonna fra due numeri, ma con alcune differenze peculiari. Il primo passo da compiere consiste nello scrivere i dati del problema da risolvere nella forma corretta.  Prendi nota del numero di cui desideri calcolare la radice cubica. Suddividilo in gruppi di tre cifre  utilizzando il separatore decimale (la virgola) come punto di partenza. Ipotizziamo ad esempio di dover calcolare 103{\displaystyle {\sqrt[{3}]{10}}}. Scrivi il radicando nella seguente forma: 10, 000 000. Le cifre pari a 0 che sono state aggiunte hanno lo scopo di ottenere un risultato più preciso e accurato. Disegna il segno di radice in modo che il numero scritto risulti essere il radicando. Questo simbolo grafico ha lo stesso scopo di quello che si utilizza nel caso delle divisioni in colonna, cambia semplicemente la forma. Disegna un separatore decimale (la virgola) al di sopra del segno di radice allineandolo a quello del radicando che si trova all'interno. Queste informazioni ti serviranno per eseguire i calcoli manualmente. Ecco l'elenco dei cubi più semplici:   13=1×1×1=1{\displaystyle 1^{3}=1\times 1\times 1=1};  23=2×2×2=8{\displaystyle 2^{3}=2\times 2\times 2=8};  33=3×3×3=27{\displaystyle 3^{3}=3\times 3\times 3=27};  43=4×4×4=64{\displaystyle 4^{3}=4\times 4\times 4=64};  53=5×5×5=125{\displaystyle 5^{3}=5\times 5\times 5=125};  63=6×6×6=216{\displaystyle 6^{3}=6\times 6\times 6=216};  73=7×7×7=343{\displaystyle 7^{3}=7\times 7\times 7=343};  83=8×8×8=512{\displaystyle 8^{3}=8\times 8\times 8=512};  93=9×9×9=729{\displaystyle 9^{3}=9\times 9\times 9=729};  103=10×10×10=1.000{\displaystyle 10^{3}=10\times 10\times 10=1.000}. Seleziona il numero intero che, se elevato al cubo, dà come risultato un numero il più vicino possibile, ma inferiore, al primo gruppo di 3 numeri in cui hai suddiviso il radicando.  Nel nostro esempio il primo numero di riferimento è 10. A questo punto, devi individuare il più grande cubo perfetto che sia minore di 10. La risposta a questa domanda è 8 e la sua radice cubica è 2. Riporta il risultato del passaggio precedente, cioè 2, sopra al segno di radice allineandolo con il numero 10 al suo interno (come mostrato nella figura che accompagna il passaggio). Riporta il valore della potenza 23{\displaystyle 2^{3}}, cioè 8, sotto al numero 10. A questo punto, traccia una linea e calcola la differenza, cioè il resto, proprio come faresti nel caso di una divisione in colonna. Il risultato che otteniamo è quindi pari a 2. Dopo aver eseguito la sottrazione, avrai ottenuto la prima cifra del risultato finale. Giunto a questo, devi decidere se la precisione del risultato calcolato fino ad ora è sufficiente per dare una soluzione accurata al problema analizzato. Nella maggior parte dei casi non è così. Per verificarlo, eleva al cubo il numero ottenuto e confrontalo con il radicando. Nel nostro esempio 23{\displaystyle 2^{3}} dà come risultato 8, che rappresenta un numero ancora ben lontano da 10, quindi possiamo continuare. Riporta il prossimo gruppo di 3 cifre del radicando vicino al resto della divisione in colonna, quindi traccia una piccola linea verticale sulla sinistra del numero risultante. Quest'ultimo rappresenta il numero di partenza che useremo per calcolare la prossima cifra del risultato finale. Nel nostro esempio dovremmo ottenere il numero 2.000, che è formato dal resto del passaggio precedente, cioè 2, e dal gruppo di tre cifre in cui abbiamo inizialmente suddiviso il radicando, cioè 000. Sulla sinistra della linea verticale, dovremo riportare il nuovo divisore, che sarà il risultato della somma di altri 3 numero. Traccia gli appositi spazi per questi numeri aggiunti e separali fra loro usando il simbolo dell'addizione "+". La prima parte di questo numero è composta dal prodotto del quadrato del numero che si trova nella parte superiore del simbolo di radice per il coefficiente 300. Nel nostro caso otteniamo 22=4{\displaystyle 2^{2}=4}, quindi 4×300=1.200{\displaystyle 4\times 300=1.200}. Adesso possiamo riportare il numero 1.200 all'interno del primo spazio. Il nuovo divisore da utilizzare in questo passaggio sarà dato dalla somma di 1.200 e altri due numeri ancora ignoti, ma che individueremo presto nei prossimi passaggi. Per farlo, occorre individuare il numero da moltiplicare per il divisore ottenuto nel passaggio precedente, 1.200, il cui prodotto andrà poi sottratto al resto di 2.000. In questo caso può essere solo il numero 1, dato che 2×1.200{\displaystyle 2\times 1.200} dà come risultato 2.400, che è un numero maggiore di 2.000. Riporta il numero 1 dopo il separatore decimale che abbiamo tracciato al di sopra del simbolo di radice. A questo punto del procedimento, il nuovo divisore si ricava dall'unione di tre parti. La prima è già nota, ed è il numero 1.200, adesso occorre completarlo scoprendo anche le due parti mancanti.  Moltiplica la soluzione parziale della radice cubica di partenza ottenuta fino ad ora per 3 e poi per 10. Nel nostro esempio otterremo 3×10×2×1{\displaystyle 3\times 10\times 2\times 1}, che dà come risultato 60. Somma quest'ultimo valore a quello già in tuo possesso ottenendo 60+1.200=1.260{\displaystyle 60+1.200=1.260}. Come ultimo passo, somma al risultato parziale ottenuto il quadrato dell'ultima cifra della soluzione finale ricavato nel passaggio precedente. Nel nostro esempio otteniamo 12=1{\displaystyle 1^{2}=1}. Il nuovo divisore sarà quindi 1.200+60+1=1.261{\displaystyle 1.200+60+1=1.261}. Riporta questo numero sulla sinistra della linea verticale posta sotto al simbolo di radice. Completa questo passaggio moltiplicando l'ultima cifra del risultato finale che abbiamo calcolato fino ad ora, cioè 1, per il nuovo divisore ottenuto nel passaggio precedente, cioè 1.261. In questo caso otterremo quindi 1×1.261=1.261{\displaystyle 1\times 1.261=1.261}. Riporta il risultato al di sotto del resto precedente, cioè 2.000, ed esegui la sottrazione ottenendo: 2.000−1.261=739{\displaystyle 2.000-1.261=739}. Ogni volta che si completa questo passaggio occorre analizzare il risultato finale ottenuto per capire se è sufficientemente preciso. Nel nostro esempio, dopo il primo gruppo di calcoli, abbiamo ottenuto che la 103{\displaystyle {\sqrt[{3}]{10}}} era pari a 2, un risultato non proprio accurato. Adesso, dopo aver eseguito il secondo gruppo di calcoli, abbiamo ottenuto un risultato pari a 2,1.  Per verificare la precisione della nostra risposta, basta elevarla al cubo ottenendo 2,13=2,1×2,1×2,1=9,261{\displaystyle 2,1^{3}=2,1\times 2,1\times 2,1=9,261}. Se pensi che il risultato ottenuto finora sia sufficientemente accurato, puoi considerare il lavoro terminato. Al contrario, se hai bisogno di maggiore precisione, prosegui eseguendo un'altra serie di calcoli. In questo caso, per ottenere un risultato finale più preciso e per fare un po' di pratica in più, eseguiremo una nuova serie di calcoli.  Riporta il prossimo gruppo di 3 cifre del radicando vicino al resto calcolato nel passaggio precedente. Nel nostro caso otterremo 739.000. Inizia a calcolare la prima parte del nuovo divisore moltiplicando il coefficiente 300 per il quadrato dell'attuale soluzione del nostro problema, che abbiamo riportato al di sopra del simbolo di radice. Nel nostro esempio otterremo 300×212{\displaystyle 300\times 21^{2}}, che dà come risultato 132.300. Scegli la prossima cifra della soluzione finale al problema in modo che moltiplicata per 132.300 dia un numero inferiore a 739.000, che sarà il nuovo resto. Una scelta adeguata potrebbe essere 5, dato che 5×132.300=661.500{\displaystyle 5\times 132.300=661.500}. Riporta il numero 5 sulla destra delle altre cifre che hai scritto sopra al simbolo di radice. Moltiplica il coefficiente 3 per la soluzione parziale del problema individuata al termine del passaggio precedente che hai riportato al di sopra del simbolo di radice, cioè 21; successivamente, moltiplica il prodotto ottenuto per l'ultima cifra del risultato finale ricavata nel sottopunto precedente, cioè 5. Infine, moltiplica il numero ottenuto per 10. In questo modo, otterrai 3×21×5×10=3.150{\displaystyle 3\times 21\times 5\times 10=3.150}. Come ultimo passo, calcola il quadrato dell'ultima cifra della soluzione finale che hai individuato. Nel nostro caso avremo 52=25{\displaystyle 5^{2}=25}. Completa il nuovo divisore sommando fra loro i valori ottenuti: 132.300+3.150+25=135.475{\displaystyle 132.300+3.150+25=135.475}. Dopo aver individuato il nuovo divisore e aver aggiunto una cifra decimale al risultato finale, procedi come descritto di seguito:  Moltiplica l'ultimo divisore trovato per l'ultima cifra del risultato finale ottenendo 135.475×5=677.375{\displaystyle 135.475\times 5=677.375}. Sottrai il valore ottenuto al resto precedente: 739.000−677.375=61.625{\displaystyle 739.000-677.375=61.625}. Valuta se la soluzione calcolata fino ad ora è sufficientemente accurata. Par farlo, basta semplicemente elevarla al cubo: 2,15×2,15×2,15=9,94{\displaystyle 2,15\times 2,15\times 2,15=9,94}. Il numero presente sopra al segno di radice rappresenta il risultato finale, che a questo punto ha raggiunto un'accuratezza adeguata. Nel nostro esempio, abbiamo ottenuto che la 103{\displaystyle {\sqrt[{3}]{10}}} è pari a 2,15. La correttezza della soluzione può essere verificata rapidamente eseguendo questo semplice calcolo 2,153=9,94{\displaystyle 2,15^{3}=9,94}: valore che può essere tranquillamente approssimato a 10, cioè il radicando di partenza. Nel caso fosse necessaria un'accuratezza ancora maggiore, basterà semplicemente continuare il processo di calcoli fino a raggiungere il livello desiderato.
Ripassa il "Teorema Binomiale". Sviluppa il binomio di partenza come un cubo. Comprendi il funzionamento dell'algoritmo di calcolo delle divisioni in colonna. Esamina il risultato ottenuto sviluppando il cubo del binomio in esame. Osserva come aumenta la precisione del calcolo. Utilizza due cubi perfetti per impostare il limite superiore e inferiore delle approssimazioni. Stima il valore della prossima cifra del risultato finale. Verifica la correttezza della stima eseguendo il cubo del numero ottenuto. Modifica il valore stimato se è necessario. Stima la prossima cifra per avere un risultato finale più accurato. Prosegui nel processo di stima per approssimazioni successive apportando le dovute modifiche. Prosegui applicando il metodo descritto finché non ottieni il grado di precisione desiderato. Imposta il problema. Impara a memoria i cubi dei numeri interi composti da una singola cifra. Individua la prima cifra della tua risposta finale. Preparati a calcolare la cifra successiva del risultato finale. Trova la parte iniziale del nuovo divisore. Trova la prossima cifra del risultato finale. Completiamo la composizione del nuovo divisore. Moltiplica e sottrai. Decidi se occorre proseguire nei calcoli per ottenere un risultato finale più accurato. Individua il nuovo divisore partendo dal resto precedente. Moltiplica il nuovo divisore per la radice cubica di 10 calcolata fino ad ora. Riporta la tua risposta finale al problema iniziale.
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Understanding How this Calculation Works Finding Cube Roots by Repeated Estimation Working Through a Sample Cube Root Problem