Calcolare il Volume di una Sfera Risoluzione di Semplici Problemi di Esempio Calcolare la Massa di un Oggetto Partendo dal Volume
La sfera è un solido caratterizzato da tre dimensioni e perfettamente circolare. La formula più utilizzata per calcolare il volume di una sfera è la seguente:  Volume=43πr3{\displaystyle {\text{Volume}}={\frac {4}{3}}\pi r^{3}}  π=3,14{\displaystyle \pi =3,14} r=raggio{\displaystyle r={\text{raggio}}} Il raggio in una sfera è la distanza che separa il centro del solido da uno qualunque dei punti che ne compongono la superficie esterna. Se il problema che stai affrontando ti impone di calcolare il volume di un solido sferico, è molto probabile che la misura del raggio sia un'informazione nota. In caso contrario, misurarlo fisicamente potrebbe essere estremamente difficile perché non è possibile stabilire e raggiungere il centro di un oggetto sferico con accuratezza. Ipotizziamo di avere una sfera il cui raggio misura 10 cm. Per calcolarne il volume eseguiremo i seguenti passaggi:  Volume=43πr3{\displaystyle {\text{Volume}}={\frac {4}{3}}\pi r^{3}} Volume=43∗(3,14)∗103{\displaystyle {\text{Volume}}={\frac {4}{3}}*(3,14)*10^{3}} Volume=4,18667∗1.000{\displaystyle {\text{Volume}}=4,18667*1.000} Volume=4186,67cm3{\displaystyle {\text{Volume}}=4186,67{\text{cm}}^{3}} Uno scenario alternativo al precedente consiste nel conoscere il diametro della sfera anziché il raggio. Come sappiamo il diametro è pari al doppio del raggio. In altre parole il diametro di una sfera è la retta che collega due punti opposti della superficie esterna passando per il centro del solido. Per calcolare il volume di una sfera partendo dal diametro (d) occorre eseguire questi passaggi:  Volume=43π(d2)3{\displaystyle {\text{Volume}}={\frac {4}{3}}\pi ({\frac {d}{2}})^{3}} Come problema di esempio, ipotizziamo di dover calcolare il volume di una sfera con diametro pari a 10 cm.  Volume=43π(d2)3{\displaystyle {\text{Volume}}={\frac {4}{3}}\pi ({\frac {d}{2}})^{3}} Volume=43π(102)3{\displaystyle {\text{Volume}}={\frac {4}{3}}\pi ({\frac {10}{2}})^{3}} Volume=43∗(3,14)∗(53){\displaystyle {\text{Volume}}={\frac {4}{3}}*(3,14)*(5^{3})} Volume=4,18667∗125{\displaystyle {\text{Volume}}=4,18667*125} Volume=523,3cm3{\displaystyle {\text{Volume}}=523,3{\text{cm}}^{3}} Molto probabilmente questa è l'informazione più semplice da misurare fisicamente quando si studia un oggetto reale. È possibile farlo utilizzando un metro da sarto con cui avvolgere la sfera nel punto in cui è più larga e prendere nota del valore misurato. In ambito scolastico, nel caso di un problema di matematica o di fisica, questa informazione ti verrà fornita direttamente. Per calcolare il volume di una sfera usando la circonferenza (C) si seguono questi passaggi:  Volume=43πr3{\displaystyle {\text{Volume}}={\frac {4}{3}}\pi r^{3}} Volume=43π∗(C2π)3{\displaystyle {\text{Volume}}={\frac {4}{3}}\pi *({\frac {C}{2\pi }})^{3}} Volume=43π∗(C38π3){\displaystyle {\text{Volume}}={\frac {4}{3}}\pi *({\frac {C^{3}}{8\pi ^{3}}})} Volume=C36π2{\displaystyle {\text{Volume}}={\frac {C^{3}}{6\pi ^{2}}}} Ipotizziamo di avere una sfera la cui circonferenza è pari a 32 cm. Il volume di questo solido sarà pari a:  Volume=C36π2{\displaystyle {\text{Volume}}={\frac {C^{3}}{6\pi ^{2}}}} Volume=3236∗3,142{\displaystyle {\text{Volume}}={\frac {32^{3}}{6*3,14^{2}}}} Volume=32.76859,158{\displaystyle {\text{Volume}}={\frac {32.768}{59,158}}} Volume=553,9cm3{\displaystyle {\text{Volume}}=553,9{\text{cm}}^{3}} Si tratta di un metodo pratico che consiste nell'immergere la sfera in esame nell'acqua. In questo caso avrai bisogno di un contenitore sufficientemente grande per poter accogliere l'oggetto sferico che sia dotato di una scala di misurazione accurata.  Riempi un contenitore graduato con una quantità di acqua sufficiente a sommergere completamente la sfera in esame. A questo punto prendi nota del valore indicato sulla scala di misurazione. Posiziona la sfera all'interno del contenitore. Osserva come il livello dell'acqua aumenti e, una volta stabilizzato, prendi nota del nuovo valore raggiunto. Adesso sottrai il secondo valore misurato al primo. Il risultato ottenuto sarà pari al volume dell'oggetto presente nel contenitore. Per esempio, ipotizziamo che il livello dell'acqua passi da 100 ml a 625 ml dopo aver inserito la sfera nel contenitore. Il volume di quest'ultima sarà quindi pari a 525 ml. Nota che 1 ml è pari a 1 cm3. In ambito scolastico o accademico, quando si affronta un problema relativo al calcolo della massa occorre leggere il testo con molta attenzione e concentrazione. Si tratta di un passaggio fondamentale per poter ricavare tutti i dati necessari allo svolgimento dei calcoli. Prenditi tutto il tempo che ti serve per leggere l'intero testo del problema in modo da avere chiaro cosa ti viene chiesto di calcolare. Per esempio valuta il seguente problema: Un'ampia sfera costituita interamente di ottone pieno ha il diametro di 1,2 m. Calcola la massa di questo solido. Leggendo con attenzione il testo del problema ti accorgerai che ti viene fornita la misura del diametro della sfera, quindi puoi calcolarne il volume usando la seguente formula:   Volume=43π(d2)3{\displaystyle {\text{Volume}}={\frac {4}{3}}\pi ({\frac {d}{2}})^{3}}. Dovresti anche aver notato che la sfera è piena ed è costituita interamente in ottone, quindi hai la necessità di eseguire una ricerca online per ottenere la densità dell'ottone. Accedendo a uno dei tanti siti web che trattano questo tipo di informazioni scoprirai che la densità dell'ottone è pari a 8.480 kg/m3. Dato che il diametro della sfera in esame è espresso in metri, il relativo volume sarà espresso in metri cubi, quindi in questo caso non occorrerà eseguire alcuna conversione della densità. Utilizza la formula corretta fra quelle esposte all'interno dell'articolo, quindi sostituisci le variabili con i dati del problema ed esegui i calcoli come riportato di seguito:  Volume=43π(d2)3{\displaystyle {\text{Volume}}={\frac {4}{3}}\pi ({\frac {d}{2}})^{3}} Volume=43π(1,22)3{\displaystyle {\text{Volume}}={\frac {4}{3}}\pi ({\frac {1,2}{2}})^{3}} Volume=4,18667∗0,63{\displaystyle {\text{Volume}}=4,18667*0,6^{3}} Volume=4,18667∗0,216{\displaystyle {\text{Volume}}=4,18667*0,216} Volume=0,90432 m3{\displaystyle {\text{Volume}}=0,90432{\text{ m}}^{3}} Ricorda che la formula per il calcolo della massa è la seguente: Massa=Densità∗Volume{\displaystyle {\text{Massa}}={\text{Densità}}*{\text{Volume}}}. Sostituisci le variabili della formula con i relativi valori numerici ottenendo:  Massa=Densità∗Volume{\displaystyle {\text{Massa}}={\text{Densità}}*{\text{Volume}}} Massa=8.480 kg m3∗0,90432 m3{\displaystyle {\text{Massa}}=8.480{\frac {\text{ kg}}{{\text{ m}}^{3}}}*0,90432{\text{ m}}^{3}} Massa=7.668,6 kg{\displaystyle {\text{Massa}}=7.668,6{\text{ kg}}} Per poter calcolare la massa di un oggetto partendo dal volume occorre conoscerne la densità. È bene sapere che quest'ultima varia in base al materiale utilizzato. Per esempio, per comprendere meglio questo concetto puoi comparare il peso di una sfera costruita in polistirolo con quello di una delle stesse dimensioni ma costruita in ferro. Quest'ultimo avendo una densità maggiore rispetto al polistirolo ha anche una massa più grande.  È possibile risalire alla densità dei materiali più comuni semplicemente consultando una delle innumerevoli tabelle riepilogative presenti online. In alternativa è possibile avvalersi di libri di testo (scolastici o accademici) o di cataloghi di prodotti industriali. Per esempio, di seguito vengono elencati alcuni dei materiali più diffusi corredati della relativa densità: Alluminio = 2.700 kg/m3; Burro = 870 kg/m3; Piombo = 11.350 kg/m3; Legno pressato = 190 kg/m3. Le unità di misura utilizzate per esprimere il volume di un oggetto devono concordare con quelle usate per misurare la densità del materiale con cui è costruito. In caso contrario occorre eseguire una semplice conversione.  Tutti gli esempi descritti nel primo metodo dell'articolo riportavano il volume in centimetri cubi. Tuttavia la tabella riportata nel passaggio precedente riporta la densità in metri cubi, quindi occorre eseguire una conversione. Dato che un metro è composto da 100 cm, un metro cubo è composto da 106 centimetri cubi. Conoscendo questa informazione possiamo dividere le densità espresse in metri per il fattore di conversione 106, in modo da poterle esprimere con l'unità di misura: kg/cm3 (questa conversione risulta molto più semplice spostando il separatore decimale di 6 posizioni verso sinistra). Utilizzando la medesima tabella di esempio riportata nel passaggio precedente, eseguendo la conversione otterremo quanto segue:  Alluminio = 2.700 kg/m3 = 0,0027 kg/cm3; Burro = 870 kg/m3 = 0,00087 kg/cm3; Piombo = 11.350 kg/m3 = 0,01135 kg/cm3; Legno pressato = 190 kg/m3 = 0,00019 kg/cm3. La formula matematica per calcolare la densità è Densità=MassaVolume{\displaystyle {\text{Densità}}={\frac {\text{Massa}}{\text{Volume}}}}. Modificando l'equazione per calcolare la massa otterremo che Densità∗Volume=Massa{\displaystyle {\text{Densità}}*{\text{Volume}}={\text{Massa}}}. Usando la densità dei quattro materiali di esempio, alluminio, burro, piombo e legno pressato, calcola la massa di una sfera con un volume di 500 cm3.  Alluminio:500 cm3∗0,0027kgcm3=1,35 kg{\displaystyle {\text{Alluminio}}:500{\text{ cm}}^{3}*0,0027{\frac {\text{kg}}{{\text{cm}}^{3}}}=1,35{\text{ kg}}} Burro:500 cm3∗0,00087kgcm3=0,435 kg{\displaystyle {\text{Burro}}:500{\text{ cm}}^{3}*0,00087{\frac {\text{kg}}{{\text{cm}}^{3}}}=0,435{\text{ kg}}} Piombo:500 cm3∗0,01135kgcm3=5,675 kg{\displaystyle {\text{Piombo}}:500{\text{ cm}}^{3}*0,01135{\frac {\text{kg}}{{\text{cm}}^{3}}}=5,675{\text{ kg}}} Legno pressato:500 cm3∗0,00019kgcm3=0,095 kg{\displaystyle {\text{Legno pressato}}:500{\text{ cm}}^{3}*0,00019{\frac {\text{kg}}{{\text{cm}}^{3}}}=0,095{\text{ kg}}}
Prendi in esame la formula matematica per il calcolo del volume di un solido sferico. Calcola il volume di una sfera partendo dalla lunghezza del raggio. Calcola il volume di una sfera partendo dalla lunghezza del diametro. Ricava la formula per calcolare il volume di una sfera di cui conosci la circonferenza partendo da quella iniziale. Calcola il volume di una sfera di cui conosci la circonferenza. Calcolare il volume di un oggetto in base al relativo dislocamento. Leggi il testo del problema con estrema attenzione. Individua le informazioni che conosci e quelle che mancano. Calcola il volume. Usa la densità dell'ottone per calcolare la massa. Trova la densità della sfera in esame. Converti le unità di misura in base alle necessità. Calcola la massa moltiplicando il volume per la densità.
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Finding the Volume of a Sphere Solving a Sample Problem Calculating Mass from Volume