Mit Exponenten Mit Wurzelzeichen Mit Absolutwert Mit Brüchen Grundlegende lineare Gleichungen
Nehmen wir nun an, wir arbeiten an einem Problem in dem der x-Term einen Exponenten hat: 2x2 + 12 = 44 Zuerst solltest du alle ähnlichen Terme kombinieren, damit alle konstanten auf der einen Seite und der Term mit x auf der anderen Seite der Gleichung steht. Subtrahiere dazu nur 12 auf beiden Seiten. So geht’s:  2x2+12-12 = 44-12 2x2 = 32 In diesem Fall ist 2 der x-Koeffizient, also dividiere beide Seiten der Gleichung mit 2, um ihn loszuwerden. So wird’s gemacht:  (2x2)/2 = 32/2 x2 = 16 Wenn du die Quadratwurzel von x2 ziehst, kürzt du das Quadrat. Ziehe also auf beiden Seiten die Quadratwurzel. Dadurch bleibt x auf der einen Seite stehen und die Quadratwurzel von 16, 4, auf der anderen Seite. Deswegen ist x = 4. Setze x = 4 in die Ausgangsgleichung ein, um sicherzugehen, dass es aufgeht. So wird’s gemacht:  2x2 + 12 = 44 2 x (4)2 + 12 = 44 2 x 16 + 12 = 44 32 + 12 = 44 44 = 44 Nehmen wir an, wir wollen in folgendem Problem nach x auflösen: √(2x+9) - 5 = 0 Du musst den Teil der Gleichung mit der Quadratwurzel auf einer Seite der Gleichung isolieren, um weitermachen zu können. Also musst du auf beiden Seiten 5 addieren. So wird’s gemacht:  √(2x+9) - 5 + 5 = 0 + 5 √(2x+9) = 5 Genauso, wie du beide Seiten einer Gleichung durch einen x-Koeffizienten teilen würdest, musst du jetzt beide Seiten quadrieren, wenn x unter einem Wurzelzeichen steht. Dadurch kürzt du das Quadratwurzelzeichen aus der Gleichung. So wird’s gemacht:   (√(2x+9))2 = 52  2x + 9 = 25 Fasse gleiche Terme zusammen, indem du beide Seite mit 9 subtrahierst, damit alle konstanten Terme auf der rechten und alle x-Terme auf der linken Seite stehen. So wird’s gemacht:  2x + 9 - 9 = 25 - 9 2x = 16 Zu guter Letzt, teile beide Seiten der Gleichung durch 2, dem x-Koeffizienten, um x auf der linken Seite zu isolieren. 2x/2 = x und 16/2 = 8. Damit bleibt dir x = 8. Setze x = 8 in die Ausgangsgleichung ein und überprüfe, ob die Rechnung aufgeht:  √(2x+9) - 5 = 0 √(2(8)+9) - 5 = 0 √(16+9) - 5 = 0 √(25) - 5 = 0 5 - 5 = 0 Nehmen wir an, wir lösen in folgendem Problem nach x auf: |4x +2| - 6 = 8 Zunächst musst du alle ähnlichen Terme zusammenfassen und den Term innerhalb der Absolutstriche auf einer Seite bringen. Dazu addierst du beide Seiten der Gleichung mit 6. So wird’s gemacht:  |4x +2| - 6 = 8 |4x +2| - 6 + 6 = 8 + 6 |4x +2| = 14 Das ist der erste und einfachste Schritt. Du musst immer zweimal nach x auflösen, wenn du mit Absolutwerten arbeitest. Hier ist das erste Mal:  4x + 2 = 14 4x + 2 - 2 = 14 -2 4x = 12 x = 3 Jetzt, löse die Gleichung noch einmal, nur dass du jetzt die rechte Seite gleich -14 setzt und nicht 14. So wird’s gemacht:  4x + 2 = -14 4x + 2 - 2 = -14 - 2 4x = -16 4x/4 = -16/4 x = -4 Nachdem du jetzt weißt, dass x = (3, -4) ist, setze beide Zahlen in die Ausgangsgleichung ein und überprüfe, ob sie aufgeht. So wird’s gemacht:  (Für x = 3):  |4x +2| - 6 = 8 |4(3) +2| - 6 = 8 |12 +2| - 6 = 8 |14| - 6 = 8 14 - 6 = 8 8 = 8   (Für x = -4):  |4x +2| - 6 = 8 |4(-4) +2| - 6 = 8 |-16 +2| - 6 = 8 |-14| - 6 = 8 14 - 6 = 8 8 = 8 Nehmen wir an, wir arbeiten mit folgendem Problem: (x + 3)/6 = 2/3 Dazu multiplizierst du einfach den Nenner beider Brüche mit dem Zähler des jeweils anderen Bruchs. Du multiplizierst quasi in zwei diagonalen Linien. Also, multipliziere den ersten Nenner, 6, mit dem zweiten Zähler, 2. Dadurch bekommst du 12 auf der rechten Seite der Gleichung. Dann multipliziere den zweiten Nenner, 3, mit dem ersten Zähler, x+3, und bekommst 3x+9 auf der linken Seite der Gleichung. So wird es aussehen:  (x + 3)/6 = 2/3 6 x 2 = 12 (x + 3) x 3 = 3x + 9 3x + 9 = 12 Vereinige die konstanten Terme der Gleichung, indem du auf beiden Seiten 9 subtrahierst. So wird’s gemacht:  3x + 9 - 9 = 12 - 9 3x = 3 Teile einfach 3x und 9 durch 3, dem x Koeffizienten, um nach x aufzulösen. 3x/3 = x und 3/3 = 1, damit bleibt nur noch x = 1. Um deine Rechnung zu überprüfen, setze einfach x = 1 in deine Ausgangsgleichung ein. So wird’s gemacht:  (x + 3)/6 = 2/3 (1 + 3)/6 = 2/3 4/6 = 2/3 2/3 = 2/3 Dieses zum Beispiel: 22(x+3) + 9 - 5 = 32 Denke an die Reihenfolge der Rechenoperationen: KEMDAS = Klammern, Exponenten, Multiplikation/Division und Addition/Subtraktion. Hier kannst du die Klammer nicht zuerst lösen, da x in der Klammer steht. Fange also mit dem Exponenten an, 22. 22 = 4 4(x+3) + 9 - 5 = 32 Multipliziere 4 in die Klammer. So geht’s: 4x + 12 + 9 - 5 = 32 Addiere oder Subtrahiere die übriggebliebenen Zahlen. So geht’s:  4x+21-5 = 32 4x+16 = 32 4x + 16 - 16 = 32 - 16 4x = 16 Dazu teilst du einfach beide Seiten der Gleichung mit 4, um x zu finden. 4x/4 = x und 16/4 = 4, also x = 4.  4x/4 = 16/4 x = 4 Setze einfach x = 4 in die Ausgangsgleichung ein, um sicherzugehen, dass alles aufgeht. So wird’s gemacht:  22(x+3)+ 9 - 5 = 32 22(4+3)+ 9 - 5 = 32 22(7) + 9 - 5 = 32 4(7) + 9 - 5 = 32 28 + 9 - 5 = 32 37 - 5 = 32 32 = 32
Schreibe die Aufgabe auf. Isoliere den Term mit dem Exponenten. Isoliere die Variable mit dem Exponenten, indem du beide Seiten durch den Koeffizienten des x-Terms teilst. Ziehe die Quadratwurzel von beiden Seiten der Gleichung. Überprüfe deine Rechnung. Schreibe die Aufgabe auf. Isoliere die Quadratwurzel. Quadriere beide Seiten. Kombiniere ähnliche Terme. Isoliere die Variable. Überprüfe deine Rechnung. Schreibe das Problem auf. Isoliere den Absolutwert. Entferne den Absolutwert und löse die Gleichung. Entferne den Absolutwert und ändere das Rechenzeichen auf der anderen Seite der Gleichung, bevor du sie löst. Überprüfe deine Rechnung. Schreibe die Aufgabe auf. Multipliziere Überkreuz. Kombiniere ähnliche Terme. Isoliere x, indem du jeden Term durch den x-Koeffizienten dividierst. Überprüfe deine Rechnung. Schreibe die Aufgabe auf. Löse den Exponenten auf. Führe die Multiplikation aus. Führe die Addition/Subtraktion durch. Isoliere die Variable. Überprüfe dein Ergebnis.
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With Exponents Using Radical Signs Using Absolute Value Using Fractions Using a Basic Linear Equation