Die Kettenregel bei Funktionen mit Quadratwurzel anwenden Eine Abkürzung für Ableitungen von Wurzelfunktionen verwenden Das Potenzgesetz anwenden
Die Kettenregel ist eine Regel für Ableitungen, die du einsetzt, wenn in der ursprünglichen Funktion eine Funktion mit einer anderen Funktion vereint wird. Die Kettenregel besagt, dass für zwei Funktionen f(x){\displaystyle f(x)} und g(x){\displaystyle g(x)}, die Ableitung der Kombination von beiden wie folgt gefunden werden kann: Wenn y=f(g(x)){\displaystyle y=f(g(x))}, dann ist y′=f′(g)∗g′(x){\displaystyle y^{\prime }=f^{\prime }(g)*g^{\prime }(x)}. Um die Kettenregel anzuwenden, musst du zuerst die zwei Funktionen definieren, aus der deine kombinierte Funktion besteht. Bei Wurzelfunktionen ist die äußere Funktion f(g){\displaystyle f(g)} die Wurzelfunktion und die innere Funktion g(x){\displaystyle g(x)} das, was unter dem Wurzelzeichen steht. Nehmen wir zum Beispiel an, du möchtest die Ableitung von 3x+2{\displaystyle {\sqrt {3x+2}}} finden. Definiere die zwei Teile wie folgt:  f(g)=g=g12{\displaystyle f(g)={\sqrt {g}}=g^{\frac {1}{2}}} g(x)=(3x+2){\displaystyle g(x)=(3x+2)} Um die Kettenregel auf die Quadratwurzel einer Funktion anzuwenden, musst du zuerst die Ableitung der allgemeinen Wurzelfunktion finden:   f(g)=g=g12{\displaystyle f(g)={\sqrt {g}}=g^{\frac {1}{2}}}  f′(g)=12g−12{\displaystyle f^{\prime }(g)={\frac {1}{2}}g^{-{\frac {1}{2}}}} f′(g)=12g{\displaystyle f^{\prime }(g)={\frac {1}{2{\sqrt {g}}}}}   Finde dann die Ableitung der zweiten Funktion:  g(x)=(3x+2){\displaystyle g(x)=(3x+2)} g′(x)=3{\displaystyle g^{\prime }(x)=3} Rufe dir die Kettenregel in Erinnerung, y′=f′(g)∗g′(x){\displaystyle y^{\prime }=f^{\prime }(g)*g^{\prime }(x)}, und vereine dann die Ableitungen wie folgt:  y′=12g∗3{\displaystyle y^{\prime }={\frac {1}{2{\sqrt {g}}}}*3} y′=12(3x+2∗3{\displaystyle y^{\prime }={\frac {1}{2{\sqrt {(3x+2}}}}*3} y′=32(3x+2{\displaystyle y^{\prime }={\frac {3}{2{\sqrt {(3x+2}}}}} Immer, wenn du die Ableitung der Quadratwurzel einer Variable oder Funktion finden möchtest, kannst du ein einfaches Muster anwenden. Die Ableitung wird immer eine Ableitung des Radikanden sein, geteilt durch das doppelte der ursprünglichen Quadratwurzel. Mit Symbolen kann das so dargestellt werden: Wenn f(x)=u{\displaystyle f(x)={\sqrt {u}}}, dann ist f′(x)=u′2u{\displaystyle f^{\prime }(x)={\frac {u^{\prime }}{2{\sqrt {u}}}}} Der Radikand ist der Term oder die Funktion unter dem Wurzelzeichen. Um diese Abkürzung anzuwenden, findest du ausschließlich die Ableitung des Radikanden. Betrachte folgende Beispiele:  In der Funktion 5x+2{\displaystyle {\sqrt {5x+2}}} ist der Radikand (5x+2){\displaystyle (5x+2)}. Seine Ableitung ist 5{\displaystyle 5}. In der Funktion 3x4{\displaystyle {\sqrt {3x^{4}}}} ist der Radikand 3x4{\displaystyle 3x^{4}}. Seine Ableitung ist 12x3{\displaystyle 12x^{3}}. In der Funktion sin(x){\displaystyle {\sqrt {sin(x)}}} ist der Radikand sin⁡(x){\displaystyle \sin(x)}. Seine Ableitung ist cos⁡(x){\displaystyle \cos(x)}. Die Ableitung einer Wurzelfunktion wird einen Bruch beinhalten. Der Zähler dieses Bruches ist die Ableitung des Radikanden. Folglich wird der erste Teil der Ableitung bei den oben genannten Beispielfunktionen so aussehen:  Wenn f(x)=5x+2{\displaystyle f(x)={\sqrt {5x+2}}}, dann ist f′(x)=5denom{\displaystyle f^{\prime }(x)={\frac {5}{\text{denom}}}}  Wenn f(x)=3x4{\displaystyle f(x)={\sqrt {3x^{4}}}}, dann ist f′(x)=12x3denom{\displaystyle f^{\prime }(x)={\frac {12x^{3}}{\text{denom}}}}  Wenn f(x)=sin⁡(x){\displaystyle f(x)={\sqrt {\sin(x)}}}, dann ist f′(x)=cos⁡(x)denom{\displaystyle f^{\prime }(x)={\frac {\cos(x)}{\text{denom}}}} Bei dieser Abkürzung wird der Nenner das Doppelte der ursprünglichen Wurzelfunktion sein. Folglich sind die Nenner der Ableitungen in den drei Beispielfunktionen weiter oben:  Bei f(x)=5x+2{\displaystyle f(x)={\sqrt {5x+2}}} ist f′(x)=num25x+2{\displaystyle f^{\prime }(x)={\frac {\text{num}}{2{\sqrt {5x+2}}}}}  Wenn f(x)=3x4{\displaystyle f(x)={\sqrt {3x^{4}}}}, dann ist f′(x)=num23x4{\displaystyle f^{\prime }(x)={\frac {\text{num}}{2{\sqrt {3x^{4}}}}}}  Wenn f(x)=sin⁡(x){\displaystyle f(x)={\sqrt {\sin(x)}}}, dann ist f′(x)=num2sin⁡(x){\displaystyle f^{\prime }(x)={\frac {\text{num}}{2{\sqrt {\sin(x)}}}}} Bringe die zwei Hälften des Bruches zusammen und das Ergebnis ist die Ableitung der ursprünglichen Funktion.  Wenn f(x)=5x+2{\displaystyle f(x)={\sqrt {5x+2}}}, dann ist f′(x)=525x+2{\displaystyle f^{\prime }(x)={\frac {5}{2{\sqrt {5x+2}}}}}  Wenn f(x)=3x4{\displaystyle f(x)={\sqrt {3x^{4}}}}, dann ist f′(x)=12x323x4{\displaystyle f^{\prime }(x)={\frac {12x^{3}}{2{\sqrt {3x^{4}}}}}}  Wenn f(x)=sin⁡(x){\displaystyle f(x)={\sqrt {\sin(x)}}}, dann ist f′(x)=cos⁡(x)2sin⁡(x){\displaystyle f^{\prime }(x)={\frac {\cos(x)}{2{\sqrt {\sin(x)}}}}} Die vermutlich erste Regel, die du gelernt hat, um Ableitungen zu finden, ist das Potenzgesetz. Diese Regel besagt, dass die Ableitung für eine Variable x{\displaystyle x} in die Potenz a{\displaystyle a} gesetzt wie folgt ist:  f(x)=xa{\displaystyle f(x)=x^{a}} f′(x)=axa−1{\displaystyle f^{\prime }(x)=ax^{a-1}} Sieh dir als Beispiel die folgenden Funktionen und ihre Ableitungen an:  Wenn f(x)=x2{\displaystyle f(x)=x^{2}}, dann ist f′(x)=2x{\displaystyle f^{\prime }(x)=2x}  Wenn f(x)=3x2{\displaystyle f(x)=3x^{2}}, dann ist f′(x)=2∗3x=6x{\displaystyle f^{\prime }(x)=2*3x=6x}  Wenn f(x)=x3{\displaystyle f(x)=x^{3}}, dann ist f′(x)=3x2{\displaystyle f^{\prime }(x)=3x^{2}}  Wenn f(x)=12x4{\displaystyle f(x)={\frac {1}{2}}x^{4}}, dann ist f′(x)=4∗12x3=2x3{\displaystyle f^{\prime }(x)=4*{\frac {1}{2}}x^{3}=2x^{3}} Um die Ableitung einer Funktion mit Quadratwurzel zu finden, musst du dir merken, dass die Quadratwurzel jeder Zahl oder Variable auch als Exponent geschrieben werden kann. Der Term unter der Quadratwurzel (dem Wurzelzeichen) wird als Basis geschrieben und erhält den Exponenten ½. Betrachte folgende Beispiele:  x=x12{\displaystyle {\sqrt {x}}=x^{\frac {1}{2}}} 4=412{\displaystyle {\sqrt {4}}=4^{\frac {1}{2}}} 3x=(3x)12{\displaystyle {\sqrt {3x}}=(3x)^{\frac {1}{2}}} Wenn die Funktion die einfachste Quadratwurzel enthält, f(x)=x{\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}, wendest du die Potenzregel wie folgt an, um die Ableitung zu finden:   f(x)=x     {\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}\ \ \ \ \ }(Schreibe die ursprüngliche Funktion auf.)  f(x)=x(12)     {\displaystyle f(x)=x^{({\frac {1}{2}})}\ \ \ \ \ }(Schreibe den Term mit Wurzelzeichen zu einem mit Exponent um.)   f′(x)=12x(12−1)   {\displaystyle f^{\prime }(x)={\frac {1}{2}}x^{({\frac {1}{2}}-1)}\ \ \ }(Finde die Ableitung mithilfe des Potenzgesetzes.)  f′(x)=12x(−12)   {\displaystyle f^{\prime }(x)={\frac {1}{2}}x^{(-{\frac {1}{2}})}\ \ \ }(Vereinfache den Exponenten.) An diesem Punkt musst du verstehen, dass ein negativer Exponent bedeutet, dass du den Kehrwert der Zahl nehmen musst, die es bei einem positiven Exponenten wäre. Ein Exponent von −12{\displaystyle -{\frac {1}{2}}} bedeutet, dass du die Quadratwurzel der Basis als Nenner eines Bruches haben wirst. Wir rechnen weiter mit der Funktion mit der Quadratwurzel von x weiter oben. Die Ableitung kann so vereinfacht werden:  f′(x)=12x−12{\displaystyle f^{\prime }(x)={\frac {1}{2}}x^{-{\frac {1}{2}}}} f′(x)=12∗1x{\displaystyle f^{\prime }(x)={\frac {1}{2}}*{\frac {1}{\sqrt {x}}}} f′(x)=12x{\displaystyle f^{\prime }(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}}
Sieh dir die Kettenregel für Funktionen noch einmal an. Definiere die Funktionen für die Kettenregel. Finde die Ableitungen der beiden Funktionen. Vereine die Funktionen mit der Kettenregel. Lerne die Abkürzung für Ableitungen von Wurzelfunktionen. Finde die Ableitung des Radikanden. Schreibe die Ableitung des Radikanden als den Zähler eines Bruches auf. Schreibe den Nenner als das Doppelte der ursprünglichen Quadratwurzel auf. Verbinde den Zähler und den Nenner, um die Ableitung zu finden. Sieh dir das Potenzgesetz für Ableitungen an. Schreibe die Quadratwurzel als Exponent um. Wende die Potenzregel an. Vereinfache das Ergebnis.
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Using the Chain Rule for Square Root Functions Using a Shortcut for Derivatives of Radical Functions Using the Power Rule