Brüche im Kopf abschätzen Brüche optisch abschätzen
Eine Abschätzung eines Bruchs sollte die Kernaussage des Verhältnisses wiedergeben. Allerdings bekommst du dadurch nur selten die exakte Lösung. Wenn du nur eine ungefähre Tendenz benötigst, kann eine Abschätzung hilfreich sein. Wenn du aber die genaue Antwort brauchst, musst du die Gleichung mit genauen Methoden lösen. Eine gute Schätzung übermittelt in kürzester Zeit die Kernaussage und versucht dabei nicht, sich als exakte Lösung auszugeben. Beispiele dafür, in welchen Situationen eine Abschätzung sinnvoll sein kann, sind z.B. die Planung zwangloser Veranstaltungen (ein ungefährer Überblick darüber, was alles gebraucht wird), die verbale Vorstellung einer Idee (den Sinn der Sache darstellen, ohne auf die ganzen kleinen Details eingehen zu müssen) oder das Kochen von Gerichten wie einen Eintopf, bei dem die genauen Maße für das Endprodukt nicht wichtig sind. Brüche lassen sich immer leichter im Kopf bearbeiten, wenn sie auf den kleinsten gemeinsamen Nenner vereinfacht wurden. Der Bruch 4/8 kann z.B. als 2/4 oder ½ ausgedrückt werden. Das sind nur verschieden Schreibweisen desselben Bruchs. Am besten vereinfachst du deine Brüche so gut es geht, um dir die Abschätzung zu erleichtern. Finde eine Zahl, durch die sowohl der Zähler als auch der Nenner teilbar ist. Wenn du beide durch dieselbe Zahl dividierst, verringerst du die Größe der Zahlen, ohne das Verhältnis zu verfälschen.  Mit kleineren Zahlen lässt sich grundsätzlich leichter arbeiten als mit größeren Zahlen. Wenn alle Zahlen einen gemeinsamen Nenner haben, kannst du sie alle durch diese Zahl dividieren. Du kannst z.B. 4/16 und 6/8 durch 4 bzw. 2 dividieren, um sie auf denselben Nenner zu bringen. Dadurch bekommst du ¼ und ¾.  Allgemein gilt, wenn der Zähler und Nenner deines Bruchs aus geraden Zahlen besteht, kannst du beide durch zwei dividieren. Beide Zahlen sind dann nur noch halb so groß, das Verhältnis bleibt aber unverändert. Achte darauf, dass Zähler und Nenner nach der Division noch ganze Zahlen sind. Wenn du durch eine falsche Zahl dividierst und dadurch in deinen Brüchen weitere Brüche bekommst, wird das ganze nur noch frustrierender und komplizierter. Durch das Runden werden Brüche leichter zu handhaben. Wenn du einen Bruch nicht so leicht Vereinfachen kannst, kann es dir vielleicht helfen, wenn du den Bruch etwas auf- oder abrundest. Du opferst Genauigkeit zugunsten einer Vereinfachung. Ob du einen Bruch auf- oder abrunden kannst, hängt von vielen Faktoren ab, besonders davon, ob du es mit sehr spezifischen Brüchen zu tun hast und ob du danach noch ausreichend viele Informationen hast, damit dein Ergebnis auch Sinn ergibt. „Runden“ bedeutet in diesem Zusammenhang, dass du die Zahlen leicht anpasst, damit der Bruch sich vereinfachen lässt. 7/16 kann z.B. ein Bruch sein, den du dir nur schwer vorstellen kannst, wenn du ihn aber nur leicht auf 8/16 „aufrundest“, bekommst du exakt die Hälfte (½) eines Ganzen. Wenn du den Bruch im Kopf überschlagen willst, solltest du ihn am besten auf ein Verhältnis runden, mit dem du dich wohlfühlst. Wie gut jemand kopfrechnet, hängt von der jeweiligen Person ab, du kannst also auf eine so große oder kleine Zahl runden, wie es dir gefällt. Auf Hälften zu runden (0, ½, 1) macht nur bei wirklich einfachen Brüchen Sinn, während komplexere Verhältnisse besser auf größere Zahlen gerundet werden. Deine Brüche in kleinere Anteile (wie Achtel oder Sechszehntel) zu runden, kann ein wenig schwieriger sein, wenn du nicht so gut im Kopfrechnen bist. Dafür bekommst du aber auch eine Lösung, die näher an der wahren Lösung liegt. Meistens ist ein Bruch einer deiner Rundungsoptionen näher als der anderen. 7/8 ist z.B. näher an der 1 (8/8) als an ½ (4/8). In manchen Fällen liegt der Bruch aber irgendwo dazwischen. Ein Bruch wie 65/100 kann z.B. auf 60/100 ab- oder auf 70/100 aufgerundet werden. Du musst deine Entscheidung davon abhängig machen, welche der Optionen deine Daten besser wiedergibt. Du kannst einen Zahlenstrahl verwenden, um optisch darzustellen, welche deiner Optionen näher liegt. Auch wenn es wahrscheinlich selbstverständlich ist: Wenn dein Bruch bereits einer dieser Optionen entspricht, musst du ihn nicht weiter runden. Auch wenn das Ab- und Aufrunden für deine Schätzung hilfreich ist, solltest du dabei nicht vergessen, dass dein neues Verhältnis keine präzise Darstellung deines ursprünglichen Verhältnisses darstellt. Du solltest den originalen Bruch immer zur Hand haben. Wenn du sowohl die exakte Version, als auch die Abschätzung vorzeigen kannst, kann dir das dabei helfen, deine Idee einfach zu kommunizieren und sie trotzdem mit harten Daten zu unterstützen, sollte es notwendig sein. Wenn du eine gerundete, vereinfachte Abschätzung hast, mit der du gut arbeiten kannst, kannst du sie noch weiter verbessern, indem du sie dem original Bruch gegenüberstellst. So kannst du erkennen, um wie viel sich deine Abschätzung vom wahren Ergebnis unterscheidet. Auch wenn eine Abschätzung eine großartige Möglichkeit ist, deine Daten besser darzustellen und in Umrissen über sie nachzudenken, solltest du dir trotzdem Gedanken darüber machen, wie weit sie wirklich von deinem wahren Bruch weg liegt. Ein 7/16 Bruch könnte z.B. auf 8/16 (oder ½) gerundet werden. 7/16 ist zwar auch ungefähr die Hälfte von etwas, du solltest aber trotzdem nicht vergessen, dass die vereinfachte Zahl ein wenig größer ist. Eine mathematische Möglichkeit, diesen Umstand auszudrücken, wäre z.B.: (1/2 – 1/16). Einen Bruch optisch darzustellen, macht es anderen einfacher, sich ihn vorzustellen. Es ist die perfekte Methode, um anderen Verhältnis zu verdeutlichen. Besonders dann, wenn diese Personen keinen mathematischen Hintergrund haben. Optische Darstellungen sind besonders dafür geeignet, mehrere Brüche miteinander zu vergleichen. Das menschliche Auge ist darauf trainiert, die Dinge zu vergleichen und gegeneinander abzumessen, auch ohne mathematische Erfahrung. Wenn etwas optisch dargestellt ist, lenkt das ein wenig von den rein abstrakten, numerischen Dingen ab. Optische Darstellungen sind auch perfekt für eine zwanglose Situation im „wahren Leben“ geeignet.  Ein 12/16-Bruch kann z.B. in rein numerischer Form größer wirken als 7/8. Ein einfaches Diagramm zeigt aber schnell, dass der zweite Bruch größer ist. Die zwei Hauptarten einer optischen Darstellung von Brüchen sind Kurven- und Kreisdiagramme. Kurvendiagramme eignen sich besonders für Maße, während Kreisdiagramme (oder „Tortendiagramme“) sich besser für die Darstellung von Verhältnissen eignen. Verschiedene optische Darstellungsformen eigenen sich für verschiedene Anlässe. Aber egal ob du ein Tortendiagramm, ein Graph (eine Gerade), eine Tabelle oder sonst eine Form der Darstellung wählst, mit einer Illustration der Brüche bekommst du immer einen Anhaltspunkt, um konkreter über dein Problem nachzudenken.  Verschiedene Verhältnisse können durch verschiedene Schattierungen oder Farben dargestellt werden. Du könntest z.B. einen zu zwei Drittel schattierten Kreis verwenden, um einen 2/3-Bruch darzustellen. Am besten verwendest du dieselbe Gruppe von Brüchen und spielst ein wenig mit den verschiedenen Darstellungsmethoden herum. Das sollte dir am besten zeigen, wie unterschiedliche ein und derselbe Bruch dargestellt werden kann. Verwende Schokoladenstücke, Bauklötze oder sogar Kieselsteine, um deine Brüche durch unterschiedliche Objekte in Gruppen aufzuteilen. Ein Fünfzigstel-Verhältnis (17/50 + 33/50) kann z.B. dadurch dargestellt werden, dass du 50 Stück von etwas in zwei Gruppen aufteilst. So kannst du optisch darstellen, wie groß der eine Bruch im Verhältnis zum anderen ist. Indem du zwei oder mehr Verhältnisse gegenüberstellst, bekommst du ein einfaches optisches Hilfsmittel dafür, welches der Verhältnisse das größte ist und welches das kleinste. Das menschliche Auge wird diese Unterscheidung praktisch ohne nachzudenken vornehmen, es ist also eine gute Möglichkeit, dein Anliegen zu verdeutlichen. Du findest relative Verhältnisse überall um uns herum, Oftmals treffen wir Entscheidungen aufgrund von Verhältnissen, ohne überhaupt darüber nachzudenken. Wenn du nach einer Möglichkeit suchst, das Abschätzen von Brüchen zu trainieren, lege zwei Gegenstände unterschiedlicher Größe nebeneinander. Versuche dann abzuschätzen, in welchem Verhältnis der größere Gegenstand größer ist als der kleinere. Du kannst deine Lösung überprüfen, indem du mit einem Lineal die tatsächlichen Ausmaße abmisst. Tortendiagramme sind eine großartige Möglichkeit, um Verhältnisse optisch darzustellen. Wenn du ein visueller Denker bist, ist es eine gute Idee, wenn du deine gerundeten Brüche in einen Kreis einfügst. Damit kannst du deine Abschätzung ausdrücken, ohne dich auf deine gerundeten Zahlen verlassen zu müssen, die wahrscheinlich nicht genau sind. Anders als ein Graph (der normalerweise mit exakten Daten arbeitet) ist ein Tortendiagramm dafür gedacht, Daten schnell optisch darzustellen. Es ist grundsätzlich einfacher, Anteile in einem Kreises optisch zu analysieren als in anderen optischen Modellen, da ein voller Kreis immer ein Ganzes darstellt.
Entscheide, ob eine Abschätzung angebracht ist. Vereinfache den Bruch, falls möglich. Runde die Brüche. Entscheide dich für ein passendes Verhältnis, auf das du runden möchtest. Entscheide dich, auf was du deine Brüche runden willst. Behalte die Veränderung durch das Runden im Hinterkopf. Vergleiche deine Abschätzung mit dem genauen Bruch. Beurteile die Gültigkeit einer optischen Abschätzung. Entscheide dich für eine Darstellungsform. Stelle Brüche mit physischen Objekten dar. Stelle Verhältnisse nebeneinander. Erstelle ein Tortendiagramm.
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