Trapeze verwenden Quadrate verwenden
Zeichne ein Trapez mit folgenden Maßen: die linke Seite hat die Höhe b, die rechte Seite hat die Höhe a und die Basis die Länge a + b. Verbinde einfach die oberen Enden der rechten und der linken Seite, um das Trapez zu schließen. Teile die Basis des Dreiecks in die Längen a und b, sodass zwei rechtwinkelige Dreiecke mit den Längen a, b und c gebildet werden. Das dritte Dreieck wird zwei Seiten mit der Länge c und eine Hypotenuse mit der Länge d haben. Die zwei kleineren Dreiecke sind kongruent (identisch). Die Fläche des Trapezes ist: A = ½(b1 + b2)h wobei b1 eine gerade Seite des Trapezes ist, b2 ist die andere gerade Seite des Trapezes und h ist die Höhe des Trapezes. Bei diesem Trapez ist b1 gleich a, b2 gleich b und h ist a+b.  Die Fläche des Trapezes ist A = ½(a +b)(a+b) . Das Ausmultiplizieren der Binome ergibt: A = ½(a2 + 2ab + b2). Die Fläche eines rechtwinkeligen Dreiecks ist: A = ½bh wobei b die Basis des Dreiecks und h die Höhe ist. Das Trapez wurde in drei unterschiedliche Dreiecke aufgespalten; deren Flächen müssen nun addiert werden. Zuerst findest du die Fläche der einzelnen Dreiecke und dann addierst du sie.  Weil zwei der Dreiecke identisch sind, kannst du die Fläche des ersten Dreiecks einfach mal zwei multiplizieren: 2A1 = 2(½bh) = 2(½ab) = ab. Die Fläche des dritten Dreiecks ist A2 = ½bh = ½c*c = ½c2. Die Gesamtfläche des Trapezes ist A1 + A2 = ab + ½c2. Weil beide Berechnungen der Gesamtfläche des Trapezes entsprechen, kannst du sie gleichsetzen. Wenn sie gleichgesetzt sind, kannst du die Gleichung auf ihre einfachste Form verkürzen.   ½(a2 + 2ab + b2) = ab + ½c2. Multipliziere beide Seiten mit 2, um das ½ loszuwerden: (a2 + 2ab + b2) = 2ab + c2. Subtrahiere das 2ab weg: a2 + b2 = c2. Du erhältst den Beweis: a2 + b2 = c2. Kongruente Dreiecke sind solche, die drei identische Seiten haben. Bezeichne die Längen der Schenkel mit a und b und die Länge der Hypotenuse mit c. Der Satz des Pythagoras besagt, dass die Summe der Quadrate der beiden Schenkel eines rechtwinkeligen Dreiecks der Hypotenuse zum Quadrat entspricht, wir müssen also beweisen, dass a2 + b2 = c2. Denke daran, dass der Satz des Pythagoras sich nur bei rechtwinkeligen Dreiecken anwenden lässt. Wenn die Dreiecke so hingelegt sind, bilden sie ein kleineres Quadrat (in Grün) innerhalb des größeren Quadrates, das vier gleich lange Seiten mit der Länge c hat, der Hypotenuse jedes der Dreiecke. Das größere Quadrat hat Seiten mit der Länge a+b. Du kannst die gesamte Anordnung um 90 Grad drehen und sie wird exakt gleich aussehen. Das kannst du so oft wiederholen, wie du möchtest. Das ist nur deswegen möglich, weil die vier Winkel in den Ecken gleich sind. Wieder werden die Seiten des größeren Quadrates die Länge a+b haben, in dieser Anordnung gibt es aber zwei Rechtecke (in Grau) von gleicher Größe und zwei kleinere Quadrate innerhalb des größeren Quadrates. Das kleinere der beiden Quadrate (in Rot) dessen Seiten die Länge a haben, während das größere Quadrat (in Blau) Seiten mit der Länge b hat. Die Hypotenuse der ursprünglichen Dreiecke ist nun die Diagonale der beiden Rechtecke, die von den Dreiecken gebildet werden. In beiden Fällen haben wir ein größeres Quadrat mit einer Seitenlänge von a+b. Dementsprechend ist die Fläche der beiden großen Quadrate gleich. Wenn du beide Anordnungen betrachtest, siehst du, dass die Gesamtfläche des grünen Quadrates gleich sein muss wie die Flächen des roten und des blauen Quadrates in der zweiten Anordnung zusammen.  In beiden Anordnungen wurde die Fläche in derselben Menge zum Teil bedeckt, vier graue Dreiecke, die sich nicht überlagern. Das bedeutet, dass auch der Bereich, der nicht von den Dreiecken bedeckt wird, in beiden Anordnungen gleich sein muss. Daher müssen die Fläche des roten und des blauen Quadrates zusammen der Fläche des grünen Quadrates entsprechen. Die blaue Fläche ist a2, die rote Fläche, b2 und die grüne Fläche c2. Die roten und blauen Quadrate müssen addiert werden, um der Fläche des grünen Quadrates zu entsprechen, daraus folgt: Blaue Fläche + rote Fläche = grüne Fläche, a2 + b2 = c2. Damit ist der Beweis abgeschlossen.
Zeichne ein Trapez mit einer Basis a + b und den Seiten a und b. Teile das Trapez in drei rechtwinkelige Dreiecke, von denen zwei kongruent sind. Berechne die Fläche des Trapezes mit der Formel für die Fläche. Finde die Fläche, indem du die Flächen der drei Dreiecke addierst. Setze die verschiedenen Berechnungen der Fläche gleich. Zeichne vier kongruente rechtwinkelige Dreiecke. Ordne die Dreiecke so an, dass sie ein Quadrat mit den Seiten a+b formen. Ordne die vier Dreiecke so um, dass sie zwei gleiche Rechtecke innerhalb eines größeren Quadrates bilden. Erkenne, dass der Bereich, der nicht von den Dreiecken gebildet wird, in beiden Anordnungen gleich ist. Setze die Flächen der Anordnungen gleich.
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Using Trapezoids Using Squares