Fortgeschrittenere Themen erkunden Lerne Gleichungen zu vereinfachen/aufzulösen Die grundlegenden Algebra-Regeln lernen Verfeinere deine Algebra-Fertigkeiten Verstehe Variablen
Ein Graph ist ein wertvolles Werkzeug in der Algebra, da es mit ihm möglich ist, unübersichtliche Gleichungen leicht verständlich grafisch darzustellen. In der Algebra für Einsteiger sind die meisten Graphen auf zwei Variablen (normalerweise x und y) beschränkt und werden mit einem einfach 2-D Graphen und einer x-Achse und einer y-Achse dargestellt. Bei diesen Gleichungen musst du einfach nur einen Wert für x einsetzen und nach y auflösen (oder umgekehrt), um zwei Werte für einen bestimmten Punkt auf dem Graphen zu bekommen.  Wenn die Gleichung z.B. y = 3x lautet, können wir 2 für x einsetzen und bekommen y = 6. Das bedeutet, der Punkt (2,6) (zwei Schritte rechts des Ursprungs und sechs Schritte nach oben) liegt auf dem Graphen der Gleichung. Gleichungen der Form y = mx + b (wobei m und b Zahlen sind) sind besonders verbreitet in der grundlegenden Algebra. Diese Gleichungen haben die Steigung m und schneiden die y-Achse bei y = b. Was ist zu tun, wenn deine Gleichung kein Gleichheitszeichen besitzt? Wie sich herausstellt, ist das Vorgehen gar nicht so verschieden. Bei Ungleichungen verwenden wir die Zeichen „>“ (größer als) und „<“ (kleiner als) und lösen ganz normal. Am Ende bekommst du eine Lösung, die entweder größer oder kleiner als deine Variable ist.  Wenn wir z.B. die Ungleichung 3 > 5x – 2 lösen wollen, gehen wir wie bei einer normalen Gleichung vor:  3 > 5x - 2 5 > 5x 1 > x, oder x < 1.   Das Ergebnis sagt aus, dass „jede Zahl kleiner als eins“ für x funktioniert. In anderen Worte, für x kann 0, -1, -2 usw. eingesetzt werden. Wenn wir diese Werte für x einsetzen, bekommen wir immer eine Lösung, die kleiner 3 ist. Eines der Algebra-Themen, bei dem viele Anfänger Probleme haben, ist das Lösen von quadratischen Gleichungen. Quadratische Gleichungen haben die Form ax2 + bx + c = 0, wobei a, b und c Zahlen sind (außer a ist gleich 0). Diese Gleichungen werden mit der Formel x = [-b +/- √(b2 - 4ac)]/2a gelöst. Achte dabei darauf, dass das +/- Zeichen bedeutet, dass du die Lösung mit Addieren und Subtrahieren findest, es also zwei mögliche Lösungen für diese Aufgaben geben kann. Versuchen wir als Beispiel die quadratische Formel 3x2 + 2x -1 = 0 zu lösen.  x = [-b +/- √(b2 - 4ac)]/2a x = [-2 +/- √(22 - 4(3)(-1))]/2(3) x = [-2 +/- √(4 - (-12))]/6 x = [-2 +/- √(16)]/6 x = [-2 +/- 4]/6 x = -1 und 1/3 Mehr als eine Gleichung auf einmal zu lösen klingt super kompliziert, wenn du es aber mit einfachen Gleichungen zu tun hast, ist es gar nicht so schwer. Algebra-Lehrer verwenden für die Lösung dieser Aufgaben oft einen grafischen Ansatz. Wenn du es z.B. mit zwei Gleichungen zu tun hast, entspricht die Lösung den Punkten, an dem sich die Graphen der beiden Gleichungen schneiden.  Wenn wir z.B. mit einem Gleichungssystem aus den beiden Gleichungen y = 3x - 2 und y = -x – 6 arbeiten, können wir die beiden Gleichungen als Linie aufzeichnen. Als Graphen bekommen wir eine Linie, die steil ansteigt und eine, die leicht abfällt. Da sich diese beiden Linie im Punkt (-1,-5) schneiden, ist dieser auch die Lösung des Gleichungssystems.  Wenn wir unsere Lösung noch einmal überprüfen wollen, können wir sie in die beiden Gleichungen einsetzen. Die richtige Lösung sollte für beide Gleichungen funktionieren.  y = 3x - 2 -5 = 3(-1) - 2 -5 = -3 - 2 -5 = -5 y = -x - 6 -5 = -(-1) - 6 -5 = 1 - 6 -5 = -5   Beide Gleichungen „gehen auf“. Unsere Antwort ist also richtig. Eine algebraische Gleichung zu lösen, bedeutet normalerweise, die Variable zu bestimmen. Algebraische Gleichungen setzen sich gewöhnlich aus Zahlen und/oder Variablen auf beiden Seiten zusammen, wie z.B.: x + 2 = 9 × 4. Um die Variable zu bestimmen, musst du sie auf einer Seite der Gleichung isolieren (die Gleichung nach der Variable „auflösen“). Was dann auf der anderen Seite des Gleichheitszeichen steht, ist deine Lösung. In diesem Beispiel (x + 2 = 9 × 4) müssen wir das „+2“ loswerden, damit die Variable alleine auf der linken Seite steht. Dazu musst du 2 von der linken Seite der Gleichung subtrahieren und bekommst die Gleichung x = 9 × 4. Um aber beide Seiten der Gleichung gleich zu halten, musst du auch 2 von der rechten Seite abziehen. Damit bekommen wir, x = 9 × 4 – 2. Indem wir der richtigen Reihenfolge der Rechenoperationen folgen, multiplizieren wir zuerst, subtrahieren dann und bekommen die Lösung x = 36 - 2 = 34. Wie wir gerade gesehen haben, müssen wir oft die Zahl neben der Variable „loswerden“, um sie zu isolieren. Dazu führen wir die „gegensätzliche“ Rechenoperation auf beiden Seiten der Gleichung aus. Wenn wir z.B. die Gleichung x + 3 = 0 lösen müssen, müssen wir das „+3“ loswerden, um die Variable x zu isolieren. Deswegen subtrahieren wir auf beiden Seiten 3. Die „+3“ und die „-3“ heben sich gegenseitig auf, wodurch x auf einer Seite der Gleichung alleine steht: x = -3. Grundsätzlich heben sich Addition und Subtraktion auf – wenn du das eine machst, kannst du das andere loswerden. Siehe unten:  Für Addition, subtrahiere. Beispiel: x + 9 = 3 → x = 3 - 9  Für Subtraktion, addiere. Beispiel: x - 4 = 20 → x = 20 + 4 Multiplikation und Division sind ein wenig komplizierter als Addition und Subtraktion, haben aber die gleiche „gegensätzliche“ Beziehung. Wenn du ein "× 3" auf eine Seite einer Gleichung siehst, kannst du es auflösen, indem du beide Seiten durch 3 dividierst usw. Bei Multiplikation und Division musst du die gegenteilige Rechenoperation auf die gesamte Seite der Gleichung anwenden, auch wenn sie aus mehr als einer Zahl besteht. Siehe unten:  Für Multiplikation, dividiere. Beispiel: 6x = 14 + 2→ x = (14 + 2)/6  Für Division, multipliziere. Beispiel: x/5 = 25 → x = 25 × 5 Exponenten sind ein recht fortgeschrittenes Grundlagenkonzept, wenn du dir dabei also nicht sicher bist, lies dir vorher unseren entsprechenden Artikel dazu durch. Das „Gegenteil“ eines Exponenten ist die entsprechende Wurzel desselben Grades. Das Gegenteil eines 2 Exponenten ist z.B. die Quadratwurzel (√), das Gegenteil eines 3 Exponenten ist die dritte Wurzel (3√, auch selten „Kubikwurzel“) und so weiter. Das kann ein wenig verwirrend sein, aber in diesem Fall, ziehst du die Wurzel auf beiden Seiten, um den Exponenten auszugleichen. Oder du nimmst den Exponenten (rechnest also „hoch (Grad der Wurzel)“) von beiden Seiten, wenn du es mit einer Wurzel zu tun hast. Siehe unten:  Für Exponenten, ziehe die Wurzel. Beispiel: x2 = 49 → x = √49  Für Wurzeln, nimm den Exponenten. Beispiel: √x = 12 → x = 122 Um Algebra zu verstehen, musst du zunächst die grundlegenden Rechenoperationen wie Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren und Dividieren verstehen. Diese Grundschul-/Unterstufenmathematik ist die absolute Voraussetzung für das Verständnis von Algebra. Wenn du diese Fertigkeiten nicht wirklich verinnerlicht hast, wirst du die komplexeren Konzepte in der Algebra nur sehr schwer verstehen können. Wenn du dein Wissen über diese Rechenoperationen noch einmal auffrischen willst, versuche es z.B. mit diesem Artikel. Du musst diese Rechnungen nicht unbedingt alle im Kopf lösen können, in den meisten Algebra-Klassen kannst du einen Taschenrechner einsetzen, um bei diesen einfachen Operationen Zeit zu sparen. Für den Fall, dass du keinen Taschenrechner einsetzen darfst, solltest du aber das grundlegende Konzept hinter diesen Vorgängen verstanden haben und anwenden können. Als Algebra-Anfänger ist es oft schwer zu verstehen, womit man bei der Lösung einer Gleichung anfangen soll. Zum Glück gibt es dafür eine feste Reihenfolge: als erstes führe alle Berechnungen innerhalb von Klammern aus, dann löse die Exponenten auf, dann multipliziere, dann dividiere, dann addieren und schlussendlich kannst du subtrahieren. Um dir diese Reihenfolge besser merken zu können, kannst du dir das Akronym „KEMDAS“ einprägen. Um es noch einmal zu rekapitulieren:   Klammern  Exponenten  Multiplikation  Division  Addition  Subtraktion Eine Kurzform von „KEMDAS“ ist auch der oft gehörte Ausdruck „Punkt vor Strich“. „Punkt vor Strich“ bedeutet, dass die Rechenoperationen mit einem „Punkt“ (also Multiplikation und Division) immer vor den Rechenoperationen mit einem „Strich“ (also Addition und Subtraktion) ausgeführt werden müssen. Die Reihenfolge der Rechenoperationen ist in der Algebra sehr wichtig, da eine falsche Reihenfolge das Ergebnis beeinflussen kann. Wenn wir z.B. folgende Aufgabe lösen müssen: 8 + 2 * 5. Angenommen, wir addieren zuerst 2 und 8, das ergibt 10, und multiplizieren erst dann mit 5, bekommen wir: 10 * 5 = 50. Wenn wir aber richtigerweise zuerst 2 und 5 multiplizieren (also „Punkt vor Strich“), bekommen wie 8, dazu addieren wir 10 und bekommen als Ergebnis 18. Nur die zweite Antwort ist richtig. In der Algebra kommen negativen Zahlen häufig vor, also solltest du dir anschauen, wie du diese addierst, subtrahierst, multiplizierst und dividierst, bevor du mit komplexeren Themen beginnst. Weiter unten findest du die grundlegenden Regeln für den Umgang mit negativen Zahlen, wenn du mehr darüber lernen willst, lies dir entsprechende Artikel dazu durch.  Auf einem Zahlenstrahl ist der Abstand der negativen Zahlen zur Null genauso groß, wie der ihres positiven Gegenstücks, nur in die andere Richtung. Wenn du zwei negative Zahlen addierst, machst du sie „noch negativer“ (also in anderen Worten, die Zahl wird größer; aber da sie negativ ist, zählt sie als kleiner). Zwei negative Vorzeichen heben sich auf – eine negative Zahl zu subtrahieren, ist dasselbe, wie eine positive Zahl zu addieren. Wenn du zwei negative Zahlen multiplizierst oder dividierst, bekommst du ein positives Ergebnis. Wenn du eine positive und eine negative Zahl multiplizierst oder dividierst, bekommst du ein negatives Ergebnis. Während einfache Algebra-Aufgaben im Handumdrehen gelöst werden können, können kompliziertere Aufgaben viele, viele Schritte benötigen. Um Fehler zu vermeiden, solltest du geordnet vorgehen, indem du für jeden neuen Schritt eine neue Zeile beginnst. Wenn du es mit einer Gleichung mit zwei Seiten zu tun hast, schreibe alle Gleichheitszeichen („=“) untereinander. So ist es viel einfacher einen Fehler zu finden und ihn zu korrigieren. Um z.B. die Gleichung 9/3 - 5 + 3 × 4 zu lösen, gehen wir folgendermaßen vor:  9/3 - 5 + 3 × 4 9/3 - 5 + 12 3 - 5 + 12 3 + 7 10 Wenn du Probleme damit hast, dir die Algebra-Aufgaben vorzustellen, versuche Diagramme und Bilder zu verwenden, um dir die Gleichung zu verdeutlichen. Du kannst auch stattdessen eine Gruppe physikalischer Objekte (wie Blöcke oder Münzen) verwenden, wenn du welche zur Hand hast.  Lösen wir z.B. die Gleichung x + 2 = 3 mit Hilfe von Blöcken (☐):  x +2 = 3 ☒+☐☐ =☐☐☐ Hier müssen wir beiden Seiten der Gleichung mit 2 subtrahieren, dazu entfernen wir einfach zwei Blöcke (☐☐) auf beiden Seiten: ☒+☐☐-☐☐ =☐☐☐-☐☐ ☒=☐, oder x = 1    Als ein weiteres Beispiel versuchen wir es mit 2x = 4:  ☒☒ =☐☐☐☐ Hier dividieren wir beiden Seiten durch 2, indem wir die Blöcke auf beiden Seiten in zwei Gruppen aufteilen: ☒|☒ =☐☐|☐☐ ☒ = ☐☐, oder x = 2 Wenn du eine Textaufgabe in eine algebraische Gleichung umwandelst, solltest du deine Formel mit einfachen Werten auf ihre Richtigkeit prüfen. Macht die Gleichung Sinn, wenn ich x = 0 einsetze? Was ist mit x = 1? Oder x = -1? Flüchtigkeitsfehler sind schnell passiert und schon hast du statt p= d/6 die Gleichung p = 6d auf dem Papier stehen. So etwas lässt sich aber leicht vermeiden, wenn du vor dem Fortfahren schnell überprüfst, ob deine Gleichung auch Sinn macht. Nehmen wir z.B. an, in einer Aufgabe ist uns gegeben, dass ein Fußballfeld immer 30 m länger als breit sein soll. Diese Aussage können wir mit der Gleichung l = b + 30 darstellen. Wenn wir jetzt unsere Gleichung testen wollen, setzen wir einfache Werte für b ein. Wenn das Feld also z.B. 10 m breit ist, wäre es 10 + 30 = 40 m lang. Wäre es 30 m breit, wäre es 30 + 30 = 60 m lang usw. Das macht Sinn – wir erwarten, dass das Feld länger wird, wenn es breiter wird. Die Gleichung ist also vernünftig. Die Antwort auf eine Algebra-Aufgabe oder eine andere fortgeschrittene Aufgabe ist nicht immer eine runde, einfache Zahl. Es kann eine Dezimalzahl, ein Bruch oder sogar eine irrationale Zahl sein. Ein Taschenrechner kann dir bei diesen komplizierteren Ergebnissen helfen, aber denke dabei daran, dass dein Lehrer von dir vielleicht eine exakte Antwort in einer bestimmten Form erwartet, keine unhandliche Dezimalzahl. Nehmen wir z.B. an, wir haben eine algebraische Gleichung auf die Form x = 12507 vereinfacht. Wenn wir jetzt 12507 in den Taschenrechner eingeben, bekommen wir eine lange Reihe an Dezimalstellen (und da der Bildschirm des Taschenrechners begrenzt ist, nicht die vollständige Lösung). In diesem Fall sollten wir unsere Lösung also einfach als 12507 angeben oder sie in wissenschaftlicher Schreibweise darstellen. Eines der heikelsten Themen der Algebra ist die Faktorisieren von Gleichungen (das Zerlegen in einzelne Faktoren): eine Art Abkürzung, mit der du komplizierte Gleichungen schnell vereinfachen kannst. Faktorisierung ist eine etwas fortgeschrittenere Technik, solltest du also Probleme damit haben, lies dir unbedingt den oben verlinkten Artikel dazu durch. Im Anschluss findest du nur einige kurze Tipps, um Gleichungen zu faktorisieren:  Gleichungen der Form ax + ba können in die Faktoren a(x + b) zerlegt werden. Beispiel: 2x + 4 = 2(x + 2) Gleichungen der Form ax2 + bx können in die Faktoren cx((a/c)x + (b/c)) zerlegt werden, wobei c der größte gemeinsame Teiler von a und b ist. Beispiel: 3y2 + 12y = 3y(y + 4) Gleichungen der Form x2 + bx + c können in die Faktoren (x + y)(x + z) zerlegt werden, wobei y × z = c und yx + zx = bx ist. Beispiel: x2 + 4x + 3 = (x + 3)(x + 1). Fortschritte in Algebra (und in jedem anderen Teilgebiet der Mathematik) erfordern viel harte Arbeit und Wiederholung. Keine Sorge – wenn du in der Klasse aufpasst, all deine Hausaufgaben machst und dich an deinen Lehrer oder an Mitschüler wendest, solltest du einmal Hilfe benötigen, wird dir Algebra schon bald in Fleisch und Blut übergehen. Wenn dir Algebra weiter schwer fällt, keine Sorge – du musst da nicht alleine durch. Dein Lehrer sollte deine erste Ansprechperson sein, wenn du noch offene Fragen hast. Gehe nach der Klasse zu deinem Lehrer und bitte ihn höflich um Hilfe. Ein guter Lehrer wird normalerweise immer gerne dazu bereit sein, dir das aktuelle Thema nach der Schule noch einmal kurz zu erläutern und dir zusätzliches Übungsmaterial zukommen zu lassen. Wenn dir dein Lehrer, aus welchen Gründen auch immer, nicht helfen kann, erkundige dich an deiner Schule nach Nachhilfemöglichkeiten. Viele Schulen bieten ein Nachmittagsprogramm an, in dem dir zusätzliche Zeit und Aufmerksamkeit geschenkt wird, um bestimmte Themen zu verinnerlichen. Vergiss nicht, freiwillig angebotene Hilfe anzunehmen, ist nichts, was dir peinlich sein müsste – es ist ein Zeichen dafür, dass du clever genug bist, ein Problem zu lösen! Sollte deine Schule kein eigenes Nachhilfeprogramm anbieten, sprich mit deinen Eltern über private Nachhilfestunden. In der Algebra wirst du in Gleichungen auf Buchstaben und Symbole stoßen, die keine Zahlen sind. Diese nennt man Variablen. Variablen sind aber nicht so verwirrend, wie sie auf den ersten Blick zu sein scheinen – sie sind nur eine Möglichkeit, um Werte anzugeben, die noch nicht bekannt sind. Hier sind einige Beispiele für Variablen in der Algebra:  Buchstaben wie x, y, z, a, b und c. Griechische Buchstaben wie θ oder δ Anmerkung: Nicht jedes Symbol muss für eine unbekannte Variable stehen. So entspricht z.B. pi, oder π, immer in etwa 3,1459. Wie oben bereits erwähnt, sind Variablen grundsätzlich einfach Zahlen mit unbekanntem Wert. In anderen Worten, es gibt „irgendwelche Zahlen“, die anstelle der Variable eingesetzt, die Gleichung erfüllen. In Algebra-Aufgaben musst du oft diese Variable bestimmen - sieh sie als „geheimnisvolle Zahlen“ an, die du entdecken willst.  So ist z.B. in der Gleichung „2x + 3 = 11“ x unsere Variable. Das bedeutet, wenn wir anstelle des x einen bestimmten Wert einsetzen, wird die linke Seite der Gleichung gleich 11. Da  2 × 4 + 3 = 11, ist die Lösung in diesem Fall x = 4. Eine einfache Möglichkeit, ein besseres Verständnis von Variablen zu bekommen, ist sie in Algebra-Aufgaben mit einem Fragezeichen zu ersetzen. Wir können z.B. die Gleichung 2 + 3 + x = 9 zu 2 + 3 + ? = 9 umschreiben. Dadurch ist leichter zu erkennen, was wir in dieser Aufgabe zu tun haben – wir müssen einfach nur herausfinden, welche Zahl zu 2 + 3 = 5 addiert werden muss, damit wir das Ergebnis 9 bekommen. Das Ergebnis lautet natürlich 4. Was tust du, wenn dieselbe Variable mehr als einmal in einer Gleichung auftritt? Auch wenn das auf den ersten Blick kompliziert erscheint – du kannst Variablen wie ganz normale Zahlen behandeln. In anderen Worten, du kannst sie addieren, subtrahieren usw., solange du nur gleiche Variablen kombinierst. In anderen Worten, x + x = 2x, aber x + y ist nicht gleich 2xy.  Schauen wir uns z.B. die Gleichung 2x + 1x = 9 an. In diesem Fall können wir 2x und 1x addieren und bekommen 3x = 9. Da 3 * 3 = 9, wissen wir, dass die Lösung x = 3 sein muss. Achte aber immer darauf, dass du nur „gleiche“ Variablen addierst. In der Gleichung 2x + 1y = 9 können wir 2x und 1y nicht addieren, da es sich dabei um verschiedene Variablen handelt. Das gilt auch dann, wenn eine Variable einen anderen Exponenten als eine andere hat. In der Gleichung 2x + 3x2 = 10 können wir z.B. auch nicht 2x und 3x2 kombinieren, da die Variable x verschiedene Exponenten hat. Wenn du mehr über dieses Thema lernen willst, lies dir den entsprechenden Artikel dazu durch.
Lerne, wie man eine x/y Gleichung grafisch darstellt. Lerne, wie du Ungleichungen lösen kannst. Gehe quadratische Gleichungen an. Experimentiere mit Gleichungssystemen. Versuche die Variable auf einer Seite der Gleichung zu isolieren. Gleiche Addition mit Subtraktion (und umgekehrt) aus. Gleiche Multiplikation mit Division aus (und umgekehrt). Gleiche Exponenten aus, indem du die Wurzel ziehst (und umgekehrt). Schaue dir noch einmal die Grundrechenarten an. Kenne die Reihenfolge der Rechenoperationen. Verstehe die Verwendung von negativen Zahlen. Verstehe, wie du lange Aufgaben richtig ordnest. Verwende Bilder, um Aufgaben besser zu verstehen. Überprüfe deine Gleichung mit einfachen Werten darauf, ob sie „Sinn“ macht (gerade bei Textaufgaben). Sei dir bewusst, dass die Lösung von algebraischen Gleichungen nicht immer eine ganze Zahl sein muss. Wenn du dich fit genug in grundlegender Algebra fühlst,versuche es mit Faktorisierung. Übe, übe, übe! Bitte deinen Lehrer um Hilfe, wenn du kniffligere Algebra-Themen nicht verstehst. Achte auf Symbole, die keine Zahlen sind. Sieh Variablen als „unbekannte“ Zahlen an. Wenn eine Variable mehr als einmal auftritt, vereinfache die Gleichung.
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