Verstehen, wie diese Berechnung funktioniert Kubikwurzeln mit wiederholten Schätzungen berechnen Ein Beispiel für eine Kubikwurzel-Aufgabe durcharbeiten
Um zu verstehen, warum dieser Algorithmus dazu geeignet ist, Kubikwurzeln zu berechnen, musst du dich zuerst daran erinnern, wie die Kubik-Erweiterung für ein Binom aussieht. Du hast es vermutlich in Algebra in der Schule gelernt (und es vermutlich, wie die meisten Leute, gleich wieder vergessen). Wähle zwei Variablen A{\displaystyle A} und B{\displaystyle B} aus, die einzelne Ziffern repräsentieren. Kreiere dann das Binom von (10A+B){\displaystyle (10A+B)}, das eine Zahl mit zwei Ziffern repräsentiert. Den Term 10A{\displaystyle 10A}  zu verwenden kreiert eine Zahl mit zwei Ziffern. Welche Ziffer auch immer du für A{\displaystyle A}, 10A{\displaystyle 10A} auswählst, setzt du diese Ziffer in die Zehnerspalte. Falls zum Beispiel A{\displaystyle A} 2 ist und B{\displaystyle B} 6, dann wird aus (10A+B){\displaystyle (10A+B)} 26. Wir arbeiten hier rückwärts, indem wir zuerst die dritte Potenz kreieren, um dann zu sehen, warum die Lösung bei Kubikwurzeln funktioniert. Wir müssen den Wert von (10A+B)3{\displaystyle (10A+B)^{3}} berechnen. Dazu multiplizierst du (10A+B)∗(10A+B)∗(10A+B){\displaystyle (10A+B)*(10A+B)*(10A+B)}. Das ist zu lang, um es hier anzuzeigen, aber das Endergebnis beträgt 1000A3+300A2B+30AB2+B3{\displaystyle 1000A^{3}+300A^{2}B+30AB^{2}+B^{3}}. Zu mehr über das Erweitern des Binoms, um dieses Ergebnis herauszubekommen, kannst du dir online etwas über das Multiplizieren von Binomen ansehen. Oder lies eine fortgeschrittene, abgekürzte Version über Berechnungen von (x+y)^n mit dem Pascalschen Dreieck. Beachte, dass die Methode zur Berechnung der Kubikwurzel wie eine schriftliche Division funktioniert. Bei der schriftlichen Division suchst du nach zwei Faktoren, die miteinander multipliziert werden, um das Produkt der Zahl zu ergeben, mit der du anfängst. In der Berechnung hier ist die Zahl, nach der du suchst (die Zahl, die oben auf dem Wurzelzeichen landet), die Kubikwurzel, Das bedeutet, dass sie den (10A+B)-Term repräsentiert. Die tatsächlichen A und B sind fürs Erste irrelevant, solange du nur die Beziehung zur Lösung erkennst. Wenn du dir das erweiterte Polynom ansiehst, kannst du sehen, warum der Kubikwurzel-Algorithmus funktioniert. Erkenne, dass der Teiler jedes Schritts des Algorithmus' die Summe der vier Terme ist, die du berechnen und miteinander addieren musst. Diese Terme kommen wie folgt zusammen:  Der erste Term enthält ein Vielfaches von 1.000. Du wählst zuerst eine Zahl, die hoch drei genommen werden und innerhalb der Bandbreite für die schriftliche Division für die erste Ziffer bleiben könnte. Das liefert den Term 1.000^3 in der binomischen Erweiterung. Der zweite Term der binomischen Erweiterung hat den Koeffizienten von 300. (Dieser kommt eigentlich von 3∗102{\displaystyle 3*10^{2}}.) Rufe dir in Erinnerung, dass die erste Ziffer in jedem Schritt mit 300 multipliziert wird. Die zweite Ziffer in jedem Schritt der Kubikwurzel-Berechnung kommt vom dritten Term der binomischen Erweiterung. In der binomischen Erweiterung kannst du den Term 30AB^2 sehen. Die letzte Ziffer jedes Schritts ist der Term B^3. Wenn du den schriftlichen Divisionsalgorithmus durchführst, liefert jeder Schritt, den du fertigstellst, deiner Antwort mehr Genauigkeit. Zum Beispiel war es die in diesem Artikel bearbeitete Beispielaufgabe, die Kubikwurzel aus 10 zu berechnen. Im ersten Schritt ist die Lösung nur 2, weil 23{\displaystyle 2^{3}} nahe an, aber weniger als 10 ist und zwar 23=8{\displaystyle 2^{3}=8}. Nach einer zweiten Runde bekommst du die Lösung von 2,1. Wenn du dieses ausarbeitest, 2,13=9,261{\displaystyle 2,1^{3}=9,261}, welches viel näher am gewünschten Wert von 10 liegt. Nach einer dritten Runde hast du 2,15, welches 2,153=9,94{\displaystyle 2,15^{3}=9,94} ergibt. Du kannst in Gruppen von drei Ziffern weiterarbeiten, um eine so genaue Antwort zu bekommen, wie du brauchst. Du kannst die Frage nach der Kubikwurzel beinahe jeder Zahl beantworten, indem du wie folgt vorgehst. Fange damit an, eine vollendete Kubikzahl auszuwählen, die dem Ziel so nahe wie möglich ist, ohne es zu überschreiten. Erinnere dich (oder benutze eine Tabelle der Kubikzahlen), falls du zum Beispiel die Kubikwurzel aus 600 berechnen möchtest, daran, dass 83=512{\displaystyle 8^{3}=512} und 93=729{\displaystyle 9^{3}=729} ergibt. Daher muss die Lösung für die Kubikwurzel aus 600 irgendetwas zwischen 8 und 9 sein. Du benutzt die Zahlen 512 und 729 als Ober- und Untergrenze deiner Lösung. Die erste Ziffer kam von deinem Wissen über bestimmte Kubikzahlen. Schätze für die nächste Ziffer darauf basierend, wohin dein Ziel zwischen beiden Grenzzahlen fällt, irgendeine Zahl zwischen 0 und 9. Im Arbeitsbeipiel fällt das Ziel von 600 etwa in die Mitte zwischen den Grenzzahlen 512 und 729. Wählte also die 5 als deine nächste Ziffer aus. Probiere, die Schätzung, mit der du augenblicklich arbeitest, zu multiplizieren, um zu sehen, wie nahe du ans Ziel kommst. Multipliziere in diesem Beispiel 8,5∗8,5∗8,5=614,1.{\displaystyle 8,5*8,5*8,5=614,1.} Überprüfe, wohin das Ergebnis im Vergleich zu deinem Ziel fällt, nachdem du deine letzte Schätzung hoch drei genommen hast. Falls das Ergebnis über dem Ziel liegt, musst du deine Schätzung um 1 oder mehr senken. Falls das Ergebnis unter dem Ziel liegt, musst du sie eventuell nach oben angleichen, bis du das Ziel überschreitest. Zum Beispiel ist in dieser Aufgabe 8.53{\displaystyle 8.5^{3}} größer als das Ziel von 600. Also solltest du die Schätzung auf 8,4 reduzieren. Nimm diese Zahl hoch drei und vergleiche sie mit deinem Ziel. Du wirst feststellen, dass 8,4∗8,4∗8,4=592,7{\displaystyle 8,4*8,4*8,4=592,7}. Dieses ist jetzt niedriger als dein Ziel. Daher weißt du, dass die Kubikwurzel aus 600 mindestens 8,4, aber weniger als 8,5 betragen muss. Du fährst mit diesem Prozess fort, Ziffern von 0 bis 9 zu schätzen, bis deine Antwort so präzise ist, wie du sie haben möchtest. Beginne bei jeder Schätzungsrunde damit, dir zu notieren, wo deine letzte Berechnung zwischen die Grenzzahlen fällt. In diesem Arbeitsbeispiel zeigt deine letzte Berechnungsrunde, dass 8,43=592,7{\displaystyle 8,4^{3}=592,7}, während 8,53=614,1{\displaystyle 8,5^{3}=614,1}. Das Ziel von 600 liegt etwas näher an 592 als an 614. Fange also bei deinem nächsten Tipp damit an, eine Zahl zu wählen, die etwas weniger als zur Hälfte zwischen 0 und 9 liegt. Ein guter Tipp wäre die 4 für eine Kubikwurzel-Schätzung von 8,44. Nimm deine Schätzung sooft es nötig ist hoch drei und schaue, wie sie zu deinem Ziel passt. Du solltest nach den Zahlen suchen, die direkt unter und direkt über dem Ziel liegen. Fange bei diesem Arbeitsbeispiel damit an, zu berechnen, dass  8,44∗8,44∗8,44=601,2{\displaystyle 8,44*8,44*8,44=601,2}. Das liegt kaum über dem Ziel, als gehe etwas tiefer und überprüfe 8,43. Das ergibt 8,43∗8,43∗8,43=599,07{\displaystyle 8,43*8,43*8,43=599,07}. Daher weißt du, dass die Kubikwurzel aus 600 irgendetwas über 8,43 und unter 8,44 ist. Fahre mit den Schritten fort, zu schätzen, zu vergleichen und erneut zu schätzen, bis deine Lösung so präzise ist, wie du möchtest. Beachte, dass dein Ziel mit jeder Dezimalstelle immer näher an die tatsächliche Zahl herankommt. Beim Beispiel der Kubikwurzel aus 600, als du zwei Dezimalstellen verwendet hast (8,43), warst du weniger als 1 vom Ziel entfernt. Wenn du mit einer dritten Dezimalstelle weitermachtest, würdest du ausrechnen, dass 8,4343=599,93{\displaystyle 8,434^{3}=599,93}, weniger als 0,1 von der korrekten Antwort entfernt. Die Kubikwurzel einer Zahl auszurechnen sieht nach der Berechnung einer schriftlichen Divisionsaufgabe aus, mit ein paar besonderen Unterschieden. Der erste Schritt ist es, die Aufgabe im richtigen Format zu stellen.  Schreibe die Zahl auf, deren Kubikwurzel du berechnen möchtest. Schreibe die Ziffern in Dreiergruppen auf, wobei du das Dezimalkomma als Ausgangspunkt verwendest. In diesem Beispiel berechnest du die Kubikwurzel aus 10. Schreibe diese als 10,000.000. Die zusätzlichen Nullen lassen mehr Präzision im Ergebnis zu. Zeichne ein Kubikwurzel-Zeichen über die Zahl. Dieses dient demselben Zweck wie die schriftliche Divisionsbalken-Linie. Der einzige Unterschied ist die Form des Symbols. Setze über die Balkenlinie eine Dezimalstelle, direkt oberhalb der Dezimalstelle in der ursprünglichen Zahl. Du benutzt sie in den Berechnungen. Diese Kubikzahlen lauten wie folgt:  13=1∗1∗1=1{\displaystyle 1^{3}=1*1*1=1} 23=2∗2∗2=8{\displaystyle 2^{3}=2*2*2=8} 33=3∗3∗3=27{\displaystyle 3^{3}=3*3*3=27} 43=4∗4∗4=64{\displaystyle 4^{3}=4*4*4=64} 53=5∗5∗5=125{\displaystyle 5^{3}=5*5*5=125} 63=6∗6∗6=216{\displaystyle 6^{3}=6*6*6=216} 73=7∗7∗7=343{\displaystyle 7^{3}=7*7*7=343} 83=8∗8∗8=512{\displaystyle 8^{3}=8*8*8=512} 93=9∗9∗9=729{\displaystyle 9^{3}=9*9*9=729} 103=10∗10∗10=1.000{\displaystyle 10^{3}=10*10*10=1.000} Wähle eine Zahl, die das größtmögliche Ergebnis liefert, das kleiner als der erste Satz dreier Zahlen ist.  In diesem Beispiel lautet der erste Satz aus drei Zahlen 10. Suche nach der größten vollkommenen Kubikzahl, die kleiner als 10 ist. Diese Zahl ist die 8, und ihre Kubikwurzel die 2. Schreibe die Zahl 2 über die Wurzelbalken-Linie, über die Zahl 10. Schreibe den Wert von 23{\displaystyle 2^{3}}, welcher 8 ist, unter die Zahl 10, zeichne eine Linie und subtrahiere, genauso wie du es in einer schriftlichen Division tätest. Das Ergebnis ist eine 2. Nach der Subtraktion hast du die erste Ziffer deiner Lösung. Du musst entscheiden, ob diese eine Ziffer ein ausreichend präzises Ergebnis ist. In den meisten Fällen ist sie es nicht. Du kannst es überprüfen, indem du die Einzelziffer hoch drei nimmst und entscheidest, ob dieses nahe genug an dem Ergebnis ist, das du haben wolltest. Hier solltest du fortfahren, weil  23{\displaystyle 2^{3}} nur 8 ergibt, was nicht sehr nahe an 10 liegt. Schreibe die nächste Dreiergruppe Zahlen in den Rest ab und zeichne links der sich ergebenden Zahl eine kurze senkrechte Linie. Das ist die Basiszahl zur Berechnung der nächsten Ziffer in der Lösung deiner Kubikwurzel. In diesem Beispiel sollte die Zahl 2.000 lauten, welche aus dem Rest 2 der vorherigen Subtraktion und der Dreiergruppe aus Nullen gebildet wird, die du herunterziehst. Links der senkrechten Linie berechnest du den nächsten Teiler als Summe dreier separater Zahlen. Zeichne die Stellen für diese Zahlen, indem du drei leere Unterstreichungen mit Plus-Zeichen dazwischen machst. Schreibe für den ersten Teil des Teilers 300 Mal das Quadrat von was auch immer über dem Wurzelzeichen steht auf. In diesem Fall lautet die Zahl darüber 2, 2^2 ist 4, und 4 * 300 = 1.200. Schreibe also an die erste Stelle 1.200. Der Teiler für diesen Lösungsschritt ist 1.200 plus etwas, das du als Nächstes berechnest. Berechne die nächste Ziffer deiner Lösung, indem du auswählst, was du mit dem Teiler multiplizieren kannst, 1.200-etwas, um es dann vom Rest 2.000 abzuziehen. Das kann nur 1 sein, da zwei Mal 1.200 = 2.400 wäre, welches größer als 2.000 ist. Schreibe die Zahl 1 in den nächsten Freiraum über dem Wurzelzeichen. Der Teiler für diesen Lösungsschritt besteht aus drei Teilen. Der erste Teil ist die 1.200, die du bereits hast. Du musst noch zwei weitere Terme dazu addieren, um den Teiler zu vervollständigen.  Rechne jetzt drei mal zehn mal jede der beiden Ziffern, die in deiner Lösung über dem Wurzelzeichen stehen. Bei dieser Beispielaufgabe bedeutet das 3 * 10 * 2 * 1, welches 60 ergibt. Addiere diese zur 1.200, die du bereits hast, um auf 1.260 zu kommen. Addiere zum Schluss noch das Quadrat der letzten Ziffer. In diesem Beispiel ist es eine 1, und 1^2 ist immer noch 1. Der Gesamtteiler ist demnach 1.200 + 60 + 1, oder 1.261. Schreibe diesen links der senkrechten Linie auf. Vollende diese Runde der Lösung, indem du die letzte Ziffer deiner Lösung – in diesem Fall die Zahl 1 – mit dem Teiler multiplizierst, den du gerade berechnet hast, 1.261. 1 * 1.261 = 1.261. Schreibe diese unter die 2.000 und subtrahiere, um auf 739 zu kommen. Nachdem du den Subtraktionsteil aller Schritte fertiggestellt hast, musst du dir überlegen, ob deine Antwort präzise genug ist. Bei der Kubikwurzel aus 10 war deine Kubikwurzel nach der ersten Subtraktion nur die 2, welche nicht sehr präzise ist. Jetzt, nach einer zweiten Runde, lautet die Lösung 2,1.  Du kannst die Genauigkeit dieses Ergebnisses überprüfen, indem du 2,1 * 2,1 * 2,1 hoch drei nimmst. Das Ergebnis lautet 9,261. Falls du glaubst, dass dein Ergebnis präzise genug ist, kannst du aufhören. Falls du eine präzisere Antwort haben möchtest, musst du mit einer weiteren Runde fortfahren. Berechne die Schritte in diesem Fall für mehr Übung und eine präzisere Antwort in einer weiteren Runde, wie folgt:  Ziehe die nächste Dreiergruppe Ziffern herunter, In diesem Fall sind es drei Nullen, welche dem Rest folgen und 739,000 ergeben. Fange mit dem Teiler mit 300 mal dem Quadrat der Zahl an, die im Augenblick über der Wurzellinie steht. Das ist 300∗212{\displaystyle 300*21^{2}}, welches 132.300 ergibt. Wähle die nächste Ziffer deiner Lösung, damit du sie mit 132.000 multiplizieren kannst und weniger als die 739.000 deines Rests hast. Eine gute Wahl wäre die 5, da 5 * 132.300 = 661.500. Schreibe die Ziffer 5 in den nächsten Freiraum über der Wurzellinie. Rechne 3 mal die vorherige Zahl über der Wurzellinie, 21, mal die letzte Ziffer, die du gerade aufgeschrieben hast, 5, mal 10. Das ergibt 3∗21∗5∗10=3.150{\displaystyle 3*21*5*10=3.150}. Nimm die letzte Ziffer zum Schluss zum Quadrat. Das ergibt 52=25.{\displaystyle 5^{2}=25.}  Addiere alle Teile deines Teilers miteinander, um auf 132.300 + 3.150 + 25 = 135.475 zu kommen. Fahre, nachdem du den Teiler für die nächste Runde berechnet und deine Lösung um eine weitere Ziffer erweitert hast, fort, wie folgt:  Multipliziere den Teiler mit der letzten Ziffer deiner Lösung. 135.475 *5 = 677.375. Subtrahiere. 739.000 - 677.375 = 61.625. Überlege dir, ob die Lösung von 2,15 präzise genug ist. Nimm sie hoch drei, um auf 2,15∗2,15∗2,15=9,94{\displaystyle 2,15*2,15*2,15=9,94} zu kommen. Das Ergebnis über der Wurzel ist die Kubikwurzel, zu diesem Zeitpunkt bis zu drei signifikanten Stellen genau. In diesem Beispiel ist die Kubikwurzel aus 10 2,15. Bestätige dieses, indem du 2,15^3 = 9,94 rechnest, welches annähernd 10 ist. Fahre einfach so lange du möchtest mit dem Prozess fort, falls du mehr Genauigkeit brauchst.
Sieh dir die Binomische Erweiterung durch. Erweitere das Binom zu einer dritten Potenz. Erkenne die Bedeutung des schriftlichen Divisions-Algorithmus'. Sieh dir die erweiterte Version an. Sieh, wie die Genauigkeit zunimmt. Benutze Kubikzahlen, um Ober- und Untergrenzen zu setzen. Schätze die nächste Ziffer. Überprüfe deine Schätzung, indem du sie hoch drei nimmst. Passe deine Schätzung bei Bedarf an. Schätze für mehr Präzision die nächste Ziffer. Fahre damit fort, deine Schätzung zu testen und anzugleichen. Fahre zur Genauigkeit so lange fort, wie gewünscht. Stelle die Aufgabe. Kenne die Kubikzahlen der Einzelziffern. Berechne die erste Ziffer deiner Lösung. Richte dich darauf ein, die nächste Ziffer auszurechnen. Suche nach dem Anfang des nächsten Teilers. Berechne die nächste Zahl in deiner Kubikwurzel-Lösung. Bestimme den Rest des Teilers. Multipliziere und subtrahiere. Entscheide dich, ob du für mehr Genauigkeit fortfahren  möchtest. Berechne den Teiler der nächsten Runde. Multipliziere den Teiler mit deiner Lösungszahl. Schreibe dein Endergebnis auf.
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Understanding How this Calculation Works Finding Cube Roots by Repeated Estimation Working Through a Sample Cube Root Problem