Eine algebraische Gleichung lösen Die Grundlagen
Eine lineare algebraische Gleichung ist nett und einfach, denn sie enthält nur Konstanten und Variablen zum ersten Grad (keine Exponenten oder anderes kompliziertes Zeugs). Um sie zu lösen, benutze einfach Multiplikation, Division, Addition und Subtraktion, wenn nötig, um die Variable zu isolieren, und rechne den Wert für "x" aus. Hier siehst du wie es geht:  4x + 16 = 25 -3x = 4x = 25 -16 - 3x 4x + 3x = 25 -16 = 7x = 9 7x/7 = 9/7 = x = 9/7 Wenn die Gleichung Exponenten enthält, dann musst du nur einen Weg finden, die Variable mit dem Exponenten zu isolieren und dann den Exponenten zu "entfernen" indem du auf beiden Seiten die entsprechende Wurzel ziehst. Hier siehst du wie es geht:  2x2 + 12 = 44 Ziehe zuerst 12 auf beiden Seiten ab.  2x2 + 12 -12 = 44 -12 = 2x2 = 32 Teile dann beide Seiten durch 2.  2x2/2 = 32/2 = x2 = 16 Ziehe nun die Quadratwurzel auf beiden Seiten, denn damit wird x2 zu x. Da aber sowohl die Zahl selbst als auch ihr Negatives quadriert dasselbe Ergebnis haben, müssen wir hier auch die negative Wurzel der Konstanten berücksichtigen und erhalten zwei Lösungen.  √x2 = +-√16 = x = +-4, das heißt, wir haben die beiden Lösungen x = 4 und x = -4. Wenn du einen algebraischen Ausdruck mit Brüchen vereinfachen willst, dann musst du mit dem Kehrwert des Bruches multiplizieren, gleiche Terme zusammenfassen und die Variable isolieren. Hier siehst du, wie du es machen kannst:  (x + 3)/6 = 2/3 Multipliziere zuerst mit den jeweiligen Nennern der Brüche. Du musst den Zähler eines Bruches mit dem Nenner des anderen multiplizieren.  (x + 3) * 3 = 2 * 6 = 3x + 9 = 12 Fasse nun gleiche Terme zusammen. Fasse die Konstanten 9 und 12 zusammen, indem du 9 von beiden Seiten subtrahierst.  3x + 9 - 9 = 12 - 9 = 3x = 3 Isoliere die Variable x, indem du beide Seiten durch 3 teilst und dann hast du das Ergebnis.  3x/3 = 3/3 = x = 3 Wenn du eine algebraische Gleichung mit Quadratwurzeln hast, dann musst du nur einen Weg finden, beide Seiten zu quadrieren, damit du die Wurzel "los werden" kannst und den Wert der Variablen berechnen kannst. Hier siehst du wie es geht:  √(2x+9) - 5 = 0 Verschiebe zuerst alles, was nicht unter der Wurzel steht, auf die andere Seite:  √(2x+9) = 5 Quadriere dann beide Seiten um die Wurzel los zu werden: (√(2x+9))2 = 52 = 2x + 9 = 25 Löse die Gleichung nun wie gewöhnlich, indem du die Konstanten zusammenfasst und die Variable isolierst:  2x = 25 - 9 = 2x = 16 x = 8 Der Betrag einer Zahl ist immer größer oder gleich Null, egal ob die Zahl positiv oder negativ ist. Zum Beispiel ist der Betrag von -3 (geschrieben als |-3|) einfach 3. Um Gleichungen zu lösen, die Beträge enthalten, musst du den Term innerhalb der Betragsstriche isolieren und dann zwei Gleichungen lösen, einmal, indem du die Betragsstriche einfach weg lässt und zum anderen, indem du auf die andere Seite des Gleichheitszeichens ein Minus vor den gesamten Ausdruck schreibst. Hier siehst du wie es geht:  Zuerst isolieren wir den Ausdruck in den Betragsstrichen und lassen die Betragsstriche dann weg: |4x +2| - 6 = 8 = |4x +2| = 8 + 6 = |4x +2| = 14 4x + 2 = 14 = 4x = 12 x = 3 Und jetzt lösen wir die Gleichung, in der wir die Betragsstriche weg gelassen haben und ein Minus vor die andere Seite geschrieben haben:  |4x +2| = 14 4x + 2 = -14 4x = -14 -2 4x = -16 4x/4 = -16/4 = x = -4 Wir schreiben jetzt beide Lösungen hin: x = -4, 3 Ein algebraischer Ausdruck ist ein mathematischer Term, der Zahlen und/oder Variablen enthalten kann. Er enthält kein Gleichheitszeichen und kann deshalb nicht gelöst werden. Eine algebraische Gleichung kann allerdings gelöst werden und enthält algebraische Ausdrücke, die durch ein Gleichheitszeichen getrennt werden. Hier sind ein paar Beispiel:   Algebraischer Ausdruck: 4x + 2  Algebraische Gleichung: 4x + 2 = 100 Das Zusammenfassen gleicher Terme bedeutet, einfach Terme gleichen Grades zu addieren (oder subtrahieren). Das bedeutet, dass alle x2-Terme mit anderen x2-Termen zusammengefasst werden können, dass alle x3-Terme mit x3-Termen zusammengefasst werden können und dass alle Konstanten (Zahlen, die nicht mit Variablen verbunden sind, wie 8 oder 5) auch addiert werden können. Hier ist ein Beispiel:  3x2 + 5 + 4x3 - x2 + 2x3 + 9 = 3x2 - x2 + 4x3 + 2x3 + 5 + 9 = 2x2 + 6x3 + 14 Wenn du eine algebraische Gleichung hast, das heißt, du hast einen Ausdruck auf jeder Seite des Gleichheitszeichens, dann kannst du sie vereinfachen, indem du einen gemeinsamen Term ausklammerst. Schau dir die Koeffizienten aller Terme (die Zahlen vor den Variablen und die Konstanten) an und schau, ob es eine Zahl gibt, die du "ausklammern" kannst, indem du jeden Term durch diese Zahl teilst. Wenn du das tun kannst, dann hast du die Gleichung vereinfacht und bist auf dem Weg sie zu lösen. Hier siehst du wie:  3x + 15 = 9x + 30 Du siehst, dass jeder Koeffizient durch 3 geteilt werden kann. "Klammere" die Zahl 3 aus indem du jeden Term durch 3 teilst und erhalte die vereinfachte Gleichung.  3x/3 + 15/3 = 9x/3 + 30/3 = x + 5 = 3x + 10 Die Reihenfolge der Rechenoperationen erklärt, in welcher Reihenfolge du die verschiedenen mathematischen Operationen durchführen solltest. Die Reihenfolge ist: Klammern, Exponenten, Multiplikation, Division, Addition und Subtraktion. Hier ist ein Beispiel, wie es mit der Reihenfolge funktioniert:  (3 + 5)2 * 10 + 4 Zuerst die Klammer: = (8)2 * 10 + 4 Dann der Exponent: = 64 * 10 + 4 Dann die Multiplikation: = 640 + 4 Und zum Schluss die Addition: = 644 Wenn du eine algebraische Gleichung lösen willst, dann ist dein Ziel, die Variable, oft mit x bezeichnet, auf einer Seite der Gleichung zu haben und die Konstanten auf der anderen Seite. Du kannst x durch Division, Multiplikation, Addition, Subtraktion, Wurzelziehen und andere Operationen isolieren. Sobald du x isoliert hast, kannst du die Lösung berechnen. Hier siehst du wie:  5x + 15 = 65 = 5x/5 + 15/5 = 65/5 = x + 3 = 13 = x = 10
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Solve an Algebraic Equation Understanding the Basics