Die Grundlagen Berechnung der Messunsicherheit bei wiederholten Messungen Rechenoperationen mit Messunsicherheiten
Angenommen, du misst die Länge eines Stocks, der ungefähr 4,2 cm lang ist oder auch ein Millimeter mehr oder weniger. Das bedeutet, dass du weißt, dass der Stock ungefähr 4,2 cm lang, aber er könnte auch ein bisschen kürzer oder länger als diese Messung sein, und der Irrtum könnte einen Millimeter betragen. Schreibe die Messunsicherheit folgendermaßen auf: 4,2 cm ± 0,1 cm oder  4,2 cm ± 1 mm, da 0,1 cm = 1 mm. Messungen, die eine Berechnung der Unsicherheit enthalten, werden typischerweise so gerundet, dass sie eine oder zwei signifikante Stellen haben. Das Wichtigste ist, dass du deine experimentellen Messungen auf die gleiche Stelle rundest wie die Unsicherheit um konsistent zu bleiben.  Wenn deine experimentelle Messung 60 cm ist, dann sollte die Messunsicherheit auch auf eine ganze Zahl gerundet werden. Die Messunsicherheit für diese Messung könnte zum Beispiel als 60 cm ± 2 cm angegeben werden, aber nicht als 60 cm ± 2,2 cm. Wenn deine experimentelle Messung 3,4 cm, ist, dann sollte die Messunsicherheit auf 0,1 cm gerundet werden. Die Messunsicherheit für diese Messung könnte zum Beispiel 3,4 cm ± 0,7 cm sein, aber nicht 3,4 cm ± 1 cm. Angenommen, du misst den Durchmesser eines runden Balles mit einem Lineal. Das ist nicht so leicht, denn da die Umgrenzung des Balles rund ist, kann man das Lineal nicht direkt anlegen. Angenommen, du kannst auf dem Lineal bis auf 0,1 cm genau ablesen -- das heißt aber noch nicht, dass du den Durchmesser auf diesem Genauigkeitsniveau angeben kannst.  Schau dir die Grenzen des Balles und das Lineal an um ein Gefühl dafür zu bekommen wie genau du den Durchmesser angeben kannst. Auf einem Standard-Lineal sind die Markierungen für 0,5 cm deutlich zu sehen -- aber angenommen, du kannst es noch genauer ablesen. Wenn es so aussieht, als ob du es auf 0,3 cm genau ablesen kannst, dann ist deine Unsicherheit 0,3 cm. Miss nun den Durchmesser des Balles. Angenommen du erhältst 7,6 cm. Gib die Messung mit der Unsicherheit an. Der Durchmesser des Balles ist 7,6 cm ± 0,3 cm. Angenommen, du misst einen Stapel mit 10 CD-Hüllen, die alle gleich dick sind. Angenommen, du möchtest die Dicke einer CD-Hülle messen. Diese Messung hat einen so kleinen Wert, dass deine Unsicherheit einen hohen Prozentanteil ausmacht. Aber wenn du 10 CD-Hüllen, die aufeinander liegen, misst, kannst du einfach das Ergebnis und die Unsicherheit durch die Anzahl der CD-Hüllen teilen um die Dicke einer Hülle zu erhalten.  Angenommen, du kannst es auf 0,2 cm genau ablesen mit dem Lineal. Damit ist deine Unsicherheit ± 0,2 cm. Angenommen, die Messung aller CD-Hüllen auf einem Stapel ergibt eine Dicke von 22 cm. Teile jetzt die Messung und die Unsicherheit durch 10, der Anzahl der CD-Hüllen. 22 cm/10 = 2,2 cm und 0,2 cm/10 = 0,02 cm. Das bedeutet, dass die Dicke einer CD-Hülle 2,20 cm ± 0,02 cm ist. Um die Verlässlichkeit deiner Messungen zu erhöhen, egal ob du die Länge eines Objektes oder die Zeit, die ein Objekt braucht um eine bestimmte Distanz zurückzulegen, misst, erhöhst du deine Chance eine genaue Messung zu bekommen, wenn du mehrmals misst. Wenn du den Mittelwert deiner Messungen nimmst, bekommst du ein genaueres Bild über deine Messungen. Angenommen, du willst herausfinden wie lange ein Ball braucht um von Tischhöhe auf den Boden zu fallen. Um ein besseres Ergebnis zu bekommen, musst das wenigstens ein paar mal messen -- sagen wir fünf mal. Dann musst du den Mittelwert der fünf Messungen berechnen und dann die  Standardabweichung zu dem Mittelwert addieren und subtrahieren um das bestmögliche Ergebnis zu bekommen. Angenommen, du hast folgende Zeiten gemessen: 0,43 s, 0,52 s, 0,35 s, 0,29 s, und 0,49 s. Berechne den Mittelwert indem du die fünf Zahlen addierst und das Ergebnis durch fünf teilst, die Anzahl der Messungen. 0,43 s + 0,52 s + 0,35 s + 0,29 s + 0,49 s = 2,08 s. Teile 2,08 durch 5. 2,08 s/5 = 0,42 s. Die Durchschnittszeit ist 0,42 s. Um dies zu tun, berechne erst die Differenz zwischen jeder der fünf Messungen und dem Mittelwert. Subtrahiere dafür die Messung von 0,42 s. Hier sind die fünf Differenzen: 0,43 s - 0,42 s = 0,01 s  0,52 s - 0,42 s = 0,1 s 0,35 s - 0,42 s = -0,07 s 0,29 s - 0,42 s = -0,13 s 0,49 s - 0,42 s = 0,07 s Addiere nun die Quadrate dieser Differenzen: (0,01 s)2 + (0,1 s)2 + (-0,07 s)2 + (-0,13 s)2 +  (0,07 s)2  = 0,037 s2. Berechne den Mittelwert dieser aufaddierten Quadrate indem du das Ergebnis durch 5 teilst. 0,037 s2/5 = 0,0074 s2. Um die Standardabweichung zu berechnen, ziehe einfach die Wurzel aus der Varianz. Die Wurzel aus 0,0074 s2 = 0,09 s und damit ist die Standardabweichung 0,09 s. Um dies zu tun gib den Mittelwert der Messungen zusammen mit der addierten und subtrahierten Standardabweichung an. Da der Mittelwert 0,42 s und die Standardabweichung 0,09 s ist, ist das Ergebnis 0,42 s ± 0,09 s. Um Messungen mit Unsicherheiten zu addieren addiere einfach die Messungen und ihre Unsicherheiten, solange die Messungen und die Unsicherheiten in der gleichen Größenordnung sind:  (5 cm ± 0,2 cm) + (3 cm ± 0,1 cm) = (5 cm + 3 cm) ± (0,2 cm + 0,1 cm) = 8 cm ± 0,3 cm Um Messungen mit Unsicherheiten zu subtrahieren subtrahiere die Messungen, aber addiere die Unsicherheiten, solange die Messungen und die Unsicherheiten in der gleichen Größenordnung sind:  (10 cm ± 0,4 cm) - (3 cm ± 0,2 cm) = (10 cm - 3 cm) ± (0,4 cm + 0,2 cm) = 7 cm ± 0,6 cm Um Messungen mit Unsicherheiten zu multiplizieren multipliziere die Messungen, aber addiere die Unsicherheiten, die du vorher in Prozentzahlen umgewandelt hast. Zum Beispiel:   (6 cm ± .2 cm) = (.2 / 6) x 100 and add a % sign. That is 3.3 % Deshalb: (6 cm ± .2 cm) x (4 cm ± .3 cm) = (6 cm ± 3.3% ) x (4 cm ± 7.5%) (6 cm x 4 cm) ± (3.3 + 7.5) = 24 cm ± 10.8 % = 24 cm ± 2.6 cm Um  Messungen mit Unsicherheiten zu dividieren, dividiere die Messungen, aber addiere die Unsicherheiten, die du vorher in Prozentzahlen umgewandelt hast. Der Prozess ist derselbe wie bei der Multiplikation!  (10 cm ± .6 cm) ÷ (5 cm ± .2 cm) = (10 cm ± 6%) ÷ (5 cm ± 4%) (10 cm ÷ 5 cm) ± (6% + 4%) = 2 cm ± 10% = 2 cm ± 0.2 cm Um Messungen mit Unsicherheiten zu potenzieren, potenziere die Messungen, aber addiere die Unsicherheiten, die du vorher in Prozentzahlen umgewandelt hast.  (2.0 cm ± 1.0 cm)3 = (2.0 cm)3 ± (1.0 cm) x 3 = 8.0 cm ± 3 cm
Gib die Messunsicherheit in einer ordentlichen Form an. Runde den experimentellen Messwert immer auf die gleiche Dezimalstelle wie die Messunsicherheit. Berechne die Messunsicherheit für eine Messung. Berechne die Unsicherheit einer einzelnen Messung verschiedener Objekte. Wiederhole deine Messungen. Miss mehrmals. Berechne den Mittelwert der Messungen. Berechne die Varianz dieser Messungen. Berechne die Standardabweichung. Gib das Ergebnis an. Messunsicherheiten addieren. Subtrahiere Messungen mit Unsicherheiten. Multiplizieren von Messungen mit Unsicherheiten. Division von Messungen mit Unsicherheiten. Potenzen von Messungen mit Unsicherheiten.
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