Primzahlen-Faktorisierung verwenden
Diese Methode nutzt die Faktoren einer Zahl, um ihre Quadratwurzel zu bestimmen (je nach Ausgangszahl, kann das Ergebnis eine exakte numerische Lösung oder eine Annäherung sein). Die Faktoren einer Zahl sind die Zahlen, die zusammen multipliziert die ursprüngliche Zahl ergeben. So kannst du z.B. sagen, dass die Zahl 8 die Faktoren 2 und 4 hat. Da 2*4 = 8 ergibt. Andererseits sind Quadratzahlen ganze Zahlen, die das Quadrat einer anderen ganzen Zahl sind. 25, 36 und 49 sind z.B. Quadratzahlen, da sie auch als 52, 62, and 72 geschrieben werden können. Quadratzahlen-Faktoren sind, wie du wahrscheinlich schon erraten hast, Faktoren, die zudem noch selbst Quadratzahlen sind. Um eine Quadratwurzel mit der Primzahlen-Faktorisierung zu finden, versuche deine Zahl zunächst in kleinere Quadratzahlen-Faktoren aufzuteilen.  Verwenden wir folgendes Beispiel: Wir wollen die Quadratwurzel von 400 per Hand errechnen. Also versuchen wir die Zahl zunächst in kleinere Quadratzahlen aufzuteilen. Da 400 ein Vielfaches von 100 ist, muss es auch durch 25 teilbar sein – eine Quadratzahl. Wir teilen 400 im Kopf durch 25 und erhalten 16. 16 ist zufälligerweise ebenfalls eine Quadratzahl. Also können wir 400 in die Quadratzahlen 25 und 16 aufteilen, da 25 × 16 = 400. Wir schreibe das:  Sqrt(400) = Sqrt(25 × 16) Die Produktregel für Quadratwurzeln besagt, das für alle gegebenen Zahlen a und b gilt, Sqrt(a × b) = Sqrt(a) × Sqrt(b). Aufgrund dieser Eigenschaft können wir die Quadratwurzel der beiden Faktoren ziehen und sie zusammen multiplizieren, um das Endergebnis zu erhalten. In unserem Beispiel würden wir die Wurzel aus 25 und 16 ziehen:  Sqrt(25 × 16) Sqrt(25) × Sqrt(16) 5 × 4 = 20 In der Realität lässt sich die Zahl, von der du die Wurzel ziehen willst, nicht immer perfekt in Quadratzahlen-Faktoren aufteilen. In diesen Fällen kannst du die exakte Antwort nicht als eine ganze Zahl angeben. Indem du aber die Quadratzahlen-Faktoren verwendest, die du finden kannst, kannst du die Wurzel in ein kleineres, einfacheres, leichter zu handhabendes Problem verwandeln. Dazu reduzierst du deine Zahl zu einer Kombination von Faktoren aus Quadratzahlen und „Nicht-Quadratzahlen“ und vereinfachst dann. Nehmen wir die Quadratwurzel von 147 als Beispiel. 147 lässt sich nicht in ein Produkt aus zwei Quadratzahlen aufteilen, wir bekommen also keine ganze Zahl als Ergebnis, wie noch im ersten Beispiel. 147 ist allerdings das Produkt einer Quadratzahl und einer anderen Zahl : 49 und 3. Wir können diese Information nutzen, um einen möglichst einfachen Term als Lösung zu bekommen:  Sqrt(147) = Sqrt(49 × 3) = Sqrt(49) × Sqrt(3) = 7 × Sqrt(3) Wenn du deine Wurzel so vereinfacht hast, ist es meist relativ einfach eine grobe Schätzung des numerischen Endergebnis abzugeben, indem du den Wert der verbleibenden Wurzel abschätzt und ausmultiplizierst. Eine Möglichkeit hierfür ist, die Quadratzahlen knapp darüber und darunter von deiner Zahl zu finden. Dadurch weißt du, dass dein Ergebnis irgendwo zwischen diesen Zahlen sein muss, du kannst es also abschätzen. Gehen wir wieder zurück zu unserem Beispiel: Da  22 = 4 und 12 = 1, wissen wir, dass Sqrt(3) zwischen 1 und 2 liegen muss – wahrscheinlich näher an der 2, als an der 1. Wir schätzen 1,7. 7 × 1.7 = 11,9. Wenn wir diese Antwort mit dem Taschenrechner überprüfen, stellen wir fest, dass wir ziemlich nahe an dem wirklichen Wert, 12,13, liegen. Das funktioniert auch bei größeren Zahlen. Sqrt(35) muss irgendwo zwischen 5 und 6 liegen, wahrscheinlich nahe der 6. 52 = 25 und 62 = 36. 35 liegt zwischen 25 und 36, die Quadratwurzel muss also zwischen 5 und 6 liegen. Da 35 nur eins von 36 weg ist, können wir mit Sicherheit sagen, dass seine Quadratwurzel nur etwas niedriger ist als 6. Die Überprüfung mit dem Taschenrechner gibt uns den Wert 5,92 – wir hatten also recht. Quadratzahlen-Faktoren zu finden ist nicht unbedingt notwendig, wenn du die Primzahlen-Faktoren bestimmen kannst (Faktoren, die gleichzeitig Primzahlen sind). Schreibe die Zahl in ihre kleinstmöglichen Faktoren aus. Dann, überprüfe die Faktoren auf gleiche Paare. Wenn du zwei gleiche Faktoren finden kannst, ziehe beide aus der Wurzel und schreibe eine der beiden vor die Wurzel.  Versuchen wir z.B. die Quadratwurzel von 45 mit dieser Methode zu bestimmen. Wir wissen, dass 45 = 9 × 5 ist. Außerdem ist 9 = 3 × 3. Wir können unsere Quadratwurzel also mit folgenden Faktoren schreiben: Sqrt(3 × 3 × 5). Entferne jetzt einfach die 3'en und ziehe eine davon vor die Wurzel, so bekommst du die vereinfachte Quadratwurzel:' (3)Sqrt(5).' Jetzt ist sie leicht abzuschätzen. Als letztes Beispiel, versuchen wir die Quadratwurzel von 88 zu finden:  Sqrt(88) = Sqrt(2 × 44) = Sqrt(2 × 4 × 11) = Sqrt(2 × 2 × 2 × 11). Wir haben mehrere 2'en in unserer Wurzel. Da 2 eine Primzahl ist, können wir ein Paar entfernen und eine 2 vor die Wurzel schreiben. = Unsere vereinfachte Quadratwurzel ist also (2) Sqrt(2 × 11) oder (2) Sqrt(2) Sqrt(11). Jetzt können wir Sqrt(2) und Sqrt(11) abschätzen und eine geschätzte Antwort finden, wenn wir das wollen.
Teile deine Zahl in kleinere Quadratzahlen-Faktoren auf. Ziehe die Wurzel aus deinen Faktoren. Sollte deine Ausgangszahl sich nicht perfekt faktorisieren lassen, reduziere deine Antwort auf einen möglichst einfachen Term. Falls notwendig, schätze das Ergebnis ab. Alternativ, reduziere als ersten Schritt die Zahl auf ihre Primzahlen-Faktoren.
https://www.wikihow.com/Calculate-a-Square-Root-by-Hand
Using Prime Factorization