Gleichungen mit einer Variable auf beiden Seiten lösen Gleichungssysteme mit zwei Variablen lösen Beispielaufgaben lösen
Das Distributivgesetz besagt, dass a(b+c)=ab+ac{\displaystyle a(b+c)=ab+ac}. Diese Regel ermöglicht es dir, Klammern aufzulösen, indem du jeden Term in der Klammer mit der Zahl außerhalb der Klammern multiplizierst. Wenn deine Gleichung zum Beispiel 2(10−2x)=4(2x+2){\displaystyle 2(10-2x)=4(2x+2)} ist, wendest du das Distributivgesetz an, um die Terme in der Klammer mit der Nummer außerhalb der Klammer zu multiplizieren:2(10−2x)=4(2x+2){\displaystyle 2(10-2x)=4(2x+2)}20−4x=8x+8{\displaystyle 20-4x=8x+8} Um die Variable zu streichen, führst du die gegenteilige Operation von der aus, die in der Gleichung angegeben ist. Wenn der Term zum Beispiel in der Gleichung subtrahiert wird, löst du ihn auf, indem du ihn addierst. Wenn der Term in der Gleichung addiert wird, streichst du ihn, indem du ihn subtrahierst. Gewöhnlich ist es einfacher, die Variable mit dem kleineren Koeffizienten aufzulösen. In der Gleichung 20−4x=8x+8{\displaystyle 20-4x=8x+8} zum Beispiel streichst du den Term −4x{\displaystyle -4x} indem du 4x{\displaystyle 4x} addierst:20−4x+4x=8x+8{\displaystyle 20-4x+4x=8x+8}. Was auch immer du auf einer Seite der Gleichung tust, musst du auch auf der anderen Seite machen. Wenn du addierst oder subtrahierst, um die Variable auf einer Seite der Gleichung zu streichen, musst du auch auf der anderen Seite addieren oder subtrahieren. Wenn du zum Beispiel 4x{\displaystyle 4x} auf der einen Seite der Gleichung addiert hast, um die Variable zu streichen, musst du auch 4x{\displaystyle 4x} zu der anderen Seite der Gleichung addieren:20−4x+4x=8x+8+4x{\displaystyle 20-4x+4x=8x+8+4x} Du solltest nun die Variable auf einer Seite der Gleichung haben. Zum Bespiel:20−4x+4x=8x+8+4x{\displaystyle 20-4x+4x=8x+8+4x}20=12x+8{\displaystyle 20=12x+8} Du willst die Variable auf der einen Seite und die Konstante auf der anderen Seite haben. Um die Konstante auf eine Seite zu verschieben, addierst oder subtrahierst du von beiden Seiten der Gleichung, um den Term auf einer Seite aufzulösen. Um zum Beispiel die Konstante +8{\displaystyle +8} auf der Seite der Variable zu streichen, subtrahierst du 8 von beiden Seiten der Gleichung:20=12x+8{\displaystyle 20=12x+8}20−8=12x+8−8{\displaystyle 20-8=12x+8-8}12=12x{\displaystyle 12=12x} Dazu führst du die entgegengesetzte Operation von jener aus, die in der Gleichung angegeben ist. Normalerweise heißt das, zu dividieren, um einen Koeffizienten zu löschen, der mit einer Variable multipliziert wird. Denke daran, dass du, was auch immer du auf einer Seite der Gleichung tust, auch auf der anderen Seite machen musst. Um zum Beispiel den Koeffizienten 12 aus der Gleichung zu löschen,würdest du auf jeder Seite der Gleichung durch 12 dividieren:12=12x{\displaystyle 12=12x}1212=12x12{\displaystyle {\frac {12}{12}}={\frac {12x}{12}}}1=x{\displaystyle 1=x} Um sicher zu stellen, dass deine Antwort richtig ist, setzt du deine Lösung in die ursprüngliche Gleichung ein. Liefert die Gleichung ein richtiges Ergebnis, ist deine Lösung richtig. Wenn zum Beispiel 1=x{\displaystyle 1=x} ist, setzt du 1 für die Variable in der Gleichung ein und rechnest:2(10−2x)=4(2x+2){\displaystyle 2(10-2x)=4(2x+2)}2(10−2(1))=4(2(1)+2){\displaystyle 2(10-2(1))=4(2(1)+2)}2(10−2)=4(2+2){\displaystyle 2(10-2)=4(2+2)}20−4=8+8{\displaystyle 20-4=8+8}16=16{\displaystyle 16=16} Das ist vielleicht bereits geschehen. Wenn nicht wendest du die Gesetze der Algebra an, um die Variable auf einer Seite der Gleichung zu isolieren. Denke daran, dass du, was auch immer du auf einer Seite der Gleichung tust, auch auf der anderen Seite machen musst. Bei der Gleichung y+1=x−1{\displaystyle y+1=x-1} zum Beispiel würde man, um die Variable y{\displaystyle y} zu isolieren, 1 von beiden Seiten subtrahieren:y+1=x−1{\displaystyle y+1=x-1}y+1−1=x−1−1{\displaystyle y+1-1=x-1-1}y=x−2{\displaystyle y=x-2} Vergewissere dich, dass du  den gesamten Term für die Variable einsetzt. Das wird dir eine Gleichung mit nur einer Variable liefern, was dir ermöglicht, sie mit dieser einen Variable zu lösen. Wenn deine erste Gleichung 2x=20−2y{\displaystyle 2x=20-2y} lautet und du in der zweiten Gleichung ermittelt hast, dass y=x−2{\displaystyle y=x-2}, würdest du in der ersten Gleichung x−2{\displaystyle x-2} für y{\displaystyle y} einsetzen:2x=20−2y{\displaystyle 2x=20-2y}2x=20−2(x−2){\displaystyle 2x=20-2(x-2)} Dazu verschiebst du die Variable auf eine Seite der Gleichung. Dann verschiebst du die Konstanten auf eine Seite der Gleichung. Dann isolierst du die Variable durch Multiplikation oder Division. Zum Beispiel:2x=20−2(x−2){\displaystyle 2x=20-2(x-2)}2x=20−2x+4{\displaystyle 2x=20-2x+4}2x=24−2x{\displaystyle 2x=24-2x}2x+2x=24−2x+2x{\displaystyle 2x+2x=24-2x+2x}4x=24{\displaystyle 4x=24}4x4=244{\displaystyle {\frac {4x}{4}}={\frac {24}{4}}}x=6{\displaystyle x=6} Dazu setzt du den Wert der Variable, die du bereits gelöst hast, in eine der Gleichungen ein. So erhältst du eine Gleichung mit nur einer Variablen. Löse die Gleichung unter Verwendung der Regeln der Algebra, um die Variable zu finden. Du kannst beide der Gleichungen verwenden, um die verbleibende Variable herauszufinden. Wenn du zum Beispiel ermittelt hast, dass x=6{\displaystyle x=6}, kannst du 6 für x{\displaystyle x} in die zweite Gleichung einsetzen:y=x−2{\displaystyle y=x-2}y=(6)−2{\displaystyle y=(6)-2}y=4{\displaystyle y=4} Setze die Werte für beide Variablen in eine der Gleichungen ein. Liefert die Gleichung ein richtiges Ergebnis, sind deine Lösungen richtig. Hast du zum Beispiel herausgefunden, dass x=6{\displaystyle x=6} und y=4{\displaystyle y=4}, setzt du diese wieder in die ursprüngliche Gleichung ein und löst sie:2x=20−2y{\displaystyle 2x=20-2y}2(6)=20−2(4){\displaystyle 2(6)=20-2(4)}12=20−8{\displaystyle 12=20-8}12=12{\displaystyle 12=12} 5(x+4)=6x−5{\displaystyle 5(x+4)=6x-5}.  Wende das Distributivgesetz an, um die Klammern aufzulösen:5(x+4)=6x−5{\displaystyle 5(x+4)=6x-5}5x+20=6x−5{\displaystyle 5x+20=6x-5}  Streiche das 5x{\displaystyle 5x} auf der linken Seite der Gleichung, indem du 5x{\displaystyle 5x} auf beiden Seiten subtrahierst:5x+20=6x−5{\displaystyle 5x+20=6x-5}5x+20−5x=6x−5−5x{\displaystyle 5x+20-5x=6x-5-5x}20=x−5{\displaystyle 20=x-5}  Isoliere die Variable, indem du 5 auf jeder Seite der Gleichung addierst:20=x−5{\displaystyle 20=x-5}20+5=x−5+5{\displaystyle 20+5=x-5+5}25=x{\displaystyle 25=x} −7+3x=7−x2{\displaystyle -7+3x={\frac {7-x}{2}}}.  Löse den Bruch auf. Dazu multiplizierst du jede Seite der Gleichung mit dem Nenner des Bruches:−7+3x=7−x2{\displaystyle -7+3x={\frac {7-x}{2}}}2(−7+3x)=2(7−x2){\displaystyle 2(-7+3x)=2({\frac {7-x}{2}})}−14+6x=7−x{\displaystyle -14+6x=7-x}  Löse das −x{\displaystyle -x} auf der rechten Seite der Gleichung auf, indem du x{\displaystyle x} auf jeder Seite der Gleichung addierst:−14+6x=7−x{\displaystyle -14+6x=7-x}−14+6x+x=7−x+x{\displaystyle -14+6x+x=7-x+x}−14+7x=7{\displaystyle -14+7x=7}  Verschiebe die Konstanten auf eine Seite der Gleichung, indem du auf jeder Seite 14 addierst:−14+7x=7{\displaystyle -14+7x=7}−14+7x+14=7+14{\displaystyle -14+7x+14=7+14}7x=21{\displaystyle 7x=21}  Streiche den Koeffizienten, indem du beide Seiten der Gleichung durch 7 teilst:7x=21{\displaystyle 7x=21}7x7=217{\displaystyle {\frac {7x}{7}}={\frac {21}{7}}}x=3{\displaystyle x=3} 9x+15=12y;9y=9x+27{\displaystyle 9x+15=12y;9y=9x+27}  Isoliere die Variable y{\displaystyle y} in der zweiten Gleichung:9y=9x+27{\displaystyle 9y=9x+27}9y=9(x+3){\displaystyle 9y=9(x+3)}9y9=9(x+3)9{\displaystyle {\frac {9y}{9}}={\frac {9(x+3)}{9}}}y=x+3{\displaystyle y=x+3}  Setze x+3{\displaystyle x+3} für y{\displaystyle y} in die erste Gleichung ein:9x+15=12y{\displaystyle 9x+15=12y}9x+15=12(x+3){\displaystyle 9x+15=12(x+3)}  Wende das Distributivgesetz an, um die Klammern aufzulösen:9x+15=12x+36{\displaystyle 9x+15=12x+36}  Streiche die Variable auf der linken Seite der Gleichung, indem du 9x{\displaystyle 9x} auf jeder Seite subtrahierst:9x+15=12x+36{\displaystyle 9x+15=12x+36}9x+15−9x=12x+36−9x{\displaystyle 9x+15-9x=12x+36-9x}15=3x+36{\displaystyle 15=3x+36}  Verschiebe die Konstanten auf eine Seite, indem du 36 auf jeder Seite subtrahierst:15=3x+36{\displaystyle 15=3x+36}15−36=3x+36−36{\displaystyle 15-36=3x+36-36}−21=3x{\displaystyle -21=3x}  Streiche den Koeffizienten, indem du jede Seite durch 3 dividierst:−21=3x{\displaystyle -21=3x}−213=3x3{\displaystyle {\frac {-21}{3}}={\frac {3x}{3}}}−7=x{\displaystyle -7=x}  Löse die Gleichung für y{\displaystyle y}, indem du den Wert von x{\displaystyle x} in eine der beiden Gleichungen einsetzt:9y=9x+27{\displaystyle 9y=9x+27}9y=9(−7)+27{\displaystyle 9y=9(-7)+27}9y=−63+27{\displaystyle 9y=-63+27}9y=−36{\displaystyle 9y=-36}9y9=−369{\displaystyle {\frac {9y}{9}}={\frac {-36}{9}}}y=−4{\displaystyle y=-4}
Wende wenn nötig das Distributivgesetz an. Löse die Variable auf einer Seite der Gleichung auf. Halte die Gleichung im Gleichgewicht. Vereinfache die Gleichung, indem du gleichartige Terme zusammenlegst. Verschiebe die Konstanten auf eine Seite der Gleichung, wenn notwendig. Löse den Koeffizienten der Variable auf. Überprüfe deine Arbeit. Isoliere eine Variable in einer Gleichung. Setze den Wert der isolierten Variable in die andere Gleichung ein. Löse die Gleichung für die Variable. Löse die Gleichung, um die verbleibende Variable zu ermitteln. Überprüfe deine Arbeit. Versuche dich an dieser Aufgabe mit einer Variable unter Verwendung des Distributivgesetzes: Versuche, diese Aufgabe mit einem Bruch zu lösen: Versuche, dieses Gleichungssystem zu lösen:
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Solving Equations with One Variable on Both Sides Solving System Equations with Two Variables Solving Example Problems