Faktorisieren Gleiche Terme zusammenfassen Das Anwenden weiterer Vereinfachungsmöglichkeiten
Faktorisieren ist ein Weg, Ausdrücke zu vereinfachen, indem Teiler entfernt werden, die in allen Termen des Ausdrucks enthalten sind. Bestimme für den Anfang den größten gemeinsamen Teiler, der in allen Termen des Ausdrucks enthalten ist - mit anderen Worten: die größte Zahl, durch die alle Terme im Ausdruck geteilt werden können. Lass uns den Ausdruck 9x2 + 27x - 3 betrachten. Beachte, dass jeder Term in diesem Ausdruck durch 3 geteilt werden kann. Da die Terme nicht alle durch eine größere Zahl teilbar sind, ist 3 der größte gemeinsamen Teiler unseres Ausdrucks. Teile als nächstes jeden Term des Ausdrucks durch den größten gemeinsamen Teiler, den du gerade bestimmt hast. Die resultierenden Terme haben alle kleinere Koeffizienten als in dem ursprünglichen Ausdruck. Lass uns den größten gemeinsamen Teiler 3 aus dem Ausdruck ausklammern. Um dies zu tun, teilen wir jeden Term durch 3.  9x2/3 = 3x2  27x/3 = 9x -3/3 = -1 Damit ist unser neuer Ausdruck 3x2 + 9x - 1. Dein neuer Ausdruck ist nicht gleich dem alten, deshalb kann man nicht sagen, dass es der vereinfachte Ausdruck ist. Um unseren neuen Ausdruck gleich dem Ursprünglichen zu machen, müssen wir die Tatsache mit in Betracht ziehen, dass er durch den größten gemeinsamen Teiler geteilt wurde. Umschließe deinen neuen Ausdruck mit Klammern und schreibe den größten gemeinsamen Teiler des Original-Ausdrucks als Koeffizient vor den Ausdruck in Klammern. In unserem Beispiel-Ausdruck 3x2 + 9x - 1 umschließen wir ihn mit Klammern und multiplizieren ihn mit dem größten gemeinsamen Teiler des Original-Ausdrucks und erhalten 3(3x2 + 9x - 1). Dieser Ausdruck ist gleich dem ursprünglichen 9x2 + 27x - 3. Du fragst dich vielleicht, warum das Faktorisieren sinnvoll ist, wenn man nach dem Entfernen des größten gemeinsamen Teilers den neuen Ausdruck wieder damit multiplizieren muss. Tatsache ist, dass das Faktorisieren einem Mathematiker erlaubt, jede Menge Tricks durchzuführen, um den Ausdruck zu vereinfachen. Einer der leichtesten nutzt die Tatsache aus, dass das Multiplizieren des Zählers und des Nenners eines Bruches mit derselben Zahl einen äquivalenten Bruch ergibt. Vergleiche unten: Angenommen, unser Original-Beispiel-Ausdruck 9x2 + 27x - 3 ist der Zähler eines größeren Bruches mit 3 im Nenner. Dieser Bruch sieht so aus: (9x2 + 27x - 3)/3. Wir können diesen Bruch durch faktorisieren vereinfachen.  Lass uns die faktorisierte Form unseres Original-Ausdrucks in den Zähler einsetzen: (3(3x2 + 9x - 1))/3 Beachte, dass jetzt der Zähler und der Nenner denselben Koeffizienten 3 haben. Wenn wir Zähler und Nenner durch 3 teilen, erhalten wir: (3x2 + 9x - 1)/1. Da ein Bruch mit "1" im Nenner gleich ist dem Ausdruck im Zähler, können wir sagen, dass unser Original-Bruch vereinfacht werden kann zu 3x2 + 9x - 1. Der einfachste algebraische Ausdruck, der nur ein paar Variablenterme mit ganzzahligen Koeffizienten und keine Brüche, Wurzeln, etc. enthält, kann oft in wenigen Schritten gelöst werden. Wie bei den meisten Mathe-Aufgaben, ist der erste Schritt die Aufgabe hinzuschreiben! Als Beispiel-Aufgabe für die nächsten paar Schritte lass uns den Ausdruck 1 + 2x - 3 + 4x betrachten. Suche als nächstes nach gleichen Termen in deinem Ausdruck. Vergiss nicht, dass gleiche Terme sowohl dieselben Variable(n) als auch dieselben Exponenten haben. Lass uns zum Beispiel die gleichen Terme in unserem Ausdruck 1 + 2x - 3 + 4x bestimmen. 2x und 4x haben beide dieselbe Variable mit demselben Exponenten (in diesem Fall haben die x keinen Exponenten). Zusätzlich sind 1 und -3 gleiche Terme, denn sie haben beide keine Variablen. In unserem Ausdruck sind also 2x und 4x und 1 und  -3 die gleichen Terme. Nachdem wir die gleichen Terme bestimmt haben, können wir sie zusammenfassen, um unseren Ausdruck zu vereinfachen. Addiere gleiche Terme (oder subtrahiere sie bei negativen Termen), um von jeder Gruppe gleicher Terme einen einzigen zu erhalten. Lass uns die gleichen Terme in unserem Beispiel addieren.  2x + 4x = 6x  1 + -3 = -2 Nachdem du gleiche Terme zusammen gefasst hast, kannst du einen Ausdruck aus  den neuen Termen konstruieren. Du solltest einen einfacheren Ausdruck erhalten, der einen Term pro Gruppe gleicher Terme des Original-Ausdrucks hat. Dieser neue Ausdruck ist gleich dem Original-Ausdruck. In unserem Beispiel sind die vereinfachten Terme 6x und -2, also ist unser neuer Ausdruck 6x - 2. Dieser vereinfachte Ausdruck ist gleich dem Original-Ausdruck (1 + 2x - 3 + 4x), aber er ist kürzer und leichter zu handhaben. Er ist auch leichter zu faktorisieren, das, wie wir weiter unten sehen werden, eine andere wichtige Vereinfachungstechnik ist. In sehr einfachen Ausdrücken, wie der in dem Beispiel, ist es sehr leicht, gleiche Terme zu erkennen. Allerdings sind bei komplizierteren Ausdrücken, die Klammern, Brüche und Wurzeln enthalten, gleiche Terme, die zusammengefasst werden können, nicht so leicht zu erkennen. In diesen Fällen folge der Reihenfolge der Operationen, führe die nötigen Operationen aus, bis nur noch Additionen und Subtraktionen übrig sind. Lass uns zum Beispiel den Ausdruck 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x betrachten. Es wäre falsch, sofort 3x und 2x als gleiche Terme zu identifizieren und zusammen zu fassen, denn die Klammern in dem Ausdruck schreiben vor, dass wir zuerst andere Operationen ausführen müssen. Lass uns zuerst die arithmetischen Operationen in dem Ausdruck in der richtigen Reihenfolge durchführen, um die Terme zu erhalten, die wir benutzen können. Vergleiche unten:  5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x 15x - 5 + x2 + 8 - 3x. Jetzt können wir gleiche Terme zusammenfassen, denn es sind nur noch Additionen und Subtraktionen übrig. x2 + (15x - 3x) + (8 - 5) x2 + 12x + 3 Wie oben schon erwähnt, wenn der Zähler und der Nenner eines Ausdrucks gemeinsame Teiler haben, können diese Teiler einfach komplett entfernt werden. Manchmal muss man dazu den Zähler, Nenner oder beide faktorisieren (wie das oben in dem Beispiel der Fall war), und manchmal sind die gemeinsamen Teiler auch schon offensichtlich. Beachte, dass es auch möglich ist, die Terme im Zähler einzeln durch den Nenner zu teilen, um einen vereinfachten Ausdruck zu erhalten. Lass uns ein Beispiel angehen, das nicht unbedingt explizites Ausklammern erfordert. In dem Bruch (5x2 + 10x + 20)/10 möchten wir vielleicht jeden Term im Zähler durch die 10 im Nenner teilen, um ihn zu vereinfachen, selbst wenn der Koeffizient "5" in 5x2 nicht größer als 10 ist und somit 10 nicht als Teiler haben kann. Wenn wir das tun, dann erhalten wir ((5x2)/10) + x + 2. Wenn wir wollen, können wir den ersten Term umschreiben zu (1/2)x2 und erhalten (1/2)x2 + x + 2. Ausdrücke unter einem Wurzelzeichen heißen Wurzel-Ausdrücke. Sie können vereinfacht werden, indem man quadratische Teiler bestimmt (Teiler, die selbst Quadrate einer ganzen Zahl sind) und auf diese einzeln die Wurzel-Operation anwendet, um sie aus der Wurzel heraus zu ziehen. Lass uns ein einfaches Beispiel angehen - √(90). Wenn wir 90 in zwei Teiler zerlegen wollen, in 9 und 10, dann können wir die Wurzel aus 9 ziehen und erhalten die natürliche Zahl 3 und können sie aus der Wurzel ziehen. Mit anderen Worten:  √(90) √(9 * 10) (√(9) * √(10)) 3 * √(10) 3√(10) Manche algebraische Ausdrücke erfordern das Multiplizieren oder Dividieren von Termen mit Exponenten. Statt jeden Exponential-Term separat zu berechnen und sie dann zu multiplizieren oder zu dividieren, kannst du auch die Exponenten addieren, wenn du multiplizieren, und subtrahieren, wenn du dividieren willst, um Zeit zu sparen. Dieses Konzept kann auch zur Vereinfachung von Variablen-Ausdrücken benutzt werden.  Lass uns zum Beispiel den Ausdruck 6x3 * 8x4 + (x17/x15) betrachten. In jedem Fall, wo Ausdrücke mit Exponenten multipliziert oder dividiert werden, addieren oder subtrahieren wir die Exponenten stattdessen und erhalten schnell einen vereinfachten Term. Vergleiche unten:  6x3 * 8x4 + (x17/x15) (6 * 8)x3 + 4 + (x17 - 15) 48x7 + x2   Vergleiche unten, wenn du eine Erklärung möchtest, warum es funktioniert:  Das Multiplizieren von Exponential-Termen  ist im wesentlichen das Multiplizieren von langen Ketten von nicht-Exponential-Termen. Da zum Beispiel x3 = x * x * x und x 5 = x * x * x * x * x, x3 * x5 = (x * x * x) * (x * x * x * x * x) = x8. Ebenso ist das Teilen von  Exponential-Termen wie das Teilen von langen Ketten von nicht-Exponential-Termen. x5/x3 = (x * x * x * x * x)/(x * x * x). Da jeder Term im  Zähler durch einen entsprechenden Term im Nenner gekürzt werden kann, bleiben nur zwei x im Zähler und keines im Nenner, und wir erhalten das Ergebnis x2.
Bestimme den größten gemeinsamen Teiler in dem Ausdruck. Teile die Terme des Ausdrucks durch den größten gemeinsamen Teiler. Schreibe deinen neuen Ausdruck als das Produkt des größten gemeinsamen Teilers und der restlichen Terme. Benutze das Faktorisieren, um Brüche zu vereinfachen. Schreibe den Ausdruck hin. Bestimme gleiche Terme. Fasse gleiche Terme zusammen. Schreibe einen vereinfachten Ausdruck  mit deinen Vereinfachten Termen. Beachte die Reihenfolge der Operationen, wenn du gleiche Terme zusammenfasst. Vereinfache Brüche, indem du durch gemeinsame Teiler teilst. Benutze quadratische Teiler, um Wurzeln zu vereinfachen. Addiere die Exponenten, wenn du zwei Terme mit Exponenten multiplizieren willst; subtrahiere sie, wenn du dividieren willst.
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