Den Abstand zweier Punkte bestimmen Entfernung über Geschwindigkeit und Zeit berechnen
Was ist, wenn du statt der Entfernung, die ein bewegtes Objekt zurückgelegt hat, den Abstand zwischen zwei stationären Objekten bestimmen willst? In Fällen wie diesem ist die oben beschriebene auf Geschwindigkeit basierende Abstandsformel nicht von Nutzen. Zum Glück kann eine andere Abstandsformel verwendet werden, um einfach die geradlinige Entfernung zwischen zwei Punkten zu bestimmen. Um jedoch diese Formel zu verwenden, musst du die Koordinaten deiner zwei Punkte kennen. Wenn es sich um einen eindimensionalen Abstand handelt (zum Beispiel auf einem Zahlenstrahl), dann sind die Koordinaten der Punkte zwei Zahlen, x1 und x2. Wenn es sich um Entfernungen in zwei Dimensionen handelt, brauchst du die Werte für zwei (x, y)-Punkte, (x1, y1) und (x2, y2). Und für drei Dimensionen brauchst du Werte für (x1, y1, z1) und (x2, y2, z2). Die Berechnung der eindimensionale Entfernung zwischen zwei Punkten, wenn du die Koordinaten kennst, ist ein Kinderspiel. Nimm einfach die Formel d = | x2 - x1 |. In dieser Formel subtrahierst du x1 von x2 und nimmst dann den Betrag des Ergebnisses, um den Abstand zwischen x1 und x2 zu erhalten. Normalerweise wird die eindimensionale Abstandsformel verwendet, wenn die zwei Punkte auf einer eindimensionalen Geraden liegen.  Beachte, dass in dieser Formel Betragsstriche verwendet werden (die "| |"-Symbole). Beträge bedeuten einfach, dass die zwischen den Strichen enthaltenen Terme positiv werden, wenn sie negativ sind. Angenommen, wir halten am Straßenrand einer vollkommen geraden Straßenstrecke. Wenn es eine kleine Stadt 5 Kilometer vor uns und eine Stadt 1 Kilometer hinter uns gibt, wie weit sind die beiden Städte auseinander? Wenn wir Stadt 1 als x1 = 5 und Stadt 2 als x2 = -1 setzen, können wir d, den Abstand zwischen den beiden Städten, wie folgt berechnen:  d = |x2 - x1| = |-1 - 5| = |-6| = 6 Kilometer. Das Bestimmen des Abstandes zwischen zwei Punkten in einem zweidimensionalen Raum ist komplizierter als in einer Dimension, aber nicht schwer. Nimm einfach die Formel d = √((x2 - x1) 2 + (y2 - y1)2) . In dieser Formel werden die x-Koordinaten der beiden Punkte subtrahiert, das Ergebnis quadriert, die y-Koordinaten subtrahiert, das Ergebnis quadriert, die beiden Ergebnisse addiert und die Quadratwurzel gezogen, um den Abstand zwischen den zwei Punkten zu bestimmen. Diese Formel funktioniert in der zweidimensionalen Ebene — zum Beispiel bei einfachen x/y-Graphen.  Die zweidimensionale Abstandsformel benutzt den Satz des Pythagoras, der besagt, dass die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks gleich der Quadratwurzel der Quadrate der beiden Seiten ist. Angenommen, wir haben zwei Punkte in der x/y-Ebene: (3, -10) und (11, 7), die den Mittelpunkt eines Kreises und einen Punkt auf der Kreislinie repräsentieren. Um die direkte Entfernung zwischen diesen beiden Punkten zu bestimmen, können wir wie folgt vorgehen: d = √((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2) d = √((11 - 3)2 + (7 - -10)2) d = √(64 + 289) d = √(353) = 18,79 In drei Dimensionen haben Punkte auch eine z-Koordinate zusätzlich zu ihren x- und y-Koordinaten. Um den Abstand zwischen zwei Punkten im dreidimensionalen Raum zu finden, verwende d = √((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 + (z2 - z1)2). Dies ist eine modifizierte Form der oben beschriebenen zweidimensionalen Abstands-Formel, die die z-Koordinaten der Punkte mit in Betracht zieht. Das Subtrahieren der z-Koordinaten der beiden Punkte, das Quadrieren des Ergebnisses und das Behandeln des Rests der Formel wie oben, sorgt dafür, dass das Ergebnis den dreidimensionalen Abstand zwischen zwei Punkten darstellt.  Angenommen, wir sind ein Astronaut, der im Raum in der Nähe von zwei Asteroiden schwebt. Einer ist etwa 8 km vor uns, 2 km rechts von uns und 5 km unter uns, während der andere 3 km hinter uns, 3 km links von uns und 4 km über uns ist. Wenn wir die Positionen dieser Asteroiden mit den Koordinaten (8, 2, -5) und (-3, -3, 4) darstellen, können wir den Abstand zwischen den beiden folgendermaßen bestimmen: d = √((-3 - 8)2 + (-3 - 2)2 + (4 - -5)2) d = √((-11)2 + (-5)2 + (9)2) d = √(121 + 25 + 81) d = √(227) =  15,07 km Wenn wir versuchen, die Entfernung, die ein bewegliches Objekt zurück gelegt hat, zu bestimmen, dann sind für diese Berechnung zwei Informationen von entscheidender Bedeutung: Seine Geschwindigkeit und die Zeitspanne, über die es sich bewegt hat. Mit diesen Daten ist es möglich, die Entfernung, die das Objekt zurück gelegt hat, über die Formel d = s * t zu bestimmen. Um den Gebrauch der Abstandsformel besser zu verstehen, rechnen wir in diesem Abschnitt ein Beispiel. Angenommen, wir fahren mit 120 Kilometern pro Stunde auf der Straße, und wir wollen wissen, wie weit wir in einer halben Stunde fahren. Wir benutzen 120 km/Std. als unseren Wert für die Geschwindigkeit und 0,5 Stunden als Wert für unsere Zeit und lösen die Aufgabe im nächsten Schritt. Sobald du die Geschwindigkeit eines sich bewegenden Objekts und die Zeit, wie lange es sich bewegt hat, kennst, dann ist das Berechnen der zurückgelegten Entfernung relativ einfach. Multipliziere einfach diese beiden Größen, um das Ergebnis zu erhalten.  Beachte jedoch, dass, wenn die Zeiteinheiten in deinem Geschwindigkeitswert anders als die in deinem Zeit-Wert sind, musst du die eine oder andere umwandeln, so dass sie kompatibel sind. Wenn wir zum Beispiel einen Geschwindigkeitswert, der in km pro Stunde und einem Zeitwert, der in Minuten gemessen wurde, haben, dann müssen wir den Zeitwert durch 60 teilen, um ihn in Stunden umzuwandeln. Lass uns unser Beispiel durchrechnen. 120 Kilometer/Stunde * 0,5 Stunden = 60 Kilometer. Beachte, dass die Einheiten des Zeitwertes (Stunden) sich mit der Einheit im Nenner des Geschwindigkeitswertes (Stunden) herauskürzen und nur Entfernungseinheiten (Kilometer) übrig bleiben. Die Einfachheit der Abstands-Gleichung (d = s * t) macht es leicht, die Gleichung auch dafür zu benutzen, andere Werte außer dem Abstand zu berechnen. Bringe einfach die Variable, die du berechnen willst, nach den Grundregeln der Algebra auf eine Seite, und setze dann Werte für die beiden anderen Variablen ein, um die dritte zu berechnen. Mit anderen Worten, um die Geschwindigkeit deines Objekts zu bestimmen, verwende die Gleichung s=d/t, und um die Zeit zu berechnen, die es gebraucht hat, verwende die Gleichung t=d/s.  Angenommen, wir wissen, dass ein Auto 60 Kilometer in 50 Minuten gefahren ist, aber wir kennen die Geschwindigkeit, mit der es gefahren ist, nicht. In diesem Fall könnten wir die Variable s in der Grundgleichung für die Entfernung auf eine Seite bringen und erhalten s=d/t, und wir teilen dann einfach 60 Kilometer / 50 Minuten und erhalten als Ergebnis 1,2 Kilometer / Minute. Beachte, dass in unserem Beispiel unser Ergebnis eine ungewöhnliche Einheit (Kilometer / Minute) für die Geschwindigkeit hat. Um unser Ergebnis auf die Form Kilometer / Stunde zu bekommen, müssen wir es mit 60 Minuten / Stunde multiplizieren und erhalten 72 Kilometer / Stunde. Es ist wichtig zu verstehen, dass die einfache Abstands-Formel eine vereinfachende Sicht auf die Bewegung eines Objekts bietet. Die Abstands-Formel setzt voraus, dass das sich bewegende Objekt eine konstante Geschwindigkeit hat — mit anderen Worten, es wird davon ausgegangen, dass das sich in Bewegung befindliche Objekt sich mit einer einzigen, gleichbleibenden Geschwindigkeit bewegt. Für abstrakte mathematische Aufgaben, die dir eventuell in einem akademischen Umfeld begegnen, ist es manchmal immer noch möglich, die Bewegung eines Objekts so zu modellieren und diese Annahme zu treffen. In der Praxis wird dadurch aber nicht genau die Bewegung von sich bewegenden Objekten beschrieben, die beschleunigen können, abbremsen, anhalten und umkehren im Laufe der Zeit.  In dem Beispiel oben haben wir geschlossen, dass, wenn wir 60 Kilometer in 50 Minuten zurücklegen, wir mit 72 Kilometer / Stunde fahren müssen. Dies ist jedoch nur der Fall, wenn die Reisegeschwindigkeit für die gesamte Reise konstant ist. Wenn wir zum Beispiel während der Hälfte der Strecke mit 80 Kilometer / Stunde und mit 64 Kilometer / Stunde während der anderen Hälfte fahren, dann fahren wir immer noch 60 Kilometer in 50 Minuten — 72 Kilometer / Stunde = 60 Kilometer / 50 min = ????? Auf der Differenzial-Rechnung basierende Lösungsmethoden wie Ableitungen sind oft die bessere Wahl als die Abstands-Formel zur Beschreibung von Geschwindigkeiten eines Objekts in realen Situationen, in denen Veränderungen in der Geschwindigkeit wahrscheinlich sind.
Besorge dir die x, y und/oder z-Koordinaten zweier Punkte. Bestimme den eindimensionalen Abstand durch die Subtraktion der beiden Punkte. Bestimme den zweidimensionalen Abstand mit Hilfe des Satzes von Pythagoras. Den dreidimensionalen Abstand berechnen durch Modifikation der zweidimensionalen Formel. Besorge dir Messwerte für Geschwindigkeit und Zeit. Multipliziere Geschwindigkeit und Zeit. Löse die Gleichung nach einer anderen Variablen auf, um sie zu berechnen. Beachte, dass die Variable "s" in der Abstands-Formel sich auf die Durchschnitts-Geschwindigkeit bezieht.
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Finding the Distance between Two Points Finding Distance with Average Speed and Time