Einen Nenner mit einer dritten Wurzel rational machen Einen Nenner mit zwei Gliedern rational machen Rationalisierung eines Nenners mit nur einem Glied Mit Kehrwerten arbeiten
Du wirst auch hin und wieder auf dritte Wurzeln (oder Kubikwurzeln) im Nenner treffen, diese sind aber deutlich seltener. Diese Methode funktioniert grundsätzlich bei einer Wurzel beliebiger Ordnung. 333{\displaystyle {\frac {3}{\sqrt[{3}]{3}}}} Wir müssen dieses Mal etwas anders vorgehen, wenn wir einen Ausdruck finden wollen, der den Nenner rational macht, da wir nicht einfach mit dem Wurzelausdruck multiplizieren können. 331/3{\displaystyle {\frac {3}{3^{1/3}}}} In unserem Fall haben wir es mit einer dritten Wurzel zu tun, also müssen wir mit 32/332/3{\displaystyle {\frac {3^{2/3}}{3^{2/3}}}} multiplizieren. Denke daran, dass Exponenten eine Multiplikation entsprechend abac=ab+c{\displaystyle a^{b}a^{c}=a^{b+c}} in eine Addition umwandeln können.  331/3⋅32/332/3{\displaystyle {\frac {3}{3^{1/3}}}\cdot {\frac {3^{2/3}}{3^{2/3}}}} Das kann auf jede Wurzel der n-ten Ordnung verallgemeinert werden. Wenn wir einen Bruch 1a1/n{\displaystyle {\frac {1}{a^{1/n}}}} haben, multiplizieren wir den Zähler und Nenner mit a1−1n.{\displaystyle a^{1-{\frac {1}{n}}}.} Dadurch wird der Exponent des Nenners 1. 331/3⋅32/332/3=32/3{\displaystyle {\frac {3}{3^{1/3}}}\cdot {\frac {3^{2/3}}{3^{2/3}}}=3^{2/3}} Wenn du die Antwort in Wurzelform angeben willst, klammere 1/3{\displaystyle 1/3} aus. 32/3=(32)1/3=93{\displaystyle 3^{2/3}=(3^{2})^{1/3}={\sqrt[{3}]{9}}} Wenn bei deinem Bruch eine Summe zweier Terme im Nenner steht, wovon mindestens einer irrational ist, dann kannst du den Bruch nicht einfach im Zähler und Nenner damit multiplizieren.  42+2{\displaystyle {\frac {4}{2+{\sqrt {2}}}}} Um zu zeigen, warum das so ist, schaue dir den allgemeinen Bruch 1a+b{\displaystyle {\frac {1}{a+b}}} an, wobei a{\displaystyle a} und b{\displaystyle b} irrational sind. Der Ausdruck (a+b)(a+b)=a2+2ab+b2{\displaystyle (a+b)(a+b)=a^{2}+2ab+b^{2}} enthält dann den gemischten Term 2ab{\displaystyle 2ab}. Wenn mindestens einer der Ausdrücke a{\displaystyle a} und b{\displaystyle b} irrational ist, enthält der gemischte Term immer eine Wurzel. Schauen wir uns das bei unserem Beispiel an. 42+2⋅2+22+2=4(2+2)4+42+2{\displaystyle {\frac {4}{2+{\sqrt {2}}}}\cdot {\frac {2+{\sqrt {2}}}{2+{\sqrt {2}}}}={\frac {4(2+{\sqrt {2}})}{4+4{\sqrt {2}}+2}}}  Wie du sehen kannst, gibt es keine Möglichkeit, wie wir mit dieser Methode 42{\displaystyle 4{\sqrt {2}}} im Nenner loswerden. Die Konjugation eines Ausdrucks ist derselbe Ausdruck mit umgekehrten Rechenzeichen. Die Konjugation von 2+2{\displaystyle 2+{\sqrt {2}}} ist z.B. 2−2{\displaystyle 2-{\sqrt {2}}}.  42+2⋅2−22−2{\displaystyle {\frac {4}{2+{\sqrt {2}}}}\cdot {\frac {2-{\sqrt {2}}}{2-{\sqrt {2}}}}} Warum funktioniert es mit der Konjugation? Gehen wir noch einmal zu unserem allgemeinen Bruch 1a+b{\displaystyle {\frac {1}{a+b}}} zurück und multiplizieren den Zähler und den Nenner mit der Konjugation des Nenners: (a+b)(a−b)=a2+b2{\displaystyle (a+b)(a-b)=a^{2}+b^{2}}. Das entscheidende dabei ist, dass es keinen gemischten Term mehr gibt. Da beide Terme quadriert werden, verschwindet jede Quadratwurzel. 42+2⋅2−22−2=4(2−2)4−2=4−22{\displaystyle {\frac {4}{2+{\sqrt {2}}}}\cdot {\frac {2-{\sqrt {2}}}{2-{\sqrt {2}}}}={\frac {4(2-{\sqrt {2}})}{4-2}}=4-2{\sqrt {2}}} Ein Bruch sollte grundsätzlich ohne Wurzel im Nenner dargestellt werden. Wenn ein Nenner eine Quadratwurzel oder eine Wurzel höherer Ordnung enthält, solltest du den Zähler und den Nenner des Bruchs mit einer Zahl multiplizieren, die die Wurzel entfernt. Mach dir dabei keine Gedanken um den Zähler, dieser darf eine Wurzel enthalten.  7327{\displaystyle {\frac {7{\sqrt {3}}}{2{\sqrt {7}}}}} Wie wir erkennen, ist 7{\displaystyle {\sqrt {7}}} der Nenner des Bruchs. Ein Bruch mit nur einem Glied im Nenner (Monom) ist am einfachsten rational zu machen. Du musst sowohl der Zähler als auch den Nenner mit demselben Term multiplizieren, weil du eigentlich nur mit 1 multiplizieren willst. 7327⋅77{\displaystyle {\frac {7{\sqrt {3}}}{2{\sqrt {7}}}}\cdot {\frac {\sqrt {7}}{\sqrt {7}}}} Wenn von dir verlangt ist, den Kehrwert einer Gruppe von Termen zu formen, von denen mindestens einer eine Wurzel enthält, musst du diese zunächst rational machen, bevor du sie vereinfachen kannst. Je nachdem, wie deine Aufgabe aussieht, verwendest du die Methode für einen Nenner mit einem oder zwei Gliedern. 2−3{\displaystyle 2-{\sqrt {3}}} Ein Kehrwert oder Umkehrbruch eines Bruchs kann durch die Invertierung des Bruchs erzeugt werden. Unser Ausdruck 2−3{\displaystyle 2-{\sqrt {3}}} ist eigentlich auch ein Bruch. Er wird nur durch 1 geteilt. 12−3{\displaystyle {\frac {1}{2-{\sqrt {3}}}}} Denke daran, wir multiplizieren eigentlich mit 1, du musst also sowohl den Zähler als auch den Nenner multiplizieren. In unserem Beispiel besteht der Nenner aus zwei Gliedern, multipliziere den Zähler und Nenner also mit mit der Konjugation. 12−3⋅2+32+3{\displaystyle {\frac {1}{2-{\sqrt {3}}}}\cdot {\frac {2+{\sqrt {3}}}{2+{\sqrt {3}}}}} 12−3⋅2+32+3=2+34−3=2+3{\displaystyle {\frac {1}{2-{\sqrt {3}}}}\cdot {\frac {2+{\sqrt {3}}}{2+{\sqrt {3}}}}={\frac {2+{\sqrt {3}}}{4-3}}=2+{\sqrt {3}}} Lass dich nicht durch die Tatsache durcheinanderbringen, dass der Umkehrbruch der Konjugation entspricht. Das ist nur ein Zufall.
Untersuche den Bruch. Schreibe die Exponenten des Nenners um. Multipliziere den Zähler und Nenner mit einem Term, der den Exponenten des Nenners gleich 1 macht. Vereinfache, falls notwendig. Untersuche den Bruch. Multipliziere den Bruch mit der Konjugation des Nenners. Vereinfache, falls notwendig. Untersuche den Bruch. Multipliziere den Zähler und Nenner des Bruchs mit der Wurzel, die im Nenner steht. Schaue dir deine Aufgabe an. Schreibe den Kehrwert, wie er normalerweise aussehen würde. Multipliziere den Bruch mit etwas, das die Wurzel aus dem Nenner entfernt. Vereinfache, falls notwendig.
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Rationalizing Denominators with a Cube Root Rationalizing a Binomial Denominator Rationalizing a Monomial Denominator Working with Reciprocals