Schlüsselkonzepte definieren Formeln zur Berechnung des Radius verwenden Den Radius als Entfernung zwischen zwei Punkten herausfinden
Der Radius (r) ist der Abstand vom exakten Mittelpunkt der Kugel zu einem beliebigen Punkt auf der Oberfläche der Kugel. Allgemein gesagt kannst du den Radius einer Kugel herausfinden, wenn du den Durchmesser kennst, den Umfang, das Volumen oder die Oberfläche.   Durchmesser (D): Die Entfernung quer durch die Kugel - das Doppelte des Radius. Der Durchmesser ist die Länge einer Linie durch die Mitte der Kugel: von einem Punkt an der Außenseite der Kugel an einen anderen, direkt gegenüberliegenden Punkt. D.h. die größtmögliche Entfernung zwischen zwei Punkten auf der Kugel.  Umfang (C): Die eindimensionale Entfernung um die Kugel herum an ihrem breitesten Punkt. D.h. der Umfang eines durch die Mitte der Kugel verlaufenden Querschnitts.  Volumen (V): Der in der Kugel umschlossene dreidimensionale Raum. Dies ist der Raum, den die Kugel einnimmt.   Oberfläche (A): Der zweidimensionale Bereich an der Außenseite der Kugel. Die Oberfläche bezeichnet die Menge des flachen Raums, der die Außenseite der Kugel bedeckt.  Pi (π): Eine Konstante, die das Verhältnis des Umfangs des Kreises zum Durchmesser des Kreises ausdrückt. Die ersten zehn Stellen von Pi sind immer 3,141592653, auch wenn Pi normalerweise auf 3,14 gerundet wird. Du kannst den Durchmesser, den Umfang, das Volumen und die Oberfläche verwenden, um den Radius einer Kugel zu berechnen. Du kannst auch jede dieser Zahlen berechnen, wenn du den Radius selbst kennst. Um also den Radius herauszufinden, versuche die Formeln für die Berechnung dieser Komponenten entsprechend umzukehren. Lerne die Formeln, die mithilfe des Radius den Durchmesser, den Umfang, das Volumen und die Oberfläche bestimmen.   D = 2r. Wie bei einem Kreis ist der Durchmesser einer Kugel das Doppelte des Radius.  C = πD or 2πr. Wie bei einem Kreis entspricht der Umfang einer Kugel π mal dem Durchmesser. Da der Durchmesser das Doppelte des Radius ist, können wir auch sagen, dass der Umfang zweimal der Radius mal π ist.  V = (4/3)πr3. Das Volumen einer Kugel ist der Radius hoch drei (zweimal mit sich selbst multipliziert), mal π mal 4/3.   A = 4πr2. Die Oberfläche einer Kugel ist der Radius im Quadrat (mit sich selbst multipliziert) mal π mal 4. Da die Fläche eines Kreises πr2 ist, können wir auch sagen, dass die Oberfläche einer Kugel vier mal die Fläche des Kreises nach seinem Umfang ist. Der Radius ist die Hälfte des Durchmessers, wende also die Formel r = D/2 an. Dies ist identisch mit der Methode, die zur Berechnung des Radius eines Kreises aus seinem Durchmesser angewandt wird. Wenn du eine Kugel mit einem Durchmesser von 16 cm hast, finde den Radius, indem du 16 durch 2 teilst. Das Ergebnis ist 8 cm. Wenn der Durchmesser 42 ist, ist der Radius 21. Wende die Formel C/2π an. Da der Umfang πD entspricht, was wiederum 2πr entspricht, erhältst du den Radius, wenn du Umfang durch 2π teilst.  Wenn du eine Kugel mit einem Umfang von 20 m hast, finde den Radius so: 20/2π = 3,183 m. Wende die gleiche Formal an, um den Radius eines Kreises aus seinem Umfang zu bestimmen. Wende die Formel ((V/π)(3/4))1/3 an. Das Volumen einer Kugel wird abgeleitet aus der Gleichung V = (4/3)πr3.  Wenn du diese Gleichung nach der Variablen r auflöst, bekommst du ((V/π)(3/4))1/3 = r, was bedeutet, dass der Radius einer Kugel dem Volumen geteilt durch π mal 3/4 und davon die Kubikwurzel genommen entspricht.  Wenn du eine Kugel mit einem Volumen von 100 cm3 hast, löse wie folgt nach dem Radius auf:  ((V/π)(3/4))1/3 = r ((100/π)(3/4))1/3 = r ((31,83)(3/4))1/3 = r (23,87)1/3 = r  2,88 cm = r Wende die Formel r = √(A/(4π)) an. Die Oberfläche einer Kugel wird mit der Gleichung A = 4πr2 bestimmt. Wenn du die Gleichung nach der Variablen r auflöst, erhältst du √(A/(4π)) = r, was bedeutet, dass der Radius einer Kugel der Quadratwurzel der Oberfläche geteilt durch 4 entspricht.  Wenn du eine Kugel mit einer Oberfläche von 1.200 cm2 hast, löse die Gleichung so nach dem Radius auf:  √(A/(4π)) = r √(1200/(4π)) = r √(300/(π)) = r √(95,49) = r  9,77 cm = r Eine Möglichkeit, sich den Radius einer Kugel vorzustellen, ist als Entfernung zwischen dem Punkt in der Mitte der Kugel und einem beliebigen Punkt an der Außenseite der Kugel. Da dies wahr ist - und wenn du die Koordinaten des Mittelpunkts und eines beliebigen Punkts an der Außenseite kennst -, kannst du den Radius der Kugel herausfinden, indem du einfach den Abstand zwischen diesen beiden Punkten mit einer einfachen Variante der grundlegenden Entfernungsformel berechnest. Finde zu Anfang die Koordinaten des Mittelpunkts der Kugel. Achte darauf, dass die Koordinate aus drei Stellen (x, y, z) besteht, weil Kugeln dreidimensional sind. Das Ganze ist anhand eines Beispiels einfacher zu verstehen. Nehmen wir z. B. an, dass wir eine Kugel mit dem Mittelpunkt (4, -1, 12) haben. In den nächsten Schritten werden wir mithilfe dieses Punkts den Radius herausfinden. Als Nächstes musst du die (x,y,z) Koordinaten eines Punkts auf der Oberfläche der Kugel herausfinden. Dies kann jeder beliebige Punkt auf der Oberfläche der Kugel sein. Da die Punkte auf der Oberfläche einer Kugel per Definition alle die gleiche Entfernung zum Mittelpunkt haben, kannst du zur Bestimmung des Radius jeden beliebigen Punkt nehmen. Nehmen wir in unserem Beispiel an, dass wir wissen, dass der Punkt (3, 3, 0) auf der Oberfläche der Kugel liegt. Indem wir die Entfernung zwischen diesem Punkt und dem Mittelpunkt berechnen, können wir den Radius herausfinden. Jetzt, wo du den Mittelpunkt der Kugel und einen Punkt auf der Oberfläche kennst, findest du durch die Berechnung der Entfernung zwischen diesen beiden den Radius heraus. Verwende die dreidimensionale Entfernungsformel d = √((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 + (z2 - z1)2), wobei d für die Entfernung steht, (x1,y1,z1) für die Koordinaten des Mittelpunkts und (x2,y2,z2) für die Koordinaten des Punkts an der Oberfläche, um die Entfernung zwischen diesen beiden Punkten herauszufinden. In unserem Beispiel würden wir wie folgt einsetzen: (4, -1, 12) für (x1,y1,z1) und (3, 3, 0) für (x2,y2,z2) und so lösen:  d = √((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 + (z2 - z1)2) d = √((3 - 4)2 + (3 - -1)2 + (0 - 12)2) d = √((-1)2 + (4)2 + (-12)2) d = √(1 + 16 + 144) d = √(161)  d = 12,69. Dies ist der Radius unserer Kugel. Bei einer Kugel hat jeder Punkt auf der Oberfläche der Kugel den gleichen Abstand zum Mittelpunkt. Wenn wir die dreidimensionale Entfernungsformel oben verwenden und die Variable "d" durch die Variable "r" für den Radius ersetzen, erhalten wir eine Form der Gleichung, mit der wir für jeden beliebigen Mittelpunkt (x1,y1,z1) und jeden beliebigen Punkt an der Oberfläche (x2,y2,z2) den Radius herausfinden können. Indem wir beide Seiten der Gleichung zum Quadrat nehmen, erhalten wir r2 = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 + (z2 - z1)2. Beachte, dass dies im Wesentlichen der einfachen Kugelgleichung r2 = x2 + y2 + z2, die von einem Mittelpunkt (0,0,0) ausgeht, entspricht.
Identifiziere die Grundmaße einer Kugel. Verwende verschiedene Maße, um den Radius herauszufinden. Finde den Radius, wenn du den Durchmesser kennst. Finde den Radius, wenn du den Umfang kennst. Berechne den Radius, wenn du das Volumen einer Kugel kennst. Finde den Radius über die Oberfläche. Finde die (x,y,z) Koordinaten des Mittelpunkts der Kugel. Finde die Koordinaten eines Punkts auf der Oberfläche der Kugel. Finde den Radius mit der Formel d = √((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 + (z2 - z1)2). Wisse, dass in allgemeinen Fällen r = √((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 + (z2 - z1)2) ist.
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Defining Key Concepts Using Radius Calculation Formulas Finding the Radius as the Distance Between Two Points