Verwende Differentialrechnung, um die Steigung einer Kurve zu bestimmen Die Steigung mit der Hilfe von zwei Punkten bestimmen
Ableitungen geben dir die Änderungsrate (oder Steigung) eines „einzelnen Punkts auf der Funktion“ an. Diese Funktion kann eine Kurve oder eine Gerade sein – ganz egal. Sieh sie als Veränderung der Funktion zu einem beliebigen Zeitpunkt an, nicht als Steigung des gesamten Graphen. Wie du die Ableitung bildest, hängt von der Art der Funktion ab, die du gegeben hast. Wenn du dir noch einmal anschauen möchtest, wie du die Ableitung häufig vorkommender Funktionen bildest, lies dir folgende Links durch:   Ableitungen berechnen. Sehr einfache Ableitungen, jene für die elementarsten Exponentialfunktionen, können mit einer einfachen Abkürzung bestimmt werden (Artikel in Englisch). Diese verwenden wir auch für diese Methode. Du wirst nicht immer explizit danach gefragt werden, die Ableitung oder Steigung einer Kurve zu berechnen. Du könntest z.B. auch nach der „Änderungsrate am Punkt (x,y)“ gefragt werden. Oder du sollst die Gleichung für die Steigung des Graphen bestimmen, was einfach nur bedeutet, dass du die Ableitung ziehen musst. Zuletzt kann auch nach der „Steigung der Tangente an (x,y)“ gefragt werden. Auch das bedeutet einfach nur, dass du die Steigung an einem bestimmten Punkt (x,y) bestimmen sollst.  Für diese Methode verwenden wir die Fragestellung: „Wie groß ist die Steigung der Funktion f(x)=2x2+6x{\displaystyle f(x)=2x^{2}+6x} an der Stelle (4,2)?"  Die Ableitung wird auch oft als f′(x),y′,{\displaystyle f'(x),y',} oder dydx{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}} geschrieben. Du benötigst den Graphen gar nicht unbedingt, solange du die Funktion oder Gleichung für deinen Graphen hast. Für dieses Beispiel verwenden wir die Funktion von oben, f(x)=2x2+6x{\displaystyle f(x)=2x^{2}+6x}. Indem wir der Methode aus The_Shortcut_sub diesem Link folgen (in Englisch), können wir die Ableitung dieser einfachen Funktion bestimmen: Ableitung: f′(x)=4x+6{\displaystyle f'(x)=4x+6} Die Ableitung einer Funktion gibt dir die Steigung der Funktion an einem bestimmten Punkt. In anderen Worten, f’(x) ist die Steigung der Funktion an jedem Punkt (x,f(x)). Für unsere vorliegende Aufgabe bedeutet das:  Was ist die Steigung der Funktion f(x)=2x2+6x{\displaystyle f(x)=2x^{2}+6x} am Punkt (4,2)?  Ableitung der Funktion: f′(x)=4x+6{\displaystyle f'(x)=4x+6}   Einsetzen von x: f′(x)=4(4)+6{\displaystyle f'(x)=4(4)+6}  Bestimme die Steigung: Die Steigung von f(x)=2x2+6x{\displaystyle f(x)=2x^{2}+6x} am Punkt (4,2) ist 22. Nicht alle Punkte in Analysis haben eine Steigung. Analysis beschäftigt sich mit komplexen Funktionen und schwierigen Graphen und nicht alle Punkte haben eine Steigung, oder existieren überhaupt auf jedem Graphen. Wann immer es dir möglich ist, überprüfe dein Ergebnis für die Steigung mit Hilfe eines grafischen Taschenrechners. Wenn das nicht möglich ist, zeichne die Tangente mit Hilfe deines Punktes und der Steigung (denke daran - „Anstieg über den Verlauf“) und überprüfe, ob deine Lösung realistisch aussieht. Eine Tangente hat dieselbe Steigung wie die Kurve an dem entsprechenden Punkt. Um sie zu zeichnen, gehe deine Steigung nach oben (positiv) oder nach unten (negativ). In unserem Fall also 22 nach oben. Dann gehe eins nach rechts (positiv) oder links (negativ) und zeichne einen Punkt. Verbinde die Punkte (4,2) und (26,3) für deine Tangente. Wenn du einen Graphen und eine Funktion gegeben hast, aber keine Gleichung, kannst du die Steigung trotzdem relativ einfach bestimmen. Du benötigst dazu nur zwei Punkte auf der Funktion, die du dann in die Gleichung y2−y1x2−x1{\displaystyle {\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}} einsetzen kannst. Während du die Steigung bestimmst, behalte folgende Informationen im Kopf, damit du nicht auf den falschen Weg gerätst:  Positive Steigungen steigen auf dem Graphen nach rechts hin an. Negative Steigungen fallen auf dem Graphen nach rechts hin ab. Größere Steigungen sind steiler. Kleinere Steigungen steigen langsamer an. Perfekt horizontale Geraden haben eine Steigung von Null. Perfekt vertikale Geraden haben überhaupt keine Steigung. Ihre Steigung ist „unbestimmt“. Nutze den Graphen (oder die Fragestellung), um die x- und y-Koordinaten zweier Punkte auf dem Graphen zu bestimmen. Das können zwei beliebige Punkte sein, durch die die Gerade verläuft. Nehmen wir z.B. an, die Gerade in dieser Methode verläuft durch die Punkte (2,4) und (6,6).  Bei jedem Zahlenpaar ist die x-Koordinate die erste Zahl und die y-Koordinate kommt nach dem Komma. Jede x-Koordinate auf der Gerade hat eine zugehörige y-Koordinate. Wenn wir unser Beispiel mit den Punkten (2,4) und (6,6) fortführen und die x- und y-Koordinaten von jedem Punkt benennen, sieht das am Ende so aus:   x1: 2  y1: 4  x2: 6  y2: 6 Folgende Formel wird verwendet, um die Steigung einer Gerade aus zwei Punkten zu bestimmen:y2−y1x2−x1{\displaystyle {\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}}. Setze einfach deine vier Punkte ein und vereinfache:   Ausgangspunkte: (2,4) and (6,6).  Einsetzen in die Gleichung: 6−46−2{\displaystyle {\frac {6-4}{6-2}}}   Vereinfachen der Lösung:  24=12{\displaystyle {\frac {2}{4}}={\frac {1}{2}}} = Steigung Die Steigung einer Geraden gibt an, wie sehr die Gerade im Verlauf (also nach „rechts“ hin) ansteigt oder abfällt („Anstieg über den Verlauf“). Der „Anstieg/Abfall“ der Gerade ist nichts anderes als der Unterschied zwischen den y-Werten (denke daran, die Y-Achse verläuft von unten nach oben) und der „Verlauf“ der Gerade ist der Unterschied zwischen den x-Werten (die X-Achse verläuft von links nach rechts). Die Gleichung für die Steigung lautet y2−y1x2−x1{\displaystyle {\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}}. Sie kann aber auch mit dem griechischen Buchstaben „Δ“, genannte „delta“, geschrieben werden. Delta bedeutet die „Differenz von“. Die Gleichung für die Steigung kann also auch als Δy/Δx dargestellt werden.  Δy/Δx bedeutet „Differenz von y/Differenz von x“ und ist nichts anderes als die ursprüngliche Gleichung y2−y1x2−x1{\displaystyle {\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}}. „Bestimme Δy/Δx von“ ist also das gleiche wie: „Finde die Steigung von“.
Schaue dir noch einmal an, wie du die Ableitungen von bestimmten Gleichungen bildest. Verstehe, welche Fragestellungen eine Berechnung der Steigung mit Hilfe der Ableitung verlangen. Finde die Ableitung deiner Funktion. Setze deinen Punkt in die Ableitungsgleichung ein, um deine Steigung zu bekommen. Wenn möglich, überprüfe dein Ergebnis anhand des Graphen. Verwende einen Graphen und zwei Punkte, um die Steigung ohne die Funktionsgleichung zu bestimmen. Finde zwei Punkte und stelle sie in einer einfachen (x,y) Form dar. Benenne die entsprechenden Zahlenpaare der Punkte x1, y1, x2, y2. Setze deine Punkte in die Formel zur Berechnung der Steigung aus zwei Punkten ein. Verstehe, wie die Formel funktioniert. Verstehe unterschiedliche Fragestellungen.
https://www.wikihow.com/Find-the-Slope-of-an-Equation https://www.wikihow.com/Find-the-Slope-of-an-Equation
Using Differential Calculus to Find the Slope of a Curve Finding the Slope with Two Points