Die Steigung der Geraden vergleichen Die Formel in der Normalform verwenden Eine parallele Gerade mit der Punktsteigerungsform finden
Die Steigung einer Geraden wird definiert als (Y2 - Y1)/(X2 - X1), wobei X und Y die horizontalen und vertikalen Koordinaten von Punkten auf der Geraden sind. Du musst zwei Punkte auf der Geraden festlegen, um diese Formel zu berechnen. Der Punkt, der näher am unteren Ende der Geraden liegt, ist (X1, Y1) und der Punkt, der höher auf der Geraden liegt als der erste Punkt, ist (X2, Y2).  Diese Formel kann als der Anstieg über den Verlauf formuliert werden. Es ist die Veränderung in der vertikalen Differenz durch die Veränderung in der horizontalen Differenz oder die Steilheit der Geraden. Wenn eine Gerade nach oben rechts zeigt, hat sie eine positive Steigung. Wenn die Gerade nach unten rechts zeigt, hat sie eine negative Steigung. Ein Punkt auf einer Geraden wird durch die Koordinaten (X, Y) angegeben, wobei X seine Position auf der horizontalen Achse und Y seine Position auf der vertikalen Achse ist. Um die Steigung zu berechnen, musst du zwei Punkte auf jeder der Geraden festlegen.  Punkte können leicht bestimmt werden, wenn du eine Gerade auf Grafikpapier gezeichnet hast. Um einen Punkt zu definieren, zeichnest du eine gestrichelte Linie von der horizontalen Achse bis sie die Gerade schneidet. Die Position, an der du die Linie auf der horizontalen Achse begonnen hast, ist die X-Koordinate, die Y-Koordinate ist dort, wo die gestrichelte Linie die Gerade auf der vertikalen Achse schneidet. Zum Beispiel: Gerade l hat die Punkte (1, 5) und (-2, 4), während die Gerade r die Punkte (3, 3) und (1, -4) hat. Um tatsächlich die Steigung zu berechnen, setzt du einfach die Zahlen ein, subtrahierst und dividierst dann. Achte darauf, die Koordinaten für die richtigen X- und Y-Werte in der Formel einzusetzen.  Um die Steigung der Geraden l zu berechnen, rechnest du: Steigung = (5 – (-4))/(1 – (-2)) Subtrahiere: Steigung = 9/3 Dividiere: Steigung = 3 Die Steigung der Geraden r ist: Steigung = (3 – (-4))/(3 - 1) = 7/2 Erinnere dich daran, zwei Geraden sind nur parallel, wenn sie eine identische Steigung haben. Geraden können auf dem Papier parallel aussehen und sogar nahezu parallel sein, wenn ihre Steigung aber nicht exakt die gleiche ist, sind sie es nicht. In diesem Beispiel ist 3 nicht gleich 7/2, daher sind die beiden Geraden nicht parallel. Die Formel einer Geraden in der Normalform lautet y = mx + b, wobei m die Steigung ist, b der y-Achsenabschnitt und x und y sind Variablen, die Koordinaten auf der Geraden darstellen; normalerweise werden sie als x und y in der Gleichung zu sehen bleiben. In diesem Form kannst du leicht die Steigung der Geraden als die Variable "m" erkennen. Beispiel: Schreibe 4y - 12x = 20 und y = 3x -1 um. Die Gleichung 4y - 12x = 20 muss mit algebraischen Rechenfunktionen umgeschrieben werden, während y = 3x -1 bereits in der richtigen Normalform ist und nicht umgestellt werden muss. Oft wird die Formel der Geraden, die du gegeben bekommst, nicht in dieser Form sein. Man braucht nur ein wenig Mathematik und Umordnen der Variablen, um sie in diese Form zu bringen.  Zum Beispiel: Schreibe die Gerade 4y-12x=20 in die Form mit Steigung und y-Achsenabschnitt um. Addiere 12x auf beiden Seiten der Gleichung: 4y – 12x + 12x = 20 + 12x Teile jede Seite durch 4, um y alleine zu stellen: 4y/4 = 12x/4 +20/4 Normalform: y = 3x + 5. Erinnere dich, wenn zwei Geraden parallel zueinander sind, werden sie exakt die gleiche Steigung haben. Unter Anwendung der Gleichung y = mx + b, in der m die Steigung der Geraden ist, kannst du die Steigung der beiden Geraden ermitteln und vergleichen.  In unserem Beispiel hat die erste Gerade die Gleichung y = 3x + 5, somit ist die Steigung 3. Die andere Gerade hat die Gleichung y = 3x – 1, die ebenfalls die Steigung 3 hat. Da die Steigungen identisch sind, sind diese beiden Geraden parallel. Beachte, dass diese beiden Gleichungen, hätten auch denselben y-Achsenabschnitt, dieselbe Gerade wären und nicht parallel. Die Punktsteigerungsform ermöglicht es dir, die Gleichung einer Gerade zu schreiben, wenn du ihre Steigung kennst und eine (x, y)-Koordinate hast. Du würdest diese Formel verwenden, wenn du eine zweite parallele Gerade zu einer bereits bestehenden Geraden mit einer bestimmten Steigung definieren möchtest. Die Formel latuet y – y1= m(x – x1), wobei m die Steigung der Geraden ist, x1 die x-Koordinate eines gegebenen Punktes auf der Geraden und y1 die y-Koordinate dieses Punktes. Wie bei der Normalform sind x und y auch hier Variablen, die für Koordinaten auf dieser Geraden stehen; normalerweise werden sie als x und y in der Gleichung zu sehen bleiben. Die folgenden Schritte führen dich durch dieses Beispiel: Schreibe die Gleichung einer zur Geraden y = -4x + 3 parallelen Geraden auf, die durch den Punkt (1, -2) geht. Wenn du die Gleichung für eine neue Gerade aufschreibst, musst du zuerst die Steigung der Geraden ermitteln, zu der du die Parallele ziehst. Vergewissere dich, dass die Gleichung der ursprünglichen Geraden in Normalform ist, dann weißt du die Steigung (m). Die Gerade, zu der wir eine parallele zeichnen wollen, ist y = -4x + 3. In dieser Gleichung steht -4 für die Variable m und ist somit die Steigung der Geraden. Diese Gleichung funktioniert nur, wenn du eine Koordinate hast, die auf der neuen Geraden liegt. Passe auf, dass du keine Koordinate auf der ursprünglichen Geraden wählst. Wenn deine Gleichungen am Ende denselben y-Achsenabschnitt haben, sind sie nicht parallel, sondern dieselbe Gerade. In unserem Beispiel werden wir die Koordinate (1, -2). Erinnere dich, dass die Formel y – y1= m(x – x1) ist. Setze die Steigung und die Koordinaten deines Punktes ein, um die Gleichung für deine neue Gerade aufzuschreiben, die parallel zu der ersten ist. Bei unserem Beispiel mit der Steigung (m) -4 und (x, y)-Koordinate (1, -2): y – (-2) = -4(x – 1) Wenn du die Zahlen eingesetzt hast, kann die Gleichung in die Normalform vereinfacht werden. Die Gleichung dieser Geraden wäre, wenn man sie in einem Koordinatensystem zeichnen würde, parallel zu der gegebenen Gleichung.  Zum Beispiel: y – (-2) = -4(x – 1) Zwei Negative ergeben ein Positives: y + 2 = -4(x -1)  Spalte das -4 von x und -1 ab. Subtrahiere -2 von beiden Seiten: y + 2 – 2 = -4x + 4 – 2 Vereinfachte Gleichung: y = -4x + 2
Definiere die Formel für die Steigung. Bestimme die X- und Y-Koordinaten von zwei Punkten auf jeder Geraden. Setze die Punkte von jeder Geraden in die Formel für die Steigung ein. Vergleiche die Steigungen der beiden Geraden. Definiere die Normalform einer Geraden. Stelle die Formel der Geraden in die Normalform um. Vergleiche die Steigung der beiden Geraden. Definiere die Punktsteigerungsform. Ermittle die Steigung der ersten Geraden. Bestimme einen Punkt auf der neuen Geraden. Schreibe die Gleichung der neuen Geraden mit der Punktsteigerungsform auf. Vereinfache die Gleichung.
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Comparing the Slopes of Each Line Using the Slope-Intercept Formula Defining a Parallel Line with the Point-Slope Equation