Arithmetische Folgen Polynomiale Folgen Geometrische Folgen Erzeugende Funktionen Mit Linearer Algebra
    In diesem Fall, da 5 der 0-te Term ist, ist die Formel an = 5 + 3n. Wenn wir stattdessen 5 als ersten Term hätten, dann wäre unsere Formel an = 2 + 3n.   In diesem Beispiel ist p quadratisch, deshalb brauchen wir ein kubisches Polynom, um die Folgenglieder der Folge an darzustellen. Es ist egal, welche vier, also lass uns die Terme 0, 1, 2 und 3 nehmen. Wenn wir die Rekursion rückwärts laufen lassen, um den -1-ten Term zu bestimmen, dann werden damit vielleicht einige Berechnungen leichter, aber es ist nicht nötig. Wenn der 0-te Term einer der Terme ist, die wir genommen haben, um die Koeffizienten zu bestimmen, dann haben wir damit den konstanten Term des Polynoms und können das System sofort auf deg(p)+1 Gleichungen mit deg(p)+1 Unbekannten reduzieren, wie gezeigt.    {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/a\/a8\/Solve-Recurrence-Relations-Step-16-Version-2.jpg\/v4-460px-Solve-Recurrence-Relations-Step-16-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/a\/a8\/Solve-Recurrence-Relations-Step-16-Version-2.jpg\/v4-760px-Solve-Recurrence-Relations-Step-16-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":760,"bigHeight":570,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}      In diesem Fall, da 3 der 0-te Term ist, ist die Formel an = 3*2n. Wenn wir stattdessen 3 als ersten Term hätten, dann wäre unsere Formel an = 3*2(n-1). Diese Aufgabe kann nicht mit Hilfe der obigen Methoden gelöst werden, aber wir können eine Formel mit Hilfe von erzeugenden Funktionen finden. Eine erzeugende Funktion ist einfach eine formale Potenzreihe, bei der der Koeffizient von xn der n-te Term der Folge ist. Das Ziel in diesem Schritt ist, eine Gleichung zu finden, die uns ermöglicht, die erzeugende Funktion A(x) zu berechnen. Entferne den Anfangsterm. Wende die Rekurrenzgleichung auf die restlichen Terme an.  Teile die Summe auf. Entferne konstante Terme. Benutze die Definition von A(x). Benutze die Formel für die Summe einer geometrischen Reihe.  Die Methoden, wie man es tun kann, hängen von der exakten Form von A(x) ab, aber die Methode der Partialbruchzerlegung, kombiniert damit, dass wir die erzeugende Funktion einer geometrischen Folge kennen, funktioniert hier, wie gezeigt.  Lass es uns an dem anderen gezeigten Beispiel, dessen erste Terme 1, 4, 13, 46, 157, .... sind, probieren. Wir bekommen es, indem wir jedes an in der Rekurrenz durch xn ersetzen und durch x(n-k) teilen, wobei wir ein Polynom vom Grad k mit einem nicht verschwindenden konstanten Term erhalten. In diesem Fall hat das charakteristische Polynom den Grad 2, und wir können die quadratische Formel anwenden, um die Nullstellen zu bestimmen. Die ci sind Konstanten und die Basen der Exponential-Terme sind die Lösungen von obigem charakteristischem Polynom. Dies kann durch Induktion bewiesen werden. Wenn das charakteristische Polynom eine mehrfache Nullstelle hat, kann dieser Schritt etwas modifiziert werden. Wenn r eine Nullstelle der Vielfachheit m ist, nimm (c1rn + c2nrn + c3n2rn + ... + cmnm-1rn) anstelle von (c1rn). Zum Beispiel genügt die Folge, die mit 5, 0, -4, 16, 144, 640, 2240, ... anfängt, der Rekurrenzgleichung an = 6an-1 - 12an-2 + 8an-3. Das charakteristische Polynom hat eine dreifache Nullstelle bei 2 und die Formel in geschlossener Form ist an = 5*2n - 7*n*2n + 2*n2*2n. Genau wie bei dem Polynom-Beispiel machen wir es, indem wir ein lineares Gleichungssystem mit den Anfangstermen aufstellen. Da dieses Beispiel zwei Unbekannte hat, brauchen wir zwei Terme. Es ist egal, welche wir nehmen, also nehmen wir den 0-ten und den ersten, um zu vermeiden, dass wir eine hohe Potenz einer irrationalen Zahl bilden müssen.  
Lass uns eine arithmetische Folge wie  5, 8, 11, 14, 17, 20, .... betrachten. Da jeder Term um 3 größer als der vorhergehende ist, kann es als Rekurrenz wie folgt geschrieben werden. Jede Rekurrenzgleichung der Form an = an-1 + d ist eine arithmetische Folge. Schreibe die geschlossene Form der Formel für eine arithmetische Folge, möglicherweise mit Unbekannten, wie gezeigt. Bestimme die Unbekannten mit Hilfe der Anfangswerte. Lass uns die Folge 5, 0, -8, -17, -25, -30, ..., gegeben durch die Rekursion an = an-1 + n2 -  6n betrachten. Jede Rekursion, die die gezeigte Form hat, bei der p(n) ein Polynom in n ist, hat eine polynomiale Formel in geschlossener Form mit einem Grad, der um eins größer ist als der Grad von p. Schreibe die allgemeine Form eines Polynoms des gewünschten Grades. Da ein allgemeines kubisches Polynom vier unbekannte Koeffizienten hat, brauchen wir vier Werte, um das resultierende Gleichungssystem zu lösen. Löse entweder das resultierende Gleichungssystem mit deg(p)+2 Gleichungen und deg(p)=2 Unbekannten oder passe ein Lagrange-Polynom an die deg(p)+2 bekannten Punkte an. Schreibe die geschlossene Formel für an als Polynom mit bekannten Koeffizienten. Lass uns eine arithmetische Folge wie 3, 6, 12, 24, 48, .... betrachten. Da jeder Term das Doppelte des vorhergehenden ist, kann es als Rekurrenz wie folgt geschrieben werden. Jede Rekurrenzgleichung der Form an = r * an-1 ist eine geometrische Folge. Schreibe die geschlossene Form der Formel für eine geometrische Folge, möglicherweise mit Unbekannten, wie gezeigt. Bestimme die Unbekannten mit Hilfe der Anfangswerte. Lass uns die Folge 2, 5, 14, 41, 122, ... , die durch obige Rekursion gegeben ist, betrachten. Schreibe die erzeugende Funktion der Folge hin. Wandle die erzeugende Funktion um, wie gezeigt. Bestimme die erzeugende Funktion A(x). Bestimme die Koeffizienten der Terme xn in A(x). Schreibe die Formel für an hin, indem du den Koeffizienten von xn in A(x) bestimmst. Dies Ist die erste Methode, die die Fibonacci-Folge in der Einführung lösen kann, aber die Methode löst jede Rekurrenzgleichung, bei der der n-te Term eine Linearkombination der vorhergehenden k Terme ist. Schreibe das charakteristische Polynom der Rekurrenz hin. Löse das charakteristische Polynom. Jeder Ausdruck, der die gezeigte Form hat, löst die Rekurrenzgleichung. Bestimme die ci, die den gegebenen Anfangsbedingungen genügen. Löse das resultierende Gleichungssystem. Setze die resultierenden Konstanten in die allgemeine Formel ein, um die Lösung zu erhalten.
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