Vereinfachen verschachtelter Brüche mit inverser Multiplikation Vereinfachen verschachtelter Brüche mit Variablen
Es ist nicht unbedingt schwer, verschachtelte Brüche zu vereinfachen. Eigentlich sind verschachtelte Brüche, bei denen der Zähler und der Nenner jeweils einen einfachen Bruch enthalten, leicht zu vereinfachen. Wenn also der Zähler oder der Nenner (oder beide) deines  verschachtelten Bruchs Brüche oder Brüche und ganze Zahlen enthalten, dann vereinfache sie soweit, bis du jeweils einen einfachen Bruch sowohl im Zähler als auch im Nenner hast. Das kann bedeuten, dass man den kleinsten gemeinsamen Nenner (kgV) von zwei oder mehr Brüchen  finden muss. Angenommen, wir wollen den verschachtelte Bruch (3/5 + 2/15)/(5/7 - 3/10) vereinfachen. Zuerst vereinfachen wir den Zähler und den Nenner, so dass wir dort jeweils nur einfache Brüche stehen haben.  Um den Zähler zu vereinfachen, verwenden wir das kgV 15 indem wir 3/5 mit 3/3 multiplizieren. Unser Zähler ist nun 9/15 + 2/15, und das ist 11/15. Um den Nenner zu vereinfachen, benutzen wir das kgV 70 indem wir 5/7 mit 10/10 und 3/10 mit 7/7 multiplizieren. Unser Nenner ist nun 50/70 - 21/70, und das ist 29/70. Damit ist unser neuer verschachtelter Bruch (11/15)/(29/70). Definitionsgemäß ist das Teilen einer Zahl durch eine andere dasselbe wie das Multiplizieren der ersten Zahl mit dem Kehrwert der zweiten. Da wir jetzt einen verschachtelten Bruch mit einfachen Brüchen in Zähler und Nenner haben, können wir diese Eigenschaft der Division benutzen, um unseren verschachtelten Bruch zu vereinfachen! Zuerst müssen wir den Kehrwert des unteren Bruches in dem verschachtelten Bruch bestimmen. Wir können es tun, indem wir den Bruch "herum drehen" - wir vertauschen einfach Zähler und Nenner. In unserem Beispiel ist der Bruch im Nenner des verschachtelten Bruches (11/15)/(29/70)  29/70. Um den Kehrwert zu bestimmen, "drehen" wir ihn einfach herum und erhalten 70/29. Beachte: Wenn dein verschachtelten Bruch eine ganze Zahl im Nenner hat, dann kannst du sie als Bruch behandeln und den Kehrwert genauso bestimmen. Wenn unser verschachtelter Bruch zum Beispiel (11/15)/(29) wäre, dann können wir den Nenner als 29/1 schreiben, und sein Kehrwert ist 1/29. Da wir jetzt den Kehrwert des Nenners unseres verschachtelten Bruchs kennen, können wir ihn mit dem Zähler multiplizieren, um einen einzigen, einfachen Bruch zu erhalten! Vergiss nicht, dass wir beim Multiplizieren von zwei Brüchen einfach nur die Zähler und die Nenner getrennt mit einander multiplizieren - der Zähler des neuen Bruches ist das Produkt der zwei alten Zähler und Entsprechendes gilt für den Nenner. In unserem Beispiel würden wir 11/15 mit 70/29 multiplizieren. 70 * 11 = 770 und 15 * 29 = 435. Damit ist unser neuer einfacher Bruch 770/435. Wir haben nun einen einzigen, einfachen Bruch, und wir müssen ihn nur noch kürzen. Dazu müssen wir den größten gemeinsamen Teiler (ggT) von Zähler und Nenner bestimmen und beide durch diese Zahl teilen. Ein gemeinsamer Teiler von 770 und 435 ist 5. Wenn wir also den Zähler und den Nenner unseres Bruches durch 5 teilen, dann erhalten wir 154/87. 154 und 87 haben keine gemeinsamen Faktoren, und deshalb haben wir unser endgültiges Ergebnis! Um es klar zu sagen: So ziemlich jeder verschachtelte Bruch kann vereinfacht werden, indem man Zähler und Nenner zu einfachen Brüchen macht und dann den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners multipliziert. Verschachtelte Brüche mit Variablen sind da keine Ausnahme. Wenn die Variablenterme allerdings komplizierter sind, dann wird es schwieriger und zeitaufwändiger, die inverse Multiplikation zu benutzen. Bei "leichten"  verschachtelten Brüchen mit Variablen ist die inverse Multiplikation eine gute Wahl, aber  verschachtelte Brüche mit mehreren Variablentermen in Zähler und Nenner sind eventuell leichter mit der unten beschriebenen alternativen Methode zu vereinfachen.  Zum Beispiel kann (1/x)/(x/6) leicht mit der inversen Multiplikation vereinfacht werden. 1/x * 6/x = 6/x2. Hier ist keine Notwendigkeit für eine andere Methode. Allerdings ist (((1)/(x+3)) + x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))) schwieriger mit der inversen Multiplikation zu vereinfachen. Den Zähler und Nenner zu einfachen Brüchen machen, die inverse Multiplikation und das Kürzen des Ergebnisses ist wahrscheinlich ein komplizierter Prozess. In diesem Fall ist die alternative Methode unten einfacher. Der erste Schritt in dieser alternativen Methode zur Vereinfachung ist es, das kgV aller Brüche im verschachtelten Bruch zu finden - sowohl im Zähler wie im Nenner. Wenn die Brüche Variablen im Nenner enthalten, dann ist das kgV meistens einfach das Produkt der einzelnen Nenner.  Man kann es leichter an einem Beispiel sehen. Wir versuchen obigen verschachtelten Bruch (((1)/(x+3)) + x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))) zu vereinfachen. Die Brüche in diesem verschachtelten Bruch sind (1)/(x+3) und (1)/(x-5). Der gemeinsame Nenner der zwei Brüche ist das Produkt ihrer Nenner: (x+3)(x-5). Als nächstes müssen wir die Terme in unserem verschachtelten Bruch mit dem kgV aller Brüche multiplizieren. Anders gesagt: Wir multiplizieren den gesamten verschachtelten Bruch mit (kgV)/(kgV). Wir können das einfach tun, denn (kgV)/(kgV) ist gleich 1. Multipliziere zuerst nur den Zähler. In unserem Beispiel multiplizieren wir den verschachtelten Bruch (((1)/(x+3)) + x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))) mit ((x+3)(x-5))/((x+3)(x-5)). Wir müssen also jeden Term mit (x+3)(x-5) multiplizieren. Wir behandeln zuerst den Zähler: (((1)/(x+3)) + x - 10) * (x+3)(x-5)  = (((x+3)(x-5)/(x+3)) + x((x+3)(x-5)) - 10((x+3)(x-5)) = (x-5) + (x(x2 - 2x - 15)) - (10(x2 - 2x - 15)) = (x-5) + (x3 - 2x2 - 15x) - (10x2 - 20x - 150) = (x-5) + x3 - 12x2 + 5x + 150 = x3 - 12x2 + 6x + 145 Fahre fort, den verschachtelten Bruch mit dem kgV zu multiplizieren, indem du mit dem Nenner weiter machst. Wir müssen also jeden Term mit dem kgV multiplizieren. Der Nenner unseres verschachtelten Bruchs (((1)/(x+3)) + x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))) ist x +4 +((1)/(x-5)). Wir müssen jeden Term mit (x+3)(x-5) multiplizieren.  (x +4 +((1)/(x - 5))) * (x+3)(x-5) = x((x+3)(x-5)) + 4((x+3)(x-5)) + (1/(x-5))(x+3)(x-5). = x(x2 - 2x - 15) + 4(x2 - 2x - 15) + ((x+3)(x-5))/(x-5) = x3 - 2x2 - 15x + 4x2 - 8x - 60 + (x+3) = x3 + 2x2 - 23x - 60 + (x+3) = x3 + 2x2 - 22x - 57 Nachdem du den Bruch mit (kgV)/(kgV) multipliziert und gleiche Terme zusammengefasst hast, solltest du jetzt nur noch einen einfachen Bruch ohne Brüche haben. Wie dir vielleicht aufgefallen ist, sind beim Multiplizieren mit dem kgV der Brüche in dem ursprünglichen verschachtelten Bruch die Nenner dieser Brüche weggefallen, so dass wir nur noch Variablenterme und ganze Zahlen in Zähler und Nenner des Ergebnisses haben, aber keine Brüche mehr. Mit den berechneten Zähler und Nenner können wir einen neuen Bruch konstruieren, der gleich ist zu unserem ursprünglichen verschachtelten Bruch, der aber keine Brüche mehr enthält. Der berechnete Zähler ist x3 - 12x2 + 6x + 145 und der Nenner x3 + 2x2 - 22x - 57, also ist unser neuer Bruch (x3 - 12x2 + 6x + 145)/(x3 + 2x2 - 22x - 57)
Wenn nötig, vereinfache Zähler und Nenner zu einfachen Brüchen. Bilde den Kehrwert des Nenners, indem du ihn herum drehst. Multipliziere den Zähler des  verschachtelten Bruchs mit dem Kehrwert des Nenners. Vereinfache den neuen Bruch, indem du ihn kürzt. Wenn möglich, benutze obige inverse Multiplikationsmethode. Wenn die inverse Multiplikation unhandlich ist, dann fange an, indem du den kleinsten gemeinsamen Nenner der Brüche in dem verschachtelten Bruch bestimmst. Multipliziere den Zähler des verschachtelten Bruchs mit dem gerade bestimmten kgV. Multipliziere den Nenner des  verschachtelten Bruchs mit dem kgV, genauso wie wir es mit dem Zähler gemacht haben. Mache einen neuen, vereinfachten Bruch aus den gerade errechneten Zähler und Nenner.
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Simplifying Complex Fractions with Inverse Multiplication Simplifying Complex Fractions Containing Variable Terms