Teil zwei: Den größten gemeinsamen Teiler bestimmen Teil drei: Das kleinste gemeinsame Vielfache bestimmen Teil eins: Einen Baum mit den Faktoren erstellen
Um den größten gemeinsamen Teiler (ggT) von zwei oder mehr Zahlen zu bestimmen, musst du zuerst jede der Zahlen in ihre Primfaktoren zerlegen. Du kannst die Baum-Methode dafür benutzen.  Du musst einen eigenen Baum für jede Zahl machen. Das Erstellen eines Baumes mit den Faktoren ist derselbe Vorgang wie im Abschnitt “Einen Baum mit den Faktoren erstellen” beschrieben. Der ggT von zwei oder mehr Zahlen ist die größte Zahl, die alle gegebenen Zahlen der Aufgabe teilt.  Beispiel: Bestimme den ggT von 195 und 260.  ......195 ....../....\ ....5....39 ........./....\ .......3.....13 Die Primfaktoren von 195 sind 3, 5, 13 .......260 ......./.....\ ....10.....26 .../...\ …/..\ .2....5...2...13 Die Primfaktoren von  260 sind 2, 2, 5, 13 Schau dir alle Bäume deiner gegebenen Zahlen an. Suche alle Primfaktoren der ursprünglichen Zahlen, und markiere dann alle Primfaktoren (oder schreibe sie in neue Listen), die in allen Listen vorkommen.  Wenn es keine gemeinsamen Primfaktoren gibt, dann ist der ggT die Zahl 1.  Beispiel: Wie oben schon erwähnt, sind die Primfaktoren von 195 die Zahlen 3, 5 und 13; die Primfaktoren von 260 sind 2, 2, 5 und 13. Die gemeinsamen Teiler beider Zahlen sind 5 und 13. Wenn zwei oder mehr Zahlen mehr als einen gemeinsamen Primfaktor haben, dann können wir den ggT bestimmen, indem wir alle gemeinsamen Primfaktoren mit einander multiplizieren.  Wenn es allerdings nur einen gemeinsamen Primfaktor von zwei oder mehr Zahlen gib, dann ist der ggT einfach dieser gemeinsame Primfaktor.  Beispiel: Die gemeinsamen Primfaktoren von 195 und 260 sind 5 und 13. Das Produkt von 5 und 13 ist 65. 5 * 13 = 65 Die Aufgabe ist jetzt gelöst, und du hast dein Ergebnis.  Du kannst das Ergebnis noch einmal überprüfen, wenn du willst, indem du jede deiner ursprünglichen Zahlen durch den berechneten ggT teilst. Wenn der ggT alle Zahlen teilt, dann sollte dein Ergebnis korrekt sein.  Beispiel: Der größte gemeinsame Teiler (ggT) von 195 und 260 ist 65.  195 / 65 = 3 260 / 65 = 4 Um das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) von zwei oder mehr Zahlen zu bestimmen, musst du zuerst jede der Zahlen in ihre Primfaktoren zerlegen. Du kannst die Baum-Methode dafür benutzen.  Du musst einen eigenen Baum für jede Zahl machen mit der im Abschnitt “Einen Baum mit den Faktoren erstellen” beschriebenen Methode. Ein Vielfaches ist eine Zahl, die von der aktuellen Zahl geteilt wird. Das kgV ist die kleinste Zahl, die ein gemeinsames Vielfaches aller gegebenen Zahlen ist.  Beispiel: Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache von 15 und 40.  ....15 ..../..\ ...3...5 Die Primfaktoren von 15 sind 3 und 5. .....40 ..../...\ ...5....8 ......../..\ .......2...4 ............/ \ ..........2...2 Die Primfaktoren von 40 sind 5, 2, 2 und 2. Schau dir die Primzahlfaktoren aller gegebenen Zahlen an. Markiere die gemeinsamen Primfaktoren, schreibe sie in eine Liste oder mache sie sonstwie kenntlich.  Beachte: Wenn du mehr als zwei Zahlen hast, dann müssen je zwei der Zahlen einen gemeinsamen Primfaktor haben, aber sie müssen nicht bei allen Zahlen auftauchen. Bilde Paare aus den gemeinsamen Primfaktoren. Wenn zum Beispiel eine Zahl den Primfaktor “2” zweimal hat und eine anderen hat die “2” einmal als Primfaktor, dann zählen wir die gemeinsame “2” als ein Paar; die verbleibende “2” der ersten Zahl wird nicht als gemeinsamer Primfaktor gezählt.  Beispiel: Die Primfaktoren von 15 sind 3 und 5; die Primfaktoren von 40 sind 2, 2, 2 und 5. Hier ist nur die Zahl 5 ein gemeinsamer Teiler. Wenn wir die Paare der gemeinsamen Primfaktoren gebildet haben, multiplizieren wir die gemeinsamen Primfaktoren mit den einzelnen Primfaktoren.  Ein Primfaktor-Paar wird wie eine einzige Zahl behandelt. Die nicht-gemeinsamen Primfaktoren werden alle gewertet, selbst wenn sie öfter vorkommen.  Beispiel: Der gemeinsame Primfaktor ist 5. Die Zahl 15 trägt ebenso den nicht-gemeinsamen Primfaktor 3 und die Zahl 40 trägt die nicht-gemeinsamen Primfaktoren 2, 2 und 2 bei. Deshalb rechnen wir: 5 * 3 * 2 * 2 * 2 = 120 Die Aufgabe ist jetzt gelöst, und du hast dein Ergebnis.  Beispiel: Das kgV von 15 und 40 ist 120. Wenn du eine Zahl in ihre Faktoren zerlegen und es in Form eines Baumes aufschreiben willst, fängst du am besten damit an, die Zahl oben auf das Blatt zu schreiben. Das ist die Spitze deines Baumes.  Zeichne zwei nach unten gehende diagonale Linien unter die Zahl. Eine sollte schräg nach links zeigen, die andere schräg nach rechts. Alternativ kannst du die Zahl auch unten auf das Blatt und die Faktoren-Zweige darüber nach oben zeigend schreiben. Diese Methode ist allerdings nicht so üblich.  Beispiel: Mache einen Baum für die Faktoren der Zahl 315.  .....315 ...../...\ Nimm dir ein beliebiges Faktor-Paar für deine Zahl. Damit es ein gültiges Faktor-Paar ist, muss das Produkt der beiden Zahlen wieder deine ursprüngliche Zahl ergeben.  Diese Faktoren bilden die ersten Zweige deines Baumes. Du kannst beliebige Faktoren auswählen. Das endgültige Ergebnis ist dasselbe, egal wie du anfängst. Beachte: Wenn es keine Faktoren gibt, die miteinander multipliziert die ursprüngliche Zahl ergeben, außer der Zahl selbst und der Zahl “1,” dann ist die Zahl eine Primzahl und du kannst keinen Baum für die Faktoren machen.  Beispiel:  .....315 ...../...\ ...5....63 Zerlege jeweils deine ersten beiden Faktoren wieder in zwei Faktoren.  Wie oben, können zwei Zahlen nur Faktoren sein, wenn sie wieder die aktuelle Zahl ergeben, wenn sie multipliziert werden. Versuche nicht, Primzahlen weiter zu zerlegen.  Beispiel:  .....315 ...../...\ ...5....63 ........./  \ .......7...9 Du musst jede Zahl so weit wie möglich zerlegen, bis du nur noch Primzahlen hast. Eine Primzahl ist eine Zahl, die keine anderen Teiler außer eins und sich selbst hat.  Mache es so oft wie nötig, indem du in dem Prozess so viele Zweige wie nötig machst. Beachte, dass in deinem Baum keine “1” stehen darf.  Beispiel:  .....315 ...../...\ ...5....63 ........./..\ .......7...9 .........../..\ ..........3....3 Da die Primzahlen über den ganzen Baum verteilt sein können, solltest du sie markieren, damit sie leichter zu sehen sind. Mache dies, indem du sie farbig machst, einkreist oder schreibe sie in eine Liste.   Beispiel: Die Primfaktoren sind: 5, 7, 3, 3  .....315 ...../...\ ...5....63 ............/..\ .........7...9 ............../..\ ...........3....3    Ein alternativer Weg, die Primfaktoren eines Baumes zu schreiben, ist die Methode, sie jeweils mit auf die nächste Ebene zu nehmen. Wenn du fertig bist mit dem Baum, dann kannst du die Primfaktoren leicht erkennen, denn sie stehen alle in der untersten Reihe.   Beispiel:  .....315 ...../...\ ....5....63 .../....../..\ ..5....7...9 ../..../..../..\ 5....7...3....3 Du kannst das Ergebnis deiner Arbeit darstellen, indem du alle Primzahlfaktoren in einer Multiplikationsgleichung schreibst. Schreibe alle Zahlen hin mit einem Mal-Zeichen dazwischen.  Wenn du allerdings die Anweisung hast, dein Ergebnis in der Baumform stehen zu lassen, dann ist dieser Schritt nicht nötig.  Beispiel:  5 * 7 * 3 * 3 Berechne die Aufgabe, die du gerade hingeschrieben hast. Wenn du alle Primzahlfaktoren mit einander multiplizierst, dann solltest du wieder deine ursprüngliche Zahl als Ergebnis erhalten.  Beispiel: 5 * 7 * 3 * 3 = 315
Mache einen Baum mit den Faktoren für jede der gegebenen Zahlen. Bestimme alle gemeinsamen Primteiler. Multipliziere die gemeinsamen Faktoren. Schreibe dein Ergebnis hin. Mache einen Baum mit den Faktoren für jede der gegebenen Zahlen. Bestimme die gemeinsamen Primfaktoren. Multipliziere die gemeinsamen Primteiler mit den nicht-gemeinsamen Primteilern. Schreibe dein Ergebnis hin. Schreibe deine Zahl oben auf dein Blatt Papier. Suche ein Faktor-Paar. Zerlege jede Stufe wieder in Faktoren. Wiederhole dies, bis du nur noch Primzahlen hast. Suche alle Primzahlen. Schreibe die Primfaktoren in Form einer Gleichung. Überprüfe dein Ergebnis.
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Part Two: Identifying the Greatest Common Factor Part Three: Identifying the Least Common Multiple Part One: Making a Factor Tree