In Primfaktoren zerlegen Die Primfaktorzerlegung verwenden
. Die Primfaktorzerlegung ist der Vorgang, eine Zahl in kleinere Teile "aufzuspalten". Diese Teile oder Faktoren werden miteinander multipliziert, um der ursprünglichen Zahl gleichzukommen. Um zum Beispiel die Zahl 18 in Faktoren zu zerlegen, spaltest du sie zu 1 x 18 oder 2 x 9 oder 3 x 6 auf. Eine Primzahl hat nur zwei Faktoren: sich selbst und 1. Die Zahl 5 zum Beispiel ist das Produkt von 5 und 1. Du kannst sie nicht in irgendwelche andere Zahlen zerlegen. Das Ziel der Primfaktorzerlegung ist es, eine Zahl weiter aufzuspalten, bis nur Primzahlen übrig sind. Das ist besonders nützlich beim Bearbeiten von Brüchen, damit sie einfacher zu vergleichen und in Gleichungen zu verwenden sind. Wähle irgendeine Zahl größer als 3, die keine Primzahl ist. Es hat keinen Sinn, mit einer Primzahl zu beginnen, da es keine Möglichkeit gibt, sie in Faktoren zu zerlegen.  Beispiel: In diesem Artikel werden wir die Primfaktoren von 24 finden. Finde zwei beliebige Zahlen, die miteinander multipliziert werden können, um die Zahl zu erhalten, mit der du begonnen hast. Du kannst alle verwenden, die dir in den Sinn kommen, eine Primzahl wird dir die Arbeit aber erleichtern. Eine gute Strategie ist es zu versuchen, die Zahl durch 2, dann durch 3, dann durch 5 zu teilen und dann eine zu finden, die ohne Rest teilt.   Beispiel: Wenn du keine Faktoren von 24 kennst, probiere, sie durch kleine Primzahlen zu dividieren. Dividieren wir sie durch 2, dann erhalten wir 24 = 2 x 12. Wir sind noch nicht fertig, aber das ist ein guter Anfang. Da 2 eine Primzahl ist, ist das eine einfache Möglichkeit mit der Primfaktorzerlegung bei jeder Zahl zu beginnen. Ein Baumdiagramm ist eine einfache Möglichkeit, bei einer Primfaktorzerlegung den Überblick zu behalten. Zeichne es wie einen Baum, bei dem zwei "Äste" aus der ursprünglichen Zahl herauswachsen. Schreibe zwei Faktoren an die Enden dieser Äste.  Beispiel:    24     /\ 2    12 Sieh dir die zwei neuen Zahlen an (die zweite Zeile in deinem Diagramm). Sind es beide Primzahlen? Wenn eine von ihnen keine Primzahl ist, faktorisierst du sie erneut auf dieselbe Art und Weise. Zeichne weitere Äste an den Baum und schreibe die neuen Faktoren in eine dritte Zeile.   Beispiel: 12 ist keine Primzahl, wir zerlegen sie also weiter in Faktoren. Verwenden wir 12 = 2 x 6 und fügen das zu dem Baumdiagramm hinzu:    24     /\ 2   12        /\     2 x 6 Wenn einer der Faktoren eine Primzahl ist, überträgst du sie mit ihrem eigenen "Ast" in die nächste Zeile. Man kann sie nicht weiter zerlegen, also behalten sei wir zunächst nur im Blick.   Beispiel: 2 ist eine Primzahl. Schreibe die 2 von der zweiten Zeile nach unten in die dritte.      24       /\    2   12   /       /\ 2     2   6 Überprüfe jede neue Zeile im Baumdiagramm, während du sie aufschreibst. Wenn eine der Zahlen weiter in Faktoren zerlegt werden kann, machst du eine weitere Zeile. Du bist fertig, wenn nur noch Primzahlen da sind.   Beispiel: 6 ist keine Primzahl und muss weiter zerlegt werden. 2 ist eine Primzahl, wir übertragen die 2en also in die nächste Zeile.          24            /\       2    12      /       /\     2     2    6   /      /      /\ 2     2      2   3 Letztendlich wirst du nur noch Primzahlen übrig haben. Wenn das geschieht, bist du mit der Primfaktorzerlegung fertig. Die Primfaktorenzerlegung besteht aus der gesamten letzten Zeile von Zahlen, aufgeschrieben als Multiplikationsaufgabe.  Überprüfe deine Arbeit, indem du die letzte Zeile multiplizierst. Sie sollte die ursprüngliche Zahl ergeben.  Beispiel: Die letzte Zeile unseres Baumdiagramms enthält nur 2en und 3en. Das sind beides Primzahlen, wir sind also fertig. Wir  könnten die Primfaktorzerlegung von 24 als 24 = 2 x 2 x 2 x 3 schreiben. Die Reihenfolge der Faktoren ist nicht von Bedeutung. 2 x 3 x 2 x 2 ist ebenfalls eine richtige Antwort. Wenn du weißt, wie man Potenzen schreibt, kannst du die Primfaktorzerlegung leichter lesbar machen. Merke dir, dass eine Potenz eine Basis gefolgt von einer hochgestellten Zahl ist, die aussagt, wie oft die Basis mit sich selbst multipliziert wird.  Beispiel: Wie oft erscheint die 2 in der Primfaktorzerlegung 2 x 2 x 2 x 3? Da die Antwort "drei" ist, können wir 2 x 2 x 2 zu 23 vereinfachen. Die vereinfachte Primfaktorenzerlegung ist 23 x 3. Der größte gemeinsame Teiler (ggT) zweier Zahlen ist die größte Zahl, die ein Faktor beider Zahlen ist. So findet man den ggT von 30 und 36 mit Primfaktorzerlegung:  Finde die Primfaktoren der beiden Zahlen. Die Primfaktorzerlegung von 30 ist 2 x 3 x 5. Die Primfaktorzerlegung von 36 ist 2 x 2 x 3 x 3. Finde eine Zahl, die in beiden Primfaktorzerlegungen vorkommt. Streiche sie einmal in jeder Liste durch und schreibe sie in eine neue Zeile. 2 zum Beispiel ist in beiden Listen, schreibe also 2 in eine neue Zeile. Uns bleibt also 30 = 2 x 3 x 5 und 36 = 2 x 2 x 3 x 3. Wiederhole, bis es keine weiteren gemeinsamen Faktoren mehr gibt. Es ist auch eine 3 in beiden Listen, schreibe sie also in die neue Zeile und erhalte 2 und 3. Vergleiche 30 = 2 x 3 x 5 und 36 = 2 x 2 x 3 x 3. Es sind keine weiteren gemeinsamen Zahlen übrig. Um den ggT zu finden, multiplizierst du alle gemeinsamen Faktoren miteinander. Wir haben in unserem Beispiel nur 2 und 3, also ist der ggT 2 x 3 = 6. Das ist die größte Zahl, die sowohl ein Faktor von 30 als auch ein Faktor von 36 ist. Verwende den größten gemeinsamen Teiler, wann immer du vermutest, dass ein Bruch nicht in seiner einfachsten Form ist. Finde den ggT des Zählers und des Nenners mit dem genannten Vorgang. Wenn du ihn gefunden hast, teilst du beide Teile des Bruches durch den ggT. Als Lösung erhältst du denselben Bruch in seiner einfachsten Form.  Vereinfache zum Beispiel den Bruch 30/36. Wir haben bereits herausgefunden, dass der ggT 6 ist, teile also sowohl den Nenner, als auch den Zähler durch 6: 30 ÷ 6 = 5 36 ÷ 6 = 6  30/36 = 5/6 Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) zweier Zahlen ist die kleinste Zahl, die die ersten beiden Zahlen als Faktoren hat. Das kgV von 2 und 3 ist zum Beispiel 6, weil es sowohl 2 als auch 3 als Faktoren hat. Hier ist ein Beispiel, wie man das kgV durch Primfaktorzerlegung findet:  Beginne mit zwei Primfaktorzerlegungen. Zum Beispiel ist die Primfaktorzerlegung von 126 2 x 3 x 3 x 7. Die Primfaktorzerlegung von 84 ist 2 x 2 x 3 x 7. Bei jedem einzelnen Faktor vergleichst du die Anzahl seines Aufscheinens in jeder Liste. Wähle eine Liste, wo sie am häufigsten auftritt, und kreise jedes Aufscheinen ein. 2 zum Beispiel scheint einmal in den Faktoren von 126 auf, aber zwei Mal in der Liste von 84. Kreise das 2 x 2 in der zweiten Liste ein. Wiederhole mit jedem einzelnen Faktor. 3 zum Beispiel erscheint in der ersten Liste am häufigsten, kreise also das 3 x 3 dort ein, 7 scheint in jeder Liste nur einmal auf, Kreise also eine einzelne 7 ein. (Es ist egal, welche du wählst, wenn es einen Gleichstand gibt.) Multipliziere alle eingekreisten Zahlen miteinander, um das kgV zu finden. In unserem Beispiel ist das kleinste gemeinsame Vielfache von 126 und 84 2 x 2 x 3 x 3 x 7 = 252. Das ist die kleinste Zahl, die sowohl 126 als auch 84 als Faktoren hat. Bevor du zwei Brüche addieren kannst, müssen ihre Nenner gleich sein. Finde das kgV zweier Nenner. Multipliziere jeden Bruch so, dass das kgV der neue Nenner ist. Wenn beide Brüche in dieser Form stehen, kannst du sie addieren.  Wir wollen zum Beispiel 1/6 + 4/21 lösen. Mit der oben genannten Methode könne wir das kgV von 6 und 21 finden. Die Lösung ist 42. Ändere 1/6 zu einem Bruch mit 42 als Nenner. Dazu löst du 42 ÷ 6 = 7. Multipliziere 1/6 x 7/7 = 7/42. Um 4/21 in einen Bruch mit 42 als Nenner zu verwandeln, löst du 42 ÷ 21 = 2. Multipliziere 4/21 x 2/2 = 8/42. Jetzt wo wir beide Brüche in einer Form mit demselben Nenner haben, können wir sie leicht addieren: 7/42 + 8/42 = 15/42.
Verstehe die Primfaktorzerlegung Sieh dir die Primzahlen an. Beginne mit einer Zahl. Faktorisiere sie in zwei beliebige Zahlen. Beginne ein Baumdiagramm der Faktoren. Zerlege die nächste Zeile mit Zahlen in Faktoren. Ziehe Primzahlen hinunter. Zerlege weiter in Faktoren, bis du nur noch Primzahlen hast. Schreibe die letzte Zeile als deine Primfaktoren auf. Vereinfache durch Verwendung von Exponenten (optional). Finde den größten gemeinsamen Teiler zweier Zahlen. Vereinfache Brüche mit dem ggT. Finde das kleinste gemeinsame Vielfache zweier Zahlen. Verwende das kgV beim Addieren von Brüchen.
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Finding Prime Factorization Using Prime Factorization