Den Umfang bestimmen, wenn drei Seitenlängen bekannt sind Den Umfang eines SWS Dreiecks mit dem Kosinussatz bestimmen Den Umfang eines rechtwinkligen Dreiecks berechnen, wenn man zwei Seitenlängen kennt
Bei einem Dreieck mit den Seiten a, b und c, wird der Umfang u folgendermaßen definiert: U = a + b + c.  Einfacher ausgedrückt bedeutet diese Formel, dass du die Längen der drei Seiten zusammenzählst, um den Umfang des Dreiecks zu erhalten. In diesem Beispiel ist die Länge von Seite a = 5, die Länge von Seite b = 5 und die Länge von Seite c = 5.    Dieses bestimmte Beispiel wird gleichseitiges Dreieck genannt, da alle drei Seiten die gleiche Länge haben. Aber denk daran, dass die Formel für den Umfang für alle Dreiecksarten gleich ist. In diesem Beispiel ist 5 + 5 + 5 = 15.  Also folgt U = 15.  In einem anderen Beispiel, bei dem a = 4, b = 3 und c=5 ist, wäre der Umfang: U = 3 + 4 + 5 oder12. Wenn die Seiten des Dreiecks in Zentimetern gemessen werden, dann sollte deine Antwort ebenfalls in Zentimetern sein. Wenn die Seiten mit einer Variablen x angegeben werden, sollte deine Antwort auch mit x angegeben werden.  In diesem Beispiel ist die Seitenlänge jeweils 5 cm, so dass der korrekte Wert für den Umfang 15 cm ist. Der Kosinussatz ermöglicht es dir, jedes Dreieck zu berechnen, wenn du zwei Seitenlängen und den Winkel zwischen ihnen kennst. Er funktioniert bei jedem Dreieck und ist eine sehr nützliche Formel. Der Kosinussatz besagt, dass bei jedem Dreieck mit den Seiten a, b und  c mit den gegenüberliegenden Winkeln A, B und C Folgendes gilt:  c2 = a2 + b2 - 2ab cos(C). Die erste Seite, die du kennst, solltest du mit a bezeichnen und den gegenüberliegenden Winkel mit A.  Die zweite Seite, die du kennst, solltest du mit b bezeichnen und den gegenüberliegenden Winkel mit B.  Der Winkel, den du kennst, solltest du mit C bezeichnen und die dritte Seite, die du bestimmen musst, um den Umfang des Dreiecks zu berechnen, ist Seite c.  Stell dir zum Beispiel ein Dreieck mit den Seitenlängen 10 und 12 und einem Winkel von 97° zwischen ihnen vor. Wir weisen die Variablen folgendermaßen zu: a = 10, b = 12, C = 97°. Du musst zuerst die Quadrahtzahlen von a und b bestimmen und sie zusammenrechnen. Dann musst du den Kosinus von C finden, indem du die „cos“ Funktion auf deinem Taschenrechner oder einen online Kosinus-Rechner verwendest. Multipliziere cos(C) mit 2ab und ziehe das Produkt von der Summe aus a2 + b2 ab.  Das Ergebnis ist c2.  Finde die Quadratwurzel dieses Wertes und du hast die Länge der Seite c. Wenn wir unser Beispiel-Dreieck benutzen:    c2 = 102 + 122 - 2 × 10 × 12 × cos(97).  c2 = 100 + 144 – (240 × -0,12187)  (Runde den Kosinus auf  fünf Dezimalstellen.) c2 = 244 – (-29,25)  c2 = 244 + 29,25  (Führe das Minussymbol weiter, wenn cos(C) negativ ist!) c2 = 273,25 c = 16,53 Denk daran, dass der Umfang U = a + b + c ist, so dass du nur die Länge, die du gerade für  c berechnet hast, zu den Werten, die du bereits für a und b hattest, addieren musst. In unserem Beispiel: 10 + 12 + 16,53 = 38,53, der Umfang unseres Dreiecks! Ein rechtwinkliges Dreieck ist ein Dreieck, dass einen rechten (90 Grad) Winkel hat. Die Seite des Dreiecks, die gegenüber dem rechten Winkes liegt, ist immer die längste Seite und wird Hypotenuse genannt. Rechtwinklige Dreiecke kommen häufig in Mathetests vor und zum Glück gibt es eine sehr praktische Formel, um die Länge unbekannter Seiten zu bestimmen! Der Satz des Pythagoras besagt, dass bei jedem rechtwinkligen Dreieck, dessen Seiten die Längen a und b und die Hypothenuse die Länge c hat, a2 + b2 = c2 gilt. " Denk daran, dass die längste Seite des Dreiecks Hypothenuse genannt wird. Sie liegt gegenüber dem rechten Winkel und muss mit c bezeichnet werden. Bezeichne die beiden kürzeren Seiten mit a und b. Es ist egal, welche wie bezeichnet wird, die Berechnung bleibt dieselbe! Denk daran, dass a2 + b2 = c2.  Ersetze in der Gleichung die Buchstaben durch die entsprechenden Seitenlängen.  Wenn du zum Beispiel weißt, das die Seite a = 3 und Seite b = 4, dann gib diese Werte folgendermaßen in die Formel ein: 32 + 42 = c2. Wenn du weißt, dass die Länge von Seite a = 6 und die Hypothenuse c = 10, dann sollte die Gleichung so aussehen: 62 + b2 = 102. Du musst zuerst die bekannten Seitenlängen quadrieren, was bedeutet, dass sie mit sich selbst multipliziert werden (zum Beispiel 32 = 3 x 3 = 9).  Wenn du die Hypothenuse bestimmen willst, musst du nur diese beiden Werte zusammenrechnen und die Quadratwurzel der Zahl bestimmen, um die Länge herauszubekommen. Wenn eine Seitenlänge fehlt, muss du einfach eine einfache Subtraktion durchführen und dann die Quadratwurzel ziehen, um die Seitenlänge zu bestimmen.   Beim ersten Beispiel musst du die Werte in 32 + 42 = c2 quadrieren, um herauszubekommen, dass 25= c2. Berechen dann die Quadratwurzel von 25 und du erhältst, dass c = 5. Im zweiten Beispiel musst du die Werte in der Gleichung 62 + b2 = 102 quadrieren, um herauszufinden, dass 36 + b2 = 100. Ziehe 36 von jeder Seite ab, so dass b2 = 64 herauskommt.  Zieh dann die Quadratwurzel aus 64, um festzustellen, dass b = 8. Denk daran, dass der Umfang U = a + b + c.  Nun da du die Längen der Seiten a, b und c kennst, musst du die Längen einfach nur zusammenzählen, um den Umfang zu erhalten.   Im ersten Beispiel ist U = 3 + 4 + 5 oder 12. Im zweiten Beispiel ist U = 6 + 8 + 10 oder 24.
Erinnere dich an die Formel zur Berechnung des Umfangs eines Dreiecks. Schau dir dein Dreieck an und bestimme die Längen der drei Seiten. Addiere die drei Seitenlängen miteinander, um den Umfang zu erhalten. Denk daran, die Einheiten in deiner finalen Antwort anzugeben. Lerne den Kosinussatz. Schau dein Dreieck an und weise seinen Bestandteilen unterschiedliche Buchstaben zu. Gib deine Informationen in die Gleichung ein und löse sie für die Seite C. Benutze die Seitenlänge c, um den Umfang des Dreiecks zu bestimmen. Erinnere dich, was ein rechtwinkliges Dreieck ist. Ruf dir den Satz des Pythagoras in Erinnerung. Schau dein Dreieck an und bezeichne die Seiten mit "a," "b," und "c. Setze die Seitenlängen, die du kennst, in den Satz des Pythagoras ein. Löse die Gleichung, um die fehlende Seitenlänge zu bestimmen. Zähle die Längen der drei Seiten zusammen, um den Umfang zu bestimmen.
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