Die Lösungsmenge auf einer Zahlengeraden darstellen Die Nullstellen der Ungleichung ermitteln Die Ungleichung in Faktoren zerlegen Die Lösungsmenge in einem Koordinatensystem darstellen
Achte darauf, sie den erforderlichen Daten entsprechend  zu zeichnen. Wenn es keine Angaben zu der Zahlengeraden gibt, dann achte darauf, die Positionen für beide x{\displaystyle x}-Werte zu berücksichtigen, die du vorher herausgefunden hast. Erfasse ein paar Werte über und unter ihnen, um die Zahlengerade leichter zu deuten zu machen. Da die Nullstellen der Ungleichung x(x+4)<21{\displaystyle x(x+4)<21} x>−7{\displaystyle x>-7} und x<3{\displaystyle x<3} sind, zeichnest du eine Zahlengerade, die die Positionen -7 und 3 beinhaltet. Stelle die Punkte dar, indem du einen Kreis über ihre Position auf der Zahlengeraden zeichnest. Wenn die Ungleichung größer als (>{\displaystyle >}) oder kleiner als (<{\displaystyle <}) ist, zeichnest du einen offenen Kreis. Wenn die Ungleichung größer gleich (≥{\displaystyle \geq }) oder kleiner gleich (≤{\displaystyle \leq }) ist, füllst du den Kreis auf der Zahlengeraden, weil die Werte in dem Bereich sind. Da die Nullstellen, mit denen wir arbeiten,  x>−7{\displaystyle x>-7} und x<3{\displaystyle x<3} sind, würdest du zwei offene Kreise an den Positionen -7 und 3 auf der Zahlengeraden zeichnen. Wenn x{\displaystyle x} größer als der Wert ist, zeichnest du eine Gerade, die auf der Zahlengeraden nach rechts zeigt, da die eingeschlossenen Werte größer als x{\displaystyle x} sind. Wenn x{\displaystyle x} kleiner als der Wert ist, zeichnest du eine Gerade auf der Zahlengeraden, die nach links zeigt, da die eingeschlossenen Werte kleiner als x{\displaystyle x} sind. Wenn die eingeschlossenen Werte zwischen zwei Zahlen liegen, zeichnest du eine Gerade zwischen den zwei eingekreisten Punkten. Da du zum Beispiel zeigen möchtest, dass x>−7{\displaystyle x>-7} aber auch x<3{\displaystyle x<3} ist, musst du eine Gerade zwischen -7 und 3 auf der Zahlengeraden einzeichnen. Wenn das Produkt, der Ungleichung entsprechend, größer als Null sein soll, dann sind beide Faktoren entweder negativ (weniger als 0) oder beide Faktoren sind positiv (größer als 0), denn negativ mal negativ ergibt positiv und positiv mal positiv ergibt positiv.  Wenn die Ungleichung größer gleich (≥{\displaystyle \geq }) oder kleiner gleich (≤{\displaystyle \leq }) ist, muss einer oder beide der Faktoren Null sein. In der Ungleichung (x+7)(x−3)<0{\displaystyle (x+7)(x-3)<0} zum Beispiel ist das Produkt der beiden Faktoren kleiner als 0, also haben die beiden Faktoren nicht dasselbe Vorzeichen. Wenn gemäß der Ungleichung das Produkt der Faktoren kleiner als 0 ist, dann wird ein Faktor kleiner als 0 sein, oder negativ, und der andere Faktor wird größer als 0 sein, oder positiv. Das weiß man deswegen, weil negativ mal positiv negativ ergibt.  Auch hier gilt, wenn die Ungleichung größer gleich (≥{\displaystyle \geq }) oder kleiner gleich (≤{\displaystyle \leq }) ist, dann muss einer oder beide Faktoren Null sein. Bei der Ungleichung (x+7)(x−3)<0{\displaystyle (x+7)(x-3)<0} zum Beispiel ist das Produkt der Faktoren kleiner als 0, also haben die beiden Faktoren verschiedene Vorzeichen. Schreibe diese Optionen auf, indem du jeden Faktor zu einer Ungleichung machst, basierend darauf ob sie dasselbe oder verschiedene Vorzeichen haben. Du solltest zwei Möglichkeiten haben. Du hast zum Beispiel festgestellt, dass die Faktoren der Ungleichung (x+7)(x−3)<0{\displaystyle (x+7)(x-3)<0} verschiedene Vorzeichen haben müssen, deine Möglichkeiten würdest du also folgendermaßen angeben:x+7<0{\displaystyle x+7<0} UND x−3>0{\displaystyle x-3>0} (Das heißt der erste Faktor wird negativ sein und der zweite Faktor positiv.)ODERx+7>0{\displaystyle x+7>0} UND x−3<0{\displaystyle x-3<0} (Das heißt der erste Faktor wird positiv sein und der zweite negativ.) Um zu vereinfachen, isolierst du die x{\displaystyle x}-Variable in jedem Faktor. Vergiss nicht, dass du, wenn du eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multiplizierst oder durch eine dividierst, das Ungleichheitszeichen umdrehen musst.  Die erste Möglichkeit bei (x+7)(x−3)<0{\displaystyle (x+7)(x-3)<0} war zum Beispiel, dass x+7<0{\displaystyle x+7<0} UND x−3>0{\displaystyle x-3>0} ist.  Löse zuerst x+7<0{\displaystyle x+7<0} nach x{\displaystyle x}:x+7−7<0−7{\displaystyle x+7-7<0-7}x<−7{\displaystyle x<-7}  Löse dann x−3>0{\displaystyle x-3>0} nach x{\displaystyle x}:x−3+3>0+3{\displaystyle x-3+3>0+3}x<3{\displaystyle x<3}    Die vereinfachten Nullstellen für die erste Möglichkeit sind also x<−7{\displaystyle x<-7} und x>3{\displaystyle x>3}. Dazu überprüfst du, ob du die Nullstellen zusammenfügen kannst und eine richtige Ungleichung erhältst. Wenn du Werte finden kannst, die für beide Nullstellen richtig sind, dann ist die Möglichkeit richtig. Wenn nicht, dann sind die Nullstellen für diese Möglichkeit nicht richtig. Bei der ersten Möglichkeit, x<−7{\displaystyle x<-7} und x>3{\displaystyle x>3},  musst du zum Beispiel ermitteln, ob es Werte gibt, die beide Anforderungen erfüllen. Frage dich, gibt es einen Wert, der sowohl kleiner als -7, als auch größer als 3 ist? Da keine Zahl sowohl kleiner als -7 als auch größer als 3 sein kann, weißt du, dass diese Möglichkeit nicht gültig ist. Isoliere die x{\displaystyle x}-Variable in jedem Faktor. Vergiss dabei nicht, das Ungleichheitszeichen umzukehren, wenn du mit einer negativen Zahl multiplizierst oder durch eine dividierst.  Die zweite Möglichkeit für (x+7)(x−3)<0{\displaystyle (x+7)(x-3)<0} war  zum Beispiel, dass x+7>0{\displaystyle x+7>0} UND x−3<0{\displaystyle x-3<0} ist.  Löse zuerst x+7>0{\displaystyle x+7>0} nach x{\displaystyle x}:x+7−7>0−7{\displaystyle x+7-7>0-7}x>−7{\displaystyle x>-7}  Löse dann x−3<0{\displaystyle x-3<0} nach x{\displaystyle x}:x−3+3<0+3{\displaystyle x-3+3<0+3}x<3{\displaystyle x<3}    Die vereinfachten Nullstellen der zweiten Möglichkeit sind also x>−7{\displaystyle x>-7} und x<3{\displaystyle x<3}. Wenn du Werte finden kannst, die für beide Nullstellen gültig sind, dann ist die Möglichkeit gültig. Wenn nicht, dann sind die Nullstellen für diese Möglichkeit nicht gültig. Die zweite Möglichkeit ist zum Beispiel, dass x>−7{\displaystyle x>-7} und x<3{\displaystyle x<3} ist, du musst also einen Wert für x{\displaystyle x} finden, der in beide Ungleichungen passt. Frage dich, gibt es einen Wert, der sowohl größer als -7, als auch kleiner als 3 ist? Da es mehrere Zahlen gibt, die größer als -7 und kleiner als 3 sind (0 zum Beispiel), weißt du, dass diese Möglichkeit gültig ist und diese Nullstellen die Lösung der Ungleichung sind. Die Normalform einer quadratischen Gleichung ist dreigliedrig und hat den Aufbau ax2+bx+c<0{\displaystyle ax^{2}+bx+c<0}, wobei a{\displaystyle a}, b{\displaystyle b} und c{\displaystyle c} bekannte Koeffiziennten sind und a≠0{\displaystyle a\neq 0}.   Die Ungleichung x(x+4)<21{\displaystyle x(x+4)<21} zum Beispiel ist nicht in der Normalform. Zuerst musst du das Distributivgesetz anwenden und x{\displaystyle x} mit x+4{\displaystyle x+4} multiplizieren. Dann musst du 21 von beiden Seiten der Ungleichung subtrahieren:x(x+4)<21{\displaystyle x(x+4)<21}x2+4x<21{\displaystyle x^{2}+4x<21}x2+4x−21<21−21{\displaystyle x^{2}+4x-21<21-21}x2+4x−21<0{\displaystyle x^{2}+4x-21<0} Um die Ungleichung in Faktoren zu zerlegen, musst du zwei Binome finden, deren Produkt der Normalform der Ungleichung entspricht. Ein Binom ist ein zweigliedriger Ausdruck. Dazu musst du die Regeln zur Multiplikation von Binomen umgekehrt anwenden. Beginne damit, zwei Faktoren für den ersten Term jedes Binoms zu finden. Zum Beispiel x×x=x2{\displaystyle x\times x=x^{2}}, sodass du anfangen kannst, deine Faktoren so aufzubauen: (x)(x)<0{\displaystyle (x)(x)<0}. Diese zwei Faktoren müssen auch eine Summe haben, die dem zweiten Term in der Ungleichung entspricht. Diesmal musst du wahrscheinlich raten, einsetzen und überprüfen, um zu sehen, welche zwei Faktoren diesen Anforderungen entsprechen. Achte auch genau auf die positiven  und negativen Vorzeichen. Zum Beispiel:  7×−3=−21{\displaystyle 7\times -3=-21} -21 ist der dritte Term der Ungleichung, diese beiden Faktoren (7 und -3) könnten also geeignet sein. Jetzt musst du nachsehen, ob die Summe dieser Faktoren den zweiten Term (4{\displaystyle 4}) der Ungleichung ergibt. Da 7+−3=4{\displaystyle 7+-3=4} ist, erfüllen diese Faktoren beide die Anforderungen. Die in Faktoren zerlegte Ungleichung ist also (x+7)(x−3)<0{\displaystyle (x+7)(x-3)<0}. Eine Schnittstelle mit der x-Achse ist ein Punkt, an dem die Parabel die x-Achse kreuzt. Die zwei Nullstellen, die du herausgefunden hast, sind die Schnittstellen mit der x-Achse. Wenn die Ungleichung zum Beispiel x2+4x−21<0{\displaystyle x^{2}+4x-21<0} lautet, dann sind die Schnittstellen mit der x-Achse x>−7{\displaystyle x>-7} und x<3{\displaystyle x<3}, weil das die Nullstellen sind, die du mithilfe der Lösungsformel für quadratische Gleichungen oder dem Zerlegen in Faktoren herausgefunden hast. Die Symmetrieachse ist die Linie, die die Parabel in zwei Hälften schneidet. Um die Symmetrieachse zu finden, verwendest du die Formel x=−b2a{\displaystyle x={\frac {-b}{2a}}}, wobei a{\displaystyle a} und b{\displaystyle b} den Termen in der ursprünglichen quadratischen Ungleichung entsprechen. Bei der Ungleichung x2+4x−21<0{\displaystyle x^{2}+4x-21<0} zum Beispiel rechnest du x=−42(1){\displaystyle x={\frac {-4}{2(1)}}}:x=−42{\displaystyle x={\frac {-4}{2}}}x=−2{\displaystyle x=-2}. Die Symmetrieachse ist also die Linie x=−2{\displaystyle x=-2} Der Scheitelpunkt ist der Hoch- oder Tiefpunkt der Parabel. Um den Scheitelpunkt zu finden, wandelst du die ursprüngliche Ungleichung zuerst in eine Gleichung gleich y{\displaystyle y} um. Dann setzt du den x{\displaystyle x}-Wert, den du für die Symmetrieachse gefunden hast, in die Gleichung ein. Wenn die Symmetrieachse zum Beispiel x=−2{\displaystyle x=-2} ist, setzt du -2 in die Gleichung ein und löst:y=(−2)2+4(−2)+−21{\displaystyle y=(-2)^{2}+4(-2)+-21}y=4−8−21{\displaystyle y=4-8-21}y=4−8−21{\displaystyle y=4-8-21}Der Scheitelpunkt der Parabel liegt also an dem Punkt (−2,−25){\displaystyle (-2,-25)}. Um die Ausrichtung der Parabel zu kennen, siehst du dir den a{\displaystyle a}-Term der Ungleichung in Normalform an. Wenn der a{\displaystyle a}-Term positiv ist, wird die Parabel nach oben hin offen sein. Wenn der a{\displaystyle a}-Term negativ ist, wird die Parabel unten offen sein. Da der a{\displaystyle a}-Term in der Ungleichung x2+4x−21<0{\displaystyle x^{2}+4x-21<0} positiv ist, wird die Parabel oben offen sein. Wenn die Ungleichung größer gleich (≥{\displaystyle \geq }) oder kleiner gleich (≤{\displaystyle \leq }) ist, zeichnest du die Parabel mit einer durchgehenden Linie, da die Werte auf der Linie in der Lösungsmenge enthalten sein werden. Wenn die Ungleichung größer als (>{\displaystyle >}) oder kleiner als (<{\displaystyle <}) ist, Zeichnest du die Parabel mit einer gepunkteten Linie, da die Werte auf der Linie nicht in der Lösungsmenge sind. Da die Linie x2+4x−21<0{\displaystyle x^{2}+4x-21<0} kleiner als Null ist (nicht kleiner gleich Null), solltest du die Parabel mit einer gepunkteten Linie zeichnen. Um zu wissen, ob du über oder unter der x-Achse schattieren musst, musst du dir die ursprüngliche Ungleichung ansehen. Wenn die Ungleichung kleiner als Null ist, schattierst du unter der x-Achse. Ist die Ungleichung größer als Null, schattierst du über der x-Achse. Um zu wissen, ob du innerhalb der Parabel oder außerhalb der Parabel schattieren musst, siehst du dir die Nullstellen oder deine Zahlengerade an. Wenn die gültigen Werte für x{\displaystyle x} zwischen den beiden Nullstellen liegen, schattierst du innerhalb der Parabel. Wenn die gültigen Werte für x{\displaystyle x} außerhalb der zwei Nullstellen liegen, schattierst du außerhalb der Parabel. Wenn die Ungleichung zum Beispiel x2+4x−21<0{\displaystyle x^{2}+4x-21<0} ist, schattierst du den Bereich unter der x-Achse. Da die gültigen Werte zwischen den Nullstellen -7 und 3 liegen, schattierst du den Bereich zwischen diesen Punkten.
Zeichne eine Zahlengerade. Stelle die x{\displaystyle x}-Werte auf der Zahlengeraden dar. Zeichne Pfeile oder Linien, um die eingeschlossenen Werte anzuzeigen. Stelle fest, ob die Faktoren dasselbe Vorzeichen haben. Stelle fest, ob deine Faktoren verschiedene Vorzeichen haben. Schreibe die Möglichkeiten für die Nullstellen auf. Vereinfache die Nullstellen bei der ersten Möglichkeit. Prüfe die Richtigkeit der Nullstellen für deine erste Möglichkeit. Vereinfache die Nullstellen der zweiten Möglichkeit. Prüfe die Gültigkeit der Nullstellen für deine zweite Möglichkeit. Schreibe die Ungleichung in Normalform. Finde zwei Faktoren, deren Produkt der erste Term der Ungleichung ist. Finde zwei Faktoren, deren Produkt der dritte Term in der Normalform der Ungleichung ist. Stelle die Schnittstellen mit der x-Achse im Koordinatensystem dar. Finde die Symmetrieachse. Finde den Scheitelpunkt der Parabel. Ermittle die Ausrichtung der Parabel. Zeichne die Parabel mit einer durchgehenden oder gepunkteten Linie. Schattiere den Graphen.
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Plotting the Solution Set on a Number Line Determining the Roots of the Inequality Factoring the Inequality Plotting the Solution Set on a Coordinate Plane