Die Summe berechnen Beispielaufgaben lösen Deine Folge auswerten
Die Formel ist Sn=n(a1+an2){\displaystyle S_{n}=n({\frac {a_{1}+a_{n}}{2}})}, wobei Sn{\displaystyle S_{n}} gleich die Summe der Folge ist. Beachte, dass diese Formel anzeigt, dass die Summe der arithmetischen Folge gleich dem Mittelwert des ersten und des letzten Gliedes ist, multipliziert mit der Anzahl der Glieder. Achte darauf, die richtigen Variablen zu ersetzen.  Wenn du zum Beispiel 5 Glieder in der Folge hast und 10 das erste Glied ist und 30 das letzte Glied, sieht deine Formel so aus: Sn=5(10+302){\displaystyle S_{n}=5({\frac {10+30}{2}})}. Dazu addierst du die beiden Zahlen und teilst durch 2. Zum Beispiel:Sn=5(402){\displaystyle S_{n}=5({\frac {40}{2}})}Sn=5(20){\displaystyle S_{n}=5(20)} So erhältst du die Summe der arithmetischen Folge. Zum Beispiel: Sn=5(20){\displaystyle S_{n}=5(20)}Sn=100{\displaystyle S_{n}=100} Die Summe der Folge 10, 15, 20, 25, 30 ist also 100. Berücksichtige alle fortlaufenden ganzen Zahlen.  Bestimme die Anzahl der Glieder (n{\displaystyle n}) in der Folge. Da du alle fortlaufenden ganzen Zahlen bis 500 berücksichtigst, ist n=500{\displaystyle n=500}. Ermittle das erste (a1{\displaystyle a_{1}}) und letzte (an{\displaystyle a_{n}}) Glied der Folge. Da die Folge von 1 bis 500 geht, ist a1=1{\displaystyle a_{1}=1} und an=500{\displaystyle a_{n}=500}. Finde den Mittelwert von a1{\displaystyle a_{1}} und an{\displaystyle a_{n}}: 1+5002=250,5{\displaystyle {\frac {1+500}{2}}=250,5}. Multipliziere den Mittelwert mit n{\displaystyle n}: 250,5×500=125,250{\displaystyle 250,5\times 500=125,250}. Das erste Glied in der Folge ist 3. Das letzte Glied in der Folge ist 24. Die Differenz ist 7.  Bestimme die Anzahl der Glieder (n{\displaystyle n}) in der Folge. Da du bei 3 beginnst, bei 24 endest und jedes Mal mit 7 nach oben gehst, ist die Folge 3, 10, 17, 24. Das bedeutet, dass n=4{\displaystyle n=4} ist. Ermittle das erste (a1{\displaystyle a_{1}}) und letzte (an{\displaystyle a_{n}}) Glied der Folge. Da die Folge 3 bis 24 ist, ist a1=3{\displaystyle a_{1}=3} und an=24{\displaystyle a_{n}=24}. Finde den Mittelwert von a1{\displaystyle a_{1}} und an{\displaystyle a_{n}}: 3+242=13,5{\displaystyle {\frac {3+24}{2}}=13,5}. Multipliziere den Mittelwert mit n{\displaystyle n}: 13,5×4=54{\displaystyle 13,5\times 4=54}. Mara spart 5 Euro in der ersten Woche des Jahres. Das übrige Jahr erhöht sie ihren wöchentlichen Sparbetrag um 5 Euro jede Woche. Wie viel Geld hat Mara am Ende des Jahres gespart?  Bestimme die Anzahl der Glieder (n{\displaystyle n}) in der Folge. Da Mara für 52 Wochen spart, ist n=52{\displaystyle n=52}. Bestimme das erste (a1{\displaystyle a_{1}}) und letzte (an{\displaystyle a_{n}}) Glied der Folge. Der erste Betrag, den sie anspart, sind 5 Euro, also ist  a1=5{\displaystyle a_{1}=5}. Um den Betrag herauszufinden, den sie in der letzten Woche des Jahres spart, rechnest du 5×52=260{\displaystyle 5\times 52=260}. Also ist an=260{\displaystyle a_{n}=260}. Finde den Mittelwert von a1{\displaystyle a_{1}} und an{\displaystyle a_{n}}: 5+2602=132,5{\displaystyle {\frac {5+260}{2}}=132,5}. Multipliziere den Mittelwert mit n{\displaystyle n}: 135,5×52=6.890{\displaystyle 135,5\times 52=6.890}. Sie spart also 6.890 € bis zum Ende des Jahres. Eine arithmetische Folge ist eine geordnete Reihe von Zahlen, in der die Veränderung zwischen den Zahlen gleichbleibend ist. Diese Methode funktioniert nur, wenn deine Zahlenmenge eine arithmetische Folge ist.  Um festzustellen, ob du eine arithmetische Folge hast, findest du die Differenz zwischen den ersten paar und den letzten paar Zahlen heraus. Gehe sicher, dass die Differenz immer gleich ist. Die Reihe 10, 15, 20, 25, 30 zum Beispiel ist eine arithmetische Folge, weil die Differenz zwischen den Gliedern gleichbleibend ist (5). Jede Zahl ist ein Glied. Wenn nur ein paar Glieder aufgelistet sind, kannst du sie zählen. Ansonsten kannst du, wenn du das erste Glied, das letzte Glied und die Differenz zwischen den Gliedern kennst, eine Formel verwenden, um die Anzahl der Glieder zu ermitteln. Diese Anzahl soll durch die Variable  n{\displaystyle n} dargestellt werden. Wenn du zum Beispiel die Summe der Folge 10, 15, 20, 25, 30 ausrechnen möchtest, ist n=5{\displaystyle n=5}, denn die Folge hat 5 Glieder. Du musst beide Zahlen kennen, um die Summe einer arithmetischen Folge zu berechnen. Oft wird die erste Zahl 1 sein, aber nicht immer. Die Variable a1{\displaystyle a_{1}} steht für das erste Glied der Folge und an{\displaystyle a_{n}} für das letzte Glied der Folge. In der Folge 10, 15, 20, 25, 30 zum Beispiel sind a1=10{\displaystyle a_{1}=10} und an=30{\displaystyle a_{n}=30}.
Stelle die Formel auf, um die Summe einer arithmetischen Folge zu finden. Setze die Werte von n{\displaystyle n}, a1{\displaystyle a_{1}} und an{\displaystyle a_{n}} in die Formel ein. Berechne den Mittelwert des ersten und zweiten Gliedes. Multipliziere den Mittelwert mit der Anzahl der Glieder in der Folge. Finde die Summe der Zahlen von 1 bis 500. Finde die Summe der beschriebenen arithmetischen Folge. Löse folgende Aufgabe. Stelle sicher, dass du eine arithmetische Folge hast. Ermittle die Anzahl der Glieder in deiner Folge. Mache das erste und das letzte Glied der Folge ausfindig.
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