Die quadratische Formel Die Zerlegungsmethode Dreifaches Spiel Differenz zweier Quadrate Trial and Error (Versuchen und Irrtum) Die Grundlagen Einen Taschenrechner verwenden
x = -b ± √(b2 - 4ac)      ---------------------                2a Wir bekommen den Ausdruck:x = -4 ± √(42 - 4•1•1) / 2 Du solltest zwei Werte für x bekommen. Wie oben gezeigt, bekommen wir zwei Antworten: x = -2 + √(3) oder x = -2 - √(3) Setze die x-Werte in zwei Polynome als Konstante ein. Das sind deine Faktoren. Wenn wir unsere Antworten h und k nennen, schreiben wir unsere Faktoren so:(x - h)(x – k) In diesem Fall ist unsere Lösung:(x - (-2 + √(3))(x - (-2 - √(3)) = (x + 2 - √(3))(x + 2 + √(3)) a ist 6 und c ist ebenfalls 6, also:6 * 6 = 36 Wir suchen nach zwei Zahlen, die Faktoren des a*c Produkts sind und zudem zusammen den b-Term (13) ergeben.4 * 9 = 36 4 + 9 = 13 Wir verwenden wieder k und h für diese Zahlen:ax2 + kx + hx + c 6x2 + 4x + 9x + 6 Schreibe die Gleichung so auf, dass du den größten gemeinsamen Teiler (GGT) der ersten zwei Terme und der letzten zwei Terme ausklammern kannst. Beide faktorisierten Gruppen sollten gleich sein. Addiere die GGT und umschließe sie mit Klammern. Schreibe sie neben die faktorisierten Gruppe. Das Ergebnis sind deine zwei Faktoren:6x2 + 4x + 9x + 6 2x(3x + 2) + 3(3x + 2) (2x + 3)(3x + 2) Wir in der vorherigen Methode, hilft uns das dabei den Wert für den b-Term zu bestimmen. In diesem Beispiel ist a gleich 8 und c gleich 2.8 * 2 = 16 Dieser Schritt ist der gleiche wie in der Zerlegungsmethode – wir testen und schließen Möglichkeiten für die Konstanten aus. Das Produkt der a und c-Terme ist 16 und der b-Term ist 10:2 * 8 = 16 8 + 2 = 10 Nimm unsere Zahlen aus dem vorherigen Schritt – nennen wir sie wieder h und k – und setze sie in diese Formel ein:((ax + h)(ax + k))/ a Damit bekommen wir:((8x + 8)(8x + 2)) / 8 In diesem Beispiel prüfen wir ob (8x + 8) oder (8x +2) sich durch 8 teilen lässt. (8x + 8) kann durch 8 geteilt werden, also teilen wir ihn durch a und lassen den anderen Term wie er ist:(8x + 8) = 8(x + 1) Wir merken uns den Term, der nach dem Teilen durch a übrig bleibt:(x + 1) In diesem Beispiel hat der zweite Term einen GGT von 2, da 8x + 2 = 2(4x + 1). Kombiniere diese Antwort mit dem Term aus dem vorherigen Schritt. Das sind deine Faktoren:2(x + 1)(4x + 1) In diesem Fall sind 27 und 12 durch 3 teilbar, also klammern wir aus:27x2 - 12 = 3(9x2 - 4) Für diese Methode musst du die Quadratwurzel aus beiden Termen ziehen können. (Beachte, dass wir das Minuszeichen weggelassen haben – da diese Zahlen Quadrate sind, können sie das Produkt aus positiven oder zwei negativen Zahlen sein).9x2 = 3x * 3x and 4 = 2 * 2 Verwende die Quadratwurzeln, die du gefunden hast. Wir nehmen den a und c Wert aus dem oberen Schritt – a = 9 und c = 4, dann finden wir die Quadratwurzel - √a = 3 und √c = 2. Das sind die Koeffizienten für den faktorisierten Ausdruck: 27x2 - 12 = 3(9x2 - 4) = 3(3x + 2)(3x - 2) Verwende das Format ax2 + bx + c = 0, identifiziere den a und c Term und faktorisiere ihn. Für 3x2 + 2x - 8  bedeutet das: a = 3, mit einem Faktorenpaar: 1*3 c = -8 und hat 4 Faktorenpaare: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1, und -1 * 8. Du wirst später die Konstanten für jeden Ausdruck in die freien Felder schreiben:(  x    )(  x    ) Für dem a-Term in unserem Beispiel, 3x2, gibt es nur eine Möglichkeit: (3x   )(1x   ) Nehmen wir an, wir entscheiden uns für 8 und 1. Schreibe sie hinein:(3x  8)(x  1) Du kannst das Rechenzeichen von dem Rechenzeichen der Ausgangsgleichung ableiten. Nennen wir die zwei Konstanten für unsere zwei Faktoren h und k:Wenn ax2 + bx + c, dann (x + h)(x + k) Wenn ax2 - bx - c or ax2 + bx - c, dann (x - h)(x + k) Wenn ax2 - bx + c, dann (x - h)(x – k) Für unser Beispiel, 3x2 + 2x - 8, sind die Rechenzeichen:(x - h)(x + k), damit haben wir als Faktoren:(3x + 8) und (x - 1) Als schnellen, ersten Test, überprüfen wir den mittleren Wert. Hat er den falschen Wert, hast du vielleicht einen falschen c Faktor gewählt. Überprüfen wir unser Ergebnis:(3x + 8)(x – 1) Durch Multiplikation kommen wir auf:3x2 - 3x + 8x – 8 Wir vereinfachen diesen Ausdruck, indem wir die Terme (-3x) und (8x) hinzufügen, und bekommen:3x2 - 3x + 8x - 8 = 3x2 + 5x – 8 Damit wissen wir, dass wir uns für die falschen Faktoren entschieden haben:3x2 + 5x - 8 ≠ 3x2 + 2x - 8 Für unser Beispiel versuchen wir es jetzt mit 2 und 4, statt mit 1 und 8:(3x + 2)(x – 4) Jetzt ist unser c-Term eine -8, aber unser äußeres/inneres Produkt (3x * -4) und (2 * x) ist -12x und 2x, was zusammen nicht den richtigen b-Term ergibt: +2x.-12x + 2x = 10x 10x ≠ 2x Vertauschen wir die 2 und die 4:(3x + 4)(x – 2)  Jetzt ist unser c-Term (4*2=8) immer noch in Ordnung, aber das innere/äußere Produkt ist -6x und 4x. Wenn wir diese kombinieren:-6x + 4x = 2x 2x ≠ -2x Wir sind dem richtigen Wert von 2x schon ziemlich nahe, es ist nur noch das falsche Vorzeichen. Wir halten uns an die selbe Reihenfolge, vertauschen aber, welcher Wert das Minus als Vorzeichen hat:(3x - 4)(x + 2) Der c-Term ist immer noch in Ordnung und das äußere/innere Produkt ist jetzt (6x) und (-4x). Da:6x - 4x = 2x 2x = 2x Erkennen wir jetzt das positive 2x von unserer Ausgangsgleichung. Das müssen also die richtigen Faktoren sein. Die Ausgangsform deiner quadratischen Gleichung ist:ax2 + bx + c = 0 Beginne damit, dass du die Terme deiner Gleichung von der höchsten Potenz zur niedrigsten ordnest. Das ist in diesem Fall schon geschehen. Wenn wir aber z.B. folgenden Ausdruck haben: 6 + 6x2 + 13x = 0 Ordnen wir ihn zunächst um, damit er leichter zu bearbeiten ist:6x2 + 13x + 6 = 0 Das Resultat der Faktorisierung dieses Polynoms sind zwei kleinere Ausdrücke, die ausmultipliziert das Ausgangspolynom ergeben:6x2 + 13x + 6 = (2x + 3)(3x + 2)  In diesem Beispiel sind (2x+3) und (3x+2) die Faktoren des Ausgangsausdrucks, x2 + 13x + 6. Multipliziere die Faktoren wieder aus. Dann kombiniere die Terme und du bist fertig. Beginne mit:(2x + 3)(3x + 2) Testen wir es; multipliziere die Terme aus:6x2 + 4x + 9x + 6 Jetzt können wir 4x und 9x zusammenzählen, weil sie gleiche Terme sind. Jetzt wissen wir, dass unsere Faktoren richtig waren, weil wir die Ausgangsgleichung bekommen:6x2 + 13x + 6 Du verwendest den Gleichungslöser, oder auch als [Y =] Bildschirm bekannt. Nachdem du die Gleichung eingegeben hast, drücke [GRAPH] – du solltest einen glatten Bogen sehen, der deine Gleichung repräsentiert (und es ist ein Bogen, weil wir mit einem Polynom rechnen). Da Polynome traditionell in der Form ax2 + bx + c = 0 geschrieben werden, sind das die beiden x-Werte, die die Gleichung Null werden lassen:(-1, 0), (2 , 0) x = -1, x = 2 Wenn du nicht feststellen kannst, wo genau der Graph die X-Achse schneidet, drücke [2nd] und dann [TRACE]. Drücke [2] oder wähle Null. Schiebe den Cursor auf die linke Seite eines Schnittpunktes und drücke [ENTER]. Schiebe den Cursor auf die rechte Seite eines Schnittpunktes und drücke [ENTER]. Schiebe den Cursor so nah wie möglich an den Schnittpunktes und drücke [ENTER]. Der Taschenrechner berechnet den x-Wert. Mache dies genauso für den anderen Schnittpunkt. Wenn wir unsere beiden x-Werte als h und k bezeichnen, verwenden wir folgende Ausdrücke:(x - h)(x - k) = 0 Unsere beiden Faktoren sind also:(x - (-1))(x - 2) = (x + 1)(x - 2)
Setze die entsprechenden Werte in die quadratische Formel ein: Löse nach x auf. Verwende die x-Werte, um die Faktoren zu bestimmen. Multipliziere den a-Term mit dem c-Term. Finde den b-Term durch Faktorisieren und Testen. Setze die beiden Zahlen als Summe des b-Terms in die Gleichung ein. Faktorisiere das Polynom, indem du gruppierst. Multipliziere den a-Term mit dem c-Term. Finde zwei Zahlen mit dieser Zahl als Produkt und der Summe gleich dem b-Term. Nimm diese beiden Zahlen und setze sie in die „Dreifaches Spiel“ Formel ein. Erkenne, welcher der beiden Klammerterme im Zähler sich durch a teilen lässt. Nimm den größten gemeinsamen Teiler (GGT) aus einem oder beiden Termen, sollte es einen geben. Klammere, falls möglich, den größten gemeinsamen Teiler aus. Überprüfe, ob die Koeffizienten deiner Gleichung Quadrate sind. Schreibe die Faktoren auf. Schreibe die Faktoren des a-Terms und des c-Terms aus. Schreibe dir zwei Paare von Klammern mit freien Feldern auf. Fülle die Felder vor den x mit möglichen Werten für a. Fülle die freien Felder nach den x mit einem Faktorenpaar für die Konstanten. Entscheide, welches Rechenzeichen (Plus oder Minus) du zwischen die x-Variable und die Konstante schreiben musst. Überprüfe deine Wahl. Ändere deine Wahl, falls notwendig. Tausche die Reihenfolge, falls notwendig. Überprüfe deine Rechenzeichen, falls notwendig. Schreibe deine Gleichung auf. Erhalte die faktorisierte Form mit einer der unten beschriebenen Methoden. Überprüfe dein Ergebnis! Gib die Gleichung in den Taschenrechner ein. Zeichne deinen Graphen auf dem Taschenrechner. Finde den Punkt, an dem der Bogen die X-Achse schneidet. Setze die gefundenen x-Werte in zwei faktorisierte Ausdrücke ein.
https://www.wikihow.com/Factor-Second-Degree-Polynomials-(Quadratic-Equations) https://www.wikihow.com/Factor-Second-Degree-Polynomials-(Quadratic-Equations) https://www.wikihow.com/Factor-Second-Degree-Polynomials-(Quadratic-Equations) https://www.wikihow.com/Factor-Second-Degree-Polynomials-(Quadratic-Equations) https://www.wikihow.com/Factor-Second-Degree-Polynomials-(Quadratic-Equations) https://www.wikihow.com/Factor-Second-Degree-Polynomials-(Quadratic-Equations) https://www.wikihow.com/Factor-Second-Degree-Polynomials-(Quadratic-Equations)
Quadratic Formula Decomposition Triple Play Difference of Two Squares Trial and Error Starting Out Using a Calculator