Komponenten durch Zeichnen bestimmen Vektorkomponenten verwenden, um Vektoren zu addieren Wiederholung der Vektoren und ihrer Komponenten Komponenten mit Trigonometrie berechnen
Um den Vektor und seine Komponenten zu zeichnen, musst du dich für einen Maßstab für deine graphische Darstellung entscheiden. Du musst einen Maßstab wählen, der groß genug ist, sodass du damit angenehm und präzise arbeiten kannst, aber klein genug, dass dein Vektor in einem  Maßstab gezeichnet werden kann.  Sagen wir du beginnst mit einem Vektor, der eine Geschwindigkeit von 200 km/h in nordöstlicher Richtung darstellt. Wenn du gewöhnliches Millimeterpapier mit 10 x 10 mm Kästchen  verwendest, dann könntest du dich dafür entscheiden, dass jedes Kästchen für 20 km/h steht. Das stellt einen Maßstab von 10 mm = 20 km/h dar. Es ist nicht notwendig, eine x- und y-Achse zu zeichnen, da die Platzierung des Vektors in Bezug auf den Ursprung irrelevant ist. Du beschäftigst dich damit, den Vektor selbst zu berechnen, nicht seine Position in einem 2-dimensionalen oder 3-dimensionalen Raum. Du verwendest das Zeichenpapier nur als Messinstrument, die Position ist ohne Belang. Es ist wichtig, den Vektor so präzise wie möglich zu zeichnen. Du musst sowohl die Richtung als auch die Länge des Vektors in deiner Zeichnung darstellen.  Es wird nützlich sein, ein präzises Lineal zu verwenden. Wenn du zum Beispiel den Maßstab gewählt hast, dass ein Kästchen auf deinem Millimeterpapier 20 km/h darstellt und jedes Kästchen 10 mm ist, dann wird ein Vektor von 200 km/h eine Linie sein, die 10 Kästchen oder 100 mm = 10 cm lang ist. Verwende einen Winkelmesser, um die Neigung oder Richtung des Vektors darzustellen. Wenn dein Vektor eine Bewegung in nordöstliche Richtung zeigt, zum Beispiel, würdest du eine Linie in einem 45°-Winkel von der Horizontale zeichnen. Die Richtung des Vektors kann viele verschiedene Arten von Maßen für die Richtung angeben. Wenn du eine Bewegung darstellst, könnte die Richtung auf einer Landkarte gemeint sein. Um den Weg eines geworfenen oder geschlagenen Objektes darzustellen, könnte der Vektor den Winkel der Bewegung vom Boden weg anzeigen. In der Kernphysik könnte ein Vektor die Richtung eines Elektrons zeigen. Mit deinem Lineal beginnst du am Anfangspunkt des Vektors und ziehst eine horizontale Linie so weit wie nötig, sodass sie mit dem Endpunkt übereinstimmt. Mache eine Pfeilspitze am Ende der Linie, um anzuzeigen, dass das ebenfalls eine Komponente als Vektor ist. Zeichne dann eine vertikale Linie von diesem Punkt zum Endpunkt des ursprünglichen Vektors. Mache auch an ihrem Endpunkt eine Pfeilspitze.  Du solltest jetzt ein rechtwinkeliges Dreieck erschaffen haben, das aus drei Vektoren besteht. Der ursprüngliche Vektor ist die Hypotenuse des rechtwinkeligen Dreiecks. Die Grundseite des Dreiecks ist der horizontale Vektor und die Höhe des rechtwinkeligen Dreiecks ist der vertikale Vektor. Es gibt zwei Ausnahmen, wenn du kein rechtwinkeliges Dreieck konstruieren kannst. Das tritt auf, wenn der ursprüngliche Vektor entweder exakt horizontal oder exakt vertikal ist. Bei einem horizontalen Vektor ist die vertikale Komponente Null und bei einem vertikalen Vektor ist die horizontale Komponente Null. Je nachdem was von deinem ursprünglichen Vektor dargestellt wird, solltest du die beiden Vektoren bezeichnen, die du gerade gezeichnet hast. Wenn wir zum Beispiel den Vektor verwenden, der eine Bewegung in nordöstliche Richtung darstellt, steht der horizontale Vektor für „Osten“ und der vertikale Vektor repräsentiert „Norden“. Andere Beispiele für Komponenten könnten „hoch/runter“ oder „links/rechts“ sein. Du kannst die Größen der zwei Komponentenvektoren entweder nur am Millimeterpapier ablesen oder ein Lineal verwenden. Wenn du ein Lineal verwendest, misst du die Länge jedes Komponentenvektors und rechnest sie mithilfe des verwendeten Maßstabes um. Eine horizontale Linie zum Beispiel, die 3,2 cm lang ist, würde unter Anwendung eines Maßstabes von 10 mm = 20 km/h, eine östliche Komponente von 160 km/h darstellen.  Wenn du dich auf das Millimeterpapier verlässt anstelle eines Lineals, musst du vielleicht ein wenig schätzen. Wenn deine Linie drei volle Quadrate auf dem Millimeterpapier einnimmt und in die Mitte des vierten Kästchens fällt, müsstest du einen Bruchteil des letzten Kästchens schätzen und es mit deinem Maßstab multiplizieren. Wenn zum Beispiel 1 Kästchen = 20 km/h ist und du schätzt, dass einer der Vektoren der Komponenten 3 ½ Kästchen lang ist, dann steht dieser Vektor für 70 km/h. Wiederhole die Messung sowohl für den Vektor der horizontalen als auch der vertikalen Komponente und beschrifte deine Ergebnisse. Die Addition ist grundsätzlich ein ziemlich einfaches Konzept, erhält aber eine besondere Bedeutung, wenn man mit Vektoren arbeitet. Ein einfacher Vektor repräsentiert eine Bewegung, eine Kraft oder ein anderes physikalisches Element, das auf einen Gegenstand einwirkt. Wenn zwei oder mehr Kräfte zur selben Zeit aktiv sind, kannst du diese Kräfte „addieren“ und die sich daraus ergebende Kraft finden, die auf den Gegenstand einwirkt. Denke zum Beispiel an einen Golfball, der in die Luft geschlagen wird. Eine Kraft, die sich auf den Gegenstand auswirkt, ist der anfängliche Schlag. Diese Kraft besteht aus einem Winkel und einer Größe. Eine weitere Kraft, die auf den Gegenstand einwirkt, könnte der Wind sein, der einen eigenen Winkel und eine eigene Größe hat. Diese zwei Kräfte zu addieren kann den entstehenden Weg des Balls beschreiben. Bevor du die Vektoren addieren kannst, musst du ihre Komponenten ermitteln. Indem du eine der Vorgehensweisen verwendest, die in diesem Artikel beschrieben werden, findest du die horizontale und vertikale Komponente jeder Kraft.  Nehmen wir zum Beispiel an, der Golfball wird in einem 30°-Winkel mit einer Geschwindigkeit von 130 km/h nach oben geschlagen. Unter Anwendung der Trigonometrie sind die zwei dazugehörigen Vektoren daher:  Vertikale=130sin⁡(30)=65km/h{\displaystyle {\text{Vertikale}}=130\sin(30)=65{\text{km/h}}} Horizontale=130cos⁡(30)=112,6km/h{\displaystyle {\text{Horizontale}}=130\cos(30)=112,6{\text{km/h}}}   Betrachte dann den Vektor, der die Kraft des Windes darstellt. Nehmen wir an, der Wind weht den Ball in einem Winkel von 10 Grad nach unten, mit einer Geschwindigkeit von 10 km/h. (Wir ignorieren die Kraft nach links und rechts zur Vereinfachung der Rechnung). Die zwei Komponenten des Windes könne auf ähnliche Weise berechnet werden:  Vertikale=10sin⁡(−10)=−1,74mph{\displaystyle {\text{Vertikale}}=10\sin(-10)=-1,74{\text{mph}}} Horizontale=10cos⁡(−10)=9,85mph{\displaystyle {\text{Horizontale}}=10\cos(-10)=9,85{\text{mph}}} Beachte, dass wir einen Winkel von -10 Grad verwenden, weil der Wind nach unten weht und der Kraft des Schlages entgegenwirkt. Weil die Vektoren der Komponenten immer in einem rechten Winkel gemessen werden, kannst du sie direkt addieren. Achte darauf, die horizontale Komponente des einen Vektors mit der horizontalen Komponente des anderen Vektors zu addieren und ebenso bei den vertikalen Komponenten.  In diesem Beispiel ist der sich ergebende vertikale Vektor die Summe der zwei Komponenten:  Vertikale=65+(−1,74)=63,26{\displaystyle {\text{Vertikale}}=65+(-1,74)=63,26} Horizontale=112,6+9,85=122,45{\displaystyle {\text{Horizontale}}=112,6+9,85=122,45}   Interpretiere die Bedeutung dieser Ergebnisse. Die resultierende Kraft, die auf den Golfball einwirkt, sowohl wegen des Schlags als auch wegen des Windes, entspricht der einzelnen Kraft mit den Komponenten 63,26 km/h vertikal und 122,45 km/h horizontal. Was du abschließend gerne wissen möchtest, ist der endgültige Effekt des Schlages mit dem Golfschläger und des Windes, wenn sie zusammen auf den Ball einwirken. Du kennst nun die beiden Komponenten, du kannst sie also mit dem Satz des Pythagoras zusammensetzen und die Größe des entstehenden Vektors herausfinden.  Erinnere dich daran, dass die Vektoren der Komponenten die Schenkel eines rechtwinkeligen Dreiecks darstellen. Der entstehende Vektor ist die Hypotenuse dieses rechtwinkeligen Dreiecks. Unter Verwendung des Satzes des Pythagoras, c2=a2+b2{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}}, kannst du sie folgendermaßen berechnen:  Vektor2=63,262+122,452{\displaystyle {\text{Vektor}}^{2}=63,26^{2}+122,45^{2}} Vektor2=18.995,83{\displaystyle {\text{Vektor}}^{2}=18.995,83} Vektor=18.995,83{\displaystyle {\text{Vektor}}={\sqrt {18.995,83}}} Vektor=137,83{\displaystyle {\text{Vektor}}=137,83}   Somit stellt der entstehende Vektor eine einzige Kraft auf den Ball mit einer Größe von 137,83 km/h dar. Beachte, dass das ein wenig höher ist als die Kraft des anfänglichen Schlages, weil der Wind den Ball während er ihn nach unten drückt auch nach vorne drückt. Die Kraft des entstehenden Vektors zu kennen ist die halbe Lösung. Die andere Hälfte ist, den endgültigen Winkel des entstehenden Vektors zu finden. In diesem Beispiel musst du, weil der Golfschläger eine Kraft nach oben und der Wind eine Kraft nach unten, wenn auch geringer, einwirken lässt, den entstehenden Winkel finden.  Zeichne ein rechtwinkeliges Dreieck und beschrifte die Komponenten. Die horizontale Basis des Dreiecks stellt eine Komponente des Vektors nach vorne von 122,45 dar. Der vertikale Schenkel des Dreiecks stellt eine Komponente des Vektors von 63,26 dar. Die Hypotenuse stellt den entstehenden Vektor mit einer Größe von 137,83 dar. Du kannst entweder die Sinusfunktion für die vertikale Komponente wählen oder die Cosinusfunktion für die horizontale Komponente, um den Winkel zu finden. Das Ergebnis wird das Gleiche sein.  sin⁡θ=63,26137,83{\displaystyle \sin \theta ={\frac {63,26}{137,83}}} sin⁡θ=0,459{\displaystyle \sin \theta =0,459} θ=arcsin⁡(0,459){\displaystyle \theta =\arcsin(0,459)} θ=27,32{\displaystyle \theta =27,32}   Somit stellt der entstehende Vektor eine einzelne Kraft dar, die mit in einem nach oben geneigten Winkel von 27,32 Grad auf den Ball einwirkt. Das ergibt Sinn, denn es ist ein wenig niedriger als der Winkel des Schlags, mit 30 Grad, aufgrund der Kraft des Windes nach unten hin. Der Golfschlag ist aber eine viel stärkere Kraft als der Wind in diesem Beispiel, also ist der Winkel dennoch nach an 30. Um den entstehenden Vektor anzugeben, gibst du sowohl seine Neigung als auch seine Größe an. In dem Beispiel mit dem Golfball hat der entstehende Vektor eine Größe von 137,83 km/h, bei einer Neigung von 27,32 Grad über der Horizontalen. Ein Vektor ist ein mathematisches Hilfsmittel, das in der Physik verwendet wird, um darzustellen, welche Kräfte auf einen Gegenstand einwirken. Ein Vektor soll zwei Elemente der Kraft angeben, ihre Richtung und ihre Größe.  Bei jedem sich bewegenden Gegenstand kannst du zum Beispiel seine Bewegung beschreiben, indem du die Richtung seiner Bewegung und seine Geschwindigkeit angibst. Du könntest zum Beispiel sagen ein Flugzeug bewegt sich mit  800 km/h in nordwestliche Richtung. Nordwest ist die Richtung und 800 km/h ist die Größe. Ein Hund an einer Leine erfährt eine Vektorkraft. Die Leine wird, wenn sie von dem Besitzer gehalten wird, mit irgendeinem Maß der Größe diagonal nach oben gezogen. Die Neigung der Diagonale ist die Richtung des Vektors und die Stärke der Kraft ist die Größe. Wenn du einen Vektor zeichnest, sei es mit einer präzise gezeichneten Darstellung auf Millimeterpapier oder einfach als grobe Skizze, werden bestimmte Begriffe der Geometrie verwendet.  Ein Vektor wird im Allgemeinen durch einen Strahl{\displaystyle {\text{Strahl}}} dargestellt. Ein Strahl ist in der Geometrie eine Strecke, die an einem Punkt beginnt und theoretisch unendlich in eine Richtung weiter verläuft. Ein Strahl wird gezeichnet, indem man einen Punkt kennzeichnet, dann eine Strecke in geeigneter Länge und dann eine Pfeilspitze an das entgegengesetzte Ende der Strecke setzt. Der Startpunkt{\displaystyle {\text{Startpunkt}}} eines Vektors ist der Punkt, an dem er beginnt. In der Geometrie ist das der Punkt, an dem der Vektor beginnt. Der Endpunkt{\displaystyle {\text{Endpunkt}}} eines Vektors ist dort, wo die Pfeilspitze ist. Der große Unterschied zwischen einem Strahl in der Geometrie und einem Vektor ist, dass die Pfeilspitze des Strahls darstellt, dass eine theoretische Bewegung von unendlicher Länge in eine bestimmte Richtung angibt. Bei einem Vektor jedoch wird die Pfeilspitze verwendet, um die Richtung anzugeben, die Länge des Vektors endet jedoch an der Spitze der Strecke, um seine Größe anzugeben. In anderen Worten ist die Länge, wenn du in der Geometrie einen Strahl zeichnest, irrelevant. Wenn du jedoch einen Vektor zeichnest, ist die Länge sehr wichtig. Die Komponenten eines Vektors beruhen auf der Trigonometrie rechtwinkeliger Dreiecke. Jede diagonale Strecke kann zu der Hypotenuse eines rechtwinkeligen Dreiecks werden, indem du eine horizontale Linie vom einen und eine vertikale Linie vom anderen Ende zeichnest. Wenn die beiden Linien aufeinandertreffen, hast du ein rechtwinkeliges Dreieck umgrenzt.  Der Bezugswinkel ist der Winkel, der von der horizontalen Basis des rechtwinkeligen Dreiecks zur Hypotenuse gemessen wird. Der Sinus des Bezugswinkels kann bestimmt werden, indem man die Länge des entgegengesetzten Schenkels durch die Länge der Hypotenuse teilt. Der Cosinus des Bezugswinkels kann bestimmt werden, indem man die Länge der Basis des Dreiecks (oder den entgegengesetzten Schenkel) durch die Länge der Hypotenuse teilt. Da du dich auf mathematische Berechnungen stützt, muss deine Darstellung nicht so säuberlich gezeichnet sein. Du musst keinen Maßstab bestimmen. Zeichne einfach einen Strahl in die allgemeine Richtung des Vektors. Beschrifte den gezeichneten Vektor mit seiner Größe und der Neigung, die er von der Horizontalen hat.  Betrachte zum Beispiel eine Rakete, die in einem 60°-Winkel nach oben geschossen wird, mit einer Geschwindigkeit von 1500 Metern pro Sekunde. Du würdest einen Strahl zeichnen, der diagonal nach oben zeigt. Beschrifte seine Länge mit “1500 m/s” und seinen Basiswinkel mit “60°”. Die oben gezeigte Darstellung zeigt einen Kraftvektor von 5 Newton in einem Winkel von 37 Grad von der Horizontalen. Zeichne einen horizontalen Strahl, der am Anfangspunkt deines ursprünglichen Vektors ansetzt und in dieselbe Richtung (rechts oder links) zeigt wie der ursprüngliche Vektor. Dieser stellt die horizontale Komponente des ursprünglichen Vektors dar. Zeichne einen vertikalen Strahl, der den Endpunkt deines horizontalen Vektors mit dem Endpunkt des ursprünglichen geneigten Vektors verbindet. Dieser stellt die vertikale Komponente deines ursprünglichen Vektors dar. Die horizontale und die vertikale Komponente eines Vektors stellen eine theoretische, mathematische Art dar, eine Kraft in zwei Teile aufzubrechen. Stelle dir eine Zaubermaltafel für Kinder vor, die verschiedene Knöpfe für „vertikal“ und „horizontal“ hat. Wenn du eine Linie nur mit dem „vertikalen“ Knopf zeichnen würdest und dann eine Linie mit dem „horizontalen“ Knopf, würdest du am selben Punkt ankommen, wie wenn du beide Knöpfe gleichzeitig mit der gleichen Geschwindigkeit gedreht hättest. Das illustriert, dass eine horizontale und eine vertikale Kraft gleichzeitig auf einen Gegenstand einwirken können. Weil die Komponenten eines Vektors ein rechtwinkeliges Dreieck bilden, kannst du Trigonometrie anwenden, um exakte Maße für die Komponenten zu erhalten. Verwende die Gleichung:  sin⁡θ=verticalhypotenuse{\displaystyle \sin \theta ={\frac {\text{vertical}}{\text{hypotenuse}}}} Für das Beispiel mit der Rakete kannst du die vertikale Komponente berechnen, indem du die Werte einsetzt, die du weißt, und wie folgt vereinfachst:  sin⁡θ=VertikaleHypotenuse{\displaystyle \sin \theta ={\frac {\text{Vertikale}}{\text{Hypotenuse}}}} sin⁡(60)=Vertikale1500{\displaystyle \sin(60)={\frac {\text{Vertikale}}{1500}}} 1500sin⁡(60)=Verticale{\displaystyle 1500\sin(60)={\text{Verticale}}} 1500∗0,866=Verticale{\displaystyle 1500*0,866={\text{Verticale}}} 1.299{\displaystyle 1.299}   Beschrifte dein Ergebnis mit den richtigen Einheiten. In diesem Fall stellt die vertikale Komponente eine Geschwindigkeit nach oben von 1.299 Metern pro Sekunde dar. Die Darstellung zeigt dir ein anderes Beispiel, bei dem die Komponenten einer Kraft von 5 Newton bei einem Winkel von 37 Grad. Mit der Sinusfunktion kann die vertikale Kraft auf 3 Newton berechnet werden. Auf dieselbe Art, wie du den Sinus verwendest, um die vertikale Komponente zu berechnen, kannst du den Cosinus verwenden, umdie Größe der horizontalen Komponente festzustellen. Verwende die Gleichung:  cos⁡θ=horizontalhypotenuse{\displaystyle \cos \theta ={\frac {\text{horizontal}}{\text{hypotenuse}}}} Use the details from the missile example to find its horizontal component as follows:  cos⁡θ=horizontalhypotenuse{\displaystyle \cos \theta ={\frac {\text{horizontal}}{\text{hypotenuse}}}} cos⁡(60)=horizontal1500{\displaystyle \cos(60)={\frac {\text{horizontal}}{1500}}} 1500cos⁡(60)=horizontal{\displaystyle 1500\cos(60)={\text{horizontal}}} 1500∗0,5=horizontal{\displaystyle 1500*0,5={\text{horizontal}}} 750{\displaystyle 750}   Beschrifte das Ergebnis mit den richtigen Einheiten. In diesem Fall stellt die horizontale Komponente eine Geschwindigkeit nach vorne (oder links, rechts, hinten) von 750 Metern pro Sekunde dar. Die Darstellung zeigt ein weiteres Beispiel, bei dem die Komponenten einer Kraft von 5 Newton bei einem Winkel von 37 Grad berechnet werden. Mit der Cosinusfunktion kann die horizontale Kraft auf 4 Newton berechnet werden.
Wähle einen geeigneten Maßstab aus. Zeichne den Vektor maßstabsgetreu. Zeichne ein rechtwinkeliges Dreieck mit dem Vektor als Hypotenuse. Beschrifte die zwei Vektoren der Komponenten. Miss die Vektoren der Komponenten. Verstehe, was das „Addieren“ von Vektoren bedeutet. Teile jeden Vektor in seine Komponenten auf. Addiere die Komponenten. Verwende den Satz des Pythagoras, um die Größe des entstehenden Vektors herauszufinden. Wende Trigonometrie an, um den Winkel des entstehenden Vektors zu finden. Fasse den entstehenden Vektor zusammen. Rufe dir die Definition eines Vektors in Erinnerung. Verstehe die Terminologie beim Zeichnen von Vektoren. Erinnere dich an Grundlagen der Geometrie. Mache eine Faustskizze des ursprünglichen Vektors. Zeichne und beschrifte die dazugehörigen Vektoren. Verwende die Sinusfunktion, um die vertikale Komponente zu berechnen. Verwende die Cosinusfunktion, um die horizontale Komponente zu berechnen.
https://www.wikihow.com/Resolve-a-Vector-Into-Components https://www.wikihow.com/Resolve-a-Vector-Into-Components https://www.wikihow.com/Resolve-a-Vector-Into-Components https://www.wikihow.com/Resolve-a-Vector-Into-Components
Identifying Components by Graphing Using Vector Components to Add Vectors Reviewing Vectors and Their Components Calculating Components with Trigonometry