Deine Arbeit überprüfen Die Aufgabe vorbereiten Die Beträge berechnen
Du musst immer die möglichen Lösungen in die ursprüngliche Gleichung einsetzen, um zu bestätigen, dass es tatsächliche Lösungen sind. Um die positive Gleichung zu überpüfen, setzt du den Wert für x{\displaystyle x}, den du aus der positiven Gleichung ermittelt hast, in die Gleichung mit dem Absolutbetrag ein. Sind beide Seiten der Gleichung gleich, ist die Lösung richtig. Wenn die Lösung der positiven Gleichung zum Beispiel x=1{\displaystyle x=1} war, setzt du 1{\displaystyle 1} in die ursprüngliche Gleichung ein und löst sie:|6x−2|=4{\displaystyle |6x-2|=4}|6(1)−2|=4{\displaystyle |6(1)-2|=4}|6−2|=4{\displaystyle |6-2|=4}|4|=4{\displaystyle |4|=4} Nur, weil eine Lösung richtig ist, bedeutet das nicht, dass beide richtig sind. Du musst auch die Lösung der negativen Gleichung in die ursprüngliche Gleichung einsetzen, um zu überprüfen, ob es eine richtige Lösung ist. Wenn die Lösung der negativen Gleichung zum Beispiel x=−13{\displaystyle x={\frac {-1}{3}}} war, setzt du −13{\displaystyle {\frac {-1}{3}}} in die ursprüngliche Gleichung ein und löst sie:|6x−2|=4{\displaystyle |6x-2|=4}|6(−13)−2|=4{\displaystyle |6({\frac {-1}{3}})-2|=4}|−2−2|=4{\displaystyle |-2-2|=4}|−4|=4{\displaystyle |-4|=4} Eine Lösung ist gültig, wenn sie, nachdem sie in die ursprüngliche Gleichung eingesetzt wurde, eine richtige Gleichung hervorbringt. Es ist möglich, zwei gültige Lösungen zu haben, vielleicht hast du aber auch eine Lösung oder gar keine Lösung. Da |4|=4{\displaystyle |4|=4} und |−4|=4{\displaystyle |-4|=4} zum Beispiel beide richtig sind, sind beide Lösungen der Gleichung gültig. Daher hat |6x−2|+3=7{\displaystyle |6x-2|+3=7} zwei mögliche Lösungen: x=1{\displaystyle x=1}, x=−13{\displaystyle x={\frac {-1}{3}}}. Die Definition besagt, dass |p|={pwenn p≥0−pwenn p<0{\displaystyle |p|={\begin{cases}p&{\text{wenn }}p\geq 0\\-p&{\text{wenn }}p<0\end{cases}}}. Diese Regel sagt aus, dass wenn die Zahl p{\displaystyle p} positiv ist, der absolute Betrag schlicht p{\displaystyle p} ist. Wenn eine Zahl p{\displaystyle p} negativ ist, dann ist der absolute Betrag der negative Betrag von −p{\displaystyle -p}. Da zwei Negative ein Positives ergeben, ist der Absolutbetrag von −p{\displaystyle -p} somit positiv. Zum Beispiel ist |9| = 9; |-9| = -(-9) = 9. Der Absolutbetrag einer Zahl stellt dar, wie weit eine Zahl auf einem Zahlenstrahl von der 0 entfernt ist. Der Absolutbetrag wird gekennzeichnet durch zwei Striche, die den Term oder die Terme umschließen (|x|{\displaystyle |x|}). Der Absolutbetrag einer Zahl ist immer positiv. Zum Beispiel ist |−3|=3{\displaystyle |-3|=3} und |3|=3{\displaystyle |3|=3}. Sowohl -3 als auch 3 sind drei Zahlen von 0 entfernt. Der Absolutbetrag sollte auf einer Seite der Gleichung stehen. Alle Zahlen, die nicht zwischen den Betragsstrichen stehen, sollten auf die andere Seite der Gleichung gebracht werden. Beachte, dass ein Absolutbetrag nie gleich einer negativen Zahl sein kann, wenn der Absolutbetrag also, nachdem du ihn isoliert hast, eine negative Zahl ist, dann hat die Gleichung keine Lösung. Wenn deine Gleichung zum Beispiel |6x−2|+3=7{\displaystyle |6x-2|+3=7} lautet, dann subtrahierst du drei von beiden Seiten der Gleichung, um den Absolutbetrag zu isolieren:|6x−2|+3=7{\displaystyle |6x-2|+3=7}|6x−2|+3−3=7−3{\displaystyle |6x-2|+3-3=7-3}|6x−2|=4{\displaystyle |6x-2|=4} Eine Gleichung, die einen Absolutbetrag beinhaltet, wird zwei mögliche Lösungen haben. Um die positive Gleichung vorzubereiten, entfernst du einfach die Betragsstriche um den Absolutbetrag und löst die Gleichung wie gewohnt. Die positive Gleichung für |6x−2|=4{\displaystyle |6x-2|=4} lautet zum Beispiel 6x−2=4{\displaystyle 6x-2=4}. Dazu verwendest du die Methoden der Algebra, um nach der Variable zu lösen. So erhältst du die erste Lösung der Gleichung. Zum Beispiel:6x−2=4{\displaystyle 6x-2=4}6x−2+2=4+2{\displaystyle 6x-2+2=4+2}6x=6{\displaystyle 6x=6}6x6=66{\displaystyle {\frac {6x}{6}}={\frac {6}{6}}}x=1{\displaystyle x=1} Um die negative Gleichung vorzubereiten, schreibst du die Gleichung ohne die Betragsstriche auf und setzt den negativen Betrag der Zahl auf die andere Seite der Gleichung. Die negative Gleichung für |6x−2|=4{\displaystyle |6x-2|=4} lautet zum Beispiel 6x−2=−4{\displaystyle 6x-2=-4}. Verwende die Regeln der Algebra, um nach der Variable zu lösen, wie du es bei jeder Gleichung tun würdest. Das Ergebnis ist die zweite mögliche Lösung der Gleichung. Zum Beispiel:6x−2=−4{\displaystyle 6x-2=-4}6x−2+2=−4+2{\displaystyle 6x-2+2=-4+2}6x=−2{\displaystyle 6x=-2}6x6=−26{\displaystyle {\frac {6x}{6}}={\frac {-2}{6}}}x=−13{\displaystyle x={\frac {-1}{3}}}
Überprüfe die Lösung der positiven Gleichung. Überprüfe die Lösung der negativen Gleichung. Notiere die gültigen Lösungen. Verstehe die mathematische Definition des Absolutbetrages. Verstehe, wofür der Absolutbetrag steht. Isoliere den Term (die Terme) mit einem Absolutbetrag in deiner Gleichung. Ordne die Gleichung nach dem positiven Betrag. Löse die positive Gleichung. Bereite die Gleichung für den negativen Betrag vor. Löse die negative Gleichung.
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