Eine Potenz mit Dezimalzahl berechnen Exponenten verstehen Eine Beispielaufgabe lösen
Um eine Dezimalzahl in einen Bruch umzurechnen, bedenkst du den Stellenwert. Der Nenner des Bruches wird der Stellenwert sein. Die Ziffern der Dezimalzahl werden dem Zähler entsprechen. Bei der Potenz 810,75{\displaystyle 81^{0,75}} musst du 0,75{\displaystyle 0,75} in einen Bruch umwandeln. Da die Dezimalzahl an der Hunderterstelle steht, ist der entsprechende Bruch 75100{\displaystyle {\frac {75}{100}}}. Da du die Wurzel in Bezug auf den Nenner des Bruches im Exponenten ziehen wirst, soll der Nenner so klein wie möglich sein. Das machst du, indem du den Bruch vereinfachst. Wenn dein Bruch eine gemischte Zahl ist (das heißt wenn dein Exponent eine Dezimalzahl größer als 1 war), schreibst du sie zu einem unechten Bruch um. Der Bruch 75100{\displaystyle {\frac {75}{100}}} zum Beispiel wird zu 34{\displaystyle {\frac {3}{4}}} reduziert, also ist 810,75=8134{\displaystyle 81^{0,75}=81^{\frac {3}{4}}} Dazu verwandelst du den Zähler in eine ganze Zahl und multiplizierst ihn mit dem Stammbruch. Der Stammbruch ist der Bruch mit demselben Nenner, aber mit 1 als Zähler. Da 34zumBeispiel=14×3{\displaystyle {\frac {3}{4}}zumBeispiel={\frac {1}{4}}\times 3}, kannst du die Potenz zu 8114×3{\displaystyle 81^{{\frac {1}{4}}\times 3}} umschreiben. Denke daran, dass zwei Exponenten zu multiplizieren wie die Potenz zur Potenz zu nehmen ist. Also wird aus x1b×a{\displaystyle x^{\frac {1}{b}}\times a} der Ausdruck  (x1b)a{\displaystyle (x^{\frac {1}{b}})^{a}}. Zum Beispiel 8114×3=(8114)3{\displaystyle 81^{{\frac {1}{4}}\times 3}=(81^{\frac {1}{4}})^{3}}. Eine Zahl mit einem rationalen Exponenten zu berechnen ist das Gleiche, wie die dazugehörige Wurzel der Zahl zu ziehen. Schreibe die Basis und ihren ersten Exponenten als Wurzelausdruck. Da zum Beispiel 8114=814{\displaystyle 81^{\frac {1}{4}}={\sqrt[{4}]{81}}}, kannst du diesen Ausdruck zu (814)3{\displaystyle ({\sqrt[{4}]{81}})^{3}} umschreiben. Denke daran, dass der Radikand (die kleine Zahl neben dem Wurzelzeichen) dir sagt, welche Wurzel du ziehen sollst. Wenn die Zahlen unhandlich sind, ist die beste Art, das du zu machen, die Funktion yx{\displaystyle {\sqrt[{x}]{y}}} auf einem wissenschaftlichen Taschenrechner zu verwenden. Um zum Beispiel 814{\displaystyle {\sqrt[{4}]{81}}} zu berechnen, musst du bestimmen, welche Zahl mit 4 multipliziert 81 ergibt. Da 3×3×3×3=81{\displaystyle 3\times 3\times 3\times 3=81}, weißt du, dass 814=3{\displaystyle {\sqrt[{4}]{81}}=3}. Der Exponentialausdruck wird also 33{\displaystyle 3^{3}}. Du solltest nun eine ganze Zahl als Exponenten haben, die Berechnung sollte also unkompliziert sein. Du kannst immer einen Taschenrechner verwenden, wenn die Zahlen zu groß sind. Zum Beispiel 33=3×3×3=27{\displaystyle 3^{3}=3\times 3\times 3=27}. Also ist 810,75=27{\displaystyle 81^{0,75}=27}. Eine Potenz hat einen Basis und einen Exponenten. Die Basis ist die große Zahl in der Potenz. Der Exponent ist die kleinere Zahl. In dem Ausdruck 34{\displaystyle 3^{4}} zum Beispiel ist 3{\displaystyle 3} die Basis und 4{\displaystyle 4} ist der Exponent. Die Basis ist die Zahl, die multipliziert wird. Der Exponent sagt dir, wie oft die Basis multipliziert wird. Zum Beispiel ist 34=3×3×3×3=81{\displaystyle 3^{4}=3\times 3\times 3\times 3=81}. Eine rationale Zahl wird auch Bruchzahl genannt. In diesem Fall hat der Exponent also die Form eines Bruches. Zum Beispiel 412{\displaystyle 4^{\frac {1}{2}}}. Eine Zahl zur 12{\displaystyle {\frac {1}{2}}} Potenz zu nehmen ist wie die Quadratwurzel der Zahl zu ziehen. Also ist x12=x{\displaystyle x^{\frac {1}{2}}={\sqrt {x}}}. Dasselbe gilt für andere Wurzeln und Exponenten. Der Nenner des Exponenten sagt dir, welche Wurzel du ziehen musst.  x13=x3{\displaystyle x^{\frac {1}{3}}={\sqrt[{3}]{x}}} x14=x4{\displaystyle x^{\frac {1}{4}}={\sqrt[{4}]{x}}} x15=x5{\displaystyle x^{\frac {1}{5}}={\sqrt[{5}]{x}}} Zum Beispiel ist 8114=814=3{\displaystyle 81^{\frac {1}{4}}={\sqrt[{4}]{81}}=3}. Du weißt, dass 3 die vierte Wurzel von 81 ist, denn 3×3×3×3=81{\displaystyle 3\times 3\times 3\times 3=81} Dieses Gesetz besagt, dass (xa)b=xab{\displaystyle (x^{a})^{b}=x^{ab}}. In anderen Worten ist einen Exponenten in eine andere Potenz zu setzen dasselbe, wie zwei Exponenten zu multiplizieren. Wenn man mit rationalen Exponenten arbeitet, sieht dieses Gesetz so aus xab=(x1b)a{\displaystyle x^{\frac {a}{b}}=(x^{\frac {1}{b}})^{a}}, denn 1b×a=ab{\displaystyle {\frac {1}{b}}\times a={\frac {a}{b}}}. 2562,25{\displaystyle 256^{2,25}}. Da 2,25{\displaystyle 2,25} größer ist als 1, wird der Bruch eine gemischte Zahl sein. Die Dezimalzahl 0,25{\displaystyle 0,25} ist gleich 25100{\displaystyle {\frac {25}{100}}}, also ist 2,25=225100{\displaystyle 2,25=2{\frac {25}{100}}}. Du solltest auch alle gemischten Zahlen zu unechten Brüchen umwandeln.  Da 25100{\displaystyle {\frac {25}{100}}} sich zu 14{\displaystyle {\frac {1}{4}}} kürzen lässt, ist 225100=214{\displaystyle 2{\frac {25}{100}}=2{\frac {1}{4}}}. In einen unechten Bruch umgewandelt hast du 94{\displaystyle {\frac {9}{4}}}. Schreibe also 2562,25=25694{\displaystyle 256^{2,25}=256^{\frac {9}{4}}}. Da 94=14×9{\displaystyle {\frac {9}{4}}={\frac {1}{4}}\times 9}, kannst du den Ausdruck umschreiben zu 25614×9{\displaystyle 256^{{\frac {1}{4}}\times 9}}. Also ist 25614×9=(25614)9{\displaystyle 256^{{\frac {1}{4}}\times 9}=(256^{\frac {1}{4}})^{9}}. 25614=2564{\displaystyle 256^{\frac {1}{4}}={\sqrt[{4}]{256}}}, also kannst du den Ausdruck zu (2564)9{\displaystyle ({\sqrt[{4}]{256}})^{9}} um. 2564=4{\displaystyle {\sqrt[{4}]{256}}=4}. Der Ausdruck ist jetzt also (4)9{\displaystyle (4)^{9}}. (4)9=4×4×4×4×4×4×4×4×4=262,144{\displaystyle (4)^{9}=4\times 4\times 4\times 4\times 4\times 4\times 4\times 4\times 4=262,144}. Folglich ist 2562,25=262,144{\displaystyle 256^{2,25}=262,144}.
Rechne die Dezimalzahl in einen Bruch um. Vereinfache den Bruch, wenn möglich. Schreibe den Exponenten als Ausdruck mit Multiplikation um. Schreibe den Exponenten als Potenz einer Potenz um. Schreibe die Basis als Wurzelausdruck auf. Berechne den Wurzelausdruck. Berechne den übrigen Exponenten. Erkenne eine Potenz. Bestimme die Teile einer Potenz. Erkenne einen rationalen Exponenten. Verstehe die Beziehung zwischen Wurzeln und rationalen Exponenten. Verstehe das Gesetz zum Potenzieren von Potenzen. Berechne den folgenden Exponentialausdruck: Rechne die Dezimalzahl in einen Bruch um. Vereinfache den Bruch, wenn möglich. Schreibe den Exponenten in einen Multiplikationsausdruck um. Schreibe den Exponenten als Potenz einer Potenz auf. Schreibe die Basis als Wurzelausdruck auf. Berechne den Wurzelausdruck. Berechne den verbleibenden Exponenten.
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