Andere Gleichungen faktorisieren Zahlen und einfache algebraische Ausdrücke faktorisieren Quadratische Gleichungen faktorisieren
Gleichungen mit zwei Variablen werden anders faktorisiert als einfache quadratische Gleichungen. Für jeden Ausdruck a2-b2, wenn a und b ungleich 0 sind, kann der Ausdruck in (a+b)(a-b) zerlegt werden.  Zum Beispiel die Gleichung 9x2 - 4y2 = (9x + 4y)(9x - 4y). Beachte, wenn das Trinom von der Form a2-2ab+b2 ist, dann ist die faktorisierte Form etwas anders: (a-b)2. Der Ausdruck 2x2 + 16xy + 4y2 kann als 2x2 + (2 * 2 * 4)xy + 4y2 geschrieben werden. Wir sehen nun, dass er in der korrekten Form ist und können mit Sicherheit sagen, dass er in (2x + 4y)2 zerlegt werden kann. Zum Schluss sollte noch gesagt werden, dass Gleichungen von dritter oder noch höherer Ordnung faktorisiert werden können, allerdings wird es schnell sehr kompliziert.  Zum Beispiel kann 8x3 - 27y3 in  (2x - 3y)(4x2 + ((2x)(3y)) + 9y2) zerlegt werden. Faktorisieren ist ein simples Konzept, aber kann in der praktischen Durchführung, besonders bei komplizierten Ausdrücken, eine Herausforderung sein. Deshalb fangen wir erst mit Zahlen an, dann machen wir weiter mit einfachen Ausdrücken, bevor wir dann zu komplizierteren Anwendungen übergehen. Die Faktoren einer gegebenen Zahl sind die Zahlen, die mit einander multipliziert, wieder die ursprüngliche Zahl ergeben. Zum Beispiel sind die Faktoren von 12 die Zahlen 1, 12, 2, 6, 3 und 4, denn 1 * 12, 2 * 6 und 3 * 4 ergeben immer 12.  Eine andere Betrachtungsweise ist, dass die Faktoren einer Zahl die Zahlen sind, durch die die Zahl ohne Rest geteilt werden kann. Kannst du alle Faktoren der Zahl 60 bestimmen? Wir benutzen die Zahl 60 auf viele Arten (Minuten in einer Stunde, Sekunden in einer Minute, etc.), denn sie kann durch viele Zahlen ohne Rest geteilt werden. Die Faktoren von 60 sind 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 und 60. Genauso wie einzelne Zahlen faktorisiert werden können, können auch Variablen mit numerischen Koeffizienten faktorisiert werden. Dafür müssen wir nur die Faktoren des Koeffizienten finden. Wenn man weiß, wie man Variablen faktorisiert, dann ist das nützlich zum Vereinfachen von algebraischen Ausdrücken, die diese Variablen enthalten. Zum Beispiel kann die Variable 12x geschrieben werden als Produkt der Faktoren 12 und x. Wir können 12x als 3*4x, 2*6x, etc. schreiben, indem wir die Faktoren von 12 benutzen, die für unsere Zwecke am besten geeignet sind. Wir können 12x sogar mehrfach faktorisieren. Mit anderen Worten: Wir müssen nicht bei 3*4x oder 2*6x aufhören - wir können 4x und 6x faktorisieren zu 3*2*2x und 2*3*2x. Offensichtlich sind die beiden Ausdrücke gleich. Mit deinem Wissen über das Faktorisieren einzelner Zahlen und Variablen mit Koeffizienten, kannst du einfache algebraische Ausdrücke vereinfachen, indem du Faktoren findest, die die Zahlen und Variablen in einem algebraischen Ausdruck gemeinsam haben. Normalerweise suchen wir nach dem größten gemeinsamen Faktor, wenn wir den Ausdruck so weit wie möglich vereinfachen wollen. Dieser Vereinfachungsvorgang ist möglich wegen des Distributivgesetzes der Multiplikation, das besagt, dass für beliebige Zahlen a, b und c a(b + c) = ab + ac.  Lass uns ein Beispiel versuchen. Um den algebraischen Ausdruck 12 x + 6 zu faktorisieren, suchen wir zuerst den größten gemeinsamen Faktor von 12x und 6. 6 ist die größte Zahl, die sowohl 12x als auch 6 ohne Rest teilt. Wir können also den Ausdruck zu 6*(2x + 1) vereinfachen. Mit negativen Ausdrücken und Brüchen geht es genauso. x/2 + 4, zum Beispiel, kann zu 1/2*(x + 8) vereinfacht werden und -7x + -21 zu -7(x + 3). Quadratische Gleichungen sind von der Form ax2 + bx + c = 0, wobei a, b und c numerische Konstanten sind und a ungleich 0 ist (a kann allerdings 1 oder -1 sein). Wenn du eine Gleichung mit einer Variablen hast, in der die Variable zum Quadrat mehrmals vorkommt, dann kannst du normalerweise mit einfachen algebraischen Operationen die Terme so manipulieren, dass 0 auf der einen Seite des Gleichheitszeichens steht und ax2, etc. auf der anderen Seite.  Wir betrachten zum Beispiel die algebraische Gleichung 5x2 + 7x - 9 = 4x2 + x - 18. Sie kann zu x2 + 6x + 9 = 0 vereinfacht werden und ist damit in der quadratischen Form. Ausdrücke mit größeren Exponenten der Variablen, wie x3, x4, etc. können nicht in quadratischen Gleichungen vorkommen. Sie sind dann kubische Gleichungen, Gleichungen vierten Grades und so weiter, es sei denn beim Vereinfachen der Gleichung fallen die Terme höherer Ordnung weg. Wenn deine quadratische Gleichung von der Form x2 + bx + c = 0 ist (das heißt, der Koeffizient von x2 ist 1), dann ist es möglich (aber nicht garantiert), dass es eine einfache Abkürzung zum Faktorisieren der Gleichung gibt. Suche zwei Zahlen, die multipliziert c ergeben und sich zu b summieren. Wenn du diese Zahlen d und e gefunden hast, setze sie in folgenden Ausdruck ein: (x+d)(x+e). Wenn du diese zwei Terme aus multiplizierst, dann ergeben sie wieder die ursprüngliche quadratische Gleichung  - das heißt, sie sind die gesuchten Faktoren.  Lass uns zum Beispiel die quadratische Gleichung x2 + 5x + 6 = 0 betrachten. 3 und 2 multipliziert ergibt 6 und sie addieren sich zu 5. Also können wir die Gleichung als (x + 3)(x + 2) = 0 schreiben. Kleine Variationen dieser Abkürzung existieren für kleine Variationen in der Gleichung:  Wenn die quadratische Gleichung von der Form x2-bx+c ist, dann ist das Ergebnis von der Form: (x - _)(x - _). Wenn sie von der Form x2+bx+c ist, dann ist das Ergebnis von der Form: (x + _)(x + _). Wenn sie von der Form x2-bx-c ist, dann ist das Ergebnis von der Form: (x + _)(x - _).   Beachte: Die Zahlen, die an Stelle der Leerzeichen stehen, können Brüche oder Dezimalzahlen sein. Zum Beispiel die Gleichung x2 + (21/2)x + 5 = 0 kann zu (x + 10)(x + 1/2) = 0 faktorisiert werden. Du glaubst es vielleicht nicht, aber für einfache quadratische Gleichungen ist eine der akzeptierten Methoden zum faktorisieren sich die Aufgabe anzuschauen und mögliche Lösungen auszuprobieren bis du die richtige findest. Das wird auch Faktorisieren durch Raten genannt. Wenn die quadratische Gleichung von der Form ax2+bx+c ist und a>1, dann ist die Faktorisierung von der Form (dx +/- _)(ex +/- _), wobei d und e numerische Konstanten ungleich 0 sind, die ausmultipliziert a ergeben. Entweder d oder e (oder beide) können die Zahl 1 sein, aber das ist nicht notwendigerweise so. Wenn beide 1 sind, dann hast du im wesentlichen obige Abkürzung verwendet. Lass uns eine Beispiel-Aufgabe betrachten. 3x2 - 8x + 4 sieht zuerst einschüchternd aus. Aber sobald wir uns klar machen, dass 3 nur zwei Faktoren hat (3 und 1), wird es leichter, denn wir wissen schon, dass das Ergebnis die Form (3x +/- _)(x +/- _) haben muss. In diesem Fall erhalten wir die richtige Lösung, wenn wir  -2 für die Leerzeichen einsetzen. -2 * 3x = -6x und -2 * x = -2x. -6x und -2x addieren sich zu -8x. -2 * -2 = 4, und damit multiplizieren sich die faktorisierten Terme in den Klammern zu der Original-Gleichung. Manchmal können quadratische Gleichungen schnell und leicht faktorisiert werden indem man eine bestimmte Eigenschaft benutzt. Quadratische Gleichungen der Form x2 + 2xh + h2 = (x + h)2. Wenn also in deiner Gleichung b gleich zweimal der Wurzel aus c ist, dann kann der Ausdruck faktorisiert werden durch (x + (sqrt(c)))2. Zum Beispiel die Gleichung x2 + 6x + 9 ist von dieser Form. 32 ist 9 und 3 * 2 ist 6. Die Faktorzerlegung ist deshalb (x + 3)(x + 3) oder (x + 3)2. Egal, wie du die Faktorisierung gefunden hast, sobald eine quadratische Gleichung faktorisiert ist, kannst du mögliche Lösungen für x finden, indem du jeden Faktor gleich 0 setzt und nach x auflöst. Da du nach Werten von x suchst, die deine Gleichung zu 0 machen, ist ein Wert für x, der einen der beiden Faktoren zu 0 macht, eine Lösung für deine quadratische Gleichung.  Lass uns noch einmal die Gleichung x2 + 5x + 6 = 0 betrachten. Wir haben die Gleichung zu (x + 3)(x + 2) = 0 faktorisiert. Wenn einer der beiden Faktoren gleich 0 ist, dann ist die gesamte Gleichung gleich 0, deshalb sind unsere möglichen Lösungen für x die Zahlen, die (x + 3) und (x + 2) zu 0 machen. In diesem Fall sind es -3 und -2. Wenn du Lösungen für x gefunden hast, setze sie in die Original-Gleichung ein, um zu schauen, ob sie gültig sind. Manchmal machen die gefundenen Lösungen die Original-Gleichung nicht zu 0, wenn sie dort eingesetzt werden. Wir nennen diese Lösungen irrelevant und ignorieren sie.  Lass uns -2 und -3 in  x2 + 5x + 6 = 0 einsetzen. Zuerst -2:  (-2)2 + 5(-2) + 6 = 0 4 + -10 + 6 = 0 0 = 0. Das stimmt, also ist -2 eine gültige Lösung.   Lass uns jetzt -3 versuchen:  (-3)2 + 5(-3) + 6 = 0 9 + -15 + 6 = 0 0 = 0. Das stimmt, also ist -3 eine gültige Lösung.
Wenn die Gleichung von der Form a2-b2 ist, dann kann sie zu (a+b)(a-b) faktorisiert werden. Wenn die Gleichung von der Form a2+2ab+b2 ist, dann kann sie zu (a+b)2 faktorisiert werden. Wenn die Gleichung von der Form a3-b3 ist, dann kann sie zu (a-b)(a2+ab+b2) faktorisiert werden. Faktorisieren einer Zahl. Ausdrücke mit Variablen können auch faktorisiert werden. Wende das Distributivgesetz der Multiplikation an um algebraische Ausdrücke zu faktorisieren. Vergewissere dich, dass die Gleichung in der quadratischen Form (ax2 + bx + c = 0) vorliegt. Quadratische Gleichungen mit a = 1 können zu (x+d )(x+e) faktorisiert werden, wobei d * e = c und d + e = b. Wenn möglich, faktorisiere durch Raten. Lösen durch quadratische Ergänzung. Benutze die Faktoren, um quadratische Gleichungen zu lösen. Überprüfe die Lösungen - sie sind eventuell irrelevant!
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