Das nächste Glied in einer arithmetischen Folge finden Ein fehlendes Glied innerhalb der Folge finden Die explizite Formel verwenden, um zusätzliche Daten zu finden Das n-te Glied einer arithmetischen Folge finden
Wenn dir eine Liste von Zahlen vorgelegt wird, könnte man dir sagen, dass es sich bei der Liste um eine arithmetische Folge handelt, oder du musst es selber herausfinden. Der erste Schritt ist in beiden Fällen der gleiche. Wähle die ersten beiden aufeinanderfolgenden Zahlen der Liste. Subtrahiere das erste Glied vom zweiten Glied. Das Ergebnis ist oft die Differenz deiner Folge.  Nehmen wir an, du hast diese Liste vor dir: 1,4,7,10,13{\displaystyle 1,4,7,10,13}.... Subtrahiere 4−1{\displaystyle 4-1}, um die Differenz 3 zu finden. Nehmen wir an, du hast eine Liste, bei der die Glieder kleiner werden, wie 25,21,17,13{\displaystyle 25,21,17,13}…. Trotzdem subtrahierst du das erste Glied vom zweiten, um die Differenz zu finden. In diesem Fall erhältst du 21−25=−4{\displaystyle 21-25=-4}. Das negative Ergebnis bedeutet, dass deine Liste von links nach rechts weniger wird. Du solltest immer überprüfen, ob diese Differenz zu der Richtung passt, in der die Zahlen kleiner werden. Allein die Differenz für die ersten beiden Glieder herauszufinden stellt nicht sicher, dass deine Liste eine arithmetische Folge ist. Du musst sichergehen, dass die Differenz in der ganzen Liste durchgängig ist. Überprüfe die Differenz, indem du zwei andere aufeinanderfolgende Glieder der Liste voneinander subtrahierst. Wenn das Ergebnis gleich ist für eines oder zwei Gliedpaare, dann hast du wahrscheinlich eine arithmetische Folge.  Um beim selben Beispiel zu bleiben, 1,4,7,10,13{\displaystyle 1,4,7,10,13}…  wählst du das zweite und dritte Glied der Liste. Subtrahiere 7−4{\displaystyle 7-4} und du wirst feststellen, dass die Differenz immer noch 3 ist. Zur Überprüfung siehst du dir ein weiteres Beispiel an und subtrahierst 13−10{\displaystyle 13-10} und so findest du heraus, dass die Differenz durchgehend 3 ist. Du kannst ziemlich sicher davon ausgehen, dass du mit einer arithmetischen Folge arbeitest. Es ist möglich, dass eine Liste von Zahlen eine arithmetische Folge zu sein scheint, wenn man sich die ersten paar Glieder ansieht, später aber nicht mehr. Sieh dir zum Beispiel die Liste 1,2,3,6,9{\displaystyle 1,2,3,6,9}…. an. Die Differenz zwischen den ersten beiden Gliedern ist 1 und die Differenz zwischen zwischen dem zweiten und dritten Glied ebenfalls. Die Differenz zwischen dem dritten und vierten Glied aber ist 3. Weil die Differenz nicht in der ganzen Liste durchgängig gleich ist, ist es keine arithmetische Folge. Das nächste Glied einer arithmetischen Folge zu finden, nachdem du die Differenz weißt, ist einfach. Addiere einfach die Differenz mit dem letzten Glied der Liste und du erhältst deine nächste Zahl. In dem Beispiel 1,4,7,10,13{\displaystyle 1,4,7,10,13}… zum Beispiel addierst du die Differenz von 3 mit dem letzten angegebenen Glied, um die nächste Zahl zu finden. 13+3{\displaystyle 13+3} zu addieren ergibt 16, was das nächste Glied ist. Du kannst weiter 3 hinzufügen, um deine Liste so lang zu machen, wie du möchtest. Die Liste wäre dann zum Beispiel 1,4,7,10,13,16,19,22,25{\displaystyle 1,4,7,10,13,16,19,22,25}…. Das kannst du so lange machen, wie du möchtest. In manchen Fällen könntest du mit einer Liste von Zahlen zu tun haben, bei der ein Glied in der Mitte fehlt. Beginne wie zuvor damit, zu überprüfen, dass deine Liste eine arithmetische Folge ist. Wähle zwei beliebige aufeinanderfolgende Glieder und finde die Differenz zwischen ihnen. Dann prüfst du mit zwei anderen aufeinanderfolgenden Gliedern in der Liste. Wenn die Differenz dieselbe ist, kannst du davon ausgehen, dass du mit einer arithmetischen Folge arbeitest, und weitermachen. Nehmen wir zum Beispiel an, du hast die Liste 0,4{\displaystyle 0,4},___,12,16,20{\displaystyle 12,16,20}…. Beginne, indem du 4−0{\displaystyle 4-0} subtrahierst und die Differenz 4 feststellst. Überprüfe dies mit zwei anderen aufeinanderfolgenden Gliedern, wie zum Beispiel 16−12{\displaystyle 16-12}. Die Differenz ist wieder 4. Du kannst weitermachen. Das funktioniert ähnlich, wie ein Glied an das Ende einer Folge anzuhängen. Finde das Glied, das direkt vor der freien Stelle in deiner Folge steht. Das ist die „letzte“ Zahl, die dir bekannt ist. Addiere deine Differenz an dieses Glied an, um die Zahl zu finden, die an die freie Stelle gehört. In unserem Beispiel 0,4{\displaystyle 0,4},____,12,16,20{\displaystyle 12,16,20}… ist das Glied vor der freien Stelle 4. Addiere also 4+4{\displaystyle 4+4} und erhalte 8, was die Zahl in der freien Stelle sein sollte. Um sicherzugehen, dass du die richtige Lösung hast, überprüfst du sie aus der anderen Richtung. Eine arithmetische Folge sollte in beide Richtungen durchgehend sein. Wenn du von links nach rechts gehst und 4 addierst, dann machst du in die entgegengesetzte Richtung, von links nach rechts, das Gegenteil und subtrahierst 4. In dem Beispiel 0,4{\displaystyle 0,4},___,12,16,20{\displaystyle 12,16,20}… ist das Glied unmittelbar nach der freien Stelle 12.  Subtrahiere die Differenz von 4 von diesem Glied, um festzustellen, dass 12−4=8{\displaystyle 12-4=8}. Die Lösung 8 sollte an der freien Stelle eingesetzt werden. Die zwei Lösungen die du erhältst, durch das Addieren von links oder das Subtrahieren von rechts, sollten übereinstimmen. Wenn sie es tun, hast du den Wert für das fehlende Glied gefunden. Wenn nicht, dann musst du deine Arbeit überprüfen. Vielleicht hast du keine echte arithmetische Folge. Im Beispiel ergeben beide Ergebnisse von 4+4{\displaystyle 4+4} und 12−4{\displaystyle 12-4} die Lösung 8. Somit ist das fehlende Glied in dieser arithmetischen Folge 8. Die vollständige Folge lautet 0,4,8,12,16,20{\displaystyle 0,4,8,12,16,20}…. Mit Hilfe der expliziten Formel und den Grundlagen der Algebra kannst du verschiedene Daten einer arithmetischen Folge herausfinden. In ihrer ursprünglichen Form, a(n)=a(1)+(n−1)d{\displaystyle a(n)=a(1)+(n-1)d}, ist die explizite Formel angelegt, um nach an zu lösen und dir das n-te Glied einer Folge zu geben. Du kannst diese Formel aber algebraisch umformen und nach jeder der Variablen suchen.  Nehmen wir zum Beispiel an, du hast das Ende einer Liste von Zahlen, musst aber wissen, was der Anfang der Folge war. Du kannst die Formel umstellen und a(1)=(n−1)d−a(n){\displaystyle a(1)=(n-1)d-a(n)} erhalten. Wenn du den Anfangspunkt und den Endpunkt einer arithmetischen Folge kennst, aber wissen musst, wie viele Glieder in der Liste enthalten sind, kannst du die explizite Formel umstellen, um nach n zu lösen. Das wäre n=a(n)−a(1)d+1{\displaystyle n={\frac {a(n)-a(1)}{d}}+1}. Wenn du dir die Grundlagen der Algebra noch einmal ansehen musst, um zu diesen Ergebnissen zu gelangen, dann sieh dir den Artikel Algebraische Ausdrücke vereinfachen an. Du könntest wissen, dass das 50. Glied einer arithmetischen Folge 300 ist und du weißt, dass die Glieder um 7 anwachsen (die Differenz), du willst aber herausfinden, was das erste Glied der Folge war. Verwende die überarbeitete explizite Formel, die nach a1 löst, um die Lösung zu finden. Verwende die Gleichung a(1)=(n−1)d−a(n){\displaystyle a(1)=(n-1)d-a(n)} und fülle die Daten ein, die du kennst. Da du weißt, dass das 50. Glied 300 ist, ist n=50, n-1=49 und a(n)=300. Du kennst auch die Differenz, d, welche 7 ist. Demnach wird die Formel zu a(1)=(49)(7)−300{\displaystyle a(1)=(49)(7)-300}. Das wird vereinfacht zu 343−300=43{\displaystyle 343-300=43}. Die Folge, die du hast, hat bei 43 angefangen und es wurde um 7 nach oben gezählt. Daher sieht sie so aus: 43,50,57,64,71,78…293,300. Nehmen wir an, du weißt alles über den Anfang und das Ende einer arithmetischen Folge, musst aber herausfinden, wie lang sie ist. Verwende die überarbeitete Formel n=a(n)−a(1)d+1{\displaystyle n={\frac {a(n)-a(1)}{d}}+1}.  Nehmen wir an, du weißt, dass eine angegebene arithmetische Folge bei 100 beginnt und mit 13 anwächst. Dir wird auch gesagt, dass das letzte Glied 2.856 ist. Um die Länge der Folge herauszufinden, verwendest du die Terme a1=100, d=13 und a(n)=2856. Füge diese Terme in die Formel ein und erhalte n=2856−10013+1{\displaystyle n={\frac {2856-100}{13}}+1}. Wenn du das ausrechnest, erhältst du n=275613+1{\displaystyle n={\frac {2756}{13}}+1} was gleich 212+1 ist, also 213. Es gibt 213 Glieder in dieser Folge. Diese Beispielfolge würde so aussehen: 100, 113, 126, 139… 2843, 2856. Nicht jede Folge beginnt mit den Zahlen 0 oder 1. Sieh dir die Liste der Zahlen an, die du hast, und finde das erste Glied. Das ist dein Startpunkt, welcher mit Variablen als a(1) bezeichnet werden kann.  Es ist üblich beim Arbeiten mit arithmetischen Folgen die Variable a(1) zu verwenden, um das erste Glied zu bezeichnen. Du kannst natürlich jede Variable deiner Wahl verwenden und das Ergebnis sollte dasselbe sein. Bei der Folge 3,8,13,18{\displaystyle 3,8,13,18}… zum Beispiel ist das erste Glied 3{\displaystyle 3}, der algebraisch als a(1) bezeichnet werden kann. Finde die  Differenz für die Folge heraus, wie zuvor. In diesem Beispiel ist die Differenz 8−3{\displaystyle 8-3}, was 5 ist. Dies mit anderen Gliedern der Folge zu überprüfen ergibt dasselbe Ergebnis. Wir werden diese Differenz mit der algebraischen Variable d bezeichnen. Eine explizite Formel ist eine algebraische Gleichung, die du verwenden kannst, um ein Glied einer arithmetischen Folge zu finden, ohne die gesamte Liste aufschreiben zu müssen. Die explizite Formel für eine algebraische Folge ist a(n)=a(1)+(n−1)d{\displaystyle a(n)=a(1)+(n-1)d}. Der Term a(n) kann als „das n-te Glied von a“ gelesen werden, wobei n dafür steht, welche Zahl in der Liste du finden möchtest und a(n) ist ein tatsächlicher Wert dieser Zahl. Wenn du zum Beispiel das 100. Glied in einer arithmetischen Folge finden möchtest, dann wird n 100 sein. Beachte, dass n 100 ist, in diesem Beispiel, aber a(n) wird der Wert des 100. Gliedes sein, nicht die Zahl 100 selber. Unter Verwendung der expliziten Formel für deine Folge füllst du die Daten ein, die du weißt, um das Glied zu finden, das du brauchst. In dem Beispiel 3,8,13,18{\displaystyle 3,8,13,18}… zum Beispiel wissen wir, dass a(1) das erste Glied 3 ist und die Differenz d ist 5. Nehmen wir an, du sollst das 100. Glied in der Folge finden. Dann ist n=100 und n(-1)=99. Die vollständige explizite Formel, mit eingesetzten Daten, ist dann a(100)=3+(99)(5){\displaystyle a(100)=3+(99)(5)}. Das ergibt ausgerechnet 498, was das 100. Glied der Folge ist.
Finde die Differenz für diese Folge. Prüfe, ob die Differenz durchgängig ist. Hänge die Differenz an das letzte angegebene Glied an. Bestätige, dass du mit einer arithmetischen Folge zu tun hast. Addiere die Differenz an das Glied vor der freien Stelle an. Subtrahiere die Differenz von dem Glied nach der freien Stelle. Vergleiche deine Lösungen. Stelle die explizite Formel um, um nach anderen Variablen zu lösen. Finde das erste Glied einer Folge. Finde die Länge einer Folge heraus. Bestimme das erste Glied der Folge. Definiere die Differenz als d. Verwende die explizite Formel. Fülle deine Daten ein und löse die Aufgabe.
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Finding the Next Term in an Arithmetic Sequence Finding a Missing Internal Term Using the Explicit Formula to Find Additional Information Finding the Nth Term of an Arithmetic Sequence