Das Quadrat vervollständigen, um die Umkehrfunktion zu bestimmen Die Umkehrung einer einfachen Funktion finden Die Quadratformel verwenden
Um zu beginnen die Umkehrung zu finden, musst du mit der Gleichung in der Form f(x)=ax2+bx+c{\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c} anfangen. Wenn nötig musst du unter Umständen ähnliche Terme zusammenfassen, um die Gleichung in diese Form zu bringen. Wenn die Gleichung auf diese Art und Weise geschrieben ist, kannst du beginnen, ein paar Informationen darüber zu erkennen. Das erste, was es zu beachten gibt, ist der Wert des Koeffizienten a. Wenn a>0, dann definiert die Gleichung eine Parabel, deren Enden noch oben zeigen. Wenn a<0, definiert die Gleichung eine Parabel, deren Enden nach unten zeigen. Beachte, dass a≠0. Wäre es das, wäre es eine lineare Funktion und keine quadratische. Bevor du die Umkehrfunktion finden kannst, musst du deine Gleichung in das übliche Format umschreiben. Das übliche Format für jede quadratische Gleichung ist f(x)=a(x−h)2+k{\displaystyle f(x)=a(x-h)^{2}+k}. Die numerischen Terme a, h und k werden erschlossen, während du die Gleichung mit einem Vorgang, der als Vervollständigung des Quadrates bezeichnet wird, umbaust. Beachte, dass dieses Format aus einem perfekten quadratischen Term, (x−h)2{\displaystyle (x-h)^{2}}, besteht, welcher durch die anderen beiden Elemente a und k angepasst wird. Um diese perfekte quadratische Form zu erhalten, musst du bestimmte Bedingungen in deiner quadratischen Gleichung erschaffen. Denke daran, dass eine quadratische Funktion, die ein perfektes Quadrat ist, aus zwei Binomen von (x+b)(x+b){\displaystyle (x+b)(x+b)} oder (x+b)2{\displaystyle (x+b)^{2}} entsteht. Wenn du diese Multiplikation ausführst, erhältst du das Ergebnis x2+2bx+b2{\displaystyle x^{2}+2bx+b^{2}}. Daher ist der erste Term der Quadratfunktion der erste Term des Binoms zum Quadrat und der letzte Term der Quadratfunktion das Quadrat des zweiten Terms des Binoms. Der mittlere Term besteht aus 2 mal dem Produkt der beiden Terme, in diesem Fall 2∗x∗b{\displaystyle 2*x*b}. Um das Quadrat zu vervollständigen, arbeitest du im umgekehrter Richtung. Du beginnst mit x2{\displaystyle x^{2}} und einem zweiten x-Term. Vom Koeffizienten dieses Terms, den du als „2b“ definieren kannst, musst du b2{\displaystyle b^{2}} finden. Das erfordert eine Kombination aus Teilen durch zwei und dem Quadrieren des Ergebnisses. Rufe dir die ursprüngliche Form der quadratischen Gleichung ax2+bx+c{\displaystyle ax^{2}+bx+c} ins Gedächtnis. Wenn der erste Koeffizient etwas anderes als 1 ist, dann musst du alle Terme durch diesen Wert dividieren, um a=1 zu setzen.  Betrachte zum Beispiel die Quadratfunktion f(x)=2x2+6x−4{\displaystyle f(x)=2x^{2}+6x-4}. Du musst vereinfachen, indem du alle Terme durch 2 dividierst, um die Funktion f(x)=2(x2+3x−2){\displaystyle f(x)=2(x^{2}+3x-2)} zu erhalten. Der Koeffizient 2 wird außerhalb der Klammern bleiben und ein Teil der abschließenden Lösung sein. Wenn nicht alle Terme ein Mehrfaches von a sind, wirst du Koeffizienten in Form von Brüchen erhalten. Die Funktion f(x)=3x2−2x+6{\displaystyle f(x)=3x^{2}-2x+6} zum Beispiel wird zu f(x)=3(x2−2x3+2){\displaystyle f(x)=3(x^{2}-{\frac {2x}{3}}+2)} vereinfacht werden. Arbeite mit den Brüchen mit der nötigen Sorgfalt. Du hast bereits die ersten beiden Terme der perfekten Quadratfunktion. Diese sind der Term x2{\displaystyle x^{2}} und der jeweilige Koeffizient vor dem x-Term. Indem du den Koeffizienten mit seinem Wert nimmst und die nötige Zahl subtrahierst, erhältst du die perfekte Quadratfunktion. Erinnere dich daran, dass der erforderliche dritte Term der Quadratfunktion der zweite Koeffizient geteilt durch zwei und dann zum Quadrat gesetzt ist.  Wenn die ersten beiden Terme deiner Quadratfunktion x2+3x{\displaystyle x^{2}+3x} sind, findest du den benötigten dritten Term, indem du 3 durch 2 teilst, was das Ergebnis 3/2 ergibt, und das dann quadrierst, so erhältst du 9/4. Die Quadratfunktion x2+3x+9/4{\displaystyle x^{2}+3x+9/4} ist ein perfektes Quadrat. Nehmen wir als weiteres Beispiel an, die ersten beiden Terme sind x2−4x{\displaystyle x^{2}-4x}. Die Hälfte des mittleren Terms ist -2 und das Quadrat davon ist 4. Das entstehende perfekte Quadrat ist x2−4x+4{\displaystyle x^{2}-4x+4}. Das ist ein kniffliges Konzept, aber es funktioniert. Indem du dieselbe Zahl an unterschiedlichen Stellen deiner Funktion sowohl addierst als auch subtrahierst, nimmst du tatsächlich keine Änderung am Wert deiner Funktion vor. Das zu machen ermöglicht dir aber, deine Funktion in das richtige Format zu bringen. Nehmen wir an, du hast die Funktion f(x)=x2−4x+9{\displaystyle f(x)=x^{2}-4x+9}. Wie oben angeführt ist, verwendest du die ersten beiden Terme, um die Vollendung des Quadrates auszuarbeiten. Unter Verwendung des mittleren Terms -4x bringst du den dritten Term +4 hervor. Addiere und subtrahiere 4 in der Gleichung, in der Form f(x)=(x2−4x+4)+9−4{\displaystyle f(x)=(x^{2}-4x+4)+9-4}. Die Klammern werden gesetzt, um das perfekte Quadrat zu definieren, das du erschaffst. Beachte, dass das +4 innerhalb der Klammern steht und das -4 außerhalb. Vereinfache die Zahlen, um das Ergebnis f(x)=(x2−4x+4)+5{\displaystyle f(x)=(x^{2}-4x+4)+5} zu erhalten. Das Polynom in den Klammern sollte ein perfektes Quadrat sein, das in der  Form (x+b)2{\displaystyle (x+b)^{2}} geschrieben werden kann. In dem Beispiel im vorherigen Schritt, f(x)=(x2−4x+4)+5{\displaystyle f(x)=(x^{2}-4x+4)+5}, wird das Quadrat zu (x−2)2{\displaystyle (x-2)^{2}}. Führe den Rest der Gleichung aus, sodass deine Lösung f(x)=(x−2)2+5{\displaystyle f(x)=(x-2)^{2}+5} ist. Das ist dieselbe Funktion wie deine ursprüngliche Quadratfunktion f(x)=x2−4x+9{\displaystyle f(x)=x^{2}-4x+9}, nur ist sie in die übliche Form f(x)=a(x−h)2+k{\displaystyle f(x)=a(x-h)^{2}+k} umgearbeitet. Beachte, dass für diese Funktion a=1, h=2 und k=5 ist. Der Gewinn dabei, die Gleichung in dieser Form zu schreiben, ist dass a, da es positiv ist, dir sagt, das die Parabel nach oben zeigt. Die Werte (h,k) sagen dir, wo der Scheitelpunkt am unteren Ende der Parabel liegt, wenn du sie zeichnen würdest. Die Definitionsmenge ist eine Menge von x-Werten, die in die Funktion eingesetzt werden können. Die Wertemenge ist eine Menge von y-Werten, die das Ergebnis sein können. Erinnere dich daran, dass deine Parabel keine Funktion mit einer definierbaren Umkehrung ist, weil es keine eineindeutige Zuordnung von x-Werten zu y-Werten gibt, wegen der Symmetrie der Parabel. Um dieses Problem zu lösen, musst du die Definitionsmenge als alle Werte von x definieren, die größer sind als x=h, dem Scheitelpunkt der Parabel. Arbeiten wir weiter mit der Beispielfunktion f(x)=(x−2)2+5{\displaystyle f(x)=(x-2)^{2}+5}. Weil diese im üblichen Format ist, kannst du den Scheitelpunkt als  x=2, y=5 identifizieren. Daher arbeitest du, um die Symmetrie zu umgehen, nur mit der rechten Seite des Graphen und legst die Definitionsmenge als alle Werte x≥2 fest. Den Wert x=2 in die Funktion einzusetzen gibt das Ergebnis y=5. Du kannst sehen, dass die Werte für y größer werden, wenn x größer wird. Daher ist die Wertemenge dieser Gleichung y≥5. Dieser Schritt ist es, an dem du beginnst, die umgekehrte Form der Gleichung zu finden. Belasse die Gleichung zur Gänze so wie sie ist, außer dass du diese Variablen tauschst. Arbeite weiter mit der Funktion f(x)=(x−2)2+5{\displaystyle f(x)=(x-2)^{2}+5}. Setze x an Stelle von f(x) ein und y (oder f(x), wenn du das vorziehst), an Stelle von x. So erhältst du die neue Funktion x=(y−2)2+5{\displaystyle x=(y-2)^{2}+5}. Mit Hilfe einer Kombination von algebraischen Schritten und während du dabei darauf achtest, dieselbe Operation auf beiden Seiten gleichermaßen auszuführen, musst du die y-Variable isolieren. Für die Beispielgleichung x=(y−2)2+5{\displaystyle x=(y-2)^{2}+5} sieht diese Überarbeitung so aus:   x=(y−2)2+5{\displaystyle x=(y-2)^{2}+5}   (ursprünglicher Startpunkt)  x−5=(y−2)2{\displaystyle x-5=(y-2)^{2}}    (subtrahiere 5 auf beiden Seiten) ±x−5=y−2{\displaystyle {\sqrt {x-5}}=y-2}     (ziehe die Quadratwurzel auf beiden Seiten; denke daran, dass Quadratwurzeln sowohl zu positiven als auch zu negativen Lösungen führen) ±x−5+2=y{\displaystyle {\sqrt {x-5}}+2=y}     (addiere 2 auf beiden Seiten) Wie du es zu Beginn gemacht hast, untersuchst du die Umkehrfunktion, um ihre Definitions- und Wertemenge zu bestimmen. Bei zwei möglichen Lösungen suchst du diejenige aus, die eine Definitions- und Wertemenge hat, die Umkehrungen der ursprünglichen Definitions- und Wertemenge sind.  Sieh dir die Beispiellösung der Gleichung ±x−5+2=y{\displaystyle {\sqrt {x-5}}+2=y} an. Weil die Wurzelfunktion nicht für negative Werte definiert ist, muss der Term x−5{\displaystyle {x-5}} immer positiv sein. Daher müssen erlaubte Werte für x (die Definitionsmenge) x≥5 sein. Mit dieser Definitionsmenge sind die sich ergebenden Werte für y (die Wertemenge) entweder alle Werte y≥2, wenn du die positive Lösung der Quadratwurzel nimmst, oder y≤2, wenn du die negative Lösung de Quadratwurzel nimmst. Erinnere dich daran, dass du die Definitionsmenge ursprünglich als x≥2 definiert hast, um die Umkehrfunktion zu finden. Daher ist die richtige Lösung für die Umkehrfunktion die positive Option. Vergleiche die Definitions- und Wertemenge der Umkehrfunktion mit der Definitions- und Wertemenge der ursprünglichen Funktion. Erinnere dich daran, dass die Definitionsmenge für die ursprüngliche Funktion als alle Werte x≥2 definiert wurde und die Wertemenge als alle Werte y≥5. Für die Umkehrfunktion werden diese Werte nun vertauscht und die Definitionsmenge ist alle Werte x≥5 und die Wertemenge ist alle Werte y≥2. Um sicherzugehen, dass deine Arbeit richtig ist und deine Umkehrfunktion die richtige Gleichung ist, wählst du einen beliebigen Wert für x aus und setzt ihn in die ursprüngliche Funktion ein, um y zu erhalten. Dann setzt du den Wert für y an die Stelle von x in deiner Umkehrfunktion und siehst nach, ob du die Zahl erhältst, mit der du begonnen hast. Wenn ja, dann ist deine Umkehrfunktion richtig.  Wähle als Beispiel den Wert x=3 aus und setze ihn in die ursprüngliche Gleichung f(x)=x2−4x+9{\displaystyle f(x)=x^{2}-4x+9} ein. Als Ergebnis erhältst du y=6. Als Nächstes setzt du den Wert 6 in die Umkehrfunktion x−5+2=y{\displaystyle {\sqrt {x-5}}+2=y} ein. So erhältst du das Ergebnis y = 3, was die Zahl ist, mit der du begonnen hast. Daraus kannst du schließen, dass deine Umkehrfunktion richtig ist. Wenn du schon zu Beginn die „richtige“ Art von Funktion hast, kannst du die Umkehrfunktion mit ein wenig einfacher Algebra finden. Diese Form ist eine Art Variation von y=ax2+c{\displaystyle y=ax^{2}+c}. Im Vergleich zu der üblichen Form einer quadratischen Funktion, y=ax2+bx+c{\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}, sollte dir auffallen, dass der mittlere Term, bx{\displaystyle bx}, fehlt. Eine andere Art, das zu sagen ist, dass der Wert von b 0 ist. Wenn deine Funktion in dieser Form steht, ist es ziemlich einfach, die Umkehrung zu finden.  Deine anfängliche Funktion muss nicht exakt wie y=ax2+c{\displaystyle y=ax^{2}+c} aussehen. Solange du sie betrachten und sehen kannst, dass die Funktion nur aus x2{\displaystyle x^{2}}-Termen und Zahlen besteht, kannst du diese Methode anwenden. Nehmen wir zum Beispiel an, du beginnst mit der Gleichung 2y−6+x2=y+3x2−4{\displaystyle 2y-6+x^{2}=y+3x^{2}-4}. Eine kurze Untersuchung dieser Gleichung zeigt, dass sie keine Terme von x{\displaystyle x} zur ersten Potenz enthält. Diese Gleichung ist ein Kandidat für diese Methode, eine Umkehrfunktion zu finden. Die anfängliche Gleichung könnte mehrere Terme in einer Kombination aus Addition und Subtraktion enthalten. Dein erster  Schritt ist, ähnliche Terme zusammenzufassen, um die Gleichung zu vereinfachen und sie in dem üblichen Format y=ax2+c{\displaystyle y=ax^{2}+c} zu schreiben. Nehmen wir die Beispielgleichung 2y−6+x2=y+3x2−4{\displaystyle 2y-6+x^{2}=y+3x^{2}-4}. Die y-Terme können auf der linken Seite zusammengefasst werden, indem man ein y von beiden Seiten subtrahiert. Die anderen Terme können auf der rechten Seite zusammenfasst werden, indem man auf beiden Seiten 6 addiert und x^2 subtrahiert. Die sich ergebende Gleichung wird y=2x2+2{\displaystyle y=2x^{2}+2} sein. Erinnere dich daran, dass die Definitionsmenge einer Funktion aus möglichen Werten für x besteht, die eingesetzt werden können, um eine richtige Lösung zu erhalten. Die Wertemenge besteht aus den Werten von y, die herauskommen werden. Um die Definitionsmenge einer Funktion zu bestimmen, suchst du nach Werten, die ein mathematisch unmögliches Ergebnis entstehen lassen. Dann gibst du die Definitionsmenge aller anderen Werte von x an. Um die Wertemenge zu finden, betrachtest du Werte von x an Grenzpunkten und siehst dir den Verlauf der Funktion an.  Betrachte die Beispielgleichung y=2x2+2{\displaystyle y=2x^{2}+2}. Es gibt keine Einschränkung bei den x-Werten für diese Gleichung. Du solltest jedoch erkennen, dass das die Gleichung einer Parabel mit x=0 als Mittelpunkt ist, und eine Parabel ist keine Funktion, weil sie keine eineindeutige Übereinstimmung der x- und y-Werte aufweist. Um diese Gleichung einzugrenzen und  zu einer Funktion zu machen, für die es eine Umkehrung gibt, definieren wir die Definitionsmenge als  x≥0. Die Wertemenge wird ähnlich eingeschränkt. Beachte, dass der erste Term, 2x2{\displaystyle 2x^{2}}, immer positiv oder 0 sein wird, für jeden Wert von x. Wenn die Gleichung dann +2 addiert, wird die Wertemenge aus allen Werten y≥2 bestehen. Die Definitions- und die Wertemenge zu diesem frühen Zeitpunkt zu definieren ist notwendig. Du wirst diese Definitionen später verwenden, um die Definitions- und Wertemenge der Umkehrfunktion zu definieren. Tatsächlich wird die Definitionsmenge der ursprünglichen Funktion später die Wertemenge der Umkehrfunktion werden und die Wertemenge der ursprünglichen die Definitionsmenge der Umkehrung. Ohne die Gleichung auf irgendeine Art zu verändern, musst du jedes Auftreten von y durch ein x ersetzen und jedes Auftreten von x durch ein y. Das ist der Schritt, der die Funktion tatsächlich „umkehrt“.  Bei der Beispielfunktion y=2x2+2{\displaystyle y=2x^{2}+2} führt dieser Umkehrungsschritt zu der Funktion x=2y2+2{\displaystyle x=2y^{2}+2}. Ein alternatives Format ist, die y-Werte durch x zu ersetzen, die x-Werte aber entweder durch y−1{\displaystyle y^{-}1} oder f(x)−1{\displaystyle f(x)^{-}1}, um die Umkehrfunktion anzugeben. Mit Hilfe einer Kombination von algebraischen Schritten und während du dabei darauf achtest, dieselbe Operation auf beiden Seiten gleichermaßen auszuführen, musst du die y-Variable isolieren. Für die Beispielgleichung x=2y2+2{\displaystyle x=2y^{2}+2} sieht diese Überarbeitung folgendermaßen aus:   x=2y2+2{\displaystyle x=2y^{2}+2}   (ursprünglicher Anfangspunkt)  x−2=2y2{\displaystyle x-2=2y^{2}}    (subtrahiere 2 von beiden Seiten)  x−22=y2{\displaystyle {\frac {x-2}{2}}=y^{2}}     (teile beide Seiten durch 2) ±x−22=y{\displaystyle {\sqrt {\frac {x-2}{2}}}=y}     (Quadratwurzel beider Seiten; denke daran, dass das Ziehen der Quadratwurzel sowohl zu positiven als auch negativen Lösungen führt) Wie du es zu Beginn gemacht hast, untersuchst du auch die Umkehrfunktion, um ihre Definitions- und Wertemenge zu bestimmen. Bei zwei möglichen Lösungen wirst du diejenige auswählen, die eine Definitions- und Wertemenge hat, die die Umkehrung der ursprünglichen Definitions- und Wertemenge sind.  Betrachte die Lösung der Beispielgleichung von ±x−22=y{\displaystyle {\sqrt {\frac {x-2}{2}}}=y}. Da Quadratwurzeln nicht für negative Werte definiert sind, muss der Term x−22{\displaystyle {\frac {x-2}{2}}} immer positiv sein. Daher müssen erlaubte Werte von x (die Definitionsmenge) x≥2 sein. Unter Verwendung dieser Definitionsmenge sind die sich ergebenden Werte von y (die Wertemenge) entweder alle Werte y≥0, wenn du die positive Lösung der Quadratwurzel nimmst, oder y≤0, wenn du die negative Lösung der Quadratwurzel auswählst. Erinnere dich daran, dass du ursprünglich die Definitionsmenge als  x≥0 definiert hast, um die Umkehrfunktion finden zu können. Daher ist die richtige Lösung für die Umkehrfunktion die positive Variante. Vergleiche die Definitions- und Wertemenge der Umkehrung mit der Definitions- und Wertemenge der ursprünglichen Funktion. Erinnere dich, dass für die ursprüngliche Funktion, y=2x2+2{\displaystyle y=2x^{2}+2} die Wertemenge als alle Werte x≥0 definiert war und die Wertemenge als alle Werte y≥2. Für die Umkehrfunktion werden diese Werte nun vertauscht und die Definitionsmenge ist alle Werte x≥2 und die Wertemenge ist alle Werte y≥0. Um sicherzugehen, dass deine Arbeit richtig ist und deine Umkehrung die richtige Gleichung ist, wählst du einen beliebigen Wert für x aus und setzt ihn in die ursprüngliche Gleichung ein, um y zu finden. Dann setzt du den Wert von y an die Stelle von x in deiner Umkehrfunktion und siehst nach, ob es die Zahl hervorbringt, mit der du begonnen hast. Wenn ja, dann ist die Umkehrfunktion richtig.  Wähle als Beispiel den Wert x=1 aus und setze ihn in die ursprüngliche Gleichung y=2x2+2{\displaystyle y=2x^{2}+2} ein. Das Ergebnis ist y=4. Dann setzt du den Wert 4 in die Umkehrfunktion x−22=y{\displaystyle {\sqrt {\frac {x-2}{2}}}=y} ein. Das ergibt die Lösung y=1. Du kannst daraus schließen, dass die Umkehrfunktion richtig ist. Rufe dir ins Gedächtnis, dass beim Lösen von Quadratgleichungen eine Methode war, sie zum Quadrat zu nehmen, wenn möglich. Wenn das Quadrieren nicht funktioniert, kann man sich mit der Quadratformel weiterhelfen, die zu den richtigen Ergebnissen für jede Quadratformel führt. Du kannst die Quadratformel als eine weitere Möglichkeit verwenden, um Umkehrfunktionen zu finden.  Die Quadratformel ist x=[-b±√(b^2-4ac)]/2a. Beachte, dass die Quadratformel zwei mögliche Lösungen liefern wird, eine positive und eine negative. Du wirst die Auswahl basierend auf der Definition der Definitions- und Wertemenge der Funktion treffen. Deine quadratische Gleichung muss im Format f(x)=ax2+bx+c{\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c} sein. Unternimm Schritte der Algebra, um die Gleichung in diese Form zu bringen. Für diesen Abschnitt des Artikels verwenden wir die Beispielgleichung f(x)=x2+2x−3{\displaystyle f(x)=x^{2}+2x-3}. Ermittle den Graphen der Funktion, entweder indem du einen grafikfähigen Taschenrechner verwendest oder indem du verschiedene Punkte ermittelst, bis die Parabel erscheint. Du wirst sehen, dass diese Gleichung eine Parabel mit einem Scheitelpunkt bei (-1,-4) definiert. Daher legst du die Definitionsmenge, um sie als Funktion zu definieren, die eine Umkehrfunktion hat, als alle Werte von x≤-1 fest. Die Wertemenge wird dann alle y≥-4 sein. Um anzufangen, die Umkehrfunktion zu finden, vertauschst du die Variablen x und y. Belasse die Gleichung unverändert, außer dass du die Variablen umkehrst. An dieser Stelle ersetzt du das x durch f(x). Bei der Beispielgleichung f(x)=x2+2x−3{\displaystyle f(x)=x^{2}+2x-3} ergibt das das Ergebnis x=y2+2y−3{\displaystyle x=y^{2}+2y-3}. Erinnere dich daran, dass du, um die Quadratformel zu verwenden, die Gleichung gleich 0 setzen musst und dann die Koeffizienten in der Formel verwenden musst. Die Methode um eine Umkehrfunktion  zu finden beginnt ähnlich, indem du die Gleichung gleich 0 setzt. Bei der Beispielgleichung musst du, um die linke Seite gleich 0 zu bekommen, x von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren. So erhältst du das Ergebnis 0=y2+2y−3−x{\displaystyle 0=y^{2}+2y-3-x}. Dieser Schritt ist ein wenig kompliziert. Erinnere dich daran, dass die Quadratformel nach x löst in der Gleichung 0=ax2+bx+c{\displaystyle 0=ax^{2}+bx+c}. Damit die Gleichung, die du jetzt hast, 0=y2+2y−3−x{\displaystyle 0=y^{2}+2y-3-x}, in dieses Format passt, musst du die Terme wie folgt neu definieren:  Lasse y2=ax2{\displaystyle y^{2}=ax^{2}} sein. Somit ist x=1 Lasse 2y=bx{\displaystyle 2y=bx} sein. Somit ist b=2 Lasse (−3−x)=c{\displaystyle (-3-x)=c} sein. Somit ist c=(-3-x) Normalerweise würdest du die Werte von a, b und c in die Quadratformel einsetzen, um nach x zu lösen. Erinnere dich aber daran, dass du vorhin x und y vertauscht hast, um die Umkehrfunktion herauszufinden. Deswegen löst du, wenn du die Quadratformel verwendest, um nach x zu lösen, in Wirklichkeit für y oder die f-Umkehrung. Die Schritte, um die Quadratformel zu lösen, werden so aussehen:  x=[-b±√(b^2-4ac)]/2a x=(-2)±√((-2)^2-4(1)(-3-x)) / 2(1) x=((-2)±√(4+12+4x))/2 x=(-2±√(16+4x))/2 x=(-2±√(4)(4+x))/2 x=-2±2√(4+x))/2 x=-1±√(4+x) f-Umkehrung = -1±√(4+x)   (Dieser letzte Schritt ist möglich, weil du vorher x an Stelle der f(x)-Variable eingesetzt hast). Beachte, dass die Quadratformel dir zwei mögliche Lösungen liefert, mit Verwendung des ±-Symbols. Schreibe die beiden unterschiedlichen Lösungen auf, um es leichter zu machen, die Definitions- und die Wertemenge zu definieren und die abschließende richtige Lösung zu finden. Diese beiden Lösungen sind:  f−1=−1+4+x{\displaystyle f^{-1}=-1+{\sqrt {4+x}}} f−1=−1−4+x{\displaystyle f^{-1}=-1-{\sqrt {4+x}}} Beachte, dass die Definitionsmenge, damit die Quadratwurzel definiert ist, x≥-4 sein muss. Erinnere dich daran, dass die Definitionsmenge der ursprünglichen Funktion x≤-1 war und die Wertemenge y≥-4. Um die Umkehrfunktion auszuwählen, die passt, musst du die zweite Lösung als die richtige Umkehrfunktion wählen, f−1=−1−4+x{\displaystyle f^{-1}=-1-{\sqrt {4+x}}}. Um sicherzugehen, dass deine Arbeit richtig ist und deine Umkehrung die richtige Funktion ist, wählst du einen beliebigen Wert für x aus und setzt ihn in die ursprüngliche Gleichung ein, um y zu finden. Dann setzt du den Wert von y an Stelle von x in die Umkehrgleichung ein, um nachzusehen, ob du die Zahl erhältst, mit der du begonnen hast. Wenn ja, dann ist deine Umkehrfunktion richtig. Bei der ursprünglichen Funktion f(x)=x2+2x−3{\displaystyle f(x)=x^{2}+2x-3} wählst du x=-2. Damit erhältst du das Ergebnis y=-3. Jetzt setzt du den Wert von x=-3 in die Umkehrfunktion f−1=−1−4+x{\displaystyle f^{-1}=-1-{\sqrt {4+x}}} ein. Daraus erhältst du das Ergebnis -2, was tatsächlich der Wert ist, mit dem du begonnen hast. Daher ist die Definition der Umkehrfunktion richtig.
Bringe die quadratische Gleichung in die richtige Form. Mache das übliche Format der quadratischen Gleichung aus. Rufe dir die Form einer perfekten Quadratfunktion ins Gedächtnis. Vergewissere dich, dass der Koeffizient bei x2{\displaystyle x^{2}} 1 ist. Finde eine Hälfte des mittleren Koeffizienten und setze sie zum Quadrat. Addiere UND subtrahiere den benötigten dritten Term zur gleichen Zeit. Erstelle das perfekte Quadrat. Definiere die Definitionsmenge. Vertausche die x- und y-Werte. Löse die umgekehrte Gleichung nach y auf. Bestimme die Definitionsmenge und die Wertemenge der Umkehrfunktion. Kontrolliere, ob die Umkehrfunktion funktioniert. Suche nach einer Funktion der Form y=ax2+c{\displaystyle y=ax^{2}+c}. Vereinfache, indem du ähnliche Terme zusammenfasst. Bestimme die Definitionsmenge und die Wertemenge der vereinfachten Funktion. Vertausche die Rollen der x- und y-Werte. Löse die umgekehrte Gleichung nach y auf. Bestimme die Definitionsmenge und die Wertemenge der Umkehrfunktion. Prüfe, ob die Umkehrfunktion funktioniert. Erinnere dich an die Quadratformel, um x aufzulösen. Beginne mit einer Quadratgleichung, um die Umkehrung zu finden. Zeichne die Gleichung, um die Definitions- und Wertemenge zu bestimmen. Tausche die Variablen x und y aus. Setze die linke Seite der Gleichung gleich 0. Definiere die Variablen neu, damit sie in die Quadratformel passen. Löse die Quadratformel mit diesen neu definierten Werten. Schreibe die zwei möglichen Lösungen auf. Lege die Definitions- und Wertemenge der Umkehrfunktion fest. Überprüfe, ob die Umkehrfunktion funktioniert.
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Completing the Square to Determine the Inverse Function Finding the Inverse of a Simple Function Using the Quadratic Formula