Spezialfälle Konjugierte Transponierung einer komplexen Matrix Transponieren einer Matrix
Die Transponierte einer Transponierten ist die Originalmatrix. Dies ist ziemlich intuitiv, da du nur die Zeilen und Spalten tauscht. Wenn du sie erneut tauscht, bist du wieder da, wo du angefangen hast. In einer quadratischen Matrix "kippt" die Transposition die Matrix über die Hauptdiagonale. Mit anderen Worten, die Elemente in einer diagonalen Linie von Element a11 bis zur rechten unteren Ecke bleiben gleich. Die anderen Elemente bewegen sich über die Diagonale und enden im selben Abstand von der Diagonale auf der gegenüberliegenden Seite. Wenn du dir dies nicht vorstellen kannst, zeichne eine 4x4-Matrix auf ein Blatt Papier. Nun liegt die Falte über der Hauptdiagonale. Siehst du, wie sich Element a14 und a41 berühren? Sie tauschen ihre Plätze in der Transponierung, ebenso wie jedes Paar, das sich im gefalteten Zustand berührt. Eine symmetrische Matrix ist über der Hauptdiagonale symmetrisch. Wenn wir die obige "kipp" - oder "falten" -Beschreibung verwenden, können wir sofort sehen, dass sich nichts ändert. Alle Elementpaare, die ihre Orte tauschen, waren bereits identisch.  Tatsächlich ist dies die Standardmethode zum Definieren einer symmetrischen Matrix. Wenn Matrix A = AT, dann ist Matrix A symmetrisch. Komplexe Matrizen haben Elemente mit einer realen und imaginären Komponente. Während du eine normale Transponierung dieser Matrizen durchführen kannst, beziehen die meisten praktischen Berechnungen stattdessen die konjugierte Transponierung ein. Matrix C =2+i     3-2i0+i     5+0i Das komplexe Konjugat ändert das Vorzeichen der imaginären Komponenten, ohne die realen Komponenten zu verändern. Führe diesen Vorgang für alle Elemente der Matrix aus. Komplexes Konjugat von C =2-i     3+2i0-i     5-0i Nehme eine normale Umsetzung des Ergebnisses vor. Die Matrix, die du erhältst, ist die konjugierte Transponierung der Originalmatrix. Konjugierte Transponierte von C = CH =2-i        0-i3+2i     5-0i du kannst jede Matrix transponieren, unabhängig von ihrer Anzahl der Zeilen und Spalten. Quadratische Matrizen mit einer gleichen Anzahl von Zeilen und Spalten werden am häufigsten transponiert. Daher verwenden wir eine einfache quadratische Matrix als Beispiel:  Matrix A =1  2  34  5  67  8  9 Schreibe Zeile 1 der Matrix als Spalte neu:  Transponierte von der Matrix A = AT  Erste Spalte von AT:123 Die zweite Zeile der ursprünglichen Matrix wird zur zweiten Spalte ihrer Transponierten. Wiederhole dieses Muster, bis du aus jeder Zeile eine Spalte gebildet hast:   AT =1  4  72  5  83  6  9 Die Transposition ist für eine nicht quadratische Matrix genau dieselbe. Du schreibst die erste Zeile als erste Spalte, die zweite Zeile als zweite Spalte und so weiter. Hier ein Beispiel mit Farbcodierung, um zu zeigen, wo die Elemente enden:   Matrix Z =4  7  2  13  9  8  6  Matrix ZT =4  37  92  81  6 Das Konzept ist sehr schlicht, aber es ist gut, es mathematisch beschreiben zu können. Über die grundlegende Matrixnotation hinaus ist keine Fachsprache erforderlich.  Wenn Matrix B eine m x n Matrix (m Zeilen und n Spalten) ist, ist die transponierte Matrix BT eine n x m Matrix (n Zeilen und m Spalten).  Für jedes Element bxy (xth Zeile, yth Spalte) in B, hat die Matrix BT ein gleiches Element in byx (yth Zeile, xth Spalte).
(MT)T = M. Drehe quadratische Matrizen über die Hauptdiagonale. Transponiere eine symmetrische Matrix. Beginne mit einer komplexen Matrix. Nehme das komplexe Konjugat. Transponiere die Ergebnisse. Beginne mit einer beliebigen Matrix. Drehe die erste Reihe der Matrix in die erste Spalte ihrer Transponierten. Wiederhole dies für die restlichen Zeilen. Übe auf einer nicht quadratischen Matrix. Formuliere die Transposition mathematisch.
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Special Cases Conjugate Transpose of a Complex Matrix Transposing a Matrix