Die Momentan-Geschwindigkeit berechnen Beispiel-Aufgaben Die Momentan-Geschwindigkeit grafisch abschätzen
Um die Momentan-Geschwindigkeit eines Objekts zu berechnen, benötigen wir zunächst eine Gleichung, die uns dessen Position (bezogen auf die Verschiebung) zu einem bestimmten Zeitpunkt gibt. Das bedeutet, die Gleichung muss die Variable s isoliert auf einer Seite und t auf der anderen Seite (nicht unbedingt isoliert) haben, wie z.B. s = -1.5t2 + 10t + 4 In dieser Gleichung haben wir folgende Variablen:   Verschiebung = s. Die Entfernung, die ein Objekt von seiner Startposition aus zurückgelegt hat. Wenn sich ein Objekt z.B. 10 Meter nach vorne und 7 Meter zurück bewegt, ist seine Verschiebung 10-7 = 3 Meter (nicht 10+7 = 17 Meter).  Zeit = t. Selbsterklärend. Normalerweise in Sekunden gemessen. Die Ableitung einer Gleichung ist einfach eine weitere Gleichung, die die Steigung der Funktion zu jedem Zeitpunkt angibt. Um die Ableitung deiner Gleichung für die Verschiebung zu bestimmen, musst du die Funktion mit dieser allgemeinen Ableitungsregel differenzieren: Wenn y = a*xn, dann ist die Ableitung = a*n*xn-1. Diese Regel muss für jeden Term auf der t-Seite der Gleichung angewandt werden. In anderen Worten, gehe auf der t-Seite deiner Gleichung von links nach rechts alle Terme durch. Immer wenn du auf ein t stößt, subtrahiere 1 von seinem Exponenten und multipliziere den gesamten Term mit dem Ausgangsexponenten. Jeder konstante Term (Terme ohne t) verschwinden, weil sie mit 0 multipliziert werden. Dieser Vorgang ist nicht so schwer, wie er vielleicht klingt – leiten wir die Gleichung von oben als Beispiel ab:s = -1,5t2 + 10t + 4(2)-1,5t(2-1) + (1)10t1 - 1 + (0)4t0-3t1 + 10t0-3t + 10 Um deutlich zu machen, dass unsere neue Gleichung eine Ableitung der Ausgangsgleichung ist, ersetzen wir s mit der Bezeichnung ds/dt. Technisch gesehen bedeutet diese Bezeichnung, „Die Ableitung von s nach t.“ Eine einfachere Art, sich ds/dt vorzustellen, ist den Ausdruck als die Steigung der ersten Gleichung zu jedem Zeitpunkt zu sehen. Um z.B. die Steigung des Graphen bei s = -1.5t2 + 10t + 4 zu t = 5 zu bestimmen, würden wir einfach t=5 in die Ableitung einsetzen. In unserem Beispiel, sollte die Gleichung für die Ableitung jetzt so aussehen:ds/dt = -3t + 10 Nachdem du deine Ableitung bestimmt hast, ist die Momentan-Geschwindigkeit für einen bestimmten Zeitpunkt zu finden, gar kein Problem mehr. Du musst dafür nur einen Wert für t wählen und ihn in die Gleichung für die Ableitung einsetzen. Wenn wir z.B. die Momentan-Geschwindigkeit für t=5 finden wollen, setzen wir einfach 5 für t in die Gleichung ds/dt = -3t + 10 ein. Dann, lösen wir die Gleichung so:ds/dt = -3t + 10ds/dt = -3(5) + 10ds/dt = -15 + 10 = -5 Meter/Sekunde Achte darauf, dass wir die Einheit „Meter/Sekunde“ verwenden. Da wir es mit einer Verschiebung in Metern und einer Zeit in Sekunden zu tun haben und die Geschwindigkeit im Allgemeinen einfach die Verschiebung über die Zeit ist, ist diese Einheit passend. Diese Beispiel ist wie das Beispiel aus Abschnitt 1, nur dass wir es jetzt mit einer kubischen Gleichung, statt einer quadratischen Gleichung zu tun haben. Wir können sie also auf dieselbe Art und Weise lösen.  Zunächst bestimmen wir die Ableitung unserer Gleichung:s = 5t3 - 3t2 + 2t + 9s = (3)5t(3 - 1) - (2)3t(2 - 1) + (1)2t(1 - 1) + (0)9t0 - 115t(2) - 6t(1) + 2t(0)15t(2) - 6t + 2  Dann setzen wir den Wert für t ein (4):s = 15t(2) - 6t + 215(4)(2) - 6(4) + 215(16) - 6(4) + 2240 - 24 + 2 = 22 Meter/Sekunde Für diese Aufgabe verwenden wir (1/3) als unseren P-Punkt, aber wir benötigen weitere Punkte als Q-Punkte, um uns anzunähern. Dann müssen wir nur noch die H-Werte finden und eine Abschätzung treffen.  Lass uns zunächst Q-Punkte für t=1,5/1,1 und 1,01 finden.s = 4t2 - tt = 2: s = 4(2)2 - (2)4(4) - 2 = 16 - 2 = 14, also Q = (2/14)t = 1,5: s = 4(1,5)2 - (1,5)4(2,25) - 1.5 = 9 – 1,5 = 7.5, also Q = (1,5/7,5)t = 1,1: s = 4(1,1)2 - (1,1)4(1,21) – 1,1 = 4,84 – 1,1 = 3,74, also Q = (1,1/3,74)t = 1,01: s = 4(1,01)2 - (1,01)4(1,0201) – 1,01 = 4,0804 – 1,01 = 3,0704, also Q = (1,01/3,0704)  Als nächstes, bestimmen wir unsere H-Werte:Q = (2/14): H = (14 - 3)/(2 - 1)H = (11)/(1) = 11Q = (1,5/7,5): H = (7,5 – 3)/(1,5 - 1)H = (4,5)/(0,5) = 9Q = (1,1/3,74): H = (3,74 – 3)/(1,1 - 1)H = (0,74)/(0,1) = 7,3Q = (1,01/3,0704): H = (3,0704 – 3)/(1,01 - 1)H = (0,0704)/(0,01) = 7,04  Da sich unsere H-Werte der 7 annähern, können wir sagen, dass 7 Meter/Sekunde eine gute Annäherung für die Momentan-Geschwindigkeit an (1/3) ist. Oben haben wir erwähnt, dass Ableitungen einfach Formeln sind, die uns die Steigung der Gleichung zu jedem Zeitpunkt angeben, deren Ableitung wir gebildet haben. Es ist sogar so, dass wenn du die Verschiebung eines Objekts mit einer Linie in einem Graphen angibst, die Steigung der Linie zu einem beliebigen Zeitpunkt, gleich der Momentan-Geschwindigkeit des Objekts zu diesem Zeitpunkt ist.  Um den Graph für die Verschiebung des Objekts zu zeichnen, verwende die x-Achse, um die Zeit anzugeben und die y-Achse, um die Verschiebung anzugeben. Dann zeichne Punkte ein, indem du Werte für t in deine Gleichung für die Verschiebung einsetzt. Dadurch bekommst du Werte für s als Lösung und kannst t,s (x,y)-Punkte in den Graphen eintragen. Achte darauf, dass der Graph unter die x-Achse fallen kann. Wenn deine Linie für die Bewegung des Objekts unter die x-Achse fällt, bedeutet das, dass dein Objekt sich rückwärts bewegt. Grundsätzlich sollte dein Graph nicht hinter die y-Achse gehen, wir messen selten die Geschwindigkeit für Objekte, die sich in der Zeit zurückbewegen. Um die Steigung an einem einzelnen Punkt P zu finden, verwenden wir einen mathematischen Trick, genannt „den Grenzwert bestimmen“. Dazu benötigen wir zwei Punkte (P, plus Q, einem Punkt nahe P) auf der Kurve. Wir bestimmen dann die Steigung der Linie zwischen ihnen, immer und immer wieder, während die Entfernung zwischen P und Q kleiner wird. Nehmen wir an, der Graph für die Verschiebung beinhaltet die Punkte (1/3) und (4/7). Wenn wir in diesem Fall die Steigung in (1/3) finden wollen, können wir sagen: (1/3) = P und (4/7) = Q. Die Steigung zwischen P und Q, ist die Differenz der y-Werte von P und Q, über die Differenz der x-Werte von P und Q. In anderen Worten, H = (yQ - yP)/(xQ - xP), mit H als die Steigung zwischen den beiden Punkten. In unserem Beispiel, ist die Steigung zwischen P und Q:H = (yQ - yP)/(xQ - xP)H = (7 - 3)/(4 - 1)H = (4)/(3) = 1,33 Dein Ziel ist es, die Entfernung zwischen P und Q immer kleiner und kleiner zu machen, bis die beiden Punkte nur noch ein Punkt sind. Je kleiner die Entfernung zwischen P und Q wird, desto näher kommt die Steigung deines kleinen Segments, der Steigung am Punkt P. Machen wir das ein paar Mal für unsere Beispielgleichung. Wir verwenden hierzu die Punkte (2/4,8), (1,5/3,95), und (1,25/3,49) für Q und unseren Ausgangspunkt (1/3) für P:Q = (2/4.,8): H = (4,8 - 3)/(2 - 1)H = (1,8)/(1) = 1,8Q = (1,5/3,95): H = (3,95 – 3)/(1,5 - 1)H = (0,95)/(0,5) = 1,9Q = (1,25/3,49): H = (3,49 – 3)/(1,25 - 1)H = (0,49)/(0,25) = 1,96 Während Q sich immer näher und näher an P annähert, kommt H der Steigung am Punkt P immer näher und näher. Irgendwann, für einen unendlich kleinen Intervall, wird H gleich der Steigung an P. Da wird kein unendlich kleines Intervall messen oder berechnen können, schätzen wir die Steigung von P ab, sobald sie aus den Punkten ersichtlich wird, die wir ausprobiert haben.  In unserem Beispiel, wenn wir Q näher an P legen, bekommen wir die Werte 1,8/1,9 und 1,96 für H. Da diese Zahlen sich scheinbar an 2 annähern, können wir 2 als eine gute Annäherung für die Steigung an P annehmen. Denke daran, dass die Steigung an einem bestimmten Punkt des Graphen, gleich der Ableitung der Gleichung des Graphen an diesem Punkt ist. Da unser Graph die Verschiebung des Objekts mit der Zeit zeigt und, wie wir im Abschnitt oben gesehen haben, die Momentan-Geschwindigkeit eines Objekt die Ableitung seiner Verschiebung zu einem bestimmten Zeitpunkt ist, können wir also auch sagen, dass 2 Meter/Sekunde eine gute Abschätzung für die Momentan-Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t=1 ist.
Beginnen wir mit einer Gleichung für die Geschwindigkeit bezüglich der Verschiebung. Leite die Gleichung ab. Ersetze s mit ds/dt. Setze einen Wert für t in deine neue Gleichung ein, um die Momentan-Geschwindigkeit zu finden. Finde die Momentan-Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 4, bei gegebener Gleichung für die Verschiebung s = 5t3 - 3t2 + 2t + 9. Verwende grafische Abschätzungen, um die Momentan-Geschwindigkeit an (1/3), für die Verschiebungsgleichung s = 4t2 - t, zu finden. Trage die Verschiebung deines Objekts über die Zeit auf. Wähle einen Punkt P und einen Punkt Q, der nahe zu P auf der Linie ist. Finde die Steigung zwischen P und Q. Wiederhole diesen Vorgang mehrere Male, wobei du Q an P annäherst. Schätze die Steigung für einen unendlich kleinen Intervall auf der Linie ab.
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