Schummeln mit Datenreihen Schummeln mit Durchschnittswerten Schummeln mit Grafiken
Jeder gute Statistiker weiß, dass der einzige Weg, um einen seriösen Mittelwert zu erhalten oder einen Trend nachzuvollziehen, ein möglichst umfangreicher Datensatz ist. Wenn du Informationen von 100 Menschen hast, gut; 10.000 ist natürlich wesentlich besser. Je mehr Informationen dein Datensatz enthält, desto wahrscheinlicher erhältst du akkurate Mittelwerte. Wenn man einen Datensatz mit 3 bis 5 Datenpunkten verwendet, erhält man Ergebnisse, die die Realität sicher nicht korrekt abbilden. Nehmen wir einmal an du kennst zwei Leute, die sich kürzlich mit etwas völlig Abwegigem verletzt haben, etwa einem Kissen, und verwendest sie als einzige Punkte in deinem Datensatz. Du könntest dann argumentieren, dass Kissen im Allgemeinen sehr gefährlich sind. Egal welchen Durchschnittswert du verwendest, solange du nicht offenlegst, dass du nur zwei Datenpunkte hast, kann niemand deine Behauptung widerlegen. Die verlässlichsten Datensätze sind nicht nur groß, sondern auch breit gestreut. Ein Geologe, der Typen von Mineralien untersucht, die in einer Wüste vorkommen, erhält bessere Ergebnisse, wenn er viele Proben an jeweils verschiedenen Orten nimmt, als wenn er 1.000 Proben nur an einer Stelle sammelt. Durch die Eingrenzung des Umfangs deiner Datenerhebung, kannst du die Ergebnisse signifikant beeinflussen.  Manchmal ist ein solches Vorgehen sinnvoll und beabsichtigt. Zum Beispiel wollen Demographen etwas über von Männern ausgeübte Berufe herausfinden und befragen deshalb nur Männer. Solange eine solche Einschränkung klar aus den Daten hervorgeht, ist es völlig legitim zu verfahren. Datenreihen von kleinen Untersuchungsprojekten an Universitäten tendieren sehr oft dazu einen kontrollierten Datensatz als allgemeingültiges Ergebnis darzustellen. Der Grund dafür ist, dass vielen Projekten an Universitäten nicht genug Zeit und Geld zu Verfügung steht, um breit angelegte, zufällige Stichproben von normalen Bürgern zu sammeln und sich stattdessen auf die Ergebnisse von Studenten beschränken. Das ist wiederum eigentlich kein Problem, solange der Sachverhalt eindeutig aus der Studie hervorgeht, aber Zeitungen lassen auf der Suche nach Schlagzeilen dieses Detail gerne unter den Tisch fallen, um kleine Universitätsstudien etwas aufzubauschen. Diese Technik ist besonders gerissen, weil man so Ergebnisse verschwommen darstellen kann, obwohl dem Betrachter viele Details gegeben werden. Der Trick ist, Daten zu verwenden, die nicht sinnvoll miteinander verglichen werden können, sie aber gleichwertig zu behandeln. Man könnte zum Beispiel eine Stadt mit 100.000 Einwohnern, die 10.000 neue Einwohner in den letzten zehn Jahren dazugewonnen hat, mit einem Dorf mit 10 Einwohnern, in das 10 weitere Bewohner gezogen sind, vergleichen. Der prozentuale Vergleich ergibt dann, dass das Dorf viel schneller gewachsen ist als die Stadt. Diese Technik wird manchmal von Leuten benutzt, die Marktdaten analysieren, um ein irreführendes Bild der Absatzzahlen wiederzugeben. Nehmen wir einmal an, man beobachtet die Verkaufszahlen von Äpfeln und Orangen, aber noch während die Studie läuft, gibt es keine Orangen mehr, weil ein Engpass entstanden ist. Wenn man die Studie weiter fortführt, zeigt sich plötzlich ein sprunghafter, relativer Anstieg der Apfelverkaufszahlen im Vergleich zum Orangenabsatz, obwohl Äpfel höchstwahrscheinlich nich auf einmal sehr viel mehr nachgefragt werden. Das Wort "Durchschnitt" taucht ständig auf, wenn über statistische Daten diskutiert wird. Auf den ersten Blick wirkt der Begriff ziemlich eindeutig: Der Mittelwert gibt eine Zahl wieder, welche den Durchschnitt der Gesamtheit der Zahlenwerte darstellt. Es gibt jedoch eine Reihe unterschiedlicher Mittelwerte, die einen in die Irre führen können, wenn man sie nicht auseinander halten kann.  Das arithmetische Mittel wird errechnet, indem man alle Zahlen eines Datensatzes miteinander addiert und sie anschließend durch die Anzahl der Datenpunkte teilt. Mit anderen Worten, wenn du die Zahlen 3, 3, 5, 4 und 7 hast, addierst du sie und erhältst 22 und teilst diese Summe durch 5 (weil der Datensatz aus 5 Zahlen besteht). In diesem Beispiel ist das arithmetische Mittel 4.4.  Der Median einer Datenmenge gibt den Wert wieder, der in der Mitte zwischen den niedrigen und hohen Zahlen liegt. Bei Verwendung der gleichen Zahlen wie im vorherigen Beispiel (3, 3, 5, 4 und 7), liegt der Median bei 4, weil 2 Zahlen kleiner und 2 größer sind. Der Modus repräsentiert die am häufigsten vorkommende Zahl eines Datensatzes. In unserem Beispiel ist der Modus 3, weil diese Zahl zweimal erscheint. Das arithmetische Mittel scheint vielleicht die logischste Methode zu sein, einen Mittelwert zu errechnen, aber das ist natürlich nicht so. Der Grund dafür ist, dass sehr hohe oder niedrige Werte in einem Datensatz den Mittelwert stark verzerren können. Um mit dem arithmetischen Mittel zu schummeln, sammle Ausreißer in deinem Datensatz und lasse sie in die Berechnung einfließen.  Angenommen du befragst 50 Haushalte in einer Nachbarschaft nach ihrem Einkommen. Die meisten Haushalte verdienen zwischen 25000 bis 45000 Euro im Jahr, aber ein Haushalt verfügt über ein Einkommen von 5 Millionen Euro. Wenn du jetzt das Durchschnittseinkommen berechnest, liegt es wesentlich höher als das "reale" Durchschnittseinkommen dieser Gegend, weil die 5 Millionen Euro soviel höher sind als das Einkommen eines normalen Haushalts. In ähnlicher Weise, wenn du Daten hast, die zeigen, dass 9 Personen 1000 Euro auf ihrem Konto haben, aber die zehnte nur 1 Euro, liegt der Durchschnitt bei 900,10 Euro - fast 10% niedriger als der am häufigsten auftretende Betrag. In seriösen Umfragen werden deshalb oft die sehr hohen und sehr niedrigen Datenpunkte entfernt, bevor ein Durchschnitt errechnet wird. Aber noch längst nicht alle Umfragen, die in den Medien auftauchen sind seriös. Wenn du auf die erhobenen Datensätze nicht zugreifen kannst und keine schriftliche Versicherung vorliegt, dass Ausreißer entfernt wurden, solltest du davon ausgehen, dass dies unterblieben ist. Tatsächlich ist es relativ schwierig mit dem Median zu schummeln, weil er im Vergleich nie zu hoch oder zu niedrig sein kann. Es muss zwangsweise in der Mitte geschummelt werden. Der Median eignet sich daher dafür, sehr große oder kleine Zahlen zu verstecken. Wenn dein Datensatz zum Beispiel 1, 1, 2, 3, 4, 5, 3000 ist, liegt der Median bei 3.  Wenn du eine gerade Anzahl von Datenpunkten hast, findest du den Median, indem du den Durchschnitt der zwei mittleren Einträge errechnest. Du hast aber dann nach wie vor das Problem mit Ausreißern. Werde hellhörig, wenn der Median dazu verwendet wird, um Veränderungen über Zeit darzustellen. Eine Firma deren Preise jedes Jahr um 3% steigen, könnte sie in einem Jahr um 20% anheben und dies z. B. durch die Angabe des Medianwerts für die letzten 9 Jahre verschleiern. Bei einigen Dingen ist es fast unmöglich mit dem Modus zu schummeln, z. B. bei dem Durchschnitt, der von einer Person erworbenen Zahl von Tickets für ein Fußballspiel. Dieser wird durch den Modus fast immer korrekt wiedergegeben. Nichtsdestotrotz können auch mit dem Modus wichtige Datenpunkte verschleiert werden, vor allem in kleinen Datensätzen.  Wenn man etwa einen Datensatz mit allen Zahlen im Bereich von 1 bis 100 hat, aber die Zahl 1 dreimal vorkommt, beträgt der Modus das Datensatzes 1, obwohl der Mittelwert (in diesem Beispiel viel vernünftiger) eher bei 50 liegen würde. Jede Umfrage, deren Fragen anhand einer breiten Abstufung beantwortet werden sollen, kann leicht mit dem Modus manipuliert werden. Wenn man z. B. 100 Menschen etwas von 1 bis 10 bewerten lässt und mehr Leute die Frage mit "10" beantworten als irgendeiner anderen Zahl, beträgt der Modus 10, selbst wenn nur eine Person mehr die Frage mit 10 bewertet hat als die Anzahl der Personen, die sie mit 1 bewertet haben. Wenn man einen Datensatz hat, der keine konkreten, sondern abstrakte Zahlen enthält (z. B. eine Umfrage zur Kundenzufriedenheit), ist es sehr einfach diesen zu manipulieren. Bittet man Personen ihre Zufriedenheit auf einer Skala von 1 bis 3 zu bewerten, beweist das nicht unbedingt, dass Kunden die 3 gewählt haben, dreimal zufriedener sind als Kunden die den Sachverhalt mit 1 bewerten. Auf diese Art werden besonders häufig Mittelwerte manipuliert, aber es passiert auch mit dem Median und manchmal sogar mit dem Modus. Erst durch Graphen oder Charts lassen sich Daten klar abbilden, aber auch sie können manipuliert werden, um verschiedene Effekte zu erzielen. Ein Grund dafür ist, dass Betrachter dazu tendieren, sich Formen und Größen des Graphen anzusehen, bevor sie auf numerische Details achten. Der einfachste Weg die y-Achse zu manipulieren ist, sie einfach nicht zu Beschreiben. Falls man 5 Unterteilungen auf der x-Achse hat, aber nicht weiß, wie sie miteinander im Verhältnis stehen, ist es unmöglich einzuschätzen, ob tatsächlich signifikante Unterschiede zwischen ihnen bestehen. Nehmen wir an dein Datensatz reicht von 1 bis 50. Um die Unterschiede zu verstecken, stelle die y-Achse in Schritten von 100 dar; um sie über die Maßen zu akzentuieren, stelle sie in 1/10 Schritten dar. Der Unterschied zwischen 3 und 10 sieht gigantisch aus auf einer Skala mit Zehntelschritten (sie sind 70 Einheiten voneinander entfert!), aber ist fast unsichtbar auf einem Graph mit 100er Schritten (sie sind viel weniger als eine Einheit voneinander entfernt!). Wenn dein Datensatz von 11 bis 51 reicht, kannst du die niedrigste Zahl noch niedriger und die höchste Zahl noch höher wirken lassen, indem du deine y-Achse bei 10 beginnen lässt. So reicht der Balken der 11 nur knapp über die x-Achse hinaus. Er ist praktisch nicht vorhanden, falls niemand genau hinsieht und bemerkt, dass der Graph bei 10 und nicht 0 anfängt. Der Wert 51 sieht auf diesem Graph 50 Mal größer aus als der Wert 11, weil dieser nur eine Einheit hoch ist. Hättest du den Graphen bei 0 begonnen, wäre der Balken mit dem Wert 51 nur fünfmal höher gewesen als der Balken des Wertes 11. Falls du die Worte "nicht maßstabsgetreu" irgendwo in der Fußnote findest, bist du wahrscheinlich auf ein Beispiel dafür gestoßen. Es passiert nicht immer in böser Absicht, manchmal sind die Zahlen einer Datenreihe so enorm unterschiedlich, dass es unmöglich wird, sie auf der gleichen Seite akkurat darzustellen. Diese Methode kann aber auch verwendet werden, um Leute in die Irre zu führen. Zum Beispiel kann eine visuelle Präsentation der Größe zur Hochskala, aber nicht zur Breitenskala dargestellt werden und das Objekt (etwa ein Gebäude) erscheint größer und auch dünner oder breiter als es tatsächlich ist. Diese Technik findet man häufig in breit angelegten Umfragen, die Ergebnisse in bestimmte Kategorien teilen, wie einem in den USA berühmten Chart, der zeigt, welcher Begriff für ein kohlesäurenhaltiges Getränk in welchem amerikanischen County am populärsten ist. Auf den ersten Blick sehen die Informationen sehr detailliert aus, aber schon bald drängen sich Fragen auf: Wie breit angelegt sind die Untersuchungsdaten? Was ist der Schwellenwert, um das Ergebnis zu bestimmen? Wurde Mittelwert, Median oder Modus verwendet? Wenn du nur ein Ergebnis aus jeder Region verwendest, die du untersucht hast und die anderen auslässt, kannst du die Ergebnisse der Region kontrollieren, ohne zu enthüllen, dass dein Stichprobenumfang sehr klein war. Wiederum ist es fehlende Information, die eine Quantifizierung der Ergebnisse letztlich nicht zulässt.
Verwende einen kleinen Datensatz. Verwende einen kontrollierten Datensatz. Verwende einen unausgewogenen Datensatz. Verstehe die Terminologie. Mit dem arithmetischen Mittel schummeln. Schummeln mit dem Median. Mit dem Modus schummeln. Mit repräsentativen Zahlen schummeln. Lasse bei der y-Achse die Beschreibung weg. Verwende sehr große oder kleine Zahlen auf der y-Achse. Beginne die y-Achse halbwegs in der Datenreihe. Verwende ungeeignete Skalierung. Verwende Grafiken, um Daten auszulassen.
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Lying With Data Sets Lying with Averages Lying With Graphics