Die Quadratwurzel durch Faktorisierung vereinfachen Kenne die Terminologie Erkenne Quadratzahlen
Das Ziel beim Vereinfachen einer Quadratwurzel ist es, sie in einer Form umzuwandeln, die leicht zu verstehen und weiterzuverarbeiten ist. Wenn du eine Zahl faktorisierst, teilst du sie in zwei oder mehrere Faktoren (oder Teiler) auf, z.B. eine 9 in 3x3. Sobald wir diese Faktoren kennen, können wir die Quadratwurzel in einer einfacheren Form schreiben, manchmal sogar als eine Ganze Zahl. Zum Beispiel, √9 = √(3x3) = 3. In den folgenden Schritten lernst du, wie du auch kompliziertere Quadratwurzeln lösen kannst. Wenn die Zahl unter der Wurzel gerade ist, teile sie durch 2. Wenn sie ungerade ist, versuche es stattdessen mit 3. Wenn du durch beides keine ganze Zahl als Ergebnis bekommst, gehe die Liste weiter, teste nach und nach andere Primzahlen, bis du eine ganze Zahl als Ergebnis erhältst. Du musst nur die Primzahlen testen, da alle ganzen Zahlen Primzahlen als ihre Faktoren haben. Wir müssen z.B. nicht auf 4 testen, da jede Zahl, die durch 4 teilbar ist, auch durch 2 teilbar ist, welche du bereits getestet hast.  2 3 5 7 11 13 17 Lass alles unter dem Wurzelzeichen und vergiss nicht beide Faktoren zu beachten. Wenn du z.B. √98 vereinfachen willst und den ersten Schritt anwendest, wirst du feststellen, dass 98 ÷ 2 = 49, also 98 = 2 x 49 ist. Mit dieser Information kannst du also die 98 in der Wurzel umschreiben: √98 = √(2 x 49) Bevor wir die Quadratwurzel vereinfachen können, müssen wir die Zahl solange faktorisieren, bis wir sie in zwei identische Teile aufgeteilt haben. Das macht Sinn, wenn du einmal darüber nachdenkst, was eine Quadratwurzel eigentlich bedeutet: Der Term √(2 x 2) bedeutet ja „eine Zahl, die mit sich selbst multipliziert 2 x 2 ergibt“. Diese Zahl ist offensichtlich die 2! Mit diesem Ziel im Kopf, wiederholen wir die Schritt von oben, für unser Beispiel √(2 x 49):  Die 2 ist bereits so weit es geht faktorisiert (oder anders ausgedrückt, sie ist bereits eine der Primzahlen aus der Liste oben). Wir können sie also für den Moment ignorieren und uns stattdessen auf die 49 konzentrieren. 49 kann nicht geradzahlig durch 2, 3 oder 5 geteilt werden. Du kannst das selbst mit einem Taschenrechner oder schriftlichen Division nachprüfen. Da wir also dadurch keine schönen, ganzzahligen Ergebnisse bekommen, ignorieren wir diese Teiler und probieren weiter. Die 49 kann geradzahlig durch die 7 geteilt werden. 49 ÷ 7 = 7, also 49 = 7 x 7. Schreibe die Aufgabe um: √(2 x 49) = √(2 x 7 x 7). Sobald du das Problem in zwei identische Faktoren umgewandelt hast, kannst du diese Faktoren als eine Ganze Zahl vor die Wurzel ziehen. Lass dabei alle anderen Faktoren unter der Wurzel. Zum Beispiel, √(2 x 7 x 7) = √(2)√(7 x 7) = √(2) x 7 = 7√(2). Auch wenn es möglich wäre, weiter zu faktorisieren, musst du das nicht tun, sobald du zwei identische Faktoren gefunden hast. Zum Beispiel, √(16) = √(4 x 4) = 4, Wenn wir weiter faktorisieren, bekommen wir dieselbe Antwort, nur mit ein wenig mehr Aufwand: √(16) = √(4 x 4) = √(2 x 2 x 2 x 2) = √(2 x 2)√(2 x 2) = 2 x 2 = 4. Bei größeren Quadratwurzeln kannst du oft mehr als einmal vereinfachen. Wenn dem so ist, multipliziere die ganzen Zahlen zusammen, um dein Endergebnis zu bekommen. Hier ist ein Beispiel:  √180 = √(2 x 90) √180 = √(2 x 2 x 45) √180 = 2√45, kann aber noch weiter vereinfacht werden. √180 = 2√(3 x 15) √180 = 2√(3 x 3 x 5) √180 = (2)(3√5) √180 = 6√5 Einige Quadratwurzeln sind bereits so einfach wie möglich. Wenn du soweit faktorisiert hast, bis du unter der Wurzel nur noch Primzahlen zu stehen hast (siehe die Liste oben) und keine davon zweimal vorkommt, kannst du nichts weiter tun. Vielleicht hast du eine Fangfrage bekommen! Testen wir das z.B. einmal mit √70:  70 = 35 x 2, also √70 = √(35 x 2) 35 = 7 x 5, also √(35 x 2) = √(7 x 5 x 2) Alle drei Zahlen unter der Wurzel sind Primzahlen, können also nicht weiter faktorisiert werden. Sie sind alle verschieden, du kannst also auch keine ganze Zahl herausziehen. √70 kann also nicht vereinfacht werden. Falls die Aufgabe beispielsweise √25 lautet, steht das "√" für die Wurzel. Von dieser Zahl willst du die Quadratwurzel bilden. Falls die Aufgabe beispielsweise √25 lautet, ist "25" der Radikand. Das ist die Zahl, mit der die Quadratwurzel multipliziert wird, und befindet sich links vom Wurzelsymbol. Falls die Aufgabe beispielsweise 7√2 lautet, ist "7" der Koeffizient. Zum Beispiel ist 2 ein Faktor von 8, da 8 ÷ 4 = 2. Die Zahl 3 ist hingegen kein Faktor von 8, da 8÷3 keine ganze Zahl als Ergebnis ergibt. Ein weiteres Beispiel: 5 ist ein Faktor von 25, denn 5 x 5 = 25. Die Vereinfachung einer Quadratwurzel bedeutet einfach, dass man alle Quadratzahlen aus dem Radikanden herausrechnet, diese links neben das Wurzelzeichen schreibt und die restlichen Faktoren innerhalb der Wurzel lässt. Falls es sich bei der Zahl um eine Quadratzahl handelt, kannst du das Wurzelzeichen weglassen, nachdem du die Wurzel hingeschrieben hast. Zum Beispiel lässt sich √98 vereinfachen zu 7√2. Eine Zahl zu quadrieren (hoch 2 zu nehmen), oder mit sich selbst zu multiplizieren, führt zu einer Quadratzahl. 25 ist z.B. eine Quadratzahl, da 5 x 5, oder 52, 25 ergibt. Du solltest dir zumindest die ersten 10 Quadratzahlen merken, damit du sie schnell erkennst und Quadratwurzeln schneller vereinfachen kannst. Hier sind die ersten zehn Quadratzahlen:  12 = 1 22 = 4 32 = 9 42 = 16 52 = 25 62 = 36 72 = 49 82 = 64 92 = 81 102 = 100 Wenn du eine Quadratzahl unter einer Quadratwurzel erkennst, kannst du die Wurzel sofort ziehen und das Wurzelzeichen (√) loswerden. Zum Beispiel, wenn du die Zahl 25 unter einem Wurzelzeichen siehst, weißt du sofort, dass die Antwort 5 lautet, da 25 eine Quadratzahl ist. Hier ist die gleiche Liste wie oben, mit der jeweiligen Lösung der Quadratwurzel:  √1 = 1 √4 = 2 √9 = 3 √16 = 4 √25 = 5 √36 = 6 √49 = 7 √64 = 8 √81 = 9 √100 = 10 Du kannst Quadratzahlen zu deinem Vorteil nutzen, wenn du eine Zahl faktorisieren oder eine Wurzel vereinfachen willst. Wenn du eine Möglichkeit erkennst, eine Quadratzahl als Faktor zu verwenden, kann dir das Zeit und Mühen sparen. Hier sind ein paar Tipps:  √50 = √(25 x 2) = 5√2. Wenn die letzten beiden Stellen einer Zahl auf 25, 50, oder 75 enden, kannst du immer den Faktor 25 verwenden. √1700 = √(100 x 17) = 10√17. Wenn die letzten beiden Stellen einer Zahl auf 00 enden, kannst du immer den Faktor 100 verwenden. √72 = √(9 x 8) = 3√8. Ein Vielfaches von 9 zu erkennen ist oftmals hilfreich. Dafür gibt es einen Trick: Wenn alle Ziffern einer Zahl sich zu 9 addieren, dann ist 9 auch immer ein Faktor der Zahl. √12 = √(4 x 3) = 2√3. Hierfür gibt es keinen speziellen Trick, aber es ist oftmals sinnvoll zu überprüfen, ob eine kleine Zahl durch 4 teilbar ist. Behalte das im Hinterkopf, wenn du nach den Faktoren suchst. Wenn unter den Faktoren einer Zahl mehr als eine Quadratzahl ist, ziehe sie alle vor das Wurzelzeichen. Wenn du mehrere Quadratzahlen bei der Faktorisierung findest, ziehe sie alle vor das √-Symbol und multipliziere sie zusammen. Lass uns z.B. √72 vereinfachen:  √72 = √(9 x 8) √72 = √(9 x 4 x 2) √72 = √(9) x √(4) x √(2) √72 = 3 x 2 x √2 √72 = 6√2
Verstehe Faktorisierung. Teile die Zahl durch die kleinstmögliche Primzahl. Schreibe die Quadratwurzel zu einer Multiplikation-Aufgabe um. Fahre mit den verbliebenen Zahlen fort. Schließe das Vereinfachen ab, indem du die Ganze Zahl aus der Wurzel ziehst. Multipliziere ganze Zahlen zusammen, wenn es mehr als eine gibt. Schreibe „kann nicht vereinfacht werden“, wenn es keine zwei identischen Faktoren gibt. Verstehe, dass das Wurzelsymbol (√) für die Quadratwurzel steht. Der Radikand ist die Zahl unter dem Wurzelzeichen. Der Koeffizient ist die Zahl vor der Wurzel. Ein Faktor (Teiler) ist eine Zahl, durch die eine andere Zahl ganzzahlig geteilt werden kann. Verstehe den Sinn hinter der Vereinfachung einer Quadratwurzel. Lerne ein paar Quadratzahlen auswendig. Finde die Quadratwurzel einer Quadratzahl. Teile Zahlen in Quadratzahlen auf. Eine Zahl faktorisieren, die mehr als eine Quadratzahl enthält.
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Simplifying a Square Root by Factoring Knowing the Terminology Knowing the Perfect Squares