Der Definitionsbereich einer Funktion mit einem Bruch Grundlagen Der Definitionsbereich einer Funktion mit Wurzel Den Definitionsbereich bestimmen mit Hilfe eines Graphen Den Definitionsbereich einer Funktion mit natürlichem Logarithmus bestimmen
Angenommen du hast die Funktion: f(x) = 2x/(x2 - 4) Beim Bestimmen des Definitionsbereiches einer Funktion mit Brüchen musst du alle x-Werte, die den Nenner zu 0 machen, ausschließen, denn die Division durch 0 ist nicht erlaubt. Schreibe den Nenner also als Gleichung und setze sie gleich 0. Hier siehst du wie es geht:  f(x) = 2x/(x2 - 4) x2 - 4 = 0 (x - 2 )(x + 2) = 0 x ≠ (2, - 2) Hier siehst du wie es geht: x = alle reellen Zahlen außer 2 und -2 Der Definitionsbereich ist definiert als die Menge aller Werte die, eingesetzt in die Funktion, einen Wert liefern. Mit anderen Worten ist der Definitionsbereich die gesamte Menge an x-Werten, die in eine Funktion eingesetzt werden können, und einen y-Wert liefern. . Der Funktionstyp bestimmt die beste Methode um den Definitionsbereich zu bestimmen. Hier sind die Grundlagen, die du über verschiedene Funktionstypen wissen musst, die im nächsten Abschnitt besprochen werden:   Eine Polynom-Funktion ohne Wurzeln und Variablen im Nenner. Bei diesem Funktionstyp ist der Definitionsbereich alle reellen Zahlen.  Eine Funktion mit einem Bruch mit einer Variablen im Nenner. Um den Definitionsbereich für diesen Funktionstyp zu finden setze den Nenner gleich 0 und schließe den Wert aus, den du erhältst, wenn du nach der Variablen auflöst.  Eine Funktion mit einer Variablen unter der Wurzel. Um den Definitionsbereich für diesen Funktionstyp zu finden setze den Ausdruck unter der Wurzel > 0 und löse nach der Variablen auf, so dass du die Werte findest, die du einsetzen darfst.  Eine Funktion mit dem natürlichen Logarithmus (ln). Um den Definitionsbereich für diesen Funktionstyp zu finden setze das Argument des Logarithmus > 0 und löse nach der Variablen auf.  Ein Graph. Überprüfe den Graphen um zu sehen welche Werte du für die Variable einsetzen darfst.  Eine Relation. Das ist eine Liste mit x- und y-Koordinaten. Dein Definitionsbereich ist dann einfach eine Liste mit x-Koordinaten. Die richtige Schreibweise ist leicht zu lernen, aber es ist wichtig dass du es richtig hinschreibst um die volle Punktzahl bei Klassenarbeiten und Tests zu erhalten. Hier sind ein paar Dinge, die man wissen sollte über das Aufschreiben eines Definitionsbereich:  Das Format für den Definitionsbereich ist eine linke Klammer, dann Anfangs- und Endpunkt des Definitionsbereiches getrennt durch ein Komma und dann eine rechte Klammer. Zum Beispiel [-1,5). Das bedeutet der Definitionsbereich geht von -1 bis 5.   Benutze eckige Klammern, [ und ], falls die Zahl zum Definitionsbereich gehört. Im Beispiel [-1,5) ist -1 im Definitionsbereich enthalten.   Benutze runde Klammern, ( und ),  falls die Zahl nicht zum Definitionsbereich gehört. Im Beispiel [-1,5) gehört 5 nicht zum Definitionsbereich. Der Definitionsbereich geht beliebig nahe an 5 heran, d.h. 4.999…   Benutze “U” (das heißt "Vereinigung") um Teile des Definitionsbereiches, die durch Lücken getrennt sind, zu verbinden.'  Zum Beispiel [-1,5) U (5,10]. Das heißt dass der Definitionsbereich von -1 bis 10 inklusive geht, aber dass es eine Definitionslücke bei 5 gibt. Das kann vorkommen wenn eine Funktion zum Beispiel “x - 5” im Nenner stehen hat. Du kannst so viele "U"-Symbole wie nötig verwenden, wenn der Definitionsbereich mehrere Lücken hat.    Benutze das "Unendlich"-Zeichen (mit + oder -) um auszudrücken, dass der Definitionsbereich in dieser Richtung unendlich weiter geht. Benutze immer ( ) und nicht [ ], wenn du das Unendlich-Symbol verwendest. Angenommen du hast die Funktion: Y =√(x-7) Du kannst keine Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen, allerdings kannst du die Wurzel aus 0 ziehen. Setze den Ausdruck unter dem Wurzelzeichen größer oder gleich 0. Das gilt nicht nur für Quadratwurzeln, sonder für alle geradzahligen Wurzeln. Aber es gilt nicht für ungeradzahlige Wurzeln, denn negative Zahlen unter ungeradzahligen Wurzeln sind erlaubt. Hier siehst du es: x-7 ≧ 0 Um nach x aufzulösen addiere 7 auf beiden Seien. Damit erhältst du: x ≧ 7 Hier siehst du wie man es schreiben kann: D = [7,∞) Angenommen du hast die Funktion: Y = 1/√( ̅x2 -4). Wenn du den Ausdruck unter der Wurzel in Faktoren zerlegst und gleich 0 setzt, erhältst du x ≠ (2, - 2). Hier siehst du, wie du dann weiter machst:  Überprüfe den Bereich für Zahlen kleiner als -2 (indem du zum Beispiel -3 einsetzt) um zu sehen ob Zahlen kleiner als -2 in den Nenner eingesetzt werden können um eine Zahl größer als 0 zu ergeben. Es geht. (-3)2 - 4 = 5  Überprüfe jetzt den Bereich zwischen -2 und 2. Nimm zum Beispiel 0. 02 - 4 = -4, also weißt du die Zahlen zwischen -2 und 2 gehen nicht.  Versuche jetzt eine Zahl größer als 2, zum Beispiel +3. 32 - 4 = 5, also gehen die Zahlen größer als 2.  Schreibe den Definitionsbereich hin, wenn du fertig bist. Hier siehst du, wie du den Definitionsbereich schreiben kannst: D = (-∞, -2) U (2, ∞)  Das ist leichter gesagt als getan, aber sind ein paar Tipps:  Eine Gerade. Wenn du eine Gerade siehst, die sich ins Unendliche erstreckt, dann sind alle x-Werte erlaubt, also ist der Definitionsbereich alle reellen Zahlen. Eine normale Parabel. Wenn du eine Parabel siehst, die sich nach oben oder unten öffnet, dann ist der Definitionsbereich alle reellen Zahlen. Eine liegende Parabel. Wenn du eine Parabel mit Scheitelpunkt in (4,0) hast, die sich unendlich nach rechts erstreckt, dann ist dein Definitionsbereich D = [4,∞) Schreibe den Definitionsbereich hin auf der Basis des Funktionstypen. Wenn du unsicher bist und die Gleichung der Funktion kennst, setze die ermittelten x-Koordinaten ein um alles zu überprüfen. Angenommen du hast die Funktion: f(x) = ln(x-8) Das Argument des natürlichen Logarithmus muss positiv sein. Setze also den Ausdruck innerhalb der Klammer zu größer 0 um das zu erhalten. Hier siehst du wie es geht: x - 8 > 0 Addiere dazu 8 auf beiden Seiten. Hier siehst du wie es geht:  x - 8 + 8 > 0 + 8 x > 8 Der Definitionsbereich dieser Funktion ist: alle Zahlen größer als 8 bis unendlich. Hier siehst du es: D = (8,∞)
Schreibe die Funktion auf. Bei Brüchen mit einer Variablen im Nenner setze den Nenner gleich 0. Schreibe den Definitionsbereich hin. Wie ist der Definitionsbereich definiert? Wie finde ich den Definitionsbereich für eine Auswahl an Funktionen? Schreibe den Definitionsbereich richtig auf. Schreibe die Funktion auf. Setze den Ausdruck unter dem Wurzelzeichen größer oder gleich 0. Löse nach der Variablen auf. Schreibe den Definitionsbereich hin. Den Definitionsbereich einer Funktion mit Quadratwurzel bestimmen, wenn es Mehrfach-Lösungen gibt. Schau dir den Graphen an. Überprüfe, welche x-Werte enthalten sind. Schreibe den Definitionsbereich hin. Schreibe die Funktion auf. Setze den Ausdruck innerhalb der Klammer zu größer 0. Löse nach x auf. Schreibe den Definitionsbereich hin.
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