Quadrate und Quadratwurzeln Nicht-Quadratzahlen schnell schätzen Algorithmen im Stil der schriftlichen Division
Um Quadratwurzeln zu verstehen, ist es am besten, mit Quadraten zu starten. Quadrate sind einfach —  das Quadrat einer Zahl wird gebildet, indem man sie mit sich selbst multipliziert. Zum Beispiel ist 3 im Quadrat dasselbe wie 3 * 3 = 9 und 9 quadriert ist das gleiche wie 9 * 9 = 81. Quadrate werden durch eine kleine "2" rechts oberhalb der Zahl, die quadriert werden soll, geschrieben — etwa so: 32, 92, 1002 und so weiter. Versuche selbst noch ein paar Zahlen zu quadrieren, um dieses Konzept zu testen. Denke daran, das Quadrieren einer Zahl ist nur die Multiplikation mit sich selbst. Du kannst es sogar mit negativen Zahlen machen. Wenn du dies tust, ist das Ergebnis immer positiv. Zum Beispiel (-8)2 = -8 * -8 = 64. Das Quadratwurzel-Symbol (√) bedeutet im Grunde das "Gegenteil" des 2- Symbols. Wenn du eine Quadratwurzel siehst, solltest du dich fragen "Welche Zahl ergibt mit sich selbst multipliziert die Zahl unter dem Wurzelzeichen?" Wenn du zum Beispiel √9 siehst, müssen wir die Zahl finden, deren Quadrat 9 ist. In diesem Fall ist das Ergebnis drei, denn 32 = 9.  Lass uns als weiteres Beispiel die Quadratwurzel von 25 (√25) berechnen. Das heißt, wir wollen die Zahl finden, deren Quadrat 25 ist. Da 52 = 5 * 5 = 25, können wir sagen, dass √25 = 5. Du kannst es dir auch als "rückgängig machen" des Quadrierens vorstellen. Wenn wir zum Beispiel √64, die Quadratwurzel von 64, finden wollen, stellen wir uns 64 als 82 vor. Da ein Quadratwurzel-Symbol im Grunde ein Quadrat "aufhebt", können wir sagen, dass √64 = √(82) = 8. Bis jetzt waren die Lösungen unserer Quadratwurzel-Aufgaben schöne, runde Zahlen. Dies ist nicht immer der Fall — in der Tat können Quadratwurzel-Aufgaben manchmal Ergebnisse haben, die sehr lange, unbequeme Dezimalzahlen sind. Zahlen, die als Quadratwurzeln ganze Zahlen haben (mit anderen Worten, Zahlen, die keine Brüche sind oder Stellen nach dem Komma haben), werden Quadratzahlen genannt. Alle oben aufgeführten Beispiele (9, 25, und 64) sind Quadratzahlen, denn, wenn wir ihre Wurzeln ziehen, erhalten wir ganze Zahlen (3, 5 und 8). Auf der anderen Seite, Zahlen, die keine ganzen Zahlen ergeben, wenn man ihre Wurzeln zieht, werden nicht Quadratzahlen genannt. Wenn du die Quadratwurzeln dieser Zahlen ziehst, erhältst du einen Bruch oder eine Zahl mit Nachkommastellen. Manchmal können die Nachkommastellen ziemlich chaotisch sein. Zum Beispiel ist √13 = 3,605551275464 ... Wie du vielleicht bemerkt hast, kann das Ziehen der Quadratwurzel von Quadratzahlen sehr einfach sein! Da diese Aufgaben so einfach sind, ist es wert, sich die Wurzeln der ersten Dutzend Quadratzahlen zu merken. Sie werden dir oft begegnen, es rentiert sich also, sie früh zu lernen, denn es kann dir auf lange Sicht viel Zeit sparen. Die ersten 12 Quadratzahlen sind:  12 = 1 * 1 = 1  22 = 2 * 2 = 4  32 = 3 * 3 = 9  42 = 4 * 4 = 16  52 = 5 * 5 = 25  62 = 6 * 6 = 36  72 = 7 * 7 = 49  82 = 8 * 8 = 64  92 = 9 *  9  = 81  102 = 10 * 10 = 100  112 = 11 * 11 = 121  122 = 12 * 12 = 144 Das Finden der Quadratwurzeln von nicht-Quadratzahlen kann manchmal ein bisschen mühsam sein — vor allem, wenn du keinen Taschenrechner benutzt (in den folgenden Abschnitten lernst du Tricks, um es leichter zu machen). Allerdings ist es oft möglich, die Zahlen unter den Quadratwurzeln zu vereinfachen, um leichter mit ihnen rechnen zu können. Um dies zu tun, musst du nur die Zahl unter dem Wurzelzeichen in ihre Teiler zerlegen, dann die Quadratwurzel aus den Teilern ziehen, die Quadratzahlen sind, und das Ergebnis außerhalb des Wurzelzeichens schreiben. Dies ist einfacher als es klingt —  lies weiter, wenn du mehr wissen willst!  Angenommen, wir wollen die Quadratwurzel von 900 berechnen. Auf den ersten Blick sieht es sehr schwierig aus! Allerdings ist es nicht schwer, wenn wir 900 in seine Teiler zerlegen. Teiler sind die Zahlen, die man miteinander multiplizieren kann, um eine weitere Zahl zu erhalten. Da du zum Beispiel 6 erhalten kannst durch die Multiplikationen 1 * 6 und 2 * 3, sind die Teiler von 6 gleich 1, 2, 3 und 6. Statt mit der Zahl 900, die etwas umständlich ist, zu arbeiten, lass uns stattdessen 900 als 9 * 100  schreiben. Da 9, eine Quadratzahl, von 100 getrennt wurde, können wir daraus die Wurzel ziehen. √(9 * 100) = √9 * √100 = 3 * √100. Mit anderen Worten, √900 = 3√100. Wir können es sogar noch weiter vereinfachen, indem wir 100 in die Teiler 25 und 4 zerlegen. √100 = √(25 * 4) = √25 * √4 = 5 * 2 = 10. Wir können also sagen, dass √900 = 3 * 10 = 30. Überlege — Welche Zahl multipliziert mit sich selbst ist gleich -16? Es ist nicht 4 oder -4 — das Quadrieren eines dieser beiden ergibt positive 16. Gibst du auf? In der Tat, es ist nicht möglich, die Quadratwurzel von -16 oder einer anderen negativen Zahl mit gewöhnlichen Zahlen zu schreiben. In diesen Fällen müssen wir imaginäre Zahlen (in der Regel in Form von Buchstaben oder Symbolen) einsetzen für die Quadratwurzel der negativen Zahl. Zum Beispiel wird die Variable "i" in der Regel für die Quadratwurzel von -1 verwendet. Als allgemeine Regel: die Quadratwurzel einer negativen Zahl ist immer eine imaginäre Zahl (oder enthält eine). Beachte, dass, obwohl imaginäre Zahlen nicht mit gewöhnlichen Ziffern dargestellt werden können, können sie trotzdem noch in vieler Hinsicht wie gewöhnliche Zahlen behandelt werden. Zum Beispiel können die Quadratwurzeln aus negativen Zahlen quadriert werden und ergeben diese negative Zahlen, genau wie bei jeder anderen Quadratwurzel. Zum Beispiel ist i2 = -1 Wenn du die Quadratzahlen auswendig kannst, ist das Berechnen von Quadratwurzeln aus nicht-Quadratzahlen viel einfacher. Da du bereits ungefähr ein Dutzend Quadratzahlen auswendig kennst, kann die Wurzel einer beliebigen Zahl, die zwischen zweien dieser Quadratzahlen liegt, durch "Salamitaktik" geschätzt werden. Fange damit an, die zwei Quadratzahlen, zwischen denen deine Zahl liegt, zu bestimmen. Untersuche als nächstes, welche dieser beiden Zahlen näher an der Zahl liegt. Angenommen, wir wollen die Quadratwurzel von 40 schätzen. Da wir unsere Quadratzahlen auswendig können, wissen wir, dass 40 zwischen 62 und 72, oder 36 und 49, liegt. Da 40 größer als 62 ist, ist seine Quadratwurzel größer als 6, und da es kleiner als 72 ist, ist seine Quadratwurzel kleiner als 7. 40 ist ein wenig näher an 36 als an 49, also wird die Lösung wohl ein wenig näher an 6 liegen. In den nächsten Schritten werden wir unsere Lösung eingrenzen. Wenn du die zwei Quadratzahlen gefunden hast, zwischen denen deine Zahl liegt, ist es einfach eine Frage der schrittweisen Verfeinerung der Schätzung, bis du mit der Genauigkeit zufrieden bist — je länger du weiter machst, desto genauer ist die Schätzung. Wähle für den Anfang einen Wert für die "erste Stelle nach dem Komma" für dein Ergebnis — sie muss nicht richtig sein, aber du sparst Zeit, wenn du mit etwas gesundem Menschenverstand einen Wert wählst, der in der Nähe der richtigen Lösung liegt. In unserem Beispiel wäre eine vernünftige Schätzung für die Quadratwurzel von 40 vielleicht 6,4, da wir von oben wissen, dass die Lösung wahrscheinlich ein wenig näher an 6 als an 7 liegt. Quadriere als nächstes deine Schätzung. Wenn du nicht gerade ausgesprochenes Glück hast, erhältst du wahrscheinlich nicht deine ursprüngliche Zahl — du liegst entweder ein wenig höher oder ein wenig niedriger. Wenn dein Ergebnis zu groß ist, versuche es mit einer etwas kleineren Schätzung (und umgekehrt, wenn es zu klein ist).  Multipliziere 6,4 mit sich selbst und erhalte 6,4 * 6,4 = 40,96 , was etwas größer als die ursprüngliche Zahl ist. Als nächstes, da unser Ergebnis etwas zu groß ist, multiplizieren wir die Zahl, die ein Zehntel kleiner als unsere erste Schätzung ist, mit sich selbst und erhalten 6,3 * 6,3 = 39,69. Dies ist etwas kleiner als unsere ursprüngliche Zahl. Dies bedeutet, dass die Quadratwurzel von 40 irgendwo zwischen 6,3 und 6,4 liegt. Zusätzlich wissen wir, da 39,69 näher an 40 liegt als 40,96, dass die Quadratwurzel näher an 6,3 als an 6,4 liegt. Wenn du an diesem Punkt mit dem Ergebnis zufrieden bist, kannst du einfach eine deiner ersten Vermutungen als Schätzung nehmen. Wenn du allerdings ein genaueres Ergebnis willst, musst du nur eine Schätzung für die "Hundertsel-Stelle" wählen, so dass diese Schätzung zwischen den beiden ersten Schätzungen liegt. Wenn du in diesem Sinne weiter machst, kannst du ein Ergebnis bekommen, dass auf drei, vier, etc. Dezimalstellen genau ist — es kommt nur darauf, wie lang du weiter machen willst. Lass uns in unserem Beispiel 6,33 für unsere zwei Nachkommastellen-Schätzung wählen. Multipliziere 6,33 mit sich selbst, und erhalte 6,33 * 6,33 = 40,0689. Da es leicht über unserer ursprünglichen Zahl liegt, versuchen wir es mit einer etwas kleineren Zahl, wie 6,32. 6,32 * 6,32 = 39,9424. Dies ist leicht unter unserer ursprünglichen Zahl, also wissen wir, dass die exakte Quadratwurzel zwischen 6,33 und 6,32 liegt. Wenn wir weiter machen wollten, würden wir mit dem gleichen Ansatz eine immer genauere Schätzung bekommen. Obwohl es ein wenig zeitaufwendig sein kann, ist es möglich, Quadratwurzeln aus schwierigen Nicht-Quadratzahlen zu ziehen, ohne einen Taschenrechner zu verwenden. Um dies zu tun, werden wir eine Lösungsmethode (oder Algorithmus) verwenden, der ähnlich — aber nicht genau gleich —  ist wie eine einfache schriftliche Division.  Beginne damit, deine Wurzel-Aufgabe genauso wie eine schriftliche Divisions-Aufgabe hin zu schreiben. Angenommen, wir wollen die Quadratwurzel von 6,45 berechnen, was definitiv keine bequeme Quadratzahl ist. Zunächst schreiben wir ein gewöhnliches Wurzelzeichen (√), dann schreiben wir unsere Zahl darunter. Als nächstes ziehen wir einen Strich über unserer Zahl, so dass sie in einem kleinen "Kästchen" steht — wie bei der schriftlichen Division. Wenn wir fertig sind, sollten wir ein langes "√"-Symbol mit 6,45 darunter haben. Wir werden Zahlen über unsere Aufgabe schreiben, lass also genug Platz. Um mit der Lösung der Aufgabe zu beginnen, gruppieren wir die Ziffern der Zahl unter dem Wurzelzeichen in Paare, beginnend beim Komma. Du kannst kleine Markierungen (wie Punkte, Schrägstriche, Kommata, etc.) zwischen den Paaren machen, um den Überblick zu behalten. In unserem Beispiel würden wir 6,45 in Paare wie folgt unterteilen: 6-,45-00. Beachte, dass links eine Ziffer "übrig bleibt" — das ist in Ordnung. Beginne mit der ersten Zahl oder dem ersten Paar auf der linken Seite. Suche die größte Zahl, deren Quadrat kleiner oder gleich der ersten "Gruppe" ist. Wenn zum Beispiel die Gruppe 37 ist, würden wir 6 nehmen, denn 62 = 36 < 37, aber 72 = 49 > 37. Notiere diese Zahl über der ersten Gruppe. Dies ist die erste Ziffer des Ergebnisses. In unserem Beispiel ist die erste Gruppe in 6-0,45-00 gleich 6. Die größte Zahl, die kleiner oder gleich 6 ist, wenn sie quadriert wird,  ist 2 — 22 = 4. Schreibe eine "2" über die 6 unter der Wurzel. Nimm die erste Ziffer des Ergebnisses (die Zahl, die du gerade gefunden hast) und verdopple sie. Schreibe sie unter die erste Gruppe und subtrahiere sie, um die Differenz zu erhalten. Schreibe das nächste Ziffernpaar neben das Ergebnis. Schreibe schließlich die letzte Ziffer des Doppelten der ersten Ziffer deines Ergebnisses auf die linken Seite und lass Platz daneben. In unserem Beispiel würden wir zuerst das Doppelte von 2 nehmen, der ersten Ziffer unseres Ergebnisses. 2 * 2 = 4. Als nächstes würden wir 4 von 6 (unserer ersten "Gruppe") subtrahieren und 2 als Ergebnis erhalten. Als nächstes würden wir die nächste Gruppe (45) nach unten schreiben und 245 erhalten. Schließlich würden wir 4 nochmals nach links schreiben, und etwas Platz am Ende lassen: 4_. Als nächstes wollen wir eine Ziffer rechts von der Zahl, die wir nach links geschrieben habe, hinzufügen. Wähle die Ziffer, die mit deiner neuen Zahl multipliziert so groß wie möglich ist, aber immer noch kleiner oder gleich der "herunter geschriebenen" Zahl. Wenn zum Beispiel deine "herunter geschriebene" Zahl 1700 ist und deine Zahl links ist 40_, dann würden wir "4" an die leere Stelle schreiben, weil 404 * 4 = 1616 <1700, während 405 * 5 = 2025. Die Zahl, die wir in diesem Schritt erhalten, ist die zweite Ziffer des Ergebnisses, wir können sie also über das Wurzelzeichen schreiben. In unserem Beispiel wollen wir die Zahl finden, die wir in die Leerstelle in 4_ * _ schreiben können, und die das Ergebnis so groß wie möglich, aber immer noch kleiner oder gleich 245 macht. In diesem Fall ist das Ergebnis 5. 45 * 5 = 225, während 46 * 6 = 276. Mache weiter mit dieser modifizierten schriftlichen Division, bis du Nullen bekommst, wenn du von deinen "herunter geschriebenen" Zahlen subtrahierst, oder du deine gewünschte Genauigkeit erreicht hast. Wenn du fertig bist, dann bilden die Zahlen, die du verwendet hast, um die Leerstellen bei jedem Schritt auszufüllen (plus der ersten Zahl, die du verwendet hast), die Ziffern in deinem Ergebnis. Um mit unserem Beispiel fortzufahren, würden wir 225 von 245 subtrahieren und 20 erhalten. Als nächstes würden wir das nächste Ziffernpaar, 00, nach unten schreiben und 2000 erhalten. Wenn wir die Zahlen über dem Wurzelzeichen verdoppeln, bekommen wir 25 * 2 = 50. Für die Leerstelle in 50_ * _ = / < 2000 erhalten wir 3. An dieser Stelle haben wir "253" über dem Wurzelzeichen — wenn wir diesen Prozess noch einmal wiederholen, erhalten wir eine 9 als unsere nächste Ziffer. Um das richtige Ergebnis zu erhalten, müssen wir noch das Komma an die richtige Stelle setzen. Glücklicherweise ist dies einfach — alles, was du tun musst, ist, es mit dem Komma in deiner ursprünglichen Zahl auszurichten. Wenn zum Beispiel die Zahl unter dem Wurzelzeichen 49,8 ist, kannst du einfach das Komma zwischen die beiden Zahlen oberhalb der 9 und der 8 setzen. In unserem Beispiel ist die Zahl unter dem Wurzelzeichen 6,45, also würden wir einfach das Komma nach oben verschieben und es zwischen die Ziffern 2 und 5 schreiben und 2,539 erhalten.
Quadriere eine Zahl, indem du sie mit sich selbst multiplizierst. Bei Quadratwurzeln wollen wir die "Umkehrung" des Quadrierens berechnen. Quadratzahlen. Lerne die ersten 10 bis 12 Quadratzahlen auswendig. Vereinfache Quadratwurzeln durch Herausziehen der Quadratzahlen, wenn möglich. Verwende imaginäre Zahlen für die Quadratwurzeln negativer Zahlen. Schätze die Wurzeln von Nicht-Quadratzahlen. Schätze die Quadratwurzel auf eine Dezimalstelle genau. Multipliziere deine Schätzung mit sich selbst. Fahre fort mit der Verfeinerung, je nach deinen Bedürfnissen. Schreibe deine Wurzel-Aufgabe wie eine schriftliche Divisions-Aufgabe. Gruppiere Ziffern in Paaren. Suche die größte Zahl, deren Quadrat kleiner oder gleich der ersten "Gruppe" ist. Verdopple die Zahl, die du gerade hin geschrieben hast, dann schreibe sie nach unten und subtrahiere sie. Fülle den leeren Platz. Mache weiter mit deinen "Leerstellen"-Zahlen als Ergebnis. Schreibe das Komma von unserem ursprünglichen "Dividenden" nach oben.
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Understanding Squares and Square Roots Quickly Estimating Imperfect Squares Using Long Division-Style Algorithms