Une réduction qui montre que l'ignorance , elle aussi , a reculé . La théorie de Galois consiste à analyser comment s'opèrent de telles réductions . Le point clé ( et trop subtil pour être décrit plus précisément ) consiste à faire le lien avec l'utilisation de radicaux dans la formulation des solutions . Pour l'essentiel , il suffit de savoir que le recours à un radical ( racine carrée , cubique , quintique , etc . ) permet de réduire le groupe d'un facteur égal au degré de la racine ( 2 pour la racine carrée , 3 , pour la cubique ) . Pour illustrer cette remarque un peu déroutante , poursuivons la résolution de notre équation , où il s'agit encore de trouver x2 et x3 , solutions de x2-2 =0 . La réponse est connue : x =√2 et x =-√2 . L'usage de cette racine carrée permet donc maintenant d'écrire des formules qui différencient les deux dernières boîtes ( voir dessin 5 ) . Le groupe se réduit donc à sa plus simple expression : il n'a plus qu'un élément ( celui qui laisse chaque boîte à sa place ) . Ce qui est le signe que le travail de résolution est terminé , qu'il n'y a plus d'ambiguïté entre les boîtes , et que chacune est bien identifiée . Cet exemple permet aussi de constater que l'adjonction d'une racine carrée a bien réduit le groupe de moitié ( il n'a plus qu'un élément au lieu de deux ) . Cet exemple ne permet cependant pas de comprendre toute la puissance de la théorie de Galois , qui ne se déploie que sur les équations générales . Regardons l'équation générale du second degré par exemple : le groupe associé ne contient que deux éléments ( la substitution entre x et x , ainsi que l'identité ) , ce qui suffit pour affirmer qu'une certaine racine carrée permettra toujours de le réduire convenablement . Un raisonnement lapidaire qui ne donne pas les formules exactes des solutions , mais suffit à démontrer leur existence . Regardons maintenant l'équation du troisième degré : le groupe contient 6 éléments ( les mêmes que ceux décrits plus haut ) et peut être convenablement réduit d'un facteur 3 puis 2 par adjonction d'une racine cubique puis d'une racine carrée .