Additionner deux nombres entiers revient à mettre bout à bout deux segments dont les longueurs sont données par ces nombres . Les multiplier donne l'aire d'un parallélépipède et prendre des racines carrées ou cubiques de nombres fait apparaître d'autres nombres que les nombres entiers , les nombres irrationnels , que l'on peut relier à des diagonales de carrés et de cubes . Plus tard , avec Descartes , on va associer des ensembles de nombres à des points de l'espace et calculer les valeurs de fonctions dépendant de ces nombres en ces points . On finira par la suite au XXe siècle par considérer que ces fonctions sont elles-mêmes des sortes de nombres que l'on peut additionner , multiplier comme les nombres réels et que ces algèbres de fonctions codent aussi des phénomènes géométriques . En 1943 , le grand mathématicien va notamment découvrir avec son collègue Mark Naimark un remarquable théorème à ce sujet . Il montre que l'on peut reconstruire certains objets géométriques et leurs propriétés ( en l'occurrence des espaces topologiques ) à partir d'algèbres de fonctions continues sur ces objets . Mais ces algèbres sont commutatives . C'est-à-dire que la multiplication de deux fonctions ne dépend pas de l'ordre dans lequel on les prend , tout comme 2 multiplié par 3 est égal à 3 multiplié par 2 . Une question naturelle qui se pose alors est : quel est l'objet que l'on peut reconstruire si on part d'une algèbre non commutative , par exemple une algèbre de matrices ? Cet objet s'appelle une géométrie non commutative . Cet objet ne peut pas être un espace au sens usuel , sinon l'algèbre qui lui est associée serait commutative . On découvre ainsi un nouveau type d'objet géométrique . Ce qui rend la théorie un peu désarçonnante au premier abord , c'est que le point de vue est l'inverse du point de vue classique : dans la géométrie apprise à l'école , on se donne un ensemble de points , et dans un deuxième temps on étudie les fonctions sur cet espace . En géométrie non commutative , on se donne d'abord les fonctions et on reconstruit l'espace ensuite .