poetry: Слова "начало" и "конец" однокоренные, у них общий индоевропейский корень *kon-: 
  *konь -- "начало" (старослав. поконь, наконь), 
  *konьcь "маленькое начало, конец". 
  Проследить родство существительных "начало" и "конец" можно и более простым способом - сравнить однокоренные "начало-начинать-почин", мы видим, что общей частью (корнем) в этой цепочке является сочетание "-ча-", чередующееся с "-чин-". Чередование (А или Я/ИН или ИМ) является для русского языка регулярным. Остается лишь доказать, что корни "-чин-" и "-кон-" по сути одно и то же. Чередование К/Ч является для нашего языка так же регулярным (пеку-печешь, река-речка и т.п.); чередование гласных переднего (И) и непереднего ряда (О) менее заметно непрофессиональному взгляду, однако на него указывает сопоставление таких, например, явно однокоренных слов, как "число" и "счет".
prose: Осталось доказать, что корни "-китай" и "-китай", по сути, одинаковы. Перемены K / ch столь же регулярны для нашего языка (пеку-пече, рек-рек и т.д.); перемена гласов передней (I) и задней (O) менее заметна непрофессиональному газу, но на это указывает сравнение таких, например, отчетливо моносиллабических слов, как "число" и "конец".