Elaborate on the proof by contradiction technique and apply it to demonstrate that the square root of 2 is an irrational number.
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Elabore sobre la técnica de demostración por contradicción y aplíquela para demostrar que la raíz cuadrada de 2 es un número irracional.
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Elabore sobre la técnica de prueba por contradicción y aplíquela para demostrar que la raíz cuadrada de 2 es un número irracional.

La técnica de prueba por contradicción, también llamada reductio ad absurdum, es un método matemático que asume que la afirmación que queremos probar es falsa. Luego trabajamos con eso y llegamos a una contradicción, la cual demuestra que nuestra suposición inicial (que la afirmación es falsa) debe estar equivocada. Por lo tanto, la afirmación debe ser verdadera.

Para demostrar que la raíz cuadrada de 2 es un número irracional utilizando la prueba por contradicción, primero asumimos que la raíz cuadrada de 2 es un número racional, es decir, que puede expresarse como la fracción de dos números enteros en su forma más reducida (donde a y b son primos entre sí).

Eso significa que √2 = a / b implica que 2 = a² / b², y a continuación a² = 2b².

Pero aquí llegamos a una contradicción, porque a² es un número par (ya que es divisible por 2) entonces a debe ser par también. Si a es par, significa que a puede ser escrito como 2k, por lo tanto 2b² = (2k)² = 4k².

De esto se deduce que b² = 2k² y luego b también debe ser par. Entonces, llegamos a la contradicción: a y b no pueden ser ambos pares si son primos entre sí, por lo que nuestra suposición inicial de que √2 es racional debe ser falsa.

Por tanto, la raíz cuadrada de 2 debe ser un número irracional.
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