Derive the relationship between the coefficients and the roots of the cubic equation \( x^3 + px^2 + qx + r = 0 \).
7a0edea3-6cb5-44c9-8ecf-fdf7935cf064
Ipakita ang relasyon sa pagitan ng mga coefficients at roots ng cubic equation na (x^3 + px^2 + qx + r = 0 ).
submitted
Maipapakita ang relasyon sa pagitan ng mga coefficient at mga ugat ng cubic equation \( x^3 + px^2 + qx + r = 0 \) bilang:

Kunin ang cubic equation na \( x^3 + px^2 + qx + r = 0 \) at ipalagay na ang mga ugat nito ay α, β, at γ.

Ang sum ng mga ugat (α, β, γ) ay katumbas sa negatibong ratio ng coefficient ng \(x^2\) sa coefficient ng \(x^3\), kung saan \( α + β + γ = -p \).

Ang sum ng produkto ng mga ugat, kinuha dalawa sa isang oras (αβ, αγ, βγ), ay katumbas sa ratio ng coefficient ng \(x\) sa coefficient ng \(x^3\), kung saan \( αβ + αγ + βγ = q \).

Ang produkto ng lahat ng mga ugat (α, β, γ) ay katumbas sa ratio ng constant term sa coefficient ng \(x^3\), kung saan \( αβγ = -r \), ngunit tandaan na magiging negatibo ito kung \(x^3\) ay may coefficient na magkaiba sa -1.
{"evolved_from": null, "kind": "synthetic", "source": "argilla/distilabel-reasoning-prompts"}