Q:

Continuar loop caso entrada seja 'S'

Tentei fazer um loop, que enquanto a entrada for 'S' ele volta e solicita de novo (é só pra eu aprender), caso a entrada for 'N' ele sai do loop, mas está em loop infinito.
continuar = input("Deseja continuar? ")

while continuar == 's':
    print("Você está continuando")
else:
    print("Você saiu")

Eu tentei utilizar o break porém ele interrompe o loop e para o programa.
Tentei utilizar também: continuar += continuar, mas acho que isso só funciona com números pelos testes que eu fiz.

A:

Provavelmente quer que pergunte dentro do laço também, assim e está aceitando só entrando com minúscula, se quer maiúscula (conforme comentário) tem que fazer:
continuar = input("Deseja continuar? ")
while continuar == 'S':
    print("Você está continuando")
    continuar = input("Deseja continuar? ")
else:
    print("Você saiu")

Veja funcionando no ideone. E no repl.it. Também coloquei no GitHub para referência futura.
Sem perguntar internamente a variável nunca mudará de valor no laço então não tem como sair, pedindo internamente uma hora é digitado um valor que deve sair e aí encerra.
Em geral não bem assim que deveria fazer, algo assim parece mais com algo real até porque não tem repetição de código, inclusive o ideia é aceitar qualquer caixa:
while True:
    continuar = input("Deseja continuar? ")
    if continuar != 'S' and continuar != 's':
        break
print("Encerrou")

Veja funcionando no ideone. E no repl.it. Também coloquei no GitHub para referência futura.

A:

O loop infinito está acontecendo por conta de você não alterar ou solicitar um novo valor para a variável continuar, com isso uma vez que o valor seja 's' ele nunca será alterado e o loop torna-se infinito.
Você pode corrigir isso de forma simples, colocando o input dentro do loop, solicitando assim uma nova entrada de dados, dando ao usuário de sair do loop.
Dá uma olhada nesse exemplo:
continuar = input("Deseja continuar? ")

while continuar == 's':
    print("Você está continuando")
    continuar = input("Deseja continuar? ")
else:
    print("Você saiu")

Aqui o exemplo executável na web: https://repl.it/repls/NoteworthySupportiveConsulting

