Q:

Como aplicar funções recursivas?

Criar um programa em  c# que permita mediante o uso de função recursiva, determinar a quantidade de vezes que aparece a letra B em uma palavra inserida pelo usuário.

A:

Basicamente uma função recursiva é aquele que invoca assim mesma até que uma determinada condição satisfaça, no caso da sua pergunta parece que o exercício é varrer letra a letra até o seu fim, então um código abaixo para exemplificar como passar a ler letra a letra e retornar esse novo texto para que seja verificado novamente, até não ter mais texto, exemplo:
using System;

public class Program
{
    static int Count(string word, string letter)
    {   
        if (word.Length > 0){           
            if (letter == word.Substring(0,1))
            {
                return 1 + Count(word.Substring(1), letter);
            }
            else 
            { 
                return Count(word.Substring(1), letter);
            }
        }
        return 0;
    }
    public static void Main()
    {
        string palavra = "bcb0ç";
        System.Console.WriteLine(Count(palavra, "b"));
    }
}

Um outro código sugere um melhor desempenho utilizando indexOf, onde a ocorrência for maior que -1 o valor foi encontrado e pula para o próxima pesquisa se tem mais algum índice maior que -1 e assim por diante limitando a pesquisa na busca somente do valor procurado:
using System;

public class Program
{
    static int Count(string word, string letter)
    {   
        if (word.Length > 0){           
            int index = word.IndexOf(letter);
            if (index > -1) 
            {
                return 1 + Count(word.Substring(index + 1), letter);
            }           
        }
        return 0;
    }
    public static void Main()
    {
        string palavra = "bcc0b00bb";
        System.Console.WriteLine(Count(palavra, "b"));
    }
}

