
French: 
Pour comprendre le concept de singularité dans un espace courbe, nous devons d'abord comprendre la courbure intrinsèque.
Considérant que la courbure "extrinsèque" traite de l'aspect de cet objet pour nous,
La courbure "intrinsèque" traite de la manière dont cet objet se présenterait pour des êtres bidimensionnels vivant à sa surface.
Supposons qu'il leur soit interdit d'aller au sommet du cône.
Pour les êtres bidimensionnels qui vivent sur cette surface,
cet espace est plat tant qu'ils ne font pas le tour du sommet.
Dans un espace plat, si nous déplaçons un vecteur puis le remettons à sa position de départ,
il pointera encore dans sa direction d'origine, peu importe le trajet emprunté tant qu'il ne passe pas autour du sommet.
Si les êtres bidimensionnels veulent déterminer que leur espace n'est pas plat,

English: 
To understand the concept of a singularity in curved space, we need to first understand intrinsic curvature.
Whereas "extrinsic" curvature deals with how this object looks to us,
"Intrinsic" curvature deals with how this object would look to two dimensional beings living on its surface.
Suppose they are forbidden from going to the tip of the cone.
As far as the two dimensional beings living on this surface can tell,
this space is flat so long they don’t go all the way around the tip.
In flat space, if we move a vector around and then return it to its starting position,
the vector will always still be pointing in its original direction.
If the two dimensional beings want to determine that their space is not flat,

Turkish: 
Kavisli uzayda tekillik kavramını anlamak için önce içsel eğriliği anlamamız gerekir.
"Dışsal" eğrilik bu nesnenin bize nasıl göründüğü ile ilgilenirken,
"İçsel" eğrilik, bu nesnenin yüzeyinde yaşayan iki boyutlu varlıklara nasıl bakacağını ele alır.
Diyelim ki koninin ucuna gitmeleri yasak.
Bu yüzeyde yaşayan iki boyutlu varlıkların söyleyebildikleri kadarıyla,
bu alan o kadar uzun ki, uç boyunca her yere gitmiyorlar.
Düz alanda, bir vektörü hareket ettirip başlangıç ​​konumuna döndürürsek,
vektör her zaman orijinal yönünü göstermeye devam edecektir.
İki boyutlu varlıklar alanlarının düz olmadığını belirlemek istiyorsa,

Chinese: 
要了解弯曲空间中奇点的概念，我们首先需要了解内在曲率。
而“外在”弯曲处理的是该物体在我们看来的样子，
“本征”曲率处理的是该物体对生活在其表面上的二维生物的外观。
假设禁止它们进入圆锥体的尖端。
据生活在这个表面上的二维生物所能分辨的，
这个空间是平坦的，只要它们不会一直围绕尖端。
在平坦的空间中，如果我们移动矢量然后将其返回到起始位置，
向量将始终始终指向其原始方向。
如果二维生物想要确定其空间不是平坦的，

German: 
Um das Konzept einer Singularität im gekrümmten Raum verstehen zu können, müssen wir zuerst die intrinsische Krümmung verstehen.
Während extrisische Krümmung das Objekt so beschreibt, wie wir es hier (in drei Dimensionen) sehen,...
beschreibt die intrinsische Krümmung das Objekt aus Sicht von zweidimensionalen Wesen, welche auf der Oberfläche leben.
Sagen wir, diesen Wesen sei es verboten, zur Spitze des Kegels zu gehen.
Soweit es die Erfahrung der zweidimensionalen Wesen betrifft,...
ist dieser Raum flach, solang wie man nicht an die Spitze des Kegels geht.
Wenn man im flachen Raum einen Vektor entlang einer beliebigen Kurve im Raum und zurück zur Ausgangsposition führt,...
wird dieser Vektor am Ende stets in dieselbe Richtung wie am Anfang zeigen.
Wenn also die zweidimensionalen Wesen messen wollen, dass ihr Raum nicht flach ist,...

Spanish: 
Para comprender el concepto de singularidad en el espacio curvo, primero debemos comprender la curvatura intrínseca.
Mientras que la curvatura "extrínseca" trata de cómo nos ve este objeto,
La curvatura "intrínseca" trata de cómo se vería este objeto para los seres bidimensionales que viven en su superficie.
Supongamos que tienen prohibido ir a la punta del cono.
Por lo que los seres bidimensionales que viven en esta superficie pueden decir,
este espacio es plano durante tanto tiempo que no rodean la punta.
En el espacio plano, si movemos un vector y luego lo devolvemos a su posición inicial,
el vector siempre estará apuntando en su dirección original.
Si los seres bidimensionales quieren determinar que su espacio no es plano,

Korean: 
굽은 공간의 특이점(singularity) 개념을 이해하려면, 우선 내재 곡률(intrinsic curvature)을 이해해야 한다.
비교 하자면, 외재 곡률( "extrinsic" curvature)은 이 물체가 우리에게 어떻게 보이느냐에 관한 것이다.
반면에, 내재 곡률("Intrinsic" curvature)은 이 물체의 표면에 사는 2차원 존재에게 이 물체가 어떻게 보이느냐에 관한 것이고.
그 2차원 존재는 원뿔의 꼭지점에 가는게 금지되어 있다고 하자.
이 물체 표면에 사는 2차원 존재가 알 수 있는 한도 내에서는,
꼭지점 주위를 한바퀴 뺑 돌기 전까지는, 이 공간은 평편하다고 생각할 것이다.
평편한 공간에서, 하나의 벡터를 움직여서 여기 저기 돌아다니다가 출발 지점으로 되돌아 온다면,
그 벡터는 언제나 최초의 방향을 그대로 가리키고 있게 된다.
만약 2차원 존재가 자기가 사는 곳이 평편하지 않은지 판정해 보고 싶다면,

Portuguese: 
Para entender o conceito de singularidade em um espaço curvo, precisamos primeiro entender o conceito de curvatura intrínseca.
Enquanto curvatura "extrínseca" nos mostra como esse objeto aparenta para nós,
"Intrínseca" nos mostra como esse objeto aparentaria para seres bidimensionais que vivem na própria superfície.
Suponha que eles sejam proibidos de irem a ponta do cone.
De acordo com os seres bidimensionais que vivem na superfície,
esse espaço é plano até aos arredores da ponta do cone.
Em um espaço plano, se movermos um vetor circularmente e o retornarmos para sua posição inicial,
o vetor estará sempre apontando para a sua direção original.
Se os seres bidimensionais querem determinar se o espaço não é plano,

Russian: 
Чтобы понять концепцию особенности в искривленном пространстве, нам нужно сначала понять внутреннюю кривизну.
Принимая во внимание, что «внешняя» кривизна имеет дело с тем, как этот объект выглядит для нас,
«Внутренняя» кривизна имеет дело с тем, как этот объект будет выглядеть для двухмерных существ, живущих на его поверхности.
Предположим, что им запрещено ходить на вершину конуса.
Насколько могут судить двумерные существа, живущие на этой поверхности,
это пространство плоское, пока они не проходят вершину конуса.
В плоском пространстве, если мы переместим вектор, а затем вернем его в исходное положение,
вектор всегда будет указывать в своем первоначальном направлении.
Если двумерные существа хотят определить, что их пространство не плоское,

Japanese: 
曲がった空間における特異点の概念を 理解するには、最初に内的曲率を理解する必要があります。
「外的」曲率は、物体がどう見えるかに関わり、
「内的」曲率は、物体が、その表面に住んでいる 2次元の存在にどのように見えるかに関わります。
円錐の先端には行けないとします。
この表面に住んでいる二次元の存在が知る限り、
空間は平らなので、先端を一周することはないです。
平坦な空間では、ベクトルを移動してから開始位置に戻すと、
ベクトルは常に元の向きを指しています。
2次元の存在が、空間が平坦でないとわかるには、

Indonesian: 
Untuk memahami konsep singularitas di ruang melengkung, pertama kali kita harus memahami kelengkungan intrinsik.
Bila kelengkungan "ekstrinsik" adalah mengenai bagaimana objek terlihat oleh kita,
Kelengkungan "intrinsik" adalah mengenai bagaimana objek ini terlihat oleh makhluk dua dimensi yang tinggal di permukaannya.
Bayangkan mereka tidak bisa melihat ujung kerucut tersebut.
Apa yang makhluk dua dimensi tersebut bisa ceritakan,
ruang ini datar selama dia tidak berkeliling di sekitar ujung kerucut.
Pada ruang datar, jika kita memindahkan vektor di sekeliling lalu kembali ke posisi semula,
vektor itu akan selalu mengarah ke arah yang sama.
Jika makhluk dua dimensi ingin tahu ruang tersebut tidak datar,

Spanish: 
pueden hacer esto yendo alrededor de la punta del cono y regresando a donde comenzaron.
Esto se debe a que su vector ya no está apuntando en su dirección original.
En general, la regla para mover un vector a lo largo de una superficie curva es la siguiente.
Cada vez que un vector se mueve en una pequeña cantidad, el vector gira a lo largo de la línea perpendicular a la superficie plana tangente a su nueva ubicación.
Si los seres bidimensionales recorren la punta del cono en la dirección "en sentido contrario a las agujas del reloj", su vector se gira "en sentido contrario a las agujas del reloj".
Si van alrededor de la punta en la dirección "en el sentido de las agujas del reloj", su vector gira "en el sentido de las agujas del reloj".
Debido a que el vector gira en la misma dirección en la que viaja, decimos que el área tiene una curvatura intrínseca positiva.

English: 
they can do this by going all the way around the tip of the cone and returning to where they started.
This is because their vector is now no longer pointing in its original direction.
In general, the rule for moving a vector along a curved surface is the following.
Each time a vector is moved by a tiny amount, the vector is rotated along the line perpendicular to the flat surface tangent to its new location.
If the two dimensional beings go all the way around the tip of the cone in the "counterclockwise" direction, their vector is rotated "counterclockwise."
If they go all the way around the tip in the "clockwise" direction, their vector is rotated "clockwise."
Because the vector rotates in the same direction in which they travel, we say that the area has a positive intrinsic curvature.

Japanese: 
円錐の先端を一周し、開始位置に戻ることです。
理由は、こうするともはやベクトルが元の向きを指さないからです。
一般に、曲面に沿ってベクトルを移動するためのルールは次のとおりです。
ベクトルがわずかに移動するたびに、新しい位置の平面の接線に垂直な線に沿って回転させます。
2次元の存在が円錐の先端を「反時計回り」に一周すると、ベクトルは「反時計回り」に回転します。
「時計回り」に先端を一周すると、ベクトルは「時計回り」に回転します。
ベクトルが周る向きと同じ向きに回転するので、領域は正の内的曲率を持っていると言います。

Indonesian: 
Mereka bisa melakukannya dengan berkeliling di kerucut itu dan kembali ke posisi semula.
Ini karena vektor tersebut tidak lagi mengarah ke arah yang sama
Umumnya, aturan untuk memindahkan vektor sepanjang permukaan melengkung yaitu,
Setiap kali vektor sedikit berpindah, vektor itu berotasi sepanjang garis yang tegak lurus ke permukaan datar tegak lurus pada lokasi baru tersebut.
Jika makhluk dua dimensi berkeliling di sekitar ujung kerucut berlawana jarum jam, vektor itu berotasi "berlawanan jarum jam".
Dan sebaliknya.
Karena vektor tersebut berotasi ke arah yang sama seperti arah kelilingnya, kita mengatakan area tersebut kelengkungannya positif.

Portuguese: 
eles podem dar a volta no cone e retornarem para a posição de onde começaram.
Isso ocorre pois os vetores não estão mais apontando para a direção inicial de onde começaram.
No geral, a regra para mover um vetor ao longo de uma superfície curvada é a seguinte.
Cada vez que um vetor é minimamente movido, ele é rotacionado ao longo da linha perpendicular à superfície tangente da sua nova localização.
Se os seres bidimensionais derem a volta na ponta do cone no sentido anti-horário, seus vetores são rotacionados no sentido anti-horário.
Se eles derem a volta na ponta do cone na direção horária, seus vetores são rotacionados na direção horária.
Devido o vetor rotacionar na mesma direção em que caminha, dizemos que a área tem curvatura intrínseca positiva.

Korean: 
원뿔의 꼭지점을 한바퀴 뺑 돌아서 제자리로 돌아와 보면, 그런지 아닌지  판정할 수 있게 된다.
이 경우 벡터는 더 이상 최초의 방향을 가리키고 있지 않을 것이기 때문이다.
일반적으로, 굽은 공간을 따라 벡터를 움직여 볼 때의 규칙은 다음과 같다.
벡터가 매우 적은 정도로 움직일 때마다, 벡터는 새로운 위치에서의 접평면에 대해 수직인 선을 따라서 살짝 (아래로)  회전하게 된다.
2차원 존재가 벡터를 가지고 꼭지점 주위를 한바퀴 뺑 돌 때, "반시계방향(CCW)"으로 돌았더니 벡터도 "반시계방향(CCW)"으로 회전된 결과를 얻었다면,
또는,  "시계방향(CW)"으로 돌았더니 벡터도 "시계방향(CW)"으로 회전된 결과를 얻었다면,
이 지역은 양의 내재 곡률을 갖는다고 한다. 벡터가 (여행 방향과) 같은 방향으로 회전되었기 때문에 그렇게 부른다.

Russian: 
они могут сделать это, обойдя вершину конуса и вернувшись туда, откуда начали.
Это потому, что их вектор больше не указывает в своем первоначальном направлении.
В общем случае правило перемещения вектора по криволинейной поверхности следующее.
Каждый раз, когда вектор перемещается на крошечную величину, вектор поворачивается вдоль линии, перпендикулярной плоской поверхности, касающейся его нового местоположения.
Если двумерные существа идут вокруг конуса конуса в направлении «против часовой стрелки», их вектор поворачивается «против часовой стрелки».
Если они идут вокруг наконечника в направлении «по часовой стрелке», их вектор поворачивается «по часовой стрелке».
Поскольку вектор вращается в том же направлении, в котором он движется, мы говорим, что область имеет положительную внутреннюю кривизну.

French: 
ils peuvent le faire en contournant le sommet du cône et en retournant à leur point de départ.
En effet, leur vecteur ne pointe alors plus dans sa direction d'origine.
En général, la règle pour déplacer un vecteur le long d’une surface courbe est la suivante :
Chaque fois qu'un vecteur est déplacé d'une petite quantité, il est pivoté de sorte à être tangent à la surface.
Si les êtres bidimensionnels font tout le tour du sommet du cône dans le sens "antihoraire", leur vecteur est tourné dans le sens antihoraire.
S'ils font tout le tour de la pointe dans le sens "horaire", leur vecteur est tourné "dans le sens horaire".
Comme le vecteur tourne dans la même direction que celle dans laquelle ils se déplacent, on dit que la zone présente une courbure intrinsèque positive.

German: 
so können sie dies tun, indem sie einmal die Kegelspitze umrunden und zum Ausgangsort zurückkehren.
Das liegt daran, dass ihr Vektor hier am Ende nicht mehr in dieselbe Richtung wie am Anfang zeigt.
Im Allgemeinen gestaltet sich das Verfahren der Verschiebung eines Vektors auf einer gekrümmten Oberfläche folgendermaßen:
Nach jedem Verschieben des Vektors um ein kleines Stück wird er um die Achse, senkrecht zur neuen Oberfläche, gekürzt, bis er wieder in der Ebene liegt.
Wenn die zweidimensionalen Wesen den Kegel gegen den Uhrzeigersinn umkreisen, so dreht sich ihr Vektor auch gegen den Uhrzeigersinn.
Wenn sie den Kegel im Uhrzeigersinn umkreisen, so dreht sich ihr Vektor auch im Uhrzeigersinn.
Wenn der Vektor in dieselbe Richtung wie die Umlaufrichtung gedreht wird, spricht man von positiver intrinsischer Krümmung.

Chinese: 
他们可以通过绕着圆锥体的顶端一直走到返回起点的方式来做到这一点。
这是因为它们的向量现在不再指向其原始方向。
通常，沿着曲面移动矢量的规则如下。
每次向量移动极小量时，向量都会沿着垂直于与新位置相切的平面的直线旋转。
如果二维生物沿“逆时针”方向一直围绕圆锥体的顶端，则它们的向量将“逆时针”旋转。
如果它们沿“顺时针”方向一直围绕尖端，则其矢量将“顺时针”旋转。
因为矢量沿着它们行进的相同方向旋转，所以我们说该区域具有正的固有曲率。

Turkish: 
bunu koninin ucuna kadar gidip başladığı yere geri dönerek yapabilirler.
Çünkü vektörleri artık orijinal yönünü göstermiyor.
Genel olarak, bir vektörü kavisli bir yüzey boyunca hareket ettirme kuralı aşağıdaki gibidir.
Bir vektör küçük bir miktarda hareket ettirildiğinde, vektör yeni konumuna teğet olan düz yüzeye dik çizgi boyunca döndürülür.
İki boyutlu varlıklar koninin ucu boyunca "saat yönünün tersine" yönde giderse, vektörleri "saat yönünün tersine" döndürülür.
"Saat yönünde" yönde ucun sonuna kadar giderse, vektörleri "saat yönünde" döndürülür.
Vektör, seyahat ettikleri yönde döndüğü için, bölgenin pozitif bir içsel eğriliğe sahip olduğunu söylüyoruz.

German: 
Der Winkel, um den der Vektor gedreht wird, ist identisch gleich dem Winkel des fehlenden Kreisausschnitts dieses Kreises.
Betrachten wir ein neues Beispiel.
In diesem neuen Beispiel fügen wir dem Kreis noch einen weiteren Kreisausschnitt hinzu.
Der Winkel dieses hinzugefügten Kreisausschnitts ist exakt gleich dem Winkel, um den der Vektor bei Umkreisen der Mitte gedreht wird.
Dieses Mal dreht sich der Vektor entgegen der Umlaufrichtung.
Wenn der Vektor in die umgekehrte Richtung wie die Umlaufrichtung gedreht wird, spricht man von negativer intrinsischer Krümmung.
Betrachten wir eine weitere Art, sich positive und negative Krümmung vorzustellen.

Korean: 
벡터가 회전된 각도는 정확하게 온전한 원에서 사라진 영역의 각도와 일치한다.
이제 새로운 예를 볼까. 이번에는 원에 추가 영역을 덧붙여 보자.
이제 새로운 예를 볼까. 이번에는 원에 추가 영역을 덧붙여 보자.
벡터가 이 표면을 한 바퀴 뺑 돌고 나면, 정확하게 원에 추가한 영역의 각도만큼 회전되게 된다.
이 경우엔,  벡터는 여행 방향과 반대 방향으로 회전하게 된다.
벡터가여행 방향과 반대 방향으로 회전된다면, 이 지역은 음의 내재 곡률을 갖는다고 한다.
여기에 또 다른 방식으로 양 또는 음의 내재 곡률을 생각해보는 방법이 있다.

Portuguese: 
O ângulo no qual o vetor rotaciona, é exatamente igual ao ângulo da parte que falta do círculo.
Consideremos um exemplo novo.
Aqui, adicionamos uma seção extra ao círculo.
O ângulo dessa seção extra adicionada ao círculo é exatamente igual ao ângulo  pelo qual o vetor rotaciona quando ele dá a volta na superfície.
Agora, o vetor rotaciona na direção oposta ao que caminha.
Quando o vetor rotaciona na direção oposta ao que caminha, dizemos que a área tem curvatura intrínseca negativa.
Uma outra forma de pensar sobre curvaturas intrínsecas  é.

Indonesian: 
Sudut rotasi tersebut sama dengan sudut yang hilang pada lingkaran tersebut.
Mari lihat contoh yang baru.
Pada contoh baru ini, kita akan menambah irisan tambahan ke lingkaran.
Sudut dari tambahan itu sama dengan sudut saat vektor itu berotasi saat mengelilingi permukaan itu
Kali ini vektor berotasi berlawanan arah terhadap arah keliling.
Ketika vektor berotasi ke arah yang berlawanan terhadap arah kelilingnya, maka area tersebut kelengkungannya negatif.
Begini cara lain memikirkan kelengkungan positif dan negatif.

Russian: 
Угол, на который вращается их вектор, точно равен углу отсутствующего участка этого круга.
Давайте рассмотрим новый пример.
В этом новом примере мы добавим дополнительную секцию к кругу.
Угол дополнительной секции, которую мы добавляем к окружности, точно равен углу, на который вектор вращается, когда он движется по всей поверхности.
На этот раз вектор вращается противоположно направлению движения.
Когда вектор вращается в направлении, противоположном направлению движения, мы говорим, что область имеет отрицательную внутреннюю кривизну.
Вот еще один способ думать о положительной и отрицательной внутренней кривизне.

Japanese: 
ベクトルが回転する角度は、この円の欠けている部分の角度と正確に等しくなります。
新しい例を考えてみましょう。
この新しい例では、円に断片を追加します。
円に追加する断片の角度は、ベクトルが表面を一周したときに回転する角度とまったく同じです。
今度は、ベクトルは周る向きと反対に回転します。
ベクトルが周る向きと反対に回転する場合、領域は負の内的曲率を持っていると言います。
正・負の内的曲率を考える別の方法があります。

English: 
The angle by which their vector rotates is exactly equal to the angle of the missing section of this circle.
Let’s consider a new example.
In this new example, we will add an extra section to the circle.
The angle of the extra section that we add to the circle is exactly equal to the angle by which the vector rotates when it travels all the way around the surface.
This time, the vector rotates opposite to the direction of travel.
When the vector rotates opposite to the direction of travel, we say that the area has a negative intrinsic curvature.
Here is another way to think about positive and negative intrinsic curvature.

French: 
L'angle de rotation de leur vecteur est exactement égal à l'angle de la section manquante de ce cercle.
Considérons un nouvel exemple.
Dans ce nouvel exemple, nous allons ajouter une section supplémentaire au cercle.
L'angle de la section supplémentaire que nous ajoutons au cercle est exactement égal à l'angle de rotation du vecteur lorsqu'il se déplace tout autour de la surface.
Cette fois, le vecteur tourne dans le sens contraire du sens de la marche.
Lorsque le vecteur tourne à l'opposé du sens de déplacement, on dit que la zone a une courbure intrinsèque négative.
Voici une autre façon de penser aux courbures intrinsèques positives et négatives.

Spanish: 
El ángulo por el cual gira su vector es exactamente igual al ángulo de la sección faltante de este círculo.
Consideremos un nuevo ejemplo.
En este nuevo ejemplo, agregaremos una sección adicional al círculo.
El ángulo de la sección adicional que agregamos al círculo es exactamente igual al ángulo por el que gira el vector cuando recorre toda la superficie.
Esta vez, el vector gira en sentido opuesto a la dirección de desplazamiento.
Cuando el vector gira en sentido opuesto a la dirección de desplazamiento, decimos que el área tiene una curvatura intrínseca negativa.
Aquí hay otra forma de pensar sobre la curvatura intrínseca positiva y negativa.

Turkish: 
Vektörlerinin dönme açısı, bu dairenin eksik bölümünün açısına tam olarak eşittir.
Yeni bir örnek ele alalım.
Bu yeni örnekte, çevreye fazladan bir bölüm ekleyeceğiz.
Daireye eklediğimiz fazladan bölümün açısı, vektörün yüzey çevresinde dolaşırken dönme açısına tam olarak eşittir.
Bu kez, vektör hareket yönünün tersine döner.
Vektör hareket yönünün tersine döndüğünde, bölgenin negatif bir içsel eğriliğe sahip olduğunu söylüyoruz.
İşte pozitif ve negatif içsel eğriliği düşünmenin başka bir yolu.

Chinese: 
它们的向量旋转的角度恰好等于该圆的缺失部分的角度。
让我们考虑一个新的例子。
在这个新示例中，我们将在圆上添加一个额外的部分。
我们添加到圆上的多余部分的角度恰好等于向量在曲面上一路行进时旋转的角度。
这次，矢量与行进方向相反旋转。
当矢量与行进方向相反旋转时，我们说该区域具有负的固有曲率。
这是考虑正负固有曲率的另一种方法。

German: 
Wenn sich die Kreise in entgegengesetzte Richtung krümmen, so hat die entsprechende Fläche eine negative intrinsische Krümmung.
Das Maß für die Krümmung an dem Ort, an dem sich die Kreise treffen, wird durch folgende Gleichung beschrieben.
Wenn sich die Kreise in dieselbe Richtung krümmen, so hat die entsprechende Fläche eine positive intrinsische Krümmung.
Das Maß für die Krümmung an dem Ort, an dem sich die Kreise treffen, wird durch folgende Gleichung beschrieben.
Diese Oberfläche hat Gebiete mit positiver Krümmung, da sie Punkte besitzt, an denen sich beide Kreise in dieselbe Richtung krümmen.

French: 
Lorsque les deux cercles sont courbés dans des directions opposées, cette surface présente une courbure intrinsèque négative.
La  courbure au point de rencontre des deux cercles est donnée par la formule affichée.
Lorsque les deux cercles sont courbés dans la même direction, cette surface présente une courbure intrinsèque positive.
La courbure au point de rencontre des deux cercles est donnée par la formule affichée.
Cette surface comporte des régions à courbure positive, car elle comporte des points où les deux cercles se courbent dans la même direction.

Russian: 
Когда две окружности изгибаются в противоположных направлениях, эта поверхность имеет отрицательную внутреннюю кривизну.
Величина кривизны в точке, где встречаются два круга, определяется следующим уравнением.
Когда две окружности изгибаются в одном направлении, эта поверхность имеет положительную внутреннюю кривизну.
Величина кривизны в точке, где встречаются два круга, определяется следующим уравнением.
Эта поверхность имеет области с положительной кривизной, потому что она имеет точки, где две окружности изгибаются в одном направлении.

English: 
When the two circles curve in opposite directions, this surface has a negative intrinsic curvature.
The amount of curvature at the point where the two circles meet is given by the following equation.
When the two circles curve in same direction, this surface has a positive intrinsic curvature.
The amount of curvature at the point where the two circles meet is given by the following equation.
This surface has regions with positive curvature, because it has points where the two circles curve in the same direction.

Portuguese: 
Quando temos duas curvas circulares em direções opostas, sua superfície tem curvatura intrínseca negativa.
O valor da curvatura no ponto de intersecção entre os dois anéis é dado pela seguinte equação.
Quando as duas curvas estão na mesma direção, sua superfície tem curvatura intrínseca positiva.
O valor da curvatura no ponto de intersecção entre os dois anéis é dado pela seguinte equação.
Esta superfície possui regiões com curvatura positiva, pois possui pontos onde dois anéis estão na mesma direção.

Spanish: 
Cuando los dos círculos se curvan en direcciones opuestas, esta superficie tiene una curvatura intrínseca negativa.
La cantidad de curvatura en el punto donde los dos círculos se encuentran está dada por la siguiente ecuación.
Cuando los dos círculos se curvan en la misma dirección, esta superficie tiene una curvatura intrínseca positiva.
La cantidad de curvatura en el punto donde los dos círculos se encuentran está dada por la siguiente ecuación.
Esta superficie tiene regiones con curvatura positiva, porque tiene puntos donde los dos círculos se curvan en la misma dirección.

Japanese: 
2つの円が反対方向に湾曲しているとき、この表面は負の内的曲率を持ちます。
2つの円の交点での曲率は、次の式で与えられます。
2つの円が同じ方向に湾曲してるとき、表面は正の内的曲率を持ちます。
2つの円の交点での曲率は、次の式で与えられます。
この表面には、2つの円が同じ方向に湾曲する点があるため、正の曲率を持つ領域があります。

Indonesian: 
Bila dua lingkaran melengkung ke arah berlawanan, permukaannya negatif.
Besar kelengkungan pada titik dimana lingkaran bertemu dihitung dari persamaan ini.
Ketika dua lingkaran melengkung ke arah yang sama, kelengkungannya positif.
Besar kelengkungannya dihitung dari persamaan ini.
Permukaan ini memiliki area kelengkungan positif.

Chinese: 
当两个圆向相反方向弯曲时，此表面的负固有曲率为负。
两个圆相交的点的曲率由下式给出。
当两个圆沿相同方向弯曲时，此表面具有正的固有曲率。
两个圆相交的点的曲率由下式给出。
该表面具有曲率为正的区域，因为它具有两个圆沿相同方向弯曲的点。

Korean: 
이 두개의 원이 서로 방대 방향으로 휜 상태이면, 이 표면은 음의 내재 곡률을 갖는 것이다.
두개의 원이 만나는 지점에서 곡률의 크기는 다음의 방정식으로 주어진다.
두개의 원이 같은 방향으로 휜 상태라면, 이 표면은 양의 내재 곡률을 갖는 것이다.
두개의 원이 만나는 지점에서 곡률의 크기는 다음의 방정식으로 주어진다.
이 표면에는 양의 곡률을 갖는 영역이 있다. 두개의 원이 같은 방향인 지점이 있기 때문이다.

Turkish: 
İki daire zıt yönlerde kıvrıldığında, bu yüzey negatif bir iç eğriliğe sahiptir.
İki dairenin buluştuğu noktadaki eğrilik miktarı aşağıdaki denklemle verilir.
İki daire aynı yönde eğri olduğunda, bu yüzey pozitif bir içsel eğriliğe sahiptir.
İki dairenin buluştuğu noktadaki eğrilik miktarı aşağıdaki denklemle verilir.
Bu yüzeyin pozitif eğriliğe sahip bölgeleri vardır, çünkü iki dairenin aynı yönde eğildiği noktalara sahiptir.

Indonesian: 
Dan juga are dengan kelengkungan negatif.
Daerah ini memiliki kelengkungan negatif.
Artinya vektor berotasi berlawanan arah  kelilingnya.
Jika vektor berkeliling berlawanan jarum jam, vektor berotasi searah jarum jam.
Daerah lain memiliki kelengkungan positif.
Jika vektor berkeliling berlawanan jarum jam, vektor berotasi berlawanan jarum jam.
Vektor tersebut berotasi ke arah yang sama oleh arah keliling, seperti yang diharapkan lada kelengkungan positif.
Jika vektor berjalan di sekitar area yang terdiri dari gabungan dua area,
Besar sudut rotasinya adalah penjumlahan dari besar sudut yang dihasilkan setiap area.

Portuguese: 
E também possui regiões com curvatura negativa, pois possui pontos onde dois anéis estão em direções opostas.
Essa região tem curvatura negativa.
Isso significa que o vetor rotaciona no direção contrária ao que viaja.
Se um vetor viaja em sentido anti-horário em volta dessa região verde, o vetor é rotacionado no sentido horário.
Já essa outra região possui curvatura positiva.
Se um vetor viaja em sentido anti-horário em volta dessa região amarela, o vetor é rotacionado no sentido anti-horário.
O vetor rotaciona na mesma orientação em que viaja, como esperado para uma região de curvatura positiva.
Se um vetor caminha ao redor de uma área composta pela soma de duas áreas de duas regiões menores,

French: 
Et cette surface comporte également des régions à courbure négative, car elle comporte des points où les deux cercles se courbent dans des directions opposées.
Cette région a une courbure négative.
Cela signifie que le vecteur tourne dans le sens opposé à celui du déplacement.
Si un vecteur se déplace "dans le sens anti-horaire" autour de cette zone, le vecteur est tourné dans le sens "horaire".
Cette autre région a une courbure positive.
Si un vecteur se déplace "dans le sens anti-horaire" autour de cette zone, le vecteur est tourné dans le sens "anti-horaire".
Le vecteur tourne de la même manière que la direction du déplacement, comme prévu pour une région de courbure positive.
Si un vecteur se déplace autour d’une zone composée de la somme de deux zones plus petites,

Russian: 
И эта поверхность также имеет области с отрицательной кривизной, потому что она имеет точки, где две окружности изгибаются в противоположных направлениях.
Эта область имеет отрицательную кривизну.
Это означает, что вектор вращается противоположно направлению движения.
Если вектор перемещается «против часовой стрелки» вокруг этой области, вектор поворачивается «по часовой стрелке».
Этот другой регион имеет положительную кривизну.
Если вектор перемещается «против часовой стрелки» вокруг этой области, вектор поворачивается «против часовой стрелки».
Вектор вращается так же, как направление движения, как и ожидалось для области положительной кривизны.
Если вектор перемещается вокруг области, составленной из суммы двух меньших областей,

Chinese: 
而且该表面还具有负曲率的区域，因为它具有两个圆沿相反方向弯曲的点。
该区域具有负曲率。
这意味着矢量与行进方向相反旋转。
如果向量围绕该区域“逆时针”行进，则向量将“顺时针”旋转。
该另一区域具有正曲率。
如果向量围绕该区域“逆时针”行进，则向量将“逆时针”旋转。
如正弯曲区域所预期的，矢量的旋转方向与行进方向相同。
如果向量围绕由两个较小区域之和组成的区域行进，

Japanese: 
また、この表面には、2つの円が反対方向に湾曲する点があるため、負の曲率を持つ領域もあります。
この領域には負の曲率があります。
つまり、ベクトルが周る方向と反対に回転します。
ベクトルがこの領域を「反時計回り」に移動する場合、ベクトルは「時計回り」に回転します。
この別の領域は正の曲率を持ちます。
ベクトルがこの領域を「反時計回り」に移動する場合、ベクトルは「反時計回り」に回転します。
ベクトルは、正の曲率の領域でそうなるように、周る向きと同じ向きに回転します。
2つの小さな領域を足して構成してある領域をベクトルが移動すると、

Korean: 
이 표면은 음의 곡률 영역도 함께 가지고 있다. 두 개의 원이 서로 다른 방향으로 만나는 지점이 있네  있어.
이 지역은 음의 곡률을 갖는다. 그 말은 벡터가 여행 방향과 다른 방향으로 회전하게 된다는 것을 의미한다.
이 지역은 음의 곡률을 갖는다. 그 말은 벡터가 여행 방향과 다른 방향으로 회전하게 된다는 것을 의미한다.
벡터가 "반시계방향(CCW)"으로 여행하고 나면,  "시계방향(CW)"으로 회전되어 있는 자신을 발견하게 될 것이다.
다른 영역을 보면, 양의 곡률인 곳도 있다. 여기서는 벡터가 "반시계방향(CCW)"으로 여행했더니,  "반시계방향(CCW)"으로 회전된다.
다른 영역을 보면, 양의 곡률인 곳도 있다. 여기서는 벡터가 "반시계방향(CCW)"으로 여행했더니,  "반시계방향(CCW)"으로 회전된다.
보다시피, 양의 곡률 지역에서 예상되었던 것처럼, 벡터가 여행 방향과 같은 방향으로 회전되고 있다.
만약 벡터가 두 가지 영역을 합해 놓은 지역을 여행한다면 어떻게 될까,

English: 
And this surface also has regions with negative curvature, because it has points where the two circles curve in opposite directions.
This region has negative curvature.
This means that the vector rotates opposite to the direction of travel.
If a vector travels "counter-clockwise" around this area, the vector is rotated "clockwise."
This other region has positive curvature.
If a vector travels "counter-clockwise" around this area, the vector is rotated "counter-clockwise."
The vector rotates the same way as the direction of travel, as expected for a region of positive curvature.
If a vector travels around an area composed of the sum of two smaller areas,

German: 
Und die Oberfläche hat auch Gebiete mit negativer Krümmung, da sie Punkte besitzt, an denen sich beide Kreise in entgegengesetzter Richtung krümmen.
Dieses Gebiet hat eine negative Krümmung.
Das bedeutet, dass der Vektor in entgegengesetzter Umlaufrichtung rotiert wird.
Wenn ein Vektor gegen den Uhrzeigersinn entlang des Flächenrands befördert wird, dreht er sich im Uhrzeigersinn.
Dieses Gebiet hat eine positive Krümmung.
Wenn ein Vektor gegen den Uhrzeigersinn entlang des Flächenrands befördert wird, dreht er sich gegen den Uhrzeigersinn.
Der Vektor rotiert in dieselbe Richtung wie die Bewegungsrichtung, wie man es von Gebieten positiver Krümmung erwartet.
Wenn ein Vektor entlang einer Fläche, die aus zwei kleineren Flächen zusammengesetzt ist, bewegt wird,...

Turkish: 
Ve bu yüzey ayrıca negatif eğriliğe sahip bölgelere sahiptir, çünkü iki dairenin zıt yönlerde eğildiği noktalara sahiptir.
Bu bölge negatif eğriliğe sahiptir.
Bu, vektörün hareket yönünün tersine döndüğü anlamına gelir.
Bir vektör bu alanın çevresinde "saat yönünün tersine" hareket ederse, vektör "saat yönünde" döndürülür.
Bu diğer bölge pozitif eğriliğe sahiptir.
Bir vektör bu alanın çevresinde "saat yönünün tersine" hareket ederse, vektör "saat yönünün tersine" döndürülür.
Vektör, pozitif bir eğrilik bölgesi için beklendiği gibi hareket yönü ile aynı şekilde döner.
Bir vektör iki küçük alanın toplamından oluşan bir alanın etrafında dolaşıyorsa,

Spanish: 
Y esta superficie también tiene regiones con curvatura negativa, porque tiene puntos donde los dos círculos se curvan en direcciones opuestas.
Esta región tiene curvatura negativa.
Esto significa que el vector gira en sentido opuesto a la dirección de desplazamiento.
Si un vector viaja "en sentido antihorario" alrededor de esta área, el vector gira "en sentido horario".
Esta otra región tiene una curvatura positiva.
Si un vector viaja "en sentido antihorario" alrededor de esta área, el vector gira "en sentido antihorario".
El vector gira de la misma manera que la dirección de desplazamiento, como se esperaba para una región de curvatura positiva.
Si un vector viaja alrededor de un área compuesta por la suma de dos áreas más pequeñas,

Russian: 
тогда величина, на которую будет вращаться вектор, является суммой вращений, связанных с каждой отдельной областью.
В этом примере вектор поворачивается на 90 градусов плюс 90 градусов, что равно 180 градусам.
Если вектор вращается вокруг области, составленной из этой области с положительной кривизной и этой области с отрицательной кривизной, эффекты двух областей взаимно компенсируют друг друга.
Вектор поворачивается на 90 градусов плюс 90 градусов, что означает, что вектор возвращает указатель в своем первоначальном направлении.
Как оказалось, если мы сложим все положительные и отрицательные кривизны везде на бублике, мы получим полную кривизну ноль.
Кривизна любой поверхности в любой точке может быть определена следующим образом.

Japanese: 
ベクトルが回転する量は、個々の領域での回転の合計になります。
この例では、90度 +  90度（= 180度）回転します。
ベクトルが正の曲率を持つこの領域と負の曲率を持つこの領域で構成される領域を周ると、2つの領域の効果は互いに相殺されます。
ベクトルの回転は 90度 + -90度です。つまり、ベクトルは戻って元の方向を指します。
結局のところ、ドーナツのどこでもすべての正と負の曲率を合計すると、合計曲率はゼロになります。
任意の点での任意の表面の曲率は、次のように定義できます。

Portuguese: 
então o total que o vetor irá rotacionar, será a soma das rotações associadas a cada região específica.
Neste exemplo, o vetor rotaciona 90 graus mais 90 graus,  num total de 180 graus.
Se caso o vetor rotacionar em volta de uma região composta por uma região com curvatura negativa e uma outra positiva, cada região se cancelará o efeito da outra.
O vetor rotaciona 90 graus e mais 90 graus negativos, o que resulta o vetor retornando a sua direção inicial.
Na verdade, se somarmos todas as curvaturas possíveis em uma rosquinha, obtemos uma curvatura total igual a zero.
A curvatura de qualquer superfície pode ser definida como.

English: 
then the amount by which the vector will rotate is the sum of the rotations associated with each individual area.
In this example, the vector rotates 90 degrees plus 90 degrees, which is equal to 180 degrees.
If the vector rotates around the region composed of this area with positive curvature and this area with negative curvature, the effects of the two areas will cancel each other out.
The vector rotates by 90 degrees plus negative 90 degrees, meaning that the vector returns pointing in its original direction.
As it turns out, if we add up all the positive and negative curvatures everywhere on a donut, we get a total curvature of zero.
The curvature of any surface at any point can be defined as follows.

German: 
dann dreht sich der Vektor um die Summe der mit den Teilflächen assoziierten Teilrotationen.
In diesem Beispiel rotiert der Vektor 90° + 90°, was 180° entspricht.
Wenn der Vektor um diese Region, bestehend aus dieser Fläche mit positiver und dieser mit negativer Krümmung, herumläuft, wird sich der Rotationseffekt ausgleichen.
Der Vektor rotiert also um 90° + (-90°), was bedeutet, dass der Vektor zur ursprünglichen Zeigerichtung zurückkehrt.
Es stellt sich heraus, dass, wenn man alle positiven und negativen Krümmungen des gesamten Donuts addiert, eine Gesamtkrümmung identisch null herauskommt.
Die Krümmung an einem beliebigen Punkt auf einer beliebigen Oberfläche ist folgendermaßen definiert:

Chinese: 
那么向量旋转的量就是与每个单独区域关联的旋转总和。
在此示例中，矢量旋转90度再加上90度（等于180度）。
如果矢量绕着由具有正曲率的区域和具有负曲率的区域组成的区域旋转，则这两个区域的效果将相互抵消。
向量旋转90度再加上负90度，表示向量返回指向其原始方向。
事实证明，如果我们将一个甜甜圈上所有位置的所有正曲率和负曲率相加，则总曲率将为零。
在任何点的任何表面的曲率可以定义如下。

Turkish: 
o zaman vektörün döneceği miktar her bir alanla ilişkili rotasyonların toplamıdır.
Bu örnekte, vektör 180 dereceye eşit olan 90 derece artı 90 derece döner.
Vektör pozitif eğriliği olan bu alandan ve negatif eğriliği olan bu alandan oluşan bölge etrafında dönerse, iki alanın etkileri birbirini iptal eder.
Vektör 90 derece artı negatif 90 derece döner, yani vektör orijinal yönünü göstererek geri döner.
Sonuç olarak, bir çörek üzerinde her yerde tüm pozitif ve negatif eğrilikleri toplarsak, toplam sıfır eğriliği elde ederiz.
Herhangi bir noktadaki herhangi bir yüzeyin eğriliği aşağıdaki gibi tanımlanabilir.

French: 
alors, la quantité par laquelle le vecteur tournera est la somme des rotations associées à chaque zone individuelle.
Dans cet exemple, le vecteur pivote de 90 degrés plus 90 degrés, ce qui correspond à 180 degrés.
Si le vecteur tourne autour de la région composée de cette zone à courbure positive et de cette zone à courbure négative, les effets des deux zones s’annulent.
Le vecteur pivote de 90 degrés et de 90 degrés négatifs, ce qui signifie que le vecteur retourne dans la direction d'origine.
En fin de compte, si nous additionnons toutes les courbures positives et négatives sur un beignet, nous obtenons une courbure totale de zéro.
La courbure de toute surface en tout point peut être définie comme suit :

Spanish: 
entonces la cantidad en la que rotará el vector es la suma de las rotaciones asociadas con cada área individual.
En este ejemplo, el vector gira 90 grados más 90 grados, lo que equivale a 180 grados.
Si el vector gira alrededor de la región compuesta por esta área con curvatura positiva y esta área con curvatura negativa, los efectos de las dos áreas se cancelarán entre sí.
El vector gira 90 grados más 90 grados negativos, lo que significa que el vector vuelve apuntando en su dirección original.
Como resultado, si sumamos todas las curvaturas positivas y negativas en todas partes en una dona, obtenemos una curvatura total de cero.
La curvatura de cualquier superficie en cualquier punto se puede definir de la siguiente manera.

Indonesian: 
Pada contoh ini, vektor berotasi 90 derajat tambah 90 derajat.
Jika vektor berotasi di sekitar area permukaan positif dan negatif, efek dari mereka saling membatalkan.
Vektor tersebut berotasi 90 derajat tambah negatif 90 derajat, artinya vektor itu kembali ke arah semula.
Sebagaimana terjadi, jika kita menjumlah semua kelengkungan positif dan negatif setiap posisi pada donat, kelengkungan totalnya nol.
Kelengkungan suatu permukaan pada suatu titik didefinisikan berikut,

Korean: 
그렇다면, 벡터는 두 영역 각각과 관련된 회전 요소를 합친 만큼 회전하게 된다.
이 예에서, 벡터는 90도 돌고 또 90도 도니까, 총 180도 돌게 된다.
만약에, 벡터가 양의 곡률 영역과 음의 곡률 영역이 짬뽕된 지역을 여행한다면, 두 영역의 회전 효과가 서로 캔슬 아웃된다.
벡터가 90도 더하기 -90도 해서, 최초 방향과 같은 방향으로 되돌아오게 되었다.
도넛 표면의 방방곡곡 양의 곡률 음의 곡률 이곳저곳을 모두 다 더해보면, 밝혀진 바와 같이, 총 곡률은 제로가 나온다.
어떤 표면의 어떤 한 지점에서의 곡률은 다음과 같이 정의된다.

French: 
La courbure intrinsèque en un point est proportionnelle à l'angle selon lequel un vecteur tourne lorsqu'il se déplace autour d'une zone, divisé par la taille de la zone, lorsque la taille de la zone approche de zéro.
Cela nous donne la même réponse que la définition impliquant les deux cercles.
Cependant, la définition impliquant les deux cercles ne fonctionne que pour une surface à deux dimensions intégrée dans un espace à trois dimensions.
Pour les dimensions supérieures, nous avons besoin de la définition plus générale de la courbure intrinsèque, basée sur la rotation d'un vecteur lorsqu'il se déplace autour d'une zone, puis revient à sa position d'origine.
Considérons la courbure intrinsèque de la surface suivante.

Portuguese: 
A curvatura em qualquer superfície é proporcional ao ângulo pelo qual um vetor rotaciona ao redor de uma dada região, dividido pelo tamanho da área desta região, quando essa região diminui infinitamente.
Isso nos fornece a mesma definição que àquela envolvendo os dois anéis.
Entretanto, a definição envolvendo os dois anéis funcionas apenas para superfícies bidimensionais imersas no espaço 3D.
Para dimensões maiores, precisamos de uma definição mais geral de curvatura intrínseca, baseada no comportamento do vetor quando rotacionado ao redor de uma certa região da superfície.
Considere a curvatura intrínseca da seguinte superfície.

Spanish: 
La curvatura intrínseca en un punto es proporcional al ángulo por el cual un vector gira cuando viaja alrededor de un área, dividido por el tamaño del área, a medida que el tamaño del área se aproxima a cero.
Esto nos da la misma respuesta que la definición que involucra los dos círculos.
Sin embargo, la definición que involucra los dos círculos solo funciona para una superficie bidimensional incrustada en un espacio tridimensional.
Para dimensiones más altas, necesitamos la definición más general de curvatura intrínseca, basada en cuánto gira un vector cuando viaja alrededor de un área y luego regresa a su posición original.
Considere la curvatura intrínseca de la siguiente superficie.

Turkish: 
Bir noktadaki gerçek eğrilik, bir vektörün bir alanın etrafında dolaştığında dönme açısı ile orantılıdır, alanın boyutu sıfıra yaklaştıkça alanın büyüklüğüne bölünür.
Bu bize iki çevreyi içeren tanımla aynı cevabı verir.
Ancak, iki daireyi içeren tanım sadece üç boyutlu bir alana gömülü iki boyutlu bir yüzey için geçerlidir.
Daha yüksek boyutlar için, bir vektörün bir alanın etrafında dolaşıp daha sonra orijinal konumuna döndüğünde ne kadar döndüğüne bağlı olarak daha genel öz eğriliğinin tanımına ihtiyacımız vardır.
Aşağıdaki yüzeyin gerçek eğriliğini düşünün.

Chinese: 
点的固有曲率与向量在区域周围传播时旋转所成的角度成比例，除以区域的大小，即区域的大小接近零。
这给了我们与涉及两个圆圈的定义相同的答案。
但是，涉及两个圆的定义仅适用于嵌入三维空间中的二维曲面。
对于更高的尺寸，我们需要一个更基本的内在曲率定义，即向量在围绕某个区域传播然后返回其原始位置时旋转了多少。
考虑以下曲面的固有曲率。

Indonesian: 
Kelengkungan intrinsik pada suatu titik sebanding terhadap sudut vektor berotasi ketika berkeliling di sekitar, dibagi oleh luas permukaan yang diliputi, dengan luas mendekati nol.
Ini memberi jawaban sebagai definisi dari dua lingkaran.
Namun definisi yang melibatkan dua lingkaran ini hanya bisa untuk permukaan dua dimensi yang berada di tiga dimensi.
Untuk dimensi yang lebih tinggi, kita butuh definisi kelengkungan intrinsik yang lebih umum, berdasarkan seberapa besar vektor berotasi ketika berkeliling pada permukaan.
Perhatikan kelengkungan intrinsik permukaan ini.

Korean: 
한 지점에서의 내재 곡률은 벡터가 그 영역 주변을 여행하고 난 뒤 회전된 각도에 비례하는데, 여행 영역의 크기로는 나눠줘야 한다. (단, 영역은 제로에 접근하게 해준 상태에서).
이 방식으로 해도, 원 두 개로 했던 정의에서 나오는 답과 같은 답을 얻게 된다.
그런데, 원 두 개로 정의 내리는 방식은, 3차원 공간에 놓인 2차원 표면에 대해서만 사용 가능하다.
그보다 높은 차원에서는, 벡터가 여행하고 제자리로 돌아왔을 때 얼마나 회전되어 있는가를 기반으로 한, 보다 일반화된 내재 곡률 정의가 필요하다.
다음의 표면의 내재 곡률을 생각해보자.

English: 
The intrinsic curvature at a point is proportional to the angle by which a vector rotates when it travels around an area, divided by the size of the area, as the size of the area approaches zero.
This gives us the same answer as the definition involving the two circles.
However, the definition involving the two circles only works for a two dimensional surface embedded in a three dimensional space.
For higher dimensions, we need the more general definition of intrinsic curvature, based on how much a vector rotates when it travels around an area and then returns to its original position.
Consider the intrinsic curvature of the following surface.

Russian: 
Собственная кривизна в точке пропорциональна углу, на который вектор вращается, когда он перемещается вокруг области, деленной на размер области, когда размер области приближается к нулю.
Это дает нам тот же ответ, что и определение, включающее два круга.
Однако определение, включающее два круга, работает только для двумерной поверхности, встроенной в трехмерное пространство.
Для более высоких измерений нам нужно более общее определение внутренней кривизны, основанное на том, сколько вектор вращается, когда он перемещается вокруг области, а затем возвращается в исходное положение.
Рассмотрим внутреннюю кривизну следующей поверхности.

Japanese: 
ある点での内的曲率は、領域のサイズをゼロに近づけた時の、領域を周ったときにベクトルが回転する角度を領域のサイズで割った値に比例します。
これは 2つの円を用いた定義と同じ答えを出します。
ただし、2つの円を用いた定義は、3次元空間の 2次元表面に対してのみ有効です。
より高い次元の場合、ベクトルが領域内を移動して元の位置に戻るときにどれだけ回転するかに基づく、内的曲率のより一般的な定義が必要です。
次の表面の内的曲率を考えましょう。

German: 
Die intrinsische Krümmung an einem Punkt ist proportional zum Grenzwert des Winkels, um den sich ein Vektor dreht, wenn er die Oberfläche entlang ihres Randes umkreist, dividiert durch die Fläche dieser, wenn die Fläche unendlich klein wird.
Dies gibt uns denselben Wert wie die Definition mit den beiden Kreisen.
Jedoch funktioniert die Definition mit den Kreisen nur auf einer zweidimensionalen Oberfläche im dreidimensionalen Raum.
In höheren Dimensionen brauchen wir die allgemeinere Definition der intrinsischen Krümmung, die den Drehwinkel eines Vektors, während dieser um eine Fläche bis zurück zum Ausgangspunkt läuft, betrachtet.
Betrachten wir die intrinsische Krümmung der folgenden Oberfläche.

French: 
Nous pouvons visualiser cela en utilisant notre définition de courbure impliquant les deux cercles.
Une droite peut être considérée comme un cercle de rayon infini.
Par conséquent, notre équation nous dit que la courbure intrinsèque est nulle en tout point de cette surface.
Cela signifie que des êtres bidimensionnels vivant sur cette surface ne pourraient jamais dire que leur espace est courbe.
De même, cette visualisation nous indique également qu'un cône a une courbure intrinsèque nulle en tout point sauf au sommet.
C'est pourquoi, si nous ne faisons pas le tour du sommet, notre vecteur n'est jamais mis en rotation.

Spanish: 
Podemos visualizar esto usando nuestra definición de curvatura que involucra los dos círculos.
Una línea puede considerarse como un círculo con un radio de infinito.
Por lo tanto, nuestra ecuación nos dice que la curvatura intrínseca es cero en cada punto de esta superficie.
Esto significa que los seres bidimensionales que viven en esta superficie nunca podrían decir que su espacio es curvo.
Del mismo modo, esta visualización también nos dice que un cono tiene una curvatura intrínseca cero en cada punto, excepto en la punta.
Es por eso que si no vamos alrededor de la punta, nuestro vector nunca gira.

English: 
We can visualize this by using our definition of curvature involving the two circles.
A line can be thought of as a circle with a radius of infinity.
Therefore, our equation tells us that the intrinsic curvature is zero at every point on this surface.
This means that two dimensional beings living on this surface would never be able to tell that that their space is curved.
Similarly, this visualization also tells us that a cone has zero intrinsic curvature at every point except at the tip.
This is why if we don’t go around the tip, our vector is never rotated.

Indonesian: 
Kita bisa memvisulaisasi ini dengan memakaki definisi kelengkungan yang melibatkan dua lingkaran.
Garis bisa dia ngga sebagai lingkaran dengan jari-jari infinit.
Sehingga, persamaan kita memberi tahu bahwa kelengkungan intrinsik permukaan itu nol dimanapun.
Artinya makhluk dua dimensi yang tinggal disana tidak tahu bahwa ruangnya melengkung.
Mirip dengan itu, visualisasi ini juga mengatakan bahwa kerucit memiliki kelengkungan intrinsik nol pada setiap titik kecuali pada ujungnya.
Inilah sebabnya jika kita tidak menggerakkannya mengelilingi ujung, vektor kita tidak akan berotasi.

German: 
Wir können diese mittels der Krümmungsdefinition mit den beiden Kreisen visualisieren.
Eine gerade Linie stellen wir uns als Kreis mit unendlich großem Radius vor.
Darum zeigt uns unsere Definition, dass die intrinsische Krümmung null an jedem Punkt dieser Oberfläche sein muss.
Das heißt, dass zweidimensionale Wesen, die auf dieser Fläche leben, niemals in der Lage sein würden, zu sehen, dass ihr Raum gekrümmt ist.
Gleichermaßen zeigt uns die Visualisierung, dass der Kegel keine intrinsische Krümmung außer direkt an der Spitze besitzt.
Deswegen wird der Vektor nicht rotiert, solang man nicht um die Spitze herum geht.

Korean: 
두 개의 원으로 곡률을 정의하는 방법을 써서 시각화 할 수 있다. 직선은 반지름이 무한대인 원으로 생각할 수 있다.
두 개의 원으로 곡률을 정의하는 방법을 써서 시각화 할 수 있다. 직선은 반지름이 무한대인 원으로 생각할 수 있다.
그러므로, 방정식에 따르면 이 표면의 어디에서든 내재 곡률은 제로임을 알 수 있다.
이 말은 이 표면에 사는 2차원 존재는 자신이 사는 세계가 굽어져 있다고 절대로 느끼지 않는다는 걸 의미한다구.
유사하게, 원뿔의 경우 꼭지점을 제외하고는 어디에서나 내재 곡률은 제로임을 알 수 있다.
이 때문에 벡터가 꼭지점 주변을 돌지 않으면 전혀 회전되지 않게 되는거지.

Turkish: 
İki daireyi içeren eğrilik tanımımızı kullanarak bunu görselleştirebiliriz.
Bir çizgi, sonsuzluk yarıçapına sahip bir daire olarak düşünülebilir.
Bu nedenle, denklemimiz bize bu yüzeydeki her noktada içsel eğriliğin sıfır olduğunu söyler.
Bu, bu yüzeyde yaşayan iki boyutlu varlıkların, uzaylarının kavisli olduğunu asla söyleyemeyeceği anlamına gelir.
Benzer şekilde, bu görselleştirme bize bir koninin uç dışında her noktada sıfır içsel eğriliğe sahip olduğunu söyler.
Bu yüzden uç etrafında dolaşmazsak, vektörümüz asla döndürülmez.

Chinese: 
我们可以通过使用涉及两个圆的曲率定义将其可视化。
一条线可以认为是半径为无穷大的圆。
因此，我们的方程式告诉我们，此曲面上每个点的固有曲率均为零。
这意味着生活在该表面上的二维生物将永远无法分辨出它们的空间是弯曲的。
同样，该可视化还告诉我们，圆锥体在除尖端之外的每个点的固有曲率均为零。
这就是为什么如果我们不绕尖端旋转，矢量就永远不会旋转的原因。

Portuguese: 
Podemos ver isso usando nossa definição dos anéis circulares.
Uma linha pode ser pensada como um círculo de raio infinito.
Ou seja, nossa equação nos diz que a curvatura intrínseca é zero em todos os pontos desta superfície.
Isso significa que os seres bidimensionais vivendo nela, jamais seriam capazes de dizer se o mundo em que vivem é curvo ou não.
Similarmente, essa ilustração também nos aponta que um cone tem curvatura intrínseca zero, exceto na sua ponta.
Essa é a razão pela qual se não dermos a volta na ponta, nosso vetor nunca é rotacionado.

Russian: 
Мы можем визуализировать это, используя наше определение кривизны с участием двух кругов.
Линия может рассматриваться как круг с радиусом бесконечности.
Поэтому наше уравнение говорит нам, что собственная кривизна равна нулю в каждой точке этой поверхности.
Это означает, что двумерные существа, живущие на этой поверхности, никогда не смогут сказать, что их пространство искривлено.
Точно так же эта визуализация также говорит нам, что конус имеет нулевую внутреннюю кривизну в каждой точке, за исключением вершины
Вот почему, если мы не обойдем вершину, наш вектор никогда не будет вращаться.

Japanese: 
これは、2つの円を用いた曲率の定義を使って視覚化できます。
線は、半径が無限大の円と考えることができます。
よって、この表面の全ての点で内的曲率はゼロであることが、式からわかります。
つまり、この表面に住む 2次元の存在は彼らの空間が曲がっていることを決して知ることができません。
同様に、この視覚化により、円錐は先端を除くすべての点で内的曲率がゼロになることもわかります。
これが、先端を周らなければベクトルが回転しない理由です。

German: 
Damit der Vektor bei Rückkehr zur Anfangsposition rotiert wird, muss man den ganzen Weg um die Spitze herum zurücklegen, denn die Spitze ist der einzige Punkt mit nicht verschwindender Krümmung.
Die intrinsische Krümmung an einem Punkt hängt ab vom Grenzwert des Winkels, um den sich ein Vektor dreht, geteilt durch die Oberfläche, die er umkreist, wenn diese Fläche unendlich klein wird.
Aber im Gegensatz zu glatten Oberflächen, wird im Fall der Kegelspitze auch wenn die Größe der umgebenen Oberfläche gegen Null geht, der Winkel, um den sich der Vektor dreht, gleich bleiben.
Darum ist die Krümmung an der Spitze des Kegels unendlich.

Turkish: 
Başlangıç ​​pozisyonuna döndüğümüzde vektörümüzün döndürülmesi için, koninin ucunun etrafından sonuna kadar gitmemiz gerekir, çünkü uç, yüzeyde sıfır olmayan içsel eğriliğe sahip tek noktadır.
Belirli bir noktadaki gerçek eğrilik, vektörün döndürülme açısına, alanın boyutu sıfıra yaklaştıkça etrafında dolaştığı alanın büyüklüğüne bölünmesine bağlıdır.
Ancak pürüzsüz yüzeylerin aksine, bir koninin ucu durumunda, ucun etrafındaki alanın boyutu sıfıra yaklaşsa bile, vektörün döndürülme açısı aynı kalır.
Bu nedenle, koninin ucundaki eğrilik sonsuzdur.

Russian: 
Чтобы наш вектор повернулся, когда мы вернемся в исходное положение, нам нужно полностью обойти вершину конуса, потому что острие является единственной точкой на поверхности с ненулевой внутренней кривизной.
Собственная кривизна в конкретной точке зависит от угла, на который поворачивается вектор, деленного на размер области, вокруг которой он перемещается, когда размер области приближается к нулю.
Но в отличие от гладких поверхностей, в случае конуса конуса, даже если размер области вокруг вершины приближается к нулю, угол, на который поворачивается вектор, остается неизменным.
Следовательно, кривизна на вершине конуса бесконечна.

Portuguese: 
Para nosso vetor ser rotacionado quando retornamos ao ponto inicial, precisamos dar a volta completa na ponta do cone, pois a ponta da superfície é o único ponto  com curvatura intrínseca não nula.
A curvatura intrínseca em um ponto particular depende do ângulo pelo qual o vetor é rotacionado, dividido pelo tamanho da área no qual ele circunda, quando essa região decresce infinitamente.
Mas diferentemente de superfícies suaves, no caos da ponta do cone, mesmo quando a área ao redor da ponta se aproxima de zero, o ângulo de rotação do vetor permanece o mesmo.
Portanto, a curvatura na ponta do cone é infinita.

Chinese: 
为了使向量在返回起始位置时旋转，我们需要一直绕着圆锥体的尖端旋转，因为尖端是表面上具有非零固有曲率的唯一点。
特定点的固有曲率取决于矢量旋转的角度，除以矢量行进的区域的大小，因为该区域的大小接近零。
但是，与光滑表面不同的是，在圆锥形尖端的情况下，即使尖端周围区域的大小接近零，矢量旋转的角度也保持不变。
因此，圆锥体顶端的曲率是无限的。

English: 
For our vector to be rotated when we return to the starting position, we need to go all the way around the tip of the cone, because the tip is the only point on the surface with non-zero intrinsic curvature.
The intrinsic curvature at a particular point depends on the angle by which the vector is rotated, divided by the size of the area around which it travels, as the size of the area approaches zero.
But unlike smooth surfaces, in the case of the tip of a cone, even as the size of the area around the tip approaches zero, the angle by which the vector is rotated stays the same.
Therefore, the curvature at the tip of the cone is infinite.

Indonesian: 
Agar vektor itu berotasi ketika kembali ke posisi awal, kita harus mengelilingi ujung kerucut, karena ujung tersebut hanyalah titik yang kelengkungan intrinsiknya non-nol.
Kelengkungan intrinsik pada suatu titik tergantung pada perubahan sudut vektor karena berotasi saat berkeliling dibagi luas area yang dikelilingi, dengan area mendekati nol.
Tapi tidak seperti permukaan halus, pada kasus untuk ujung kerucut, walau luas area di sekitar ujung mendekati nol, besar perubahan sudut karena rotasi  tetap sama.
Sehingga, kelengkungan pada ujung kerucut itu adalah infinit.

Spanish: 
Para que nuestro vector se rote cuando volvamos a la posición inicial, debemos ir alrededor de la punta del cono, porque la punta es el único punto en la superficie con curvatura intrínseca distinta de cero.
La curvatura intrínseca en un punto particular depende del ángulo por el cual se rota el vector, dividido por el tamaño del área alrededor de la cual viaja, a medida que el tamaño del área se aproxima a cero.
Pero a diferencia de las superficies lisas, en el caso de la punta de un cono, incluso cuando el tamaño del área alrededor de la punta se aproxima a cero, el ángulo por el que gira el vector permanece igual.
Por lo tanto, la curvatura en la punta del cono es infinita.

French: 
Pour que notre vecteur soit mis en rotation lorsque nous revenons à la position de départ, nous devons faire tout le tour du sommet du cône, car celui-ci est le seul point de la surface à courbure intrinsèque non nulle.
La courbure intrinsèque en un point particulier dépend de l'angle de rotation du vecteur, divisé par la taille de la zone autour de laquelle il se déplace, lorsque la taille de la zone approche de zéro.
Mais contrairement aux surfaces lisses, dans le cas de la pointe d'un cône, même si la taille de la zone autour de la pointe s'approche de zéro, l'angle de rotation du vecteur reste le même.
Par conséquent, la courbure au sommet du cône est infinie.

Korean: 
벡터가 여행후 제자리로 돌아왔을 때 회전되어 있길 바란다면, 원뿔의 꼭지점 주위를 한바퀴 뺑 돌아야만  한다. 왜냐면 꼭지점이야 말로 이 표면에서 유일하게 내재 곡률이 non-zero인 곳이니까.
특정 지점에서의 내재 곡률은 벡터가 여행후 돌아간 정도에 비례하고, 여행한 영역의 크기에는 반비례 한다(나눠줘야 한다는 말). 그리고 그 영역의 크기는 제로에 접근시켜줘야 그 지점의 곡률을 얻게 된다.
부드러운 곡면과 달리 원뿔의 꼭지점의 경우에는, 꼭지점 주변의 영역의 크기가 제로에 접근하는 경우에도 벡터가 회전되는 각도는 항상 같다.
그래서, 원뿔의 꼭지점에서의 곡률은 무한대이다.

Japanese: 
開始位置に戻ったときにベクトルが回転するには、円錐の先端を一周する必要があります。なぜなら内的曲率がゼロ以外なのは唯一先端だけだからです。
ある点での内的曲率は、領域のサイズをゼロに近づけた時の、ベクトルが回転する角度を、移動する領域のサイズで割ったものに依存します。
しかし、滑らかな表面とは異なり、円錐の先端の場合、先端の周りの領域のサイズがゼロに近づいても、ベクトルの回転角度は同じままです。
したがって、円錐の先端の曲率は無限です。

French: 
Si nous doublons l'angle de la section manquante du cercle, l'angle de rotation du vecteur est également doublé.
La courbure à la pointe de tout cône est infinie, mais tous les infinis ne sont pas obtenus de manière égale.
Supposons que nous augmentions l'angle de la section manquante du cercle à 180 degrés.
L'angle de rotation du vecteur a maintenant augmenté à 180 degrés.

English: 
If we double the angle of the missing section of the circle, the angle by which the vector rotates is also doubled.
The curvature at the tip of any cone is infinity, but not all infinities are created equal.
Suppose we increase the angle of the missing section of the circle to 180 degrees.
The amount by which the vector is rotated has now increased to 180 degrees.

Portuguese: 
Se dobramos o ângulo da parte faltante do círculo, o ângulo pelo qual o vetor rotaciona é também dobrado.
A curvatura na ponta de qualquer cone é sempre infinita, porém nem todos "infinitos" provém deste mesmo comportamento.
Suponha agora que aumentemos o ângulo faltante em 180 graus.
Agora o vetor rotacionará 180 graus.

Korean: 
온전한 원에서 사라진 부분의 각도를 2배로 키우면, 벡터가 돌아가는 갇도 또한 2배가 된다.
모든 원불의 꼭지점의 곡률은 무한대이지만, 모든 무한대가 동일하게 만들어지는 것은 아니다.
사라진 부분의 각도를 180도로 늘려보자, 벡터가 회전된 각도는 180도가 된다.
사라진 부분의 각도를 180도로 늘려보자, 벡터가 회전된 각도는 180도가 된다.

German: 
Wenn wir den Winkel des fehlenden Kreisausschnitts verdoppeln, wird sich auch der Winkel, um den der Vektor rotiert wird, verdoppeln.
Die Krümmung an der Spitze des Kegels ist unendlich, aber Unendlichkeiten gibt es in verschiedenen Größenordnungen.
Nehmen wir an, der Winkel des fehlenden Kreisausschnitts vergrößere sich auf 180°.
Das Ausmaß, um das der Vektor rotiert wird, ist nun angestiegen auf 180°.

Spanish: 
Si duplicamos el ángulo de la sección faltante del círculo, el ángulo por el cual gira el vector también se duplica.
La curvatura en la punta de cualquier cono es infinito, pero no todos los infinitos son iguales.
Supongamos que aumentamos el ángulo de la sección faltante del círculo a 180 grados.
La cantidad de rotación del vector ahora ha aumentado a 180 grados.

Turkish: 
Dairenin eksik bölümünün açısını iki katına çıkarırsak, vektörün dönme açısı da iki katına çıkar.
Herhangi bir koninin ucundaki eğrilik sonsuzdur, ancak tüm sonsuzluklar eşit yaratılmaz.
Dairenin eksik bölümünün açısını 180 dereceye yükselttiğimizi varsayalım.
Vektörün döndürülme miktarı artık 180 dereceye yükselmiştir.

Russian: 
Если мы удвоим угол отсутствующего участка круга, угол, на который вращается вектор, также удвоится.
Кривизна на вершине любого конуса равна бесконечности, но не все бесконечности созданы равными.
Предположим, мы увеличиваем угол пропущенного участка круга до 180 градусов.
Количество, на которое поворачивается вектор, теперь увеличено до 180 градусов.

Japanese: 
円の欠けている部分の角度を 2倍にすると、ベクトルが回転する角度も 2倍になります。
円錐の先端の曲率は無限ですが、すべての無限が等しく作られるわけではありません。
円の欠け部分の角度を 180度に増やすとします。
ベクトルの回転量が 180度に増えました。

Chinese: 
如果我们将圆的缺失部分的角度加倍，则矢量旋转的角度也会加倍。
任何圆锥体末端的曲率都是无限的，但并非所有无限都创建为相等。
假设我们将圆的缺失部分的角度增加到180度。
矢量旋转量现在已增加到180度。

Indonesian: 
Jika kita menggandakan sudut yang hilang pada lingkaran, perubahan sudut vektor karena berotasi juga menggandakan.
Kelengkungan pada ujung kerucut adalah infinit, tapi tidak semua infinitas dibuat sama.
Bayangkan sudut yang hilang menjadi 180 derajat.
Perubahan sudut vektor karena berkeliling  telah menjadi 180 derajat.

French: 
Pour toute surface lisse, lorsque la taille de la zone approche zéro, l'angle de rotation du vecteur approche également de zéro, ce qui nous donne une valeur finie pour la courbure.
Mais ce n'est pas le cas pour le sommet d'un cône, et nous obtenons une courbure infinie.
Tant que les êtres bidimensionnels qui vivent sur cette surface ne passent pas par le sommet, ils peuvent analyser leur espace sans avoir à résoudre les mathématiques de l'infini.
S'ils contournent la pointe, le remplacement de la zone dans laquelle ils n'entrent jamais par une surface lisse n'affectera pas la quantité de rotation de leur vecteur.
Ils peuvent simplement penser que le chemin qu’ils ont suivi est sur une sphère tangente au cône à cet endroit.
Plus le chemin est proche du sommet du cône, plus le rayon de la sphère est petit.

Portuguese: 
Para uma superfície suave, quando a área de uma dada região se aproxima de zero, o ângulo pelo qual o vetor rotaciona também se aproxima de zero, nos dando um valor finito para a curvatura.
Mas este não é o caso para a ponta do cone, onde a curvatura é infinita.
Como os seres bidimensionais não atravessam a ponta, eles não podem analisar o mundo em que vivem sem antes resolver a matemática do infinito.
Se eles forem aos arredores da ponta, e então substituírem a área que nunca entram por uma superfície suave, isso não afetará o quão seus vetores podem rotacionar.
Eles apenas podem pensar no caminho que seguiram como uma esfera tangente ao cone naquela posição.
Quanto mais próximo o caminho até a ponta, menor será o raio da esfera.

Russian: 
Для любой гладкой поверхности, когда размер области приближается к нулю, угол поворота вектора также приближается к нулю, что дает нам конечное значение для кривизны.
Но это не относится к вершине конуса, и мы получаем кривизну бесконечности.
Пока двумерные существа, живущие на этой поверхности, на самом деле не проходят вершину, они могут анализировать свое пространство без необходимости решать математику бесконечности.
Если они обойдут вершину, то замена области, в которую они никогда не войдут, гладкой поверхностью не повлияет на величину, на которую повернут их вектор.
Они могут просто думать о пути, по которому они шли, находящемся на сфере, касающейся конуса в этом месте.
Чем ближе путь к вершине конуса, тем меньше радиус сферы.

Chinese: 
对于任何光滑的表面，当区域的大小接近零时，矢量旋转的角度也接近零，从而为我们提供了一个有限的曲率值。
但这不是圆锥体尖端的情况，我们得到无穷大的曲率。
只要生活在此表面上的二维生物实际上没有穿过尖端，他们就可以分析其空间，而不必解析无穷大的数学。
如果它们绕着尖端旋转，则用光滑的表面替换它们永远不会进入的区域不会影响其矢量旋转的量。
他们只是可以想到他们所走的路径是在此位置与圆锥相切的球体上。
路径越靠近圆锥体的尖端，球体的半径越小。

Spanish: 
Para cualquier superficie lisa, a medida que el tamaño del área se acerca a cero, el ángulo por el que gira el vector también se acerca a cero, lo que nos da un valor finito para la curvatura.
Pero este no es el caso para la punta de un cono, y obtenemos una curvatura de infinito.
Mientras los seres bidimensionales que viven en esta superficie no pasen realmente por la punta, pueden analizar su espacio sin tener que resolver las matemáticas del infinito.
Si van alrededor de la punta, reemplazar el área en la que nunca ingresan con una superficie lisa no afectará la cantidad en la que gira su vector.
Pueden pensar en el camino que siguieron como en una esfera tangente al cono en esta ubicación.
Cuanto más cerca esté el camino de la punta del cono, menor será el radio de la esfera.

Turkish: 
Herhangi bir pürüzsüz yüzey için, alanın boyutu sıfıra yaklaştıkça, vektörün dönme açısı sıfıra yaklaşır ve bize eğrilik için sonlu bir değer verir.
Ancak bu bir koninin ucu için geçerli değildir ve sonsuzluk eğriliği elde ederiz.
Bu yüzeyde yaşayan iki boyutlu varlıklar aslında uçtan geçmedikleri sürece, sonsuzluğun matematiğini çözmek zorunda kalmadan alanlarını analiz edebilirler.
Eğer ucun etrafından dolaşırlarsa, asla girmedikleri alanı pürüzsüz bir yüzeyle değiştirmek, vektörlerinin döndürülme miktarını etkilemez.
Sadece izledikleri yolu, bu konumdaki koniye teğet bir küre üzerinde olduğunu düşünebilirler.
Yol koninin ucuna ne kadar yakınsa, kürenin yarıçapı o kadar küçük olur.

English: 
For any smooth surface, as the size of the area approaches zero, the angle by which the vector rotates also approaches zero, giving us a finite value for the curvature.
But this is not the case for the tip of a cone, and we get a curvature of infinity.
As long as the two dimensional beings living on this surface don’t actually go through the tip, they can analyze their space without having to resolve the mathematics of infinity.
If they go around the tip, then replacing the area they never enter with a smooth surface will not affect the amount by which their vector is rotated.
They can just think of the path they followed as being on a sphere tangent to the cone at this location.
The closer the path is to the tip of the cone, the smaller the radius of the sphere.

Korean: 
부드러운 표면 어디에서건, 여행 영역을 제로에 접근시키면, 벡터가 회전되는 각도도 제로에 접근하는데, 여기서 우리는 유한인 곡률 값을 얻게 된다.
원뿔의 꼭지점에서는 이야기가 달라진다, 우리는 무한의 곡률 값을 얻게 된다.
이 표면에 사는 2차원 존재가 꼭지점을 지나가지만 않는다면, 무한이라는 수학을 해결할 필요 없이 자신의 공간을 분석할 수 있다.
그런데 그놈들이 꼭지점을 한바퀴 뺑 돌아가는 경우, 그들이 가지 않은 영역을 부드러운 표면으로 대체한다고 해도 벡터가 회전되는 각도에는 영향을 받지 않는다.
그들이 따라간 경로가 이 지점에 접하는 구 위에 있는 경로라고 생각하면 된다. 그 경로가 원뿔의 꼭지점에 가까울수록, 구의 반지름은 더 작아지게 된다.
그들이 따라간 경로가 이 지점에 접하는 구 위에 있는 경로라고 생각하면 된다. 그 경로가 원뿔의 꼭지점에 가까울수록, 구의 반지름은 더 작아지게 된다.

Japanese: 
滑らかな表面の場合、領域のサイズがゼロに近づくと、ベクトルが回転する角度もゼロに近くなり、有限の曲率が得られます。
しかし、これは円錐の先端には当てはまらず、曲率は無限になります。
この表面に住む 2次元の存在は、先端を通らない限り、無限の数学の解明なしに、空間を分析できます。
先端を周るなら、決して通らない領域を滑らかな面に置き換えても、ベクトルの回転量には影響しません。
辿った経路は、この位置で円錐に接する球上にある、と考えることができます。
経路が円錐の先端に近いほど、球の半径は小さくなります。

German: 
Für beliebige glatte Oberflächen, deren Größe gegen null geht, geht der Winkel, um den der Vektor rotiert wird, auch gegen null, was zu einem endlichen Wert der Krümmung führt.
Aber das ist nicht der Fall bei der Kegelspitze, weshalb dort die Krümmung unendlich ist.
Solang die zweidimensionalen Wesen auf der Kegeloberfläche nicht zur Spitze gehen, können sie ihren Raum analysieren, ohne den mathematischen Umgang mit Unendlichkeiten beherrschen zu müssen.
Wenn sie die Spitze umkreisen, würde das Ersetzen der nicht betretenen Fläche an Spitze durch eine glatte Oberfläche das Ausmaß, um welches der Vektor rotiert wird, nicht ändern.
Sie könnten sich den Pfad, den sie beschritten haben einfach auf einer (Halb-)Kugel vorstellen, die entlang dieses Pfades am Kegel verbunden ist.
Je näher der Pfad an der Kegelspitze ist, umso kleiner wäre der Radius dieser (Halb-)Kugel.

Indonesian: 
Untuk permukaan yang halus, saat area mendekati nol, perubahan sudut vektor saat berkeliling juga mendekati nol.
Tapi ini tidak berlaku untuk ujung kerucut, sehingga kelengkungannya infinit.
Selama makhluk dua dimensi tidak pergi ke ujung kerucut, mereka bisa menganalisis ruangnya tanpa harus memecahkan masalah matematika infinitas.
Jika mereka berkeliling di sekitar ujung tersebut, lalu mengganti area yang tidak mereka jelajahi dengan permukaan halus tidak akan mempengaruhi perubahan sudut vektor karena berkeliling.
Mereka hanya dapat beranggapan jalur yang dilalui ada pada permukaan bola tegak lurus terhadap kerucut pada lokasi ini.
Semakin dekat jalur tersebut ke ujung kerucut, semakin kecil radius bola tersebut.

English: 
If they actually go to the tip, they would need a sphere with a radius of zero, which has a curvature of infinity.
A point with infinite curvature, such as the tip of a cone, is an example of what we refer to as a "singularity."
Much more information is available in the other videos on this channel,
and please subscribe for notifications when new videos are ready.

Chinese: 
如果它们实际上到达尖端，则将需要一个半径为零且曲率为无穷大的球体。
具有无限曲率的点（例如圆锥体的尖端）就是所谓的“奇异性”的一个示例。
该频道的其他视频提供了更多信息，
当新视频准备就绪时，请订阅通知。

Japanese: 
もし実際に先端に行くなら、無限の曲率を持っている半径ゼロの球が必要でしょう。
円錐の先端など、無限の曲率を持つ点は、「特異点」と呼ぶものの一例です。
さらに多くの情報は、このチャンネルの他のビデオで入手できます。
新しい動画の準備ができたら通知を受け取るように登録してください。

French: 
S'ils vont réellement au sommet, ils auront besoin d'une sphère de rayon zéro, qui présente une courbure infinie.
Un point à courbure infinie, tel que le sommet d'un cône, est un exemple de ce que nous appelons une "singularité".
Beaucoup plus d'informations sont disponibles dans les autres vidéos de cette chaîne,
et activer l'option pour recevoir des notifications lorsque de nouvelles vidéos sont prêtes.

Spanish: 
Si realmente van a la punta, necesitarían una esfera con un radio de cero, que tiene una curvatura de infinito.
Un punto con curvatura infinita, como la punta de un cono, es un ejemplo de lo que llamamos "singularidad".
Hay mucha más información disponible en los otros videos de este canal,
y suscríbase para recibir notificaciones cuando haya nuevos videos listos.

Portuguese: 
No caso em que ele de fato cheguem na ponta, precisariam de uma esfera com raio nulo, ou seja, um esfera de curvatura infinita.
Tal ponto que possui curvatura infinita, como a ponta do cone, é um exemplo do que nos referimos de "singularidade".
Muitas outras informações estão disponíveis em outros vídeos desse canal,
e por favor, se inscreva para receber futuras notificações de novos vídeos.

Indonesian: 
Jika ternyata mereka pergi ke ujung, mereka akan butuh bola dengan radius nol yang tentu kelengkungannya infinit.
Suatu titik dengan kelengkungan infinit, seperti ujung kerucut, adalah contoh yang disebut sebagai "Singularitas."
Ada banyak lagi informasi terdapat di video lain pada channel ini,
dan mohon subscribe untuk notifikasi ketika video baru ada.

Korean: 
만약 실제로 꼭지점에 가게 되면, 반지름이 제로인 구가 필요한 것이고, 이것은 곡률이 무한대인 경우이다.
무한대 곡률을 갖는 지점은, 예를 들면 원뿔의 꼭지점, 우리가 "특이점(singularity)"이라 부른는 것의 한 예이다.
더 많은 정보를 얻고 싶니, 우리 채널의 다른 영상들에 많아. 함 보시라.
알림 설정 플리즈. 새 영상 나올때 알 수도 있고 좋잖아요.

German: 
Wenn sie direkt auf die Spitze gehen, bräuchten Sie eine (Halb-)Kugel mit Radius null, der auch eine unendliche Krümmung hat.
Ein Punkt mit unendlicher Krümmung, wie die Spitze eines Kegels, ist ein Beispiel für etwas, das wir "Singularität" nennen.
Mehr Informationen sind in anderen Videos dieses Kanals verfügbar...
und bitte abonnieren Sie diesen für Benachrichtigungen über neue Videos.

Turkish: 
Aslında uca giderse, yarıçapı sıfır olan ve sonsuzluk eğriliğine sahip bir küreye ihtiyaç duyarlar.
Bir koninin ucu gibi sonsuz eğriliğe sahip bir nokta, "tekillik" olarak adlandırdığımız şeyin bir örneğidir.
Bu kanaldaki diğer videolarda çok daha fazla bilgi var,
ve yeni videolar hazır olduğunda lütfen bildirimler için abone olun.

Russian: 
Если они действительно дойдут до вершины, им понадобится сфера с радиусом ноль, которая имеет кривизну бесконечности.
Точка с бесконечной кривизной, такая как конус конуса, является примером того, что мы называем «сингулярностью».
Более подробная информация доступна в других видео на этом канале,
и, пожалуйста, подпишитесь на уведомления, когда новые видео будут готовы.
