Our efforts having been in vain, we had abandoned the matter, hoping that it might turn up of itself one day. 
We were no longer trying to solve the problem.
Наши усилия были напрасны, и мы отказались от этого дела, надеясь, что однажды оно само собой всплывет. 
Мы больше не пытались решить эту проблему.