Our efforts having been in vain, we had abandoned the matter, hoping that it might turn up of itself one day. 
Even though we had not solved the problem, we kept on trying.
Наши усилия были напрасны, и мы отказались от этого дела, надеясь, что однажды оно само собой всплывет. 
Несмотря на то, что мы не решили проблему, мы продолжали пытаться.