クエリ: 相対性理論の公式は
文章: 重力と相対性理論の年表 重力と相対性理論の年表(じゅうりょくとそうたいせいりろんのねんぴょう)。 1898年 - アンリ・ポアンカレが同時性は相対的だと述べる。 1904年 - アンリ・ポアンカレが電磁気での相対原理を提唱する。 1905年 - アルベルト・アインシュタインが特殊相対性理論を完成させ、E=mc2に代表されるエネルギー質量の保存を述べる。 1907年 - アルベルト・アインシュタインは重力と慣性力の等価原理を導入した。そしてそれから重力の赤方偏移を予言した。 1915年 - アルベルト・アインシュタインが一般相対性理論を完成させる。新しい理論はユルバン・ルヴェリエの水星軌道の変動(近日点の移動)と完全に一致した。 1915年 - カール・シュヴァルツシルトは一般相対性理論でシュバルツシルト計量を求めた。これは平坦な場合の解を除いた初めてのアインシュタインの場の方程式の解である。 1916年 - アルベルト・アインシュタインは一般相対性理論の場の方程式は波のような解を許すことを示した。 1919年 - アーサー・エディントンは日食遠征により、太陽による光のずれを検出した。 1921年 - テオドール・カルツァが5次元でのアインシュタイン方程式を求め、そこで重力と電磁気力が統一されることを示した。 1937年 - フリッツ・ツビッキーは銀河が重力レンズとして作用することを述べた。 1937年 - アルベルト・アインシュタイン、レオポルト・インフェルト、バーネッシュ・ホフマンは一般相対性理論の測地線方程式が場の方程式から導かれることを示した。 1957年 - ジョン・ホイーラーは特異点の近くで古典的一般相対性理論が崩壊することを議論し、量子重力が必要だと述べた。 1960年 - w:Robert Pound と Glen Rebkaが重力赤方偏移が1パーセントの近似で一致することを検証した。 1962年 - w:Robert Dicke, Peter Roll, と R. Krotkovがねじったひものバランスから弱い等価原理が1000億分の2で成り立つことを検証した。 1964年 - アーウィン・シャピロは一般相対性理論を検証するためのものとしてシャピロ時間遅れ(w:Shapiro delay)を予言した。 1965年 - ジョセフ・ウェーバーは初めてウェーバー・バーによる重力波測定を行った。 1968年 - アーウィン・シャピロがシャピロ時間遅れを初めて検出する。 1968年 - w:Kenneth Nordtvedtが自己重力の弱い等価原理の可能な破れを研究し、太陽の重力場の中での地球と月の運動を観測することを基礎として弱い等価原理の新しい試験を提案した。 1976年 - Robert Vessot と Martin Levineが水素メーザー時計を使って重力赤方偏移が予言されたものの0.007パーセントの精度で一致することを検証した。 1976年 - Gravity Probe A実験が重力による時間の遅れを理論で予言されるものに対して七千分の一の精度で確かめられた。 1979年 - w:Dennis Walsh, w:Robert Carswell,と Ray Weymannにより重力レンズ効果を受けたクエーサーが発見された。2つの像に分かれていることからツインクエーサーと呼ばれる。 1982年 - ジョゼフ・テイラーとジョエル・ワイスバーグは連星パルサー PSR B1913+16のエネルギーの減少が 一般相対性理論で予言されている四重公式の5%以内であることを示した。 2007年 - Gravity Probe B実験が終わる。
文章: 相対論的力学 P μ ( λ ) = ∂ L X ∂ X μ = g μ ν ( X ) p ν ( λ ) {\displaystyle P_{\mu }(\lambda )={\frac {\partial L_{X}}{\partial {\dot {X}}^{\mu }}}=g_{\mu \nu }(X)\,p^{\nu }(\lambda )} となり、運動方程式は δ S [ X , e ] δ X μ ( λ ) = e - 1 2 ∂ μ g ρ ν ( X ) X ρ X ν ( λ ) - P μ ( λ ) = - e - 1 Γ μ ρ ν ( X ) X ρ X ν ( λ ) - g μ ν ( X ) p ν ( λ ) = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\delta S[X,e]}{\delta X^{\mu }(\lambda )}}&={\frac {e^{-1}}{2}}\partial _{\mu }g_{\rho \nu }(X){\dot {X}}^{\rho }{\dot {X}}^{\nu }(\lambda )-{\dot {P}}_{\mu }(\lambda )\\&=-e^{-1}\varGamma _{\mu \rho \nu }(X){\dot {X}}^{\rho }{\dot {X}}^{\nu }(\lambda )-g_{\mu \nu }(X)\,{\dot {p}}^{\nu }(\lambda )\\&=0\\\end{aligned}}} 文章: 特殊相対性理論 特殊相対性理論から導かれる帰結として、たとえば、主に以下の事項を挙げることができる。項目ごとの詳細は後述する。 次の事柄は、特殊相対性理論の前提あるいは理論展開(#特殊相対性理論の基礎)するところそのものである。特殊相対論によって座標変換に関して対称な簡潔な数式系にまとめられることができたこと、さらに、後に実験事実として得た諸結果が特殊相対性理論によく整合したことから、物理の基本原理として、これらはより支持されるようになった(#特殊相対性理論の実験的検証)。 以下では話を簡単にするため時間1次元+空間1次元の計2次元の場合について述べる。 文章: 相対論的力学 適当なパラメータ λ を用いた場合は連鎖律により p μ ( λ ) = K μ ( λ ) c - X μ X μ {\displaystyle {\dot {p}}^{\mu }(\lambda )={\frac {K^{\mu }(\lambda )}{c}}{\sqrt {-{\dot {X}}^{\mu }{\dot {X}}_{\mu }}}} で表される。 文章: 共変方程式 共変方程式(きょうへんほうていしき)は、1915年、アルベルト・アインシュタインが一般相対性理論の中で相対性理論の数学的基礎とした方程式の一つ。ニュートン力学が絶対時間と絶対空間を固定化する傾向があったのに対して、エルンスト・マッハはそれが形而上学的であり、現実の宇宙を無視したものだとして、批判した。これは絶対化に対する相対化を示唆する。これは後にマッハの原理と呼ばれ、アインシュタインの相対性理論の成立に大きな影響を与えた。このマッハの原理の数学的な基礎が一般共変方程式であるが、アインシュタインはこの両者は別物だとしている。 アインシュタインは、1918年、「一般相対性理論についての原理」において、「マッハの原理」と「一般共変性」とは別物だと識別した。共変方程式は原理原則としての数学的な方程式であり、数学的ではなく物理的な内容を担うものを別に提示しなければならなくなる。「一般共変性の主張」から明白に意図的に分離すると、それはもはや共変方程式一般ではなく「マッハの原理」となる。 文章: 相対性理論 (バンド) 相対性理論によって主催される自主企画シリーズ「実践」・「解析」・「立式」・「位相」・「幾何」・「回折」・「証明」は、各シリーズ3回公演で完結。 公演タイトルは「相対性理論 presents ○○」の形式を取り、日本武道館公演も例外ではなく「相対性理論 presents 『八角形』」である。 文章: 相対論的力学 で表す。 パラメータの付替え λ → λ' = f(λ) が適当である条件として、旧いパラメータ λ の増加に伴って、新たなパラメータ λ' も単調に増加する必要があり d λ ′ d λ = f ( λ ) 0 {\displaystyle {\frac {d\lambda '}{d\lambda }}={\dot {f}}(\lambda )\geq 0} 文章: 一般相対性理論の数学 一般相対性理論の数学(いっぱんそうたいせいりろんのすうがく、英: Mathematics of general relativity)では、アインシュタインの一般相対性理論の研究や定式化に用いられる様々な数学的構造と技法について記述する。一般相対性理論では、主に微分幾何学、擬リーマン多様体上に定義されるテンソル場の理論が道具として用られる。 文章: 磁性 アインシュタインの特殊相対性理論の帰結として、電気と磁気は根本的に相互に関連していると理解されている。電気を伴わない磁気や磁気を伴わない電気は、ローレンツ力が速度に依存する点から特殊相対性理論と整合しない。しかし、電気と磁気を両方考慮する電磁気学の理論は特殊相対性理論に完全に整合している。従って、ある観察者から見て完全に電気に見える現象や完全に磁気に見える現象が、別の観察者から見れば電気と磁気を両方伴うものに見える可能性があり、電気と磁気は系に依存した相対的なものである。つまり、特殊相対性理論では電気と磁気は1つとなり、分けて考えることができない。 文章: 相対性原理 相対性原理(そうたいせいげんり、Principle of relativity)は、互いに運動する物体の座標系の間では、物理学の法則が不変な形を保つという原理。次の三つがある。 最小作用の原理によれば、どのような物理現象が生起するかは作用積分によって決まる。そのため、相対性原理は「作用積分が座標変換によって変化しないスカラー量である」ことと言い換えることができる。 文章: 絶対時間と絶対空間 特殊相対性理論の登場まで、物理理論では空間と時間の概念は切り離されていた。特殊相対性理論はこれらを結び付け、どちらも観測者の運動状態に依存することを示した。絶対時間と絶対空間という考え方はアインシュタインの理論において特殊相対性理論の時空に置き換えられ、さらに一般相対性理論のダイナミックに曲がる時空に置き換えられた。 相対性理論では絶対的な同時性というものが存在しないため、絶対時間の存在を認めない。絶対的な同時性とは、異なる空間位置で起きた二つ以上の事象が同時だったことを、宇宙のどの観察者からも納得できる形で実験的に証明することを指す。相対性理論は情報伝達速度の上限が光速度だということを前提にしており、その一つの帰結として、異なる場所での同時性は必ず観察者によって相対的になる。 文章: 一般相対性理論の数学 さらに一般的には、 である。実際、上記の表現では、共変微分 ∇ a {\displaystyle \scriptstyle \nabla _{a}} を「任意」の捩れのない接続 ∇ ~ a {\displaystyle \scriptstyle {\tilde {\nabla }}_{a}} 、あるいは、局所的には座標独立な微分 ∂ a {\displaystyle \scriptstyle \partial _{a}} と置き換えることができる。このことは、リー微分は計量独立であることを示している。しかし共変微分のほうは添字の上げ下げと可換である点で便利である。 一般相対性理論においてリー微分の主要な使い方のひとつは、時空の対称性を研究する場合である。時空の対称性があると、テンソルや他の幾何学的な対象が保存され る。特に、キリングの対称性(リー微分による函数の引き継ぎの下での計量の対称性)は、時空の研究に非常に頻繁に現れてくる。上の公式を使い、キリング対称性を生成するベクトル場が満たす条件を書き下すことができる。 文章: 特殊相対性理論 特に観測者 A も慣性運動しているときは、相対速度 v は常に一定であり、次式となる: T = T ′ 1 - ( v / c ) 2 . {\displaystyle T=T'{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}.} 観測者 A、B が慣性運動しており、さらに質点 C が運動しているとする(慣性運動とは限らない)。 文章: 相対論的力学 L X ( X , X , e ) = e 2 [ e - 2 g μ ν ( X ) X μ X ν ( λ ) - m 2 c 2 ] {\displaystyle L_{X}(X,{\dot {X}},e)={\frac {e}{2}}\left[e^{-2}g_{\mu \nu }(X){\dot {X}}^{\mu }{\dot {X}}^{\nu }(\lambda )-m^{2}c^{2}\right]} となる。作用は計量を置き換えただけであり、平坦な時空の場合と変わらず拘束条件として質量殻条件が導かれる。 共役運動量は質量殻条件を用いれば 文章: 相対論的力学 H X ( X , P , e ) = e 2 [ g μ ν ( X ) P μ P ν ( λ ) + m 2 c 2 ] {\displaystyle H_{X}(X,P,e)={\frac {e}{2}}\left[g_{\mu \nu }(X)P^{\mu }P^{\nu }(\lambda )+m^{2}c^{2}\right]} となる。 ベクトル場 A と相互作用する粒子のハミルトン関数は 文章: 特殊相対性理論 T ( a → , b → ) = T μ ν a μ b ν = T μ ν a μ b ν = T μ ν a μ b ν = T μ ν a μ b ν {\displaystyle T({\vec {a}},{\vec {b}})=T_{\mu \nu }a^{\mu }b^{\nu }=T^{\mu }{}_{\nu }a_{\mu }b^{\nu }=T_{\mu }{}^{\nu }a^{\mu }b_{\nu }=T^{\mu \nu }a_{\mu }b_{\nu }} が成立する。 上述の4通りの成分表示において、T は上付きの添え字に対し反変、下付きの添え字に対し共変であるという。