クエリ: 底が正方形のピラミッドの頂点はいくつありますか
文章: 正十六胞体 正十六胞体(せいじゅうろくほうたい,Regular hexadecachoron)とは、 四次元正多胞体の一種で16個の正四面体からなる、四次元の正軸体である。単独で空間充填可能。 胞、面、辺、頂点の数はパスカルのピラミッド(英語版)の第5段(Layer 4)の三角形の各段の数字の総和に等しい。反対側にある胞の中心同士を結ぶ線に沿って見た場合、胞、面、辺、頂点は各段の数字通りのグループに分割される。また面、辺、頂点に集まる図形の数はそれぞれ第2段(Layer 1)、第3段(Layer 2)、第4段(Layer 3)の三角形の各段の数字の総和に等しく、それぞれ線分の端点の数、正方形の頂点と辺の数、正八面体の頂点と辺と面の数に等しい。
文章: 正四角錐反柱 正四角錐反柱(せいしかくすいはんちゅう、gyroelongated square pyramid)とは、10番目のジョンソンの立体で、正四角反柱のひとつの底面に正四角錐をつけたものである。また、もう一方の底面にも正四角錐をつけると双四角錐反柱になる。 文章: ルジンの問題 ルジンの問題(Luzin - のもんだい)とは、正方形に関してニコライ・ルジン (Nikolai Luzin) が考えた問題である。 「任意の正方形を、2個以上の全て異なる大きさの正方形に分割できるか」という問題であり、ルジンはこの問題の解は存在しないと予想したが、その後いくつかの例が発見された。 文章: 反角柱 反角柱(はんかくちゅう、antiprism)または、ねじれ角柱(ねじれかくちゅう)、逆プリズム(ぎゃくプリズム)とは、名の通り角柱をねじって側面の四角形を三角形にした多面体である。角柱と同じで屋根と底にあたる多角形を底面、周りの三角形を側面という。反角柱は 2 個の底面と底面の辺の数の 2 倍の側面を持つ。 反角柱のなかで、底面が正多角形のものを正反角柱又は正多角反柱、底面も側面も正多角形のものをアルキメデスの反角柱 という。特にアルキメデスの反角柱だけに限って反角柱という場合もある。 アルキメデスの反角柱は、半正多面体の条件を満たすが、正多角形が厚みを持ったものなので無限個あり、通常は半正多面体には含まない。アルキメデスの反角柱のうち、底面が正三角形のものは正三角形の面が合計 8 個であるから、正八面体となる。 また正反五角柱の 2 つの底面に、側面が正三角形である正五角錐を付けると、正二十面体になる。 反 n 角柱の場合、面 2n + 2 個、辺 4n 本、頂点 2n 個からなる。 ねじれ双角錐とは双対の関係にあり、反 n 角柱の双対がねじれ双 n 角錐となる。 底面が星型多角形のような一つの内角が小さい多角形の場合、頂点の形を蝶ネクタイのように交差させて立体を作ることが出来る。これを交差反角柱という。これも反角柱と面、辺、頂点の数は同じである。底面が星型正多角形のものを星型正多角交差反柱という(普通の正多角形からは作れない)。 文章: メンフィスとその墓地遺跡 この世界遺産に登録されているピラミッドのうちで最も古いものは、サッカラにあるエジプト第3王朝2代・ジェセル王の階段ピラミッドである。このピラミッドはそれまでエジプトで一般的だったマスタバ状の各層を6段積み重ねて建設された階段ピラミッドであり、エジプト最古のピラミッドと呼ばれている。この形状はジェゼル王の宰相であったイムホテプによって考案されたと伝えられている。また、このジェゼル王のピラミッドは、それまでの日干しレンガ製のマスタバに代わりすべてが石造で作られたエジプト最初の巨大建築であった。このピラミッドは後世に巨大な影響を与え、以後エジプト古王国期を通じ歴代の王はピラミッドを続々と建設していった。 その中でも著名なものは、ダハシュールにあるジェセル王より4代あとのエジプト第4王朝初代であるスネフェル王の建設した屈折ピラミッドである。スネフェルは在世中にみずからのピラミッドを3つ建設しており、屈折ピラミッドはその2つ目にあたる。屈折ピラミッドはその名の通り、途中で傾斜角度が変わっていて上部の方がより緩やかな角度になっている。なぜこのような形状にしたかについては、いくつかの説が存在するものの定説は存在しない状態である。 スネフェルは屈折ピラミッドを建造したのち、同じダハシュールにもうひとつピラミッドを築いた。これは階段状でも屈折状でもなく、直線のラインを持った世界初の真正ピラミッドであり、表面にある花崗岩が赤いことから赤いピラミッドと呼ばれる。 文章: ペアノ曲線 ペアノ曲線の定義において、いくつかまたはすべてのステップで、3つの正方形の各行(列ではなく)の中心が連続になるようにすることもできる。これらの選択によりペアノ曲線の多くの異なる変種が得られる。 ヒルベルト曲線は同じ考えの単純な変種で、正方形を9つの等しい小さい正方形ではなく4つの等しい小さい正方形に分割することに基づいている。 文章: 四十三角形 四十三角形(よんじゅうさんかくけい、よんじゅうさんかっけい、tetracontatrigon)は、多角形の一つで、43本の辺と43個の頂点を持つ図形である。内角の和は7380°、対角線の本数は860本である。 文章: 二十三角形 二十三角形(にじゅうさんかくけい、にじゅうさんかっけい、icositrigon)は、多角形の一つで、23本の辺と23個の頂点を持つ図形である。内角の和は3780°、対角線の本数は230本である。 文章: 正方形 正方形または正四角形(せいしかくけい、せいしかっけい)は、平面上の幾何学において、4つの辺の長さが全て等しく、かつ、4つの角の角度が全て等しい四角形のこと。従って、4つの角は全て直角(90度)になっている。日常語では真四角(ましかく)とも呼ぶ。 正方形は正多角形の一種であり、また長方形、菱形、平行四辺形、台形、凧形の特殊な形だと考えることもできる。 面積の単位である平方メートルは、一辺1mの正方形の面積と定義される。1cm2、1km2なども同様である。 文章: 芳賀定理 芳賀定理(はがていり)もしくは芳賀の定理(はがのていり)とは、芳賀和夫が発案した、本来正方形のある辺の二等分点に対辺の端点を折り合わせると、その端点も最初の二等分線も含まない辺に三等分点が得られるという定理のことである。 現在、これは芳賀の第1定理と呼ばれ、第3定理まである。 芳賀の第2定理とは、正方形のある二等分点と、対辺の端点を結ぶ直線で正方形を折ると、移動した頂点と、最初の二等分点を結ぶ直線は、最初の二等分点も先の端点も含まない辺上に三等分点を描く、という定理のことである。また、この時の折り目の線分と正方形の対角線分の交点を通る、正方形の各辺に対して垂直な直線は、各辺上に三等分点を描く、ということも内包している。 文章: 正三角形 正多角形のうち平面を隙間なく敷き詰めることのできる図形は正三角形、正方形、正六角形の三つのみである。 また正多角形のうち正多面体の面になりうるものは正三角形、正方形、正五角形の三つのみであり、そのうち面が正三角形であるものは正四面体、正八面体、正二十面体である。 正三角形を1つの頂点が互いに全て重なるように6つ敷き詰めると正六角形ができる。これは(1種類の)正多角形を敷き詰めることで別の正多角形を作る唯一の方法である。2種類以上の正多角形を使ってよい場合、正六角形を、6つずつの正方形と正三角形を交互で囲うように敷き詰めて正十二角形を作れる。 正三角形は定規とコンパスだけを用いて作図が可能である。n が素数である正 n 角形のうち、このような作図が可能なのは n がフェルマー素数である場合に限られる。 文章: 人間ピラミッド 以上の人間ピラミッドは最下段の演技者が四つんばいの姿勢をとるが、最下段立ち上がりピラミッドは最下段の演技者が起立姿勢を取る。このタイプのピラミッドは通常三段、または四段で披露される。最下段が起立しているために、ピラミッドでは歩行前進が可能である。歩行中に頂上のメンバーが立ち上がることは可能ではあるが困難である。したがって、ピラミッドの歩行が停止した時点で立ち上がる場合が多い。ピラミッドの分解の際には、しばしば頂上のメンバーの飛び降りが行われる。 1998年、ブラジル、リオデジャネイロ市の西部地区、カンポグランジ区(英語版、ポルトガル語版)で行われた組体操では七段の最下段起立二次元ピラミッドが披露されたが、現在のところ最下段起立型では世界最高である。その高さは四段円塔以上、五段円塔以下であった。クリープによる側方崩壊を防ぐため、側方および後方の複雑な補助構造が用いられた。ピラミッドが巨大であるために構成員の負担が大きく、組み立ては一日に3回が限度であった。 文章: 行列 は、単位正方形を (0, 0), (a, b), (a + c, b + d), (c, d) を頂点とする平行四辺形に写すものと見做すことができる。この平行四辺形は、単位正方形の頂点を成す四つの(列)ベクトル (00), (10), (11), (01) の各々に A を掛けることによって得られる。 この行列と線型写像との間の一対一対応のもとで、行列の乗法は写像の合成に対応する: 上記の A と f に加えて、k × m 行列 B が別の線型写像 g: R → R を表現するものならば、合成 g f は行列の積 BA で表現される。実際、 である。最後の等号は行列の積の結合性による。 文章: 三角形 二等辺三角形において、長さの等しい 2つの辺を等辺といい、残りの 1つの辺を二等辺三角形の底辺と呼ぶ。2つの等辺のなす角を頂角といい、残りの 2つの内角を底角という。頂角の対辺が底辺であり、底辺の両端の角が底角である。また、二等辺三角形で頂点と言った場合、特に底辺の対頂点を指す。 △ABC が b = c の二等辺三角形であれば、底角 ∠B = ∠C であり(二等辺三角形の底角の性質)、逆に、△ABC の 2角が ∠B = ∠C であれば、b = c の二等辺三角形となる(二等辺三角形の成立条件)。 二等辺三角形は線対称な図形であり、頂角の二等分線、底辺の垂直二等分線、頂点から底辺に引いた中線はすべて対称軸上に乗る。 文章: 正軸体 m (0 m n - 1) 次元面の個数は 2 m + 1 n C m + 1 {\displaystyle 2^{m+1}{}_{n}\operatorname {C} _{m+1}} である。これはパスカルのピラミッド(英語版)の第 n + 1 段の三角形の第 m + 2 段の数字の総和に等しい。反対側のファセットの中心同士を結ぶ線に沿って見た場合、次元面たちは数字通りのグループに分割される。これは、 3 n = ( 1 + 2 ) n {\displaystyle 3^{n}=(1+2)^{n}} を二項展開し、 3 n = ( 1 + 1 + 1 ) n {\displaystyle 3^{n}=(1+1+1)^{n}} を三項展開することで示すことができる。特に、頂点(0次元面)は 2 n {\displaystyle 2n} 個、ファセットは 2 n {\displaystyle 2^{n}} 個である。 n C m + 1 {\displaystyle {}_{n}\operatorname {C} _{m+1}} はパスカルの三角形の第 n + 1 段の m + 2 番目の数字であり、n - 1 次元単体の m 次元面の個数である。 文章: 四十八角形 四十八角形(よんじゅうはちかくけい、よんじゅうはちかっけい、tetracontaoctagon)は、多角形の一つで、48本の辺と48個の頂点を持つ図形である。内角の和は8280°、対角線の本数は1080本である。