クエリ: 代数幾何学の考案者は誰?
文章: 代数学 ペルシャの数学者ウマル・ハイヤームは代数幾何学の創始者とされており、三次方程式の一般解を見出したことで知られる。同じくペルシャの数学者は様々な三次方程式の代数解や数値解を求めた。彼は関数の概念も生み出した。インドの数学者マハーヴィーラとバースカラ2世、ペルシャの数学者、中国の数学者朱世傑は、三次、四次、五次などの高次多項式方程式を数値的手法で解いた。13世紀にはフィボナッチの三次方程式の解法に代表されるように、ヨーロッパにおける代数学の復興がなされた。一方でイスラム世界では数学が衰退し、それと入れ替わるようにヨーロッパで数学が盛んになっていった。その後、代数学はヨーロッパを中心として発展していった。
文章: ジーノ・ファノ 彼は射影幾何学と代数幾何学の分野で様々な貢献をした。幾何学基礎論における彼の研究は、ダフィット・ヒルベルトの類似した、しかしより一般的な研究に10年ほど先行している。 文章: 代数曲線 数学における代数曲線(だいすうきょくせん、)、特にユークリッド幾何学における平面代数曲線 ("plane algebraic curve") は、ユークリッド平面内の点集合であって、各点が適当な二変数多項式函数の零点として与えられるものを言う。 文章: 位相幾何学 代数的位相幾何学は位相空間を調べるのに抽象代数学由来の道具を用いる数学の一分野である。その基本的な最終目的は同相を除いて位相空間を分類する代数的不変量を求めることであるが、普通はホモトピー同値を除いて大まかな分類を得ることが目的となる。 文章: 数学における統一理論 よく知られた例は解析幾何学の開拓である。デカルトやフェルマー等の数学者の手によって、特別な種類の曲線や曲面についての多くの定理が、(当時は新しかった)代数的な言葉で記述することができて、そのどれも同じ手法を用いて証明することができるということが示された。つまり、それらの定理は幾何学的解釈は異なるとしても代数学的には非常に似通っているのである。 文章: ワイルズによるフェルマーの最終定理の証明 ワイルズの証明は代数幾何学・数論のテクニックを多数使用しており、これらの数学分野の派生を多く含んでいる。また、彼の証明はスキームの圏や岩澤理論などのフェルマーが知りえなかった20世紀以降のテクニックを含む現代代数幾何学の一般的な構成を使用している。 文章: 概型 アンドレ・ヴェイユ (Andr Weil) は、有限体上やそのほかの環上の代数幾何学に特に興味を持った。1940年代に彼は素イデアルによるアプローチへ戻り、基礎的な理由により彼の必要としたものは(射影空間以外の)抽象多様体であり、特にヤコビ多様体の代数的設定での存在であった。ヴェイユの主要な基本的な書籍(1946)では、生成点は普遍領域(universal domain)と呼ばれる非常に大きな代数的閉体の中に点を取ることで構成された。 文章: ジャン・デュドネ また、彼は無限小解析学、線形代数と初等幾何学、不変理論、可換代数、代数幾何学、形式群に関する個人的な読み物を多数、執筆している。 文章: 代数幾何学と解析幾何学 20世紀には、ソロモン・レフシェッツの名前をつけたレフシェッツの原理が代数幾何学の中で、K を複素数体として扱うように、標数が 0 の任意の代数的閉体 K 上の代数幾何学の位相的なテクニックを評価するために主張された。大まかに言うと、Cの上の代数幾何学で正しいステートメントは、任意の標数が 0 である代数的閉体の上でも正しいということである。詳細な原理の証明は、アルフレト・タルスキ(Alfred Tarski)により、数理論理学を基礎としてなされた。 文章: ザリスキー位相 代数幾何学と可換環論において、ザリスキ位相は代数多様体に定義される位相であり、最初はオスカー・ザリスキによって導入された。ザリスキ位相は可換環の素イデアル全体の集合に対しても定義され、その環のスペクトルと呼ばれる。 文章: 代数幾何学と解析幾何学 今日、GAGA型の結果という用語を使うときは、代数幾何学の対象と射の圏から、解析幾何学の対象と正則写像の作る部分圏への全ての比較定理に対して使われる。 文章: 図法幾何学 図法幾何学(ずほうきかがく en:Descriptive_geometry)は、特定の一連手順で2次元や3次元物体の表現を可能にする幾何学手法。結果として得られる技術は工学、建築、デザインそしてアートにとって重要。 図法幾何学の理論的基礎は平面幾何学的な投影によって提供される。この技術の最初期に著名な出版物は、アルブレヒト・デューラーによるニュールンベルグ、Linienで出版された『Underweysung der Messung mit der Zirckel und Richtscheyt』であった。また、ガスパール・モンジュは一般に「図法幾何学の父」とみなされている。彼は最初に軍事要塞の草案者として働いていた1765年に、幾何学的問題を解決するための技術として開発し発表した。 文章: 代数解析学 代数解析学(だいすうかいせきがく、)とは数学の一分野であり、代数的な手法を用いて解析学を研究する分野のことである。超関数に対する代数的な接近法であり、線形偏微分方程式系の代数的取り扱いを可能にした。超関数などのような関数の一般化やその性質を調べる複素解析学と層の理論を用いて線形偏微分方程式を扱う。この分野は佐藤幹夫によって1959年頃に確立された。 文章: 幾何学的不変式論 幾何学的不変式論はマンフォード(Mumford)の1965年に最初に出版された単行本により発見され発展した。この本では、ダヴィッド・ヒルベルトの結果を含む、現代代数幾何学の問題へ19世紀のアイデアを適用した(本は後日出版された第二版では、フォガルティ(Fogarty)とマンフォード(Mumford)により付録が付けられ、カーワン(Kirwan)によりシンプレクティック商の章が追加され、大きく拡張されている)。本はスキーム論と例の中で有効な計算機テクニックの双方を使っている。本の中で使われた抽象的な設定は、スキーム X 上の群作用という設定である。軌道空間(orbit space)つまり、群作用による X の商空間という単純な考え方のアイデアで、抽象的な説明が可能なある理由によって代数幾何学の困難さへ挑戦した。実際、何故、同値性が(厳密な)正則函数(regular function)(多項式函数)と相互作用するという理由は何もなく、このことは代数幾何学の心臓部である。考えるべき軌道空間 formula_3 上の函数は、G の作用の下で不変となる X 上の函数である。直接のアプローチは、函数体の方法(つまり、有理函数)により可能である。その上の(G-invariant)な有理函数を、(quotient variety)の函数体として取ることを考える。不幸にして、双有理幾何学の観点からは、これは求める答えの第一近似のみを与えることができる。マンフォードはこのことを本の序に記載している。 文章: ジャン・デュドネ 70歳を過ぎてからは新しい理論を創造する能力が衰えたと感じて、もっぱら数学史の書物の執筆を開始した。しかしながら数学原論の「歴史覚書」の大半はデュドネやヴェイユらによって記述されており、このころから歴史にも興味を持っていたのである。この頃に書かれたもので主要なのは『代数幾何学講義』(略称:P.F.U 、代数幾何学史を扱った著作で、1974刊行)、『18世紀、19世紀の数学史要約』、歴史書として最後に書かれたのが代数的位相幾何学に関する『代数的位相幾何学の歴史』(1989)である。代数幾何学史のものはデカルトレベルから20世紀のグロタンディークらまでの壮大な歴史を扱った第1巻、セールの観点から当時として現代的な理論を扱った第2巻がある。代数的位相幾何学史に関するものは当時としては20年前の1960年ごろまでの展開で終わっているが、理由としては2つあげられ、あまりに急速に発展して巨大分野となってしまったことと、数学において歴史的判断をするには時間が必要だということである(当時は目立たなくても後に重要視されたり、逆に当時流行分野が実は余り大したことがなかったりしたなど)。 文章: ゴッパ符号 ゴッパ符号(ゴッパふごう、)または代数幾何符号(だいすうきかふごう、)は、有限体 formula_1 上の代数曲線 "X" を使って構築される線型符号である。V. D. Goppa が考案した。場合によっては、興味深い極値特性(extremal property)を示すことがある。