クエリ: 代数的整数論はいつ発生した?
文章: 代数的整数論 代数的整数論の始まりはディオファントス方程式までさかのぼることができる。これは3世紀のアレクサンドリアの数学者ディオファントスに因んで名づけられたもので、彼はそれを研究し、ある種のディオファントス方程式を求める手法を発達させた。典型的なディオファントス問題は、2つの整数 と であって、それらの和とそれらの平方の和が与えられた2つの数 と にそれぞれ等しくなるようなものを見つけることである:
文章: 因数分解 代数的整数論において、ディオファントス方程式の研究の過程で19世紀の数学者は整数を一般化するものとしての代数的整数を導入した。初期に知られた代数的整数環はガウス整数環やアイゼンシュタイン整数環で、これらは通常の整数の場合と同じくPID(したがってUFD)であった。しかし事はそう都合よくはいかず、すぐにほとんどの代数的整数環がPIDでもUFDでもないことが判明する。もっとも簡単な例として、 において formula_10 は二通りの既約元分解である。 文章: Disquisitiones Arithmeticae この書の扱う数学の分野は、今日でいう初等整数論および代数的整数論の一部である。ガウス自身は、緒言において「整数を考察の対象とする」「整数の一般的研究は高等的アリトメティカによるべき」などと述べている。ここで「高等的アリトメティカ」とは、数の記法や四則計算などの算術を意味する「初等的アリトメティカ」に対する語である。 文章: イデアル類群 イデアル類の個数( の)は一般には無限大かもしれない.実は,任意のアーベル群はあるデデキント環のイデアル類群に同型である.しかし, が実は代数的整数の環であるときには,類数はつねに"有限"である.これは古典的な代数的整数論の主要な結果の1つである. 文章: 環 (数学) 1880年代にデデキントが環の概念を導入し、1892年にヒルベルトが「数環」 という用語を造って「代数的数体の理論」("Die Theorie der algebraischen Zahlkrper," Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereinigung, Vol. 4, 1897.) を発表した。ハーヴェイ・コーエンによれば、ヒルベルトは "circling directly back" と呼ばれる性質を満たす特定の環に対してこの用語を用いている。 文章: 岩澤健吉 オリジナルの岩澤主予想も今では当たり前に取り扱われることも多く、その独創的側面が意識されることは現在では少なくなっているのかもしれない。当時既に数論の中心は代数幾何的手法に移りつつあり代数的整数論は忘れ去られる傾向にあったが、岩澤は新しい観点からそれを生き返らせた。日本においても数論幾何が中心の傾向には変わりなく、岩澤の業績は長い間顧みられることはなかった。岩澤主予想と名づけたのはジョン・コーツである。 文章: ケーラー微分 代数的整数論において、ケーラー微分を代数体の拡大の分岐を研究するために使うことができる。"L"/"K" が有限拡大でそれぞれの整数環が "O" と "o" であれば、 δ は、分岐のデータをエンコードするが、"O"-加群 Ω の零化イデアルである: 文章: 数学史 フワーリズミーは、9世紀バグダードのペルシア人数学者で天文学者であり、インド・アラビア数字および方程式の解法に関する重要な本を著した。彼の著作で西暦825年頃に書かれた『インドの数の計算法』は、アラブ人数学者アル=キンディーと共に作成され、インド数学とインド・アラビア数字を西洋に広める助けとなった。「アルゴリズム」の語は、彼の名のラテン語化、「Algoritmi」に由来し、「代数学 (algebra) は彼の著作の名称『ヒサーブ・アル=ジャブル・ワル=ムカーバラ』(約分と消約の計算の書)に由来する。フワーリズミーは、古代の代数的手法の保存とこの分野への独自の貢献より、「代数の父」と呼ばれている。代数学の更なる発展は、アル=カラジ(西暦953~1029年)の論文『アル・ファフリー』で、未知数の整数冪乗と整数根を包含する方法論を拡張した。10世紀に、アブル・ウワファはディオファントスの著作をアラビア語に翻訳し、正接関数を進展させた。 文章: リヒャルト・デーデキント デデキントは、基礎解析の算術化、および現代の代数的整数論を構築した主要な数学者の一人で、環、加群、イデアル、体、ベクトル空間といった概念を生み出した。また、彼はガウス、ディリクレ、リーマンの著作の編集者としても活躍した。実数の概念を明確化するという哲学的な作業の中で、切断という概念を導入した事が特筆される。 文章: 整数点についてのジーゲルの定理 数学において、整数点についてのジーゲルの定理 (Siegel's theorem on integral points) は、1929年のカール・ジーゲル (Carl Ludwig Siegel) の結果であり、与えられた座標系を持つアフィン空間で表現される、代数体 "K" 上定義された種数 "g" の滑らかな代数曲線 "C" に対し、"g" > 0 であれば、"K" の整数環 "O" の座標で"C" 上の点は有限個しかないという定理である。この結果を適用できる例として、(Mordell curve)がある。 文章: 実数 代数体のうちで複素数体への埋め込み先が必ず実数に含まれるようなものは総実代数体とよばれ、代数的整数論において重要な役割を果たしている。 文章: 代数的整数 以下は α ∈ "K" が代数的整数であることの同値な定義である。ここで "K" は代数体(有理数体 Q の有限拡大)とする。原始元定理より、この "K" は適当な代数的数 θ ∈ C によって "K" = Q(θ) とすることもできる。代数的整数は有限拡大 "K" / Q の整元となっている。即ち代数的整数は環の拡大における整元の特別な場合である。 文章: 代数的整数 代数体 "K" の整数環 "O" は "K" ∩ A に等しく、また体 "K" の極大整環()となっている。全ての代数的整数はそれぞれ何らかの代数体の整数環に属している。"x" が代数的整数であることは、環 Z["x"] がアーベル群として有限生成(即ち有限生成 Z-加群)であることと同値である。 文章: 整関数 解析函数論の特定の場合として考えれば「整函数の基本理論」は一般論からの単に帰結であり、それは本質的に複素素関数論の初歩(しばしばヴァイヤシュトラスの因数分解定理によって詳しく調べられる)である。しかしその研究は、19世紀半ばごろのコーシー, , ヴァイヤシュトラスらから始まり、ボレル, アダマール, , ピカール, , ら(そしてネヴァンリンナを忘れることはできない)によって著しく豊かに推し進められ、いまや堂々たる理論となった。 文章: アイゼンシュタイン整数 と定義する。Z[ω] は Q[ω] の整数環である。Q[ω] は、典型的な代数体であるところの円分体や二次体の一種であるので、アイゼンシュタイン整数環は代数的整数論における最も基本的な対象の一つである。 文章: 数学史 19世紀はまた、新たな抽象代数学の始まりの時代でもあった。ウィリアム・ローワン・ハミルトンによって非可換代数の概念が発展させられたし、一方でイギリスの数学者ジョージ・ブールによってブール論理が開発された。ブール論理は0と1の二つの数からなる体系であり、今日の計算機科学において重要な応用を持っている。