クエリ: 代数幾何学の考案者は誰?
文章: 代数幾何学 ルネ・デカルトは、多項式の零点を曲線として幾何学的に扱う発想を生みだしたが、これが代数幾何学の始まりとなったといえる。例えば、"x", "y" を実変数として ""x" + "ay" - 1" という多項式を考えると、これの零点のなす R の中の集合は "a" の正、零、負によってそれぞれ楕円、平行な2直線、双曲線になる。このように、多項式の係数と多様体の概形の関係は非常に深いものがある。
文章: アレクサンドル・グロタンディーク 主要な業績にスキームの考案による代数幾何学の大幅な書き直し、"l"-進コホモロジー(エタール・コホモロジー)、クリスタリンヌ・コホモロジーの発見によるヴェイユ予想への貢献、モチーフおよびモチヴィック・ガロア群の考察、遠アーベル幾何学の提唱、子供のデッサン(Dessins d'enfants)の考察等、基本的かつ深い洞察から多くの新たなる分野を開拓した。他降下理論、グロタンディーク群によるK理論への貢献、トポスの理論、アーベル圏によるホモロジー代数の統合、ガロア圏および淡中圏によるガロア理論の一般化などの業績がある。またドリーニュ、イリュージー、ベルテロ等多くの有名な数学者を育てた。数論幾何という用語を提案したのもグロタンディークである。 文章: ジャン・デュドネ 70歳を過ぎてからは新しい理論を創造する能力が衰えたと感じて、もっぱら数学史の書物の執筆を開始した。しかしながら数学原論の「歴史覚書」の大半はデュドネやヴェイユらによって記述されており、このころから歴史にも興味を持っていたのである。この頃に書かれたもので主要なのは『代数幾何学講義』(略称:P.F.U 、代数幾何学史を扱った著作で、1974刊行)、『18世紀、19世紀の数学史要約』、歴史書として最後に書かれたのが代数的位相幾何学に関する『代数的位相幾何学の歴史』(1989)である。代数幾何学史のものはデカルトレベルから20世紀のグロタンディークらまでの壮大な歴史を扱った第1巻、セールの観点から当時として現代的な理論を扱った第2巻がある。代数的位相幾何学史に関するものは当時としては20年前の1960年ごろまでの展開で終わっているが、理由としては2つあげられ、あまりに急速に発展して巨大分野となってしまったことと、数学において歴史的判断をするには時間が必要だということである(当時は目立たなくても後に重要視されたり、逆に当時流行分野が実は余り大したことがなかったりしたなど)。 文章: 代数多様体の函数体 代数幾何学では、代数多様体 V の函数体(function field)は、V 上の有理函数と解釈される対象から構成される。古典的な代数幾何学では、函数体は多項式の比であり、(complex algebraic geometry)では、函数体は有理型函数とその高次元類似である。現代の代数幾何学では、函数体は環の商体の元である。 文章: 代数幾何学と解析幾何学 代数幾何学と解析幾何学の間の比較の結果は、長い歴史を持っている。19世紀に始まり現在まで続いている。より重要な結果をここに時系列で記載する。 文章: 幾何学的ラングランズ対応 数論における重要性にもかかわらず、数論の脈絡でのラングランズ対応の確立は、極めて困難であることが判明している。そのため、関連する予想である幾何学的ラングランズ予想を研究している数学者もいる。幾何学的ラングランズ対応は、古典的ラングランズ対応の幾何学的再定式化であり、元々のバージョンで現れる数体を函数体に置き換え、代数幾何学のテクニックを適用することによって得られる。 文章: ザリスキー位相 古典的な代数幾何学(つまりスキーム(1960年頃グロタンディークによって導入された)を用いない代数幾何学)において、ザリスキ位相は代数多様体上に定義される。ザリスキ位相は、多様体の点全体の上に定義されるのであるが、閉集合の全体が多様体の代数的集合全体であるような位相である。最も初等的な代数多様体はアファイン多様体と射影多様体であるから、この両者の場合に定義をより明示的にしておくと有用である。以下では固定された代数閉体 "k" 上で考える。(古典的な幾何学では "k" はほとんどいつも複素数体である。) 文章: ブール代数 ブール代数(ブールだいすう、)またはブール束(ブールそく、)とは、ジョージ・ブールが19世紀中頃に考案した代数系の一つである。ブール代数の研究は束の理論が築かれるひとつの契機ともなった。ブール論理の演算はブール代数の一例であり、現実の応用例としては、組み合わせ回路(論理回路)はブール代数の式で表現できる。 文章: 外積代数 そのしばらく後にアルフレッド・ノース・ホワイトヘッドはペアノとグラスマンのアイデアをもとにして普遍代数を導入する。これは確固たる論理的基礎の上に代数系の公理的な概念を与えることで、20世紀の抽象代数学の発展を可能にした。 文章: 遠アーベル幾何学 遠アーベル幾何学(Anabelian geometry)は数学の理論であり、代数多様体 V 上の(algebraic fundamental group) G や関連する幾何学的対象を記述する。また、V をどのように他の幾何学的対象 W へ写像することができるかを決定する。いずれもより詳細な意味は、G がアーベル群から非常に遠い場合を前提とするという意味である。単語としての遠アーベル(アーベルの前に、接頭語である an がついたもの)は、1980年代のアレクサンドル・グロタンディーク(Alexander Grothendieck)の有名な著作である""で導入された 文章: 射影幾何学 射影幾何学自体も現在では多くの研究分野へ細分化が進んでおり、主なものとしては、射影代数幾何学(射影代数多様体の研究)と射影微分幾何学(射影変換に関する微分不変量の研究)の二つを挙げることができるだろう。 文章: 空間 空間に定義される幾何学的な構造とは、たとえば 「近さ」「向き」「位置関係」「広がり」 のようなものがそうなのであるが、座標や函数のような、通常は代数学的な構造であるとか解析学的な構造であると見なされるようなものも、一部に含んでいる。ホモトピーやホモロジー、コホモロジーは、空間やその幾何学を計算のしやすい代数系によって捉えるという代数的位相幾何学の思想に基づく産物である一方、不変量として空間を規定する幾何学的な構造の一種であると捉えられる。 文章: 代数的整数論 代数的整数論を創始した仕事の1つ、Disquisitiones Arithmeticae(ラテン語で「算術研究」)は、カール・フリードリヒ・ガウスによって1798年にラテン語で書かれた整数論の教科書である.当時ガウスは21歳であり、初出版は24歳の1801年であった。この本においてガウスは、フェルマー、オイラー、ラグランジュ、ルジャンドルなどの数学者によって得られた整数論の結果をまとめ、彼自身による重要な新しい結果を加えた。"Disquisitiones" が出版される前は、整数論は孤立した定理と予想の集まりからなっていた。ガウスは先駆者の研究と自身の独自の研究を系統的な枠組みに収め、ギャップを埋め、あやふやな証明を正し、おびただしい方法で主題を拡張した。 文章: アーベル多様体 19世紀の末には、数学者たちはアーベル函数の研究に幾何学的方法を使い始めた。最終的には、1920年代にソロモン・レフシェッツ(Solomon Lefschetz)は複素トーラスのことばでアーベル函数の研究の基礎を築いた。彼はまた、「アーベル多様体」という名称を初めて使い始めた。1940年代に代数幾何学の言葉で現代的な基礎をこの主題に与えたのはアンドレ・ヴェイユ(Andr Weil)であった。 文章: 斎藤盛彦 斎藤 盛彦(さいとう もりひこ)は日本の数学者。京都大学数理解析研究所准教授。専門は代数解析学、代数幾何学。 文章: 図法幾何学 図法幾何学(ずほうきかがく en:Descriptive_geometry)は、特定の一連手順で2次元や3次元物体の表現を可能にする幾何学手法。結果として得られる技術は工学、建築、デザインそしてアートにとって重要。 図法幾何学の理論的基礎は平面幾何学的な投影によって提供される。この技術の最初期に著名な出版物は、アルブレヒト・デューラーによるニュールンベルグ、Linienで出版された『Underweysung der Messung mit der Zirckel und Richtscheyt』であった。また、ガスパール・モンジュは一般に「図法幾何学の父」とみなされている。彼は最初に軍事要塞の草案者として働いていた1765年に、幾何学的問題を解決するための技術として開発し発表した。