クエリ: 代数的整数論はいつ発生した?
文章: 代数的整数論 代数的整数論を創始した仕事の1つ、Disquisitiones Arithmeticae(ラテン語で「算術研究」)は、カール・フリードリヒ・ガウスによって1798年にラテン語で書かれた整数論の教科書である.当時ガウスは21歳であり、初出版は24歳の1801年であった。この本においてガウスは、フェルマー、オイラー、ラグランジュ、ルジャンドルなどの数学者によって得られた整数論の結果をまとめ、彼自身による重要な新しい結果を加えた。"Disquisitiones" が出版される前は、整数論は孤立した定理と予想の集まりからなっていた。ガウスは先駆者の研究と自身の独自の研究を系統的な枠組みに収め、ギャップを埋め、あやふやな証明を正し、おびただしい方法で主題を拡張した。
文章: 代数方程式 19世紀以降では、1 変数多項式の根に関する研究はガロアによる群論の発明など抽象代数学の萌芽となったし、20世紀の前半には多変数多項式(あるいは方程式系)の零点を幾何学的に研究する分野として代数幾何学が成立している。前述のフェルマーの最終定理は、問題の提出から300年以上のときを隔てて解決されたが、そのために代数幾何学をはじめとする高度な数学の知見が用いられた。 文章: ラングランズ・プログラム ラングランズ・プログラム()は、代数的整数論におけるガロア群の理論を、局所体およびそのアデール上で定義された代数群の表現論および保型形式論に結び付ける非常に広汎かつ有力な予想網である。同プログラムは により提唱された。 文章: 永田清 専門は情報処理、代数的整数論、暗号論。ネットワーク社会における情報伝達、暗号論を研究テーマとしている。 文章: 代数的整数論 1993年から1994年、アンドリュー・ワイルズはに対してモジュラー性定理の証明を与え、とあわせてフェルマーの最終定理の証明が与えられた。当時ほとんどすべての数学者はフェルマーの最終定理とモジュラー性定理はともに、最先端の発展が与えられてさえ、不可能かあるいは実質的に不可能であると以前は考えていた。ワイルズは1993年6月に彼の証明を最初に発表したが、すぐに重要な点で深刻なギャップがあると認識された。証明はワイルズと、部分的にリチャード・テイラーとの共同研究で、訂正され、最終的な広く受け入れられるバージョンが1994年11月に発表され、正式には1995年に出版された。証明は代数幾何と数論の多くの技術を用い、数学のこれらの分野において多くの副産物を持つ。証明はまた、スキームの圏や岩澤理論や、フェルマーには利用可能でなかった他の20世紀の技術のような、現代的な代数幾何の標準的な構成を用いる。 文章: 代数的整数論 ダヴィット・ヒルベルトは代数的整数論の分野を彼の1897年の論文""(文字通りには「数の報告」)で統一した。彼はまた1770年にウェアリングによって定式化された重要な数論の問題を解決した。有限性定理と同様、彼は答えを得るメカニズムを与えるのではなく問題に解が存在しなければならないことを示す存在証明を用いた。彼はその後その主題についてほとんど出版しなかった。しかし、学生の学位論文でのヒルベルトモジュラー形式の出現は彼の名が主要な分野にさらに付いていることを意味する。 文章: 解析的整数論 1859年、リーマンは複素解析と現在はリーマンのゼータ函数として知られている特別な有理型函数を使い、実数 "x" に等しいか小さい素数の数の解析的表現を導き出した。注目すべきことに、リーマンの公式の主要項は、上の積分に値に一致し、ガウスの予想は相当に信頼すべきであることを示した。リーマンはこの表現の中のエラー項が、従って素数の分布に仕方が、ゼータ函数の複素零点に密接に関連することを発見した。リーマンのアイデアと、さらにゼータ函数の零点上の乗法をさらに得ることにより、ジャック・アダマール(Jacques Hadamard)と(de la Valle-Poussin)は、ガウス予想の証明をなんとか完成した。特に、彼らは、とすると、となることを証明した。 文章: 代数学の基本定理 1799年にカール・フリードリヒ・ガウスが学位論文でそれまでの証明の不備を指摘し最初の完全な証明を与えた。後年ガウスはこの定理に3つの異なる証明を与えた。現在ではさらに多くの証明が知られている。 文章: 二次形式 二次形式論およびその研究手法は(実数、複素数、有理数、整数などといった)二次形式の係数のもつ性質に大きく依存する。線型代数学や解析幾何学および二次形式の応用の大部分では係数は実または複素数である。二次形式の代数的理論においてはその係数はなんらかの体であり、二次形式の算術理論においては係数はある種の可換環である(有理整数環 Z や "p"-進整数環 Z がよく用いられる)。二元二次形式は数論において広く研究されており、とくに二次体の理論、連分数、モジュラー形式論などに現れる。"n"-変数の整係数二次形式は代数的位相幾何学に重要な応用を持つ。 文章: イデアル類群 類体論は与えられた代数体のすべてのアーベル拡大,つまりガロワ群が可換なガロワ拡大を分類しようとする代数的整数論の分野である.とりわけ美しい例は代数体のヒルベルト類体において見つかる.これはそのような体の極大不分岐アーベル拡大として定義できる.代数体 のヒルベルト類体 は一意的であり,以下の性質を持つ:いずれの性質も証明は特に簡単ではない. 文章: ガロワコホモロジー ガロワコホモロジーの現在の理論は代数的整数論においてイデアル類群のガロワコホモロジーが自身を"L"-関数とのつながりから取り除く過程の時に類体論を定式化する1つの方法であることが実現されたときに1950年頃一体となった。ガロワコホモロジーはガロワ群がアーベル群であるという仮定を全くしないので、これはであった。それはの理論として抽象的に定式化された。1960年代の2つの発展は position を turn around した。1つ目に、ガロワコホモロジーはエタールコホモロジー(大雑把に言うと 0 次元スキームに適用するときの理論)の基本的な layer として現れた。2つ目に、非可換類体論がラングランズ哲学の一端として着手された。 文章: 正則行列 ある体上の同じサイズの正則行列の全体は一般線型群と呼ばれる群を成す。多項式の根として定められる部分群はあるいは行列群と呼ばれる代数群の一種で、その表現論が代数的整数論などに広い応用を持つ幾何学的対象である。 文章: WZWモデル このトポロジカルな障害はまた、理論のアフィンリー代数の対称性の表現論ともみなすことができる。各々のレベルが正の整数の場合に、アフィンリー代数はある絶対的な整数の最高ウェイトであるユニタリな表現論を持つ。そのような表現は、各々の単純ルートではられる部分代数に関して、有限次元の部分代数へ分解し、対応する負のルートとその交換子は、カルタンの生成子を形成する。 文章: 実数 代数体のうちで複素数体への埋め込み先が必ず実数に含まれるようなものは総実代数体とよばれ、代数的整数論において重要な役割を果たしている。 文章: 代数学の基本定理 17世紀前半にらによって主張され、18世紀の半ばからジャン・ル・ロン・ダランベール、レオンハルト・オイラー、、ジョゼフ=ルイ・ラグランジュ、ピエール=シモン・ラプラスらが証明を試みた。証明は洗練されていったがどれも不完全なものであった。 文章: 合同算術 19世紀にはこれらの数学は超越数論と呼ばれ、算術 (arithmetic) という呼称もより一般の数学を指す言葉として残ったが、1830年にルジャンドルは、この十分に発展を遂げた分野を表すため、数論 (theory of numbers) という呼称を考案した。ガウスのころの算術とは異なる新しい手法が用いられるようになり、代数的整数-論と解析的-数論という分科が現れるようになると、超越数の登場もあって、超越数論という呼称は過去のものとなっていった。