クエリ: 代数幾何学とは何を研究する学問ですか?
文章: 代数幾何学 代数幾何学(だいすうきかがく、)とは、多項式の零点のなすような図形を代数的手法を用いて(代数多様体として)研究する数学の一分野である。大別して、「多変数代数函数体に関する幾何学論」「射影空間上での複素多様体論」とに分けられる。前者は代数学の中の可換環論と関係が深く、後者は幾何学の中の多様体論と関係が深い。20世紀に入って外観を一新し、大きく発展した数学の分野といわれる。
文章: 回転数 (数学) 回転数は代数トポロジーにおいて研究の基本的な対象であり、ベクトル解析、複素解析、幾何学的トポロジー、微分幾何学、弦理論を含む物理、において重要な役割を果たす。 文章: 可微分多様体 様々な幾何学的構造を algebra of scalars のことばで代数的に定義することができ、これらの定義はしばしば代数幾何学(環を幾何学的に解釈して)や作用素論(バナッハ空間を幾何学的に解釈して)に一般化する。例えば、"M" の接束は "M" 上の滑らかな関数の多元環の微分として定義できる。 文章: アレクサンドル・グロタンディーク 終戦後にモンペリエ大学を卒業、ナンシー大学に移りデュドネのもとで研究を始めた。初期の業績に関数解析学に関する研究がある。その後、セールらの影響から彼の関心は代数幾何学へ移り、1950年代後半からのスキーム論による代数幾何学の書き換え、ホモロジー代数、層論、圏論などへの貢献(特に1957年の論文 )はそれぞれの分野だけでなく数学全体に決定的な影響を与えた。ヴェイユ予想の解決を目標と定め、そのために代数幾何を根底から書き直し、「代数幾何原論 (lments de Gomtrie Algbrique, GA)」をエウクレイデスの「原論」と同様に13巻刊行しようとした。しかし1巻から4巻まで約1500ページのみが書かれ、5巻以降は未完成。13巻までの内容は弟子たちとともに行われた「マリーの森の代数幾何セミナー (SGA)」という書物となって刊行されている。(1巻から7巻まであり、約6500ページである)。Weil予想に最も貢献したのはGrothendieckの発見した新しいコホモロジー、「エタール・コホモロジー(Cohomologie tale)」であり、Cohomologie l-adique, Cohomologie cristallineなど新しいコホモロジー論を発見。また、Faltings によるMordell予想の解決もGrothendieckのスキーム論を使ったものであった。彼の業績は、数論、代数幾何、位相幾何を統合するものだと評される。ヴェイユ予想そのものは、グロタンディークが切り開いた道具立てを用い、弟子のピエール・ルネ・ドリーニュにより未解決の二つが解決された。ジャン・デュドネとともにIHSの最初のパーマネントの数学の教授に選ばれる。1966年にフィールズ賞を受賞、1988年にクラフォード賞を受賞(本人は辞退)。1980年代初頭にフランスの市民権を申請したが認められたかは明らかではない。 文章: 幾何光学 幾何光学(きかこうがく)とは、光の波動性や量子性その他を無視して、光の進む線の性質のみを幾何学的に研究する光学の分野である。 文章: 可換環 詰まるところ、これら二つの圏の同値性は幾何学的な仕方での環の代数的性質を非常によく反映するものである。アフィンスキームは(多様体が"R" の開集合上で局所的に定義されるのとまったく同じようにして)スキームの局所モデルになっている(スキームは代数幾何学の主な研究対象である)。それ故に、幾何学的直観に由来する多くの概念を環とその準同型に対して持ち込むことができる。 文章: 幾何学基礎論 幾何学基礎論(きかがくきそろん、)とはユークリッド幾何学の公理主義的研究である。 文章: 川又雄二郎 専門は代数幾何学、特に高次元代数多様体。対数的代数多様体の研究、代数的ファイバー空間の半正値性(アーベル多様体の双有理的特徴づけ)、消滅定理とその応用、極小モデルの存在と性質、双有理変換(3次元での存在と有界性)、多重微分形式の延長、連接層の導来圏との関係などを研究。 文章: 代数・幾何 代数・幾何(だいすう・きか)は、1982年から施行された高等学校学習指導要領において、ベクトル及び行列について理解させ、それらを活用する能力を養うとともに、図形について座標やベクトルを用いて考察する能力を伸ばし、二次曲線や空間図形についての理解を深めることを目的とした数学の科目の一つである。大学の初年次で履修する線形代数の高校生版という雰囲気であった。1994年度から施行された学習指導要領に伴い、廃止された。学習指導要領に示された内容は次のとおりである。 文章: 計算幾何学 計算幾何学(けいさんきかがく、英語:computational geometry)は、幾何学の言葉で述べることのできるアルゴリズムの研究をテーマとする計算機科学の一分野である。計算幾何学的アルゴリズムの研究から純幾何学的な問題が生じることもあり、またそのような問題は計算幾何学の一部であると考えられる。 文章: 代数的整数論 代数的整数論(だいすうてきせいすうろん、)は数論の一分野であり、抽象代数学の手法を用いて、整数や有理数、およびそれらの一般化を研究する。数論的な問題は、代数体やその整数環、有限体、関数体のような代数的対象の性質のことばで記述される。これらの性質は、例えば環において一意分解が成り立つかとか、イデアルの性質、体のガロワ群などであるが、ディオファントス方程式の解の存在のような、数論において極めて重要な問題を解決することができる。 文章: 幾何学 現代の日本の教育では、体系的な初等幾何学はほぼ根絶されかけたが、近年、中・高の数学教育で線型幾何/代数幾何を用いない立体を含む、本格的な綜合幾何は見直されつつある。以下では様々な幾何学の発展とその概要を、歴史にのっとって時系列順に述べることとする。幾何学(ジオメトリー)の語源は「土地測量」であり、起源は古代エジプトにまで遡ることができる。 文章: 代数幾何学 当然、次元が上がると更に複雑化し、4次元以上の代数多様体についてはあまり研究は進んでいない。 文章: 代数群 代数幾何学において,代数群(だいすうぐん,, あるいは群多様体,)とは,代数多様体であるような群であって,積と逆元を取る演算がその多様体上の正則写像によって与えられるものである. 文章: 代数多様体 代数多様体(だいすうたようたい、algebraic variety)は、最も簡略に言えば、多変数の連立多項式系の解集合として定義される図形と述べる事が出来る。代数幾何学の最も主要な研究対象であり、デカルトによる座標平面上の解析幾何学の導入以来、多くの数学者が研究してきた数学的対象である。主にイタリア学派による射影幾何学的代数多様体、代数関数論およびその高次元化に当たるザリスキおよびヴェイユによる付値論的抽象代数多様体などの基礎付けがあたえられたが、20世紀後半以降はより多様体論的な観点に立脚したスキーム論による基礎付けを用いるのが通常である。 文章: 代数多様体 以上のような状況から、グロタンディークは、点集合としての代数的集合を環のスペクトラムとよばれる、環の素イデアル全体のなす位相空間に置き換えることによって、閉体上の有限生成整域だけでなく、任意の可換環に対して代数幾何学の対象となりうる図形を定義した(アフィンスキーム)。一般のスキームはアフィンスキームの貼り合わせとして定義される。アフィンスキーム上の関数(すなわちもとの可換環の元)はアプリオリには局所的に定義されたものではないが、局所化の理論を用いて可換環の層を対応させ、アフィンスキームの貼り合わせである一般のスキームを環付き空間として定義する多変数複素解析のアイデアが用いられた。このことにより、代数幾何学の幾何学的アイデアが整数論の問題にまで(原理的には)直接適用可能になるなど、代数幾何の応用範囲が大きく広がる事となった。詳しくは概型の項を参照。