クエリ: 代数幾何学とは何を研究する学問ですか?
文章: 代数幾何学と解析幾何学 数学において、代数幾何学と解析幾何学(、略称: GAGA)は密接な関係にある。代数幾何学は代数多様体を研究するのに対して、解析幾何学は複素多様体やより一般的に多変数の(複素)解析函数のゼロ点で局所的に定義されたを扱う。これら2つの深い関係は、代数的なテクニックを解析空間へ適用したり、逆に解析的テクニックを代数多様体へ適用したりする上で応用されている。
文章: 解析幾何学 初等幾何学における解析幾何学(かいせききかがく、)あるいは座標幾何学(ざひょうきかがく、)、デカルト幾何学(デカルトきかがく、)は、座標を用いて代数的に図形を調べる幾何学をいう。座標を用いるという点において、(より古典的な、ユークリッドの原論にもあるような)点や直線などがどのような公理に従うかということのみによって図形を調べる とは対照的である。座標を利用することにより、図形のもつ性質を座標のあいだにあらわれる関係式として特徴づけたり、数や式として図形を取り扱ったりすることができる。 文章: リーマン球面 複素解析において、リーマン球面は有理型関数の洗練された理論で重要な役割を果たす。リーマン球面は、射影幾何学や代数幾何学では、複素多様体、射影空間、代数多様体の根源的な事例として常に登場する。リーマン球面はまた、量子力学その他の物理学の分野等、解析学と幾何学に依存する他の学問分野においても、有用性を発揮している。 文章: 代数的位相幾何学 代数的位相幾何や抽象代数学において,ホモロジー(一部はギリシア語 μ "homos" "同一" に由来)は、位相空間や群などの所与の数学的対象に対して、アーベル群あるいは加群からなる列を対応付ける仕方である。 文章: 外積代数 外積代数(がいせきだいすう、)は、ヘルマン・グラスマンに因んでグラスマン代数(グラスマンだいすう、)としても知られ、与えられた体 上のベクトル空間 上の外積によって生成される多元環である。多重線型代数やその関連分野と同様に、微分形式の成す多元環を通じて現代幾何学、特に微分幾何学と代数幾何学において広く用いられる。 文章: ジーノ・ファノ 彼は射影幾何学と代数幾何学の分野で様々な貢献をした。幾何学基礎論における彼の研究は、ダフィット・ヒルベルトの類似した、しかしより一般的な研究に10年ほど先行している。 文章: 代数幾何学と解析幾何学 この原理は、C上の代数多様体の解析的、位相的な方法を使って得られる結果を出すことを、標数 0 のほかの代数的な閉体の上で行うことで可能となる。 文章: 因子 (代数幾何学) 因子(いんし; divisor)とは、代数幾何学や複素幾何学において、代数多様体(または複素解析空間)の余次元1の部分多様体の形式的有限和のことをいう。因子は、代数多様体や解析空間上の有理関数あるいは有理型関数の極や零点の分布を表すために用いられる(概説参照)。線形同値な因子の空間である線形系を考えることは、射影空間への有理写像を考えることと1対1に対応しているので、代数多様体(または複素解析空間)の代数幾何的な性質・情報を取り出すときに欠かせない概念である。 文章: 代数多様体 以上のような状況から、グロタンディークは、点集合としての代数的集合を環のスペクトラムとよばれる、環の素イデアル全体のなす位相空間に置き換えることによって、閉体上の有限生成整域だけでなく、任意の可換環に対して代数幾何学の対象となりうる図形を定義した(アフィンスキーム)。一般のスキームはアフィンスキームの貼り合わせとして定義される。アフィンスキーム上の関数(すなわちもとの可換環の元)はアプリオリには局所的に定義されたものではないが、局所化の理論を用いて可換環の層を対応させ、アフィンスキームの貼り合わせである一般のスキームを環付き空間として定義する多変数複素解析のアイデアが用いられた。このことにより、代数幾何学の幾何学的アイデアが整数論の問題にまで(原理的には)直接適用可能になるなど、代数幾何の応用範囲が大きく広がる事となった。詳しくは概型の項を参照。 文章: 代数幾何学 19世紀中期に、ベルンハルト・リーマンがアーベル関数論の中で双有理同値など代数幾何学の中心概念を生み出し、19世紀後半には、イタリアの直観的な代数幾何学が発展した(代数幾何学のイタリア学派)。20世紀前半には、アンドレ・ヴェイユ、オスカー・ザリスキによって、抽象的な代数幾何学の研究が進められ、1950年代以降はグロタンディークのスキーム論によって代数幾何学全体が大きく書き直された。 文章: 代数幾何学 上記の例のように、代数幾何学において非常に重要な問題として「多項式の形から、多様体を分類せよ」という問題が挙げられる。曲線のような低次元の多様体の場合、分類は簡単にできると思われがちだが、低次元でも次数が高くなるとあっという間に分類が非常に複雑になる。 文章: 代数方程式 19世紀以降では、1 変数多項式の根に関する研究はガロアによる群論の発明など抽象代数学の萌芽となったし、20世紀の前半には多変数多項式(あるいは方程式系)の零点を幾何学的に研究する分野として代数幾何学が成立している。前述のフェルマーの最終定理は、問題の提出から300年以上のときを隔てて解決されたが、そのために代数幾何学をはじめとする高度な数学の知見が用いられた。 文章: ホモロジー代数学 コホモロジー論は、位相空間、層、群、環、リー環、そしてC*-環といった、多くの異なる対象に対して定義されてきた。現代的な代数幾何学の研究は層コホモロジーなしではほとんど考えられないであろう。 文章: 数え上げ幾何学 数え上げ幾何学は、19世紀の終わりに(Hermann Schubert)により、大きな進展がみられた。 このために彼は、と呼ばれる方法を導入した。この計算で、彼は広い領域に基本的な幾何学的、トポロジー的な値を導入した。(当時は、)数え上げ幾何学に特別に必要なものは注目されなかったが、代数幾何学が全体で一般的な前提として、1960年代、1970年代になるとそれらが深い注目を集めるようになった。(例えば、(Steven Kleiman)が指摘している)。アンドレ・ヴェイユにより交点数が厳密に定義されたが、これは、19426年にヴェイユの基本的なプログラムの一部として厳密に定義がされ、さらにその後、確立されたものである。しかし、これは、数え上げ問題の固有な領域のすべてを解決するものではなかった。次元の数え上げとベズーの定理のナイーブな適用は、誤った結果を導く。このことを次の例で示す。これらの問題の対応として、代数幾何学者たちは曖昧な『ファッジェ因子』(ぼんやりとした柔らかい因子とでも訳すべきか)を導入したが、この厳密な評価は何十年か後となってしまった。 文章: 計算幾何学 計算幾何学(けいさんきかがく、英語:computational geometry)は、幾何学の言葉で述べることのできるアルゴリズムの研究をテーマとする計算機科学の一分野である。計算幾何学的アルゴリズムの研究から純幾何学的な問題が生じることもあり、またそのような問題は計算幾何学の一部であると考えられる。 文章: ジャン・デュドネ エコール・ノルマル・シュペリウール卒。抽象代数学、関数解析、の研究で知られる。更に数学史の研究者でもあり、代数的位相幾何学や関数解析学の歴史についての研究がある。彼のおもな業績は古典群(これに関する本は『古典群の幾何学』という題名で1955年に出版された)、形式群、そして現在と呼ばれているデュドネ環上の加群論の導入であり、前者の分野で著しい影響を与えた。位相線形空間の業績も有名である。