クエリ: 140と195、48と75などのように、1とそれ自身を除いた約数の和が互いに他方と等しくなるような1組の自然数を何という?
文章: 婚約数 婚約数(こんやくすう、英: betrothed numbers)とは、異なる 2 つの自然数の組で、1 と自分自身を除いた約数の和が互いに他方と等しくなるような数をいう。準友愛数(じゅんゆうあいすう、quasi-amicable numbers)とも呼ばれる。最小の婚約数の組は (48, 75) である。現在まで知られる婚約数の組はすべて偶数と奇数の組である。
文章: リーマンゼータ関数 自然数 n の(正の)約数の個数と全ての約数の和は、どちらも約数関数として定義され、それぞれ、d(n)、 σ(n) で表すことができる。このとき、 ζ ( s ) 2 = ∑ n = 1 ∞ d ( n ) n s {\displaystyle {\zeta (s)}^{2}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n)}{n^{s}}}} ζ ( s ) ζ ( s - 1 ) = ∑ n = 1 ∞ σ ( n ) n s {\displaystyle {\zeta (s)}\,{\zeta (s-1)}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma (n)}{n^{s}}}} が成り立ち、また、n と互いに素な n 以下の自然数の個数を オイラーのφ関数 φ(n) で表すとき、 文章: ファクトリオン 数学において、ファクトリオン(英: factorion)とは、 各桁の数字の階乗の和がその数自身となる自然数である。例えば、145は、1! + 4! + 5! = 1 + 24 + 120 = 145であるためファクトリオンである。 十進法では、ファクトリオンは、1、2、145、40585(オンライン整数列大辞典の数列 A014080)の4つのみである。 ファクトリオン、という名称は、Clifford A. Pickoverが彼の著書、Keys to Infinity の22章、"The Loneliness of the Factorions"で用いた。 文章: 65 65(六十五、ろくじゅうご、むそいつ、むそじあまりいつつ)は自然数、また整数において、64の次で66の前の数である。 文章: 約数 自然数 N の正の約数の和を、約数関数 σ(N) で表す。素因数分解により、正の約数の和も式で表すことができる。 N の素因数分解を N = 235... とすると、 正の約数の和が n となる自然数 N を求めるには、初項 1 の素因数のべき和の積を既知とするところから求める必要がある。 文章: 回文素数 回文素数を小さい順に列記すると、桁数が偶数の回文素数は 11 のみである。これは、桁数が偶数の回文数は 11 の倍数となるからである。素数になるレピュニットは回文素数である。回文素数が無数に存在するかどうかは分かっていない。2021年8月時点で知られている最大の回文素数は 10 + 3 (10 - 1)/9 10 + 1である。 文章: 467 467(四百六十七、よんひゃくろくじゅうしち、よんひゃくろくじゅうなな)は自然数、また整数において、466の次で468の前の数である。 文章: 不足数 不足数(ふそくすう、英: deficient number)とは、その約数の総和が元の数の 2 倍より小さい自然数のことである。この不足数の定義は「その数自身を除く約数の総和が元の数より小さくなるような数」と同値である。 例えば、15 の約数の総和は 1 + 3 + 5 + 15 = 24 < 15 × 2 であるので 15 は不足数である。もしくは「15 の自身を除く約数の総和は 1 + 3 + 5 = 9 < 15 であるので 15 は不足数」と考えてもよい。約数関数を用いると σ(n) < 2n を満たす n が不足数である。不足数は無数に存在し、そのうち最小の数は 1 である。 不足数を 1 から小さい順に列記すると 全ての素数 p は約数の総和が σ(p) = 1 + p < 2p であるので不足数である。また、5 以上の素数 p を 2 倍した偶数 2p の約数の総和は σ(2p) = 1 + 2 + p + 2p < 2p × 2 となるので不足数である。素数は無数にあるので偶数の不足数も奇数の不足数も無数に存在する。また不足数や完全数の約数は全て不足数となる。 半素数は6を除き全て不足数。 σ(n) = 2n - 1 を満たす n は不足数であり、概完全数と呼ばれる。概完全数は無数にあり、そのうち最小の数は 1 であるが、2の冪 2k (= 1, 2, 4, 8, ...) の形をした数しか見つかっておらず他の形をした概完全数が存在するのかどうかは分かっていない。 文章: ユークリッド・オイラーの定理 数学の整数論におけるユークリッド・オイラーの定理は、偶数の完全数、すなわち「自身を除く約数の総和が再び自身に等しい偶数」に関する特徴づけを述べた定理である。古代ギリシアのエウクレイデスが偶数が完全数になる十分条件を『原論』において与え、それから2000年の時を経てレオンハルト・オイラーがその条件が必要条件でもあること、したがって偶数が完全数であるための必要十分条件であることを証明した。定理の主張は次の通りである。 例えば、偶数 6 は自身を除く約数の和が 1 + 2 + 3 = 6 自身となる完全数である。これは n = 2 として 6 = 2 3 = 22 - 1(22 - 1) と表せる。ここで、3 = 22 - 1 は素数である。ユークリッド・オイラーの定理はこのような関係が常に成り立つという定理である。 なお、偶数の完全数が無数にあるかどうか(すなわちメルセンヌ素数が無数に存在するかどうか)は未解決問題である。また、奇数の完全数が存在するかどうかも未解決問題であり、仮に存在するとしても必ず101500より大きいことが示されている。 文章: 145 145(百四十五、ひゃくよんじゅうご)は自然数、また整数において、144の次で146の前の数である。 文章: 88 88(八十八、はちじゅうはち、やそや、やそじあまりやつ)は、自然数、また整数において、87の次で89の前の数である。 文章: 131 131(百三十一、ひゃくさんじゅういち)は自然数、また整数において、130の次で132の前の数である。 文章: 140 140(百四十、ひゃくよんじゅう)は自然数、また整数において、139の次で141の前の数である。 文章: アキレス数 アキレス数は多冪数なので、素因数分解したときの各素因数の指数部が全て2以上で、かつ累乗数でない数で、全ての指数部が互いに素である数といえる。 文章: カーマイケル数 カーマイケル数 n は、その全ての素因子 p に対して p - 1 が n - 1 を割り切るという特徴を持つ。例えば2821を例に取ると、である。逆に、この性質を持ち、平方因子を持たない合成数はカーマイケル数である。カーマイケル数は、少なくとも3個以上の異なる素数の積である。フェルマーテストでは確率的素数と誤判定されるカーマイケル数であるが、フェルマーテストの改善版であるミラー-ラビン素数判定法では、ひとつの底に対する誤判定の確率は 1/4 以下となる。 文章: 197 197(百九十七、ひゃくきゅうじゅうなな)は自然数、また整数において、196の次で198の前の数である。