クエリ: ロシアのグレゴリー・ペレルマンによって解決された、「単連結な3次元閉多様体は3次元球面に同相である」というミレニアム懸賞問題のひとつは何?
文章: ポアンカレ予想 ポアンカレ予想は、1904年にフランスの数学者アンリ・ポアンカレによって提出された。ポアンカレ予想は現在では「単連結な3次元閉多様体は3次元球面 S に同相である」と表現される。すなわち、境界を持たない連結かつコンパクトな3次元多様体は、任意のループを1点に収縮できるならば、3次元球面 S と同相であるというものである。 ポアンカレ自身、デーン、ホワイトヘッド、古関健一、コリン・ルーケ (Colin Rourke)、イアン・スチュアート、ビング、などの数学者達がこの問題に挑戦した。初めに1932年ヘルベルト・ザイフェルトがザイフェルトファイバー空間の場合の証明をした。パパキリアコプロスは同値の予想を作ったがその度にマスキットなどに反証された。そしてロシアの数学者グリゴリー・ペレルマンは2002年から2003年にかけてこれを証明したとする一連の論文をプレプリントサーバarXivに投稿した。これらの論文について2006年の夏頃まで複数の数学者チームによる検証が行われた結果、証明に誤りのないことが明らかになった。ペレルマンはこの業績によって2006年のフィールズ賞が贈られたが、本人は受賞を辞退し、世間からは疑問の声が上がった。 3次元閉多様体の分類については1970年代に提唱されたウィリアム・サーストンの幾何化予想があり、これは3次元ポアンカレ予想を含意するものである。
文章: ゾーン多面体 平行多面体 (Parallelohedra) とは、ゾーン多面体のうち単独で平行移動のみによる空間充填が可能な立体のことであり、以下の5種類しかないことをロシアの結晶学者E.S.フェドロフが1885年に証明した。1933年にロシアの数学者ドロネーはより簡単なアプローチでこれを証明した。コクセターはH.S.ホワイトの投影図法に基づいて、1つの交点に交わる直線は3本以下で、1本の直線上の交点の数は3以下という条件を導き、フェドロフの5種類に証明を与えた。 文章: エキゾチック R4 エキゾチック R 4 とは、4次元ユークリッド空間 R 4 に同相であるが、微分同相ではない4次元可微分多様体のこと。エキゾチック R 4 である最初の例は、1982 年にマイケル・フリードマン等により、位相的な4次元多様体に関するフリードマンの定理と、微分可能な4次元多様体に関するサイモン・ドナルドソンとの対比を使用して発見された。クリフォード・タウベスにより、 R 4 の非微分同相な微分可能構造の連続体が存在することが示されている。 上記の構築に先立って、球面上の非微分同形の滑らかな構造(エキゾチックな球体) が存在することが既に知られていたが、 4-球体 の特定のケースに対するそのような構造の存在の問題は未解決のままであった。 4 以外の任意の正の整数nに対して、 R n のエキゾチックな滑らかな構造は存在しない。言い換えると、n ≠ 4 の場合、任意の R n と同相な滑らかな多様体は、 R n と微分同相である。 文章: ミレニアム懸賞問題 任意のコンパクトな単純ゲージ群 G に対して、非自明な量子ヤン・ミルズ理論が 'R 上に存在し、質量ギャップ Δ > 0 を持つことを証明せよ。 リーマンゼータ関数 ζ(s) の非自明な零点 s は全て、実部が 1/2 の直線上に存在する。 計算複雑性理論(計算量理論)におけるクラスPとクラスNPが等しくない。 文章: 双球座標系 双球座標系(英語: bispherical coordinates)は3次元の直交座標系の一つで、2次元の双極座標系を、2つの焦点を結ぶ軸を中心に回転させたものである。そのため、双球座標系の2焦点は回転軸上の点として維持される。 文章: 三次元球面 数学における三次元球面、三次元超球面(さんじげんちょうきゅうめん)あるいはグローム は、通常の球面の高次元版である超球面の特別の場合である。四次元ユークリッド空間内の三次元球面は、固定された一点を「中心」として等距離にある点全体の成す点集合として定義することができる。通常の球面(つまり、二次元球面)が三次元の立体である球体の境界を成すのと同様、三次元球面は四次元の立体である四次元球体の境界となる三次元の幾何学的対象である。三次元球面は、三次元多様体の一つの例を与える。 文章: 低次元トポロジー より詳しくは、K が 3次元多様体 M の中の結び目とし(最も良く使われる M は3-球面(英語版)である)、N を K の管状近傍(英語版)とすると、位相的に N はトーラス体(solid torus)である。そうして、結び目補空間とは N の補集合関連する主題として、組み紐理論がある。組み紐理論は、日常的な意味の組み紐およびそのある種の一般化を研究する抽象幾何学理論である。考え方としては、組み紐を群として体系化することであり、その群演算は「紐の集合上で、紐をひねって組むという操作を、ひねりを加えた順番に従って考える」ことを意味する。そのような群は明白に群の表示により陽に記述することができ、Emil Artin (1947) に示されている。この線での基本的な取り扱いは組み紐群の項を参照。ブレイド群はまた、より深い数学的な解釈(たとえば、配置空間(英語版)の基本群)も持つ。 文章: 群論 ガロア群は歴史的には群論の起源の一つではあるが、未だ類体論などの領域で新しい結果を与えるなどの実りある応用がされている。代数的位相幾何学(代数トポロジー)は、その研究の対象となるものにはっきりと群が付随しているもう一つの領域である。ここでは、群は位相空間のある種の不変量を記述するのに用いられる。「不変量」というのは、空間がある種の変形を受けてもそれらが変化しないということを示すものである。例えば、基本群は、空間に本質的に異なる道がいくつあるかを「数える」ものである。(2002年と2003年にグレゴリー・ペレルマンによって証明がなされた)ポワンカレ予想はこのような考え方を用いた顕著な応用例であるが、その影響はこの方面に留まるものではない。たとえば、代数的位相幾何学では所定のホモトピー群を備えた空間であるアイレンバーグ-マクレーン空間が用いられる。 文章: 低次元トポロジー 球面上の微分同相ではない可微分構造(英語版) 異種球面(英語版) は存在が知られていたが、この構成により、そのような構造の存在が 4-球面のこの特別な場合のみ存在するのかどうかという問題は未解決である(2014年段階では)。4 以外の正の整数 n に対し、R 上には異種可微分構造が存在しない。言い換えると、n ≠ 4 ならば、R に同相な任意の滑らかな多様体は、R に微分同相である。 多くとも次元が 3 の低次元における方法により証明することのでき、少なくとも次元 5 以上の完全に高い次元の方法により証明できる多様体の基本定理がいくつかあるが、次元 4 でのみ、成立しない定理がある。これらの例をいくつか挙げる。 文章: 三次元球面 三次元球面は自然に滑らかな多様体(実は Rへの閉埋蔵多様体(英語版))になる。 R 上のユークリッド距離から三次元球面上の距離が導かれ、三次元球面はリーマン多様体となる。任意の二次元球面がそうであったように、任意の三次元球面も一定の正の断面曲率を持ち、その値は半径を r とすれば 1/r に等しい。 三次元球面の興味深い幾何学的性質には、それが(四元数の乗法によって与えられる)自然なリー群構造を持つという事実に由来するものがたくさんある(後述)。ほかの次元の球面で同様の構造を持つものは、零次元および一次元(円周群)に限られる。 二次元球面の場合と異なり、三次元球面上では至る所消えないベクトル場(接束の切断)を持つ。さらには、至る所消えないベクトル場の線型独立な三つ組さえ存在する(そのようなものとして、三次元球面のリー環の基底となるような左不変ベクトル場の任意の組をとることができる)。このことから、三次元球面は平行化可能(英語版)であることが分かる。したがって三次元球面の接束は自明である。一般次元の球面における線型独立なベクトル場の数に関する一般の議論は球面上のベクトル場(英語版)の項を参照せよ。 文章: 微分同相写像 トーラス S × S = R/Z の場合には、写像類群は単にモジュラー群 SL(2, Z) であり分類は楕円型、放物型、双曲型行列の言葉の古典的なものに帰着する。サーストンは写像類群はタイヒミュラー空間(英語版)のコンパクト化上に自然に作用することを観察することによって彼の分類を達成した; この大きくされた空間は閉球に同相であるから、ブラウアーの不動点定理が適用可能になる。M が向き付けられた滑らかな閉多様体であれば、スメイルによって、向きを保つ微分同相写像の群の単位元成分(英語版)は単純であることが予想された。これはまず Michel Herman によって円の積に対して証明されていた; サーストンによって完全に一般的に証明された。 文章: 三体問題 その後、20世紀後半から21世紀初めにかけて、ソフィア・コワレフスカヤの特異点解析(これは彼女をコワレフスカヤのコマの発見に導いた)の流れを受ける Ziglin 解析による、あるいは Ziglin 解析に微分ガロア理論を応用する Morales-Ramis 理論による、三体が任意の質量を持つ一般三体問題の非可積分性の証明が得られた。 n体問題の有限時間 t ∈ [ 0 , t ) {\displaystyle t\in [0,t^{*})} での解 ( r 1 ( t ) , r 2 ( t ) , r 3 ( t ) ) {\displaystyle \left(r_{1}(t),r_{2}(t),r_{3}(t)\right)} について、それを時刻 t = t < ∞ {\displaystyle t=t^{*}<\infty } を超えて延長できないとき、その点を特異点 (singularity) と呼ぶ。極限 t → t {\displaystyle t\to t^{*}} において粒子座標が有限値に収束する場合、これは粒子の衝突を意味するため衝突特異点 (collision singularity) と呼ぶ。一方そうでない場合を非衝突特異点 (non-collision singularity) と呼ぶ。ただし三体問題においては非衝突特異点が存在しないことがポール・パンルヴェによって証明されている(この考察がパンルヴェ予想の出発点となった)。 三体問題における二体衝突は正則であり適切な座標変換により除去できることがトゥーリオ・レヴィ=チヴィタやカール・スンドマンの研究によって20世紀前半には明らかになっていた(詳細はレヴィ=チヴィタ変換を見よ)。一方、三体の同時衝突については Siegel (1941) によって真性特異点であり正則化できないことが示されている。スンドマンは三体衝突が可能であるためには系の全角運動量がゼロでなければならないことを証明した(カール・ワイエルシュトラスはスンドマンより早くこの事実を知っていたが、証明を出版しなかった)。なおスンドマンはこれらの結果をもとに、全角運動量がゼロでない初期値に対して、すべての時刻 t {\displaystyle t} で収束する三体問題の無限級数解の存在を、それを実際に構成することにより証明した。ただしこの無限級数解は収束が極めて遅く、このような解の表示から何らかの帰結を引き出すことは実際上不可能であると考えられている。 文章: 超球面 である。 次元 n > 2 の球面は超球面 (hypersphere) と呼ばれることがあり、3 次元球面は glome と呼ばれることがある。原点に中心のある半径 1 の n 次元球面は n-次元単位球面または単位 n 次元球面 (unit n-sphere) と呼ばれ、S と表記される。単位 n 次元球面はしばしば the n-sphere と呼ばれる。 n 次元球面は (n + 1) 次元球体の表面あるいは境界であり、n 次元多様体である。n 2 に対して、n 次元球面は正の定曲率(英語版)の単連結 n 次元多様体である。n 次元球面にはいくつかの他の位相的記述がある。例えば、2 つの n 次元ユークリッド空間を貼り合わせることによって、n-次元超立方体の境界を一点と同一視することによって、あるいは (n - 1) 次元球面の懸垂を(帰納的に)作ることによって構成できる。 文章: 結び目理論 なお、Haken による正則曲面 (normal surface) の理論により、任意に与えられた 2 個の結び目が同値であるか否かを判定するアルゴリズムが存在することが知られている。 近年では DNA やタンパク質の異性体の構造などの研究や統計力学・場の量子論にも関連して注目されている。 結び目は3次元多様体の形状を調べることにも利用できる。同様のことを次元を上げて一般化して考えようとすると、4次元空間では1次元の閉多様体である結び目はほどけてしまって役に立たないが、2次元の多様体である閉曲面を使ってやれば目的を果たすことができる。これを4次元結び目理論、曲面結び目理論などと呼んで結び目理論に含めることもある。 文章: 平坦性問題 この問題は平坦性問題と呼ばれ、1960年代から1970年代にかけて、地平線問題と並ぶビッグバン理論の未解決問題とされてきた。この問題は1980年代初めに提唱されたインフレーション宇宙の仮説によって解決される。インフレーション宇宙論では、宇宙が生まれた直後に宇宙のサイズが指数関数的に膨張する。よって、元々の宇宙が平坦でないどんな曲率を持っていたとしてもこのようなインフレーションの過程によって極端に引き伸ばされて平坦化され、宇宙の密度は自然に臨界密度にほぼ一致する値をとることになる。 文章: リーマン多様体 リーマン多様体の考え方は1828年にカール・フリードリヒ・ガウスが証明した『驚異の定理 (Theorema Egregium)』までさかのぼる。この定理は曲面の曲率(厳密にはガウス曲率)が、曲面が三次元空間にどのように埋め込まれるかに依存せず、単に角度や長さを定める計量テンソルにのみ依存するというものである。ガウスの弟子であったリーマンはガウスの定理を多様体と呼ばれる高次元空間に拡張した。この応用として、アルベルト・アインシュタインが相対性理論においてリーマン多様体の考え方を利用している。リーマン距離とは多様体上の各点に与えられた計量テンソルにより、点と点を結ぶ距離を多様化したものである。リーマン距離を用いると、角度や曲線の長さなどの幾何的性質が多様体上で定義可能である。