クエリ: 別名を「三平方の定理」という三角形に関する定理のことを、古代ギリシャの数学者の名にちなんで何の定理というでしょう?
文章: 幾何学 以下では様々な幾何学の発展とその概要を、歴史にのっとって時系列順に述べることとする。幾何学(ジオメトリー)の語源は「土地測量」であり、起源は古代エジプトにまで遡ることができる。古代ギリシャの歴史家ヘロドトスの記録では、エジプトでは毎年春になるとナイル川が氾濫し、エジプトの砂漠に農耕を可能にする河土を運んでくるが、去年の畑の境界線はすべて流れてしまう。そのため、印をつけた縄でまっ平らになった土地を元どおり区割りする「縄張り師」と呼ばれた測量専門家集団が現れ、土地測量術が発達した。現在、ピタゴラスの定理として知られている数学定理が、古代エジプトではすでに5000年前に経験則として知られ、縄張り師たちは3:4:5の比率で印をつけた縄を張って、畑の角の直角を取ったという。幾何学が大きな進歩を遂げた最初は、他の数学の分野と同じように古代ギリシアにおいてであった。
文章: 定理 文脈によっては公理も定理に含む。また、数学においては論説における役割等から、補題(ほだい、英: lemma)あるいは補助定理(ほじょていり、英: helping theorem)、系(けい、英: corollary)、命題(めいだい、英: proposition)などとも呼ばれることがある。一般的に定理は、まずいくつかの条件を列挙し、次にその下で成り立つ結論を述べるという形をしている。例えば、次は代数学の基本定理の述べ方の1つである。ある一定の条件(公理系)下で命題を述べ、それが「定理」であると論証する、というのが数学という分野の中心的な研究の形態である。数学の多くの分野には、各々「基本定理」という名で呼ばれる中心的な定理が存在している。なお定理という名称と証明という手続きは、数学のみならず、物理学や工学においても使用される。 文章: シャルコフスキーの定理 数学において、オレクサンドル・シャルコフスキー(英語版)の名にちなむシャルコフスキーの定理(シャルコフスキーのていり、英: Sharkovskii's theorem)は、離散力学系に関する一結果である。この定理の主張の一つとして、実数直線上の離散力学系が周期 3 の周期点を持つなら、その他のすべての周期の周期点も持つ、というものがある。 文章: 中線定理 中線定理(ちゅうせんていり、英: parallelogram law)とは、幾何学において、三角形の中線の長さと辺の長さの関係を表す定理である。パップスの定理と知られているが、実はアポロニウスが発見した定理である。 文章: 前川定理 前川定理は、折り紙の定理の一つであり、「平坦折りの折り目は、全ての頂点において山折りと谷折りの数の差が±2である」という定理である。折紙の数学研究者である前川淳にちなんで名付けられた。同様の定理がジャック・ジャスティンや、前川以前にも村田三良によっても発見されていた。 文章: 2の平方根 通説では、ヒッパソスが無理数を発見したのは 2 の平方根を分数として表そうと試みていたときであり、彼は 2 の平方根の無理性の(おそらく幾何学的な)証明を与えたといわれている。ところがピタゴラスは(有理)数の絶対性を信じていたため無理数の存在を受け入れることができなかった。ピタゴラスたちはこのような数を「アロゴン(Alogon,口にできない)」とよんで研究対象から除外し,そのことを教団外の人たちには秘密にしていたといわれている。ピタゴラスは論理的に無理数の非存在を示すことはできなかったが、その信念から無理数の存在を受け入れることができず、ヒッパソスを溺死の刑に処したとされている。 文章: 多角数定理 多角数定理(、英: polygonal number theorem)とは「すべての自然数は高々 m 個の m 角数の和である」という数論の定理である。 特に m = 3 の場合を(ガウスの)三角数定理、m = 4 の場合を(ラグランジュの)四平方定理という。 多角数定理は1638年にフェルマーによって定式化された。三角数定理は1796年にガウスによって、四平方定理は1772年にラグランジュによってそれぞれ証明された。一般の多角数定理の証明は1813年にコーシーによって与えられている。 文章: 正弦定理 正弦定理とは三角形の内角の正弦(サイン)とその対辺の長さの関係を示したものである。正弦法則ともいう。多くの場合、平面三角法における定理を指すが、球面三角法などでも類似の定理が知られており、同じように正弦定理と呼ばれている。 文章: 三角多項式 三角多項式は、実数直線上で定義され 2π の適当な倍数の周期を持つ周期函数と考えることもできるし、あるいは単位円上で定義された函数と考えることもできる。基本的な結果として「三角多項式全体の成す集合は、単位円上定義された連続函数全体の成す空間において、一様ノルムに関して稠密である」こと (Rudin 1987, Thm 4.25) が挙げられる(これはストーンヴァイアシュトラスの定理の特別の場合である)。より具体的に書けば、「任意の連続函数 および実数 ε > 0 に対して、適当な三角多項式 T が存在して全ての z に対して |(z) - T(z)| < ε とすることができる」。フェイェールの定理の述べるところによれば「 のフーリエ級数の部分和の算術平均は に一様に収束する」から、これに基づいて の近似三角多項式 T を求める具体的な方法が得られる。 文章: アポロニウスの定理 すなわち、 θ ′ {\displaystyle \theta ^{\prime }} は θ {\displaystyle \theta } の補角であり、 cos θ ′ = - cos θ {\displaystyle \cos \theta ^{\prime }=-\cos \theta } となる。このとき、余弦定理より、第一式と第三式の辺々を加えると以上より、定理が証明された。 文章: 多面体 穴の開いていない多面体、すなわち球面に位相同型な多面体については、頂点、辺、面の数についてが成り立つ。これをオイラーの多面体定理(オイラーの多面体公式)という。この定理は、実際に多面体として成り立つような形状にとどまらず、頂点と辺から成るような任意の「グラフ」について扱うグラフ理論による定理である。たとえば穿孔多面体のような貫通した孔を g 個持つ多面体では次式(オイラー・ポアンカレの多面体公式)となる。 文章: バリンスキーの定理 数学の一分野である多面体組み合わせ論(英語版)におけるバリンスキーの定理(バリンスキーのていり、英: Balinski's theorem)とは、三次元多面体およびより高次元のポリトープの持つグラフ理論的構造に関する定理である。あるd-次元凸多面体あるいはポリトープ(そのスケルトン(英語版))の頂点と辺から無向グラフを形成するとき、そのグラフは少なくともd-頂点連結(すなわち、どのような d - 1 個の頂点を取り除いても、残されたグラフは連結)である、ということを述べた定理である。例えば、三次元のある多面体に対して、その頂点の内の二つ(およびそれらに接続している辺)が取り除かれたとしても、残された任意の頂点のペアにはそれらをつなぐ頂点と辺の路が存在する。 バリンスキーの定理は、その証明を1961年に与えた数学者のミシェル・L・バリンスキーの名にちなむ。しかし三次元の場合については二十世紀初頭に、三次元多面体のグラフは3-連結平面グラフであるというシュタイニッツの定理(英語版)として結果が得られていた。 文章: 幾何学 幾何学が大きな進歩を遂げた最初は、他の数学の分野と同じように古代ギリシアにおいてであった。 人物としては、タレス、ピタゴラスなどが有名である。タレスは三角形の合同を間接測量に応用し、ピタゴラスらはこれらを証明により厳密に基礎づけた。彼らはそこで多くの定理を発見し、幅広くそして深く図形を研究したが、特に注記すべきなのは、彼らが証明という全く新しい手法を発見したことである。 とくにピタゴラスは後のギリシャ数学者達に影響を与え、ユークリッドもその一人であった。自明な少数の原理(公理など)から厳密に演繹を積み重ねて当たり前とは思えない事柄を示していくやり方は、ユークリッドの手により『原論』において完成され、後の数学の手本となった。ユークリッドの手により証明をもとに体系化されたギリシャ数学は、曖昧さが残るエジプトやバビロニアのものより圧倒的に優位であったといえる。 文章: 三角錐 面積の等しい三角形と四角形は、適当に多角形に有限回分割することによって合同にすることができるが、三角錐と四角錐は、たとえ体積が等しくとも多面体に分割して合同にすることは無理である。これは、ボヤイの定理が 3 次元空間では一般に成立しないことを示す。こうして 3 次元空間に於けるボヤイの定理(それはヒルベルトの第三の問題でもあった)が否定的に解かれた。ただし、分割の仕方を多面体に限らなければ体積が等しくなくても有界な図形は合同にすることができる(バナッハ=タルスキーのパラドックス)。 文章: ハルモス代数 数理論理学におけるハルモス代数(ハルモスだいすう、英: Halmos algebra)あるいは多進代数(たしんだいすう、英: Polyadic algebra) はポール・ハルモスの導入した代数的構造で、ブール代数が命題論理を記述するというのと同様の意味において、一階述語論理を形式化するものである。(リンデンバウムタルスキ代数(英語版)の項を参照。)同じように一階論理を記述する他の代数として、(一階論理が等号付きの場合)アルフレッド・タルスキの円筒代数(英語版) およびウィリアム・ローヴェアの函手的意味論(圏論的アプローチ)などを挙げることができる。 文章: メネラウスの定理 証明法はさまざまあるが、ここでは代表的な方針を述べる。ABに平行にCから伸ばした線とDEFとの交点をKとする。相似からが成り立つ。左式のCKを右式に代入、もしくは逆に右式を左式に代入し、整理すれば定理が導かれる。ΔABCの各頂点から直線lに垂線をおろす。すると、3組の相似な直角三角形が現れるので、その相似比を考えればよい。直線ADと直線BEの交点をGとすると