クエリ: これが存在する命題は「偽」となる、数学において、ある命題に当てはまらないことを示す例のことを何というでしょう?
文章: 例外 数学の四則演算の場合、任意の二つの数の間でどの演算もできるし、どの場合も答えは一つ求められる。しかし、0で除算することだけはこの例外である。この場合、例外は明らかにこの一つだけである。数学においては、命題(全称命題)にひとつの例外をあげることができれば、その命題は正しくないと判断する。その場合は例外とは言わず、反例という。その数があまりにも少なく、またそれを取り除いた範囲でのその命題の正しさが証明できるのであれば、例外をあらかじめ明記する形で命題を記述する方法もある。
文章: 証明論 不完全性定理は、何らかの数学的真理を表現できる程度に強力な任意のω無矛盾な理論は、ゲーデルの定式化では Π 1 0 {\displaystyle \Pi _{1}^{0}} となるそれ自体の一貫性(無矛盾性)を証明できないことを示した。その後、さらに研究は進み、以下のような成果が得られている。 文章: 数学パズル 他によくあらわれる数としては、フィボナッチ数・三角数・平方数などがある。「どんなディオファントス方程式についても可能な整数範囲での一般解法」は存在しないため、ディオファントス方程式に帰着するような数学パズルは未解決問題かもしれないし、効率的な解法が存在しない問題かもしれないし、解法が存在するか否かもわからないかもしれない、という場合もあるというのは数学パズルの複雑さの一面でもある。近年の問題では「和と積」や「3人の子供の年齢のパズル」のように、次で述べるような論理的な扱いと組み合わされたものもある。数ではなく、「数字」のパズルもある。数字の字形を変形させて......といったような手続きはもはや「数学パズル」とは言えないと言えなくもないが、広義の「計算」の一種ではあり、そういったパズルでも数理的に扱うことが可能な場合もある。 文章: 否定論理積 否定論理積(ひていろんりせき)とは、与えられた複数の命題のうちに偽 (False)であるものが含まれることを示す論理演算である。NANDと表記される。別の表記法として、ヘンリー・シェファーが1913年に導入したシェファーの棒記号や矢印の「↑」を用いる表記法もある。 文章: 病的な (数学) 病的な例はしばしばいくらかの好ましくないかまたは珍奇な特性をもつ。その特性はある理論の中では有意義を成り立たせるように説明するのが難しい。そのような病的な振る舞いはしばしば新しい理論とより一般的な結果をもたらす新しい研究を促す。たとえば、これらのいくつかの重要な歴史的な例は次のようである:これらが発見された時点では、それらの各々は極めて病的と考えられた;今日では、各々は現代の数学の理論の中では消化済みである。 文章: 小節 (言語学) はじめに、言語学 (より厳密には形式意味論) において命題 (英: proposition) とは、真理値 (英: truth value) を返り値にもつ意味単位をいう。命題は主語と述語のペアにより構成され、統語論の観点からは節 (=CP) を成す統語単位が意味論上の命題単位に相当する。 よって、下記の例における角括弧内のそれぞれが命題単位である。 例として、(a) の文は、現実世界においてメアリーの足が速ければ真となり、遅ければ偽となる。この文は自動詞 run が Mary を主語に取っていることからも分かるように、主語と述語から成る文法単位であることも重要である。 文章: 構成主義 (数学) 多くの構成主義的数学者が、本質的には排中律を含まない古典論理である、直観主義論理を用いている。排中律は、任意の命題に対して、その命題が真であるかもしくはその命題の否定が真であることを主張する。直観主義論理では、排中律を全否定するのではなく、排中律の特殊なケースを証明可能とする。これは単に、一般法則(排中律)を公理と仮定するわけではないということである。直観主義論理でも、(矛盾する複数の言明が同時に真にならないことを主張する)無矛盾律は有効である。 例えばハイティング算術(英語版)では、量化子を含まない任意の命題 p に対して、 ∀ x , y , z , ... ∈ N : p ∨ ¬ p {\displaystyle \forall x,y,z,\ldots \in \mathbb {N} :p\vee \neg p} は定理であることを証明できる(ここで x, y, z ... は命題 p における自由変項である)。この意味で、古典論理においては有限に制限された命題をやはり真か偽であるとみなせるが、この二値性(英語版)を無限の集まりに言及する命題には拡張できない。 実際、直観主義者の学校の創始者であるブラウアーは、排中律を有限の認識から抽象的なものと捉え、そして認識論的に正当化(英語版)することなしに無限に適用した。例えばゴールドバッハの予想は、(2より大きい)どの偶数も2つの素数の和となることを主張する。特定の偶数に対して2つの素数の和であるか否かを確かめることは可能であるので(たとえば力まかせ探索で)、(2より大きい)任意の偶数は、2つの素数の和であるかそうでないかである。そしてこれまでのところ、各偶数は実際に2つの素数であることが上記のように確かめられている。 文章: 前提 バートランド・ラッセルはこの文について「現在のフランス王がただ一人存在し、かつそれが禿である」ときに真であるとした。フランスは現在共和制であり王は存在しないので、ラッセルの立場ではこの文は偽であることになる。これに対しピーター・フレデリック・ストローソンは、「フランス王が一人いる」という命題はこの文によって主張されていることの一部ではなく前提であり、前提が満たされていない時この文は真理値を持たないとした。 前提は命題の主張内容ではないので、文を否定文に変えても影響を受けない。この性質から、命題 P とその否定 ¬P がどちらもある命題 Q を含意するとき、Q は P の前提である、と定義することができる。たとえば、次の二つの文は通常どちらも「私は禁煙した」ことを含意しているので、「私は禁煙した」はこれらの命題の前提であることが分かる。 これに対して、たとえば「彼は殺された」は「彼は死んだ」を含意するが、その否定「彼は殺されなかった」は「彼は死んだ」を含意しない。従って、「彼は死んだ」は「彼は殺された」が含意 (entail) する命題ではあるが、前提ではない。 文章: ゲーデルの不完全性定理 ゲーデル以外の誰かがこれらの定理を発見するのは時間の問題だったとされており、ゲーデル自身もそう見ていた。数学上の「無矛盾性」と不完全性定理について、フランセーンは以下の通り解説している。フランセーンは『ゲーデルの定理:利用と誤用の不完全ガイド』において、ゲーデルの定理が広範に誤用されていることについて論じている。数学者・数理論理学者の田中一之によれば、ゲーデルの名や定理は「知的会話」に頻出している。フランセーンが述べたように、インターネットのどんなニュースグループでも、遅かれ早かれ誰かがゲーデルの定理を持ち出す。そういった一般的な引用における間違いを正すことが、フランセーンの著書の目的となっている。1931年にゲーデルが示したのは、「特定の形式体系 P {\displaystyle P} において決定不能な命題の存在」であり、一般的な意味での「不完全性」についての定理ではない。 文章: 部分構造論理 部分構造論理は、通常の命題論理を弱くした論理体系群を指し、数理論理学の中でも証明理論と密接に関連する。部分構造論理は使用可能な構造規則が命題論理よりも少なく、かつ個々の部分構造論理によってその種類が異なる。構造規則の概念は自然演繹の定式化手法よりもシークエント表現に基づく。主な部分構造論理の例として、適切さの論理と線型論理がある。 シークエント計算では、証明の各行は次のように記される。 ここでの構造規則とは、左辺 Γ のシークエント(命題を表す文字列)の項書き換え規則である。一般にここの文字列は論理積と解釈される。例えば、命題 A , B , C に対して、以下のようなシークエント表現 は次のように解釈される。 ここで、右辺 Σ が単一の命題 C であるとしたが(直観主義的なシークエントのスタイル)、全ての操作はターンスタイル記号の左側で行われるので、一般のケースにも当てはまる。 論理積には交換法則と結合法則が成り立つので、シークエント Γ を書き換える構造規則にも同じ法則に対応したもの(転置規則)がある。例えば、 から を導くことができる。他にも冪等に対応した規則(縮約規則)と単調性に対応した規則(弱化規則)が存在する。 から、次を導くことができる(縮約規則)。 また から任意の B を加えて を導くこともできる(弱化規則)。 線型論理では、前提が重複する場合は単一のときとは異なった意味を持つので、これらの規則は除外される。適切さの論理では、弱化規則だけを除外する。 これらは部分構造論理の基本的な例である。なお、通常の命題論理にこれらの規則を適用することは何ら問題ない。 文章: 論理和の消去 論理和の消去(ろんりわのしょうきょ、英: Disjunction elimination)(論理積の除去、選言削除則、 ∨ -除去則は、命題論理における妥当性のある推論規則のひとつである。この規則を用いることによって、論理式の証明から論理和を削除することができる。もし命題「 P 」から命題「 Q 」が導き出され、かつ命題「 R 」からも命題「 Q 」が導き出されるとき、「 P もしくは R 」のいずれかが真である場合に、「 Q 」が真となるという推論規則である。PもしくはRのうち少なくとも一方が正しく、QであるためにはPとRのうちどちらかが正しければよいから、Qは正しい、ということである。例えば、下記の例が挙げられる。 この規則は、下記のように記述することができる。 ここで、命題「 P → Q 」、命題「 R → Q 」、命題「 P ∨ R 」が証明のなかのどの行に出てきても、その後の行において、 命題「 Q 」を示すことができるものとされている。 文章: 命題 論理学で言う「命題」とは真偽が確定した言明のことであり、例えば「1は偶数である」「2は偶数である」などは命題である。これに対して「Xは偶数である」のように不定のXが入ったものを「述語」と言う。 文章: 言語哲学 広義での分析哲学の源流は、19世紀中葉ドイツの数学者ゴットロープ・フレーゲ(Gottlobe Frege:主著『概念記法 ("Begriffsschrift, Eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens")』『算術の基礎 ("Die Grundlagen der Arithmetik")』『算術の基本法則 ("Grundgesetz der Arithmetik" I)』)に求められる。彼は、それまでの言語哲学が命題間に成立する三段論法(既にアリストテレスによりほぼ完成されていた)を前提に名辞とその対象とを考察することしか主たる課題としていなかったのに対して、一命題(Satz)内の構造と量化(すべての、ある、存在する)とを問題にする量化理論を発見した。さらに、それに基づく意味論を考察した。 彼によれば、言語の基本単位は命題(文 Satz)であり、それより小さい諸単位(日常言語では語句、フレーゲの量化論理では、項 (Argument) と函数 (Funktion))の意味は一つの命題という文脈の中で考えられねばならないという文脈原理を提唱した。また「意義と意味について (ber Sinn und Bedeutung)」において、「明けの明星」と「宵の明星」という2つの語がいずれも指示対象としては同一の金星を指すにもかかわらず言語における機能を異ならせることから、指示対象のことを「Bedeutung」(意味)と呼び、その語の意味の違いを「Sinn」(意義)と呼んで区別する、という画期的業績を残した。とはいえ、フレーゲにおいては、意味は言語を超越した超実在(一種のイデア)であるGedanke(思想)に求められている。この点で、分析哲学化や後述する言語論的転回を経験したものとはいえない。 20世紀初頭、フレーゲの論理学に基づく数学基礎論に批判を加え、新たな数理哲学を展開したバートランド・ラッセル(Bertrand Russell 英)は、さらに「確定記述 (definite description)」について、それを分析する。確定記述とは、「the present king of France(現在のフランス王)」 のように記述の形をとりながら事実上固有名詞のように唯一の存在を名指す機能をもつ語法のことである。ラッセルは「指示について 'On Denoting'」において、「現在のフランス王は禿げである」という命題は現時点でフランス王が存在しないので真とも偽ともいえないように思われるので問題であるが、「Xがフランス王であり、かつXが禿げである、そのようなXが存在し、しかもただ一人存在する」という諸命題の連言として解釈することによって、一応の解決をもたらした。 文章: ヘンペルのカラス 宇宙には無限に「黒くないもの」があるとすれば、実際にヘンペルの論法を証明に用いることはできなくなる。「黒くないものはカラスでない」ことを証明するために「黒くないもの」を順に調べようとしても、その作業は永遠に終わらないからである。もし、カラスの存在が確かなものとして前提にでき、さらに「黒くないもの」の総数を有限であると仮定したとしても、「ヘンペルのカラス」が直観に反する理由は、「黒くないもの」の数が想像を絶して大きいことが挙げられる。ある命題について、それが真であることを確かめるには個々の事例を全て調べ尽くすことができればよい。命題の正しさの信頼度合は、調べた事例の全事例に対する比率に一致する(確証性の原理)。しかし「黒くないものはカラスではない」という命題の真偽を調べる場合、また「黒くないもの」の数は極めて大きいので、「黒くないもの」を全て調べることは事実上不可能である。 文章: 矛盾 まず命題論理における矛盾の定義を述べる:命題Pに対して、「Pかつ¬P」を矛盾という。 矛盾を利用した論法に背理法がある。この論法では、「Xである」を示す場合に、まず「Xでない」という架空の設定を考える。そして「Xでない」という架空の設定のもと論理を進め、何らかの矛盾を導く。矛盾が起こったのだからそれは「絶対にありえない事」だという事になるので、最初の「Xでない」がおかしかったのだという事になり、結論として「Xである」を得るのである。 (数学的な意味での)矛盾の興味深い性質として、矛盾を含む体系においてはどんな命題を導くこともできる、というものがある(爆発律 principle of explosion, ECQ)。背理法は、 文章: 対偶論法 論理学において、含意命題の対偶とは、条件をともに否定し、さらにその含意の向きを逆にしたものである。明示的に書けば、命題「AならばBである」の対偶は、「BでないならばAでない」となる。命題とその対偶の論理的な真偽は常に一致する。したがって、ある命題が真ならばその対偶も真であるし、偽の場合もしかりである。 対偶論法(たいぐうろんぽう、英: proof by contraposition)とは、証明で用いる推論規則の一つである。対偶論法では、対偶を用いて命題の真偽を推論する。言い方を変えると、「AならばBである」という結論を、「BでないならばAでない」から導く推論規則である。