クエリ: これが存在する命題は「偽」となる、数学において、ある命題に当てはまらないことを示す例のことを何というでしょう?
文章: 反例 反例(はんれい、英: counterexample)とは、ある主張について、それが成立しない例のことである。したがって、成立しない主張を指すものではない。つまり、論理式 x P(x) が成り立たないことを証明するために導入される、¬P(a) を満たすような a のことである。反例が存在する場合、x ¬P(x) が成立し、これが元の論理式の否定になるため、x P(x) は成り立たない。
文章: 数学上の未解決問題 数学上の未解決問題(すうがくじょうのみかいけつもんだい、英: unsolved problems in mathematics)とは、未だ解決されていない数学上の問題のことで、未解決問題の定義を「未だ証明が得られていない命題」という立場を取るのであれば、そういった問題は数学界に果てしなく存在する。ここでは、リーマン予想のようにその証明結果が数学全域と関わりを持つような命題、P≠NP予想のようにその結論が現代科学、技術のあり方に甚大な影響を及ぼす可能性があるような命題、問いかけのシンプルさ故に数多くの数学者や数学愛好家たちが証明を試みてきたような有名な命題を列挙する。 文章: 論理積の消去 論理積の消去(ろんりせきのしょうきょ、英: Conjunction elimination)(論理積の除去、連言除去則、 ∧ -除去則は、命題論理における妥当性のある推論規則のひとつである。もし、「PかつQ」とい命題が真であれば、「P」という命題が真であり、同時に「Q」という命題も真であることを指す。この規則を用いることによって、論理積で結び付けられた命題の片方を抽出することができる。例えば、「雨が降っており、土砂降りである」という命題が真であれば、「雨が降っている」という命題は真である。この規則は、下記のように、 および、 の2つの記述をすることができる。ここで、命題「 P ∧ Q 」が証明のなかのどの行に出てきても、その後の行において、命題「 P 」もしくは命題「 Q 」を示すことができるものとされている。 文章: プリンキピア・マテマティカ 残された当時の関心は以下の2件であった。命題論理自体は無矛盾で完全であると知られていたが、同じことはプリンキピアの集合論の公理に関しては確立されていなかった。(ヒルベルトの第2問題を参照)ゲーデルの不完全性定理は、これら2つの関連する問題に予期せぬ光を投げかけた。ゲーデルの第1不完全性定理は、プリンキピアが無矛盾かつ完全であることはできないことを示した。定理によれば、プリンキピアのような、十分に強力な論理体系には、それぞれ本質的に「言明Gは証明不可能である」と読める言明Gが存在する。このような言明は、キャッチ22とよばれる種類であり、Gが証明可能であればそれは偽で、したがって体系は矛盾しており、Gが証明不可能であればそれは真で、したがって体系は不完全である。ゲーデルの第2不完全性定理は、基本算術を展開するどんな形式体系も、それを使って自己の無矛盾性を証明することはできない、と言う。 文章: 逆 命題「p⇒q」に対して、「q⇒p」を、元の命題の逆(ぎゃく、英: converse)と言う。 ある命題とその逆の真偽は、必ずとも一致しない(逆は必ずしも真ならず)。この表現は日常生活や数学の中でことわざのように使用されることがある。 一致するような命題については「逆もまた真である」などと表現する。これは本来の用法とは異なる。「p⇒q」が真であり、「q⇒p」も真であるときに、 p と q は同値(必要十分条件)であるという。 文章: 命題 論理学で言う「命題」とは真偽が確定した言明のことであり、例えば「1は偶数である」「2は偶数である」などは命題である。これに対して「Xは偶数である」のように不定のXが入ったものを「述語」と言う。 文章: 否定論理積 否定論理積(ひていろんりせき)とは、与えられた複数の命題のうちに偽 (False)であるものが含まれることを示す論理演算である。NANDと表記される。別の表記法として、ヘンリー・シェファーが1913年に導入したシェファーの棒記号や矢印の「↑」を用いる表記法もある。 文章: ペアノの公理 集合 N と定数 0 と関数 Sと命題Eに関する次の公理をペアノの公理という。このとき N の元を自然数といい、自然数 n に対して自然数 S(n) をその後者 (successor)という。第五公理は、数学的帰納法の原理である。これらの公理は互いに独立であり、いずれも残りから導くことはできない。ペアノの公理から 2 + 2 = 4 や 2 2 = 4 のような「定理」を証明するには 2 = S(S(0)) などの項を導入したり、加法 + や乗法 の存在や性質を示したりする必要がある。たとえば Henle (1986, pp. 17, 18, 103, 104) を見よ。 文章: 検証と反証の非対称性 それは、どんな理論も誤ることがありうると前提する可謬主義を採用し(つまり理論群が全て真であることは最初から保証せず)、科学における命題というのは全て、あくまで反証されるまでの間 暫定的に棄却されていない状態にあるにすぎない(あるいは、次第に誤った理論を取り除いてゆく)とする方法である。こうして、検証と反証の非対称性という概念を用いつつ、反証主義を構築したのである。 文章: 存在命題 「~(集合)の中に~(条件)を満たすものが存在する。」、例えば、「黒ではないカラスが存在する」とは、存在命題である。ここでは、「カラス」という一つの集合の元全体の中に、「黒ではない」という条件をつけた場合の存在を主張している。現在ではアルビノのカラスが確認されているため、この命題は真である。 文章: 否定論理和 否定論理和(ひていろんりわ)とは、与えられた複数の命題の全てが偽であることを示す論理演算である。NORと表記される。矢印の「↓」を用いて"A ↓ B"とする表記方法もある。 文章: 公式 そのような本に載っている公式の数は膨大であり、かつそれぞれの形も複雑である。数学の公式は、その物事を理解していなくても、変数に数値を入れて計算すれば必要な数値が得られる解決策であるため、比喩的に「問題を簡単に解決することができる魔法のようなもの」というような意味で用いられることがある。同様な意味で「方程式」という言葉が用いられることも多い(ただし、方程式は単に未知数を含む等式という意味であり、すべてが解決しているわけではない。)。 文章: 選言肯定 しかし、命題論理における曖昧さを排除するために「あるいは」の意味を厳密に定めると、この論証は妥当ではなくなる。その場合、「あるいは」は排他的ではなく、両方が真の場合を許容する。この論証に暗黙の前提を明示することで妥当な論証にすることができる。 文章: 排中律 排中律とは、論理学において、任意の命題 P に対し「P であるか、または P でない」が成り立つという原理である。ラテン語で Principium tertii exclusi(第三の命題が排除される原理)あるいは Tertium non datur(第三の命題・可能性は存在しない)と称され、Law of excluded middle(中間の命題は排除されて存在しない法則)または Law of the excluded third(第三の命題が排除される法則)と呼ばれ、これらが日本語での排中という表記につながり、排中原理と呼ばれる。 排中律は P ¬P が真である、あるいは公理ないし証明可能であることを主張しており、「すべての命題は真または偽のいずれかの真理値を持つ」という二値原理とは異なるものである。 論理の古典的体系では、同一律、無矛盾律とともに、思考の三原則を成す。ただし、論理体系によっては等価な別の主張(二重否定の除去やパースの法則など)が公理として採用されることもある。 直観主義論理においては排中律は公理として採用されておらず、また排中律は直観主義論理の定理ではない(すなわち、排中律は直観主義論理において証明できない)。ただし、排中律の二重否定 ¬¬(P ¬P) や三重否定除去 ¬¬¬P → ¬P などは直観主義論理においても証明可能であり、すなわち排中律が否定されているわけでもない。 誤謬の一種である誤った二分法のことを「排中の誤謬」と呼ぶことがあるが、それぞれの定義の通りこれらは異なる概念である。 文章: 詭弁 Bが借金の返済が不可能な状態に陥っていても、自己破産が可能である場合、その選択肢を除外しているので、誤った二分法となる。 なお、「XはYかZのいずれかである。然るに、XはYではない。故にXはZである」という推論において、非ZがY、Zが非Yと論理的に同値である場合、それは矛盾原理および排中原理に従った恒真命題となる(例「あらゆる自然数は素数か素数ではないかのいずれかである。2は「素数ではない」ではない。故に2は素数である」)。「誤ったジレンマ」またはただ単に「二分法」とも呼ばれる。英語では false dilemma の他に false dichotomy、excluded middle、bifurcation などとも言う。 未知論証の一つ。創造科学やオカルト的な主張でよく用いられる論法である。神は自然現象の未解明の部分(隙間)に住んでいて、新たな事実が解き明かされ、未解明な部分が減っていくと神の住むところもどんどん狭くなっていくという皮肉が込められた呼称。 文章: 部分構造論理 部分構造論理は、通常の命題論理を弱くした論理体系群を指し、数理論理学の中でも証明理論と密接に関連する。部分構造論理は使用可能な構造規則が命題論理よりも少なく、かつ個々の部分構造論理によってその種類が異なる。構造規則の概念は自然演繹の定式化手法よりもシークエント表現に基づく。主な部分構造論理の例として、適切さの論理と線型論理がある。 シークエント計算では、証明の各行は次のように記される。 ここでの構造規則とは、左辺 Γ のシークエント(命題を表す文字列)の項書き換え規則である。一般にここの文字列は論理積と解釈される。例えば、命題 A , B , C に対して、以下のようなシークエント表現 は次のように解釈される。 ここで、右辺 Σ が単一の命題 C であるとしたが(直観主義的なシークエントのスタイル)、全ての操作はターンスタイル記号の左側で行われるので、一般のケースにも当てはまる。 論理積には交換法則と結合法則が成り立つので、シークエント Γ を書き換える構造規則にも同じ法則に対応したもの(転置規則)がある。例えば、 から を導くことができる。他にも冪等に対応した規則(縮約規則)と単調性に対応した規則(弱化規則)が存在する。 から、次を導くことができる(縮約規則)。 また から任意の B を加えて を導くこともできる(弱化規則)。 線型論理では、前提が重複する場合は単一のときとは異なった意味を持つので、これらの規則は除外される。適切さの論理では、弱化規則だけを除外する。 これらは部分構造論理の基本的な例である。なお、通常の命題論理にこれらの規則を適用することは何ら問題ない。