クエリ: 140と195、48と75などのように、1とそれ自身を除いた約数の和が互いに他方と等しくなるような1組の自然数を何という?
文章: 婚約数 婚約数(こんやくすう、英: betrothed numbers)とは、異なる 2 つの自然数の組で、1 と自分自身を除いた約数の和が互いに他方と等しくなるような数をいう。準友愛数(じゅんゆうあいすう、quasi-amicable numbers)とも呼ばれる。 最小の婚約数の組は (48, 75) である。 現在まで知られる婚約数の組はすべて偶数と奇数の組である。
文章: 友愛数 友愛数は2つの数の関係だが、これを拡張して3つ以上の数の関係にすることができる。以下の定義において σ(n)は「nの約数の和」、s(n)は「nのn以外の約数の和」とする。 社交数は、s(N1)=N2, s(N2)=N3, ... s(Nm)=N1 を満たすm個の整数の組である。友愛数は2個からなる社交数の組ともいえる。 2021年9月 (2021-09)現在で知られている社交数の組の数は、4、5、6、8、9、28である。例えば3個組の社交数の組などは発見されておらず、存在するかどうかも未解決である。 文章: ユークリッド・オイラーの定理 数学の整数論におけるユークリッド・オイラーの定理(ゆーくりっど・おいらーのていり、英: EuclidEuler theorem)は、偶数の完全数、すなわち「自身を除く約数の総和が再び自身に等しい偶数」に関する特徴づけを述べた定理である。古代ギリシアのエウクレイデスが偶数が完全数になる十分条件を『原論』において与え、それから2000年の時を経てレオンハルト・オイラーがその条件が必要条件でもあること、したがって偶数が完全数であるための必要十分条件であることを証明した。定理の主張は次の通りである。 定理 ― 自然数 n について、メルセンヌ数 2 - 1 が素数であるとき、2(2 - 1) は偶数の完全数である。逆に、全ての偶数の完全数は、ある自然数 n によって 2(2 - 1) と表すことができ、このとき 2 - 1 は(メルセンヌ)素数である。 例えば、偶数 6 は自身を除く約数の和が 1 + 2 + 3 = 6 自身となる完全数である。これは n = 2 として 6 = 2 3 = 2(2 - 1) と表せる。ここで、3 = 2 - 1 は素数である。ユークリッド・オイラーの定理はこのような関係が常に成り立つという定理である。 文章: 合成数 合成数(ごうせいすう、英: Composite number)は、自然数で、1とその数自身以外の約数を持つ数である。 文章: ナルシシスト数 ナルシシスト数(ナルシシストすう、英: narcissistic number)とは、n 桁の自然数であって、その各桁の数の n 乗の和が、元の自然数に等しくなるような数をいう。例えば、1 + 5 + 3 = 153 であるから、153 はナルシシスト数である。 定義より明らかに、1桁の自然数は全てナルシシスト数である。2桁のナルシシスト数は存在しない。ハーディは、著書『ある数学者の生涯と弁明』において、3桁のナルシシスト数は、153, 370, 371, 407 のみであることに言及している。ナルシシスト数を小さな方から列挙すると、 となる。 文章: 完全数 完全数とは、自分自身が自分自身を除く正の約数の和に等しくなる自然数のことである。完全数の最初の4個は 6、28、496 、 8128である。 「完全数」は「万物は数なり」と考えたピタゴラスが名付けた数の一つであることに由来するが、彼がなぜ「完全」と考えたのかについては何も書き残されていないようである。中世の『聖書』の研究者は、「6 は『神が世界を創造した(天地創造)6日間』、28 は『月の公転周期』で、これら2つの数は地上と天界における神の完全性を象徴している」と考えたとされる。古代ギリシアの数学者は他にもあと2つの完全数 を知っていた。以来、完全数はどれだけあるのかの探求が2500年以上のちの現在まで続けられている。 完全数の定義は、正の約数の総和が自分自身の2倍に等しいことと同値である。すなわち、N が完全数であるとは、約数関数 σ に対して σ(N) = 2N が成り立つことであると表現できる。また、正の約数の逆数和が 2 であると表現することもできる。 文章: 400 461 : 素数、オイラー素数、陳素数、双子素数(461, 463)462 = 2 × 3 × 7 × 11、矩形数、6つの連続した素数の和 (67 + 71 + 73 + 79 + 83 + 89)463 : 素数、双子素数(461, 463)、中心つき七角数、7つの連続した素数の和 (53 + 59 + 61 + 67 + 71 + 73 + 79)、21+21+21464 = 2 × 29、原始擬似完全数465 = 3 × 5 × 31、楔数、三角数、ハーシャッド数466 = 2 × 233467 : 素数、安全素数、陳素数468 = 2 × 3 × 13、ハーシャッド数、10個の連続した素数の和 (29 + 31 + 37 + 41 + 43 + 47 + 53 + 59 + 61 + 67)469 = 7 × 67、七角数、中心つき六角数 文章: 有限単純群の分類 以下の表において、nは自然数、pは素数、qは素数の冪を意味する。位数の小さなものから20個を以下に列挙する。 文章: 百五減算 3で割った余りをa、5で割った余りをb、7で割った余りをcとするとき、解xは、合同式を用いてx ≡ 70a + 21b + 15c (mod 105)と表される。 解から105を引いた数もまた解になるので、70から105を引いて 70 - 105 = -35 として、別解x ≡ -35a + 21b + 15c (mod 105)なお、余りを知る数が3、5、7でなくても、どの2つをとっても互いに素となるような数の組み合わせであれば、中国剰余定理によりこのような合同式を導くことができる。 文章: スミス数 スミス数(すみすすう、Smith number)とは合成数で、その素因数の各位の数字の和の合計がもとの数の各位の数字の和に等しい数のことである。 例えば166は 2 × 83 なので素因子の各位の数字の和の合計は 2 + 8 + 3 = 13 となり、一方もとの166の各位の数字の和は 1 + 6 + 6 = 13 と前者に等しいので166はスミス数である。648 = 2 × 3 のように素因数分解したとき指数が現れる数の場合、素因子の和は 2 ×3(指数) + 3 × 4(指数)のように計算する。スミス数は無限にあり、そのうち最小のものは4である。素数はスミス数ではない。 100000以下の自然数のうちスミス数は3294 個あり、同じく、100000以下の自然数のうち素数は9592個である。よって、素数よりもスミス数の方が少ないと言える。さらに、100000以下のスミス数3294 個のうち、1292個が半素数である。 文章: 489 489(四百八十九、よんひゃくはちじゅうきゅう)は自然数、また整数において、488の次で490の前の数である。 文章: カーマイケル数 カーマイケル数 n は、その全ての素因子 p に対して p - 1 が n - 1 を割り切るという特徴を持つ。例えば2821を例に取ると、である。逆に、この性質を持ち、平方因子を持たない合成数はカーマイケル数である。カーマイケル数は、少なくとも3個以上の異なる素数の積である。フェルマーテストでは確率的素数と誤判定されるカーマイケル数であるが、フェルマーテストの改善版であるミラー-ラビン素数判定法では、ひとつの底に対する誤判定の確率は 1/4 以下となる。 文章: アリコット数列 アリコット数列(英語: aliquot sequence)は、各項が直前の項の自分自身を除く約数の和となっている再帰数列である。自然数 k から始まるアリコット数列は、約数関数 σ1 によって次のように定義される: 例えば、10 から始まるアリコット数列は 10, 8, 7, 1, 0 である。すなわち、 多くのアリコット数列は、素数、続いで 1 (素数の自分自身を除く約数は1のみ)、続いで 0 (1は自分自身以外の約数がない) となって終了する (A080907)。終了しないアリコット数列にはいくつかの場合があり、 文章: 自然数の分割 数学の各分野、特に数論および組合せ論 において、正の整数 n の分割(ぶんかつ、英: partition)あるいは整分割 (integer partition) とは、与えられた正整数 n を正整数の和として表す方法をいう。ただし、和の因子(summand; 被加数)の順番のみが異なる分割は同じ分割とみなされる(順序をも考慮する場合は、順序つき分割または、分割ではなく合成あるいは結合 (composition) と呼ばれる概念となる)。 例えば 4 の異なる分割は次の五通りである。 このとき、順序を考慮した合成 1 + 3 は分割としては 3 + 1 と同じであり、同様に合成としては異なる 1 + 2 + 1 および 1 + 1 + 2 は分割としては 2 + 1 + 1 と同じである。 文章: 自然数の分割 つまり、行と列とを入れ替えることにより、整数 14 の分割 4 + 3 + 3 + 2 + 1 + 1 が得られたわけである。このような分割は、互いに他の共軛 (conjugate) あるいは双対 (dual) であるという。整数 4 の分割の場合、二つの分割 4 および 1 + 1 + 1 + 1 が互いに共軛で、分割 3 + 1 および 2 + 1 + 1 も同様に共軛である。最も注目すべきは分割 2 + 2 で、これは自分自身が自身の共軛となっている。このような分割は自己共軛 (self-conjugate) あるいは対称 (symmetry) であるという。 同様の方法を用いれば、例えば次のような等式を得ることができる。 文章: 素因数 素因数(そいんすう、英: prime factor)とは、数学における自然数の約数になる素数のことである。ある数の素因数を求めてその積の形で表すことを素因数分解という。例えば 60 は 22×3×5 と素因数分解されるので 60 の相異なる素因数は 2, 3, 5 の3つである。また 7 は素数であるため、7 の素因数は 7 自身のみとなる。素因数のことを素因子(そいんし)、素因数分解のことを素因子分解ということもある。 2つの自然数が互いに素であることと、2つの自然数が共通の素因数を持たないことは同値である。なお 1 は素因数を持たない数であり、したがって 1 は全ての(1 自身を含めた)自然数と互いに素である。 自然数の素因数分解の結果は、素因数を掛ける順番の違いを除けば一意的に決まる。この事実は算術の基本定理と呼ばれている。