クエリ: ロシアのグレゴリー・ペレルマンによって解決された、「単連結な3次元閉多様体は3次元球面に同相である」というミレニアム懸賞問題のひとつは何?
文章: ポアンカレ予想 ポアンカレ予想は、1904年にフランスの数学者アンリ・ポアンカレによって提出された。ポアンカレ予想は現在では「単連結な3次元閉多様体は3次元球面 S に同相である」と表現される。すなわち、境界を持たない連結かつコンパクトな3次元多様体は、任意のループを1点に収縮できるならば、3次元球面 S と同相であるというものである。ポアンカレ自身、デーン、ホワイトヘッド、古関健一、コリン・ルーケ (Colin Rourke)、イアン・スチュアート、ビング、などの数学者達がこの問題に挑戦した。初めに1932年ヘルベルト・ザイフェルトがザイフェルトファイバー空間の場合の証明をした。パパキリアコプロスは同値の予想を作ったがその度にマスキットなどに反証された。そしてロシアの数学者グリゴリー・ペレルマンは2002年から2003年にかけてこれを証明したとする一連の論文をプレプリントサーバarXivに投稿した。
文章: 特異点解消 代数幾何学の特異点解消(とくいてんかいしょう、英: resolution of singularities)の問題とは、すべての代数多様体 V が特異点の解消を持つかどうか、つまり V に対して非特異代数多様体 W であって固有な双有理写像 W→V を持つものを見つけられるかどうかを問う問題である。標数0の体上の代数多様体については広中平祐によって1964年に肯定的に解決されている。しかし標数 p では4次元以上で未解決である。 文章: レンズ空間 数学におけるレンズ空間(レンズくうかん、英: lens space)とは、位相空間の一種である。しばしば3次元多様体(英語: 3-manifold)の特定のクラスを指す言葉として用いられるが、一般にもっと高次元のレンズ空間も定義することができる。 3次元多様体の場合、レンズ空間というのは二つのソリッドトーラス(中身の詰まったトーラス)をその境界で貼り合せる事で得られる空間として特徴付けることができる。ただし、3次元球面 S や S × S は、そうやって得られる空間ではあるものの、自明な場合であるとして、レンズ空間としては扱わないことも多い。 3次元レンズ空間 L(p; q) は1908年に Tietze が導入した。3次元レンズ空間はそのホモロジーおよび基本群だけからは決定することができない3次元多様体の最もよく知られた例であり、そして同相型 (homeomorphism type) がそのホモトピー型から決まらない閉多様体の最も簡単な例である。J.W. Alexander は1919年にレンズ空間 L(5; 1) と L(5; 2) が、基本群とホモロジー群が同型であるにもかかわらず互いに同相ではないことを示した。他にも同じホモトピー型を持つ(従って基本群もホモロジー群も等しい)が同相型が異なるレンズ空間というものが存在する。これにより、レンズ空間の導入を以って(代数的位相幾何学から分かれて)幾何学的位相幾何学 (geometric topology) の起こりと考えられる。 文章: 微分同相写像 トーラス S × S = R/Z の場合には、写像類群は単にモジュラー群 SL(2, Z) であり分類は楕円型、放物型、双曲型行列の言葉の古典的なものに帰着する。サーストンは写像類群はタイヒミュラー空間(英語版)のコンパクト化上に自然に作用することを観察することによって彼の分類を達成した; この大きくされた空間は閉球に同相であるから、ブラウアーの不動点定理が適用可能になる。M が向き付けられた滑らかな閉多様体であれば、スメイルによって、向きを保つ微分同相写像の群の単位元成分(英語版)は単純であることが予想された。これはまず Michel Herman によって円の積に対して証明されていた; サーストンによって完全に一般的に証明された。 文章: 双曲3次元多様体 数学において双曲3次元多様体とは、定数断面曲率 -1 を持つ完備リーマン計量を備える3次元多様体のことを言う。これは言い換えると、自由かつ固有不連続に作用する双曲等長の部分群による3次元双曲空間の商である。クラインモデルを参照されたい。 この多様体の厚薄分解は、閉測地線の管状近傍からなる薄い部分と、ユークリッド曲面と閉半直線の積であるエンドからなる。この多様体の体積が有限であるための必要十分条件は、その厚い部分がコンパクトであることである。この場合、エンドは閉半直線を横切るトーラスの形をしており、尖点(cusp)と呼ばれる。 文章: メタボール メタボール (metaball) は、コンピュータグラフィックス用語で、複数のオブジェクト同士が接近し、融合し、1つのオブジェクトとなる過程を描く、n 次元の有機的なオブジェクトを表す言葉である。数学的には、陰関数曲面の一種。メタボールをレンダリングするための技術は、ジム・ブリンによって 1980 年代初期に発明された。ブリンはblobと称したが、独立に大阪大学の大村皓一らによりこの技術は開発され、大阪大のグループがメタボールと称した。メタボールは、それぞれ、n 次元の関数(つまり、3 次元なら f ( x , y , z ) {\displaystyle f(x,y,z)} ;。3 次元メタボールが最もよく使われる)として定義される。さらに、ソリッド・ボリュームを定義するためにしきい値が選択される。 文章: リッチフロー このことは一般にリッチフローは全時間連続ではありえず、特異点を生み出す。3-次元多様体に対し、ペレルマン (Perelman) は、リッチフローの手術(英語版)を使い特異点を過去へ連続させる方法を示した。 シガーソリトン解 文章: CR多様体 実3次元の場合は,反例が存在する: 3次元球面 S 3 {\displaystyle S^{3}} の自然なCR構造を摂動したものは大域的に埋め込むことができない.この例は,Rossi の例と呼ばれる(実際には, Hans Grauert により構成された). 局所的なCR埋め込み問題について,実3次元の場合には, Louis Nirenberg による反例が存在する.実7次元以上の場合は,倉西正武(実9次元以上の場合)と赤堀隆夫(実7次元の場合)により肯定的に解決された. 実5次元の場合の局所的なCR埋め込み問題は,未解決である. 文章: 双曲3次元多様体 1912年に初めて発見された、尖った双曲3次元多様体はギーゼキング多様体である。それはイデアル双曲四面体の面を貼り合わせることで構成される。 3次元球面における結び目と絡み目の補空間は、頻繁に尖った(frequently cusped)双曲多様体である。この例には、8の字結び目やボロミアン環、ホワイトヘッド絡み目(英語版)の補空間が含まれる。より一般に幾何化によると、サテライト結び目(英語版)でもトーラス結び目でもない結び目は、双曲結び目である。 双曲デーン手術(英語版)に関するサーストンの定理では、充填スロープの有限の集まりが除かれる場合、双曲絡み目についての残ったデーン充填は双曲3次元多様体であることが示されている。ザイフェルト=ウェーバー空間(英語版)は、十二面体の向かい合う面を貼り合わせることで得られる、コンパクトな双曲3次元多様体である。 文章: フォトニック結晶 1887年にレイリーは電磁波の伝播特性を研究し、膜に垂直に伝わる光にバンドギャップが存在することを発見した。この原理を応用した多層膜(ブラッグミラー)のような1次元の周期構造体が、最も単純なフォトニック結晶である。1次元周期構造は引き続き熱心に研究され、分布帰還 (DFB) レーザーの反射構造としても応用されている。2次元・3次元へと拡張したもの(多次元周期構造)には長年の研究の積み重ねがある。1987年にヤブロノビッチの論文によって、3次元周期のフォトニック結晶でフルバンドギャップの概念の提唱とその実現可能性の検討がなされ、それがきっかけとなって3次元周期構造の理論的・実験的な研究が世界規模で盛んになった(ある光波長で3次元空間または2次元平面内のすべての方向・すべての偏光状態が禁制帯に入ることがあり、それをフルバンドギャップと言う)。 文章: 双曲3次元多様体 数学において双曲3次元多様体(そうきょく3じげんたようたい、英: Hyperbolic 3-manifold)とは、定数断面曲率 -1 を持つ完備リーマン計量を備える3次元多様体(英語版)のことを言う。これは言い換えると、自由かつ固有不連続(英語版)に作用する双曲等長の部分群による3次元双曲空間(英語版)の商である。クラインモデル(英語版)を参照されたい。 この多様体の厚薄分解は、閉測地線の管状近傍からなる薄い部分と、ユークリッド曲面と閉半直線の積であるエンドからなる。この多様体の体積が有限であるための必要十分条件は、その厚い部分がコンパクトであることである。この場合、エンドは閉半直線を横切るトーラスの形をしており、尖点(cusp)と呼ばれる。 文章: 三体問題 その後、20世紀後半から21世紀初めにかけて、ソフィア・コワレフスカヤの特異点解析(これは彼女をコワレフスカヤのコマの発見に導いた)の流れを受ける Ziglin 解析による、あるいは Ziglin 解析に微分ガロア理論を応用する Morales-Ramis 理論による、三体が任意の質量を持つ一般三体問題の非可積分性の証明が得られた。 n体問題の有限時間 t ∈ [ 0 , t ) {\displaystyle t\in [0,t^{*})} での解 ( r 1 ( t ) , r 2 ( t ) , r 3 ( t ) ) {\displaystyle \left(r_{1}(t),r_{2}(t),r_{3}(t)\right)} について、それを時刻 t = t < ∞ {\displaystyle t=t^{*}<\infty } を超えて延長できないとき、その点を特異点 (singularity) と呼ぶ。極限 t → t {\displaystyle t\to t^{*}} において粒子座標が有限値に収束する場合、これは粒子の衝突を意味するため衝突特異点 (collision singularity) と呼ぶ。一方そうでない場合を非衝突特異点 (non-collision singularity) と呼ぶ。ただし三体問題においては非衝突特異点が存在しないことがポール・パンルヴェによって証明されている(この考察がパンルヴェ予想の出発点となった)。 三体問題における二体衝突は正則であり適切な座標変換により除去できることがトゥーリオ・レヴィ=チヴィタやカール・スンドマンの研究によって20世紀前半には明らかになっていた(詳細はレヴィ=チヴィタ変換を見よ)。一方、三体の同時衝突については Siegel (1941) によって真性特異点であり正則化できないことが示されている。スンドマンは三体衝突が可能であるためには系の全角運動量がゼロでなければならないことを証明した(カール・ワイエルシュトラスはスンドマンより早くこの事実を知っていたが、証明を出版しなかった)。なおスンドマンはこれらの結果をもとに、全角運動量がゼロでない初期値に対して、すべての時刻 t {\displaystyle t} で収束する三体問題の無限級数解の存在を、それを実際に構成することにより証明した。ただしこの無限級数解は収束が極めて遅く、このような解の表示から何らかの帰結を引き出すことは実際上不可能であると考えられている。 文章: 4次元多様体 単連結でコンパクトな4次元多様体のホモトピーは、中間次元ホモロジー上の交叉形式にのみ依存する。M. Freedman (1982)の有名な定理は、多様体の同相タイプはこの交叉形式であるカービー・ジーベンマン不変量と呼ばれる Z/2Z 不変量にのみ依存するという定理であり、さらに、ユニモジュラー形式(英語版)とカービー・ジーベンマン不変量のすべての結合を得るという定理である。ただし、形式が偶数のときは、カービー・ジーベンマン不変量は (符号)/ 8 (mod 2) である。 例: フリードマンの分類は、基本群が複雑過ぎない場合へ拡張することができる。たとえば、基本群が Z のとき、Z の群環上のエルミート形式を使う上の分類と同じ分類がある。基本群があまりに大きすぎると(たとえば、2つの生成子をもつ自由群)であると、フリードマンのテクニックはうまくいかず、そのような多様体についてはほとんど知られていない。 文章: レフ・ゲンリホーヴィッチ・シュニレルマン レフ・ゲンリホーヴィッチ・シュニレルマンはソビエトの数学者。加法的整数論及び微分幾何学に於ける業績で有名。 ホメリに教師の両親の元に生れる。早くから数学の才能を示し、1921年にはモスクワ大学数学研究所のヒンチンやウリゾーン、ルージンらを聴講していた。1925年に同大学を卒業、1929年ノヴォチェルカッスクのNovocherkassk Polytechnical Instituteに勤む。1930年にモスクワ大学に戻った後、1931年の秋頃迄ゲッティンゲン大学に遊学する。1933年ロシア科学アカデミー会員に選ばれ、翌年設立されたばかりのステクロフ数学研究所に勤める。1938年に自殺したとされる。 1920年代末にL.リュステルニクと共同で変分法に於る位相幾何学的方法を用いて、ポアンカレの問題として知られていた、三次元空間内の凸閉曲面上には三つの閉測地線が存在するという予想を証明した。其の中で現在リュステルニク-シュニレルマンカテゴリーと称えられている位相不変量を定義した。 又加法的整数論の研究に於いては一般的問題を考察し、シュニレルマン密度の概念を導入した。特に篩法を用いて凡ての自然数は高々21個の素数の和であることを証明し(Mathematische Annalen及びDeutschen Mathematikerkongressに於る講演)、ゴールドバッハ予想の解決に向けた新しいアプローチを提示した。 文章: 結び目補空間 数学の結び目理論において、順な結び目 K の結び目補空間 は結び目の周囲の3次元空間である。正確には、K が3次元多様体 M(3次元球面とすることが最も多い)における結び目であるとする。N を K の管状近傍とする。したがって N はトーラス体である。すると結び目補空間は、N の補空間である: 結び目補空間 XK はコンパクトな3次元多様体である。XK の境界と近傍 N の境界は2次元トーラスに同相である。周囲の多様体 M は3次元球面であることもあるが、M が何かを決めるには文脈が必要である。絡み目補空間 も同様に定義する。 結び目群のような多くの結び目不変量は実は結び目補空間の不変量である。周囲の空間が3次元球面の場合は(補空間を考えることで結び目の)情報は全く失われない:GordonLueckeの定理により、結び目はその補空間によって決定されるのである。つまり、K と K′ が同相な補空間を持つ2つの結び目のとき、一方の結び目を他方へと写す3次元球面の同相写像が存在する。 文章: 菱形継承問題 ここで「正方形」は長方形であると同時に菱形でもある、という形で菱形継承があらわれる(なお、ここでいう図形の菱形は、英: rhombus であり「ダイヤモンド」ではなく、日本語の偶然である)。またストリームなどでも、「読み出しストリーム」「書き込みストリーム」の両方を継承した「読み書きストリーム」といった形であらわれる。