クエリ: 2つの辺の長さが等しい三角形を二等辺三角形といいますが、3つの辺の長さが等しい三角形を何というでしょう?
文章: 三角形 逆に、ある内角が 60度である二等辺三角形は正三角形である。正三角形は正多角形の一種である。正多角形とは、全ての辺が等しく、全ての内角が等しい多角形と定義されるが、正三角形に限って3辺が等しいことのみで定義される。正三角形には、対称軸が 3本ある。正三角形の重心、外心、内心、垂心、フェルマー点は、全て一致する。
文章: 等脚台形 等脚台形は、台形の一種で、1本の底辺の両端の内角が互いに等しい図形である。このとき、もう一組の底辺の両端の内角も互いに等しくなる。等脚台形は線対称な図形であり、その対称軸は2本の底辺それぞれの中点をともに通る直線である。 等脚台形では右図での辺ABと辺CDのように台形の脚の長さが互いに等しくなる。等脚台形の名称はこの性質に由来するが、一方、平行四辺形も台形の一種であり、この場合、台形の脚の長さも等しくなるので、(等脚台形の脚の長さは等しいが)「脚の長さが等しい台形は、等脚台形である」という認識は誤りだと言える。 等脚台形のうち、底辺BCとADの長さも等しい場合は長方形となる。したがって長方形は等脚台形の特殊な形である。長方形とは、等脚台形であり、かつ平行四辺形でもある四角形だということができる。 等脚台形の面積Sを求める公式は台形の場合と同一で と表される。ただし h は台形の高さで、この場合 BC と AD の距離にあたる。 4本の辺の長さ x, y, z, w=y が分かっている場合は以下の式で面積を求めることもできる。 ただし x と z は平行とする。 2本の対角線の長さは互いに等しく、対角線の交点Eと上底にある頂点B,Cまでの距離はともに等しい。下底にある頂点A,Dに対しても同様である。 また、三角形EABと三角形EDCは合同な図形となり、対角線の交点Eから台形の脚AB,CDまでの距離は等しい。 等脚台形は円に内接する。つまり4本の辺それぞれの垂直二等分線は一点で交わる。 正六角形を最も長い対角線を境に2つに分割すると4本の辺のうち3本の長さが等しい等脚台形が得られる。 文章: シュタイナーの内接楕円 幾何学における三角形のシュタイナーの内接楕円(シュタイナーのないせつだえん)は、三角形の3辺の中点でその三角形に接する楕円である。中点楕円、ガウス楕円とも呼ばれる。この楕円はデリーによってヤコブ・シュタイナーに属するものとされ、カルマンにより独立に証明されている。 シュタイナーの名前を冠するシュタイナー楕円は、この楕円との対比から「シュタイナーの外接楕円」と呼ばれることもある。 以下の解説で特に説明がない場合、a, b, c は三角形の3辺の長さを表す。 文章: 角の二等分線の定理 △ABC を考える。∠ A の二等分線が、辺BC上の点Dで交わるとする。角の二等分線の定理は、線分BDの長さと、線分CDの長さとの比が、辺ABの長さと辺ACの長さの比に等しいこと、すなわち を示す。この定理の逆として、△ABC の辺BC上の点Dについて、線分BDの長さと、線分CDの長さとの比が、辺ABの長さと辺ACの長さの比に等しいならば、直線ADは∠ A の二等分線であることが成り立つ。また、特に三角形が二等辺三角形である場合は、「等辺をはさむ角の二等分線はその角の対辺も2等分する」といえる。 この定理の一般化として、Dが辺BC上の点ならば 文章: 頂垂線 (三角形) 初等幾何学における三角形の頂垂線(ちょうすいせん、英: altitude)または単に垂線は、その三角形のひとつの頂点からその対辺(この場合、その頂点に対する「底辺」と呼ぶ)を含む直線へ垂直に引いた線分を言う。この対辺を含む直線のことを、その頂点または頂垂線に対する「延長された底辺」(extended base) あるいは「底辺の延長(線)」と呼ぶ。(頂)垂線と底辺(の延長線)との交点は、(頂)垂線の足 (foot) と言う。頂垂線の「長さ」(しばしばこれを「高さ」("the altitude") と呼ぶ)は、頂点と底辺(の延長線)との間の距離(すなわち、頂点とそこから引いた頂垂線の足との間の距離)を言う。頂点から頂垂線をその足まで描くことを、頂点から「垂線を降ろす」(dropping the altitude) と言い、それは直交射影の特別の場合である。 高さは三角形の面積の計算にも用いることができる: 三角形の面積は、底辺の長さと頂垂線の長さの積の半分に等しい。したがって、三角形の最長の頂垂線は最短辺に垂直である。また、頂垂線と各辺は三角函数を通じて関係している。 二等辺三角形(二つの合同な辺を持つ三角形)において、合同でない辺を底辺として持つ頂垂線は、その辺の中点を足に持つ。また合同でない辺を底辺とする頂垂線は、その頂角の二等分線である。 文章: 類似中線 3本の類似中線の交点は類似重心またはルモワーヌ点と呼ばれる。 三角形の3辺の長さを a, b, c とすると類似重心の三線座標は a : b : c 、重心座標は a : b : c となる。 内接円と辺の接点を D, E, F としたとき、三角形 DEF の類似重心は元の三角形のジェルゴンヌ点になる。 文章: 力の平行四辺形 力の平行四辺形(ちからのへいこうしへんけい、英: parallelogram of force)は、物体に2つの力の加法によって得られる平行四辺形である。力の平行四辺形は、2つの力の合力を図示するためにしばしば用いられる。2つより多くの力のなす図形はもはや平行四辺形ではなくなるが、それらの合力がなす図として同様に平行四辺形を作図できる。例えば、図1では、F2 の始点が F1 の終点と一致するように F2 を移動させるのと、F1 の始点と F2 の終点を結ぶベクトルを正味の力とするのとでは同じ結果になる。3つのベクトル F1, F2, G の合力の場合も同様に、Fnet = F1 + F2 と G のなす平行四辺形として作図できる(結果は和の順序に依存しない)。 文章: 直角三角形 直角三角形(、英: right triangle)とは、2つの辺が直角をなす三角形である。記号⊿ を使って表すことがある。 直角三角形においては、直角である内角は、他の2つの内角よりも大きくなる。直角三角形の直角以外の2つの角を、直角三角形の鋭角と呼ぶ。直角三角形の2つの鋭角の和は、直角に等しい。 直角三角形の直角の対辺を斜辺と言い、残りの2辺を、直角をはさむ2辺または単に隣辺と言う。 文章: 二等辺三角形 二等辺三角形の形は、頂角と底角のどちらかだけで決まる。したがって、頂角(底角)が等しい二等辺三角形同士は相似である。 底辺の長さが等しい2つの二等辺三角形を、底辺だけ重ねると、凧形が出来る。特に、2つの二等辺三角形が合同である場合、菱形ができる。 逆に、凧形をその対称軸でない方の対角線で分割すると 2つの二等辺三角形になる。特に、正方形を 1本の対角線で分割すると、2つの合同な直角二等辺三角形が出来る。 文章: ケプラー三角形 ケプラー三角形は三辺の比が等比数列となっている直角三角形で、その公比は黄金比 φ の平方根 φ であるような三角形のことである。つまりケプラー三角形の辺の比は 1 : φ : φ 、おおよそ1 :1.272 :1.618である。したがって三角形の一辺を辺とした正方形も黄金比を公比とした等比数列になる。 このような比率の三角形は、ドイツの数学者で天文学者のヨハネス・ケプラー(15711630)にちなんで名付けられた。ケプラーは、この三角形の短辺と斜辺の比率が黄金比に等しいことを最初に発見した人物である。ケプラー三角形はピタゴラスの定理と黄金比という2つの重要な数学的概念を組み合わせており、次に示すようにケプラーを深く魅了した: また、ケプラー三角形に非常に近い寸法の三角形がギザの大ピラミッドにあるという主張もいくつか存在する。 文章: カルノーの定理 (幾何学) 任意の三角形 ABC において、外接円の中心 D と3辺との符号付き距離の和は、外接円の半径 R と内接円の半径 r の和に等しい。すなわち、右図において、が成立することを主張するものである。ただし、三角形の各辺への垂線 DX (X = F, G, H) が当該三角形の外側に完全に出てしまう場合に限り、符号付き距離の符号を負にとるものとする。 文章: 黄金三角形 黄金三角形(おうごんさんかくけい)は、長い2辺と短い辺の長さの比 a b {\displaystyle {\frac {a}{b}}} が黄金比 φ = 1 + 5 2 {\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}} になっている二等辺三角形である。 黄金三角形は、大星型十二面体や小星型十二面体の展開図に現われる。また、対角線を引いた正五角形や正十角形の中にも見出すことができる。 黄金三角形の頂角の大きさは 文章: ブラーマグプタの公式 ブラーマグプタの公式は、7世紀にインドの数学者ブラーマグプタがヘロンの公式の一般化として得た定理である。ヘロンの公式は三角形の3辺の長さから三角形の面積を求める公式であるが、ブラーマグプタの公式は四角形の 4辺の長さから内接四角形の面積を求める公式である。ただし、 3辺の長さが等しい三角形同士は合同になることから、三角形は 3辺の長ささえ分かれば形が確定し面積が決まるが、四角形の場合は辺の長さだけが決まってもその形を決めることはできず面積は決まらない。したがって、ブラーマグプタの公式では円に内接する四角形であるという条件を付けることで四角形の面積を確定することになる。しかしながら、ブラーマグプタ自身は円に内接するという条件を明示していないため、不正確な公式としてのみ記録に残っている。 文章: 四角面三冠三角柱形分子構造 化学において、四角面三冠三角柱形分子構造(しかくめんさんかんさんかくちゅうけいぶんしこうぞう、英: tricapped trigonal prismatic molecular geometry)は、中心原子の周りに9つの原子または原子のグループまたは配位子が三側錐三角柱(三角柱の各側面に四角錐が張り付いた形状)の各頂点に配置された化合物の形状を説明する。同じ9配位の四角錐反柱形分子構造と非常に似ており、ある分子が示す具体的な幾何配置に関して論争がある。 文章: 等脚台形 等脚台形(とうきゃくだいけい、米語:isosceles trapezoid, 英語:isosceles trapezium)は、台形の一種で、1本の底辺の両端の内角が互いに等しい図形である。このとき、もう一組の底辺の両端の内角も互いに等しくなる。等脚台形は線対称な図形であり、その対称軸は2本の底辺それぞれの中点をともに通る直線である。 等脚台形では右図での辺ABと辺CDのように台形の脚の長さが互いに等しくなる。等脚台形の名称はこの性質に由来するが、一方、平行四辺形も台形の一種であり、この場合、台形の脚の長さも等しくなるので、(等脚台形の脚の長さは等しいが)「脚の長さが等しい台形は、等脚台形である」という認識は誤りだと言える。 等脚台形のうち、底辺BCとADの長さも等しい場合は長方形となる。したがって長方形は等脚台形の特殊な形である。長方形とは、等脚台形であり、かつ平行四辺形でもある四角形だということができる。 文章: 混線内接円 混線内接円(こんせんないせつえん、英: mixtilinear incircle)とは、ある三角形の二辺に接し、かつその外接円に内接する円のことである。三角形の頂点 A {\displaystyle A} を含む二辺に接する混線内接円は A {\displaystyle A} 混線内接円と呼ぶ。すべての三角形は、各頂点に一意に対応する三つの混線内接円を持つ。