クエリ: 二項係数を次々に並べてつくられる三角形状の配列を、フランス人哲学者の名をとって「誰の三角形」という?
文章: フィボナッチ多項式 このことから、右図のようにパスカルの三角形からフィボナッチ多項式の係数を求めることが出来る。
文章: ウラムの螺旋 ウラムの螺旋もしくは素数螺旋(ウラムのらせん、そすうらせん、言語によってはウラムの布とも)とは、素数の分布をある簡単なルールに従って2次元平面に並べ、可視化したものである。これにより、いくつかの二次多項式が非常に多くの素数を生成する傾向にあることが容易に示される。これは1963年、数学者のスタニスワフ・ウラムによって発見された。彼によれば学会の「長くて非常に退屈な論文」の発表の際に落書きをしていてこれを発見した。その後間もなくして、ウラムはマイロン・スタインやマーク・ウェルズと協力し、ロスアラモス国立研究所のMANIAC IIを使って65,000までの範囲の螺旋を、当時まだ初期の段階にあったコンピュータグラフィックスを使用して描いた。翌年の3月、マーティン・ガードナーがサイエンティフィック・アメリカンで連載を持っていた数学ゲームに関するコラムでウラムの螺旋について紹介し、そのコラムが掲載された号はウラムの螺旋が表紙を飾った。 サイエンティフィック・アメリカンのコラムについて補足すると、ガードナーは爬虫両棲類学者ローレンス・モンロー・クローバーが1932年、ウラムの発見に先立つこと30年以上前にアメリカ数学会で発表した、素数を多く生成する二次多項式を発見するための素数の2次元配列の研究についても言及している。クローバーの配列はウラムのような螺旋状ではなく、方型というよりは三角形状であった。 文章: カゴメ格子 カゴメ格子 (kagome lattice) は、結晶格子などにみられる原子などが籠目状に配列したパターンを言う。格子と呼ばれるが、それは数学的な格子よりも三角形・六角形タイリング(三角形と六角形による平面充填)に密接に関係している。 ジャロサイトやハーバートスミス石などのいくつかの鉱物の結晶構造は原子配置がカゴメ格子になっている。これらの鉱物は、幾何学的な磁気フラストレーションに結びつく珍しい物性を示す。この語は、科学文献、特に二次元もしくは三次元の磁気特性の研究においてよく使われる。 カゴメ格子という語は、庄司一郎とともに研究をしていた伏見康治が1951年に命名した。この言葉が使われた最初の論文はPhysics Todayに掲載された。 文章: ブリアンションの定理 ブリアンションの定理(ブリアンションのていり)は、フランスの数学者シャルル・ブリアンション(Charles Julien Brianchon)が発表した幾何学に関する定理。一つの円錐曲線に接する六つの接線により構成された六角形がABCDEFだとすると、直線AD、BE、CF は一点で交わる。双対の定理はパスカルの定理である。 文章: 三角関数の公式の一覧 単位円と三角関数の関係を検討することにより、以下の性質が導かれる。いくつかの線に対し対称な図形を考えることにより、以下の関係式を得ることができる。単位円の図を回転させることにより、別の関係が得られる。π/2 の回転だとすべての関数が別の関数との関係を得られる。π または 2π の回転だと、同じ関数内での関係となる。 文章: 三次方程式 ラグランジュは、三次方程式や四次方程式の代数的解法を分析し、根の置換という代数方程式論の方向性を決定づける重要な概念に到達した。この研究はガロア理論の発見へと繋がっていった。の 3 つの解を r0, r1, r2 とし 1 の虚立方根の一つである。根と係数の関係により s0 = -A2 であることが分かるので s1 と s2 の二つが分かれば解が求まることになる。ここで rm と rn を入れ替える互換を σm,n と書けばが得られる。両辺を三乗することによりσ0,2 σ1,2 も計算してみれば分かる通り、これらの互換は s1 と s2 の入れ替えしかない。つまり s1 + s2 と s1 s2 は r0, r1, r2 の対称式であり、それらの基本対称式で表される。すなわち s1 と s2 を解とする二次方程式の係数は、元の三次方程式の係数 A2, A1, A0 で表されることになる。 文章: ヴァン・オーベルの定理 ヴァン・オーベルの定理(Van Aubel's theorem)とは四角形に関する幾何学の定理である。この定理は1878年に出版された「HH van Aubel」にちなんで命名された。オーベルの定理ともいう。 文章: クラメルの公式 この平行四辺形の面積は、カヴァリエリの原理により、 x1(a11, a2 1) + x2(a1 2, a2 2) と (a1 2, a2 2) の張る平行四辺形の面積に等しい。最後とその前の平行四辺形の面積が等しいことは方程式の成立を意味するが、これはクラメルの法則からも得られる。 文章: ポアソン方程式 ポアソン方程式(ポアソンほうていしき、英: Poisson's equation)は、2階の楕円型偏微分方程式。方程式の名はフランスの数学者・物理学者シメオン・ドニ・ポアソンに因む。 文章: 三角行列 という形をしている。フロベニウス行列の逆行列はふたたびフロベニウスで、もとのフロベニウス行列の非対角成分をすべて符号反転したものによって与えられる。 文章: ピンク・ピストルズ ピンク・ピストルズのシンボルは、拳銃の立射姿勢をとった人間を俯瞰したピクトグラムをピンクの三角形の中に描いたものである。現代において、ピンクの三角形はゲイ・ブライドとゲイの権利のシンボルであるが、これはもともとホロコーストにおいて強制収容所に入れられた同性愛者が着用を義務づけられていたバッジであった。 組織のスポークスパーソン、グウェン・パットンによれば「我々は誰かに危害を加えられたくないし、その誰かは我々のところから逃げ去ってもらいたい。そこで気づいた最良の手段が、銃の所持である」。パットンはこうも述べている。「ピンク・ピストルズは、同性愛者よりも銃所持の支持者から好意的に迎えられる傾向にある」。 1500人ほどだったピンク・ピストルズの会員数は、2016年のフロリダ州におけるゲイ・ナイトクラブでの銃乱射事件の後に4500人にまで膨れあがった。2016年6月24日の時点で、会員は7000人以上、アメリカ国内の支部の数は36を数える。 文章: ナポレオンの定理 ナポレオンの定理(ナポレオンのていり)は、幾何学における定理の1つである。 任意の三角形に対し各辺を1辺とする正三角形を描き、これら3つの正三角形の重心同士を結んだとき、この三角形は正三角形となる。この三角形をナポレオンの三角形という。 3つの正三角形をもとの三角形の外側に描く場合(右の図)と内側に描く場合で2通りの三角形が考えられるが、いずれも正三角形となる。この2つの正三角形の面積の差は、もとの三角形の面積と等しくなる。 文章: ウラムの螺旋 ウラムの螺旋もしくは素数螺旋(ウラムのらせん、そすうらせん、言語によってはウラムの布とも)とは、素数の分布をある簡単なルールに従って2次元平面に並べ、可視化したものである。これにより、いくつかの二次多項式が非常に多くの素数を生成する傾向にあることが容易に示される。これは1963年、数学者のスタニスワフ・ウラムによって発見された。彼によれば学会の「長くて非常に退屈な論文」の発表の際に落書きをしていてこれを発見した。その後間もなくして、ウラムはマイロン・スタインやマーク・ウェルズと協力し、ロスアラモス国立研究所のMANIAC II(英語版)を使って65,000までの範囲の螺旋を、当時まだ初期の段階にあったコンピュータグラフィックスを使用して描いた。翌年の3月、マーティン・ガードナーがサイエンティフィック・アメリカンで連載を持っていた数学ゲームに関するコラムでウラムの螺旋について紹介し、そのコラムが掲載された号はウラムの螺旋が表紙を飾った。 サイエンティフィック・アメリカンのコラムについて補足すると、ガードナーは爬虫両棲類学者ローレンス・モンロー・クローバー(英語版)が1932年、ウラムの発見に先立つこと30年以上前にアメリカ数学会で発表した、素数を多く生成する二次多項式を発見するための素数の2次元配列の研究についても言及している。クローバーの配列はウラムのような螺旋状ではなく、方型というよりは三角形状であった。 文章: 組合せ数学 ペルシャの数学者アル・ファリシ(en:Al-Farisi)は13世紀の終わりに因数分解と組み合わせ方法に関連した考え方を導入した。アル・ファリシのアプローチは、彼自身も証明した算術の基本定理である自然数の素因数分解の一意性に基づいたものだった。アル・ファリシは三角数と二項係数の関係を見て取り、数学的帰納法の萌芽的な議論を用いて三角数や三角錐数、五胞体数、などと n 個の対象から k 個のものを選ぶ場合の数の間の関係を示している。 数え上げ的組合せ論は、おきうる事象を数え上げることが17世紀のパスカルらの仕事に始まる初等的な確率論で重要な問題になってからヨーロッパで大きな関心を集めるようになった。現代的な組合せ論は19世紀の終わりに発展を始め、パーシー・アレクサンダー・マクマホンによって1915年に発表された数え上げに関する系統的な書である組合せ解析やロナルド・フィッシャーによる実験計画法に関する1920年代の一連の仕事などをへて、20世紀にははっきりとした研究分野として確立した。近年の主要な組合せ論学者には、主に極値組合せ論に関する仕事をしてすばらしい問題を提起し解き続けたポール・エルデシュや、1960年代における数え上げ化・代数化の定式化に大きな役割を果たした ジャン・カルロ・ロタがいる。ものをどうやって数え上げるかという研究は時に数え上げ論とよばれて別の分野だと見なされることもある。 文章: 七十二角形 正七十二角形においては、中心角と外角は5°で、内角は175°となる。一辺の長さが a の正七十二角形の面積 S は sin ( 2 π / 72 ) {\displaystyle \sin(2\pi /72)} を平方根と立方根で表すと、 三次方程式の係数を求めると 文章: 二等辺三角形 二等辺三角形のうち、3本の辺の長さが全て等しい三角形を正三角形という。正三角形の内角は全て等しく 60°である。逆に、ある内角が60°である二等辺三角形は正三角形になる。すべての正三角形は、互いに相似である。 頂角が直角である二等辺三角形は直角二等辺三角形と呼ばれる。直角二等辺三角形の底角(鋭角)は 45°である。すべての直角二等辺三角形は、互いに相似である。