クエリ: 数学で、AB-AC=Aというように、式を共通の因数でまとめることを何という?
文章: 因数分解 数学における因数分解(いんすうぶんかい、英: factorization, factoring, decomposition; 分解、因子分解)は、与えられた数学的対象を同種の(しかし普通はより小さいあるいはより平易な)別の対象それは因数(factor; 因子、乗法因子、乗因子)と呼ばれるの積として書き表すことを言う。たとえば、15 という数は 3 × 5 という因数の積に分解され、多項式 x - 4 は (x - 2)(x + 2) という因数の積に分解される。因子への分解は、除法が自由にできる体系(可除環など)ではほとんどの場合に意味を為さない。例えば実数や複素数の体系において任意の x は y が零でない限り何であっても xy × (1/y) のように分解できることは明らかである(つまり、どの元もいくらでも分解できて、積としての表示を無数に持つ)。
文章: 包除原理 包除原理(ほうじょげんり、英: Inclusion-exclusion principle, principle of inclusion and exclusion, Principle of inclusion-exclusion, PIE)あるいは包含と排除の原理とは、数え上げ組合せ論における基本的な結果のひとつ。特別な場合には「有限集合 A と B の和集合に属する元の数を計算するには、まずそれぞれに属する元の数 |A| と |B| を足しあわせた後、それらの共通部分に属する元の数 |A ∩ B| を引き去ればよい」というものである。つまり単に数え上げた後で重複を取り除くことに相当する。 以上の2つの有限集合 A, B に対する包除原理は次のように表せる。 同様に、3つの有限集合 A, B, C に対する包除原理は次のように表せる。 文章: ヴァンデルモンドの行列式 この公式は、n に関する数学的帰納法で示すこともできるし、行列式の性質を用いたうまい証明の仕方もある。実際、行列式の交代性(行を入れ替えると行列式は -1 倍になる)と因数定理によって、det V は xj - xi たちを因数に持つことが分かるので、あとは次数と係数を比較すれば、公式が成り立つことが容易に分かる。 文章: 有理関数 数学における有理関数(ゆうりかんすう、英: rational function)は、二つの多項式をそれぞれ分子と分母に持つ分数として書ける関数の総称である。抽象代数学においては変数と不定元とを区別するので、後者の場合を有理式と呼ぶ。 文章: 算数チャチャチャ 以下、歌詞の内容を数学の問題と解法の形に再構成して説明する。 問い: 2 + 2 2 + 1 {\displaystyle {\frac {2+{\sqrt {2}}}{{\sqrt {2}}+1}}} を簡単にせよ。 答え:分子を共通因数 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} でくくると、 2 + 2 = 2 ( 2 + 1 ) {\displaystyle 2+{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}({\sqrt {2}}+1)} 文章: ヘンゼルの補題 これは法7で3ではなく4に合同になるもので、実は最初に得られた平方根を-1倍したものになっている(これは 4 = -3 mod 7 であることと辻褄があっている)。元々のヘンゼルの補題は適用できないが一般化されたものなら適用できる例として f ( x ) = x 2 - 17 {\displaystyle f(x)=x^{2}-17} を考える。 a = 1 {\displaystyle a=1} とすると f ( a ) = - 16 {\displaystyle f(a)=-16} であり、また f ′ ( a ) = 2 {\displaystyle f'(a)=2} であるので、が成り立つ。これから、ある2進整数 b でを満たすものが一意に存在する。二番目の式は b ≡ 1 mod 4 を意味する。 文章: 包除原理 包除原理あるいは包含と排除の原理とは、数え上げ組合せ論における基本的な結果のひとつ。特別な場合には「有限集合 A と B の和集合に属する元の数を計算するには、まずそれぞれに属する元の数 |A| と |B| を足しあわせた後、それらの共通部分に属する元の数 |A ∩ B| を引き去ればよい」というものである。つまり単に数え上げた後で重複を取り除くことに相当する。 以上の2つの有限集合 A, B に対する包除原理は次のように表せる。 同様に、3つの有限集合 A, B, C に対する包除原理は次のように表せる。 一般に、 n 個の有限集合 A1, ..., An が与えられたとき、その和集合に属する元の数は と表せる。ただし、ここで [n] = {1, 2, ..., n} とした。 この原理の名称は、あらゆるものを「含め」、その後で「取り除いて」補正をするという考え方に基づいていることからきている。n > 2 のとき、共通部分の補正項を計算するのが非常に困難になることもある。また、公式には符号が交互にあらわれる。 この公式はアブラーム・ド・モアブルによるものと考えられているが、ジェームス・ジョセフ・シルベスターまたはアンリ・ポアンカレによるとも言われる。 文章: アルビレオ 原則として、Aがさらに連星の場合、主星はAa、伴星はAbとなるが、この伴星はAcと呼ばれている。それは、先に発見が報告された別の伴星がAbと名づけられたからである。Abは1978年の観測に基づき1980年に発表され、Acは1976年の観測に基づき1982年に発表された。Abの発見報告は1978年と1995年の観測による2回のみであり、現在は存在を認められていない。 なおCCDM(英語版)は、伴星(Ac)をCとしている。ただし現在の原則では、Cという符号はABの外側の星に使うことになっている。ワシントン重星カタログは、伴星をAcとし、約1′離れた(Bより少し遠い)11等星をCとしている。 AaとAcは1923年にヘンリー・ドレイパーカタログに登録され、それぞれHD 183912とHD 183913という名称が付与された。1979年、C.E.ウォーレイはアメリカ海軍天文台の66cm望遠鏡を使い、主星から0.40秒角離れた位置に主星より1.5等級暗い星を確認している 。なお、今日では補償光学により主星と伴星の分離が可能となっている。 文章: 分数 分子と分母が 1 以外に共通の因数を持たない分数を既約分数(きやくぶんすう、英: irreducible fraction)という(例:2/3、5/6)。言い換えると「分数 n/d が既約(irreducible)である」とは分子 n と d が互いに素(最大公約数が 1)であることを意味する。 反対に、ある分数が既約でないことを可約(かやく、英: reducible)または約分可能という(例:2/4、4/6 は可約)。可約な分数を既約分数に書き換える操作を約分(やくぶん、英: reduction)あるいは簡約(かんやく)という。 分数 N/D が可約なら、その分子 N と分母 D は 1 でない最大公約数 g を持ち、 文章: 直和 数学における直和(ちょくわ、英: direct sum)は、既知の数学的対象を「貼り合わせ」て同じ種類の対象を新たに作り出す操作の一種で、歴史的経緯から対象によってやや異なる意味で用いられるが、大雑把には集合論的、代数学的、圏論的用法に大別できる。またいずれの用法においても、直和を取る対象が全て一つの大きな対象の部分となっている場合(内部直和、構造的直和)と、そのようなものを仮定しない場合(外部直和、構成的直和)を区別することができる(場合によってはそれらの記述は見かけ上大きく異なる)が、それらの間に自然な同型があるため理論上区別して扱わないこともある。そのような自然同型は、しばしば圏論的直和(あるいは双積)の普遍性によって捉えることができる。 直和を表すのに用いられる記号には , {\textstyle \oplus ,\coprod } などがある。 文章: アラン・ベイカー また、類数が 1, 2 である虚二次体の決定の際にも使用される等、数論の様々なところで応用されている。 文章: Sum-free set 加法的組み合わせ論(英語版)(additive combinatorics)や加法的数論(英語版)(additive number theory)では、アーベル群 G の部分集合 A が、sum-free とは、sumset A A {\displaystyle A\oplus A} が A と互いに素であるときを言う。言い換えると、A が sum-free 集合とは、式 a + b = c が a, b, c ∈ A では解を持たない場合を言う。 例えば、奇数全体からなる集合は、整数全体からなる集合の sum-free(部分)集合であり、N が偶数のとき、集合 {N/ 2 + 1 , ..., N} は、集合 {1, ..., N} の大きな sum-free 部分集合となる。フェルマーの最終定理は、n > 2 のときに、0 を除く全ての整数の n 乗からなる集合は、整数の sum-free 部分集合であることと言うことと同じである。 sum-free(部分)集合についてのいくつかの基本的疑問は、下記のような疑問がある。 文章: 単振動 という関係があるため、上記の式が導かれる。複素指数関数の定数係数 A を複素数 Ac に拡張すれば、φ を陽に表さずに次のように表現できる。 ここで、定数係数 Ac は A および φ と次のような関係である。 したがって、この形式では、振幅 A と初期位相 φ の情報は複素数 Ac の中に含まれる。複素数に拡張された振幅は複素振幅と呼ばれる。 文章: 二項定理 が主張を満たすことは明らか。以下 n は 1 以上の整数として n に関する帰納法で示す。帰納法の仮定により、が成り立つから、分配法則によってとなり、パスカルの法則(英語版)を用いてを得る。これは所期の式である。二項係数 (nk) が n-元集合から得られる k-元部分集合の総数であるという組合せ論的性質を用いてより直観的な証明ができる。展開すべき式をと書く。x および y をそれぞれ j 個および k 個選んで掛け合わせれば xy の形の項を生じるが、ここで y を選ばないときには x を選ぶしかないから j = n k である。最終的に k 個の y を選ぶ方法は (nk) 通りであるから、n 個の (x + y) を掛け合わせたときの単項式 xy の係数は (nk) である。 文章: ラングレーの問題 AB=AC,∠BAC=20° の二等辺三角形 ABC がある。辺AB上に点E、辺AC上に点Dをとり∠CBD=60°,∠ECB=50° となるようにしたとき、∠BDE の大きさを求めよ。 点Aを省き、四角形として出題されることもある。 文章: 共通部分式除去 共通部分式除去(きょうつうぶぶんしきじょきょ、英: Common subexpression elimination, CSE)は、計算機科学におけるコンパイラ最適化方法の一つで、同じ式 (すべて同じ値に評価される) の出現を探し出し、計算結果を格納する一つの変数に置き換える価値があるかどうかの解析を行うものである。 下記の例では、 コードが下記のように記述されたとして解釈できるよう変更すると、 (プログラムの実行が速くなるため)利点がある。