クエリ: 数学で、AB-AC=Aというように、式を共通の因数でまとめることを何という?
文章: 約数 そこで、「a が N の約数ならば、N/a も N の約数である」ことを使うと、半分程度の労力で済む。一般に、平方数のときに限り約数の個数は奇数になる。一般に、約数の個数を求めるとなると、素因数分解が効果を発揮する。素因数分解の可能性と一意性(特に一意性)は自明な定理ではない(これを算術の基本定理という)。しかし、これにより約数を式で表すことができる:
文章: 捩れ部分群 任意のアーベル群 ( A , + ) {\displaystyle (A,+)\;} と任意の素数 p と任意の自然数 n に対してp^n の位数をもつ A の元全体の集合(この記号はよく使われる)は部分群であり p-冪捩れ部分群 (p-power torsion subgroup) と呼ばれる。A [ p n ] {\displaystyle A[p^{n}]} の全てのnに渡って和を取ったもの(この記号もよく使われる)も部分群を成し、Aのp-部分 (p-part) と呼ばれる。これはもちろんp-群である。捩れ部分群 Ator はAのp-部分のすべての素数 p を渡る直和に同型である。A が有限アーベル群のとき、 A [ p ∞ ] {\displaystyle A[p^{\infty }]} は唯一の A のシロー p-部分群と一致する。 文章: 包除原理 包除原理あるいは包含と排除の原理とは、数え上げ組合せ論における基本的な結果のひとつ。特別な場合には「有限集合 A と B の和集合に属する元の数を計算するには、まずそれぞれに属する元の数 |A| と |B| を足しあわせた後、それらの共通部分に属する元の数 |A ∩ B| を引き去ればよい」というものである。つまり単に数え上げた後で重複を取り除くことに相当する。 以上の2つの有限集合 A, B に対する包除原理は次のように表せる。 同様に、3つの有限集合 A, B, C に対する包除原理は次のように表せる。 一般に、 n 個の有限集合 A1, ..., An が与えられたとき、その和集合に属する元の数は と表せる。ただし、ここで [n] = {1, 2, ..., n} とした。 この原理の名称は、あらゆるものを「含め」、その後で「取り除いて」補正をするという考え方に基づいていることからきている。n > 2 のとき、共通部分の補正項を計算するのが非常に困難になることもある。また、公式には符号が交互にあらわれる。 この公式はアブラーム・ド・モアブルによるものと考えられているが、ジェームス・ジョセフ・シルベスターまたはアンリ・ポアンカレによるとも言われる。 文章: ひずみ 同様に、y軸方向、z軸方向の垂直ひずみは、以下のようになる。 せん断ひずみは、 A C {\displaystyle {\overline {AC}}\,\!} と A B {\displaystyle {\overline {AB}}\,\!} の間の角度の変化である。 図より、以下の式を得る。 変位勾配が小さいと仮定すると、以下のようになる。 文章: ユークリッドの補題 3は12より直接証明できる。 今 a , c {\displaystyle a,c} が互いに素であるとき g = 1 {\displaystyle g=1} .ゆえに l = l c m ( a , c ) = a c {\displaystyle l=lcm(a,c)=ac} ....4 ここでユークリッドの補題の前提条件として a , c {\displaystyle a,c} が互いに素であり、かつ c a b {\displaystyle c\mid ab} のとき, a b {\displaystyle ab} は c {\displaystyle c} の倍数かつ、当然 a {\displaystyle a} の倍数であるから、 a b {\displaystyle ab} は a , c {\displaystyle a,c} の公倍数. 4より l c m ( a , c ) = a c {\displaystyle lcm(a,c)=ac} で1より a c a b {\displaystyle ac\mid ab} .ゆえに c b {\displaystyle c\mid b} . これが証明すべきことであった. 文章: ヘンゼルの補題 これは法7で3ではなく4に合同になるもので、実は最初に得られた平方根を-1倍したものになっている(これは 4 = -3 mod 7 であることと辻褄があっている)。元々のヘンゼルの補題は適用できないが一般化されたものなら適用できる例として f ( x ) = x 2 - 17 {\displaystyle f(x)=x^{2}-17} を考える。 a = 1 {\displaystyle a=1} とすると f ( a ) = - 16 {\displaystyle f(a)=-16} であり、また f ′ ( a ) = 2 {\displaystyle f'(a)=2} であるので、が成り立つ。これから、ある2進整数 b でを満たすものが一意に存在する。二番目の式は b ≡ 1 mod 4 を意味する。 文章: 互いに素 (整数論) 二つの整数 a, b が互いに素であるとは、a, b を共に割り切る正の整数が 1 のみであることをいう。このことは a, b の最大公約数 gcd(a, b) が 1 であることと同値である。a, b が互いに素であることを、記号で a ⊥ b と表すこともある。なお、「互いに素」を意味する英単語には coprime と disjoint があるが、coprime は整数について「互いに素」「共通点を持たない」という意味で使用される。 文章: 互いに素 互いに素 (数論) 0ではない二つの整数が、共通の素因数を持たないこと。すなわち、二つの整数の最大公約数が 1 であるとき、これら二つの整数の関係。例えば、8と9など。既約分数の分母と分子はこの関係にある。 (集合論) 二つの集合に共通部分がないこと。 素因数 分数 既約分数 約分 公約数 最大公約数 (語義1) 英語: coprime , relatively prime フランス語: premiers entre eux 朝鮮語: 北京官話: 互素 , 互質 /互 (語義2) 英語: disjoint 文章: 環 (数学) 一意分解整域と他の環のクラスとの関係としては、たとえば任意のネーター環は先ほどの条件の1番目と2番目を満足するが、一般には3番目の条件を満足しない。しかし、ネーター環において素元の全体と既約元の全体が集合として一致するならば、3番目の条件も成り立つ。特に主イデアル整域は UFD である。 環は非常に重要な数学的対象であるにもかかわらず、その理論の展開には様々な制約がある。例えば、環 R の元 a, b に対して、a が零元でなく ab = 0 が成り立つとしても、b は必ずしも零元でない。特に、ab = ac で a が零元でないということから、b = c を帰結することができない。このような事実の具体的な例としては、環 R 上の行列環を考えて、a を零行列ではない非正則行列とすればよい。しかし、環に対して更なる条件を課すことで、今の場合の問題は取り除くことができる。すなわち、考える環を整域(零因子を持たない非自明な可換環)に制限するのである。しかしこれでもなお、零元でない任意の元で割り算ができるかどうかは保証されないといったような問題は生じる。例えば整数環 Z は整域を成すが、整数 a を整数 b で割るというのは整数の範囲内では必ずしもできない(整数 2 で整数 3 は割り切れず環 Z からはみ出してしまう)。この問題を解決するには、零元以外の任意の元が逆元を持つ環を考える必要がある。すなわち、体とは、環であって、その零元を除く元の全体が乗法に関してアーベル群となるものである。特に体は割り算が自由にできることから整域となる(つまり零因子を持たない)。すなわち、体 F の元 a, b に対して、商 a/b は ab によって矛盾無く定まる。 環 (R, +, ) が整域であるとは (R, +, ) が可換環で、零因子を持たないことを言う。さらに環 (R, +, ) が体 であるとは、零元でない元の全体が乗法に関してアーベル群を成すことを言う。 文章: ブール論理 集合 A には普遍集合の中の全ての偶数(2の倍数)が含まれ、集合 B には同じ普遍集合の中の全ての 3 の倍数が含まれるとする。そのとき、これらの集合の共通部分(A AND B の集合の全ての元)は、その普遍集合の中の全ての6の倍数が含まれる。 集合 A の補集合(NOT A に含まれる全ての元)は、その普遍集合の全ての奇数となる。 たかだか2つの集合に対してブール演算を行い、その演算によって形成された新たな集合と別の集合に対して新たなブール演算を適用することができる。上の例で言えば、普遍集合の全ての 5 の倍数を含む集合 C を新たに定義する。ここで「集合 A AND B AND C」は、その普遍集合の全ての30の倍数を含む。記述を単純化するため、集合 A と B の共通部分を AB と記したり、6の倍数の集合を導入したりする。そうすると「集合 AB AND C」は、同様に全ての30の倍数を含む。このようなステップをさらに進めていくこともでき、この演算の結果として集合 ABC を定義することもできる。 文章: 共線 初等幾何学における点の集合の共線性(きょうせんせい、英: collinearity)は、それら点がすべて同一直線上にあるという性質を言うものである。与えられた点の集合が共線性を持つとき、それらの点は共線(きょうせん、英: collinear, colinear)であると言う。極めて一般に、様々な対象に対してそれらが「一列に」("in a line") あるいは「一行に」("in a row") 並べられたときに、共線という言葉を用いることができる。 文章: 数学の統一理論 殆どの場合、研究の下にある数学的対象は(非標準的にではあるが)集合として、より厳密に言えば加法演算のような付加的な構造を備えた集合として、定義される。現在では、集合論は数学的な話題を展開するための「共通語」としての役割を果たしている。 文章: 日野・リエッセ 1985年2月にデビュー。車幅2m・全長7mクラスの小型車で、車幅2.3mクラスのレインボーACよりさらに小型のモデルである。 レインボーRBはクラス初のリヤエンジン車、レインボーABは他社のマイクロバス同様のフロントエンジン車である。外観はどちらも共通でハイルーフ・ロングボディ仕様に相当するものとなっていた。レインボーRBはリヤエンジンであることが買われ、のちに中扉専用から前扉化された。自家用やレンタカー用が多いが、レインボーRBは路線用としても多くが販売された。3速オートマチックや速度感応式パワーステアリングの装備が追加されたのも特徴的であった。レインボーABは車椅子リフト付きや幼児専用車なども製造された。 1995年8月のリエッセ(RX系)へのモデルチェンジまで、日野自動車の最小クラスのバスとして、レインボーRB・レインボーABともに製造された。 文章: 分数 分子と分母が 1 以外に共通の因数を持たない分数を既約分数(きやくぶんすう、英: irreducible fraction)という(例:2/3、5/6)。言い換えると「分数 n/d が既約(irreducible)である」とは分子 n と d が互いに素(最大公約数が 1)であることを意味する。 反対に、ある分数が既約でないことを可約(かやく、英: reducible)または約分可能という(例:2/4、4/6 は可約)。可約な分数を既約分数に書き換える操作を約分(やくぶん、英: reduction)あるいは簡約(かんやく)という。 分数 N/D が可約なら、その分子 N と分母 D は 1 でない最大公約数 g を持ち、 文章: 因子分析 今、 m {\displaystyle m} 個の確率変数の組、 x 1 , ... , x m {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{m}} が得られたとする。また、各変数の母平均はそれぞれ μ 1 , ... , μ m {\displaystyle \mu _{1},\dots ,\mu _{m}} であるとする。 これらの変数を、p個の共通因子 f 1 , ... , f p {\displaystyle f_{1},\dots ,f_{p}} で と説明する線形モデルが因子分析法である。 文章: 直和 数学における直和(ちょくわ、英: direct sum)は、既知の数学的対象を「貼り合わせ」て同じ種類の対象を新たに作り出す操作の一種で、歴史的経緯から対象によってやや異なる意味で用いられるが、大雑把には集合論的、代数学的、圏論的用法に大別できる。またいずれの用法においても、直和を取る対象が全て一つの大きな対象の部分となっている場合(内部直和、構造的直和)と、そのようなものを仮定しない場合(外部直和、構成的直和)を区別することができる(場合によってはそれらの記述は見かけ上大きく異なる)が、それらの間に自然な同型があるため理論上区別して扱わないこともある。そのような自然同型は、しばしば圏論的直和(あるいは双積)の普遍性によって捉えることができる。 直和を表すのに用いられる記号には , {\textstyle \oplus ,\coprod } などがある。