クエリ: ロシアのグレゴリー・ペレルマンによって解決された、「単連結な3次元閉多様体は3次元球面に同相である」というミレニアム懸賞問題のひとつは何?
文章: ポアンカレ予想 (3次元)ポアンカレ予想(ポアンカレよそう、Poincar conjecture)とは、数学の位相幾何学(トポロジー)における定理の一つである。3次元球面の特徴づけを与えるものであり、定理の主張は単連結な3次元閉多様体は3次元球面 S に同相であるというものである。現在まで7つのミレニアム懸賞問題のうち唯一解決されている問題である。ポアンカレ予想は各次元で3種類(位相、PL,微分)があり、かなり解けているが 「4次元微分ポアンカレ予想」「4次元PLポアンカレ予想」「高次元微分ポアンカレ予想の残り少し」は未解決である。 これらは非常に重要な問題である。
文章: レンズ空間 数学におけるレンズ空間(レンズくうかん、英: lens space)とは、位相空間の一種である。しばしば3次元多様体(英語: 3-manifold)の特定のクラスを指す言葉として用いられるが、一般にもっと高次元のレンズ空間も定義することができる。 3次元多様体の場合、レンズ空間というのは二つのソリッドトーラス(中身の詰まったトーラス)をその境界で貼り合せる事で得られる空間として特徴付けることができる。ただし、3次元球面 S や S × S は、そうやって得られる空間ではあるものの、自明な場合であるとして、レンズ空間としては扱わないことも多い。 3次元レンズ空間 L(p; q) は1908年に Tietze が導入した。3次元レンズ空間はそのホモロジーおよび基本群だけからは決定することができない3次元多様体の最もよく知られた例であり、そして同相型 (homeomorphism type) がそのホモトピー型から決まらない閉多様体の最も簡単な例である。J.W. Alexander は1919年にレンズ空間 L(5; 1) と L(5; 2) が、基本群とホモロジー群が同型であるにもかかわらず互いに同相ではないことを示した。他にも同じホモトピー型を持つ(従って基本群もホモロジー群も等しい)が同相型が異なるレンズ空間というものが存在する。これにより、レンズ空間の導入を以って(代数的位相幾何学から分かれて)幾何学的位相幾何学 (geometric topology) の起こりと考えられる。 文章: ゾーン多面体 平行多面体 (Parallelohedra) とは、ゾーン多面体のうち単独で平行移動のみによる空間充填が可能な立体のことであり、以下の5種類しかないことをロシアの結晶学者E.S.フェドロフが1885年に証明した。 1933年にロシアの数学者ドロネーはより簡単なアプローチでこれを証明した。コクセターはH.S.ホワイトの投影図法に基づいて、1つの交点に交わる直線は3本以下で、1本の直線上の交点の数は3以下という条件を導き、フェドロフの5種類に証明を与えた。 文章: 4次元多様体 単連結でコンパクトな4次元多様体のホモトピーは、中間次元ホモロジー上の交叉形式にのみ依存する。M. Freedman (1982)の有名な定理は、多様体の同相タイプはこの交叉形式であるカービー・ジーベンマン不変量と呼ばれる Z/2Z 不変量にのみ依存するという定理であり、さらに、ユニモジュラー形式(英語版)とカービー・ジーベンマン不変量のすべての結合を得るという定理である。ただし、形式が偶数のときは、カービー・ジーベンマン不変量は (符号)/ 8 (mod 2) である。 例: フリードマンの分類は、基本群が複雑過ぎない場合へ拡張することができる。たとえば、基本群が Z のとき、Z の群環上のエルミート形式を使う上の分類と同じ分類がある。基本群があまりに大きすぎると(たとえば、2つの生成子をもつ自由群)であると、フリードマンのテクニックはうまくいかず、そのような多様体についてはほとんど知られていない。 文章: 4次元多様体 対照的に、向き付けされた 4次元多様体上の滑らかな構造を分類する第二の問題はほとんど分かっていない。実際、単独の滑らかな 4次元多様体で、答えが知られているものはない。ドナルドソンは、ドルガチェフ曲面(英語版)のような、単連結でコンパクトな 4次元多様体が存在し、可算無限個の異なる滑らかな構造が存在することを示した。R 上には非可算無限個の異なる滑らかな構造が存在する。エキゾチック Rを参照。 フィンツシェル (Fintushel) とスターン (Stern) は、手術を使い、多くの滑らかな多様体の上で、互いに異なる大きな数の滑らかな構造をどのように構成するかを示し(任意の整数係数多項式をインデックスとする)、サイバーグ・ウィッテン不変量を使い、滑らかな構造は異なっていることを示した。これらの結果は、単連結でコンパクトな滑らかな 4次元多様体の分類は非常に複雑であることを意味している。現在、この分類が妥当であるというもっともらしい予想はない(いくつかの早い段階の予想は、すべての単連結な滑らかな 4次元多様体は、代数曲面、あるいは、シンプレクティック多様体の向きを保つ連結和かもしれないという予想があったが、否定された)。 文章: ナビエストークス方程式の解の存在と滑らかさ 100万ドル賞であるナビエ-ストークス方程式の解の存在と滑らかさ問題には、2つの異なった設定がある。もともとの問題は、 R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} の空間全体の中(の問題)であり、これには初期値と解の増大性の振る舞いに余剰な条件を必要とする。無限遠点での問題を度外視するために、ナビエ-ストークス方程式は周期的なフレームワークでの設定が可能であり、このことはもはや R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} の空間全体ではなく、3次元トーラス T 3 = R 3 / Z 3 {\displaystyle \mathbb {T} ^{3}=\mathbb {R} ^{3}/\mathbb {Z} ^{3}} の中での問題である。別々にわけて取り扱うことにする。 文章: 三次方程式 このような円錐曲線の研究は、アルキメデスやイブン・ハイサム等を経て、セルジューク朝期ペルシアのウマル・ハイヤームにより拡張され、様々な形をした三次方程式の解が、円錐曲線同士の交点として調べられ、網羅された。三次方程式の代数的解法は、16世紀頃にボローニャ大学のシピオーネ・デル・フェッロによって発見されたとされる。デル・フェロの解いた三次方程式はという形の物である。当時はまだ、負の数はあまり認められていなかったため、係数を正に限った形をしている。この方程式自体は特殊な形であるものの、一般の三次方程式はこの形に変形できるため、本質的には三次方程式はデル・フェロが解いたといっても過言ではない。また、この方程式の場合は係数の符号の制約から還元不能にはならない。デル・フェロは、この解法を公開せず、何人かの弟子に託して1526年に死んだ。 文章: チャーン・サイモンズ理論 この問題の背景や歴史については、この論文 の§1.2 を参照のこと。 この問題は`有向閉曲面と閉区間の積多様体’の場合には、カウフマンによって ヴァーチャル絡み目 というものを導入することによって肯定的に解かれた。 他の場合については未解決で有る。WittenによるJones多項式を表す有名な経路積分は 全てのコンパクト3次元多様体の場合に形式的には書けているが 3次元球面(3次元空間R3, 3次元球体B3)の場合以外は、物理的な意味での計算すら、されていない。すなわち物理的な意味でもこの問題は未解決で有る。 ちなみにアレクサンダー多項式の場合にはこの問題は解決されている(有名な事実)。 文章: 超球面 である。 次元 n > 2 の球面は超球面 (hypersphere) と呼ばれることがあり、3 次元球面は glome と呼ばれることがある。原点に中心のある半径 1 の n 次元球面は n-次元単位球面または単位 n 次元球面 (unit n-sphere) と呼ばれ、S と表記される。単位 n 次元球面はしばしば the n-sphere と呼ばれる。 n 次元球面は (n + 1) 次元球体の表面あるいは境界であり、n 次元多様体である。n 2 に対して、n 次元球面は正の定曲率(英語版)の単連結 n 次元多様体である。n 次元球面にはいくつかの他の位相的記述がある。例えば、2 つの n 次元ユークリッド空間を貼り合わせることによって、n-次元超立方体の境界を一点と同一視することによって、あるいは (n - 1) 次元球面の懸垂を(帰納的に)作ることによって構成できる。 文章: 群論 ガロア群は歴史的には群論の起源の一つではあるが、未だ類体論などの領域で新しい結果を与えるなどの実りある応用がされている。代数的位相幾何学(代数トポロジー)は、その研究の対象となるものにはっきりと群が付随しているもう一つの領域である。ここでは、群は位相空間のある種の不変量を記述するのに用いられる。「不変量」というのは、空間がある種の変形を受けてもそれらが変化しないということを示すものである。例えば、基本群は、空間に本質的に異なる道がいくつあるかを「数える」ものである。(2002年と2003年にグレゴリー・ペレルマンによって証明がなされた)ポワンカレ予想はこのような考え方を用いた顕著な応用例であるが、その影響はこの方面に留まるものではない。たとえば、代数的位相幾何学では所定のホモトピー群を備えた空間であるアイレンバーグ-マクレーン空間が用いられる。 文章: ド・ジッター空間 数学や物理学において、ド・ジッター空間 (de Sitter space) は、通常のユークリッド空間の球面の、ミンコフスキー空間あるいは時空における類似物である。n 次元ド・ジッター空間は dSn と書き、(標準のリーマン計量を持つ)n 次元球面のローレンツ多様体での類似である。この空間は、最大の対称性を持ち、正の定曲率を持ち、3 以上の n に対し、単連結である。 文章: 位相多様体 0次元多様体は単に離散空間である。そのような空間は濃度によって分類される。任意の離散空間はパラコンパクトである。離散空間が第二可算であることと可算であることは同値である。 任意の空でないパラコンパクト連結1次元多様体は R か円周に同相である。連結でないものは単にこれらの直和である。 任意の空でないコンパクト連結2次元多様体(あるいは曲面)は球面、トーラスの連結和、あるいは射影平面の連結和に同相である。詳細は曲面の分類定理(英語版)を参照。 文章: 特異点解消 代数幾何学の特異点解消(とくいてんかいしょう、英: resolution of singularities)の問題とは、すべての代数多様体 V が特異点の解消を持つかどうか、つまり V に対して非特異代数多様体 W であって固有な双有理写像 W→V を持つものを見つけられるかどうかを問う問題である。標数0の体上の代数多様体については広中平祐によって1964年に肯定的に解決されている。しかし標数 p では4次元以上で未解決である。 文章: レンズ空間 数学におけるレンズ空間(レンズくうかん、英: lens space)とは、位相空間の一種である。しばしば3次元多様体(英語: 3-manifold)の特定のクラスを指す言葉として用いられるが、一般にもっと高次元のレンズ空間も定義することができる。 3次元多様体の場合、レンズ空間というのは二つのソリッドトーラス(中身の詰まったトーラス)をその境界で貼り合せる事で得られる空間として特徴付けることができる。ただし、3次元球面 S3 や S2 × S1 は、そうやって得られる空間ではあるものの、自明な場合であるとして、レンズ空間としては扱わないことも多い。 3次元レンズ空間 L(p; q) は1908年に Tietze が導入した。3次元レンズ空間はそのホモロジーおよび基本群だけからは決定することができない3次元多様体の最もよく知られた例であり、そして同相型 (homeomorphism type) がそのホモトピー型から決まらない閉多様体の最も簡単な例である。J.W. Alexander は1919年にレンズ空間 L(5; 1) と L(5; 2) が、基本群とホモロジー群が同型であるにもかかわらず互いに同相ではないことを示した。他にも同じホモトピー型を持つ(従って基本群もホモロジー群も等しい)が同相型が異なるレンズ空間というものが存在する。これにより、レンズ空間の導入を以って(代数的位相幾何学から分かれて)幾何学的位相幾何学 (geometric topology) の起こりと考えられる。 3次元レンズ空間は基本群とライデマイスタートーションによって完全に分類される。 文章: 交叉形式 (4次元多様体) ウーの公式(英語版)により、スピン構造を持つ4次元多様体は、偶の交叉形式、つまり、Q(x,x) はすべての x に対し偶数となる。単連結な 4次元多様体(あるいはより一般的に第一ホモロジー群に 2-torsion を持たないような多様体)に対して、逆が成り立つ。 交叉形式の符号は重要な不変量である。4次元多様体が 5次元多様体の境界となることと、交叉形式の符号が 0 であることとは同値である。ファン・デル・ブリージの補題(英語版)(Van der Blij's lemma)は、スピン 4次元多様体は 8 倍数の符号を持つことを意味している。実際、ロホリンの定理は、滑らかなコンパクトなスピン 4次元多様体は 16 の倍数の符号を持つという定値である。 マイケル・フリードマン(Michael Freedman)は、交叉形式を使い、単連結な位相 4次元多様体を分類した。整数上の任意のユニモジュラー対称双線型形式 Q が与えられると、整数係数の交叉形式 Q をもつ単連結な 4次元多様体 M が存在する。Q が偶であれば、一意にそのような多様体が存在する。Q が奇であれば、2つの(少なくともひとつの対)は滑らかな構造を持たない多様体が存在する。同じ交叉形式をもつ 2つの単連結な閉じた 4次元多様体は同相である。奇の場合には、2つの多様体は、カービー・ジーベンマン不変量により識別される。 文章: エンジェル・プロブレム 三次元の場合に、天使が常に北の方角に進み、悪魔はみっつの平面上でしかプレイしないと制限を置くとしたとき、悪魔に必勝法があるのかわかっていない。