クエリ: 立方体の場合は全部で11種類ある、立体を切り開いて平面上に開いた図のことを何という?
文章: 展開図 展開図(てんかいず、英: net, development)とは、立体図形を辺で切り開いて平面に示した図のことである。立体の細部を示して理解を助ける目的、あるいは、紙、布、板金などの平面素材により立体形状のものをつくるために使用される。分野によって後者の展開図は型紙とも呼ばれるものもある。右図に六角柱の正投影図での図面(図中I、側面図、底面図省略)と展開図(図中II)を示す。
文章: ケーキ数 数学において、ケーキ数(ケーキすう、英: cake number)は、3次元の立方体を決まった枚数の平面で分割して作れる領域の個数の最大値になっているような整数である。平面が n 枚のときのケーキ数はしばしば記号 Cn で表される。立方体の形をしたケーキをナイフでスライスすることに見立ててこの名前で呼ばれる。 n=0, 1, 2, ... に対する Cn の値は順に1, 2, 4, 8, 15, 26, 42, 64, 93, ...である(オンライン整数列大辞典の数列 A000125)。 ケーキの形が立方体であることは重要な要請ではない。ケーキが直方体や円柱や球体であるとしてもこれと同じ数列が得られる。さらに、無限に広い3次元空間全体を平面で分割するときの領域の個数の最大値もこれと同じ数列となる。 文章: 正投影図 正面図、平面図、側面図などのように三部分に分けて表すことが一般的である(三面図)。これに対して、円柱形などのように平面図を省略しているようなこともある。また、立体物の意匠登録などのように、正面図、背面図、左側面図、右側面図、平面図、底面図の六面求められるような例もある。 対象物と投影面の位置関係によって、第一角法投影図と第三角法投影図とに呼び分けることがある。 文章: 有限幾何学 ファノ平面の7個の点の置換(それは全部で7!種類ある)で、同一直線上にある点の組が同一直線上に移されるようなものは群をなし、この平面の対称性と呼ばれる。この位数168の対称性の群は、PSL(2,7) = PSL(3,2),および一般線形群 GL(3,2)と同型である。 位数 n {\displaystyle n} の有限平面とは、各直線が n {\displaystyle n} 個の点を含むもの(アフィン平面の場合)、または各直線が n + 1 {\displaystyle n+1} 個の点を含むもの(射影平面の場合)である。有限幾何における有名な未解決問題の一つとして、 という問題がある。これは真であると予想されているが、証明は得られていない。 文章: 間取り図 間取り図(まどりず、Floor plan)は建築図面の中で最も基本的な上から見た図で、地図と同じ方法で建物内のスペースの配置を示しているが、建物の特定のレベルでの配置を示している。技術的には、建物を横切る水平断面(通常は床の高さ1メートルから20センチメートル)で、壁、窓、ドアの開口部などの高さが表示されている。平面図的なビューには、そのレベルより下に見えるものがすべて含まれている。床、階段(ただし平面図まで)、建具、場合によっては家具なども表される。計画レベルより上の物体(例:ビームオーバーヘッド)は破線で示すことになる。 幾何学的には、 平面図は、水平面が建物を横切っている状態での、水平面へのオブジェクトの垂直正射投影として定義されうる。 文章: 分解図 分解図の最初のより明確な例の1つは、 往復運動機械の設計図で、レオナルドによって作成された。レオナルドは、人体解剖学に関するものを含む、他のいくつかの研究においてこの提示方法を適用している。「分解図」という用語は1940年代に登場し、1965年に「3次元(等角図)図」として定義された最初の1つで、詳細部分の組み立てまたは分解の部品、サブアセンブリ、およびより高いアセンブリの嵌合関係を示している。 文章: 正多面体 正多面体、またはプラトン(の)立体とは、すべての面が同一の正多角形で構成されており、かつすべての頂点において接する面の数が等しい凸多面体のことである。正多面体には正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体の五種類がある。 正多面体の構成面を正 p 角形、頂点に集まる面の数を q として {p, q} のように表すことができる。これをシュレーフリ記号という。シュレーフリ記号は半正多面体にも拡張することができる。 三次元空間の中に一つの頂点を取り、その周りに取ることが可能な正多角形の数に関する制限から、正多面体が存在する必要条件が、{3,3}、{3,4}、{3,5}、{4,3}、{5,3} の五種類のみであることを示すことができる。同じことは、オイラーの多面体公式あるいはデカルトの不足角の定理からも示すことができる。 しかし、条件を緩めることによって、正多面体の拡張を考えることができる(参照:星型正多面体、ねじれ正多面体、正平面充填形)。 文章: 立体 幾何学における立体(りったい、英: body)あるいは中身のつまった図形 (solid figure) は、その表面となる曲面を記述することによって与えられる三次元の図形である。立体の表面は平坦または曲がった面の小片を繋ぎ合わせてかたち作ることができる。その表面をかたち作る小片が全て平面であるような立体は多面体という。様々な立体に対して、それらの体積や表面積を計算するための公式が存在する(幾何学の公式一覧(ドイツ語版)参照)。より高い次元の図形についても一般にこのような仕方で「立体」を定式化するのは容易であるから、ここで述べた立体のことを特に三次元立体とよぶこともある。 文章: 凧形六十面体 凧形六十面体(たこがたろくじゅうめんたい、英: deltoidal hexecontahedron)とは、カタランの立体の一種で、斜方二十・十二面体の双対多面体である。菱形三十面体の各面の中心を持ち上げ、隣り合う三角形同士が同一平面上となるようにしたような形にもなっているが、正確ではない。 文章: 複合多面体 複合多面体のうち、頂点推移的かつ辺推移的かつ面推移的である立体を正複合多面体と呼ぶ。全部で5種類ある。 このうち、5つの正四面体と10個の正四面体と5つの正八面体は正二十面体の星型の一種である。また、5つの立方体は小二重三角二十・十二面体と辺を共有する。 文章: キュビスム キュビスムがはじめて世に知られることになった契機は、1911年の第27回アンデパンダン展である。ピカソとブラックの仕事からも影響を受けながら独自の表現を模索していたピュトー・グループの画家たちが会場の一室を占拠し、キュビスムの一大デモンストレーションを行った。観衆はそれらの「醜い作品」を見て衝撃を受け、口々に非難を浴びせた。参加した画家はアンリ・ル・フォーコニエ、ロベール・ドローネー、マルセル・デュシャンなど。デュシャンは『自転車の車輪』などのレディ・メイドでダダイスムの先駆者となる。 ル・コルビュジエ(シャルル・エドゥアール・ジャンヌレ)とアメデエ・オザンファンによる『キュビスム以降』 (Aprs le Cubisme) は、1918年に刊行されている。 フランス語ではキュビスム (cubisme) と、「ス」が澄んだ発音であるが、英語ではキュービズム(キュービズム) (cubism) と、「ズ」と濁った発音になる。 日本語では、「立体派」と訳され、現在でも一部の文献(例えば、高校の世界史の教科書など)ではこの訳が用いられている。しかし、正確に訳すのであれば、「立方体派」とすべきであり、このことから「立体派」という呼び方は誤解を生むので避けるべきであるという意見がある。しかし、語源に即すのではなく、平面化をしないという趣旨に即すのが妥当であり、そのためには平面に対するに立方体とするのではなく、立方体を含めた立体の全体を据えるのでよい。 文章: 製図論 城内は、ガスパール・モンジュらによって画法幾何学(Geometrie descriptive)と名付けられた製図技法については、「モンジュが『画法幾何学の任務は二つある。第一に、長さと幅との二次元しかもたない紙の上に、長さ、幅、高さの三次元をもつ空間図形を、厳密に定義できるものとして写すことである。』(「画法幾何学」1795年に出版)というように、立体的なものを平面に表す方法である。立体的に創られた施設の像を図面化するためには、こうした製図技法に従って平面図や、断面図という二次元的な図形に展開していかなければならないのである。そのためには頭の中にある施設の像を、横から見ようと思えば横に、上から見ようとすれば上に、半分に切ってみようと思えば半分に切れたところに、ある部分を拡大しようと思えば近くに寄っていくという様に、自在にその位置を変え、見る立場を変化させて、そこから見た形を二次元的な図形として、紙の上にあるいはコンピュータの画面上に描いていくのである」という。 文章: ルーローの三角形 同様の作図を任意の正奇数角形(偶数では不可)におこなうと、ルーローの多角形になる。ルーローの三角形は、辺と頂点の数が最も少ないルーローの多角形である。類似の作図を立体でおこなうとルーローの四面体ができる。 文章: 断面図 断面図には対象の横断面や縦断面のみを投影図(マルチビュー投影(英語版))の手法を用いて二次元的に描画したものと、テクニカルイラストレーションにおける透視図法を用いて三次元的に描画された対象の一部を切り取り、立体的な断面を描いたもの(カットモデル(英語版)をイラスト化したものとも言える)が存在しており、断面図といえば通常は前者を指し、後者は切欠図、切取図(英語版)などと呼ばれる。 立断面図は立面図と断面図を組み合わせたもので、建物の他の部分の高さを断面図を超えて見たものである。 文章: 双対グラフ 双対平面充填の概念は、平面を有限の領域に分割する場合にも適用することができる。これは平面グラフ双対性と非常に類似しているが、まったく同じではない。たとえば、ボロノイ図とドロネー三角分割は双対の関係にあるが、平面グラフとしての双対として考えるためには、無限遠に位置する頂点である。 双対性の概念は、平面以外の二次元多様体上の埋め込みに拡張することができる。ほとんどの場合、埋め込みは各面が位相円板であるという性質を持つ場合に制限されている。この制約は、グラフが接続されているという平面グラフの要件を一般化したものである。この制約により、任意の埋め込みグラフは、同じ曲面に自然に埋め込まれることができる。例えば、完全グラフK7の双対グラフはヒーウッドグラフである。 平面グラフも非平面埋め込みを持つことがあり、その場合の双対は平面双対とは異なる。たとえば、立方体の4つのペトリー多角形(立方体の2つの対向する頂点を削除することによって形成された六角形)は、トーラスに立方体を埋め込むときの六角形の面を形成する。この埋め込みの双対グラフは、二重エッジを持つ完全なグラフK4を形成する4つの頂点を持つ。この双対グラフのトーラス埋め込みでは、各頂点が持つ6つの辺は、その頂点の周囲を巡回する順序で、他の3つの頂点を2回巡回する。平面内の状況とは対照的に、この立方体とその双対の埋め込みは一意ではない。立方体グラフの双対は、他のいくつかのトーラス埋め込みを持つ。 文章: 曲面 (数学) 位相幾何学における曲面は二次元の位相多様体として一般に定義される。すなわち、位相曲面とは、各点がユークリッド平面の開部分集合に同相な近傍を持つような位相空間を言う。任意の位相曲面は、任意のファセットが三角形となるような多面体曲面(英語版)に同相である。それら三角形(より高次元も考える場合には、一般には単体)の排列に関する組合せ論的研究は代数的位相幾何学の出発点となる。そうして、曲面の性質は純粋に代数的な不変量(たとえば、種数やホモロジー群など)によって特徴付けることが可能となる。曲面の同相類は完全に分類されている(曲面 (位相幾何学)を参照)。