クエリ: 別名を「三平方の定理」という三角形に関する定理のことを、古代ギリシャの数学者の名にちなんで何の定理というでしょう?
文章: ピタゴラスの定理 (1) の式はピタゴラスの基本三角関数公式 (Fundamental Pythagorean trigonometric identity) と呼ばれている。(1) の時点ですでに単位円上において本定理の成立が明らかである。なぜならば、本定理の逆は本定理を用いずに証明可能であるし、単位円上の任意の点の座標は (cosθ, sinθ) で表せるからである。前提とした △ABC について、∠A = θ とおけば(2), (3) より(1), (4) より正弦および余弦関数を微分すれば(1), (2) および微分公式よりここで C は定数である。θ = 0 を代入すると sin 0 = 0, cos 0 = 1 であるので、C = 1 が得られる。よってが得られる。 ここで、前提とした △ABC について考え、∠A = θ とおいて、(3) および、三角関数と直角三角形の関係を考慮すれば
文章: モーリーの定理 モーリーの定理とは、初等幾何学における三角形についての定理である。1899年にアメリカの数学者フランク・モーリーによって証明された。 文章: ジョゼフ=ルイ・ラグランジュ 解析力学の研究では、ラグランジュはそれまでの幾何学的方法を排除して、ダランベールの原理、仮想速度の原理を基礎として、純粋な解析学の構築を行った。エネルギー保存則からは、最小作用の原理を導出した。また数論に関する業績もある。全ての自然数が高々四つの平方数の和によって表されるという定理はラグランジュの四平方定理と呼ばれる(1770年)。また、ウィルソンの定理の証明のうちの一つを発見した(1773年)。さらに彼は、五次以上の方程式がベキ根によっては解けないことについても研究し、根の置換など群論の先駆けとなるような研究も行っている。この問題は後にアーベルによって証明された。(もっともラグランジュ自身は解けるための条件を示したのであり、可解という可能性は捨てていなかった) 文章: ヤコビの四平方定理 ヤコビの四平方定理(英: Jacobi's four square theorem)は、自然数を高々四個の平方数の和で表す方法の数を与える定理。名称はドイツの数学者ヤコビに由来する。 自然数Nを高々四個の平方数の和で表す方法の数は で与えられる。但し、シグマ記号は4で整除されないNの約数(1とNを含む)について和を取ることを表す。 N ≧ 1 ならば r 4 ≧ 8 であるから、ヤコビの四平方定理はラグランジュの四平方定理を包含する。 ヤコビの四平方定理はヤコビが楕円関数論を使用して証明した。この定理はガウスが『整数論』の第182条で述べたものと同値である。 文章: 中国の数学 『九章算術』の問題では、球の表面積など円や球に関連した問題を計算する際に、円周率を3に等しいとしている。円周率が3であると計算するための明示公式はテキストに出てこないが、この数値は『九章算術』のほか同時代に作成された『考工記』の問題でも共に使用されている。歴史家は、円周率の数値が円周と円の直径の間の(およそ)3:1という関係を用いて計算されたと考えている。幾人かの漢代の数学者はこの数値を改善しようと試みており、例えば劉キンは円周率を3.154と推定したと考えられている。彼がこの推定値をどのように計算したかについての明確な方法や記録はない。加法、減法、乗法、除法といった基本的な四則演算は、漢朝以前に存在していた。『九章算術』は当然ながらこれらの基本演算を扱い、単にそれらを実行するよう読者に指示している。 文章: 余弦定理 ユークリッド原論の第2巻命題12では、△ABC を γ が鈍角の鈍角三角形としたとき が成り立つことと、命題13で鋭角三角形の場合が示されている。ユークリッド原論では余弦関数は使われていないが、辺の長さを用いて余弦定理と本質的に同じ命題が示されている。 イスラム世界では、10世紀に活躍した天文学者であり数学者のバッターニーはこれらの結果を球面幾何学にまで広げ、星の間の距離を測定した。15世紀には、アル=カーシーが精密な三角関数表を作成し、余弦定理を三角測量に使いやすい形にした。このためフランスでは、余弦定理はアル=カーシーの定理 (Thorme d'Al-Kashi) と呼ばれている。 文章: 半周長 三角形の半周長は、その中点三角形の周長に等しい。三角不等式より、半周長は最も長い辺より長いことがわかる。この節の中では半周長を s で表す。三角形の面積を S とする。三角形の面積は、内接円の半径 r と半周長の積に等しい。三角形の面積は、三辺の長さを a, b, c としたときヘロンの公式によって以下のように表すことができる。外接円の半径 R は、半周長と3辺の長さを用いて以下のように表すことができる。この式は正弦定理から導くことができる。余接定理(英語版)は、半分の角度の余接(コタンジェント)を半周長と3辺の長さと内接円の半径から求める定理である。角の二等分線の長さは以下の式で求めることができる。直角三角形において、斜辺に接する傍接円の半径は半周長に等しい。また、半周長は外接円の半径の2倍と内接円の半径の和に等しい。 文章: 定理 ※数学以外の分野から発祥した定理は、物理学発祥、工学発祥、経済学発祥として表記した。但し、数学者が証明した物理学の定理は物理学発祥とした。 文章: バリンスキーの定理 数学の一分野である多面体組み合わせ論におけるバリンスキーの定理とは、三次元多面体およびより高次元のポリトープの持つグラフ理論的構造に関する定理である。あるd-次元凸多面体あるいはポリトープ(そのスケルトン)の頂点と辺から無向グラフを形成するとき、そのグラフは少なくともd-頂点連結である、ということを述べた定理である。例えば、三次元のある多面体に対して、その頂点の内の二つ(およびそれらに接続している辺)が取り除かれたとしても、残された任意の頂点のペアにはそれらをつなぐ頂点と辺の路が存在する。 バリンスキーの定理は、その証明を1961年に与えた数学者のミシェル・L・バリンスキーの名にちなむ。しかし三次元の場合については二十世紀初頭に、三次元多面体のグラフは3-連結平面グラフであるというシュタイニッツの定理として結果が得られていた。 文章: トレミーの定理 トレミーの定理(トレミーのていり、英: Ptolemy's Theorem)とは、円に内接する四角形 ABCD において、辺の長さに関する等式: が成り立つという幾何学の定理。トレミーは古代ローマの天文学者クラウディオス・プトレマイオスの姓プトレマイオスの英語表記Ptolemyの音訳である。プトレマイオスの定理とも呼ばれる。 トレミーの定理を一般化したオイラーの定理(オイラーのていり)とは、必ずしも円に内接しない四角形 ABCD において、辺の長さに関するトレミーの不等式(英: Ptolemy's inequality): 文章: 回転行列 フェリックス・クラインによって考案されたケーリー・クラインのパラメータは、回転行列を4つの複素数 α {\displaystyle \alpha } , β {\displaystyle \beta } , γ {\displaystyle \gamma } , δ {\displaystyle \delta } (ただし β = γ {\displaystyle \beta =\gamma ^{*}} , δ = α {\displaystyle \delta =\alpha ^{*}} を満たすものとする)を用いてと表示するものである。 文章: 直角三角形 直角三角形の3辺の間には、長さについて三平方の定理の関係がある。 直角の頂点を直角頂と呼ぶ。直角頂は垂心に等しい。 文章: 三角法 球面三角法とは、球面三角形の角と辺の関係を研究する学問である。球面三角形とは球面上の3つの大円の弧により区切られた図形である。大円とは球の中心を通る平面により球を切ったとき、球の切り口に表れる図形である。球面三角形の余弦定理や正弦定理は三角関数により定義される。歴史的に天文学や航海術に利用された。 図2.2に示すような球面三角形における、ある角の余弦は、前記球面三角形の各辺により、次のように表せる。 上記式と等価な下記式(球面三角法における余弦定理(英語版))は、球面三角法における基本的な公式であり、さまざまな公式が下記式から演繹される。 文章: 二項定理 二項定理の特殊な場合については、古代より知られていた。紀元前4世紀ギリシャの数学者エウクレイデスは指数が 2 の場合の二項定理に言及している。また、三次の場合の二項定理が6世紀のインドでは知られていた。 二項係数は相異なる n個のものから重複無く k個を選ぶ総数に等しくなるが、このことについては、古代ヒンドゥーで着目されていた。現在知られているもので最古のものは、ヒンドゥーの詩人ピンガラ(英語版) (c. 200 B.C.) による Chandastra で、それにはその解法も含まれている。紀元後10世紀に評者ハラーユダ(英語版)はこの解法を今日でいうパスカルの三角形を用いて説明した。この数が n!/(n-k)! k! であることが、6世紀ごろのヒンドゥーの数学者には、おそらく知られていたし、この規則についての言及を12世紀にバースカラ2世の表した文書 Lilavati に見つけることができる。 二項係数を組合せ論的量として表記した二項定理は、二項係数の三角形パターンについて記述した11世紀アラビアの数学者アルカラジ(英語版)の業績にも見つけることができる。アルカラジはまた、原始的な形の数学的帰納法を用いて二項定理およびパスカルの三角形に関する数学的証明も与えている。ペルシアの詩人で数学者のウマル・ハイヤームの数学的業績のほとんどは失われてしまったが、彼は恐らく高階の二項定理についてよく知っていた。低次の二項展開は13世紀中国の楊輝や朱世傑の数学的業績にも見られる。楊輝は遥か旧く11世紀の賈憲(英語版)の書の方法に従った(しかし、それらもまた今日では失われてしまった)。 文章: 正弦定理 正弦定理とは三角形の内角の正弦(サイン)とその対辺の長さの関係を示したものである。正弦法則ともいう。多くの場合、平面三角法における定理を指すが、球面三角法などでも類似の定理が知られており、同じように正弦定理と呼ばれている。 文章: 正弦定理 正弦定理(せいげんていり、英:law of sines)とは三角形の内角の正弦(サイン)とその対辺の長さの関係を示したものである。正弦法則ともいう。多くの場合、平面三角法における定理を指すが、球面三角法などでも類似の定理が知られており、同じように正弦定理と呼ばれている。