クエリ: ロシアのグレゴリー・ペレルマンによって解決された、「単連結な3次元閉多様体は3次元球面に同相である」というミレニアム懸賞問題のひとつは何?
文章: グリゴリー・ペレルマン グリゴリー・ヤコヴレヴィチ・ペレルマンまたはペレリマン(ロシア語: Григорий Яковлевич Перельман [rjorjj jakvljvjt pjrjljman] ( 音声ファイル), Grigori Yakovlevich Perelman, 1966年6月13日 )は、ロシア出身の数学者。ロシア系ユダヤ人。ミレニアム懸賞問題の一つであるポアンカレ予想を、多くの数学者が位相幾何学(トポロジー)の観点から挑戦する中、微分幾何学や物理学的アプローチで解決したことで知られる。
文章: レンズ空間 数学におけるレンズ空間(レンズくうかん、英: lens space)とは、位相空間の一種である。しばしば3次元多様体(英語: 3-manifold)の特定のクラスを指す言葉として用いられるが、一般にもっと高次元のレンズ空間も定義することができる。 3次元多様体の場合、レンズ空間というのは二つのソリッドトーラス(中身の詰まったトーラス)をその境界で貼り合せる事で得られる空間として特徴付けることができる。ただし、3次元球面 S3 や S2 × S1 は、そうやって得られる空間ではあるものの、自明な場合であるとして、レンズ空間としては扱わないことも多い。 3次元レンズ空間 L(p; q) は1908年に Tietze が導入した。3次元レンズ空間はそのホモロジーおよび基本群だけからは決定することができない3次元多様体の最もよく知られた例であり、そして同相型 (homeomorphism type) がそのホモトピー型から決まらない閉多様体の最も簡単な例である。J.W. Alexander は1919年にレンズ空間 L(5; 1) と L(5; 2) が、基本群とホモロジー群が同型であるにもかかわらず互いに同相ではないことを示した。他にも同じホモトピー型を持つ(従って基本群もホモロジー群も等しい)が同相型が異なるレンズ空間というものが存在する。これにより、レンズ空間の導入を以って(代数的位相幾何学から分かれて)幾何学的位相幾何学 (geometric topology) の起こりと考えられる。 3次元レンズ空間は基本群とライデマイスタートーションによって完全に分類される。 文章: 球面 n-次元位相球面もまた S と書かれる。位相球面は境界のないコンパクト位相多様体の例になっている。必ずしも可微分多様体(滑らかな多様体)ではないが、滑らかな場合であってもユークリッド球面に微分同相とは限らない。 ハイネボレルの被覆定理により n-次元ユークリッド球面がコンパクトであることが分かる。実際、球面は連続函数 ∥ x ∥ による一点集合の逆像であるから閉集合であり、また S は有界である。 驚嘆すべきことに、三次元空間内において自己交叉することを許せば、通常の球面を一切の切れ目を入れることなく裏返すことができる。この一連の方法は 球の裏返し(英語版) (sphere eversion) と呼ばれる。 文章: 特異点解消 代数幾何学の特異点解消(とくいてんかいしょう、英: resolution of singularities)の問題とは、すべての代数多様体 V が特異点の解消を持つかどうか、つまり V に対して非特異代数多様体 W であって固有な双有理写像 W→V を持つものを見つけられるかどうかを問う問題である。標数0の体上の代数多様体については広中平祐によって1964年に肯定的に解決されている。しかし標数 p では4次元以上で未解決である。 文章: 交叉形式 (4次元多様体) ウーの公式(英語版)により、スピン構造を持つ4次元多様体は、偶の交叉形式、つまり、Q(x,x) はすべての x に対し偶数となる。単連結な 4次元多様体(あるいはより一般的に第一ホモロジー群に 2-torsion を持たないような多様体)に対して、逆が成り立つ。 交叉形式の符号は重要な不変量である。4次元多様体が 5次元多様体の境界となることと、交叉形式の符号が 0 であることとは同値である。ファン・デル・ブリージの補題(英語版)(Van der Blij's lemma)は、スピン 4次元多様体は 8 倍数の符号を持つことを意味している。実際、ロホリンの定理は、滑らかなコンパクトなスピン 4次元多様体は 16 の倍数の符号を持つという定値である。 マイケル・フリードマン(Michael Freedman)は、交叉形式を使い、単連結な位相 4次元多様体を分類した。整数上の任意のユニモジュラー対称双線型形式 Q が与えられると、整数係数の交叉形式 Q をもつ単連結な 4次元多様体 M が存在する。Q が偶であれば、一意にそのような多様体が存在する。Q が奇であれば、2つの(少なくともひとつの対)は滑らかな構造を持たない多様体が存在する。同じ交叉形式をもつ 2つの単連結な閉じた 4次元多様体は同相である。奇の場合には、2つの多様体は、カービー・ジーベンマン不変量により識別される。 文章: ゾーン多面体 平行多面体 (Parallelohedra) とは、ゾーン多面体のうち単独で平行移動のみによる空間充填が可能な立体のことであり、以下の5種類しかないことをロシアの結晶学者E.S.フェドロフが1885年に証明した。1933年にロシアの数学者ドロネーはより簡単なアプローチでこれを証明した。コクセターはH.S.ホワイトの投影図法に基づいて、1つの交点に交わる直線は3本以下で、1本の直線上の交点の数は3以下という条件を導き、フェドロフの5種類に証明を与えた。 文章: 空間充填曲線 1890年、ペアノは今ではペアノ曲線と呼ばれる、単位正方形のすべての点を通る連続曲線を発見した。彼の目的は単位区間から単位正方形の上への連続写像を構成することであった。ペアノは、単位区間内の無限個の点は単位正方形のような任意の有限次元多様体の無限個の点と同じ濃度であるという、ゲオルク・カントールによる以前の反直観的結果に動機づけられた。ペアノが解いた問題はそのような写像が連続にできるかどうか、すなわち空間を埋める曲線があるかどうかであった。ペアノの解は単位区間と単位正方形の間の連続な1対1対応ではなく、実際そのような対応は存在しない(下記参照)。曲線に「厚さ」と1次元性の漠然とした概念を関連付けることが一般的であった。すべての通常遭遇する曲線は区分的に微分可能(つまり区分的に連続微分を持つ)であったが、そのような曲線は単位正方形全体を埋められない。 文章: フレアーホモロジー 閉じた3次元多様体(英語版)についての複数のフレアーホモロジーの間には、同値関係があると予想されている。3つのタイプのホモロジー群が互いに同値であり、完全三角性を形成すると予想されている。3次元多様体の結び目は、それぞれの理論のチェイン複体のフィルトレーションを引き起こし、チェインのホモトピータイプが結び目不変量となる。(それらのホモロジーは、組み合わせ的に定義されたコバノフホモロジーと同じような公式の性質を満たす。) これらのホモロジーは、4次元シンプレクティック多様体のタウベスによるグロモフ不変量と同じように、4次元多様体のドナルドソン不変量やサイバーグ不変量と密接に関連している。3次元ホモロジーをこれらの理論に対応させる微分(写像)は、3次元多様体の交叉 R 上の微分方程式であるヤン・ミルズ理論やサイバーグ・ウィッテン理論(英語版)やコーシー-リーマン方程式、をそれぞれの解を考えることであることが分かる。3次元多様体のフレアーホモロジーも境界を持つ 4次元多様体の相対的な不変量の対象となるべきで、3次元多様体を境界として張り合わせることで得られる閉 4次元多様体の不変量と、張り合わせる構成により関連付けられる。(これは位相的場の理論の概念と密接に関連する。) ヒーガードフレアーホモロジーに対し、3次元多様体のホモロジーが最初に定義され、後日、閉 4次元多様体の不変量がこの方法で定義された。 3次元多様体のホモロジーの境界を持った 3次元多様体への拡張も存在していて:縫い合わせフレアーホモロジー(Juhasz 2008) や境界を持つフレアーホモロジー(Lipshitz, Ozsvath & Thurston 2008)がある. これらは 2つの境界を持つ3次元多様体の境界に沿った併合として記述される 3次元多様体のフレアーホモロジーの張り合わせ公式により、閉3次元多様体の不変量に関連していると期待されている。 文章: 低次元トポロジー 球面上の微分同相ではない可微分構造(英語版) 異種球面(英語版) は存在が知られていたが、この構成により、そのような構造の存在が 4-球面のこの特別な場合のみ存在するのかどうかという問題は未解決である(2014年段階では)。4 以外の正の整数 n に対し、R 上には異種可微分構造が存在しない。言い換えると、n ≠ 4 ならば、R に同相な任意の滑らかな多様体は、R に微分同相である。 多くとも次元が 3 の低次元における方法により証明することのでき、少なくとも次元 5 以上の完全に高い次元の方法により証明できる多様体の基本定理がいくつかあるが、次元 4 でのみ、成立しない定理がある。これらの例をいくつか挙げる。 文章: アレクサンダーの角付き球面 アレクサンダーの構成の各々の段階での角の数を増やすことで他の角付き球面を作り出すようアレクサンダーの構成を一般化できる。または高次元での類似の構成を考えることもできる。このような「野生的な」球面の構成にたいして他の実体上異なった構成が存在する。アレクサンダーによって同じく発見された、他の事例は、アントワーヌの角付き球面(英語版)である。それはカントール集合の3次元球面への病的な埋め込みである、アントワーヌのネックレス(英語版)に基づく。 文章: スフェロマック型 球形に近いプラズマ配位で自分自身の中に流れる電流によって閉じ込め磁場が出来てプラズマが閉じ込められる。宇宙空間に自然に存在する事も考えられる。逆転磁場配位型との相違点はスフェロマック型はトロイダル磁場コイルを有する点である。1970年にノーベル物理学賞を授与されたハンス・アルヴェーンによって1943年に原型が考案されていた。アルヴェーン波により、プラズマ内の電流で磁場が生成する。1980年代に盛んに研究が進められ、日本国内では日本大学でNUCTEが作られ、実験されたが、やがて各国の磁場閉じ込め式の研究の主流がトカマク型に集束して、予算が集中的に充当された結果、トカマク型以外の磁場閉じ込め式の予算が圧迫され、研究は下火になった。 文章: エンジェル・プロブレム 三次元の場合に、天使が常に北の方角に進み、悪魔はみっつの平面上でしかプレイしないと制限を置くとしたとき、悪魔に必勝法があるのかわかっていない。 文章: 三次元球面 三次元球面は自然に滑らかな多様体(実は Rへの閉埋蔵多様体(英語版))になる。 R 上のユークリッド距離から三次元球面上の距離が導かれ、三次元球面はリーマン多様体となる。任意の二次元球面がそうであったように、任意の三次元球面も一定の正の断面曲率を持ち、その値は半径を r とすれば 1/r に等しい。 三次元球面の興味深い幾何学的性質には、それが(四元数の乗法によって与えられる)自然なリー群構造を持つという事実に由来するものがたくさんある(後述)。ほかの次元の球面で同様の構造を持つものは、零次元および一次元(円周群)に限られる。 二次元球面の場合と異なり、三次元球面上では至る所消えないベクトル場(接束の切断)を持つ。さらには、至る所消えないベクトル場の線型独立な三つ組さえ存在する(そのようなものとして、三次元球面のリー環の基底となるような左不変ベクトル場の任意の組をとることができる)。このことから、三次元球面は平行化可能(英語版)であることが分かる。したがって三次元球面の接束は自明である。一般次元の球面における線型独立なベクトル場の数に関する一般の議論は球面上のベクトル場(英語版)の項を参照せよ。 文章: モンストラス・ムーンシャイン モンスター群は、1970年代に数学者であるジャン=ピエール・セール(Jean-Pierre Serre)やアンリュー・オッグ(英語版)(Andrew Ogg)やジョン・G・トンプソン(John G. Thompson)により研究され、彼らは SL2(R) の部分群による双曲平面(英語版)の商として研究した。特に、SL(2,R) の中のモジュラ群 Γ0(p) の正規化因子 Γ0(p) を研究した。彼らは、リーマン面を双曲面を Γ0(p) で割った商とみることにより、(リーマン面の)種数がゼロとなることと、p が 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 47, 59, 71 のいづれかであることと同値であることを発見した。 文章: 双曲3次元多様体 数学において双曲3次元多様体とは、定数断面曲率 -1 を持つ完備リーマン計量を備える3次元多様体のことを言う。これは言い換えると、自由かつ固有不連続に作用する双曲等長の部分群による3次元双曲空間の商である。クラインモデルを参照されたい。 この多様体の厚薄分解は、閉測地線の管状近傍からなる薄い部分と、ユークリッド曲面と閉半直線の積であるエンドからなる。この多様体の体積が有限であるための必要十分条件は、その厚い部分がコンパクトであることである。この場合、エンドは閉半直線を横切るトーラスの形をしており、尖点(cusp)と呼ばれる。 文章: ヤコブ・ペレルマン ヤコブ・ペレリマンは、ロシアの数学ライター。サイエンスライター。 1911年に出版した『おもしろ物理』を皮切りに『おもしろい数学』『おもしろい天文学』などの啓蒙書を出版した。ペレリマンの書いた本は約80点に及ぶ。「2乗しても変わらない無限に続く数」として「ペレリマン数列」https://keisan.casio.jp/exec/user/1475137191を発見した。