クエリ: 2つの辺の長さが等しい三角形を二等辺三角形といいますが、3つの辺の長さが等しい三角形を何というでしょう?
文章: 三角形 頂角の対辺が底辺であり、底辺の両端の角が底角である。また、二等辺三角形で頂点と言った場合、特に底辺の対頂点を指す。△ABC が b = c の二等辺三角形であれば、底角 ∠B = ∠C であり(二等辺三角形の底角の性質)、逆に、△ABC の 2角が ∠B = ∠C であれば、b = c の二等辺三角形となる(二等辺三角形の成立条件)。二等辺三角形は線対称な図形であり、頂角の二等分線、底辺の垂直二等分線、頂点から底辺に引いた中線はすべて対称軸上に乗る。二等辺三角形のうち、頂角が直角であるものを直角二等辺三角形という。直角二等辺三角形においては、直角をはさむ 2辺を等辺、底辺を斜辺と呼ぶこともできる。2つの鋭角ないし底角の大きさは、それぞれ 45度となる(図6)。二等辺三角形のうち、等辺と底辺の長さが等しいものを正三角形という。(図7)正三角形の内角は全て等しく 60度となる。
文章: 中点連結定理 三角形の底辺を除く2 辺のそれぞれの中点を結んだ線分「中点連結」は、底辺と平行であり、長さは底辺の半分に等しい。また、相似比が1:2の相似な三角形ができる。 文章: 三角法 任意の三角形の3辺と3角の大きさ(三角形の主要素)を一般的に与えたとき、一部から残りを特定することが、三角法の本来の目的である。任意の三角形は3辺と3角の大きさという6つの要素のうち3つの要素が与えられた場合、他の諸量が決定する場合があるという性質があり、この性質を利用して三角形を特定することを「三角形を解く」(solving triangles)といい、その条件を「三角形の決定条件」という。三角形を解く際に計算を利用する場合、三角関数が現れる。 三角形の辺の大きさが与えられている状態を(Sideの)S、角の大きさが与えられている状態を(Angleの)Aと表記することにすると、3辺と3角のうち3つが与えられている状態は、以下の6通りに表せる。平面三角法においては、このうち、SSS, SAS, ASA, AAS の場合に三角形が一意に特定されることが知られており、このことはエウクレイデスの『原論』においても幾何学的に証明されている。図1.1に示すように、ASSの場合、2通りの三角形に決定する。AAAの場合、三角形が決定しない。他方で、球面三角法においては、AAAの場合でも一意に特定される。 三角形の辺と内角以外の諸量、例えば高さ、外角、中線の長さなど(三角形の副次量)が与えられた場合に三角形が解けるケースがある。三角形を解くための要素が、他の幾何学的図形の各要素の量的関係から間接的に決定される場合もある。他の幾何学的図形の平面三角法における一例を挙げると、外接円、内接円、傍心円などがある。平面上の三角形は独立の3情報から決定されるため、「平面三角形は自由度(degree of freedom)が3である」とされる。 文章: シュタイナーの内接楕円 幾何学における三角形のシュタイナーの内接楕円(シュタイナーのないせつだえん)は、三角形の3辺の中点でその三角形に接する楕円である。中点楕円、ガウス楕円とも呼ばれる。この楕円はデリーによってヤコブ・シュタイナーに属するものとされ、カルマンにより独立に証明されている。 シュタイナーの名前を冠するシュタイナー楕円は、この楕円との対比から「シュタイナーの外接楕円」と呼ばれることもある。 以下の解説で特に説明がない場合、a, b, c は三角形の3辺の長さを表す。 文章: 鈍角三角形 鈍角三角形(どんかくさんかっけい、英: obtuse triangle)は、三角形の一種で、3つの角のうち、最大角または長辺に対する角が直角 (90° = π/2 rad) よりも大きい図形である。 なお、鈍角三角形では、長辺を c、短辺を a,b とすれば、各辺は c > a + b の関係となり、また外心や垂心が三角形の外部に生ずる。 文章: 黄金三角形 黄金三角形(おうごんさんかくけい)は、長い2辺と短い辺の長さの比 a b が黄金比 φ = 1 + 5 2 になっている二等辺三角形である。 黄金三角形は、大星型十二面体や小星型十二面体の展開図に現われる。また、対角線を引いた正五角形や正十角形の中にも見出すことができる。 黄金三角形の頂角の大きさは である。 残りの2つの角は72度となる。よって、黄金三角形は3つの角の比が 2:2:1 となる唯一の三角形である。 文章: ヒルベルトの第3問題 多面体が切断されるとき、いくつかの辺も2つに切断され(これらはデーン不変量に対し辺長に比例した寄与をしていなければいけない)、もし切断面がある辺を含むなら、対応する面の角は2つに分割される。切断によって通常は新しい辺や角が生まれるが、これらのデーン不変量への寄与はちょうど打ち消し合うよう定義をしなくてはならない。ある面が2つの面に分かれるとき、新たに生じる二面角の和は必ず π に等しいことから、π の整数倍の加減による寄与がトータルでゼロになるように不変量を定義することにする。以上全ての要請は、D(P) を実数体 R と 剰余加群 R/(Qπ) のテンソル積として定義することで実現できる。このテンソル空間では、第2成分が π の有理数倍である元はゼロである。 文章: ケプラー三角形 ケプラー三角形は三辺の比が等比数列となっている直角三角形で、その公比は黄金比 φ {\displaystyle \phi } の平方根 φ {\displaystyle {\sqrt {\phi }}} であるような三角形のことである。つまりケプラー三角形の辺の比は 1 : φ : φ {\displaystyle 1:{\sqrt {\phi }}:\phi } 、おおよそ1 :1.272 :1.618である。したがって三角形の一辺を辺とした正方形も黄金比を公比とした等比数列になる。 このような比率の三角形は、ドイツの数学者で天文学者のヨハネス・ケプラー(15711630)にちなんで名付けられた。ケプラーは、この三角形の短辺と斜辺の比率が黄金比に等しいことを最初に発見した人物である。ケプラー三角形はピタゴラスの定理と黄金比という2つの重要な数学的概念を組み合わせており、次に示すようにケプラーを深く魅了した: また、ケプラー三角形に非常に近い寸法の三角形がギザの大ピラミッドにあるという主張もいくつか存在する。 文章: 半周長 角の二等分線の長さは以下の式で求めることができる。 直角三角形において、斜辺に接する傍接円の半径は半周長に等しい。また、半周長は外接円の半径の2倍と内接円の半径の和に等しい。直角三角形の直角を挟む2辺の長さを a, b とすると、面積は ( s - a ) ( s - b ) {\displaystyle (s-a)(s-b)} となる。 単位球において、3辺の長さが a, b, c である球面三角形の球過量 E はリュイリエの公式によって以下のように表すことができる。 文章: 凧形 凧形(たこがた、英: kite)は、四角形の種類で、隣り合った2本の辺の長さが等しい組が2組ある図形である。菱形(ひし形)は4本の辺が全て等しい四角形であり、凧形の特殊な形である。「向かい合った」2本の辺(対辺)が2組とも等しい四角形は平行四辺形であり、凧形とは異種の図形である。 凧形では対角線は直交し、異なる長さを持つ2辺によってつくられる2つの向かい合う角の大きさは互いに等しい。また凧形は2つの合同な三角形を同じ角を持つ頂点同士が重なるように並べたものである。ただしその場合は180°以上の内角があってはならない。 凧形は線対称な図形で対称軸は2つの内角を二等分しているほうの対角線である。しかし一般には点対称な図形ではない。 文章: 三角形 三角形の底辺の中点と対頂点を結ぶ線分を中線といい、どの辺を底辺とするかによって三角形には中線が 3本ある。3本の中線は 1点で交わり、これらの交点を重心という。三角形はその内部に、1つの重心をもつ。重心は中線を 2 : 1 に内分する。 三角形の 1つの内角と他の 2つの外角の二等分線は 1点で交わる。これらの交点を傍心(ぼうしん)という。三角形に傍心は 3つある。傍心は 1辺、他の2辺の延長線との距離が等しく、傍心を中心として半径がその距離である円を傍接円という。 三角形の 3つの辺またはその延長線上と距離が等しい点は、内心と傍心の併せて 4点ある。 文章: パスカルの三角形 パスカルの三角形(パスカルのさんかくけい、英: Pascal's triangle)は、二項展開における係数を三角形状に並べたものである。ブレーズ・パスカル(1623年 - 1662年)の名前がついているが、実際にはパスカルより何世紀も前の数学者たちも研究していた。この三角形の作り方は単純なルールに基づいている。まず最上段に 1 を配置する。それより下の段は両端には 1 を、それ以外の位置には右上の数と左上の数の和を配置する。例えば、5段目の左から2番目には、左上の 1 と右上の 3 の合計である 4 が入る。このようにして数を並べると、上から n 段目、左から k 番目の数は、二項係数( n - 1 k - 1 ) = n - 1 C k - 1 {\displaystyle {n-1 \choose k-1}={}_{n-1}\mathrm {C} _{k-1}}に等しい。 文章: 混線内接円 混線内接円(こんせんないせつえん、英: mixtilinear incircle)とは、ある三角形の二辺に接し、かつその外接円に内接する円のことである。三角形の頂点 A {\displaystyle A} を含む二辺に接する混線内接円は A {\displaystyle A} 混線内接円と呼ぶ。すべての三角形は、各頂点に一意に対応する三つの混線内接円を持つ。 文章: ヘロンの三角形 3辺の長さがすべて整数である直角三角形は、面積も整数となる。よってこれらはすべてヘロンの三角形である。 直角三角形でないヘロンの三角形の例として、3辺の長さが 5, 5, 6 の三角形がある(面積は 12)。この三角形は合同な2つの直角三角形をつなぎ合わせたものと見ることができる。この考え方は右の図のように一般化できる。 a, b, c が直角三角形の3辺であり a, d, e もそうであるとすると、長さ a の辺で両者をつなぎ合わせた三角形(3辺の長さは c , e , b + d )の面積は A = 1 2 ( b + d ) a {\displaystyle A={\frac {1}{2}}(b+d)a} となる。a が偶数であれば A は整数である。a が奇数の場合、b と d が共に偶数となる。b+d が偶数なので、A は整数となる。 文章: 斜方二十面体 斜方二十面体(しゃほうにじゅうめんたい、Rhombicosahedron)とは、一様多面体の一種である。斜方十二・十二面体の正五角形、正5/2角形を削った図形である。 文章: シュタイナーの内接楕円 幾何学における三角形のシュタイナーの内接楕円(シュタイナーのないせつだえん)は、三角形の3辺の中点でその三角形に接する楕円である。中点楕円、ガウス楕円とも呼ばれる。この楕円はデリーによってヤコブ・シュタイナーに属するものとされ、カルマンにより独立に証明されている 。 シュタイナーの名前を冠するシュタイナー楕円は、この楕円との対比から「シュタイナーの外接楕円」と呼ばれることもある。 以下の解説で特に説明がない場合、a, b, c は三角形の3辺の長さを表す。