クエリ: 2、3、5、7、11のように、1とその数自身でしか割り切れない数を何というでしょう?
文章: ペラン数 P(n) が n で整除できる(割り切れる)ような n を列挙すると以下のようになる。 1の後にはしばらく素数が続いている。全ての素数 p に対して、 P(p) が p で割り切れることが証明されている。しかし、その逆は成り立たない。すなわち、P(n) が n で割り切れるような合成数 n が存在する。このような n をペラン擬素数(Perrin pseudoprime)と呼ぶ。「ペラン擬素数は存在するか」という疑問はPerrin自身も考察しており、後にAdamsとShanksが最小のペラン擬素数 271441 = 521 を発見し肯定的に解決された。2番目に小さいペラン擬素数は 904631 = 7 x 13 x 9941 である。10億未満のペラン擬素数は17個存在する。また、無限に多くのペラン擬素数が存在することがJon Granthamによって証明されている。
文章: 六進法 整数と小数の桁の移動も、(12)6 を例に挙げると: となる。 六進法の整数の除算では、100や1000など桁上がりの冪数も三分割が可能になり、10(六)の冪指数と同じ2の冪数と3の冪数で割り切れることになる。例えば、1000ならば2と3の両方で割り切れ、かつ2と3の冪指数が同じになる。 文章: 不思議数 不思議数(ふしぎすう、英: weird number)とは、過剰数のうち擬似完全数でない自然数のことである。言い換えると次の条件を両方満たす数である。 その数自身を除く約数の総和が元の数より大きい(過剰数である)。 約数を(重複させずに)どのように選んでも、その和は元の数には一致しない(擬似完全数でない)。 例えば、70 の場合を考える。 自身を除く約数の総和は 1 + 2 + 5 + 7 + 10 + 14 + 35 = 74 > 70 であり元の数より大きくなる。 上記の約数をどのように選んで和を計算しても、元の数には一致しない。 したがって、70 は不思議数である。 これに対して、20 の場合を考える。 自身を除く約数の総和は 1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 22 > 20 であり元の数より大きくなる。 上記の約数のうち、1, 4, 5, 10 を選ぶと、1 + 4 + 5 + 10 = 20 であり、元の数と一致させることができる。 したがって、20 は不思議数でない。 不思議数は無数に存在し、そのうち最小の数は 70 である。 不思議数を 70 から小さい順に列記すると 奇数の不思議数は発見されていないが、もし存在するならば 232 = 4294967296 より大きい数であることが知られている。 文章: 5の累乗数 末尾の 0 の数が12個なので、50! の約数で最大の5の累乗数は 5 である。 階乗 n! の末尾の 0 の数、n! を割り切れる最大の5の累乗数は 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 12, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 15, 15, 16, 16, 16, 16, 16, 18, 18, 18, 18, 18, 19...(オンライン整数列大辞典の数列 A027868) 文章: 自己数 数論において、ある基数 b における自己数とは、自然数で、他の自然数 n で n と n の各桁の数字の合計がその値となるようなものが無いものをいう。自己数はコロンビア数ともよばれる。例として、20は基数10における自己数である。一方、21は自己数ではない。この数は、1949年にインドの数学者、D. R. カプレカルによって最初に記述された。 文章: 平方因子をもたない整数 数学において、無平方数(むへいほうすう、英: square-free integer)または平方因子を持たない整数 (integer without square factors) とは、平方因子を持たない数、すなわち 1 より大きい完全平方で割り切れないような整数(通例として正の整数)をいう。与えられた整数が無平方数であるとき、その整数は無平方 (square-free, quadratfrei) であるともいう。例えば、10 は無平方だが、18 は 9 = 32 で割り切れるので無平方数でない。無平方な正整数は小さい順に 文章: シェルピンスキー数 1962年に、ジョン・セルフリッジ (John Selfridge) は 78557 がシェルピンスキー数であることを示した。つまり、Sn = 78557 × 2 + 1 は常に合成数となる。なぜならば、簡単な議論によって Sn は 3, 5, 7, 13, 19, 37, 73 のいずれかで割り切れることが分かるからである。例えば n が偶数ならば Sn は 3 で割り切れ、n が 4 で割って 1 余る数ならば Sn は 5 で割り切れる。 知られているシェルピンスキー数は以下のように続く。 文章: 三連続積数 三連続積数(さんれんぞくせきすう)とは、3つの自然数を連続して積算した数。三連単数ともいう。。 文章: ゲーデル数 ゲーデル数(ゲーデルすう、英: Gdel number)は、数理論理学において何らかの形式言語のそれぞれの記号や論理式に一意に割り振られる自然数である。クルト・ゲーデルが不完全性定理の証明に用いたことから、このように呼ばれている。また、ゲーデル数を割り振ることをゲーデル数化(英: Gdel numbering)と呼ぶ。ゲーデル数のアイデアを暗に使っている例としては、コンピュータにおけるエンコードが挙げられる。 コンピュータでは何でも0と1で表し、「apple」のような文字列も0と1による数字で表す。 ゲーデル数化とは、このように文字列に数字を対応させる事を指す。ゲーデル数化は、数式におけるシンボルに数を割り当てる符号化の一種でもあり、それによって生成された自然数の列が文字列を表現する。 文章: 十二進法 この十二進数の数式は、十進数では 0.3125×6 = 1.875、六進数では0.1513×10 = 1.513となるが、小数部分を既約分数にすると 7/8 になる。7/8 すなわち 7/2の小数も、十進数では7×0.125 = 0.875で「7×5」、六進数では11×0.043 = 0.513で「7×3」の数が現れるのに対して、十二進数では7×0.16 = 0.A6 となる。つまり、2の冪指数が奇数の時、逆数の分子は6の倍数になる。 この十二進数0.A6(12)を分数化すると、十進数では 126/144 = 7/8、六進数でも 330/400 = 11/12 となり、数値が一致する。 前記の小数を一桁上げた数式で、十進数では 3.75×6 = 22.5、六進数では 3.43×10 = 34.3となるが、小数部分を既約分数にすると 1/2 になる。 これをy年m箇月の計算に当て嵌めることも可能で、十進数で換算すると「3年9箇月の6倍は22年6箇月」とも言える。 十二進法は奇数の因数に3が含まれているので、除数が3の冪数であれば割り切れる数になる。但し、十二進法は10の素因数分解が2×3なので、3の冪数による除算は、小数点を消した値が「2の偶数乗を掛けた値」になる。例えば、除数が3の場合、逆数の分子は2=2になる(→詳細はこちらも参照すること)。冪指数が小さい場合でも、六進法の場合 1/3は0.2、1/9 (1/136) は0.04(分子が2)に対して、十二進法では 1/3は0.4(分子が2)、1/9は0.14(分子が2)になる。 文章: 八進法 10となる八は2の3乗なので、二進法の 3 桁を八進法の 1 桁で表現できた。初期のコンピュータでは1文字は6ビット、すなわち八進法 2 桁であり、ワード長も6の倍数であることが多かったため(IBM 7090の36ビット・CDC 6000の60ビット・PDP-8の12ビット・PDP-7の18ビット)、八進法によって表現するのが都合よく、コンピュータ業界ではかつて八進法が広く使われた。C や Perl などでは、数の前に 0 を付けると八進数と見なされる。例えば 011 は (11)10 ではなく (11)8 すなわち 9 である。しかし、計算機のワード長が 8 ビット(オクテット)からなるバイトの倍数によって構成されることが一般的になると、二進数 4 桁を 1 つにまとめた十六進数のほうが切りがよいため、八進法が使われることは少なくなった。 10となる八は素因数分解すると2なので、2でしか割り切れない。即ち、1/3や1/5など奇数分割ができない。単位分数も、2の冪数以外は全て無限小数になる。素因数が複数となる六進小数(2と3)や十進小数(2と5)との対比も示す。 文章: 1/8 1/8(8分の1、はちぶんのいち)は、0 と 1 の間にある有理数の一つであり、8 の逆数である。十進法での小数表記では 0.125 になる。 文章: 例外 数学の四則演算の場合、任意の二つの数の間でどの演算もできるし、どの場合も答えは一つ求められる。しかし、0で除算することだけはこの例外である。この場合、例外は明らかにこの一つだけである。数学においては、命題(全称命題)にひとつの例外をあげることができれば、その命題は正しくないと判断する。その場合は例外とは言わず、反例という。その数があまりにも少なく、またそれを取り除いた範囲でのその命題の正しさが証明できるのであれば、例外をあらかじめ明記する形で命題を記述する方法もある。 文章: 自己数 数論において、ある基数 b {\displaystyle b} における自己数(じこすう、英: self number)とは、自然数で、他の自然数 n {\displaystyle n} で n {\displaystyle n} と n {\displaystyle n} の各桁の数字の合計がその値となるようなものが無いものをいう。自己数はコロンビア数(英: Colombian number)ともよばれる。例として、20は基数10における自己数である( n {\displaystyle n} < 15では合計は20未満であり、 n {\displaystyle n} 15では合計は20超である)。一方、21は自己数ではない( n {\displaystyle n} = 15で 15 + 1 + 5 = 21)。この数は、1949年にインドの数学者、D. R. カプレカルによって最初に記述された。 文章: 自然数の分割 数学の各分野、特に数論および組合せ論 において、正の整数 n の分割(ぶんかつ、英: partition)あるいは整分割 (integer partition) とは、与えられた正整数 n を正整数の和として表す方法をいう。ただし、和の因子(summand; 被加数)の順番のみが異なる分割は同じ分割とみなされる(順序をも考慮する場合は、順序つき分割または、分割ではなく合成あるいは結合 (composition) と呼ばれる概念となる)。 例えば 4 の異なる分割は次の五通りである。 このとき、順序を考慮した合成 1 + 3 は分割としては 3 + 1 と同じであり、同様に合成としては異なる 1 + 2 + 1 および 1 + 1 + 2 は分割としては 2 + 1 + 1 と同じである。 文章: 多冪数 例えば、36 は 2 × 3 であるから 36 の素因数 2, 3 の平方 4, 9 で割り切れるので多冪数である。12 は 2 × 3 であるから 12 の素因数 2, 3 の平方 4, 9 となるが 9 では割り切れないので多冪数でない。