クエリ: 本業は弁護士であった17世紀フランスの数学者で、「私は真に驚くべき証明を見つけたが、この余白はそれを書くには狭すぎる」という言葉で有名な「最終定理」で知られるのは誰でしょう?
文章: フェルマーの最終定理 17世紀、フランスの裁判官ピエール・ド・フェルマー(1607年 - 1665年)は、古代ギリシアの数学者ディオファントスの著作『算術』を読み、本文中の記述に関連した着想を得ると、それを余白に書き残しておくという習慣を持っていた。それらは数学的な定理あるいは予想であったが、限られた余白への書き込みであるため、また充分な余白がある場合にも、フェルマーはその証明をしばしば省略した(たとえば、フェルマーの小定理として知られる書き込みを実際に証明したのは、ゴットフリート・ライプニッツである)。 48か所に及ぶこれらの書き込みが知られるようになったのは、フェルマーの没後の1670年に彼の息子サミュエルによってフェルマーの書き込み入りの『算術』が刊行されてからである。 第2巻第8問「平方数を2つの平方数の和に表せ」の欄外余白に、フェルマーは
文章: リーマン予想 If the generalized Riemann hypothesis is false, then the theorem is true. Thus, the theorem is true!! (punctuation in original)ここでの証明の手法は本当にすごい.一般リーマン予想が正しいならば,定理は正しい.一般リーマン予想が間違いならば,定理は正しい.したがって,定理は正しい!!一般リーマン予想が偽であるということによって何が意味されるかを理解するのに注意を払うべきである:ちょうどどのクラスのディレクレ級数が反例を持っているのか特定すべきである。このような論法は無理数の無理数乗で表される有理数が少なくとも1つ存在すること(京都大学入試問題)の証明やワイルズによるフェルマーの最終定理の証明などにも見られる(ワイルズの3-5トリック)。 文章: アーサー・ケイリー アーサー・ケイリー(英: Arthur Cayley、英語発音: /()θ() keli/、1821年8月16日 - 1895年1月26日)は、イギリスの数学者、弁護士。行列に関するケイリー・ハミルトンの定理で有名。 文章: 四色定理 1852年に法科学生のフランシス・ガスリーが数学専攻である弟のフレデリック・ガスリー(英語版)に質問したのを発端に問題として定式化され、19世紀後半になって数学者がその話を聞いて証明を試みたが、多くの数学者の挑戦をはねのけ続けていた。 1879年、アルフレッド・ケンプ(英語版)による証明が『アメリカ数学ジャーナル』誌上で発表された。この証明は妥当と見なされていたが、1890年になってパーシー・ヒーウッド(英語版)により不備が指摘された。しかし、ケンプの証明で使われた論理に沿って、地図を塗り分けるには5色で十分であることが証明された。これは五色定理と呼ばれている。4色で十分かどうかは、グラフ理論における最も有名な未解決問題として残った。 1976年にケネス・アッペル(英語版)とヴォルフガング・ハーケンは、ハインリヒ・ヘーシュ(英語版)により考案された「放電法」と呼ばれる手続きを改良し、コンピュータを利用して約2000個の(後に1400個あまりに整理された)可約な配置からなる不可避集合を見出し、四色定理を「証明」するに至った。 文章: 算術 (書物) ディオファントスが3世紀ごろに著したこの『算術』のギリシャ語版は13巻だったが、アレクサンドリアが戦禍にさらされるなどして6巻のみが現存するだけとなった。16世紀になって初めてラテン語訳がヨーロッパで刊行された。同書のラテン語訳をフランスの数学者フェルマーも読み、最終定理などを余白に書き込んだ。その書き込みを含めた同書が刊行され、フェルマーの着想が世に出ることになった。 文章: Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes フランスの数学者ギヨーム・ド・ロピタルの著書 Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes(『曲線を理解するための無限小の解析』)は、ライプニッツの無限小解析を扱った初の教科書として1696年に出版された。扱われている主題は微分法のみで積分法は含まれていない。微分法および積分法を扱った二つの巻がヨハン・ベルヌーイによってそれぞれ1691年および1692年に刊行されており、後者は積分法に関する初の教科書となった。 本書が初出となるロピタルの定理はヨハン・ベルヌーイの手になるものと考えられる。というのも、貴族であったロピタルは年間300を支払って彼を雇用し、微分積分学の発展に努めさせ、数々の問題を解決させていたからである。もっと言えば、ロピタルが望んだどんな形ででも、ベルヌーイの発見をロピタルが使用することを許可した契約に二人は署名している。そのような問題の中に、不定形の極限の問題があった。本書の刊行にあたってロピタルは、ベルヌーイに正当なクレジットが与えられ、本書における数学的内容の一切に関してクレジットが自らに帰されることのないようにと匿名で発表しており、極めて嫉妬深いことで知られたベルヌーイもまた、本書に捧げられた成果のすべてに関して自身の手によるものと主張したが、それにも拘らず、ロピタルの定理にはそもそも発見者であるとすら主張していないロピタルの名が冠せられたのであった。 文章: ギヨーム・ド・ロピタル ロピタル侯爵ギヨーム・フランソワ・アントワーヌは、フランスの数学者。微分積分学における平均値の定理の別名、ロピタルの定理にその名を残しているが、当の定理はロピタルの発見によるものではない。 ロピタルという名前は一般的に l'Hospital または l'Hpital と綴られる。前者は古いフランス語綴りの習慣によるものであり彼自身は s を入れて綴っていたが、現代フランス語綴りでは黙字である s が抜け、先行母音の上にサーカムフレックスが付く。このことと l' が定冠詞であるためか、日本語の微分積分学書の一部ではロピタルの定理をホスピタルの定理と紹介していることがあるが間違いとは言い切れない。 ロピタルはパリで生まれた。初めは軍人になろうと思っていたが、視力が悪かったために数学者の道へ進むことにした。彼はアイザック・ニュートンらとは別に独自に最速降下曲線の問題を解き、パリで亡くなった。 彼はまた、ヨーロッパで最初の微分積分学のテキストである "Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes" を1696年に出版した。テキストの中には師であるヨハン・ベルヌーイによる講義も含まれ、その中でベルヌーイは不定形の0/0についても論じている。 1694年、ロピタルは彼の著書へアイデアを使用させてもらう謝礼として毎年300フラン支払うというベルヌーイとの約束を反故にした。1704年にロピタルが死ぬとベルヌーイはその約束を世間に公開し、ロピタルの著書の中の結果の多くはベルヌーイのアイデアであることを公表した。1922年にベルヌーイの主張を裏付けるテキストが発見された。ロピタル自身がロピタルの定理を発見したという信用を得ようとしたという話は間違いである。なぜなら、彼はその本を匿名で出版し、序章でベルヌーイの助力によるものと謝辞を入れており、しかもロピタルの定理の発見の主張は全くしていない。 文章: ヴィタリの収束定理 数学の実解析あるいは測度論の分野におけるヴィタリの収束定理とは、イタリアの数学者ジュゼッペ・ヴィタリの名にちなむ定理で、アンリ・ルベーグの有名な優収束定理の一般化として知られる。一様可積分性に依存する強い結果であり、問題となる関数列に対して支配的な関数を見つけることが出来ないときに重宝する。そのような支配的な関数を見つけられるときは、ルベーグの定理がヴィタリの定理の特別な場合として従う。 文章: パスカルの定理 パスカルの定理(パスカルのていり)は、ブレーズ・パスカルが16歳のときに発見した円錐曲線に関する定理である。円に内接する六角形の対辺の延長線の交点は一直線上にある。更に拡張して、二次曲線上に異なる六つの点 P1 ~ P6をとると、直線 P1P2 と P4P5 の交点 Q1、P2P3 と P5P6 の交点 Q2、P3P4 と P6P1 の交点 Q3 は同一直線上にある。 定理の証明の一つはうまく補助円を書くことで円の性質と三角形の相似だけで解くことができる。補助円を使わない証明も存在する。ブレーズ・パスカルの証明は歴史に残されていない。この定理の双対、ブリアンションの定理によるとPiにおける接線と Pj における接線の交点を Rij とすると、3 直線 R12R45、R23R56、R34R61 は一点で交わる。 文章: ピエール=シモン・ラプラス ピエール=シモン・ラプラス(Pierre-Simon Laplace, 1749年3月23日 - 1827年3月5日)は、フランスの数学者、物理学者、天文学者である。古典力学の名著とされる「天体力学概論」(trait intitul Mcanique Cleste)と「確率論の解析理論」を後世に遺した。 1789年には、その功績からロンドン王立協会フェローに選出された。 文章: 四色定理 四色定理に対するある種「力業による証明」は、これとは対極にあるものとして揶揄を込めて「エレファント(象)」な証明とも言われた。5色による塗り分けが可能であることの証明が簡潔なものであるのとは対照的である。その後アルゴリズムは改良されたが、現在でもコンピュータを利用しないで済ませられる証明は得られていない。それどころか完全に自然言語を離れて、プログラムにバグがないことも含めた四色定理の証明全体をコンピュータ上の証明検証系システム(ソフトウェア)Coqによってチェックさせた仕事がある。またコンピュータを使うこと以上に、証明の構成法自体が四色定理の解決のために特化していて、他の問題との関係性に乏しいことも数学者の間で人気のない理由になっている。 文章: ワイルズによるフェルマーの最終定理の証明 1986年夏、ケン・リベットはイプシロン予想を証明することに成功し、これはリベットの定理(英語版)として知られるようになった。リベットの論文は1990年に発表された。リベットはこの証明を遂げたことで、同時にフェルマーの最終定理とリベットの定理の関係性をも証明した。つまり、フライが示唆したように、半安定楕円曲線に対して谷山・志村予想を証明することは、リベットの定理と組み合わせることで、フェルマーの最終定理を証明することになることが確定したのだった。 数学的な言い方をすれば、リベットの定理は楕円曲線に関連付けられたガロワ表現が(フライ曲線が持つ)ある種の性質を持つならば、その楕円曲線はモジュラーでないことを示し、そのようなガロワ表現を生じさせるようなモジュラー形式もまた存在しないことを示した。 しかしながら、このようなセールとリベットによる研究の進展とは裏腹に、上記で述べられたフェルマーの最終定理へのアプローチは広く現実的には適用不可だと考えられていた。これは谷山・志村予想が当時知られていた知識だけでは全く証明できそうにないと見られていたためである。例えば、ワイルズのかつての指導者であるジョン・コーツは「(谷山・志村予想は)全く証明できそうにない」と述べたし、ケン・リベットは「(自分自身も)証明ができないだろうと考えていた大勢のうちの1人」であるとしていた。 文章: ポール・エルデシュ ポール・エルデシュ、エルデーシュ・パールは、ハンガリー・ブダペスト出身のユダヤ系ハンガリー人の数学者である。20世紀で最も多くの論文を書いた数学者である。彼は、生涯で500人以上という数多くの数学者との共同研究を行ったことと、その奇妙なライフスタイルで知られていた。彼は、晩年になってさえも、起きている時間を全て数学に捧げた。彼が亡くなったのは、ワルシャワで開催された会議で幾何学の問題を解いた数時間後のことだった。 数論、組合せ論、グラフ理論をはじめ、集合論、確率論、級数論など幅広い分野で膨大な結果を残した。グラフ理論・数論などにおける確率論的方法、組合せ論の種々のテクニックは著しく、特にセルバーグと共に素数定理の初等的な証明を発見したことは有名である。彼はラムゼー理論を擁護し、貢献し、秩序が必ず現れる条件を研究した。彼の数学は、次々に問題を考えてはそれを解くという独特のスタイルであったが、彼が発する散発的な問題が実際には理論的に重要なものであったり、あるいは新しい理論の発展に非常に重要な貢献をした例も少なくない。 エルデシュは生涯に約1500篇の論文(多くは共著)を発表した。これ以上の論文を発表した数学者は、18世紀のレオンハルト・オイラーのみである。 彼は数学は社会活動であるという信念を持っており、他の数学者と数学論文を書くという目的のためだけに巡回生活を営んでいた。エルデシュが多くの研究者と論文を執筆したことから、エルデシュ数が生まれた。これは、論文の共著者同士で研究者をつないだときに、エルデシュとの間の最短経路上の人数を表したものである。 文章: リヒャルト・デーデキント デデキントは、基礎解析の算術化、および現代の代数的整数論を構築した主要な数学者の一人で、環、加群、イデアル、体、ベクトル空間といった概念を生み出した。また、彼はガウス、ディリクレ、リーマンの著作の編集者としても活躍した。実数の概念を明確化するという哲学的な作業の中で、切断という概念を導入した事が特筆される。デデキントは1855年にゲッティンゲン大学でガロア理論に関する最初の講義を行ったことでも知られている。また、自分の編集したディリクレの『整数論講義』の第二版の補遺の中で、イデアルの基礎づけを与えた。『連続性と無理数』(1872年)の中では「デデキント切断 (Schnitt) 」によって、実数論の基礎づけを与えた。『数とは何かそして何であるべきか』(1888年)の中では「鎖 (Kette) 」によって、自然数論の基礎づけを与えた。これは自然数論を公理論的に記述しようとした先駆けである。 文章: なぜ私は私なのか 17世紀のフランスの哲学者ブレーズ・パスカル(1623年 - 1662年)は、次のような記述を残している。 パスカルはこうして問いを発しはしたが、この問いに特に答えようとはしなかった。 18世紀のスコットランドの哲学者トマス・リード(1710年 - 1796年)が当時の高名な裁判官ケイムズ卿(Henry Home, Lord Kames)に宛てた手紙に次のような文章がある。 文章: クロネッカー・ウェーバーの定理 定理は最初に Kronecker (1853) で述べられた。しかし、彼の議論は、次数が2のべきの拡大に対して不完全であった。 Weber (1886) が証明を出版したが、これはいくらかのギャップや誤りを含み、Neumann (1981) により指摘、修正されている。最初に完全な証明をしたのは Hilbert (1896) であった。