クエリ: 別名を「三平方の定理」という三角形に関する定理のことを、古代ギリシャの数学者の名にちなんで何の定理というでしょう?
文章: ピタゴラスの定理 大正方形の面積は (a + b), 小正方形の面積は c, 直角三角形4個の面積の合計はである。これらを代入すると、△ABC の面積 S はである。また △ABC の内接円の半径を r とするとであり、これを半径 r について解くととなる。一方、三角形の面積 S を内接円の半径 r を用いて表すととなる。(3) に (1), (2) を代入すると三角関数と指数関数は冪級数によって定義されているものとする。(指数法則やオイラーの公式の証明に本定理が使用されない定義であればよい。)まず sin θ + cos θ = 1 が任意の複素数 θ に対して成り立つことを(3通りの方法で)示す。もしくは、オイラーの公式から三角関数の半角の公式を導出する。
文章: パスカルの三角形 この三角形について確認できる最古の文献は、インドの数学者ピンガラ(英語版)の著作に対して10世紀にハラーユダ(英語版)が書いた注釈『ムリタサンジーヴァニー』である。ピンガラの原文は断片的にしか現存していないが、ハラーユダはピンガラの Meru-prastaara『須弥山の階段』という言葉をパスカルの三角形のことだと解釈している。ハラーユダは、三角形とフィボナッチ数との関係についても理解していた。 中国では11世紀に数学者の賈憲(英語版)、13世紀に数学者の楊輝がこの三角形を研究しており、同国内ではこの三角形は「賈憲三角形」または「楊輝三角形」と呼ばれている。 ペルシアでは、アル=カラジ(英語版)とウマル・ハイヤームが研究しており、イラン国内では「ハイヤームの三角形」と呼ばれる。ハイヤームは、二項定理を含むいくつかの定理がこの三角形に含まれることを知っており、n 次の二項展開の係数を求める方法を知っていたと考えられる。 文章: トレミーの定理 トレミーの定理(トレミーのていり、英: Ptolemy's Theorem)とは、円に内接する四角形 ABCD において、辺の長さに関する等式: が成り立つという幾何学の定理。トレミーは古代ローマの天文学者クラウディオス・プトレマイオスの姓プトレマイオスの英語表記Ptolemyの音訳である。プトレマイオスの定理とも呼ばれる。 トレミーの定理を一般化したオイラーの定理(オイラーのていり)とは、必ずしも円に内接しない四角形 ABCD において、辺の長さに関するトレミーの不等式(英: Ptolemy's inequality): 文章: カラテオドリの存在定理 数学の分野における、カラテオドリの存在定理は、ある常微分方程式の解は比較的弱い条件下でも存在しうる、ということを述べた定理である。ペアノの存在定理の一般化として知られる。ペアノの存在定理では、常微分方程式の右辺は連続であることが必要とされたが、カラテオドリの存在定理では、いくつかの不連続な方程式に対しても(より一般的に拡張された意味で)その解が存在することが示される。定理の名は、数学者のコンスタンティン・カラテオドリにちなむ。 文章: 九点円 三角形上の6個の点(上述の点のうち辺上にあるもの)を通る円の存在をオイラーが1765年に証明していたともいわれる。九点円が三角形上の6個の点に加えて残りの3点を通ることは、フランスのジャン=ヴィクトル・ポンスレとシャルル・ブリアンション(英語版)によって1821年に証明された。その翌年の1822年に、ドイツのカール・フォイエルバッハが同じ円が三角形の内接円と傍接円に接することも含めてモノグラフで証明を発表した。さらにその後の1842年に、フランスのオルリー・テルケム(英語版)がフォイエルバッハの定理の解析的な証明を与え、この円を九点円(仏: le cercle des neuf points、英: nine point circle)と命名した。この円は六点円とも呼ばれていたが、現在六点円は三角形上の別の円を指す名称となっている。 文章: 中線定理 中線定理とは、幾何学において、三角形の中線の長さと辺の長さの関係を表す定理である。パップスの定理と知られているが、実はアポロニウスが発見した定理である。 文章: 積分法 しかしたとえば、放物線(古くは抛物線とも)がある弦によって切り取られる面積を計算するような場合でさえ、いくらやっても三角形で覆い尽くすことはできないため、実際にはほとんどの領域で無限和の計算をすることになる。この困難に対してアルキメデスは、今で言うε-δ論法によりこの問題を回避したようである。1635年にカヴァリエリの原理が発表され、後にエヴァンジェリスタ・トリチェリ、ピエール・ド・フェルマーが同原理の考えを用い、回転体や多項式で表される図形の求積を行った。17世紀後半になってライプニッツとニュートンらにより微分法が発見されると、極めて技巧的な手段に頼っていた求積法は、原始関数と微分積分法の基本公式による一般的な方法で解かれることになる。 文章: シャルコフスキーの定理 数学において、オレクサンドル・シャルコフスキー(英語版)の名にちなむシャルコフスキーの定理(シャルコフスキーのていり、英: Sharkovskii's theorem)は、離散力学系に関する一結果である。この定理の主張の一つとして、実数直線上の離散力学系が周期 3 の周期点を持つなら、その他のすべての周期の周期点も持つ、というものがある。 文章: コスニタの定理 三角形におけるコスニタの定理(コスニタのていり)は、ある3本の線が共線であるという定理である。 三角形 A B C の外心を O とし、三角形 O B C , 三角形 O C A , 三角形 O A B の外心を O a , O b , O c とする。このとき「3本の直線 A O a , B O b , C O c は1点で交わる」というのがコスニタの定理である。この定理の名前はルーマニアの数学者 Cezar Coni に由来する。 上記の3本の線の交点は John Rigby によってコスニタ点と命名されている。この点は九点円の中心の等角共役点になっている。この点は Encyclopedia of Triangle Centers において X として登録されている。この定理はダオの六角形の周上の六円定理の特殊な場合である。 文章: ケルビン・ストークスの定理 ケルビン・ストークスの定理(ケルビン・ストークスのていり、英: KelvinStokes' theorem) は、3次元ベクトル場の2次元曲面上での面積分に関する定理であり、本定理は、与えられたベクトル場の回転を面積分したものと、前記面積分の積分領域の境界での線積分とを関連付ける。本定理は、一般化されたストークスの定理の特殊なケースの一つであり、3次元ベクトル場が、 R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} 上の一次微分形式と見なした場合に対応する(この場合外微分dがrotに対応する)。本定理は、回転定理ともいわれる。 文章: 平方剰余 フェルマー、オイラー、ラグランジュ、ルジャンドルを始めとする17~18世紀の数論者たちはそれぞれ平方剰余についての定理を確立し、予想を打ち立てたが、最初の体系的な扱いはガウスのDisquisitiones ArithmeticaeのIV節(1801)である。Article 95では、「平方剰余」と「平方非剰余」という用語を導入し、文脈から明らかであれば、形容詞「平方」を削除できると述べている。与えられた n に対して、 n を法とする平方剰余のリストは単に 0, 1, ..., n - 1 を二乗するだけで得られる。 a ≡ (n - a) (mod n) であるので、 n を法とする平方数のリストは n/2 に対して対称であり、リストアップは n/2 まで続ければ十分である。 これは下の表で確認できる。 文章: カラテオドリの定理 (凸包) 数学の凸幾何学の分野におけるカラテオドリの定理とは、Rd 内の点 x がある集合 P の凸包に属するなら、d + 1 個あるいはそれ以下の個数の点からなる P の部分集合 P′ で、x がその凸包に属するようなものが存在する。また同値であるが、 r d に対し、x は P 内の頂点の r-単体に属する。1911年に、P がコンパクトである場合の証明を与えたコンスタンティン・カラテオドリの名にちなむ。1914年には、エルンスト・スタイニッツがその定理を Rd 内の任意の集合 P に対して拡張した。 例えば、R2 の部分集合である P = {(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)} を考える。この集合の凸包は正方形である。今、P の凸包に属する点 x = を考える。このとき、凸包が三角形であるような集合 {(0,0),(0,1),(1,0)} = P′ を構成すると、x はその中に属し、|P′| = 3 であるために定理が成立する一例となる。2次元の場合は、この例のように P 内の任意の点を囲む三角形を P の点から構成することが出来るので、カラテオドリの定理を図として可視化する試みは有用となる。 文章: 三角多項式 三角多項式は、実数直線上で定義され 2π の適当な倍数の周期を持つ周期函数と考えることもできるし、あるいは単位円上で定義された函数と考えることもできる。基本的な結果として「三角多項式全体の成す集合は、単位円上定義された連続函数全体の成す空間において、一様ノルムに関して稠密である」こと (Rudin 1987, Thm 4.25) が挙げられる(これはストーンヴァイアシュトラスの定理の特別の場合である)。より具体的に書けば、「任意の連続函数 および実数 ε > 0 に対して、適当な三角多項式 T が存在して全ての z に対して |(z) - T(z)| < ε とすることができる」。フェイェールの定理の述べるところによれば「 のフーリエ級数の部分和の算術平均は に一様に収束する」から、これに基づいて の近似三角多項式 T を求める具体的な方法が得られる。 文章: アポロニウスの定理 すなわち、 θ ′ {\displaystyle \theta ^{\prime }} は θ {\displaystyle \theta } の補角であり、 cos θ ′ = - cos θ {\displaystyle \cos \theta ^{\prime }=-\cos \theta } となる。このとき、余弦定理より、第一式と第三式の辺々を加えると以上より、定理が証明された。 文章: 多角数定理 多角数定理(たかくすうていり、とは「すべての自然数は高々 m 個の m 角数の和である」という数論の定理である。 特に m = 3 の場合を三角数定理、m = 4 の場合を四平方定理という。 多角数定理は1638年にフェルマーによって定式化された。三角数定理は1796年にガウスによって、四平方定理は1772年にラグランジュによってそれぞれ証明された。一般の多角数定理の証明は1813年にコーシーによって与えられている。 文章: カラテオドリの存在定理 数学の分野における、カラテオドリの存在定理(からておどりのそんざいていり、英語: Carathodory's existence theorem)は、ある常微分方程式の解は比較的弱い条件下でも存在しうる、ということを述べた定理である。ペアノの存在定理の一般化として知られる。ペアノの存在定理では、常微分方程式の右辺は連続であることが必要とされたが、カラテオドリの存在定理では、いくつかの不連続な方程式に対しても(より一般的に拡張された意味で)その解が存在することが示される。定理の名は、数学者のコンスタンティン・カラテオドリにちなむ。