クエリ: 本業は弁護士であった17世紀フランスの数学者で、「私は真に驚くべき証明を見つけたが、この余白はそれを書くには狭すぎる」という言葉で有名な「最終定理」で知られるのは誰でしょう?
文章: 数論 フィボナッチの数論への貢献は大きく、「『平方の書』だけでフィボナッチはディオファントスと17世紀のフランス人数学者ピエール・ド・フェルマーの間で最大の貢献者に位置づけられる」とされている。16世紀から17世紀には、フランソワ・ビエト、クロード=ガスパール・バシェ・ド・メジリアクらが数論の発展に貢献し、特にピエール・ド・フェルマーは無限降下法を用いてディオファントスの問題について初めての一般的証明を与えた。1637年にフェルマーが提示したフェルマーの最終定理については、1994年まで証明できなかった。フェルマーは1657年に 61 x 2 + 1 = y 2 {\displaystyle 61x^{2}+1=y^{2}} という方程式も問題として提示している。18世紀にはオイラーとラグランジュが数論の分野で重要な貢献をした。
文章: ある数学者の生涯と弁明 本の中でハーディは「弁明」という言葉を「許しを請う」という意味ではなく、「正当化」若しくは「(プラトンの『ソクラテスの弁明』に使われているような)防衛」の意味で使っている。ハーディは後述する二つの主な理由から、自身の人生における数学の業績を「正当化」する必要性があった。 理由の一つとしてハーディが62歳のとき、自身の老化と彼の数学に対する独創力と技術が衰退していることに気づいたことがあった。ハーディはこの随筆の執筆のために時間を捧げることによって、自身の創造的な数学者として時間はすでに終わっていることを認めていた。1967年の版の序文の中でC. P. Snowは『ある数学者の生涯と弁明』の書を、"a passionate lament for creative powers that used to be and that will never come again"(かつてはあったがもう二度と帰って来ない創造的能に対する熱烈な嘆き)と形容している。「解説や批判、(良い意味での)評価といった事柄は二流の人間がすることである・・・実際、専門家としての数学者が自らが数学について執筆するということは憂鬱な経験であるといえる。数学者の役割とは数学のために何かをすることや新しい定理を証明すること、新しい発見を数学に付け加えるということであり、他の数学者がなし得たことを述べるということではない」とハーディーは述べている。ハーディは自分が新しい数学の発展に寄与することはもはやできないと確信していた。彼は次のように書いている。「私が数学について執筆している理由は60歳を過ぎた他の数学者と同様に、自分も新鮮な心のあり方や活力、本業を効率よく続けていく為の忍耐力を持ち合わせていないからである。」よってハーディ自身が信じているように、彼が数学について寄与できる唯一のことは自分の個人的な見解を述べられる数学についての本を執筆することであった。 二つ目の理由として第二次世界大戦が開始され、平和主義を主張するハーディは「応用というよりは、数学は数学そのものの為に追求されるべきである」という主張を正当化したかったことがあった。数学を追求するという行為とは純粋性のためや内部での完全化のためにそこに介在している概念の明確化することであった。ハーディは次の世代の数学者に対して自分の数学に対する哲学を説明する本を書きたかったのである。 文章: ルーシェの定理 ルーシェの定理 (仏: Thorme de Rouch、英: Rouch's theorem)は、フランスの数学者であるEugne Rouch (1832年-1920年) が1862年に発表した複素解析における定理であり、留数定理および偏角の原理と密接な関係がある。 定理の主張は、直観的にはやや意味がわかりにくいが、応用面ではかなり強力なツールであり、代数学の基本定理の証明もかなり簡単にできてしまう(後述)。 文章: ヨルゲン・ペダーセン・グラム シュレースヴィヒ公国のヌストルプに生まれる。彼の主な論文には、「最小二乗法による級数展開について」、「与えられた数以下の素数の数の調査」などがある。彼の名を冠した数学的方法であるグラム・シュミットの正規直交化法は、前者の論文で1883年に初めて発表された。 グラムの定理とグラミアンも彼の名にちなんだものである。数論者にとって彼の主な名声は、リーマンゼータ関数(リーマンの正確な素数計算関数の先頭関数)の級数である。グラムの関数は、対数積分の級数を使う代わりに、対数乗と正の整数のゼータ関数を使用する。グラムは、正規対称ガウス誤差曲線が、より一般的な周波数曲線のクラスの一つの特殊なケースに過ぎないことを示し、スキュー周波数曲線の発展について体系的な理論を提供した最初の数学者である。1916年、コペンハーゲンで自転車にはねられ死亡。66歳没。 文章: ギヨーム・ド・ロピタル ロピタル侯爵ギヨーム・フランソワ・アントワーヌは、フランスの数学者。微分積分学における平均値の定理の別名、ロピタルの定理にその名を残しているが、当の定理はロピタルの発見によるものではない。 ロピタルという名前は一般的に l'Hospital または l'Hpital と綴られる。前者は古いフランス語綴りの習慣によるものであり彼自身は s を入れて綴っていたが、現代フランス語綴りでは黙字である s が抜け、先行母音の上にサーカムフレックスが付く。このことと l' が定冠詞であるためか、日本語の微分積分学書の一部ではロピタルの定理をホスピタルの定理と紹介していることがあるが間違いとは言い切れない。 ロピタルはパリで生まれた。初めは軍人になろうと思っていたが、視力が悪かったために数学者の道へ進むことにした。彼はアイザック・ニュートンらとは別に独自に最速降下曲線の問題を解き、パリで亡くなった。 彼はまた、ヨーロッパで最初の微分積分学のテキストである "Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes" を1696年に出版した。テキストの中には師であるヨハン・ベルヌーイによる講義も含まれ、その中でベルヌーイは不定形の0/0についても論じている。 1694年、ロピタルは彼の著書へアイデアを使用させてもらう謝礼として毎年300フラン支払うというベルヌーイとの約束を反故にした。1704年にロピタルが死ぬとベルヌーイはその約束を世間に公開し、ロピタルの著書の中の結果の多くはベルヌーイのアイデアであることを公表した。1922年にベルヌーイの主張を裏付けるテキストが発見された。ロピタル自身がロピタルの定理を発見したという信用を得ようとしたという話は間違いである。なぜなら、彼はその本を匿名で出版し、序章でベルヌーイの助力によるものと謝辞を入れており、しかもロピタルの定理の発見の主張は全くしていない。 文章: 末道康之 末道 康之(すえみち やすゆき、1964年 - )は、日本の法学者。南山大学法学部教授。専門はフランス法。 文章: ウィリアム・ウォレス (数学者) ウィリアム・ウォレス(William Wallace, 1768年9月23日 - 1843年4月28日)は、スコットランドの数学者。1819年からエディンバラ大学で数学の教授を務めた。主に幾何学の分野で活動した。1799年にはシムソンの定理を発表したが、この定理は誤ってロバート・シムソンによるものとされている。しかし、彼のイギリスの数学に対する最も重要な貢献は、当時ヨーロッパ大陸において発展していた解析学を、はじめてイギリスに導入し広めたことである。 文章: ギヨーム・ド・ロピタル ロピタル侯爵ギヨーム・フランソワ・アントワーヌ(Guillaume Franois Antoine, Marquis de l'Hpital, 1661年 - 1704年2月2日)は、フランスの数学者。微分積分学における平均値の定理の別名、ロピタルの定理にその名を残しているが、当の定理はロピタルの発見によるものではない。 ロピタルという名前は一般的に l'Hospital または l'Hpital と綴られる。前者は古いフランス語綴りの習慣によるものであり彼自身は s を入れて綴っていたが、現代フランス語綴りでは黙字である s が抜け、先行母音の上にサーカムフレックスが付く。このことと l' が定冠詞であるためか、日本語の微分積分学書の一部ではロピタルの定理をホスピタルの定理と紹介していることがあるが間違いとは言い切れない。 ロピタルはパリで生まれた。初めは軍人になろうと思っていたが、視力が悪かったために数学者の道へ進むことにした。彼はアイザック・ニュートンらとは別に独自に最速降下曲線の問題を解き、パリで亡くなった。 文章: 二項定理 二項定理の特殊な場合については、古代より知られていた。紀元前4世紀ギリシャの数学者エウクレイデスは指数が 2 の場合の二項定理に言及している。また、三次の場合の二項定理が6世紀のインドでは知られていた。 二項係数は相異なる n個のものから重複無く k個を選ぶ総数に等しくなるが、このことについては、古代ヒンドゥーで着目されていた。現在知られているもので最古のものは、ヒンドゥーの詩人ピンガラ(英語版) (c. 200 B.C.) による Chandastra で、それにはその解法も含まれている。紀元後10世紀に評者ハラーユダ(英語版)はこの解法を今日でいうパスカルの三角形を用いて説明した。この数が n!/(n-k)! k! であることが、6世紀ごろのヒンドゥーの数学者には、おそらく知られていたし、この規則についての言及を12世紀にバースカラ2世の表した文書 Lilavati に見つけることができる。 二項係数を組合せ論的量として表記した二項定理は、二項係数の三角形パターンについて記述した11世紀アラビアの数学者アルカラジ(英語版)の業績にも見つけることができる。アルカラジはまた、原始的な形の数学的帰納法を用いて二項定理およびパスカルの三角形に関する数学的証明も与えている。ペルシアの詩人で数学者のウマル・ハイヤームの数学的業績のほとんどは失われてしまったが、彼は恐らく高階の二項定理についてよく知っていた。低次の二項展開は13世紀中国の楊輝や朱世傑の数学的業績にも見られる。楊輝は遥か旧く11世紀の賈憲(英語版)の書の方法に従った(しかし、それらもまた今日では失われてしまった)。 文章: アドリアン=マリ・ルジャンドル ルジャンドルの研究は多くの数学者に受け継がれ、さまざまな理論が生み出された。例えば、アーベルの楕円関数論の研究や、ガウスによる最小二乗法や数論の研究などは、ルジャンドルの仕事が元となっている。 たとえば、ルジャンドルの平方剰余記号がある。これはaがpを法とするとき、平方剰余であれば、(a/p)=1とするのであり、対する平方非剰余ならば(a/p)=-1とする。これがルジャンドルの業績である。ここにオイラーの基準を導入すれば、相異なる二つの奇素数に対して、平方剰余の相互法則をもつ式が完成する。たしかに、数論では、オイラーによって予想された平方剰余の相互法則の証明を試みたが、当時は証明されていなかった算術級数定理を使ったため、ルジャンドル自身の論文は不完全な証明となった。平方剰余の相互法則は1801年にガウスによって『整数論』で最初の証明が発表され、算術級数定理は1837年にディリクレによって証明される。1796年に素数定理を予想し、1798年に出版した著書『数の理論に関する試作』で発表している。素数定理は1898年にジャック・アダマールとド・ラ・ヴァレ・プーサンによって独立に証明される。 1825年9月にフェルマーの最終定理の n = 5 の場合の証明を完成させた。この証明は1825年6月のディリクレの証明の残された部分を補完するものだったので、ディリクレとルジャンドルの論文は独立に証明されたものではなく、二人で協力したものでもなかった。 文章: 取り尽くし法 第2の面積より真の面積が大きいことを前提とし、その前提が偽であることを証明する。次に、真の面積が第2の面積より小さいことを前提として、その前提も偽であることを証明する。取り尽くし法は微分積分学の先駆けと言える。17世紀から19世紀に解析幾何学と厳密な微分積分学が発展し(特に極限に厳密な定義が与えられ)、取り尽くし法は問題の解法としては使われなくなった。 文章: ケプラー予想 解決に向けて次のステップを踏み出したのはラースロー・フェイェシュ=トートである。彼は、規則・不規則を問わずあらゆる配置の最大密度を求める問題が、有限個の(しかし非常に多数の)計算に還元されることを示した。これはしらみつぶし法による証明が原理的に可能だということである。フェイェシュ=トートも気づいていたように、十分高性能なコンピュータがあればここからケプラー予想解決への現実的なアプローチが得られる可能性があった。他方では、あらゆる可能な球配置の最大密度の上界を見つけようという試みがなされていた。イギリスの数学者クロード・アンブローズ・ロジャーズは一つの上界として約78%の値を得た。それに続く数学者の努力によりこの値はわずかに引き下げられたが、立方最密充填の約74%には程遠かった。1990年にウ=イ・シアン(項武義)はケプラー予想を証明したと発表した。 文章: ジラール・デザルグ ジラール・デザルグ(Girard Desargues, 1591年2月21日 - 1661年10月)は、フランス リヨン出身の数学者、建築家。無限遠点の概念など射影幾何学の基本概念を確立し、射影幾何学の最初の定理であるデザルグの定理を証明した。しかし射影幾何学は非ユークリッド幾何学へと繋がる新たな概念であり、独創的な定理を新しい用語で表した彼の研究は、ほとんど他人から理解されなかった。 交流のあったパスカル(パスカルの定理はデザルグの円錐曲線に関する研究の基盤となっている)や、デカルト (解析幾何学を提唱した)は理解し励ましたが、結局、約150年後にガスパール・モンジュとその門下のポンスレによって再興されるまで、ほとんど忘れ去られてしまった。 文章: 算術 (書物) ディオファントスが3世紀ごろに著したこの『算術』のギリシャ語版は13巻だったが、アレクサンドリアが戦禍にさらされるなどして6巻のみが現存するだけとなった。16世紀になって初めてラテン語訳がヨーロッパで刊行された。 同書のラテン語訳をフランスの数学者フェルマーも読み、最終定理などを余白に書き込んだ。その書き込みを含めた同書が刊行され、フェルマーの着想が世に出ることになった。 文章: ポール・エルデシュ ポール・エルデシュ、エルデーシュ・パールは、ハンガリー・ブダペスト出身のユダヤ系ハンガリー人の数学者である。20世紀で最も多くの論文を書いた数学者である。彼は、生涯で500人以上という数多くの数学者との共同研究を行ったことと、その奇妙なライフスタイルで知られていた。彼は、晩年になってさえも、起きている時間を全て数学に捧げた。彼が亡くなったのは、ワルシャワで開催された会議で幾何学の問題を解いた数時間後のことだった。 数論、組合せ論、グラフ理論をはじめ、集合論、確率論、級数論など幅広い分野で膨大な結果を残した。グラフ理論・数論などにおける確率論的方法、組合せ論の種々のテクニックは著しく、特にセルバーグと共に素数定理の初等的な証明を発見したことは有名である。彼はラムゼー理論を擁護し、貢献し、秩序が必ず現れる条件を研究した。彼の数学は、次々に問題を考えてはそれを解くという独特のスタイルであったが、彼が発する散発的な問題が実際には理論的に重要なものであったり、あるいは新しい理論の発展に非常に重要な貢献をした例も少なくない。 エルデシュは生涯に約1500篇の論文(多くは共著)を発表した。これ以上の論文を発表した数学者は、18世紀のレオンハルト・オイラーのみである。 彼は数学は社会活動であるという信念を持っており、他の数学者と数学論文を書くという目的のためだけに巡回生活を営んでいた。エルデシュが多くの研究者と論文を執筆したことから、エルデシュ数が生まれた。これは、論文の共著者同士で研究者をつないだときに、エルデシュとの間の最短経路上の人数を表したものである。 文章: ウィーナー=池原の定理 現在、ウィーナー=池原のタウバー型定理は素数定理の標準的な証明法の一つであり、定理の改良が続けられてきている。