クエリ: 数学で、AB-AC=Aというように、式を共通の因数でまとめることを何という?
文章: 因数分解 数学における因数分解(いんすうぶんかい、英: factorization, factoring, decomposition; 分解、因子分解)は、与えられた数学的対象を同種の(しかし普通はより小さいあるいはより平易な)別の対象それは因数(factor; 因子、乗法因子、乗因子)と呼ばれるの積として書き表すことを言う。たとえば、15 という数は 3 × 5 という因数の積に分解され、多項式 x - 4 は (x - 2)(x + 2) という因数の積に分解される。 因子への分解は、除法が自由にできる体系(可除環など)ではほとんどの場合に意味を為さない。例えば実数や複素数の体系において任意の x は y が零でない限り何であっても xy × (1/y) のように分解できることは明らかである(つまり、どの元もいくらでも分解できて、積としての表示を無数に持つ)。しかし例えば、有理数や有理関数の成す体系ならば、分子と分母を別々に考えることによって意味のある因数分解を定めることができる。 自然数および整数に関する因数分解は古代ギリシアの数学(英語版)においてすでに考察されている。その中には、1を除く任意の自然数が素数の積に因数分解できる(さらに、自然数のそのような分解(素因数分解)は因数の順番を変える違いを除いて一通りである)ことを述べた算術の基本定理の証明も含まれる。整数の素因数分解は、整数の乗法のある種の逆演算ではあるけれども、しかしアルゴリズム的な意味(計算量)において乗法とは比べ物にならないほど複雑であり、特に巨大整数の素因数分解は困難な問題で、これを一般に短時間に行う方法は知られていない。この複雑性はRSA暗号のような公開鍵暗号によるセキュリティの信頼性の基礎になっている。
文章: 合成体 数学における体の合成あるいは合成体は、それら体をすべて含む最小の体を言う。 A, B が適当な体 L の部分体であるとき、(内部)合成体 AB は、体 A に B を添加して得られる体 A(B) として定義される。これは、B の元の A-係数線型結合の全体に一致し、また A, B をともに含む L の部分体すべての交わりにも一致する。この体の添加は対称的で、A(B) = B(A) が成り立つ。 A, B がともに第三の体の部分体となることが明らかでないときには、(外部)合成体が体のテンソル積を用いて定義される。 A, B が体の拡大 L/K の中間体で、ともに K の有限次拡大のとき、合成体の拡大次数は個々の拡大次数の最小公倍数以上、積以下: である。特に A, B が線型無関連ならば、[AB : K]= [A : K][B : K] が成り立つ。これは例えば。A, B それぞれの拡大次数が互いに素なときに起きる。 共通の拡大体を持つ任意個数の体の合成も考えることができる。例えば、代数的数全体の成す体は、有理数体 Q の任意の有限次拡大体を部分体として含み、それら有限次拡大体すべての合成体に等しい。 ガロア理論の枠組みにおいて、以下が成立する: K を A, B の共通の部分体とし、A/K がガロワ拡大であるとき、 拡大 AB/B および A/(A ∩ B) はガロワ拡大であり、 写像の定義域の制限によってガロワ群の間の群同型 Gal(AB/B) Gal(A/) が成り立つ。 文章: 変数 (数学) 通常は、変数を含む関係式を、このような任意定数の間の関係式とみなして差し支えないし、しばしばそのように解釈され、混同して議論をすすめることがある。「直線 y = ax + b 上の点を (x, y) と表す」などの言明は、このような解釈のもとで変数記号と任意の値の代入とが意識して混用される例となっている。数列などの添字(英: index)は媒介変数(英: parameter)と呼ばれる変数の仲間である。これらは主たる変数ではないという意味で助変数と呼ばれることもあるが、本質的な違いは無い。 文章: 普遍性 数学において普遍性とは、ある特定の状況下において一意に射(あるいは準同型、構造を保つ写像)を定めるような抽象的性質で、それが特定の構成(例えば直積や直和、加群のテンソル積、距離空間の完備化など)を特徴づけるようなものをいう。 普遍性の具体例となる構成には他にも、様々な構成における自由対象、核や余核、順極限および逆極限、群に対するアーベル化、集合や様々な空間に対する引き戻しや押し出し、ストーン-チェックのコンパクト化などが存在する。 このような構成は個別の数学の分野において議論されていたが、横断的な議論を試みたのは1948年のピエール・サミュエル (en:Pierre Samuel) の論文によって初めて行われ、その後ブルバキによって広められたとされる。 文章: 一般共変性原理 一般共変性原理とは、一般相対性理論を築くときにアルベルト・アインシュタインが原理として仮定したもののうちの1つで、 「物理法則は、すべての座標系において同じ形式でなければならない」あるいは「一般座標変換によって物理法則は不変である」という原理であり、数学的には、「全ての物理法則はテンソル形式(と共変微分)を用いて記述されねばならない」ということになる。 一般共変性は、アインシュタインが一般相対性理論を構築する上で指針として役に立ったが、彼の提示した一般共変性の形式的な表現は問題があった。 現在では複数の意味づけが与えられた言葉となっている。 ちなみに、同じく、アインシュタインが仮定した原理に一般相対性原理がある。 特殊相対性原理は慣性系についてのみ成立する物理法則であったが、これを拡張し、加速度系についても成り立つような物理法則を構築するにあたって、一般相対性原理を定めた。一般相対性理論は、(重力加速度系についても成り立つので)重力も含めた理論としてまとめられた。 文章: ブール論理 集合 A には普遍集合の中の全ての偶数(2の倍数)が含まれ、集合 B には同じ普遍集合の中の全ての 3 の倍数が含まれるとする。そのとき、これらの集合の共通部分(A AND B の集合の全ての元)は、その普遍集合の中の全ての6の倍数が含まれる。 集合 A の補集合(NOT A に含まれる全ての元)は、その普遍集合の全ての奇数となる。 たかだか2つの集合に対してブール演算を行い、その演算によって形成された新たな集合と別の集合に対して新たなブール演算を適用することができる。上の例で言えば、普遍集合の全ての 5 の倍数を含む集合 C を新たに定義する。ここで「集合 A AND B AND C」は、その普遍集合の全ての30の倍数を含む。記述を単純化するため、集合 A と B の共通部分を AB と記したり、6の倍数の集合を導入したりする。そうすると「集合 AB AND C」は、同様に全ての30の倍数を含む。このようなステップをさらに進めていくこともでき、この演算の結果として集合 ABC を定義することもできる。 文章: ヴァンデルモンドの行列式 この公式は、n に関する数学的帰納法で示すこともできるし、行列式の性質を用いたうまい証明の仕方もある。実際、行列式の交代性(行を入れ替えると行列式は -1 倍になる)と因数定理によって、det V は xj - xi たちを因数に持つことが分かるので、あとは次数と係数を比較すれば、公式が成り立つことが容易に分かる。 文章: 互いに素 (整数論) 三つの整数 a, b, c が互いに素であるとは、gcd(a, b, c) = 1 が成り立つことをいう。また、gcd(a, b)、gcd(b, c)、gcd(c, a) がすべて 1 に等しいとき、a, b, c は対ごとに素(英: pairwise coprime)またはどの二つも互いに素であるという。一般に、互いに素であるからといって対ごとに素であるとは限らない (例:a = 6, b = 15, c = 10)。一般の n 個の整数についても同様に定義される。 文章: 分数 分子と分母が 1 以外に共通の因数を持たない分数を既約分数(きやくぶんすう、英: irreducible fraction)という(例:2/3、5/6)。言い換えると「分数 n/d が既約(irreducible)である」とは分子 n と d が互いに素(最大公約数が 1)であることを意味する。 反対に、ある分数が既約でないことを可約(かやく、英: reducible)または約分可能という(例:2/4、4/6 は可約)。可約な分数を既約分数に書き換える操作を約分(やくぶん、英: reduction)あるいは簡約(かんやく)という。 分数 N/D が可約なら、その分子 N と分母 D は 1 でない最大公約数 g を持ち、 文章: 加法単位元 数学、とくに抽象代数学における加法単位元(かほうたんいげん、英: additive identity)は、加法を演算として備える集合において、ほかのどのような元 x に加えても x が変化しない特別の元である。最もよく馴染みのある加法単位元のひとつとしては初等数学で扱う数の 0 が挙げられるが、加法単位元の概念はもっと多くの、加法が定義される数学的構造(たとえば加法群や環)に対して定義されるものである。環などにおける加法単位元はしばしば零元と呼ばれる。 文章: 線型方程式 線型方程式(せんけいほうていしき、linear equation)とは、線型性を持つ写像(関数・作用素)の等式で表される方程式のことである。線形等の用字・表記の揺れについては線型性を参照。線型方程式においては、その線型性から解の重ね合わせが成り立つなどいくつものよい性質が成り立つ。線型方程式(特に多変数の一次代数方程式)の研究から行列などの手法が整備され、線型代数学という一分野が形成された。線型代数学の整備により、多くの場合に線型方程式の係数を実数や複素数に限らず、四則演算が自由にできる(つまり体と呼ばれる代数的構造をもつ)集合からとったとして広く適用できる結果が知られている。以下、特に断らない場合は係数をとる集合 K を(可換な)体とする。多くの場合 K は、実数全体の成す集合 R または複素数全体の成す集合 C のことと思って差し支えない。 文章: 組合せ (数学) 実用上は個々の係数が具体的に で与えられることを利用するのが簡便である。この式の分子は k-順列(k-個のものを“並べる順番の違いを区別して”並べたもの)を作る総数を表し、分母はそれら k-個の並べ替えの総数が k! であることを表し、並びだけが異なるそれらは同じ組合せを与えるものであるから、割っているのはそれらの違いを無視することに対応している。 文章: 三角不等式 ユークリッドは平面幾何における三角不等式を図のような構成を用いて証明した: 三角形 ABC に対して、一辺 BC を共有する二等辺三角形をもう一つの等辺 BD の足が辺 AB の延長上にあるように作る。すると角について β > α が言えるから、さらに辺について AD > AC も言える。しかし AD = AB + BD = AB + BC なのだから、辺の和について AB + BC > AC となる、ということがユークリッドの『原論』 I 巻の命題 20 に書かれている。 三角不等式は数学的帰納法により、任意の折線に関する命題に拡張することができる。すなわち、そのような折線の全ての辺の長さの和は、その折線の二端点を直線で結んだ長さよりも小さくなることはない。特にその帰結として、多角形のどんな長さの辺も残り全ての辺の長さの和より必ず小さいことが言える。 このように折線に対して一般化すれば、ユークリッド幾何において二点間を結ぶ最短曲線が直線であることが示せる。 文章: 終結式 数学において、終結式とは、2つの多項式の係数から構成される式である。そうして終結式の値が零になることと2つの多項式が(係数体の分解体上で)共通零点を持つことは同値になる。このことから2つの多項式が共通零点を持つための必要十分条件が元の多項式の係数の多項式として得られる。具体的には、次のようにして定義される: 終結式が 0 であることと2つの多項式が共通根を持つことは同値である。 多項式 f の導関数を f' で表すと、 Res は f の判別式に等しい。 終結式は、数論で広く用いられている。有理係数あるいは多項式係数の2つの多項式の終結式はコンピュータで効率的に計算できる。それは計算機代数の基本的なツールであり、たいていの数式処理システムの組み込み関数である。それはとりわけ、柱形代数分解 (CAD), 有理関数の逆微分、二変数代数方程式によって定義された曲線の描画に対して使われる。 文章: 共和分 共和分とは時系列変数の集まり が持つ統計学的性質である。まず、共和分を持つ全ての系列は1次の和分過程でなくてはならない(単位根を参照)。次に、この系列の線形結合が0次の和分過程(定常過程ということ)ならば、この時系列は共和分していると言う。厳密には、もし変数 が全て1次の和分過程であり、ある係数 a,b,c が存在して aX+bY+cZ が0次の和分過程となるならば、(X, Y, Z) は共和分しているという。時系列はしばしば確率的にしろ非確率的にしろトレンドを持つ。チャールズ・ネルソンとチャールズ・プロッサーが行った研究では、アメリカの多数のマクロ経済時系列(例えば、GNP、賃金、雇用者数など)は確率的なトレンドを持つ、すなわち単位根過程であるか、1次の和分過程であった。彼らはまたこれらの単位根過程が標準的ではない統計的性質を持っている事を示した。この結果から、伝統的な計量経済学の手法をこれらの系列に適用することは出来ないということが明らかとなった。 文章: 単振動 という関係があるため、上記の式が導かれる。複素指数関数の定数係数 A を複素数 Ac に拡張すれば、φ を陽に表さずに次のように表現できる。 ここで、定数係数 Ac は A および φ と次のような関係である。 したがって、この形式では、振幅 A と初期位相 φ の情報は複素数 Ac の中に含まれる。複素数に拡張された振幅は複素振幅と呼ばれる。