クエリ: 本業は弁護士であった17世紀フランスの数学者で、「私は真に驚くべき証明を見つけたが、この余白はそれを書くには狭すぎる」という言葉で有名な「最終定理」で知られるのは誰でしょう?
文章: フェルマーの最終定理 17世紀、フランスの裁判官ピエール・ド・フェルマー(1607年 - 1665年)は、古代ギリシアの数学者ディオファントスの著作『算術』を読み、本文中の記述に関連した着想を得ると、それを余白に書き残しておくという習慣を持っていた。それらは数学的な定理あるいは予想であったが、限られた余白への書き込みであるため、また充分な余白がある場合にも、フェルマーはその証明をしばしば省略した(たとえば、フェルマーの小定理として知られる書き込みを実際に証明したのは、ゴットフリート・ライプニッツである)。48か所に及ぶこれらの書き込みが知られるようになったのは、フェルマーの没後の1670年に彼の息子サミュエルによってフェルマーの書き込み入りの『算術』が刊行されてからである。第2巻第8問「平方数を2つの平方数の和に表せ」の欄外余白に、フェルマーはとラテン語で書き残した。
文章: ギヨーム・ド・ロピタル ロピタル侯爵ギヨーム・フランソワ・アントワーヌ(Guillaume Franois Antoine, Marquis de l'Hpital, 1661年 - 1704年2月2日)は、フランスの数学者。微分積分学における平均値の定理の別名、ロピタルの定理にその名を残しているが、当の定理はロピタルの発見によるものではない。 ロピタルという名前は一般的に l'Hospital または l'Hpital と綴られる。前者は古いフランス語綴りの習慣によるものであり彼自身は s を入れて綴っていたが、現代フランス語綴りでは黙字である s が抜け、先行母音の上にサーカムフレックスが付く。このことと l' が定冠詞であるためか、日本語の微分積分学書の一部ではロピタルの定理をホスピタルの定理と紹介していることがあるが間違いとは言い切れない。 ロピタルはパリで生まれた。初めは軍人になろうと思っていたが、視力が悪かったために数学者の道へ進むことにした。彼はアイザック・ニュートンらとは別に独自に最速降下曲線の問題を解き、パリで亡くなった。 文章: ウィーナー=池原の定理 現在、ウィーナー=池原のタウバー型定理は素数定理の標準的な証明法の一つであり、定理の改良が続けられてきている。 文章: ポール・エルデシュ ポール・エルデシュ、エルデーシュ・パールは、ハンガリー・ブダペスト出身のユダヤ系ハンガリー人の数学者である。20世紀で最も多くの論文を書いた数学者である。彼は、生涯で500人以上という数多くの数学者との共同研究を行ったことと、その奇妙なライフスタイルで知られていた。彼は、晩年になってさえも、起きている時間を全て数学に捧げた。彼が亡くなったのは、ワルシャワで開催された会議で幾何学の問題を解いた数時間後のことだった。 数論、組合せ論、グラフ理論をはじめ、集合論、確率論、級数論など幅広い分野で膨大な結果を残した。グラフ理論・数論などにおける確率論的方法、組合せ論の種々のテクニックは著しく、特にセルバーグと共に素数定理の初等的な証明を発見したことは有名である。彼はラムゼー理論を擁護し、貢献し、秩序が必ず現れる条件を研究した。彼の数学は、次々に問題を考えてはそれを解くという独特のスタイルであったが、彼が発する散発的な問題が実際には理論的に重要なものであったり、あるいは新しい理論の発展に非常に重要な貢献をした例も少なくない。 エルデシュは生涯に約1500篇の論文(多くは共著)を発表した。これ以上の論文を発表した数学者は、18世紀のレオンハルト・オイラーのみである。 彼は数学は社会活動であるという信念を持っており、他の数学者と数学論文を書くという目的のためだけに巡回生活を営んでいた。エルデシュが多くの研究者と論文を執筆したことから、エルデシュ数が生まれた。これは、論文の共著者同士で研究者をつないだときに、エルデシュとの間の最短経路上の人数を表したものである。 文章: オイラー予想 オイラー予想(オイラーよそう)とは、スイスの数学者レオンハルト・オイラーが提唱した、フェルマーの最終定理を発展させた数学的予想である。現在では、反例によってこの予想は偽である(正しくない)ことが証明されている。 文章: ゲーデルの不完全性定理 理学博士・数学基礎論研究者である菊池誠の『不完全性定理』によれば、数学史上で「数学の正しさと無矛盾性に対する確信が揺らいだことがかつて一度だけあった」。19世紀末~20世紀初めには、数学の中でいくつも逆理が発見され、数学の基礎についての「不安の時代」が発生した。そうして数学の無矛盾性や「そもそも定理や証明とは何なのか」といった哲学的な問いに対し、伝統的な哲学の手法ではなく数学の手法(形式主義)で答える試みがなされ、そこから数学の一分野「数学基礎論」が生まれた。 数学の世界全体の無矛盾性を「有限の立場」で証明して数学を危機から救おうとしたヒルベルト・プログラムが、実現不可能であることをゲーデルの不完全性定理が明らかにした。ヒルベルト・プログラムは破綻した一方で、公理的集合論が整備されて「無矛盾」と見なされたこと、「算術の世界の無矛盾性」が証明されたことなどによって「不安の時代」は終わり、数学基礎論が哲学から決別した。数学基礎論上で不完全性定理は、哲学的なものとしてでなく、数学的な応用可能性として重視されるようになった。またこの定理は、電子技術を伴うコンピュータ科学(計算機科学)の重要な基本定理でもある。 前掲書によると、20世紀初めは数学者と哲学者は共に数学の基礎について論じていたが、「今では数学者と哲学者は極めて疎遠である」。数学についての哲学的議論を、数学者は「最近の数学を無視した色褪せた100年前の論争の焼き直し」と見なしている。不完全性定理を含む数学分野(数学基礎論)を数学者が「哲学のようなもの」と呼ぶ場合、それは「哲学のような深い立派なもの」ではなく「哲学のようなツマラナイコト」を意味していると言う。 文章: フランソワ・ビエト フランソワ・ビエト(Franois Vite、1540年 - 1603年2月13日)は16世紀のフランスの法律家、数学者。 文章: 数学的厳密性 19世紀に、「厳密」という用語は、微積分を扱うときに抽象化のレベルが上がることを表すために使用され始め、最終的には数学分析として知られるようになった。コーシーの理論は、オイラーとガウスの古い理論に厳密さを加えた。リーマンの理論は、コーシーの理論に厳格さを加えた。ワイエルシュトラスの理論はリーマンの理論に厳格さを加え、最終的には分析の算術化に至った。1870年代から、この用語は徐々にカントールの集合論に関連付けられるようになった。 数学的厳密性は、アルゴリズムによる証明チェックの快適さとしてモデル化できる。確かに、コンピューターの助けを借りて、いくつかの証拠を機械的にチェックすることが可能である 。形式的厳密性とは、形式言語による高度な完全性の導入であり、 ZFCなどの集合論を使用してそのような証明を体系化できる(自動定理証明を参照)。 公開されている数学的議論は厳密さの基準に準拠している必要があるが、象徴的な言語と自然言語の混合で書かれている。この意味で、書かれた数学的記述は形式的な証明のプロトタイプである。多くの場合、書面による証明は、まだ正式化されていない可能性がある、厳密なものとして受け入れられる。数学者が非公式に書くためにしばしば引用する理由は、完全に正式な証明はより長く扱いにくい傾向があり、それによって議論の線が曖昧になるためである。人間の直感に明白に見える議論は、実際には公理からかなり長い形式的な導出を必要とするかもしれない。特によく知られている例を、ホワイトヘッドとラッセルが、プリンキピア・マテマティカで「1 + 1 = 2」について示している。要するに、書面による記述では、形式よりも理解しやすさが優先される。 文章: ヴィタリの収束定理 数学の実解析あるいは測度論の分野におけるヴィタリの収束定理とは、イタリアの数学者ジュゼッペ・ヴィタリの名にちなむ定理で、アンリ・ルベーグの有名な優収束定理の一般化として知られる。一様可積分性に依存する強い結果であり、問題となる関数列に対して支配的な関数を見つけることが出来ないときに重宝する。そのような支配的な関数を見つけられるときは、ルベーグの定理がヴィタリの定理の特別な場合として従う。 文章: アンリ・ピトー アンリ・ピトー(Henri Pitot、1695年5月3日 - 1771年12月27日)は、フランスの水理学者、土木技師。 ダニエル・ベルヌーイやレオンハルト・オイラーと同時代の科学者である。1723年にパリで科学者のルネ・レオミュール(1683年 - 1757年)の助手となった。翌年フランスのパリ科学アカデミーに加わる。 1725年には内接円を持つ四角形の向かい合う2組の対辺の長さの和が等しくなることを証明し、この定理はピトーの定理と呼ばれる。 文章: リヒャルト・デーデキント デデキントは、基礎解析の算術化、および現代の代数的整数論を構築した主要な数学者の一人で、環、加群、イデアル、体、ベクトル空間といった概念を生み出した。また、彼はガウス、ディリクレ、リーマンの著作の編集者としても活躍した。実数の概念を明確化するという哲学的な作業の中で、切断という概念を導入した事が特筆される。デデキントは1855年にゲッティンゲン大学でガロア理論に関する最初の講義を行ったことでも知られている。また、自分の編集したディリクレの『整数論講義』の第二版の補遺の中で、イデアルの基礎づけを与えた。『連続性と無理数』(1872年)の中では「デデキント切断 (Schnitt) 」によって、実数論の基礎づけを与えた。『数とは何かそして何であるべきか』(1888年)の中では「鎖 (Kette) 」によって、自然数論の基礎づけを与えた。これは自然数論を公理論的に記述しようとした先駆けである。 文章: 数学の哲学 別の種類の形式主義はしばしば演繹主義(英: deductivism)という名前で知られている。演繹主義によれば、ピタゴラスの定理は絶対的な真理ではなく、相対的な真理である。「もし」ゲームの規則が真になるような仕方で文字列に意味が与えられるなら、「そのとき」定理を真と認めなくてはいけない。あるいはむしろ、それに与えられた解釈が真なる言明であるとしなければならない。他のすべての数学的言明についても同じことが真とされる。それゆえ、形式主義では、数学は意味のない記号ゲームにすぎないと考える必要はない。ゲームの規則が妥当するなんらかの解釈が存在するということが通常期待されているからである(この立場を構造主義と比較せよ)。しかし、形式主義によって現場の数学者たちは仕事を続けることができるし、いくつかの問題を哲学者や自然科学者に委ねることができる。多くの形式主義者は、どんな公理系を研究すべきかは、実際上、自然科学や他の数学領域の要求によって示唆されると言うであろう。 形式主義を唱えた初期の最も有名な人物はダフィット・ヒルベルトであった。ヒルベルトのプログラムとは、数学全体を完全かつ無矛盾な仕方で公理化しようとするものであった。ここで無矛盾とは、体系上いかなる矛盾も生じないということである。ヒルベルトは、「有限算術」(通常の算術の下位体系で、自然数について哲学的に議論しようもないよう選ばれたもの)は無矛盾であるという仮定条件のもとで、数学の体系的無矛盾性を示そうとしたのである。しかし、完全かつ無矛盾な数学体系を作りだそうというヒルベルトの目標は、ゲーデルの第2不完全性定理によって完全に潰えた。不完全性定理によれば、十分な表現力を持つ無矛盾な公理体系は自身の無矛盾性を決して証明できないからである。このような公理体系はかならず有限算術を下位体系として含むことになるから、ゲーデルの定理は、有限算術に関する体系の無矛盾性が証明不可能であることも含意している(自己の無矛盾性を証明することになるが、ゲーデルによってそれが不可能であることが証明されている)。それゆえ、無矛盾であると証明しようとしている体系よりもある意味で強力な無矛盾性を数学体系が備えているのだということをまず前提しておかなければ、数学のどんな公理体系も実際に無矛盾であることを示すことはできないことになる。 初期のヒルベルトは演繹主義者であったが、上記のように、メタ数学的方法が本質的に有意味な結果を生み出すと考え、有限算術に関して実在論の立場に立っていた。後年には、どんな解釈を取ろうとも有意味な数学は他に一切ありえないという見解をもつようになった。 文章: リヒャルト・クーラント そこで大学院での数学研究の学会立ち上げの仕事を与えられ大成功した。クーラント数理科学研究所(1964年に改名)は数学で最も権威ある研究所の1つであり続けている。彼の著名な組織的才能とは別に、クーラントは数学の業績でも名高い。彼の書いた教科書Methods of mathematical physics(邦題:『数理物理学の方法』)は80年以上後もいまだに使われている。ハーバート・ロビンズと共に一般書What is Mathematics?(邦題:『数学とは何か』)はいまだに出版されている。クーラントの名は元々技師によって発明された有限要素法でも知られており、彼はそれを確固たる数学の手法へ置いて様々な問題へ応用した。この方法は今、偏微分方程式を数量的に解く最重要な方法となっている。アメリカ合衆国ニューヨークで死去。84歳没。 文章: パウル・ヴォルフスケール パウル・フリードリヒ・ヴォルフスケールは、ドイツの実業家・数学者である。フェルマーの最終定理を最初に証明した人物に対する10万金マルクの懸賞金(ヴォルフスケール賞)を提供したことで知られる。 文章: 二項定理 二項定理の特殊な場合については、古代より知られていた。紀元前4世紀ギリシャの数学者エウクレイデスは指数が 2 の場合の二項定理に言及している。また、三次の場合の二項定理が6世紀のインドでは知られていた。 二項係数は相異なる n個のものから重複無く k個を選ぶ総数に等しくなるが、このことについては、古代ヒンドゥーで着目されていた。現在知られているもので最古のものは、ヒンドゥーの詩人ピンガラ(英語版) (c. 200 B.C.) による Chandastra で、それにはその解法も含まれている。紀元後10世紀に評者ハラーユダ(英語版)はこの解法を今日でいうパスカルの三角形を用いて説明した。この数が n!/(n-k)! k! であることが、6世紀ごろのヒンドゥーの数学者には、おそらく知られていたし、この規則についての言及を12世紀にバースカラ2世の表した文書 Lilavati に見つけることができる。 二項係数を組合せ論的量として表記した二項定理は、二項係数の三角形パターンについて記述した11世紀アラビアの数学者アルカラジ(英語版)の業績にも見つけることができる。アルカラジはまた、原始的な形の数学的帰納法を用いて二項定理およびパスカルの三角形に関する数学的証明も与えている。ペルシアの詩人で数学者のウマル・ハイヤームの数学的業績のほとんどは失われてしまったが、彼は恐らく高階の二項定理についてよく知っていた。低次の二項展開は13世紀中国の楊輝や朱世傑の数学的業績にも見られる。楊輝は遥か旧く11世紀の賈憲(英語版)の書の方法に従った(しかし、それらもまた今日では失われてしまった)。 文章: セドリック・ヴィラニ セドリック・パトリス・ティエリ・ヴィラニ(Cdric Patrice Thierry Villani、1973年10月5日 -)は、フランスの数学者、政治家。数学の専門分野は偏微分方程式、数理物理学。ボルツマン方程式とランダウ減衰に関する研究の成果により、2010年にフィールズ賞を授与された。2017年フランス議会総選挙で当選し、国民議会の議員を務めている。 2008年から2010年までの研究生活について著した本 Thorme vivant (テオレム・ヴィヴァン)が2012年に出版されている。同書は『定理が生まれる』の題で2014年に日本語訳版が刊行され、著者名はセドリック・ヴィラーニとなっている。