クエリ: これが存在する命題は「偽」となる、数学において、ある命題に当てはまらないことを示す例のことを何というでしょう?
文章: 反例 反 例(はんれい) 命題が偽であることを示す例。 真
文章: ゲーデルの不完全性定理 ゲーデル以外の誰かがこれらの定理を発見するのは時間の問題だったとされており、ゲーデル自身もそう見ていた。数学上の「無矛盾性」と不完全性定理について、フランセーンは以下の通り解説している。フランセーンは『ゲーデルの定理:利用と誤用の不完全ガイド』において、ゲーデルの定理が広範に誤用されていることについて論じている。数学者・数理論理学者の田中一之によれば、ゲーデルの名や定理は「知的会話」に頻出している。フランセーンが述べたように、インターネットのどんなニュースグループでも、遅かれ早かれ誰かがゲーデルの定理を持ち出す。そういった一般的な引用における間違いを正すことが、フランセーンの著書の目的となっている。1931年にゲーデルが示したのは、「特定の形式体系 P {\displaystyle P} において決定不能な命題の存在」であり、一般的な意味での「不完全性」についての定理ではない。 文章: ペアノの公理 集合 N と定数 0 と関数 Sと命題Eに関する次の公理をペアノの公理という。このとき N の元を自然数といい、自然数 n に対して自然数 S(n) をその後者 (successor)という。第五公理は、数学的帰納法の原理である。これらの公理は互いに独立であり、いずれも残りから導くことはできない。ペアノの公理から 2 + 2 = 4 や 2 2 = 4 のような「定理」を証明するには 2 = S(S(0)) などの項を導入したり、加法 + や乗法 の存在や性質を示したりする必要がある。たとえば Henle (1986, pp. 17, 18, 103, 104) を見よ。 文章: 確率の公理 事象が非可算の場合において、逆に確率が0でも事象が {\displaystyle \varnothing } とは限らない。1つ前の証明で、 P ( ) = 0 {\displaystyle P(\varnothing )=0} は示されている。ただし、この結論は背理法で示される。は収束するから、 P ( ) =: a {\displaystyle P(\varnothing )=:a} とおくと、も収束する。 a > 0 {\displaystyle a>0} と仮定すると、右辺は発散し、矛盾するから、 a = P ( ) = 0 {\displaystyle a=P(\varnothing )=0} となる。 文章: 自己言及のパラドックス プライアの試みは全く新たな命題論理の体系を必要とするか、あるいは「この文は真であり、かつこの文は偽である」の「かつ」は連言除去が適用されない特殊な論理積だと解釈する必要があるように思われる。つまりプライアの論を認めるには、少なくともこの新たな種類の「かつ」を扱えるように命題論理を拡張する必要がある。ソール・クリプキは、ある文が逆説的か否かは、経験的事実に依存すると主張した。鈴木氏が佐藤氏について次のことだけを言ったとする。そして、佐藤氏は鈴木氏について次の3つのことだけを言っているとする。鈴木氏が本当は浪費家だが、犯罪に対して寛大ではない場合、鈴木氏が佐藤氏について言っていることと佐藤氏の最後の文の間でパラドックスが生じる。クリプキはこれについて次のような解決策を提案した。ある文の真理値が最終的にこの世界で評価可能な事実と結びついているなら、その文は「根拠がある (grounded)」。 文章: 命題論理 一般的にいえば、命題計算とは「文法的にきちんとした」統語的な表現(整式)の集合、その表現のいくつかからなる部分集合(公理の集合)、さらに加えて表現の空間上に二項関係を定義する変形規則の集合からなる形式的体系である。普通、それぞれの表現が数学の表現として具体的に解釈されるとき、表現の変形規則が一定の意味同等性を保つように与えられる。特に表現が論理体系そのものとして解釈されるときには「意味同等性」が論理的同等性のことを指すように変形規則が与えられる。この設定のもとでは変形規則によって与えられた表現から論理的に等価な表現を導くことができる。こういった変形規則による別の表現の導出について、特別な例として表現を単純化すること、与えられた表現が前もって区別された特別な表現(普通、論理学の公理だと解釈される)のうちどれかと等価かどうか決定すること、などが問題にされる。 文章: 論理包含 P が偽ならば、Q の真偽にかかわらず「P ならば Q」が真である (en:Vacuous truth)、という定義は直感的に受け入れ難く、しばしば哲学的な議論の主題となる。以下、いくつかの例とそれについての議論を示す。 例えば「千円以上持っている人は百円以上持っている」という文が(意味深いかどうかはともかくとして)正しいことに異論はないであろう。数学記号を用いると「 x ≧ 1000 x ≧ 100 {\displaystyle x\geqq 1000\implies x\geqq 100} 」ということになる。この命題の前件と後件は変数 x {\displaystyle x} を含み、 x {\displaystyle x} に代入される値によって真偽が変わるのであるから、正確には「任意の x {\displaystyle x} に対して x ≧ 1000 x ≧ 100 {\displaystyle x\geqq 1000\implies x\geqq 100} 」という主張である。 x ≧ 1000 {\displaystyle x\geqq 1000} の場合のみならず、 x < 1000 {\displaystyle x<1000} の場合でも真であるためには、上記の定義が必要であることが了解されよう。 なお、この例において二つの集合 { x x ≧ 1000 } {\displaystyle \{x\mid x\geqq 1000\}} と { x x ≧ 100 } {\displaystyle \{x\mid x\geqq 100\}} は包含関係 { x x ≧ 1000 } ⊂ { x x ≧ 100 } {\displaystyle \{x\mid x\geqq 1000\}\subset \{x\mid x\geqq 100\}} にある。これが「論理包含」という語の由来である。 文章: 「知」の欺瞞 ラカンのいうマイナス1の平方根は、名前こそ同じだが、「数学的なマイナス1の平方根とは同じものでもなく、直接の関係もなく、メタファーですら」ない。まして数学的なマイナス1の平方根は「勃起性の器官ではない」。しかし、代数学的な意味においてプロトニツキーは「すべての虚数および複素数は、定義上は無理数である」と述べているが、数学者たちは複素数を無理数とはみなさないソーカルとブリクモンの側に立っている。実際、有理数という概念は、ガウス整数とガウス有理数においては複素数の領域に拡張される。 文章: 命題論理 様相論理は命題計算ではとらえきれないような様々な推論を可能にしている。様相論理では、例えば「 ρ {\displaystyle \rho } は必然的である」から ρ {\displaystyle \rho } を推論でき、 ρ {\displaystyle \rho } からは「 ρ {\displaystyle \rho } は可能である」が推論できる。 多値論理では文の真理値として真と偽以外のものも許容される。(例えば「真でもあり偽でもある」とか「真でも偽でもない」がよく追加される。またファジィ論理では真と偽の間の無限にこまかい「真実である度合い」が導入される。)これらの論理学ではしばしば命題計算とは異なった計算手法が必要になる。 文章: 自己検証理論 この理論にはいかなる真の Π 1 0 {\displaystyle \Pi _{1}^{0}} 文を追加しても、なお無矛盾であるようにできる。 文章: 数学上の未解決問題 数学上の未解決問題(すうがくじょうのみかいけつもんだい、英: unsolved problems in mathematics)とは、未だ解決されていない数学上の問題のことで、未解決問題の定義を「未だ証明が得られていない命題」という立場を取るのであれば、そういった問題は数学界に果てしなく存在する。ここでは、リーマン予想のようにその証明結果が数学全域と関わりを持つような命題、P≠NP予想のようにその結論が現代科学、技術のあり方に甚大な影響を及ぼす可能性があるような命題、問いかけのシンプルさ故に数多くの数学者や数学愛好家たちが証明を試みてきたような有名な命題を列挙する。 文章: ガウスの補題 (数論) の置換であることも明らかである。 文章: 排中律 排中律(はいちゅうりつ、英: Law of excluded middle、仏: Principe du tiers exclu)とは、論理学において、任意の命題 P に対し「P であるか、または P でない」が成り立つという原理である。ラテン語で Principium tertii exclusi(第三の命題が排除される原理)あるいは Tertium non datur(第三の命題・可能性は存在しない)と称され、Law of excluded middle(中間の命題は排除されて存在しない法則)または Law of the excluded third(第三の命題が排除される法則)と呼ばれ、これらが日本語での排中という表記につながり、排中原理と呼ばれる。 排中律は P ¬P が真である、あるいは公理ないし証明可能であることを主張しており、「すべての命題は真または偽のいずれかの真理値を持つ」という二値原理(英語: Principle of bivalence)とは異なるものである。 論理の古典的体系では、同一律、無矛盾律とともに、思考の三原則を成す。ただし、論理体系によっては等価な別の主張(二重否定の除去やパースの法則など)が公理として採用されることもある。 文章: 量子論理 (p、q、r は命題を表す) が必ずしも成り立たない点である。例えば一直線上を動く粒子を考え、次のようにおく。 すると命題"q ∨ r"は恒に真だから、p が真ならば 一方、p が真ならば不確定性原理により位置と運動量は同時には確定できないから、2つの命題"p ∧ q"と"p ∧ r"はいずれも偽である。ゆえに 文章: 前提 バートランド・ラッセルはこの文について「現在のフランス王がただ一人存在し、かつそれが禿である」ときに真であるとした。フランスは現在共和制であり王は存在しないので、ラッセルの立場ではこの文は偽であることになる。これに対しピーター・フレデリック・ストローソンは、「フランス王が一人いる」という命題はこの文によって主張されていることの一部ではなく前提であり、前提が満たされていない時この文は真理値を持たないとした。 前提は命題の主張内容ではないので、文を否定文に変えても影響を受けない。この性質から、命題 P とその否定 ¬P がどちらもある命題 Q を含意するとき、Q は P の前提である、と定義することができる。たとえば、次の二つの文は通常どちらも「私は禁煙した」ことを含意しているので、「私は禁煙した」はこれらの命題の前提であることが分かる。 これに対して、たとえば「彼は殺された」は「彼は死んだ」を含意するが、その否定「彼は殺されなかった」は「彼は死んだ」を含意しない。従って、「彼は死んだ」は「彼は殺された」が含意 (entail) する命題ではあるが、前提ではない。 文章: 対偶論法 論理学において、含意命題の対偶とは、条件をともに否定し、さらにその含意の向きを逆にしたものである。明示的に書けば、命題「AならばBである」の対偶は、「BでないならばAでない」となる。命題とその対偶の論理的な真偽は常に一致する。したがって、ある命題が真ならばその対偶も真であるし、偽の場合もしかりである。 対偶論法とは、証明で用いる推論規則の一つである。対偶論法では、対偶を用いて命題の真偽を推論する。言い方を変えると、「AならばBである」という結論を、「BでないならばAでない」から導く推論規則である。