クエリ: 別名を「三平方の定理」という三角形に関する定理のことを、古代ギリシャの数学者の名にちなんで何の定理というでしょう?
文章: 三個の平方数の和 この記事は「平方数」、「三角数」、「多角数定理」などの補遺に当たる。ここに示す事実は古くから知られているものであるが呼びかたが定まっていない。日本語では「三平方和定理」などと呼ばれることもあるが、ピタゴラスの定理とは全く別のものである。自然数 N {\displaystyle N} が三個の平方数の和で表されるための必要十分条件は、 n 0 , k 0 , a ∈ { 1 , 2 , 3 , 5 , 6 } {\displaystyle n\geq 0,k\geq 0,a\in \{1,2,3,5,6\}} により、 N = 4 n ( 8 k + a ) {\displaystyle N=4^{n}(8k+a)} と表されることである。
文章: 半周長 三角形の半周長は、その中点三角形の周長に等しい。三角不等式より、半周長は最も長い辺より長いことがわかる。この節の中では半周長を s で表す。三角形の面積を S とする。三角形の面積は、内接円の半径 r と半周長の積に等しい。三角形の面積は、三辺の長さを a, b, c としたときヘロンの公式によって以下のように表すことができる。外接円の半径 R は、半周長と3辺の長さを用いて以下のように表すことができる。この式は正弦定理から導くことができる。余接定理(英語版)は、半分の角度の余接(コタンジェント)を半周長と3辺の長さと内接円の半径から求める定理である。角の二等分線の長さは以下の式で求めることができる。直角三角形において、斜辺に接する傍接円の半径は半周長に等しい。また、半周長は外接円の半径の2倍と内接円の半径の和に等しい。 文章: フェイェールの定理 数学におけるフェイェールの定理(フェイェールのていり、英: Fejr's theorem)とは、ハンガリーの数学者リポート・フェイェールの名にちなむ定理。f:R → C が周期 2π の連続函数であるなら、そのフーリエ級数の部分和の列 (sn) のチェザロ平均の列 (σn) は、[-π,π] 上一様に f に収束する。 (sn) を具体的に書くと、 となる。ただし 文章: ハルモス代数 数理論理学におけるハルモス代数(ハルモスだいすう、英: Halmos algebra)あるいは多進代数(たしんだいすう、英: Polyadic algebra) はポール・ハルモスの導入した代数的構造で、ブール代数が命題論理を記述するというのと同様の意味において、一階述語論理を形式化するものである。(リンデンバウムタルスキ代数(英語版)の項を参照。)同じように一階論理を記述する他の代数として、(一階論理が等号付きの場合)アルフレッド・タルスキの円筒代数(英語版) およびウィリアム・ローヴェアの函手的意味論(圏論的アプローチ)などを挙げることができる。 文章: 積分法 しかしたとえば、放物線(古くは抛物線とも)がある弦によって切り取られる面積を計算するような場合でさえ、いくらやっても三角形で覆い尽くすことはできないため、実際にはほとんどの領域で無限和の計算をすることになる。この困難に対してアルキメデスは、今で言うε-δ論法によりこの問題を回避したようである。1635年にカヴァリエリの原理が発表され、後にエヴァンジェリスタ・トリチェリ、ピエール・ド・フェルマーが同原理の考えを用い、回転体や多項式で表される図形の求積を行った。17世紀後半になってライプニッツとニュートンらにより微分法が発見されると、極めて技巧的な手段に頼っていた求積法は、原始関数と微分積分法の基本公式による一般的な方法で解かれることになる。 文章: メネラウスの定理 証明法はさまざまあるが、ここでは代表的な方針を述べる。ABに平行にCから伸ばした線とDEFとの交点をKとする。相似からが成り立つ。左式のCKを右式に代入、もしくは逆に右式を左式に代入し、整理すれば定理が導かれる。ΔABCの各頂点から直線lに垂線をおろす。すると、3組の相似な直角三角形が現れるので、その相似比を考えればよい。直線ADと直線BEの交点をGとすると 文章: 三角関数 また、三平方の定理から加法定理を示す方法が挙げられる。この方法では、円周上の任意の 2 点間の距離を 2 通りの座標系について求めることで、両者が等しいことから加法定理を導く。2 点間の距離を求めるのに三平方の定理を用いる。以下では単位円のみを取り扱うが、円の半径によらずこの方法から加法定理を得ることができる。 単位円の周上に 2 点 P = (cosp, sinp), Q = (cosq, sinq) を取る。P と Q を結ぶ線分の長さを PQ として、その 2 乗 PQ を 2 通りの方法で求めることを考える(右図も参照)。 P と Q の x 座標の差と y 座標の差から、三平方の定理を用いて PQ を求める。 文章: ラングレーの問題 a, b, c, d, e がいずれも10°の倍数となる問題群については、日本でも初等幾何による証明を網羅した研究例が存在する。海外では、1970年代末にイギリスの J. F. Rigby が、一部の問題群を除いた全ての整角四角形問題(整角三角形の問題も含む)の初等幾何による証明を体系的に示した例がある。Rigbyが初等幾何で証明できなかった問題群については、2015年10月までに全て初等幾何による解法が出揃った。三角形の内部に1点をとり、その点と三角形の各頂点を線分で結んだ図形のうち、三角形の3辺を含む6つの線分のなす角度が全て整数となるものを整角三角形という。また、右図の整角三角形において、角度 a, b, c, d が与えられて角度 e を求める(または角度 e がその値となることを証明する)ような問題を整角三角形問題と呼ぶこともある。 文章: 3つの立方数の和 3つの立方数の和(3つのりっぽうすうのわ、Sums of three cubes)は整数の立方数3つを合計したものである。任意のnに対して、条件を満たす解 x , y , z {\displaystyle x,y,z} の組を求める問題は、1950年代にルイス・モーデルによって考え出された。いくつかのnに対する解の探索には長い時間がかかっていたが、MITなどの研究グループにより短期間で求める手法が見出され、あるnに対する解となる組は無限に存在するはずだと推測されている。なお、nの値について、9を法として4, 5 に合同な値を除外する条件が付けられているのは、そのようなnが存在し得ないからである。このことは、 全ての立方数は9を法として0, 1, 8 のいずれかに合同となることより、簡単に確認できる。同様に、4つの立方数の和と問題を拡張した場合は、この除外条件は不要となる。 文章: パスカルの三角形 この三角形について確認できる最古の文献は、インドの数学者ピンガラ(英語版)の著作に対して10世紀にハラーユダ(英語版)が書いた注釈『ムリタサンジーヴァニー』である。ピンガラの原文は断片的にしか現存していないが、ハラーユダはピンガラの Meru-prastaara『須弥山の階段』という言葉をパスカルの三角形のことだと解釈している。ハラーユダは、三角形とフィボナッチ数との関係についても理解していた。 中国では11世紀に数学者の賈憲(英語版)、13世紀に数学者の楊輝がこの三角形を研究しており、同国内ではこの三角形は「賈憲三角形」または「楊輝三角形」と呼ばれている。 ペルシアでは、アル=カラジ(英語版)とウマル・ハイヤームが研究しており、イラン国内では「ハイヤームの三角形」と呼ばれる。ハイヤームは、二項定理を含むいくつかの定理がこの三角形に含まれることを知っており、n 次の二項展開の係数を求める方法を知っていたと考えられる。 文章: モーリーの定理 モーリーの定理とは、初等幾何学における三角形についての定理である。1899年にアメリカの数学者フランク・モーリー(英語版)によって証明された。 文章: トレミーの定理 トレミーの定理(トレミーのていり、英: Ptolemy's Theorem)とは、円に内接する四角形 ABCD において、辺の長さに関する等式: が成り立つという幾何学の定理。トレミーは古代ローマの天文学者クラウディオス・プトレマイオスの姓プトレマイオスの英語表記Ptolemyの音訳である。プトレマイオスの定理とも呼ばれる。 トレミーの定理を一般化したオイラーの定理(オイラーのていり)とは、必ずしも円に内接しない四角形 ABCD において、辺の長さに関するトレミーの不等式(英: Ptolemy's inequality): 文章: アポロニウスの定理 すなわち、 θ ′ {\displaystyle \theta ^{\prime }} は θ {\displaystyle \theta } の補角であり、 cos θ ′ = - cos θ {\displaystyle \cos \theta ^{\prime }=-\cos \theta } となる。このとき、余弦定理より、第一式と第三式の辺々を加えると以上より、定理が証明された。 文章: バリンスキーの定理 数学の一分野である多面体組み合わせ論におけるバリンスキーの定理とは、三次元多面体およびより高次元のポリトープの持つグラフ理論的構造に関する定理である。あるd-次元凸多面体あるいはポリトープ(そのスケルトン)の頂点と辺から無向グラフを形成するとき、そのグラフは少なくともd-頂点連結である、ということを述べた定理である。例えば、三次元のある多面体に対して、その頂点の内の二つ(およびそれらに接続している辺)が取り除かれたとしても、残された任意の頂点のペアにはそれらをつなぐ頂点と辺の路が存在する。 バリンスキーの定理は、その証明を1961年に与えた数学者のミシェル・L・バリンスキーの名にちなむ。しかし三次元の場合については二十世紀初頭に、三次元多面体のグラフは3-連結平面グラフであるというシュタイニッツの定理として結果が得られていた。 文章: バリンスキーの定理 数学の一分野である多面体組み合わせ論(英語版)におけるバリンスキーの定理(バリンスキーのていり、英: Balinski's theorem)とは、三次元多面体およびより高次元のポリトープの持つグラフ理論的構造に関する定理である。あるd-次元凸多面体あるいはポリトープ(そのスケルトン(英語版))の頂点と辺から無向グラフを形成するとき、そのグラフは少なくともd-頂点連結(すなわち、どのような d - 1 個の頂点を取り除いても、残されたグラフは連結)である、ということを述べた定理である。例えば、三次元のある多面体に対して、その頂点の内の二つ(およびそれらに接続している辺)が取り除かれたとしても、残された任意の頂点のペアにはそれらをつなぐ頂点と辺の路が存在する。 バリンスキーの定理は、その証明を1961年に与えた数学者のミシェル・L・バリンスキーの名にちなむ。しかし三次元の場合については二十世紀初頭に、三次元多面体のグラフは3-連結平面グラフであるというシュタイニッツの定理(英語版)として結果が得られていた。 文章: 九点円 三角形上の6個の点(上述の点のうち辺上にあるもの)を通る円の存在をオイラーが1765年に証明していたともいわれる。九点円が三角形上の6個の点に加えて残りの3点を通ることは、フランスのジャン=ヴィクトル・ポンスレとシャルル・ブリアンション(英語版)によって1821年に証明された。その翌年の1822年に、ドイツのカール・フォイエルバッハが同じ円が三角形の内接円と傍接円に接することも含めてモノグラフで証明を発表した。さらにその後の1842年に、フランスのオルリー・テルケム(英語版)がフォイエルバッハの定理の解析的な証明を与え、この円を九点円(仏: le cercle des neuf points、英: nine point circle)と命名した。この円は六点円とも呼ばれていたが、現在六点円は三角形上の別の円を指す名称となっている。