クエリ: 2つの辺の長さが等しい三角形を二等辺三角形といいますが、3つの辺の長さが等しい三角形を何というでしょう?
文章: 正三角形 正三角形 (せいさんかくけい, せいさんかっけい) 3つの辺の長さが等しい三角形。 英語: equilateral triangle オランダ語: gelijkzijdige driehoek 男性 中国語: (繁): 正三角形, 等邊三角形/ (簡): 正三角形, 等三角形 フィンランド語: tasasivuinen , kolmio ロシア語: равносторонний треугольник 男性 (ravnostornnij treugl’nik) 類義語: 等角三角形, 等辺三角形 全ての面が正三角形の正多面体: 正四面体, 正八面体, 正二十面体 ハングル: 3つの辺の長さが等しい三角形。 正三角形 (zhng snjioxng) 3つの辺の長さが等しい三角形。 類義語: (繁): 等邊三角形/ (簡): 等三角形
文章: ヘロンの三角形 幾何学においてヘロンの三角形(ヘロンのさんかくけい)とは、3辺の長さと面積の全てが整数となる三角形である。この名称は、3辺の長さと面積を関連付けたアレクサンドリアのヘロンに由来している。広義には、3辺の長さと面積が全て有理数であるものも含まれる。 文章: 直角三角形 直角三角形の斜辺を一辺とする正方形の面積と、直角をはさむ2辺をそれぞれ一辺とする正方形 2個の面積の和は等しい。すなわち、斜辺の長さを c、直角をはさむ2辺の長さをそれぞれ a, b とすると、それらの2乗について以下の等式が成り立つ: この定理は三平方の定理として知られている。 三平方の定理は逆も成り立つ。すなわち、上記の等式を満たす三角形は直角三角形に限られる。 文章: ケプラー三角形 ケプラー三角形は三辺の比が等比数列となっている直角三角形で、その公比は黄金比 φ の平方根 φ であるような三角形のことである。つまりケプラー三角形の辺の比は 1 : φ : φ 、おおよそ1 :1.272 :1.618である。したがって三角形の一辺を辺とした正方形も黄金比を公比とした等比数列になる。 このような比率の三角形は、ドイツの数学者で天文学者のヨハネス・ケプラー(15711630)にちなんで名付けられた。ケプラーは、この三角形の短辺と斜辺の比率が黄金比に等しいことを最初に発見した人物である。ケプラー三角形はピタゴラスの定理と黄金比という2つの重要な数学的概念を組み合わせており、次に示すようにケプラーを深く魅了した: また、ケプラー三角形に非常に近い寸法の三角形がギザの大ピラミッドにあるという主張もいくつか存在する。 文章: 半周長 三角形の cleaver(英語版)と呼ばれる線は、辺の中点を通り周を2等分する線である。即ち、cleaver で分割された周の2つの部分は共に半周長の長さを持つ。3つの cleaver は角の二等分線に平行であり、中点三角形の内心で交わる。この交点は、中空の三角形の重心である。 直線が周長を2等分するのは、その線が三角形の内心を通るときのみである。 三角形の半周長は、その中点三角形の周長に等しい。 文章: 三角形の内接円と傍接円 初等幾何学において三角形の内接円(ないせつえん、英: incircle / inscribed circle (of a triangle))とは、その三角形の内部にあり3辺に接する円である。三角形の内部にある円の中で最も面積が大きい円である。内接円の中心を内心(ないしん、incenter)と呼ぶ。 傍接円(ぼうせつえん、excircle)は、三角形の外側にあり1辺と他の2辺の延長線に接する円である。傍接円の中心を傍心(ぼうしん、excenter)と呼ぶ。全ての三角形は、各辺に接する合計3つの傍接円を持つ。 内心は、3つの角の二等分線上にある。傍心は、1つの角の二等分線と他の2つの角の外角の二等分線上にある。内心と傍心は「三角形の3つの頂点と垂心」という位置関係にある。 文章: 三角形 三角形の底辺の中点と対頂点を結ぶ線分を中線といい、どの辺を底辺とするかによって三角形には中線が 3本ある。3本の中線は 1点で交わり、これらの交点を重心という。三角形はその内部に、1つの重心をもつ。重心は中線を 2 : 1 に内分する。 三角形の 1つの内角と他の 2つの外角の二等分線は 1点で交わる。これらの交点を傍心(ぼうしん)という。三角形に傍心は 3つある。傍心は 1辺、他の2辺の延長線との距離が等しく、傍心を中心として半径がその距離である円を傍接円という。 三角形の 3つの辺またはその延長線上と距離が等しい点は、内心と傍心の併せて 4点ある。 文章: 三角法 任意の三角形の3辺と3角の大きさ(三角形の主要素)を一般的に与えたとき、一部から残りを特定することが、三角法の本来の目的である。任意の三角形は3辺と3角の大きさという6つの要素のうち3つの要素が与えられた場合、他の諸量が決定する場合があるという性質があり、この性質を利用して三角形を特定することを「三角形を解く」(solving triangles)といい、その条件を「三角形の決定条件」という。三角形を解く際に計算を利用する場合、三角関数が現れる。 三角形の辺の大きさが与えられている状態を(Sideの)S、角の大きさが与えられている状態を(Angleの)Aと表記することにすると、3辺と3角のうち3つが与えられている状態は、以下の6通りに表せる。平面三角法においては、このうち、SSS, SAS, ASA, AAS の場合に三角形が一意に特定されることが知られており、このことはエウクレイデスの『原論』においても幾何学的に証明されている。図1.1に示すように、ASSの場合、2通りの三角形に決定する。AAAの場合、三角形が決定しない。他方で、球面三角法においては、AAAの場合でも一意に特定される。 三角形の辺と内角以外の諸量、例えば高さ、外角、中線の長さなど(三角形の副次量)が与えられた場合に三角形が解けるケースがある。三角形を解くための要素が、他の幾何学的図形の各要素の量的関係から間接的に決定される場合もある。他の幾何学的図形の平面三角法における一例を挙げると、外接円、内接円、傍心円などがある。平面上の三角形は独立の3情報から決定されるため、「平面三角形は自由度(degree of freedom)が3である」とされる。 文章: 二等辺三角形 二等辺三角形の頂外角の二等分線は底辺と平行である。逆に、ある外角の二等分線が対辺と平行になる三角形は二等辺三角形である。 二等辺三角形の頂角は180°未満の全ての大きさを取りうるが、底角は必ず鋭角(90°未満)になる。これは、内角の和は180°であることから導かれる。 文章: 外接円 共円奇数角形の全ての角の角度が等しくなるための必要十分条件は、それが正多角形となることである。共円偶数角形の全ての角の角度が等しくなるための必要十分条件は、辺の長さが交互に等しい(つまり、各辺に対しそれに隣接する二つの辺同士の長さが互いに等しい)ことである。 辺の長さと面積がすべて有理数となるような共円五角形はロビンスの五角形(英語版)と呼ばれ、知られているすべての場合で対角線もすべて長さが有理数である。 偶数 n に対する任意の共円 n-角形について、その角を交互に二つの組に分けるとき、それぞれの組に属する角の和をとればそれらは互いに等しい(「奇数番目の角の和」=「偶数番目の角の和」)。このことは n = 4 の場合から数学的帰納法で証明することができる。帰納のステップでは、一つの辺に新たな三つの辺に取り換えて、もとの辺と加えた三辺が同じ条件を満たす四辺形を成すようにできることに注意する(そのとき、得られた四辺形の交互の角は、もともとの n-角形の交互の角の和にそれぞれ加えられるが、それら和が互いに等しいことは変わらない)。 文章: 角の二等分線の定理 △ABC を考える。∠ A の二等分線が、辺BC上の点Dで交わるとする。角の二等分線の定理は、線分BDの長さと、線分CDの長さとの比が、辺ABの長さと辺ACの長さの比に等しいこと、すなわち を示す。この定理の逆として、△ABC の辺BC上の点Dについて、線分BDの長さと、線分CDの長さとの比が、辺ABの長さと辺ACの長さの比に等しいならば、直線ADは∠ A の二等分線であることが成り立つ。また、特に三角形が二等辺三角形である場合は、「等辺をはさむ角の二等分線はその角の対辺も2等分する」といえる。 この定理の一般化として、Dが辺BC上の点ならば 文章: 直角二等辺三角形 直角二等辺三角形 (ちょっかくにとうへんさんかくけい, ちょっかくにとうへんさんかっけい) 二等辺三角形のうち、内角の一つが直角である三角形。直角三角形であり、なおかつ二等辺三角形でもある。 直角三角形 二等辺三角形 英語: right isosceles triangle 中国語: (繁): 等腰直角三角形/ (簡): 等腰直角三角形 文章: 角の二等分線の定理 幾何学における角の二等分線の定理は、三角形の1つの内角のニ等分線と、その角と向かい合う辺(対辺)との交点が、対辺をその角をはさむ2つの辺の長さの比と等しい比に内分することを示す定理である。 文章: ブラーマグプタの公式 ブラーマグプタの公式は、7世紀にインドの数学者ブラーマグプタがヘロンの公式の一般化として得た定理である。ヘロンの公式は三角形の3辺の長さから三角形の面積を求める公式であるが、ブラーマグプタの公式は四角形の 4辺の長さから内接四角形の面積を求める公式である。ただし、 3辺の長さが等しい三角形同士は合同になることから、三角形は 3辺の長ささえ分かれば形が確定し面積が決まるが、四角形の場合は辺の長さだけが決まってもその形を決めることはできず面積は決まらない。したがって、ブラーマグプタの公式では円に内接する四角形であるという条件を付けることで四角形の面積を確定することになる。しかしながら、ブラーマグプタ自身は円に内接するという条件を明示していないため、不正確な公式としてのみ記録に残っている。 文章: 直角二等辺三角形 直角二等辺三角形は線対称な図形であり、対称軸は頂角の点から対辺(斜辺)に下ろした垂線である。頂角は直角なので、垂線によって二等分された角は、45°となる。このことから、この対称軸で直角二等辺三角形を二等分すると、その結果の二つの図形も直角二等辺三角形となることがわかる。したがって、この垂線の長さは、斜辺の長さの 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} となる。 ピタゴラスの定理より、隣辺の1辺の長さと斜辺の長さの比は、 1 : 2 {\displaystyle 1:{\sqrt {2}}} となることがわかる。隣辺の1辺の長さを x {\displaystyle {x}} とした場合、 x 2 2 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{2}}} で面積を求めることができる。また、斜辺の長さのみが分かっている場合でも、斜辺の長さを y {\displaystyle {y}} とし、 y 2 4 {\displaystyle {\frac {y^{2}}{4}}} で面積を求めることができる。したがって、直角二等辺三角形の場合、任意の1辺の長さが分かれば、面積を求めることができる。 また、底角は45°であるので、t = 45°として三角比に当てはめた場合、 文章: 頂垂線 (三角形) 初等幾何学における三角形の頂垂線または単に垂線は、その三角形のひとつの頂点からその対辺(この場合、その頂点に対する「底辺」と呼ぶ)を含む直線へ垂直に引いた線分を言う。この対辺を含む直線のことを、その頂点または頂垂線に対する「延長された底辺」(extended base) あるいは「底辺の延長(線)」と呼ぶ。(頂)垂線と底辺(の延長線)との交点は、(頂)垂線の足 (foot) と言う。頂垂線の「長さ」は、頂点と底辺(の延長線)との間の距離(すなわち、頂点とそこから引いた頂垂線の足との間の距離)を言う。頂点から頂垂線をその足まで描くことを、頂点から「垂線を降ろす」(dropping the altitude) と言い、それは直交射影の特別の場合である。 高さは三角形の面積の計算にも用いることができる: 三角形の面積は、底辺の長さと頂垂線の長さの積の半分に等しい。したがって、三角形の最長の頂垂線は最短辺に垂直である。また、頂垂線と各辺は三角函数を通じて関係している。 二等辺三角形(二つの合同な辺を持つ三角形)において、合同でない辺を底辺として持つ頂垂線は、その辺の中点を足に持つ。また合同でない辺を底辺とする頂垂線は、その頂角の二等分線である。 頂垂線またはその長さを表すのにしばしば文字 hに分割する。この頂垂線の長さを hc と書けば、 なる関係が成り立つ(幾何平均定理)。 鋭角三角形および直角三角形に対しては、すべての頂垂線の足は三角形の(延長線上でない)辺上に載っている。(一つの鈍角を含む)鈍角三角形においては、鈍角を持つ頂点からの垂線は対辺の内部に足を降ろすが、残りの鋭角を持つ二頂点からの垂線はそれぞれの対辺の延長線上(すなわち三角形の外)に足を降ろす。