クエリ: 2つの辺の長さが等しい三角形を二等辺三角形といいますが、3つの辺の長さが等しい三角形を何というでしょう?
文章: 正三角形 正三角形(せいさんかくけい、英: equilateral triangle)は、正多角形である三角形である。つまり、3本の辺の長さが全て等しい三角形である。3つの内角の大きさが全て等しい三角形と定義してもよい。1つの内角は 60°(π/3 rad)である。また一つの内角が60°である二等辺三角形は正三角形となる。
文章: ブラーマグプタの公式 ブラーマグプタの公式は、7世紀にインドの数学者ブラーマグプタがヘロンの公式の一般化として得た定理である。ヘロンの公式は三角形の3辺の長さから三角形の面積を求める公式であるが、ブラーマグプタの公式は四角形の 4辺の長さから内接四角形の面積を求める公式である。ただし、 3辺の長さが等しい三角形同士は合同になることから、三角形は 3辺の長ささえ分かれば形が確定し面積が決まるが、四角形の場合は辺の長さだけが決まってもその形を決めることはできず面積は決まらない。したがって、ブラーマグプタの公式では円に内接する四角形であるという条件を付けることで四角形の面積を確定することになる。しかしながら、ブラーマグプタ自身は円に内接するという条件を明示していないため、不正確な公式としてのみ記録に残っている。 文章: ケプラー三角形 ケプラー三角形は三辺の比が等比数列となっている直角三角形で、その公比は黄金比 φ {\displaystyle \phi } の平方根 φ {\displaystyle {\sqrt {\phi }}} であるような三角形のことである。つまりケプラー三角形の辺の比は 1 : φ : φ {\displaystyle 1:{\sqrt {\phi }}:\phi } 、おおよそ1 :1.272 :1.618である。したがって三角形の一辺を辺とした正方形も黄金比を公比とした等比数列になる。 このような比率の三角形は、ドイツの数学者で天文学者のヨハネス・ケプラー(15711630)にちなんで名付けられた。ケプラーは、この三角形の短辺と斜辺の比率が黄金比に等しいことを最初に発見した人物である。ケプラー三角形はピタゴラスの定理と黄金比という2つの重要な数学的概念を組み合わせており、次に示すようにケプラーを深く魅了した: また、ケプラー三角形に非常に近い寸法の三角形がギザの大ピラミッドにあるという主張もいくつか存在する。 文章: 半周長 角の二等分線の長さは以下の式で求めることができる。 直角三角形において、斜辺に接する傍接円の半径は半周長に等しい。また、半周長は外接円の半径の2倍と内接円の半径の和に等しい。直角三角形の直角を挟む2辺の長さを a, b とすると、面積は ( s - a ) ( s - b ) {\displaystyle (s-a)(s-b)} となる。 単位球において、3辺の長さが a, b, c である球面三角形の球過量 E はリュイリエの公式によって以下のように表すことができる。 文章: 力の平行四辺形 力の平行四辺形(ちからのへいこうしへんけい、英: parallelogram of force)は、物体に2つの力の加法によって得られる平行四辺形である。力の平行四辺形は、2つの力の合力を図示するためにしばしば用いられる。2つより多くの力のなす図形はもはや平行四辺形ではなくなるが、それらの合力がなす図として同様に平行四辺形を作図できる。例えば、図1では、F2 の始点が F1 の終点と一致するように F2 を移動させるのと、F1 の始点と F2 の終点を結ぶベクトルを正味の力とするのとでは同じ結果になる。3つのベクトル F1, F2, G の合力の場合も同様に、Fnet = F1 + F2 と G のなす平行四辺形として作図できる(結果は和の順序に依存しない)。 文章: 台形 台形を対角線の1本を境に分割すると2つの三角形になるがその三角形の面積比は上底と下底の長さの比に等しい。これは分割によって高さ(台形の場合は上底と下底の間の距離)の等しい三角形が2つできるためである。 台形を2本の対角線で分割すると4つの三角形になるが、台形の底辺を辺に持つ2つの三角形の面積比は上底と下底の長さの比の平方に等しい。これは分割によって相似な三角形ができるためである。また、台形の脚を辺に持つ2つの三角形の面積は互いに等しく、それらはともに、台形の底辺を辺に持つ2つの三角形の面積の相乗平均に等しい。 台形の面積 S の公式でよく知られているものは 文章: ヘロンの三角形 幾何学においてヘロンの三角形(ヘロンのさんかくけい)とは、3辺の長さと面積の全てが整数となる三角形である。この名称は、3辺の長さと面積を関連付けたアレクサンドリアのヘロンに由来している。広義には、3辺の長さと面積が全て有理数であるものも含まれる。 文章: 等脚台形 2本の対角線の長さは互いに等しく、対角線の交点Eと上底にある頂点B,Cまでの距離はともに等しい。下底にある頂点A,Dに対しても同様である。 また、三角形EABと三角形EDCは合同な図形となり、対角線の交点Eから台形の脚AB,CDまでの距離は等しい。 等脚台形は円に内接する。つまり4本の辺それぞれの垂直二等分線は一点で交わる。 正六角形を最も長い対角線を境に2つに分割すると4本の辺のうち3本の長さが等しい等脚台形が得られる。 文章: 黄金三角形 黄金三角形(おうごんさんかくけい)は、長い2辺と短い辺の長さの比 a b {\displaystyle {\frac {a}{b}}} が黄金比 φ = 1 + 5 2 {\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}} になっている二等辺三角形である。 黄金三角形は、大星型十二面体や小星型十二面体の展開図に現われる。また、対角線を引いた正五角形や正十角形の中にも見出すことができる。 黄金三角形の頂角の大きさは 文章: 直角三角形 直角三角形の斜辺を一辺とする正方形の面積と、直角をはさむ2辺をそれぞれ一辺とする正方形 2個の面積の和は等しい。すなわち、斜辺の長さを c、直角をはさむ2辺の長さをそれぞれ a, b とすると、それらの2乗について以下の等式が成り立つ: この定理は三平方の定理として知られている。 三平方の定理は逆も成り立つ。すなわち、上記の等式を満たす三角形は直角三角形に限られる。 文章: 半周長 三角形の cleaver(英語版)と呼ばれる線は、辺の中点を通り周を2等分する線である。即ち、cleaver で分割された周の2つの部分は共に半周長の長さを持つ。3つの cleaver は角の二等分線に平行であり、中点三角形の内心で交わる。この交点は、中空の三角形の重心である。 直線が周長を2等分するのは、その線が三角形の内心を通るときのみである。 三角形の半周長は、その中点三角形の周長に等しい。 文章: 三角不等式 ユークリッドは平面幾何における三角不等式を図のような構成を用いて証明した: 三角形 ABC に対して、一辺 BC を共有する二等辺三角形をもう一つの等辺 BD の足が辺 AB の延長上にあるように作る。すると角について β > α が言えるから、さらに辺について AD > AC も言える。しかし AD = AB + BD = AB + BC なのだから、辺の和について AB + BC > AC となる、ということがユークリッドの『原論』 I 巻の命題 20 に書かれている。 三角不等式は数学的帰納法により、任意の折線に関する命題に拡張することができる。すなわち、そのような折線の全ての辺の長さの和は、その折線の二端点を直線で結んだ長さよりも小さくなることはない。特にその帰結として、多角形のどんな長さの辺も残り全ての辺の長さの和より必ず小さいことが言える。 このように折線に対して一般化すれば、ユークリッド幾何において二点間を結ぶ最短曲線が直線であることが示せる。 文章: 南極定理 南極定理(なんきょくていり、独: Sdpolsatz)は、三角形に関する幾何学の定理である。その主張は、三辺の長さが相異なる三角形において、ある一辺の垂直二等分線と、その辺に対向する角の二等分線は、外接円上で交わるというものである。この交点は南極とも呼ばれる。対応する外角の二等分線もまた、垂直二等分線と外接円上で交わる。この交点を(南極とは逆に)北極とも呼ぶ。これら二つの命題をあわせて拡張南極定理と呼ぶ。 文章: 平行四辺形 例えは上記と同じく正四面体の交わる2つの面からなる四角形で、 その対角もぞれぞれ等しいが、やはり平行四辺形ではない。上記の2つとは違って、空間中でも平行四辺形になる。 上記の例えでは対角線はねじれ位置にあり、交わらないため、 この条件を満たす四角形は必ず平面四角形になるので、平行四辺形になる。 文章: 角の二等分線の定理 幾何学における角の二等分線の定理(かく の にとうぶんせん の ていり、英: Angle bisector theorem)は、三角形の1つの内角のニ等分線と、その角と向かい合う辺(対辺)との交点が、対辺をその角をはさむ2つの辺の長さの比と等しい比に内分することを示す定理である。 文章: 半周長 三角形の半周長は、その中点三角形の周長に等しい。三角不等式より、半周長は最も長い辺より長いことがわかる。この節の中では半周長を s で表す。三角形の面積を S とする。三角形の面積は、内接円の半径 r と半周長の積に等しい。三角形の面積は、三辺の長さを a, b, c としたときヘロンの公式によって以下のように表すことができる。外接円の半径 R は、半周長と3辺の長さを用いて以下のように表すことができる。この式は正弦定理から導くことができる。余接定理(英語版)は、半分の角度の余接(コタンジェント)を半周長と3辺の長さと内接円の半径から求める定理である。角の二等分線の長さは以下の式で求めることができる。直角三角形において、斜辺に接する傍接円の半径は半周長に等しい。また、半周長は外接円の半径の2倍と内接円の半径の和に等しい。