text:
Lou Diamond Phillips Movies & TV Shows
79 Lou Diamond Phillips Movies & TV Shows, Ranked Best to Worst
U.S. Naval Base Subic Bay, Philippines
Interface (1985)
La Bamba (1987)
Death Toll (2008)
Lou Diamond Phillips made his debut in the 1984 science fiction comedy-horror film 'Interface.' He played a small role in the film. He got his breakthrough role as 'Ritchie Valens' in the biographical drama film 'La Bamba' (1987). The film received a thumbs up from critics and went on to become a commercial success. The following year, he starred as 'Angel David Guzman' in the Ramón Menéndez-directed drama film 'Stand and Deliver.' Lou earned 'Independent Spirit Award' as well as a 'Golden Globe' nomination for his performance in the film.
Phillips continued to appear in a host of successful films in the following years, including 'Young Guns' (1988), 'Young Guns II' (1990), 'Courage Under Fire' (1996), and 'The Big Hit' (1998). The year 2001 saw the release of the action-horror film 'Route 666' where he played the lead role of 'Deputy U.S. Marshal Jack La Roca.'
Phillips went on to star in feature films like 'Che' (2008) and 'The 33' (2015), and TV movies like 'Murder at the Presidio' (2005) and 'The Night Stalker' (2016). He had recurring roles in many TV shows including 'Wolf Lake' (2001-02), 'Numb3rs' (2005-2010), and 'Stargate Universe' (2009-11). In 2019, he starred as 'Johnny Kane' in the Netflix film 'The Big Kill.' Phillips was last seen in the anime-influenced streaming television series 'Trese' (2021) where he voiced the character 'Mayor Sancho Santamaria.'
He made his Broadway debut in 1996 with the musical 'The King and I', in which his portrayal of King Mongkut of Siam received a nomination for a 'Tony Award'. In 2007, he played King Arthur for the touring troupe of Lerner and Loewe's 'Camelot'.
Phillips is all set to appear in the upcoming comedy film 'Easter Sunday' directed by Jay Chandrasekhar. He will also be seen in 'Guns 3: Alias Billy the Kid,' the third installment of the 'Young Guns' film franchise.
List of Lou Diamond Phillips Movies: Ranked Best To Worst
1. La Bamba (1987)
The biopic sketches the life of rock-n-roll star Ritchie Valens. From the humble conditions of a farm-working family in Pacoima, California, teenager Ritchie rose to become a rock-star. Ballad 'Donna,' which he wrote for girlfriend, brought him overnight success, but affected his relationship with half-brother, Bob Morales. Haunted by recurrent nightmares of plane-crash, it became a tragic reality for the young star in 1959.
Joe Pantoliano, Esai Morales, Rosanna DeSoto, Elizabeth Peña, Danielle von Zerneck
Luis Valdez
2. Stand and Deliver (1988)
Jaime is a teacher at a high school in Los Angeles, who is being hassled by some of his students and also pressured by some of his bosses, who want to take control of his classroom. Problems arise when although his students ace the calculus test, their scores are questioned and they are asked to retake the exam.
Edward James Olmos, Estelle Harris, Mark Phelan, Virginia Paris
Ramón Menéndez
3. Disorganized Crime (1989)
Ray Forgy
Hoyt Axton, Corbin Bernsen, Rubén Blades, Fred Gwynne
Jim Kouf
4. Young Guns (1988)
When John Tunstall, the distinguished British gentleman and cattle rancher in New Mexico, is gunned down by his competitor Lawrence Murphy, the young and wayward gunmen he had hired to work in his ranch, decide to take revenge. Based on a true story, the film retells the adventures of Billy the Kid, who leads the group to avenge their mentor.
'Jose' Chavez y Chavez
Emilio Estevez, Kiefer Sutherland, Charlie Sheen, Dermot Mulroney, Patrick Wayne, Jack Palance, Brian Keith
Christopher Cain
5. The 33 (2015)
The 33 is a disaster survival drama film, which tells the story of thirty three workers who struggle to survive after a disaster strikes a copper and gold mine, and they are trapped underneath rocks. Meanwhile, the members of a rescue team make their best efforts to rescue them.
Don Lucho
Antonio Banderas, Kate del Castillo, Gabriel Byrne, James Brolin, Juliette Binoche, Cote de Pablo, Rodrigo Santoro
Patricia Riggen
6. Courage Under Fire (1996)
Courage Under Fire is a mystery war drama film, which tells the story of a US Army Officer, who is still dejected about a mistake he made during the Desert Storm incident. Now he has to investigate a female chopper commander, to find out whether she is worthy of the Medal of Honor.
Monfriez
Denzel Washington, Meg Ryan, Sean Astin, Michael Moriarty, Matt Damon
Edward Zwick
7. Aquaman (2006)
Ving Rhames, Justin Hartley, Denise Quiñones, Rick Peters
Greg Beeman
8. Che: Part Two (2008)
This biographical drama film, revolves around the life of Ernesto Guevara, popularly known as Che, who leads a small partisan army to fight an ill-fated revolutionary guerilla war in Bolivia, South America.
Benicio Del Toro, Matt Damon, Demián Bichir, Rodrigo Santoro, Catalina Sandino Moreno
9. Stark Raving Mad (2002)
In order to take revenge on the crime boss who had killed his brother, a man joins a crime syndicate and is soon tasked with stealing a revered ancient Chinese statue. For the job, he hires three bank robbers.
Seann William Scott, Timm Sharp, Patrick Breen, John B. Crye
Drew Daywalt, David Schneider
10. Love Takes Wing (2009)
Ray Russell
Haylie Duff, Patrick Duffy, Cloris Leachman, Sarah Jones, Jordan Bridges
Lou Diamond Phillips
11. Route 666 (2001)
Jack La Roca
Sven-Ole Thorsen, Lori Petty, Steven Williams, L.Q. Jones, Dale Midkiff
William Wesley
12. Young Guns II (1990)
An elderly man approaches Charles Phalen, an attorney, and claims that he is the famous outlaw named Billy the Kid. He also explains why and how a bounty was put on his head.
Jon Bon Jovi, Christian Slater, Viggo Mortensen, James Coburn, Alan Ruck, Kiefer Sutherland, Emilio Estevez
Geoff Murphy
13. Brokedown Palace (1999)
In order to celebrate their high-school graduation, two friends, Alice and Darlene, take a trip to Thailand. But their lives turn upside down when they get arrested for smuggling.
Roy Knox
Paul Walker, Claire Danes, Kate Beckinsale, Bill Pullman, Jacqueline Kim
14. Fingerprints (2006)
Leah Pipes, Kristin Cavallari, Josh Henderson, Andrew Lawrence
Harry Basil
15. The Big Hit (1998)
Melvin Smiley is a socially anxious hitman, who is known to be one of the best in his field. His loyalties are put to the test when he starts developing feelings for Keiko Nishi, a young woman whom he has kidnapped. He is also unaware of the fact that she is the goddaughter of a mob boss.
Mark Wahlberg, Christina Applegate, Avery Brooks, Bokeem Woodbine
Kirk Wong
16. Sky (2015)
Norman Reedus, Joshua Jackson, Diane Kruger, Q'orianka Kilcher, Gilles Lellouche, Lena Dunham
Fabienne Berthaud
17. Red Water (2003)
John Sanders
Kristy Swanson, Coolio, Jaimz Woolvett, Rob Boltin
Charles Robert Carner
18. The First Power (1990)
Russell Logan
Tracy Griffith, Jeff Kober, Mykelti Williamson, Elizabeth Arlen
Robert Resnikoff
19. Bats (1999)
Sheriff Emmett Kimsey
Dina Meyer, Bob Gunton, Leon, Carlos Jacott
Louis Morneau
20. A Better Way to Die (2000)
Natasha Henstridge, Andre Braugher, Joe Pantoliano, Scott Wiper, Jack Conley, Carmen Argenziano, Richard Haje
21. Renegades (1989)
Hank Storm
Kiefer Sutherland, Jami Gertz, Robert Knepper, Bill Smitrovich
22. Hollywood Homicide (2003)
Sergeant Joe Gavilan and KC Calden are homicide detectives and partners in LAPD's Hollywood Division. The story follows them juggling their side jobs with the murder investigation of four members of a rap group. The action-comedy film is based on the real-life experiences of its writer Robert Souza.
Keith David, Harrison Ford, Jennette McCurdy, Bruce Greenwood, Anthony Mackie, Martin Landau, Eric Idle
Ron Shelton
23. Adverse (2021)
Dr. Cruz
Jake T. Austin, Mickey Rourke, Sean Astin
24. Supernova (2000)
This science fiction horror film tells the story of a medical and recovery spaceship in outer space which receives a distress call from light years away. However, going there might lead them to a black hole that may destroy both the ships.
Yerzy Penalosa
James Spader, Angela Bassett, Peter Facinelli, Robert Forster
25. Picking Up the Pieces (2000)
David Schwimmer, Fran Drescher, Joseph Gordon-Levitt, Sharon Stone, Woody Allen, Kiefer Sutherland, Maria Grazia Cucinotta
26. Sanitarium (2013)
James Silo
Robert Englund, Malcolm McDowell, Lacey Chabert, David Mazouz, John Glover
Bryan Ortiz, Bryan Ramirez, Kerry Valderrama
27. Carny (2009)
A.C. Peterson, Vlasta Vrana, Dominic Cuzzocrea, Simone-Élise Girard
Sheldon Wilson
28. Absolon (2003)
Agent Walters
Kelly Brook, Christopher Lambert, Ron Perlman, Roberta Angelica
David De Bartolome
29. Metal Tornado (2011)
Michael Edwards
Nicole de Boer, Greg Evigan, Stephen MacDonald, John Maclaren
Gordon Yang
30. The Night Stalker (2016)
Bellamy Young, Jennifer Lafleur, Louis Herthum, Annalisa Cochrane
Megan Griffiths
31. Quest (2017)
Lakeith Stanfield, Dash Mihok, Betsy Brandt, Marlyne Barrett
Santiago Rizzo
32. Lucy in the Sky with Diamond (2012)
LDP
John Patrick Jordan, Brian Thomas Smith, Marlana Carter, Lauren Marini
Joey Boukadakis
33. Sci Fi Inside: 'The Triangle' (2005)
Meeno Paloma
Sam Neill, Catherine Bell, Sean Cameron Michael
34. Backyards & Bullets (2007)
Abigail Spencer, Billy Burke, Joey King, Kai Caster
Charles McDougall
35. The Wisdom to Know the Difference (2014)
Daniel Baldwin, William Baldwin, Mayra Leal, Burton Gilliam
36. Wind in the Wire (1993)
Denver Pyle, Chuck Norris, Burt Reynolds, Charles Nelson Reilly, Melanie Chartoff, Dale Robertson
Jim Shea
37. Sequoia (2014)
Demetri Martin, Aly Michalka, Dustin Milligan, Joey Lauren Adams, Corbin Frost
Andy Landen
38. The Three Kings (1987)
Charles Nelson Reilly, Jane Kaczmarek, Tori Spelling, Tiana Alexandra, Art LaFleur, Aaron Mendelsohn
Mel Damski
39. Dangerous Touch (1994)
Kate Vernon, Robert Prentiss, Bill Allen, Greg Stone
40. Gone But Not Forgotten (2005)
Alan Page
Marilu Henner, Brooke Shields, Scott Glenn, Robin Riker
Armand Mastroianni
41. In a Class of His Own (1999)
Ricardo 'Rich' Donato
Lee Jay Bamberry, Lenno Britos, A.J. Buckley, Cara Buono
Robert Munic
42. The Trail to Hope Rose (2004)
Keenan Deerfield
Lee Majors, Ernest Borgnine, Richard Tyson, Marina Black
David S. Cass Sr
43. Override (1994)
Erika Alexander, Juanita Jennings, Kasi Lemmons, Emily Lloyd,
44. Malevolent (2002)
Jack Lucas
Edoardo Ballerini, Kari Wuhrer, Gwen McGee, Carmen Argenziano
John Terlesky
45. Avenge the Crows (2017)
Danny Trejo, Steven Bauer, Emilio Rivera, Danay Garcia
Nathan Gabaeff
46. Shadow of the Wolf (1992)
Jennifer Tilly, Donald Sutherland, Toshiro Mifune, Toshirô Mifune, Bernard-Pierre Donnadieu
Jacques Dorfmann, Pierre Magny
47. Sioux City (1994)
Jesse Rainfeather Goldman
Salli Richardson-Whitfield, Melinda Dillon, Lise Cutter, Bill Allen
48. Filly Brown (2012)
Jose Tonorio
Gina Rodriguez, Edward James Olmos, Khool-Aid Rios, Jenni Rivera, Lala Romero
Youssef Delara, Michael D. Olmos
49. Extreme Justice (1993)
Jeff Powers
Scott Glenn, Chelsea Field, Yaphet Kotto, Andrew Divoff
Mark L. Lester
50. Lone Hero (2002)
Sean Patrick Flanery, Robert Forster, Tanya Allen, Mark Metcalf
Ken Sanzel
51. The Dark Wind (1991)
Lance Baker, Betty C. Barlow, Gary Basaraba, Billy Beck
52. Murder at the Presidio (2005)
CWO James Chandler
Jason Priestley, Victoria Pratt, Martin Cummins, Eugene Clark, Kim Hawthorne
John Fasano
53. Cop and a Half: New Recruit (2017)
Detective Simmons
Lulu Wilson, Janet Kidder, Michael Coleman, Giles Panton
Jonathan A. Rosenbaum
54. A Show of Force (1990)
Jesus Fuentes
Amy Irving, Robert Duvall, Erik Estrada, Kevin Spacey, Andy Garcia
Bruno Barreto
55. El Cortez (2006)
Manny DeSilva
Bruce Weitz, Glenn Plummer, Tracy Middendorf, James McDaniel
Stephen Purvis
56. Hangman (2001)
Detective Nick Roos
Mädchen Amick, Mark Wilson, Vince Corazza, Robert Haley
Ken Girotti
57. Undertow (1996)
Jack Ketchum
Mia Sara, Charles Dance
Eric Red
58. Lone Rider (2008)
Bobby Hattaway
Stacy Keach, Vincent Spano, Marta DuBois, Terry Maratos
59. The Wharf Rat (1995)
Petey Martin
Rita Moreno, Rachel Ticotin, Judge Reinhold, Scott Cohen
Jimmy Huston
60. Criminal Behavior (2011)
Lt. Henry Enriquez
Jamie-Lynn Sigler, Jennifer Sun Bell, Josh Braaten, Sharon Conley
Tim Matheson
61. Boulevard (1994)
Rae Dawn Chong, Kari Wuhrer, Lance Henriksen, Joel Bissonnette
Penelope Buitenhuis
62. Angel and the Bad Man (2009)
Quirt Evans
Luke Perry, Deborah Kara Unger, Terence Kelly, Merrilyn Gann
Terry Ingram
63. Demon Wind (1990)
Eric Larson, Francine Lapensée, Rufus Norris, Jack Vogel
Charles Philip Moore
64. Knight Club (2001)
Lochlyn Munro, Glenn Plummer, Ed Lauter, Demetrius Navarro
Russell Gannon
65. Trespasses (1986)
Robert Kuhn, Van Brooks, Mary Pillot, Adam Roarke
Loren Bivens, Adam Roarke
66. Transparency (2010)
Estella Warren, Deborah Kara Unger, Aaron Pearl, Jordana Largy
Raul Inglis
67. Arduous Moon (1990)
Miguel Ferrer, Ellen DeGeneres, Dermot Mulroney, Joe Pantoliano, Sherman Allen, Diedrich Bader
Julie Cypher
68. Ambition (1991)
Mitchell Osgood
Clancy Brown, Cecilia Peck, Richard Bradford, Willard E. Pugh
Scott D. Goldstein
69. Dakota (1988)
John Dakota
DeeDee Norton, Herta Ware, Eli Cummins, Jordan Burton
Fred Holmes
70. Harley (1991)
Eli Cummins, Jan DeWitt, Kim Valentine, Chad Sheets
71. Teresa's Tattoo (1994)
Tippi Hedren, Nanette Fabray, Majel Barrett, Mare Winningham, Nancy McKeon, Kiefer Sutherland, Sean Astin
72. Termination Point (2007)
Dr. Daniel Winter
Jason Priestley, Garwin Sanford, Gary Hudson, Stefanie von Pfetten
73. Never Forget (2008)
Frank Hill
Kris Holden-Ried, Sarah Manninen, Jonathan Whittaker, James Byron
Leo Scherman
74. The Invited (2010)
Pam Grier, Carlos Alazraqui, Ellen Albertini Dow, Dana Barron
Ryan McKinney
75. Naked Movie (2002)
Tori Spelling, Danica McKellar, Sam Henry Kass, Peter McAlevey, Idalis DeLeon, Michael Badalucco
Sam Henry Kass
76. Striking Range (2006)
Eugene "Vash" Vasher
Troy Baker, Yancy Butler, Tom Wright, Glenn Morshower, Scarlett McAlister
Daniel Millican
77. Interface (1985)
John S. Davies, Lauren Lane, Matthew Sacks, Michael Hendrix
78. Alien Express (2005)
Vic Holden
Todd Bridges, Sean Bott, Steven Brand, Steffanie Busey
Turi Meyer
79. Death Toll (2008)
Mayor Padial
DMX, Keshia Knight Pulliam, Leila Arcieri, Alec Rayme
Love Takes Wing (2009)
Sioux City (1994)
Dangerous Touch (1994)
Stephen Merchant, Bobby Cannavale, Bob Odenkirk, Johnny Galecki, Donald Faison, Jason Alexander, Missi Pyle
Adventures from the Book of Virtues
John Forsythe, Scott Bakula, Mark Harmon, Ed Asner, Jennifer Jason Leigh, Dean Cain, Charlton Heston
Joanna Romersa, Walt Kubiak
Happily Ever After: Fairy Tales for Every Child
Whoopi Goldberg, Jimmy Smits, Will Smith, Dave Chappelle, Rosie Perez, James Earl Jones, Wesley Snipes
Vincent Waller, Anthony Bell, Bruce W. Smith, Ed Bell
Kids' Ten Commandments: A Life and Seth Situation (2003)
Natha (voice)
Paul Winfield, Peter Strauss, Jodi Benson, Jesse Corti
Ken C. Johnson, Richard Rich
Mario Lopez, Chris Parnell, George Takei, Ariel Winter, Odette Annable, Tyler Posey, Jane Fonda
The Aquabats! Super Show!
Rhys Darby, Tony Hawk, Christian Jacobs, James Briggs, Richard Falomir, Ian Fowles
Jason deVilliers, Matt Chapman, Julianne Eggold, Luke Johnson
Wood Harris, Stephanie Beatriz, Laz Alonso, Lucy Liu, Page Kennedy, Chad Michael Murray, Michael Cudlitz
Christopher Chulack, Nelson McCormick, James M. Muro, Félix Enríquez Alcalá, Allison Anders
Kevin Dillon, Paul Wesley, Kal Penn, Leighton Meester, Connie Britton, Sara Gilbert, Jean Smart
Jon Cassar, Brad Turner, Milan Cheylov, Bryan Spicer, Stephen Hopkins
Val Edward Kilmer, Sarah Shahi, Carl Weathers, Jeffrey Tambor, Mira Sorvino, Bruce Campbell, Christine Baranski
Henry Standing Bear
Peter Stormare, Katee Sackhoff, Gina Rodriguez, Robert Taylor, Cassidy Freeman, Adam Bartley
James M. Muro, Christopher Chulack, Michael Offer, T.J. Scott, Peter Weller
Swoosie Kurtz, Carrie-Anne Moss, Bo Derek, Steve Austin, Michael Clarke Duncan, Kristin Kreuk, Armand Assante
Robert Duncan McNeill, Allan Kroeker, Patrick R. Norris, Peter Lauer, Jay Chandrasekhar
Wayne Knight, Kate Mulgrew, Kyle MacLachlan, Brian Dennehy, Richard Belzer, Charles Grodin, Angie Everhart
Samira Wiley, Henry Rollins, Chris Geere, Aya Cash, Desmin Borges, Kether Donohue
Wendey Stanzler, Alex Hardcastle, Stephen Falk, Matt Shakman, Jordan Vogt-Roberts
The General Motors Playwrights Theater
Patrick Dempsey, Jane Seymour, Teri Garr, Lauren Bacall, Elisabeth Shue, Anne Meara, Jean Stapleton
Burt Brinckerhoff, David Shaughnessy
John Lithgow, Dan Aykroyd, Hank Azaria, Priscilla Presley, Sam Waterston, Arnold Schwarzenegger, Andrew McCarthy
Michael J. Fox, Arnold Schwarzenegger, Tom Hanks, Bob Hoskins
Logan Lerman, Ed Begley Jr., Shailene Woodley, Tom Cavanagh, Amber Heard, Norman Lear, Neil Patrick Harris
David Petrarca, Perry Lang, Michael Schultz, Peter Markle, David Nutter
Michael Jackson: Liberian Girl (1989)
Brigitte Nielsen, Danny Glover, Richard Dreyfuss, Olivia Newton-John, Olivia Hussey, Steven Spielberg, John Travolta
James Yukich
The Outer Limits
John Amos, David McCallum, Jack Klugman, Alyssa Milano, Bonnie Bedelia, Josh Brolin, Victor Garber
Patrick Swayze, George Dzundza, Travis Fimmel, Lindsay Pulsipher, Kevin J. O'Connor
Michael Dinner
SGU Stargate Universe
Victor Garber, Robert Carlyle, Louis Ferreira, Brian J. Smith, Elyse Levesque
Andy Mikita, William Waring, Peter DeLuise, Alex Chapple, Robert C. Cooper
The Crossroads of History
Felicia Day, Wayne Knight, Elizabeth Shapiro, James Crosby
Marko Slavnic, Jack Bishop, Adam Brodie, Dave Derewlany, Justin Nijm
Liam Neeson, Phil Collins, Gary Cole, Isaac Hayes, Annette Bening, Julia Roberts, Sheena Easton
Don Johnson, Edward James Olmos
Night Visions
Justin Chatwin, Aidan Quinn, Randy Quaid, Stephen Baldwin, Amanda Plummer, Natasha Lyonne, Bill Pullman
Bill Pullman, Brian Dennehy
Imagine Dragons: Radioactive (2012)
Ringleader
Alexandra Daddario, Sandra Ambrose, Kyle Dean, Ben McKee
Missy Peregrym, Aisha Tyler, Charlie Murphy, DJ Qualls, Nathan Kress, Tom Arnold, Craig T. Nelson
Bryan Spicer, Larry Teng, Joe Dante, Steve Boyum, Jerry Levine
Debra Winger, Sam Elliott, Thomas F. Wilson, Debra Jo Rupp, Ashton Kutcher, John Amos, Danny Masterson
David Trainer
John Kanin / ...
Mary Elizabeth Winstead, Paul Wesley, Tim Matheson, Graham Greene
Joe Chappelle
Ronda Rousey, Sullivan Stapleton, Archie Panjabi, Daniel Lissing, Jaimie Alexander, Rob Brown
Rob Seidenglanz, Marcos Siega, Jeff King, David McWhirter, Mark Pellington
Frankie Muniz, Woody Harrelson, Farrah Fawcett, Kim Dickens, Stephen Colbert, Jon Stewart, Lana Parrilla
Andy Cadiff, Ted Wass, Lee Shallat Chemel, Carl Lauten
Brian Austin Green, Rita Moreno, Mario Lopez, Ruth Livier, Nicholas Gonzalez, Daniel Zacapa, Marisol Nichols
John Behring, Jesús Salvador Treviño, Nancy Malone, Norberto Barba, Jeremy Kagan
Jeremy Piven, Elizabeth Berkley, Katherine Heigl, Patrick Warburton, Jeremy Sisto, Jason Bateman, Jessica Simpson
John T. Kretchmer, Brad Turner, Allan Kroeker, Jerry Levine, Bob Balaban
Jason Ritter, Jemaine Clement, Chelsea Peretti, Jack Black, Joss Whedon, Cedric the Entertainer, Ben Stiller
Jeremy Konner
The Handler
Jeffrey Dean Morgan, Mahershala Ali, Stana Katic, Francesco Quinn, Joe Pantoliano, Rita Moreno, Anna Belknap
Stephen Surjik, Jean de Segonzac, Mick Jackson, Jeremy Kagan
Barbara Bel Geddes, Christine Taylor, Mel Ferrer, George Harris Kennedy, Jr, Chazz Palminteri, Donna Reed, Lois Chiles
Larry Hagman, Patrick Duffy
Aaron Stanford, Dianna Agron, Jon Bernthal, Josh Gad, Sarah Wayne Callies, Patrick J. Adams, Sarah Rafferty
Emilio Estevez, Tony Scott
Richard Lewis, Jim Belushi, Ashley Tisdale, Nick Offerman, Jason Connery, Tommy Chong, Hilary Duff
Joe Regalbuto, John Pasquin, Bob Koherr, Victor Gonzalez, Gerry Cohen
Cyndi Lauper, Molly Shannon, Ralph Macchio, Rosie O'Donnell, Keenen Ivory Wayans, Robert Wagner, Florence Henderson
Lee Shallat Chemel, Peter Marc Jacobson, Joe Regalbuto, Rob Schiller, Bob Koherr
Eric Stoltz, Sam Neill, Catherine Bell, Bruce Davison, Michael E. Rodgers
Craig R. Baxley
Julie Benz, Tom Berenger, Bill Paxton, Katrina Law, Thomas F. Wilson, Justin Cornwell, Drew Van Acker
Steven A. Adelson, Matt Earl Beesley, Danny Cannon, Milan Cheylov, Anton Cropper
Danny Glover, Blair Underwood, Kenneth Choi, Brent Sexton, Pablo Schreiber
Stephen Gyllenhaal, Rod Holcomb, Peter Horton, Oz Scott, Alex Zakrzewski
Hourglass (1995)
Cop (uncredited)
Carrot Top, Ed Begley Jr., Kiefer Sutherland, C. Thomas Howell, Sofia Shinas, Anthony Clark, Colette O'Connell
Laws of Chance
Viola Davis, Troy Baker, Babette Ami, Charles Assiff, Reginald L. Barnes
Another Day in Paradise (1998)
Bobbie and his girlfriend are both addicted to drugs, and they team up to commit various drug related crimes in order to have enough funds to support their lifestyle. However, their lives take a turn when they get involved in a murder.
Jewels (uncredited)
Melanie Griffith, James Woods, Vincent Kartheiser, Natasha Gregson Wagner, James Otis
Time Bomb (1984)
Terrorist (uncredited)
Billy Dee Williams, Joseph Bottoms, Merlin Olsen, Morgan Fairchild
Paul Krasny


text:
\subsection*{Einleitung}
Außer den verschiedenen Rechenarten, die im allgemeinen in der Zahlentheorie zu behandelt werden pflegen und quasi den praktischen Teil dieser Disziplin festsetzen, ist der theoretische Teil derselben, der sich mit dem Untersuchen der Natur der Zahlen beschäftigt, schon einst begonnen worden nicht weniger behandelt zu werden, wie sich aus Euklid und Diophant einsehen lässt, wo man außerordentliche Eigenschaften der Zahlen entdeckt und bewiesen vorfindet. Je mehr aber darauf die Mathematiker die Gestalt und die Beschaffenheit der Zahlen untersucht haben, haben sie um Vieles mehr Eigenschaften derer beobachtet, woher sie die schönsten Theoreme, die die Natur der Zahlen aufzeigen, berechnet haben, die teils durch Beweise untermauert worden sind, teils diese immer noch brauchen, weil sie entweder von den Autoren nicht gefunden worden sind oder mit der Zeit verloren gegangen sind; auf diese Art tauchen verstreut viele zahlentheoretische Theoreme dieser Art auf, deren Beweise man noch heute ersehnt, auch wenn sich deren Gültigkeit nicht in Zweifel ziehen lässt. Und hier müssen wir einen riesigen Unterschied, welcher zwischen zahlentheoretischen und geometrischen Theoremen einhergeht, nicht wenig bewundern, weil kaum irgendeine Proposition hervorgebracht werden kann, die nicht klar ist, entweder Wahres oder Falsches zu zeigen, während dagegen viele Propositionen über die Natur der Zahlentheorie bekannt sind, deren Gültigkeit sich von uns erkennen lässt, aber sich in kleinster Weise beweisen lässt. Man hat eine große Menge von Theoremen dieser Art, die von Fermat hinterlassen wurde, deren Beweise er versicherte zum größten Teil gefunden zu haben, welche zum außerordentlichen Verlust für diese Wissenschaft zu bedauern sind, mit seinen verloren gegangen zu sein. Wie viele Beweise solcher Theoreme aber entweder bekannt sind oder wiederentdeckt sind, wird sich bei diesen gewiss um vieles größere Kraft des Geistes zeigen, die wir kaum bei irgendeiner anderen Art von Beweisen entdecken; daher ist bei dieser Aufgabe nicht so sehr die Nützlichkeit, durch die Wissenschaft der Zahlen illustriert wird, zu schätzen, wie die größte Freiheit, durch die die Beweise dieser Art sich in Bezug auf andere unterscheiden. Und deswegen, weil ich schon öfter, als es den Meisten als angemessen erscheinen kann, in diesem Gebiet gearbeitet habe, glaube ich für meine Person, die Arbeit nicht verschwendet zu haben und glaube auch jetzt nicht, dass die Theoreme, die ich hier vorlege, frei von Nutzen sind. Besonders bemerkenswert schien jenes Theorem von Fermat, in welchem er versichert, dass in dieser Formel $a^{p-1} - 1$ enthaltenen Zahlen immer durch die Zahl $p$ teilbar sind, wenn sie natürlich prim war und auch $a$ trotzdem durch sie keine Teilung zulässt, von welchem Theorem ich schon zwei Beweise gegeben habe. Nun betrachte ich selbiges, aber in weiterem Sinne und untersuche es in der Art, wenn der Teiler keine Primzahl war, sondern irgendeine Zahl $N$, ein Exponent von welcher Art der Potenz zugeteilt werden muss, dass der Ausdruck $a^n - 1$ immer durch die Zahl $N$  teilbar ist, während die Zahl $a$ mit ihr keinen gemeinsamen Teiler hat. Ich habe aber entdeckt, dass dies immer passiert, sooft der Exponent $n$ gleich der Menge der Teiler der Zahlen kleiner als $N$ war, die zu $N$ prim sind. Um das also zu beweisen, braucht man vor allem Theoreme solcher Art, aus denen für irgendeine vorgelegte Zahl $N$ erkannt werden kann, wie viele unter den Zahlen kleiner als sie selbst zu ihr prim sein werden, oder die mit ihr keinen gemeinsamen Teiler haben; diese Theoreme scheinen nun selbst einen weiteren Nutzen zu haben und zu anderen verborgeneren Eigenschaften der Zahlen einen Zugang zu verschaffen. Nachdem diese Dinge vorausgeschickt worden sind, ist der Beweis der vorgelegten Wahrheit deart beschaffen, dass er größerer Aufmerksamkeit nicht unwürdig sein wird.
\section*{Theorem 1}
\paragraph{§1}
Wenn die Terme einer arithmetischen Progression, deren Differenz eine zu $n$ prime Zahl sei, durch irgendeine Zahl $n$ geteilt wurden, werden unter den Resten alle Zahlen kleiner als die Zahl $n$ auftauchen.
\subsection*{Beweis}
Es sei der erste Term der arithmetischen Progression gleich $a$ und die Differenz gleich $d$, die eine zu $n$ prime Zahl sei oder die mit der Zahl $n$ keinen gemeinsamen Teiler außer der Einheit habe, sodass die arithmetische Progression
\[
	a,\quad a+d,\quad a+2d,\quad a+3d,\quad a+4d,\quad a+5d,\quad \text{etc}
\]
sein wird, und ich sage, wenn die einzelnen Terme durch die Zahl $n$ geteilt werden, dass unter den Resten alle Zahlen kleiner als $n$ auftauchten. Um das zu zeigen, wird es genügen, nur die $n$ Terme dieser Progression betrachtet zu haben, die
\[
	a,\quad a+d,\quad a+2d,\quad a+3d,\quad \dots \quad a+(n-1)d
\]
sind. Wenn daher also diese einzelnen Terme durch $n$ geteilt werden, müssen alle Reste zueinander verschieden sein. Wenn nämlich zwei Terme, z.\,B. $a + \mu d$ und $a + \nu d$, während $\mu$ und $\nu$ Zahlen kleiner als $n$ selbst sind, diese durch $n$ geteilt gleiche Reste liefern würden, würde deren Differenz $(\nu - \mu )d$ jedenfalls durch $n$ teilbar sein. Weil aber die Zahlen $d$ und $n$ keinen gemeinsamen Teiler haben, ist es notwendig, dass $(\nu - \mu )$ eine Teilung durch $n$ zuließen. Weil daher all jene Reste verschieden sind und ja die Anzahl der Terme von der Zahl her gleich $n$ ist, werden bei diesen natürlich alle Zahlen kleiner als $n$ auftauchten, natürlich
\[
	0,\quad 1,\quad 2,\quad 3,\quad 4,\quad 5,\quad \dots\quad  n-1,
\]
wenn freilich die Differenz der Progression $d$ eine zum vorgelegten Teiler $n$ prime Zahl ist.

\hfill\textsc{Q.E.D.}
\subsection*{Korollar 1}
\paragraph{§2}
Unter diesen Termen dieser arithmetischen Progression, deren Anzahl $n$ ist, solange seine Differenz eine zu $n$ prime Zahl ist, wird man also gewiss eine finden, die durch $n$ teilbar ist; dann aber wird auch eine da sein, die durch $n$ geteilt einen gegebenen Rest $r$ zurücklassen wird.
\subsection*{Korollar 2}
\paragraph*{§3}
Wenn also die Zahl $d$ zu $n$ prim war, kann immer eine Zahl dieser Zahl dieser Form $a + \nu d$ beschafft werden, während $a$ irgendeine Zahl ist und $\nu$ kleiner als $n$ ist, die durch die Zahl $n$ teilbar ist, und es wird auch unter denselben Bedingungen immer eine solche Zahl $a+rd$ gegeben sein, die durch $n$ geteilt einen gegebenen Rest $r$ lassen wird.
\subsection*{Korollar 3}
\paragraph{§4}
Nachdem also Zahlen $a$ und $d$ gegeben worden sind, von denen diese $d$ zu $n$ prim sei, lassen sich immer Zahlen $\mu$ und $\nu$ finden, dass dieser Gleichung
\[
	a + \nu d = \mu n
\]
oder auch dieser
\[
	a + rd = \mu n + r
\]
genügt wird, was für eine Zahl kleiner als $n$ für $r$ auch immer angenommen wird.
\subsection*{Bemerkung}
\paragraph{§5}
Was wir über die Anzahl $n$ der Terme der arithmetischen Progression bewiesen haben, gilt auch über die ganze Progression ins Unendliche fortgesetzt; die Terme, die nach jenen $n$ Termen folgen, erzeugen nämlich in derselben Reihenfolge die Reste, wenn sie durch $n$ geteilt werden. So stimmen die Reste der Terme, die nach $a + (n-1)d$ folgen und $a+nd$, $a+(n+1)d$, $a+(n+2)d$, etc sind, durch $n$ geteilt mit den Resten überein, die aus den anfänglichen Termen $a$, $a+d$, $a+2d$, etc entstehen. Und wenn die ganze Reihe in unendlich viele Perioden aufgeteilt werden, indem man irgendeiner $n$ Terme auf diese Weise zuteilt
\[
	a, \quad a+d, \dots, a+(n-1)d | a+nd, \dots, a+(2n-1)d | a+2nd, \dots, a+(3n-1)d | \dots
\]
werden die Terme einer beliebigen Periode dieselben Reste, in derselben Reihenfolge geordnet, liefern; die ersten und zweiten und dritten Terme aller Perioden werden nämlich gleich bleiben die gleichen Reste geben. Wenn wir daher die Art der Reste erkennen wollen, genügt es, eine einzige Periode untersucht zu haben.
\section*{Theorem 2}
\paragraph{§6}
In einer arithmetischen Progression, deren Anzahl an Termen gleich $n$ ist, werden so viele Terme zur Zahl $n$ prim sein, wie unter den Zahlen kleiner als $n$ selbst prime zu $n$ gegeben sind, solange die Differenz der Progression zu $n$ prim war.
\subsection*{Beweis}
Es sei nämlich $a$ der erste Term und $d$ die Differenz der Progression, die zu $n$ prim sei, und daher ist die Progression, die $n$ Terme enthält,
\[
	a,\quad a+d,\quad a+2d,\quad a+3d,\quad \dots \quad a +(n-1)d.
\]
Weil ja also, wenn diese Terme durch $n$ geteilt werden, natürlich alle Reste der Zahl kleiner als $n$ selbst auftauchen, wollen wir setzen, dass aus irgendeinem Term $a+\nu d$ der Rest $r$ resultiert und es ist klar, wenn $r$ eine zu $n$ prime Zahl war, dass auch jener Term $a + \nu d$ zu $n$ prim sein wird; wenn aber $r$ mit $n$ einen gemeinsamen Teiler hat, wird selbiger auch gemeinsamer Teiler der Zahlen $n$ und $a+\nu d$ sein. Wie viele Zahlen daher unter den Zahlen kleiner als $n$ prim zu $n$ waren, man wird genauso viele zu $n$ prime Zahlen unter den Termen der vorgelegten arithmetischen Progression haben.

\hfill\textsc{Q.E.D.}
\subsection*{Korollar 1}
\paragraph{§7}
Wenn $n$ eine Primzahl war, weil alle Zahlen kleiner al selbige zu dieser auch prim sind, deren Anzahl also gleich $n-1$ ist, werden auch in jener arithmetischen Progression alle Terme aus einem einzigen zu $n$ prim sein, weil ja ein einziger durch $n$ teilbar ist.
\subsection*{Korollar 2}
\paragraph{§8}
Wenn aber $n$ eine zusammengesetzte Zahl war, sind zwischen den Zahlen kleiner als selbige solche gegeben, die mit ihr einen gemeinsamen Teiler haben, und man wird in der Tat auch so viele in der arithmetischen Progression finden, bei denen dieselben gemeinsamen Teiler mit $n$ übereinstimmen.
\subsection*{Korollar 3}
\paragraph{§9}
Wenn $n=6$ war, werden, weil unter den Zahlen kleiner als $6$ zwei zu $6$ prim aind, natürlich $1$ und $5$, in der ganzen arithmetischen Progression der $6$ Terme
\[
	a,\quad a+d,\quad a+2d,\quad a+3d,\quad a+4d,\quad a+5d
\]
nur zwei zu $6$ prim sein, solange die Differenz $d$ eine zu $6$ prime Zahl ist. Wenn man so $a=4$, $d=5$ nimmt, sind zwei dieser sechs Zahlen $4$, $9$, $14$, $19$, $24$, $29$, natürlich $19$ und $29$, zu $6$ prim, eine, $24$, ist durch $6$ teilbar, die übrigen $4$, $9$, $14$ sind in der Tat genauso wie $2$, $3$, $4$ zu $6$ nicht prim.
\subsection*{Bemerkung}
\paragraph{§10}
Diese Theoreme haben in der Lehre und der Betrachtung der Natur der Zahlen einen riesigen Nutzen, hier scheint es aber nur ratsam diese zu verwenden, um diese Frage zu erörtern, nachdem irgendeine Zahl $n$ vorgelegt worden ist, wie viele unter den Zahlen kleiner als $n$ zu derselben Zahl $n$ prim sind. Es ist freilich sofort klar, wenn $n$ eine Primzahl ist, dass alle Zahlen kleiner als selbige zugleich zu ihr prim sein werden und deren Anzahl deshalb gleich $n-1$ sein wird. Wenn aber $n$ eine zusammengesetzte Zahl ist, ist die Menge der zu ihr primen Zahlen kleiner als selbige; wie groß sie aber in jedem Fall ist, kann nicht so leicht angegeben. Wenn $n=12$ ist, findet man unter den Zahlen kleiner als diese nur vier zu $12$ prime, natürlich $1$, $5$, $7$, $11$, und wenn $n=60$ ist, sind die kleineren zu dieser Zahl primen
\[
	1,~~ 7,~~ 11,~~ 13,~~ 17,~~ 19,~~ 23,~~ 29,~~ 31,~~ 37,~~ 41,~~ 43,~~ 47,~~ 49,~~ 53,~~ 59
\]
deren Anzahl $16$ ist, woher die übrigen $43$ alle mit $60$ einen gemeinsamen Teiler haben. Hier sollte man sich aber daran erinnern, dass die Einheit eine zu allen Zahlen prime Zahl ist, auch wenn sie ein Teiler aller ist; das ist aus der Definition klar, nach welcher Zahlen bezeichnet werden, zueinander prim zu sein, die außer der Einheit keinen anderen Teiler haben.
\section*{Theorem 3}
\paragraph{§11}
Wenn $n$ irgendeine Potenz der Primzahl $p$ oder $n=p^m$ ist, werden zwischen den Zahlen größer als selbige so viele zu ihr prim sein, wie Einheiten in
\[
	p^m - p^{m-1} = p^{m-1}(p-1)
\]
enthalten sind.
\subsection*{Beweis}
Die Menge aller Zahlen kleiner als die Potenz $n=p^m$ ist $p^m - 1$, unter diesen findet man aber einige, die zu $n$ nicht prim sind, natürlich alle Vielfachen von $p$ kleiner als $n$ und zusätzlich keine anderen; daraus werden die folgenden Zahlen zu $n$ nicht prim sein
\[
	p,\quad 2p,\quad 3p,\quad 4p, \quad \dots \quad p^m - p
\]
deren Anzahl $p^{m-1}-1$ ist; nachdem diese von der Zahl aller $n=p^m$ abgezogen wurde, findet man die Menge der kleineren, die zu $p^m$ prim sind, deren Anzahl deshalb gleich $p^m - p^{m-1} = p^{m-1}(p-1)$ ist.

\hfill\textsc{Q.E.D}.
\subsection*{Korollar 1}
\paragraph{§12}
Daher folgt also, was an sich klar ist, wenn $n=p$ war, während $p$ eine Primzahl ist, dass die Anzahl aller zu ihr primen Zahlen kleiner als selbige gleich $p-1$ ist, weil ja alle Zahlen kleiner als dieselbe zugleich zu ihr prim sind.
\subsection*{Korollar 2}
\paragraph{§13}
Aber wenn $n=p^2$ ist, es die Menge unter den Zahlen kleiner als selbige von diesen, die zu ihr prim sind, gleich $pp-p = p(p-1)$; die übrigen, deren Anzahl $p-1$ ist, werden zu $n=p^2$ nicht prim sein oder durch $p$ teilbar.
\subsection*{Korollar 3}
\paragraph{§14}
Nachdem aber irgendeine Potenz $n=p^m$ der Primzahl vorgelegt wurde, findet man unter den Zahlen kleiner als selbige, deren Menge gleich $p^m - 1$ ist, $p^{m-1}-1$, die durch $p$ teilbar sind und daher zu $p^m$ nicht prim sind; aber alle übrigen, deren Anzahl gleich $p^m - p^{m-1} = p^{m-1}(p-1)$ ist, sind zu $p^m$ prim.
\subsection*{Bemerkung}
\paragraph{§15}
Wenn also die vorgelegte Zahl $n$ eine Potenz einer Primzahl $n$ war, werden wir mithilfe dieser Regel angeben können, wie viele unter allen Zahlen kleiner als selbige zu dieser prim sein werden. Wann immer aber die Zahl $n$ aus zweien oder mehr Primzahlen zusammengesetzt war, kann daher diese Frage nicht erledigt werden; durch Anwenden der vorhergehenden Theoreme können wir diese sich weiter erstreckende Frage lösen.
\section*{Theorem 4}
\paragraph{§16}
Wenn die Zahl $n$ das Produkt zweier Primzahlen $p$ und $q$ war oder $n=pq$, ist die Menge aller zu ihr primen Zahlen kleiner als selbige gleich $(p-1)(q-1)$.
\subsection*{Beweis}
Weil die Anzahl aller Zahlen kleiner als $n=pq$ gleich $pq-1$ ist, müssen daher die zuerst ausgeschlossen werden, die durch $p$ teilbar sind, darauf aber auch die, die durch $q$ teilbar sind; und nach dem Streichen dieser wird man die gesuchte Menge finden. Man notiere also von der Einheit bis hin zu $pq$ die Zahlen, die zu $p$ prim sind, auf diese Weise
\[
\begin{array}{cccccc}
1 & 2 & 3 & 4 & \dots & p-1 \\
p+1 & p+2 & p+3 & p+4 & \dots & 2p-1 \\
2p+1 & 2p+2 & 2p+3 & 2p+4 & \dots & 3p-1 \\
3p+1 & 3p+2 & 3p+3 & 3p+4 & \dots & 4p-1 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots &  & \vdots \\
(q-1)p+1 & (q-1)p+2 & (q-1)p+3 & (q-1)p+4 & \dots & pq-1
\end{array}
\]
und nun müssen aus diesen nur die ausgewählt werden, die zugleich auch zu $q$ prim sind. Man betrachte also die vertikalen Reihen, deren Anzahl $p-1$ ist; eine beliebige aber enthält $q$ Terme, die in einer arithmetischen Progression wachsen, während die Differenz $p$ ist, die eine zu $q$ prime Zahl ist. In einer beliebigen vertikalen Reihe werden also alle Terme außer einem zu $q$ prim sein (nach §$7$); daher enthält jede vertikale Reihe $q-1$ zu $q$  prime Zahlen. Weil daher die Anzahl der vertikalen Reihen $p-1$ ist, sind in allen gleichzeitig $(p-1)(q-1)$ zur Zahl $q$ prime Zahlen enthalten und dieselben werden also auch zum Produkt $pq$ prim sein; als logische Konsequenz wird man unter allen Zahlen kleiner als $pq$ selbst $(p-1)(q-1)$ zu $pq$ prime Zahlen finden.

\hfill\textsc{Q.E.D.}
\subsection*{Korollar 1}
\paragraph{§17}
Weil die Menge aller Zahlen kleiner als das Produkt $pq$ gleich $pq-1$ ist, sind unterdessen immer $(p-1)(q-1) = pq-p-q+1$ zu $pq$ prim, die übrigen aber, deren Anzahl $p+q-2$ ist, sind zu ihr nicht prim oder haben mit ihr als gemeinsamen Teiler entweder $p$ oder $q$.
\subsection*{Korollar 2}
\paragraph{§18}
Das ist auch daher klar, weil unter den Zahlen kleiner als das Produkt $pq$ $q-1$ durch $p$ teilbare Zahlen sind, natürlich
\[
	p,\quad 2p,\quad 3p,\quad 4p,\quad \dots \quad (q-1)p
\]
darauf unter denselben $p-1$ Zahlen durch $q$ teilbar sind, nämlich
\[
	q,\quad 2q,\quad 3q,\quad 4q,\quad \dots \quad (p-1)q;
\]
weil ja von jenen alle verschieden sind, wird man im Ganzen
\[
	(q-1) + (p-1) = p+q-2
\]
Zahlen haben, die zu $pq$ nicht prim sind.
\subsection*{Korollar 3}
\paragraph{§19}
Wenn man also sucht, wie viele von den Zahlen $1$ bis hin zu $15$ zu $15$ prime Zahlen sind, lehrt wegen $p=3$ und $q=5$ die Regel, dass die Anzahl derer $2\cdots 4 = 8$ ist, die ja sind
\[
	1, \quad 2,\quad 4,\quad 7,\quad 8,\quad 11,\quad 13,\quad 14
\]
sind. Auf die gleiche Weise ist die Menge der zu $35$ primen Zahlen von $1$ bis $35$ wegen $p=5$ und $q=7$ $4\cdot 6 = 24$ und diese Zahlen sind
\[
	1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6,\,8,\,9,\,11,\,12,\,13,\,16,\,17,\,18,\,19,\,22,\,23,\,24,\,26,\,27,\,29,\,31,\,32,\,33,\,34
\]
\subsection*{Bemerkung}
\paragraph{§20}
Weil ja hier die Frage über Zahlen geht, die zu einer Zahl prim sind und kleiner als sie, werden diese sich angenehm als zu dieser Zahl prime Teile bezeichnen lassen. Wenn so die Primzahl $p$ vorgelegt war, wird die Anzahl der zu ihr primen Teile gleich $p-1$ sein; wenn die vorgelegte Zahl eine Potenz der Primzahl, $p^n$, ist, wird die Anzahl der zu ihr primen Zahlen gleich $p^n - p^{n-1}(p-1)$ sein; aber wenn die vorgelegte Zahl das Produkt zweier verschiedenen Primzahlen gleich $pq$ ist, ist die Anzahl der zur ihr primen Teile gleich $(p-1)(q-1)$; und auf diese Weise können wir die Umschweife beim Sprechen verkürzen; auf die gleiche Weise können wir zeigen, wenn die vorgelegte Zahl das Produkt aus drei verschiedenen Primzahlen gleich $pqr$ ist, dass die Anzahl der zu ihr primen Teile gleich $(p-1)(q-1)(r-1)$ sein wird; und das ließe sich auch auf Produkte mehrerer ausdehnen. Aber die folgende Proposition umfasst all diese Fälle in sich.
\section*{Theorem 5}
\paragraph*{§21}
Wenn $A$ und $B$ zwei zueinander prime Zahlen sind und die Anzahl der zu $A$ primen Teile gleich $a$ ist, die Anzahl der zu $B$ primen Teile gleich $b$ ist, dann wird die Anzahl der zum Produkt $AB$ primen Teile gleich $ab$ sein.
\subsection*{Beweis}
Es seien $1$, $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\dots$, $\omega$ zu $A$ prime Zahlen und kleiner als selbige oder zu $A$ prime Teile, die Anzahl welcher Teile also per Annahme gleich $a$ ist. Es werden also so viele Zahlen zu $A$, wie von $A$ zu $2A$ prim sein, und ebenso von $2A$ zu $3A$, usw. Auf diese Weise können alle zu $A$ prime Zahlen von der Einheit bis hin zur vorgelegten Zahl $AB$ beschafft werden, welche das folgende Schema beschaffen wird:
\[
\begin{array}{ccccc}
1 & \alpha & \beta & \dots & \omega \\
A+1 & A+\alpha & A+\beta & \dots & A+\omega \\
2A + 1 & 2A+\alpha  &2A+\beta & \dots & 2A + \omega \\
3A+1 & 3A+\alpha & 3A+\beta & \dots & 3A + \omega \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
(B-1)A+1 & (B-1)A+\alpha & (B-1)A+\beta & \dots &  (B-1)A+\omega
\end{array}
\]
Hier enthalten die einzelnen horizontalen Reihen $a$ Terme und die Anzahl aller horizontalen Reihen ist gleich $B$, woher alle Reihen zusammen $aB$ Terme ergeben, die schon alle zu $A$ prim sein werden. Daher müssen also noch die ausgeschlossen werden, die zu $B$ nicht prim sind, damit auf diese Weise die zurückgelassen werden, die nicht nur zu $A$, sondern auch zu $B$ und daher zum Produkt $AB$ prim sind; oder es müssen aus diesen Reihen nur die Terme gezählt werden, die auch zu $B$ prim sind. Für dieses Ziel wollen wir die Reihen vertikal betrachten; und weil die Anzahl der vertikalen Reihen gleich $a$ ist, wird eine beliebige vertikale Reihe $B$ Terme enthalten, die in einer aritmetischen Progression vermehrt worden sind; weil deren Differenz gleich $A$ ist und eine zu $B$ prime Zahl ist, wird durch Theorem $2$ eine beliebige vertikale Reihe so viele zu $B$ prime Terme enthalten, wie zur Zahl $B$ prime Teile gegeben sind. Die Anzahl derer ist also per Annahme gleich $b$. Weil also die einzelnen vertikalen Reihen $b$ zu $B$ prime Terme enthalten, die deshalb auch zum Produkt $B$ prim sein werden, wird die Anzahl aller zu $AB$ primen Terme, das heißt zu dieser Zahl $AB$ primen Teile, gleich $ab$ sein.

\hfill\textsc{Q.E.D.}
\subsection*{Korollar 1}
\paragraph*{§22}
Wenn darüber heraus eine dritte Zahl $C$ hinzugefügt wird, die zu jeder der beiden vorhergehenden $A$ und $B$ oder zum Produkt der $AB$ prim ist, und die Anzahl der zu $C$ primen Teile gleich $c$ ist, dann wird die Anzahl der zum Produkt $ABC$ primen Teile gleich $abc$ sein. Es kann nämlich das Produkt $AB$ als eine Zahl betrachtet werden, die Menge der zu ihr primen Teile gleich $ab$ ist; und weil $c$ zu $AB$ prim ist, hat das Theorem hier Geltung.
\subsection*{Korollar 2}
\paragraph*{§23}
Weil also jede einzelne Zahl in $N$ zueinander prime Faktoren aufgelöst werden kann, welche einzelnen entweder selbst Primzahlen sind oder Potenzen von Primzahlen, wird mit Hilfe dieser Regel die Menge der zu irgendeiner Zahl $N$ primen Fälle angegeben werden können.
\subsection*{Korollar 3}
\paragraph*{§24}
Während natürlich $p$, $a$, $r$, $s$ etc Primzahlen sind, wird jeder Zahl $N$ in einer Form dieser Art $N = p^{\lambda} q^{\mu}r^{\nu}s^{\xi}$ erfasst werden, woher die Anzahl der zu $N$ primen Teile
\[
	p^{\lambda-1}(p-1)\cdot p^{\mu - 1}(q-1)\cdot r^{\nu - 1}(\nu - 1)\cdot s^{\xi - 1}(s-1)
\]
sein wird.
\subsection*{Korollar 4}
\paragraph*{§25}
Für einfachere Formen von Zahlen wird sich die Menge der zu diesen primen Teile so verhalten:

\begin{tabular}{p{1.7cm} p{4cm} >{\centering\arraybackslash}p{1.7cm} >{\centering\arraybackslash}p{3cm}}
\toprule
\small\centering Vorgelegte Zahl & \small \centering Menge der zu ihr primen Teile & \small\centering Vorgelegte Zahl & \small \centering Menge der zu ihr primen Teile
\tabularnewline
\midrule
\small
$p$ & $p-1$ & $2$ & $1$ \\
\midrule
$pp$ & $p(p-1)$ & $3$ & $2$ \\
$pq$ & $(p-1)(q-1)$ & $4$ & $2$ \\
\midrule
$p^3$ & $pp(q-1)$ & $5$ & $4$ \\
$p^2q$ & $p(p-1)(q-1)$ & $6$ & $2$ \\
$pqr$ & $(p-1)(q-1)(r-1)$ & $7$ & $6$ \\
\midrule
$p^4$ & $p^3(p-1)$ & $8$ & $4$ \\
$p^3 q$ & $p^2(p-1)(q-1)$ & $9$ & $6$ \\
$p^2q^2$ & $p(p-1)q(q-1)$ & $10$ & $4$ \\
$p^2qr$ & $p(p-1)(q-1)(r-1)$ & $11$ & $10$ \\
$pqrs$ & $(p-1)(q-1)(r-1)(s-1)$ & $12$ & $4$ \\
\midrule
$p^5$ & $p^4(p-1)$ & $13$ & $12$ \\
$p^4q$ & $p^3(p-1)(q-1)$ & $14$ & $6$ \\
$p^3q^2$ & $p^2(p-1)q(q-1)$ & $15$ & $8$ \\
$p^2qr$ & $p^2(p-1)(q-1)(r-1)$ & $16$ & $8$ \\
$p^2q^2r$ & $p(p-1)q(q-1)(r-1)$ & $17$ & $16$ \\
$p^2qrs$ & $p(p-1)(q-1)(r-1)(s-1)$ & $18$ & $6$ \\
$pqrst$ & $(p-1)(q-1)(r-1)(s-1)(t-1)$ & $19$ & $18$ \\
\bottomrule
\end{tabular}
\subsection*{Korollar 5}
\paragraph*{§26}
Nachdem daher also irgendeine Zahl vorgelegt wurde, wird die Menge der zur ihr primen Zahlen angenehm bestimmt werden. Wenn z.\,B. 360 vorgelegt wird, wird, weil $360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$ ist, die Menge der zu 360 primen Teile gleich $4\cdot 9\cdot 4 = 96$ sein.
\subsection*{Bemerkung}
\paragraph*{§27}
Dies kann über die Menge der zu einer Zahl primen Teile für unser Unternehmen ausreichen. Dennoch wird es förderlich sein, über die zu einer Zahlen primen Teile selbst dies bemerkt zu haben: Wenn die vorgelegte Zahl $N$ war und unter den zu ihr primen Teilen die Zahl $\alpha$ auftaucht, wird da selbst auch die Zahl $N-\alpha$ auftauchen, weil ja, während $\alpha$ zu $N$ prim ist, auch $N-\alpha$ zu $N$ prim sein wird. Daher wird es also genügen für eine beliebige Zahl nur die Hälfte ihrer kleineren Teile gefunden zu haben, weil die übrigen deren Komplemente zur Zahl $N$ selbst sind. Auf die gleiche Weise wird, wenn $N$ eine gerade Zahl ist, unter den zu $N$ primen Zahlen auch $\frac{1}{2}N-\alpha$ auftauchen, dann aber auch $\frac{1}{2}N+\alpha$. Wenn so $N$ durch irgendeine Zahl $n$ teilbar ist, werden unter den zu ihr primen Teilen auch diese Zahlen auftauchen
\[
	\frac{1}{n}A\pm\alpha, \quad \frac{2}{n}N\pm\alpha,\quad \dots \quad \frac{n-1}{n}N\pm \alpha \quad \text{und}\quad N-\alpha
\]
und daher werden um Vieles leichter die Teile selbst tatsächlich beschafft werden können.
\section*{Theorem 6}
\paragraph*{§28}
Wenn eine Zahl $x$ prim zu $N$ war, dann werden alle Potenzen von $x$ durch $N$ geteilt Reste lassen, die zur Zahl $N$ prim sein werden.
\subsection*{Beweis}
Weil nämlich $x$ eine zu $N$ prime Zahl ist, werden alle Potenzen von ihr auch zu $N$ prim sein, und wenn sie daher durch $N$ geteilt werden, werden auch die Reste zu $N$ prime Zahlen sein.

\hfill\textsc{Q.E.D.}
\subsection*{Korollar 1}
\paragraph*{§29}
Unter den Resten der Potenzen von $x$, die durch $N$ geteilt werden, tauchen also keine anderen Zahlen auf, wenn diese nicht die zu $N$ prime Teile sind; weil die Anzahl deren für die Gestalt der Zahl $N$ bestimmt ist, existieren unzählige Potenzen von $x$, die durch $N$ geteilt gleiche Reste zurücklassen.
\subsection*{Korollar 2}
\paragraph*{§30}
Unter den Resten, die aus der Teilung der Potenzen von $x$ durch die Zahl $N$ entstehen, wird man aber immer die Einheit finden, deshalb weil zwischen den Potenzen von $x$ auch $x^0 = 1$ gezählt werden muss. Ob aber außer der Einheit auch alle übrigen zu $N$ primen Teile unter den Resten auftauchen oder nicht, werden wir bald sehen.
\subsection*{Korollar 3}
\paragraph*{§31}
Wenn man für $x$ die Einheit nimmt, werden alle Reste die Einheit sein, welche Zahl für $N$ auch immer angenommen worden war. Wenn man darauf $x = N-1$ nimmt, welche Zahl zu $N$ auch prim ist, wird man bei den Resten, die aus der Teilung der Potenzen
\[
	(N-1)^0, \quad (N-1)^1, \quad (N-1)^2, \quad (N-1)^3, etc
\]
entstehen, nur zwei verschiedene finden, natürlich 1 und $N-1$, die ununterbrochen abwechselnd auftauchen.
\subsection*{Korollar 4}
\paragraph*{§32}
Je nachdem wie also die Zahl $x$ von der Art zu $N$ beschaffen war, kann es natürlich geschehen, dass unter den Resten aller Potenzen von $x$ nicht alle zum Teiler $N$ primen Teile auftauchen.
\subsection*{Korollar 5}
\paragraph*{§33}
Wenn also alle zur Zahl $N$ primen Teile $1$, $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, \dots sind, deren Anzahl gleich $n$ ist, werden unter den erwähnten Resten entweder all diese Teile auftauchen oder nur gewisse, unter denen man aber immer die Einheit finden wird.
\subsection*{Korollar 6}
\paragraph*{§34}
Wenn daher nicht all jene Teile in den Resten, die aus der Teilung der Potenzen von $x$ durch die Zahl $N$ zurückgelassen werden, auftauchen, werden jene Teile in zwei Klassen aufgeteilt werden, deren eine die Teile enthalten wird, die in den Resten auftauchen, die andere aber die Teile, die nicht in den Resten auftauchen.
\section*{Theorem 7}
\paragraph*{§35}
Wenn die Reihe der Potenzen $x^0$, $x^1$, $x^2$, $x^3$, $x^4$, $x^5$, etc durch die Zahl $N$, die zu $x$ prim sei, geteilt wird, werden bis dorthin verschiedene Reste hervorgehen, bis man zu einer Potenz gelangt, die wiederum die Einheit für den Rest liefert.
\subsection*{Beweis}
Weil ja in der Reihe der Potenzen $1, x, x^2, x^3, x^4$, etc ins Unendliche fortgesetzt die Reste nicht alle verschieden sein können, ist nötig, dass schließlich ein bestimmter von den vorhergehenden wieder auftaucht; und ich sage, dass die Einheit dieser Rest ist, weil er als erster von allen auftaucht. Wenn irgendeiner das verneinen sollte, sei $x^{\mu}$ jene Potenz, deren Rest als erstes in den folgenden aus der Potenz $x^{\mu + \nu}$ wieder auftaucht; weil also die Potenzen $x^{\mu}$ und $x^{\mu + \nu}$ die gleichen Reste liefern werden, wird deren Differenz $x^{\mu + \nu} - x^{\mu} = x^{\mu}(x^{\nu}-1)$ durch die Zahl $N$ teilbar sein. Aber der erste Faktor des Produktes $x^{\mu}(x^{\nu}-1)$ ist eine zu $N$ prime Zahl, also ist notwendig, dass der andere $x^{\nu}-1$ durch $N$ teilbar ist. Daher würde aber die Potenz $x^{\nu}$ durch $N$ geteilt den Rest 1 geben und so wird die Einheit unter den folgenden Resten schneller auftauchen als der Rest einer Potenz $x^{\mu}$, welcher ja per Annahme erst in der höheren Potenz $x^{\mu + \nu}$ wiederkehrt. Daraus ist klar, dass kein Rest nochmal auftauchen kann, wenn nicht zuvor die Einheit dazwischen aufgetaucht sein wird.

\hfill\textsc{Q.E.D.}
\subsection*{Korollar 1}
\paragraph*{§36}
Nachdem die Teilung der Terme der Reihe $1$, $x$, $x^2$, $x^3$, $x^4$, etc durch die $N$, die zu $x$ prim ist, von Anfang verschiedene Reste gegeben hatte, z.\,B. $1$, $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, etc, wird schließlich wieder der erste Rest $1$ auftauchen; wenn er daher also aus der Potenz $x^{\nu}$ entsteht, wird die Anzahl der vorhergehenden verschiedenen Reste gleich $\nu$ sein.
\subsection*{Korollar 2}
\paragraph*{§37}
Wann immer aber die Potenz $x^{\nu}$ den Rest $1$ gibt, ist es derselbe, den der erste Term $x^0$ gibt, wird die folgende Potenz $x^{\nu + 1}$ denselben Rest geben, den $x^n$ gibt. Und irgendeine der folgenden gibt denselben, welchen die Potenz $x^{\mu}$ gibt. Weil nämlich die Differenz $x^{\nu + \mu}-x^{\mu} = x^{\mu}(x^{\nu}-1)$ durch $N$ teilbar ist, ist notwendig, dass beide Terme $x^{\nu + \mu}$ und $x^{\mu}$ durch $N$ geteilt denselben Rest geben.
\subsection*{Korollar 3}
\paragraph*{§38}
Weil nach der Potenz $x^{\nu}$ dieselben Reste $1$, $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, etc der Reihe nach auftauchen, werden die Potenzen $x^{3\nu}$, $x^{4\nu}$, $x^{5\nu}$, etc alle durch $N$ geteilt denselben Rest übrig lassen. Ja es werden sogar alle Potenzen $x^{\mu}$, $x^{\mu + \nu}$, $x^{\mu + 2\nu}$, $x^{\mu + 3\nu}$, $x^{{\mu+4\nu}}$, etc die gleichen Reste liefern.
\subsection*{Korollar 4}
\paragraph*{§39}
Wenn also $x^{\nu}$ die unterste Potenz war, die nach $x^0 - 1$ wiederum die Einheit für den Rest liefert, wird die Anzahl der verschiedenen Reste $\nu$ sein. Weil also die Anzahl der zur Zahl $N$ primen Teile gleich $n$ ist, kann es gewiss nicht geschehen, dass $\nu > n$ ist; es wird also $\nu = n$ oder $\nu < n$ sein.
\subsection*{Korollar 5}
\paragraph*{§40}
Wenn also die Reihe der Potenzen $1$, $x$, $x^2$, $x^3$, etc bis hin zu $x^n$ fortgesetzt wird, wird man unter diesen gewiss zumindest eine einzige außer dem ersten Term $1$ finden, die durch $N$ geteilt die Einheit zurücklässt. Es werden vielleicht irgendwann viele Potenzen dieser Art, aber niemals weniger als eine existieren.
\subsection*{Bemerkung}
\paragraph*{§41}
Die Reste werden ausschließlich immer Zahl kleiner als der Teiler $N$ sein, aber nichts hindert daran, dass wir auch größere Zahlen als Reste betrachten, von welcher Art sie zurückgelassen werden, wenn der Quotient zu klein angenommen wird. Wenn so bei der Teilung der Zahl durch $N$ $N+\alpha$ zurückgelassen wird, muss dieser Rest $\alpha$ selbst äquivalent angesehen werden; und daher, wenn von Resten die Rede ist, sind all diese Zahlen $\alpha$, $N+\alpha$, $2N+\alpha$, $3N+\alpha$ etc gleich einem einzigen Rest $\alpha$ anzusehen. Natürlich verändern irgendwelche Vielfachen des Teilers $N$ entweder hinzugefügt oder von einem Rest $\alpha$ abgezogen seine Natur nicht und auf diese Weise werden auch die negativen Zahlen angenehm unter die Reste gezählt, wie z.\,B. $\alpha - N$ für denselben Rest zu halten ist wie $\alpha$ und der Rest $-1$ dem Rest $N-1$ äquivalent ist. Aus diesen erreicht man, dass alle Zahlen, die durch $N$ geteilt denselben Rest $\alpha$ beschaffen, für denselben Rest gehalten werden können; daraus ensteht nämlich aus einer Zahl durch Teilung ein zu kleiner Quotient, indem man entweder $N+\alpha$ oder $2N+\alpha$ oder $3N+\alpha$ etc, nimmt, aus derselben entsteht, indem man den vollen Quotienten nimmt, der Rest $\alpha$; dann aber wird man eben daher, wenn der Quotient zu groß genommen wird, negative Reste $\alpha - N$ oder $\alpha -2N$ oder $\alpha - 3N$ etc erhalten, die also auch so zu verstehen sind, sich nicht von $\alpha$ zu unterscheiden.
\section*{Theorem 8}
\paragraph*{§42}
Wenn, während die Terme der Progression $1$, $x$, $x^2$, $x^3$, $x^4$, etc durch die zu $x$ prime Zahl $N$ geteilt werden, die Reste $1$, $a$, $b$, $c$ etc waren, werden irgendwelche Produkte entweder zweier oder dreier oder beliebig vieler miteinander multiplizierten auftauchen.
\subsection*{Beweis}
Es mögen also die Reste $a$, $b$, $c$, etc aus den Potenzen $x^{\alpha}$, $x^{\beta}$, $x^{\gamma}$, etc entstehen und, indem man auch größere Zahlen als $N$ bei den Resten zulässt, werden aus den Potenzen $x^{2\alpha}$, $x^{3\alpha}$, $x^{4\alpha}$, etc die Reste $a^2$, $a^3$, $a^4$, etc entspringen, die also auch in der Reihe der Reste $1$, $a$, $b$, $c$, etc enthalten sein werden. Dann aber werden die Potenzen $x^{\alpha + \beta}$, $x^{\alpha + \gamma}$, $x^{\alpha + \beta + \gamma}$, etc die Reste $ab$, $ac$, $abc$, etc zurücklassen, die also auch in der Reihe der Reste der gefunden werden müssen werden. Die Produkte werden wie auch immer aus den Resten $1$, $a$, $b$, $c$, etc durch Multiplikation gebildet alle in derselben Reihe der Reste auftauchen, wenn natürlich die einzelnen durch Wegschaffen des Teilers $N$, sooft das gemacht werden kann, auf die kleinste Form gebracht werden.

\hfill\textsc{Q.E.D.}
\subsection*{Korollar 1}
\paragraph*{§43}
Diese Formen der Reste würden sich umso deutlicher zeigen, wenn anstelle derer jene Potenzen von $x$, woher sie entstanden sind, eingesetzt werden; dann tauchen nämlich natürlich nicht nur alle Potenzen dieser Potenzen, sondern auch irgendwelche Produkte derer in den Resten auf.
\subsection*{Korollar 2}
\paragraph*{§44}
Und dennoch wird daher die Anzahl der Reste nicht unbestimmt; so wie wir nämlich schon gesehen haben, dass aus unzähligen Potenzen die gleichen Reste hervorgehen, so werden, wenn all diese Reste, die aus gegenseitiger Multiplikation entstehen, auf die kleinste Form gebracht werden, auf eine gemäßigte Menge zurückgeführt.
\subsection*{Korollar 3}
\paragraph*{§45}
Wenn so die kleinste Potenz, die durch $N$ geteilt wiederum die Einheit zurücklässt, $x^{\nu}$ war, sodass die Anzahl der Reste $1$, $a$, $b$, $c$, etc gleich $\nu$ ist, dann werden in derselben Zahl alle Produkte, die aus der Multiplikation der Zahlen $a$, $b$, $c$, etc entstehen, enthalten sein, wenn natürlich von diesen der Teiler $N$ sooft, wie es gemacht werden kann, weggeschafft wird.
\subsection*{Bemerkung}
\paragraph*{§46}
Es wird ein einziges Beispiel genügen uns alle Zweifel, die vielleicht über diese sich zeigende Menge an Resten entstehen kann, aufzulösen. Es sei also $x=2$ und für den Teiler nehme man $N=15$, welcher natürlich zu $2$ prim ist; nun werden die einzelnen Potenzen von $2$ durch $15$ geteilt die folgende Reste zurücklassen:

\begin{tabular}{lllllllllllll}
Potenzen & $1$, & $2$, & $2^2$, & $2^3$, & $2^4$, & $2^5$, & $2^6$, & $2^7$, & $2^8$, & $2^9$, & $2^{10}$, & etc \\
Reste & $1$, & $2$, & $4$, & $8$, & $1$, & $1$, & $2$, & $4$, & $8$, & $1$, & $2$, & etc \\
\end{tabular}

Die Potenz also, die als erste wieder die Einheit ergibt, ist $2^4$, von welcher die Reste immer in derselben Reihenfolge $1$, $2$, $4$, $8$ wiederholt werden, sodass nur vier verschiedene Reste auftauchen. Hier ist nun klar, wie auch immer die Reste miteinander multipliziert werden, dass aber niemals Zahlen erzeugt werden, die nicht im selben Quadrupel eingeschlossen sind, nachdem sie natürlich durch Wegschaffen des Teilers $15$ auf die kleinste Zahl zurückgeführt worden sind. In diesem Beispiel tauchen auch unter den Resten nicht alle zu $15$ primen Teile auf, sondern es werden diese Teile $7$, $11$, $13$, $14$ ausgeschlossen, die in gleicher Weise zu $15$ prim sind; daher wird die oben [§34] gemachte Verteilung unter den zum Teiler primen Teile, die in den Resten auftauchten und die nicht auftauchten, illustriert, auf die man im folgenden besonders achte.
\section*{Theorem 9}
\paragraph*{§47}
Bei den Resten, die aus der Teilung der Potenzen einer Zahl durch einen zu ihr primen Teiler zurückbleiben, tauchen entweder alle zum Teiler primen Teile auf oder die Anzahl der nicht auftauchenden Teile wird gleich sein oder wird in einem vielfachen Verhältnis zur Zahl der Teile stehen, die die Reste festsetzen.
\subsection*{Beweis}
Es sei die Reihe der Potenzen $1$, $x$, $x^2$, $x^3$, $x^4$, $x^5$, etc und der zu $x$ prime Teiler sei $N$, dessen Anzahl der zu selbiger primen Teile gleich $n$ sei. Es sei weiter $x^{\nu}$ die kleinste Potenz, die durch $N$ geteilt wieder die Einheit zurücklässt, sodass die Anzahl aller verschiedenen Reste gleich $\nu$ ist; weil diese alle zu $N$ prime Zahlen sind, wird deren Anzahl entweder gleich $n$ oder kleiner sein, und im ersten Fall werden unter den Resten jedenfalls alle zu $N$ primen Teile auftauchen. Wir wollen also den Fall betrachten, in dem $\nu < n$ ist, und es seien	$1$, $a$, $b$, $c$, $d$, etc alle Reste, die aus der Teilung der Potenzen $1$, $x$, $x^2$, $x^3$, $x^4$, \dots $x^{n-1}$ durch den Teiler $N$ zurückgelassen werden; weil deren Anzahl gleich $\nu$ ist, werden dort nicht alle zu $N$ primen Teile auftauchen. Es sei also $\alpha$ der Teil dieser Art, der in den Resten nicht auftaucht und es kann bewiesen werden, dass auch keine dieser Zahlen $\alpha a$, $\alpha b$, $\alpha c$, $\alpha d$, etc in den Resten auftaucht. Denn wenn $\alpha a$ ein Rest wäre, der der Potenz $x^{\lambda}$ entspricht, würde, weil $a$ auch ein Rest ist, der aus einer Potenz, z.\,B. $x^{\xi}$, entsteht, $x^{\lambda} = an + \alpha a$ und $x^{\xi} = BN + a$ und daher $x^{\lambda} - \alpha x^{\xi} =  (A-\alpha B)N$ durch $N$ teilbar sein. Weil aber $x^{\xi}$ eine zu $N$ prime Zahl ist und $x^{\lambda} - \alpha x^{\xi} = x^{\xi}(x^{\lambda - \xi} - \alpha)$ ist, würde die Zahl $x^{\lambda - \xi} - \alpha$ durch $N$ teilbar und so würde die Potenz $x^{\lambda - \xi}$ durch $N$ geteilt entgegen der Annahme den Rest $\alpha$ übrig lassen. Weil also $\alpha$, $\alpha a$, $\alpha b$, $\alpha c$, etc, deren Anzahl gleich $\nu$ ist, zu $N$ prime Zahlen sind und durch Teilung durch $N$ auf zu $N$ prime Teile zurückgeführt werden können, wird man sofort auch einen einzigen Teil, der zu $N$ prim ist, in den Resten nicht finden, zugleich werden auch $\nu$ Teile solcher Art angegeben werden können, die in den Resten nicht auftauchen. Die Anzahl der nicht auftauchenden Teile ist also, wenn sie nicht $0$ ist, mindestens gleich $\nu$ und wenn außerdem ein zu $N$ primer Teiler $\beta$ in diesen Nicht-Resten nicht enthalten war, wird man erneut $\nu$ neue Teile haben, die in den Resten nicht auftauchen, und so weiter. Wenn daher nicht alle zum Teiler $N$ primen Teile in den Resten auftauchen, ist die Anzahl der Teile, die nicht auftauchen, notwendigerweise entweder gleich $\nu$ oder gleich $2\nu$ oder gleich $3\nu$ oder irgendein anderes Vielfaches von $\nu$, das heißt der Anzahl der verschieden Reste.

\hfill\textsc{Q.E.D.}
\subsection*{Korollar 1}
\paragraph*{§48}
Nachdem also der Unterschied zwischen den zum Teiler $N$ primen Teilen, die Reste sind, und denen, die keine Reste sind, festgesetzt worden ist, ist aus dem Beweis klar, dass das Produkt aus dem Rest und Nicht-Rest immer in der Klasse der Nicht-Reste enthalten ist. Wenn so $a$ ein Rest ist, $\alpha$ ein Nicht-Rest, wird also gewiss das Produkt $\alpha a$ kein Rest sein.
\subsection*{Korollar 2}
\paragraph*{§49}
Hingegen haben wir schon oben gesehen, dass das Produkt aus $2$ oder mehreren Resten in der Klasse der Reste gefunden wird. Daher folgt, dass das Produkt aus einem Nicht Rest und irgendwelchen Resten in der Klasse der Nicht-Reste auftauchen muss.
\subsection*{Bemerkung}
\paragraph*{§50}
Die Art dieses Beweis ist also auf dieses Fundament gestützt, wenn also unter den Resten diese zum Teiler primen Teile $1$, $a$, $b$, $c$, $d$, etc auftauchen und $\alpha$ auch ein zum Teiler primer Teil war, der in diesen Resten nicht enthalten ist, dass dann alle Produkte $\alpha a$, $\alpha b$, $\alpha c$, $\alpha d$, etc nicht nur in den Resten auftauchen, was freilich perfekt bewiesen worden ist, sondern dass sie auch zum Teiler $N$ prime Teile sind und alle untereinander verschieden sind oder, wenn sie tatsächlich durch $N$ geteilt werden, die verschiedenen Reste zurückgelassen werden. Jenes ist freilich per se klar; weil nämlich $\alpha$ wie $a$, $b$, $c$, $d$, etc zu $N$ prime Zahlen sind, ist notwendig, dass auch deren Produkte zu $N$ prim sind. Dass aber die Produkte $\alpha a$, $\alpha b$, $\alpha c$, $\alpha d$, etc, die auf $N$ bezogen, alle zueinander verschieden sind, sieht man ein, weil, wenn z.\,B. $\alpha a$ und $\alpha b$ durch $N$ geteilt die gleichen Reste gäben, deren Differenz $\alpha b - \alpha a = \alpha (b-a)$ durch $N$ teilbar wäre und daher auch $b-a$; das widerspricht aber der Annahme, dass $a$ und $b$ zu $N$ prime verschiedene Teile sind.
\section*{Theorem 10}
\paragraph*{§51}
Der Exponent der kleinsten Potenz $x^{\nu}$, die durch eine zu $x$ prime Zahl $N$ geteilt die Einheit übrig lassen, ist entweder gleich der Anzahl der zu $N$ primen Teile oder der Hälfte dieser Anzahl oder einem anderen echten Teil.
\subsection*{Beweis}
Es sei $n$ die Anzahl der zu $N$ primen Teile; weil $\nu$ von diesen die Reste festsetzen, wird die Anzahl der Nicht-Reste $n-\nu$ sein. Wir haben aber gesehen, dass diese Zahl entweder gleich $0$ oder gleich $\nu$ oder $2\nu$ oder ein anderes Vielfaches vom Exponent $\nu$ ist. Es sei also $n-\nu = (m-1)\nu$, sodass $m$ entweder die Einheit oder eine andere ganze Zahl bezeichnet, und daher werden wir $n=m\nu$ und $\nu = \frac{n}{m}$ erhalten; daher ist klar, dass der Exponent der kleinsten Potenz von $x$, die durch $N$ geteilt die Einheit zurücklässt, entweder gleich $\nu$ oder $m=1$ ist, oder gleich $\frac{n}{2}$, wenn $m=2$ ist, oder dass sie im Allgemeinen ein echter Teil der Zahl $n$ ist, die die Menge der zum Teiler $N$ primen Teile ausdrückt.

\hfill\textsc{Q.E.D.}
\subsection*{Korollar 1}
Wenn $x^{\nu}$ die kleinste Potenz war, die durch eine zu $x$ prime Zahl $N$ geteilt die Einheit zurücklässt, sind die folgenden Potenzen, die die selben Reste zurücklassen, $x^{2\nu}$, $x^{3\nu}$, $x^{4\nu}$, $x^{5\nu}$, etc und es sind zusätzlich keine anderen gegeben, die durch $N$ geteilt die Einheit zurücklassen.
\subsection*{Korollar 2}
\paragraph*{§53}
Der Exponent dieser kleinsten Potenz ist also immer mit der Anzahl der zu $N$ primen Teile so verknüpft, dass sie entweder jener selbst oder irgendeinem echten Teil von ihr gleich ist.
\subsection*{Bemerkung}
\paragraph*{§54}
Um dieses Verhältnis besser zu erkennen, wird es förderlich sein, einige einfache Fälle betrachtet zu haben. Es sei also $x=2$ und für $N$ wollen wir nacheinander ungerade zu $x=2$ prime Zahlen nehmen und wollen die kleinste Potenz von $2$ beschaffen, die durch eine ungerade Zahl geteilt die Einheit übrig lässt.

\begin{tabular}{>{\centering}p{1.7cm} >{\centering}p{4cm} >{\centering\arraybackslash}p{5cm}}
\toprule
\small\centering Teiler & \small \centering Anzahl der zu ihm primen Teile $n$ & \small\centering Die kleinste Potenz $2^{\nu}$, die durch $N$ geteilt die Einheit zurücklässt
\tabularnewline
\midrule
\small
$3$ & $2$ & $2^2$, also $\nu = n$ \\
$5$ & $4$ & $2^{4}$, also $\nu = n$ \\
$7$ & $6$ & $2^{3}$, also $\nu = \tfrac{1}{2}n$ \\
$9$ & $6$ & $2^{6}$, also $\nu = n$ \\
$11$ & $10$ & $2^{10}$, also $\nu = n$ \\
$13$ & $12$ & $2^{12}$, also $\nu = n$ \\
$15$ & $8$ & $2^{4}$, also $\nu = \tfrac{1}{2}n$ \\
$17$ & $16$ & $2^{8}$, also $\nu = \tfrac{1}{2}n$ \\
$19$ & $18$ & $2^{18}$, also $\nu = n$ \\
$21$ & $12$ & $2^{6}$, also $\nu = \tfrac{1}{2}n$ \\
$23$ & $22$ & $2^{11}$, also $\nu = \tfrac{1}{2}n$ \\
$25$ & $20$ & $2^{20}$, also $\nu = n$ \\
$27$ & $18$ & $2^{18}$, also $\nu = n$ \\
$29$ & $28$ & $2^{28}$, also $\nu = n$ \\
$31$ & $30$ & $2^{5}$, also $\nu = \tfrac{1}{6}n$ \\

\bottomrule
\end{tabular}

\section*{Theorem 11}
\paragraph*{§55}
Wenn $N$ eine zu $x$ prime Zahl war und $n$ die Anzahl der zu $N$ primen Teiler, dann wird die Potenz $x^n$ um die Einheit vermindert immer durch die Zahl $N$ teilbar sein.
\subsection*{Beweis}
Es sei $x^{\nu}$ die kleinste Potenz, die durch $N$ geteilt die Einheit zurücklässt, und es wird $\nu$ entweder der Zahl $n$ gleich sein oder einem echten Teil $\frac{n}{m}$ von ihr. Weil also $x^{\nu}-1$ durch $N$ teilbar ist, wird, weil die Form $x^{\nu m}-1$ den Faktor $x^{\nu}-1$ hat, auch diese Form oder $x^n - 1$ durch $N$ teilbar sein.

\hfill\textsc{Q.E.D.}
\subsection*{Korollar 1}
\paragraph*{§56}
Wenn also der Teiler $N$ eine Primzahl ist und $x$ durch $p$ nicht teilbar ist, dann wird $x^{p-1}-1$ immer durch die Primzahl $p$ teilbar sein, wie ich schon längst bewiesen habe.
\subsection*{Korollar 2}
\paragraph*{§57}
Wenn außerdem $p$, $q$, $r$, etc Primzahlen sind und $x$ keine derer teilt, folgt aus diesem Theorem,
\begin{center}
\begin{tabular}{lc}
dass diese Formen &\quad durch \dots teilbar sein werden
\tabularnewline
\small
$x^{p-1}-1$ & $p$ \\
$x^{(p-1)(q-1)}-1$ & $pq$ \\
$x^{pp(p-1)}-1$ & $p^3$ \\
$x^{p(p-1)(q-1)}-1$ & $ppq$ \\
$x^{(p-1)(q-1)(r-1)}-1$ & $pqr$ \\
\end{tabular}
\end{center}
\subsection*{Korollar 3}
\paragraph*{§58}
Wenn $x$ und $y$ zum Teiler $N$ prim sind, deren Anzahl der zu ihr primen Teile gleich $n$ sei, wird, weil $x^{n-1}$ und $y^{n}-1$ durch $N$ teilbar ist, auch $x^n - y^n$ immer durch die Zahl $N$ teilbar sein, welches Theorem allgemeiner ist.
\subsection*{Korollar 4}
\paragraph*{§59}
Nachdem also irgendeine Zahl $N$ vorgelegt wurde, deren Anzahl zu selbiger primen Teile gleich $n$ sei, wird, welche zu $N$ prime Zahl auch immer für $x$ genommen wird, die Formel $x^n = 1$ immer durch die Zahl $N$ teilbar sein.
\subsection*{Korollar 5}
\paragraph*{§60}
Oftmals kann es aber auch passieren, dass eine einfachere Form dieser Art, wie z.\,B. $x^{\frac{1}{2}n - 1}$ oder $x^{\frac{1}{3}n} - 1$ oder $x^{\frac{1}{4}}-1$, durch die Zahl $N$ teilbar ist, welcher Umstand von der Gestalt der Zahl $x$ abhängt.
\subsection*{Bemerkung}
\paragraph*{§61}
Sieh also diesen neuen Beweis des Fermat'schen Satzes, dass, wenn $p$ eine Primzahl war, alle Zahlen, die in dieser Form $a^{p-1}-1$ enthalten sind, durch $p$ teilbar sind, solange $a$ nicht durch $p$ teilbar ist. Ich hatte aber schon längst zwei Beweise dieses Theorems gegeben, aber der, den ich hier beschafft habe, scheint jenen vorzustehen, weil er nicht nur auf $p$ als Primzahl beschränkt ist. Denn welche Zahl $N$ auch immer für den Teiler angenommen wird, wird, solange $a$ zu ihr prim ist, diese Zahl $a^n - 1$ immer durch $N$ teilbar sein, wenn natürlich $n$ die Anzahl der zu $N$ primen Teile bezeichnet, welche Proposition sich um Vieles weiter erstreckt als die Fermat'sche. Daraus zeigt sich umso mehr die Nützlichkeit der ersten Theoreme, durch die ich die Anzahl der zu irgendeiner Zahl primen Teile bestimmt habe, was ohne diese Anwendung als zu unfruchtbar hätte erscheinen können.
\end{document}

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The Mission Media TV Console features flat panel doors with square wooden knobs stained to matched.
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text:
Q: React Native adding to an array of states I am trying to add an array of to my state of beer. What I am looking to accomplish is based on the users choice of favorite beers it adds those specific values on to the state.
the error I am receiving is that 'undefined is not a function' that points to my function to add the state.
import React, { Component } from 'react';
import { View, Text, Picker, StyleSheet } from 'react-native'

class BeerPicker extends Component {
  constructor(props){
      super(props);
      this.state = {
          beer: []
      };
  }
  addBeer(newbeer){  <== function throws error
      this.setState((state) => {
          beer: state.addBeer.push(newbeer)
      });
  }
   render() {
      return (
         <View>
            <Picker selectedValue = {this.state.beer} onValueChange = {this.addBeer}>
               <Picker.Item label = "IPA" value = "ipa" />
               <Picker.Item label = "Pilsner" value = "pilsner" />
               <Picker.Item label = "Stout" value = "stout" />
            </Picker>
            <Text style = {styles.text}>{this.state.beer}</Text>
         </View>
      )
   }
}
export default BeerPicker;

const styles = StyleSheet.create({
   text: {
      fontSize: 30,
      alignSelf: 'center',
      color: 'red'
   }
})

Fairly new to React Native so any input would be much accomplished!

A: The callback to Picker gives you itemValue and itemIndex, you'll have to push this in your beer array and do a bind in constructor
constructor(props){
    super(props);

    this.state = {
        beer: []
    };

    this.addBeer = this.addBeer.bind(this);
}

addBeer(itemValue, itemIndex){
    this.setState((state) => {
        beer: [...state.beer, itemValue]
    });
}

A: his problem seems to be context.
try using bind inside your constructor.
this.addBeer = this.addBeer.bind(this);
constructor(props){
      super(props);
      this.state = {
          beer: []
      };
      this.addBeer = this.addBeer.bind(this);
  }

A: You need to bind addBeer inside your constructor and additionally change your addBeer function to this:
  addBeer(newbeer) {
      this.setState({
          beer: [...this.state.addBeer, newbeer]
      });
  }

A: Along with adding this.addBeer = this.addBeer.bind(this) to your constructor...you should also not make it a habit to use a mutator such as .push() in set state.
Try replacing addBeer() with:
addBeer(newbeer){
    this.setState({
        beer: [...this.state.beer, newbeer]
    });
}

redpajama_set_name: RedPajamaStackExchange


text:
Nursery Needlework
by Frances Epps.
Volume 2, 1891/92, pgs. 228-232
A generation or two back, needle work was taught as an important "branch" of education, for it was considered a mark of breeding that a girl should be skilful and dainty in the use of her needle. The sight, and odour, of the lavender-scented specimens we possess of the fine needlework and embroidery of the time, lying perhaps in our grandmother's delicately kept workbox, call up a vision of leisured, unsparing industry, that seems very far removed from the spirit of our own busy age, when a general feeling obtains that there is neither time nor necessity for needlework, now that lives are so full of varied occupation and interests, from schooldays onwards, and sewing-machines, ready-made garments, and presents are so good and so cheap. Hence little or no provision being made for instruction in the art, we hear constantly of children "hating" needlework, of girls, book-learned and accomplished in many ways, growing up to motherhood with but small idea of mending or making, to the great hindrance of economical management; ignorant of the real rest to tired nerves and brain to be found in the sewing of a long seam, or in the regular click of the knitting needles; missing too the real pleasure to be found in the manufacture of the useful little presents that come so gracefully and acceptably to those we love, as the result of personal effort.
Perhaps the present widespread distaste to needlework may be partly a sort of reaction from the opinion held by many before the days of higher education for women, that the chief aim and object in life for a girl on leaving school, was to sit at home and do fancy work, and that it was an act of extravagance to "put out" any sort of family needlework that could be done at home. Happily the wider, fuller education now given to girls tends to prevent the possibility of their settling down to such a poor narrow life, and public opinion no longer requires mothers [229] to toil unceasingly at their children's clothes, but rather, it urges upon them the duty of being employers of labour, as far as means will allow; and by giving work to those who so anxiously seek it, the house-mother secures time for the duties and responsibilities that are peculiarly her own.
While endeavoring to give needlework its due place, it is a fact that must be faced, that when girls are hard at work at their books the greater part of the day, preparing for one examination after another, needlework as a subject to be taught cannot appear on the school time-table at all, and also that in the too few leisure hours of each day, it is not, as a rule, a suitable employment for eyes and hands already perhaps overstrained and cramped; dancing, gymnastics, walking, or any interesting and amusing games, naturally suggest themselves as more fitting recreation. But there are Saturdays and long holidays, and if a taste and liking for the pleasures of the needle, together with a fair amount of proficiency in its use, has been fostered before the arduous work of the modern schoolgirl begins, we may reasonably count upon some of the holiday hours for the practice that is so necessary for progress.
It is clear, then, that the taste and proficiency required must be attained in the nursery, and not without considerable expenditure of time and thought--patience, too, perhaps--on the part of the mother, or whoever she deputes to take her place. For the casual tacking of long hem or seam, or interminable patchwork, will not tend to foster a liking for needlework; it seems to suggest weary uninteresting hours, pricked and tired little fingers--perhaps, alas! red eyes. As the primary object in view--above and beyond the never ceasing educational training which is the beginning and end of all that happens in the nursery--is to create an interest, an enthusiasm for the needle, the subject must be made as pleasant as possible, and its difficulties attacked one by one in the most gradual manner.
In the first place, the little one should be started with a really good workbox, one that it will be a pride and joy to keep in order, with the tiny silver thimble, blunt-pointed scissors, bodkin, tape-measure, needlebook, always in their place ready for use. The glow of satisfaction with which the small owner will place her treasure on the low deal table so comfortable for the nursery working-party, drawing up her little chair to join the elder children already seated with their boxes in front of them, makes [230] a very good frame of mind in which to attack difficulty number one--how to hold the needle in the unaccustomed little fingers, and to put it in, and bring it out, at the particular spots desired. To help to teach this, a square of coarse canvas, not too large, and neatly bound with ribbon, should be prepared, with a blunt wool needle and a bundle of pretty wools. "This is an empty garden," says the mother, "shall we put shrubs round the edge?" The child chooses some greens, and the mother shows her how to "run."One stitch at a time, in at one hole, out at the next, two or three rows all round the edge; next comes a line of scarlet for geraniums, of blue for lobelias, and so on as fancy and experience dictate, till only a small space is left in the centre, which may be filled by a cottage "run" in browns over mother's pencil lines, and the effort is complete; of no particular after use, perhaps, except to be put away amongst treasures, but it will have served its purpose if it has taught the little worker what she needed to learn, and has given her courage to turn eagerly to the carefully pricked felt work that is awaiting her. The little thimble may now be fitted on, and soon, to the first idea of running or darning will be added the first idea of stitching. The mother will carefully finish off, line, and bind the mats and kettle-holders, and then the small workwoman will have the bliss of making a "real" present. This brings us to tender ground for what mother or aunt of girls does not possess a store of funny, shapeless, useless, but withal very precious little articles, veritable examples of "cobbling," and generally prepared "all by myself" as a great surprise for the recipient. It certainly is a step gained that the independent attempt has been made, but progress will be retarded if praise be not discriminating, and wise and gentle direction be not given, for edges must not go on being crooked, and work puckered, as a matter of course, indefinitely. Sometimes it is insisted upon that every stitch of a child's work, and the fixing too, perhaps, should be done entirely by herself; then often artistic grace and finish are lost, the whole standard of attainment is lowered, and the present is valueless. But if the mother does the parts really too difficult for the inexperienced little worker, it is easy for the child to point out her own share, and take only credit for that, and then seeing how necessary is the part she couldn't manage, there will be an incentive to perseverance and further effort in conquering the difficulties that stand in the way of perfection. [231]
Outline crewel stitch and chain stitch are easily learnt, and perhaps follow best on the felt work. At first, bold, simple patterns will be chosen, that a result may be soon apparent. "If you outline a flower on this piece of satin, I will make it up into a doll's bonnet for you." " Here is a piece of ribbon with a flower traced on it; when you have worked it I will put a little tassel at each end, and you will have a nice book-marker for father." It will be found an economical and satisfactory plan to buy undressed linen, Roman sheeting and serge, by the yard, and cut out tea-cloths, carving-cloths, d'oyleys, mats, cushions, book-covers, the size required, and then draw or transfer easy patterns or monograms that will not give more work than the child is likely to finish with pleasure, for it is fatal to the happy progress of nursery needlework to have to urge and worry unduly to get a piece of work done after the children are tired of it. Sometimes truly heroic efforts are made by them to finish a tedious piece of work, a joy to the mother as marking a victory won; but as a rule, the habit of perseverance is more likely to grow and flourish by the prompt and conscientious finishing of smaller undertakings. [Towards Christmas it will be found a helpful plan to keep a "finished" box in which the various little presents being prepared can be carefully put away as soon as done. " I have three presents in the finished box, how many have you?" It creates such an enthusiasm for making and finishing, that even the baby-boy will not be unrepresented, but proudly brings the "nose-bag" he has been making for his horse, after gravely smoothing it with a cold iron for some time, with the remark, "Quite finished now!"] The introduction to plain needlework and dressmaking can be very pleasantly effected by the help of the dolls; the motherly instinct so strong in little girls, of providing what is necessary for the doll-children, as well as motherly pride in seeing them well dressed, is a very attractive inducement to overcome the difficulties of hemming, sewing, felling, and the rest. "Dolly certainly needs a new pinafore; shall we make one for her together?" The piece of soft striped or checked zephyr which will give a guide as to where the stitches shall fall, is cut out and fitted. The shoulder seams and curved arm-holes are done by the doll's grandmother, and then with some prospect of a pretty finished garment in the near future, the little mother soon masters the mysteries of hemming, perhaps of over-sewing too, if a piece of suitable trimming be at hand. She will next willingly under-take [232] a "skirt," with promised help for yoke and sleeves, and a set of pocket-handkerchiefs for dolly, as a pocket is being put in for her. A golden opportunity for helping on the little one's work will be found in the quarterly " sorting time," that is the custom in many families, when the needlewoman, nurse, and mother sit down determinedly before the new garments required for the coming season, the lengthening and letting-out! It is such a happiness to little people to be associated in work with their elders, and to do things "just like mother," that much sewing-labor may be made light by sparing a little time from the serious work in hand to guide and help the beginners. When the mother is writing for her patterns, imagine the pleasure of measuring dolly and writing for one for her too; then of cutting out and arranging for machine; imagine too the absorbed interested faces, as the important little folks learn the use of the iron in turning hems, pressing seams, how to measure hems and tucks with tape or card, and how to sew on buttons and hooks.
The next step to dolls' dressmaking follows naturally and easily, the helping in the Dorcas work that is carried on in the household; warm list garments, simple frocks and pinafores will be found none too difficult, with a little oversight. Meanwhile as the power to work grows, the feeling of responsibility and independence grows too, and the children will be proud to sew in their own tuckers, mend their own stockings, and to give real useful help when a new set of sheets or towels are being hemstitched and marked, for instance, or when the needlewoman is in the house.
Besides all these habits of quick, attentive work--neatness, perseverance, thought for others, have been cultivated by the way, as well as taste for the beautiful and the suitable, also a feeling of family comradeship, all very necessary to the girl entering her teens, with increased bookwork and a wider circle. Although her leisure becomes scanty, she will not be likely to drop her needlework, because she really likes it, but she will seek and find opportunities both for practicing what she already knows and for learning more.

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Яросла́в Миха́йлович Дашке́вич (  — ) — солдат Збройних сил України, учасник російсько-української війни.

Життєпис
Народився 1995 року в селі Синарна (Оратівський район, Вінницька область); виріс в багатодітній родині. Закінчив Вінницьке ВПУ № 5, здобув фах кухаря-кондитера. 20 жовтня 2013 року вступив на військову службу за контрактом; солдат, механік-водій 3-го механізованого взводу 1-ї механізованої роти 1-го механізованого батальйону 24-ї бригади.

З початку березня 2014-го виконував завдання на Луганщині, зазнав поранення. Після лікування вирушив на Донеччину.

26 травня 2018 року зазнав смертельного поранення під вечір на Горлівському напрямку — бронегрупа на БМП-2, яка патрулювала район між опорними пунктами, потрапила в засідку; в боєзіткненні загинув старший солдат Віктор Ферлієвич. Після короткого вогневого зіткнення за підтримки вогнем із сусідніх опорних пунктів ДРГ противника було знищено; двоє бійців дістали поранення. Ярослав зазнав важкого мінно-вибухового поранення внаслідок підриву БМП на міні, наступного дня помер у Харківському військовому госпіталі.

1 червня 2018 року похований в селі Синарна; у Оратівському районі оголошено День жалоби.

Без Ярослава лишились мама Світлана Віталїївна, три сестри і двоє братів.

Нагороди та вшанування
 указом Президента України № 239/2018 від 23 серпня 2018 року «за особисту мужність і самовіддані дії, виявлені у захисті державного суверенітету та територіальної цілісності України, зразкового виконання військового обов'язку» — нагороджений орденом «За мужність» III ступеня (посмертно)
 6 грудня 2018 року в Синарнівській школі відкрито та освячено пам'ятну дошку Ярославу Дашкевичу
 пам'ятну дошку Ярославу Дашкевичу також встановлено в Вінницькому ВПУ-5.

Примітки

Джерела
 Дашкевич Ярослав Михайлович  // Книга пам'яті

Уродженці Оратівського району
Поховані в Оратівському районі

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The former Cy Young Award winner Pete Vuckovich, who had been trying to make the Milwaukee Brewers as a nonroster player after undergoing shoulder surgery for a second time, has retired.
The Brewers said that Vuckovich told General Manager Harry Dalton of his decision in a meeting yesterday morning at the Brewers' spring training facility in Chandler, Ariz.
Vuckovich could not immediately be reached for comment.
The team announced that Vuckovich, who pitched the Brewers into the World Series in 1982 and captured the Cy Young Award that year, had accepted a job in the Brewers' organization as an instructor, and that he would also have some scouting duties.
Vuckovich joined the Brewers from the Cardinals in 1980 and had a 38-22 record in six years with Milwaukee. . . . The Brewers announced yesterday that the pitcher Moose Haas was traded to the Oakland A's for three minor league players. Haas, who had been with the team nine years, had a 91-79 overall record with the Brewers and a 4.03 e.r.a. in 245 games.
Scott McGregor of the Orioles became the first pitcher in exhibition play to go nine innings in a 6-3 victory over the Braves yesterday in Miami. McGregor gave up six hits, retiring the first 10 batters he faced.


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Former professional major league baseball outfielder Ken Griffey Jr celebrated his 44th birthday last month. Griffey, the son of former major league ball player Ken Griffey Sr, retired from professional baseball in 2009. He has spent a majority of his career with the Cincinnati Reds and the Seattle Mariners with also a short stint along with the Chicago White Sox. While Griffey has robbed many a players of their milestone home runs, he himself has been an excellent hitter and is considered as one of the most successful home run hitters in baseball history, with his staggering record of 630 home runs which ranks as the sixth highest in the history of major league baseball. Griffey Jr is also on the National Baseball Hall of Fame ballot for 2014. Surely he will be voted in as a new member.
Griffey has also received over 10 Golden Glove awards for his exceptional performance as a defender and has also tied the record of home runs in most consecutive games with Dale Long and Don Mattingly. Currently Griffey is continuing to work with the Mariners in their front office as a consultant. He is also one among the 29 players in major league baseball history to have made appearances in games spanning four different calenders. He has also become the seventh person to have been inducted to the Marners' Hall of Fame on August 10, 2013. Ken Griffey Jr, played for Cincinnati Reds in his hometown between the years 2000 and 2008. but his heart always belonged to the Seattle Mariners, whose fans adore him. Griffer has also said that this is the reason why he chose the Mariners to retire from the game.
Earlier this month, the iconic baseball player Ken Griffey Jr. now a special consultant with the Mariners took to the social media platform of Instagram to keep his fans and followers entertained even after his retirement. Ken Griffey made his debut appearance in major league baseball when he was 19, over two decades ago. By the time he was 21, he had already gained the loyalty of his fans and followers all over Seattle and the entire nation thanks to his exceptional skills in defense. In an interview in 1991, where Griffey was discussing about a technique on avoiding rug burns from the Kingdome turf, he went on to share the story of his early days of training with his father and how his father had shaped him into becoming the player that everybody recognizes.
Ken Griffey went on to make many a milestones after that right up until he announced his retirement in 2009. But that has not stopped this baseball legend from reaching out to his fans. He has now started to do this through Instagram where he has been posting memorable photographs from his illustrious career at the MLB. One of the most famous photographs you can find on Griffey's Instagram feed includes him posing with the rap sensation Xola Malik who is a close friend of Griffey's. While there aren't many pictures on Griffey's Instagram feed, you can only expect more. For the time being, all you can do is follow him: TheRealKenGriffeyJr.


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Towards the end of 2017, the current in-house perfumer at Hermès, Christine Nagel - whose past credits include Eau De Cartier, Archives 69 for Etat Libre D'Orange and more than 70 scents for Jo Malone - popped into London for a Fragrance Foundation event at which she talked about her wide-ranging career. In an interview conducted by Harrods' Annalise Fard, Nagel began by explaining how a young chemistry student from Switzerland became one of the best known perfumers in the world.
Christine Nagel: By chance! I was studying chemistry, but I stopped my studies because I had a dream to work in research. In front of the university there was a company named Firmenich. I started there in a research lab. I discovered a perfumer. And this perfumer put a perfume on the skin of the receptionist. I saw the pleasure and the emotions this gave, and I thought, 'Okay, I want to go into perfumery.' The first response was No. Totally no. Forbidden. Because I'm a woman. Because I don't come from Grasse. I'm from Geneva. I don't come from a family of perfumers. And I've studied chemistry. And in the past, the best background was considered to be literary studies. But I had a dream. So I found another way to become a perfumer. And this way was so special, but I have to explain something about it.
He may be better known as an incense expert, but Bertrand Duchaufour has also developed something of a specialism for conveying the scents of flowers which we don't always associate with smells. In his Ostara for Penhaligon's (discontinued, sadly) he gave life to the pollen-like, sappy-green personality of the daffodil. In L'Artisan Parfumeur's Traversée Du Bosphore he married the almost dusty sweep of Istanbul's tulips to iris and Turkish Delight. And in the recent Tender for Miller Harris, he used tulips again to reflect the darkness at the core of F Scott Fitzgerald's writing. Having said all of that, he is not the creator of the subject of today's review. But don't worry: the link with Duchaufour isn't irrelevant. Because you see, Gallivant's Amsterdam has been put together by one of the Frenchman's protégées, Giorgia Navarra, which probably helps explain why its handling of that most recognisable of Dutch icons - the tulip, once more - is one of its most notable features.