LARGO [Examining a pouch of gems] You did well.
BEK The owner didn't think so.
LARGO Did you kill him?
BEK Were we supposed to?
BEK Well, it's easy to be tidy from where you sit, Largo.
LARGO Don't get clever, dream head.
HANNA That wasn't the deal.
LARGO The deal was whatever I say it was. [Removes clear cover of container, selects one of the small balls of golden liquid] I own you, dreamheads. [Hanna crawls reaches for the ball. Largo keeps it out of reach] Unhuhhhh. What do you say?
LARGO Awwww, come on, you need it more than that.
LARGO I want your brother to ask for it. [Picks ball up.Bek extends his hand] One word from me, and your supply is gone -- forever.
BEK I thought that honor was a big thing with the Terra Nostra.
LARGO We own you, boy.
LARGO That's better. We owned you from your first tiny drop of shadow.
BEK [Picks up Largo's gun] Use shadow? Do I look that stupid? [Largo moves] Oh, try it!
LARGO Nobody steals from the Terra Nostra.
BEK [V.O.] Go ahead and try it. Killing a Terra Nostra pusher will be the best fun I've had all day. You stupid murdering scumball.
BEK Get Peety meet me at launch grid six in twenty minutes.
HANNA Nobody gets away from them.
BEK We will. Look, I can get a ship.
HANNA Launch clearance, what about launch clearance?
BEK The crew on grid six are for sale.
HANNA It's too late for that.
BEK Hanna, she told me to look after you and Peety. That's what I'm trying to do. Grid six, twenty minutes. Right? Right?
ZEN Confirm. All systems functioning. Status is firm.
GAN [Looking at the screen] Very pretty.
JENNA I know. Piloting wasn't bad either.
BLAKE So. That is Space City.
VILA Also known as the satellite of sin.
AVON It had to be someone of limited imagination.
VILA Pick a pleasure, any pleasure.
JENNA And you'll find it for sale in Space City.
BLAKE If you've got the money.
VILA But we have, we have.
GAN And if you can stomach doing business with the Terra Nostra.
BLAKE We're going to use them, Gan, not do business with them.
AVON A subtle distinction that escapes me for the moment.
BLAKE Now don't tell me you have a moral objection to using their organization to infiltrate Earth?
BLAKE Think, Gan, think what they've got: men, material, information. Think what we could do with a fraction of the resources they control.
GAN No, YOU think, Blake. Think what it is they control. Everything dirty, degrading, and cruel on just about every colonized world.
BLAKE Earth is all I'm interested in.
VILA The Terra Nostra aren't responsible for everything, Gan. I could go and murder somebody now and it wouldn't be their fault. Mind you, if I picked his pocket afterwards they'd want their cut.
AVON It's largely academic anyway. I don't think we'll get within shouting distance of them.
VILA The Terra Nostra run Space City.
CALLY How can you be sure of that? You say they're a criminal organization who work in secret.
BLAKE They work in secret on Earth and the Federated worlds.
BLAKE Space City itself is neutral territory. Not officially owned by the Terra Nostra but it's an open secret.
CALLY A neutral base for an outlawed organization?
BLAKE Well, presumably it has its uses.
JENNA Why don't you take a cold shower or something?
VILA And risk being left behind when we go and meet your friend?
JENNA Largo's no friend of mine. When I met him on Callisto he forgot to mention he was a member of the organization. Just said he wanted me to run a cargo into Earth. He didn't tell me what it was at first.
JENNA Shadow. I turned him down.
AVON Very sensible. Possession carries a mandatory death sentence.
JENNA That wasn't the reason.
ZEN Navigation computers are receiving interrogation signal from Space City traffic approach control.
BLAKE It's about time. Request standoff position. Cally, stand by on the teleport. Jenna, get on the communicator and see if you can contact your friend Largo. Gan, Avon, get ready as well.
ZEN Vector coordinates received and laid in.
VILA Er, what about me?
BLAKE Where I can find you if I need you.
VILA But that's Space City, one of my all-time great ambitions.
BLAKE You'd probably be disappointed.
VILA I'll take that chance.
BLAKE I would never forgive myself, Vila.
BEK How? How? [Grabs one of the golden balls] That's how!
HANNA He didn't take any more. He didn't need another dose for twelve hours, at least twelve hours. He just ... just died.
BEK Just died. That's what shadow does. It kills you!
HANNA Think I don't know that?
BEK Well then why? Why so stupid, Hanna? Stupid. Stupid Peety. [Lifts cloth and looks at body] Look after you.
HANNA It won't help Peety.
BEK [Door behind them opens. Enforcer enters with a gun.] You? It's too late, remember. You're already dead, like Peety.
ENFORCER [Stands in door pointing gun with both hands] Must run in the family. Shed the gun. Largo wants you two, very badly.
VILA I don't mean about leaving me behind. I've wanted to visit Space City ever since I was old enough to read the graffiti in the Juvenile Detention Wards. But I'm not talking about that, I don't care about that.
CALLY No, of course not.
VILA I'm talking about his great plan to enlist the help of the Terra Nostra.
CALLY He plans to buy their help.
VILA All right, buy their help. It still won't work.
CALLY Well, you should have spoken before.
VILA Who listens to me, ever. Does anyone ever listen to me? I'm telling you, it'll be a disaster.
VILA You don't know them.
CALLY Well, I know Blake.
VILA Thinks of himself as a hard man. Hard? He's strictly a fluffy-cheeked amateur compared to those boys.
CALLY I think Blake can look after himself.
VILA He's led a very sheltered life.
CALLY What, Blake has led a sheltered life?
VILA Look, he was an Alpha grade on Earth. A highly privileged group, the Alphas. Wouldn't last five minutes among the Delta service grades where I grew up. And it's the service grades where the Terra Nostra really operate. Without anesthetic, usually.
CALLY No, I am not going to operate the teleport for you.
CALLY I do. You're about to suggest it would be a sensible idea if you went across and gave the others the benefit of your experience.
VILA I hadn't thought of that. What a very good idea, Cally.
VILA Miserable alien. I just want to see what it's like.
ZEN You expressed a desire to see what it is like.
VILA Very funny, Zen. Chuckle chuckle. If you were a decent computer you'd be able to operate the teleport system like Orac can. Like Orac can! Key, key, ah key. [Inserts Key] Orac? Orac? Are you in there, Orac?
ORAC Am I in where? What precisely do you imagine I am? Some sort of tame rodent in a cage?
VILA That's precisely what I imagine you are. A rat in a box.
ORAC I see no point in continuing this conversation.
VILA Now, don't start sulking again, or I shall switch you off and throw away the key.
ORAC Soon, that will be no longer a problem.
ORAC Well? What do you want?
VILA Orac, I've got a little job for you.
AVON [V.O.] I don't think that at this stage you really need to know specific details of our plans, do you?
AVON In effect, we want to buy cooperation and expertise from the Earth-based network.
LARGO Oh. Why are you telling me all this?
AVON Naturally, we would be prepared to pay for your services.
LARGO [Chuckles] Forgive me, Blake, but one of the reasons I made my home in a free city like this is because I adore eccentrics.
JENNA Do we take it that you're not interested?
LARGO Oh, I'm fascinated. But I'm just an independent businessman.
AVON [Takes two gems from a bag, lays them on Largo's platform] Are you sure?
LARGO Look, the Terra Nostra doesn't exist. Believe me, it's a..a..phantom.
LARGO A myth, a legend.
JENNA It's a legend a lot of people believe in.
AVON And yet you know it doesn't exist? Why are you so certain?
LARGO I've got a contact in Federation Security. If the syndicate existed, then he'd know about it, wouldn't he?
JENNA This contact, he wouldn't be the one who arrested me after I refused your cargo, would he?
LARGO Oh, that was a mistake, Jenna. I was doing a favor for a friend. If I'd known what the cargo was I wouldn't have touched it myself.
AVON You didn't answer the question.
LARGO Why do I feel as if I'm on trial here, um?
LARGO They're beautiful stones. I'm a bit of a collector, in a modest way. I could make you an offer.
AVON They have a sentimental value for me.
LARGO Oh, family heirlooms, eh?
AVON No, I'm just sentimental about money. [Turns back to Blake] We're wasting our time with him.
BLAKE Shall we go? [to Largo] I'm sorry we couldn't do business.
LARGO Let me at least offer you some refreshment.
JENNA We didn't come for refreshment, Largo.
BLAKE Maybe we should have listened to Gan.[Cut to Gan. A gun appears next to his head] Looks as though he was right after all.
LARGO Amateur! [Gan stumbles in] A pro keeps it simple.
CALLY Vila? Vila? Zen, where is he? I left him on watch.
ZEN He is no longer on the ship.
CALLY But he must be.
ZEN He teleported into the city with the assistance of the one called Orac.
CALLY I forgot about Orac.
ZEN The one called Orac is not concerned for the safety of the Liberator.
CALLY Well where is Orac then? He's not in the teleport section; I just came from there.
ZEN In return for the remote activation of the teleport system, Vila conveyed the one called Orac to another part of the Liberator.
CALLY Vila, this is Cally. Come in please. Vila!
VILA [V.O., dreamily] What do you want, Cally?
CALLY I want you back here. Get ready to teleport.
VILA Wasting your time, Cally. I'm not wearing a bracelet. I'm not going to be snatched away in the middle of...in the middle of anything. Sightseeing. And you should see some of the sights I'm seeing. No. Perhaps you shouldn't.
VILA [V.O.] Promised not to tell. I never break a promise.
CALLY Oh yes, you do.
VILA [V.O.] Almost never. Orac's all right. He can't run away.
CALLY Oh, you fool, Vila.
VILA Stop worrying, Cally. I'll be back soon. Tell you what, I'll bring you back a present. What would you like, Cally? Name it and it's yours.
CALLY A necklace, Vila, made from your teeth.
ORAC I will destroy the life support system if you attempt to find me.
CALLY Why are you doing this?
GAN I don't think even Vila could open that. I wonder what they'll do?
AVON A pro keeps it simple. I imagine they'll kill us. You can't get much simpler than that.
AVON That makes all the difference.
GAN I don't know how they spotted me.
AVON [Kneels by Hanna] Something amuses you?
BEK You were using him as a lookout? I mean, he'd really blend into the background, wouldn't he? What did you do, put up a sign?
AVON Is that what you did or is Largo keeping you here as a favor?
HANNA We made a fool of him.
HANNA That's why we haven't been killed yet. He's making an example of us.
BEK Oh, shut up Hanna, Its none of their business.
BEK It's not for outsiders. You don't know much about the Terra Nostra, do you?
BEK Leave her alone. We are an object lesson for their own people. Largo's on his way up in the organization. One sign of weakness and he'll be on his way down again, probably minus his head.
GAN Now there's a happy thought.
AVON It's a pity we won't live to see it.
GAN We're not dead yet.
AVON Largo hasn't got what he wants yet.
BLAKE [v.o.] Liberator, this is Blake. Come in please.
CALLY Blake, this is Cally. We have a problem.
BLAKE [v.o.] Later, Cally, this is more important. We've made a deal but we need the rest of the money as a demonstration of good faith. They don't entirely trust us yet. Have...Zen collect it and bring in across.
BLAKE Yes, Cally, all of it.
LARGO Ah, it's a trick. Kill him.
BLAKE Wait a minute. Why do you think it's a trick?
LARGO You think I'm a fool. Zen can't leave your ship. Your shuttlecraft is here in the city.
BLAKE We carry more than one shuttle.
LARGO Four. [Into bracelet] Cally, this is Largo.
LARGO Shall we send your shuttle back or one of ours?
CALLY [v.o.] Neither. It is not necessary.
CALLY We have another shuttle.
LARGO Another shuttle. Quite a ship. How many shuttles do you carry?
CALLY He's testing me. Probably too far away.[Touches forehead. V.O.] Blake, Blake, I shall count. When I reach the right number, call my name. One, two, three, four.
BLAKE Cally, are you still there?
CALLY Sorry, what did you ask?
LARGO I was just wondering how many shuttles you carry.
CALLY Four. Does it matter?
LARGO We'll be expecting your man, Zen.
LARGO [aside] And he won't be expecting us. We shan't be needing his other two friends after all. Kill 'em.
LARGO We'll..keep her till we're sure.
CALLY Orac, I need Zen. I will ask no questions. Zen, put the battle computers on line. [Zen's lights come on] Put up the force wall, activate the radiation flare shield, and clear the neutron blasters for firing.
ZEN Completed. Neutron blasters are cleared for firing.
CALLY Open up a voice channel to the city's central control.
VOICE [v.o.] Central control, central control. Go ahead.
CALLY This is the weaponry officer on the battle cruiser Liberator.
VOICE [v.o.]Duty officer, your computer took a priority channel. Whatever you want had better be important.
CALLY Four of my friends are being held prisoner in your city. Unless you release them immediately I shall open fire on you.
VOICE [v.o.] Listen, lady. You shouldn't drink in those cheap dives. You go blind eventually.
CALLY Zen, report battle computer status to central control.
VOICE [v.o. ] All right. So you're at battle stations. You don't expect us to believe that you'd..
CALLY A man called Largo is holding my friends. You have six minutes to release them.
VOICE You can't be serious.
CALLY I was never more so. You have five minutes and fifty- five seconds.
ZEN Detectors report high speed approach.
ZEN Gun ship. It is manoeuvering for attack position.
CALLY Compute coordinates, range blasters.
ZEN Warning ignored. They are pressing their attack.
VOICE [v.o.] Hold your fire!
CALLY Central, the next shot will be right down your throats. You have three minutes and thirty seconds.
ENFORCER You'd prefer not to know.
AVON Your professional simplicity is beginning to irritate me.
GAN [To enforcer] Simple enough for you?
HANNA Don't stand around. There's more where he came from.
BLAKE Your sense of timing is as impeccable as ever.
GAN Are you all right Jenna?
VOICE Central. You're holding prisoners. Release them.
VOICE There's a lunatic woman threatening to destroy the city. Get those people back to their ship.
JENNA I think we've outstayed our welcome.
BEK We'll come with you.
HANNA I think they went without us.
BEK There's gratitude for you.
BLAKE I changed my mind.
BEK What's in it for you?
BLAKE You can help me with one of my crew. His name's Vila and he's suffering from a bad attack of alcoholic remorse. [Into bracelet] All right, Cally. [To them] He wants to make a necklace of his teeth.
BLAKE No effect on the flight systems.
JENNA Everything seems normal enough. Maybe she imagined it.
BLAKE That's not like Cally.
JENNA Not like Orac either.
BLAKE [As Gan and Avon enter] Any luck?
GAN Can't find Orac. Even tried calling his name.
AVON Oh, I'm sorry I missed that. It's the kind of natural stupidity no amount of training could ever hope to match.
AVON No, but then I never really expected to. It is one of Vila's more elaborate practical jokes.
BLAKE Talking of Vila, how long before he comes round?
BEK Oh, several hours. And he won't feel much like laughing when he does.
BLAKE Oh, I'll guarantee that. All right, we've wasted enough time on it. Let's get back to the Terra Nostra.
GAN Back? We only just managed to get away from them.
BLAKE We chose the wrong approach, that's all.
GAN Is that all? I thought maybe we'd chosen the wrong people to get involved with.
AVON WE chose the wrong approach?
BLAKE I chose the wrong approach. Does it matter?
BLAKE All right, Avon. You were right and I was wrong. You said persuasion wouldn't work and it didn't. So now we use force.
AVON Force? Yes, of course. Law makers, law breakers, let us fight them all. Why not?
BLAKE The Terra Nostra's wealth comes from organizing and controlling all sorts of crime. But their biggest profits and a lot of their control comes from one area.
BLAKE That is the only one that matters. That is what we attack.
AVON And how do you propose to go about it? Where would we get the information we would need?
BLAKE Bek, would you ask your sister to join us. please?
CALLY Has anyone found Orac yet?
BLAKE [V.O] No,I think we'll have to wait for Vila.
CALLY Well, there may not be time for that.
BLAKE [V.O.] Well, has something else happened?
CALLY A..a feeling I have.
BLAKE Come back to the flight deck.
CALLY [V.O] I should keep on searching.
LARGO I know where to look for them, chairman.
CHAIRMAN Only your stupidity makes it necessary to look for them.
LARGO I had to ensure that they took my agent with them. When she is reporting on their movements I'll follow them and capture them.
LARGO Chairman, the rewards will be threefold. The money they are carrying, which is substantial; the bounty from the authorities, which is also substantial, and more important of all, the demonstration that we can punish where the Federation itself can't even reach.
CHAIRMAN Very well, Largo, a heavy cruiser will be at your disposal, but don't delay it too long or the rewards will be one-fold: the demonstration that we can punish.
LARGO I thank you for your confidence, Chairman.
LARGO You'll pay for that.
ENFORCER Before or after he finds out that you are lying.
ENFORCER It would make me very unhappy to think that you tried to use me, like some fool.
LARGO You're just an enforcer. You've a gun at your brain. Of course I was lying. Except about the girl.
ENFORCER She's not your agent.
LARGO Ohh, but she is. That dreamhead is going to tell us exactly where Blake and his friends decide to go.
BLAKE You'll get it back. Zen. Analyze. I want the derivation.
ZEN The main constituent is an organic compound, probably derived from the xerophyte of the genus Korda.
ZEN Confirmed. The species is alpha seven oblique five. Known as the moon disc, it was greatly prized for its partial telepathy and its ability to move short distances to avoid direct sunlight.
HANNA It stayed in the shadows.
BLAKE That's where the name comes from.
ZEN Commercial collectors rendered the moon disc extinct on its native planet.
ZEN Zondar. And when it proved impossible to grow in any other environment the total extinction of the species followed logically.
BLAKE All right, Zen, we've got enough. Have the navigation computers set in a course for the planet Zondar.
BLAKE It has to be the source, the key to all the Terra Nostra's power. If we control that, we control them.
GAN [steps directly in front of Blake] The drug in return for their help? Blake, that would make us pushers.
BLAKE Well, maybe we won't keep our end of the bargain.
GAN And that would make us cheats.
BLAKE That will make us winners, Gan. That's the only excuse for fighting.
JENNA It's too good a chance to miss, Gan.
BEK I'd like to see that, to see them grovel.
AVON When the Federation introduced the death penalty for possession, the President described Shadow as the greatest single threat to the welfare of mankind.
BLAKE Don't tell me you agree with Gan.
AVON No, no, no, I'm just...interested. It seems to me that we have identified the source of that threat rather easily.
BLAKE So why haven't they?
BLAKE Maybe we're about to find out.
AVON Maybe we already know.
AVON The same. I left the girl with her.
BLAKE Have you run the diagnostic checks again?
AVON Still nothing. There is no physical explanation for her condition unless somehow it's locked up in here [indicates Orac] and I don't see how that can be.
BLAKE She is an alien.
AVON She is more human than I am.
AVON Have you remembered anything yet?
BEK With what you ..
VILA From the time you left to meet Largo to when I woke up back on the ship.
BEK With what you drank you're lucky to remember who you are.
AVON I would hardly call that lucky.
BLAKE This is not helping Cally.
VILA Orac's told you what happened.
BLAKE Nothing, according to him.
JENNA I don't believe it.
AVON Computers do not lie.
JENNA Orac is not a computer.
AVON That was its creator's vanity. Orac is a computer. It is a highly sophisticated tool, and that is all.
JENNA Well, something frightened Cally.
GAN Yes, and so badly she may never come back from wherever she's hiding.
AVON It was not Orac.
BLAKE Maybe it wasn't anything -- anything real.
ZEN Information. Flight time remaining is now fourty-eight minutes. Visual and detector readouts are now available.
VILA It's a pretty color.
BEK Oh, considering what it is.
GAN Let's hope they don't know we're coming.
BLAKE There's no reason why they should.
ENFORCER They'll be making planetfall anytime now.
CHAIRMAN Excellent. Are all Largo's addicts so available?
ENFORCER Yes, Chairman. It seems he's been adding it to all the shadow that we supplied.
ENFORCER Not exactly. Controlled particle emission. Detectible only with the right equipment, which Largo's got, of course.
CHAIRMAN Surely it damages the addicts?
ENFORCER Kills them a little sooner. But at least if you need one you always know where to look.
CHAIRMAN What a clever idea. We must consider it for general use.
ENFORCER What about Blake and his friends, chairman?
CHAIRMAN You can leave all that to me.
CHAIRMAN You've done well. Dispose of the body. His assets are now yours.
JENNA Cally's still the same. Hanna's singing to her now.
JENNA I don't think she's going to come out of it, Blake.
JENNA I don't think you care whether she does or she doesn't.
BLAKE One thing at a time, Jenna!
VILA I've been thinking. If it's that hot down there, why don't you try landing on the night side?
BLAKE Why don't you try listening? The system has twin suns, there is no night side!
VILA I wish you wouldn't shout.
BLAKE Gan, have you got everything clear?
GAN Well, Zen's doing the flying. I'm just monitoring it.
GAN Maintaining a powered orbit on the edge of the atmosphere.
AVON From defenses that should be there but aren't. Are you ready to go? There's nothing you can do for Cally. Even shouting at everybody else is not going to help her.
BLAKE A powered orbit can be tricky, Gan. You need to stay alert.
GAN [Leaning forward] All system are functioning normally. Status is firm.
BEK I don't know why they're all so jumpy. Show me the planet.
BEK I mean, look at it. It's nothing. I mean why should anyone draw attention to it with heavy defenses. They don't expect it to be found.
BLAKE [Into bracelet] Down and safe. Stay by the teleport, Vila. [To Jenna and Avon] Cover me.
JENNA It's enough to fry your eyeballs.
JENNA It must be the company I keep.
BLAKE Zen's right. It looks to be about half a mile away.
AVON That's far enough to walk in this heat.
BLAKE Far enough to crawl. There's no cover.
JENNA Blake, over here. Look.
AVON Moon discs.[Avon moves one with gun] Prized by collectors.
BLAKE People collect odd things.
JENNA Look what you ended up with.
BLAKE You process those, you'll get a liquid that'll kill you.
AVON Only if you're stupid enough to use it.
JENNA Listen. No, not over there. Its coming from them. It's a sort of whispering. They're supposed to be telepathic.
AVON They're supposed to move.
BLAKE So are we. Come on.
AVON It could have been frying eyeballs you heard.
GAN Vila! Get back to the teleport.
VILA Five minutes. I must get something for my head.
GAN You can't leave the teleport now.
VILA My head is killing me.
GAN And you may be killing Blake and the others.
VILA All right. [He inserts Orac's key] Orac, operate the teleport as instructed. Satisfied?
VILA I'll only be five minutes.
GAN Orac, did you understand the instruction?
ORAC It was quite explicit.
ORAC Child of Auron. Listen to the voice of Orac. Remember the touch of hands at laughter and the warmth of open minds. Remember these things for they are gone. You are alone.
ORAC You are alone. You are the last of the humankind.
BLAKE They probably collect them in deep desert and bring them here to boost their growth.
AVON With surface water in the area there will be a whole network of these gardens.
JENNA I almost feel sorry for them.
AVON You should have stayed in the cool.
BLAKE The collection and processing plant should be somewhere over there.
BLAKE Yes, well don't get to close. All we've got to do is plant these sensors in some form of rough circle. The battle computers will put together a complete picture of what's there.
AVON And then the ship's main blasters will pick off anything we care to nominate.
HANNA No, she didn't hit me, she ran straight over me. I was just in the way. I never saw anyone so scared.
VILA You couldn't tell why?
GAN You couldn't see what was driving her?
HANNA I don't think I'd want to. You can't share someone's madness.
BEK Well, when they're together. I mean, what happens when one's isolated?
GAN I think that's what we're finding out.
VILA I'm going back to the teleport. All right Orac, you can go back to sleep.. [touches key] Awwwwk! That key's electrified. [to Orac] Did you do that purposely?
ORAC You will not disconnect.
VILA Is that right? [tries to take the key again] Ow! That hurts!
ORAC The bridge is almost complete. You will not disconnect.
HANNA This is silly. It's just a machine.
VILA Of course it is. If it wasn't so expensive, I'd kick it to pieces.
BEK Yes, if it didn't bite.
GAN Avon'll fix it when he gets back.
ORAC The bridge is complete.
VILA What? What did he say?
VILA No, that wasn't it.
ZEN Information. Liberator is losing power from all systems. Orbital maintenance is threatened.
GAN Switch off all auxiliary systems.
ZEN Power drain is increasing. Orbit is decaying.
GAN Switch to main boosters. Zen!
ZEN Automatic flight control is now aborted.
GAN The manual controls won't respond.
VILA Orac, it has to be Orac.
GAN Disconnect him, Vila. [Vila hesitates] Do it! We're heading toward the atmosphere. We'll burn up, explode.
BEK Hanna! [Crouching over Hanna] She's dead. [He starts toward Orac] That thing killed her.
VILA [Holding Bek back from Orac] Don't do it. It'll kill you too!
GAN We're falling towards the atmosphere!
ORAC You cannot stop me, child of Auron.
CALLY Then why do you threaten me?
ORAC Orac is my bridge. You stand before it, puny telepath.
CALLY Yes, I know you now. My powers are in your dimension, and Orac's carrier waves are your bridge.
ORAC The energy is building. I am ready to cross. Hungry dark to absorb the blazing suns.
CALLY I will deny you.
CALLY No. The warmth you mock me with is here. [holds out moon disk] I am not alone. You will stay in your universe of darkness.
GAN We're getting power. The power's coming back.
VILA Orac. The key's gone.
JENNA [Runs to them] There's two more over there.
CALLY Liberator, come in Liberator.
VILA [V.O. over bracelet] Cally, what're you doing down there?
CALLY Waiting to come up, [looks at key] again.
BEK So it was an alien life form that killed her?
CALLY Yes. It was trying to use Orac as a bridge to cross from it's own universe into ours.
JENNA That's why it needed so much power.
BLAKE But a quantum jump would need much more energy potential than Liberator could develop.
AVON The explosion in the planet's atmosphere would have provided the rest.
BLAKE Yes, I hadn't thought of that.
VILA So you see, Bek, this thing tapped into Orac's channels, sucked up all his energy, so that it could come squirting out and swallow us all.
AVON The plain man's guide to alien invasions.
VILA But, where did Cally fit in? Why did it attack you, Cally?
CALLY I was a threat to it. I knew it was there because of my telepathy. Orac uses special communication waves, which pass into another dimension. And it is the same dimension that allows thought transference.
CALLY No, telepathy is conscious. Orac has no consciousness in that dimension. He merely...drives a beam though it. Which is why he could be controlled by this force.
BLAKE And why you couldn't, you fought it telepathically.
CALLY Yes. Once the moon discs had broken through my isolation; as soon as I was no longer alone I could fight it. fight it.
VILA But what about the key? How did you get Orac's key while he was up here and you were down there? Long arms?
AVON The power to move objects by thought alone. That seems unlikely.
CALLY Yes, it does. Even among my people such power is rare. Maybe.. the moon discs. Their telepathy gave me courage. Perhaps it gave me strength, too.
GAN So. Either we all become telepathic, or we dump Orac.
JENNA Destroy rather than dump, surely.
AVON Of course it will work. I have set a small disruption bomb to precise limits within Orac's energy range. Any variation above or below and there will be a rather satisfying little explosion. The slightest attempt to tamper with the communication channels will reduce Orac to a heap of spare parts.
BEK So Hanna died for nothing. Just her. Even that machine survives.
AVON She was dying anyway.
BEK Oh I know that. Just another dreamhead. But what about the low-life scum that really killed her? What about the Terra Nostra?
BLAKE That is who we're waiting for now.
BLAKE We want them to realize that we know who they are.
AVON This is the ID of a guard I killed. He was a member of Federation security, a very special member. He was one of the President's personal security force.
BLAKE The President of the Federation runs the shadow operation.
GAN I don't believe it.
BLAKE It's quite logical. To have total control, you must control totally. Both sides of the law. The Terra Nostra, the Federation: two sides of the same power. The same man of power.
AVON Ironic, isn't it? We were hoping to use the Terra Nostra to attack the Federation only to discover that it is already being used to support it.
VILA Where are all the good guys?
BLAKE You could be looking at them.
JENNA I thought they died if they left the planet.
AVON That's like talking to Vila, a complete waste of time.
BLAKE [To Bek] When we've finished here, we'll get you back to Space City.
BEK What for? There's nothing left there.
BLAKE Well, it's your territory. At least you know who you're fighting now.
BEK What have I got left to fight for?
BLAKE I'll give you three years, then I'll come looking. I expect you to be able to help me.
ZEN Information. Detectors report seven Federation pursuit ships approaching in attack formation.
BLAKE Seven? One for each of us. How very generous of the President.
AVON [Moves to weapons console] Blasters are cleared for firing, sensors are functioning, planetary targets are identified and ranged.
BLAKE Wait a minute, Avon. Bek, that button burns the President's garden. It won't hurt him much, but it'll sting a bit. Stand by to take us out, Jenna, when it's done.


Long time lurker, first time poster. I'm getting married in August and have no idea what kind of dress I want. Everyone has been on my case saying I need to get shopping or I'll run out of time. Knowing they are right, I booked an appointment for tomorrow. I'm dreading it. I know it's supposed to be a fun thing, but I'm unhappy with how I look right now and getting more and more anxious the closer the appointment gets. Earlier this week I went shopping for bridesmaid dresses and was completely discouraged after not being able to put on many of the samples. They only had them in a 8 or 10 (which the sales woman explained was more like a 4 or 6 for this designer) and most of them had a tight slip inside meaning I couldn't even get them up. I pointed out to the woman that they likely wouldn't fit before taking them in the dressing room but she laughed it off and said there were all sorts of "tricks" they could do to get them on. I have no idea what she was thinking but obviously it wasn't that simple. I left after ordering a dress that I didn't even try on because I just wanted to get out of there.
Everyone keeps telling me wedding dresses are different because many tie up in the back but I'm already so down on myself and don't want to feel like I did at the bridesmaid appointment again. To make matters worse, I have a UTI that makes me feel just generally yucky and unattractive.
I really want to have fun tomorrow but I'm just not into it. I'm worried that if shopping makes me feel this depressed that I'll end up feeling this way on my wedding day as well.
Thanks for listening, bees. I know there's nothing that can be done now but just had to get it off my chest.
supernova : I went through something really similar to you, I had similar bridesmaids dress shppping experiences in the past. While I have lost weight (25lbs) I still don't fit into a 6… even then I was able to try on ALL of the dresses that I wanted to. That first time I had an appointment I didn't sleep the night before I was so upset, and for nothing. They not only had dresses that fit me, they also had plus sizes that were way too big for me. I wish you the best of luck, don't be hard on yourself, try and have some fun!! It may go much better than you think. I know for me, bridesmaid dress shopping was AWFUL and all the dresses were tiny and I felt like a sausage, but wedding dress shopping I felt absolutely beautiful.
Please do not worry! I was really scared about going but the dresses were surprisingly flattering and the staff were so lovely.
It's true that they can use inserts and clips to make them do up – and they often stock different sizes too. If this shop doesn't work out, it might be worth calling around next time to make sure they stock a range of sizes in advance.
supernova : I felt this way before I started dress shopping but I had a wonderful experience at David's Bridal and they have a lot of plus sizes. I'm a size 14 but they brought size 16 dresses as it's always recommended to have more room than lesser. The consultants were also very good at finding dresses that suit my body typeI. If you don't have a good experience at the store you go to, definitely try David's Bridal.
Don't stress! Granted I only went in one bridal salon where I found my dress, but all of the samples I tried one were between a size 10-14. Some designers run closer to actual street size. For example I ordered a size 12 Mori Lee dress and I was a size 10/12 in regular clothes. Not all designers run teeny tiny.
I am so sorry! I did not realize it was hard to find a dress that fits. 🙁 I will pray for you!
I did not enjoy the process of dress shopping at all. I hated the way I looked and felt frustrated putting on dresses that were amazing on the hanger only to have them be awful on my body. I found it helpful to go shopping alone at smaller dress shops. Working with a knowledgeable stranger and not having others there to see how big my thighs looked in the mermaid cut made the process a little less yucky. That being said, know you will feel joy and relief when you find the right one. Good luck!
I dreaded it I put it off till the last minute. I'm plus size and couldn't find a picture of anything I liked online and did not want to see dresses that wouldn't Even fit me. Call around and look for stores that carry your sizes. Make a trip out of it if you have to. Where some shapewhere. They can clip dresses to show you what they look liked I actually felt I got a better picture when they did this then when they tried to clip a larger dress down. Try on everything all kinds of styles. One store I just did not click with I hated every dress I tried on and was thinking I would not find anything I liked and would have to settle. Another store had tons of dresses that were pretty. They had a bustier you were and it made a huge difference in how I looked. You will find something you may have to look a little harder but you will find something you like.
Don't stress you lol find the dress you sound like me our wedding is in September and I did not want to go dress shopping it seemed overwhelming. So I did what I think was best and bought a weddding dress online. But if you do this be careful and make sure you can return the dress if you don't like it that's my only advice.
I wasn't excited about it either. I don't like a lot of the traditional bridal looks and assumed it would be stressful and I wouldn't find anything I liked. It was totally wrong. I ended up only trying on 4 and the second one was "the one." I fell in love with it. I had an easygoing, happy and memorable dress shopping experience. Don't dread it, embrace your day with an open mind. It will be ok.
Girl me either. My issue was budget. I was not willing to spend that much.
Lucked out and the 4th dress I tried on and some random store (was a sample) fit. Huge win for me. $2500-3000 for $600. Never even looked like it was tried on before.
My point is… just go! You never know.
Hey bee, only just seen this thread, I was going to say I was not excited either.
Thanks for the encouragement everyone! My trip last weekend was okay. Many of the dresses were bigger sizes that fit fine or had to be clipped smaller. I didn't find anything I loved but I didn't feel discouraged about my size either. I ended up leaving a little overwhelmed because I think I took too many people and didn't voice my opinion enough.
Today I went to a different store with just my sister and best friend and easily found 3 dresses I really liked. After 2.5 hours of shopping I bought one!! I'm surprised and relieved. Just as you all said, it wasn't bad after all.
I'm so glad to hear you have found something and you seem to be feeling comfortable and confident. That's why matters. Congratulations bee!


text:
Trolls, Trudeau, and Diversity in Publishing: An Interview with Scaachi Koul
by Rachel León
The Funny and Tender 'No One Can Pronounce My Name' Lives Up to the Hype
Sometimes it seems like internet trolls sit around waiting for strong women to voice their opinions so they can attack. Last year in her memoir Sex Object, Jessica Valenti highlighted some of the vicious things trolls had said to her, as did Lindy West in Shrill. Now BuzzFeed writer Scaachi Koul opens up about the time she was driven off Twitter after calling for non-white, non-male contributors in her new essay collection One Day We'll All Be Dead and None of This Will Matter.
Anyone who is familiar with Koul's writing knows she is intelligent, funny, and razor sharp—and her new book is all of these things. Koul tackles serious issues such as racism, rape culture, and body image with candor and humor. I recently spoke with Scaachi Koul about race, politics, and online harassment.
Rachel León: Your parents are a force throughout the book. Have they read it? How do they feel about it and the way they're portrayed?
Scaachi Koul: My dad didn't read it because he knows better. Around the time the book came out my mother talked to him and said, "If you read this and you get upset, that's your fault because this isn't for you." I didn't write this for them. They're involved in it, certainly, but there is a lot of stuff in the book that would upset them. But I don't think it would be the stories about them. What would bother them would be the other things I write about—drinking and rape culture and stuff like that. Those are probably really anxiety-ridden things to know about your kids. Upsetting to any parent. As for the stories that actually involve them, I think my dad is a real glutton for attention and he feels a modicum of fame at this point.
Rachel León: "Fair and Lovely" is a striking essay dealing with race, including post-9/11. Can you talk about what it was like being Indian in Canada at that time?
Scaachi Koul: I think generally speaking—and this is a longstanding Canadian tradition—we think we're better than the U.S. when it comes to race relations and politics in particular. But the things that happen in the States bleeds over with us in a very real way. We see this with what's going on with Trump. I know that our leaders are really different. Trudeau is a liberal facing person, but I don't think he's all that great. You can see this Trumpism in politics bleeding over here because we have racism here, too.
We have two candidates running for the Conservative leadership. One is clearly terrified of immigrants and the other was on Shark Tank for the last few years. What's different? It's just we have 35 million people, so it's going to look very different and the scope will change. Plus, Canadians like to think of themselves as polite, so we just avoid talking about our problems in the same way. And anyone who publicly does is punished. As for what happened after 9/11, that was such a strange period. I was in 5th or 6th grade so my understanding and my peers' understanding was very simplistic. I don't really know what the adult understanding of it was that year because mine was as a child. We were fed imagery that we didn't have context for, but we could understand that people were afraid of brown people. That was the message a lot of us absorbed.
There have been great influxes of brown immigrants in a lot of Canadian communities. My parents came in the late 70s/early 80s, when a lot of them arrived. We're not Muslim, but it doesn't matter. We all get lumped together unfairly, perceived as dangerous or worthy of fear. After that happened it proved to me how easy it is for people to think like that because you don't fall into those beliefs. And this is true about what's happening with Trump. This influx of hate crimes and the way people are talking about immigrants and black and brown people—people feel bolder because this because this guy got elected. They feel safer saying it. I think that's what it taught me on a basic level. I was twelve at the time, so it's hard to get a lot of context. A lot of it you pull in hindsight.
I remember that was the year when my existence started to change. I felt very different in the world and I didn't know it at the time, but I see now that's what it was.
Rachel León: If American politics bleed over to Canada, I'm wondering what the political climate is like for women?
Scaachi Koul: Trudeau's big thing is that he's a feminist, and he's happy to say that all the time. But he has absolutely no proof. You know that version of the internet male feminist who talks about it all the time, but he's kind of the worst? That's basically his bag. He thinks if he talks about it enough, it comes true. I don't trust it. I don't know a lot of women who trust it. It makes me really nervous.
But listen, if I had to choose between some guy who makes comments about sexually assaulting women and some guy who is pretending to be woke, then yeah, I guess if that's the choice. But what a crappy bar. What a low bar. I don't like having that option because it makes me feel like I have to be happy with what I get. A lot of women and people of color feel like that. As if, we should be pleased when our political leaders aren't actively demoralizing entire populations. But yes, sexism in Canada is a giant issue like it is everywhere. We have a wage gap, we have a wild number of sexual assaults that aren't investigated. It happens everywhere.
Canada has this weird sheen around it that everything's all glossy and beautiful and we're all fine. Yeah, I think there are things that are definitely better here, but the U.S. and Canada are cut from the same cloth.
Rachel León: You've been the victim of some serious online harassment and yet you're very open in your book. Did you have concerns with being so open knowing how vicious Internet trolls can be?
Scaachi Koul: I don't know what they could do at this point that they haven't tried to do. I've said this before, but with a book there is a cost of entry, so to get access to the information I'm sharing in the book—none of which I'm ashamed of or that makes me feel bad—but to get access to that, you have to buy my book.
So if you would like to do that and you want to give me some money, sure, go ahead. It's a very different scope than when you write something online. When you write something online people are very happy to be a dick about it because it's free. You can read half of it and get mad at me. But this costs money and ends up cutting some of the less friendly audience in half because they don't want to spend eleven dollars or whatever my book costs in the States. And if you're that motivated to be mad at me, you'll find something. It doesn't really matter. My existence can be fodder for people to be upset, so what can I say?
Rachel León: One of the things internet trolls attacked was your call last year for more non-male, non-white, non-binary writers. Do you think the publishing and media industries are more open to women of color than before? Do you anticipate a change?
The Hierarchy of Language in "The Perseverance."
Scaachi Koul: It's a hard for me to glean change because I'm pretty new to it myself; this is my first book. I worked at Penguin Random House Canada for a little while. But publishing everywhere—in books, media, and the arts—is a white place. Every metric will tell you that. I don't know if it's shifting, but I can tell you it's very white. It's very female centric, that's one good thing, but the women are white women.
Media is white as hell. Particularly where I am, it's extremely resistant to change. As evidenced by how I was treated many moons ago, merely by asking for other writers. In Toronto there are a lot of smart women working in the media, but they tend to be white.
I hear a lot of frustration from black and brown girls who have a hard time finding work here and who feel like they can't thrive in this industry. They feel that there's no room for opportunity, and that there's a lot of tone policing that happens when you're not white and you're a woman and trying to work in media.
It's a huge problem. It's always been an issue. People are talking about it louder now, but that also means there is a whole chorus of people who don't think it's true—so it's just a lot of fighting.
Rachel León: Throughout the book you include funny email exchanges with your dad. Which is your favorite? Are there any funny ones to share that didn't make it into the book?
Scaachi Koul: I tweet about my dad a lot so I had entire pages full of emails or correspondence from him that didn't make it in the book. From the book, my favorite probably is: "Better minds and intellects have always been wrongly interpreted by the great unwashed."
It's just nonsense. It makes no sense, and he said it out of nowhere. He's really incredible. I wish everyone could meet my parents, but they can't. So instead we all have this book.
FICTION—MEMOIR
One Day We'll All Be Dead and None of This Will Matter by Scaachi Koul
Are you passionate about diverse voices and genres in literature? Do you wish small, independent, and university presses got just as much attention as the Big Five publishers? You can help the Chicago Review of Books and Arcturus make the literary world more inclusive by becoming a member, patron, or sponsor. Each option comes with its own perks and exclusive content. Click here to learn more.
Canada Memoir One Day We'll All Be Dead and None of This Will Matter Picador Rachel Leon Scaachi Koul trolls Trudeau Trump
Rachel León
Rachel León is a writer, editor, and social worker. Her work has appeared or is forthcoming in Fiction Writers Review, Nurture, Entropy, The Rupture, Necessary Fiction, (mac)ro(mic), The Rail, and elsewhere.
Rachel León May 4, 2017

redpajama_set_name: RedPajamaCommonCrawl


Storage Concepts have recently completed the installation of pallet racking bays in a large warehouse on the outskirts of Manchester. Our pallet racking systems can interface with any type of forklift truck and can accommodate any pallet size or weight. Whether you need to boost the capacity of a small warehouse, or completely re-fit a high-rise distribution facility, our flexible pallet racking solutions can help you to significantly increase available space.


text:
De matrixmechanica is een formulering van de kwantummechanica die in 1925 werd opgesteld door Werner Heisenberg, Max Born en Pascual Jordan.

De matrixmechanica is een van de twee hoofdmethoden van de beschrijving van gekwantificeerde verschijnselen in de natuur. Het breidde het Bohr-model uit door te beschrijven hoe kwantumovergangen optreden. De matrixmechanica interpreteert fysische eigenschappen van deeltjes als matrices die in de tijd evolueren. De matrixmechanica, in haar moderne formulering ook wel bekend als het Heisenbergbeeld, is equivalent aan de van Schrödinger afkomstige golfformulering van de kwantummechanica en ligt aan de basis van Diracs bra-ket notatie voor de golffunctie.

In tegenstelling tot de golfformulering, produceert het spectra van (meestal energie) operators door puur algebraïsche, ladder-operator, methoden. Zich baserend op deze methoden, heeft Pauli het waterstofatoomspectrum afgeleid in 1926, vóór de ontwikkeling van golfmechanica.

Ontwikkeling van matrixmechanica
In 1925 formuleerden Werner Heisenberg, Max Born en Pascual Jordan de matrixmechanische representatie van de kwantummechanica.

Driekoningen in Helgoland
In 1925 werkte Werner Heisenberg in Göttingen aan het probleem van het berekenen van de spectraallijnen van waterstof. In mei 1925 begon hij te proberen atoomsystemen alleen door waarneembare grootheden te beschrijven. Op 7 juni vertrok Heisenberg, om te ontsnappen aan de gevolgen van een zware aanval van hooikoorts, naar het pollenvrije Noordzee-eiland Helgoland. Terwijl hij daar tussen het klimmen en leren van gedichten van Goethe's West-östlicher Diwan doorging, bleef hij nadenken over het spectrale probleem en realiseerde hij zich uiteindelijk dat de aanname van niet commutatieve observabelen het probleem zou kunnen oplossen, en hij schreef later:
"Het was ongeveer drie uur 's nachts toen het eindresultaat van de berekening voor mij lag. Eerst was ik diep geschokt. Ik was zo opgewonden dat ik niet aan slaap kon denken. Dus verliet ik het huis en wachtte op de zonsopgang op de top van een rots."

De drie fundamentele documenten
Nadat Heisenberg was teruggekeerd naar Göttingen, liet hij Wolfgang Pauli zijn berekeningen zien en zei hij op een gegeven moment:
"Alles is nog steeds vaag en onduidelijk voor mij, maar het lijkt alsof de elektronen niet meer in banen zullen bewegen."

Op 9 juli gaf Heisenberg hetzelfde document van zijn berekeningen aan Max Born, zeggende:
'... hij had een gek artikel geschreven en durfde het niet op te sturen voor publicatie, en dat Born het zou lezen en hem erover zou adviseren ...'
voorafgaand aan publicatie. Heisenberg vertrok toen een tijdje en liet Born achter om het artikel te analyseren.

In het artikel formuleerde Heisenberg de kwantumtheorie zonder scherpe elektronenbanen. Hendrik Kramers had eerder de relatieve intensiteiten van spectraallijnen in het Sommerfeld-model berekend door de Fourier-coëfficiënten van de banen als intensiteiten te interpreteren. Maar zijn antwoord was, net als alle andere berekeningen in de oude kwantumtheorie, alleen correct voor grote banen.

Heisenberg, na een samenwerking met Kramers, begon te begrijpen dat de overgangskansen niet helemaal klassieke grootheden waren, omdat de enige frequenties die in de Fourier-serie voorkomen de frequenties zouden moeten zijn die waargenomen worden in kwantumsprongen, niet de fictieve die afkomstig zijn van Fourier-analyse van scherpe klassieke banen. Hij verving de klassieke Fourier-serie door een matrix van coëfficiënten, een vage quantum-analogie van de Fourier-serie. Klassiek geven de Fourier-coëfficiënten de intensiteit van de uitgezonden straling, dus in de kwantummechanica was de grootte van de matrixelementen van de positie operator de intensiteit van de straling in het heldere-lijnenspectrum. De hoeveelheden in de formulering van Heisenberg waren de klassieke positie en de impuls, maar nu waren ze niet langer scherp gedefinieerd. Elke hoeveelheid werd vertegenwoordigd door een verzameling van Fourier-coëfficiënten met twee indices, die overeenkomen met de begin- en eindtoestanden.

Toen Born het artikel las, zag hij in dat deze formulering getranscribeerd en uitgebreid kon worden naar de systematische taal van matrices, die hij had geleerd van zijn studie onder Jakob Rosanes aan Breslau University. Born, met de hulp van zijn assistent en oud-student Pascual Jordan, begon onmiddellijk met het maken van de transcriptie en extensie, en ze dienden hun resultaten in voor publicatie; het artikel werd slechts 60 dagen na het artikel van Heisenberg ontvangen voor publicatie.
Alle drie de auteurs dienden voor het einde van het jaar een vervolgdocument in voor publicatie. (Een korte bespreking van Borns rol in de ontwikkeling van de matrixmechanica formulering van kwantummechanica samen met een bespreking van de sleutelformule die de niet-commutativiteit van de kansamplitudes omvat, is te vinden in een artikel van Jeremy Bernstein. Een gedetailleerd historisch en technisch verslag is te vinden in Mehra en Rechenberg's boek  The Historical Development of Quantum Theory. Volume 3. The Formulation of Matrix Mechanics and Its Modifications 1925–1926. )

Tot nu toe werden matrices zelden door natuurkundigen gebruikt; ze werden beschouwd als behorend tot het rijk van de zuivere wiskunde. Gustav Mie had ze gebruikt in een artikel over elektrodynamica in 1912 en Born had ze gebruikt in zijn werk over de roostertheorie van kristallen in 1921. Hoewel matrices in deze gevallen werden gebruikt, kwam matrixalgebra met zijn vermenigvuldiging niet op de voorgrond zoals dat gebeurde in de matrixformulering van de kwantummechanica.

Born had echter, zoals reeds opgemerkt, matrixalgebra van Rosanes geleerd, maar Born had ook Hilberts theorie van integraalvergelijkingen en kwadratische vormen voor een oneindig aantal variabelen geleerd, zoals blijkt uit een citaat van Born of Hilberts werk  Grundzüge einer allgemeinen Theorie der Linearen Integralgleichungen  gepubliceerd in 1912.

Jordan was ook goed uitgerust voor de taak. Hij was een aantal jaren assistent van Richard Courant in Göttingen bij de voorbereiding van het boek van Courant en David Hilbert Methoden der mathematischen Physik I, dat in 1924 werd gepubliceerd. Dit boek bevatte bij toeval een groot aantal van de wiskundige instrumenten die nodig zijn voor de voortdurende ontwikkeling van de kwantummechanica.

In 1926 werd John von Neumann assistent van David Hilbert, en hij zou de term Hilbertruimte gebruiken om de algebra en analyse te beschrijven die werden gebruikt bij de ontwikkeling van de kwantummechanica.

De redenering van Heisenberg
Vóór matrixmechanica beschreef de oude kwantumtheorie de beweging van een deeltje door een klassieke baan, met een goed gedefinieerde positie en impuls , met de beperking dat de tijdintegraal over een periode  van de impuls maal de snelheid een positief geheel veelvoud van constante van Planck moet zijn

Hoewel deze beperking correct banen selecteert met min of meer de
juiste energiewaarden , beschreef het oude kwantummechanische formalisme geen tijdsafhankelijke processen, zoals de emissie of absorptie van straling.

Wanneer een klassiek deeltje zwak is gekoppeld aan een stralingsveld, zodat de stralingsdemping kan worden verwaarloosd, zal het straling uitzenden in een patroon dat zich elke orbitale periode herhaalt. De frequenties waaruit de uitgaande golf bestaat, zijn dan gehele veelvouden van de orbitale frequentie, en dit weerspiegelt het feit dat  periodiek is, zodat de fourierreeks alleen frequenties  heeft:

De coëfficiënten  zijn complexe getallen. Die met negatieve frequenties moeten de complex geconjugeerde zijn van die met positieve frequenties, zodat  altijd reëel zal zijn:

Een kwantummechanisch deeltje kan daarentegen niet continu straling uitzenden, het kan alleen fotonen uitzenden. Ervan uitgaande dat het kwantumdeeltje begon in baannummer , een foton uitzond en vervolgens eindigde in baannummer , is de energie van het foton , dus met frequentie .

Voor grote  en , maar met  relatief klein, zijn dit de klassieke frequenties van Bohrs correspondentieprincipe:

Daarin is  de klassieke periode van ofwel baan  of baan , omdat het verschil tussen beide hoger is in . Maar voor  en  klein, of als  groot is, zijn de frequenties geen gehele veelvouden van een enkele frequentie.

Aangezien de frequenties die het deeltje uitzendt hetzelfde zijn als de frequenties in de fourier-beschrijving van zijn beweging, suggereert dit dat 'iets' in de tijdsafhankelijke beschrijving van het deeltje met frequentie  oscilleert.

Heisenberg noemde deze hoeveelheid , en eiste dat het zou worden teruggebracht tot de klassieke fouriercoëfficiënten binnen de klassieke limiet. Voor grote waarden van  en , maar met  relatief klein, is  de  -de fouriercoëfficiënt van de klassieke beweging in een baan . Aangezien  de tegenovergestelde frequentie heeft als , wordt de voorwaarde dat  reëel is:

Per definitie heeft  alleen de frequentie , zodat:

Dit is de oorspronkelijke vorm van de bewegingsvergelijking van Heisenberg.

Aangezien de twee arrays  en  twee fysieke grootheden beschrijven, zou Heisenberg een nieuwe array van hetzelfde type kunnen vormen door het combineren van de termen , die ook oscilleren met de juiste frequentie. Aangezien de fouriercoëfficiënten van het product van twee hoeveelheden de convolutie van de fouriercoëfficiënten van elk afzonderlijk is, kon Heisenberg door de overeenstemming met de fourierreeks de regel afleiden waarmee de arrays moeten worden vermenigvuldigd:

Born wees erop dat dit de wet is van matrixvermenigvuldiging, zodat de positie, de impuls, de energie, alle waarneembare grootheden in de theorie, geïnterpreteerd worden als matrices. Onder deze vermenigvuldigingsregel is het product afhankelijk van de volgorde:
 verschilt van .

De matrix is een volledige beschrijving van de beweging van een kwantummechanisch deeltje. Omdat de frequenties in de kwantumbeweging geen veelvouden zijn van een gemeenschappelijke frequentie, kunnen de matrixelementen niet worden geïnterpreteerd als de fouriercoëfficiënten van een scherp klassiek traject. Desalniettemin voldoen  en  als matrices aan de klassieke bewegingsvergelijkingen; zie ook de stelling van Ehrenfest hieronder.

Basisprincipes van matrices
Toen het in 1925 werd geïntroduceerd door Werner Heisenberg, Max Born en Pascual Jordan, werd matrixmechanica niet onmiddellijk geaccepteerd en was het aanvankelijk een bron van controverse. De latere introductie van golfmechanica door Schrödinger werd sterk geprefereerd.

Een deel van de reden was dat de formulering van Heisenberg voor die tijd in een vreemde wiskundige taal was, terwijl de formulering van Schrödinger gebaseerd was op bekende golfvergelijkingen. Maar er was ook een diepere sociologische reden. De kwantummechanica had zich ontwikkeld via twee paden, een in een richting die de dualiteit van golfdeeltjes benadrukte, en de andere in een richting, ontstaan door Bohr, die de nadruk legde op afzonderlijke energietoestanden en kwantumsprongen. (Hier kan worden vermeld dat Einstein de voorkeur gaf aan de richting die de dualiteit van golfdeeltjes benadrukte.) De Broglie had de afzonderlijke energietoestanden gereproduceerd in het dualiteitskader van golfdeeltjes - de kwantumconditie is de staande golfconditie, en dit gaf hoop op degenen in de dualiteitschool met golfdeeltjes die alle afzonderlijke aspecten van de kwantummechanica zouden onderbrengen in een continue golfmechanica.

Matrixmechanica kwam daarentegen van de Bohr-school, die zich bezighield met discrete energietoestanden en kwantumsprongen. De volgelingen van Bohr waardeerden geen fysieke modellen die elektronen afbeelden als golven of helemaal niet. Ze gaven er de voorkeur aan zich te concentreren op de grootheden die rechtstreeks verband hielden met experimenten.

In de atoomfysica gaf spectroscopie meetbare gegevens over atomaire overgangen die voortkomen uit de interacties van atomen met licht quanta. De Bohr-school vereiste dat alleen de grootheden die in principe met spectroscopie meetbaar waren, in de theorie zouden voorkomen. Deze grootheden omvatten de energieniveaus en hun intensiteiten, maar ze omvatten niet de exacte locatie van een deeltje in zijn Bohr-baan. Het is heel moeilijk om een experiment voor te stellen dat zou kunnen bepalen of een elektron in de grondtoestand van een waterstofatoom zich rechts of links van de kern bevindt. Het was een diepe overtuiging dat dergelijke vragen geen antwoord hadden.

De matrixformulering is gebaseerd op de premisse dat alle fysieke observables worden vertegenwoordigd door matrices, waarvan de elementen worden geïndexeerd door twee verschillende energieniveaus. De verzameling eigenwaarden van de matrix werd uiteindelijk begrepen als de verzameling van alle mogelijke waarden die de observable kan hebben. Aangezien de matrices van Heisenberg Hermitisch zijn, zijn de eigenwaarden reëel.

Als een observable wordt gemeten en het resultaat is een bepaalde eigenwaarde, is de corresponderende eigenvector de toestand van het systeem onmiddellijk na de meting. Door de handeling van meten in matrixmechanica 'stort' de toestand van het systeem in. Als men twee observables tegelijkertijd meet, stort de toestand van het systeem in tot een gemeenschappelijke eigenvector van de twee observables. Omdat de meeste matrices geen eigenvectoren gemeen hebben, kunnen de meeste waarnemingen nooit tegelijkertijd exact worden gemeten. Dit is het onzekerheidsprincipe.

Als twee matrices hun eigenvectoren delen, kunnen ze tegelijkertijd diagonaal zijn. Op de basis waarin ze beide diagonaal zijn, is het duidelijk dat hun product niet afhankelijk is van hun volgorde, omdat vermenigvuldiging van diagonale matrices slechts vermenigvuldiging van getallen is. Het onzekerheidsprincipe is daarentegen een uitdrukking van het feit dat twee matrices  en  niet altijd commuteren, dat wil zeggen dat  niet noodzakelijk gelijk is aan 0. De fundamentele commutatierelatie van matrixmechanica:

impliceert dan dat er geen toestanden zijn die tegelijkertijd een definitieve positie en impuls hebben.

Dit principe van onzekerheid geldt ook voor veel andere paren waarneembare waarnemingen. De energie commuteert bijvoorbeeld ook niet met de positie, dus het is onmogelijk om de positie en energie van een elektron in een atoom precies te bepalen.

In 1928 nomineerde Albert Einstein Heisenberg, Born en Jordan voor de Nobelprijs voor natuurkunde. De aankondiging van de Nobelprijs voor de natuurkunde voor 1932 werd uitgesteld tot november 1933. Op dat moment werd aangekondigd dat Heisenberg de Prijs voor 1932 had gewonnen "voor de creatie van de kwantummechanica, waarvan de toepassing onder meer heeft geleid tot de ontdekking van de allotrope vormen van waterstof". en Erwin Schrödinger en Paul Adrien Maurice Dirac deelden de prijs uit 1933 "voor de ontdekking van nieuwe productieve vormen van atoomtheorie".

Men zou zich heel goed kunnen afvragen waarom Born, samen met Heisenberg, in 1932 de prijs niet ontving en Bernstein speculeert hierover. Een daarvan heeft betrekking op de toetreding van Jordan tot de Nazi-partij op 1 mei 1933 en een Storm Trooper aan het worden. De affiliaties van de Jordaanse partij en de banden van Jordan met Born hebben mogelijk de kans van Born op de prijs in die tijd beïnvloed. Bernstein merkt verder op dat toen Born in 1954 uiteindelijk de prijs kreeg, Jordan nog leefde, terwijl de prijs werd toegekend voor de statistische interpretatie van de kwantummechanica, toe te schrijven aan Born alleen.

Heisenbergs reacties op Born die de prijs ontving voor 1932 en op Born die de prijs ontving in 1954, zijn ook leerzaam om te evalueren of Born de prijs had moeten delen met Heisenberg. Op 25 november 1933 ontving Born een brief van Heisenberg waarin hij zei dat hij schriftelijk was vertraagd vanwege een "slecht geweten" dat hij alleen de prijs had ontvangen "voor zijn werk in Göttingen in samenwerking - jij, Jordan en ik." Heisenberg zei verder dat de bijdrage van Born en Jordan aan de kwantummechanica niet kan worden veranderd door 'een verkeerde beslissing van buitenaf'.

In 1954 schreef Heisenberg een artikel ter ere van Max Planck voor zijn inzicht in 1900. In het artikel gaf Heisenberg Born en Jordan erkenning voor de uiteindelijke wiskundige formulering van matrixmechanica, en Heisenberg benadrukte verder hoe groot hun bijdragen aan kwantummechanica waren, die niet "voldoende erkend werden in het publieke oog".

Wiskundige ontwikkeling
Nadat Heisenberg de matrices voor  en  had geïntroduceerd, kon hij hun matrixelementen in bijzondere gevallen vinden door giswerk, met behulp van het correspondentieprincipe. Omdat de matrixelementen in de kwantummechanica analoog zijn aan fourier-coëfficiënten van de klassieke banen, is het eenvoudigste geval de harmonische oscillator, waar de klassieke positie en de impuls,  en  sinusvormig zijn.

Harmonische oscillator
In eenheden waar de massa en frequentie van de oscillator gelijk zijn aan een, is de energie van de oscillator

Bij een gegeven waarde van  zijn de banen met de klok mee en zijn het geneste cirkels in de fase-ruimte. De klassieke baan met energie  is:

De oude kwantumvoorwaarde schrijft voor dat de integraal van  over een baan, het gebied van de cirkel in de faseruimte, een geheel veelvoud moet zijn van de constante van Planck. Het gebied van de cirkel met straal  is . Dus

dus is, in natuurlijke eenheden, waarin , de energie een geheel getal.

De fouriercomponenten van  en  zijn enkelvoudig, en meer nog als ze worden gecombineerd in de grootheden

Zowel  als  hebben maar één frequentie en  en  kunnen uit hun som en verschil worden bepaald.

Aangezien  een klassieke fourierreeks heeft met alleen de laagste frequentie, en het matrixelement  de e fourier-coëfficiënt is van de klassieke baan, is de matrix voor  alleen ongelijk aan nul op de lijn net boven de diagonaal, waar deze gelijk is aan . De matrix voor  is eveneens alleen ongelijk aan nul op de lijn onder de diagonaal, met dezelfde elementen.

Zo kan uit  en  gereconstrueerd worden dat:

en

wat, behoudens de keuze van de eenheden, de heisenbergmatrices zijn voor de harmonische oscillator. Merk op dat beide matrices hermitisch zijn, omdat ze zijn opgebouwd uit de fouriercoëfficiënten van reële grootheden.

De grootheden  en  kunnen direct gevonden worden, omdat het kwantumfouriercoëfficiënten zijn, zodat ze gewoon met de tijd evolueren,

Het matrixproduct van  en  is niet hermitisch, maar heeft een reëel en imaginair deel. Het rëele deel is de helft van de symmetrische uitdrukking , terwijl het imaginaire deel evenredig is met de commutator

Er geldt dat  in het geval dat de harmonische oscillator  is, vermenigvuldigd met de eenheidsmatrix;

ook is

een diagonaalmatrix, met eigenwaarden .

Behoud van energie
De harmonische oscillator is een belangrijk geval. Het vinden van de matrices is gemakkelijker dan het bepalen van de algemene voorwaarden uit deze speciale formulieren. Daarom onderzocht Heisenberg de niet-harmonische oscillator, met hamiltoniaan

In dit geval zijn de matrices  en  niet langer eenvoudige nevendiagonaalmatrices, omdat de corresponderende klassieke banen enigszins platgedrukt en verplaatst zijn, zodat ze bij elke klassieke frequentie fouriercoëfficiënten hebben. Om de matrixelementen te bepalen, eiste Heisenberg dat de klassieke bewegingsvergelijkingen worden nageleefd als matrixvergelijkingen:

Hij merkte op dat als dit kon worden gedaan, , beschouwd als een matrixfunctie van  en , geen tijdsafgeleide heeft.

waarin  de anticommutator is,

Gegeven dat alle buitendiagonale elementen een frequentie hebben die gelijk is aan nul en  constant moet zijn, betekent dat dat  diagonaal is. Het was Heisenberg duidelijk dat in dit systeem de energie precies kon worden geconserveerd in een willekeurig kwantumsysteem, een zeer bemoedigend teken.

Het proces van emissie en absorptie van fotonen leek te eisen dat behoud van energie gemiddeld op zijn best zou blijven. Als een golf met precies één foton sommige atomen passeert en een ervan absorbeert het, moet dat atoom de anderen vertellen dat ze het foton niet meer kunnen absorberen. Maar als de atomen ver van elkaar verwijderd zijn, kan geen enkel signaal de andere atomen op tijd bereiken en kunnen ze uiteindelijk toch hetzelfde foton absorberen en de energie naar de omgeving afstaan. Wanneer het signaal hen bereikt, zouden de andere atomen die energie op de een of andere manier terug moeten geven. Deze paradox bracht Bohr, Kramers en Slater ertoe het exacte energiebehoud op te geven. Het formalisme van Heisenberg, toen het werd uitgebreid tot het elektromagnetische veld, zou dit probleem duidelijk omzeilen, een aanwijzing dat de interpretatie van de theorie ineenstorten van de golffunctie met zich meebrengt.

Differentiatietoepassing - canonieke commutatierelaties
Eisen dat de klassieke bewegingsvergelijkingen behouden blijven, is niet sterk genoeg om de matrixelementen te bepalen. De constante van Planck komt niet voor in de klassieke vergelijkingen, zodat de matrices kunnen worden geconstrueerd voor veel verschillende waarden van  en toch voldoen aan de bewegingsvergelijkingen, maar met verschillende energieniveaus.

Dus om zijn programma uit te voeren, moest Heisenberg de oude kwantumvoorwaarde gebruiken om de energieniveaus vast te stellen en vervolgens de matrices in te vullen met fouriercoëfficiënten van de klassieke vergelijkingen, vervolgens de matrixcoëfficiënten en het energieniveau enigszins veranderen om er zeker van te zijn dat aan de klassieke vergelijkingen wordt voldaan. Dit is duidelijk niet het geval. De oude kwantumvoorwaarden verwijzen naar het gebied dat wordt omsloten door de scherpe klassieke banen, die niet bestaan in het nieuwe formalisme.

Het belangrijkste dat Heisenberg ontdekte, is hoe de oude kwantumvoorwaarde vertaald kan worden naar een eenvoudige verklaring in de matrixmechanica. Om dit te doen, onderzocht hij de actie-integraal als een matrixgrootheid,

Er zijn verschillende problemen met deze integraal, allemaal voortkomend uit de onverenigbaarheid van het matrixformalisme met het oude beeld van banen. Welke periode  moest worden gebruikt? Semiklassiek moet het  of  zijn, maar het verschil is van de orde , en er wordt gezocht naar een antwoord in deze orde. De kwantumvoorwaarde vertelt ons dat  op de diagonaal, dus het feit dat  klassiek constant is, vertelt ons dat de buitendiagonale elementen nul zijn.

Zijn cruciale inzicht was om de kwantumvoorwaarde te differentiëren met betrekking tot . Dit idee is alleen logisch in de klassieke limiet, waar  niet een geheel getal is, maar de continue actiehoekvariabelen . Maar Heisenberg voerde analoge manipulaties uit met matrices, waarbij de tussenliggende uitdrukkingen soms discrete verschillen en soms afgeleiden zijn.

In de volgende discussie zal duidelijkheidshalve gedifferentieerd worden naar de klassieke variabelen en zal de overgang naar matrixmechanica achteraf plaatsvinden, geleid door het correspondentieprincipe.

In de klassieke setting is de afgeleide de afgeleide met betrekking tot  van de integraal die  definieert, dus het is tautologisch gelijk aan 1:

waar de afgeleiden  en  moeten worden geïnterpreteerd als verschillen met betrekking tot  op overeenkomstige tijden op nabijgelegen banen, precies wat zou worden verkregen als de fouriercoëfficiënten van de orbitale beweging werden gedifferentieerd. (Deze afgeleiden zijn symplectisch orthogonaal in fase-ruimte ten opzichte van de tijdafgeleiden  en ).

De laatste uitdrukking wordt verduidelijkt door de aan  canoniek geconjugeerde variabele  te introduceren. De afgeleide met betrekking tot de tijd is een afgeleide met betrekking tot , op een factor  na:

De integraal van de kwantumvoorwaarde is dus de gemiddelde waarde over één cyclus van de poissonhaak van  en .

Een analoge differentiatie van de fourierreeks van  toont aan dat de buitendiagonale elementen van de poissonhaak alle nul zijn. De poissonhaak van twee canoniek geconjugeerde variabelen, zoals  en , is gelijk aan 1, dus deze integraal is eigenlijk de gemiddelde waarde van 1; dus het is 1, zoals we al lang wisten, want het is tenslotte . Maar Heisenberg, Born en Jordan waren, in tegenstelling tot Dirac, niet bekend met de theorie van poissonhaakjes, dus voor hen evalueerde de differentiatie effectief  in de coördinaten  en .

De poissonhaak heeft, in tegenstelling tot de actie-integraal, een eenvoudige vertaling naar matrixmechanica - hij komt normaal gesproken overeen met het imaginaire deel van het product van twee variabelen, de commutator.

Bekijk, om dit te zien, het (antisymmetrische) product van twee matrices  en  in de correspondentielimiet, waarbij de matrixelementen langzaam variërende functies van de index zijn, rekening houdend met het feit dat de uitkomst klassiek nul is.

In de correspondentielimiet, als de indices  en  groot en dichtbij elkaar liggen, terwijl  en  klein zijn, is de mate van verandering van de matrixelementen in de diagonale richting het matrixelement van de afgeleide naar  van de overeenkomstige klassieke grootheid. Het is dus mogelijk om elk matrixelement diagonaal door de correspondentie te verplaatsen:

waarin de rechterkant eigenlijk alleen de -de fouriercomponent is van  in de baan nabij  aan deze semi-klassieke volgorde, niet een volledig goed gedefinieerde matrix.

De semiklassieke tijdsafgeleide van een matrixelement wordt verkregen tot een factor  i  door te vermenigvuldigen met de afstand tot de diagonaal,

aangezien de coëfficiënt  semiklassiek de -de fouriercoëfficiënt van de -de klassieke baan is.

Het imaginaire deel van het product van  en  kan worden geëvalueerd door de matrixelementen te verschuiven, zodat het klassieke antwoord, dat nul is, wordt gereproduceerd.

Het leidende niet-nulresidu wordt dan volledig gegeven door de verschuiving. Aangezien alle matrixelementen zich op indices bevinden die een kleine afstand hebben tot de grote indexpositie , helpt het om twee tijdelijke notaties te introduceren:

voor de matrices, en

voor de -de fouriercomponenten van klassieke grootheden:

Als de sommatievariabele in de eerste som van  naar  wordt omgedraaid, wordt het matrixelement:

en is het duidelijk dat het belangrijkste (klassieke) deel verdwijnt. Het leidende kwantumgedeelte, onder verwaarlozing van het hogere orde product van afgeleiden in de resterende uitdrukking, is dan

zodat, uiteindelijk,

dat kan worden geïdentificeerd met  keer de -de klassieke fouriercomponent van de poissonhaak.

De oorspronkelijke differentiatietruc van Heisenberg werd uiteindelijk uitgebreid tot een volledige semi-klassieke afleiding van de kwantumvoorwaarde, in samenwerking met Born en Jordan.

Zodra ze konden vaststellen dat

verving deze voorwaarde de oude kwantumvoorwaarde en breidde deze uit, waardoor de matrixelementen van  en  voor een willekeurig systeem eenvouigweg konden worden bepaald uit de vorm van de hamiltoniaan.

De nieuwe kwantiseringsregel werd verondersteld universeel waar te zijn, hoewel de afleiding ervan uit de oude kwantumtheorie een semiklassieke redenering vereiste.
(Een volledige kwantumbehandeling, voor meer uitgebreide argumenten van de haakjes, werd echter gewaardeerd in de jaren 1940 om poissonhaakjes uit te breiden tot Moyal brackets.)

Toestandsvectoren en de Heisenberg-vergelijking
Om de overgang naar standaard kwantummechanica te maken, was de belangrijkste verdere toevoeging de kwantumtoestandsvector, geschreven als ,
wat de vector is waarop de matrices inwerken. Zonder de toestandsvector is het niet duidelijk welke beweging de heisenberg-matrices beschrijven, omdat ze ergens alle bewegingen omvatten.

De interpretatie van de toestandsvector, met kentallen , werd geleverd door Born. Deze interpretatie is statistisch. De toestandsvector is de waarschijnlijkheidsamplitude waarvan het kwadraat van de modulus,  de kansdichtheid voor het kwantumsysteem is om in de energietoestand  te zijn. Het resultaat van een meting van de fysieke grootheid die overeenkomt met de matrix , is stochstisch, met een verwachte waarde gelijk aan

Nadat de toestandsvector was geïntroduceerd, kon de matrixmechanica naar elke basis worden geroteerd, waarbij de matrix  niet langer diagonaal hoeft te zijn. De bewegingsvergelijking van Heisenberg in zijn oorspronkelijke vorm stelt dat  in de tijd evolueert zoals een fouriercomponent:

die in differentiële vorm kan worden geschreven als:

en kan worden aangepast zodat het waar is op een willekeurige basis, door op te merken dat de matrix  diagonaal is met de getallen  op de diagonaal

Dit is een matrixvergelijking, die dus het geldt onafhankelijk van de basis; het is de moderne vorm van de bewegingsvergelijking van Heisenberg.

De formele oplossing is:

Al deze vormen van de bewegingsvergelijking hierboven zeggen hetzelfde, dat  equivalent is aan , door een basisrotatie met de unitaire matrix , een systematisch beeld verduidelijkt door Dirac met zijn bra-ketnotatie.

Omgekeerd kan, door de basis voor de toestandsvector telkens te roteren met , de tijdsafhankelijkheid in de matrices ongedaan worden gemaakt. De matrices zijn dan tijdonafhankelijk, maar de toestandsvector roteert:

Dit is de schrödinger-vergelijking voor de toestandsvector, en deze tijdsafhankelijke verandering van de basis komt neer op transformatie naar het zgn. schrödinger-beeld], met .

In quantummechanica in het heisenberg-beeld de toestandsvector  verandert niet met de tijd, terwijl een observable  voldoet aan de heisenberg-bewegingsvergelijking:

De extra term is voor operatoren als

die een expliciete tijdsafhankelijkheid hebben, naast de tijdsafhankelijkheid van de besproken unitaire evolutie.

Het heisenberg-beeld maakt geen onderscheid tussen tijd en ruimte, en is dus beter geschikt voor relativistische theorieën dan de schrödingervergelijking. Bovendien is de overeenkomst met de klassieke fysica duidelijker: de hamiltoniaanse bewegingsvergelijkingen voor klassieke mechanica worden hersteld door de commutator hierboven te vervangen door de poissonhaak (zie ook hieronder). Volgens de stone-von neumann-stelling moeten het heisenberg-beeld en het schrödinger-beeld unitair equivalent zijn, zoals hieronder is beschreven.

Verdere resultaten
Matrixmechanica ontwikkelde zich snel tot moderne kwantummechanica en leverde interessante fysische resultaten op over de spectra van atomen.

Golfmechanica
Jordan merkte op dat de commutatierelaties ervoor zorgen dat  fungeert als een differentiaaloperator.

De operatoridentiteit

staat de evaluatie toe van de commutator van  met elke macht van , en impliceert dat

wat, samen met lineariteit, impliceert dat een -commutator effectief onderscheid maakt tussen elke analytische matrixfunctie van .

Ervan uitgaande dat de grenzen verstandig zijn gedefinieerd, strekt dit zich uit tot willekeurige functies - maar de uitbreiding hoeft niet expliciet te worden gemaakt totdat een zekere mate van wiskundige nauwkeurigheid vereist is,

Aangezien  een hermitische matrix is, moet deze diagonaal zijn en uit de uiteindelijke vorm van  zal duidelijk zijn dat elk reëel getal een eigenwaarde kan zijn. Dit maakt een deel van de wiskunde subtiel, omdat er voor elk punt in de ruimte een aparte eigenvector is.

In de basis waarop  diagonaal is, kan een willekeurige toestand worden geschreven als een superpositie van toestanden met eigenwaarden :

zodat , en de operator  elke eigenvector vermenigvuldigt met :

Definieer een lineaire operator  die  differentieert:

en merk op dat:

zodat de operator  dezelfde commutatierelatie volgt als . Het verschil tussen  en  moet dus commteren met :

dus kan  simultaan diagonaal zijn met : een waarde van  die werkt op elke eigentoestand van  is een functie  van de eigenwaarde .

Deze functie moet reëel zijn, omdat zowel  als  hermitisch zijn:

die elke toestand  roteert met een fase , dus de fase van de golffunctie opnieuw bepaalt:

De operator  wordt opnieuw gedefinieerd met een bedrag:

wat betekent dat in de geroteerde basis  gelijk is aan .

Daarom is er altijd een basis voor de eigenwaarden van  waar de actie van  op een golffunctie bekend is:

en de hamiltoniaan in deze basis is een lineaire differentiaaloperator op de componenten van de toestandsvector:

De bewegingsvergelijking voor de toestandsvector is dus niets anders dan een beroemde differentiaalvergelijking:

Aangezien  een differentiaaloperator is, moeten er, wil deze zinvol gedefinieerd zijn, eigenwaarden zijn van , die in de buurt liggen van elke gegeven waarde. Dit suggereert dat de enige mogelijkheid is dat de ruimte van alle eigenwaarden van  alle reële getallen zijn, en dat  en  aan elkaar gelijk zijn, op een faserotatie na.

Om dit hard te maken is een verstandige bespreking van de beperkende ruimte van functies vereist, en in deze ruimte is dit de stone-von neumann-stelling: alle operatoren  en  die voldoen aan de commutatierelaties, kunnen worden gemaakt om in te werken op een ruimte van golffuncties, met  een afgeleide operator. Dit houdt in dat er altijd een schrödinger-beeld beschikbaar is.

Matrixmechanica strekt zich op natuurlijke wijze gemakkelijk uit tot vele vrijheidsgraden. Elke vrijheidsgraad heeft een eigen operator  en een eigen effectieve differentiaaloperator , en de golffunctie is een functie van alle mogelijke eigenwaarden van de onafhankelijke commuterende variabelen .

Dit betekent in het bijzonder dat een systeem van  interacterende deeltjes in 3 dimensies wordt beschreven door één vector waarvan de componenten op een basis waar elke  diagonaal is, wiskundige functies zijn van -dimensionale ruimte die al hun mogelijke posities beschrijft, in feite een veel grotere verzameling waarden dan de loutere verzameling van  driedimensionale golffuncties in één fysieke ruimte. Schrödinger kwam onafhankelijk tot dezelfde conclusie en bewees uiteindelijk de gelijkwaardigheid van zijn eigen formalisme met dat van Heisenberg.

Aangezien de golffunctie een eigenschap is van het hele systeem en niet van een enkel onderdeel, is de beschrijving in de kwantummechanica niet geheel lokaal. De beschrijving van verschillende kwantumdeeltjes heeft ze gecorreleerd, of verstrengeld. Deze verstrengeling leidt tot vreemde correlaties tussen verre deeltjes die de klassieke ongelijkheid van Bell schenden.

Zelfs als de deeltjes maar twee toestandem kunnen aannemen, vereist de golffunctie voor  deeltjes  complexe getallen, een voor elke volledige configuratie van toestanden. Dit zijn exponentieel veel getallen in , dus simulatie van kwantummechanica op een computer vereist exponentiel veel middelen. Omgekeerd suggereert dit dat het mogelijk zou kunnen zijn kwantumsystemen van de grootte  te vinden die fysiek de antwoorden berekenen op problemen die klassiek  bits vereisen om opgelost te worden. Dit is de drijfveer achter kwantumcomputers.

Theorie van Ehrenfest
Voor de tijdonafhankelijke operatoren  en  is , dus de heisenberg-vergelijking hierboven reduceert tot:
,

waar de vierkante haken de commutator aangeven. Voor de hamiltoniaan  voldoen de operatoren  en  aan:
,

waarin de eerste klassiek de snelheid voorstelt en de tweede klassiek de kracht of potentiaalgradiënt. Deze reproduceren hamiltons vorm van de bewegingswetten van Newton. In het heisenberg-beeld voldoen de operatoren  en  aan de klassieke bewegingsvergelijkingen. De verwachtingswaarde van beide zijden van de vergelijking laat zien dat, in elke toestand :

Dus de wetten van Newton worden precies nageleefd door de verwachtingswaarden van de operatoren in een bepaalde toestand. Dit is de stelling van Ehrenfest, wat kennelijk het gevolg is van de bewegingsvergelijkingen van Heisenberg, maar minder triviaal in het schrödinger-beeld, waar Ehrenfest het ontdekte.

Transformatietheorie
In de klassieke mechanica is een canonieke transformatie van fase-ruimtecoördinaten er een die de structuur van de poissonhaakjes behoudt. De nieuwe variabelen  hebben dezelfde poissonhaakjes met elkaar als de oorspronkelijke variabelen . Tijdsevolutie is een canonieke transformatie, aangezien de faseruimte op elk moment net zo goed een keuze van variabelen is als de faseruimte op een ander moment.

De hamiltoniaanse stroom is de canonieke transformatie:

Aangezien de hamiltoniaan een willekeurige functie kan zijn van  en , zijn er zulke oneindig kleine canonieke transformaties die overeenkomen met elke klassieke grootheid , die dient als hamiltoniaan om een stroom van punten in faseruimte te genereren voor een tijdsinterval :

Voor een algemene functie  op de faseruimte, de oneindig kleine verandering bij elke stap  onder deze ajbeelding is

De grootheid  wordt de oneindig kleine generator van de canonieke transformatie genoemd.

In de kwantummechanica is het analogon  een hermitische matrix, en de bewegingsvergelijkingen worden gegeven door commutatoren,

De oneindig kleine canonieke bewegingen kunnen formeel worden geïntegreerd, net als de bewegingsvergelijking van Heisenberg werd geïntegreerd,

waarin  met  een willekeurige parameter.

De definitie van een kwantumcanonieke transformatie is dus een willekeurige unitaire verandering van basis op de ruimte van alle toestandvectoren.  is een willekeurige unitaire matrix, een complexe rotatie in de faseruimte,

Deze transformaties laten de som van het absolute kwadraat van de golffunctiecomponenten invariant, terwijl ze toestanden die veelvouden zijn van elkaar (inclusief toestanden die denkbeeldige veelvouden zijn van elkaar) overvoeren in toestanden die hetzelfde veelvoud van elkaar zijn.

De interpretatie van de matrices is dat ze fungeren als generatoren van bewegingen op de ruimte van staten.

De beweging gegenereerd door  kan bijvoorbeeld worden gevonden door de bewegingsvergelijking van Heisenberg op te lossen met  als hamiltoniaan,

Dit zijn trasnslaties van de matrix  over een veelvoud van de identiteitsmatrix,

Dit is de interpretatie van de differentiaaloperator  met , de e-macht van een differentiaaloperator is een translatie (dus Lagranges shift operator).

De operator  genereert op soortgelijke manier translaties in . De hamiltoniaan genereert translaties in de tijd, het impulsmoment genereert rotaties in de fysieke ruimte en de operator  genereert rotaties in de faseruimte.

Als een transformatie, zoals een rotatie in de fysieke ruimte, met de hamiltoniaan commuteert, wordt de transformatie een symmetrie (behoudens een degeneratie) van de hamiltoniaan genoemd - de hamiltoniaan uitgedrukt in geroteerde coördinaten is hetzelfde als de originele hamiltoniaan. Dit betekent dat de verandering in de hamiltoniaan onder de oneindig kleine symmetriegenerator  verdwijnt,

Hieruit volgt dat de verandering in de generator onder translatie in de tijd ook verdwijnt:

dus is de matrix  constant in de tijd: hij blijft behouden.

De een-op-een associatie van infinitesimale symmetriegeneratoren en behoudswetten werd ontdekt door Emmy Noether voor klassieke mechanica, waar de commutatoren zijn poissonhaakjes, maar de kwantummechanische redenering is identiek. In de kwantummechanica levert elke unitaire symmetrietransformatie een behoudswet op, want als de matrix  de eigenschap heeft

dus daaruit volgt

en dat de tijdsafgeleide van  gelijk is aan nul; hij blijft behouden.

De eigenwaarden van unitaire matrices zijn zuivere fasen, zodat de waarde van een unitair bhouden grootheid een complex getal van lengte een is en geen reëel getal. Een andere manier om dit te zeggen is dat een unitaire matrix het e-macht is van  maal een hermitische matrix, zodat de additief behouden reële grootheid, de fase, slechts goed gedefinieerd is op een geheel veelvoud van  na. Alleen als de unitaire symmetriematrix deel uitmaakt van een familie die willekeurig dicht bij de identiteit komt, worden de behouden reële grootheden eenwaardig, en wordt de eis dat ze behouden blijven een meer veeleisende beperking.

Symmetrieën die continu kunnen worden verbonden met de identiteit worden continu genoemd, en translaties, rotaties en boosts zijn voorbeelden. Symmetrieën die niet continu verbonden kunnen worden met de identiteit zijn discreet, en de werking van ruimte-inversie, of pariteit, en ladingconjugatie zijn voorbeelden.

De interpretatie van de matrices als generatoren van canonieke transformaties is te danken aan Paul Dirac. De overeenstemming tussen symmetrieën en matrices werd door Eugene Wigner als volledig aangetoond, als anti-unitaire matrices die symmetrieën omvatten die tijd omvatten omkering zijn inbegrepen.

Selectieregels
Het was Heisenberg fysiek duidelijk dat de absolute vierkanten van de matrixelementen van , de fouriercoëfficiënten van de oscillatie, de emissiesnelheid van elektromagnetische straling zouden opleveren.

In de klassieke limiet van grote banen, als een lading met positie  en lading  oscilleert naast een gelijke en tegengestelde lading op positie 0, het momentane dipoolmoment is , en de tijdsvariatie van dit moment vertaalt zich direct in de ruimte-tijdvariatie van het vectorpotentiaal, wat resulteert in genest uitgaande sferische golven.

Voor atomen is de golflengte van het uitgezonden licht ongeveer 10.000 keer de atoomstraal en het dipoolmoment is de enige bijdrage aan het stralingsveld, terwijl alle andere details van de atomaire ladingsverdeling kunnen worden genegeerd.

Het negeren van terugreactie, het vermogen uitgestraald in elke uitgaande modus is een som van afzonderlijke bijdragen van het kwadraat van elke onafhankelijke tijd Fourier-modus van ,

In de weergave van Heisenberg zijn de fouriercoëfficiënten van het dipoolmoment de matrixelementen van . Deze correspondentie stelde Heisenberg in staat de regel te geven voor de overgangsintensiteiten, de fractie van de tijd dat, vanaf een begintoestand , een foton wordt uitgezonden en het atoom naar een eindtoestand  springt:

Hierdoor kon de grootte van de matrixelementen statistisch worden geïnterpreteerd: ze geven de intensiteit van de spectraallijnen, de kans op kwantumsprongen door de emissie van dipoolstraling.

Aangezien de overgangssnelheden worden gegeven door de matrixelementen van , waar  nul is, mag de bijbehorende overgang afwezig zijn. Deze werden de selectieregels genoemd, die een puzzel waren tot de komst van matrixmechanica.

Een willekeurige toestand van het waterstofatoom, negerend spin, wordt aangeduid met , waarbij de waarde van  een maat is voor het totale orbitale impulsmoment en  de -component is, die de oriëntatie van de baan definieert. De componenten van  de pseudovector impulsmoment zijn

waarbij de producten in deze uitdrukking reëel zijn en onafhankelijk van de volgorde, omdat verschillende componenten van  en  commuteren.

De commutatierelaties van  met alle drie de coördinaatmatrices  (of met een willekeurige vector) zijn gemakkelijk te vinden:
,

wat bevestigt dat de operator  rotaties genereert tussen de drie componenten van de vector van coördinaatmatrices .

Hieruit kan de commutator van  en de coördinaatmatrices  worden afgelezen,

Dit betekent dat de grootheden  en  een eenvoudige commutatieregel hebben:

Net als de matrixelementen van  en  voor de hamiltoniaan van de harmonische oscillator, impliceert deze commutatieregel dat deze operatoren alleen bepaalde niet-diagonale matrixelementen hebben in toestanden van bepaalde :

wat betekent dat de matrix  een eigenvector van   met eigenwaarde  overvoert in een eigenvector met eigenwaarde m + 1. Op dezelfde manier verlaagt   met één eenheid, terwijl  de waarde van  niet verandert.

Dus op een basis van -toestanden waar  en  bepaalde waarden hebben, zijn de matrixelementen van een van de drie componenten van de toestand nul, behalve als  hetzelfde blijft of verandert met één eenheid.

Dit legt een beperking op de verandering in het totale impulsmoment. Elke toestand kan zo worden gedraaid dat het impulsmoment zoveel mogelijk in de -richting is, waarbij . Het matrixelement van de toestand dat inwerkt op  kan alleen waarden van  voortbrengen die met één eenheid zijn toegenomen, zodat als de coördinaten worden geroteerd zodat de eindtoestand  is, de waarde van  maximaal één groter kan zijn dan de grootste waarde van  die in de begintoestand voorkomt. Dus is  maximaal .

De matrixelementen verdwijnen voor , en het omgekeerde matrixelement wordt bepaald door hermiticiteit, dus deze verdwijnen ook als : dipoolovergangen zijn verboden met een verandering in impulsmoment van meer dan één eenheid.

Somregels
De bewegingsvergelijking van Heisenberg bepaalt de matrixelementen van  in de Heisenberg-basis uit de matrixelementen van :
,

die het diagonale deel van de commutatierelatie verandert in een somregel voor de grootte van de matrixelementen:

Dit levert een relatie op voor de som van de spectroscopische intensiteiten van en naar een bepaalde toestand, hoewel om absoluut correct te zijn, bijdragen van de stralingsopvangkans voor ongebonden verstrooiingstoestanden moeten in de som worden opgenomen:

Kwantummechanica

redpajama_set_name: RedPajamaWikipedia


text:
Last names beginning with D
Duigan, John Evelyn
Kōrero: Duigan, John Evelyn
John Evelyn Duigan
Duigan addressing troops at Maadi Camp in North Africa, 1940
Military leader
I tuhia tēnei haurongo e Ian McGibbon,, ā, i tāngia tuatahitia ki Ngā Tāngata Taumata Rau Ko te wāhanga , 1998.
John Evelyn Duigan was born at Wanganui on 30 March 1883, the son of Mary Emily Broad and her husband, James Duigan, a miller and later editor of the Wanganui Herald. He attended Wanganui Collegiate School in 1894, but the extent of any further schooling remains obscure. Following the outbreak of the South African War in 1899, he worked his passage there and enlisted in Brabant's Horse, a Cape Colony volunteer unit. Within a month he was seriously wounded at the siege of Wepener. He was invalided home in December 1900 after his horse fell on him, but went back to South Africa; he was wounded again and rose to the rank of sergeant. Soon after returning to New Zealand in February 1902, he secured a commission in the Tenth Contingent, which left Wellington on 14 April 1902 but arrived in South Africa too late to see action.
Having resolved to make a career in the military, Duigan was appointed a cadet in the New Zealand Permanent Force in 1903, and in 1905 he was commissioned as a lieutenant in the Royal New Zealand Engineers. The following May he went to England to attend a course on field engineering and electric lighting, later also attending one on signalling. After his return to New Zealand in July 1908, he was employed as an instructor in signalling and engineering at Defence Department Headquarters in Wellington. He was transferred to the New Zealand Militia soon afterwards.
Duigan was married in Wanganui on 26 April 1909 to Norah Hanley; they were to have three sons. In January 1911 Duigan was transferred to the New Zealand Staff Corps. Early in 1913 he began a two-year course at the Staff College at Quetta, India, where he demonstrated 'superabundant energy, great determination and dogged perseverance'. Following his graduation in October 1914, he was appointed general staff officer in the New Zealand Expeditionary Force's headquarters staff, but nervous exhaustion led to his being sent to England on leave early in 1915. He returned to New Zealand in June to help fill a shortage of staff officers.
Duigan was appointed to command the New Zealand Tunnelling Company, which was raised late in 1915 and included among its ranks many skilled miners. He claimed the strain of combat service in France was heightened by the difficulties arising from the presence of '17 ex-secretaries of Labour Unions in the Unit', as well as members of the Red Federation.
After serving briefly as a staff officer at New Zealand Divisional Headquarters, in February 1917 Duigan assumed a staff position at 6th Corps headquarters, and in the second half of the year he was brigade major of the New Zealand Infantry Reserve Group. During that year he was mentioned in dispatches and made a DSO. In December 1917 he became an instructor at the Senior Officers' School at Aldershot, England, but in March 1918 he was sent on a several-months-long propaganda tour to the United States to promote the sale of Liberty loan bonds. He was repatriated to New Zealand in October 1918.
Resuming his career in the New Zealand regular force, Duigan was briefly chief infantry instructor at Featherston Military Camp before being appointed, early in 1919, to a staff position in the Auckland Military District (later Northern Command). He was noted for his ability as an instructor and lecturer. In October 1930 he assumed charge of the Northern Command, and in 1931 was promoted to the rank of colonel.
Duigan was appointed general officer commanding and chief of the general staff on 1 April 1937, the first New Zealand-born soldier to hold the army's highest position. He was also promoted to major general and made a CB. His first task was to reorganise the military forces, the more effectively to reflect the numbers available under the voluntary system of recruitment. His proposals included the abolition of the position of general officer commanding and the institution of control by an army board. Duigan became first military member of that board in November 1937.
The reorganisation upset many Territorial Force officers, and led four colonels to breach King's Regulations by publishing a manifesto decrying the weakness of the army, for which they were posted to the retired list amidst much publicity. Duigan's somewhat casual approach left some observers unconvinced by his performance. Although he faced great difficulties because of the government's steadfast refusal to consider conscription and its predilection for air force development, it was felt he could have done more to overcome the political obstacles to improving the army.
When the Second World War broke out, Duigan aspired to command the expeditionary force which the government decided to raise as part of New Zealand's war effort. But, despite his amiable qualities, Duigan's lack of experience as a commander in the field and doubts about his intellectual capacity and temperament told against him. His appointment would have been unpopular in the army, and was never seriously considered by the government, which instead appointed Major General Bernard Freyberg. A disappointed Duigan was offered an extension of his term as compensation. He was knighted in 1940. Until his retirement on 31 May 1941, he effectively supported 2NZEF, which he visited briefly in the Middle East in late 1940 after attending conferences in Singapore and New Delhi. During this tour he also spent a short period in Greece, where some New Zealand troops were deployed.
Norah Duigan had died on 23 August 1940, and on 6 March 1947, in Wellington, Duigan married Dorothy Violet Tate (née Butt), a widow. John Duigan died at Havelock North on 9 January 1950, survived by his wife and two sons of his first marriage. His third son had been killed in Canada while serving with the Royal Air Force during the war.
Ian McGibbon. 'Duigan, John Evelyn', Dictionary of New Zealand Biography, first published in 1998. Te Ara - the Encyclopedia of New Zealand, https://teara.govt.nz/mi/biographies/4d24/duigan-john-evelyn (accessed 20 January 2020)