text:
\section{Введение}\label{s:intro}
Мы изучаем связь свитчинговой разделимости графов по модулю $q$ с разделимостью подграфов.
Основной рассматриваемый вопрос --- существует ли неразделимый граф,
у которого удаление любой вершины приводит к разделимому графу?
Назовем такие графы критическими.
Получен исчерпывающий ответ на этот вопрос:
класс критических графов удалось полностью охарактеризовать,
они существуют при любом четном $q$
и любом нечетном числе вершин, начиная с $5$.

Этот вопрос оказывается важным
с точки зрения изучения другого класса
комбинаторных объектов
--- $n$-арных квазигрупп,
в комбинаторике известных также
как латинские гиперкубы.
Напомним, $n$-арной квазигруппой
конечного порядка $q$
называется $n$-местная операция
$\Sigma^n \to \Sigma$,
обратимая по каждому аргументу,
где $\Sigma$ --- некоторое множество мощности $q$
(носитель квазигруппы).
$n$-Арная квазигруппа называется разделимой,
если она представима
в виде бесповторной суперпозиции
квазигрупп меньшей арности.
Для $n$-арных квазигрупп
можно сформулировать аналогичный вопрос:
существует ли такая неразделимая
$n$-арная квазигруппа (назовем ее критической),
что подстановка любой константы на место любого аргумента
приводит к разделимой $n$-арной квазигруппе?
Предположим, что мы изучаем некоторый класс квазигрупп,
для которого ответ на этот вопрос --- ``нет'',
и мы пытаемся доказать некоторую гипотезу о строении любой неразделимой квазигруппы
(самый простой вариант гипотезы --- что неразделимых вообще нет,
пример подобных рассуждений см. в \cite[раздел~6]{KroPot:retr}).
Тогда согласно индукционному предположению мы можем считать,
что фиксацией некоторого аргумента из исходной $n$-арной квазигруппы мы получаем
$(n-1)$-арную квазигруппу, для которой гипотеза верна
(если мыслить $n$-арную квазигруппу
как $n$-мерную таблицу значений,
то нам известно,
что гипотеза верна для некоторого слоя таблицы).
Подобный ход рассуждений
был успешно применен при характеризации
$n$-арных квазигрупп порядка $4$ \cite{KroPot:4},
хотя именно наличие критических квазигрупп
сильно усложнило доказательство,
вынуждая использовать индукционные соображения глубины два
и более слабую версию признака разделимости.
В настоящее время известно,
что не существует критических
$n$-арных квазигрупп простого порядка
\cite{KroPot:retr} и существуют критические
$n$-арные квазигруппы любого порядка,
кратного $4$ \cite{Kro:n-2}, при любом четном $n\ge 4$.
Последние строятся при помощи критических графов,
где разделимость рассматривается по модулю $2$
(к слову, в случае $q=2$ свитчинги графа хорошо известны
в литературе как свитчинги Зейделя \cite{vLintSeid:66},
а свитчинговые классы эквивалентны
так называемым два-графам \cite{Spence:2graphs}).

Достаточно естественным является вопрос
о возможности построения критических квазигрупп
на основе критических графов при $q>2$.
В качестве промежуточного этапа
в построении квазигрупп из графов,
в случае простого $q$,
используются квадратичные функции
над полем $\mathbb{Z}_q$ из $q$ элементов,
а порядок полученных квазигрупп равен $q^2$,
эти построения описаны в разделе~\ref{s:gbq}
(таким образом, минимальный порядок квазигрупп,
для которого ставится вопрос, равен $9$).

В настоящей работе описываются все критические графы.
В частности, установлено, что в случае нечетного $q$
таких графов нет, и получить критические квазигруппы
нечетного порядка описанным способом невозможно.
Это позволяет предположить, что критических квазигрупп
нечетного порядка также нет,
и более того, общий ход рассуждений
для доказательства этого факта может быть
частично заимствован из доказательства для графов.
С другой стороны, квазигруппы, построенные по графам,
являются очень частным случаем,
и разумно предположить, что
гипотетическое доказательство для квазигрупп
будет значительно сложнее.

В разделе \ref{s:aux} формулируется и доказывается
основной результат настоящей работы (теорема~\ref{t:main}).
Мы определяем класс графов $G_{n,\gamma}$
и показываем, что любой критический граф
является свитчингом графа из этого класса.
Важным следствием является то, что при нечетных $q$ критических графов нет.
Частный случай $q=2$ был рассмотрен ранее
в работах \cite{Kro2010ru:swi}, \cite{Besp:2014}.

В разделе \ref{s:gbq} показана связь
свитчинговой разделимости графов по модулю $q$
с разделимостью $n$-арных квазигрупп порядка $q^2$,
построенных по этим графам
(предложение~\ref{l:f-to-q}), и
(в качестве промежуточного звена)
с разделимостью частичных функций над $\mathbb{Z}_q$,
определенных на наборах
с фиксированной суммой (предложение~\ref{l:bol-sep}).

Завершая введение,
хочется обратить внимание читателя
на работу \cite{Zaslavsky:2012},
где также связность графов используются
для получения результатов о разделимости
(точнее о приводимости ---
частном случае разделимости)
$n$-арных квазигрупп.
Однако как подходы,
так и полученные результаты
почти не пересекаются
с содержанием настоящей статьи.

\section{Разделимость графов}\label{s:aux}

Будем рассматривать неориентированные графы,
ребра которых помечены
элементами из множества
$\{1,\ldots,q-1\}$,
$q\geq 2$ --- натуральное,
которые будем называть \emph{весом} ребра
(вес можно также трактовать как кратность).
Метку $0$ будем ассоциировать
с отсутствием ребра.
Таким образом реберно
помеченный граф удобно
представлять парой $(V,E)$,
где $E:V^2 \to \{0,1,\ldots,q-1\}$
--- симметричное отображение,
равное нулю везде на диагонали
$\{(v,v) | v\in V\}$.
Под \emph{подграфом}
графа $G=(V,E)$
будем подразумевать подграф
$G_W=(W,I)$,
порожденный множеством
вершин $W\subset V$
и унаследовавший от $G$
веса ребер: $I(v,w)=E(v,w)$,
для любых $v,w\in W$.
Результатом сложения
двух графов $G_1$  и $G_2$
с общим множеством вершин
будет граф $G$
на том же множестве вершин,
определенный следующим образом:
вес любого ребра
графа $G$ равен
сумме по модулю $q$
весов соответствующих ребер
в графах $G_1$  и $G_2$.
Граф будем называть \emph{аддитивным},
если каждую его вершину
можно пометить числами
от $0$ до $q-1$ таким образом,
для вес каждого ребра
будет равен
сумме по модулю $q$
меток двух вершин ребра.
Далее определим
\emph{свитчинг} графа $G$,
как результат сложения графа $G$
с некотором аддитивным графом.
Множество вершин $W$
графа $G$ назовем \emph{отделимым},
если некоторый свитчинг графа $G$
не содержит ребер
между $W$ и $V\backslash W$.
Легко видеть,
что любое множество вершин
мощности $0$, $1$, $n-1$ или $n$
в графе порядка $n$
является отделимым.
Любые другие отделимые множества
назовем \emph{нетривиальными}.
Граф $G=(V,E)$ назовем
\emph{свитчингово разделимым}
(далее в тексте ---
просто \emph{разделимым}),
если существует нетривиальное
отделимое множество его вершин.

\begin{lemma}\label{l:close}
Множество аддитивных графов замкнуто
относительно сложения.
\end{lemma}
\begin{proof}
Утверждение следует
прямо из определения:
в качестве метки каждой
вершины результирующего графа
можно взять сумму меток
этой вершины в графах-слагаемых.
\end{proof}

Таким образом, отношение
``граф $G$ --- свитчинг графа $H$''
является эквивалентностью.
Если какое-то множество отделимо
в графе (или в некотором подграфе),
то оно отделимо
и в каждом его свитчинге
(в соответствующем подграфе),
поэтому в вопросах разделимости
мы без потери общности
можем рассматривать
наиболее удобный
свитчинг данного графа.
В частности,
мы всегда можем
считать некоторую одну
данную вершину изолированной.
Далее под словами
``изолируем вершину $o$''
будем подразумевать
рассмотрение без потери общности
свитчинга исходного графа,
у которого вершина $o$ изолирована.

\begin{lemma}\label{l:sepset}
Множество вершин $W$
графа $G=(V,E)$ отделимо
тогда и только тогда,
когда существуют
$W_0,\ldots,W_{q-1}$,
$V_0,\ldots,V_{q-1}$
такие, что
$W=W_0\cup W_1\cup\ldots \cup W_{q-1}$,
$V\backslash W=V_0\cup V_1\cup\ldots\cup V_{q-1}$
и любое ребро,
соединяющее вершины
из множеств $W_i$ и $V_j$
имеет вес $i+j$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Сопоставив каждой вершине
из $W_i$ или $V_i$ метку $q-i$,
мы породим некоторый
аддитивный граф.
Очевидно, что его сумма
с исходным графом
не имеет ребер,
соединяющих $W$
и $V\backslash W$.
\end{proof}

\begin{corollary}\label{c:rn}
Пусть множество вершин
$W$ графа $G=(V,E)$,
имеющее изолированную
вершину, отделимо.
Тогда любая вершина из $W$
соединена со всеми вершинами
из $V\backslash W$
ребрами одного веса.
\end{corollary}
\begin{proof}
Допустим,
в разбиении множества $V\backslash W$
из леммы~\ref{l:sepset}
есть хотя бы два непустых множества.
Но тогда вершины из разных множеств
будут соединены с изолированной вершиной
ребрами разных весов, что неверно.
Поэтому разбиение $V\backslash W$
состоит только из одного
непустого множества,
и любая вершина из $W$
соединена со всеми вершинами
из $V\backslash W$
ребрами одного и того же веса.
\end{proof}
\begin{corollary}\label{c:rd}
Пусть любая вершина
из множества $V\backslash W$
соединена со всеми вершинами $W$
ребрами одного и того же веса.
Тогда $W$ отделимо.
\end{corollary}
\begin{proof}
Обозначим $W_0=W$,
$W_1=\ldots=W_{q-1}=\emptyset$.
Множество вершин из $V\backslash W$,
соединенных с вершинами из $W$
ребрами веса $i$ обозначим через $V_i$.
Тогда по лемме~\ref{l:sepset}
$W$ отделимо.
\end{proof}
\begin{corollary}\label{c:zm}
Пусть граф $G$ разделим
и имеет изолированую вершину $o$.
Тогда для любых
$i,j\in\{0,1,\ldots ,q-1\}$
если в графе $G$ поменять
веса $i$ и $j$ местами,
то получившийся граф
также будет разделим.
\end{corollary}
\begin{proof}
Пусть $W$ --- нетривиальное отделимое множество, не содержащее вершину $o$. По следствию~\ref{c:rn} любая вершина из $V\backslash W$ соединена с всеми вершинами из $W$ ребрами одного и того же веса. Но если поменять местами веса $i$ и $j$ в графе $G$, то полученный граф будет раделим по следствию~\ref{c:rd}.
\end{proof}

\begin{lemma}\label{l:ns}
Пусть $D$ --- разделимый граф порядка больше $4$ и $d$ --- некоторая его вершина. Граф $D\backslash\{d\}$ неразделим тогда и только тогда, когда вершина $d$ в графе $D$ принадлежит единственному нетривиальному отделимому множеству вершин $W=\{d,e\}$, для некоторой вершины $e$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Пусть $D=(V,E)$ --- разделимый граф, $|V|\ge 5$, $D\backslash\{d\}$ --- его неразделимый подграф и $W$ --- нетривиальное отделимое множество, содержащее $d$. Сначала предположим, что $|W\backslash\{d\}|\ge 2$ . Тогда $W\backslash\{d\}$ и $V\backslash W\backslash\{d\}$ содержат по крайней мере по две вершины и по лемме~\ref{l:sepset} граф $D\backslash\{d\}$ разделим, противоречие. Предположим теперь, что у нас есть два отделимых множества $\{d,e\}$и $\{d,b\}$. Изолируем вершину $d$. Тогда по следствию~\ref{c:rn} вершина $e$ будет соединена со всеми остальными вершинами (за исключением вершины  $d$) ребрами одинакового веса. Аналогично с вершиной $b$. Но тогда, если удалить вершину $d$, множество $\{e,b\}$ будет отделимо по следствию~\ref{c:rd}, что противоречит неразделимости $D\backslash\{d\}$.

Пусть теперь $W=\{d,e\}$ --- единственное нетривиальное отделимое множество, содержащее $d$. Изолируем вершину $e$. Тогда по следствию~\ref{c:rn} вершина $d$ соединена со всеми вершинами из $D\backslash\{d,e\}$ ребрами одного веса. Предположим от противного, что граф $D\backslash\{d\}$ разделим; обозначим через $U$ его нетривиальное отделимое множество, не содержащее вершину $e$. Так как вершина $d$ соединена со всеми вершинами $U$ ребрами одного веса, то по следствию~\ref{c:rd} множество $U$ отделимо в $D$. Поскольку $V\backslash U$  содержит $d$ и несовпадает с $W$, получаем противоречие с единственностью $W$.
\end{proof}
\begin{lemma}\label{l:nss}
Любой разделимый граф порядка $n \ge 5$ имеет либо $0$,
либо $2$ неразделимых подграфа порядка $n-1$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Пусть граф $G$ имеет неразделимый подграф $G\backslash\{a\}$ для некоторой вершины $a$.
Тогда по лемме~\ref{l:ns} отделимым множеством графа $G$
будет пара $\{a,b\}$ для некоторой вершины $b$.
Более того, других нетривиальных отделимых множеств,
кроме этой пары и ее дополнения, в графе $G$
нет, откуда следует что граф $G\backslash\{b\}$ также неразделим.
Удаление же из графа $G$ любой вершины $c$, отличной от $a$ и $b$,
приводит к разделимому подграфу, поскольку $\{a,b\}$
остается отделимым в $G\backslash\{c\}$.
\end{proof}

\begin{predl}\label{l:allsep}
Пусть в графе $G$ порядка $n\ge 5$
каждый подграф порядка $4$ или $5$ разделим.
Тогда граф $G$ разделим.
\end{predl}
\begin{proof}
Без потери общности мы можем считать,
что граф содержит изолированную вершину $o$.
По следствию~\ref{c:rn}
в графе $G\backslash \{o\}$
не существует трех вершин таких,
что веса ребер между этими вершинами попарно различны.
Выберем в этом графе три вершины $a$, $b$, $c$,
соединенные между собой ребрами двух различных весов
(если таких не существует,
то в подграфе $G\backslash\{o\}$
все ребра одного веса,
и граф $G$ разделим):
$E(a,b)=i\ne E(a,c)=E(b,c)=j$.
Определим три множества $U$, $V$, $W$:

$U$ --- множество вершин,
соединенных с вершинами
$a$ и $b$ ребрами веса $i$;

$V$ --- множество вершин,
$a$ и $b$ ребрами одинакового веса,
отличного от $i$;

$W$ --- множество вершин,
соединенных с вершинами
$a$ и $b$ ребрами разного веса.

Для произвольных вершин $v$ из $V$
и $w$ из $W$ рассмотрим подграф,
порождаемый множеством вершин $\{o,a,b,v,w\}$.
Пусть ребра $\{v,a\}$ и $\{v,b\}$
имеют вес $l\ne i$.
Одно из ребер $\{w,a\}$ и $\{w,b\}$
имеет вес $i$, скажем $\{w,a\}$.
Тогда ребро $\{w,b\}$
будет иметь вес $k\ne i$.
По условию леммы
рассматриваемый подграф
на пяти вершинах разделим,
а значит, имеет отделимую пару вершин.
Как легко убедиться,
применяя следствие~\ref{c:rn},
такой парой может быть только
$\{o,v\}$ или $\{w,b\}$,
см. рис. \ref{f:oabvw}.
В обоих случаях ребро $\{v,w\}$
должно иметь вес $l$.
В силу произвольности вершин $v$ и $w$
получаем, что любая вершина
$v$ из $V$ соединена
со всеми вершинами из $W\cup\{a,b\}$
ребрами одного веса,
который обозначим через $l_v$.
\begin{figure}[ht]
\begin{minipage}[h]{0.3\linewidth}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
    \fill (-0.0,0) circle (2pt) node [above] {$o$};
		\fill (1,-1) circle (2pt) node [left] {$a$};
		\fill (1, 1) circle (2pt) node [left] {$b$};
		\fill (3,-1) circle (2pt) node [right] {$v$};
		\fill (3, 1) circle (2pt) node [right] {$w$};
		\draw (1,-1) -- node [fill=white] {$i$} (1,1)
		             -- node [near start,fill=white] {$l$} (3,-1)
		             -- node [fill=white] {$\mathbf{?}$} (3, 1)
		             -- node [near start,fill=white] {$i$} (1,-1)
                     -- node [fill=white] {$l$} (3,-1);
		\draw (1, 1) -- node [fill=white] {$k$} (3, 1);
\end{tikzpicture}
\caption{$k\ne i$, $l\ne i$}
\label{f:oabvw}
\end{center}\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[h]{0.3\linewidth}
\begin{tikzpicture}
    \fill (-0.0,0) circle (2pt) node [above] {$o$};
		\fill (1,-1) circle (2pt) node [left] {$a$};
		\fill (1, 1) circle (2pt) node [left] {$w$};
		\fill (3,-1) circle (2pt) node [right] {$v$};
		\fill (3, 1) circle (2pt) node [right] {$u$};
		\draw (1,-1) -- node [fill=white] {$i$} (1,1)
		             -- node [near start,fill=white] {$l_v$} (3,-1)
		             -- node [fill=white] {$\mathbf{?}$} (3, 1)
		             -- node [near start,fill=white] {$i$} (1,-1)
                     -- node [fill=white] {$l_v$} (3,-1);
		\draw (1, 1) -- node [fill=white] {$k$} (3, 1);
\end{tikzpicture}
\caption{$k\ne i$, $l_v\ne i$}
\label{f:oauwv}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[h]{0.3\linewidth}
\begin{tikzpicture}
    \fill (-0.0,0) circle (2pt) node [above] {$o$};
		\fill (1,-1) circle (2pt) node [left] {$b$};
		\fill (1, 1) circle (2pt) node [left] {$w$};
		\fill (3,-1) circle (2pt) node [right] {$y$};
		\fill (3, 1) circle (2pt) node [right] {$u$};
		\draw (1,-1) -- node [fill=white] {$k$} (1,1)
		             -- node [near start,fill=white] {$i$} (3,-1)
		             -- node [fill=white] {$\mathbf{?}$} (3, 1)
		             -- node [near start,fill=white] {$i$} (1,-1)
                     -- node [fill=white] {$i$} (3,-1);
		\draw (1, 1) -- node [fill=white] {$k$} (3, 1);
\end{tikzpicture}
\caption{$k\ne i$}
\label{f:obuwy}
\end{minipage}
\end{figure}

Далее, множество $U$ разделим
на два множества $U_1$, $U_2$:
$U_1$ --- множество вершин,
которые соединены со всеми вершинами
из $W\cup\{a,b\}$ ребрами веса $i$;
$U_2$ --- остальные вершины.
Заметим, что если $U_2$ пусто,
то из доказанного уже следует отделимость
множества $V\cup U_1 \cup \{o\}$.

Рассмотрим
произвольную вершину
$u$ из $U_2$.
По определению множества $U_2$
найдется вершина $w$ из $W$
такая, что $E(u,w)\ne i$.
Без потери общности
мы можем считать, что
$E(w,a)=i\ne E(w,b)$.
Для произвольной вершины $v$ из
$V$ рассмотрим подграф, порожденный
пятеркой $\{o,a,u,w,v\}$,
см. рис. \ref{f:oauwv}.
Отделимой парой в этом подграфе
может быть только $\{o,v\}$
или $\{u,w\}$.
В обоих случаях $E(v,u)=l_v$.

При тех же условиях на $u$ и $v$
рассмотрим произвольную вершину
$y$ из $U_1$.
В графе, порожденном
пятеркой $\{o,b,u,w,y\}$,
см. рис. \ref{f:obuwy},
отделимой парой может быть только
$\{o,y\}$ или $\{u,b\}$.
В обоих случаях $E(v,u)=i$.

Таким образом,
каждая вершина $v$ из $V$
соединена со всеми вершинами из
$\{a,b\}\cup W\cup U_2$
ребрами веса $l_v$, а
каждая вершина из $U_1$
соединена со всеми вершинами из
$\{a,b\}\cup W\cup U_2$
ребрами веса $i$.
По следствию~\ref{c:rd}
множество $V\cup U_1 \cup \{o\}$
отделимо и граф $G$ разделим.
\end{proof}

\begin{predl}\label{t:2rs}
Пусть $G_K$ --- неразделимый подграф
порядка $\chi$, $4 \le \chi< n-2$,
графа $G$ порядка $n$.
И пусть все подграфы графа $G$
порядков $\chi+1$ и $\chi+2$,
содержащие $G_K$ в качестве подграфа,
разделимы.
Тогда граф $G$ разделим.
\end{predl}
\begin{proof}
Возьмем произвольную вершину
$a$ из $V\backslash K$.
Тогда граф $G_{K\cup\{a\}}$
разделим, в то время как
граф $G_K$  неразделим.
По лемме~\ref{l:ns}
в графе $G_{K\cup\{a\}}$
будет только одно
(с точностью до дополнения)
нетривиальное отделимое
множество вершин $\{a,c\}$,
для некоторой $c$ из $K$.
Изолируем вершину $c$.
Тогда по следствию~\ref{c:rn}
вершина $a$ соединена
со всеми вершинами из $K\backslash\{c\}$
ребрами одинакового веса.
Для доказательства разделимости графа $G$
нам необходимо найти
нетривиальное отделимое множество.
Для этого в множестве $V\backslash K$
выделим подмножество
$A$ вершин, которые соединены
со всеми вершинами множества $K\backslash\{c\}$
ребрами одинакового веса,
в частности, $a\in A$.
В оставшейся части доказательства
мы покажем, что
множество $A \cup \{c\}$ отделимо в $G$.
Остаток $V\backslash K\backslash A$
обозначим через $B$.

(*) \emph{Для произвольной вершины $d$
из $V\backslash (K\cup\{a\})$
докажем, что либо  $d \in A$,
либо вершина $a$ соединена с $d$
ребром того же веса,
что и с вершинами из $K\backslash\{c\}$}.
Рассмотрим граф $G_{K\cup\{a,d\}}$.
По условию он разделим,
поэтому вершина $d$ лежит
в некотором нетривиальном
отделимом в $G_{K\cup\{a,d\}}$ множестве $W$.
Величина $m = |W \cap K|$
может принимать значения $3$ значения:
$0$, $1$ или $\chi-1$
(иначе $W \backslash \{a,d\}$
--- нетривиальное отделимое множество в $G_K$,
что противоречит неразделимости этого графа).
Рассмотрим эти случаи.

\begin{itemize}
\item
{$m=0$.}
В этом случае $\{a,d\}$
отделимо в графе $G_{K\cup\{a,d\}}$.
По следствию~\ref{c:rn}
любая вершина из графа $K$
соединена с этой парой вершин
ребрами одного и того же веса.
Следовательно, вершина $d$
соединена со всеми вершинами множества
$K\backslash\{c\}$
так же, как и вершина $a$,
то есть ребрами одинакового веса.
Имеем $d\in A$.

\item
{$m=1$.}
В этом случае $W$ содержит
некоторую вершину $e$ из $K$.

Если $a$ принадлежит $W$, то $e=c$,
иначе в графе  $G_{K\cup\{a\}}$
будет больше одного отделимого множества,
что противоречит лемме~\ref{l:ns}
(отметим, что для применения этой леммы
 мы используем условие $\chi \ge 4$).
Таким образом, $W = \{a,c,d\}$,
и легко видеть, что $d\in A$.

Если $a$ не принадлежит $W$,
то $W=\{d,e\}$.
Если $e=c$, то очевидно $d\in A$.
Если $e\in K\backslash\{c\}$,
то $E(a,d)=E(a,e)$,
то есть вершина $a$ соединена с $d$
ребром того же веса,
что и с вершинами из $K\backslash\{c\}$.

\item
{$m=\chi{-}1$.}
Отделимое дополнение до $W$
в графе $G_{K\cup\{a,d\}}$
есть пара $\{a,e\}$,
для некоторого $e$ из $K$.
Как и в предыдущем случае,
мы видим, что $e=c$.
Следовательно,
$a$ соединена с $d$
ребром того же веса, что и
со всеми вершинами из $K\backslash\{c\}$.
\end{itemize}

Утверждение (*) доказано.

  Покажем теперь,
что каждая вершина из $A$
соединена со всеми вершинами из $B$
ребрами одинакового веса.
  Для вершины $a$ это верно по построению.
  Но любая другая вершина $f$ из $A$
соединена со всеми вершинами
графа $K\backslash\{c\}$
ребрами одинакового веса
и образует с вершиной $c$
отделимое множество
в графе $K\cup\{f\}$.
  Поэтому для нее мы можем
повторить те же рассуждения,
что и для вершины $a$.
  А так как любая вершина $g$
из $B$ по построению не соединена
со всеми вершинами
графа $K\backslash\{c\}$
ребрами одинакового веса,
то вершина $f$ соединена
с вершиной $g$ так же
(то есть ребром того же веса),
как и с вершинами графа $K\backslash\{c\}$.
  Поэтому по следствию\ref{c:rd}
множество $A\cup\{c\}$
является отделимым в графе $G$,
и граф $G$ разделим.
\end{proof}

\begin{corollary}\label{c:2rs}
Если все подграфы
порядков $n-1$ и $n-2$
графа $G$ порядка $n$ разделимы,
то и сам граф $G$ разделим.
\end{corollary}
\begin{proof}
Пусть $\chi$ --- максимальный порядок
собственного неразделимого подграфа.
По условию $\chi<n-2$.
Если $\chi=3$,
то граф $G$ разделим
по предложению~\ref{l:allsep}.
Если $\chi>3$
то граф $G$ разделим
по предложению~\ref{t:2rs}.
\end{proof}
Чтобы сформулировать основную теорему,
при четном $q$
определим семейство графов $G_{n,\gamma}$,
$\gamma\in\{0,\ldots,q-1\}$,
$n=2k+1 \ge 5$.
Множество вершин графа ---
$\{a_0,a_1,\ldots,a_k,b_1,\ldots,b_k\}$,
вершина $a_0$ изолирована,
веса остальных ребер
определяются следующим образом:
\begin{itemize}
\item
для любых $l$, $m$
ребро $\{a_l,b_m\}$
имеет вес $\gamma$, если $l<m$,
и вес $\gamma+q/2 (\mod q)$,
если $l\ge m$;
\item
для любых различных $l$, $m$
ребра $\{a_l,a_m\}$ и $\{b_l,b_m\}$
имеют вес $\gamma$.
\end{itemize}

\begin{figure}[ht]

\begin{tikzpicture}
    \draw(1,0);
    \fill (8,4) circle (2pt) node [right] {$b_{1}$};
		\fill (6,4) circle (2pt) node [left] {$a_{1}$};
		\fill (8,3) circle (2pt) node [right] {$b_{2}$};
		\fill (6,3) circle (2pt) node [left] {$a_{2}$};
		\fill (8,2) circle (2pt) node [right] {$b_{3}$};
		\fill (6,2) circle (2pt) node [left] {$a_{3}$};
		\fill (8,0) circle (2pt) node [right] {$b_{\frac{n-1}2}$};
		\fill (6,0) circle (2pt) node [left] {$a_{\frac{n-1}2}$};

		\fill (10.5,4.5) circle (2pt) node [left] {$a_{0}$};

		\draw (6,0) -- (8,4);
		\draw (6,0) -- (8,3);
		\draw (6,0) -- (8,2);
		\draw (6,0) -- (8,0);

		\draw (6,2) -- (8,4);
		\draw (6,2) -- (8,3);
		\draw (6,2) -- (8,2);

		\draw (6,3) -- (8,3);
		\draw (6,3) -- (8,4);

		\draw (6,4) -- (8,4);

	  \draw (6,0.5) node {$.$} ;
		\draw (6,1)  node {$.$} ;
		\draw (6,1.5)  node {$.$} ;
		\draw (8,0.5)  node {$.$} ;
		\draw (8,1)  node {$.$} ;
		\draw (8,1.5)  node {$.$} ;
	 \end{tikzpicture}
	\caption{Граф $G_{n,0}$}
	\label{f:gn}
	\end{figure}

\begin{theorem}\label{t:main}
Если при удалении любой вершины
из графа $G$ порядка $n$
всегда получается
разделимый подграф графа $G$,
то либо граф $G$ разделим,
либо $q$ четно, $n$ нечетно,
и граф $G$ изоморфен некоторому
свитчингу графа $G_{n,\gamma}$,
$\gamma\in\{0,\ldots,q-1\}$.
\end{theorem}

\begin{proof}
Пусть граф $G$
имеет порядок $n$
произвольной четности.
Попробуем охарактеризовать
все неразделимые графы
$G$ порядка $n$,
у которых все подграфы
порядка $n-1$ разделимы.
Итак, пусть дан граф $G$
порядка $n\ge 5$,
обладающий свойствами:
\begin{enumerate}
	\item[(i)]
	$G$ --- неразделимый граф.
	\item[(ii)]
	Для любой вершины $a$ из $G$
	граф $G\backslash \{a\}$
	разделимый.
\end{enumerate}

Будем говорить,
что пара вершин графа $G$
обладает свойством $\{x,y\}_{*}$,
если существует вершина $z$ такая, что
$\{x,y\}$ --- единственное
(с точностью до дополнения)
нетривиальное отделимое множество
в графе $G\backslash\{z\}$.
Если такая вершина $z$ известна,
будем также обозначать
это свойство через $\{x,y\}_z$.
По лемме~\ref{l:ns}
($D=G\backslash\{z\}$)
из свойства  $\{x,y\}_z$ следует,
что графы $G\backslash\{z,x\}$
и $G\backslash\{z,y\}$ неразделимы.

Пусть $P$ ---
множество всех пар $\{x,y\}$,
обладающих свойством $\{x,y\}_{*}$.
Его можно построить,
рассмотрев все подграфы
порядка $n-1$:
если некоторая пара вершин
является единственным
отделимым множеством
в одном из них,
то эта пара принадлежит $P$.

Рассмотрим несколько
свойств множества $P$
и входящих в него пар.

(iii) \emph{Множество $P$ не пусто.}
Это следует из следствия~\ref{c:2rs}
и свойств (i) и (ii).

(iv) \emph{Если для некоторой
пары вершин $\{a,b\}$
выполняются соотношения
$\{a,b\}_{c_1}$
и $\{a,b\}_{c_2}$,
то $c_1=c_2$.}
  Действительно,
пусть $\{a,b\}$ ---
 отделимое множество
в графах $G\backslash\{c_1\}$
и $G\backslash\{c_2\}$.
  Изолируем некоторую вершину
$o$, отличную от
$a$, $b$, $c_1$, $c_2$.
  Все вершины графа
$G\backslash\{c_1\}$
соединены с парой $\{a,b\}$
ребрами одинакового веса
по следствию~\ref{c:rn};
то же верно для графа
$G\backslash\{c_2\}$.
  По следствию~\ref{c:rd} пара
$\{a,b\}$ отделима в графе  $G$,
что противоречит свойству (i).

(v) \emph{Любая вершина $a$ графа $G$
встречается ровно
в двух парах множества $P$,
либо не встречается совсем.}
  Действительно, из
соотношения $\{a,b\}_c$
следует неразделимость графа
$G\backslash\{a,c\}$.
С другой стороны, из
неразделимости графа
$G\backslash\{a,c\}$
по лемме~\ref{l:ns} следует $\{a,b\}_c$
для некоторого $b$,
поскольку граф $G\backslash\{c\}$
разделим (свойство (i)).
По лемме~\ref{l:nss}
в графе $G\backslash\{a\}$
ровно $2$ неразделимых подграфа:
$G\backslash\{a,c\}$ и
$G\backslash\{a,c'\}$
для некоторых $c$ и $c'$.
Отсюда следует, что
$\{a,b\}_c$ и $\{a,b'\}_{c'}$
для некоторых $b$ и $b'$,
и другой пары из $P$,
содержащей $a$, нет.

(vi) \emph{Если $\{a,b\}_c$,
то $\{c,d\}_a$ и $\{c,e\}_b$
для некоторых $d$ и $e$,
причем $a\ne e\ne d\ne b$}.
Действительно,
граф $G\backslash\{a,c\}$
неразделим, а граф
$G\backslash\{a\}$ разделим,
следовательно,
для некоторой вершины $d$
пара $\{c,d\}$ отделима
в графе $G\backslash\{a\}$.
Причем $d\ne b$,
иначе все вершины множества
$V\backslash\{a,b,c\}$
(считая одну из них изолированной)
соединены с парами вершин
$\{a,b\}$ и $\{b,c\}$
ребрами одинакового веса и,
следовательно,
множество $\{a,b,c\}$ отделимо,
что противоречит свойству (i).
Аналогично,
в графе $G\backslash\{b\}$
отделимое множество $\{c,e\}$
для некоторой вершины $e$,
отличной от $a$.
Из (iv) следует, что
$e\ne d$.

Перебирая пары из $P$
приведенным ниже алгоритмом,
построим
два множества вершин $A$, $B$.
Выберем произвольную пару вершин
$\{a_0,a_1\}$ из $P$.
Изолируем вершину $a_0$,
поместим $a_1$ в $A$.
Вершину $b_1$ такую,
что  $\{a_0,a_1\}_{b_1}$,
поместим в множество $B$.
Тогда, согласно (vi),
в графе $G\backslash \{a_1\}$
отделимым множеством будет
$\{b_1,b_2\}$,
для некоторой вершины $b_2$.
Помещаем вершину $b_2$
в множество $B$.
Далее,
в графе $G\backslash \{b_2\}$
отделимым множеством
будет пара $\{a_1,a_2\}$.
Далее продолжаем аналогично,
до тех пор,
пока не окажется, что
очередная вершина
уже была рассмотрена ранее,
то есть принадлежит
$\{a_0\}\cup A\cup B$.
Так как каждая рассматриваемая
вершина содержится
ровно в двух парах из $P$,
этой вершиной может быть только $a_0$,
то есть, для некоторого $k$ верно
либо $\{a_{k-1},a_0\}_{b_k}$
(в этом случае также выполнено
$\{b_{k},b_1\}_{a_0}$,
согласно (v)),
либо $\{b_{k},a_0\}_{a_k}$
(и $\{a_{k},b_1\}_{a_0}$).

Покажем, что первый
из этих двух случаев
приводит к противоречию.
Выполнены следующие соотношения:
$\{b_2,b_3\}_{a_2}$, \ldots,
$\{b_{k-1},b_{k}\}_{a_{k-1}}$,
следовательно ребра
$\{b_1,b_2\}$, \ldots, $\{b_1,b_{k}\}$
имеют одинаковый вес.
Аналогично, ребра
$\{b_{k},b_{k-1}\}$, \ldots, $\{b_{k},b_{1}\}$
имеют один,
тот же самый, вес.
В графе $G\backslash\{a_0\}$
отделимым множеством
будет пара $\{b_1,b_k\}$.
Поскольку
$E(b_1,b)=E(b_k,b)$,
при $b=b_2$, то же равенство
верно для любого $b$ из
$V\backslash \{a_0,b_1,b_k\}$.
Следовательно,
пара $\{b_1,b_{k}\}$
отделима в $G$,
что противоречит
свойству (i).

Рассмотрим второй случай.
Докажем, что множество
$\{a_0\} \cup A\cup B$
содержит все вершины графа $G$.
Предположим, что это не так.
Возьмем произвольную вершину $a$
не из $\{a_0\} \cup A\cup B$.
Выполнены следующие соотношения:
$\{b_1,b_2\}_{a_1}$, \ldots,
$\{b_{k-1},b_{k}\}_{a_{k-1}}$,
следовательно ребра
$\{a,b_1\}$, \ldots, $\{a,b_{k}\}$
имеют одинаковый вес.
Аналогично, из соотношений
$\{a_1,a_2\}_{b_2}$, \ldots, $\{a_{k-1},a_{k}\}_{b_{k}}$ ребра
$\{a,a_1\}$, \ldots, $\{a,a_{k}\}$
имеют один вес.
Из соотношений $\{a_0,a_1\}_{b_1}$ и $\{b_{k},a_0\}_{a_{k}}$
получаем, что $E(a_1,a)=E(a_1,b_{k})=E(b_{k},a)$
Получается, что вершина $a$
соединена со всеми вершинами
множества  $A\cup B$
ребрами одинакового веса.
В силу произвольности вершины $a$,
это верно для всех остальных вершин,
не лежащих в $A\cup B\cup a_0$.
А следовательно,
все эти вершины
вместе с вершиной $a_0$
по следствию~\ref{c:rd}
образуют отделимое множество
в графе $G$,
что противоречит его неразделимости.

Итак, $n=2k+1$  нечетно,
множество вершин состоит
из изолированной вершины $a_0$
и подмножеств $A=\{a_1,\ldots,a_k\}$
и $B=\{b_1,\ldots,b_k\}$.
Вершины связаны следующими соотношениями:
$$
\{a_0,a_1\}_{b_1}
\ldots
\{a_{k-1},a_{k}\}_{b_k},
\{a_k,b_1\}_{a_0},
\{b_1,b_2\}_{a_1}
\ldots
\{b_{k-1},b_k\}_{a_{k-1}},
\{b_{k},a_0\}_{a_{k}}
$$

Установим серию равенств
для весов между ребрами графа.
Для любого $i\in\{1,\ldots ,k\}$
верно следующее:
\begin{eqnarray}
E(a_i,a_j)&=&E(a_i,a_{j+1}), \qquad
\forall j\in\{i+1,\ldots ,k-1\};
  \label{eq:aa+} \\
E(a_i,a_l)&=&E(a_i,a_{l-1}), \qquad
\forall l\in\{2,\ldots ,i-1\};
  \label{eq:aa-} \\
E(b_i,b_j)&=&E(b_i,b_{j+1}), \qquad
\forall j\in\{i+1,\ldots ,k-1\};
  \label{eq:bb+} \\
E(b_i,b_l)&=&E(b_i,b_{l-1}), \qquad
\forall l\in\{2,\ldots ,i-1\};
  \label{eq:bb-} \\
E(a_i,b_j)&=&E(a_i,b_{j+1}), \qquad
\forall j\in\{i+1,\ldots ,k-1\};
  \label{eq:ab+} \\
E(a_i,b_l)&=&E(a_i,b_{l-1}), \qquad
\forall l\in\{2,\ldots ,i\};
  \label{eq:ab-} \\
E(b_i,a_j)&=&E(b_i,a_{j+1}), \qquad
\forall j\in\{i,\ldots ,k-1\};
  \label{eq:ba+} \\
E(b_i,a_l)&=&E(b_i,a_{l-1}), \qquad
\forall l\in\{2,\ldots ,i-1\};
  \label{eq:ba-} \\
E(a_1,a_k)&=&E(a_1,b_k) \ne E(a_1,b_1);
  \label{eq:a1ak} \\
E(b_k,a_1)&=&E(b_k,b_1) \ne E(b_k,a_k).
  \label{eq:bka1}
\end{eqnarray}
Действительно, соотношения
(\ref{eq:aa+}), (\ref{eq:aa-}),
(\ref{eq:ba+}), (\ref{eq:ba-})
следуют из
$\{a_{m-1},a_{m}\}_{b_m}$,
$m\in\{2,\ldots ,k\}$:
в графе $G\backslash \{b_m\}$
дополнение до отделимой
пары $\{a_{m-1},a_{m}\}$
содержит изолированную вершину $a_0$,
а значит, по следствию~\ref{c:rn},
для любой вершины $c$ этого
дополнения верно $E(c,a_{m-1})=E(c,a_m)$.
Аналогично, соотношения
(\ref{eq:bb+})--(\ref{eq:ab-})
следуют из
$\{b_{m-1},b_{m}\}_{a_{m-1}}$.
Соотношение (\ref{eq:a1ak})
(аналогично (\ref{eq:bka1}))
следует по следствию~\ref{c:rn}
из $\{a_0,a_1\}_{b_1}$
(соответственно $\{b_k,a_0\}_{a_k}$),
поскольку в графе $G\backslash \{b_1\}$
пара $\{a_0,a_1\}$ отделимая,
но в графе $G$ она уже не отделима.

Из равенств
(\ref{eq:aa+}) и (\ref{eq:aa-})
(соответсвенно,
(\ref{eq:bb+}) и (\ref{eq:bb-}))
легко заключить,
что все ребра, соединяющие
вершины из множества
$A$ ($B$) между собой,
имеют один и тот же вес,
скажем $\alpha$ ($\beta$).
Из равенств (\ref{eq:ab+})
и (\ref{eq:ba-}) следует,
что все ребра $\{a_i,b_j\}$,
где $1 \le i < j \le k$,
имеют один и тот же вес,
скажем $\gamma$.
Аналогично, из
(\ref{eq:ab-}) и (\ref{eq:ba+})
вытекает, что все ребра
$\{a_i,b_j\}$,
где $1 \le j \le i \le k$,
имеют один и тот же вес,
скажем $\delta$.
Более того из
(\ref{eq:a1ak}) и (\ref{eq:bka1})
мы видим, что
$\alpha=\gamma=\beta\ne\delta$.

Остается показать,
что $\delta=\gamma+q/2$.
В графе $G\backslash\{a_0\}$
отделима пара $\{a_{k},b_1\}$.
По лемме~\ref{l:sepset}
и в соответствии с ее обозначениями,
$\{a_{k}\}=W_{a}$, $\{b_1\}=W_{b}$,
$A\backslash \{a_k\}=V_{a'}$,
$B\backslash \{b_1\}=V_{b'}$,
причем $a+a'=b+b'=\gamma$
и $a+b'=b+a'=\delta$.
Отсюда видно, что
$2\gamma=2\delta$.
Поскольку $\gamma\ne\delta$,
имеем $\delta=\gamma+q/2$,
где $q$ четно.
\end{proof}

Для полноты картины
остается показать,
что сам граф $G_{n,\gamma}$
действительно является исключением.

\begin{predl}\label{p:Gnc}
 Граф $G_{n,\gamma}$
 ($n$ нечетно, $q$ четно)
 неразделим и все его подграфы
 порядка $n-1$ разделимы.
\end{predl}
\begin{proof}
Предположим от противного, что
$G_{n,\gamma}=(V,E)$ разделим.
Пусть $W$ --- нетривиальное
отделимое множество,
содержащее $a_0$.
Вершины $a_k$ и $b_1$
не могут одновременно
принадлежать $V\backslash W$
(иначе, согласно следствию~\ref{c:rn}
в $W$ не может быть
никакой вершины, кроме $a_0$).
Если $a_k\in W$,
то либо $\{a_1,\ldots,a_{k-1}\}$,
либо $\{b_1,\ldots,b_k\}$
полностью содержится в $W$
(иначе имеем противоречие
со следствием~\ref{c:rn}).
В первом случае $V\backslash W$ содержит
некоторые $b_i$, $b_j$, $i<j$,
и вершина $a_i$ из $W$
противоречит следствию~\ref{c:rn}.
Во втором случае $V\backslash W$ содержит
некоторые $a_i$, $a_j$, $i<j$,
и вершина $b_j$ из $W$
противоречит следствию~\ref{c:rn}.
Случай $b_1\in W$ аналогичен.
Полученное противоречие
доказывает неразделимость
графа $G_{n,\gamma}$.

Остается заметить,
что пара $\{a_k,b_1\}$ отделима
в $G\backslash \{a_0\}$,
пара $\{b_{i},b_{i+1}\}$ отделима
в $G\backslash \{a_i\}$,
$i=1,\ldots ,k-1$,
пара $\{b_{k},a_0\}$ отделима
в $G\backslash \{a_k\}$,
пара
$\{a_{i-1},a_i\}$ отделима
в $G\backslash \{b_i\}$,
$i=1,\ldots ,k$.
\end{proof}

\section{Функции и квазигруппы}\label{s:gbq}
В этом разделе мы кратко обсудим
связь разделимости графов
с аналогичным свойством
для функций над $\mathbb{Z}_q$
и для $n$-арных квазигрупп.

Подграфам графа соответствуют так называемые ретракты
$n$-арных квазигрупп и подфункции функций,
и то и другое получается фиксацией некоторых аргументов.
В терминах ретрактов и подфункций
для $n$-арных  квазигрупп и булевых функций
верны утверждения, аналогичные следствию~\ref{c:2rs}
и предложению~\ref{p:Gnc}
(последнее известно для $n$-арных  квазигрупп только если порядок кратен $4$).
Причем, учитывая, что по графу при помощи квадратичного многочлена
можно построить функцию и затем $n$-арную квазигруппу порядка $q^2$,
следствие~\ref{c:2rs} является, вообще говоря,
следствием соответствующего утверждения для квазигрупп
\cite{Kro:n-3,KroPot:4}
(заметим, что приведенное в настоящей работе для полноты
доказательство этого следствия
на порядок проще доказательства для квазигрупп),
а из предложения~\ref{p:Gnc}, наоборот,
следует существование аналогичного примера
среди $n$-арных квазигрупп порядка $4$ \cite{Kro:n-2}.

\subsection{Частичные функции}
Пусть $q$ --- простое число.
\emph{Частичной функцией} будем называть
частичную функцию $\extshn{a}f:\Omega_a\to \{0,\ldots ,q-1\}$
над $\mathbb{Z}_q$,
заданную на наборах значений аргументов,
сумма которых равна некоторой константе $a$:
$$\Omega_a = \bigg\{(x_1,\ldots ,x_n,x_0)\in \{0,\ldots ,q-1\}^{n+1} \Big| \sum_{i=0}^n x_i = a\bigg\}.$$
Заметим, что частичную функцию от $n+1$ аргумента
можно интерпретировать
как обычную (везде определенную) функцию
от первых $n$ аргументов.
Частичную функцию
$\extshn{a}f$ будем называть \emph{расширением},
или \emph{$a$-расширением} функции $f$, если
$$ \extshn{a}f(x_1,\ldots ,x_n,x_0) = f(x_1,\ldots ,x_n)$$
для любых $x_1,\ldots ,x_n$ и $x_0= a-\sum_{1}^n x_i$.
Далее обозначение
 $\extshn{a}f$ будет автоматически подразумевать,
 что $\extshn{a}f$ есть $a$-расширение функции $f$.

Пусть $W$ --- некоторое подмножество множества номеров аргументов $\{1,\ldots ,n,0\}$.
Частичную функцию $\extshn{a}f$
от $n+1$ аргумента
назовем \emph{$W$-разделимой},
если
$$ \extshn{a}f(x_1,\ldots ,x_n,x_0) = f'(x_W) + f'' (x_{U}) $$
для некоторых (везде определенных) функций $f'$ и $f''$
от $|W|$ и $|U|$ аргументов, соответственно, где
$U=\{1,\ldots ,n,0\}\backslash W$, и $x_C = (x_{c_1},\ldots ,x_{c_k})$
для $C=\{c_1,\ldots ,c_k\}$, $c_1<\ldots <c_k$.
Частичную функцию от $n+1$ аргумента
назовем \emph{разделимой}, если она
$W$-разделима для некоторого $W$ мощности от $2$ до $n-1$ включительно
(ограничение на мощность достаточно естественно:
в этом случае функции в разложении
могут быть заданы
меньшим числом
значений в точках,
чем сама частичная функция).
\emph{Степенью} частичной функции
назовем минимальную степень
многочлена (над полем $\mathbb{Z}_q$),
с помощью которого
она может быть представлена.
Под термином <<квадратичный>>
будем подразумевать
<<степени не больше двух>>.
Графом квадратичного многочлена
назовем граф на множестве номеров аргументов $\{1,\ldots ,n,0\}$,
у которого вес ребра,
соединяющего две различные вершины,
равен коэффициенту в многочлене
при произведении соответствующих
переменных
(таким образом, две вершины
смежны тогда и только тогда,
когда произведение соответствующих
переменных входит в многочлен).
\begin{lemma}\label{l:bol-swe}
Множество графов,
соответствующих представлениям
данной квадратичной частичной функции
в виде квадратичного многочлена,
образует свитчинговый класс.
\end{lemma}
\begin{proof}
Любая (и в частности, квадратичная)
частичная функция $\extshn{a}f$ от $n+1$ аргументов,
будучи функцией от первых $n$ своих аргументов,
единственным образом представима в виде
$$ \extshn{a}f(x_1,\ldots,x_{n},x_{0})=\pi(x_1,\ldots,x_{n}) ,$$
где $\pi$ --- многочлен
(поскольку в поле $\mathbb{Z}_q$
имеет место тождество $x^q \equiv x$,
степень каждой переменной в мономах такого многочлена ограничена $q-1$).

Любой  многочлен $\rho$ от $n+1$
переменной $x_1,\ldots,x_{n},x_{0}$
однозначно представим в виде
$$ \tau(x_1,\ldots,x_{n})+(x_1+\dots+x_{n}+x_{0}-a)\lambda(x_1,\ldots,x_{n}),$$
где $\tau$ и $\lambda$ --- многочлены от $x_1,\ldots,x_{n}$,
причем если многочлен $\rho$ квадратичный,
то $\tau$ квадратичный и $\lambda$ аффинный (степени не больше $1$).
Поскольку $x_1+\dots+x_{n}+x_{0}=a$
везде на области определения частичной функции $ \extshn{a}f$,
многочлен $\tau$ совпадает у всех многочленов,
представляющих $ \extshn{a}f$.
Легко убедиться, что добавление
$(x_1+\dots+x_{n}+x_{0}-a)\lambda(x_1,\ldots,x_{n})$
с аффинным $\lambda$ приводит к свитчингу соответствующего графа.
Отсюда следует утверждение леммы.
\end{proof}

\begin{predl}\label{l:bol-sep}
Квадратичная частичная функция $\extshn{a}f$
является $W$-разделимой тогда и только тогда,
когда множество вершин $W$ отделимо в графах
квадратичных многочленов,
представляющих эту функцию.
\end{predl}

\begin{proof}
С учетом леммы~\ref{l:bol-swe},
$W$-разделимость функции,
представимой квадратичным
многочленом, следует по определению
из отделимости множества $W$ в соответствующем графе.

Для доказательства обратного,
с учетом леммы~\ref{l:bol-swe},
достаточно показать,
что для разделимой квадратичной
частичной функции $\extshn{a}f$
элементы ее некоторого разложения $f'$ и $f''$
из определения разделимости также квадратичны.
Пусть
\begin{equation}\label{eq:f=gg}
\extshn{a}f(y_1,\ldots ,y_k,z_1,\ldots ,z_m)
   =g'(y_1,\ldots ,y_m)+g''(z_1,\ldots ,z_m)
\end{equation}
для любых значений аргументов,
удовлетворяющих тождеству
$y_1+\ldots +y_k+z_1+\ldots +z_m=a$
Подставляя нули
в качестве значений
некоторых аргументов,
получаем
\begin{eqnarray}
 \extshn{a}f(y_1,\ldots ,y_k,-\sum_1^k y_i,0,\ldots ,0)
  &=&g'(y_1,\ldots ,y_m)+g''(-\sum_1^k y_i,0,\ldots ,0), \label{eq:y0}\\
 \extshn{a}f(-\sum_1^m z_i,0,\ldots ,0,z_1,\ldots ,z_m)
  &=&g'(-\sum_1^m z_i,0,\ldots ,0)+g''(z_1,\ldots ,z_m), \label{eq:z0}\\
 \extshn{a}f(t,0,\ldots ,0,-t,0,\ldots ,0)
  &=&g'(t,0,\ldots ,0)+g''(-t,0,\ldots ,0), \label{eq:0t0}
\end{eqnarray}
Из тождеств (\ref{eq:f=gg})--(\ref{eq:0t0})
легко получить разложение
\begin{eqnarray*}
 \extshn{a}f(y_1,\ldots ,y_k,z_1,\ldots ,z_m)
  &=&f(y_1,\ldots ,y_k,-\sum_1^k y_i,0,\ldots ,0) \\
&& +f(-\sum_1^m z_i,0,\ldots ,0,z_1,\ldots ,z_m) \\
&& -f(-\sum_1^m z_i,0,\ldots ,0,-\sum_1^k y_i,0,\ldots ,0).
\end{eqnarray*}
Поскольку
$-\sum_1^m z_i=\sum_1^k y_i$,
последнее слагаемое
можно отнести как к первой,
так и ко второй части разложения.
В итоге мы имеем искомое разложение на
квадратичные функции.
\end{proof}

Если вместо одного или более аргументов частичной функции
подставить константы, мы получим \emph{подфункции} данной частичной функции.
Очевидно, подфункции сами являются частичными функциями.
Например, если у частичной функции $\extshn{a}f$ зафиксировать
значение одного из аргументов значением $b$,
то получится некоторая частичная функция $\extshn{a+b}g$.

Легко понять, что графы,
соответствующие подфункции квадратичной частичной функции $\extshn{a}f$,
получаются из графов, соответствующих $\extshn{a}f$,
удалением вершин --- номеров фиксируемых аргументов.
Из предложения~\ref{l:bol-sep} и теоремы~\ref{t:main} мы можем заключить следующее.

\begin{corollary}\label{c:subfun}
 Пусть $q$ --- нечетное простое число.
 Если из квадратичной частичной функции
 $\extshn{a}f$ фиксацией любого аргумента
получается разделимая частичная функция, то и сама $\extshn{a}f$ разделима.

Другими словами, из любой неразделимой квадратичной частичной функции фиксацией некоторой переменной можно получить неразделимую подфункцию.
\end{corollary}

\subsection{$n$-Арные квазигруппы}
Пусть $\Sigma$ --- некоторое множество.
$n$-Арная операция
$Q:\Sigma^n \to \Sigma$
называется
\emph{$n$-арной квазигруппой}
(далее, также просто \emph{квазигруппой})
порядка $|\Sigma|$,
если в уравнении
$x_0=Q(x_1,\ldots,x_n)$
значения любых $n$ переменных
однозначно задают
значение оставшейся переменной.
(Строго говоря, $n$-арной квазигруппой
называется система $(\Sigma,Q)$ из носителя и операции,
наше определение --- общепринятое упрощение терминологии.)
Из определения следует,
что $n$-арная квазигруппа
обратима в каждой позиции,
в случае конечного порядка
это свойство можно взять за определение.
Квазигруппу, обратную к $Q$ в $i$м месте, будем обозначать через $Q^{(i)}$.
Таким образом, для $n$-арной квазигруппы $Q$ соотношения $x_0=Q(x_1,\ldots,x_n)$ и
$x_i=Q^{(i)}(x_1,\ldots,x_{i-1},x_0,x_{i+1},\ldots,x_n)$
эквивалентны.
Квазигруппу арнсти $n-k$,
полученную из $n$-арной квазигруппы $Q$
или ее обращения  $Q^{(i)}$,
$i\in\{1,\ldots ,n\}$,
подстановкой констант
на место некоторых $k$ аргументов,
называют \emph{ретрактом} квазигруппы $Q$.

Пусть $W$ --- некоторый набор номеров аргументов
$n$-арной квазигруппы $Q$.
Квазигруппу $Q$ назовем \emph{$W$-разделимой}, если
$Q(\bar x) = G(\bar x',H(\bar x''))$
для некоторых $|W|$-арной квазигруппы $H$
и $(n-|W|+1)$-арной квазигруппы $G$,
где $\bar x''$ --- набор переменных из $\bar x$ с номерами из $W$, $\bar x'$ состоит из всех остальных переменных $\bar x$.
Другими словами,
уравнение $x_0 = Q(\bar x)$ эквивалентно
$G^{(n-|W|+1)}(\bar x',x_0)=H(\bar x'')$, поэтому $W$-разделимую
$n$-арную квазигруппу будем считать также
$\{1,\ldots ,n,0\}\backslash W$-разделимой.
Квазигруппу $Q$ назовем \emph{разделимой},
если она $W$-разделима для некоторого $W$,
где $2\le |W|\le n$
(это неравенство эквивалентно тому, что квазигруппы,
входящие в соответствующую суперпозицию,
имеют меньшую арность).

Рассмотрим в качестве $\Sigma$ множество пар
$\{ [a,b] | a,b\in \mathbb{Z}_q\}$.
Для произвольной функции
$f:\mathbb{Z}_q^n \to \mathbb{Z}_q$
и константы $a\in \mathbb{Z}_q$ определим
$n$-арную квазигруппу $Q_f$ порядка $q^2$:

$$ Q_{f,a}([x_1,y_1],\ldots ,[x_n,y_n])
  =  [-\sum_{i=1}^n x_i+a,
  -\sum_{i=1}^n y_i+f(x_1,\ldots ,x_n)]. $$

\begin{predl}\label{l:f-to-q}
  $n$-Арная квазигруппа $Q_{f,a}$
является $W$-разделимой
тогда и только тогда, когда
$W$-разделима частичная функция $\extshn{0}f$.
\end{predl}
\begin{proof}
Без потери общности положим $W=\{k,\ldots ,n\}$.
Пусть $\dot f$ является $W$-разделимой.
Тогда $f = f'(x_1,\ldots ,x_{k-1},-\sum_{1}^n x_i) + f''(x_k,\ldots ,x_n)$
для некоторых (везде определенных) функций $f'$ и $f''$.
Определим $g'(x_1,\ldots ,x_{k-1},t) = f'(x_1,\ldots ,x_{k-1},-x_1-\ldots -x_{k-1}-t)$.
Теперь нетрудно проверить, что
\begin{eqnarray*}
Q_{g'}\big([x_1,y_1],\ldots ,[x_{k-1},y_{k-1}], -Q_{f''}([x_k,y_k],\ldots ,[x_{n},y_{n}])\big)
=
\bigg[-\sum_{i=1}^{k-1} x_i-\sum_{i=k}^n x_i, \\
-\sum_{i=1}^{k-1} y_i
-\sum_{i=k}^n y_i + f''(x_k,\ldots ,x_n)
+ g'\Big( x_1,\ldots ,x_{k-1},\sum_{i=k}^n x_i\Big)\bigg]
=Q_f([x_1,y_1],\ldots ,[x_{n},y_{n}]).
\end{eqnarray*}
Таким образом, $n$-арная квазигруппа $Q_f$ также является $W$-разделимой.

Теперь предположим, что $Q_f$ является $W$-разделимой.
Рассмотрим функцию
\begin{eqnarray*}
g (x_1,\ldots ,x_n) &= &f(x_1,\ldots ,x_{k-1},\sum_{k}^n x_i, 0,\ldots ,0) \\
+ f (0,\ldots ,0, x_k,\ldots ,x_n) &-& f(0,\ldots ,0, \sum_{k}^n x_i, 0,\ldots ,0).
\end{eqnarray*}
Расширение $\extshn{0}g$ этой функции $W$-разделимо.
Действительно, для $x_1+\ldots +x_n+x_0=0$
\begin{eqnarray*}
\dot g (x_1,\ldots ,x_n,x_0)& =& f(x_1,\ldots ,x_{k-1},\sum_{0}^{k-1} x_i, 0,\ldots ,0)
\\ && + (f (0,\ldots ,0, x_k,\ldots ,x_n)
- f(0,\ldots ,0, \sum_{k}^n x_i, 0,\ldots ,0)).
\end{eqnarray*}
Согласно первой части доказательства,
$n$-арная квазигруппа $Q_g$ также является $W$-разделимой.
Кроме того,
\begin{eqnarray*}
Q_f(z_1,\ldots ,z_k,[0,0],\ldots ,[0,0]) =
Q_g(z_1,\ldots ,z_k,[0,0],\ldots ,[0,0])\qquad\mbox{и}
\\
Q_f([0,0],\ldots ,[0,0],z_k,\ldots ,z_n) =
Q_g([0,0],\ldots ,[0,0],z_k,\ldots ,z_n)
\end{eqnarray*}
для всех значений $z_1$, \ldots, $z_n$.
Согласно \cite[Предложение~12]{PotKro:asymp.ru},
две $W$-разделимые $n$-арные квазигруппы,
для которых указанные ретракты совпадают,
сами обязаны совпадать.
Как следствие, совпадают функции $f$ и $g$,
и $\extshn{0}f$ также является $W$-разделимой.
\end{proof}

Нам осталось связать
разделимость подфункций
с разделимостью ретрактов.
Для этого нам понадобятся
следующие два утверждения.

\begin{lemma}\label{l:retr}
  Пусть $(n-1)$-арная квазигруппа $F$
получается из $Q_{f,a}$
подстановкой константы $[b,c]$
вместо $i$го аргумента.
  Тогда $F=Q_{g,a+b}$,
где функция $g$
получается из $f$
подстановкой константы $b$
на место $i$го аргумента
и прибавлением $c$ к значению.
\end{lemma}
Ясно, что прибавление константы к значению функции никак не влияет на ее разделимость.
Поэтому получаем, что разделимость ретракта $F$ эквивалентна разделимости соответствующей
подфункции расширения функции $f$.
Однако, таким образом представимы не все $(n-1)$-арные ретракты.
\begin{lemma}\label{l:obr}
Пусть функции $f$ и $g$ связаны тождеством
$$\extshn{a}{f}(x_1,\ldots ,x_{i-1},x_i,x_{i+1},\ldots ,x_n,x_0) =
\extshn{a}{g}(x_1,\ldots ,x_{i-1},x_0,x_{i+1},\ldots ,x_n,x_i)$$
для некоторого $i$ от $1$ до $n$. Тогда $n$-арные квазигруппы
$Q_{f,a}$ и $Q_{g,a}$ являются обращением друг друга в $i$м месте, то есть
$Q_{f,a}^{(i)}=Q_{g,a}$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Для простоты обозначений, рассмотрим только случай $i=1$.
По определению $Q_{f,a}$, уравнение
$[x_0,y_0]=Q_{f,a}([x_1,y_1],\ldots ,[x_n,y_n])$
эквивалентно системе
\begin{eqnarray*}
 \begin{cases}
  -x_0-x_1-\ldots -x_n+a=0 \\
  -y_0-y_1-\ldots -y_n+\extshn{a}f(x_1,\ldots ,x_n,x_0)=0.
 \end{cases}
\end{eqnarray*}
По определению обращения квазигруппы в первом аргументе,
той же системе эквивалентно и уравнение
$[x_1,y_1]=Q_{f,a}^{(1)}([x_0,y_0],[x_2,y_2],\ldots ,[x_n,y_n])$.
Но эта же система эквивалентна уравнению
$$[x_1,y_1]=Q_{g,a}([x_0,y_0],[x_2,y_2],\ldots ,[x_n,y_n]).$$
\end{proof}
Таким образом, взятие обращения квазигруппы $Q_{f,a}$
соответствует перестановке двух аргументов
частичной функции $\extshn{a}{f}$. Как следствие,
разделимость ретрактов квазигруппы  $Q_{f,a}$ эквивалентна
разделимости соответствующих подфункций
частичной функции $\extshn{a}{f}$.

\begin{corollary}\label{c:retr}
 Пусть $q>2$ простое и
 $f:\mathbb{Z}_q^n \to \mathbb{Z}_q$
 --- квадратичная функция.
Если все $(n-1)$-арные ретракты $n$-арной квазигруппы $Q_{f,a}$ порядка $q^2$ разделимы,
то и сама квазигруппа разделима.
\end{corollary}

\providecommand\href[2]{#2} \providecommand\url[1]{\href{#1}{#1}}
  \providecommand\bblmay{May} \providecommand\bbloct{October}
  \providecommand\bblsep{September} \def\DOI#1{{\small {DOI}:
  \href{http://dx.doi.org/#1}{#1}}}\def\DOIURL#1#2{{\small{DOI}:
  \href{http://dx.doi.org/#2}{#1}}}\providecommand\bbljun{June}

redpajama_set_name: RedPajamaArXiv


February 15, 2017 - The NAVC Court Talk Newsletter was sent to players, parents and coaches on our 2016-2017 team rosters, the newsletter should have been received by you this morning in your email inbox, if not please check your spam folder. The newsletter has a lot of important information such as Practice Schedule, Tournament Schedules, Travel Itninerary/Reservations, Player Fee Due Dates & How Do I Pay, Important Dates. If you did not receive the newsletter please click on the link contained in this article and you will be taken to the newsletter.


Abyss | Single Inset Gemstone Titanium Ringhas a rating of 5.0 stars based on 1 reviews.
The Abyss with a single 3mm gem is a double grooved Titanium wedding band that appeals to both men and women.
Inset rings are an excellent choice for anyone who has an active lifestyle or requires a rugged design, as the design is durable and stands up.


text:
The GWCT Scottish Game Fair 2019 Friday 05 - Sunday 07 July 2019 Scone Palace Parklands
BEAT THE QUEUES AND ORDER YOUR TICKETS ONLINE NOW
Gate Price
Tickets will be available on the day priced
Adult £20 • Child £5 • Family £43
One Day Entry Tickets are Valid for Any One Day of the Fair
FRI: 9:30am - 6pm
SAT: 9.30am - 6pm
SUN: 9.30am - 6pm
Tickets are delieverd by email free of charge with an option to also download the tickets to your smart phone.
If you prefer, you can also collect the tickets at the Box Office adjacent to the main entrance.
Please select the items required
One Day Entry Tickets Adult £20.00 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Child (5-15 years) £5.00 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Family (2 Adults & 2 Children) £43.00 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Game Fair 2 Day Ticket Adult £36.00 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Couples Package Two Adult Tickets & Two Show Guides £43.00 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Ladies Clay Pigeon Shooting info Entry and Ladies Clay Pigeon Shooting Saturday 6th July £46.00 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Gold Car Parking Gold Forward Parking £12.00 Sold Out
Free Gold Forward Parking £0.00 Sold Out
Programme Voucher Show Programme Voucher £4.00 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Combined Entry to the Game Fair and Scone Palace
Entry to Fair & Palace Adult £27.50 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Child (5-15 years) £12.00 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Two Adult Tickets & Two Show Guides £58.00 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Camping Camping £36.00 Sold Out
If you would prefer to telephone us at our UK Call Centre to book your tickets Call 0844 776 6777. The lines are open Monday to Friday 9am to 5pm. There is no extra charge for a telephone order.
Calls are charged at 7p per minute from a BT landline. Charges from other suppliers may vary.
Camping at The Scottish Game Fair
You can now pre-book your camping plot in the grounds of Scone Palace.
Scottish Game Fair Weekend just £36
Camping Facilities include
Generous 9 metre x 9 metre plots
Access to water and toilets
Idyllic setting on the banks of the River Tay
Price covers camping for the whole weekend of the Scottish Game Fair
Just a very short walk to the Fair entrance
Arrive from 2pm on the Thursday before the Fair and stay until Monday 10am after The Scottish Game Fair.
Camping does not include show entry, you will need to purchase tickets for each day you are attending The Scottish Game Fair.
More Information and Terms and Conditions
Members' Parking is free of charge to Members in the usual Members' Car Park. If you would like further information about becoming a Member of the Trust please Join Us
Disabled Ticketing Policy
The GWCT Scottish Game Fair is pleased to operate a scheme to provide one complimentary Carer/Personal Assistant entry ticket for any adult unable to attend the Fair unaided.
Supporting Documentation:
All free Carer/Personal Assistant tickets require evidence of supporting documentation. This is mandatory in order for the Carer/PA ticket to be issued.
Please bring evidence of at least one of the following (printed or scanned copies are acceptable);
Middle or Higher Rate DLA for care and/or mobility
Receipt of personal independence payment (PIP)
Evidence of being severely sight impaired
Recognised assistance dog ID card
If you require a free Carer/PA ticket in order to attend the Fair please purchase a standard ticket at the relevant price in advance. Please make your way to the Fair and come to the ticket office adjacent to the entrance where your Carer/PA ticket will be issued and you will have fast track entry. Please do not queue at the on-day sales points as they are not able to issue the free Carer/PA ticket.
This facility is designed to allow any adult that is unable to otherwise attend the Fair to have free access for their Carer or Personal Assistant. We are affraid it does not extend to children as they must be accompanied by an adult to attend the Fair.
Camping Tickets
Camping facilities are available within a marked area during the Fair.
Camping passes only allow admission into the campsite, not into the Fair. Entrance tickets can be purchased as required online in advance or on the gate.
All camping pitches are 9 metres x 9 metres and you can either camp or bring a caravan. There are toilets and a water stand pipe.
The pitch fees are £36 per stay and are available from 2pm on the Thursday before the Fair starts until 10am on the Monday morning after the Fair.
Each pitch allows one family sized tent, caravan (and towing vehicle) or motorhome and we reserve the right to charge an additional £10 for further tents on the same pitch or additional vehicles.
Camping Terms and Conditions
Open fires and BBQs are permitted but we ask users to be extremely vigilant
Only integral generators are permitted and only operational between 10am and 4pm
Please use bins provided
Keep fire lanes clear
Fire Extinguishers are located at the caravan area
Empty toilet waste into tanks provided not toilet units
No sound systems will be permitted on site
Pitches will be allocated on a first come, first served basis
Sleeping in cars overnight is not permitted
Strictly no Chinese lanterns on site
Strictly no fireworks on site
No water source should be deemed drinking water unless specifically labelled as such
Please remain vigilant to fire safety in order to help keep yourselves and other Fair visitor's safe
All visitors are expected to respect their fellow campers, campsite staff, facilities and environment and any antisocial or unruly behaviour will result in eviction with no refund. Noise is to be kept to a minimum after 11pm
Although smoking is permitted within pitches and open areas, the Organisers request all cigarette ends are disposed of safely
All visitors are urged to keep valuables, caravans, tents and vehicles secure. Anything suspicious should be reported to Site Security at the River Gate without delay
Bookings are non-refundable
Scone Palace Parklands - Scone, Perthshire, PH2 6BD
For directions and details of recommended priority routes please click here Find Us
Connect with the Scottish Game Fair for all the latest informatio
Would you like your order Gift Wrapped for just £4?
You can wrap it all up as an exclusive Christmas gift with our extra special Christmas Gift Package including presentation box and a presentation certificate, which gives the added bonus of access to the GWCT Members' Marquee and complimentary tea, coffee or water for two.
A £4 delivery fee will be added at the end of your order.
Resend My Email
If you have any existing orders for this event you can enter your email address here to have your order emails resent

redpajama_set_name: RedPajamaCommonCrawl


text:
January 19, 2021 | AACC news & notes
January 19, 2021 | DOL awards $40M for workforce development
Home All Articles
Training and advocating for ADNs
TOPICS:commentary
By Donna Spivey August 19, 2019 Print
Nursing education is entering a new, dynamic period. As a nursing educator and a leader at a community college for many years, the importance of a community college and the impact it plays is demonstrated with each graduate that crosses the stage.
Community colleges have assisted in bridging the gap and assisted in meeting the needs of underserved and diverse students. Associate degree nursing (ADN) programs graduate more African-American, Latino and Native American registered nurses than other types of prelicensure nursing programs, according to data from the Campaign for Action.
Editor's note: This excerpt comes from the new issue of AACC's Community College Journal.
In addition, these nursing graduates most often choose to stay in their community and work. These graduates know, understand and embrace the needs of their community, and they personally benefit from the decreased cost in tuition and length of the program.
Seamless transitions
Community colleges play a crucial role in educating individuals who desire to become a nurse. Registered nursing graduates with an associate degree also are choosing to continue their education and acquire additional skills and competencies that will serve their communities.
Community colleges are working diligently to ensure a seamless plan for transitioning to higher degrees in nursing. Whether it be a baccalaureate program at the community college, dual admission, concurrent enrollment or RN-to-BSN program, the key is seamless transition.
Removing the barriers to ensure students continue the learning momentum is something we must stress as community college leaders.
Most recently, Donna Meyer, CEO of the Organization for Associate Degree Nursing (OADN), had the opportunity to testify to the National Academy of Medicine on the future of nursing for 2020-2030. This represented the only testimony to this blue-ribbon national commission exclusively focused on the contributions of community colleges to the national nursing workforce.
Over the years, OADN — an affiliate council of the American Association of Community Colleges — has been at the forefront and involved in the transformation of nursing education. The community-based institutions that OADN represents educate more than 50 percent of all newly licensed professional registered nurses, an average of 81,000 annually, according to the national Council of State Boards of Nursing.
Close collaboration with prominent national healthcare organizations ensures that the interests of associate degree nursing programs are represented in national policy decision making. The Robert Wood Johnson Foundation (RWJF), for example, now officially cites the value and important role a community college plays in educating the workforce, noting the capacity to provide individuals with the ability to launch careers, setting them on path to achieve goals, and helping our nation meet access needs for an aging and chronically ill population.
Donna Spivey
is dean of nursing at Houston Community College's Coleman College for Health Sciences in Houston, Texas, and serves as president of the Organization for Associate Degree Nursing.
All Articles, Opinions
Commentary: Promoting global education in a divided nation
All Articles, Campus Issues, Government, Opinions
Developmental ed isn't what it used to be – with better results
All Articles, Campus Issues, Opinions
Six ways to promote pathways to student success
All Articles, Campus Issues, Featured, Government, Opinions
Community colleges, the PROSPER Act and the path to student success
Mayor forges new path into petroleum industry
An entrepreneurial approach to deliver on the community college mission


text:
School sports: MGS softball pitcher Rachel Yoong guns for the Olympics
MGS pitcher Rachel Yoong hopes to make the national team and have a career in softball.PHOTO: TAN SINN YEN
Jean Iau
Aug 19, 2016, 11:06 pm SGT
http://str.sg/4qbG
SINGAPORE - It was the first half of the fourth inning, a timeout had been called and the Methodist Girls' School (MGS) 'C' Division softball team huddled together in the centre of the pitch.
They faced Raffles Girls' School (RGS) in the final of the Schools National Girls' C Division championship at the Kallang Diamond.
Sweat rolled down their cheeks and caused their blue and yellow (their school colours) face paint to smudge. But no one on the pitch looked more distraught than pitcher Rachel Yoong.
The 14-year-old could not control her emotions as MGS had just conceded their first run .
She was disappointed and took ownership of the run despite her team leading 7-1, which shows the high standards the teenager had set herself. Rachel eventually helped her school to triumph 14-4 as play was halted owing to the mercy rule.
She told The Straits Times: "When I start to perform not as well I think that everything is my fault because as a pitcher I'm the one holding the ball all the time.
"Today I learned it doesn't work like that because you have to trust the fielders to back you up and get the outs for you. You just need to pitch in strikes."
With softball and baseball due to make its debut at the 2020 Tokyo Olympics, Rachel is hopeful of breaking into the Singapore national team.
"I want to go! It's so exciting," she enthused, clutching her newly-won gold medal.
"I'm not sure about everyone else but I want to have softball as my career one day."
MGS captain Raine Tan praised the pitcher's performance, she said: "She did very well today. (She) might have had some problems in between but she made it through in the end and that's what's important."
After a 0-0 deadlock in the first two innings of the game, it was MGS who drew first blood. They went 7-0 up in the third after some exceptional batting, much to the delight of the MGS supporters.
In the fourth inning, RGS managed to secure some runs as the pitches began to slow down, bringing the score to 7-4.
MGS came out firing in their half of the fourth inning with their bases loaded on several occasions and eventually won 14-4.
In the boys' final, Catholic High School (CHS) retained their crown over Raffles Institution (RI) 3-2, despite losing 12-2 to RI in the group stages.
Stancey Choo, the captain of the CHS team said of his team's performance: " I'm very grateful and proud that we were able to defend the title. We changed our pitcher and tactics and worked together as a team. We cheered for each other and hyped each other up during the game."


text:
Public Release: 18-Dec-2014
Researchers ferret out a flu clue
Researchers have discovered a link between ferrets and humans which could lead to improved therapies for a range of diseases
Research that provides a new understanding as to why ferrets are similar to humans is set to have major implications for the development of novel drugs and treatment strategies.
Published in the prestigious journal Nature Communications, the research is a collaboration between Professor Michael Jennings and other researchers from the Institute for Glycomics, Griffith University and collaborators at the University of Queensland and the University of Adelaide.
The team has shown for the first time that ferrets share a mutation that was previously thought to be unique to humans, among the mammals. This helps to explain why the molecular characteristics of ferrets so uniquely mimic human susceptibility, severity and transmission of influenza A virus strains.
Professor Michael Jennings, Deputy Director of the Institute for Glycomics, says these findings open up a completely novel approach to tackling human diseases from influenza through to cancer.
"For over 80 years we've known that ferrets are uniquely susceptible to human influenza A virus, but the precise reason was unknown," Professor Jennings said.
"We have shown that ferrets have a mutation in a gene required to make a crucial sugar called sialic acid. Most animals can make two types of sialic acid. Ferrets, like humans can make only one. Different flu strains have preferences for the type of sialic acid they bind to cause infection. Because ferrets can only make the human form of this sugar, they are naturally "humanized" for the receptors recognised by human strains of the flu virus."
helen.wright@griffith.edu.au
@Griffith_Uni
http://www.griffith.edu.au
More in Medicine & Health
Ingestible medical devices can be broken down with light Massachusetts Institute of Technology
Human fetal lungs harbor a microbiome signature University of Alabama at Birmingham
Study: Critical care improvements may differ depending on hospital's patient population Beth Israel Deaconess Medical Center
Study: Neuron found in mice could have implications for effective diet drugs Michigan Medicine - University of Michigan
View all in Medicine & Health


A re-cap of all of May's outfits, and what they taught me.
I wish that we could all take photos of our daily outfits - have a camera set up by the front door perhaps. I think that we could learn a lot about ourselves: what colors we tend to wear the most, do we actually prefer dresses to jeans (as opposed to what we think we like), and "is the boyfriend really telling the truth when he says that I tend to rotate only two pairs of shoes?", etc.
I for one have realized that for me, May was a month a of print and pattern. There is only one outfit here that doesn't have a patten (unless you count the shoes, which do have a plaid)! Subconsciously I think I must really love a good montage of shapes and color (well, I do. This I know).
What about you? Have you noticed trends of your own when you get dressed? What do you have the most of in your closet?
Pic 7 - You have an uncanny resemblance to Shakira. Does anybody else thinks the same or is it just me ???
I have this habit of wearing the same pair shoes over and over again until am sick of them.
I've been gawping at these images trying to find the 'Shakira' connection, but I'm struggling. I'm gonna say you remind me of Esperanza Spaulding at times.
some days I definitely think my outfits are worth photographing, but other days I'm lucky if its jeans and a white t-shirt. I should try harder to at least accessorize those days to jazz them up! You had some great looks here!
Love all of your May outfits! Since it's so hot outside, I've been wearing a lot of shorts and flowy tops.


Simmered in our special savory li hing mui juice, our Wet Li Hing Mango is tender, moist, sweet, tart, and delicious! For the same unbeatable taste of dried fruits simmered in li hing mui juice, try also our Li Hing Apple Rings and Li Hing Guava. Our Dry Li Hing Mango is delicious too!


Cast guests a line with personalized place cards and send them to their seats with your theme. Our Fish graphic will go perfectly with the fishing theme of your retirement party. Stick with our Dark Olive paper and Gold foil, or choose your own colors.


text:
Federal Court Blocks Indiana's Attempts to Interfere With Syrian Refugee Resettlement
CONTACT: Inga Sarda-Sorensen, 212-284-7347, isarda-sorensen@aclu.org
INDIANAPOLIS — A federal court has denied Indiana's effort to prevent resettlement of Syrian refugee families. The ruling stems from a lawsuit filed by the American Civil Liberties Union on behalf of Exodus Refugee Immigration.
The ACLU is challenging Governor Mike Pence's attempts to interfere with resettlement of Syrian refugees, in violation of the U.S. Constitution and federal law. The court today granted the ACLU's motion for preliminary injunction.
"This ruling puts the brakes on Governor Pence's end run around the Constitution," said Judy Rabinovitz, deputy director of the ACLU's Immigrants' Rights Project. "No state can unilaterally ban a group of refugees that has been vetted and admitted by the federal government. By trying to block Syrian families based solely on their nationality, Indiana is flouting federal law, the U.S. Constitution, and our fundamental American values of providing refuge for families fleeing war and violence."
"We are extremely pleased by the decision," said Ken Falk, legal director of the ACLU of Indiana. "The equal protection clause of the United States Constitution demands that all of the refugees who are extensively vetted and finally approved by the federal government be treated equally. Indiana was not, and now, pursuant to the trial court's order, must do so."
The case, Exodus Refugee Immigration, Inc. v. Mike Pence, was filed in the U.S. District Court for the Southern District of Indiana.
The ruling is at: https://www.aclu.org/legal-document/exodus-refugee-immigration-inc-v-mike-pence-et-al-order-granting-plaintiffs-motion
This press statement is at: https://www.aclu.org/news/federal-court-blocks-indianas-attempts-interfere-syrian-refugee-resettlement
More information is at: https://www.aclu.org/cases/exodus-refugee-immigration-inc-v-mike-pence-et-al
isarda-sorensen@aclu.org
State and Local Immigration Laws
Discriminatory Profiling
Tell Congress: No More Money for ICE
Exodus Refugee Immigration, Inc. v. Mike Pence, et al


text:
You are here: Home / Books / Erotic Short Stories
Per reader request, a series of short stories that are more erotic than romantic (no feels, just sex). If you'd like to be notified when each new release comes out, sign up for the special email list just for the erotic shorts. Sign up here. You can also join the completely NSFW discussion on Goodreads.
Purchase these titles from Amazon, Smashwords, Kobo, iTunes or Nook
Gay for Pay: Football Jock
Troy Bronson, a twenty-two-year-old whose football career vanished after a knee injury, is in dire straits. Desperate for money, he stops by a gay for pay studio thinking he can score some quick cash. He chooses a hot twink for his first appearance, but there's a burly stagehand in the studio when he arrives and he just can't pull his eyes away.
Get it from Amazon
Gay for Pay: Unexpected Muscle
There are a lot of twinks in Gay for Pay, but what happens when a needy cash-strapped young man walks into the studio and finds two burly gay bears getting ready to frolic?
Heath Piedmont steps into the studio believing he's going to be set up with a couple of hot, slim twinks. But instead, Brandon has set him up with two hot, muscular, and very masculine daddy types. Heath doesn't know whether he should run or rip his clothes off and bend over the couch.
Gay for Pay: Probationer's Penance
Sometimes discipline is required. Sometimes it is requested.
Nineteen-year-old Sebastian Marks was down on his luck. When he wandered into the Gay for Pay studio, it didn't take him long to divulge his fantasy of being disciplined by his probation officer.
Sinful Confessions
Some men think they know what they want until they actually get it. And then, it's much more than they expected.
Sean is no virgin, but he enjoys acting like one. At twenty-two, he's had plenty of men and has much to confess. When he spies the hunky new priest at the local church, one of his darkest fantasies comes to mind and he begins to act on it.
But Sean doesn't realize that Father Edwards is the epitome of what queer boys like him only dream about.
Warning: dubious consent, unsafe intercourse.


This talk will cover recent research and techniques in determining models which harbor unfair treatment towards groups. It aims provide questions and (some) answers about how to fight prejudicial training and work to create less prejudiced models in a biased world.
Katharine Jarmul is a pythonista and founder of Kjamistan, a data science and machine learning consulting company in Berlin, Germany. She's been using Python since 2008 to solve and create problems. She helped form the first PyLadies chapter in Los Angeles in 2010, and co-authored an O'Reilly book along with several video courses on Python and data.


text:
The Essex Police, Fire and Crime Commissioner is the police and crime commissioner, an elected official tasked with setting out the way crime is tackled by Essex Police in the English County of Essex. The post was created in November 2012, following an election held on 15 November 2012, and replaced the Essex Police Authority. The incumbent is Roger Hirst, who represents the Conservative Party.

List of Essex police and crime commissioners

There has so far been two elections in which the results were as follows.

References

Police and crime commissioners in England

redpajama_set_name: RedPajamaWikipedia


Justin Greis is a Partner/Principal in the Advisory practice of EY. He leads the Cyber Resilience Practice within EY's Cybersecurity Consulting group. Justin has more than eighteen years of cross-industry management consulting and executive leadership experience in information technology with specializations in: IT strategy, digital and emerging technologies, architecture, cybersecurity, IT GRC, program management, systems development and implementation, cloud, analytics, and technology transformation. As the leader of the Cyber Resilience practice, Justin helps global companies prevent, prepare for, respond to, and recover from large-scale cybersecurity disasters and destructive attacks. Prior to this role, Justin built and led EY's Digital Enterprise practice which focused on designing and activating digital technologies and experiences for large, global companies. In 2010, Justin won EY's Chairman's Values Award, the firm's highest honor, for his outstanding commitment to the firm's values and its people.
Prior to EY, Justin worked as a senior consultant for Protiviti in Paris and also led the technology organization development of the Eppley Institute for Parks and Public Lands, a non-profit consulting organization. Justin was also the founder of an IT consulting company, BrainOrbit, which specialized in implementing web-based solutions. Justin served as CEO for four years before joining EY.
Justin currently also serves as professor of Information Systems at Indiana University's Kelley School of Business, where he teaches IT Governance, Risk and Controls in the Master of Science in Information Systems (MSIS) program and IT Risk Management in the Kelley School of Business ("Kelley Direct") Online MBA Program. In 2009, Justin, alongside Dr. Ramesh Venkataraman, won 1st place at the Workshop on Information Technologies and Systems Conference for "Best Innovation in Teaching" for their cutting-edge teaching methods in the MSIS program.
Justin holds a Bachelor of Science (BS) and an Master of Business Administration (MBA) in Accounting and Information Systems from Indiana University, Bloomington. Justin and his wife, Katharine, founded the EY, James Buckman Memorial Scholarship in memory of Katharine's father. Justin holds the following certifications: CISSP, CISA, CISM, CGEIT, GIAC/GSEC, PMP, CIPP, ITIL, CRISC, and TOGAF. Justin serves on the Board of Trustees at Merit School of Music in Chicago and is the percussionist and vocalist in EY's American PI Band (Winner of the Fortune Magazine, Rock and Roll Hall of Fame Corporate Battle of the Bands). When not serving his clients, Justin enjoys playing drums, harmonica, photography and rock collecting. Justin can also be reached through his blog, Progressology, where he writes about a variety of issues focused on the central theme of progress.
Below is a listing of publications, whitepapers, and articles to which I have contributed to or written. I am always happy to contribute to industry publications or thought leadership. Simply contact me and I will be in touch shortly. I look forward to hearing from you.


text:
Wexford head to Athlone looking for their first win
Lissywollen – Home of Athlone Town
By Shane Marron (@ShaneMarron19)
The bottom two sides in the First Division meet in Lissywollen on Friday night with a recently improved Wexford FC team still looking for their first maximum haul of the year.
While Wexford FC have scored the fewest goals in the First Division this season (4), Athlone have conceded the most (22) so the away team certainly have the possibility of adding to their meagre total so far.
After last Friday night's disappointing defeat at home to Cobh Ramblers, manager Damian Locke told the club's website, "The second half was possibly our best 45 minutes of the season. Cobh couldn't get out of their own half, and we had numerous chances, but the ball just wouldn't break for us."
"Extremely disappointing that they scored from their only chance of the second half because we switched off from a set piece and the boys know that's not acceptable."
"I was disappointed with how we started. Cobh's first 20 minutes was probably the best performance we faced all season. They started brilliantly and could've been out of sight but for some brilliant goal keeping from Corey Chambers."
"Adam got us on the score sheet against the run of play with a great strike and it seemed to settle us down."
Speaking about Friday's trip to the Midlands, he said, "We have plenty of positives to take in to the game as it's clear to see things are starting to click for us. Unfortunately at the moment, that little bit of luck others are getting in front of goal just isn't happening for us."
Last weekend's goalscorer Adam Hanlon told us, "I don't think we deserved to lose. In the first half we started very slowly and scored against the run of play but it settled us down a bit. They scored a bit of a scrappy goal but to be fair to them it was coming."
"In the second half we where the better team and they scored like us against the run of play, from a lack of concentration from a set piece which we have to learn from and quick."
"Morale at the club is actually very good, but of course it hurts not getting the results which some of our performances deserve, but I see it turning for us and it will."
Asked about his own performances this season Hanlon said, "On a personal level it's been stop start, picking up a few injuries and with work commitments I've missed a few games. But in the last three weeks I've got a run of games together and I've starting playing up top, which I enjoy. I'm just hoping to keep getting games in and try get back to my best, get some more goals and help us get wins and get up the table."
With the exceptions of forward Lee Duffy and goalkeeper Graham Doyle, manager Damian Locke once again has a full strength squad to choose from, with under-19 goalkeeper Adam Dempsey stepping up to the bench to provide cover for Corey Chambers. Midfielder Thomas Croke missed out last Friday due to illness but is back in contention for a starting berth on Friday.
Author Gerard MulreaneyPosted on April 20, 2017 April 20, 2017 Categories UncategorizedTags Adam Hanlon, Damian Locke, Wexford
Previous Previous post: UCD boss O'Neill "proud of the players"
Next Next post: Akinade back training and focusing on a return to action


text:
David Crosby is flourishing in his 70's as he composes some of the best music of his life. He has released new recordings every year for the past four years. He's been working with a group of musicians that understand his muse and rise to the occasion spectacularly.
Especially interesting is the song "Vagrants of Venice", a futuristic sci-fi look at life post climate change when the seas have risen and people live on the rooftops, survival is all they know. Becca Stevens composes the music and her signature electric guitar creates the atmosphere, just brilliant.
"Glory" from Here If You Listen (2018) by David Crosby, Becca Stevens, Michelle Willis, Michael League
"Vagrants of Venice" from Here If You Listen (2018) by David Crosby, Becca Stevens, Michelle Willis, Michael League
"Sky Trails" from Sky Trails (2017) by David Crosby, Becca Stevens
"The City" from Lighthouse (2016) by David Crosby, Michael League
"I Asked" from Family Dinner Vol 2 (2015) by Snarky Puppy with Michael League featuring Becca Stevens
"Song to the Moon" from Family Dinner Vol 2 (2015) by Snarky Puppy with Michael League featuring Michelle Willis
"Regina" from Regina (2018) by Becca Stevens, produced by Michael League
"Well Loved" from Regina (2018) by Becca Stevens, produced by Michael League
"Venus" from Regina (2018) by Becca Stevens, produced by Michael League
Original air date Sept 22, 2018 | Time 59:00
Fotheringay "Nothing More" composed by Sandy Denny from "fotheringay"
Meshell Ndegeocello "I'm Diggin' You (Like an Old Soul Record)" composed by Ndegeocello from "Plantation Lullabies"
Erykah Badu "Appletree" composed by Eryka Badu, Robert Bradford from "Baduism"
Stevie Nicks "for What It's Worth" composed by Stevie Nicks, Michael Campbell from "In Your Dreams"
Adele "Catch Fire to the Rain" composed by Adele Adkins, Fraser T. Smith from "21"
Taylor Swift "Clean" composed by Taylor Swift, Imogene Heap from "1989"
Pretenders "Alone" composed by Chrissie Hynde, Dan Auerbach, Richie Smith
Stevie Wonder "The Secret Life of Plants", "Outside My Window" and "Black Orchid" composed by Stevie Wonder, Yvonne Wright from "Journey Through the Secret Life of Plants"
Becca Stevens and Jacob Collier "As" composed by Stevie Wonder from "Regina" (2018)
Becca Stevens "Regina", "Lean On" and "Well Loved (feat. Laura Mvula)" from "Regina"
Paul McCartney "Back in Brazil", "Happy With You" and "Hunt You Down" from "Egypt Station" (2018)
Original air date August 4, 2018 | Time 59:00
Everyone has an inner life, a personal view of the world and a unqiue path through life. Songwriters give us a look into the hidden desires of the heart and the deeper beliefs of the mind.
Leonard Cohen "In My Secret Life" composed by Leonard Cohen from "Ten New Songs"
Steve Winwood "Secrets" composed by Steve Winwood from "Nine Lives"
Adele "Rumor Has It" composed by Adele / Paul Epworth from "21"
Stevie Nicks "Secret Love" composed by Stevie Nicks from "In Your Dreams"
Stevie Wonder "The Secret Life of Plants" composed by Stevie Wonder from "Journey Through the Secret Life of Plants"
Paul McCartney "House of Wax" composed by Paul McCartney from "Memory Almost Full"
Traffic "Hidden Treasure" composed by Steve Winwood from "Low Spark of High Heeled Boys"
Nick Drake "Things Behind the Sun" composed by Nick Drake from "Pink Moon"
Joni Mitchell "the silky veils of ardor" composed by Joni Mitchell from "Don Juans Reckless Daughter"
Freedom of Expression and the March for Our Lives
St Patrick's Day - U2, The Chieftains, Ed Sheeran, Peter Hollens, Van Morrison
Changing Weather and Power Trips!
A Reason to Smile


text:
militarygate تعديل المشاركة
Who are the su-25 anti-tank warplanes?
The Sukhoi Su-25 Gratch (Russian: Су-25 Грач , " rook "; NATO code Frogfoot ) is a ground attack , close air support and anti-tank warfare aircraft developed by the USSR in the 1970s It was built in more than a thousand copies and exported to many countries. It is the 6th most used combat aircraft in the world in 2020 with an estimated 487 aircraft in operation or 3% of the world 's combat aircraft fleet 2 , and saw two major upgrades in 2006 and 2016 .
It can be considered the descendant of the Ilyushin Il-2 Shtourmovik . The main manufacturing countries of the Su-25 are Russia (Sukhoi), and for a time Georgia ( Tbilisi Aircraft Manufacturing (en) ) 3 .
For more posts related to the military
Operation video
Soukhoï Su-25 Gratch
A Ukrainian Su-25.
Soukhoï TAME
Ground attack aircraft
Premier vol
Number built
Toumansky R-95 Sh then R-195
Turbo-actor
Unit thrust
Surface alaire
37,60 m 2
With cocking
14 400 kg
950 km/h ( Mach 0.79 , at sea level, smooth)
stall speed
7 000 1 m
Rayon d'action
1 x 30 mm GSh-30-2 gun with 250 shells
4,000 kg load (anti-tank missiles, rockets, bombs, etc.)
Current operators:
Democratic Republic
Sudanese Su-25
Su-25 "Frogfoot A": initial version (about 580 copies)
Su-25BM: version intended for towing targets (50 copies)
Su-25K: export version of the Su-25 (about 180 copies)
Su-25KM: modernized version of the Su-25K
Su-25T: improved version for the anti-tank fight (10 copies)
Su-25TM / Su-39: modernized version of the Su-25T, capable of being used on aircraft carriers, and of firing certain air-sea missiles.
Su-25SM2: modernized version of the Su-25, entered into service in 2006.
Su-25SM3: modernized version of the Su-25SM2, entering service at the end of 2016.
Su-25UB: "Frogfoot B": two-seater training version (150 copies?)
Su-25UBM: two-seater training version modernized and brought to the same standard as the Su-25SM 9
Su-25UBK: export version of the Su-25UB (20 copies?)
Su-25UTG: navalized training version (10 copies?)
Su-28: training version with reduced avionics and no weapon system, first flight in 1987.
Ge-31: Georgian program , developed by Tbilaviamcheni ( Tbilisi Aircraft Manufacturing ) aimed at producing a renewed version of the Su-25. Production is expected to start in March 2021 10
First generation (Su-25)
In 1968, the USSR launched a program intended to equip its air force with a close support aircraft (Close Air Support) capable of intervening directly on the battle front, which presupposed great maneuverability and good ability to take shots. Subsonic speed was considered sufficient. The Sukhoi constructor was working on a project designated internally as T-8, which underwent a few modifications (more powerful reactors, increased load carried, etc.) before being declared the winner of the competition.
The first prototype made its maiden flight onFebruary 22, 1975, powered by two Tumanski R-95Sh reactors of 4,500 kg /p each. It was a version without afterburner of the MiG-21 engine , which had imposed itself as a replacement for the Mikulin RD-9 initially planned thanks to its superior power and its recognized reliability. A second prototype took off at the enddecember 1975with some changes, such as a 30 mm gun instead of the 23 mm gun , airbrakes, and modified ailerons. The avionics were largely borrowed from the Su-17/Su-20 , while the laser system placed in the nose was close to that of the MiG-27 .
The first production aircraft left the factory in 1979. In 1980, two copies were sent to Afghanistan to assess their capabilities. They carried out about a hundred test flights, including 40 to 50 real attack missions. Deliveries to operational units began in 1981. During production, the R-95Sh reactor was replaced by an R-195 of equivalent power but capable of withstanding more damage. The experience of the missions in Afghanistan led to the installation of a firewall between the two reactors, a fire extinguisher system and decoy launchers.
A two-seat Su-25UB version intended for training, but retaining combat capabilities, was ordered in the late 1970s. The prototype made its first flight onAugust 10, 1985and mass production began the following year. Sukhoi derived from it a Su-25UTG version intended for the training of pilots of the Russian naval aviation , devoid of any armament but equipped with a landing gear and with a reinforced structure.
أخر المواضيع من قسم : militarygate


I have been working on a lot more video projects lately, but I haven't shared any yet via this blog. I'm still working on a portfolio i'm proud of enough to share, and some of my earlier attempts are already outdated quality-wise! But I'm really enjoying the video shooting and particularly learning how to edit.
This was a project proposed by Sven (Bokeh-Monster) as something fun to do on a sunny day during the xmas holidays. The concept was originally quite different, but on our very first shot on the motorway overbridge we found this lock telling us to 'get lost somewhere' - we quickly adjusted our plan and came up with some ideas showing Sven walking around and exploring the Devonport foreshore, using his new Fuji X100T camera (review here), looking for scenes and details without a particular photographic purpose, similar to how we often shoot ourselves when there is no model or client involved!
It was shot entirely on my Panasonic GH4 camera, handheld, with the Panasonic 12-35mm f/2.8 lens, and edited in Adobe Premiere CC. The music is creative commons licensed, from the band 'On Tour'.


text:
<?php

class Google_Service_Vision_GoogleCloudVisionV1p2beta1TextAnnotationTextProperty extends Google_Collection
{
  protected $collection_key = 'detectedLanguages';
  protected $detectedBreakType = 'Google_Service_Vision_GoogleCloudVisionV1p2beta1TextAnnotationDetectedBreak';
  protected $detectedBreakDataType = '';
  protected $detectedLanguagesType = 'Google_Service_Vision_GoogleCloudVisionV1p2beta1TextAnnotationDetectedLanguage';
  protected $detectedLanguagesDataType = 'array';

  /**
   * @param Google_Service_Vision_GoogleCloudVisionV1p2beta1TextAnnotationDetectedBreak
   */
  public function setDetectedBreak(Google_Service_Vision_GoogleCloudVisionV1p2beta1TextAnnotationDetectedBreak $detectedBreak)
  {
    $this->detectedBreak = $detectedBreak;
  }
  /**
   * @return Google_Service_Vision_GoogleCloudVisionV1p2beta1TextAnnotationDetectedBreak
   */
  public function getDetectedBreak()
  {
    return $this->detectedBreak;
  }
  /**
   * @param Google_Service_Vision_GoogleCloudVisionV1p2beta1TextAnnotationDetectedLanguage
   */
  public function setDetectedLanguages($detectedLanguages)
  {
    $this->detectedLanguages = $detectedLanguages;
  }
  /**
   * @return Google_Service_Vision_GoogleCloudVisionV1p2beta1TextAnnotationDetectedLanguage
   */
  public function getDetectedLanguages()
  {
    return $this->detectedLanguages;
  }
}

redpajama_set_name: RedPajamaGithub


text:
12 Best Places To Live and Work in India
Many places in India are categorized as the best place to live and work. An individual primarily looks for solid infrastructure, sustainable development and a city's culture.
Today We will discuss the 12 Best Places to Live and Work in India
1. Bangalore, Karnataka
2. Navi Mumbai, Maharashtra
3. Pune, Maharashtra
4. Ahmedabad, Gujarat
5. Surat, Gujrat
6. Coimbatore, Tamil Nadu
7. Vadodara, Gujarat
8. Hyderabad, Telangana
9. New Delhi, NCR
10. Indore, Madhya Pradesh
11. Jaipur, Rajasthan
12. Kochi, Kerala
From Garden City to the Silicon Valley of India, Bangalore is considered the most liveable city in India. It is the startup center of India, also known as an IT hub; the city never complains in any case. This makes Bangaluru the best places to live and work in India. The city is beautifully designed with utmost perfection; hence, many techies like to spend their entire lives in Bangalore.
Another reason to stay in Bangalore is its work-life culture. Do you want to go to a shopping mall, gym, entertainment, or arts? You would never find such a great combo in any other city but Bangalore. If anything that could bother you is its traffic, you may find it worth enduring because of the city's many luxuriousness.
The northern part of Mumbai, past the Thane, is known as Navi Mumbai. Originated in 1971, Navi Mumbai was a satellite township then. Although the purpose of building the new Mumbai was not clear then, the place is now considered the new district that provides affordable living as the prices are almost 10% cheaper than in old Mumbai.
Also Read: 5 Essential Things to Know Before Visiting the USA
Famous for education and IT companies, Pune is now becoming youngsters' first choice to live and work in India. The favourable climate, excellent restaurants, and direct access to metro cities like Mumbai make Pune one of the best places to work and live. If you find yourself compatible with Marathi culture, Pune food and language, then this place is totally for you. Unlike other cities, the nightlife of Pune is happening and decent.
The industrial and commercial city of Gujrat is a popular tourist attraction. Also known as one of the central business cities of India, Ahmedabad is featured as the best city to work and live in in the Times of India. What people like about this city is its fastest network, good transportation, and ofcourse the food.
Surat is the most populated city in Gujarat after Ahmedabad. It is also ranked as the 9th largest metropolitan of India. The city is also known as the city of Flyovers, Textiles and Diamonds.
According to reports, Surat has one of India's lowest crime rates, making it one of the safest cities in which to reside. A business hub, Surat is also a city that is rapidly expanding. There are noticeably fewer water and electricity-related concerns compared to other areas of Gujarat.
Also Read: 10 Most Beautiful Natural Wonders in Greece
The city is termed the Manchester of South India. Situated on the banks of river Noyyal, it holds significant tourist attractions. This place mesmerises you if you want to hang out with your friends and colleagues. Also, the city is well connected to major destinations like Ooty, Palakkad, Wayanad and many more.
The city is home to some of the most outstanding examples of architecture, is a fitting tribute to Maratha leader Sayaji Rao Gaekwad III. Vadodara, referred to as the cultural centre of Gujarat, has grown while preserving its ethnicity and culture.
One of Gujarat's top cities for education is the city in question. The city's transportation system is first-rate, and it has excellent connections to other cities.
In addition to this, the city is full of dining establishments and retail centres that will keep you entertained. The availability of goods at your home and delivery services throughout the city make life easier.
Hyderabad is the fastest city in south India. It is where people bustle in and out of cafes, temples, offices and other outdoor activities. As per the report conducted by Times of India in 2015, Hyderabad is one of the greatest cities in India to live in.
In addition, Hyderabad is known for its balanced distribution of business and residents so they can enjoy a hassle-free lifestyle. Also, the city is developing into an IT hub with a world-class airport and foreign schools.
Delhi is known for its delicious food, historical monuments and multiple universities. Although the city is more polluted than other cities in India, Delhi is considered the best place to live because of work and mouth watering Indian street food.
The largest wholesale spice bazaar in Asia, Khari Baoli Bazaar, is available if you're concerned about foodstuffs. For the record, Delhi boasts the world's second-most effective and accessible metro system.
This city's rich cultural past, which has been conserved for generations, makes it best. It is the city that exemplifies a fusion of the historical past with a modernized future.
Indore, the commercial capital of Madhya Pradesh, is a centre for businesses. The city was deemed a smart city by the Smart City Mission and won the award for cleanest city in 2017. Indore is the place to live if you wish to have both a modern and traditional lifestyle. Within the boundaries of the city, farming is practised in Indore. Additionally, because the price of the necessities is lower than in most other countries, the cost of living is relatively common here.
The pink city of India is famous for its royal and majestic lives. Here you will find India's solid historical background and vibrant culture.
Jaipur will provide peace and tranquillity if you relocate from a large metropolis. Even though there aren't many career prospects or exciting nightlife options in Jaipur, it's a place where you can be alone without being among other people.
Head to Jaipur if you ever want to settle down in life after retirement; the earthy red sandstone buildings will be there to welcome you.
Few people know that Kochi has a rich trading history that dates back to a minimum of 600 years and is still considered the financial capital of Kerala.
Kerala is known as the paradise of India, so the city is.
Kochi city is renowned for its top-notch education, expanding IT businesses, and future growth prospects in the nation with the highest literacy rate. The municipality actively encourages culture and art, and there are several locations where you may see graffiti.
The visual splendour of Kochi includes backwaters and the marine drive. Kochi has become well-known for its metro services, despite being known for its connections to the harbour and airport.
It is a metropolis the size of Dubai that is home to India's second-largest mall.
Now that you know about all the significant areas of India, you can move there with your lovely family. Make a sensible choice, lead a happy, healthy life, and enjoy your work.
Tags: 12 best places to live and work, best cities to live in India, best places to live in India
5 Best Places to Visit in Ladakh
India's Top 10 Restaurants You Must Visit in 2022
7 Best Attractions in Jammu and Kashmir
Post category:India


The ability to accurately monitor fluid movements in the reservoir is driven by improvements in seismic signal fidelity and repeatability from the application of point-receiver technology such as the UniQ and Q-Marine systems, together with Well-Driven Seismic data integration.
With an understanding of the fluid production, injection, and geometry in geomechanically active reservoirs such as compaction drive reservoirs, we can detect traveltime changes not just in the reservoir, but also in the overburden. In these reservoirs, production causes subsurface deformations and changes in seismic velocity. These changes in the overburden can be monitored and interpreted using time-lapse seismic data.
Saturation and pressure changes in a reservoir may be determined from AVO inversion methods; in particular, simultaneous inversion is providing additional quantitative information about reservoir conditions.
Interpretations of reservoir pressure, saturation, and fluid contacts from time-lapse seismic data contribute to production enhancement by optimizing well placement and by improving production and injection operations. In addition, time-lapse seismic data and their interpretations may also be used to constrain production history matching and enhance reservoir simulations.
Time-lapse seismic data may be used to define the fluid-flow characteristics of the reservoir and improve flow models. The technique uses time-lapse seismic methods, and allows asset teams to observe the dynamic processes in and around the reservoir, making the development and production stages more successful by placing wells more effectively.
Probability maps are generated using stochastic simulation because the different classifications overlap. The maps depict the probability of an area being drained, partially drained, or undrained according to various oil-saturation changes (ΔSo). The maps reduce the uncertainty in further development because they are quantitative and are a more powerful input to models.