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\section{Introduction and main results}

For any set of points $S$ in a vector space, the {\em midpoint set} of $S$ is
\[ M(S) = \{ \tfrac{1}{2} (x+y) : x,y\in S, x\neq y\}.\]
We study sets such that all their midpoints are unit vectors in a finite-dimensional normed space.
This work is contained in the author's PhD thesis \cite{Swanepoel1997}.
Since recently some work appeared \cite{Halman2007, Eisenbrand2008} dealing with related questions, the author decided to write this up as a paper.

First note that if the space is not strictly convex, there exists an infinite set whose midpoint set is a set of unit vectors:
Choose distinct points on a line segment on the boundary of the unit ball.
If however $X$ is strictly convex, it follows from the strict triangle inequality that there is at most one point in $S$ of norm $\leq 1$.

We therefore only look at the cases where all the vectors in $S$ are of norm larger than one.
We say that a set of vectors $S\subseteq X$ is an {\em M-set} if $M(S)$ consists of unit vectors, and each vector in $S$ is of norm $>1$.
Let $m(X)$ be the largest $m$ such that there exists an M-set of cardinality $m$ in $X$, if there is such a largest $m$.
If there is no such largest $m$, we set $m(X)=\infty$.

In two dimensions, $m(X)$ does not distinguish between different norms.

\begin{theorem}\label{helly:th2}
We have $m(X)=3$ for any two-dimensional Minkowski space $X$.
\end{theorem}

In dimensions higher than two, $m(X)=\infty$ is possible.

\begin{theorem}\label{infvectors}
If the unit ball of a Minkowski space has a non-polytopal proper face, then there exists an infinite M-set.
\end{theorem}

However, it is easily seen that an M-set is always countable.

\begin{observation}
Any M-set in a Minkowski space is countable.
\end{observation}
\begin{proof}
It is sufficient to show that a set $S$ of vectors of norm $\geq 1+\epsilon$ satisfying $\norm{x+y}=2$ for distinct $x,y\in S$, is finite (for any $\epsilon>0$).
But such a set is obviously bounded, and for any two vectors $x,y\in S$ we have
$\norm{x-y}+2 = \norm{x-y}+\norm{x+y}\geq \norm{2x}\geq 2+2\epsilon$.
\end{proof}

The following theorem provides a converse for Theorem~\ref{infvectors} in the case of $3$-dimensional spaces.
However, we suspect that there is a $4$-di\-men\-sion\-al strictly convex, smooth space admitting an infinite M-set; see Theorem~\ref{ex4d} for a weaker result.

\begin{theorem}\label{polyth}
Let the unit ball of a $3$-dimensional Minkowski space $X$ have $2$-faces, all of which are polygonal.
Then any M-set is finite.
Furthermore,
\begin{equation*}
m(X) = \sup\{n+1:\text{ The unit ball has an $n$-gonal $2$-face}\}
\end{equation*}
\end{theorem}

The only possibility for three-dimensional spaces not yet covered, is where the unit ball does not have a $2$-face.

\begin{theorem}\label{threelower}
If the unit ball of a $3$-dimensional Minkowski space $X$ does not have a $2$-face, then $m(X)=4$.
\end{theorem}

\begin{conjecture}
 There exists a strictly convex, smooth $4$-dimensional Minkowski space admitting an infinite M-set.
\end{conjecture}

\begin{theorem}\label{ex4d}
For all $n\geq 1$ there exists a $4$-dimensional smooth, strictly convex Minkowski space $X$ such that $m(X)\geq n$.
\end{theorem}

We finally calculate $m(X)$ for euclidean and $\ell_\infty$ spaces of all dimensions.

\begin{theorem}\label{l2m}
For all $d\geq 1$, $m(\ell_2^d)=d+1$.
\end{theorem}

\begin{theorem}\label{inftybound}
For all $d\geq 2$, $m(\ell_\infty^d)=2d-1$.
\end{theorem}

In the next section we esablish some notation and prove some basic properties of M-sets.
In Section~\ref{proofsection} the above theorems are proved.
In the last section we discuss some open questions.

\section{Notation and Basic properties}
We denote the convex hull, affine hull, boundary, interior, and relative interior of a set $S$ in a vector space by $\convex S, \aff S, \bd S, \interior S$ and $\relint S$, respectively.
By {\em polytope} we always mean a convex polytope.
We say that a polytope $P$ is $2$-neighbourly if for any two vertices $x$ and $y$, the segment $[x,y]:=\convex\{x,y\}$ is an edge of $P$, and we say that $P$ is $2$-almost-neighbourly if for any two vertices $x$ and $y$, the segment $[x,y]$ is contained in the boundary of $P$.

We frequently use the following fact:

\begin{lemma}\label{normface}
Let $S$ be a set of unit vectors in a Minkowski space.
If there exists a unit vector $y\in\relint\convex S$, then $\convex S$ is a set of unit vectors.
\end{lemma}
\begin{proof}
By Carath\'eodory's theorem we may assume that $S$ is finite: $S=\{x_1,\dots,x_m\}$.
For any $z\in\convex S$ we have $\norm{z}\leq 1$, since the unit ball is convex.
Alternatively, if $z=\sum_i\lambda_i x_i$ for some $\lambda\geq 0$ such that $\sum_i\lambda_i=1$, then $\norm{z}=\norm{\sum_i\lambda_i x_i}\leq \sum_i\lambda_i\norm{x_i}=1$.

We may assume $z\neq y$.
Then there exist unit vectors $a,b$ on the line $\aff\{y,z\}$ such that $y$ and $z$ are between $a$ and $b$.
Thus there exists $0<\lambda\leq 1$ such that $y=\lambda a + (1-\lambda)z$, and
$1=\norm{y}\leq\lambda\norm{a}+(1-\lambda)\norm{z}=\lambda+(1-\lambda)\norm{z}$, implying $\norm{z}\geq 1$.
\end{proof}

We need the following sharpening of Carath\'eodory's Theorem:

\begin{lemma}\label{caramod}
Let $R\subseteq\mathbb{R}^d$ and $y\in\relint\convex R$.
Then for any $x\in R$ there is an affinely independent set $S\subseteq R$ of at most $d+1$ points such that $x\in S$ and $y\in \relint\convex S$.
\end{lemma}
\begin{proof}
We may assume without loss of generality that $R$ is finite, and that $\convex R$ is $d$-dimensional.
If $x=y$, there is nothing to prove.
Otherwise, let $y'$ be the projection of $y$ along the ray from $x$ through $y$ onto a facet $F$ of $\convex X$.
By Carath\'eodory's theorem, $y'$ is in the relative interior of the convex hull of at most $d$ affinely independent vertices of $F$.
Add the point $x$ to obtain the set $S$.
\end{proof}

\begin{lemma}\label{polytope}
Let $M$ be a finite M-set in a Minkowski space.
Then $M$ is the vertex set of a polytope $P$.

Suppose furthermore that for some two points $x,y\in M$, the open segment $(x,y)$ is contained in the relative interior of some $k$-face $Q$ of $P$, with $k\geq 2$ (thus $[x,y]$ is not an edge).
Then the unit ball has a $k$-face in $\aff Q$.
\end{lemma}

\begin{proof}
We first show that no point is in the convex hull of the remaining points.
Suppose that $x$ is in the convex hull of the remaining vectors.
We may suppose $x = \sum_{i=1}^n \lambda_i x_i$, with $x_i\in M, \lambda_i\geq 0$ and $\sum_{i=1}^n\lambda_i = 1$.
Then
\begin{align*}
 \norm{2x} = & \norm{\sum_{i=1}^n \lambda_i (x+x_i)} \\
		&\leq \sum_{i=1}^n\lambda_i\norm{x+x_i} \\
		&\leq 2,
\end{align*}
and $\norm{x}\leq 1$, a contradiction.

Secondly, let $x$ and $y$ be two vertices of $P$ such that $(x,y)\subseteq\relint Q$.
Note that $x,y\in Q$.
Let $R$ be the set of vertices $z$ of $Q$ such that $[x,z]$ is an edge of $Q$.
Thus $x,y\notin R$.
Let $z\in R$.
By considering the vertex figure of $Q$ at $x$ and Lemma~\ref{caramod}, there is a simplex with vertex set $S$ satisfying $z\in S\subseteq R$, such that $y-x$ is a strictly positive linear combination of $S-x$:
$$y= x+ \sum_{s\in S}\lambda_s (s-x), \qquad \lambda_s>0.$$
Note that $S$ contains at least $2$ and at most $k$ points.
We must have $\lambda:= \sum_s\lambda_s>1$, otherwise $y$ is in the convex hull of $\{x\}\cup S$, contradicting the first part of the proof.
But now $\tfrac{1}{2} (x+y)$ is in the relative interior of the polytope
$$T_z:=\convex\left\{\tfrac{1}{2}(x+s), \tfrac{1}{2}(y+s):s\in S\right\},$$
as can be seen by taking $\mu_s := \lambda_s/\lambda^2$ and $\nu_s := \lambda_s(1-1/\lambda)/\lambda$; then
$$\tfrac{1}{2} (x+y) = \sum_{s\in S}\mu_s \tfrac{1}{2}(x+s) + \sum_{s\in S}\nu_s \tfrac{1}{2}(y+s),\quad\sum_{s\in S}(\lambda_s+\nu_s)=1.$$
It follows that $T_z$ is in the boundary of the unit ball by Lemma~\ref{normface}.
However, it is possible that $T_z$ is not $k$-dimensional, although it is contained in $\aff Q$.

We also have $\tfrac{1}{2}(x+y)\in\relint R'$, where
$$R':=\convex\left\{\tfrac{1}{2}(x+z), \tfrac{1}{2}(y+z):z\in R\right\}$$
is a $k$-polytope contained in $\aff Q$:
if not, then $\tfrac{1}{2}(x+y)$ is contained in some facet $F$ of $R'$.
But choose a $z\in R$ such that $\tfrac{1}{2}(x+z)$ or $\tfrac{1}{2}(y+z)$ is not in $F$.
Then, since $\tfrac{1}{2}(x+y)\in\relint T_z$, we obtain a contradiction.
\end{proof}

\section{Proofs}\label{proofsection}

\begin{proof}[Proof of Theorem~\ref{helly:th2}]
By Lemma~\ref{polytope} we immediately get $m(X)\leq 3$.
For the upper bound, find unit vectors $x,y,z$ such that $x+y+z=0$, by inscribing an affinely regular hexagon in the unit disc.
Then $\{2x,2y,2z\}$ is an M-set.
\end{proof}

\begin{proof}[Proof of Theorem~\ref{infvectors}]
Note that the boundary of a non-polygonal $2$-face $F$ contains either infinitely many straight line segments or a strictly convex arc.
In both cases it is easy to see how to choose infinitely many points in the plane of $F$, but outside $F$, such that the midpoint of any two of the points is in $F$; see Figure~\ref{fig4}.
\begin{figure}
\includegraphics[bb = 0 0 91 59]{midpoint1}
\begin{picture}(0,0)(91,0)%
\put(35,25){$F$}
\put(-12,5){$x_1$}
\put(10,56){$x_2$}
\put(61,58){$x_3$}
\put(84,33){$x_4$}
\end{picture}%
\caption{Choosing points outside $F$ with midpoint inside $F$}\label{fig4}
\end{figure}
For faces of larger dimension, take an appropriate $2$-dimensional cut to obtain a non-polygonal convex disc $F$.
\end{proof}

\begin{lemma}\label{threelow}
For any Minkowski space of dimension at least three, $m(X)\geq 4$.
\end{lemma}
\begin{proof}
We may assume without loss of generality that the space is three-dimensional.
Consider any plane $H$ through $0$.
Let $x$ be a unit vector such that $x+H$ supports the unit ball at $x$.
For any $\lambda\in\mathbb{R}$, let $H_\lambda = H+\lambda x$.
Now fix $1/3 < \lambda < 1$.
The intersection of the boundary of the unit ball with $H_\lambda$ is a convex curve $C$.
It is possible to inscribe an affinely regular hexagon in $C$ (see e.g.\ \cite[p.\ 242]{Gr3}) with centre $y\in H_\lambda$.
Let the vertices be $\{y\pm a, y\pm b, y\pm c\}$, where $a,b,c\in H$ satisfy $a+b+c=0$.
Then it is easily seen that $\{y+2a, y+2b, y+2c, -3y\}$ is an M-set.
\end{proof}

\begin{proof}[Proof of Theorem~\ref{threelower}]
Let $S\subseteq X$ be an M-set.
By Lemma~\ref{polytope}, $S$ is the vertex set of a polytope of dimension $2$ or $3$, and $2$-neighbourly, implying $m\leq 4$, or of dimension $1$, implying $m\leq 2$.

The lower bound follows from Lemma~\ref{threelow}.
\end{proof}

\begin{lemma}\label{polylower}
If the unit ball of a $3$-dimensional Minkowski space $X$ has an $n$-gonal $2$-face, then $m(X)\geq n+1$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Given the polygon $P:= \convex\{a_1,a_2,\dots, a_n\}$ (with vertices in this order) as a face of the unit ball, we construct $n+1$ points outside the unit ball such that the midpoint of any two is in $P$ or $-P$.

As an intermediate step, let $x_i:=\tfrac{1}{2}(a_i+a_{i+1})$ for $i=1,\dots,n$.
Then the midpoint of any two $x_i$'s is obviously in $\relint P$.
We now want to find a point $x_{n+1}$ such that the midpoint of $x_i$ and $x_{n+1}$ is in $\relint -P$ for all $i=1,\dots,n$.
(We need to have the midpoints in the {\em interior} of the reflected polygon in order to later modify $x_i,i=1,\dots,n$ --- at the moment they are still on the boundary of the unit ball.)
See Figure~\ref{proj}.
\begin{figure}
\includegraphics[bb = 0 0 109 150]{helly-type-proj}
\begin{picture}(0,0)(109,0)%
\put(23,137){$x_{n+1}$}
\put(40,48){$0$}
\put(-17,17){$P$}
\put(-22,82){$-P$}
\end{picture}%
\caption{}\label{proj}
\end{figure}
Note that such an $x_{n+1}$ would be outside the unit ball (in fact $\norm{x_{n+1}}=3$).
For any $x$, the set $\{\tfrac{1}{2}(x+x_i):i=1,\dots,n\}$ is homothetic to $\{x_1,\dots,x_n\}$, with ratio $\tfrac{1}{2}$.
It is therefore sufficient to show that there is a $-\tfrac{1}{2}$-copy of $\{x_1,\dots,x_n\}$ in $\relint P$.
Let $P_i$ be the homothet of $\relint P$ with centre $x_i$ and factor $\tfrac{2}{3}$.
It is easily seen that $c\in P_i$ iff $c$ is a centre of homothety with factor $-\tfrac{1}{2}$ taking $x_i$ into $\relint P$.
We want to find such a $c$ working for all $i$; it is therefore sufficient to show that $\bigcap_{i=1}^n P_i\neq\emptyset$.
By Helly's theorem it is sufficient to show that any three $P_i$'s have non-empty intersection.
This is equivalent to showing that there is a $-\tfrac{1}{2}$-copy of $\{x_1,\dots,x_n\}$ in $\relint P$ in the case $n=3$.
But there is already a $-\tfrac{1}{2}$-copy of $\{x_1,x_2,x_3\}$ in $(\convex\{x_1,x_2,x_3\})\setminus\{x_1,x_2,x_3\}$: for $c$ take the centroid of $\{x_1,x_2,x_3\}$.
(Note that $(\convex\{x_1,x_2,x_3\})\setminus\{x_1,x_2,x_3\}\subseteq \relint P$.)

We now modify $x_1,\dots,x_n$ by slightly shifting each point in the plane $\aff P$ out of $P$ so that $\norm{x_i}>1$.
As the construction was made such that all the midpoints were either in $\relint P$ or $\relint -P$, the midpoints will now still be in $P$ or $-P$.
\end{proof}

The following lemma was first proved by Zamfirescu \cite{Zamfirescu1969}.
For convenience we include a proof.

\begin{lemma}\label{threepolytope}
Let $P$ be a $2$-almost-neighbourly $3$-polytope.
Then $P$ is either combinatorially equivalent to a triangular prism, or $P$ is a polygonal pyramid. \textup{(}See Figure ~\ref{fig1}.\textup{)}
\end{lemma}

\begin{figure}
\includegraphics[bb = 0 0 299 124]{helly-type-prism}
\caption{Combinatorial triangular prism. Polygonal pyramid.}\label{fig1}
\end{figure}

\begin{proof}
Suppose that two faces, an $n$-gon $F$ and an $n'$-gon $G$ , are joined by an edge, with $n,n'\geq 4$.
\begin{figure}
\includegraphics[bb = 0 0 166 106]{helly-type-faces}
\begin{picture}(0,0)(166,7)%
\put(25,103){$a$}
\put(130,80){$b$}
\put(163,16){$c$}
\put(23,53){$d$}
\put(112,5){$e$}
\put(-14,28){$f$}
\put(145,50){$G$}
\put(40,11){$F$}
\end{picture}%
\caption{}\label{fig2}
\end{figure}
Let the vertices of the joining edge be $a$ and $b$. Let the vertices of $F$ in the neighbourhood of $a$ and $b$ be $f,a,b,e$, and those of $G$ be $d,a,b,c$.
See Figure~\ref{fig2}.
Then $[d,e]$ and $[c,f]$ are on the boundary of $P$ and must be contained in the same face of $P$.
Thus, $\convex\{d,c,e,f\}$ is part of this face.
It follows that $n=n'=4$.
If $\convex\{b,c,e\}$ is not a face of $P$, then $\aff\{b,c,e\}$ strictly separates $a$ from some vertex $x$ of $P$.
Since $x$ cannot be part of $F$ or $G$, it follows that $[a,x]\nsubseteq\bd P$, a contradiction.
Thus, $\convex\{b,c,e\}$ is a face of $P$, and similarly, $\convex\{a,d,f\}$ is a face.
Thus $P$ is a triangular prism.

If $P$ is not combinatorially equivalent to a triangular prism it follows that if two faces meet at an edge, one must be a triangle.
Let $x_1x_2\dots x_n$ be a face with the largest number of vertices $n$.
Then all faces adjacent to $F$ are triangles.
Suppose there are two points $y_1,y_2$ not in the plane $\aff F$.
By Radon's theorem applied to $S:=\{x_1,x_2,x_3,y_1,y_2\}$, there is a partition of $S$ into sets $T,U$ such that $\convex T\cap\convex U\neq\emptyset$.
Since $S$ is the vertex set of a polytope, $T$ and $U$ both contain at least two points.
We may assume that $\#T=2$ points, and $\#U=3$.
It is clear that $T=\{x_i,y_j\}$ for some $i,j$, say $T=\{x_1,y_1\}$.
Thus $[x_1,y_1]$ intersects $\convex U$.
Since $[x_1,y_1]$ is on the boundary of $\convex S$, it cannot intersect $\relint\convex U$.
Therefore, it must intersect the relative interior of some edge of $\convex U$, and we obtain a face of at least $4$ vertices adjacent to $F$, a contradiction.
Thus there is exactly one point not in $\aff F$, and $P$ is a pyramid.
\end{proof}

\begin{proof}[Proof of Theorem~\ref{polyth}]
The lower bound in the equation is proved in Lemma~\ref{polylower}.
By Lemmas~\ref{polytope} and \ref{threepolytope}, any finite M-set is the vertex set of a planar polygon, a combinatorial triangular prism, or a polygonal pyramid.

It is easily seen that a triangular prism is impossible:
Considering the midpoints of a quadrilateral face $F$, we see that the unit ball has a face in the plane of $F$.
Since this holds for all three quadrilateral faces, we contradict the central symmetry of the unit ball.

We may assume that $m\geq 5$, since otherwise
$$m(X)\leq 4\leq \sup\{n+1: \text{there is an $n$-gon}\}.$$
The only remaining possibility is that the convex hull of the M-set is a polygon of $\geq 5$ vertices or a polygonal pyramid with $\geq 4$ vertices.
In both cases, there is an M-set with a polygon $P$ as convex hull.
Thus, by Lemma~\ref{polytope} there is a $2$-face $Q$ on the boundary of the unit ball in the plane of $P$.
By hypothesis, $Q$ is a polygon.
Choose any point in $\relint Q$ and triangulate $\aff Q$ into unbounded regions by joining this point to the vertices of $Q$, as in Figure~\ref{poly}.
\begin{figure}
\includegraphics[bb = 0 0 95 89]{helly-type-poly}
\caption{}\label{poly}
\end{figure}
Obviously, no two points of the M-set can be in the same region.
Thus, $P$ has at most $n$ vertices, and $m\leq n+1$.

It remains to show that an infinite M-set is impossible.
If there is such a set, then, as before, any finite subset must be a polygon or a polygonal pyramid.
It is easily seen that the polygons must all lie in the same plane.
But in this plane the unit ball has some $n$-gon as a $2$-face, and therefore the number of points in this plane is bounded above by $n$, a contradiction.
\end{proof}

\begin{lemma}\label{smoothing}
Let $S$ be the vertex set of a centrally symmetric polytope in $\mathbb{R}^d$.
Then there is a smooth, strictly convex norm $\norm{\cdot}$ on $\mathbb{R}^d$
such that $\norm{x}=1$ for all $x\in S$.\qed
\end{lemma}

\begin{proof}[Proof of Theorem~\ref{ex4d}]
We use Carath\'eodory's moment curve:
For $t\in\mathbb{R}$, define $\phi(t):=(\cos t,\sin t,\cos 2t,\sin 2t)\in\mathbb{R}^4$.
Choose distinct $t_1,\dots,t_n\in[0,\pi/4]$, and let $x_i:=\phi(t_i)$.
The M-set will be $\{x_1,\dots,x_n\}$, which is incidentally the vertex set of a cyclic polytope, which is $2$-neighbourly; see \cite{Gale}.
Let $K:=\convex\{\pm(x_i+x_j):1\leq i<j\leq n\}$.
We now show that for each $i\neq j$, $\pm(x_i+x_j)$ is a vertex of $K$.

Define $p_{ij}(t):=\bigl(1-\cos(t-t_i)\bigr)\bigl(1-\cos(t-t_j)\bigr)$.
Then $p_{ij}(t)\geq 0$ with equality iff $t=t_i$ or $t=t_j$, and also $p_{ij}(t)<1/10$ for all $t\in[0,\pi/4]$.
By expanding $p_{ij}$, it is found that $p_{ij}(t) = \ipr{y_{ij}}{\phi(t)}+c_{ij}$, where
$$y_{ij}:= \left(-\cos t_i-\cos t_j,-\sin t_i-\sin t_j,\tfrac{1}{2}\cos(t_i+t_j),\tfrac{1}{2}\sin(t_i+t_j)\right)$$
and $c_{ij}:= 1+\tfrac{1}{2}\cos(t_i-t_j)$.

We now show that $\{x\in\mathbb{R}^4:\ipr{y_{ij}}{x}+2c_{ij}=0\}$ is a support hyperplane of $K$ containing only $x_i+x_j$.
This follows from the following calculations:
\begin{align*}
\ipr{y_{ij}}{x_i+x_j}+2c_{ij} &= p_{ij}(t_i)+p_{ij}(t_j) = 0,\\
\ipr{y_{ij}}{-x_i-x_j}+2c_{ij} &= -p_{ij}(t_i)-p_{ij}(t_j)+4c_{ij}\\
&= 4c_{ij} > 0,\\
\ipr{y_{ij}}{x_i+x_k}+2c_{ij} &= p_{ij}(t_i)+p_{ij}(t_k)=p_{ij}(t_k)>0,\\
\ipr{y_{ij}}{-x_i-x_k}+2c_{ij} &= -p_{ij}(t_i)-p_{ij}(t_k)+4c_{ij}\\
&= -p_{ij}(t_k)+4+2\cos(t_i+t_j)\\
&\geq -\tfrac{1}{10}+4+\sqrt{2} > 0,\\
\ipr{y_{ij}}{x_k+x_l}+2c_{ij} &= p_{ij}(t_k)+p_{ij}(t_l)>0,\\
\ipr{y_{ij}}{-x_k-x_l}+2c_{ij} &= p_{ij}(t_k)-p_{ij}(t_l)+4c_{ij}\\
&\geq -\tfrac{1}{10}-\tfrac{1}{10}+4+\sqrt{2} > 0,
\end{align*}
for distinct $i,j,k,l$.
By Lemma~\ref{smoothing} there is a strictly convex, smooth norm on $\mathbb{R}^4$ such that $\norm{x_i+x_j}=2$ for all distinct $i,j$.
By strict convexity, at most one of the $x_i$'s can have norm $\leq 1$.
Note that $\dim K=4$.
This follows from the fact that any $5$ of the $x_i$'s are affinely independent, since $\{x_1,\dots,x_n\}$ is the vertex set of a polytope, as noted previously.
\end{proof}

\begin{theorem}\label{l2bound}
Let $x_1,\dots,x_m\in\ell_2^d$ be distinct vectors satisfying
\begin{equation}\label{normeq}
\norm{x_i+x_j}=1 \text{ for all distinct }i,j.
\end{equation}
Then $m\leq d+1$ if $d\neq 2$, and $m\leq 4$ if $d=2$.
Both bounds are sharp.
\end{theorem}
\begin{proof}
Note that by the strict triangle inequality, there is at most one $x_i$ of norm $\leq\tfrac{1}{2}$.
Thus for $d=2$, Theorem~\ref{helly:th2} takes care of the upper bound, and for the lower bound, take $x_1,x_2,x_3$ to be unit vectors at $120^\circ$ angles, and $x_4=0$.
Then \eqref{normeq} is obviously satisfied.

We now assume that $d\neq 2$, and for the sake of contradiction that $m=d+2$.
Then $x_1,\dots,x_m$ are affinely dependent, and there exist $\lambda_1,\dots,\lambda_m\in\mathbb{R}$ such that
$$\sum_{i=1}^m\lambda_i x_i = 0, \sum_{i=1}^m\lambda_i = 0, \quad(\lambda_1,\dots,\lambda_m)\neq 0.$$
From \eqref{normeq} it follows that $2\ipr{x_i}{x_j} = 1-\ipr{x_i}{x_i} - \ipr{x_j}{x_j}$ for all $i\neq j$.
Therefore, for any $j$,
\begin{align*}
0 &= \sum_{i=1}^m\lambda_i\ipr{x_i}{x_j} \\
  &= 2\lambda_j\ipr{x_j}{x_j} + \sum_{i\neq j}\lambda_i\left(1-\ipr{x_i}{x_i} - \ipr{x_j}{x_j}\right) \\
  &= 2\lambda_j\ipr{x_j}{x_j} - \lambda_j\left(1-2\ipr{x_j}{x_j}\right) - \sum_{i=1}^m\lambda_i\ipr{x_i}{x_i} \\
  &= \lambda_j\left(4\ipr{x_j}{x_j} - 1\right) - \sum_{i=1}^m\lambda_i\ipr{x_i}{x_i}.
\end{align*}
Thus
\begin{equation}\label{lambdaj}
\lambda_j(4\ipr{x_j}{x_j} -1) = \sum_{i=1}^m\lambda_i\ipr{x_i}{x_i}.
\end{equation}
Summing over all $j$, we obtain $$(m-4)\sum_{i=1}^m\lambda_i\ipr{x_i}{x_i}=0.$$
Since $d\neq 2$, we have $m\neq 4$, and by \eqref{lambdaj} we obtain that $\lambda_j=0$ for all $j$ such that $\norm{x_j}\neq\tfrac{1}{2}$.
Since there is at most one $x_j$ of norm $\tfrac{1}{2}$, and $\sum_i\lambda_i = 0$, we obtain that $\lambda_j=0$ for all $j$, contradicting affine dependence.

To obtain $d+1$ vectors satisfying \eqref{normeq}, consider the vertices of a regular simplex with centroid at the origin.
By symmetry, the sum of any two vectors will have the same norm.
By a suitable scaling, \eqref{normeq} will be satisfied.
\end{proof}

Theorem~\ref{l2m} now follows immediately from Theorems~\ref{l2bound} and \ref{helly:th2}.

\begin{proof}[Proof of Theorem~\ref{inftybound}]
Let $\{x_1,\dots,x_m\}$ be an M-set in $\ell_\infty^d$.
For each $i$ there is a coordinate of $x_i$ of absolute value larger than $1$.
If $m\geq 2d+1$, then by the pigeon-hole principle, there are three $x_i$'s with the same coordinate of absolute value $>1$.
Some two of these will have the same sign, and therefore the norm of their sum will be $>2$, a contradiction.

Therefore, $m\leq 2d$.
Suppose now that equality holds.
Then, by the same considerations as above, we may reorder the $x_i$'s such that $x_i^{(i)}>1$ and $x_{i+d}^{(i)}<-1$ for $i=1,\dots,d$, and $x_i^{(j)}\leq 1$ in all other cases.
If $x_i^{(i)}+x_{i+d}^{(i)}\geq 2$ for some $i$, then $x_1^{(i)}\geq 2-x_{i+d}^{(i)}>3$.
Thus $x_j^{(i)}<-1$ for all $j\neq i$, since $\norm{x_i+x_j}_\infty =2$.
But then $\norm{x_j+x_{j'}}_\infty >2$ for any two $j,j'\neq i$, a contradiction.
Similarly, $x_i^{(i)}+x_{i+d}^{(i)}\leq -2$ is impossible.
Since $\norm{x_i+x_{i+d}}_\infty=2$, there is a coordinate $j\neq i$ such that $x_i^{(j)} + x_{i+d}^{(j)} = \pm 2$.
Since $\abs{x_i^{(j)}},\abs{x_{i+d}^{(j)}}\leq 1$, we must have $x_i^{(j)}=x_{i+d}^{(j)}=\pm 1$.
But then either $\norm{x_i+x_j}_\infty>2$ or $\norm{x_{i+d}+x_j}_\infty>2$, a contradiction.
Thus $m\leq 2d-1$.

For the lower bound, let $e_1,\dots,e_d\in\mathbb{R}^d$ be the standard unit vectors.
For $i=1,\dots,d-1$, let $x_i:=2e_i+ e_d$ and $x_{i+d-1}:=-2e_1+ e_d$. Finally, let $x_{2d-1}:=-3 e_d$.
\end{proof}

\section{Concluding remarks}

Any centrally symmetric polytope $P$ defines a Minkowski space $X$ for which $m(P)=m(X)$ is finite.
It would be of some interest to study this number for specific polytopes.
In Theorem~\ref{inftybound} we have already determined $M(P)$ for cubes.

We make the following simple observations.

\begin{observation}\label{polytopeupper}
If a Minkowski space $X$ of dimension at least $2$ has a polytope with $f$ facets as unit ball, then $m(X)\leq f-1$.
\end{observation}
\begin{proof}
Imbed the space isometrically into $\ell_\infty^{f/2}$ and apply Theorem~\ref{inftybound}.
Note that since the dimension is at least $2$, $f\geq 4$.
\end{proof}

\begin{observation}\label{polytopelower1}
Let $X$ be a Minkowski space with a polytopal unit ball.
Let $f$ be the largest number of facets that a proper face of the unit ball can have.
Then $m(X)\geq f$.
\end{observation}
\begin{proof}
Let $F$ be a face of the unit ball that has $f$ facets.
Choose points $x_1,\dots,x_f$ just outside the centroid of each facet of $F$ in $\aff F$.
Then $\{x_1,\dots,x_f\}$ is clearly an M-set.
\end{proof}

\begin{observation}\label{polytopelower2}
In any $d$-dimensional Minkowski space with a polytope as unit ball, there exists an M-set of cardinality at least $d+1$.
\end{observation}
\begin{proof}
Choose any facet $F$ of the unit ball.
Let $F$ have $f$ facets.
By the argument of Theorem~\ref{polytopelower1}, $m(X)\geq f$.
If $f\geq d+1$, we are done.
Otherwise $F$ is a simplex with centroid $c$, say.
It is easily seen that we may add $-3c$ to the M-set obtained in Theorem~\ref{polytopelower1}, to obtain an M-set of $d+1$ points.
\end{proof}

These estimates are not sharp.
As a start, consider cross-polytopes.
By Observation~\ref{polytopelower2} we obtain $m(\ell_1^d)\geq d+1$, and Observation~\ref{polytopelower1} doesn't give any larger lower bound.
As upper bound we only have $2^d-1$, by Observation~\ref{polytopeupper}.
Perhaps there is also a linear upper bound?

\begin{conjecture}
 Each $d$-dimensional Minkowski space has an M-set of at least $d+1$ points.
\end{conjecture}
Theorem~\ref{helly:th2} and Lemma~\ref{threelow} show that this conjecture is true for $d=2$ and $3$.
Showing it for $d\geq 4$ would undoubtedly be more difficult than Observation~\ref{polytopelower2}.

\section*{Acknowledgements}
The author thanks Valeriu Soltan for drawing his attention to the work of Zamfirescu, and the anonymous referee for his suggestions on improving the paper.

redpajama_set_name: RedPajamaArXiv


Failure to adequately securely fasten items that are being transported on the outside on a vehicle is a serious safety hazard to the motoring public. The driver of a vehicle that has an unsecured load is at risk of receiving a significant fine and even jail time, should it result in an accident where someone is seriously injured or killed.
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This large mixed media painting has lots of texture. Created on a sturdy, handmade box canvas this abstract seascape is inspired by my walks along the shoreline of the Dee estuary.
As I walk along the beach I love to collect sea glass. These smooth pieces of glass are from broken bottles, jars and glass that have been discarded by man, left on the beach and then reclaimed by nature, recycled by the sea.
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Ken Goldman Biography
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Ken Goldman is an internationally known artist, author, teacher and art juror. A recipient of numerous awards, Goldman has exhibited widely in various group shows and solo exhibitions in Holland, Paris, Mexico, New York, Boston and Washington D.C.
Most recently, 2012 - 2016, Ken's work has been exhibited in China: The Shanghai International Biennial, Two Shenzhen International Biennials, five Universities: Jimei, Quanzhou, Tsingua, Qindao and Shanghai Universities. In Italy: the International Fabriano en Acquarello 2015,16 and in California: The Oceanside Museum of Art, The Fischer Museum of Art and the Autry Museum.
Goldman's work is included in the permanent collections of the San Diego Museum of Fine Art, North Carolina's Hickory Museum of Fine Art, the San Diego Museum of Natural History, the San Diego Watercolor Society and the Zuo Wen Museum in Qindao China.
Ken is currently serving as president of the National Watercolor Society and is represented by CaliforniaWatercolor.com Gallery.
The author of eight instructional books on Pastels, Acrylics, Charcoal and Artistic Anatomy, Goldman has been featured in magazines, including The Art of Watercolour, Southwest Art, International Artist, Watercolor Magic, Splash 12 & 13 and The Artist's Magazine, among others. He is a Signature Member of the National Watercolor Society, American Watercolor Society, San Diego Watercolor Society, International Society of Acrylic Painters and the Pastel Society of America (1995-2006). His education includes the National Academy of Design, Art Student's League and the New York Studio School.
Ken teaches Figure painting, Artistic Anatomy and plein air Landscape at the Athenaeum School of the Arts in La Jolla and in workshops across the country.
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No one knows the extent of the AIDS epidemic in China. But the Times's Elisabeth Rosenthal, in a chilling report from the village of Donghu in Henan Province, noted that some Chinese doctors believed that hundreds of thousands of people in that one province had contracted the AIDS virus in a catastrophically unsanitary blood-selling scheme.
The fight against AIDS is everywhere burdened by taboos. Dr. Gao Yaojie, a retired gynecologist who conducted a one-woman crusade to help the stricken families in the province, was refused permission to travel to Washington to receive an award for her heroic efforts. Dr. Gao was denounced in China for daring to call attention to the problem.
In sub-Saharan Africa, more than 25 million people are infected with H.I.V., and more than 17 million have already died. Orphans are counted in the millions, and children sing longingly to the dead. Most people who are infected do not know it. And for most who are found to be infected with H.I.V., there is no treatment.
In southern Africa, the virus that is consuming the population is an H.I.V. subtype that appears to spread with a new and more frightening efficiency. Life expectancies are plummeting. In South Africa, nearly 20 percent of everyone between 15 and 45 years of age are infected.
And yet Thabo Mbeki, the president of South Africa, has been a hindrance to the fight against AIDS in his own country, appearing even to raise questions on a matter as fundamental as whether H.I.V. causes AIDS.
The tragic head-in-the-sand responses of some leaders in China, Africa and elsewhere are not uncommon. Fear, ignorance, poverty, shame and, to a large extent, the inability of most of us to grasp the enormity of this disaster are all standing in the way of effective action against AIDS. We are in the early stages of an unprecedented threat to the health of the human species. The long dark night of AIDS has just begun.
Tens of millions of lives are at stake. Myriad taboos will have to be overcome, and alliances will have to be forged between the developing nations that are suffering most and the wealthier nations, the only ones with the financial and scientific resources necessary to turn back the epidemic.
One of the ways to break through the stigmas is to provide treatment, which is a way of providing hope. Because of the lack of treatment in most of sub-Saharan Africa, a diagnosis of H.I.V. infection is the equivalent of a death sentence. So individuals have very little incentive to learn their status. They remain fearful and in denial, and their behavior does not change.
Some initial steps are finally being taken to address financing for treatment in poor countries. But they are fledgling efforts, at best. Some anti retroviral drugs will be made available at drastically reduced prices, and the U.N. secretary general, Kofi Annan, has called for the creation of a global fund to fight AIDS.
The money is desperately needed. But money won't be enough. What's really needed are adequately financed partnerships that span the globe, are based on mutual respect and are committed to the very difficult long-term task of fighting the disease.
How we respond to this catastrophe can be seen as ''a measure of our humanity,'' said Dr. Richard Marlink, the executive director of the Harvard AIDS Institute.


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text:
Secret Service Chief: Tense Rallies Create 'Challenges'
Clancy: Protesters 'Not Our Primary Concern'
March 15, 201605:38
March 15, 2016, 7:31 PM UTC / Updated March 15, 2016, 8:31 PM UTC
By Halimah Abdullah
The head of the Secret Service said Tuesday the increasing violence and heated exchanges as attendees and protesters face off at political rallies has made his agents' jobs tougher.
"There's no question that some of these events create even more challenges for us," Secret Service Director Joseph Clancy told lawmakers at a House Appropriations committee hearing Tuesday.
Related: Secret Service Rushes Stage to Protect Donald Trump at Ohio Rally
Secret Service agents were forced to jump on stage on Saturday and form a wall around Republican presidential candidate Donald Trump after a disturbance broke out behind him during a Dayton, Ohio, event. The suspect, who jumped the bike racks and tried to climb onto the stage, was identified as Thomas Dimassimo, 32, and was charged with disorderly conduct and inducing panic — both misdemeanors, Chief Mike Etter of the Dayton Airport Police Department told NBC News.
It was the first time at a Trump event that the Secret Service was forced to take to the stage to protect the candidate. The incident took place one day after Trump cancelled a Chicago rally as hundreds of protesters awaited him and skirmishes broke out between those who oppose Trump and supporters.
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Just days earlier, a man was charged with assault for punching a protester at a Fayetteville, North Carolina, event Wednesday night, and Breitbart reporter Michelle Fields accused Trump campaign manager Corey Lewandowski of yanking her arm aggressively when she tried to ask the candidate a question on Tuesday evening.
Late last month, after an interruption by several attendees associated with Black Lives Matter, a fight between a Time photographer and Secret Service agent broke out around the press area at a Donald Trump rally in Radford, Virginia. The Trump campaign, at the time, said it was aware of the incident and directed further questions to local law enforcement.
Related: Security at Trump Rally Chokes, Slams Photojournalist to Ground
The Secret Service responded similarly.
Can Presidential Candidates Have You Arrested at Their Events?
"The Secret Service is aware of an incident involving an employee of the Secret Service that occurred earlier today in Radford, Virginia. At this time, our local field office is working with their law enforcement partners to determine the exact circumstances that led up to this incident," the agency said in a statement. "The Secret Service will provide further details as warranted once additional facts surrounding the situation are known."
Secret Service agent choke slams reporter pic.twitter.com/jdsHOlylSB
— Joe Perticone (@JoePerticone) February 29, 2016
PHOTOS - In the Shadows: Secret Service Agents on the Campaign Trail
Such tension has led to an national increased focus on both heated rhetoric on the trail and security at campaign events.
The Secret Service reiterated that it is not involved in removing disruptive protestors.
Secret Service agents stand watch, right, as Republican presidential candidate Donald Trump speaks to his supporters at a campaign event in Tampa, Fla., on March 14, 2016.Gerald Herbert / AP
"We are there to protect our protectee," Clancy said. "If there are people that are disrupting the event, that is not our primary responsibility."
That responsibility, Clancy said, is up to event security or local law enforcement
"We do not interfere with people's First Amendment rights. People have the right to voice their opinions and it's for the host committee to decide whether that's disruptive to that event."
Photographer Recounts Altercation With Security at Trump Rally
Feb. 29, 201600:37
Halimah Abdullah
Halimah Abdullah is a digital editor and writer for NBC News and is responsible for reporting, writing, editing and web producing federal policy news for NBCNews.com. Prior to joining the site in April 2015, Abdullah worked at CNN.com, where she reported, edited and web produced stories on federal politics and policy. In that role, Abdullah was responsible for helping cover Congress, the White House, federal agencies, and national political races.
A veteran politics and policy reporter and editor, Abdullah has worked for Bloomberg Government, McClatchy Newspapers' Washington Bureau, the Memphis Commercial Appeal, Newsday, and the Dallas Morning News. Her work has also appeared in the New York Times and TODAY.com, among other publications. Her journalism and creative writing have won awards, been published in several anthologies, and earned her invitations to attend several writing colonies. Abdullah is also a writing professor who has taught at the University of Maryland and the University of the District of Columbia and John Jay College and Brooklyn College in New York.
Abdullah lives in the Washington D.C. metro area.
Charlie Gile contributed.


Supporting the next-generation LTE-Advanced CAT6 network, Huawei E5786 is the world's fastest MiFi or mobile Wi-Fi. Upgrade based on the Huawei E5776 LTE router, it adds more functions than it. The operation is different with the E5776. Take getting the SSID and encryption key for example, simply by pressing the WPS button twice, you would view the info in the screen. However, there is no WPS button at the body of the E5786, and you cannot do the same operation as the E5776. Here we will show you how to do it.
If you haven't modified the default SSID and key, the default SSID and encryption key are printed on the Mobile WiFi label which is located at the back of the E5786.
2. Press the MENU button to scroll to Device Info.
3. Press the power button to enter Device Info.
management page and change your SSID and wireless network encryption key. Here are the steps to login the WebGuI.
1. Make sure the connection between the Mobile WiFi and the Wi-Fi device or computer is working normally.
2. Open the browser, and enter http://192.168.8.1 in the address box.
3. Enter the user name and password to log in to the web management page.
And then you could view and change the SSID details easily.


text:
NEAR-SELLOUTS CELEBRATE SYMPHONY'S 70TH
By DAVID NICHOLSON Staff Writer
NORFOLK — So many concert-goers attended The Virginia Symphony's opening concert Friday night that Chrysler Hall looked like an evacuation center for Hurricane Hugo.
Symphony officials were beaming with reports that even more tickets had been sold for the Saturday night concert, making both nights near sell-outs. Many people dressed in Roaring 20s costumes to celebrate the orchestra's beginning 70 years ago, which gave the evening a festive feeling. A post-concert party each night included bathtubs filled with Prohibition punch.
"Giants and geniuses," this season's theme, was conductor Winston Dan Vogel's concept of mixing great works with talented young performers. The opening program had both, with 18-year-old Gil Shaham performing Wieniawski's Second Violin Concerto and the orchestra playing excerpts from Wagner's four-opera "Ring cycle."
Shaham made his debut here last year as a last-minute substitute for ailing Yehudi Menuhin and impressed everyone with his sensitive playing. He was back in his own right, looking more mature and playing splendidly.
While sensuous works by Ravel were on the program last time, Shaham showed off his technical prowess in this concert with a virtuosic concerto written in 1870. Wieniawski, a champion fiddler in his own right, wrote works full of dazzling runs, tricky fingering passages and ornamental flourishes. The three movements are played without rests.
Shaham was not a fiery extrovert on stage, but a cool performer who negotiated Wieniawski's composition with calculated playing. His performance never seemed erratic, and the only disappointing aspect was his falure to fully bring out the lyricism of the middle section. But the strength of this work doesn't rest on its melodies; Shaham was outstanding where it really counted.
The orchestra followed him nicely, even playing softly enough to let the violin's quiet passages come through.
Presenting excerpts from Wagner was a risky venture for an orchestra that has just returned from a summer of not playing together. While some of the seven selections Vogel chose showed promise, none realized their full potential.
Wagner has been in the news lately with revivals of "The Ring of the Nibelungs," his massive four-opera cycle, at the Metropolitan Opera and other companies throughout the country. The operas, taken from Norse mythology, end with the destruction of the gods in a final immolation scene.
Vogel selected a kind of "greatest hits" from the different operas that included the Entrance of the Gods into Valhalla from "The Rhinegold" and ended with Siegfried's "Rhine Journey" and "Funeral March" and the final immolation scene, all from "Twilight of the Gods."
There was some noble playing among the brass section, and the strings valiantly handled the complex progression of passages that give this work its dense, mystical atmosphere. Vogel was unable to bring out the intricate musical lines that keep the tension in this music flowing from beginning to end, something more rehearsals would have helped.
* MUSIC REVIEW: The Virginia Symphony in concert Friday in Norfolk's Chrysler Hall. Works performed: Nicolai Rimsky-Korsakov, "Russian Easter Festival" Overture; Henri Wieniawski, Violin Concerto No. 2 in D minor, Opus 61; Richard Wagner, excerpts from "Der Ring des Nibelungen."


With well above 3,000 rides since first riding the Kiwi horse Hoeberg to a Group 1 race on South African turf in 2001, Jeff Lloyd has had just the one job for the past 16 years, so it is safe to say that he knows one or more things about horses.
He will ride Houtzen the The Everest at Randwick on October 14 and has recently said that he will not wind up regretting convincing Houtzen's connections to use their slot for her.
Lloyd has done most of his Australian racing at Doomben, but he has almost 200 at Royal Randwick, so taking the reins of Houtzen for the richest turf race in the world will not be anything with which he is not intimately familiar.
He rode Houtzen to a win recently in the 1200 m Simpson Construction Scarborough Stakes at Moonee Valley and proceeded to campaign trainer Toby Edmonds that Houtzen was a legitimate contender for The Everest.
"I really stuck my neck out when I spoke to Toby and the owners after the race and told them I had a lot of confidence in her going to The Everest," Lloyd said.
Houtzen should run well with only 51 kg in The Everest, five kg less than she carried in the Scarborough Stakes.
Lloyd will be on short rations in the lead-up to the Everest. He has dropped for 54 to 52.5 so far and gave assurances that the final 1.5 he needs to shed will not be an issue.
"People forget that I used to ride at 50.5kg when I was in Hong Kong, and my weight has only gone up since I've been in Australia," Lloyd said.
Lloyd was vague on the tactics that will be used aboard Houtzen in The Everest. Houtzen will be near the lead, but she does not have to lead to win, claims Lloyd.
"She is not just a tearaway leader and she is not one-dimensional, it will all depend how the track is playing on the day," Lloyd said.
Bookmakers and punters are not as convinced as is Lloyd. She currently carries a $34 quote from Ladbrokes, above only Tulip and Fell Swoop.


text:
Dog Named Magic Found Alive 2 Days After Brick Wall Collapses on Top of Him in Kensington
Magic, a 16-year-old American Pit bull Terrier, was buried under a three-story brick wall that fell into his owner's yard
By Aaron Baskerville	• Published at 11:00 pm on October 17, 2018
A family dog believed to be dead after a brick wall collapsed off of a home in Philadelphia's Kensington neighborhood was found buried alive under rubble two days later.
Sections of a three-story brick wall on Emerald Street collapsed into the yard of neighbor Jose Gonzalez on Monday.
Gonzalez believed his dog Magic, a 16-year-old American Pit bull Terrier, died in the accident. The family tried digging through the rubble by hand, but couldn't locate Magic.
u.s. senate 9 hours ago
Then Tuesday, construction workers cleaning up the debris found the canine under bricks.
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Les États de Béarn sont l'ancienne assemblée de la principauté de Béarn. Ils se constituent le  à Orthez, quelques jours après la mort de Gaston Fébus. La nouvelle institution naît de la fusion entre la Cour de Béarn plénière  et la Cour des communautés.

Deux chambres composent les États, le Grand-Corps pour le clergé et la noblesse, et le Second-Corps pour le tiers état. Si la députation du Grand-Corps relève d'un droit d'entrée individuel, les députés du Second-Corps sont élus par les communautés pour les représenter. L'assemblée se réunit chaque année dans un lieu tournant à la demande du souverain et sous la présidence de l'évêque de Lescar. Le Second-Corps dispose d'un droit de veto absolu, auquel le prince ne peut s'opposer dans le cadre du pactisme béarnais. Officiers des États, les syndics de Béarn occupent un rôle central dans l'administration de la principauté et l'organisation de l'Abrégé des États, véritable gouvernement entre les sessions parlementaires.

Les pouvoirs des États sont politiques, financiers, administratifs et législatifs. Ils atteignent leur apogée au , alors que l'assemblée symbolise le nationalisme béarnais à travers sa défense de la souveraineté et de la langue béarnaise. L'absolutisme de  provoque un recul de l'indépendance des États au . Ces derniers deviennent un bastion du protestantisme, ce qui provoque l'intervention militaire de  en 1620 et l'annexion du Béarn au royaume de France. L'assemblée connaît ensuite un déclin, qui s'accentue au  par la vénalité des offices. Mis au même rang que les États provinciaux par le pouvoir royal, les États s'attachent à défendre les Fors de Béarn. En 1789, les États mandatent une délégation pour les États généraux puis l'Assemblée nationale constituante. Le , les États de Béarn se rassemblent une dernière fois à Pau avant leur dissolution.

Formation

Contexte historique

La principauté de Béarn naît au  du morcellement de l'autorité royale des derniers Carolingiens. Elle se constitue sous l'autorité des ducs de Gascogne, avant qu'une crise de succession au sein du duché ne favorise l'autonomie totale du Béarn au . Dès la fin du , la Cour de Béarn fonctionne sous . Elle exerce des pouvoirs judiciaires et possède des prérogatives politiques étendues : recevoir le serment du vicomte à son avènement, décider de l'engagement du Béarn dans une guerre extérieure et présenter des griefs des sujets envers le prince. La Cour de Béarn exerce ce rôle de protecteur à partir du , mais de manière effacée. La cour ne se réunit alors que dans des circonstances exceptionnelles. Elle se compose de quelques membres, des barons et chevaliers  qui composent sa suite. Convoquée dès le milieu du , la Cour plénière est une assemblée plus considérable que la Cour de Béarn régulière, elle convoque tous les vassaux nobles du prince, ainsi que rarement des hommes libres non nobles. Jusqu'à la fin du , la Cour de Béarn conserve un caractère aristocratique et peu indépendant du souverain.

Au début du , l'administration de la justice passe entre les mains de certains membres de la Cour de Béarn, appelés « jurats de la Cour ». Le nombre de jurats n'est pas déterminé dès le , il se fixe ensuite à douze. Les jurats de la Cour de Béarn n'ont à l'origine que des pouvoirs judiciaires, qui s'étendent et empiètent peu à peu sur les fonctions de la Cour de Béarn. Les jurats de la Cour font notamment œuvre législative dans le dernier quart du . La création des jurats de la Cour enlève à la Cour de Béarn la plus grande partie de ses attributions. Bien que des bourgeois soient convoqués plusieurs fois de manière individuelle aux réunions de la Cour de Béarn, il faut attendre 1270 pour que les communautés choisissent elles-mêmes ses représentants dans la nouvelle Cour des communautés.

À cette même époque de la fin du , la réunion plénière de la Cour de Béarn prend le nom de Cour majour
, afin de se distinguer des cours inférieures de justice et de la nouvelle Cour des communautés. Cour majour  et Cour des communautés pour le tiers état délibèrent séparément, sans périodicité fixe. La Cour des communautés reste soumise à l'autorité du prince et de la Cour majour, hormis lorsque les Fors sont concernés. Durant le , les deux cours  sont de plus en plus régulièrement convoquées de manière simultanée et dans la même ville, sans pour autant se mélanger. Si la Cour des communautés conserve un rôle consultatif médiocre pendant longtemps, elle accroît ses pouvoirs au début du règne de , devenant une véritable assemblée du tiers état.

Formation des États de Béarn

Le règne de Gaston Fébus au  constitue une parenthèse dans l'histoire institutionnelle béarnaise, avec une gouvernance personnelle absolue au mépris des Fors de Béarn. Cela provoque l'isolement progressif du prince au sein de sa famille et de ses sujets. Le despotisme administratif de Fébus a pour but de renforcer le pouvoir vicomtal au détriment des assemblées délibératives. Tout son gouvernement cherche à éviter la réunion de la Cour majour et de la Cour des communautés. Gaston Fébus meurt le , sa succession difficile est alors l'occasion d'une reprise en main politique des assemblées. Dès le , les délégués de la Cour majour et de la Cour des communautés se réunissent à Orthez, notamment à l'initiative de l'évêque de Lescar Odon de Mendousse. Ils se constituent en États de Béarn, assemblée représentative du pays dont le futur héritier doit tenir compte. Une déclaration de sept articles rédigée en langue béarnaise représente l'acte constitutif des États. Il contient un serment d'union juré par tous les délégués :

Si l'œuvre intérieure de Fébus en Béarn s'écroule à sa mort, sa politique de neutralité et d'indépendance face aux rois de France et d'Angleterre est reprise par la nouvelle assemblée béarnaise. Ainsi, les États désignent Mathieu de Castelbon comme héritier universel, à condition que celui-ci obtienne de Charles VI sa renonciation au traité de Toulouse, qui faisait du roi de France l'héritier de Fébus. Dans une deuxième séance, les États répartissent le trésor accumulé par Fébus durant son règne, soit . Une partie de cette somme est destinée à aboutir à une transaction financière pour rompre le traité de Toulouse. Menées par Roger d'Espagne, les négociations aboutissent le  par le renoncement au traité de Toulouse par le conseil royal. Après une longue période probatoire, les États de Béarn finissent par recevoir Mathieu de Castelbon comme souverain de Béarn le . La situation de 1391 aura permis d'aboutir à un véritable partage du pouvoir entre le prince et l'assemblée représentative. Les États bénéficient de régulières nouvelles prescriptions par la suite, si bien que c'est vers 1440 qu'ils acquièrent leur structure définitive.

Composition
Les États de Béarn comprennent des délégués des trois ordres du pays : clergé, noblesse et communautés. La faiblesse numérique de la représentation du clergé  explique la fusion de l'assemblée des nobles et des ecclésiastiques dans le Grand-Corps. Le clergé bénéficie d'une faible considération en Béarn au Moyen Âge. L'ensemble des non nobles forment eux le Second-Corps. En réalité, Léon Cadier estime que les États ne regroupent pas trois ordres, mais quatre. Avec les ecclésiastiques, les nobles et les non nobles, les douze jurats de la cour sont soigneusement distingués du reste de la noblesse sous le nom de barons.

Grand-Corps

Si le clergé dispose d'une faible importance numérique, il bénéficie de la première place hiérarchique : l'évêque de Lescar préside les États, assisté par l'évêque d'Oloron. Ces deux membres du clergé séculier sont accompagnés par trois membres du clergé régulier, représentant les principales abbayes du Béarn : Sauvelade, Larreule et Lucq.

La noblesse est d'abord représentée par les grands barons du Béarn, jurats de la cour. Au , puis surtout au , sont créées une trentaine de « petites baronnies », dont les plus anciennes  siègent dans le Grand-Corps. Le reste de la noblesse porte le titre générique de gentius, comprenant les anciens cavers et domengers. Le domenger était un noble ayant une maison affranchie, il était propriétaire d'une domengeadure ou domecq par abréviation, qui était le nom donné aux maisons nobles . Les nobles ont tous le droit de siéger aux États, mais il est rare que les  nobles du vicomte soient présents. Ce n'est que dans la seconde moitié du  que les abbés laïques sont admis dans le Grand-Corps.  leur donne le droit d'entrée aux États afin de faciliter l'introduction du protestantisme en Béarn.

Au , le nombre de députés du Grand-Corps est d'environ , la chambre est toujours marquée par un égalitarisme radical qui voit les députés se placer confusément sans « égard ni bienséance » envers des statuts particuliers. À la fin de son existence, l'une des principales activités de l'assemblée est de vérifier la nobilité des membres du Grand-Corps.

Second-Corps
Le Second-Corps représente le tiers état, il est formé par les représentants des bourgs, vallées et communautés. Cette deuxième chambre se compose de trois groupes, avec d'abord les délégués des quatre grands bourgs de Béarn : Morlaàs , Orthez, Oloron et Sauveterre. Ensuite viennent les représentants des vallées d'Ossau, Aspe et Barétous, qui votent collectivement sous le nom de « Montagnes ». Enfin, les représentants des bieles (villes) et locx (lieux) qui jouissent du For de Morlaàs. Au total, une trentaine de communautés forment le troisième groupe du Second-Corps. Les bourgs, les vallées et quelques villes délèguent deux députés, mais chaque communauté ne dispose que d'une seule voix. La députation du Second-Corps peut varier d'une soixantaine jusqu'à une centaine de délégués, suivant le nombre de députés envoyés par chacune des communautés.

Organisation

Modalités des sessions

Les députés se réunissent d'ordinaire une fois chaque année, en dehors de l'époque des moissons ou des vendanges. Le lieu des sessions n'est pas fixe, Morlaàs, Pau, Lescar, Sauveterre et surtout Orthez reçoivent les États au . En 1464,  choisit de fixer à Pau la cour de son sénéchal, malgré les protestations des États qui présentent cette décision comme contraire au droit des Béarnais. L'assemblée poursuit ainsi dans son caractère itinérant. Pendant les guerres de Religion, ils s'assemblent à Nay, Lucq ainsi que Navarrenx.

Au , le lieu de réunion est exclusivement fixé à Pau, malgré des récriminations qui durent jusqu'en 1513 contre le lieu. Lors des sessions paloises, la séance d'ouverture se passe au château de Pau, soit dans la grande salle haute (tinel) ou dans les galeries orientales (Chancellerie). En 1620, la séance d'ouverture des États se déroule dans la grande salle basse du château en la présence de , la salle garde ensuite le nom de « salle des États ». Les autres séances se tiennent hors de la présence du souverain, dans une maison proche ou bien dans la maison commune. À partir de 1718, les séances se tiennent au couvent des Cordeliers et cessent complètement de se tenir au château. La durée des sessions varie beaucoup, ordinairement de 15 à  au début du , elles sont ensuite limitées à six semaines par le pouvoir royal.

Présidence et officiers

Seul le souverain possède le pouvoir de convoquer les États ; en son absence un membre de sa famille ou un lieutenant général délégué peut le remplacer. Au , le gouverneur de Béarn reçoit une commission spéciale du roi pour faire cette convocation ; au , le commissaire royal est généralement le lieutenant de roi. L'évêque de Lescar assure la présidence des États, à défaut l'évêque d'Oloron le remplace. Le président est le seul à prendre la parole lors des séances en la présence du souverain, il parle au nom des trois ordres. Le Second-Corps est présidé par le jurat de Morlaàs, une charge honorifique qu'il conserve par le statut ancien de Morlaàs, première capitale des vicomtes de Béarn.

À la fin du , les États de Béarn se dotent de deux délégués, les syndics de Béarn. Dans le courant du , l'un des délégués est nommé par le Grand-Corps  et l'autre par le Second-Corps, syndic de robe. À partir du règne d' les deux syndics sont pris dans l'ordre des nobles. Les syndics jouissent de tous les pouvoirs de l'assemblée, fixent l'ordre du jour des sessions, veillent sur leur organisation et deviennent des ministres tout-puissants représentants la volonté des États. Les syndics sont les gardiens et défenseurs des libertés et coutumes du pays, ils peuvent pénétrer dans toutes les cours de justice. Dans la seconde moitié du , le syndic de robe accapare toutes les affaires et réduit le syndic d'épée à une fonction honorifique. À l'origine, la mission de syndic est renouvelable, mais peu à peu cette fonction devient héréditaire.

Le trésorier de Béarn administre des sommes destinées aux « charges du pays », il s'agit d'un officier indépendant de l'administration seigneuriale, nommé par les États généralement dans le Second-Corps. À la fin du , les États obtiennent la nomination de conseillers du pays, chargés de les représenter dans le conseil du prince, ancêtre du conseil souverain de Béarn. Aux , il est fait mention d'un officier subalterne, l'huissier des États. Ce dernier est chargé d'une partie des petites dépenses des sessions. L'huissier porte pendant les séances une livrée : robe verte, semée de vaches brodées en soie, une toque de velours et une masse à la main.

Les députés
Les députés des États sont convoqués sous forme de lettres patentes, rédigées par les secrétaires du seigneur. Les nobles sont mandatés individuellement, alors que ce sont les communautés qui reçoivent leurs convocations pour le Second-Corps. Les prélats peuvent se faire représenter par leur vicaire et les abbés par un prieur ou un dignitaire de l'abbaye. Au , les cahiers des États dénoncent souvent l'absence des évêques de leur diocèse. Les barons jurats de la cour ne peuvent pas siéger par procuration, tout comme les gentius. Dans le Second-Corps, les députés sont principalement jurats, mais pas exclusivement.

Pendant la durée des sessions, les députés sont inviolables, ils ne peuvent pas être arrêtés pour dettes ou pour un délit quelconque. Les députés se rendant aux États sont exemptés de payer les péages des ponts et chemins. Aussi, chaque membre de l'assemblée reçoit une indemnité nommée tailluquet. À la fin du , le président reçoit de 30 à , les barons, de 15 à 25, les gentius, de 10 à 15, les bourgeois, de 3 à 15. La somme globale des taillluquets est de  à la fin du , elle atteint  en 1780. Le pouvoir royal soupçonne à la fin du  que la plupart des gentius n'exploitent uniquement leur droit d'entrée aux États que pour toucher le tailluquet. Pour être reçus, les députés doivent être âgés de vingt ans au moins, les jeunes chefs de famille à partir de quatorze ans peuvent aussi être reçus.

Déroulé d'une session
Après la séance d'ouverture, une session des États se déroule généralement en quatre parties :
Présentation des cahiers de griefs
Demandes du souverain (« nécessités occurrentes »)
Donation au seigneur
Affaires d'administration intérieure du pays

Pendant les délibérations, Grand-Corps et Second-Corps siègent dans des salles séparées, le Grand-Corps donnant toujours son avis en premier. Les syndics proposent devant la chambre la question qui sera délibérée, le secrétaire rédige ensuite cette proposition par écrit. Le président du Grand-Corps  donne le premier son avis, suivi par les autres membres du clergé, les barons et les gentius. Les voix sont comptées pour savoir dans quel sens va la majorité. Le projet adopté par le Grand-Corps est ensuite transmis au Second-Corps, les députés de Morlaàs donnent d'abord leur avis, puis les députés des bourgs, des montagnes et des communautés.

Le président du Second-Corps  se rend ensuite devant le Grand-Corps pour exposer la résolution prise dans la seconde chambre. Si celle-ci est conforme à celle des nobles, une résolution est prise au nom des États. Dans le cas contraire, le Grand-Corps invite le Second-Corps à une seconde, puis à une éventuelle troisième lecture. Si les avis restent divergents, une commission composée de députés de chaque corps est nommée pour parvenir à un accord. En cas d'échec de cette ultime médiation, le projet est abandonné. Le Second-Corps dispose ainsi d'un droit de veto absolu, le seigneur ne disposant pas du droit de départager l'assemblée.

Élections

La députation du Grand-Corps repose sur un titre de noblesse  donnant un droit d'entrée aux États. En Béarn, la noblesse ne s'attache pas à une personne ou à une famille, mais à une terre. La possession de cette terre  donne toujours droit à la qualité de noble, qu'elle ait été acquise par achat ou héritage. La classe noble béarnais bénéficie ainsi d'un renouvellement relativement important. Le nombre de gentius ne cesse de croître jusqu'à la fin de l'Ancien Régime, soit parce que le souverain anoblit de nouvelles terres, ou bien parce que les fonds nobles peuvent être fractionnés. En 1698, le nombre de fiefs permettant d'entrer dans le Grand-Corps est évalué à 540, contre plus d'un millier à la fin du .

Les députés du Second-Corps sont élus, probablement par les magistrats municipaux, jurats, gardes et gens de conseil. Le système municipal en Béarn repose sur l'assemblée des bésis, des voisins, qui élisent des députés qui désignent à leur tour des jurats. À l'origine, les voisins sont des hommes libres de la communauté, par la suite ils constituent une oligarchie assez fermée, un groupe de privilégiés. Les États de Béarn ont une double origine féodale et « démocratique », issus de l'ancienne cour féodale de Béarn et du développement des libertés municipales et bourgeoises. Dès la fin du Moyen Âge, les États de Béarn constituent une institution libérale qui accorde une place égale aux nobles et aux roturiers, tout en jouant un rôle central dans le gouvernement, l'administration et la législation du pays. Jusqu'en 1620, les États sont représentatifs mais suivant les principes inégalitaires de l'Ancien Régime social.

Au régime traditionnel d'autonomie municipale, le pouvoir royal français le substitue par un système arbitraire sur le modèle du reste du royaume, notamment sous le contrôle des intendants. À la fin du règne de , la détresse des finances royales provoque la suppression de l'élection des jurats et leur remplacement par le système de la vénalité des offices. Parmi les prérogatives accordées aux acheteurs de ces offices se trouve le droit d'entrée aux États. Avant la Révolution, les États ne sont plus dominés que par la noblesse et les principaux notables du pays. Des nobles  confisquent à leur profit les sièges du Second-Corps. Une partie des députés du Second-Corps ne représentent alors plus une communauté mais eux-mêmes, si bien que l'assemblée ne constitue nullement une structure démocratique.

Missions

Jusqu'en 1620

Les pouvoirs des États ne cessent de croître au , ils sont d'ordre politiques, financiers, administratifs et législatifs. Seul le pouvoir judiciaire leur échappe totalement. Au niveau politique, les États reçoivent le serment du nouveau seigneur puis doivent lui rendre hommage au nom du pays. Si le seigneur n'a pas d'héritier direct majeur, les États choisissent la tutelle des mineurs, l'époux de l'héritière ou désigne un nouveau seigneur. Seuls les États peuvent lever des troupes en dehors des courtes périodes prévues par les Fors et sont maîtres des traités économiques avec les pays voisins. Les États disposent d'un pouvoir financier très important, qui leur permet de voter la donation demandée chaque année par le souverain pour gouverner. La monnaie est également contrôlée par l'assemblée. Le prince doit partager ses pouvoirs administratifs, notamment grâce aux doléances exposées par les États pour faire cesser les atteintes aux Fors. Le pouvoir législatif appartient au souverain, mais les États obtiennent à la fin du  de participer à l'élaboration des Établissements, qui précisent ou complètent les Fors. L'équilibre des pouvoirs entre le prince et l'assemblée représentative tend à se rompre au profit des États en cette fin de .

Le contrôle des États ne s'exerce que pendant la durée des sessions. C'est pourquoi, l'assemblée cherche dans la deuxième moitié du  à rendre permanent leur droit de surveillance. Ce pouvoir passe par la création de plusieurs officiers  et de commissions. La première commission permanente connue est celle des « auditeurs des comptes », elle vérifie les comptes de la donation souscrite à l'administration vicomtale. En 1482 apparaît l'Abrégé des États, chargé de l'expédition des affaires entre les sessions. L'Abrégé accroît si fortement son importance qu'elle peut jouer à certains moments le rôle d'un véritable gouvernement. D'autres commissions sont signalées, dont la Commission des griefs ou des requêtes pour la rédaction des cahiers de doléances, et la Commission de l'état pour la répartition entre les communautés de la donation. La rénovation des Fors de Béarn entre 1546 et 1551 constitue l'aboutissement du partage du pouvoir législatif béarnais entre le prince et les États. L'assemblée négocie un compromis politique qui renforce sa position, si bien que les États exercent pratiquement seuls la direction politique général du Béarn de 1571 à 1620.

Si les pouvoirs des États sont très étendus à la fin du , les tendances absolutistes et les choix religieux des princes béarnais participent à une perte d'indépendance de l'assemblée vis-à-vis de l'administration royale. La reine  augmente le nombre de députés et obtient à partir de 1569 une assemblée soumise à sa volonté, notamment pour introduire le protestantisme en Béarn. Son fils  poursuit en interdisant aux États de délibérer sur les affaires de religion. Les premiers responsables de l'affaiblissement des États sont les princes béarnais, avant que ce mouvement ne soit encore renforcé à partir de 1620 après l'annexion du Béarn au royaume de France.

Après l'annexion

L'annexion représente une rude défaite pour les États de Béarn, ils continuent d'exister mais leur période de grandeur est terminée. Après 1620, la monarchie française souhaite affecter aux États un simple rôle de répartiteurs de la charge fiscale, à l'image des autres États provinciaux du royaume. En réalité, l'assemblée béarnaise conserve jusqu'à la fin du  une grande et multiforme activité concentrée sur des préoccupations intérieures. Une part importante des sessions des États est occupée par la discussion du montant de la contribution provinciale ainsi que sa répartition interne. Les députés béarnais exercent leur vigilance sur le respect scrupuleux des Fors et globalement sur la préservation de la tradition sociale, économique et culturelle. Durant le règne de , l'assemblée est alors surtout chargée d'appliquer des dispositions réglementaires coercitives. Après la mort du Roi-Soleil, les gouvernements suivants sont moins restrictifs et laissent aux États une plus grande liberté. Entre 1775 et 1789, l'assemblée devient une tribune où s'expriment tous les griefs et espoirs de la province.

Durant les , les États de Béarn jouent un rôle précoce et remarquable sur la politique culturelle de la province. Ils participent à la création d'un enseignement technique, encouragent les collèges de Pau et de Lescar, subventionnent l'Académie royale de Pau et obtiennent le rétablissement d'une université à Pau avec le Parlement de Navarre. Les États cherchent également à sauvegarder la paix religieuse en modérant le zèle des réformateurs catholiques, et jouent un rôle social en constituant des greniers publics. L'assemblée assure l'entretien et le fonctionnement des hôpitaux, aide au développement de l'agriculture et de l'industrie. L'une des attributions essentielles des États reste jusqu'au bout de recevoir le serment du souverain à son avènement, en respect des Fors. C'est encore le cas avec les derniers des Bourbon, en 1660 avec  à Saint-Jean-de-Luz, puis  et  en 1723 et 1775 à Versailles.

Nationalisme béarnais

Durant leur existence, les États de Béarn s'assignent pour tâche principale de défendre et affermir la souveraineté du Béarn. À l'image des Cortès dans la péninsule Ibérique, les États prétendent représenter le pays. La souveraineté béarnaise atteint son apogée à la fin du , les rois de France  puis  respectent le statut particulier de la principauté. À partir du , les États incarnent le nationalisme béarnais, qui se manifeste par l'emploi des termes « nation » ou « patrie » dans les textes, ou par la défense de l'usage de la langue béarnaise. Cette contribution au maintien du béarnais, et aux coutumes locales, font apparaître les États comme une force d'intégration de la société béarnaise. Dès sa naissance, l'assemblée béarnaise détermine deux principes fondamentaux toujours maintenus à travers les siècles : respect des libertés locales au travers des Fors (politique intérieure) et défense du statut de terre souveraine (politique extérieure).

Au , les États deviennent un bastion du protestantisme à la suite des réformes engagées par Jeanne d'Albret. L'introduction de la Réforme redonne de la vigueur au nationalisme béarnais qui semblait sur le déclin au milieu du , souveraineté du Béarn et protestantisme se conjuguent alors. L'accession au trône de France par le Béarnais Henri de Navarre n'entraîne pas l'union du Béarn au royaume de France, mais provoque le rétablissement du culte catholique en 1599. En 1616, l'administration de Louis XIII proclame un édit d'union entre la France et le Béarn, provoquant une vive agitation dans les États, dans la lignée des idées monarchomaques. Le syndic de Colom symbolise la volonté de résistance des États :

L'expédition militaire de  en 1620 provoque l'union du Béarn au royaume de France. Si le conseil souverain enregistre l'édit d'union, les États refusent de délibérer sur le sujet. Autour de Jean-Paul de Lescun, une résistance protestante s'opère. Elle aboutit à l'arrestation puis à l'exécution de Lescun en 1622 sur décision du Parlement de Bordeaux. Le , les États de Béarn délibèrent sur l'édit d'union de 1620, ils acceptent la création du Parlement de Navarre mais rejettent l'ensemble de son contenu politique. Jamais par la suite les États ne reviendront sur leur position, ils continueront de refuser l'union du Béarn avec le royaume de France. Après 1620, la seule forme d'autonomie accordée au Béarn réside dans l'impossibilité pour le fisc royal de percevoir directement les diverses contributions dues par la province. Ce privilège est le même que celui accordé aux autres pays d'État du royaume. Jusqu'au bout, les États conservent l'essentiel des symboles de la souveraineté béarnaise : la langue béarnaise et les Fors. Tout au long de son existence, les États de Béarn animent la résistance à l'assimilation au royaume de France.

Dissolution
Tout au long du , plusieurs contributions sont successivement imposées au Béarn, malgré l'opposition des États. Toute résistance est alors vite et durement réprimée. En 1712 le baron d'Arros est exilé pour quatre ans à la suite d'une critique contre la capitation, en 1730 le gentius d'Abadie-Partarriu est emprisonné au fort de Lourdes pour avoir proposé une réduction de la donation, alors que le député aspois Sarthopon est exclu des États pour son « esprit brouillon ». Le pouvoir royal étouffe les efforts d'opposition de l'assemblée béarnaise, qui se fait imposer la présence de l'intendant pendant ses séances.

En 1789, le roi  décide d'assembler les États généraux. N'ayant jamais accepté l'édit d'union de 1620, les États de Béarn s'assemblent le  au couvent des Cordeliers de Pau pour décider d'envoyer ou non des députés à Versailles. Si certains  refusent la députation comme en 1649, la majorité se range sur l'envoi d'une délégation béarnaise. Celle-ci se compose de quatre membres du tiers-état, deux nobles, deux membres du haut clergé et deux autres du bas clergé. Le mandat donné par les États aux députés béarnais est de préserver les Fors, privilèges et libertés du Béarn, pays souverain. La délégation arrive à Versailles le , alors que les députés des États généraux se sont déjà constitués en Assemblée nationale. Dans le respect de leur mandat limité, les députés béarnais de la noblesse et du haut clergé refusent de se présenter à l'Assemblée, au contraire des députés du tiers et du bas clergé qui sont admis le .

Dans la nuit du , tous les privilèges féodaux sont abolis. Mais les députés béarnais refusent de déclarer la fin des libertés particulières du Béarn, la décision doit venir des États de Béarn. La dernière réunion de l'assemblée béarnaise se tient le  à Pau, avec pour unique objet l'abandon des privilèges locaux. Malgré la volonté du député Mourot d'obtenir une union complète avec la France, les États ne peuvent aboutir à une décision et se séparent dans le désordre. Des émeutes éclatent ensuite et des membres des États hostiles à la réforme  subissent de graves menaces et doivent fuir. Finalement, une assemblée des six députés du district de Pau se tient le  à l'hôtel de ville de Pau, décidant de l'abolition des Fors et donc des États de Béarn.

Culture populaire

L'acte constitutif des États de Béarn réalisé en 1391 représente  la pierre angulaire des libertés béarnaises. L'assemblée se place comme le gardien de la loi béarnaise, dernier rempart contre l'absolutisme princier. L'originalité des institutions béarnaises tient dans la présence de cette assemblée représentative, et surtout de l'existence du For, fruit du partage du pouvoir législatif. Ce partage fonde  le pactisme béarnais. Dans le dernier tiers du , le constitutionnalisme béarnais défend avec vigueur ce pactisme. Jacques Faget de Baure insiste sur l'antiquité de cette capacité législative : . En 1784, le Tableau annuel du Béarn précise que les États de Béarn sont des .

À la veille de la Révolution, le baron de Laussat poursuit par une comparaison avec le Parlement d'Angleterre, selon lui le Grand-Corps et le Second-Corps sont des . En réalité, ce schéma est bien peu fidèle à la réalité en cette fin de . La noblesse est la seule classe propriétaire de fiefs, alors que le Second-Corps est compromis par la vénalité des offices municipaux, qui permet à des nobles d'acheter des sièges de représentants des communes.

Après la dissolution des États en 1789, plusieurs auteurs étudient l'histoire de cette institution. L'archiviste Paul Raymond publie en 1865 des Notices sur l'Intendance en Béarn et sur les États de cette province. La même année, Louis Lacaze consacre une courte notice à l'assemblée béarnaise dans Les libertés provinciales en Béarn. Pour l'histoire des États aux , les renseignements les plus abondants et les plus précis se trouvent dans les Essais historiques sur le Béarn de Jacques Faget de Baure publiés en 1818, complétant le travail interrompu de Pierre de Marca au . En 1888, Léon Cadier consacre un ouvrage complet à l'histoire des États avant le . Cette recherche historique est complétée en 1907 par la thèse de Pierre Rogé sur Les Anciens Fors de Béarn. Des auteurs comme Jean-Baptiste Laborde, Pierre Tucoo-Chala et Christian Desplat poursuivent cette étude historique au . Les historiens peuvent notamment se baser sur les documents des archives départementales des Pyrénées-Atlantiques, qui conservent les archives des États de Béarn à partir de la fin du .

Postérité
Soucieux des deniers du pays, les députés des États de Béarn ne se font jamais édifier de palais, comme par exemple celui des États de Bourgogne. La grande salle basse du château de Pau  est le seul lieu de réunion des États ayant conservé son allure d'époque. La première maison commune de Pau, le couvent des Cordeliers et la Chancellerie du château ont disparu, alors que la grande salle haute  est séparée en deux parties lors des travaux du . La ville de Pau conserve une place des États sur l'emplacement de l'ancienne maison commune, détruite en 1793. À Artix se trouve un Rond Point des États du Béarn.

Notes et références

Notes

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text:
On This Day in Typewriter History (CVI)
(or rowing?)
TO THE BOSTON
Been to the gym today? Used one of those rowing machine thingies? A typewriter guy invented those (well, the same fundamental idea, anyway).
Use a bike with a roller bearing wheel? Same typewriter guy. Take a water bottle with a screw top? Same guy again.
Was the gym kept cool with those sprung shade blinds? Same guy. Have some folding convertible chairs? Yes, same guy.
Go there on roller skates? Yep, same guy!
Did the doors have pneumatic checking hinges? Another typewriter guy invented those.
But the gym would have been way too modern to have those cash carrying systems some of us remember from department stores back in the "good old days". Anyway, same two typewriter guys invented that, too.
Same typewriter guys, same typewriter: the Boston:
Daniel Edgar Kempster, of Boston, first patented the Boston typewriter in 1884. It was, at that stage, a joint effort with Willard Herbert Gilman.
Then Kempster patented improvements on his own in 1886.
Three years later, Eugene Irvin Blount and James Henry Currier, both of Somerville, Massachusetts, got in on the act and patented further improvements to Kempster's design.
Kempster became associated with Blount and Currier through Gilman, who ran a manufacturing company in Maine and for whom Blount designed cash carrier equipment.
Finally, on this day in 1889, Kempster, Blount, Currier and Benjamin Dore, of Lynn, Massachusetts, jointly patented the produced version.
The image of the Boston typewriter here comes from the collection of Anthony Casillo.
Anthony says the Boston's name cast into a pediment is reminiscent of Neoclassical Greek architecture. "For an index typewriter, which was typically designed to be simple and inexpensive, the Boston was a complex writing machine."
It is not to be confused with another typewriter marketed as the Boston, which was a variation of a extremely simple and inexpensive machine, the World.
Daniel Edgar Kempster gets most of the credit for the Boston, so we will look at him first. He was born in Maine in 1843, and at one time described himself a machinist. Among his many inventions were the spring-balance shade roller (1880), roller skates, a copying press and a cash and parcel carrier (all in 1885), a colour printing machine (1887), folding convertible chair (1889), screw-top bottle (1894) and the roller bearing trolley wheel (1901).
But Kempster today is most famous for his rowing tricycle. It started out in 1884 as a rotary rowing-machine for "athletic exercise" (above) and became a "Velocipede", assigned to his own Kempster Rowing-Tricycle Company in Kittery, Maine, in 1887.
Eugene Irvin Blount was born at Beebe Plains, Stanstead, Quebec, Canada, in November 1854. He also described himself as a machinist. His many inventions include a cash carrier (various patents from 1889) piston cylinder (1890) and sash fastener (1894). But his claim to fame today is the pneumatic door check (1883-1896), which was manufactured by Yale and Towne. Yale started making modifications of the Blount design in 1895, then Blount sold Yale the rights to his patent.
Blount has been described as one of the "most prominent pioneers" among liquid door closers. "There is no record of a liquid closer being produced before Blount's version," says a liquid closer historian (?!). It is said Blount began to manufacture the closers in Portland, Maine in 1883. Blount won a Franklin Institute merit award for his door check in 1902.
Currier, born in Enfield, Grafton, New Hampshire, in April 1833, was a manufacturer who made one of the early toy "organettes", designed by Albert Andrew McIntire. Currier died at Somerville, Massachusetts, on April 1, 1902.
Benjamin Dore was also from New Hampshire. He was born at Belknap, Alton, in January 1833 and became a prominent shoe manufacturer in Lynn, Massachusetts. Dore died on December 1, 1908.
The Boston typewriter, however, did not quite die with the limited numbers produced via the Kempster-Blount-Currier-Dore patent.
In this series on July 14, I mentioned a so-called "one-finger typewriter" designed by Frederic Webster Howe, the famous gun maker, in 1891.
The Howe typewriter was directly based on the Boston. It was, Howe said, his attempt to "perfect" the Kempster typewriter.
Howe, based in Providence, Rhode Island, became a consulting engineer in his later life and had contact with Dore through Howe's shoe making machines.
At the time of that July 14 post, Richard Polt commented, "That Howe machine looks very attractive." To which I replied, "I don't suppose it looks like anything that WAS made?" Unbeknown to either of us at the time, the Howe had already been made - as the Boston!
This is what Michael Adler said about the Boston in his book Antique Typewriters in 1997:
That same year, in another Antique Typewriters, Darryl Rehr wrote:
One William Cahoon junior, of Little Rock, Arkansas, was issued with a patent for a "segmental type-disk" typewriter - on this day in 1889 as well. He assigned it to E. L. Lefevre, later of Dayton and famous for inventing the New Era Auto-Cycle.
I don't much about Mr Cahoon, or what became of his interesting typewriter. However, Cahoon's wife, Haryot Holt Hamblin Cahoon, was a famous and pioneering Little Rock journalist, a leading US women's rights activist and an author. In 1893 she wrote the collection of essays called What One Woman Thinks.
Haryot Holt Hamblin was born in Niles, Berrien, Michigan, on February 6, 1857, and married William Cahoon Jnr in Wayne County, Michigan, in 1876.
The marriage either failed or William Cahoon died, because in 1898 Haryot married the Nick Carter author, Frederic Van Rensselaer Dey (1865-1922). As Mrs Dey, Haryot continued to write, but under the name Haryot Holt Dey.
Last week notagain and Ted commented that this series reminded them of James Burke's 1980s TV show Connections. I take that as a huge compliment, because I used to absolutely love that show. Anyway, I think we've made some more interesting connections today …
Ted said...
Masterfully done! The "On This Day" series is very much like James Burke's "Connections", except far more specifically linking typewriter inventors and designs to surprising objects still in use today. Today's article is the best example so far. Keep up the great writing and making those connections! (:
speaking of connections, my journey to update the Victor page at TWDB has led me to the Victor Index, then to the World and finally to the Boston, which now has its own page and for which this post is now a reference, 5 years later. (:
http://typewriterdatabase.com/boston.845.typewriter-serial-number-database
On This Day in Typewriter History (CXXII & Last FTB*)
On This Day in Typewriter History (CXXI)
On This Day in Typewriter History (CXX)
On This Day in Typewriter History (CXIX)
Sydney Typewriter Talk-In
On This Day in Typewriter History (CXVIII)
On This Day in Typewriter History (CXVII)
On This Day in Typewriter History (CXVI)
On This Day in Typewriter History (CXV)
On This Day in Typewriter History (CXIV)
On This Day in Typewriter History (CXIII)
On This Day in Typewriter History (CXII)
10 American Writers and Their Typewriters
Typewriter Ads: Bijou, Blick, Corona, Remington
Royal Bar-Lock: Dynamo of Trade, Busy Man's Typewr...
Maritsa 11 Typewriter Manual
Welcome to the Weird, Wacky, Wonderful World of Ty...
On This Day in Typewriter History (CXI)
On This Day in Typewriter History (CX)
On This Day in Typewriter History (CIX)
Typewriters On Big White Pages
On This Day in Typewriter History (CVIII)
Typewriter Cover Story in New Australian Magazine
On This Day in Typewriter History (CVII)
On This Day in Typewriter History (CV)
On This Day in Typewriter History (CIV)
On This Day in Typewriter History (CIII)