text:
\section{Introduction}\label{sec:1}
Une g\'en\'eralisation
de la fonction z\^eta de Riemann $\zeta(s)$ est
donn\'ee par les s\'eries {\em polyz\^etas}, d\'efinies pour tout entier
$p\ge 1$
et tout $p$-uplet $\underline{s}=(s_1, s_2, \dots, s_p)$
d'entiers $\ge 1$,
avec $s_1\ge 2$, par
$$
\zeta(s_1, s_2, \ldots, s_p)=
\sum_{k_1> k_2>\ldots > k_p\ge 1}
\frac{1}{k_1^{s_1}k_2^{s_2}\ldots k_p^{s_p}}.
$$
Les entiers $p$ et
$s_1+s_2+\ldots+s_p$ sont respectivement la profondeur et
le poids de $\zeta(s_1, s_2, \ldots, s_p)$.
On voit naturellement appara{\^\i}tre les polyz\^etas lorsque, par exemple,
on consid{\`e}re les produits des valeurs de la fonction
z\^eta :
on a  $\zeta(n)\zeta(m)=\zeta(n+m)+\zeta(n,m)+\zeta(m,n)$,
ce qui permet en
quelque sorte  de {\og lin{\'e}ariser\fg} ces produits.
En dehors de quelques identit\'es telles que $\zeta(2,1)=\zeta(3)$
 (due \`a Euler),
la nature arithm\'etique de ces s\'eries est aussi peu connue que
celle des nombres $\zeta(s)$.
Cependant, l'ensemble des nombres $\zeta(\underline s)$ poss\`ede
une tr\`es riche
structure alg\'ebrique assez bien comprise, au moins
conjecturalement (voir~\cite{MiW}).
Par exemple, on peut s'int{\'e}resser
 aux $\mathbb Q$-sous-espaces vectoriels $\mathcal{Z}_p$ de
 $\mathbb{R}$, engendr{\'e}s par les $2^{p-2}$ polyz{\^e}tas de
poids $p\ge 2$ :  $\mathcal{Z}_2=\mathbb Q\zeta(2)$,
$\mathcal{Z}_3=\mathbb Q\zeta(3)+\mathbb Q\zeta(2,1)$,
$\mathcal{Z}_4=\mathbb Q\zeta(4)+\mathbb Q\zeta(3,1)+
\mathbb Q\zeta(2,2)+
\mathbb Q\zeta(2,1,1)$,
etc. Posons $v_p=\textup{dim}_{\mathbb Q}(\mathcal{Z}_p)$.
On a alors la conjecture suivante, dont le point $(i)$ est d\^u
\`a Zagier et le point $(ii)$ \`a Goncharov.

\begin{Conj}\label{conj:KZ}
$(i)$
Pour tout entier $p\ge 2$, on a $v_p=c_p$, o{\`u} l'entier
$c_p$ est d{\'e}fini par
la r{\'e}currence  lin\'eaire
$c_{p+3}=c_{p+1}+c_{p}$,
avec $c_0=1$, $c_1=0$ et $c_2=1$.

 $(ii)$ Les $\mathbb Q$-espaces vectoriels $\mathbb Q$ et
$\mathcal{Z}_p$ ($p\ge 2)$, sont en somme
directe.
\end{Conj}
La suite $(v_p)_{p\ge 2}$ devrait donc cro{\^\i}tre comme
$\alpha^p$ (o{\`u} $\alpha\approx
1,3247$ est racine du
polyn{\^o}me $X^3-X-1$), ce qui est  bien plus petit que
$2^{p-2}$. Il y a
donc conjecturalement beaucoup de relations lin{\'e}aires entre les polyz{\^e}tas
de m{\^e}me poids
et aucune en poids diff{\'e}rents :
dans cette direction, un
th{\'e}or{\`e}me de Goncharov~\cite{Goncharov} et Terasoma~\cite{terasoma}
affirme que l'on a  $v_p\le c_p$ pour tout entier $p\ge 2$. Il
reste donc {\`a} montrer l'in{\'e}galit{\'e} inverse pour montrer $(i)$,  mais aucune
minoration non
triviale de $v_p$ n'est connue {\`a} ce jour : m\^eme si les relations classiques
donnent  $v_2=v_3=v_4=1$,
on est bloqu{\'e} d{\`e}s l'{\'e}galit{\'e} $v_5=2$, qui
est {\'e}quivalente
{\`a} l'irrationalit{\'e} toujours inconnue de
$\zeta(5)/(\zeta(3)\zeta(2))$.
Plus g\'en\'eralement, un des int\'er\^ets de la
Conjecture~\ref{conj:KZ} est d'impliquer la
suivante.

\begin{Conj}\label{conj:zeta alg inde}
Les nombres $\,\pi, \zeta(3), \zeta(5), \zeta(7), \zeta(9),$ etc,
sont alg{\'e}brique\-ment ind{\'e}pen\-dants sur $\mathbb Q$.
\end{Conj}

Cette conjecture semble actuellement totalement hors de
port\'ee. Un certain nombre de r\'esultats diophantiens ont
n\'eanmoins
\'et\'e  obtenus en profondeur 1, c'est-\`a-dire dans le cas
de la
fonction z\^eta de Riemann (voir \cite{SFBou}) :
\begin{itemize}
\item[$(i)$] Le nombre $\zeta(3)$ est irrationnel (Ap\'ery~\cite{Apery}) ;
\item[$(ii)$] La dimension de l'espace vectoriel engendr\'e sur $\mathbb Q$ par 1,
$\zeta(3)$, $\zeta(5), \ldots, \zeta(A)$ (avec $A$ impair) cro{\^\i}t au moins comme $\log(A)$
(\cite{BR, RivoalCRAS}) ;
\item[$(iii)$] Au moins un des quatre nombres $\zeta(5), \zeta(7), \zeta(9), \zeta(11)$ est irrationnel
(Zudilin~\cite{Zudilinonze}).
\end{itemize}
Ces r\'esultats peuvent \^etre obtenus par l'\'etude de
certaines s\'eries de la forme
\begin{equation}\label{eq011}
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{P(k)}{(k)_{n+1}^A}
\end{equation}
avec $P(X)\in\mathbb Q[X]$, $n\ge0$, $A\ge 1$ ; on utilise ici le symbole de Pochhammer
d\'efini par $(k)_{\alpha} = k(k+1)\ldots (k+\alpha-1)$. Ces s\'eries s'expriment
 comme combinaisons  lin\'eaires sur $\mathbb Q$  de 1 et des valeurs de z\^eta aux
entiers. Le point crucial est que, dans ces combinaisons lin\'eaires, figurent
seulement {\em certaines} valeurs de la fonction z\^eta : $\zeta(3)$ dans le cas $(i)$, des
valeurs $\zeta(s)$ avec $s$ impair dans les cas $(ii)$ et $(iii)$. Ceci provient
(dans les deux derniers cas, et aussi dans certaines preuves de $(i)$) d'une
propri\'et\'e de sym\'etrie li\'ee \`a l'aspect (tr\`es) bien \'equilibr\'e\footnote{Dans cet article, nous utilisons
indiff\'eremment les mots {\em (very) well-poised} ou leur traduction fran\c caise {\em (tr\`es) bien \'equilibr\'e}.}
 de
la s\'erie \eqref{eq011} (voir \cite{BR} ou \cite{RivoalCRAS}) :

\begin{Th} \label{thwp}
Soit $P \in \mathbb Q[X]$ de degr\'e au plus $A(n+1)-2$, tel que
$$P(-n-X) = (-1)^{A(n+1)+1} P(X).$$
Alors la s\'erie \eqref{eq011} est une combinaison  lin\'eaire, \`a coefficients
rationnels, de 1 et des valeurs $\zeta(s)$ pour $s$ entier impair compris entre 3 et $A$.
\end{Th}

Le but de cet article est de donner deux g\'en\'eralisations, en profondeur quelconque,
de ce ph\'enom\`ene de sym\'etrie. Nous esp\'erons que ces g\'en\'eralisations ouvriront
la porte \`a des r\'esultats diophantiens (d'irrationalit\'e ou d'ind\'ependance lin\'eaire) sur les polyz\^etas qui interviennent (voir \S \ref{subsec23}).

\bigskip

Notre premier r\'esultat (d\'emontr\'e au paragraphe \ref{sec6}) concerne des
sommes {\em d\'ecoupl\'ees}, c'est-\`a-dire portant sur tous les $p$-uplets $(k_1, \ldots, k_p) \in {\N ^*} ^p$ :

\begin{Th} \label{thdecouple}
Soient $p \geq 1$, $n \geq 0$ et $A \geq 1$ des entiers.
Soit $P \in \mathbb Q[X_1, \ldots, X_p]$ un polyn\^ome de degr\'e $\leq A(n+1)-2$ par rapport \`a chacune des variables, tel que
\begin{multline*}
\quad P(X_1,\ldots, X_{j-1}, -X_j-n, X_{j+1}, \ldots, X_p )
\\
= (-1)^{A(n+1)+1} P( X_1,\ldots, X_{j-1}, X_j, X_{j+1}, \ldots, X_p )\quad
\end{multline*}
pour tout $j \in \{1,\ldots, p\}$. Alors la somme multiple
\begin{equation} \label{eqdecouple}
\sum_{k_1,  \ldots ,  k_p \ge 1}
\frac{P(k_1, \ldots, k_p)}{(k_1)_{n+1}^{A} \ldots (k_p)_{n+1}^{A} }
\end{equation}
est un polyn\^ome  \`a coefficients rationnels, de degr\'e au plus $p$,  en les  $\zeta(s)$, pour $s$ entier impair compris entre 3 et $A$.
\end{Th}
Par exemple, lorsque $A=3$ ou $A=4$, cette somme est un polyn\^ome en $\zeta(3)$. Quand on prend
$p=1$, on retrouve exactement le th\'eor\`eme \ref{thwp} (quel que soit $A$).

La preuve du th\'eor\`eme  \ref{thdecouple} consiste essentiellement (apr\`es avoir d\'ecompos\'e
la fraction rationnelle en \'el\'ements simples)  \`a s\'eparer la somme multiple en un produit
de $p$ sommes simples auxquelles on applique le th\'eor\`eme \ref{thwp}. Elle utilise aussi un
processus de r\'egularisation, dans une situation simple et \'el\'ementaire.

\bigskip

L'inconv\'enient principal du th\'eor\`eme \ref{thdecouple}, du point de vue des applications
\'eventuelles, est le fait que la somme sur $k_1$, \ldots, $k_p$ soit d\'ecoupl\'ee. Cet
inconv\'enient est visible par trois aspects que nous d\'ecrivons maintenant.

Tout d'abord, les s\'eries d\'ecoupl\'ees donnent toujours des polyn\^omes en valeurs de $\zeta$ en des entiers, m\^eme quand on omet l'hypoth\`ese de sym\'etrie du  th\'eor\`eme \ref{thdecouple}. Cette remarque, qui d\'ecoule de la preuve du  th\'eor\`eme \ref{thdecouple} (voir \S \ref{sec6}), montre que les polyz\^etas ne peuvent pas intervenir r\'eellement dans ce cadre.

\bigskip

Ensuite, consid\'erons  la s\'erie de Ball
$$
S_n=n!^2 \sum_{k=1}^{\infty} (k + \frac{n}{2}) \frac{(k-n)_{n}(k+n+1)_n}{(k)_{n+1}^4}.
$$
Pour tout entier $n$, $S_n$ est une forme lin\'eaire en $1$ et $\zeta(3)$ ;
cela se d\'eduit du th\'eor\`eme \ref{thwp}. Elle co{\"\i}ncide
exactement avec les formes lin\'eaires  qui ont permis
\`a Ap\'ery de d\'emontrer l'irrationalit\'e de
$\zeta(3)$ ; sans rentrer dans les d\'etails, indiquons que
cette co{\"\i}ncidence n'est pas du tout \'evidente et qu'elle
est la premi\`ere application de la conjecture
des d\'enominateurs prouv\'ee dans~\cite{KR}.
Pour tout entier $p\ge 1$, la s\'erie $S_n^p$ est \'evidemment une s\'erie d\'ecoupl\'ee de la forme consid\'er\'ee dans
le th\'eor\`eme~\ref{thdecouple} avec
\begin{multline*}
P(X_1, \ldots, X_p)
\\
= n!^{2p}  (X_1  + \frac{n}{2})\ldots  (X_p + \frac{n}{2}) (X_1-n)_{n}\ldots (X_p-n)_{n} (X_1+n+1)_n \ldots (X_p+n+1)_n
\end{multline*}
et $A = 4$. Ainsi,  $S_n^p$ est un polyn\^ome
 en $\zeta(3)$ de degr\'e (au plus) $p$, dont on pourrait a priori esp\'erer d\'eduire la transcendance de $\zeta(3)$. Pourtant,
$S_n^p$ ne contient pas plus d'information diophantienne que $S_n$ et elle ne donne que l'irrationalit\'e de $\zeta(3)$.

\bigskip

Enfin, les  sommes multiples qui apparaissent dans les preuves d'irrationalit\'e sont plut\^ot de la forme
\begin{equation} \label{eq012}
\sum_{k_1 \geq  \ldots \geq   k_p \ge 1}
\frac{P(k_1, \ldots, k_p)}{(k_1)_{n+1}^{A} \ldots (k_p)_{n+1}^{A} },
\end{equation}
c'est-\`a-dire que la somme porte sur des variables ordonn\'ees ;  c'est \`a ce genre de s\'eries
que s'applique l'algorithme de \cite{CFRalgo}.  Par exemple, lorsque $p=2$, $A=2$ et
$$
P(X_1, X_2) = n! (X_1-X_2+1)_n (X_2-n)_n(X_2)_{n+1},
$$
Sorokin~\cite{SorokinApery} d\'emontre que la somme \eqref{eq012}
est exactement~\footnote{Quand on applique l'algorithme
de \cite{CFRalgo}, on trouve une forme lin\'eaire en 1 et $\zeta(2,1)$ ; il faut alors utiliser
la relation $\zeta(2,1) = \zeta(3)$. De plus, Sorokin travaille \`a l'aide d'une expression int\'egrale
alternative de cette somme.} la forme lin\'eaire en 1 et $\zeta(3)$ utilis\'ee par Ap\'ery
dans sa preuve d'irrationalit\'e. Plus g\'en\'eralement, une conjecture de Vasilyev~\cite{Vasilyev}
affirmait qu'une certaine int\'egrale multiple, \'egale \`a la s\'erie
\begin{equation}\label{eq:vasilyev}
n!^{p-\varepsilon}\sum_{k_1 \geq  \cdots \geq   k_p \ge 1}
\frac{(k_1-k_2+1)_n \ldots(k_{p-1}-k_p+1)_n (k_p-n)_n }{(k_1)_{n+1}^{2} \ldots (k_{p-1})_{n+1}^{2}(k_p)_{n+1}^{2-\varepsilon} },
\end{equation}
est une forme lin\'eaire rationnelle en les valeurs de z\^eta aux entiers $\ge 2$
de la m\^eme parit\'e que $\varepsilon\in\{0,1\}$. La formulation int\'egrale de cette
conjecture a \'et\'e d\'emontr\'ee dans~\cite{Zudilinservice} et une version
raffin\'ee dans~\cite{KR} : la m\'ethode consiste \`a prouver que la s\'erie~\eqref{eq:vasilyev} s'exprime aussi
comme une s\'erie simple \`a laquelle le th\'eor\`eme~\ref{thwp} ci-dessus s'applique.
Zlobin~\cite{Zlobincoeff} a r\'ecemment obtenu une d\'emonstration totalement diff\'erente
par une \'etude directe de la s\'erie~\eqref{eq:vasilyev}, dans l'esprit des m\'ethodes combinatoires
d\'evelopp\'ees dans cet article. On peut alors d\'emontrer des r\'esultats essentiellement de m\^eme
nature que ceux de~\cite{BR, RivoalCRAS}, ce qui renforce l'int\'er\^et pour des sommes multiples
 sur des indices ordonn\'es.

\bigskip

Nous avons d\'emontr\'e dans \cite{CFRalgo} que toute s\'erie convergente de la forme
\eqref{eq012}  s'\'ecrit comme combinaison
lin\'eaire de polyz\^etas de poids au plus $pA$ et de profondeur au plus $p$ (et ce r\'esultat th\'eorique a \'et\'e obtenu, ind\'ependamment, par Zlobin \cite{ZlobinZametki2005}).
En outre, nous avons pr\'esent\'e un algorithme, que nous avons impl\'ement\'e \cite{CFRweb}
en Pari, pour calculer explicitement une telle  combinaison lin\'eaire. Ceci
nous a permis de d\'ecouvrir les propri\'et\'es de sym\'etrie que nous
\'enon\c cons maintenant\footnote{Pour simplifier, nous ne d\'emontrons ici
le th\'eor\`eme \ref{thprof2} que dans le cas o\`u $n$ est pair : voir la remarque~\ref{rqparite}. Cependant, il nous semble raisonnable d'esp\'erer que ce th\'eor\`eme soit vrai aussi quand $n$ est impair.}
dans le cas particulier de la profondeur 2 :

\bigskip

\begin{Th} \label{thprof2}
Soient  $n \geq 0$ et $A \geq 1$ des entiers, avec $n$ pair.
Soit $P \in \mathbb Q[X_1,   X_2]$ un polyn\^ome en deux variables, de degr\'e $\leq A(n+1)-2$ par
rapport \`a chacune d'elles, tel que
\begin{equation} \label{eqdefadeux}
\left\{
\begin{array}{l}
P(X_1, X_2) = - P(X_2, X_1) \\
P(-n-X_1, X_2 ) = (-1)^{A(n+1)+1} P( X_1, X_2 )\\
P(X_1, -n-X_2 ) = (-1)^{A(n+1)+1} P( X_1, X_2 )
\end{array}
\right.
\end{equation}
 Alors la somme double  \eqref{eq012} est une combinaison lin\'eaire, \`a coefficients rationnels :
 \begin{itemize}
 \item de 1,
 \item de valeurs $\zeta(s)$ avec $s$ entier impair compris au sens large entre 3 et 2A,
 \item de diff\'erences $\zeta(s,s') - \zeta(s',s)$ avec $s$, $s'$ entiers impairs tels que $3 \leq s < s' \leq A$.
 \end{itemize}
\end{Th}

Bien entendu, parmi les conditions \eqref{eqdefadeux}, la troisi\`eme est cons\'equence des deux premi\`eres.
En particulier, si $A=4$, ce th\'eor\`eme montre que la s\'erie double
$$
\sum_{k_1 \geq   k_2 \geq 1}
\frac{P(k_1,  k_2)}{(k_1)_{n+1}^{4}  (k_2)_{n+1}^{4} }
$$
est une forme lin\'eaire en $1$, $\zeta(3)$,  $\zeta(5)$ et  $\zeta(7)$ (ce qui \'etait
loin d'\^etre \'evident a priori puisqu'on part d'une s\'erie double). Pour $A=3$, on obtient
 une forme lin\'eaire en $1$, $\zeta(3)$,  $\zeta(5)$ ; enfin, pour $A=2$, une forme lin\'eaire en $1$ et $\zeta(3)$.

\bigskip

Il est \`a noter que dans la s\'erie \eqref{eq012}, les variables $k_1$, \ldots, $k_p$
sont li\'ees par des in\'egalit\'es {\em larges}, comme dans \cite{CFRalgo} mais \`a l'inverse de la d\'efinition des polyz\^etas.

\bigskip

Par exemple, le th\'eor\`eme \ref{thprof2} donne le cas particulier suivant :

\begin{Cor} \label{corprofdeux}
Soient $n, r, t, \varepsilon  \geq 0$ et $A \geq 1$ des entiers, avec $n$ pair,  tels que
$$\varepsilon  \equiv (A+1)(n+1) +1  \bmod 2$$
et
$$\varepsilon + 4 r + 2 t \leq (A-1)(n+1)-4.$$
Alors la s\'erie convergente
$$
\sum_{k_1 \geq k_2 \geq 1}
  \big(k_1 + \frac{n}{2}\big)^{\varepsilon }  \big(k_2 + \frac{n}{2}\big)^{\varepsilon }
 \frac{ (k_1-k_2-r)_{2r+1} (k_1+k_2+n-r)_{2r+1} (k_1-t)_{2t+n+1}
 (k_2-t)_{2t+n+1} }{(k_1)_{n+1}^{A}  \;(k_2)_{n+1}^{A} }
$$
est une combinaison lin\'eaire, \`a coefficients rationnels, de 1,
de valeurs $\zeta(s)$ (avec $s$ entier impair tel que  $3 \leq s \leq  2A-1$),
et  de diff\'erences $\zeta(s,s') - \zeta(s',s)$ (avec $s$, $s'$ entiers impairs tels que $3 \leq s < s' \leq A$).
\end{Cor}

Par exemple, on a
\begin{multline*}
\sum_{k_1\ge k_2\ge 1} \big(k_1+\frac 12\big)\big(k_2+\frac 12\big)\frac{(k_1-k_2-1)_3(k_1+k_2)_3(k_1-1)_4(k_2-1)_4}
{(k_1)_2^7\;(k_2)_2^7}
\\
= -1156 +891\,\zeta(3)+ \frac{189}2 \,\zeta(5) + 78 \big(\zeta(5,3) -\zeta(3,5)\big).
\end{multline*}

\bigskip

Un autre ingr\'edient, qui est fr\'equemment utilis\'e avec des s\'eries simples, consiste \`a
d\'eriver la fraction rationnelle en $k$, avant de sommer ; par exemple, une double d\'erivation sert \`a montrer le r\'esultat de
Zudilin~\cite{Zudilinonze} rappel\'e apr\`es la conjecture~\ref{conj:zeta alg inde}.
Cette astuce, appliqu\'ee plusieurs fois, permet de faire dispara\^{\i}tre $\zeta(s)$ de la forme lin\'eaire
obtenue, pour de petites valeurs de $s$. On peut imaginer de l'utiliser pour des sommes multiples, m\^eme
si on n'a aucun r\'esultat connu de disparition de polyz\^etas dans ce cadre (voir cependant \cite{SFHoffman}). Il est clair qu'en d\'erivant
une fraction rationnelle de la forme
$P(X_1, \ldots, X_p)/\big((X_1)_{n+1}^{A} \ldots (X_p)_{n+1}^{A}\big)$ par rapport \`a l'une des variables
$X_i$, on obtient une fraction rationnelle de la m\^eme forme (avec $A$ remplac\'e par $A+1$). En
profondeur 2, si un polyn\^ome $P(X_1, X_2)$ v\'erifie les relations \eqref{eqdefadeux}, alors
le polyn\^ome $Q$ d\'efini par
$$
\Big( \frac{\partial}{\partial X_1} \Big)^2  \Big(\frac{\partial}{\partial X_2} \Big)^2
\frac{P(X_1, X_2)}{(X_1)_{n+1}^{A}  (X_2)_{n+1}^{A} }
 =   \frac{Q(X_1, X_2)}{(X_1)_{n+1}^{A+2}  (X_2)_{n+1}^{A+2} }
$$
 les v\'erifie aussi ; on peut donc lui appliquer aussi le th\'eor\`eme \ref{thprof2}. Cette
remarque montre qu'on aurait pu ajouter des d\'erivations dans le corollaire \ref{corprofdeux}.
Elle s'applique aussi en profondeur quelconque.

 \bigskip

Ce texte est divis\'e comme suit.
Nous donnons au paragraphe \ref{sec2} l'\'enonc\'e g\'en\'eral, en profondeur quelconque,
que nous obtenons. C'est l'occasion d'introduire la notion de {\em polyz\^etas antisym\'etriques}, et aussi de comparer notre g\'en\'eralisation des s\'eries (tr\`es) bien \'equilibr\'ees \`a celles provenant des syst\`emes de racines.

La preuve utilise deux outils : la r\'egularisation des s\'eries
\`a divergence logarithmique et le d\'eveloppement en \'el\'ements simples des fractions
rationnelles, qui sont pr\'esent\'es aux paragraphes \ref{sec3} et \ref{sec4} respectivement.
Ces outils permettent d'\'enoncer (au paragraphe \ref{subsec42}) le th\'eor\`eme \ref{thconj3},
 qui implique notre r\'esultat principal (voir \S \ref{subsec43}). Ce th\'eor\`eme est
d\'emontr\'e au paragraphe \ref{sec5}, par r\'ecurrence sur la profondeur : il s'agit
du c{\oe}ur de la preuve. Le cas des profondeurs 1, 2 et 3 sont d\'etaill\'es s\'epar\'ement, et
servent d'introduction \`a la d\'emonstration g\'en\'erale.

Enfin, au paragraphe \ref{sec6}, on d\'emontre le th\'eor\`eme \ref{thdecouple} \'enonc\'e ci-dessus.
La preuve suit la m\^eme strat\'egie que celle du r\'esultat principal, mais chaque
\'etape est nettement plus simple \`a mettre en {\oe}uvre.

\bigskip

\noindent{\bf Remerciements : } Les auteurs ont eu l'opportunit\'e d'utiliser
la puissance de calcul de la grappe M\'edicis, ce qui leur a permis de mener plus facilement les
exp\'erimentations qui ont conduit aux r\'esultats de cet article. Nous remercions \'egalement C.~Krattenthaler, M. Schlosser, W. Zudilin et l'arbitre
pour leurs nombreuses remarques sur cet article, en particulier pour avoir port\'e \`a notre
attention le lien entre nos s\'eries et les syst\`emes de racines. Enfin, le premier auteur remercie l'I.H.\'E.S. pour l'invitation lors de laquelle il a pu terminer ce travail.

\section{L'\'enonc\'e dans le cas convergent} \label{sec2}

\subsection{Polyz\^etas antisym\'etriques} \label{subsec21}

Pour \'enoncer notre r\'esultat en profondeur quelconque, nous aurons besoin de la
notation suivante. Pour $p \geq 0$ et $s_1, \ldots, s_p \geq 2$ entiers, on pose
$$\zetaantisym (s_1, \ldots, s_p) =  \sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_p} \varepsilon_{\sigma}
\zeta(s_{\sigma(1)}, \ldots, s_{\sigma(p)}) ,$$
o\`u $\varepsilon_{\sigma} $ d\'esigne la signature de la permutation $\sigma$.
On appelle {\em polyz\^eta antisym\'etrique} une telle combinaison lin\'eaire de polyz\^etas
(m\^eme si, pour $p \geq 2$, ce n'est pas en g\'en\'eral un polyz\^eta). Il s'agit de s\'eries
convergentes, puisque tous les $s_i$ sont suppos\'es \^etre sup\'erieurs ou \'egaux \`a 2 ; on
utilisera donc parfois le terme de {\em polyz\^eta antisym\'etrique convergent}. Pour $p=1$, on
a $\zetaantisym (s) = \zeta(s)$. La convention naturelle consiste \`a poser $\zetaantisym (s_1,
\ldots, s_p) = 1$ lorsque $p=0$, puisqu'il existe une unique bijection de l'ensemble vide dans lui-m\^eme.  Pour $p=2$, on a
$\zetaantisym (s_1, s_2) = \zeta(s_1, s_2) - \zeta(s_2, s_1)$
et lorsque $p=3$, on a
\begin{multline*}
\zetaantisym (s_1, s_2, s_3)
\\
= \zeta(s_1, s_2, s_3) + \zeta(s_2, s_3, s_1) +  \zeta(s_3, s_1, s_2)
- \zeta(s_2, s_1, s_3) - \zeta(s_1, s_3, s_2) -  \zeta(s_3, s_2, s_1).
\end{multline*}
Par d\'efinition, pour tout $\sigma\in\mathfrak{S}_p$ on a
$$ \zetaantisym(s_{\sigma(1)}, \ldots, s_{\sigma(p)}) =  \varepsilon_{\sigma} \zetaantisym (s_1, \ldots, s_p), $$
et $\zetaantisym (s_1, \ldots, s_p) = 0$ d\`es que deux des $s_i$ sont \'egaux.

\bigskip

Il nous semble raisonnable de penser qu'en g\'en\'eral, un poyz\^eta antisym\'etrique n'est pas un polyn\^ome en valeurs de la fonction $\zeta$ de Riemann. En revanche, tout polyz\^eta ``sym\'etrique'' (d\'efini comme $ \zetaantisym (s_1, \ldots, s_p)$ mais en omettant la signature $ \varepsilon_{\sigma} $)
est un polyn\^ome en les valeurs $\zeta(s)$ (d'apr\`es \cite{Hoffman1992}, Theorem 2.2).

\subsection{Enonc\'e du r\'esultat principal} \label{subsec22}

Notons   $\mathscr{A}_p$   l'ensemble des polyn\^omes
$P(X_1, \ldots, X_p)\in\mathbb Q[X_1, \ldots, X_p]$  tels que :
$$
\begin{cases}
\mbox{Pour tout } \sigma \in\mathfrak{S}_p \mbox{,  on ait }
\\
\qquad \qquad
P(X_{\sigma(1)}, X_{\sigma(2)},\ldots, X_{\sigma(p)}) = \varepsilon_{\sigma} P(X_1, X_2, \ldots, X_p).
\\
\\
\mbox{Pour tout } j \in \{1,\ldots, p\} \mbox{,  on ait}
\\
\qquad \qquad  P(X_1,\ldots, X_{j-1}, -X_j-n, X_{j+1}, \ldots, X_p )
\\
\qquad \qquad \qquad \qquad = (-1)^{A(n+1)+1} P( X_1,\ldots, X_{j-1}, X_j, X_{j+1}, \ldots, X_p ).
\end{cases}
$$
Ces conditions (qui font appara\^{\i}tre l'action de groupe qui sera utilis\'ee au paragraphe \ref{subsec41}) sont bien s\^ur redondantes. Si la premi\`ere est satisfaite, alors il suffit notamment  de v\'erifier la seconde pour une seule valeur  de $j$.

Par exemple, $\mathscr{A}_2$ est exactement l'ensemble des polyn\^omes $P$  v\'erifiant les conditions \eqref{eqdefadeux}.
Par ailleurs, si $P \in \mathscr{A}_p$ alors $P$ a le m\^eme degr\'e par rapport \`a chacune des variables
$X_1,   \ldots, X_p$. Bien entendu la d\'efinition de $\mathscr{A}_p$ d\'epend aussi de la
parit\'e de $A(n+1)$, mais on ne refl\`ete pas cette d\'ependance pour ne pas alourdir la notation.

\bigskip

Nous pouvons maintenant \'enoncer notre r\'esultat principal.\footnote{Ce r\'esultat, comme
les th\'eor\`emes \ref{thconj2} et \ref{thconj3} ci-dessous, ne sera d\'emontr\'e ici que dans
le cas o\`u  $n$ est pair. Ceci permet de simplifier la preuve (voir la remar\-que~\ref{rqparite})
et ne devrait pas \^etre un obstacle \`a d'\'eventuelles applications diophantiennes. Cependant,  il nous semble raisonnable d'esp\'erer que ces \'enonc\'es soient vrais aussi quand $n$ est impair.}

\begin{Th} \label{thconj1}
Soient $n \geq 0$ et $A, p \geq 1$ des entiers, avec $n$ pair.
Soit $P \in \mathscr{A}_p$ de degr\'e $\leq A(n+1)-2$ par rapport \`a chacune des variables. Alors la s\'erie
\begin{equation} \label{eq021}
\sum_{k_1 \geq  \ldots \geq   k_p \ge 1}
\frac{P(k_1, \ldots, k_p)}{(k_1)_{n+1}^{A} \ldots (k_p)_{n+1}^{A} }
\end{equation}
est une combinaison lin\'eaire, \`a coefficients rationnels, de produits de la forme
$$\zeta(s_1) \ldots  \zeta(s_{q}) \zetaantisym (s'_{1}, \ldots, s'_{q'})$$
avec
\begin{equation} \label{eqcondithconj1}
\left\{
\begin{array}{l}
q, q' \geq 0   \mbox{ entiers tels que } 2q+q' \leq p, \\
s_1, \ldots, s_q, s'_1, \ldots, s'_{q'} \mbox{ entiers impairs } \geq 3, \\
s_i \leq 2A-1  \mbox{ pour tout } i \in \{1,\ldots, q\}, \\
s'_i \leq A  \mbox{ pour tout } i \in \{1,\ldots, q'\}.
\end{array}
\right.
\end{equation}
\end{Th}

La dissym\'etrie entre $s_1, \ldots, s_q$ d'une part, et $ s'_1, \ldots, s'_{q'} $
d'autre part, dans la conclusion de cet \'enonc\'e sera comment\'ee plus loin
(juste apr\`es l'\'enonc\'e du th\'eor\`eme \ref{thconj3}).

\smallskip

Il est important de bien visualiser l'ensemble des produits de polyz\^etas qui apparaissent dans ce th\'eor\`eme. Par exemple, lorsque $q'=0$ le polyz\^eta antisym\'etrique $ \zetaantisym (s'_{1}, \ldots, s'_{q'})$ vaut 1 (conform\'ement \`a la convention \'evoqu\'ee au paragraphe \ref{subsec21}), et on obtient un produit de valeurs de $\zeta$ en des entiers impairs. Lorsque $q=q'=0$, ce produit est vide et on obtient~1.

Si $p=1$, le th\'eor\`eme \ref{thconj1} affirme que \eqref{eq021} est une
 combinaison lin\'eaire de $1$ et des $\zeta(s)$ pour $s$ impair tel que $3 \leq s \leq A$ :
on retrouve le th\'eor\`eme \ref{thwp}, c'est-\`a-dire le ph\'enom\`ene de sym\'etrie
li\'e aux s\'eries hyperg\'eom\'etriques (tr\`es) bien \'equilibr\'ees  en profondeur $1$.

Si $p=2$, on obtient exactement le th\'eor\`eme \ref{thprof2} \'enonc\'e dans l'introduction.

Si $p=3$, ce th\'eor\`eme affirme que la s\'erie est une combinaison lin\'eaire, \`a coefficients rationnels :
 \begin{itemize}
 \item de produits d'au plus deux valeurs  de $\zeta$ en des entiers impairs $\geq 3$,
 \item de polyz\^etas antisym\'etriques convergents $\zetaantisym (s_1, s_2)$ avec $s_1, s_2 \geq 3$ impairs,
 \item de polyz\^etas antisym\'etriques convergents $\zetaantisym (s_1, s_2, s_3)$ avec $s_1, s_2, s_3 \geq 3$ impairs.
 \end{itemize}

En profondeur $p \geq 4$, des termes tels que $q \geq 1$ et $q' \geq 2$ peuvent appara\^{\i}tre :
il semble que la s\'erie obtenue ne soit pas toujours la somme d'un polyn\^ome en valeurs  $\zeta(s)$
(avec $s $ impair) et d'une combinaison lin\'eaire de polyz\^etas antisym\'etriques $\zetaantisym
(s_1, \ldots, s_q)$ avec $s_1, \ldots, s_q $ impairs.

\`A l'inverse, on peut affaiblir la conclusion du th\'eor\`eme \ref{thconj1} en disant que la
 s\'erie est un polyn\^ome (\`a coefficients rationnels) en les polyz\^etas antisym\'etriques
convergents $\zetaantisym (s_1, \ldots, s_q)$ avec $1 \leq q \leq p$ et $s_1, \ldots , s_q \geq 3$
impairs tels que $s_1 +\ldots + s_q \leq pA$.

\bigskip

Lorsque $A \leq 2$,  on a forc\'ement $q'=0$ pour tous les produits qui apparaissent, ce qui fournit le corollaire suivant :

\begin{Cor}
Sous les hypoth\`eses du th\'eor\`eme \ref{thconj1}, si $A \leq 2$ alors la s\'erie \eqref{eq021} est
 un polyn\^ome en $\zeta(3)$ \`a coefficients rationnels.
\end{Cor}

\bigskip

Le th\'eor\`eme \ref{thconj1} contient, par exemple, le cas particulier suivant :

\begin{Cor} \label{corconj1}
Soient $n, r, t, \varepsilon \geq 0$ et $A,p \geq 1$ des entiers, avec $n$ pair,  tels que
$$\varepsilon  \equiv (A+1)(n+1) +1  \bmod 2$$
et
$$\varepsilon + (4r+2)p + 2t \leq (A-1)(n+1) + 4r.$$
Alors la s\'erie convergente
\begin{equation}\label{eq:seriecorollaire}
\sum_{k_1 \geq \ldots \geq  k_p \geq 1}
\bigg[\prod_{i=1} ^p (k_i + \frac{n}{2})\bigg]^{\varepsilon}
 \frac{ \displaystyle  \bigg[ \prod_{1 \leq i < j \leq p}  (k_i-k_j-r)_{2r+1} (k_i+k_j+n-r)_{2r+1} \bigg]
 \bigg[ \prod_{i=1} ^p (k_i-t)_{2t+n+1}   \bigg]  }{(k_1)_{n+1}^{A} \ldots  (k_p)_{n+1}^{A} }
\end{equation}
est une combinaison lin\'eaire comme celles du th\'eor\`eme \ref{thconj1}.
\end{Cor}

Un  exemple d'application de ce corollaire est la s\'erie suivante (dans laquelle on prend $t=0$ et les symboles de Pochhammer $(k_i)_{n+1}$ se simplifient avec ceux du d\'enominateur) :
\begin{multline}\label{eq:exempleinteressant}
\sum_{k_1\ge k_2\ge k_3\ge 1}\big(k_1+\frac12\big)\big(k_2+ \frac12\big)\big(k_3+\frac12\big)
\\
\times \frac{(k_1-k_2)(k_2-k_3)(k_1-k_3)
(k_1+k_2+1)(k_1+k_3+1)(k_2+k_3+1)}{(k_1)_2^4\;(k_2)_2^4\;(k_3)_2^4}
\\
= -\frac{1}{4} - \zeta(3) + \frac14 \,\zeta(5) + \zeta(3)^2 -\frac14 \,\zeta(7).
\end{multline}

\medskip

Dans d'\'eventuelles applications diophantiennes (voir \S \ref{subsec23}), on pourrait prendre $\varepsilon$   \'egal \`a 0 ou 1, de telle sorte que sa contribution asymptotique (pour $n$ grand) serait n\'egligeable. Le probl\`eme est de bien choisir les param\`etres $r$ et $s$ en fonction de $n$, ou encore d'imaginer d'autres
polyn\^omes $P$ auxquels on pourrait appliquer le th\'eor\`eme \ref{thconj1}.

\bigskip

On pourrait chercher \`a obtenir un analogue du th\'eor\`eme \ref{thconj1} dans lequel seuls des entiers $s_i$ et $s'_i$ {\em pairs} appara\^{\i}traient. Un tel \'enonc\'e correspondrait peut-\^etre \`a des polyn\^omes $P$ invariants sous l'action de ${\mathfrak S}_p$, \`a des polyz\^etas {\em sym\'etriques} (voir la fin du paragraphe \ref{subsec21}), ou \`a des valeurs de polylogarithmes en un point $z  = -1$ (c'est-\`a-dire \`a un signe, d\'ependant de $k_1$, \ldots, $k_p$,  qui multiplierait la fraction rationnelle que l'on somme).

\bigskip

Toujours en vue d'une \'eventuelle application diophantienne,
il serait utile d'avoir
un contr\^ole sur le d\'enominateur des coefficients qui interviennent dans l'\'ecriture de \eqref{eq021} comme combinaison lin\'eaire de polyz\^etas. Lorsque  $P = n!^{Ap} \widetilde P $ o\`u $\widetilde P $ est un polyn\^ome \`a coefficients entiers, on peut supposer dans le th\'eor\`eme \ref{thconj1} que  $\textup{d}_n ^{Ap}$ est un d\'enominateur commun des coefficients de la combinaison lin\'eaire (o\`u $\textup{d}_n$ est le ppcm des entiers 1, 2, \ldots, $n$ ; ceci sera d\'emontr\'e au paragraphe \ref{subsecdenompreuve}). Dans certains autres cas, la pr\'esence de symboles de Pochhammer dans la d\'efinition de $P$ permet d'obtenir un tel d\'enominateur, comme c'est le cas habituellement en profondeur 1. \'Etant donn\'e un polyn\^ome $P$ particulier, il n'est pas difficile  de d\'eduire un tel r\'esultat  du th\'eor\`eme  \ref{thconj3} ci-dessous (il suffit d'adapter le lemme \ref{lemdenom} qui figure au paragraphe \ref{subsecdenompreuve}). En outre, il serait int\'eressant de savoir si une {\em conjecture des d\'enominateurs} analogue \`a celle d\'emontr\'ee dans \cite{KR} existe.

\subsection{Liens avec les s\'eries hyperg\'eom\'etriques issues de syst\`emes de racines}

Lorsque l'on ne pr\'ecise pas la forme du polyn\^ome
$P(X_1,X_2,\ldots, X_p)\in\mathbb{Q}[X_1, X_2, \ldots, X_p]$ au
num\'erateur de \eqref{eq012},
nos s\'eries multiples peuvent s'exprimer comme combinaisons
lin\'eaires \`a coefficients rationnels de s\'eries hyperg\'eom\'etriques multiples
de Lauricella. Lorsque $p=1$, la s\'erie~\eqref{eq:seriecorollaire} consid\'er\'ee au corollaire~\ref{corconj1} est une s\'erie simple hyperg\'eom\'etrique {\em very well-poised}.

Il est donc naturel de se demander si, pour $p \ge 2$, la s\'erie multiple~\eqref{eq:seriecorollaire} correspond \`a l'une ou l'autre des g\'en\'eralisations de {\em well-poisedness} en dimension sup\'erieure, qui sont li\'ees aux syst\`emes de racines $C_n$, $D_n$ ou $BC_n$
(voir par exemple~\cite{humphreys} pour les d\'efinitions). On peut faire les remarques suivantes.
Dans~\cite{schlosser}, une s\'erie hyperg\'eom\'etrique multiple est dite
de type $C_n$ si le facteur
\begin{equation}\label{eq:cn}
\Big(\prod_{1\le i<j\le n} (k_i-k_j+x_i-x_j)(k_i+k_j+x_i+x_j) \Big)
\Big(\prod_{i=1}^n (k_i+x_i)\Big)
\end{equation}
est pr\'esent, la sommation \'etant sur les $k_1 \ge 0, k_2\ge 0, \ldots, k_n\ge 0$, les $x_j$ \'etant des param\`etres. Elle est dite de type $D_n$ si le facteur
\begin{equation}\label{eq:dn}
\prod_{1\le i<j\le n} (k_i-k_j+x_i-x_j)(k_i+k_j+x_i+x_j)
\end{equation}
est pr\'esent mais pas le facteur $\prod_{i=1}^n (k_i+x_i)$. Le type $C_n$ est donc une des g\'en\'eralisations possibles des s\'eries  {\em very well-poised}, tandis que le type $D_n$ g\'en\'eralise les s\'eries qui sont   {\em well-poised} mais pas  {\em very well-poised}. Cependant, aucune de ces d\'efinitions n'impose de propri\'et\'e de sym\'etrie sur le sommande, alors que dans tous les \'enonc\'es obtenus ici les propri\'et\'es de sym\'etrie sont cruciales : des exemples (faciles \`a calculer gr\^ace \`a \cite{CFRweb}) permettent facilement de voir qu'on ne peut pas remplacer, dans nos r\'esultats, l'hypoth\`ese de sym\'etrie par une hypoth\`ese de divisibilit\'e par un facteur du type \eqref{eq:cn} ou \eqref{eq:dn}.

Par exemple, dans le corollaire~\ref{corconj1} ci-dessus, pour $r=0$, le terme de
la s\'erie $p$-uple~\eqref{eq:seriecorollaire} est de type $C_p$ lorsque $\varepsilon=1$ et de type $D_p$ lorsque $\varepsilon=0$, avec $x_i=n/2+1$. La s\'erie triple~\eqref{eq:exempleinteressant} est, quant
\`a elle, de type $C_p$, avec $x_i=3/2$.
Cependant, dans ces deux cas, notre sommation porte sur
$k_1 \ge k_2\ge \cdots \ge k_p\ge 1$ ce qui, comme on va maintenant le voir, produit
une tr\`es grosse diff\'erence sur la nature des polyz\^etas qui apparaissent. En effet, en modifiant la sommation dans~\eqref{eq:exempleinteressant}, on obtient l'\'evaluation d'une s\'erie de type~$C_3$~:
\begin{multline*}\label{eq:exempleinteressantbis}
\sum_{k_1, k_2, k_3\ge 1}\big(k_1+\frac12\big)\big(k_2+ \frac12\big)\big(k_3+\frac12\big)
\\
\times \frac{(k_1-k_2)(k_2-k_3)(k_1-k_3)
(k_1+k_2+1)(k_1+k_3+1)(k_2+k_3+1)}{(k_1)_2^4\;(k_2)_2^4\;(k_3)_2^4}
= 0
\end{multline*}
puisque le sommande est chang\'e en son oppos\'e par l'\'echange des indices $k_1 \leftrightarrow k_2$. Cette remarque vaut aussi pour la somme de type $D_3$ :
\begin{equation*}
\sum_{k_1, k_2, k_3\ge 1}
\frac{(k_1-k_2)(k_2-k_3)(k_1-k_3)
(k_1+k_2+1)(k_1+k_3+1)(k_2+k_3+1)}{(k_1)_2^4\;(k_2)_2^4\;(k_3)_2^4}
= 0.
\end{equation*}

Le choix de l'ensemble de sommation des s\'eries est donc crucial afin d'obtenir des r\'esultats non
triviaux \`a partir de  s\'eries pr\'esentant les sym\'etries $C_n$ et $D_n$. Par ailleurs, on peut remarquer que ces deux sym\'etries ne tiennent finalement que tr\`es peu compte de la forme des
sommandes des s\'eries telles que~\eqref{eq:seriecorollaire}.
Michael Schlosser nous a fait remarquer que ces s\'eries pr\'esentent en fait
une sym\'etrie proche du type $BC_n$, qui tient compte de la pr\'esence de facteurs
{\og Pochhammer\fg} et dont l'\'etude est toute r\'ecente (voir~\cite{coskun}). Les sym\'etries issues des divers syst\`emes de racines ont donc un grand int\'er\^et dans l'\'etude diophantienne des  polyz\^etas et on peut esp\'erer qu'elles puissent jouer un r\^ole de plus en plus  important \`a l'avenir.

\subsection{Applications diophantiennes \'eventuelles} \label{subsec23}

Pour tout entier $A \geq 1$, notons ${\mathscr{F}}_A$ le sous-$\mathbb Q$-espace vectoriel de $\mathbb R$ engendr\'e par 1 et les $\zeta(s)$, pour $s$ entier impair tel que $3 \leq s \leq A$. Les minorations suivantes sont essentiellement les seules connues (voir par exemple \cite{SFBou} pour un survol) :
\begin{equation} \label{eqminodim}
\begin{cases}
\dim {\mathscr{F}}_3 = 2 \quad \mbox{ \cite{Apery}}
\\
\dim {\mathscr{F}}_{145} \geq 3 \quad \mbox{ (\cite{Zudilincentqc}, voir aussi \cite{BR})}
\\
\dim {\mathscr{F}}_A \geq \frac{1 - o(1)}{1 + \log 2} \log A \quad \mbox{ (\cite{BR}, \cite{RivoalCRAS})}.
\end{cases}
\end{equation}

\bigskip

Pour $A \geq 1$ et $p \geq 1$, notons ${\mathscr{E}}_{A, p}$ le sous-$\mathbb Q$-espace vectoriel de $\mathbb R$ engendr\'e par les produits $\zeta(s_1) \ldots  \zeta(s_{q}) \zetaantisym (s'_{1}, \ldots, s'_{q'})$ satisfaisant aux conditions \eqref{eqcondithconj1} \'enonc\'ees dans le th\'eor\`eme \ref{thconj1}. L'int\'er\^et de ce th\'eor\`eme est justement de fournir des s\'eries qui appartiennent \`a ${\mathscr{E}}_{A, p}$, et qui pourraient permettre de minorer la dimension de cet espace.

Pour $p= 1$ on a simplement ${\mathscr{E}}_{A, 1} = {\mathscr{F}}_A$. Pour $p \geq 2$, l'inclusion ${\mathscr{F}}_{2A-1} \subset {\mathscr{E}}_{A, p}$ permet d'obtenir, \`a partir de \eqref{eqminodim}, des minorations de $\dim {\mathscr{E}}_{A, p}$. On peut esp\'erer que le th\'eor\`eme \ref{thconj1} (ou le corollaire \ref{corconj1}) conduisent \`a des minorations plus fines de  $\dim {\mathscr{E}}_{A, p}$, qui constitueraient de nouveaux r\'esultats diophantiens. Par exemple,  peut-\^etre peut-on obtenir une minoration de la forme $\dim {\mathscr{E}}_{A, p} \geq (c(p)-o_p(1)) \log(A)$, o\`u $o_p(1)$ est une suite qui d\'epend de $p$ et $A$ et tend vers 0 quand $A$ tend vers l'infini (quelle que soit la valeur, fix\'ee, de $p$), et $c(p)$ est une fonction de $p$ seulement. Ceci serait nouveau \`a condition qu'on ait $c(p) > \frac{1}{1 + \log 2}$ (ce que l'on peut esp\'erer, notamment si $p$ est grand).

\bigskip

Par ailleurs, si on arrivait \`a montrer que $\dim {\mathscr{E}}_{2, p} \geq 3$ pour un certain $p$, on obtiendrait que $\zeta(3)$  n'est pas quadratique. Si cette dimension pouvait \^etre arbitrairement grande, cela donnerait la transcendance de $\zeta(3)$. Malheureusement, les contraintes de sym\'etrie impos\'ees au polyn\^ome $P$ dans le th\'eor\`eme \ref{thconj1} semblent trop draconiennes pour qu'on puisse aboutir \`a un r\'esultat aussi spectaculaire (voir \`a ce propos \cite{SFHoffman}, o\`u des propri\'et\'es de sym\'etrie plus faibles sont d\'emontr\'ees sous des hypoth\`eses moins restrictives). Cependant, l'une des motivations principales de cet article est de montrer que l'algorithme de \cite{CFRalgo} permet de deviner des propri\'et\'es, comme celles d\'emontr\'ees ici, de disparition de polyz\^etas. La structure de la preuve du th\'eor\`eme \ref{thconj1} devrait pouvoir \^etre utilis\'ee pour d\'emontrer d'autres r\'esultats analogues, dont les applications diophantiennes pourraient \^etre plus faciles.

\section{R\'egularisation des s\'eries divergentes} \label{sec3}

\subsection{Rappels} \label{subsec31}

Dans toute la suite, on note $H_N$ la somme harmonique d\'efinie par
$$H_N = 1 + \frac12 + \frac13 + \ldots + \frac{1}{N}.$$
La proposition suivante a \'et\'e d\'emontr\'ee par   Racinet (voir le Corollaire 2.1.8
de \cite{RacinetIHES}), en suivant des travaux de Boutet de Monvel.

\begin{Prop} \label{propstuffle}
Soient $p \geq 0$ et $s_1, \ldots, s_p \geq 1$. Alors il existe un unique polyn\^ome $Q$ tel que,
  pour tout $\varepsilon > 0$, on ait quand $N$ tend vers $+\infty$ :
$$ \sum_{N \geq k_1 > \ldots > k_p \geq 1}
\frac{1}{k_1 ^{s_1} \ldots k_p ^{s_p}} = Q(H_N) + \mathcal{O}_\varepsilon (N^{-1+\varepsilon});
$$
on note alors $\zeta _* (s_1,\ldots, s_p)$ le coefficient constant de $Q$, c'est-\`a-dire sa valeur en 0.
\end{Prop}

Cette proposition d\'efinit les {\em valeurs r\'egularis\'ees} $\zeta _* (s_1,\ldots, s_p)$ des s\'eries divergentes
$$\sum_{ k_1 > \ldots >  k_p \geq 1}
\frac{1}{k_1 ^{s_1} \ldots k_p ^{s_p}}$$
lorsque $s_1 =1$. D\`es que $s_1 \geq 2$, on a simplement $\zeta _* (s_1,\ldots, s_p) = \zeta (s_1,\ldots, s_p)$ et le polyn\^ome $Q$ est constant.

Il s'agit de la r\'egularisation relative au produit nomm\'e {\em stuffle} (voir \cite{MiW}), avec la convention $\zeta _* (1) = 0$. Il existe une autre forme de r\'egularisation, li\'ee au produit shuffle, et utilis\'ee dans \cite{CFRalgo} ; mais nous n'en aurons pas besoin ici.

\bigskip

Les valeurs r\'egularis\'ees $\zeta _* (s_1,\ldots, s_p)$  peuvent se calculer de mani\`ere algorithmique ; ce sont des combinaisons lin\'eaires \`a coefficients rationnels de polyz\^etas.

\bigskip

Nous aurons aussi besoin de la d\'efinition suivante. On appelle {\em polyz\^eta antisym\'etrique r\'egularis\'e} la combinaison  lin\'eaire suivante de polyz\^etas  r\'egularis\'es, pour  $p \geq 1$ et $s_1, \ldots, s_p \geq 1$ entiers :
$$\zeta _* ^{{\rm as}} (s_1, \ldots, s_p) =  \sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_p} \varepsilon_{\sigma} \zeta _*(s_{\sigma(1)}, \ldots, s_{\sigma(p)}) .$$
Lorsque $s_1 \geq 2$, on a $\zeta _* ^{{\rm as}} (s_1, \ldots, s_p) = \zetaantisym (s_1, \ldots, s_p) $ : on retrouve les polyz\^etas antisym\'etriques convergents.  Lorsque $p=0$, on pose $\zeta _* ^{{\rm as}} (s_1, \ldots, s_p) = \zeta  (s_1, \ldots, s_p) = 1$.

\subsection{\'Enonc\'e avec r\'egularisation des divergences} \label{subsec32}

L'une des motivations principales pour consid\'erer des polyz\^etas r\'egularis\'es est qu'ils permettent de rendre la th\'eorie  plus compl\`ete, et en tout cas plus \'el\'egante. Nous en donnons ici une illustration : pour d\'emontrer le   th\'eor\`eme \ref{thconj1} (qui concerne seulement des s\'eries convergentes), nous allons utiliser le r\'esultat suivant (dans lequel des divergences logarithmiques sont autoris\'ees, et r\'egularis\'ees).\footnote{Plus pr\'ecis\'ement, nous d\'emontrerons au \S \ref{sec5} le th\'eor\`eme \ref{thconj3}, qui est une forme plus pr\'ecise  du  th\'eor\`eme \ref{thconj2}, et  nous en d\'eduirons le  th\'eor\`eme \ref{thconj1}   au paragraphe \ref{subsec43}.}

\begin{Th} \label{thconj2}
Supposons $n$ pair.
Soit $P \in \mathscr{A}_p$ de degr\'e $\leq A(n+1)-1$ par rapport \`a chacune des variables. Alors il existe un polyn\^ome $Q_P$ tel que, pour tout $\varepsilon > 0$, on ait quand $N$ tend vers $+\infty$ :
\begin{equation} \label{eq1}
 \sum_{N \geq k_1 \geq \ldots \geq k_p \geq 1}
\frac{P(k_1,\ldots,k_p)}{(k_1)_{n+1}^A \ldots (k_p)_{n+1}^A}
= Q_P (H_N) + \mathcal{O}_\varepsilon (N^{-1+\varepsilon}),
\end{equation}
et tel que $Q_P(0)$ soit  une combinaison lin\'eaire, \`a coefficients rationnels,
de produits de la forme
\begin{equation} \label{eq998}
\zeta _*(s_1) \ldots  \zeta _*(s_{q}) \zeta _* ^{{\rm as}} (s'_{1}, \ldots, s'_{q'})
\end{equation}
avec
$$
\left\{
\begin{array}{l}
q, q' \geq 0 \mbox{ entiers tels que } 2q+q' \leq p \\
s_1, \ldots, s_q , s'_1, \ldots, s'_{q'} \mbox{ entiers impairs } \geq 1 \\
s_i \leq 2A-1  \mbox{ pour tout } i \in \{1,\ldots, q\} \\
s'_i \leq A  \mbox{ pour tout }  i \in \{1,\ldots, q'\} .
\end{array}
\right.
$$
\end{Th}

Comme $\zeta _*(1) = 0$, on peut se restreindre aux produits \eqref{eq998} tels que $s_1, \ldots, s_{q} \geq 3$.

\bigskip

Si dans ce th\'eor\`eme on suppose que $P$ est de degr\'e $\leq A(n+1)-2$ par rapport \`a chacune des variables, alors \eqref{eq1} converge quand $N$ tend vers $+\infty$, donc le polyn\^ome $Q_P$ est constant (\'egal \`a $Q_P(0)$). Pour d\'eduire le th\'eor\`eme \ref{thconj1} du th\'eor\`eme \ref{thconj2}, il suffit donc de d\'emontrer que le produit \eqref{eq998} ne peut appara\^{\i}tre que si $ s'_1, \ldots, s'_{q'} \geq 3$.  C'est l'objet du paragraphe \ref{subsec43}; pour y parvenir, on utilise en fait une version plus pr\'ecise  du  th\'eor\`eme \ref{thconj2}, que nous allons formuler gr\^ace au d\'eveloppement en \'el\'ements simples.

\section{D\'ecomposition en \'el\'ements simples} \label{sec4}

\subsection{Notations et actions de groupes}  \label{subsec41}

Soit $P(k_1,\ldots,k_p)$ un polyn\^ome de degr\'e $\leq A(n+1)-1$ par rapport \`a chacune des variables, \`a coefficients rationnels. La d\'ecomposition en \'el\'ements simples de la fraction rationnelle
\begin{equation} \label{eq041}
R(k_1,\ldots, k_p) = \frac{P(k_1,\ldots, k_p)}{(k_1)_{n+1}^A \ldots (k_p)_{n+1}^A}
\end{equation}
s'\'ecrit
\begin{equation} \label{eq2}
R(k_1,\ldots, k_p) = \sum_\indso{0 \leq j_1, \ldots, j_p \leq n}{1 \leq s_1, \ldots, s_p \leq A}
\frac{C\bigg[\,\begin{matrix} s_1, \ldots, s_p\\j_1, \ldots, j_p\end{matrix}\,\bigg]}{(k_1+j_1)^{s_1} \ldots (k_p+j_p)^{s_p}}
\end{equation}
avec des rationnels $C\bigg[\,\begin{matrix} s_1, \ldots, s_p\\j_1, \ldots, j_p\end{matrix}\,\bigg]$. L'unicit\'e de ce d\'eveloppement montre que $P$ appartient \`a $\mathscr{A}_p$ si, et seulement si,  on a :
\begin{equation} \label{eq3}
\left\{
\begin{array}{l}
C\bigg[\,\begin{matrix} s_1, \ldots, s_p\\j_1, \ldots, j_p\end{matrix}\,\bigg] = (-1)^{s_i+1} C\bigg[\,\begin{matrix} s_1, \ldots, s_p\\j_1, \ldots,  j_{i-1}, n-j_i, j_{i+1}, \ldots, j_p\end{matrix}\,\bigg] \mbox{ pour tout } i \in \{1,\ldots, p\}  \\
\\
C\bigg[\,\begin{matrix} s_1, \ldots, s_p\\j_1, \ldots, j_p\end{matrix}\,\bigg] = \varepsilon_\gamma C\bigg[\,\begin{matrix} s_{\gamma(1)}, \ldots , s_{\gamma(p)} \\ j_{\gamma(1)},\ldots, j_{\gamma(p)} \end{matrix}\,\bigg] \mbox{ pour tout } \gamma \in {\mathfrak S}_p.
\end{array}
\right.
\end{equation}

\bigskip

Donnons maintenant une interpr\'etation alg\'ebrique (en termes de groupes op\'erant sur des
ensembles) de cette situation, qui sera utile dans les preuves.

\bigskip

Pour $\varepsilon \in \Z / 2 \Z$ (o\`u on voit toujours $\Z / 2 \Z$ comme \'etant le groupe multiplicatif $\{-1, 1\}$) et $j \in \{0,\ldots, n\}$, on pose :
$$
\left\{
\begin{array}{l}
\varepsilon \cdot j =j \mbox{ si } \varepsilon =1 , \\
\varepsilon \cdot j =n-j \mbox{ si } \varepsilon = -1.
\end{array}
\right.
$$
Ceci d\'efinit une action de $\Z / 2 \Z$ sur $\{0,\ldots, n\}$. De mani\`ere diagonale, on peut alors d\'efinir une action de $(\Z / 2 \Z)^p$ sur $\{0,\ldots, n\}^p$ en posant :
$$(\varepsilon_1,\ldots, \varepsilon_p) \cdot (j_1,\ldots, j_p) = (\varepsilon_1  \cdot j_1, \ldots,  \varepsilon_p \cdot j_p).$$
En outre,  on consid\`ere l'action triviale de $(\Z / 2 \Z)^p$ sur $\{1,\ldots, A\}^p$, et on en d\'eduit une action de $(\Z / 2 \Z)^p$ sur $\{0,\ldots, n\}^p \times \{1,\ldots, A\}^p$ d\'efinie par :
$$(\varepsilon_1,\ldots, \varepsilon_p) \cdot (j_1,\ldots, j_p, s_1,\ldots, s_p) = (\varepsilon_1  \cdot j_1, \ldots,  \varepsilon_p \cdot j_p, s_1,\ldots, s_p).$$
Par ailleurs, le groupe ${\mathfrak S}_p$ agit par permutation des facteurs sur $(\Z / 2 \Z)^p$,  sur  $\{0,\ldots, n\}^p$ et sur $\{1,\ldots, A\}^p$ (donc agit aussi sur $\{0,\ldots, n\}^p \times \{1,\ldots, A\}^p$).
On en d\'eduit une action du produit semi-direct $(\Z / 2 \Z)^p \rtimes {\mathfrak S}_p$ sur $\{0,\ldots, n\}^p \times \{1,\ldots, A\}^p$; et
\eqref{eq3} signifie que $C\bigg[\,\begin{matrix} s_1, \ldots, s_p\\j_1, \ldots, j_p\end{matrix}\,\bigg]$ est constant (au signe pr\`es) sur chaque orbite (et ce signe est bien d\'etermin\'e en fonction de la parit\'e des $s_i$).

\begin{remark} Le sous-groupe d'indice 2 de $(\Z / 2 \Z)^p \rtimes {\mathfrak S}_p$ form\'e par les $(\varepsilon_1,\ldots, \varepsilon_p,
\gamma)$ tel que $\varepsilon_1 \ldots \varepsilon_p = 1$ est d'ordre $2^{p-1} p!$ ; pour $p=5$, c'est exactement le
groupe de Rhin-Viola \cite{RV3} pour $\zeta(3)$.
Nous n'avons trouv\'e aucune explication \`a cette co\"{\i}ncidence.
\end{remark}

\subsection{\'Enonc\'e r\'egularis\'e en termes d'\'el\'ements simples}  \label{subsec42}

On va d\'eduire les th\'eor\`emes \ref{thconj1} et  \ref{thconj2} du r\'esultat suivant :

\begin{Th} \label{thconj3}
Supposons $n$ pair.
 Soient $j_1, \ldots, j_p \in \{0,\ldots, n\}$ et $s_1,\ldots,s_p  \geq 1$. Alors il existe un polyn\^ome $\qjs$
tel que,   pour tout $\varepsilon > 0$, on ait quand $N$ tend vers $+\infty$ :
\begin{multline}
\sum_{N \geq k_1 \geq \ldots \geq k_p \geq 1}
 \sum_{\sigma \in {\mathfrak S}_p}
 \sum_{(\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_p)\in (\Z / 2 \Z)^p}
\varepsilon_\sigma  \varepsilon_1^{s_1+1} \ldots \varepsilon_p ^{s_p+1}
\frac{1}{(k_{\sigma(1)} + \varepsilon_1 \cdot j_1)^{s_1} \ldots (k_{\sigma(p)} + \varepsilon_p \cdot j_p)^{s_p}}
\\
= \qjs (H_N) + \mathcal{O}_\varepsilon (N^{-1+\varepsilon}),
\label{eq4}
\end{multline}
et tel que $\qjs(0)$ soit  une combinaison lin\'eaire, \`a coefficients rationnels,
de produits de la forme
\begin{equation} \label{eq999}
\zeta _*(s'_1) \ldots  \zeta _*(s'_{q'}) \zeta _* ^{{\rm as}} (s''_{1}, \ldots, s''_{q''})
\end{equation}
avec, pour chaque produit de cette forme :
$$
\left\{
\begin{array}{l}
q' ,q'' \geq 0   \mbox{ entiers tels que } 2q'+q'' \leq p \\
s'_1, \ldots, s'_{q'}, s''_{1}, \ldots, s''_{q''} \geq 1 \mbox{  impairs } \\
\mbox{il existe } \sigma \in {\mathfrak S}_p \mbox{ tel que : }\\
\quad \quad \bullet \, \, s'_i \leq s_{\sigma(i)} + s_{\sigma(i+q')} \mbox{ pour tout } i \in \{1,\ldots, q'\} \\
\quad \quad \bullet \, \, s''_\ell  = s_{\sigma(\ell+2q')} \mbox{ pour tout } \ell \in \{1,\ldots, q''\}.
\end{array}
\right.
$$
De plus, pour la combinaison lin\'eaire  construite dans la preuve   :
\begin{itemize}
\item Les coefficients de la combinaison lin\'eaire peuvent \^etre calcul\'es de mani\`ere explicite
et ils admettent $\textup{d}_n ^{s_1 + \ldots + s_p}$ pour d\'enominateur commun.
\item Le coefficient du produit~\eqref{eq999} ne d\'epend que des $j_{\ell}$ et des $s_\ell$
pour $\ell \in \{ \sigma(2q' + q'' + 1), \ldots, \sigma(p)\}$.
\end{itemize}
\end{Th}

Dans ce th\'eor\`eme, et dans toute la suite, on identifie le groupe $\Z / 2 \Z$ \`a $\{-1, 1\}$ : pour
$\varepsilon \in \Z / 2 \Z$ et $s $ entier, on a $\varepsilon^s = 1$ si $s$ est pair et $\varepsilon^s = -1$ si $s$ est impair.

\bigskip

Les contraintes sur les produits \eqref{eq999} signifient que les polyz\^etas $\zeta _*(s'_i)$
de profondeur 1   apparaissent par une sorte de concat\'enation de deux indices : c'est pourquoi ils
peuvent appara\^{\i}tre jusqu'\`a $s'_i = 2A - 1$ dans les th\'eor\`emes \ref{thconj1} et \ref{thconj2}.
C'est aussi la raison pour laquelle $q'$ appara\^{\i}t avec un facteur 2 dans la majoration $2q'+q'' \leq p$.
En revanche, les $s''_\ell$ de \eqref{eq999} sont directement une sous-famille du $p$-uplet
initial $(s_1, \ldots,  s_p)$ (\`a permutation pr\`es). La remarque qui termine l'\'enonc\'e du th\'eor\`eme
\ref{thconj3} signifie que le coefficient de~\eqref{eq999} ne d\'epend ni des $s_\ell$ de cette sous-famille
ni de ceux qui contr\^olent par concat\'enation les $s'_i$, mais seulement des autres (s'il y en a ; sinon,
c'est que le coefficient ne d\'epend ni de $s_1, \ldots, s_p$ ni de $j_1, \ldots, j_p$).

\bigskip

Si la profondeur $p$ est inf\'erieure ou \'egale \`a 3, les produits \eqref{eq999}
sont des produits de valeurs de z\^eta en des entiers impairs,  ou bien des polyz\^etas
antisym\'etriques de profondeur 2 ou 3. On va maintenant expliciter, \`a titre d'exemple,
le coefficient d'un  tel polyz\^eta antisym\'etrique $\zeta _* ^{{\rm as}} (s''_{1}, \ldots,
s''_{q''})$ dans la combinaison lin\'eaire \eqref{eq4}. La preuve de ce r\'esultat sera donn\'ee
en m\^eme temps que celle du th\'eor\`eme \ref{thconj3}, aux paragraphes \ref{subsec52} et \ref{subsec53}.

\smallskip

Si $p=2$, un tel polyz\^eta ne peut  appara\^{\i}tre (avec un coefficient non nul) que  si $s_1$ et $s_2$  sont impairs ; dans ce cas, sa contribution est toujours $4 ( \zeta(s_1, s_2) - \zeta(s_2, s_1))$.

Supposons maintenant que $p=3$. Alors  des polyz\^etas antisym\'etriques de profondeur 2 et 3 peuvent appara\^{\i}tre. En profondeur 3, la seule contribution possible est dans le cas o\`u  $s_1$, $s_2$ et $s_3$ sont impairs ; elle vaut
$$8 \zeta _* ^{{\rm as}} (s_1, s_2, s_3) = 8 \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_3} \varepsilon_\sigma \zeta _* (s_{\sigma(1)},s_{\sigma(2)}, s_{\sigma(3)}).$$
Explicitons maintenant  la contribution des  polyz\^etas antisym\'etriques de  profondeur 2 (qui correspondent \`a $q'=0$ et $q'' = 2$). C'est une combinaison lin\'eaire des polyz\^etas $\zeta _* (s_{i+1}, s_{i+2}) - \zeta _* (s_{i+2}, s_{i+1})$ pour $i = 1, 2, 3$ (en interpr\'etant les indices modulo 3, par exemple $s_4 = s_1$). Ce polyz\^eta antisym\'etrique n'appara\^{\i}t que si $s_{i+1}$ et $s_{i+2}$ sont impairs. Dans ce cas, son coefficient est
$$-4 \Big( \sum_{\ell = 1}^{j_i} \frac{1}{\ell^{s_i}} +  \sum_{\ell = 1}^{n-j_i} \frac{1}{\ell^{s_i}} \Big)$$
si $s_i$ est impair. Si $s_i$ est pair et $j_i \geq n/2$, c'est
$$-4 \Big( \sum_{\ell = n-j_i+1}^{j_i} \frac{1}{\ell^{s_i}}  \Big).$$
Enfin, si $s_i$ est pair et $j_i \leq n/2$, c'est
$$+4 \Big( \sum_{\ell = j_i+1}^{n-j_i} \frac{1}{\ell^{s_i}}  \Big).$$
Dans chacun de ces trois cas, on voit que ce coefficient ne d\'epend pas de $s_{i+1}$,  $s_{i+2}$,
$j_{i+1}$,  $j_{i+2}$,  mais seulement de  $s_{i}$ et  de $j_{i}$ (comme \'enonc\'e dans le th\'eor\`eme \ref{thconj3}).

\bigskip

\noindent{\bf Question : } Pourrait-on utiliser ces expressions explicites (en profondeur 2 ou 3)
 pour trouver des polyn\^omes $P$ pour lesquels la partie ``polyz\^etas antisym\'etriques'' de la
combinaison lin\'eaire du th\'eor\`eme \ref{thconj1} est nulle ? Pour ces polyn\^omes, cette
combinaison lin\'eaire serait donc un polyn\^ome en valeurs de $\zeta$ en des entiers impairs.

\subsection{Liens entre les th\'eor\`emes \ref{thconj2} et \ref{thconj3}} \label{subsec42bis}

Comme on va le voir, le th\'eor\`eme \ref{thconj3} est une forme plus pr\'ecise du th\'eor\`eme \ref{thconj2}.

\bigskip

Pour d\'eduire le  th\'eor\`eme  \ref{thconj2} du  th\'eor\`eme  \ref{thconj3}, on proc\`ede comme suit
(il s'agit de la m\^eme strat\'egie que celle d\'etaill\'ee au paragraphe \ref{subsec43} ci-dessous).
\'Etant donn\'e $P \in \mathscr{A}_p$, on utilise le d\'eveloppement en
\'el\'ements simples du paragraphe \ref{subsec41} et on regroupe les termes
qui correspondent \`a une m\^eme orbite sous l'action du groupe $(\Z / 2 \Z)^p \rtimes {\mathfrak S}_p$
(voir \S \ref{subsec41}). Le fait que  $P \in \mathscr{A}_p$ signifie (voir
\'egalement  \S \ref{subsec41}) que tous ces termes apparaissent
avec le m\^eme coefficient, au signe pr\`es (et ce signe est donn\'e par la signature).
 On est donc ramen\'e \`a \'evaluer la somme sur chaque orbite, qui est exactement de la
forme \eqref{eq4}: il suffit d'appliquer le th\'eor\`eme  \ref{thconj3}.

\bigskip

R\'eciproquement, en mettant au m\^eme d\'enominateur les termes obtenus quand  $\sigma$ et
$(\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_p)$ varient, on voit que \eqref{eq4} est de la forme \eqref{eq1} pour un
certain polyn\^ome $P  \in \mathscr{A}_p$, de degr\'e $\leq A(n+1)-1$ par rapport \`a chacune
des variables. Ceci prouve que le th\'eor\`eme  \ref{thconj2} implique le th\'eor\`eme \ref{thconj3},
\`a condition d'oublier,   dans ce dernier,  les pr\'ecisions donn\'ees en compl\'ement.

\subsection{Preuve que le th\'eor\`eme \ref{thconj3}  implique le th\'eor\`eme  \ref{thconj1}}
										\label{subsec43}

Commen\c cons par le point d\'elicat, qui diff\'erencie cette preuve de celle du paragraphe \ref{subsec42bis}.

Sous les hypoth\`eses du th\'eor\`eme  \ref{thconj1}, la fraction rationnelle $R$ d\'efinie par
\eqref{eq041} est de degr\'e $\leq -2$ par rapport \`a chacune de ses variables.
Donc $k_1 R(k_1, \ldots, k_p)$ tend vers 0 quand $k_1$ tend vers l'infini, et on obtient en passant \`a la limite dans \eqref{eq2} :
$$\sum_\indso{0 \leq j_2, \ldots, j_p \leq  n}{1 \leq s_2, \ldots, s_p \leq A }
\frac{1}{(k_2+j_2)^{s_2} \ldots (k_p+j_p)^{s_p}} \sum_{j_1 = 0} ^n C\bigg[\,\begin{matrix} 1, s_2,  \ldots, s_p\\j_1, j_2, \ldots, j_p\end{matrix}\,\bigg] = 0.$$
Par unicit\'e du d\'eveloppement en \'el\'ements simples de la fraction rationnelle nulle,
on obtient pour tous $s_2, \ldots, s_p, j_2, \ldots, j_p $  :
$$ \sum_{j_1 = 0} ^n C\bigg[\,\begin{matrix} 1, s_2,  \ldots, s_p\\j_1, j_2, \ldots, j_p\end{matrix}\,\bigg] = 0.$$
Le m\^eme raisonnement, appliqu\'e avec $k_i$ au lieu de $k_1$, montre que pour tout $i \in \{1,\ldots, p\}$ on a :
 \begin{equation} \label{eq2pr}
 \sum_{j_i = 0} ^n C\bigg[\,\begin{matrix} s_1, \ldots, s_{i-1}, 1, s_{i+1},  \ldots, s_p\\j_1,  \ldots, j_{i-1}, j_i, j_{i+1}, \ldots,  j_p\end{matrix}\,\bigg] = 0.
 \end{equation}

 \bigskip

 Une fois ce r\'esultat pr\'eliminaire \'etabli, on peut suivre la strat\'egie r\'esum\'ee au
paragraphe \ref{subsec42bis}, combin\'ee avec la r\'egularisation des divergences  logarithmiques
et une \'etude plus d\'etaill\'ee de l'action du groupe (n\'ecessaire pour utiliser \eqref{eq2pr}).

\bigskip

En utilisant le d\'eveloppement en \'el\'ements simples \eqref{eq2}, on voit que la s\'erie
convergente \eqref{eq021} est la limite, quand $N$ tend vers l'infini, de la somme
\begin{equation} \label{eq818}
\sum_\indso{0 \leq j_1, \ldots, j_p \leq  n}{1 \leq s_1, \ldots, s_p \leq A } C\bigg[\,\begin{matrix} s_1, \ldots, s_p\\j_1, \ldots, j_p\end{matrix}\,\bigg]
\sum_{N \geq k_1 \geq  \ldots \geq   k_p \ge 1}
\frac{1}{(k_1+j_1)^{s_1} \ldots (k_p+j_p)^{s_p}}.
 \end{equation}
Or l'ensemble d'indices $\{0,\ldots, n\}^p \times \{1,\ldots, A\}^p$ est la r\'eunion disjointe des orbites sous l'action
du groupe $(\Z / 2 \Z)^p \rtimes {\mathfrak S}_p$ d\'efinie au paragraphe \ref{subsec41}. Etudions la contribution de chaque
orbite \`a cette somme. Fixons  $(\underline{j}, \underline{s}) = (j_1, \ldots, j_p, s_1, \ldots, s_p)$, et consid\'erons
un point quelconque  $(\underline{j'}, \underline{s'}) = (j'_1, \ldots, j'_p, s'_1, \ldots, s'_p)$ de son orbite
(not\'ee $\Omega_{\underline{j}, \underline{s}}$). Il existe $\gamma \in {\mathfrak S}_p$ et $(\varepsilon_1, \ldots, \varepsilon_p) \in (\Z / 2 \Z)^p$ tels que
$s'_1 = s_{\gamma(1)}$, \ldots, $s'_p = s_{\gamma(p)}$, $j'_1 = \varepsilon_1 \cdot j_{\gamma(1)}$, \ldots,
$j'_p = \varepsilon_p \cdot j_{\gamma(p)}$. La relation \eqref{eq3} donne
\begin{equation} \label{eq820}
C\bigg[\,\begin{matrix} s'_1, \ldots, s'_p\\j'_1, \ldots, j'_p\end{matrix}\,\bigg] = \varepsilon_\gamma  \varepsilon_1^{s_{\gamma(1)}+1} \ldots \varepsilon_p ^{s_{\gamma(p)}+1}  C\bigg[\,\begin{matrix} s_1, \ldots, s_p\\j_1, \ldots, j_p\end{matrix}\,\bigg] .
 \end{equation}

Comme tout \'el\'ement $(\underline{j'}, \underline{s'}) $ de $\Omega_{\underline{j}, \underline{s}}$ s'\'ecrit ainsi pour exactement
$\frac{2^p p!}{{\rm Card} \Omega_{\underline{j}, \underline{s}}}$ \'el\'ements $(\varepsilon_1, \ldots, \varepsilon_p, \gamma) \in  (\Z / 2 \Z)^p \rtimes  {\mathfrak S}_p$,
on voit que la contribution de $\Omega_{\underline{j}, \underline{s}}$ \`a la somme \eqref{eq818} est exactement la somme \eqref{eq4},
multipli\'ee par $C\bigg[\,\begin{matrix} s_1, \ldots, s_p\\j_1, \ldots, j_p\end{matrix}\,\bigg] \frac{{\rm Card} \Omega_{\underline{j}, \underline{s}}}{2^p p!}$. D'apr\`es le th\'eor\`eme \ref{thconj3}, cette contribution s'\'ecrit donc
\begin{equation} \label{eq819}
\frac{{\rm Card} \Omega_{\underline{j}, \underline{s}}}{2^p p!} C\bigg[\,\begin{matrix} s_1, \ldots, s_p\\j_1, \ldots, j_p\end{matrix}\,\bigg]   Q_{\underline{j}, \underline{s}} (H_N) +   \mathcal{O}_\varepsilon (N^{-1+\varepsilon})
 \end{equation}
pour tout $\varepsilon > 0$. Or pour $(\underline{j'}, \underline{s'})  \in \Omega_{\underline{j}, \underline{s}}$, en prenant $(\varepsilon_1, \ldots, \varepsilon_p, \gamma) $ comme ci-dessus, on voit par unicit\'e du polyn\^ome $Q_{\underline{j'}, \underline{s'}}$ que
$$Q_{\underline{j'}, \underline{s'}}(X) =  \varepsilon_\gamma  \varepsilon_1^{s_{\gamma(1)}+1} \ldots \varepsilon_p ^{s_{\gamma(p)}+1}    Q_{\underline{j}, \underline{s}} (X). $$
Compte tenu de \eqref{eq820}, on peut donc \'ecrire \eqref{eq819} sous la forme
$$\sum_{(\underline{j'}, \underline{s'}) \in \Omega_{\underline{j}, \underline{s}}} \frac{1}{2^p p!} C\bigg[\,\begin{matrix} s'_1, \ldots, s'_p\\j'_1, \ldots, j'_p\end{matrix}\,\bigg] Q_{\underline{j'}, \underline{s'}} (H_N) + \mathcal{O}_\varepsilon (N^{-1+\varepsilon})$$
pour tout $\varepsilon > 0$. Cette \'ecriture de la contribution de $\Omega_{\underline{j}, \underline{s}}$ \`a \eqref{eq818} montre que la somme \eqref{eq818} est \'egale \`a
\begin{equation} \label{eq817}
 \frac{1}{2^p p!} \sum_\indso{0 \leq j_1, \ldots, j_p \leq  n}{1 \leq s_1, \ldots, s_p \leq A } C\bigg[\,\begin{matrix} s_1, \ldots, s_p\\j_1, \ldots, j_p\end{matrix}\,\bigg]
 Q_{\underline{j}, \underline{s}} (H_N) + \mathcal{O}_\varepsilon (N^{-1+\varepsilon})
  \end{equation}
pour tout $\varepsilon > 0$. Cette \'ecriture (qui consiste \`a r\'e\'ecrire \eqref{eq818} en moyennant sur chaque orbite, puis en appliquant le th\'eor\`eme \ref{thconj3} \`a chacune d'elles) est le point crucial qui va permettre maintenant de conclure, en appliquant la relation \eqref{eq2pr} d\'emontr\'ee au d\'ebut du paragraphe.

\bigskip

Comme la somme \eqref{eq817}  converge vers \eqref{eq021} quand $N$ tend vers l'infini, le polyn\^ome
\begin{equation} \label{eq1001}
Q(X) = \frac{1}{2^p p!} \sum_\indso{0 \leq j_1, \ldots, j_p \leq  n}{1 \leq s_1, \ldots, s_p \leq A } C\bigg[\,\begin{matrix} s_1, \ldots, s_p\\j_1, \ldots, j_p\end{matrix}\,\bigg]
Q_{\underline{j}, \underline{s}} (X)
\end{equation}
est en fait constant, \'egal \`a sa valeur en 0; et cette valeur est exactement la somme \eqref{eq021}. Donc le th\'eor\`eme  \ref{thconj3} montre que \eqref{eq021} est une combinaison lin\'eaire,
 \`a coefficients rationnels,  de produits de la forme
\begin{equation} \label{eq1000}
\zeta _*(s'_1) \ldots  \zeta _*(s'_{q'}) \zeta _* ^{{\rm as}} (s''_{1}, \ldots, s''_{q''})
\end{equation}
avec, pour chaque produit de cette forme,
$q' ,q'' \geq 0$  entiers tels que $ 2q'+q'' \leq p$,
$s'_1, \ldots, s'_{q'}, s''_{1}, \ldots, s''_{q''} \geq 1$    impairs,
et $ \sigma \in {\mathfrak S}_p $  tel que $ s'_i \leq s_{\sigma(i)} + s_{\sigma(i+q')}$ pour tout $i \in \{1,\ldots, q'\} $ et $s''_\ell  = s_{\sigma(\ell+2q')} $ pour tout $  \ell \in \{1,\ldots, q''\}$.

\bigskip

Comme $\zeta _*(1) = 0$, on peut supposer que dans un tel produit \eqref{eq1000} on a $s'_1, \ldots, s'_{q'} \geq 3$. Si on a aussi $s''_{1}, \ldots, s''_{q''} \geq 3$, alors ce produit fait partie de ceux autoris\'es dans la conclusion du th\'eor\`eme \ref{thconj1}, donc il n'y a rien d'autre \`a d\'emontrer. Supposons en revanche que $s''_\ell = s_{\sigma(\ell+2q')}=1$ pour un certain $\ell \in \{1,\ldots, q''\}$. D'apr\`es les pr\'ecisions donn\'ees \`a la fin du  th\'eor\`eme \ref{thconj3}, le coefficient du produit \eqref{eq1000} dans la d\'ecomposition de $Q_{\underline{j}, \underline{s}}(0)$    ne d\'epend pas de $j_{\sigma(\ell + 2q')}$. D'apr\`es \eqref{eq1001} et l'\'egalit\'e \eqref{eq2pr} d\'emontr\'ee au d\'ebut de ce paragraphe (appliqu\'ee avec $i = \sigma(\ell+2q')$), ce produit appara\^{\i}t dans $Q(0)$ avec un coefficient nul, donc ne contribue pas \`a la somme \eqref{eq021}.

\bigskip

Ceci termine la preuve du fait que le th\'eor\`eme \ref{thconj3}  implique le th\'eor\`eme  \ref{thconj1}.

\bigskip

Pour d\'emontrer l'assertion sur le d\'enominateur \label{subsecdenompreuve} des coefficients qui figure \`a la  fin du paragraphe~\ref{subsec22},  il suffit d'appliquer le lemme suivant et  de suivre, dans toute la preuve ci-dessus, les d\'enominateurs des nombres rationnels qui apparaissent.

\begin{Lemme} \label{lemdenom} Si $P = n!^{Ap} \widetilde P $ o\`u $\widetilde P $ est un polyn\^ome \`a coefficients entiers, alors
$$\textup{d}_n ^{Ap - (s_1+\ldots+s_p)} C\bigg[\,\begin{matrix} s_1, \ldots, s_p\\j_1, \ldots, j_p\end{matrix}\,\bigg] \in \mathbb Z$$
pour tous $s_1, \ldots, s_p, j_1, \ldots, j_p $.
\end{Lemme}

D\'emontrons maintenant ce lemme. Par $\mathbb Z$-lin\'earit\'e, il suffit de traiter le cas o\`u $P = n!^{Ap} X_1^{r_1} \ldots X_p^{r_p}$ avec $0 \leq r_1, \ldots, r_p \leq A(n+1)-1$. Admettons pour l'instant la propri\'et\'e suivante en une variable : pour tout $r \in \{0, \ldots, A(n+1)-1\}$ on a
\begin{equation} \label{eqdenomunevar}
\frac{n! ^A k^r}{(k)_{n+1}^A} = \sum_{j=0}^n \sum_{s=1}^A \frac{E_{j,s}^{(r)}}{(k+j)^s}
\mbox{ avec } \textup{d}_n^{A-s} E_{j,s}^{(r)} \in \mathbb Z.
\end{equation}
 Le produit de cette relation, \'ecrite avec $k=k_i$ pour $i \in \{1, \ldots, p\}$, montre que la fraction rationnelle \eqref{eq041} peut s'\'ecrire  sous la forme \eqref{eq2} avec
$$\textup{d}_n^{Ap-(s_1+\ldots+s_p)} C\bigg[\,\begin{matrix} s_1, \ldots, s_p\\j_1, \ldots, j_p\end{matrix}\,\bigg] = \prod_{i=1}^p \textup{d}_n^{A-s_i} E_{j_i,s_i}^{(r_i)} \in \mathbb Z.$$
Ceci termine la preuve du lemme, en admettant la relation \eqref{eqdenomunevar}.

D\'emontrons maintenant cette relation. La matrice de passage de la base canonique $(k^r)_{0 \leq r \leq A(n+1)-1}$ \`a la base form\'ee par les polyn\^omes $(k)_{n+1}^a (k+n+1-\sigma)_{\sigma}$ (pour $0 \leq a \leq A-1$ et $0 \leq \sigma \leq n$) est \`a coefficients entiers, triangulaire sup\'erieure \`a diagonale de 1. Donc son inverse l'est aussi ; ceci permet de d\'ecomposer le mon\^ome $k^r$ dans la nouvelle base (avec des coefficients entiers). Par $\mathbb Z$-lin\'earit\'e, on est ramen\'e \`a d\'ecomposer des fractions rationnelles de la forme $\frac{n!^A}{(k)_{n+1}^{A-a-1} (k)_{n+1-\sigma}}$. Pour cela, on utilise la formule suivante   :
$$\frac{n!  }{(k)_{n+1}} = \sum_{j=0}^n  \frac{H_{n,j}}{k+j} \mbox{ avec } H_{n,j}  \in \mathbb Z.$$
Cette formule (qui est simplement le cas particulier $A=1$, $r=0$ de \eqref{eqdenomunevar}) est
d\'emontr\'ee par exemple dans le lemme 5 de \cite{BR}.
Il suffit alors de faire le produit cette formule, appliqu\'ee $a$ fois sous cette forme et une fois avec $n$ remplac\'e par $n-\sigma$. Une fois ce produit d\'evelopp\'e, on utilise (comme dans \cite{Colmez})  la formule $\frac{1}{(k+j)(k+j')} = \frac{1}{(j'-j)(k+j)} + \frac{1}{(j-j')(k+j')}$ pour $j \neq j'$. Chaque application de cette formule fait appara\^{\i}tre un d\'enominateur, qui est un diviseur de $\textup{d}_n$. Apr\`es de multiples applications de cette formule, on arrive \`a une somme de la forme annonc\'ee dans   \eqref{eqdenomunevar}, et le coefficient $E_{j,s}^{(r)}$ est la somme de plusieurs termes qui proviennent tous d'au plus $A-s$ applications de cette formule. Ceci termine la preuve de \eqref{eqdenomunevar}, donc celle du lemme.

\section{D\'emonstration du th\'eor\`eme \ref{thconj3}  } \label{sec5}

Dans cette partie, on d\'emontre le  th\'eor\`eme \ref{thconj3}  par r\'ecurrence sur la profondeur. En th\'eorie, l'initialisation (\S \ref{subsec51}) et le c\oe ur de la r\'ecurrence (\S \ref{subsec54}) suffisent ; mais on d\'emontre aussi compl\`etement les cas $p=2$ (\S \ref{subsec52}) et $p=3$ (\S \ref{subsec53}) pour illustrer et motiver les constructions du paragraphe \ref{subsec54}.

C'est dans cette partie, et nulle part ailleurs, que l'hypoth\`ese ``$n$ est pair'' est utilis\'ee (voir la remarque \ref{rqparite} ci-dessous).

\subsection{Preuve du th\'eor\`eme \ref{thconj3}  en profondeur 1} \label{subsec51}

Quand $p=1$, le th\'eor\`eme \ref{thconj3} concerne des s\'eries de la forme
$$\sum_{k=1} ^N \Big(  \frac{1}{(k+j)^s} + \frac{(-1)^{s+1}}{(k+n-j)^s} \Big).$$
Si $s \geq 2$, on voit directement que cette somme vaut $(1+(-1)^{s+1}) \zeta(s) + \rho_{j,s} + \mathcal{O}(\frac{1}{N})$ avec $\textup{d}_n^s \rho_{j,s} \in \mathbb Z$, ce qui d\'emontre le th\'eor\`eme dans ce cas. Sinon, c'est-\`a-dire si $s=1$, cette somme vaut $2 H_N  +   \rho_{j,s} + \mathcal{O}(\frac{1}{N})$ avec $\textup{d}_n \rho_{j,s} \in \mathbb Z$, ce qui d\'emontre aussi le r\'esultat voulu puisque $\zeta _*(1)=0$.

Le th\'eor\`eme \ref{thconj3}  est donc d\'emontr\'e quand $p=1$.

\subsection{Preuve du th\'eor\`eme \ref{thconj3}  en profondeur 2} \label{subsec52}

Dans ce paragraphe, on suppose $p=2$ et on d\'emontre, par r\'ecurrence sur $(j_1,j_2)$, que le th\'eor\`eme \ref{thconj3}  est vrai pour tous $s_1, s_2$. L'entier  $n$ est fix\'e dans toute la preuve.

\smallskip

L'initialisation de cette r\'ecurrence est le cas o\`u $j_1 = j_2 = \frac{n}{2}$ (puisque $n$ est suppos\'e pair ; voir la remarque \ref{rqparite} ci-dessous).  La somme \eqref{eq4} est alors nulle si $s_1 $ ou $s_2$ est pair ; le r\'esultat du th\'eor\`eme \ref{thconj3} est trivial dans cette situation. On peut donc supposer que $s_1$ et $s_2$ sont impairs. La somme \eqref{eq4} vaut alors $4(\tau_{s_1, s_2} - \tau_{s_2, s_1})$, en posant
$$\tau_{s_1, s_2} = \sum_{N \geq k_1 \geq k_2 \geq 1} \frac{1}{(k_1 + \frac{n}{2})^{s_1}  (k_2 + \frac{n}{2})^{s_2}}.$$
Or on a
\begin{eqnarray*}
\tau_{s_1, s_2}
&=&  \sum_{N + \frac{n}{2} \geq \ell_1 \geq \ell_2 \geq  \frac{n}{2} + 1} \frac{1}{\ell_1^{s_1} \ell_2^{s_2}}\\
&=&  \sum_{N + \frac{n}{2} \geq \ell_1 > \ell_2 \geq  1} \frac{1}{\ell_1^{s_1} \ell_2^{s_2}}
+ \sum_{N + \frac{n}{2} \geq \ell  \geq  1} \frac{1}{\ell^{s_1+s_2}}
- \sum_{\ell_2 = 1} ^{n/2}
\frac{1}{\ell_2^{s_2}} \sum_{\ell_1 = \ell_2} ^{N + \frac{n}{2}} \frac{1}{\ell_1^{s_1}}.
\end{eqnarray*}
La proposition \ref{propstuffle} fournit un polyn\^ome $Q$ tel que, pour tout $\varepsilon > 0$, on ait quand $N$ tend vers l'infini :
$$\tau_{s_1, s_2}  = Q(H_N) +  \mathcal{O}_\varepsilon (N^{-1+\varepsilon})$$
avec
$$Q(0) = \zeta _* (s_1,s_2) + \zeta(s_1+s_2) - \Big( \sum_{\ell_2 = 1} ^{n/2} \frac{1}{\ell_2 ^{s_2}} \Big)  \zeta _*(s_1) + r ,$$
o\`u $\textup{d}_n ^{s_1+s_2} r \in \mathbb Z$ (ceci provient du fait que $ Q(H_{N+n/2}) = Q(H_N) +  \mathcal{O}_\varepsilon (N^{-1+\varepsilon})$).
Or $\zeta _*(1) = 0$ et $\zeta _*(s_1) = \zeta(s_1)$ pour $s_1 \geq 2$. \'donn\'e que la somme \eqref{eq4} vaut  $4(\tau_{s_1, s_2} - \tau_{s_2, s_1})$, cela d\'emontre le th\'eor\`eme \ref{thconj3}  quand $s_1$ et $s_2$ sont impairs, avec $j_1 = j_2 = n/2$. Cela termine la preuve de l'initialisation de la r\'ecurrence.

\bigskip

\begin{remark} \label{rqparite} Dans cette initialisation, on a suppos\'e que $n$ est pair. C'est le seul endroit dans cet article (avec les initialisations analogues en profondeurs $3$ et $p \geq 4$ aux paragraphes \ref{subsec53} et \ref{subsec54})  o\`u cette hypoth\`ese est utilis\'ee. Si on voulait d\'emontrer les m\^emes r\'esultats lorsque $n$ est impair, il suffirait de d\'emontrer cette initialisation dans ce cas. Bien entendu, on ne pourrait plus prendre $j_1 = j_2 = \frac{n}{2}$, donc les calculs seraient plus compliqu\'es. On pourrait par exemple choisir  $j_1 = j_2 =0$.
\end{remark}

\bigskip

 La suite de la d\'emonstration consiste \`a \'etablir le r\'esultat suivant pour tous $j_1  \in \{0,\ldots, n-1\}$ et $j_2 \in \{0,\ldots, n\}$  :
\begin{equation}  \label{eqrec2}
\left\{
\begin{array}{l}
\mbox{ le th\'eor\`eme \ref{thconj3}   est vrai pour le couple $(j_1, j_2)$, quels que soient  $s_1$ et $ s_2$}, \\
\quad \quad \mbox{ si, et seulement si, }\\
\mbox{il  est vrai pour le couple $(j_1+1, j_2)$, quels que soient  $s_1$ et $ s_2$}.
\end{array}
\right.
\end{equation}
En effet, supposons \eqref{eqrec2} \'etablie. Comme  le th\'eor\`eme  est vrai pour le couple $(j_1 = n/2, j_2 = n/2)$, il est vrai pour $(j_1, n/2)$ quel que soit $j_1 \in \{1,\ldots, n\}$ en utilisant \eqref{eqrec2}. Or quand on \'echange $j_1$ et $j_2$, ainsi que (simultan\'ement)$s_1$ et $s_2$, la somme \eqref{eq4} est chang\'ee en son oppos\'e. Donc  le th\'eor\`eme  est vrai pour $(j_1, j_2)$ et $(s_1, s_2)$ si, et seulement si, il est vrai pour $(j_2, j_1)$ et $(s_2, s_1)$. En particulier,  le th\'eor\`eme  est donc vrai
pour $(n/2, j_2)$ quel que soit $j_2 \in \{1,\ldots, n\}$, et quels que soient $s_1$ et $s_2$. En appliquant \`a nouveau \eqref{eqrec2}, on voit que  le th\'eor\`eme  est vrai pour tout couple $(j_1, j_2) \in \{1,\ldots, n\} ^2$.

Pour terminer la preuve du th\'eor\`eme \ref{thconj3}   en profondeur 2, il suffit donc d'\'etablir \eqref{eqrec2}.

\bigskip

Posons
$$K_N(j_1, j_2, s_1, s_2) = \sum_{N \geq k_1 \geq k_2 \geq 1}  \frac{1}{(k_1+j_1)^{s_1} (k_2+j_2)^{s_2}}.$$
Alors le th\'eor\`eme \ref{thconj3} concerne la somme
\begin{equation} \label{eq6}
\sum_{\varepsilon_1, \varepsilon_2 \in \Z / 2 \Z} \varepsilon_1 ^{s_1+1}  \varepsilon_2 ^{s_2+1}
\Big( K_N(\varepsilon_1 \cdot j_1, \varepsilon_2 \cdot  j_2, s_1, s_2) -
K_N(\varepsilon_2 \cdot j_2, \varepsilon_1 \cdot  j_1, s_2, s_1)  \Big) .
\end{equation}
Pour \'etablir \eqref{eqrec2}, il suffit de d\'emontrer que la diff\'erence entre \eqref{eq6} pour $(j_1+1, j_2)$ et  \eqref{eq6} pour $(j_1, j_2)$ est de la forme annonc\'ee dans le th\'eor\`eme \ref{thconj3}. Pour \'evaluer cette diff\'erence, on aura besoin des calculs suivants.

D'abord,
\begin{eqnarray}
\lefteqn{K_N(j'_1+1 , j'_2, s_1, s_2) - K_N(j'_1, j'_2, s_1, s_2)}\qquad \nonumber \\
&=& \sum_{N \geq k_1 \geq k_2 \geq 1} \frac{1}{(k_2+j'_2)^{s_2}} \Big(  \frac{1}{(k_1+j'_1+1)^{s_1}} -  \frac{1}{(k_1+j'_1)^{s_1}} \Big) \nonumber\\
&=& \sum_{k_2= 1} ^N  \frac{1}{(k_2+j'_2)^{s_2}}  \sum_{k_1 = k_2} ^N
\Big(  \frac{1}{(k_1+j'_1+1)^{s_1}} -  \frac{1}{(k_1+j'_1)^{s_1}} \Big) \nonumber\\
&=& \sum_{k_2= 1} ^N  \frac{1}{(k_2+j'_2)^{s_2}}
\Big(  \frac{1}{(N+j'_1+1)^{s_1}} -  \frac{1}{(k_2+j'_1)^{s_1}} \Big) \nonumber\\
&=& \mathcal{O} (\frac{\log N}{N}) - \sum_{k= 1} ^N  \frac{1}{(k+j'_1)^{s_1} (k+j'_2)^{s_2}}.   \label{eq7}
\end{eqnarray}
On peut en d\'eduire, ou bien d\'emontrer de mani\`ere analogue, la relation
\begin{multline}
K_N(j'_1-1 , j'_2, s_1, s_2) - K_N(j'_1, j'_2, s_1, s_2)
\\
= \sum_{k_2= 1} ^N  \frac{1}{(k_2+j'_2)^{s_2}}
\Big(  \frac{-1}{(N+j'_1)^{s_1}} +  \frac{1}{(k_2+j'_1-1)^{s_1}} \Big)
\\
= \mathcal{O} (\frac{\log N}{N}) + \sum_{k= 1} ^N  \frac{1}{(k+j'_1-1)^{s_1} (k+j'_2)^{s_2}}.  \label{eq8}
\end{multline}
On aura aussi besoin des relations suivantes, dont la preuve est analogue, et dans lesquelles c'est la deuxi\`eme variable que l'on modifie :
\begin{multline}
K_N(j'_2, j'_1+1 , s_2, s_1) - K_N(j'_2, j'_1, s_2, s_1)   \\
= \sum_{k= 1} ^N  \frac{1}{(k+j'_1+1)^{s_1} (k+j'_2)^{s_2}}
- \frac{1}{(j'_1+1)^{s_1}} \sum_{k=1}^N \frac{1}{(k+j'_2)^{s_2}}   \label{eq12}
\end{multline}
et
\begin{multline}
K_N(j'_2, j'_1-1 , s_2, s_1) - K_N(j'_2, j'_1, s_2, s_1)\\
= - \sum_{k= 1} ^N  \frac{1}{(k+j'_1)^{s_1} (k+j'_2)^{s_2}}
+ \frac{1}{{j'_1}^{s_1}} \sum_{k=1}^N \frac{1}{(k+j'_2)^{s_2}} .   \label{eq13}
\end{multline}

\bigskip

Posons
$$\Delta_{\varepsilon_1, \varepsilon_2} (j_1, j_2) =
K_N(\varepsilon_1 \cdot (j_1+1) , \varepsilon_2 \cdot  j_2, s_1, s_2)
- K_N(\varepsilon_1 \cdot j_1, \varepsilon_2 \cdot  j_2, s_1, s_2)$$
et
$$ \widetilde{\Delta}_{\varepsilon_1, \varepsilon_2} (j_1, j_2) =
K_N(\varepsilon_2 \cdot j_2 , \varepsilon_1 \cdot ( j_1+1), s_2, s_1)
-K_N(\varepsilon_2 \cdot j_2 , \varepsilon_1 \cdot  j_1, s_2, s_1). $$
Avec ces notations, la diff\'erence entre \eqref{eq6} pour $(j_1+1, j_2)$ et  \eqref{eq6} pour $(j_1, j_2)$ (que l'on cherche \`a \'evaluer) est
\begin{equation} \label{eq11}
\sum_{\varepsilon_1, \varepsilon_2 \in \Z / 2 \Z} \varepsilon_1 ^{s_1+1}  \varepsilon_2 ^{s_2+1}
\Big(  \Delta_{\varepsilon_1, \varepsilon_2} (j_1, j_2)
-  \widetilde{\Delta}_{\varepsilon_1, \varepsilon_2} (j_1, j_2)    \Big) .
\end{equation}
Or on a :
$$\varepsilon_1 \cdot ( j_1+1) =
\left\{
\begin{array}{l}
(\varepsilon_1 \cdot j_1) + 1 \mbox{ si } \varepsilon_1 = +1 \\
(\varepsilon_1 \cdot j_1) - 1 \mbox{ si } \varepsilon_1 = -1.
\end{array}
\right.
$$
En utilisant successivement deux fois \eqref{eq7}, deux fois \eqref{eq8}, deux fois \eqref{eq12} et deux fois \eqref{eq13}, on voit que \eqref{eq11} est la somme des huit termes suivants :
\begin{align}
\Delta_{+1, +1 } (j_1, j_2)
&= - \sum_{k= 1} ^N  \frac{1}{(k+j_1)^{s_1} (k+j_2)^{s_2}}  +  \mathcal{O} (\frac{\log N}{N}) ,
														\label{eq14}\\
(-1)^{s_2+1} \Delta_{+1, -1 } (j_1, j_2)
&= (-1)^{s_2} \sum_{k= 1} ^N  \frac{1}{(k+j_1)^{s_1} (k+n-j_2)^{s_2}}  +  \mathcal{O} (\frac{\log N}{N}) ,
														\label{eq15}\\
(-1)^{s_1+1} \Delta_{-1, +1 } (j_1, j_2)
&= (-1)^{s_1+1} \sum_{k= 1} ^N  \frac{1}{(k+n-j_1-1)^{s_1} (k+j_2)^{s_2}}  +  \mathcal{O} (\frac{\log N}{N}) ,
														\label{eq16}\\
(-1)^{s_1+s_2} \Delta_{-1, -1 } (j_1, j_2)
&= (-1)^{s_1+s_2} \sum_{k= 1} ^N  \frac{1}{(k+n-j_1-1)^{s_1} (k+n-j_2)^{s_2}} \label{eq17}
\\
& \hspace{7.5cm}  +
\mathcal{O} (\frac{\log N}{N}),  \nonumber
\end{align}
\begin{equation}
- \widetilde{\Delta}_{+1, +1 } (j_1, j_2)
= - \sum_{k= 1} ^N  \frac{1}{(k+j_1+1)^{s_1} (k+j_2)^{s_2}}  +
\frac{1}{(j_1+1)^{s_1}} \sum_{k=1} ^N \frac{1}{(k+j_2)^{s_2}},	\label{eq18}
\end{equation}
\begin{multline}
(-1)^{s_2} \widetilde{\Delta}_{+1, -1 } (j_1, j_2)
\\
= (-1)^{s_2} \sum_{k= 1} ^N  \frac{1}{(k+j_1+1)^{s_1} (k+n-j_2)^{s_2}}  +
\frac{(-1)^{s_2+1}}{(j_1+1)^{s_1}} \sum_{k=1} ^N \frac{1}{(k+n-j_2)^{s_2}},
\label{eq19}
\end{multline}
\begin{multline}
(-1)^{s_1} \widetilde{\Delta}_{-1, +1 } (j_1, j_2)
\\
= (-1)^{s_1+1} \sum_{k= 1} ^N  \frac{1}{(k+n-j_1)^{s_1} (k+j_2)^{s_2}}  +
\frac{(-1)^{s_1}}{(n-j_1)^{s_1}} \sum_{k=1} ^N \frac{1}{(k+j_2)^{s_2}},	\label{eq20}
\end{multline}
\begin{multline}
(-1)^{s_1+s_2+1} \widetilde{\Delta}_{-1, -1 } (j_1, j_2)
\\
= (-1)^{s_1+s_2} \sum_{k= 1} ^N  \frac{1}{(k+n-j_1)^{s_1} (k+n-j_2)^{s_2}}  +
\frac{(-1)^{s_1+s_2+1}}{(n-j_1)^{s_1}} \sum_{k=1} ^N \frac{1}{(k+n-j_2)^{s_2}}. 	\label{eq21}
\end{multline}

On va montrer que la somme de ces huit quantit\'es est bien de la forme voulue, c'est-\`a-dire s'\'ecrit $Q(H_N) + \mathcal{O}_{\varepsilon} (N^{-1+\varepsilon})$ pour un certain polyn\^ome $Q$ dont la valeur en 0 est une combinaison lin\'eaire des polyz\^etas autoris\'es. Pour cela, on groupe les termes de la mani\`ere suivante :
\begin{enumerate}
\item Le premier terme de  \eqref{eq18} avec \eqref{eq17}.
\item Le premier terme de  \eqref{eq19} avec \eqref{eq16}.
\item Le premier terme de  \eqref{eq20} avec \eqref{eq15}.
\item Le premier terme de  \eqref{eq21} avec \eqref{eq14}.
\item Le second terme de  \eqref{eq18} avec celui de \eqref{eq19}.
\item Le second terme de  \eqref{eq20} avec celui de \eqref{eq21}.
\end{enumerate}
Pour chacun de ces six groupements, il suffit d'appliquer le th\'eor\`eme \ref{thconj2} en profondeur 1 (c'est-\`a-dire essentiellement le th\'eor\`eme \ref{thwp}, qui est le ph\'enom\`ene de sym\'etrie habituel : voir \S \ref{subsec51}) pour conclure.

\bigskip

Ceci termine la preuve de le th\'eor\`eme \ref{thconj3} en profondeur 2.

\subsection{Preuve du th\'eor\`eme \ref{thconj3}  en profondeur 3} \label{subsec53}

On proc\`ede par r\'ecurrence, comme au paragraphe \ref{subsec52}.

Pour initialiser la r\'ecurrence, on consid\`ere (puisque $n$ est suppos\'e pair, voir la remarque \ref{rqparite}) le cas o\`u $j_1 = j_2 = j_3 = n/2$. Dans ce cas, \eqref{eq4} vaut 0 si l'un au moins des $s_i$ est pair. Il ne reste donc \`a traiter que le cas o\`u les trois $s_i$ sont impairs. Dans ce cas, on a :
$$\eqref{eq4} = 8 \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_3} \varepsilon_\sigma \tau_{s_{\sigma(1)},s_{\sigma(2)}, s_{\sigma(3)}}$$
avec
$$\tau_{s_1, s_2,s_3} = \sum_{N \geq k_1 \geq k_2 \geq k_3 \geq 1} \frac{1}{(k_1 + \frac{n}{2})^{s_1}  (k_2 + \frac{n}{2})^{s_2}  (k_3 + \frac{n}{2})^{s_3}   }.$$
Or on a
\begin{eqnarray*}
\tau_{s_1, s_2, s_3}
&=&  \sum_{N + \frac{n}{2} \geq \ell_1 \geq \ell_2  \geq \ell_3 \geq  \frac{n}{2} + 1} \frac{1}{\ell_1^{s_1} \ell_2^{s_2}  \ell_3^{s_3}   }\\
&=&  \sum_{N + \frac{n}{2} \geq \ell_1 \geq \ell_2  \geq \ell_3 \geq   1} \frac{1}{\ell_1^{s_1} \ell_2^{s_2}  \ell_3^{s_3}   } -   \sum_{\ell_3 = 1} ^{n/2}  \frac{1}{\ell_3^{s_3}}
 \sum_{N + \frac{n}{2} \geq \ell_1 \geq \ell_2 \geq  \ell_3} \frac{1}{\ell_1^{s_1} \ell_2^{s_2}}  \\
&=&  \sum_{N + \frac{n}{2} \geq \ell_1 \geq \ell_2  \geq \ell_3 \geq   1} \frac{1}{\ell_1^{s_1} \ell_2^{s_2}  \ell_3^{s_3}   } -  \Big(  \sum_{\ell_3 = 1} ^{n/2}  \frac{1}{\ell_3^{s_3}}   \Big)
 \sum_{N + \frac{n}{2} \geq \ell_1 \geq \ell_2 \geq  1} \frac{1}{\ell_1^{s_1} \ell_2^{s_2}} \\
&& \quad +  \Big( \sum_{\frac{n}{2} \geq \ell_3 > \ell_2 \geq  1} \frac{1}{\ell_3^{s_3} \ell_2^{s_2}} \Big)
 \sum_{\ell_1 = 1} ^{N + n/2}  \frac{1}{\ell_1^{s_1}}
 -   \sum_{ \frac{n}{2} \geq  \ell_3 >  \ell_2 >  \ell_1 \geq  1} \frac{1}{\ell_3^{s_3} \ell_2^{s_2}  \ell_1^{s_1}   }
\end{eqnarray*}
donc $ \tau_{s_1, s_2, s_3}  = Q(H_N) + \gdo_\eps (N^{-1+\eps})$ pour un certain polyn\^ome $Q$ tel que (d'apr\`es la proposition \ref{propstuffle}) :
\begin{eqnarray*}
Q(0) &=& \zeta _*(s_1,s_2,s_3) + \zeta(s_1+s_2, s_3) + \zeta _*(s_1, s_2+s_3) + \zeta(s_1+s_2+s_3)\\
&& - \Big( \sum_{\ell_3 = 1} ^{n/2} \frac{1}{\ell_3^{s_3}} \Big)
\Big( \zeta _* (s_1, s_2) +  \zeta (s_1+s_2) \Big)  + \chi(s_3, s_2) \zeta _*(s_1)
-   \sum_{ \frac{n}{2} \geq  \ell_3 >  \ell_2 >  \ell_1 \geq  1} \frac{1}{\ell_3^{s_3} \ell_2^{s_2}  \ell_1^{s_1} }
\end{eqnarray*}
en posant
$$\chi(s_3, s_2)  = \sum_{\frac{n}{2} \geq \ell_3 > \ell_2 \geq  1} \frac{1}{\ell_3^{s_3} \ell_2^{s_2}}.$$
Ainsi, on obtient que \eqref{eq4} s'\'ecrit sous la forme $Q_1(H_N) + \gdo_\eps (N^{-1+\eps})$ pour un certain polyn\^ome $Q_1$ tel que
\begin{multline*}
Q_1(0)
= 8 \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_3} \varepsilon_\sigma \zeta _* (s_{\sigma(1)},s_{\sigma(2)}, s_{\sigma(3)})
 - 8 \Big( \sum_{\ell = 1} ^{n/2} \frac{1}{\ell^{s_3}} \Big) \Big( \zeta _* (s_1, s_2)
 -  \zeta _* (s_2, s_1) \Big)
\\
 + 8 \Big( \sum_{\ell = 1} ^{n/2} \frac{1}{\ell^{s_2}} \Big) \Big( \zeta _* (s_1, s_3)  -  \zeta _* (s_3, s_1) \Big)
 - 8 \Big( \sum_{\ell = 1} ^{n/2} \frac{1}{\ell^{s_1}} \Big) \Big( \zeta _* (s_2, s_3)  -  \zeta _* (s_3, s_2) \Big)
\\
+ 8 \Big( \chi(s_3, s_2) - \chi(s_2, s_3)  \Big)  \zeta _*(s_1)
 - 8 \Big( \chi(s_3, s_1) - \chi(s_1, s_3)  \Big)  \zeta _*(s_2)
\\
- 8 \Big( \chi(s_1, s_2) - \chi(s_2, s_1)  \Big)  \zeta _*(s_3)
- 8  \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_3} \varepsilon_\sigma
 \sum_{ \frac{n}{2} \geq  \ell_3 >  \ell_2 >  \ell_1 \geq  1} \frac{1}{\ell_3^{s_{\sigma(3)}} \ell_2^{s_{\sigma(2)}}  \ell_1^{s_{\sigma(1)}}}.
\end{multline*}
 Ceci termine l'initialisation de la r\'ecurrence.

 \bigskip

D\'emontrons maintenant l'h\'er\'edit\'e. Pour raccourcir les notations, on pose $\underline{j} = (j_1, j_2, j_3)$, $\underline{s} = (s_1, s_2, s_3)$ et $\underline{\eps} = (\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3)$. La preuve est parall\`ele \`a celle dans le cas de la profondeur 2 (\S  \ref{subsec52}), mais le groupement des termes qui permet de conclure est plus compliqu\'e.

On pose
$$K_N(\underline{j}, \underline{s}) = \sum_{N \geq k_1 \geq k_2  \geq k_3  \geq 1}  \frac{1}{(k_1+j_1)^{s_1} (k_2+j_2)^{s_2} (k_3+j_3)^{s_3}}$$
puis, pour $\sigma \in \mathfrak{S}_3$ :
$$K_N^\sigma (\underline{j}, \underline{s})  = K_N (j_{\sigma(1)}, j_{\sigma(2)}, j_{\sigma(3)}, s_{\sigma(1)}, s_{\sigma(2)}, s_{\sigma(3)})$$
de telle sorte que $K_N^{{\rm Id}} (\underline{j}, \underline{s}) = K_N  (\underline{j}, \underline{s}) $. Puisque $\varepsilon_{\sigma^{-1}} = \varepsilon_{\sigma}$, on a :
$$\eqref{eq4} = \sum_{\underline{\eps} \in (\Z / 2 \Z)^3} \underline{\eps} ^{\underline{s} + 1} \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_3} \varepsilon_\sigma
K_N^\sigma (\varepsilon_1 \cdot j_1, \varepsilon_2 \cdot j_2, \varepsilon_3 \cdot j_3, \underline{s})$$
o\`u on note
$\underline{\eps} ^{\underline{s} + 1}  = \varepsilon_1 ^{s_1+ 1} \varepsilon_2 ^{s_2+ 1} \varepsilon_3 ^{s_3+ 1} .$
On pose aussi
$$\Delta_{\underline{\eps}} ^\sigma (\underline{j}) =
K_N^\sigma (\varepsilon_1 \cdot (j_1+1), \varepsilon_2 \cdot j_2, \varepsilon_3 \cdot j_3, \underline{s})
- K_N^\sigma (\varepsilon_1 \cdot j_1, \varepsilon_2 \cdot j_2, \varepsilon_3 \cdot j_3, \underline{s}).$$
Alors la diff\'erence entre \eqref{eq4} pour $(j_1+1, j_2, j_3)$ et \eqref{eq4} pour $(j_1, j_2, j_3)$ est :
\begin{equation} \label{eq12nv}
\sum_{\underline{\eps} \in (\Z / 2 \Z)^3} \underline{\eps} ^{\underline{s} + 1} \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_3} \varepsilon_\sigma \Delta_{\underline{\eps}} ^\sigma (\underline{j}) .
\end{equation}
La suite de la preuve est consacr\'ee \`a \eqref{eq12nv} : il s'agit de montrer que cette somme est de la forme voulue, ce qui terminera la r\'ecurrence (de mani\`ere analogue \`a \eqref{eqrec2} dans le cas de la profondeur 2). Cette somme comprend 48 termes. Dans un premier temps, on fixe $\underline{\eps} \in (\Z / 2 \Z)^3$ et on explicite les 6 termes correspondants. Pour cela, on pose $j'_1 = \varepsilon_1 \cdot j_1$, $j'_2 = \varepsilon_2 \cdot j_2$,  $j'_3 = \varepsilon_3 \cdot j_3$. Supposons d'abord que $\varepsilon_1 =  + 1$ ; on a dans ce cas $\varepsilon_1 \cdot (j_1+1) = j'_1 + 1$, et les six termes qui apparaissent correspondent aux formules  \eqref{eq7} et \eqref{eq12} du \S \ref{subsec52}.

Commen\c cons par le terme qui provient du 3-cycle (123), qui envoie 1 sur 2, 2 sur 3 et 3 sur 1 :
\begin{eqnarray}
\lefteqn{\Delta_{\underline{\eps}} ^{(123)} (\underline{j})}\nonumber \qquad \\
&=& K_N(j'_2 , j'_3, j'_1+1,  s_2, s_3, s_1) - K_N(j'_2 , j'_3, j'_1,  s_2, s_3, s_1) \nonumber \\
&=& \sum_{N \geq k_1 \geq k_2 \geq k_3 \geq 1} \frac{1}{(k_1+j'_2)^{s_2}(k_2+j'_3)^{s_3}} \Big(  \frac{1}{(k_3+j'_1+1)^{s_1}} -  \frac{1}{(k_3+j'_1)^{s_1}} \Big) \nonumber\\
&=& \sum_{N \geq k_1 \geq k_2  \geq 1} \frac{1}{(k_1+j'_2)^{s_2}(k_2+j'_3)^{s_3}} \Big(
\frac{1}{(k_2+j'_1+1)^{s_1}} -  \frac{1}{(j'_1+1)^{s_1}} \Big) \nonumber\\
&=& \sum_{N \geq k \geq \ell  \geq 1} \frac{1}{(\ell+j'_1+1)^{s_1}(k+j'_2)^{s_2}(\ell+j'_3)^{s_3}}  \nonumber\\
&& \hspace{4cm} - \frac{1}{(j'_1+1)^{s_1}}  \sum_{N \geq k \geq \ell  \geq 1} \frac{1}{(k+j'_2)^{s_2}(\ell+j'_3)^{s_3}} .
															\label{eq30}
\end{eqnarray}
Ce terme appara\^{\i}t dans la somme \eqref{eq12nv} avec le coefficient $\underline{\eps}^{\underline{s}+1}$ (sous l'hypoth\`ese que $\varepsilon_1  = +1$), de m\^eme que les cinq termes suivants, qui se calculent de mani\`ere analogue :
\begin{align}
 \Delta_{\underline{\eps}} ^{{\rm Id}} (\underline{j})
&= -  \sum_{N \geq k \geq \ell  \geq 1} \frac{1}{(k+j'_1)^{s_1}(k+j'_2)^{s_2}(\ell+j'_3)^{s_3}}
+ \mathcal{O} ( \frac{\log^2 N}{N})\label{eq34}  \\
- \Delta_{\underline{\eps}} ^{(23)} (\underline{j})
&=  \sum_{N \geq k \geq \ell  \geq 1} \frac{1}{(k+j'_1)^{s_1}(\ell +j'_2)^{s_2}(k+j'_3)^{s_3}}
+ \mathcal{O} ( \frac{\log^2 N}{N})  \label{eq33}  \\
- \Delta_{\underline{\eps}} ^{(13)} (\underline{j})
&= -  \sum_{N \geq k \geq \ell  \geq 1} \frac{1}{(\ell+j'_1+1)^{s_1}(\ell+j'_2)^{s_2}(k+j'_3)^{s_3}} \label{eq32} \\
& \qquad \qquad + \frac{1}{(j'_1+1)^{s_1}}  \sum_{N \geq k \geq \ell  \geq 1} \frac{1}{(\ell+j'_2)^{s_2}(k+j'_3)^{s_3}}	\nonumber
\end{align}
\begin{align}
- \Delta_{\underline{\eps}} ^{(12)} (\underline{j})
&= -  \sum_{N \geq k \geq \ell  \geq 1} \frac{1}{(k+j'_1+1)^{s_1}(k+j'_2)^{s_2}(\ell+j'_3)^{s_3}} \label{eq31} \\
& \qquad \qquad +    \sum_{N \geq k \geq \ell  \geq 1} \frac{1}{(\ell+j'_1)^{s_1}(k+j'_2)^{s_2}(\ell+j'_3)^{s}}\nonumber
\\
\Delta_{\underline{\eps}} ^{(132)} (\underline{j})
&=   \sum_{N \geq k \geq \ell  \geq 1} \frac{1}{(k+j'_1+1)^{s_1}(\ell+j'_2)^{s_2}(k+j'_3)^{s_3}} 	\label{eq35} \\
&  \qquad \qquad -    \sum_{N \geq k \geq \ell  \geq 1} \frac{1}{(\ell+j'_1)^{s_1}(\ell+j'_2)^{s_2}(k+j'_3)^{s_3}} .	\nonumber
\end{align}
Si $\varepsilon_1=-1$, il suffit de prendre l'oppos\'e du membre de droite, et d'y remplacer $j'_1$ par $j'_1-1$, pour que les formules \eqref{eq30} \`a \eqref{eq35} soient correctes. Les formules ainsi obtenues sont les analogues de \eqref{eq8} et \eqref{eq13} (au \S \ref{subsec52}).
Pour ne pas  avoir \`a distinguer suivant la valeur de $\varepsilon_1$, on aurait pu multiplier le membre de droite par $\varepsilon_1$, et y remplacer $j'_1$ par $j'_1+\frac{\eps_1-1}{2}$. Gr\^ace \`a ces modifications, les formules
 \eqref{eq30} \`a \eqref{eq35} auraient \'et\'e valables quel que soit $\varepsilon_1$ ; on utilisera cette convention dans la suite.

Pour exprimer \eqref{eq12nv} sous une forme exploitable, on groupe deux par deux les termes obtenus, par les formules  \eqref{eq30} \`a \eqref{eq35}, \`a partir des 48 termes de la somme \eqref{eq12nv}. Comme \eqref{eq30} et \eqref{eq33} ne donnent qu'un terme (\`a part le terme d'erreur, qu'on omet dans toute la suite des calculs), et que \eqref{eq34}, \eqref{eq32}, \eqref{eq31} et \eqref{eq35} en donnent deux, on \'ecrit ainsi \eqref{eq12nv} comme une somme de $8 \times 10 = 80$ termes. On va maintenant expliciter ces 40 groupes de 2 termes.

Soit $\underline{\eps} \in (\Z / 2 \Z)^3$. On pose comme ci-dessus $j'_1 = \varepsilon_1 \cdot j_1$, $j'_2 = \varepsilon_2 \cdot j_2$,  $j'_3 = \varepsilon_3 \cdot j_3$.  Les 5 groupes qui correspondent \`a $\underline{\eps}$ sont les suivants :
\begin{enumerate}
\item On regroupe le deuxi\`eme terme de \eqref{eq30} avec celui de \eqref{eq32}, ce qui donne
\begin{equation} \label{eq36}
\varepsilon_1 \underline{\eps}^{\underline{s}+1}  \frac{1}{(j'_1+\frac{\eps_1-1}{2} +1)^{s_1}}  \sum_{N \geq k \geq \ell  \geq 1} \Big( \frac{1}{(\ell+j'_2)^{s_2}(k+j'_3)^{s_3}} - \frac{1}{(k+j'_2)^{s_2}(\ell+j'_3)^{s_3}} \Big).
\end{equation}
\item On regroupe   le deuxi\`eme terme de \eqref{eq31} avec le premier terme  de \eqref{eq33} ; en
d\'ecouplant la sommation sur $k$ et $\ell$, on obtient en omettant le terme d'erreur
\begin{multline}
\varepsilon_1 \underline{\eps}^{\underline{s}+1}
  \sum_{ k=1} ^N   \sum_{ \ell=1} ^N  \frac{1}{(k+j'_1+\frac{\eps_1-1}{2})^{s_1}(\ell+j'_2)^{s_2}(k+j'_3)^{s_3}}
\\
+ \varepsilon_1 \underline{\eps}^{\underline{s}+1}
  \sum_{ k=1} ^N  \frac{1}{(k+j'_1+\frac{\eps_1-1}{2})^{s_1}(k+j'_2)^{s_2}(k+j'_3)^{s_3}}.  \label{eq37}
\end{multline}
\item On regroupe   le deuxi\`eme terme de \eqref{eq35} avec le premier terme
de \eqref{eq34} ; en d\'ecouplant la sommation, on obtient (en omettant le terme d'erreur)
\begin{multline}
-\varepsilon_1 \underline{\eps}^{\underline{s}+1}
  \sum_{ k=1} ^N   \sum_{ \ell=1} ^N  \frac{1}{(k+j'_1+\frac{\eps_1-1}{2})^{s_1}(k+j'_2)^{s_2}(\ell+j'_3)^{s_3}}  \label{eq38}\\
- \varepsilon_1 \underline{\eps}^{\underline{s}+1}
  \sum_{ k=1} ^N  \frac{1}{(k+j'_1+\frac{\eps_1-1}{2})^{s_1}(k+j'_2)^{s_2}(k+j'_3)^{s_3}}.
\end{multline}
\item On regroupe   le premier  terme de \eqref{eq31} avec celui de \eqref{eq32}, d'o\`u :
\begin{multline}
-\varepsilon_1 \underline{\eps}^{\underline{s}+1}
  \sum_{ k=1} ^N   \sum_{ \ell=1} ^N  \frac{1}{(k+j'_1+\frac{\eps_1-1}{2}+1)^{s_1}(k+j'_2)^{s_2}(\ell+j'_3)^{s_3}} \label{eq39} \\
- \varepsilon_1 \underline{\eps}^{\underline{s}+1}
  \sum_{ k=1} ^N  \frac{1}{(k+j'_1+\frac{\eps_1-1}{2}+1)^{s_1}(k+j'_2)^{s_2}(k+j'_3)^{s_3}},
\end{multline}
qui se trouve \^etre la m\^eme \'equation que \eqref{eq38} mais avec $j'_1$ remplac\'e par $j'_1+1$ (et sans terme d'erreur \`a omettre).
\item On regroupe   le premier  terme de \eqref{eq30} avec celui de \eqref{eq35}, d'o\`u :
\begin{multline}
\varepsilon_1 \underline{\eps}^{\underline{s}+1}
  \sum_{ k=1} ^N   \sum_{ \ell=1} ^N  \frac{1}{(k+j'_1+\frac{\eps_1-1}{2}+1)^{s_1}(\ell+j'_2)^{s_2}(k+j'_3)^{s_3}}  \label{eq40}\\
+ \varepsilon_1 \underline{\eps}^{\underline{s}+1}
  \sum_{ k=1} ^N  \frac{1}{(k+j'_1+\frac{\eps_1-1}{2}+1)^{s_1}(k+j'_2)^{s_2}(k+j'_3)^{s_3}}
\end{multline}
qui est la m\^eme \'equation que \eqref{eq37} mais avec $j'_1$ remplac\'e par $j'_1+1$ (et sans terme d'erreur \`a omettre).
\end{enumerate}

\bigskip

Pour parvenir \`a la conclusion cherch\'ee, il suffit d'effectuer les groupements suivants, et de constater que chacun d'eux est de la forme voulue :
\begin{itemize}
\item Pour tout $\varepsilon_1 \in \Z / 2 \Z$, on regroupe la somme \eqref{eq36} correspondant aux triplets $(\varepsilon_1, 1, 1)$, $(\varepsilon_1, 1, -1)$, $(\varepsilon_1, -1, 1)$ et  $(\varepsilon_1, -1, -1)$. La somme de ces quatre termes vaut
\begin{multline*}
\frac{\varepsilon_1^{s_1} }{(j'_1+\frac{\eps_1-1}{2} +1)^{s_1}}
\bigg(\sum_{\varepsilon_2, \varepsilon_3 \in \Z / 2 \Z} \varepsilon_2^{s_2+1} \varepsilon_3^{s_3+1}
\\
\cdot \sum_{N \geq k \geq \ell  \geq 1} \Big( \frac{1}{(\ell+\varepsilon_2
\cdot j_2)^{s_2}(k+\varepsilon_3 \cdot j_3)^{s_3}} - \frac{1}{(k+\varepsilon_2 \cdot j_2)^{s_2}(\ell+\varepsilon_3 \cdot j_3)^{s_3}} \Big)\bigg)
\end{multline*}
Le th\'eor\`eme \ref{thconj3} (d\'emontr\'e en profondeur 2 au \S \ref{subsec52}) s'applique \`a cette somme, et montre qu'elle s'\'ecrit $Q (H_N) + \mathcal{O}_\varepsilon (N^{-1+\varepsilon})$, o\`u $Q(0)$ est une combinaison lin\'eaire (\`a coefficients dans $\textup{d}_n ^{-(s_2+s_3)} \mathbb Z$) de 1, de valeurs de $\zeta$ en des entiers impairs $s$ compris entre 3 et $s_2+s_3$, et de $\zeta _*(s_3, s_2) - \zeta _*(s_2, s_3)$. En outre ce polyz\^eta antisym\'etrique appara\^{\i}t avec un coefficient nul si $s_2$ ou $s_3$ est pair, et avec un coefficient
$4 \varepsilon_1^{s_1} \frac{1}{(j'_1+\frac{\eps_1-1}{2} +1)^{s_1}}   $ si $s_2$ et $s_3$ sont impairs. Dans ce dernier cas, en sommant sur $\varepsilon_1 \in \Z / 2 \Z$ on obtient finalement un coefficient
$$4 \Big(  \frac{1}{(j_1 +1)^{s_1}} +   \frac{(-1)^{s_1}}{(n-j_1) ^{s_1}}  \Big)$$
qui permet de justifier la remarque qui suit l'\'enonc\'e du th\'eor\`eme.
\item Pour tout $(\varepsilon_1, \varepsilon_3)  \in (\Z / 2 \Z)^2$, on regroupe la somme double de \eqref{eq37} pour $(\varepsilon_1, 1 , \varepsilon_3)$ avec celle pour $(\varepsilon_1, -1 , \varepsilon_3)$, et avec  la somme double de \eqref{eq40} relative \`a $(-\varepsilon_1, 1 , -\varepsilon_3)$ et celle relative \`a $(-\varepsilon_1,-1, -\varepsilon_3)$. La contribution globale de ces 4 sommes doubles est, en notant g\'en\'eriquement $(\eta_1\varepsilon_1, \eta_2, \eta_1\varepsilon_3)$ les quatre triplets $\underline{\eps}$ qui interviennent   :
\begin{multline*}
\varepsilon_1^{s_1}  \varepsilon_3^{s_3+1} \bigg(
\sum_{\eta_1, \eta_2 \in \Z / 2 \Z}
\eta_1^{s_1+s_3+1} \eta_2 ^{s_2+1} \\
\cdot
  \sum_{ k=1} ^N   \sum_{ \ell=1} ^N  \frac{1}{(k+\eta_1 \cdot (j'_1+\frac{\eps_1-1}{2}))^{s_1}(\ell+\eta_2 \cdot j_2)^{s_2}(k+\eta_1 \cdot j'_3)^{s_3}}\bigg).
\end{multline*}
Cette somme double se scinde sous la forme suivante :
\begin{multline} \label{eq41}
\varepsilon_1^{s_1}  \varepsilon_3^{s_3+1}
\Big(   \sum_{ k=1} ^N \sum_{\eta_1  \in \Z / 2 \Z}
 \frac{\eta_1^{s_1+s_3+1}  }{(k+\eta_1 \cdot (j'_1+\frac{\eps_1-1}{2}))^{s_1} (k+\eta_1 \cdot j'_3)^{s_3}} \Big)
\\
\cdot \Big(    \sum_{ \ell=1} ^N \sum_{\eta_2 \in \Z / 2 \Z}
   \frac{  \eta_2 ^{s_2+1}}{ (\ell+\eta_2 \cdot j_2)^{s_2} } \Big).
\end{multline}
D'apr\`es le th\'eor\`eme \ref{thconj3} (d\'emontr\'ee en profondeur 1), la deuxi\`eme somme s'\'ecrit sous la forme $A_1(H_N) + \gdo_\eps (N^{-1+\eps})$ o\`u $A_1$ est un polyn\^ome tel que $A_1(0)$ soit une combinaison lin\'eaire de 1 et de valeurs de $\zeta$ en des entiers $s$ impairs compris entre 3 et $s_2$, puisque $\zeta _*(1)=0$. En outre $\textup{d}_n^{s_2}$ est un d\'enominateur commun des coefficients de cette combinaison lin\'eaire. Enfin on a d\'emontr\'e au paragraphe \ref{subsec51} que $A_1(0) \in \mathbb Q$ si $s_2$ est pair, et $A_1(0) \in \mathbb Q + \mathbb Q \zeta(s_2)$ si $s_2$ est impair ; mais cette pr\'ecision suppl\'ementaire est inutile ici.

Pour la premi\`ere somme de \eqref{eq41},  on applique le th\'eor\`eme \ref{thconj2}, d\'emontr\'e en profondeur 1 (voir \S \S  \ref{subsec41} et \ref{subsec51}) : cette somme s'\'ecrit  sous la forme $A_2(H_N) + \gdo_\eps (N^{-1+\eps})$ o\`u $A_2$ est un polyn\^ome tel que $A_2(0)$ soit une combinaison lin\'eaire de 1 et de valeurs de $\zeta$ en des entiers $s$ impairs compris entre 3 et $s_1+s_3$. En outre $\textup{d}_n ^{s_1+s_3}$ est un d\'enominateur commun des coefficients de cette combinaison lin\'eaire.

Comme la divergence logarithmique de $H_N$ est compens\'ee par le $N^\varepsilon$ du terme d'erreur, on peut faire le produit des deux expressions pr\'ec\'edentes et obtenir
$$ \eqref{eq41}  = \varepsilon_1 \underline{\eps}^{\underline{s}+1}  (A_1A_2)(H_N) + \gdo_\eps (N^{-1+\eps}) . $$
En outre, $A_1A_2(0)$ est une combinaison lin\'eaire de termes de la forme 1, $\zeta(s')$,  $\zeta(s'')$ ou  $\zeta(s') \zeta(s'')$, avec $s'$, $s''$ impairs et $3 \leq s' \leq s_1+s_3$, $3 \leq s'' \leq s_2$ ; et $\textup{d}_n ^{s_1+s_2+s_3}$ est un d\'enominateur commun des coefficients.
\item  Pour tout $(\varepsilon_1, \varepsilon_2)  \in (\Z / 2 \Z)^2$, on regroupe la somme double de \eqref{eq38} pour $(\varepsilon_1,  \varepsilon_2, 1)$ avec celle pour $(\varepsilon_1, \varepsilon_2, -1)$, et avec  la somme double de \eqref{eq39} relative \`a $(-\varepsilon_1 , -\varepsilon_2, 1)$ et celle relative \`a $(-\varepsilon_1, -\varepsilon_2, -1)$. Le m\^eme ph\'enom\`ene que pr\'ec\'edemment se produit.
\item Pour tout $\underline{\eps} \in (\Z / 2 \Z)^3$, la somme simple de \eqref{eq37} et celle de \eqref{eq38} (pour cette m\^eme valeur de $\underline{\eps}$) sont oppos\'ees donc leurs contributions \`a \eqref{eq12nv} s'annulent.
\item De m\^eme, la somme simple de \eqref{eq39} et celle de \eqref{eq40} s'annulent pour tout $\underline{\eps} \in (\Z / 2 \Z)^3$.
 \end{itemize}

\subsection{Preuve du th\'eor\`eme \ref{thconj3}  en profondeur quelconque}  \label{subsec54}

Dans ce paragraphe, on d\'emontre le th\'eor\`eme \ref{thconj3} en profondeur $p \geq 4$ en supposant (par r\'ecurrence) qu'il est vrai en profondeurs $p-2$ et $p-1$. En fait cette preuve fonctionne aussi quand $p=2$ et $p=3$ ; on retrouve alors les d\'emonstrations des deux paragraphes pr\'ec\'edents, \`a condition d'\^etre attentif aux conventions quand on somme sur des ensembles vides.
Notamment, \`a la convention habituelle
$$\sum_{k \in \emptyset } f(k) = 0$$
on adjoint la convention
$$\sum_{k_1 \geq \ldots \geq k_r \geq 1} f(k_1, \ldots, k_r) = 1 \mbox{ pour } r = 0$$
car cette somme porte sur un ensemble vide de variables (par opposition \`a la pr\'ec\'edente, o\`u une variable parcourait un ensemble vide).

\bigskip

L'initialisation de la r\'ecurrence se fait de mani\`ere tout \`a fait analogue au cas des profondeurs 2 et 3 : puisque $n$ est suppos\'e pair (voir la remarque \ref{rqparite}), il suffit, apr\`es avoir pos\'e
$$\tau_{s_1,\ldots,s_p} = \sum_{N \geq k_1 \geq \ldots  \geq k_p \geq 1} \frac{1}{(k_1 + \frac{n}{2})^{s_1}  \ldots   (k_p + \frac{n}{2})^{s_p}   }, $$
de constater que l'on a
$$
\tau_{s_1, \ldots,  s_p}
= \sum_{p' = 0} ^p  (-1)^{p'} \Big( \sum_{\frac{n}{2} \geq \ell_p >  \ldots > \ell_{p-p'+1} \geq 1} \frac{1}{\ell_p ^{s_p}  \ldots  \ell_{p-p'+1} ^{s_{p-p'+1}}} \Big)
 \Big( \sum_{N+\frac{n}{2} \geq \ell_1 \geq  \ldots \geq \ell_{p-p'} \geq 1} \frac{1}{\ell_1 ^{s_1}  \ldots  \ell_{p-p'} ^{s_{p-p'}}} \Big).
$$

D\'emontrons maintenant l'h\'er\'edit\'e, qui est la partie difficile. On suppose pour cela que
le th\'eor\`eme \ref{thconj3} est vrai en profondeurs $p-2$ et $p-1$.
On   adopte les notations suivantes : $\underline{j} = (j_1, \ldots , j_p)$, $\underline{s} = (s_1, \ldots,  s_p)$,  $\underline{\eps} = (\varepsilon_1, \ldots , \varepsilon_p)$,
$\underline{\eps} \cdot \underline{j} = (\varepsilon_1 \cdot j_1, \ldots , \varepsilon_p \cdot j_p)$,
$ \underline{\eps} ^{\underline{s} + 1}  = \varepsilon_1 ^{s_1+ 1} \ldots  \varepsilon_p ^{s_p+ 1} $,
$$K_N(\underline{j}, \underline{s}) = \sum_{N \geq k_1 \geq \ldots  \geq k_p  \geq 1}  \frac{1}{(k_1+j_1)^{s_1} \ldots   (k_p+j_p)^{s_p}}$$
et, pour $\sigma \in {\mathfrak S}_p$ :
$$K_N^\sigma (\underline{j}, \underline{s})  = K_N (j_{\sigma(1)},\ldots , j_{\sigma(p)}, s_{\sigma(1)}, \ldots , s_{\sigma(p)})$$
de telle sorte que $K_N^{{\rm Id}} (\underline{j}, \underline{s}) = K_N  (\underline{j}, \underline{s}) $. Comme $\varepsilon_{\sigma^{-1}} = \varepsilon_{\sigma}$, on a :
$$\eqref{eq4} = \sum_{\underline{\eps} \in (\Z / 2 \Z)^p} \underline{\eps} ^{\underline{s} + 1} \sum_{\sigma \in {\mathfrak S}_p} \varepsilon_\sigma
K_N^\sigma (\underline{\eps} \cdot \underline{j}, \underline{s}).$$
On pose aussi
$$\Delta_{\underline{\eps}} ^\sigma (\underline{j}) =
K_N^\sigma (\varepsilon_1 \cdot (j_1+1), \varepsilon_2 \cdot j_2, \ldots,  \varepsilon_p \cdot j_p, \underline{s})
- K_N^\sigma (\underline{\eps}  \cdot \underline{j} , \underline{s}).$$
Alors la diff\'erence entre \eqref{eq4} pour $(j_1+1, j_2, \ldots , j_p)$ et \eqref{eq4} pour $\underline{j} $ est :
\begin{equation} \label{eq60}
\sum_{\underline{\eps} \in (\Z / 2 \Z)^p} \underline{\eps} ^{\underline{s} + 1} \sum_{\sigma \in {\mathfrak S}_p} \varepsilon_\sigma \Delta_{\underline{\eps}} ^\sigma (\underline{j}) .
\end{equation}
La suite de la preuve est consacr\'ee \`a \eqref{eq60} : il s'agit de montrer que cette somme est de la forme voulue, ce qui terminera la r\'ecurrence (de m\^eme qu'en profondeur 2 et 3).

\bigskip

Pour tout $\sigma \in {\mathfrak S}_p$, on pose $t_{\sigma}= \sigma^{-1}(1)$ et $j'_1 = \varepsilon_1 \cdot j_1$, \ldots,   $j'_p = \varepsilon_p \cdot j_p$, de telle sorte que $\underline{j'} = (j'_1,\ldots, j'_p) =\underline{\eps} \cdot \underline{j}$.
On pose aussi, par convention, $k_0 = N$ et $k_{p+1} = 1$.
Supposons d'abord que $\varepsilon_1 =  + 1$ ; on a dans ce cas $\varepsilon_1 \cdot (j_1+1) = j'_1 + 1$, et :
\begin{eqnarray*}
\Delta_{\epssoul} ^\sigma (\jsoul)
&=& K_N^\sigma (j'_1+1, j'_2, \ldots,  j'_p, \underline{s}) - K_N^\sigma (\underline{j'} , \underline{s}) \\
&=& \sum_{N \geq k_1 \geq \ldots  \geq k_p  \geq 1} (k_1+j'_{\sigma(1)})^{-s_{\sigma(1)}} \ldots
 (k_{t_{\sigma}}+j'_1+1)^{-s_1} \ldots  (k_p+j'_{\sigma(p)})^{-s_{\sigma(p)}} \\
&& \quad \quad  - \sum_{N \geq k_1 \geq \ldots  \geq k_p  \geq 1} (k_1+j'_{\sigma(1)})^{-s_{\sigma(1)}} \ldots
 (k_{t_{\sigma}}+j'_1)^{-s_1} \ldots  (k_p+j'_{\sigma(p)})^{-s_{\sigma(p)}} \\
&=&  \sum_{N \geq k_1 \geq \ldots \geq \widehat{k_{t_{\sigma}}} \geq \ldots  \geq k_p  \geq 1}
(k_1+j'_{\sigma(1)})^{-s_{\sigma(1)}} \ldots   \widehat{ (k_{t_{\sigma}}+j'_1)^{-s_1} } \ldots  (k_p+j'_{\sigma(p)})^{-s_{\sigma(p)}} \\
&& \quad \quad \times  \sum_{k_{t_{\sigma}} = k_{t_{\sigma}+1}} ^{k_{t_{\sigma}-1}}  (k_{t_{\sigma}}+j'_1+1)^{-s_1}
- (k_{t_{\sigma}}+j'_1)^{-s_1} \\
&=&  \sum_{N \geq k_1 \geq \ldots \geq  \widehat{k_{t_{\sigma}}} \geq \ldots  \geq k_p  \geq 1}
(k_1+j'_{\sigma(1)})^{-s_{\sigma(1)}} \ldots   \widehat{ (k_{t_{\sigma}}+j'_1)^{-s_1} } \ldots  (k_p+j'_{\sigma(p)})^{-s_{\sigma(p)}} \\
&& \quad \quad \times  \Big( \frac{1}{ (k_{t_{\sigma}-1}+j'_1+1)^{s_1}} -  \frac{1}{ (k_{t_{\sigma}+1}+j'_1)^{s_1}} .
\Big)
\end{eqnarray*}
Dans ce calcul, comme dans toute la suite, on note avec un chapeau l'omission d'un terme dans une liste. En outre, on utilise les conventions $k_0 = N$ et $k_{p+1} = 1$.

Dans le cas o\`u  $\varepsilon_1=-1$, la derni\`ere formule obtenue pour $\Delta_{\epssoul} ^\sigma (\jsoul)$ reste valable, \`a condition
d'en prendre l'oppos\'e et d'y remplacer $j'_1$ par $j'_1-1$. Cela montre qu'on peut \'ecrire, quelle que soit la valeur de $\varepsilon_1$ :
\begin{equation} \label{eq59}
\Delta_{\epssoul} ^\sigma (\jsoul) = S_{\epssoul} ^\sigma (\jsoul) - \widetilde{S}_{\epssoul} ^\sigma (\jsoul)
\end{equation}
en posant
\begin{eqnarray}
\lefteqn{S_{\epssoul} ^\sigma (\jsoul)  } \nonumber \\
&=&\varepsilon_1  \sum_{N \geq k_1 \geq \ldots \geq \widehat{k_{t_{\sigma}}} \geq \ldots  \geq k_p  \geq 1}
(k_1+j'_{\sigma(1)})^{-s_{\sigma(1)}} \ldots   \widehat{ (k_{t_{\sigma}}+j'_1)^{-s_1} } \ldots  (k_p+j'_{\sigma(p)})^{-s_{\sigma(p)}}   \label{eq57} \\
&& \quad \quad \quad \quad \times    \frac{1}{ (k_{t_{\sigma}-1}+j'_1+\frac{\eps_1-1}{2}+1)^{s_1}}  \nonumber
\end{eqnarray}
et
\begin{eqnarray}
\lefteqn{\widetilde{S}_{\epssoul} ^\sigma (\jsoul) } \nonumber \\
&=& \varepsilon_1  \sum_{N \geq k_1 \geq \ldots \geq \widehat{k_{t_{\sigma}}} \geq \ldots  \geq k_p  \geq 1}
(k_1+j'_{\sigma(1)})^{-s_{\sigma(1)}} \ldots   \widehat{ (k_{t_{\sigma}}+j'_1)^{-s_1} } \ldots  (k_p+j'_{\sigma(p)})^{-s_{\sigma(p)}}   \label{eq58} \\
&& \quad \quad \quad \quad \times    \frac{1}{ (k_{t_{\sigma}+1}+j'_1+\frac{\eps_1-1}{2})^{s_1}}.  \nonumber
\end{eqnarray}
La relation \eqref{eq59} va nous permettre de d\'emontrer que \eqref{eq60} est de la forme voulue. Dans un premier temps, on isole deux cas particuliers. Le premier concerne les termes de la forme $S_{\epssoul} ^\sigma (\jsoul)$ correspondant \`a des permutations $\sigma$ telles que $t_{\sigma} = 1$. Pour ces termes, on a d'apr\`es  \eqref{eq57} la majoration $S_{\epssoul} ^\sigma (\jsoul) = \mathcal{O}(\frac{(\log N)^{p-1}}{N})$ puisque $k_0 = N$ ; donc ces termes rentrent dans le terme d'erreur, et on peut les ignorer. Par ailleurs, si on regroupe tous les termes de la forme $\widetilde{S}_{\epssoul} ^\sigma (\jsoul)$ correspondant \`a des permutations $\sigma$ telles que $t_{\sigma} = p$, on obtient pour contribution globale \`a \eqref{eq60}, puisque $k_{p+1}=1$  :
\begin{eqnarray}
&& \frac{- 1}{ (j'_1+\frac{\eps_1-1}{2} + 1)^{s_1}} \sum_{\underline{\eps} \in (\Z / 2 \Z)^p} \underline{\eps} ^{\underline{s} + 1} \varepsilon_1  \sum_\indso{\sigma \in {\mathfrak S}_p}{t_{\sigma} = p} \varepsilon_\sigma   \label{eq62} \\
&&\times \sum_{N \geq k_1 \geq \ldots \geq k_{p-1}  \geq 1}
(k_1+j'_{\sigma(1)})^{-s_{\sigma(1)}} \ldots (k_{p-1}+j'_{\sigma(p-1)})^{-s_{\sigma(p-1)}}.  \nonumber
\end{eqnarray}
En fixant $\varepsilon_1$ dans cette somme, on peut appliquer le th\'eor\`eme \ref{thconj3} en profondeur $p-1$, avec $(\varepsilon_2, \ldots, \varepsilon_p)$, $(j_2, \ldots, j_p)$, et $(s_2, \ldots, s_p)$. Le terme obtenu est multipli\'e par le rationnel $ \frac{- \varepsilon_1 ^{s_1}}{ (j'_1+\frac{\eps_1-1}{2} + 1)^{s_1}} $, dont $\textup{d}_n^{s_1}$ est un d\'enominateur ; le r\'esultat est donc de la forme souhait\'ee. Ce raisonnement g\'en\'eralise celui qui a permis, en profondeur 3, de traiter la somme \eqref{eq36}.

Pour terminer la preuve, on peut donc ignorer dans \eqref{eq60} les termes provenant de ces deux familles de cas particuliers. Cela revient \`a faire la convention suivante, que nous adoptons dans toute la suite :
\begin{equation} \label{eq61}
\left\{
\begin{array}{l}
S_{\epssoul} ^\sigma (\jsoul) = 0 \mbox{ si } t_{\sigma} = 1 \\
\widetilde{S}_{\epssoul} ^\sigma (\jsoul) = 0 \mbox{ si } t_{\sigma} = p.
\end{array}
\right.
\end{equation}

On peut maintenant relier les sommes $S_{\epssoul} ^\sigma (\jsoul)$ et $\widetilde{S}_{\epssoul} ^\sigma (\jsoul)$, pour les \'etudier simultan\'ement. Pour cela, on d\'emontre l'\'egalit\'e suivante, valable pour tout $\sigma \in {\mathfrak S}_p$ tel que $t_{\sigma} \geq 2$ :
\begin{equation} \label{eq56}
S_{\epssoul} ^\sigma (\jsoul) = \widetilde{S}_{\epssoul} ^{\sigma \circ \transpotsig} (\jtisoul)
\end{equation}
avec $\underline{j} + (\eps_1, 0, \ldots, 0) = (j_1+\varepsilon_1, j_2, \ldots, j_p)$. Posons $\widetilde \sigma = \sigma \circ \transpotsig$ ;
on a $\widetilde \sigma(j) = \sigma(j)$ pour $j \not\in \{t_{\sigma}-1, t_{\sigma}\}$, $\widetilde \sigma(t_{\sigma}-1) = 1$ et $\widetilde \sigma(t_{\sigma}) = \sigma(t_{\sigma}-1)$. En particulier, on a $t_{\sigmati} = t_{\sigma} - 1$. On constate alors qu'en rempla\c cant $j_1$ par $j_1 + \varepsilon_1$ (ce qui revient \`a remplacer $j'_1$ par $j'_1+1$) dans la d\'efinition \eqref{eq58} de $\widetilde{S}_{\epssoul} ^{\sigmati} (\jsoul)$, on obtient exactement celle \eqref{eq57} de $S_{\epssoul} ^\sigma (\jsoul)$,  \`a un changement de notation pr\`es sur les indices de sommation.
 En effet, dans \eqref{eq57}, l'indice $k_{t_{\sigma}}$ n'appara\^{\i}t pas dans la somme, alors que $k_{t_{\sigma} - 1}$ appara\^{\i}t et correspond \`a deux facteurs. Dans \eqref{eq58}, c'est $k_{t_{\sigma}-1}$ qui n'appara\^{\i}t pas, et $k_{t_{\sigma}}$ correspond \`a deux facteurs, qui sont exactement ceux provenant de $k_{t_{\sigma}-1}$ dans \eqref{eq57} (apr\`es avoir remplac\'e $j'_1$ par $j'_1+\varepsilon_1$ dans \eqref{eq58}). Enfin les $k_j$ pour $j \not\in \{t_{\sigma}-1, t_{\sigma}\}$ jouent le m\^eme r\^ole dans \eqref{eq57} et dans \eqref{eq58}. Ceci termine la preuve de \eqref{eq56}.

\bigskip

Compte tenu de \eqref{eq59}, \eqref{eq56} et \eqref{eq61}, on peut maintenant r\'e\'ecrire \eqref{eq60} sous la forme :
\begin{equation} \label{eq63}
-  \sum_{\underline{\eps} \in (\Z / 2 \Z)^p} \underline{\eps} ^{\underline{s} + 1}   \sum_\indso{\sigma \in {\mathfrak S}_p}{t_{\sigma} \leq  p-1} \varepsilon_\sigma
\Big( \widetilde{S}_{\epssoul} ^\sigma (\jsoul) + \widetilde{S}_{\epssoul} ^\sigma (\jtisoul) \Big)
\end{equation}
en omettant \eqref{eq62} et le terme d'erreur $ \mathcal{O}(\frac{(\log N)^{p-1}}{N})$ rencontr\'es plus haut (ce qui correspond \`a la convention \eqref{eq61}).
Pour conclure la preuve, il suffit donc de d\'emontrer que \eqref{eq63} est de la forme voulue.

\bigskip

Pour cela, on d\'efinit une application
\begin{eqnarray*}
\Phi : \{ \sigma \in {\mathfrak S}_p, \, t_{\sigma} \leq p-1 \}
&\rightarrow & \{1,\ldots, p-1\} \times \{2,\ldots, p\}  \times {\mathfrak S}_{p-2} \\
\sigma &\mapsto& (t_{\sigma}, \vartheta_{\sigma}, \gamma)
\end{eqnarray*}
de la fa\c con suivante. Pour $\sigma \in {\mathfrak S}_p$ tel que $t_{\sigma} \leq p-1$, on pose
$$\vartheta_{\sigma} = \sigma(t_{\sigma}+1), $$
et on note $\varphi_{\sigma} : \{1,\ldots, p-2\} \rightarrow \{1,\ldots, p\} \setminus \{ t_{\sigma}, t_{\sigma}+1\}$ et
$\psi_{\sigma} : \{1,\ldots, p-2\} \rightarrow \{2,\ldots, p\} \setminus \{ \vartheta_{\sigma}\}$ les bijections strictement croissantes. On pose alors
$$\gamma = \psi_{\sigma}^{-1} \circ \sigma \circ \varphi_{\sigma} \in {\mathfrak S}_{p-2} = {\mathfrak S} (\{1,\ldots, p-2\})$$
o\`u on identifie $\sigma$ avec sa restriction $\sigma : \{1,\ldots, p\} \setminus \{ t_{\sigma}, t_{\sigma}+1\} \rightarrow \{2,\ldots, p\} \setminus \{ \vartheta_{\sigma}\}$. Par d\'efinition de $t_{\sigma}$ et $\vartheta_{\sigma}$, cette restriction est bijective, donc $\gamma$ aussi. Il est facile de voir que $\Phi$ est une bijection.

\bigskip

Gr\^ace \`a cette bijection $\Phi$, on va remplacer la somme sur $\sigma $ dans \eqref{eq63} par une somme sur $(t_{\sigma}, \vartheta_{\sigma}, \gamma)$. Pour cela on utilise la relation suivante, valable pour tout   $\sigma \in {\mathfrak S}_p$ tel que $t_{\sigma} \leq p-1$ :
\begin{equation} \label{eq64}
\varepsilon_\sigma  = (-1)^{\vartheta_{\sigma}} \varepsilon_\gamma.
\end{equation}
Pour d\'emontrer \eqref{eq64}, on \'etudie les couples $(i,j)$ tels que $1 \leq i <  j \leq p$ et $\sigma(i) > \sigma(j)$ ; la signature de $\sigma$ est donn\'ee par la parit\'e du nombre de tels couples. Soit $(i,j)$ un tel couple. Si $\{i,j\} \cap  \{ t_{\sigma}, t_{\sigma}+1\} = \emptyset$, ce couple correspond au couple $(\varphi_{\sigma}^{-1}(i), \varphi_{\sigma}^{-1}(j))$ qui contribue \`a la signature de $\gamma$. R\'eciproquement, chaque couple qui intervient dans le calcul de $\varepsilon_\gamma$ est obtenu, une et une seule fois, de cette mani\`ere.  Comme le cas $\{i,j\} =  \{ t_{\sigma}, t_{\sigma}+1\}$
est exclu puisque $\sigma(t_{\sigma}) =1 < \sigma(t_{\sigma}+1)$, il y a exactement quatre autres possibilit\'es (qui s'excluent mutuellement) pour les couples $(i,j)$ qui contribuent \`a $\varepsilon_\sigma$ mais pas \`a $\varepsilon_\gamma$ :
\begin{itemize}
\item Ou bien $i = t_{\sigma}$, mais c'est impossible car $\sigma(t_{\sigma}) = 1 < \sigma(j)$.
\item Ou bien $i = t_{\sigma}  +1$ d'o\`u $j \geq t_{\sigma}  +  2$ avec $\sigma(j) < \vartheta_{\sigma}$ ; le nombre de tels couples est $\card \{ j \geq t_{\sigma} + 2, \, \sigma(j) < \vartheta_{\sigma}\}$.
\item Ou bien $j = t_{\sigma}$, d'o\`u $i < t_{\sigma} $ et $\sigma(i) > 1$ ; il y a exactement $t_{\sigma} - 1$ tels couples.
\item Ou bien $j = t_{\sigma}  +1$ d'o\`u $i < t_{\sigma} $ et $\sigma(i) > \vartheta_{\sigma}$ ; le nombre de tels couples est $\card \{ i <   t_{\sigma} , \, \sigma(i) >  \vartheta_{\sigma}\}$.
\end{itemize}
Pour d\'emontrer \eqref{eq64}, il suffit donc de prouver la relation suivante :
\begin{equation} \label{eq65}
\card \{ j \geq t_{\sigma} + 2, \, \sigma(j) < \vartheta_{\sigma}\} + \card \{ i <   t_{\sigma} , \, \sigma(i) >  \vartheta_{\sigma}\}
+ t_{\sigma} - 1 \equiv \vartheta_{\sigma} \mod 2.
\end{equation}
Or on a clairement
$$
\card \{ j \geq t_{\sigma} + 2, \, \sigma(j) < \vartheta_{\sigma}\} + \card  \{ j \geq t_{\sigma} + 2, \, \sigma(j) >  \vartheta_{\sigma}\}
= \card\{ t_{\sigma}+2, \ldots, p \} = p - t_{\sigma} - 1
$$
et
$$
\card  \{ i <   t_{\sigma} , \, \sigma(i) >  \vartheta_{\sigma}\} + \card  \{ i \geq t_{\sigma} + 2, \, \sigma(i) >  \vartheta_{\sigma}\}
= \card\{ \vartheta_{\sigma}+1, \ldots, p \} = p - \vartheta_{\sigma}.
$$
En additionnant ces deux relations on obtient \eqref{eq65}, ce qui termine la preuve de \eqref{eq64}.

\bigskip

Gr\^ace \`a la bijection $\Phi$ et \`a \eqref{eq64}, on peut maintenant \'ecrire  \eqref{eq63} sous la forme suivante :
\begin{eqnarray}
\eqref{eq63}
&=& - \sum_{\vartheta = 2} ^p (-1)^\vartheta
 \sum_{\underline{\eps} \in (\Z / 2 \Z)^p} \underline{\eps} ^{\underline{s} + 1}
 \sum_{\gamma \in {\mathfrak S}_{p-2}} \varepsilon_\gamma  \label{eq69} \\
&& \quad \quad \times \sum_{t = 1}^{p-1}  \Big( \widetilde{S}_{\epssoul} ^{\Phi^{-1}(t,\vartheta,\gamma)} (\jsoul) + \widetilde{S}_{\epssoul} ^{\Phi^{-1}(t,\vartheta,\gamma)} (\jtisoul) \Big) .  \nonumber
\end{eqnarray}
On va maintenant montrer que la somme sur $t$ induit un d\'ecouplage de l'une des variables. Pr\'ecis\'ement, fixons $\vartheta \in \{2,\ldots, p\}$, $\underline{\eps} \in (\Z / 2 \Z)^p$ et $\gamma \in {\mathfrak S}_{p-2}$. En posant $\sigma_t = \Phi^{-1}(t,\vartheta,\gamma)$ on a d'apr\`es \eqref{eq58} :
\begin{eqnarray*}
\sum_{t=1}^{p-1} \widetilde{S}_{\epssoul} ^{\sigma_t} (\jsoul)
&=& \varepsilon_1  \sum_{t=1}^{p-1}  \sum_{N \geq k_1 \geq \ldots \geq \widehat{k_t} \geq \ldots  \geq k_p  \geq 1}
(k_{t+1}+j'_1+\frac{\eps_1-1}{2})^{-s_1}
\prod_\indso{1 \leq i \leq p }{i \neq t}
(k_i+j'_{\sigma_t(i)})^{-s_{\sigma_t(i)}}.
\end{eqnarray*}
Notons $\lambda$ la variable $k_{t+1}$, qui appara\^{\i}t dans deux facteurs. Posons aussi $\ell_i = k_{\varphi_{\sigt}(i)}$ pour tout $i \in \{1,\ldots, p-2\}$. On obtient :
\begin{eqnarray*}
\sum_{t=1}^{p-1} \widetilde{S}_{\epssoul} ^{\sigma_t} (\jsoul)
&=& \varepsilon_1  \sum_{t=1}^{p-1}  \sum_{N \geq \ell_1 \geq \ldots \geq \ell_{t-1} \geq \lambda \geq \ell_t \geq  \ldots  \geq \ell_{p-2}  \geq 1}
(\lambda +j'_1+\frac{\eps_1-1}{2})^{-s_1}  (\lambda + j'_{\vartheta_{\sigt}})^{-s_{\vartheta_{\sigt}}}  \\
&& \quad \quad \times
\prod_{i=1} ^{p-2} (\ell_i+j'_{\sigma_t \circ \varphi_{\sigt} (i)})^{-s_{\sigma_t  \circ \varphi_{\sigt} (i)}}.
\end{eqnarray*}
La propri\'et\'e cruciale est alors que le sommande est ind\'ependant de $t$, puisque $\vartheta_{\sigt} = \vartheta$ et $\sigma_t \circ  \varphi_{\sigt} = \psi_{\sigt} \circ \gamma$  par d\'efinition  ; en outre $\psi_{\sigt}$ ne d\'epend pas de $t$, mais seulement de $\vartheta$ (on note d\'esormais $\psi$ cette fonction).
On peut donc d\'ecoupler la somme en \'ecrivant :
$$\sum_{t=1}^{p-1}
\sum_{N \geq \ell_1 \geq \ldots \geq \ell_{t-1} \geq \lambda \geq \ell_t \geq  \ldots  \geq \ell_{p-2}  \geq 1}
=
\sum_\indso{N \geq \ell_1 \geq \ldots  \geq \ell_{p-2}  \geq 1}{N \geq \lambda \geq 1 }
+  \sum_{i=1}^{p-2}      \sum_\indso{N \geq \ell_1 \geq \ldots  \geq \ell_{p-2}  \geq 1}{\lambda  = \ell_i }.
$$
On obtient ainsi
\begin{equation} \label{eq66}
\sum_{t=1}^{p-1} \widetilde{S}_{\epssoul} ^{\sigma_t} (\jsoul) = {\mathcal A}_{\epssoul} ^{\vartheta, \gamma} (\jsoul) +   \sum_{i=1}^{p-2}      {\mathcal B}_{\epssoul, i} ^{\vartheta, \gamma} (\jsoul)
\end{equation}
en posant
\begin{eqnarray}
{\mathcal A}_{\epssoul} ^{\vartheta, \gamma} (\jsoul) & = &  \varepsilon_1
\Big( \sum_{\lambda = 1}^N (\lambda +j'_1+\frac{\eps_1-1}{2})^{-s_1}  (\lambda + j'_{\vartheta})^{-s_{\vartheta}}  \Big) \label{eq67} \\
&& \times \Big(    \sum_{N \geq \ell_1 \geq \ldots  \geq \ell_{p-2}  \geq 1}
\prod_{i=1} ^{p-2} (\ell_i+j'_{\psi \circ \gamma (i)})^{-s_{\psi \circ \gamma (i)}} \Big)     \nonumber
\end{eqnarray}
et
\begin{eqnarray}
\lefteqn{{\mathcal B}_{\epssoul, i} ^{\vartheta, \gamma} (\jsoul)}  \nonumber
\\&=&   \varepsilon_1   \sum_{N \geq \ell_1 \geq \ldots  \geq \ell_{p-2}  \geq 1}
(\ell_i +j'_1+\frac{\eps_1-1}{2})^{-s_1}  (\ell_i + j'_{\vartheta})^{-s_{\vartheta}}   (\ell_i+j'_{\psi \circ \gamma (i)})^{-s_{\psi \circ \gamma (i)}}   \label{eq68} \\
&& \quad \quad \times   \prod_\indso{1 \leq i' \leq p-2}{i' \neq i}      (\ell_{i'}+j'_{\psi \circ \gamma (i')})^{-s_{\psi \circ \gamma (i')}}  .   \nonumber
\end{eqnarray}
Gr\^ace \`a \eqref{eq66}, on peut maintenant \'ecrire \eqref{eq63} sous la forme suivante (en rempla\c cant dans \eqref{eq69}) :
\begin{multline}
\eqref{eq63} = - \sum_{\vartheta = 2} ^p (-1)^\vartheta
 \sum_{\underline{\eps} \in (\Z / 2 \Z)^p} \underline{\eps} ^{\underline{s} + 1}
 \sum_{\gamma \in {\mathfrak S}_{p-2}} \varepsilon_\gamma  \label{eq70} \\
  \times   \Big( {\mathcal A}_{\epssoul} ^{\vartheta, \gamma} (\jsoul) +  {\mathcal A}_{\epssoul} ^{\vartheta, \gamma} (\jtisoul) +    \sum_{i=1}^{p-2}    \Big(  {\mathcal B}_{\epssoul, i} ^{\vartheta, \gamma} (\jsoul) + {\mathcal B}_{\epssoul, i} ^{\vartheta, \gamma} (\jtisoul) \Big)  \Big).
\end{multline}
Ici, les termes ${\mathcal A}_{\epssoul} ^{\vartheta, \gamma}  $ correspondent (en profondeur $p= 3$) aux sommes doubles des \'equations \eqref{eq37} \`a \eqref{eq40} ; les termes ${\mathcal B}_{\epssoul, i} ^{\vartheta, \gamma}  $ correspondent aux sommes simples qui les accompagnent.
On va maintenant g\'en\'eraliser le groupement de termes utilis\'e en profondeur 3 : ainsi, on groupe  les termes de \eqref{eq70} de telle sorte que chaque groupe soit de la forme voulue. Cela terminera la preuve du th\'eor\`eme \ref{thconj3}.

\bigskip

La premi\`ere famille de groupements permet de traiter les termes ${\mathcal A}_{\epssoul} ^{\vartheta, \gamma}  $. Soient $\vartheta \in \{2,\ldots, p\}$ et $(\eps_1^0, \eps_\vartheta^0) \in (\Z / 2 \Z)^2$ fix\'es. On regroupe les $2^{p-1}(p-2)!$ termes suivants :
\begin{eqnarray*}
&& {\mathcal A}_{\epssoul} ^{\vartheta, \gamma} (\jsoul)  \mbox{ pour } \gamma \in {\mathfrak S}_{p-2} \mbox{ et  $\underline{\eps}$ de la forme }
(\eps_1^0, \eta_2, \ldots, \eta_{\vartheta-1}, \eps_\vartheta^0, \eta_{\vartheta+1}, \ldots, \eta_p) \\
&& \quad \quad \quad \mbox{ avec } (\eta_2, \ldots, \eta_{\vartheta-1},  \eta_{\vartheta+1}, \ldots, \eta_p) \in (\Z / 2 \Z)^{p-2} \mbox{ , et} \\
&&{\mathcal A}_{\epssoul} ^{\vartheta, \gamma} (\jtisoul)  \mbox{ pour } \gamma \in {\mathfrak S}_{p-2} \mbox{ et  $\underline{\eps}$ de la forme }
(-\eps_1^0, \eta_2, \ldots, \eta_{\vartheta-1}, -\eps_\vartheta^0, \eta_{\vartheta+1}, \ldots, \eta_p) \\
&& \quad \quad \quad \mbox{ avec } (\eta_2, \ldots, \eta_{\vartheta-1},  \eta_{\vartheta+1}, \ldots, \eta_p) \in (\Z / 2 \Z)^{p-2} .
\end{eqnarray*}
Pour unifier ces deux cas, on note $\varepsilon_1 = \eta_1 \eps_1^0$ et $\varepsilon_\vartheta = \eta_1 \eps_\vartheta^0$ avec $\eta_1 \in \Z / 2 \Z$.
Pour les $2^{p-2}(p-2)!$ termes qui correspondent \`a $\eta_1 = -1$ (c'est-\`a-dire ceux de la forme ${\mathcal A}_{\epssoul} ^{\vartheta, \gamma} (\jtisoul)$), il convient de remarquer qu'on a $\varepsilon_1 = - \eps_1^0$ donc $\varepsilon_1 \cdot (j_1+\varepsilon_1) + \frac{\varepsilon_1-1}{2} = (-1) \cdot ((\eps_1^0 \cdot j_1) + \frac{\eps_1^0-1}{2})$. Ceci permet de prouver  que la contribution globale de ces $2^{p-1}(p-2)!$ termes \`a \eqref{eq70} s'\'ecrit, \`a un signe pr\`es qui d\'epend de $\vartheta$, $\eps_1^0$ et $\eps_\vartheta^0$ :
\begin{multline}
\Big( \sum_{\eta_1 \in \Z / 2 \Z} \eta_1 ^{s_1+s_\vartheta+1} \sum_{\lambda=1}^N
(\lambda + \eta_1 \cdot ((\eps_1^0 \cdot j_1)+  \frac{\eps_1^0-1}{2}))^{-s_1}
(\lambda + \eta_1 \cdot (\eps_\vartheta^0 \cdot j_\vartheta))^{-s_\vartheta} \Big)  \label{eq67bis}
\\
\times \Big( \sum_{(\eta_2, \ldots, \widehat{\eta_{\vartheta}}, \ldots, \eta_p) \in (\Z / 2 \Z)^{p-2}}
\eta_2 ^{s_2+1} \ldots \widehat{\eta_\vartheta^{s_\vartheta+1}} \ldots \eta_p ^{s_p+1}
 \sum_{\gamma \in {\mathfrak S}_{p-2}} \varepsilon_\gamma
\\
 \quad \quad \quad   \quad \quad   \times
  \sum_{N \geq \ell_1 \geq \ldots  \geq \ell_{p-2}  \geq 1}
\prod_{i=1} ^{p-2} (\ell_i+\eta_{\psi \circ \gamma (i)} \cdot j_{\psi \circ \gamma (i)})^{-s_{\psi \circ \gamma (i)}} \Big).
\end{multline}
Pour traiter le deuxi\`eme facteur de ce produit, on applique le th\'eor\`eme \ref{thconj3} en profondeur $p-2$, avec $j_2, \ldots, \widehat{j_\vartheta}, \ldots, j_p$ et $s_2, \ldots, \widehat{s_\vartheta}, \ldots, s_p$. Ce facteur s'\'ecrit donc  $A_1(H_N) + \gdo_\eps (N^{-1+\eps})$ o\`u $A_1$ est un polyn\^ome tel que $A_1(0)$ soit une combinaison lin\'eaire de produits de la forme \eqref{eq999} avec $\{ i_1 , \ldots , i_{q-q'}  \} \cup \{ j_1 , \ldots , j_{2q'} \} \subset \{2,\ldots, p\} \setminus \{\vartheta\}$. De plus $\textup{d}_n^{s_2 +  \ldots + \widehat{s_\vartheta} + \ldots + s_p}$ est un d\'enominateur commun des coefficients de cette combinaison lin\'eaire.

Pour le premier facteur de \eqref{eq67bis},  on applique le th\'eor\`eme \ref{thconj2}, d\'emontr\'e en profondeur 1 (voir \S \S  \ref{subsec41} et \ref{subsec51}). Cette somme s'\'ecrit  donc sous la forme $A_2(H_N) + \gdo_\eps (N^{-1+\eps})$ o\`u $A_2$ est un polyn\^ome tel que $A_2(0)$ soit une combinaison lin\'eaire de 1 et de valeurs de $\zeta$ en des entiers $s$ impairs compris entre 3 et $s_1+s_\vartheta$. En outre $\textup{d}_n ^{s_1+s_\vartheta}$ est un d\'enominateur commun des coefficients de cette combinaison lin\'eaire.

Comme la divergence logarithmique de $H_N$ est compens\'ee par le $N^\varepsilon$ du terme d'erreur, on peut faire le produit des deux expressions pr\'ec\'edentes et obtenir
$$ \eqref{eq67bis}  =   (A_1A_2)(H_N) + \gdo_\eps (N^{-1+\eps}) . $$
En outre, $A_1A_2(0)$ est bien de la forme voulue. Ceci termine le traitement des termes de la forme  ${\mathcal A}_{\epssoul} ^{\vartheta, \gamma}  $ dans  \eqref{eq70}, car ces $2^{p+1}(p-1)!$ termes sont r\'epartis en $4(p-1)$ tels groupes.

\bigskip

On va maintenant traiter les termes ${\mathcal B}_{\epssoul, i} ^{\vartheta, \gamma}  $ de  \eqref{eq70}.
Pour cela, on les groupe deux par deux de la mani\`ere suivante. Soient $\vartheta \in \{2,\ldots, p\}$,  $\underline{\eps} \in (\Z / 2 \Z)^p$, $\gamma \in {\mathfrak S}_{p-2}$ et $i \in \{1,\ldots, p-2\}$ fix\'es. On note $\psi_{\teta}$ la bijection strictement croissante de $\{1,\ldots, p-2\}$ dans $\{2,\ldots, p\} \setminus \{\vartheta\}$. Posons $\vartheta' = \psi_{\teta}(\gamma(i))$, $\alpha = \psi_{\teta'}^{-1}(\vartheta)$ et $\beta = \gamma(i) = \psi_{\teta}^{-1}(\vartheta')$. On note $(\alpha \, \, \ldots \, \, \beta)$ le cycle $(\alpha \, \, \alpha+1 \, \,  \ldots \, \, \beta-1 \, \, \beta)$ si $\alpha \leq \beta$, et le cycle $(\alpha \, \, \alpha-1 \, \,  \ldots \, \, \beta+1 \, \, \beta)$ si $\alpha > \beta$. On pose
$\gamma' = (\alpha \, \, \ldots \, \, \beta) \circ \gamma$. Avec ces notations, on a $\gamma'(i) = \alpha$ d'o\`u $\{\vartheta, \psi_{\teta}(\gamma(i))\} = \{\vartheta' , \psi_{\teta'}(\gamma'(i))\}$. En outre, la d\'efinition de $\gamma'$ montre que pour tout $i' \in \{1,\ldots, p-2\} \setminus \{i\}$ on a $\psi_{\teta}(\gamma(i')) = \psi_{\teta'}(\gamma'(i'))$.  En reportant dans \eqref{eq68} on en d\'eduit :
\begin{equation} \label{eq68bis}
{\mathcal B}_{\epssoul, i} ^{\vartheta, \gamma} (\jsoul) = {\mathcal B}_{\epssoul, i} ^{\vartheta', \gamma'} (\jsoul).
\end{equation}
Or on voit facilement que $\varepsilon_{\gamma'} = \varepsilon_{\gamma} (-1)^{\beta - \alpha} =  \varepsilon_{\gamma} (-1)^{\vartheta - \vartheta'  - 1}$, d'o\`u $(-1)^\vartheta \varepsilon_\gamma = - (-1)^{\vartheta'} \varepsilon_{\gamma'}$. Donc les deux membres de l'\'egalit\'e \eqref{eq68bis} apparaissent dans \eqref{eq70} avec des signes oppos\'es : leurs contributions se neutralisent. Comme l'application $(\vartheta, \gamma) \mapsto (\vartheta', \gamma')$ ainsi d\'efinie est involutive, elle permet de grouper deux par deux tous les termes ${\mathcal B}_{\epssoul, i} ^{\vartheta, \gamma} (\jsoul)$ et ${\mathcal B}_{\epssoul, i} ^{\vartheta, \gamma} (\jtisoul)$ apparaissant dans \eqref{eq70}. Ceci d\'emontre que leur contribution globale est nulle, et termine la preuve du th\'eor\`eme \ref{thconj3}.

\section{Preuve du  th\'eor\`eme d\'ecoupl\'e}  \label{sec6}

D\'emontrons maintenant le th\'eor\`eme \ref{thdecouple}. La strat\'egie g\'en\'erale est la m\^eme que pour le th\'eor\`eme \ref{thconj1}, mais elle est beaucoup plus facile \`a mettre en \oe uvre.

\bigskip

Soit $P(k_1,\ldots,k_p)$ un polyn\^ome de degr\'e $\leq A(n+1)-2$ par rapport \`a chacune des variables. Comme au paragraphe \ref{subsec41}, on consid\`ere la  fraction rationnelle
\begin{equation} \label{eq641}
R(k_1,\ldots, k_p) = \frac{P(k_1,\ldots, k_p)}{(k_1)_{n+1}^A \ldots (k_p)_{n+1}^A}
\end{equation}
dont la d\'ecomposition en \'el\'ements simples s'\'ecrit
\begin{equation} \label{eq662}
R(k_1,\ldots, k_p) = \sum_\indso{0 \leq j_1, \ldots, j_p \leq n}{1 \leq s_1, \ldots, s_p \leq A}
\frac{C\bigg[\,\begin{matrix} s_1, \ldots, s_p\\j_1, \ldots, j_p\end{matrix}\,\bigg]}{(k_1+j_1)^{s_1} \ldots (k_p+j_p)^{s_p}}
\end{equation}
avec des rationnels $C\bigg[\,\begin{matrix} s_1, \ldots, s_p\\j_1, \ldots, j_p\end{matrix}\,\bigg]$. L'hypoth\`ese faite sur $P$ dans le  th\'eor\`eme \ref{thdecouple} s'\'ecrit
$$R(k_1, \ldots, k_{\ell-1}, -k_\ell-n, k_{\ell+1}, \ldots, k_p) = - R(k_1, \ldots, k_p)
\mbox{ pour tout } \ell \in \{1,\ldots, p\}.$$
Par unicit\'e du d\'eveloppement en \'el\'ements simples, elle implique
\begin{equation} \label{eq287}
C\bigg[\,\begin{matrix} s_1, \ldots, s_{\ell-1}, s_\ell, s_{\ell+1}, \ldots, s_p\\j_1, \ldots,  j_{\ell-1}, n-j_\ell, j_{\ell+1}, \ldots, j_p\end{matrix}\,\bigg] = (-1)^{s_\ell+1} C\bigg[\,\begin{matrix} s_1, \ldots, s_p\\j_1, \ldots, j_p\end{matrix}\,\bigg]
\end{equation}
pour tous $j_1, \ldots, j_p, s_1, \ldots, s_p$ et pour tout $\ell \in \{1,\ldots, p\}$.

\bigskip

La s\'erie  \eqref{eqdecouple} est la limite, quand $N$ tend vers l'infini, de la somme
\begin{equation} \label{eq288}
\sum_{k_1 = 1} ^N \ldots \sum_{k_p = 1} ^N R(k_1, \ldots, k_p).
\end{equation}
Pour tout entier $s \geq 1$, posons
$$\zeta_N (s) = \sum_{k=1} ^N \frac{1}{k^s}.$$
Pour $s= 1$ c'est la somme harmonique (not\'ee aussi $H_N$), et pour $s \geq 2$ la suite $(\zeta_N (s))$ tend vers $\zeta(s)$ quand $N$ tend vers l'infini. On a, pour tous $(j_1, \ldots, j_p)$ et $(s_1, \ldots, s_p)$ :
$$\sum_{1 \leq k_1, \ldots, k_p \leq N}\prod_{i=1} ^p   \frac{1}{(k_i + j_i)^{s_i}}
= \prod_{i=1} ^p \Big( \zeta_{N+j_i}(s_i) - \sum_{k_i = 1} ^{j_i} \frac{1}{k_i^{s_i}} \Big).$$

Donc la somme \eqref{eq288} s'\'ecrit
\begin{equation} \label{eq286}
  \sum_\indso{0 \leq j_1, \ldots, j_p \leq n}{1 \leq s_1, \ldots, s_p \leq A}
 C\bigg[\,\begin{matrix} s_1, \ldots, s_p\\j_1, \ldots, j_p\end{matrix}\,\bigg] \prod_{i=1} ^p \Big( \zeta_{N+j_i}(s_i) - \sum_{k_i = 1} ^{j_i} \frac{1}{k_i^{s_i}} \Big).
  \end{equation}

Notons $E = \{0,\ldots, n\}^p \times \{1,\ldots, A\}^p$ et consid\'erons la relation d'\'equivalence ${\mathscr{R}}$ sur $E$ d\'efinie par :
$$
\begin{array}{l}
(j_1,\ldots, j_p, s_1, \ldots, s_p) \equiv (j'_1,\ldots, j'_p, s'_1, \ldots, s'_p) \, \bmod \, {\mathscr{R}} \\
\\
\quad \quad \mbox{ si, et seulement si, } \\
\\
	\left\{
	\begin{array}{l}
	s_1 = s'_1, \ldots, s_p = s'_p\\
	j_1 \in \{j'_1, n-j'_1\}, \ldots, j_p \in \{j'_p, n-j'_p\}.
	\end{array}
	\right.
\end{array}
$$
On peut scinder la somme \eqref{eq286} en somme sur les classes d'\'equivalence\footnote{Il s'agit des orbites sous l'action de $(\Z / 2 \Z)^p$ sur $E$ d\'efinie au paragraphe \ref{subsec41}.} modulo ${\mathscr{R}}$ (puisque celles-ci forment une partition de $E$). Nous allons d\'emontrer que la somme sur chaque classe est de la forme $Q(H_N) + o(1)$ o\`u $Q$ est un polyn\^ome, $H_N$ la somme harmonique et $o(1)$ une suite qui tend vers 0, avec la propri\'et\'e que $Q(0)$ est un polyn\^ome  \`a coefficients rationnels, de degr\'e au plus $p$,  en les  $\zeta(s)$, pour $s$ entier impair compris entre 3 et $A$. Quand $N$ tend vers l'infini, la somme \eqref{eq286} converge vers \eqref{eqdecouple} donc la contribution globale de ces polyn\^omes $Q(H_N)$ sera un polyn\^ome constant, dont  la valeur (en 0) est de la forme annonc\'ee dans le  th\'eor\`eme \ref{thdecouple}. Ceci d\'emontrera donc  le  th\'eor\`eme \ref{thdecouple}.

\bigskip

D\'emontrons maintenant ce fait.
Soit $(j_1,\ldots, j_p, s_1, \ldots, s_p) \in E$. Pour simplifier les notations, on suppose (quitte \`a permuter les indices) que $j_1  =  \ldots = j_a = \frac{n}{2}$ et que $j_{a+1}, \ldots, j_p$ sont diff\'erents de $n/2$, avec $ a \in \{0,\ldots, p\}$ (par exemple $a=0$ d\`es que $n$ est impair). Alors la classe d'\'equivalence de $(j_1,\ldots, j_p, s_1, \ldots, s_p)$ modulo ${\mathscr{R}}$ est form\'ee par les $2^{p-a}$ \'el\'ements $(\frac{n}{2},\ldots, \frac{n}{2}, j'_{a+1}, \ldots, j'_p, s_1, \ldots, s_p)$ tels que $j'_{a+1} \in \{j_{a+1}, n-j_{a+1}\}$, \ldots, $ j'_p \in \{j_p, n-j_p\}$. Pour $\varepsilon \in \{-1, 1\}$ et $j \in \{0,\ldots, n\}$ on pose (comme au paragraphe \ref{subsec41}) :
$$
\left\{
\begin{array}{l}
\varepsilon \cdot j =j \mbox{ si } \varepsilon = + 1,\\
\varepsilon \cdot j =n-j \mbox{ si } \varepsilon = - 1.
\end{array}
\right.
$$
Alors ces $2^{p-a}$ \'el\'ements s'\'ecrivent $(\varepsilon_1 \cdot j_1, \ldots, \varepsilon_p \cdot j_p, s_1, \ldots, s_p)$ o\`u $(\varepsilon_1, \ldots, \varepsilon_p)$ d\'ecrit $\{1\}^a \times \{-1,1\}^{p-a}$ (c'est-\`a-dire que $\varepsilon_1, \ldots, \varepsilon_a$ valent toujours 1 et que $\varepsilon_{a+1}, \ldots, \varepsilon_p$ peuvent valoir 1 ou $-1$). La relation \eqref{eq287} donne alors, pour tout $ (\varepsilon_1, \ldots, \varepsilon_p) \in \{1\}^a \times \{-1,1\}^{p-a}$  :
$$
C\bigg[\,\begin{matrix} s_1, \ldots, s_p\\ \varepsilon_1 \cdot j_1, \ldots, \varepsilon_p \cdot j_p\end{matrix}\,\bigg] = \varepsilon_{a+1}^{s_{a+1}+1} \ldots  \varepsilon_p^{s_p+1} C\bigg[\,\begin{matrix} s_1, \ldots, s_p\\j_1, \ldots, j_p\end{matrix}\,\bigg],
$$
donc la somme \eqref{eq286} restreinte \`a la classe d'\'equivalence de $(j_1,\ldots, j_p, s_1, \ldots, s_p)$  est le produit de $C\bigg[\,\begin{matrix} s_1, \ldots, s_p\\j_1, \ldots, j_p\end{matrix}\,\bigg]$ par :
\begin{eqnarray*}
\lefteqn{\sum_{(\varepsilon_1, \ldots, \varepsilon_p) \in \{1\}^a \times \{-1,1\}^{p-a}} \varepsilon_{a+1}^{s_{a+1}+1} \ldots  \varepsilon_p^{s_p+1}
 \prod_{i=1} ^p \Big( \zeta_{N + \varepsilon_i \cdot j_i} (s_i) - \sum_{k_i = 1} ^{\varepsilon_i \cdot j_i} \frac{1}{k_i^{s_i}} \Big)}
\nonumber \\
& = & \Big(   \prod_{i=1} ^a ( \zeta_{N + \frac{n}{2}} (s_i) - \sum_{k_i = 1} ^{n/2} \frac{1}{k_i^{s_i}} ) \Big)
 \sum_{(\varepsilon_{a+1}, \ldots, \varepsilon_p) \in \{-1,1\}^{p-a}}  \prod_{i=a+1} ^p \varepsilon_i^{s_i+1}  ( \zeta_{N + \varepsilon_i \cdot j_i} (s_i) - \sum_{k_i = 1} ^{\varepsilon_i \cdot j_i} \frac{1}{k_i^{s_i}} ) \\
& = & \Big(   \prod_{i=1} ^a ( \zeta_{N + \frac{n}{2}} (s_i) - \sum_{k_i = 1} ^{n/2} \frac{1}{k_i^{s_i}} ) \Big)
\prod_{i=a+1} ^p \sum_{\varepsilon_i \in \{-1,1\}} \Big(  \varepsilon_i^{s_i+1} \zeta_{N + \varepsilon_i \cdot j_i} (s_i) -  \varepsilon_i^{s_i+1} \sum_{k_i = 1} ^{\varepsilon_i \cdot j_i} \frac{1}{k_i^{s_i}} \Big) \\
& = & \Big(   \prod_{i=1} ^a ( \zeta_{N + \frac{n}{2}} (s_i) - \sum_{k_i = 1} ^{n/2} \frac{1}{k_i^{s_i}} ) \Big)
\prod_{i=a+1} ^p \Big( \zeta_{N+j_i}(s_i) +(-1)^{s_i+1}  \zeta_{N+n-j_i} (s_i) \\
&& \hspace{7cm}    -  \sum_{k_i = 1} ^{ j_i} \frac{1}{k_i^{s_i}} - (-1)^{s_i+1}   \sum_{k_i = 1} ^{n- j_i} \frac{1}{k_i^{s_i}}  \Big)\\
& = & \Big(   \prod_{i=1} ^a ( \zeta_{N} (s_i) - \sum_{k_i = 1} ^{n/2} \frac{1}{k_i^{s_i}} + \mathcal{O}(\frac{1}{N}) ) \Big)
\prod_{i=a+1} ^p \Big( (1+(-1)^{s_i+1}) \zeta_N(s_i) + \mathcal{O}(\frac{1}{N})  \\
&& \hspace{7cm}    -  \sum_{k_i = 1} ^{ j_i} \frac{1}{k_i^{s_i}} - (-1)^{s_i+1}   \sum_{k_i = 1} ^{n- j_i} \frac{1}{k_i^{s_i}}  \Big),
 \end{eqnarray*}
puisque $\zeta_{N+1}(s) = \zeta_N(s) +\mathcal{O}(1/N)$. Ce produit est bien de la forme $Q(H_N) + o(1)$, o\`u $Q$ est un polyn\^ome (\`a coefficients r\'eels) tel que
$$Q(0) =  \Big(   \prod_{i=1} ^a ( \zeta _* (s_i) - \sum_{k_i = 1} ^{n/2} \frac{1}{k_i^{s_i}}) \Big)
\prod_{i=a+1} ^p \Big( (1+(-1)^{s_i+1}) \zeta _* (s_i)   -  \sum_{k_i = 1} ^{ j_i} \frac{1}{k_i^{s_i}} - (-1)^{s_i+1}   \sum_{k_i = 1} ^{n- j_i} \frac{1}{k_i^{s_i}}  \Big)$$
avec $\zeta _*(1) = 0$ et $\zeta _*(s) = \zeta(s)$ pour $s \geq 2$ (comme au  paragraphe \ref{subsec31}).

\smallskip

Si l'un au moins parmi $s_1$, \ldots, $s_a$ est pair, alors la relation \eqref{eq287} montre que le coefficient
$C\bigg[\,\begin{matrix} s_1, \ldots, s_p\\j_1, \ldots, j_p\end{matrix}\,\bigg]$ est nul, donc la classe d'\'equivalence de $(j_1,\ldots, j_p, s_1,
\ldots, s_p)$  ne contribue pas \`a la somme \eqref{eq286}. On peut donc supposer
que $s_1$, \ldots, $s_a$ sont tous impairs. Or l'expression  ci-dessus de $Q(0)$ ne
fait appara\^{\i}tre, parmi les $\zeta(s_{i})$ avec $i \in \{a+1 , \ldots, p\}$, que
ceux tels que $s_i$ soit impair ; en outre ceux parmi $s_1$, \ldots, $s_p$ qui valent
1 disparaissent car $\zeta _*(1) = 0$. Donc la contribution de  la classe d'\'equivalence
de $(j_1,\ldots, j_p, s_1, \ldots, s_p)$  \`a la somme \eqref{eq286} est bien de la forme
$Q(H_N)  + o(1)$, o\`u $Q(0)$ est   un polyn\^ome  \`a coefficients rationnels, de degr\'e
au plus $p$,  en les  $\zeta(s)$, pour $s$ entier impair compris entre 3 et $A$. Comme
remarqu\'e ci-dessus, cela termine la preuve du th\'eor\`eme \ref{thdecouple}.

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