text:
\section*{Acknowledgments} The interest of this study appeared to us during a discussion with Chris Vale at the BEC 2019 conference in Sant Feliu de Guixols. We also thank Hadrien Kurkjian for helpful remarks on calculating the density-density response function, even if he ultimately preferred to collaborate with other people on the subject \cite{arxiv}. Finally, note that the date of submission of this work is much later than that of the corresponding preprint \cite{hal}; indeed, we had to withdraw our previous submission to a journal which proved unable to produce a referee report.

\section{Introduction}

On sait d\'esormais pr\'eparer en laboratoire un gaz d'atomes froids fermioniques de spin $1/2$ { pi\'eg\'e} dans une bo\^{\i}te de potentiel \`a fond plat \cite{buxida1}, donc spatialement homog\`ene \cite{buxida2,buxida3,buxida4}. Ces atomes { subissent} une interaction attractive dans l'onde $s$ entre \'etats de spins oppos\'es $\uparrow$ et $\downarrow$ de type van der Waals, de port\'ee $b$ n\'egligeable et de longueur de diffusion $a$ ajustable par r\'esonance de Feshbach magn\'etique \cite{Thomas2002,Salomon2003,Grimm2004b,Ketterle2004,Salomon2010,Zwierlein2012}. On peut s'arranger pour le gaz soit non polaris\'e, c'est-\`a-dire qu'il comporte le m\^eme nombre de particules dans $\uparrow$ et $\downarrow$. Aux tr\`es basses temp\'eratures atteintes exp\'erimentalement, on peut alors supposer, en premi\`ere approximation, que tous les fermions s'assemblent par paires li\'ees $\uparrow\downarrow$, \'equivalentes pour notre syst\`eme neutre aux paires de Cooper des supraconducteurs, ces paires formant de plus un condensat et un superfluide, comme le pr\'edit la th\'eorie BCS.

\`A la limite thermodynamique, \`a vecteur d'onde d'excitation $\mathbf{q}$ fix\'e, le spectre d'excitation du syst\`eme \`a temp\'erature nulle comporte un continuum de paire bris\'ee, de la forme $\varepsilon_{\mathbf{q}/2+\mathbf{k}}+\varepsilon_{\mathbf{q}/2-\mathbf{k}}$, o\`u $k\mapsto \varepsilon_\mathbf{k}$ est la relation de dispersion d'un fragment de paire bris\'ee et le vecteur d'onde relatif $\mathbf{k}$ des deux fragments d\'ecrit tout l'espace de Fourier tridimensionnel. { Nous nous limitons ici au cas habituel, o\`u les paires li\'ees sont de rayon suffisamment grand (par rapport \`a la distance moyenne entre fermions) pour pr\'esenter un caract\`ere de boson composite affirm\'e, c'est-\`a-dire que $k\mapsto\varepsilon_\mathbf{k}$ atteint son minimum en un nombre d'onde $k_0>0$. Si $0<q<2 k_0$, la densit\'e d'\'etats du continuum de paire bris\'ee pr\'esente alors, sur l'axe des \'energies r\'eelles, deux points de singularit\'e $\varepsilon_1(q) < \varepsilon_2(q)$, et m\^eme un troisi\`eme $\varepsilon_3(q) > \varepsilon_2(q)$ pour $q/k_0$ suffisamment petit. Par prolongement analytique de l'\'equation aux \'energies propres \`a travers l'intervalle $[\varepsilon_1(q),\varepsilon_2(q)]$, on trouve} que le continuum abrite un mode d'excitation collectif par brisure de paire, d'\'energie complexe $z_\mathbf{q}$ s'\'ecartant quadratiquement en $q$ de sa limite $2\Delta$ en $q=0$, o\`u $\Delta$ est le param\`etre d'ordre du condensat de paires, pris r\'eel { positif} \`a l'\'equilibre. Ceci est pr\'edit aussi bien dans la limite de couplage faible $\Delta\ll\varepsilon_F$ \cite{AndrianovPopov}, o\`u $\varepsilon_F$ est l'\'energie de Fermi du gaz, que dans la limite de couplage fort $\Delta \approx \varepsilon_F$ \cite{PRL2019,CRAS2019}~; d'apr\`es la th\'eorie BCS d\'ependant du temps utilis\'ee, il suffit que le potentiel chimique du gaz soit positif, $\mu>0$, { afin que $k_0>0$}. Notons que le mode du continuum est souvent appel\'e mode d'amplitude, ou m\^eme mode de Higgs \cite{Varma} mais l'analogie avec la physique des hautes \'energies n'est qu'approximative \cite{Benfatto} et la relation de dispersion donn\'ee dans la r\'ef\'erence \cite{Varma} est incorrecte. { Notons encore que d'autres modes du continuum peuvent \^etre obtenus par prolongement analytique \`a travers les intervalles $[\varepsilon_2(q),+\infty[$, $[\varepsilon_2(q),\varepsilon_3(q)]$ et $[\varepsilon_3(q),+\infty[$ (si $\varepsilon_3(q)$ existe), et que le r\'egime $k_0=0$ ($\mu<0$ d'apr\`es la th\'eorie BCS) admet lui aussi des modes du continuum par prolongement \`a travers $[\varepsilon_1(q),+\infty[$ (il n'y a dans ce cas qu'un seul point de singularit\'e), m\^eme dans la limite $\mu/\varepsilon_F\to -\infty$ o\`u les paires li\'ees se r\'eduisent \`a des bosons \'el\'ementaires \cite{CRAS2019}. Ces modes exotiques ont en g\'en\'eral une \'energie complexe $z_\mathbf{q}$ de partie r\'eelle \'eloign\'ee de leur intervalle de prolongement analytique \`a faible $q$ et de partie imaginaire \'elev\'ee (en valeur absolue) \`a grand $q$, ce qui les rend difficilement observables selon les crit\`eres de la r\'ef\'erence \cite{PRL2019}~; aussi les ignorons-nous ici.}

La question est de savoir comment mettre en \'evidence la branche du continuum { ordinaire. La question est d'importance car la branche est} pour l'instant inobserv\'ee : { les oscillations du param\`etre d'ordre \`a la pulsation $2\Delta/\hbar$ d\'etect\'ees dans un supraconducteur \cite{Shimano,Sacuto} ou dans un gaz d'atomes froids fermioniques \cite{Koehl} apr\`es une excitation spatialement homog\`ene ont une d\'ependance temporelle amortie en loi de puissance $\sin(2\Delta t/\hbar+\phi)/t^\alpha$ plut\^ot que purement sinuso\"idale \cite{Kogan,Altshuler,Gurarie}, et ne r\'esultent pas d'un mode discret du superfluide mais simplement d'un effet g\'en\'erique du bord $2\Delta$ du continuum de paire bris\'ee \cite{Orbach,Stringari} ; c'est que, \`a $q=0$, comme le pr\'edit la th\'eorie, l'\'equation aux \'energies propres admet comme racine seulement l'\'energie nulle, point de d\'epart de la branche acoustique d'Anderson-Bogolioubov, et surtout pas l'\'energie $2\Delta$, m\^eme apr\`es prolongement analytique au demi-plan inf\'erieur \cite{PRL2019}. En revanche}, sous certaines conditions, les fonctions de r\'eponse lin\'eaire (ou susceptibilit\'es) $\chi$ du syst\`eme \`a une excitation de pulsation $\omega$ et de vecteur d'onde $\mathbf{q}$ {\sl non nul} doivent pr\'esenter, en fonction de la pulsation, un pic centr\'e pr\`es de $\omega= \re z_\mathbf{q}/\hbar$ et de mi-largeur approximative $\im z_\mathbf{q}/\hbar$, au-dessus du fond large de r\'eponse du continuum, { ce qui est caract\'eristique d'une contribution modale}. C'est bien le cas de la fonction de r\'eponse module-module $\chi_{|\Delta| |\Delta|}(\mathbf{q},\omega)$, o\`u l'on regarde l'effet sur le module du param\`etre d'ordre d'une excitation en module du param\`etre d'ordre {\sl via} une modulation spatio-temporelle de la longueur de diffusion \cite{PRL2019}~; une telle excitation est cependant difficile \`a mettre en \oe uvre. En revanche, l'excitation en densit\'e d'un gaz d'atomes froids par une impulsion de Bragg, au moyen de deux faisceaux laser de diff\'erence de pulsation $\omega$ et de diff\'erence de vecteur d'onde $\mathbf{q}$, est une technique bien rod\'ee en laboratoire, qui a donn\'e naissance \`a une v\'eritable spectroscopie de Bragg \cite{Bragg1,Bragg2,Bragg3,Bragg4,Bragg5}. Selon que l'on mesure la variation de la densit\'e totale $\rho$ du gaz (par absorption ou dispersion d'un faisceau laser \cite{KetterleVarenna}) ou du module $|\Delta|$ de son param\`etre d'ordre (par interf\'erom\'etrie \cite{Iacopo} ou bosonisation des paires { li\'ees} $\uparrow\downarrow$ par rampe de Feshbach rapide { \cite{KetterleVarenna,Ketterletourb}}) \`a la suite de l'impulsion de Bragg, on acc\`ede \`a la fonction de r\'eponse $\chi_{\rho\rho}(\mathbf{q},\omega)$ ou $\chi_{|\Delta|\rho}(\mathbf{q},\omega)$. D'un c\^ot\'e, la susceptibilit\'e densit\'e-densit\'e d'un gaz de fermions superfluide a fait l'objet de nombreuses \'etudes th\'eoriques \cite{crrth1,crrth2,crrth3,crrth4,crrth5,crrth6,crrth7} et exp\'erimentales \cite{Bragg3,Bragg4,Bragg5}, mais sans que la moindre attention ait \'et\'e pr\^et\'ee au mode du continuum~; de l'autre, la susceptibilit\'e module-densit\'e a \'et\'e rarement calcul\'ee, et \`a notre connaissance jamais mesur\'ee avec des atomes froids. L'objectif du pr\'esent travail est de combler ces deux lacunes, du moins sur le plan th\'eorique.

\section{Fonctions de r\'eponse dans la th\'eorie BCS}

Notre gaz de fermions condens\'e par paires, initialement pr\'epar\'e \`a l'\'equilibre \`a temp\'erature nulle, est soumis \`a une excitation en densit\'e, c'est-\`a-dire \`a une perturbation de son hamiltonien de la forme
\begin{equation}
\label{eq:001}
\hat{W}(t)=\int \mathrm{d}^3r\, U(\mathbf{r},t) \sum_{\sigma=\uparrow,\downarrow} \hat{\psi}_\sigma^{\dagger}(\mathbf{r}) \hat{\psi}_\sigma(\mathbf{r})
\end{equation}
o\`u le potentiel r\'eel $U(\mathbf{r},t)$ d\'epend du temps et de l'espace, et les op\'erateurs de champ $\hat{\psi}_\sigma(\mathbf{r})$ et $\hat{\psi}^\dagger_\sigma(\mathbf{r})$, \'ecrits en point de vue de Schr\"odinger, annihilent et cr\'eent un fermion dans l'\'etat de spin $\sigma$ au point $\mathbf{r}$ et ob\'eissent aux relations d'anticommutation fermioniques habituelles. Lorsque $U(\mathbf{r},t)$ est suffisamment faible ou est appliqu\'e pendant un temps suffisamment court, la r\'eponse du syst\`eme sur une observable $\hat{O}$ est lin\'eaire, c'est-\`a-dire que l'\'ecart $\delta\langle\hat{O}\rangle$ de la valeur moyenne de $\hat{O}$ \`a sa valeur \`a l'\'equilibre est une fonctionnelle lin\'eaire de $U$, d\'ecrite par une susceptibilit\'e $\chi_{O\rho}$. Nous nous limitons ici \`a deux observables, la densit\'e totale $\rho$ et le module $|\Delta|$ du param\`etre d'ordre complexe $\Delta$ d\'efini dans la r\'ef\'erence \cite{RMP}~:
\begin{eqnarray}
\label{eq:002a}
\delta\rho(\mathbf{r},t) &\!\!\!=\!\!\!& \int\mathrm{d}^3r'\int \mathrm{d} t' \chi_{\rho\rho}(\mathbf{r}-\mathbf{r}',t-t') U(\mathbf{r}',t') \\
\label{eq:002b}
\delta|\Delta|(\mathbf{r},t) &\!\!\!=\!\!\!& \int\mathrm{d}^3r'\int \mathrm{d} t' \chi_{|\Delta|\rho}(\mathbf{r}-\mathbf{r}',t-t') U(\mathbf{r}',t')
\end{eqnarray}
Comme l'\'etat initial du syst\`eme est stationnaire et spatialement homog\`ene, les susceptibilit\'es ne d\'ependent que de la diff\'erence des temps et des positions~; elles sont aussi causales donc retard\'ees (nulles si $t<t'$). En pratique, l'excitation de Bragg mentionn\'ee dans l'introduction correspond au potentiel de d\'eplacement lumineux $U(\mathbf{r},t)=U_0 \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\mathbf{q}\cdot\mathbf{r}-\omega t)}+\mbox{c.c.}$, o\`u l'amplitude $U_0$ est complexe. Elle donne ainsi acc\`es, comme le montre le report de $U(\mathbf{r},t)$ dans (\ref{eq:002a}) et (\ref{eq:002b}), \`a la transform\'ee de Fourier spatio-temporelle des susceptibilit\'es~:
\begin{equation}
\label{eq:003}
\chi(\mathbf{q},\omega) \equiv \int\mathrm{d}^3r\int\mathrm{d} t\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}[(\omega+\mathrm{i}\eta)t-\mathbf{q}\cdot\mathbf{r}]} \chi(\mathbf{r},t) \quad\quad(\eta\to 0^+)
\end{equation}
Le facteur $\mathrm{e}^{-\eta t}$ assurant { la} convergence de l'int\'egrale sur le temps est habituel des fonctions de Green retard\'ees \cite{CCT}.

Pour obtenir une expression approch\'ee des susceptibilit\'es \`a l'aide de la th\'eorie variationnelle BCS d\'ependant du temps, il est commode d'utiliser un mod\`ele sur r\'eseau cubique de pas $b$ dans le volume de quantification $[0,L]^3$ avec des conditions aux limites p\'eriodiques, en faisant tendre $b$ vers z\'ero et $L$ vers l'infini \`a la fin des calculs. Les fermions de masse $m$ ont la relation de dispersion de l'espace libre $\mathbf{k}\mapsto E_\mathbf{k}=\hbar^2 k^2/2m$ sur la premi\`ere zone de Brillouin $\mathcal{D}=[-\pi/b,\pi/b[^3$, et on l'\'etend par p\'eriodicit\'e au-del\`a. Ils interagissent par le potentiel binaire de contact $V(\mathbf{r}_i,\mathbf{r}_j)=g_0 \delta_{\mathbf{r}_i,\mathbf{r}_j}/b^3$, avec une constante de couplage nue $g_0$ ajust\'ee pour reproduire la longueur de diffusion $a$ de l'exp\'erience \cite{Houches,livreZwerger}~: $1/g_0=1/g-\int_{\mathcal{D}}\frac{\mathrm{d}^3k}{(2\pi)^3} \frac{1}{2E_\mathbf{k}}$ o\`u $g=4\pi\hbar^2a/m$ est la constante de couplage effective. L'\'etat fondamental grand canonique du gaz de potentiel chimique $\mu$ { (de signe quelconque dans cette section)} est approxim\'e par l'habituel \'etat $|\psi_0\rangle$, \'etat coh\'erent de paires { de fermions} brisant la sym\'etrie $U(1)$~: c'est le vide des op\'erateurs d'annihilation fermioniques $\hat{\gamma}_{\mathbf{k}\sigma}$ de quasi-particules d\'efinis plus bas. L'ansatz variationnel BCS s'\'etend au cas d\'ependant du temps \cite{Varenna}, et le param\`etre d'ordre vaut simplement
\begin{equation}
\Delta(\mathbf{r},t)=g_0 \langle\psi(t)|\hat{\psi}_\downarrow(\mathbf{r})\hat{\psi}_\uparrow(\mathbf{r})|\psi(t)\rangle
\end{equation}
Pour obtenir $\chi(\mathbf{q},\omega)$, le plus simple est de consid\'erer une excitation percussionnelle en temps et de vecteur d'onde non nul bien d\'efini, $U(\mathbf{r},t)=\hbar\epsilon \cos(\mathbf{q}\cdot\mathbf{r})\delta(t)$, avec $\epsilon\to 0$. La th\'eorie des perturbations d\'ependant du temps donne le vecteur d'\'etat juste apr\`es la perturbation au premier ordre en $\epsilon$~:
\begin{equation}
|\psi(0^+)\rangle\simeq\left[1\!-\!\mathrm{i}\epsilon\!\int\!\mathrm{d}^3r\, \cos(\mathbf{q}\cdot\mathbf{r}) \sum_{\sigma} \hat{\psi}_\sigma^{\dagger}(\mathbf{r}) \hat{\psi}_\sigma(\mathbf{r})\right]|\psi(0^-)\rangle
\simeq \left[1\!+\!\frac{\mathrm{i}\epsilon}{2}\sum_{\mathbf{k}} (U_+V_-\!+\!U_-V_+) (\hat{\gamma}^\dagger_{+\uparrow}\hat{\gamma}^\dagger_{-\downarrow}\!+\!\mathbf{q}\leftrightarrow\!-\mathbf{q}) \right]|\psi_0\rangle
\label{eq:005}
\end{equation}
Ici, les indices $+$ et $-$ font r\'ef\'erence aux nombres d'onde $\mathbf{q}/2+\mathbf{k}$ et $\mathbf{q}/2-\mathbf{k}$, les coefficients $U_\mathbf{k}=[\frac{1}{2}(1+\xi_\mathbf{k}/\varepsilon_\mathbf{k})]^{1/2}$ et $V_\mathbf{k}=[\frac{1}{2}(1-\xi_\mathbf{k}/\varepsilon_\mathbf{k})]^{1/2}$ sont les amplitudes des modes de quasi-particules sur les particules et les trous, et $\mathbf{k}\mapsto\varepsilon_\mathbf{k}=(\xi_\mathbf{k}^2+\Delta^2)^{1/2}$ est leur relation de dispersion BCS, avec $\xi_\mathbf{k}=E_\mathbf{k}-\mu+g_0\rho/2$.\footnote{Il a fallu utiliser les d\'eveloppements modaux des op\'erateurs de champ, $\hat{\psi}_\uparrow(\mathbf{r})=L^{-3/2} \sum_\mathbf{k} (\hat{\gamma}_{\mathbf{k}\uparrow} U_\mathbf{k}-\hat{\gamma}^\dagger_{-\mathbf{k}\downarrow}V_\mathbf{k}) \mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}$ et $\hat{\psi}_\downarrow(\mathbf{r})=L^{-3/2} \sum_\mathbf{k} (\hat{\gamma}_{\mathbf{k}\downarrow}U_\mathbf{k}+\hat{\gamma}^\dagger_{-\mathbf{k}\uparrow}V_\mathbf{k})\mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}$.} L'\'evolution de la densit\'e et du param\`etre d'ordre pour un tr\`es faible \'etat coh\'erent de paires de {\sl quasi-particules} comme (\ref{eq:005}) { (qui reste bien entendu un fort \'etat coh\'erent de paires d'atomes fermioniques)} a \'et\'e calcul\'ee avec la th\'eorie BCS d\'ependant du temps \cite{HadrienThese,Annalen}~; en particularisant les expressions g\'en\'erales de la r\'ef\'erence \cite{CRAS2019}, nous trouvons pour $t>0$~:
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
2\mathrm{i}\Delta(\delta\theta)_\mathbf{q}(t) \\
2(\delta|\Delta|)_\mathbf{q}(t) \\
(\delta\rho)_\mathbf{q}(t)
\end{pmatrix}
= (-\mathrm{i}\epsilon) \int_{\mathrm{i}\eta+\infty}^{\mathrm{i}\eta-\infty} \frac{\mathrm{d} z}{2\mathrm{i}\pi} \frac{\mathrm{e}^{-\mathrm{i} z t/\hbar}}{M(z,\mathbf{q})}
\begin{pmatrix}
\Sigma_{13}(z,\mathbf{q}) \\
\Sigma_{23}(z,\mathbf{q}) \\
\Sigma_{33}(z,\mathbf{q})
\end{pmatrix}
\end{equation}
o\`u $\theta(\mathbf{r},t)=\arg\Delta(\mathbf{r},t)$ est la phase du param\`etre d'ordre et $X_\mathbf{q}$ est le coefficient de Fourier de $X(\mathbf{r})$ sur l'onde plane $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{q}\cdot\mathbf{r}}$. Nous avons d\^u introduire la matrice $3\times 3$, fonction de l'\'energie complexe $z$ dans le demi-plan sup\'erieur et du nombre d'onde,
\begin{equation}
\label{eq:007}
M(z,\mathbf{q}) =
\begin{pmatrix}
\Sigma_{11}(z,\mathbf{q}) & \Sigma_{12}(z,\mathbf{q}) & \phantom{1}-g_0 \Sigma_{13}(z,\mathbf{q}) \\
\Sigma_{12}(z,\mathbf{q}) & \Sigma_{22}(z,\mathbf{q}) & \phantom{1}-g_0 \Sigma_{23}(z,\mathbf{q}) \\
\Sigma_{13}(z,\mathbf{q}) & \Sigma_{23}(z,\mathbf{q}) & 1-g_0\Sigma_{33}(z,\mathbf{q})
\end{pmatrix}
\end{equation}
d\'ecrite par les six coefficients ind\'ependants~:
\begin{equation}
\begin{array}{lll}
\displaystyle
\Sigma_{11}(z,\mathbf{q})=\!\!\int_{\mathcal{D}}\!\frac{\mathrm{d}^3k}{(2\pi)^3} \left(\frac{(\varepsilon_++\varepsilon_-)(\varepsilon_+\varepsilon_-+\xi_+\xi_-+\Delta^2)}{2\varepsilon_+\varepsilon_-[z^2-(\varepsilon_++\varepsilon_-)^2]}+\frac{1}{2\varepsilon_\mathbf{k}}\right) & \quad & \displaystyle
\Sigma_{12}(z,\mathbf{q})=\!\!\int_{\mathcal{D}}\!\frac{\mathrm{d}^3k}{(2\pi)^3} \frac{z(\xi_+\varepsilon_-+\xi_-\varepsilon_+)}{2\varepsilon_+\varepsilon_-[z^2-(\varepsilon_++\varepsilon_-)^2]} \\
\displaystyle
\Sigma_{22}(z,\mathbf{q})=\!\!\int_{\mathcal{D}}\!\frac{\mathrm{d}^3k}{(2\pi)^3} \left(\frac{(\varepsilon_++\varepsilon_-)(\varepsilon_+\varepsilon_-+\xi_+\xi_--\Delta^2)}{2\varepsilon_+\varepsilon_-[z^2-(\varepsilon_++\varepsilon_-)^2]}+\frac{1}{2\varepsilon_\mathbf{k}}\right) & \quad & \displaystyle
\Sigma_{13}(z,\mathbf{q})=\!\!\int_{\mathcal{D}}\!\frac{\mathrm{d}^3k}{(2\pi)^3} \frac{z \Delta (\varepsilon_++\varepsilon_-)}{2\varepsilon_+\varepsilon_-[z^2-(\varepsilon_++\varepsilon_-)^2]} \\
\displaystyle
\Sigma_{33}(z,\mathbf{q})=\!\!\int_{\mathcal{D}}\!\frac{\mathrm{d}^3k}{(2\pi)^3} \frac{(\varepsilon_++\varepsilon_-)(\varepsilon_+\varepsilon_--\xi_+\xi_-+\Delta^2)}{2\varepsilon_+\varepsilon_-[z^2-(\varepsilon_++\varepsilon_-)^2]} & \quad & \displaystyle
\Sigma_{23}(z,\mathbf{q})=\!\!\int_{\mathcal{D}}\!\frac{\mathrm{d}^3k}{(2\pi)^3} \frac{\Delta (\varepsilon_++\varepsilon_-)(\xi_++\xi_-)}{2\varepsilon_+\varepsilon_-[z^2-(\varepsilon_++\varepsilon_-)^2]}
\end{array}
\end{equation}
En sp\'ecialisant (\ref{eq:002a}) et (\ref{eq:002b}) \`a l'excitation percussionnelle consid\'er\'ee, il vient ais\'ement pour notre mod\`ele sur r\'eseau~:
\begin{eqnarray}
\label{eq:009a}
\chi_{\rho\rho}(\mathbf{q},\omega) = (0,0,1) \cdot \frac{2}{M(z,\mathbf{q})}
\left.
\begin{pmatrix}
\Sigma_{13}(z,\mathbf{q}) \\
\Sigma_{23}(z,\mathbf{q}) \\
\Sigma_{33}(z,\mathbf{q})
\end{pmatrix}\right\vert_{z=\hbar\omega+\mathrm{i}\eta} \\
\label{eq:009b}
\chi_{|\Delta|\rho}(\mathbf{q},\omega) = (0,1,0)\cdot \frac{1}{M(z,\mathbf{q})}
\left.
\begin{pmatrix}
\Sigma_{13}(z,\mathbf{q}) \\
\Sigma_{23}(z,\mathbf{q}) \\
\Sigma_{33}(z,\mathbf{q})
\end{pmatrix}\right\vert_{z=\hbar\omega+\mathrm{i}\eta}
\end{eqnarray}
ce que nous exploiterons pour un espace continu dans la suite.

\section{Dans le raccordement CBE-BCS}
\label{sec:CBE-BCS}

Dans l'espace \`a un param\`etre mesurant la force des interactions, on appelle raccordement CBE-BCS la zone interm\'ediaire entre la limite d'attraction forte $k_F a\to 0^+$, o\`u l'\'etat fondamental du syst\`eme est un condensat de Bose-Einstein (CBE) de dim\`eres $\uparrow\downarrow$ de taille $a$ petite devant la distance moyenne entre particules, et la limite d'attraction faible $k_F a\to 0^-$, o\`u l'\'etat fondamental est un \'etat BCS de paires li\'ees $\uparrow\downarrow$ de taille $\xi \approx \hbar^2 k_F/m\Delta$ bien plus grande que la distance interatomique. Ici $k_F=(3\pi^2\rho)^{1/3}$ est le nombre d'onde de Fermi du gaz. Le raccordement correspond donc au r\'egime $1\lesssim k_F |a|$, qui est aussi celui dans lequel les gaz d'atomes froids fermioniques superfluides sont pr\'epar\'es en pratique, pour \'eviter de fortes pertes de particules par collision \`a trois corps dans la limite CBE et des temp\'eratures critiques trop faibles dans la limite BCS.

Or, notre mod\`ele sur r\'eseau doit toujours avoir un pas $b\ll 1/k_F$ pour bien reproduire la physique de l'espace continu. On a donc aussi $b\ll|a|$, et l'on est conduit \`a faire tendre $b$ vers z\'ero \`a longueur de diffusion fix\'ee. On remplace alors la premi\`ere zone de Brillouin $\mathcal{D}$ par l'espace de Fourier tout entier $\mathbb{R}^3$.  Dans la d\'efinition des $\Sigma_{ij}$, cela ne conduit \`a aucune divergence ultraviolette~; cela en d\'eclenche une dans l'expression de $1/g_0$, ce qui fait tendre $g_0$ vers z\'ero dans la matrice (\ref{eq:007})~:
\begin{equation}
\label{eq:010}
g_0\to 0
\end{equation}
La relation de dispersion des excitations BCS se r\'eduit \`a $\varepsilon_k=[(E_k-\mu)^2+\Delta^2]^{1/2}$~; elle admet un minimum $\Delta$ en un nombre d'onde $k_0>0$, et le gaz admet une branche d'excitation collective du continuum de d\'epart $2\Delta$ \cite{PRL2019,CRAS2019}, lorsque le potentiel chimique $\mu$ est $>0$, ce que nous supposerons d\'esormais. De m\^eme, les expressions (\ref{eq:009a}) et (\ref{eq:009b}) des susceptibilit\'es se simplifient comme suit~:
\begin{equation}
\label{eq:011}
\chi_{\rho\rho}= \frac{2\left|\begin{array}{lll} \Sigma_{11} & \Sigma_{12} & \Sigma_{13}\\ \Sigma_{12} & \Sigma_{22} & \Sigma_{23} \\ \Sigma_{13} & \Sigma_{23} & \Sigma_{33} \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ll} \Sigma_{11} & \Sigma_{12}\\ \Sigma_{12} & \Sigma_{22} \end{array}\right|}\,, \quad\quad
\chi_{|\Delta|\rho}=  \frac{\left|\begin{array}{ll} \Sigma_{11} & \Sigma_{13}\\ \Sigma_{12} & \Sigma_{23} \end{array}\right|}
{\left|\begin{array}{ll} \Sigma_{11} & \Sigma_{12}\\ \Sigma_{12} & \Sigma_{22} \end{array}\right|}
\end{equation}
o\`u $|A|$ est le d\'eterminant de la matrice $A$, et o\`u l'on a sous-entendu la d\'ependance des $\chi$ en $(\mathbf{q},\omega)$ et des $\Sigma_{ij}$ en $(z,\mathbf{q})$ pour all\'eger.\footnote{\label{note:Cramer} En effet, le vecteur $\mathbf{x}=M^{-1}\mathbf{s}$ est solution du syst\`eme $M \mathbf{x}=\mathbf{s}$, que l'on r\'esout par la m\'ethode de Cramer, avec $\mathbf{s}$ le vecteur colonne de (\ref{eq:009a}) et (\ref{eq:009b}), pour obtenir ses coordoonn\'es $x_2$ et $x_3$.} { La valeur de $\chi_{\rho\rho}$ est en accord avec l'\'equation (118) de la r\'ef\'erence \cite{crrth7}.}

Cherchons la trace \'eventuelle du mode du continuum dans les fonctions de r\'eponse dans la limite des faibles nombres d'onde, $q\to 0$, o\`u la partie imaginaire de l'\'energie complexe $z_\mathbf{q}$ est la plus faible. C'est l\`a que le mode a {\sl a priori} le plus de chance de bien se d\'etacher du fond de r\'eponse large du continuum sous forme d'un pic \'etroit en pulsation $\omega$. Dans cette limite, sous la condition $q\ll k_0\min(\Delta/\mu,(\mu/\Delta)^{1/2})$ \cite{CRAS2019}, la branche du continuum a une dispersion quadratique en $q$~:
\begin{equation}
\label{eq:012}
z_\mathbf{q} \underset{q\to 0}{=} 2\Delta + \zeta_0 \frac{\hbar^2 q^2}{2m} \frac{\mu}{\Delta} + O(q^3)
\end{equation}
Le coefficient $\zeta_0$ est solution dans le demi-plan complexe inf\'erieur d'une \'equation transcendante donn\'ee dans la r\'ef\'erence \cite{PRL2019} (g\'en\'eralisant celle de \cite{AndrianovPopov} au raccordement CBE-BCS). { Il est repr\'esent\'e en fonction de la force des interactions sur la figure \ref{fig:fit}, et son comportement aux limites est donn\'e dans \cite{PRL2019}. On retiendra ici que} sa partie r\'eelle est positive pour $\Delta/\mu<1,21$, et n\'egative sinon. Calculons donc les fonctions de r\'eponse sur l'axe r\'eel des pulsations pr\`es du mode du continuum, en imposant la m\^eme loi d'\'echelle en nombre d'onde que dans (\ref{eq:012})~:
\begin{equation}
\label{eq:013}
\hbar\omega \equiv 2\Delta + \nu \frac{\hbar^2q^2}{2m} \frac{\mu}{\Delta}\quad\quad (\nu\in\mathbb{R})
\end{equation}
c'est-\`a-dire en faisant tendre $q$ vers z\'ero \`a fr\'equence r\'eduite $\nu$ quelconque fix\'ee. { Ceci revient \`a observer l'axe des pulsations autour de $2\Delta/\hbar$ sous un grossissement divergent $\propto q^{-2}$.} Dans la suite, il sera commode de poser
\begin{equation}
\label{eq:014}
\zeta=\nu+\mathrm{i}\eta \quad\quad(\eta\to 0^+)
\end{equation}
par analogie avec $z=\hbar\omega+\mathrm{i}\eta$ dans (\ref{eq:009a}) et (\ref{eq:009b}). { Comme les points de singularit\'e $\varepsilon_1(q)$ et $\varepsilon_2(q)$ de la densit\'e d'\'etats du continuum de paire bris\'ee \`a $\mathbf{q}$ fix\'e mentionn\'es dans l'introduction v\'erifient $\varepsilon_1(q)=2\Delta$ et $\varepsilon_2(q)=2\Delta+(\mu/\Delta)\hbar^2q^2/2m+O(q^4)$ \cite{PRL2019}, on s'attend dans la limite $q\to 0$ \`a ce que les fonctions de r\'eponse admettent des singularit\'es en fr\'equence en $\nu=0$ et $\nu=1$, et qu'il faille effectuer le prolongement analytique de l'\'equation aux \'energies propres \`a $\im\zeta <0$ en passant entre les points $\nu=0$ (soit $\hbar\omega=\varepsilon_1(q)$) et $\nu=1$ (soit $\hbar\omega=\varepsilon_2(q)+O(q^4)$) pour trouver le mode du continuum. Le fait que ces singularit\'es subsistent \`a $\nu$ fini lorsque $q\to 0$ permet d'\'eliminer tout de suite un faux espoir : m\^eme si sa largeur en \'energie tend vers z\'ero comme $q^2$, le mode du continuum ne peut conduire \`a un pic tr\`es \'etroit en valeur relative dans les fonctions de r\'eponse en fr\'equence, car la contribution \g{large} du continuum pr\'esente une structure variant \`a la m\^eme \'echelle $\propto q^2$. En revanche, le troisi\`eme point de singularit\'e $\varepsilon_3(q)=(\mu^2+\Delta^2)^{1/2}+O(q^2)$ est non pertinent car rejet\'e \`a $\nu=+\infty$ par le changement d'\'echelle (\ref{eq:013}).
 Pour le calcul de $\chi$ proprement dit,} reprenons la m\'ethode de d\'eveloppement des quantit\'es $\Sigma_{ij}$ en puissances de $q$ \`a $\nu$ fix\'ee de la r\'ef\'erence \cite{PRL2019}~: il ne suffit pas de d\'evelopper na\"{\i}vement les int\'egrales sur $\mathbf{k}$ sous le signe somme en puissances de $q$, mais il faut traiter \`a part la couche de vecteurs d'onde $\mathbf{k}$ d'\'epaisseur $\propto q$ autour de la sph\`ere $k=k_0$, qui donne en g\'en\'eral la contribution dominante { car} les d\'enominateurs d'\'energie y prennent des valeurs extr\^emement faibles, de l'ordre de $q^2$.\footnote{Apr\`es passage en coordonn\'ees sph\'eriques d'axe $\mathbf{q}$, on s\'epare le domaine d'int\'egration sur le module $k$ en les deux composantes $I=[k_0-Aq,k_0+Aq]$ et $J=\mathbb{R}^+\setminus I$, o\`u $A\gg 1$ est fix\'e. Sur $J$, on d\'eveloppe directement l'int\'egrande en puissances de $q$ \`a $k$ fix\'e. Sur $I$, on effectue le changement de variable $k=k_0+qK$ puis on d\'eveloppe l'int\'egrande en puissances de $q$ \`a $K$ fix\'e. On regroupe les contributions de $I$ et $J$ ordre par ordre en $q$, puis on fait tendre $A$ vers $+\infty$ dans les coefficients des mon\^omes $q^n$. Dans les r\'esultats (\ref{eq:017}), la contribution de $J$ est n\'egligeable sauf dans $\delta\Sigma_{23}^{[2]}$ et $\delta\Sigma_{33}^{[2,3]}$.} Les formes (\ref{eq:011}) conduiraient \`a des calculs assez longs car, \`a l'ordre dominant en $q$, la premi\`ere et la derni\`ere colonne des d\'eterminants aux num\'erateurs sont \'equivalentes ($\Sigma_{i3}\sim\Sigma_{1i}$, $1\leq i\leq 3$), ce qui donne un r\'esultat nul et oblige \`a aller chercher les ordres sous-dominants des $\Sigma_{ij}$. On peut heureusement effectuer d'astucieuses combinaisons lin\'eaires sans changer la valeur de ces d\'eterminants, en soustrayant la premi\`ere colonne de la derni\`ere puis, seulement dans $\chi_{\rho\rho}$, en soustrayant la premi\`ere ligne de la troisi\`eme, si bien que~:
\begin{equation}
\label{eq:015}
\chi_{\rho\rho}=\frac{2\left|\begin{array}{lll} \Sigma_{11} & \Sigma_{12} & \delta\Sigma_{13}\\ \Sigma_{12} & \Sigma_{22} & \delta\Sigma_{23} \\ \delta\Sigma_{13} & \delta\Sigma_{23} & \delta\Sigma_{33} \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ll} \Sigma_{11} & \Sigma_{12}\\ \Sigma_{12} & \Sigma_{22} \end{array}\right|}, \quad\quad
\chi_{|\Delta|\rho}=\frac{\left|\begin{array}{ll} \Sigma_{11} & \delta\Sigma_{13}\\ \Sigma_{12} & \delta\Sigma_{23} \end{array}\right|}
{\left|\begin{array}{ll} \Sigma_{11} & \Sigma_{12}\\ \Sigma_{12} & \Sigma_{22} \end{array}\right|}\hspace{-3mm}
\end{equation}
avec
\begin{equation}
\label{eq:016}
\delta\Sigma_{13}\equiv \Sigma_{13}-\Sigma_{11}, \quad
\delta\Sigma_{23}\equiv \Sigma_{23}-\Sigma_{12},\quad
\delta\Sigma_{33}\equiv \Sigma_{33}+\Sigma_{11}-2\Sigma_{13}
\end{equation}
On d\'eveloppe alors ces $\delta\Sigma$ apr\`es recalcul de leur int\'egrande par combinaison lin\'eaire des int\'egrandes des $\Sigma_{ij}$. Il suffit ici de conna\^{\i}tre l'ordre dominant des $\delta\Sigma$ et celui des $\Sigma_{ij}$ restants, sauf pour $\delta\Sigma_{33}$ o\`u l'ordre sous-dominant est requis~:
\begin{eqnarray}
\label{eq:017}
&\hspace{-5mm}&\check{\Sigma}_{11}^{[-1]}=\frac{\check{\Delta}}{8\mathrm{i}\pi} \asin \frac{1}{\sqrt{\zeta}}\,,\quad\check{\Sigma}_{22}^{[1]}=\frac{\zeta\asin\frac{1}{\sqrt{\zeta}} + \sqrt{\zeta-1}}{16\mathrm{i}\pi\check{\Delta}}\,,\quad\check{\Sigma}_{12}^{[0]}=\frac{\sqrt{\mathrm{e}^{2\tau}\!-\!1}}{-(2\pi)^2} \left[\re\Pi(\mathrm{e}^{\tau},\mathrm{i} \mathrm{e}^{\tau})\!-\!\Pi(-\mathrm{e}^{\tau},\mathrm{i} \mathrm{e}^{\tau})\!+\!\frac{K(\mathrm{i}\mathrm{e}^{\tau})}{\sh\tau}\right]\,,\nonumber \\
&\hspace{-5mm}& \delta\check{\Sigma}_{13}^{[1]}=\frac{\mathrm{i}\sqrt{\zeta-1}}{16\pi\check{\Delta}}\,,\quad\delta\check{\Sigma}_{23}^{[2]}=\frac{(2/3-\zeta)}{2\check{\Delta}^2}\check{\Sigma}_{12}^{[0]}-\frac{\sqrt{1\!-\!\mathrm{e}^{-2\tau}}}{24\pi^2} [E(\mathrm{i}\mathrm{e}^\tau)\!-\!\mathrm{e}^\tau\ch\tau K(\mathrm{i}\mathrm{e}^\tau)]\,,\nonumber\\
&\hspace{-5mm}& \delta\check{\Sigma}_{33}^{[2]}=\frac{\sqrt{1\!-\!\mathrm{e}^{-2\tau}}}{24\pi^2\check{\Delta}}[E(\mathrm{i}\mathrm{e}^\tau)+\coth\tau\, K(\mathrm{i}\mathrm{e}^\tau)]\,,\quad\delta\check{\Sigma}_{33}^{[3]}=\frac{(\zeta\!-\!2)\sqrt{\zeta\!-\!1}+\zeta^2\asin\frac{1}{\sqrt{\zeta}}}{64\mathrm{i}\pi\check{\Delta}^3}
\end{eqnarray}
o\`u $\check{\Sigma}_{ij}^{[n]}$ ($\delta\check{\Sigma}_{ij}^{[n]}$) est le coefficient de $\check{q}^n$ dans le d\'eveloppement limit\'e de $\check{\Sigma}_{ij}$ ($\delta\check{\Sigma}_{ij}$). Les trois premi\`eres identit\'es figurent d\'ej\`a dans \cite{PRL2019,CRAS2019}. L'accent tch\`eque signale l'adimensionnement des \'energies par $\mu$ ($\check{\Delta}=\Delta/\mu$), des nombres d'onde par $k_0$ ($\check{q}=q/k_0$) et des $\Sigma_{ij}$ par $k_0^3/\mu$, { avec ici $k_0=(2m\mu)^{1/2}/\hbar$}. On a utilis\'e les expressions de plusieurs int\'egrales sur $k$ en termes d'int\'egrales elliptiques compl\`etes $K$, $E$ et $\Pi$ de premi\`ere, seconde et troisi\`eme esp\`ece \cite{GR}, en particulier celles donn\'ees dans la r\'ef\'erence \cite{Strinati}, apr\`es avoir pos\'e $\sh\tau=1/\check{\Delta}$ pour abr\'eger.\footnote{On a aussi utilis\'e, pour $x\geq 0$, $E(\mathrm{i} x)=\sqrt{1\!+\!x^2}E(x/\sqrt{1\!+\!x^2})$ et $K(\mathrm{i} x)=K(x/\sqrt{1\!+\!x^2})/\sqrt{1\!+\!x^2}$ \cite{GR}. Ainsi, par exemple, $\int_0^{+\infty}\!\mathrm{d}\check{k} \frac{\check{k}^2\check{\xi}_k}{\check{\varepsilon}_k^3}=K(\mathrm{i}\mathrm{e}^\tau)\sqrt{\mathrm{e}^{2\tau}\!-\!1}/2$.} Nous obtenons finalement le comportement des fonctions de r\'eponse \`a faible $q$~:
\begin{eqnarray}
\label{eq:018a}
&\hspace{-5mm}&\check{\chi}_{\rho\rho}\stackrel{\nu\,\mbox{\scriptsize fix\'e}}{\underset{q\to 0}{=}} 2\check{q}^2\delta\check{\Sigma}_{33}^{[2]} +2\check{q}^3\left[\delta\check{\Sigma}_{33}^{[3]} +\frac{2\check{\Sigma}^{[0]}_{12}\delta\check{\Sigma}_{13}^{[1]}\delta\check{\Sigma}_{23}^{[2]}-\check{\Sigma}_{22}^{[1]}\delta\check{\Sigma}_{13}^{[1]2}-\check{\Sigma}_{11}^{[-1]}\delta\check{\Sigma}_{23}^{[2]2}}{\check{\Sigma}_{11}^{[-1]}\check{\Sigma}_{22}^{[1]}-\check{\Sigma}_{12}^{[0]2}}\right]+O(\check{q}^4)\\
&\hspace{-5mm}&\chi_{|\Delta|\rho}\stackrel{\nu\,\mbox{\scriptsize fix\'e}}{\underset{q\to 0}{=}}\check{q} \frac{\check{\Sigma}_{11}^{[-1]}\delta\check{\Sigma}_{23}^{[2]}-\check{\Sigma}_{12}^{[0]}\delta\check{\Sigma}_{13}^{[1]}}{\check{\Sigma}_{11}^{[-1]}\check{\Sigma}_{22}^{[1]}-\check{\Sigma}_{12}^{[0]2}}+O(\check{q}^2)
\label{eq:018b}
\end{eqnarray}
o\`u $\chi_{\rho\rho}$ est exprim\'e en unit\'es de $k_0^3/\mu$ et $\chi_{|\Delta|\rho}$ est naturellement sans dimension. Une d\'ependance plus explicite en la fr\'equence r\'eduite $\nu$ est obtenue en passant \`a la limite $\eta\to 0^+$ comme dans l'\'equation (\ref{eq:014})~:
\begin{equation}
\asin\frac{1}{\sqrt{\zeta}} \underset{\eta\to 0^+}{\to} \left\{
\begin{array}{ll}
-\mathrm{i}\argsh \frac{1}{\sqrt{-\nu}} & \mbox{si }\nu<0 \\
\frac{\pi}{2}-\mathrm{i}\argch \frac{1}{\sqrt{\nu}} & \mbox{si }0<\nu<1 \\
\asin\frac{1}{\sqrt{\nu}} & \mbox{si }1<\nu
\end{array}
\right. \quad\mbox{et}\quad
\sqrt{\zeta-1} \underset{\eta\to 0^+}{\to} \left\{
\begin{array}{ll}
\mathrm{i}\sqrt{1-\nu} & \mbox{si }\nu<1 \\
\sqrt{\nu-1} & \mbox{si }\nu>1
\end{array}
\right.
\end{equation}
Elle permet de v\'erifier que le coefficient $\check{\chi}_{\rho\rho}^{[3]}$ de la contribution d'ordre $\check{q}^3$ dans (\ref{eq:018a}) et celui $\check{\chi}_{|\Delta|\rho}^{[1]}$ de la contribution d'ordre $\check{q}$ dans (\ref{eq:018b}) ont une partie imaginaire nulle pour $\nu<0$ ({ ceci \'etait pr\'evisible et se produit dans les fonctions de r\'eponse \`a tous les ordres en $q$}, car la densit\'e d'\'etats du continuum de paire bris\'ee { $\mathbf{k}\mapsto\varepsilon_{\mathbf{q}/2+\mathbf{k}}+\varepsilon_{\mathbf{q}/2-\mathbf{k}}$ est nulle aux \'energies $<2\Delta$}) et une partie r\'eelle nulle pour $\nu>1$ { (ceci pour une raison physique que nous ignorons, et qui ne vaut pas \`a tous les ordres en $q$)}. Ces coefficients ont une limite finie et r\'eelle en $\nu=0$, atteinte lentement (logarithmiquement, avec un \'ecart variant comme $1/\ln|\nu|$),
\begin{eqnarray}
\label{eq:021a}
\lim_{\nu\to 0} \check{\chi}_{\rho\rho}^{[3]}(\nu) &=& -\frac{1}{16\pi\check{\Delta}^3} -32\pi\check{\Delta} [\delta\check{\Sigma}_{23}^{[2]}(\nu=0)]^2 \\
\label{eq:021b}
\lim_{\nu\to 0} \check{\chi}_{|\Delta|\rho}^{[1]}(\nu) &=& 16\pi\check{\Delta}\,\delta\check{\Sigma}_{23}^{[2]}(\nu=0)
\end{eqnarray}
ce qui donne naissance \`a une structure pointue, \`a tangente verticale, dans la d\'ependance en $\nu$, comme dans la r\'ef\'erence \cite{PRL2019}~; ils pr\'esentent en $\nu=1$ une singularit\'e en $|\nu-1|^{1/2}$, sur la partie r\'eelle pour $\nu\to 1^-$, sur la partie imaginaire pour $\nu\to 1^+$, ce qui donne lieu cette fois \`a un banal point anguleux \`a tangente verticale (voir la figure \ref{fig:gra} \`a venir).

Analysons physiquement les r\'esultats (\ref{eq:018a},\ref{eq:018b}). D'abord, le terme dominant (d'ordre $q^2$) dans la fonction de r\'eponse densit\'e-densit\'e n'a gu\`ere d'int\'er\^et pour notre \'etude~: il est insensible au mode du continuum puisque les fonctions $\Sigma_{ij}(z,\mathbf{q})$, m\^eme apr\`es prolongement au demi-plan complexe inf\'erieur, ne comportent aucun p\^ole. Heureusement, il constitue un fond ind\'ependant de la fr\'equence r\'eduite $\nu$, comme on peut le v\'erifier sur l'\'equation (\ref{eq:017})~; il est donc possible de s'en d\'ebarrasser exp\'erimentalement en consid\'erant la diff\'erence
\begin{equation}
\label{eq:019}
\check{\chi}_{\rho\rho}(\check{q},\nu)-\check{\chi}_{\rho\rho}(\check{q},\nu_0)
\end{equation}
o\`u $\nu$ est la variable courante et $\nu_0$, la fr\'equence r\'eduite de r\'ef\'erence, est fix\'ee. On remarque aussi que ce fond en $q^2$ est r\'eel, si bien qu'il ne contribue pas \`a la partie imaginaire de { $\chi_{\rho\rho}$}, qui est souvent ce que l'on mesure vraiment dans l'exp\'erience \cite{Bragg5}. En revanche, le terme sous-dominant (d'ordre $q^3$) dans $\chi_{\rho\rho}$ est sensible au mode du continuum~: comme il contient des fonctions $\Sigma_{ij}$ au d\'enominateur, son prolongement analytique au demi-plan complexe inf\'erieur \`a travers l'intervalle $\nu\in[0,1]$ admet un p\^ole en $\zeta=\zeta_0$, o\`u le nombre complexe $\zeta_0$ est celui de l'\'equation (\ref{eq:012}), avec un r\'esidu non nul, voir la figure \ref{fig:res}a. La m\^eme conclusion s'impose pour le terme dominant (d'ordre $q$) dans la fonction de r\'eponse module-densit\'e, voir la figure \ref{fig:res}b.\footnote{\label{note:pro} Le prolongement analytique de $\zeta\mapsto\check{\chi}_{\rho\rho}^{[3]}$ et $\zeta\mapsto\check{\chi}_{|\Delta|\rho}^{[1]}$ du demi-plan sup\'erieur au demi-plan inf\'erieur est effectu\'e en passant \`a travers l'intervalle $[0,1]$ (reliant leurs singularit\'es en $\nu=0$ et $\nu=1$ sur l'axe r\'eel) par les substitutions $\asin\frac{1}{\sqrt{\zeta}} \to \pi-\asin\frac{1}{\sqrt{\zeta}}$ et $\sqrt{\zeta-1}\to -\sqrt{\zeta-1}$ comme dans la r\'ef\'erence \cite{PRL2019}. Le prolongement analytique du d\'enominateur au second membre des \'equations (\ref{eq:018a}) et (\ref{eq:018b}) donne pr\'ecis\'ement la fonction de \cite{PRL2019} dont $\zeta_0$ est racine. Il n'y a pas d'autre intervalle de prolongement \`a consid\'erer car le d\'enominateur de $\check{\chi}_{\rho\rho}^{[3]}$ et $\check{\chi}_{|\Delta|\rho}^{[1]}$ (\'etendu \`a $\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}$ par les relations $\Sigma_{ij}(z)=[\Sigma_{ij}(z^*)]^*$) n'a de ligne de coupure ni pour $\nu\in]-\infty,0]$ (par annulation de la densit\'e d'\'etats du continuum de paire bris\'ee) ni pour $\nu\in[1,+\infty[$ (par compensation des discontinuit\'es de $\check{\Sigma}_{11}^{[-1]}$ et $\check{\Sigma}_{22}^{[1]}$ sur cette demi-droite, qui sont un simple changement de signe).}\ \footnote{\label{note:pro2} Le prolongement analytique des fonctions $\Sigma_{ij}(z)$ de $\im z>0$ \`a $\im z<0$ est donn\'e par $\Sigma_{ij}\!\!\downarrow\!\!(z)=\Sigma_{ij}(z)-\frac{2\mathrm{i}\pi}{(2\pi)^3} \rho_{ij}(z)$ en termes des densit\'es spectrales d\'efinies sur $\mathbb{R}^+$ par $\im\Sigma_{ij}(\varepsilon+\mathrm{i} 0^+)=-\frac{\pi}{(2\pi)^3}\rho_{ij}(\varepsilon)$ \cite{Noz}, qu'il suffit ici de conna\^{\i}tre sur l'intervalle de prolongement entre les deux premiers points de branchement { $\varepsilon_1(q)=2\Delta$} et $\epsilon_2(q)$ \cite{PRL2019}. Alors $\rho_{13}(\varepsilon)=(\frac{2m}{\hbar^2})^2 \frac{\pi\varepsilon}{2 q} K(\mathrm{i}\sh\Omega)$, $\rho_{23}(\varepsilon)=0$, $\rho_{33}(\varepsilon)=(\frac{2m}{\hbar^2})^2 \frac{\pi\Delta}{q} E(\mathrm{i}\sh\Omega)$, avec $\Omega=\argch\frac{\varepsilon}{2\Delta}$. Les autres $\rho_{ij}(\varepsilon)$ figurent dans les r\'ef\'erences \cite{PRL2019,CRAS2019}.}
{ Sans surprise, sur ces figures trac\'ees en fonction de $q$, le r\'esidu $Z$ du mode du continuum est complexe, puisqu'aussi bien les fonctions de r\'eponse que l'\'energie $z_\mathbf{q}$ le sont. En pratique, la phase de $Z$ importe peu (le p\^ole est unique et sa contribution ne peut interf\'erer avec celle d'un autre p\^ole) et c'est son module qui caract\'erise le poids spectral du mode ; nous repr\'esentons donc $|Z|$ (ou plus pr\'ecis\'ement le coefficient de son ordre dominant en $q$) en fonction de la force des interactions sur la figure \ref{fig:fit}.}

\begin{figure}[t]
\centerline{\includegraphics[width=6cm,clip=]{figresa1.pdf}\hspace{2cm}\includegraphics[width=6cm,clip=]{figresb1.pdf}}
\centerline{\includegraphics[width=6cm,clip=]{figresa2.pdf}\hspace{2cm}\includegraphics[width=6cm,clip=]{figresb2.pdf}}
\caption{Poids spectral complexe du mode du continuum dans les fonctions de r\'eponse densit\'e-densit\'e (colonne a) et module-densit\'e (colonne b), c'est-\`a-dire r\'esidu $Z_{\rho\rho}$ ou $Z_{|\Delta|\rho}$ du prolongement analytique de $\chi_{\rho\rho}(\mathbf{q},z/\hbar)$ ou de $\chi_{|\Delta|\rho}(\mathbf{q},z/\hbar)$ de $\im z>0$ \`a $\im z<0$ (\`a travers l'intervalle entre leurs deux premi\`eres singularit\'es { $\varepsilon_1(q)$ et $\varepsilon_2(q)$} sur $\mathbb{R}^+$) en le p\^ole $z_\mathbf{q}$ (\'energie complexe du mode), en fonction du nombre d'onde $q$, du c\^ot\'e $\mu>0$ du raccordement CBE-BCS (\ref{eq:010}), pour $\check{\Delta}=1/2$ (ligne 1) et $\check{\Delta}=2$ (ligne 2). Les r\'esidus ont \'et\'e divis\'es par la puissance de $q$ assurant l'existence d'une limite finie et non nulle en $q=0$. En noir~: partie r\'eelle~; en rouge~: partie imaginaire. Cercles reli\'es en pointill\'e~: r\'esultats num\'eriques tir\'es des formes g\'en\'erales (\ref{eq:011})~; le prolongement analytique est effectu\'e comme dans \cite{PRL2019,CRAS2019} par la m\'ethode des densit\'es spectrales de la r\'ef\'erence \cite{Noz}, voir notre note \ref{note:pro2}. Tiret\'es horizontaux~: limite en $q=0$, tir\'ee des r\'esultats analytiques (\ref{eq:018a},\ref{eq:018b}) prolong\'es comme dans la note \ref{note:pro}. Accent tch\`eque~: adimensionnement de $\Delta$ par $\mu$ ($\check{\Delta}=\Delta/\mu$), de $q$ par $k_0=(2m\mu)^{1/2}/\hbar$ { ($\check{q}=q/k_0$)}, de $Z_{\rho\rho}$ par $k_0^3$ et de $Z_{|\Delta|\rho}$ par $\mu$. }
\label{fig:res}
\end{figure}

Cependant, les mesures physiques ont lieu sur l'axe r\'eel des pulsations. Aussi avons-nous repr\'esent\'e $\check{\chi}^{[3]}_{\rho\rho}$ et $\check{\chi}_{|\Delta|\rho}^{[1]}$ en fonction de la fr\'equence r\'eduite $\nu$ sur la figure \ref{fig:gra}, pour deux valeurs de la force des interactions. Les structures \'etroites esp\'er\'ees devraient se trouver sur l'intervalle de prolongement analytique $\nu\in [0,1]$, { presque} au-dessus du p\^ole $\zeta_0$ donc pr\`es de la ligne verticale en trait plein vert. Pour $\check{\Delta}=1/2$ { (premi\`ere ligne de la figure)}, on est dans le cas favorable $\re\zeta_0\in [0,1]$~; or, $\check{\chi}^{[3]}_{\rho\rho}$ pr\'esente, sur l'intervalle $[0,1]$, une structure en forme d'\'epaule avec un maximum et un minimum, aussi bien sur sa partie r\'eelle que sur sa partie imaginaire~; encore mieux, $\check{\chi}^{[1]}_{|\Delta|\rho}$ pr\'esente, sur le m\^eme intervalle, { une bosse assez prononc\'ee} sur sa partie r\'eelle, il est vrai assez loin de la ligne verte, et un creux assez net sur sa partie imaginaire, proche de la ligne.  Pour $\check{\Delta}=2$ { (seconde ligne de la figure)}, on est dans le cas d\'efavorable $\re\zeta_0<0$~; les fonctions de r\'eponse devraient donc garder la trace du mode du continuum sur l'intervalle $\nu\in[0,1]$ seulement au travers de l'aile de la r\'esonance complexe associ\'ee, et non plus sous forme d'extr\'ema~; malheureusement, les structures observ\'ees restent essentiellement les m\^emes que pour $\check{\Delta}=1/2$, ce qui jette un doute { affreux} sur leur lien avec le mode du continuum.\footnote{Quand $\re\zeta_0<0$, il ne faut pas en g\'en\'eral esp\'erer voir de { bosse} ou de creux associ\'e au mode du continuum dans les fonctions de r\'eponse sur l'intervalle $\nu\in]-\infty,0[$. En effet, cet intervalle physique est s\'epar\'e du p\^ole par le bout de la ligne de coupure $[0,1]$ qu'il a fallu rabattre sur $]-\infty, 0]$ pour effectuer le prolongement analytique, l'autre bout \'etant rabattu sur $[1,+\infty[$.}

\begin{figure}[t]
\centerline{\includegraphics[width=6cm,clip=]{figgraa1.pdf}\hspace{2cm}\includegraphics[width=6cm,clip=]{figgrab1.pdf}}
\centerline{\includegraphics[width=6cm,clip=]{figgraa2.pdf}\hspace{2cm}\includegraphics[width=6cm,clip=]{figgrab2.pdf}}
\caption{Premier coefficient sensible au mode du continuum  dans le d\'eveloppement \`a faible nombre d'onde $q$ (\ref{eq:018a}, \ref{eq:018b}) des fonctions de r\'eponse densit\'e-densit\'e (colonne a, ordre $q^3$) et module-densit\'e (colonne b, ordre $q$), du c\^ot\'e $\mu>0$ du raccordement CBE-CBS (\ref{eq:010}), pour $\check{\Delta}=1/2$ (ligne 1) et $\check{\Delta}=2$ (ligne 2), { en fonction de la fr\'equence r\'eduite $\nu$ de l'\'equation (\ref{eq:013}) (utiliser la variable $\nu$ plut\^ot que $\omega$ revient \`a regarder astucieusement l'axe des pulsations autour de $2\Delta/\hbar$ avec un grossissement divergent $\propto q^{-2}$ compensant exactement le r\'etr\'ecissement du mode du continuum lorsque $q\to 0$).} Trait plein noir~: partie r\'eelle~; trait plein rouge~: partie imaginaire. Pointill\'es verticaux~: positions $\nu=0$ et $\nu=1$ des singularit\'es. Ligne verticale verte~: partie r\'eelle r\'eduite $\re\zeta_0$ de l'\'energie { complexe} du mode du continuum. Les extr\'ema indiqu\'es par une fl\`eche sont une marque physique du mode du continuum sur l'axe r\'eel des fr\'equences (voir le texte et la figure \ref{fig:lie}). Accent tch\`eque~: adimensionnement de $\Delta$ par $\mu$, de $q$ par $k_0=(2m\mu)^{1/2}/\hbar$, de $\chi_{\rho\rho}(\mathbf{q},\omega)$ par $k_0^3/\mu$~; $\chi_{|\Delta|\rho}(\mathbf{q},\omega)$ est d\'ej\`a sans dimension.}
\label{fig:gra}
\end{figure}

Pour voir ce qu'il en est vraiment, nous effectuons un prolongement analytique des coefficients $\check{\chi}^{[3]}_{\rho\rho}(\zeta)$ et $\check{\chi}_{|\Delta|\rho}^{[1]}(\zeta)$ au demi-plan complexe inf\'erieur $\im\zeta<0$ comme dans la note \ref{note:pro}, puis nous rep\'erons la position des extr\'ema de la partie r\'eelle ou de la partie imaginaire de ces coefficients, c'est-\`a-dire leur abscisse $\nu_R$, sur la droite horizontale $\zeta=\nu_R+\mathrm{i}\nu_I$ d'ordonn\'ee fix\'ee $\nu_I$, et nous tra\c{c}ons enfin le lieu de ces extr\'ema lorsque $\nu_I$ varie dans l'intervalle $]\im\zeta_0,0]$, voir la figure \ref{fig:lie}. Ce lieu est la r\'eunion de lignes continues (ses composantes connexes)~; certaines, mais pas toutes\footnote{Une ligne de maxima et une ligne de minima de $\re\chi$ ($\im\chi$) peuvent { se rejoindre} en un point d'arr\^et o\`u $\re\partial_{\nu_R}^2\chi\!=\!0$ ($\im\partial_{\nu_R}^2\chi\!=\!0$).}, convergent vers le p\^ole $\zeta_0$.\footnote{En $\zeta_0$, on s'attend en g\'en\'eral \`a voir converger une ligne de minima et une ligne de maxima de la partie r\'eelle et de la partie imaginaire, soit quatre lignes au total. En effet une fonction m\'eromorphe $f(\zeta)$ au voisinage de son p\^ole $\zeta_0$ est \'equivalente \`a $Z/(\zeta-\zeta_0)$, o\`u $Z$ est le r\'esidu. Des d\'ecompositions en partie r\'eelle et imaginaire $Z=a+\mathrm{i} b$, $\zeta-\zeta_0=x+\mathrm{i} y$, et du changement d'\'echelle $x=y X$, o\`u $y>0$ est la distance de la droite horizontale $\zeta=\nu_R+\mathrm{i}\nu_I$ au p\^ole, nous tirons $f(\zeta)\sim y^{-1} (\frac{a X+b}{X^2+1} +\mathrm{i} \frac{bX-a}{X^2+1})$. Or, pour tout $u\in\mathbb{R}$, la fonction $X\mapsto (X+u)/(X^2+1)$ admet sur $\mathbb{R}$ un minimum en $-u-\sqrt{1+u^2}$ et un maximum en $-u+\sqrt{1+u^2}$. Donc, si $a\neq 0$ ($b\neq 0$), on voit converger vers $\zeta_0$ deux lignes d'extr\'ema de la partie r\'eelle (imaginaire). Pour $\check{\Delta}=1/2$, la ligne des minima de $\re\check{\chi}^{[3]}_{\rho\rho}$ arrive presque horizontalement ({ par} la droite, avec une pente $\simeq -a/2b$, { voir la figure \ref{fig:lie}a1}) car le r\'esidu est presque imaginaire pur, $\check{Z}_{\rho\rho}\sim (-0,003+0,04\mathrm{i})\check{q}^5$ comme on le voit sur la figure \ref{fig:res}a1.} Tout extr\'emum de $\check{\chi}^{[3]}_{\rho\rho}$ ou $\check{\chi}_{|\Delta|\rho}^{[1]}$ sur l'intervalle r\'eel $\nu \in ]0,1[$ reli\'e contin\^ument au p\^ole par une de ces lignes est indubitablement une marque physique du mode du continuum, observable dans la fonction de r\'eponse associ\'ee~; les autres extr\'ema sur l'axe r\'eel n'en sont pas. D'o\`u le verdict sur la figure \ref{fig:gra}~: pour $\check{\Delta}=1/2$, seuls le maximum de $\re\check{\chi}^{[3]}_{\rho\rho}$, le maximum de $\im\check{\chi}^{[3]}_{\rho\rho}$, le maximum de $\re\check{\chi}_{|\Delta|\rho}^{[1]}$ et le minimum de $\im\check{\chi}_{|\Delta|\rho}^{[1]}$ sur $\nu\in]0,1[$ sont des marques physiques du mode du continuum~; pour $\check{\Delta}=2$, c'est le cas seulement du maximum de $\re\check{\chi}^{[3]}_{\rho\rho}$, du maximum de $\im\check{\chi}^{[3]}_{\rho\rho}$ et du maximum de $\re\check{\chi}_{|\Delta|\rho}^{[1]}$ sur $\nu\in]0,1[$.

\begin{figure}[t]
\centerline{\includegraphics[width=6cm,clip=]{nfigliea1.pdf}\hspace{2cm}\includegraphics[width=6cm,clip=]{nfiglieb1.pdf}}
\centerline{\includegraphics[width=6cm,clip=]{nfigliea2.pdf}\hspace{2cm}\includegraphics[width=6cm,clip=]{nfiglieb2.pdf}}
\caption{Lieu des extr\'ema des fonctions de la partie r\'eelle $\nu_R\mapsto\re\chi^{[n]}\!\!\!\downarrow\!\!(\zeta=\nu_R+\mathrm{i}\nu_I)$ (en noir) et $\nu_R\mapsto\im\chi^{[n]}\!\!\!\downarrow\!\!(\zeta=\nu_R+\mathrm{i}\nu_I)$ (en rouge) lorsque la partie imaginaire $\nu_I$ de $\zeta$ varie. Ici $\chi^{[n]}\!\!\!\downarrow\!\!(\zeta)$ est le coefficient de $q^n$ dans le d\'eveloppement \`a faible $q$ de la susceptibilit\'e $\chi(\mathbf{q},\omega)$ \`a $\nu$ fix\'e dans (\ref{eq:013}), voir les \'equations (\ref{eq:018a},\ref{eq:018b}), prolong\'e analytiquement de $\im\zeta>0$ \`a $\im\zeta<0$ \`a travers $\nu\in[0,1]$ comme l'indique la fl\`eche $\downarrow$ dans la notation $\chi\!\!\downarrow$. Colonne (a)~: $\chi=\chi_{\rho\rho}$ et $n=3$~; colonne (b)~: $\chi=\chi_{|\Delta|\rho}$ et $n=1$. Le gaz de fermions est dans le raccordement CBE-BCS du c\^ot\'e $\mu>0$~: $\Delta/\mu=1/2$ (ligne 1) et $\Delta/\mu=2$ (ligne 2). Trait plein~: l'extr\'emum est un maximum. Tiret\'e~: l'extr\'emum est un minimum. Croix bleue~: \'energie complexe r\'eduite $\zeta_0$ du mode du continuum. Pointill\'es verticaux~: positions $\nu=0$ et $\nu=1$ des singularit\'es de $\chi^{[n]}(\nu)$ sur l'axe r\'eel.}
\label{fig:lie}
\end{figure}

En d\'efinitive, il reste \`a voir jusqu'\`a quel point on peut extraire la position et le poids spectral du mode du continuum de mesures des fonctions de r\'eponse sur l'intervalle de fr\'equence r\'eduite $\nu\in [0,1]$. \`A cette fin, nous proposons un ajustement tr\`es simple des susceptibilit\'es $\chi(\mathbf{q},\omega)$ par la somme de la contribution du p\^ole du mode collectif et d'un fond affine lentement variable d\'ecrivant la r\'eponse large du continuum~:
\begin{equation}
\label{eq:022}
\check{\chi}_{|\Delta|\rho}^{[1]}(\nu)|_{\rm ajust} = \frac{A}{\nu-B} +C +D\nu \quad (A,B,C,D\in\mathbb{C})
\end{equation}
en prenant l'exemple de la r\'eponse module-densit\'e limit\'ee \`a son ordre dominant en $q$. La fonction d'ajustement est \'equilibr\'ee dans sa recherche de pr\'ecision, puisqu'elle d\'ecrit le fond avec le m\^eme nombre de param\`etres ajustables complexes ($C$ et $D$) que la r\'esonance ($A$ et $B$), soit un param\`etre de plus que dans la r\'ef\'erence \cite{PRL2019}. L'ajustement est effectu\'e sur un sous-intervalle $[\nu_1,\nu_2]$ de $[0,1]$ afin d'\'eviter les singularit\'es aux bornes. Le r\'esultat est tr\`es encourageant pour la r\'eponse module-densit\'e, voir la figure \ref{fig:fit}a~: on obtient une bonne approximation de l'\'energie complexe et du poids spectral du mode, m\^eme pour $\check{\Delta}>1,21$ o\`u $\re \zeta_0<0$ et o\`u le p\^ole n'est plus en dessous de l'intervalle de prolongement analytique (et de mesure) $\nu\in [0,1]$. En revanche, le r\'esultat est mauvais pour la r\'eponse densit\'e-densit\'e, voir la figure \ref{fig:fit}b, sauf peut-\^etre pour la largeur de la r\'esonance. Pour comprendre cette diff\'erence de succ\`es suivant l'observable $|\Delta|$ ou $\rho$, nous avons calcul\'e la hauteur relative $h_{\rm rel}$ de la contribution de la r\'esonance sur le fond.\footnote{La fonction $\chi(\nu)$ \'etant donn\'ee, on d\'efinit le fond par $F(\nu)=\chi(\nu)-Z_0/(\nu-\zeta_0)$, $\zeta_0$ \'etant le p\^ole du prolongement analytique de $\chi$ au demi-plan complexe inf\'erieur et $Z_0$ le r\'esidu associ\'e. Alors $h_{\rm rel}=|Z_0/(\nu_0-\zeta_0)|/|F(\nu_0)|$ avec $\nu_0=\max(\nu_1,\re\zeta_0)$.} Pour $\check{\Delta}<2$, nous trouvons toujours que $h_{\rm rel}>1$ pour le module du param\`etre d'ordre, mais que $h_{\rm rel}<1$ pour la densit\'e. Par exemple, pour $\check{\Delta}=1/2$, $h_{\rm rel}^{|\Delta|\rho}\simeq 1,\!8$ alors que $h_{\rm rel}^{\rho\rho}\simeq 0,\!37$. Le probl\`eme est donc que la r\'esonance complexe n'\'emerge pas assez du fond dans la r\'eponse densit\'e-densit\'e. Ce probl\`eme devient r\'edhibitoire dans la limite d'interaction faible, o\`u $h_{\rm rel}^{\rho\rho}\to 0$, alors qu'il ne se pose pas pour le module, puisque $h_{\rm rel}^{|\Delta|\rho}\to 2,\!338\ldots$ pour $\nu_1<\re\zeta_0$, voir la section \ref{sec:bcs}.

\begin{figure}[t]
\centerline{\includegraphics[width=6cm,clip=]{figfita.pdf}\hspace{2cm}\includegraphics[width=6cm,clip=]{figfitb.pdf}}
\caption{Extraction de l'\'energie complexe du mode du continuum et de son poids spectral par un ajustement \`a quatre param\`etres complexes (\ref{eq:022}) des fonctions de r\'eponse $\chi(\mathbf{q},\omega)$ dans le raccordement CBE-BCS du c\^ot\'e $\mu>0$ { (la valeur $\check{\Delta}=0,2$ correspondant \`a $k_{\rm F}a\simeq -1$ dans la th\'eorie BCS}). (a) Par ajustement du coefficient $\check{\chi}^{[1]}_{|\Delta|\rho}(\nu)$ de $\check{q}$ dans le d\'eveloppement (\ref{eq:018b}) de la fonction de r\'eponse module-densit\'e. (b) Idem pour le coefficient $\check{\chi}^{[3]}_{\rho\rho}(\nu)$ de $\check{q}^3$ dans (\ref{eq:018a}). En noir (rouge)~: partie r\'eelle (imaginaire) du coefficient $\zeta_0$ dans le d\'epart quadratique (\ref{eq:012}) de l'\'energie complexe. En vert~: poids spectral $\Pi_0$ du mode dans la fonction de r\'eponse consid\'er\'ee (c'est le module du r\'esidu du prolongement analytique de $\check{\chi}^{[n]}$ en $\zeta_0$, si bien que $\Pi_0=\lim_{\check{q}\to 0} \check{\Delta}|\check{Z}_{|\Delta|\rho}|/\check{q}^3$ dans (a) et $\Pi_0=\lim_{\check{q}\to 0} \check{\Delta}|\check{Z}_{\rho\rho}|/\check{q}^5$ dans (b), o\`u les $\check{Z}$ sont ceux de la figure \ref{fig:res} { et on a tenu compte du changement d'\'echelle (\ref{eq:013})}). Trait plein~: valeurs exactes. Tiret\'e~: valeurs tir\'ees de l'ajustement sur l'intervalle de fr\'equence r\'eduite $\nu\in [1/10,9/10]$. Pointill\'e~: idem pour $\nu\in [1/5, 4/5]$. L'intervalle d'ajustement a \'et\'e discr\'etis\'e en 60 points r\'eguli\`erement espac\'es. Noter le facteur $100$ sur $\Pi_0$ dans (b).}
\label{fig:fit}
\end{figure}

\section{Dans la limite BCS d'interaction faible}
\label{sec:bcs}

Le r\'egime d'attraction faible $k_F a\to 0^-$, bien que peu pertinent pour les exp\'eriences d'atomes froids, pr\'esente un certain int\'er\^et th\'eorique~: c'est en effet l\`a que la th\'eorie BCS utilis\'ee est la plus quantitative et la plus fiable. Une fa\c{c}on astucieuse de prendre la limite continue de notre mod\`ele sur r\'eseau correspond \`a la cha\^{\i}ne d'in\'egalit\'es $0 < -a \ll b \ll 1/k_F$~: on peut continuer \`a remplacer le domaine d'int\'egration $\mathcal{D}$ par $\mathbb{R}^3$ dans la d\'efinition des $\Sigma_{ij}$, mais comme $|a|/b \ll 1$, l'interaction entre fermions est d\'esormais dans le r\'egime de Born de la th\'eorie de la diffusion, si bien que l'on peut approximer $g_0$ par $g$ dans la matrice (\ref{eq:007}),
\begin{equation}
\label{eq:023}
g_0 \to g
\end{equation}
et que le d\'eplacement de champ moyen de Hartree subsiste dans le spectre BCS, avec $\xi_\mathbf{k}=E_\mathbf{k}-\mu+\rho g/2$. \`A l'ordre un en $k_F a$, l'\'equation d'\'etat du gaz \`a temp\'erature nulle contient justement ce terme de Hartree, $\mu=\varepsilon_F+\rho g/2$~; le spectre BCS correspondant vaut simplement $\varepsilon_\mathbf{k}=[(E_\mathbf{k}-\varepsilon_F)^2+\Delta^2]^{1/2}$, en accord avec la r\'ef\'erence \cite{AndrianovPopov}, et atteint son minimum au nombre d'onde $k_0=k_F$.

Les expressions (\ref{eq:011}) des fonctions de r\'eponse obtenues pour $g_0=0$ ne suffisent plus. Recalculons-les en partant des expressions g\'en\'erales (\ref{eq:009a},\ref{eq:009b}) et en y effectuant la substitution (\ref{eq:023}). En proc\'edant comme dans la note \ref{note:Cramer}, nous obtenons\footnote{Dans le d\'eterminant de Cramer $3\times 3$ au num\'erateur de $\chi_{|\Delta|\rho}$, on ajoute \`a la troisi\`eme colonne la deuxi\`eme multipli\'ee par $g$ pour se ramener \`a un d\'eterminant $2\times 2$.}
\begin{equation}
\label{eq:025}
\chi_{\rho\rho}=\frac{2\left|\begin{array}{lll} \Sigma_{11} & \Sigma_{12} & \Sigma_{13} \\ \Sigma_{12} & \Sigma_{22} & \Sigma_{23} \\ \Sigma_{13} & \Sigma_{23} & \Sigma_{33} \end{array}\right|}{\det M}\,,\quad\quad
\chi_{|\Delta|\rho} = \frac{\left|\begin{array}{ll} \Sigma_{11} & \Sigma_{13}\\ \Sigma_{12} & \Sigma_{23} \end{array}\right|}{\det M}
\end{equation}
en sous-entendant que les $\chi$ sont \'evalu\'es en $(\mathbf{q},\omega)$ et les $\Sigma_{ij}$ en $(z=\hbar\omega+\mathrm{i} 0^+,\mathbf{q})$. Or, le d\'eterminant $\det M$ est une fonction lin\'eaire du troisi\`eme vecteur colonne de $M$, si bien que
\begin{equation}
\label{eq:026}
\det M =  \left|\begin{array}{ll} \Sigma_{11} & \Sigma_{12}\\ \Sigma_{12} & \Sigma_{22} \end{array}\right|
- g  \left|\begin{array}{lll} \Sigma_{11} & \Sigma_{12} & \Sigma_{13}\\ \Sigma_{12} & \Sigma_{22} & \Sigma_{23} \\ \Sigma_{13} & \Sigma_{23} & \Sigma_{33} \end{array}\right|
\end{equation}
En divisant (\ref{eq:025}) haut et bas par le premier terme au second membre de (\ref{eq:026}), nous faisons appara\^{\i}tre les susceptibilit\'es (\ref{eq:011}) obtenues pour $g_0=0$, que nous notons $\chi^{g_0=0}$, et qui permettent donc d'\'ecrire tr\`es simplement les susceptibilit\'es cherch\'ees \`a $g_0=g$ non nul~:
\begin{equation}
\label{eq:027}
\chi_{\rho\rho}= \frac{\chi_{\rho\rho}^{g_0=0}}{1-\frac{g}{2}\chi_{\rho\rho}^{g_0=0}}\,, \quad\quad \chi_{|\Delta|\rho}=\frac{\chi_{|\Delta|\rho}^{g_0=0}}{1-\frac{g}{2}\chi_{\rho\rho}^{g_0=0}}
\end{equation}
Les formes (\ref{eq:027}) sont typiques de la th\'eorie de la RPA \cite{Anderson}, \`a laquelle notre th\'eorie BCS d\'ependant du temps lin\'earis\'ee est \'equivalente \`a des fluctuations quantiques entrantes pr\`es \cite{HadrienThese}. De telles formes (mais pas les expressions explicites que nous en donnons) apparaissent d\'ej\`a dans les r\'ef\'erences \cite{crrth2,crrth3}.

Il est donc facile de reprendre l'\'etude des fonctions de r\'eponse au voisinage du mode du continuum \`a faible nombre d'onde, en faisant tendre $q$ vers z\'ero \`a fr\'equence r\'eduite $\nu$ fix\'ee comme dans (\ref{eq:013}). Comme $\chi_{\rho\rho}^{g_0=0}(\mathbf{q},\omega)$ varie alors au second ordre en $q$, les d\'enominateurs dans (\ref{eq:027}) peuvent \^etre approxim\'es par $1$ et les r\'esultats (\ref{eq:018a},\ref{eq:018b}) se transposent directement. De mani\`ere remarquable, toute la discussion \`a faible $q$ de la section \ref{sec:CBE-BCS} est en fait ind\'ependante de la valeur pr\'ecise de $g_0$ et s'applique aussi au cas $g_0=g$, exception faite bien s\^ur de la valeur de la fonction $\xi_\mathbf{k}$ et du spectre BCS $\varepsilon_\mathbf{k}$, ainsi que de la position $k_0$ de son minimum.

Dans la pr\'esente limite $k_F a\to 0^-$, le param\`etre d'ordre \`a l'\'equilibre tend exponentiellement vers z\'ero, $\Delta/\varepsilon_F\sim 8\mathrm{e}^{-2}$ $\exp(-\pi/2 k_F |a|)$ selon la th\'eorie BCS \cite{Randeriavert}. Ceci permet de simplifier grandement nos r\'esultats. Donnons ainsi le coefficient de $\check{q}^3$ et de $\check{q}$ dans les d\'eveloppements limit\'es (\ref{eq:018a},\ref{eq:018b}) des fonctions de r\'eponse \`a l'ordre dominant en $\Delta$~:\footnote{On utilise la section 4.6.3 de la r\'ef\'erence \cite{CRAS2019} pour $\Sigma_{12}$ et le d\'eveloppement connu des int\'egrales elliptiques pour le reste. Les d\'eveloppements (\ref{eq:018a},\ref{eq:018b}) supposent que $q\xi\ll 1$ donc $\check{q}\ll \check{\Delta}$, d'o\`u l'ordre des limites $q\to 0$ puis $\Delta\to 0$.}
\begin{eqnarray}
\label{eq:028a}
\check{\chi}_{\rho\rho}^{[3]}(\nu)\underset{\check{\Delta}\to 0}{\sim} \frac{(\zeta-2)\sqrt{\zeta-1}+\zeta^2\asin \frac{1}{\sqrt{\zeta}} -\frac{2(\zeta-1)}{\asin \frac{1}{\sqrt{\zeta}}}}{32\mathrm{i}\pi \check{\Delta}^3}   \\
\label{eq:028b}
\check{\chi}_{|\Delta|\rho}^{[1]}(\nu)\underset{\check{\Delta}\to 0}{\sim} \frac{2}{\mathrm{i}\pi}\left[\frac{1+\zeta \ln \frac{\check{\Delta}}{8\mathrm{e}}}{\zeta\asin \frac{1}{\sqrt{\zeta}} +\sqrt{\zeta-1}} -\frac{\frac{1}{2} \ln \frac{\check{\Delta}}{8\mathrm{e}}}{\asin \frac{1}{\sqrt{\zeta}}}\right]
\end{eqnarray}
o\`u les \'energies sont cette fois en unit\'es de $\varepsilon_F$ ($\check{\Delta}=\Delta/\varepsilon_F$) et les nombres d'onde en unit\'es de $k_0=k_F$ ($\check{q}=q/k_F$).  \`A cet ordre, au contraire de la r\'eponse en module, la r\'eponse en densit\'e ne pr\'esente plus de p\^ole dans son prolongement analytique donc ne porte aucune trace du mode du continuum\footnote{Il faut d\'evelopper $\check{\chi}_{\rho\rho}^{[3]}(\zeta)$ \`a l'ordre $\check{\Delta}^{-1}$ pour trouver un p\^ole dans son prolongement analytique, de r\'esidu  $\zeta_0^{(0)} (1+\zeta_0^{(0)}\ln\frac{\check{\Delta}}{8\mathrm{e}})^2/(2\mathrm{i}\pi^3\check{\Delta}\sqrt{\zeta_0^{(0)}-1})$ avec $\zeta_0^{(0)}\simeq 0,2369-0,2956\mathrm{i}$.}~; d'ailleurs, sur l'intervalle ouvert $\nu\in]0,1[$, sa partie r\'eelle (imaginaire) est une fonction purement croissante (d\'ecroissante) de $\nu$, sans extr\'emum, en contraste avec la figure \ref{fig:gra}a1.

\section{Conclusion}
\`A temp\'erature nulle, dans l'approximation BCS d\'ependant du temps, nous avons calcul\'e la r\'eponse lin\'eaire { $\chi(\mathbf{q},\omega)$} d'un gaz superfluide de fermions de spin $1/2$ \`a une excitation de Bragg de vecteur d'onde $\mathbf{q}$ et de pulsation $\omega$, comme on sait bien en r\'ealiser dans une exp\'erience d'atomes froids. Pour un potentiel chimique $\mu>0$, nous avons \'etudi\'e cette r\'eponse analytiquement dans la limite des faibles nombres d'onde $q\to 0$, l'\'ecart de $\hbar\omega$ au bord $2\Delta$ du continuum de paire bris\'ee \'etant mis \`a l'\'echelle $\propto q^2$ de celui de l'\'energie complexe $z_\mathbf{q}$ du mode du continuum, mode \`a ce jour inobserv\'e ; { bien que de nombreux travaux th\'eoriques aient \'et\'e consacr\'es aux fonctions de r\'eponse d'un superfluide de fermions, nos r\'esultats analytiques sur $\chi$ dans cette \'etroite fen\^etre de fr\'equence $\hbar\omega -2 \Delta =O(q^2)$ sont \`a notre connaissance originaux.} Dans le raccordement CBE-BCS o\`u le param\`etre d'ordre $\Delta$ est comparable \`a $\mu$, le mode du continuum est \`a l'origine de { bosses} ou de creux en fr\'equence dans les fonctions de r\'eponse en densit\'e et en module du param\`etre d'ordre. Un ajustement simple de ces fonctions par la somme d'une r\'esonance complexe et d'un fond affine en fr\'equence permet d'estimer l'\'energie complexe $z_\mathbf{q}$ et le poids spectral du mode, avec une bonne pr\'ecision pour la r\'eponse en module, m\^eme lorsque $\re z_\mathbf{q}<2\Delta$ donc que le mode n'est pas sous l'intervalle de prolongement analytique (dans la th\'eorie) et de mesure (dans l'exp\'erience). Ceci laisse augurer une observation prochaine.

\section*{Remerciements}
L'int\'er\^et de cette \'etude nous est apparu lors d'une discussion avec Chris Vale au congr\`es BEC 2019 \`a Sant Feliu de Guixols. Nous remercions aussi Hadrien Kurkjian pour d'utiles remarques sur le calcul de la fonction de r\'eponse densit\'e-densit\'e, { m\^eme s'il a pr\'ef\'er\'e finalement collaborer avec d'autres sur le sujet \cite{arxiv}}. { Remarquons pour terminer que la date de soumission du pr\'esent travail est tr\`es post\'erieure \`a celle de la pr\'epublication correspondante \cite{hal} ; nous avons d\^u en effet retirer notre pr\'ec\'edente soumission \`a une revue qui s'est r\'ev\'el\'ee incapable de produire un rapport d'expertise.}

redpajama_set_name: RedPajamaArXiv


text:
Список дипломатических миссий Объединённых Арабских Эмиратов — перечень дипломатических миссий (посольств) и генеральных консульств Объединённых Арабских Эмиратов в странах мира (не включает почётных консульств).

Европа

 Вена (посольство)

 Ереван (посольство)

 Минск (посольство)

 Брюссель (посольство)

 Лондон (посольство)

 Берлин (посольство)
 Мюнхен (генеральное консульство)

 Афины (посольство)

 Дублин (посольство)

 Мадрид (посольство)

 Рим (посольство)

 Гаага (посольство)

 Варшава (посольство)

 Лиссабон (посольство)

 Москва (посольство)

 Бухарест (посольство)

 Париж (посольство)

 Подгорица (посольство)

 Стокгольм (посольство)

Азия

 Кабул (посольство)

 Дакка (посольство)

 Ханой (посольство)

 Нью-Дели (посольство)
 Мумбаи (генеральное консульство)

 Джакарта (посольство)

 Астана (посольство)

 Пекин (посольство)
 Гонконг (генеральное консульство)
 Шанхай (генеральное консульство)

 Сеул (посольство)

 Куала-Лумпур (посольство)

 Исламабад (посольство)
 Карачи (генеральное консульство)

 Сингапур (посольство)

 Бангкок (посольство)

 Ашхабад (посольство)

 Ташкент (посольство)

 Манила (посольство)

 Коломбо (посольство)

 Токио (посольство)

Средний Восток

 Манама (посольство)

 Амман (посольство)

 Багдад (посольство)

 Сана (посольство)

 Доха (посольство)

 Кувейт (посольство)

 Бейрут (посольство)

 Маскат (посольство)

 Эр-Рияд (посольство)
 Джидда (генеральное консульство)

 Дамаск (посольство)

 Анкара (посольство)
 Стамбул (генеральное консульство)

Америка

 Буэнос-Айрес (посольство)

 Бразилиа (посольство)

 Оттава (посольство)

 Мехико (посольство)

 Вашингтон (посольство)
 Нью-Йорк (генеральное консульство)

Африка

 Алжир (посольство)

 Каир (посольство)

 Триполи (посольство)

 Нуакшот (посольство)

 Рабат (посольство)

 Абуджа (посольство)

 Дакар (посольство)

 Хартум (посольство)

 Дар-эс-Салам (посольство)

 Тунис (посольство)

 Претория (посольство)

Океания

 Канберра (посольство)

Международные организации
 Брюссель (представительство при ООН)
 Женева (постоянное представительство при ООН и других международных организациях)
 Каир (постоянное представительство при ЛАГ)
 Нью-Йорк (постоянное представительство при ООН)

Примечания

Ссылки

Внешняя политика Объединённых Арабских Эмиратов
Объединённые Арабские Эмираты

redpajama_set_name: RedPajamaWikipedia


text:
Tit Vini (en llatí Titus Vinius) era un polític romà que va viure al .

Durant el Segon Triumvirat va ser proscrit, l'any 43 aC. La seva dona Tanúsia el va aconsellar d'amagar-se i així ho va fer, posant-se dins d'un cofre a la casa del seu llibert Filopemen, i va fer creure que havia mort. Més tard va obtenir el perdó d'Octavi (August) que va elevar a Filopemen al rang eqüestre per la seva fidelitat al seu antic amo, segons expliquen Suetoni i Dió Cassi.

Referències

Polítics romans del període 49 a 31 aC


text:
How to Fix an Office Chair Leaning to One Side 2022
Your office chair should lean back for comfort, but there's a definite problem if it's leaning to one side or the other. In most cases, the culprit is either a broken caster along the floor or a loose or bent seat plate beneath where you're sitting. Flip the chair over, take a good look, grab a few tools, and see if you can fix the problem yourself. Otherwise, it may be time for a new chair!
Method 1 of 2:Replacing Uneven Casters
1Check for uneven casters with the chair both upright and upside-down. If a caster—one of the wheels at the bottom of the chair that can rotate both vertically and horizontally—is bent or deformed, the chair will lean in its direction. With the chair upright, confirm that each caster is in contact with the floor. Then, flip the chair over and check each caster for signs of damage.
Casters can bend or break due to uneven weight distribution, manufacturing flaws, or general wear-and-tear.
If your chair is on a very uneven floor, the casters won't all touch when you're not sitting in the chair, and you'll lean to the "low" side of the floor while sitting. You can't really blame the chair for that!
2Buy a matching set of new casters if you find any broken ones. If you spot a bad caster, your best move is to pull and replace the entire set. It's hard to buy a single replacement caster anyway, so it makes sense to replace them all with a new set. Contact the manufacturer of your office chair, give them your chair's model number, and order a set of matching casters.
Alternatively, wait until you pull off all the old casters, then take one with you to an office supply store and use it to find a matching replacement set. Pay particular attention to matching the shape and size of the caster stems, which insert into sockets at the bottom of the chair.
If all the casters are in good shape, and the chair is on a level floor, skip ahead to checking the second most likely cause of a leaning chair—the seat plate.
3Pull each caster straight out to remove it. Most office chair casters are secured simply by the snug fit of the caster's stem into the chair's socket. Grasp the wheel of the caster with one hand and the bottom of the chair with your other hand, then pull firmly. More likely than not, the caster will pop out.
If you can't pull a caster free with your hands, wedge the blade of a flat-head screwdriver into the small gap at the meeting point of the caster and the chair. Use the blade as a lever by slowly working it back and forth. Once you've worked about 1 cm (0.39 in) of the caster stem out of the chair socket, pull on the caster wheel again.
In rare cases, the casters are secured to the bottom of the chair with screws. If you see screw heads where the caster connects to the chair, use a screwdriver to loosen the screws and take off the caster.
4Apply a small amount of spray lubricant to each chair base socket. Use a spray lubricant like WD-40 for this job. Insert the straw into the spray nozzle, stick it into each socket, and give each a quick spray—half of a second per socket is plenty.
Casters usually pull out of the sockets more easily than they go into them. Lubricating the sockets makes the process easier.
If you don't have a lubricating spray, rub a pea-sized amount of petroleum jelly (e.g., Vaseline) onto the stem of each caster instead.
5Tap each caster into its chair socket with a rubber mallet. Line up a caster stem with its intended socket and give the caster a good push by hand. If you're lucky, it will pop into place! If not, grab a rubber mallet and tap lightly on the caster until the stem is fully inserted into the socket.
If the caster's design provides you with room to tap near the base of the stem rather than at the bottom of the wheel, do so. This reduces your chances of deforming or breaking your new caster!
6Flip the chair over and test out the new casters. Take a seat on the chair. If it rolls smoothly and evenly and doesn't lean to one side anymore, you're all finished! If the chair is still leaning, however, move on to checking the seat plate for damage.
Method 2 of 2:Repairing the Seat Plate
1Lay the chair on its side and identify the metal seat plate. The seat plate is normally a piece of painted black steel in a roughly square shape, located on the underside of the chair's seat. The cylindrical column that serves as the single "leg" of the chair connects to the seat plate, as do any levers used for adjusting the seat height and tilt.
2Tighten loose screws, replace missing screws, and test the chair. Most seat plates are secured by 4 screws that drive up into the underside of the seat. If any of the screws are loose, turn clockwise with a screwdriver to tighten them. If any are missing, remove one of the existing screws, use it to find a match, and install the screws securely.
Find a matching screw by rummaging through your junk drawer or, better yet, by taking one of the existing screws to a hardware store.
Flip the chair upright and sit on it after tightening or replacing any screws. If it still leans, keep searching!
3Check the seat plate for bent metal if the chair still leans. Office chair seat plates aren't perfectly flat, but your plate's bends, dents, bumps, and holes should be symmetrical and even. If the plate looks deformed, damaged, or worn out, it should be replaced.
At this point, you may decide that it's preferable to just buy a new office chair. However, if it's an expensive chair, it's likely more cost-effective to remove and replace the seat plate.
4Tap off the chair's"feet"and cylindrical column with a rubber mallet. With the chair tipped on its side, grasp the cylindrical column firmly in one hand. With your other hand, tap the rubber mallet against the seat plate, close to where it connects to the cylinder. A few good raps with the mallet will pop everything below the seat plate—namely, the cylindrical column and the "feet" that spread out from it—free of the seat plate and the upper section of the chair.
Smacking the seat plate with the mallet may dent it, which isn't a problem in this case since you're replacing the plate. If, however, you're disassembling the chair and plan to use the same seat plate, strike the underside of the chair right next to the plate instead.
5Remove all the screws and pull the seat plate from the chair. As mentioned earlier, most seat plates are held in place with 4 screws. Turn counterclockwise with a screwdriver to remove these screws and pull the seat plate free. Keep the screws as replacements in case you lose any of the screws that come with the new seat plate.
6Use the removed seat plate to select a matching replacement. Write down the brand and model number of the chair (if you have this information), bring the seat plate to an office supply store, and purchase an exact replacement. Alternatively, contact the manufacturer and order a matching seat plate.
Seat plates are not universal, so a generic replacement is unlikely to fit or function correctly.
7Screw the new plate into the underside of the chair. Line up the screw holes in the seat plate with those in the underside of the seat. Insert a screw, turn clockwise with your screwdriver until the screw is firmly in place, and repeat with the other screws.
8Attach the cylinder and"feet"to the new plate by pressing firmly. Stand the detached lower half of the chair upright on the floor, with the"feet"down and the cylindrical column pointing up. Hold the upper half of the chair over the lower half and line up the socket in the new base with the stem at the top of the column. Press the top half down firmly until you hear the stem pop into place.
If you're having trouble popping the column's stem into place, apply a small amount of spray lubricant (such as WD-40) into the socket, or rub a pea-sized amount of petroleum jelly (like Vaseline) onto the stem.
You can now test out the chair. If it no longer leans to the side, congratulations! If, however, you've replaced the casters and the seat plate and the chair still leans, strongly consider investing in a new office chair.
How to Fix an Office Chair Leaning to One Side
Cómo Inclinar La Silla De Oficina
как раскинуть офисное кресло
How to Care for Slugs
If you are looking for an unusual pet, a slug is a great choice. Slugs are easy to care for and they are good for both older and younger kids. This he...
HOW TO: Survive a Social Media Revolt
Muhammad Saleem is a social media consultant and a top-ranked community member on multiple social news sites. You can follow him on TwitterIt often st...
How to Build Natural Swimming Pools
Natural swimming pools are a great way to take a dip without swimming in chemicals. They use plants and other natural details to filter the water and ...
6 Uses for Foursquare You Never Considered
Image: , Isar ChangFoursquare, the location-based, social game-like service isn't just for checking in, racking up points and unlocking badges. In May...
HOW TO: Use Your Social Media Skills to Earn Extra Money
Alexis Grant is a journalist and social media strategist. She tweets as @alexisgrant and recently launched an e-guide, How to Build a Part-Time Social...
How to Garnish Food
Knowing how to garnish food can be confusing for anyone who hasn't tried it in the past. A garnish is often best as a simple, colorful ingredient, so ...
How to Announce Your Retirement
How to Start Your Own Sports Team
How to Kill Mealybugs
How to Practice Drawing
How to share music on Pinterest
How to Adjust a Furnace Gas Valve

redpajama_set_name: RedPajamaCommonCrawl


text:
Q: What is the LibTorch equivalent to PyTorch's torch.no_grad? When testing a network in PyTorch one can use with torch.no_grad():. What is the Libtorch (C++) equivalent?
Thanks!

A: The equivalent in LibTorch is torch::NoGradGuard no_grad, see documentation.

redpajama_set_name: RedPajamaStackExchange


Our mission is to empower ourselves and others to strive for better health and a better life.
Lockport Chiropractic has been providing life changing care for 20 years, we are offering you the opportunity to get your life back. Some of the conditions that people most unnecessarily suffer with are low back pain, neck pain, headaches, and sciatica. For the past 20 years we have helped thousands find relief from these conditions. We offer state of the art technology using the latest research to ensure you are getting the best treatment available. Together we will develop a treatment plan that is specifically for you.
Our office is a place of LOVE, PEACE, and FUN!
We only accept patients that are ready to CHANGE THEIR LIVES, making their health a priority.
It is our responsibility to give back to the community.


Peering out from behind his curtained windows in his little house in Northern Ireland, Hugh Vaughan's childhood couldn't have been anything other than interesting. The hustle and bustle of life in his little corner of the world captivated the youngster, who like many of his era, learned the lessons than only such an experience could bring. Cups of tea, bread toasted by the fire, the mother's knitting and slaloms through the clothes line made it a typical Irish upbringing for Hugh, and he takes us delightfully through life's little journeys and a much simpler time in 'A Bump On The Road' (Stories of an Irish Childhood).
The innocent years before secondary school are recalled as are movies featuring John Wayne and cowboys and Indians in an era when parents did not hover over their children but allowed them to amuse themselves by playing with mates in the street.Family secrets were, at the threat of real physical harm, hushed by the stares of Hugh's mother, and then there was the day the Saracen armored cars roared down the crescent in which he lived.
Hugh Vaughan moved to Australia where he was able to contrast and compare life at home and abroad. A Bump On The Road is a wonderfully descriptive collection of short stories from Irish life of a bygone age while Vaughan is one of the most eloquent Irish writers to emerge in recent years. Contact Me for free stories.
A Bump on the Road is a book of 18 short stories emanating from the innocent years before secondary school, and the growing out of it. The stories reflect an observant child in Ireland attempting to understand the world around him. Family, The Church, The Troubles, secrets, ghost stories, leaving home, myths and legends. All this comes under the microscope of a child growing up. These stories are disguised memoirs – creative memoirs. Little nuggets of memories give birth to these flights of fancies. Read the preface for more details of the stories.
The reader is taken on a gamut of emotions in this rich and amusing journey of growing up in Ireland. Sorrow is never too far away. It allows the reader to get a glimpse into the mind of a young child - his thoughts, wishes and dreams as he ventures through the streets of his birth and beyond. The reader will engage and identify with the child as each adventure takes place. Contact Me for free stories.


Lewis Bennett had claimed that Isabella Hellmann must have fallen overboard while he was asleep.
A British sailor who reported his wife missing overboard from their catamaran off the coast of Cuba has pleaded guilty to her manslaughter.
US authorities had originally charged Lewis Bennett from Poole in Dorset with the murder of Isabella Hellmann in 2017.
That charge was downgraded to unlawful killing without malice at a hearing in Miami, Florida, to which the 41-year-old Bennett pleaded guilty. He faces up to eight years in prison when he is sentenced next year.
The couple, who had only been married three months, had been sailing around the Caribbean in the spring of 2017, before heading back to the home they shared in Delray Beach, Florida.
Bennett claimed that he had been resting in their boat's cabin on 15 May 2017, when he was woken by a loud noise.
He said that when he went on deck he found the sails and rigging loose and his wife nowhere to be found.
But the court heard that he did not try to search for her, activate emergency equipment, or raise the alarm.
Prosecutors said it was not until 45 minutes later that he reported Isabella missing, and only after he had scuttled the catamaran and boarded a life raft.
Reacting to Bennett's guilty plea US attorney Fajardo Orshan said: "Although nothing can ever erase the pain and suffering caused by Lewis Bennett's criminal acts, the US Attorney's Office and our law enforcement partners hope that the defendant's admission of guilt is a step toward justice for the victim, Ms Isabella Hellmann, and her family.
Court documents relating to the original murder charge alleged Bennett had killed his wife to end "marital strife" and to inherit her money and the Delray Beach home, which she owned.
During the investigation into Isabella's death it was discovered that Bennett had been smuggling rare coins worth $30,000 ( £22,974) after stealing them from a former employer.
He is currently serving a seven-month sentence after admitting the theft.


text:
Did Planned Parenthood fake being hacked?
Example claims:
Via Twitter:
Their site is so hacked right now that someone has been rearranging CSS fonts and alignment.
Another tweet
If planned parenthood's site was hacked, why is the domain still loading content from the server?
And why is their site down template categorized as a campaign?
Because it is a campaign. Next time you lie, check your source code.
And Planned Parenthood "Hacking" Sure Looks Like An Orchestrated PR Stunt says that the Planned Parenthood Action Fund site http://ppaction.org redirects to a page saying the site has been hacked, but the domain houses a perfectly functional URL.
united-states politics hacking
Andrew GrimmAndrew Grimm
We might want to discuss some ground rules on what would constitute acceptable answers. My guess, given the prevalence of programming backgrounds among Stack Exchange users (especially web programming) that this is going to encourage a lot of answers from people based on their own personal expertise of how websites work and common hacking techniques. But that is not what we are looking for, under our usual rules. – Nate Eldredge Aug 2 '15 at 4:55
I'm not sure this is answerable without specific knowledge of their website and their CMS - perhaps the most expedient way to put up a "This site is down" message was to treat it as a "campaign" while they try to restore the rest of the site (the backdoor could have been installed months ago, perhaps predating their backup retention, which is why they can't just restore from a recent backup). The fact that one of their sites is up while other(s) are down sounds consistent with a hack. – Johnny Aug 2 '15 at 6:25
"why is the domain still loading content from the server?" Can someone explain me this sentence? I don't understand. If the server is hacked and the content is modified by the hackers directly on the server, then yes, the content will still be loaded from the server, and it's quite logical. Am I missing something here? – Einenlum Aug 2 '15 at 20:42
That article on TheFederalist clearly shows that they have no experience with hacked websites. Feed them any hacked site and they will find the same 'arguments' as they are presenting in this statement. – Jan Doggen Aug 3 '15 at 9:25
Like any other question, we'll expect this to be answered through evidence and not expertise -- for example the results of an official investigation. – Sklivvz♦ Aug 3 '15 at 9:29
This answer attempts to respond to the following claim (from the images in the question):
Planned Parenthood (PP) faked being hacked
This claim is based on:
Claims that PP is hacked (from Twitter)
Data is being loaded from PP servers
Source code including keywords that imply a campaign
The website is reachable despite claims of an attack
Summary - why this basis is not sufficient
Briefly said (see discussion below the answer), the claim that the hack was fake comes from the servers PP claims are hacked. If the servers are indeed hacked, the attacker has the same control over the servers that PP would normally have, and is therefore able to falsify the basis of the claim (at least, points 2 through 4). Without information from a source independent of these servers, it cannot be determined whether the attack occurred or not.
"Hacked" refers to the situation where someone unauthorized has access to the server. This means that integrity was compromised (see this section and its reference on wikipedia, or a basic computer security course for more details). This means that the attacker can make modifications to the system as if she were the administrator of the website. What specific changes are possible depends on the details of the case, but in general this means it is not possible to distinguish changes made by an attacker from changes made by the administrators. Thus, strictly speaking, we can't make a judgement about whether a hack is "real"; the attacker/hacker can always make it look as if the attack was fake, unless there is an additional source of information independent of the potentially affected website. As the website in question discusses a sensitive issue for some, it is at least plausible that this occurred, and it similar to website defacement, a technique often used to discredit websites by teenagers in the past, and currently by activists and politically motivated persons.
Rens van der HeijdenRens van der Heijden
Also, it's not based on evidence, but the author's speculation. – Sklivvz♦ Aug 3 '15 at 9:30
@Sklivvz honestly, I disagree, but the amount of original research in my post is probably too high. The latter part of the post is directly based on the definition of integrity. Would references to teaching material, such as books, be acceptable? The content is considered obvious in security literature, but I can also try to find a paper that describes this more precisely if that is preferable. – Rens van der Heijden Aug 4 '15 at 6:23
I'm not sure what you mean. We expect evidence specifically related to the planned parenthood situation, but you only posted a link to Wikipedia for "information security". That's, at best, a definition. – Sklivvz♦ Aug 4 '15 at 7:41
@Sklivvz right. I see where our misunderstanding comes from. I interpreted the question as "Based on (information), can we conclude that PP is faking the hack?" and my answer was, "The information comes from the supposedly compromised server, and if it is actually compromised, the attacker can by definition make it look like PP is faking it." I'll attempt to improve the answer after this comment. I think there might be a problem with the question in this case, though; it is impossible to objectively determine whether the hack was faked, without the ability to inspect the system directly. – Rens van der Heijden Aug 4 '15 at 19:18
@Sklivvz I hope the changes I made align the answer more towards what skeptics is looking for, but in case this is not what is intended, should I remove the answer in its entirety, or leave it until there is a better answer? – Rens van der Heijden Aug 4 '15 at 19:40
protected by Sklivvz♦ Aug 4 '15 at 7:38
Not the answer you're looking for? Browse other questions tagged united-states politics hacking .
Has anyone ever hacked into a traffic control system to change the stoplights?
Can a computer be hacked to use a connected speaker as a microphone?
Does Planned Parenthood sell the organs of late-term fetuses?
Can aircraft be hacked and "commandeered remotely"?
Did Hillary Clinton's Campaign Fake a Rally in Greensboro, North Carolina?
Did 17 U.S. intelligence agencies claim that Russia was behind the DNC hack?
Did President Trump sign an executive order defunding Planned Parenthood (International)?
Does Planned Parenthood impose abortion quotas on its clinics and provide incentives to its workers to meet those quotas?
Were the BOSS Linux update servers hacked in 2015?
Did fake news on Facebook influence US elections in 2016?


4 soft blocks with 3D features, crinkle, satin tags, rattle, jingle and knotties. Each block features a number, letter, cute character, and colourful pattern. Sewn-in loops for on-the-go fun. No batteries required.
The Little Tikes Light 'N' Sounds Stacker have plenty of activity to keep babies and toddlers entertained! This stackable ring baby toy will help develop dexterity, fine motor skills and each ring has a different texture to help with tactile senses.
A new concept for one of the most popular games for children, stackable. Three games in one: stack the six coloured cups, compose the puzzle and roll the balls inside the tower to the base.


Golden retrievers are basically the best dogs in the whole history of forever, but that's because they make up for their antics in major cuteness. Here's what it's actually like living with a golden retriever. Hint: it's AWESOME.
Goldens have such a pretty coat, but they shed worse than any girl ever will. Their hair will end up in fluffy dust balls in corners, under the couch, attached to the edges of rugs, and all over your bed. You can sweep in the morning and find even more of it by bedtime.
You set your dinner down on the table, walk away for one second, and come back to find an empty plate. Tables are right at eye level for golden retrievers so it's not exactly hard for them to nab some grub. And no, you won't even be able to punish your pup for it. Curse those sweet, brown eyes.
Tails are constantly whacking furniture.
There is nothing like the excitement of a golden retriever. A tail starts wagging simply because you walk into the same room. Goldens are ecstatic about everything, so those tails are going 90 to nothing all day long. And they don't care if they knock over a flaming candle or a small child.
The entire backyard is tracked in.
Yes, that golden coat is beautiful, but it also attracts every bit of dirt, fallen leaves, and small twigs that your backyard has to offer. That's why your floor is covered in dirt and foliage. The broom is now your favorite cleaning tool.
You will feel terrible for leaving the house.
They know when you're about to leave, and like the little guilt machines they are, they turn those big ole puppy dog eyes on you. Oh, were you excited for a night out? Well, you can't enjoy it now.
There is nothing more exciting to them than going on a walk.
A walk is like winning the lottery to golden retrievers. That tail will start wagging so violently that his or her whole body will wiggle from side to side. As soon as the door opens, a golden will bolt out of the house, so you better hold tight to that leash. Warning: golden retrievers want to pee every five feet and befriend all of the other dogs.
Coming home is the best thing you will ever do for a golden retriever.
Seriously, there is no better gift for a golden retriever. They are loyal, loving, and hate being without you. The second you walk through the door, he or she will be all over you like white on rice. Enjoy those puppy kisses. They're the best.
Golden retrievers aren't just dogs, they're part of the family.
Your golden is so much more than a pet. If you don't have children, then your golden will become your first-born. If you grow up with one, then your golden retriever is a best friend, sibling, and protector all rolled up into one.


text:
Basketball tournament held to benefit York girl battling cancer
'Weaver Fever' tournament held at York College
Updated: 10:26 AM EDT Oct 14, 2012
About 80 teams in York came to battle it out in a 3-on-3 basketball tournament held at York College Saturday. The event was put together to help a fellow player.The money raised from the tournament will go to a member of York Catholic's 2006 and 2007 championship teams, Amanda Weaver. Weaver has been diagnosed with stage 3 colon cancer."She went through such a difficult time and may have thought at one point there wasn't anyone for her, and this proves that everybody is right there backing her up and will always be there to back her up," said Scott Lehmann, event director.After the tournament, former girl's basketball all-stars from York and Adams County high schools, along with some girls from the Capital Area All-Star team, reunited for an alumni game.
YORK, Pa. —
About 80 teams in York came to battle it out in a 3-on-3 basketball tournament held at York College Saturday. The event was put together to help a fellow player.
The money raised from the tournament will go to a member of York Catholic's 2006 and 2007 championship teams, Amanda Weaver. Weaver has been diagnosed with stage 3 colon cancer.
"She went through such a difficult time and may have thought at one point there wasn't anyone for her, and this proves that everybody is right there backing her up and will always be there to back her up," said Scott Lehmann, event director.
After the tournament, former girl's basketball all-stars from York and Adams County high schools, along with some girls from the Capital Area All-Star team, reunited for an alumni game.


text:
Home TOP NEWS MAY: Enough is Enough
MAY: Enough is Enough
British Prime Minister Theresa May (Xinhua) -UK OUT-
Prime Minister Theresa May said there was "far too much tolerance" of extremism in the UK….reports Asian Lite News
Prime Minister May said "difficult" and potentially "embarrassing" conversations were needed within the UK about dealing with the spread of extremism.
Speaking after chairing a meeting of the government's emergency committee Cobra, the prime minister said there is a need to work with international leaders to shut down areas of the internet used by terrorists to communicate.
Mrs May said there needs to be an international agreement to "regulate cyberspace" where extremists have "safe spaces".
"We cannot allow this ideology the safe space it needs to breed. Yet that is precisely what the internet, and the big companies that provide internet-based services provide," she said. "We are experiencing a new trend in the threat we face as terrorism breeds terrorism."
"While we have made significant progress in recent years, there is – to be frank – far too much tolerance of extremism in our country. So we need to become far more robust in identifying it and stamping it out across the public sector and across society. That will require some difficult, and often embarrassing, conversations. But the whole of our country needs to come together to take on this extremism, and we need to live our lives not in a series of separated, segregated communities, but as one truly United Kingdom."
Previous articleMEDIA SCAN: Terror, Election Top Coverage
Next articleVIDEO: This is what Allahu Akbar Means


text:
Ingolf Turban: Carl Reinecke Violin Concerto, Johaness Moesus
Labels: Carl Reinecke, Ingolf Turban, Johaness Moesus
Carl Reinecke - Violin Concerto (1876)
The German pianist and composer Carl Reinecke (1824—1910) (Photo credit: Wikipedia)
Performed by Ingolf Turban. Conducted by Johaness Moesus with the Berner Symphonie-Orchester.
I. Allegro Moderato - 00:00
II. Lento - 15:08
III. Finale - Moderato Con Grazia - 22:45
Reinecke was born in Altona, Hamburg, Germany; until 1864 the town was under Danish rule. He studied with his father, Johann Peter Rudolph Reinecke, a music teacher. Carl began to compose at the age of seven, and his first public appearance as a pianist was when he was twelve years old.
At the age of 19, he undertook his first concert tour in 1843, through Denmark and Sweden. After a stay in Leipzig, where he studied under Felix Mendelssohn, Robert Schumann and Franz Liszt, Reinecke went on tour with Königslöw and Wilhelm Joseph von Wasielewski (later Schumann's biographer), in North Germany and Denmark. In 1846, Reinecke was appointed Court Pianist for Christian VIII in Copenhagen. There he remained until 1848, when he resigned and went to Paris. Overall he wrote four concertos for his instrument (and many cadenzas for others' works, including a large set published as his Opus 87), as well as concertos for violin, cello, harp and flute. In the winter of 1850/51, Carl Schurz reports attending weekly "musical evenings" in Paris where Reinecke was in attendance. In 1851, Reinecke became a professor at the Cologne Conservatory. In ensuing years he was appointed musical director at Barmen, and became the academic, musical director and conductor of the Singakademie at Breslau.
In 1860, Reinecke was appointed director of the Gewandhaus Orchestra concerts in Leipzig, and professor of composition and piano at the Conservatorium. He led the orchestra for more than three decades, until 1895. He conducted premieres such as the full seven-movement version of Brahms's A German Requiem (1869). In 1865 the Gewandhaus-Quartett premiered Brahms' piano quintet, and in 1892 his D major string quartet.
Reinecke is best known for his flute sonata "Undine", but he is also remembered as one of the most influential and versatile musicians of his time. He served as a teacher for 35 years, until his retirement in 1902. His students included Edvard Grieg, Basil Harwood, Christian Sinding, Leoš Janáček, Constanta Erbiceanu, Isaac Albéniz, August Max Fiedler, Walter Niemann, Johan Svendsen, Richard Franck, Felix Weingartner, Max Bruch, Mikalojus Konstantinas Čiurlionis, Ernest Hutcheson, Felix Fox, August Winding and many others.
After retirement from the conservatory, Reinecke devoted his time to composition, resulting in almost three hundred published works. He wrote several operas (none of which are performed today) including König Manfred. During this time, he frequently made concert tours to England and elsewhere. His piano playing belonged to a school in which grace and neatness were characteristic, and at one time he was probably unrivalled as a Mozart player and an accompanist. At the age of 80, he recorded his playing on piano roll for the Welte-Mignon company, making him the earliest-born pianist to have his playing preserved in any format. He died at 85 in Leipzig.
Sarastro Quartet: Felix Weingartner String Quartet 3
Nina Kavtaradze: Hermann Koppel Piano Concerto 3, Moshe Atzmon
Christian Tetzlaff: Sibelius Violin Concerto, Thomas Dausgaard
Andrey Stelmakh plays his Piano Concerto (2012)
Eduard Franck Piano Trio 1 (Hellwig, Edinger, Claret)
Laurent Breuninger: Felix Weingartner Violin Concerto, Alun Francis
Gil Shaham: John Williams Violin Concertos Nos 1 and 2
Werner Thomas: Anton Rubinstein Cello Concerto 1, Yuri Ahronovitch
Ethel Smyth: Concerto for Violin, Horn and Orchestra
Shlomo Mintz: Vivaldi Concerto for Anna Maria for violin, strings and b.c.
English: The German composer Carl Reinecke (1824-1910) in 1902. Deutsch: Der deutsche Komponist Carl Reinecke (1824-1910) im Jahr 1902. (Photo credit: Wikipedia)