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Első szerző: Horváth Orsolya
Cím: The Phylogenetic Position of Vincetoxicum pannonicum (Borhidi) Holub Supports the Species' Allopolyploid Hybrid Origin / Orsolya Horváth, Levente Laczkó, Zsuzsa Lisztes-Szabó, Attila Molnár V., Agnieszka Popiela, Gábor Sramkó
ISSN: 0001-6977 2083-9480
Megjegyzések: The Pannonian endemic species Vincetoxicum pannonicum was described from specimens collected in Hungary and occurs at only few locations. It is considered "vulnerable" according to the International Red List. The chromosome set was reported to be tetraploid, and the species was hypothesized to be an allotetraploid hybrid of the Balkan species V. fuscatum and the Adriatic species hirundinaria subsp. adriaticum. We investigated the origin of V. pannonicum using molecular phylogenetic methods by separately analyzing the multicopy nuclear ribosomal internal transcribed spacer (nrITS) and the plastid-encoded trnH-psbA DNA regions and by evaluating discrepancies between the produced gene trees. Paralogs in the nrITS region clustered in two main groups, one of which was closest to V. fuscatum, and the other included V. hirundinaria subsp. adriaticum. According to trnH-psbA sequences, V. pannonicum and V. hirundinaria subsp. adriaticum formed a single group. Our results show that V. pannonicum diversified because of hybrid speciation, in which V. fuscatum was the pollen donor. We discovered a similar placement of V. maeoticum, which suggests a further hybridization event between V. fuscatum and a species of the V. hirundinaria group. Our genome-size estimate indicates almost sixfold larger genome size in V. pannonicum compared to the maternal diploid parent, suggesting hexaploidy; however, V. pannonicum is tetraploid. This may suggest cytological diploidization in the allopolyploid V. pannonicum. We observed substantial genetic distance between V. hirundinaria subsp. adriaticum and all other subspecies of V. hirundinaria, and we therefore propose that V. adriaticum should be regarded as a separate species.
Megjelenés: Acta Societatis Botanicorum Poloniae. - 89 : 3 (2020), p. 1-14. -
További szerzők: Laczkó Levente (1992-) (biológus) Lisztes-Szabó Zsuzsa (1976-) (biológus) Molnár V. Attila (1969-) (biológus, botanikus) Popiela, Agnieszka Sramkó Gábor (1981-) (biológus)
Első szerző: Laczkó Levente (biológus)
Cím: Hepatica transsilvanica Fuss (Ranunculaceae) is an Allotetraploid Relict of the Tertiary Flora in Europe ? Molecular Phylogenetic Evidence / Laczkó Levente, Sramkó Gábor
Megjegyzések: The Hepatica section Angulosa consists of mainly tetraploid (2n = 28) species that are distributed disjunctly throughout Eurasia. Karyological evidence proves the hybrid origin of the polyploid species of this section. Hepatica transsilvanica is a member of this species group with a conspicuous distribution restricted to the Eastern Carpathians. Based on genome size and cytotypes, the paternal parent of H. transsilvanica is described to be the only diploid species in section Angulosa, H. falconeri. The maternal species is hypothesized to be H. nobilis, a European species with entirely lobed leaves and a wider distribution area. Although the hybrid origin of H. transsilvanica is well documented by karyological evidence, the time of hybridization has never been studied. By using sequences of both the nuclear and plastid genome, we reconstructed the phylogenetic relationships and divergence times of H. transsilvanica and its parental species. The identity of the parental species is corroborated by discordant gene tree topologies of the nrITS and plastid sequences. Moreover, both gene copies of the parental species could be identified with the low-copy nuclear gene, MLH1. Divergence dating analysis using Bayesian phylogenetic methods strongly supported the long-term survival of H. transsilvanica in the Southeastern Carpathians, as the most recent common ancestor of the hybrid and parent species existed not later than the beginning of the Pleistocene, ca. 3 million years ago. These results not only highlight the biogeographic importance of the Southeastern Carpathians in the Quaternary glaciation periods, but also emphasize that Tertiary lineages could have survived in a Central European cryptic refugium.
További szerzők: Sramkó Gábor (1981-) (biológus)
Első szerző: Volkova, Polina A.
Cím: Out of Colchis: The Colonization of Europe by Primula vulgaris Huds. (Primulaceae) / Polina Volkova, Levente Laczkó, Olga Demina, Ivan Schanzer, Gábor Sramkó
Megjegyzések: In the cold periods of Quaternary climatic fluctuations, many temperate species underwent severe range contractions, and their survival during these periods was associated with climatically more favorable regions, so-called glacial refugia, from which subsequent range expansions took place. In this regard, the relative roles of the Southern ("main"), Northern (i.e., cryptic northern), and Eastern European (e.g., Colchis) refugia in shaping the evolutionary history of European temperate plants should be evaluated. In this study, we investigated the phylogeographic structure of Primula vulgaris, a European mesophilous species, by comparing DNA sequences derived from the nuclear (nrITS) and the plastid (trnL-trnF and rpl32-trnL) genomes of specimens covering the entire distribution range of the species. The variability in flower morphology was also studied on an area-wide scale with geometric morphometry. Our results clearly show the importance of the northern and eastern refugia (the Carpathian Basin and Colchis) as sources of genetic variation among European mesophilous plant species. Primula vulgaris spread initially from the Colchis refugium westwards, and a proportion of the colonists survived during the last glacial period in the Carpathian Basin, which may have served as a secondary center of diversity from which all Europe was subsequently populated.
További szerzők: Laczkó Levente (1992-) (biológus) Demina, Olga Schanzer, Ivan Sramkó Gábor (1981-) (biológus)


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Q: Jokes in Miles Reid's 'Undergraduate Algebraic Geometry' Hi,
In the index of this book, under j, he references several 'jokes' found throughout the text.  I can't find one on page 91 - anyone know what it is?

A: Dear Robert, the joke on page 91 is that the ruled quadric depicted has "Central Electricity" written over it. It is an allusion to the cooling towers used by power plants. Here is the obligatory Wikipedia link:
http://en.wikipedia.org/wiki/Cooling_tower

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Global warming has been a hot issue lately all around world not only because it has been in increasing trend since 1980s but also affects many economic sectors as well as different aspect of human life. The three essays of this dissertation investigate the impacts of climate change on the agricultural sectors of the United States and the selected Asian countries using the pooled cross-section model and the panel analysis. The first essay analyzes the impact of climate change on agricultural production in 13 Asian countries from 1998 and 2007. This study estimates a country-level fixed effect (FE) panel model for agricultural production using seasonal and annual climate variables as well as production input variables. According to Mendelsohn et al., (2000; 2004), high latitude countries that are currently cool will likely benefit from warming. However, regions those are already hot such as low latitude countries will be vulnerable to climate change. The results in this study show that higher summer temperatures and more precipitations increase agricultural production while higher fall temperature is harmful in South and Southeast Asia. On the other hand, higher annual temperature decreases agricultural production in Asian countries. The second essay estimates the climate change effects on the U.S. agriculture using the pooled cross-section farm profit model mainly using the annual Agricultural Resource Management Survey (ARMS) data from USDA for the time period between 2000 and 2009 in the 48 contiguous States. For climate measure, growing season drought indices (the Palmer Drought Severity Index (PDSI) and Crop Moisture Index (CMI)) are applied to the analysis and both indices have a negative relationship with temperature. The estimates indicate that one unit increase in PDSI (CMI) leads to 5.5% (13.9%), 4% (9%), and 5% (14%) increase in farm profits for all farms, crop farms, and livestock farms. In the third essay, I use a static labor supply model to estimate the impact of weather on the farmers' on-farm labor supply directly unlike the previous literature. The results suggest that there is an inverse U-shape relationship between temperature and farmers' labor supply. Farmers' labor supply is minimized between 50-70 degrees Fahrenheit. Consequently, it can be concluded that temperature is a substitute for labor until around 60 degrees. However, more labor is required after the temperature passes that threshold. Unlike temperature, the relationship between precipitation and labor supply is linear. The more precipitation a farm gets throughout the year, the more labor is supplied by the farmer. This is maybe because of the possibility that in my data set the observed precipitation may be already in the optimal range. The results show that precipitation and labor are complements.


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I worked on sculpting a series of different emotions on the same head, iterating as I went along, photographing to animate them into a short film. Click above to view the final animation. I composed the soundscape too. Below are some of the stills that show the evolution of the project.


text:
Cheetham Hill like a ghost town after Operation Vulcan days of action
This week Operation Vulcan were out in full force disrupting the counterfeit trade in the area, with the help of the North Tutor Unit, MCC civil enforcement (parking wardens), blue badge fraud unit, and Biffa Waste management.
With the majority of illegitimate shops unable to open out of fear that their fake goods would be seized, the streets were a lot quieter, allowing officers to spend time engaging with members of public and gathering intel.
Alongside some fantastic proactive community engagement, the day delivered an array of great results:
Three arrests made, two on suspicion of possession with intent to supply and one for possession of class A drugs
255 class C tablets seized
One care plan referral for a drug user
Two vehicle seizures
6 e-scooter seizures
9 parking fines issued
13 fixed penalty notices for waste offences
£4,000 of fixed penalty notices
Inspector Andrew Torkington, one of GMP's specialist officers involved in Operation Vulcan said: "These days of action go a long way to help make the local area safer. By being out in the community front and centre, we've been able to show everyone what we're here to do and achieve. As always, this isn't a one off, and Operation Vulcan will be here in 2023 targeting every level of criminality in Cheetham Hill and Strangeways.
"Counterfeit clothing funds criminality, at home and abroad. It contributes to the deprivation of the area, the waste that is scattered across the streets is so prolific because these illegal premises have no trade waste accounts, so throw their rubbish onto the streets.
"Feedback from members of the community and legitimate businesses continues to be overwhelmingly supportive, and they are the reason we are undertaking this activity - to support everyone who has had enough of this behaviour and the devastating impact it is having on their livelihoods."

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16 successful OCA missions is not 16 air to air wins, it could be anything from all of them to none at all.
mixelflick wrote: If you'll recall, the 15-1 (or 20-1) results prior involved F-22's. There was a lot of speculation as to what extent the F-22's "helped" the F-35's.
All those speculations (as I recall from The Aviationist) were dumb to begin with, because F-22 and F-35 can't communicate in a secure fashion anyway. One can speculate that this time F-35 were aided by friendly 4th gens too, eith as much authority.
Foreign material exploitation or Red Flag or both?
wrightwing wrote: S-300, Tor, Pantsyr, are among the threat systems.
If the 16-0 results was against this Systems, the result it's even more impressive. And confirms the Danish evaluation. Which the F-35 scored very good in S/DEAD. And with weapons like the AARGM-ER, which the f-35 can carry in its weapons bay, i would say the potential for improvement is still high.
I'd like to add that F-35 also allows pretty scary S/DEAD capabilities even without any weapons of their own. F-35 will have very good SA about the threat SAM and radar systems in the area and can get close to them to gather very accurate targeting info. They can then send the data to other assets which have suitable weapons available. These could be other F-35s, F-22s, Growlers, Super Hornets, F-16s, EF Typhoons, MLRS/ATACMS/PRSM or pretty much anything. Even if the radar system is shut off, F-35 can still target it using multiple sensors. Same is true if the radar system is mobile and is packed up and driven away. F-35 still has pretty good chance in following it driving away and targeting it for many kinds of weapons. I think F-35 will make the life of enemy SAM and radar operators very tough.
The F-35 can track/target a SAM system that isn't radiating, per se?
This is the first I've heard of that capability. Can other aircraft do that and if so, how long has it been going on?? I admit I'm not up on such things, so this was a new one on me..
mixelflick wrote: The F-35 can track/target a SAM system that isn't radiating, per se?
I was referring to using EOTS and AN/APG-81 to track those targets after they are detected and located from their radar signals. Naturally in F-35 that would automatically be done by the sensor fusion engine. Both of those sensors would definitely be capable of tracking SAM system pretty far away even though F-35 can also get quite close to it without being detected. SAM systems and radars are pretty large and easily recognizable objects in the battlefield. They also have to be in pretty visible locations to be able to do their job.
During the 2nd gulf war, Wild Weasels had to drop below the clouds into the range of AAA and IR Manpads, visually ID these launch sites after getting shot at, point the aircraft towards the SAM site to mark it electronically for datalinking to other Wild Weasels who will destroy them using WCMD CEMs. Thats how DEAD is done with with legacy platforns. SEAD using HARMS is simply not enough and have no decisive impact on the adversary. With the F-35, launch points can be detected with DAS, sites be ID and marked with high-res SAR through the clouds and targeting info be datalinked out to any shooters in the area. Network SAMs launchers can now be destroyed even without any organic sensors radiating once they shoot. And there are plenty of MALDs to trigger the shooting.
hornetfinn wrote: I'd like to add that F-35 also allows pretty scary S/DEAD capabilities even without any weapons of their own. F-35 will have very good SA about the threat SAM and radar systems in the area and can get close to them to gather very accurate targeting info. They can then send the data to other assets which have suitable weapons available. These could be other F-35s, F-22s, Growlers, Super Hornets, F-16s, EF Typhoons, MLRS/ATACMS/PRSM or pretty much anything. Even if the radar system is shut off, F-35 can still target it using multiple sensors. Same is true if the radar system is mobile and is packed up and driven away. F-35 still has pretty good chance in following it driving away and targeting it for many kinds of weapons. I think F-35 will make the life of enemy SAM and radar operators very tough.
I can imagine it. I think especially see based weapons are predestined for this job.
spazsinbad wrote: Good find 'wrightwing' - thanks for that - I'll add some quotes if I may.
RAAF F-35A Lightnings will take part in their first exercise.
"...AIRCDRE Kitcher explained yesterday in a press conference hosted by Lockheed Martin Australia that in the recent Red Flag 19-1 exercise at Nellis Air Force Base in Nevada, in one sortie undertaken by Australian F/A-18 Hornets as part of the Blue force, a USAF F-35 pilot with only 150 hours since coming out of the worldwide training program located at Luke AFB, was able to warn a pilot in a F/A-18 with 3000 hours flight time that there was a Red Air aggressor closing on his position. He then give instruction on how to proceed to to escape, and the F-35 nullified the Red Air target.
This account gives an accurate description of how the F-35's sensor suite is a game changer in situational awareness in a conflicted airspace.
During Red Flag 19-1 AIRCDRE Kitcher witnessed first hand flying with 77 Squadron the abilities of the F-35 first hand, He says: "For me it was very pleasing to witness the F-35 in a strike mission, to see an eight-ship of F-35s kick down the door against a fairly determined adversary, with support from some F-22s to hold the door open.
"The F-35s then went back to pick up the strike train which consisted of classic Hornets from 77 Squadron, Super Hornets from the US Navy, Typhoons from the Royal Air Force and supported by US Navy Growlers and USAF F-16 SEAD aircraft.
"The F-35s took that strike train deep in the training area through some significant air defences, everyone dropped their ordnance and everyone got out safely. While that was going on there were Growlers and F-16s suppressing enemy air defences and when the F-35s dropped their ordnance they were actually providing SEAD as well. The whole strike train got out safely thanks to the F-35's efforts."..."
The F35 is truly a renaissance aircraft. It does everything well!
In 2002, everybody came in into fight, moving from BVR (Beyond Visual Range) and eventually to WVR (Within Visual Range) for a big merge; today, the adversaries roughly know where the stealth fighter *could* be, but they don't know exactly where they are, how they will approach the target or maneuver to engage the enemy.
Now, this business about "the adversaries roughly know where the stealth fighter "could" be.. Is this to imply those who oversee the exercise (or whoever) is telling the Red force where the F-35 "generally" is? Or does it mean enemy Red Air fighters, SAM's etc can determine that themselves?? If anyone has any insight, I'd like to know..
"The "Spikes" of the 62nd Fighter Squadron returned from a successful trip to Red Flag at Nellis Air Force Base, Nev., March 22, 2019. Their success could be measured by the fact that they have a training mission at Luke Air Force Base that had to continue while they were gone. They took five F-35A Lighting IIs with no student sorties lost at Luke. Or it could be measured with the 110 surface-to-air missiles they eliminated. Or perhaps the 87 total sorties supporting 18 large force missions with a perfect turn pattern.
While the stats read well, Lee also said the real story is that of the team's integration and cohesion, which means much more to the 62nd FS and the F-35 program as a whole. This was the first time the Italian and Norwegian F-35 instructor pilots from the 62nd FS were included in the exercise….
...The other takeaways from the exercise came in many forms and Lee added that while they taught the participating units about the integration of the F-35 in a strike package, his team learned a lot from the others as well.
"We are a learning organization and Red Flag was the classroom," said Lee. "The instructor pilots that we brought back are fired up about teaching what they learned and what matters is how we spread that knowledge.""
Question, can RF exercises replicate advanced SAM threats like the S-400?
I often hear Russian fans unimpressed by F-22 and F-35s scoring mass kills in RF.
Their reasoning is that an F-15 or F-16 is a world apart from a Flanker.
I can counter by saying that the US actually has Flankers in their inventory, so its much easier for them to estimate the much vaunted super maneuverability of the later variants which use the exact same wing and aerodynamic profile as the latest ones. Avionics is much easier to replicate as the Russians are known to be behind in that department.
But what about SAMs, the S-400 is considered the top of its class in land bassed SAMs, albeit Its western counterpart should be the Aegis system. Thats a more fair comparison.
zero-one wrote: Question, can RF exercises replicate advanced SAM threats like the S-400?
The US possesses S-300 systems at our ranges. The F-35 has also blown up S-300 sites in Syria.
And S-400 is just an upgraded S-300, not really a totally new system. It uses the same missiles and radars or their upgraded variants. So it's not really that huge improvement in capability over S-300PMU variants. Especially when it comes to RF exercises where many things can be and are simulated.
Replicating any kind of ground based threat system is pretty easy nowadays with LVC. It doesn't matter if there are actual physical systems or not. Actually LVC systems allow better realism than using real world systems as real missiles aren't fired in any case and there are many restrictions in using the systems in exercises as they would be used in real war. For example real S-400 batteries take a lot of manpower and support to operate. That would be difficult to realize even in large exercises like RF.


The replay of Tuesday's webinar – Starting from Scratch – Twitter for Small Businesses is now available.
I've put it on YouTube (you can watch it below). It will be there for at least two weeks. I'm not sure yet if I'll keep it up longer than that.
This is in HD so you can watch it full screen. Enjoy and let me know if you have any questions.
I'll be doing a follow-up more advanced Twitter webinar after this initial 3-part series is over.
There are still two more free webinars in the series that you can sign up for!
Time zones: 12PM Eastern, 11AM Central, 10AM Mountain, 9AM Pacific, 4PM GMT.
Are you wondering if Facebook Pages are worth the time and effort? Have you heard that you have to pay for ads to get seen? Not sure what to post and when?
In this webinar Marian Pierre-Louis will introduce you to the world of Facebook Pages starting from scratch! We will begin with creating an account then move on to what to post, how to attract new followers and a frank discussion about whether it's worth it.
the site? Afraid of yet one more social media platform to take up your time?
In this webinar Marian Pierre-Louis will introduce you to the world of Google+ starting from scratch! We will begin with creating an account then move on to how to post, why you used use collections and why Google+ is worth the effort.


text:
With 102 Wins Serena Williams Breaks Record For Most US Open Wins Male Or Female
Williams, a mother of one girl, has returned to the court after six months break
Tennis ace Serena Williams surpassed Chris Evert's previous record for most singles wins in US Open history, male or female. She won her 102nd US Open career match to break a tie with Evert for the most wins in the professional era.
On Tuesday, the 23 Grand Slam winner, Williams defeated American compatriot Kristie Ahn 7-5, 6-3 in the first round. In doing so, a six-time US Open champion Williams surpassed the previous all-time record, she shared with Chris Evert—also a six-time US Open champion.
HISTORY for @serenawilliams!
The most singles victories in #USOpen history. #TeamUSATennis pic.twitter.com/wcMoyjPKSo
— USTA (@usta) September 1, 2020
Former world number one and third seed Williams has now advanced to the second round of the US Open.
Serena Williams started her quest for an elusive and record-equalling 24th grand slam singles title at the US Open.
Williams broke Chris Evert's previous record for most singles wins in US Open history.
Williams, a mother of one girl, has returned to the court after a six-month break.
Venus Williams for the first time ever lost in the first round of the US Open.
A 38-year-old Williams, who has been longing to tie Margaret Court's record-equalling 24th Grand Slam title, is now only six wins away from the feat. At Flushing Meadows, she played without her usual crowd support but Williams said she likes the vibe. "I think what's most important about this event taking place is just the spirit,'' she said. "Sport has been gone for so long, particularly tennis. We missed two Grand Slams. The morale can be really low in the world with everything that's going on. Sometimes you just want to take your mind off. That's one of the reasons I was so supportive of the U.S. Open," NY Post reported.
'Be Serena focused'
Next, Williams will face Margarita Gasparyan. "I still am as passionate and intense out there. I love my job and love what I do. One of these days, it's going to end, [but] I love being out here,'' she claimed.
A record sealed with a serve.@serenawilliams wins her 102nd US Open match to advance to Round 2! pic.twitter.com/JkZWuyMNhN
— US Open Tennis (@usopen) September 1, 2020
"I was really pleased with how I just fought for every point," Williams told ESPN. "I've been playing a ton of tight matches. I felt like, all right, I just wanted to be Serena focused from the first point to the last point no matter what happens."
Meanwhile, a two-time US Open champion, Venus Williams, who is 40, lost in the first round for the first time in 22 appearances, beaten 6-3, 7-5 by No 20 Karolina Muchova.
22 years, yet some things don't change.
We got to see some vintage @venuseswilliams tonight. pic.twitter.com/BfYgQBCfm0
Feature Image Credit: Yahoo
Chris Evert
Aryna Sabalenka Wins Linz Open, Replaces Serena Williams In WTA Top-10 Rankings
Serena Williams Withdraws From Italian Open Citing Achilles Injury
First Time In Grand Slam History Three Moms Serena, Victoria and Tsvetana Qualify For Quarterfinals
Meet the Highest Paid Female Athletes. Naomi Osaka, Serena Williams rule list
Top Seed Open: Serena Williams Loses To Shelby Rogers; Coco Gauff In Semis


Products Home / Imaging Systems & Components / Microscopy Components / Microscopy Illumination Sources / Collimated LED Light Sources for Nikon Eclipse (Bayonet Mount) Microscopes / M455L4-C5 -New!
Part Number: M455L4-C5 -Ask a technical question Ask a technical question.
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text:
Everyone is God
The Prophecies are Now
The Nature of Reality
Psychedelia past and present
'Everyone is God' is the truth behind all World Religion
The unification of World Religion
The Problems of the World today
Prophecies from around the World
Fractal Brain Theory
Buddhist Prophecies and the Coming of Maitraya
'In the evil age to come, living beings will decrease in good qualities and increase in utter ignorance, coveting gain and honors, developing their evil qualities, and being far removed from deliverance.' - Lotus Sutra 13
'Before the coming of the Maitreya, the holy religion will decline. How will it occur? After my decease, first will occur the five disapperances. And what are the five disappearances? The disappearance of attainments, the disappearance of the method, the disappearance of learning, the disappearance of symbols, the disappearance of the relics. These are the five disappearances that are to occur.' - Buddhism. Anagatavamsa
'I am not the first Buddha [ awakened one ] who has come upon the Earth, nor will I be the last. In due time another Buddha will rise in the world, a holy one, a supreme enlightened one, endowed with auspicious wisdom embracing the universe, an incomparable leader of men, a ruler of gods and mortals. He will reveal to you the same eternal truths, which I have taught you. He will establish his law [ Religion ], glorious in its origins, glorious at the climax and glorious at the goal in the spirit and the letter. He will proclaim a righteous life wholly perfect and pure, such as I now proclaim. His disciples will number many thousands, while mine number many hundreds. He will be known as Maitreya.' - Buddha Gautama
'The banner of Shambala shall encircle the central lands of the Blessed One. Those who accept him shall rejoice, and those who deny him shall tremble. The decriers shall be given over to justice and shall be forgotten. The warriors shall march under the banner of Maitreya.' - The prophecy of Shambala ( Buddhist, BEF 700 CE )
'Drought, famine, disease and war will sweep the world.. Nation will fight nations, and the larger will devour the smaller. ' - The prophecy of Shambala ( Buddhist, BEF 700 CE )
'People will no longer have any religion to which they can turn for solace or liberation: the doctrines of materialism will overwhelm their minds and drive them to struggle for their own selfish ends. The lust for power and wealth will prevail over teachings of compassion and truth' - The prophecy of Shambala ( Buddhist, BEF 700 CE )
'Thus have I heard: At one time the Buddha was staying near Kapilavatthu in the Banyan monastery on the bank of the river Rohani. Then the venerable Sariputta questioned the Lord about the future conquerer, "The Hero that shall follow you, The Buddha - of what sort will he be? I want to hear of him in full. Let the Visioned one describe him." When he heard the elder's speech the Lord spoke thus, "I will tell you, Sariputta; listen to my speech. In this auspicious eon Three leaders there have been: Kakusandha, Konagamana, and the leader Kassapa too. I am now the perfect Buddha; and there will be Maitreya too before this same auspicious eon runs to the end of its years." '- Anagatavamsa
'In those days, brethren, there will arise in the World and Exalted One named Metteya. He will be an Arahant, Fully Awakened, abounding in wisdom and goodness, happy, with knowledge of the worlds, unsurpassed as a guide to mortals willing to be led, a teacher of gods and men, an Exalted One, a Buddha, even as I am now. He, by himself , will thoroughly know and see, as it were face to face, this Universe, with its worlds of the spirits, its Brahmas and its Maras, and its world of recluses and brahmins, of princes and peoples, even as I now, by myself thoroughly know and see them. The Law, lovely in its origin, lovely in its progress, lovely in its consummation, will he proclaim, both in the spirit and in the letter; the higher life will he make known, in all its fulness and in all its purity, even as I do now. He will be accompanied by a congregation of some thousands of brethren, even as I am now accompanied by a congregation of some hundreds of brethren.' - Digha Nikaya iii.76, Cakkavatti-Sihanada Sutanta
'Listen attentively with one heart. A man whose spirit shines brightly, a man whose mind is completely unified, a man whose virtue excels everyone - such a man will truly appear in this world. When he preaches precious laws, all the people wil totally satisfied as if the thirsty drink sweet drops of rain from heaven. And each and everyone will attain the path of liberation from struggles.' - Sutra of the Great Accomplishment of the Maitreya
'There will come a time, brethren, when immoral courses of action will flourish excessively; there will be no word for moral among humans - far less any moral agent. Among such humans, homage and praise will be given to them who lack filial and religious piety, and show no respect to the head of the clan; just as today homage and praise are given to the filial minded, to the pious and to them who respect the heads of their clans.
Among such humans, there will be no such thoughts of reverence as are a bar to intermarriage with mother, or mother's sister, or teacher's wife, of father's sister-in-law. The world will fall into promiscuity, like goats and sheep, fowls and swine, dogs and jackals.
Among such humans, keen mutual enmity will become the rule, keen ill will, keen animosity, passionate thoughts even of killing, in a mother toward her child, in a child toward its mother, in a father toward his child and a child toward its father, in brother to brother, in brother to sister, in sister to brother. Just as a sportsman feels toward game that he sees, so will they feel.' - Digha Nikaya iii.71-72, Cakkavatti-Sihanada Suttanta
'[Before the coming of the Maitreya, the holy religion will decline.] How will it occur? After my decease, first will occur the five disappearances. And what are the five disappearances? The disappearance of the attainments, the disappearance of the method, the disappearance of learning, the disappearance of the symbols, the disappearance of the relics. These are the five disappearances that are to occur.
The attainments: Only for a thousand years from the time the Blessed One passes into Nirvana will the priests be able to acquire the analytical sciences. Then as time goes on my disciples will attain only to never-returning, to once returning, to conversion. As long as such exist the disappearance of the attainments will not yet have occurred. But with the death of the last disciple that has attained to conversion, the attainments will have disappeared. This, O Shariputta, is the disappearance of the attainments.
Disappearance of the method: My disciples being unable to realize the trances, the insights, the Paths and the Fruits, will keep only the four purities of conduct. Then as time goes on they will keep only the commandments forbidding the four deadly sins. As long as there are a hundred or a thousand priests who keep the commandments forbidding the four deadly sins, the disappearance of the method will not have occured. But when the last priest shall break the precepts, or shall die, the method will have disappeared. This, O Shariputta, is the disappearance of the method.
Disappearance of learning: As long as the text of the Three Baskets, which is the word of the Buddha, and as long as their commentaries are extant, the disappearance of the learning will not have occured. But as time goes on there will be irreligious kings of base extraction, and the courtiers and others in authority will be irreligious, and then the country people throughout the kingdom will be irreligious. On account of thier irreligion the god will not rain in due season, and the crops do not flourish, those who are wont to give the reliances to the congregation of the priests will be unable to do so any more. And the priests, not receiving the reliances, will not teach the novices, and as time goes on learning will disappear.. [And likewise with the disappearance of the symbols and the relics.]' - Anagatavamsa
'The signs of these times are new and fantastical modes of dressing - traditional styles forgotten.' - Padmasambhava
'The arrogant elevate profanity. The proletariat rules the kingdom; kings become paupers; the butchers and murderers become leaders of men; unscrupulous self seekers rise to high position.' - Padmasambhava
'Drunkards preach the path to Salvation.. Guileful imposters claim psychic powers.. False doctrines are devised from the Buddha's Word and the teachers' interpretations become self-vindications.. Ideas are established contrary to traditions.' - Padmasamhbhava
'Famine, frost and hail govern many unproductive years.. release[ing] diseases, horrible epidemics and plagues which spread like wildfire, striking men and cattle.' - Padmasambhava
'No rain falls in season, but out of season; the valleys are flooded.' - Padmasabhava
'Earthquakes bring sudden floods, while fire storms and tornadoes destroy temples, stupas and cities in an instant.' - Padmasambhava
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How to use Handlebars in FormHero Studio
Discusses a variety of ways that can be used in FormHero Studio in both Filler and in dynamic PDFs.
Handlebars (angular templates) are implemented into FormHero studio to allow users to easily access and show the collected data. By simply placing the double curly braces around your data bindings, users can reference the collected data in different parts of the Smart Form, as well as the PDF Output.
In the Smart Form
As you proceed through the smart form by clicking "Next", the data entered by the user on the panel is collected into the session storage. This means that any data collected on the previous panels can be referenced using Handlebars.
For example: on the first panel, a user is asked their name:
When they click "Next", the data is collected and can be used right away in the next page:
How to Use Handlebars
The data binding name of the inputted first name is:
In the next panel, I've referenced the data binding with curly braces in a raw HTML element so that the inputted name is what actually shows up.
Note: Handlebars can be used directly in Headings and Raw HTML elements.
Use Cases in the Smart Form
For a more personal/conversation flow through the form (referencing the user's name creates a sense of personalization)
For clarifying the content being collected if a user is filling out a form that involves multiple individual's information (e.g. if there are multiple account holders in a bank form, and each one requires a witness to assign power of attorney, then referencing each account holder's name in the witness information page will give the user a clear idea of what this information is in reference to (e.g. "Witness for Jim Bob"), rather than "Witness for Account Holder One"
For reviewing all collected data (specifically in the review panel), so users can see what they have inputted
Review Panels
Another place you will see handlebars being used is in the Submission Panel under the review section. When you "Enable Review", FormHero Studio automatically generates a block of HTML that displays all the information the user has inputted.
The HTML contains all the collected data using Handlebars from the Smart Form along with their labels.
Multi-choice Fields
With multi-choice fields, the response the user chooses is pushed into an array. If you leave the handlebar as it is generated from the document, the response would show as ["yes"] if it's just one choice selected. In order to remove the square brackets, reference the index of the array per the image below.
Handlebars in the PDF Output
Merge Data into a PDF Template
When you're mapping data into a PDF, there are times when you may want to have more than one data-binding associated with one field. For example, in the smart form, we had requested the user to input their first name and last name in two separate fields, resulting in two separate data bindings to complete the name. In the PDF form, there is only one field for the full name. Using "Simple" mapping, you can only link one data binding.
In this scenario, we can change the "Mapping Type" to template, and use handlebars to add in both names.
Dynamic PDF Templates
In cases where you will be building your PDF dynamically using HTML, you can use Handlebars.js in the same way for accessing collected data. In addition to that, you will have access to other built-in handlers.
Such as conditionals:
{ { if [conditional] } }
{ { /if } }
And also, iterative elements.
{ { each [itemArray]] } }
{ { /each } }
Using Handlebars, this HTML block is:
Conditionally showing only when the "specificAccounts" data binding is not undefined
Iteratively rendering the block of HTML between { { each X } } { { /each } } based on what is in the "specificAccounts" array.
Adding the collected data of { { account } } and { { sort } } as the input value of a field
In the above scenario, the user is asked to provide specific account information in a data table in the smart form(specificAccounts). With each account "object", there is the account number { { account } }, and a sort code { { sort } }. Because the user could have added just one account, or multiple accounts, it is difficult to hard code this into the dynamic PDF file. Using { { each } } would allow the user to iterate over the specificAccounts data table as many times as it needs in order to render the appropriate number of accounts.
FormHero Help Center


text:
Em matemática, a transformada de Hilbert é uma transformada integral que mapeia uma função f(x) em uma outra, û(x) (portanto, no mesmo domínio).

Ela recebeu esse nome em homenagem ao matemático alemão David Hilbert, que, em 1905, estudou uma transformação similar com vistas a estudar o Problema de Riemann-Hilbert sobre o círculo. Não foi, portanto, o próprio Hilbert que definiu essa transformada, e sim o matemático britânico Godfrey Harold Hardy, em 1925 (ver abaixo. Pesquisas posteriores fixaram a forma da transformação como hoje é usada, mostraram sua utilidade em campos diferentes de aplicação, como a análise harmónica, o processamento digital de sinais, a óptica, a sismologia, a física quântica, a fisiologia e a acústica, e introduziram variações, como a Transformada Discreta de Hilbert, a Transformada de Hilbert Bilinear e a Transformada de Hilbert Trilinear.

A utilidade da transformada de Hilbert advém do fato de a função g(x) = f(x) + i·û(x) (onde i é unidade imaginária) ser sempre uma função analítica (também chamada de função regular e função holomorfa) na metade superior do plano complexo, ou seja, uma função que é infinitamente diferenciável nesse domínio. Em outras palavras, em toda função analítica, a parte imaginária é a transformada de Hilbert da parte real. Assim, a transformação de Hilbert é uma maneira prática de se obter a conjugada de uma função real qualquer f(x). Daí decorrem diversas aplicações práticas:
  Para obter-se uma representação analítica de uma função. Em diversas aplicações, é mais fácil trabalhar com a função complexa g(x), por ser analítica, do que com a função real f(x).
 Como uma maneira de generalizar o conceito de fasor em aplicações onde se lida com sinais de frequências variáveis no tempo. Neste caso, diferentemente da transformada de Fourier e outras relacionadas, representa-se o sinal não como uma soma dos seus componentes senoidais, e sim como um produto de duas funções, uma de alta e outra de baixa frequência.
 Como uma ferramenta para demodular um sinal, obtendo o seu envelope (ou envoltória).

Este verbete trata principalmente da transformada "contínua" de Hilbert, isto é, a transformada de funções definidas em um espaço euclideano. A transformação pode ser aplicada também em espaços discretos (ver Transformada discreta de Hilbert, mais abaixo).) e espaços contínuos não-euclideanos, como um toroide (ver Extensões em outros espaços, mais abaixo).

Definição

A transformada de Hilbert de uma função f(x) é definida por:

Convenções

Como também acontece com outras transformadas, o sinal da integral na definição é matéria de convenção e pode ser invertido sem mudança nas propriedades essenciais da Transformada de Hilbert. Tal inversão se encontra frequentemente na literatura.

Também é frequente expressar a variável independente na transformada como y, em lugar de x, para deixar mais clara a relação entre as funções û(y) e f(x). Tal convenção não foi usada aqui.

Neste verbete, como se verifica em toda a literatura, x é sempre uma variável real. Portanto, f(x) e û(x) são sempre funções reais. s e z denotam variáveis complexas. k (minúscula), l, m e n são constantes reais inteiras. a e b são constantes complexas. K (maiúscula), p e q são constantes reais. t e ω são variáveis reais, denotando sempre as grandezas físicas tempo e frequência angular. Evitou-se referenciar a grandeza física frequência linear, de forma a evitarem-se ambiguidades; quando necessário, usa-se a expressão .

Cálculo e condições de existência

O cálculo da integral contida na definição apresenta dificuldades, não só porque se trata de uma integral imprópria com limites infinitos, mas principalmente porque o integrando assume valores infinitos dentro do intervalo de integração (o que se chama uma singularidade). Para contornar essas dificuldades, divide-se a integral em duas partes de modo a obter-se a formulação alternativa

efetivamente excluindo-se do cálculo um intervalo simétrico de comprimento 2ε em torno da singularidade. Essa forma é chamada de valor principal de Cauchy da integral, por isso é comum, em textos mais formais, encontrar a definição da Transformada de Hilbert escrita assim:

As expressões (2) e (3) são rigorosamente equivalentes. Neste verbete, usamos (1a), por brevidade.

Substituindo-se variáveis (v = x + u, w = x - u), obtêm-se outras formulações alternativas:

Para que a integral em (2) convirja, a função f(x) precisa atender a certas condições. Titchmarsh demonstrou que as funções no Espaço Lp com 1<p<∞ possuem transformadas de Hilbert, bem como algumas no L1.

Sabe-se também que a chamada condição de Paley-Wiener é necessária e suficiente para que a transformada exista.

A maioria das funções de interesse em engenharia incluem-se nessa categoria. A tabela abaixo lista algumas dessas funções e suas respectivas transformadas.

Tabela de transformadas de Hilbert

Para detalhes, ver também Derivação de algumas transformadas de Hilbert.

Transformada inversa

A transformada de Hilbert tem a propriedade conveniente de ser o negativo de sua própria inversa (o que se chama uma anti-involução):

Isso é uma consequência do fato de a aplicação da transformação duas vezes sucessivas resultar no negativo da função original

Uma consequência interessante é que a aplicação da transformação três vezes sucessivas resulta na transformada inversa

e assim por diante. Essas propriedades ficam mais claras se expressas através de operadores:

Convolução

Por inspeção direta da expressão (1a), percebe-se que a função û(x) é a convolução da função f(x) com a função . Essa função é chamada núcleo de Hilbert, e será denotada neste verbete como h(x). Assim, uma outra expressão para a definição da Transformada de Hilbert é a seguinte:

Formas alternativas da transformada de Hilbert

A transformada de Hilbert, definida pela equação (1a), pode ser expressa de forma alternativa com a introdução das variáveis auxiliares η e ζ tais que

obtendo-se as expressões

e

Quando definida por meio das equações (1c) ou (1d), a transformada de Hilbert possui todas as propriedades da transformação definida pela equação (1a), inclusive a anti-simetria da transformada inversa, e ainda a propriedade adicional de ser uma função periódica em ζ.

Propriedades elementares

Linearidade

Da expressão (1a), segue-se imediatamente que a transformada de Hilbert é um operador linear. Assim, podemos escrever

Dilatação e deslocamento do eixo

Da expressão (1a), segue-se imediatamente que

onde sgn(a) é a chamada função sinal de a, e

Convolução

Da expressão (1a), também se segue que

e que

Comutatividade com relação à diferenciação

Da expressão (5), aplicando-se a fórmula de Leibniz para a derivação de uma integral, segue-se que

Invariância

O operador  apresenta propriedades de invariância quando combinado com outros operadores; por exemplo, o operador da transformação de Fourier, :

Essa propriedade deriva do fato de a transformada de Hilbert da função impulso unitário ser igual ao núcleo de Hilbert h(x).

Relação com as equações de Cauchy-Riemann

O fato de uma função  e sua transformada  estarem relacionadas de forma tal que a função complexa  é analítica no semi-plano superior complexo implica que as equações de Cauchy-Riemann são obedecidas, ou seja, pode-se escrever:

Em consequência, se derivarmos novamente as equações acima, obteremos

assim,

De forma similar, podemos obter também

Como a função u(z) é real, temos obrigatoriamente

As equações (6c) e (6d) são exemplos da conhecida Equação de Laplace. Assim, a tarefa de encontrar o par de funções  e  equivale a resolver um sistema de equações de Laplace com as condições de contorno dadas pelas equações (6e) e (6f).

Interpretações físicas

Interpretação no domínio do tempo

Se, na expressão (6a), a variável independente for o tempo, a interpretação imediata é que a função û(t) é a resposta de um dispositivo a um sinal de entrada descrito por f(t). A função h(t) seria, nesse caso, a resposta desse dispositivo a um impulso unitário na sua entrada; tal resposta caracterizaria o dispositivo como um filtro linear invariante no tempo. Esse dispositivo é chamado filtro de Hilbert ou transformador de Hilbert (Hilbert transformer).

Interpretação no domínio da frequência

Se denotarmos a transformada de Fourier de uma função f(x) por , a sua aplicação ao núcleo de Hilbert h(x) dará

Podemos calcular, a partir das expressões (6a) e (7), a transformada de Fourier de uma função û(x) qualquer, que denotaremos por

Podemos interpretar (8a) no domínio da frequência, da seguinte maneira: a aplicação da transformada de Hilbert a uma função f(t) faz com que suas componentes harmônicas negativas sejam multiplicadas por -i, o que equivale a um deslocamento de  na sua fase, que suas componentes harmônicas positivas sejam multiplicadas por i, o que equivale a um deslocamento de fase de , e que a componente contínua (ω=0) seja eliminada. A partir dessa propriedade, vê-se claramente por que a aplicação dessa filtragem duas vezes sucessivas resulta exatamente na inversão do sinal original: todas as componentes são multiplicadas por i2 = -1.

Em análise de sinais, como a transformação de Hilbert apenas muda a fase de um sinal de entrada f(t) (sendo que, nos casos práticos, t sempre é maior que 0), a densidade de energia espectral do sinal de saída û(t), que é dada por |û(t)|, é a mesma daquela do sinal de entrada, que é dada por |f(t)| ou , de acordo com Lord Rayleigh (ver também o Teorema de Parseval e o Teorema de Plancherel, que são generalizações posteriores do teorema original de Rayleigh).

Da expressão (8a), segue que, se o sinal f(t) e sua transformada û(t) forem expressos pelas correspondentes séries de Fourier, os componentes bk de uma serão iguais aos componentes ak da outra, a menos do sinal, para todo k > 0. Uma maneira informal de enunciar isso é dizer que a transformação de Hilbert troca os senos pelos cossenos na representação no domínio da frequência.

Uma consequência prática da expressão (8a) é que a transformada de Hilbert de um sinal f(t) pode ser computada através da transformada de Fourier deste (ver Cálculo por métodos numéricos).

Causalidade
Diz-se que um filtro é causal quando sua saída num tempo tk não depende de nenhum valor de t > tk. Acredita-se que todos os sistemas físicos possuam essa propriedade. Assim, um filtro, para ser construído fisicamente, precisa ser causal.

Uma propriedade que se segue diretamente da definição acima é que a resposta desse filtro ao impulso é nula para t < 0.

Com respeito à causalidade, a transformação de Hilbert possui as seguintes propriedades:
 Como a resposta do filtro de Hilbert ao impulso não é nula para t < 0, ele não é um filtro causal.
 Demonstra-se que, se a transformada de Hilbert da resposta em frequência de um filtro existir, isso é condição necessária e suficiente para que tal filtro seja um filtro causal.

Implementação física de transformadores de Hilbert

Como um filtro de Hilbert não é um sistema causal, ele é fisicamente irrealizável. Podem-se construir, contudo, filtros de Hilbert analógicos ou digitais com resposta aproximada. A resposta de tais filtros, além de apresentar distorções em relação à resposta do filtro ideal, dada pela equação (8a), exibe necessariamente um atraso com relação ao sinal de entrada. Esses dois pontos, atraso e precisão na resposta, constituem então critérios de comparação entre diferentes implementações de um filtro de Hilbert. Outros critérios importantes são a estabilidade com o envelhecimento dos componentes e imunidade a perturbações externas, como variações de temperatura, vibração, etc. Em geral, um filtro digital é mais fácil e mais barato para se implementar do que um filtro analógico com as mesmas características de atraso, precisão, estabilidade e imunidade. A base para a construção de um filtro de Hilbert digital é a Transformada Discreta de Hilbert, tratada mais abaixo.

A resposta em frequência e em fase de um filtro de Hilbert ideal é dada pelas fórmulas seguintes:

onde f é a frequência do sinal de entrada, A é o valor do sinal de saída e φ, seu ângulo de fase. Ou seja, o sinal de entrada é dado pela equação  e o sinal de saída por . Arg(x) é a função argumento principal e h(t) é o núcleo de Hilbert, cuja transformada é .

Outras propriedades importantes

Conjugado harmônico

Se denotarmos o valor da transformada de Fourier para um dado valor de x=x1 como

então, de (8a), temos que

Vemos, de (9a), que transformação de Hilbert efetua a troca entre as partes real e imaginária de uma função complexa. Essa propriedade é útil porque permite seu uso para encontrar as componentes conjugadas de uma dada função f(x) (ver os itens Funções conjugadas e Interpretação no domínio da frequência neste verbete).

Simetria e ortogonalidade

Em aplicações físicas, em geral f(x) é uma função real, e, como consequência, o mesmo acontece com û(x). Como a transformada de Fourier exibe simetria hermitiana para valores reais, ou seja,

isso se verifica também para . Assim, se û(x) for uma função par, û(-x)=û(x), e a condição  implica , o que só é possível se  for uma função real. Inversamente, se û(x) for uma função ímpar, û(-x)=-û(x), e a condição  implica , o que só é possível se  for uma função de valores puramente imaginários.

Além disso, a expressão (8a) mostra diretamente que, se  for uma função real, G(ω) será uma função puramente imaginária e que, se  for uma função puramente imaginária, G(ω) será uma função real. Mas a simetria hermitiana da transformada de Fourier obriga f(x) a ser uma função par no primeiro caso, e ímpar no segundo. O resultado é que, quando û(x) for uma função par, f(x) será uma função ímpar; quando û(x) for uma função ímpar, f(x) será uma função par.

A partir dessas propriedades de, pode-se provar facilmente que as funções f(x) e û(x) são ortogonais, pois

uma vez que o integrando será sempre uma função ímpar. Em Física, a variável x tem dimensão temporal, e a grandeza EM é chamada a energia mútua das funções f(t) e û(t).

Transformada de um produto de funções

Se a função f(x) for o produto de duas funções f1(x) e f2(x), então G(ω)=G1(ω)*G2(ω) (pelo teorema da convolução). Podemos escrever G2(ω)=G2(ω)·(u1(ω) + u1(-ω)), por exemplo, onde u1(x) é a função degrau unitário ((u1(x) + u1(-x) = 1). Assim, G(ω)=G1(ω)*[G2(ω)·u1(ω) + G2(ω)·u1(-ω)]=G1(ω)*G2(ω)·u1(ω) + G1(ω)*G2(ω)·u1(-ω)]. Evidentemente, o primeiro termo é nulo para ω<0, e o segundo termo é nulo para ω>0. Daí, segue-se que

Desenvolvendo a expressão, temos

Podemos, então, escrever

Assim, as funções  e  possuem a mesma transformada de Fourier. Devido à propriedade de linearidade desta, podemos dizer que essas funções são idênticas, a menos da adição de uma função f0(x) cuja transformada de Fourier fosse nula. De acordo com o Teorema de Lerch, uma função com essa propriedade teria que ser uma função nula, portanto podemos desprezá-la em aplicações práticas e escrever:

A expressão (10a) é conhecida como identidade de Bedrosian. O problema de quais são as condições que as funções f1(x) e f2(x) precisam atender para que a transformada de Hilbert de f(x) exista ainda está em aberto, mas a restrição mais usada (ou seja, a menos estrita) é que existam valores x1 e x2 tais que f1(x)=0 para todo x>x1, que f2(x)=0 para todo x>x2, e que x2>x1. Uma condição mais estrita, mas mais simples, é que f1 e f sejam funções analíticas.

De acordo com essa expressão, quando precisarmos computar a transformada de Hilbert de um produto de duas funções, só será preciso calcular a transformada da função de alta frequência e multiplicá-la pela outra.

Outra consequência da expressão (10a) é que o produto dessas duas funções pode ser expresso como

Autocorrelação

De (8a) segue-se também que f(x) e û(x) têm a mesma função de autocorrelação, que é definida como a convolução de uma função com seu conjugado complexo:

Representações alternativas para a função f(x)

Filtros passa-baixas e passa-altas

Uma função qualquer f(x) pode ser expressa em função de duas componentes fL(x) e fH(x) com o auxílio da função seno cardinal:

com

e, evidentemente,

onde δ(x) é a função impulso unitário. A idéia é que fL(x) contenha todas as componentes de frequências baixas (ω<2πfc) do sinal, e fH(x) contenha as componentes de frequências altas (ω>2πfc). Para verificar que isso realmente acontece, basta calcular as transformadas de Fourier

onde rect(x) é a função retangular:

De maneira similar,

A função sinc(x), portanto, funciona como um filtro passa-baixas ideal.

Funções conjugadas

Uma função qualquer f(x) pode ser expressa de forma alternativa em função de duas componentes conjugadas f1(x) e f2(x):

com

É fácil ver que a expressão (12a) é válida para qualquer g(x). No entanto, se fizermos g(x) = û(x), o espectro de frequências de f1(x) e f2(x) terá características muito interessantes, pois

Similarmente, teremos

O exame das expressões (12d) e (12e) revela que, nessa decomposição, uma das funções é composta por todas as componentes com frequências positivas de f(x), e a outra, por todas as componentes com frequências negativas. Por isso, essas funções são frequentemente notadas como f+(x) e f-(x).

Cálculo por métodos numéricos

O cálculo da transformada de Hilbert através da integração direta, a partir de alguma das suas fórmulas de definição, funciona bem para funções que não apresentem descontinuidades e que decresçam rapidamente com o aumento do valor de x. Para outros casos, devem-se empregar artifícios; um deles é usar polinômios de Hermite para calcular as integrais. Em todos os casos, como a distribuição de energia das funções f(x) e û(x) é a mesma (como mostrado aqui), o valor da energia de f(x) e de û(x), em cada frequência, pode ser calculado e comparado, de forma a obter-se uma estimativa da qualidade da aproximação resultante do método de cálculo escolhido.

Da expressão (8a), segue que a transformada de Hilbert de um sinal f(t) pode ser computada através da transformada de Fourier deste, da seguinte maneira:
 Em primeiro lugar, expressa-se f(t) na forma de uma série de Fourier;
 Depois, trocam-se os coeficientes dos componentes em senos pelos coeficientes em cossenos e vice-versa (isso equivale a aplicar os desvios de fase de  e  onde necessário); a componente DC deve ser desprezada.

Outro método que pode ser usado é o seguinte:
 Em primeiro lugar, calcula-se a transformada de Fourier de f(t) (por exemplo, por meio da Transformada Rápida de Fourier;
 Depois, multiplicam-se os coeficientes dos componentes de frequências negativas por -1, deixando-se os demais inalterados; a componente DC deve ser desprezada.
 Calcula-se a transformada inversa de Fourier do resultado.
Isso é possível devido à propriedade de invariância com relação ao operador da transformação de Fourier.

Pode-se também usar um método similar para calcular û(t) a partir da Transformada de Hartley, conforme se vê em Bracewell (2000).

Aplicações

Modulação

A forma geral de uma onda modulada em amplitude (AM) é

Um inconveniente da modulação em amplitude é que o espectro de s(t) é simétrico em relação à frequência da portadora. Isso implica que o sinal contém informação redundante, que ocupa banda passante e gasta energia dos transmissores desnecessariamente. Por isso, em lugar da forma padrão, também chamada de DSB-FC (bandas laterais duplas com portadora, ing. double side banded - full carrier), é vantajoso adotar a forma SSB (banda lateral simples, ing. single side banded).

Teoricamente, poder-se-ia eliminar a banda lateral por meio de um filtro convencional. No entanto, tal filtro teria que ter um fator de qualidade muito grande, com largura de banda estreita e atenuação elevada, o que torna difícil construí-lo a partir de um circuito eletrônico convencional. Uma alternativa é usar um filtro de Hilbert.

De acordo com as expressões (10) e (11), podemos escrever, considerando f(t) = Ac [1 + Kam(t)] (o sinal modulador), e assumindo que, em aplicações práticas, as frequências nele presentes são sempre muito menores que fc:

Em primeiro lugar, expressa-se o sinal s(t) em função de duas componentes de frequências altas e baixas sU(t) e sL(t), ambas derivadas de f(t) e sua transformada, û(t):

sendo

Desenvolvendo sU(t), teremos

De forma similar,

Por inspeção das expressões (12a) a (12c), podemos escrever

De acordo com as propriedades da transformada de Fourier, a multiplicação pelo fator eiῳt equivale a um deslocamento na frequência igual a ῳ. Nesse contexto, a comparação com as expressões (12d) e (12e) mostram que o espectro de sU(t) possui apenas frequências com valores de (f - fc) positivos, ou seja, f > fc. O inverso vale para sL.

Demodulação

A transformada de Hilbert pode ser usada para analisar um sinal s(t) que consiste de um produto de duas funções f(t) e g(t). Em aplicações práticas, uma delas é frequentemente uma oscilação de alta frequência e a outra é um sinal que contém informação útil e que se deseja destacar para análise. Nesse contexto, a primeira função é chamada de portadora e a outra, de função moduladora ou sinal modulante. Aqui suporemos que g(t) é a portadora e f(t), o sinal modulante.

Pode-se obter f(t) a partir de s(t) através da transformada de Hilbert, por meio da expressão:

Essa operação é chamada de demodulação. Evidentemente, constitui o inverso da modulação, que consite em obter s(t) a partir de f(t).

Em engenharia, também se usa o termo sinal analítico forte para designar uma função analítica (ou regular ou holomorfa). Tal sinal pode ser escrito na forma geral s(t) = A(t)·eφ(t), que representa um vetor de amplitude instantânea A e direção instantânea dada pelo ângulo de fase φ, ambos variando com o tempo. Essa representação é útil em diversas aplicações práticas. |A(t)|, que é chamado de envelope ou envoltória da modulação, é sempre positivo, o que permite a plotagem de A(t) em escala logarítmica. Evidentemente, |A(t)| = |f(t)|·|g(t)|. Muitas vezes, é desnecessário obter f(t), sendo suficiente conhecer qual é o envelope porque, como |g(t)| em geral é conhecido, fica fácil a partir dele calcular |f(t)|.

O espectro de frequências de um sinal analítico forte só contém frequências positivas. A frequência instantânea pode ser calculada como

Em casos onde uma análise mais profunda de A(t) se faz necessária, aplica-se a transformada de Fourier. Por exemplo, quando A(t) é uma função exponencial com mais de uma constante de amortecimento. Para um exemplo, ver Thrane e outros.

Fasor no domínio da frequência

Podemos escrever o espectro de frequências de um sinal na forma polar G(ω) = A(ω)·eφ(ω), de maneira similar ao que se fez no item anterior com a representação no domínio do tempo. Se a correspondente função de transferência no domínio da frequência complexa for dada por

onde K é uma constante, a1, a2 ... an são os zeros e b1, b2 ... bm são os polos de F(s), pode-se escrevê-la também na forma

onde Fa consiste da constante K e dos zeros e polos cuja parte real é negativa, e Fφ consiste dos demais. Nesse caso, cada polo de Fφ deve ser o conjugado de um dos zeros, ou seja,

A amplitude de Fφ = 1, e esses polos e zeros influenciam apenas a fase de F(s). Fa é frequentemente chamada de componente de mínima fase de F(s). Pode-se demonstrar que, se escrevermos Fa(ω) na forma polar Fa(ω) = Aa(ω)·eφa(ω), então

Transformada Discreta de Hilbert

A Transformada Discreta de Hilbert (DHT, do inglês Discrete Hilbert Transform) aplica-se a funções definidas num espaço discreto como, por exemplo, o conjunto dos números inteiros. Pode-se definir essa transformação como a convolução de uma função qualquer f(t) com o núcleo de Hilbert h(t), com a única diferença de que neste caso trata-se da versão discreta do núcleo de Hilbert. A convolução, em casos práticos, será uma convolução circular, porque apenas um intervalo finito de tempo [t0,t1] reveste-se de interesse; a DHT, como resultado dessa convolução, será sempre uma função periódica, e o período τ será o tamanho desse intervalo: t1 - t0.

Relação com a Transformada Discreta de Fourier
Podemos estender a Transformada Discreta de Hilbert partindo-se da Transformada Discreta de Fourier, que é justamente a extensão da Transformada de Fourier para espaços discretos.

Uma transformada integral num espaço discreto consiste numa sequência finita de coeficientes p0, p1, p2, ... pn-1 para os quais existe uma fórmula de cálculo bem definida. Essa sequência será chamada aqui DHT. Também deve existir uma sequência análoga para a transformada inversa. Chamaremos a essa sequência DHT-1. n é o tamanho da amostra.

A transformação é aplicada a uma sequência de valores q0, q1, q2, ... qn-1, que chamaremos aqui de Q. Q, DHT e DFT (do inglês Discrete Hilbert Transform) precisam ter o mesmo tamanho da amostra. Além disso, como autores diferentes adotam convenções diferentes para a transformada discreta de Fourier, é preciso escolher qual delas emprega. Aqui será usada a seguinte versão:

onde fk é uma frequência discreta, um inteiro no intervalo [0,n-1]. O espectro de G(k) resulta periódico, ou seja, G(k) = G(k+in), onde i é um inteiro positivo qualquer. A frequência de G(k) é frequência normalizada ψ, que se situa no intervalo [0,2π]; as componentes situadas no intervalo [0,π] são consideradas como tendo frequência positiva, e aquelas situadas no intervalo [π,2π] são consideradas componentes de frequência negativa.

A fórmula correspondente para a transformada inversa é a seguinte:

.

Cálculo dos coeficientes

Pode-se calcular os coeficientes da DHT de uma das maneiras seguintes: a primeira através da transformada discreta de Fourier,

e a segunda por meio da fórmula direta

onde H é outra sequência, que corresponde ao núcleo de Hilbert em forma discreta, e H-1, sua inversa. Para n par, H(k) é dada por

e para n ímpar, por

Em qualquer caso, vale a fórmula concisa seguinte:

Quanto a H-1, valem as fórmulas seguintes:

Para a transformação inversa, usamos

ou

As expressões (16a) e (16b) são versões discretas das expressões (5) e (6b). As expressões (16b) e (17b) são convoluções discretas, isto é, convoluções num domínio discreto; nessas expressões, H(k-j) e H-1(k-j) são matrizes n x n, pois os elementos dependem de k e de j. As expressões (16a) e (17a) são mais usadas na prática, pois DFT e DFT-1 podem ser calculadas de forma muito eficiente através do algoritmo da Transformada Rápida de Fourier (FFT).

A tabela abaixo confronta os conceitos envolvidos nas transformações de Hilbert nos domínios contínuo e discreto, para ilustrar as definições acima.

A amostragem deve ser feita em intervalos de tempo iguais; chamaremos aqui de ta a esse intervalo de amostragem. A teoria exige que a frequência da amostragem seja feita com uma frequência de pelo menos o dobro da maior frequência presente no sinal de entrada. Em outras palavras, se denotarmos tal frequência por fmax, é preciso que

O núcleo discreto de Hilbert

Para um número de amostras muito grande, pode-se usar a expressão simplificada

que se obtém tomando o limite n → ∞ na expressão (16d). Essa aproximação não funciona bem para valores pequenos de n, porque a convergência do cálculo através da expressão (16b) não é uniforme.

Uma outra fórmula que aparece na literatura é a seguinte:

que é um compromisso entre a expressão exata (16d) e a aproximação mais simples (16e).

No anexo, encontram-se exemplos de derivação de algumas DHTs.

A derivação da transformada de Hilbert por meio da FFT tem o inconveniente de produzir serrilhamento (aliasing). Isso ocorre porque a expressão (16c) é descontínua em k=0, o que implica na existência de frequências infinitas no espectro. O serrilhamento resultante é explicado teoricamente pelo Fenômeno de Gibbs. Uma outra forma de entender esse efeito é lembrar que a FFT é calculada em um intervalo finito τ, por isso exige-se que a função de entrada passe primeiro por um filtro passa-baixas de forma a eliminar as componentes de alta frequência, ou seja, as componentes com período inferior a 2τ; a aplicação de um sinal não devidamente filtrado à FFT inevitavelmente produzirá efeitos espúrios.

Uma maneira é calcular a transformada por meio de um algoritmo de filtro digital. A resposta em frequência ideal do filtro é então definida a partir da equação

e as técnicas usuais são empregadas de forma a obter um filtro com uma resposta o mais próxima possível à ideal. Por meio desta abordagem, obtém-se uma aproximação para û(t) que apresenta ondulações moderadas em torno da descontinuidade. Tais dispositivos são  conhecidos, conforme já mencionado acima, como filtros ou transformadores de Hilbert.

Propriedades

A DHT possui algumas propriedades idênticas às da Transformada de Hilbert contínua, em particular as seguintes:
 Relação com a transformada inversa
 Linearidade
 Convolução
 Comutatividade com relação à diferenciação
 Invariância

Em outros casos, o comportamento das duas versões da transformada é sensivelmente diferente. A DHT, como se pode perceber a partir da equação (16c), tem sempre o valor 0 para ψ = 0 (k = 0), que corresponde à componente de frequência zero de f(t)/f(k). Além disso, para n par, a componente ψ = π, que corresponde à frequência mais alta presente no espectro, também se anula. Por isso, as densidades espectrais de f(k) e de G(k), obtidas através do teorema de Parseval, não são idênticas no caso geral.

Extensões para outros espaços

Extensão para espaços multidimensionais
A transformada de Hilbert, definida no espaço L2 por meio da equação (1a), pode ser expandida para espaços multidimensionais Ln, com n > 2, da mesma forma que se faz com a transformada de Fourier. Num tal espaço, o domínio deixa de ser um espaço unidimensional e passa a ser um espaço Ln-1. A variável independente x passa a ser uma matriz de n-1 dimensões, que denotaremos por x; as "colunas" de x são os vetores xi, com 1 ≤ i ≤ n-1.

A transformada de Hilbert de dimensão n é dada pela expressão:

onde os símbolos de integrais indicam o valor principal de Cauchy de cada integração. A transformada inversa será dada por

Vemos que a transformação será anti-simétrica para n ímpar e simétrica para n par; a transformada de Hilbert definida pela equação (1a) pode ser considerada um caso especial (n=1) da transformação n-dimensional.

Também é possível definir a transformação através da convolução (multidimensional) com o núcleo de Hilbert de dimensão n; por exemplo, para n = 3

com h3(x) sendo o núcleo de Hilbert de dimensão 3:

Paridade do sinal de entrada
Uma função f(x), com x tendo n dimensões, pode ser decomposta em uma soma de 2n componentes, cada uma sendo uma função par ou uma função ímpar de uma das variáveis de entrada xi, 1 ≤ i ≤ n. Por exemplo, para n = 3

onde fppp é uma função par para as 3 variáveis, fppi é uma função par para as variáveis x1 e x2 e ímpar para a variável x3, e assim por diante. Define-se ainda a distância D(f1,f2) entre duas componentes f1 e f2 como o número de subscritos diferentes na identificação de ambas; por exemplo, D(fppp,fppi) = 1, D(fppp,fipi) = 2, D(fpip,fipi) = 3, D(fiii,fiii) = 0.

Relação com a transformada de Fourier multidimensional
Se denotarmos a transformada de Fourier de dimensão n de uma função f(x) por G(ω), sendo ω uma matriz de n dimensões, vale a seguinte relação

que é a extensão da equação (8a) para n dimensões.

Transformada Fracional de Hilbert
A partir da transformada n-dimensional de Hilbert, pode-se definir uma transformada fracional (também chamada Transformada Parcial de Hilbert), que resulta da aplicação das expressões (19a) ou (19b) a apenas algumas dentre as n variáveis da matriz x. Por exemplo, se n=2, as duas transformadas fracionais bidimensionais de Hilbert possíveis serão dadas por

e

Essas são transformadas fracionais de primeira ordem, porque uma das variáveis foi deixada de fora da transformação. Para n=3, são possíveis 3 transformadas fracionais tridimensionais de Hilbert de primeira ordem e 3 de segunda ordem (em que duas variáveis são deixadas de fora da transformação) e assim por diante.

Funções separáveis
Uma função f(x), de n variáveis, é dita separável se puder ser escrita como o produto de n funções, cada uma dependendo de apenas uma das variáveis. Ou seja, . Para esse tipo de entrada, a transformada de Hilbert exibe também separabilidade, ou seja, . Essa propriedade também é exibida pelas transformadas fracionais de Hilbert de qualquer ordem.

Ortogonalidade
Em geral, a equação (9b) não pode estender-se para n dimensões, ou seja, no caso geral, f(x) e û(x) não são ortogonais. A ortogonalidade, no entanto, se verifica quando f(x) (e, por conseguinte, também û(x) é separável.

Extensão do teorema de Bedrosian
A identidade de Bedrosian, expressa pela equação (10a) pode ser estendida para n=2 pelo teorema de Starck. Seja fMfi a máxima frequência presente em f(x) quando apenas a variável xi varia e a outra permanece constante, e seja fmgi a mínima frequência presente em g(x) nas mesmas condições. Chamemos F(ω) e G(ω) as transformadas de Fourier bidimensionais de f(x) e g(x), respectivamente. Se f e g são tais que fMf1, fMf2, fmg1 e fmg2 são finitas, então F será nula para ω1 > 2πfMf1 e ω2 > 2πfMf2, e G será nula para ω1 < 2πfmg1 e ω2 < 2πfmg2. f(x) será, então, uma função que só contém frequências relativamente baixas, e g(x) será uma função que só contém frequências relativamente altas nos respectivos espectros.

Se fMf1 < fmg1 e fMf2 < fmg2, as funções f e g são ditas fortemente separáveis espectralmente. Neste caso, o suporte de F é disjunto do suporte de G, e pode-se escrever

A condição de fMf1 < fmg1 e fMf2 < fmg2 não é necessária para validade da equação (21b). Como as frequências fMf1, fmg1, fMf2 e fmg2 encontram-se num espaço bidimensional, os suportes de F e G podem ser disjuntos mesmo quando ela não é atendida; nesse caso, f e g são ditas disjuntas espectralmente, e a equação (21b) ainda vale.

Transformadores de Hilbert multidimensionais
As equações (8b) e (8c), que definem o transformador de Hilbert, podem ser estendidas para n dimensões por meio das equações

História do desenvolvimento da teoria

Em 1909, Hardy forneceu a definição da transformada e condições de sua validade. Ele acreditava na época que as fórmulas fossem desconhecidas, mas posteriormente descobriu que Hilbert já as usara pelo menos desde 1904, e então batizou a transformação como Transformada de Hilbert quando escreveu novamente sobre o assunto em 1925. O trabalho deste ano continha alguns erros, o que obrigou Hardy a reescrevê-lo em 1932. Outros trabalhos do mesmo autor nos anos entre 1909 e 1932 trouxeram novos aportes à teoria. O último artigo de Hardy sobre a transformação de Hilbert data de 1937.

Assim, Hardy (1932) é o artigo de referência para a definição original da Transformada de Hilbert.

A motivação original de Hardy era o estudo da Transformada de Fourier e sua aplicação à análise do espaço L2. Ele iniciou essas pesquisas em 1904 e as levou até 1947, investigando também as transformações de Mellin e de Laplace, além do recém-descoberto tema dos núcleos (kernels) da Transformada de Fourier.

Notas

Ver também
Relações de Kramers–Kronig

Ligações externas
Artigo original de G. H. Hardy: Oxford Quarterly Journal of Mathematics, Volume os-3, Issue 1, Pp. 102-112

Transformadas
Análise harmônica
Transformadas integrais

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