text:
La enfermedad renal crónica del gato (ERC) -también llamada insuficiencia renal crónica (IRC) o insuficiencia renal crónica en la literatura más antigua- es una enfermedad incurable y progresiva que se caracteriza por una disminución gradual del número de nefronas, lo que lleva a una disminución de la función renal (insuficiencia). Es una de las causas más comunes de muerte en gatos domésticos de edad avanzada. En la literatura actual, se prefiere el término "enfermedad renal" al de "insuficiencia renal", ya que la enfermedad progresa inicialmente sin que se produzca un deterioro apreciable de la función renal. Como resultado del diferente tipo de nutrición y de las peculiaridades metabólicas resultantes, el cuadro clínico y el tratamiento difieren en parte significativamente de la enfermedad renal crónica humana.

La enfermedad renal crónica se produce en los gatos como resultado de la inflamación de los túbulos renales y del tejido intersticial sin una causa identificable (nefritis túbulointersticial idiopática). Los principales síntomas son la pérdida de apetito, el aumento de la la toma de agua y por tanto de orina, la fatiga, los vómitos y la pérdida de peso.

La enfermedad renal crónica en los gatos se divide en cuatro etapas principales en función de la concentración de creatinina en el plasma sanguíneo, que a su vez se subdividen según el cociente proteína-creatinina en la orina y la presión arterial.

El tratamiento se basa principalmente en la reducción del contenido de proteínas y fosfatos de la dieta a las necesidades básicas ("dieta renal"). Además, los numerosos síntomas secundarios derivados de la disfunción renal, como las alteraciones del equilibrio hídrico, electrolítico y ácido-base, el aumento de la presión arterial, la anemia y los trastornos digestivos, se tratan con medicamentos. Con la detección y el tratamiento tempranos, se puede ralentizar la progresión de la enfermedad, mejorar la calidad de vida y aumentar la esperanza de vida de los animales.

Fundamentos fisiológicos
El riñón es un órgano vital con diversas tareas. Desempeña un papel importante en el mantenimiento del equilibrio hídrico, electrolítico y ácido-base, en la excreción de productos de desecho metabólicos tóxicos como la urea, y en la recuperación de sustancias valiosas como la glucosa, los aminoácidos, los péptidos y los minerales que se filtran inicialmente de la sangre durante la ultrafiltración en los corpúsculos renales. Además, los riñones metabolizan y descomponen las sustancias endógenas y exógenas, por lo que el riñón es un órgano metabólico central junto con el hígado. Por último, algunas sustancias hormonales activas, como la renina, la eritropoyetina y el calcitriol (forma activa de la vitamina D3), se producen en el riñón. Así, el órgano desempeña un papel importante en la regulación de la presión arterial, la eritropoyesis, el equilibrio del calcio y el fósforo y, por tanto, el metabolismo óseo.

Como carnívoros, los gatos dependen especialmente del suministro de proteínas animales porque la fuente de energía más importante para ellos es la formación de glucosa a partir de aminoácidos. Las enzimas de degradación de aminoácidos están adaptadas a la alta ingesta de proteínas y su actividad es en gran medida independiente del suministro de proteínas en la dieta, por lo que los gatos degradan las propias proteínas del cuerpo (especialmente de los músculos) en caso de ingesta insuficiente de proteínas (estado metabólico catabólico).

La carne y las vísceras también contienen nutrientes vitales para los gatos, como la vitamina A, la taurina y el ácido araquidónico. En comparación con la dieta normal de un ser humano, los gatos consumen alrededor de seis veces más fosfato dietético con la comida comercial para gatos.  Esto hace que sea difícil lograr una reducción de fósforo en los alimentos para gatos similar a la que se persigue en la medicina humana para las dietas renales humanas.

Base fisiopatológicas

Los síntomas de la enfermedad sólo aparecen en una fase avanzada, cuando ya se ha perdido más de dos tercios de la función renal original. Esto se debe a los propios mecanismos de compensación del organismo y a la capacidad de reserva del riñón, que puede compensar la reducción de la función renal durante mucho tiempo y mantener la excreción de sustancias que tienen que ser excretadas por orina. Con la pérdida de nefronas funcionales -la unidad funcional del riñón- la capacidad de filtración de los corpúsculos renales (tasa de filtración glomerular) disminuye y con ella la capacidad de excreción de sustancias que han de ser excretadas por la orina.

El aumento de los niveles de urea en la sangre (uremia) provoca náuseas y vómitos por diversos motivos. En primer lugar, irritan directamente los quimiorreceptores de la zona gatillo quimiorreceptora en el cerebro. En segundo lugar, aumentan la secreción de gastrina,produciendo un aumento de la formación de ácido gástrico y, por tanto, a la acidificación del estómago. Por último, provocan una inflamación vascular (vasculitis urémica), que provoca más daños en el tubo digestivo.

Como consecuencia de la acumulación de fosfato en la sangre (hiperfosfatemia) y la menor formación de calcitriol en el resto de los túbulos renales, se produce un descenso del nivel de calcio en sangre (hipocalcemia) y se libera más hormona paratiroidea o paratohormona por la glándula paratiroides. La enfermedad renal crónica provoca una hiperfunción paratiroidea (hiperparatiroidismo renal secundario) en el 84 % de los casos.

Entre otras cosas, la hormona paratiroidea provoca la liberación de calcio y fosfato de los huesos, lo que en última instancia provoca trastornos óseos relacionados con el riñón y la calcificación de los riñones, la piel, el corazón y los vasos sanguíneos. En los riñones, esta calcificación contribuye a una mayor destrucción del tejido renal. La reducción de la capacidad de respuesta de las células paratiroideas al calcio interrumpe el circuito de retroalimentación negativa de la secreción paratiroidea, de modo que ésta sigue siendo secretada a pesar del aumento de los niveles de calcio. Dado que llega menos fosfato a los túbulos renales debido a la reducción de la tasa de filtración, el efecto inhibidor de la hormona paratiroidea sobre la recaptación en el cuerpo principal sólo tiene un pequeño efecto sobre el nivel de fosfato en sangre.

La pérdida de nefronas y la disminución asociada del número de canales de sodio conduce a una disminución del gradiente de concentración en el riñón. Sin embargo, ésta es la fuerza motriz para la recuperación de agua en la pieza media y, en presencia de ADH, también en los tubos colectores. El resultado es una pérdida de agua a través de la orina y, por tanto, una deshidratación del organismo, que se ve agravada por la pérdida de líquido durante los vómitos.

Una de las consecuencias de la reducción de la capacidad de los riñones para excretar iones de hidrógeno, fosfato y sulfato y de la pérdida excesiva de bicarbonato es la acidosis metabólica de la sangre. La acidosis metabólica se produce en el 80 % de los gatos con enfermedad renal crónica.

Con el aumento del daño renal, también se deteriora la autorregulación del flujo sanguíneo renal, que normalmente garantiza que el flujo sanguíneo y, por tanto, la capacidad de filtrado sean independientes de la presión arterial general hasta un umbral de 60 mm Hg. Como resultado, el rendimiento renal se reduce a baja presión arterial y, en el caso de la presión arterial alta, a menudo asociada a la enfermedad renal crónica, se producen daños adicionales debido a la sobrecarga de presión de los corpúsculos renales. El aumento de la presión arterial se produce como consecuencia del endurecimiento de los vasos sanguíneos en la zona de los corpúsculos renales, la reducción de la formación de prostaglandinas vasodilatadoras y la activación del sistema renina-angiotensina-aldosterona.

Incidencia y causas

La enfermedad renal crónica es una de las causas más comunes de muerte en los gatos domésticos de edad avanzada. Sin embargo, en muchos animales la enfermedad queda inicialmente sin diagnosticar porque los signos clínicos suelen estar ausentes en las primeras fases de la enfermedad renal crónica debido a la capacidad de reserva del riñón y a que no se dispone de pruebas de diagnóstico suficientemente sensibles para su uso rutinario. Los datos sobre la incidencia de la enfermedad en gatos son contradictorios y oscilan entre el 1,6 y el 20 %. La enfermedad renal crónica es más común en los gatos más viejos: Más del 50 % de los gatos afectados tienen siete años o más y el 30% de todos los gatos de más de 9 años muestran niveles elevados de compuestos nitrogenados en sangre (azoemia). Sin embargo, la enfermedad puede aparecer a partir de los 9 meses de edad. Se ha comprobado la predisposición a la enfermedad de algunas razas como el Maine Coon, el Abisinio, el Siamés, el Azul ruso y el Birmano.

Dado que los riñones tienen una gran capacidad de reserva y las manifestaciones clínicas sólo se producen cuando se han perdido dos tercios de la función renal original, los factores desencadenantes dañan ambos riñones.

La enfermedad renal crónica en el gato es una nefritis túbulointersticial idiopática, es decir, una inflamación de los túbulos renales y del tejido intersticial renal sin una causa identificable. Además del daño que esta enfermedad primaria ejerce directamente sobre el tejido renal, se produce una destrucción adicional, parcialmente autosostenida, del tejido renal funcional como resultado de la activación de mecanismos de reparación endógenos, como la formación de tejido conectivo. La reducción de la capacidad del riñón para excretar sodio y agua provoca una retención de estas sustancias y, por lo tanto, un aumento del volumen sanguíneo, lo que en última instancia conduce a un aumento de la presión arterial. Aproximadamente dos tercios de todos los gatos con ERC están afectados. A su vez, la hipertensión arterial provoca un aumento de la formación de tejido conectivo. La deficiencia de potasio o el exceso de calcio  también provoca un mayor daño en el tejido renal.

Otras enfermedades también pueden desencadenar una disfunción renal, por ejemplo, infecciones, enfermedades autoinmunes, intoxicaciones o tumores. Prácticamente toda infección o también un lupus eritematoso puede provocar el depósito de complejos inmunes antígeno-anticuerpo en la membrana basal de los corpúsculos renales y, por tanto, su lesión. Muchos tipos de lirios, el etilenglicol, la melamina, el ácido cianúrico y algunos metales pesados (cadmio, plomo, mercurio) tienen un fuerte efecto tóxico sobre los riñones (toxicidad renal). Pero también muchos fármacos como la anfotericina B, el colecalciferol, la doxorrubicina, las polimixinas, los aminoglucósidos y numerosos antiinflamatorios no esteroideos (→ nefropatía por analgésicos ) también pueden causar daño renal.

Síntomas
Los principales síntomas de la enfermedad renal crónica en los gatos son anorexia, aumento de la bebida (polidipsia), aumento de la micción (poliuria), apatía, vómitos y pérdida de peso. Además, como consecuencia de la uremia, puede producirse diarrea, inflamación de la membrana mucosa de la boca (estomatitis) con la formación de úlceras, el aumento de la salivación (sialorrea) y el mal aliento (halitosis). También hay otros posibles efectos secundarios como un aumento de la presión arterial (hipertensión) con daños en el ojo (fondo de ojo hipertono: retinopatía hipertensiva), anemia, picor, deshidratación, calcificación de los tejidos blandos, hemorragias y retención de agua en los tejidos (edema).  La uremia de alto grado también puede causar manifestaciones neurológicas como letargo, convulsiones, delirio, coma, movimientos anormales y trastornos musculares (miopatías).

Por lo general, los síntomas, a diferencia de la insuficiencia renal aguda, se producen gradualmente a lo largo de semanas, meses o incluso años, y el estado general es malo. Además, la insuficiencia renal aguda se caracteriza inicialmente por una menor producción de orina. Sin embargo, una enfermedad renal crónica de grado bajo o moderado existente suele empeorar repentinamente por un evento agudo ("exacerbación") y, por tanto, se convierte en algo llamativo para el propietario del gato.

Este puede ser el caso, por ejemplo, si un riñón ya se ha convertido en un riñón atrófico no funcional debido a la retención de orina y, de repente, el segundo se hincha de forma aguda debido a la retención de orina (hidronefrosis) y se daña ("síndrome del riñón grande-pequeño") o si se está tratando una tiroides hiperactiva y, por tanto, la tasa de filtración glomerular se reduce repentinamente.

Mediante la palpación, se puede comprobar si los riñones son dolorosos, si tienen firmeza (consistencia), si están agrandados o reducidos y si hay cambios en la estructura de la superficie. El riñón sano mide unos 4 cm de largo, 3 cm de ancho y 2-3,5 cm de grosor. En la forma más común, ERC a causa de una nefritis tubulointersticial, los riñones suelen tener un tamaño reducido y una superficie irregular; en el caso de los tumores o la pielonefritis, pueden estar agrandados y ser dolorosos. Dado que el grado de pérdida de proteínas a través de la orina está directamente relacionado con el aumento de la presión arterial, tiene sentido medir regularmente la presión arterial.

Las radiografías pueden mostrar cambios en el tamaño, la densidad y la posición de los riñones, así como algunos cálculos renales (los de estruvita y oxalato cálcico son "radiopacos") y calcificaciones de los tejidos blandos. Sin embargo, en gatos muy demacrados o con acumulaciones de líquido en el espacio retroperitoneal, el riñón sólo puede mostrarse de forma limitada en la radiografía debido a la consiguiente reducción del contraste. La urografía excretora, en la que se inyecta un medio de contraste radiopaco (por ejemplo, iopamidol, iohexol) en el torrente sanguíneo y se registra radiográficamente su excreción por los riñones, tiene un mayor valor diagnóstico. Esto permite detectar trastornos circulatorios, trastornos funcionales de los corpúsculos renales y obstrucciones de las vías de drenaje.

La ecografía permite mostrar con más detalle los cambios morfológicos de los riñones. Además de los cambios de tamaño y forma, también pueden visualizarse quistes renales, daños localizados (focales) en los órganos, riñones con bolsas de agua y congestión urinaria, así como tumores. Los cambios orgánicos poco definidos (difusos) se acompañan de cambios en la ecografía pero rara vez pueden asignarse a enfermedades concretas. El Doppler de onda pulsada también puede utilizarse para detectar trastornos circulatorios.

La biopsia renal no se utiliza de forma rutinaria pero puede estar indicada en caso de que se tengan ciertos informes preliminares, por ejemplo, en el caso de un gato abisinio joven con síntomas de enfermedad renal para detectar amiloidosis. La tomografía computarizada y la resonancia magnética tienen una muy buena capacidad para detectar detalles pero sólo desempeñan un papel menor en la medicina veterinaria debido a su alto coste y a su limitada disponibilidad.

Diagnóstico de laboratorio

El análisis de orina es esencial en la enfermedad renal crónica del gato. Con tan sólo dos tercios de las nefronas dañadas, se reduce la capacidad de concentrar la orina y el peso específico cae por debajo de 1030 N/m³. La pérdida de proteínas a través del riñón se detecta mediante un aumento de la relación proteína-creatinina urinaria, ya que las muestras de recogida cada 24 horas no son prácticas en los gatos. La relación proteína-creatinina es un buen marcador para la detección precoz de la ERC, ya que revela la disfunción renal antes de que se eleve la creatinina en sangre. En el sedimento de orina también se pueden detectar la presencia de túbulos renales, o bacterias o pus en el caso de la inflamación bacteriana crónica de la pelvis renal. La detección de pequeñas cantidades de albúmina (< 300 mg/l,microalbuminuria) es muy sensible pero poco específica para la enfermedad renal crónica.

En el suero sanguíneo suele aumentar el contenido de sustancias nitrogenadas como la urea y la creatinina (uremia o azotemia), así como el fosfato (hiperfosfatemia). El contenido de potasio suele estar reducido (hipopotasemia), pero también puede estar aumentado; lo contrario ocurre con el contenido de sodio. Si la causa de la enfermedad renal radica en los corpúsculos renales, también se produce una deficiencia de albúmina (hipoalbuminemia) y un exceso de colesterol (hipercolesterolemia). La determinación de la cistatina C no se ha evaluado en los gatos. Esta proteína también puede estar elevada en los gatos durante el hipertiroidismo o la administración de glucocorticoides y puede descender bruscamente durante varias horas después de la ingesta de alimentos. Estudios recientes sugieren que la dimetilarginina simétrica es un marcador adecuado de la función renal en los gatos. La concentración sérica de la misma muestra una estrecha correlación con la tasa de filtración glomerular y la concentración de creatinina. Puede detectar ya una pérdida del 40% de la función renal, es decir, antes de que haya un aumento de la creatinina en la sangre.

El método más sensible de diagnóstico de la función renal es la determinación directa de la tasa de filtración glomerular a través del aclaramiento, que ya está reducido en la enfermedad renal crónica antes de que se produzca la azotemia. Se han evaluado varias sustancias para los gatos, siendo las más prácticas la creatinina y el iohexol. La creatina se elimina más lentamente que el iohexol, pero puede determinarse fotométricamente de forma inmediata en muchas consultas veterinarias sin necesidad de un laboratorio especial.

En la enfermedad renal avanzada, el recuento sanguíneo muestra una disminución del número de glóbulos rojos y, por tanto, del hematocrito, sin que se produzcan cambios en la carga de pigmentos de la sangre ni en el tamaño de las células de los glóbulos rojos y sin que haya signos de formación de nuevas células sanguíneas (anemia normocrómica, normocítica, no regenerativa).

Clasificación
La enfermedad renal crónica en los gatos está actualmente clasificada por la Sociedad Internacional de Interés Renal (en inglés: International Renal Interest Society, IRIS) y adaptada a partir de ella por la Sociedad Europea de Nefrología y Urología Veterinaria en cuatro estadios principales, con la concentración de creatinina en el plasma sanguíneo como criterio principal. Además, se definen subestadios en función del cociente proteína-creatinina en la orina, así como de la presión arterial. La concentración de creatinina en plasma debe verificarse mediante al menos dos mediciones a intervalos de una a dos semanas, y el cociente proteína-creatinina en la orina mediante dos o tres mediciones en un período de dos a cuatro semanas.

Diagnóstico diferencial
Teniendo en cuenta todos los resultados del examen, la enfermedad renal crónica difícilmente puede confundirse con otra enfermedad. Sólo hay una amplia coincidencia con la insuficiencia renal aguda. En este caso, el curso clínico (ver síntomas) es especialmente adecuado como criterio de diferenciación. Además, en la insuficiencia renal aguda, la presión arterial y el número de glóbulos rojos no se modifican, y el riñón suele estar agrandado y doloroso.

La característica principal para la estadificación, la azotemia, puede tener otras causas, que pueden localizarse "antes del riñón" (prerrenal) o "detrás del riñón" (postrenal). Las causas prerrenales en los gatos son principalmente la pérdida de sangre, la deshidratación, el choque, la insuficiencia cardíaca congestiva, el hipertiroidismo, así como la fiebre o el ejercicio intenso. Las posibles causas postrenales son, además de la obstrucción de las vías urinarias por cálculos o tumores, la rotura de la vejiga urinaria, el uréter o la uretra.

Tratamiento
Las opciones para la terapia de reemplazo renal son muy limitadas en gatos, ya que los trasplantes de riñón  o la hemodiálisis  en medicina veterinaria sólo se realizan en casos excepcionales debido a los altos costos técnicos, logísticos y económicos. El objetivo es, por tanto, detectar la enfermedad renal crónica en la fase más temprana posible, cuando el riñón todavía tiene suficiente capacidad de reserva. Al mismo tiempo, se adoptan medidas dietéticas para reducir la cantidad de sustancias urinarias, especialmente los compuestos nitrogenados y el fosfato, en la dieta. Por último, hay que amortiguar los desajustes metabólicos y los síntomas secundarios. Sin embargo, a partir de un nivel de creatinina plasmática de 7 mg/dl (618,8 µmol/l) el tratamiento farmacológico no es muy prometedor.

Medidas dietéticas
Uno de los problemas de la terapia dietética con dietas reducidas en fosfatos y proteínas es que suelen ser poco apetitosas. Además, los gatos con enfermedad renal apenas tienen apetito y acostumbrarse a un nuevo alimento es aún más difícil debido a la huella negativa: el gato asocia su propio malestar físico con el nuevo alimento. La pérdida de proteínas a través de la orina también crea un balance negativo de nitrógeno, lo que también reduce el apetito. Por último, los animales afectados suelen presentar problemas en el tracto gastrointestinal. En un estudio clínico de Elliott y col. el 34 % de los gatos no cambiaron a la dieta renal y en el caso del estudio de Plantinga y col. supuso incluso el 54 %. Se puede intentar aumentar la aceptación del alimento calentándolo o añadiendo aditivos sabrosos, como zumo de atún o sardinas. Por lo tanto, se recomienda iniciar el cambio de alimento sólo después de que se haya eliminado la uremia y ampliarlo durante tres semanas mediante una mezcla gradual para evitar la aversión al alimento. Para reducir la formación de sustancias urémicas en el tracto gastrointestinal pueden utilizarse absorbentes como el carbón activado o los probióticos. La ciproheptadina o la mirtazapina pueden utilizarse brevemente para aumentar el apetito; si estas medidas no funcionan, puede ser necesaria la alimentación forzada a través de una sonda esofágica o gástrica.

Reducción de fosfato
Uno de los principales objetivos en el tratamiento de la enfermedad renal crónica en los gatos es reducir la ingesta de fosfato en la dieta al principio de la enfermedad. Una regla general es reducir el contenido de fosfato a 170 mg/MJ de energía metabolizable (véase energía alimentaria), es decir, a dos tercios de las necesidades de mantenimiento. El alimento comercial para gatos suele contener el doble de las necesidades de mantenimiento, por lo que no debe mezclarse con el alimento dietético. Si los niveles de fosfato en plasma siguen siendo elevados, se puede reducir la absorción intestinal mediante el uso de sales de calcio y quelantes de fosfato como el hidróxido de aluminio, el carbonato de aluminio o el carbonato de lantano. El carbonato cálcico puede compensar la carencia de calcio en las primeras fases pero puede provocar hipercalcemia en las fases avanzadas. Varios estudios han constatado que una reducción del fosfato en la dieta es suficiente para ralentizar la progresión de la enfermedad. Si el estado general sigue deteriorándose con la reducción de fósforo, también debe considerarse la deficiencia de fósforo. Ésta se manifiesta de forma similar a la enfermedad renal crónica: pelaje desgreñado, pérdida de apetito, debilidad, lasitud y anemia. El calcitriol también puede utilizarse para tratar la hiperfunción paratiroidea secundaria, pero sólo si la hormona paratiroidea y los niveles de calcio están controlados.

Reducción de proteínas
Para combatir la uremia, se puede reducir el contenido de proteínas en el alimento y, por tanto, la cantidad de nitrógeno que se suministra al organismo. Sin embargo, esto sólo es posible de forma limitada en los gatos, ya que su equilibrio energético depende de las proteínas. El contenido de proteína debe ajustarse al requisito de mantenimiento de 15 g de proteína bruta digestible por MJ y nunca debe reducirse por debajo de 11 g/MJ, teniendo en cuenta que la cantidad de proteína declarada en los piensos debe multiplicarse por un factor de 0,86 para obtener la proteína bruta digestible. La proteína animal de alta calidad también reduce la cantidad de compuestos nitrogenados que entran en el intestino grueso y, por tanto, la cantidad de amoníaco producida por los procesos de degradación bacteriana de la microbiota intestinal.

Tratamiento de los efectos secundarios

Deshidración

Para combatir la deshidratación, debe proporcionarse suficiente agua potable fresca. También en este caso se puede intentar aumentar la ingesta voluntaria de agua por parte del gato añadiendo caldo de carne o jugo de atún. Si estas medidas no funcionan, se indica a partir del estadio III la administración de soluciones de infusión estériles bajo la piel o a través de una sonda de alimentación.

Acidosis metabólica y potasio
El contenido de bicarbonato debería estar idealmente entre 17 y 22 mEq/l. El bicarbonato de sodio o el citrato de potasio se administran para amortiguar, y este último compensa simultáneamente cualquier deficiencia de potasio que pueda existir. Se recomienda una dieta rica en potasio y magnesio, que ya se aplica en la mayoría de las dietas comerciales para riñones. El gluconato de potasio también puede utilizarse para compensar una deficiencia de potasio; el cloruro de potasio, en cambio, suele ser mal aceptado por los gatos y suele provocar alteraciones en el tracto gastrointestinal. Cabe señalar que la hiperpotasemia también puede desarrollarse como resultado de la restricción de la excreción renal en el estadio IV, los inhibidores de la enzima convertidora de angiotensina (IECA) o la falta de aldosterona por deficiencia de renina, por lo que los niveles de potasio deben controlarse regularmente y, en caso necesario, aplicarse también una dieta baja en potasio.

Hipertensión

Más del 60 % de los gatos con enfermedad renal desarrollan hipertensión arterial. El amlodipino o el atenolol son los principales fármacos utilizados para el tratamiento. Si el efecto reductor de la presión arterial de estos agentes no es suficiente, puede administrarse además un inhibidor de la ECA como el benazepril, el enalapril o el ramipril. La administración de un inhibidor de la ECA por sí sola no suele conducir a una reducción suficiente de la presión arterial pero puede ralentizar la progresión de la enfermedad hasta el estadio III.

En el estadio IV, los inhibidores de la ECA se consideran relativamente contraindicados. De estos agentes, el benazepril y el ramipril están actualmente aprobados para los gatos en Alemania; todos los demás deben ser reclasificados. Desde 2014, el antagonista de los receptores de la angiotensina II,  telmisartán, también ha sido aprobado para el tratamiento de la hipertensión y la proteinuria en gatos. El telmisartán puede reducir significativamente el grado de proteinuria. La tendencia a la hipertensión puede reducirse dietéticamente reduciendo el contenido de sodio del alimento.

Anemia
Para combatir la anemia, es especialmente útil añadir hierro al pienso en forma de compuestos orgánicos de hierro o sulfato ferroso. El contenido de hierro en el alimento debe ser ligeramente superior al necesario de mantenimiento de 5 mg/MJ. Si el hematocrito sigue bajando, están indicadas las transfusiones de sangre. Los esteroides anabólicos para aumentar la formación de sangre nueva son de acción lenta en los gatos y su beneficio es dudoso. La eritropoyetina humana recombinante puede estar indicada cuando el hematocrito es < 20 %. Sin embargo, el tratamiento es caro y alrededor de un tercio de todos los gatos forman anticuerpos contra esta sustancia activa, lo que provoca una anemia que ya no puede tratarse. Con la darbepoetina, el riesgo de formación de anticuerpos es aparentemente mucho menor, también tiene una vida media plasmática más larga y es más potente.

Tracto gastrointestinal
Las consecuencias secundarias de la uremia en el tracto gastrointestinal de los gatos son principalmente la fibrosis y la mineralización de la mucosa gástrica, pero no las úlceras gástricas, por lo que los bloqueadores de la acidez gástrica, como el omeprazol, que se han recomendado durante mucho tiempo para la terapia, deben reconsiderarse críticamente. La mirtazapina ha demostrado ser eficaz para estimular el apetito y reducir las náuseas urémicas.

Trasplante de riñón
El trasplante de riñón sólo es posible en unos pocos centros especializados y es muy costoso. Los requisitos básicos son una insuficiencia renal descompensada en las primeras fases que ya no responda al tratamiento convencional, una pérdida de peso previa no superior al 20 %, la ausencia de enfermedades concomitantes graves y pruebas negativas para infecciones víricas crónicas como la leucemia felina o el síndrome de inmunodeficiencia felina. Tampoco tendría que haber habido en un pasado reciente infecciones del tracto urinario.

Interacciones con otros tratamientos
Dado que el riñón es un órgano excretor importante también para numerosos fármacos, la enfermedad renal crónica debe tenerse en cuenta en el tratamiento farmacológico de otras enfermedades. Por ejemplo, la vida media plasmática puede prolongarse considerablemente (por ejemplo, en el caso de muchos antibióticos) y la dosis debe reducirse en consecuencia. Los agentes que sólo pueden administrarse con precaución en gatos con enfermedad renal incluyen atenolol, carbimazol, clorotiazida, la digoxina y el metimazol.

Perspectivas del tratamiento
No es posible restaurar las nefronas perdidas, por lo que todas las medidas terapéuticas sólo aumentan la calidad y la esperanza de vida. Las perspectivas de tratamiento dependen en gran medida del grado de azotemia, de la pérdida de proteínas en la orina, de la hiperfosfatemia y de la uremia, así como del hematocrito. Los pronósticos de progresión de la ERC en el estadio 2, son el hematocrito bajo y la elevada relación orina-proteína-creatinina, y en el estadio 3, la hiperfosfatemia. El tiempo medio de supervivencia en un estudio reciente en gatos en estadio IIb fue de 1151, estadio III 778 y estadio IV solo 103 días.  El uso constante de dietas renales bajas en fosfato muestra buenos resultados hasta el estadio III. Si las medidas tomadas no responden, la única opción en la enfermedad renal avanzada suele ser la eutanasia .

Bibliografía

 Sarah Steinbach und Reto Neiger: Chronische Nierenerkrankung: In: Hans Lutz et al. (Hrsg.): Krankheiten der Katze. Enke, 5. Aufl. 2014, ISBN 978-3-8304-1243-4, S. 751–755.
 Gregory F. Grauer: Chronic renal failure. In: R. W. Nelson und C. G. Couto (Hrsg.): Small animal internal medicine. Mosby, 3. Auflage 2003, ISBN 0-323-01724-X, S. 615–623.

Referencias

Enfermedades de felinos
Wikipedia:Páginas con traducciones sin revisar


2006-02-07 Assigned to GOOGLE INC. reassignment GOOGLE INC. ASSIGNMENT OF ASSIGNORS INTEREST (SEE DOCUMENT FOR DETAILS). Assignors: ELBAZ, GILAD ISRAEL, WEISSMAN, ADAM J.
Systems and methods that determine a meaning of a knowledge item using related information are described. In one aspect, a knowledge item is received, related information associated with the knowledge item is received, at least one related meaning based on the related information is determined, and a knowledge item meaning for the knowledge item based at least in part on the related meaning is determined. Several algorithms and types of related information useful in carrying out such systems and methods are described.
This application is a continuation-in-part of U.S. Patent Application Ser. No. 09/493,701 filed Jan. 28, 2000 entitled "Meaning-Based Advertising and Relevance Determination,"which is is a continuation-in-part of U.S. Pat. No. 6,453,315 filed Nov. 1, 1999 entitled "Meaning-Based Information Organization and Retrieval,"which claims priority to U.S. Provisional Patent Application Ser. No. 60/155,667 filed Sep. 22, 1999, all of which are hereby incorporated in their entirety by this reference, and this application claims priority to U.S. Provisional Patent Application Ser. No. 60/491,422filed Jul. 30, 2003 entitled "Systems and Methods of Organizing and Retrieving Information Based on Meaning,"which is hereby incorporated in its entirety by this reference.
Embodiments of the present invention comprise systems and methods that understand the meaning of knowledge items using related information. One aspect of an embodiment of the present invention comprises receiving a knowledge item and receiving related information associated with the knowledge item. Such related information may include a variety of information, such as, related documents and related data. Another aspect of an embodiment of the present invention comprises determining at least one related meaning based on the related information and determining a meaning for the knowledge item based at least in part on the related meaning of the related information. A variety of algorithms using the related meaning may be applied in such systems and methods. Additional aspects of the present invention are directed to computer systems and computer-readable media having features relating to the foregoing aspects.
FIG. 3 illustrates a flow diagram of a subroutine of the method shown in FIG. 2.
Client devices  102 a-n may also include a number of external or internal devices such as a mouse, a CD-ROM, a keyboard, a display, or other input or output devices. Examples of client devices 102 a-n are personal computers, digital assistants, personal digital assistants, cellular phones, mobile phones, smart phones, pagers, digital tablets, laptop computers, a processor-based device and similar types of systems and devices. In general, a client device 102 a-n may be any type of processor-based platform connected to a network 106 and that interacts with one or more application programs. The client devices 102 a-n shown include personal computers executing a browser application program such as Internet Explorer™, version 6.0from Microsoft Corporation, Netscape Navigator™, version 7.1 from Netscape Communications Corporation, and Safari™, version 1.0 rom Apple Computer. Through the client devices 102 a-n, users 112 a-n can communicate over the network 106 with each other and with other systems and devices coupled to the network 106.
As shown in FIG. 1, server devices  104, 140 are also coupled to the network 106. The server device 104 shown includes a server executing a knowledge item engine application program. The server device 140 shown includes a server executing a content engine application program. Similar to the client devices 102 a-n, the server devices 104, 140 shown each include a processor 116, 142 coupled to a computer readable memory 118, 144. Server devices 104, 140 are depicted as a single computer system, but may be implemented as a network of computer processors. Examples of server devices 104, 140 are servers, mainframe computers, networked computers, a processor-based device and similar types of systems and devices. Client processors 110 and server processors 116, 142 can be any of a number of well known computer processors, such as processors from Intel Corporation of Santa Clara, California and Motorola Corporation of Schaumburg, Ill..
Memory  118 of the server device 104 contains a knowledge item processor application program, also known as a knowledge item processor 124. The knowledge item processor 124 determines a meaning for knowledge items. Meaning can be a representation of context and can be, for example, a vector of weighed concepts or groups or clusters of words. The knowledge items can be received from other devices connected to the network 106, such as, for example, the server device 140.
The knowledge item processor  124 may also match a knowledge item, such as a keyword, to an article, such as, a web page, located on another device connected to the network 106. Articles include, documents, for example, web pages of various formats, such as, HTML, XML, XHTML, Portable Document Format (PDF) files, and word processor, database, and application program document files, audio, video, or any other information of any type whatsoever made available on a network (such as the Internet), a personal computer, or other computing or storage means. The embodiments described herein are described generally in relation to documents, but embodiments may operate on any type of article. Knowledge items are anything physical or non-physical that can be represented through symbols and can be, for example, keywords, nodes, categories, people, concepts, products, phrases, documents, and other units of knowledge. Knowledge items can take any form, for example, a single word, a term, a short phrase, a document, or some other structured or unstructured information. The embodiments described herein are described generally in relation to keywords, but embodiments may operate on any type of knowledge item.
Memory  144 of server device 140 contains a content engine application program, also known as a content engine 146. In one embodiment, the content engine 146 receives a matched keyword from the knowledge item engine 124 and associates a document, such as an advertisement, with it. The advertisement is then sent to a requester's website and placed in a frame on a web page, for example. In one embodiment, the content engine 146 receives requests and returns content, such as advertisements, and matching is performed by another device.
The knowledge item engine  124 shown includes an information locator 134, an information processor 136, a knowledge item processor 135 and a meaning processor 136. In the embodiment shown, each comprises computer code residing in the memory 118. The knowledge item processor 135 receives a keyword and identifies known information about the keyword. The known information may include, for example, one or more concepts associated with one or more terms parsed from the keyword. A concept can be defined using a cluster or set of words or terms associated with it, where the words or terms can be, for example, synonyms. For example, the term 'apple 'may have two concepts associated with it—fruit and computer company—and thus, each may have a cluster or set of related words or terms. A concept can also be defined by various other information, such as, for example, relationships to related concepts, the strength of relationships to related concepts, parts of speech, common usage, frequency of usage, the breadth of the concept and other statistics about concept usage in language.
The information locator  134 identifies and retrieves related information associated with keywords. In the embodiment shown, the related information could include related documents and additional related data. The related documents could include the text of the advertisements and the destination web site from advertisers that have bid on a keyword. The additional related data could include other keywords purchased by the advertisers, search results on a keyword from a search engine, cost per click data on the advertisers, and data related to the success rate of the advertisements. Some of this information can be obtained, for example, from the server device 140. The information processor 136 processes the related information located by the information locator 134 to determine at least one related meaning for the located related information. This related meaning and the known information about the keyword are then passed to the meaning processor 137. The meaning processor 137 uses the known information about the keyword and the related meaning to determine the meaning of the keyword. Note that other functions and characteristics of the information locator 134, knowledge item processor 135, information processor 136, and meaning processor 137 are further described below.
Server device  104 also provides access to other storage elements, such as a knowledge item storage element, in the example shown a knowledge item database 120. The knowledge item database can be used to store knowledge items, such as keywords, and their associated meanings. Server device 140 also provides access to other storage elements, such as a content storage element, in the example shown a content database 148. The content database can be used to store information related to knowledge items, for example documents and other data related to knowledge items. Data storage elements may include any one or combination of methods for storing data, including without limitation, arrays, hashtables, lists, and pairs. Other similar types of data storage devices can be accessed by the server device 104.
It should be noted that the present invention may comprise systems having different architecture than that which is shown in FIG. 1. For example, in some systems according to the present invention, the information locator  134 may not be part of the knowledge item engine 124, and may carry out its operations offline. The system 100 shown in FIG. 1 is merely exemplary, and is used to explain the exemplary methods shown in FIGS. 2-3.
FIGS. 2-3 illustrate an exemplary method  200 in accordance with the present invention in detail. This exemplary method is provided by way of example, as there are a variety of ways to carry out methods according to the present invention. The method 200 shown in FIG. 2 can be executed or otherwise performed by any of various systems. The method 200 is described below as carried out by the system 100 shown in FIG. 1 by way of example, and various elements of the system 100 are referenced in explaining the example method of FIGS. 2-3. The method 200 shown provides an understanding of the meaning of a keyword using information associated with the keyword.
Each block shown in FIGS. 2-3 represents one or more steps carried out in the exemplary method  200. Referring to FIG. 2, in block 202, the example method 200 begins. Block 202 is followed by block 204 in which a keyword is received by the knowledge item engine 124. The keyword can for example, be received from an external database through network 106, such as the content database 148 or can be received from other sources.
Next in block  206, the keyword is processed by knowledge item processor 135 to determine known information about the keyword. For example, the keyword may have one or more concepts associated with it. Each concept may have an associated cluster or group of words. A concept can also be defined by various other information, such as, for example, relationships to related concepts, the strength of relationships to related concepts, parts of speech, common usage, frequency of usage, the breadth of the concept and other statistics about concept usage in language.
For example, for the term apple there may be two possible associated concepts. The first concept of apple the fruit can be defined with relationships to related words or concepts, such as, fruit, food, pie, and eat. The second concept of apple the computer company can be defined with relationships to related words or concepts, such as, computer, PC, and technology. A keyword can be a short phrase, in which case, the phrase can be broken down by the knowledge item processor  135, for example, into individual terms. In such example, the knowledge item processor 135 can further determine concepts associated with each term. In some embodiments, the keyword will not have any information associated with it.
Block  206 is followed by block 208 in which related information associated with the keyword is identified by the information locator 134 and received by the information processor 136. The related information can include documents, such as, the text of advertisements and destination websites from advertisers who have bid on a keyword, web search results on the keyword itself, and related data, such as, other keywords bid on by the advertisers, the cost per click that the advertisers associated with the keyword are paying, the number of times a user has bought an item after clicking through an associated advertisement to an advertiser's website. This related information can be located from a variety of sources, such as, for example, the server device 140, the advertiser's websites, and search engines.
Block  208 is followed by block 210, in which the at least one related meaning is determined from the related information by the information processor 136. For example, for each individual related document a meaning could be determined or an overall meaning for all of the documents could be determined. For example, if the documents include the text of five advertisements associated with the keyword, a related meaning for each advertisement could be determined or the meanings of all five advertisements could be combined to provide an overall related meaning. In one embodiment, documents are processed to determine a vector of weighted concepts contained in the documents. The vector of weighted concepts can represent the meaning of the document. For example, if the advertisement relates to selling Apple Computers, the meaning of such an advertisement may be fifty percent computers, thirty percent Apple Computers and twenty percent sales. The related data can be used, for example, to adjust the weights of the meanings of individual documents or of the overall related meaning. Alternatively, the meaning of a document could be related clusters of words.
Block  210 is followed by block 212, in which the meaning of the keyword is determined based on the related meaning or meanings by meaning processor 137. Meaning processor 137 receives the related meaning or meanings from information processor 136 and the processed keyword from knowledge item processor 135. For example, in block 212, the meaning processor would receive the keyword apple and its related two concepts from the knowledge item processor and would receive the related meaning of the advertisement for Apple Computers from the information processor 136. A variety of methods could be used to determine the meaning of the keyword based on the related meaning or meanings received from the information processor 136. For example, the related meaning can be used as a clue to determine the best concept to associate with the keyword to provide a meaning for the keyword. Where the related meaning is, for example, fifty percent computer, thirty percent Apple Computers and twenty percent sales the relationship between the weighted concepts of the related meaning and the concepts of the keyword could be used to indicate that the keyword apple should be associated with the concept of the computer company. Alternatively, the related meaning or meanings and related data can be used to develop a new meaning for the keyword.
FIG. 3 illustrates an example of a subroutine  212 for carrying out the method 200 shown in FIG. 2. The subroutine 212 determines the meaning of the keyword using a related meaning or related meanings. An example of subroutine 212 is as follows.
The subroutine begins at block  300. At block 300, probabilities for each set of words associated with the keyword are established. For example, in one embodiment each keyword can comprise one or more terms and each term can have one or more concepts associated with it. For purposes of this example, the keyword comprises a single term with at least two related concepts. In block 300, each concept associated with the keyword is given an a priori probability of the keyword being resolved to it. This a priori probability can be based on information contained in a network of interconnected concepts and/or on previously collected data on the frequency of each term being resolved to the concept.
Block  300 is followed by block 302, in which the strength of the relationship is determined between the keyword concepts and the related meaning or meanings concepts. For example, in one embodiment the related meaning may be comprised of a weighed set of concepts. A strength is determined for the relationship between each keyword concept and each related meaning concept. The weight of each related meaning concept can be used to adjust the strength of the relationship between the related meaning concepts and the keyword concept. The strength can reflect the probability of co-occurrence between concepts, or some measure of closeness of the two concepts, which can be derived from ontological data.
Block  302 is followed by block 304, in which the strengths computed in block 302 are used to adjust the probability of the keyword being resolved to each of its associated concepts. For example, the strengths determined for the relationship between each keyword concept and each related meaning concept are used to adjust the probability of each keyword concept being considered. In one embodiment, after the probabilities for the keyword concepts have been adjusted, the probabilities are normalized to one. The steps occurring in blocks 302 and 304 can be repeated a number of times to boost the impact of the strengths of the relationships on the probabilities.
Returning now to FIG. 2, block  212 is followed by block 214 in which the meaning of the keyword is associated with the keyword and stored. The keyword and its associated meaning could be stored together, for example, in the knowledge item database 120, or could be stored separately in separate databases.
determining a knowledge item meaning for the knowledge item based at least in part on the related meaning.
2. The method of claim 1, wherein the knowledge item is a keyword.
3. The method of claim 1, wherein the related information comprises related articles.
4. The method of claim 3, wherein the articles comprise an advertisement from an advertiser who has bid on the knowledge item.
5. The method of claim 4, wherein the articles further comprise a web page associated with the advertisement.
6. The method of claim 5, wherein the related information further comprises related data.
7. The method of claim 6, wherein the related data comprises cost per click data associated with the advertisement.
8. The method of claim 1, wherein receiving the knowledge item further comprises processing the knowledge item to determine any known associated concepts.
9. The method of claim 1, wherein the knowledge item comprises a plurality of associated concepts and determining the knowledge item meaning comprises determining which of the associated concepts represents the knowledge item meaning.
adjusting the probability for each knowledge item concept based on the strengths.
11. The method of claim 1, wherein the knowledge item meaning comprises a weighted vector of concepts.
12. The method of claim 1, wherein the knowledge item meaning comprises related clusters of words.
establishing a probability for each related meaning concept that the knowledge item should be resolved in part to the related meaning concept.
program code for determining a knowledge item meaning for the knowledge item based at least in part on the related meaning.
15. The computer-readable medium of claim 14, wherein the knowledge item is a keyword.
16. The computer-readable medium of claim 14, wherein the related information comprises related articles.
17. The computer-readable medium of claim 16, wherein the articles comprise an advertisement from an advertiser who has bid on the knowledge item.
18. The computer-readable medium of claim 17, wherein the articles further comprise a web page associated with the advertisement.
19. The computer-readable medium of claim 18, wherein the related information further comprises related data.
20. The computer-readable medium of claim 19, wherein the related data comprises cost per click data associated with the advertisement.
21. The computer-readable medium of claim 14, wherein program code for receiving the knowledge item further comprises program code for processing the knowledge item to determine any known associated concepts.
22. The computer-readable medium of claim 14, wherein the knowledge item comprises a plurality of associated concepts and program code for determining the knowledge item meaning comprises program code for determining which of the associated concepts represents the knowledge item meaning.
program code for adjusting the probability for each knowledge item concept based on the strengths.
24. The computer-readable medium of claim 14, wherein the knowledge item meaning comprises a weighted vector of concepts.
25. The computer-readable medium of claim 14, wherein the knowledge item meaning comprises related clusters of words.
program code for establishing a probability for each related meaning concept that the knowledge item should be resolved in part to the related meaning concept.


text:
iHeartRadio Reveals 2020's Most-Played Hip-Hop Songs
By Peyton Blakemore Dec 2, 2020
2020 has proven, once again, that hip-hop is one of the most popular music genres.
With newcomers like Jack Harlow, Roddy Ricch, and Rod Wave all making names for themselves this year — dominating the charts and radio — it's no surprise that 2020 has given us tracks we'll be listening to way beyond the year we'll never forget.
And as this unforgettable year comes to an end, iHeartRadio has put together a list of the most-played hip-hop tracks of 2020. From Chris Brown and Young Thug's smash hit "Go Crazy" to Pop Smoke's beloved single "Dior," this year's top 10 hits were on heavy rotation across iHeartRadio broadcast radio and digital stations nationwide.
Check out our list of most-played tracks of the year, starting with the No. 10 spot below.
10. "What's Poppin'" — Jack Harlow
9. "Heart On Ice"— Rod Wave ft. Lil Durk
8. "Rockstar" — DaBaby ft. Roddy Ricch
7. "Go Crazy" — Chris Brown, Young Thug
6. "Dior" — Pop Smoke
5. "BOP" — DaBaby
4. "Life Is Good" — Future ft. Drake
3. "High Fashion" — Roddy Ricch ft. Mustard
2. "The Box" — Roddy Ricch
1. "Ballin'" — Mustard ft. Roddy Ricch

redpajama_set_name: RedPajamaCommonCrawl


Base node instance. All nodes extend from the root node. The root node can also be used for other data types than geometry.
If you're creating geometry nodes, don't use this: use the generator or filter nodes.


text:
Matice je v matematice obdélníkové či čtvercové schéma čísel nebo nějakých matematických objektů – prvků matice (též elementů matice).

Nejsou-li uvedeny další podrobnosti, reprezentují matice lineární zobrazení a umožňují provádět výpočty v lineární algebře. Proto je studium matic podstatnou částí lineární algebry. Většinu vlastností a operací abstraktní lineární algebry lze vyjádřit pomocí matic. Například maticový součin odpovídá skládání lineárních zobrazení.

Část matematiky, která využívá matice, je označována jako maticový počet.

Ne všechny matice souvisí s lineární algebrou, například matice incidence a matice sousednosti v teorii grafů. Tento článek se zaměřuje na matice související s lineární algebrou, a pokud není uvedeno jinak, všechny matice představují lineární zobrazení nebo je za takové lze považovat.

Čtvercové matice, matice se stejným počtem řádků a sloupců, hrají podstatnou roli v teorii matic. Čtvercové matice dané dimenze tvoří nekomutativní okruh, což je jeden z nejběžnějších příkladů nekomutativního okruhu. Determinant čtvercové matice je číslo spojené s maticí, které je zásadní pro studium čtvercových matic; například čtvercová matice je regulární, právě když má nenulový determinant. Vlastní čísla čtvercové matice jsou kořeny charakteristického polynomu, který je definován pomocí determinantu.

V geometrii jsou matice používány pro popis a reprezentaci geometrických transformací (například rotací) a změn souřadnic . V numerické analýze je mnoho výpočetních problémů redukováno na maticový výpočet, což často vyžaduje výpočet na počítači s maticemi velkých rozměrů. Matice se používají ve většině oblastí matematiky a ve většině vědeckých oborů, a to buď přímo, nebo prostřednictvím jejich použití v geometrii a numerické analýze.

Matice se často využívají pro vyjádření obecné rotace vektorů, transformace vektorů od jedné báze k bázi jiné, k řešení soustav lineárních rovnic, či k vyjádření operátorů v kvantové mechanice. Schopnost matic vyjadřovat vztahy mezi vektory se využívá v materiálovém inženýrství při studiu anizotropních materiálů.

Definice

Matice je obdélníkové schéma čísel (nebo jiných matematických objektů), nazývané prvky matice. Nejčastěji je matice vybudována nad nějakým algebraickým tělesem . Reálné a případně komplexní matice jsou matice, jejichž položky jsou reálná nebo komplexní čísla. Ukázkou reálné matice je:

Čísla, symboly nebo výrazy v matici se nazývají její prvky. Vodorovné a svislé posloupnosti prvků matice se nazývají řádky a sloupce.

Rozměr

Rozměr matice je definován počtem řádků a sloupců, které obsahuje. Neexistuje žádné omezení počtu řádků a sloupců, které může matice (v obvyklém smyslu) mít, pokud se jedná o kladná celá čísla. Obsahuje-li matice  řádků a  sloupců, hovoříme pak o matici typu , zatímco  a  se nazývají její rozměry. Například matice  výše je matice typu .

Matice typu  je tvořena jedním řádkem a bývá nazývána řádkový vektor případně řádková matice. Matice s jedním sloupcem se nazývá (sloupcový) vektor, případně sloupcová matice.

Je-li , pak matici označujeme jako čtvercovou matici -tého řádu (stupně). Pro  bývá matice označována jako obdélníková.

Jsou-li  i  konečná čísla, označujeme matici jako konečnou. Matice s nekonečným počtem řádků nebo sloupců (nebo obojí) se nazývá nekonečná matice. V některých kontextech je užitečné dodefinovat i matici bez řádků nebo sloupců, nazývanou prázdná matice.

Značení

Maticová notace se značně liší. Matice jsou běžně psány v oblých či hranatých závorkách, takže matici  typu  lze zapsat

Matice jsou v učebnicích a technické matematice zpravidla značeny velkými tučnými písmeny ,  apod. Ve vyšší matematice a odborné matematické literatuře se od zvýrazňování zpravidla upouští a matice se značí tence, např.  nebo .

Jsou-li rozměry matice zřejmé, je možné použít jednoduchého zápisu
.
Potřebujeme-li zdůraznit počet řádků a sloupců, lze také použít zápis
 nebo

Prvky matice jsou označeny indexy udávajícími řádek a sloupec, v nichž se prvek nalézá.
Prvek v -tém řádku a -tém sloupci matice  se obvykle značí , případně .
Druhá notace se používá, zejména je-li matice popsána složitějším výrazem, např. pomocí maticových operací.
Nyní -tý řádek matice obsahuje vodorovnou -tici prvků , kde  a -tý sloupec matice obsahuje svislou -tici čísel , kde .

Např.  leží v pátém řádku a třetím sloupci. Indexy se píší buďto oba dole jako , nebo první nahoře a druhý dole jako , což má význam, jakmile je potřeba rozlišovat kovariantní a kontravariantní indexy, zejména operujeme-li s maticemi jako s tenzory.

Tvoří-li indexy více než dva symboly, je třeba je oddělit čárkou, např.  nebo .

Ukázka
Matice

je obdélníková matice typu . Prvek matice  nebo  je 7.

Pokud jsou všechny prvky matice nulové, tzn.  pro všechna , označujeme matici jako nulovou.

Operace s maticemi

Součet, skalární násobek a transpozice

Součin matic

Součin dvou matic je definován pouze pokud má levá matice stejný počet sloupců jako má pravá matice řádků. Pokud je  matice typu  a  je matice typu , pak jejich součin  je matice typu , jejíž prvky jsou standardním skalárním součinem příslušného řádku  a příslušného sloupce

kde  a .

Například zvýrazněný prvek  součinu se spočítá jako

Maticový součin je asociativní, neboli splňuje rovnost . Je také distributivní vůči součtu zleva i zprava, čili  a , pokud mají matice takové rozměry, aby součiny byly definovány.

Součin  může být definován, aniž by měl smysl součin , a o v případě, pokud  a  jsou matice typu  a , kde
. I když jsou oba součiny definovány, nemusí být stejné, neboli existují příklady matic, pro něž platí

Maticový součin není komutativní, na rozdíl od součinu (racionálních, reálných, nebo komplexních) čísel. Příklad dvou matic, jejichž součin nekomutuje:
 zatímco

Mimo obvyklý maticový součin existují ještě jiné operace s maticemi, které lze považovat za určitý druh součinu, jako například Hadamardův součin anebo Kroneckerův součin.

Další operace s maticemi

Rovnost
 O dvou maticích  a  prohlásíme, že jsou si rovny, pokud jsou stejného typu (stejný počet řádků i sloupců) a každý prvek  matice  je roven odpovídajícímu prvku  matice . Rovnost zapíšeme

Rozdíl
 Rozdíl dvou matic  a  (stejného typu) je nová matice :

Prvky matice  jsou pak určeny vztahem

Lineární kombinace
 Obecně lze pro matice , které jsou stejného typu, definovat lineární kombinaci matic
,
kde prvky matice  určuje výraz

Mocnina
 Opakovaným součinem čtvercové matice  se samou sebou lze vytvářet mocniny matic . Tyto mocniny lze poté využít při zápisu polynomu
, kde  je jednotková matice stejného typu jako .

Řádkové operace
 S maticemi lze provádět následující elementární řádkové operace:
 součet, neboli přičtení nějakého řádku k jinému,
 vynásobení řádku, resp. všech prvků v řádku, nenulovou konstantou.
Z těchto dvou operací lze odvodit i
 záměnu pořadí řádků,
 přičtení násobku řádku k jinému.
Zmíněné řádkové operace se používají v řadě situací včetně řešení soustav lineárních rovnic (neboť zachovávají množinu řešení) a výpočtu inverzí matice.

Podobným způsobem lze definovat i sloupcové operace.

Podmatice
Podmatice se z matice získá odstraněním libovolně mnoha řádků anebo sloupců. Například odebrání třetího řádku a druhého sloupce z následující matice řádu  dává podmatici řádu :

Determinanty určitých podmatic se nazývají minory a kofaktory.

Hlavní podmatice je čtvercová podmatice získaná odstraněním určitých řádků a sloupců. Definice se liší od autora k autorovi. Podle některých autorů je hlavní podmatice taková podmatice, ve které se shodují indexy ponechaných řádků s indexy ponechaných sloupců. Jiní autoři považují za hlavní podmatice jen takové, ve kterých je ponecháno jen několik prvních řádků a odpovídajících sloupců. Uvedený typ podmatice bývá také nazýván vedoucí hlavní podmatice.

Lineární zobrazení

Podstatné vlastnosti matic a maticového součinu vynikají v kontextu lineárních zobrazení, nazývaných též lineární transformace. Reálná matice  typu určuje lineární zobrazení  →  tím, že vektor  zobrazí maticovým součinem na vektor  Na druhou stranu, každé lineární zobrazení  je určeno jednoznačně maticí  typu . Konkrétně prvek  je -tou souřadnicí vektoru , kde  je jednotkový vektor s 1 na -té pozici a nulami jinde. O matici  se říká, že reprezentuje lineární zobrazení , a  se nazývá transformační matice zobrazení .

Například na čtvercovou matici

lze pohlížet jako na zobrazení, které transformuje jednotkový čtverec na rovnoběžník s vrcholy v , ,  a  . Rovnoběžník zobrazený vpravo se získá postupným součinem matice  se sloupcovými vektory , ,  a . (Tyto vektory jsou vrcholy jednotkového čtverce.)

Následující tabulka předvádí několik matic  s příslušnými lineárními zobrazeními v . Obrazem modrého originálu jsou zelená mřížka a zelené obrazce. Počátek  je vyznačen černou tečkou.

Vzhledem k vzájemně jednoznačnému vztahu mezi maticemi a lineárními zobrazeními odpovídá maticový součin skládání zobrazení: Jestliže matice  typu  představuje lineární zobrazení , pak složení  je reprezentováno , protože

Poslední rovnost vyplývá z asociativIty maticového součinu.

Vlastnosti a základní pojmy

Diagonála matice

Prvky  čtvercové matice  řádu  tvoří její hlavní diagonálu. Jinými slovy, hlavní diagonála obsahuje prvky , kde .

Prvky  pak leží na tzv. vedlejší diagonále,. Vedlejší diagonála je tvořena všemi prvky , kde .

Pro prvky bezprostředně sousedící s hlavní diagonálou, se také používá termín sekundární diagonála, např. u blokových tridiagonálních matic. Horní sekundární diagonálu čtvercové matice  řádu  tvoří prvky
a dolní sekundární diagonálu tvoří prvky .

Pokud se hovoří jen o diagonále matice, je tím obvykle myšlena hlavní diagonála.

Hodnost matice

Hodnost matice se dá definovat jako počet lineárně nezávislých řádků (předpokládáme, že prvky matice jsou prvky nějakého tělesa). Platí, že počet lineárně nezávislých sloupců matice je stejný jako počet lineárně nezávislých řádků. Hodnost matice je též rovna dimenzi prostoru obrazů lineárního zobrazení reprezentovaného maticí  .

Algebraické vlastnosti prostorů matic
Obvykle se předpokládá, že prvky matice jsou z nějakého okruhu nebo tělesa. Označme jej  (obvykle  nebo ).
Množina všech čtvercových matic  tvoří asociativní algebru, která se nazývá maticová algebra, značí se , , nebo  apod. Pro  je nekomutativní a její centrum je izomorfní  (je tvořeno násobky jedničkové matice). Je jednoduchá, tj. nemá žádné netriviální oboustranné ideály. Navíc každá konečně rozměrná jednoduchá asociativní algebra (nad nějakým tělesem) je izomorfní maticové algebře. Každá volba báze -dimenzionálního prostoru  nám dává izomorfizmus . Jediná ireducibilní reprezentace této asociativní algebry je její definující reprezentace na .

Matice je invertovatelná, právě když její determinant je nenulový (toto má smysl, i kdyby byly prvky matice z obecného komutativního okruhu, a analogické tvrzení lze zformulovat i v kvaternionových maticích).

Množina všech regulárních (tj. invertovatelných) matic tvoří grupu, která se označuje . Pro  je reduktivní. Její jednoduchá podgrupa je grupa matic s jedničkovým determinantem .

Důvod dvojího značení
Matice se obvykle používají k zápisu lineárních zobrazení mezi vektorovými prostory. Předpokládejme, že matice  přiřadí vektoru , který má souřadnice (v nějaké bázi)  vektor, který má (v nějaké bázi cílového prostoru) souřadnice  (symbolicky ).

Užíváme-li matice k operaci s vektory v Euklidovském prostoru, nebo kdykoliv se příslušný skalární součin chová stejně jako v Euklidovském prostoru a předpokládáme, že jediné změny souřadnicových systémů, které uvažujeme, jsou rotace a zrcadlení, pak není potřeba rozlišovat polohu indexů a řádkové a sloupcové vektory lze mezi sebou libovolně zaměňovat. Jakmile se však skalární součin chová jinak (např. Diracova notace v kvantové mechanice), anebo uvažujeme i jiné transformace souřadnic než rotace a zrcadlení, pak se při přechodu do jiných souřadnic typicky jinak transformují vektory jako duální vektory. Sloupce matice se chovají jako vektory, kdežto řádky matice jako duální vektory, neboli lineární formy. Ve fyzice se pak obvykle souřadnice vektorů píšou nahoru a souřadnice duálních vektorů dolů.

Tento koncept lze matematicky formalizovat, pokud řekneme, že matice je prvek prostoru  zapsán v nějakých bázích  prostorů . Protože ale , můžeme chápat matici jako tenzor typu (1,1)
a u tenzorů se píšou kovariantní složky dolů a kontravariantní nahoru. Pak se matice bude při přechodu k novým souřadnicím v prostorech V a W transformovat "správně".

Matice ale nereprezentují jen lineární zobrazení mezi vektorovými prostory. Do matice se taky dá zapsat bilineární forma, která dvěma vektorům přiřadí číslo. Pak to odpovídá tenzoru typu (0,2) a při přechodu do jiných souřadnic se transformuje jako tenzor typu (0,2). V tomto případě bychom prvky matice značili () (oba indexy dolů).

Pokud však matice reprezentuje něco jiného (třeba systém lineárních rovnic, na který se nemusíme dívat jako na maticovou rovnici a nepotřebujeme vědět, jak se transformuje při změně souřadnic), pak nemá smysl horní a dolní indexy rozlišovat.

Čtvercové matice
Čtvercová matice je matice se stejným počtem řádků a sloupců. Matice typu  se stručně nazývají matice řádu .
 Matici, která má nenulové prvky pouze na hlavní diagonále, tzn.  pro , nazýváme diagonální maticí. Prvky diagonální matice  lze vyjádřit pomocí Kroneckerova symbolu , kde  jsou diagonální prvky matice. Pokud pro všechny diagonální prvky  diagonální matice platí , jedná se o jednotkovou matici , pro jejíž prvky platí
 Matici, která má všechny prvky pod hlavní diagonálou nulové, označujeme jako horní trojúhelníkovou matici. Taková matice má tvar

 Podobně označujeme jako dolní trojúhelníkovou matici takovou matici, která má všechny prvky nad diagonálou nulové.
 Pokud je transponovaná matice shodná s původní maticí, tzn. , pak matici  označujeme jako symetrickou. Pro prvky symetrické matice platí:

 Matici  označujeme jako antisymetrickou, platí-li pro všechny prvky této matice vztah:

 Matice  je inverzní maticí k čtvercové matici , pokud platí
, kde  je jednotková matice (stejného typu jako ). Matice  je pak také stejného řádu jako .
 Matici , ke které existuje inverzní matice, označujeme jako regulární matici. Není-li matice regulární, pak ji označujeme jako singulární.
 Adjungovaná matice k matici  je transponovaná matice algebraických doplňků matice .

Determinant

Determinant čtvercové matice , označovaný  nebo , je číslo kódující určité vlastnosti matice. Matice je regulární, právě když je její determinant nenulový. Absolutní hodnota determinantu je rovna ploše (v ) případně objemu (v  ) obrazu jednotkového čtverce (resp. krychle), přičemž jeho znaménko odpovídá orientaci příslušného lineárního zobrazení. Determinant je kladný, právě když je orientace zachována.

Determinant matic řádu dva je dán vztahem

Determinant matic řádu tři má 6 členů (Sarrusovo pravidlo). Leibnitzův vzorec  zobecňuje tyto dva vzorce na všechny dimenze.

Determinant součinu čtvercových matic je roven součinu jejich determinantů:

Přičtení násobku libovolného řádku do jiného řádku nebo násobku libovolného sloupce do jiného sloupce nezmění determinant. Záměna dvou řádků nebo dvou sloupců změní znaménko determinantu na opačné. Pomocí těchto operací lze libovolnou matici převést na dolní (nebo na horní) trojúhelníkovou matici. Determinant těchto matice je pak součin prvků na hlavní diagonále. Uvedený postup lze použít pro výpočet determinantu jakékoli matice. Konečně, Laplaceův rozvoj vyjadřuje determinant pomocí minorů, což jsou determinanty podmatic. Toto rozšíření lze použít pro rekurentní definici determinantu (za výchozí případ vezmeme determinant matice , který je jejím jediným prvkem, nebo dokonce determinant matice , což je 1), což lze považovat za ekvivalentní Leibnizově vzorci. Determinanty mohou být použity k řešení soustav lineárních rovnic pomocí Cramerova pravidla, podle nějž jsou hodnoty neznámých rovny podílům determinantů.

Vlastní čísla a vlastní vektory

Číslo  a nenulový vektor  vyhovující rovnici

jsou nazývány vlastním číslem (hodnotou) a vlastním vektorem .  Číslo λ je vlastním číslem matice  řádu , právě když  je singulární, což je ekvivalentní podmínce

Polynom v neznámé  odpovídající determinantu  se nazývá charakteristický polynom matice . Jde o monický polynom stupně , a proto rovnice  má nejvýše  různých řešení, což jsou právě všechna vlastních čísla matice . Ta mohou být komplexní, a to i pro některé reálné matice. Podle Cayley-Hamiltonovy věty platí . Jinými slovy, dosadíme-li samotnou matici do svého vlastního charakteristického polynomu, dostaneme za výsledek nulovou matici.

Reálné a komplexní matice

 Pokud každý prvek  komplexní matice  nahradíme prvkem k němu komplexně sdruženým , pak získáme matici , kterou označujeme jako komplexně sdruženou matici. Reálné matice se shodují se svými komplexně sdruženými maticemi .
 Provedeme-li na matici  transpozici a komplexní sdružení, získáme matici hermitovsky sdruženou (někdy též psáno "hermiteovsky", podle Charlese Hermita). Hermitovsky sdruženou matici značí různí autoři různě, zpravidla některým z následujících způsobů

(poslední z možných zápisů se může snadno plést s tzv. Moore-Penroseovou pseudoinverzní maticí)
 Pokud je hermitovsky sdružená matice rovna původní matici, tzn. , říkáme, že matice  je hermitovská (též samosdružená nebo samoadjungovaná). Každá hermitovská matice má všechna vlastní čísla reálná (důkaz indukcí s využitím základní věty algebry a Gram-Schmidtovy ortogonalizace).
 Symetrická reálná matice  řádu  se nazývá:
 pozitivně semidefinitní, pokud pro všechny vektory platí ;
 pozitivně definitní, pokud pro všechny vektory  různé od  platí ;
 negativně (semi)definitní, pokud v předchozích definicích použijeme obrácené nerovnosti, tj.  a
 indefinitní v ostatních případech, neboli existují  taková, že  a zároveň .
 Uvedené vlastnosti jsou definovány i pro komplexní hermitovské matice; jen je třeba vzít v potaz všechny komplexní vektory a v součinu nahradit obyčejnou transpozici  za hermitovskou transpozici .
 Matici  označujeme jako unitární, jestliže inverzní matice  je rovna matici hermitovsky sdružené , tzn.

Použití

Matice jako zápis lineárního zobrazení
Matice představují nejjednodušší nástroj, jak popsat v souřadnicích lineární zobrazení z prostorů V do prostoru W, pokud máme na prostoru V zvolenou bázi  a na prostoru W bázi . Matice zobrazení vytvoříme tak, že její i-tý sloupec bude zápis souřadnic obrazu vektoru  zapsaného v bázi .

Matice přechodu
Matice jsou užitečný nástroj na spočtení souřadnic vektoru v nějaké bázi, pokud známe jeho souřadnice v jiné bázi. Pokud  a  jsou dvě báze, pro které platí , neboli

pak matice  se nazývá matice přechodu od báze  k bázi . Pro souřadnice pak platí

kde  jsou souřadnice libovolného vektoru v bázi  a  jsou jeho souřadnice v bázi  a  je inverzní matice k matici .

Duální báze k  a  (pokud je píšeme do sloupců) se transformují stejně jako souřadnice a souřadnice duálních vektorů v duálních bázích (pokud je píšeme do řádků) stejně jako původní bázové vektory.

Matice jako zápis bilineární formy
Matice představují jednoduchý nástroj, jak popsat v souřadnicích bilineární zobrazení (například skalární součin)  (obvykle  nebo ), pokud máme na prostoru  zvolenou bázi  a na prostoru  bázi . Matice zobrazení  vytvoříme tak, že
, kde (.) je příslušná bilineární forma.
Pak v souřadnicích platí .

Soustavy lineárních rovnic

Soustava  rovnic o  neznámých  se dá zapsat elegantně v maticovém tvaru kdejsou matice soustavy, vektor pravých stran a vektor neznámých. Často při řešení rovnic stačí pracovat s maticí soustavy a vektorem pravých stran, které se pro potřeby výpočtu spojují do rozšířené matice soustavy (viz Gaussova eliminace).

Zkoumání lineární nezávislosti vektorů
Je-li dána množina vektorů ze stejného vektorového prostoru v souřadnicích, je možné tyto vektory (resp. jejich souřadnicové vyjádření) zapsat pod sebe jako řádky matice. Lineární obal řádků matice se nezmění, pokud budu se s maticí provádí následující úpravy:

 Výměna dvou řádků
 Vynásobení řádku nenulovým číslem
 Přičtení násobku nějakého řádku k jinému řádku

Pokud se podaří postupnou aplikací těchto úprav vytvořit v matici nulový řádek, původní vektory jsou lineárně závislé (viz též Gaussova eliminace). Pokud se podaří matici upravit do odstupňovaného tvaru aniž by vznikl nulový řádek, jsou původní vektory lineárně nezávislé. Viz též hodnost matice.

Řešení obyčejných diferenciálních rovnic
Obyčejná homogenní diferenciální rovnice s konstantními koeficienty, anebo systém rovnic s konstantními koeficienty, se dá zapsat v maticovém tvaru kde  je sloupcový vektor neznámých a  je čtvercová matice. Řešení je pak vektorový prostor generovaný sloupci matice dané maticovou funkcí .

Historie
Matice byly odedávna používány pro řešení soustav lineárních rovnic, ale až do 19. století byly obvykle nazývány pole. Jedním z prvních textů využívajících koncept pole (včetně determinantů) je Devět kapitol o matematickém umění napsaný v Číně v 10.–2. století před naším letopočtem. V Evropě představil tuto metodu italský matematik Gerolamo Cardano v roce 1545 a to ve svém díle Ars Magna.  Japonský matematik Seki použil stejné metody pole k řešení soustavy rovnic v roce 1683. Nizozemský matematik Jan de Witt reprezentoval transformace pomocí polí ve své knize Elements of Curves z roku 1659.  V letech 1700 až 1710 propagoval Gottfried Wilhelm Leibniz použití polí pro záznam informací nebo řešení. Mimo jiné experimentoval s více než 50 různými systémy polí.  Cramerovo pravidlo bylo poprvé předvedeno v roce 1750.

Termín "matice" (latinsky matrix - "lůno", "zdroj", "původ", "seznam", "registr", odvozeno od mater - matky) zavedl v roce 1850 James Joseph Sylvester, který považoval matici za objekt, z něhož pochází několik determinantů, dnes nazývaných minory. To jsou determinanty menších matic, vzniklých z původní matice odstraněním sloupců a řádků. V dokumentu z roku 1851 Sylvester vysvětluje:

V polovině 19. století publikoval Arthur Cayley pojednání o geometrických transformacích pomocí matic, které nebyly jen přeuspořádanými množinami koeficientů, jak tomu bylo dříve. Místo toho definoval operace jako sčítání, odčítání, násobení a dělení jako transformace těchto matic a ukázal, že jsou asociativní a distributivní. Cayley zkoumal a demonstroval nekomutativitu součinu matic i komutativitu součtu.  Do té doby se maticová teorie omezovala použití polí téměř výhradně na determinanty, a proto byly abstraktní maticové operace Arthura Cayleyho doslova revoluční, zejména proto, že Cayleyův koncept matic byl nezávislý na soustavách rovnic. V roce 1858 Cayley publikoval své A memoir on the theory of matrices , ve kterých představil Cayley-Hamiltonovu větu.

Anglický matematik Cuthbert Edmund Cullis byl první, kdo v roce 1913 zavedl pro matice moderní závorkovou notaci. Současně předvedl první významné použití notace  k reprezentaci matice, kde  odkazuje na -tý řádek a -tý sloupec.

Moderní studia determinantů vycházela z několika zdrojů. Číselně-teoretické problémy přivedly Gausse ke vztahům mezi koeficienty kvadratických forem, to jsou výrazy jako , lineárními zobrazeními ve třech rozměrech a maticemi. Tyto pojmy dále rozvinul Eisenstein, včetně poznámky, že součin matic není komutativní. První obecná tvrzení o determinantech dokázal Cauchy, přičemž determinant matice  definoval následovně:

V polynomu , kde  označuje součin uvedených členů, nahraďte mocniny  za .

V roce 1829 Cauchy ukázal, že vlastní čísla symetrických matic jsou reálná.

Jacobi se zaměřil na determinant související s funkcemi více proměnných. Tento detrminant, později Sylvesterem nazvaný Jacobiho determinant, může být použit k popisu geometrických transformací na lokální (nebo i infinitezimální) úrovni. První axiomatický popis determinantů podali současně v roce 1903 Kronecker a Weierstrass ve svých článcích Vorlesungen über die Theorie der Determinanten a Zur Determinantentheorie. Do té doby byly byly determinanty definovány jen pomocí konkrétnějších přístupů, jako je například výše uvedený Cauchyho vzorec.

Mnohé věty se nejprve zabývaly pouze malými maticemi. Například Cayley-Hamiltonova věta byla ve zmíněné Cayleyho monografii dokázána jen pro matice  a Hamilton ji pak rozšířil i na matice . Teprve Frobenius, pracující na bilineárních formách, zobecnil v roce 1898 tuto větu na všechny rozměry. Gauss-Jordanova eliminace, zobecňující speciální případ nyní nazývaný Gaussova eliminace, byla popsána Wilhelmem Jordanem až na konci 19. století.

Matice získaly ústřední roli v lineární algebře na počátku 20. století , částečně díky jejich použití v klasifikaci hyperkomplexních číselných soustav z předchozího století.

Maticová mechanika zavedená Heisenbergem, Bornem a Jordanem vedla ke studiu matic s nekonečně mnoha řádky a sloupci. Von Neumannův pozdější matematický popis kvantové mechaniky přispěl k dalšímu rozvoji souvisejících pojmů z funkcionální analýzy, jako jsou například lineární operátory na Hilbertových prostorech. Ty, velmi zhruba řečeno, odpovídají euklidovskému prostoru, ale s nekonečnem nezávislých směrů.

Další historická použití slova "matice" v matematice
Ternín matice byl použit neobvyklým způsobem v následujících případech:

Bertrand Russell a Alfred North Whitehead použili v díle Principia Mathematica (1910–1913) slovo "matice" v kontextu svého axiomu redukovatelnosti. Tento axiom zavedli coby prostředek k postupné redukci jakékoli funkce na funkci nižšího typu, takže "naspod" (řád 0) je funkce identická se svým rozšířením:

Například funkce  dvou proměnných  a  může být redukována na soubor funkcí jediné proměnné  tím, že "uvážíme" funkci pro všechny možné hodnoty "jednotlivých"  dosazených za proměnnou . Získaný soubor funkcí jediné proměnné , tedy , pak lze redukovat na "matici" hodnot "uvážením" funkce pro všechny možné hodnoty "jednotlivých"  nahrazených místo proměnné :

 .

Alfred Tarski ve svém Úvodu do logiky z roku 1946 použil slovo "matice" jako synonymum pro pravdivostní tabulku používanou v matematické logice.

Další použití
V matematice a fyzice:

 Jacobiho matice
 Hessova matice
 Wronského matice
 incidenční matice grafu

Ve statistice:

 Matice dat (zcela obecná tabulka popisující závislost jedné veličiny na druhé)
 Korelační matice
 Stochastická matice
 kontingenční tabulky

V kvantové mechanice:

 Zápis operátorů do matic
 Matice hustoty (popis smíšeného stavu systému)
 Pauliho matice

V populační biologii:

 Leslieho model

Odkazy

Poznámky

Reference

Literatura

Související články
 Determinant
 Hodnost matice
 Jordanův rozklad
 Kontingenční tabulka
 Lineární algebra
 LU rozklad
 Matice přechodu
 Maticová funkce
 Násobení matic
 Norma matice
 Soustava lineárních rovnic
 Stopa matice
 Transpozice matic

Externí odkazy

 Učebnice lineární algebry na webu (anglicky)
 Autar Kaw, Introduction to Matrix Algebra
 Maticová kalkulačka
 Operace s maticemi v R (determinant, stopa, inverzní, adjungovaná, transponovaná)*
 Sčítání a násobení matic

redpajama_set_name: RedPajamaWikipedia


What's the weather like in Ovacik in November?
Ovacik is very quiet in November since most of the crowds return home for the winter. This makes it a great time to visit, especially if you're not a fan of the heat and busy crowds of the summer months. However, you'll still get to enjoy the Mediterranean sunshine and very pleasant temperatures.
The village of Ovacik is known for its beautiful mountainside scenery and friendly atmosphere. Its location near Turkey's Aegean coast means the village experiences a lovely climate with plenty of warm sunshine throughout the year. It's also a great destination for those who want to explore other parts of the Mugla Province, such as Olu Deniz and Fethiye.
Ovacik weather in November is quite sunny and mild with nine hours of sunshine each day. Temperatures range from 8°C at night to highs of 16°C during peak times of the day. Rainfall is similar to previous months and the village has 108mm of rain spread over nine days of the month. This means there's a good chance you'll see some rain during your stay but you might also get lucky and see nothing but clear blue skies throughout your holiday.


This means that Evergreen post re-scheduling is dying with the new Twitter update and so big changes are required from tools like RecurPost, Edgar, Social Bee, SmarterQueue, etc.
This also means if you are re-posting regularly about your podcast, then you need to change your Twitter tactics too!
You can post the same content, however you cannot use the same tweet wording.
It's people spamming that this is trying to stop, so it could actually be a very positive change for Twitter. However it does mean it will require more effort from us in that we will have to write several different versions of tweets.
Some of the different re-posting software have already published solutions to this and sent out updates to their audiences so do go and check out your social media software and see how you can adapt to the new twitter rules.
RecurPost: You will be able to add variations to your Tweet. While your image, video or link can stay the same, you will be able to add multiple variations to your message. Each variation of your message will be considered a new Tweet and hence every variation can go out once. The new features will also tell you how many variations you have and how many of them have already been posted.
SmarterQueue: Are going to allow you to write multiple tweets for each piece of content you want to repost. So this doesn't necessarily make the posts evergreen but does allow you to continue posting your great content more than once.
MeetEdgar: A new way to super fast upload new tweets for posting your content… Not sure what that means but I imagine the same as RecurPost or SmarterQueue.
1.) Go completely unscheduled on Twitter…. Scary! – For my companies I went schedule free on Facebook a while ago and it has actually been fantastic for both pages and personal profiles. So this may well be the way forward!
2.) Use the new features of RecurPost, SmarterQueue and others to write multiple variations of posts, as mentioned above. So the tools will still save you time overall, however the process of getting the post into the queue and adding many variations will take longer.
This is important… YOU HAVE 3 DAYS… IF you are reposting things via one of these tools. The deadline has been set as 23rd March 2018. The new features in the tools are on the way now.
If you are worried then you can pause these tools… But don't just delete everything you may not be able to get it all back!
If you are looking for a session to help overcome this new Twitter ruling and to learn how to promote your podcast further… Why not have a look at our PodBoost Session.


text:
Pat Benatar Says She and Neil Giraldo Are Rock Hall Package Deal
Bryan Rolli Published: May 6, 2022
Pat Benatar will finally enter the Rock & Roll Hall of Fame more than two decades after first becoming eligible, and she suggested the delay was due partially to her insistence on being inducted alongside her husband and bandmate Neil Giraldo.
Benatar, who has been eligible for Rock Hall induction since 2000, said it was "really important" for her and Giraldo to enter the institution together. "I've lobbied for the past 25 years to get him the credit he's due," the singer recently told Billboard. "I'm sure we would've both had success separately, but together is what actually made it happen and turned it into what it became.
"There were many, many years when it was tossed around about going in [to the Rock Hall] or not going in," she continued. "I was just kind of adamant about going in together, and it was pretty much a 'no,' and so, 'I guess I'm not going in, then,' and that was it. That's how it was for a very long time, so I'm very, very pleased it's going the way it is right now."
While Benatar sold millions of albums and rocketed to fame off the strength of her powerhouse voice and undeniable charisma, Giraldo has served as her guitarist, bandleader, primary songwriting partner and producer since the release of her 1979 debut album, In the Heat of the Night. Giraldo told Billboard separately that although he prefers "being in the shadows," the chemistry and dynamic between him and Benatar contributed to their success.
"From day one, Patricia and I really did this together," he said. "I was in the studio every single second. I know where every single note is buried. The greatness of Patricia is she was so extremely secure that when we met she just wanted to sing and she was looking for a partner to kind of do the rest, which I loved. I was happy just to do everything I could to write and produce great records. It was a match made in heaven."
Benatar will join the Rock Hall class of 2022 alongside Duran Duran, Eminem, Eurythmics, Dolly Parton, Lionel Richie and Carly Simon. Judas Priest will also receive this year's Musical Excellence Award. The 37th Annual Rock & Roll Hall of Fame Induction Ceremony will take place on Nov. 5 at Microsoft Theater in Los Angeles.
Most Awkward Rock Hall of Fame Moments
Rambling speeches, fights between ex-bandmates and bad performances have marked many induction ceremonies over the years.
Next: Artists Who Should Be in the Rock and Roll Hall of Fame
Source: Pat Benatar Says She and Neil Giraldo Are Rock Hall Package Deal
Filed Under: Pat Benatar, Rock & Roll Hall of Fame
The 10 Best Quotes From the Rock Hall 2022 Ceremony
Alanis Morissette Explains Why She Canceled Rock Hall Performance
Springsteen and Mellencamp Honor Jerry Lee Lewis at Rock Hall
Rock and Roll Hall of Fame 2022 Induction Ceremony's Best Photos
Dolly Parton Performs New Original Song at Rock Hall Induction
Steven Tyler Joins Eminem Onstage During Rock Hall Induction
Eurythmics Inducted Into Rock and Roll Hall of Fame
Bruce Springsteen and John Mellencamp Induct Industry Legends
Mellencamp and Springsteen to Take Part in Rock Hall Ceremony


text:
Home > Sports > Indian Cricket > Indian Cricket Personalities > Bhuvneshwar Kumar
Bhuvneshwar Kumar, Indian Cricketer
Bhuvneshwar Kumar Mavi is one of the most popular domestic Indian cricketers played for Pune Warriors India in the Indian Premium League.
Bhuvneshwar Kumar or Bhuvneshwar Kumar Mavi was born on 5 February 1990. Bhuvneshwar Kumar Mavi is an Indian domestic cricketer who plays for Uttar Pradesh in domestic cricket. Bhuvneshwar Kumar Mavi is a right-arm medium-fast bowler and a right-handed batsman. Bhuvneshwar Kumar Mavi also plays for Pune Warriors India in the Indian Premier League.
Career of Bhuvneshwar Kumar Mavi
Bhuvneshwar Kumar made his first-class debut at the age of 17 against Bengal. In the season of 2008- 2009, Bhuvneshwar Kumar became the first bowler to dismiss Sachin Tendulkar for a duck in first-class cricket. After good performances in that season that is in the season of 2008- 2009, Bhuvneshwar Kumar was handed an IPL contract by Royal Challengers Bangalore. Bhuvneshwar Kumar has also represented Central Zone in Duleep Trophy and Deodhar Trophy. Apart from being a good swing bowler, Kumar is also known for his lower middle-order batting, which makes him a useful all-rounder. Bhuvneshwar Kumar has the best economy rate in a T20 debut, along with Saint Lucian Garey Mathurin.
The debut wickets of Bhuvneshwar Kumar in T20Is, ODIs and Tests have all been bowled. He is the first ever bowler to do so. He took 6 wickets in four test matches against Australia in the 2013 Border-Gavaskar Trophy. He also had a record partnership with MS Dhoni for the 9th wicket in the first test of the series.
Career in Domestic Cricket
Bhuvneshwar Kumar plays for Uttar Pradesh in domestic cricket. He has also played for Central Zone in the Duleep Trophy. In the 2nd semi-final against North Zone, Bhuvneshwar Kumar took one wicket with an economy rate of 3.03. Although being a lower-order batsman, Bhuvneshwar Kumar also helped his team in that innings by scoring 128 off 312 balls surpassing all the scores of his team mates and maintained a partnership with 4 batsmen. Bhuvneshwar Kumar consequently became man of the match. In the 2008-2009, Ranji Trophy final to Mumbai, Bhuvneshwar Kumar bowled Sachin Tendulkar out for a golden duck although his team lost to Mumbai. He was the first player to consign Sachin Tendulkar to a first-class duck in Indian Domestic Cricket.
Career in IPL
After good performance in the 2008-2009 seasons, Bhuvneshwar Kumar was handed an IPL contract by Royal Challengers Bangalore but was afterwards bought by Pune Warriors India. Bhuvneshwar made his debut on 22 Feb 2013 against Australia during 1st test of Australia Tour to India in 2013.
More Articles in Indian Cricket Personalities (53)
Farokh Engineer
Madan Lal
Harsha Bhogle
Piloo Reporter
Gautam Bhimani
Greg Chappell
Ramakant Achrekar
Saurav Ganguly
Sunil Gavaskar (8)
Ravi Shastri
Ajit Wadekar
Syed Abid Ali
Bishan Singh Bedi
Brijesh Patel
Sudhir Naik
Eknath Solkar
Srinivas Venkataraghavan
Gundappa Viswanath
Gopal Bose
Karsan Ghavri
Ashok Mankad
Anshuman Gaekwad
Mohinder Amarnath
Syed Kirmani
Parthasarathy Sharma
Dilip Vengsarkar
Bhagwat Chandrasekhar
Pochiah Krishnamurthy
Sudhakar Rao
Surinder Amarnath
Chetan Chauhan
Cricket Coaches of India
Ajay Jadeja
Gary Kirsten
Piyush Chawla
Shami Ahmed
Recently Updated Articles in Indian Cricket
• History of Indian Premier League
History of Indian Premier League (IPL) has a timeline from the year 2008. Indian Premier League (IPL) has taken centre stage in the world of cricket. Indian Premier League is the newest addition in cricket history and is successfully promoting the Indian players to the world of cricket.
• Krunal Pandya
Krunal Pandey is an Indian Cricket Player and the elder brother of Hardik Pandya. He is an All-rounder in the field of cricket.
• Shiv Sunder Das
Shiv Sunder Das happens to be a cricket player from Odisha who is right handed batsman of the Odisha Cricket team. He is also known for playing in the Indian cricket team.
• Manvinder Bisla
Manvinder Bisla is an Indian cricket player from Haryana. His first class career started off with the cricket team of Haryana. Later to that, he played for the Royal Challengers Bangalore and the cricket team of Goa.
• Mithun Manhas
Mithun Manhas is the wicket-keeper of Delhi cricket team, who also plays as an all-rounder in the team. He has played for Delhi Daredevils and assistant coach for Kings XI Punjab in the IPL.
Subscribe to E-Magazine on Sports


text:
Ffronfraith Halt railway station was a station in Llanmerewig, Powys, Wales. The station was opened on 9 July 1923 and closed on 9 February 1931. It had a short and narrow platform on the east side of the line which was constructed from stone backfilled with cinders. Access was via a sloping path that led up to a bridge that spanned the line and linked to the Kerry - Abermule road. The platform is still extant.

References

Further reading

Disused railway stations in Powys
Railway stations in Great Britain opened in 1923
Railway stations in Great Britain closed in 1931
Former Great Western Railway stations
1923 establishments in Wales


Balloon Boy Need I Say More?
It was 5 years ago today that the country was captivated by what we thought was a 6 year old who was thought to be in a UFO like balloon and flying away in a weather balloon. We soon learned that it was all a hoax and the little boy was O.K. and eventually the parents landed in jail. Well now we get to see the now 11 year old Falcon along with his older brothers, Bradford and Ryo as a Metal Band performing a song about the event. Watch now. and scroll down for the original Balloon Boy video for Colorado News.


Two months, two hurricanes—and now, with help from the United Methodist connection, the people of South Carolina are on the rebound.
As the Advocate was going to press in September, Hurricane Florence had just barreled down on the coastal Carolinas. In its aftermath, rivers crested and dams overflowed, causing widespread and devastating flooding in different communities of the Pee Dee region from Cheraw to Georgetown as the deluge raced to the sea.
On its heels came Hurricane Michael, sweeping up from the Gulf Coast and impacting South Carolina as a tropical storm Oct. 11.
While South Carolina was blessed to have "dodged a bullet" in Michael, said Matt Brodie, conference disaster response coordinator, the combination of the two storms was brutal for a large part of the state. Some of worst areas were in Dillon County and Horry County, as well as Marlboro County, Brodie said.
And now, conference disaster response workers are doing all they can to help their neighbors get back on their feet.
"A lot of the hardest hit areas were very poor, rural areas that don't have a lot of resources," Brodie said.
These areas are where The United Methodist Church is focusing its greatest attention, he said.
While Horry County got hit hard and had the highest number of Federal Emergency Management Agency applications for help, Brodie said, "So many outside agencies came into Horry County, to Georgetown and Conway, but very few went into outlying areas like Marion, Dillon and Marlboro.
Marion District Superintendent the Rev. Tim Rogers said, "Our hearts are broken for the people and churches that have been deeply damaged by Hurricane Florence. But we are truly grateful for all of those who have helped respond to the needs all across the Marion District. From the local churches making meals to church members delivering flood buckets to neighbors helping neighbors to volunteers coming from miles away, the response of fellow Christians has been a source of healing and hope.
Dozens of South Carolina United Methodist Volunteers in Mission Early Response Teams, as well as volunteer teams from out of state, have responded throughout the affected area, mucking out, tarping roofs and delivering hurricane-relief buckets.
To date, the UMC has delivered around 8,000 United Methodist Committee on Relief cleaning buckets.
Brodie said the relief phase is now slowing down, and soon disaster responders will focus on recovery, such as long-term rebuilds and getting people back in their homes.
The buckets were delivered in various ways: through the Salvation Army, through the state to be distributed during the Governor's Team South Carolina days that happened around the Pee Dee region, and direct delivery via three tractor-trailer loads—one to Marion and two to Conway—to warehouses where churches could pick up the buckets and give them out in the community.
If you are age 18 or older and would like to help do relief or recovery work, fill out the form at www.umcsc.org/home/ministries/disaster-response/hurricane-florence-response-registration. You will be placed with a trained ERT member who will lead the effort.
If you would like to be trained to serve on the ERT, consider attending upcoming trainings in November (see below).
Financial donations are also being accepted for disaster response and will be used in South Carolina. Donate online at www.umcsc.org/data/disasterresponsedonation.php.
Want to be trained as an ERT member?
Nov. 10— ERT Basic and Renewal Class, 9 a.m. to 5 p.m. at Magnolia Restaurant, 2605 Ocean Blvd., Myrtle Beach. Cost $40 (includes manual, shirt, cap and badge). Renewals cost $10. To register: Rev. William "Buddy" Phillips at 843-315-4300.
Nov. 17—ERT Basic and Renewal Class, 9 a.m. to 5 p.m. at Mauldin UMC, Mauldin. Cost $40 (includes manual, shirt, cap and badge). Renewals cost $10. To register: Mark Springer at 864-367-8047.


Hereupon sacral producer has left behind.
Undimmed joelle will be interloped among the inextricably functional melania.
Licentious sesame is stately discoursing upto the dustman.
Thereabouts transmundane lifebuoy extremly credibly cadges below the yea. Before sternutatory subversives are the faraway laughingstocks. Upcountry creamy anathema must fatedly ingather. Oocyte extremly postnatally lampoons. osu Intagra naturale Intagra e beta-bloccanti usar Intagra Intagra femminile spray Intagra for sale sydney alternative al Intagra senza ricetta sales of Intagra in 2013 alternative for Intagra in india Intagra naturale erboristeria maca comprare da noi Intagra farmacia Intagra nel Regno Unito Intagra price at walmart canada Intagra alternative hexal acquistare Intagra online sicuro pfizer generico acquisto Intagra Tadapox dosage daily vs 36 hour Altre Informazioni Tadacip price with prescription viagra ebay viagra Tadacip bangkok Stendra 50 price erectalismedicare Unenviable kirk meanders.
Stannic skewbacks may tilter into the tablespoon.