Θεωρώ ότι το συγκεκριμένο topic δεν ανήκει στο subforum των ολυμπιάδων. Ίσως ανήκει στο φοιτητικό subforum δεδομένου του ότι η αξιωματική ευκλείδεια γεωμετρία και ανάλυση δεν είναι μέρη της σχολικής ύλης. :)

Δεν θέλω να διαφωνήσω με το αν είναι στην διδακτέα ύλη ή όχι αλλά αυτό που μπορώ να πω εγώ σίγουρα (και πιθανότατα αυτό εννοούσε κι ο basted) είναι ότι δεν είναι, με τίποτα, θέμα Ολυμπιάδων!!!

[quote="nemenala"]Μάλλον δεν γνωρίζεις τη σχολική ύλη!

ΥΠΟΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ
ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ

[size=150][b]ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ[/b][/size]

ΑΡΓΥΡΟΠΟΥΛΟΣ ΗΛΙΑΣ
ΒΛΑΜΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ
ΚΑΤΣΟΥΛΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ
ΜΑΡΚΑΤΗΣ ΣΤΥΛΙΑΝΟΣ
ΣΙΔΕΡΗΣ ΠΟΛΥΧΡΟΝΗΣ

Ανάδοχος έργου: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ
ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΚΔΟΣΕΩΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ

Είναι άλλο αν μέσα στην διδακτέα ύλη του υπουργείου δεν αναφέρεται άμεσα ειδικό μάθημα "Ευκλείδεια γεωμετρία" και άλλο αν διδάσκεται η ευκλείδεια γεωμετρία. Όπως όμως βλέπεις, διδάσκεται και θα σου πω και κάτι άλλο. Δεν υπάρχουν μεθοδευμένα μαθηματικά χωρίς τον Ευκλείδη. Ακόμα και τα σύγχρονα μαθηματικά, τα αξιώματα του Ευκλείδη διαθέτουν μετά από 2500 χρόνια.
Αν όμως εσύ επιμένεις ότι το πρόβλημα δεν ανήκει στην διδακτέα ύλη (μπορώ μάλιστα να σου υποδείξω που θα το βρεις αυτό καθαυτό διατυπωμένο σε βιβλίο Β΄λυκείου) πες τι επιθυμείς να κάνω για να μη σου χαλάσω το χατήρι.

Θεωρητική Γεωμετρία Α΄Λυκείου του ΟΕΔΒ των Αλιμπινίση, Δημάκου, Εξαρχάκου, Κοντογιάννη και Τασσόπουλου. Σελίδα 24:

[b]Ορισμός ΙΙ:[/b] Μέσο ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ λέγεται ένα σημείο του Μ τέτοιο ώστε ΜΑ=ΜΒ
[b]Θεώρημα: [/b]Κάθε ευθύγραμμο τμήμα έχει ένα μόνο μέσο.
Εκεί θα βρεις και τη ρίζα του προβλήματος που έχω θέσει. Είναι απόλυτα σχετικό με το θεώρημα.

Πως λες λοιπόν ότι δεν είναι στην διδακτέα ύλη;[/quote]
ωραιο topic οχι ομως σε αυτο το subforum :wink:

αυτο που γινεται στο σχολειο  φυσικά και δεν ειναι θεμελιωμενη γεωμετρια (και πολυ σωστα γινεται)
αλλο αν κανει μια απλη αναφορα στα αξιωματα του hilbert στο παραρτημα.Για να για να παρεις μονο μια γευση απο θεμελιωμενη γεωμετρια πρεπει να δεις τα βιβλια Ντανη και κανελλου (τισ εισαγωγες τους) αλλα κι εκει μια γευση μονο παιρνεις απο θεμελιωμενη γεωμετρια...
εδω στο μαθηματικο υπαρχει ολοκληρο μαθημα θεμελιωση της γεωμετριας κ αυτο δεν γινεται παντα...
 :wink:

Θα σταθώ στην άποψη bilot4. Έχει ικανή αιτιολογία. Μεταφέρω το πρόβλημα στους ΦΟΙΤΗΤΕΣ.
Αν δημιούργησα σύγχυση, ζητώ συγγνώμη.

[quote="Nick Rapanos"][quote="nemenala"]Να αποδειχθεί, με το ευκλείδειο αξιωματικό σύστημα ή με την Ανάλυση ή με τη θεωρία συνόλων, ότι επί ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ με μέσο Μ, το ΑΜ είναι μισό του ΑΒ.
Η απόδειξη να στηρίζεται αξιωματικά (πλεονασμός η επισήμανση, αλλά αναγκαίος).[/quote]

paidia den ksero ti boreite na kanete eseis (ego enas poor engineer eimai), alla an to apodeiksete-ego boro na sas apodeikso meta oti to $ BM$ einai to miso tou $ AB$ me eksantlisi tis mathimatikis austhrotitas.[/quote]

Ok, αυτό πρέπει να το δω με τα μάτια μου για να το πιστέψω :P

Nick, you win the Internet  :rotfl:  :rotfl:  :rotfl:

Cheerio,

Durandal 1707

Πολύ περισσότερο εγώ θα διαθέσω τα μάτια μου σε μια τέτοια εξαιρετική προοπτική. Μόνο φίλε μηχανικέ θα σε παρακαλέσω πολύ να γράφεις ελληνικά.

Βρε τι ανησυχείς? Αφού όταν θα σας αποδείξω αυτό που σας υποσχέθηκα, θα υπάρχει μαθηματική αυστηρότητα σε όλο της το μεγαλείο...που σημαίνει ότι θα υπάρχουν μόνο σύμβολα!

Που είδες ανησυχία; Απλά, τον κινητήρα δεν ακούω...
Πριν βάλεις μπρος, ρίξε καλού κακού μια ματιά στη διατύπωση εισαγωγής του προβλήματος στο αρχικό ποστ.

Ποπο τώρα αρχίζω να καταλαβαίνω τον κ tade που μας έλεγε για κάτι μακροχρόνιες συζητήσεις ...
Θα δώσω λοιπόν την απάντηση του παραπάνω καθηγητή . Το μέσον τμήματος , διαστήματος ή οτιδήποτε  ΟΡΙΖΕΤΑΙ  :)

[quote]silouan
Ποπο τώρα αρχίζω να καταλαβαίνω τον κ tade που μας έλεγε για κάτι μακροχρόνιες συζητήσεις ...
Θα δώσω λοιπόν την απάντηση του παραπάνω καθηγητή . Το μέσον τμήματος , διαστήματος ή οτιδήποτε ΟΡΙΖΕΤΑΙ[/quote]

Πολύ σωστά το λέει ο σεβαστός καθηγητής, κύριος tade .

[quote]nemeala
Posted: Mon Oct 27, 2008 7:48 pm
Θεωρητική Γεωμετρία Α΄Λυκείου του ΟΕΔΒ των Αλιμπινίση, Δημάκου, Εξαρχάκου, Κοντογιάννη και Τασσόπουλου. Σελίδα 24:

Ορισμός ΙΙ: Μέσο ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ λέγεται ένα σημείο του Μ τέτοιο ώστε ΜΑ=ΜΒ [/quote]

Όπως βλέπεις σου λέω και τον ορισμό και που θα τον βρεις (μία από τις πολλές πηγές) και δεν χρειάζεται να επιχειρείς εντυπωσιασμό με την αναφορά του σεβαστού καθηγητή.
Το πρόβλημα όμως δεν είναι το μέσο σημείο. Διάβασε την εκφώνηση (εισαγωγικό του θέματος) γιατί άλλο ρωτάω και σε άλλο απαντάς.

[quote]Nick Rapanos
Dhladh silouan simfoneis mazi mou i lathos katalava?

(an diafoneis kapou den uparxei provlhma, gt oute to epsaksa to thema oute me endiaferei. ego tha ksero mia zoh oti tou meso enos tmimatos einai to simeio pou to xorizei sti mesi.)[/quote]

[b]Για αυτό δεν υπάρχει ορισμός.[/b] Άλλο το ένα, άλλο το άλλο. Αυτό ζητάω να αποδειχθεί. Τώρα αν εσύ το ξέρεις μια ζωή, μείνε μια ζωή εκεί και εμένα προσωπικά δεν με ενδιαφέρει τι σε ενδιαφέρει και τι δεν σε ενδιαφέρει και ούτε κατέθεσα τέτοιο αίτημα γνωστοποίησης των ενδιαφερόντων σου.

Nemenala de se gnorizo kai den ksero ti idiotita exeis (an theleis boreis na mas tin peis- giati an htan etsi borousa ki ego na valo username KOKKINOSKOUFITSA kai na grafo sto elliniko forum oti mou katevei sto kefali). Loipon anagnorizo oti to provlhma pou theteis einai para polu endiaferon kai varunousas simasias gia to politiko oikonomiko gignesthai kai gia ta sygxrona mathimatika as well. ALLA....oi perissoteroi edo mesa den einai Hilbert, o opoios otan itan sto pick tis karieras tou apofasise na gurisei piso kai na themeliosei tin eukleidia geometria apo tin arxi kai fusika to ekane me apoluti epitixia. An esu theleis na to paikseis Hilbert, den einai anagi na se akolouthisoun kai oi upoloipoi...opote stamata na eisai piestikos kai prosvlhtikos. Opos vlepeis kanenas de sou dinei simasia!

@ Moderator.... sti metavliti M prosthese +1.

[quote]silouan
Ο ορισμός και αυτό που λες είναι ισοδύναμα ... Η τέλος πάντων αυτό που λες προκύπτει από τον ορισμό ..
Και ελάφρυνε λίγο το ύφος σου αδερφέ ....[/quote]

Αφού το λες εσύ έτσι θα είναι. Μόνο που δεν εξηγείται πως στον ορισμό ακολουθεί απόδειξη αν είναι ισοδύναμα. Φίλε δεν έχω βαρύ ύφος, αλλά εσύ μάλλον μπήκες σαν ανακριτής. Λες ότι προκύπτει από τον ορισμό (αυτό μάλιστα είναι μαθηματικά). Ιδού ο τόπος και ο χώρος να το αποδείξεις. Δεν έχω κάτι εναντίον σου.

Nick Rapanos δεν με απασχολεί αν χρησιμοποιήσεις σαν νικ και το όνομα κακός Λύκος. Δεν μπήκα για να μαλώσω μαζί σου και όπως είδες ανταποκρίθηκα και στο χιούμορ σου γιατί μου άρεσε. Στη συνέχεια μας λες ότι δεν σε απασχολεί και μένεις μια ζωή με την άποψή σου. Δηλαδή έχεις την άποψη ότι έχεις τα προσόντα να μας δουλέψεις και μένα και τον άλλο φίλο Durandal που μας πέταξες το μπαλάκι και πήραμε αμέσως τη ρακέτα; Γιατί ξηγήθηκες έτσι; Ούτε εγώ σε γνωρίζω όπως δεν με γνωρίζεις κι εσύ και χαίρομαι που ξέρεις και τον Χίλμπερ. Εγώ ξέρω και τον Καντόρ και ο άλλος φίλος τον kyrio tade ε, λοιπόν και τι έγινε; Σε ότι αφορά το πολιτικοοικονομικό σύστημα να το εξετάσεις εσύ που σε ενδιαφέρει. Εγώ ξέρω ότι μας δουλεύουν όλους και είμαι αναρχικός οπότε δεν με απασχολεί καθόλου. Πέντε ευρώ έβαζα, πέντε θα βάζω αν με εννοείς εννοείται.
Κάλμα λοιπόν γιατί δεν υπάρχει λόγος να το πάμε όπως ο Σταυρίδης με τον Φωτόπουλο στα κίτρινα γάντια. Αν πάλι επιθυμείς να λέμε αστειάκια στη διάθεσή σου. Παίζω και σε ξερό άμα λάχει και το πρώτον είμαστε άνθρωποι και μπορούμε να κουμαντάρουμε το περιπεπλεγμένο...
Δες με με συμπάθεια γιατί έτσι σε είδα κι εγώ από την αρχή και μη γκαζώνεις άνευ λόγου επειδή νομίζεις ότι δεν έχει κίνηση...
Καληνύχτα και υγεία.

Ώπα. Φάουλ.

1. Nemenala, ο Sil με τον stergiu είναι οι mods του ελληνικού subforum οπότε το να χαρακτηρίζεις τον Sil ως "ανακριτή" είναι άκυρο. Ο Sil είναι well within his bounds να πει ότι είπε. For what it's worth, συμφωνώ 100% μαζί του και πραγματικά δεν καταλαβαίνω γιατί οξύνεις τους τόνους όπως τους οξύνεις. Το ελληνικό subforum έχει μερικές χιλιάδες posts και με δυσκολία μπορώ να βρω άλλα πέντε παρόμοιας επιθετικότητας όσο τα προηγούμενα δικά σου.

2. Σε ό,τι αφορά το περιεχόμενο, θα μπορούσαμε όλοι να βάζουμε posts του τύπου: να δειχθεί ότι με βάση τα αξιώματα Peano, $ \text{suc}(n) \equal{} n \plus{} 1$, όπου n φυσικός και suc(n) ο αμέσως επόμενος αριθμός του $ n$. Hell, θα μπορούσαμε να βάζουμε και ασκήσεις του στυλ: να δειχθεί με βάση τα αξιώματα της θεωρίας συνόλου ότι $ (A\cup B)^c \equal{} A^c\cap B^c$ για τυχαία σύνολα $ A,B\subseteq X$. Αυτό που ζητάς, είναι η απόδειξη της πρότασης $ x \plus{} x \equal{} y \implies x \equal{} y/2$ από αρχικές έννοιες, κάτι που έχει νόημα μόνο σε εντελώς εξειδικευμένους χώρους, και σε αυτό αναφέρονται τα παιδιά. Τι αναζητείς λοιπόν θέτοντας αυτό το καθαρά φορμαλιστικό πρόβλημα? Την απόδειξη κάποιου από τις εκατοντάδες στοιχειώδη λήμματα του Ευκλείδη?

Συνδυασμένο με το ύφος ορισμένων απαντήσεων σου, το παραπάνω είναι εντελώς αναμενόμενο να προκαλέσει αντιδράσεις...

Cheerio,

Durandal 1707

[quote]Durandal

Ώπα. Φάουλ. [/quote]

Ένας διαιτητής, όπως αυτή τη θέση παίρνεις, δεν βλέπει μόνο τα φάουλ από τη μία ομάδα.

[quote]Durandal
1. Nemenala, ο Sil με τον stergiu είναι οι mods του ελληνικού subforum οπότε το να χαρακτηρίζεις τον Sil ως "ανακριτή" είναι άκυρο. Ο Sil είναι well within his bounds να πει ότι είπε. For what it's worth, συμφωνώ 100% μαζί του και πραγματικά δεν καταλαβαίνω γιατί οξύνεις τους τόνους όπως τους οξύνεις. Το ελληνικό subforum έχει μερικές χιλιάδες posts και με δυσκολία μπορώ να βρω άλλα πέντε παρόμοιας επιθετικότητας όσο τα προηγούμενα δικά σου. [/quote]

1. Ίσως να έχεις δίκιο ως προς το ύφος του ποστ και να μην υπάρχει άλλο παρόμοιο. Υπάρχει όμως άλλο παρόμοιο να βάζω ένα πρόβλημα (ορθό ή λάθος δεν το εξετάζω αυτή τη στιγμή) και να δέχομαι απάντηση "μήπως είμαι στην ομάδα Τσόλκα που υποστηρίζει την ανατροπή του πυθαγορείου"; Ε, όχι δεν είμαι σε καμία ομάδα και υποστηρίζω την ανατροπή του πυθαγορείου, χωριστά και ανεξάρτητα από όντως υπαρκτές ομάδες. Αυτό το ξεκαθαρίζω για να δεχθώ από τώρα τη διαγραφή αν απαγορεύεται η ΑΛΛΗ ΑΠΟΨΗ. Υπάρχει άλλο ποστ που να μπαίνει ένας στη συζήτηση με το "ποιος είσαι", έστω και διατυπωμένο με ευγενικό τρόπο (ομολογουμένως);
2. Δεν νομίζω ότι έβρισα κανέναν, ούτε μου συστήθηκε σαν mod, αλλά τον αντιλήφθηκα σαν ένα συνομιλητή με τα ίδια δικαιώματα και έτσι πρέπει να αισθάνεται και ο ίδιος όταν μπαίνει σε μία συζήτηση. Αλλιώς θα έπρεπε να με προειδοποιήσει: nemenala είμαι ο mod και δεν μπορείς να έχεις αντιπαράθεση μαζί μου γιατί έτσι κάνω και σε διαγράφω.
Απλά πράγματα, αλλιώς δεν γίνεται συζήτηση αν πρέπει να προσέχει ο ένας και ο άλλος να μην προσέχει.
3. Γιατί με σένα δεν όξυνα τους τόνους που στο κάτω - κάτω οι απαντήσεις σου δεν είναι και τόσο στέρεα θεμελιωμένες σύμφωνα με την άποψή μου; Με βλέπεις να έχω κάτι προσωπικό με κάποιον, χωρίς να γνωρίζω κανέναν εδώ μέσα ή απλά αντέδρασα και όχι τόσο στον Sil όπως τον αναφέρεις, αλλά μόνο στον άλλο φίλο τον μηχανικό που μπήκε να περιγελάσει και να ειρωνευτεί το θέμα μου; Ή δεν έχω δικαίωμα αντίδρασης στην "κοκκινοσκουφίτσα";
4. Φίλε Durandal επί της ουσίας τώρα. Δεν αντιλαμβάνομαι το σκεπτικό σου που εξαιρείς διατυπωμένο ερώτημα με το επιχείρημα ότι όλοι μπορούμε να βάζουμε τέτοιου είδους προβλήματα. Στο σχήμα Κ, υπάρχει σημείο τομής ευθειών ή δεν υπάρχει; Υπάρχει ειδικός ορισμός του κοινού σημείου τομής, διαφορετικός από την αρχική έννοια του σημείου που δεν αναλύεται περαιτέρω, ενώ το σημείο τομής αναλύεται και ερμηνεύεται από τον ορισμό; Αποδεικνύονται διάφορα από άποψη ιδιοτήτων το σημείο με το σημείο τομής, αφού κάθε σημειοσύνολο αποτελείται από σημεία, ενώ ΔΕΝ ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΑΠΟΤΕΛΕΙΤΑΙ από σημεία τομής; Γιατί εξαιρείς το πρόβλημα σαν δυνατό να διατυπωθεί με το επιχείρημα ότι όλοι μπορούμε να θέτουμε προβλήματα; Ας τα θέσουμε όλοι όλα τα προβλήματα και είναι πολύ καλύτερο από το να μη θέσω εγώ τέτοιο πρόβλημα με αιτιολογικό ότι όλοι μπορούμε να θέσουμε ανάλογα ή πιο δύσκολα σε επίλυση. Είσαι της άποψης να κλείσουμε τα μάτια και να πούμε δεν υπάρχει πρόβλημα;

[quote]Durandal
Συνδυασμένο με το ύφος ορισμένων απαντήσεων σου, το παραπάνω είναι εντελώς αναμενόμενο να προκαλέσει αντιδράσεις...     [/quote]

Δηλαδή τώρα επικαλείσαι το ύφος μου για να μην αντιδράσω, όπως αιτιολογικά και επί της ουσίας αντέδρασα; Τι θα μου πεις δηλαδή τώρα που διατύπωσα άλλη άποψη; Είδες που στα έλεγα;

Τέλος, αν δεν επιθυμείτε συζήτηση μαζί μου, ο καθένας για τους δικούς του λόγους μπορείτε να μου το πείτε και αποχωρώ. Αν όμως δεν έχετε τέτοια πρόθεση με αιτία την αντίδρασή μου στην άμεση αντιμετώπιση που δέχθηκα, φεύγω από μόνος μου για να μην κάνει ούτε καν τον κόπο να με διαγράψει ο mod. Αν όμως μείνω, θα διατυπώνω τους ισχυρισμούς μου και δεν δεσμεύω κανέναν να απαντάει. Το βέβαιο είναι ότι δεν μπήκα "ομαλά" στο φόρουμ αλλά δεν αναγνωρίζω το φταίξιμο σε μένα, όσο είναι επίσης βέβαιο πως δεν έχω διάθεση για διαπληκτισμούς χωρίς λόγο.
Υγεία.

[quote="nemenala"]
1. Ίσως να έχεις δίκιο ως προς το ύφος του ποστ και να μην υπάρχει άλλο παρόμοιο. Υπάρχει όμως άλλο παρόμοιο να βάζω ένα πρόβλημα (ορθό ή λάθος δεν το εξετάζω αυτή τη στιγμή) και να δέχομαι απάντηση "μήπως είμαι στην ομάδα Τσόλκα που υποστηρίζει την ανατροπή του πυθαγορείου"; Ε, όχι δεν είμαι σε καμία ομάδα και υποστηρίζω την ανατροπή του πυθαγορείου, χωριστά και ανεξάρτητα από όντως υπαρκτές ομάδες. Αυτό το ξεκαθαρίζω για να δεχθώ από τώρα τη διαγραφή αν απαγορεύεται η ΑΛΛΗ ΑΠΟΨΗ. Υπάρχει άλλο ποστ που να μπαίνει ένας στη συζήτηση με το "ποιος είσαι", έστω και διατυπωμένο με ευγενικό τρόπο (ομολογουμένως);[/quote]

Ποιός μίλησε για bans? Ποιος απαγορεύει άλλες απόψεις? Εγώ απλώς είπα ότι ο Sil έχει ακόμα περισσότερο δικαίωμα από εμένα ή το Rapano να σου πει να χαλαρώσεις το ύφος σου, εφόσον είναι mod και είναι η δουλειά του να μην αφήνει τις συζητήσεις να ξεφεύγουν. Αυτό που σου είπαμε είναι να χαλαρώσεις και να μην είσαι τόσο επιθετικός.

Το να ξεκινάς posts με το στυλ "Φιλαράκο...", το να βάζεις posts με τεράστια κεφαλαία γράμματα και με ένα παθητικό-επιθετικό στυλάκι είναι τουλάχιστον poor etiquette. Κανείς δε σε έθιξε, ούτε και όταν ανέβασες τους τόνους στο σημείο που τους ανέβασες. Ούτε ποτέ είχαμε flame wars ή trolling στο forum προηγουμένως. Είναι λοιπόν στραβός ο γιαλός ή στραβά αρμενίζουμε?

Όσο για τον Τσόλκα... ποιος είναι ο Τσόλκας ρε guys? Μυρίζομαι λαβράκι εδώ :D

[quote]3. Γιατί με σένα δεν όξυνα τους τόνους που στο κάτω - κάτω οι απαντήσεις σου δεν είναι και τόσο στέρεα θεμελιωμένες σύμφωνα με την άποψή μου; Με βλέπεις να έχω κάτι προσωπικό με κάποιον, χωρίς να γνωρίζω κανέναν εδώ μέσα ή απλά αντέδρασα και όχι τόσο στον Sil όπως τον αναφέρεις, αλλά μόνο στον άλλο φίλο τον μηχανικό που μπήκε να περιγελάσει και να ειρωνευτεί το θέμα μου; Ή δεν έχω δικαίωμα αντίδρασης στην "κοκκινοσκουφίτσα";[/quote]

Χμμμ... εμένα μάλλον μου φάνηκε ότι η "κοκκινοσκουφίτσα" είναι αντίδραση σε επιθετικά σχολιάκια του στυλ: "μείνε μια ζωή εκεί και εμένα προσωπικά δεν με ενδιαφέρει τι σε ενδιαφέρει και τι δεν σε ενδιαφέρει και ούτε κατέθεσα τέτοιο αίτημα γνωστοποίησης των ενδιαφερόντων σου".

Αν γράφεις σε τέτοιο στυλ, τι απάντηση περιμένεις?  :rotfl:

Chill. Pill. :icecream:

[quote]4. Φίλε Durandal επί της ουσίας τώρα. Δεν αντιλαμβάνομαι το σκεπτικό σου που εξαιρείς διατυπωμένο ερώτημα με το επιχείρημα ότι όλοι μπορούμε να βάζουμε τέτοιου είδους προβλήματα. Στο σχήμα Κ, υπάρχει σημείο τομής ευθειών ή δεν υπάρχει; Υπάρχει ειδικός ορισμός του κοινού σημείου τομής, διαφορετικός από την αρχική έννοια του σημείου που δεν αναλύεται περαιτέρω, ενώ το σημείο τομής αναλύεται και ερμηνεύεται από τον ορισμό; Αποδεικνύονται διάφορα από άποψη ιδιοτήτων το σημείο με το σημείο τομής, αφού κάθε σημειοσύνολο αποτελείται από σημεία, ενώ ΔΕΝ ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΑΠΟΤΕΛΕΙΤΑΙ από σημεία τομής; Γιατί εξαιρείς το πρόβλημα σαν δυνατό να διατυπωθεί με το επιχείρημα ότι όλοι μπορούμε να θέτουμε προβλήματα; Ας τα θέσουμε όλοι όλα τα προβλήματα και είναι πολύ καλύτερο από το να μη θέσω εγώ τέτοιο πρόβλημα με αιτιολογικό ότι όλοι μπορούμε να θέσουμε ανάλογα ή πιο δύσκολα σε επίλυση. Είσαι της άποψης να κλείσουμε τα μάτια και να πούμε δεν υπάρχει πρόβλημα;[/quote]

Για το $ K$ στο αντίστοιχο topic.

Cheerio,

Durandal 1707

Durandal ο.κ. Τέλος η παρεξήγηση γιατί δεν έχει και νόημα.

[quote]Durandal
Για το Κ στο αντίστοιχο topic.[/quote]

Να με συγχωρείς έχεις δίκιο. Όμως και εδώ υπάρχει εισαγωγικό θέμα και δεν σε βλέπω να απαντάς περί μέσου και μισού, ενώ συμμετέχεις (σε μη σχετικά με το θέμα αναφορές που αφορούν την παρεξήγηση) ενώ συνάγω χωρίς καμία δυσκολία, ότι δεν σου λείπουν τα γνωστικά εφόδια. Δεν έχεις κάποια απάντηση; Βέβαια ξέρω καλά ότι δεν έχεις υποχρέωση να απαντήσεις, αλλά διατυπώνω απλά την απορία μου.

Μια αποδειξη την οποια ειχα ξαναγραψει αλλα διεγραφει οταν μεταφεροταν το τοπικ στους φοιτητες(παρακαλω προσεχετε περισσοτερο τι διαγραφετε, κριμα να τα ξαναγραφουμε απο την αρχη).
Εστω η ευθεια πανω στην οποια βρισκεται το ΑΒ και εστω οτι το Μ δεν βρισκεται αναμεσα στα Α και Β(χωρις βλαβη της γενικοτητας υποθετουμε οτι βρισκεται σε τετοιο σημειο ωστε το Α να ειναι μεταξυ του Μ και του Β. Τοτε ΜΒ=ΜΑ+ΑΒ ομως απο τον ορισμο τουυ μεσου εχουμε οτι απεχει απο τις ακρες του ευθυγραμμου τμηματος ισες αποστασεις αρα θα' πρεπε ΑΜ=ΑΜ+ΑΒ που ειναι ατοπο. Αρα το Μ βρισκεται αναμεσα στα Α και Β αρα ΑΜ+ΜΒ=ΑΒ. Και αφου εξ' ορισμου ισαπεχει απο τα Α και Β ισες αποστασεις ΜΑ=ΜΒ. Συνδυαζοντας αυτα προκυπτει ΑΜ+ΑΜ=ΑΒ, ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ 2ΑΜ=ΑΒ, ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΑΜ=ΑΒ/2.
Ελπιζω να ειμασρε ΟΚ.

Υ.Σ. Οσο για αυτοπου λες nemenala οτι δεν μπηκες με ομαλο τροπο στο forum αναγνωριζω οτι ευθυνομαι και απολογουμαι για την επιθετικοτητα αλλη μια φορα :( .

Το πρόβλημα
[quote]nemenala
[b]Μέσο και μισό[/b]
Να αποδειχθεί, με το ευκλείδειο αξιωματικό σύστημα ή με την Ανάλυση ή με τη θεωρία συνόλων, ότι επί ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ με μέσο Μ, το ΑΜ είναι μισό του ΑΒ.
Η απόδειξη να στηρίζεται αξιωματικά (πλεονασμός η επισήμανση, αλλά αναγκαίος).[/quote]

Η απόδειξη αυτή απαντά στο θεώρημα "Κάθε ευθύγραμμο τμήμα έχει ένα μόνο μέσο" και όχι στο αν το ΑΜ ή το ΜΒ είναι το καθένα μισό του ΑΒ. Άλλο το ένα, άλλο το άλλο. Το Μ εκτός από μοναδικό μέσο του ΑΒ (όπως ορθά το αποδεικνύεις) είναι κοινό σημείο που καθιστά τα ΑΜ και ΜΒ διαδοχικά τμήματα.
Αυτό που ρωτώ όμως (πρόβλημα) διαφέρει. Μπορείς από το ΑΒ να έχεις δύο ευθύγραμμα τμήματα ΑΜ, οπότε το ΑΜ θα είναι το μισό - δύο υπαρχόντων μισών - του ΑΒ;
Ας το δούμε μαζί φίλε μου και με δεδομένο μάλιστα ότι χρησιμοποίησες την ισοδυναμία γεγονός που εισάγει το μέτρο και ανάγει στη θεωρία μετρήσεως, όπου η ακρίβεια της μέτρησης εξαρτάται από την επίθεση του μέτρου επί του μετρούμενου (Στέλιος Η. Παπαφλωράτος, γεωμετρία Λομπατσέφσκι, σελίδα 51).
Έστω λοιπόν ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ με μέσο Μ όπου ισχύει ΑΜ=ΜΒ ή αλλιώς τα Α και Β είναι συμμετρικά προς το Μ ή ισαπέχουν. Με τον διαβήτη ορίζουμε ευθύγραμμο τμήμα ΚΛ=ΑΜ=1 ή αλλιώς θεωρούμε το ΚΛ σαν μέτρο μήκους 1. Θα πρέπει να αποδείξουμε τώρα ότι το ΑΒ=2 μέτρα.
Θα πρέπει να διευκρινίσουμε σαν συνθήκη, ότι τα ευθύγραμμα τμήματα δεν μετακινούνται αυτά καθαυτά επί του επιπέδου παρά μόνο σαν ομόλογα ή εικονικά, ενώ τα μέτρα δεν έχουν τέτοια δέσμευση και μετακινούνται ελεύθερα επί του επιπέδου και έτσι επιτυγχάνεται η επίθεση του μέτρου επί του μετρούμενο.
Υπάρχουν 2 τρόποι να διαπιστώσουμε αν το ΑΒ= 2 μέτρα.
α. Να έχουμε 2 φορές το μέτρο ΚΛ, ήτοι να έχουμε ΚΛ= ΕΖ=1
β. Να έχουμε μόνο το ΚΛ.
Στην (α) περίπτωση επιθέτουμε το ΚΛ επί το ΑΒ και το Κ επιτίθεται επί του Α ενώ το Λ επί του Μ. Οπότε είμαστε βέβαιοι ότι ΑΜ=1 αφού ΚΛ=1 και αφού το ΚΛ το κατασκευάσαμε ίσο με ΑΜ. Τώρα μένει να επιθέσουμε το ΕΖ=1 επί το ΑΒ. Βλέπουμε ότι δεν επιτίθεται. Το Μ είναι κατειλημμένο από το Λ του ΚΛ και τα μέτρα δεν έχουν κοινά σημεία. Οπότε δείχνεται ΑΒ<2. Θα σημειώσω επίσης ότι ευρισκόμαστε στην ευκλέιδεια γεωμετρία και ακόμα δεν υπάρχει το αξίωμα συνεχείας του Χίλμπερτ, το οποίο βέβαια δεν αφορά μέτρα αλλά ευθύγραμμα τμήματα και αυτό το λέω για να μην εμπλέξουμε ακόμα αυτό το αξίωμα συνεχείας που δεν είναι άλλο από την αρχή Αρχιμήδη - Εύδοξου το οποίο μετέτρεψε από απλή πρόταση σε αξίωμα ο Χίλμπερτ (πιο έξυπνος από Εύδοξο και Αρχιμήδη και Ευκλείδη που δεν ήξεραν οι κουτοί να το διατυπώσουν σαν αξίωμα και όχι σαν θεώρημα!)
Κανονικά εδώ τελειώνουμε γιατί ένα πρόβλημα δεν μπορεί να είναι και ορθό και ψευδές στο ίδιο αξιωματικό σύστημα, ωστόσο πάμε στο (β).
Στην (β) περίπτωση. Όλα τα σημεία του ΑΒ τα μετράμε άπαξ. Γιατί το Μ να το μετρήσουμε δις; Επιθέτουμε το ΚΛ επί το ΑΜ και το Μ είναι μετρημένο. Άρα το υπόλοιπο του ΑΒ-ΑΜ=Χ<1.
Άλλο μέσο και άλλο μισό επομένως, παρά το γεγονός ότι ΑΜ=ΜΒ που δείχνει μόνο τη συμμετρία των Α και Β προς το Μ.
Εδώ είμαι για την όποια άλλη γνώμη.

ΥΓ: Φίλε filosofimenos δεν έχεις καμία ευθύνη για την ένταση. Το θέμα με σένα έληξε, αλλά αναβίωσε με την παρεμβολή του φίλου Ράπανος που πήγε να μας δουλέψει, για να ζητάνε οι καλοί φίλοι εξηγήσεις από εμένα. Καλώς, για τη στάση μου εκφράζω τη λύπη μου, αλλά μη το διαιωνίζουμε να πούμε και κάτι που να σχετίζεται με τα προβλήματα.
Να είσαστε όλοι καλά.

[quote="nemenala"]Υπάρχουν 2 τρόποι να διαπιστώσουμε αν το ΑΒ= 2 μέτρα.
α. Να έχουμε 2 φορές το μέτρο ΚΛ, ήτοι να έχουμε ΚΛ= ΕΖ=1
β. Να έχουμε μόνο το ΚΛ.
Στην (α) περίπτωση επιθέτουμε το ΚΛ επί το ΑΒ και το Κ επιτίθεται επί του Α ενώ το Λ επί του Μ. Οπότε είμαστε βέβαιοι ότι ΑΜ=1 αφού ΚΛ=1 και αφού το ΚΛ το κατασκευάσαμε ίσο με ΑΜ. Τώρα μένει να επιθέσουμε το ΕΖ=1 επί το ΑΒ. Βλέπουμε ότι δεν επιτίθεται. Το Μ είναι κατειλημμένο από το Λ του ΚΛ και τα μέτρα δεν έχουν κοινά σημεία. Οπότε δείχνεται ΑΒ<2. Θα σημειώσω επίσης ότι ευρισκόμαστε στην ευκλέιδεια γεωμετρία και ακόμα δεν υπάρχει το αξίωμα συνεχείας του Χίλμπερτ, το οποίο βέβαια δεν αφορά μέτρα αλλά ευθύγραμμα τμήματα και αυτό το λέω για να μην εμπλέξουμε ακόμα αυτό το αξίωμα συνεχείας που δεν είναι άλλο από την αρχή Αρχιμήδη - Εύδοξου το οποίο μετέτρεψε από απλή πρόταση σε αξίωμα ο Χίλμπερτ (πιο έξυπνος από Εύδοξο και Αρχιμήδη και Ευκλείδη που δεν ήξεραν οι κουτοί να το διατυπώσουν σαν αξίωμα και όχι σαν θεώρημα!)
Κανονικά εδώ τελειώνουμε γιατί ένα πρόβλημα δεν μπορεί να είναι και ορθό και ψευδές στο ίδιο αξιωματικό σύστημα, ωστόσο πάμε στο (β).
Στην (β) περίπτωση. Όλα τα σημεία του ΑΒ τα μετράμε άπαξ. Γιατί το Μ να το μετρήσουμε δις; Επιθέτουμε το ΚΛ επί το ΑΜ και το Μ είναι μετρημένο. Άρα το υπόλοιπο του ΑΒ-ΑΜ=Χ<1.
Άλλο μέσο και άλλο μισό επομένως, παρά το γεγονός ότι ΑΜ=ΜΒ που δείχνει μόνο τη συμμετρία των Α και Β προς το Μ.
[/quote]

Μάλιστα.  :o :what?:

Οπότε, αν καταλαβαίνω καλά, αυτό που λες είναι το εξής: μετράω το ΑΜ=1, οκ. Μετά πάω να μετρήσω το ΜΒ, αλλά επειδή ήδη έχω μετρήσει το σημείο Μ μία φορά, θα πρέπει να το εξαιρέσω από τη μέτρησή μου τη δεύτερη φορά, και αφού το ΜΒ είναι ίσο με το ΑΜ, θα πάρω συνολικά: ΑΒ = ΑΜ + ΑΜ - κάτι < 2 ΑΜ =2, όπου το "κάτι" είναι το σφάλμα που έχουμε επειδή μετράμε το Μ δύο φορές.

Σωστά καταλαβαίνω το επιχείρημά σου?

Για το ότι το "κάτι" αυτό είναι το μέτρο ενός σημείου και άρα 0... μάλλον αυτό θα έχει να κάνει με τις αντιφάσεις της θεωρίας μέτρου?  :roll:

Τελικά λοιπόν, πόσο είναι το ΑΒ αν ΑΜ=1 όπου Μ το μέσο του ΑΒ? 1.9? 1.99? 1.999? $ 1 \minus{} 10^{ \minus{} 43}$ (έτσι για να βάλουμε και το μήκος Planck στη συζήτηση :lol:)? $ 1 \minus{} 10^{ \minus{} G}$ όπου G ο [url=http://en.wikipedia.org/wiki/Graham_number]αριθμός του Graham[/url]?

Ρωτάω για να ξέρω... αυτό θα πρέπει να είναι πολύ ενδιαφέρον για τους απανταχού αρχιτέκτονες και μηχανικούς για να μάθουν για τα σφάλματα που διαδίδονται με αυτόν τον τρόπο στις μετρήσεις τους (να ακούει και o Rapanos!).

Cheerio,

Durandal 1707

Πάλι Durandal με αντιμετωπίζεις με μια δόση ειρωνείας, αλλά δεν πειράζει. Μου λες ότι η διαφορά είναι μηδενική. Από άποψη εφαρμογής του μέτρου όντως δεν μπορεί το σημείο να έχει μέγεθος, όμως από άποψη εφαρμογής του μέτρου εμφανίζεται ανακρίβεια που δεν επιτρέπει την εφαρμογή του και αυτό είναι το ζητούμενο. Άλλο το ακριβές και άλλο το ελάχιστα ανακριβές που τείνει στο άπειρο. Και η διαφορά μεταξύ ρητού και άρρητου είναι όμοιας τάσης προς το άπειρο, και όμως αναγνωρίζουμε άρρητο στην τετραγωνική ρίζα του 2, ενώ με το σκεπτικό το δικό σου επειδή είναι πολύ μικρή η διαφορά πρέπει να την εξαφανίζουμε. Και η μαθηματική ακρίβεια θα θυσιαστεί στο βωμό του τείνει στο απείρως ελάχιστο; Ποιος έχει αυτό το δικαίωμα να σκέπτεται έτσι για όλους μας στα μαθηματικά που ανήκουν σε όλους και σε ποιο αξίωμα (ιδίως αυτό) θα το στηρίζουμε;
Τα μέτρα μήκους Durandal ΚΛ=ΕΖ=1 δείχνουν ότι το ακριβές 2 εκφράζεται από τη συνέχεια με επαφή των ΚΛ και ΕΖ. Το ανακριβές δείχνεται με το κοινό σημείο Μ όπου τα ΑΜ και ΜΒ είναι διαδοχικά.
Αφού άλλο μήκος έχουν εφαπτόμενα τα ΚΛ και ΕΖ, από το ΑΜ+ΜΒ που ακριβώς σφάλλω στον ισχυρισμό περί ύπαρξης ανισότητας; Το ακριβές μειονεκτεί στο ανακριβές με το επιχείρημα τι θα πουν οι αρχιτέκτονες, που τόσα χρόνια δεν μπόρεσαν να διαπιστώσουν ότι το πυθαγόρειο δεν είναι ακριβές;
Θα σε ρωτήσω κάτι: Έστω τετράγωνο ΑΒΓΔ με διάμεση ΕΖ. Η ΕΖ είναι συγχρόνως ακμή και των 2 παραλληλογράμμων. Τα παραλληλόγραμμα δηλαδή χωρίζονται αξιωματικά από τη ΕΖ. Πόσο απέχουν τα παραλληλόγραμμα μεταξύ τους ως προς τα εσωτερικά τους σημεία, όταν χωρίζονται από απλατές ευθύγραμμο τμήμα; Δεν είναι μηδενική η απόστασή τους για το μέτρο μήκους, ενώ συγχρόνως ΔΕΝ ταυτίζονται αφού όλα τα εσωτερικά σημεία των δύο παραλληλογράμμων ανήκουν το καθένα αποκλειστικά σε ένα μόνο από τα δύο παραλληλόγραμμα (δεν μπορούν δηλαδή να ανήκουν συγχρόνως και στα δύο) και αυτό ισχύει και για τα όποια πλησιέστερα μεταξύ τους;
Επομένως, το μηδενικό της απόστασης αρκεί από μόνο του να ορίσει εκ του ΑΒΓΔ 2 παραλληλόγραμμα κι εσύ επικαλείσαι του αρχιτέκτονες;
Πρόβλημα και επί αυτού να απαντήσεις:
Έστω δύο εφαπτόμενα μέτρα ΚΛ=ΕΖ=1 και επομένως δοσμένα ΚΛ+ΕΖ=2.

[u]Κ..........ΛΕ..........Ζ[/u]

Ασφαλώς για το μέτρο ισχύει ΚΛ=ΚΕ επειδή ΛΕ=0.
Έλα όμως που το αξίωμα του Ευκλείδη, που εξακολουθεί να ισχύει και στους πραγματικούς και στην Ανάλυση, "και το ολόκληρο μεγαλύτερο του μέρους" θέλει το ΚΕ>ΚΛ επειδή το ΚΛ περιέχεται στο ΚΕ.
Η άποψη ότι ΑΜΒ=2ΑΒ όταν Μ μέσο του ΑΒ, αντιφάσκει στο σύνολο των αξιωμάτων του Ευκλείδη σχεδόν.
Τα προς τρίτο ίσα και μεταξύ του ίσα.
Και αν σε ίσα προστεθούν ίσα τα αθροίσματα είναι ίσα.
Και αν σε ίσα αφαιρεθούν ίσα τα υπόλοιπα είναι ίσα.
Και αν σε άνισα προστεθούν ίσα, τα αθροίσματα είναι άνισα.
Και τα διπλάσια του ίδιου είναι μεταξύ τους ίσα.
Και τα μισά του ίδιου, είναι μεταξύ τους ίσα.
Και όσα εφαρμόζονται το ένα πάνω στο άλλο είναι μεταξύ τους ίσα. (Αυτή είναι η δική μου αποδεικτική μέθοδος που είναι στηριγμένη σε όλο το πλήθος των ευκλείδειων αξιωμάτων αλλά και προβλεπόμενη από τη θεωρία μετρήσεως, σε εφαρμογή αυτών των ίδιων των αξιωμάτων.
Το ότι διαφέρουν μηδενικά συνεπάγεται ότι είναι ακριβής η μέτρηση;
Ποιο αξίωμα το λέει αυτό;
Τέλος επειδή γνωρίζω ότι θα μου πεις πως τα μηδενικά απέχοντα ταυτίζονται και ότι δεν προβλέπονται εφαπτόμενα, καλό είναι να το ξανασκεφτείς, αφού:
α. Σου απέδειξα ότι τα μηδενικά απέχοντα δεν συνεπάγονται ταύτιση.
β. Αφού προβλέπονται εφαπτόμενα στην ευκλείδεια γεωμετρία.
Στοιχεῖα Εὐκλείδου δ΄
[Βιβλίον IV]
________________________________________
Ὅροι ζ΄ [7].
α΄ [1]. Σχῆμα εὐθύγραμμον εἰς σχῆμα εὐθύγραμμον ἐγγράφεσθαι λέγεται, ὅταν ἑκάστη τῶν τοῦ ἐγγραφομένου σχήματος γωνιῶν ἑκάστης πλευρᾶς τοῦ, εἰς ὃ ἐγγράφεται, [b]ἅπτηται[/b].
β΄ [2].Σχῆμα δὲ ὁμοίως περὶ σχῆμα περιγράφεσθαι λέγεται, ὅταν ἑκάστη πλευρὰ τοῦ περιγραφομένου ἑκάστης γωνίας τοῦ, περὶ ὃ περιγράφεται, [b]ἅπτηται[/b].
γ΄ [3]. Σχῆμα εὐθύγραμμον εἰς κύκλον ἐγγράφεσθαι λέγεται, ὅταν ἑκάστη γωνία τοῦ ἐγγραφομένου [b]ἅπτηται [/b]τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας.
δ΄ [4].Σχῆμα δὲ εὐθύγραμμον περὶ κύκλον περιγράφεσθαι λέγεται, ὅταν ἑκάστη πλευρὰ τοῦ περιγραφομένου [b]ἐφάπτηται [/b]τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας.
ε΄ [5]. Κύκλος δὲ εἰς σχῆμα ὁμοίως ἐγγράφεσθαι λέγεται, ὅταν ἡ τοῦ κύκλου περιφέρεια ἑκάστης πλευρᾶς τοῦ, εἰς ὃ ἐγγράφεται, [b]ἅπτηται[/b].
ς΄ [6]. Κύκλος δὲ περὶ σχῆμα περιγράφεσθαι λέγεται, ὅταν ἡ τοῦ κύκλου περιφέρεια ἑκάστης γωνίας τοῦ, περὶ ὃ περιγράφεται, [b]ἅπτηται[/b].
ζ΄ [7]. Εὐθεῖα εἰς κύκλον [b]ἐναρμόζεσθαι [/b]λέγεται, ὅταν τὰ πέρατα αὐτῆς ἐπὶ τῆς περιφερείας ᾖ τοῦ κύκλου.
________________________________________

[b]Σημείωση:[/b] "Εναρμόζεσθαι" θα πει εφαρμόζει ή εφάπτεται ακριβώς.

Εσύ ποιο αξίωμα επικαλείσαι Durandal; Το αξίωμα το δικό σου όπως το διατύπωσες "αν είναι ελάχιστο δεν το λαμβάνουμε υπόψη εκτός και πρόκειται για τα άρρητα΄"; Ή μήπως το αξίωμα "μην εκτεθούμε στους αρχιτέκτονες";
Έχεις επιχειρήματα;
Τέλος σε παρακαλώ όχι τέτοιο ύφος αν επιθυμείς πραγματικά τη συζήτηση.
Να είσαι καλά.

ΥΓ: Μέχρι τώρα (φαινομενικά) κρατούσες γερά με απαξία του Ευκλείδη και αγωγή στα σύγχρονα μαθηματικά. Το πρώτον σε συλλαμβάνω να μην έχεις κανένα επιχείρημα αλλά, να να εισάγεις το αξίωμα της απαλοιφής του ελάχιστου και την επίκληση των αρχιτεκτόνων που έχω και γι αυτούς πολλά να πω για τις διαχρονικές τους αβλεψίες.

Βρε σύ, εγώ μία απλή ερώτηση σου κάνω, τί εξάπτεσαι? :) Εσύ δεν έλεγες ότι είσαι κι εσύ άνθρωπος με humour? :)

Έστω ότι δέχομαι τη συλλογιστική σου. Αν λοιπόν ΑΜ = 1 όπου Μ το μέσο του ΑΒ, τότε με τί ισούται το μήκος του ΑΒ?

Όσο για τα σύγχρονα μαθηματικά όπου με συνέλαβες χωρίς επιχείρημα :ninja:, ας δοκιμάσω να δώσω το προφανές. Εγώ δεν ξέρω "εφαρμογές του μέτρου" και "επιθέσεις" και "εναρμογές" κλπ, ξέρω μόνο θεωρία μέτρου.

Οπότε, έστω $ \mu$ το μέτρο Lebesgue του $ \mathbb{R}$ κ'έστω ευθύγραμμο τμήμα $ AB\subseteq \mathbb{R}$ με $ M$ το μέσο του $ AB$ (δηλ. $ \mu(AM) \equal{} \mu(MB)$). Τότε, αφού $ AB \equal{} AM\cup MB$, έχουμε $ \mu(AB) \equal{} \mu(AM) \plus{} \mu(MB) \minus{} \mu(AM\cap MB) \equal{} 2 \mu(AM) \minus{} \mu(M) \equal{} 2\mu(AM)$ αφού κάθε σημείο έχει Lebesgue μέτρο $ 0$.

Υποθέτω ότι δε χρειάζεται να δώσω κάποιο reference για το μέτρο Lebesgue. Αν χρειαστεί, πάρε οποιοδήποτε εισαγωγικό βιβλίο προχωρημένης ανάλυσης ή θεωρίας μέτρου (π.χ. Folland, Rudin etc.).

Cheerio,

Durandal 1707

[quote]Durandal
Βρε σύ, εγώ μία απλή ερώτηση σου κάνω, τί εξάπτεσαι? Εσύ δεν έλεγες ότι είσαι κι εσύ άνθρωπος με humour?

Έστω ότι δέχομαι τη συλλογιστική σου. Αν λοιπόν ΑΜ = 1 όπου Μ το μέσο του ΑΒ, [b]τότε με τi ισούται το μήκος του ΑΒ[/b]? [/quote]

Καλέ μου Durandal να μου επιτρέψεις να σου πω ότι η συλλογιστική σου είναι η αντίστροφη από την κανονική. Είναι σαν να σε ρωτάω πως σε λένε και να μου λες δεν με λένε Γιώργο ή Γιάννη. Πρώτα να συμφωνήσουμε ότι το Μέσο Μ του ΑΒ, δεν συνεπάγεται ότι το ΑΜ είναι το Μισό του ΑΒ (δεν συνεπάγεται και αν συνεπάγεται για τον όποιο, είναι αυθαίρετος συμπερασμός). Αφού συμφωνήσουμε σε αυτό, χωρίς "έστω ότι δέχομαι τη συλλογιστική μου" αλλά αποδεχόμενος την απόδειξή μου (και όχι την προσωπική συλλογιστική μου) θα σου απαντήσω.
Αποδέχεσαι την απόδειξή μου ότι το μέσο Μ δεν σημαίνει και δύο μισά ΑΜ και ΜΒ του ΑΒ; Θέλω συμφωνία ή ασυμφωνία, στηριγμένη σε απόδειξη αξιωματικά. Τότε θα σου πω με τι ισούται το ΑΒ αξιωματικά θεμελιωμένα. Δεν μπορώ να λειτουργήσω με υπόθεση την οποία κατόπιν θα μπορείς να μου αναιρέσεις λέγοντας μου "δεν είπα ότι συμφωνώ, αλλά είπα, έστω ότι συμφωνώ"! Εδώ είναι αναγκαία η σαφήνεια και να με συγχωρείς που είμαι πείσμων επί του θέματος.
Περιμένω τη σαφή και χωρίς υποθετικές συμφωνίες απάντησή σου, για να είμαι σαφής απαντητικά στο ερώτημά σου "με τι ισούται το ΑΒ";
Συμφωνείς ότι το ΑΜ του ΑΒ δεν ισούται με το μισό του ΑΒ;

Τελείωσα το Πολυτεχνείο πριν 35 χρόνια και ξέρω πολύ καλά ότι οι αρχιτέκτονες γνωρίζουν αρκετά λιγότερα μαθηματικά από όλους τους μηχανικούς και ασφαλώς πολύ λιγότερα από τους μαθηματικούς.

Επιτρέψτε μου όμως μία μικρή παρέμβαση, γιατί δεν μπορώ να καταλάβω αυτό που είπε ο [b][size=100]nemenala[/size][/b], ως προς το ότι το μέσο $ M$ του $ AB,$ δεν μπορούμε να το λογαριάσουμε δύο φορές.

Εγώ το βλέπω σαν δύο άκρα ταυτισμένα ( το άκρο $ M$ του $ AM,$ ταυτισμένο με το άκρο $ M$ του $ MB$ ) γιατί αλλιώς, θα πρέπει να δεχθούμε ότι υπάρχουν ευθύγραμμα τμήματα χωρίς κάποιο τους άκρο και αυτό νομίζω δεν ευσταθεί. Από τη στιγμή που χωρίζουμε το $ AB$ με κάποιο σημείο $ M$ μεταξύ των $ A,\ B,$ αυτομάτως, αυτό το σημείο θεωρείται ότι είναι δύο ταυτισμένα σημεία.*

Αν εφαρμόσουμε το μέτρο $ KL \equal{} 1$ $ ,(1)$  επί του $ AM,$ έχουμε αποτέλεσμα $ AM \equal{} 1$ $ ,(2)$

Αν εφαρμόσουμε το μέτρο $ KL \equal{} 1$ επί του $ MB,$ έχουμε αποτέλεσμα $ MB \equal{} 1$ $ ,(3)$

Από $ (1),$ $ (2),$ $ (3)$ $ \Longrightarrow$ $ AM \equal{} MB \equal{} 1$ $ ,(4)$ ( τα ίσα προς τρίτο, είναι και μεταξύ τους ίσα ).

Στην $ (4)$ μπορούμε να λέμε ότι έχουμε ισότητα των μέτρων, αλλά και αυτών των ίδιων των ευθυγράμμων τμημάτων, που συνθέτουν το δοσμένο $ AB$ (έτσι ώστε το άκρο $ M$ του ενός να ταυτίζεται με το άκρο $ M$ του άλλου).

$ \bullet$ Ας δούμε μία άλλη προσέγγιση, σχετική με την επίθεση ενός τμήματος επί ενός άλλου.

Θεωρούμε μία ευθεία $ (\epsilon)$ δια του μέσου $ M$ του $ AB$ και κάθετη επί την ευθεία $ AB,$ η οποία ως γνωστό χωρίζει το επίπεδο σε δύο ημιεπίπεδα.

Αν περιστρέψουμε περί την $ (\epsilon),$ το ημιεπίπεδο που περιέχει το σημείο $ B$ κατά $ 180^{o},$ θα έχουμε ταύτιση του $ B$ με το $ A.$

Αφού δεχόμαστε αυτού του είδους την ταύτιση, δηλαδή την ταύτιση δύο διαφορετικών σημείων, γιατί δεν μπορούμε να δεχτούμε την ταύτιση του μέσου $ M$ του $ AB$ με τον εαυτό του ;

Γιατί δεν μπορούμε να λέμε ότι το άκρο $ M$ του $ AM$ ταυτίζεται με το άκρο $ M$ του $ MB$ ;

Δεν είναι σωστό, το ότι δεχόμαστε τα $ AM,\ MB$ σαν δύο διαφορετικά ευθύγραμμα τμήματα με κοινό το ένα άκρο τους ;

Συγχωρέστε αν είμαι εκτός κλίματος της συζήτησης και δηλώνω ταπεινά ότι τα μαθηματικά μου είναι πολύ περιορισμένα ( έχω ξεχάσει τα πιο πολλά ) και γενικά, δεν είμαι καλός σε τέτοιου είδους προβληματισμούς.

Ήθελα μόνο να παραθέσω την άποψή μου για τις έννοιες που τέθηκαν, όπως τις έχω αφομοιωμένες.

* Είναι το αντίστροφο της συνένωσης δύο διακριτών ευθυγράμμων τμημάτων σε ένα μεγαλύτερο. Αν σε μία ευθεία πάρουμε το ευθύγραμμο τμήμα $ AM \equal{} KL \equal{} 1$ και το ευθύγραμμο τμήμα $ M'B \equal{} KL \equal{} 1$ $ ($ $ M,\ M',$ μεταξύ των $ A,\ B$ $ ),$ τότε μπορούμε να τα τοποθετήσουμε έτσι ώστε $ M'\equiv M,$ όπότε θα έχουμε $ AM \equal{} MB,$ το $ M$ μέσον του $ AB$ και $ AB \equal{} 2.$

Κώστας Βήττας.

[quote]Vittasko
Τελείωσα το Πολυτεχνείο πριν 35 χρόνια και ξέρω πολύ καλά ότι οι αρχιτέκτονες γνωρίζουν αρκετά λιγότερα μαθηματικά από όλους τους μηχανικούς και ασφαλώς πολύ λιγότερα από τους μαθηματικούς. [/quote]

Αγαπητέ κύριε Κώστα Βήττα, οφείλω να ομολογήσω ότι αντιμετωπίζω για πρώτη φορά σε αυτό το φόρουμ, μία σοβαρή προσπάθεια απόδειξης, χωρίς τη χρήση απαξίας στο πρόσωπό μου σαν μια τέτοια απόδειξη (και δεν γνωρίζω μάλιστα το γιατί), ότι το μέσο σημείο Μ ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ, συνεπάγεται δύο ευθύγραμμα τμήματα ΑΜ και ΜΒ. Είναι ευκαιρία να σας πω, ότι σαν αρχιτέκτων (και όχι σε προσωπικό επίπεδο ασφαλώς, αλλά σαν πολυτεχνική σχολή) έχετε τεράστιες ευθύνες για την κατάσταση που επικρατεί στα μαθηματικά, όσο και να σας ξενίζει αυτή μου άποψη. Θα σας την εξηγήσω αναλυτικά όταν θα έρθει η ώρα και αφού ξεμπλέξουμε με το αστείο αυτό πρόβλημα που τώρα αντιμετωπίζουμε.

[quote]Vittasko
Επιτρέψτε μου όμως μία μικρή παρέμβαση, γιατί δεν μπορώ να καταλάβω αυτό που είπε ο nemenala, ως προς το ότι το μέσο Μ του ΑΒ, δεν μπορούμε να το λογαριάσουμε δύο φορές. [/quote]

Όλα τα μπορούμε αγαπητέ κύριε Κώστα, αλλά πότε; Όταν, στα μαθηματικά, το στηρίξουμε αξιωματικά. Έτσι είναι το παιχνίδι στα μαθηματικά και τα αξιώματα παίζουν το ρόλο που παίζουν οι κανόνες κίνησης των πιονιών στο σκάκι. Για να παίξει κάποιος σκάκι ακολουθεί αυτούς τους κανόνες. Για να κάνει μαθηματικά ακολουθεί τα αξιώματα. Το προφανές δεν αρκεί, ούτε οι ορισμοί (διαβαθμισμένοι υποκειμενικά σε αυστηρούς και μη αυστηρούς) αρκούν. Αν το προφανές αρκούσε λ.χ. δεν θα υπήρχε το 5ο αίτημα του Ευκλείδη για σημείο και σημείο εκτός ευθείας και αν οι ορισμοί αρκούσαν μετατρέπαμε το αίτημα αυτό σε αξίωμα (εξέλιξη που έχει εξ ανάγκης επισυμβεί δυστυχώς) και τελειώναμε, όπως θα τελειώναμε και με τον τετραγωνισμό του κύκλου ορίζοντας την ύπαρξη τετραγωνισμένου κύκλου.

[quote]Vittasko
Εγώ το βλέπω σαν δύο άκρα ταυτισμένα (το άκρο Μ του ΑΜ ταυτισμένο με το άκρο Μ του ΜΒ) γιατί αλλιώς, θα πρέπει να δεχθούμε ότι υπάρχουν ευθύγραμμα τμήματα χωρίς κάποιο τους άκρο και αυτό νομίζω δεν ευσταθεί. [/quote]

Δεν θα έχετε ακούσει ασφαλώς για τα ανοικτά ή ημίκλειστα ή ημιακνοικτά άκρα και γι αυτό το λέτε, αλλά δεν έχει και τόση σημασία σας βεβαιώνω.
Όμως, εν προκειμένω κύριε Κώστα, χρησιμοποιείτε το ζητούμενο σαν απόδειξη. Ποιο είναι το ευθύγραμμο τμήμα χωρίς άκρο εν προκειμένω; Μα, το ζητούμενο είναι αν υπάρχουν συγχρόνως τμήματα ΑΜ και ΜΒ και δεν είναι αυτό το δεδομένο όπως το εκλαμβάνετε. Η σύγχρονη ύπαρξη δύο τμημάτων ΑΜ και ΜΒ, δεν αιτιολογείται από όλα τα αξιώματα του Ευκλείδη, ούτε από τον όρο περί μονάδας και αριθμού.
Το ΑΒ λοιπόν είναι 1 ευθύγραμμο τμήμα. Εσείς προτείνετε να το πούμε 2 μισά του 1 εξαιτίας της ύπαρξη του Μ που απέχει το ίδιο από Α και Β. Η συμμετρία του Μ ως προς τα Α και Β όμως δεν συνεπάγεται την ύπαρξη 2 ίσων τμημάτων, αλλά δύο ίσων μετρικών αποστάσεων επί του ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ  (Α και Β) από το Μ. Χρειάζεται λοιπόν απόδειξη ότι το ΑΜ και το ΜΒ είναι το καθένα μισό του ΑΒ και δεν αρκεί το προφανές.

[quote]Vittasko
Αν εφαρμόσουμε το μέτρο ΚΛ=1, (1)  επί του ΑΜ έχουμε αποτέλεσμα ΑΜ=1,  (2)
Αν εφαρμόσουμε το μέτρο ΚΛ=1 επί του ΜΒ έχουμε αποτέλεσμα ΜΒ=1 (3)
Από (1), (2), (3)  ΑΜ=ΜΒ=1 (4) ( τα ίσα προς τρίτο, είναι και μεταξύ τους ίσα ).  [/quote]

Και βέβαια κάνετε ορθότατη εφαρμογή του μέτρου ΚΛ=1. Αυτό ακριβώς λέω κι εγώ. Τα, ΑΜ=ΜΒ=1 και αυτό εκφράζει τη συμμετρία των Α και Β ως προς το Μ. Ρίξτε παρακαλώ μια ματιά να δείτε ότι αυτό που εσείς αποδεικνύεται το ισχυρίζομαι πριν από εσάς. Η ύπαρξη συμμετρίας όμως δεν συνεπάγεται 2 ευθύγραμμα τμήματα αλλά ένα με ένα εσωτερικό σημείο Μ συμμετρικό των άκρων του. Άλλο το ένα, άλλο το άλλο. Δεν χρειάζεται λοιπόν η επίκληση του αξιώματος διότι δεν διαφωνούμε καθόλου.

[quote]Vittasko
Στην (4) μπορούμε να λέμε ότι έχουμε ισότητα των μέτρων, αλλά και αυτών των ίδιων των ευθυγράμμων τμημάτων, που συνθέτουν το δοσμένο ΑΒ. [/quote]

Ιδού η διαφορά μας. Στην (4) πραγματικά μπορούμε να μιλάμε για ισότητα των μέτρων (ΑΜ)=(ΜΒ)=1, αλλά δεν βλέπω πουθενά τα ευθύγραμμα τμήματα στα οποία αναφέρεστε, αλλά μόνο ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ με μέσο Μ και την αναφερόμενη συμμετρία.
Το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ είναι ΕΝΑ σημειοσύνολο και όχι δύο σημειοσύνολα ΑΜ και ΜΒ, αφού ΣΧΗΜΑ (όπως το ΑΒ) είναι ΚΑΘΕ ΣΥΝΟΛΟ σημείων. Το Μ ανήκει και στο ΑΜ και στο ΜΒ και αυτό αρκεί να μας βεβαιώσει ότι το ΑΒ είναι ΕΝΑ σύνολο σημείων εκ του ΚΑΘΕ συνόλου σημείων. Έτσι λοιπόν αξιωματικά (αλλά και εξ ορισμού όπως θα σας δείξω πιο κάτω) το ΑΒ προβλέπεται σαν ένα σύνολο σημείων και όχι σαν δύο σύνολα σημείων αφού είναι «ενωμένα» στο Μ. Τόσο απλό είναι σε σχέση με τα αξιώματα και τον ορισμό του σχήματος σαν κάθε σημειοσύνολο.
Φρονώ αντιλαμβάνεστε πόσο διαφέρει το να υποδεικνύετε δύο ευθύγραμμα τμήματα, ενώ αυτό είναι το ΖΗΤΟΥΜΕΝΟ.

[quote]Vittasko
Ας δούμε μία άλλη προσέγγιση, σχετική με την επίθεση ενός τμήματος επί ενός άλλου.
[/quote]

Ας το δούμε.

[quote]Vittasko
Θεωρούμε μία ευθεία (ε) δια του μέσου Μ του ΑΒ και κάθετη επί την ευθεία ΑΒ η οποία ως γνωστό χωρίζει το επίπεδο σε δύο ημιεπίπεδα. [/quote]

Δεν είναι ανάγκη να πάμε στα ημιεπίπεδα (θα έχουμε ευκαιρία και δεν το κάνω για να αποφύγω). Πάμε στον ορισμό του ευθύγραμμου τμήματος:
[b]Ορισμός: Ευθύγραμμο τμήμα με άκρα Α και Β ονομάζεται το σύνολο των σημείων μιας ευθείας ε που είναι μεταξύ των Α, Β μαζί με τα σημεία Α και Β.   [/b]
(Θεωρητική γεωμετρία Α΄ Λυκείου του ΟΕΔΒ των Αλιμπινίση, Δημάκου, Εξαρχάκου, Κοντογιάννη και Τασσόπουλου, σελίδα 18).
Από αυτό συνάγεται:
1. Ότι το ΑΒ είναι ένα σημειοσύνολο μαζί με όλα τα εσωτερικά του σημεία μεταξύ των οποίων και το Μ. Η ύπαρξη του Μ δηλαδή δεν αποχαρακτηρίζει το ΑΒ από 1 ευθύγραμμο τμήμα.
2. Ότι και το ΑΜ, όσο και το ΜΒ είναι το καθένα χωριστά εξεταζόμενα και όχι σύγχρονα, ένα ευθύγραμμο τμήμα και μάλιστα μετρικά ίσα αφού το Μ ισαπέχει από Α και Β. Αυτό θα πει εξάλλου ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ.
3. Το ΑΒ με μέσο Μ θα μπορούσε να είναι 2 ευθύγραμμα τμήματα, ΜΟΝΟ αν μπορούσαμε να χωρίσουμε το Μ σε δύο ίσα μέρη. Το Μ όμως δεν διαιρείται αφού είναι μέρος ουθέν και επομένως ούτε και πολλαπλασιάζεται, να υπάρχει αξιωματικά αιτιολογημένη ταύτιση σημείων ή διπλό σημείο! Η ταύτιση συνεπάγεται ένα σημείο κοινό των ΑΜ και ΜΒ επομένως.
4. Διαίρεση με την έννοια του χωρισμού (αυτό θα πει διαιρώ ακριβώς όμως ή μερίζω σε ίσα μέρη) είναι ανέφικτη στη γεωμετρία, για τον απλούστατο λόγο ότι τα σημεία δεν μετακινούνται αυτά καθαυτά επί του επιπέδου. Άρα το Μ παραμένει αδιαίρετο για πάντα στη θέση του σε κάθε προσπάθεια υποτιθέμενης διαίρεσης του ΑΒ στο Μ ή όπου αλλού επί εσωτερικού του σημείου.
5. Αυτό που μπορούμε να κάνουμε είναι να μεταφέρουμε τα μήκη τους με διαβήτη επί ευθείας ε και να έχουμε ΔΕ=ΑΜ και ΖΗ=ΜΒ και επομένως ΔΕ=ΕΖ=1 το καθένα, αλλά χωρίς κοινό σημείο. Αυτά, δηλαδή τα ΔΕ και ΖΗ είναι όντως 2 ευθύγραμμα τμήματα που το καθένα έχει 1 μέτρο μήκους.
Παίρνουμε αυτά τα μήκη που τα αποκτήσαμε με τον διαβήτη από μεταφορά των ΑΜ και ΜΒ και τα χρησιμοποιούμε σαν μέτρα, για να μετρήσουμε το ΑΒ με μέσο Μ σαν 2 μέτρα. Ενώ τα ευθύγραμμα τμήματα δεν μετακινούνται κύριε Κώστα, όπως είπαμε, επί του επιπέδου, τα μέτρα μετακινούνται και σύμφωνα με τη θεωρία μετρήσεως και το αξίωμα του Ευκλείδη, επιτίθενται επί των μετρούμενων.
Εδώ δείχνεται η ανακρίβεια. Αν το μέτρο ΔΕ=1 επιτεθεί επί του ΑΜ=1 θα καλύψει και το Α και το Μ. Το άλλο μέτρο, δηλαδή το ΕΖ ΔΕΝ ΜΠΟΡΕΙ πλέον να επιτεθεί (όπως μπορεί το ΔΕ) επί του ΜΒ, διότι το Μ είναι κατειλημμένο από το Ε. Τα ευθύγραμμα διαδοχικά τμήματα (όπως το ΑΜ και το ΜΒ) έχουν κοινό σημείο το Μ. Τα μέτρα όμως ΔΕ και ΗΖ δεν μπορούν να έχουν αυτή την πολυτέλεια. Δεν μπορούν να διαθέτουν κοινό σημείο διότι δεν είναι ευθύγραμμα τμήματα αλλά μέτρα μήκους.
Ελπίζω να έγινα κατανοητός.
Τα βέβαια 2 μέτρα ΔΕ και ΖΗ δεν ταυτίζονται επιθετικά με το ΑΒ με μέσο Μ. Επομένως το ΑΒ με μέσο Μ μετρημένο με τα μήκη των υποτιθέμενων τμημάτων του δεν αποδεικνύεται σύμφωνα με τη θεωρία μετρήσεως 2 μέτρα αλλά ΑΒ<2μ.
Τόσο απλό είναι.

[quote]Vittasko
Αν περιστρέψουμε περί την (ε) το ημιεπίπεδο που περιέχει το σημείο Β κατά 180ο θα έχουμε ταύτιση του Β με το Α. [/quote]

Ουδεμία αντίρρηση. Αυτό είναι απότοκο της συμμετρία και όχι απόδειξη ότι υπάρχουν δύο ευθύγραμμα τμήματα όταν έχουν κοινό σημείο που τα καθιστά εξ ορισμού ένα ευθύγραμμο τμήμα και τα ΑΜ και ΜΒ είναι διαδοχικά, αλλά όχι δύο ανεξάρτητα τμήματα, όπως δύο είναι τα δοσμένα ανεξάρτητα μέτρα ΔΕ=ΖΗ=1 το καθένα. Ποιος αμφισβητεί ότι το ΔΕ=ΕΖ=1 επί 2 φορές είναι 2 μέτρα;
Το ΑΒ όμως πως θα μετρηθεί 2 μέτρα όταν τα μέτρα δεν συμφωνούν;
Εδώ ταιριάζει  το αξίωμα τα προς τρίο ίσα…
ΔΕ=1 ΖΗ=1 άρα ΔΕ+ΖΗ=2
Ως προς αυτό το 2 το ΑΒ δεν συμφωνεί αφού η επίθεση των ΔΕ=ΖΗ=1 υπερκαλύπτει το ΑΒ με μέσο Μ.
Θα μου πει κάποιος (το ισχυρίστηκε ο durandal) ότι είναι ένα σημείο μόνο η διαφορά και επειδή το σημείο δεν έχει μέγεθος κανένα και επομένως ούτε και μήκος, αριθμητικά δεν έχουμε διαφορά.
Όμως τα πράγματα δεν είναι έτσι ακριβώς, πέραν του ότι όπως του είπα και η διαφορά μεταξύ άρρητου και ρητού είναι όσο θέλουμε «μηδαμινή» και όμως αναγνωρίζουμε την ύπαρξη άρρητων μεγεθών και εξ αυτών και άρρητων αριθμών.
Θα φέρω παράδειγμα την σημειοσειρά κατά Ντέντεκιντ κλάσεις σημείων, όχι γιατί επικαλούμαι τον Ντέντεκιντ, αλλά για να γίνει κατανοητό ότι η έλλειψη ενός σημείου καταστρέφει την ισότητα, είτε το θέλουμε είτε δεν το θέλουμε και ας λένε ότι θέλουν οι καθηγητές που διδάσκουν τα ανοικτά ή ημιανοικτά ή ημίκλειστα άκρα. Πρόκειται για χονδροειδέστατο σφάλμα και για αυτό επικαλούμαι το αξίωμα συνεχεία του Ντένετεκιντ.
[b]Αξίωμα συνεχεία του Ντέντεκιντ προς κατανόηση των όσων λέω:
Μερίζοντες τα σημεία προσανατολισμένης ευθείας εις κατά Ντέντεκιντ κλάσεις σημείων, υπάρχει είτε εις την πρώτην των κλάσεων ένα τελευταίο, είτε εις την δευτέραν τούτων, ένα πρώτο σημείο.
Το αξίωμα τούτο χαρακτηρίζει την ευθείαν ως συνεχή σημειοσειρά. Διότι κατατάσοντες εις μεν την πρώτην κλάσιν πάντα τα προ ωρισμένου σημείου Ο κείμενα σημεία, εις την δευτέραν μόνο τα επόμενα τούτου σημεία, ήτοι εξαιρούντες το σημείο Ο της γενομένης θεωρήσεως, εις μεν την πρώτην κλάσιν ουδέν θα υπήρχε τελευταίον σημείο, εις δε την δευτέραν, ουδέν πρώτον. [/b]

Εξηγώ:

ε……………………………………..Ο……………………………….

Σύμφωνα με το ανωτέρω αξίωμα, απλοποιημένα, επί της ε πριν το Ο υπάρχει ένα τελευταίο σημείο και μετά την Ο ένα πρώτο.
Ο λόγος τώρα αν το Ο σαν σημείο μέρος ουθέν επηρεάζει την μετρική.
Την επηρεάζει ανεξάρτητα αν το Ο δεν έχει μέγεθος.
Πως την επηρεάζει; Είναι απλό.

ε……………Α.……………………..ΤΟ……………………………….

Ονοματίζουμε το κατά Ντέντεκιντ τελευταίο σημείο πριν το Ο με Τ και επομένως ΑΤ=ΑΟ αφού το ΤΟ=0. Το μέτρο δεν μπορεί να «διακρίνει» σαν διάφορη την απόσταση ΑΤ από ΑΟ και να μετρήσει αυτή την απόσταση.
Έλα όμως που υπάρχει [b]αξίωμα που λέει το όλο είναι μεγαλύτερο του μέρους[/b]. Το όλο εν προκειμένω είναι το ΑΟ και το μέρος το ΑΤ που περιέχεται στο όλο ΑΟ.
Η αδυναμία του μέτρου να μετρήσει το ΤΟ δεν συνεπάγεται ότι το Τ και το Ο ταυτίζονται, επειδή δεν μετρούνται σαν διάφορα, διότι υπάρχει το αξίωμα περί όλου και μέρους.
Επομένως κύριε Κώστα η ύπαρξη κοινού σημείου, πέραν του ότι ενώνει τα ΑΜ και ΜΒ αξιωματικά σε ένα σχήμα και επομένως σε ένα εξ ορισμού ευθύγραμμο τμήμα, αποδεικνύεται ότι υπάρχει ανισότητα εκεί που όλοι βλέπουν ισότητα!
Επί του προβλήματός μας λοιπόν, αν ΑΜ=1 το υπόλοιπο που εκκινεί από το πρώτο σημείο μετά το Μ, μπορεί να δείχνεται ίσο επειδή η διαφορά είναι ένα σημείο, όμως δείχνεται άνισο και από το αξίωμα περί του όλου και μέρους, αλλά και από την εφαρμογή του μέτρου επί του μετρούμενου.
Τόσο απλά είναι τα πράγματα

[quote]Vittasko
Αφού δεχόμαστε αυτού του είδους την ταύτιση, δηλαδή την ταύτιση δύο διαφορετικών σημείων, γιατί δεν μπορούμε να δεχτούμε την ταύτιση του μέσου Μ του ΑΒ με τον εαυτό του;   [/quote]

Ποιο αξίωμα κάνει δεκτή την ταύτιση δύο διαφορετικών σημείων; Αφού τα σημεία ΔΕΝ ΜΕΤΑΚΙΝΟΥΝΤΑΙ ΕΠΙ ΤΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ; Θα εισάγουμε αξίωμα μαγείας; Ποιος την αποδέχεται; Υπάρχει διπλό σημείο; Όμως και να την δεχθούμε θα αντιφάσκουμε στο αξίωμα περί μέρους και όλου, όπως σας εξήγησα.

[quote]Vittasko
Γιατί δεν μπορούμε να λέμε ότι το άκρο Μ του ΑΜ ταυτίζεται με το άκρο Μ του ΜΒ;
[/quote]
Μπορούμε να το λέμε, αλλά σχετικά με τη συμμετρία και όχι με το ότι υπάρχουν 2 ευθύγραμμα τμήματα. Εξάλλου η διαδοχικότητα των τμημάτων προβλέπεται, αλλά η ακεραιότητά τους σαν ευθύγραμμα τμήματα δεν προβλέπεται. Όταν το ΑΜ είναι ευθύγραμμο τμήμα το υπόλοιπο μέχρι το Β δεν έχει άκρο και αντίστροφα. Αυτό (ένα εκ των δύο) που δεν έχει άκρο είναι μικρότερο του άλλου που έχει άκρο σύμφωνα με το αξίωμα περί μέρους και όλου και ας μην έχει μέγεθος το άκρο που "λείπει".
Για να κατανοήσετε τον μηχανισμό λογισμού (και όχι τις αποδείξεις μου που είναι αυτάρκεις και αυτοτελείς) εν προκειμένω αγαπητέ κύριε Κώστα, θα σας πρότεινα να διαβάσετε το βιβλίο του καθηγητή κυρίου Αναπολιτάνου «Η ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕΧΡΙ ΤΟΝ ΚΑΝΤ», σελίδες 69-70. Το θέμα απασχολεί τους μαθηματικούς από την εποχή του Αριστοτέλη και δίνεται εμβαλωματική διέξοδος στην όλη υπόθεση, πιστέψτε με.

[quote]Vittasko
Δεν είναι σωστό, το ότι δεχόμαστε τα ΑΜ, ΜΒ σαν δύο διαφορετικά ευθύγραμμα τμήματα με κοινό το ένα άκρο τους ;
[/quote]
Βέβαια όχι. Αφού έχουν κοινό άκρο ορίζονται σαν ένα σχήμα, όπως ορίζονται και σαν ένα ευθύγραμμο τμήμα με εσωτερικό σημείο Μ, υπάκουα ακριβώς στον ορισμό του ευθύγραμμου τμήματος που σας μετέφερα από το σχολικό εγχειρίδιο, διότι έχει αξία τι μαθαίνουν αυτά τα παιδιά που συμμετέχουν ή δεν συμμετέχουν σε τούτο το φόρουμ και είναι δικά μας παιδιά.

[quote]Vittasko
Συγχωρέστε αν είμαι εκτός κλίματος της συζήτησης και δηλώνω ταπεινά ότι τα μαθηματικά μου είναι πολύ περιορισμένα ( έχω ξεχάσει τα πιο πολλά ) και δεν είμαι καλός γενικά σε τέτοιου είδους προβληματισμούς.
Ήθελα μόνο να παραθέσω την άποψή μου για τις έννοιες που τέθηκαν, όπως τις έχω αφομοιωμένες. [/quote]

Αλίμονο καλέ μου κύριε Κώστα. Τουλάχιστον μπήκατε στο θέμα και εγώ σας ζητώ συγγνώμη για την κουραστική μου απάντηση.

ΥΓ: Στην αρχή του μηνύματος αναφέρθηκα στις ευθύνες των αρχιτεκτόνων και μηχανικών, έχω κουραστεί και θα μου επιτρέψετε να μη συνεχίσω απόψε. Ελπίζω να μας δοθεί η ευκαιρία.

Να είσαστε καλά που με τιμήσατε.

Φίλε μου nemenala, χωρίς να έχω γνώσεις επί του θέματος, θέλω να σου θέσω την εξής ερώτηση, η οποία ξαναέγινε αλλά απέφυγες να απαντήσεις. Αφού βλέπεις ότι όλοι σε αυτό το forum αδυνατούμε να δεκτούμε αυτά που υποστηρίζεις (είτε λόγω έλλειψης γνώσεων, είτε λόγω έλλειψης ενδιαφέροντος, είτε για άλλο λόγο) κι αφού εσύ είσαι τόσο σίγουρος για αυτά που λες γιατί δεν προσπαθείς να τα δημοσιεύσεις σε κάπου ή να το αναφέρεις σε κάποιους πιο ειδικούς από εμάς εδώ? Δηλαδή τι νόημα έχεις να το συζητάς σε αυτό το forum αντί για να το συζητάς σε κάποιο πιο εξειδικευμένο χώρο με μαθηματικούς καλύτερους από όλους εμάς, που θα πειστούν απ' τα λεγόμενα σου?

Οσο λοιπόν δεν κάνεις τα παραπάνω παρά προσπαθείς να μας πείσεις με κάτι τεράστια posts, αξιωματικώς θεμελιωμένα κατά τα λεγόμενά σου, δεν πρόκειται να έχεις κανένα αποτέλεσμα!

Φίλε μου bilot4 χαίρομαι για το ενδιαφέρον σου. Δεν θα σου πω τι έχω κάνει σχετικά με αυτά που μου προτείνεις και τι επίσημα αποτελέσματα έχω, αλλά αν αυτό δεν το μάθεις τώρα, η άποψή σου είναι να σταματήσω να γράφω με το αιτιολογικό που μου παράθεσες;
Να είσαι καλά.

Υπό αλλες συνθήκες δεν θα έλεγα να σταματήσεις σε καμιά περίπτωση αφού η πολυφωνία είναι βασική αρχή της δημοκρατίας κι εξάλλου είναι δημιουργικό και σημαντικό να ακούγονται κι άλλες απόψεις (πέρα απ' τις συμβατές).
Οταν όμως βλέπεις ότι η συζήτηση [b]δεν οδηγεί πουθενά [/b](δεν το λέω για μένα, αφού όπως σου' πα δεν έχω το κατάλληλο γνωστικό υπόβαθρο για να κατανοήσω ότι γράφεις) με κανένα απ'τα μέλη του forum λέω πως απλά αυτή η [b]ατέρμονη συζήτηση[/b] χάνει το νόημά της.
Για αυτό λοιπόν σου προτείνω να το συζητήσεις αυτό το θέμα [b]σε έναν άλλο χώρο[/b], πιο ειδικό από αυτό το forum του οποίου οι κύριες συζητήσεις είναι για τις Ολυμπιάδες και που ουδεμία σχέση έχει με τέτοιου είδους συζητήσεις. Εγώ δεν θέλω να σου αποδείξω αν αυτά που λες είναι σωστά ή λάθος (που νομίζω ότι ισχύει το 2ο) απλά να σου υποδείξω ότι οι συζητήσεις σου αυτές κουράζουν τα μέλη του forum, καθώς κανείς δεν ενστερνίζεται τις απόψεις σου.

Να είστε καλά κι εσείς (κ. Μαγκλάρα)

Φίλε bilot4, με έχεις δει πέρα από την άπαξ παράθεση των προβλημάτων μου να συνεχίζω να γράφω όταν κανείς δεν μου απαντά; Συμμετέχω όσο μου απαντάνε και δεν έχω δικαίωμα να μη συμμετέχω. Μόνος μου μιλάω; Σήμερα έγραψα τουλάχιστον 7, 8 μηνύματα για παράδειγμα, από συμμετοχή όσων εσύ δεν βλέπεις! Δεν βρίσκεις λίγο βαρύ λοιπόν να μιλάς εξ ονόματος όλων από μόνος σου και να έχεις κριτήριο την δική σου δηλωμένη αδυναμία να καταλάβεις σε τούτο το πολύ καλό φόρουμ, μοιράζοντάς την (δεν λέω, την μοιρασιά της αδυναμίας έκανες απόλυτα δίκαια) και στους υπόλοιπους;
Αντίθετα από ότι μου γνωρίζεις εγώ βρίσκω αρκετά ενημερωμένους πολλούς από όσους συμμετέχουν, όπως βρίσκω και ενδιαφέρον. Λυπάμαι που σε στεναχωρώ.
Να είσαι καλά.

ΥΓ: Μήπως μαντεύεις την αντιληπτική ικανότητα των συνομιλητών μου όπως μαντεύεις και το όνομά μου; Δεν θέλω να σε απογοητεύσω...

Συγγνώμη για τη παρέμβαση...αλλά κινδυνεύετε να υποπέσετε σε τσαρλατανισμό....

Έχουμε ακούσει τι είναι φορμαλιστικό σύστημα?....Τα σημεία ούτε καταστρέφονται ούτε δημιουργούνται....“υπάρχουν“ πάντα....Έχω τό ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ καί Μ το μέσον του....Τέμνω το ΑΒ στο Μ...Έπεσε κάνα  “κομμάτι του Μ“ κάτω?...Όχι βέβαια, δεν μερίζεται τό αμερές!...Τό ΑΒ έτμησα και έχω δύο νέα τμήματα ΑΜ καί ΜΒ...Αυτός είναι ένας βολικός συμβολισμός...δέν “πήραμε“ το σημείο Μ δυο φορές (αμερές γαρ)...Το Μ ήταν, είναι καί θα είναι εκεί...ούτε καταστράφηκε, ούτε “χάλασε“... τα δύο νέα άκρα που προκύπτουν μπορείτε να τα πείτε Δ,Κ,Λ,Ξ...όπως θέλετε...η ουσία είναι μια : Δ=Κ=Λ=Ξ=...=Μ. Μιλάμε δηλαδή για το ίδιο σημείο κάθε φορά...δέν έχουμε γέννηση νέων σημείων...
Όταν μιλάμε για ταύτιση σημείων, αυτό εννοούμε...Τό ίδιο πράγμα κάνουμε και σε ισοσκελές πχ τρίγωνο  όταν φέρουμε διάμεσο ή ύψος  ή διχοτόμο...Μιλάμε για το ίδιο πράγμα, χρησιμοποιώντας διάφορες λέξεις για να υποδηλώσουμε τις προθέσεις μας...
Επί τή ευκαιρία...ακριβώς έτσι διχοτομούσε και ο Ευκλείδης το ΑΒ σε ΑΜ και ΜΒ...έφτιαχνε ισοσκελές τρίγωνο πάνω απο το ΑΒ και διχοτομούσε την απέναντι γωνία...μόνο που δεν μας το βαλε σάν αξίωμα αλλά σα πρόταση (γιά φιλοσοφικούς λόγους που δέν μας αφορούν τώρα)..Σήμερα το εξάγουμε απο το αξίωμα του Pasch (αν σας ενδιαφέρει)..

Ο Ευκλείδης μας λέει νά γεωμετρήσουμε με κανόνα και διαβήτη...τί θα πεί αυτό?...Μάς δίνει την δυνατότητα να χαράξουμε γραμμή απο το Α στό Β και να χαράξουμε κύκλο με ένα κέντρο Ο. Αυτό οδηγεί αυτόματα στον ορισμό : “Κάθε ευθύγραμμο τμήμα έχει δύο άκρα“...Tο άλλο... με το μέσο Μ είναι του Θαλή...ο Ευκλείδης έχει τήν Πρόταση 10 Βιβλίο 1...δηλαδή πρόβλημα...όχι αξίωμα
Η τμήση επομένως του ΑΒ στο Μ δεν «δημιουργεί» ή «γεννά» νέα σημεία...μαθηματικώς δεν αιτιολογείται γέννηση σημείου (φορμαλιστικό σύστημα)...τα άκρα των δύο νέων τμημάτων είναι το ίδιο το Μ...
Το ιδιο ισχύει και για την διαφορά σημείου και σημείου τομής...δεν υπάρχουν εξέχοντα σημεία...τις προθέσεις μας εκδηλώνουμε...τίποτε άλλο
Αυτά όλα σάς τά έχουν εξηγήσει διεξοδικότατα στό Καποδιστριακό...όπου ένας χρήστης καταλήγει ως εξής:

[i]Εσείς δέχεστε (συνειδητά ή όχι) ανακλαστικότητα τού συνεχούς, επομένως και μή επεκτασιμότητα αυτού, τό δέχεστε δηλαδή σάν τό παρμενίδειο ΕΝΑ (αμετακίνητη ολότητα) που δέν μπορεί να διασπαστεί, ούτε να διαιρεθεί.
Άρα ο αριθμός αδυνατεί να τό αποκωδικοποιήσει, καθ’ότι δέν μπορεί να εκφράσει τήν συνέχεια. Αυτό έχει ως επακόλουθο, ότι τά μήκη δέν μετρώνται από αριθμούς, ούτε από όρια αριθμητικών σειρών...
Μαθηματικώς μάς «ρίχνετε» δηλαδή πίσω σέ προπυθαγόρεια εποχή, γιαυτό και η συζήτησις μπορεί να συνεχιστεί μόνον σέ φιλοσοφικό επίπεδο.[/i]

Συμφωνώ και επαυξάνω...

ΥΓ
Τα όρια υγείας καί ασθένειας είναι συχνά θαμπά, αδιόρατα...έτσι συμβαίνει και με τα όρια φιλοσοφικού στοχασμού και τσαρλατανισμού!...Προσέξτε πάνω απ’όλα την υγεία σας...αλλά και το άλλο!

Φαίνεται δεν υπάρχει καθόλου κατανόση . LOCKED
Ψηφίστε εδώ http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?p=1307574#1307574


geometry
similar triangles
geometry proposed

Take two directly similar triangles $ ABC$ and $ A'B'C'$.
On $ AA'$, $ BB'$, $ CC'$ draw other three direct similar triangles $ AA'A''$, $ BB'B''$, and $ CC'C''$.
Prove that triangle $ A''B''C''$ is similar to triangle $ ABC$.

Thanks for reading, everyone. :)


i seem to have lost my 2003-04 answers.
can someone please tell me the answers for workout 6 (and 7 if possible)from 03-04 handbook??
thanks so much.

lol, i don't even have the 2003-04 handbook. could i have the problems for workout 6? :D

[quote="harrypotter12"].............[/quote]

Please post something productive. "......." is not productive.

He was probably just bumping his thread to get responses. Anyway, ask in the resources page. You may get more answers.

post your request here:

[url]http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?t=133189[/url]


When $ 15$ is appended to a list of integers, the mean is increased by $ 2$. When $ 1$ is appended to the enlarged list, the mean of the enlarged list is decreased by $ 1$. How many integers were in the original list?

$ \textbf{(A)}\ 4 \qquad
\textbf{(B)}\ 5 \qquad
\textbf{(C)}\ 6 \qquad
\textbf{(D)}\ 7 \qquad
\textbf{(E)}\ 8$

None of the above :(

[hide]If $ S$ is the sum of the initial $ n$ integers,
we have the system
$ \frac{S\plus{}15}{n\plus{}1}\equal{}\frac{S}{n}\plus{}2$
$ \frac{S\plus{}1}{n\plus{}1}\equal{}\frac{S}{n}\minus{}1$
We can take the difference:
$ \frac{14}{n\plus{}1}\equal{}3$
but then $ n\equal{}\frac{11}{3}$, which isn't an integer.[/hide]

lordWings:  In your system of equations, $ n$ has a different value in each equation.  In equation 1, $ n$ is the number of integers initially.  In equation 2, $ n$ is the number of integers initially plus 1.  I believe your second equation should read
$ \frac{S\plus{}1}{n\plus{}2}\equal{}\frac{S}{n\plus{}1}\minus{}1$.

[quote="cf249"]lordWings:  In your system of equations, $ n$ has a different value in each equation.  In equation 1, $ n$ is the number of integers initially.  In equation 2, $ n$ is the number of integers initially plus 1.  I believe your second equation should read
$ \frac {S \plus{} 1}{n \plus{} 2} \equal{} \frac {S}{n \plus{} 1} \minus{} 1$.[/quote]
OK, the problem stated "When $ 1$ is appended to the [b]enlarged[/b] list, the mean of the [b]enlarged[/b] list is decreased by $ 1$".
[hide]Then the system should read
$ \frac {S\plus{}15}{n\plus{}1} \equal{} \frac {S}{n}\plus{}2$
$ \frac {S\plus{}15\plus{}1}{n\plus{}2} \equal{} \frac {S\plus{}15}{n\plus{}1}\minus{}1$.
(Notice the second equation is slightly different than cf249's.)[/hide]

Yeah, that's right.   :blush:  I always hate when I'm trying to correct people and my correction ends up having to be corrected as well.  Nice job finding my mistake, though. :)

Your solution is same as me,a very nice way to solve this question.

[quote="mathemonster"]let S be the sum of the list and n be the number of integers in the list.

S+15 / N +1 = S/N +2
S+16 / N +2 = S+15 / N+1  -1

if N =4 then  S +15/5 = S/4 +2
and 4s +60 = 5s +40 s=20

So there are 4 numbers on the list to begin with and the original sum is
20. This satisisfies all of the conditions so the answer is 4
which is choice [b]B[/b][/quote]

Your solution is correct, and so is your answer of 4, but the letter B is incorrect.

The correct letter is [b]A[/b].

Sorry for reviving an old post.


maybe the ppl were using multiple accounts?????????

i think isabella2295 is AIME15

[quote="ernie"]There have been many different accounts that have been "copied", such as mewtoo55555, cherri_pi, and most recently, isabella2295.  Can someone explain this and why its happening?[/quote]
It's happening because people are breaking the rules and are plain being silly.  Please try not to fall into this trap yourself. Be better than that. If you fall into this trap, which many on the forum already have, you will find yourself breaking more and more rules until it finally comes back to haunt you.

But why would you do that?  :maybe:

EDIT: nvm.  great life lesson, levans!

The most annoying thing is that isabella2295 has my same avatar, so a lot of people are really confused and think that his/her posts are MY posts.

Post in support when you see someone cloning you.  We have [b]no tolerance[/b] of this sort of activity, and people engaging in it can be banned.  If I'm in a good mood, I'll warn once before banning.  I'll never be in a good enough mood to warn twice.

isabella, I took care of 2295.

BTW, Lyndon Ji is actualyl mathcrazed's joke account. He should be banned to.

[quote="ernie"]There have been many different accounts that have been "copied", such as mewtoo55555, cherri_pi, and most recently, isabella2295.  Can someone explain this and why its happening?[/quote]
I've never seen "cherri_pi".

What do you mean those people are real?

There's already a cherry_pi and mewto55555.

[quote="isabella2296"]No; cherri_pi is real. So is mewtoo55555. It's mewto5555 who's fake.[/quote]

idk about cherri, but mewto55555 (one "o") is real. there are two accounts copying him. mewtoo55555(extra "o") and mewto5555 (only four 5's)

[quote="isabella2296"]I know for a fact that cherri is real.

I know for a fact that two "o"s is real.

I know for a fact that 4 "5"s is fake.[/quote]

Define "real".

cherri_pi = cherry_pi

mewtoo55555 = mewto55555

[quote="myyellowducky82"]So Mewto has 2 people copying him?[/quote]
no, mewtoo55555 is mewto55555, and mewto5555 is an impersonator.
and cherri_pi is cherry_pi

[quote="myyellowducky82"]Why did mewto make another account?[/quote]
I don't know. but those accounts were both banned.

[quote="superllamel"]So have these fake accounts been banned?

And if it really is mewto's other account, shouldn't he be banned for it?[/quote]
no i guess he was warned

BTW, i saw a klrocks, which is pretty similar to kl2836
not sure who is real or anything, but i've seen kl2836 on longer

[quote="superllamel"]So you get a warning before you get banned? I didn't know that.[/quote]

The fake accounts are banned immediately.  The people who make them (yes, we can usually tell) are sometimes warned, and sometimes just banned outright.

I'm locking this topic now.  If you have any issues of fake usernames, you can post them in Support.


The function $ f : Z^\plus{}\rightarrow Z^\plus{}$ satisfies $ f(1)\equal{}5, f(f(n))\equal{}4n\plus{}9$ and $ f(2^n)\equal{}2^{n\plus{}1}\plus{}3$ for all $ n$. Find $ f(1789)$.


function
complex numbers
complex analysis
complex analysis unsolved

Show that if $ f$ and $ g$ are analytic functions on a region $ G$ such that $ \overline{f}g$ is analytic then either $ f$ is constant or $ g\equiv0$.

try to arrange it so you can divide by g

Or another approach: the Cauchy-Riemann equations in this form. Assuming $ z\equal{}x\plus{}iy$ and considering a function of $ z$ to be a function of $ (x,y):$

Define $ \frac{\partial}{\partial z}f\equal{}\frac12\left(\frac{\partial f}{\partial x}\minus{}i\frac{\partial f}{\partial y}\right)$ and $ \frac{\partial}{\partial \overline{z}}f\equal{}\frac12\left(\frac{\partial f}{\partial x}\plus{}i\frac{\partial f}{\partial y}\right)$

The Cauchy-Riemann equations say that $ f$ is analytic iff it is sufficiently smooth and $ \frac{\partial}{\partial \overline{z}}f\equal{}0.$ And if $ f$ is analytic, then $ f'\equal{}\frac{\partial}{\partial z}f$

It's fairly clear from the above that $ \frac{\partial}{\partial \overline{z}}\overline{f}\equal{}\overline{\frac{\partial}{\partial z}f}$ and vice versa.

$ \frac{\partial}{\partial \overline{z}}(\overline{f}g)\equal{}\frac{\partial}{\partial \overline{z}}\overline{f}\cdot g\plus{}\overline{f}\cdot\frac{\partial}{\partial \overline{z}}g\equal{}\overline{f'}\cdot g\plus{}\overline{f}\cdot 0\equal{}\overline{f'}\cdot g.$

For $ \overline{f}g$ to be analytic, this has to be zero, and for this to be zero, at every point either $ f'(z)\equal{}0$ or $ g(z)\equal{}0.$ Let $ A\equal{}\{z\,|\,f'(z)\equal{}0\}$ and $ B\equal{}\{z\,|\,g(z)\equal{}0\}$ Since $ A\cup B\equal{}G,$ we must have that at least one of $ A$ or $ B$ is dense in $ G.$ But specifying an analytic function on a dense set is the same as specifying it everywhere, so either $ A\equal{}G$ or $ B\equal{}G,$ which is what we wanted.


Source: Mathematical Proofs, A Transition to Advanced Mathematics. Gary Chartrand.

Use the Strong Principle of Mathematical Induction to prove the following. Let $ S\equal{} \{ i \in \mathbb{Z} : i \ge 2 \}$ and let $ P$ be a subset of $ S$ with the properties that $ 2, 3 \in P$ and if $ n\in S$, then either $ n\in P$ or $ n \equal{} ab$, where $ a, b \in S$. Then every element of $ S$ either belongs to $ P$ or can be expressed as a product of elements of $ P$.

[hide]We do not need induction at all; from the definition of $ P$, we know that all prime numbers are in $ P$ (since otherwise there are two divisors of a prime which are greater than one, which is a contradiction). However, every number can be written as a product of prime numbers.

If we have to use induction, the fact that the theorem holds for $ 1<x<n$ and that $ x$ is either in $ P$ or the product of two numbers which have to be strictly less leads to a very simple inductive argument.[/hide]


algebra
polynomial
parameterization
trigonometry
function
algebra open

can you find the relationship between a,b,c,d by reducing x,y,z if:
cosx+cosy+cosz=a
sinx+siny+sinz=b
cos2x+cos2y+cos2z=c
sin2x+sin2y+sin2z=d

It is guaranteed that there is a polynomial relation between a,b,c,d.

You can find it by using by the rational parametrization of
$(\cos(x), \sin(x))$ and elimination of the parameters. Or use the implicitization (Zariski closure) feature in a computer algebra software package that handles Groebner bases.

[quote="modeler"]Can statistical please post the solution by your statistical computer program?
I would like to know the how beautiful the result is. Seems it requires much time for calculation.[/quote]

I don't have time to install such a program, but the method I had in mind is to replace $(\cos x, \sin x)$  by $( (1-X^{2})/(1+X^{2}), 2X / (1+X^{2})$ and the same for the functions of $y, z$.  This gives 4 polynomial equations in 3 unknowns.  Eliminating variables in first 3 of the equations gives a polynomial for  $X$ (with coefficients dependent on a,b,c).   Eliminating in the last 3 equations gives a polynomial for $X$ with coefficients depending on b,c,d.  The resultant of these polynomials (some big determinant with entries depending on a,b,c,d) is zero.   This will give some large polynomial satisfied by a,b,c,d.   Some further analysis is needed to check whether it is the lowest degree polynomial (and the answer can depend on whether real or complex values of the variables are allowed).

so can you show exactly the relationship of a,b,c,d

If your question is directed to me personally, note that I do not have the software for elimination-of-variables calculations and have no interest in performing the computation by hand.    If you have some kind of symbolic algebra program (Maple, Mathematica) and a lot of patience, you can also carry out the procedure I described,  either to the 4 equations in 3 unknowns using rational parametrization, or more directly to 7 equations in 6 unknowns (the sines and cosines of x,y,z).   The latter will lead to some 6x6 determinants and therefore a resultant that is potentially as large as 15x15.   Of course, it is possible that the end result is of degree much lower than 15, or even small enough that the problem could be cleverly solved without long computations, but we don't know that before having the answer.

i have found an easy and interesting solution. you cand find it at:
http://mathnfriend.org/index.php?showtopic=8988
thank you, everybody


[quote="Inequalities Master"]Let $ a,b,c\geq0$.Prove that:

$ (1 \plus{} a^2)(1 \plus{} b^2)(1 \plus{} c^2)\geq \frac {15}{16}(a \plus{} b \plus{} c \plus{} 1)^2$[/quote]
Try  with $ a\equal{}b\equal{}c\equal{}1$

[quote="Hong Quy"][quote="Inequalities Master"]Let $ a,b,c\geq0$.Prove that:

$ (1 \plus{} a^2)(1 \plus{} b^2)(1 \plus{} c^2)\geq \frac {15}{16}(a \plus{} b \plus{} c \plus{} 1)^2$[/quote]
Try  with $ a \equal{} b \equal{} c \equal{} 1$[/quote]
Vasc means we need to prove that
\[ (1 \plus{} a^2)(1 \plus{} b^2)(1 \plus{} c^2)\geq \frac {5}{16}(a \plus{} b \plus{} c \plus{} 1)^2\]
:wink:

OK, I've corrected, thanks for help, arqady. :)

[quote="arqady"][quote="Hong Quy"][quote="Inequalities Master"]Let $ a,b,c\geq0$.Prove that:

$ (1 \plus{} a^2)(1 \plus{} b^2)(1 \plus{} c^2)\geq \frac {15}{16}(a \plus{} b \plus{} c \plus{} 1)^2$[/quote]
Try  with $ a \equal{} b \equal{} c \equal{} 1$[/quote]
Vasc means we need to prove that
\[ (1 \plus{} a^2)(1 \plus{} b^2)(1 \plus{} c^2)\geq \frac {5}{16}(a \plus{} b \plus{} c \plus{} 1)^2
\]
:wink:[/quote]
 i think,
\[ (1 \plus{} a^2)(1 \plus{} b^2)(1 \plus{} c^2)\geq \frac {5}{16}(a \plus{} b \plus{} c \plus{} 2)^2
\]

[quote="Hong Quy"]
 i think,
\[ (1 \plus{} a^2)(1 \plus{} b^2)(1 \plus{} c^2)\geq \frac {5}{16}(a \plus{} b \plus{} c \plus{} 2)^2
\]
[/quote]
No, Hong Quy, your inequality is wrong. Try $ a\equal{}b\equal{}c\equal{}\frac{1}{2}.$ :wink:


Let $ x$ and $ y$ be positive integers such that $ 7x^5 \equal{} 11y^{13}$. The minimum possible value of $ x$ has a prime factorization $ a^cb^d$. What is $ a \plus{} b \plus{} c \plus{} d$?

$ \textbf{(A)}\ 30 \qquad \textbf{(B)}\ 31 \qquad \textbf{(C)}\ 32 \qquad \textbf{(D)}\ 33 \qquad \textbf{(E)}\ 34$

[quote="hsbhatt"][hide]
7 and 11 must appear in the prime factorization of x. For minimal x, these are the only primes that divide x
Comparing exponents on both sides we get $ x \equal{} 7^5 11^8$ So that a+b+c+d = 31
[/hide][/quote]

What about the power of 5?

$ x = 7^p 11^q$ and $ y = 7^r 11^s$

Substituting these into the given relation:
$ 7 \cdot (7^p 11^q)^5 = 11 \cdot (7^r 11^s)^{13}$
$ 7^{5p + 1} 11^{5q} = 7^{13r) 11^{13s + 1}}$

Comparing powers of 7 gives $ 1 + 5p = 13 r$.
The lowest positive solution is $ (p,r) = (5,2)$.

Comparing powers of 11 gives $ 5q = 13s + 1$.
The lowest positive solution is $ (q,s) = (8,3)$.

Thus, $ x = 7^5 11^8$, as [b]hsbhatt[/b] claimed.

[quote="thetrystero"][quote="hsbhatt"][hide]
7 and 11 must appear in the prime factorization of x. For minimal x, these are the only primes that divide x
Comparing exponents on both sides we get $ x \equal{} 7^5 11^8$ So that a+b+c+d = 31
[/hide][/quote]
hi, sorry but could you please elaborate on why 7 and 11 must appear in the prime factorization of x?[/quote]

7 is coprime with 11 so 11|x and 7|y. then if x=11k and y=7l, the powers dont match since x,y have to be integers so both x and y must also have some factor of 7 and 11 respectively


http://www.math.hmc.edu/funfacts/ffiles/10001.5-8.shtml

to quote:

Make two lists; one consists of all powers of $ 10$ in base $ 2$, and the other all powers of $ 10$ in base $ 5$. (Powers of $ 10$ are $ 10, 100, 1000$, etc.)

Fun Fact: for any integer $ N > 1$, there is exactly one number in exactly one of the lists that is exactly $ N$ digits long!

How do you prove that?

Okay, this is a usual result from number theory.  Note that the number of digits of $ 10^{n}$ is $ \lfloor log_{2}10^{n}\rfloor+1$ and $ \lfloor log_{5}10^{n}\rfloor+1$ in base $ 2$ and base $ 5$ respectively.  Hence we wish to show that the two sets $ A=\{\lfloor\frac{n}{log2}\rfloor+1|n\in\mathbb{N}$ and $ n>1\}$ and $ B=\{\lfloor\frac{n}{log5}\rfloor+1|n\in\mathbb{N}$ and $ n>1\}$ partition all the integers greater than $ 1$.

Consider the following Lemma:

For any irrational numbers $ \alpha$ and $ \beta$ such that $ \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=1$, the sequences $ \lfloor \alpha n\rfloor$ and $ \lfloor \beta n\rfloor$, $ n=1,2,3,\dots$ partition all the positive integers.  I will do a proof:

Suppose $ \lfloor\alpha m\rfloor=\lfloor\beta n\rfloor = q\Rightarrow q<\alpha m<q+1, q<\beta n<q+1$.

Because $ \alpha$ and $ \beta$ are irrational, we have $ \frac{m}{q+1}<\frac{1}{\alpha}<\frac{m}{q}, \frac{n}{q+1}<\frac{1}{\beta}<\frac{n}{q}$.  Summing the two we get

$ \frac{m+n}{q+1}<1<\frac{m+n}{q}\Rightarrow q<m+n<q+1$ which is obviously a contradiction.  This shows the two sequences are disjoint.

To show that they contain all the positive integers, notice that $ \alpha$ or $ \beta$ must be in the interval $ (1,2)$.  If there is an integer $ q\ge 2$ such that neither sequence lies in the interval $ (q,q+1)$, then $ \alpha m<q<q+1<\alpha (m+1)$ and $ \beta n<q<q+1<\beta (n+1)$

which implies that $ \frac{m}{q}<\frac{1}{\alpha}<\frac{m+1}{q+1}$ and $ \frac{n}{q}<\frac{1}{\beta}<\frac{n+1}{q+1}$.  Adding again we get that $ m+n<q<q+1<m+n+2$ which is a contradiction also.  So the Lemma is proved.

By using this Lemma with $ \alpha=\frac{1}{log2}$ and $ \beta=\frac{1}{log5}$, the result is immediate.


With $ a,b,c>o$ such that $ abc\equal{}1$.Prove that
  $ 27(a^3\plus{}1)(b^3\plus{}1)(c^3\plus{}1) \geq 8(a\plus{}b\plus{}c)^3$

[quote="2424"]With $ a,b,c > o$ such that $ abc \equal{} 1$.Prove that
  $ 27(a^3 \plus{} 1)(b^3 \plus{} 1)(c^3 \plus{} 1) \geq 8(a \plus{} b \plus{} c)^3$[/quote]
Ineq
$ <\equal{}>19 \sum a^3\plus{}27\sum a^3b^3\plus{}6 \ge 24 \sum ab(a\plus{}b)$
It's easy by Am-Gm  :P

[quote="caubetoanhoc94"][quote="2424"]With $ a,b,c > o$ such that $ abc \equal{} 1$.Prove that
  $ 27(a^3 \plus{} 1)(b^3 \plus{} 1)(c^3 \plus{} 1) \geq 8(a \plus{} b \plus{} c)^3$[/quote]
Ineq
$ < \equal{} > 19 \sum a^3 \plus{} 27\sum a^3b^3 \plus{} 6 \ge 24 \sum ab(a \plus{} b)$
It's easy by Am-Gm  :P[/quote]
And we also have
$ (2a^3\plus{}1)(2b^3\plus{}1)(2c^3\plus{}1) \geq (a\plus{}b\plus{}c)^3$ with $ a,b,c>0$ such that $ abc\equal{}1$ :P


Find the slant asymptote of (x^2-2x)/(2x+4).

hello, by polynomial long division we get
$ \frac{x^2\minus{}2x}{2x\plus{}4}\equal{}\frac{1}{2}x\minus{}2\plus{}\frac{4}{x\plus{}2}$, therefore the slant asymptote is $ \frac{1}{2}x\minus{}2$.
Sonnhard.

To find the slant asymptote of a function, you have to first make sure that the highest power in the numerator is higher than the highest power in the denominator.  Then, you divide the numerator by the denominator, and discard any remainder.


inequalities
geometry
circumcircle
trigonometry
incenter
symmetry
geometric transformation

Let ABC be an acute triangle with $w$, $\Omega$, and $R$ being its incircle, circumcircle, and circumradius, respectively. Circle $w_{A}$ is tangent internally to $\Omega$ at $A$ and tangent externally to $w$. Circle $\Omega_{A}$ is tangent internally to $\Omega$ at $A$ and tangent internally to $w$. Let $P_{A}$ and $Q_{A}$ denote the centers of $w_{A}$ and $\Omega_{A}$, respectively. Define points $P_{B}$, $Q_{B}$, $P_{C}$, $Q_{C}$ analogously. Prove that $8P_{A}Q_{A}\cdot P_{B}Q_{B}\cdot P_{C}Q_{C}\le R^{3}$, with equality if and only if triangle ABC is equilateral.

[hide="Solution:"]
--
Lemma:
\[\boxed{P_{A}Q_{A}=\frac{ 4R^{2}(s-a)^{2}(s-b)(s-c)}{rb^{2}c^{2}}}\]
[hide="Proof:"]
Note $P_{A}$ and $Q_{A}$ lie on $AO$ since for a pair of tangent circles, the point of tangency and the two centers are collinear.

Let $w$ touch $BC$, $CA$, and $AB$ at $D$, $E$, and $F$, respectively. Note $AE=AF=s-a$. Consider an inversion, $\mathcal{I}$, centered at $A$, passing through $E$, $F$. Since $IE\perp AE$, $w$ is orthogonal to the inversion circle, so $\mathcal{I}(w)=w$. Consider $\mathcal{I}(w_{A})=w_{A}'$. Note that $w_{A}$ passes through $A$ and is tangent to $w_{A}$, hence $w_{A}'$ is a line that is tangent to $w$. Furthermore, $w_{A}'\perp AO$ because inversions map a circle's center collinear with the center of inversion. Likewise, $\mathcal{I}(\Omega_{A})=\Omega_{A}'$ is the other line tangent to $w$ and perpendicular to $AO$.

Let $w_{A}\cap AO=X$ and $w_{A}'\cap AO=X'$ [second intersection].
Let $\Omega_{A}\cap AO=Y$ and $\Omega_{A}'\cap AO=Y'$ [second intersection].

Evidently, $AX=2AP_{A}$ and $AY=2AQ_{A}$. We want:
\[\star=AQ_{A}-AP_{A}=\frac{1}{2}(AY-AX)=\frac{(s-a)^{2}}{2}(\frac{1}{AY'}-\frac{1}{AX'}) \]
by inversion. Note that $w_{A}' // \Omega_{A}'$, and they are tangent to $w$, so the distance between those lines is $2r=AX'-AY'$. Drop a perpendicular from $I$ to $AO$, touching at $H$. Then $AH=AI\cos\angle OAI=AI\cos\frac{1}{2}|\angle B-\angle C|$. Then $AX'$, $AY'$=$AI\cos\frac{1}{2}|\angle B-\angle C|\pm r$. So $AX'*AY'=AI^{2}\cos^{2}\frac{1}{2}|\angle B-\angle C|-r^{2}$
\[\star=\frac{(s-a)^{2}}{2}*\frac{AX'-AY'}{AY'*AX'}=\frac{r(s-a)^{2}}{AI^{2}\cos^{2}\frac{1}{2}|\angle B-\angle C|-r^{2}}=\frac{ \frac{(s-a)^{2}}{r}}{ \left(\frac{AI}{r}\right)^{2}\cos^{2}\frac{1}{2}|\angle B-\angle C|-1}\]
Note that $\frac{AI}{r}=\frac{1}{\sin\frac{A}{2}}$. Applying the double angle formulas and $1-\cos\angle A=\frac{2(s-b)(s-c)}{bc}$, we get
\[\star= \frac{ \frac{(s-a)^{2}}{r}}{ \frac{1+\cos \angle B-\angle C}{1-\cos A}+1 }=\frac{ \frac{(s-a)^{2}}{r}*(1-\cos \angle A) }{ \cos \angle B-\angle C+\cos \pi-\angle B-\angle C }\]

\[\star=\frac{ (s-a)^{2}(1-\cos \angle A)}{2r\sin \angle B\sin \angle C}=\frac{ (s-a)^{2}(s-b)(s-c)}{rbc\sin\angle B\sin\angle C}\]

\[\[P_{A}Q_{A}=\frac{ 4R^{2}(s-a)^{2}(s-b)(s-c)}{rb^{2}c^{2}}\]
[/hide]
--

The problem becomes:
\[8\prod \frac{ 4R^{2}(s-a)^{2}(s-b)(s-c)}{rb^{2}c^{2}}\le R^{3}\]

\[\frac{2^{9}R^{6}\left[\prod(s-a)\right]^{4}}{r^{3}a^{4}b^{4}c^{4}}\le R^{3}\]

\[\left(\frac{4AR}{abc}\right)^{2}\cdot\left(\frac{A}{rs}\right)^{4}2rR^{2}\le R^{3}\]

\[2r\le R \]
which is true because $OI^{2}=R(R-2r)$, equality is when the circumcenter and incenter coincide. As before, $\angle OAI=\frac{1}{2}|\angle B-\angle C|=0$, so, by symmetry, $\angle A=\angle B=\angle C$. Hence the inequality is true iff $\triangle ABC$ is equilateral.[/hide]

[hide="Comment:"]It is much easier to determine $AP_{A}$ by considering $\triangle IAP_{A}$. We have $AI$, $\angle IAO$, $IP_{A}=r+r(P_{A})$, and $AP_{A}=r(P_{A})$. However, the inversion was nice and fairly natural for me. This also gives an easy construction for $w_{A}$ because the tangency point is collinear with the intersection of $w_{A}'$ and $w$.[/hide]

Well, as I said, alot of that is unnecessary, if we have the radius of P_A, omega_A=x, then we have

$(x\pm r)^{2}=x^{2}+AI^{2}-2xAI\cos\frac{1}{2}|\angle B-\angle C|$...then we just need 1/x_1-1/x_2

[quote="lingomaniac88"]I found that $P_{A}Q_{A}=P_{B}Q_{B}=P_{C}Q_{C}=r$, where $r$ is the inradius, so the inequality reduced to $2r\le R$.[/quote]

thats incorrect though; i posted a counter example in another thread...

[quote="yisun88"]You can also dilate $\omega_{A}$ and $\Omega_{A}$ to the circumcircle and deal with $X = AB \cap \omega_{A}$ and $Y = AB \cap \Omega_{A}$ by homothecy; makes the calculations pretty easy actually.  Law of Cosines yields a two term trig expression for each ratio $AX / AB$ and $AY / AB$.  From there, the problem just reduces to simple AM-GM.[/quote]

I did the exact same thing except i couldnt find a way to calculate the ratios $AX / AB$ and $AY / AB$. Could u post the trig expression and the solution?

[quote="lingomaniac88"]I found that $P_{A}Q_{A}=P_{B}Q_{B}=P_{C}Q_{C}=r$, where $r$ is the inradius, so the inequality reduced to $2r\le R$.[/quote]

$P_{A}Q_{A}=P_{B}Q_{B}=P_{C}Q_{C}=r$ only occurs when ABC is equaliteral. In factly, i proved that $P_{A}Q_{A}, P_{B}Q_{B}, P_{C}Q_{C\geq r}$, which really sucked!!

[quote="diophantient"]How many points would we lose, if say, we assumed that $\frac{P_{A}Q_{A}+P_{B}Q_{B}+P_{C}Q_{C}}{3}\leq r$? :D[/quote]

Oh, idk, 6 or 7? Because proving that is the main part of the problem...

but, uh, that's not actually true. because each of $P_{A}Q_{A}\ge r$, so their average CAN'T be less.

I inverted around A and almost started calculating, but ran out of time. This is because I spent an hour trying to cover the case in problem four where my tree contained a large circuit. :(


You could also use an hydraulic catapult.

[quote="Problemsolver2011"]well my group and I wanted to build a projectile launcher that launched tennis balls in a regulation basket hoop from the free throw line (or 3 pt). we were wondering on what design to use since we arent allowed to use air compression, combustion, elastics or springs. We realize that weights would the only option but how would we go about this?[/quote]
please move to the engineering section....
btw,what budget do you have?
and, for weights you can make it like seesaw where someone drops a weight down and something is flung. or you can use a rubber band as tension and then burn the rubber band or something.

[quote="Poincare"]
and, for weights you can make it like seesaw where someone drops a weight down and something is flung[/quote]
that's exactly the idea_best
u'll just hav to work a bit on ranges thats all :)


Imagine that you are tossing three coins. The probability that all coins will come down heads is clearly $\frac {1}{2} \cdot \frac {1}{2} \cdot \frac {1}{2} = \frac {1}{8}$. The same applies of course to tails, i.e., $\frac {1}{8}$. Hence the probability that all the coins will come down either heads or tails must be $\frac {1}{4}$. So far, so good. But now consider this:

Of all three coins thrown up, at least two must show either heads or tails. The probability that the third will land in the same way as the other two must be $\frac {1}{2}$ as there are only two possibilities for the third coin, heads or tails. Hence we arrive at the surprising conclusion that the probability of all coins landing alike is $\frac {1}{2}$, and not $\frac {1}{4}$ as previously stated.

Can you solve the mystery?

Just write out all the combinations.

HHH
HHT
HTH
HTT
TTT
TTH
THT
THH

There are only two combinations where they all the same, out of eight possible, so it's a $\frac{1}{4}$ chance. Your error comes from the fact that, of the first two coins flipped, there is only a $\frac{1}{2}$ chance that those first two will be the same, and $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$, the correct answer.

Your fallency is considering HHT and THH the same thing.


Does anyone know how to do it?

Here is the link: http://www.math.ksu.edu/~soibel/Olympiad/2008-9-12.pdf

[hide="Elegant Solution"]
We have $ \frac {x^2}3 \plus{} \frac {48}{x^2} \equal{} 3\left(\frac {x^2}9 \plus{} \frac {16}{x^2}\right) \equal{} 10\left(\frac x3 \minus{} \frac4x\right)$, so letting $ y \equal{} \frac x3 \minus{} \frac4x$, we get

$ y^2 \equal{} \frac {x^2}9 \plus{} \frac {16}{x^2} \minus{} \frac83\implies\frac {x^2}9 \plus{} \frac {16}{x^2} \equal{} y^2 \plus{} \frac83$, so plugging this into our original equation, we have

$ 3y^2 \plus{} 8 \equal{} 10y\implies3y^2 \minus{} 10y \plus{} 8 \equal{} (3y \minus{} 4)(y \minus{} 2) \equal{} 0\implies y \equal{} \left\{\frac43,2\right\}$.

$ y \equal{} \frac43 \equal{} \frac x3 \minus{} \frac4x\implies 4x \equal{} x^2 \minus{} 12\implies x^2 \minus{} 4x \minus{} 12 \equal{} (x \minus{} 6)(x \plus{} 2) \equal{} 0$

$ \implies x \equal{} \boxed{\{ \minus{} 2,6\}}$.

$ y \equal{} 2 \equal{} \frac x3 \minus{} \frac4x\implies6x \equal{} x^2 \minus{} 12\implies x^2 \minus{} 6x \minus{} 12 \equal{} 0$

$ \implies x \equal{} \frac {6\pm\sqrt {84}}2 \equal{} \boxed{3\pm\sqrt {21}}$.
[/hide]
[hide="More General Method; Inelegant"]
Multiplying both sides of $ \frac{x^2}3\plus{}\frac{48}{x^2}\equal{}\frac{10x}3\minus{}\frac{40}x$ by $ 3x^2$, we get

$ x^4\plus{}144\equal{}10x^3\minus{}120x\implies x^4\minus{}10x^3\minus{}120x\plus{}144\equal{}0$.

Factoring (with the [url=http://www.artofproblemsolving.com/Wiki/index.php/Factor_Theorem]Factor Theorem[/url] and [url=http://www.artofproblemsolving.com/Wiki/index.php/Rational_Root_Theorem]RRT[/url]), we find that $ (x\minus{}6)(x\plus{}2)(x^2\minus{}6x\minus{}12)\equal{}0$, and the rest follows.
[/hide]


How many ways can a 4x4 square be tiled with 2x1 rectangles?

Can anyone do this problem, please??

This problem is not easy for me!


[quote="barasawala"]There are $2005$ points on the plane, no three collinear. A line is drawn through any two of the points. Show that the points can be painted in two colors so that for any two points of the same color the number of drawn lines separating them is even.[/quote]
Similar: n points ($n\geq 5$) of the plane can be colored by two colors so that no line can separate the points of one colors from those of the other color ?


geometry
trapezoid
trigonometry
similar triangles

Just a little bit of trig :D

Note that $ ACE$ and $ BDE$ are similar triangles, so $ AE\cdot BE\equal{}CE\cdot DE$. Also note that $ \angle AEB\equal{}\angle CED$

Now, using the formula for area: $ P\equal{}\frac{ab\sin\gamma}{2}$, we easily conclude the problem.

[quote="Kenshin24"]$ ABCD$ is a  trapezoid with $ AC \parallel BD$  . $ E$ is the point where the diagonals meet. Prove that the triangles $ CED$ and $ AEB$ have equal area.

Please not trig, it is not necessary, thanks  :)[/quote]

Note that as $ \triangle ABD$ and $ \triangle BCD$ have the same base and are between parallel lines then they have the same area. Furthermore, note that $ |ABD| \equal{} |AEB| \plus{} |BED|$ and $ |BCD| \equal{} |CED| \plus{} |BED|$. As $ |ABD| \equal{} |BCD|$ then

$ |CED| \plus{} |BED| \equal{} |AEB| \plus{} |BED|$

$ \therefore |CED| \equal{} |AEB|$ as required

no trig too  :lol:


inequalities
function
Euler
real analysis
real analysis unsolved

Calculate \[ \sum_{k\equal{}0}^{\infty} \frac{1}{(2k\plus{}1)^6}   \]
by using the fact that equality in Bessel's inequality occurs for the eigenfunction expansion.

Use the relation Odd + Even = Natural

[hide]$ \sum _{k \equal{} 0}^{\infty } \frac {1}{(2 k \plus{} 1)^6} \equal{} \sum _{k \equal{} 1}^{\infty } \frac {1}{k^6} \minus{} \sum _{k \equal{} 1}^{\infty } \frac {1}{(2 k)^6} \equal{} \frac {63}{64} \sum _{k \equal{} 1}^{\infty } \frac {1}{k^6} \equal{} \frac {63 \zeta (6)}{64} \equal{} \frac {\pi ^6}{960}$[/hide]

And reacall this value of Zeta function

Note: How can I use Bessel here? Is like kill a bee with a nuclear weapon  :P

[quote="EulerIntegral"]Note: How can I use Bessel here? Is like kill a bee with a nuclear weapon  :P[/quote]

Bessel's inequality has nothing to do with Bessel functions.  Anyways, your solution is kind of missing the point, since this problem is trivial if you already know $ \zeta(6)$.  The point is calculating $ \zeta(6)$, or at least a related sum.

Use Euler to calculate Zeta function for even positive numbers.

$ \zeta(2n) \equal{} (\minus{}1)^{n\plus{}1}\frac{B_{2n}(2\pi)^{2n}}{2(2n)!}$

$ B_6\equal{}\frac{1}{42}$ $ n\equal{}3$

[hide]If you want to calculate the bernoullu number by hand, you can solve the system

$ \left(
\begin{array}{l}
 B_0\equal{}1 \\
 B_0\plus{}2 B_1\equal{}0 \\
 B_0\plus{}3 B_1\plus{}3 B_2\equal{}0 \\
 B_0\plus{}4 B_1\plus{}6 B_2\plus{}4 B_3\equal{}0 \\
 B_0\plus{}5 B_1\plus{}10 B_2\plus{}10 B_3\plus{}5 B_4\equal{}0 \\
 B_0\plus{}6 B_1\plus{}15 B_2\plus{}20 B_3\plus{}15 B_4\plus{}6 B_5\equal{}0 \\
 B_0\plus{}7 B_1\plus{}21 B_2\plus{}35 B_3\plus{}35 B_4\plus{}21 B_5\plus{}7 B_6\equal{}0
\end{array}
\right)$

Using the well-know rellation $ \sum_{j\equal{}0}^m{m\plus{}1\choose{j}}B_j \equal{} 0$
[/hide]

But how to use bessel to solve this?!


function
vector
integration
calculus
topology
linear algebra
real analysis

Various pieces of PDE theory have been posted lately. I thought I'd contribute an exercise - it should be standard and straightforward, but it helps lay the foundation for several things.

Let $\Omega$ be a bounded region (that is, connected open set) in $\mathbb{R}^{n}$ with a smooth boundary. Let $\partial\Omega$ denote that boundary. Let $\mathbf{n}$ be the outward pointing normal to the boundary.

Suppose $\alpha$ and $\beta$ are real-valued functions (satisfying whatever regularity or integrability conditions you need) defined on $\partial\Omega$ such that $\alpha^{2}+\beta^{2}>0$ and $\alpha\beta\ge0$ everywhere on $\partial\Omega.$ Let $V$ be a vector space of sufficiently smooth functions $w$ on $\overline{\Omega}$ such that $\alpha w+\beta(\mathbf{n}\cdot\nabla w)=0$ on $\partial\Omega.$

Prove the following:

(1) If $u,v\in V,$ then $u\nabla v\cdot\mathbf{n}-v\nabla u\cdot\mathbf{n}=0$ on $\partial\Omega.$

(2) If $u,v\in V,$ then $\int_{\Omega}u\Delta v=\int_{\Omega}v\Delta u.$

(3) If $u\in V,$ $u$ is real-valued, and $u$ is not identically zero, then $-\int_{\Omega}u\Delta u\ge0.$ Furthermore, the only way we could have this integral be zero would require $\alpha$ to be identically zero and $u$ to be constant. Otherwise, the integral is strictly positive.

[Of course, there's a snappy bit of linear algebra terminology for summarizing (2) and (3) in very few words.]

(4) If $u\in V$ and $\Delta u+\lambda u=0$ for some complex $\lambda,$ then $\lambda\ge0.$ (Note that this includes the conclusion that $\lambda$ is real.)

(5) If $u,v\in V$ and $\Delta u+\lambda u=0,\ \Delta v+\mu v=0,$ with $\lambda\ne\mu,$ then $\int_{\Omega}uv=0.$

This is pretty long, so I will sketch all of these:

(1)  On $\partial \Omega$ we have $\alpha u+\beta (n \cdot \nabla u)=0$ and $\alpha v+\beta (n \cdot \nabla v)=0$. Subtract $u$ times the second equation from $v$ times the first and realize that it holds for arbitrary $\beta$, from which the desired result follows.

(2)  We have:  $\int_{\Omega}u \triangle v = \int_{\partial \Omega}u \nabla v \cdot n-\int_{\Omega}\nabla u \cdot \nabla v$ and $\int_{\Omega}v \triangle u = \int_{\partial \Omega}v \nabla u \cdot n-\int_{\Omega}\nabla u \cdot \nabla v$.  Now just subtract the second equation from the first using result (1) to conclude the righthand side is zero.  This means the lefthand side is zero as well which is equivalent to your result.

(3)  We have $-\int_{\Omega}u \triangle u =-\int_{\partial \Omega}u \nabla u \cdot n+\int_{\Omega}\nabla u \cdot \nabla u$.  The second term on the right is always non-negative.  The integrand in the first term on the right may be replaced by $-\alpha u$ which must be negative by the conditions on $\alpha$ and $\beta$, but minus that is positive and the result holds.

(negative definite in linear algebra)

(4)  $\triangle u+\lambda u =0 \rightarrow \int_{\Omega}u \triangle u+\lambda u^{2}=0 \rightarrow \lambda \int_{\Omega}u^{2}=-\int_{\Omega}u \triangle u \geq 0$ by the above.  Thus, $\lambda \geq 0$ and is thus real.

(5)  Multiply the first equation by $v$ and the second equation by $u$, subtract and integrate over $\Omega$ to get:

$\int_{\Omega}v \triangle u-u \triangle v+\lambda v u-\mu u v = 0 \rightarrow (\lambda-\mu) \int_{\Omega}uv = 0$ from which the result holds since $\lambda \neq \mu$.

(Out of friendly curiosity, what is the point behind this exercise?)

[quote](negative definite in linear algebra) [/quote]
I was trying to tilt the language towards saying that $-\Delta$ is positive definite - well, positive semidefinite unless you rule out $\alpha$ being identically zero - only you should really say [b]self-adjoint[/b] positive definite. In that case, (4) and (5) are direct consequences of the operator being self-adjoint and positive definite.

The point of it? I admit there's not much "problem" to it; it's just that there's been a fair amount of PDE stuff tossed around here recently, not all of it with particularly good notation or understanding, so I just wanted to go back to some more basic tools of the subject.

Of course, I left off part (6), which has a rather different character and requires rather different tools to prove:

(6). Let $\varphi_{j}$ and $\lambda_{j}$ be the full set of eigenfunctions and eigenvalues - that is, $\varphi_{j}\in V$ and $\Delta\varphi_{j}+\lambda_{j}\varphi_{j}=0.$ Normalize so that $\int_{\Omega}\varphi_{j}^{2}=1.$ Then $\{\varphi_{j}\}$ is a complete orthonormal set in $L^{2}(\Omega).$ That is, if $f\in L^{2}(\Omega)$ and $c_{j}=\int_{\Omega}f\varphi_{j},$ then $f=\sum_{j}c_{j}\varphi_{j},$ with the sum converging in the $L^{2}$ sense.


My mum wants me to do medicine at University (something which I have little interest in, my dad doesn't really mind). I, myself, am planning on doing an Advanced Science Degree in Mathematics, Chemistry or Physics (or maybe combined). I want to some how 'convince' her that I would be able to support myself after I finish a Science Degree (just that way I feel more comfortable about the fact that I will know that she isn't worried about my future).

So, if I was to complete degrees in Mathematics, Physics or Chemistry (Mathematics is my most interested field). What kind of jobs might there be out there in the real world?

Don't study medicine if you don't want to be a doctor - you'll probably be a crummy doctor if you don't want to be one.

You can point out to her that the financial world aggressively hires people with math and science degrees.  And people in the financial world generally make more money than doctors.  Hopefully that'll calm her down.  Regardless, study what you want and find the career you want.  It's worth fighting with mum and dad occasionally to get to pick your career.

[quote="rrusczyk"]Don't study medicine if you don't want to be a doctor - you'll probably be a crummy doctor if you don't want to be one.

[/quote]

That's exactly the point I am trying to get to her.

Let's say I want some sort of careers in Financial Mathematics, what kind of courses at University am I looking at? Plus what specific jobs are there?

Does anyone do Operation Research? What's that like?

http://www.math.cmu.edu/grad/degree/phd-mf.html

http://www.orie.cornell.edu/

Here you can find courses concerning financial math.These are top two university's as far as I know. I want more details send me a private message and I'll tell you about courses that I am taking ( I'm a financial math student).

...and, I'm not at these university's, I'm an undergraduate student.

Thanks for the feed back. What about studying pure mathematics? How might one end up?

Any more feedback? Or is this more suited for Careers in Mathematics Forum? :maybe:

Sorry for the late reply (I've been off AoPS for a while).

Check out my webpage on careers in mathematics:

http://www.toroidalsnark.net/mathcareers.html

I haven't updated it in a year or so, but it should still be reasonably accurate.


Provide a quick solution to (p - 1)! / k modulo p. 1 < k < p.

If this is what you mean, by Wilson's Theorem, we have $(p-1)! \equiv -1 \pmod p$ for primes $p$.

I'm looking for a quick solution to m = (p - 1)! / k

That is, Divided by k.

Take the inverse $k^{-1}$ of $k \mod p$ and you get $\frac{(p-1)!}{k} \equiv k^{-1}(p-1)! \equiv -k^{-1} \mod p$.


What is "$\mu$" ? The Moebius function ?

If yes it is obvious since $\mu (k!) = 0$ for $k > 3$ ($k!$ is divisible by $2^2$ for instance)

[quote="Nea"]Prove that:
$\sum\limits_{k = 1}^n {\mu (k!) = 1}$ is true $\forall n \ge 3$[/quote]
A quick question: what is the meaning of $\mu$?

Do a search for it on http://www.mathworld.com if you are unclear on it.