[url=http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?t=278127]Υπενθυμίζω το πρόβλημα με τον χριστιανό και το λιοντάρι που συζητήσαμε παλαιότερα.[/url]

Στο καινούργιο πρόβλημα τώρα ο χριστιανός και το λιοντάρι αγωνίζονται στην αρένα $ D \times [0,1]$ όπου το $ D$ είναι ο κλειστός δίσκος με κέντρο το (0,0) και ακτίνα 1 και η μετρική δίνεται από $ d((x,y),(x',y') = \max\{d_2(x,x'),d_2(y,y')\}$ όπου $ d_2$ είναι η ευκλείδια μετρική.

Άσκηση 0: Να δειχθεί ότι το $ D \times [0,1]$ είναι συμπαγής μετρικός χώρος.

Άσκηση 1: Να δειχθεί ότι αν ο χριστιανός ξεκινάει από το $ ((0,0),0)$ και το λιοντάρι από το $ ((0,0),1)$ τότε το λιοντάρι έχει στρατηγική νίκης.

Άσκηση 2: [hide]Λύστε πρώτα τις ασκήσεις 0,1
[hide]Τις λύσατε;
[hide] Σίγουρα;
Αν ναι τότε να δείξετε ότι
Αν ο χριστιανός ξεκινάει από το $ ((0,0),0)$ και το λιοντάρι από το $ ((0,0),1)$ τότε ο χριστιανός έχει στρατηγική νίκης.
 Όχι, δεν έχω κάνει λάθος στην εκφώνηση.

[/hide]
[/hide]
[/hide]

[quote="Durandal"]Dem, δεν έχω κάτι να πω για το πρόβλημα αυτό καθαυτό (time :( ) αλλά κερδίζεις +12 πόντους για την παρουσίαση :rotfl:

Cheers,

Durandal 1707[/quote]

+2 για κάθε hidden ή μηπως χρησιμοποίησες διαφορετικό αλγόριθμο;

[quote="Athinaios"][quote="Protonios"]auto htan p nomiza oti dn eixa katalavei kala se mia omilia sthn imo alla ap oti fanhke kala to eixa katalavei... apisteuto... :o[/quote]
Oντως, ο Bollobas νομιζω μας το ελεγε. Καταπληκτικο![/quote]

Ναι. Είναι αποτέλεσμα των Bollobas,Leader και Walters. Το ωραίο είναι πως η απόδειξη δεν είναι ιδιαίτερα δύσκολη. Η δυσκολία είναι πρώτα να κάνεις την σωστή ερώτηση "Γιατί να μην έχουν και οι δύο στρατηγικές νίκης;" και μετά να βρεις το συγκεκριμένο παράδειγμα.

[quote="gpapargi"]Dem επειδή δεν ξέρω τι είναι μετρικός χώρος και μάλιστα συμπαγής  :blush:  :)  , μήπως γίνεται να το κάνουμε λίγο πιο λιανά για να καταλάβω την εκφώνηση; Δηλαδή να δούμε το φυσικό πρόβλημα που είναι κρυμμένο από πίσω (αν αυτό είναι δυνατόν) για να έχω πρόσβαση στην άσκηση.

Αν κατάλαβα καλά ο χώρος που γίνεται η καταδίωξη είναι κύλινδρος ακτίνας 1 και ύψους 1 και οι 2 διαγωνιζόμενοι μπορούν και να πετάνε. Κάτι σαν καταδίωξη περιστεριού από γεράκι. Οι απόστασή τους κάθε στιγμή είναι ίση με την μεγαλύτερη από τις χ, ψ αποστάσεις και όχι η πραγματική απόσταση που δίνεται από τη διαγώνιο στις 3 διαστάσεις. Αυτό σημαίνει ότι όταν βρεθεί το γεράκι πάνω από το περιστέρι (ίδιο χ και ψ αλλά διαφορετικό z) τότε το έπιασε; Κάτι δεν πρέπει να λέω καλά γιατί έτσι ακριβώς ξεκινάνε.
Οι ταχύτητές τους στο χώρο είναι ίδιες ή η ταχύτητα του γερακιού είναι παράγωγος απόστασης (μέγιστης διαφοράς συντεταγμένων) προς χρόνο οπότε μπορεί το γεράκι κινούμενο στο χώρο να πιάσει μεγαλύτερες ταχύτητες με κατάλληλο προσανατολισμό;

Αν δε γίνεται να βρεθεί φυσικό αντίστοιχο, άστο

Γ[/quote]

Γιώργο δεν χρειάζεται γνωση του τι είναι συμπαγής μετρικός χώρος. Μετρικός χώρος σημαίνει ότι μπορούμε να ορίσουμε απόσταση ώστε να ικανοποιεί την τριγωνική ανισότητα. Υπάρχουν πολλοί περίεργοι και "παθολογικοί" μετρικοί χώροι. Ο λόγος που έγραψα ότι ο χώρος είναι συμπαγής κάνει το παράδειγμα ακόμη πιο εντυπωσιακό επειδή αυτοί οι χώροι είναι οι "λιγότερο παθολογικοί".

Στην ερμηνεία σου τώρα όλα είναι σωστά εκτός από

[quote="gpapargi"] Αυτό σημαίνει ότι όταν βρεθεί το γεράκι πάνω από το περιστέρι (ίδιο χ και ψ αλλά διαφορετικό z) τότε το έπιασε; Κάτι δεν πρέπει να λέω καλά γιατί έτσι ακριβώς ξεκινάνε.
Γ[/quote]

Σκέψου πως κλωνοποιήσαμε το γεράκι και το περιστέρι και έχουμε δύο από το κάθε ένα. Το γεράκι1 κινείται μόνο στον δίσκο (με μέγιστη ταχύτητα π.χ. 1) και το γεράκι2 κινείται μόνο πάνω κάτω (πάλι με μέγιστη ταχύτητα 1.) Η θέση του γερακίου είναι οι συντεταγμένες των δύο γερακιών. Διαφορετικά: δεν χρειάζεται να ξοδέψει από την ταχύτητά του για να κινηθεί πάνω κάτω. Ομοιώς και για το περιστέρι.

"Φυσικά" τώρα είναι λίγο δύσκολο να εξηγηθεί επειδή δεν μπορούμε να βρούμε ένα υποχώρο του τρισδιάστατου ευκλειδίου χώρου που να είναι ο "ίδιος" με αυτόν. (Ούτε καν αν επιτρέψουμε περισσότερες διαστάσεις.) Μάλιστα στο άρθρο τους το ακόλουθο είναι ανοικτό πρόβλημα: "Μπορεί να βρεθεί τέτοιο παράδειγμα σε ευκλείδιο χώρο;". Οι συγγραφείς πιστεύουν πως η απάντηση είναι όχι αλλά δεν κατάφεραν να το αποδείξουν.

----------------------------------------------------------
Για το πρόβλημα τώρα. Η άσκηση 1 είναι πιο εύκολη από την 2. Για την άσκηση 2 βοηθάει να γνωρίζουμε ότι ο χριστιανός έχει στρατηγική που γλυτώνει όταν παίζουν στον κυκλικό δίσκο.

2 σχόλια μόνο

Το πρώτο
[quote="Demetres"]
η μετρική δίνεται από $ d((x,y),(x',y') \equal{} \max\{d_2(x,x'),d_2(y,y')\}$ όπου $ d_2$ είναι η ευκλείδια μετρική.
[/quote]

Εδώ αν και από ότι φαίνεται δεν έχει σημασία και μπορώ να το παρακάμψω αφού μου εξήγησες, θα ήταν καλό να καταλάβω το συμβολισμό. Όταν έχεις 2 σημεία με το ίδιο x τότε δεν ισχύει d2(x, x’) = 0;
Ομοίως αν 2 σημεία είναι το ένα κάτω από το άλλο δεν ισχύει d2(x, x’) = 0 και d2(y, y’) = 0 αφού έχουν το ίδιο x και το ίδιο y;
Αν ναι τότε και το d((x,y),(x’,y’)) δεν είναι 0 αφού d είναι το μέγιστο των αποστάσεων; Και d=0 δε σημαίνει ότι το γεράκι έπιασε το περιστέρι αφού μηδενίστηκε η μεταξύ τους απόσταση;

Και το δεύτερο (που υποπτεύομαι ότι θα το περίμενες τουλάχιστο από μένα  :)  )
Θέλεις να δείξουμε ότι ο καθένας τους έχει στρατηγική νίκης. Τι πάει να πει αυτό από φυσική άποψη; Ότι κερδίζουν και οι 2; Αυτό δε γίνεται. Αν τους βάλεις να κυνηγηθούν ή τα πιάσει το γεράκι το περιστέρι ή δε θα το πιάσει. Πως γίνεται να έχουν στρατηγική νίκης και οι 2;

Το μόνο που έχει νόημα είναι να έχει ο ένας (περιστέρι) στρατηγική νίκης όταν ο άλλος χρησιμοποιεί συγκεκριμένο αλγόριθμο καταδίωξης ή ανάποδα δηλαδή να έχει (το γεράκι) στρατηγική νίκης αν ο άλλος έχει συγκεκριμένο αλγόριθμο διαφυγής. Ίσως θυμάσαι που ρώταγα επίμονα (νομίζω σε προσωπικό μειλ) «τι πάει να πει ο χριστιανός διαφεύγει πάντα ότι και να κάνει το λιοντάρι. Πως γίνεται για κάθε κίνηση του λιονταριού η ίδια κίνηση του χριστιανού να ξεφεύγει αφού μπορεί να παίζουν καρτέρια κλπ;»
Τελικά το μόνο που κατάλαβα και το διάλεξα σαν προσέγγιση ήταν ότι πρέπει να σπάσουμε το πρόβλημα στα 2:
Α) Να δείξεις ότι το ο χριστιανός ξεφεύγει όταν το λιοντάρι εφαρμόζει καταδίωξη κοινής γωνίας και
Β) Να δείξεις ότι αν ο χριστιανός μπορεί να ξεφύγει από καταδίωξη κοινής γωνίας τότε μπορεί να το εκμεταλλευτεί αυτό για να ξεφύγει πάντα. Κάτι σαν ανισοτική απόδειξη με φράγμα δηλαδή

Εδώ όμως το πράγμα δεν πάει καλά. Αν απλώς αποδείξεις ότι μια συγκεκριμένη στρατηγική του ενός οδηγεί σε συγκεκριμένη στρατηγική νίκης του άλλου,  νομίζω ότι δεν κάνεις τίποτα γιατί ένα τέτοιο μαθηματικό μοντέλο δεν περιγράφει το φυσικό πρόβλημα. Στη φύση είναι υποχρεωτικό αν τους βάλεις να τρέξουν ο ένας να κερδίσει. Δεν το λέω εγώ αυτό. Η φύση το λέει. Αν και οι 2 έχουν στρατηγική νίκης αυτό που καταλαβαίνω εγώ είναι ότι το μαθηματικό μας μοντέλο δεν περιγράφει σωστά το φυσικό πρόβλημα. Το φυσικό πρόβλημα είναι «ο καθένας κάνει ότι θέλει και αν σε κηνυγήσω ή σε πιάνω ή δε σε πιάνω»
Τι λέω στραβά;

@Dem

[quote="Demetres"]+2 για κάθε hidden ή μηπως χρησιμοποίησες διαφορετικό αλγόριθμο;
[/quote]

:P

@gpapargi

Όταν ο Dem γράφει $ x$ εννοεί τις συντ/νες που αφορούν το δίσκο $ D$. Όταν γράφει $ y$ εννοεί τις συντ/νες που αφορούν το διάστημα $ [0,1]$.

Οπότε, αν ένα σημείο στον κύλινδρο έχει συντ/νες $ (u,v,w)$ τότε $ x \equal{} (u,v)$ και $ y \equal{} w$.

To $ 2$ στο $ d_2$ αφορά το ότι η μετρική είναι ευκλείδεια, δηλ. $ d^2 \equal{} u^2 \plus{} v^2 \plus{} w^2$ αντί π.χ. για κύβους ή κάποια άλλη δύναμη ($ L^p$).

Hope this helps. Cheerio,

Durandal 1707

Γιώργο, για την πρώτη παράγραφο με κάλυψε ο Παναγιώτης. Δυστυχώς έτσι σκεφτόμαστε εμείς οι μαθηματικοί. Μιλάμε για τον χώρο $ D \times [0,1]$ και όταν γράφουμε $ (x,y)$ εννοούμε ότι $ x \in D$ και $ y \in [0,1]$, άσχετα αν ο χώρος $ D$ είναι δισδιάστατος.

Για τα υπόλοιπα δεν έχω κάποια ικανοποιητική εξήγηση.  :(

Μπορούμε να πούμε ότι φταίει η υπόθεση ότι ο άνθρωπος και το λιοντάρι είναι σημεία, ότι τους επιτρέπουμε να "στρίβουν" από μια κατεύθηνση σε άλλη διατηρώντας μέγιστη ταχύτητα (όπως κάναμε στο προηγούμενο πρόβλημα) κ.τ.λ. Εν πάσει περιπτώση ξέρουμε εξ'αρχής ότι το μοντέλο δεν είναι ιδανικό. Οποιαδήποτε προβλήματα όμως και να έχει το μοντέλο, φιλοσοφικά το ερώτημα παραμένει: Πώς γίνεται σε ένα παιχνίδι με συγκεκριμένους κανόνες που κάθε φορά που παίζεται κερδίζει ακριβώς ο ένας από τους δύο παίκτες να έχουν και οι δύο παίκτες στρατηγική νίκης; Η απάντησή μου είναι πως είναι και αυτό ένα από τα πολλά παράδοξα του απείρου.

Υπόσχομαι σε επόμενο μήνυμα να γράψω τι ακριβώς εννοούμε με στρατηγική νίκης.

Ευχαριστώ για τις διευκρινήσεις. Δηλαδή αν κατάλαβα καλά μιλώντας σε καρτεσιανές συντεταγμένες η απόσταση είναι το μέγιστο μεταξύ των
$ \sqrt {(x' \minus{} x)^2 \plus{} (y' \minus{} y)^2}$  και $ |z' \minus{} z|$. Σωστά;
Η ταχύτητα από τι δίνεται; Είναι η παράγωγος της απόστασης όπως ορίζεται από τη μετρική d ως προς το χρόνο;

[quote="Demetres"]

Σκέψου πως κλωνοποιήσαμε το γεράκι και το περιστέρι και έχουμε δύο από το κάθε ένα. Το γεράκι1 κινείται μόνο στον δίσκο (με μέγιστη ταχύτητα π.χ. 1) και το γεράκι2 κινείται μόνο πάνω κάτω (πάλι με μέγιστη ταχύτητα 1.) Η θέση του γερακίου είναι οι συντεταγμένες των δύο γερακιών. Διαφορετικά: δεν χρειάζεται να ξοδέψει από την ταχύτητά του για να κινηθεί πάνω κάτω. Ομοιώς και για το περιστέρι.

[/quote]
Αν ισχύει αυτό που γράφεις (για το οποίο δεν είμαι ακόμα σίγουρος γιατί δεν ξέρω πως προκύπτει) τότε νομίζω ότι το γεράκι έχει στρατηγική νίκης. Αφού ξεκινάει ακριβώς πάνω από το περιστέρι μπορεί πάντα να μείνει από πάνω του (ίδια καρτεσιανά x, y και διαφορετικό καρτεσιανό z). Έχοντας κλειδώσει τα καρτεσιανά x, y και αφού όπως λες μπορεί να κινείται πάνω κάτω χωρίς να ξοδεύει ταχύτητα, τότε απλά κατεβαίνει χωρίς απώλεια οριζόντιας ταχύτητας και πιάνει το περιστέρι.

Ουσιαστικά είναι ακριβώς ο ίδιος αλγόριθμος που είχα αναφέρει στο χριστιανός-λιοντάρι version σαν αλγόριθμος κοινής γωνίας. Εδώ μπορούμε να το πούμε αλγόριθμο κοινών x, y ή αλγόριθμο κοινής οριζόντιας θέσης. Κλειδώνεις την κοινή συντεταγμένη/συντεταγμένες και πλησιάζεις από την άλλη.

Αν το γεράκι δεν ήταν ακριβώς πάνω από το περιστέρι στην αρχή, τότε μπορεί το περιστέρι να εφαρμόσει αλγόριθμο διαφυγής από καταδίωξη κοινής γωνίας (αυτή που είδαμε ότι υπάρχει στο κλασσικό πρόβλημα χριστιαννός-λιοντάρι) ξεφεύγοντας από τη σκιά (προβολή) του γερακιού στο οριζόντιο επίπεδο. Αυτό ουσιαστικά είναι ή ίδια σκέψη με το λιοντάρι φάντασμα που είχα αναφέρει στο κλασσικό πρόβλημα.

Δηλαδή η άποψή μου (ξέροντας ότι θα διαφωνήσεις Δημήτρη) είναι ότι το πρόβλημα εξαρτάται από τις αρχικές συνθήκες. Αν ξεκινάει το γεράκι πάνω από το περιστέρι τότε το πιάνει. Διαφορετικά το περιστέρι ξεφεύγει. Έχω δεχτεί βέβαια ότι το γεράκι έχει τη δυνατότητα να στρίβει ακαριαία και έχει χρόνο αντίδρασης στην αλλαγή κίνησης του περιστεριού 0.

[quote="gpapargi"]Ευχαριστώ για τις διευκρινήσεις. Δηλαδή αν κατάλαβα καλά μιλώντας σε καρτεσιανές συντεταγμένες η απόσταση είναι το μέγιστο μεταξύ των
$ \sqrt {(x' \minus{} x)^2 \plus{} (y' \minus{} y)^2}$  και $ |z' \minus{} z|$. Σωστά;
Η ταχύτητα από τι δίνεται; Είναι η παράγωγος της απόστασης όπως ορίζεται από τη μετρική d ως προς το χρόνο;
[/quote]

Ναι. Αυτή είναι η απόσταση. Για την ταχύτητα υπάρχει το πρόβλημα ότι μπορεί η συνάρτηση να μην είναι παραγωγίσιμη. (Επιτρέπουμε το ξαφνικό στρίψιμο.) Στο άρθρο αποφεύγεται αυτό ως εξής: Απαγορεύεται σε χρονικό διάστημα t να ταξιδέψεις απόσταση μεγαλύτερη του t. Πιο συγκεκριμένα: Τα επίτρεπόμενα μονοπάτια του λιονταριού είναι ολές οι συναρτήσεις $ \ell$ από το $ [0,\infty)$ στο $ D \times [0,1]$ ώστε $ \ell(0) \equal{} (0,0,1)$ και για κάθε $ s,t$ έχουμε $ d(\ell(s),\ell(t)) \leqslant |s\minus{}t|$.

[quote="gpapargi"]
Αν ισχύει αυτό που γράφεις (για το οποίο δεν είμαι ακόμα σίγουρος γιατί δεν ξέρω πως προκύπτει) τότε νομίζω ότι το γεράκι έχει στρατηγική νίκης. Αφού ξεκινάει ακριβώς πάνω από το περιστέρι μπορεί πάντα να μείνει από πάνω του (ίδια καρτεσιανά x, y και διαφορετικό καρτεσιανό z). Έχοντας κλειδώσει τα καρτεσιανά x, y και αφού όπως λες μπορεί να κινείται πάνω κάτω χωρίς να ξοδεύει ταχύτητα, τότε απλά κατεβαίνει χωρίς απώλεια οριζόντιας ταχύτητας και πιάνει το περιστέρι.
[/quote]

Πολύ σωστά.

[quote="gpapargi"]
Αν το γεράκι δεν ήταν ακριβώς πάνω από το περιστέρι στην αρχή, τότε μπορεί το περιστέρι να εφαρμόσει αλγόριθμο διαφυγής από καταδίωξη κοινής γωνίας (αυτή που είδαμε ότι υπάρχει στο κλασσικό πρόβλημα χριστιαννός-λιοντάρι) ξεφεύγοντας από τη σκιά (προβολή) του γερακιού στο οριζόντιο επίπεδο. Αυτό ουσιαστικά είναι ή ίδια σκέψη με το λιοντάρι φάντασμα που είχα αναφέρει στο κλασσικό πρόβλημα.
[/quote]

Πάλι σωστά

[quote="gpapargi"]
Δηλαδή η άποψή μου (ξέροντας ότι θα διαφωνήσεις Δημήτρη) είναι ότι το πρόβλημα εξαρτάται από τις αρχικές συνθήκες. Αν ξεκινάει το γεράκι πάνω από το περιστέρι τότε το πιάνει. Διαφορετικά το περιστέρι ξεφεύγει. Έχω δεχτεί βέβαια ότι το γεράκι έχει τη δυνατότητα να στρίβει ακαριαία και έχει χρόνο αντίδρασης στην αλλαγή κίνησης του περιστεριού 0.[/quote]

Και όμως όχι. Υπάρχει στρατηγικη για το περιστέρι που το βοηθά να ξεφύξει από την σκιά! Πώς;

[quote="Demetres"]
Υπόσχομαι σε επόμενο μήνυμα να γράψω τι ακριβώς εννοούμε με στρατηγική νίκης.[/quote]

Έχω ήδη πει στο προηγούμενο μήνυμα ποια είναι τα επιτρεπόμενα μονοπάτια που ακολουθεί το λιοντάρι. Έστω L το σύνολο των επιτρεπόμενων μονοπατιών του λιονταριού και M τα αντίστοιχα του λιονταρίου.

Μια στρατηγική για το λιοντάρι (όχι απαραίτητα στρατηγική νίκης) είναι μια συνάρτηση $ g: M \to L$ η οποία ικανοποιεί τον κανόνα "δεν επιτρέπεται να κοιτάξω τι κάνει ο χριστιανός μετά". Πιο συγκεκριμένα: Για κάθε $ m_1,m_2 \in M$ τα οποία ικανοποιούν $ m_1(s) \equal{} m_2(s)$ για κάθε $ s \in [0,t]$ (για κάποιο $ t$) πρέπει να ισχύει ότι $ \ell_1(s) \equal{} \ell_2(s)$ για κάθε $ s \in [0,t]$. (Όπου $ \ell_1 \equal{} g(m_1)$ και $ \ell_2 \equal{} g(m_2)$.)

Μια στρατηγική νίκης για το λιοντάρι είναι μια στρατηγική $ g$ για την οποία ισχύει ότι για κάθε μονοπάτι $ m \in M$ του χριστιανού, υπάρχει χρόνος $ t$ ώστε $ g(m)(t) \equal{} m(t)$.

Ομοίως και για τον χριστιανό.

Δημήτρη με βάση αυτά που έγραψα εγώ πριν ισχύει:

[quote="gpapargi"] Έχω δεχτεί βέβαια ότι το γεράκι έχει τη δυνατότητα να στρίβει ακαριαία και έχει χρόνο αντίδρασης στην αλλαγή κίνησης του περιστεριού 0.[/quote]

Δέχομαι δηλαδή (είναι μέρος της υπόθεσης) ότι το λιοντάρι είναι συνέχεια πάνω από το χριστιανό. Με βάση αυτό δεν μπορεί ο άνθρωπος να ξεφύγει από τη σκιά του λιονταριού.

Να το πω και πιο παραστατικά. Είναι σα να υπάρχει ένα κάτοπτρο στην ταράτσα του κυλίνδρου και ο άνθρωπος να βλέπει κοιτώντας προς τα πάνω το είδωλό του. Στη θέση του ειδώλου είναι το λιοντάρι. (Γίνεται γιατί είναι σημεία και τα 2)
Φαντάσου τώρα ότι ο καθρέφτης κατεβαίνει μέχρι να ακουμπήσει τον άνθρωπο. Είναι δυνατόν να μην ακουμπήσει ο άνθρωπος με το είδωλό του; Είναι σαν να κινούμαι με διαφορετικό τρόπο από τον ίσκιο μου (Λούκυ Λουκ).

Υποπτεύομαι ότι πρέπει να λύνουμε άλλο πρόβλημα. Για κάποιο λόγο εσύ θεωρείς ότι μπορεί ο άνθρωπος να ξεφύγει από το είδωλό του στον καθρέφτη ή ότι δε γίνεται το λιοντάρι να κάνει ότι κάνει το είδωλο. Κάποια διαφορετική (και πιθανόν σιωπηλή) παραδοχή κάνουμε.

ΥΓ
Αισθάνομαι ότι οι απαντήσεις μου σου είναι αναμενόμενες. Θα περιμένω να δω που θα καταλήξει η κουβέντα. Αν γίνεται όμως όποιος απαντήσει να γράψει και περιγραφικά τι κάνει ο άνθρωπος και όχι μόνο σχέσεις και σύμβολα που κάποια στιγμή εγώ τουλάχιστο τα χάνω. Πχ από την τάδε μέχρι την τάδε ώρα ο άνθρωπος πάει στο τάδε σημείο κλπ και να εξηγήσει γιατί το λιοντάρι δεν μπορεί να είναι ακριβώς από πάνω του.

Να ρωτήσω λίγο κι εγώ κάτι γιατί μπερδεύτηκα λίγο με τη συζήτηση?

[quote="Demetres"]Σκέψου πως κλωνοποιήσαμε το γεράκι και το περιστέρι και έχουμε δύο από το κάθε ένα. Το γεράκι1 κινείται μόνο στον δίσκο (με μέγιστη ταχύτητα π.χ. 1) και το γεράκι2 κινείται μόνο πάνω κάτω (πάλι με μέγιστη ταχύτητα 1.) Η θέση του γερακίου είναι οι συντεταγμένες των δύο γερακιών. Διαφορετικά: [b]δεν χρειάζεται να ξοδέψει από την ταχύτητά του για να κινηθεί πάνω κάτω.[/b][/quote]

(Emphasis mine)

Με μπέρδεψες λίγο εδώ, πώς ακριβώς το εννοείς αυτό? Π.χ. αν κατεβαίνει κατευθείαν προς τα κάτω, ξοδεύει όλη την ταχύτητά του (so to speak) στην κατακόρυφη συνιστώσα. :ewpu:

Με βάση την αρχική σου διατύπωση, εγώ είχα καταλάβει ότι δεν ξοδεύει "ταχύτητα" σε μία συνιστώσα (δίσκος ή κατακόρυφη) μόνο αν η Ευκλείδεια ταχύτητά του σε εκείνη τη συνιστώσα δεν είναι μεγαλύτερη από αυτήν της άλλης συνιστώσας.

Δηλ. αν $ x(t) \equal{} (0,t)$, μπορούμε να έχουμε οποιοδήποτε $ y(t)$ με $ v_y\leq 1$, αλλά αν $ x(t) \equal{} (0,t/2)$, μπορεί να πηγαίνει με κατακόρυφη ταχύτητα μέχρι $ 1/2$. Δηλαδή, αν αρχίσει να ανεβαίνει πιο γρήγορα, θα ξοδεύει την ταχύτητά του στην κατακόρυφη κίνηση και θα κινείται χωρίς κόστος στο δίσκο (πάντα intuitively speaking).

Τί χάνω? :(

Cheerio,

Durandal 1707

Γιώργο, το ίδιο πρόβλημα λύνουμε. Δεν μπορώ να δώσω περισσότερη βοήθεια χωρίς να δώσω (σχεδόν) την λύση του προβλήματος.

EDIT: Έχουμε δείξει πως ότι και να κάνει ο άνθρωπος το λιοντάρι μπορεί να είναι συνέχεια από πάνω του. Τώρα μένει να δείξουμε πως ότι και να κάνει το λιοντάρι ο άνθρωπος μπορεί σε κάποια φάση να μην είναι από κάτω του. Όσο και αν ακούγεται απίστευτο μπορεί να γίνει!

Παναγιώτη δεν είμαι σίγουρος τι εννοείς. Ξεκινώντας από το (0,0,0), σε χρόνο $ t$ μπορούμε να φτάσουμε σε οποιοδήποτε σημείο της μορφής $ (x,y,z)$ όπου $ x^2 \plus{} y^2 \leqslant t^2$ και $ z \leqslant t$ αφού κάθε τέτοιο σημείο έχει απόσταση το πολύ $ t$ από το (0,0,0). (Με ταχύτητα 1 και $ t \leqslant 1$.)

[quote="Demetres"]Παναγιώτη δεν είμαι σίγουρος τι εννοείς. Ξεκινώντας από το (0,0,0), σε χρόνο $ t$ μπορούμε να φτάσουμε σε οποιοδήποτε σημείο της μορφής $ (x,y,z)$ όπου $ x^2 \plus{} y^2 \leqslant t^2$ και $ z \leqslant t$ αφού κάθε τέτοιο σημείο έχει απόσταση το πολύ $ t$ από το (0,0,0). (Με ταχύτητα 1 και $ t \leqslant 1$.)[/quote]

Ναι, αυτό είχα καταλάβει από την αρχή. Απλώς, μετά είπες ότι "δε χρειάζεται να ξοδέψει από την ταχύτητά του για να κινηθεί πάνω κάτω", ενώ π.χ. στην κίνηση $ \vec{r}(t) \equal{} ((0,0),t)$ όλη του η ταχύτητα ξοδεύεται ώστε να κινείται προς τα πάνω.

Οπότε απλώς ρώτησα για να βεβαιωθώ :)

Cheerio,

Durandal 1707

Να δώσω ένα διαφορετικό πρόβλημα το οποίου η ιδέα της λύσης είναι ακριβώς η ίδια με την ιδέα της λύσης του αρχικού προβλήματος.

Ένας κλέφτης βρίσκεται στο (-1,0) και ένας αστυνόμος στο (0,0). Και οι δύο κινούνται με μέγιστη ταχύτητα 1. Ο αστυνόμος επιτρέπεται μόνο να κινείται στον άξονα των ψ. Στόχος του κλέφτη είναι να φτάσει σε κάποιο σημείο με θετικό χ και στόχος του αστυνομικού να τον αποτρέψει.

Η προφανής στρατηγική νίκης για τον αστυνόμο είναι να διατηρεί το ίδιο ψ με τον κλέφτη. Υπάρχει όμως και στρατηγική νίκης για τον κλέφτη...

Με πρόλαβες Δημήτρη. Είχα σκοπό Δευτέρα πρωί να θέσω ένα άλλο πρόβλημα ρωτώντας αν έχει την ίδια ιδέα λύσης. Να το πρόβλημα:
Στο κλασσικό πρόβλημα ο χριστιανός λιοντάρι βρίσκονται ακριβώς στο ίδιο σημείο. Στόχος του λιονταριού είναι αυτό να διατηρηθεί. Στόχος του χριστιανού είναι να ξεκολλήσει από το λιοντάρι σε πεπερασμένο χρόνο. Γίνεται αυτό; Αν η απάντηση είναι καταφατική τότε είναι hint.

Αυτή τη σκέψη την έκανα γιατί υποπτεύομαι ότι ο Bollobas μάλλον αυτό είχε δει και θέλησε να δώσει και μια εύκολη στρατηγική για το λιοντάρι. Έτσι θα κατέληγε στο εντυπωσιακό συμπέρασμα ότι και οι 2 έχουν στρατηγική νίκης. Οπότε την περίεργη σχέση που δίνει την απόσταση υπέθεσα πως θα την έδινε για να χαρίσει προφανή νίκη και στο λιοντάρι. Δηλαδή φαντάστηκα ότι η νίκη του χριστιανού δεν είναι αποτέλεσμα της περίεργης σχέσης απόστασης, αλλά αυτό πρέπει να είναι κάτι που θα συμβαίνει έτσι κι αλλιώς.

Δεν μπορώ να σκεφτώ κάτι διαφορετικό από το να είναι μια παραξενιά των στοιχειωδώς μικρών ποσοτήτων. Πχ (λέμε τώρα) ίσως αν η απόστασή τους είναι απειροστά μικρή ds τότε θα μπορούσαμε να πούμε ότι κατά κάποιο τρόπο και ταυτίζονται (όπως θέλει το λιοντάρι) και δεν ταυτίζονται (όπως θέλει ο χριστιανός) χωρίς το ένα να αναιρεί το άλλο (λέμε τώρα). Έτσι κάποιος φυσικός παρατηρητής που θα έβλεπε το παιχνίδι θα τους έβλεπε δίπλα και δε θα μπορούσε να καταλάβει αν ταυτίζονται ή όχι (όσο και αν αύξανε τη μεγέθυνση).
Αποκλείεται δηλαδή μακροσκοπικά να φαινόταν ξεκάθαρα κάποιος νικητής γιατί θα είχαμε αντίφαση. Αναζητούμε μάλλον οριακές καταστάσεις που έχουν δίκιο και οι 2.

Προς αυτή την κατεύθυνση σκέφτηκα πιο θα ήταν το καλύτερο που μπορεί να κάνει ο χριστιανός. Νομίζω πως να πηγαίνει φουλαριστός (ταχύτητα 1) και ξαφνικά να αντιστρέψει το διάνυσμα της ταχύτητάς του. Εκεί υπάρχει μια χρονική στιγμή που αντιστοιχεί σε 2 τιμές της ταχύτητας. Προσοχή δε μιλάω για απλή ασυνέχεια, μιλάω για 2 τιμές ταχύτητας την ίδια χρονική στιγμή. Αν αυτό επιτρέπεται τότε πιστεύω ότι δεν μπορεί να ξεφύγει. Αν αυτό απαγορεύεται και θέλει κάποιο dt για μετάβαση ταχύτητας από τη μια τιμή στην άλλη τότε έχει και ο χριστιανός στρατηγική νίκης.

Μια άλλη σκέψη που μου πέρασε από το μυαλό και τη αμολάω και αυτήν πάνω στο τραπέζι είναι η συνάρτηση $ x(t) \equal{} t*sin{\frac {1}{t}}$ και 0 για t=0.
Εκεί αμέσως μετά το t=0 (κατά τη μετάβαση από το t=0 στον άλλο κλάδo της συνάρτησης για t>0) καλά καλά δεν ξέρει ούτε ο χριστιανός που θα είναι. Δε θα μου έκανε εντύπωση να μην ξέρει ούτε το λιοντάρι και να μην είναι και τόσο παράλογο το να τον χάνει στιγμιαία.

Να προσπαθήσω να βοηθήσω για το γιατί μπορεί να έχουν και οι δύο στρατηγικές νίκης χωρίς να είναι παράλογο - ελπίζω βέβαια να μη λέω μπαρούφες, γιατί το συνηθίζω ;)

Για μένα, η λύση του παραδόξου έγκειται στο εξής. Αυτό που έχουμε στο μυαλό μας είναι ότι "ο ένας κάνει ό,τι θέλει" ενώ "ο άλλος ακολουθεί μία στρατηγική". Ωστόσο, αν και ο ένας και ο άλλος ακολουθούν μία στρατηγική η οποία να δέχεται την τροχιά του άλλου ως input, τότε πώς ξεκινάνε in the first place? Αν ο ένας ρυθμίζει την τροχιά του με βάση την παρατήρηση της τροχιάς του άλλου και αντιστρόφως, τι γίνεται για χρόνο $ t \equal{} 0$ που δεν υπάρχουν παρατηρήσεις? Ποιά τροχιά ακολουθούν τη στιγμή που δεν υπάρχει [i]καθόλου[/i] input για κανέναν?

Η φορμαλιστική διατύπωση του Dem βοηθάει πολύ για να δει κανείς το πρόβλημα αυστηρά. Έστω λοιπόν ότι το λιοντάρι ακολουθεί μία στρατηγική (όχι απαραίτητα νίκης) $ g: \mathcal{M}\to \cal{L}$ ενώ ο χριστιανός ακολουθεί τη στρατηγική $ f: \cal{L}\to \cal{M}$. Για να μπορούν [b]καν[/b] να παιχτούν ταυτόχρονα οι δύο στρατηγικές, θα πρέπει να υπάρχει τουλάχιστον ένα ζεύγος τροχιών $ \ell, m$ του λιονταριού και του χριστιανού αντιστοίχως ώστε $ g(m) \equal{} \ell$ αλλά και $ f(\ell) \equal{} m$. Αν υπάρχουν τέτοιες τροχιές, τότε το απείρως έξυπνο λιοντάρι και ο εξίσου ιδιοφυής χριστιανός υποτίθεται ότι μπορούν να τις βρουν και παίζουν αυτές.

Ας λέμε λοιπόν δύο στρατηγικές "συμβατές" αν έχουν την παραπάνω ιδιότητα, αλλιώς ας τις λέμε "ασύμβατες". Σίγουρα, δεν υπάρχει κανένας λόγος δύο αυθαίρετα επιλεγμένες στρατηγικές $ g,f$ να είναι συμβατές, οπότε δεν έχει και απαραίτητα νόημα να παραδεχόμαστε εκ των προτέρων ότι μπορούν το λιοντάρι και ο χριστιανός να ακολουθήσουν τις στρατηγικές τους [i]ταυτόχρονα[/i].

Το "παράδοξο" όμως έρχεται από το διαισθητικό συλλογισμό: "αν ξεκινήσει το παιχνίδι, και οι δυό τους ακολουθούν τη στρατηγική νίκης τους, ποιος θα νικήσει?". Ok, sure, αλλά αν οι στρατηγικές νίκης τού άντρα και του λιονταριού είναι ασύμβατες, τότε απλώς δεν μπορούν να κάνουν τίποτα. Δεν είναι ότι κάθονται άπραγοι στις αρχικές τους θέσεις, απλώς [i]το παιχνίδι δεν μπορεί να ξεκινήσει χωρίς ένας από τους δύο να προδώσει τη στρατηγική του[/i] - οπότε και θα νικήσει ο άλλος.

Hope this makes sense :)

Τώρα, για τη στρατηγική νίκης του χριστιανού αρκεί ο χριστιανός να καταφέρει κάποια χρονική στιγμή $ t$ να έχει διαφορετική συντ/νη στο δίσκο για κάθε [i]τροχιά[/i] $ \ell$ του λιονταριού, . Μετά μπορεί να εφαρμόσει τη στρατηγική διαφυγής του προηγούμενου προβλήματος και π.χ. να ανεβαίνει σταθερά στην κατακόρυφη συντεταγμένη (apologies αν το έχουμε ήδη πει αυτό, χάθηκα λίγο στα προηγούμενα posts).

Υπό αυτό το πρίσμα, το πρόβλημα είναι κάπως πιο εύκολο. Ο χριστιανός παρατηρεί την οριζόντια θέση $ \ell(t) \equal{} (u(t),v(t))$ του λιονταριού. Αν δει ότι υπάρχει κάποιο $ \delta > 0$ ώστε $ \ell(t) \equal{} (t,0)$ για όλα τα $ t\leq\delta$, κρατάει την θέση $ m(t) \equal{} 0$ για $ t\leq\delta$. Αντίθετα, αν δεν υπάρχει τέτοιο $ \delta > 0$, παίρνει [i]αυτός[/i] την πορεία $ m(t) \equal{} (t,0)$ για χρόνο $ t\leq\delta_1$ όπου $ \delta_1$ μία αρκετά μικρή σταθερά.

Στην πρώτη περίπτωση, ο χριστιανός έχει διαφορετική οριζόντια θέση σε χρόνο $ \delta$ και ξεφεύγει. Στη δεύτερη περίπτωση, ο χριστιανός έχει διαφορετική οριζόντια θέση σε χρόνο $ \delta_1$ (επειδή το λιοντάρι θα έχει $ u(\delta_1) < \delta_1$) και πάλι ξεφεύγει.

Does this work?

Cheerio,

Durandal 1707

PS: Πάει η δουλειά του πρωινού :P

[b]Edit:[/b] θα ήταν ενδιαφέρον να κάνουμε το πρόβλημα πιο ρεαλιστικό βάζοντας στο παιχνίδι μία καθυστέρηση στην παρατήρηση... π.χ. να λάβουμε υπ'όψιν το ότι χρειάζεται χρόνος $ \frac {1}{c}|\ell(t) \minus{} m(t)|$ για να μεταδοθεί η πληροφορία θέσης από το $ \ell(t)$ στο $ m(t)$ ή ότι τουλάχιστον υπάρχει μία σταθερή καθυστέρηση $ \epsilon > 0$ στην παρατήρηση και στην απόκριση. Φαντάζομαι ότι τότε το πρόβλημα θα παραγίνεται δύσκολο, αλλά θα ήταν πολύ ενδιαφέρον να λύνεται το παράδοξο στην περίπτωση αυτή! Αλλά εδώ θα το αφήσω γιατί δεν έχω άλλο χρόνο να ασχοληθώ με το πρόβλημα αυτό τώρα...

Παναγιώτη, πολύ ωραία. Όπως λένε και στο άρθρο η φράση "κάθε παίκτης ακολουθή την στρατηγική του" δεν έχει νόημα! Εκτός από το ότι δεν είναι απαραίτητο να υπάρχουν $ \ell,m$ με $ g(m) \equal{} \ell$ και $ f(\ell) \equal{} m$, αν υπάρχουν δεν είναι απαραίτητο να είναι το μοναδικό ζευγάρι!

Σωστή και η στρατηγική για τον χριστιανό. Η απόδειξη π.χ. στο "ο χριστιανός και το λιοντάρι ξεκινάνε από το ίδιο σημείο" λέει: Αν το λιοντάρι για χρονικό διάστημα t τρέχει με φουλ ταχύτητα δεξιά ο χριστιανός μένει ακίνητος αλλιώς τρέχει με φουλ ταχύτητα δεξιά.

Η περίεργη σχέση απόστασης μπήκε για να μετατράψει αυτό το πρόβλημα, σε πρόβλημα καταδιώξης.

Παιδιά κάτι τέτοιο μου είχε ψιλοπεράσει από το μυαλό σε παλιότερο απόσπασμα μου (που αναφέρω βάζοντας τώρα τα bold) αλλά το είχα απορρίψει για λόγους που εξηγώ παρακάτω:

[quote="gpapargi"] Πως γίνεται να έχουν στρατηγική νίκης και οι 2;

[b]Το μόνο που έχει νόημα είναι να έχει ο ένας (περιστέρι) στρατηγική νίκης όταν ο άλλος χρησιμοποιεί συγκεκριμένο αλγόριθμο καταδίωξης ή ανάποδα δηλαδή να έχει (το γεράκι) στρατηγική νίκης αν ο άλλος έχει συγκεκριμένο αλγόριθμο διαφυγής. [/b]Ίσως θυμάσαι που ρώταγα επίμονα (νομίζω σε προσωπικό μειλ) «τι πάει να πει ο χριστιανός διαφεύγει πάντα ότι και να κάνει το λιοντάρι. Πως γίνεται για κάθε κίνηση του λιονταριού η ίδια κίνηση του χριστιανού να ξεφεύγει αφού μπορεί να παίζουν καρτέρια κλπ;»
Τελικά το μόνο που κατάλαβα και το διάλεξα σαν προσέγγιση ήταν ότι πρέπει να σπάσουμε το πρόβλημα στα 2:
Α) Να δείξεις ότι το ο χριστιανός ξεφεύγει όταν το λιοντάρι εφαρμόζει καταδίωξη κοινής γωνίας και
Β) Να δείξεις ότι αν ο χριστιανός μπορεί να ξεφύγει από καταδίωξη κοινής γωνίας τότε μπορεί να το εκμεταλλευτεί αυτό για να ξεφύγει πάντα. Κάτι σαν ανισοτική απόδειξη με φράγμα δηλαδή

Εδώ όμως το πράγμα δεν πάει καλά. [b]Αν απλώς αποδείξεις ότι μια συγκεκριμένη στρατηγική του ενός οδηγεί σε συγκεκριμένη στρατηγική νίκης του άλλου,  νομίζω ότι δεν κάνεις τίποτα γιατί ένα τέτοιο μαθηματικό μοντέλο δεν περιγράφει το φυσικό πρόβλημα. [/b]Στη φύση είναι υποχρεωτικό αν τους βάλεις να τρέξουν ο ένας να κερδίσει. Δεν το λέω εγώ αυτό. Η φύση το λέει. Αν και οι 2 έχουν στρατηγική νίκης αυτό που καταλαβαίνω εγώ είναι ότι το μαθηματικό μας μοντέλο δεν περιγράφει σωστά το φυσικό πρόβλημα. Το φυσικό πρόβλημα είναι «ο καθένας κάνει ότι θέλει και αν σε κηνυγήσω ή σε πιάνω ή δε σε πιάνω»
Τι λέω στραβά;[/quote]

Η ένστασή μου είναι η εξής:
Οι 2 τους δεν είναι συμμετρικοί γιατί αν πιάσει το λιοντάρι το χριστιανό οι 2 τους δε θα πάθουν το ίδιο πράγμα.
Θέλω να πω πως [b]το λιοντάρι μπορεί να ενσωματώσει στη στρατηγική του ένα rule που να λέει ότι αν ο Χριστιανός δεν κάνει τίποτα εγώ απλά κατεβαίνω. Ακόμα και τη χρονική στιγμή t=0 κάτι έχει να κάνει που είναι μέρος της στρατηγικής του.[/b] Για το λιοντάρι δεν υπάρχει χρονική στιγμή που δεν έχει κάτι να κάνει. Αυτή η απροσδιοριστία όντως υπάρχει αλλά μόνο για το χριστιανό τη χρονική στιγμή 0.

[b]@george[/b]

[quote="gpapargi"]Θέλω να πω πως [b]το λιοντάρι μπορεί να ενσωματώσει στη στρατηγική του ένα rule που να λέει ότι αν ο Χριστιανός δεν κάνει τίποτα εγώ απλά κατεβαίνω. Ακόμα και τη χρονική στιγμή t=0 κάτι έχει να κάνει που είναι μέρος της στρατηγικής του.[/b] Για το λιοντάρι δεν υπάρχει χρονική στιγμή που δεν έχει κάτι να κάνει. Αυτή η απροσδιοριστία όντως υπάρχει αλλά μόνο για το χριστιανό τη χρονική στιγμή 0.[/quote]

Δεν έχεις δίκιο εδώ πέρα: όσο είναι καθορισμένη η πορεία του λιονταριού σε χρόνο 0, άλλο τόσο είναι και αυτή του χριστιανού. Και αυτός επίσης λέει: αν το λιοντάρι δεν πάει φουλ δεξιά στην αρχή, πηγαίνω εγώ. Σαν κανόνας, είναι ακριβώς ισοδύναμος με τον κανόνα του λιονταριού που λέει: αν ο χριστιανός δεν κινηθεί οριζόντια, εγώ κατεβαίνω.

Το πρόβλημα μοιάζει με το εξής παιχνίδι: ο παίκτης 1 έχει τη στρατηγική να παίζει Α αν ο παίκτης 2 παίζει Β και να παίζει Α' αλλιώς. Αν ο παίκτης 2 έχει τη στρατηγική να παίζει Β αν ο 1 παίζει Α' και Β' αν παίζει Α, τότε απλώς δεν μπορούν να εφαρμοστούν οι δύο στρατηγικές ταυτόχρονα και για να παιχτεί το παιχνίδι, κάποιος θα πρέπει να προδώσει τη στρατηγική του.

Στο πρόβλημα, ο καθένας έχει στρατηγική νίκης, οποιαδήποτε [i]τροχιά[/i] (όχι στρατηγική) και να ακολουθήσει ο άλλος. Ωστόσο, οι στρατηγικές τους αυτές απλώς δεν είναι δυνατό να εφαρμοστούν ταυτόχρονα.

[hide]Είναι δηλαδή διαφορετικό να νικάς όλες τις τροχιές από το να νικάς μία στρατηγική τροχιών. Θα μπορούσαμε ίσως να όρισουμε υπερ-στρατηγικές (στρατηγικές πάνω στο χώρο των στρατηγικών) που νικάνε οποιαδήποτε [i]στρατηγική[/i] νίκης έχει ο άλλος... και μετά για "2-υπερ-στρατηγικές" που να νικάνε οποιαδήποτε [i]υπερ-στρατηγική[/i] κ.ο.κ. φτιάχνοντας κάτι σαν το tower of subjective beliefs του Harsanyi... αλλά δε νομίζω ότι κάτι τέτοιο θα είχε ιδιαίτερα ενδιαφέρον.[/hide]

[b]@Dem[/b]
Το πρόβλημα μου θυμίζει πάρα πολύ θεωρία παιγνίων όπου οι στρατηγικές νίκης $ f, g$ είναι τα best responses και λες ότι μία επιλογή (εδώ οι τροχιές) είναι ένα Nash equilibrium όταν είναι best response του εαυτού του (δηλ. fixed point της απεικόνισης "best response"). Στη θεωρία παιγνίων όμως υπάρχουν Nash equilibria γιατί μπορείς να βρεις ένα τέτοιο fixed point είτε μέσω Kakutani fixed point theorem είτε από Brower... ξέρεις τι είναι αυτό που πηγαίνει στραβά στην περίπτωση αυτού του παιχνιδιού και αν οι Bollobas, Leader και Walters το έχουν κοιτάξει από αυτήν τη σκοπιά?

Βασικά, μήπως μπορείς να στείλεις ένα link του paper? Ακούγεται πολύ ενδιαφέρουσα δουλειά!

Cheerio,

Durandal 1707

Παναγιώτη, το paper βρίσκεται στο [url=http://front.math.ucdavis.edu/0909.2524]http://front.math.ucdavis.edu/0909.2524[/url].

Δεν γνωρίζω αρκετά από Nash equilibria για να μπορώ να πω τι πάει στραβά. Στο άρθρο πάντως δεν μιλάνε για Nash equilibria και δεν μπορώ να κρίνω αν είχαν κάτι υπόψη τους ή όχι. Στο άρθρο ορίζουν ένα διακριτό παιγνίδι όπου τρέχω για χρόνο ε, σταματάω, τρέχεις για χρόνο ε σταματάς κτλ. Πόσο κοντά μου μπορείς να φτάσεις; Σε αυτό το παιγνίδι δεν υπάρχουν τέτοια προβλήματα. Όταν όμως προσπαθείς να το συχετίσεις με το συνεχές παιγνίδι τότε υπάρχουν προβλήματα με το αν ο χώρος είναι συμπαγής και το αν επιτρέπονται ασυνεχείς στρατηγικές. Anyway, δες και από μόνος σου.

Γιώργο, πράγματι υπάρχει κάποια ασυμμετρία αφού έχουν διαφορετικό σκοπό ο καθε ένας στο παιγνίδι αλλά δεν είναι εκεί το πρόβλημα. Με τα δεδομένα του προβλήματος δεν μπορούν και οι δύο να εφαρμόσουν τις στρατηγικές τους. Σκέψου το εξής πρόβλημα: Ο χριστιανός και το λιοντάρι έχουν υπερφυσικές δυνάμεις και μπορούν ανά πάσα στιγμή να βρίσκονται σε όποιο σημείο της γης θέλουν. Στρατηγική για το λιοντάρι: "Βρίσκομαι πάντα όπου και ο χριστιανός". Στρατηγική για τον χριστιανό: "Βρίσκομαι πάντα στο αντιδιαμετρικό σημείο του λιονταριού". Αν προσπαθήσουμε να αποφύγουμε κάτι τέτοιο π.χ. για να αποφασίσει το λιοντάρι που θα βρίσκεται σε χρόνο t μπορεί να χρησιμοποιήσει μόνο το πως κινήθηκε ο χριστιανός μέχρι τον χρόνο t-ε τότε απαγορεύουμε και στρατηγικές του τύπου: "Τρέχω κατ' ευθείαν πάνω στον χριστιανό."

[quote="Demetres"]Παναγιώτη, το paper βρίσκεται στο [url=http://front.math.ucdavis.edu/0909.2524]http://front.math.ucdavis.edu/0909.2524[/url][/quote]

Vielen danke!!! :)

Επίσης +1 για το παράδειγμα ασύμβατων στρατηγικών :)

Durandal 1707

Θα τα σκεφτώ όλα αυτά  :)  Είναι αλήθεια ότι δεν μπορώ να τα χωνέψω.
Πέρα από τις ενστάσεις όμως, αν όντως είναι έτσι, αυτό δεν ακυρώνει τη δουλειά τπυ Besicovich που έλυσε το κλασσικό πρόβλημα; Θα μπορούσε ο χριστιανός απλά να φεύγει από την κοινή γωνία κάθε φορά που πάει να την κλειδώσει το λιοντάρι. Αν είναι έτσι στα σημειακά προβλήματα κάθε φορά ο κηνυγημένος έχει στρατηγική νίκης που βασίζεται στο τι θα κάνει ο άλλος.

Και στην περίπτωση που έχουν και οι 2 στρατηγικές νίκης δεν είναι δικό μου πρόβλημα αν δεν μπορούν να εφαρμοστούν ταυτόχρονα. Εγώ δεν πιστεύω ότι έχει και ο άνθρωπος τέτοια στρατηγική. Αυτός που πιστεύει ότι έχουν και οι 2 στρατηγική νίκης πρέπει να απαντήσει σε αυτό το θέμα. Αν όντως με τα δεδομένα του προβλήματος δεν μπορούν να εφαρμόσουν και οι 2 τις στρατηγικές τους αυτό σημαίνει είτε ότι δεν έχει τεθεί σωστά το πρόβλημα είτε ότι δεν έχουν και οι 2 τέτοιες στρατηγικές και το έχουμε λύσει λάθος.
Μου φαίνεται παράλογο το να έχουμε ένα καλώς ορισμένο πρόβλημα, να έχουν και οι 2 στρατηγικές νίκης και να μην μπορούν να τις εφαρμόσουν ταυτόχρονα.

[quote="gpapargi"]Θα τα σκεφτώ όλα αυτά  :)  Είναι αλήθεια ότι δεν μπορώ να τα χωνέψω.
Πέρα από τις ενστάσεις όμως, αν όντως είναι έτσι, αυτό δεν ακυρώνει τη δουλειά τπυ Besicovich που έλυσε το κλασσικό πρόβλημα;[/quote]

Όχι :!: Στο δισδιάστατο πρόβλημα, το λιοντάρι [b]δεν[/b] έχει στρατηγική νίκης (γιατί? :) ).

Cheerio,

Durandal 1707

Δεν εννοουσα οτι εχει στρατηγικη νικης το λιονταρι. Εννοουσα οτι τζαμπα τα εκανε ολα αυτα ο Besicovich. Θα μπορουσε να κανει μια απο τα ιδια πονταρντας στις μηδενικες διαστασεις των σημειων. Με αυτη την εννοια εννοω οτι την ακυρωσε.
Ο Bollobas εβαλε αυτη την περιεργη σχεση που δινει την αποσταση για να φροντισει να εχει στρατηγικη νικης και ο κηνυγος. Ο κηνυγημενος απο οτι καταλαβαινω σε σημειακες διαστασεις την εχει σχεδον παντα. Δεν το σκεφτηκα και πολυ αλλα νομιζω οτι ετσι πρεπει να ειναι. Ο σημειακος κηνυγημενος μπορει να ξεγλιστρα.

Για τα υπολοιπα τα σκεφτηκα και νομιζω πως εβγαλα ακρη. Αυριο θα γραψω τη γνωμη μου.

[quote="gpapargi"]Δεν εννοουσα οτι εχει στρατηγικη νικης το λιονταρι. Εννοουσα οτι τζαμπα τα εκανε ολα αυτα ο Besicovich. Θα μπορουσε να κανει μια απο τα ιδια πονταρντας στις μηδενικες διαστασεις των σημειων. Με αυτη την εννοια εννοω οτι την ακυρωσε.[/quote]

George, πραγματικά προσπαθώ να καταλάβω τι εννοείς, αλλά σε χάνω...  :|

Π.χ. τι σημαίνει "ποντάροντας στις μηδενικές διαστάσεις των σημείων"? Και πώς "ακύρωθηκε" η λύση του Besicovitch τη στιγμή που και στο καινούριο πρόβλημα η στρατηγική διαφυγής του χριστιανού είναι (μετά από αυθαίρετα μικρό χρόνο) η ίδια η στρατηγική του Besicovitch? :huh:

Cheerio,

Durandal 1707

Αν και δεν αποτελεί τη βασική μου ένσταση (που θέλω να τη στείλω σήμερα), με προβληματίζει το εξής:
Ας δεχτούμε ότι το λιοντάρι εφαρμόζει καταδίωξη κοινής γωνίας δηλαδή κλειδώνει τη γωνία του χριστιανού και επιτίθεται από μικρότερο r. Ο προβληματισμός μου είναι ο εξής:
Θα ήταν σωστός ο Besicovitsh αν έδινε απλά την εξής στρατηγική διαφυγής στο χριστιανό (αντί για την πολυγωνική γραμμή):
Μόλις το λιοντάρι βρεθεί στην ίδια γωνία (μου την κλειδώσει δηλαδή) εγώ απλά αλλάζω γωνία και ξεκλειδώνω τη γωνία μου. Δηλαδή δεν τον αφήνω να κάτσει πάνω από μια στιγμή στην ίδια γωνία με εμένα.

Το λιοντάρι επειδή είναι στην εσωτερική μπορεί πάντα να ξανακλειδώνει. Αλλά ο χριστιανός μπορεί να ξεκλειδώνει. Όπως το Λ λέει «όποτε είμαι σε διαφορετική γωνία πάω στην ίδια γωνία», ο Χ λέει: «όποτε έρθει στην ίδια γωνία με εμένα εγώ την αλλάζω». Σε τι διαφέρει από την περίπτωσή μας που ο Χ λέει "όταν το Λ κινείται εγώ σταματάω και αν σταματήσει εγώ φεύγω";

[quote="gpapargi"]Θα ήταν σωστός ο Besicovitsh αν έδινε απλά την εξής στρατηγική διαφυγής στο χριστιανό (αντί για την πολυγωνική γραμμή):
Μόλις το λιοντάρι βρεθεί στην ίδια γωνία (μου την κλειδώσει δηλαδή) εγώ απλά αλλάζω γωνία και ξεκλειδώνω τη γωνία μου. Δηλαδή δεν τον αφήνω να κάτσει πάνω από μια στιγμή στην ίδια γωνία με εμένα.[/quote]

George, το έχουμε ξανασυζητήσει αυτό και δε δουλεύει γιατί το λιοντάρι πάντα μπορεί να βρίσκεται στην ίδια επιβατική ακτίνα με το χριστιανό :) Η στρατηγική νίκης του χριστιανού εδώ πέρα όμως δεν έχει να κάνει με κάτι τέτοιο και είναι αρκετά πιο subtle...

Σε περίπτωση που έχει δημιουργηθεί κάποια σύγχυση, να θυμίσω ότι η στρατηγική νίκης του χριστιανού είναι η εξής:

0. Ο χριστιανός παρατηρεί την τροχιά του λιονταριού χωρίς καθυστέρηση.

1a. Αν υπάρχει κάποιο $ \delta>0$ ώστε η τροχιά του λιονταριού να είναι $ (t,0)$ για όλα τα $ t: 0\leq t \leq \delta$, ο χριστιανός μένει στο $ (0,0)$ για χρόνο $ \delta$.
1b. Αν δεν υπάρχει τέτοιο $ \delta>0$, ο χριστιανός ακολουθεί την πορία $ (t,0)$ για $ t: 0\leq t \leq \delta_1$ όπου $ \delta_1>0$ μία αυθαίρετη σταθερά $ <1$.

2. Σε χρόνο $ \delta$ ή $ \delta_1$ ο χριστιανός θα έχει διαφορετική θέση από το λιοντάρι, οπότε από εκείνη τη χρονική στιγμή και μετά μπορεί να εφαρμόσει τη στρατηγική Besicovitch.

Cheerio,

Durandal 1707

Παναγιώτη, νομίζω ο Γιώργος λέει κάτι διαφορετικό. Λέει για το παιγνίδι στην κυκλική αρένα

Στρατηγική για χριστιανό: Ας υποθέσουμε πως σε κάποια στιγμή το λιοντάρι έχει συντεταγμένες $ (r_L,\theta_L)$ και ο χριστιανός $ (r_C,\theta_C)$ με $ \theta_L\equal{}\theta_C$, τότε για ένα πολύ μικρό χρονικό διάστημα

-Αν το λιοντάρι αυξάνει συνέχεια ή διατηρεί σταθερό το θ του, τότε ο χριστιανός το μειώνει.
-Αν το λιονταρι μειώνει συνέχεια το θ του, τότε ο χριστιανός το αυξάνει.

Άρα ο χριστιανός θα καταφέρει να πετύχει διαφορετικό θ από το λιοντάρι. Μετά όταν το λιοντάρι ξαναπετύχει το ίδιο θ τότε ο χριστιανός επεναλαμβάνει τον ίδιο αλγόριθμο.

---------------------
Υπάρχει ένα προβληματάκι με την διατύπωση της πιο πάνω στρατηγικής αλλά ας το αγνοήσουμε προς το παρόν.

Βλέπω δυο διαφορές με το άλλο πρόβλημα. Η πρώτη είναι πως θα γνωρίζουμε ότι όταν το λιοντάρι ξαναπετύχει το ίδιο θ δεν θα έχει πιάσει τον χριστιανό. Νομίζω όμως πως αυτό το συζητήσαμε αρκετά στο άλλο θέμα και μάλλον είμαστε εντάξει.

Το δεύτερο πρόβλημα νομίζω είναι πιο σημαντικό. Το λιοντάρι μπορεί να πετύχει το ίδιο θ όσο γρήγορα θέλει. Τι θέλω να πω: Ας πούμε ότι την πρώτη φορά που ξέφυγε ο χριστιανός από την ίδια ακτίνα το λιοντάρι έκανε ένα λεπτό να ξαναπετύχει την ίδια ακτίνα. Τη δεύτερη φορά το λιοντάρι μπορεί να ξαναπετύχει το ίδιο θ σε 1/2 λεπτό, την επόμενη σε 1/4 λεπτό κτλ. Άρα έχουμε δώσει στρατηγική για τον χριστιανό μόνο για δύο λεπτά και μετά δεν του λέμε τι να κάνει. Δεν είμαι σίγουρος στο δεύτερο λεπτό τι συμβαίνει. (Αν τον έχει πιάσει ή όχι.)  Αν δεν τον πιάνει ίσως να μπορούμε να επαναλά΄βουμε ξανά και ξανά...

Ναι, ακριβώς αυτό εννοώ Δημήτρη. Είχα γράψει αρχικά «το κλασσικό πρόβλημα» που έλυσε ο Besicovich και νόμιζα πως ήταν ΟΚ. Sorry Παναγιώτη αν δεν το διατύπωσα όπως έπρεπε.

[quote="Demetres"]
Το δεύτερο πρόβλημα νομίζω είναι πιο σημαντικό. Το λιοντάρι μπορεί να πετύχει το ίδιο θ όσο γρήγορα θέλει. Τι θέλω να πω: Ας πούμε ότι την πρώτη φορά που ξέφυγε ο χριστιανός από την ίδια ακτίνα το λιοντάρι έκανε ένα λεπτό να ξαναπετύχει την ίδια ακτίνα. Τη δεύτερη φορά το λιοντάρι μπορεί να ξαναπετύχει το ίδιο θ σε 1/2 λεπτό, την επόμενη σε 1/4 λεπτό κτλ. Άρα έχουμε δώσει στρατηγική για τον χριστιανό μόνο για δύο λεπτά και μετά δεν του λέμε τι να κάνει. Δεν είμαι σίγουρος στο δεύτερο λεπτό τι συμβαίνει. (Αν τον έχει πιάσει ή όχι.)  Αν δεν τον πιάνει ίσως να μπορούμε να επαναλά΄βουμε ξανά και ξανά...[/quote]

Αυτό όντως Δημήτρη σηκώνει κουβέντα. Πχ αν ο Χ δώσει μια «ανάποδη γκαζιά» ξεφεύγει για λίγο και μετά από πεπερασμένο χρόνο το Λ τον πιάνει αφού είναι τρέχει σε «εσωτερικό κουλουάρ». Ωστόσο δεν μπορώ να καταλάβω τι θα αλλάξει στην επόμενη «ανάποδη γκαζιά» και θα τον φτάσει το Λ σε λιγότερο χρόνο. Μου φαίνεται ότι ο χρόνος θα είναι ακριβώς ο ίδιος. Μάλιστα ο χρόνος αυτός μπορεί να είναι μεγάλος αν η διαφορά των ακτίνων τους είναι μικρή (dr) γιατί θα είναι αναγκασμένος να δαπανήσει σχεδόν όλη την ταχύτητά του σε γραμμική ταχύτητα περιφερείας.

Έχει ενδιαφέρον να το δούμε αυτό, ωστόσο δεν είναι η βασική μου ένσταση. Η βασική μου ένσταση είναι ότι όντως έχουν και οι 2 στρατηγική νίκης, αλλά αυτό συμβαίνει μόνο και μόνο γιατί το πρόβλημα δεν είναι καλώς ορισμένο. ΕΠίσης πρέπει να δούμε πως ακριβώς λειτουργεί ο μηχανισμός της "ανάποδης γκαζιάς" και να δούμε σε τι κανόνες πρέπει να υπόκειται γιατί αυτό είναι το κλειδί της λύσης του Bollobas. Αυτό θα πρέπει να συζητηθεί για να δούμε και σε πόσο χρόνο πιάνει και ξαναπιάνει και ξαναπιάνει το Λ τη γωνία του Χ στο αρχικό πρόβλημα της κυκλικής (επίπεδης) αρένας.

Σήμερα οπωσδήποτε θα γράψω αναλυτικά για την ένστασή μου.

[quote="gpapargi"]Ωστόσο δεν μπορώ να καταλάβω τι θα αλλάξει στην επόμενη «ανάποδη γκαζιά» και θα τον φτάσει το Λ σε λιγότερο χρόνο. Μου φαίνεται ότι ο χρόνος θα είναι ακριβώς ο ίδιος. Μάλιστα ο χρόνος αυτός μπορεί να είναι μεγάλος αν η διαφορά των ακτίνων τους είναι μικρή (dr) γιατί θα είναι αναγκασμένος να δαπανήσει σχεδόν όλη την ταχύτητά του σε γραμμική ταχύτητα περιφερείας.
[/quote]

Το πρόβλημα είναι ότι εμείς ως χριστιανός ακολουθώντας την συγκεκριμένη στρατηγική, δεν ξέρουμε πόσο γρήγορα το λιοντάρι θα καταλάβει ότι το ξεγελάσαμε. Μπορεί να το καταλάβει όσο γρήγορα θέλει. Όσο πιο γρήγορα το καταλάβει, τόσο πιο μικρή θα είναι η διαφορά του θ που θα έχουμε ανοίξει και άρα θα μας φτάσει γρήγορα ακόμη και αν η διαφορά του r είναι μικρή.

Στον περίεργο μετρικό χώρο δεν συμβαίνει αυτό επειδή μόλις του ξεφύγουμε ακολουθούμε την τακτική του Besicovitch.

Αυτό είναι πολύ σημαντικό και πρέπει να ξεκαθαριστεί. Οι 2 τους έχουν δυνατότητα να καταλαβαίνουν και να αλλάζουν ταχύτητα σε χρόνο 0 από τη στιγμή που την άλλαξε ο άλλος ή όχι;
Εγώ τόση ώρα υπέθετα ότι ο χρόνος είναι μηδενικός. Από εκεί προέρχεται και η αντίφαση.
Και στην παλιά κυκλική αρένα είχε υποτεθεί ότι το Λ αλλάζει διάνυσμα ταχύτητας ακαριαία. Και προφανώς ότι ισχύει για τον ένα εισχύει και για τον άλλο.

Ναι μπορούν να αλλάζουν σε χρόνο 0.

Ναι. Αφού τη στιγμή t, η καμπύλη του Λ είναι συνάρτηση της καμπύλης του Χ μέχρι τη στιγμή t (και όχι νωρίτερα) αυτό σημαίνει ότι για να αποφασίσει το Λ τι θα κάνει τώρα, μπορεί να χρησιμοποιήσει το που βρίσκεται ο Χ τώρα και όχι την καμπύλη του μέχρι τη στιγμή t-d όπου d κάποιο delay. Άρα αλλάζει ταχύτητα αμέσως. Το ίδιο και ο Χ.

Για να νιώσουμε διαισθητικά τι συμβαίνει πρέπει να χρησιμοποιήσουμε το ακόλουθο νοητικό μοντέλο: θεωρούμε ότι οποιοσδήποτε από τους 2 θέλει να αλλάξει ταχύτητα μπορεί να «παγώσει» το χρόνο. Όσο ο χρόνος είναι παγωμένος σε μια χρονική στιγμή t, είναι σα να βλέπουμε μια φωτογραφία της καταδίωξης με το χρόνο να μην κυλάει αλλά τους 2 να μπορούν να κάνουν άπειρες σκέψεις μέσα σε αυτή τη χρονική στιγμή t και τον καθένα να «ακούει» τις σκέψεις του άλλου. Αυτό δεν το χρειάζονται οι 2 τους αφού μπορούν σε κάθε χρονική στιγμή να κάνουν όσες σκέψεις θέλουν πριν αλλάξει ο χρόνος. Το χρειαζόμαστε εμείς για να παρακολουθήσουμε το τι συμβαίνει.

Να ένα μικρό demo: Κάποια στιγμή που το Λ είναι πάνω από το Χ (ίδια καρτεσιανά x, y και διαφορετικό z), ο Χ αποφασίζει να ξεφύγει από τη σκιά του Λ. Παγώνει λοιπόν το χρόνο. Σε παγωμένο χρόνο αλλάζει το οριζόντια ταχύτητα. Επίσης σε παγωμένο χρόνο αυτό το βλέπει το Λ και αλλάζει την ταχύτητά του κάνοντας της ίδια με του Χ. Αυτό το βλέπει ο Χ και ξαναλλάζει την ταχύτητά του. Τα ίδια και το Λ και πάει λέγοντας. Αυτό μπορεί να γίνεται επ’ άπειρον χωρίς να μπορούν να ξεκολλήσουν από τη χρονική στιγμή t. Αυτό είναι ένα πρόβλημα. Ένας τρόπος παράκαμψης (που όμως αλλάζει τα δεδομένα του προβλήματος) είναι να υποθέσουμε ότι κάθε παίκτης έχει το δικαίωμα να αλλάξει την ταχύτητά του για ίδιο (και συγκεκριμένο) αριθμό φορών σε μια χρονική στιγμή. Αν κάνει την αλλαγή του μετά δεν έχει δικαίωμα να ξανααλλάξει την ίδια χρονική στιγμή. Οπότε εδώ το πλεονέκτημα το έχει όποιος αλλάξει δεύτερος.

Αν δηλαδή ξεκινούν με ίδια θέση και ταχύτητα, τότε κάποια στιγμή ο Χ πρέπει να αλλάξει. Μόλις το κάνει αυτό έκανε χρήση του δικαιώματός του για τη συγκεκριμένη χρονική στιγμή. Μετά το Λ απλά ακολουθεί και διατηρεί το πλεονέκτημα. Αν όμως αρχικά έχουν ίδια θέση αλλά διαφορετική ταχύτητα τότε το Λ είναι αυτό που πρέπει να αλλάξει και ο Χ αυτός που θα αλλάξει δεύτερος κρατώντας το πλεονέκτημα.
Τα παραπάνω είναι για να καταλάβουμε τη προβλήματα υπάρχουν σε μια μόνο χρονική στιγμή.

Ένα άλλο πρόβλημα είναι το εξής:  Η στρατηγική του καθενός στηρίζεται στην στρατηγική του άλλου μέχρι εκείνη τη στιγμή. Τι γίνεται όμως τη χρονική στιγμή 0 που δεν έχουμε παρελθόν;
Ο Χ έχει απροσδιοριστία ως προς το τι θα κάνει αφού το Λ δεν έχει κάνει τίποτα μέχρι τότε. Έχει απροσδιοριστία και ως προς το x, ως προς το y και ως προς το z.
Το Λ έχει απροσδιοριστία μόνο ως προς τα x και y. Ως προς το z ξέρει τι να κάνει, απλά θα κατέβει. Επειδή το κρίσιμο θέμα είναι αν ο Χ θα φύγει από τη σκιά του Λ, έχουμε απροσδιοριστία.

Με βάση αυτά που έγραψα πιο πριν για το γίνεται σε μια χρονική στιγμή, έχοντας ο καθένας  άπειρες αλλαγές κάθε στιγμή, ας αναλογιστούμε τι γίνεται τη χρονική στιγμή 0. Θα μείνουν για πάντα εκεί μην μπορώντας να ξεκολλήσουν.

Όπως έγραψε ο Παναγιώτης δεν είναι δυνατόν να ξεκινήσουν και να εφαρμόζουν ταυτόχρονα και οι τη στρατηγική τους. Αυτό εμένα μου λέει ότι κανείς δεν έχει εφαρμόσιμη στρατηγική. Δηλαδή κανείς δεν έχει στρατηγική (μια που μιλάμε μόνο για εφαρμόσιμες στρατηγικές). Οι στρατηγικές που περιγράφει ο Bollobas κατά τη γνώμη μου δεν είναι καλώς ορισμένες. Πέρα από το διαισθητικό πρόβλημα που είδαμε, μπορούμε να το δούμε και αλγεβρικά.
Αν $ l(t)\equal{}g[m(t)]$ και $ m(t)\equal{}f[l(t)]$ τότε κάνοντας στην πρώτη σχέση απαλοιφή του $ m(t)$ με τη βοήθεια της δεύτερης σχέσης προκύπτει: $ l\equal{}g[f(l)]$
Δηλαδή καταλήγουμε σε μια αναδρομική σχέση η οποία για να είναι καλά ορισμένη πρέπει να έχει και κάποια αρχική συνθήκη, η οποία όμως δε υπάρχει από τα δεδομένα.

Η άποψή μου είναι η εξής:  με βάση τα δεδομένα του προβλήματος δεν μπορούν και οι 2 να εφαρμόσουν ταυτόχρονα τις στρατηγικές νίκης τους. Άρα δεν υπάρχουν εφαρμόσιμες στρατηγικές νίκης. Οι 2 στρατηγικές νίκης που λέει το paper δεν είναι καλά ορισμένες. Αφού συμφωνούμε όλοι ότι δε γίνεται να τις εφαρμόσουν και οι 2 ταυτόχρονα τότε πως λέμε ότι υπάρχουν;

Επίσης κατά τη γνώμη μου, η νίκη του ενός είναι αμοιβαία αποκλειόμενο ενδεχόμενο με τη νίκη του άλλου και αυτό είναι αξίωμα. Το να καταλήγεις σε στρατηγική νίκης και για τους 2 είναι άτοπο. Και επειδή δεν έχεις κάνει άλλο λάθος το πρόβλημα είναι στα δεδομένα της εκφώνησης και συγκεκριμένα στο πως ξεκολλάνε από μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή αν ο καθένας μπορεί να αλλάξει ταχύτητα όσες φορές θέλει σε νεκρό χρόνο.
Το paper καταλήγει σε στρατηγικές νίκης και για τους 2 μόνο και μόνο γιατί αποδέχεται την εκφώνηση ενός όχι καλώς ορισμένου προβλήματος. Η γνώμη μου είναι ότι δεν έπρεπε να τη δεχτεί, ή τουλάχιστον δεν έπρεπε να πατήσει στο σκοτεινό σημείο για να στηρίξει τη λύση. Κάτι τέτοιο νομίζω ότι έκανε ο Besicovich που δε στάθηκε στο ότι μπορεί ο ένας να κλειδώνει γωνία και ο άλλος να ξεκλειδώνει.

[quote="gpapargi"]Να ένα μικρό demo: Κάποια στιγμή που το Λ είναι πάνω από το Χ (ίδια καρτεσιανά x, y και διαφορετικό z), ο Χ αποφασίζει να ξεφύγει από τη σκιά του Λ. Παγώνει λοιπόν το χρόνο. Σε παγωμένο χρόνο αλλάζει το οριζόντια ταχύτητα. Επίσης σε παγωμένο χρόνο αυτό το βλέπει το Λ και αλλάζει την ταχύτητά του κάνοντας της ίδια με του Χ. Αυτό το βλέπει ο Χ και ξαναλλάζει την ταχύτητά του. Τα ίδια και το Λ και πάει λέγοντας. Αυτό μπορεί να γίνεται επ’ άπειρον χωρίς να μπορούν να ξεκολλήσουν από τη χρονική στιγμή t.
[/quote]

Δε συμφωνώ εδώ george. Μπορείς να υπολογίσεις την ταχύτητα του άλλου με βάση τη τροχιά του μέχρι εκείνη τη στιγμή [i]μόνο[/i] αν οι τροχιές είναι συνεχώς παραγωγίσιμες. Αν δεν είναι (που οι Besicovitch π.χ. δεν είναι), δεν μπορείς να ισχυριστείς ότι ο Α βλέπει την ταχύτητα του Β από μία παρατήρηση ώστε να αλλάξει τη δική του κλπ.

[quote]Ένα άλλο πρόβλημα είναι το εξής:  Η στρατηγική του καθενός στηρίζεται στην στρατηγική του άλλου μέχρι εκείνη τη στιγμή.[/quote]

Να κάνω μία μικρή (αλλά σημαντική) διόρθωση εδώ: η [i]τροχιά[/i] του ενός καθορίζεται από την [i]τροχιά[/i] του άλλου μέχρι εκείνη τη στιγμή. Οι στρατηγικές είναι διαφορετικά ζώα και δεν έχουν να κάνουν με τις τροχιές...

[quote]Όπως έγραψε ο Παναγιώτης δεν είναι δυνατόν να ξεκινήσουν και να εφαρμόζουν ταυτόχρονα και οι τη στρατηγική τους. Αυτό εμένα μου λέει ότι κανείς δεν έχει εφαρμόσιμη στρατηγική. Δηλαδή κανείς δεν έχει στρατηγική (μια που μιλάμε μόνο για εφαρμόσιμες στρατηγικές).[/quote]

You are jumping to conclusions here. Το ότι οι συγκεκριμένες στρατηγικές είναι ασύμβατες απλώς σημαίνει ότι δεν υπάρχουν τροχιές $ \ell, m$ ώστε $ \ell \equal{} g(m)$ και $ m \equal{} f(\ell)$.

Αυτό δε σημαίνει ότι οι στρατηγικές δεν είναι καλώς ορισμένες. Σημαίνει αντίθετα ότι πρέπει να εγκαταλείψουμε τη διαισθητική πεποίθηση ότι πρέπει οπωσδήποτε να είναι δυνατό δύο [i]στρατηγικές[/i] να εφαρμόζονται ταυτόχρονα.

Γιατί άλλωστε να ισχύει αυτή η πεποίθηση? Φαίνεται προφανής, αλλά κάθε άλλο παρά προφανής είναι και, όπως είδαμε, απλούστατα δεν ισχύει. Αν επιτρέψουμε ασυνεχείς τροχιές π.χ., το παράδειγμα του Dem (το λιοντάρι τηλεμεταφέρεται στο σημείο του χριστιανού και ο χριστιανός τηλεμεταφέρεται στο αντιδιαμετρικό του χριστιανού) δείχνει ακριβώς πώς καταρρέει η διαισθητική αυτή πεποίθηση. Το ίδιο συμβαίνει και με το κλασικό ψευδοδίλημμα "τι συμβαίνει όταν μία άπειρη δύναμη ασκηθεί σε ένα ακλόνητο σημείο". Όλες αυτές είναι απλώς ασύμβατες στρατηγικές.

Συμβαίνει λοιπόν και στο συγκεκριμένο πρόβλημα η στρατηγική νίκης του ενός να είναι ασύμβατη με τη στρατηγική νίκης του άλλου. Ok, cool. Why is this so hard to accept?

[quote]Οι στρατηγικές που περιγράφει ο Bollobas κατά τη γνώμη μου δεν είναι καλώς ορισμένες. Πέρα από το διαισθητικό πρόβλημα που είδαμε, μπορούμε να το δούμε και αλγεβρικά. Αν $ l(t) \equal{} g[m(t)]$ και $ m(t) \equal{} f[l(t)]$ τότε κάνοντας στην πρώτη σχέση απαλοιφή του $ m(t)$ με τη βοήθεια της δεύτερης σχέσης προκύπτει: $ l \equal{} g[f(l)]$. Δηλαδή καταλήγουμε σε μια αναδρομική σχέση η οποία για να είναι καλά ορισμένη πρέπει να έχει και κάποια αρχική συνθήκη, η οποία όμως δε υπάρχει από τα δεδομένα.[/quote]

Sorry, αλλά εδώ απλώς κάνεις λάθος. Το όλο ζήτημα είναι το αν και κατά πόσο υπάρχει ένα σταθερό σημείο της απεικόνισης $ g\circ f: \cal{L\to L}$. Ποιες αρχικές συνθήκες?

[quote]Η άποψή μου είναι η εξής:  με βάση τα δεδομένα του προβλήματος δεν μπορούν και οι 2 να εφαρμόσουν ταυτόχρονα τις στρατηγικές νίκης τους.[/quote]
Αυτό είναι σωστό.

[quote] Άρα δεν υπάρχουν εφαρμόσιμες στρατηγικές νίκης.[/quote]

Αυτό είναι λανθασμένο. Δεν υπάρχουν [i]ταυτόχρονα[/i] εφαρμόσιμες (δηλ. συμβατές) στρατηγικές νίκης.

[quote]Οι 2 στρατηγικές νίκης που λέει το paper δεν είναι καλά ορισμένες. Αφού συμφωνούμε όλοι ότι δε γίνεται να τις εφαρμόσουν και οι 2 ταυτόχρονα τότε πως λέμε ότι υπάρχουν;[/quote]

Μα δε λέμε αυτό. Λέμε 2 διαφορετικά πράγματα και βγάζουμε ένα πολύ όμορφο πόρισμα:

1. Το λιοντάρι έχει μία [i]στρατηγική[/i] τέτοια ώστε να πιάνει το χριστιανό, οποιαδήποτε [i]τροχιά[/i] και να ακολουθήσει ο χριστιανός.

2. Ο χριστιανός έχει μία [i]στρατηγική[/i] τέτοια ώστε να ξεφεύγει από το λιοντάρι, οποιαδήποτε [i]τροχιά[/i] και να ακολουθήσει το λιοντάρι.

Πόρισμα: το λιοντάρι και ο χριστιανός δεν μπορούν να εφαρμόσουν τις στρατηγικές τους ταυτόχρονα.

Κατά τη γνώμη μου, η σύγχυση έρχεται επειδή είναι εύκολο να μπερδέψει κανείς το σύνολο των τροχιών με μία στρατηγική. Στα (1), (2), ο χριστιανός και το λιοντάρι αντιστοίχως δεν είναι απαραίτητο να διαλέγουν την τροχιά τους με βάση μία στρατηγική, ακριβώς όπως στη λύση του Besicovitch κανέναν δεν είχε νοιάξει το αν το λιοντάρι ακολουθεί μία στρατηγική κυνηγώντας το χριστιανό - απλώς ψάχναμε τι πρέπει να κάνει ο χριστιανός δεδομένης της θέσης του λιονταριού.

Εκεί δεν μπορούσαμε να φτιάξουμε ένα παράδοξο όπως εδώ επειδή το λιοντάρι δεν έχει στρατηγική νίκης (απόδειξη? :D). Αντιθέτως, ο Bollobas και οι άλλοι δύο συγγραφείς (btw, ποιανού είναι βασικά η δουλειά Dem?) μας δείχνουν ακριβώς πόσο σημαντική είναι η έννοια της στρατηγικής και φτιάχνουν αυτό το "παράδοξο" πρόβλημα όπου πρέπει να εγκαταλείψουμε την ασαφή διατύπωση "ο ένας νικάει ό,τι και να κάνει ο άλλος".

Hope this helps,

Durandal 1707

[quote="Durandal"]Αντιθέτως, ο Bollobas και οι άλλοι δύο συγγραφείς (btw, ποιανού είναι βασικά η δουλειά Dem?) [/quote]

Όπως γνωρίζεις στα μαθηματικά άρθρα όλοι οι συγγραφείς παίρνουν ίσο μερίδιο (εν αντιθέσει με άλλoυς κλάδους.) Πάντως όταν πρωτάκουσα για αυτό το θέμα (σε ομιλία του Leader) ήταν μόνο Bollobas-Leader αλλά το παράδειγμα ήταν σε ένα πολύπλοκο μή συμπαγή χώρο και το άφησε σαν ερώτημα αν μπορεί να υπάρξει παράδειγμα και σε συμπαγή χώρο. Οπότε μάλλον ο Walters (ήταν παρόν στην ομιλία) βρήκε αυτό το παράδειγμα ή είχε μια πολύ καλή ιδέα που οδήγησε σε αυτό το παράδειγμα.

Ο Leader ήταν μαθητής του Bollobas πριν από περίπου μια εικοσαετία. O Walters ήταν μαθητής του Gowers πριν από περίπου μια δεκαετία αλλά έχει συνεργαστεί αρκετά με τον Bollobas. (O Gowers ήταν και αυτός μαθητής του Bollobas πριν από περίπου μια εικοσαετία.) Όλα αυτά μπορείτε να τα βρείτε και από [url=http://genealogy.math.ndsu.nodak.edu/index.php]εδώ[/url].

[quote="Demetres"][quote="Durandal"]Αντιθέτως, ο Bollobas και οι άλλοι δύο συγγραφείς (btw, ποιανού είναι βασικά η δουλειά Dem?) [/quote]

Όπως γνωρίζεις στα μαθηματικά άρθρα όλοι οι συγγραφείς παίρνουν ίσο μερίδιο (εν αντιθέσει με άλλoυς κλάδους.)[/quote]

Ναι βρε Dem, don't take it the wrong way :) Eννοούσα μόνο μήπως ήξερες ποιος είχε την αρχική ιδέα να ψάξει ένα χώρο που να "κερδίζουν" και οι δύο, 's all ;)

Cheerio,

Durandal 1707

[quote="Durandal"]
Το ίδιο συμβαίνει και με το κλασικό ψευδοδίλημμα "τι συμβαίνει όταν μία άπειρη δύναμη ασκηθεί σε ένα ακλόνητο σημείο". Όλες αυτές είναι απλώς ασύμβατες στρατηγικές.
[/quote]

Οι φιλόσοφοι αυτό το απαντούν ως εξής:
Δεν είναι δυνατόν να υπάρχουν ταυτόχρονα αυτά τα 2. Η ύπαρξη άπειρης δύναμης σημαίνει ότι δεν υπάρχει ακλόνητο σημείο. Και η ύπαρξη ακλόνητου σημείου σημαίνει ότι δεν υπάρχει άπειρη δύναμη.
Ομοίως και στο πρόβλημα αν έχει ο Χ στρατηγική νίκης δε γίνεται να έχει ταυτόχρονα και το Λ στρατηγική νίκης. Και ύπαρξη στρατηγικής νίκης για το Λ σημαίνει ότι δεν έχει ταυτόχρονα στρατηγική νίκης για τον Χ.
Οι 2 τους δε γίνεται να έχουν ταυτόχρονα στρατηγική νίκης. Άρα γιατί το paper λέει ότι έχουν και οι 2;

Από ότι καταλαβαίνω θα μου πεις ότι έχουν και οι 2 ΑΛΛΑ ΟΧΙ ΤΑΥΤΟΧΡΟΝΑ.
Εντάξει, αλλά αν τους βάλεις να τρέξουν στην αρένα θα το κάνουν ταυτόχρονα. Το μαθηματικό μοντέλο δεν περιγράφει το πρόβλημά μας. Αυτό το είχα πει εξαρχής στο παρακάτω σημείο:

[quote="gpapargi"]
Εδώ όμως το πράγμα δεν πάει καλά. Αν απλώς αποδείξεις ότι μια συγκεκριμένη στρατηγική του ενός οδηγεί σε συγκεκριμένη στρατηγική νίκης του άλλου,  νομίζω ότι δεν κάνεις τίποτα γιατί ένα τέτοιο μαθηματικό μοντέλο δεν περιγράφει το φυσικό πρόβλημα. Στη φύση είναι υποχρεωτικό αν τους βάλεις να τρέξουν ο ένας να κερδίσει. Δεν το λέω εγώ αυτό. Η φύση το λέει. Αν και οι 2 έχουν στρατηγική νίκης αυτό που καταλαβαίνω εγώ είναι ότι το μαθηματικό μας μοντέλο δεν περιγράφει σωστά το φυσικό πρόβλημα. Το φυσικό πρόβλημα είναι «ο καθένας κάνει ότι θέλει και αν σε κηνυγήσω ή σε πιάνω ή δε σε πιάνω»
[/quote]

Στο παράδειγμα που περιγράφει το Dem με την τηλεμεταφορά, υπάρχει κατά τη γνώμη μου πρόβλημα ορισμού. Το Λ ορίζει τη θέση του ανάλογα με τη θέση του Χ. Επειδή η θέση του Χ δεν έχει οριστεί ακόμα ουσιαστικά το Λ ορίζει το άγνωστο (θέση Λ) δια του αγνώστου (θέση Χ). Αν οριστεί καλά η θέση του Χ τότε αυτομάτως θα οριστεί και η θέση του Λ. Όταν όμως έρχεται η ώρα να οριστεί η θέση του Χ, ορίζεται με βάση τη θέση του Λ η οποία ακόμα δεν έχει οριστεί. Δηλαδή έχουμε κυκλικό ορισμό.

Ένας που πιστεύει ότι το πρόβλημα είναι καλά ορισμένο θα πρέπει να απαντήσει το εξής: «Αν τους βάλουμε να τρέξουν στην ίδια αρένα, τότε ποιος θα κερδίσει;»
Αν το πρόβλημα είναι καλά ορισμένο και η νίκη του ενός συνεπάγεται την ήττα του άλλου, τότε γιατί δεν έχουμε ξεκάθαρη και μοναδική απάντηση;
Το πρόβλημα μου θυμίζει τη λύση μιας διαφορικής για να βρεθεί η τροχιά ενός κινητού, χωρίς όμως να υπάρχουν αρχικές συνθήκες. Τι τροχιά θα κάνει τελικά το κινητό; Το πρόβλημα δεν έχει τεθεί σωστά και δεν έχουμε μοναδική λύση.

Και ένα τελευταίο ερώτημα: Στο πρόβλημα της επίπεδης αρένας είναι σωστή η παρακάτω νικηφόρα στρατηγική του Χ; «Δεν αφήνω το Λ να αποχτήσει την ίδια γωνία με εμένα»
Δηλαδή αν κάποιος έδινε αυτή τη στρατηγική (που την περιγράφει καλύτερα ο Dem παραπάνω) θα θεωρούσαμε σωστή τη λύση του;

[quote="gpapargi"]
Στο παράδειγμα που περιγράφει το Dem με την τηλεμεταφορά, υπάρχει κατά τη γνώμη μου πρόβλημα ορισμού. Το Λ ορίζει τη θέση του ανάλογα με τη θέση του Χ. Επειδή η θέση του Χ δεν έχει οριστεί ακόμα ουσιαστικά το Λ ορίζει το άγνωστο (θέση Λ) δια του αγνώστου (θέση Χ). Αν οριστεί καλά η θέση του Χ τότε αυτομάτως θα οριστεί και η θέση του Λ. Όταν όμως έρχεται η ώρα να οριστεί η θέση του Χ, ορίζεται με βάση τη θέση του Λ η οποία ακόμα δεν έχει οριστεί. Δηλαδή έχουμε κυκλικό ορισμό.
[/quote]

Γιώργο έχεις απόλυτο δίκιο. Το είχα προσέξει από την Πέμπτη όταν απαντούσα στον Παναγιώτη αλλά άργησα και έτρεχα να προλάβω το τραίνο. Θα το έγραφα σήμερα αλλά με πρόλαβες. Να γράψω λοιπόν ποια η διαφορά αυτού του παραδείγματος από το αρχικό.

Η στρατηγική του χριστιανού/λιονταρίου σε χρόνο t, πρέπει να βασίζεται στο τι έκανε το λιοντάρι/χριστιανός στο διάστημα [0,t). Στο άρθρο γράφουν στο διάστημα [0,t]. Τεχνικά είναι λίγο λάθος αλλά ουσιαστικά δεν υπάρχει πρόβλημα επειδή οι τροχιές είναι συνεχείς. Αν γνωρίζεις την τροχιά του χριστιανού στο [0,t) θα την γνωρίζεις και στο διάστημα [0,t]. Στο παράδειγμά μου όμως δεν συμβαίνει αυτό επειδή οι τροχιές είναι ασυνεχείς.

[quote="gpapargi"]
Και ένα τελευταίο ερώτημα: Στο πρόβλημα της επίπεδης αρένας είναι σωστή η παρακάτω νικηφόρα στρατηγική του Χ; «Δεν αφήνω το Λ να αποχτήσει την ίδια γωνία με εμένα»
Δηλαδή αν κάποιος έδινε αυτή τη στρατηγική (που την περιγράφει καλύτερα ο Dem παραπάνω) θα θεωρούσαμε σωστή τη λύση του;[/quote]

Όπως την έχω περιγράψει παραπάνω όχι επειδή έχει αρκετά κενά. Δεν βλέπω πως μπορεί να μετατραπεί σε σωστή απόδειξη (δεν το έχω σκεφτεί και πολύ) αλλά δεν θα εκπλαγόμουν καθόλου αν γίνεται.

Αυτό που γράφεις Δημήτρη για το [0,t) αντί για [0,t] είναι πολύ ενδιαφέρον και θα σκεφτώ να δω τι επιπτώσεις (καλές ή κακές) μπορεί να έχει. (Πχ η συνάρτηση $ tsin\frac{1}{t}$ με μια δεξιά ολίσθηση για να φέρει το παθολογικό σημείο σε κάποια πεπερασμένη χρονική στιγμή).

Νομίζω πάντως ότι η βασική μου ένσταση ανάγεται κυρίως στον ορισμό της νικηφόρας στρατηγικής. Νομίζω ότι δεν αρκεί απλώς να έχεις μια στρατηγική που με δεδομένη την τροχιά του άλλου να έχεις σίγουρη νίκη. Πρέπει να ενσωματωθεί στον ορισμό και [b]το να μπορείς να την επιβάλεις [/b]στον άλλο. Διαφορετικά ο άλλος δε θα σε αφήσει να την εφαρμόσεις και άρα δεν θα μπορείς να πετύχεις νίκη. Τότε τι είδους νικηφόρα στρατηγική θα είναι αφού δε θα σε κάνει νικητή ενός [b]αληθινού[/b] παιχνιδιού με απόλυτη βεβαιότητα;


Prove that for all positive integers $ n$
\[ \sum_{k\,\equal{}\,1}^n{\sin{\left(\frac{(4k\minus{}1\minus{}2n)\pi}{4n\plus{}2}\right)}}\ \equal{}\ \frac{1}{2}
\]
:lol:


$ 1.2n\minus{}4.4<5.2 \implies 1.2n<9.6 \implies n<8$. Thus, we have $ 1\plus{}2\plus{}3\plus{}\dots\plus{}7\equal{}\frac{(7)(8)}{2}\equal{}\boxed{28}$.

[quote="Gamebot"]Find the sum of all positive integers  such that .
Find the sum of all positive integers $ n$ such that $ 1.2n\minus{}4.4<5.2$.

[/quote]

[hide="this is my answer"]1.we know that this is a inequaility so solving it like any other algebra problem we get n<8

2.since we're looking for the sum of all possible outcomes for n we get the #'s from 1-7

3.and we get the answer of 28 or $\boxed{28}[/hide]

 :starwars: :o    :starwars: :o

[b][i][u]rate my post it is greatly appreciated [=[/u][/i][/b]

please be fair though [= thanks!


1) There are 1000 little unit cubes in a big cube of each side of length 10. If the big cube has all it's sides painted, how many of the little cubes have at least one side painted?

2) what is the first digit in the base 9 representation of 12211111121222?

3) what is $k$ if $y=3x+k$ intersects the parabola at $y=x^2$

4) What is $k$ if $x^3-kx^2+2x+2$ is divisible by $x-2$?

5) What is the sum of all multiples of 11 which are less than 1000?

6) What is the sum of the reciprocals of the roots of $\frac{2005}{2006}x+1+\frac{1}{x}=0$?

7) A person stands on level ground 8 feet from the base of a 12 foot tall lamppost. the person's shadow is 2 feet longer than his height, what's his heitght?

Source: South Carolina All State Math Team Preliminary Test

For now I got.
[hide]1) 488
4) 3.5
5) 495
6) -1
7) about 13ft
[/hide]

Hope atleast one is right.

think realistically, how can sum of multiples of 11<1000 be 495?
How can a man be 13 ft tall?

All the others are correct though :)

P.S. your name in hindi means "mind"

Sorry is the answer for #5
 5395995

I made an error.
I'm workinng on 7 now

your answer for 5 is incorrect
[hide="number 5"]since $11 \cdot 90=990$, we know that our desired sum is $11 \cdot 1+11 \cdot 2+....11 \cdot 90=11(1+2+3+.....90)=11(45)(91)=45045$[/hide]

[hide="hint for 7"]think similar triangles[/hide]

[quote="dimak11214"]omg im so stupid i did that but used (495)(991)(11). I'm so stupid. :blush: Because 990 is the largest factor i used it without thinking. :blush:

oh yeah is number 7 [hide]6ft[/hide][/quote]

yes...try the other ones also...if you need a hint, just say so

[quote="Farenhajt"]2 and 3 are not clear:

2) leftmost or rigthmost digit?

3) the sentence seems incomplete - "intersects the parabola at...?"[/quote]

Oh, oops :blush: , intersects at one point, and leftmost..sorry aobut that

[hide="Remaining answers"]2) it's $4$.
3) $k=-{9\over 4}$
7) $6$ feet[/hide]


Find the number of subsets of {1,...,2000}, the sum of whose elements is divisible by 5.

[hide]

The answer is $ (1/5)(2^{2000} \plus{} 2^{402})$

Consider the polynomial

$ f(x) \equal{} (1 \plus{} x)(1 \plus{} x^2)...(1 \plus{} 1^2000)$

Then there is a bijection between each of the subset $ {a_1,a_2,...,a_m}$
 of $ {1,2,...,2000}$and the term $ x^{a_1}x^{a_2}...x^{a_m}$. Hence we are looking for the sum of coefficients of terms $ x^{5k}$ in $ f(x)$, $ k$ a positive integer. Let S denote that sum.

Let $ E \equal{} e^{i\pi/5}$ be a 5th root of unity. Then $ E^5 \equal{} 1$ and $ 1 \plus{} E \plus{} E^2 \plus{} E^3 \plus{} E^4 \equal{} 0$ Hence

(WTF is this????!?!?!)  $ S \equal{} (1/5)(f(E) \plus{} f(E^2) \plus{} ... \plus{} f(E^5))$

I do not understand Mr. Andreescu's solution

Can some1 explain how he just said S=blah

[/hide]

This technique (I believe) is known as a Roots of Unity filter.  Searh around on AoPS for some uses.
Here's one by [b]Altheman[/b]:  [url]http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?p=714204#714204[/url]
Here is a great article that can help:  [url]http://reflections.awesomemath.org/2006_2/2006_2_zach.pdf[/url].  See especially Problem 2.

Call some coefficient in the final polynomial which is not attached to an $ x^{5k}$ term $ c_n$, for example let it be $ c_{5k \plus{} 3}$. Over the sum, the terms contributed by $ c_{5k \plus{} 3}$ will add to be in the form $ (1 \plus{} E^3 \plus{} E^6 \plus{} E^9 \plus{} E^{12})c_{5k \plus{} 3} \equal{} (1 \plus{} E^3 \plus{} E \plus{} E^4 \plus{} E^2)c_{5k \plus{} 3} \equal{} 0$, whereas any coefficient $ c_{5k}$ will contribute $ (1^5 \plus{} E^5 \plus{} E^{10} \plus{} E^{15} \plus{} E^{20})c_{5k} \equal{} 5c_{5k}$.

Nitpick: that should be $ e^{2\pi i/5}$.

I really liked the problem#4 in that book.


calculus
integration
inequalities
calculus computations

Let $ k$ be an positive integer,then show that

$ \int_0^{k}\sqrt{x}(1\minus{}\frac{x}{k})^kdx<1$ .

Using the substitution $ x = kt$, we have

$ \int_{0}^{k} \sqrt{x}\left( 1-\frac{x}{k} \right)^k \, dx = k^{3/2} \int_{0}^{1} \sqrt{t} \, (1 - t)^k \, dt$.

Put $ I_k = \int_{0}^{1} \sqrt{t} \, (1 - t)^k \, dt$. Then for $ k \geq 1$, integration by parts

\begin{eqnarray*}
I_k & = & \left[ \frac{2}{3}t^{3/2} (1 - t)^k \right]_{0}^{1} + \frac{2k}{3} \int_{0}^{1} t \sqrt{t} \, (1 - t)^{k-1} \, dt\\
& = & \frac{2k}{3} (I_{k-1} - I_k)
\end{eqnarray*}

gives a recursion formula $ I_k = \frac{2k}{2k+3}I_{k-1}$. Inductively applying this formula and arranging, we have

$ \int_{0}^{k} \sqrt{x}\left( 1-\frac{x}{k} \right)^k \, dx = \frac{2 k^{3/2}}{(2k+3)(2k+1)} \left( \frac{2k}{2k-1} \frac{2k-2}{2k-3} \cdots \frac{2}{1} \right)$.

But since

\begin{eqnarray*}\left( \frac{2k}{2k-1} \frac{2k-2}{2k-3} \cdots \frac{2}{1} \right)^2
& = & (2k) \cdot \frac{2k(2k-2)}{(2k-1)^2} \cdot \frac{(2k-2)(2k-4)}{(2k-3)^2} \cdots \frac{4 \cdot 2}{3^2} \cdot \frac{2}{1}\\
& = & (4k) \cdot \frac{(2k-1)^2 - 1}{(2k-1)^2} \cdot \frac{(2k-3)^2 - 1}{(2k-3)^2} \cdots \frac{3^2 - 1}{3^2}\\
& \leq & 4k,
\end{eqnarray*}

we have

$ \int_{0}^{k} \sqrt{x}\left( 1-\frac{x}{k} \right)^k \, dx \leq \frac{4 k^2}{(2k+3)(2k+1)} < 1$.

Or, you may use the fact that $ \left( 1 - \tfrac{x}{k} \right)^k < e^{-x}$ for any positive integer $ k$ and $ 0 < x < k$. Then

$ \int_{0}^{k} \sqrt{x}\left( 1-\frac{x}{k} \right)^k \, dx <  \int_{0}^{k} \sqrt{x} e^{-x} \, dx <  \int_{0}^{\infty} \sqrt{x} e^{-x} \, dx = \Gamma\left( \tfrac{3}{2} \right).$

Then $ \Gamma\left( \tfrac{3}{2} \right) = \frac{\sqrt{\pi}}{2} = \frac{\sqrt{4}}{2} = 1$ proves the assertion.

You can use $ \sqrt{x}\leq \frac{1\plus{}x}{2}$. :lol:

[quote="sos440"]
Then $ \Gamma\left( \tfrac{3}{2} \right) \equal{} \frac {\sqrt {\pi}}{2} \equal{} \frac {\sqrt {4}}{2} \equal{} 1$ proves the assertion.[/quote]

 :maybe:

Then $ \Gamma\left( \tfrac{3}{2} \right) \equal{} \frac {\sqrt {\pi}}{2} < \frac {\sqrt {4}}{2} \equal{} 1$ proves the assertion.

I assume [b]sos440[/b] had this in mind (probably just a typo).

[quote="hsiljak"]I assume [b]sos440[/b] had this in mind (probably just a typo).[/quote]

 :blush: Sorry, it's because of my poor calculater. It can't tell difference between $ \pi$ and $ 4$.

[quote="Bovy11"]Let $ k$ be an positive integer,then show that

$ \int_0^{k}\sqrt {x}(1 \minus{} \frac {x}{k})^kdx < 1$ .[/quote]

$ \int_0^k \sqrt {x}\left(1 \minus{} \frac {x}{k}\right)^k\ dx\leq \int_0^k \frac {1 \plus{} x}{2}\left(1 \minus{} \frac {x}{k}\right)^k\ dx$ Set $ 1 \minus{} \frac {x}{k} \equal{} t$

$ \equal{} \frac {k}{2}\int_0^1 t^k(1 \plus{} k \minus{} kt)\ dt$

$ \equal{} \frac {k}{2}\left( \frac {1}{2}\left[\frac {t^{k \plus{} 1}}{k \plus{} 1}(1 \plus{} k \minus{} kt)\right]_0^1 \plus{} \int_0^1 \frac {kt^{k \plus{} 1}}{k \plus{} 1}\ dt\right)$

$ \equal{} \frac {k}{2}\cdot \frac {2(k \plus{} 1)}{(k \plus{} 1)(k \plus{} 2)}$

$ \equal{} \frac {k}{k \plus{} 2} < 1\ \because k > 0$. Q.E.D.

Thank you for fantastic solutions!sos440,kunny :lol:


A while back I found a page on this site that had all the "proofs without words" compiled on a single page.  I can't seem to find it anymore.  Can someone post a link?

Thanks!


calculus
integration
function
LaTeX
geometry
3D geometry
trigonometry

Top ln(e^10) reasons why e is better than [tex]\pi[/tex]

10) e is easier to spell than pi.
9) pi ~= 3.14 while e ~=2.718281828459045.
8) The character for e can be found on a keyboard, but pi sure can't.
7) Everybody fights for their piece of the pie.
6) ln(pi^1) is a really nasty number, but ln(e^1) = 1.
5) e is used in calculus while pi is used in baby geometry.
4) 'e' is the most commonly picked vowel in Wheel of Fortune.
3) e stands for Euler's Number, pi doesn't stand for squat.
2) You don't need to know Greek to be able to use e.
1) You can't confuse e with a food product.

An astronomer, a physicist and a mathematician (it is said) were holidaying in Scotland. Glancing from a train window, they observed a black sheep in the middle of a field.
"How interesting," observed the astronomer, "all scottish sheep are black!"

To which the physicist responded, "No, no! Some Scottish sheep are black!"

The mathematician gazed heavenward in supplication, and then intoned, "In Scotland there exists at least one field, containing at least one sheep, at least one side of which is black."

Two mathematicians are in a bar. The first one says to the second that the average person knows very little about basic mathematics. The second one disagrees, and claims that most people can cope with a reasonable amount of math.

The first mathematician goes off to the washroom, and in his absence the second calls over the waitress. He tells her that in a few minutes, after his friend has returned, he will call her over and ask her a question. All she has to do is answer "one third x cubed."

She repeats "one thir -- dex cue"?
He repeats "one third x cubed".
She asks, "one thir dex cuebd?"
"Yes, that's right," he says.
So she agrees, and goes off mumbling to herself, "one thir dex cuebd...".

The first guy returns and the second proposes a bet to prove his point, that most people do know something about basic math. He says he will ask the blonde waitress an integral, and the first laughingly agrees. The second man calls over the waitress and asks "what is the integral of x squared?".
The waitress says "one third x cubed" and while walking away, turns back and says over her shoulder "plus a constant!"

Why did the chicken cross the Mbius strip?
To get to the same side.

A quiet little man was brought before a judge. The judge looked down at the man and then at the charges and then down at the little man in amazement. "Can you tell me in your own words what happened?" he asked the man.

"I'm a mathematical logician dealing in the nature of proof."

"Yes, go on," said the astounded judge.

"Well, I was at the library and I found the books I wanted and went to take them out. They told me my library card had expired and I had to get a new one. So I went to the registration office and got in another line. And filled out my forms for another card. And got back in line for my card."

"And?" said the judge.

"And he asked 'Can you prove you are from New York City?' ...So I stabbed him."

Pick-Up Lines to use on Mathematics Chicks

 You fascinate me more than the Fundamental Theorem of Calculus.
 Are you a differentiable function? Because I'd like to be tangent to your curves!
 You and I would add up better than a Riemann sum.
 My love for you is a monotonic increasing function of time.
 Wanna come back to my room and see my copy of Euclid's "Elements"?
 I am equivalent to the Empty Set when you are not with me.

The Dictionary: what mathematics professors say and what they mean by it

Clearly: I don't want to write down all the "in-between" steps.
Trivial: If I have to show you how to do this, you're in the wrong class.
It can easily be shown: No more than four hours are needed to prove it.
Check for yourself: This is the boring part of the proof, so you can do it on your own time.
Hint: The hardest of several possible ways to do a proof.
Brute force: Four special cases, three counting arguments and two long inductions.
Elegant proof: Requires no previous knowledge of the subject matter and is less than ten lines long.
Similarly: At least one line of the proof of this case is the same as before.
Two line proof: I'll leave out everything but the conclusion, you can't question 'em if you can't see 'em.
Briefly: I'm running out of time, so I'll just write and talk faster.
Proceed formally: Manipulate symbols by the rules without any hint of their true meaning.
Proof omitted: Trust me, It's true.

This story is attributed to Professor Lev Loytiansky, the stage is in Soviet Union in thirties or forties.

L. organized the seminar in hydrodynamics in his University. Among the regular attendees there were two men in the uniform, obviously military engineers. They never discussed the problems they were working on. But one day they ask L. to help with a math. problem. They explained that the solution of a certain equation oscillated and asked how they should change the coefficients to make it monotonic. L. looked on the equation and said: "Make the wings longer!"

--------------------------------------------------------------------------------

Students asked ** to exclude a part of the course from the final exam. ** agreed. Encouraged by the easy success, the students asked to skip another part of the course, and ** agreed again, and then again. However, in the end of the term he did include all this material in the exam. The class loudly complained:
"Dr **, you promised us to skip this stuff!"
** answered: "Yes, I did. But I lied!"

Creepy??
Look what happens when an American President gets elected in a year with a "0"at the end.
1840: William Henry Harrison (died in office)
1860: Abraham Lincoln (assassinated)
1880: James A. Garfield (assassinated)
1900: William McKinley (assassinated)
1920: Warren G. Harding (died in office)
1940: Franklin D. Roosevelt (died in office)
1960: John F. Kennedy (assassinated)
1980: Ronald Reagan (survived assassination attempt)
2000: George W. Bush ????????????

Abraham Lincoln was elected to Congress in 1846.
John F. Kennedy was elected to Congress in 1946.
Abraham Lincoln was elected President in 1860.
John F. Kennedy was elected President in 1960.
Both were particularly concerned with civil rights.
Both wives lost their children while living in the White House.
Both Presidents were shot on a Friday.
Both Presidents were shot in the head.
Now it gets really weird.
Lincoln's secretary was named Kennedy.
Kennedy's Secretary was named Lincoln.
Both were assassinated by Southerners.
Both were succeeded by Southerners named Johnson.
Andrew Johnson, who succeeded Lincoln, was born in 1808.
Lyndon Johnson, who succeeded Kennedy, was born in 1908.
John Wilkes Booth, who assassinated Lincoln, was born in 1839.
Lee Harvey Oswald, who assassinated Kennedy, was born in 1939.
Both assassins were known by their three names.
Both names are composed of fifteen letters.

Hang on to your seat.
Lincoln was shot at the theater named 'Ford.'
Kennedy was shot in a car called 'Lincoln' made by 'Ford.'
Booth and Oswald were assassinated before their trials.

And here's the kicker.......
A week before Lincoln was shot, he was in Monroe, Maryland
A week before Kennedy was shot, he was with Marilyn Monroe.

Creepy huh?

This poem was written by Jon Saxton (an author of math textbooks).
((12 + 144 + 20 + (3 * 4^(1/2))) / 7) + (5 * 11) = 9^2 + 0

Or for those who have trouble reading the poem:

A Dozen, a Gross and a Score,
plus three times the square root of four,
divided by seven, plus five times eleven,
equals nine squared and not a bit more.

A girl holding a baby walks into a drug store and asks the clerk if she can use the store's baby scale.
"Sorry, ma'am," says the clerk. "Our baby scale is broken. But we can figure the baby's weight if we weigh mother and baby together on the adult scale, and then weigh the mother alone, and subtract the second number from the first."

"Oh, that won't work," says the girl.

"Why not?" asks the clerk.

"Because," she answers, "I'm not the mother - I'm the aunt." (Submitted by Faisel Saeed)

If you know any more please post them - I love laughing, and some of these gave me a good kick.

LOL man..
that 2 mathmaticians in a bar cracked me up...

heehee. i didn't get that one. lol. the lincoln and kennedy stuff is pretty creepy! i'd heard it all b4 tho. it's just really really weird.

[quote="h_s_potter2002"]I think you'll get the award for the longest post in AoPS.[/quote]

I agree. And good jokes

But can it compete with this?

([i]Post deleted because it made my monitor look like it had exploded --DP[/i])

[quote="Peter VDD"]Congrats, you bugged the board up with your post!

(wonder how that can happen?? :?)[/quote]

Some error happened?

Oh, and I guess I should just posted the link

Oh yes, I like these crazy spam quotes, but I don't think they can crash down a forum...

If I remember correctly, I once crashed down a thread on MathLinks by using some wrong LaTeX commands...

  Darij

Not what I meant... You know how you can quote someone by putting that that into a box. Well, think of a box, inside a box, inside a box, inside a box, inside a box, inside a box, inside a box, inside a box, inside a box, inside a box, inside a box, inside a box, inside a box, inside a box, inside a box, inside a box, inside a box, inside a box, inside a box, inside a box, inside a box, inside a box, inside a box, inside a box, inside a box, inside a box, inside a box, inside a box, inside a box, inside a box, inside a box, inside a box, inside a box, inside a box, inside a box, inside a box, inside a box, inside a box, inside a box, inside a box, inside a box, inside a box, inside a box, inside a box, inside a box, inside a box, inside a box, inside a box, inside a box, inside a box, inside a box, inside a box, inside a box, inside a box, inside a box, inside a box, inside a box, inside a box, inside a box, inside a box, inside a box, inside a box, inside a box, inside a box, inside a box, inside a box, inside a box, inside a box, inside a box, inside a box, inside a box, inside a box, inside a box, inside a box, inside a box, inside a box, inside a box, inside a box, inside a box, inside a box, inside a box, inside a box, inside a box, and in each box is a quote.

[quote="theone853"][quote="theone853"][quote="theone853"]Not what I meant...[/quote][/quote][/quote]

Yes, I did understand what you meant... I think this is a kind of spam, although it's funny...

  dg

i think the point is is that what i did bugged the thread by putting 1.5 pages into a quote

[quote="lunmu"]Wow.. that Lincoln-Kennedy thing was freaky... I never knew that... holy...[/quote]
I'll have to second that. (I finally got around to reading the whole thing.)

Hi EveryOne,

Getting back to mathematics related jokes, Im the current Webmaster for the mathematics and statistics club at York University (Toronto, Ontario, Canada) --- [i]Club Infinity[/i].   We have a compilation of some mathematics jokes we have collected over the years and links to other websites with many other math jokes.  You can access our clubs list of jokes and some links to other math humor webpages from the following webpage: < [url]http://www.math.yorku.ca/infinity/fun/index.html[/url] >.

Enjoy!

Yours truly,

mathfreak

[quote="MathFreak's Site"]You might be a mathematician if:
...You have calculated that the World Series actually diverges...[/quote]

That one took me a second.  But oh how I laughed when I got it.

Old one:

ntegral z-squared dz
from 1 to the cube root of 3
times the cosine
of three pi over 9
equals log of the cube root of 'e'.

Can you prove it?

hAhA i'm laghing so hard my stomach's starting to hurt

Pi goes on and on and on
And e is just as cursed
I wonder which is larger
When their digits are reversed?
--Martin Gardner

That is joml88's quote at the bottom, or at least it was there for quite a while.

A girl from the vast Fourth Dimension
Has a love life beyond comprehension.
With length, width, and height
She's an utter delight.
With her fourth ...it's too wond'rous to mention!

To a tightrope walker named Zecund
The 'a' due to gravity beckoned.
  His performance was great
  At about 9.8
m/sec2.

There was a young lady named List
Whose mouth had a funny half-twist.
  She'd turned both her lips
  Into Moebius strips.
'Til she's kissed you, you haven't been kissed.

A daring young student named Crottle
Poured water into a Klein bottle.
  When asked, "Do you doubt
  That some will run out?"
He replied, "No, I don't.  Quite a lot'll."

And one I dearly love (but it's not mine):

There was a young bard from Japan
Whose limericks never would scan.
  His poems all tend
  To come to an end
Abruptly.

A mathematician, a physicist, and an engineer were staying in the same hotel when a fire broke out in each of their rooms (don't argue, just accept it).
The engineer found a bucket, filled it with water, and used that to put out the fire.
The physicist pulled out a piece of paper, did some calculations, filled a Dixie cup with water, and threw it into a specific place in the fire.  The fire went out.
The mathematician looked at the fire, filled a Dixie cup with water.  He then put a match in the cup.  The match went out, the mathematician decided there was a solution, and he went back to bed.

From my math teacher, who may have heard it somewhere else.

Nice limericks, Soroban.  I especially like the fourth-dimension one.

This joke from Mike Cook's Canonical List is good:

Engineers and scientists will never make as much money as
business executives.  Now follows a rigorous mathematical Proof
that explains why this is true.

As every engineer knows,

Work/Time = Power

Since Knowledge = Power, and Time = Money, we have

Work/Money = Knowledge

Solving for Money, we get:

Work/Knowledge = Money

Thus, as Knowledge approaches zero, Money approaches infinity
regardless of the Work done.

Conclusion:  The Less you Know, the more you Make.

Note: It has been speculated that the reason why Bill Gates
dropped out of Harvard's math program was because he stumbled
upon this proof as an undergraduate, and dedicated the rest of
his career to the pursuit of ignorance.

[quote="A+MATH"]A engineer a lawyer and a acountent are asked what 2 + 2 is. The engineer takes two rod measuring 2cm each and finds it is 3.9999 cm exactly. The lawyer goes to court and legaly proof it is indeed 22. The accountent says "How big do you want me to make it?".[/quote]
...The mathematician ponders the question for a week and finally says, "I can't find the answer, but I can prove an answer exists."

My favorite one (that might have been mentioned already, I don't know)
A physicist and an engineer are drifting around in a hot-air balloon, lost. They see another person, also in a hot-air balloon, and ask, "Do you know where we are?"
The person says, "You're in a hot-air balloon," and drifts off.
The physicist says, "That must have been a mathematician."
"Why?" the engineer asks.
"The answer was absolutely correct, and absolutely useless."

[quote=Idefix][quote=NoDealsHere]$e^10$. Idk idk[/quote]

Why do you keep reviving ancient threads?[/quote]

its fun

[quote=theone853]h_s_potter2002 wrote:I think you'll get the award for the longest post in AoPS.

Ziggurats... Nuff said...

[hide]For those of you who want to know what those are... Ziggurats are when quotes are nested in quotes, which are also nested in quotes and it goes on for about 40 times. It killed the computers which dared to look at it.[/hide][/quote]


calculus
integration
function
algebra
polynomial
calculus computations

let  $ m$ and $ n$ be natural numbers , and we define two functions $ Q_m(t)$ and $ Q_n(t)$ by :for every real $ t$ , $ Q_m(t) \equal{} \frac {d^m}{dt^m}(t^2 \minus{} 1)^m$, and $ Q_n(t) \equal{} \frac {d^n}{dt^n}(t^2 \minus{} 1)^n$.

prove that :$ \int_{ \minus{} 1}^1{Q_m.Q_n(t)}dt \equal{} 0$.

Maybe I'm missing something, but shouldn't $ m$ and $ n$ have different parity? Then, we'd have a product of odd and even function-hence an odd fuction, integrated between symmetric bounds-and the integral would be 0. But in this form of problem, $ a\equal{}b\equal{}1$ is an obvious counterexample... giving the $ \int_{\minus{}1}^{1}4t^2dt\equal{}\frac{8}{3}$.

these are called Legendre Polynomials,

they are orthogonal to one another, but not when m=n (such as m=n=1), with inner product integration.

if you wanted them to be orthonormal, you would have to scale them, but as they are

$ \int_{ \minus{} 1}^1{Q_m.Q_n(t)}dt \equal{} \frac{n!m!}{2n\plus{}1}\delta_{mn}2^{n\plus{}m\plus{}1}$

hsiljak: No, we don't need the different parity. You only run into an issue like your "counterexample" if $ m=n.$

The most efficient path that I know is to prove that $ Q_n$ is orthogonal to every polynomial of degree less than $ n.$ Since $ Q_m$ is a polynomial of degree less than $ n$ for $ m<n,$ this includes the result that we want.

Let $ P(t)$ be a polynomial of degree at most $ n-1.$ We integrate by parts.

$ \int_{-1}^1P(t)Q_n(t)\,dt=\int_{-1}^1P(t) (\frac{d}{dt})^n(t^2-1)^n\,dt$

$ =P(t)(\frac{d}{dt})^{n-1} (t^2-1)^n|_{-1}^1 -\int_{-1}^1P'(t) (\frac{d}{dt})^{n-1}(t^2-1)^n\,dt$

But the boundary terms are zero at both ends because $ (\frac{d}{dt})^{n-1} (t^2-1)^n$ has zeros at $ -1$ and $ 1.$ Hence the original integral becomes:

$ =-\int_{-1}^1P'(t) (\frac{d}{dt})^{n-1}(t^2-1)^n\,dt$

$ =\int_{-1}^1P''(t) (\frac{d}{dt})^{n-2}(t^2-1)^n\,dt$

$ \dots$

$ =(-1)^{n}\int_{-1}^1P^{[n]}(t)(t^2-1)^n\,dt=0$

since $ P^{[n]}(t)=0.$

kenn2000: Yes we know these are the Legendre polynomials. This is a construction of those polynomials and an attempt to derive their properties. Here's the next property to derive:

Prove that for $ n\ge 1,$ $ Q_n(t)$ has $ n$ distinct real zeros in the interval $ (-1,1).$

[quote="Kent Merryfield"]hsiljak: No, we don't need the different parity. You only run into an issue like your "counterexample" if $ m \equal{} n.$ [/quote]

Yes, I've noticed that it's so- the minute I opened my textbook :) When I answered the question, I didn't have general concept of orthogonality in mind, just thought that the function had to be odd-and after posting, I remembered Legendre polynomials and their properties.


search
geometry
inequalities proposed
inequalities

I want crux problems.. any body can help me???

At [url]http://www.problemcorner.org/[/url] select the publication and nothing else.  (Some search features there don't work very well, but that one is OK.)


Suppose $a_{1},...,a_{k}$ integers, $(k\in\mathbb{Z}^{+})$, and $b_{1},...,b_{k}$ real numbers.
Prove that if $\left(b_{1}a_{1}^{i}+...+b_{k}a_{k}^{i}\right)$ is integer for all $i\in\mathbb{Z}$ such that $0\leq i<k$, then $\left(b_{1}a_{1}^{k}+...+b_{k}a_{k}^{k}\right)$ is integer too.

We can write the last sum as an integer linear combination of the first few.  I am too lazy to come up with the specifics  :D


The edges of a rectangular box are 2,3,4. What's the length of the shortest path from one vertex to the opposite vertex on the surface of the box?

In more readable form,
[hide]$\sqrt{2^2+3^2+4^2} =  \sqrt{29}$[/hide]

[quote="math92"]Try to use $\LaTeX$ as much as you can, That's what Valentin said[/quote]
 :)


What are the units of the rate constant for the equation:

H2 (g) + I2 (g) goes to 2HI (g)

The rate equation is k[H2][I2]

So the total degree is 2. So should the units of the rate constant be 1/(Ms) ?


Find $\ x,y\in\mathbb{N}$ such that $\ x^3-y^3=5y^2+58$.

A somewhat trivial solution is $4^3=1^3+5(1^2)+58=64$
[quote="sunchips"] $(y+1)^3<y^3+5y^2+58<(y+2)^3$ for general, then go through small cases not covered.[/quote]
The inequality doesn't work for $y=1$ but I guess that's what you meant by "general".