Στο φόρουμ του Καποδιστριακού συνάντησα το εξής πρόβλημα:
[b]Στο ευκλείδειο αξιωματικό σύστημα και επί επιπέδου του, έστω ότι ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ και ΓΔ τέμνονται κάθετα το Ο και το όλο σχήμα ονομάζουμε Κ.
Το Κ είναι μέρος του επιπέδου (επίπεδο σχήμα) ή όχι; [/b]
Βοηθάτε γιατί ο τύπος που το έχει διατυπώσει έχει πάρει ψηλά τον αμανέ.
Σημειώνω ότι ισχυρίζεται πως στο ευκλείδειο αξιωματικό σύστημα, επί του επιπέδου είναι δυνατά (αιτιολογούνται να υπάρχουν δηλαδή) μόνο σημεία, ευθείες και επίπεδα και επειδή το Κ δεν είναι ούτε σημείο, ούτε ευθεία, μπορεί να είναι μόνο επίπεδο σχήμα. Δεν έχω εξειδίκευση αλλά μου τη δίνει που δεν του απαντάνε οι ειδικοί.

Ρε παιδια β' λυκειου ειμαι αλλα το προβλημα μου φαινεται ανουσιο. Ειναι σαν να λεω θεωρω 2 ευθυγραμμα τμηματα στο ευκλειδιο επιπεδο που δεν τεμνονται και ολο το σχημα το ονομαζω Κ, ειναι το Κ ευκλειδιο σχημα. Προφανως ειναι ενα "μη-κλειστο" ευκλειδιο σχημα αφου βρισκεται πανω στο ευκλειδιο επιπεδο και δεν "κλεινει". Μπορω ομως να πω και οτι ειναι 2 ευθειες απλα. Γενικα οι απαντησεις σε τετοιες ερωτησεις εχουν να κανουν με ορισμους και φυσικα και δεν εκατσε ο Ευκλειδης να ορισει τετοιες λεπτομερειες. Αρα πιστευω οτι σε αυτην την απαντηση there is no standard answer. Correct me if i wrong...
Ο λογος στους πιο εμπειρους απο εμενα. :wink: .

Υ.Σ. Δεν καταλαβαινω γιατι τα ευθυγραμμα τμηματα πρεπει να ειναι και καθετα(αν δεν ηταν θα αλλαζε κατι?
)..

Φιλαράκο είσαι βιαστικός και με ροπή χαρακτηρισμών χωρίς την ανάλογη γνωστική υποδομή. Και 3 σημεία επί του επιπέδου αποτελούν σχήμα και μάλιστα αν είναι μη συνευθειακά μπορούν να ορίζουν και επίπεδο που δεν μπορεί ένα ή δύο σημεία να το ορίσουν και μία ευθεία αποτελεί σχήμα και δύο ευθείες χωρίς κοινό σημείο αποτελούν σχήμα. Όμως ούτε το σημείο (το καθένα μεμονωμένο), ούτε η ευθεία (η κάθε μία μεμονωμένη) αποτελούν επίπεδο μέρος. Μέρος θα πει τμήμα. Το ερώτημα είναι αν αποτελούν μέρος - τμήμα του επιπέδου (δες τη διατύπωση), που έχουν και μήκος και πλάτος (άνοιξε το βιβλίο σου) δηλαδή αν αποτελούν υπόδειγμα μέρους του επιπέδου και όχι σημείου ή ευθείας. Το πρόβλημα είναι σαφές.
Αν δείξεις ένα σημείο που δεν έχει, σαν αρχική έννοια, κανένα μέρος, δεν δείχνεις μέρος του επιπέδου εξ ορισμού, διότι το επίπεδο (ορισμένο είδος της αρχικής έννοιας επιφάνεια) ορίζεται να έχει και μήκος και πλάτος που το σημείο δεν έχει. Το ίδιο ισχύει και αν υποδείξεις μία ή δύο ή χ ευθείες χωρίς κοινά σημεία μεταξύ τους. Δείχνεις στην κάθε μία, επί του επιπέδου μη επίπεδα μέρη ([b]τμήματα επιπέδου δηλαδή[/b]), διότι το κάθε ευθύγραμμο τμήμα δεν έχει και μήκος και πλάτος όπως ορίζεται το επίπεδο. Το Κ διαθέτει και μήκος και πλάτος. Είναι σαν σχήμα μέρος - τμήμα - υπόδειγμα επιπέδου, καθώς ορίζεται το επίπεδο από τον Ευκλείδη; Αυτό είναι το ερώτημα.
Το σημείο επί του επιπέδου, δεν είναι υπόδειγμα του επιπέδου, διότι δεν έχει κανένα μέρος.
Η ευθεία επί του επιπέδου δεν είναι υπόδειγμα επιπέδου, διότι δεν έχει και μήκος και πλάτος.
Τι είναι το Κ; Σημείο, ευθεία ή επίπεδο;
Απάντησε σε αυτό για να δεις τι πρόβλημα προκύπτει αν απαντήσεις καθώς προβλέπεται.
ΥΓ: Σωστά παρατηρείς ότι το ίδιο ισχύει και όταν τα ΑΒ και ΓΔ ευθύγραμμα τμήματα δεν είναι κάθετα τεμνόμενα μεταξύ τους. Η αναφορά (από ότι έχω δει στο Καποδιστριακό) σε κάθετα έχει να κάνει με την συντόμευση διατύπωσης άλλου, επόμενου ερωτήματος σε δεδομένη απάντηση και σε προέκταση αυτής της απάντησης.

Guys, κατ'αρχάς cool down :!: Δεν υπάρχει κανένας λόγος να οξύνονται οι τόνοι, για όνομα  :o

[b]@nemenala[/b]
Αν μπορείς, δώσε το link όπου γίνεται η συζήτηση στην οποία αναφέρεσαι, θα βοηθήσει ώστε να μπουν τα πράγματα πιο εύκολα σε μία σειρά. Τώρα, σε ό,τι αφορά το θέμα που θίγεις:

[quote="nemenala"]Στο ευκλείδειο αξιωματικό σύστημα και επί επιπέδου του, έστω ότι ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ και ΓΔ τέμνονται κάθετα το Ο και το όλο σχήμα ονομάζουμε Κ.
Το Κ είναι μέρος του επιπέδου (επίπεδο σχήμα) ή όχι;[/quote]
Ο μόνος τρόπος να απαντηθεί το ερώτημα αυτό είναι να δοθεί ο ακριβής ορισμός της έννοιας "μέρος του επιπέδου"/"επίπεδο σχήμα" στην οποία αναφέρεσαι. Αν είναι να χρησιμοποιήσουμε τα Στοιχεία ως πηγή, έχουμε (μετάφραση Σταμάτη, δεν έχει νόημα να παραθέσω το πρωτότυπο αρχαίο):

[b]Ορισμός 13[/b]. Όριον είναι ό,τι είναι πέραν τινός.

[b]Ορισμός 14[/b]. Σχήμα είναι το περιεχόμενον υπό τινός ορίου ή τινων ορίων.

Lacking further info, πρέπει να υποθέσω ότι αναφέρεσαι στον ορισμό 14...

Προφανώς, υπό το πρίσμα του σημερινού επιπέδου μαθηματικής αυστηρότητας, τα αξιώματα του Ευκλείδη είναι κάπως shaky (π.χ. σε τί ακριβώς αναφέρεται το "τινός" ή το "περιεχόμενον")... οπότε δεν είναι δυνατόν να γίνει απολύτως αυστηρή μαθηματική συζήτηση ;) Ωστόσο, με βάση τη συνέχεια των προηγούμενων αξιωμάτων και ορισμών των Στοιχείων, έχουμε τα εξής:

1. το "τινός" στον ορισμό 13 αναφέρεται σε σημεία ([i]ου μέρος ουθέν[/i], ορσ. 1), γραμμές (όχι απαραίτητα ευθείες: [i]μήκη απλατή[/i], ορσ. 2) και επιφάνειες (όχι απαραίτητα επίπεδες: [i]αι μήκος και πλάτος μόνον έχουσιν[/i], ορσ. 5).
2. το "πέρας" επιφάνειας είναι γραμμή, το "πέρας" γραμμής σημείο, το "πέρας" σημείου ουθέν
3. η έννοια του "περιεχομένου" πρέπει να ερμηνευθεί ως ότι το πέρας του ορίζει μονοσήμαντα το "περιεχόμενο" (π.χ. ένας κύκλος ορίζει μονοσήμαντα τον κυκλικό δίσκο που περιέχει). Αλλιώς, η έννοια δεν είναι καλώς ορισμένη.

Με βάση τον ορισμό 2 ([i]γραμμή δε μήκος απλατές[/i]) [u]τα δύο τεμνόμενα ευθύγραμμα τμήματα αποτελούν γραμμή[/u] (έστω $ K$). Τα "πέρατα" αυτής της γραμμής είναι τα σημεία Α,Β,Γ,Δ (και ίσως το Ο, ανάλογα με το πώς ερμηνεύεις τον ορισμό 3: [i]γραμμής δε πέρατα σημεία[/i]).

Για να εξετασθεί αν είναι σχήμα, θα πρέπει να δούμε αν είναι "περιεχόμενο υπό τινός ορίου", δηλ. με βάση τα παραπάνω, αν τα σημεία Α,Β,Γ,Δ ορίζουν μονοσήμαντα την γραμμή $ K$, πράγμα που δεν ισχύει (πάρε π.χ. δύο καμπύλες που να έχουν πέρατα τα Α,Β,Γ,Δ και να τέμνονται στο Ο... ή πάρε το τετράπλευρο ΑΒΓΔ με τις διαγωνίους του να τέμνονται στο Ο).

Τι σημαίνουν τα παραπάνω? Φυσικά, από τη στιγμή που τα Στοιχέια δεν είναι αρκετά ακριβή στο θέμα των πρώτων εννοιών, δεν επιδέχεται μαθηματική απάντηση το ερώτημά σου. Ωστόσο, με βάση την παραπάνω ερμηνεία των ορισμών και αξιωμάτων του Ευκλείδη, η άποψή μου είναι ότι η γραμμή $ K$ δεν μπορεί να θεωρηθεί σχήμα επειδή ο προσδιορισμός των περάτων της [i]και μόνον[/i] δεν αρκεί για να ορισθεί μονοσήμαντα.

[b]@filosofimenos[/b]
Χαλάρωσε με τους χαρακτηρισμούς σου. Δε νομίζω ότι αρμόζει τέτοιο ύφος σε οποιοδήποτε forum, πόσο μάλλον ένα forum μαθηματικών (όπου οι "χαζολεπτομέρειες" είναι πολύ μεγάλο μέρος της όλης υπόθεσης). :o

Σε κάθε περίπτωση και επειδή το είδα πρώτη φορά τώρα, το sig σου ότι "οι ιδιοφυείς μαθηματικοί είναι άνθρωποι χαζοί", το θεωρώ τουλάχιστον προσβλητικό, για να μην πω ότι έρχεται σε πλήρη αντίθεση με το φιλοσοφημένο σου nickname. :dry:

Cheerio,

Durandal 1707

Παιδες με παρεξηγησατε. Δεν ειχα σκοπο να προσβαλλω ουτε εσας ουτε τους μεγαλους μαθηματικους :blush:  και αν συναιβει κατι τετοιο ζητω ταπεινα συγνωμη (εκανα εντιτ το προηγουμενο μου μηνυμα). Ο αδικιολογητος οξυς μου τονος εγκειται στο οτι δεν καταλαβαινω το νοημα του να ασχολουμαστε με προβληματα που εχουν να κανουν με λεπτομερεις ορισμους. Τελος παντων στο συγκεκριμενο αν δεχτουμε οτι υπαρχουν μονο σημεια, ευθειες και επιπεδα σχηματα τοτε αφου αυτο που περιγραφει ο νεμεναλα ουτε ευθεια ειναι ουτε σημειο τοτε ειναι επιπεδο σχημα.  Επειδη ομως αυτα δεν ειναι αυστηρως ορισμενα απο τον δημιουργο της γεωμετριας Ευκλειδη μπορω να πω οτι τα λογια του Ντουρανταλ με βρισκουν συμφωνο.

Υ.Σ. Οσο για την υπογραφη αλλιως την εννουσα για δες την τωρ α Durandal.

Durandal χαίρομαι για το ύφος και την «τακτοποίηση» της συζήτησης, αν και με τις αιτιολογίες σου που χαρακτηρίζουν το Κ ευθεία, διαφωνώ ριζικά. Ο φίλος μας είναι νεαρός και ενθουσιώδης. Προσωπικά δεν τον παρεξηγώ, αλλά αντίθετα τον εκτιμώ που σε τέτοια ηλικία έχει το αναγκαίο θάρρος να διατυπώνει άποψη. Αυτό του το θάρρος, είμαι βέβαιος, ότι θα του φανεί χρήσιμο στο μέλλον. Εξάλλου με συναρπάζει να μιλάω με μαθητές και ο φίλος μας βρίσκεται από άποψη μαθησιακού αντικειμένου στον πυρήνα του προβλήματος. Εγώ του ζητώ συγγνώμη για την επιθετικότητά μου και τον βεβαιώνω ότι είναι από μέρους μου ευπρόσδεκτος στη συνομιλία. .
Επί του θέματος:
Ὅροι κγ΄ [23].
α΄ [1].Σημεῖόν ἐστιν, οὗ μέρος οὐθέν.
β΄ [2]. Γραμμὴ δὲ μῆκος ἀπλατές.
γ΄ [3]. Γραμμῆς δὲ πέρατα σημεῖα.
ε΄ [5]. Ἐπιφάνεια δέ ἐστιν, ὃ μῆκος καὶ πλάτος [size=150][b]μόνον[/b][/size] ἔχει.

α. Αντίλογος
Όπως βλέπεις στο ε΄ αρκεί («μόνον» λέει ο όρος) να υπάρχει μήκος και πλάτος
Το Κ όπως δίδεται, διαθέτει [b]μόνον[/b] μήκος και πλάτος.
Για να αιτιολογηθούμε ή αλλιώς να έχουμε λόγο να εξετάσουμε το Κ σαν γραμμή (ευθεία εν προκειμένω όπως δίδονται ΑΒ και ΓΔ) δεν πρέπει να έχει και μήκος και πλάτος παρά μόνο ένα εκ των δύο. Το Κ όμως έχει αμφότερα, οπότε την περίπτωση της ευθείας (δεν χρησιμοποιούμε άλλη γραμμή στο πρόβλημα όπως δίδεται) είμαστε εκ προοιμίου λόγω του όρου ε΄ αναγκασμένοι να την απορρίψουμε.
Γιατί πας στον όρο του σχήματος και εμπλέκεις όρια και περιεχόμενο; Τι ανάγκη τα έχουμε εν προκειμένω; [b]Δεν μας καλύπτει το ότι το Κ εξ ορισμού είναι επιφάνεια;
[/b]
β. Αντίλογος
[Θεωρητική γεωμετρία Α΄ Λυκείου του ΟΕΔΒ, των Αλιμπινίση, Δημάκου, Εξαρχάκου, Κοντογιάννη και Τασσόπουλου, σελίδα 18.
Απόσπασμα:
Αξίωμα 2
Από δύο διαφορετικά σημεία του επιπέδου διέρχεται μόνο μία ευθεία και η ευθεία αυτή περιέχεται στο επίπεδο.
Αξίωμα 3ο
Σε κάθε επίπεδο ανήκουν τρία τουλάχιστον μη συνευθειακά σημεία.
Το αξίωμα αυτό σε συνδυασμό με το αξίωμα 2, εξασφαλίζει την ύπαρξη ευθειών και διαφοροποιεί την ευθεία από το επίπεδο.]

Αν το Κ είναι ευθεία, θα πρέπει να μπορεί να διέρχεται επομένως, αξιωματικά από δύο δοσμένα σημεία και όχι από 3, 4 ή άλλος πλήθος μη συνεθειακά. Αυτό σημαίνει συνδυασμός των αξιωμάτων εν προκειμένω. Το Κ διέρχεται από 4. Αφού εξάλλου, τρία σημεία μη συνευθειακά, ορίζουν επίπεδο, πόσο μάλλον 4;
Durandal θεωρείς ότι δε είμαστε υποχρεωμένοι να δεχθούμε το Κ σαν επίπεδο ενώ έχει και μήκος και πλάτος και ορίζει επίπεδο και ενώ αδυνατεί να διέλθει εξολοκλήρου εκ δύο μόνο δοσμένων σημείων έστω Α και Β και συγχρόνως έχει 4 μη συνευθειακά σημεία;
Ανακύπτει άλλο πρόβλημα το οποίο ακροθιγώς έθιξες και με έκανες να χαρώ.
Υπάρχει το Ο. Το Ο είναι κοινό σημείο τομής. Το σημείο τομής όμως, είναι μέρος ουθέν; Μπορούμε να αντικαταστήσουμε όλα τα σημεία μιας ευθείας με σημεία τομής ευθειών, [b]ώστε να αποδείξουμε ότι το σημείο τομής και το σημείο έχουν τις ίδιες ιδιότητες και άρα είναι ίδιο το να αναφερόμαστε σε σημείο, με το να αναφερόμαστε σε σημείο τομής;[/b] Βέβαια κάθε σημείο εν δυνάμει είναι σημείο τομής ευθειών, όμως το αντίστροφο (δηλαδή όλα τα σημεία μιας ευθείας είναι σημεία τομής ευθειών) δεν αποδεικνύεται, διότι δεν υπάρχουν (δεν προβλέπονται) εφαπτόμενες ευθείες που [b]με το ανύπαρκτο πλάτος τους να αποδώσουν το μήκος ενός ευθύγραμμου τμήματος[/b], το οποίο μήκος η ευθεία διαθέτει σαν αρχική έννοια, δηλαδή ισοδύναμα αξιωματικά, αφού οι αρχικές έννοιες γίνονται αποδεκτές χωρίς περαιτέρω ανάλυση.
Για σκέψου αυτές τις απόψεις σε παρακαλώ και τα λέμε εκ νέου.

ΥΓ: Αγαπητέ φίλε filosofimenos θα σου πρότεινα να αλλάξεις εκ νέου την υπογραφή σου, αν βέβαια το επιθυμείς και να την διατυπώσεις ως εξής: [b]Το προφανές ή πρόδηλο δεν είναι αντάξιο των μαθηματικών[/b] (Στέλιος Η. Παραφλωράτος, Γεωμετρία Λομπατσέφσκι). Αφαιρεί κάθε υποκειμενικότητα από τον όποιο μαθηματικό και τον υποχρεώνει να αποδέχεται το αληθές ή ψευδές κάθε ισχυρισμού, με έμμεση ή άμεση αναγωγή σε αξίωμα στήριξης.

[quote="nemenala"]Durandal χαίρομαι για το ύφος και την «τακτοποίηση» της συζήτησης, αν και με τις αιτιολογίες σου που χαρακτηρίζουν το Κ ευθεία, διαφωνώ ριζικά.[/quote]

Μάλλον δε διάβασες καλά την απάντηση μου, γιατί σε κανένα σημείο δε χαρακτήρισα το $ K$ ευθεία! Χαρακτήρισα το $ K$ [i]γραμμή[/i], με βάση τον ορισμό 2, όχι [i]ευθεία γραμμή[/i] (που είναι το αντικείμενο του ορσ. 4). Προφανώς και το $ K$ δεν είναι ευθεία, έλεος :)

[quote]Επί του θέματος:
Ὅροι κγ΄ [23].
α΄ [1].Σημεῖόν ἐστιν, οὗ μέρος οὐθέν.
β΄ [2]. Γραμμὴ δὲ μῆκος ἀπλατές.
γ΄ [3]. Γραμμῆς δὲ πέρατα σημεῖα.
ε΄ [5]. Ἐπιφάνεια δέ ἐστιν, ὃ μῆκος καὶ πλάτος [size=150][b]μόνον[/b][/size] ἔχει.

α. Αντίλογος
Όπως βλέπεις στο ε΄ αρκεί («μόνον» λέει ο όρος) να υπάρχει μήκος και πλάτος
Το Κ όπως δίδεται, διαθέτει [b]μόνον[/b] μήκος και πλάτος.[/quote]

Επ'ουδενεί το $ K$ δε διαθέτει πλάτος! Μη συγχέεις το γεγονός ότι μία γραμμή μπορεί να μην είναι ευθεία με την ύπαρξη δεύτερης διάστασης η οποία απαιτείται για να χαρακτηρισθεί κάτι ως επιφάνεια. Αυτό που εννοεί ο Ευκλείδης με το "μήκος και πλάτος" είναι κάθε περιοχή του συνόλου σου να εκτείνεται και προς τις δύο κατευθύνσεις, να είναι δηλαδή "τοπικά ομοιομορφικό" σε ένα τμήμα του επιπέδου. Για να πεισθείς, δες τον ορισμό 15 όπου η περιφέρεια του κύκλου καλείται γραμμή (ενώ με βάση τη δική σου ερμηνεία έχει και μήκος και πλάτος).

Η ευθεία γραμμή είναι γραμμή αλλά είναι μία μόνο από άπειρες δυνατότητες. Η περιφέρεια του κύκλου είναι επίσης γραμμή. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης $ f(x) \equal{} \sin x$ είναι γραμμή. Το σχήμα $ K$ είναι γραμμή (φυσικά όχι ευθεία :D).

Στα πλαίσια της ερμηνείας της Ευκλείδειας γεωμετρίας σε σύγχρονη ορολογία, κάθε υποσύνολο του $ \mathbb{R}^2$ από το οποίο αν εξαιρεθούν το πολύ πεπερασμένος αριθμός σημείων είναι μονοδιάστατη πολλαπλότητα, είναι μία γραμμή. Δηλαδή, αν ένα μυρμήγκι περπατάει πάνω στο σύνολο που μελετάς και μπορεί να πάει μόνο μπροστά ή πίσω (όπως καταλαβαίνει το μυρμήγκι την έννοια του μπροστά και πίσω) με την εξαίρεση πεπερασμένου αριθμού σημείων όπου μπορεί να υπάρχει κάποια διακλάδωση, τότε το σύνολο αυτό είναι μία γραμμή.

Όταν ο Ευκλείδης αναφέρεται σε πλάτος, αναφέρεται σε υποσύνολα του $ \mathbb{R}^2$ τα οποία έχουν τοπολογική διάσταση 2, δηλ. όπου το μυρμήγκι σου, σε κάθε σημείο, έχει μία δισδιάστατη απειρία επιλογών ως προς το ποιά κατεύθυνση να ακολουθήσει.

[quote]Γιατί πας στον όρο του σχήματος και εμπλέκεις όρια και περιεχόμενο; Τι ανάγκη τα έχουμε εν προκειμένω; [b]Δεν μας καλύπτει το ότι το Κ εξ ορισμού είναι επιφάνεια;
[/b][/quote]

Η αρχική σου ερώτηση ήταν αν το $ K$ θεωρείται ή όχι "σχήμα". Ο Ευκλείδειος ορισμός του σχήματος είναι ο ορισμός 14. Από τη στιγμή που το $ K$ δεν προσδιορίζεται μονοσήμαντα από το πέρας του, δεν είναι σχήμα. Αν χρησιμοποίησες τον όρο εκ παραδρομής, sorry, δεν το κατάλαβα.

[quote]Durandal θεωρείς ότι δε είμαστε υποχρεωμένοι να δεχθούμε το Κ σαν επίπεδο ενώ έχει και μήκος και πλάτος και ορίζει επίπεδο και ενώ αδυνατεί να διέλθει εξολοκλήρου εκ δύο μόνο δοσμένων σημείων έστω Α και Β και συγχρόνως έχει 4 μη συνευθειακά σημεία;[/quote]

To $ K$ δεν είναι επιφάνεια, είναι γραμμή. Και η κυκλική περιφέρεια ορίζει ένα επίπεδο (με την έννοια ότι υπάρχει μοναδικό επίπεδο στο οποίο ανήκει), αλλά δεν είναι επιφάνεια, είναι γραμμή.

[quote]Ανακύπτει άλλο πρόβλημα το οποίο ακροθιγώς έθιξες και με έκανες να χαρώ.
Υπάρχει το Ο. Το Ο είναι κοινό σημείο τομής. Το σημείο τομής όμως, είναι μέρος ουθέν;[/quote]

Φυσικά. Μέρος ουθέν είναι μέρος χωρίς μήκος και χωρίς πλάτος, δηλαδή με τοπολογική διάσταση 0 (σε σύγχρονη ορολογία). Αυτό που είναι δύσκολο να απαντηθεί είναι αν και κατά πόσον θεωρείται ή όχι ως πέρας του $ K$. Σε αυτό το σημείο η διατύπωση του Ευκλείδη είναι ελλιπής.

[quote]Μπορούμε να αντικαταστήσουμε όλα τα σημεία μιας ευθείας με σημεία τομής ευθειών, [b]ώστε να αποδείξουμε ότι το σημείο τομής και το σημείο έχουν τις ίδιες ιδιότητες και άρα είναι ίδιο το να αναφερόμαστε σε σημείο, με το να αναφερόμαστε σε σημείο τομής;[/b] Βέβαια κάθε σημείο εν δυνάμει είναι σημείο τομής ευθειών, όμως το αντίστροφο (δηλαδή όλα τα σημεία μιας ευθείας είναι σημεία τομής ευθειών) δεν αποδεικνύεται, διότι δεν υπάρχουν (δεν προβλέπονται) εφαπτόμενες ευθείες που [b]με το ανύπαρκτο πλάτος τους να αποδώσουν το μήκος ενός ευθύγραμμου τμήματος[/b], το οποίο μήκος η ευθεία διαθέτει σαν αρχική έννοια, δηλαδή ισοδύναμα αξιωματικά, αφού οι αρχικές έννοιες γίνονται αποδεκτές χωρίς περαιτέρω ανάλυση.
Για σκέψου αυτές τις απόψεις σε παρακαλώ και τα λέμε εκ νέου.
[/quote]

Δεν είμαι σίγουρος ότι καταλαβαίνω τί λες... αν μπορείς, κάνε μία πιο ακριβή διατύπωση.

Cheerio,

Durandal 1707

[quote]Durandal
Μάλλον δε διάβασες καλά την απάντηση μου, γιατί σε κανένα σημείο δε χαρακτήρισα το Κ ευθεία! Χαρακτήρισα το Κ γραμμή, με βάση τον ορισμό 2, όχι ευθεία γραμμή (που είναι το αντικείμενο του ορσ. 4). Προφανώς και το  δεν είναι ευθεία, έλεος. [/quote]

Durandal θα σε παρακαλέσω να μην αγανακτείς. Συζήτηση κάνουμε και θα βρούμε την άκρη. Ωραία λοιπόν λες ότι δεν είναι ευθεία αλλά είναι γραμμή, δηλαδή μία γραμμή με 4 άκρα. Ελπίζω να το λέω σωστά αυτή τη φορά.

[quote]Durandal
Επ` ουδενεί το  δε διαθέτει πλάτος! [/quote]

Δηλαδή διαθέτει μόνο μήκος; [b]Ένα τετράγωνο είναι μία μη ευθεία γραμμή και δεν διαθέτει πλάτος και μήκος Durandal; [/b] Τι λες;

[quote]Durandal
Μη συγχέεις το γεγονός ότι μία γραμμή μπορεί να μην είναι ευθεία με την ύπαρξη δεύτερης διάστασης η οποία απαιτείται για να χαρακτηρισθεί κάτι ως επιφάνεια. [/quote]

Είχα την άποψη ότι λες πως είναι ευθεία. Τώρα αντιλαμβάνομαι τι ακριβώς θέλεις να πεις όμως το πρόβλημα δεν λύνεται! Η καμπύλη ΑΒ (δύο άκρα χωρίς κοινό σημείο) τι είναι; Γραμμή ή επιφάνεια; Διαθέτει πέραν της μίας διάστασης όπως λες κι εσύ, η οποία, επιπλέον διάσταση, απαιτείται για να χαρακτηριστεί επιφάνεια.

[quote]Durandal
Αυτό που εννοεί ο Ευκλείδης με το "μήκος και πλάτος" είναι κάθε περιοχή του συνόλου σου να εκτείνεται και προς τις δύο κατευθύνσεις, να είναι δηλαδή "τοπικά ομοιομορφικό" σε ένα τμήμα του επιπέδου. [/quote]

Όταν μου λες τι εννοεί ο Ευκλείδης εισάγεις ορισμό. Μόνο ορισμοί ερμηνεύουν και όχι υποκειμενικές απόψεις. Σε ποιον ορισμό αναφέρεσαι που να διευκρινίζει ότι αυτό εννοεί;

[quote]Durandal
Για να πεισθείς, δες τον ορισμό 15 όπου η περιφέρεια του κύκλου καλείται γραμμή (ενώ με βάση τη δική σου ερμηνεία έχει και μήκος και πλάτος). [/quote]

Επαναλαμβάνω. Τον βλέπω, τον δέχομαι και τον σέβομαι. Όμως και η περιφέρεια ενός τετραγώνου είναι μη ευθεία γραμμή. Έχει τάχα μήκος και πλάτος; Εδώ δεν πρέπι να δείξουμε τον ίδιο σεβασμό; Ότι είναι η γραμμή του τετραγώνου είναι και η γραμμή του κύκλου. Απλά πράγματα. Τι είναι η γραμμή του τετραγώνου; Επίσης ένα ορθογώνιο τρίγωνο, έχει μήκος και πλάτος παρά το ότι είναι μία γραμμή; Το ίδιο ισχύει για κάθε περιφέρεια πολυγωνικού ή μη πολυγωνικού σχήματος (του όποιου σχήματος δηλαδή και του κύκλου περιλαμβανομένου). Τι λες; Έχουν πλάτη και μήκη τα ορθογώνια τρίγωνα;

[quote]Durandal
Η ευθεία γραμμή είναι γραμμή αλλά είναι μία μόνο από άπειρες δυνατότητες. Η περιφέρεια του κύκλου είναι επίσης γραμμή. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης  είναι γραμμή. Το σχήμα  είναι γραμμή (φυσικά όχι ευθεία). [/quote]

Θα το δεχθώ αν αποδείξεις ότι το τετράγωνο που είναι επίσης μία γραμμή, δεν έχει πλάτος και μήκος με το αιτιολογικό ότι δεν είναι ευθεία. Ή άλλες μη ευθείες έχουν πλάτος και μήκος και άλλες δεν έχουν; Βάσει ποιου ορισμού και σε ποιο αξίωμα θα στηρίξουμε μια τέτοια άποψη;

[quote]Durandal
Στα πλαίσια της ερμηνείας της Ευκλείδειας γεωμετρίας σε σύγχρονη ορολογία, κάθε υποσύνολο του   από το οποίο αν εξαιρεθούν το πολύ πεπερασμένος αριθμός σημείων είναι μονοδιάστατη πολλαπλότητα, είναι μία γραμμή. Δηλαδή, αν ένα μυρμήγκι περπατάει πάνω στο σύνολο που μελετάς και μπορεί να πάει μόνο μπροστά ή πίσω (όπως καταλαβαίνει το μυρμήγκι την έννοια του μπροστά και πίσω) με την εξαίρεση πεπερασμένου αριθμού σημείων όπου μπορεί να υπάρχει κάποια διακλάδωση, τότε το σύνολο αυτό είναι μία γραμμή. [/quote]

Πας στην Ανάλυση παρά το ότι έχω θέσει το πρόβλημα στον Ευκλείδη. Εισάγεις ερμηνείες χωρίς ορισμούς. Σε ποιο αξίωμα στηρίζεις την άποψη; Εξαίρεση αριθμού σημείων; Βάσει ποιου αξιώματος θα εξαιρέσουμε σημεία από την διαδρομή του συμπαθούς μέρμηγκα;

[quote]Durandal
Όταν ο Ευκλείδης αναφέρεται σε πλάτος, αναφέρεται σε υποσύνολα του R^2  τα οποία έχουν τοπολογική διάσταση 2, δηλ. όπου το μυρμήγκι σου, σε κάθε σημείο, έχει μία δισδιάστατη απειρία επιλογών ως προς το ποιά κατεύθυνση να ακολουθήσει. [/quote]

Ο Ευκλείδης αναφέρεται σε σύνολα, υποσύνολα και στον R^2; Μήπως και έπινε καφέ με τον Καντόρ ή τον Χίλμπερτ ή τον Ντε Καρτ; Δηλαδή όταν ο φίλος μέρμηγκας ακολουθεί τη διαδρομή της περιφέρειας ενός τετραγώνου δεν διατρέχει κατά μήκος και πλάτος την μη ευθεία γραμμή, είτε το γνωρίζει, είτε δεν το γνωρίζει;
Ελπίζω εκτός από εκνευρισμό να διαθέτεις και χιούμορ (αυτά πάνε μαζί) για να μη με παρεξηγήσεις.

[quote]Durandal
Η αρχική σου ερώτηση ήταν αν το K θεωρείται ή όχι "σχήμα". Ο Ευκλείδειος ορισμός του σχήματος είναι ο ορισμός 14. Από τη στιγμή που το  δεν προσδιορίζεται μονοσήμαντα από το πέρας του, δεν είναι σχήμα. Αν χρησιμοποίησες τον όρο εκ παραδρομής, sorry, δεν το κατάλαβα. [/quote]

Καλώς λες. Έτσι το διατύπωσα αλλά στη συνέχεια διευκρίνισα ότι αναφέρομαι σε μέρος – τμήμα του επιπέδου. Εγώ ευθύνομαι και διατυπώνω τη λύπη μου.

[quote]Durandal
Το  Κ δεν είναι επιφάνεια, είναι γραμμή. Και η κυκλική περιφέρεια ορίζει ένα επίπεδο (με την έννοια ότι υπάρχει μοναδικό επίπεδο στο οποίο ανήκει), αλλά δεν είναι επιφάνεια, είναι γραμμή. [/quote]

Δεν λες μόνο αυτό. Λες ότι είναι μη ευθεία γραμμή, αλλά και επειδή δεν είναι ευθεία, επομένως δεν έχει πλάτος ώστε να χαρακτηριστεί επιφάνεια. Και η τετράγωνη περιφέρεια όμως ορίζει ένα επίπεδο (με την έννοια ότι υπάρχει μοναδικό επίπεδο στο οποίο ανήκει), αλλά το θέμα είναι αν κάτω από αυτές τις συνθήκες (ακριβώς όμοιες με του κύκλου) μπορεί να έχει πλάτος και μήκος ή όχι. Τι λες;

[quote][quote]nemenala:
Ανακύπτει άλλο πρόβλημα το οποίο ακροθιγώς έθιξες και με έκανες να χαρώ. Υπάρχει το Ο. Το Ο είναι κοινό σημείο τομής. Το σημείο τομής όμως, είναι μέρος ουθέν;[/quote]

[quote]Durandal
Φυσικά. Μέρος ουθέν είναι μέρος χωρίς μήκος και χωρίς πλάτος, δηλαδή με τοπολογική διάσταση 0 (σε σύγχρονη ορολογία). Αυτό που είναι δύσκολο να απαντηθεί είναι αν και κατά πόσον θεωρείται ή όχι ως πέρας του K. Σε αυτό το σημείο η διατύπωση του Ευκλείδη είναι ελλιπής.[/quote]

[quote]nemeala
Μπορούμε να αντικαταστήσουμε όλα τα σημεία μιας ευθείας με σημεία τομής ευθειών, ώστε να αποδείξουμε ότι το σημείο τομής και το σημείο έχουν τις ίδιες ιδιότητες και άρα είναι ίδιο το να αναφερόμαστε σε σημείο, με το να αναφερόμαστε σε σημείο τομής; Βέβαια κάθε σημείο εν δυνάμει είναι σημείο τομής ευθειών, όμως το αντίστροφο (δηλαδή όλα τα σημεία μιας ευθείας είναι σημεία τομής ευθειών) δεν αποδεικνύεται, διότι δεν υπάρχουν (δεν προβλέπονται) εφαπτόμενες ευθείες που με το ανύπαρκτο πλάτος τους να αποδώσουν το μήκος ενός ευθύγραμμου τμήματος, το οποίο μήκος η ευθεία διαθέτει σαν αρχική έννοια, δηλαδή ισοδύναμα αξιωματικά, αφού οι αρχικές έννοιες γίνονται αποδεκτές χωρίς περαιτέρω ανάλυση.
Για σκέψου αυτές τις απόψεις σε παρακαλώ και τα λέμε εκ νέου. [/quote][/quote]

[quote]Durandal
Δεν είμαι σίγουρος ότι καταλαβαίνω τί λες... αν μπορείς, κάνε μία πιο ακριβή διατύπωση. [/quote]

Ευχαρίστως. Έστω ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ. Το ΑΒ είναι ένα σύνολο σημείων που έχει μήκος (αρχική έννοια). Μπορούμε όπου σημείο και επί όλων των σημείων του ΑΒ να φέρουμε ευθείες που να τέμνουν το ΑΒ ώστε να αντικαταστήσουμε το άπειρο σύνολο των σημείων του, με άπειρα σημεία τομής ευθειών; Τα σημεία από την αρχική έννοια της ευθείας (ή της γραμμής για να είμαι πιο ακριβής) μπορούν εύκολα να έχουν μήκος σαν ένα σύνολο πλήρως αιτιολογημένα από τη αρχική έννοια. Έτσι για παράδειγμα φέρουμε στο μέσο σημείο Μ του ΑΒ μία κάθετη. Στη συνέχεια φέρουμε στο Μ1 μέσο του ΑΜ άλλη κάθετο. Στη συνέχεια φέρουμε στο μέσο του ΑΜ1 άλλη κάθετο κ.λ.π. Μπορούμε να αντικαταστήσουμε λοιπόν κάθε σημείο και το σύνολο των σημείων της ΑΒ με σημεία τομής; Είπα κάθε σημείο είναι εν δυνάμει και σημείο τομής. Μπορεί όμως το ΑΒ να αποτελείται εξολοκλήρου από σημεία τομής όπως μπορεί να αποτελείται από σημεία; Αν μπορεί τότε το σημείο και το σημείο τομής έχουν τις ίδιες ιδιότητες. Αν δεν μπορεί είναι άλλο το σημείο τομής και άλλο το σημείο. Τόσο απλό είναι; Τι λες εσύ εν προκειμένω;
Ασφαλώς το ίδιο ισχύει και με μη ευθύ γραμμικό τμήμα όπως αντιλαμβάνεσαι. Για να δειχτεί και να αποδειχτεί ίδιο ακριβώς το σημείο και το σημείο τομής, διέρχεται με λίγα λόγια από το να αποδώσουμε ευθύ ή μη ευθύ μήκος με απλατείς ευθείες. Αν και πάλι δεν καταλαβαίνεις εξαιτίας μου, εδώ είμαι.

Χάρηκα και μην εξάπτεσαι. Αν κάπου κάνω λάθος θα το αποδεχθώ να είσαι βέβαιος.

[quote="nemenala"]Durandal θα σε παρακαλέσω να μην αγανακτείς. Συζήτηση κάνουμε και θα βρούμε την άκρη. Ωραία λοιπόν λες ότι δεν είναι ευθεία αλλά είναι γραμμή, δηλαδή μία γραμμή με 4 άκρα. Ελπίζω να το λέω σωστά αυτή τη φορά.[/quote]

Καμία αγανάκτηση, εξ'ού και το smiley. Chill :)

[quote][b]Ένα τετράγωνο είναι μία μη ευθεία γραμμή και δεν διαθέτει πλάτος και μήκος Durandal; [/b] Τι λες;[/quote]

Αν αναφερόμαστε στο περίγραμμα του τετραγώνου, και όχι στο εσωτερικό του, ναι είναι γραμμή. Γι'αυτό το λένε και περίγραμμα :P

Πράγματι, δεν έχει πλάτος. Όταν αναφερόμαστε στο μήκος και στο πλάτος ενός ορθογωνίου, αναφερόμαστε στην πραγματικότητα στο μήκος και στο πλάτος του εσωτερικού του ορθογωνίου. Το περίγραμμα του ορθογωνίου έχει μόνο μήκος, δεν έχει πλάτος. Θα είχε πλάτος μόνο αν ήταν παχειά η γραμμή, so to speak.

[quote]Όμως και η περιφέρεια ενός τετραγώνου είναι μη ευθεία γραμμή. Έχει τάχα μήκος και πλάτος; Εδώ δεν πρέπι να δείξουμε τον ίδιο σεβασμό; Ότι είναι η γραμμή του τετραγώνου είναι και η γραμμή του κύκλου. Απλά πράγματα. Τι είναι η γραμμή του τετραγώνου; Επίσης ένα ορθογώνιο τρίγωνο, έχει μήκος και πλάτος παρά το ότι είναι μία γραμμή; Το ίδιο ισχύει για κάθε περιφέρεια πολυγωνικού ή μη πολυγωνικού σχήματος (του όποιου σχήματος δηλαδή και του κύκλου περιλαμβανομένου). Τι λες; Έχουν πλάτη και μήκη τα ορθογώνια τρίγωνα;[/quote]

Φοβάμαι ότι συγχέεις το εσωτερικό ενός σχήματος με το περίγραμμά του.

Τα εσωτερικά των παραπάνω σχημάτων έχουν και μήκος και πλάτος, είναι επιφάνειες.

Αντίθετα, τα περιγράμματά τους (τα πέρατά τους δηλαδή) είναι γραμμές χωρίς πλάτος (ορσ. 6: [i]πέρατα δε επιφανειών γραμμές εισίν[/i]).

[quote]Όταν μου λες τι εννοεί ο Ευκλείδης εισάγεις ορισμό. Μόνο ορισμοί ερμηνεύουν και όχι υποκειμενικές απόψεις. Σε ποιον ορισμό αναφέρεσαι που να διευκρινίζει ότι αυτό εννοεί;
[...]
Θα το δεχθώ αν αποδείξεις ότι το τετράγωνο που είναι επίσης μία γραμμή, δεν έχει πλάτος και μήκος με το αιτιολογικό ότι δεν είναι ευθεία. Ή άλλες μη ευθείες έχουν πλάτος και μήκος και άλλες δεν έχουν; Βάσει ποιου ορισμού και σε ποιο αξίωμα θα στηρίξουμε μια τέτοια άποψη;[/quote]

Ok, προφανώς δε βγαίνει άκρη σε έναν τέτοιο διάλογο και, δυστυχώς, ο χρόνος μου είναι πεπερασμένος. Οπότε, για δοθεί μία σωστή μαθηματική απάντηση στα ερωτήματα σου περί πλάτους, σχημάτων κλπ και να λήξει το θέμα, ας επιστρέψουμε στο προφανές: αν η διαφωνία μας είναι πάνω στο τί περιγράφει μία αρχική έννοια (εδώ το πλάτος), περαιτέρω συζήτηση έχει μόνο φιλοσοφικό νόημα ;)

So, let's leave it at that :) Cheerio,

Durandal 1707

Φίλε Durandal, δεν θα μας εμποδίσουν οι αρχικές έννοιες.
Το σημειοσύνολο Κ έχει πλάτος και μήκος; Σημειοσύνολο είναι κάθε σχήμα.
Είσαι καλός συνομιλητής και γι αυτό επιμένω. Αν το πεπερασμένο του χρόνου σου εμποδίζει μια τόσο ενδιαφέρουσα συζήτηση ο.κ.

[quote="nemenala"]Το σημειοσύνολο Κ έχει πλάτος και μήκος;[/quote]

Μόνο μήκος, όχι πλάτος (νομίζω το προηγούμενο post αρκεί για επεξηγήσεις πάνω σε αυτό το σημείο αν δεν είναι ξεκάθαρο το γιατί υποστηρίζω αυτήν την άποψη).

Cheerio,

Durandal 1707

Στο αμφιθέατρο αυτό θα υποστήριζες; Ότι δύο κάθετα τεμνόμενα ευθύγραμμα τμήματα είναι μόνο μήκος; Δεν μου απάντησες και για το Ο που αφορά σημείο και σημείο τομής. Μπορούμε να έχουμε ΑΒ ευθύγραμμο τμήμα αποτελούμενο από σημεία τομής όπως ακριβώς μπορεί να αποτελείται από σημεία μέρος ουθέν (π.χ. κατά Ντάντεκιντ κλάσεις σημειοσειρά).

[quote="nemenala"]Στο αμφιθέατρο αυτό θα υποστήριζες; Ότι δύο κάθετα τεμνόμενα ευθύγραμμα τμήματα είναι μόνο μήκος;[/quote]

Ναι. Είναι μόνο μήκος. Είναι μήκος απλατές, είναι γραμμή.

Η απάντησή μου δεν αλλάζει από τα δύο προηγούμενα posts: είτε απευθυνόμουν σε ακροατήριο που ήθελε να ακούσει για τις αρχικές έννοιες της Ευκλείδειας γεωμετρίας και το πώς ερμηνεύεται το πλάτος, είτε σε σύγχρονο ακροατήριο που είναι εξοικειωμένο με την έννοια της διάστασης και το γεγονός ότι τα "απλατή μήκη" είναι απλώς μονοδιάστατες πολλαπλότητες, το ίδιο ακριβώς θα υποστήριζα. Το $ K$ δεν έχει πλάτος.

Εσύ γιατί θεωρείς ότι το $ K$ έχει πλάτος? Ο Ευκλείδης είναι ξεκάθαρος στο ότι η περιφέρεια ενός κύκλου δεν έχει πλάτος (αφού τη χαρακτηρίζει ως γραμμή, δηλ. εξ' ορισμού ως ένα απλατές μήκος). Αν το δέχεσαι αυτό (που απ'ό,τι φαίνεται το δέχεσαι), γιατί δυσκολεύεσαι να δεχθείς ότι η περιφέρεια ενός τετραγώνου ή το $ K$ δεν έχουν πλάτος?

[quote]Δεν μου απάντησες και για το Ο που αφορά σημείο και σημείο τομής. Μπορούμε να έχουμε ΑΒ ευθύγραμμο τμήμα αποτελούμενο από σημεία τομής όπως ακριβώς μπορεί να αποτελείται από σημεία μέρος ουθέν (π.χ. κατά Ντάντεκιντ κλάσεις σημειοσειρά).[/quote]

Δε σου απάντησα επειδή εξακολουθώ να μην καταλαβαίνω τί θέλεις να πεις  :| Sorry :(

Cheerio,

Durandal 1707

Ο.κ.
Το Κ διαθέτει ένα σημείο τομής Ο.
Το Ο είναι ίδιο ακριβώς με το σημείο μέρος ουθέν;
Έχουμε αξιωματικά προβλεπόμενο τρόπο να το διαπιστώσουμε (απόδειξη των ίδιων ακριβώς ιδιοτήτων) και δεν θα πηγαίνουμε στα τυφλά.
Ερωτώ: [b]Μπορούμε όπου σημείο να θεωρήσουμε σημείο τομής ευθειών όπως στο Ο στο Κ, ώστε να δειχθούν ίδια; [/b]Ποιο απλά δεν μπορώ να το πω, αλλά μπορώ να σου το παραστήσω.
Έχουμε το Κ που αποτελείται από το ΑΒ και ΓΔ που τέμνονται στο Ο.
Μπορούμε να πληρώσουμε όλο το ΑΒ με κάθετες ευθείες όπως η ΓΔ που δημιουργεί το Ο, ώστε [b]στο[/b] ΑΒ, να αντικαταστήσουμε όλα τα σημεία του με σημεία τομής όπως το Ο; Μπορεί τα σημεία του ΑΒ να είναι όλα σημεία τομής; Πόσο πιο απλά να το πω;
Αν μπορούμε τότε δεν υπάρχει πρόβλημα. Το όποιο σημείο μέρος ουθέν, είναι ακριβώς το ίδιο με το σημείο τομής Ο και θα το έχουμε αποδείξει αφού θα έχουν τις ίδιες ακριβώς ιδιότητες, δηλαδή να μπορούν να αποτελούν ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ ή μια ευθεία ε.
Σχετικό: Μπορεί να πληρωθεί ένα τετράγωνο χωρίο με κοινά σημεία τομής ευθειών και αντί για σημειοσύνολο, να έχουμε σύνολο σημείων τομής ευθειών;
Το πρόβλημα όπως αντιλαμβάνεσαι σχετίζεται με το Κ έτσι όπως το έχω διατυπώσει και επιμένεις ότι είναι μία γραμμή. Αν δείξουμε ότι το Ο είναι σημείο μέρος ουθέν, αντικαθιστώντας ΟΛΑ τα σημεία του ΑΒ με Ο1, Ο2, Ο3, ΟΧ, ΟΧ+1... σημεία τομής ευθειών, τότε πιθανόν να έχεις δίκιο. Αν όμως δεν το αποδείξουμε, όπως αντιλαμβάνεσαι, το Ο θα δειχτεί με διαστάσεις και όχι μέρος ουθέν, διότι θα είναι διαφορετικό από το σημείο μέρος ουθέν που είναι το μοναδικό χωρίς κανένα μέρος (για να το πούμε και αλλιώς χωρίς καμία διάταση) εκ της φύσεώς του σαν αρχική έννοια.
Δεν έχουμε φύγει από το πρόβλημα περί το Κ δηλαδή, ακόμα και αν αποδεχθώ ότι αυτό είναι γραμμή. Αν το Ο μόνο του επί του επιπέδου δεν ΑΠΟΔΕΙΚΝΥΕΤΑΙ να είναι σημείο μέρος ουθέν, τότε μπαίνουν άλλα δεδομένα στον προβληματισμό που ελπίζω να τα υποψιάζεσαι...
Κοίταξε φίλε μου. Αν δεν έχεις χρόνο, να μου το πεις για να μη με χρώσεις για ένα ζήτημα που θα ανοίξει (κατά μένα εξαιρετικά ενδιαφέρον) με πολλές παραμέτρους...

@nemenalla : Χωρίς να θίξω υπολήψεις και χωρίς να θέλω να προσβάλλω κανέναν , πες μου απλά αν είσαι στην Τσολκική ομάδα ατόμων που αμφισβητούν το πυθαγορείο θεώρημα και άλλα πολλα

Ο Τσόλκας δεν αμφισβητεί το πυθαγόρειο. Ο Μαγκλάρας το αμφισβητεί και δεν γνωρίζω ειλικρινά αν το επιχειρεί τώρα και ο Τσόλκας. Προσωπικά δεν ανήκω σε ομάδες. Ελπίζω να σου ικανοποίησα την περιέργεια. Αυτά που μεταφέρω εδώ τα υποστηρίζει και ο χρήστης Aplos στο Καποδιστριακό και τώρα ψάχνω να βρω αν έχουν βάσεις τέτοιοι ισχυρισμοί, γιατί εκεί δεν δίνονται απαντήσεις στον Aplos.
Μπορείς λοιπόν να απαντήσεις αν επιθυμείς στο πρόβλημα που συζητάμε και το ποιος υποστηρίζει και τι υποστηρίζει ή αν υπάρχει ομάδα (που το αγνοώ) είναι δευτερεύον έχω την άποψη.

[quote="nemenala"]Ο Τσόλκας δεν αμφισβητεί το πυθαγόρειο. Ο Μαγκλάρας το αμφισβητεί και δεν γνωρίζω ειλικρινά αν το επιχειρεί τώρα και ο Τσόλκας. Προσωπικά δεν ανήκω σε ομάδες. Ελπίζω να σου ικανοποίησα την περιέργεια. Αυτά που μεταφέρω εδώ τα υποστηρίζει και ο χρήστης Aplos στο Καποδιστριακό και τώρα ψάχνω να βρω αν έχουν βάσεις τέτοιοι ισχυρισμοί, γιατί εκεί δεν δίνονται απαντήσεις στον Aplos.[/quote]

Ο λόγος που δε δίνονται απαντήσεις στον Aplos είναι μάλλον απλός... ο νοών νοείτω  :rotfl: :rotfl:

Τώρα, αν κατάλαβα καλά και θέλεις να αντικαταστήσεις κάθε σημείο με σημείο τομής, από κάθε σημείο του Κ φέρε μία κάθετη στο Κ. Αυτό είναι μία από τις πρώτες κατασκευές του Ευκλείδη και έτσι κάθε σημείο του Κ μπορείς να το θεωρήσεις και ως σημείο τομής. Αυτό είναι το πρόβλημα? :)

Τελευταίο σχόλιο (που ήταν και το πρώτο μου, αλλά μάλλον έπεσε στο βρόντο): [i]μην επιμένεις με την αυστηρότητα στα αξιώματα του Ευκλείδη[/i]. Τα αξιώματά του έχουν διατυπωθεί στην καθομιλουμένη (μέρους ουθέν, μήκος, πλάτος) και απευθύνονται στην κοινή λογική και στη διαίσθηση, όχι στον αυστηρό φορμαλισμό. Είναι μνημειώδες το έργο του Ευκλείδη, αλλά παρολ'αυτά οποιαδήποτε αυστηρή μαθηματική συζήτηση επί των αρχικών εννοιών του είναι καταδικασμένη εκ προοιμίου. Μπορούμε να γράφουμε πραγματείες επί πραγματειών για το τί είναι μήκος, τί είναι πλάτος και τί είναι μέρος ουθέν αλλά σε μία τέτοια προσπάθεια εγώ δε θα συμμετάσχω γιατί προτιμώ να ασχολούμαι με πραγματικά μαθηματικά.

Βάζω στοίχημα ότι αυτός είναι ο λόγος που δεν απαντάνε στον Aplos στο Καποδιστριακό: δεν έχει νόημα το ερώτημα αυτό. Αν θέλεις να συζητήσουμε αυστηρά γι'αυτά τα πράγματα, θα το κάνουμε στα πλαίσια των σύγχρονων μαθηματικών όπου έχουμε σωστά αξιώματα και σωστή θεμελίωση των πραγμάτων. Tότε, θα μπορούμε να μιλήσουμε και για τις ιδιότητες των space-filling curves (όπως η καμπύλη του Peano) και για το θεώρημα των Hahn-Mazurkiewicz και για ένα σωρό άλλα πράγματα :)

Cheerio,

Durandal 1707

[quote]Durandal
Ο λόγος που δε δίνονται απαντήσεις στον Aplos είναι μάλλον απλός... ο νοών νοείτω [/quote]

Όταν λέω δεν δίνονται απαντήσεις, εννοώ δεν δίνονται αξιωματικά στηριγμένες και όχι δεν του απαντούν υποκειμενικά ο καθένας. Αντίθετα, γίνεται χαμός. Επομένως αυτό που λες δεν έχει νόημα και εδώ ισχύει πραγματικά το «ο νοών…».

[quote]Durandal
Τώρα, αν κατάλαβα καλά και θέλεις να αντικαταστήσεις κάθε σημείο με σημείο τομής, από κάθε σημείο του Κ φέρε μία κάθετη στο Κ. Αυτό είναι μία από τις πρώτες κατασκευές του Ευκλείδη και έτσι κάθε σημείο του Κ μπορείς να το θεωρήσεις και ως σημείο τομής. Αυτό είναι το πρόβλημα? [/quote]

[quote]Nemenala
[b]Posted: Mon Oct 27, 2008 1:18 pm[/b]
Βέβαια κάθε σημείο εν δυνάμει είναι σημείο τομής ευθειών, όμως το αντίστροφο (δηλαδή όλα τα σημεία μιας ευθείας είναι σημεία τομής ευθειών) δεν αποδεικνύεται, διότι δεν υπάρχουν (δεν προβλέπονται) εφαπτόμενες ευθείες που με το ανύπαρκτο πλάτος τους να αποδώσουν το μήκος ενός ευθύγραμμου τμήματος, το οποίο μήκος η ευθεία διαθέτει σαν αρχική έννοια, δηλαδή ισοδύναμα αξιωματικά, αφού οι αρχικές έννοιες γίνονται αποδεκτές χωρίς περαιτέρω ανάλυση. [/quote]

Όπως αντιλαμβάνεσαι αγαπητέ φίλε, αυτό ακριβώς μου λες που το έχω πει πρώτος και δεν το λέω για να διεκδικήσω πρωτεία, αλλά γιατί ήδη είναι απαντημένο. Κάθε σημείο είναι δυνατό να καταστεί σημείο τομής. Όμως ΟΛΑ, τα άπειρα σημεία του ΑΒ μπορούν ώστε να έχουν σημεία και σημεία τομής τις ίδιες ιδιότητες; Μήπως το μήκος του σημειοσυνόλου, που ονομάζουμε ευθεία ή και απλή γραμμή (είναι το ίδιο) μπορεί μόνο το σημείο να το αποδώσει και όχι το άπειρο πλήθος σημείων τομής, διότι διερχόμαστε από εφαπτόμενες ευθείες που με το ανύπαρκτο πλάτος τους θα πρέπει να αποδώσουν μήκος ΑΒ; Εσύ μου απαντάς με το πρώτο, ενώ το ζητούμενο είναι το δεύτερο. Το να θέτω αυτό το πρόβλημα δεν σχετίζεται με τον Ευκλείδη. Μπορείς να χρησιμοποιήσεις ότι μαθηματικά επιθυμείς αρκεί να έχουν άμεση η έμμεση αξιωματική στήριξη. Το θέτω στον Ευκλείδη για να γίνει πιο κατανοητό. Υπάρχουν αγαπητέ φίλε μαθηματικά με δικό τους ορισμό περί του σημείου και της ευθείας που να αιτιολογούν σημειοσύνολο αποτελούμενο από σημεία τομής;
Εδώ είμαι και θα σε περιμένω.
Εκτός αυτού έχουμε το αξίωμα ότι από 2 δοσμένα σημεία π.χ. Α και Β διέρχεται μοναδική ευθεία ενώ 3 μη συνευθειακά σημεία ορίζουν επίπεδο. Το Κ διέρχεται μόνο από δύο σημεία Α και Β ή από 4 μη συνευθειακά; Το Κ δοσμένο να αποτελείται από ευθύγραμμα τμήματα δεν ορίζει επίπεδο κατ` εξαίρεση;

[quote]Durandal
Τελευταίο σχόλιο (που ήταν και το πρώτο μου, αλλά μάλλον έπεσε στο βρόντο): μην επιμένεις με την αυστηρότητα στα αξιώματα του Ευκλείδη. Τα αξιώματά του έχουν διατυπωθεί στην καθομιλουμένη (μέρους ουθέν, μήκος, πλάτος) και απευθύνονται στην κοινή λογική και στη διαίσθηση, όχι στον αυστηρό φορμαλισμό. Είναι μνημειώδες το έργο του Ευκλείδη, αλλά παρολ' αυτά οποιαδήποτε αυστηρή μαθηματική συζήτηση επί των αρχικών εννοιών του είναι καταδικασμένη εκ προοιμίου. Μπορούμε να γράφουμε πραγματείες επί πραγματειών για το τί είναι μήκος, τί είναι πλάτος και τί είναι μέρος ουθέν αλλά σε μία τέτοια προσπάθεια εγώ δε θα συμμετάσχω γιατί προτιμώ να ασχολούμαι με πραγματικά μαθηματικά. [/quote]

Ποιος ζήτησε περαιτέρω ανάλυση του σημείου της ευθείας ή του επιπέδου; Η διαίσθηση και η εποπτεία μπορεί να είναι αντικείμενα από τα οποία θέλει η μαθηματική κοινότητα να απαλλαγεί, όμως αυτό ούτε ήταν, ούτε θα είναι ποτέ δυνατό καθώς υπάρχει το θέμα της κατασκευής. Αυτή, απαιτεί τη χρήση εργαλείων σαν θεωρήματα ύπαρξης, για να αποδείξουμε δηλαδή την πραγματική ύπαρξη ορισμένων οντοτήτων. Εκτός και μπορούμε να κάνουμε ευθεία με το χέρι ή χωρίς κανόνα π.χ. στις καρτεσιανές ή τον άξονα R.
Θα συμφωνούσα αν στα σύγχρονα μαθηματικά και αναφέρομαι στον R και την Ανάλυση, δεν ίσχυαν τα ευκλείδεια αξιώματα, ενώ κατά τα λοιπά τα άλλα όλα είναι προτάσεις και ορισμοί. Ξέρεις οι προτάσεις - θεωρήματα, καλυπτόμενα με την εισαγωγή ορισμών, δεν συνεπάγεται καμία αυστηρότητα όπως λες, διότι οι ορισμοί ερμηνεύουν και δεν αποδεικνύουν. Όλες οι αποδείξεις στα μαθηματικά έχουν ανάγκη έμμεσης ή άμεσης αξιωματικής στήριξης και ελπίζω να το γνωρίζεις. Θα σε παρακαλέσω σε αυτά που σου λέω να μην εναντιωθείς, όχι διότι δεν είναι δικά μου, που όντως δεν είναι αλλά τα υποστηρίζω απόλυτα, αλλά γιατί έτσι διδάσκονται σήμερα τα μαθηματικά, μιας και αναφέρεσαι στα σύγχρονα. Π.χ. εάν οι ορισμοί (τους οποίους επικαλείσαι για να καθορίσουν τη σύγχρονη αυστηρότητα) ήταν απόδειξη και δεν απαιτούσαν απόδειξη, τότε θα ήταν αξιώματα που δεν χρειάζονται απόδειξη. Έτσι θα ορίζαμε τετραγωνισμένο κύκλο και θα τελειώναμε με το όλο θέμα. Αν με εννοείς…

[quote]Durandal
Βάζω στοίχημα ότι αυτός είναι ο λόγος που δεν απαντάνε στον Aplos στο Καποδιστριακό: δεν έχει νόημα το ερώτημα αυτό. Αν θέλεις να συζητήσουμε αυστηρά γι'αυτά τα πράγματα, θα το κάνουμε στα πλαίσια των σύγχρονων μαθηματικών όπου έχουμε σωστά αξιώματα και σωστή θεμελίωση των πραγμάτων. Tότε, θα μπορούμε να μιλήσουμε και για τις ιδιότητες των space-filling curves (όπως η καμπύλη του Peano) και για το θεώρημα των Hahn-Mazurkiewicz και για ένα σωρό άλλα πράγματα. [/quote]

Επαναλαμβάνω τα περί απαντήσεων. Του απαντάνε χωρίς οι απαντήσεις τους να ξεφεύγουν από το όριο της απλής γνώμης τους. Μην επιμένεις διότι θα χάσεις το στοίχημα.

[b]Πάρις Πάμφιλος, καθηγητής μαθηματικών πανεπιστημίου Κρήτης.[/b]
Απόσπασμα από την Ευκλείδεια γεωμετρία του σελίδα 2.
http://translate.google.gr/translate?hl=el&sl=en&u=http://www.math.uoc.gr/~pamfilos/&sa=X&oi
[b]1.4 Αναλυτική μέθοδος[/b]
Η αναλυτική μέθοδος αναπτύχθηκε πολύ αργότερα από την συνθετική (Καρτέσιος 1596-1650). Σ' αυτήν ο χώρος X περιγράφεται με σαφήνεια και ταυτίζεται με ένα σύνολο μαθηματικών αντικειμένων. Π.χ. το Ευκλείδειο Επίπεδο ταυτίζεται με το σύνολο R^2. Τα διάφορα σχήματα, όπως λ.χ. οι ευθείες, περιγράφονται ως σύνολα που ικανοποιούν μαθηματικές σχέσεις και οι μετασχηματισμοί, δίδονται από συγκεκριμένους τύπους. Οι ορισμοί και οι ιδιότητες των σχημάτων ανάγονται σε αριθμητικές σχέσεις και επομένως η αλήθειά τους ανάγεται στην αλήθεια των στοιχειωδών ιδιοτήτων των πραγματικών αριθμών. Εδώ τα πάντα είναι προτάσεις. Τα αξιώματα φαίνονται να απουσιάζουν. Τούτο είναι μόνο φαινομενικό. Τα αξιώματα κρύβονται, σ' αυτήν την περίπτωση, στο μοντέλο. [b]Π.χ. για το R^2 τα αντίστοιχα αξιώματα είναι αυτά του R, τα οποία συνεπάγονται τα αξιώματα του Ευκλειδείου επιπέδου. [/b]

Αυτά τα ολίγα.

[quote="nemenala"]Επαναλαμβάνω τα περί απαντήσεων. Του απαντάνε χωρίς οι απαντήσεις τους να ξεφεύγουν από το όριο της απλής γνώμης τους. Μην επιμένεις διότι θα χάσεις το στοίχημα.[/quote]

Ποιο ακριβώς στοίχημα? :huh:

[quote][b]Πάρις Πάμφιλος, καθηγητής μαθηματικών πανεπιστημίου Κρήτης.[/b]
Απόσπασμα από την Ευκλείδεια γεωμετρία του σελίδα 2.
http://translate.google.gr/translate?hl=el&sl=en&u=http://www.math.uoc.gr/~pamfilos/&sa=X&oi
[b]1.4 Αναλυτική μέθοδος[/b]
Η αναλυτική μέθοδος αναπτύχθηκε πολύ αργότερα από την συνθετική (Καρτέσιος 1596-1650). Σ' αυτήν ο χώρος X περιγράφεται με σαφήνεια και ταυτίζεται με ένα σύνολο μαθηματικών αντικειμένων. Π.χ. το Ευκλείδειο Επίπεδο ταυτίζεται με το σύνολο R^2. Τα διάφορα σχήματα, όπως λ.χ. οι ευθείες, περιγράφονται ως σύνολα που ικανοποιούν μαθηματικές σχέσεις και οι μετασχηματισμοί, δίδονται από συγκεκριμένους τύπους. Οι ορισμοί και οι ιδιότητες των σχημάτων ανάγονται σε αριθμητικές σχέσεις και επομένως η αλήθειά τους ανάγεται στην αλήθεια των στοιχειωδών ιδιοτήτων των πραγματικών αριθμών. Εδώ τα πάντα είναι προτάσεις. Τα αξιώματα φαίνονται να απουσιάζουν. Τούτο είναι μόνο φαινομενικό. Τα αξιώματα κρύβονται, σ' αυτήν την περίπτωση, στο μοντέλο. [b]Π.χ. για το R^2 τα αντίστοιχα αξιώματα είναι αυτά του R, τα οποία συνεπάγονται τα αξιώματα του Ευκλειδείου επιπέδου. [/b][/quote]

Αυτό λέω τόσην ώρα :D

Θεμελίωση Ευκλείδη: ασαφής. Οι πρώτες έννοιές του είναι συγκεχυμένες (ουθέν, μήκος, πλάτος, εξίσου εφ'εαυτής κλπ, κλπ), τα αξιώματα και οι ορισμοί ασαφώς διατυπωμένοι: π.χ. γραμμή μήκος απλατές.

Θεμελίωση Θεωρίας Συνόλων: clear! Τρεις αρχικές έννοιες (class, membership, element). Μετά βάζεις τα 9-10 αξιώματα της ZFC (ή όσα είναι) και όλα τ'άλλα έρχονται ως κατασκευές πάνω στα αξιώματα αυτά.

Με αυτή τη θεμελίωση είσαι ok?

Έτσι είναι που κατασκευάζονται οι φυσικοί αριθμοί του Peano ($ 0 \equal{} \varnothing, 1 \equal{} \varnothing\cup 0 \equal{} \{0\} \equal{} \{\varnothing\}, 2 \equal{} \{0,1\} \equal{} \{\varnothing,\{\varnothing\}\}$ κλπ), μετά κατασκευάζονται οι πραγματικοί αριθμοί με τις τομές Dedekind, και τέλος το επίπεδο $ \mathbb{R}^2$ πάνω στο οποίο μιλάμε για γεωμετρία.

Στα πλαίσια αυτά λοιπόν, μία γραμμή στο επίπεδο είναι απλώς μία συνεχής απεικόνιση $ \gamma: [0,1]\to\mathbb{R}^2$.

Αντί λοιπόν να προσπαθείς να απαντήσεις την ερώτησή σου στο Ευκλείδειο αξιωματικό σύστημα (που είναι μία άσκηση στη ματαιότητα), γιατί δε την απαντάς στο πλαίσιο των σύγχρονων μαθηματικών όπου η απάντηση είναι άμεση και δεν επιδέχεται αμφισβήτηση ή παρανοήσεις για το αν και κατά πόσο έχει πλάτος το $ K$ ή δεν έχει (που ακόμα δεν κατάλαβα αν υποστηρίζεις ότι έχει ή όχι)?

Anyway, αν δε σας πειράζει, θα γυρίσω τώρα στην ταπεινή μου διαφορική εξίσωση, γιατί αυτή δεν ενδιαφέρεται αν το σχήμα $ K$ αποτελείται από άπειρα σημεία τομής ή όχι...

Hasta luego,

Durandal 1707

[quote]Durandal
Posted: Today, at 12:03 pm
Βάζω στοίχημα ότι αυτός είναι ο λόγος που δεν απαντάνε στον Aplos στο Καποδιστριακό:[/quote]

[quote]nemenala
Μην επιμένεις διότι θα χάσεις το στοίχημα. [/quote]

[quote]Durandal
Ποιο ακριβώς στοίχημα?[/quote]

Επιμένεις;

[quote]Durandal
Με αυτή τη θεμελίωση είσαι ok?[/quote]

Ασφαλώς όχι.
clear;;;!!!!
Με μια θεωρία στην εντατική που έχει μηχανική υποστήριξη αναπνοής για να μη χαθεί ο καντοριανός παράδεισος;
Για διάβασε απόσπασμα (θα σου πω μετά ποιος το γράφει αν βέβαια σε ενδιαφέρει):
[b]ΑΠΟΣΠΑΣΜΑ[/b]
Έχω όμως να παρατηρήσω:
1. Η θεωρία των συνόλων, όχι μόνον ξεπερασμένη είναι, αλλά και οικτρά αποτυχημένη. [b]Από το βιβλίο του πατριάρχη της συνολοθεωρίας, Δαυίδ Χίλμπερτ «Για το άπειρο» εκδ. Τροχαλία, σας μεταφέρω:[/b]« εμφανίστηκαν αντιφάσεις στην αρχή σποραδικά, και αργότερα πιο οδυνηρά και απειλητικά. Ήταν τα παράδοξα της θεωρίας των συνόλων όπως ονομάζονταν.  Συγκεκριμένα, μία αντινομία που ανακαλύφθηκε από τους Τσερμέλο και Ράσσελ, όταν έγινε γνωστή, είχε μία καταστροφική συνέπεια στον κόσμο των μαθηματικών. Βρισκόμενοι αντιμέτωποι με αυτά τα παράδοξα, οι Ντέντεκιντ και Φρέγκε στην πραγματικότητα εγκατέλειψαν την άποψη τους και έφυγαν από το πεδίο. Ο Ντέντεκιντ για μεγάλο χρονικό διάστημα είχε αναστολές να επιτρέψει νέα έκδοση της πραγματείας του που άφησε εποχή και ο Φρέγκε, επίσης, υποχρεώθηκε να αναγνωρίσει ότι η κατεύθυνση του βιβλίου του ήταν λανθασμένη, όπως παραδέχεται σε ένα παράρτημα. Από τα πιο διαφορετικά σημεία, κατευθύνθηκαν σφοδρές επιθέσεις ενάντια στην ίδια την θεωρία του Κάντορ…..» ( σελ. 34) και παρακάτω: [b]«Θα διερευνήσουμε προσεκτικά εκείνους τους τρόπους ορισμού των εννοιών και εκείνους τους τρόπους συμπερασμού που είναι γόνιμοι. Θα τους φροντίσουμε, θα τους υποστηρίξουμε και θα τους καταστήσουμε λειτουργικούς, οπουδήποτε υπάρχει ελάχιστη ελπίδα επιτυχίας. Κανείς δεν θα μπορέσει να μας απομακρύνει από τον παράδεισο που δημιούργησε ο Κάντορ για μας.» (σελ. 35)[/b]
2. Το ύφος αυτό, όχι μόνον αντιεπιστημονικό είναι, αλλά και άκρως φασιστικό, αφού σώνει και καλά «κάποιοι», πρέπει να μας επιβάλλουν με κάθε θυσία τον αποτυχημένο παράδεισο του Κάντορ.
3. Το όλο θέμα έχει σφραγίσει οριστικά η μεγαλοφυΐα του Γκέντελ με τα θεωρήματα πληρότητας και μη πληρότητας, έδειξε δηλαδή στη συγκεκριμένη ομάδα, [b]ότι όσο και αν αυξήσουν τα αφετηριακά αξιώματα δεν θα μπορέσουν να αποδείξουν όλες τις αλήθειες, αφού υπάρχουν αλήθειες που δεν μπορούν ούτε να αποδειχθούν ούτε να καταρριφθούν, τους είπε εμμέσως πλην σαφώς ότι θα μείνουν στη σκιά του Ευκλείδη[/b] (πέθανε από ασιτία γιατί νόμιζε πως θα τον δηλητηριάσουν με την τροφή οι Εβραίοι)
4. Η αιτία που έπρεπε να επιβληθεί ο Καντοριανός παράδεισος ήταν η [b]δήλωση-προσταγή[/b] ενός εκ των επωνύμων της Καντοριανής παρέας:  [b]«Ο Αϊνστάϊν έδειξε ότι ήταν απαραίτητο να εγκαταλειφθεί η Ευκλείδεια γεωμετρία επειδή δεν ήταν συμβατή με την υπόθεση ενός ελλειπτικού σύμπαντος». (σελ. 19-20 του ίδιου βιβλίου). [/b]Έτσι, αποβλήθηκε ο Ευκλείδης σχεδόν από τα σχολεία της γης.
5.	Όμως το σύμπαν σήμερα, παρ’ όλη τη σκανδαλωδώς χρηματοδοτούμενη δράση και υποστήριξη της επώνυμης παρέας των Κάντορ, Χίλπερτ, Κλάϊν,  Αϊνστάιν, Μαχ, …, και των διαδόχων τους, αποδείχθηκε Ευκλείδεια επίπεδο, δηλαδή είναι ένα σύμπαν στο οποίο ισχύει το Πυθαγόρειο θεώρημα (ενώ στη Θεωρία της Σχετικότητας δεν ισχύει). Μπορείτε να επισκεφθείτε και την ιστοσελίδα της ΝΑΣΑ (βλ. παρακάτω) για λεπτομέρειες.
6.	Δεν θέλησα να μεταφέρω τις απόψεις των αντιπάλων της Καντοριανής παρέας, πρέπει όμως να διευκρινιστεί, ότι η θεωρία της σχετικότητας, ακόμα και όπως έχει τροποποιηθεί, πρώτο στάδιο Καραθοδωρής–Γκρόσμαν, δεύτερο στάδιο Φρίντμαν, κτλ, δεν έχει δώσει ουσιαστικά καμία μα καμία νέα επαλήθευση-εφαρμογή. Παράδειγμα, η στρέβλωση των φωτεινών ακτίνων του Ερμή από το βαρυτικό πεδίο του Ήλιου, που τάχα προβλέφθηκε από τον Αϊνστάιν, είχε επινοηθεί από τον   Georg Johann von Soldner (1776-1833), έναν αιώνα πριν στα 1801, εξετάζοντας το ίδιο φαίνομενο με βάση την Νευτώνεια σωματειδιακή θεωρία του φωτός και την Ευκλείδεια Γεωμετρία στην εργασία του με τίτλο «Ueder die Ablenkunng eines Lichtsrahls von seiner geradlinigen Bewegung, durch die Attraktion eines Weltkorpes, an welchem er nahe vorbei geht» που δημοσιεύτηκε στα 1804 στο Astronomisches Jahrbuch fur das Jahr 1804, σελ. 161-172. Το πρόβλημα δεν σταματάει εδώ. Ο Soldner είχε κάνει ένα αριθμητικό  λάθος και υπολόγισε στο μισό την εν λόγω απόκλιση. Όμως, στο μισό την υπολόγισε και ο Αϊνστάιν! Η αντιγραφή είναι προφανώς κραυγαλέα! Όταν τους πήραν χαμπάρι, έπεσαν επάνω οι άγγελοι-σωτήρες του Καντοριανού παράδεισου (1915) και είπαν ότι ο «μεγάλος σοφός» ξέχασε  τη στρέβλωση του συστήματος αναφοράς (είχε λάβει τάχα υπόψη μόνον τη στρέβλωση του χρόνου!). Για λεπτομέρειες επί των ανωτέρω βλ. «Επί των σχετικών με την Γεωμετρία υποθέσεων του Reamann», εκδ.  ΤΡΟΧΑΛΙΑ σελ.136
Όσον αφορά τη θεωρία των μελανών οπών...

Αγαπητέ φίλε Durandal, ειλικρινά δεν θέλω να σου πω ότι είσαι στα ρηχά, αλλά οπωσδήποτε δεν είσαι στα βαθιά της υπόθεσης. [b]Το μόνο σφάλμα που θα βρεις μέσα σε αυτό το απόσπασμα είναι η άποψη ότι ισχύει το πυθαγόρειο στην ευκλείδεια γεωμετρία[/b], που με έφερε σε αντιπαράθεση σύγκρουσης με τον συγγραφέα του. Τον τιμώ αλλά δεν συμφωνώ ότι το πυθαγόρειο ισχύει στην ευκλείδεια γεωμετρία και μη το σχετίσεις με τη θεωρία της σχετικότητας ή αυτή του Ρίμαν. Αν έχεις άλλη άποψη εδώ είμαι.
Όχι και [b]clear[/b] όμως!

Καλή επιτυχία με τη διαφορική.

Εγώ απλός μπακάλης είμαι (περήφανα όμως, σαν το δάσκαλο μου), οπότε τι να πώ σε όλα αυτά? Όπως λες κι εσύ, δεν το έχω θίξει το θέμα στα βαθειά του...

Πάντως guys (όσοι παρακολουθείτε ακόμα δηλαδή :lol:), τι σου είναι το Google! Το απόσπασμα σου είναι από [url=http://www.padamakos.gr]εδώ[/url].

Anyway, εγώ δυστυχώς χάθηκα κάπου μετά το χαμένο παράδεισο του Milton... εεεε συγγνώμη του Cantor ήθελα να πω :lol:

Το $ K$ τελικά τι είναι με βάση το σκεπτικό σου? Σημείο, γραμμή, επιφάνεια ή κάτι άλλο? Ή μήπως επειδή και τα αξιώματα του Ευκλείδη είναι undecidable κατά Godel δεν μπορούμε να αποφανθούμε? :lol:

Exeunt Durandal

Προσωπικά αγαπητέ, διαφωνώ με τον κύριο Αδαμάκο και σου το γνωστοποίησα. Αυτά όμως που αναφέρει σχετικά με τη θεωρία συνόλων τις αντινομίες και την ανάγκη για θεραπεία της με μηχανική υποστήριξη και κάθε μέσον, για να μη χαθεί ο καντοριανός παράδεισος είναι του Χίλμπερτ, όπως μπορείς εύκολα να διαπιστώσεις. Δεν μπορούμε να του τα φορτώνουμε και μη ξεχνάς ότι είναι ένα μαθηματικός που διδάσκει τα παιδιά μαθηματικά από το 1974. Είναι το λιγότερο "μη πρέπον" να τον ειρωνεύεσαι κατά τον τρόπο που το κάνεις και δεν σου κάνω μάθημα. Σου λέω πως τον αντιμετωπίζω εγώ κι εσύ έχεις κάθε δικαίωμα να τον αντιμετωπίζεις όπως επιθυμείς.
Το Κ είναι επιφάνεια σύμφωνα με τους όρους του Ευκλείδη.
Διαφωνείς δεν θα μαλώσουμε περί αυτού.
Όμως δεν απαντάς στο περί σημείου και σημείου τομής (το αποφεύγεις επιμελώς, έχοντας διατυπώσει σαν άποψη αυτό που εγώ είπα "κάθε σημείο είναι εν δυνάμει σημείο τομής") που σχετίζεται αποδεικτικά με την περίπτωση Κ, ούτε περί μέσου και μισού, ούτε βέβαια και αν προβλέπονται διαχρονικά εξαιρέσεις στην ορθότητα του πυθαγορείου, πλην της περίπτωσης του Ρίμαν όπου δεν ισχύει.
Να πάω στα αντίστοιχα θέματα;
ΥΓ: Δεν σε είπα μπακάλη. Ο καθένας έχει τις απόψεις του.

[quote="nemenala"]Αυτά όμως που αναφέρει σχετικά με τη θεωρία συνόλων τις αντινομίες[/quote]
Δεν ξέρω για τα υπόλοιπα αλλά αν δεν κάνω λάθος έχουν καμφθεί όλες οι δυσκολίες και οι αντινομίες πλέον.Απ΄όσο γνωρίζω τουλάχιστον δεν έχουμε προς το παρόν αντινομίες στο αξιωματικό σύστημα Zermelo-Fraenkel.Τα παράδοξα που αναφέρεις έχουν πια ξεπεραστεί με την εισαγωγή ή επαναδιατύπωση αξιωμάτων(διόρθωσέ με αν κάνω λάθος γιατί δεν το έχω πολυψάξει κι όλας το θέμα)

[quote="nemenala"]μη ξεχνάς ότι είναι ένα μαθηματικός που διδάσκει τα παιδιά μαθηματικά από το 1974. Είναι το λιγότερο "μη πρέπον" να τον ειρωνεύεσαι κατά τον τρόπο που το κάνεις[/quote]

Ίσως το πρώτο πράγμα που έχεις πει με το οποίο συμφωνώ. Το σχόλιο έφυγε μιας και δεν είναι εδώ για να υπερασπιστεί τις απόψεις του.

Για όσους αναρωτιούνται για το παράδοξο του Russel και τί γίνεται στη ZFC (π.χ. ο giannis18), η Wikipedia έχει μία σειρά άρθρων ([url=http://en.wikipedia.org/wiki/Axiomatic_set_theory]εδώ[/url] και [url=http://en.wikipedia.org/wiki/Russell%27s_paradox]εδώ[/url] και τα εκεί links) που δίνουν μία καλή εισαγωγική εικόνα για το τί συμβαίνει στην πραγματικότητα (για περισσότερο βάθος, Μοσχοβάκης και δε συμμαζεύεται).

Τώρα, σε ό,τι αφορά τα υπόλοιπα, η συζήτηση έχασε κάθε ενδιαφέρον για μένα τη στιγμή που αρχίσαμε να καταπίνουμε την κάμηλο (δηλαδή να δέχεσαι σαν αυστηρούς ορισμούς ασάφειες όπως "μέρος ουθέν", "μήκος απλατές" κλπ) ενώ την ίδια ώρα διϋλίζουμε τον κώνωπα (δηλαδή γκρινιάζουμε για την ZFC εξαιτίας της Godel incompleteness).

Άν πιστεύεις ότι η ZFC είναι τόσο κακή όσο λες γιατί δεν αφιερώνεις τη ζωή σου στο να βρεις ένα παράδοξο? Γιατί δε γράφεις μία εργασία να τη στείλεις στα Annals όπως κάνουμε όλοι μας όταν (και αν!!!) ανακαλύψουμε κάτι που είναι άξιο λόγου? Αν το καταφέρεις, όχι Fields medal θα πάρεις αλλά και το Clay θα υποχρεώσεις να αλλάξει τη λίστα των millennium problems :lol:

Exeunt Durandal

[quote="nemenala"]
Με μια θεωρία στην εντατική που έχει μηχανική υποστήριξη αναπνοής για να μη χαθεί ο καντοριανός παράδεισος;
Για διάβασε απόσπασμα (θα σου πω μετά ποιος το γράφει αν βέβαια σε ενδιαφέρει):
[b]ΑΠΟΣΠΑΣΜΑ[/b]
Έχω όμως να παρατηρήσω:
1. Η θεωρία των συνόλων, όχι μόνον ξεπερασμένη είναι, αλλά και οικτρά αποτυχημένη. [b]Από το βιβλίο του πατριάρχη της συνολοθεωρίας, Δαυίδ Χίλμπερτ «Για το άπειρο» εκδ. Τροχαλία, σας μεταφέρω:[/b]« εμφανίστηκαν αντιφάσεις στην αρχή σποραδικά, και αργότερα πιο οδυνηρά και απειλητικά. Ήταν τα παράδοξα της θεωρίας των συνόλων όπως ονομάζονταν.  Συγκεκριμένα, μία αντινομία που ανακαλύφθηκε από τους Τσερμέλο και Ράσσελ, όταν έγινε γνωστή, είχε μία καταστροφική συνέπεια στον κόσμο των μαθηματικών. Βρισκόμενοι αντιμέτωποι με αυτά τα παράδοξα, οι Ντέντεκιντ και Φρέγκε στην πραγματικότητα εγκατέλειψαν την άποψη τους και έφυγαν από το πεδίο. Ο Ντέντεκιντ για μεγάλο χρονικό διάστημα είχε αναστολές να επιτρέψει νέα έκδοση της πραγματείας του που άφησε εποχή και ο Φρέγκε, επίσης, υποχρεώθηκε να αναγνωρίσει ότι η κατεύθυνση του βιβλίου του ήταν λανθασμένη, όπως παραδέχεται σε ένα παράρτημα. Από τα πιο διαφορετικά σημεία, κατευθύνθηκαν σφοδρές επιθέσεις ενάντια στην ίδια την θεωρία του Κάντορ…..» ( σελ. 34) και παρακάτω: [b]«Θα διερευνήσουμε προσεκτικά εκείνους τους τρόπους ορισμού των εννοιών και εκείνους τους τρόπους συμπερασμού που είναι γόνιμοι. Θα τους φροντίσουμε, θα τους υποστηρίξουμε και θα τους καταστήσουμε λειτουργικούς, οπουδήποτε υπάρχει ελάχιστη ελπίδα επιτυχίας. Κανείς δεν θα μπορέσει να μας απομακρύνει από τον παράδεισο που δημιούργησε ο Κάντορ για μας.» (σελ. 35)[/b]
2. Το ύφος αυτό, όχι μόνον αντιεπιστημονικό είναι, αλλά και άκρως φασιστικό, αφού σώνει και καλά «κάποιοι», πρέπει να μας επιβάλλουν με κάθε θυσία τον αποτυχημένο παράδεισο του Κάντορ.
3. Το όλο θέμα έχει σφραγίσει οριστικά η μεγαλοφυΐα του Γκέντελ με τα θεωρήματα πληρότητας και μη πληρότητας, έδειξε δηλαδή στη συγκεκριμένη ομάδα, [b]ότι όσο και αν αυξήσουν τα αφετηριακά αξιώματα δεν θα μπορέσουν να αποδείξουν όλες τις αλήθειες, αφού υπάρχουν αλήθειες που δεν μπορούν ούτε να αποδειχθούν ούτε να καταρριφθούν, τους είπε εμμέσως πλην σαφώς ότι θα μείνουν στη σκιά του Ευκλείδη[/b] (πέθανε από ασιτία γιατί νόμιζε πως θα τον δηλητηριάσουν με την τροφή οι Εβραίοι)
[/quote]

Εδώ θα διαφωνήσω αρχικά με το σημείο (2). Μήπως λέει ο Hilbert ότι πρέπει να επιβληθεί ο Καντοριανός παράδεισος; Λέει ότι υπήρχαν αντιφάσεις στην θεωρία συνόλων αλλά θα διερευνήσουμε τους τρόπους ορισμού των εννοιών, ώστε να τους καταστήσουμε λειτουργικούς. Γιατί θέλει να το κάνει αυτό; Για να μην μπορεί κανείς να τον διώξει από τον παράδεισο του Cantor. Που βρίσκεται ο φασισμός σ'αυτα που λέει;

Επίσης θα ήθελα να μου υποδείξεις γιατί η θεωρία συνόλων βρίσκεται στην εντατική. Αν αυτό το έλεγε κάποιος 70-80 χρόνια πριν να το καταλάβω. Αλλά εδώ και τόσο καιρό δεν έχει βρεθεί καμία αντίφαση (εξ' όσων γνωρίζω) στην ZF. Τι θα κάνουμε αν βρεθεί; Θα φτιάξουμε ότι φτιάχνεται και θα πετάξουμε ότι αποδεδειγμένα δεν φτιάχνεται. Τόσο απλά.

Όσο για το (3), θα ήθελα να παραθέσω μερικά αποσπάσματα από το βιβλίο του Torkel Franzen `Godel's Theorem:  An Incomplete Guide to Its Use and Abuse'.  Απολογούμαι για την παράθεση στην Αγγλικά. Άμα μου το ζητήσετε θα προσπαθήσω να τα μεταφράσω όσο πιο πιστά μπορώ.

Από σελίδα 16:

`Godel's first incompleteness theorem by no means refutes this optimistic view of Hilbert's. What it does is establish that Hilbert's optimism cannot be justified by exhibiting any single formal system within which all mathematical problems are solvable, even if we restrict ourselves to arithmetical problems'

Από σελίδα 34:

`... So a Hilbert-style optimist may as well take the view that the impossibility of formulating any one formal system within which every arithmetical problem is solvable does not exclude the possibility of every arithmetical problem being solvable in one or another of an indefinite series of furtheρ extensions of mathematics by new rules of reasoning. This indeed was the view of Godel, who, as previously noted, proposed "large cardinal axioms" as a means of extending present-day mathematics.'

Τι βλέπουμε εδώ; Όχι μόνο δεν σφράγισε με τα θεωρήματα της μή πληρότητας το θέμα ο Godel, (παρέμπιμπτόντως τα θεωρήματα της πληρότητας του Godel δεν έχουν καμία σχέση με τα θεωρήματα της μή πληρότητας) αλλά πρότεινε και νέα αξιώματα που θα μπορούσαν να προστεθούν στα ήδη υπάρχοντα της ZF/ZFC.

Να βάλω και ένα bonus που πέτυχα στη σελίδα 17:

`Euclid's definitions postulates and common notions do not amount to a formal system. The language of the system is not formally specified, his proofs use geometrical assumptions not expressed in the postulates, and they use other logical principles than those expressed in the common notions. (Formal axiomatizations of geometry were given only in the twentieth century.) '

Ο λόγος που δεν είχα επέμβει μέχρι τώρα στην συζήτηση είναι διότι λόγω του παραπάνω αποσπάσματος την θεωρούσα ανούσια. Είναι γνωστό ότι η Ευκλίδειος γεωμετρία όπως βρίσκεται στα `Στοιχεία' δεν θεωρείται ένα αυστηρό μαθηματίκο σύστημα. Αυτό διορθώθηκε από τον Hilbert στις αρχές του 20ου αιώνα όταν και έγινε κατανοητό ότι χρειαζόταν να αξιοματαποιηθεί η γεωμετρία. (Όπως έλεγα και πιο πάνω ότι φτιάχνεται θα το φτιάξουμε΄αν και εδώ, θα το έλεγα περισσότερο αποσαφήνιση παρά διόρθωση εν αντιθέσει με την αντινομία του Russell όπου όντως τα αξιώματα δεν ήταν συμβιβαστά.)

[quote]giannis18
Δεν ξέρω για τα υπόλοιπα αλλά αν δεν κάνω λάθος έχουν καμφθεί όλες οι δυσκολίες και οι αντινομίες πλέον.Απ΄όσο γνωρίζω τουλάχιστον δεν έχουμε προς το παρόν αντινομίες στο αξιωματικό σύστημα Zermelo-Fraenkel.Τα παράδοξα που αναφέρεις έχουν πια ξεπεραστεί με την εισαγωγή ή επαναδιατύπωση αξιωμάτων(διόρθωσέ με αν κάνω λάθος γιατί δεν το έχω πολυψάξει κι όλας το θέμα) [/quote]

Δεν κάνεις καθόλου λάθος αγαπητέ φίλε Γιάννη. Αν αναφέρθηκα στον Χίλμπερτ (αποσπάσματα από το βιβλίο του σχετικά με το άπειρο) μέσω του καθηγητή, είναι για να δείξω ότι υπάρχει μια νοοτροπία στους μαθηματικούς, να απολαύσουν από τα μαθηματικά αυτό που σκοπεύουν και όχι αυτό που τα ίδια τα μαθηματικά μπορούν να τους δώσουν μέσα από τα αξιωματικά συστήματα. Π.χ. το 0,999…=1 Ενώ δεν είναι 1 (δεν θέλω να αναπτύξω το θέμα και το φέρνω σαν παράδειγμα) φτάνουμε στην ισότητα. Η νοοτροπία λοιπόν δείχνεται και όχι η ουσία του μαθηματικού λογισμού που δεν είναι ελεύθερος να κάνει ότι θέλει, αλλά κάθε απόδειξη έχει ανάγκη άμεσης ή έμμεσης αξιωματική στήριξης και για αυτό γράφουμε, ξεγράφουμε, ξαναγράφουμε αξιώματα σαν να είναι κουστούμι τα μαθηματικά και θέλουμε να το φέρουμε στα μέτρα μας. .

[quote]Durandal
Ίσως το πρώτο πράγμα που έχεις πει με το οποίο συμφωνώ. Το σχόλιο έφυγε μιας και δεν είναι εδώ για να υπερασπιστεί τις απόψεις του.[/quote]

Να συνεκτιμήσεις ότι εμένα δεν μου μιλάει καθόλου, επειδή δεν μπορεί να υπερασπιστεί το πυθαγόρειο! Όμως τον σέβομαι ειλικρινά και χαίρομαι που και εσύ το αναγνωρίζεις ότι του αξίζει ο σεβασμός.

[quote]Durandal
Για όσους αναρωτιούνται για το παράδοξο του Russel και τί γίνεται στη ZFC (π.χ. ο giannis18), η Wikipedia έχει μία σειρά άρθρων (εδώ και εδώ και τα εκεί links) που δίνουν μία καλή εισαγωγική εικόνα για το τί συμβαίνει στην πραγματικότητα (για περισσότερο βάθος, Μοσχοβάκης και δε συμμαζεύεται). [/quote]

Δεν κρίνονται τα ονόματα, Μοσχοβάκης, Νεγρεπόντης, Αναπολιτάνος, Γιαννόπουλος κ.τ.λ., αλλά οι απόψεις. Ο σεβασμός περισσεύει για όλους αυτούς τους διακόνους των μαθηματικών, αλλά είναι και δικαίωμα του ΚΑΘΕΝΟΣ να αντιπαρατεθεί. Τα ονόματα δεν έχουν δική τους αποδεικτική ικανότητα και θα σε παρακαλέσω να μην επικαλείσαι ονομαστικά πλέον τουλάχιστον Έλληνες καθηγητές.

[quote]Durandal
Τώρα, σε ό,τι αφορά τα υπόλοιπα, η συζήτηση έχασε κάθε ενδιαφέρον για μένα τη στιγμή που αρχίσαμε να καταπίνουμε την κάμηλο (δηλαδή να δέχεσαι σαν αυστηρούς ορισμούς ασάφειες όπως "μέρος ουθέν", "μήκος απλατές" κλπ) ενώ την ίδια ώρα διϋλίζουμε τον κώνωπα (δηλαδή γκρινιάζουμε για την ZFC εξαιτίας της Godel incompleteness). [/quote]

Άκουσε με αγαπητέ. Δεν υπάρχει ορισμός περί «ορισμού» και «αυστηρού ορισμού», ούτε αξίωμα να καλύπτει μια τέτοια διάκριση που εσύ κάνεις. Όπως δεν υπάρχει ακόμα και αξίωμα περί του «αφαιρετικά της φύσης» που είναι απλά μια κρατούσα άποψη από την εποχή του Πυθαγόρα σύμφωνα με τον Εύδημο. Ποιος μας υποχρεώνει να μη λαμβάνουμε υπόψη τι κάνει η φύση; Υπάρχει αξίωμα που να το επιβάλλει; Πολύ δε περισσότερο όταν εσύ ο ίδιος επικαλείσαι και τους αρχιτέκτονες που εφαρμόζουν στην πράξη τη γεωμετρία, εποπτικά και σε εφαρμογή της θεωρίας μετρήσεως. Ίσως έχεις δίκιο ότι χάνεται το ενδιαφέρον, αλλά χάνεται επειδή λείπουν τα επιχειρήματα. Αν μπορούσες να αποδείξεις ότι το Κ είναι γραμμή όλα θα ήταν ωραιότατα και ενδιαφέροντα.
Μου λες το Κ είναι γραμμή και επικαλείσαι το κύκλο! Λες, ο κύκλος είναι γραμμή.
Γραμμή δίχως άκρα; Ή μήπως μπορείς να υποδείξεις γραμμή δίχως άκρα, κατασκευάζοντας μια άπειρη γραμμή; Θα κουραστεί και δεν θα τα καταφέρεις ποτέ. Θα μου πεις στο τέλος υποθέτουμε ότι δεν έχει άκρα, αλλά καμία υπόθεση δεν αποτελεί απόδειξη παρά μόνο αντικείμενο απόδειξης…
Λες: Από τη στιγμή που το Κ δεν προσδιορίζεται μονοσήμαντα από το πέρας του, δεν είναι σχήμα.
[b]Στοιχεῖα Εὐκλείδου α΄
[Βιβλίον I]
________________________________________
Ὅροι κγ΄ [23].
ιδ΄ [14]. Σχῆμά ἐστι τὸ ὑπό τινος ἤ τινων ὅρων περιεχόμενον.[/b]
Αναφέρεις μισό τον όρο του Ευκλείδη περί σχήματος. Ο Ευκλείδης όπως βλέπεις ορίζει το σχήμα «ὑπό τινος ἤ τινων ὅρων». Πως λες ότι δεν προσδιορίζεται μονοσήμαντα; Προσδιορίζεται απόλυτα υπό των 4 ορίων του και εν προκειμένω «όρος» σημαίνει «όριο» ή «πέρας», που το Κ διαθέτει 4 μη συνευθειακά μάλιστα.
Για να βρισκόμαστε σε αντίθεση δηλαδή κάνεις αυτές τις αστήρικτες επισημάνσεις;

[quote]Durandal
Άν πιστεύεις ότι η ZFC είναι τόσο κακή όσο λες γιατί δεν αφιερώνεις τη ζωή σου στο να βρεις ένα παράδοξο? Γιατί δε γράφεις μία εργασία να τη στείλεις στα Annals όπως κάνουμε όλοι μας όταν (και αν!!!) ανακαλύψουμε κάτι που είναι άξιο λόγου? Αν το καταφέρεις, όχι Fields medal θα πάρεις αλλά και το Clay θα υποχρεώσεις να αλλάξει τη λίστα των millennium problems [/quote]

Το τι θα κάνω εγώ είναι δική μου υπόθεση φίλε μου. Απάντησε εσύ αν προβλέπονται εξαιρέσεις στην ορθότητα του πυθαγορείου (πέραν του Ρίμαν) και τότε θα σου εξηγήσω πολύ κατανοητά την αξία ZFC ή μάλλον θα την καταλάβεις μόνος σου γιατί έχεις τα προσόντα.
Όλα τα ερωτήματα είναι περιφερειακά του πυθαγορείου.
Μπες στο θέμα λοιπόν και μετά θα δεις τι θα σου απαντήσω.
Εξάλλου για αυτό και συζητάμε, για να ανταλλάσσουμε απόψεις και όχι να ειρωνεύεται ο ένας τον άλλον.
Να είσαι καλά.

[quote="nemenala"][quote]Durandal
Για όσους αναρωτιούνται για το παράδοξο του Russel και τί γίνεται στη ZFC (π.χ. ο giannis18), η Wikipedia έχει μία σειρά άρθρων (εδώ και εδώ και τα εκεί links) που δίνουν μία καλή εισαγωγική εικόνα για το τί συμβαίνει στην πραγματικότητα (για περισσότερο βάθος, Μοσχοβάκης και δε συμμαζεύεται). [/quote]

Δεν κρίνονται τα ονόματα, Μοσχοβάκης, Νεγρεπόντης, Αναπολιτάνος, Γιαννόπουλος κ.τ.λ., αλλά οι απόψεις. Ο σεβασμός περισσεύει για όλους αυτούς τους διακόνους των μαθηματικών, αλλά είναι και δικαίωμα του ΚΑΘΕΝΟΣ να αντιπαρατεθεί. Τα ονόματα δεν έχουν δική τους αποδεικτική ικανότητα και θα σε παρακαλέσω να μην επικαλείσαι ονομαστικά πλέον τουλάχιστον Έλληνες καθηγητές.
[/quote]

Θα το ξαναπώ, χαλάρωσε και μην παρερμηνεύεις αυτά που λέω.

Όταν λέω "για περισσότερο βάθος, Μοσχοβάκης και δε συμμαζεύεται" εννοώ "giannis18, αν ενδιαφέρεσαι για περαιτέρω πληροφορίες, διάβασε π.χ. το βιβλίο του Μοσχοβάκη, που είναι ένα μεταξύ πολλών". Έχεις πρόβλημα και με το να προτείνονται βιβλία προς ανάγνωση?

[quote]
Μου λες το Κ είναι γραμμή και επικαλείσαι το κύκλο! Λες, ο κύκλος είναι γραμμή. Γραμμή δίχως άκρα; Ή μήπως μπορείς να υποδείξεις γραμμή δίχως άκρα, κατασκευάζοντας μια άπειρη γραμμή; Θα κουραστεί και δεν θα τα καταφέρεις ποτέ.
[/quote]

Λέω ότι η περιφέρεια του κύκλου είναι γραμμή. Και δεν το λέω εγώ :P

Ορσ. 14: Κύκλος είναι επίπεδον σχήμα περιεχόμενον υπό [b]μίας γραμμής (η οποία καλείται περιφέρεια)[/b], προς την οποία...

Αν δεν κάνω λάθος, ο Ευκλείδης είναι αρκετά ξεκάθαρος στο ότι η κυκλική περιφέρεια είναι γραμμή :lol:

[quote]Το τι θα κάνω εγώ είναι δική μου υπόθεση φίλε μου. Απάντησε εσύ αν προβλέπονται εξαιρέσεις στην ορθότητα του πυθαγορείου (πέραν του Ρίμαν) και τότε θα σου εξηγήσω πολύ κατανοητά την αξία ZFC ή μάλλον θα την καταλάβεις μόνος σου γιατί έχεις τα προσόντα.
Όλα τα ερωτήματα είναι περιφερειακά του πυθαγορείου.
Μπες στο θέμα λοιπόν και μετά θα δεις τι θα σου απαντήσω.
Εξάλλου για αυτό και συζητάμε, για να ανταλλάσσουμε απόψεις και όχι να ειρωνεύεται ο ένας τον άλλον.
Να είσαι καλά.[/quote]

Ok λοιπόν, στο αντίστοιχο topic για την ισχύ του Πυθαγορείου  :lol:

Γουστάρω τρελά!!! :D

Cheerio,

Durandal 1707

Έτσι σε θέλω πραγματικά καλέ μου Durandal, γιατί κι εγώ γουστάρω. Ας αφήσουμε τις γκρίνιες λοιπόν και τις πιθανές ασάφειες γιατί δεν μας χρειάζονται. Στην ουσία. Επιτέλους μίλησες όπως θέλω να μιλάνε οι συνομιλητές μου, εννοείται χωρίς να σε δεσμεύω να μιλάς κατά τον επιθυμητό για μένα τρόπο.
Πάμε στο πυθαγόρειο.

[quote="Durandal"]

Τελευταίο σχόλιο (που ήταν και το πρώτο μου, αλλά μάλλον έπεσε στο βρόντο): [i]μην επιμένεις με την αυστηρότητα στα αξιώματα του Ευκλείδη[/i]. Τα αξιώματά του έχουν διατυπωθεί στην καθομιλουμένη (μέρους ουθέν, μήκος, πλάτος) και απευθύνονται στην κοινή λογική και στη διαίσθηση, όχι στον αυστηρό φορμαλισμό. Είναι μνημειώδες το έργο του Ευκλείδη, αλλά παρολ'αυτά οποιαδήποτε αυστηρή μαθηματική συζήτηση επί των αρχικών εννοιών του είναι καταδικασμένη εκ προοιμίου. Μπορούμε να γράφουμε πραγματείες επί πραγματειών για το τί είναι μήκος, τί είναι πλάτος και τί είναι μέρος ουθέν αλλά σε μία τέτοια προσπάθεια εγώ δε θα συμμετάσχω γιατί προτιμώ να ασχολούμαι με πραγματικά μαθηματικά.

Cheerio,

Durandal 1707[/quote]

Συμφωνω [b]απολυτως[/b] αν και οτον προκειται για καμμια φορμαλιστικη αποδειξη τις 15, 20 γραμμες αποδειξεως τις βλεπεις 300 και βαλε


AMC
USA(J)MO
USAMO
LaTeX
induction
strong induction
algebra proposed

When replying to the problem, I ask that you make posts for solutions and submit comments, jokes, smilies, etc. separately. Please use LaTeX for posting solutions. Thanks.

Assume we have proven this for $1,2,\ldots,n-1$. We now perform another induction (an induction within an induction :)) as follows:

We prove that: $(*)$ given $i\in\overline{1,n-1}$, after the $i$'th operation, $a_n$ is $\ge a_i$, with equality iff $a_i=a_{i+1}=\ldots=a_n$ (in which case the process stops, of course).

Suppose we have shown the above for $1,2,\ldots,i-1$. After the $i-1$'th step, the values of $a_1,\ldots,a_i$ will no longer change, by the induction hypothesis, and this implies that $a_0\le a_1\le\ldots\le a_i$, as can easily be seen. We also know that $a_n$ is $\ge a_{i-1}$, with equality iff $a_{i-1}=\ldots=a_n$, in which case we're done, so we can now assume that $a_n>a_{i-1}$. If $a_n=a_i$, then, after one more step (the $i$'th) we have $a_n\ge a_i$ (because $a_i$ doesn't change, and there are at least as many terms different from $a_i=a_n$ among $a_0,\ldots,a_{n-1}$ as there are among $a_0,\ldots,a_{i-1}$), and if there happens to be an equality, then it's clear that all the terms between $a_i$ and $a_n$ have to be equal to $a_i$. If, on the other hand, $a_n\ne a_i$, then $a_0,\ldots,a_i$ are different from $a_n$, meaning that after one more step (again, the $i$'th) we will have $a_n\ge i+1>a_i$. $(*)$ is now proven for $i$, so, by induction, it holds for all values $\in\overline{1,n-1}$.

Now we apply $(*)$ to $i=n-2$. We perform the exact same steps as in the proof of $(*)$, except that this time, if $a_n\ne a_{i+1}$, there must be $n$ terms different from $a_n$ preceding it, and we get $a_n=n$ after the $n-1$'th step. Otherwise, if $a_n=a_{i+1}=a_{n-1}$, then we're already at a dead end. Either way, $n-1$ steps suffice to reach a sequence which no longer changes.

I'm sure I messed up those indices somewhere in there, but I hope at least that the idea is Ok :).

please tell me what is wrong with my solution, because it is otherwise too easy for a USAMO #3:

prove by induction, the [i]exact[/i] claim of the problem itself (i.e. not some instructive induction within an induction; jsut an easy normal induction) on $n$. Suppose everything up to $n-1$ is proved. Now consider an $n$ situation. Operate it $n-1$ times. At the $n-1$ turn, we will get $a_{1}, ...a_{n}$ such that at the $n$ turn, $t(a_{i})=a_{i}$ for all $i$ between 0 and $n-1$,by the induction hypothesis. (*)

Now, examine in the $n$ turn: see how [i]its[/i] $a_{n}$ changed from the $n-1$ turn: $t(a_{n})$= # of $a_{i}$'s that are different from $a_{n}$. (**)

 At the  $n+1$ turn now, the $n$th term will remain constant now, because of (*), combined with (**), and the induction is complete.

Hmm this is really easy for a USAMO #3...
Here's a solution that doesn't use induction:

Let $ i\in\{0,1,2,...,n\}$. First, note that $ t(a_{i})\le i$, since there are $ i$ terms before it and thus no more than $ i$ terms precede it and are distinct from it. Next, we show that $ t(a_{i})\ge a_{i}$. The numbers $ a_{0},...,a_{a_{i}\minus{}1}$ are all less than $ a_{i}$ and precede it in the sequence, so there are at least $ a_{i}$ terms before $ a_{i}$ that are distinct from it.

Each time we perform the operation, either $ a_{i}$ will increase or it will remain the same. If it remains constant, this means that $ a_{a_{i}}\equal{} a_{a_{i}\plus{}1}\equal{} ... \equal{} a_{i}$, and thus the terms $ a_{a_{i}},...,a_{i}$ will always remain constant. Otherwise, it will increase until it reaches $ i$ and will then become constant. For $ i\le n\minus{}1$, $ a_{i}$ will thus become constant in less than $ n$ applications of $ t$.

In the case of $ a_{n}$, we need only worry if $ a_{n}\equal{} 0$, in which case $ n\minus{}1$ applications of $ t$ will not necessarily make $ a_{n}$ become constant or equal to $ n$. We need to show that it either becomes constant or that it increases by at least $ 2$ during some application of $ t$, so that it will reach $ n$ in less than $ n$ applications of $ t$. If all terms the terms are 0, then the sequence will remain constant under the operation. If at least two terms preceding $ a_{n}$ are nonzero, then $ a_{n}$ will become at least $ 2$ after one application of $ t$ and will then become constant within $ n\minus{}2$ more applications of $ t$. Otherwise, exactly one preceding term, which we denote by $ a_{k}$, is nonzero. If $ k \equal{} 1$ then $ t(a_{0}) \equal{} 0$ and $ t(a_{1}) \equal{} t(a_{2}) \equal{} ... \equal{} t(a_{n}) \equal{} 1$ so the sequence becomes constant. If $ k > 1$, then $ t(a_{0}) \equal{} t(a_{1}) \equal{} 0$, $ t(a_{k})\ge 2$ because $ a_{k}\neq 0 \equal{} a_{0}\equal{} a_{1}$, and $ t(a_{n}) \equal{} 1$. Thus a second application of $ t$ will make the last term at least 3, so $ n\minus{}3$ more applications will make it constant.

Thus, no matter what, after fewer than $ n$ applications of $ t$ the sequence will become constant.

QED

[quote="sunchips"]please tell me what is wrong with my solution, because it is otherwise too easy for a USAMO #3:

prove by induction, the [i]exact[/i] claim of the problem itself (i.e. not some instructive induction within an induction; jsut an easy normal induction) on $ n$. Suppose everything up to $ n \minus{} 1$ is proved. Now consider an $ n$ situation. Operate it $ n \minus{} 1$ times. At the $ n \minus{} 1$ turn, we will get $ a_{1}, ...a_{n}$ such that at the $ n$ turn, $ t(a_{i}) \equal{} a_{i}$ for all $ i$ between 0 and $ n \minus{} 1$,by the induction hypothesis. (*)

Now, examine in the $ n$ turn: see how [i]its[/i] $ a_{n}$ changed from the $ n \minus{} 1$ turn: $ t(a_{n})$= # of $ a_{i}$'s that are different from $ a_{n}$. (**)

 At the  $ n \plus{} 1$ turn now, the $ n$th term will remain constant now, because of (*), combined with (**), and the induction is complete.[/quote]

This problem is confusing me. Correct me if I'm wrong but I think there is a problem with the induction step at the $ n$ turn. By the induction hypothesis, terms $ 0$ to $ n\minus{}1$ remain invariant. However, it may take more than one turn to get term $ a_n$ invariant. After we transform $ a_n$ on turn $ n$,  $ a_n$ changes to something else, but that gives the possibility of it changing again. Here is an example, take the sequence $ 002344663$. We see that the $ 3$ at the end changes to $ 7$. Now we get $ 002344667$. Now we see that another transformation turns the $ 7$ into an $ 8$. Giving us $ 002344668$ which took $ 2$ moves to stabilize. Now, does this affect the validity of other induction solutions? Thanks!

Let an "awesome-k" sequence be a sequence such that for every $ 0 \leq i \leq k$, $ t(a_i) \equal{} a_i$, and for every $ j > k$, $ a_j$ is bigger than the second highest distinct integer among $ a_{ \minus{} 1}, a_0, a_1 \cdots a_k$. Also, $ a_k$ must be the biggest term among $ a_0, a_1, \cdots a_k$. We use an auxiliary term of $ a_{ \minus{} 1} \equal{} \minus{} 1$, so this will remain true even when there is only one value.

It is immediately evident that the starting sequence is an awesome-0 sequence. All the numbers are greater than -1.

Assume that we have an "awesome-k" sequence after $ k$ applications of $ t(A)$. We have two cases:

Case 1: $ a_{k \plus{} 1} \equal{} a_k$. This means that $ a_{k \plus{} 1}$ is already fixed and the second highest value in $ a_0, a_1 \cdots a_k$ will not change, and thus we get an "awesome-k+1" sequence after applying $ t(A)$ once..

Case 2: $ a_{k \plus{} 1} \neq a_k$. $ a_{k \plus{} 1}$ cannot be equal to any term among $ a_0, a_1 \cdots a_k$, and thus $ t(a_{k \plus{} 1}) \equal{} k \plus{} 1$. The previous $ a$'s are all fixed, and thus $ a_{k \plus{} 1}$ is also fixed after applying $ t(A)$.
For the rest of the $ a_i$'s in which $ i > k \plus{} 1$, we have 2 cases:
Case 2.1: $ a_i \equal{} a_k$. This means that $ t(a_i) > a_k$, because $ a_i$ is different from $ a_{k \plus{} 1}$ in addition to the terms that $ a_k$ is different from.
Case 2.2: $ a_i \neq a_k$. $ a_i$ cannot be equal to any term among $ a_0, a_1 \cdots a_k$, and thus $ t(a_i) > k \ge a_k$.

In both cases, $ t(a_{k \plus{} 1}) \ge a_k$, and as $ a_k$ is the biggest term among $ a_0, a_1, \cdots a_k$, $ t(a_{k \plus{} 1})$ must be the biggest term among $ t(a_0), t(a_1) \cdots t(a_{k \plus{} 1})$. In addition, $ t(a_k) \equal{} a_k$ must be either the second or first biggest term in $ t(A)$, and thus, after applying $ t(A)$, we are left with an "awesome-k+1" set. We have taken $ k \plus{} 1$ moves, completing our inductive step. We immediately see that the "awesome-n" set satisfies the problem statement, and we are done.

I'm not understanding what  $ t(a_i)$ represents when applied to a sequence. You said above that it is the number of terms that precede a given element in a sequence and are different from it. Are the elements in the sequence ordered according to their magnitude.

We use strong induction on $n\ge1$, where the base case $n=1$ is obvious.

For $n\ge2$, first note that $t^r(a_i)\le i$ for all $r\ge0$. If $a_i=i$ for all $0\le i\le n$ we're trivially done.

Otherwise, let $a_k$ be the first number in the sequence such that $a_k\le k-1$ (so $1\le k\le n-1$). If $a_l\le k-1$ for all $l\ge k$, then $t^2(A)=t(A)$.

Otherwise, let $a_l$ with $k+1\le l\le n$ be the first number after $a_k$ such that $a_l\ge k$. Then
[list](1) $t(a_i)=i$ for $0\le i\le k-1$,
(2) $t(a_i)=k-1$ for $k\le i\le l-1$, and
(3) $k\le t(a_i)\le i$ for $l\le i\le n$ by considering the numbers $a_0,a_1,\ldots,a_{k-1},a_{k},a_l$ preceding $a_i$ (except for $i=l$, in which case $k+1\le t(a_l)\le l$ anyway).[/list]

Hence
[list](1) $t^2(a_i)=i$ for $0\le i\le k-1$,
(2) $t^2(a_i)=k-1$ for $k\le i\le l-1$, and
(3) $k<l\le t^2(a_i)\le i$ for $l\le i\le n$ by considering the numbers $a_0,a_1,\ldots,a_{l-1}$ preceding $a_i$.[/list]

If $l=n$, then $t(A)=t^2(A)$, so suppose that $l\le n-1$ ($l\ge k+1\ge2$, so $n\ge3$). Now define the sequence $A'$ by $a'_i=t^2(a_{i+l})-l\in[0,i]$ for $0\le i\le n-l$. By the inductive hypothesis,
\[t^{n-l-1}(A')=t^{n-l}(A')\implies t^{n-3}(A')=t^{n-2}(A').\]But it's easy to see for all $r\ge0$ that $t^{r+2}(a_i)=t^2(a_i)$ for $0\le i\le l-1$ and $t^{r+2}(a_i)-l=t^{r}(a'_{i-l})$ for $l\le i\le n$, so
\[t^{n-1}(A)=t^{n}(A),\]as desired.

[quote=MithsApprentice]Let $n \neq 0$. For every sequence of integers \[ A = a_0,a_1,a_2,\dots, a_n \] satisfying $0 \le a_i \le i$, for $i=0,\dots,n$, define another sequence \[ t(A)= t(a_0), t(a_1), t(a_2), \dots, t(a_n) \] by setting $t(a_i)$ to be the number of terms in the sequence $A$ that precede the term $a_i$ and are different from $a_i$. Show that, starting from any sequence $A$ as above, fewer than $n$ applications of the  transformation $t$ lead to a sequence $B$ such that $t(B) = B$.[/quote]

This seems too good to be true, so someone please point out any errors.

We go by strong induction on $n$ with the base cases $n=1$ and $n=2$ done by hand. If $a_0 = 0$ and $a_1 = 1$, so $1 \le t(a_i) \le i$ for $i \ge 1$; now apply induction to $\left(t(a_1)-1, t(a_2)-1, \dots, t(a_n)-1\right)$.

Otherwise, assume that $a_0 = a_1 = \dots = a_{k-1} = 0$ but $a_k \neq 0$, where $k \ge 2$. Assume $k < n$ or it's obvious. Then $t(a_i) \neq 0$ for $i \ge k$, thus $t(t(a_i)) \ge k$ for $i \ge k$, and we can apply induction hypothesis to $\left( t(t(a_k))-k, \dots, t(t(a_n))-k \right)$.

This seems too convenient for a USAMO P3 and possibly even for a 25M problem (rated by v_Enhance). Can anyone check if this is correct?

We say that $a_i$ is contiguous with $a_j$ if and only if either $a_i=a_{i+1}=a_{i+2}=\hdots=a_j$ or $a_i=a_{i-1}=a_{i-2}=\hdots=a_j$. The key claim is the following.
-----
[color=red][b]Claim:[/b][/color] $t(a_i)\geq a_i$ for all $i$. Moreover, if $t(a_i)=a_i$, then $t(t(a_i)) = a_i$.

[i]Proof:[/i] Consider the smallest index $k$ which $a_k=a_i$; notice that $k\geq a_i$ by the problem. Thus, $a_0,a_1,\hdots,a_{k-1}$ are all different to $a_i$, which means that $t(a_i)\geq k\geq a_i$.

If the equality occurs, then $k=a_i$ and $a_{a_i},a_{a_i+1},\hdots,a_i$ are all equal to $a_i$. This string of $a_i$'s clearly remains fixed throughout subsequent applications of $t$, which implies the claim. $\blacksquare$
-----
By the claim, each term strictly increases or remains stable forever, but each term must lie in $[0,n]$, so it cannot increase $n+1$ times or more; this means that after [b]at most[/b] $n$ applications of $t$ produce a sequence which is fixed by $t$.

It remains to show that the equality never occur. This happens only if $a_n$ goes from $0\to 1\to 2\hdots\to n$. From the first application, we can see that the sequence must be in form
\begin{align*}
&\overbrace{0,0,\hdots,0}^{k\ 0\text{'s}},\color{red}1\color{black},0,0,\hdots,0 \\
\stackrel{t}{\mapsto}\ &0,0,\hdots,0,\color{red}1,1,1,\hdots,1\color{black} \\
\stackrel{t}{\mapsto}\ &0,0,\hdots,0,\color{red}k,k,k,\hdots,k \\
\stackrel{t}{\mapsto}\ &0,0,\hdots,0,\color{red}k,k,k,\hdots,k
\end{align*}
which is a contradiction if $n\geq 3$. The case $n=1,2$ can be checked manually.

Solution with [b]awang11[/b].

[b][color=#f00]Claim:[/color][/b] We have $t(a_i)\ge a_i$.

[i]Solution:[/i] Suppose otherwise. Then there are more than $i-a_i$ values of $j$ for which $j<i$ and $a_j=a_i$. But one of those values of $j$ must be at most $a_i-1$, which is a contradiction. $\fbox{}$

[b][color=#f00]Claim:[/color][/b] If $t(a_i)=a_i$ and $a_i=x$ then $a_x=...=a_i$.

[i]Solution:[/i] None of $a_0...a_{x-1}$ are equal to $x$ so we can yeet $a_x\dots a_i$ out of the window since they must have nothing unequal to $x$ and the claim is shown. $\fbox{}$

In particular, $t(a_i)=a_i$ implies $t(t(a_i))=a_i$ and so on because each of $a_x,a_{x+1},\dots,a_i$ must become fixed at $x$.

Now, for the endgame: strong induct on $n$ with the result obvious at $n=1$. Consider the sequence $a_n,t(a_n),\dots,t^n(a_n)$. These numbers must all be distinct, or we are done by the induction hypothesis along with the last two claims. That is, we get $t^i(a_n)=i\forall 0\le i\le n$. Suppose that $a_{n-1}$ was fixed at step $k$ with value $x$. Clearly $k\le x$. By step $x$, $t^x(a_n)$ is $x$, so the next step may not change the value of $a_n$. This implies $a_n$ is fixed, so we are done.

Why do all the problems in Rigid feel like they're shifted up a slot compared to their actual difficulty??

[hide=WINduction, equivalent to MarkBcc's I think]
We use strong induction. The key observation is that if $t(a_n)=a_n=k$ then $a_0, a_1,\dots a_{k-1}$ is a list of $k$ numbers distinct from $a_n$, so $a_k=a_{k+1}=\dots =a_n=k$. Furthermore in general we have $t(a_n)\geq a_n$. Then once $t(a_n)=a_n$, $a_n$ will not change, and we are done by the inductive hypothesis. Otherwise, the only other case we must check is $a_n=0\rightarrow 1\rightarrow 2\rightarrow 3\dots n$. This is only possible if we start with one nonzero number, say at $x<n$. If $x=1$ then we finish in one move, otherwise we finish in two. In both cases we take less than $n$ moves, so we are done.
[/hide]

Derp

We proceed with strong induction. The base case $n=1$ is trivial.

Claim: after an application, there can be no zeroes following a nonzero term.
Proof: suppose that $t(a_i)\neq 0$; this necessarily means that there are at least two distinct values present among $a_0,a_1\ldots a_i$, and hence $t(a_{i+1})\neq 0$.

Notice that $t(a_0)=0$, and therefore we must have a glob of some $k$ zeroes at the start. We can ignore them and treat the subsequent terms as a sequence with length at most $n-k$ shifted by $k$, which completes the induction.

Strong induction on $n$, with the base cases being manually verifiable.
Evidently $a_0=0$, which remains eternally fixed. If $a_1=1$, then $1 \leq t(a_i) \leq i+1$ for $i \geq 1$: the right inequality is obvious, and the left inequality is true for $i=1$ and must also be true for $i>1$, else $a_i=0=1$ which is absurd. In this case, we can thus imply inductive hypothesis to $t(a_1)-1,\ldots,t(a_n)-1$.
Otherwise, suppose we have $a_0=a_1=\cdots=a_{k-1}=0$, so $a_0,\ldots,a_{k-1}$ are eternally fixed, but $a_k \neq 0$. Then for $i \geq k$, $t(a_i)>0$, hence $t(t(a_i))\geq k$ as $t(a_i)$ can't equal $t(a_0),\ldots,t(a_{k-1})$. Since $k \geq 2$, we can imply our inductive hypothesis to $t(t(a_k))-k,\ldots,t(t(a_n))-k$. $\blacksquare$

We claim that this is true by induction. Clearly, the base case of $n = 1$ is true. Assume that it is true for $n = k-1$. Then, after $k-2$ applications of transformation $t$, $a_{0}, a_{1}, \cdots, a_{k-1}$ will be fixed. Because these integers are fixed, then after another application of transformation $t$, $a_{k}$ must also be fixed, which thus concludes the proof.

Define $s^k(A)=n-t^k(a_0),n-t^k(a_1),\dots,n-t^k(a_n).$ Consider the graph created by plotting $0,1,2,\dots,n$ as the $x$-axis and $s^k(A)$ as the $y$-axis. For any $i=0,\dots,n$ define $L_i$ to be the set of lattice points $(x,y)$ satisfying $x-y=i-s^k(a_i)$ and $x<i.$ It is easy to see that the graph of $s^{k+1}(A)$ is created by taking each marked point $(i,s^k(a_i))$ in the graph of $s^k(A)$ and moving it down by the number of unmarked points in $L_i.$ We say that a point $(i,s^k(a_i))$ is grounded if all points in $L_i$ are marked. Notice that if $(i,s^k(a_i))$ is grounded then $s^k(a_i)=s^{k+1}(a_i),$ and we can see that $(i,s^{k+1}(a_i))$ is also grounded, so $s^k(a_i)=s^{k+j}(a_i)$ for any positive integer $j.$ Next, notice that if $(i,s^k(a_i))$ is not grounded, then $s^k(a_i)-s^{k+1}(a_i) \ge 1.$ Also, notice that if $s^k(a_i)=0$ then $(i,s^k(a_i))$ is trivially grounded.

Now, since all elements of $A$ are $\le n,$ after $n-1$ applications of $s$ we find that all points are either grounded, or we have $s^{n-1}(a_n)=1.$ This last case can only occur if $a_n=n$ and the point with $x$ coordinate $n$ goes down by one every time $s$ is applied. However, consider the situation before the first application of $s.$ We must have $L_n$ contains $n$ marked points, that is, there is exactly one $i$ such that $a_i \ne i.$ We have $i \ne 0,$ and we can see that if $i \ge 2$ then the points with $x$-coordinates $0,1,\dots,i-1$ are grounded, $s(a_i)=0,$ and all other points go down by one. However, after this transformation, we find that the only marked points in $L_n$ are points $(j,s(a_j))$ such that $j>i,$ and since there are less than $n-1$ of these we have that the point with $x$ coordinate $n$ goes down by at least $2$ after another transformation. Now consider if $i=1.$ We can easily check that after one transformation, all points become grounded, so we are done.

We proceed by using induction. For the base case $n=1$, note that $0 \le a_0 \le 0$ which forces $a_0$ to be $0$. Similarly, we also get that $a_1\in \left\{0,1\right\}$. If $a_1=0$, then our sequence is $(0,0)$. Note that applying $t$ on the sequence does not change it. Similarly, if $a_1 = 1$, then also applying $t$ on the sequence does it change it either.

Now we assume the inductive hypothesis for some $n=k$ and we prove for the case $n=k+1$. Note that the succeeding elements after $a_i$ do not affect the value of $a_i$ in any way. We now work with the sequence whose final element is $a_{k+1}$. Then after $k-1$ applications of the function $t$ on the elements, we end up with a sequence such that if we apply $t$ once more on the sequence, the sub-sequence $a_0, a_1, \ldots, a_k$ remains invariant. Thus after the $k$th application of the function $t$, the $a_n$ element gets fixed too as the previous elements do not change, which finishes our induction.


A person whose weight is 5.20*10^2 N is being pulled up vertically by a rope from the bottom of a cave that is 35.1m deep.  The maximum tension that the rope can withstand without breaking is 569N.  What is the shortest time starting from rest, in which the person can be brought out of the cave?

[quote="jmccray"][quote="phucnv87"][color=blue]Denote $P$ the person's weight.
$h$ is the height of the cave and $T_0$ is the maximum tension of the rope.
We have
$\large T-P=ma\Longrightarrow a=\frac{T-P}{m}\leq\frac{T_0-P}{m}$
$\large h=\frac{1}{2}at^2\Longrightarrow t=\sqrt{\frac{2h}{a}}\geq\sqrt{\frac{2hm}{T_0-P}}$[/color][/quote]How would I find "m" though?[/quote]

By weight divided by acceleraton due to gravity


A bottling plant fills 0.5-liter bottles from a 56-liter tank. A flat
consists of 24 bottles. How many complete flats can be filled from
a single tank?

A flat consists of $ 24 \cdot 0.5 = 12 L$

Therefore, the greatest number of flats that can be filled is

$ [{\frac{56}{12} ] = \boxed{4}}$


By changing the second letter of each word below, you can make another valid word. Can you change each word such that the second letters will reveal an eleven letter word when read downwards. Therefore, what now reads AWPYRNUCEPA will be a real word.

BAKE
SWAP
OPAL
DYED
ARKS
SNOW
LUMP
ACES
MELT
SPUN
RANT

$BAKE\Rightarrow BIKE$
$SWAP\Rightarrow SLAP$, $SNAP$, or $SOAP$
$OPAL\Rightarrow OVAL$
$DYED\Rightarrow DIED$ or $DEED$
$ARKS\Rightarrow AWKS$ or $ASKS$
$SNOW\Rightarrow SLOW$, $SCOW$, $SHOW$, or $STOW$
$LUMP\Rightarrow LAMP$ or $LIMP$
$ACES \Rightarrow AGES$, $ALES$, or $APES$
$MELT\Rightarrow MALT$ or $MOLT$
$SPUN\Rightarrow SHUN$ or $STUN$
$RANT\Rightarrow RENT$ or $RUNT$

We can eliminate some possibilities, then use a dictionary to see that the word must be $INVESTIGATE$. :)


logarithms
inequalities
limit
probability
probability and stats

Suppose $ (X_n)$ is a sequence of independent random variables such that
$ P(X_n\equal{}\minus{}1)\equal{}\frac{1}{n}$,
$ P(X_n\equal{}1)\equal{}\frac{1}{n^2}$,
$ P(X_n\equal{}0)\equal{}1\minus{}\frac{1}{n}\minus{}\frac{1}{n^2}$.
Study the convergence of the series $ \sum_{n\equal{}2}^{\plus{}\infty}X_n$.

$ E(X_n) \equal{} \frac1{n^2} \minus{} \frac1n$ and $ \text{Var}(X_n) \equal{} \frac1n \plus{} \frac {2n \minus{} 1}{n^4}$

Let $ Y_n \equal{} \sum_{k \equal{} 1}^{n}X_k.$ We have that $ E(Y_n)$ is approximately $ C \minus{} \ln n$ for some constant, and $ \text{Var}(Y_n)$ is approximately $ C \plus{} \ln n.$

Let $ E_n$ be the event that $ Y_n > \minus{} \frac {\ln n}2.$

Just using the $ \ln n$ approximations for both and Chebyshev's inequality, we have for sufficiently large $ n$ that $ P(E_n) < g(n),$ where we estimate $ g(n)$ as approximately $ \frac {4}{\ln n}.$

In any case, $ \lim_{n\to\infty}P(E_n) \equal{} 0.$

If $ \lim_{n\to\infty}Y_n \equal{} L$ exists, then we are at a point in the sample space that lies in $ \bigcap_{n \equal{} m}^{\infty}E_n$ for all sufficiently large $ m.$ But the probability of this is no greater than $ P(E_m),$ and since that that goes to zero, we have that the probability of the series converging is zero.

Another proof
$ \sum_{n\equal{}2}^{\plus{}\infty}P(X_n\equal{}\minus{}1)\equal{}\plus{}\infty\equal{}>P(X_n\equal{}\minus{}1$infinitely often$ )\equal{}1$ by Borel-Cantelli Lemma,
$ \sum_{n\equal{}2}^{\plus{}\infty}P(X_n\equal{}1)<\plus{}\infty\equal{}>P(X_n\equal{}1$infinitely often$ )\equal{}0$ by Borel-Cantelli Lemma.
This means that
$ P(\sum_{n\equal{}2}^{\plus{}\infty}X_n\equal{}\minus{}\infty)\equal{}1$.

[quote="Kent Merryfield"]Let $ Y_n \equal{} \sum_{k \equal{} 1}^{n}X_k.$ We have that $ E(Y_n)$ is approximately $ C \minus{} \ln n$ for some constant, and $ E(Y_n)$ is approximately $ C \plus{} \ln n.$[/quote]
Was the second meant to be $ E(|Y_n|)$?

No, the second was supposed to be the variance. I have edited.


function
algebra
polynomial
rational function
Galois Theory
superior algebra
superior algebra unsolved

Let $k$ be a field, and let $K=k(x)$ be the rational function field in one variable over $k$. If $u\in K$, show that $K=k(u)$ iff $u=\frac{ax+b}{cx+d}$ for some $a,\ b,\ c,\ d\in k\text{ with }ad-bc\neq 0.$
(To be honest this is one of the rare cases that I want to think on a problem after posting it! Bad and different notaions used for Galois theory in different books is killing me. It makes a simple problem confusing. Do you agree?BTW this problem has another part...)

the point is: if $u = f/q$ is an arbitrary element of $k(x)$, where $f,g$ are coprime polynomials and $f/g$ lies not in $k$, then $k(x) / k(u)$ is finite of degree $max(deg(f),deg(g)$. this is not so hard after having found the minimal polynomial of $x$ over $k(u)$.

uhm..
just one nice thing about the case $k=\mathbb{C}$: if i recall correctly, the statement is equivalent to saying that all automorphisms of $\mathbb{P}^{1}(\mathbb{C})$ (as a riemann surface) are given by a meromorphic function of that form..
someone correct me if i'm wrong :)


function
inequalities
algebra unsolved
algebra

Find all functions $ f: \mathbb R^{+}\rightarrow \mathbb R^{+}$ such for all $ x,y \in \mathbb R^{+}$, we have
\[ f(x)f(yf(x))=f(x+y).\]

[quote="santosguzella"]Let $ R^{+}$ be the set of positive real numbers. Find all functions $ f: R^{+}\rightarrow R^{+}$ such for all $ x,y \in R^{+}$,
\[ f(x)f(yf(x))=f(x+y) \]
[/quote]

We have property $ P(x,y)$ : $ f(x)f(yf(x))=f(x+y)$ $ \forall x,y>0$

$ 1).$ $ f(x)\leq 1$ $ \forall x$
If it exists $ a>0$ such that $ f(a)>1$.
Then $ P(a,\frac{a}{f(a)-1})$ gives $ f(a)f(\frac{af(a)}{f(a)-1})=f(\frac{af(a)}{f(a)-1})$ which is impossible since $ f(a)\neq 1$ and $ f(\frac{af(a)}{f(a)-1})\neq 0$. So $ f(x)\leq 1$ $ \forall x>0$
Q.E.D.

$ 2).$ Either $ f(x)=1$ $ \forall x>0$, either $ f(x)<1$ $ \forall x>0$ and $ f(x)$ is strictly decreasing, and so is an injective function.
$ f(x)f(yf(x))=f(x+y)$ and $ f(yf(x))\leq 1$ imply $ f(x+y)\leq f(x)$ and $ f(x)$ is a non increasing function.
If it exists $ a>0$ such that $ f(a)=1$, then $ P(a,x)$ gives $ f(x)=f(x+a)$ $ \forall x$ and so, since $ f(x)$ is non increasing, $ f(x)=1$ $ \forall x>0$
If it does not exist any $ a>0$ such that $ f(a)=1$, then $ f(x)<1$ $ \forall x>0$ and then $ f(x)f(yf(x))=f(x+y)$ and $ f(yf(x))< 1$ imply $ f(x+y)< f(x)$ and $ f(x)$ is a strictly decreasing function, and so $ f(x)$ is injective.
Q.E.D.

$ 3).$ If $ f(x)\neq 1$, then $ f(x)=\frac{1}{ax+1}$ for some $ a>0$
Assume $ f(x)\neq 1$ $ \forall x$ and let $ x>y>0$ and compare $ P(x,\frac{y}{f(x)})$ and $ P(y,x-y+\frac{y}{f(x)})$ :

$ P(x,\frac{y}{f(x)})$ gives $ f(x)f(y)=f(x+\frac{y}{f(x)})$

$ P(y,x-y+\frac{y}{f(x)})$ gives $ f(y)f((x-y+\frac{y}{f(x)})f(y))=f(x+\frac{y}{f(x)})$

So $ f(x)f(y)=f(y)f((x-y+\frac{y}{f(x)})f(y))$ and, since $ f(x)$ is injective : $ x=(x-y+\frac{y}{f(x)})f(y)$

So  $ \frac{x}{f(y)}-x=\frac{y}{f(x)}-y$

So $ \frac{1}{yf(y)}-\frac{1}{y}=\frac{1}{xf(x)}-\frac{1}{x}$

So $ \frac{1}{xf(x)}-\frac{1}{x}$ is a constant $ a$ and we have :

$ f(x)=\frac{1}{ax+1}$
Putting back this expression in original equation, we find that any value $ a$ fit. But, we know that $ f(x)>0$ $ \forall x>0$ and so we need $ a>0$. (inequality is strict since we assumed $ f(x)\neq 1)$
Q.E.D.

So the general solution of requested equation is $ f(x)=\frac{1}{ax+1}$ for any $ a\geq 0$ (the case $ a=0$ gives the solution $ f(x)\equiv 1$)


Squaring and multiplying we get
$ (a^{2}c\plus{}b^{2}a\plus{}c^{2}b)^{2}(ab\plus{}bc\plus{}ca)\geq 9a^{2}b^{2}c^{2}(a^{2}\plus{}b^{2}\plus{}c^{2})$
After opening brackets we get
$ \sum_{cyc}a^{5}c^{2}b\plus{}a^{5}c^{3}\plus{}a^{4}c^{3}b\plus{}2a^{4}b^{3}c\plus{}2a^{3}b^{3}c^{2}\geq 7\sum_{cyc}a^{4}b^{2}c^{2}$

Whıch is true by $ AM\minus{}GM$

[quote="cancer"]If $ a,b,c\in R^{\plus{}}$, prove that

$ \frac{a}{b}\plus{}\frac{b}{c}\plus{}\frac{c}{a}\geq 3\sqrt{\frac{a^{2}\plus{}b^{2}\plus{}c^{2}}{ab\plus{}bc\plus{}ca}}$[/quote]
$ ab\plus{}bc\plus{}ca \equal{} 3$
$ a\ge b,c$
$ LHS\minus{}RHS \equal{} M(b\minus{}c)^{2}\plus{}N(a\minus{}b)(a\minus{}c)$
In there
$ M \equal{}\frac{1}{bc}\minus{}\frac{3}{\sqrt{3(a^{2}\plus{}b^{2}\plus{}c^{2})}\plus{}3}$
$ N \equal{}\frac{f(a,b,c)}{bc(3\plus{}\sqrt{3(a^{2}\plus{}b^{2}\plus{}c^{2})})}$
$ bc\plus{}ca\minus{}2ab\plus{}\sqrt{3(a^{2}\plus{}b^{2}\plus{}c^{2})}\equal{} f(a,b,c)$
Easy $ M\ge 0$
$ t \equal{}\frac{a\plus{}b}{2}$
By AM-GM we have
$ f(a,b,c)\ge f(t,t,c)\ge\frac{(t^{2}\minus{}1)^{2}\plus{}8}{2t}\ge 0$
so $ N\ge 0$
So ineq was proved

Nice new bound for $ \frac{a}{b}\plus{}\frac{b}{c}\plus{}\frac{c}{a}$.
I use the 10mathsmethod for solving this one.
Assune $ c\equal{}max\left\{a,b,c\right\}$.We can rewrite the inequality as :
$ M(a\minus{}b)^{2}\plus{}N(c\minus{}a)(c\minus{}b)\geq 0$,with
$ M\equal{}\frac{(a\plus{}b)^{2}}{a^{2}b^{2}}\plus{}\frac{2}{ab}\minus{}\frac{9}{ab\plus{}bc\plus{}ac}$,
$ N\equal{}\frac{(b\plus{}c)(a\plus{}c)}{a^{2}c^{2}}\plus{}\frac{2}{bc}\minus{}\frac{9}{ab\plus{}bc\plus{}ac}$.It can be proved easily that $ M,N > 0$

Thefollowing similar inequality is a bit more diffcult:
Let $ a;b;c$ be positive real numbers.Prove that:
$ \frac{a^{2}}{b^{2}}\plus{}\frac{b^{2}}{c^{2}}\plus{}\frac{c^{2}}{a^{2}}\plus{}\frac{9(ab\plus{}bc\plus{}ca)}{a^{2}\plus{}b^{2}\plus{}c^{2}}\leq 12$

[quote="quangpbc"]No chien than, your inequality must be:

$ \frac{a^{2}}{b^{2}}\plus{}\frac{b^{2}}{c^{2}}\plus{}\frac{c^{2}}{a^{2}}\plus{}\frac{9(ab\plus{}bc\plus{}ca)}{a^{2}\plus{}b^{2}\plus{}c^{2}}\ge 12$[/quote]
Sorry,you are right!

Posted before . If i am not wrong, hungkhtn has solved it by 10maths method  :D


calculus
integration
function
algebra
domain
logarithms
partial fractions

I would really like to show you my work but it really useless.  I really don't know how to tackle this integral.  The function is not defined on the entire domain but that should not pose any problem.

definite integral from 0 to 1 of :  ln(x) ln(1-x) dx

Thank you in advance

$\int_{0}^{1}\ln x\ln(1-x)\,dx=?$

Comments: although this integral is improper at both ends, the logarithmic singularities are no obstacle to convergence. With both logarithms being negative, the product is positive and the integral is positive. There is no elementary antiderivative.

$\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}x^{n}}n,$ so $\ln(1-x)=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}n.$

And $\int_{0}^{1}x^{n}\ln x\,dx=\left.\frac1{n+1}x^{n+1}\ln x\right|_{0}^{1}-\frac1{n+1}\int_{0}^{1}\frac{x^{n+1}}x\,dx=-\frac1{(n+1)^{2}}.$

$\int_{0}^{1}\ln x\ln(1-x)\,dx=-\int_{0}^{1}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}\ln x}n\,dx$

$=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac1n\int_{0}^{1}x^{n}\ln x\,dx$

$=\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n(n+1)^{2}}$

Now our problem has been transformed to evaluating this sum.

Thanks a ton !!
You are quite skilled I must say :P

I misspoke when I mentioned "logarithmic singularities." The integrand tends to zero at both ends of the interval $[0,1].$ We could define the integrand to be zero at both ends and this would become the proper integral of a continuous function.

One could show (it's a little tricky) that $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}\ln x}n$ converges uniformly to $\ln x\ln (1-x)$ on $[0,1].$ This would justify the interchange of sum and integral.

would this same method be able to solve

$\int_{0}^{1}\ln(x+1)\ln(x-1)dx$?

One can show that
$\ln x \cdot \ln(1-x) = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^{2}}-\sum_{k=1}^\infty \frac{x^{k}+(1-x)^{k}}{k^{2}}$
which is obviously uniformly convergent and can be integrated term by term.

edit: No one likes this solution? It's very easy.

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)^{2}}= (\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}}-1)$
why?
oh and just extra how do you do those nice big parentheses?

1. Instead of relying on summation notation, just write out the sums on both sides, using $+$ and $\cdots.$

2. \left( and \right)