[b]Μαθηματικά δεν είναι: [/b]

1. Αυτά που ξέρουμε.
Υπάρχουν και μαθηματικά που δεν ξέρουμε.

2. Αυτά που νομίζουμε ότι ξέρουμε.
Δεν χρειάζεται ανάλυση.

3. Αυτά που δεν ξέρουμε και γνωρίζουμε ότι δεν ξέρουμε. Π.χ.

[quote]Durandal Posted:Yesterday, at 2:16 pm
Θέμα: Μέσο και μισό

Εγώ δεν ξέρω "εφαρμογές του μέτρου" και "επιθέσεις" και "εφαρμογές" κλπ, ξέρω μόνο θεωρία μέτρου.[/quote]

[b]Αξιώματα του Ευκλείδη [/b]
Τα προς τρίτο ίσα και μεταξύ του ίσα.
Και αν σε ίσα προστεθούν ίσα τα αθροίσματα είναι ίσα.
Και αν σε ίσα αφαιρεθούν ίσα τα υπόλοιπα είναι ίσα.
Και αν σε άνισα προστεθούν ίσα, τα αθροίσματα είναι άνισα.
Και τα διπλάσια του ίδιου είναι μεταξύ τους ίσα.
Και τα μισά του ίδιου, είναι μεταξύ τους ίσα.
[b]Και όσα εφαρμόζονται το ένα πάνω στο άλλο είναι μεταξύ τους ίσα. [/b]

Δηλαδή όταν δεν γνωρίζει ο φίλος Durandal τις «επιθέσεις» (το ένα πάνω στο άλλο) φαίνεται να μη γνωρίζει το ευκλείδειο αξίωμα το οποίο μάλιστα δεν του κάνει και εντύπωση ότι αγνοεί επειδή υποθέτει ότι τον βολεύει και θέλει να πάει στην Ανάλυση όπου όμως:

[b]Πάρις Πάμφιλος καθηγητής πανεπιστημίου Κρήτης[/b]
1.4 Αναλυτική μέθοδος
Η αναλυτική μέθοδος αναπτύχθηκε πολύ αργότερα από την συνθετική (Καρτέσιος 1596-1650). Σ' αυτήν ο χώρος X περιγράφεται με σαφήνεια και ταυτίζεται με ένα σύνολο μαθηματικών αντικειμένων. Π.χ. το Ευκλείδειο Επίπεδο ταυτίζεται με το σύνολο R^2. Τα διάφορα σχήματα, όπως λ.χ. οι ευθείες, περιγράφονται ως σύνολα που ικανοποιούν μαθηματικές σχέσεις και οι μετασχηματισμοί, δίδονται από συγκεκριμένους τύπους. Οι ορισμοί και οι ιδιότητες των σχημάτων ανάγονται σε αριθμητικές σχέσεις και επομένως η αλήθειά τους ανάγεται στην αλήθεια των στοιχειωδών ιδιοτήτων των πραγματικών αριθμών. [b]Εδώ τα πάντα είναι προτάσεις. Τα αξιώματα φαίνονται να απουσιάζουν. Τούτο είναι μόνο φαινομενικό. Τα αξιώματα κρύβονται, σ' αυτήν την περίπτωση, στο μοντέλο. Π.χ. για το R^2 τα αντίστοιχα αξιώματα είναι αυτά του R, τα οποία συνεπάγονται τα αξιώματα του Ευκλειδείου επιπέδου.[/b]

4. Η λύση ασκήσεων σε εφαρμογή τύπων όπως π.χ. η εύρεση του χ σε δευτεροβάθμια εξίσωση ή η χρήση του τύπου εύρεσης εμβαδού τριγώνου βΧυ:2 (που είναι λάθος).

5. Η έναρξή τους (των μαθηματικών δηλαδή) από τους Ντε Καρτ – Φερμά και μετά, δηλαδή η αποκοπή τους από τον Ευκλείδη.

6. Η στήριξή τους αποκλειστικά σε ορισμούς που αυθαίρετα τους χαρακτηρίζουμε αυστηρούς και μη αυστηρούς.

7. Η αγνόηση του μονοσήμαντου αποτελέσματος. Όπως π.χ. να δείχνεται μία λύση άλλοτε σαν ψευδής και άλλοτε σαν αληθής στο ίδιο αξιωματικό σύστημα.

[b]Τι είναι μαθηματικά[/b]

Μαθηματικά είναι μια εν γνώσει μας συμβατική επιστήμη, με θετές αναπόδεικτες αλήθειες σαν βασικές αρχές, τις οποίες ονομάζουμε αξιώματα. Κάθε απόδειξη παντός ισχυρισμού και κάθε πρότασης μέσα σε αυτή τη φόρμα (πλαίσιο λογισμού) κρίνεται σαν αληθής ή ψευδής αποκλειστικά μετά από άμεση ή έμμεση (μέσω άλλων αποδεδειγμένων προτάσεων) αναγωγή σε αξίωμα στήριξής της.
Αυτή είναι μια γενική και μη αναιρέσιμη αντίληψη περί την φύση των μαθηματικών και ως προς τις αρχές και ως προς τη λειτουργία τους.

Αφορμή για να κάνω την αναφορά μου έδωσε η δήλωση του φίλου Durandal  «Εγώ δεν ξέρω "εφαρμογές του μέτρου" και "επιθέσεις" και "εφαρμογές" κλπ, ξέρω μόνο θεωρία μέτρου». Οι επιθέσεις (το ένα πάνω στο άλλο) είναι ένα εκ των αξιωμάτων της ευκλείδειας γεωμετρίας του επιπέδου που υποκρύπτονται και στον R. Η ίδια η θεωρία του μέτρου την οποία όπως λέει – και δεν έχω λόγο να μην τον πιστέψω - γνωρίζει ο φίλος Durandal περιέχει τις επιθέσεις στη μέθοδο μέτρησης, έχοντας μεταγγίσει αξιωματικά πολύ ομαλά και χωρίς αντιφάσεις, την μέθοδο από το αξίωμα του Ευκλείδη για να έχει στήριξη αξιωματική. Δεν μπορεί κανείς να ισχυριστεί ότι γνωρίζει την θεωρία του μέτρου και να μη γνωρίζει την προβλεπόμενη από το ευκλείδειο αξίωμα μέθοδο μέτρησης με τις επιθέσεις του μέτρου επί του μετρούμενου. Τότε δεν γνωρίζει όλη τη θεωρία, αλλά γνωρίζει με πιθανή επάρκεια μέρος αυτής της θεωρίας. Την παρατήρηση δεν κάνω για να στιγματίσω τη διατύπωση του φίλου Durandal (παρακαλώ να μην εκληφθεί σαν επιτιμητική παρατήρηση - αντίθετα την κρίνω γόνιμη και ιδίως ειλικρινή) αλλά για να θέσω το ισχύον πλαίσιο ανταλλαγής των απόψεων και να μην εμφανιστεί κάποιος να ισχυριστεί κάτι (οτιδήποτε) στηριγμένος απλά στη γνώμη του, απλά σε ορισμό ή στην δηλωμένη από τον ίδιο άγνοιά του περί τα αξιώματα και την αποδεικτική τους δυναμική. Είναι μοναδική (απόλυτη) η αποδεικτική ισχύς των αξιωμάτων στα μαθηματικά και δεν υπάρχει υποκατάστατο ή εναλλαγή βεβαίωσης περί το ορθό ή ψευδές. Τα αξιώματα δεν είναι «πρόεδρος» να έχουν και «αντιπρόεδρο αναπληρωτή». Μόνο αυτά κρίνουν τελικά το αληθές ή ψευδές μια πρότασης, αλλιώς δεν κάνουμε μαθηματικά.
Φίλοι μου, πέρα από τις γνώσεις που μπορεί ο καθένας μας να κατέχει και να τις διαχειρίζεται, σημαντικότερο είναι η τυφλή υποταγή στα αξιώματα. Τα μαθηματικά δεν είναι δημοκρατία να ισχύει η αρχή της πλειοψηφίας. Πρόκειται για στυγνή δικτατορία μέχρι του ορίου της τυραννίας, ή αλλιώς η δικτατορία των αξιωμάτων.
Σέβομαι απόλυτα ΜΟΝΟ τα αξιώματα (γι αυτό δεν επικαλούμαι ονόματα παρά μόνο ανακλαστικά) και υποτάσσομαι (χωρίς η στάση μου αυτή να αποτελεί πρότυπο για κανέναν) ή για να το πω και αλλιώς, προσωπικά αναρχικός σέβομαι απόλυτα την πνευματική συλλογιστική δικτατορία αυτής της μορφής.
Να είσαστε καλά.

Να βάλω και εγώ εδώ την δική μου (υποκειμενική) γνώμη. Φυσικά το θέμα άπτεται της φιλοσοφίας των μαθηματικών πανώ στην οποία δεν είμαι ψαγμένος (Μαθηματικά δεν είναι: Η φιλοσοφία περί μαθηματικών  :) ) άρα περισσότερο λέω σκέψεις της στιγμής που μπορεί αργότερα να πειστώ πως είναι λανθασμένες ή πως δεν τις διατύπωσα όπως θα ήθελα.

[quote="nemenala"][b]Μαθηματικά δεν είναι: [/b]

1. Αυτά που ξέρουμε.
Υπάρχουν και μαθηματικά που δεν ξέρουμε.

2. Αυτά που νομίζουμε ότι ξέρουμε.
Δεν χρειάζεται ανάλυση.

[/quote]

Σύμφωνοι

[quote="nemenala"]

3. Αυτά που δεν ξέρουμε και γνωρίζουμε ότι δεν ξέρουμε. Π.χ.

[quote]Durandal Posted:Yesterday, at 2:16 pm
Θέμα: Μέσο και μισό

Εγώ δεν ξέρω "εφαρμογές του μέτρου" και "επιθέσεις" και "εφαρμογές" κλπ, ξέρω μόνο θεωρία μέτρου.[/quote]

[b]Αξιώματα του Ευκλείδη [/b]
Τα προς τρίτο ίσα και μεταξύ του ίσα.
Και αν σε ίσα προστεθούν ίσα τα αθροίσματα είναι ίσα.
Και αν σε ίσα αφαιρεθούν ίσα τα υπόλοιπα είναι ίσα.
Και αν σε άνισα προστεθούν ίσα, τα αθροίσματα είναι άνισα.
Και τα διπλάσια του ίδιου είναι μεταξύ τους ίσα.
Και τα μισά του ίδιου, είναι μεταξύ τους ίσα.
[b]Και όσα εφαρμόζονται το ένα πάνω στο άλλο είναι μεταξύ τους ίσα. [/b]

Δηλαδή όταν δεν γνωρίζει ο φίλος Durandal τις «επιθέσεις» (το ένα πάνω στο άλλο) φαίνεται να μη γνωρίζει το ευκλείδειο αξίωμα το οποίο μάλιστα δεν του κάνει και εντύπωση ότι αγνοεί επειδή υποθέτει ότι τον βολεύει και θέλει να πάει στην Ανάλυση όπου όμως:

[/quote]

Εδώ έπρεπε να ψάξω το αντίστοιχο topic. Από ότι καταλαβαίνω ο Durandal εδώ λειτουργούσε σαν "forgetful functor". Μάλλον εννοούσε `αφού δεν συμφωνούμε όταν μιλάμε για "εφαρμογές του μέτρου" και "επιθέσεις" και "εφαρμογές", ας τα ξεχάσουμε και ας προσπαθήσω να σε πείσω χρησιμοποιώντας μόνο θεωρία μέτρου' . Φυσικά εδώ βρίσκεται ο Durandal, ας μας εξηγήσει καλύτερα ο ίδιος τι εννοεί.

[quote="nemenala"]

και θέλει να πάει στην Ανάλυση όπου όμως:

[b]Πάρις Πάμφιλος καθηγητής πανεπιστημίου Κρήτης[/b]
1.4 Αναλυτική μέθοδος
Η αναλυτική μέθοδος αναπτύχθηκε πολύ αργότερα από την συνθετική (Καρτέσιος 1596-1650). Σ' αυτήν ο χώρος X περιγράφεται με σαφήνεια και ταυτίζεται με ένα σύνολο μαθηματικών αντικειμένων. Π.χ. το Ευκλείδειο Επίπεδο ταυτίζεται με το σύνολο R^2. Τα διάφορα σχήματα, όπως λ.χ. οι ευθείες, περιγράφονται ως σύνολα που ικανοποιούν μαθηματικές σχέσεις και οι μετασχηματισμοί, δίδονται από συγκεκριμένους τύπους. Οι ορισμοί και οι ιδιότητες των σχημάτων ανάγονται σε αριθμητικές σχέσεις και επομένως η αλήθειά τους ανάγεται στην αλήθεια των στοιχειωδών ιδιοτήτων των πραγματικών αριθμών. [b]Εδώ τα πάντα είναι προτάσεις. Τα αξιώματα φαίνονται να απουσιάζουν. Τούτο είναι μόνο φαινομενικό. Τα αξιώματα κρύβονται, σ' αυτήν την περίπτωση, στο μοντέλο. Π.χ. για το R^2 τα αντίστοιχα αξιώματα είναι αυτά του R, τα οποία συνεπάγονται τα αξιώματα του Ευκλειδείου επιπέδου.[/b]

[/quote]

Δεν καταλαμβαίνω τι εννοείς. Συμφωνώ απόλυτα με αυτά που γράφει ο κύριος Πάμφιλος. Η ερμηνεία μου αυτού που προσπαθείς να μας πεις (αν κάνω λάθος διόρθωσέ με) είναι η εξής:

"Αφού τα αξιώματα του Ευκλείδη είναι προβληματικά, π.χ. δεν μπορείς να αποδείξεις το Πυθαγόρειο θεώρημα και αφού τα  αξιώματα του $ \mathbb{R}$  συνεπάγονται τα αξιώματα του Ευκλειδείου επιπέδου τότε και τα αξιώματα του $ \mathbb{R}$ είναι προβληματικά, άρα και η θεωρία μέτρου είναι προβληματική"

Φυσικά εδώ σου βάζω λόγια και λυπάμαι αν δεν έπιασα το νόημα αυτών που προσπαθείς να πεις. Η απάντηση μου (αν όντως αυτό εννοείς είναι)

"Η Ευκλείδιος γεωμετρία όπως βρίσκεται στα "Στοιχεία" δεν είναι αυστηρό μαθηματικό σύστημα με την σημερινή έννοια του όρου. Το $ \mathbb{R}^2$  μπορεί να οριστεί με αυστηρά μαθηματικά (πάλι με την σημερινή έννοια του όρου). Άμα το ορίσουμε, βλέπουμε ότι μπορούμε σε αυτό να ορίσουμε σημεία, ευθείες,κύκλους, εμβαδά σχημάτων, έννοιες κατασκευών με κανόνα και διαβήτη κτλ ούτως ώστε να να ισχύουν τα θεωρήματα των Στοιχείων"

[quote="nemenala"]

4. Η λύση ασκήσεων σε εφαρμογή τύπων όπως π.χ. η εύρεση του χ σε δευτεροβάθμια εξίσωση ή η χρήση του τύπου εύρεσης εμβαδού τριγώνου βΧυ:2 (που είναι λάθος).

[/quote]

Εγώ θα έλεγα "δεν είναι μόνο η λύση ασκήσεων ... " Όσο για το

[quote="nemenala"]
η χρήση του τύπου εύρεσης εμβαδού τριγώνου βΧυ:2 (που είναι λάθος).
[/quote]

με καλύπτει η απάντησή μου στο (3)

[quote="nemenala"]
5. Η έναρξή τους (των μαθηματικών δηλαδή) από τους Ντε Καρτ – Φερμά και μετά, δηλαδή η αποκοπή τους από τον Ευκλείδη.
[/quote]

Συμφωνώ. Κατά την γνώμη μου τα μαθηματικά αρχίζουν με την έννοια της απόδειξης. Για παράδειγμα οι Βαβυλώνιοι φίνεται να γνώριζαν πως να λύνουν δευτεροβάθμιες εξισώσεις καθώς και το Πυθαγόρειο θεώρημα αλλά δεν φαίνεται να είχαν την έννοια της απόδειξης. Γι'αυτό λεμε πως τα μαθηματικά αρχίζουν στην αρχαία Ελλάδα περί το 500 π.Χ. Φυσικά όπως μου είπε ένας καθηγητής της ιστορίας των μαθηματικών "Lack of evidence is not evidence of lack". Αύριο μπορεί να ανακαλύψουμε ότι και οι Βαβυλώνιοι/Αιγύπτιοι/Κινέζοι έκαναν μαθηματικά με την πιο πάνω έννοια πολύ πιο πριν από τους Έλληνες.

Θα ήθελα όμως να προσθέσω και κάτι. Βεβαίως δεν αποκόπτονται από τον Ευκλείδη αλλά συμπληρώνουν ότι παρέλειψε να πει ο Ευκλείδης. Και οι πιθανότητες για παράδειγμα (για να μην μιλάμε συνέχεια για Ευκλείδιο γεωμετρία) ξεκινάνε με τον Fermat και τον Pascal περί τα μέσα του 1600, αλλά έπρεπε να περάσουν πάνω από 250 χρόνια μέχρι να αξιοματοποιηθούν απὀ τον Kolmogorov. Αν έρθεις τώρα και μου πεις "Απέδειξε μου αυστηρά χρησιμοποιώντας μόνο τις έννοιες που βρίσκονται στο "Doctrine of Chances" τουDe Moivre ότι ...", βεβαίως και δεν θα μπορώ. Η αυστηρότητα στα μαθηματικά δια μέσου των αιώνων αλλάζει. Ότι ήταν αυστηρό πριν 200 χρόνια δεν σημαίνει απαραίτητα ότι είναι αυστηρό σήμερα. Πόσο μάλλον το έργο το Ευκλείδη που γράφτηκε πάνω από 2000 χρόνια πριν.

[quote="nemenala"]
6. Η στήριξή τους αποκλειστικά σε ορισμούς που αυθαίρετα τους χαρακτηρίζουμε αυστηρούς και μη αυστηρούς.
[/quote]

Δεν είμαι σίγουρος τι θες να πεις. Πάλι θα σου βάλω λόγια στο στόμα (συγνώμη ξανά) αλλά μάλλον θες να πεις:

"Δεν μπορείτε να μου λέτε αυθάιρετα ότι οι ορισμοί του Ευκλείδη δεν είναι αυστηροί αλλά εγώ μπορώ να καταρρίψω οποιαδήποτε απόδειξη χρησιμοποιεί αυτους τους ορισμούς/αξιώματα"

[quote="nemenala"]
7. Η αγνόηση του μονοσήμαντου αποτελέσματος. Όπως π.χ. να δείχνεται μία λύση άλλοτε σαν ψευδής και άλλοτε σαν αληθής στο ίδιο αξιωματικό σύστημα.
[/quote]

Μα ο Godel μας λέει πως υπάρχουν αξιωματικά συστήματα και προτάσεις (όχι λύσεις!) μέσα σε αυτά που δεν μπορούν να αποδειχθούν ούτε αληθείς ούτε ψευδείς. Φυσικά συμφωνώ εν μέρει σε αυτό που λες. Αν σε ένα μαθηματικό σύστημα υπάρχει πρόταση που μπορεί να αποδειχθεί και αληθής και ψευδής τότε το σύστημα δεν είναι συμβιβαστό και δεν μας ενδιαφέρει πλέον. Μπορούμε σε αυτό το σύστημα να αποδείξουμε οποιαδήποτε πρόταση εκφράζεται σε αυτό. Δυστυχώς όμως και πάλι ο Godel μας λέει ότι υπάρχουν μαθηματικά συστήματα που αν είναι συμβιβαστά δεν μπορούμε να το αποδείξουμε μέσα στα ίδια τα συστήματα.

[quote="nemenala"]
[b]Τι είναι μαθηματικά[/b]

Μαθηματικά είναι μια εν γνώσει μας συμβατική επιστήμη, με θετές αναπόδεικτες αλήθειες σαν βασικές αρχές, τις οποίες ονομάζουμε αξιώματα. Κάθε απόδειξη παντός ισχυρισμού και κάθε πρότασης μέσα σε αυτή τη φόρμα (πλαίσιο λογισμού) κρίνεται σαν αληθής ή ψευδής αποκλειστικά μετά από άμεση ή έμμεση (μέσω άλλων αποδεδειγμένων προτάσεων) αναγωγή σε αξίωμα στήριξής της.
Αυτή είναι μια γενική και μη αναιρέσιμη αντίληψη περί την φύση των μαθηματικών και ως προς τις αρχές και ως προς τη λειτουργία τους.
[/quote]

Εγώ θεωρώ τα μαθηματικά περισσότερο σαν "τέχνη" παρά σαν "επιστήμη" αλλά εφ' όσων τα λες "συμβατική επιστήμη" και επεξηγείς παρακάτω τι εννοείς δεν θα διαφωνήσω. Να προσθέσω μόνο ότι οι αποδείξεις είναι εξ'ορισμο ορθές (αλλιώς δεν είναι αποδείξεις) και ότι εκτός από τα αξιώματα, κάθε μαθηματικό σύστημα πρέπει να περιέχει και κανόνες που επιτρέπουν να αποδείξεις την ορθότητα μιας πρότασης από την ορθότητα άλλων προτάσεων ή αξιωμάτων π.χ. $ A \Rightarrow (A \vee B)$ κτλ. Ακόμα και σε αυτούς τους κανόνες υπάρχουν φιλοσοφικές διαφωνίες π.χ. υπάρχουν μαθηματικοί που δεν δέχονται το $ \neg \neg A \Rightarrow A$.

[quote="nemenala"]
Αφορμή για να κάνω την αναφορά μου έδωσε η δήλωση του φίλου Durandal  «Εγώ δεν ξέρω "εφαρμογές του μέτρου" και "επιθέσεις" και "εφαρμογές" κλπ, ξέρω μόνο θεωρία μέτρου». Οι επιθέσεις (το ένα πάνω στο άλλο) είναι ένα εκ των αξιωμάτων της ευκλείδειας γεωμετρίας του επιπέδου που υποκρύπτονται και στον R. Η ίδια η θεωρία του μέτρου την οποία όπως λέει – και δεν έχω λόγο να μην τον πιστέψω - γνωρίζει ο φίλος Durandal περιέχει τις επιθέσεις στη μέθοδο μέτρησης, έχοντας μεταγγίσει αξιωματικά πολύ ομαλά και χωρίς αντιφάσεις, την μέθοδο από το αξίωμα του Ευκλείδη για να έχει στήριξη αξιωματική. Δεν μπορεί κανείς να ισχυριστεί ότι γνωρίζει την θεωρία του μέτρου και να μη γνωρίζει την προβλεπόμενη από το ευκλείδειο αξίωμα μέθοδο μέτρησης με τις επιθέσεις του μέτρου επί του μετρούμενου. Τότε δεν γνωρίζει όλη τη θεωρία, αλλά γνωρίζει με πιθανή επάρκεια μέρος αυτής της θεωρίας. Την παρατήρηση δεν κάνω για να στιγματίσω τη διατύπωση του φίλου Durandal (παρακαλώ να μην εκληφθεί σαν επιτιμητική παρατήρηση - αντίθετα την κρίνω γόνιμη και ιδίως ειλικρινή) αλλά για να θέσω το ισχύον πλαίσιο ανταλλαγής των απόψεων και να μην εμφανιστεί κάποιος να ισχυριστεί κάτι (οτιδήποτε) στηριγμένος απλά στη γνώμη του, απλά σε ορισμό ή στην δηλωμένη από τον ίδιο άγνοιά του περί τα αξιώματα και την αποδεικτική τους δυναμική.
[/quote]

Τον περιμένουμε να μας πει τι εννοούσε. Πάντως ο ορισμός του $ \mathbb{R}$ σίγουρα δεν βασίζεται στην Ευκλείδιο γεωμετρία. Το $ \mathbb{R}$ είναι το "μοναδικό" complete ordered field και δεν χρειάζεται κανένα από τα αξιώματα του Ευκλείδη για να οριστεί.

[quote="nemenala"]
Είναι μοναδική (απόλυτη) η αποδεικτική ισχύς των αξιωμάτων στα μαθηματικά και δεν υπάρχει υποκατάστατο ή εναλλαγή βεβαίωσης περί το ορθό ή ψευδές. Τα αξιώματα δεν είναι «πρόεδρος» να έχουν και «αντιπρόεδρο αναπληρωτή». Μόνο αυτά κρίνουν τελικά το αληθές ή ψευδές μια πρότασης, αλλιώς δεν κάνουμε μαθηματικά.
[/quote]

Σωστός

[quote="nemenala"]
Φίλοι μου, πέρα από τις γνώσεις που μπορεί ο καθένας μας να κατέχει και να τις διαχειρίζεται, σημαντικότερο είναι η τυφλή υποταγή στα αξιώματα. Τα μαθηματικά δεν είναι δημοκρατία να ισχύει η αρχή της πλειοψηφίας. Πρόκειται για στυγνή δικτατορία μέχρι του ορίου της τυραννίας, ή αλλιώς η δικτατορία των αξιωμάτων.
Σέβομαι απόλυτα ΜΟΝΟ τα αξιώματα (γι αυτό δεν επικαλούμαι ονόματα παρά μόνο ανακλαστικά) και υποτάσσομαι (χωρίς η στάση μου αυτή να αποτελεί πρότυπο για κανέναν) ή για να το πω και αλλιώς, προσωπικά αναρχικός σέβομαι απόλυτα την πνευματική συλλογιστική δικτατορία αυτής της μορφής.
[/quote]

Σωστός αλλά να προσθέσω ότι τα αξιώματα δεν έχουν δοθεί από τον Θεό και απαγορεύεται να τα πειράξουμε. Τα αξιώματα εμείς τα φτιάχνουμε και το αν ένα σύνολο αξιωμάτων είναι καλό ή κακό εξαρτάται από το τι μαθηματικά μπορούμε να κάνουμε με αυτά. Για παράδειγμα τα αξιώματα και οι ορισμοί της τοπολογίας έχουν αλλαχτεί αρκετές φορές μεχρί να καταλήξουμε στα σημερινά. Ένα άλλα παράδειγμα (μάλλον αστικός μυθος) είναι αυτό κάποιων Γιαπονέζων μαθηματικών που όρισαν τι εννοούν με τον όρο ημιαπλές/οιωνεί  απλές ομάδες (η κάτι τέτοιο) και έγραφαν άρθρα για τις ιδιότητες αυτών των ομάδων. Μέχρι που κάποιος απέδειξε ότι δεν υπάρχουν τέτοιες ομάδες άρα όλα τα άρθρα τους (παρόλο που ήταν ορθά) ήταν τετριμμένα. Τέτοιες όμαδες αξιωμάτων τις παρατάμε, ορίζουμε άλλες και πάμε παρακάτω...

[quote="nemenala"]
Να είσαστε καλά.
[/quote]

Να είσαι και εσύ καλά

[quote]Demetres
Εδώ έπρεπε να ψάξω το αντίστοιχο topic. Από ότι καταλαβαίνω ο Durandal εδώ λειτουργούσε σαν "forgetful functor". Μάλλον εννοούσε `αφού δεν συμφωνούμε όταν μιλάμε για "εφαρμογές του μέτρου" και "επιθέσεις" και "εφαρμογές", ας τα ξεχάσουμε και ας προσπαθήσω να σε πείσω χρησιμοποιώντας μόνο θεωρία μέτρου' . Φυσικά εδώ βρίσκεται ο Durandal, ας μας εξηγήσει καλύτερα ο ίδιος τι εννοεί. [/quote]

Αγαπητέ φίλε Δημήτρη δεν έγραψα ότι έγραψα για να μας εξηγήσει ο φίλος Durandal. Το θέμα είναι ότι οι επιθέσεις είναι αξίωμα του Ευκλείδη που αφορά τον τρόπο διαπίστωσης ισότητας και ανισότητας των σχημάτων. Και πέρα από τη θεωρία του μέτρου, αυτή η μέθοδος προϋπάρχει και είναι αξιωματικά προβλεπόμενη.

Δεν καταλαμβαίνω τι εννοείς. Συμφωνώ απόλυτα με αυτά που γράφει ο κύριος Πάμφιλος. Η ερμηνεία μου αυτού που προσπαθείς να μας πεις (αν κάνω λάθος διόρθωσέ με) είναι η εξής:

[quote]Demetres
"Αφού τα αξιώματα του Ευκλείδη είναι προβληματικά, π.χ. δεν μπορείς να αποδείξεις το Πυθαγόρειο θεώρημα και αφού τα αξιώματα του συνεπάγονται τα αξιώματα του Ευκλειδείου επιπέδου τότε και τα αξιώματα του είναι προβληματικά, άρα και η θεωρία μέτρου είναι προβληματική"[/quote]

Όχι καλέ μου φίλε. Τα αξιώματα δεν είναι προβληματικά και δεν μπορεί να είναι προβληματικά. Ούτε έλεγχο διαπίστωσης της ορθότητάς του επιδέχονται, αφού γίνονται αποδεικτά χωρίς αποδείξεις. Το προβληματικό στη θεωρία του μέτρου, είναι να δεχθούμε ότι αυτή συνδυαστικά της αρχής των Αρχιμήδη - Εύδοξου (που μετέτρεψε σε αξίωμα συνεχείας ο Χίλμπερτ) και της αρχής του Καντόρ, μπορούμε να έχουμε μέτρο διαδοχικό, δηλαδή με χρήση του "σταθερού βήματος" του διαβήτη. Αυτό είναι το πρόβλημα διότι αν ΑΒ+ΒΓ+ΓΔ=3,  με ΑΒ=ΒΓ=ΓΔ=1, αυτό το άθροισμα 3 είναι διάφορο από το άθροισμα ΑΒ+ΑΒ+ΑΒ=3 με μέτρο ΑΒ=1. Τα διαδοχικά μέτρα (ΑΒ+ΒΓ+ΓΔ) είναι μικρότερα από τα ακέραια (ΑΒ+ΑΒ+ΑΒ). Το απέδειξα στο Μέσο και Μισό.
Αγαπητέ φίλε, ορισμός θα πει ερμηνεία και όχι απόδειξη. Οι ορισμοί είναι το λεξικό των όρων που χρησιμοποιούμε στα μαθηματικά.

[quote]Demetres
Σωστός αλλά να προσθέσω ότι τα αξιώματα δεν έχουν δοθεί από τον Θεό και απαγορεύεται να τα πειράξουμε. [/quote]

Με ποια αιτιολογία θα τα "πειράξεις" καλέ μου φίλε; Θα τα διαπιστώσεις λάθος όταν δεν επιδέχονται έλεγχο της ορθότητάς τους; Όμως σωστά το λες ότι δεν έχουν δοθεί από το θεό, γιατί απλά τα αξιώματα είναι ο θεός των μαθηματικών και ο απόλυτος κριτής περί το ορθό ή ψευδές και αυτό είναι το αληθές.
Χάρηκα πάντως για τη συμμετοχή σου διότι άλλοι που έδειξαν ενθουσιασμό περί το πυθαγόρειο ποστάρουν τώρα να καλύψουν τα δικά μου θέματα. Βλέπω και ειλικρινά καθόλου δεν με ενοχλεί αν λαλίστατοι φερόμενοι σαν μαθηματικοί δεν μπορούν να πουν αν ξέρουν ή έχουν ακούσει ή έχουν διδαχθεί εξαιρέσεις περί το πυθαγόρειο και την ορθότητά του διαχρονικά, με εξαίρεση την περίπτωση Ρίμαν. Το ίδιο βέβαια δεν με ενοχλεί αν οι ενθουσιώδεις δεν μπορούν να υποστηρίξουν τις διδασκόμενες αποδείξεις του πυθαγορείου που έχω παραθέσει.
Ωστόσο. Όλοι χωρίς εξαίρεση να είσαστε καλά.

Σε ό,τι αφορά το τί εννοούσα:

[quote="Demetres"]Εδώ έπρεπε να ψάξω το αντίστοιχο topic. Από ότι καταλαβαίνω ο Durandal εδώ λειτουργούσε σαν "forgetful functor". Μάλλον εννοούσε `αφού δεν συμφωνούμε όταν μιλάμε για "εφαρμογές του μέτρου" και "επιθέσεις" και "εφαρμογές", ας τα ξεχάσουμε και ας προσπαθήσω να σε πείσω χρησιμοποιώντας μόνο θεωρία μέτρου' . Φυσικά εδώ βρίσκεται ο Durandal, ας μας εξηγήσει καλύτερα ο ίδιος τι εννοεί.[/quote]
Αυτό ακριβώς.

[quote]Τον περιμένουμε να μας πει τι εννοούσε. Πάντως ο ορισμός του $ \mathbb{R}$ σίγουρα δεν βασίζεται στην Ευκλείδιο γεωμετρία. Το $ \mathbb{R}$ είναι το "μοναδικό" complete ordered field και δεν χρειάζεται κανένα από τα αξιώματα του Ευκλείδη για να οριστεί.[/quote]
Exactly :)

[b]@nemenala[/b]
[quote]Χάρηκα πάντως για τη συμμετοχή σου διότι [b]άλλοι που έδειξαν ενθουσιασμό περί το πυθαγόρειο ποστάρουν τώρα να καλύψουν τα δικά μου θέματα[/b]. Βλέπω και ειλικρινά καθόλου δεν με ενοχλεί αν [b]λαλίστατοι φερόμενοι σαν μαθηματικοί[/b] δεν μπορούν να πουν αν ξέρουν ή έχουν ακούσει ή έχουν διδαχθεί εξαιρέσεις περί το πυθαγόρειο και την ορθότητά του διαχρονικά, με εξαίρεση την περίπτωση Ρίμαν. Το ίδιο βέβαια δεν με ενοχλεί αν οι ενθουσιώδεις δεν μπορούν να υποστηρίξουν τις διδασκόμενες αποδείξεις του πυθαγορείου που έχω παραθέσει.
Ωστόσο. Όλοι χωρίς εξαίρεση να είσαστε καλά.[/quote]

Emphasis mine.

Μία διευκρίνιση παρακαλώ:

1. ποιοι είναι αυτοί "που έδειξαν ενθουσιασμό για το Πυθαγόρειο αλλά ποστάρουν τώρα για να καλύψουν τα δικά σου θέματα"?

2. ποιοι είναι οι "λαλίστατοι φερόμενοι σαν μαθηματικοί"?

Cheerio,

Durandal 1707

Ενθουσιώδεις είναι όσοι λένε "πάμε τώρα στο πυθαγόρειο, γουστάρω"! Εσύ πως θα τους χαρακτήριζες; Αδιάφορους; Μετά καλέ μου φίλε Durandal, από αδυναμία συμπεραίνω (και μακάρι να κάνω λάθος να ζητήσω συγγνώμη), γίνανε δήθεν αδιάφοροι.
Σε ότι αφορά το ποιοι είναι οι δήθεν μαθηματικοί, είναι αυτοί που δεν μπορούν να γνωρίζουν αν προβλέπονται διαχρονικά εξαιρέσεις στην ορθότητα του πυθαγορείου και δεν μας λένε αν στηρίζουν τις διαχρονικά "διάσημες" αποδείξεις της ορθότητας του πυθαγορείου.
Τόσο απλά είναι τα πράγματα, τα παραθέτω και δεν είναι αναγκαίες οι εξηγήσεις τουλάχιστον σε μένα, από κανέναν. Όποιος συμπεριλαμβάνεται στις περιγραφείσες προδιαγραφές το αντιλαμβάνεται μόνος του και ασφαλώς έχει το δικαίωμα να κάνει ότι επιθυμεί, όπως ακριβώς κάνω κι εγώ.
Να είσαι καλά.

[quote="wallace"]Να ξεκαθαρίσω τι θέση μου...Άσχετος ειμαι με τα μαθηματικά απλά μου αρεσουν παρα πολύ...Το θέμα είναι οτι διαβάζω τέσσερις μέρες τώρα και δν βγάζω και πολύ άκρη παρότι προσπαθω...που θέλετε να καταλήξετε? αφού τίθονται τέτοια τόσο σημαντικά θέματα αμφισβήτησης γιατί τα λέτε σε εμάς και δν τα στέλνετε είτε στο ίδρυμα Mandelbrot είτε σε μεγάλα μαθηματικά περιοδικά?.....απλώς το φόρουμ εδώ αφορούσε (μεχρι τώρα τουλάχιστον :huh: ) μέρος για να συζητάμε και να προετοιμαζόμαστε για ολυμπιάδες......τεσπα...ας μιλήσουν οι ανώτεροι...[/quote]

Nemenalla apantise se parakalo se auto pou se rotaei o wallace.

[quote="nemenala"]Αγαπητέ φίλε Νίκο θέλεις να σου εκθέσω τις προτεραιότητές μου; Ε, λοιπόν δεν είναι αυτές και δεν ενδιαφέρομαι να τις παραθέσω, ούτε ασφαλώς γνωρίζετε τι ακριβώς κάνω σε ότι με αφορά. Αυτό όμως που με ενδιαφέρει, είναι να απαντήσετε, σε περίπτωση που γνωρίζετε βέβαια γιατί δεν είναι κακό ένας μαθηματικός έστω και φοιτητής να μην το γνωρίζει, αν διαχρονικά προβλέπονται εξαιρέσεις του πυθαγορείου πλην της περιπτώσεως Ρίμαν και αν στηρίζετε τις αποδείξεις που παρέθεσα. Ελεύθερα μπορείτε να ρωτήσετε τους καθηγητές σας ή να τους καλέσετε να συμμετέχουν να σας βοηθήσουν και αυτοί να είσαστε βέβαιοι ότι θα εκτιμήσουν την κίνησή σας. Εγώ δεν σας απασχόλησα επί προσωπικού σας θέματος. Όσο δεν απαντάτε στα ερωτήματα, το να ανταπαντάτε με ερωτήματα είναι απλά υπεκφυγή. Αλήθεια φίλε Νίκο δεν ξέρετε αν προβλέπονται εξαιρέσεις ή δεν μου απαντάτε επειδή είσαστε αναίτια θυμωμένοι μαζί μου ή αφήνετε να εννοηθεί ότι είσαστε ώστε να έχετε δικαιολογία να μην απαντήσετε;
Τι ακριβώς συμβαίνει; Αυτό δεν το λέω για να δεχθώ απαντήσεις (εκ των μη υπαρχόντων) γιατί αν τις είχατε θα τις διατυπώνατε. Έτσι απλά είναι τα πράγματα όπως είπα και στον φίλο Durandal.
Μην ερμηνεύετε σαν κακότητα την επιμονή μου και δεν στοχεύω το πορτοφόλι σας ΑΣΦΑΛΩΣ.
Να είσαστε όλοι καλά.[/quote]

les oti emeis den apantame, alla telika mallon krineis εξ'ιδίων τα αλλότρια. telos panton...gia ti ritoriki erotisi pou kaneis...ego den ksero an provlepontai eksaireseis sto p.th. kai genika sta themata pou thigeis  ego den ksero na apantiso-sto eipa apo tin arxi...enas poor engineer eimai!

Η κατάσταση δεν πάει άλλο πια . Φίλε nemenalla πέρα από το ότι γράφεις όλες τις αμπελοφυλοσοφίες σου σε τόπικ http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?t=235804 τώρα ξεκινάς να παρεμβάλεσε και να ξενερώνεις και ασκήσεις στις Ολυμπιάδες . Εμείς εδώ φίλε δεν μας ενδιάφερει να μας ορίσουν κάποιοι έξυπνοι την ισότητα τμημάτων , θέλουμε να τη βλέπουμε και να την αντιμετωπίζουμε με τον τρόπο που μας μάθαν στο δημοτικό , στο γυμνάσιο το λύκειο ή τέλος πάντων με την έννοια που όλοι καταλαβαίνουμε . Και εμείς θέλουμε να λύνουμε γεωμετρίες με αυτόν τον τρόπο . Τώρα αν εσύ γουστάρεις να τις λύνεις αλλιώς μπορείς να κάθεσαι στο γραφείο σου να φτιάχνεις μια άσκηση με τους δικούς σου όρους και μετά να τη λύνεις ή να τη μοιράζεσαι με ανθρώπους που έχουν τις ίδιες απόψεις . Εμείς εδώ τη γεωμετρία έτσι τη λύνουμε και σε όποιον άρέσει . Πέραν τούτου . Εδώ υπάρχουν άνθρωποι που ξέρουν φοβερή θεωρία και θεμελίωση (βλέπε durandal) και προσπαθούν να σου εξηγήσουν κάποια πραγματάκια , αλλά δεν καταλαβαίνεις είναι φανερό αυτό λόγω έλλειψης γνώσεων . Απλά εσένα και κάτι άλλους σας κάρφωσε μια μέρα να βγείτε κόντρα σε όλα . Δικαιώμά σας .... Αλλά διάβαστε και λίγο θεωρία πρώτα . Μιλάτε περισσοτερο φιλοσοφικά παρά μαθηματικά (αυτό φαίνεται και από τα ποστ σας ) αλλά εγώ πέρσυ έμαθα στο σχολείο τη ρήση ''φιλοκαλούμεν μετ' ευτελείας και φιλοσοφούμεν ανευ μαλακίας''

Θα σας πω γιατί όλη αυτή η έξαρση . Δείτε πρώτα εδώ http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?t=237006 . Είναι φανερό το τι ζητά το κοινό ... Μετά μπαίνω στο μσν και με παίρνουν από τα μουτρά άτομα από την αγγλία και την αμερική και μου λένε . Κάνε κάτι σταμάτα τον δεν μπορούμε άλλο αυτά τα πράγματα .
Για να τελειώνω . Αν θέλεις μπορείς να γράφεις εδώ σε ένα τόπικ ... Παρεμβολές σε φόρουμ ολυμπιάδων κτλ δεν επιτρέπονται εκτός αν έχεις να προσθέσεις πάνω στην άσκηση κάτι επικοδομητικό .
Α . Και κατι για το τέλος . Κάποτε κάποιος είχε πει μια απίστευτη ατάκα εδώ . Ε νομίζω μπορώ να τη δανειστώ http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?search_id=15659212&t=162259

Ελπίζω να μπήκε τέλος .

[quote]silouan
Και εμείς θέλουμε να λύνουμε γεωμετρίες με αυτόν τον τρόπο . Τώρα αν εσύ γουστάρεις να τις λύνεις αλλιώς μπορείς να κάθεσαι στο γραφείο σου να φτιάχνεις μια άσκηση με τους δικούς σου όρους και μετά να τη λύνεις ή να τη μοιράζεσαι με ανθρώπους που έχουν τις ίδιες απόψεις . Εμείς εδώ τη γεωμετρία έτσι τη λύνουμε και σε όποιον άρέσει . [/quote]

Η λύση ασκήσεων δεν γίνεται με επιθυμίες (όπως μας αρέσει) αλλά με στήριξη στα αξιώματα. Θα το μάθεις αργότερα. Ωστόσο αν εσείς έχετε δικαίωμα να τις λύνετε όπως θέλετε σε μένα δεν το αναγνωρίζεις το ίδιο δικαίωμα ή δεν μπορώ κι εγώ να πω το "σε όποιον αρέσει"; Ή μήπως σας υποχρέωσα, είτε να με διαβάζετε, είτε να ακολουθήσετε τις υποδείξεις μου;

[quote]silouan
Εδώ υπάρχουν άνθρωποι που ξέρουν φοβερή θεωρία και θεμελίωση (βλέπε durandal) και προσπαθούν να σου εξηγήσουν κάποια πραγματάκια , αλλά δεν καταλαβαίνεις είναι φανερό αυτό λόγω έλλειψης γνώσεων .[/quote]

Το πιο καλό που είπες. Δηλαδή θεωρείς ότι ο durandal μπορεί να εξηγήσει σε μένα το οτιδήποτε στα μαθηματικά; Δεν βλέπεις που δεν βγάζει άχνα σχετικά με το πυθαγόρειο; Απορώ πως χρησιμοποιείς το οπτικό σου πεδίο και την αντιληπτική σου ικανότητα!

Σε ότι αφορά τις παρεμβολές στις ΟΛΥΜΠΙΑΔΕΣ, όπως είδες από μόνος μου έφυγα δύο φορές αναγνωρίζοντας ότι οι παρατηρήσεις ήταν περίπου βάσιμες. Αβάσιμες ήταν και εξακολουθούν να είναι, μόνο οι απόψεις που περιέχονται στην ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ με αφορμή τα ίσα διαδοχικά ΤΜΗΜΑΤΑ. Αυτό που εσύ θεωρείς παρεμβολή εν προκειμένω ήταν ακριβώς εντός του θέματος (αφού απαντούσε επί της ουσίας στο πρόβλημα που ζητούσε λύση, ότι δεν προβλέπονται ίσα διαδοχικά τμήματα) και παρά ταύτα αποσύρθηκα με λύπη μου γιατί τα παιδιά μαθαίνουν το εσφαλμένο σαν ορθό.

Τελικά για ποιο πράγμα συγκεκριμένο με κατηγορείς; Τι ισχυρίστηκα και μου δόθηκε θεμελιωμένη απάντηση; Ποιο ερώτημα έθεσα και μου δόθηκε απάντηση; Είναι μαθηματική απάντηση ότι ο durandal προσπάθησε να μου υποδείξει, ενώ δεν μπορεί να κάνει βήμα, λέγοντας ότι δεν ξέρει για επιθέσεις (!!!) σχημάτων, όταν είναι από τα αξιώματα του Ευκλείδη και την προβλεπόμενη μέθοδο από τη θεωρία μετρήσεως;
Έχεις πολλά να μάθεις ακόμα μέχρι να έχεις και την ανάλογη γνωστική υποδομή όπως το μπόι που θέλεις να μου δείξεις ότι διαθέτεις. Από την αρχή που μπήκα συνάντησα εριστικότητα και δεν συνάντησα κανένα επιχείρημα.
Βλέπεις δεν μπορώ να ευχηθώ και καλή πρόοδο, γιατί η πρόοδος είναι εσφαλμένη...
Έτσι το μόνο που μου μένει είναι να ευχηθώ να είσαστε καλά όλοι.

Κοίτα ... το πώς μπορείς να βλέπεις όλους του άλλους λάθος εκτός από τον εαυτό σου είναι προτοφανές για μένα ... Αν μου λέγαν 100 άτομα άλλα πράγματα και εγώ υποστήριζα άλλα , θα το σκεφτόμουνα ... Αλλά δενδίνω συμβουλές .
Τα πράγματα είναι απλά . Από τη στιγμή που δεν μπορεί να υπάρξει μεταξύ του φόρουμ και της μεριάς σου επικοινωνία τότε μία είναι η οδός ...
Και αν θες να μάθεις ο εριστικός και αυτός που το έπαιξε μάγκας από την πρώτη στιγμή εσύ ήσουν . Βασικά το ύφος σου είναι πολύ αφ'υψηλού . ΄Και εμείς οι κοινοί θνητοί δεν μπορούμε να τα καταλάβουμε αυτά που λες ..Ε οπότε τι να σου πω ... Κάνε ότι νομίζεις .

[quote="bilot4"][quote="silouan"]Κοίτα ... το πώς μπορείς να βλέπεις όλους του άλλους λάθος εκτός από τον εαυτό σου είναι προτοφανές για μένα ... Αν μου λέγαν 100 άτομα άλλα πράγματα και εγώ υποστήριζα άλλα , θα το σκεφτόμουνα ... Αλλά δενδίνω συμβουλές .[/quote]

Επειδή αυτό που λέει ο Sil είναι πολύ σωστό λέω να βάλω ένα ανέκδοτο (χωρίς παρεξήγηση) που ταιριάζει γάντι στην όλη κατάσταση (ξέρω ότι δεν είναι ακριβώς το κατάλληλο μέρος για ανέκδοτα, οπότε συγγνώμη αν νομίζετε ότι δεν πρέπει να έιναι εδώ...)

Ηταν λοιπόν μια φορά ένας Πόντιος και οδηγούσε στο αντίθετο ρεύμα της εθνικής οδού. Εκεί λοιπόν που είχε ανοίξει και το ραδιόφωνο, ακούει: ''Επικίνδυνος οδηγός βρίσκεται στο αντίθετο ρεύμα της εθνικής οδού''. Οπότε με το που το ακούει ο Πόντιος αυτό, αναρωτιέται: " Μόνο ένας?"
 :)[/quote]

KALO POLU KALO!

Πάμε ξανά από την αρχή.

Από ότι καταλαβαίνω, δεν δέχεσαι το $ \mathbb{R}$. Μάλιστα, σε κάποιο post σου, σε πέτυχα να λές ότι το 0.999... δεν ισούται με 1. Δικαίωμα σου να επιλέγεις να μην δουλέψεις στο $ \mathbb{R}$. Δεν έχεις όμως κανένα δικαίωμα να το αμφισβητείς. Εξ' ορισμού στο $ \mathbb{R}$ ισχύει 0.999... =1. Μαθηματικά δεν είναι να αμφισβητείς το $ \mathbb{R}$. Μπορείς να επιλέξεις αν θες να δουλεύεις στους ρητούς στο $ \mathbb{R}$, στο $ *\mathbb{R}$ του Robinson, στους surreals του Conway η σε οποιοδήποτε άλλο σώμα ή Σώμα θες. Μαθηματικά όμως δεν είναι να δουλεύεις στο $ *\mathbb{R}$ και να λες σε αυτούς που δουλεύουν στο $ \mathbb{R}$ ότι όλοι εσείς κάνετε λάθος και δεν ισχύει η αρχή του Αρχιμήδη. Δεν ισχύει στο σώμα που δουλεύεις εσύ, ισχύει στο σώμα που δουλεύουμε εμείς. Πιο είναι το πρόβλημα;

Πάμε παρακάτω. Μας λες ότι υπάρχει πρόβλημα στην Ευκλείδια γεωμετρία και από ότι φαίνεται την έχεις μελετήσει καλά. Γιατί τότε δεν βρίσκεις την πρώτη πρόταση που αμφισφητείς, να μας την παραθέσεις και να δούμε αν όντως έχεις δίκιο;

Αφού δεν το κάνεις, θα αρχίσω από το Πυθαγόρειο, θα κάνω τις δικές μου υποθέσεις για το τι αμφισβητείς και θα προχοράω προς τα πίσω. Πάμε λοιπόν:

Βλέπω 2 πιθανά πράγματα που μπορεί να αμφισβητείς

1) Πρότασης 41: Εάν παραλληλόγραμμον τριγώνω βάσιν τε έχη την αυτήν και εν ταις αυταις παραλλήλοις η, διπλάσιον  εστί το παραλληλόγραμμον του τριγώνου.

2) Στην δική μου έκδοση υπάρχει η φράση (στην απόδειξη του Πυθαγορείου): Τα δε των ίσων διπλάσια, ίσα αλλήλοις εστίν. Αυτή η φράση μάλλον είναι μεταγενέστερη του Ευκλείδη, αλλά σίγουρα βρίσκεται στην έκδοση του Θέωνος. Γιατί αν αυτή η φράση δεν βρισκόταν στον Ευκλείδη, ένιωσε την ανάγκη κάποιος μελετητής να την προσθέσει; Η απάντηση είναι πάρα πολύ απλή. Διότι, παρόλο που χρησιμοποιείται από τον Ευκλείδη δεν συνεπάγεται από τα αξιώματα. Αυτή η φράση έπρεπε να βρισκόταν στις Κοινές Έννοιες. Με ρωτούσες προηγουμένως γιατί να πειράξουμε τα αξιώματα. Αφού είναι φανερό ότι αυτή την φράση την χρησιμοποιεί ο Ευκλείδης έστω και αν δεν πρόσεξε πως έπρεπε να την διατυπώσει ως κοινή έννοια, η πρώτη επιλογή είναι να την προσθέσουμε εμείς. Αυτό, που δεν φαίνεται να σου αρέσει [u]είναι μαθηματικά[/u]. Η δεύτερη επιλογή, που μάλλον φαίνεται να προτιμάς, είναι να πετάξουμε στον κάλαθο των αχρήστων όλη την γεωμετρία. Αυτό [u]δεν είναι μαθηματικά[/u].

Δεν έχω να προσθέσω τίποτα άλλο στο (2) και προχορώ στην πρόταση 41. Εδώ εντοπίζω (3) σημεία που μπορεί να αμφισβητείς.

3) Πρόταση 34
4) Πρόταση 37
5) Χρήση του "Τα δε των ίσων διπλάσια, ίσα αλλήλοις εστίν" χωρίς καν να το λέει.

Για το (5) δεν έχω να προσθέσω τίποτα άλλο. Πάμε στο (4) και μετά στο (3)

4) Το μόνο που σε βλέπω να αμφισβητείς είναι το "τα δε των ίσων ημίση, ίσα αλλήλοις εστί᾿ Πάλι δεν έχω να προσθέσω τίποτα άλλο.

Πάμε στο (3)

3) Εδώ έχουμε αυτό που λες "Μέσο και Μισό" Τώρα που το ξανακοιτάω καλύτερα, μάλλον δεν σε ενοχλεί η προταση 34: "Των παραλληλογράμμων χωρίων αι απεναντίον πλευραί τε και γωνίαι ίσαι αλλήλαις εισίν, και η διάμετρος αυτά δίχα τέμνει" αλλά η εφαρμογή της στην προταση 41. Συγνώμη για την αβλεψία μου. Ξαναεπιστρέφω στην πρόταση 41

6) Η πρόταση 34 χρησιμοποιείται στην φράση "αλλά το παραλληλόγραμμον ΑΒΓΔ διπλάσιον εστί του ΑΒΓ τριγώνου, η γαρ ΑΓ διάμετρος αυτό δίχα τέμνει". (Ομοίως θα αποδείκνυα το "Μέσο και Μισό" η ευθεία ΑΒ διπλάσια εστί της ευθείας ΑΜ, το γαρ Μ σημείον αυτή δίχα τέμνει) Είναι φανερό λοιπόν πως χρησιμοποιεί την πρόταση ο Ευκλείδης. Εσύ λες είναι αυθαίρετο, δεν συνεπάγεται από τα αξιώματα. Και εγώ σου απαντάω, ωραία λοιπόν, να το βάλουμε και αυτό στα αξιώματα. Κανείς δεν θα μας εξορίσει από τον παράδεισο του Ευκλείδη. Εξακολουθείς λοιπόν να υποστηρίζεις ότι τα αξιώματα δεν πρέπει να πειραχθούν και ότι αν ο πρώτος που τα έγραψε έκανε λάθη/παραλείψεις/ασάφειες τότε έτσι πρέπει να παραμείνουν παντοτινά. Αυτό φίλε μου όπως είπα και πιο πάνω [u]δεν είναι μαθηματικά[/u]. Ή μήπως τώρα θα με κατηγορήσεις και εμένα ως φασίστα όπως έκανες με τον Hilbert;

Για να ανακεφαλαιώσω. Την ανάλυση που έκανα πιο πάνω όφειλες να την κάνεις εσύ ο ίδιος και όχι να μας λες  ότι 'δεν σας ενδιαφέρει ποιες είναι οι προτεραιότητες μου'. Αλλά δυστυχώς για σένα, αν έκανες την πιο πάνω ανάλυση και μας την έγραφες, (είμαι σίγουρος πως στο μυαλό σου την έχεις κάνει αυτήν την ανάλυση) δεν θα μπορούσες να φωνάζεις εναντίον της γεωμετρίας και αυτά δεν συμβαδίζει με το αναρχικό του χαρακτήρα σου (όπως έχεις περιγράψει τον εαυτό σου). Να διευκρινήσω ότι δεν έχω κανένα πρόβλημα μαζί σου ως αναρχικό.  Δεκτόν ότι υπάρχουν ασάφειες στα αξιώματα του Ευκλείδη. Εγώ επιλέγω να τις διορθώσω (η μάλλον να δεκτώ τις διορθώσεις που έκαναν άλλοι μαθηματικοί) και να δουλέψω στην γεωμετρία. Αυτό  [u]είναι μαθηματικά[/u]. Εσύ  επιλέγεις να ρίψεις την γεωμετρία στην πυρά. Δεκτόν σαν φιλοσοφία αλλά [u]δεν είναι μαθηματικά[/u].

Εγώ πάντως θα σου ευχηθώ καλή πρόοδο. Δείχνεις έξυπνος και καλό θα ήταν να αναλώσεις τον χρόνο σου κάνωντας μαθηματικά και όχι ψάχνοντας να βρεις τι άλλο παράλειψε να θέσει ο Ευκλείδης ώς αξίωμα.

[quote]silouan
Αν μου λέγαν 100 άτομα άλλα πράγματα και εγώ υποστήριζα άλλα , θα το σκεφτόμουνα ...[/quote]

Τι λες καλέ μου φίλε; Τι είναι αυτά που λες; Δηλαδή είσαι της άποψης να θέσουμε το ορθό ή ψευδές σε ψηφοφορία ή να το εξετάσουμε αν έχει αξιωματική στήριξη; Εδώ ο Γαλιλαίος ήτανε μόνος του όταν υποστήριζε ότι η γη γυρίζει γύρω από τον ήλιο! Αν ακούγαμε τους πολλούς ή μάλλον όλη την ανθρωπότητα με το δικό σου κριτήριο, ο ήλιος ακόμα θα γύριζε γύρω από τη γη που μας κουβαλάει. Μα, είναι επιχείρημα σοβαρό αυτό που μου λες; Πολύ θα σε παρακαλέσω να μην κάνεις συνειρμούς ότι συγκρίνω τον εαυτό μου με τον Γαλιλαίο, γιατί αν τον έφερα παράδειγμα είναι γιατί σου αξίζει ώστε να μάθεις μερικά πράγματα και να μη λες με στόμφο τέτοιες ανοησίες. Επειδή είσαστε πολλοί δηλαδή έχετε δίκιο; Τι άλλο θα ακούσω;
Άκουσε φίλε μου, δεν έχω κάτι προσωπικό με κανέναν. Τις απόψεις μου λέω και είναι τουλάχιστον άπρεπο και αγενές να μου υποδεικνύεις να φύγω επειδή εσύ ή μερικοί άλλοι διαφωνούν, χωρίς καν να λένε που διαφωνούν μάλιστα.
Δεν είσαι εντάξει και λυπάμαι.

bilot4 εξαιρετικό το ανέκδοτό σου. Ιδίως όμως εντυπωσιάστηκα από τη συμφωνία σου με τον φίλο silouan. Αφού ξέρεις τέτοια ανέκδοτα θα είμαι προσεκτικός σε ότι λες.

Δυο πράγματα από μέρους μου:
1.Σε αυτό το forum έχουμε συνηθίσει να υπάρχει αμοιβαίως σεβασμός. Το συγκεκριμένο forum δεν είναι το μονο forum μαθηματικών που υπάρχει γίαυτό αν επιμένεις στα αξιώματα σου και στις φιλοσοφίες σου πάνε σε κάποιο άλλο το οποιο ασχολείται με αξιωματικά μαθηματικά. Μπορείς επίσης να πας και s αλλα subforums του "ματηλινξ" όπως round table, college playground κλπ.
2. Δε σου ΠΡΟΤΕΊΝΟΥΜΕ να σταματήσεις αλλα στο ΕΠΙΒAΛΛΟΥΜΕ. Το ελληνικό forum έχει 2 moderators που μπορούν να διαγράψουν τα posts σου και συνεπώς δεν τους κανεις ότι θες αλλα  έχουν τη δυνατότητα να σε κάνουν ότι θέλουν.

[quote]Demetres

Πάμε ξανά από την αρχή.

Από ότι καταλαβαίνω, δεν δέχεσαι το  . Μάλιστα, σε κάποιο post σου, σε πέτυχα να λές ότι το 0.999... δεν ισούται με 1. Δικαίωμα σου να επιλέγεις να μην δουλέψεις στο  . Δεν έχεις όμως κανένα δικαίωμα να το αμφισβητείς. Εξ' ορισμού στο  ισχύει 0.999... =1. Μαθηματικά δεν είναι να αμφισβητείς το  . Μπορείς να επιλέξεις αν θες να δουλεύεις στους ρητούς στο  , στο  του Robinson, στους surreals του Conway η σε οποιοδήποτε άλλο σώμα ή Σώμα θες. Μαθηματικά όμως δεν είναι να δουλεύεις στο  και να λες σε αυτούς που δουλεύουν στο  ότι όλοι εσείς κάνετε λάθος και δεν ισχύει η αρχή του Αρχιμήδη. Δεν ισχύει στο σώμα που δουλεύεις εσύ, ισχύει στο σώμα που δουλεύουμε εμείς. Πιο είναι το πρόβλημα; [/quote]

Λες ότι «από ότι καταλαβαίνεις». Σωστό. Αλλά δεν καταλαβαίνεις. Η αναφορά μου στο R έχει να κάνει με τα αξιώματα. Στον R όλα είναι προτάσεις και τα αξιώματα τα οποία τον καλύπτουν είναι του Ευκλείδειου επιπέδου που υποκρύπτονται στον R. Αυτό είπα και τίποτα άλλο. Τώρα τι κατάλαβες εσύ είναι δικός σου λογαριασμός αλλά δεν έχεις το δικαίωμα να λες αν δέχομαι ή δεν δέχομαι τον R ρίχνοντας πασιέντζες ή διαβάζοντας το φλιτζάνι του καφέ. Με αυτή τη μέθοδο, να λες εσύ για μένα, μπορείς να υποστηρίξεις ότι ισχυρίζομαι ότι η Αφρική είναι στην Ανταρκτική και εγώ να πρέπει μετά να αποδείξω ότι δεν είμαι ελέφαντας επειδή μου αρέσουν τα χόρτα και τα φρούτα. Το 0,999… είπα δεν έχω διάθεση να το αναλύσω. Ωστόσο που σε εμπόδισα να πιστεύεις ότι 0,999…=1; Ούτε και στον άγιο του Βατοπεδίου αν πιστεύεις μπορεί να έχω κάποια αντίρρηση, γιατί δεν με απασχολεί τι εσύ πιστεύεις. .

[quote]Demetres
Πάμε παρακάτω. Μας λες ότι υπάρχει πρόβλημα στην Ευκλείδεια γεωμετρία και από ότι φαίνεται την έχεις μελετήσει καλά. Γιατί τότε δεν βρίσκεις την πρώτη πρόταση που αμφισβητείς, να μας την παραθέσεις και να δούμε αν όντως έχεις δίκιο;  [/quote]

Που ακριβώς το είπα αυτό; Πάλι αυτοσχεδιάζεις;

[quote]Demetres
Αφού δεν το κάνεις, θα αρχίσω από το Πυθαγόρειο, θα κάνω τις δικές μου υποθέσεις για το τι αμφισβητείς και θα προχωράω προς τα πίσω. Πάμε λοιπόν:

Βλέπω 2 πιθανά πράγματα που μπορεί να αμφισβητείς

1) Πρότασης 41: Εάν παραλληλόγραμμον τριγώνω βάσιν τε έχη την αυτήν και εν ταις αυταις παραλλήλοις η, διπλάσιον εστί το παραλληλόγραμμον του τριγώνου.

2) Στην δική μου έκδοση υπάρχει η φράση (στην απόδειξη του Πυθαγορείου): Τα δε των ίσων διπλάσια, ίσα αλλήλοις εστίν. Αυτή η φράση μάλλον είναι μεταγενέστερη του Ευκλείδη, αλλά σίγουρα βρίσκεται στην έκδοση του Θέωνος. Γιατί αν αυτή η φράση δεν βρισκόταν στον Ευκλείδη, ένιωσε την ανάγκη κάποιος μελετητής να την προσθέσει; Η απάντηση είναι πάρα πολύ απλή. Διότι, παρόλο που χρησιμοποιείται από τον Ευκλείδη δεν συνεπάγεται από τα αξιώματα. Αυτή η φράση έπρεπε να βρισκόταν στις Κοινές Έννοιες. Με ρωτούσες προηγουμένως γιατί να πειράξουμε τα αξιώματα. Αφού είναι φανερό ότι αυτή την φράση την χρησιμοποιεί ο Ευκλείδης έστω και αν δεν πρόσεξε πως έπρεπε να την διατυπώσει ως κοινή έννοια, η πρώτη επιλογή είναι να την προσθέσουμε εμείς. Αυτό, που δεν φαίνεται να σου αρέσει είναι μαθηματικά. Η δεύτερη επιλογή, που μάλλον φαίνεται να προτιμάς, είναι να πετάξουμε στον κάλαθο των αχρήστων όλη την γεωμετρία. Αυτό δεν είναι μαθηματικά.

Δεν έχω να προσθέσω τίποτα άλλο στο (2) και προχωρώ στην πρόταση 41. Εδώ εντοπίζω (3) σημεία που μπορεί να αμφισβητείς.

3) Πρόταση 34
4) Πρόταση 37
5) Χρήση του "Τα δε των ίσων διπλάσια, ίσα αλλήλοις εστίν" χωρίς καν να το λέει.

Για το (5) δεν έχω να προσθέσω τίποτα άλλο. Πάμε στο (4) και μετά στο (3)

4) Το μόνο που σε βλέπω να αμφισβητείς είναι το "τα δε των ίσων ημίση, ίσα αλλήλοις εστί᾿ Πάλι δεν έχω να προσθέσω τίποτα άλλο.

Πάμε στο (3)

3) Εδώ έχουμε αυτό που λες "Μέσο και Μισό" Τώρα που το ξανακοιτάω καλύτερα, μάλλον δεν σε ενοχλεί η προταση 34: "Των παραλληλογράμμων χωρίων αι απεναντίον πλευραί τε και γωνίαι ίσαι αλλήλαις εισίν, και η διάμετρος αυτά δίχα τέμνει" αλλά η εφαρμογή της στην προταση 41. Συγνώμη για την αβλεψία μου. Ξαναεπιστρέφω στην πρόταση 41

6) Η πρόταση 34 χρησιμοποιείται στην φράση "αλλά το παραλληλόγραμμον ΑΒΓΔ διπλάσιον εστί του ΑΒΓ τριγώνου, η γαρ ΑΓ διάμετρος αυτό δίχα τέμνει". (Ομοίως θα αποδείκνυα το "Μέσο και Μισό" η ευθεία ΑΒ διπλάσια εστί της ευθείας ΑΜ, το γαρ Μ σημείον αυτή δίχα τέμνει) Είναι φανερό λοιπόν πως χρησιμοποιεί την πρόταση ο Ευκλείδης. Εσύ λες είναι αυθαίρετο, δεν συνεπάγεται από τα αξιώματα. Και εγώ σου απαντάω, ωραία λοιπόν, να το βάλουμε και αυτό στα αξιώματα. Κανείς δεν θα μας εξορίσει από τον παράδεισο του Ευκλείδη. Εξακολουθείς λοιπόν να υποστηρίζεις ότι τα αξιώματα δεν πρέπει να πειραχθούν και ότι αν ο πρώτος που τα έγραψε έκανε λάθη/παραλείψεις/ασάφειες τότε έτσι πρέπει να παραμείνουν παντοτινά. Αυτό φίλε μου όπως είπα και πιο πάνω δεν είναι μαθηματικά. Ή μήπως τώρα θα με κατηγορήσεις και εμένα ως φασίστα όπως έκανες με τον Hilbert;

Για να ανακεφαλαιώσω. Την ανάλυση που έκανα πιο πάνω όφειλες να την κάνεις εσύ ο ίδιος και όχι να μας λες ότι 'δεν σας ενδιαφέρει ποιες είναι οι προτεραιότητες μου'. Αλλά δυστυχώς για σένα, αν έκανες την πιο πάνω ανάλυση και μας την έγραφες, (είμαι σίγουρος πως στο μυαλό σου την έχεις κάνει αυτήν την ανάλυση) δεν θα μπορούσες να φωνάζεις εναντίον της γεωμετρίας και αυτά δεν συμβαδίζει με το αναρχικό του χαρακτήρα σου (όπως έχεις περιγράψει τον εαυτό σου). Να διευκρινήσω ότι δεν έχω κανένα πρόβλημα μαζί σου ως αναρχικό. Δεκτόν ότι υπάρχουν ασάφειες στα αξιώματα του Ευκλείδη. Εγώ επιλέγω να τις διορθώσω (η μάλλον να δεκτώ τις διορθώσεις που έκαναν άλλοι μαθηματικοί) και να δουλέψω στην γεωμετρία. Αυτό είναι μαθηματικά. Εσύ επιλέγεις να ρίψεις την γεωμετρία στην πυρά. Δεκτόν σαν φιλοσοφία αλλά δεν είναι μαθηματικά.

Εγώ πάντως θα σου ευχηθώ καλή πρόοδο. Δείχνεις έξυπνος και καλό θα ήταν να αναλώσεις τον χρόνο σου κάνωντας μαθηματικά και όχι ψάχνοντας να βρεις τι άλλο παράλειψε να θέσει ο Ευκλείδης ώς αξίωμα. [/quote]

Άκουσε φίλε μου Demetres.
Λες πολλά και χωρίς να βγαίνει κανένα νόημα από μέρους μου. Δεν φταις εσύ μην ταράζεσαι. Εγώ φταίω. Π.χ. λες ότι αμφισβητώ τον Ευκλείδη!  Επάνω σε αυτό το φανταστικό μοτίβο, αρχίζεις να κάνεις επικολλήσεις επί επικολλήσεων και ειλικρινά δεν βγάζω νόημα, όχι τι λένε τα κείμενα, αλλά πως τα δομείς σαν ενιαίο κείμενο – το χαρακτηρίζεις και ανάλυση - και μάλιστα που μου κάνει αντιπαράθεση.
Από την άλλη μου λες ότι χαρακτηρίζω τον Χίλμπερτ φασίστα. Που ακριβώς είδες να το κάνω ή διαβάζεις οδηγώντας και δεν βλέπεις όλο το κείμενο τι γράφει για να μην περάσεις με κόκκινο καλέ μου; Δεν είπα τον Χίλμπερτ φασίστα βρε Demetres. Καθηγητής μαθηματικών στη δημόσια εκπαίδευση από το 1974 (πριν γεννηθεί δηλαδή εσύ) χαρακτηρίζει τη νοοτροπία στήριξης με κάθε μέσον της θεωρίας συνόλων σαν φασιστική. Γιατί μπερδεύεσαι;
Αν θέλεις να σου πω τη γνώμη μου για τον Χίλμπερτ μπορείς να με ρωτήσεις αντί να αυτοσχεδιάζεις και να υποθέτεις.
Τέλος σχετικά με το πυθαγόρειο:
Το πυθαγόρειο εμπεριέχεται στην Ευκλείδεια γεωμετρία και δεν είναι του Ευκλείδη, αλλιώς θα το λέγανε ευκλείδειο και όχι πυθαγόρειο. Ακόμα και η πατρότητά του αμφισβητείται όμως αλλά αυτό δεν μας πειράζει όταν το διερευνούμε αν το διατύπωσε πρώτος ο Πυθαγόρας ή όχι . Ο Ευκλείδης λοιπόν το βρήκε, το αποδέχθηκε και το απέδειξε και ο ίδιος.
Τώρα το θέμα μας είναι αν διαχρονικά προβλέπονται εξαιρέσεις στην ορθότητά του και αν υποστηρίζει κάποιος μαθηματικός ή υποψήφιος μαθηματικός τις αποδείξεις της ορθότητάς του, που τις πλέον «διάσημες» έχω παραθέσει και εξακολουθούν να διδάσκονται. Γιατί μπλέκεσαι; Ξέρεις να απαντήσεις και άσε με εμένα στην άγνοιά μου. Μη βάζεις κριτήριο τι λέω ή τι κάνω. Απάντησέ μου και αν δεν ξέρεις ρώτησε καθηγητές σου. Δεν είναι κακό.
Εδώ είμαι και υπομένω καρτερικά την αναιτιολόγητη επιθετικότητά σου, ελπίζοντας ότι θα απαντήσεις ή άμεσα (από δική σου γνώση) ή έμμεσα (από γνώση που θα αποκτήσεις ρωτώντας καθηγητές σου).
Μου λες, δεν έχεις πρόβλημα μαζί μου, που όπως λέω, είμαι αναρχικός.
Εγώ τι λες; Σαν αναρχικός, που όπως λέω ότι είμαι, μπορώ να έχω κάτι μαζί σου;

Φίλε nemenala,

Ζητώ συγνώμη αν δεν έχω καταφέρει μέχρι τώρα να σε κατανοήσω. Ευθύνομαι μόνο εγώ και κανένας άλλος. Νομίζω πάντως ότι ήμουν αρκετά ξεκάθαρος ώστε να μην σου ζητάω να αποδείξεις πως δεν είσαι ελέφαντας. Έλεγα πάντα "όπως σε καταλαβαίνω" και "συγνώμη αν σου βάζω λόγια στο στόμα".

Περἰ φασισμού, είχα καταλάβει ότι υιοθετούσες τα πάντα από ότι έλεγε ο καθηγητής των μαθηματικών, εκτός από την στήριξη του στο πυθαγόρειο. Μάλλον λάθος κατάλαβα...

Όταν λες πάλι ότι δεν ισχύει το πυθαγόρειο στην Ευκλείδιο γεωμετρία εγώ καταλαβαίνω πως θες να μας πεις πως κάποιο πρόβλημα υπάρχει στην Ευκλείδιο γεωμετρία. Μάλλον πάλι λάθος καταλαβαίνω... Δεν πειράζει

Ζητώ συγνώμη αν δεν κατάλαβες τι ήθελα να πω. Πίστευα πως είχες μπροστά σου τα Στοιχεία και γι' αυτό έγραφα "πρόταση τάδε" αντί να κάτσω να γράφω όλη την πρόταση. Πάλι απολογούμαι.

Νομίζω πως εκπέμπουμε σε διαφορετικά μήκη κύματος και αυτή η συζήτηση, τουλάχιστον μαζί μου, δεν οδηγεί πλέον πουθενά.

Μόνο κάτι τελευταίο. Θα ήθελα να μου εξηγήσεις τι εννοείς όταν λες οτι "Στον R όλα είναι προτάσεις και τα αξιώματα τα οποία τον καλύπτουν είναι του Ευκλείδειου επιπέδου που υποκρύπτονται στον R.", διότι πάλι δεν σε καταλαβαίνω

Καλή πρόοδο

ego pantos proti fora vlepo kapoion na milaei gia mathimatika kai na xrisimopoiei to rima upokrupto (/omai).

vre nemenala pes mas ti eisai....eisai mathimatikos?eisai fusikos? eisai filologos? eisai filosofos? eisai kallitexnis? (sorry an to exeis idi pei, alla variemai na diavazo ta ateleiota essays pou grafeis...)

gia to p.th. de milao giati den ksero...opos kai gia ta upoloipa pou grafeis!oute einai upoxreosi mou na ksero.  (ekana eidiki anafora sto p.th. giati apo auta pou grafei o durandal katalavaino oti kati paizei alla den me kaiei kiolas, ki episis enas kathigitis mou kata ti dialeksi tou ekane ena mikro sxolio sto p.th. kai eipe "people always lie tou u, but for the case od flat surfaces" i kati tetoio... opote kati tha kserei kai katalavaino oti kati ginetai alla den me apasxolei idiatera).oute fuska tha sou po oti de mou aresei to stulaki sou, sta exoune idi pei. oute gia ti malakia pou ekanes kai piges sto forum ton olubiadon kai arxises na grafeis tis idies paparologies pou egafes kai sta upoloipa subforums.(oi paparologies den simainei oti eiani aparaitita pseudeis-borei kati na einai alithes kai na eina paparologia...einai lepto to zitima!eksartatai poios to leei se poious to leei kai pos to leei-gia ta tria auta euthunetai autos pou to leei....)oute gia to kokkinoskoufitsa tha apologitho...pote den se apokalesa kokkinoskoufitsa-esy to syberanes apo monos sou kai arxises na me katigoreis gia kati pou den exo kanei. giati sto grapto logo vgazeis loipon veviasmena suberasmata ?esu pou eisai uper tis austhrotitas?mallon opoios exei ti miga migiazetai...

elpizo na mi thimoseis gia kapoies lekseis pou xrisimopoio. einai pio entimo na sou po oti se theoro malaka epeita apo ti stasi pou exeis kratisei para na sou po ugeia, eutuxia kali proodo, merry christmas and happy new year. gia to mono pou se parakalo einai na min einai ektetameni i apantisi sou...vlepeis ego eimai sunoptikotatos. xrisimopoiise oti xaraktirismo thes oste na eisai lakonikos kai akrivis!

nikos rapanos
first year student of electrical and electronic engineering
imperial college london

ps. sou grafo poios eimai.....an theleis pes mas ki esu poios eisai.

Αγαπητέ Demetres ο καθένας με τις δυνατότητές του, ενώ στο βάθος είμαστε όλοι το ίδιο. Δεν σε αντιμετωπίζω σαν εχθρό παρά το ότι το ειρωνικό ύφος σου θα ερέθιζε τον οποιοδήποτε συνομιλητή σου, όταν μάλιστα δεν σου έχει φταίξει σε τίποτα.

[quote]Demetres
Ζητώ συγνώμη αν δεν έχω καταφέρει μέχρι τώρα να σε κατανοήσω. Ευθύνομαι μόνο εγώ και κανένας άλλος. [/quote]

Δεν έχεις καμία υποχρέωση να με καταλάβεις, ούτε καν να ασχοληθείς μαζί μου βέβαια. Αλλά όταν το επιχειρείς, τότε έχεις υποχρέωση να μην παρανοείς αυτά που λέω ή να τα διατυπώνεις εσύ σαν να τα λέω εγώ, ώστε να βρίσκεις θέμα εναντίωσης. Δεν αντιλαμβάνεσαι ότι αν εσύ δεν καταλαβαίνεις (έστω και με δική μου ευθύνη περί το συντακτικό και τις δυνατότητές μου να εκφράζομαι) το να με αντιμετωπίζεις σύμφωνα με όσα καταλαβαίνεις δεν θα βγει κάποιο νόημα; Δεν λέω αυτά που θεωρείς ότι λέω και επάνω σε αυτά που εσύ θεωρείς ότι λέω, χτίζεις αντίλογο. Αυτό επεσήμανα και δεν έκρινα την επάρκειά σου στην αντίληψη.

[quote]Demetres
Νομίζω πάντως ότι ήμουν αρκετά ξεκάθαρος ώστε να μην σου ζητάω να αποδείξεις πως δεν είσαι ελέφαντας. Έλεγα πάντα "όπως σε καταλαβαίνω" και "συγνώμη αν σου βάζω λόγια στο στόμα".[/quote]

Και όμως το κάνεις όταν μου λες ότι δεν αποδέχομαι τον R ή το ευκλείδειο αξιωματικό σύστημα. Τι με βάζεις να κάνω λοιπόν όταν ισχυρίζεσαι ότι αυτό αντιλαμβάνεσαι ενώ πουθενά δεν το λέω; Δεν μου λες "είσαι ελέφαντας και απέδειξε ότι δεν είσαι"; Θα σου άρεσε εσένα να στο έκανα εγώ αυτό, δηλαδή να έλεγα ότι ισχυρίζεσαι κάτι που δεν το ισχυρίζεσαι και μετά να ήσουνα υποχρεωμένος χωρίς λόγο να αποδεικνύεις σαν αβάσιμους τους δικούς μου ισχυρισμούς για το πρόσωπό σου; Σε ότι αφορά τη συγγνώμη που ζητάς "αν μου βάζεις λόγια στο στόμα", ποτέ δεν σε παρεξήγησα ή δεν σε έχω αντιληφθεί με τον τρόπο που εσύ θεωρείς ότι σε αντιμετωπίζω. Το αντίθετο θα έλεγα, μου είσαι εξαιρετικά συμπαθής, βλέπω ένα παιδί με ήθος και με τιμάς με το να συμμετέχεις στα θέματά μου, όσο και να μην το πιστεύεις αγαπητέ φίλε Demetres.

[quote]Demetres
Περἰ φασισμού, είχα καταλάβει ότι υιοθετούσες τα πάντα από ότι έλεγε ο καθηγητής των μαθηματικών, εκτός από την στήριξη του στο πυθαγόρειο. Μάλλον λάθος κατάλαβα...[/quote]

Μπορεί να τα υιοθετούσα (όπως σου είπα αν θέλεις τη γνώμη μου για τον Χίλμπερτ ζήτησέ τη), όμως δεν είπα εγώ τον Χίλμπερτ φασίστα, αλλά απλά έκανα παράθεση το κείμενο του κυρίου Παναγιώτη Αδαμάκου.

[quote]Demetres
Όταν λες πάλι ότι δεν ισχύει το πυθαγόρειο στην Ευκλείδιο γεωμετρία εγώ καταλαβαίνω πως θες να μας πεις πως κάποιο πρόβλημα υπάρχει στην Ευκλείδιο γεωμετρία. Μάλλον πάλι λάθος καταλαβαίνω... Δεν πειράζει[/quote]

Το ακριβώς αντίθετο υποστηρίζω. Όταν λέω ότι δεν ισχύει το πυθαγόρειο στην ευκλείδεια γεωμετρία, δεν θέλω να πω ότι υπάρχει πρόβλημα στο αξιωματικό αυτό σύστημα, αλλά στο αυτόνομα εισαχθέν σε αυτή τη γεωμετρία πυθαγόρειο θεώρημα. Σε μεγάλο βαθμό μάλιστα ο Ευκλείδης υπό την πίεση της ορθότητας του πυθαγορείου (200 χρόνια μετά τον Πυθαγόρα περίπου) συνέταξε το αξιωματικό σύστημα. Το αξιωματικό σύστημα δεν κρίνεται να πω ότι είναι ορθό ή εσφαλμένο, αφού τα αξιώματα δεν είναι δεκτικά απόδειξης. Ο Ευκλείδης όμως σαν φυσικό πρόσωπο κρίνεται για την απόδειξη του πυθαγορείου που είναι κόντρα στις ίδιες τις δικές του αξιωματικές προβλέψεις. Ο Ευκλείδης σαν φυσικό πρόσωπο και όχι το αξιωματικό του σύστημα, είναι ο νομοθέτης που παραβιάζει τον δικό του το νόμο (το αξιωματικό του σύστημα δηλαδή).

[quote]Demetres
Ζητώ συγνώμη αν δεν κατάλαβες τι ήθελα να πω. Πίστευα πως είχες μπροστά σου τα Στοιχεία και γι' αυτό έγραφα "πρόταση τάδε" αντί να κάτσω να γράφω όλη την πρόταση. Πάλι απολογούμαι.[/quote]

Γιατί απολογείσαι; Σωστά λες. Τα έχω μπροστά μου τα Στοιχεία, εκτός του ότι τα ξέρω απέξω.

[quote]Demetres
Νομίζω πως εκπέμπουμε σε διαφορετικά μήκη κύματος και αυτή η συζήτηση, τουλάχιστον μαζί μου, δεν οδηγεί πλέον πουθενά.[/quote]

Μα, το ότι εκπέμπουμε σε διαφορετικά μήκη κύματος είναι το ενδιαφέρον. Έχουμε αιτία πραγματική για συζήτηση. Δεν είμαστε υπουργικό συμβούλιο να λέει ο πρωθυπουργός και να λέμε όλοι "ναι"! Οι διαφορές πρέπει να επιλύονται και όχι απλά να διαπιστώνονται οι συμφωνίες! Όμως πάλι μπορείς να σκέπτεσαι ακόμα και σε αυτό το θέμα με τρόπο διαφορετικό και το θεωρώ απόλυτο δικαίωμά σου που δεν στοχεύω, ούτε να σου το στερήσω, ούτε να το στιγματίσω.

[quote]Demetres
Μόνο κάτι τελευταίο. Θα ήθελα να μου εξηγήσεις τι εννοείς όταν λες ότι "Στον R όλα είναι προτάσεις και τα αξιώματα τα οποία τον καλύπτουν είναι του Ευκλείδειου επιπέδου που υποκρύπτονται στον R.", διότι πάλι δεν σε καταλαβαίνω [/quote]

Πολύ ευχαρίστως καλέ μου Demetres.
Εξαιρετικό βιβλίο του καθηγητή μαθηματικών του πανεπιστημίου Κρήτης, κυρίου Πάρη Πάμφιλου.
Σου το συνιστώ γιατί περιέχει πολλά από αυτά που ισχυρίζομαι.
http://translate.google.com/translate?hl=el&sl=en&u=http://www.math.uoc.gr/~pamfilos/&sa=X

[b]Σελίδα 2
1.4	Αναλυτική μέθοδος[/b]
Η αναλυτική μέθοδος αναπτύχθηκε πολύ αργότερα από την συνθετική (Καρτέσιος 1596-1650). Σ' αυτήν ο χώρος X περιγράφεται με σαφήνεια και ταυτίζεται με ένα σύνολο μαθηματικών αντικειμένων. Π.χ. το Ευκλείδειο Επίπεδο ταυτίζεται με το σύνολο R^2. Τα διάφορα σχήματα, όπως λ.χ. οι ευθείες, περιγράφονται ως σύνολα που ικανοποιούν μαθηματικές σχέσεις και οι μετασχηματισμοί, δίδονται από συγκεκριμένους τύπους. Οι ορισμοί και οι ιδιότητες των σχημάτων ανάγονται σε αριθμητικές σχέσεις και επομένως η αλήθειά τους ανάγεται στην αλήθεια των στοιχειωδών ιδιοτήτων των πραγματικών αριθμών. [b]Εδώ τα πάντα είναι προτάσεις. Τα αξιώματα φαίνονται ν' απουσιάζουν. Τούτο είναι μόνο φαινομενικό. Τα αξιώματα κρύβονται, σ' αυτήν την περίπτωση, στο μοντέλο. Π.χ. για το R^2 τα αντίστοιχα αξιώματα είναι αυτά του R, τα οποία συνεπάγονται τα αξιώματα του Ευκλειδείου επιπέδου.[/b]

Όπως βλέπεις αυτό που λέω το ισχυρίζεται ο καθηγητής του πανεπιστημίου Κρήτης και αυτό το έκανα (να μεταφέρω τη διατύπωσή ΑΚΡΙΒΩΣ) γιατί εμένα δεν με γνωρίζεις και μπορείς να με αμφισβητήσεις. Βλέπεις επικρατεί αυτό το κριτήριο για πολλούς εδώ μέσα. Το λέει γνωστός είναι ορθό. Το λέει άγνωστος είναι λάθος! Κάνε μια προσπάθεια να καταλάβεις σε παρακαλώ τι λέει ο άνθρωπος και μην ισχυρίζεσαι ότι δεν δέχομαι τον R. Ίσως και να μη τον δέχομαι, όμως μέχρι να το πως αυτό και να εξηγήσω το γιατί (λ.x. αξίωμα αντιστοίχησης μεταξύ των πραγματικών και των σημείων μιας ευθείας, ένα προς ένα και επί ή τα άρρητα σε σχέση με τον R) δεν μπορείς να μου λες αυθαίρετα ότι δεν δέχομαι τον R, διότι δεν έχεις τις αιτιάσεις μου που μπορεί να συνοδεύουν μια τέτοια άρνηση αποδοχής του R.
Ένα έχω να σου πω αγαπητέ φίλε Demetres. Ανεξάρτητα από το τι είμαι, ΔΕΝ ΕΙΜΑΙ, παλαβός να πηγαίνω κόντρα στις κρατούσες αντιλήψεις, δεν είμαι διάνοια, μεγαλοφυΐα ή ιδιοφυΐα, αλλά ένας απλός άνθρωπος με δικές μου αρχές, που δεν πιέζω κανένα να τις αποδεχτεί.
Να είσαι καλά.

[quote="nemenala"]

[b]Σελίδα 2
1.4	Αναλυτική μέθοδος[/b]
Η αναλυτική μέθοδος αναπτύχθηκε πολύ αργότερα από την συνθετική (Καρτέσιος 1596-1650). Σ' αυτήν ο χώρος X περιγράφεται με σαφήνεια και ταυτίζεται με ένα σύνολο μαθηματικών αντικειμένων. Π.χ. το Ευκλείδειο Επίπεδο ταυτίζεται με το σύνολο R^2. Τα διάφορα σχήματα, όπως λ.χ. οι ευθείες, περιγράφονται ως σύνολα που ικανοποιούν μαθηματικές σχέσεις και οι μετασχηματισμοί, δίδονται από συγκεκριμένους τύπους. Οι ορισμοί και οι ιδιότητες των σχημάτων ανάγονται σε αριθμητικές σχέσεις και επομένως η αλήθειά τους ανάγεται στην αλήθεια των στοιχειωδών ιδιοτήτων των πραγματικών αριθμών. [b]Εδώ τα πάντα είναι προτάσεις. Τα αξιώματα φαίνονται ν' απουσιάζουν. Τούτο είναι μόνο φαινομενικό. Τα αξιώματα κρύβονται, σ' αυτήν την περίπτωση, στο μοντέλο. Π.χ. για το R^2 τα αντίστοιχα αξιώματα είναι αυτά του R, τα οποία συνεπάγονται τα αξιώματα του Ευκλειδείου επιπέδου.[/b]

[/quote]

Μπορεί να κάνω λάθος , αλλά εγώ από τη διαπίστωση αυτή του κ-ου Παμφίλου(έχω τη γεωμετρία του!) καταλαβαίνω ότι το ευκλείδειο επίπεδο δανίζεται τα αξιώματα του IR και όχι τι αντίστροφο.Δεν λέω ότι ενστερνίζομαι ακριβώς αυτή τη θέση, αλλά τελικά η σύνδεση του IR και της ευθείας έγινε με φυσικό τρόπο, ώστε να μπορεί να εισαχθεί η έννοια της συνέχειας(αυτός είναι ο λογος της ομάδας αξιωμάτων που πρόεινε ο hilbert) και οι άλλες σχετικές έννοιες (του κυβωτισμού -θεώρημα Baire  σε απλή μορφή κλπ ).
  Κατά τα άλλα δε θέλω να δώσω καμιά υπερφυσική υπόσταση ούτε στην ευκλείδεια γεωμετρία , ούτε στην κατασκευή του IR ούτε να θεοποιήσω κάπτι από τα δύο . Όλα έγιναν από την ανάγκη να αντιμετωπιστούν τα μαθηματικά ως μιας εννιαία οντότητα, να συνδεθεί στο μέτρο του δυνατού η εποπτεία με την αξιωματική θεμελίωση των μαθηματικών κλάδων και να αποφευχθούν τα μαθηματικά παράδοξα.
 Από τα λίγα που ξέρω νομίζω ότι αυτή η δουλειά έγινε με μεγάλη προσπάθεια , κυρίως από του Peano, Dedekind, Hilbert (σίγουρα αδικώ και άλλους πολλούς που δεν τους αναφέρω) και στέφτηκε τελικά από επιτυχία.Από δω και πέρα δεν είμαι σε θέση να γνωρίζω κατά πόσο πάσχουν τα θεμέλια των μαθηματικών(πέρα από το θεώρημα της μη πληρότητας) και κυρίως αν όλα αυτά που κένουμε είναι τελικά ένα παιγνίδι παραλόγου. Για την ώρα δέχομαι τα πράγματα όπως τα έχουν τακτοποήσει οι μεγάλοι μύστες των μαθηματικών, μια και δεν μπορώ να εισηγηθώ κάτι πιο ορθό.
 Την άποψή σου για το Πυθαγόρεια θεώρημα θα ήθελα να την γράψεις πιο διεξοδικά.Δεν θεωρείς δηλαδή ότι είναι θεώρημα της ευκλείδειας γεωμετρίας , όπως την σκέφτηκε ο Ευκλείδης και γιατί. Και αν είναι έτσι , τι μας ανάγκασε να το ''δεχτούμε΄΄ ως τέτοιο ;
  Σε αυτά  τα ερωτήματα έχει νόημα να μας πεις τις σκέψεις σου και θα σε ακούσουμε με προσοχή.Το αν διαφωνούμε είναι άλλη υπόθεση !

Μπάμπης

Φίλε Νίκο είναι κουραστικός ο τρόπος με τον οποίο γράφεις. Χρησιμοποίησε ελληνική γραμματοσειρά γιατί είναι Γολγοθάς η ανάγνωση έτσι.

[quote]Nick Rapanos
ego pantos proti fora vlepo kapoion na milaei gia mathimatika kai na xrisimopoiei to rima upokrupto (/omai). [/quote]

Δεν αμφιβάλλω καθόλου.
Αγαπητέ Νίκο μάλλον δεν έχεις ασχοληθεί με τα μαθηματικά και γι αυτό μην είσαι και τόσο βέβαιος για αυτά που λες. Το τι βλέπεις εσύ δεν είναι το κριτήριο. Ρίξε μια ματιά από πάνω στην απάντησή μου στον Demetres. Πάντως έκτοτε θα γνωρίζεις ότι μπορεί κάποιος να μιλάει για μαθηματικά και να χρησιμοποιεί αυτό το ρήμα και σε ενεργητικό και σε παθητικό.

[quote]Nick Rapanos
vre nemenala pes mas ti eisai....eisai mathimatikos?eisai fusikos? eisai filologos? eisai filosofos? eisai kallitexnis? (sorry an to exeis idi pei, alla variemai na diavazo ta ateleiota essays pou grafeis...) [/quote]

Εσύ χάνεις που δεν τα διαβάζεις! Είμαι ο λόγος μου στο φόρουμ και αυτό αρκεί. Όμως πέρα από τα μαθηματικά, τη φυσική και τη φιλοσοφία που με απασχολούν επί πολλά χρόνια, είμαι και μουσικός. Κάτι καταφέρνω και σε ματζοράκια και σε μινοράκια και σε χιτζάζ και σε ουσάκ...

[quote]Nick Rapanos
gia to p.th. de milao giati den ksero...opos kai gia ta upoloipa pou grafeis!oute einai upoxreosi mou na ksero. (ekana eidiki anafora sto p.th. giati apo auta pou grafei o durandal katalavaino oti kati paizei alla den me kaiei kiolas, ki episis enas kathigitis mou kata ti dialeksi tou ekane ena mikro sxolio sto p.th. kai eipe "people always lie tou u, but for the case od flat surfaces" i kati tetoio... opote kati tha kserei kai katalavaino oti kati ginetai alla den me apasxolei idiatera).oute fuska tha sou po oti de mou aresei to stulaki sou, sta exoune idi pei. oute gia ti malakia pou ekanes kai piges sto forum ton olubiadon kai arxises na grafeis tis idies paparologies pou egafes kai sta upoloipa subforums.(oi paparologies den simainei oti eiani aparaitita pseudeis-borei kati na einai alithes kai na eina paparologia...einai lepto to zitima!eksartatai poios to leei se poious to leei kai pos to leei-gia ta tria auta euthunetai autos pou to leei....)oute gia to kokkinoskoufitsa tha apologitho...pote den se apokalesa kokkinoskoufitsa-esy to syberanes apo monos sou kai arxises na me katigoreis gia kati pou den exo kanei. giati sto grapto logo vgazeis loipon veviasmena suberasmata ?esu pou eisai uper tis austhrotitas?mallon opoios exei ti miga migiazetai... [/quote]

1. Αυτό που κατάλαβες «ότι κάτι παίζεται» με το πυθαγόρειο είναι ορθό. Για το λόγο αυτό ο durandal κάνει τον πολίτη της Λαϊκής Δημοκρατίας της Κίνας. Το παιδί αυτό έχει γνώσεις, έχει εντυπωσιάσει στο φόρουμ και δεν μπορεί τώρα να εκτεθεί. Τον κατανοώ και δεν έχω κάτι εναντίον του. Μάλλον δεν με απασχολεί πλέον σε τέλεια αναλογία με τη στάση του.
2. Τα περί παπαρολογίας δεν τα σχολιάζω. Όπως λες κι εσύ, πάντα ευθύνη έχει αυτός που το λέει (euthunetai autos pou to leei).
3. Σε ευχαριστώ που σου αρέσει το «στιλάκι» μου. Θα μου φανεί χρήσιμη η ψήφος σου στην πασαρέλα.
4. Σχετικά με την Κοκκινοσκουφίστα δεν σε κατηγορώ, αλλά χαίρομαι που ξέρεις παραμύθια.
5. Σχετικά με το τι σε ενδιαφέρει και το τι δεν σε ενδιαφέρει, δεν με ενδιαφέρει. Εγώ είμαι Ολυμπιακός!
6. Σε ότι αφορά τη μύγα, έχω φλιτ!

[quote]Nick Rapanos
elpizo na mi thimoseis gia kapoies lekseis pou xrisimopoio. einai pio entimo na sou po oti se theoro malaka epeita apo ti stasi pou exeis kratisei para na sou po ugeia, eutuxia kali proodo, merry christmas and happy new year. gia to mono pou se parakalo einai na min einai ektetameni i apantisi sou...vlepeis ego eimai sunoptikotatos. xrisimopoiise oti xaraktirismo thes oste na eisai lakonikos kai akrivis! [/quote]

Δεν θυμώνω και μη φοβάσαι. Μπορείς να με χαρακτηρίσεις όπως θέλεις και εγώ είμαι έτοιμος να εντυπωσιαστώ από το λεξιλόγιό σου. Αντί λοιπόν να σου στείλω τις ευχές μου για υγεία, τις οποίες θεωρώ και τις σημαντικότερες (επειδή εγώ τις έχω πραγματική ανάγκη) και εσύ δεν τις θέλεις, θα σου ευχηθώ να διαβάσεις τα παραμύθια του Αισώπου και ειδικότερα αυτό της αλεπούς με τα σταφύλια, αν με εννοείς.

[quote]nikos rapanos
first year student of electrical and electronic engineering
imperial college london

ps. sou grafo poios eimai.....an theleis pes mas ki esu poios eisai. [/quote]

Οπωσδήποτε πιο γνωστός από σένα. Να είσαι βέβαιος. Μόνο που δεν έχω το δικό σου καλό όνομα. Είμαι κακό παιδί που λένε…

Φίλε Νίκο κι εσύ μη μου κρατήσεις κακία. Μου είναι αδιανόητο να με θεωρεί εχθρό του ο οποιοσδήποτε άνθρωπος, όταν κανέναν δεν εχθρεύομαι, πολύ δε περισσότερο ένα παιδί "first year student" και αν έτσι τα έχω καταφέρει, ειλικρινά λυπάμαι για μένα. Τώρα είδα την ηλικία σου  (απαντώ παράγραφο - παράγραφο, χωρίς να διαβάζω ολόκληρο το κείμενο πρώτα επειδή είναι κουραστικός ο τρόπος γραφής σου) και αν δεν αφαιρώ το κείμενο είναι για να σου δώσω να καταλάβεις το πως σκέπτομαι.
Επιμένω να είσαι καλά.

Φίλε nemenala,

Είπαμε ζήτησα συγνώμη που λάθος σε κατάλαβα και δεν σου ζητάω να απαντήσεις σε αυτά που έγραψα. Λήξαν.

Περί φασισμού και Hilbert θα ήθελα όντως την γνώμη σου.

Όταν έλεγα εκπέμπουμε σε διαφορετικά μήκη κύματος εννοούσα πως δεν καταφέρνουμε να συζητήσουμε και να  συνεννοηθούμε. Είναι αυτό που λένε "χώρια μιλάμε και χώρια καταλάβουμε:

Λες

"Όταν λέω ότι δεν ισχύει το πυθαγόρειο στην ευκλείδεια γεωμετρία, δεν θέλω να πω ότι υπάρχει πρόβλημα στο αξιωματικό αυτό σύστημα, αλλά στο αυτόνομα εισαχθέν σε αυτή τη γεωμετρία πυθαγόρειο θεώρημα."

Ρωτάω

Λες ότι υπάρχει κάποιο λάθος (ή κάποια λάθη) στην απόδειξη της πρότασης 47 των στοιχείων του Ευκλείδη; Ναι ή όχι;

Εγώ προσωπικά είχα καταλάβει πως η απάντηση σου σε αυτό το ερώτημα είναι ναι και προσπάθησα να αναλύσω στο προηγούμενο μου post που μπορεί να βρήκες το λάθος. Αν όντως είναι ναι, τότε θα ήθελα πολύ να μου πεις εσύ πιο είναι το λάθος για να μην αναγκάζομαι να κάνω υποθέσεις. Αν είναι όχι, θεωρώ και αυτό το θέμα λήξαν.

Λες

"Στον R όλα είναι προτάσεις και τα αξιώματα τα οποία τον καλύπτουν είναι του Ευκλείδειου επιπέδου που υποκρύπτονται στον R."

Ακόμη δεν είμαι σίγουρος τι θες να πεις. Παραθέτεις απόσπασμα από ένα βιβλίου του κυρίου Πάμφιλου. Από αυτά που λέει ο κύριος Πάμφιλος εγώ καταλαβαίνω

"Στο R^2 όλα είναι προτάσεις και τα αξιώματα τα οποία το καλύπτουν είναι τα αξιώματα του R. Τα αξιώματα του R συνεπάγονται τα αξιώματα του Ευκλείδειου επιπέδου."

Συμφωνώ μ'αυτά που λέει ο κύριος Πάμφιλος θα πρόσθετα μάλιστα ώς διευκρίνηση (Δική μου διευκρίνηση. Δεν ξέρω αν την υιοθετεί ο κύριος Πάμφιλος αλλά νομίζω πως την υιοθετεί η πλειοψηφεία των μαθηματικών)

"Στο R^2 όλα είναι προτάσεις και τα αξιώματα τα οποία το καλύπτουν είναι τα αξιώματα του R. Τα αξιώματα του R συνεπάγονται τα αξιώματα του Ευκλείδειου επιπέδου, χωρίς να παρουσιάζονται οι ασάφειες που υπάρχουν στα Στοιχεία"

Καλή πρόοδο

[b]Σύντροφε Ναιμεναλλά[/b]
Λες πριν
 Αυτό που κατάλαβες «ότι κάτι παίζεται» με το πυθαγόρειο είναι ορθό. Για το λόγο αυτό ο durandal κάνει τον πολίτη της Λαϊκής Δημοκρατίας της Κίνας. Το παιδί αυτό έχει γνώσεις, έχει εντυπωσιάσει στο φόρουμ και δεν μπορεί τώρα να εκτεθεί. Τον κατανοώ και δεν έχω κάτι εναντίον του. Μάλλον δεν με απασχολεί πλέον σε τέλεια αναλογία με τη στάση του.
Σε πληροφορώ ότι οι Κινέζοι ήρθαν 1οι στην Ολυμπιάδα Μαθηματικών
Οσο για το [b]ταλέντο[/b] και τις γνώσεις του Παναγιώτη άσε να κρίνουμε εμείς οι παλιότεροι καθηγητές του και τωρινοί φίλοι του.Ξέρουμε καλύτερα
Ακόμη μια πληροφορία. Ο Παναγιώτης δεν έκανε καμία προσπάθεια εντυπωσιαιασμού [b]ναι μεν[/b] εντυυπωσίασαν εσένα οι γνώσεις του [b]αλλά[/b] μάλλον φαίνεται χωρίς να του το αναγνωρίζεις

[quote]Demetres
Φίλε nemenala,

Είπαμε ζήτησα συγνώμη που λάθος σε κατάλαβα και δεν σου ζητάω να απαντήσεις σε αυτά που έγραψα. Λήξαν.[/quote]

Το ίδιο και εγώ θεωρώ λήξαν το θέμα.

[quote]Demetres
Περί φασισμού και Hilbert θα ήθελα όντως την γνώμη σου.[/quote]

Θα σου την πω λοιπόν. Κατ` αρχάς δεν αναφέρθηκα καθόλου στο θέμα "περί φασισμού του Χίλμπερτ". Ρίξε μια ματιά. Σου λέω "αν θέλεις η γνώμη μου για τον Χίλμπερτ να σου την πω". Τη γνώμη μου λοιπόν θα σου πω και δεν με αφορούν οι όποιοι χαρακτηρισμοί του αποδίδονται από άλλους. Ο Χίλμπερτ είχε καλές προθέσεις να προάγει τα μαθηματικά. Έτσι προσπάθησε να τυποποιήσει εκ νέου το αξιωματικό σύστημα του Ευκλείδη. Το ατόπημά του συνίσταται στην μετατροπή της Αρχής Αρχιμήδη - Εύδοξου σε αξίωμα συνεχείας. Θέλησε να διορθώσει αυτούς τους ευφυείς μαθηματικούς που δεν ήξεραν(!) τάχα να ανάγουν την απλή πρότασή τους από θεώρημα προς απόδειξη σε αξίωμα. Απόδειξη του λάθους αυτής της ενέργειας είναι ότι δεν συμφωνεί η θεωρία του μέτρου με το αξίωμα συνεχείας του Χίλμπερτ, όπως απέδειξα με το θέμα Μέσο και Μισό. Κατά τα άλλα τη γνώμη του για το πως πρέπει να αντιμετωπίζουμε τα μαθηματικά (με κάθε μέσο) την κρίνω έξω από το μαθηματικό πλαίσιο. Από τα μαθηματικά μπορείς να πάρεις ότι μπορούν να σου δώσουν και όχι ότι επιθυμείς. Εκτός και τα εφοδιάσεις με αξιώματα ικανά να σου δώσουν το επιθυμητό, κάτι που ο ίδιος δεν απέδειξε ότι είναι ικανός να κάνει με το αξίωμα συνεχείας του. Αυτά.

[quote]Demetres
Όταν έλεγα εκπέμπουμε σε διαφορετικά μήκη κύματος εννοούσα πως δεν καταφέρνουμε να συζητήσουμε και να συνεννοηθούμε. Είναι αυτό που λένε "χώρια μιλάμε και χώρια καταλάβουμε:
[/quote]

Αυτό ακριβώς κατάλαβα κι εγώ. Όμως είναι συνηθές να έχουν οι άνθρωποι άλλες απόψεις και να τις συζητούν μέχρι να κατανοήσει ο ένας τον άλλο. Δεν είναι κακό αυτό.

[quote]Demetres
Λες

"Όταν λέω ότι δεν ισχύει το πυθαγόρειο στην ευκλείδεια γεωμετρία, δεν θέλω να πω ότι υπάρχει πρόβλημα στο αξιωματικό αυτό σύστημα, αλλά στο αυτόνομα εισαχθέν σε αυτή τη γεωμετρία πυθαγόρειο θεώρημα."

Ρωτάω

Λες ότι υπάρχει κάποιο λάθος (ή κάποια λάθη) στην απόδειξη της πρότασης 47 των στοιχείων του Ευκλείδη; Ναι ή όχι;
Εγώ προσωπικά είχα καταλάβει πως η απάντηση σου σε αυτό το ερώτημα είναι ναι και προσπάθησα να αναλύσω στο προηγούμενο μου post που μπορεί να βρήκες το λάθος. Αν όντως είναι ναι, τότε θα ήθελα πολύ να μου πεις εσύ πιο είναι το λάθος για να μην αναγκάζομαι να κάνω υποθέσεις. Αν είναι όχι, θεωρώ και αυτό το θέμα λήξαν.[/quote]

Καλά κατάλαβες. Ναι είναι η απάντησή μου. Για να σου υποδείξω και αποδείξω το σφάλμα όμως, σε καλώ πρώτα (εσένα και όλους εδώ μέσα τόσες μέρες τώρα) να μου πεις αν γνωρίζεις διαχρονικά να προβλέπονται εξαιρέσεις του πυθαγορείου ως προς την ορθότητά του; Περιέχεται τέτοια διδακτέα ύλη στα σχολεία ή έχεις ανταμώσει πουθενά στην παγκόσμια βιβλιογραφία εξαίρεση της ορθότητας του πυθαγορείου πλην της γεωμετρίας του Ρίμαν;

[quote]Demetres
Λες

"Στον R όλα είναι προτάσεις και τα αξιώματα τα οποία τον καλύπτουν είναι του Ευκλείδειου επιπέδου που υποκρύπτονται στον R."

Ακόμη δεν είμαι σίγουρος τι θες να πεις. Παραθέτεις απόσπασμα από ένα βιβλίου του κυρίου Πάμφιλου. Από αυτά που λέει ο κύριος Πάμφιλος εγώ καταλαβαίνω

"Στο R^2 όλα είναι προτάσεις και τα αξιώματα τα οποία το καλύπτουν είναι τα αξιώματα του R. Τα αξιώματα του R συνεπάγονται τα αξιώματα του Ευκλείδειου επιπέδου."

Συμφωνώ μ'αυτά που λέει ο κύριος Πάμφιλος θα πρόσθετα μάλιστα ώς διευκρίνηση (Δική μου διευκρίνηση. Δεν ξέρω αν την υιοθετεί ο κύριος Πάμφιλος αλλά νομίζω πως την υιοθετεί η πλειοψηφεία των μαθηματικών)

"Στο R^2 όλα είναι προτάσεις και τα αξιώματα τα οποία το καλύπτουν είναι τα αξιώματα του R. Τα αξιώματα του R συνεπάγονται τα αξιώματα του Ευκλείδειου επιπέδου, χωρίς να παρουσιάζονται οι ασάφειες που υπάρχουν στα Στοιχεία"[/quote]

Δηλαδή ο κύριος Πάμφιλος ξέχασε να γράψει ότι στον R υπάρχουν αξιώματα και τον συμπληρώνεις εσύ φίλε μου; Μα δεν βλέπεις που λέει ότι τα αξιώματα [b]απουσιάζουν[/b]; Αν όμως επιμένεις τι θέλεις να κάνω; Να διαβάσω όπως διαβάζεις εσύ το κείμενο ή όπως το διατυπώνει ο κύριος Πάμφιλος; Μπορείς να μου αναφέρεις τα αξιώματα του R τα οποία συνεπάγονται τα ευκλείδεια αξιώματα;

Να είσαι καλά.

[quote="stergiu"][quote="nemenala"]Αγαπητέ Μπάμπη πραγματικά χαίρομαι που με αντιμετωπίζεις πλέον σαν ένα συνομιλητή, που πριν το τελευταίο μου μήνυμα δεν το έκανες, όσο και το ότι έχεις την Ευκλείδεια γεωμετρία του κυρίου Πάμφιλου. Αυτό είναι κάτι για μένα και ας μη λέει τίποτα για σένα. Δεν έχουμε να χωρίσουμε, αλλά να δώσει ο ένας στον άλλον και να πάρει ότι κρίνει άξιο λόγου να κρατηθεί. ΣΥΖΗΤΑΜΕ και δεν υπάρχει λόγος να μαλώνουμε. Θέλεις να δεχθώ ότι ξέρεις περισσότερα μαθηματικά από μένα; Να το δεχθώ. Όμως μη με θεωρείς και τελείως άσχετο. Κάτι ξέρω κι εγώ.

[quote]Stergiou
Μπορεί να κάνω λάθος , αλλά εγώ από τη διαπίστωση αυτή του κ-ου Παμφίλου(έχω τη γεωμετρία του!) καταλαβαίνω ότι το ευκλείδειο επίπεδο δανίζεται τα αξιώματα του IR και όχι τι αντίστροφο.
[/quote]
Αυτό φίλε Μπάμπη είναι τελείως αδύνατο να συμβαίνει. Δεν μπορεί να δανείζεται ο προγενέστερος από τον μεταγενέστερο. Τι να δανειστεί ο Ευκλείδης από τον R; Ζούσε ο Ευκλείδης όταν θεμελιώθηκαν τα σύγχρονα μαθηματικά, ώστε να μπορεί να δανειστεί από αυτά; Στο τέλος θα πούμε δηλαδή ότι ο Ευκλείδης διατύπωσε το αξιωματικό του σύστημα από τον Χίλμπερτ ή ότι πίνανε μαζί καφέ στο Βερολίνο; Το ορθό είναι ότι ο Χίλμπερτ τυποποίησε αλλιώς το ευκλείδειο αξιωματικό σύστημα και ο R εμπεριέχει σε αφανή διέγερση τα ευκλείδεια αξιώματα. Δεν μπορούμε να τουμπάρουμε το χρόνο και να θεωρήσουμε τον Ευκλείδη δανειολήπτη των σύγχρονων μαθηματικών.
Εξάλλου όπως βλέπεις και ο κύριος Πάμφιλος αυτό ακριβώς λέει. Στην Ανάλυση δεν υπάρχουν αξιώματα αλλά μόνο προτάσεις. Ποια αξιώματα θα δανειστή το ευκλείδειο αξιωματικό σύστημα από την Ανάλυση;
Παρανόηση λοιπόν και την ξεπερνάμε.

[quote]Stergiou
Δεν λέω ότι ενστερνίζομαι ακριβώς αυτή τη θέση, αλλά τελικά η σύνδεση του IR και της ευθείας έγινε με φυσικό τρόπο, ώστε να μπορεί να εισαχθεί η έννοια της συνέχειας (αυτός είναι ο λογος της ομάδας αξιωμάτων που πρόεινε ο hilbert) και οι άλλες σχετικές έννοιες (του κυβωτισμού -θεώρημα Baire σε απλή μορφή κλπ ).
Κατά τα άλλα δε θέλω να δώσω καμιά υπερφυσική υπόσταση ούτε στην ευκλείδεια γεωμετρία , ούτε στην κατασκευή του IR ούτε να θεοποιήσω κάπτι από τα δύο . Όλα έγιναν από την ανάγκη να αντιμετωπιστούν τα μαθηματικά ως μιας εννιαία οντότητα, να συνδεθεί στο μέτρο του δυνατού η εποπτεία με την αξιωματική θεμελίωση των μαθηματικών κλάδων και να αποφευχθούν τα μαθηματικά παράδοξα. [/quote]

Έτσι ακριβώς έχει γίνει. Συμφωνώ απόλυτα. Όμως η εξυπηρέτηση της ανάγκης να αντιμετωπισθούν τα μαθηματικά σαν μία ενιαία οντότητα, δεν μπορεί να γίνει με κάθε θυσία και κάθε μέσον όπως λέει ο Χίλμπερτ για τη θεωρία συνόλων. Γεμίζουμε την καρδάρα γάλα και μετά την χύνουμε στο βωμό του «με κάθε μέσον». Από τα μαθηματικά το ορθό είναι να παίρνουμε ότι μας δίνουν και όχι το επιθυμητό όταν αυτό υπερβαίνει τις μαθηματικές δυνατότητες. Π.χ. η αντιστοίχηση του R με τα σημεία μιας ευθείας ένα προς ένα και επί. Δεν είναι θέμα μας, αλλά όταν δοθεί η ευκαιρία αργότερα ίσως, το συζητάμε. Γι αυτό τα μαθηματικά έχουν γίνει σαν τον χριστιανισμό, με πολλές "αιρέσεις" από την ύπαρξη πολλών αξιωματικών συστημάτων, που το καθένα υποστηρίζει τη δική του αλήθεια, ενώ η αλήθεια είναι μία.

[quote]Stergiou
Από τα λίγα που ξέρω νομίζω ότι αυτή η δουλειά έγινε με μεγάλη προσπάθεια , κυρίως από του Peano, Dedekind, Hilbert (σίγουρα αδικώ και άλλους πολλούς που δεν τους αναφέρω) και στέφτηκε τελικά από επιτυχία. Από δω και πέρα δεν είμαι σε θέση να γνωρίζω κατά πόσο πάσχουν τα θεμέλια των μαθηματικών (πέρα από το θεώρημα της μη πληρότητας) και κυρίως αν όλα αυτά που κάνουμε είναι τελικά ένα παιγνίδι παραλόγου. [/quote]

Σε βεβαιώνω ότι είναι παιχνίδι παράλογου. Θεμέλια των μαθηματικών (όπως είδες), δηλαδή από άποψη αξιωματική είναι τα ευκλείδεια μαθηματικά. Το σύστημα δεν πάσχει παρά μόνο επειδή περιέχει αποδεδειγμένο από τον Ευκλείδη μετασχηματιστικά το πυθαγόρειο. Αυτό είναι το διαχρονικό σφάλμα που διαποτίζει με αντιφάσεις και παράδοξα τα μαθηματικά, αρχαία και σύγχρονα (παράδοξο του Ζήνωνα λ.χ.). Αν το πυθαγόρειο π.χ. δεχθεί εσφαλμένο φίλε Μπάμπη, πάει ο R, διότι πάνε στη λήθη τα άρρητα σχηματικά μεγέθη (όπως είναι η τετραγωνική ρίζα του 2) και οι εξ αυτών άρρητοι αριθμοί. Χωρίς τα άρρητα οι πραγματικοί θα εμφανίζουν κενά. Για αυτό ρωτάω αν προβλέπονται εξαιρέσεις περί το πυθαγόρειο και επικαλούμαι το ότι δεν μπορεί ένα θεώρημα στο ίδιο αξιωματικό σύστημα να είναι συγχρόνως και ορθό και ψευδές. Δεν παραλογίζομαι και έχω τους λόγους μου να είσαι βέβαιος.

[quote]Stergiou
Για την ώρα δέχομαι τα πράγματα όπως τα έχουν τακτοποιήσει οι μεγάλοι μύστες των μαθηματικών, μια και δεν μπορώ να εισηγηθώ κάτι πιο ορθό. [/quote]

Και καλά κάνεις. Αν δεν κάνεις έτσι εδώ που τα λέμε θα πάρεις κουλούρα στη σχολή ή δεν θα πάρεις πτυχίο. Αυτός είναι ο εκβιασμός περί την ορθότητα και η σύγχρονη αναγνώριση ιερών τεράτων ή μυστών περί τα μαθηματικά. Όλοι απλοί άνθρωποι ήτανε και όλοι απλοί άνθρωποι είμαστε με πρόσβαση στο σφάλμα., από τον Ευκλείδη μέχρι τον τελευταίο νομπελίστα των μαθηματικών επειδή λειτουργούν με την ευφυΐα τους και υπηρετούν το διαχρονικό σφάλμα που λέγεται πυθαγόρειο θεώρημα. Δεν είναι δα το πλέον περίεργο πράγμα να κάνει λάθος ο οποιοσδήποτε άνθρωπος. Δεν υπάρχουν θεοί στα μαθηματικά φίλε Μπάμπη. Μόνος θεός είναι τα αξιώματα.

[quote]Stergiou
Την άποψή σου για το Πυθαγόρεια θεώρημα θα ήθελα να την γράψεις πιο διεξοδικά. [/quote]

Ασφαλώς και δεν έχω θέσει το ερώτημα αν προβλέπονται εξαιρέσεις στο πυθαγόρειο για να κάνω εντύπωση. Έχω τους λόγους μου. Έχετε υποχρέωση να γνωρίζετε σαν διάκονοι ή υποψήφιοι διάκονοι των μαθηματικών την απάντηση. Δώστε μου την απάντηση και θα εκθέσω τους ισχυρισμούς μου. Αυτή είναι η ορθή διαδικασία. Μάθατε σαν μαθητές, φοιτητές ή καθηγητές ή ακούσατε ποτέ (με εξαίρεση την περίπτωση Ρίμαν) να προβλέπονται εξαιρέσεις στην ορθότητα του πυθαγορείου τόσα χρόνια ασχολούμενοι με τα μαθηματικά; Αν ακούσατε ή διδαχθήκατε και μάθατε κάτι τέτοιο, θα πρέπει να μου πείτε που το ακούσατε ή το διδαχθήκατε και που ευρίσκεται αυτή η γνώση περί το πυθαγόρειο στην διδακτέα ύλη στα σχολεία ή στην παγκόσμια βιβλιογραφία των μαθηματικών. Είναι στοιχειώδες αίτημα και σε παρακαλώ να το κατανοήσεις.

[code]Stergiou
Δεν θεωρείς δηλαδή ότι είναι θεώρημα της ευκλείδειας γεωμετρίας, όπως την σκέφτηκε ο Ευκλείδης και γιατί;. Και αν είναι έτσι , τι μας ανάγκασε να το «δεχτούμε» ως τέτοιο ;[/code]

Το πυθαγόρειο χρονολογείται 200 χρόνια πριν τον Ευκλείδη τουλάχιστον αν δεχθούμε την πατρότητά του από τον Πυθαγόρα. Επομένως είναι εμβόλιμο στην Ευκλείδεια γεωμετρία και δυστυχώς το απέδειξε και ο ίδιος ο Ευκλείδης παραβιάζοντας το ίδιο του το αξιωματικό σύστημα.
Τώρα γιατί το δεχθήκαμε είναι απλό: Δεν το πήραν χαμπάρι όλοι αυτοί που εσύ τους αποκαλείς μύστες των μαθηματικών. Αυτό βέβαια μπορώ να το αποδείξω μέσα σε λίγα λεπτά, αλλά δεν μπορώ να παραθέσω τους ισχυρισμούς κι εσείς να έχετε επιφυλαχθεί να πάτε και με το αστυφύλαξ και με το χωροφύλαξ. Θέλω απάντηση στο ερώτημά μου πρώτα.

[quote]Stergiou
Σε αυτά τα ερωτήματα έχει νόημα να μας πεις τις σκέψεις σου και θα σε ακούσουμε με προσοχή. [/quote]
Καμία αντίρρηση. Πάρτε θέση να ξέρω τι πιστεύετε από όσα γνωρίζετε σχετικά (τουλάχιστον) και δεν θα έχω κανένα λόγο μετά να μην πως τις σκέψεις μου. Εξάλλου αυτές τις σκέψεις (που με καθιστούν ενοχλητικό στους περισσότερους) μπήκα στο φόρουμ να τις συζητήσουμε μαζί.

[quote]Stergiou
Το αν διαφωνούμε είναι άλλη υπόθεση! [/quote]

Άσε πρώτα φίλε Μπάμπη να διαπιστώσουμε ότι διαφωνούμε και μετά τακτοποιούμε την όλη υπόθεση. Έχω την άποψη ότι δεν θα διαφωνήσουμε στο τέλος…

Να είσαι καλά.[/quote][/quote]

 [b]ΣΧΟΛΙΟ[/b]

 Μου έκανε και μένα εντύπωση αυτό το

[color=blue][b]''.... Π.χ. για το R^2 τα αντίστοιχα αξιώματα είναι αυτά του R, τα οποία συνεπάγονται τα αξιώματα του Ευκλειδείου επιπέδου '' που γράφει ο κύριος Πάμφιλος,[/b][/color]
 για αυτό έγραψα ότι δεν το ενστερνίζομαι !Όπως το γράφει όμως είναι και οι δύο ερμηνείες ανοιχτές :

  [b]α) [/b]''τα  αξιώματα είναι αυτά του R, τα οποία συνεπάγονται τα αξιώματα του Ευκλειδείου επιπέδου ''.
 Αυτό σημείνει ότι το IR δίνει τα αξιώματα στο ευκλείδειο επίπεδο (!!!)
  [b] β)[/b] ''τα  αξιώματα είναι αυτά του R, τα οποία συνεπάγονται τα αξιώματα του Ευκλειδείου επιπέδου ''.
  Μάλλον θα έπρεπε να γράφει : ''  ''τα  αξιώματα είναι αυτά του R, τα οποία συνεπάγονται  [color=red][b]ΑΠΟ [/b][/color] τα αξιώματα του Ευκλειδείου επιπέδου ''.
 Αλλά δεν είμαι σίγουρος για τη συντακτική και γραμματική χρήση του '' συνεπάγομαι'' , οπότε αντιπαρέρχομαι τη στιγμιαία σύγχιση.

 Τέλος πάντων , τώρα έχουμε καταλήξει σε κάτι κοινό. Και γω έτσι φρονώ: [color=blue][b]τα μαθηματικά πηγαίνουν ιστορικά  από το απλό στο σύνθετο , από το μερικό στο γενικό και από το εποπτικό στο αφηρημένο ![/b][/color].
 Αλλά πάλι , αυτό δε σημαίνει ότι πάντα το παλιότερο είναι το ορθότερο και το απλούστερο , ενώ το νέο είναι δύσκολο και απροσπέλαστο.
 Αυτά ! Το μήνυμα το έγραψα από το ΚΤΕΟ, την ώρα που περνούσα το αυτοκίνητο από έλεγχο. Πρέπει να φύγω.
  Η κουβέντα , αν συνεχιστεί , να είναι πολιτισμένη με όλα τα μέλη .
 Σε ευχαριστώ που άφησες το χώρο των ολυμπιάδων καθαρό από θεωρητικές κουβέντες , ώστε να μην αποσυντονίζουμε τους μαθητές μας , που έχουν τεράστιο αγώνα μπροστά τους και αυτά που λέμε εδώ τους φαίνονται(ίσως και να είναι) βλακείες.
  Αλλά με την ευκαιρία , να σε ρωτήσω κάτι : αυτές σου τις μελέτες τις έχεις γράψει  σε κάποιο επιστημονικό περιοδικό ή τις έχεις ανακοινώσει ίσως σε κάποιο συνέδριο μαθηματικών ; Όχι ότι είναι απαραίτητο, αλλά θα ήθελα να δω τι απαντούν οι πιο ειδικοί από μένα που είμαι σχεδόν ξεκομένος από τη σύγχρονη προβληματική και έρευνα στην ιστορία των μαθηματικών.
 Σας χαιρετώ όλους -
 Μπάμπης

[quote]r_boris
Σύντροφε Ναιμεναλλά
Λες πριν
Αυτό που κατάλαβες «ότι κάτι παίζεται» με το πυθαγόρειο είναι ορθό. Για το λόγο αυτό ο durandal κάνει τον πολίτη της Λαϊκής Δημοκρατίας της Κίνας. Το παιδί αυτό έχει γνώσεις, έχει εντυπωσιάσει στο φόρουμ και δεν μπορεί τώρα να εκτεθεί. Τον κατανοώ και δεν έχω κάτι εναντίον του. Μάλλον δεν με απασχολεί πλέον σε τέλεια αναλογία με τη στάση του.
Σε πληροφορώ ότι οι Κινέζοι ήρθαν 1οι στην Ολυμπιάδα Μαθηματικών[/quote]

Αυτό πως σχετίζεται με το αν το πυθαγόρειο είναι ορθό ή ψευδές; Και βέβαια δεν φταίνε οι μαθητές και οι φοιτητές. Το βραβείο το παίρνουν οι Κινέζοι ή οι Πακιστανοί ή οι Ισπανοί κ.τ.λ. μόνο όταν οι επιδόσεις τους είναι σύμφωνες με την διδακτέα ύλη. Εγώ αυτή αμφισβητώ. Μπράβο λοιπόν στους Κινέζους ή όποιους άλλους διαγωνιζόμενους που εναρμονίζονται με τις διδαχές και αν δεν εναρμονισθούν θα πάρουν κουλούρα. Αυτό προσομοιάζει με δήλωση νομιμοφροσύνης και περί πολιτικών φρονημάτων. Μήπως οι εξεταστές που βραβεύουν ξέρουν κάτι άλλο από αυτό που διδάσκουν; Μπράβο λοιπόν και στον φίλο Παναγιώτη, αλλά αυτό δεν σημαίνει ότι δεν κάνει αυτό που είπα σε σχέση με μένα που έχω άλλη θεώρηση των πραγμάτων (που δεν απαγορεύεται). Τι να πει τώρα το παιδί; Τον ρωτάω αν προβλέπονται εξαιρέσεις στην ορθότητα του πυθαγορείου είτε από την διδακτέα ύλη, είτε από την παγκόσμια μαθηματική βιβλιογραφία και δεν γνωρίζει ο αριστούχος να απαντήσει;
Δεκτή και η δική σου απάντηση επί αυτού του θέματος, αφού θεωρείς ότι τον μειώνω. Αφού έχεις δει το ερώτημα γιατί δεν απαντάς; Το θεωρείς εύκολο ή δεν είναι ούτε του δικού σου επιπέδου η ερώτηση όπως δεν είναι και του Παναγιώτη; Σε παρακαλώ λοιπόν μη τα βάζεις μαζί μου χωρίς λόγο. Έχω σοβαρή αιτία που τον χαρακτηρίζω έτσι όπως τον χαρακτηρίζω και ειλικρινά λυπάμαι που το κάνω, αλλά αυτό ακριβώς κάνει.

[quote]r_boris
Οσο για το ταλέντο και τις γνώσεις του Παναγιώτη άσε να κρίνουμε εμείς οι παλιότεροι καθηγητές του και τωρινοί φίλοι του.Ξέρουμε καλύτερα [/quote]

Συμφωνώ αλλά μόνο για τον Παναγιώτη. Όχι τα μαθηματικά. Σε αυτά υστερείτε και απόδειξη είναι ότι δεν απαντάει κανένας αν προβλέπονται εξαιρέσεις περί το πυθαγόρειο.

[quote]r_boris
Ακόμη μια πληροφορία. Ο Παναγιώτης δεν έκανε καμία προσπάθεια εντυπωσιαιασμού ναι μεν εντυυπωσίασαν εσένα οι γνώσεις του αλλά μάλλον φαίνεται χωρίς να του το αναγνωρίζεις [/quote]

Σε αυτό έχεις δίκιο. Ειλικρινά εντυπωσιάστηκα από τις γνώσεις του (γνωρίζοντας τι και ποιος είναι - με πληροφόρησαν με προσωπικά μηνύματα χωρίς να το ζητήσω), αλλά δεν έχεις δίκιο όταν λες ότι δεν του το αναγνωρίζω. Ίσα - ίσα που είπα "αυτό το παιδί έχει γνώσεις". Τι άλλο να πω δηλαδή για να μη πεις ότι δεν του το αναγνωρίζω. Επειδή λοιπόν έχει γνώσεις έγινα αιχμηρός απέναντί του ώστε να μου απαντήσει. Φρονώ ότι δεν το κάνει επειδή δεν ξέρει τι να απαντήσει, όπως κι εσύ αγαπητέ φίλε που βλέπεις και δεν παίρνεις θέση. Άνθρωποι είμαστε και συζητάμε. Δεν παίρνουμε κεφάλια!
Εσύ σαν καθηγητής τι άποψη έχεις περί των εξαιρέσεων που αναφέρω;
Δες πως γίνομαι προφήτης επί του ασφαλούς.
Ή δεν θα μου απαντήσεις ή θα μου απαντήσεις, αλλά όχι σε αυτό που σε ρωτάω.
Σε κάθε περίπτωση αν θεωρεί ο Παναγιώτης ότι τον έθιξα του ζητώ συγγνώμη και δεν είναι ανάγκη καμία να μου απαντήσει. Τώρα δεν την χρειάζομαι την απάντησή του γιατί έχω εσένα που είσαι και καθηγητής σύντροφε...

Να είσαστε όλοι καλά.

ΥΓ: Επειδή και αυτή η ευχή έχει παρεξηγηθεί εδώ μέσα, σας γνωρίζω ότι την λέω επειδή έχω εμπειρία από το τι σημαίνει να στερείσαι την υγεία σου.

[quote]stergiu
ΣΧΟΛΙΟ

Μου έκανε και μένα εντύπωση αυτό το

''.... Π.χ. για το R^2 τα αντίστοιχα αξιώματα είναι αυτά του R, τα οποία συνεπάγονται τα αξιώματα του Ευκλειδείου επιπέδου '' που γράφει ο κύριος Πάμφιλος,
για αυτό έγραψα ότι δεν το ενστερνίζομαι !Όπως το γράφει όμως είναι και οι δύο ερμηνείες ανοιχτές :

α) ''τα αξιώματα είναι αυτά του R, τα οποία συνεπάγονται τα αξιώματα του Ευκλειδείου επιπέδου ''.
Αυτό σημείνει ότι το IR δίνει τα αξιώματα στο ευκλείδειο επίπεδο (!!!)
β) ''τα αξιώματα είναι αυτά του R, τα οποία συνεπάγονται τα αξιώματα του Ευκλειδείου επιπέδου ''.
[b][color=blue]Μάλλον θα έπρεπε να γράφει : ''  ''τα  αξιώματα είναι αυτά του R, τα οποία συνεπάγονται ΑΠΟ τα αξιώματα του Ευκλειδείου επιπέδου ''.[/color][/b]
Αλλά δεν είμαι σίγουρος για τη συντακτική και γραμματική χρήση του '' συνεπάγομαι'' , οπότε αντιπαρέρχομαι τη στιγμιαία σύγχιση.[/quote]

Το θέμα φρονώ δεν χρήζει περαιτέρω συζήτησης. Όποιος έχει αμφιβολίες ας διατυπώσει τα αξιώματα του R τα οποία δανείστηκε ο Ευκλείδης!!! .

[quote]stergiu
Τέλος πάντων , τώρα έχουμε καταλήξει σε κάτι κοινό. Και γω έτσι φρονώ: τα μαθηματικά πηγαίνουν ιστορικά από το απλό στο σύνθετο , από το μερικό στο γενικό και από το εποπτικό στο αφηρημένο !.
Αλλά πάλι , αυτό δε σημαίνει ότι πάντα το παλιότερο είναι το ορθότερο και το απλούστερο , ενώ το νέο είναι δύσκολο και απροσπέλαστο.
Αυτά ! Το μήνυμα το έγραψα από το ΚΤΕΟ, την ώρα που περνούσα το αυτοκίνητο από έλεγχο. Πρέπει να φύγω.
Η κουβέντα , αν συνεχιστεί , να είναι πολιτισμένη με όλα τα μέλη .
Σε ευχαριστώ που άφησες το χώρο των ολυμπιάδων καθαρό από θεωρητικές κουβέντες , ώστε να μην αποσυντονίζουμε τους μαθητές μας , που έχουν τεράστιο αγώνα μπροστά τους και αυτά που λέμε εδώ τους φαίνονται(ίσως και να είναι) βλακείες.[/quote]

Ίσως δεν είναι και τόσο βλακείες.

[quote]stergiu
Αλλά με την ευκαιρία , να σε ρωτήσω κάτι : αυτές σου τις μελέτες τις έχεις γράψει σε κάποιο επιστημονικό περιοδικό ή τις έχεις ανακοινώσει ίσως σε κάποιο συνέδριο μαθηματικών ; Όχι ότι είναι απαραίτητο, αλλά θα ήθελα να δω τι απαντούν οι πιο ειδικοί από μένα που είμαι σχεδόν ξεκομμένος από τη σύγχρονη προβληματική και έρευνα στην ιστορία των μαθηματικών.[/quote]

Στο πλέον επίσημο. Αλλά δεν απαντάτε περί το πυθαγόρειο και τις εξαιρέσεις να δεις ότι όσα συζητάμε δεν είναι βλακείες φίλε Μπάμπη...

Να είσαι καλά και να οδηγείς προσεκτικά.

Για τα πυθαγόρειο νομίζω είχα εξηγήσει σε προηγούμενα post τι πιστεύω αλλά να τα ξαναπώ (Ελπίζω με περισσότερη σαφήνεια)

Σωστά λες ότι η πατρότητα του Πυθαγορείου αμφισβητείται. Να προσθέσω ότι οι Κινέζοι γνώριζαν το "Πυθαγόρειο"  από το 2000 π.Χ. χωρίς όμως να προσπαθήσουν να δώσουν κάποια απόδειξη. Η μάλλον (lack of evidence is no evidence of lack) δεν έχουμε ενδείξεις ότι προσπάθησαν να κάνουν κάτι τέτοιο. Το ίδιο και για τους Βαβυλωνίους και για τους Αιγυπτίους.

Πάμε στην απόδειξη του Ευκλείδη. Όπως έχω πει σε προηγούμενο post, δέχομαι ότι κακώς ο Ευκλείδης δεν έβαλε ως κοινές έννοιες τα
1) "Τα δε των ίσων διπλάσια, ίσα αλλήλοις εστίν"
2) "τα δε των ίσων ημίση, ίσα αλλήλοις εστί"
Όφειλε να το κάνει και δεν το έκανε. Χωρίς αυτά η απόδειξη του είναι ελλειπής. Γνώμη μου είναι ότι αυτό δεν δημιουργεί κανένα πρόβλημα. Εσύ λές τα αξιώματα είναι Θεός απαγορεύεται να τα διορθώσουμε, να προσθέσουμε νέα, να αφαιρέσουμε παλιά. (Διόρθωσέ με αν κάνω λάθος) Εγώ λέω ότι επιτρέπεται να το κάνουμε. Γι'αυτό άλλωστε και μελετητές των Στοιχείων πρόσθεσαν τα (1) και (2) ως επεξηγήσεις στις αποδείξεις των θεωρημάτων όταν αυτά χρειάζονταν.

Για το "διαχρονικά" δεν είμαι σίγουρος τι ακριβώς θες να πεις. Ούτε γιατί ανεφέρεις την Γεωμετρία του Riemann  μπορώ να καταλάβω. Συμφωνούμε φαντάζομαι ότι δεν ισχύει το πυθαγόρειο σ'αυτήν την γεωμετρία. Εγώ προσθέτω πως δεν ισχύει για παράδειγμα στην σφαιρική γεωμετρία, στις πεπερασμένες γεωμετρίες και σε γεωμετρίες σε μή αρχημίδεια σώματα όπως π.χ. σε γεωμετρίες στος π-αδικούς αριθμούς. Ίσως να μην ισχύει και σε άλλες γεωμετρίες που δεν έχω υπόψη μου.

Eλπίζω να σε κάλυψα.

Για την παράθεση από τον κύριο Πάμφιλο. Εγώ διαβάζω ότι τα αξιώματα απουσιάζουν από το R^2 και όχι από το R. Δυστυχώς δεν είναι εδώ ο ίδιος να μας εξηγήσει τι ήθελε να πει. Διαβάζω πάντως από την πρώτη παράγραφο του 2ου κεφαλαίου της Γεωμετρίας του "Τέλος, οι πραγματικοί αριθμοί R, που προκύπτουν ως όρια ακολουθιών ρητών αριθμών". Αυτήν την κατασκευή του R από το Q (μέσω ZF) την δέχεσαι ή όχι;

Φυσικά δεν είναι ανάγκη να κατασκευάσω το R από το Q (μέσω ZF). Μπορώ να ορίσω την θεωρία του R ώς εξης:

1) Αξιώματα σωμάτων
2) Αξιώματα διάταξης
3) Αξίωμα πληρότητας: Για κάθε μη κενό υποσύνολο Χ, υπάρχει ψ ώστε
3α) ψ >= χ για κάθε χ στο Χ
3β) Αν ψ' >= χ για κάθε χ στο Χ, τότε ψ'=ψ.

Ελπίζω να με συγχωρέσεις εάν έχω ξεχάσει να γράψω κάποιο αξίωμα και να μου επιτρέψεις να το προσθέσω αργότερα.

Να προσθέσω ότι στο R η αρχή του Αρχιμήδη είναι θεώρημα. Γιατί δεν συμφωνεί αυτό με την θεωρία μέτρου δεν μπορώ να το καταλάβω. Πρώτα απ' όλα, η θεωρία μέτρου μπορεί να εφαρμοστεί σε οποιοδήποτε σύνολο. Ούτε για εφαρμογές μιλάει, ούτε για επιθέσεις, ούτε για αρχές του Αρχιμήδη. Αν τώρα εφαρμόσουμε την θεωρία μέτρου στο R, ίσως να θέλεις να μου πεις πως υπάρχει κάποιο πρόβλημα. Εγώ δεν βλέπω κανένα πρόβλημα αλλά αν δεν συμφωνήσουμε στο R, δεν θα βγάλουμε άκρη ούτε σε αυτό. Ίσως βέβαι να θες να εφαρμόσεις θεωρία μέτρο σε κάποιο άλλο σώμα στο οποίo δεν ισχύει η αρχή του Αρχιμήδη. Δεν είμαι σίγουρος.

Συγνώμη αν σε έχω στεναχωρήσει σχετικά με το πρόβλημα υγείας που αναφέρθηκες. Σου εύχομαι λοιπόν πρώτα από όλα καλή υγεία και μετά καλή πρόοδο.

[quote]Demetres
Πάμε στην απόδειξη του Ευκλείδη. Όπως έχω πει σε προηγούμενο post, δέχομαι ότι κακώς ο Ευκλείδης δεν έβαλε ως κοινές έννοιες τα
1) "Τα δε των ίσων διπλάσια, ίσα αλλήλοις εστίν"
2) "τα δε των ίσων ημίση, ίσα αλλήλοις εστί"
Όφειλε να το κάνει και δεν το έκανε. Χωρίς αυτά η απόδειξη του είναι ελλειπής. Γνώμη μου είναι ότι αυτό δεν δημιουργεί κανένα πρόβλημα. Εσύ λές τα αξιώματα είναι Θεός απαγορεύεται να τα διορθώσουμε, να προσθέσουμε νέα, να αφαιρέσουμε παλιά. (Διόρθωσέ με αν κάνω λάθος) Εγώ λέω ότι επιτρέπεται να το κάνουμε. Γι'αυτό άλλωστε και μελετητές των Στοιχείων πρόσθεσαν τα (1) και (2) ως επεξηγήσεις στις αποδείξεις των θεωρημάτων όταν αυτά χρειάζονταν. [/quote]

Φίλε Δημήτρη δεν προβλέπονται αξιωματικά ακέραια διπλάσια ή πολλαπλάσια της μονάδας (θέμα: Μέσο και Μισό), επομένως ούτε και μισά της μονάδας, τουλάχιστον μέχρι την εποχή του Χίλμπερτ. Μόνο από το πυθαγόρειο συνάγουμε την ύπαρξη ακέραιου πολλαπλασίου της μονάδα ή μέρη της μονάδας. Αλλά το πυθαγόρειο είναι εσφαλμένο.
Ο Ευκλείδης καλά δεν πρόσθεσε τα αξιώματά σου, διότι δεν αποδεικνύονται και προς τούτο και οι Αρχιμήδης - Εύδοξος δεν "αναβάθμισαν" την αποδεικτή αξία της αρχής τους σε αξίωμα. Κάτι που έκανε σχεδόν σήμερα ο Χίλμπερτ.
Λέω ότι τα αξιώματα δεν μπορούμε να τα διορθώσουμε διότι δεν χρήζουν απόδειξης ώστε να διαπιστώσουμε αν είναι λάθος.
Δεν λέω ότι δεν μπορούμε να προσθέσουμε νέα δημιουργώντας νέα αξιωματικά συστήματα. Άλλο το ένα, άλλο το άλλο και απόδειξη ότι αυτό ακριβώς γίνεται μέχρι σήμερα από την εποχή του Ντε Καρτ και Φερμά.
Τώρα σε ότι αφορά τον R δεν έχεις παρά να παραθέσεις τα αξιώματά του.
Να είσαι καλά.

[quote="nemenala"][quote]stergiu
ΣΧΟΛΙΟ

Μου έκανε και μένα εντύπωση αυτό το

''.... Π.χ. για το R^2 τα αντίστοιχα αξιώματα είναι αυτά του R, τα οποία συνεπάγονται τα αξιώματα του Ευκλειδείου επιπέδου '' που γράφει ο κύριος Πάμφιλος,
για αυτό έγραψα ότι δεν το ενστερνίζομαι !Όπως το γράφει όμως είναι και οι δύο ερμηνείες ανοιχτές :

α) ''τα αξιώματα είναι αυτά του R, τα οποία συνεπάγονται τα αξιώματα του Ευκλειδείου επιπέδου ''.
Αυτό σημείνει ότι το IR δίνει τα αξιώματα στο ευκλείδειο επίπεδο (!!!)
β) ''τα αξιώματα είναι αυτά του R, τα οποία συνεπάγονται τα αξιώματα του Ευκλειδείου επιπέδου ''.
[b][color=blue]Μάλλον θα έπρεπε να γράφει : ''  ''τα  αξιώματα είναι αυτά του R, τα οποία συνεπάγονται ΑΠΟ τα αξιώματα του Ευκλειδείου επιπέδου ''.[/color][/b]
Αλλά δεν είμαι σίγουρος για τη συντακτική και γραμματική χρήση του '' συνεπάγομαι'' , οπότε αντιπαρέρχομαι τη στιγμιαία σύγχιση.[/quote]

Το θέμα φρονώ δεν χρήζει περαιτέρω συζήτησης. Όποιος έχει αμφιβολίες ας διατυπώσει τα αξιώματα του R τα οποία δανείστηκε ο Ευκλείδης!!! .

[/quote]

Το κείμενο με το βαθύ μπλε το διόρθωσα διότι την πρώτη φορά μέσα στη βιασύνη έβαλα σε λάθος θέση τη λέξη ΑΠΟ.

 Sorry  για την συντακτική αυτή ταλαιπωρία, διότι αλλάζει τελείως το νόημα. Με άλλα λόγια ,δηλαδή,  πιστεύω ότι αφορμή για τη σωστή θεμελίωση του IR αλλά για την σωστή τακτοποίση του ίδιου του ευκλείδειου επιπέδου -εκ των υστέρων- ήταν η ευκλείδεια γεωμετρία, όπως την διατύπωσε ο ιδρυτής της αλλά και την επεξεργάστηκαν οι μεταγενέστεροι.

 Ένα βέβαια μεγάλο ερώτημα είναι η ουσία και η φύση του εμβαδού στο αξιωματικό σύστημα του Ευκλείδη(με τις αδυναμίες ή τις παραλλείψεις έστω) , αλλά αυτό είναι άλλο μεγάλο ζήτημα.

 Μάλλον [color=red][b]η κουβέντα πρέπει να γίνει σε άλλο δυκτιακό τόπο με θέμα την ιστορία των μαθηματικών και την εξέλιξη των μαθηματικών ιδεών , παρά εδώ που είναι χώρος κυρίως ολυμπιακός [/b][/color]με την ευρεία έννοια , αλλά και φοιτητικός. Σκεφτείτε ότι και το λυκειακό τμήμα είναι πολύ μικρό μπροστά στο ολυμπιακό.

Μπάμπης

Τώρα τα λες πολύ πιο σωστά σχετικά με τον R και χαίρομαι φίλε Μπάμπη.

[quote]stergiu
Ένα βέβαια μεγάλο ερώτημα είναι η ουσία και η φύση του εμβαδού στο αξιωματικό σύστημα του Ευκλείδη (με τις αδυναμίες ή τις παραλλείψεις έστω), αλλά αυτό είναι άλλο μεγάλο ζήτημα. [/quote]

Φίλε Μπάμπη ο Ευκλείδης ούτε καν αναφέρει στα Στοιχεία του τη λέξη εμβαδόν. Ούτε μέτρα χρησιμοποιούσε ούτε εμβαδά. Τα εμβαδά είναι εμβόλιμα στην ευκλείδεια γεωμετρία και σήμερα απλά τα βρίσκουμε μέσα στα βιβλία που εμπεριέχουν και την ευκλείδεια γεωμετρία.

Παραθέτω το παρακάτω κείμενο - απόσπασμα που θα σε βοηθήσει να κατανοήσεις αυτό που λέω:

Απόσπασμα σελίδων 205-207 από το βιβλίο "Οι ιστορικές ρίζες των στοιχειωδών Μαθηματικών" των συγγραφέων Lucas N. H. Bunt - Philip S. Jones - Jack D. Bedient το οποίο διανέμεται στο μάθημα "Ιστορία των Μαθηματικών" του Μαθηματικού τμήματος στο Πανεπιστήμιο της Πάτρας.

[b][u]Διαφορά μεταξύ Ευκλείδιας και Συγχρονης μεθόδου σύγκρισης εμβαδών.
[/u]
Ο τρόπος με τον οποίο σύγκρινε ο Ευκλείδης τα εμβαδά, είναι εντελώς διαφορετικός από αυτόν, που χρησιμοποιούμε σήμερα για τον ίδιο σκοπό. Με τη σύγχρονη πραγμάτευση αυτού του θέματος το εμβαδόν ενός σχήματος (όπως και το μήκος ενός ευθυγράμμου τμήματος) δηλώνεται με έναν αριθμό.
Ο Ευκλείδης όμως, ούτε μήκη ευθυγράμμων τμημάτων δήλωνε με αριθμούς, ούτε εμβαδά σχημάτων.
Όταν ήθελε να δείξει ότι δυο σχήματα έχουν ίσα εμβαδά, αποδείκνυε ότι το ένα από αυτά μπορεί να χωριστεί σε μέρη τέτοια ώστε, αν κατάλληλα αναπροσαρμοστούν, να παράγουν το άλλο σχήμα. [/b]

Όπως βλέπεις, ο Ευκλείδης χρησιμοποιούσε απλά κανόνα και διαβήτη και έκανε μετασχηματισμούς, χωρίς αναφορές σε μήκη, εμβαδά και αριθμούς, όπως ακριβώς είναι οι διάσημες αποδείξεις που έχω παραθέσει. Για το λόγο αυτό εξάλλου τις παρέθεσα, επειδή δεν περιέχουν, μήκη, εμβαδά και αριθμούς, αλλά μόνο μετασχηματισμούς με κανόνα και διαβήτη.

Τώρα φίλε Μπάμπη σχετικά με αυτό που μου λες για την καταλληλότητα του φόρουμ. Κανένα φόρουμ δεν είναι ακατάλληλο. Αν όμως όλοι οι συνομιλητές μου (μεταξύ των οποίων περιλαμβάνεσαι) έχουν την άποψη ότι θα πρέπει για τον α ή β λόγο να αποχωρήσω (δεν θα ρωτήσω τον λόγο αρκεί να δηλώσουν ότι το επιθυμούν), ειλικρινά θα το κάνω.
Συνεννοηθείτε για την αποβολή μου, η οποία θα με πικράνει, γιατί τη βρίσκω αναιτιολόγητη, αλλά θα αποχωρήσω να μη σας χαλάσω το χατήρι. Για να μη θεωρηθεί υπερβολικό, το ΟΛΟΙ, μου αρκεί για να αποχωρήσω, [b]η δική σου επιθυμία, του durandal και του r_boris[/b]. Ελπίζω να διευκόλυνα πολύ την διέξοδο σε ένα φανερό αδιέξοδο όπου παρακολουθείτε με αμηχανία.
Να είσαστε όλοι καλά.

[quote="nemenala"] [b]η δική σου επιθυμία, του durandal και του r_boris[/b]. [/quote]

Η δική μου δεν σε ενδιαφέρει ? Για να είμαστε όλοι καλά όπως λες σε κάθε ποστ σου σταμάτα να γράφεις .

[quote="silouan"][quote="nemenala"] [b]η δική σου επιθυμία, του durandal και του r_boris[/b]. [/quote]

Η δική μου δεν σε ενδιαφέρει ? Για να είμαστε όλοι καλά σταμάτα να γράφεις .[/quote]

ego proteino na kanoume poll....na doume kai to pososto ...tha exei istoriki simasia!!!

'' Για την καλύτερη λειτουργία του φόρουμ , οι moderators σκεφτήκαμε να κλειδώσουμε όλα τα ποστ πάνω σε αυτό το θέμα , όχι διότι επιβάλλουμε λογοκρισία(δεν διαγράφουμε κανένα μήνυμα από αυτά που ήδη έχουν σταλλεί!) , αλλά διότι δεν οδηγούν τα μέλη παρά μόνο σε αδιέξοδο και σύγχιση. Στη συνέχεια , όποιο ποστ έχει αυτό το θέμα ή αντίστοιχο , θα διαγράφεται αμέσως. Η επικοινωνία για όσους θέλουν συνέχεια στο συγκεκριμένο πεδίο να γίνεται με προσωπικά μηνύματα. Φυσικά , μηνύματα που αφορούν ασκήσεις και απορίες πάνω στις ολυμπιάδες και τα μαθηματικά , είναι ευπρόσδεκτα και από τον nemenala. Δεν αποκλείουμε κανένα από το φόρουμ, έχουμε όμως ευθύνη να διαφυλλάξουμε την ομαλή λειτουργία του. Αυτή είναι η αποστολή του φόρουμ και είμαστε υποχρεωμένοι να την υπηρετήσουμε σωστά.''


Given $ a, b, c \geq\ 0.$ Prove that:
$ \sqrt[]{\frac{a\plus{}b}{b^2\plus{}4bc\plus{}c^2}} \plus{} \sqrt[]{\frac{b\plus{}c}{c^2\plus{}4ca\plus{}a^2}} \plus{} \sqrt[]{\frac{c\plus{}a}{a^2\plus{}4ab\plus{}b^2}} \geq\ \frac{3}{\sqrt[]{a\plus{}b\plus{}c}}$
 :)

[quote="nguoivn"]Given $ a, b, c \geq\ 0.$ Prove that:
$ \sqrt []{\frac {a \plus{} b}{b^2 \plus{} 4bc \plus{} c^2}} \plus{} \sqrt []{\frac {b \plus{} c}{c^2 \plus{} 4ca \plus{} a^2}} \plus{} \sqrt []{\frac {c \plus{} a}{a^2 \plus{} 4ab \plus{} b^2}} \geq\ \frac {3}{\sqrt []{a \plus{} b \plus{} c}}$
 :)[/quote]
This inequality seems to be trivial because we have
\[ b^2\plus{}4bc\plus{}c^2 \le \frac{3}{2} (b\plus{}c)^2\]
And we only need to prove
\[ \frac{\sqrt{a\plus{}b}}{b\plus{}c} \plus{}\frac{\sqrt{b\plus{}c}}{c\plus{}a} \plus{}\frac{\sqrt{c\plus{}a}}{a\plus{}b} \ge \sqrt{\frac{27}{2(a\plus{}b\plus{}c)}} .\]
Applying AM-GM Inequality, we have
\[ LHS \ge \frac{3}{\sqrt[6]{(a\plus{}b)(b\plus{}c)(c\plus{}a)}} \ge \frac{3}{\sqrt{ \frac{(a\plus{}b)\plus{}(b\plus{}c)\plus{}(c\plus{}a)}{3}}} \equal{}\sqrt{\frac{27}{2(a\plus{}b\plus{}c)}}.\]
:)

For any real $ k$ we have:
\[ b^2\plus{}kbc\plus{}c^2\leq \left(\frac{k\plus{}2}{4}\right)(b\plus{}c)^2\]
As expanding leads to $ (b\minus{}c)^2\geq 0$
So we can generalize the problem to:
\[ \sum_{cyc} \sqrt{\frac{c\plus{}a}{b^2\plus{}kbc\plus{}c^2}}\geq \frac{3\sqrt{6}}{\sqrt{k\plus{}2}}\cdot \frac{1}{\sqrt{a\plus{}b\plus{}c}}\]
(In this case $ k>\minus{}2$)
I hope this is a possible generalization....  :maybe:


modular arithmetic
number theory unsolved
number theory

Find such $ n\in N$, that $ F_{n}=n^{m}$, where $ F_{n}$ - Fibonacci number and $ m\in N$.
I don`t know, maybe it`s unsolved for every $ m$  :oops: . Then you can take for example $ m=\{1,2,3\}$.

There is a paper about [url=http://citeseer.ist.psu.edu/cache/papers/cs/25481/http:zSzzSzwww.math.u-bordeaux.frzSz~yurizSzpublzSzpreprszSzprim.pdf/existence-of-primitive-divisors.pdf]primitive divisors of Lucas sequences[/url].  This celebrated paper shows that for $ n>30$, the $ n$th term of every Lucas sequence (Fibonacci sequence being an example) has a primitive divisor.  These divisors take the form $ \pm 1 \pmod{n}$.  So, for $ n>30$ the property you request is impossible.  This leaves only a few to check with brute force.  I came up with
for any $ m$ $ F_{1}=1$ and
$ m=1$ and $ F_{5}$
$ m=2$ and $ F_{12}$