If x is root
(1) $ x\equal{}a\minus{}(a\minus{}(a\minus{}x^2)^2)^2$,
then $ y\equal{}a\minus{}x^2,z\equal{}a\minus{}y^2$ give solution.
Therefore sufficiently to prove, that (1) had real solutions for infinetely many a.

[quote="tipe"]Prove that there exists infinitely many triples $ (x, y, z)$ of real numbers satisfying the equations $ x^2 \plus{} y \equal{} y^2 \plus{} z \equal{} z^2 \plus{} x$,such that $ x$, $ y$, $ z$ are pairwise different.
________________________

This problem was taken from Belarusian Olympiad 2008.

$ Tipe$[/quote]

Let $ p>1$ and $ f(x)\equal{}p^2\plus{}p\minus{}x^2$

$ f(0)\equal{}p^2\plus{}p$
$ |f(p^2\plus{}p)|\equal{}(p^2\plus{}p)(p^2\plus{}p\minus{}1)>p^2\plus{}p>\sqrt{p^2\plus{}p}$ and so
$ f(f(p^2\plus{}p))\equal{}p^2\plus{}p\minus{}f(p^2\plus{}p)^2 <0$

So $ f(f(f(0)))<0$

About $ p$, we have $ f(x)\sim f(p)\plus{}(x\minus{}p)f'(p)$ and so $ f(x)\sim p\minus{}2p(x\minus{}p)$. So :

$ f(p\minus{}\epsilon)\equal{}p\plus{}2p\epsilon$
$ f(p\plus{}2p\epsilon)\equal{}p\minus{}4p^2\epsilon$
$ f(p\minus{}4p^2\epsilon)\equal{}p\plus{}8p^3\epsilon) > p \minus{} \epsilon$

So $ f(f(f(p\minus{}\epsilon)))>p\minus{}\epsilon$.

So, since $ f(x)$ is continuous, $ \exists x_p\in(0,p)$ such that $ f(f(f(x_p)))\equal{}x_p$ and we have :

$ p^2\plus{}p \equal{} x_p^2 \plus{} f(x_p)$ $ \equal{} f(x_p)^2 \plus{} f(f(x_p))$ $ \equal{} f(f(x_p))^2 \plus{} f(f(f(x_p)))$ $ \equal{}f(f(x_p))^2 \plus{} x_p$

Since $ x_p\in(0,p)$, we have $ f(x_p)\neq x_p$, $ f(f(x_p))\neq f(x_p)$ (else we would have $ f(x_p)\equal{}f(f(f(f(x_p))))\equal{}f(f(f(x_p)))\equal{}x_p$) and $ x_p\neq f(f(x_p))$ (else we would have $ f(x_p)\equal{}f(f(f(x_p)))\equal{}x_p$).

So $ x\equal{}x_p$, $ y\equal{}f(x_p)$ and $ z\equal{}f(f(x_p))$ are pairwise differents and verify $ x^2 \plus{} y$ $ \equal{} y^2 \plus{} z$ $ \equal{} z^2 \plus{} x$ $ \equal{} p^2 \plus{} p$.

Last, we can say that a triple based on $ x_p$ is different from a triplet based on $ x_q$ since the sums $ x^2 \plus{} y$ are different ($ p^2\plus{}p$ versus $ q^2\plus{}q$).

So, when $ p\in(1,\plus{}\infty)$ we have infinitely many such different triples.


ratio
number theory unsolved
number theory

[quote="Semigroups"]Q1>Let p be the ratio of a 3-digit number to the sum of all digits of this 3-digit number (all 3 digits are not zero!),find the maximum and the minimum value of p

Q2>,If set M={x/x=9^n,n=0,1,2,...,2005},and known that 9^2005 has 1914 digits, then how many elements in M has the highiest digit to be 9?[/quote]

$ Q1).$ see Rust's or QED's response depending on the meaning of "all 3 digits are not zero" (all are non-zero or not all are zero).

$ Q2).$ $ 92$ numbers.
In fact each multiplication by $ 9$ changes the number of digits except when the number multiplied by $ 9$ is less than $ 111\ldots$ and then appears a leading $ 9$ (which disappears with the next multiplication). Multiplying $ 1$ $ 2005$ times by $ 9$ and having $ 1914$ digits at the  end and not $ 2006$, we had $ 2006-1914=92$ events "multiplication by $ 9$ without changing size" and so $ 92$ leading $ 9$.


help.

how do we prove that

$ \cos^4 \frac{\pi}{9} \plus{} \cos^4 \frac{2\pi}{9} \plus{} \cos^4 \frac{3\pi}{9} \plus{} \cos^4 \frac{4\pi}{9} \equal{} \frac{19}{16}$

please post your complete solution.  thanks.   :(

In the first, $ \cos ^4 \frac{\pi}{9}\plus{}\cos ^ 4 \frac{2\pi}{9}\plus{}\cos ^4 \frac{3\pi}{9}\plus{}\cos ^ 4 \frac{4\pi}{9}\equal{}\frac{19}{16}$

$ \Longleftrightarrow \boxed{\cos ^4 \frac{\pi}{9}\plus{}\cos ^ 4 \frac{2\pi}{9}\plus{}\cos ^ 4 \frac{4\pi}{9}\equal{}\frac{9}{8}}$

Step 1. $ \cos \frac{2}{9}\pi \plus{}\cos \frac{4}{9}\pi \plus{}\cos \frac{8}{9}\pi$

Step 2. $ \cos \frac{4}{9}\pi \plus{}\cos \frac{8}{9}\pi \plus{}\cos \frac{16}{9}\pi$

Step 3. $ \cos ^ 4 \theta \equal{}\frac{1}{8}\cos 4\theta \plus{}\frac{1}{2}\cos 2\theta \plus{}\frac{3}{8}$

tnx kunny.  but is there another way to verify that

$ \cos\frac{2}{9}\pi\plus{}\cos\frac{4}{9}\pi\plus{}\cos\frac{8}{9}\pi \equal{} 0$

without using the sum-to-product formulae ?    :maybe:


Readable USAMO solutions can be found in the several [url=http://www.unl.edu/amc/d-publication/d6-books/exprobbooks.html]books[/url] about the USAMO that have been [url=https://www.maa.org/ecomtpro/timssnet/books/PBS.cfm]published by MAA[/url] over the years.

Studying solutions is a learning process, and although I suppose Kalva's free service gets you started, I wouldn't want to neglect using the AMC/MAA books for serious practice for the AMC competitions.

Hope this helps! Go get 'em on the USAMO.

[quote="mickeymouse"]Almost everyone gets AIME questions from Kalva, but his solutions are not exactly dumbed down.  They get even worse at the USAMO level.
Anyone have suggestions for more readable USAMO solutions?[/quote]

Well, you can try buying them from the AMC.  They used to publish little pamphlets of USAMO/IMO problems, hints, and solutions, but now they've expanded it to a whole book.  However, the books just include more solutions and commentary, and aren't any more helpful to the reader, so I'd go with buying the old cheap  pamphlets.  (The other thing I miss about them is that they used to send out a copy of the previous year's olympiad pamphlet to all USAMO qualifiers -- although I guess that's not as important anymore because they put the solutions up online.)


find the value of sin(2x) if sin(x) - cos(x) = 0.8.

[hide="hint"]utalize the pythagorean identitty.[/hide]

These questions dont belong here but [hide="here is the solution"]

Square both sides: $\sin^{2}{x}-2\sin{x}\cos{x}+\cos^{2}{x}=\frac{16}{25}$
$\sin{2x}=2\sin{x}\cos{x}$

Thus $-2\sin{x}\cos{x}=-\frac{9}{25}$
and therefore $\sin{2x}=\frac{9}{25}$.[/hide]


vector
function
algebra
polynomial
linear algebra

I did not get the definition of basis in Hoffman and Kunze. Is it supposed to be this:
Given a Vector Space $ V$ over $ F$; it's basis is $ \left\{\alpha_1,\alpha_2,...\right\}\subseteq V$ s.t. $ \alpha_i$ are linearly independant and $ \forall\beta\in V$; $ \exists (c_1,c_2,...)\in F$ s.t. $ \beta\equal{}\sum\alpha_i c_i$

Given a set of vectors, how do we determine whether it is a basis of $ V$?

If you are asking a practical question, it depends on the way the zero vector and the operations in the space are defined. He will give more examples later on, such as for a function space, or a polynomial function space, which show how general the idea of a vector space and basis are.

If you are asking a theoretic question, see above and the definition of basis :)

See here for an interesting example: http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=159791


As the title says, Do you believe humans have afterlives? Even though they may not remember them? Some kids are said to have super-ability.  :maybe:

DISCUSSION HAS BEGUN.  :lol:

I think you're confusing the afterlife with previous lives.  Either way, there's no solid evidence on either side of either discussion, so what's the point?

Egyptians believed in afterlife, and basically prepared the dead for it....

Extreme, just like servants of a ruler drinking poison to kill themselves to go to the "afterlife"

Yes.  Thousands of years ago, the Egyptians did indeed believe fervently in an afterlife.  What's your piont?

the point is, you never know, when you die someday ( well after all, when you (everyone in general) are born, you begin to die) you might actually start a new life as a different person yet you might not remember anything but do things self consciously that some people could not at such a young age.

[quote="now a ranger"]you never know.[/quote]

Indeed not.

[quote="now a ranger"]do things self consciously that some people could not at such a young age.[/quote]

http://en.wikipedia.org/wiki/Differential_psychology


Without using a calculator (:)), determine whether $e^\pi$ or $\pi^e$ is greater.

[hide]x/e increases faster than lnx for all values of x greater than e and for x=e they are equal so x/e is greater than lnx for all values of x greater than e.

since pi>e
pi/e > ln(pi)
so
e^pi > pi^e

Is this correct?
[/hide]

[hide]we will show that $e^x\geq x^e \ \forall x \in (0,+\infty)$

The equality holds when $x=e$

$e^x \geq  x^e \Leftrightarrow$ (log both sides)
$x \geq  e \cdot lnx$
$x-e \cdot lnx\geq 0$

Denote the function $f: (0,+\infty) \to \mathbb{R}$ with $f(x)=x-e \cdot lnx$

it's enough to show that $f(x)\geq 0 \ \forall x \in (0,+\infty)$ and the equality holds only when $x=e$

$f'(x) = 1-\frac{e}{x}$

$f'(x)\geq 0 \Leftrightarrow 1>\frac{e}{x} \Leftrightarrow x>e$

for $x \in (0,e) \Rightarrow  f'(x)<0 \Rightarrow  f$ is decreasing
for $x \in (e,+\infty) \Rightarrow  f'(x)>0 \Rightarrow  f$ is increasing

so the point $x=e$ is a point of local minimum of $f(x)$

this local min is $f(e)= e-e \cdot lne = 0$

so we have $f(x)\geq 0 \ \forall x \in (0,+\infty)$
(we have an equality only for $x=e$)[/hide]

[hide]Actually doing it out to some extent, you get $e^{\pi}$ is greater...
The question is which is greater: $\frac{\pi}{e}$ or $\ln{pi}=\frac{\log{\pi}}{\log{e}}$.  I believe I actually calculated an approximation for $e^{\frac{\pi}{e}}$ and found it greater than $\pi$.  Let's see...$e^{\frac{\pi}{e}}>e^{\frac{4}{3}}>e*1.3>3.5>\pi$.  But calculating in your head is essentially using a calculator...
[/hide]
Now is this just coincidence...$e^{\pi}-\pi$ is very close to $20$...

To be rigirous, you need to use calculus. Here is a hint:

[hide="hint"]Show that the maximum value of $f(x)=x^{\frac{1}{x}}$ occurs at $x=e$[/hide]

My solution above could be simplified using the fact that $lnx$ is a [u]concave[/u] function:

$f(x) = lnx \Rightarrow  f'(x) = \frac{1}{x} \Rightarrow  f''(x) = -\frac{1}{x^2} \Rightarrow$

$f''(x)<0, \forall x \in (0,+\infty) \Rightarrow$

$lnx$ is a concave function

This means that the graph of $lnx$ is below any tangent line.

For example,  we know that the tangent line at the point $x=e$ is the line $y=\frac{x}{e}$

we have $lnx\leq \frac{x}{e} \Rightarrow$

$e \cdot lnx \leq  x \Rightarrow  x^e\leq e^x$

equality only for $x=e$, because $f'(x)$ is strictly decreasing

[quote="Iversonfan2005"]this question appeared in the UGA Math Contest in 2004 :)[/quote]

Really? It's in the standard Functions book used by Canadian students all across Ontario. That's where I got it.

Yeah, it was the last question though...wonder why :roll:

i think we talked about this problem in my calculus class last year.


geometry
rectangle
function
perimeter
analytic geometry

A rectangle is Inscribed in a semicircle of radius 2.
Let P = (x, y) be the point in quadrant 1 that is a vertex of the rectangle and is on the circle.

(a) Express the area A of the rectangle as a function of x.

(b) Express the perimeter p of the rectangle as a function of x.

It's perfectly valid to center the semicircle at the origin, which makes life a lot easier.

What is the equation for a semicircle of radius $2$ centered at the origin? That'll give you the y-coordinate of $P$. From that and the (rather obvious) fact that the rectangle is symmetric about the y-axis, you can easily find the area and perimeter as a function of $x$.

You asked:

"What is the equation for a semicircle of radius 2 centered at the origin?"

Do you know what the formula is?

I have never seen it before?

Think about what a semicircle of radius $r$ is (easiest if we take it centered at the origin). It's the locus of points above the x-axis (for our purposes) that are exactly $r$ units away from the origin. Or, we could say that the [b]distance[/b] from the point $(x , y)$ on the graph of the semicircle to the origin is $r$. Think about that and see if you can derive the formula yourself.

[hide="If not (and please try first)..."]The general formula for a semicircle of radius $r$ centered at $(x_{0}, y_{0})$ is $\sqrt{(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}= r$. This follows directly from the distance formula.[/hide]


function
trigonometry
IMO
IMO 1969
Trigonometric Equations

Let $f(x)=\cos(a_1+x)+{1\over2}\cos(a_2+x)+{1\over4}\cos(a_3+x)+\ldots+{1\over2^{n-1}}\cos(a_n+x)$, where $a_i$ are real constants and $x$ is a real variable. If $f(x_1)=f(x_2)=0$, prove that $x_1-x_2$ is a multiple of $\pi$.

[quote="Kondr"]I think your solution is incomplete, because if we have $x_1-x_2=2\pi$, and $f(x_1)=0$, the given equality must hold.
An easy way how to solve it is to put $f(x)=r.cos(x+a)$, it's easz to see we can do it.
Than we have $r.cos(x_1+a)=0$, which means $x_1+a=\frac{\pi} 2 +k\pi$, similarly
$x_2+a=\frac{\pi} 2 +l\pi$ from where $x_1-x_2=(k-l)\pi$.[/quote]

I dont know why we can set $f(x)=r\cdot\cos (a+x)$ , it is not easy for me to see it though  :roll:  . Another thing , isnt the general solution for $\cos (a+x_1)=0$ is

$x_1+a=2\pi k\pm \frac{\pi}{2}$ where $k$ is integer .  :?

To the first thing: Let there be n vectors $v_1,v_2,...,v_n$, such that thez begin in [0,0], they have lenghts $1$, $\frac 1 2$, $\frac 1 4$ etc. and angles with x-axis $a_1, a_2, a_3, ....$. Then the given sum of expression with cos is a sum of x-coordinates of these vectors rotated by angle x. But this is (i hope obviously) equal to the x-coordinate of vector $V=v_1+v_2+...+v_n$ rotated by angle x. If we denote $r$ the lenght of $V$  and $a$ the angle of V and x-axis, the result follows.
To be precise, we would have to show that $r>0$, but from triangle inequality we have
$r\geq 1-\frac 1 2 -\frac 1 4-...-\frac 1 {2^n}=\frac 1 {2^n}$

To the second thing: As far as I know $cos\left(\frac 3 2 \pi \right)=0$.  :huh:

[quote="golopot"]$f(x)$can be written as $ r.cos(x_{1}+a)=0 $ because differentiating $f(x)$ twice, you get $-f(x)$, which happens only when it's a $sin$ or $cos$.

And the powers of $2$ in the coefficient are arbitrary in this problem.[/quote]
But you should also show that $r\ne 0$ in order to get the required final result.

And I think that the powers of two in the coefficient are useful for that forgotten part. :)

I think phasors can be used for solving this.
similar to Kondr's idea :)


topology
real analysis
Functional Analysis

Έστω ότι ο πραγματικός αριθμός $ a$ είναι ένα άνω φράγμα του κενού συνόλου. Τότε υπάρχει $ x$ στο κενό τετοιο ώστε $ x<\equal{}a$. Άτοπο, αφού γενικά δεν υπάρχει $ x$ στο κενό, άρα το κενό σύνολο εν είναι άνω φραγμένο. Ομοίως το κενό σύνολο εν είναι κάτω φραγμένο, άρα γενικά δεν είναι φραγμένο. Από την άλλη όμως μεριά, για κάθε πραγματικό αριθμό $ a$ ισχύει ότι δεν υπάρχει $ x$ στο κενό τέτοιο ώστε $ x>a$, άρα κάθε $ a$ πραγματικός είναι ένα άνω φράγμα του κενού, ομοίως και κάτω φράγμα του. Άρα το κενό σύνολο είναι φραγμένο. Δεν καταλαβαίνω τι συμβαίνει, μπορέι κάποιος να βοηθήσει? Έχει τελικά το κενό  σύνολο supremum κια infimum ή όχι?

Φιλε Γιωργο δεν ξερω πως εχεις αυτη την αναζητηση για το κενο συνολο αλλα πιστευω οτι το κενο συνολο δεν ειναι φραγενο και αυτο γιατι δεν εχει στοιχεια πραγματικους αριθμους...Επομενως με ποιο συλλογισμο να μιλαμε για sup ,inf?

Guys, προσοχή! :)

[quote="Γιώργος"]Έστω ότι ο πραγματικός αριθμός $ a$ είναι ένα άνω φράγμα του κενού συνόλου. Τότε υπάρχει $ x$ στο κενό τετοιο ώστε $ x < \equal{} a$.[/quote]

Says who?

Ένα σύνολο $ A\subseteq\mathbb{R}$ λέγεται άνω φραγμένο από το $ a\in\mathbb{R}$ όταν για κάθε $ x\in A$ ισχύει $ x\leq a$. Υπό αυτόν τον ορισμό (που είναι και ο σωστός), το $ \emptyset$ είναι φραγμένο.

Η ακριβής διατύπωση αυτού που λες είναι: "αν το $ A$ είναι άνω φραγμένο από το $ a$, τότε υπάρχει $ x\in A$ ώστε $ x\leq A$". Αυτή η πρόταση είναι αληθής μόνο όταν το $ A$ δεν είναι κενό, οπότε αυτή είναι και η απάντηση στο παράδοξό σου.

Το $ \emptyset$ είναι άνω φραγμένο από κάθε πραγματικό $ a\in\mathbb{R}$ ;) Προφανώς δεν έχει $ \sup$ (ή $ \inf$) εφόσον το αξίωμα της πληρότητας αφορά εφισταμένα [i]μη κενά[/i] υποσύνολα των πραγματικών.

Hope this helps :) Cheerio,

Durandal 1707

Σωστά όλα αυτά που λέει ο Durandal αλλά για να αποδείξουμε αυτές τις προτάσεις αυστηρά πρεπει να χρησιμοποιούμε κανόνες προτασιακής λογικής και να ξέρουμε τις αξιωματικές θεμελιώσεις της θεωρίας συνόλων.

Τωρα το κενό συνολο θεωρούμε ότι έχει sup το -άπειρο και inf το +άπειρο

Η ταπεινή μου άποψη σε τέτοιου είδους ερωτήματα όπως ας πούμε αν το κενό σύνολο είναι φραγμένο?, είναι ότι πρέπει να απαντούμε με τον εξής απλό τρόπο.

[b] Απ.  Δεν έχει νόημα να πούμε ότι είναι ή όχι, φραγμένο[/b]

Ο λόγος που στηρίζω μια τέτοια άποψη είναι απλός. Σίγουρα σε ένα αριθμοσύνολο άν βρούμε αριθμό α για τον οποίο ισχύει $ x \le a$, για κάθε χ που ανήκει στο Α τότε ο χ είναι ένα άνω φράγμα. Η ερώτησή μου όμως είναι:
Μπορούμε να θεωρήσουμε το κενό αριθμοσύνολο ? Προφανώς δεν έχει νόημα να το κάνουμε αυτό. Δηλαδή όποτε θέλουμε το θεωρούμε αριθμοσύνολο και όποτε θέλουμε όχι ? Καταλαβαίνουμε ότι δεν έχει νόημα να μπούμε σε τέτοιου είδους διλήμματα. Είναι κάτι αντίστοιχο με το να αναρωτούμαστε αν το μηδέν είναι θετικός ή αρνητικός. Γενικά η ύπαρξη ουδετέρων στοιχείων στην άλγεβρα είναι απαραίτητη για τη θεμελίωση των ιδιοτήτων των πράξεων στις αλγεβρικές δομές ΄ μέχρι εκεί και τίποτα παραπάνω! Οποιαδήποτε προσπάθεια να αποδείξουμε η να τεκμηριώσουμε προτάσεις στις οποίες θα δεχόμαστε ότι το ουδέτερο έχει μια Α ή μια Β ιδιότητα αναλόγως των συνθηκών , πιστεύω ότι είναι ανούσια.
Ένα άλλο παράδειγμα παιδιά είναι αυτό που έγραφα σε ένα προηγούμενο post.
Στο σχολικό βιβλίο της Β Λυκείου υπάρχει παρατήρηση που δέχεται ότι μπορούμε να θεωρήσουμε ότι το μηδενικό διάνυσμα σχηματίζει οποιαδήποτε γωνία με ένα άλλο μη μηδενικό διάνυσμα. Έλεος ... :(  Απάνω σε αυτό θα σας πω το εξής ...
Το μηδενικό διάνυσμα είναι εκείνο που η αρχή και το τέλος συμπίπτουν. Δηλαδή είναι ένα σημειακό διάνυσμα. Έχει νόημα λοιπόν να καθόμαστε να αναρωτούμαστε,  για το πόσων μοιρών γωνία σχηματίζει ένα σημείο με ένα ευθύγραμμο τμήμα ? Αν είναι δυνατόν. Η απάντηση είναι απλή. [b]ΟΧΙ [/b] και αυτό στην αυστηρή επιστήμη των μαθηματικών μεταφράζεται με την πολλή απλή φράση " δεν ορίζεται". Αν γυρνάγαμε πίσω στον χρόνο και λέγαμε στον Ευκλείδη , στον Αρχημήδη , στον Γκάους κ.α. ότι ξέρεις ... ένα σημείο μπορούμε να θεωρήσουμε ότι σχηματίζει γωνία 30, 45 , 34, 78, 124 μοιρών με ένα ευθύγραμμο τμήμα και όλα είναι σωστά τότε θα μας κοιτούσαν κάπως έτσι :ninja:
και πολύ απλά θα μας έλεγαν " Δεν έχει νόημα" .Τέτοιες θεωρήσεις ήρθαν τα τελευταία χρόνια από επιστήμονες που θεωρώ ότι είναι κουλτουριάρηδες των μαθηματικών και είναι κρίμα να υιοθετούμε τέτοιες απόψεις και να θέτουμε σε δεύτερη μοίρα την κρίση μας.

[b]Το συμπέρασμα είναι το εξής. Δεν μπορούμε να χρησιμοποιούμε αξιώματα και ορισμούς που αναφέρονται σε αντικείμενα που είναι σαφώς ορισμένα ή σαφώς αντιληπτά από τη νόησή μας για να αποδεικνύουμε ιδιότητες αντικειμένων που η φύση τους είναι διφορούμενη ( όπως αυτή του κενού συνόλου, του μηδέν κ.λ.π. ) [/b]  αυτή είναι η ταπεινή μου άποψη ... :)

[quote="DIMITRIS T"]Σωστά όλα αυτά που λέει ο Durandal αλλά για να αποδείξουμε αυτές τις προτάσεις αυστηρά πρεπει να χρησιμοποιούμε κανόνες προτασιακής λογικής και να ξέρουμε τις αξιωματικές θεμελιώσεις της θεωρίας συνόλων.[/quote]

Yup, συμφωνώ απολύτως!

Τα υπόλοιπα σε spoiler για να μην γίνω κουραστικός:

[hide]Μία μικρή μόνο επιφύλαξη. Αν είναι να θίξεις λεπτά ζητήματα όπως τη θεμελίωση μιας θεωρίας συνόλων η μίας κλάσης ή μίας κατηγορίας, τότε, φυσικά, όλες σου οι προτάσεις θα πρέπει να είναι της μορφής $ \exists x \forall y(\neg z\in\varnothing)$. Γι'αυτό έγινε τόσος θόρυβος από τους πληροφορικάριους όταν κατόρθωσαν να γράψουν (μέσω υπολογιστή) το Hahn-Banach και να ελέγξουν την απόδειξή του μόνο με τα αξιώματα της ZFC.

Ωστόσο, υπάρχει και ο αντίποδας (ευτυχώς!). Μετά την αυστηρή θεμελίωση της θεωρίας συνόλων, όλοι οι μαθηματικοί δεχόμαστε την ZFC σαν υπόβαθρο των συλλογισμών μας(μερικές φορές, υπάρχουν προβλήματα με το αξίωμα Choice, αλλά αυτά και αν είναι λεπτά) και λειτουργούμε με την εξής "συμφωνία": αν δεν επικεντρωνόμαστε σε πολύ λεπτές πρωταρχικές (primitive) συνολοθεωρητικές έννοιες (κατασκευή και αξιώματα ύπαρξης καινούριων συνόλων, επιλογή ενός στοιχείου από ένα σύνολο, σχήματα κατασκευής αξιωμάτων κλπ, κλπ), τότε είσαι μια χαρά με την "καθομιλουμένη" των μαθηματικών. Στη λογική αποδεικνύονται ως θεωρήματα η συντριπτική πλειοψηφία των συλλογισμών που χρησιμοποιούμε καθημερινά ως μαθηματικοί. Έτσι, καλά κάνουμε και χρησιμοποιούμε καθομιλουμένη :)

Θα ήταν κάπως αντιπαραγωγικό να γρινιάξουμε στον Perelman ή στον Gromov ή στον Lagrange για το ότι δε γράφουν με ποσοδείκτες, eh? :P

Αν ό,τι είπα στο προηγούμενο post μου ήταν κάπως sloppy και παρέκαμπτε την ουσία του ζητήματος, sorry! Let me try to fix it :)

O ορισμός μας λέει ότι ένα υποσύνολο $ A$ του $ \mathbb{R}$ είναι άνω φραγμένο όταν υπάρχει $ a\in\mathbb{R}$ ώστε $ x\leq a$ για κάθε $ x\in A$.

Point 1: είναι το $ \varnothing$ υποσύνολο του $ \mathbb{R}$?
Απάντηση: Ναι! Υπάρχει ολόκληρο topic αφιερωμένο σε αυτό πριν κανα μήνα.

Point 2: είναι το $ \varnothing$ ως υποσύνολο του $ \mathbb{R}$ άνω φραγμένο?
Απάντηση: Ναι!
Απόδειξη (με άτοπο; ελπίζω να μην υπάρχουν intuitionists στο forum ;) ):
Η άρνηση του ορισμού είναι ότι για κάθε $ a\in\mathbb{R}$ υπάρχει $ x\in \varnothing$ ώστε $ x > a$. Όμως $ \nexists x \in\varnothing$, οπότε η άρνηση είναι ψευδής. Άρα το $ \varnothing$ είναι άνω φραγμένο.

Τα παραπάνω για να μην υπάρχουν αμφιβολίες ως προς το τί χρησιμοποιώ και τί επικαλούμαι. Ίσως είναι borderline spam, αλλά βλέπω ότι υπάρχουν μερικές παρανοήσεις.
[/hide]

Τώρα, σε ό,τι αφορά το ερώτημα $ \sup$. Τo $ \sup$ ενός συνόλου ορίζεται μέσω του αξιώματος πληρότητας των πραγματικών αριθμών: κάθε [i]μη κενό[/i] και άνω φραγμένο υποσύνολο $ A\subseteq\mathbb{R}$ έχει ένα ελάχιστο άνω φράγμα. Άρα, όπως έχουν τα πράγματα, [i]δεν έχει νόημα[/i] να μιλάμε για το $ \sup$ του κενού συνόλου. Σε αυτό το σημείο (και μόνο!) συμφωνώ με τον vangelismak, δεν έχει νόημα το $ \sup$ του κενού με βάση το συνηθισμένο ορισμό.

Ωστόσο, στη θεωρία μέτρου και στην ανάλυση, πολλές φορές βολεύει να επεκτείνουμε την έννοια του $ \sup$ και στο κενό σύνολο γιατί έτσι γίνονται πολλές προτάσεις και θεωρήματα εξαιρετικά κομψά και πανέμορφα. Αυτό γίνεται μέσω της συμπαγοποίησης του  $ \mathbb{R}$ και της προσάρτησης των δύο σημείων $ \pm\infty$. Τότε, [i]κατά σύμβαση[/i] [b]ορίζουμε[/b]: $ \sup\varnothing \equal{} \min\{\mathbb{R}\cup\{ \minus{} \infty,\infty\}\} \equal{} \minus{} \infty$.

Αυτή η σύμβαση (στην οποία μάλλον αναφέρεται ο Dimitris T) είναι εξαιρετικά χρήσιμη γιατί ομογενοποιεί τη διατύπωση πάμπολλων προτάσεων, ιδίως στη θεωρία μέτρου (πχ το λήμμα του Fatou). Ως σύμβαση, δε διαφέρει καθόλου από τις τρομερά χρήσιμες συμβάσεις $ 1/ \plus{} \infty \equal{} 0$ κλπ.

Αν ενδιαφέρεστε περαιτέρω, είμαι σίγουρος ότι ακόμα και στη Wikipedia θα μπορούν να βρεθούν πολλές πληροφορίες για το θέμα.

Cheerio,

Durandal 1707

[quote="vangelismak"]Η ταπεινή μου άποψη σε τέτοιου είδους ερωτήματα όπως ας πούμε αν το κενό σύνολο είναι φραγμένο?, είναι ότι πρέπει να απαντούμε με τον εξής απλό τρόπο.

[b] Απ.  Δεν έχει νόημα να πούμε ότι είναι ή όχι, φραγμένο[/b]

[/quote]

Sorry, no :( Από τη στιγμή που το κενό είναι υποσύνολο του $ \mathbb{R}$, εμπίπτει στα σύνολα που αφορά ο ορισμός και άρα θα πρέπει να απαντήσεις κάτι διαφορετικό, αλλιώς έχει πρόβλημα ο ορισμός που χρησιμοποιείς. See below...

[quote]
Ο λόγος που στηρίζω μια τέτοια άποψη είναι απλός. Σίγουρα σε ένα αριθμοσύνολο άν βρούμε αριθμό α για τον οποίο ισχύει $ x \le a$, για κάθε χ που ανήκει στο Α τότε ο χ είναι ένα άνω φράγμα. Η ερώτησή μου όμως είναι:
Μπορούμε να θεωρήσουμε το κενό αριθμοσύνολο ? Προφανώς δεν έχει νόημα να το κάνουμε αυτό.
[/quote]

Says who? Γιατί δεν έχει νόημα το κενό σύνολο να θεωρείται σύνολο? Ή, μάλλον, όπως λες κι εσύ, "αριθμοσύνολο" (που είναι μία έννοια που δε γνωρίζω τον ορισμό της)?

Μπορούμε να θεωρούμε ότι το κενό σύνολο είναι σύνολο? Φυσικά (με την έννοια ότι υπάρχει κοτζάμ αξίωμα ύπαρξής αυτού, χωρίς το οποίο δεν μπορείς να προχωρήσεις ούτε βήμα στη θεμελίωση της θεωρίας συνόλων, και άρα της αριθμητικής, και άρα της ανάλυσης, κλπ, κλπ, κλπ).

Είναι το κενό σύνολο υποσύνολο κάθε συνόλου? Ναι.

Είναι υποσύνολο του $ \mathbb{R}$? Ναι. Άρα, αν καταλήξεις σε αντίφαση με τον ορισμό που έχεις για το ποιό σύνολο είναι φραγμένο... έχει μάλλον πρόβλημα ο ορισμός σου. Ευτυχώς, δεν έχουμε πρόβλημα! ;)

Είναι το κενό φραγμένο? Είναι το κενό ανοικτό? Είναι το κενό κλειστό? Είναι το κενό συμπαγές? Η απάντηση σε όλα αυτά είναι ναι. Όσο αντιδιαισθητικό και να φαίνεται στην αρχή ;)

[quote] Δηλαδή όποτε θέλουμε το θεωρούμε αριθμοσύνολο και όποτε θέλουμε όχι?
[/quote]
Πού και πότε το κάναμε αυτό?

[quote]
Καταλαβαίνουμε ότι δεν έχει νόημα να μπούμε σε τέτοιου είδους διλήμματα. Είναι κάτι αντίστοιχο με το να αναρωτούμαστε αν το μηδέν είναι θετικός ή αρνητικός.
Γενικά η ύπαρξη ουδετέρων στοιχείων στην άλγεβρα είναι απαραίτητη για τη θεμελίωση των ιδιοτήτων των πράξεων στις αλγεβρικές δομές ΄ μέχρι εκεί και τίποτα παραπάνω! Οποιαδήποτε προσπάθεια να αποδείξουμε η να τεκμηριώσουμε προτάσεις στις οποίες θα δεχόμαστε ότι το ουδέτερο έχει μια Α ή μια Β ιδιότητα αναλόγως των συνθηκών , πιστεύω ότι είναι ανούσια.
[/quote]
Συγγνώμη, αλλά εδώ δε βλέπω κάποιο "δίλημμα": το $ 0$ εξαιρείται εξ'ορισμού από τους αριθμούς του $ \mathbb{R}$ για τους οποίους υπάρχει η διάκριση +/-. Δεν είναι ούτε το ένα, ούτε το άλλο. Ούτε για τη γωνία υπάρχει κάποιο δίλημμα (και το σχολικό θα έπρεπε να προσέχει περισσότερο τις διατυπώσεις του στο εν λόγω σημείο).

[quote]
Τέτοιες θεωρήσεις ήρθαν τα τελευταία χρόνια από επιστήμονες που θεωρώ ότι είναι κουλτουριάρηδες των μαθηματικών και είναι κρίμα να υιοθετούμε τέτοιες απόψεις και να θέτουμε σε δεύτερη μοίρα την κρίση μας.
[/quote]

Ναι, αλλά ευτυχώς εδώ δεν έχουμε κάτι τέτοιο. Προτού καταδικάσεις ένα πρόβλημα και το βάλεις σε αυτήν την κατηγορία ερωτημάτων, είναι πιο σωστό να βάλεις κάτω τους ορισμούς και να δεις τι γίνεται. Πολλές φορές η διαίσθηση δεν είναι ο καλύτερος οδηγός...

[quote]
[b]Το συμπέρασμα είναι το εξής. Δεν μπορούμε να χρησιμοποιούμε αξιώματα και ορισμούς που αναφέρονται σε αντικείμενα που είναι σαφώς ορισμένα ή σαφώς αντιληπτά από τη νόησή μας για να αποδεικνύουμε ιδιότητες αντικειμένων που η φύση τους είναι διφορούμενη ( όπως αυτή του κενού συνόλου, του μηδέν κ.λ.π. ) [/b]  αυτή είναι η ταπεινή μου άποψη ... :)[/quote]

Τι το διφορούμενο έχει το κακόμοιρο το $ 0$? Γιατί το σκότωσες? :)

Το κενό σύνολο, το $ 0$, το $ \aleph_0$ είναι [i]σαφέστατα[/i] καθορισμένα αντικείμενα, τόσο ξεκάθαρα όσο το $ \mathbb{R}$, το $ 1$ κλπ. Διφορούμενα αντικείμενα δεν έχουν θέση στα μαθηματικά και, ευτυχώς για όλους μας, όλα τα παραπάνω έχουν μία ενδοξότατη θέση.

Αυτή είναι η δική μου ταπεινή άποψη... :)

Cheerio,

Durandal 1707

Durandal κατ αρχάς να πώ ότι είναι μεγάλη χαρά για μένα να μοιράζομαι αυτές τις σκέψεις με κάποιον που πραγματικά έχει βαθειές γνώσεις σε τέτοια πεδία των μαθηματικών.

Αρχίζοντας από το τέλος προς την αρχή να πώ για το σημείο που έγραψα για διφορούμενες έννοιες.  Όταν έγραψα για το μηδέν εννούσα ότι είναι διφορούμενο ώς προς το αν έχει και τί πρόσημο. Όπως είπες και εσύ το μηδέν εξαιρείται εξ ορισμού από τους αριθμούς του R. Έτσι πολύ απλά δεν τίθεται για το μηδέν ένα τέτοιο δίλημα.
Πριν συνεχίσω να πώ ότι όταν λεω αριθμοσύνολο ( και συγνώμη για την άγνοιά μου αν λέγεται διαφορετικά ) ονομάζω ένα σύνολο του οποίου τα στοιχεία είναι αριθμοί. Νομίζω ότι να μιλάει κανείς για φραγμένα σύνολα έχει νόημα όταν αυτά έχουν για στοιχεία αριθμούς. Δεν έχει νόημα να μιλάμε για φράγμα του συνόλου
{α,β,γ,δ} , νομίζω ...

Επανέρχομαι τώρα στο κενό σύνολο. Durandal ... δεν είπα σε κανένα σημείο ότι το κενό δεν είναι σύνολο. Αυτό που έθεσα σαν ερώτημα είναι γιατί σώνει και καλά πρέπει να το δούμε σαν αριθμοσύνολο ( με τον δικό μου αρισμό ) στην προσπάθειά μας να δείξουμε ή όχι αν αυτό είναι φραγμένο. Επειδή είναι υποσύνολο του R ?
Όπως είπες και εσύ είναι μια αξιωματική κατασκευή που αφορά στη θεμελίωση ολόκληρης θεωρίας. Μιας θεωρίας που αναφέρεται σε σύνολα παντός είδους και μορφής.
Δεν αμφιβάλει κανείς ότι το κενό είναι υποσύνολο του R. Η αξιωματική κατασκευή του το καθιστά τέτοιο. Όμως είναι υποσύνολο και του {α,β} και του { 1,2,3,μ,ν,π} και του { {1,2,3}, {2,3} } κ.λ.π
Γνώμη μου είναι ότι είναι λάθος να εφαρμόσουμε ορισμούς και αξιώματα που αφορούν σύνολα με στοιχεία αριθμούς σε ένα τέτοιο σύνολο γιατί τότε είναι σαν να δεχόμαστε σιωπηλά ότι αυτό ( το κενό ) αφορά μόνο σύνολα που έχουν για στοιχεία αριθμούς, ενώ ξέρουμε ότι δεν είναι έτσι.

Τελειώνοντας θέλω να πώ ότι δεν αμφισβητώ αυτά που λές γιατί σίιγουρα έχεις διαβάσει πάρα πολύ και έχεις βαθειά γνώση και είμαι σίγουρος ότι αυτά που λές είναι αποδεδειγμένα και τεκμηριωμένα από τις θεωρίες κάποιων ανθρώπων Η έναστασή μου σου είπα ποιά είναι ... Ίσως αυτοί που βγάζουν αυτές τις θεωρίες θα έπρεπε να είναι πιο προσεχτικοί ... ( και ξέρω την απάντησή σου σ΄ αυτό )

 :)

Φίλε vangelismak, η χαρά είναι επίσης και δική μου για τους ίδιους λόγους!

Τώρα, η γρήγορη απάντηση μου σε αυτά που λες είναι παρακάτω, λεπτομέρειες στο spoiler:

1. Είμαι πραγματικά περίεργος να δω πώς ορίζεις την έννοια του "αριθμού" που για σένα είναι τόσο πρωταρχική και προνομιούχα. Γιατί αλλιώς δεν μπορείς να μιλήσεις για "αριθμοσύνολα" και να κάνεις τη διάκριση που κάνεις.
2. Μπορείς να δώσεις όποιον ορισμό για τα φραγμένα σύνολα θέλεις και κάλλιστα μπορείς να αποκλείσεις το κενό από αυτά. Το θέμα είναι ποιός ορισμός έχει φανεί πιο χρήσιμος (με την έννοια ότι οδηγεί πιο κομψά αποτελέσματα και πιο ενοποιημένα θεωρήματα).
3. Δεν είμαι καθόλου σίγουρος ότι νιώθω άνετα με αυτό που λες ότι "θα έπρεπε να προσέχουν περισσότερο" αυτοί που βγάζουν "αυτές τις θεωρίες". Αν εννοείς τον ορισμό για το ποιο σύνολο είναι φραγμένο και το πλαίσιο μέσα στο οποίο εντάσσεται αυτός ο ορισμός, έχε υπ'όψιν σου ότι αναφέρεσαι σε κάτι που δημιουργήθηκε και έγινε αποδεκτό από την ίδια τη μαθηματική κοινότητα, και όχι σε μία κακογραμμένη πρόταση ενός τυχαίου βιβλίου. ¨)

[hide][quote="vangelismak"]
Πριν συνεχίσω να πώ ότι όταν λεω αριθμοσύνολο ( και συγνώμη για την άγνοιά μου αν λέγεται διαφορετικά ) ονομάζω ένα σύνολο του οποίου τα στοιχεία είναι αριθμοί.[/quote]

Το περίμενα ότι θα το ακούσω αυτό. Good! :)

Η ερώτησή μου είναι η εξής: πώς ορίζεις έναν "αριθμό"? Όλοι ξέρουμε τι "είναι" ένας "αριθμός"? Πώς τον ορίζεις όμως, ώστε να κρίνεις αν ένα σύνολο είναι "αριθμοσύνολο" ή όχι? Στο κάτω-κάτω, τι διαφορά έχει το 1 από το 2 ή από τον άρρητο 1.010010001... ή από το π ή από το e? Όλα σύμβολα δεν είναι? Ή μήπως είναι αριθμοί? Χμμ, μπερδεύομαι... μήπως δεν υπάρχει πραγματική, ουσιαστική διαφορά? ;)

Kαι αν σου έλεγα ότι $ 0: \equal{} \varnothing$, $ 1: \equal{} \{\varnothing\}$, $ 2: \equal{} \{\{\varnothing\},\varnothing\}$ και ούτω καθεξής? Θα εξακολουθούσες να διστάζεις να χρησιμοποιείς το κενό ως "αριθμοσύνολο" (όπως και να ορίζεις την έννοια του αριθμοσυνόλου)? Το κενό σύνολο είναι πολύ πιο βασικό για τη θεμελίωση των αριθμών απ'όσο ίσως φαντάζεσαι... :roll:

[quote]
Επανέρχομαι τώρα στο κενό σύνολο. Durandal ... δεν είπα σε κανένα σημείο ότι το κενό δεν είναι σύνολο. Αυτό που έθεσα σαν ερώτημα είναι γιατί σώνει και καλά πρέπει να το δούμε σαν αριθμοσύνολο ( με τον δικό μου αρισμό ) στην προσπάθειά μας να δείξουμε ή όχι αν αυτό είναι φραγμένο. Επειδή είναι υποσύνολο του R? Όπως είπες και εσύ είναι μια αξιωματική κατασκευή που αφορά στη θεμελίωση ολόκληρης θεωρίας. Μιας θεωρίας που αναφέρεται σε σύνολα παντός είδους και μορφής.
Δεν αμφιβάλει κανείς ότι το κενό είναι υποσύνολο του R. Η αξιωματική κατασκευή του το καθιστά τέτοιο. Όμως είναι υποσύνολο και του {α,β} και του { 1,2,3,μ,ν,π} και του { {1,2,3}, {2,3} } κ.λ.π
Γνώμη μου είναι ότι είναι λάθος να εφαρμόσουμε ορισμούς και αξιώματα που αφορούν σύνολα με στοιχεία αριθμούς σε ένα τέτοιο σύνολο γιατί τότε είναι σαν να δεχόμαστε σιωπηλά ότι αυτό ( το κενό ) αφορά μόνο σύνολα που έχουν για στοιχεία αριθμούς, ενώ ξέρουμε ότι δεν είναι έτσι.
[/quote]

Κοίτα, μπορείς να κάνεις ό,τι θέλεις, έτσι? Μπορείς να πεις ότι "ορίζω κάθε [i]μη κενό[/i] υποσύνολο των πραγματικών αριθμών να είναι άνω φραγμένο όταν...". Sure! Μια χαρά, κανένα πρόβλημα, τέλεια! Με αυτόν τον ορισμό, όσο νόημα έχει να λες θετικό το 0, άλλο τόσο έχει να λες φραγμένο το κενό. Η διαίσθησή μας παραμένει ασφαλής μέσα στο καβούκι της και το κενό δεν έχει νόημα να το λέμε φραγμένο ή μη φραγμένο. Good, τέλεια!

Να σου δώσω έναν από πολλούς λόγους για τους οποίους δεν είναι καλή ιδέα αυτή η προσέγγιση, πέραν του ότι χάνει σε κομψότητα γιατί κάνει μία μη απαραίτητη διάκριση (γιατί θα έχεις δίκιο να μου πεις ότι η αισθητική είναι υποκειμενική). Ας πάρουμε ένα από τα πλέον θεμελιώδη θεωρήματα της ανάλυσης και της τοπολογίας, το Heine-Borel: [i]ένα υποσύνολο των πραγματικών είναι συμπαγές αν και μόνο αν είναι κλειστό και φραγμένο[/i]. Το κενό είναι συμπαγές, είναι κλειστό αλλά δεν είναι φραγμένο. Άρα, με βάση τον καινούριο ορισμό σου, θα πρέπει να λέμε στο Heine-Borel: "ένα [i]μη κενό[/i] υποσύνολο των πραγματικών είναι...".

Θεωρήματα σαν το Heine-Borel που θα εμφάνιζαν μία διχοτόμηση αν κάναμε το διαχωρισμό σου για το κενό υπάρχουν μυριάδες. Τι κάνουμε λοιπόν? Κουβαλάμε σε κάθε θεώρημα το "μη κενό" ή αλλάζουμε τον ορισμό του φραγμένου συνόλου με έναν τρόπο που είναι διαισθητικά λίγο "παράξενος" αλλά σίγουρα πιο καθολικός και ο οποίος μας οδηγεί σε [i]κομψότατα[/i] και ενοποιημένα κατασκευάσματα χωρίς εξαιρεσούλες και υποσημειώσεις? Τι νομίζεις ότι είναι σωστότερο?  :wink:

(Άσε που, κατά την ταπεινή μου άποψη, είναι απολύτως σύμφωνο με τη διαίσθηση μου το κενό σύνολο να είναι φραγμένο: φραγμένο σημαίνει μικρό, και υπάρχει πιο μικρό σύνολο από το κενό?)

[quote]
Τελειώνοντας θέλω να πώ ότι δεν αμφισβητώ αυτά που λές γιατί σίιγουρα έχεις διαβάσει πάρα πολύ και έχεις βαθειά γνώση και είμαι σίγουρος ότι αυτά που λές είναι αποδεδειγμένα και τεκμηριωμένα από τις θεωρίες [b]κάποιων ανθρώπων. Η έναστασή μου σου είπα ποιά είναι ... Ίσως αυτοί που βγάζουν αυτές τις θεωρίες θα έπρεπε να είναι πιο προσεχτικοί[/b] ... ( και ξέρω την απάντησή σου σ΄ αυτό )
[/quote]

:o  :o  :o

Τι εννοείς vangelismak "κάποιων ανθρώπων"? Ίσως εγώ δεν καταλαβαίνω καλά αυτό που εννοείς (πολύ πιθανό γιατί είναι και αργούτσικα  :oops: ), αλλά ιδίως με τον προηγούμενο χαρακτηρισμό για τους "κουλτουριάρηδες των μαθηματικών", φοβάμαι μήπως έχεις παρεξηγήσει μερικά πράγματα...

Οι παραπάνω ορισμοί δεν έρχονται από μία τυχαία σελίδα ενός τυχαίου σχολικού βιβλίου μίας τυχαίας χώρας. Δεν είναι η αντίληψη μερικών "ιερέων" των μαθηματικών ή άλλων επιβλητικών μορφών. Τα μαθηματικά είναι μία συλλογική προσπάθεια και όταν κάτι γράφεται και χρησιμοποιείται με τον ίδιο τρόπο από τη μαθηματική κοινότητα στο σύνολό της... ε, μάλλον κάποιος λόγος συντρέχει ;)

"Αυτοί" που βγάζουν αυτές τις "θεωρίες" είναι η ίδια η μαθηματική κοινότητα στο σύνολό της και είναι το απαύγασμα της κατανόησης που έχουμε για την επιστήμη μας. Μπορεί να ήταν ο Hausdorff αυτός που πρώτος πρότεινε τα αξιώματα για έναν τοπολογικό χώρο, αλλά ήταν το σύνολο των τοπολόγων του πρώτου μισού του 20ου αιώνα που τα πήραν, τα έστριψαν από κάθε δυνατή μεριά, τα άλλαξαν, τα βελτίωσαν και έχτισαν πάνω τους το κόσμημα που λέγεται τοπολογία; το ίδιο για τη σύγχρονη ανάλυση; το ίδιο και για τη θεωρία συνόλων (αναφέρω μερικούς από τους κλάδους όπου θα συναντήσεις το κενό σύνολο να είναι μια χαρά φραγμένο).

Sorry αν γίνομαι γλαφυρός και βγαίνω off-topic, αλλά φοβάμαι μήπως έχεις επηρεαστεί από μερικά κακογραμμένα σημεία στα σχολικά βιβλία και συγκρίνεις εντελώς ανόμοια πράγματα όταν λες ότι "αυτοί που βγάζουν αυτές τις θεωρίες θα έπρεπε να προσέχουν περισσότερο". Σίγουρα είναι καθήκον μας να προσπαθούμε να δούμε τα πράγματα με διαφορετικό μάτι, μόνο έτσι προκύπτουν καινούρια μαθηματικά. Όμως, το να λες ότι αυτοί που πρωτοστάτησαν στην κατασκευή αυτού του τόσο αψεγάδιαστου κατασκευάσματος θα έπρεπε να προσέχουν περισσότερο... δεν είμαι σίγουρος τι να καταλάβω...

[/hide]

Cheerio,

Durandal 1707

[quote="Durandal"]Φίλε vangelismak,

Η γρήγορη απάντηση μου σε αυτά που λες είναι παρακάτω, λεπτομέρειες στο spoiler:

1. Είμαι πραγματικά περίεργος να δω πώς ορίζεις την έννοια του "αριθμού" που για σένα είναι τόσο πρωταρχική και προνομιούχα. Γιατί αλλιώς δεν μπορείς να μιλήσεις για "αριθμοσύνολα" και να κάνεις τη διάκριση που κάνεις.
2. Μπορείς να δώσεις όποιον ορισμό για τα φραγμένα σύνολα θέλεις και κάλλιστα μπορείς να αποκλείσεις το κενό από αυτά. Το θέμα είναι ποιός ορισμός έχει φανεί πιο χρήσιμος (με την έννοια ότι οδηγεί πιο κομψά αποτελέσματα και πιο ενοποιημένα θεωρήματα).
3. Δεν είμαι καθόλου σίγουρος ότι νιώθω άνετα με αυτό που λες ότι "θα έπρεπε να προσέχουν περισσότερο" αυτοί που βγάζουν "αυτές τις θεωρίες". Αν εννοείς τον ορισμό για το ποιο σύνολο είναι φραγμένο και το πλαίσιο μέσα στο οποίο εντάσσεται αυτός ο ορισμός, έχε υπ'όψιν σου ότι αναφέρεσαι σε κάτι που δημιουργήθηκε και έγινε αποδεκτό από την ίδια τη μαθηματική κοινότητα, και όχι σε μία κακογραμμένη πρόταση ενός τυχαίου βιβλίου. ¨)

[hide][quote="vangelismak"]
Πριν συνεχίσω να πώ ότι όταν λεω αριθμοσύνολο ( και συγνώμη για την άγνοιά μου αν λέγεται διαφορετικά ) ονομάζω ένα σύνολο του οποίου τα στοιχεία είναι αριθμοί.[/quote]

Το περίμενα ότι θα το ακούσω αυτό. Good! :)

Η ερώτησή μου είναι η εξής: πώς ορίζεις έναν "αριθμό"? Όλοι ξέρουμε τι "είναι" ένας "αριθμός"? Πώς τον ορίζεις όμως, ώστε να κρίνεις αν ένα σύνολο είναι "αριθμοσύνολο" ή όχι? Στο κάτω-κάτω, τι διαφορά έχει το 1 από το 2 ή από τον άρρητο 1.010010001... ή από το π ή από το e? Όλα σύμβολα δεν είναι? Ή μήπως είναι αριθμοί? Χμμ, μπερδεύομαι... μήπως δεν υπάρχει πραγματική, ουσιαστική διαφορά? ;)

Kαι αν σου έλεγα ότι $ 0: \equal{} \varnothing$, $ 1: \equal{} \{\varnothing\}$, $ 2: \equal{} \{\{\varnothing\},\varnothing\}$ και ούτω καθεξής? Θα εξακολουθούσες να διστάζεις να χρησιμοποιείς το κενό ως "αριθμοσύνολο" (όπως και να ορίζεις την έννοια του αριθμοσυνόλου)? Το κενό σύνολο είναι πολύ πιο βασικό για τη θεμελίωση των αριθμών απ'όσο ίσως φαντάζεσαι... :roll:

[quote]
Επανέρχομαι τώρα στο κενό σύνολο. Durandal ... δεν είπα σε κανένα σημείο ότι το κενό δεν είναι σύνολο. Αυτό που έθεσα σαν ερώτημα είναι γιατί σώνει και καλά πρέπει να το δούμε σαν αριθμοσύνολο ( με τον δικό μου αρισμό ) στην προσπάθειά μας να δείξουμε ή όχι αν αυτό είναι φραγμένο. Επειδή είναι υποσύνολο του R? Όπως είπες και εσύ είναι μια αξιωματική κατασκευή που αφορά στη θεμελίωση ολόκληρης θεωρίας. Μιας θεωρίας που αναφέρεται σε σύνολα παντός είδους και μορφής.
Δεν αμφιβάλει κανείς ότι το κενό είναι υποσύνολο του R. Η αξιωματική κατασκευή του το καθιστά τέτοιο. Όμως είναι υποσύνολο και του {α,β} και του { 1,2,3,μ,ν,π} και του { {1,2,3}, {2,3} } κ.λ.π
Γνώμη μου είναι ότι είναι λάθος να εφαρμόσουμε ορισμούς και αξιώματα που αφορούν σύνολα με στοιχεία αριθμούς σε ένα τέτοιο σύνολο γιατί τότε είναι σαν να δεχόμαστε σιωπηλά ότι αυτό ( το κενό ) αφορά μόνο σύνολα που έχουν για στοιχεία αριθμούς, ενώ ξέρουμε ότι δεν είναι έτσι.
[/quote]

Κοίτα, μπορείς να κάνεις ό,τι θέλεις, έτσι? Μπορείς να πεις ότι "ορίζω κάθε [i]μη κενό[/i] υποσύνολο των πραγματικών αριθμών να είναι άνω φραγμένο όταν...". Sure! Μια χαρά, κανένα πρόβλημα, τέλεια! Με αυτόν τον ορισμό, όσο νόημα έχει να λες θετικό το 0, άλλο τόσο έχει να λες φραγμένο το κενό. Η διαίσθησή μας παραμένει ασφαλής μέσα στο καβούκι της και το κενό δεν έχει νόημα να το λέμε φραγμένο ή μη φραγμένο. Good, τέλεια!

Να σου δώσω έναν από πολλούς λόγους για τους οποίους δεν είναι καλή ιδέα αυτή η προσέγγιση, πέραν του ότι χάνει σε κομψότητα γιατί κάνει μία μη απαραίτητη διάκριση (γιατί θα έχεις δίκιο να μου πεις ότι η αισθητική είναι υποκειμενική). Ας πάρουμε ένα από τα πλέον θεμελιώδη θεωρήματα της ανάλυσης και της τοπολογίας, το Heine-Borel: [i]ένα υποσύνολο των πραγματικών είναι συμπαγές αν και μόνο αν είναι κλειστό και φραγμένο[/i]. Το κενό είναι συμπαγές, είναι κλειστό αλλά δεν είναι φραγμένο. Άρα, με βάση τον καινούριο ορισμό σου, θα πρέπει να λέμε στο Heine-Borel: "ένα [i]μη κενό[/i] υποσύνολο των πραγματικών είναι...".

Θεωρήματα σαν το Heine-Borel που θα εμφάνιζαν μία διχοτόμηση αν κάναμε το διαχωρισμό σου για το κενό υπάρχουν μυριάδες. Τι κάνουμε λοιπόν? Κουβαλάμε σε κάθε θεώρημα το "μη κενό" ή αλλάζουμε τον ορισμό του φραγμένου συνόλου με έναν τρόπο που είναι διαισθητικά λίγο "παράξενος" αλλά σίγουρα πιο καθολικός και ο οποίος μας οδηγεί σε [i]κομψότατα[/i] και ενοποιημένα κατασκευάσματα χωρίς εξαιρεσούλες και υποσημειώσεις? Τι νομίζεις ότι είναι σωστότερο?  :wink:

(Άσε που, κατά την ταπεινή μου άποψη, είναι απολύτως σύμφωνο με τη διαίσθηση μου το κενό σύνολο να είναι φραγμένο: φραγμένο σημαίνει μικρό, και υπάρχει πιο μικρό σύνολο από το κενό?)

[quote]
Τελειώνοντας θέλω να πώ ότι δεν αμφισβητώ αυτά που λές γιατί σίιγουρα έχεις διαβάσει πάρα πολύ και έχεις βαθειά γνώση και είμαι σίγουρος ότι αυτά που λές είναι αποδεδειγμένα και τεκμηριωμένα από τις θεωρίες [b]κάποιων ανθρώπων. Η έναστασή μου σου είπα ποιά είναι ... Ίσως αυτοί που βγάζουν αυτές τις θεωρίες θα έπρεπε να είναι πιο προσεχτικοί[/b] ... ( και ξέρω την απάντησή σου σ΄ αυτό )
[/quote]

:o  :o  :o

Τι εννοείς vangelismak "κάποιων ανθρώπων"? Ίσως εγώ δεν καταλαβαίνω καλά αυτό που εννοείς (πολύ πιθανό γιατί είναι και αργούτσικα  :oops: ), αλλά ιδίως με τον προηγούμενο χαρακτηρισμό για τους "κουλτουριάρηδες των μαθηματικών", φοβάμαι μήπως έχεις παρεξηγήσει μερικά πράγματα...

Οι παραπάνω ορισμοί δεν έρχονται από μία τυχαία σελίδα ενός τυχαίου σχολικού βιβλίου μίας τυχαίας χώρας. Δεν είναι η αντίληψη μερικών "ιερέων" των μαθηματικών ή άλλων επιβλητικών μορφών. Τα μαθηματικά είναι μία συλλογική προσπάθεια και όταν κάτι γράφεται και χρησιμοποιείται με τον ίδιο τρόπο από τη μαθηματική κοινότητα στο σύνολό της... ε, μάλλον κάποιος λόγος συντρέχει ;)

"Αυτοί" που βγάζουν αυτές τις "θεωρίες" είναι η ίδια η μαθηματική κοινότητα στο σύνολό της και είναι το απαύγασμα της κατανόησης που έχουμε για την επιστήμη μας. Μπορεί να ήταν ο Hausdorff αυτός που πρώτος πρότεινε τα αξιώματα για έναν τοπολογικό χώρο, αλλά ήταν το σύνολο των τοπολόγων του πρώτου μισού του 20ου αιώνα που τα πήραν, τα έστριψαν από κάθε δυνατή μεριά, τα άλλαξαν, τα βελτίωσαν και έχτισαν πάνω τους το κόσμημα που λέγεται τοπολογία; το ίδιο για τη σύγχρονη ανάλυση; το ίδιο και για τη θεωρία συνόλων (αναφέρω μερικούς από τους κλάδους όπου θα συναντήσεις το κενό σύνολο να είναι μια χαρά φραγμένο).

Sorry αν γίνομαι γλαφυρός και βγαίνω off-topic, αλλά φοβάμαι μήπως έχεις επηρεαστεί από μερικά κακογραμμένα σημεία στα σχολικά βιβλία και συγκρίνεις εντελώς ανόμοια πράγματα όταν λες ότι "αυτοί που βγάζουν αυτές τις θεωρίες θα έπρεπε να προσέχουν περισσότερο". Σίγουρα είναι καθήκον μας να προσπαθούμε να δούμε τα πράγματα με διαφορετικό μάτι, μόνο έτσι προκύπτουν καινούρια μαθηματικά. Όμως, το να λες ότι αυτοί που πρωτοστάτησαν στην κατασκευή αυτού του τόσο αψεγάδιαστου κατασκευάσματος θα έπρεπε να προσέχουν περισσότερο... δεν είμαι σίγουρος τι να καταλάβω...

[/hide]

Cheerio,

Durandal 1707[/quote]
Χαιρόμαστε όλοι εμείς (φαντάζομαι) διαβάζοντας τέτοιου είδους [b]ΠΟΛΙΤΙΚΕΣ[/b] με άποψη συζητήσεις που αφορούν τα μαθηματικά . [b]ΜΠΡΑΒΟ[/b]

Ο χαρακτηρισμός "κουλτουριάρηδες" των μαθηματικών παρά ήταν σκληρός και άδικος θα έλεγα, για κάποιους ανθρώπους. Σίγουρα όλοι αυτοί που προανέφερες Durandal δεν ήταν κάποιοι τυχαίοι άνθρωποι αλλά προσωπικότητες που δόμησαν καταπληκτικές θεωρίες. Σε καμιά περίπτωση δεν αναφερόμουν σε αυτούς. Ισως εκείνη τη στιγμή να ήμουν όντως επηρεασμένος από τις ανακρίβειες και τις ασυναρτησίες που πολλές φορές εμφανίζονται από "επιστήμονες" που τα ισοπεδώνουν όλα. Όλοι αυτοί ουδεμία σχέση έχουν με τον Hansdorff προφανώς. :)  Απλά πολλές φορές μου βγαίνει μια πικρία για τα πολύ συχνά "τυχαία" πράγματα που βλέπουμε όπως πολύ σωστά είπες και εσύ.

Για να επιστρέψουμε τώρα στην επιστημονική μας κουβέντα ...

Οπως ξέρουμε είναι αδύνατο να ορίσουμε όλες τιε έννοιες. Μια από αυτές είναι και η έννοια του συνόλου. Αν για παράδειγμα κάποιος προσπαθήσει να δώσει έναν ορισμό όπως π.χ. " Σύνολο είναι μια καλά ορισμένη συλλογή αντικειμένων" τότε κάποιος άλλος θα αναρωτηθεί τί είναι συλλογή ? Πώς αυτή ορίζεται ?
" Συλλογή είναι μια συνάθροιση αντικειμένων"
και τί είναι συνάθροιση ? πώς ορίζεται ? Μετά από λίγο θα έχουμε εξαντλήσει όλες τις νέες λέξεις που θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε και αυτό γιατί η γλώσσα μας είναι πεπερασμένη.  Συνεπώς δεν ορίζουμε την έννοια του συνόλου αλλά όταν αναφερόμαστε στο "σύνολο όλων των πόλεων της Ελλάδας" ή στο
"σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών" η εικόνα που αποκομίζει ο καθένας για το νόημά τους είναι αρκετά κοντινή με τη δική μας ώστε να είναι δυνατή η επικοινωνία μας.
Ως εκ τούτου δίνοντας τον ορισμό " Αριθμοσύνολο είναι ένα σύνολο του οποίου τα στοιχεία είναι πραγματικοί αριθμοί" σύμφωνα με τα προηγούμενα είμαστε Ο.Κ.
Κανένας δεν παρανοεί. Αν αναρωτηθεί κάποιος για το τί ορισμό δίνουμε στους πραγματικούς αριθμούς ? Κανένα απολύτως. Οι αριθμοί είναι αξιωματική έννοια και σίγουρα κανένας άνθρωπος δεν θα μπερδευτεί όταν πρόκειται να τους ξεχωρίσει από άλλα σύμβολα όπως για παράδειγμα γράμματα.
Σε ότι αφορά ΄το κενό εγώ δεν λέω ότι η θεμελίωση της επιστήμης της τοπολογίας είναι λάθος ή ότι η ίδια αυτή επιστήμη δημιουργεί ψευδαισθήσεις ή ουτοπίες αλλά
Η βάση της και η θεμελίωσή της προϋποθέτει να δεχτούμε το κενό σύνολο σαν το μικρότερο δυνατό σύνολο από όλα εκείνα που έχουν στοιχεία πραγματικούς αριθμούς και μόνο. ( αν δεν κάνω λάθος ) και σ΄ αυτό το σημείο είναι η ενστασή μου γιατί όπως είπα η αξιωματική ύπαρξη του κενού δεν αφορά μόνο στα αριθμοσύνολα αλλά σε οποιουδήποτε είδους σύνολο.

Πιστεύω ότι στην ερώτηση του Γιώργου αν το κενό σύνολο είναι φραγμένο ίσως η πιο σωστή απάντηση να ήταν ότι οι τοπολόγοι δέχονται ότι αυτό είναι φραγμένο
( και γιατί όχι η Μαθηματική κοινότητα ).
Αν με ρωτήσεις όμως, γενικά πιστεύω ότι δεν μπορώ να απαλλαγώ της αρχικής μου πεποίθησης ( προς το παρόν γιατί σίγουρα διαβάζοντας περισσότερο και ψάχνοντας πολλές φορές αναθεωρούμε.

Τα όσα αναφέρονται παραπάνω σε καμία περίπτωση δεν υπονομεύουν τις νεότερες θεωρίες τοπολογίας και ανάλυσης προς θεού. Όπως είπες είναι αψεγάδιαστα κατασκευάσματα. Απλά εκφράζω μια διαφορετική άποψη σε εκείνο το σημείο που γίνεται η αρχή.

Νομίζω ότι ούτως η άλλως ένας τέτοιος διάλογος δεν μπορεί παρά να μας έβγαλε όλους ωφελημένους.

Durandal  σε ευχαριστώ  ! :)

Φίλε Βαγγέλη,

Είχα ξεχάσει να απαντήσω στο συγκεκριμένο post και είναι ένα λεπτό σημείο που έχει αρκετή σημασία.

Προφανώς κατανοητά όσα λες, πρέπει να ξεκινήσεις από κάποιες έννοιες τις οποίες ούτε να τις ορίσεις αξιωματικά μπορείς, ούτε τίποτα, και απλώς θα πρέπει όλοι οι μαθηματικοί να συμφωνούμε διαισθητικά στο τι αυτές σημαίνουν. Το θέμα είναι να περιορίσουμε στο ελάχιστο δυνατό τις έννοιες που δεν μπορούμε να ορίσουμε με ακρίβεια ώστε στο τέλος, στη βάση των μαθηματικών, να υπάρχουν όσο το δυνατόν λιγότερες "ασαφείς", πρωταρχικές έννοιες που δεν επιδέχονται αυστηρό ορισμό.

Στα σύγχρονα μαθηματικά, τρεις είναι οι έννοιες που θεωρούνται πρωταρχικές και δεν ορίζονται και όλοι οι μαθηματικοί συμφωνούμε σιωπηρά για το τι αυτές σημαίνουν: η έννοια της κλάσης (class), η έννοια του στοιχείου (element) και η έννοια του ένα στοιχείο να ανήκει σε μία κλάση (membership).

That's all! Με βάση μόνο αυτές τις τρεις έννοιες, μπορείς να ορίσεις και να κατασκευάσεις τα πάντα στα μαθηματικά, ακόμα και τους φυσικούς ή τους πραγματικούς αριθμούς (ψάξε πχ για τις τομές Dedekind; μέσω αυτών ορίζονται οι πραγματικοί αριθμοί). Οπότε, που θέλω να καταλήξω? Ότι τα σύνολα ως έννοια είναι πραγματικά πιο θεμελιώδης και πιο βασική από τους αριθμούς: ξεκινώντας από την έννοια του συνόλου μπορείς να φτιάξεις την έννοια του αριθμού, ενώ το αντίστροφο δεν ισχύει.

Γι'αυτό είναι πολύ καλύτερο να χρησιμοποιείς τα σύνολα γενικά ως βάση της διαίσθησής σου σε θέματα ορισμών, παρά τους πραγματικούς αριθμούς. Οι αριθμοί δεν είναι αξιωματική έννοια, είναι [i]κατασκευές[/i]. Θεμελιωδέστατες ίσως, αλλά [i]κατασκεύες[/i] παρολ'αυτά.

[quote]
Ως εκ τούτου δίνοντας τον ορισμό " Αριθμοσύνολο είναι ένα σύνολο του οποίου τα στοιχεία είναι πραγματικοί αριθμοί"
[/quote]

Ok, σίγουρα καταλαβαίνω που το πας και τι εννοείς, αλλά επίτρεψέ μου να γίνω λίγο σπαστικός. Αν είναι να μιλάμε με ακρίβεια... με βάση αυτόν τον ορισμό και πάλι το κενό είναι "αριθμοσύνολο" ;) Διότι, έστω ότι δεν είναι αριθμοσύνολο. Τότε θα υπάρχει κάποιο $ z\in\varnothing$ που να μην είναι πραγματικός αριθμός. Όμως, η πρόταση $ z\in\varnothing$ είναι ψευδής, άρα και η πρόταση $ z\in\varnothing$ ώστε ο $ z$ να μην είναι πραγματικός αριθμός θα είναι επίσης ψευδής. Άρα το κενό είναι "αριθμοσύνολο" :(

Πρακτικά, αυτό που λες παραπάνω είναι ότι "αριθμοσύνολο" είναι κάθε υποσύνολο του $ \mathbb{R}$ (άρα και το κενό $ \varnothing$... δεν ξέφυγες). Αν θέλεις να ξεφορτωθείς το κενό από τον ορισμό σου, θα πρέπει να χρησιμοποιήσεις πιο δραστικά μέσα και να πεις:

Αριθμοσύνολο είναι ένα σύνολο που έχει τουλάχιστον ένα στοιχείο και του οποίου όλα τα στοιχεία είναι πραγματικοί αριθμοί, ή, ισοδύναμα:

Αριθμοσύνολο είναι ένα [i]μη κενό[/i] σύνολο του οποίου τα στοιχεία είναι πραγματικοί αριθμοί.

Οπότε, με "διαίσθηση" και μόνο, ή με τη χρήση της έννοιας του αριθμοσυνόλου (χωρίς την παραπάνω διευκρίνηση), δεν τη γλυτώνεις από το κενό τόσο απλά  :!:  :(  Για να το βγάλεις από τη μέση, πρέπει να το δηλώσεις ξεκάθαρα ότι το βγάζεις από τη μέση στον ορισμό του αριθμοσυνόλου (και μετά να ορίσεις την έννοια του φράγματος πάνω στα αριθμοσύνολα).

Ok, λοιπόν, το κάναμε, το ξεφορτωθήκαμε (ουφ! καλά ξεκουμπίδια!) και το κενό πλέον, με τον παραπάνω ορισμό, δεν μπορεί να θεωρείται αριθμοσύνολο. Bye bye!!!

Το ζήτημα είναι τι κερδίζεις με αυτήν την ιστορία... Ναι μεν προστατεύεις τη διαίσθησή σου από το να πρέπει να ασχοληθεί με ερωτήματα του τύπου αν το κενό είναι φραγμένο, αλλά περιπλέκεις αχρείαστα τους ορισμούς σου και τη θεωρία σου επειδή θα πρέπει πάντα να κουβαλάς ένα "μη κενό" σε ορισμούς και θεωρήματα. Kοίτα τώρα τι γίνεται: μέχρι και το επίπεδο του Λογισμού (βάλε και ακολουθίες/σειρές/δυναμοσειρές μέσα) μπορείς να τη γλυτώσεις μια χαρά, χωρίς να συναντήσεις προβλήματα γιατί όλο πάνω στην πραγματική ευθεία δουλεύουμε με συνεχείς συναρτήσεις και ολοκλήρωση Riemann και... ε, δεν είναι πολύ άσχημα τα πράγματα εκεί.

Όταν όμως θελήσεις να κάνεις πιο γενικά πράγματα και υψηλότερη Ανάλυση, να κάνεις θεωρία μέτρου, ολοκλήρωση Lebesgue ή συναρτησιακή ανάλυση όπου η έννοια του πραγματικού αριθμού χάνει τη σημασία που έχει στο λογισμό, τότε θα πληρώσεις πολύ υψηλό τίμημα με μία τέτοια διάκριση.

Αυτά :) Ευτυχώς που χιονίζει που και που για να γλυτώνουμε καμιά μέρα από τη δουλειά και να μπορούμε να ασχολούμαστε με κάτι διαφορετικό :D

Cheerio,

Durandal 1707


The figure below consists of a large circle with successively smaller inscribed equilateral triangles and circles. The area of the smallest circle is $ 4\pi$ square meters. How many square meters are in the area of the largest circle? Express your answer in terms of $ \pi$.

[asy]path smallest_circle = circle(0,2);
			path middle_circle = circle(0,4);
			path largest_circle = circle(0,8);
			path small_triangle = (0,4)--(2*sqrt(3),-2)--(-2*sqrt(3),-2)--cycle;
			path large_triangle = (0,8)--(4*sqrt(3),-4)--(-4*sqrt(3),-4)--cycle;
			draw(smallest_circle);
			draw(middle_circle);
			draw(largest_circle);
			draw(small_triangle);
			draw(large_triangle);[/asy]

We know the little circle has a radius of 2. Now, in an equilateral triangle, the perpendicular bisectors = the medians = the angle bisectors = the altitudes, all of which are concurrent at the incenter. In other words, they meet at the center of our smallest circle. If we draw in these perpendicular bisectors, there are some 30-60-90 triangles, because perpendicular bisectors = angle bisectors. We know the radius of the circle, 2, is the shorter leg, so the longer leg, which is half the side length of the triangle, is $ 2\sqrt{3}$.

To find the radius of the medium circle, we keep the perpendicular bisectors and see that the radius is simply half the altitude of the triangle. Since the side length is $ 4\sqrt{3}$, we see that by the Pythagorean Theorem, this is 6.

With similar logic, the larger triangle has side length $ 12\sqrt{3}$, and the larger circle has radius 8, and area $ 64\pi$.


geometry
incenter
perimeter
geometric transformation
reflection
geometry unsolved

Two equal-radii circles with centres $ O_1$ and $ O_2$ intersect each other at $ P$ and $ Q$, $ O$ is the midpoint of the common chord $ PQ$. Two lines $ AB$ and $ CD$ are drawn through $ P$ ( $ AB$ and $ CD$ are not coincide with $ PQ$ ) such that $ A$ and $ C$ lie on circle $ O_1$ and $ B$ and $ D$ lie on circle $ O_2$. $ M$ and $ N$ are the mipoints of segments $ AD$ and $ BC$ respectively. Knowing that $ O_1$ and $ O_2$ are not in the common part of the two circles, and $ M$, $ N$ are not coincide with $ O$.

Prove that $ M$, $ N$, $ O$ are collinear.

Lemma: $ I$ is incenter of a $ \triangle ABC,$ $ M$ is midpoint of $ BC,$ and $ E \in AB, F \in AC$ are points on its sidelines, such that $ \overline{EB} = \overline {FC}.$ Parallel $ m \parallel AI$ through $ M$ cuts $ EF$ at its midpoint $ D.$ (Posted before.)

Parallel $ m \parallel AI$ through $ M,$ cutting the lines $ AB, AC$ at $ K, L,$ is perimeter cleaver of the $ \triangle ABC$ $ \Longrightarrow$ $ \overline{KB} = \overline {LC} = \frac {_1}{^2} ({\overline{AB} + \overline{AC}),}$ $ \overline{AK} = \overline{LA} = \frac {_1}{^2} (\overline{AB} - \overline{AC})$ $ \Longrightarrow$ $ \overline{KE} = \overline{KB} - \overline{EB} = \overline{LC} - \overline{FC} = \overline{LF}.$ By Menelaus for the $ \triangle AEF$ cut by transversal $ DKL,$ we have $ \frac {\overline{DF}}{\overline{DE}} = \frac {\overline{LF}}{\overline{LA}} \cdot \frac {\overline{KA}}{\overline{KE}} = - 1$ $ \Longrightarrow$ $ D$ is midpoint of $ EF.$

Problem: $ (O_1) \cong (O_2)$ and $ \angle APC = \angle BPD$ $ \Longrightarrow$ $ AC = BD.$ Let $ AB, CD$ meet at $ X.$ From cyclic $ PQAC, PQDB,$ $ \angle CAQ = \angle DPQ = \angle DBQ$ and $ \angle BDQ = \angle APQ = \angle ACQ$ $ \Longrightarrow$ $ \triangle QAC \cong \triangle QBD$ by ASA, their Q-altitudes are equal $ \Longrightarrow$ $ XQ$ bisects the angle $ \angle AXD = \angle CXB.$ (Also posted before.) By the above lemma, $ MN \parallel XQ.$ Midpoint $ K$ of $ XP$ is on the Newton line $ MN$ of complete quadrilateral $ (AB, CD, AC, BD)$ with diagonals $ AD, BC, XP.$ But $ KO \parallel XQ$ is midline of the $ \triangle XPQ$ $ \Longrightarrow$ $ O \in MN.$

My solution:
W.L.O.G CD is between P,Q.
Let $ AP \cap CQ \equal{} \{ I \},BP \cap DQ \equal{} \{ J \}$.$ L$ is midpoint of $ IJ$.Applying Gauss's theorem to the complete quadrilateral $ PCQDIJ$ we conclude that $ O,N,L$ are collinear.Then it's suffice to prove that $ N,M,L$ are collinear.
The spiral similarity that took $ AC$ to $ DB$ has center $ Q$ and $ R_(O_1) \equal{} R_(O_2)$ then $ \triangle ACQ \cong \triangle DBQ$,then $ QA \equal{} QD$ and $ QB \equal{} QC$.It follows that $ \triangle QAI \cong \triangle QBJ$ then $ IA \equal{} JB$,similar $ ID \equal{} JC$.So $ \frac {\overline{IA}}{\overline{ID}} \equal{} \frac {\overline{JB}}{\overline{JC}}$.Use the E.R.I.Q theorem (posted here:[url]http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?p=1534951#1534951[/url]) to the tranversals $ \overline{IAD},\overline{JBC}$with$ \frac {\overline{LI}}{\overline{LJ}} \equal{} \frac {\overline{MA}}{\overline{MB}} \equal{} \frac {\overline{ND}}{\overline{NC}} \equal{} \minus{} 1$ we have $ N,M,L$ collinear,which ends the proof.
[img]http://img37.imageshack.us/img37/1874/eriq.jpg[/img]

$ \vec{OM} \equal{} \frac {1}{2}(\vec{O_1A} \plus{} \vec{O_2D}), \vec{ON} \equal{} \frac {1}{2}(\vec{O_1C} \plus{} \vec{O_2B})$
So we need to prove that $ \vec{OM}//\vec{ON}$
Construct 2 lines which pass through $ O_2$ and parallel to $ O_1A$, pass through $ O_2$ and parallel to $ O_1C$, they cut $ (O_2)$ at $ L,K$.
We only need to show $ \angle DO_2K \equal{} \angle BO_2L$
$ \Leftrightarrow \angle DO_2O_1 \plus{} 180^o \minus{} \angle CO_1O_2 \equal{} \angle AO_1O_2 \plus{} 180^o \minus{} \angle BO_2O_1$
$ \Leftrightarrow \angle AO_1C \plus{} \angle PO_1Q \equal{} \angle BO_2D \plus{} \angle PO_2Q$
$ \Leftrightarrow \angle AO_1C \equal{} 2\angle APC \equal{} 2\angle DPB \equal{} \angle DO_2B$ (right!)
$ \rightarrow$ QED

Let $ OB$ and $ OD$ intersect circle $ (O_1)$ at $ B'$ and $ D'$, respectively (notice this is a reflection over $ O$).

As $ \angle APC \equal{} \angle BPD$, arcs $ AC$ and $ BD$ are equal. This implies arcs $ AC$ and $ B'D'$ are equal, so $ AD' \parallel{} B'C$.

Now, as $ M$ and $ O$ are the midpoints of $ AD$ and $ D'D$ respectively, $ MO \parallel{} AD'$

Similarly, as $ N$ and $ O$ are the midpoints of $ CB$ and $ B'B$, respectively, $ NO \parallel{} B'C$

Then we get $ MO \parallel{} NO$, and the result follows.


x^2 + 18x + 30 = 2 √(x^2 + 18x + 45)
find the product of real roots

shouldnt it be easy to make x^2 + 18x + 30 = to y, then solve for y, then solve for x?

Yeah, that's pretty much how you do it, except you have to be careful to make sure to get the right number of roots. If you make a bad substitution, it is possible to get either too many or too few roots.


Soroban wrote:Quote:A water-filled spherical balloon lands on a sidewalk, momentarily flattening to a hemisphere.
 What is the ratio of the radius of the spherical balloon to the radius of the hemisphere?
Express your answer as a common fraction in simplest radical form.
[hide]
The sphere has radius r and volume (4/3)[pi]r3

The hemisphere has radius R and volume (2/3)[pi]R3

Since the volumes are equal: (4/3)[pi]r3 = (2/3)[]pi]R3

Hence: r3/R3 = 1/2 ---> r/R = 1/cbrt(2)
[/hide]

Aren't these a little easy for you, Soroban?

[hide]

Undefined. It would probably pop  .

Assuming it didn't pop, it would be half the area. Since it's a 3-D object, it would be (1/2)^(1/3) or 1/(2)^(1/3).

[/hide]

[quote="dengmi"]When you say it flattens, does it turn into a 2-D shape?[/quote]

A hemisphere is half of a sphere. The bottom half of the balloon flattens into nothing, while the top half retains it's shape.

Well, it doesn't turn into 2-D o_O . The water just transfers upwards.

[quote="RC-7th"][quote="yif man12"][quote="dengmi"]When you say it flattens, does it turn into a 2-D shape?
[hide]If it does, the answer is r:sqrt(3r)/8.[/hide]
[hide]If it doesn't, the answer is r:r/cbrt(2)[/hide][/quote]

How does a 3D shape turn into 2D?[/quote]

Drop an egg from a really really really high distance. With some luck, you'll get a super super super thin shape.[/quote]

Super super thin, yes. But 2D?

Just photograph the egg and upload it into your computer  :D  hehe

But that's not an egg, it's a photograph. And were talking about a water balloon, not an egg.

Hold on, if the water balloon hits the ground that THAT much force, how does it manage to not pop?
[hide="my answer"]
(4/3)r^3 :pi: = (2/3) :pi: R^3
4r^3 :pi: = 2R^3 :pi:
4r^3 = 2R^3
r^3/R^3=1/2
r/R = 1/cbrt(2)[/hide]

[quote="dwx314"]
Hold on, if the water balloon hits the ground that THAT much force, how does it manage to not pop?[/quote]

That's physics.  ;)

[hide]to the original question:
let the radius of the original ballon be r, and or the hemisphere be R
this question is really a volume question: The volume must remain the same in a smaller space so:
4/3 pi*r^3 = 4/3pi*R^3 *1/2
so we get:
r^3 = R^3/2
so the ratio of the cubes of the radii is:
r^3/R^3 = 1/2
so the ratio is just:
r/R = 1/(cbrt2)= (cbrt4)/2[/hide]
[quote]dwx314 wrote:

Hold on, if the water balloon hits the ground that THAT much force, how does it manage to not pop?
That's physics.[/quote]
that's right

In the world of math problems, anything is possible :P .

[quote="MCrawford"]A water-filled spherical balloon lands on a sidewalk, momentarily flattening to a hemisphere.  What is the ratio of the radius of the spherical balloon to the radius of the hemisphere?  Express your answer as a common fraction in simplest radical form.[/quote]

[hide="how it was done"]Let the radius of the spereical baloon be one
4pi/3=2pi*r^3/3
r^3=2
r=cube root 2
[hide="the answer"]1/cbrt2[/hide][/hide]


geometry
analytic geometry
search
geometry unsolved

[quote="Johann Peter Dirichlet"]A clarification: what is the order of triangles? Something like A(F)B(D)C(E)?[/quote]

what u mean?

[quote="Johann Peter Dirichlet"]Posting another way:

I can suppose that
D is between B and C
E is between C and A
F is between A and B

?

I am trying to solve it using baricentric coordinates and such.[/quote]

Yes that is true.and also u can suppose that $ D$ is on for example $ CA$

[quote="behdad.math.math"]$ \triangle DEF$ are inscribed in $ \triangle ABC$(vertices of $ \triangle DEF$ are on the sides of $ \triangle ABC$). $ H_a$,$ H_b$,$ H_c$ are orthocenters of $ \triangle AEF$,$ \triangle BFD$,$ \triangle CDE$.prove that $ S_{DEF} \equal{} S_{H_aH_bH_c}$[/quote]

Considering a very simple problem :

In $ ABCDEF$,If we have $ AB//DE,BC//EF,CD//FA$,we may prove that $ S_{\triangle ACE} \equal{} S_{\triangle BDF}$.

Look at the figure,we have $ S_{\triangle BDF} \equal{} \frac{1}{2}(S_{ABCDEF} \minus{} S_{Yellow \ area})$.

For

$ S_{Yellow \ area} \equal{} S[|AB \minus{} DE|,|BC \minus{} EF|,|CD \minus{} FA|]$.

see also [url=http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?search_id=1699477830&t=299022]here[/url] for a similar problem.(topic #7)


Arnav is participating in a Mathcounts-test eating session, which begins at 12:00 AM. In the first five hours, he eats 2600 tests, but during that time, his eating rate detiriorates by 5 tests an hour, and the detirioration continues until he can no longer eat. Alex is slightly more passionate about eating, but joins Arnav in eating only after Arnav eats for five hours. He eats 1000 tests in the first hour that he eats, and his eating rate increases by 5 tests an hour, and will increase until the end of time. The rest of the IMO team observes and notes that after a certain number of hours, they have eaten exactly 19000 total tests. At what time did they make their observation?

[hide="hint"]What's so special about the detirioration rate of Arnav's eating in comparison to the increase rate of Alex's eating? What does this tell us?[/hide]

Eh it seems that I miscalculated when I originally wrote the problem.

You are still incorrectly computing the number of tests that Arnav eats, I believe.

[hide="solution"]Arnav's eating rate detiriorates at the exact same rate that Alex's eating rate increases. Therefore, when they are eating at the same time, the number of tests they eat per hour is constant.
Arnav eats 510 tests in the fifth hour eating alone, 505 in the first hour eating together with Alex. Alex eats 1000 in this hour. Since their sum remains constant, from the sixth hour on, they eat 1505 per hour. Hence, 2600+1505(h-5)=21840, meaning h=11. Hence, it is 11:00 AM when the rest of the IMO team makes this observation. [/hide]


function
algebra
domain
LaTeX
group theory
abstract algebra
logarithms

:)  Here is a nice problem for you enjoyment:

[b]Problem. [/b] (Darozy) Find all continuous functions $f : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}$ satisfying the functional equation
\[
f(x^2+xy) + f(y^2+xy) = f(2x^2) + f(2y^2).
\]

 :)

--Vess

$x=0: f(y^2) = f(2y^2)$, as the domain is positive, $f(a) = f(2a)$ for all a. Let $f(a) = c$. As $lim_{x->infinity}\frac{a}{2^x} = 0$, and it is continuous, every value about 0 has the same value, c... so it is a constant function. Is this rigourous enough?

PS: what is latex for infinity?

First of all one question to [b]vess[/b]: do you mean by $\mathbb{R}^{+}$ positive reals without 0, or not?
To [b]kueh[/b]: infinity=\infty and "->" =\rightarrow.

$\mathbb{R}^+$ is meant to represent the [b]strictly[/b] positive reals. So, kueh, your solution is incorrect (you cannot put $x=0$). Furthermore, there is no such thing that the functional equation $g(2x)=g(x)$ and the continuity of $g : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}$ implies that $g \equiv \mathrm{const}$: we may define $g$ as an arbitrary continuous function on the interval $[1,2]$ satisfying $g(1)=g(2)$, and then distribute it on $\mathbb{R}^+$ using the functional equation. Basically, you may not assume continuity around $0$; the problem is not that easy.

I found that any such function must verify $ f(x)+f(y)=2f(\frac{x-y}{lnx-lny})$ but I have no idea how such a function could look like. Magnificient problem. Can anyone find such a function?

[quote="vess"] continuous $f : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}$
\[
f(x^2+xy) + f(y^2+xy) = f(2x^2) + f(2y^2).
\]  [/quote]

Letting $y=2x$  you get, in addition to the relation $f(t) = t(2t)$,
$f(t) = f(3t)$.  As  2 and 3 generate a dense subgroup of the positive
reals (their logarithms are incommensurable), $f$ is constant.

What/who is Darozy?

But why it is a priori clear that $f(2t)=f(t)$?  :?  $f$ may be discontinuous at $0$ so you cannot take $y \to 0+0$ ...

Prof. Zoltan Daroczy is the person who has formulated/solved this problem :)

[quote="vess"]But why it is a priori clear that $f(2t)=f(t)$? [/quote]  Yes, sorry, I just assumed this from above without reading the thread carefully.

I reach exactly the same point as Harazi (and the same admiration for the
problem) upon writing the equation as
$f(a) + f(b) = f(c) + f(d)$  and computing the map  $(a,b) \to (c,d)$.
It is not hard to write formulas for the n'th iteration of the map for all positive
or negative integer $n$;   if you have $(c,d)$ with $c \leq d$  then there is a unique
pair $a \leq b$ from which it originates and one can write formulas because $a-b$ is doubled and $a/b$ is squared under the transformation.
As $n \to - \infty$, $a$ and $b$ converge to $(a-b) / log (a/b)$  and one gets Harazi formula.
The formula for $n >0$ is very nice, as well:  $a^{2^n}$ divided by $\Pi (a^{2^i}+b^{2^i})/2$

It would be interesting to know how Mr. Zoltan D. found this problem...

See also [url=http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?p=161050#p161050]harazi's thread[/url]

I solved his question (only constants work). That should translate to a solution here.
I didn't use continuity there- it's probably only a convenience here as well.

We need the continuity to reduce the problem to harazi's equation
\[
f\Big( \frac{x-y}{\ln{x} - \ln{y}} \Big) = \frac{f(x)+f(y)}{2}.
\]

We wish to find a continuous function $f$
on a convex smooth curve (here $y = log x$)  such that
if $AB$ and $CD$ are parallel with $A,B,C,D$ on the curve, then

$f(A) + f(B) = f(C) + f(D)$.

Equivalently, Harazi's equation  $f(A)+f(B) = 2 f(P)$  where the tangent to
the curve at $P$ is parallel to $AB$.   The particular formula for $P$ in the
case of the logarithm curve, is the one in his equation.   To avoid topological
obstructions (for a circle, $f$ is angle measure) assume that the curve has at
most one tangent line in any direction.

Clearly $f$ is unique if it exists (up to linear transformations $f \to af+b$).
One can specify that $f(P_0)=0$ and $f(P_1)=1$ and this determines all other
values of $f$.  Using Harazi's formula to compute a unique point
with $f(P_{\frac {1}{2}})=1/2$, then the points where $f = 1/4$ or $3/4$, etc.

This determines $f$ from the information for just one direction of the parallel lines.
The question is whether this $f$ also satisfies the functional equation for all other
directions.

If the equation turns out not to have nontrivial solutions for $y = log(x)$ one
can still try to identify those curves for which a solution exists. Circular arcs
are one example.

[quote="fleeting_guest"]Using Harazi's formula to compute a unique point
with $f(P_{\frac {1}{2}})=\frac12$[/quote]

The point of my argument is that such points are [b]not[/b] unique- it all depends on the order you do the calculations. Only a few particularly nice curves such as $y=x^2$ will allow any solution.

As for continuity here, I know that it was used to reduce  the problem. I don't have a full solution without it, but I suspect that one is possible with a lot of work.

[quote="jmerry"][quote]compute a unique point with $f(P_{\frac {1}{2}})=\frac12$[/quote]

The point of my argument is that such points are [b]not[/b] unique- it all depends on the order you do the calculations. [/quote]

I didn't work through your argument yet, but I would phrase that differently.
There is clearly uniqueness in that at most one continuous function $f$ satisfies the constraints, for the reasons I mentioned, and the points $P$ computed in the
construction are also unique due to the assumptions about the curve.
In other words, nothing is wrong in what you quoted.

What you apparently have proved, is that the requirements on the function
for two different directions of the tangent line, are inconsistent, so that
the number of nontrivial solutions is zero rather than one.

[quote]Only a few particularly nice curves such as $y=x^2$ will allow any solution.[/quote]
I guess any arc of a conic will do, because one can linearly transform a circle.
Is that how you found the parabola, or were you able to find some general constraints on the curve?

A variation on my argument, and why I said "not unique". Construct as you did points $a,b,c,d,e$ where $f(a)=0,f(b)=1,f(c)=\frac12,f(d)=\frac14,f(e)=\frac34$. Now find another point $p$ from $d$ and $e$ with $f(p)=\frac12$. In most situations, we will have $p\neq c$. I can see why you would consider this inconsistency rather than failure of uniqueness, but it is a different point with the same value.
[quote="fleeting_guest"]I guess any arc of a conic will do, because one can linearly transform a circle. [/quote]
Actually, that had nothing to do with a circle- the points constructed for that parabola are the arithmetic means, and the system of weighted arithmetic means are consistent. This would give the functional equation $f(x)+f(y)=2f\left(\frac{x+y}2\right)$, which has plain boring linear functions as solutions.

Once we're here, we definitely need continuity to eliminate horrible things with dense graphs.

This isn't the only solution- $y=\frac1x$ gets you geometric means, which gets you logarithmic solutions.

The semicircle $y=\sqrt{1-x^2}$ gets you angular averages: $f(u)+f(v)=2f\left(\sin\left(\frac{\sin^{-1}u+\sin^{-1}v}{2}\right)\right)$, which has $\sin^{-1}$ as a solution.

Dilation in $x$ and in $y$ merely dilate solutions, and translation is fine, but you can't really use anything else without changing everything.

Some tilted conic sections might generate solutions, but I haven't run any.
As you can see, the solutions for the conic sections all come out differently; you could probably find one ($y=\sqrt{x^2+1}$?) to generate inverse hyperbolic functions. Beyond that, I have no idea if anything works.

[quote="jmerry"]
[quote="fleeting_guest"]I guess any arc of a conic will do, because one can linearly transform a circle. [/quote]
Actually, that had nothing to do with a circle- the points constructed for that parabola are the arithmetic means, and the system of weighted arithmetic means are consistent. This would give the functional equation $f(x)+f(y)=2f\left(\frac{x+y}2\right)$, which has plain boring linear functions as solutions. [/quote]

I think one can prove that arcs of conics are the only possibilities.
Take points $A_1, B_1$ on the curve, draw parallel lines through them in two different directions,
intersecting the curve in $A_2, B_2$ and $A_3, B_3$.  Then by the functional equation and injectivity
of the function, lines $A_2 A_3 || B_2 B_3$.   By the converse of Pascal's theorem, all 6 points lie
on a conic.   QED.

In particular this confirms your statement that constant $f$ are the only continuous solutions for
the curve $y = log(x)$ and Harazi's equation.

[quote]Once we're here, we definitely need continuity to eliminate horrible things with dense graphs.[/quote]

Are there any injective linear $f$ with the wild graphs?

[quote] Dilation in $x$ and in $y$ merely dilate solutions, and translation is fine, but you can't really use anything else without changing everything. [/quote]

I don't understand the objection.  The geometric formulation of the problem is affine-invariant and
one can just transform any ellipse to a circle, use the angle-measure $f$ on the circle and transport back to the ellipse.  From that and your observation about $x^2$ it's a natural guess that any conic works, and then the proof above.

I was too fixated on the $x$-axis there as the domain. Now I see how affine transformations work- just define the function on the curve, then project back to one dimension to read it as a normal function.

[quote="fleeting_guest"]Are there any injective linear f with the wild graphs? [/quote]
Find a Hamel basis of $\mathbb{R}$ over $\mathbb{Q}$. Permute it. Extend to a linear map.
They don't even have to be injective or surjective.

I just looked at the geometric argument there. You actually get $A_2B_3 || A_3B_2$. These are the proper conditions for Pascal's theorem, so we should have a conic.

As for the full variety of solutions (one or two nontrivial representatives per curve):

Ellipses and circles: $\sin^{-1}(ax+b)$ for constants $a,b$.
Parabolas with vertical axis: $x$
Parabolas with non-vertical axis: $\sqrt{a+x}$ or $\sqrt{a-x}$ for some constant $a$.
Hyperbolas with vertical asymptote: $\ln(a+x)$ or $\ln(a-x)$ for some constant $a$.
Hyperbolas with non-vertical asymptote: $\sinh^{-1}(ax+b)$ for constants $a,b$.

These are written as functions of $x$- the way the projection to the $x$-axis works does depend on tilt.
For the hyperbolas, there are two choices depending on branch.

[quote="jmerry"]I just looked at the geometric argument there. You actually get $A_2B_3 || A_3B_2$. These are the proper conditions for Pascal's theorem, so we should have a conic.[/quote]
One may (I am not certain) need to add the following observation for the Pascal argument to work:
By Pascal, any $6$ points whose $f$-values are in arithmetic progression, lie on a conic.
Therefore, any $n \geq 6$ such points also lie on a conic.  For continuous $f$ you can find such
an arithmetic progression of points of any length, between any two points on the curve.
By taking progressions of lengths, say, $2^n$ with $n \to \infty$ between any two points, the entire arc between them is a conic.

I don't see at the moment whether this additional observation is really necessary.
It would be really nice if the geometric condition alone, without any function $f$, allowed
for elliptic curves... (but I guess it's just conics).

[quote] the full variety of solutions (one or two nontrivial representatives per curve):[/quote]
It seems like the solutions represents "angle" measure (computed using areas as on a hyperbola,
not lengths as on a circle) with respect to the symmetry group for each curve, i.e. $f(A) - f(B)$ is proportional to the angle-like parameter of the motion taking $A$ to $B$.

It seems that the additional argument above doesn't require the existence of any function $f$, just smoothness of the curve and the geometric condition for any 6 points on the curve.  The argument about arithmetic progressions can be replicated without $f$, by taking two nearby points $P_0$ and $P_1$, constructing $P_2$ so that $P_0 P_2$ is parallel to the tangent line at $P_1$, and then constructing the "multiples" $P_n$ using the geometric condition.  If $|P_0 P_1| \to 0$ we get a construction of $n \to \infty$ points on the curve, all lying on the same conic, and from this one can finish the problem.

The conic version of this problem is indeed a degeneration of the cubic case, where elliptic functions appear.   The situation above, with parallel lines on a conic is that of a conic and the line at infinity, i.e. conic + line = degenerate (reducible) cubic.

Given pairs of points $[A, B]$ on a cubic curve, let us say that $[A,B]$ is [i]equidistant[/i] with $[C,D]$ if the point of intersection $AD \cap BC$ is on the cubic.  The statement "equidistance is a transitive relation" is simply the configuration usually used to prove Pascal's hexagon via Bezout's theorem for plane curves (see the diagram in Hartshorne's book).  Here there are 9 points on the given cubic, a degenerate cubic (union of 3 lines) going through the 9 points, a second triple of lines going through at least 8 of the points, and therefore (by the Bezout argument) going through all 9 points.

So the elliptic functional equation would be

$f(A) + f(D) = f(B) + f(C)$  for equidistant $[A,B]$ and $[C,D]$.

Here $f$, modulo transformations $f \to af + b$, is the invariant measure on the elliptic curve (i.e. $f(A) - f(B)$ is integral from $A$ to $B$ of the invariant differential on the curve).

The next question is whether there is a very simple formula producing nice pairs $A,B,C,D$ (or their $x$-coordinates) as in Darozy's equation at the start of this thread, for some particular cubic curve.  One would then have a simple functional equation with a very nontrivial solution in elliptic functions.  I find this aspect of Darozy's original problem quite mysterious; the simple form of the equation (even for the curve $y = log x$) seems very fortunate.


integration
real analysis
real analysis unsolved

Set $ f : \equal{} \sum_{n\equal{}1}^\infty |g_n|$ and $ N : \equal{} \{x \in \mathbf R \mid f(x)\equal{}\infty\}$ (your set).

1) If $ \sum_{n\equal{}1}^\infty \int |g_n|<\infty$ then $ f \in L^1(\mathbf R)$, hence it is mandatory that $ N$ have zero measure.

2) If $ N$ has zero measure then take a sequence $ (X_n)$ of disjoint subsets of $ \mathbf R$ each of measure 1 so that $ \mathbf R \equal{} \bigcup_{n\equal{}1}^\infty X_n$. Set
\[ g_n(x) \equal{}
  \begin{cases}
    2^{\minus{}n}\chi_{X_n}(x), & \text{ if } x \in X \setminus N, \\
    n, & \text{ if } x \in N.
  \end{cases}\]
This sequence satisfies all the required properties.


Ενα απο τα καλυτερα βιβλια που εχουν γραφτει στην θεωρια αριθμων
απο γνωστες του αντικειμενου. Το βιβλιο καλυπτει αναγκες και Λυκειου
και Πανεπιστημιου.

Link : http://www.mediafire.com/?xzmbxm0yczk

Ευχαριστώ πολύ. :clap2:  :clap:  :thumbup:

Παιδια μπορει να το ξανανεβασει καποιος?


function
trigonometry
algebra
domain
complex analysis
complex analysis unsolved

Give the Laurent series expansion for the function $ f(z)$ centered at $ z_0$. State the possible domains.

$ f(z) \equal{} e^z\sin z$ $ z_0\equal{}0$

Here, I see I will get two series multiplied together. I do not see how to get one Laurent series expansion for this one though. Any hints would be nice. Thanks in advance.

write sine in terms of exp, so your problem involves two exp terms.

I was wondering if someone can check this.

From what I understand this is the Taylor series expansion. However, the problem is asking for the Laurent series and the domain. So far I have

$ e^z \sin(z) \equal{}$

$ (1\plus{}z\plus{}z^2/2\plus{}z^3/6\plus{}z^4/24\plus{}\cdots)(z\minus{}z^3/6\plus{}z^5/120\minus{}z^7/5040\plus{}\cdots)$
$ \equal{}z\plus{}z^2\plus{}z^5/120\minus{}z^7/5040\plus{}\cdots.$ However, this is not in series notation and I do not know the domain either. I am stuck here. I need some direction on how to get the Laurent series. Thank you.


algebra
polynomial
linear algebra
linear algebra unsolved

Here is a nice problem from a romanian contest :

Let $ A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb R)$, $ n \in \mathbb{N} , n\geq 2$ .Prove that:

a) If $ P \in \mathbb R[X]$ , $ P(X)\equal{}a_{m}X^m\plus{}a_{m\minus{}1}X^{m\minus{}1}\plus{}...\plus{}a_{0}$ has no real roots then

$ (a_{m})^n \cdot det(P(A))\geq 0$

b) if $ \exists$ $ p,q \in \mathbb N$ ,odd numbers , $ p>q$ such that $ A^p\equal{}A^q\plus{}I_{n}$ then $ det(A)>0$

for a)

 P has constant sign, for instance say $ P(x) \geq 0$ for any $ x \in R$

then there exist polynomials R,T such that $ P(X)\equal{}R^2(X) \plus{}T^2(X)$  then

$ a_{n}^n det(P(A)) \geq 0$

as for b)

Since $ A^q(A^{p\minus{}q}\minus{}I)\equal{}I$ holds, $ A$ is invertible, i.e. $ \det A\not\equal{}0$ and it suffices to prove that $ A$ has no negative eigenvalue. Any eigenvalue $ \lambda$ of $ A$ must fulfill $ \lambda^q(\lambda^{p\minus{}q}\minus{}1)\equal{}1$. In particular, if $ \lambda <0$ holds, we get $ |\lambda|<1$, since $ p\minus{}q$ is even and $ q$ odd. But then $ 1\equal{}|\lambda^q(\lambda^{p\minus{}q}\minus{}1)|\equal{}|\lambda|^q(1\minus{}|\lambda|^{p\minus{}q})<1$, a contradiction.


[url]http://en.wikipedia.org/wiki/Stanley_Milgram[/url]

[url]http://en.wikipedia.org/wiki/Milgram_experiment[/url]

[quote]Three people take part in the experiment: "experimentor", "learner" ("victim") and "teacher" (participant). Only the "teacher" is an actual participant, i.e. unaware about the actual setup, while the "learner" is a confederate of the experimenter. The role of the experimenter was played by a stern, impassive biology teacher dressed in a grey technician's coat, and the victim (learner) was played by a 47 year old Irish-American accountant trained to act for the role. The participant and the learner were told by the experimenter that they would be participating in an experiment helping his study of memory and learning in different situations.

Two slips of paper were then presented to the participant and to the "learner". The participant was led to believe that one of the slips said "learner" and the other said "teacher," and that he and the actor had been given the slips randomly. In fact, both slips said "teacher," but the actor claimed to have the slip that read "learner," thus guaranteeing that the participant would always be the "teacher." At this point, the "teacher" and "learner" were separated into different rooms where they could communicate but not see each other. In one version of the experiment, the confederate was sure to mention to the participant that he had a heart condition.[/quote]

[quote]If at any time the subject indicated his desire to halt the experiment, he was given a succession of verbal prods by the experimenter, in this order:

1) Please continue.
2) The experiment requires that you continue.
3) It is absolutely essential that you continue.
4) You have no other choice, you must go on. [/quote]

What do you do?  Are you sure you wouldn't break?  Are you willing to fail from college for what you believe in, even if it means that you're not going to graduate?  Would you, even if it meant everyone round you would be tortured, your family and friends, your mother and father, your siblings, before your very eyes?  If it meant their death?  If it meant your death or cruel slavery?

Can we please discuss, not only your choices, but WHY you're so sure, and also the ethics behind conducting the experiment itself?  What about those who were reduced to tears?

I'm not sure what I would do.  If I had never heard of these experiments, I'm ashamed to say, I know I wouldn't have been able to perservere...

And Vietnam...
[quote]The Milgram Experiment raised questions about the ethics of scientific experimentation because of the extreme emotional stress suffered by the participants. In Milgram's defense, 84 percent of former participants surveyed later said they were "glad" or "very glad" to have participated, 15 percent chose neutral responses (92% of all former participants responding).[10] Many later wrote expressing thanks. Milgram repeatedly received offers of assistance and requests to join his staff from former participants. Six years later (at the height of the Vietnam War), one of the participants in the experiment sent correspondence to Milgram, explaining why he was glad to have participated despite the stress:

While I was a subject in 1964, though I believed that I was hurting someone, I was totally unaware of why I was doing so. Few people ever realize when they are acting according to their own beliefs and when they are meekly submitting to authority . . . . To permit myself to be drafted with the understanding that I am submitting to authority's demand to do something very wrong would make me frightened of myself . . . . I am fully prepared to go to jail if I am not granted Conscientious Objector status. Indeed, it is the only course I could take to be faithful to what I believe. My only hope is that members of my board act equally according to their conscience . . . .[/quote]

I don't understand what would be the motivation for continuing the experiment at all. There must have been some counterbalancing factor. I think the Wikipedia article mentioned money in passing, though it didn't say how much.

I don't think there was any question about continuing the experiment, except spreading awareness of it.  Was the experiment, back then, unethical to perform?

This is an attempt to get people to analyze their own psycology.

I mean in the context of the experiment, why would the participant have any incentive to continue ? at the moment, it basically seems like some dude I don't know is telling me to shock some other dude (or occasionally a puppy). I don't really see what reason I would have to do so.

He's running this study as a student study at Yale.  He's a professor.

This was one of the classic social psychology experiments, like the Stanford prison experiment (go to [url]http://prisonexp.org[/url] for more).

These days, an ethics commitee wouldn't approve them, but things weren't that stringent back when these were done. Regardless the ethics of the experiment itself though, I think it puts into perspective just how suggestible people are and how easily they cave in.

[quote="KMST"]It probably depends of how sure of your principles you are and how much you like to please others. High school dropouts may be less likely to defy a professor than star students who have spent all their lives trying very hard to please teachers and get straight A's. Worse yet, they may have been told that the only proof of their success in life is approval from the big teacher in Famous U.[/quote]

Are you making an analogy or are you talking about the actual roles of 'teacher' and 'learner' in the experiment?
It might depend on how 'conformist' you might be, but as for the roles themselves and actually giving priority to happiness of oneself or others, this doesn't immediately come across.

I've seen the archive videos, and the teacher/learner attribution seems almost arbitrary. The task requires the teacher to give an electric shock to the learner whenever the learner answers wrongly or doesn't answer. Depending on how many errors a learner had before, the intensity of the shocks would increase each time. They had this middle-aged guy as the learner, who claimed he had a heart condition in front of all the participants ('teachers') and then went into the other room. Even when this guy could be heard saying his chest hurts and that he can't take it anymore most of the 'teachers' continued electrocution! And some of them proceeded even after there was no answer coming from the other side at all (it was made to seem as if the 'learner' had collapsed)!

Of course, no one was actually electrocuted as the article says, but the silent experimenter behind the teacher would always say 'the experiment requires you to continue teacher' or something similar whenever an objection was raised. This was done in a neutral, cold manner and the objectors then often became meek and proceeded. Most people are awfully suggestible, and will follow orders despite ramifications even at an emotional level.

Personally, it would interest me if everyone who had/ will select the first poll option were actually put through the test, w/o any prior knowledge that it was a psych experiment.

KMST, I agree with your general idea, but I disagree that a star student would always follow what the teacher says, and play the "teacher game", where there's that one right answer the teacher's thinking of.  My English teacher, who's great at taking both sides, often leads you into a point, switches sides, and tries to get you to defend your point.  Those that do tend to play the teacher game are likely to leave behind what they believe in for what they think the other wants them to say.

[quote]Most people are awfully suggestible, and will follow orders despite ramifications even at an emotional level.[/quote]

Do you include yourself in this?  Otherwise yuor statement becomes: "[b]Other[/b] people are awfully suggestible, and will follow orders despite ramifications even at an emotional level."

I see some analytical, somewhat emotionless responses.  I'm asking people to put themselves in the scenario.  Don't look at it as a removed experiment, but as if you were given the choice yourself.  What would you do?

[quote="alexhhmun"]
Do you include yourself in this?  Otherwise yuor statement becomes: "[b]Other[/b] people are awfully suggestible, and will follow orders despite ramifications even at an emotional level."

I see some analytical, somewhat emotionless responses.  I'm asking people to put themselves in the scenario.  Don't look at it as a removed experiment, but as if you were given the choice yourself.  What would you do?[/quote]

By saying 'most' I am making a third person claim, I have no want or need to make a statement about myself. An attitude which is, apologetically, what might qualify as an 'analytical' response. In my defence however, we can only make suitable generalisations by considering it this way- unless you want to think of this as a poll, but having said what kind of experiment it was, such a purpose is defeated. Then people are either inclined to say 'surely not!' out of reality or staunch denial OR 'I'm not at all sure' out of modesty. Again not a good indicator what the real case might be because of this situational bias.

Though of course, if you must have an answer- I would not carry through.

dang am I seriously missing something? essentially some dude comes in and tells me to do something I don't want to do. for some reason the natural response is to do it anyway? I would totally just be like screw you dude why should I do this

Are you willing to fail from college for what you believe in, even if it means that you're not going to graduate?

[color=darkblue]Sure. Screw college.[/color]

Would you, even if it meant everyone round you would be tortured, your family and friends, your mother and father, your siblings, before your very eyes? If it meant their death?

[color=darkblue][i]What?[/i] Caring about friends and family (especially family) [i]is[/i] a belief. You'd better be willing to go shoot people to protect your family.[/color]

If it meant your death or cruel slavery?

[color=darkblue]John McCain can do it  :) [/color]

For some reason, I'm starting to doubt that people have been reading the sites.  Nobody's commented on the Nazi analogy.

I can't say I didn't expect some people to take that view.

[quote]Would you, even if it meant everyone round you would be tortured, your family and friends, your mother and father, your siblings, before your very eyes? If it meant their death?

What? Caring about friends and family (especially family) is a belief. You'd better be willing to go shoot people to protect your family.[/quote]

You never answered.  Would you let everyone you care about suffer for the lives of strangers?  I'm just trying to get you to think about why you might not.  Apparently, I've failed.

[quote="alexhhmun"]For some reason, I'm starting to doubt that people have been reading the sites.  Nobody's commented on the Nazi analogy.
[/quote]

I was thinking about the Nazi analogy. Reminds of that little novelette apparently written for middle school students [i]The Wave[/i]. I didn't post because I didn't have my thoughts and feelings together about the subject yet.

[quote]I'm just trying to get you to think about why you might not. Apparently, I've failed.[/quote]

It's OK.  :) Half of the topics I post here in the Round Table don't get nearly as much response as I hope for.

You should watch the video documentary about this experiment. It has video footage of the actual experiments and really illucidates the state of the participants while it was going on. Everyone usually has the attitude that Mysticterminator has, "that it would never be me. That I would have stopped." But surprisingly few of the participants stopped. So you have to ask yourself, are you really that different from them? How much of what you do on a day to day basis is really motivated by social/sociological influences?

[url=http://video.google.com/videoplay?docid=-4480932869372273074&ei=PoPxSKe2DoqK_QGQ-qHZDg&q=milgram's+experiment&hl=en]Here is the full video[/url]. It's about 40 minutes long, but the most important part is at the last 10 minutes or so.

Some other interesting studies:
[url]http://en.wikipedia.org/wiki/Strip_search_prank_call_scam[/url]
[url]http://en.wikipedia.org/wiki/Hofling_hospital_experiment[/url]
[url]http://en.wikipedia.org/wiki/Asch_conformity_experiments[/url]
[url]http://en.wikipedia.org/wiki/Stanford_prison_experiment[/url]

As the conformity experiments found, human's have a desire to conform, peer pressure is very effective, even when it's just one person pressuring you.

ok so I don't have time to read all of those now but I've read about the first and the last, at least. in the first, there was a very clear motive for continuing with the process -- the dude was claiming to be a police officer, and it's usually not a good idea to be like "hey police officer screw you". in the last case, they weren't even encouraged to act nasty; this is a different (although related) phenomenon. I still don't understand in this case why I would have any incentive at all for continuing if at some point I decided I didn't like doing what I was doing.

[quote="alexhhmun"][quote]Would you, even if it meant everyone round you would be tortured, your family and friends, your mother and father, your siblings, before your very eyes? If it meant their death?

What? Caring about friends and family (especially family) is a belief. You'd better be willing to go shoot people to protect your family.[/quote]

You never answered.  Would you let everyone you care about suffer for the lives of strangers?  I'm just trying to get you to think about why you might not.[/quote]

No, the point was, I don't need to think about that. I don't need someone to coerce me to put my family ahead of strangers.

The larger point of my post was that people have their own priorities, and helping strangers is not necessarily the top of their priorities list.

I mean, I don't think I'm a bad person; it just means I care about people who are close to me more than I care about people who are not close to me, which, frankly, is the way it should be, I think.

It doesn't make you a bad person.  That's [b]not[/b] what I've been trying to say.  This topic is supposed to make people think about their priorities.

I'm very sorry for how extreme this anology is, but weren't the nazi soldiers also protecting their families from Hitler and from rest of the world?  That's what I mean, and what this topic is supposed to mean.  Would you give up your family, who would [b]know[/b] it was you, to save the Jews?  I mean, you don't even know them!  So what's the lives of 1,000 non-Aryans?  According to your leader, they're worth less than you anyways.  Why not kill them?  Is that right, to mindlessly follow orders to protect your family?

@MysticTerminator, you're at the somewhat opposite side of the topic.  What if it was an instructor or professor at the college you plan to go to who asked you to do this?  You're clearly among those who wold have liked to believe in the goodness of human nature, or among those who believed <0.1% would have gone to the level of death, not more than half.  But now you know the numbers.  Doesn't that interest you?

not really. I'm not saying anything about the goodness of human nature. If I feel comfortable shocking people I don't know, then that's great. I'm just confused about why, if I did not feel comfortable doing so, I would have any incentive at all to continue doing so. like if this is seriously all there is to the story, my response would not be anything like "omg this is so terrible"; it would be more like "wtf".

This might be a bit of a generalization, but it seems to me that just about all psychological experiments would seem that way, because this type of psychology does't particularly interest you.  I respect that.

The closest thing to an answer I can give you is that we don't know enough about human nature to explain why.  Perhaps it's an inherent sadistic nature that causes us to inflict pain on others, or perhaps it's something else.  We don't know.  This experiment simply gathers the facts.  Did you watch the video?  I saw the first 10, a random middle 5, and the last 10.

Have you ever read [u]The Wave[/u]?  Has this type of question been posed to you before?  Just out of curiosity.


modular arithmetic
number theory proposed
number theory

(a) Do there exist $14$ consecutive positive integers each of which is divisible by one or more primes $p$ from the interval $2\le p\le 11$?

(b) Do there exist $21$ consecutive positive intebers each of which is divisible by one or more primes $p$ from the interval $2\le p\le 13$?

Let $N=3*5*\dots *p_k$ (produkt first k odd primes). Then numbers $N+3,N+4,...,N+2p_l-1$ divisible or 2 or 3,...,or $p_l$, were
$2p_l<p_{k+1}$. It give $2p_l-3$ consecutive positive integers satisfied your condition.

the answer to the first part is no
while the answer to the first part is yes ;)

[hide="solution for part a"]

The answer is no.  First note that we can ignore the 7 even numbers in any set of 14 consecutive integers since they are divisble by 2.  WE now show taht of the remaining seven integers at least one is not divisbly by 3,5,7 or 11.  Of these seven odd integers at most three are divisibly by 3, at most two are divisible by 5, at most one is divisibly by 7 and at most one is divisble by 11.  It follows that eacch of the seven odd integers can be divisible by 3,5,7,11 only if each of these primes divides its maximum number of terms and ther are no overlaps ( in other words no term is dividbly by a product of these primes).  To see this is impossible first note that in order to get three of the terms divisibly by 3, they must be the first term , the middle term, and the last term of the seven odd numbers.  Then since the numberical diffrence between any of the remaining terms is less than 10, only one of these can be dividsible by 5.
done.[/hide]
[hide="solution for part b"]
The answer is yes.  First note that if $n$ is divisbly by $2\cdot 3\cdot 5\cdot 7=210$ then of the $21$ consecutive terms: $n-10, n-9,\cdots,n+9,n+10$ all but $n-1$ and $n+1$ are divisibly by a prime $\le 7$.  We now determine $n$ such taht $n-1$ and $n+1$ are divisible by $11$ or $13$.  By the Chinese Remainder Theorem, positive integers $n$ exist satisfying the simultaneous congruences:
$n\equiv 0 \pmod{210}, n\equiv 1 \pmod{11}, n\equiv -1 \pmod{13}$
For any such $n$ we get the deisred result.  In particular the samllest such $n$ is $9450$ and the $21$ consequitive numbers with the desired divisibility porperteis are $9440,9441,...,9460$.  (this is the smallest set, that satisfies the given property)[/hide]

[quote="10000th User"]Sorry Rust but your answer is not correct :( 15019 is not divisible by any of the primes in that interval and your $p_l$ is way off. It says 14 consecutive integers, $2p_l-1-3+1=2(11)-3=19$ consecutive integers...[/quote]
I write b)p_l=13.