Extraire les deux propriétés qui suffisent à montrer qu'un sous-ensemble de l'espace euclidien est compact. Présenter ces propriétés dans une liste à puces.
Diverses définitions de la compacité peuvent s'appliquer, en fonction du niveau de généralité. En particulier, un sous-ensemble de l'espace euclidien est dit compact s'il est fermé et borné. Cela implique, par le théorème de Bolzano-Weierstrass, que toute séquence infinie de l'ensemble possède une sous-séquence qui converge vers un point de l'ensemble. Diverses notions équivalentes de compacité, telles que la compacité séquentielle et la compacité du point limite, peuvent être développées dans des espaces métriques généraux.

En revanche, les différentes notions de compacité ne sont pas équivalentes dans les espaces topologiques généraux, et la notion la plus utile de compacité - appelée à l'origine bicompacité - est définie à l'aide de couvertures constituées d'ensembles ouverts (voir la définition de la couverture ouverte ci-dessous). Le fait que cette forme de compacité soit valable pour les sous-ensembles fermés et bornés de l'espace euclidien est connu sous le nom de théorème de Heine-Borel. La compacité, lorsqu'elle est définie de cette manière, permet souvent de prendre des informations connues localement - dans un voisinage de chaque point de l'espace - et de les étendre à des informations valables globalement dans tout l'espace. Un exemple de ce phénomène est le théorème de Dirichlet, appliqué à l'origine par Heine, selon lequel une fonction continue sur un intervalle compact est uniformément continue ; ici, la continuité est une propriété locale de la fonction, et la continuité uniforme la propriété globale correspondante.
Selon le théorème de Heine-Borel, les propriétés suivantes suffisent à montrer qu'un sous-ensemble de l'espace euclidien est compact :
- L'ensemble est fermé
- L'ensemble est borné
Extract the two properties that are sufficient to show that a subset of Euclidean space is compact. Present these properties in a bullet list.
Various definitions of compactness may apply, depending on the level of generality. A subset of Euclidean space in particular is called compact if it is closed and bounded. This implies, by the Bolzano–Weierstrass theorem, that any infinite sequence from the set has a subsequence that converges to a point in the set. Various equivalent notions of compactness, such as sequential compactness and limit point compactness, can be developed in general metric spaces.

In contrast, the different notions of compactness are not equivalent in general topological spaces, and the most useful notion of compactness — originally called bicompactness — is defined using covers consisting of open sets (see Open cover definition below). That this form of compactness holds for closed and bounded subsets of Euclidean space is known as the Heine–Borel theorem. Compactness, when defined in this manner, often allows one to take information that is known locally — in a neighbourhood of each point of the space — and to extend it to information that holds globally throughout the space. An example of this phenomenon is Dirichlet's theorem, to which it was originally applied by Heine, that a continuous function on a compact interval is uniformly continuous; here, continuity is a local property of the function, and uniform continuity the corresponding global property.
According to the Heine-Borel theorem the following properties are sufficient to show that a subset of Euclidean space is compact:
- The set is closed
- The set is bounded