D'après l'exemple donné dans ce paragraphe, qu'est-ce qu'un vecteur propre ?
L'exemple de la Joconde illustré ici en est une simple illustration. Chaque point de la peinture peut être représenté par un vecteur pointant du centre de la peinture vers ce point. La transformation linéaire dans cet exemple s'appelle une cartographie de cisaillement. Les points situés dans la moitié supérieure sont déplacés vers la droite et les points situés dans la moitié inférieure sont déplacés vers la gauche, proportionnellement à la distance qui les sépare de l'axe horizontal qui passe par le milieu du tableau. Les vecteurs pointant vers chaque point de l'image originale sont donc inclinés vers la droite ou vers la gauche, et allongés ou raccourcis par la transformation. Les points situés le long de l'axe horizontal ne bougent pas du tout lorsque cette transformation est appliquée. Par conséquent, tout vecteur qui pointe directement vers la droite ou la gauche sans composante verticale est un vecteur propre de cette transformation, car la cartographie ne change pas sa direction. De plus, ces vecteurs propres ont tous une valeur propre égale à un, car la cartographie ne modifie pas non plus leur longueur.
Un vecteur propre d'une cartographie est un vecteur qui ne change pas de direction lorsque la cartographie lui est appliquée.
From the example given in this paragraph, what is an eigenvector?
The Mona Lisa example pictured here provides a simple illustration. Each point on the painting can be represented as a vector pointing from the center of the painting to that point. The linear transformation in this example is called a shear mapping. Points in the top half are moved to the right, and points in the bottom half are moved to the left, proportional to how far they are from the horizontal axis that goes through the middle of the painting. The vectors pointing to each point in the original image are therefore tilted right or left, and made longer or shorter by the transformation. Points along the horizontal axis do not move at all when this transformation is applied. Therefore, any vector that points directly to the right or left with no vertical component is an eigenvector of this transformation, because the mapping does not change its direction. Moreover, these eigenvectors all have an eigenvalue equal to one, because the mapping does not change their length either.
An eigenvector of a mapping is any vector that does not change direction when the mapping is applied to it.