Extrae las dos propiedades que bastan para demostrar que un subconjunto del espacio euclídeo es compacto. Presenta estas propiedades en una lista con viñetas.
Pueden aplicarse varias definiciones de compacidad, según el nivel de generalidad. En particular, un subconjunto del espacio euclídeo se denomina compacto si es cerrado y acotado. Esto implica, por el teorema de Bolzano-Weierstrass, que cualquier secuencia infinita del conjunto tiene una subsecuencia que converge a un punto del conjunto. Pueden desarrollarse varias nociones equivalentes de compacidad, como la compacidad secuencial y la compacidad de punto límite, en espacios métricos generales.

En cambio, las distintas nociones de compacidad no son equivalentes en los espacios topológicos generales, y la noción más útil de compacidad -originalmente denominada bicompacticidad- se define utilizando coberturas formadas por conjuntos abiertos (véase la definición de cobertura abierta más adelante). Que esta forma de compacidad es válida para subconjuntos cerrados y acotados del espacio euclídeo se conoce como teorema de Heine-Borel. La compacidad, cuando se define de este modo, permite a menudo tomar información que se conoce localmente -en una vecindad de cada punto del espacio- y extenderla a información que se mantiene globalmente en todo el espacio. Un ejemplo de este fenómeno es el teorema de Dirichlet, aplicado originalmente por Heine, según el cual una función continua en un intervalo compacto es uniformemente continua; aquí, la continuidad es una propiedad local de la función, y la continuidad uniforme la correspondiente propiedad global.
Según el teorema de Heine-Borel, las siguientes propiedades son suficientes para demostrar que un subconjunto del espacio euclídeo es compacto:
- El conjunto es cerrado
- El conjunto está acotado
Extract the two properties that are sufficient to show that a subset of Euclidean space is compact. Present these properties in a bullet list.
Various definitions of compactness may apply, depending on the level of generality. A subset of Euclidean space in particular is called compact if it is closed and bounded. This implies, by the Bolzano–Weierstrass theorem, that any infinite sequence from the set has a subsequence that converges to a point in the set. Various equivalent notions of compactness, such as sequential compactness and limit point compactness, can be developed in general metric spaces.

In contrast, the different notions of compactness are not equivalent in general topological spaces, and the most useful notion of compactness — originally called bicompactness — is defined using covers consisting of open sets (see Open cover definition below). That this form of compactness holds for closed and bounded subsets of Euclidean space is known as the Heine–Borel theorem. Compactness, when defined in this manner, often allows one to take information that is known locally — in a neighbourhood of each point of the space — and to extend it to information that holds globally throughout the space. An example of this phenomenon is Dirichlet's theorem, to which it was originally applied by Heine, that a continuous function on a compact interval is uniformly continuous; here, continuity is a local property of the function, and uniform continuity the corresponding global property.
According to the Heine-Borel theorem the following properties are sufficient to show that a subset of Euclidean space is compact:
- The set is closed
- The set is bounded