Was ist der Beweis dafür, dass es zwei irrationale Zahlen gibt, bei denen das Erhöhen der einen zur Potenz der anderen eine rationale Zahl ergibt?
Hier ist ein Beweis durch Fälle, dass es zwei irrationale Zahlen a und b gibt, so dass a^b rational ist. Betrachten wir zunächst a = b = sqrt(2). Erinnere dich daran, dass sqrt(2) irrational ist. Wenn a^b = sqrt(2) ^ sqrt(2) also rational ist, sind wir fertig, denn wir haben irrationale a und b gefunden, wobei a^b eine rationale Zahl ist. Andernfalls ist sqrt(2) ^ sqrt(2) irrational. Sei a = sqrt(2) ^ sqrt(2) und b = sqrt(2). Dann ist a ^ b = (sqrt(2) ^ sqrt(2)) ^ sqrt(2) = sqrt(2) ^ (sqrt(2) * sqrt(2)) = sqrt(2) ^ 2 = 2, was rational ist. So oder so können wir also irrationale a und b finden, wobei a^b rational ist.
What is a proof that there are two irrational numbers where raising one to the power of the other produces a rational number?
Here is a proof by cases that there exist two irrational numbers a and b such that a^b is rational. First, consider a = b = sqrt(2). Recall that sqrt(2) is irrational, so If a^b = sqrt(2) ^ sqrt(2) is rational, we are done because we have found irrational a and b with a^b being a rational number. Otherwise, sqrt(2) ^ sqrt(2) is irrational. Let a = sqrt(2) ^ sqrt(2) and b = sqrt(2). Then a ^ b = (sqrt(2) ^ sqrt(2)) ^ sqrt(2) = sqrt(2) ^ (sqrt(2) * sqrt(2)) = sqrt(2) ^ 2 = 2, which is rational. So either way, we can find irrational a and b with a^b being rational.