Was ist ein Eigenvektor in dem Beispiel in diesem Absatz?
Das hier abgebildete Beispiel der Mona Lisa bietet eine einfache Veranschaulichung. Jeder Punkt auf dem Gemälde kann als ein Vektor dargestellt werden, der vom Mittelpunkt des Gemäldes zu diesem Punkt zeigt. Die lineare Transformation in diesem Beispiel wird als Scherabbildung bezeichnet. Die Punkte in der oberen Hälfte werden nach rechts und die Punkte in der unteren Hälfte nach links verschoben, und zwar proportional dazu, wie weit sie von der horizontalen Achse entfernt sind, die durch die Mitte des Bildes verläuft. Die Vektoren, die auf jeden Punkt im Originalbild zeigen, werden also nach rechts oder links gekippt und durch die Transformation länger oder kürzer gemacht. Die Punkte entlang der horizontalen Achse bewegen sich bei dieser Transformation überhaupt nicht. Daher ist jeder Vektor, der direkt nach rechts oder links zeigt und keine vertikale Komponente hat, ein Eigenvektor dieser Transformation, weil die Abbildung seine Richtung nicht ändert. Außerdem haben diese Eigenvektoren alle einen Eigenwert von eins, weil die Abbildung auch ihre Länge nicht verändert.
Ein Eigenvektor einer Abbildung ist jeder Vektor, der seine Richtung nicht ändert, wenn die Abbildung auf ihn angewendet wird.
From the example given in this paragraph, what is an eigenvector?
The Mona Lisa example pictured here provides a simple illustration. Each point on the painting can be represented as a vector pointing from the center of the painting to that point. The linear transformation in this example is called a shear mapping. Points in the top half are moved to the right, and points in the bottom half are moved to the left, proportional to how far they are from the horizontal axis that goes through the middle of the painting. The vectors pointing to each point in the original image are therefore tilted right or left, and made longer or shorter by the transformation. Points along the horizontal axis do not move at all when this transformation is applied. Therefore, any vector that points directly to the right or left with no vertical component is an eigenvector of this transformation, because the mapping does not change its direction. Moreover, these eigenvectors all have an eigenvalue equal to one, because the mapping does not change their length either.
An eigenvector of a mapping is any vector that does not change direction when the mapping is applied to it.