معرفة السبب من تغيُّر شيء في لحظة معينة هو جوهر التفاضل والتكامل. على سبيل المثال: يعرفك التفاضل والتكامل لا بسرعة السيارة فحسب، لكن بمقدار تغيُّر هذه السرعة عند أي لحظة. هذا أحد أبسط استخدامات التفاضل والتكامل، لكنه مهم للغاية. تخيل مدى أهمية هذه المعرفة لمركبة فضائية تحاول الوصول للقمر! معرفة التغيّر اللحظي هو ما يسمى "تفاضل"، وهو القسم الأول بين الجزأْين الرئيسيين لهذا العلم. كلمة "اشتقاق" أنيقة الوقع تثير القلق، لكن المفهوم ذات نفسه ليس صعب الفهم كما يبدو، فكل ما يعنيه ببساطة هو "سرعة تغيّر شيء ما". أكثر المشتقات انتشارًا في الحياة اليومية لها علاقة بالسرعة. الأغلب أننا لا ندعوها "مشتق السرعة"، لكننا نطلق عليها "تسارع". التسارع مشتق، فهو يخبرك بمعدل سرعة أو إبطاء شيء ما، أو التغير عمومًا في السرعة. هذه إحدى النتائج الرئيسية لعلم التفاضل والتكامل. فكر في خط بسيط مثل المعادلة y=3x.{\displaystyle y=3x.} ميل الخط هو 3، أي أن كل قيمة جديدة لـ x{\displaystyle x} تتغير y{\displaystyle y} بمعدل 3. الميل هو نفسه معدل التغيير: ميل قيمته 3 يعني أن الخط يتغير بمقدار 3 كل مرة تتغير قيمة x{\displaystyle x}. عندما تكون x=2,y=6{\displaystyle x=2,y=6} وعندما تكون x=3,y=9.{\displaystyle x=3,y=9.}  معدل خط هو "التغير في y مقسومًا على التغير في x". كلما كبُر الميل زاد انحدار الخط. الخطوط المنحدرة معروفة بسرعة تغيرها. راجع كيفية حساب ميل خط مستقيم إذا كانت ذاكرتك مشوشة. إيجاد ميل خط مستقيم أمر مباشر نسبيًا: كم مقدار تغيّر y{\displaystyle y} مقابل كل قيمة لـ x{\displaystyle x}؟ أما المعادلات المعقدة للخطوط المنحنية مثل y=x2{\displaystyle y=x^{2}} فإيجادها أصعب بكثير. مع ذلك لا يزال بإمكانك إيجاد معدل التغيير بين أي نقطتين، من خلال رسم خط بينهما ببساطة وحساب الانحدار. على سبيل المثال: في المعادلة y=x2{\displaystyle y=x^{2}} يمكنك أخذ أي نقطتين وإيجاد الميل. خذ (1,1){\displaystyle (1,1)} و(2,4).{\displaystyle (2,4).} سيساوي الميل بينهما 4−12−1=31=3.{\displaystyle {\frac {4-1}{2-1}}={\frac {3}{1}}=3.} يعني هذا أن معدل التغير بين x=1{\displaystyle x=1} وx=2{\displaystyle x=2} هو 3. كلما ازداد قرب النقطتين، زادت دقة نتيجتك. لنقل أإنك تود معرفة مقدار تسارع سيارتك حالما تضع الوقود. أنت لا تود هنا قياس التغير في السرعة بين منزلك ومحل البقالة؛ لكنك تود أن تقيس التغير في السرعة في الثانية التي تلي دخول الوقود للخزان. كلما اقترب وقت قياسك لتلك اللحظة الفورية، كان حسابك أكثر دقة. على سبيل المثال: يدرس العلماء مقدار السرعة التي تنقرض بها بعض الأنواع حتى يحاولوا إنقاذهم. مع ذلك فإن الكثير من الحيوانات تموت غالبًا في الشتاء أكثر من الصيف، بالتالي فإن دراسة معدل التغير على مدار السنة بأكملها ليس مفيدًا كما لو درسوا معدل التغير بين نقطتين قريبتين، مثل بين أول يوليو إلى أول أغسطس. هنا هو الجزء الذي يبدأ عنده علم التفاضل والتكامل بأن يصبح صعبًا، لكن يمكنك استيعاب أن السبب يعود لحقيقتين بسيطتين: الأولى: تعرف أن ميل خط يساوي مقدار سرعة تغيره. الثانية: تعرف أن نقاط الخط كلما اقتربت من بعضها أكثر، زادت دقة النتيجة. لكن كيف يمكنك إيجاد معدل التغير عند نقطة إذا كان الميل هو علاقة بين نقطتين؟ الإجابة: تختار نقطتين متناهيتي القرب من بعضهما. فكر في المثال الذي ذكرناه عندما ظللنا نقسم 1 على 2 مرارًا وتكرارًا، وكانت النتائج الأولى ½ ثم ¼ ثم ⅛.. إلخ. تقترب في النهاية للغاية للصفر، فتكون الإجابة "عمليًا صفر". تقترب نقاطك في هذا المثال من بعضها للغاية، فتصبح "عمليًا لحظية". هذه هي طبيعة المشتقات. . هناك العديد من الطرق المختلفة لإيجاد مشتقة على حسب المعادلة، لكن معظم الطرق منطقية ويمكن استيعابها إذا تذكرت المبادئ الأساسية للمشتقات المُدرجة بصورة عامة فيما سبق. كل المشتقات هي طريقة لإيجاد ميل لخط "متناهي الصغر". الآن وبما أنك تعرف نظرية المشتقات، يمكنك استعمال هذا لإكمال الجزء الأكبر من العمل، وهو إيجاد النتائج. من المفيد استعمل المشتقات لإيجاد معدل التغير عند نقطة، لكن جمال التفاضل والتكامل يكمن في أنه يمكنك من إنشاء نموذج جديد لكل دالة. الاشتقاق من y=x2{\displaystyle y=x^{2}} على سبيل المثال هو y′=2x.{\displaystyle y^{\prime }=2x.} هذا يعني أن بإمكانك إيجاد المشتقة لكل نقطة على الرسم البياني y=x2{\displaystyle y=x^{2}} من خلال إدخاله ببساطة في المشتقة. عند النقطة (2,4){\displaystyle (2,4)} حيث x=2{\displaystyle x=2}، المشتقة هي 4، بما أن y′=2(2).{\displaystyle y^{\prime }=2(2).}  هناك ترميزات مختلفة للمشتقات. في الخطوة السابقة، استُخدِم رمز أوّلي للإشارة للاشتقاق، للاشتقاق y{\displaystyle y} استعملنا الرمزy′.{\displaystyle y^{\prime }.} يسمى هذا ترميز لاجرانچ. هناك طريقة أخرى مشهورة لكتابة الاشتقاقات. بدلًا من استخدام رموز أولية، نكتب ddx.{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}.} تذكر أن الدالة y=x2{\displaystyle y=x^{2}} تعتمد على المتغير x.{\displaystyle x.} بعدها نكتب الاشتقاق على الصورة dydx{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}} - اشتقاق y{\displaystyle y} بالنsبة إلى x.{\displaystyle x.} يسمى هذا ترميز لايبنز. المثال الأسهل مبني على السرعة، وهو ما يوفر الكثير من الاشتقاقات المختلفة التي نراها يوميًا. تذكر أن الاشتقاق هو مقياس لمدى سرعة تغير شيء. فكر في تجربة بسيطة؛ حيث تُدحرِج مثلًا كرة بليْ على طاولة، وتقيس المسافة التي تقطعها كل مرة وكذلك السرعة التي تتحرك بها. تخيل الآن أن البلية وهي تتحرك تسير على خط على رسم بياني - الاشتقاقات تُستَخدَم لقياس التغيرات اللحظية في أي نقطة على ذلك الخط.  ما مقدار سرعة تغيير كرة البليْ لموقعها؟ ما هو معدل التغيّر – أو الاشتقاق – لحركة الكرة؟ هذا الاشتقاق هو ما نسميه "السرعة". دحرِج البلية على انحدار ولاحظ مقدار اكتسابها للسرعة فيما تتحرك. ما هو معدل التغير – أو المشتق – لسرعة البلية؟ هذا الاشتقاق هو ما ندعوه "تسارعًا". دحرِج البلية على مسار صاعد وهابط شبيه بالأفعوانية. ما مقدار السرعة التي تكتسبها البلية وهي تنحدر، وما مدى تباطؤ السرعة فيما تصعد؟ ما هي سرعة تحرّك البلية تحديدًا عند منتصف المسار الصاعد الأول؟ سيكون هذا هو معدل التغير اللحظي، أو المشتق، لهذه البلية عند نقطتها هذه تحديدًا.
اعرف أن التفاضل والتكامل يستخدم لدراسة "التغيُّر اللحظي". استخدم الاشتقاقات لفهم كيفية تغير الأشياء لحظيًا. اعرف أن معدل التغيير هو الميل بين نقطتين. اعرف أن بإمكانك إيجاد ميل الخطوط المنحنية. قرّب نقاطك من بعضها لإيجاد نتيجة أدق لمعدل التغيّر. استخدم خطوطًا متناهية في الصغر لإيجاد "معدل التغير اللحظي" أو المشتقّ. تعلم كيفية أخذ مشتقات مختلفة أوجد معادلات اشتقاق للتنبؤ بمعدل التغير في أي نقطة. تذكر أمثلة من الحياة الواقعية للاشتقاقات إذا كنت لا تزال تجد صعوبة في الفهم.