يكون واحدٌ أو أكثر من المتغيرات مربعًا في المعادلة التربيعية مثل: (x2{\displaystyle x^{2}} أو y2{\displaystyle y^{2}}) وليس هناك أسس أعلى. الخطوط التي تمثلها هذه المعادلات منحنية لذا يمكن أن تتقاطع في خط مستقيم عند نقطة أو اثنتان أو لا تتقاطع نقاط. سيعلمك هذا القسم كيفية إيجاد حل أو حلي مسألتك.   فك أقواس المعادلات للتأكد من كونها تربيعية أم لا. المعادلة y=(x+3)(x){\displaystyle y=(x+3)(x)} تربيعية لأن فكها يعطي y=x2+3x.{\displaystyle y=x^{2}+3x.}. هناك حد x2{\displaystyle x^{2}} وY2{\displaystyle Y^{2}} في معادلات الدائرة أو القطع الناقص. انظر قسم الأفكار المفيدة أدناه إذا كنت تواجه صعوبة في هذه الحالات الخاصة. أعد كتابة المعادلات بحيث تضع Y وحدها في أحد الطرفين عند الضرورة.     مثال : جد نقطة تقاطع x2+2x−y=−1{\displaystyle x^{2}+2x-y=-1} وy=x+7{\displaystyle y=x+7}. أعد كتابة المعادلة التربيعية في Y:   Y=X2+2X+1{\displaystyle Y=X^{2}+2X+1}  و‴X+7{\displaystyle '''X+7} .  هناك معادلة تربيعية واحدة في هذا المثال ومعادلة خطية واحدة. تحل المسائل ذات المعادلتين التربيعيتين بطريقة مشابهة. تعلم بعد مساواة المعادلتين ب "Y" أن الطرفين الآخرين متساويان.     مثال : Y=X2+2X+1{\displaystyle Y=X^{2}+2X+1} وY=X+7{\displaystyle Y=X+7}. ‴X2+2X+1=X+7‴{\displaystyle '''X^{2}+2X+1=X+7'''} استخدم أساليب الجبر القياسية لوضع كل الحدود في أحد الطرفين. يرتب ذلك المسألة حتى نتمكن من حلها في الخطوة التالية.     مثال : X2+2X+1=X+7{\displaystyle X^{2}+2X+1=X+7}  اطرح X من الطرفين: X2+X+1=7{\displaystyle X^{2}+X+1=7} اطرح 7 من الطرفين:  ‴X2+X−6=0{\displaystyle '''X^{2}+X-6=0} هناك 3 طرق لحل المعادلة التربيعية بعد مساواة أحد الطرفين بالصفر. تختلف سهولة الطرق باختلاف الناس. يمكنك القراءة عن القانون العام أو إكمال المربع أو متابعة هذا المثال عن طريقة التحليل:    مثال: x2+x−6=0{\displaystyle x^{2}+x-6=0}  هدف التحليل هو إيجاد العاملين الذين يتم ضربهما لتكوين هذه المعادلة. ابدأ من الحد الأول. نعرف أنه يمكن تحليل x2{\displaystyle x^{2}} إلى X وX. اكتب (x    )(x    ) = 0 لتوضيح هذا. الحد الأخير هو -6. اكتب كل زوج من العوامل التي يمكن ضربها للحصول على سالب 6: −6∗1{\displaystyle -6*1} و−3∗2{\displaystyle -3*2} و−2∗3{\displaystyle -2*3} و−1∗6{\displaystyle -1*6}. الحد الأوسط X (الذي يمكن كتابته ك 1X). اجمع كل زوج من العوامل حتى تحصل على الإجابة . زوج العوامل الصحيح هو −2∗3{\displaystyle -2*3} حيث أن−2+3=1{\displaystyle -2+3=1}. املأ الفراغات الموجودة في إجابتك بهذا الزوج:  (X−2)(X+3)=0{\displaystyle (X-2)(X+3)=0} . قد تجد حلًا للمسألة ولا تدرك أن هناك حلٌ ثان إذا عملت بسرعة كبيرة. إليك كيفية إيجاد قيمتي X للمستقيمين المتقاطعين عند النقطتين:     مثال  (التحليل): لقد انتهينا بالمعادلة (x−2)(x+3)=0{\displaystyle (x-2)(x+3)=0}. تكون المعادلة صحيحة إذا ساوى أيٌ من العوامل الموجودة في الأقواس الصفر. أحد الحلول هو x−2=0{\displaystyle x-2=0} → x=2{\displaystyle x=2}. الحل الآخر هو x+3=0{\displaystyle x+3=0} → x=−3{\displaystyle x=-3}.   مثال  (القانون العام أو إكمال المربع): سيظهر جذرٌ تربيعيٌ إذا استخدمت إحدى هاتين الطريقتين لحل معادلتك. ستصبح معادلتنا مثلًا x=(−1+25)/2{\displaystyle x=(-1+{\sqrt {25}})/2}، تذكر أنه يمكن تبسيط الجذر التربيعي لحلين مختلفين  25=5∗5{\displaystyle {\sqrt {25}}=5*5}, و 25=(−5)∗(−5){\displaystyle {\sqrt {25}}=(-5)*(-5)} . اكتب معادلتين للاحتمالين وأوجد قيمة X في كليهما. هناك نقطة تقاطع واحدة للمستقيمين المتماسين بالكاد ولا توجد أي نقاط تقاطع للمستقيمين اللذان لا يتلامسان. إليك كيفية معرفة ذلك:   حل واحد: تحلل المسائل إلى عاملين متطابقين ((X-1)(X-1) = 0). حد الجذر التربيعي هو  0{\displaystyle {\sqrt {0}}} عند التعويض في المعادلة التربيعية. عليك فقط حل معادلة واحدة. عدم وجود حل: ليس ثمة عوامل تحقق المتطلبات (يساوي مجموعها الحد الأوسط)، وستحصل على رقم سالب تحت علامة الجذر (−2{\displaystyle {\sqrt {-2}}}) عند التعويض في القانون العام. اكتب "ليس لها حل" في الإجابة. عوض بقيمة X لنقطة التقاطع بعد إيجادها في إحدى المعادلات التي بدأت بها. حل معادلة Y لإيجاد قيمتها. كرر هذا أيضًا إذا كان هناك قيمة ثانية ل X.   مثال: لقد وجدنا حلين X=2{\displaystyle X=2} وX=−3{\displaystyle X=-3}. معادلة أحد المستقيمين Y=X+7{\displaystyle Y=X+7}. عوض في Y=2+7{\displaystyle Y=2+7} وY=−3+7{\displaystyle Y=-3+7} ثم حل المعادلات لإيجاد أن Y=9{\displaystyle Y=9} وY=4{\displaystyle Y=4}. اكتب إجابتك الآن بصورة إحداثية؛ أي بوضع قيمة X وY لنقاط التقاطع. احرص على مطابقة النقاط الصحيحة ل X وY إذا كانت لديك إجابتان.   مثال: سنحصل على Y=9{\displaystyle Y=9} عند التعويض به X=2{\displaystyle X=2} لذا فإن نقطة التقاطع هي  (2 , 9) . سنعلم من إجراء العملية نفسها على المعادلة الثانية أن هناك نقطة تقاطع أخرى تقع عند  (-3 , 4) .
ميز المعادلات التربيعية. اكتب المعادلات في Y. اجمع المعادلتين للتخلص من Y. رتب المعادلة الجديدة بحيث يساوي أحد الطرفين الصفر. حل المعادلة التربيعية. ركز على قيمتي X. حل المسائل ذات الحل الوحيد أو التي لا حل لها. عوض مجددًا بقيم X في المعادلة الأصلية. اكتب إحداثيات النقطة.