L-Integral
Fl-analisi matematika, l-integral ta'  funzjoni hu operatur matematiku li fil-każ ta' funzjoni ta' varjabbli waħda jassoċja mal-funzjoni l-arja taħt il-funzjoni sal-axissa.

Ħjiel storiku 

L-idea bażika tal-kunċett tal-integral kienet digà dehret fix-xogħol ta' Arkimedi ta' Siracusa, li għex bejn  il-287 u il-212 Q.K, l-ewwel parzjalment, fil-metodu li uża biex jikkalkula l-arja ta' ċirku jew ta' segment ta' parabola magħruf bħala l-metodu ta' l-eżawriment u wara iżjed preċiżament fil-kalkulazzjoni tal-arja tas-superfiċi magħluqa mill-ewwel dawra tal-ispiral (li Arkimedi stima minn fuq sa isfel bl-użu ta' każ partikulari ta' dawk li sirna nsejħulhom "sommom ta'  Riemann").

Fis-seklu XVII, bosta matematiċi sabu metodi oħra inġenjużi biex jikkalkulaw l-arja taħt il-grafiku ta'  funzjonijiet sempliċi, pereżempju: 
 (Fermat 1636), 
 (Nikolaus Merkator, 1668).

Imma dan kien qabel li Newton u Leibniz skoprew indipendentement it-teorema fundamentali tal-kalkulu integrali li  tefgħet id-direzzjoni tal-problema fuq it-tfittix ta' primittiva jew antiderivata tal-funzjoni.

Il-kalkulu kiseb sisien iżjed sodi b'iżvilupp tal-limiti u x-xogħol ta' Cauchy fl-ewwel nofs tas-seklu 19. L-integral kien formalizzat rigorużament għall-ewwel darba, bl-użu tal-limiti minn Riemann f'dak  li ngħidulu l-integral ta' Cauchy-Riemann. Għalkemm il-funzjonijiet kollha li huma kontinwi f'biċċiet u limitati fuq intervall limitat huma integrabbli fis-sens ta' Riemann, wara bdew jiġu ikkonsidrati funzjonijiet iżjed ġenerali li għalihom id-definizzjoni ta' Riemann ma tapplikax, u Lebesgue ifformala definizzjoni differenti tal-integral ibbażata fuq it-teorija tal-miżura. Oħrajn ipproponew definizzjonijiet oħra li jestendu l-approċċ ta' Riemann u Lebesgue.

Introduzzjoni ewristika 
Il-problema oriġinali tal-kalkulu integrali hu dik tad-definizzjoni u l-kalkulazzjoni tal-arja (bis-sinjal) tal-figura li għandha bħala truf, intervall  fuq l-assi tal-axissi, limitat u magħluq (l-intervall tal-integrazzjoni), il-funzjoni mogħtija  (il-funzjoni integrata) definita fuq  u limitata, u s-segmenti vertikali mit-truf tal-intervall  għall-grafiku tal-funzjoni .  In-numru reali li jagħti dik l-arja nsejħulu l-integral tal-funzjoni  fuq l-intervall .

Jekk il-grafiku tal-funzjoni  hu magħmul minn segmenti, il-problema nistgħu nirriżolvuh faċilment, sakemm il-figura tista' tinqasam f'rettangli jew trapeżi li nafu niddefinixxu u nikkalkulaw l-arji tagħhom: is-somma alġebrija ta'  dawk l-arji hi – għad-definizzjoni – l-integral imfittex.

Fil-każ ġenerali, l-idea bażika tikkonsisti f'li naqsmu l-figura fi strixxi vertikali dojoq, li jistgħu jitqiesu bħala rettangli, nikkalkulaw l-arja ta' kull rettanglu ċkejken u ngħoddu flimkien ir-riżultati miksuba, u hekk ikollna approssimazzjoni għan-numru li qegħdin infittxu. Billi nibqgħu nissuddividu fi strixxi dejjem idjaq u idjaq, nistgħu niksbu approssimazioni dejjem aħjar għall-integral imfittex: jekk jiġri hekk, ngħidu li l-funzjoni  hi integrabbli fuq l-intervall . Fil-każ tal-kuntrarju, ngħidu li l-funzjoni  m'hijiex integrabbli fuq l-intervall .

F'termini iżjed formali, naqsmu l-intervall  f' sottointervalli tat-tip  fejn  u . Għal kull sottointervall nagħżlu punt , li l-immaġni tiegħu hi , u nħażżu r-rettanglu ċkejken li għandu bażi l-intervall  u għoli ; l-arja tal-figura magħmula mir-rettangli ċkejkna kollha mibnija hekk tagħtina s-somma (msejħa ta'  Cauchy-Riemann)

 . 

Jekk meta nċekknu l-wisa' tal-intervalli , il-valuri miksuba jinġemgħu fi nħawija dejjem iċken ta' numru , il-funzjoni  hi integrabbli fuq l-intervall , u  hu l-integral tagħha.

L-analisi sħieħa tiddependi mill-fatt li kemm il-mod ta' taqsim f'intervalli, u kemm l-għażla tal-punti ġewwa dawk l-intervalli iridu jispiċċaw irrilevanti, inkella jiġri li l-arja taħt il-kurva fuq l-intervall ikollha valur li jvarja mal-għażla ta' taqsim f'intervalli u kif il-punti jintgħażlu fl-intervalli. 

Il-quddiem nagħtu kundizzjonijiet suffiċjenti biex jiġri dan.

Integral ta' Riemann 

Ejjew naqsmu l-intervall kompatt  permezz ta' partizzjoni  f'  sottointervalli :

 ,  

Ħalli jkunu 

   

   

Niddefinixxu s-somma integrali inferjuri (relattiva għall-partizzjoni ):
  

Jekk nammettu li  tieħu valuri pożittivi fl-intervall,  hija s-somma tar-rettangli inskritti fir-reġjun tal-pjan , taħt il-grafiku ta' .

Niddefinixxu s-somma integrali superjuri (relattiva għall-partizzjoni ):

  

Analogament,  hi s-somma tal-arji tar-rettangli ċirkoskritti fir-regjun . 

Jidher ċar li jekk   imbagħad għal kull partizzjoni  ta'  : 

 . 

Dawn iż-żewġ lemmata wieħed jista' jipprovahom faċilment:

Ħalli jkunu 

  partizzjoni ta' ,  
  partizzjoni ta' .  

 ngħidulu l-integral inferjuri u  l-integral superjuri. Mill-lemma preċidenti nistgħu niddeduċu li dawn jissodisfaw

Definizzjoni 

In-numri ,  ngħidulhom it-truf tal-integrazzjoni u   l-integrand ( l-ewwel tarf,  it-tieni tarf). Il-varjabbli ta'  integrazzjoni hi varjabbli muta jiġifieri  tfisser l-istess bħal . Id- insibuha bħala d-differenzjali tal-varjabbli tal-integrazzjoni.

Jekk il-funzjoni integrabbli    hi posittiva l-integral hu daqs l-arja tar-reġjun: 

 

Jekk il-funzjoni   tibdel is-sinjal fuq  l-integral jirrappreżenta is-somma tal-arji bis-sinjal differenti, posittiv jekk l-arja tkun fuq l-assi tal-axissa, negattiv jekk tkun taħt.

Ħalli tkun il-partizzjoni li taqsam l-intervall  f'sottointervalli ugwali ta' tul . Jekk il-limiti ta' 
u ta'  meta  tersaq lejn l-infinit
huma l-istess, imbagħad ikollna

u allura, la , ikollna wkoll

Eżempju 1.

Ħalli  u l-intervall ikun .
Imbagħad 

u

Mela 

fejn użajna l-formula .

Bl-istess mod

Allura

Eżempju 2.

B'kuntrast mal-eżempju ta' qabel, ejjew nikkunsidraw il-funzjoni  definita hekk

Għal kull partizzjoni tal-intervall , f'kull sottointervall  hemm numri razzjonali u irrazzjonali u mela  u  . Għalhekk
  
  
Mela  u . La dawn mhux imdaqs nistgħu nikkonkludu li l-funzjoni  mhux integrabbli.

La mhux kull funzjoni hi integrabbli, hemm bżonn li niddeċiedu meta l-integral ta' funzjoni
jeżisti jew le. Il-quddiem nagħtu żewġ klassijiet wiesa' ta' funzjonijiet li huma integrabbli. It-teorema li ġejja hi utli ħafna għal din id-deċizzjoni.

Prova :
Nissoponu li  hi integrabbli u hekk . Għall kull 
mogħtija, teżisti partizzjoni  ta'  li tissodisfa
 
(Din issegwi mid-definizzjoni tas-supremum). Bl-istess mod teżisti partizzjoni  ta'  li tissodisfa
 
Ħalli . Imbagħad minn Lemma 1, għandna
 

Min naħa l-oħra, nissoponu li għall kull 
mogħtija, teżisti partizzjoni  ta'  li tissodisfa . Allura 
 
La  hi arbitrarja, bilfors li 
 u allura  u
 hi integrabbli.

Proprjetajiet tal-integral skont Riemann

Integrabbiltà 

Prova:
Nissoponu li l-funzjoni   tiżdied fuq . Il-każ fejn tonqos hu simili. Jekk ningħataw , nistgħu nagħzlu  li tissodisfa 

Ħalli  tkun partizzjoni tal-intervall  f'sottointervalli  ta' wisa' inqas minn . Mill-monontonija għandna
li  u .
Mela

Allura mit-Teorema 1 nistgħu nikkonkludu li l-funzjoni hi integrabbli.

Prova:
La l-funzjoni  hi kontinwa allura hi kontinwa uniformement. Jekk ningħataw , teżisti  li għaliha 

kull meta . Jekk  hi partizzjoni tal-intervall  f'sottointervalli  ta' wisa' inqas minn , imbagħad ikollna

u mela

Allura mit-Teorema 1 nistgħu nikkonkludu li l-funzjoni hi integrabbli.

Linjarità 

Prova:
Jekk  jidher ċar li  u . Mela la
 
għandna 

B'mod simili jekk  għandna  u  u allura

Mela issa biżżejjed li nipprovaw li

Niftakru li 
u għalhekk għal kull partizzjoni  ta' 

Mit-Teorema 1 nafu li għall kull 
mogħtija, jeżistu partizzjonijiet  u  ta'  li jissodisfaw
 
Ħalli . Imbagħad minn Lemma 1, għandna
 
Jekk nikkumbinaw id-diżugwaljanzi niksbu
 
u allura l-funzjoni  hi integrabbli.

Nin-naħa l-oħra, la

u

nikkonkludu li

Additività 

Prova:  

Mit-Teorema 1 nafu li għall kull 
mogħtija, jeżistu partizzjonijiet  ta'  u  ta'  li jissodisfaw
 
Ħalli . Din partizzjoni ta'  u għandna
 
Mela  hi integrabbli fuq .

Nin-naħa l-oħra, la

u

nikkonkludu li 

kif nixiequ.

Monotonija 

Prova :
Jekk  għal kull , għal kull partizzjoni  ta'  ikollna

Minn dawn id-diżugwaljanzi nikkonkludu l-monotonija tal-integral.

Valur assolut 

Prova:
Ħalli  tkun partizzjoni ta'    f'  sottointervalli 

 ,  

u

   
Mid-diżugwaljanza 
  
għal kull ,
nikkonkludu li 
  
u allura
  
Mela la  hi integrabbli,  hi integrabbli wkoll.

Id-diżugwaljanza bejn l-integrali, niksbuha mir-relazzjoni 
  valida għal kull .

Teorema tal-medja 

Prova:
La   hi kontinwa f', bit-teorema ta' Weierstrass għandha massimu  u minimu  f':

Mela

Mill-proprijetà tal-monotonija tal-integral jirriżulta li

u allura

Issa mill-proprijetajiet tal-funzjonijiet kontinwi nafu li  f'  trid tieħu il-valuri kollha f'.
Allura, in partikulari teżisti  li tissodisfa .

Kalkulu differenzjali u kalkulu integrali 
F'din is-sezzjoni nagħtu ż-żewġ teoremi fundamentali tal-kalkulu integrali li jistabillixxu il-konnessjoni intima li teżisti bejn il-kalkulu differenzjali  u l-kalkulu integrali. Dawn it-teoremi huma s-sissien tal-analisi integrali fis-sens li huma l-ħolqa li tgħaqqad il-kalkulu differenzjali mal-kalkulu integrali.

Teorema fundamentali tal-kalkulu integrali I 

Prova:  Nieħdu . Imbagħad għal kull 
mogħtija, teżisti  li għaliha
 
jekk  Jidher ċar li 
 
u li
   
Allura għandna

u għalhekk

Mela  tikkonverġi lejn  meta  tersaq lejn 0, u allura

Nota:
Fil-kalkulu differenzjali hemm dan il-kunċett tal-primittiva:

Funzjoni   derivabbli f'intervall   ngħidulha  l-primittiva ta'   f'  jekk: 
 
għal kull .

Mela dan it-teorema jiggarantixxi l-eżistenza ta'  primittiva.

Teorema fundamentali tal-kalkulu integrali II 

Prova:  Ħalli  tkun partizzjoni ta'    f'  sottointervalli 

u
 
Billi napplikaw it-teorema tal-valur medju għall kull intervall , niksbu punti , li għalihom
 
Mela għandna
   
La  għal kull , isegwi li   
La din hi valida għal kull partizzjoni , għandna wkoll
 
Imma qegħdin nassumu li  hi integrabbli fuq , u għalhekk
 
Allura

Integrali impropri 

Ngħidu li l-funzjoni   hi assolutament integrabbli fuq intervall tat-tip  jekk u biss jekk fuq dan l-intervall, il-funzjoni || hija wkoll integrabbli.

Hemm ukoll teorema li tiggarantixxi li funzjoni li hi assolutament integrabbli hi integrabbli, fuq l-intervall tat-tip :

Prova:
Bit-teorema fuq l-eżistenza ta'l-integrali nafu li l-kondizzjoni neċessarja u suffiċjenti biex 
  jeżisti u hu finit hi li 

 
Mill-integrabbiltà ta'  nafu li l-espressjoni tal-aħħar hi valida jekk inpoġġu  minflok :

Imma mill-proprietà tal-valur assolut għall-integrali għandna
  
U mela nistgħu niktbu
 
 
Mill-liema niksbu li  hi integrabbli.

Hemm bżonn noqgħodu attenti li ma nħalltux dan it-teorema mal-kuntrarju tiegħu, li hu falz għax mhux il-funzjonijiet integrabbli kollha huma assolutament integrabbli. Eżempju ta' dan hi funzjoni ta' dan it-tip

L-integral skont Lebesgue 
L-integral skont Riemann li tħaditna fuqu hawn fuq, għandu motivazzjoni tajba, hu sempliċi biex tiddeskrivih u hu biżżejjed għal ħtieġijiet tal-kalulu elmentari. Però, dan l-integral ma jissodisfax il-ħtieġijiet kollha tal-analisi avvanzata. L-integral skont Lebesgue jippermetti l-integrazzjoni ta' funzjonijiet iżjed ġenerali, jittratta l-funzjonijiet limitati u mhux limitati fl-istess ħin, u jħallina nbidlu lintervall  f'settijiet iżjed ġenerali.

Integrali oħra

Bibljografija 
 Giuseppe Scorza Dragoni - Elementi di analisi matematica I,II, III  - Padova
 Mauro Picone, Gaetano Fichera - Lezioni di analisi matematica I,II - Roma
 Jean Favard - Cours d'analyse I,II - Parigi
 Federico Cafiero - Misura di integrazione - Roma
 Mauro Picone, Tullio Viola - Lezioni sulla teoria moderna dell'integrazione - Torino
 Henri Lebesgue - Leçons sur l'intégration et la recherche de functions primitives - Parigi (1904)
 Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica - Torino (1920)
 Ernesto Cesaro - Elementi di calcolo infinitesimale - Napoli
 Tom M. Apostol - Calcolo, Volume primo, Analisi 1 - Bollati Boringhieri

Ħoloq esterni 

 L-Integral - Kalkolu foramli ta' primittivi
 Interactive Multipurpose Server (WIMS)

Integral
Integral