Homologie cyclique periodique de l'algebre de Schwartz d'un groupe discret d'isometries d'un espace CAT(0)
Nous calculons l'homologie cyclique periodique reduite de l'algebre des fonctions sommables a decroissance rapide (par rapport a une metrique de mots) sur un groupe discret agissant de maniere isometrique, propre et cocompacte sur un espace CAT(0) Elle coincide avec l'homologie du groupe a coefficients dans la sous representation de la representation adjointe donnee par les elements de torsion du groupe. Cela coincide avec l'homologie cyclique periodique de l'anneau du groupe et est en accord avec les resultats de V. Lafforgue sur la K theorie de l'algebre de Schwartz.Notre calcul se fait en analogie avec celui de l'homologie cyclique d'une algebre de groupe. La presence de la topologie sur l'algebre de Schwartz nous force a renoncer aux arguments de l'algebre homologique abstraite et a travailler exclusivement avec des morphismes de complexes explicites. Nous partons de la decomposition du complexe cyclique en somme directe topologique des sous complexes indexes par les classes de conjugaison du groupe. Pour etudier un tel sous complexe nous utilisons deux outils. D'un cote, la projection "orthogonale" de l'espace CAT(0) sur le sous espace des points de deplacement minimal sous un element fixe de la classe de conjugaison. De l'autre, une subdivision des simplexes dans cet espace, bien adaptee a la geometrie de courbure non positive.Nous arrivons ainsi a une retraction par deformation du sous complexe associe a une classe de conjugaison dans un complexe de dimension finie. Toutes les normes sur un espace vectoriel de dimension finie etant equivalentes, nous pouvons oublier la topologie de l'algebre de Schwartz et nous arrivons au resultat cherche.