Geometrie et arithmetique explicites des varietes abeliennes et applications a la cryptographie
Les principaux objets etudies dans cette these sont les equations decrivant le morphisme de groupe sur une variete abelienne, plongee dans un espace projectif, et leurs applications en cryptographie. Notons g sa dimension et k son corps de definition. Ce memoire est compose de deux parties. La premiere porte sur l'etude des courbes d'Edwards, un modele pour les courbes elliptiques possedant un sous groupe de points k rationnels cyclique d'ordre 4, connues en cryptographie pour l'efficacite de leur loi d'addition et la possibilite qu'elle soit definie pour toute paire de points k rationnels (loi d'addition k complete) Nous en donnons une interpretation geometrique et en deduisons des formules explicites pour le calcul du couplage de Tate reduit sur courbes d'Edwards tordues, dont l'efficacite rivalise avec les modeles elliptiques couramment utilises. Cette partie se conclut par la generation, specifique au calcul de couplages, de courbes d'Edwards dont les tailles correspondent aux standards cryptographiques actuellement en vigueur. Dans la seconde partie nous nous interessons a la notion de completude introduite ci dessus. Cette propriete est cryptographiquement importante car elle permet d'eviter des attaques physiques, comme les attaques par canaux caches, sur des cryptosystemes bases sur les courbes elliptiques ou hyperelliptiques. Un precedent travail de Lange et Ruppert, base sur la cohomologie des fibres en droite, permet une approche theorique des lois d'addition. Nous presentons trois resultats importants tout d'abord nous generalisons un resultat de Bosma et Lenstra en demontrant que le morphisme de groupe ne peut etre decrit par strictement moins de g+1 lois d'addition sur la cloture algebrique de k. Ensuite nous demontrons que si le groupe de Galois absolu de k est infini, alors toute variete abelienne peut etre plongee dans un espace projectif de maniere a ce qu'il existe une loi d'addition k complete. De plus, l'utilisation des varietes abeliennes nous limitant a celles de dimension un ou deux, nous demontrons qu'une telle loi existe pour leur plongement projectif usuel. Finalement, nous developpons un algorithme, base sur la theorie des fonctions theta, calculant celle ci dans P^15 sur la jacobienne d'une courbe de genre deux donnee par sa forme de Rosenhain. Il est desormais integre au package AVIsogenies de Magma.