لخص هذه المقالة:  <unk> معرفة سبب تغير شيء ما في لحظة محددة هو قلب التفاضل والتكامل. على سبيل المثال، الحسابات الحسابية لا تخبرك فقط سرعة سيارتك، ولكن كم تتغير هذه السرعة في أي لحظة. هذا واحد من أبسط استخدامات التفاضل والتكامل، لكنه مهم بشكل لا يصدق. تخيل مدى فائدة هذه المعرفة لسرعة سفينة فضائية تحاول الوصول إلى القمر! إيجاد التغيير الفوري يسمى التمايز. حساب التفاضل والتكامل هو أول فرع من فرعين رئيسيين في حساب التفاضل والتكامل. "المشتقة" هي كلمة رائعة تثير القلق. ومع ذلك، فإن المفهوم نفسه ليس صعباً على الفهم، فهو يعني فقط "مدى سرعة تغير شيء ما". المشتقات الأكثر شيوعا في الحياة اليومية تتعلق بالسرعة. من المحتمل أنك لا تسميها "مشتقة السرعة" ولكنك تسميها "التسارع" التسارع هو مشتق <unk> يخبرك كم سرعة شيء يتسارع أو يتباطأ، أو كيف تتغير السرعة. هذا أحد النتائج الرئيسية في التفاضل والتكامل. معدل التغير بين نقطتين يساوي ميل الخط الذي يربطهم. فكر في خط أساسي، مثل المعادلة y=3x.{\displaystyle y=3x.} ميل الخط هو 3، وهذا يعني أنه لكل قيمة جديدة من x،{\displaystyle x,} y{\displaystyle y} يتغير بنسبة 3. الميل هو نفس معدل التغيير: الميل ثلاثة يعني أن الخط يتغير بـ 3 لكل تغيير في x.{\displaystyle x.} عندما x=2,y=6;{\displaystyle x=2,y=6;} عندما x=3,y=9.{\displaystyle x=3,y=9.} الميل من خط هو التغيير في y مقسوما على التغيير في x. كلما زاد الميل، كلما زاد خط الانحدار. يمكن القول أن الخطوط الشديدة التدحرج تتغير بسرعة كبيرة استعرض كيفية إيجاد ميل خط إذا كانت ذاكرتك غامضة. إن العثور على ميل خط مستقيم بسيط نسبيًا: كم يتغير y{\displaystyle y} لكل قيمة من x؟{\displaystyle x?} ومع ذلك فإن المعادلات المعقدة مع المنحنيات ، مثل y=x2{\displaystyle y=x^{2}} أصعب بكثير للعثور عليها. ومع ذلك، لا يزال بإمكانك العثور على معدل التغير بين أي نقطتين <unk> ببساطة ارسم خطًا بينهما وحسب الميل. على سبيل المثال، في y=x2،{\displaystyle y=x^{2}،} يمكنك أخذ أي نقطتين والحصول على الميل. خذ (1,1){\displaystyle (1,1)} و (2,4).{\displaystyle (2,4).} الميل بينهما يساوي 4−12−1=31=3.{\displaystyle {\frac {4-1}{2-1}}={\frac {3}{1}}=3.} هذا يعني أن معدل التغيير بين x=1{\displaystyle x=1} و x=2{\displaystyle x=2} هو 3. كلما اقتربت نقطتكما، كلما كانت إجابتك أكثر دقة لنقل أنك تريد أن تعرف كم تسارع سيارتك عندما تضغط على البنزين لا تريد أن تقيس تغير السرعة بين منزلك ومحل البقالة، تريد أن تقيس تغير السرعة في الثانية بعد الضغط على البنزين. كلما اقترب قياسك من تلك اللحظة، كلما كان قراءتك أكثر دقة. على سبيل المثال، يدرس العلماء مدى سرعة انقراض بعض الأنواع في محاولة لإنقاذها. ومع ذلك، غالبًا ما تموت الحيوانات في فصل الشتاء أكثر من فصل الصيف، لذا فإن دراسة معدل التغيير على مدار السنة بأكملها ليست مفيدة كما أنها ستجد معدل التغيير بين نقاط أقرب، مثل من 1 يوليو إلى 1 أغسطس. هنا غالبا ما يصبح التفاضل والتكامل مربكا، ولكن هذا هو في الواقع نتيجة لواقعين بسيطين. أولاً، أنت تعلم أن الميل للخط يساوي سرعة تغييره. ثانياً، أنت تعلم أنه كلما كانت نقاط خطك أقرب، كلما كان القراءة أكثر دقة. ولكن كيف يمكنك العثور على معدل التغير في نقطة واحدة إذا كان الميل هو العلاقة بين نقطتين؟ الإجابة: أنت تختار نقطتين قريبتين من بعضهما البعض. فكر في المثال حيث تستمر في تقسيم 1 على 2 مرارا وتكرارا، وتحصل على 1/2، 1/4، 1/8، الخ في نهاية المطاف تحصل على قريبة جدا من الصفر، والجواب هو "عمليا الصفر". هنا، نقاطك تقترب من بعضها البعض، فهي "عمليا فورية". هذه طبيعة المشتقات هناك الكثير من التقنيات المختلفة لإيجاد المشتقة اعتماداً على المعادلة، ولكن معظمها منطقية إذا تذكرت المبادئ الأساسية للمشتقات الموضحة أعلاه. كل المشتقات هي طريقة للعثور على الميل من خط "غير محدود" الخاص بك. الآن بعد أن عرفت نظرية المشتقات جزء كبير من العمل هو إيجاد الإجابات استخدام المشتقات للعثور على معدل التغير في نقطة واحدة مفيد، ولكن جمال التفاضل والتكامل هو أنه يسمح لك بإنشاء نموذج جديد لكل وظيفة. مشتقة y=x2،{\displaystyle y=x^{2}،} على سبيل المثال، هي y′=2x.{\displaystyle y^{\prime }=2x.} وهذا يعني أنه يمكنك العثور على المشتقة لكل نقطة على الرسم البياني y=x2{\displaystyle y=x^{2}} ببساطة عن طريق توصيلها بالمشتقة. في النقطة (2,4),{\displaystyle (2,4),} حيث x=2,{\displaystyle x=2,} يكون المشتقة 4، لأن y′=2(2).{\displaystyle y^{\prime }=2(2).} هناك تدوينات مختلفة للمشتقات. في الخطوة السابقة، تم تصنيف المشتقات بعلامة أساسية <unk> للمشتقة من y،{\displaystyle y,} ستكتب y′.{\displaystyle y^{\prime }.} وهذا ما يسمى تدوين لاغرانج. هناك أيضا طريقة أخرى شائعة لكتابة المشتقات. بدلاً من استخدام رمز أولي ، تكتب ddx.{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}.} تذكر أن الدالة y=x2{\displaystyle y=x^{2}} تعتمد على المتغير x.{\displaystyle x.} ثم ، نكتب المشتقة باسم dydx{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}} <unk> مشتقة y{\displaystyle y} فيما يتعلق بـ x.{\displaystyle x.} هذا يسمى تدوين لايبنيز. أسهل مثال يعتمد على السرعة، والتي تقدم الكثير من المشتقات المختلفة التي نراها كل يوم. تذكّر، المشتقة هي مقياس لمدى سرعة تغير شيء ما. فكر في تجربة أساسية. أنت تقوم بتدحرج كرة على طاولة، وتقيس كل من مدى تحركها في كل مرة ومدى سرعتها في التحرك. الآن تخيل أن الرخام المتداول يرسم خطًا على الرسم البياني <unk> تستخدم المشتقات لقياس التغيرات الفورية في أي نقطة على هذا الخط. ما سرعة تغيير الرخام للموقع؟ ما هو معدل التغيير، أو المشتق، من حركة الرخام؟ هذا المشتق هو ما نسميه السرعة قم بتدحرج الكرة أسفل المنحدر وشاهد مدى سرعة زيادة السرعة ما هو معدل التغير، أو المشتق، من سرعة الرخام؟ هذا المشتق هو ما نسميه "التسارع". قم بتدحرج الرخام على طول مسار صعودا وهبوطاً مثل قطار الدوارة كم سرعة الزجاج في السير في التلال؟ وكم سرعة فقدانه في الصعود؟ ما سرعة حركة الرخام بالضبط في منتصف الطريق إلى أعلى التل الأول؟ هذا سيكون معدل التغيير الفوري، أو المشتق، من تلك الرخام في نقطة محددة واحدة.  ملخص:
تعلم أن التفاضل والتكامل يستخدم لدراسة التغير الفوري استخدم المشتقات لفهم كيف تتغير الأشياء على الفور. تعرف أن معدل التغير هو الميل بين نقطتين. تعرف أنه يمكنك إيجاد ميل الخطوط المنحنية. اجعل نقاطك قريبة من بعضها لتحصل على معدل تغيير أكثر دقة استخدم خطوط صغيرة بلا حدود للعثور على "معدل التغير الفوري" أو المشتقة. تعلم كيفية أخذ مجموعة متنوعة من المشتقات. اعثر على المعادلات المشتقة للتنبؤ بمعدل التغير في أي نقطة. تذكر أمثلة الحياة الحقيقية للمشتقات إذا كنت لا تزال تكافح لفهم.