اكتب مقالاً مبنيًا على هذا "احضر أدوات الرسم الرقمية أو التناظرية الخاصة بك. ابدأ بدوائر كبيرة قم بإنشاء دائرة أصغر داخل الدائرة الأصلية، مماسة إلى جانب واحد ارسم دائرة متطابقة "عبر" الدائرة الداخلية الأصغر قم بتطبيق نظرية ديكارت لإيجاد حجم الدائرة التالية أنشئ مجموعة الدوائر التالية. استمر بهذه الطريقة لتستمر في إضافة الدوائر لتحدي، حاول أن تصنع سدادة أبولونية غير متناظرة عن طريق تغيير حجم الدائرة الثانية.  المادة:
في الخطوات أدناه، سنصنع حزمة أبولونيا البسيطة الخاصة بنا. من الممكن رسم حشوات أبولونيا باليد أو على الكمبيوتر. في كلتا الحالتين، ستريد أن تكون قادراً على رسم دوائر دائرية كاملة. هذا مهم جداً وبما أن كل دائرة في غازية أبولونيان هي تماماً مماسة للدوائر المجاورة لها، فإن الدوائر التي هي حتى غير متشابهة قليلاً يمكن أن "ترمي" منتجك النهائي. إذا كنت ترسم الماسورة على الكمبيوتر، فستحتاج إلى برنامج يسمح لك برسم دوائر ذات نصف قطر ثابت بسهولة من نقطة مركزية. يمكن استخدام Gfig ، وهو امتداد للرسم المتجه لبرنامج تحرير الصور المجاني GIMP ، وكذلك مجموعة واسعة من برامج الرسم الأخرى (انظر قسم المواد للحصول على الروابط ذات الصلة). وربما تحتاج أيضاً إلى تطبيق حاسبة و إما وثيقة معالج نص أو دفتر ملاحظات مادي لتدوين الملاحظات على الانحناءات و نصف قطرها. لرسم الغسّاق يدويًا، ستحتاج إلى آلة حاسبة (علمية أو رسم رسوم بيانية مقترحة) ، وقلم رصاص، وبوصلة، وقائدة (يفضل مقياسًا مع علامات ملليمتر، ورق الرسم البياني، ومذكرة لتدوين الملاحظات. مهمتك الأولى سهلة، فقط ارسم دائرة كبيرة، دائرية تماماً. كلما كانت الدائرة أكبر، كلما زاد تعقيداً ما يمكن أن تكون عليه الوقود، لذا حاول أن تصنع دائرة كبيرة بقدر ما تسمح لك الورقة أو أكبر قدر ما يمكنك رؤيته بسهولة في نافذة واحدة في برنامج الرسم الخاص بك. بعد ذلك، ارسم دائرة أخرى داخل الدائرة الأولى تكون أصغر من الدائرة الأصلية، لكنها لا تزال كبيرة إلى حد ما. الحجم الدقيق للدائرة الثانية متروك لك - لا يوجد حجم صحيح. ومع ذلك، لأغراضنا، دعونا نرسم الدائرة الثانية بحيث تصل بالضبط إلى منتصف الطريق عبر الدائرة الخارجية الكبيرة. بعبارة أخرى، دعونا نرسم الدائرة الثانية بحيث تكون نقطة مركزها هي النقطة الوسطى من نصف قطر الدائرة الكبيرة. تذكّر أنّ في "أبولونيان غاسيتس"، كلّ الدوائر التي تلامس بعضها تكون مماسة لبعضها. إذا كنت تستخدم البوصلة لرسم الدوائر يدوياً، أعد خلق هذا التأثير بوضع نقطة البوصلة الحادة في منتصف نصف قطر الدائرة الخارجية الكبيرة، و ضبط قلم الرصاص بحيث يلمس فقط حافة الدائرة الكبيرة، ثم رسم الدائرة الداخلية الأصغر. بعد ذلك، دعونا نرسم دائرة أخرى عبر دائرتنا الأولى هذه الدائرة يجب أن تكون مماسة لكل من الدائرة الخارجية الكبيرة والدائرة الداخلية الأصغر مما يعني أن دوائرك الداخلية ستتلامس في نقطة منتصف الدائرة الخارجية الكبيرة بالضبط دعونا نتوقف عن الرسم للحظة الآن بعد أن أصبح لدينا ثلاث دوائر في الماسورة، يمكننا استخدام نظرية ديكارت لإيجاد نصف قطر الدائرة التالية التي سنرسمها. تذكر أن نظرية ديكارت هي d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a)) ، حيث a و b و c هي انحناءات دوائرك الثلاثة المماسة و d هي انحناء الدائرة المماسة للثلاثة. لذا، لإيجاد نصف قطر الدائرة التالية، دعونا نجد انحناء كل من الدوائر لدينا حتى الآن حتى نتمكن من العثور على انحناء الدائرة التالية، ثم تحويل هذا إلى نصف قطرها. دعونا نحدد نصف قطر الدائرة الخارجية على أنها 1 لأن الدائرات الأخرى داخل هذه الدائرة، نحن نتعامل مع انحناءها الداخلي (بدلاً من انحناءها الخارجي) ، وبالتالي، نحن نعرف أن انحناءها سالب. - 1/r = -1/1 = -1. ان انحناء الدائرة الكبيرة هو -1 نصف قطر الدائرة الأصغر نصف قطر الدائرة الكبيرة، أو بعبارة أخرى، 1/2. بما ان هذه الدوائر تلامس بعضها البعض والدائرة الكبيرة مع الحافة الخارجية، فنحن نتعامل مع انحناءها الخارجي، لذا ان انحناءاتها ايجابية 1/(1/2) = 2 إن انحناءات الدوائر الأصغر هي 2 الآن، نحن نعلم أن a = -1، b = 2، و c = 2 لمعادلة نظرية ديكارت. دعونا نحل لـ d: d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a)) d = -1 + 2 + 2 ± 2 (sqrt (-1 × 2 + 2 × 2 + 2 × -1 )) d = -1 + 2 + 2 ± 2 (sqrt (-2 + 4 + ) -2) d = -1 + 2 + 2 ± 0 d = -1 + 2 + 2 d = 3. ان انحناء الدائرة التالية هو 3 بما أن 3 = 1/r، فإن نصف قطر الدائرة التالية هو 1/3. استخدم قيمة نصف القطر التي وجدتها لتوك لرسم الدائرتين التاليتين تذكر أن هذه ستكون مماسة للدوائر التي استخدمت منحنياتها لـ a, b, و c في نظرية ديكارت. وبعبارة أخرى، فإنها ستكون مماسة لكل من الدائرة الأصلية والدائرة الثانية. لكي تكون هذه الدوائر مماسة للدوائر الثلاث، ستحتاج إلى رسمها في المساحات المفتوحة في الأعلى والأسفل من المنطقة داخل الدائرة الأصلية الكبيرة. تذكر أن نصف قطر هذه الدوائر يساوي 1/3 قم بقياس 1/3 من حافة الدائرة الخارجية ثم ارسم الدائرة الجديدة يجب أن تكون مماسة لثلاثة من الدوائر المحيطة لأنّهما كسران، فإنّ الألواح التّابعة لـ (أبولونيان) معقدة بشكل لا نهائي. هذا يعني أنه يمكنك إضافة دوائر أصغر وأصغر إلى محتوى قلبك. أنت محدود فقط بدقة أدواتك (أو، إذا كنت تستخدم جهاز كمبيوتر، قدرة برنامج الرسم الخاص بك على "التكبير"). كل دائرة مهما كانت صغيرة يجب أن تكون مماسة لثلاث دائرات أخرى لرسم كل دائرة لاحقة في غازيتك، قم بتوصيل انحناءات الدوائر الثلاث التي ستكون مماسة لها في نظرية ديكارت. ثم استخدم إجابتك (والتي ستكون نصف قطر الدائرة الجديدة) لرسم الدائرة الجديدة بدقة. لاحظ أن الماسورة التي اخترناها لرسمها متناظرة، لذلك نصف قطر دائرة واحدة هو نفسه الدائرة المقابلة "عبر منه". ومع ذلك، اعلم أن ليس كل سدادة أبولونيان متناظرة. دعونا نتطرق إلى مثال آخر. دعونا نقول أنه بعد رسم آخر مجموعة من الدوائر، نريد الآن رسم الدوائر التي هي مماسة إلى مجموعتنا الثالثة، ومجموعتنا الثانية، والدائرة الخارجية الكبيرة. انحناءات هذه الدوائر هي 3، 2، و -1 على التوالي. دعونا نضع هذه الأرقام في نظرية ديكارت، ووضع a = -1، b = 2، و c = 3: d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a)) d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (-1 × 2 + 2 × 3 + 3 × -1 )) d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (-2 + 6 + -3)) d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (1)) d = -1 + 2 + 3 ± 2 d = 2, 6. لدينا إجابتان! ومع ذلك، لأننا نعلم أن دائرتنا الجديدة ستكون أصغر من أي من الدوائر التي تكون مماسة لها، فقط انحناء 6 (وبالتالي نصف قطرها 1/6) هو المنطقي. جوابنا الآخر، 2، يشير في الواقع إلى الدائرة الافتراضية على الجانب الآخر من نقطة مماس الدائرتين الثانية والثالثة. هذه الدائرة مماسة لكل من هذه الدوائر والدائرة الخارجية الكبيرة، لكنها ستقطع الدوائر التي رسمناها بالفعل، لذا يمكننا تجاهلها. كل الأوراق التابعة لـ (أبولونيان) تبدأ بنفس الطريقة - مع دائرة خارجية كبيرة تعمل كحافة للفراكتال. ومع ذلك، ليس هناك سبب أن الدائرة الثانية يجب أن يكون لها بالضرورة نصف نصف قطر الدائرة الأولى - نحن فقط اخترنا أن نفعل هذا أعلاه لأنه بسيط وسهل الفهم. من أجل المتعة، حاول بدء حزمة جديدة مع دائرة ثانية من حجم مختلف - وهذا سوف يؤدي إلى طرق جديدة مثيرة من الاستكشاف. بعد رسم الدائرة الثانية (بغض النظر عن حجمها) ، يجب أن يكون الفعل التالي هو رسم دائرة واحدة أو أكثر تكون مماسة لها والدائرة الخارجية الكبيرة - لا توجد طريقة صحيحة للقيام بذلك أيضًا. بعد ذلك، يمكنك استخدام نظرية ديكارت لتحديد نصف قطر أي دوائر لاحقة، كما هو موضح أعلاه.