أعطني دليل على أن الجذر التربيعي لـ 2 غير منطقي
هذا دليل على أن الجذر التربيعي لـ 2 غير منطقي أولاً، تذكر أن الأعداد غير العددية هي الأعداد التي لا يمكن كتابتها على شكل p / q للأعداد الصحيحة p و q. افترض على سبيل التناقض أن الجذر التربيعي لـ 2 عقلاني، مما يعني أن sqrt(2) = p / q لبعض الأعداد الصحيحة p و q. وبدون فقدان التعميم افترض أن هذا الكسر في شكل مخفض، مما يعني أن p و q لا يشتركان في عوامل مشتركة. يمكننا أن نفترض ذلك لأن أي كسر صحيح يمكن كتابته في شكل مخفض ، لذلك وجود أي تمثيل عقلاني ل sqrt ((2) من شأنه أن يعني وجود واحد في شكل مخفض. الآن نربع كلا الجانبين من المعادلة المذكورة أعلاه، مما يعطي  2 = p^2 / q^2  لبعض الأعداد الصحيحة p و q لا تتشارك أي عوامل مشتركة. الان اضرب ب q^2 للحصول على  2 * q^2 = p^2  لاحظ أن الجانب الأيسر زوج بسبب عامل 2، لذلك الجانب الأيمن p^2 زوج أيضا. هذا يعني أن p يجب أن تكون زوجية أيضا، وإلا فإن p^2 لن تكون زوجية. اذا p يمكن ان يكتب كـ 2 * x لعدد صحيح x إذا قمنا باستبدال هذا في المعادلة أعلاه، نحصل على  2 * q ^ 2 = (2 * x) ^ 2 = 2 ^ 2 * x ^ 2  لاحظ أن كلا الجانبين من المعادلة لديهم عامل 2 يمكننا إلغاؤه. بفعل هذا، نحصل على  q^2 = 2 * x^2  بواسطة حجة مماثلة لتلك المذكورة أعلاه، يمكننا أن نستنتج أن q زوجية. ومع ذلك فإن هذا يتناقض مع افتراضنا بأن p و q لا يشتركان في عوامل مشتركة. لذلك كان افتراضنا الأولي بأن sqrt ((2)) عقلاني خاطئ، وهو ما بدأنا في إثباته.