ما هي بعض التطبيقات العملية لليما بيرنسايد في التركيبيات على أساس هذا المقطع؟
Context:ليمة بورنزايد، وتسمى أحيانا أيضا نظرية عد بورنزايد، ليمة كوشي فروبينيوس، نظرية عد المدار، أو ليمة ليست ليمة بورنزايد، هي نتيجة في نظرية المجموعات التي غالبا ما تكون مفيدة في الأخذ بعين الاعتبار التناظر عند عد الكائنات الرياضية. أسماءها المختلفة تستند إلى ويليام بيرنزايد وجورج بوليا وأوغستين لويس كوشي وفيرديناند جورج فروبينيوس. النتيجة ليست بسبب بيرنزايد نفسه ، الذي يقتصر على اقتباسها في كتابه "على نظرية المجموعات من النظام المحدود" ، ويعزو بدلاً من ذلك إلى فروبينيوس (1887). يعد برنسايد ليمما "المدارات"، وهو نفس الشيء مثل عد الأشياء المختلفة مع الأخذ بعين الاعتبار التماثل. طرق أخرى لقولها هي عد الكائنات المختلفة حتى علاقة التكافؤ R، أو عد الكائنات التي هي في شكل القانونية.  في ما يلي ، دع G تكون مجموعة محدودة تعمل على مجموعة X. لكل g في G ، دع Xg تشير إلى مجموعة العناصر في X التي يتم تحديدها بواسطة g (وتقول أيضًا أنها تترك ثابتة بواسطة g) ، أي Xg = { x ∈ X ⋅ g.x = x }. تُؤكّد مبدأ بيرنسايد الصيغة التالية لعدد المدارات، والتي تُدَّلُّ بـ X/G:  -أجل.  /  -أجل. = واحد -أجل.  -أجل. <unk>  ∈  -أجل.   -أجل. - نعم. {\displaystyle X/G Berry={\frac {1}{Berry Berry}}\sum _{g\in G} BerryX^{g} Berry.} وبالتالي فإن عدد المدارات (عدد طبيعي أو + ∞) يساوي متوسط عدد النقاط الثابتة عن طريق عنصر من G (وهو أيضا عدد طبيعي أو اللانهاية). إذا كانت G غير متناهية، فإن القسمة على G قد لا تكون محددة بشكل جيد؛ في هذه الحالة الصيغة التالية في الحساب الأساسي صحيحة:  -أجل.  -أجل. -أجل.  /  -أجل. = <unk>  ∈  -أجل.   -أجل. - نعم. {\displaystyle \GgadgadgadgadgadX/Ggadgadgad=\sum _{g\in G}gadgadgadX^{g}gadgad.} أمثلة على تطبيقات التعداد قلادة هناك 8 متجهات بت ممكنة بطول 3 ، ولكن فقط أربعة قلائد مميزة من 2 ألوان بطول 3: 000 و 001 و 011 و 111 ، لأن 100 و 010 تعادل 001 عن طريق الدوران ؛ وبالمثل 110 و 101 تعادل 011. تعتمد الصيغة على عدد الدورات، والتي في هذه الحالة هي 3 (بما في ذلك الدوران الصفري) ، وعدد متجهات البتات التي تبقى دون تغيير في كل دورة. جميع متجهات 8 بت غير متغيرة من قبل الدوران الصفر، واثنين (000 و 111) غير متغيرين من قبل كل من الدورانين الآخرين، مما يعطي: أربعة = واحد ثلاثة ( ثمانية + اثنان + اثنان ) {\displaystyle 4={\frac {1}{3}}(8+2+2)}.  بالنسبة للطول 4 ، هناك 16 متجه بيت ممكن ؛ 4 دورانات ؛ يترك التناوب الصفري جميع المتجهات 16 بت دون تغيير ؛ يترك التناوب 1 و التناوب 3 كل متجهين بتين دون تغيير (0000 و 1111) ؛ يترك التناوب 2 متجهين بتين دون تغيير (0000 و 0101 و 1010 و 1111) ؛ مع إعطاء: ستة = واحد أربعة ( 16 + اثنان + أربعة + اثنان ) {\displaystyle 6={\frac {1}{4}}(16+2+4+2)}. هذه هي: 0000، 0001، 0011، 0101، 0111، و 1111.  ملونات مكعب يمكن تحديد عدد الألوان المختلفة بشكل دوراني على وجوه المكعب باستخدام ثلاثة ألوان من هذه الصيغة على النحو التالي.  دعوا X تكون مجموعة من 36 مجموعة ممكنة من ألوان الوجه التي يمكن تطبيقها على مكعب في اتجاه معين، ودعوا مجموعة الدوران G للمكعب تعمل على X بطريقة طبيعية. إذاً عنصرين من X ينتمون إلى نفس المدار بالضبط عندما يكون أحدهما ببساطة دوران للآخر وبالتالي فإن عدد الألوان المتميزة بشكل دوراني هو نفس عدد المدارات ويمكن العثور عليه عن طريق حساب أحجام المجموعات الثابتة للعناصر الـ 24 من G.   مكعب ذو وجوه ملونة عنصر هوية واحد يترك جميع العناصر الـ 36 لـ X دون تغيير ستة تدويرات على الوجه 90 درجة، كل منها يترك 33 من عناصر X دون تغيير ثلاث تدويرات للواجهة 180 درجة، كل منها يترك 34 من عناصر X دون تغيير ثمانية تدويرات للقمة 120 درجة، كل منها يترك 32 من عناصر X دون تغيير ستة تدويرات حافة 180 درجة، كل منها يترك 33 من عناصر X دون تغيير يمكن العثور على دراسة مفصلة لهذه الأوتومورفيزم هنا.  متوسط حجم الإصلاح هو:  واحد 24. ( ثلاثة ستة + ستة ⋅ ثلاثة ثلاثة + ثلاثة ⋅ ثلاثة أربعة + ثمانية ⋅ ثلاثة اثنان + ستة ⋅ ثلاثة ثلاثة ) = - 57. {\frac {1}{24}}\left{3^{6}+6\cdot 3^{3}+3\cdot 3^{4}+8\cdot 3^{2}+6\cdot 3^{3}\right) = 57. وبالتالي هناك 57 تلوينًا متميزًا بدوره من وجوه المكعب في ثلاثة ألوان. بشكل عام، يتم إعطاء عدد الألوان المختلفة بشكل دوراني من وجوه المكعب في n ألوان بواسطة  واحد 24. (  ستة + ثلاثة  أربعة + 12  ثلاثة + ثمانية  اثنان ) - نعم. {\frac {1}{24}}\left(n^{6}+3n^{4}+12n^{3}+8n^{2}\right). لغز 8 ملكات في لغز الملكات الثمانية هناك 92 حلًا، منها 12 حلًا أساسيًا متميزًا حتى دوران وعكس اللوحة. هناك ثمانية مجموعات من الدوران والانعكاسات، بما في ذلك عمل الصفر. يترك العمل الصفري جميع الحلول الـ 92 دون تغيير. أربعة من الحلول الـ 92 متناظرة، دون تغيير من خلال دوران 180 درجة. هذا يعطينا: 12 = واحد ثمانية ( - 92 - + أربعة ) {\displaystyle 12={\frac {1}{8}}(92+4) }
* مشكلة عد القلادات: عد القلادات المختلفة بشكل دوراني بطول مختلف حيث يمكن لكل حبة أن تكون واحدة من اللونين. العنصر يحتسب القلادات بطول 3 و 4 والجواب هو 4 و 6 على التوالي * تلوينات مكعب مسألة: عد تلوينات وجوه مكعب مختلفة بشكل دوراني. تدرس المقالة حالة عندما يتم استخدام 3 ألوان والجواب هو 57. * لغز 8 ملكات: النسخة الكلاسيكية من المشكلة هي حساب الطرق المختلفة لوضع 8 ملكات على لوحة شطرنج 8 × 8 بحيث لا تهاجم أي ملكة أخرى (الجواب هو 92). مع تطبيق حجة بورنزايد ، تعد المقالة عدد المواضع المختلفة للملكات حتى الدوران والانعكاس ، وصولًا إلى 12 كجواب.