وصف الجبر الكاذب
Context:في الرياضيات، مجموعة لي البسيطة هي مجموعة لي غير أبيلية متصلة G التي لا تحتوي على مجموعات فرعية طبيعية متصلة غير تافهة. يمكن استخدام قائمة مجموعات لي البسيطة لقراءة قائمة الجبرات اللي البسيطة والمساحات التماثلية الريمانية.  جنبا إلى جنب مع مجموعة Lie التبديلية للأعداد الحقيقية، \mathbb {R} ، وذلك من الأرقام المركبة الوحدة الكبير ، U(1) (دائرة الوحدة) ، مجموعات Lie البسيطة تعطي "البلوكات" الذرية التي تشكل جميع مجموعات Lie المتصلة (المحدودة الأبعاد) عبر عملية تمديد المجموعة. العديد من مجموعات لي الشائعة هي إما بسيطة أو "قريبة" من كونها بسيطة: على سبيل المثال ، ما يسمى "الجماعة الخطية الخاصة" SL ((n) من n × n مصفوفات مع محدد يساوي 1 بسيطة لجميع n > 1.  أول تصنيف لمجموعات Lie البسيطة كان من قبل فيلهلم كيلينغ، وتم تكملة هذا العمل لاحقًا من قبل إيلي كارتن. غالباً ما يشار إلى التصنيف النهائي باسم تصنيف كيلينغ-كارتان.
لسوء الحظ، لا يوجد تعريف مقبول عالميًا لمجموعة Lie البسيطة. على وجه الخصوص، لا يتم تعريفه دائمًا كمجموعة ليه التي هي بسيطة كمجموعة مجردة. يختلف المؤلفون حول ما إذا كان يجب أن تكون مجموعة Lie بسيطة متصلة ، أو حول ما إذا كان مسموحًا لها أن يكون لها مركز غير تافه ، أو حول ما إذا كان  {\displaystyle \mathbb {R} } هي مجموعة ليه بسيطة.  التعريف الأكثر شيوعًا هو أن مجموعة لي بسيطة إذا كانت متصلة ، غير آبيلية ، وكل مجموعة فرعية طبيعية مغلقة متصلة هي إما الهوية أو المجموعة بأكملها. على وجه الخصوص، يُسمح للمجموعات البسيطة أن يكون لها مركز غير تافه، ولكن  ليست بسيطة.  في هذه المقالة يتم سرد مجموعات لي البسيطة المتصلة مع مركز تافه. بمجرد معرفتها، من السهل إدراج تلك التي لها مركز غير تافه على النحو التالي. أي مجموعة ليه بسيطة مع مركز تافه لها غطاء عالمي، مركزها هو المجموعة الأساسية لمجموعة ليه بسيطة. يمكن الحصول على مجموعات لي البسيطة المقابلة مع مركز غير تافه كجزء من هذا الغطاء العالمي من قبل مجموعة فرعية من المركز.  البدائل يتبع تعريف مكافئ لمجموعة لي البسيطة من مراسلة لي: مجموعة لي المتصلة بسيطة إذا كانت جبر Lie بسيطًا. نقطة فنية مهمة هي أن مجموعة ليه البسيطة قد تحتوي على مجموعات فرعية طبيعية منفصلة. لهذا السبب، تعريف مجموعة لي البسيطة لا يعادل تعريف مجموعة لي البسيطة كمجموعة تجريدية.  تشمل مجموعات Lie البسيطة العديد من مجموعات Lie الكلاسيكية، والتي توفر دعمًا لنظرية المجموعات للهندسة الكروية والهندسة الإسقاطية والهندسة ذات الصلة بمعنى برنامج Erlangen لفيليكس كلاين. ظهرت في سياق تصنيف مجموعات Lie البسيطة أن هناك أيضًا العديد من الاحتمالات الاستثنائية التي لا تتوافق مع أي هندسة مألوفة. تمثل هذه المجموعات الاستثنائية العديد من الأمثلة والتشكيلات الخاصة في فروع أخرى من الرياضيات، وكذلك الفيزياء النظرية المعاصرة.  كمثال مضاد، المجموعة الخطية العامة ليست بسيطة، ولا شبه بسيطة. وذلك لأن مضاعفات الهوية تشكل مجموعة فرعية طبيعية غير تافهة، وبالتالي تتجنب التعريف. وبشكل متساوٍ، فإن جبر Lie المقابل له شكل Killing منحط، لأن مضاعفات هوية الخريطة إلى العنصر الصفر في الجبر. وبالتالي، فإن جبر لي المقابل ليس بسيطًا أو شبه بسيطًا. مثال مضاد آخر هو المجموعات المستقيمة الخاصة في الأبعاد الزوجية. هذه لديها المصفوفة -  -I في الوسط، وهذا العنصر مرتبط بالمسار لعنصر الهوية، وهكذا تتجنب هذه المجموعات التعريف. كلاهما مجموعات تخفيضية.