text: Kemija (koptsko/egipčansko kēme - (črna) zemlja, grško : himia - umetnost (predelave) kovin, arabsko الخيمياء: al-kīmiyá - umetnost pretvarjanja) je znanost, ki preučuje sestavo, zgradbo in lastnosti snovi ter spremembe, do katerih pride med kemijskimi reakcijami. Kemija je tudi fizikalna znanost, ki preučuje zgradbo atomov, molekul, kristalov in drugih oblik snovi in energetske spremembe, do katerih pride med kemijskimi reakcijami. Sodobna kemija se je razvila iz alkimije po »kemijski revoluciji« leta 1773. Kemija se je sčasoma razdelila na več disciplin, ki jih ni mogoče natančno razmejiti. Mednje spadajo anorganska kemija, ki preučuje snovi neorganskega izvora, organska kemija, ki preučuje organske snovi (kemijo ogljika), biokemija, ki preučuje snovi v živih organizmih, fizikalna kemija, ki preučuje predvsem energetske spremembe ter analizna kemija, ki ugotavlja sestavo in zgradbo neznanih vzorcev. V zadnjih letih so se pojavile tudi zelo specializirane poddiscipline, na primer nevrokemija, ki preučuje kemijo živčnega sistema živali (predvsem človeka). Uvod Kemija je znanost, ki preučuje vzajemno delovanje kemičnih spojin, ki so sestavljene iz atomov, ti pa iz subatomskih delcev: protonov, elektronov in nevtronov. Atomi se spajajo in tvorijo molekule in kristale. Kemijo pogosto imenujemo »osrednja« znanost, ker povezuje druge naravoslovne znanosti, na primer astronomijo, fiziko, ekologijo, biologijo in geologijo. Razvoj kemije sega daleč v zgodovino, v čas pred začetkom alkimije, ki se je več stoletij prakticirala v različnih delih sveta, predvsem na Bližnjem vzhodu. Prvi kemiki so bili verjetno Egipčani, ki so že pred 4000 leti uporabljali kozmetične preparate, ki so bili produkt kemijske sinteze. Do leta 1000 pr. n. št. so stare civilizacije znale pridobivati kovine z rud in izdelovati keramiko, glazure, steklo, barvila in pigmente. Poznale so tudi fermentacijo vina in piva, strojenje usnja, barvanje tkanin in kuhanje mila. Stvari, ki nas obdajajo, so takšne zaradi lastnosti snovi, iz katerih so zgrajene: jeklo je trše od železa, ker so v njem atomi povezani v bolj togo kristalno strukturo, les se vname, ker se nad neko temperaturo spontano veže s kisikom iz zraka in tako naprej. Kemične spojine se delijo glede na njihovo zgradbo, agregatno stanje in kemijsko sestavo. Z ugotavljanjem sestave in zgradbe snovi se ukvarja analizna kemija. Pretvorbo snovi v eno ali več drugih snovi imenujemo kemijska reakcija, ki jo zapišemo s simboli v kemijski enačbi. Število atomov vseh elementov na levi in desni strani enačbe je zaradi zakona o ohranitvi mase. Kemijsko reakcijo običajno spremljajo tudi energetske spremembe, na primer oddajenje in sprejemanje toplote, ki se podrejajo nekim osnovnim pravilom – kemijskim zakonom. Kemija je učni predmet na vseh osnovnih in srednjih šolah. Na teh nivojih se poučuje tako imenovana splošna kemija, ki zajema osnovne pojme kemije in spoznavanje orodij in veščin, ki so potrebne za začetek študija kemije na univerzitetnem nivoju. Na najvišjem nivoju se s kemijo ukvarjajo znanstveniki – kemiki, ki so običajno specialisti za eno ali več poddisciplin. Zgodovina Kemija se je začela verjetno z opazovanjem gorenja, ki je pripeljalo do odkritja keramike, stekla in metalurgije – veščine pridobivanja kovin iz rud. Zaradi pomanjkljivega znanja je ogenj postal tista mistična sila, ki je pretvarjala snov v drugo snov (gorenje lesa, izparevanje vode) in istočasno dajala toploto in svetlobo. Filozofski poskusi, da bi pojasnili, zakaj imajo različne snovi različne lastnosti (barvo, gostoto, vonj...), zakaj obstojajo v treh agregatih stanjih (trdno, tekoče in plinasto) in pri enakih pogojih reagirajo različno, so pripeljali do prvih teorij. Po prvih razlagah so svet sestavljali štirje glavni elementi: voda, ogenj, zemlja in zrak. Grška atomista Demokrit (470-400 pr. n. št.) in Levkip (prva polovica 5. stoletja pr. n. št.) sta bila prva, ki sta trdila, da so snovi sestavljene iz majhnih nedeljivih delcev – atomov. Zaradi pomanjkanja znanstvenih dokazov je bilo njuno teorijo o obstoju atomov zelo lahko ovreči. Teorija o štirih elementih se je še dolgo obdržala, verjetno tudi zato, ker jo je zagovarjal Aristotel (384 — 322 pr. n. št.). Aristotel je obstoječim štirim elementom dodal še petega – eter – ki je predstavljal božansko silo. Takšno učenje je kasneje sprejela tudi Cerkev. Grški atomizem je v delu De Rerum Natura (O naravi stvari) leta 50 pr. n. št. napisal rimski filozof Tit Lukrecij Kar. Pohlep po zlatu je pripeljal do postopkov za njegovo rafiniranje. Zaradi pomanjkljivega znanja so bili ljudje prepričani, da je rafiniranje pretvarjanje snovi in ne povečevanje njene čistoče. Mnogi učenjaki tistega časa so bili zato prepričani, da obstoja način, s katerim bi cenene kovine pretvorili v plemenite. Rodila se je alkimija in iskanje kamna modrosti, za katerega so menili, da takšno pretvorbo opravi s preprostim dotikom. Večino takrat znanih metod rafiniranja je v svojem delu Naturalis Historia (Prirodopis) opisal Plinij Starejši. Mnogi poznavalci trdijo, da so bili prvi kemiki Arabci in Perzijci, ki so v kemijo vpeljali natančno opazovanje in nadziranje eksperimentov ter odkrili mnogo kemičnih spojin. Najvplivnejši islamski kemiki so bili Džabir ibn Hajjan (721-815), v Evropi znan kot Geber, al-Kindi (umrl 873), al-Razi (umrl 925) in al-Biruni (umrl 1048). Geberjeva dela so postala v Evropi znana v 14. stoletju, ko jih je v latinščino prevedel španski kemik psevdo-Geber. Na področju metalurgije so bili v tistem času zelo pomembni indijski alkimisti in metalurgi. V Evropi se je kemija začela razvijati v zgodnjem srednjem veku po več epidemijah kuge. Ljudje so začeli iskati zdravila zanjo in verjeli v obstoj eliksirja življenja oziroma eliksirja večne mladosti, ki ga, tako kot kamna modrosti, niso nikoli odkrili. Z alkimijo so se začeli intenzivno ukvarjali tudi zdravniki, med katerimi je najbolj znan Paracelzij (1492-1541). Paracelzij je sicer verjel v teorijo štirih elementov (voda, ogenj, zrak in zemlja), vendar je kljub temu vpeljal novo idejo, da je kozmos sestavljen iz treh duhovnih snovi: živega srebra, žvepla in soli. Te snovi niso bile enostavne snovi, kakor jih pojmujemo danes, pač pa principi, ki so dali predmetom notranje bistvo in zunanjo obliko. Živo srebro je predstavljalo pretvorbeni agens (taljivost in hlapnost), žveplo je predstavljalo povezovalni agens med snovjo in pretvorbo (gorljivost), sol pa je predstavljala agens strjevanja/uresničevanja (stalnost in negorljivost). Sistem, ki je za naše predstave zelo zapleten, najbolje ilustrira naslednji primer: ko kos lesa zgori, produkti gorenja odražajo njegovo sestavo: dim odraža živo srebro, plamen odraža žveplo, pepel pa odraža sol. Pod vplivom filozofov, med katerimi sta izstopala Francis Bacon (1561 – 1626) in René Descartes (1596-1650), ki so zahtevali v matematiki in drugih znanostih več točnosti in manj predsodkov do znanstvenih opazovanj, je prišlo do znanstvene revolucije, ki se je v kemiji začela z Robertom Boyleom (1627-1691) in njegovim zakonom o obnašanju plinov. Sodobna kemija se je začela z Lavoisierovim (1743-1794) odkritjem zakona o ohranitvi mase leta 1783, Proustovim (1754–1826) zakonom o stalnih masnih razmerjih (1799) in Daltonovo (1766-1844) atomsko teorijo, ki je nastala okrog leta 1800. Zakon o ohranitvi mase in teorija zgorevanja, ki je temeljila predvsem na Lavoisierovih delih, sta kemijo povsem preoblikovali. Lavoisierovi temeljni prispevki h kemiji so bili rezultat njegovih naporov, da rezultate poskusov uskladi s teorijo. Ugotovil je, da je gorenje reakcija s kisikom, s čimer je ovrgel flogistonsko teorijo, vzporedno pa je razvil nov sistem kemijske nomenklature. Arhaični in tehnični jezik kemije je prevedel v nekaj, kar so razumeli tudi manj izobraženi, s čimer se je zanimanje za kemijo močno povečalo. Zaradi teh dosežkov Lavoisier velja za očeta sodobne kemije. Naslednji velik korak v kemiji je naredil Wöhler, ki je odkril in dokazal, da se v laboratoriju lahko proizvedejo tudi snovi, ki so sicer naravni organski proizvodi. Odkrivanje kemičnih elementov, ki je staro toliko kot alkimija, je doseglo svoj višek s periodnim sistemom elementov Dimitrija Mendelejeva (1834-1907) in s kasnejšim odkritjem nekaterih sintetičnih elementov. Nastanek imena Beseda kemija se je uporabljala že v zgodnjem obdobju alkimije, psevdoznanosti, ki je obsegala elemente kemije, metalurgije, filozofije, astrologije, misticizma in medicine. Med manj poučenimi prevleduje mnenje, da je bil njen glavni namen odkriti postopek pretvarjanja svinca in manj plemenitih kovin v zlato. Poreklo besede alkimija je še vedno predmet razprav. Besedo se da zanesljivo slediti do Starih Grkov, nekateri poznavalci pa trdijo, da izhaja iz Egipta. Beseda alkimija naj bi nastala iz besede Hemi ali Kimi, ki je staroegipčansko ime Egipta. Besedo so si kasneje sposodili Stari Grki, od njih pa Arabci, ki so v 7. stoletju osvojili Aleksandrijo. Arabci so ji dodali predpono al-, tako da je nastala beseda الكيمياء - al-kīmiyā, iz nje pa starofrancoska beseda alkemie. Alkimijo lahko v grobem razdelimo na naslednja obdobja: Egipčanska alkimija (3.000 pr. n. št. – 400 pr. n. št.) formulira prve osnovne teorije, na primer ogdoado (iz grškega ογδοάς – osemkraten). Ogdoada so bili štirje mešani pari ženskih in moških božanstev, ki so predstavljali ženski in moški aspekt enega od štirih konceptov: prvobitne vode (Naunet in Nu), zraka ali nevidnosti (Amunet in Amun), teme (Kauket in Kuk) in večnosti ali neskončega prostora (Hauhet in Huh). Grška alkimija (332 pr. n. št. – 642); Egipt osvoji Aleksander Veliki in ustanovi Aleksandrijo z največjo knjižnico na svetu, ki postane zbirališče modrecev in učenjakov. Arabska alkimija (642 - 1200); Aleksandrijo osvojijo Arabci; najpomembnejši kemik je Džabir. Evropska alkimija (1300 do danes); na arabski alkimiji začne graditi Psevdo-Geber. Kemija (1661): Boyle objavi klasičen kemijski tekst Skeptični kemik (Sceptical Chymist). Kemija (1789): Lavoisier objavi Osnove kemije (Traité élémentaire de chimie). Kemija (1803): Dalton objavi svojo Atomsko teorijo (Atomic Theory). Alkimisti so sami sebe imenovali kemik, z besedo alkimija pa so imenovali »umetnost, ki so jo gojili«. Definicije Definicije kemije so se v preteklosti večkrat spremenile, predvsem zaradi novih odkritij in novih teorij, ki so nastale na osnovi teh odkritij. Nekateri znani kemiki so uporabljali naslednje definicije kemije: Alkimija (330) – preučevanje sestave voda, nastajanja, rasti, združevanja, ločevanja, izhajanja duha iz teles in vezanje duha v telesa (Zosimos iz Panopolisa). Kimija (1661) - preučevanje snovnih načel sestavljenih teles (Boyle). Kimija (1663) – znanstvena umetnost, s katero se lahko telesa raztopi, izvleče iz njih različne snovi, jih ponovno združi in poveča njihovo popolnost (Glaser). Kemija (1730) – umetnost razstavljanja zmesi, spojin in agregatnih teles v njihove principe in sestavljanje takšnih teles iz njihovih principov (Stahl). Kemija (1837) – znanost, ki preučuje zakone in učinke molekularnih sil (Dumas). Kemija (1947) – znanost, ki preučuje snovi, njihovo zgradbo, lastnosti in reakcije, ki jih spremenijo v druge snovi (Pauling). Kemija (1998) – preučevanje snovi in njenih sprememb (Chang). Osnovni pojmi Za razumevanje kemije je treba poznati vsaj nekaj osnovnih pojmov. Atom Atom je osnovna gradbena enota kemičnega elementa. Atom je skupek snovi, sestavljene iz atomskega jedra, ki vsebuje pozitivno naelektrene protone in nevtrone, ki so brez naboja, ter negativno naelektrenih ov v elektronskem oblakau, ki vzpostavlja ravnotežje pozitivno nabitemu jedru. Atom je električno nevtralen in je nosilec nekaterih kemičnih lastnosti elementa, na primer elektronegativnosti, ionizacijskega potenciala, oksidacijskih stanj, koordinacijskega števila in vrste kemijskih vezi, na primer kovinske, ionske in kovalentne vezi. Element Je čista snov, ki jo s kemijsko reakcijo ne moremo razgraditi na enostavnejše snovi. Vseh elementov je 116, od tega je 92 naravnih, ostali pa so umetno pridobljeni. Kemični element ali prvina je določen s številom protonov v jedru njegovega atoma. To število imenujemo atomsko število elementa. Primer: vsi atomi s šestimi protoni v jedru so atomi kemičnega elementa ogljika, vsi atomi z 92 protoni v jedru pa so atomi elementa urana. Nekateri elementi imajo izotope, ki se med seboj razlikujejo po številu nevtronov. Najbolj prikladen pregled kemičnih elementov je periodni sistem elementov, v katerem so elementi razvrščeni po naraščajočih atomskih številih. Elementi so razporejeni v kolone (skupine) in vrstice (periode), odviso od tega, ali imajo podobne kemične lastnosti ali sledijo nekaterim trendom lastnosti, na primer atomskega polmera, elektronegativnosti itd. Elementi so lahko razvrščeni tudi drugače, na primer po abecedi, simbolih, atomskem številu itd. Spojina Spojina je snov, ki je sestavljena iz natančno določenega razmerja najmanj dveh kemičnih elementov. Elementi in njihovo razmerje določajo njeno sestavo, notranjo organizacijo atomov in njene kemične lastnosti. Voda, na primer, je spojina, ki vsebuje vodik in kisik v razmerju 2:1. Kisikov atom je vezan med obema vodikovima atomoma, kót med njimi pa meri 104,5°. Spojine nastanejo in se spreminjajo s kemičnimi reakcijami. Snov Kemična snov je vrsta snovi, ki ima točno določeno sestavo ter fizikalne in kemične lastnosti. Zmes snovi, elementov in spojin v strogem pomenu besede torej ni kemična snov. Večina homogenih snovi, s katerimi se srečujemo v vsakdanjem življenju, na primer zrak, morska voda in zlitine, so pravzaprav zmesi. Kritičen del kemijskega jezika je poimenovanje snovi – kemijska nomenklatura. V preteklosti je mnogo snovi dobilo ime po svojem odkritelju, kar je pogosto pripeljalo do zmede in težav. Današnji standardizirani sistem poimenovanja, ki ga je zasnovala IUPAC, omogoča nedvoumno poimenovanje katere koli snovi iz milijonske množice znanih snovi. Organske spojine se poimenujejo skladno z nomenklaturo organske kemije, anorganske spojine pa skladno z nomenklaturo anorganske kemije. CAS (Chemical Abstracts Service), oddelek Združenja ameriških kemikov (American Chemical Society), je ločeno od IUPAC razvil svoj sistem označevanja, v katerem ima vsaka kemična snov svojo karakteristično registracijsko številko, imenovano CAS registracijska številka. Molekula Molekula je najmanjši nedeljivi delec čiste kemične snovi, ki ima značilne kemične lastnosti, se pravi, da z drugimi kemičnimi snovmi reagira z značilnimi kemičnimi reakcijami. Molekule so električno nevtralne. Za molekule s kovalentno vezjo to pomeni, da imajo vsi valenčni elektroni svoje pare, nevezni elektroni pa so parni. Ena od glavnih značilnosti molekule je njena geometrija, ki jo običajno imenujemo molekularna struktura. Strukture dvoatomnih, troatomnih ali štiriatomnih molekul so enostavne: linerane, kotne, piramidalne itd., stukture večatomnih molekul z več kot šestimi atomi (več elementov) pa so lahko ključnega pomena za njene kemične lastnosti. Mol Mol je količina kemične snovi, ki vsebuje toliko osnovnih enot (atomov, molekul ali ionov), kot jih vsebuje 0,012 kg ogljika 12C. Ogljik mora biti nevezan in v svojem osnovnem stanju. To število osnovnih enot se imenuje Avogadrovo število in je določeno empirično. Njegova trenutno veljavna vrednost je 6,02214179(30)×1023 mol−1 (CODATA, 2007). Mol je običajno absolutno število brez enote, ki se lahko uporablja za vse vrste osnovnih delcev, čeprav je praviloma omejeno na subatomske, atomske in molekularne strukture. Število molov snovi v enem litru raztopine je molarnost. Molarnost je osnovna enota za izražanje koncentracije raztopin v fizikalni kemiji. Ioni in soli Ion je delec, ki nastane, če atom ali molekula izgubi ali dobi enega ali več elektronov. Pozitivno nabiti ioni, na primer Na+, so kationi, negativno nabiti ioni, na prmer Cl-, pa anioni. Ioni lahko tvorijo kristalno rešetko nevtralnih soli, na primer natrijevega klorida (NaCl). Dvo ali večatomni ioni, na primer OH- in PO43- v kislo-bazičnih reakcijah ne razpadejo. Ione v plinski fazi imenujemo plazma. Kislost in bazičnost Kemične snovi se pogosto lahko razvrstijo na kisline in baze. Razvrstitev temelji na kemijskih reakcijah, v katerih pride med kemičnimi spojinami do izmenjave protonov (H+). Ameriški kemik Gilbert Newton Lewis je pojma kislina in baza razširil, tako da tovrstne reakcije niso več omejene samo na vodne raztopine. V njegovem konceptu je pri teh reakcijah ključna izmenjava naboja. Za razvrščanje snovi v kisline in baze obstoja še nekaj drugih kriterijev. Faza Faza snovi je definirana kot vsak homogen, fizično ločen del sistema, ki je od drugih delov sistema ločen z mejno površino – fazno mejo. Faze so npr. led, voda in vodna para, ki so ločene z jasnimi faznimi mejami - mejnimi ploskvami ledu in gladino vode. Faza snovi je torej definirana kot niz stanj kemičnega sistema, ki ima pri nekih pogojih, na primer pritisku in temperaturi, podobne lastnosti. Za fazo značilne fizikalne lastnosti so npr. kristalna zgradba, gostota in lomni količnik. Prehod iz ene faze v drugo se imenuje fazni prehod ali fazna sprememba. Fazni prehod je pogojen z izmenjavo energije, ki je potrebna za prestrukturiranje sistema. Za fazno spremembo je značilna nezvezna sprememba ene ali več fizikalnih lastnosti, npr. specifične toplote. Faze je včasih težko razločiti, ker prehod med njimi ni diskreten, ampak zvezen. V takšnih primerih govorimo o nadkritičnem stanju snovi. Termodinamsko stanje, opredeljeno s temperaturo in pritiskom, pri katerem tri faze soobstojajo v termodinamskem ravnovesju, imenujemo trojna točka. Trojna točka vode, v kateri soobstojajo vodna para, tekoča voda in led, je pri temperaturi 273,16 K (0,01 °C) in tlaku 611,73 Pa (približno 0,6 % normalnega zračnega tlaka). Najpogostejši primeri faz so trdno, tekoče in plinasto agregatno stanje iste snovi, mnoge snovi pa imajo tudi več trdnih faz. Takšno je npr. železo, ki ima pri različnih temperaturah in pritiskih različne kristalne strukture: α, β, γ in δ-železo. Manj znane faze so plazma, Bose-Einsteinov kondenzat in fermionski kondezati ter paramagnetne in feromagnetne faze magnetnih snovi. Poleg trodimenzionalnih sistemov obstojajo tudi dvodimenzionalni sistemi, ki so zelo pomembni v biologiji. Oksidacija in redukcija Pojem oksidacije in redukcije je povezan s sposobnostjo atoma, da odda in sprejme elektrone. Oksidacija je oddajenje elektronov, snov, ki elektrone oddaja, pa je reducent. Redukcija je sprejemanje elektronov, snov, ki sprejema elektrone, pa je oksidant. Značilna redoks reakcija je gorenje. Oksidacija in redukcija sta najbolje definirani s spremembo oksidacijskega stanja. Kemijska vez Kemijska vez je pojem, ki je potreben za razumevanje, kako se atomi povezujejo v molekule. Kemijsko vez si najlaže predstavljamo kot večpolno ravnotežje med pozitivnimi naboji atomskih jeder in negativnimi naboji, ki nihajo okoli njih. Kemijska vez ni samo preprost privlak in odboj, ker je razpoložljivost elektrona, da se veže na drug atom, odvisna od energij in njihovih porazdelitev. Vzajemno delovanje teh vplivov je tisto, kar povezuje atome v molekule ali kristale. Za napovedovanje sestave in zgradbe večine preprostih molekul zadostujejo valenčna teorija vezi, model odboja orbital valenčnih elektronskih parov (VSEPR) in koncept oksidacijskega stanja. Na podoben način se s klasično fiziko lahko predvidi zgradbo mnogih ionskih molekul. Za bolj zapletene spojine, na primer kovinske komplekse, valenčna teorija vezi odpove. Za takšne spojine so potrebni drugačni pristopi, ki temeljijo na principih kvantne kemije, npr. na teoriji molekularnih orbital. Kemijska reakcija Kemijska reakcija je pojem, ki je povezan s spremembo kemične snovi zaradi vzajemnega vpliva druge snovi ali ene od oblik energije. Kemijska reakcija je lahko naravna ali umetna, izvedena v laboratoriju v laboratorijski posodi. Rezultat kemijske reakcije je lahko nastanek nove molekule, razpad molekule na dve ali več manjših molekul ali prerazporeditev atomov znotraj iste molekule ali med molekulami. V kemijski reakciji pride običajno do pretrganja starih in tvorbe novih kemijskih vezi. Najpogostejše reakcije so npr. oksidacija, redukcija, disociacija, nevtralizacija itd. Kemijsko reakcijo lahko simbolično prikažemo s kemijsko enačbo. V nejedrskih reakcijah mora biti število atomov vseh elementov na obeh straneh enačbe enako. V jedrskih reakcijah mora biti enako tudi število subatomskih delcev, se pravi protonov, nevtronov in elektronov. Kemijska enačba, ki izpolnjuje navedene pogoje, je urejena. Niz zaporednih osnovnih kemijskih reakcij, ki na koncu pripeljejo do reorganizacije kemjskih vezi, imenujemo reakcijski mehanizem. Kemijska reakcija poteka v več zaporednih korakih, ki imajo različne hitrosti, vmesni produkti pa so različno obstojni. Z reakcijskim mehanizmom lahko razložimo kinetiko reakcije in relativno sestavo reakcijske zmesi. Za določanje oziroma predvidevanje reakcijskih mehanizmov velja nekaj izkustvenih pravil, na primer Woodward-Hoffmannovih pravil. Bolj stroga definicija kemijske reakcije pravi, da je to proces, katerega rezultat je vzajemna pretvorba kemičnih snovi. Po tej definiciji so reakcije lahko osnovne ali stopenjske, definicija pa zajema tudi vzajemne pretvorbe konformacijskih izomerov. Energija V kemiji je energija lastnost snovi, ki je posledica njene atomske oziroma molekularne zgradbe, v katero spadajo molekularna geometrija ter elektronska in kristalna struktura. Med kemijsko spremembo pride do spremembe vsaj ene od teh struktur, zato pride tudi do spremembe energije snovi. Nekaj energije se lahko z reaktantov prenese na okolico kot toplota ali svetloba, tako da imajo produkti reakcije manjšo energijo kot reaktanti. Takšne reakcije imenujemo eksotermne reakcije. Reakcije, pri katerih je končno stanje energije višje od začetnega, imenujemo endotermne reakcije. Kemijska reakcija se ne more začeti, dokler reaktanti ne dosežejo nekega energetskega praga, ki ga imenujemo aktivacijska energija. Hitrost kemijske reakcije pri neki temperaturi T je z aktivacijsko energijo E povezana z Boltzmanovim populacijskim faktorjem e-E/kT, ki je verjetnost, da ima molekula pri dani temperaturi energijo, ki je večja ali enaka aktivacijski energiji E. Ta eksponentna odvisnost je znana kot Arrheniusova enačba. Aktivacijska energija, ki je potrebna za začetek reakcije, je lahko dovedena v obliki svetlobe, toplote, električne energije ali mehanske energije v obliki ultrazvoka. Z energijo je povezan pojem proste energije, v katero je vključena tudi entropija, ki je zelo uporabna za napovedovanje izvedljivosti reakcije in določanje kemijskega ravnotežja. Reakcija je izvedljiva samo takrat, kadar je celotna sprememba Gibbsove proste energije negativna (ΔG≤0). Če je ΔG=0, pravimo, da je reakcija v ravnotežju. Možna energetska stanja elektronov, atomov in molekul so omejena in določena s pravili kvantne mehanike. Za atome in molekule, ki so v višjih energetskih stanjih, pravimo, da so vzbujeni. Atomi in molekule v vzbujenih stanjih so praviloma bolj reaktivni, kar je še kako pomembno za začetek in potek kemijske reakcije. Od energije snovi in njene okolice je odvisna tudi faza snovi: če so medmolekularne sile takšne, da jih energija iz okolice ne more premagati, bo snov ostala v takšni fazi, v kakršni je. Primer: voda (H2O) je pri sobni temperaturi tekoča, ker so njeno molekule povezane z dovolj močnimi vodikovimi vezmi. Vodikov sulfid (H2S), ki ima zelo podobno zgradbo molekule, je pri sobni temperaturi in standardnem pritisku plin, ker so interakcije med dipoli molekul šibke. Prenos energije z ene kemijske snovi na drugo je odvisen od velikosti kvanta energije, ki ga snov emitira. Prenos energije z ene snovi na drugo je običajno bolj enostaven zaradi fononov – kvantizirane vibracijske in rotacijske energije v sicer togi kristalni mreži. Fononi imajo mnogo manjšo energijo kot fotoni, zato se med snovmi prenašajo laže kot fotoni in druge oblike energije elektronov. Primer: ultravijolično elektromagnetno sevanje se z ene snovi na drugo prenaša mnogo teže kot toplotna ali električna energija. Obstoj značilnih energetskih nivojev kemičnih snovi je uporaben za njihovo identifikacijo z analizo spektralnih črt, ki jo imenujemo spektralna analiza. V kemiji se najpogosteje uporabljajo infrardeča (IR) in mikrovalovna (MV) spektroskopija, jedrska magnetna resonanca (JMR) in elektronska spinska resonanca (ESR). Spektroskopija je uporabna tudi za ugotavljanje kemične sestave oddaljenih objektov, na primer zvezd in galaksij. Kemijski zakoni Kemijske reakcije se podrejajo določenim zakonom, med katerimi so najpomembnejši Avogadrov zakon (1811), ki pravi, da enaki volumni idealnih plinov pri enaki temperaturi in pritisku vsebujejo enako število delcev. Beer-Lambertov zakon, ki povezuje absorpcijo svetlobe z lastnostmi snovi, skozi katero potuje. Boylov zakon (1662) - zveza med pritiskom in volumnom idealnega plina. Charlesov zakon (1787) - zveza med temperaturo in volumnom idealnega plina. Gay-Lussacov zakon (1809)- zveza med temperaturo in pritiskom idealnega plina. Fickov zakon o difuziji. Henryjev zakon (1803), ki govori o parcialnih tlakih in topnosti plinov. Hessov zakon, ki pravi, da sprememba energije v kateremkoli fizikalnem ali kemijskem procesu ni odvisna od poti, po kateri proces poteka, ampak samo od začetnega in končnega stanja. Zakon o ohranitvi energije, ki je pripeljal do pomembnih pojmov kemijskega ravnotežja, termodinamike in kemijske kinetike. Zakon o ohranitvi mase; sodobna fizika trdi, da je masa pravzaprav konservirana energija in da sta masa in energija med seboj povezani. Zakon o stalnih razmerjih. Zakon o mnogokratnih razmerjih. Raoultov zakon o parnih tlakih idealnih raztopin. Poddiscipline Kemija je zaradi večje razdeljena na več logičnih poddisciplin. Nekatere poddiscipline se prekrivajo in dopolnujejo, večina pa se še naprej deli na množico specializiranih področij kemije. Analizna kemija z analiziranjem vzorcev snovi ugotavlja njeno kemično sestavo in zgradbo. Biokemija preučuje kemikalije, kemijske reakcije in interakcije, ki se dogajajo v živih organizmih. Biokemija je tesno povezana z organsko in medicinsko kemijo, nevrokemijo ter molekularno biologijo in genetiko. Anorganska kemija preučuje lastnosti in reakcije anorganskih spojin. Na mnogih področjih, predvsem na področju organskih kovinskih spojin, se kljub navidezni nezdružljivosti prekriva tudi z organsko kemijo. Kemija materialov se ukvarja s pripravo, karakteriziranjem in razumevanjem snovi in preučevanjem njene uporabnosti. Nevrokemija preučuje snovi, ki so povezane z živčnim sistemom, med katere spadajo transmiterji, peptidi, proteini, lipidi, sladkorji in nukleinske kisline, njihove vzajemne vplive in pravila, ki veljajo za vzpostavljanje, vzdrževanje in prilagajanje živčnega sistema. Jedrska kemija preučuje nastajanje atomskih jeder iz subatomskih delcev. Obsežno področje jedrske kemije je jedrska transmutacija, ki preučuje pretvarjanje kemijskih elementov in njihovih izotopov v druge elemente, do katerega pride med jedrskimi reakcijami. Organska kemija preučuje zgradbo, lastnosti, sestavo, reakcijske mehanizme in reakcije organskih spojin. Organske spojine so vse spojine, katerih osnova je skelet ogljikovih atomov. Fizikalna kemija preučuje fizikalne in druge temeljne osnove kemijskih sistemov in procesov, predvsem področje energije in dinamike teh procesov. Najpomembnejša področja fizikalne kemije so kemijska termodinamika, kemijska kinetika, elektrokemija, statistična mehanika in spektroskopija. Fizikalna kemija se v mnogočem prekriva z molekularno fiziko. Povezana je s kvantno in teoretično kemijo, razlikuje pa se od kemijske fizike. Teoretična kemija preučuje kemijo s temeljnim teoretičnim sklepanjem, običajno v okviru matematike in fizike. Področje, ki se ukvarja s kvantno mehaniko, se imenuje kvantna kemija. Teoretična kemija se je zelo razvila po drugi svetovni vojni, predvsem zaradi naglega razvoja računalnikov in računalniških programov. Teoretična kemija se na teoretičnem in eksperimentalnem področju prekriva s fiziko kondenzirane snovi in molekularno fiziko. Viri in opombe Glej tudi Mednarodna zveza za čisto in uporabno kemijo (IUPAC) periodni sistem elementov seznam kemijskih spojin seznam kemijskih vsebin seznam kemikov seznam slovenskih kemikov Zunanje povezave Slovenski kemijski portal Kemija.org Mednarodna zveza za čisto in uporabno kemijo (IUPAC) Naravoslovje


source: wikipedia

text: Periodni sistem, znan tudi kot periodni sistem elementov, je tabelarni prikaz kemijskih elementov, ki so razporejeni po atomskem številu, konfiguraciji elektronov in ponavljajočih se kemijskih lastnostih. V sedmih vrsticah tabele, imenovanih periode, so v splošnem na levi strani kovine, na desni pa nekovine. Stolpci, imenovani skupine, vsebujejo elemente s podobnim kemijskim vedenjem. Šest skupin ima dogovorjena imena in dodeljene številke: npr. elementi skupine 17 so halogeni in skupine 18 so žlahtni plini. Prikazana so tudi štiri pravokotna področja ali bloki, ki združujejo kemijske elemente, katerih elektroni najvišjega energetskega nivoja pripadajo enaki atomski orbitali. Vsi elementi od atomskega števila 1 (vodik) do 118 (oganeson) so bili odkriti ali sintetizirani in izpolnjujejo sedem polnih vrstic periodnega sistema. Prvih 94 elementov, od vodika do plutonija, se pojavljajo v naravi, čeprav nekatere najdemo le v sledovih, nekaj pa jih je bilo v naravi odkritih šele po sintetizaciji. Elementi od 95 do 118 so bili sintetizirani samo v laboratorijih, jedrskih reaktorjih ali v jedrskih eksplozijah. Trenutno se nadaljuje sintetiziranje elementov z višjimi atomskimi števili: ti elementi se bodo začeli v osmi vrstici. S teoretičnim delom so predlagali možne kandidate za to razširitev. V laboratorijih so izdelali tudi številne sintetične radioizotope naravnih elementov. Organizacijo periodnega sistema lahko uporabimo za ugotavljanje odnosov med različnimi lastnostmi elementov in tudi za predvidevanje kemijskih lastnosti in vedenja neodkritih ali novo sintetiziranih elementov. Ruski kemik Dmitrij Mendelejev je leta 1869 objavil prvo tabelo periodnega sistema. Napovedal je tudi nekatere lastnosti neznanih elementov, ki naj bi zapolnili vrzeli v tabeli. Večina njegovih napovedi se je kmalu izkazala za pravilne, vrhunec pa je bil odkritje galija in germanija leta 1875 oziroma 1886, kar je potrdilo njegove napovedi. Mendelejeva ideja se je počasi širila in izpopolnjevala z odkrivanjem ali sintezo novih elementov in razvojem novih teoretičnih modelov za razlago kemijskega vedenja. Danes še vedno potekajo razprave o umestitvi in kategorizaciji določenih elementov, o nadaljnji razširitvi in omejitvah tabele ter o tem, ali obstaja optimalna oblika tabele. Pregled Tabela tukaj prikazuje široko uporabljeno obliko. Druge oblike (obravnavane spodaj) podrobno prikazujejo različne strukture. Vsak kemični element ima edinstveno atomsko število (Z), ki predstavlja število protonov v njegovem jedru. Večina elementov ima različno število nevtronov med različnimi atomi, pri čemer se te različice imenujejo izotopi. Na primer, ogljik ima tri izotope, ki se pojavljajo v naravi: vsi njegovi atomi imajo šest protonov, večina jih ima tudi šest nevtronov, ampak približno en odstotek ima sedem nevtronov, zelo majhen delež pa jih ima osem. Izotopi se v periodnem sistemu nikoli ne prikazujejo; vedno so združeni v enem samem elementu. Elementi brez stabilnih izotopov imajo atomsko maso svojega najstabilnejšega izotopa - takšne mase so v tabeli prikazane v oklepajih. V standardni periodni tabeli so elementi navedeni po naraščajočem atomskem številu Z. Nova vrstica (perioda) se začne, ko ima nova elektronska lupina svoj prvi elektron. Stolpci (skupine) so določeni z elektronsko konfiguracijo atoma; elementi z enakim številom elektronov v določeni podlupini spadajo v iste stolpce (npr. kisik in selen sta v istem stolpcu, ker imata oba štiri elektrone v najbolj oddaljeni p-podlupini). Elementi s podobnimi kemičnimi lastnostmi na splošno spadajo v isto skupino v periodnem sistemu, čeprav imajo elementi v bloku f in do neke mere v bloku d podobne lastnosti. Tako je razmeroma enostavno napovedati kemijske lastnosti elementa, če poznamo lastnosti elementov okoli njega. Od leta 2016 ima periodni sistem 118 potrjenih elementov, od elementa 1 (vodik) do 118 (oganeson). Elemente 113, 115, 117 in 118, ki so najnovejša odkritja, je decembra 2015 uradno potrdila Mednarodna zveza za čisto in uporabno kemijo (IUPAC). Njihova predlagana imena, nihonij (Nh), moskovij (Mc), tenes (Ts) in oganeson (Og), je IUPAC uradno objavil novembra 2016. Prvih 94 elementov se pojavlja v naravi; preostalih 24, od americija do oganesona (95–118), se pojavljajo le, kadar jih sintetizirajo v laboratorijih. Od 94 naravnih elementov jih je 83 prvobitnih, 11 pa se jeh pojavlja le v razpadajočih verigah prvobitnih elementov. V makroskopskih količinah v čisti obliki še ni bil opažen noben element, težji od ajnštajnija (element 99), prav tako ne astat (element 85); francij (element 87) je bil fotografiran le v obliki svetlobe, ki jo oddajajo mikroskopske količine (300.000 (300.000 atomov). Nabori elementov V kronološkem zaporedju to poglavje obravnava kovine in nekovine (ter polkovine); kategorije elementov; skupine in periode; in bloke periodnega sistema. Čeprav razpoznavanje kovin kot trdne, topne in v splošnem kovne snovi izvira že iz antike, je bil morda Antoine Lavoisier prvi, ki je leta 1789 uradno ločil kovine in nekovine ('non-métalliques') v njegovem 'revolucionarnem' delu Traité Élémentaire de Chimie. Leta 1811 je Berzelius nekovinske elemente označil za polkovine zaradi njihove sposobnost tvorjenja oksianionov. Leta 1825 je v popravljeni nemški izdaji svojega Učbenika kemije razdelil polkovine v tri razrede. To so bili: stalno plinasti 'gazolyta' (vodik, dušik, kisik); prave polkovine (žveplo, fosfor, ogljik, bor, silicij); in 'halogenia', ki tvorijo sol (fluor, klor, brom, jod). Šele pred kratkim, od sredine 20. stoletja, se izraz polkovina pogosto uporablja za označevanje elementov z vmesnimi ali mejnimi lastnostmi med kovinami in nekovinami. Mendelejev je objavil svoj periodni sistem leta 1869, skupaj s sklici na skupine družin elementov, vrsticami ali periodami. Hinrichs je zapisal, da je mogoče na periodnem sistemu narisati črte, ki razmejijo lastnosti, ki nas zanimajo, na primer elementi s kovinskim sijajem (v nasprotju s tistimi, ki nimajo takšnega sijaja). Charles Janet naj bi bil leta 1928 prvi, ki se je skliceval na bloke periodnega sistema. Kovine, polkovine in nekovine Glede na skupne fizikalne in kemijske lastnosti lahko elemente razvrstimo v glavne kategorije kovine, metaloidi oz. polkovine in nekovine. Kovine so na splošno sijoče, visoko prevodne trdne snovi, ki med seboj tvorijo zlitine in solem podobne ionske spojine z nekovinami (razen z žlahtnimi plini). Večina nekovin so obarvani ali brezbarvni plini; nekovine, ki tvorijo spojine z drugimi nekovinami, imajo kovalentno vez. Med kovinami in nekovinami so polkovine, ki imajo vmesne ali mešane lastnosti. Kovine in nekovine lahko nadalje razvrstimo v podkategorije, ki kažejo stopnjo kovinskih in nekovinskih lastnosti, ko se premikamo v vrsticah od leve proti desni strani. Kovine lahko razdelimo na visoko reaktivne alkalne kovine, preko manj reaktivnih zemeljskoalkalijskih kovin, lantanidov in aktinoidov, preko arhetipskih prehodnih kovin, z zaključkom pri fizikalno in kemijsko šibkih po-prehodnih kovinah. Nekovine se lahko preprosto razdelijo na večatomske nekovine, saj so bližje polkovinam in kažejo nekatere kovinske lastnosti v začetni stopnji; na nekovinske dvoatomske nekovine, nekovinske in skoraj popolnoma inertne monatomske žlahtne pline. Specializirane skupine, kot so ognjevarne kovine in plemenite kovine, so primeri podskupin prehodnih kovin, tudi poznane in občasno označene. Uvrščanje elementov v kategorije in podkategorije, ki temeljijo samo na skupnih lastnostih, je nepopolno. V vsaki kategoriji se na mejah pojavljajo neskladja med lastnostmi, kot je to pri večini klasifikacijskih shem. Berilij je na primer uvrščen med zemeljskoalkalijske kovine, čeprav je njegova amfoterna kemična sestava in težnja, da večinoma tvori kovalentne spojine, značilnosti kemijsko šibkih in po-prehodnih kovin. Možne so tudi druge klasifikacijske sheme, na primer delitev elementov na mineraloške kategorije pojavnosti ali na kristalne strukture. Kategorizacija elementov na ta način sega vsaj v leto 1869, ko je Hinrichs zapisal, da je mogoče v periodnem sistemu postaviti preproste mejne črte, da se prikažejo elementi s skupnimi lastnostmi, kot so kovine, nekovine ali plinasti elementi. Kategorije Elementi periodnega sistema, ki so prikazani v tabeli, so razdeljeni v devet kategorij; šest kategorij za kovine in dve za nekovine ter kategorija polkovin. Različni avtorji lahko uporabljajo različne sheme kategorizacije, odvisno od lastnosti, ki nas zanimajo. Posamezna kategorija ni nujno izključujoča glede na svoje ime, meje ali lastnosti. Na primer, medtem ko je berilij v skupini 2 obarvan kot zemljoalkalijska kovina, je v naravi bolj amfotermen kot alkalijska kovina. Težji člani skupine 3 so prikazani kot lantanoidi in aktinoidi, čeprav so oboji tudi prehodne kovine. Prehodne kovine v skupini 3; lantanoidi in aktinoidi, so v naravi alkalijske kovine, tako kot alkalijske kovine v skupini 1. Znanstvenikom ni treba "izgubiti spanja zaradi težkih primerov, če klasifikacijski sistem prinaša ekonomičnost opisovanja, strukturiranje znanja in našega razumevanja, težki primeri pa predstavljajo malo manjšino." Alkalijske kovine, zemljoalkalijske kovine Razlika med obema kategorijama je bolj stopnja lastnosti kot vrsta. Kemiji obeh kategorij kovin sta si v veliki meri podobni. Večina teh kovin tvori osnovne okside (Be je amfoteričen). Alkalijske kovine so lahke, mehke, visoko reaktivne z nizko temperaturo tališč in vrelišč. Zemljoalkalijske kovine imajo višja tališča, vrelišča in gostoto od alkalijskih kovin, po reaktivnosti so takoj za njimi. Prehodne kovine Srednje do zelo goste kovine, z visoko temperaturo tališč in vrelišč; nekatere so zelo trde, so trdni in žilavi in odporni na korozijo. Elementi od Rf naprej so sintetizirani. Značilne lastnosti so spremenljiva valenca, barva in tvorba kompleksnih ionov. Oksidi so bazični, amfoterni ali kislinski, odvisno od oksidacijskega stanja. Lantanoidi So zelo podobni Ca, Sr in Ba, vendar so mnogi težji in tvorijo večinoma bledo obarvane spojine. Lantanoidi so si podobni in jih je zato težko ločiti. Obstaja jih veliko, ampak so razpršeni; komercialne koncentracije so zato redke. Oksidi so močno do zmerno bazični. Aktinoidi So mehke, goste in reaktivne kovine, tiste od Am naprej pa so sintetitizirane. Začetni aktinoidi (Th to Am) kažejo nekaj podobnosti s prehodnimi kovinami in imajo bazične ali amfoterne okside; kasnejši aktinidi so bolj podobni lantanoidom. Številni aktinoidi tvorijo obarvane spojine. Šibke kovine Mehke (ali krhke) kovine z nizko trdnostjo in s tališči nižjimi od prehodnih kovin (daleč nižje v primeru Hg, ki je kapljevina). Kemijsko kažejo značilno nagnjenosti k kovalentni vezavi, kislinsko-bazični amfoterizmu in anionskim vrstam, kot so aluminati, stanati in bizmutati. Lahko tvorijo tudi Zintlove faze (običajno krhke, obarvane in polprevodniške intermetalne spojine). Polkovine Med kovinami in nekovinami se nahajajo elementi z mešanico kovinskih, nekovinskih ali vmesnih lastnostih. Izgledajo kot kovine, so krhke in so običajno polprevodniki, in ne pravi prevodniki. Večinoma se kemijsko obnašajo kot nekovine. Polkovine tvorijo šibko kisle ali amfoterne okside. Reaktivne nekovine So brezbarvne, obarvane ali pa imajo (pod belo svetlobo) kovinski izgled. Večinoma so trdnine ali plini. Medtem ko so trdnine krhke, je večina le-teh znana tudi v prožnih ali gnetljivih oblikah. Za halogene, fluor, klor, brom in jod, je značilna njihova ostrina in toksičnost v naravnih oblikah. Preostale reaktivne nekovine, vodik, ogljik, dušik, kisik, fosfor, žveplo in selen, ki so stisnjeni med močno elektronegativnimi halogenskimi nekovinami in šibko nekovinskimi polkovinami, so v naravi (na splošno) zmerno nekovinske. Te nekovine, oz. večina izmed njih, privlači različna imena kategorij kot so biogen, CHONPS, vmesne, lahke ali druge nekovine. Reaktivnost reaktivnih nekovin je od relativno inertnega (N) do visoko reaktivnega (Cl, F). Tvorijo kisle in nevtralne (H2O, CO, NO, N2O ) okside. Žlahtni plini Nevnetljivi plini brez barve in vonja in imajo zelo nizko kemijsko reaktivnost. Prva spojina žlahtnega plina, približno sestave XePtF6, je bila narejena šele leta 1962; spojine He in Ne še niso znane. Druge kategorije V splošni rabi je veliko drugih imen za nabore kemijskih elementov, nekatere so bile že zelo dolgo. Sem spadajo na primer redko-zemeljske kovine, plemenite kovine in ognjevarne kovine Skupine Skupine ali družine elementov so predstavljene v stolpcih, običajno izražajo jasnejše trende od period. To razlagamo z dejstvom, da imajo elementi v isti skupini enako konfiguracijo elektronov v valenčni lupini, zato so podobno reaktivni, s predvidljivim spreminjanjem lastnosti ob večanju atomskega števila. Izražajo trende v atomskem polmeru, ionizacijski energiji in elektronegativnosti, kar je posledica dejstva, da so od vrha navzdol z večanjem števila energetskih nivojev valenčni elektroni vedno dlje od jedra, s tem pa se zmanjšujeta ionizacijska energija in elektronegativnost. Po dogovoru označujemo skupine s številkami od 1 (alkalijske kovine skrajno levo) do 18 (žlahtni plini skrajno desno). Nekatere imajo trivialna imena, vendar so pri večini skupin taka imena redko v uporabi ali pa jih poimenujemo kar po prvem elementu, npr. »skandijeva skupina« za 3. skupino. Periode Periode predstavljajo vrstice periodnega sistema. Elementi po periodah kažejo trende v atomskem polmeru, ionizacijski energiji, elektronski afiniteti in elektronegativnosti, vendar so ti trendi šibkejši in manj pravilni kot po skupinah. Običajno se z leve proti desni atomski polmer manjša, kar je posledica dejstva, da ima vsak naslednji element dodaten proton v jedru, ki privlači elektrone bližje. To hkrati povečuje elektronsko afiniteto in elektronegativnost. Zgodovina Potreba po urejevanju kemijskih elementov v sistemu se je pokazala, ko so znanstveniki ugotovili, da obstajajo določene povezave med lastnostmi različnih elementov. Prvi poskus periodnega sistema je začrtal Antoine Lavoisier (1743-1794) leta 1789. Potem ko je prevzel in dodelal skoraj sto let staro definicijo kemijskega elementa, ki jo je Robert Boyle (1627-1691) opisal kot snov, ki je s kemijsko reakcijo ne moremo razgraditi na bolj enostavne snovi, je Lavoisier skušal 33 do takrat znanih elementov postaviti v določeno pregledno obliko. Izbral si je štiri kategorije; plini, nekovine, kovine in »zemlje«. V tistem času je bilo znanih premalo elementov, da bi jih res lahko komu uspelo urediti v pregledno obliko. Lavoisier bi svoje delo najverjetneje dokončal, če ga ne bi zaradi političnih razlogov obglavili. Problem poznavanja lastnosti elementov je bil predvsem v tem, da večina elementov v skupini plinov sploh niso bili elementi, ampak spojine, ki jih še niso uspeli razgraditi na elemente. Prelom v razumevanju urejenosti elementov je bilo delo Stanislaa Cannizzara (1826-1910) iz leta 1858. Dve leti po smrti njegovega rojaka Amadea Avogadra (1776-1856), ki je prvi določil osnovo množini snovi in povezavo z atomsko maso, je postavil osnovo, skupno vsem elementom – relativno atomsko maso. Prvi, ki je opozoril na ponavljajoče se lastnosti elementov, je bil nemški znanstvenik Johann Wolfgang Döbereiner (1780-1849). Leta 1829 je ugotovil, da ima atom broma atomsko maso, ki je polovična vrednost vsote mas atomov klora in joda. To pomeni, da vsoto atomskih mas klora (35,5) in joda (126,9) delimo z 2 in dobimo vrednost 81,2, ki je zelo dober približek relativni atomski masi broma (79,9). Podoben vzorec je našel pri trojicah kalcij, stroncij, barij in žveplo, selen, telur. Te skupine je imenoval triade. Po mnenju ostalih znanstvenikov so bile te povezave zgolj naključne. Leta 1860 je na prvem mednarodnem kemijskem kongresu, ki je bil organiziran prav zaradi periodnega sistema elementov, Cannizzaro predstavil svojo zamisel o pomembnosti atomskih mas elementov pri izgradnji periodnega sistema. Njegovo delo je temeljilo na Avogadrovi domnevi in Gay-Lussacovem zakonu o prostorninskih odnosih pri kemijskih reakcijah v plinastem stanju. Elementi so bili razvrščeni v sistem glede na znane vrednosti atomskih mas. Naslednji velik je napravil angleški kemik John Newlands (1837-1898) leta 1862, saj je predpostavil, da je možno elemente, glede na naraščajočo atomsko maso urediti v sedem stolpcev. Po ureditvi so postale vidne tudi Döberienerjeve triade. Ureditev je imenoval zakon oktav, vendar znanstveniki tudi njegove ideje niso dobro sprejeli. V Evropi je periodni sistem prvi postavil Julius Lothar Meyer (1830-1895), vendar je leto pred njim ruski kemik Dimitrij Ivanovič Mendelejev oblikoval zgradbo periodnega sistema, s katero je lahko napovedal manjkajoče, še ne odkrite elemente. Z odkritjem žlahtnih plinov lorda Rayleigha (1842-1919) in Williama Ramsayja (1852-1916) od leta 1894 naprej je Mendelejev predlagal, naj se doda pred prvo skupino dodatna ničta skupina, ki bi vsebovala te elemente, sistem ostalih pa bi ostal nespremenjen. Tak periodni sistem je ostal v uporabi vse do leta 1930. Kmalu po Rutherfordovem (1871-1937) odkritju protona leta 1911 in Thomsonovi (1856-1940) potrditvi obstoja izotopov (obstoj izotopov je prvi predlagal Frederick Soddy, 1877-1956) je Henry Moseley (1887-1915) izpostavljal do takrat znane elemente rentgenskim žarkom. Izpeljal je povezavo med frekvenco sevanja in vrstnim številom. Po preureditvi elementov glede na večanje vrstnega (atomskega) števila in ne atomske mase je bilo tudi nekaj izjem iz periodnega sistema, ki so povzročale težave Mendelejevu, popravljenih. Sodobni periodni sistem je od takrat zgrajen na Moseleyjevem zakonu periodičnosti, ki temelji na vrstnem številu elementov. Do leta 2012 je bilo odkritih 118 elementov, od tega jih Mednarodna zveza za čisto in uporabno kemijo (IUPAC), ki skrbi za standarde v kemiji, priznava 114. Zadnja dva potrjena sta bila flerovij (Fl, 114) in livermorij (Lv, 116). Elementi z najvišjimi atomskimi števili so izredno nestabilni, sintetizirajo jih v laboratorijih z visokoenergijskimi reakcijami in dokazujejo na podlagi produktov radioaktivnega razpada. Še nepotrjeni elementi imajo začasna latinizirana imena, npr. ununoktij (118). V naravi se pojavlja 98 elementov, od tega večina samo v sledeh; nekateri so bili sintetizirani v laboratoriju pred odkritjem v naravi. Različne tabele periodnega sistema Dolga tabela oz tabela z 32 stolpci Sodobna tabela periodnega sistema je včasih razširjena svojo dolgo oz. 32-stolpično obliko z elementi bloka f v njihove naravne poziciji med blokoma s in d, kot je to leta 1905 predlagal Alfred Werner. Za razliko od oblike z 18 stolpci ta ureditev ne povzroča "prekinitev v zaporedju naraščajočih atomskih števil". Preglednejše je tudi razmerje bloka f do drugih blokov periodnega sistema. Kljub tem prednostim se uredniki oblike z 32 stolpci običajno izogibajo zaradi razmerja pravokotne oblike v primerjavi z razmerjem strani knjige in poznavanja sodobne oblike, kot jo je predstavil Seaborg. Opombe Sklici Glej tudi Razširitev periodnega sistema elementov alternativni periodni sistemi Zunanje povezave Periodni sistem elementov , Izobraževalno društvo Svarog, Maribor Klasifikacijski sistemi


text: Króg je v evklidski geometriji množica vseh točk v ravnini, ki so od določene točke, središča kroga, oddaljene največ za polmer r. Krog omejuje sklenjena krivulja, ki jo imenujemo krožnica - to je množica točk v ravnini, ki so od središča oddaljene točno za polmer r. Obseg kroga meri . Ploščina kroga meri . Enačbo za ploščino kroga lahko izpeljemo iz enačbe za obseg in iz enačbe za ploščino trikotnika, kot sledi. Predstavljajmo si pravilni šestkotnik, razdeljen na enake trikotnike s temeni v središču šestkotnika. Ploščino šestkotnika lahko določimo z enačbo za ploščino trikotnika, če prištejemo dolžine vseh osnov trikotnikov (na notranji strani šestkotnika) in pomnožimo z višino trikotnikov (razdalja od središča osnove do središča) in delimo z dve. To je približna vrednost za ploščino kroga. Potem naredimo podobno še z osemkotnikom in dobimo še natančnejšo vrednost. Če razdelimo pravilni mnogokotnik z vedno več in več stranicami na trikotnike in na ta način izračunamo njihove ploščine, bo ploščina vedno bolj enaka ploščini očrtanega kroga. V limiti se vsota osnov približuje obsegu 2πr, višine trikotnikov pa se bližajo polmeru r. Če pomnožimo obe količini in ju delimo z 2, dobimo ploščino πr2. Premica, ki preseka krog v dveh točkah, se imenuje sečnica (presečnica, sekanta), premica, ki se dotika kroga v eni točki se imenuje dotikalnica (tangenta), premica, ki s krogom nima skupne točke pa je mimobežnica (pasanta). Dotikalnice so nujno pravokotne na polmere, odseke, ki povezujejo središče s točko na krogu in katerih dolžina je v skladu z njihovo zgornjo določitvijo. Odsek sečnice, ki ga omejuje krog, se imenuje tetiva. Najdaljša tetiva gre skozi središče in se imenuje premer. Enaka je dvema polmeroma. Del krožnice, ki ga omejujeta dva polmera, se imenuje krožni lok. Razmerje med dolžino krožnega loka in polmerom določa kot med dvema polmeroma v radianih. V afini geometriji vsi krogi in elipse postanejo (afino) izomorfni. V projektivni geometriji jih drugi preseki stožca združijo. V topologiji so vse enostavne zaprte krivulje homeomorfne krogom in po navadi krog uporabljamo namesto njih. 3 razsežna podobnost kroga je krogla. Vsak trikotnik določa več krogov. Njegov očrtani krog vsebuje vse tri točke, njegov včrtani krog leži znotraj kroga in se dotika vseh treh stranic, trije zunanji krogi ležijo zunaj kroga in se dotikajo ene stranice in podaljškov drugih dveh, krog devetih točk vsebuje več pomembnih točk trikotnika. Glej tudi krožnica krožni lok krožni izsek krožni odsek veliki krog Zunanje povezave Geometrijski liki


text: Kvadrátno števílo ali kvadrát (včasih celo tudi popólni kvadrát) je v matematiki pozitivno celo število, ki se ga lahko zapiše kot kvadrat drugega celega števila. Število 9 je na primer kvadratno število, ker se ga lahko zapiše kot 3 · 3. Po dogovoru je 1 prvo kvadratno število. Število m je kvadratno tedaj in le tedaj, kadar se lahko razmesti m točk v obliki kvadrata: 1: + x 4: x + x x + + x x 9: x x + x x x x x + x x x + + + x x x 16: x x x + x x x x x x x + x x x x x x x + x x x x + + + + x x x x 25: x x x x + x x x x x x x x x + x x x x x x x x x + x x x x x x x x x + x x x x x + + + + + x x x x x 36: x x x x x + x x x x x x x x x x x + x x x x x x x x x x x + x x x x x x x x x x x + x x x x x x x x x x x + x x x x x x + + + + + + x x x x x x Enačba za n-to kvadratno število je tako n2. Pri tem se upošteva, da je na primer 6. kvadratno število 62 = 36 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 (vsota prvih 6 lihih števil). Prišteti je treba toliko lihih števil točk označenih s '+'. Lagrangeev izrek štirih kvadratov pravi, da se lahko vsako pozitivno celo število zapiše kot vsoto največ 4 popolnih kvadratov. Trije kvadrati niso dovolj za števila oblike 4k(8l + 7). Izrek posploši Waringov problem. Vsota dveh zaporednih trikotniških števil je kvadratno število. Pozitivno celo število m, katerega delitelji niso popolni kvadrati, razen 1, je deljivo brez kvadrata. Njegova Möbiusova funkcija μ(m) je različna od 0. Glej tudi avtomorfno število mnogokotniško število petkotniško število trikotniško število trikotniško kvadratno število Eulerjeva enakost štirih kvadratov kvadratno iracionalno število Elementarna aritmetika Figurativna števila Celoštevilska zaporedja Cela števila Teorija števil Štirikotniki Kvadrati v teoriji števil


text: Mnogokótniško števílo je v matematiki število, ki ga lahko razmestimo v obliki pravilnega mnogokotnika. Antični matematiki so ugotovili, da lahko števila razvrstimo na posebne načine, če si jih zamislimo kot kamenčke ali semena. Na primer število 10 lahko razmestimo v obliko trikotnika (glej trikotniško število): x x x x x x x x x x Števila 10 ne moremo postaviti v obliki kvadrata. Na drugi strani lahko tako postavimo število 9 (glej kvadratno število): x x x x x x x x x Nekatera števila, kot na primer 36, lahko razporedimo kot kvadrat ali kot trikotnik (glej trikotniško kvadratno število): x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Neko mnogokotniško število povečamo s tem, da razširimo dve sosednji roki za eno točko in med točkami dodamo želeno število strani. Na naslednjih skicah, dodatni nivo prikažemo z znakom +. Trikotniška števila 1: + x 3: x x + + x x 6: x x x x x x + + + x x x 10: x x x x x x x x x x x x + + + + x x x x Kvadratna števila 1: + x 4: x + x x + + x x 9: x x + x x x x x + x x x + + + x x x 16: x x x + x x x x x x x + x x x x x x x + x x x x + + + + x x x x Tudi mnogokotnike z večjim številom stranic, kot so petkotniki ali šestkotniki lahko predstavimo kot razvrstitve točk. Po dogovoru je 1 prvo mnogokotniško število za poljubno število stranic: Petkotniška števila 1: + x 5: x x + + x x + + x x 12: x x x x x x + x x + x x x x + + x x + + + x x x 22: x x x x x x x x x x x x x x + x x + x x x x + x x x + x x x x x + + x x + + + + x x x x 35: x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + x x x x x + x x x x x x x + x x + x x x x + x x x x + x x x x x x + + x x + + + + + x x x x x Šestkotniška števila 1: x 6: x x + + x x + + x x + x 15: x x x x x x + x x + x x x x + x + x x x + + x x + + x x + x 28: x x x x x x x x x x x x x x + x x x + x x x x x + x x + x x x x + x x + x x x x + x + x x x + + x x + + x x + x 45: x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + x x x x + x x x x x x + x x x x + x x x x x x + x x x + x x x x x + x x + x x x x + x x + x x x x + x + x x x + + x x + + x x + x 66: x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + x x x x x x + x x x x x x x x + x x x x x + x x x x x x x + x x x x + x x x x x x + x x x x + x x x x x x + x x x + x x x x x + x x + x x x x + x x + x x x x + x + x x x + + x x + + x x + x 91: x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + x x x x x x x + x x x x x x x x x + x x x x x x + x x x x x x x x + x x x x x x + x x x x x x x x + x x x x x + x x x x x x x + x x x x + x x x x x x + x x x x + x x x x x x + x x x + x x x x x + x x + x x x x + x x + x x x x + x + x x x + + x x + + x x + x Če je s število stranic mnogokotnika, je enačba za n-to s-mnogokotniško število: Glej tudi središčno mnogokotniško število Fermatov izrek o mnogokotniških številih Viri Zunanje povezave Števila ru:Последовательность двенадцатиугольника


text: Trikótniško števílo je v matematiki število, ki predstavlja število objektov, ki jih lahko razmestimo v obliko (enakostraničnega) trikotnika. Trikotniška števila so poseben primer splošnejših figurativnih (oziroma mnogokotniških) števil. Po dogovoru je 1 prvo trikotniško število. Prva trikotniška števila za n > 0 so : 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, ... 1: + x 3: x x + + x x 6: x x x x x x + + + x x x 10: x x x x x x x x x x x x + + + + x x x x 15: x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + + + + + x x x x x 21: x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + + + + + + x x x x x x Vsako n-to trikotniško število je oblike (n/2)(n+1) ali (1+2+3+...+n-2+n-1+n), oziroma v obliki binomskega koeficienta: Rekurzivna definicija pa je: Znano trikotniško število je 36. trikotniško število 666 (Število Zveri). Vsako popolno število je trikotniško. Vsota dveh zaporednih trikotniških števil je kvadratno število. Na primer 21 + 28 = 49 = 72. To lahko pokažemo tudi splošno: vsota n-tega in (n-1)-tega trikotniškega števila je {1⁄2n(n+1)} + {1⁄2(n-1)n}. Če poenostavimo, dobimo (1⁄2n2+1⁄2n) + (1⁄2n2-1⁄2n) in tako n2. To lastnost se da pokazati tudi shematično: x + + + x x + + x x x + x x x x x + + + + x x + + + x x x + + x x x x + x x x x x V obeh primerih dobimo kvadrat iz dveh spojenih trikotnikov. Trikotniška števila so zelo povezana z drugimi figurativnimi števili, kakor tudi s središčnimi figurativnimi števili. Petkotniška števila so tretjina odgovarjajočega trikotniškega števila. Vsako šestkotniško število je trikotniško, obratno pa ne velja zmeraj. Središčno šestkotniško število je trikotniško število pomnoženo s 6 in sešteto z 1. Vsako trikotniško število za dani n je polovica podolžnega števila. Glej tudi kvadratno število trikotniško kvadratno število mnogokotniško število petkotniško število Zunanje povezave Teorija arhitekturnega oblikovanja in kompozicije Kvadrati v teoriji števil Figurativna števila


text: Mónoid M = {a, b, ...} je v matematiki par (M, *), kjer je M neprazna množica in * asociativna dvočlena operacija na M, ki zadošča pogojem: Za vsak a, b M, velja a * b M. (Zakon o zaprtosti). Za vsak a, b in c M, velja (a * b) * c = a * (b * c) (Zakon o združevanju faktorjev (Zakon o asociativnosti)). V M obstaja takšen element e, za katerega za vsak a M velja e * a = a * e = a (Zakon o nevtralnem elementu (identiteti)). Drugače povedano, monoid je polgrupa z nevtralnim elementom (identiteto). Zgledi monoidov Katerakoli grupa. Elementi vsakega enotskega kolobarja z operacijo množenja. Množice celih števil Z, naravnih števil N ali kompleksnih števil C z operacijo množenja. Množica vseh n × n matrik z matričnim množenjem. Množice naravnih števil N z operacijo seštevanja. Množica končnih znakovnih nizov, s praznim znakovnim nizom ε ≡ "" čez poljubno določeno abecedo Σ z operacijo spojitve znakovnega niza. V teoretičnem računalništvu je takšen monoid označen z Σ*, v matematiki pa se imenuje »prosti monoid čez Σ«. Na primer prosti idempotentni monoidi za abecedo Σ z n črkami so {1, 2, 7, 160, 332381, 2751884514766, 272622932796281408879065987, 3641839910835401567626683593436003894250931310990279692, ...} . Splošni člen takšnih monoidov je: a(n) = Σ C(n,k) Π (k-i+1)2^i, (pri i = 1 ... k in k = 0 ... n). Če izberemo poljuben objekt kategorije in imamo množico vseh morfizmov teh objektov vase z operacijo sestave (kompozicije) (glej teorijo kategorije). Primeri iz dobro znanih kategorij so: Množica vseh zveznih enotnih kart topološkega prostora z operacijo sestave (kompozicije). Množica vseh endomorfizmov določene grupe z operacijo sestave (kompozicije). Množica vseh funkcij iz množice nanjo z operacijo sestave (kompozicije). Neposredno iz določitve lahko pokažemo, da je nevtralni element e edin. Potem lahko določimo obrnljive elemente: element x se imenuje obrnljiv, če obstaja tak&šen element y, za katerega velja x * y = e in y * x = e. Pokaže se, da množica vseh obrnljivih elementov z operacijo * tvori grupo. V tem smislu vsak monoid vsebuje grupo. Vsakega monoida pa ne moremo imeti za grupo. Lahko imamo, na primer, monoid v katerem obstajata tak&šna elementa a in b, za katera vela a * b = a, pa čeprav b ni nevtralni element. Takšnega monoida ne moremo vložiti v grupo, ker v grupi lahko množimo obe strani z obratnim elementom a in bi dobili b = e, kar pa ne drži. Monoid (M, *) ima lastnost razveljavitve (oziroma je razveljaviten), če za vse a, b in c M iz a * b = a * c vedno sledi b = c in iz b * a = c * a prav tako vedno sledi b = c. Komutativni monoid, ki je razveljaviten lahko vedno vložimo v grupo. Tako cela števila (grupa z operacijo +) pridelamo iz naravnih števil (komutativen monoid z operacijo + in lastnostjo razveljavitve). Nekomutativen razveljaviten monoid pa ni vložljiv v grupo. Če je monoid razveljaviten in je končen, je v bistvu grupa. Na kategorije lahko gledamo kot na posplošitve monoidov. Sestava (kompozicija) morfizma v kategoriji ima enake lastnosti kot monoid s tem, da vseh parov morfizmov ne moremo sestaviti. Tudi za kategorije lahko dokažemo veliko definicij in izrekov o monoidih. Algebrske strukture Teorija kategorij


text: Kvántna teoríja pólja je razširitev kvantne mehanike od točkastih delcev do polj, kot je na primer elektromagnetno polje. Nova teorija se je morala razviti, ker navadna kvantna mehanika ni zmogla zadovoljivo opisati, na primer, nastanka ali anihilacije osnovnih delcev. Teorija je v skladu z Einsteinovo posebno teorijo relativnosti. Kvantno teorijo polja so od leta 1935 do 1955 razvili fiziki, med njimi Paul Adrien Maurice Dirac, Vladimir Aleksandrovič Fok, Werner Karl Heisenberg, Wolfgang Ernst Pauli, Hans Albrecht Bethe, Enrico Fermi, Freeman John Dyson, Šiničiro Tomonaga, Julian Seymour Schwinger, Richard Phillips Feynman. Je temelj sodobnim fizikalnim teorijam osnovnih delcev v elektromagnetnem polju in poljih šibke in močne jedrske sile. Kvantna teorija elektromagnetnih pojavov ali kvantna elektrodinamika (QED) je do sedaj ena od najbolj preskušenih fizikalnih teorij. Kvantna teorija polja ima z vidika sodobnejše teorije strun določene težave pri opisu hadronov, saj jih je bolje opisovati kot enorazsežne strune, namesto točkastih delcev. Kvantna teorija polja opisuje pojave s topologijo Minkowskega . Glej tudi renormalizacija renormalizacijska grupa Wightmanovi aksiomi Viri Splošna področja fizike Fizikalne teorije Teorija polja


text: Liejeva grupa je analitično realna ali kompleksna mnogoterost, ki je tudi topološka grupa, lokalno homomorfna prostoru n-teric (x1, x2, x3, ..., xn) in ima še analitično strukturo. Liejeve grupe so pomembne v matematični analizi, fiziki in geometriji ker služijo za opisovanje simetrije analitičnih struktur. Liejeve grupe je vpeljal Marius Sophus Lie leta 1870 pri raziskovanju simetrij diferencialnih enačb. Evklidski prostor Rn je realna Liejeva grupa. Še boljši zgled je grupa vrtenj SO(3), vseh vrtenj v 3-razsežnem prostoru, opisana z množico obrnljivih kvadratnih matrik. Mnogoterosti Simetrija Marius Sophus Lie 1870 v znanosti


text: Maja Einstein, mlajša sestra Alberta Einsteina, rojena Maria, poročena Winteler, * 18. november 1881, München, Nemčija, † 25. junij 1951, Princeton, New Jersey, ZDA. Zunanje povezave Kurzbiographie: Maria Winteler-Einstein Nemci


text: Marc A. Aaronson, ameriški astronom, * 24. avgust 1950, Los Angeles, Kalifornija, ZDA, † 30. april 1987, Narodni observatorij Kitt Peak pri Tucsonu, Arizona, ZDA. Življenje in delo Aaronson je študiral na Kalifornijskem tehnološkem inštitutu (Caltech), kjer je diplomiral leta 1972. Doktoriral je leta 1977 na Univerzi Harvard na področju fotometrije z režo galaksij blizu infrardečega spektra. Po doktoratu je odšel na Observatorij Steward Univerze Arizone v Tucsonu. Od leta 1983 je deloval kot izredni profesor astronomije na Univerzi Arizone. Leta 1982 je odkril, da imata pritlikavi sferoidi v Zmaju in Malem medvedu srci iz teme, njuni razmerji med maso in izsevom za središči galaksij sta skoraj 100. Poudaril je, da so take galaksije premajhne, da bi lahko ujele kako »vročo« temno snov, kot so na primer lahki, hitro gibajoči se nevtrini. Meril je Hubblovo konstanto H0 z uporabo Tully-Fisherjeve enačbe. Raziskoval je zvezde, bogate z ogljikom (ogljikove zvezde) in skupaj z Olszewskim porazdelitev njihove hitrosti, ter hitrosti pritlikavih sferoid. Tragično je umrl v nesreči pri 4000 mm Mayallovem daljnogledu v Narodnem observatoriju Kitt Peak (KPNO). Zaradi napake hitre zaustavitve zapiralnega mehanizma se je ujel v vrata stopnic obračajoče se 150 tonske kupole daljnogleda, ko jih je zaprla zunanja lestev. Zapuščal je 18-nadstropno zgradbo, kjer domuje daljnogled, da bi preveril vreme. Stikalo na vratih je samodejno ugasnilo motor kupole, vendar ga je gibalna količina kupole še nekaj časa gnala naprej, tako da je lahko zadela zunanja odpirajoča vrata. Opazovalci niso smeli odpirati vrat dokler se je kupola še vrtela, da se kaj takšnega ne bi zgodilo. Po nesreči so to konstrukcijsko napako odpravili in skrajšali lestev ter na novo izdelali vrata, da so drsela stran, vzporedno z zidom kupole. Priznanja Nagrade Leta 1981 je Ameriško astronomsko društvo (AAS) podelilo Aaronsonu Nagrado Georgea Van Biesbroecka za njegovo delo o Hubblovi konstanti. Nagrado je prejel skupaj z Jeremyjem R. Mouldom. Leta 1984 sta Aaronson in Mould prejela Newtonovo Lacy Pierceovo nagrado za astronomijo Ameriškega astronomskega društva. Poimenovanja Njemu v čast se imenuje asteroid 3277 Aaronson. Opombe in sklici Ameriški astronomi Ameriški Judje Diplomiranci Kalifornijskega tehnološkega inštituta Doktorirali na Univerzi Harvard Predavatelji na Univerzi Arizone Smrtno ponesrečeni ljudje Ameriški univerzitetni učitelji


text: Maria Gaetana Agnesi [maríja gaetána anjézi], italijanska matematičarka, filozofinja in jezikoslovka, * 16. maj 1718, Milano, dežela Habsburške krone, Italija, † 9. januar 1799, Milano. Življenje in delo Njen oče je bil profesor matematike na Univerzi v Bologni. Pri devetih je znala latinščino tako dobro, da bi lahko objavila kakršenkoli izdelan nagovor v tem jeziku. Do svojega trinajstega leta je znala grščino, hebrejščino, francoščino, španščino, nemščino in tudi druge jezike. Dve leti kasneje je začel njen oče v svoji hiši zbirati najbolj učene ljudi iz Bologne. Od njih se je Agnesijeva učila in razpravljala o najtežje razumljivih filozofskih vprašanjih. Zapisi o teh srečanjih so se ohranili v de Brossejevih Lettres sur l'Italie v Propositiones Philosophicae, ki jih je objavil njen oče 1738. Pri dvajsetih si je močno želela postati nuna. Njene želje niso upoštevali in je od tedaj naprej živela v popolni družbeni osami in se v celoti posvetila raziskovanju matematike. Najbolj pomemben rezultat njenega dela je bilo kakovostno delo Instituzioni analitiche ad uso della gioventu italiana, objavljeno v Milanu 1748. Prvo poglavje je obravnavalo analizo končnih količin, drugo pa analizo neskončno majhnih in velikih količin. Francoski prevod drugega poglavja, ki ga je prevedel P. T. d'Antelmy in razširil Charles Bossut (1730-1814), je izšlo v Parizu 1775. Angleški prevod celotnega dela Johna Colsona (1680-1760), Lucasovega profesorja matematike na Univerzi v Cambridgeu, je izšel 1801 na račun stroškov barona Maseresa. Agnesijeva je napisala tudi tolmač k Traite analytique des sections coniques of the marquis de l'Hôpital. Tega dela pa niso nikoli objavili, čeprav so ga zelo cenili tisti, ki so prebrali njegov rokopis. Agnesijeva je (kakor pred tem že de Fermat in Grandi) raziskovala krivuljo, določeno z: ali splošno: oziroma parametrično: sedaj imenovano po njej Agnesin koder ali tudi nerodno Agnesina čarovnica. Agnesijeva jo je leta 1748 imenovala kakor Grandi versiera, (po latinski besedi vertere - vrtenje). Dogodilo se je, da podobno zveneča beseda v italijanščini avversiera pomeni 'ona - hudič', 'hudičevka', 'žena hudiča' ali 'čarovnica'. Ker so prvo besedo prevedli z drugo, se krivulja danes imenuje tudi čarovnica. Po drugi različici naj bi Agnesijeva zamenjala staroitalijansko besedo versorio (kakor jo je imenoval Grandi), ki pomeni 'prosto gibljiv v poljubni smeri', z besedo versiera, ki pomeni 'škrat', 'strašilo', 'žena hudiča'. Drugače je v rabi redko srečamo. Leta 1750 so jo na pobudo papeža Benedikta XIV. izvolili za predstojnico stolice za matematiko in naravoslovja Univerze v Bologni. Po smrti njenega očeta leta 1752 se je posvetila študiju teologije. Nekaj časa je bila upravnica bolnišnice Hospice Trivulzio Modrih nun v Milanu, pozneje pa se je pridružila redovnicam. Pri njih je ostala vse do svoje smrti. Sklici Viri Edwards, Hostetler, Larson, Calculus of a Single Variable: Early Transcendental Functions (3. izdaja), (2003). Britanska enciklopedija 1911. Zunanje povezave Italijanski matematiki v 18. stoletju Italijanski filozofi v 18. stoletju Filozofinje Matematičarke Italijanski jezikoslovci Italijanski redovniki Predavatelji na Univerzi v Bologni Italijanski univerzitetni učitelji


text: Matej Brešar [matêj bréšar], slovenski matematik, * 26. september 1963, Kranj. Življenje in delo Brešar je leta 1982 končal II. gimnazijo v Mariboru. Doktoriral je iz matematike leta 1990 na Fakulteti za naravoslovje in tehnologijo (FNT) Univerze v Ljubljani z doktorsko disertacijo Odvajanja, homomorfizmi in sorodne preslikave na kolobarjih in Banachovih algebrah pod Vukmanovim mentorstvom. Leta 1995 je za vrhunske dosežke na področju matematike prejel nagrado Republike Slovenije za znanstvenoraziskovalno delo. V petih letih raziskovalnega delovanja je v vodilnih matematičnih revijah po svetu objavil več kot 30 del, ki vsebujejo vrsto izvirnih znanstvenih dosežkov. Med tipičnimi problemi, ki jih v svojih delih obravnava dr. Brešar, je problem odvajanj, ki ga je začel von Neumann že v petdesetih letih. Brešar je ugotovil, kdaj slika omejenega odvajanja na Banachovih algebrah leži v radikalu. Raziskoval je, kdaj so lokalna odvajanja tudi globalna odvajanja. K študiju komutirajočih preslikav pa je njegov glavni prispevek elegantni algebraični pristop. Eden od glavnih Brešarjevih rezultatov je rešitev znamenitega Hersteinovega vprašanja o karakterizaciji Liejevih izomorfizmov, ki je bil odprt celih trideset let. Bistvo njegovega pristopa je nova metoda, ki z izredno močjo rešuje problem na visoki abstraktni ravni. To njegovo delo je tudi najbolj cenjeno med matematiki po svetu, saj je s tem uspešno zaključil dolgoletna prizadevanja mnogih raziskovalcev. Odmevnost njegovega dela je visoko nadpovprečna, saj je bilo njegovo delo v nekaj letih navedeno več kot dvajsetkrat. Nekatera dela pa so že nastala kot plod njegovega mednarodnega sodelovanja. Njegovo delo je pomembno za razvoj algebraičnega pristopa k problemom analize. Pomembno je tudi za razvoj naše vrhunske algebre, v kateri smo doslej nekoliko zaostajali za svetovnim vrhom. Najpomembnejše pa so Brešarjeve metode, ki ga s svojo elegantnostjo in močjo uvrščajo med vodilne matematike tega področja v svetu. Je trenutni predsednik Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije (DMFA). Leta 2015 so ga izvolili za izrednega, 2021 pa za rednega člana SAZU. Načelnik oddelka za matematične, fizikalne in kemijske vede III. razreda SAZU je bil od 2017 do 2020, odtlej je tajnik III. razreda SAZU. Matej Brešar izvira iz družine matematikov. Tudi oče Franc in brat Boštjan sta matematika. Sklici Viri Zunanje povezave Živeči ljudje Slovenski matematiki Slovenski akademiki Doktorirali na Fakulteti za naravoslovje in tehnologijo v Ljubljani Izredni člani Slovenske akademije znanosti in umetnosti Diplomiranci Fakultete za naravoslovje in tehnologijo v Ljubljani Magistrirali na Fakulteti za naravoslovje in tehnologijo v Ljubljani


text: Grúpa je v matematiki eden od osnovnih pojmov sodobne algebre. Grupe tvorijo temelj drugim algebrskim strukturam, kot so obsegi in vektorski prostori, in so pomembne pri raziskovanju simetrije v vseh njenih oblikah. Definicija Grupa G = {a, b, ...} je par (G, *), kjer je G neprazna množica in * asociativna dvočlena operacija na G: G × G → G, ki ga imenujemo operacija grupe in, ki vsakemu urejenemu paru (a, b) G priredi natanko en element a * b G. Operacija * mora zadoščati pogojem (»aksiomom grupe«): Za vsak a, b G, velja a * b G. (Zakon o zaprtosti). Za vsak a, b in c G, velja (a * b) * c = a * (b * c) (Zakon o združevanju faktorjev (Zakon o asociativnosti)). V G obstaja takšen element e, za katerega za vsak a G velja e * a = a * e = a (Zakon o nevtralnem elementu (identiteti)). Za vsak a G obstaja takšen element b G, za katerega velja a * b = b * a = e (Zakon o obratnem elementu (inverzu)). Prvi aksiom ni nujen, ker je dvočlena operacija že tudi sama zaprta. Kadar rečemo, da je * operacija na grupi, nam ni potrebno pokazati, da je tudi zaprta. Po navadi znak * opustimo in pišemo a b za operacijo a * b. Včasih uporabimo za operacijo znak +, še posebej, če je grupa Abelova. Iz teh aksiomov lahko izvedemo kar nekaj pomembnih posledic. Lahko, na primer, pokažemo, da ima grupa natanko en nevtralni element in, da za vsak element obstaja natanko en obratni element. Pokažimo, da ima vsak element grupe natančno en obratni element. Naj bo G poljubna grupa in a njen poljubni element. Recimo, da sta b in c obratna elementa a. Dokazati moramo, da je b = c. Ker sta b in c obratna elementa od a, zadoščata zadnjemu aksiomu iz definicije grupe: a * b = b * a = e, a * c = c * a = e. Ko uporabimo predzadnji aksiom na elementu b, dobimo: b = e * b. Od tod sledi z uporabo enakosti a * c = c * a = e: b = (c * a) * b. Z zakonom o združevanju faktorjev sedaj pridemo do: b = c * (a * b). Od tod dobimo z uporabo enakosti a * b = b * a = e: b = c * e. Če sedaj uporabimo zakon o nevtralnem elementu na elementu c, dobimo: b = c. To smo hoteli dokazati. Lastnosti grup raziskuje osnovna teorija grup. Po navadi operacijo, karkoli že je, označimo z množenjem in pišemo a * b (ali kar a b) za produkt a in b, 1 za nevtralni element in a−1 za obratni element a. V tem primeru rečemo, da je grupa zapisana multiplikativno. Kdaj pa grupo zapišemo aditivno in pišemo a + b za vsoto a in b, 0 za nevtralni element in -a za obratni element a. Grupa je Abelova, če je operacija * komutativna, oziroma, če za vsak a, b G, velja a * b = b * a. (V tem primeru grupo velikokrat zapišemo aditivno, ne pa vedno.) Grupa je končna, če ima končno število elementov. V tem primeru je moč grupe, označena z |G| ali z o(G), število elementov in je enaka kardinalnemu številu množice G. Osnovni primeri Cela števila Grupa, ki jo spoznamo v osnovni šoli je množica celih števil Z pod seštevanjem. Naj je Z množica celih števil {...,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6...} in naj znak + kaže na operacijo seštevanja. Potem je par (Z,+) grupa zapisana aditivno. Dokaz: Če sta a in b celi števili, potem je a + b celo število (Zakon o zaprtosti). Če so a, b in c cela števila, potem velja (a + b) + c = a + (b + c) (Zakon o združevanju faktorjev (Zakon o asociativnosti)). Število 0 je celo število. Za vsako celo število a velja 0 + a = a + 0 = a (Zakon o nevtralnem elementu). Če je a celo število, potem obstaja celo število b = -a, za katerega velja a + b = b + a = 0. (Zakon o obratnem elementu). Cela števila z množenjem? Imejmo kakor zgoraj množico celih števil Z in operacijo množenja, označeno z *. Ali je par (Z,*) grupa? Če sta a in b celi števili, potem je a * b celo število (Zakon o zaprtosti). Če so a, b in c cela števila, potem velja (a * b) * c = a * (b * c) (Zakon o združevanju faktorjev (Zakon o asociativnosti)). Nevtralni element je število 1, saj velja a * 1 = 1 * a = a za vsako celo število a. V množici Z ne obstaja tako število b, da velja a*b = b*a = 1, razen za a= 1 in -1. Ker vsak element nima svojega inverznega elementa, množica celih števil ni grupa za množenje. Racionalna števila z množenjem? Imejmo množico racionalnih števil Q, to je takšno množico števil a/b, v kateri so a in b cela števila in b ≠ 0, ter operacijo množenja, označeno z *. Ali je par (Q,*) grupa? Ne. Racionalno število 0 pripada množici Q vendar nima multiplikativnega obratnega elementa. Kakor (Z,*) je tudi (Q,*) polgrupa(asociativen grupoid) in ni grupa. Če privzamemo, da sta a ≠ 0 in b ≠ 0, množica ne vsebuje števila 0 in jo označimo z Q\{0}). V tem primeru par (Q\{0},*) tvori grupo. Obratni element a/b je b/a. Lahko enostavno preverimo tudi druge aksiome. Premiki ravnine Premik (translacija) ravnine je togi premik vsake točke ravnine v določeni smeri za določeno razdaljo. Primer takšnega premika ravnine je gibanje v severovzhodni smeri za 2 km. Če imamo dva takšna premika a in b, ju lahko sestavimo v nov premik a o b, kot sledi: najprej sledimo predpisu b in nato a. V tem primeru je a gibanje v severovzhodni smeri za 2 km, b gibanje v jugovzhodni smeri za 2 km. Njuno sestavljeno gibanje pa je a o b ali gibanje proti vzhodu za √8 km (za geometrijski pomen glej Pitagorov izrek). Množica vseh premikov ravnine z operacijo sestave (kompozicije) o tvori grupo: Če sta a in b premika, potem je a o b tudi premik (Zakon o zaprtosti). Če so a, b in c premiki, potem velja (a o b) o c = a o (b o c) (Zakon o združevanju faktorjev (Zakon o asociativnosti)). Nevtralni element takšne grupe je premik s predpisom: gibanje 0 km v katerokoli smer. Obratni element premika je dan z gibanjem v obratni smeri za enako razdaljo. To je Abelova grupa in prvi primer nezvezne (nediskretne) Liejeve grupe - grupe, katere temeljna množica je mnogoterost. Grupe simetrij Grupe so zelo pomembne pri opisovanju simetrije mnogih objektov: geometrijskih kot je tetraeder ali algebrskih, kot je množica enačb. Kot zgled preučimo kvadratno kamnito ploščo z določeno debelino. Da lahko opišemo njeno simetrijo, sestavimo množico vseh togih premikov plošče, ki se na oko ne razlikujejo. Če jo, na primer, zasučemo za 90°, bo po videzu enaka. Na ta način je takšen premik en element naše množice. Označimo ga z R. Ploščo lahko zasučemo vodoravno tako, da spodnja stran gleda navzgor. Tudi sedaj bo plošča izgledala enako. In prav tako je to element naše množice. Označimo ga s T. Obstaja pa seveda tudi premik, ki ne naredi nič. Označimo ga z I. Če imamo sedaj dve takšni gibanji a in b, lahko določimo njuno sestavo (kompozicijo) a o b kot zgoraj. Najprej izvedemo gibanje b in nato gibanje a. Po takšnem gibanju bo plošča izgledala enako. Množica vseh tistih gibanj z operacijo sestave (kompozicije) tvori grupo. Takšna grupa je najbolj zgoščen opis simetrije plošče. Kemiki pri opisovanju simetrije kristalov uporabljajo prav takšne tipe grup simetrij. Poglejmo simetrijo naše plošče še malo bolj natančno. Imamo tri elemente R, T in I. Vendar jih lahko sestavimo še več. Na primer R o R, ali zapisano kot R2 je obrat plošče za 180°. Smer sukanja pri tem ni pomembna. R3 je zasuk plošče za 270° v smeri urinega kazalca. Enak zasuk je zasuk za 90° v nasprotni smeri urinega kazalca. Vidimo tudi, da velja T2 = I in R4 = I. Kakšno je pri tem gibanje R o T? Najprej imamo zasuk v vodoravni smeri in nato zasuk. Poskušajmo si predstavljati, da velja R o T = T o R3. Hkrati R2 o T predstavlja vodoravni zasuk in je enak T o R2. Ta grupa je v bistvu končna in ima moč 8. Vse kar želimo vedeti o njej lahko zapišemo v tabeli množenja: {| class="wikitable" |----- valign="bottom" align="center" ! o ! I ! T ! R ! R2 ! R3 ! R T ! R2 T ! R3 T |----- valign="bottom" align="center" ! I | I || T || R | R2 || R3 | R T | R2 T || R3 T |----- valign="bottom" align="center" ! T | T || I || R3 T | R2 T || R T | R3 || R2 || R |----- valign="bottom" align="center" ! R | R || R T || R2 | R3 || I | R2 T || R'3 T || T|----- valign="bottom" align="center" ! R2 | R2 || R2 T| R3 || I || R || R3 T| T || R T|----- valign="bottom" align="center" ! R3 | R3 || R3 T| I || R || R2 || T| R T || R2T|----- valign="bottom" align="center" ! R T| R T || R || T| R3 T || R2 T| I| R3 || R2 |----- valign="bottom" align="center" ! R2 T| R2 T || R2 | R T || T || R3 T| R || I || R3 |----- valign="bottom" align="center" ! R3 T| R3 T || R3 | R2 T || R T || T| R2 || R || I|} Tabela prikazuje sestavo (kompozicijo) za poljuben par elementov iz grupe. Vsak element se pojavi v vsaki vrstici in v vsakem stolpcu natanko enkrat. To ni naključje. Tukaj smo namesto R3 o T krajše zapisali »R 3 T«. Matematiki poznajo to grupo kot diedrsko grupo moči 8 in jo imenujejo D4 ali D8, odvisno od vira. To je bil prvi primer neabelove grupe. Operacija grupe o ni komutativna, kar lahko vidimo iz tabele. Tabela vzdolž glavne diagonale ni simetrična. Matrične grupe Če je n poljubno pozitivno celo število, lahko premislimo o množici vseh obrnljivih n × n matrik iz množice realnih števil. To je grupa z matričnim množenjem kot operacijo grupe. Imenuje se splošna linearna grupa, GL(n). Geometrijsko vsebuje vse kombinacije transformacij vrtenja, zrcaljenja, raztezanja in krivljenja n razsežnega evklidskega prostora preko dane nepomične točke (izhodišča). Če se omejimo na matrike z determinantami enakimi 1, dobimo novo grupo, posebno linearno grupo, SL(n). Ta geometrijsko vsebuje vse elemente GL(n), ki ohranjajo tako smer in prostornino različnih geometrijskih teles v evklidskem prostoru. Če pa se omejimo na ortogonalne matrike, dobimo ortogonalno grupo, O(n). Ta geometrijsko vsebuje vse kombinacije vrtenj in zrcaljenj z nepomičnim izhodiščem. To so prav transformacije, ki ohranjajo dolžine in kote. Če združimo obe omejitvi, dobimo posebno ortogonalno grupo SO(n), ki vsebuje samo vrtenja. Vse te grupe so prvi primeri neskončnih neabelovih grup, ki so tudi Liejeve grupe. Če to posplošimo na matrike s kompleksnimi števili, dobimo še več uporabnih Liejevih grup, ko je enotska grupa U(n). Takšne grupe lahko obravnavamo tudi popolnoma algebrsko z matrikami iz kateregakoli obsega, vendar takšne grupe niso Liejeve. Prosta grupa z dvema generatorjema Prosta grupa z dvema generatorjema a in b vsebuje vse končne znakovne nize, ki jih lahko oblikujemo iz štirih znakov a, a-1, b in b-1 tako, da se noben a neposredno ne pojavi poleg a-1 in noben b poleg b-1. Dva takšna znakovna niza lahko povežemo in spremenimo v znakovni niz tega tipa s ponavljajočo zamenjavo »prepovedanega« podniza s praznim znakovnim nizom. Na primer: znakovni niz "a b a b-1" povezan z znakovnim nizom "a b a b-1 a" nam da znakovni niz "a b a b-1 a-1 a b a b-1 a", ki ga skrčimo na "a b a a b-1 a". Preverimo lahko, da množica takšnih znakovnih nizov s to operacijo tvori grupo z nevtralnim elementom, praznim znakovnim nizom ε ≡ "". Po navadi narekovaje opustimo, zaradi česar potrebujemo znak &epsilon. To je naslednji primer neskončne neabelove grupe. Proste grupe so pomembne v algebrski topologiji. Prosto grupo z dvema generatorjema se potrebujejo tudi pri dokazu paradoksa Banacha-Tarskega. Še nekaj primerov končnih grup Glej seznam malih grup za še druge primere. Teorija grup Za primerjavo grup potrebujemo orodja kot so homomorfizmi grup in lahko nove grupe oblikujemo iz starih s pojmi podgrupe, normalne podgrupe, faktorske grupe, središča grupe, izpeljane grupe in produkti grup, še posebej poldirektni in direktni produkti. Pri proučevanju teh pojmov naletimo na Lagrangeov izrek, osnovni izrek o homomorfizmih in izreke o izomorfizmu. Pomembno orodje pri tem je pojem somnožice dane podgrupe. Pri natančnejšem raziskovanju mrež podgrup dane končne grupe nam pomaga zamisel p-grupe in Sylowi izreki. Dodatno pomoč pri dokazovanju teh izrekov nam nudi zamisel o učinku grupe. V celoti lahko opredelimo tudi ciklične ali urne grupe, ki jih lahko pridelamo iz enega elementa. Vse ciklične grupe so Abelove. Še bolj splošno velja. Vse grupe pridelane v končnem (in še posebej končne) Abelove grupe lahko v celoti opredelimo z izrekom, ki ima široko uporabo. (Glej končnoporojena Abelova grupa). Zaplete se, ko se dotaknemo končnih neabelovih grup. Vsaka končna grupa je zgrajena iz enostavnih grup. Z znamenitim orjaškim klasifikacijskim izrekom lahko opredelimo vse končne enostavne grupe (glej klasifikacija končnih enostavnih grup. Rešljive in nilpotentne grupe so pomembne ker se neprestano pojavljajo v Galoisovi teoriji pri opredelitvi tistih polinomskih enačb, ki jih lahko rešimo s koreni (radikali). Pomembno orodje v teoriji grup je pojem prikaza grupe. V osnovi želimo »prikazati« dano abstraktno grupo s stvarno grupo obrnljivih matrik, ki so enostavnejše za proučevanje. Pri označevanju abstraktne grupe pogostokrat uporabimo generatorje in relacije (glej upodobitev grupe). S tem se porajajo vprašanja, na primer: »Ali ti dve upodobitvi označujeta izomorfni grupi?«, »Ali ta upodobitev označuje trivialno grupo?«. Precej podobnih vprašanj je nerešljivih s splošnim algoritmom (glej na primer besedni problem za grupe). Uporabe Grupe uporabljamo v celotni matematiki, velikokrat za opis notranje simetrije drugih struktur, v obliki avtomorfizma grup. V Galoisovi teoriji, ki je zgodovinsko gledano zečetek pojma grupe, uporabljamo grupe za opis simetrij enačb s polinomskimi koreni. V algebrski topologiji uporabljamo grupe za opisovanje invariant v topoloških prostorih. Imenujemo jih »invariante«, ker so določene na način, pri katerem se ne spremenijo, če je prostor pod vplivom kakšnega popačenja (deformacije). Zgledi za takšne grupe so: fundamentalna grupa, homološke grupe in kohomološke grupe. Pojem Liejeve grupe je pomemben pri raziskovanju diferencialnih enačb in mnogoterosti. S pojmoma združujemo analizo in teorijo grup in sta zato primerna objekta pri opisovanju simetrij analitičnih struktur. Analiza takšnih in podobnih grup se imenuje harmonična analiza. V kemiji uporabljamo grupe za opredelitev kristalnih zgradb, pravilnih poliedrov in simetrij molekul. V fiziki so grupe pomembne ker opisujejo simetrije, katerim so podvrženi naravni zakoni. Fiziki se zelo zanimajo za prikaze grup, še posebej za Liejeve grupe, ker nakazujejo »primerne« fizikalne teorije. Abelove grupe so osnova drugim strukturam, ki jih proučuje abstraktna algebra kot so kolobarji, obsegi in moduli. Posplošitve Liejeve grupe, algebrske grupe in topološke grupe so primeri grupnih objektov: grupa kot strukture leži v kategoriji. Zakoni oblikovnih grup so določene oblikovne potenčne vrste, katerih lastnosti so zelo podobne grupni operaciji. V raziskovanju topoloških in analitičnih struktur nastopajo grupoidi, ki so podobni grupam, s tem, da sestava (kompozicija) a * b ni nujno določena za vse elemente a in b''. Grupoidi so posebna vrsta kategorij. Zunanje povezave Zgodovina pojma abstraktne grupe Algebrske strukture


text: Pólgrúpa ali tudi sémigrúpa S = {a, b, ...} je v matematiki par (S, *), kjer je S množica in * asociativna dvočlena operacija na S: S × S → S in, ki vsakemu urejenemu paru (a, b) S priredi natanko en element a * b S. Operacija * mora zadoščati pogojem: Za vsak a, b S, velja a * b S. (Zakon o zaprtosti). Za vsak a, b in c S, velja (a * b) * c = a * (b * c) (Zakon o združevanju faktorjev (Zakon o asociativnosti)). Polgrupa tako ne potrebuje nevtralnega elementa (identitete) in njeni elementi nujno ne potrebujejo obratnega elementa (inverza). Polgrupa je asociativni grupoid. Vsako polgrupo S lahko enostavno vložimo v monoid s pridružitvijo elementa e, ki ne pripada S, in z zahtevama: e * e = e in e * a = a * e = a za vsak element a S. Prvi aksiom ni nujen, ker je dvočlena operacija že tudi sama zaprta. Polgrupa je lahko tudi prazna. Zgledi polgrup Množica pozitivnih celih števil z operacijo seštevanja. Skupno število polgrup moči n, ki so enakovredne, če so izomorfne ali anti-izomorfne, tvori celoštevilsko zaporedje: {1, 1, 4, 18, 126, 1160, 15973, 836021, 1843120128, ...} . Polgrupa z enakim elementom se imenuje komutativni monoid. Vsak monoid in zato tudi vsaka grupa. število polgrup moči n z enim idempotentom tvori celoštevilsko zaporedje: {1, 2, 5, 19, 132, 3107, 623615, ...} . Število a(n) idempotentnih polgrup moči n tvori celoštevilsko zaporedje: {1, 1, 2, 6, 26, 135, 875, 6749, ... } . Vsak ideal kolobarja z operacijo množenja. Vsaka podmnožica polgrupe, ki je zaprta za operacijo polgrupe. Množica končnih znakovnih nizov čez poljubno določeno abecedo Σ z operacijo spojitve znakovnega niza. Če vsebuje tudi prazen znakovni niz ε ≡ "" je takšna polgrupa monoid, ki se imenuje »prosti monoid čez Σ«. Če praznega znakovnega niza ne vsebuje, se takšna polgrupa imenuje »prosta polgrupa čez Σ«. Zgradba polgrup Veliko pojmov nam pomaga pri razumevanju zgradbe polgrup. Zaradi jedrnatosti bomo operacijo polgrupe izrazili z omejitvijo v kateri xy označujeta rezultat operacije grupe na urejeni par (x, y). Če sta A in B podmnožici kakšne polgrupe, potem AB označuje množico { ab | a A in b B }. Podmnožica A polgrupe S se imenuje podpolgrupa, če je zaprta za operacijo polgrupe, oziroma AA je podmnožica A. Če je množica A neprazna, se imenuje desni ideal, kadar je AS podmnožica A, in levi ideal, kadar je SA podmnožica A. Če je A hkrati levi in desni ideal, se imenuje ideal (ali dvosmerni ideal). Presek dveh idealov je spet ideal, zato ima lahko polgrupa najmanjši ideal. Vse neprazne končne polgrupe imajo najmanjši ideal. Primer polgrupe brez najmanjšega ideala je množica pozitivnih celih števil zaprta za seštevanje. Najmanjši ideal komutativne polgrupe, kadar obstaja, je grupa. Če je S polgrupa, je presek katerekoli zbirke podpolgrup S tudi podpolgrupa S. Tako podpolgrupe S tvorijo celotno mrežo. Za poljubno podmnožico A grupe S obstaja najmanjša podpolgrupa T grupe S, ki vsebuje A. Rečemo, da A rodi (generira) T. Element x polgrupe S rodi podpolgrupo { xn | n je pozitivno celo število }. Če je takšna podpolgrupa končna, rečemo da ima x končno moč, drugače pa ima neskončno moč. Polgrupa je periodična, če imajo vsi njeni elementi končno moč. Končne polgrupe so vse periodične. Polgrupa, ki jo rodi samo en element, se imenuje enorodna (monorodna) (ali ciklična). Če je enorodna polgrupa neskončna je izomorfna polgrupi množici pozitivnih celih števil, zaprti za seštevanje. Če pa je končna, mora vsebovati idempotent in to natanko enega. Tako ima vsaka neprazna periodična polgrupa vsaj en idempotent. Podpolgrupa, ki je hkrati grupa, se imenuje podgrupa. Med podgrupami in polgrupami ter njihovimi idempotenti obstaja zelo tesna povezava. Vsaka podgrupa vsebuje natanko en idempotent, namreč nevtralni element (identiteto) podgrupe. Za vsak idempotent e polgrupe obstaja edina največja podgrupa, ki vsebuje e. Vsaka največja podgrupa nastane na ta način, zato obstaja enolična zveza med idempotenti in največjimi podgrupami. (Omeniti moramo, da je tukaj pojem največje podgrupe različen kot v teoriji grup. V teoriji grup je t. i. »največja podgrupa« v resnici največja prava podgrupa. Če jo obravnavamo kot polgrupo, ima grupa samo eno največjo podgrupo, in to prav samo sebe.) Algebrske strukture


text: Matematična konstanta je količina v matematiki, ki ne spreminja svoje vrednosti. Tako je konstanta nasprotje spremenljivki. Matematične konstante so z razliko od fizikalnih določene neodvisno od katerekoli fizikalne meritve. Razpredelnica nekaterih izbranih matematičnih konstant Uporabljene kratice: I - iracionalno število, A - algebrsko število, T - transcendentno število, ? - še neznano Spl - splošno, TeŠ - teorija števil, TeK - teorija kaosa, Kom - kombinatorika, Inf - teorija informacij, Ana - matematična analiza Opomba: 0 Razpredelnica je zložena precej 'naključno'. Glej tudi drugačno razvrstitev matematičnih konstant na podlagi predstavitve z verižnimi ulomki. Zunanje povezave Stran Stevena Fincha o matematičnih konstantah (v angleščini): http://pauillac.inria.fr/algo/bsolve/constant/constant.html Steven Fincheva drugačna razvrstitev (v angleščini): http://pauillac.inria.fr/algo/bsolve/constant/table.html Stran Xavierja Gourdona in Pascala Sebaha o številih, matematičnih konstantah in algoritmih (v angleščini): http://numbers.computation.free.fr/Constants/constants.html Simon Plouffejev pretvornik (v angleščini): http://pi.lacim.uqam.ca/eng/ CECMov računalnik z obratno simboliko (ISC) (po nam kako lahko dano število skonstruiramo iz matematičnih konstant) (v angleščini): http://www.cecm.sfu.ca/projects/ISC/


text: Mersennovo število (tudi Evklid-Mersennovo število) je naravno število oblike: Mersenne je poskušal odkriti, katera števila takšne oblike so praštevila. Mersennova praštevila so v tesni povezavi s popolnimi števili. Trenutno ( ) je po vrsti znanih 44 Mersennovih praštevil za n enak : 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11.213, 19.937, 21.701, 23.209, 44.497, 86.243, 110.503, 132.049, 216.091, 756.839, 859.433, 1.257.787, 1.398.269, 2.976.221, 3.021.377, 6.972.593, 13.466.917, 20.996.011, 24.036.583, 25.964.951, 30.402.457 in 32.582.657. in še 4 Mersennova praštevila za n enak: 37.156.667, 42.643.801, 43.112.609 in 57.885.161. Ni pa znano ali obstaja še kakšno Mersennovo praštevilo, ki je manjše od 45., oziroma med zadnjimi štirimi. Velja domnevna ocena za gostoto porazdelitve Mersennovih praštevil z eksponentom : kjer je γ Euler-Mascheronijeva konstanta. Značilnosti Enakost: kaže, da je lahko praštevilo le, če je tudi n praštevilo. Praštevilskost n je nujen, ne pa tudi zadosten pogoj, da je praštevilo. To dejstvo zelo poenostavlja iskanje Mersennovih praštevil. Obratna izjava, da je nujno praštevilo, če je n praštevilo, pa ne velja. Najmanjši protiprimer je , ki je sestavljeno število. Prva druga praštevila, za katera ni praštevilo, so : 11, 23, 29, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 67, 71, 73, 79, 83, 97, 101, 103, 109, 113, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, ... Ni znano ali je takšnih števil neskončno mnogo. Ta praštevila si sledijo po vrsti, (11 je peto praštevilo, 23 deveto, itd.): : 5, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 20, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 29, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, ... Vsota neskončne vrste obratnih vrednosti Mersennovih praštevil konvergira in je enaka konstanti: . Za prvih 100 števk konstante zadostuje prvih enajst Mersennovih praštevil. Seznam znanih Mersennovih praštevil Razpredelnica podaja vsa do sedaj znana Mersennova praštevila : Ni znano ali obstaja kakšno Mersennovo praštevilo med 44. (M32.582.657) in 48. (M57.885.161) v tej razpredelnici. Zato so zadnje štiri zaporedne številke le začasne. Vsa Mersennova števila manjša od 47-ega (M43.112.609) so bila preverjena vsaj enkrat, nekatera pa niso bila preverjena dvakrat. Nekatera Mersennova števila manjša od 48-ega niso bila preverjena. Praštevila ne odkrijejo vedno v naraščajočem vrstnem redu. 29. Mersennovo praštevilo je bilo na primer odkrito za 30. in 31. Prav tako je bilo 45. odkrito štirinajst dni za 47., ter 46. slabih sedem mesecev za 47. Število M42,643,801 je bilo prvič odktito na stroju 12. aprila 2009. Vendar nihče ni bil pozoren na to dejstvo vse do 4. junija. Tako se lahko oba datuma, 12. april ali 4. junij, štejeta za datum 'odkritja'. Odktitelj Strindmo je verjetno uporabil nadimek Stig M. Valstad. Število M43.112.609 je prvo odkrito praštevilo z več kot 10 milijoni desetiških števk. 48. znano Mersennovo praštevilo bi se zapisalo na 4647. straneh v desetiškem sistemu po 75 števk v vrstici in 50 vrstic na stran. Največje znano Mersennovo praštevilo je hkrati tudi trenutno največje znano praštevilo. 2305843009213693951 Število 2305843009213693951 je deveto Mersennovo praštevilo in je enako . Leta 1883 je Pervušin pokazal, da je praštevilo, in ga zato včasih imenujejo Pervušinovo število. Do leta 1911 je ostalo drugo največje znano praštevilo za številom , katerega praštevilskost je že sedem let prej dokazal Lucas. Neskončni verižni ulomek Konstanta neskončnega verižnega ulomka Mersennovih praštevil je: . Glej tudi Erdős-Borweinova konstanta dvojno Mersennovo število Cantorjevo število Sklici Viri . Predstavljeno na srečanju Francoske akademije znanosti 10. januarja 1876. . Članek je podpisan »DENVER, COLORADO, junij 1911.« . Rezultat predstavljen na srečanju Londonskega matematičnega društva 11. junija 1914. Zunanje povezave Domača stran projekta GIMPS, ki se ukvarja z iskanjem Mersennovih števil. Razredi praštevil Nerešeni matematični problemi Celoštevilska zaporedja


text: Míselni preizkús ali miselni preizkús (angleško a thought experiment, iz nemške besede das Gedankenexperiment) je izraz, ki se pogosto uporablja v fiziki in na drugih področjih. Opisuje preskus, ki se v resnici ne izvede. Takšni preskusi se uporabljajo pri poskusih boljšega razumevanja Vesolja in fizikalnih zakonov. Obstaja veliko znamenitih miselnih preskusov iz 19. in še posebej iz 20. stoletja, začetki pa sežejo vse tja do Galileja. Znani miselni preskusi so: argument vedra – prostor je absoluten in ne v soodnosu (Isaac Newton), argument lepljivih biserov – gravitacijsko valovanje res napoveduje splošna teorija relativnosti in ima fizikalne učinke (Richard Phillips Feynman, 1957) astrokokoš (biotehnološko raziskovanje Vesolja) (Freeman John Dyson, 1979), Brownov zatikalnik (termodinamika), perpetuum mobile, ki ne krši 2. zakona termodinamike in ne deluje (Richard Phillips Feynman, 1962) Casimirjevi stožci (osnova za skoraj perpetuum mobile, ki ga žene entropija), Einsteinovi miselni preskusi (posebna teorija relativnosti, splošna teorija relativnosti, kvantna mehanika), Galilejeva ladja (načelo klasične relativnosti 1932), izrek o neskončni opici (verjetnost), Maxwellov duh (termodinamika, 1871), paradoks dvojčkov (posebna teorija relativnosti), paradoks lestev (posebna teorija relativnosti, Wolfgang Rindler, 1961) Schrödingerjeva mačka (kvantna mehanika), paradoks EPR (, kvantna mehanika) (so ga izvedli v posebnih primerih), kvantni samomor in nesmrtnost (kvantna mehanika), neenakost CHSH (kvantna mehanika), preskus GHZ (kvantna mehanika), Wignerjev prijatelj (kvantna mehanika), Wittgensteinova palica (strojništvo, mehanika) – vaja v predočenju, kitajska soba (filozofija, umetna inteligenca, kognitivna znanost), posnemana stvarnost (filozofija, računalništvo, kognitivna znanost). Paradoksi