text: Práštevílski izrèk (tudi izrèk o gostôti práštevíl) je v matematiki izrek o asimptotični porazdelitvi praštevil. Praštevilski izrek podaja splošni opis kako so praštevila porazdeljena med pozitivnimi celimi števili. Formalizira intuitivno zamisel, da se z večanjem n praštevila pojavljajo vse redkeje. Praštevilski izrek v grobem pravi, da če se naključno izbere poljubno število med 0 in nekim velikim številom n, je verjetnost, da bo to število praštevilo, enaka približno 1 / ln n, kjer ln n označuje naravni logaritem števila n. Zaradi tega bo verjetnost, da bo naključno celo število z največ 2n števkami (za dovolj velik n) praštevilo za polovico manjša od verjetnosti za naključno celo število z največ n števkami. Na primer za n = 1.000 je približno eno od sedmih števil praštevilo (ln 103 ≈ 6,9), za n = 10.000 približno eno od devetih števil (ln 104 ≈ 9,2), za n = 1.000.000.000 pa eno praštevilo med 21-mi izbranimi števili (ln 109 ≈ 20,7). Med pozitivnimi celimi števili z največ 1000 števkami, bo približno eno od 2300 števil praštevilo (ln 101000 ≈ 2302,6), med pozitivnimi celimi števili z največ 2000 števkami pa približno eno od 4600 števil (ln 102000 ≈ 4605,2). Povprečna vrzel med zaporednima prašteviloma med prvimi n celimi števili je približno ln n. Razvidno je, da so praštevila porazdeljena naključno, vendar na žalost ne vemo kaj 'naključno' pomeni. — R.C. Vaughan (februar 1990). Vsebina izreka π(ξ) je aritmetična funkcija števila praštevil, ki podaja število praštevil manjših ali enakih ξ za poljubno realno število ξ. π(10) = 4, saj so štiri praštevila (2, 3, 5 in 7) manjša ali enaka 10. Praštevilski izrek pravi, da je ξ / ln ξ dober približek za π(ξ) v smislu, da je limita kvocienta funkcij π(ξ) in ξ / ln ξ enaka 1, ko se ξ približuje neskončnosti: S pomočjo asimptotskega zapisa se lahko izrek zapiše kot: Ta zapis in izrek sam ne povesta nič o limiti razlik dveh funkcij, ko ξ narašča v neskončnost. Obnašanje te razlike je v resnici zapleteno in je povezano z Riemannovo domnevo. Izrek izjavlja, da je ξ / ln ξ približno enako π(ξ) v smislu, da se relativna napaka tega približka približuje 0, ko ξ naraste prek vseh meja. Praštevilski izrek je enakovreden izjavi, da je n-to praštevilo pn približno enako n ln n, kjer se spet relativna napaka približuje 0, ko n narašča v neskončnost. Eulerjeva obravnava Leta 1737 je Euler vpeljal klasično Euler-Riemannovo funkcijo ζ, določeno za vsa realna števila s večja od 1: kjer so k pozitivna cela števila. Za števila (ali bolje za realni del) je gornja vsota neskončna, tako da za taka števila ni določena. Za vsako število s > 1 ima gornja vsota določeno končno vrednost. Pokazal je, da je za vsak tak s vrednost funkcije enaka neskončnemu Eulerjevemu produktu: Prednost produkta je v tem, da ne vsebuje ničel v polravnini. Njegov rezultat je presenetljiv, saj povezuje funkcijo z neskončno množico praštevil P, osnovnih gradnikov števil. Praštevila so prisotna v analizi, ki je odraz neskončne narave matematike. Infinitezimalni račun, Newtonovi polinomi, funkcija Γ in funkcija funkcija vse sodijo v analizo. Funkcijsko enakost funkcije je Euler odkril leta 1761. Funkcija: ostaja nespremenjena, kadar se s zamenja z 1 - s. Pomena enakosti se ne da videti neposredno, ker so funkcije določene v samostojnih polravninah ločenih s kritičnim trakom. Trak vsebuje kompleksna števila katerih realni deli ležijo točno med 0 in 1. To pomeni, da imata tako dve funkciji naravni nadaljevanji preko mej traku in ti dve sta enaki. Za funkcijo velja funkcijska enačba: za vse s iz - {0,1}. S to enačbo si je moč pomagati pri analitičnem nadaljevanju. Pri s = 1 ima funkcija enostavni pol z ostankom 1. Euler je lahko izračunal za vsako sodo celo število 2k z enačbo: kjer so Bernoullijeva števila. Od tu se vidi, da je , , , , in tako naprej. Te vrednosti dajo znane neskončne vrste za π. Na primer: Euler je podal vrednosti za do za sode n. Stieltjes je leta 1887 podal na 30 števk točno vrednosti za do . Števci za n=1,2,3,... tvorijo zaporedje {6, 90, 945, 9450, 93555, 638512875, ...}. Primeri za liha cela števila pa niso tako enostavni. Ramanudžan je z velikim uspehom raziskoval tudi takšne primere. Za n > 1 in velja na primer: kjer je binomski koeficient. Našli so še druge enačbe za nekatere lihe n. Sorodni izrek za harmonično vrsto obratnih vrednosti naravnih števil: pove, da vrsta nima končne vsote, in podobno divergira kot . Euler je poznal ta izrek in je pokazal, da velja: in kjer je ≈ 0,57721 56649 Euler-Mascheronijeva konstanta. Euler se je spraševal za praštevilsko harmonično vrsto, ki se jo dobi, če se sešteje obratne vrednosti vseh praštevil: Ali ima sedaj končno ali neskončno vsoto? Naravni način odgovora na vprašanje je delitev harmonične vrste na dva dela: tistega, ki vsebuje vsa praštevila in preostanek harmonične vrste: Potem se poskuša pokazati, da ima drug del končno vsoto. To bi pomenilo, da prvi del povzroča, da ima harmonična vrsta neskončno vsoto. Prvi del je praštevilska harmonična vrsta in bi tako imela neskončno vsoto. To je dobra zamisel, vendar se naleti na nepričakovano težavo. Ker harmonična vrsta divergira, se je ne da na ta način deliti. Euler se je lotil težave drugače. Naj se vzame neko celo realno število s, malo večje od 1, in namesto, da se opazuje harmonično vrsto , se opazuje raje sorodno vrsto . Ker se je vzel s večji od 1, ima ta vrsta končno vsoto in se jo zato lahko deli na dva končna dela: tistega, ki vsebuje vsa praštevila in tistega, ki vsebuje vsa sestavljena števila: Potem se poskuša pokazati, da, če se približuje s vedno bližje 1, bo prva vsota: naraščala preko vsake meje in pri s = 1 bo praštevilska harmonična vrsta: imela neskončno vsoto. Pri preučevanju je Euler zasledoval podobno enačbo vsote geometrične vrste: Za vsako praštevilo p in vsak s > 1 se lahko zapiše kot: Izraz na levi strani je seveda izrazit člen v Eulerjevem neskončnem produktu in zgornja enačba zagotavlja neskončno vsoto za vsak člen v neskončnem produktu. Euler je naprej pomnožil vse te neskončne vsote, da bi dobil drugačno obliko svojega neskončnega produkta. Z uporabo običajnih algebrskih pravil za množenje (končnega števila končnih) vsot na neskočno mnogo neskončnih vsot se lahko vidi, če se izpiše desno stran kot eno neskončno vsoto, bodo njeni izrazi oblike: kjer so različna praštevila in pozitivna cela števila in vsaka njihova kombinacija nastopi natanko enkrat. Po osnovnem izreku algebre se lahko vsako pozitivno celo število izrazi v obliki . Zaradi tega je desna stran preureditev vsote: oziroma . Eulerjeva enačba neskončnega produkta za označuje začetek analitične teorije števil. Dirichletova posplošitev Leta 1837 je Dirichlet posplošil Eulerjevo metodo za dokaz ali v vsakem aritmetičnem zaporedju , kjer a in k nimata skupnega faktorja (sta si tuja, oziroma relativno praštevili), obstaja neskončno število praštevil. Na Evklidov izrek se lahko gleda kot na poseben primer tega za aritmetično zaporedje 1,3,5,7, ... vseh lihih celih števil. Dirichlet je za to priložnost posplošil Euler-Riemannovo funkcijo tako, da so vsa praštevila ločena v posamične razrede glede na to, kakšen ostanek imajo pri deljenju s k. Njegova modificirana funkcija ζ ima obliko: kjer je posebna oblika funkcije, ki jo je Dirichlet imenoval »karakter«, in ta deli praštevila na zahtevan način. Posebej velja za vsak . Druga pogoja sta še, da je odvisna le od ostanka pri deljenju n s k in , če imata n in k skupni faktor. Vsaka funkcija oblike , kjer je realno število s > 1 in karakter, je znana kot Dirichletova L-vrsta. Euler-Riemannova funkcija je poseben primer, ki nastane, če se vzame za vse n. Matematiki so posplošili spremenljivko s in števila v kompleksno področje in s posplošeno obliko dokazali veliko značilnosti praštevil in tako pokazali, da so L-vrste zelo močno orodje pri študiju praštevil. Ključni rezultat o L-funkcijah je ta, da se jih lahko skupaj z izrazi kot neskončni produkt preko praštevil (Eulerjev produkt): kjer je realni del s pozitiven. Med prvimi desetimi števili je kar polovica praštevil, med prvimi 1000 pa le približno 1/6. Zdi se, da ni kakšnega splošnega pravila, po katerem bi bila praštevila razporejena med naravnimi števili. Med 9 999 900 in 10 000 000 je na primer 9 praštevil. Med 10 000 000 in 10 000 100 pa le 2, in sicer 10 000 019 in 10 000 079. Obstajajo celo poljubno dolgi odseki zaporednih naravnih števil, med katerimi ni nobenega praštevila. Za poljuben n med številoma in ni nobenega praštevila. Matematiki menijo, da so praštevilski dvojčki razporejeni povsem slučajno. Celo tega se ne ve, ali je praštevilskih dvojčkov končno mnogo ali jih je neskončno. Pregled zgodnje zgodovine izreka Praštevilski izrek govori o asimptotičnem obnašanju aritmetične funkcije , števila praštevil manjših ali enakih realnemu številu . Legendre je leta 1796 domneval in leta 1798 v knjigi Esai sur la Theorie des Nombres objavil ugotovitev za velike : kjer sta bili konstanti A in B nedoločeni. Z zapisom je zapisal: »Končno je možno, da ima stroga formula, ki da vrednost b, če je a zelo velik, obliko , kjer sta A in B konstantna koeficienta, log a pa označuje naravni logaritem. Točna določitev koeficientov bo naloga posameznika, ki bo vredna vaje za ostroumnost Analitika.« V drugi izdaji knjige leta 1808 je podal določnejšo domnevo: z A = 1 in B = 1,08366, ki se včasih imenuje Legendrova konstanta. Pomagal si je z Eratostenovim sitom in je do tega rezultata prišel povsem empirično na podlagi preučevanja Felklovih in Vegovih razpredelnic praštevil, manjših od 400.000. Zato število B ni kaj posebnega. Legendre ga je enostavno izbral tako, da je dobil kar najboljši približek. V tretji izdaji knjige, preimenovani v Théorie des nombres, je podal obliko: Medtem ko je Legendre pripravljal svojo knjigo, je funkcijo preučeval tudi štirinajstletni Gauss. Leta 1792 ali 1793 je kot 15/16-leten zapisal (objavil pa šele leta 1863): Če se »praštevila pod « nadomesti z enakovredno vrednostjo , znak l z in z besedilom za velike , se dobi njegovo mladostno oceno: z deljenjem s pa obliko praštevilskega izreka. Očitno je mladi Gauss že razumel to značilnost praštevil, zakaj pa je ni razvil, se najverjetneje ne bomo nikoli izvedelo. Na Božič 1849 je v pismu Enckeju zapisal: Kot deček sem preučeval problem koliko praštevil je do dane točke. Iz svojih preračunov sem ugotovil, da je gostota praštevil okrog x približno . Pozneje je domneval, da velja praštevilski izrek: kjer je Li neelementarna funkcija logaritemski integral ali integralski logaritem li brez Cauchyjeve glavne vrednosti (CGV). Logaritemski integral v kompleksnem je določen z: Logaritemski integral v praštevilskem izreku je določen tako, da velja Li: kjer je ei eksponentni integral. Logaritemski integral močno namiguje na predstavo o tem da je 'gostota' praštevil okrog t enaka 1 / lnt. Ta funkcija je povezana z logaritmom s Poincaréjevim, oziroma asimptotičnim razvojem: Da se ogne singularni vrednosti v točki 1, se včasih vzame konstanto, označeno s c ali tako, da velja: Tako se lahko pri zamenja CGV z . Ta način je prvi uporabil Ramanudžan in se sedaj ≈ 1.4513692348... imenuje Ramanudžan-Soldnerjeva konstanta ali Soldnerjeva konstanta, in predstavlja ničlo enačbe li. Ramanudžan je dobil vrednost ≈ 1,451363380... Ta konstanta se pojavlja v naslednji obliki praštevilskega izreka: kjer je Möbiusova multiplikativna aritmetična funkcija. Funkcija Li ima glavni člen in je boljši priblišek od njega samega. Tako Legendreova in Gaussova enačba nakazujeta podobno domnevno asimtotično enakost med π(ξ) in ξ / ln ξ. Sicer se izkaže da je Gaussov približek precej boljši, če upoštevamo razlike namesto količnikov. Čebišov je v dveh člankih leta 1848 in 1850 poskušal dokazati porazdelitveni zakon za praštevila. Dokazal je, da sta supremum M in infimum n relacije: v mejah . Kasneje je Sylvester leta 1881 zožil dopustni interval limit z 10 % na 4 %. Delo Čebišova je pomembno zaradi uporabe funkcije zeta ζ(s), ki je naznanjalo Riemannov članek iz leta 1859. Čebišov je leta 1851 dokazal malo šibkejši rezultat, da če res teži k limiti ko pobegne v neskončnost, potem mora biti limita enaka 1. Ni pa mogel pokazati, da ta limita res obstaja. Čeprav Čebišov ni docela dokazal praštevilskega izreka, je z uporabo ocene za π(ξ) leta 1850 dokazal Bertrandovo domnevo. Razpredelnica funkcij π(ξ), ξ / ln ξ in Li(ξ) Naslednja razpredelnica kaže kako se obnašajo tri funkcije (π(ξ), ξ / ln(ξ) in Li(ξ)). Zadnji stolpec, ξ / π(ξ) je povprečna praštevilska vrzel za praštevila, manjša od ξ: Vrednost za π(1024) je bila izvirno izračunana s privzetkom veljavnosti Riemannove domneve; nato so jo preverili brezpogojno. Kot posledica praštevilskega izreka se dobi asimptotično oceno za n-to praštevilo p(n): Vidi se lahko tudi, da bo naključno izbrano število n praštevilo z verjetnostjo 1 / ln(n). Riemannova razširitev in dokaz Leta 1896 sta neodvisno drug od drugega La Vallée Poussin in Hadamard dokazala praštevilski izrek, trditev, ki je bila razvidna že iz dotedanjih izračunov. Dokazala sta, da se z »naraščajočim n vrednost izraza bolj in bolj približuje funkciji «. Pokazala sta da nima nobenih ničel oblike , s tem, da za dokaz ni potrebno poznavanje drugih značilnosti . Ta blesteči rezultat je enkrat za vselej in nedvoumno pokazal, da so praštevila razporejena po vzorcu, ki ga je možno opisati z matematičnimi sredstvi. Na njuno delo je močno vplival pomemben, čeprav komaj osem strani dolg Riemannov članek iz leta 1859 O številu praštevil, manjših od dane velikosti (Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse). To edino Riemannovo delo iz teorije števil je izredno pomembno, saj je z izvirnimi postopki preučevanja naravnih števil odkril mnoge nove zakonitosti. Te metode uporabljajo še danes. Ključni prijem, ki ga je Riemann vpeljal pri preučevanju porazdelitve praštevil, je razširitev funkcije . Euler je določil funkcijo le za realna števila, ki so večja od 1. Riemann pa je Eulerjevo določitev razširil na vsa kompleksna števila (z izjemo števila s = 1) Pri tem je treba uporabiti analitično nadaljevanje funkcije. Razširjena funkcija je določena kot krivuljni integral: pri čemer poteka krivulja C od vzdolž realne premice, se tik pred izhodiščem ustavi, ga enkrat obkroži v nasprotni smeri urinega kazalca in se spet po realni osi vrne v . Za vsak s > 0, pa je: Riemannova razširitev funkcije , imenovana tudi Riemannova funkcija ζ, je ključna za teorijo števil. Riemann je ugotovil, da je vrednost funkcije za števila enaka 0. Reče se, da so negativna soda cela števila ničle Riemannove funkcije . Nadalje je ugotovil, da obstaja še neskončno mnogo kompleksnih števil s, za katere je , in da je realni del vseh takih števil med 0 in 1. Vsa taka števila s so oblike , pri čemer je . Riemannova domneva govori o netrivialnih kompleksnih ničlah Riemannove funkcije . Riemann je domneval, čeprav je poznal komaj kakšno kompleksno ničlo te funkcije, da je realni del vseh kompleksnih ničel funkcije enak . Če je torej in s sodo pozitivno število, potem je po njegovi domnevi za kakšno realno število b. Še boljša aproksimacija in ocena napake je dana z enačbo: za → ∞, kjer je -zapis Landauov simbol. Približek so še izboljšali z: Izreka Hadamarda in La Vallée Poussina je kasneje v 20. stoletju postal znan kot praštevilski izrek. Zaradi povezave med Riemannovo funkcijo ζ(s) in π(ξ) ima Riemannova domneva pomembno vlogo v teoriji števil. Če bo rešena, bo moč najti mnogo točnejšo napako v praštevilskem izreku kot je na voljo sedaj. Von Koch je leta 1901 dokazal, da je Riemannova domneva enakovredna naslednji močnejši obliki praštevilskega izreka, ko : Če velja Riemannova domneva, je tukaj ocena napake še boljša kot zgoraj, kakšna pa je konstanta v zapisu, pa se ne ve. Ta povezava med številom praštevil in med ničlami kompleksne analitične funkcije je nabila ozračje matematike na začetku 20. stoletja. Kot je leta 1932 zapisal Ingham: Rešitev [zgornje enačbe] ... bo verjetno neuspešna, ker prinaša zamisli, ki so zelo drugačne od izvirnega problema. Naravno se je vprašati po dokazu praštevilskega izreka, ki ni odvisen od funkcij kompleksne spremenljivke ... Kakor zgleda bo nemogoče najti pristen dokaz z 'realnimi spremenljivkami'. Ingham je menil, da mora vsak dokaz vsebovati kompleksno analizo. Kako se je motil (kot tudi Hardy, Bohr in mnogi drugi). Leta 1949 sta Selberg in Erdős delno neodvisno pokazala elementarni dokaz praštevilskega izreka. Konstanto v von Kochovi obliki je leta 1976 določil Schoenfeld in upošteval Riemannovo domnevo: za vse ξ ≥ 2657. Izpeljal je tudi sorodno mejo za število praštevil Čebišova ψ: za vse ξ ≥ 73,2. Logaritemski integral Li(ξ) je večji od π(ξ) za »majhne« vrednosti ξ. Vendar je Littlewood leta 1914 dokazal da temu ni vedno tako. Prva vrednost ξ za katero je π(ξ) večja od Li(ξ) je približno pri ξ = 1,397162914 · 10316 (Demichel 2005). Takšna ogromna števila so znana kot Skewesova števila. Metodologija dokaza V predavanju o praštevilih za širšo javnost je Tao, prejemnik Fieldsove medalje leta 2006, opisal pesniški pristop dokaza praštevilskega izreka s poslušanjem praštevilske »glasbe«. Začne se z »zvočnim valovanjem«, ki je »glasno« pri praštevilih in tiho pri sestavljenih številih - to je von Mangoldtova aritmetična funkcija Λ(n), ki ni ne multiplikativna in ne aditivna. Potem se analizira njegove note, oziroma frekvence, s procesom, sorodnim Fourierovi transformaciji – to je Mellinova transformacija. Potem se dokaže, kar je težek del, da se določene »note« v tej glasbi ne morejo pojaviti. Ta izključitev določenih not vodi do praštevilskega izreka. Po Tau ta dokaz vodi do bolj globljega vpogleda v porazdelitev praštevil kot elementarni dokazi, opisani spodaj . Teorija Dirichletovih vrst Riemannova funkcija je določena tudi z Dirichletovo vrsto, kjer je prototip, ki generira konstantno aritmetično funkcijo za vse n: Kvadrat Euler-Riemannove funkcije generira funkcijo število deliteljev : Obratna vrednost Euler-Riemannove funkcije generira Möbiusovo aritmetično funkcijo : ali Mertensovo funkcijo: V splošnem velja, da če dve Dirichletovi vrsti in generirata aritmetični funkciji in , potem njun produkt generira novo aritmetično funkcijo: in se imenuje Dirichletov produkt dveh aritmetičnih funkcij in . Dirichletov produkt se dobi, če se pomnoži dve Dirichletovi vrsti in preuredi člene: kjer je: Enačba velja kadar vrsti in absolutno konvergirata. S produktom Dirichletovih vrst se lahko generira veliko aritmetičnih funkcij v multiplikativni teoriji števil. Na primer: in V aditivni teoriji števil za rodovne funkcije se uporabi raje potenčne vrste. Funkcija z razvitjem v potenčno vrsto: generira koeficiente . Če generira koeficiente tako, da je: potem je za vse tiste , za katere obe vrsti absolutno konvergirata, njun produkt: kjer je: Novo zaporedje se imenuje Cauchyjev produkt dveh zaporedij in . Na primer naj je , če je n kvadrat, drugače pa , tako, da je: Tako vsebuje člene, ki so kvadrati. Kvadrat je dan z vrsto: kjer je število načinov, s katerimi se lahko izrazi n kot vsoto dveh kvadratov pozitivnih celih števil, če se upošteva vrstni red seštevancev. Četrta potenca pa je: kjer je število načinov, s katerimi se lahko izrazi n kot vsoto štirih kvadratov pozitivnih celih števil. Obstaja, na primer, natanko 6 načinov, da se zapiše 2 kot vsoto štirih pozitivnih kvadratov: zato je . Euler je opazil, da je Lagrangeev izrek štirih kvadratov enakovreden izjavi, da je pozitiven za vsak n, ni pa uspel dokazati, da je . Če so dovoljeni za seštevance tudi kvadrati negativnih celih števil, je število predstavitev celega števila kot vsota kvadratov precej večje. Če so, na primer, dovoljeni kvadrati -1, obstaja 24 različnih načnov zapisa 2 kot vsote štirih kvadratov. Število predstavitev celega števila n kot vsote k kvadratov celih števil (pozitivnih, negativnih ali ničle) se označi z . Njegova rodovna funkcija je: kjer je funkcija določena z neskončno vrsto: Za primer glej zgoraj. Jacobi je pokazal, da značilnosti funkcije vodijo k podatkom, ki se nanašajo na predstavitve celih števil s kvadrati. Jacobijeva enačba iz teorije eliptičnih funkcij: kjer sta in število deliteljev n kongruentno 1 in 3 po modulu 4. Če se primerja koeficient v tej enačbi s koeficientom v rodovni funkciji za , se dobi eksplicitno enačbo za število predstavitev n kot vsote dveh kvadratov: S podobnimi postopki je Jacobi pokazal, da je , če je n sod in = 24-krat vsota sodih deliteljev n, če je n lih. Podobne enačbe za in 12 so dobili na podoben nančin, vendar so bolj zapleteni. Enačbe za so znane za vse lihe . Za sode k je enačbe težje dobiti. Elementarni dokazi V začetku 20. stoletja so dokaz poenostavili Landau in drugi matematiki. V prvi polovici 20. stoletja je nekaj matematikov verjelo, da obstaja hierarhija tehnik v matematiki in, da je praštevilski izrek »globoki« izrek, za katerega dokaz je potrebna kompleksna analiza. Metode s samo realnimi spremenljivkami niso veljale za ustrezne. Hardy je bil znani član te skupine. Formulacijo tega prepričanja je deloma omajal dokaz praštevilskega izreka, ki je temeljil na Wienrovem tauberskem izreku iz teorije divergentnih vrst iz leta 1932, čeprav bi bilo moč označiti »globino« Wienrovega izreka kot enako metodam kompleksne analize. Predstava »elementarnega dokaza« v teoriji števil ni točno določena, vendar se zdi da po navadi v grobem ustreza dokazom, ki jih je moč izvesti v Peanovi aritmetiki, in ne v močnejših teorijah kot je na primer aritmetika drugega reda. Obstajajo izjave Peanove aritmetike, ki jih je moč dokazati v aritmetiki drugega reda, ne pa v aritmetiki prvega reda. Takšen zgled je na primer Paris-Harringtonov izrek. Drugače pa so v praksi takšni izreki redki. Selberg je našel elementarni dokaz praštevilskega izreka leta 1949, ki je uporabljal le prijeme iz teorije števil. Erdős je skoraj istočasno uporabil njegove zamisli in razdelal malo drugačen elementarni dokaz. Selbergovo delo je umirilo pojem »globine« za praštevilski izrek, in je pokazalo da so tehnično »elementarne« metode (oziroma Peanova aritmetika) močnejše kot so sprva pričakovali. Leta 1956 Gordon dokazal praštevilski izrek s pomočjo Stirlingove aproksimacije za velike . Leta 2001 je Sudac pokazal, da je moč praštevilski izrek dokazati v primitivno rekurzivni aritmetiki, veliko šibkejši teoriji kot je Peanova aritmetika. Avigad in sodelavci so leta 2005 napisali računalniško različico tega elementarnega dokaza v interaktivnem sistemu dokazovanja izrekov Isabelle. Praštevilski izrek za aritmetična zaporedja Naj označuje število praštevil v aritmetičnem zaporedju a, a + d, a + 2d, a + 3d, ... manjše od ξ. Dirichlet in Legendre sta domnevala in La Vallée Poussin dokazal, da če sta a in d tuji, potem velja: kjer je φ(·) Eulerjeva funkcija φ. Praštevila so porazdeljena enakomerno med razredi ostankov [a] modulo d z D(a, d) = 1. To je moč dokazati s podobno metodo, ki jo je uporabil Newman za svoj dokaz praštevilskega izreka. Čeprav je posebej: so empirično praštevila kongruentna 3 pogostejša in v tej »praštevilski tekmi« skoraj vedno vodijo; prvi obrat nastopi sicer pri ξ = 3, nato pa šele pri ξ = 26.861. Vendar je Littlewood leta 1914 pokazal, da se predznak za funkcijo: neskončnokrat spremeni. Tako se vodstvo v tekmi izmenjuje nazaj in naprej neskončno mnogokrat. Pojav, da π4,3(ξ) večino časa vodi, je odkril Čebišov leta 1853, in se imenuje pristranost Čebišova ali včasih praštevilska tekma. Izraz praštevilska tekma je skoval Turán. Praštevilska tekma se posploši za druge module in jo veliko raziskujejo. Granville in Martin sta podala temeljito razlago in pregled. Domene funkcije števila praštevil Praštevilski izrek je asimptotičen rezultat. Zaradi tega se ga ne da uporabiti za določitev domene π(ξ). Znane pa so nekatere meje definicijskega območja za π(ξ), kot je na primer Dusartova: Prva neenakost velja za vse ξ ≥ 599, druga pa za vse ξ ≥ 355991. Šibkejša, vendar včasih uporabna meja, je: za ξ ≥ 55. V Dusartovi disertaciji je moč najti malce močnejšo različico takšne neenakosti, ki velja za velike ξ. Dokaz La Vallée Poussina nakazuje naslednje. Za vsak ε > 0 obstaja takšen S, da za vse x > S velja: Približki za n-to praštevilo Kot posledica praštevilskega izreka izhaja asimptotičen izraz za n-to praštevilo, označen kot pn: Boljši približek je: Rosserjev izrek pravi, da je pn večji od n ln n. To je moč izboljšati z naslednjim parom mej: Leva neenakost je Dusartova in velja za n ≥ 2. Podobnost za nerazcepne polinome v končnem obsegu Obstaja podobna oblika praštevilskega izreka, ki opisuje »porazdelitev« nerazcepnih polinomov v končnem obsegu. Ta oblika je na vso moč podobna klasičnemu praštevilskemu izreku. Naj je F = GF(q) končni obseg s številom elementov q, za poljubni q in naj je Nn število nerazcepnih polinomov 1. reda v F, katerega stopnja je enaka n. Išče se takšne polinome s koeficienti izbranimi iz F, ki se jih ne da zapisati kot produkte polinomov manjše stopnje. V tem primeru ti polinomi igrajo vlogo praštevil, saj so vsi polinomi 1. reda sestavljeni iz njihovih produktov. Pokazati je moč, da velja: Če se piše ξ = qn, potem je desna stran enaka: kjer je podobnost bolj vidna. Ker obstaja natanko qn polinomov 1. reda stopnje n (vključno z razcepnimi), se lahko zgoraj zapisano pove še drugače: če se naključno izbere polinom 1. reda stopnje n, potem je verjetnost, da je nerazcepen, enaka približno 1/n. Podobno obliko ima Riemannova domneva: Dokazi v takšnih oblikah so veliko preprostejši od klasičnih. Premisliti je treba po kombinatorični poti. Vsak element stopnje n razširitve F je koren nekega nerazcepnega polinoma, katerega stopnja d deli n. S štetjem teh korenov na dva načina se izkaže, da velja: kjer vsota poteka prek vseh deliteljev d od n. Möbiusov obrat potem vodi do: kjer je μ(k) Möbiusova funkcija. To enačbo je poznal tudi Gauss. Glavni člen se pojavi pri d = n, in ni težko omejiti preostalih členov. Izjava »Riemannove domneve« je odvisna od dejstva, da največji pravi delitelj n ne more biti večji od n/2. Glej tudi abstraktna analitična teorija števil Landauov izrek o praštevilskih idealih Dirichletov praštevilski izrek Erdős-Kacev izrek Sklici Viri Zunanje povezave Razpredelnica praštevil Antona Felkla Praštevilski izrek na PlanetMath How Many Primes Are There? in The Gaps between Primes, Chris Caldwell, Univerza Tennesseeja v Martinu (University of Tennessee at Martin) Preglednice funkcij števil praštevil, Tomás Oliveira e Silva Analitična teorija števil Matematični izreki Praštevila Logaritmi 1896 v znanosti pl:Liczba pierwsza#Twierdzenie o liczbach pierwszych


source: wikipedia

text: Predpóna SI je desetiška predpona, določena z mednarodnim sistemom enot, ki jo lahko pritaknemo osnovnim ali izpeljanim enotam SI. Uporabne so kot okrajšava za izražanje vrednosti, ki so bodisi dosti večje, bodisi dosti manjše od osnovne enote. Primer: enota kilometer je sestavljena iz predpone kilo- in osnovne enote meter. Predpona kilo- pove, da gre za tisočkrat večjo enoto od osnovne. Raba v računalništvu V računalništvu, posebej pri navajanju velikosti pomnilnika, je pogosta raba predpon, osnovanih na potencah števila 2, ne pa 10: K = 210 = 1.024 M = 220 = 1.048.576 G = 230 = 1.073.741.824 T = 240 = 1.099.511.627.776 P = 250 = 1.125.899.906.842.624 Raba tudi znotraj stroke ni dosledna: 10 Mb/s Ethernet v resnici deluje s hitrostjo 10.000.000 bitov na sekundo, ne pa 10.485.760 bit/s. Meroslovje fi:Kansainvälinen yksikköjärjestelmä#Kerrannaisyksiköt


text: Preslikáva množice A v množico B je v matematiki predpis, ki vsakemu elementu množice A priredi ustrezni element množice B. Elemente, ki jih želimo preslikati, imenujemo podatki, praslike ali originali. Iz njih sestavljeno množico imenujemo originalna množica, definicijsko območje preslikave ali domena. Elemente, ki so praslikam prirejeni, imenujemo rezultati ali slike. Iz njih sestavljeno množico imenujemo zaloga vrednosti, zaklad vrednosti ali kodomena. Izraz preslikava se po navadi uporablja kot nadpomenka. Podoben pomen kot preslikava imajo tudi izrazi funkcija, operacija in operator, le da se te besede po navadi uporablja v ožjem smislu: Funkcija v ožjem smislu običajno pomeni preslikavo, ki realnemu številu priredi realno število. Besedo funkcija se včasih uporablja tudi za preslikavo, ki kompleksnemu številu priredi kompleksno število. Funkcija dveh spremenljivk je preslikava, ki paru realnih števil priredi realno število. Podobno je funkcija n spremenljivk preslikava, ki n-terici realnih števil priredi realno število. (Namesto realnih včasih vzamemo tudi kompleksna števila). Izraz operacija uporabljamo za nekatere posebej izbrane osnovne preslikave. Najbolj znane so enočlene in dvočlene operacije, npr.: seštevanje, odštevanje, množenje, deljenje. Izraz operator uporabljamo zlasti za preslikave matematičnih objektov, ki niso števila (vektorjev, funkcij, ipd.). Značilnosti preslikave Preslikava f: A → B je: surjektivna, če ustreza vsakemu elementu iz B vsaj en element iz A, injektivna, če ustreza vsakemu elementu iz B največ en element iz A in bijektivna, če ustreza vsakemu elementu iz B natančno en element iz A. Vsaka preslikava je enolična - poljubnemu elementu x pripada točno samo ena slika. Preslikavam so podobne relacije. Pri relaciji lahko (za razliko od preslikave) elementu x pripada več različnih drugih elementov. Matematika


text: Prijateljski števili sta v matematiki celi števili, katerih vsota njunih pravih deliteljev je križno enaka drugemu številu. Prvi takšen par je 220 in 284. Množica pravih deliteljev števila 220 je {1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110}, njihova vsota pa je enaka 284. Množica pravih deliteljev števila 284 je {1, 2, 4, 71, 142}, katere vsota je enaka 220. Prijateljska števila so bila znana pitagorejcem in ti so jim pripisovali veliko skrivnostnih pomenov in lastnosti. Splošno enačbo za prijateljska števila je okoli leta 850 našel Tabit ibn Kora (826-901): če označimo pn = qn−1 = 3 · 2n−1 − 1, qn = 3 · 2n − 1, rn = 9 · 22n−1 − 1, kjer je n > 1 celo število, pn, qn in rn so praštevila, potem sta (2npnqn, 2nrn) par prijateljskih števil. Število qn se včasih imenuje Tabitovo število, pari prijateljskih števil pa Tabitovi pari. Zaporedje indeksov, ki dajo Tabitova števila {5, 11, 23, 47, 191, 383, 6.143, 786.431, 51.539.607.551, 824.633.720.831, 26.388.279.066.623, 108.086.391.056.891.903, 55.340.232.221.128.654.847, 226.673.591.177.742.970.257.407, 59.421.121.885.698.253.195.157.962.751, ...} je {1, 2, 3, 4, 6, 7, 11, 18, 34, 38, 43, 55, 64, 76, 94...}. Tabitova enačba velja za (n) = 2, 4, 7, kar da tri praštevila (p, q, r) = (5, 11, 71), (23, 47, 1.151), (191, 383, 73.727), in prijateljske pare (220, 284), (17.296, 18.416) in (9.363.584, 9.437.056). Te vrednosti, ki rešijo Tabitovo enačbo so edine znane. Tudi par (6.232, 6.368) je prijateljski, vendar ga enačba ne najde. Enačbo sta ponovno odkrila de Fermat leta 1636 in Descartes (1596-1650) leta 1638, posplošil pa jo je Euler. Števili (2npm,nqm,n, 2nrm,n) sta prijateljski, če so vsa števila oblike: pm,n = 2m (2n−m + 1) − 1, qm,n = 2n (2n−m + 1) − 1, rm,n = 2n+m (2n−m + 1)2 − 1, praštevila, za poljubno celo število m, za katerega velja 1 ≤ m ≤ n -1. Tudi Eulerjeva enačba ne velja povsem in je zadosten, ne pa tudi potreben pogoj za pare prijateljskih števil. Eulerjeva enačba velja za (n, m) = (2, 1), (4, 3), (7, 6), (8, 1), (40, 29), ... kar da tri praštevila (pm,n, qm,n, rm,n) = (5, 11, 71), (23, 47, 1.151), (191, 383, 73.727), (257, 33.023, 8.520.191), (1.100.048.498.687, 2.252.899.325.313.023, 2.478.298.520.505.800.166.853.312.511), ... in prijateljske pare (220, 284), (17.296, 18.416), (9.363.584, 9.437.056), (2.172.649.216, 2.181.168.896), (2.724.918.040.393.706.557.785.752.240.819.405.848.576, 2.724.918.040.396.184.856.306.258.038.787.235.905.536), ... Prvo omembo prijateljskih števil zasledimo pri tolmačenju Nikomahovega dela Iambliha iz Kalcisa (okoli 250-330) okoli leta 300 in tudi v grškem izrazu arithmoi philos, kar dobesedno pomeni prijazna števila. Prijateljska števila so raziskovali Al Madšriti (umrl 1007), Abu Mansur Tahir al-Baghdadi (980-1037), Descartes (za katerega včasih navajajo, da je odkril Tabitovo enačbo in je našel par (9.463.584, 9.437.056)), C. Rudolphus in drugi. Fermat je leta 1636 v pismu Mersennu zapisal 8. najmanši par (17.296, 18.416). Pred njim so ta par odkrili že Tabit in okoli leta 1300 tudi Farisi in ibn al-Banna, ki je tedaj zapisal: "Števili 17.296 in 18.416 sta prijateljski, eno bogato, drugo revno. Alah je vseveden". 7. najmanjši par (12.285, 14.595) je našel leta 1939 Brown. Leta 1747 je Euler objavil seznam 30 parov prijateljskih števil. Par največjih dveh prijateljskih števil v njegovem seznamu je bil: 1.084.730.902.983 = 35 · 7 2 · 13 · 19 · 53 · 6959, 1.098.689.026.617 = 35 · 7 2 · 19 · 179 · 2087 . Od leta 1747 do leta 1750 je Euler prijateljskim številom namenil tri članke. S svojo novo posplošeno metodo mu je uspelo poiskati kar 66 novih parov prijateljskih števil. Napravil je dve napaki, ki so ju odkrili leta 1909 in 1914. Paganini (rojen 1850) je leta 1866 našel drugi najmanjši par prijateljskih števil (1184, 1210), ki jih Euler leta 1747 kjub svojemu trudu in sistematičnemu iskanju ni odkril. Če je število enako vsoti 'svojih' pravih deliteljev, se imenuje popolno število. Prva štiri taka so 6, 28, 496 in 8128. Danes poznamo preko 7500 parov prijateljskih števil. Ne ve pa se ali obstaja neskončno število parov prijateljskih števil. Glej tudi alikvotno zaporedje Teorija števil


text: Psévdopráštevilo je celo število, ki ima določeno značilnost, vezano na praštevila, samo pa ni praštevilo. Najpomembnejša praštevila izhajajo iz Fermatovega malega izreka in se zato imenujejo Fermatova psevdopraštevila. Izrek pravi, da če je p praštevilo in je a tuje p, potem je ap-1 - 1 deljivo s p. Če število x ni praštevilo, a je tuj x in x deli ax-1 - 1, se x imenuje praštevilo za bazo a. Število x, ki je psevdopraštevilo za vse vrednosti a, katera so x tuja, se imenuje Carmichaelovo število. Najmanjše psevdopraštevilo za bazo 2 je 341. Ni praštevilo, ker je enako 11 · 31, vendar zanj velja Fermatov mali izrek, 2341 = 2 (mod 341). Velika praštevila se uporabljajo na področjih kot je na primer kriptografija z javnim ključem RSA. Običajni algoritem za generiranje praštevil poišče naključna liha števila in preveri, če so praštevila. Preverjanje praštevil pa je počasno. Če ne potrebujemo natančnega testa (sestavljeno število z malo verjetnostjo smatramo za praštevilo), lahko uporabimo hitre algoritme na osnovi Fermatovega malega izreka. Na preprost način, na primer, ugotovimo ali je število x praštevilo z izbiro naključnega števila a in preverimo ali x deli a x - a. Če je odgovor nikalen, potem x ne more biti praštevilo in obratno, imamo lahko x za "verjetno praštevilo", ter tako nadaljujemo s preverjanjem za druge vrednosti a. Izboljšane inačice tega algoritma nam dajo močno verjetna praštevila. Monier in Rabin sta pokazala, da je za izboljšan algoritem za vsak a verjetnost pojavitve napačnega praštevila vsaj 3 od 4. Obstaja neskončno mnogo psevdopraštevil (in celo neskončno mnogo Carmichaelovih števil), vendar so zelo redka. Pod 1000 so samo 3 psevdopraštevila za bazo 2 in pod milijon samo 245. Psevdopraštevila za bazo 2 se imenujejo Pouletova števila ali včasih Sarrusova ševila ali tudi Fermatova števila. . Pouletova števila in Carmichaelova števila (krepko) pod 10000 so: Pouletovo število za katerega za vse njegove delitelje d velja d | 2d - 2 se imenuje super Pouletovo število. Za vsa ta števila velja μ(n) = 1 . Obstaja neštevno mnogo Pouletovih števil, ki niso super-Pouletova števila. Prva najmanjša psevdopraštevila za druge baze a ≤ 200 so: Značilnosti psevdopraštevil Števila 2n-1 ne računamo. Na prvi pogled se zdi, da je za vsa najmanjša psevdopraštevila v katerikoli bazi a μ(n) enaka 0 ali 1, vendar, začudujoče, temu ni tako. Prvih baz a, za katere ima njihovo najmanjše psevdopraštevilo μ(n) = -1, pod 100 je samo pet: To je še en slikovit primer kako je potrebno biti pazljiv z domnevami, ki temeljijo na izkustvenem dokazu v matematiki. Fermatov mali izrek nam za prva števila da: Glej tudi Eulerjevo psevdopraštevilo Eulerjeva praštevila za bazo 2 Euler-Jacobijevo psevdopraštevilo Euler-Jacobijeva psevdopraštevila za bazo 2 Euler-Jacobijeva psevdopraštevila za bazo 3 Fermatovo psevdopraštevilo Fibonaccijevo psevdopraštevilo Frobeniusovo psevdopraštevilo Lucasovo psevdopraštevilo močno Frobeniusovo psevdopraštevilo močno Lucasovo psevdopraštevilo močno psevdopraštevilo močna psevdopraštevila za bazo 2 Perrinovo psevdopraštevilo Somer-Lucasovo psevdopraštevilo zelo močno Lucasovo psevdopraštevilo Praštevila


text: Klavdij Ptolemaj [klávdij ptolemáj] (, ), starogrški ali egipčanski astronom, astrolog, matematik, geograf in fizik, * okoli 85, mogoče Ptolemais Hermia, Tebaida, Egipt, † okoli 170, mogoče Aleksandrija. Življenje in delo O njegovem življenju ne vemo tako rekoč nič. Ugotovljeno je samo to, da je moral v letu 150 delati v Aleksandriji, kjer naj bi bil tudi od 127 do 141. Čeprav so imeli Ptolemaja za člana aleksandrijske grške družbe, podatkov o njegovem rojstvu in izvoru ni. V kasnejši arabskih virih so ga navajali kot Zgornjega Egipčana, kar nakazuje, da je izviral iz južnega Egipta. Kot Hiparh pred njim, je dobro poznal tudi babilonsko astronomijo. Ptolemaj je grško ime. Pojavlja se v grški mitologiji in ima homersko obliko. Med makedonskim višjim slojem je bilo v obdobju Aleksandra Velikega ime pogosto. Mnogi med njimi so bili v Aleksandrovi vojski. Verjetno je malo verjetno, da je Ptolemaj izhajal iz vladarske družine. Ime Klavdij je rimsko in nakazuje, da je bil Ptolemaj rimski državljan. Al Hvarizmi je menil, da je bil Ptolemaj potomec rimskega cesarja Klavdija in da so se zaradi tega njegovi potomci tako imenovali. Astronomija V svoji knjigi Megale mathematike syntaxis tes astronomias (Η Μεγάλη Σύνταξις, Velika razprava, izvirno Μαθηματικἠ Σύνταξις, Matematična razprava) (Velika astronomska zgradba (Velika astronomska sintaksa, Matematična zbirka, Veliki zbornik astronomije)) iz leta 150, v arabskem prevodu el-Haddžadž b. Hetara z imenom Tabir al magesthi (el-Midžisti) iz leta 827, pozneje latinizirano v Almagest (Almages), je v sistematični obliki dal prikaz celotne astronomije do svojega časa, ob koncu aleksandrijske dobe, pri čemer se je opredelil za geocentrični sestav, kar je bilo velikega pomena. Ker delo ni vsebovalo ničesar, kar bi nasprotovalo tedanjemu uveljavljenemu svetovnemu nazoru, je ostalo podlaga za vsakršno astronomsko znanje vse do 17. stoletja. Njegov sestav je temeljil na predpostavki, da se Sonce, planeti in zvezde vrtijo okrog Zemlje kot nepomičnem središču Vesolja. Čeprav je bila zasnovana na napačni predpostavki, se je ta teorija dobro skladala z opazovanji gibanj planetov. Šele s Kopernikovo teorijo iz leta 1500, so njegov sestav zamenjali s heliocentričnim sestavom. V zadnjem času so ugotovili, da Almagest ni mogel biti napisan pred letom 150. Babilonski astronomi so razvili aritmetične postopke za računanje astronomskih pojavov. Grški astronomi so izdelali geometrične modele za računanje nebesnih gibanj. Ptolemaj je trdil, da je razdelal svoj geometrični model iz izbranih astronomskih opazovanj svojih predhodnikov v razponu več kot 800 let, čeprav so astronomi kasneje sumili, da je podatke priredil neodvisno od opazovanj. Ptolemaj je predstavil svoje astronomske modele v priročnih razpredelnicah, s katerimi je bilo moč izračunati lege Sonca, Lune in planetov v prihodnosti ali preteklosti, čas vzhajanja in zahajanja zvezd ter nastop Sončevih in Luninin mrkov. Iz njegovih tabel so se kasneje razvile znane arabske tabele zidži. V delu Vzhajanje nepomičnih zvezd (Phaseis) je navedel parapegmo, zvezdni koledar ali almanah, ki je temeljil na pojavitvah ali izginevanjih zvezd v teku tropskega leta. Ptolemaj je postal navdušen in izključen pristaš epiciklov. Nekateri zgodovinarji znanosti so poskušali zmanjšati njegov ugled, ker skoraj ni vnesel svojih zamisli, ampak je samo naprej razvijal, kar so v prvi črti zapustili Kidinu, Hiparh in drugi kaldejski astronomi. Vendar je tudi to bilo veliko delo. Zapletenost epiciklov, ki so postavljeni drug v drugega in drug iznad drugega je takšna, da so se ljudje s težavo znašli. Za Alfonza X. Modrega, kralja Kastilje, (vladal od 1252 do 1282) so epicikli postali zlovešči. Ta vladar se je zelo zanimal za znanost in je v vsakem pogledu podpiral učenjake - Arabce, Jude in Kristjane, ki so živeli v Španiji. Med proučevanjem Ptolemajeve teorije epiciklov je izjavil: »Če bi me bog pri ustvarjanju sveta vprašal za nasvet, bi bilo mnogo stvari preprosteje ustvarjeno.« S tem sicer ni želel izreči nobenega teoretičnega mišljenja, pa so ga vseeno obsodili zaradi bogohlinja in je izgubil prestol. Pri tem pa je bil svet vseeno ustvarjen preprosteje kot pa so slutili tisti smešni oponašalci antičnega znanja iz njegove okolice. Ptolemaj je razmišljal o vrtenju Zemlje okrog svoje osi, vendar je zamisel vnaprej odbijal, ker bi se pri vrtenju Zemlja zaradi velike centrifugalne sile morala razpasti. Pri tem se ni domislil, da bi prav gotovo morala razpasti tudi tista kristalna krogla zvezd stalnic, ki je hitreje rotirala. Ocenil je astronomsko enoto, povprečno razdaljo Sonca od Zemlje (geocentrično) na 1210 Zemljinih polmerov, kar je z današnjimi enotami 7,7 · 109 m, in je 19-krat premalo. Polmer krogle nepomičnih zvezd pa je bil po njem 20.000-krat večji od Zemljinega. Uporabljal je število, minutno in sekundno razdelitev kotne stopinje. Leta 137 (138) je sestavil zvezdni katalog, ki je vseboval 1028 zvezd, in so dolgo časa mislili, da ga je posnel z navadno ekstrapolacijo od Hiparha. Bil je prepričan, da je označil vse vidne zvezde. V resnici pa je zaznamoval samo večino v Aleksandriji vidnih zvezd z navideznim sijem največ 4m in pa še nekaj šibkejših. Večino zvezd v njegovem katalogu je videl tudi Hiparh. Ptolemaj je uvedel pojem magnitude (oznaka m) in navedel lege zvezd vse do magnitude 6m. Sestavil je točen seznam vseh imen ozvezdij, ki so tedaj obstajala v babilonskih in grških izvorih. Od teh imen jih uporabljamo danes še 48. Popisal je tudi Rimsko cesto in pripravo zvezdnega globusa. O Rimski cesti je zapisal: »Mlečna cesta ni krog, temveč območje, ki je vsepovsod tako belo kot mleko in to ji tudi daje ime. To območje ni povsod enako in niti ne povsod pravilno, temveč se razlikuje tako po širini, odtenku ali barvi, kakor tudi po številu zvezd v svojih delih in v raznolikosti njihovih leg. Poleg tega je na nekaterih delih razdeljena v dve veji, kar zlahka vidimo, če jo opazujemo z malo pozornosti.« Takšne opise je popravil šele Galilei leta 1610. Ptolemaj je opisal odprto kopico M7 kot meglico, ki se njemu v čast imenuje Ptolemajeva kopica. Ptolemaj je odkril nepravilnost v gibanju Lune, evekcijo, ki ima vrednost: 76' sin (2 (1 - l) - m) , kjer sta l srednja longituda Sonca in m srednja anomalija Lune. V Almagestu je zapisal: »Preprostosti pojavov na nebu ne smemo presojati po tem, kar se nam ljudem zdi preprosto, ne glede na to, da na svetu pojem 'preprost' sploh ni enoten ... Vzeto s človeškega stališča bi se nam ne mogel noben nebesni pojav zazdeti 'preprost', niti večno enako vsakodnevno gibanje; kajti prav to v neskončnost enako vrtenje je pri nas ljudeh ... preprosto nemogoče.« Njegov model in računske postopke so prevzeli in prilagodili v arabskem svetu in Indiji, saj so bili zadovoljivo točni za uporabo v astronomiji, astrologiji, merjenju časa, izdelavi koledarjev in navigaciji. Geografija V delu Zemljepisno navodilo (Geografike hyfegesis), je ocenil velikost Zemlje, opisal njeno površje in označil veliko mest po zemljepisni širini in dolžini. Tudi to delo je zbirka tistega kar je bilo v tistem času znanega o svetovni geografiji v Rimskem imperiju. Ptolemaj se je zanašal na zgodnejšega geografa Marinosa Tirškega Tirškega in na geografske leksikone o Rimskem in antičnem Perzijskem imperiju. Večina virov, ki se je nanašala na zunanja področja Rimskega imperija, pa je bila nezanesljiva. Prvi del Navodila govori o podatkih in postopkih, ki jih je uporabljal. Kakor pri modelu Osončja v Almagestu je postavil tudi tukaj vse v veliko sliko. Podobno kot Marinos je označil vsa zemljepisna področja, ki jih je poznal, z zemljepisnima koordinatama, ter določil mrežo napeto okrog zemeljske oble. Širina se je merila enako kot danes od ekvatorja, vendar jo je Ptolemaj raje izražal kot dolžino najdaljšega dne namesto kotne stopinje (dolžino dneva ob poletnem Sončevem obratu narašča od 12 ur do 24 ur, ko se premikamo z ekvatorja na polarni krog. V knjigah 2 do 7 je uporabljal stopinje, in je postavil ničti poldnevnik (dolžina 0°) na najbolj zahodni celinski del, ki ga je poznal, na Blagoslovljene otoke (μακαρων νησοι). Otoki so bili morda Zelenortski otoki in ne Kanarski otoki, kot so dolgo časa mislili. Otočje je na zemljevidu označeno s šestimi točkami in napisom »FORTUNATA«. Navedel in določil je tudi način izdelave zemljevidov tako celotnega naseljenega sveta (oikoumenè) kot tudi Rimskih provinc. V drugem delu Navodila je za zemljevide podal potreben topografski seznam in napise. Njegov naseljeni svet se je raztezal od dolžine 180 stopinj od Blagoslovljenih otokov v Atlantskem oceanu do sredine Kitajske in približno od širine 80 stopinj od Shetlandskih otokov (Tule, Θούλη) do anti-Meroeja na vzhodni obali Afrike. Dobro se je zavedal da je poznal le četrtino zemeljskega površja in da so bila področja južno od Kitajske podana napačno. Tudi Tihega oceana ni poznal. Zemljevidi iz ohranjenih rokopisov Ptolemajevega Navodila izvirajo iz okoli leta 1300. Besedilo je malo pred tem ponovno odkril bizantinski učenjak Planud. Zgleda da imajo topografske tabele v knjigah 2-7 več virov. Besedilo so večkrat dodajali tudi stoletja kasneje. Tako so podatki v različnih delih Navodila verjetno iz različnih obdobij. Zemljevide so na podlagi znanstvenih načel izdelovali že od časa Eratostena. Ptolemaj je izboljšal projekcije. Znano je, da je bil zemljevid sveta, izdelan po Navodilu, v rimskih časih na razstavi v mestu Autun v Franciji. V 15. stoletju so začeli tiskati Ptolemajevo Navodilo z zemljevidi v litografijah. Prva takšna izdaja je izšla leta 1477 v Bologni, takoj nato pa ji je leta 1478 sledila izdaja iz Rima. Izdaja, tiskana leta 1482 v Ulmu, ki je vsebovala zemljevide v lesorezih, je bila prva severno od Alp. V primerjavi s sodobnimi, so zemljevidi izgledali popačeno, ker so bili Ptolemajevi podatki netočni. En razlog za to je, da je bila Ptolemajeva ocena za velikost Zemlje premajhna. Eratostenova ocena je bila 700 stadijev za stopinjo na velikem krogu, Ptolemajeva pa je bila 500 stadijev. Zelo verjetno je, da je šlo za enaka stadija, ker je Ptolemaj močno prilagodil dolžinske stopinje glede na starejše merilo. Če sta oba uporabljala atiški stadij približno 185 m, je bila starejša ocena 1/6 prevelika, Ptolemajeva pa 1/6 premajhna. Razlika, ki so jo pojasnili nedavno, izhaja iz preprostih metod za merjenje velikosti Zemlje, saj so zaradi loma svetlobni žarkov v zraku za 1/6 Zemljine ukrivljenosti dale prevelike ali premajhne rezultate za količnik 5/6. Ker je Ptolemaj izpeljal več svojih pomembnih širin iz grobih vrednosti dolžine najdaljšega dne, so v povprečju napačne za stopinjo, 2 stopinji pri Bizanc in 4 pri Kartagini. Sposobni staroveški astronomi so sicer poznali njihove širine kvečjemu na minuto točno. Ptolemajeva krajevna širina je imela napako 14'. Strinjal se je (Navodilo 1.4), da je najboljši način za določanje dolžin hkratno opazovanje Luninih mrkov, vendar ni bil v stiku z drugimi učenjaki, in tako je imel le 500 let stare podatke za mrk v Arbeli. Pri pretvorbi 700 stadijev na stopinjo na 500 sta Ptolemaj ali Marinos ustrezno razširila dolžinske razlike med mesti, kar je prvi uvidel P. Gosselin leta 1790. S tem so kraji na vzhodu in zahodu raztegnili stopinjsko, ne pa tudi po razdaljah. Točne dolžine so ostale problem vse do izuma pomorskega kronometra ob koncu 18. stoletja. Izvirni topografski seznam ni moč rekonstruirati. Dolge tabele z numeričnimi vrednostmi so se prenesle preko kopij, ki so vsebovale mnogo pisarskih napak. Dodajali in izboljševali so tudi topografske podatke. Nekateri njegovi zemljevidi naj bi prikazovali dele »novega sveta«. Morda kažejo dele Nove Anglije in Kanade. Nekateri so na njih videli tudi Antarktiko in Južno Ameriko, napačno postavljeni ob Kitajski. To je podobno kot pri zagonetnih zemljevidih Pirija Reisa. Geometrija in matematika Ptolemaj je naprej razvil Menelajeva dela na področju sferne geometrije. V Almagestu je podal tabele tetiv lokov s korakom 1/2°, od 0° do 180°, kar je točno na 1/3600 enote. Pojasnil je tudi svojo metodo za konstrukcijo takšnih tabel lokov in v slogu knjige je nanizal mnogo primerov, kako jih uporabimo pri iskanju neznanih količin trikotnikov iz znanih. V svojih tabelah tetiv v krogu je zapisal, da je v krogu s polmerom 60 tetiva s središčnim kotom 1°, dolga približno: (1, 2, 50)[60] = 1 / 60 + 2 / 602 + 50 / 606 = 377 / 21600 = 0,0174537. Okoli leta 150 je izračunal vrednost števila π v 60. sestavu in dobil: π = (3, 8, 30)[60] = 3 / 60 + 8 / 602 + 30 / 606 = 3 + 2 / (3·5) + 1 / (23 · 3 · 5) = 377 / 120 = 13 · 29/(23 · 3 · 5) = [3;7,17] = 3,14166666667 . Če je aproksimiral obseg zgornjega kroga z obsegom pravilnega mnogokotnika s številom stranic n = 360 = 23 · 32 · 5, je dobil enak približek: π = (3, 8, 30)[60] = ... = 3 + 1 / (2 · 5) + 1 / (23 · 3) = 377 / 120 . Uporabljal je tudi Arhimedovo zgornjo vrednost π = 22/7 in 355/113, ki ji do tega časa ne vemo izvora. V knjigi so enačbe za sinus in kosinus vsote in razlike dveh kotov, kakor tudi začetki sferne trigonometrije. Izreki so izraženi v geometrijski obliki. Našo današnjo trigonometrično pisavo je vpeljal šele Euler. Ptolemaj je našel, kar sedaj imenujemo Menelajev izrek za reševanje sfernih trikotnikov. Za nekaj stoletij je bila njegova trigonometrija osnova vsakega astronoma. Mogoče ob istem času so indijski astronomi razvili trigonometrični sestav, ki je temeljil na funkciji sinus, ne pa na lokih kot pri Grkih. Ta funkcija sinusa, nasprotno današnji, ni bila razmerje, ampak enostavno dolžina stranice, nasprotne kotu v pravokotnem trikotniku s stalno hipotenuzo. Uporabljali so različne vrednosti za hipotenuzo. V 8. stoletju so arabski astronomi prevzeli obe metodi, grško in indijsko, vendar so, kakor je videti, raje uporabljali indijsko. Sinus je pri njih ustrezal polovici tetive dvojnega loka, Ptolemaj pa je uporabljal še celo tetivo. Znan je Ptolemajev izrek, ki povezuje diagonali in stranice tetivnega štirikotnika: v vsakem tetivnem štirikotniku je produkt diagonal enak vsoti produktov nasprotnih stranic: Uporabljamo ga v trigonometriji. Če je tetivni štirikotnik pravokotnik, velja Pitagorov izrek. V knjigi je tudi njegov izrek o pravokotniku, ki ga včrtamo krogu. V splošnejši obliki velja Ptolemajeva neenakost: Enakost velja le, kadar je štirikotnik tetivni, kadar vsa njegova oglišča ležijo na eni krožnici. Ptolemaj je poskušal dokazati tudi 5. Evklidov izrek o vzporednicah kar mu zaradi narave izreka ni uspelo. Astrologija Močno je verjel v astrologijo. Od leta 139 do 161 je napisal astrološko delo Štiri knjige (Tetrabiblos) in ker je kot učenjak užival velik ugled, so jo vzeli resno. Nekateri krogi še danes pripisujejo trajnost njegove slave predvsem zaradi njegove usmerjenosti k astrologiji. To je vsekakor pretirano, ker njegovo glavno delo govori samo zase. Glasba Ptolemaj je napisal tudi vplivno delo Harmonije o teoriji glasbe in matematiki o glasbi. Kritiziral je pristope svojih prednikov. Razpravljal je o temeljnih glasbenih intervalih s pomočjo matematičnih razmerij z razliko od Aristoksenovih privržencev in v skladu s Pitagorovimi učenci. Podprl jih je z empiričnimi opazovanji z razliko od teoretičnega pristopa pitagorejcev. V Harmonijah je pisal o tem, kako je moč glasbene note pretvoriti v matematične enačbe in obratno. To imenujejo pitagorejsko uglaševanje, ker ga je prvi odkril Pitagora. Pitagora je na eni strani verjel, da mora matematika glasbe temeljiti na razmerju 3:2, Ptolemaj pa je menil, da mora v splošnem obsegati le tetrakorde in oktave. Predstavil je svojo delitev tetrakordov in oktav, ki jo je izpeljal s pomočjo monokorda. Svojo zanimanje za astronomijo je nakazal tudi v razpravi o glasbi sfer. Fizika Napisal je tudi Optiko, ki se je ohranila v slabem arabskem prevodu in v približno dvanajstih rokopisih latinskega prevoda iz arabščine, ki jih je napisal sicilijski admiral Evgenij iz Palerma okoli leta 1154. V tem delu je Ptolemaj pisal o značilnostih svetlobe, o odboju, lomu in barvi. Delo je pomemben del zgodnje zgodovine optike. Prevodi Ptolemajevih del Almagest se je ohranil v arabskih rokopisih. Zaradi slovesa so ga v latinščino v 12. stoletju prevedli dvakrat, enkrat na Siciliji in v Španiji. Al-Batriq je prevedel njegovo delo Quadri partitum. Herman Koroški je prevedel al-Majritijeve komentarje k Ptolemajevemu delu Planisphaerium in Ptolemajevo delo Kanoni. Planisphaerium obsega obravnavo stereografske projekcije ter širine in dolžine na krogli, kar so grški primeri koordinat. Planud je v latinščino prevedel njegovo delo Zemljepisno navodilo. Priznanja Poimenovanja Po njem se imenujeta dva kraterja: na Luni (Ptolemaj) s koordinatama 9,2° južno; 1,8° zahodno, premerom 153 km in globino 2,4 km, in na Marsu (Ptolemaj). Prav tako se po njem imenuje asteroid 4001 Ptolemaj. Sklici Viri Starogrški astronomi Starogrški astrologi Starogrški matematiki Starogrški geografi Starogrški fiziki Ljudje, po katerih so poimenovali krater na Luni Ljudje, po katerih so poimenovali krater na Marsu Rimljani v 1. stoletju Rimljani v 2. stoletju


text: Racionálno števílo je v matematiki število, ki ga lahko izrazimo kot razmerje ali količnik (kvocient) dveh celih števil. Racionalna števila so predstavljena z ulomki oblike a/b, kjer je b različen od nič. Racionalna števila lahko seštevamo, odštevamo, množimo in delimo s pravili za računanje z ulomki. Vsako racionalno število lahko zapišemo v neskončno mnogo oblikah. Na primer 3 / 6 = 1 / 2 = 2 / 4. Najenostavnejša oblika je, ko a in b nimata skupnega delitelja. Vsako neničelno racionalno število ima natanko eno takšno najpreprostejšo obliko s pozitivnim imenovalcem. Ulomek v najpreprostejši obliki je okrajšani ulomek. Množico racionalnih števil označimo s Q ali . Racionalna števila tvorijo algebrsko strukturo obseg. Med vsemi obsegi se racionalna števila odlikujejo kot najmanjši obseg-- saj vsak obseg vsebuje Q kot podobseg. Glej tudi ulomek diadično racionalno število kvadratno iracionalno število iracionalno število realno število teorija diofantskih približkov Zunanje povezave Gourdon, Xavier; Sebah, Pascal, »Classification of numbers : overview« Hazewinkel, Michiel, urednik (2001), »Rational number«, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4 Weisstein, Eric Wolfgang, Racionalno število na MathWorld Teorija števil Algebrska števila Elementarna matematika Teorija polja Ulomki


text: Reálno števílo je matematični pojem, intuitivno določen kot število, ki ustreza točki na številski premici. Sam izraz »realno število« je retronim, skovan kot odgovor na »imaginarno število«. Realna števila so lahko racionalna ali iracionalna; algebrska ali transcendentna; ter pozitivna, negativna ali enaka nič. Množico realnih števil označimo s črko . Realna števila imajo naslednje značilnosti: Množica realnih števil je neskončna, vendar je realnih števil »več« kot racionalnih ali naravnih števil (množica ima večje kardinalno število). Množica realnih števil ima strukturo obsega: v tej množici lahko izvajamo štiri osnovne računske operacije z običajnimi značilnostmi. Množica realnih števil je urejena. Za vsaki dve različni realni števili a in b lahko rečemo, katero je manjše. Množica realnih števil je gosta v sebi. Med vsakima dvema različnima realnima številoma a in b (a < b) obstaja vsaj še eno realno število c (a < c < b). Ker pa lahko postopek ponovimo, vidimo da med a in b leži neskončno realnih števil. Množica realnih števil je povezana (množica racionalnih števil te značilnosti nima). Realna števila merijo zvezne količine. Načeloma jih lahko izrazimo z neskončnim desetiškim zapisom, ki mu desno od decimalne vejice sledi neskončno zaporedje števk. Običajen zapis ima obliko 324,823211247..., pri čemer tri pike označujejo, da se zaporedje števk nadaljuje, ne glede na to, koliko števk zapišemo. Ni potrebno, da bi števke sledile kakršnemukoli vzorcu ali prepoznavnemu pravilu. Nekatera realna števila imajo tudi končni desetiški zapis, v katerem so od nekega mesta naprej samo še ničle; ta niso enolično zapisljiva, ker je npr. 4,120000... = 4,1199999... Rezultat meritve v fiziki je skoraj vedno približek realnega števila. Nekateri zato zagovarjajo njihov zapis v obliki decimalnega ulomka, ki do neke mere bolje izraža odnos do pravega realnega števila, kot da bi zapisovalec hotel povedati: »Zapisal sem le del števila, ki ga poznam; je neskončno dolgo, in to, da sem se ustavil pri končnem številu števk, odraža le to, da sem odnehal, namesto da bi opravil neskončno vse bolj in bolj izpopolnjenih meritev, s katerimi bi dobil še nadaljnje člene v neskončnem zaporedju števk, kar je edini način, da bi prišel do točnega in ne le približnega končnega rezultata.« Ta pogled na realna števila matematično obravnava intervalska analiza. Realna števila in z njimi povezani matematični pojmi, kot so zaporedja, limite in realne funkcije, so osrednji predmet preučevanja področja matematike, imenovanega realna analiza. Realno število je izračunljivo, če obstaja algoritem, s katerim lahko izračunamo vse njegove števke. Ker je algoritmov števno mnogo, realnih števil pa neštevno mnogo, večina realnih števil ni izračunljivih. Izkaže se, da so izračunljiva skoraj vsa realna števila, s katerimi se srečamo v praksi, na primer racionalna, algebrska in znana transcedentna števila π, e, log(2) itn. Nekateri konstruktivisti priznavajo le obstoj izračunljivih števil na osnovi svojega filozofskega pogleda na matematiko. Z nastopom sodobnih računalnikov pa je teorija izračunljivih števil postala zanimiva tudi v teoretičnem računalništvu. Širša od množice izračunljivih števil, a še vedno števna, je množica določljivih števil (definibilnih števil). To so taka števila, ki jih lahko enolično opišemo z logičnim izrazom, čeprav morda ne znamo izračunati njihovih števk. Digitalni računalniki ne morejo računati neposredno z realnimi števili, ampak lahko v končnem številu korakov izračunajo le končni približek pravega rezultata. Za običajne potrebe zadostujejo približki realnih števil, ki jih predstavimo s podatkovnima tipoma števil s plavajočo vejico ali števil s fiksno vejico. Računalniški algebrski sistemi obravnavajo nekatera realna števila tako, da shranijo njihov simbolni zapis (npr. »1 − sin(pi/7) + sqrt(2)«) namesto decimalnega približka. Obstaja tudi več vrst pravih realnih podatkovnih tipov, s katerimi dejansko predstavimo vsa (izračunljiva) realna števila. Seveda lahko v končnem številu korakov izračunamo le približek tako predstavljenega realnega števila. Matematiki uporabljajo za oznako množice realnih števil oznako R ali . V matematiki se pridevnik »realni« (npr. realna matrika, realni polinom, realna Liejeva algebra) uporablja za označitev dejstva, da je obseg, ki je podlaga tem pojmom, obseg realnih števil. Realnih števil je neskončno mnogo. Vendar pa je realnih števil več kot naravnih, z drugimi besedami je kardinalno število množice realnih števil večje ob števila množice naravnih, v kar se prepričamo s Cantorjevim diagonalnim dokazom. To pomeni, da ne obstaja nobena bijektivna preslikava iz ene množice v drugo. Definicija realnih števil Znani sta dve enakovredni definiciji realnih števil. Tukaj podamo podrobno Cauchyevo definicijo, Dedekindovo pa samo omenimo. Cauchyjevo zaporedje racionalnih števil je zaporedje {xi}, i = 0, 1, 2, ... racionalnih števil, ki ustreza Cauchyjevemu pogoju: za vsako racionalno število ε > 0, obstaja takšno naravno število N, da za vsa naravna števila n, m > N velja |xn - xm | < ε. Cauchyjevi zaporedji {xi} in {yi} sta ekvivalentni, pišemo {xi} ~ {yi}, če je tudi prepleteno zaporedje x0, y0, x1, y1, x2, y2, ... Cauchyjevo. Množica realnih števil, označena z R ali , je množica ekvivalenčnih razredov Cauchyjevih zaporedij glede na ekvivalenčno relacijo ~. Realna števila tvorijo obseg, saj jih lahko seštevamo, odštevamo, množimo in delimo. Realna števila so linearno urejena z relacijo manjši. Zadoščajo še Arhimedovemu aksiomu, ki pravi, da za vsako realno število x obstaja naravno število n, ki je večje od x. Poleg tega realna števila tvorijo polni obseg, ker ima vsako Cauchyjevo zaporedje realnih števil enolično določeno limito. S temi značilnostmi so realna števila natanko določena kot algebrska struktura: vsak polni linearno urejeni obseg, ki zadošča Arhimedovemu aksiomu, je izomorfen realnim številom. Značilnost polnosti je ekvivalentna značilnosti najmanjše zgornje meje, ki pravi, da ima vsaka neprazna navzgor omejena podmnožica realnih števil supremum. Vsako realno število lahko predstavimo z neskončnim decimalnim zaporedjem, ki sestoji iz števk od 0 do 9 in decimalne vejice. Ni res, da ima vsako realno število enolično decimalno predstavitev, saj decimalna zapisa 1,000000... in 0,999999... oba predstavljata isto realno število. Dedekind je definiral realno število kot Dedekindov presek. To je taka neprazna podmnožica racionalnih števil S, za katero velja: če je q element S in je r < q, potem je tudi r element S, za vsak q iz S obstaja tak r v S, da je q < r, obstaja q, ki ni element S. Na primer, Dedekindov presek, ki predstavlja realno število , je množica vseh tistih racionalnih števil q, za katere je q < 0 ali q2 < 2. Teorija števil Realna algebrska geometrija Elementarna matematika


text: Relacija v matematiki in sodobni algebri je odnos (mnogolična preslikava) med elementi množice, na primer dvočlene relacije: enakost = , neenakost ≠ večje od >, manjše od <. Posebni primeri so funkcijski odnosi med spremenljivkami. Namesto x je večje od y se piše bolj splošno x ~ y (včasih tudi x R y). Poleg te pisave se rabi tudi zapise z dvojicami: (x, y) tedaj, če je x ~ y. V tem zapisu so izražene relacije kot delne množice kartezičnega produkta A × B množic A in B. Zgledi relacij so še: dvočlene: = relacija enakosti, ~ ekvivalenčna relacija, ~ relacija ekvipolence in ~ relacija urejenosti. Značilnosti, ki jih lahko imajo relacije, so: refleksivnost (povratnost) simetričnost (vzajemnost) tranzitivnost (prehodnost) Kadar je relacija hkrati refleksivna, simetrična in tranzitivna, se reče, da je ekvivalenčna. Teorija množic


text: Relacija ekvipolence v matematiki je relacija ~ med enako močnima množicama A in B. Ta relacija je tudi ekvivalenčna relacija, saj veljajo za poljubne množice A, B in C lastnosti: A ~ A (Zakon o povratnosti (refleksivnosti). Iz A ~ B sledi B ~ A (Zakon o vzajemnosti (simetričnosti)). Iz A ~ B in B ~ C sledi A ~ C (Zakon o prehodnosti (tranzitivnosti)). Relacije


text: Relacija enakosti v matematiki je relacija, ki jo označena z znakom = (enačaj). Enakost je izpolnjena samo, če je na levi in desni strani enačaja isti element. Posplošitev relacije enakosti je enakovrednost - v tem primeru enačaj velja, če je vrednost na levi in desni strani enaka (npr. če sta na levi in desni strani matematična izraza, ki imata isti rezultat). Nadaljnja posplošitev tega pojma je ekvivalenčna relacija. Relacije Elementarna aritmetika


text: Relacija urejenosti je v matematiki dvočlena relacija ≤ v množici A, če veljata za poljubne elemente a, b in c množice lastnosti: Iz a ≤ b in b ≤ c sledi a ≤ c (tranzitivnost). Iz a ≤ b in b ≤ a sledi a = b (antisimetričnost). Velja a ≤ b ali b ≤ a (stroga sovisnost). Relacija urejenosti je torej po definiciji vsaka relacija, ki je delno urejena in strogo sovisna. Zaradi njene podobnosti z intuitivno urejenostjo realnih števil (po velikosti) ji pravimo tudi relacija linearne urejenosti ali relacija popolne urejenosti. Za končne množice A je Hassejev graf relacije urejenosti kar navpičen. Množici A z relacijo urejenosti ≤ pravimo urejena množica. Zgledi Relacija urejenosti je verjetno najbolj intuitivna od vseh relacij, zato zgledov ni težko najti: katerakoli množica realnih števil je urejena za običajno relacijo ≤ (tj. relacijo »prvo število ni večje od drugega«); množica besed v slovarju je urejena leksikografsko, se pravi po abecedi; množica kompleksnih števil je urejena za relacijo leksikografske urejenosti, definirane kot a + i·b ≤ c +i·d, če velja bodisi a < c, bodisi a = c in b ≤ d. Zanimivo je, da se, za razliko od realnih, kompleksnih števil kljub temu ne da dobro urediti. Viri in opombe Relacije


text: Sestavljeno število je v matematiki naravno število n > 1, ki ni praštevilo. Vsako sestavljeno število ima več različnih pravih deliteljev in hkrati več različnih ali enakih prafaktorjev. Število 1 po definiciji ni ne sestavljeno število in ne praštevilo, in zato nima prafaktorjev. Celo število 14 je na primer sestavljeno, ker ga lahko zapišemo kot produkt 2 · 7. Prva sestavljena števila so : 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 50, ... Tukaj so krepko označena zelo sestavljena števila, katerih množica je podmnožica sestavljenih števil brez števil 1 in 2. Značilnosti sestavljenih števil vsa soda števila večja od 3 so sestavljena. najmanjše sestavljeno število je 4. vsako sestavljeno število lahko zapišemo kot produkt dveh ali več (ne nujno različnih) praštevil (osnovni izrek aritmetike). za vsa sestavljena števila n > 5 velja (glej tudi Wilsonov izrek). razlika dveh zaporednih sestavljenih števil večjih od 4 je enaka 1 ali 2. Vrste sestavljenih števil Razvrstitev glede na prafaktorje Sestavljena števila lahko razvrstimo po štetju prafaktorjev. Sestavljeno število z dvema prafaktorjema, ki sta lahko enaka, je polpraštevilo. Sestavljeno število z natančno tremi različnimi prafaktorji se imenuje klinasto število. Množica prvih deset klinastih števil je: 30 = 2 · 3 · 5; je tudi 11-kotniško glede na mnogokotnost in povezano z praštevilskimi dvojčki, 42 = 2 · 3 · 7; povezano s praštevilskimi dvojčki, 66 = 2 · 3 · 11; je tudi trikotniško, šestkotniško, 23-kotniško in palindromno, 70 = 2 · 5 · 7; je tudi petkotniško in 13-kotniško, 78 = 2 · 3 · 13, 102 = 2 · 3 · 17; povezano s praštevilskimi dvojčki, 105 = 3 · 5 · 7; je tudi 12-kotniško 110 = 2 · 5 · 11, 114 = 2 · 3 · 19, 130 = 2 · 5 · 13; je tudi 23-kotniško. Tudi ta množica je seveda podmnožica sestavljenih števil. Včasih je treba razlikovati med sestavljenimi števili z lihim številom različnih prafaktorjev od sestavljenih števil s sodim številom različnih prafaktorjev. Za zadnje velja: kjer je μ(·) Möbiusova funkcija in x polovica vseh prafaktorjev, za sestavljena števila z lihim številom različnih prafaktorjev pa velja: Za vsa praštevila je vrednost Möbiusove funkcije prav takop enaka -1 in velja še . Za število n z enim ali več ponovljenim prafaktorjem velja . Takšno število ni deljivo brez kvadrata. Razvrstitev glede na delitelje Sestavljena števila lahko razvrstimo glede na število deliteljev. Vsa sestavljena števila imajo vsaj tri delitelje. V primeru kvadratov praštevil so delitelji . Število n, ki ima več deliteljev kot katerikoli x < n, je zelo sestavljeno število (čeprav sta najmanjši takšni števili 1 in 2, ki nista sestavljeni). Teorija števil


text: Nekatere funkcije v matematiki realne ali kompleksne spremenljivke so dovolj pomembne, da si zaslužijo posebno ime. Spodaj je seznam tistih člankov, ki podrobneje opisujejo takšne funkcije. Elementarne funkcije Osnovne funkcije absolutna vrednost: predznak danega števila. konstantna funkcija: vrednost funkcije se ne spreminja, ne glede na argument, če ta obstaja. celi del: največje celo število manjše ali enako od realnega števila. Heavisidova skočna funkcija: enaka 0 za negativne argumente in 1 za pozitivne. Integral Diracove porazdelitve delta. identična funkcija: preslika dani element sama vase. funkcija predznaka (signum): vrne predznak števila, +1 ali -1. unimodalna funkcija: za x<m narašča, za x>m pada, pri x=m ima maksimum. Elementarne algebrske funkcije linearna funkcija: ima v enačbi samo člen z x in prosti člen. kvadratna funkcija: ima v enačbi samo člen z x2, člen z x in prosti člen. polinomske funkcije: nastanejo samo s seštevanjem in množenjem. potenčna funkcija: realna potenca spremenljivke. kvadratni koren: ima za rezultat število, katerega kvadrat je podan. korenska funkcija: ima za rezultat število, katerega n-ta potenca je podana. Elementarne transcendentne funkcije eksponentna funkcija: spremenljivke se nahajajo v eksponentih. logaritemska funkcija: obrati eksponentnih funkcij; uporabljamo jih pri reševanju enačb z eksponenti. trigonometrične funkcije: sinus, kosinus, itd.; uporabljamo jih v geometriji in za opis periodičnih pojavov. krožne funkcije: obrati trigonometričnih funkcij. hiperbolične funkcije: po obliki podobne trigonometričnim funkcijam. Specialne funkcije funkcija Γ: posplošitev funkcije fakulteta. funkcija Ϝ: logaritemski odvod funkcije Γ. funkcija Β, Riemannova funkcija ζ: poseben primer Dirichletovih vrst. Dirichletova funkcija η: sorodna funkcija. Dirichletova funkcija λ Riemannova funkcija ξ Riemann-Sieglova funkcija θ Dirichletova funkcija β Legendrova funkcija χ Lercheva funkcija ζ eliptični integrali: pomembni na mnogih področjih, na primer pri proučevanju elips. eliptične funkcije: obrati eliptičnih integralov; uporabljamo jih pri modeliranju dvojno periodičnih pojavov. hipergeometrične funkcije: mnogovrstna družina potenčnih vrst. Legendrovi polinomi: iz teorije Besslove funkcije: določene z diferencialno enačbo; uporabne v astronomiji in mehaniki. logaritemski integral: integral obratne vrednosti logaritma, pomemben v praštevilskem izreku. Lambertova funkcija W: obrat funkcije f(w) = w ew. funkcija napake: integral pomemben pri normalnih slučajnih spremenljivkah. Funkcije teorije števil (aritmetične funkcije) Aditivne funkcije funkcija Ω(n): število vseh praštevil, ki delijo dano naravno število n, štetih s ponovitvijo. funkcija ω(n): število različnih praštevil, ki delijo dano naravno število n. Multiplikativne funkcije Eulerjeva funkcija φ(n): število vseh tujih pozitivnih celih števil ali relativnih praštevil naravnega števila n manjših od n. Möbiusova funkcija μ(n): povezana s faktorji naravnih števil, ki niso deljiva s kvadratom. Liouvillova funkcija λ(n): vrsta posplošitve Möbiusove funkcije. število deliteljev τ(n): število pozitivnih deliteljev naravnega števila n. vsota deliteljev σ(n): vsota vseh pozitivnih deliteljev naravnega števila n. Nemultiplikativne funkcije particijska funkcija: število urejene predstavitve naravnega števila n kot vsote manjših naravnih števil. Število praštevil π(n): število praštevil manjše ali enako od naravnega števila n. Druge standardne specialne funkcije Carlsonova simetrična forma Clausenova funkcija Dawsonova funkcija Dedekindova funkcija η eksponentni integral Hurwitzeva funkcija ζ nepopolna funkcija Β nepopolna funkcija Γ funkcija λ Druge Ackermannova funkcija: v numerični analizi, rekurzivna funkcija, ki ni primitivno rekurzivna. Diracova funkcija delta: povsod enaka nič razen za x = 0; celotni integral je 1. Ni funkcija temveč porazdelitev. Dirichletova funkcija: nikjer zvezna. Weierstrassova funkcija: zvezna, nikjer odvedljiva. Glej tudi seznam vrst funkcij Funkcije Funkcije in preslikave


text: Seznam slovenskih fizikov vsebujoč vse znane fizičarke in fizike, ki delajo ali so delali kjerkoli kot univerzitetni profesorji oz. docenti fizike, vse doktorirane univerzitetne asistentke in asistente te stroke v Sloveniji, vse fizikalne znanstvene svetnike in svetnice oziroma višje znanstvene sodelavke in sodelavce na Institutu "Jožef Stefan" ter še nekaj drugih znanih ali obetavnih fizičark in fizikov v Sloveniji. A Miroslav Adlešič (1907 – 2002) France Ahlin (1906 – 1977) Anton Ambschel (1746 – 1821) Slavko Amon (1945 –) Leopold Andrée (1879 – 1952) Jasmin Anžiček Tomaž Apih (196? –) Denis Arčon (1968 –) Iztok Arčon (1961 –) Tina Arh Lojze Arko (1940 – 2006) Dušan Avsec (1905 – 1989) Andrej Ažman (1937 – 1980) B Dušan Babič Borut Bajc Drago Bajc (1935 – 2020) Jure Bajc (1968 –) Marin Bajd (1936 – 2014) Saša Bajt (1962 –) Lenart Barbič (1947 –) Davide Batič (1971 –) Marcos Bavdaž (1961 –) Cene Bavec (1946 –) Klemen Bergant (1973 –) (meteorolog) Aleš Berkopec (1968 –) Tina Bilban (1983 –) Leopold Biwald (1731 – ?) Andrej Ludvik Bizjak Robert Blinc (1933 – 2011) Vid Bobnar Klemen Bohinc (1970 –) Janez Bonča (1960 –) Anamarija Borštnik Branko Borštnik (1944 –) Bojan Boštjančič (1962 –) Bojan Božič Marko Bračko Maruša Bradač (1978 –) Zlatko Bradač, častni član DMFA Dušan Brajnik (1940 –) Gvido Bratina (1960 –) Vojko Bratina (1969 –) Vojmir Bratina (1916 – 1997) Silvo Breskvar (1902 – 1969) Milan Brumen (1951 –) Klemen Bučar Matija Iko Burgar (1945 –) C Ivan Cankar (1942 – 2008) Jure Cedilnik Gregor Cevc (1951 –) Pavel Cevc (1941 –) Primož Cevc (1934 –) Vladimir Cindro (1957 –) Leon Cizelj (1964 –) Marjetka Conradi (1975 –) Franc Cvelbar (1932 – 2021) Uroš Cvelbar Mirjam Cvetič (1956 –) Dean Cvetko Bruno Cvikl (1943 –) Č Andrej Čadež (1942 –) Fran Čadež (1882 – 1945) Iztok Čadež (1945 –) Marijan Čadež (1912 – 2009) Matjaž Čadež (1946 –) Vladimir Mišo Čadež (1940 –) Miha Čekada Mojca Čepič (1960 –) Marko Čepin ? Milan Čerček (1946 –) Lavo Čermelj (1889 – 1980) Simon Čopar (1987 –) Martin Čopič (1950 –) Milan Čopič (1925 – 1989) Ljubomir Črepinšek (1936 – 2023) Bibijana Čujec (1926 – 2022) D Nejc Davidović Franci Demšar (1960 –) Jure Demšar (1970 –) Giovanni De Ninno Jure Derganc Andrej Detela (1949 –) Snegulka Detoni (1921 – 2016) Ferdinand Deželak ? Viktor Dimic (1934 –) Bojan Dintinjana (1954 –) Jure Dobnikar Andrej Dobovišek (1979 –) Simon Dolar (1877 – 1966) Sašo Dolenc (1973 –) Sergej Dolenc (1931 – 2020) Janez Dolinšek (1957 –) Fran Dominko (1903 – 1987) Martin Draksler Irena Drevenšek Olenik (1965 –) Luka Drinovec Andrej Duh Janez Dular (1934 – 2017) Andrej Dvornik (1990 –) E Borut Eržen F Dunja Fabjan (1979 –) Svjetlana Fajfer (1954 –) Aleš Fajgelj Aleš Fajmut Janez Ferbar (1939 – 2000) Franc Ferjan (1885 – 1964) (fotograf, izumitelj) Jernej Fesel Kamenik (1980 –) Andrej Filipčič Cene Filipič Matej Forjan (1976 –) Miha Fošnarič G Franci Gabrovšek (1968 –) (krasoslovec) Ludvik Gabrovšek (1910 – 1988) Darja Gajšek Mirjam Galičič/Dular (1967 –) Ivan Gerlič (1947 –) Janez Galzinja (1952 -) Bogdan Glumac Bojan Golli (1950 – 2023) Boštjan Golob (1966 –) Andreja Gomboc (1969 –) Gregor Gomišček (1957 –) Matjaž Gomilšek (1987 –) Tanja Goričanec Andrej Gorišek (1973 –) Peter Gosar (1923 – 2022) Ana Gostinčar Blagotinšek (1964 –) Daša Grabec (1969 –) Igor Grabec (1939 –) Anton Gradišek Peter Gregorčič (1980 –) Gregor Gregorič Ferdinand Grešovnik (1944 –) Aleksander Grm (1972 –) Mladen Gros (1941 –) Vladimir Grubelnik Franc Grum (1922 – 1985) Jerko Gržinčič Primož Gspan (1934 –) Tomaž Gyergyek (1963 – ) H Duncan Haldane (1951 –) (škotsko-slovenski; Nobelova n. 2016) Danica Hanžel Burg (1934 –) Herman A. Haus (1925 – 2003) Fran Ivan Havlíček (1906 - 1971) (češko-slov.-hrvaški) Andrej Hočevar (meteorolog) (1931 –) Marko Hočevar (1972 –) Marjan Hribar (fizik) (1937 –) Rihard Hudej (1977 –) Robert Hudej (1975 –) Matjaž Humar (1983 –) Darin Hvalec (1965 –) I Aleš Iglič (1960 –) J Zvonko Jagličić Darko (Davorin) Jamnik (1925 – 2020) Davorin Jamnik Marija Jamšek Vilfan (1945 – 2009) Helena Janžekovič Jure Japelj Orest Jarh (1958 –) Peter Jeglič (1977 –) Nikola Jelić (1956 –) (bos.-slov.) Ladislav Jenček (1918 – 2000) (biofizik) Igor Jenčič (1958 –) Robert Jeraj Jure Jerman (meteorolog) Simon Jesenko Romana Jordan (1966 –) Boštjan Jug (1968 –) Desan Justin (1938 – 1993) Stanislav Južnič (1955 –) K Lučka Kajfež Bogataj (1957 –) Bojan Kambič (1959 –) Matej Kanduč (1981 –) Gabrijel Kernel (1932 –) Janez Krstnik Kersnik (1783 – 1850) Borut Paul Kerševan Georg Kiauta (1964 –) Gregor Kladnik Rudolf Kladnik (1933 – 1996) Martin Klanjšek (1977 –) Ignacij Klemenčič (1853 – 1901) Ivo Kljenak Tomaž Klinc (1938 –) Ivan Klodič (1828 - 1898) Tilen Knaflič Matjaž Kobal Slavko Kocijančič (1960 –) Andraž Kocjan Alojz Kodre (1944 –) Janez Kokalj Jure Kokalj (1980 –) Tilen Koklič Jože Koller (1944 –) Matej Komelj (1971–) Boštjan Končar (1972 –) Rajko Korbar (1925 – 2013) Samo Korpar Božo Kos (1931 – 2009) Janez Kos Miha Kos (1962 –) Katarina Kosovelj Andrej Košmrlj (1982 –) Nejc Košnik (1982 –) Joahim Košutnik (1714 – 1789) Janez Kovač (1965 –) Damjan Kozak (1924 – 2016) ? Matjaž Koželj (1955 –) Primož Koželj Samo Kralj (1959 –) Veronika Kralj-Iglič (1959 –) Gregor Kramberger (1971 –) Viktor Kraševec Rajko Korbar (1925 – 2013) Tomaž Kranjc (1950 –) Aleksander Kregar (1934 –) Ambrož Kregar Mitja Kregar (1935 – 2023) Rajmund Krivec (1956 –) Josip Križan (1841 – 1921) Peter Križan (1958 –) Marjan Kromar (1959 –) Anton Kuhelj (1902 – 1980) Polona Kumelj Peter Kump (1937 –) Vitodrag Kumperščak (1944 –) Karel Kunc (1879 – 1950) Peter Kunič Vinko Kunstelj (1908 –?) Samo Kupper (1962 –) Valentin Kušar (1873 – 1962) Ivan Kuščer (1918 – 2000) Zdravko Kutnjak (1962 –) Drago Kuzman Franc Kvaternik (1919 – 1981) L Renato Lukač (–) Gojmir Lahajnar (1937 – 2022) Janez K. Lapajne (1937 – 2012) Danilo Lasič (1952 – 2000) Borut B. Lavrenčič (1942 – 1996) Devana Lavrenčič (1929 –) Andraž Legat ? Zala Lenarčič Igor Lengar Matjaž Leskovar (1968 –) Igor Levstek (1931 – 2010) Adrijan Levstik (1939 – 2014) Matjaž Ličer (1978 –) Andrej Likar (1948 –) Andrej Lipej ? Matej Lipoglavšek (1968 –) Marjan Logar (Uroš Lotrič) Črt Lozej Matjaž Lukač (1954 –) Peter Lukan ? Benjamin Lukman (1942 –) (diplomat) Dragan Lukman (1962 – 2021) Metka Luzar Vlachy (1948 – 1996) Janko Lužnik (1948 – 2012) M Marijan Maček Aleksej Majkić Vlado Malačič (1958 –) Stephen Malaker (1922 – ?) (ZDA) Gregor Mali (1971 – 2023) Igor Mandić Norma Mankoč-Borštnik (1945 –) Vital Manohin (1913 – 1970) Marko Marhl (1967 –) Marko Marinček (1963 –) Velibor Marinković ? Rene Markovič (1985 –) Rafael Martinčič Ugo Marzolino Marko Maučec (Borut Mavko 1944 –) Timon Mede Irena Mele Alenka Mertelj Tomaž Mertelj (1965 –) Franci Merzel (1968-) Dragan Mihailović (1958 –) Miodrag V. Mihailović (1922 – 2014) Miha Mihovilović Peter Mikeln (1933 –) Adolf Miklavc (1942 – 2005) Nina Miklavčič (r. Čopič) Blaž Mikuž Marko Mikuž (1959 –) Griša Močnik Dušan Modic (1927 – 2022) Andrej Mohar (1956 –) Aleš Mohorič Ivan Molinaro (1903 – 1988) Anton Moljk (1916 – 1998) Dean Mozetič (1966 –) Miran Mozetič (fizik) Janez Možina (1945 –) Jernej Mravlje Igor Muševič (1954 –) N Mitja Najžer (1935 –) Julij Nardin (1877 – 1959) Vincenc Nemanič (1958 –) Miha Nemevšek Tadej Novak O Seta Oblak (1939 –) Valentin Oblak (1860 – 1909) Tomo Omahna (1963 –) Aleš Omerzu (1968 –) Alenka Orel (1956 –) Boris Orel (1943 –) Matej Orešič (1967 –) Milan Osredkar (1919 – 2003) Radko Osredkar (1945 –) Natan Osterman (1979 –) Krištof Oštir (1969 –) P Jana Padežnik Gomilšek (1961 –) Jože Pahor (1933 – 2017) Sergej Pahor (1930 – 2006) Peter Panjan (1957 –) Bojan Paradiž (1930 – 2012) (meteorolog) Matej Pavšič (1946 –) Egon Pavlica Peter Pehani Primož Pelicon (1966 –) Andrej Petelin Matjaž Perc (1979 –) Mitja Peruš (1969 –) Rok Pestotnik (1972 –) Anton Peterlin (1908 – 1993) Primož Peterlin Tanja Peterlin Neumaier (1945 –) Mihael Peternel (1808 – 1884) Jože Peternelj (1944 – 2021) Ljubo Petkovič Rok Petkovšek Zdravko Petkovšek (1931 – 2018) (meteorolog) Dušan Petrač (1932 – 2023) Lovro Pičman (1929 – 2022) Boris Pihlar (1945 –) Milan Pintar - Mik (1934 – 2003) Raša Pirc (1940 –) Edo Pirkmajer (1932 –) Janez Pirnat (1948 –) Janez Pirš (1945 –) Gorazd Planinšič (1962 –) Mark Pleško (1961 –) Igor Poberaj (1963 –) Savo Poberaj (1929 – 1993) Rudolf Podgornik (1955 –) Ervin Bogomir Podgoršak (1943 –) Boštjan Podobnik Tomaž Podobnik Matjaž Poljšak (1951 – 2005) Dušan Ponikvar Tine Porenta Robert Posel (1967 –) Anton Potočnik (1984 –) Milan Potokar (1940 – 2015) Bogdan Povh (1932 –) Tomaž Požar (1980 –) Matej Praprotnik Andrej Pregelj (1957 –) Matej Pregelj Peter Prelovšek (1947 –) Saša Prelovšek Komelj Saša Prešern (1951 –) ? Rok Prislan Janko Pristov (1929 – 2022) (meteorolog) Dragotin Prosen (1907 – 1984) (geofizik) Marijan Prosen (1937 –) (astronom) Tomaž Prosen (1970 –) Andrej Prošek Albin Pučnik R Jože Rakovec (1946 –) (meteorolog) Anton Ramšak (1959 –) Nives Ramšak (1968 –) Vekoslav Ramšak Danilo Ravnik (1923 – 2016) Jure Ravnik (1973 –) Matjaž Ravnik (1953 – 2009) Miha Ravnik (1981 –) Bruno Ravnikar (1930 – 2023) Nada Razpet (r. Šmon) (1948 –) Jožef Reisner (1875 – 1955) Tomaž Rejec Maja Remškar (1960 –) Robert Repnik (1975 –) Oskar Reya (1900 – 1980) (meteorolog) Marijan Ribarič (1932 – 2022) Vladimir Ribarič (1928 – 2002) (geofizik, seizmolog) Marko Robnik (1954 –) Mitja Rosina (1935 –) Jožef Roškar (meteorolog) Aljoša Rovan (1969 –) Barbara Rovšek Franc Rozman (fizik) (1949 –) Brigita Rožič Stane Rožman (1948 –) Wojciech Rubinowicz (1889 – 1974) Franc Runovc (1949 –) Peter Rupnik (1944 – 1994) Venceslav Rutar (1950 –) (ZDA?) S Oton Sajovic (1907 – 1996) Milan V. Schara (1934 – 2022) (kemik, biofizik) Gregor Schoettl (1732 – 1777) Igor Sega Janez Seliger (1949 –) Uroš Seljak (1966 –) Andrej Semekovič Igor Serša (1966 –) Franc Sever (1953 –) France Sevšek (1951 –) Urban Simončič Hugo Sirk (1881 – 1959) Zlatko Sitar Gregor Skačej (1973 –) Gregor Skok (meteorolog) Tomo Skubic (1930–1996) ? Jure Skvarča (1941 –) Jure Skvarč? Janez Slak (1946 –) Mitja Slavinec (1964 –) Anže Slosar (1977 –) Vito Smolej (1948 –) Borut Smodiš Luka Snoj (fizik) (1981 –) Rastislav Snoj (1957 –) Mihael Fidel Sreš (1885 – 1959) Samo Stanič (1969 –) Aleš Stanovnik (1946 –) Marko Starič (1956 –) Jožef Stefan (1835 – 1893) Janez Stepišnik (1940 –) Špela Stres Janez Strnad (1934 – 2015) Marija Strojnik Scholl (1950 –) Mojca Studen (1969 –) Peter Suhadolc (1950 –) (geofizik, seizmolog) Daniel Svenšek (tudi glasbenik) Saša Svetina (1935 –) Š Lino Šalamon Anton Šantel (1845 – 1920) Andreja Šarlah Božidar Šarler (1957 –) Matic Šavli Marjeta Šentjurc (1940 –) Barbara Šetina Batič Marko Šifrar (1967 –) Simon Širca (1969 –) Miha Škarabot Damijan Škrk Andrej Šmidovnik Karel Šmigoc (1936 –) Žiga Šmit (1954 –) Hinko Šolinc (1941 –) Jure Špiler Janez Štrancar (1973 –) Bojan Štumberger (fizik)? Sašo Šturm ? Ivan Šubic (1856 – 1924) Franc Šumi (1922 – 2004) (geofizik) Zoran Šušterič (1948 –) T Matevž Tadel (1971 –) Bosiljka Tadić (1951 –) Izidor Tasič Radovan Tavzes (1946 –) Iztok Tiselj (1966? –) Uroš Tkalec (1982 –) Marjan Tomšič (1930 –) Bogdan Topič (1967 –) Andrej Trkov Zvonko Trontelj (1937 –) U Lara Ulčakar Simon Ülen Polona Umek? Mitja Uršič Stanko Uršič (1917 – 2000) V Marko Vakselj (1932 – 2017) Marko Valič (1942 –) Nataša Vaupotič (1967 –) Boris Vedlin (1950 – 2015) ? Jurij Vega (1754 – 1802) Jon Vehovar (1999 -) Matjaž Vencelj Peter Vencelj (1939 – 2017) Ivo Verovnik (1950 –) Alenka Vesel Gorazd Vesnaver (1941 –) Lev Vidmar Tim Vidmar Andrej Vilfan Igor Vilfan (1945 – 2009) Andrija Volkanovski Andrej Vrečko Erik Vrenko (1937? –) Tomaž Vrhovec (1959 – 2004) Stanislav Vrtnik Z Gabrijela Zaharijaš Andrej Zajc (1938 – 2021), strokovnjak. za materiale Bojan Zajec Boštjan Zalar (1965 –) Stojan Zalar (1921 – 1990) Žiga Zaplotnik (meteorolog) Danilo Zavrtanik (1953 –) Marko Zavrtanik Matjaž Zemljič Marko Zgonik (1953 –) Aleksander Zidanšek (1965 –) Primož Ziherl (1968 –) Marko Zlokarnik (1931 –) Janez Zorec (1948 –) Andrej Zorko (1977 –) Benjamin Zorko Alexis Zrimec ? Jure Zupan (1943 –) Jure Zupan ml. (1975 –) Anže Zupanc Črtomir Zupančič (1928 – 2018) Ivan Zupančič (1930 – 1999) Erik Zupanič (1978 -) Tomaž Zwitter (1961 –) Ž (Jože Žabkar) Mark Žagar (1969 –)(meteorolog) Nedjeljka Žagar Tomaž Žagar (1972 –) Jure Žalohar Matjaž Žaucer (1945 –) Boštjan Žekš (1940 –) Vida Žigman (1950 –) Rok Žitko (1978 –) Vladimir Žitko (1903 – 1954) Matjaž Žitnik (1965 –) Marko Žnidarič Jakob Žnidaršič (1847 – 1903) Dejan Žontar (1968 –) Slobodan Žumer (1945 –) Bojan Žunkovič (1985 –) Stane Žužek (1937 –) (Argentina) Kazalci strokovne odmevnosti slovenskih fizičark in fizikov h-indeks je uvedel leta 2005 J. E. Hirsch za merjenje znanstvenega učinka poljubnega znanstvenika; ta kazalec je enak številu strokovnih člankov opisane osebe, ki so prejeli vsaj toliko navedkov, kot je vrednost h-indeksa. g-indeks je vpeljal leta 2006 L. Egghe kot izboljšavo Hirschevega kazalca; g-indeks je enak največjemu številu, ki izpolni pogoj, da je bila skupina najpogosteje navajanih člankov od prvega do g-tega navedena skupaj najmanj g*g-krat. hc-indeks ali sodobni ('contemporary') h-index so predlagali A. Sidiropoulos, D. Katsaros in Y. Manolopoulos (glej arXiv:cs.DL/0607066 v1 13 Jul 2006), da bi upoštevali novejše članke bolj kot starejše. V sledeči tabeli je tako upštevan pri določitvi hc-indeksa vsak članek objavljen v letu izračuna 4-krat, članek objavljen n let prej pa le 4/n-krat, itd. 'navedki/leto/avtorja', ali letno število navedkov na avtorja, so enaki seštevku števil vseh navedkov posamičnih člankov deljenih s številom avtorjev posamičnega navedenega članka. 'vsi navedki' podajajo skupno število navedkov nekega avtorja. Za določanje navedenih kazalcev je bil uporabljen 'Publish or Perish' (A.W. Harzing 2007), ki je na voljo pod http://www.harzing.com/pop.htm. Razen kadar to ni bilo mogoče zaradi siceršnje nedoločenosti rezultata, sta bila pri določitvi uporabljena kratica imena in priimek - navadno (in pri mnogocitiranih avtorjih vedno) brez slovanskih črk, kar je praviloma povišalo kazalčne vrednosti. Miroslav Adlešič je bil tako preverjan kot "M Adlesic", itd. Pred dokončnim izračunom kazalcev v dneh 1. in 2. junija 2015 so bile očitno napačne atribucije ali navedki z nedvomno napačno letnico objave (n.p. v 17. stoletju) ročno izključeni. Kot kažejo med drugim veliki standardni odmiki poprečnih kazalcev v spodnji tabeli, direktna primerjava odmevnosti udeležencev na velikih projektih za raziskavo delcev ali astrofizike z zelo številnimi avtorji posamičnih člankov ter drugih znanstvenic in znanstvenikov, ki praviloma objavljajo v mnogo manjših skupinah ali celo sami, ni smiselna. (5851 krat navedni članek V. Cindra ima, na primer, 2932 avtorjev, od katerih jih upošteva Google Scholar pri izračunu števila letnih navedkov na avtorja le 21. Najveckrat citirani članek najuglednejšega navedenega astrofizika ima 499 avtorjev, od katerih jih Google Scholar pri izračunu upošteva le 66, itd.) Zato je median bolj zgovoren od poprečja in navaja tabela kazalce tudi ločeno za raziskovalce delcev ('jedraše') ali astrofizike in druge fizičarke ali fizike. Primerjava navedenih rezultatov z neposrednim izpisom podatkovnih baz Google Scholar, WoS in Scopus kaže razlike, ki so večje od 3x pri posameznih kazalcih. Zato jih velja jemati z rezervo. Izpis 'Publish or Perish' se ne ujema z bazami, ki jih navaja kot vire, med tem ko se neposredne baze med seboj bolje ujemajo. Visoko uvrščene osebe so zaznamovane z zvezdico. Vse te so bile 8. junija vnovič preverjene z novo verzijo 'Publish or Perish' hkrati upoštevajoč različne mogoče verzije pisanja priimka (n.p.: "S. Žumer" OR "S Zumer"). P = profesor, D = docent; '>' za 'Področjem' pomeni, da so vse navedene vrednosti le spodnje meje, ker Google Scholar, ki ga uporablja 'Publish or Perish', ni mogel prebrati vseh navedkov ali pa je P&P program javil napako. Glej tudi seznam fizikov seznam slovenskih matematikov Fizik


text: Seznam slovenskih matematikov. A Matija Ahacel (1779–1845) France Ahlin (1905–1977) Anton Ambschel (1749–1821) Leopold Andrée (1879–1952) Lilijana Arih (1942–) France Avsec (1930–2008) B Dušan Babič Robert Bakula (1963 -) Iztok Banič Vladimir Batagelj (1948–) Davide Batič (1971–) Andrej Bauer (1971–) Mojca Bavdaž Katja Berčič Bogomil Bergant (?—2014) Janez Bernik (1967–) Lojze Bernik (1908–1985)? France Bezjak (1909–1990) (Aleksander Bilimovič 1876–1963) Ivan Bizjak (1956-2023) Andrej Blejec (1953–) Marijan Blejec (1919–1992) Marko Boben (1973–) Ludvik Bogataj (1949–2009) Marija Bogataj (1950–) Zvonimir Bohte (1935–) Drago Bokal (1978–) Barbara Boldin (1976-) Velimir Bole (1947–) Mirjam Bon Klanjšček (1954–) Janko Bračič (1963–) Janko Branc (1902–1963) Franc Breckerfeld (1681–1744) Matevž Bren (1954–) Silvo Breskvar (1902–1969) Boštjan Brešar (1968–) France Brešar (1935–2013) Matej Brešar (1963–) Zdene Breška (1947–) Kristijan Breznik Andrej Brodnik (1961–) Branko Butinar (1947–) C Kristjan Cafuta Anton Cedilnik (1949–) Josip Celestina (1845–1912) Matija Cencelj (1958–) Andrej Cergol (1595–1645) Gregor Cigler (1967–) Jaka Cimprič (1970–) Mara Cotič (1954–) Karin Cvetko Vah (1975–) Č Marijan Čadež (1912–2009) Franc Čemažar (1899–1978) Drago Čepar (1946–) Miran Černe (1963–) Vladimir Černe (1904–1961) Jože Andrej Čibej (1953–2011) Jernej Čopič (1975–) Venčeslav Čopič (1893–1980) Matevž Črepnjak Anton Črnivec (1856–1936) D France Dacar Srečko Devjak (1947–) Mirko Dobovišek (1951–) Jožica Dolenšek (1935/6–) Vilko Domajnko Lovro Dretnik (1977–) Barbara Drinovec Drnovšek Roman Drnovšek (1966–) Andreja Drobnič Vidic (1969–) Đ Igor Đukanović E Daniel Eremita F Darjo Felda (1956–) Liljana Ferbar (1969–) Franc Ferjan (1885-1964) Karla Ferjančič Anuška Ferligoj (1947–) Gašper Fijavž Janez Dizma Florjančič de Grienfeld (1691–1757) Franc Forstnerič (1958–) Ajda Fošner Maja Fošner Johannes Frischauf (1837–1924) G Boštjan Gabrovšek Ludvik Gabrovšek (1910–1988) Franc Galič (1929–1982) Josip Globevnik (1945–) Darja Govekar Leban (1964–) Janez Grad (1933–) Gregor Grasselli Jože Grasselli (1924–2016) Janko Gravner (1960–) Aleksander Grm (1972–) Jan Grošelj Rudolf Grošelj - "Fiči" (1880–1942) Teodor Grudinski H Izidor Hafner (1949–) Peter Hafner (1958–2009) Melita Hajdinjak (1977–) Ferdinand Avguštin Hallerstein (1703–1774) Herman Koroški (~1100–1160~) Milan Hladnik (1950–) Franc Hočevar (1853–1919) Bojan Hvala (1961–) Dušan Hvalica (1950–) I Stane Indihar (1941–2009) Barbara Ikica Vesna Iršič (1993–) Martin Ivanetič? J Gašper Jaklič (1975–) Jurij Jaklič (1967–) Primož Jakopin (1949–) Rajko Jamnik (1924–1983) Dušanka Janežič (1952–) Barbara Japelj Pavešić Blaž Jelenc (1981–) Jožef Jenko (1776–1858) Fran Jeran (1881–1954) Marjan Jerman (1972–2020) Jože Jesenko (1943–) Urban Jezernik Borut Jurčič Zlobec (1947?-) Aleksandar Jurišić (1963–) Martin Juvan (1966–) K Milan Kac (1924–2010) Marko Kandić (1983–) Tadej Kanduč Jure Kališnik (1980–) Ivan Kavkler (1946–) Iztok Kavkler (1975–) Bogdan Kejžar Aleksander Kelenc Sandi Klavžar (1962–) Igor Klep Tomaž Klinc (1938–) Ivan Klodič (1828–1898) Andrej Kmet (1943–) Žiga Knap (1937–) Marjeta Knez (r. Krajnc) Damjan Kobal (1962–) Andrej Kobav (1593–1654) Damjana Kokol Bukovšek Matej Kolar (1969–) Dejan Kolarič (1978–) Martina Koman (1931–2021) Matjaž Konvalinka Tomaž Kosem (1980–) Irena Kosi Ulbl (1968–) Andrej Košir Pavla Košir (1914–2015) Tomaž Košir (1962–) Katarina Košmelj (1955–) Joahim Košutnik (1714–1789) István Kovács (1969–) Gregor Kovačič (1960–) Matjaž Kovše (1980–) Jernej Kozak (1946–) Marjeta Krajnc = Marjeta Knez Edvard Kramar (1947–2021) Marjeta Kramar Fijavž (1973–) Marko Kranjc (1952–) Josip Križan (1841–1921) France Križanič (1928–2002) Bogdan Krušič (1933–2017) Igor Kukavica (1964–) Klemen Kukec (?–1541) Teo Kukuljan (1994–) Karel Kunc (1879–1950) Ivan Kuščer (1918–2000) Klavdija Kutnar (1980–) Bojan Kuzma Boštjan Kuzman Uroš Kuzman (1984–) L Ivo Lah (1896–1979) Leon Lampret ? Vito Lampret (1943–) Boris Lavrič (1955–) Luka Lavtar (1846–1915) Franc Lebedinec Peter Legiša (1950–) Lado Lenart (1941-) Jože Lep (1928–2013) Gorazd Lešnjak (1953–) Bojan Logar (1948–1999) Matija Lokar (1962–) Dragan Lukman Anton Leskovšek Žiga Lukšič Lara Lusa M Bojan Magajna (1955–) Jože Malešič (1945–) Aleksander Malnič (1954–) Vida Manfreda Kolar (1969–) Tilen Marc Leila Marek Crnjac (1957–) Franc Marinček (1933–1990) Janez Markelj (Olga Markič) Janko Marovt Dorjan Marušič (1957–) Dragan Marušič (1953–) Nadja Marušič Miklavž Mastinšek (1951–) Blaž Matek (1852–1910) Josip Mazi (1872–1935) Vinko Medic Matej Mencinger Ivan Meško (1933–2019) Igor Meze France Mihelič (1952–) Milan Miklavčič (195#?–) (ZDA) Štefko Miklavič (1971–) Martin Milanič Pavlina Mizori Oblak (1937–) Uroš Milutinović (1954–) Štefan Močilnik (1928–1996) Franc Močnik (1814–1892) Franc Močnik (1907–2000) Dušan Modic (1927–2022) Bojan Mohar (1956–) Ivan Molinaro (1903–1988) Primož Moravec (1975–) Veno Mramor Než(k)a Mramor Kosta (1954–) Janez Mrčun (1966–) Marija Munda (1932–2012) N Ignac(ij) (Nace) Nadrah (1942–) (računalnikar) Josip Nejedli (1821–1919) Jože Nemec (1943–) Andrej Novak (1933–2019) Tina Novak (1977–) O Polona Oblak (1978–) Janez Jakob Olben (1643–1725) Matjaž Omladič (1950–) Vesna Omladič (1950–) Bojan Orel (1953–) Marko Orel (1980–) P Dušan Pagon (1955–) Marko Pahor? Petar Pavešić (1964–) Gregor Pavlič (1954–) Anton Pavšič/Pausi (1886–1982) Zvonko Perat (1945–) Matjaž Perc (1979–) fizik Mihael Perman (1961–) Bernard Pergerl (1440–1501) Andrej Perlah (1490–1551) (Bogomil Pertot 1933-2021) Matjaž Pertot (1959–) Peter Petek (1944–) Tatjana Petek (1963–) Iztok Peterin (1974–) Anton Peterlin (1866–1912) Anja Petković Komel Matej Petković Marko Petkovšek (1955–2023) Jože Petrišič (1947–2023) Lovro (Lovrenc) Pičman (1929–2022) Marija Pihlar? Vladimir Pilgram 1907-1978 Karol Pirjevec (1883–1961) Tomaž Pisanski (1949–) Valentin Pivk (1933–2021) Josip Plemelj (1873–1967) Bor Plestenjak (1970–) Lucijan Plevnik Gregor Podlogar (1994–) Aleksander Potočnik (1956–) Primož Potočnik (1971–) Janez Povh (1973–) Jože Povšič (1907–1985) Jasna Prezelj Perman (1970–) Andreja Prijatelj (1953–2002) Niko Prijatelj (1922–2003) Ivan Pucelj (1930–) R Martin Raič (1973–) Janez Rakovec (1949–2008) Marko Razpet (1949–) Dušan Repovš (1954–) Marijan Ribarič (1932–2022) Boštjan Rode (1942–) Valerij Romanovskij (1961–) Brigita Rožič Marina Rugelj (1964–) Darja Rupnik Poklukar (1969–) Viljem Rupnik (1933–) Nina Ružić Gorenjec S Oton Sajovic (1907–1996) Pavle Saksida (1960–) Franc Savnik (1940–) Janez Krstnik Schoettl (1724–1777) Aleksander Simonič (1961–) Marjan Skrbinšek (1913–1974) Tomislav Skubic (1930–1996) Jure Slak Marko Slapar (1973–) Tomaž Slivnik (1948–) Jaka Smrekar Marko Sodnig (1729–1800) Andrej Srakar (1975–) Mihael Fidel Sreš (1885–1959) Janez Stare (1952–) Jožef Stefan (1835–1893) Boštjan Steiner (1680–1748) Rok Strašek (1972–) Sašo Strle (1966–) Anton Suhadolc (1935–) Irena Swanson Š Anton Šantel (1845–1920) Gregor Šega (1974–) Peter Šemrl (1962–) Klemen Šivic Marjeta Škapin-Rugelj (1961–) Majda Šket Andrej P. Škraba Riste Škrekovski Majda Škrinar Majdič Helena Šmigoc Simon Špacapan Primož Šparl (1978–) Janez Šparovec (1960) Ivan Štalec (1910–1994) Janez Šter Jože Štublar (1955-) T Ivo Tejkal (1880–1941) Aleksandra Tepeh Karl Tirnberger (1731–1780) Gabrijel Tomšič (1937–2016) Karel Toš (1687–1737) Cveto Trampuž (1935–1999) Zvonko Trontelj (1937–) Nada Trunk Širca (1957–) ? Aleksej Turnšek (1964–) U Jože Ulčar (1915–1967) Aljaž Ule (1973–) (Andrej Ule) Lan Umek Terezija Uran (1935–) Stanko Uršič (1917–2000) Janez Usenik (1949–) V Alojzij Vadnal (1910–1987) Anton Vakselj (1899–1987) Aleš Vavpetič Jurij Vega (1754–1802) Vasja Vehovar (1958–) Ciril Velkovrh (1935–2017) Dejan Velušček Marija Vencelj (1941–2020) (častna članica DMFA) Ivan Verčko Aleksander Vesel (1965–) Ivan Vidav (1918–2015) Matija Vidmar Vito Vitrih Jože Vogrinc (1925–1987) Aljoša Volčič (1943–) Jurij Volčič Marina Volk Vinko Vovk (1919–1970) Jože Vrabec (1940–) Damjan Vrenčur (1980–) Joso Vukman (1946–) Z Marta Zabret Eva Zabric (1959–) Egon Zakrajšek (1941–2002) Helena Zakrajšek Borut Zalar Aleš Založnik (1954–) Boris Zgrablić Milan Ziegler (1905–1984) Blaž Zmazek (1968–) Josip Zohil (1947 - 2023) Nika Zorc Darko Zupanc (1960–) Rihard Zupančič (1878–1949) Ž Albin Žabkar (1901–1962) Jože Žabkar (1900–1985) Emil Žagar Amalija Žakelj Matjaž Željko Janez Žerovnik (1958–) Janez Žibert Petra Žigert Pleteršek Tomislav Žitko (? - 2023) Vladimir Žitko (1903–1954) Arjana Žitnik (r. Rosina) (1966) Matjaž Žunko Glej tudi seznam matematikov seznam slovenskih astronomov seznam slovenskih fizikov seznam slovenskih statistikov Matematiki


text: Splôšna teoríja rêlativnosti in ~ relatívnosti (ali skrajšano STR, angleško GR) je fizikalna teorija gravitacije, ki jo je leta 1915 razvil in leta 1916 objavil Albert Einstein. Splošna teorija relativnosti razlaga gravitacijsko silo kot posledico ukrivljenosti prostora-časa. Gre za posplošitev Einsteinove posebne teorije relativnosti, ki pravi, da je v inercialnih (nepospešenih) opazovalnih sistemih hitrost svetlobe konstantna, torej invariantna količina. Iz tega izhaja spoznanje, da fizikalne zakonitosti ne morejo biti odvisne od lege in gibanja opazovalca, spreminjajo se le enačbe, ki te zakonitosti opisujejo. Prek Lorentzevih transformacij, ki opisujejo navidezno skrčitev dolžin in podaljšanje časa, se tako vidi, da sta merjeni čas in dolžina odvisna od hitrosti gibanja opazovalca, torej sta relativna: Splošna teorija relativnosti je razširitev posebne teorije relativnosti na inercialne sisteme, torej sisteme, v katerih je prisotna gravitacijska sila. Glavni doprinos je v načinu gledanja na prostor in čas. V Newtonovem času so namreč gledali na prostor, kot na posodo v kateri se nahajajo snovna telesa (materialni objekti) in na čas kot na neko gonilo, s pomočjo katerega lahko razločimo dva dogodka. Splošna teorija relativnosti prostor in čas poenoti v prostor-čas, saj prostor brez časa ne more obstajati in obratno. V splošni teoriji relativnosti je lastni čas funkcija Newtonovega absolutnega časa. V tem nekateri vidijo pomanjkljivost teorije. Nekaj od teh pomanjkljivosti naj bi odpravila kronotopologija. V Schwarzschildovi metriki: kjer je: – lastni čas (čas, ki ga meri ura gibajoča se vzdolž enake svetovnice s preskusnim delcem), – hitrost svetlobe v vakuumu, – časovna koordinata (ki jo meri mirujoča ura na neskončni razdalji od masivnega telesa), – radialna koordinata (merjena kot obseg, deljen z 2π, sfere v središču okrog masivnega telesa), – kolatituda (kot od severa v radianih), – longituda (tudi v radianih), – Schwarzschildov polmer masivnega telesa kot skalirni faktor, ima na primer časovna spremenljivka vrednosti kot . Einsteinova splošna teorija relativnosti ima tudi globlji filozofski in življenjski pomen. Iste stvari namreč izgledajo drugače, če se jih gleda z drugačnega gledišča. Vse je relativno. Zunanje povezave Sašo Dolenc, Prostor-čas in gravitacija: uvod v splošno teorijo relativnosti, Kvarkadabra: http://www.kvarkadabra.net/?/vesolje/teksti/relativnost_splosna.htm Splošna področja fizike Osnovni fizikalni koncepti 1915 v znanosti 1916 v znanosti Albert Einstein