source: wikipedia

text: Diofántske enáčbe so v matematiki enačbe oblike f = 0, kjer je f polinom s celoštevilskimi koeficienti ene ali več spremenljivk, ki zavzamejo celoštevilske vrednosti. Imenujejo se po Diofantu, ki je raziskoval enačbe s spremenljivkami z racionalnimi vrednostmi. Zgledi diofantskih enačb so: Linearne diofantske enačbe Linearna diofantska enačba ene spremenljivke ima obliko: kjer st a in c dani celi števili. Enačba je rešljiva, če in samo če je c mnogokratnik a, c/a pa je edina rešitev. Zgled: Rešitev je: Najpreprostejša linearna diofantska enačba dveh spremenljivk ima obliko: Če je c največji skupni delitelj števil a in b, potem je to Bézoutova enakost. To pomeni, da ima enačba neskončno mnogo rešitev. Te se lahko najdejo z razširjenim Evklidovim algoritmom. Enačba ima neskončno mnogo rešitev tudi, če je c mnogokratnik največjega skupnega deljitelja števil a in b. Če c ni mnogokratnik največjega skupnega delitelja števil a in b, potem linearna diofantska enačba nima rešitev. Če je (x, y) osnovna rešitev, imajo druge rešitve obliko (x − vk, y + uk), kjer je k poljubno celo število, u in v pa sta količnika a in b z največjim skupnim deliteljem a in b. Zgled: Največji skupni delitelj števil 12 in 42 je in 30 je njegov mnogokratnik. u = 12/6 = 2, v = 42/6 = 7, osnovna rešitev pa je (x, y) = (−1, 1). Druge rešitve so (−1 − 7k, 1 + 2k): Glej tudi diofantska množica Enačbe Teorija števil


text: Nevtrálni elemènt ali identitéta I (označen tudi z E ( - enota), e ali 1, pa tudi 0) grupe, oziroma pripadajoče matematične strukture S je v matematiki poseben edini element, za katerega za vsak a S velja: e a = a e = a. Nevtralni element imenujemo tudi enotski element. Na levi strani predpisa je levi nevtralni element in na desni desni nevtralni element. Če je e hkrati levi in desni nevtralni element, ga imenujemo tudi dvostrani nevtralni element. Zgledi Če (S, *) označuje množico realnih števil, zaprto za seštevanje, je število 0 nevtralni element. Če (S, *) označuje množico realnih števil, zaprto za množenje, je nevtralni element število 1. Če (S, *) označuje množico n ×, n kvadratnih matrik, zaprto za seštevanje, je nevtralni element ničta matrika. Če (S, *) označuje množico n ×, n kvadratnih matrik, zaprto za množenje, je nevtralni element enotska matrika. Če (S, *) označuje množico vseh funkcij množice M same vase, zaprto za operacijo sestave (kompozicije), je nevtralni element identična funkcija. Če ima množica S samo dva elementa, e in f in je v njej določena aritmetična operacija z e * e = f * e = e in f * f = e * f = f, sta e in f leva nevtralna elementa. Desnega ali dvostranega nevtralnega elementa v takšni množici potem ni. Kot kaže zadnji zgled lahko ima par (S, *) več levih nevtralnih elementov. V bistvu je lahko vsak element levi nevtralni element. Podobno lahko obstoje tudi desni nevtralni elementi. Če obstajajo hkrati levi in desni nevtralni elementi, so enaki in tako obstajajo samo dvostrani nevtralni elementi. To lahko vidimo, če označimo l kot levi nevtralni element in r kot desni nevtralni element. Potem je l = l * r = r. Če je e nevtralni element para (S, *) in a * b = e, potem element a imenujemo levi obratni element (inverz) elementa b in b desni obratni element elementa a. Če je element x hkrati levi in desni obratni element y, ga imenujemo dvostrani obratni element, oziroma enostavno obratni element y. Podobno kakor pri nevtralni elementih ima lahko element y več levih obratnih elementov in tudi več levih in hkrati več desnih obratnih elementov. Če pa je operacija asociativna, so obratni elementi enaki, če obstajajo za element y hrati levi in desni obratni elementi. Glej tudi aditivni inverz dvočlena operacija involucija (grupe) monoid komutativni monoid polgrupa trivialna grupa kvazigrupa Abstraktna algebra Algebra


text: Eratosten (tudi Eratostenes) [eratósten/eratóstenes] : Eratosthénes), starogrški matematik, geograf, astronom, pesnik in atlet (verjetno) kaldejskega porekla, * 276 pr. n. št., Kirena (sedaj Šahat, Libija), † 194 pr. n. št., Aleksandrija, Ptolemajski Egipt. Življenje in delo Eratosten je študiral v Aleksandriji in nekaj let v Atenah. Leta 236 pr. n. št. je na predlog Ptolemaja III. Evergetesa I. postal vodja in drugi knjižničar aleksandrijske knjižnice. Kot vodja knjižnice je nasledil Apolonija Rodoškega. Prispeval je veliko na področju matematike in znanosti. Bil je dober Arhimedov prijatelj. Okoli leta 255 pr. n. št. je iznašel armilarno sfero, ki so jo uporabljali do 17. stoletja. Meritev Zemljinega obsega Verjel je da je Zemlja krogla in okoli leta 240 pr. n. št. je po Kleomedu izračunal njen premer s pomočjo trigonometrije in podatkov o kotih Sonca ob poldnevu v Aleksandriji in na otoku Elefantina pri Sieni (sedaj Asuan, Egipt). Razdaljo med mestoma so poznali iz potovanj karavan in je znašala 5000 stadijev. Račun temelji na privzetku, da je Sonce tako daleč stran in lahko njegove žarke smatramo za vzporedne. Eratosten je vedel, da bo Sonce ob poldnevu na poletni obrat v Sieni v nadglavišču. Vedel je tudi, da bo ob istem trenutku navidezna lega Sonca v njegovem rojstnem kraju Aleksandriji 7o 12' južno od nadglavišča. Vedel je, da je ta kot približno 2 % (1/50) celega kroga in tako sklepal, da mora biti razdalja med Aleksandrijo in Sieno 2 % celotnega premera Zemlje. Njegova vrednost je bila 250.000 stadijev. Točne vrednosti stadija ne poznamo več. Srednji atiški stadij je meril približno 185 m (185,4 m). V splošnem pa verjamemo, da je Eratostenova ocena med 39.690 km in 45.007 km (46.620 km). Točna vrednost je 40.075 km in okrog polov 40.008 km. Če je uporabljal egipčanski stadij, ki je meril okoli 157,5 m, je bila njegova meritev 39.690 km z napako manjšo od 1 %. Eratostenova vrednost je presenetljiva, saj je treba upoštevati več faktorjev, ki so lahko vplivali na njegovo meritev. Siene niso točno na rakovem povratniku, niso točno južno od Aleksandrije in Sonce je disk na končni razdalji od Zemlje, ne pa točkovni svetlobni vir v neskončni razdalji. Tudi meritve na kopnem v tedanjih časih niso bile zanesljive. Eratostenovo vrednost je uporabil Posidonij okoli 150 let kasneje in tudi sam na podoben način izmeril obseg. Meritev razdalje od Zemlje do Sonca in Lune Evzebij Cezarejski je v svojem delu Priprava na evangelij (: Proparaskein Eiaggelike) vključil kratko poglavje o razdaljah nebesnih teles (knjiga XV, poglavje 53). Preprosto je navedel, da je Eratosten našel razdaljo od Zemlje do Sonca, sedaj imenovano astronomska enota, kot »σταδίων μυριάδας τετρακοσίας και οκτωκισμυρίας« (kar dobesedno pomeni »stadijev miriad 400 in 80.000«) in razdaljo do Lune 780.000 stadijev. Izraz za razdaljo do Sonca so prevedli kot 4.080.000 stadijev (1903) ali kot 804.000.000 stadijev (1974-1991). Pomen je odvisen od tega ali je Evzebij mislil 400 miriad in 80.000 ali pa »400 in 80.000« miriad. To Evzebijevo pričevanje so v delu Dictionary of Scientific Biography ovrgli. Res je, da je razdalja do Lune, ki jo je Evzebij navedel, premajhna (približno 144.000 km). Eratosten je bil sposoben določiti bolj točno vrednost, ker je poznal velikost Zemlje, in pred njim je Aristarh določil razmerje med Lunino oddaljenostjo od Zemlje in Zemljinim polmerom kot: Današnja vrednost je 60,27. Če je Evzebijeva navedba izmišljena, je težko pojasniti, da z vrednostjo grškega oziroma olimpijskega stadija 185 m vrednost 804 milijonov stadijev da razdaljo do Sonca 149 milijonov km, z napako manjšo od -1 %. Poleg tega je Aristarhova meritev razmerja med oddaljenostma Sonca in Lune od Zemlje 24-krat premajhna (19). Vprašanje je ali je Eratosten to razmerje sam ponovno meril, ker sta razmerji iz navedenih vrednosti 1,96 in 386,94, pravo pa: Drugi dosežki Okoli leta 200 pr. n. št. je Eratosten privzel besedo geografija, ki pomeni opis Zemlje. Eratosten je poskušal uvesti leto s 365,25 dneva, česar pa nazadnjaška egipčanska družba ni sprejela. Bil je utemeljitelj znanstvene kronologije. Prizadeval si je šteti datume glavnih književnih in političnih dogodkov od časa zavojevanja Troje. Eratostenovi prispevki so še: Eratostenovo sito za iskanje praštevil. merjenje naklona ekliptike z napako kota 7'. izdelava kataloga zvezd s 675 nepomičnimi zvezdami, ki se ni ohranil. zemljevid toka Nila do Kartuma. zemljevid tedanjega znanega sveta od Britanskega otočja do Cejlona in od Kaspijskega jezera do Etiopije. Samo Hiparh, Strabon in Klavdij Ptolemaj so uspeli izdelati še boljše zemljevide. Eratosten je bil znan pod imenom β, ker je bil drugi v sredozemskem svetu na mnogih področjih. Znan je bil tudi po svojem nadutem značaju. Nikoli se ni poročil. Leta 195 pr. n. št. je oslepel, leto pozneje pa je stradal do smrti. Priznanja Poimenovanja Po njem se imenuje udarni krater Eratosten (Eratosthenes) na Luni s koordinatama 14,5° severno; 11,3° zahodno, premerom 58 km in globino 3,6 km, ter asteroid glavnega asteroidnega pasu 3251 Eratosten (3251 Eratosthenes). Sklici Zunanje povezave Skupina Astronomy On-Line o merjenjih oblike Zemlje Starogrški astronomi Starogrški geografi Starogrški matematiki Starogrški pesniki Ljudje, po katerih so poimenovali krater na Luni Grki v 3. stoletju pr. n. št.


text: Jezikoslôvje ali lingvístika je znanstvena veda o naravnem človeškem jeziku. Teoretično jezikoslovje Teoretično jezikoslovje je del jezikoslovja, ki izdeluje teorije jezikoslovnega znanja. V sinhronem vidiku (opisno jezikoslovje) je cilj teoretičnega jezikoslovja opisati znanje o jeziku, ki je domnevno vrojeno in torej skupno vsem ljudem, ne glede na konkreten jezik, ki ga pridobijo v otroštvu. V diahronem vidiku (zgodovinsko jezikoslovje) je cilj razložiti spreminjanje jezika skozi čas. Glavna področja: glasoslovje (fonetika in fonologija) gramatika (slovnica) besedotvorje oblikoslovje (morfologija : fonemi in grafemi) skladnja (sintaksa) besedoslovje/leksikologija; besedje / leksika besediloslovje, tekstologija in stilistika pragmatika (raboslovje) pomenoslovje (semantika) semiotika (semiologija) etimologija (izvor in pomen besed) zgodovinsko jezikoslovje primerajalno in kontrastivno jezikoslovje (komparativna in kontrastivna lingvistika /lingvistična komparativistika) korpusno jezikoslovje komunikologija in semantika/semiologija? Uporabno jezikoslovje Uporabno jezikoslovje je del jezikoslovja, ki uporablja jezikoslovne teorije za reševanje problemov v resničnem svetu. Interdisciplinarno se povezuje s številnimi drugimi vedami iz humanistike, družboslovja, naravoslovja in tehnike. Pri tem je računalniško jezikoslovje mogoče uporabiti na vseh ostalih področjih jezikoslovja, tudi teoretičnih. Glavna področja: filologija? pravorečje in pravopisje (normativno jezikoslovje) učenje tujih jezikov prevajalstvo sociolingvistika lingvistična antropologija etnolingvistika psiholingvistika nevrolingvistika forenzično jezikoslovje računalniško jezikoslovje. frazeologija/terminologija ali (strokovno) izrazoslovje slovaropisje (leksikografija) stilistika in retorika (govorništvo) deskriptivna ali strukturalna lingvistika. Primerjalno jezikoslovje Primerjalno jezikoslovje je znanstvena disciplina jezikoslovja, katere področje je ugotavljanje razmerij med jeziki v neki jezikovni družini (katere obstoj je lahko hipotetičen) in raziskovanje njihove skupne ter individualne zgodovine z apliciranjem metod diahronega (in deloma sinhronega) raziskovanja jezikovnih pojavov. Primerjalno jezikoslovje je samosvoja znanstvena disciplina, lahko pa funkcionira kot pomožna zgodovinska, arheološka, filološka ipd. veda. Indoevropsko primerjalno jezikoslovje je torej področje primerjalnega jezikoslovja, ki se osredotoča le na jezike indoevropske družine. Ukvarja se z različnimi tematikami kot so: razvoj posameznih (indoevropskih) jezikov, diahroni in sinhroni odnosi med posameznimi jeziki, etimologija, historična fonetika, rekonstrukcija indoevropskega jezika in druge. Primerjalno jezikoslovje se poleg besed v prvi vrsti ukvarja tudi s tvorbo povedi in z govorom jezikov. Vsaka beseda je presek vseh jezikovnih ravnin, to so: naglasoslovna, glasovna, besedotvorna, oblikotvorna, sintaktična (skladenjska) in leksikalna. Glavna naloga in funkcija te vede je, da vsako besedo jezika, in vsako strukturo jezika, ki je tisto, kar besede med seboj povezuje in tvori izjave s polnim pomenom, umesti vedno v diahrono os, ne samo horizontalno. Če gledamo jezik samo sinhrono pozabimo na najpomembnejšo komponento jezika, ki je njegov zgodovinski razvoj. Jezik ni statičen, se vedno s časom spreminja, zato le sinhrono preučevanje jezika ni zadostno. Jezikoslovje v Sloveniji V Sloveniji je jezikoslovje mogoče študirati na Oddelku za primerjalno in splošno jezikoslovje Filozofske fakultete v Ljubljani. Na voljo sta dva dvopredmetna študijska programa: Primerjalno jezikoslovje indoevropskih jezikov in Splošno jezikoslovje. Raziskave nekaterih področij jezikoslovja potekajo tudi na drugih univerzitetnih oddelkih in na drugih raziskovalnih ustanovah, zlasti na Inštitutu za slovenski jezik Frana Ramovša ZRC SAZU. Primerjalno slovansko jezikoslovje je mogoče študirati na Oddelku za slavistiko Filozofske fakultete v Ljubljani. Z jezikovnimi tehnologijami se ukvarjata podjetji Amebis in Alpineon. Glej tudi seznam jezikoslovnih vsebin seznam jezikoslovcev seznam slovenskih jezikoslovcev Literatura Chomsky, N. (prevod: Kante, B.) (1989). Znanje jezika: O naravi, izviru in rabi jezika. Ljubljana: Mladinska knjiga. Crystal, D. (1987). The Cambridge Encyclopedia of Language. Cambridge: Cambridge University Press. Golden, M. (2001). O jeziku in jezikoslovju. Ljubljana: Filozofska fakulteta, Oddelek za primerjalno in splošno jezikoslovje. Mitkov, R. (ed.) (2003). The Oxford Handbook of Computational Linguistics. Oxford: Oxford University Press. Saussure, F. (prevod: Turk, B.) (1997). Predavanja iz splošnega jezikoslovja. Ljubljana: ISH Fakulteta za podiplomski humanistični študij. Zunanje povezave Linguist List Oddelek za primerjalno in splošno jezikoslovje Filozofske fakultete v Ljubljani Lingvistični krožek Filozofske fakultete v Ljubljani Literarna veda


text: Glasoslôvje ima naslednje pomene: fonetika, jezikoslovna veda, ki s stališča izgovarjave ali slušnosti preučuje zvočno stran jezika od glasu in naglasa do besedila; fonologija, jezikoslovna veda, ki proučuje pomenskorazločevalno vlogo pojavov zvočne strani jezika; oboje hkrati.


text: Glásnik ali foném (: phōnēma – glas, z glasom izrečen) je najmanjša glasovna enota, s katero govorci določenega jezika razlikujejo pomen besed. S spremembo enega glasnika v besedi vedno dobimo drugo besedo ali pa postane beseda nerazpoznavna. Istemu glasniku lahko v posameznem jeziku ustreza več glasov, ki jih imenujemo soglasniška premena (alofoni). Izraz prihaja iz stukturalne fonologije. Glasnike velikokrat zapisujemo z eno črko, kar pa sploh ni nujno. V slovenščini na primer glasniku [v] ustrezajo štirje glasovi: običajni zobnoustnični /ʋ/, dvoglasniški [u̯] ter zveneča (zvočniška) različica /w/ in nezveneča različica /ʍ/. V strukturalni fonologiji glasnike pišemo med poševnicami /k/, glasove pa v oglatih oklepajih [k]. Slovenščina ima 29 glasnikov, od tega 8 samoglasnikov in 21 soglasnikov: Slovenski samoglasniki: /a/, /e/, //, //, /i/, /o/, //, /u/ Ozki e in o označujemo z malima tiskanima črkama, široki e z , široki o z , znak pa je uporabljen za polglasnik. Po številu soglasnikov je slovenščina uvrščena med srednje bogate jezike. Inuktituščina, jezik Eskimov, pozna le tri samoglasnike, /i/, /a/ in /u/, v nekaterih inačicah pa celo samo dva (nepreverjeno). Najbogatejši s samoglasniki je jezik !xu~, ki ga govorijo prebivalci puščave Kalahari iz ljudstva Kojsancev. Jezik !xu~ ima 24 samoglasnikov in kar 117 soglasnikov, od tega 48 klikov. Slovenski soglasniki: /p/, /t/, /k/, /b/, /d/, /g/, /f/, /h/, /v/, /j/, /l/, /r/, /c/, /č/, /dž/, /s/, /š/, /z/, /ž/, /m/, /n/. Angleščina ima 40 glasnikov. Polinezijščina ima 11 glasnikov, kojsanščina pa 140. Generativno glasoslovje zavrača uporabo glasnika in sorodnega pojma premeno, saj se oba nanašata na površinske posplošitve, ki so nujno nepravilne. Tako recimo velja, da so zaporedja d + ž v slovenščini mogoča kot enoten glas [dž], pa vendar ta ni mogoč v besedi deževati, kakor bi pričakovali (*dževati ni mogoča oblika). Glej tudi grafem dvoglasnik (diftong) glasoslovje slovenskega knjižnega jezika mednarodna glasoslovna abeceda Zunanje povezave Jezikoslovje


text: Odesa (ukrajinsko Одеса, ) je tretje največje mesto Ukrajine in najpomembnejše pristanišče v državi. Leži na jugozahodu Ukrajine ob Črnem morju. Je upravno središče Odeškega rajona in Odeške oblasti ter gospodarsko in kulturno središče. V času Sovjetske zveze je bilo pomorsko oporišče Sovjetske vojne mornarice, od ruske aneksije Sevastopola pa je glavna baza ukrajinske mornarice. Zgodovinsko središče Odese je od januarja 2023 na seznamu Unescove svetovne dediščine. Zgodovina Območje današnje Odese je naseljeno vsaj od antike; pod mestnim središčem so odkrili ostanke starogrškega naselja iz 5.–3. stoletja pr. n. št. V srednjem veku so območju zaporedoma vladala turška nomadska ljudstva (Pečenegi, Kumani), Zlata horda, Krimski kanat, Velika litovska kneževina in Osmansko cesarstvo. V Odeškem zalivu je v tem času obstajala utrdba in pristanišče Hadžibej (ukrajinsko tudi Kocjubijiv), ki se v virih prvič omenja leta 1415. Sredi 18. stoletja so Osmani v Hadžibeju zgradili novo trdnjavo Jeni Dunja (»Novi svet«). Po rusko-turški vojni je leta 1792 z iașijskim sporazumom ozemlje vzhodno od Dnestra pripadlo Ruskemu imperiju. Leta 1794 je bilo na ukaz carice Katarine Velike blizu Jeni Dunje ustanovljeno pristaniško mesto; poimenovali so ga Odesa po tamkajšnji domnevni antični grški koloniji Odessos (druga kolonija s tem imenom je obstajala na mestu današnje Varne). Tekom 19. stoletja se je Odesa razvila v živahno mesto in postala drugo najprometnejše rusko pristanišče za Sankt Peterburgom. Odesa je bila eno od žarišč zatrte ruske revolucije leta 1905. Po oktobrski revoluciji leta 1917 sta se v Odesi odvila dva upora boljševikov; v drugem uporu januarja 1918 so prevzeli nadzor nad mestom in razglasili Odeško sovjetsko republiko, ki jo je po manj kot dveh mesecih porazila združena nemška in avstro-ogrska vojska, bojujoča se na strani Ukrajinske ljudske republike. Po koncu prve svetovne vojne in porazu omenjenih držav so mesto zasedle antantne sile, ki so v ruski državljanski vojni podpirale rusko belo gardo. Dokončno je Odesa pristala v rokah sovjetske rdeče armade leta 1920. Leta 1925 so v Odesi posneli znani nemi film Križarka Potemkin. Avgusta 1941 so Odeso napadle romunske in nemške sile. 5. avgusta se je začelo obleganje, ki je trajalo 73 dni, nakar je mesto padlo pod romunsko upravo in postalo prestolnica medvojne Transnistrije. V mesecih, ki so sledili okupaciji, je bilo ubitih ali izgnanih okoli 90 000 ljudi, večinoma Judov. Sovjetske sile so mesto znova osvojile aprila 1944. Po vojni je bila Odesa eno od štirih mest, ki so prva prejela naziv mesto heroj. V drugi polovici 20. stoletja se je Odesa še naprej razvijala kot industrijsko mesto in tudi kot turistično središče. Ohranila je posebno mešanico ukrajinske, ruske in judovske kulture in pretežno rusko govoreče okolje z edinstvenim narečjem. Od osamosvojitve leta 1991 je Odesa del Ukrajine. V času proruskih protestov na jugovzhodu Ukrajine leta 2014 so med vladnimi podporniki in proruskimi protestniki izbruhnili spopadi. V streljanju sta umrla dva vladna podpornika in štirje proruski protestniki. Nato so vladni podporniki poskušali odstraniti tabor proruskih protestnikov na trgu Kulikove polje, po čemer so se proruski protestniki zatekli v bližnjo Hišo sindikatov. Vladni podporniki so napadli Hišo sindikatov, ki se je vnela. V napadu je umrlo 48 ljudi, od tega 46 proruskih protestnikov. Čeprav so nekaj domnevnih storilcev kazensko preganjali, sojenja še ni bilo. Leta 2015 je Mednarodna svetovalna komisija Sveta Evrope ugotovila, da je bila neodvisnost preiskave omejena z dokazi, ki kažejo na vpletenost policije in da ukrajinske oblasti niso uspele celovito preiskati dogodkov. Ruska invazija na Ukrajino leta 2022 je blokirala odeško pristanišče. Mesto doslej ni bilo prizorišče večjih spopadov, je pa utrpelo več zračnih napadov na vojaško in civilno infrastrukturo. Prvega avgusta 2022 je iz pristanišča izplula prva ladja z žitom od začetka invazije. Prebivalstvo Zgodovino Odese so sooblikovali različni narodi. Velik del zgodovine so mesto večinsko naseljevali Rusi in Judje. Ob popisu leta 1897 je bilo 49 % prebivalcev ruskih, 31 % judovskih in 9 % maloruskih (ukrajinskih). V sredini 20. stoletja so med prebivalci prevladali Ukrajinci. Ob popisu leta 2001 so večino prebivalstva predstavljali Ukrajinci (61,6 %) Druga največja skupnost so bili Rusi (29,0 %), znatno manjšino pa so predstavljali še Bolgari (1,3 %), Judje (1,2 %), Moldavci/Romuni (0,7 %) in Belorusi (0,5 %). Jezik V Odesi se govorita ukrajinščina in ruščina. Do ruske invazije leta 2022 je večina prebivalstva govorila rusko; na popisu leta 2001 je ruščino kot materni jezik navedlo 64,8 % ljudi, ukrajinščino pa 30,4 %. Leta 2015 je ameriški Mednarodni republikanski inštitut poročal, da 93 % Odešanov doma govori rusko in 21 % ukrajinsko (15 % se je opredelilo za oba jezika). Po ruskem napadu in posledični krepitvi ukrajinskega patriotizma so številni opustili ruščino, povečalo pa se je povpraševanje po tečajih ukrajinščine. Prijateljska mesta Odesa je pobratena z naslednjimi mesti: Aleksandrija, Egipt (1968) Baltimore, ZDA (1975) Carigrad, Turčija (1997) Čingdao, Kitajska (1993) Erevan, Armenija (1995) Genova, Italija (1972) Haifa, Izrael (1992) Jokohama, Japonska (1968) Kalkuta, Indija (1986) Kišinjev, Moldavija (1994) Konstanca, Romunija (1991) Liverpool, Združeno kraljestvo (1957) Lodž, Poljska (1993) Marseille, Francija (1973) Nikozija, Ciper (1996) Oulu, Finska (1957) Pirej, Grčija (1993) Regensburg, Nemčija (1990) Split, Hrvaška (1964) Szeged, Madžarska (1977) Vancouver, Kanada (1944) Varna, Bolgarija (1958) Sklici Glej tudi seznam mest v Ukrajini Zunanje povezave Uradno spletno mesto Mesta v Ukrajini Mesta, po katerih so poimenovali asteroid Odeška oblast Pristanišča v Ukrajini


text: Ernst Karl Abbe, nemški fizik, optik, poslovnež, in družbeni reformator, * 23. januar 1840, Eisenach, vojvodina Veliko Saška-Weimar-Eisenach, † 14. januar 1905, Jena, Nemčija. Abbe je skupaj s Friedrichom Ottom Schottom in Carlom Zeissom postavil temelje sodobne optike. Z znanstvenim delom v optiki je omogočil razcvet Zeissove tovarne v Jeni iz majhne Zeissove delavnice iz leta 1846. Razvil, konstruiral in dodelal je mnoge optične inštrumente: refraktometer, daljnogled s prizmami, objektive za fotokamero, daljinomer, itd. Bil je solastnik podjetja Carl Zeiss, znanega nemškega proizvajalca raziskovalnih mikroskopov, teleskopov, planetarijev in drugih optičnih sistemov. Življenje Abbe se je rodil v Eisenachu, v veliki kneževini Sachsen-Weimar-Eisenach, dandanašnji Turingiji. Izhajal je iz skromnih razmer — njegov oče je bil delovodja v tkalnici. Ob podpori očetovega delodajalca je lahko obiskoval srednjo šolo in s precej dobrimi ocenami izpolnil splošne pogoje za vpis na univerzo. Ob koncu srednje šole je bilo že jasno čutiti njegovo nadarjenost za znanost in pa njegovo močno voljo. Tako se je kljub zaostrenim denarnim okoliščinam v družini, njegov oče odločil, da sina podpre pri študiju na univerzah v Jeni (1857—1859) in Göttingenu (1859—1861). Med svojim časom kot študent, si je z inštrukcijami pomagal izboljšati svoje dohodke. Očetov delodajalec ga je še naprej finančno podpiral. 23. marca 1861 je pridobil naslov doktorja filozofije v Göttingenu. Obranjeni disertaciji sta sledili dve kratki zaposlitvi, v Observatoriju v Göttingenu in pri Physikalischer Verein v Frankfurtu na Majni (tj. pri združenju državljanov, ki se zanimajo za fiziko in kemijo - ustanovil ga je Goethe leta 1824 in še vedno obstaja tudi danes). Dne 8. avgusta 1863 je pridobil na univerzi v Jeni naziv univerzitetnega predavatelja. Leta 1870 je sprejel mesto izrednega profesorja za fiziko in matematiko v Jeni. Leta 1871 je poročil Elso Snell, hčerko matematika in fizika Karla Snella, enega od svojih učiteljev. 1878 je postal predstojnik astronomskih in meteoroloških observatorijev v Jeni. Leta 1889 je postal član Bavarske akademije znanosti in umetnosti. Bil je tudi član Saške akademije znanosti. Leta 1891 so ga oprostili učnih obveznosti na Jenski univerzi. Delo Leta 1866 je postal direktor razvoja v podjetju Optični aparati Zeiss, kjer je 1868 iznašel apokromat, to je mikroskopsko lečo, pri katerih je tako primarna kot tudi sekundarna barvna okvara odstranjena. Razvil je kot prvi refraktometer in ga opisal v knjižici, objavljeni leta 1874. Odkril in opisal je Abbejevo število, to je mero za odvisnost lomnega količnika od valovne dolžine pri prozornih snoveh, in pa Abbejev kriterij, po katerem kotna ločljivost ne more biti manjša od količnika valovne dolžine in premera aperture. Ko je že bil profesor v Jeni, ga je podjetnik Carl Zeiss, v želji, da mu Abbe pomaga izboljšati procese v proizvodnji optičnih inštrumentov, pritegnil k sodelovanju; izdelava teh inštrumentov je dotlej v veliki meri temeljila na poskusih in napakah. Abbeju je v leta dolgih naporih, ki so ga spremljali tudi neuspehi, uspelo razviti teorijo optike v mikroskopih in praktične metode za nadzor kakovosti. Carl Zeiss je tako odtlej bil sposoben izdelovati mikroskope, katerih značilnosti so bile vnaprej predvidene in znane. Carl Zeiss se je leta 1875 odločil, svojemu prijatelju ponuditi solastništvo v podjetju, tako da je odtlej Ernst Abbe kot tihi solastnik velik del svojih sil in zmožnosti posvetil rastočemu podjetju. Abbe je prvi uporabil izraz numerična apertura za sinus polovičnega kota, pomnožen z lomnim količnikom medija med pokrivnim stekelcem in lečo. Po mnenju mnogih je zaslužen za odkritje meje ločljivosti mikroskopa in za leta 1873 objavljeno formulo: Helmholtz je formulo navedelv članku iz leta 1874, s pripombo, da jo je prvi izpeljal Lagrange, ki je bil umrl pred 61 leti. Abbe je spadal v tabor pristašev odprte aperture, argumentiral je, da je ločljivost mikroskopa konec koncev omejena z aperturo uporabljene optike, da pa gre tudi za odvisnost od drugih parametrov, ki jih je poleg aperture treba pri razvoju objektivov upoštevati. Abbe je leta 1874 v članku z naslovom »A Contribution to the Theory of the Microscope and the nature of Microscopic Vision« trdil, da je ločljivost mikroskopa obratno sorazmerna njegovi aperturi, vendar formule za omejitev ločljivosti mikroskopov ni navedel. Čeprav so formulo zgoraj teoretično kot prvi izpeljali drugi, je pošteno reči, da je bil Abbe prvi, ki je do tega zaključka prišel eksperimentalno. Objektivi, ki so bili plod sodelovanja Abbeja in Zeissa, so imeli idealno geometrijo za poti žarkov, tako da je lahko Abbe eksperimentalno potrdil, da apertura, ne pa ukrivljenost ali lega leč, postavlja zgornjo mejo za ločljivost. Abbe je enačbo prvič objavil leta 1882. V tem članku je Abbe navedel, da njegove teoretične in eksperimentalne raziskave potrjujejo gornjo enačbo. Po mnenju Abbejevega sodobnika, H. E. Frippa, ki je članke tako Abbeja kot Helmholtza prevedel v angleščino, so prispevki obeh avtorjev enakovredni. Abbejeve raziskave, katerih cilj so bili visoko kakovostni objektivi, so pripeljale do pomembnih dosežkov, kot sta recimo diagnoza in korekcija optične aberacije, brez katere pri objektivih ni mogoče doseči meje ločljivosti po enačbi zgoraj. Poleg sferne aberacije je Abbe tudi odkril Abbejev sinusni pogoj, ki pravi, da morajo v optičnem sistemu, za katerega želimo z difrakcijo omejeno prenosno funkcijo, žarki imeti konstantno kotno povečavo po celotni porazdelitvi kotov. Abbe je izumil po njem imenovan kondenzor, ki se v mikroskopih uporablja za osvetljevanje vzorca. Med svojim dejavnim sodelovanjem pri Carl Zeissu je tudi uvedel osemurni delavnik, kot spomin in odgovor na 14-urno vsakodnevno garanje svojega očeta. Leta 1891 je ustanovil in finančno omogočil Fundacijo Carl Zeiss za znanstvene raziskave. Priznanja Poimenovanja Po njem se imenuje krater Abbe na Luni in asteroid glavnega pasu 5224 Abbe. Izbrana dela Abbe je bil pionir na področju optike, načrtovanja leč in mikroskopije; za sodobnike je bil avtoriteta. Zapustil nam je številne publikacije s svojimi dognanji, izumi in odkritji. Spodaj je seznam publikacij, katerih avtor je, med njimi se najde tudi veliko povezav do skeniranih strani (Google Knjiga). Glej tudi Abbe-Königova prizma Abbejev diagram Abbejev refraktometer Abbejev sinusni pogoj Abbejeva prizma Abbejevo število Abbejeva napaka Porro-Abbejeva prizma aberacija v optičnih sistemih izračun lastnosti stekla Sklici Viri Nadaljnje branje Zunanje povezave Basic Principles of Refractometers (and Polarimeters) Stran o Ernstu Karlu Abbeju Univerze svetega Andreja Molecular Expressions's biography Abbe Refractometer podjetja Carl Zeiss iz 1904 Carl Zeiss AG - zgodovina Akademsko drevo Ernsta Karla Abbeja na Physics Tree Nemški izumitelji Nemški fiziki Nemški optiki Steklo Mikroskopija Diplomiranci Univerze v Göttingenu Doktorirali na Univerzi v Jeni Nemški akademiki Člani Pruske akademije znanosti Ljudje, po katerih so poimenovali krater na Luni Diplomiranci Univerze v Jeni Predavatelji na Univerzi v Jeni


text: Evklíd ali Evklídes (: Eukleídēs), starogrški matematik, * okoli 365 pr. n. št., Aleksandrija, † 275 pr. n. št. včasih tudi Evklid iz Aleksandrije, za razliko od Evklida iz Megare, grški matematik, ki se ga po pravici lahko imenuje »očeta geometrije«. Deloval je v Aleksandriji med vlado Ptolemaja I. (323–283 pr. n. št.). Njegovi Elementi spadajo med najbolj vplivna dela v zgodovini matematike, delo so uporabljali kot učilo za študij matematike, posebno geometrije, od njegove objave vse tja do poznega 19. in zgodnjega 20. stoletja. V Elementih je Evklid izvedel načela evklidske geometrije iz majhne zbirke aksiomov. Pisal je tudi o perspektivi, stožčastih rezih, sferični geometriji, teoriji števil in strogosti na področju matematike. Evklid je polatinjena oblika grškega imena Εὐκλείδης, ki pomeni 'ugleden, sloveč'. Življenje in delo Evklid je bil eden največjih grških matematikov. Matematiko je verjetno študiral v Atenah pri Platonovih učencih. Njegov čas je označeval prehod nadvlade v znanosti iz Aten v Aleksandrijo. Po smrti Aleksandra Velikega so se njegovi vojskovodje polastili delov njegovega imperija. Krvavi spopadi za dediščino so trajali celo generacijo. Eden od vojskovodij, Ptolemaj I. Soter, je zasedel Egipt in si za prestolnico izbral novo mesto Aleksandrijo. Ptolemaj in njegovi neposredni potomci so bili podporniki in častilci znanosti. Prizadevali so si, da bi postala Aleksandrija prestolnica znanosti sveta. To se jim je tudi posrečilo. Zgradili so veličastno knjižnico in slavno univerzo, imenovano Muzej (Museum, Museion), ker je bila nekakšno svetišče Muz, ki so bile zaščitnice znanosti in umetnosti. Med prvimi učenjaki, ki jih je nova ustanova v Aleksandriji pritegnila, je bil tudi Evklid. Znano je z zagotovostjo samo to, da je živel od leta 305 pr. n. št. do 285 pr. n. št. v Aleksandriji na Ptolemajevem dvoru za časa njegove vladavine od 323 pr. n. št. do 285 pr. n. št. ali 283 pr. n. št. Tam je osnoval visoko šolo, na kateri je predaval geometrijo. Ta šola je postala znana po vsem tedanjem kulturnem svetu. Kasneje je živel tudi v Egiptu. Njegovo največje delo in hkrati največji dosežek matematike Starega veka je njegova knjiga Elementi (Stoiheia). To je zbirka 13 knjig, v katerih je sistematično obdelal vse dotedanje znanje s področja geometrije in teorije števil. Najstarejši znani izvod te knjige je iz leta 876. Prva tiskana izdaja je latinski prevod iz arabščine, izdan leta 1482 v Benetkah. V prvi knjigi so zbrani rezultati o običajnih ravninskih likih, med njimi tudi slavni Pitagorov izrek. Ostale knjige so posvečene teoriji števil, razmerjem v splošnem, nesorazmernim količinam, krogom in geometrijskim telesom. Napisali so veliko tolmačev Elementov, v katerih so Evklida pogosto imenovali Geometer. Verjetno so deli iz geometrije predelava del prejšnjih matematikov, še posebej pa Evdoksovih del. Kot osnovni učbenik je veljal 2000 let. Še danes v izboljšani inačici prve knjige tvorijo osnovo srednješolskega študija ravninske geometrije. Napisal je tudi delo Podatki (Data), zbirko geometrijskih izrekov. Delo priča, da je znal reševati tretjo grško kanonsko obliko kvadratne enačbe: Napisal je še knjige O deljenju likov, Optika, Pojavi z opisom neba in Delitev lestvice, matematično razpravo o glasbi. Pripisujejo mu tudi še veliko drugih knjig, čeprav neupravičeno. S tem da je gledal na svetlobne žarke kot na premice, je vključil optiko v geometrijo. V pravokotnem trikotniku veljata Evklidova izreka: kvadrat katete a (b) je enak produktu hipotenuze c in pravokotne projekcije te katete na hipotenuzo m (n): Iz Evklidovih izrekov dobimo Pitagorov izrek, ki ga je Evklid v Elementih tudi dokazal: vsota kvadratov katet je enaka kvadratu hipotenuze a2 + b2 = c2, iz obeh pa višinski izrek: kvadrat višine na hipotenuzo h je enak produktu pravokotnih projekcij katet na hipotenuzo h2 = m n. Evklidu pripada izrek o neskončnem številu praštevil. Dokazal je tudi, da ni racionalno število (celo število ali ulomek), kar je prvi opazil že Pitagora s svojimi učenci. Seveda Evklid ni zaobjel niti vse grške matematike niti vse grške geometrije. Grška matematika je živela še dolgo po njem in se obogatila z mnogimi dognanji. Edina podoba iz njegovega življenja, ki se je ohranila do današnjih dni, je njegov odgovor Ptolemaju, ki ga je, ko se je učil geometrijo, vprašal, ali ne bi mogel malo bolj dojemljivo razlagati: »V geometrijo ne vodi nobena kraljevska pot.« Znana je tudi dvomljiva zgodba, ki mu pripisuje prepirljivo in zadirčno ženo. Geometrija – aksiom o vzporednici Znani peti postulat evklidske geometrije v ravnini (aksiom o vzporednici) zahteva: če daljica s premice g in h seka tako, da sta na isti strani s nastala kota α in β skupaj manjša od dveh pravih kotov, potem se premici g in h sekata, in sicer na isti strani s, na kateri ležita kota α in β. Če torej dve premici sekata daljico (ali premico) tako, da je seštevek obeh kotov na eni od strani daljice manjši od 180°, potem se bosta premici na dani strani daljice sekali in z njo (oziroma s tretjo premico) tvorili trikotnik. Za zgodovino znanosti je paralelni aksiom kot odprto vprašanje (ali je nujen, ali gre tudi brez njega?) bil velika spodbuda; dognanja v zvezi z njim so pomagala precizirati matematične pojme in dokazne postopke. Tekom 19. stoletja je pomanjkljivost evklidovih aksiomov postajala vse bolj očitna. Formalno aksiomatiko evklidske geometrije je najti v delu Osnove geometrije Davida Hilberta, ki so mu sledile številne nove naklade in dodatne raziskave. V delu je najti prvo zaključeno konstrukcijo evklidske geometrije,tja do spoznanja, da so vsi modeli Hilbertovega sistema aksiomov izomorfni s tridimenzionalnim prostorom realnih števil z običajnimi pomeni za osnovne geomtrične pojme geometrije (kot so točka, premica, ravnina, dolžina, kot, kongruenca, podobnost itd.) analitične geometrije. Že od antike dalje so skušali številni pomembni matematiki brez uspeha s pomočjo ostalih aksiomov in postulatov dokazati, da aksiom o vzporednosti ni nujno potreben. Šele v 19. stoletju sta Bolyai in Lobačevski z odkritjem neevklidske geometrije dokazala, da je peti aksiom za nujen temelj evklidskih geometrij. Polravnina H Henrija Poincaréja je model za tak aksiomatski sistem, v katerem aksiom o vzporednosti ne velja.Peti aksiom je tako od ostalih aksiomov neodvisen in ga iz njih ni mogoče izpeljati (glej neevklidska geometrija). Evklidovo ime nosijo med drugim naslednji matematični pojmi: evklidska razdalja: dolžina daljice med dvema točkama v ravnini ali v prostoru Evklidov algoritem: postopek za določitev največjega skupnega delitelja dveh naravnih števil evklidska geometrija: nazorna geometrija ravnine ali prostora evklidska norma: dolžina vektorja v ravnini ali v prostoru evklidski prostor: realni, afini prostor s standardnim skalarnim produktom evklidska relacija: odnos, za katerega velja: če sta dva elementa v odnosu s tretjim, potem sta v odnosu tudi med seboj evklidski kolobar: kolobar, v katerem je možno deljenjem z ostankom evklidska orodja: postopki, ki so možni z uporabo šestila in ravnila evklidska topologija Evklidovo število Evklid-Mullinovo zaporedje Po Evklidu so imenovani tudi naslednji izreki, dokazi in leme: Evklid-Eulerjev izrek Evklidov dokaz za iracionalnost kvadratnega korena števila 2 – prvi dokaz v zgodovini matematike, ki temelji na protislovju (Evklidov) višinski izrek: v pravokotnem trikotniku je kvadrat višine enak produktu pravokotnih projekcij katet na hipotenuzo Evklidova izreka (izreka o katetah): v pravokotnem trikotniku sta kvadrata obeh katet enaka produktu hipotenuze in ustrezne pravokotne projekcije katet na hipotenuzo Evklidov izrek o praštevilih: osnovni izrek v teoriji števil o neskončnem številu praštevil Evklidova lema: praštevilo, ki deli (brez ostanka) produkt dveh celih števil, mora biti enemu od njiju delitelj Priznanja Poimenovanja Po Evklidu so poimenovali: Evklid (Euclides), udarni krater na vidni strani Lune 4354 Evklid (4354 Euclides), asteroid v glavnem pasu Euclid, Esin bližnje infrardeči vesoljski daljnogled Sklici Ljudje, po katerih so poimenovali krater na Luni Neznano leto smrti Grki v 4. stoletju pr. n. št. Grki v 3. stoletju pr. n. št. Egipčani v 4. stoletju pr. n. št.


text: Evktemon [evktémon] (: Euktémon hó Atenaíos), starogrški astronom, meteorolog in geograf, * okoli 480 pr. n. št., † 410 pr. n. št. Življenje in delo O Evktemonu je malo znanega. Večinoma o sodelovanju z Metonom in kar je navedel Ptolemaj. Evktemon je deloval v Atenah. Pripisujejo mu Metonov cikel. Skupaj z Metonom je odkril razliko med časom od pomladnega do jesenskega enakonočja Tε = 186d 10h in časom od jesenskega do naslednjega pomladnega enakonočja Tω = 178d 20h. Dneva enakonočij razdelita leto na dve različni časovni razdobji, kar pomeni, da se Sonce navidezno nahaja dlje na severni nebesni polobli kot pa na južni in se tako med letom giblje po nebu neenakomerno. Že pred njima in Hiparhom so kaldejski astronomi vedeli, da štirje letni časi niso enako dolgi. S podrobnim merjenjem je pozneje Hiparh ugotovil, da trajata zima in pomlad 184 1/2 dneva, poletje in jesen pa 180 1/2 dneva, kar pa ni pravilno pojasnil. Gemin in Ptolemaj sta navedla da je Evktemon pisal o vzhajanju in zahajanju zvezd. Določil je čas zahoda Plejad. Priznanja Poimenovanja Po njem se imenuje krater na Luni Evktemon (Euctemon). Njegovi Lunini koordinati sta 76,4° severno; 31,3° vzhodno in premer 62 km. Glej tudi seznam starogrških astronomov Starogrški astronomi Starogrški geografi Starogrški meteorologi Ljudje, po katerih so poimenovali krater na Luni Grki v 5. stoletju pr. n. št.


text: Fáktor (tudi činítelj) se v matematiki nanaša na več pojmov: delitelj množenec ali množitelj, to je na število, katerega množimo ali s katerim množimo prafaktor Drugi pomeni Faktor (oddaja) - slovenska informativno-pogovorna oddaja


text: Fermatov máli izrèk ali tudi máli Fermatov izrèk [fermájev ~] pravi, da kadar je p praštevilo, potem za vsako celo število a velja: To pomeni, da kadar vzamemo poljubno celo število a in ga pomnožimo s samim seboj p krat in odštejemo a, bomo dobili število, ki bo deljivo s p. (glej mudularna aritmetika). Imenujemo ga Fermatov mali izrek, da ga ločimo od Fermatovega velikega izreka. Pierre de Fermat je našel izrek okoli leta 1636. Izrek se je pojavil v enem od njegovih pisem svojemu zaupniku Frénicleu datiranem 18. oktobra 1640 v naslednji obliki: p deli ap-1 - 1 kadar je p praštevilo in a je p tuje ali: Primer za a = 2 so poznali že stari Kitajci. Zgled za osnovo 2: in ostanek pri deljenju: kjer je D() največji skupni delitelj. In za osnovo 3: Števila: so Fermatovi količniki za osnovo a. Prvi Fermatovi količniki za osnovo 2 so : 1, 3, 9, 93, 315, 3855, 13797, 182361, 9256395, 34636833, 1857283155, ... Dokaz Fermat je pojasnil svoj izrek brez dokaza. Prvi ga je dokazal Gottfried Wilhelm Leibniz v svojem rokopisu brez datuma, kjer je tudi zapisal, da je poznal dokaz že pred letom 1683. Dokaz »malega izreka« je enostaven in osnoven. Uporabimo lahko matematično indukcijo. Pokažemo da izrek velja za a = 1. Če izrek velja za a = k, lahko pokažemo, da velja tudi za a = k + 1 in s tem za vse a. Potrebujemo naslednjo lemo: (a + b)p mod p = ap + bp mod p kadar je p praštevilo. Binomski izrek nam pove: Tukaj je = p(p - 1)(p - 2)(p - 3) ... (p - (i-1)) / i! če 0 < i < p. Ker je i manjši od p in je p praštevilo, i! ne deli p, zato je celotni člen aibp-i mnogokratnik p če 0 < i < p. To pomeni, da je celotna vsota od i = 1 do i = p - 1 enaka 0 mod p. Tako je (a + b)p mod p v resnici enako ap + bp mod p, kadar je p praštevilo. Očitno je ap mod p = a pri a = 1. Predpostavimo sedaj, da pri a = k izrek velja. S tem predpostavimo kp mod p = k kadar je k < p in poglejmo, kaj se zgodi pri a = k + 1: (k + 1)p mod p = (pokažemo s trditvijo spodaj) kp + 1p mod p = kp + 1 mod p. Ker smo predpostavili da velja kp mod p = k pri k < p, sklepamo, da velja (k + 1)p mod p = k + 1, kadar je k + 1 < p, kar smo hoteli dokazati. Posplošitve Fermatov mali izrek posplošimo z Eulerjevim izrekom: za poljuben modul n in poljubno celo število a tuje n, imamo kjer je φ(n) Eulerjeva funkcija, ki šteje vsa cela števila med 1 in n, ki so n tuja. To je zares posplošitev, ker, če je n = p praštevilo, potem φ(p) = p - 1. To lahko še naprej posplošimo s Carmichaelovim izrekom. Psevdopraštevila Če sta a in p dve takšni tuji števili, da velja ap-1 - 1 | p, potem p nujno ni praštevilo. Če p ni praštevilo, se imenuje Fermatovo psevdopraštevilo za bazo a. Število p, ki je psevdopraštevilo za bazo a za vsako število a tuje n, se imenuje Carmichaelovo število. Teorija števil Matematični izreki Pierre de Fermat 1636 v znanosti Izreki teorije števil


text: Fermatovo práštevílo [fermájevo ~] je število oblike: kjer je n naravno število. Cela števila v splošni obliki: kjer je n naravno število se imenujejo Fermatova števila. Fermat je nepravilno domneval, da so vsa takšna števila praštevila, čeprav ni imel dokaza. Prvih pet Fermatovih števil 3, 5, 17, 257, 65537, ki odgovarjajo n = 0, 1, 2, 3, 4, so vsa praštevila. Euler je prvi leta 1732 dokazal, da ta Fermatova domneva ne velja, in pokazal kako je število 641 delitelj Fermatovega števila F5, saj je: oziroma: Euler je dokazal, da mora biti vsak faktor Fn oblike k2n+1 + 1, kar je kasneje Lucas leta 1878 izboljšal na k2n+2 + 1. V bistvu ne poznamo nobenega Fermatovega števila za n > 4, ki bi bilo praštevilo in tako domnevamo, da so to tudi vsa praštevila te oblike. Ne vemo tudi ali obstaja neskončno mnogo Fermatovih praštevil. Prva Fermatova števila so : F0 = 21 + 1 = 3 F1 = 22 + 1 = 5 F2 = 24 + 1 = 17 F3 = 28 + 1 = 257 F4 = 216 + 1 = 65537 F5 = 232 + 1 = 4294967297 = 641 · 6700417 F6 = 264 + 1 = 18446744073709551617 = 274177 · 67280421310721 F7 = 2128 + 1 = 340282366920938463463374607431768211457 = 59649589127497217 · 5704689200685129054721 F8 = 2256 + 1 = 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639937 = 1238926361552897 · 93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321 Poznamo le razcep prvih 12 Fermatovih števil. Gauss je dokazal, da lahko vsak pravilni mnogokotnik z m oglišči konstruiramo samo z ravnilom in šestilom tedaj in le tedaj, kadar lahko zapišemo m kot: m = 2k Fr1 Fr2 ... Frt, kjer je k ≥ 0 in so drugi množitelji (faktorji) poljubna praštevila zgornje oblike Fermatovega števila Fn. Osnovne značilnosti Za Fermatova števila veljajo naslednje rekurenčne enačbe: za n ≥ 1 in: za n ≥ 2. Vse enačbe lahko dokažemo s popolno indukcijo. Iz zadnje enačbe sledi Goldbachov izrek: nobeni dve Fermatovi števili nimata skupnega faktorja, oziroma različna Fermatova števila so si med seboj tuja. Fermatova števila so poseben primer Prothovih števil (za in ). Glej tudi Mersennovo število Gaussovo praštevilo Sklici Viri Zunanje povezave Posplošeni iskalnik Fermatovih praštevil Fermatova praštevila Analitična teorija števil Evklidska ravninska geometrija Nerešeni matematični problemi Razredi praštevil Celoštevilska zaporedja Pierre de Fermat


text: Fibonaccijeva števila, ki določajo Fibonaccijevo zaporedje, so v matematiki rekurzivno določena z naslednjimi enačbami: Zaporedje začnemo z dvema številoma, običajno 1 in 1. Naslednje Fibonaccijevo število dobimo, če seštejemo predhodni. Prva Fibonaccijeva števila so : {| class="wikitable" style="text-align:right" |- | || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || |- | 1 || 1 || 2 || 3 || 5 || 8 || 13 || 21 || 34 || 55 || 89 || 144 || 233 || 377 || 610 || 987 || 1597 || 2584 || 4181 || 6765 || 10946 || 17711 |} To zaporedje je prvi opisal Leonardo Fibonacci pri opisu rasti določenega števila zajcev. Števila opisujejo število parov idealiziranega števila zajcev po n mesecih, če upoštevamo: prvi mesec se rodi samo en nov par, novorojeni pari so plodni od svojega drugega meseca naprej, vsak mesec vsak ploden par zaplodi nov par in zajci nikoli ne umrejo. Enačba Izraz Fibonaccijevega zaporedja lahko uporabimo splošneje na vsaki funkciji g, kjer je g(n + 2) = g(n) + g(n + 1). Te funkcije so natanko tiste oblike g(n) = aF(n) + bF(n + 1) za poljubna števila a in b, tako da Fibonaccijeva zaporedja tvorijo vektorski prostor s funkcijami F(n) in F(n + 1) kot baza. Kot je pokazal Kepler, stopnja rasti Fibonaccijevih števil, F(n + 1) / F(n), konvergira k številu zlatega reza, označenem z φ. To je pozitivni koren kvadratne enačbe x2 - x - 1 = 0, tako da je φ2 = φ + 1. Če pomnožimo obe strani z φn, dobimo φn+2 = φn+1 + φn, in je funkcija φn Fibonaccijevo zaporedje. Lahko se pokaže, da ima negativni koren kvadratne enačbe, 1 - φ, enake značilnosti. Zato funkciji φn in (1-φ)n tvorita novo bazo istega prostora. Z nastavitvijo koeficientov za primerne začetne vrednosti F(0) = 1 in F(1) = 1, dobimo: Isti rezultat dobimo, če uporabimo postopke rodovnih funkcij ali reševanja linearnih rekurenčnih enačb. Ko gre n v neskončnost, drugi člen konvergira proti nič, tako, da Fibonaccijeva števila težijo k eksponentu φn / √5, in zaradi tega njihova razmerja konvergirajo. V bistvu je drugi člen dovolj majhen in lahko dobimo Fibonaccijeva števila samo iz prvega člena, če jih zaokrožamo na najbližje celo število. Računanje Fibonaccijevih števil Računanje Fibonaccijevih števil z računanjem potenc števila zlatega reza ni preveč praktično, razen za majhne vrednosti n, ker se bodo zaokrožitvene napake povečale in števila s tekočo vejico po navadi niso dovolj točna. Tudi neposredna rekurzivna uporaba določitve Fibonaccijevega zaporedja ni preveč prikladna, ker moramo računati preveč vrednosti zaporedoma (razen če programski jezik dovoljuje shrambo predhodnih vrednosti fukcije). Zato po navadi računamo Fibonaccijeva števila od spodaj navzgor. Začnemo z vrednostima 1 in 1, potem pa izmenoma zamenjujemo prvo število z drugim, drugo število pa z vsoto prejšnjih dveh. Za velike vrednosti in, če uporabimo programski jezik z možnostjo računanja velikih števil, je hitrejša pot računanja Fibonaccijevih števil z naslednjo matrično enačbo: ki namesto potenciranja uporablja kvadriranje. Uporabe Fibonaccijeva števila so pomembna pri analizi poteka Evklidovega algoritma za določitev največjega skupnega delitelja dveh celih števil. Izkaže se, da se algoritem najslabše izkaže ravno v primeru, ko določamo največji skupni delitelj dveh zaporednih Fibonaccijevih števil. Matijasevič je pokazal, da lahko Fibonaccijeva števila določimo s posebno diofantsko enačbo, kar nas vodi do njegove izvirne rešitve 10. Hilbertovega problema. Fibonaccijeva števila se pojavijo v enačbi za diagonale Pascalovega trikotnika. Zanimiva uporaba Fibonaccijevega zaporedja je pri pretvarjanju milj v kilometre. Na primer, če bi radi vedeli koliko kilometrov je 5 milj, vzamemo Fibonaccijevo število (5) in poiščemo naslednje (8). 5 milj je približno 8 kilometrov. To deluje ker je pretvorbeni količnik med miljami in kilometri približno enak φ. Logaritmično spiralo lahko poenostavimo, če začnemo v središču kartezičnega koordinatnega sestava, se premaknemo za F(1) enot v desno, za F(2) enot navzgor, za F(3) enot v levo, za F(4) enot navzdol, za F(5) enot v desno in tako naprej. To je podobno konstrukciji, omenjeni v članku o zlatem rezu. Fibonaccijeva števila se v naravi pojavijo velikokrat, kadar so logaritmične spirale sestavljene iz nezveznih enot, kot so tiste pri sončnicah ali pri borovih storžih. Posplošitve Posplošitev Fibonaccijevega zaporedja so Lucasova zaporedja. Eno vrsto lahko določimo z: L(0) = 0 L(1) = 1 L(n+2) = PL(n+1) + QL(n) kjer je običajno Fibonaccijevo zaporedje poseben primer P = Q = 1. Druga vrsta Lucasovega zaporedja se začne z L(0) = 2, L(1) = P. Takšna zaporedja se uporabljajo v teoriji števil in dokazovanju praštevilskosti. Algoritem V pascalu lahko rekurzivni postopek prepišemo neposredno : function F(n:integer):integer; begin if (n=0) or (n=1) then F := 1 else F := F(n-1) + F(n-2); end;{F} Vendar je taka neposredna uporaba rekurzije zelo neučinkovita in pravzaprav služi kot šolski primer, kako je ne smemo uporabljati. Učinkovitejši je iterativni postopek: function F(n:integer):integer; var a,b,c,j : integer; begin a:=1; b:=1; for j:=3 to n do begin c := a+b; a := b; b := c; end; F := c; end;{F} V javi (kot metoda) bi algoritem zgledal tako: static int fibonacci (int n) { int f=0,f1=1,f2=1; for (int i=1; i<=n;i++) { if (i<3) f=1; else { f=f1+f; f1=f2; f2=f; } } Fibonaccijeva števila v naravi Poleg rasti določenega števila zajcev so Fibonaccijeva števila tudi drugod v naravi, npr. pri številu venčnih listov in v spiralnih strukturah, ki jih mnoge rastline uporabljajo za razporeditev semen (glej tudi Fermatova spirala). Poleg števila parov zajcev je znan primer tudi število čebel pri idealiziranemu razmnoževanju, če upoštevamo da: se iz neoplojenega jajčeca izvali samec, se iz jajčeca, ki ga oplodi samec, izvali samica. Samec bo tako vedno imel enega starša, samica pa dva. Če analiziramo število prednikov kateregakoli samca (1), bo ta imel vedno enega starša, tj. samico (1). Slednja ima dva starša, samca in samico (2), ta samec pa bo prav tako imel enega starša in samica dva starša, kar da število 3. V praksi se še danes uporablja izpopolnjene različice Fibonaccijeve sheme pri preučevanju drugih živalskih populacij. Pri nekaterih cvetnicah so ta števila jasno izražena pri venčnih listih. Tako imajo lilije 3 venčne liste, zlatice 5, ostrožniki pogosto 8, ognjič 13, astre 21 in marjetice ter sončnice navadno po 34, 55 ali 89 listov. Lahko se pojavijo manj običajna števila, in sicer dvojna Fibonaccijeva števila, kar je posledica tehnike gojenja rastlin, ki podvoji število listov, ali pa podobna nepravilna zaporedja (npr. 1, 3, 4, 7, 18, ...). Pri razporeditvi semen so znani primer sončnice, ki imajo semena razporejena v dve družini, pri čemer je v manjših sončnicah v eni družini 34 spiralnih zavojev, v drugi pa 55, pri večjih pa sta ti dve števili 55 in 89 ali 89 in 144. Tudi luske na jelovih storžih so tipično razporejene v dveh družinah prepletenih spiral; storž norveške jelke ima tako 5 zavojev lusk v eni družini, v drugi pa 3. Fibonaccijeva števila v leposlovju Fibonaccijeva števila je uporabil Dan Brown v svoji knjigi Da Vincijeva šifra. Glej tudi obratna Fibonaccijeva konstanta Sklici Viri . Stran navaja prvih 300 Fibonaccijevih števil 300 Fn razstavljenih na prafaktorje in povezavami na druge obsežnejše razpredelnice. Zaporedja


text: Fieldsova medalja je nagrada, ki jo podelijo dvema ali največ štirim matematikom, mlajšim od štirideset let, na vsakem Mednarodnem matematičnem kongresu od leta 1936 in neprekinjeno od leta 1948 na pobudo kanadskega matematika Johna Charlesa Fieldsa. Namen nagrade je priznanje in podpora mladim raziskovalcem v matematiki, ki so že veliko prispevali. Leta 2006 je nagrada znašala 10.000 €. Seznam prejemnikov 2022 (Helsinki, Finska): Hugo Duminil-Copin, June Huh, James Maynard, Marina Viazovska 2018 (Rio de Janeiro, Brazilija): Caucher Birkar, Alessio Figalli, Peter Scholze, Akshay Venkatesh 2014 (Seul, Južna Koreja): Artur Avila, Manjul Bhargava, Martin Hairer, Marjam Mirzahani 2010 (Hiderabad, Indija): Elon Lindenstrauss, Ngô Bảo Châu, Stanislav Konstantinovič Smirnov, Cédric Villani 2006 (Madrid, Španija): Andrej Jurjevič Okunkov, Grigorij Jakovljevič Perelman (nagrado je odklonil), Terence Chi-Shen Tao, Wendelin Werner 2002 (Peking, Ljudska republika Kitajska): Laurent Lafforgue, Vladimir Aleksandrovič Vojevodski 1998 (Berlin, Nemčija): Richard Ewen Borcherds, William Timothy Gowers, Maksim Lvovič Koncevič, Curtis Tracy McMullen 1994 (Zürich, Švica): Jefim Izakovič Zelmanov, Pierre-Louis Lions, Jean Bourgain, Jean-Christophe Yoccoz 1990 (Kjoto, Japonska): Vladimir Geršonovič Drinfeld, Vaughan Frederick Randal Jones, Šigefumi Mori, Edward Witten 1986 (Berkeley, Kalifornija, ZDA): Simon Kirwan Donaldson, Gerd Faltings, Michael Hartley Freedman 1982 (Varšava, Poljska): Alain Connes, William Thurston, Šing-Tung Jau 1978 (Vancouver, Britanska Kolumbija, Kanada): Pierre Deligne, Charles Louis Fefferman, Grigorij Aleksandrovič Margulis, Daniel Gray Quillen 1974 (Helsinki, Finska): Enrico Bombieri, David Bryant Mumford 1970 (Nica, Francija): Alan Baker, Heisuke Hironaka, Sergej Petrovič Novikov, John Griggs Thompson 1966 (Moskva, Rusija): Michael Francis Atiyah, Paul Joseph Cohen, Alexander Grothendieck, Stephen Smale 1962 (Stockholm, Švedska): Lars Valter Hörmander, John Willard Milnor 1958 (Edinburgh, Škotska, Združeno kraljestvo): Klaus Friedrich Roth, René Thom 1954 (Amsterdam, Nizozemska): Kunihiko Kodaira, Jean-Pierre Serre 1950 (Cambridge, Massachusetts, ZDA): Laurent Schwartz, Atle Selberg 1936 (Oslo, Norveška): Lars Valerian Ahlfors, Jesse Douglas Glej tudi Abelova nagrada Mednarodna matematična zveza Nevanlinnova nagrada Schockova nagrada Wolfova nagrada za matematiko Zunanje povezave Stran Fieldsove medalje IMU Nagrade v matematiki Nagrade, ustanovljene leta 1936


text: Filolaj [filoláj] (), starogrški matematik in filozof, * okoli 480 pr. n. št. Kroton (po grškem zgodovinaju Diogenesu Laërtiusu iz 3. stoletja) ali Tarent ali Herakleja, Grčija, † okoli 405 pr. n. št. Življenje in delo Klasični filolog August Boeckh (1785–1867) je postavil njegovo življenje med 70. in 95. antičnimi olimpijskimi igrami (496–396 pr. n. št.). Filolaj je bil Sokratov in Demokritov sodobnik, vendar starejši od njiju in mogoče mlajši od Empedokleja ter Zenonov, Melisusov in Tukiditov sodobnik, tako da lahko postavimo za letnico njegovega rojstva okoli 480 pr. n. št. Živel je okoli leta 475 pr. n. št. in je bil v Krotonu med preganjanjem pitagorejcev. Uvršča se ga med mlajše pitagorejce. Verjetno se je dobro poznal z Demokritom in je bil po vsej verjetnosti eden od njegovih učiteljev. Bil je znani neposredni Pitagorov učenec in prepisovalec. Po smrti njegovega učitelja je prišlo v južni Italiji do velikih sporov. Po nekaterih poročilih je bil prisiljen pobegniti. Zatekel se je najprej v Lukanijo in nato v Tebe, kjer je imel mlada učenca Simiasa in Kebesa (Krito), ki sta bila prisotna pri Sokratovi smrti. Pred tem se je Filolaj vrnil v Italijo in je bil tam učitelj Arhitu. Kakor je omenjal Platon v svojem delu Phaedo je bil Filolaj mogoče povezan tudi s pitagorejskimi ubežniki v Fliju. Filolaj je govoril in pisal v grškem dorskem narečju in je prvi predlagal nauk o gibanju Zemlje. Nekateri pripisujejo ta nauk Pitagori, vendar ni dokazov, ki bi podpirala njihov pogled in tudi mlajšemu Hiketu iz Sirakuz. Filolaj je predpostavil, da krogla nepomičnih zvezd, pet planetov, Sonce, Luna in Zemlja vsi krožijo okrog središčnega ognja. Ker pa na ta način tvorijo le devet vrtečih se teles, si je v soglasju s svojo teorijo števil izmislil še deseto, in jo imenoval proti-zemlja. Središčni sveti ogenj zanj ni bilo Sonce, kar bi samo po sebi bila razborita misel, ampak neka skrivnostna stvar med Zemljo in prazemljo. Imenoval jo je »estia«, ognjišče Vesolja, Zevsova hiša in mati bogov, po boginji ognja in ognjišča Hestiji. Zadržal je zamisel o vrtenju Zemlje okrog svoje osi. Verjetno je narobe razumel svojega učitelja, ker je zamisel po nepotrebnem zapletel in zaradi teh numeroloških vzrokov uvedel nekakšno protizemljo (: antíkhthōn), ki se skupaj z Zemljo in Soncem vrti okrog središčnega ognja. Zemlja in Sonce si pri tem stojita vselej nasproti. Njegovo domnevo je oživil in nadaljeval okoli leta 345 pr. n. št. Heraklit Pontski. Te skrivnostne prazemlje ljudje niso nikoli ugledali, ker je njuna medsebojna lega kakor lega Sonca in Zemlje vedno enaka kot pri dveh kroglah, ki sta povezani z vrvjo. Pri tem je Filolaj uporabil res veliko domišljije, s čimer pa ni razjasnil tistega kar bi se na drug način dalo. Pomembna pa je misel o vrtenju Zemlje okrog svoje osi, ki jo je Heraklit razvil naprej, in s tem vplival na Aristarha. Zemlja ima več vrst gibanja in spada med planete. Takšna teorija Osončja je že dokaj dobro pojasnjevala gibanje Sonca in različne dolžine dnevov skozi leto. Ni pa znano, kako je bila točna. Po Koperniku naj bi Filolaj poznal tudi kroženje Zemlje okrog Sonca. Filolaj si je zamislil Sonce kot stekleni kolut, ki zrcali svetlobo Vesolja. Ugotovil je, da Lunin mesec znaša 29 1/2 dni, Lunino leto 354 dni, Sončevo leto pa 365 1/2 dni. Filolaj je prvi objavil knjigo o nauku pitagorejcev. To razpravo je uporabil Platon pri sestavi svojega dela Timaeus. Filozofski sestav svoje šole je Filolaj prikazal v delu O naravi (Peri fyseos). Platonov naslednik Speusip na Akademiji je povzel njegovo delo. Filolaj se je veliko ukvarjal s pitagorejsko teorijo števil. Še posebej se je ustavil pri značilnostih, neločljivo povezanih z dekadami. Vsoto prvih štirih števil in s tem četrto trikotniško število, četvorko je imenoval veliko, silno in ustvarjajočo. Veliko pitagorejsko zaprisego so zavzeli s svetimi četvorkami. Evdem je pripisoval odkritje pravilnih teles Pitagori. Empedoklej pa je bil prvi, ki je predlagal štiri elemente. Filolaj je povezal te zamisli in vztrajal, da je osnovna narava teles odvisna od njihove oblike. Obliko tetraedra je pripisal ognju, oktaedra zraku, ikozaedra vodi in kocke zemlji. Obliko dodekaedra je pripisal petemu elementu, etru, oziroma, kot mislijo nekateri, Vesolju. Čeprav je bila njegova teorija s stališča opazovanja netočna, je nakazala znatno znanje geometrije in dala velik podnet raziskovanju znanosti. Sledil je Parmenidu in imel dušo za »mešanico in skladnost« delcev teles. Predpostavil je tudi snovno dušo, katera obstoji v telesu v izgnanstvu zaradi greha. Starogrški filozofi Starogrški matematiki Starogrški astronomi Pitagorejci Grki v 5. stoletju pr. n. št.