text: Johann Carl Friedrich Gauss (), nemški matematik, astronom, fizik in geodet, * 30. april 1777, Braunschweig, Nemčija, † 23. februar 1855, Göttingen, Nemčija. Življenje in delo Mladost Gaussova družina je bila revna. Starša nista imela nobene izobrazbe. Bil je edini otrok vrtnarja, zidarskega mojstra in dninarja. Oče je pozneje vodil računovodstvo nekemu trgovcu. Mati je bila iz kamnoseške družine in je pred poroko služila kot dekla. Že kot otrok je veljal za matematično čudo. Imel je izreden spomin in sposobnost za računanje na pamet. Ljudje s temi sposobnostmi so velikokrat umsko zgolj povprečni, toda Gauss je bil nedvomno genij. Kot čudežni otrok je že trileten popravljal očetove seštevke računov za razdelitev plač in je vse življenje držal v glavi na kupe raznih številskih podatkov. Nekateri ga prištevajo med tri največje matematike vseh časov; druga dva naj bi bila Arhimed in Newton. Sodobniki so ga imenovali »prvak matematikov« (princeps mathematicorum). Imel je srečo, da je nanj postal pozoren učitelj v šoli in zanj celo preskrbel posebno računico, ker je običajno snov Gauss takoj obvladal. Njegova nadarjenost ni bila skrita in deželni knez, braunšvinški vojvoda Ferdinand, mu je omogočil šolanje. To za čas prosvetljenega absolutizma ni bilo tako nenavadno. Zanimivo pa je, da je Gauss dobival iz tega vira podporo vse do svojega 30. leta, in to tudi v časih, ko je bila deželna blagajna skoraj prazna. Znana zgodba pravi, da je v osnovni šoli njegov učitelj Büttner hotel zamotiti učence in jim dal nalogo naj seštejejo cela števila od 1 do 100. Mladi Gauss je prišel do rešitve v trenutku v začudenje učitelju in njegovemu pomočniku Bartelsu. Gauss je uvidel, da so vsote paroma členov z nasprotnega konca zaporedja enake vmesnim vsotam: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101, kar da končno vsoto 50 · 101 = 5050. J. Rotman v svoji knjigi A first course in Abstract Algebra navaja, da tej zgodbi ne verjame. Vsoto prvih sto naravnih števil je poznal že al-Haitam. Leta 1792 je kot 15-leten zapisal: Če »p pod ξ« nadomestimo z enakovredno vrednostjo π (ξ), znak lξ z ln ξ in z besedilom za velike ξ, dobimo njegovo mladostno oceno za aritmetično funkcijo π (ξ), število praštevil: z deljenjem s ξ pa obliko praštevilskega izreka. Očitno je mladi Gauss že razumel to lastnost praštevil, zakaj pa je ni razvil, najverjetneje ne bomo nikoli izvedeli. Pozneje je domneval, da velja: Te ocene so pozneje dali tudi Čebišov in drugi. Študij Po končanem kolegiju na Karolinški višji šoli je Gauss 18-leten odšel na univerzo v bližnji Göttingen. V treh letih njegovega šolanja na tej šoli so profesorji morali priznati, da jih je pustil v znanju daleč zadaj. Nekaj časa je nihal med študijem matematike in filologije, saj je bil zelo nadarjen tudi za jezike. V tem času je očitno začel z intenzivnim matematičnim raziskovanjem in kmalu prišel do zelo globokih rezultatov. Leta 1795 je neodvisno od Eulerja odkril kvadratni recipročnostni zakon v teoriji števil: Raziskovanje v matematiki Po več letih študija v Göttingenu se je leta 1798 vrnil v rodni Braunschweig. Po želji svojega pokrovitelja je poslal Univerzi v Helmstadtu disertacijo in v odsotnosti dobil doktorski naslov. V disertaciji je podal dokaz osnovnega izreka algebre, ki pravi, da ima vsak nekonstanten polinom s kompleksnimi koeficienti vsaj eno kompleksno ničlo. Pozneje je izdelal še več dokazov tega izreka. Korenine samega izreka segajo do Alberta Girarda, založnika Stevinovih del Invention nouvelle en algebre iz leta 1626, leta 1746 pa ga je d'Alembert skušal dokazati. Gaussu je bil ta izrek všeč in je pozneje podal še dva dokaza, a leta 1846 se je vrnil na svoj prvi dokaz. Pri tretjem dokazu leta 1816 je uporabil kompleksne integrale. Iz njega je razvidno, kako zgodaj je Gauss obvladal teorijo kompleksnih števil. V Braunschweigu se je poročil in dobil hčerko in sina. Pisati je začel svojo prvo knjigo, Disquisitiones arithmeticae, svoj magnum opus, in jo dokončal leta 1798, vendar je izšla leta 1801. Pisana je bila v latinščini in jo še danes ponatiskujejo. Vsebovala je izredno pomembne rezultate iz teorije števil in algebre. V Disquisitiones arithmeticae je Gauss zbral vsa mojstrska dela svojih predhodnikov iz teorije števil in ga tako obogatil, da imajo nekateri izdajo te knjige za začetek sodobne teorije števil. Gaussova praštevila so števila oblike pri celem n. Osrednje mesto v knjigi zavzema teorija kvadratnih kongruenc, form in ostankov, višek pa doseže z zakonom o kvadratnih ostankih, to je z izrekom, imenovanim theorema aureum, ki ga je Gauss prvi v celoti dokazal. Gaussa je ta izrek prav tako navdušil kot osnovni izrek algebre in je pozneje objavil še pet dokazov, enega pa so našli med njegovimi papirji po smrti. Knjiga obsega tudi Gaussova proučevanja krožne delitve ali z drugimi besedami proučevanja korenov enačbe . Tako je leta 1796 prišel do znamenitega izreka, ki trdi, da se dajo stranice pravilnega mnogokotnika s 17 stranicami konstruirati samo s šestilom in ravnilom, kar je presenetljiva razširitev grškega tipa geometrije. Do tedaj so mislili, da pravilnih mnogokotnikov z n = 7, 9, 11, 13, 19, 21 in večkratnikov tako ni mogoče narisati, niso pa znali tega dokazati. Gauss je tako odkril, da se dajo z ravnilom in šestilom narisati samo vsi tisti mnogokotniki s številom stranic ali pa , kjer so med sabo različna Fermatova praštevila. Še ne 19-leten je tako našel rešitev znanega problema iz elementarne geometrije. Objavil ga je v 7., zadnjem delu svoje knjige. Prvih vseh nekaj pravilnih mnogokotnikov po Gaussu podaja razpredelnica: Obdobje med 1798 in 1807 je bilo, kot je razvidno iz njegovih pisem prijateljem, med najplodnejšimi in najsrečnejšimi v njegovem življenju. Že zelo mlad je užival mednarodno slavo. Dobil je vabilo, naj pride na dobro plačano mesto v Rusijo, ki je takrat velikopotezno najemala tuje strokovnjake. Vendar se je leta 1807, 30-leten raje odločil za mesto predstojnika astronomskega observatorija in profesorja na Univerzi v Göttingenu. Pri vsem uspehu je imel tudi svoj delež nesreče. Kmalu po prihodu v Göttingen mu je po tretjem porodu umrla žena. Znova se je oženil in v drugem zakonu imel štiri otroke. V osebnem življenju pa še vedno ni imel sreče. Obe ženi sta mu umrli še mladi, od njegovih šestih otrok ga je preživel samo eden. Precej časa je posvetil astronomiji. Že v mladosti pri 24. letih je leta 1801 postal slaven po določitvi tira asteroida Ceresa. Po njegovi metodi so lahko določili krivuljo gibanja iz treh bližnjih leg na tedaj pravkar odkritem asteroidu Ceres. Ta dobra metoda je tako omogočila, da ga je v naslednjem položaju 1. januarja 1801 v ozvezdju Bika in leta 1802 G. Piazzi v Palermu spet zasledil, saj ga je lahko opazoval le kratek čas, ko se je spet dovolj oddaljil od Sonca. Gauss je ta problem v celoti rešil. Pri tem je uporabil nekatere računske postopke, ki so bili prezahtevni za večino tedanjih astronomov. Dobil je enačbo osme stopnje. Ko so leta 1802 odkrili drugi asteroid, Palas, se je Gauss začel zanimati za sekularne motnje planetov. Leta 1809 je v delu Theoria motus corporum coelestium objavil svojo klasično metodo za izračun gibanja planetov. Iz tega področja je objavil še leta 1813 članek o privlačnosti splošnih elipsoidov, leta 1814 delo o mehanski kvadraturi in leta 1818 študijo o sekularnih motnjah. Iz tega časa je tudi njegov članek o hipergeometričnih vrstah iz leta 1812, ki je omogočil proučevanje mnogih funkcij z enega samega stališča. To je bilo prvo sistematično proučevanje konvergence vrst. Hipergeometrične funkcije so delne rešitve linearne navadne diferencialne enačbe 2. reda, hipergeometrične enačbe: če je γ od nič različen in ni celo negativno število. Enačba vsebuje večje število posebnih primerov. Na primer, za , , in , da enačba Legendreovo enačbo 1. reda: Hipergeometrične funkcije so definirane s hipergeometričnimi vrstami, ki so: zapisane s Pochhammerjevimi simboli: Kummerjeva konfluentna hipergeometrična funkcija: Vrsta konvergira absolutno za . Konvergenca za in je odvisna od števila . V prvem primeru za vrsta absolutno konvergira, če je , in divergira, če je . Pri vrsta absolutno konvergira, če je , pogojno divergira, če je , in nazadnje divergira, če je . Če je različen od nič in od celega negativnega števila, je delna rešitev hipergeometrične enačbe: Če dobro izberemo a, b in g, hipergeometrična vrsta postane kakšna znana elementarna funkcija, na primer: Poseben primer je tudi konfluentna hipergeometrična funkcija, določena z integralom: Po letu 1820 se je začel dejavno zanimati za geodezijo. Več poletij zapovrstjo je preživel ob geodetskem merjenju dela severne Nemčije. Praktična uporaba trigonometrije, triangulacija je zahtevala pokritje celotnega območja z mrežo trikotnikov, tako da so bila oglišča vsakega od teh trikotnikov medsebojno vidna. Neposredno je bilo treba izmeriti le stranico enega od trikotnikov, nato pa meriti kote danih trikotnikov in računati. Pri tem je Gauss med drugim leta 1821, 1823 odkril tudi metodo najmanjših kvadratov, s katero izenačujemo podatke, ki smo jih nabrali z opazovanjem. Metoda pri ponovljenih merjenjih omogoča kar najbolj zmanjšati vpliv slučajnih napak. Bil je eden od odkriteljev in utemeljiteljev te metode, ki je v zvezi z verjetnostnim računom. Metodo najmanjših kvadratov sta proučevala že Legendre leta 1806 in Laplace. Znana je Gaussova normalna krivulja ali krivulja normalnega zakona porazdelitve napak, ki podaja gostoto verjetnosti pri normalni porazdelitvi verjetnosti: Gaussova porazdelitev verjetnosti ali normalna porazdelitev verjetnosti pri kateri je gostota verjetnosti zvezne slučajne spremenljivke x podana s funkcijo gostote: kjer je a matematično upanje in standardna deviacija slučajne spremenljivke. Gaussov integral napak: je porazdelitvena funkcija pri normalni porazdelitvi napak. Gaussov verjetnostni integral pa je funkcija določena kot: ki ga včasih pišemo tudi kot: Posplošen Gaussov verjetnostni integral je integral oblike: Gauss je sploh rad računal. Ob tem je nastal marsikateri teoretični rezultat. Mnogo je pripomogel k teoriji analitičnih funkcij in diferencialni geometriji, kakor tudi na vseh področjih uporabnih matematičnih disciplin, zlasti v teoretični in praktični geodeziji, s tem, da je meril dolžino poldnevniškega loka med Altono in Göttingenom ter odkril heliotrop (napravo, ki močno oddaljene predmete s pomočjo odbite Sončeve svetlobe napravi vidne). Geodetska merjenja so zahtevala mnogo več časa, kot so predvidevali. Pokrajina je bila marsikje ravna, nenaseljena (brez zvonikov, stolpov in podobnih daleč vidnih točk) in porasla z gozdom. Prijatelji so ga svarili, da izgublja preveč dragoceni čas, ki bi ga lahko porabil za teoretično delo. Vendar je ob delu na terenu tudi razmišljal. Svoje teoretične in praktične prispevke h geodeziji je strnil v dve knjižici, ki sta imeli izreden vpliv na razvoj te vede. Obenem je na podlagi te izkušnje leta 1827 nastalo pomembno delo o ploskvah (o ukrivljenosti, o razdalji na ploskvi) Disquisitiones generales circa superficies curvas, pristop, ki je popolnoma različen od Mongeovega. Tu so spet praktična razmišljanja, to pot s področja višje geodezije, tesno povezana s prefinjeno teoretično analizo. V tem delu se pojavi notranja geometrija ploskev, pri kateri je ločni element ds krivulje na ploskvi izražen s kvadratno diferencialno formo: kjer sta in diferenciala krivočrtnih koordninat, koeficienti E, F in G pa: Višek je dosegel v izreku, imenovanem theorema egregium, ki trdi, da je celotna ukrivljenost ploskve odvisna samo od koeficientov E, F, in G in njihovih odvodov in je zato invarianta pri upogibanju. Gaussova ukrivljenost ploskve je: kjer sta in glavna krivinska polmera krivulje na ploskvi in ju dobimo kot korena kvadratne enačbe: kjer so D, in koeficienti druge kvadratne forme ploskve, določeni z: in d, in pa z: Toda celo v tem času, ko je Gauss vso svojo dejavnost osredotočil na probleme iz geodezije, ni zanemaril svoje prve ljubezni, »kraljice matematike«, kajti v letih 1825 in 1831 je izšlo njegovo delo o bikvadratnih ostankih. To je bilo nadaljevanje njegove teorije o kvadratnih ostankih iz njegovega dela Disquisitiones arithmeticae, toda nadaljevanje z novo metodo, s teorijo kompleksnih števil. V razpravi iz 1831 ni podal samo algebre, ampak tudi aritmetiko kompleksnih števil. Pojavila se je nova teorija praštevil, pri kateri je 3 še vedno praštevilo, pa nič več. Nova teorija kompleksnih števil je razjasnila več nejasnosti v aritmetiki, tako da je kvadratni recipročnostni zakon postal preprostejši kot pri realnih številih. V tem članku je Gauss za vedno odstranil misterij, ki je obdajal kompleksna števila, tako da jih je ponazoril s točkami v ravnini. Imel je zamisli o kvaternionih, ki jih je kasneje razvil Hamilton. V numeričnem računanju je znana njegova Gaussova eliminacijska metoda. To je metoda za reševanje n linearnih enačb z n neznankami. Pri tej metodi prevedemo z eliminacijo ene neznanke sistem enačb v nov sistem n-1 enačb z n-1 neznanko. S postopno uporabo te metode dobimo na koncu eno linearno enačbo z eno neznanko, ki jo rešimo neposredno. Jasno je, da dobimo po tej metodi rešitev samo pri pogoju, da ta obstaja. Gauss je razvil nov postopek za izračun decimalk Ludolfovega števila π, po katerem so risali mreže kvadratov s stranicami dolžine 1 in na njih od nekega središča v oglišču enega kvadrata kroge z različno dolgimi polmeri. Pri tem so šteli kvadrate, ki so vsaj z enim ogliščem padli v načrtane kroge. Pri tem je opazil da z naraščanjem polmera krogov razmerje površine teh vseh kvadratov v notranjosti krogov in kvadratom polmerov krogov teži k vrednosti π. Kot rezultat tega postopka izhaja razpredelnica: kjer je P(r) površina kvadratov v danem krogu z enim ogliščem in r polmer kroga. V limiti, ko r pobegne čez vse meje, vrednost teži k π. S to metodo so se ognili Arhimedovi mnogokotniški metodi, konvergence pa s tem niso pospešili. Leta 1844 je Dase dosegel 200 pravilnih decimalk π-ja in izboljšal Vegov rekord pod Gaussovim nadzorstvom z enačbo: Znan je izrek Gaussa in Ostrogradskega (izrek o divergenci), s katerim prevedemo trojni integral v zaklopni ploskovni integral in obratno: če je S sklenjena usmerjena ploskev (pozitivna stran je zunanja), ki omejuje prostornino V, in P, Q, R funkcije treh spremenljivk, podane na enostavnem sovisnem območju, ki vključuje to ploskev. V vektorski analizi se izrek glasi: ali: Gauss nikakor ni bil prepričan, da je evklidska geometrija zmeraj in povsod edino primerna za opisovanje okolja, v katerem živimo. Po njegovem bi bilo to treba šele preveriti. Je eden od utemeljiteljev neevklidske geometrije hkrati z Bolyaijem in Lobačevskim. Ker Gauss svojih odkritij na tem področju ni objavil, je prišlo do nekaterih neprijetnih zapletov v zvezi s prvenstvom. Vendar pa je pripomogel k priznanju dela Lobačevskega. Do konca svojega življenja je ostal v Göttingenu. Predaval, po lastnih izjavah, ni posebno rad. To v času, ko je bil za mnoge študij precej neresna zadeva, niti ni bilo čudno. Kot pravijo, je postal proti koncu življenja skoraj nedostopna veličina, morda tudi iz zagrenjenosti zaradi nesreč in nesporazumov v družini. Zanimivo je, da se je kasneje izkazalo, da je očitno odkril in uporabljal nekatere zelo važne izreke iz kompleksne analize, pa tega ni nikoli objavil. Morda zato, ker je zmeraj poskušal svoje rezultate dati v javnost v dokončni, povsem zlikani obliki, pa ni imel časa za to. Raziskovanje v fiziki Izkazal se je tudi v fiziki in matematični fiziki, zlasti v elektromagnetizmu z odkritjem magnetometra in električnega telegrafa 1833 do 1834, ko ga je začela privlačevati fizika. V tem času je opravil veliko eksperimentalnega dela s področja zemeljskega magnetizma. Sodeloval je pri prvem širšem prikazu zemeljskega magnetnega polja. Toda čas je našel tudi za izredno pomemben teoretičen dosežek, za teorijo sil, ki so obratno sorazmerne s kvadratom razdalje (Allgemeine Lehrätze, 1839, 1840). To je bil začetek potencialne teorije kot posebne veje matematike (Greenova razprava iz leta 1828 je bila v tem času praktično neznana). V tem delu je Gauss podal tudi strogi dokaz za mase s spremenljivo gostoto, ki vodi od Laplaceove enačbe do Poissonove enačbe . Iz tega so sledila določena minimalna načela o prostorskih integralih, med katerimi prepoznamo Dirichletovo načelo. Za Gaussa je bil obstoj minimuma očiten. O tem so pozneje mnogo razpravljali, končno pa je to vprašanje rešil Hilbert. Gaussova gravitacijska konstanta k je številčna vrednost gravitacijske konstante κ v Osončju. V fiziki je znan tudi njegov Gaussov merski sestav. To je sestav enot, ki temelji na osnovnih enotah za dolžino, maso in čas: centimeter, gram, sekunda (sistem cgs). Vse življenje so ga spremljale osebne nesreče in čeprav je bil bogat je umrl zagrenjen. Vsekakor pa bi težko našli človeka, ki bi bolj kot Gauss zaslužil vzdevek velikan znanosti. Delal je vse do svoje smrti. V poznejših letih se je vse več in več ukvarjal z uporabno matematiko. Toda njegove publikacije ne dajo prave slike o vsej njegovi veličini. Iz njegovih dnevnikov in nekaterih pisem vidimo, da je nekatere najgloblje misli zadržal zase. Zdaj vemo, da je Gauss že leta 1800 odkril eliptične funkcije in okoli leta 1816 obvladal neevklidsko geometrijo. O teh predmetih ni nikoli ničesar objavil, samo v nekaterih pismih prijateljem je izrazil svoje kritično stališče do poskusov, da bi dokazali Evklidov 5. postulat (aksiom o vzporednici). Kaže, da Gauss ni hotel javno razpravljati o spornih vprašanjih. V pismih je pisal o osah, ki bi mu tedaj letele okoli ušes, in o »vpitju Beočanov«, ki bi se slišalo, če bi razkril svoje skrivnosti. Sam Gauss je dvomil o veljavnosti sprejete Kantove doktrine, po kateri je naša predstava o prostoru a priori evklidska. Zanj je bila realna geometrija prostora fizikalno dejstvo, ki ga je treba odkriti s poskusi. Na univerzi ga je za štiri leta do 1859 nasledil njegov učenec Dirichlet. Gauss je pokopan na pokopališču Albanifriedhof. Od leta 1989 do konca 2001 je bil njegov portret in njegova krivulja normalne porazdelitve prikazan na bankovcu za 10 nemških mark. G. Waldo Dunnington je bil dolgoletni Gaussov študent. O njem je napisal mnogo člankov in življenjepis Carl Friedrich Gauss: Velikan znanosti (Carl Frederick Gauss: Titan of Science). Priznanja Nagrade Francoska akademija znanosti mu je leta 1910 podelila Lalandovo nagrado za njegove dosežke na področju astronomije. Leta 1838 je za svoje znanstvene dosežke prejel Copleyjevo medaljo Kraljeve družbe iz Londona. Poimenovanja Gauss (gavs) so njemu na čast poimenovali enoto za gostoto magnetnega polja v absolutnem elektromagnetnem sestavu. Po njem se imenujejo: udarni krater Gauss na Luni asteroid 1001 Gaussia raziskovalni ladji Gauss iz leta 1909 za raziskovanje antarktičnih področij v Gaussovi odpravi iz leta 1980 nemškega Zveznega urada za pomorstvo in hidrografijo (BSH) iz Hamburga Glej tudi Gauss-Kuzminova porazdelitev Gaussov gravitacijski zakon Gaussov problem o krogu Gaussov oklepaj Gaussov snop Gaussova konstanta Gaussova ploskev Gaussovo leto gaussovski jarek Sklici Zunanje povezave Stran o Carlu Friedrichu Gaussu Univerze svetega Andreja Carl Friedrich Gauss na PlanetMath Izbrana dela Gauss and his children Gaussov življenjepis Carl Friedrich Gauss – Življenjepis na blogu Fermatovega velikega izreka Gauss: mathematician of the millennium, by Jürgen Schmidhuber Angleški prevod Waltershausenovega življenjepisa, 1862 Gauss splošna spletna stran o Gaussu MNRAS 16 (1856) 80 Osmrtnica Carl Friedrich Gauss na bankovcu za 10 nemških mark "Carl Friedrich Gauss" v seriji A Brief History of Mathematics'' na BBC 4 Nemški astronomi Nemški fiziki Nemški geodeti Nemški matematiki Čudežni otroci Diplomiranci Univerze v Göttingenu Nemški univerzitetni učitelji Predavatelji na Univerzi v Göttingenu Nemški akademiki Nosilci Pour le Mérite (civilni razred) Člani Kraljeve švedske akademije znanosti Člani Madžarske akademije znanosti Prejemniki Lalandove nagrade Prejemniki Copleyjeve medalje Ljudje, po katerih so poimenovali krater na Luni


source: wikipedia

text: Ločimo med ljudstvi in narodi ter etničnimi skupnostmi (skupinami), narodnostmi in plemeni in celo nacijami. Na spodnjem abecednem seznamu so samo ljudstva, ki živijo v sedanjem času. Kaldejcev in Keltov, na primer, ni na njem, Maji pa so. Za ta ljudstva glej seznam starodavnih ljudstev. A Abhazijci Adigejci - glej Čerkezi Afari Ajmaki Ajmari Ajnuji Alani Algonkijci Altajci Amasalimiuti Amhari Anasazi Apači B Baji Bambari Bandi Batavi Batve Beji Belučijci Beni Berberi Beslenejci - glej Čerkezi Biharci Borana Briganti Burjati Barakarji (Štepančani) Č Čečeni Čerkezi Čipevjani (Dene) Čukči (Čukši) Čuvanci Čuvaši D Dačani - Dakote - Daorsi - Dariganga - Dioli - Dinki - Dogoni - Dolgani - Dorbedi - Džermi E Enci Eskimi (Inuiti, Inuji) Eveni Evenki Evi F Felaši Franki Fulani G Gepidi Gurage Gurki H Hadija - Haji - Hanti - Hazari - Heheti - Heruli - Hetiti - Hopiji - Hupaji - Huroni - Hutuji I Ibani Iboji (Igboji) Inupiati Inuvialuiti Irokezi J Jakimi - Jakuti - Janomami (Širiani) - Jaoji - Javapaji - Jekvani - Jorubi - Jukagiri - Jupiki - Jurčeni - Jutungi K Kabardinci - Kabri - Kalaaliti - Kalki - Kanuri - Karačajci - Karakalpaki - Kareni - Karimodžongi - Karveti - Kazahi - Kečuji (Quechua) - Kembata - Keti - Kiove - Kitani - Kriki (Cree) - Kmeri - Kojsani - Kongrati - Konso - Korjaki - Kornovijci - Kuranki L Lakringi - Langobardi - Laponci - Limbi - Loki - Lomvi M Maji - Makondi - Makuji - Malavi - Mandani - Mandingi - Mansi - Maori - Masaji - Mavri - Mendi - Mikito - Miksteki - Mina - Monačani - N Nahua (potomci Aztekov in sorodnih ljustev) Naristi Naurijci Navahi (Navajo) Nenci Nevari Ngalopi Nganasani Njamvezi Nube/Nubijci O Ogoni Omahe Oroki Oromo (Gali)? Otoji P Pahtuni - Pajuti - Pandarami - Parahauni - Pigmejci - Pipili - Potavatomi R Ramaguie Romi S Saami - Sariji - Sasi - Selkupi - Sereri - Severni Jakuti - Sidamo - Sindi - Songaji - Suji (Sioux) - Sukumi - Sumu - Svahilci - Svebi Š Šankila Šapsugi - glej Čerkezi Šoni Šošoni Švabi T Tamangi Tamilci (Tamili) Taruji Tatari Temni Thongi Tigrejci (Tigrinji) Tivi Tofalari Tonganci Tuaregi Tukulorji Turingi Tutsiji Tuvinci Twa - glej Batwa V Velamo Vede Vindeliki Viromanduji Volofi Z Zahodni Goti Zapoteki Glej tudi seznam jezikov, seznam narodov, ameriška domorodna ljudstva, afriška domorodna ljudstva. Ljudstva Seznami


text: Monotónost je v matematiki značilnost, da funkcija (lahko tudi zaporedje ali aritmetična operacija) povsod narašča ali pa povsod pada. Takšna funkcija je monotóna fúnkcija. Definicije Naraščanje Funkcija je na množici M naraščajoča (oz. rastoča), če ima pri večjem podatku tudi večjo (ali kvečjemu enako) funkcijsko vrednost - torej če velja: Funkcija je strogo naraščajoča (strogo rastoča), če je velja zgornji pogoj brez enakosti: Padanje Funkcija je na množici M padajoča, če ima pri večjem podatku manjšo (ali kvečjemu enako) funkcijsko vrednost - torej če velja: Funkcija je strogo padajoča, če je velja zgornji pogoj brez enakosti: Če je funkcija strogo naraščajoča ali strogo padajoča, je strógo monotóna fúnkcija. Izbira množice M Množico M v zgornjih definicijah lahko izberemo na različne načine. V matematiki najpogosteje uporabljamo naslednej tri pristope: globalno naraščanje oz. padanje - za množico M izberemo celotno definicijsko območje funkcije. naraščanje oz. padanje v okolici dane točke - za množico M izberemo okolico točke, ki nas zanima. naraščanje oziroma padanje na danem intervalu. Funkcija f(x) je absolutno monotona na danem intervalu (a, b), če so vsi njeni odvodi nenegativni v vseh točkah intervala. Lastnosti funkcij


text: Naburimani (tudi Naburimanu), kaldejski (babilonski) astronom, * 540 pr. n. št., † okoli 460 pr. n. št. Življenje in delo Naburimani je živel okoli leta 491 pr. n. št. v Babiloniji. Je najstarejši kaldejski astronom znan po imenu. Starogrški viri ga navajajo kot : Nabourianos, latinski pa Naburianus. Bil je Balatujev sin in je začel s svojim delom med vladavino perzijskih kraljev Dareja I. Velikega (549 - 486 pr. n. št.), (vladal od 521 pr. n. št. do svoje smrti) in njegovega naslednika Kserksa I. Velikega (okoli 519 - 465 pr. n. št.), (vladal od 485 pr. n. št. do svoje smrti). Naburimani je bil Kleostratov, Ajshilov, Ferehindov in Herodotov sodobnik. O njem je znanega zelo malo. Iz časa kralja Nabonasarja (Nabu-nasir) (vladal od 747 do 734 pr. n. št.) se je ohranilo precej sumerskih astronomskih zapiskov, iz katerih je razvidno, da so Sumerci po dolgotrajnih opazovanjih Sončevih in Luninih mrkov izluščili cikel 18 let in 11d ali 6585 1/3d, ki ga je v 10. stoletju enciklopedični priročnik Suda (Suidas) po Berosusu imenoval saros in po katerem Luna spet enako prekriva Sonce in zahaja v Zemljino senco. Niso znali samo točno določevati konjunkcije Sonca in Lune, ampak so poznali spremembe v gibanju Lune in spremembe navidezne kotne hitrosti Sonca ter celo planetov. Bili so sposobni določiti periode teh nepravilnosti, anomalistične mesece, posledice eliptičnih tirov nebesnih teles. Še v zgodnjem 6. stoletju pr. n. št. so tako določili relativna gibanja Sonca in Lune, Lunino prizemlje in odzemlje in njuna vozla, presečišči Luninega tira z ekliptiko, ki botrujeta saroškemu ciklu. Okoli leta 500 pr. n. št. je Naburimani s svojimi izboljšanimi opazovanji mrkov popravil te vrednosti. Gibanje Lune relativno na Sonce je bilo za 10" na leto premajhno, gibanje Luninega prizemlja za 20" na leto preveliko in gibanje njenih vozlov premajhno za 5" na leto. Te vrednosti pa je pozneje izboljšal še Kidinu, ki je prav gotovo imel odlične učitelje, saj je bil okoli leta 383 pr. n. št. še zelo mlad. Za Kidinujeve vrednosti je pozneje zvedel Hiparh. Naburimani si je zamislil tako imenovani sistem A, skupino efemerid ali tabel, ki so podajale lege Lune, Sonca in planetov za vsak trenutek dneva. Tabele, ki so temeljile na stoletnih opazovanjih, so bile neobdelane in jih je stoletje kasneje zamenjal Kidinujev sistem B. Naburimani je zbral svoje delo v knjigi v akadščini Opazovanja Lune in zvezd. Naburimani je določil dolžino Sončevega leta 365d 6 h 15m 41s, če se jo preračuna z današnjimi enotami. Za merjenje dolžin dnevov, mesecev in Sončevega leta je uporabljal vodno uro. Izračunal je tudi dolžino sinodskega meseca 29d 12h 44m 5,05s = 29,530614d v primerjavi s sodobno vrednostjo 29d 12h 44m 3,49s = 29,530596d z napako +1,56s. Pokazal je tudi kako se s pomočjo odmika od Luninih vozlov izračuna dolžina Luninega mrka. Glej tudi seznam babilonskih kraljev Babilonija Rojeni leta 540 pr. n. št. Umrli leta 460 pr. n. št. Kaldejski astronomi


text: Navòr ali (starejša izraza vrtílni momènt in rotacíjski momènt) (oznaka M) je v fiziki količina, ki nastopa pri kroženju točkastega telesa in vrtenju togega telesa. Enaka je produktu sile in razdalje premice sile od osi. Matematično je navor vektorska količina, ki se jo izračuna kot vektorski produkt med ročico r, to je krajevni vektor od izhodišča v osišču do prijemališča sile, in silo F: Velikost navora je: če je φ kot med ročico in silo. Izrek o vrtilni količini Izrek o vrtilni količini povezuje vrtilno količino s komponento navora v smeri nepremične osi. Podobno, kot pri premem gibanju velja, da je sila odvod gibalne količine po času, velja tudi pri vrtenju, da je navor odvod vrtilne količine po času: Enota za navor je Nm. Merjenje navora Navor se meri podobno kot silo, z deformacijo, npr. s tehtnico na polžasto vzmet ali s torzijsko tehtnico. Navor v avtomobilizmu Pri avtomobilih je med tehničnimi podatki o vozilu pogosto podan podatek o navoru. Zgled je na primer navor 285 Nm pri 1.950 vrtljajih na minuto. Kaj to praktično pomeni in zakaj so podani še vrtljaji? Navor 285 Nm pomeni, da bi en meter dolga ročica, pritrjena prečno na motorno gred, ustvarjala silo 285 N, kar približno ustreza teži mase 30 kg. V resnici so ročice na ojnici motorja približno dvajsetkrat manjše, sila pa dvajsetkrat večja. Takole na prste se lahko oceni, da eksplozija mešanice bencinskih ali dizelskih hlapov potisne bat v valju z enako silo, kot bi bila nanj obešena 600-kilogramska utež. Za razliko od elektromotorjev, pri katerih je navor praktično neodvisen od frekvence, s katero se motor vrti - pri njih bi se prej opisan »poskus« z merjenjem sile na osi motorja lahko tudi res izvedel - pri motorjih z notranjim zgorevanjem ni tako, ampak obstaja neko optimalno območje vrtljajev, pri katerih je navor največji. Pri nižjih vrtljajih so eksplozije v valjih preveč poredke, čas, v katerem se motor vrti le zaradi vztrajnosti, pa predolg, pri višjih pa postane problem dovolj hitro odvajanje zgorelih plinov in dovajanje sveže mešanice (pri še višjih bi nastala omejitev mehanske trdnosti gibljivih kovinskih delov). Pri dizelskih motorjih - zgornji podatek je verjetno za enega teh - je optimalno območje pri nekoliko nižjih obratih kot pri bencinskih. Ker je skalarni produkt navora in kotne hitrosti moč motorja: se lahko iz podane krivulje navora izračuna tudi krivuljo odvisnosti moči motorja od števila obratov. Glej tudi dvojica sil Pronyjeva zavora prosta precesija precesija Osnovni fizikalni koncepti Motorji Fizikalne količine Vrtenje Fizikalne sile


text: Niels Henrik Abel, norveški matematik, * 5. avgust 1802, Nedstrand pri Finnoyi, pokrajina Rogaland, Norveška, † 6. april 1829, Froland pri Arendalu, Norveška. Življenje Abelovo življenje se je začelo in končalo z revščino. Bil je sin norveškega vaškega duhovnika. Njegov oče, Søren Georg Abel, je imel diplomo iz teologije in psihologije, stari oče pa je bil dejaven protestantski minister v Gjerstadu pri Risørju. Njegovo kratko življenje je bilo skoraj tako tragično kot Galoisovo. Po smrti starega očeta je njegov oče postal minister v Gjerstadu. Leta 1815 je začel obiskovati stolnično šolo v Kristianiji (takratnem Oslu). Tedaj je ekonomska kriza na Norveškem zajela njegovo družino. Najprej je bil v šoli nezadovoljen. Vse se je spremnilo, ko je leta 1817 postal profesor matematike Holmboe. Holmboe je uvidel Abelov dar za matematiko in ga vzpodbudil, da se je začel učiti matematiko z univerzitetne stopnje. Ko je leta 1820 umrl Abelov oče, je bila družina prepuščena težkemu preživetju. Holmboe je podprl Abela s štipendijo, da je lahko ostal v šoli in si pri prijateljih sposodil denar, da mu je lahko omogočil vpis na Friderikovo univerzo v Kristianiji. Leta 1821 se je tako vpisal na univerzo. Tam je kot študent nekaj časa mislil, da je rešil enačbo pete stopnje, a je svojo napako popravil v brošuri, ki je izšla leta 1824. To je znani članek, v katerem je dokazal, da se splošna algebrska enačba pete stopnje: ne da rešiti z radikali, problem, ki je izzival matematike od časov Bombellija in Vieta. Dokaz, ki ga je leta 1799 navedel Ruffini, se je zdel Poissonu in drugim matematikom preveč nedoločen (glej Abel-Ruffinijev izrek). Abel je diplomiral leta 1822. Po obisku Degna in drugih matematikov v Københavnu je zaprosil za denarno pomoč, da bi lahko obiskal najboljše matematike v Nemčiji in Franciji. Namesto tega je dobil sredstva, da je lahko dve leti ostal v Kristianiji. V tem času se je učil nemščine in francoščine in leta 1824 objavil svoj prvi članek Razprava o algebrskih enačbah, v kateri je dokazana nezmožnost reševanja splošne enačbe pete stopnje (Mémoire sur les équations algébriques ou on démontre l'impossibilité de la résolution de l'équation générale du cinquième degré). Večina matematikov se je spraševala 'kakšna je rešitev', Abel pa se je pri tem vprašal 'ali rešitev obstaja'. Leta 1823 je dokazal nezmožnost rešitve splošne enačbe pete stopnje. Njegova razprava je bila težko razumljiva, delno tudi zaradi varčevanja z denarjem pri tiskanju. Podrobnejši dokaz je izšel leta 1826 v prvem zvezku Crelleove revije. Abel je leta 1825 dobil vladno štipendijo, ki mu je omogočila, da je dve leti potoval v Berlin, Italijo in Pariz. Med potovanjem je obiskal Schumacherja v Altoni. Šest mesecev je preživel v Berlinu, kjer je spoznal Crellea, ki se je pripravljal na izdajanje svoje matematične revije. Abel je ta projekt toplo pozdravil in je bil tudi zaslužen, da je revija doživela uspeh. Iz Berlina je odšel v Freiburg kjer je raziskoval teorijo funkcij: eliptične, hipereliptične in nov razred funkcij, abelovske funkcije. Med potovanji je napisal več člankov iz uporabne matematike, o konvergenci vrst, Abelovih integralih in eliptičnih funkcijah. V letu 1826 je odšel v Pariz in tu ostal deset mesecev. Tu se je srečal z vodilnimi francoskimi matematiki, vendar so ga slabo sprejeli, ker je bilo njegovo delo skoraj neznano. Pomanjkanje denarja ga je prisililo da se je vrnil v domovino. Leta 1828 je postal inštruktor na univerzi in vojaški šoli v Kristianiji. Mučili sta ga beda in tuberkuloza. Plahi in vase zaprti mladi matematik je navezal le malo osebnih stikov. Za božič 1828 je obiskal svojo zaročenko. Zdravstveno stanje se mu je za kratek čas poboljšalo, vendar je kmalu po božiču resno zbolel. Crelle je v tem času v Berlinu iskal službo zanj. Uspelo mu je zanj dobiti profesorsko mesto na Univerzi v Berlinu in mu je 8. aprila 1829 pisal. Bilo je prepozno, saj je Abel umrl dva dni prej. Delo Abelovi izreki v teoriji neskončnih vrst kažejo, da je tej teoriji lahko dal trdno osnovo. »Ali si lahko predstavljate kaj strašnejšega od trditve, da je 0 = 1n - 2n + 3n - 4n + ..., kjer je n naravno število?« je pisal prijatelju in nadaljeval: »V matematiki je komaj kje najti kako neskončno vrsto, katere vsota bi bila določena na popolnoma strog način.« (Pismo Holmboeju, 1826). Abel je pomemben zlasti s svojimi deli iz višje algebre, teorije grup, integralnega računa in iz teorije eliptičnih funkcij. Njegovo proučevanje eliptičnih funkcij je bilo kratko, a razburljivo tekmovanje z Jacobijem. Iz Gaussovih zasebnih zapiskov vidimo, da je Gauss že odkril, da obrat eliptičnih integralov vodi do enoličnih dvojno periodičnih funkcij, toda teh svojih zamisli ni nikoli objavil. Legendre, ki je eliptičnim integralom posvetil toliko truda, je to popolnoma spregledal in Abelova odkritja, ki jih je bral kot star mož, so nanj naredila globok vtis. Abel je imel srečo, da je našel novo znanstveno revijo, v kateri so radi objavljali njegove članke; v prvem zvezku revije Journal für die reine und angewandte Mathematik, ki jo je izdajal Crelle, je bilo nič manj kot pet Abelovih člankov. V drugem zvezku iz leta 1827 je izšel prvi del njegovih Recherches sur les fonktions elliptiques, kar pomeni začetek teorije dvojno periodičnih funkcij. Govorimo o Abelovi integralski enačbi in o Abelovem izreku vsote integralov algebrskih funkcij, ki vodi do Abelovih funkcij. Komutativne grupe imenujemo Abelove grupe, kar kaže kako zelo so bile Galoisove zamisli sorodne Abelovim. Pomemben razred transcendentnih funkcij se imenuje po njem; to so Abelove enačbe, grupe in telesa. Njegova dela so izšla šele 10 let po njegovi smrti leta 1839. Binomski izrek sta odkrila Newton in Euler, Abel pa ga je posplošil vključno z iracionalnimi in negativnimi eksponenti. Legendre je o Abelu dejal: »kakšno glavo je imel mladi Norvežan!« Abelovo kratko življenje je prekinilo njegovo izjemno bistrost. Prevladujoče nejasnosti v analizi so z Abelom začele postajati jasnejše. Začeli so raziskovati na novih področjih in študij funkcij je matematikom omogočil nov zagon. Njegova dela, od katerih je večji del izšel v Crelleovi reviji, je uredil Holmboe in norveška vlada jih je objavila leta 1839. Leta 1881 je izšla razširjena izdaja, ki sta jo uredila Sylow in Lie. Mnogo matematičnih objektov je dobilo pridevnik abelovski. Priznanja Poimenovanja Po njem se od leta 2002 imenuje Abelova nagrada, nagrada, ki bi jo radi v zadnjem času poistovetili z Nobelovo nagrado za doprinose na področju matematike, namesto dosedanje najimenitnejše Fieldsove medalje. Po njem se imenuje udarni krater Abel na Luni. Sklici Glej tudi Abelov izrek Abelova grupa Abelova kategorija Abelova raznoterost Abelova transformacija Norveški matematiki Diplomiranci Univerze v Oslu Umrli za tuberkulozo Ljudje, po katerih so poimenovali krater na Luni Niels Henrik Abel Ljudje, po katerih so poimenovali nagrado


text: Nikomah [nikómah] (: Nikómahos hó Gerasénos), grški matematik in filozof, * okoli 60, Herada, rimska Sirija (sedaj Jaraš, Jordanija), † okoli 120. Življenje in delo Nikomah je bil novopitagorejec. V svoji filozofiji števil je zastopal zamisel vnaprejšnjega (apriornega) obstoja števil v duhu stvarnika. Njegova filozofija je bila svojevrstna sinteza Platonove in Filonove filozofije. V njegovi tedaj zelo vplivni knjigi Uvod v aritmetiko (Introductio Arithmetica (Arithmeticae), grško Arithmetike eisagoge) je prvič v zgodovini grške matematike aritmetiko obravnaval neodvisno od geometrije. Knjiga večinoma obravnava ista vprašanja kot aritmetične knjige Evklidovih Elementov, toda medtem ko je Evklid predstavljal števila z daljicami, je Nikomah uporabljal aritmetično pisavo, navaden jezik pa le, kadar je bilo treba izraziti nedoločena števila. Njegovo obravnavanje mnogokotniških in piramidnih števil je vplivalo na srednjeveško matematiko, posebno z izročilom Boetija, ki je prevedel v latinščino njegovo aritmetiko. V svoji knjigi je Nikomah navedel štiri tedaj znana popolna števila in prvi pisal o nezadostnih številih in obilnih številih. Glej tudi seznam grških filozofov seznam grških matematikov Grški matematiki Grški filozofi Grki v 1. stoletju n. št. Grki v 2. stoletju Pitagorejci Rimski filozofi


text: Nobelova nagrada za fiziko () je ena od Nobelovih nagrad, ki jih od leta 1901 podeljuje švedski Nobelov sklad za pomembne dosežke v fiziki. Je ena od petih nagrad, ki jih je švedski izumitelj Alfred Nobel predvidel v svoji oporoki. Nagrajence izbira petčlanska komisija, ki jo volijo člani Kraljeve švedske akademije znanosti. Velja za najprestižnejšo nagrado za dosežke na področju fizike na svetu. Seznam dobitnikov Podrobnejše obrazložitve so na spletni strani Nobelovega sklada. Od 2020 2023 Pierre Agostini Ferenc Krausz Anne L'Huillier »Za eksperimentalne metode, ki generirajo atosekundne pulze svetlobe za preučevanje dinamike elektronov v snoveh.« 2022 Alain Aspect John F. Clauser Anton Zeilinger »Za poskuse s prepletenimi fotoni, ugotovitev kršitve Bellovih neenakosti in pionirsko delo na področju kvantne informatike.« 2021 Sjukuro Manabe Klaus Hasselmann »Za fizikalno modeliranje Zemljinega podnebja, kvantifikacijo variabilnosti in zanesljivo napoved globalnega segrevanja.« Giorgio Parisi »Za odkritje medsebojnega vpliva neurejenosti in fluktuacij v fizikalnih sistemih od atomske do planetarne ravni.« 2020 Roger Penrose »Za odkritje, da je nastanek črnih lukenj robusten prediktor splošne teorije relativnosti.« Reinhard Genzel Andrea M. Ghez »Za odkritje supermasivnega kompaktega objekta v središču naše galaksije«. 2010–2019 2019 James Peebles »Za teoretična odkritja na področju fizikalne kozmologije«. Michel Mayor Didier Queloz »Za odkritje eksoplaneta, ki kroži okoli Soncu podobne zvezde« 2018 Arthur Ashkin »Za optično pinceto in njeno uporabo v bioloških sistemih«. Gérard Mourou Donna Strickland »Za njuno metodo generiranja visokointenzitetnih in ultrakratkih optičnih pulzov«. 2017 Rainer Weiss Barry Clark Barish Kip Stephen Thorne »Za ključne prispevke k detektorju LIGO in opazovanju gravitacijskega valovanja«. 2016 David J. Thouless F. Duncan M. Haldane J. Michael Kosterlitz »Za teoretična odkritja topoloških prehodov med fazami in topoloških faz snovi«. 2015 Takaaki Kadžita Arthur Bruce McDonald »Za njuno delo na področju raziskovanja nevtrinov, s katerim sta dokazala, da imajo nevtrini maso«. 2014 Isamu Akasaki Hiroši Amano Šuji Nakamura »Za izum učinkovitih modrih svetlečih diod, ki so omogočile svetle in energetsko varčne svetilke bele barve« 2013 François Englert Peter Higgs »za teoretično odkritje mehanizma, ki prispeva k našemu razumevanju izvora mase podatomskih delcev in jo je pred kratkim potrdilo odkritje predvidenega osnovnega delca s poskusi ATLAS in CMS v Cernovem Velikem hadronskem trkalniku« 2012 Serge Haroche David Jeffrey Wineland »za prelomne eksperimentalne metode, ki omogočajo merjenje in upravljanje posameznih kvantnih sistemov« 2011 Saul Perlmutter Brian Paul Schmidt Adam Guy Riess »za odkritje pospešenega širjenja Vesolja z opazovanji oddaljenih supernov« 2010 Andre Geim (Андрей Константинович Гейм) Konstantin Novoselov (Константин Сергеевич Новосёлов) »za prelomne poskuse z dvorazsežnim materialom grafenom« 2000–2009 2009 Charles Kuen Kao (高錕) »za prelomna odkritja na področju prenosa svetlobe v vlaknih v namen optične komunikacije« Willard Sterling Boyle George Elwood Smith »za izum polprevodniškega vezja za zajem slike - senzorja CCD« 2008 Joičiro Nambu (南部 陽一郎) Makoto Kobajaši (小林 誠) Tošihide Maskava (益川 敏英) »za odkritje mehanizma spontanega zloma elektrošibke simetrije v podatomski fiziki, ki napoveduje vsaj tri družine kvarkov v naravi« 2007 Albert Fert Peter Grünberg »za odkritje pojava GMR« 2006 John Cromwell Mather George Fitzgerald Smoot III. »za odkritje značilnosti črnega telesa in anizotropije kozmičnega mikrovalovnega sevanja ozadja« 2005 Roy Jay Glauber »za doprinos h kvantni teoriji optične koherence« Theodor Wolfgang Hänsch :John Lewis Hall »za doprinos k razvoju laserske spektrografije« 2004 David Jonathan Gross Hugh David Politzer Frank Anthony Wilczek »za odkritje asimptotične svobode v teoriji močne jedrske sile« 2003 Aleksej Aleksejevič Abrikosov (Алексей Алексеевич Абрикосов) Vitalij Lazarevič Ginzburg (Виталий Лазаревич Гинзбург) Anthony James Leggett »za pionirske doprinose k teoriji superprevodnosti in supertekočnosti« 2002 Raymond Davis mlajši Masatoši Košiba (小柴 昌俊) »za pionirske prispevke k astrofiziki, še posebej za odkritje kozmičnih nevtrinov« Riccardo Giacconi »za pionirske prispevke k astrofiziki, ki so vodili k odkritju kozmičnih virov rentgenskih žarkov« 2001 Eric Allin Cornell Wolfgang Ketterle Carl Edwin Wieman »za doseženo Bose-Einsteinovo kondenzacijo v razredčenih plinih alkalnih atomov, ter za zgodnje osnovne raziskave značilnosti kondenzatov« 2000 Žores Ivanovič Alfjorov (Жорес Иванович Алфёров) »za temeljno delo v informacijski in komunikacijski tehnologiji« Herbert Kroemer »za razvoj polprevodniških heterostruktur, uporabljenih v optoelektroniki in elektroniki visoke hitrosti« Jack St. Clair Kilby »za delež pri izumu integriranega vezja« 1990–1999 1999 Gerardus 't Hooft Martinus Justinus Godefriedus Veltman »za pojasnitev kvantne zgradbe elektrošibke interakcije v fiziki« 1998 Robert Betts Laughlin Horst Ludwig Störmer Daniel Chee Tsui »za odkritje nove oblike kvantne tekočine z delno nabitimi ekscitacijami« 1997 Steven Chu Claude Cohen-Tannoudji William Daniel Phillips »za razvoj postopkov za hlajenje in lovljenje atomov z lasersko svetlobo« 1996 David Morris Lee Douglas Dean Osheroff Robert Coleman Richardson »za odkritje supertekočnosti helija-3« 1995 :»za pionirske eksperimentalne doprinose k fiziki leptonov« Martin Lewis Perl »za odkritje leptona tau« Frederick Reines »za zaznavo nevtrina« 1994 :»za pionirske prispevke k razvoju tehnik preučevanja zgoščene snovi s sipanjem nevtronov« Bertram Neville Brockhouse »za razvoj nevtronske spektroskopije« Clifford Glenwood Shull »za razvoj postopka nevtronske difrakcije« 1993 Russell Alan Hulse Joseph Hooton Taylor mlajši »za odkritje nove vrste pulzarja, odkritju, ki je odprlo nove možnosti preučevanja gravitacije« 1992 Georges Charpak »za izum in razvoj merilnikov delcev, še posebej večžične proporcionalne komore« 1991 Pierre-Gilles de Gennes »za odkritje, da se lahko postopki, razviti za preučevanje urejenih pojavov v preprostih sestavih, posplošijo na obsežnejše oblike snovi, še posebej na tekoče kristale in polimere« 1990 Jerome Isaac Friedman Henry Way Kendall Richard Edward Taylor »za pionirske raziskave globokega neprožnega sipanja elektronov na protonih in vezanih nevtronih, ki so bili bistvenega pomena za razvoj modela kvarkov v fiziki delcev« 1980–1989 1989 Norman Foster Ramsey »za izum postopka ločenih nihajočih polj in njegovo uporabo v vodikovem maserju in v drugih atomskih urah« Hans Georg Dehmelt Wolfgang Paul »za razvoj postopka elektronske in ionske pasti« 1988 Leon Max Lederman Melvin Schwartz Jack Steinberger »za postopek nevtrinskih snopov ter za ponazoritev dubletne zgradbe leptonov z odkritjem mionskega nevtrina« 1987 Johannes Georg Bednorz Karl Alexander Müller »za pomemben preboj pri odkritju visokotemperaturne superprevodnosti keramičnih snovi« 1986 Ernst Ruska »za temeljno delo v elektronski optiki in za zasnovo prvega elektronskega mikroskopa« Gerd Binnig Heinrich Rohrer »za zasnovo vrstičnega tunelskega mikroskopa« 1985 Klaus von Klitzing »za odkritje kvantnega Hallovega pojava« 1984 Carlo Rubbia Simon van der Meer »za odločilni prispevek k velikemu projektu, ki je vodil k odkritju delcev polja bozonov W in Z, ki posredujeta šibko interakcijo« 1983 Subrahmanyan Chandrasekhar »za teoretična proučevanja fizikalnih procesov, pomembnih za zgradbo in nastanek zvezd« William Alfred Fowler »za teoretična in eksperimentalna proučevanja jedrskih reakcij, pomembnih pri tvorbi kemičnih elementov v Vesolju« 1982 Kenneth Geddes Wilson »za teorijo kritičnih pojavov v povezavi s faznimi prehodi« 1981 Nicolaas Bloembergen Arthur Leonard Schawlow »za doprinos k razvoju laserske spektroskopije« Kai Manne Börje Siegbahn »za doprinos k razvoju elektronske spektroskopije z visoko ločljivostjo« 1980 James Watson Cronin Val Logsdon Fitch »za odkritje prekršitve osnovnih načel simetrije CP pri razpadu nevtralnih K-mezonov« 1970–1979 1979 Sheldon Lee Glashow Abdus Salam Steven Weinberg »za doprinose k teoriji poenotene šibke in elektromagnetne interakcije med osnovnimi delci in med drugim za napoved šibkega nevtralnega toka« 1978 Peter Leonidovič Kapica (Пётр Леонидович Капица) »za osnovni izum in odkritja na področju fizike zelo nizkih temperatur« Arno Allan Penzias Robert Woodrow Wilson »za odkritje kozmičnega mikrovalovnega prasevanja ozadja« 1977 Philip Warren Anderson Sir Nevill Francis Mott John Hasbrouck van Vleck »za temeljna teoretična raziskovanja elektronske zgradbe magnetnih in neurejenih sestavov« 1976 Burton Richter Samuel Chao Chung Ting (丁肇中, pinjin Dīng Zhàozhōng) »za pionirsko delo pri odkritju težkega osnovnega delca J/Ψ nove vrste« 1975 Aage Niels Bohr Ben Roy Mottelson Leo James Rainwater »za odkritje o povezavi med skupnim gibanjem in delčnim gibanjem v atomskem jedru ter za razvoj teorije o zgradbi atomskega jedra, ki temelji na teh povezavah« 1974 Sir Martin Ryle Antony Hewish »za pionirsko raziskavo v radijski astrofiziki: Ryle za opazovanja in izume in še posebej za postopek aperturne sinteze, in Hewish za odločilno vlogo pri odkritju pulzarjev« 1973 Leo Esaki (江崎 玲於奈) Ivar Giaever »za eksperimentalna odkritja povezana s tunelskim pojavom v polprevodnikih in superprevodnikih« Brian David Josephson »za teoretične napovedi značilnosti supertoka skozi tunelsko oviro in še posebej za tiste pojave, ki so splošno znani kot Josephsonovi pojavi« 1972 John Bardeen Leon Neil Cooper John Robert Schrieffer »za skupaj razvito teorijo superprevodnosti, po navadi imenovano teorijo BCS« 1971 Dennis Gabor »za izum in razvoj postopka holografije« 1970 Hannes Olof Gösta Alfvén »za temeljno delo in odkritja v magnetohidrodinamiki s plodnimi uporabami na različnih področjih fizike plazme« Louis Eugène Félix Néel »za temeljno delo in odkritja povezana z antiferomagnetizmom in feromagnetizmom, ki so vodila do pomembnih uporab v fiziki trdnin« 1960–1969 1969 Murray Gell-Mann »za doprinose in odkritja povezana z razvrstitvijo osnovnih delcev in njihovih interakcij« 1968 Luis Walter Alvarez »za odločilne doprinose k fiziki osnovnih delcev in še posebej za odkritje velikega števila resonančnih stanj, ki se je uresničilo prek razvoja postopka uporabe vodikove mehurčne celice in razčlenitve podatkov« 1967 Hans Albrecht Bethe »za doprinose k teoriji jedrskih reakcij in še posebej za odkritja povezana s sproščanjem energije v zvezdah« 1966 Alfred Kastler »za odkritje in razvoj optičnih postopkov pri raziskovanju Hertzovih resonanc v atomih« 1965 Šiničiro Tomonaga (朝永 振一郎) Julian Seymour Schwinger Richard Phillips Feynman »za temeljno delo v kvantni elektrodinamiki skupaj z globokimi posledicami za fiziko osnovnih delcev« 1964 Charles Hard Townes Nikolaj Genadijevič Basov (Николай Геннадиевич Басов) Aleksander Mihajlovič Prohorov (Александр Михайлович Прохоров) »za temeljno delo na področju kvantne elektronike, ki je pripeljalo do izdelave oscilatorjev in ojačevalnikov na osnovi načel maserja in laserja« 1963 Eugene Paul Wigner »za doprinose k teoriji atomskega jedra in osnovnih delcev, še posebej prek odkritja in uporabe osnovnih načel simetrije« Maria Goeppert-Mayer Johannes Hans Daniel Jensen »za odkritja povezana z zgradbo jedrske lupine« 1962 Lev Davidovič Landau (Лев Давидович Ландау) »za pionirske teorije zgoščene snovi in še posebej za teorijo kapljevinskega helija« 1961 Robert Hofstadter »za pionirske raziskave sipanja zelo hitrih elektronov na atomskih jedrih in dosežena odkritja, ki so povezana z zgradbo nukleonov« Rudolf Ludwig Mössbauer »za raziskave resonančne absorpcije žarkov γ in odkritje Mössbauerjevega pojava« 1960 Donald Arthur Glaser »za izum mehurčne celice« 1950–1959 1959 Emilio Gino Segrè Owen Chamberlain »za odkritje antiprotona« 1958 Pavel Aleksejevič Čerenkov (Павел Алексеевич Черенков) Ilja Mihajlovič Frank (Илья Михайлович Франк) Igor Jevgenjevič Tamm (Игорь Евгеньевич Тамм) »za odkritje in opis pojava Čerenkova« 1957 Chen Ning Franklin Yang (楊振寧, pinjin Yáng Zhènníng) Tsung-Dao Lee (李政道, pinjin Lǐ Zhèngdào) »za bistro raziskovanje tako imenovanih zakonov parnosti, ki je vodilo do pomembnih odkritij, ki se nanašajo na osnovne delce« 1956 William Bradford Shockley John Bardeen Walter Houser Brattain »za raziskave polprevodnikov in odkritje tranzistorskega pojava« 1955 Willis Eugene Lamb mlajši »za odkritja povezana s fino strukturo vodikovega spektra« Polykarp Kusch »za točno določitev magnetnega momenta elektrona« 1954 Max Born »za temeljne raziskave v kvantni mehaniki in še posebej za statistično interpretacijo valovne funkcije« Walther Wilhelm Georg Bothe »za razvoj koincidenčnega merilnega postopka in za odkritja povezana z njim« 1953 Frits Zernike »za prikaz postopka faznega odtenka in še posebej za izum faznega mikroskopa« 1952 Felix Bloch Edward Mills Purcell »za razvoj novih postopkov točnih meritev z jedrsko magnetno resonanco in za odkritja, povezana z njimi« 1951 Sir John Douglas Cockcroft Ernest Thomas Sinton Walton »za pionirsko delo o pretvorbi atomskega jedra z umetno pospešenimi atomskimi delci« 1950 Cecil Frank Powell »za razvoj fotografskega postopka raziskovanja jedrskih procesov in odkritja, povezana z mezoni in odkrita na ta način« 1940–1949 1949 Hideki Jukava (湯川 秀樹) »za napoved obstoja mezonov na podlagi teoretičnega dela o jedrskih silah« 1948 Patrick Maynard Stuart Blackett »za razvoj metode z Wilsonovo meglično celico in raziskave na področjih jedrske fizike in kozmičnega sevanja« 1947 Sir Edward Victor Appleton »za raziskave fizike zgornjih plasti ozračja in še posebej za odkritje Appletonove plasti« 1946 Percy Williams Bridgman »za izum naprave za zelo visoke tlake in za odkritja na področju fizike visokih tlakov« 1945 Wolfgang Ernst Pauli »za odkritje Paulijevega izključitvenega načela« 1944 Isidor Isaac Rabi »za resonančno metodo zapisovanja magnetnih značilnosti atomskih jeder« 1943 Otto Stern »za doprinos k razvoju postopkov molekularnih žarkov in za odkritje magnetnega momenta protona« 1942 - ni bila podeljena; 1/3 denarne nagrade so dodelili glavnemu skladu, 2/3 pa posebnemu skladu tega dela nagrade 1941 - ni bila podeljena; 1/3 denarne nagrade so dodelili glavnemu skladu, 2/3 pa posebnemu skladu tega dela nagrade 1940 - ni bila podeljena; 1/3 denarne nagrade so dodelili glavnemu skladu, 2/3 pa posebnemu skladu tega dela nagrade 1930–1939 1939 Ernest Orlando Lawrence »za izum in razvoj ciklotrona ter za z njim pridobljene rezultate, še posebej v zvezi z umetno radioaktivnimi elementi« 1938 Enrico Fermi »za prikaze obstoja novih radioaktivnih elementov, pridobljenih z obsevanjem z nevtroni, ter za s tem povezano odkritje jedrskih reakcij s počasnimi nevtroni« 1937 Clinton Joseph Davisson George Paget Thomson »za eksperimentalno odkritje uklona elektronov na kristalu« 1936 Victor Franz Hess »za odkritje kozmičnih žarkov« Carl David Anderson »za odkritje pozitrona« 1935 Sir James Chadwick »za odkritje nevtrona« 1934 - ni bila podeljena; 1/3 denarne nagrade so dodelili glavnemu skladu, 2/3 pa posebnemu skladu tega dela nagrade 1933 Erwin Schrödinger Paul Adrien Maurice Dirac »za odkritje novih plodnih oblik atomske teorije« 1932 Werner Karl Heisenberg »za razvoj kvantne mehanike, katere uporaba je med drugim vodilo do odkritja alotropnih oblik vodika« 1931 - ni bila podeljena; denarno nagrado so dodelili posebnemu skladu tega dela nagrade 1930 Sir Čandrasekara Venkata Raman »za delo o sipanju svetlobe in za odkritje Ramanovega pojava« 1920–1929 1929 Princ Louis-Victor Pierre Raymond de Broglie »za odkritje valovne narave elektronov« 1928 Owen Willans Richardson »za delo o termoelektronskem sevanju in posebej za odkritje Richardsonovega zakona« 1927 Arthur Holly Compton »za odkritje Comptonovega pojava« Charles Thomson Rees Wilson »za postopek prepoznave poti električno nabitih delcev z meglično celico« 1926 Jean Baptiste Perrin »za delo o nezvezni zgradbi snovi in posebej za odkritje ravnovesja sesedanja« 1925 James Franck Gustav Ludwig Hertz »za odkritje zakonov neprožnega trka elektrona z atomom« 1924 Karl Manne Georg Siegbahn »za odkritja in raziskavo na področju rentgenske spektroskopije« 1923 Robert Andrews Millikan »za delo o osnovnem naboju elektrike in fotoelektričnem pojavu« 1922 Niels Henrik David Bohr »za delo v raziskovanju zgradbe atomov in sevanja, ki izvira iz njih« 1921 Albert Einstein »za doprinos k teoretični fiziki in posebej za odkritje in razlage zakona o fotoelektričnem pojavu« 1920 Charles Édouard Guillaume »za vloženo delo v točna merjenja v fiziki z odkritjem nepravilnosti v nikljevih jeklenih zlitinah« 1910–1919 1919 Johannes Stark »za odkritje Dopplerjevega pojava v kanalskih žarkih in razcepitve spektralnih črt v električnih poljih« 1918 Max Karl Ernst Ludwig Planck »za vloženo delo v napredek fizike z odkritjem energijskih kvantov« 1917 Charles Glover Barkla »za odkritje značilnega rentgenskega sevanja elementov« 1916 - ni bila podeljena; denarno nagrado so dodelili posebnemu skladu tega dela nagrade 1915 Sir William Henry Bragg William Lawrence Bragg »za delo v analizi zgradbe kristalov z rentgensko svetlobo« 1914 Max von Laue »za odkritje loma rentgenske svetlobe v kristalih« 1913 Heike Kamerlingh Onnes »za raziskovanja značilnosti snovi pri nizkih temperaturah, ki so med drugim vodila k proizvodnji kapljevinskega helija« 1912 Nils Gustaf Dalén »za iznajdbo samodejnih regulatorjev pri uporabi v povezavi s plinskimi akumulatorji za osvetljevanje svetilnikov in plovcev« 1911 Wilhelm Wien »za odkritja v zvezi s sevalnimi zakoni toplote« 1910 Johannes Diderik van der Waals »za delo o enačbi stanja plinov in kapljevin« 1901–1909 1909 Guglielmo Marconi Karl Ferdinand Braun »za doprinose k razvoju brezžične telegrafije« 1908 Gabriel Lippmann »za postopek izdelave barvnih fotografskih slik na podlagi pojava interference« 1907 Albert Abraham Michelson »za točne optične inštrumente in spektroskopske in meroslovne raziskave z njihovo pomočjo« 1906 Sir Joseph John Thomson »za velike zasluge pri teoretičnih in eksperimentalnih raziskavah o prevodnosti električnega toka v plinih« 1905 Philipp Eduard Anton von Lenard »za delo o katodnih žarkih« 1904 John William Strutt Rayleigh : »za raziskovanje gostote najpomembnejših plinov in za odkritje argona v povezavi s temi raziskavami« 1903 Antoine Henri Becquerel »za izredno vloženo delo v odkritje naravne radioaktivnosti« Pierre Curie Marie Skłodowska-Curie »za izredno vloženo delo v skupne raziskave o sevanju, ki ga je odkril profesor Henri Becquerel« 1902 Hendrik Antoon Lorentz Pieter Zeeman »za izredno vloženo delo v raziskave o vplivu magnetizma na sevanje« 1901 Wilhelm Conrad Röntgen »za izredno vloženo delo v odkritje rentgenske svetlobe« Narodnost dobitnikov Pripombaː država se šteje le enkrat, tudi če je v danem letu več prejemnikov iz nje. Viri Vse dobesedne navedbe so povzete s spletne strani Nobelovega sklada. Zunanje povezave Nobel Prize Winners for Physics - Britannicin vodnik Nobelovih nagrad za fizika do leta 1997. Nobel Laureates in Physics, 1901-Present - Nobelovi nagrajenci za fiziko, Linearni pospeševalnik (SLAC), Univerza Stanford Nagrade v fiziki Fizika Nagrade, ustanovljene leta 1901 Kraljeva švedska akademija znanosti


text: Paul Adrien Maurice Dirac [pól éjdrijen mouríse dirék], FRS, britanski fizik in matematik, * 8. avgust 1902, Bristol, grofija Gloucestershire, Anglija, † 20. oktober 1984, Tallahassee, Florida, ZDA. Življenje in delo Dirac je leta 1928 delal na Paulijevem delu o nerelativističnih spinskih sestavih in pri tem izpeljal Diracovo enačbo, to je relativistično enačbo, ki opiše elektron. To mu je omogočilo, da je predvidel obstoj pozitrona, antidelca elektrona. Pozitron je že pred tem opazoval Carl David Anderson leta 1932. Diracovo delo Načela kvantne mehanike (Principles of Quantum Mechanics), objavljeno leta 1930, je uvedlo uporabo linearnih operatorjev, kot posplošitev Heisenbergovih in Schrödingerjevih teorij. V tem delu je tudi prvič uporabil zapis z oklepaji, kjer |Ψ> označuje vektor stanja v Hilbertovem prostoru sestava in <Ψ| njegov dvojni vektor. Dirac je vpeljal tudi Diracovo porazdelitveno funkcijo δ(x), s katero si pomagamo pri pojmovni predstavi elektrona kot točke. Dirac je razvijal tudi kvantno teorijo polja. Leta 1933 je prejel Nobelovo nagrado za fiziko skupaj z Erwinom Schrödingerjem za odkritja novih plodnih prijemov v atomski teoriji. Dirac je bil Lucasov profesor matematike na Univerzi v Cambridgeu od leta 1932 do 1969 in je študiral na Univerzi v Bristolu. Priznanja Nagrade Kraljeva družba iz Londona mu je leta 1939 za njegov vodilni delež pri razvoju kvantne mehanike podelila svojo kraljevo medaljo. Leta 1952 je za svoje znanstvene dosežke prejel njeno Copleyjevo medaljo. Poimenovanja Njemu v čast podeljujejo Diracovo medaljo in nagrado in Diracovo medaljo, obe za dosežke na področju teoretične fizike in matematike. Glej tudi Diracov fermion Diracova domneva velikih števil Diracovo morje Sklici Viri Zunanje povezave Akademsko drevo Paula Adriena Mauricea Diraca na Physics Tree Stran o Paulu Adrienu Mauriceu Diracu Univerze svetega Andreja Diracova medalja Britanski fiziki Britanski matematiki Nobelovi nagrajenci za fiziko Lucasovi profesorji matematike Prejemniki Kraljeve medalje Prejemniki Copleyjeve medalje Britanski akademiki Člani Kraljeve družbe Člani Papeške akademije znanosti Člani Accademie dei Lincei Člani Madžarske akademije znanosti Nosilci reda za zasluge Združenega kraljestva Ljudje, po katerih so poimenovali nagrado


text: Za grško črko Π π glej: Pi (črka) Število pi (označeno z malo grško črko π) je matematična konstanta, ki se pojavlja na mnogih področjih matematike, fizike in drugod. Imenuje se tudi Arhimedova konstanta, Ludolfovo število ali krožna konstanta in je enaka razmerju med obsegom kroga in njegovim premerom. π se lahko določi tudi kot ploščino kroga s polmerom 1. Opombe: V neevklidski geometriji, geometriji na neravni površini, se razmerja razsežnosti kroga določajo drugače. Na krogli je razmerje med obsegom in polmerom kroga manjše od π, na sedlu pa večje. Sicer je π tudi najmanjše pozitivno število x, za katerega je sin x = 0 (x v radianih). Število π je iracionalno, ker se ga ne da točno zapisati kot razmerje dveh naravnih števil. Svetopisemski približek za π je π = 3, iz davnine pa sta znana še približka: π = 22/7 in π = 355/113. Vrednost π točna na prvih štiriinšestdeset števk je : 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 592... Značilnosti Število π je iracionalno število, kar pomeni, da se ga ne da zapisati kot razmerje dveh celih števil. To značilnost je dokazal leta 1761 Lambert. V bistvu je število transcendentno, kar je dokazal leta 1882 Lindemann. To pomeni, da ne obstaja polinom s celimi (ali racionalnimi) koeficienti, katerega koren je π. Zaradi tega se ne da izraziti π samo s končnim številom celih števil, ulomkov ali njihovih korenov. Ta značilnost π reši znameniti starogrški problem kvadrature kroga: samo z uporabo neoznačenega ravnila in šestila je nemogoče konstruirati kvadrat, katerega ploščina je enaka ploščini danega kroga. Saj so koordinate vseh točk, ki se jih lahko skonstruira samo z ravnilom in šestilom posebna algebrska števila. Enačbe, ki vsebujejo π Geometrija Obseg kroga s polmerom r: O = 2 π r Obseg kroga s premerom d: O = d π Površina kroga s polmerom r: S = π r2 Površina elipse z glavnima osema a in b: S = π ab Prostornina krogle s polmerom r: V = (4/3) π r3 Površina krogle s polmerom r: S = 4 π r2 Koti: 180 stopinj ustreza π radianom Analiza 1/1 - 1/3 + 1/5 -1/7 +1/9 - ... = π/4 (Leibnizeva enačba) (Wallisov produkt (1655)) (Euler) (Stirlingova enačba) (Eulerjeva enakost, imenovana tudi »najpomembnejša enačba na svetu«) Verižni ulomki π se lahko lepo izrazi s posplošenim verižnim ulomkom: ali z ulomkom, ki ga je na podlagi Wallisovega produkta leta 1655 sestavil lord William Brouncker: (Za drugih 11 izrazov glej ) Teorija števil Verjetnost, da sta dve naključno izbrani celi števili tuji je 6/π2. Verjetnost, da je naključno izbrano celo število deljivo brez kvadrata je 6/π2. Povprečno število načinov zapisa pozitivnega celega števila kot vsote dveh popolnih kvadratov, kjer je vrstni red pomemben, je π/4. Dinamični sestavi / Ergodična teorija za skoraj vsak x0 iz [0, 1], kjer so xi ponovitve/iteracije logistične karte za r=4. Fizika: (Heisenbergovo načelo nedoločenosti) (Einsteinova enačba gravitacijskega polja v splošni teoriji relativnosti) Verjetnost in statistika (Funkcija verjetnostne gostote za normalno porazdelitev.) Zgodovina računanja vrednosti π Glej zgodovina števila π. Zanimivosti Približki Poleg najbolj pogostega približka 3,14 in malo točnejšega približka 22/7 = 3,14285714 je zelo dober približek ulomek 355/113 = 3,14159292035. Sam ulomek si zapomnimo takole: zapišimo 113355 in zadnje tri številke delimo s prvimi! Dan pi Ljubitelji števila pi praznujejo Dan pi, to je 14. marec (v angleškem zapisu 3.14), nekateri pa tudi 22. julij (22/7 je dober enostaven približek). Tekmovanja v pomnjenju števila π Leta 2006 naj bi Akira Haraguči, upokojeni japonski inženir, brez napake zrecitiral 100.000 decimalk. Ta rekord še ni potrjen in vpisan v Guinnessovo knjigo rekordov. Guinness priznava rekord 67.890 decimalk, ki ga je dosegel Chao Lu, 24-letni podiplomski študent iz Kitajske, 20. novembra leta 2005 Za recitiranje je porabil 24 ur in 4 minute. Slovensko tekmovanje v pomnjenju števila π Slovensko praznovanje dneva pi se je začelo leta 2007. Prvi zmagovalec v deklamiranju decimalk π je bil Simon Čopar s 150 decimalkami. Zmagoval je še večkrat, leta 2011 z dosežkom 767 decimalk. Leta 2015 je naslov prvaka in slovenskega rekorderja prevzel študent Nik Škrlec s 1694 decimalkami. Mnemotehnika Kako si zapomniti π ? V številnih jezikih so ustvarili verze, ki s številom črk na posamezno besedo ponazarjajo števke števila π. Seveda je to pi-ezija, ne poezija! Slovenski dosežek piezije je: Kdo o tebi z glavo razmišlja da spomni števk teh? (3,141592653...) Za različice v drugih jezikih glej npr. Pi Mnemonics in Wordplay. TeX TEXove različice Knuth številči takole: 3, 3.1, 3.14, 3.141, različice Metafonta pa številči z decimalkami e. Sicer pa opozarja uporabnike njegovih programov: »Pazite se hroščev v programu, jaz sem samo dokazal, da deluje pravilno, nisem pa ga preskusil!« Google 3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592.com Pi-memory Sklici Zunanje povezave Weisstein, Eric Wolfgang, Pi na MathWorld Matematične konstante Transcendentna števila


text: Pitágora ali Pitágoras (), starogrški filozof, matematik in mistik, * okoli 570 pr. n. št. otok Samos, Jonija, Grčija, † okoli 495 pr. n. št. Metapont. Iz poznih Pitagorovih življenjepisov sicer ni mogoče ugotoviti skoraj ničesar, kar bi bilo zgodovinsko gotovo. Domnevno je bil sin premožneža Mnesarchosa. Življenje Pitagora je bil Talesov sodobnik. Že v mladih letih naj bi zaradi ostre, samodrške vladavine samoškega vladarja Polikrata zapustil Samos. Označili bi ga lahko za verskega odpadnika, ki je Samos zapustil, da bi drugod ustanovil sektaško kolonijo. Zdi se, da se je s Samosa preselil v dorsko kolonijo Kroton v južni Italiji, ki je veljala za eno najbolj najbolj veličastnih v tistem delu sveta. To naj bi bilo leta 529 pr. n. št. Ustanovil je šolo, ki je doživela velikanski uspeh, saj je pitagorejsko sporočilo prinašalo nov, mistični in asketski pogled na življenje. Najbrž je šola kmalu dobila opazno politično moč, kar je povzročilo upor. Napadli naj bi stavbo, v kateri je šola imela sedež, in umorili naj bi skoraj vse najpomembnejše člane bratovščine. Pitagora naj bi se čudežno rešil z begom v Lokre, od tod naj bi se nato preselil v Tarant, kasneje pa v Metapont, kjer naj bi umrl. Učil naj bi se pri Anaksimandru ali celo pri Talesu. Živel in se učil naj bi se tudi v Egiptu in potoval po Vzhodu, toda o njegovih poteh nimamo trdnega dokaza. Zaradi čaščenja, ki so ga učenci izkazovali Pitagoru, so se o njem začele spletati številne legende, tako da so se zgodovinske poteze njegovega lika kmalu zabrisale. Delo Pitagoro izvedenci preučujejo, da bi spoznali tako izvor sodobne znanosti, ki ga lahko iščemo v njegovih matematičnih dognanjih, kot splošno grško razmišljanje, ki ga zasledimo v njegovih gastronomskih nagnjenjih. Pitagorejska šola si kot cilj ni zastavila znanstvenih raziskav, ampak uresničitev določene oblike življenja, v skladu s katero znanstveno raziskovanje ni bilo cilj, ampak sredstvo. Njegovo delo je sicer nemogoče ločiti od ostalih pitagorejcev, ker Pitagora sam ni napisal ničesar. Tudi domnevno njegove knjige, Tri knjige in Zlati verzi, so skoraj zagotovo ponaredki s konca antike ali iz prvih stoletij krščanske dobe. Bil je versko-nravni prenovitelj in je bil eden prvih, ki je odločno zavrgel nauk hilozoistov, ki so imeli za svetovno načelo snov in niso delali razlike med njo in silo, on pa je postavil načelo, da je za gibanje, razčlenjevanje in oblikovanje v vesolju odločilno le matematično število. Matematika V matematiki je znan njegov Pitagorov izrek, ki velja za pravokotni trikotnik: kjer sta a in b kateti, c pa hipotenuza. To je verjetno najbolj znan pojem iz celotne geometrije. Posplošila sta ga Hipokrat in Evdoks. Prvi ga naj bi po Evdemu celo dokazal pred Evdoksom. Za pravokotni trikotnik ga je dokazal Evklid v Elementih. Uporabljali so ga že Egipčani v 6. stoletju pr. n. št. Pitagora je učil, da sta število in mera bistvo stvari. Znana so njegova števila. Raziskoval je prijateljska števila. V sorodstvu števil 220 in 284, ki sta križno enaki vsoti svojih deliteljev, je videl prispodobo človeškega prijateljstva. Težko je reči, kaj je bila zasluga samega Pitagore in kaj so naredili njegovi številni učenci, še posebno pa Filolaj. Vsako število od 1 do 10 je zanj pomenilo posebno značilnost vesoljstva. Najvažnejše številke so mu bile 1, 2, 3, 4, saj je njih vsota število 10, desetica pa mu je predstavljala skladnost kozmosa. Pitagorejci so prvi odkrili, da se ne more izraziti z razmerjem dveh števil. Tako ne obstaja ulomek, naj bo še tako zapleten, ki bi dal zmnožek 2, če ga množimo s samim seboj. To je dokazal tudi Evklid. Pitagora je številke videl v oblikah, zato še danes uporabljamo izrazoslovje, kot je »na kvadrat« ali »na kub«. Fizika Akustika Kot matematik se je ukvarjal tudi z akustiko in zvokom. Spoznal je, da je višina glasu ob isti napetosti strun obratno sorazmerna z njihovo dolžino. Odkril je, da se strune na glasbilih oglašajo višje, če jih skrajšamo. Odkril je tudi, da se lahko višina tona preprosto primerja z dolžino strune. Če je bila, na primer, struna dvakrat daljša od druge, je bil zvok, ki ga je oddajala, ravno za oktavo nižji. Če je bilo razmerje strun 3/2, se je slišal glasbeni interval, imenovan kvinta, in če je bilo razmerje 4/3, je bilo slišati kvarto. Ton je bil višji tudi, če so struno bolj napeli. S filozofskim razglabljanjem o glasbi je našel tako imenovano harmonijo sfer - učil je, da se deset svetov na nebu stalnic med ubranim zvenenjem suče drug okoli drugega, da pa človeško uho te čudovite godbe ne sliši. Po zaslugi teh opažanj je proučevanje zvoka edino poglavje v fiziki, kjer se grški pogledi niso spremenili do danes. Iz teh proučevanj je izhajalo njegovo prepričanje, da temelji vse stvarstvo na številih in njihovih razmerjih. Astronomija Pitagora je prvi spoznal, da sta zvezdi Danica (Phosphorus) in Večernica (Hesperus) ena zvezda. Po tem so ji nadeli ime Afrodita, danes pa jo poznamo kot planet Venero. Prvi je tudi opazil, da Lunin tir ne leži v ravnini Zemljinega ekvatorja, ampak leži poševno nanj. Prvi je trdil, da je Zemlja okrogla. Prvi je tudi opozoril, da se Sonce, Luna in takrat znani planeti ne gibljejo z nepremičnimi zvezdami, ampak gredo vsak po svoji poti. Tako se je rodila misel, da so poleg nebesne krogle, ki jo je vzel Anaksimander, potrebne še dodatne krogle za različne planete. Število krogel za opis gibanj planetov je pri različnih avtorjih pozneje 700 let naraščalo, dokler se jih ni Kepler znebil. Prehranjevanje Pitagorova verska načela so upoštevali tudi pri prehranjevanju. Njegovo osrednje vodilo je bilo koncept metempsihoze, kar pomeni transmigracija duše, ki lahko po smrti preide z enega na drugega človeka ali z osebe na žival. Zato je nasprotoval božjemu darovanju živali in je zagovarjal uporabo dišav in začimb. Začimbe so bile potemtakem povezava z nebesi, medtem ko fižol, zlasti bob, povezava s Hadesom, podzemljem. Zlasti zastran oblike teh rastlin, ki so jih pitagorejci videli kot nekakšno lestev iz podzemlja. Živali so delili po koristnosti. Medtem ko so prašiče in koze označili za škodljive okolju in dovolili prehranjevanje z njimi, so za, na primer, ovce in vole menili, da so koristni, ker dajejo volno oziroma pomagajo pri obdelavi polj, zato je bilo uživanje njih mesa prepovedano. Tako je Empidokles iz Akragasa po sloviti zmagi na olimpijskih igrah leta 496 pr. n. št. zavrnil božje darovanje goveda in je namesto tega sežgal sliko vola, ki so jo naslikali z uporabo olja in zelišč. Pitagorejci so verjeli, da je prehranjevanje sestavni del etike. Vpliv Kombinacija matematike in teologije, ki se je začela s Pitagoro, je zaznamovala filozofijo v Grčiji, v srednjem veku in v sodobnem času, vključno, z denimo, Kantom. Orfeizem pred njim je bil podoben azijski mističnosti. Toda tako Platon kot Sveti Avguštin, Tomaž Akvinski, Descartes, Spinoza in Leibniz so predstavniki intimne zmesi med religijo in razumom, moralne aspiracije ob spogledovanju z logiko večnega, kar izvira od Pitagore in loči intelektualistično teologijo Evrope od omenjenega azijskega misticizma. Možno je oceniti, da je tudi platonizem v osnovi pitagorejski. Glej tudi pitagorejska trojica pitagorejska koma (akustika) pitagorejska kupa Seikilova pesem seznam starogrških filozofov seznam starogrških matematikov seznam starogrških mistikov Sklici Zunanje povezave Mistiki Samos Grki v 6. stoletju pr. n. št. Pitagorejci Filozofija matematike


text:
 Podmnožica X⊆Y v Eulerjevem diagramu
 Podmnožica ali delna množica množice Y je v matematiki množica X, če so vsi elementi X tudi v Y. Relacijo z matematičnim zapisom zapišemo X ⊆ Y. Ali drugače, X ⊆ Y tedaj in le tedaj, ko X ne vsebuje nobenega elementa, ki ni tudi član množice Y. Množica Y v tem primeru se imenuje supermnožica množice X in zapišemo Y ⊇ X. Vsaka množica Y je sama sebi podmnožica. Podmnožica Y, ki ni enaka Y, se imenuje prava. Če je X prava podmnožica Y, potem pišemo X ⊂ Y. Različni zapisi Pri zapisu podmnožic obstajata dva glavna načina. Starejši način uporablja znak »⊂« za podmnožico in »⊊« za pravo podmnožico. Novejši način uporablja znak »⊆« za podmnožico in »⊂« za pravo podmnožico. Wikipedija uporablja novejši način, ki ga zna zapisati večina spletnih brskalnikov. Primeri Množica {1, 2} je prava podmnožica {1, 2, 3}. Množica {1, 2} je podmnožica sami sebi {1, 2}. Množica naravnih števil N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} je prava podmnožica množice racionalnih števil Q. Množica P '2000 = {x : x je praštevilo > 2000} je podmnožica množice L '1000 = {x : x je liho število > 1000} Vsaka množica A je po definiciji tudi podmnožica same sebe (A), ni pa vsaka tudi sama sebi prava. Lastna množica A je poljubna podmnožica razen množice A same. Prazna množica Ø = {} je prav tako podmnožica vsake poljubne množice X. To je zaradi tega, ker za prazno množico velja nepopolna definicija podmnožice X: ker prazna množica nima elementov, nujno vsebuje nič elementov, ki niso člani množice X''. Tako je prazna množica vedno prava podmnožica razen sama sebi. Teorija množic Relacije


text: Polje je lahko: Splošno polje (kmetijstvo), obdelana zemlja, kmetijsko zemljišče za pridelavo poljščin (kulturnih ali krmnih rastlin) travnik ali pašnik (polje je lahko sopomenka) kmetijsko polje poskusno polje omejeno področje, na katerem se pridobiva kakšna dobrina oziroma rudnina: solno polje, zaključena proizvodna enota /individualne/ pridelave soli v solinah (s pripadajočo infrastrukturo), tudi (solinski) bazen... rudno polje, področje nahajališč rudnin, primernih za izkoriščanje, rudarjenje naftno polje, področja nahajališč nafte, primernih za izkoriščanje, črpanje bojno polje minsko polje Polje (geografija) ravnina, obsežnejši omejen in raven del zemeljskega površja kraško polje suho kraško polje, navadno po njem ne teče več voda, a še obstajajo struge, ki pričajo o nekdanjih potokih jezersko kraško polje, tudi presihajoče jezero, ki je običajno večino leta preplavljeno občasno poplavljeno kraško polje ledeno polje (Južnopatagonsko ledeno polje) Polje (fizika) skalarno polje Higgsovo polje vektorsko polje centralno polje gradientno polje kompleksno lamelarno vektorsko polje Tenzorsko polje spinorno polje elektrošibko polje elektromagnetno polje električno polje elektrostatično polje magnetno polje zemeljsko magnetno polje šibko polje močno polje gravitacijsko polje zemeljsko gravitacijsko polje (planeta) sončevo gravitacijsko polje (zvezde) gravitacijsko polje galaksije gravitacijsko polje črne luknje temperaturno polje (ultra)zvočno polje časovno polje radioaktivno polje svetlobno polje vidno polje zajema omejeno sliko prostora, ki ga zaznavajo oči v določenem trenutku Polje (matematika) v algebri pomeni komutativni obseg (ena od osnovnih algebrskih struktur) v geometriji omejen del ploskve ali izsek površine geometrijskega lika v topografiji in geodeziji in kartografiji navadno s koordinatami omejen del zemeljskega površja na geografski karti (zemljevidu) - drugi sorodni pomeni: svetlobno polje, ... v topologiji? napetostno(-deformacijsko) polje /elastično polje... (strojništvo/materiali) polje (gradbeništvo), vodoravna razdalja med robovoma sosednjih ležišč nosilne konstrukcije pri inženirskih objektih, npr. mostu prelivno polje pri hidroelektrarni ali vodni akumulaciji razlivno polje pri hidroelektrarni ali vodni akumulaciji del razdeljene, omejene manjše površine del slike, grafike, risbe ali fotografije, dvodimenzinolna površina ki je z robom, koordinatami, barvo ali obliko/strukturo razmejena od okolice polje v heraldiki in veksikologiji (v grbih in na zastavah) del informativne table, npr. avtomobilske registracijske tablice igralno polje pri nekaterih namiznih ali talnih družabnih in športnih igrah, tudi golfu šahovsko polje, pri šahu 1/64 šahovnice kvadratne oblike, izmenično svetle in temne barve; polja so urejena v simetrično koordinatno mrežo polje na tarči (običajno krog ali obroč) Ezoterika Biopolje / informacijsko energijsko polje / akaško polje Polje (računalništvo) tabela oziroma del tabele polje (ali okno/okence) kot sestavni del obrazca (formularja) oziroma podatkovne strukture za vnašanje numeričnih ali besednih podatkov (pri statistiki, računovodstvu) Polje (humanistika in družboslovje) referenčni (pomenski) okvir, kontekst govora ali delovanja (na primer teoretsko polje in tako dalje) v semantiki označuje zaključeno skupino leksemov, ki pripadajo določenemu področju pomenov. Ravnine, kraška in druga polja Slovenija Ajdovsko polje Apaško polje Begunjsko polje Belo polje (Občina Kranjska Gora) Belško polje (Koroška Bela) Blaško polje (Blato, Občina Trebnje) Bloško polje oz. Bloško-Farovško polje (Bloke) (kraško polje) Bovško polje (Bovška kotlina) Božje polje na Ljubljanskem barju Braslovško polje Breško polje (Brezje) Brežiško polje Brojsko polje (Brod, Logatec) Bukovško polje Cerkniško polje (kraško polje) Čisto polje Dedno polje (planina v Julijcih) Dobraško polje (Dobrča) Dobravsko polje Dobrepolje (kraško polje in občina) Dobropolje (polje) (kraško polje) Dobrunjsko polje Dravsko polje Globodol (Globodolsko polje) (kraško polje) Goriško polje (Goriška ravan) Griško polje Grgarsko polje (kraško polje) Grosupeljsko polje (kraško polje) Homško polje Hudo polje (Trnovski gozd) Janhovsko polje Kamniško-Bistriško polje (Kamniško-Mengeško polje/K.-Domžalsko polje) Kočevsko polje (Kočevsko-Ribniško polje) (kraško polje) Koprivniško polje (kraško polje) Kozarško polje Kranjsko-Sorško polje Krško polje (Krško-Brežiško polje) Lijaško polje Litijsko polje Ljubljansko polje Logaško polje (kraško polje) Lokavsko polje (Lokev) na Krasu Loško polje (kraško polje) Mengeško polje Mlinsko polje Mozeljsko polje (kraško polje) Mučko polje/Mutsko polje (Muta) Mursko polje (Murska ravnina, Murska ravan) Novo polje Obrško polje Otoško polje (arheološko najdišče v Beli Krajini) Pijavško polje (ob Savi) Planinsko polje (kraško polje) Podgorsko polje Postonjsko polje (kraško polje) in Pivška kotlina Prestranško-slavinski ravnik Ptujsko polje Pusto polje (del kraškega Logaškega polja) Radeljsko polje (Radlje ob Dravi) Radensko polje, Grosuplje (kraško polje) Radensko polje, Radenci Rakovško-Unško polje Ravniško polje (suho kraško polje) Ravno polje (na Dravskem polju) Rečičko polje (Rečica ob Savinji) Ribniško polje (kraško polje) Rudno polje, planina na Pokljuki Ruško polje Sajevško polje (kraško polje) Selško polje Seneško polje (Senešci) Senožeško polje (Senožeče) Sodinsko polje (Sodinci) Sorško polje Srednje polje (Draženci) Stanežiško polje Šempasko polje Šempetersko-Vrtojbensko polje Šentjakobsko polje (ob Krki) Šentjernejsko polje Šentviško polje Travniško polje (kraško polje, Loški potok) Vanganelsko polje Velo Polje in Malo polje, visokogorski planoti/pašnika v Julijcih Viško polje Vremsko polje Vipavsko polje Vrbensko polje (Vrbensko-Žalsko polje) Zagorsko polje (kraško polje na Bajnški planoti) Zaloško polje (Zalog, Straža) Zatok Polje (morski zatok, nekd. soline pri Srminu) Zlato polje (KR/Šenčur in Sp.Brnik/Lahovče) Žalnsko polje (kraško polje) Južna Avstrija Koroška Celovško polje Čiberško polje pri vasi Čilberk pri Šenttomažu nad Celovcem v občini Štalenski gori med hriboma Osel in Čilberk, Grabštanjsko polje pri Grabštanju Šenttomažko polje pri Štalenski gori Tinjsko polje pri Tinjah Vasjevaško polje pri Vasji vasi pri Štalenski gori Vetrinjsko polje pri Vetrinju Gosposvetsko polje Grobniško polje ali Krapsko polje (Krappfeld) med Šentvidom ob Glini in Starim Dvorom na severnem Koroškem. Breško polje (Friesacher Feld) pri Brežah na severnem Koroškem Podjunsko polje Pliberško polje pri Pliberku Libuško polje pri Libučah Beljaško polje pri Beljaku Lurnsko polje (Lurnfeld) severozahodno od Špitala Štajerska Lipniško polje pri Lipnici Južna Tirolska (Avstrija/Italija) Toblaško polje (Toblach/Dobbiaco, Pustriška dolina) Zuchepoll (Suho polje) Naselja Slovenija Polje, naselje v Občini Bohinj Polje, naselje v Občini Tolmin Polje, predel Izole Polje, primestno naselje Ljubljane in središče Četrtne skupnosti Polje Polje, predel/mestno naselje v Slovenj Gradcu Polje ob Sotli, naselje v Občini Početrtek Polje pri Bistrici, naselje v Občini Bistrica ob Sotli Polje pri Tržišču, naselje v Občini Sevnica Polje pri Višnji Gori Polje pri Vodicah Babno Polje, naselje v Občini Loška dolina na Notranjskem Dobropolje Dobro polje Dolenje Polje, naselje na Dolenjskem Dolgo polje, predel Celja in mestna četrt v Mestni občini Celje Doropolje, naselje v Občini Šentjur Gorenje Polje, naselji na Dolenjskem (občina Dolenjske Toplice) in v dolini Soče (občina Kanal ob Soči) Gorenje Mokro Polje, naselje v Občini Šentjernej Kosovo Polje, predmestno naselje pri Kozarjah oz. Dolgem mostu in del Ljubljane v ČS Vič Malo Polje, naselje v Občini Ajdovščina Mrzlo Polje, naselji v občinah Laško in Ivančna Gorica Novo Polje, primestno naselje in del Ljubljane v Četrtni skupnosti Polje Prepolje, naselje v Občini Starše Pusto Polje, naselje v Občini Nazarje Ravno Polje, dvorec in del naselja Kungota pri Ptuju Varpolje, naselje v Občini Rečica ob Savinji Vrhpolje, ime 5 naselij v Sloveniji Dolenje Vrhpolje in Gorenje Vrhpolje, naselji v Občini Šentjernej Zajčje Polje, naselje v Občini Kočevje Zapolje, industrijsko-obrtna cona Zapolje pri Logatcu Zlato Polje, naselje v Občini Lukovica (in krajevna skupnost) Zlato polje, del Kranja (in krajevna skupnost) Zlato polje, zaselek vasi Šmiklavž ob cesti v Tuhinjski dolini Avstrijska Koroška Polje (pri Mohličah), nem. Feld, občina Galicija (Kapela na Krapskem polju, nem. Kappel am Krappfeld) Lepo Polje, nem. Liebenfels Prečpolje ob Krki, nem. Weitensfeld im Gurktal Suho Polje, nem. Dürnfeld, pri Timenici Tinjsko Polje, nem. Tainacherfeld Vognje Polje, nem. Bogenfeld pri Beljaku Italija Polje (italijansko oziroma narečno Puoie) v Beneški Sloveniji Pulje (italijansko Puglie) v občini Dolina pri Trstu Solkansko polje (na meji med Slovenijo in Italijo severno od Gorice) Sredipolje (Redipuglia) Božje Polje (Campo Sacro) Naselja in polja v drugih državah V nekaterih jezikih se 'Polje' zapisuje kot 'Pole'. Bolgarija Belo Pole, Blagoevgrad Bjalo pole (Stara Zagora) Branipole (Plovdiv) Dălgo Pole Gladno pole, soseska, Plovdiv Jasno pole Marino Pole (2) Ravno pole Sandansko-Petričko polje (Pirinska Makedonija) Slivo pole Široko pole Bosna in Hercegovina Polje, Derventa Polje, Konjic Polje, Kreševo Polje Slavka Gavrančića Polje, Velika Kladuša Polje, Višegrad Alipašino polje, mestna četrt (naselje), (Sarajevo) Bihaćko polje Bijelo polje Bjelajsko polje Bravsko polje Buturović Polje Čirkin Polje Dabarsko polje Dobro Polje, Kalinovik Dolipolje Drvarsko polje Duvanjsko polje Gabela Polje Gatačko Polje Glamočko Polje Goransko Polje Grahovsko polje Ilino Polje Ivanjsko polje Konjević Polje Kosovo Polje (Višegrad) Kraljevo Polje Kupreško polje Lijevče polje Livanjsko polje Ljubinjsko polje Ljubuško polje Lužansko polje Malo Polje, Igman Medeno polje (Bosanski Petrovac) Petrovačko polje Bravsko polje Nevesinjsko polje Podraško polje Popovo polje Prijedorsko polje Ravno Polje, Bijeljina Roško Polje, Tomislavgrad Sarajevsko polje Suho Polje (2 naselji) Topuzovo Polje Travničko polje Trebinjsko polje Trnopolje Vedro Polje, Bihać (del mesta Bihać) Vrhpolje, Sanski Most Vučipolje, Bosna in Hercegovina Češka Dobré pole Královo Pole, predmestje oz. mestna četrt Brna Krásné Pole Moravsko polje Bitka na Moravskem polju Vysoké Pole (Moravska) Žižkovo Pole Črna gora Polje, Črna gora Bajovo Polje Barsko polje Bijelo Polje, Črna gora Bijelo Polje, Podgorica Cetinjsko polje Ćemovsko polje Đedovo polje Kočansko Polje Lješkopolje ali Lješko polje Momišićko polje Nikšićko polje Njeguško polje Rudo Polje Savino polje Šćepan Polje Tološko polje/Toločko polje Ulcinjsko Polje Grčija Lerinsko polje (Pelagonija) Solunsko polje (Grčija, Egejska Makedonija) Polje (of) Valsamata - (orig. angl.), največje kraško polje (dolina) na otoku Kefalonija Hrvaška Polje, naselje na otoku Krku Polje, Dugi otok, zaselek na Dugem otoku Polje Čepić Polje, Dobrinj Polje Krapinsko Polje, Raša Polje, Slunj Polje Ozaljsko Babino Polje, naselje in polje na otoku Mljetu Bačko Dobro Polje Bakarsko polje Bijelo polje Blatsko polje (Mljet) Boljunsko Polje Božje polje (Madonna del Campo), pokopališče pri Vižinadi Brezovo polje Čepićko polje, Istra Črnac-polje Dabarsko polje, Dabar, Otočac polje Dicmo (Dalmatinska zagora) Dnopolje Donje Mrzlo Polje Mrežničko Donje Polje (Hrvaška, BiH in Beograd, Srbija) Dračevo Polje (Vis) Drežničko polje Dugopolje Dugopolje, Gračac Feričevo polje Gacko polje Gornje Mrzlo Polje Mrežničko Gospićko polje Gospino polje, del Dubrovnika Goveđe Polje (Slavonija) Gračačko polje Grobničko polje Grubišno Polje Hrvatsko Polje Imotsko polje (Dalamcija/Hercegovina) Ivanovo polje (Mljet) Jarče Polje Jelas Polje (naravni rezervat) Jezeransko polje Kapetanovo Polje Kneže polje (Mljet) Kninsko Polje Kompolje, Otočac Kompolje Koreničko Konavosko polje Koreničko polje Kosovo polje (Dalmacija) Krasno Polje Krbavsko polje Križpolje Kumrovečko polje Kupčinsko polje Lapačko polje Ličko polje (Lič) Liško polje (Lika) Lipovo Polje Lonjsko polje (Lonja) Lumbardsko polje (Korčula) Malo Polje, Perušić Markovo Polje (Zagreb) Mirkopolje Mokro Polje Mrzlo Polje Žumberačko Mrzlo Polje, Veliko Trgovišće Mućko polje Ogulinsko polje Petrovo polje Plaško polje Plavo polje (del Slavonskega Broda) Plisko Polje (Vis) Podlapačko polje Poganovačko polje Polačno polje (Mljet) polje Bunina Radovec Polje Rajino Polje Rastoško polje/(Rastok) (Hrvaška/BiH) Ravnogorsko polje, Ravna Gora Ročko Polje Rudopolje Rudopolje Bruvanjsko Sinjsko polje Skradinsko Polje Slavsko Polje Srpsko polje (Lika) Stajničko polje Suhopolje Šipansko polje (Šipan) Široko Polje (Đakovo) Turopolje (prej Zagrebačko Polje) Vedro Polje, Sunja Veliko Polje, Zagreb Veliko Polje, Lukač Veliko polje Vrgorsko polje Vučipolje (2 naselji) Zapolje (razločitev) (2 naselji) Italija Marsovo polje, Rim Kosovo Juničko polje Kosovo polje (Bitka na Kosovem polju) Litva Marijampolė Nemčija Leško polje/Lechfeld (Bitka na Leškem polju) Poljska Dolne Pole Krasne Pole (ob češki meji) Lęgnickie Pole Opole Psie Pole, predmestje Vroclava Stare Pole Turze Pole Rusija Gulyai-Pole, Omska oblast (Krutinski rajon) Kulikovo polje (Kulikovska bitka) Marsovo polje, Sankt Peterburg Severna Makedonija Kočansko Pole (Kočanska dolina) Lazaropole Ovče pole Prilepsko pole / Prilepsko-Bitolsko-Lerinsko polje (Pelagonija); makedonsko tudi "Pole" (Severna Makedonija, Grčija) Struško Pole Vizbegovsko pole Belo pole, Občina Dolneni Bitolsko pole Ćeramidničko pole Debarsko pole (Severna Makedonija/Albanija) Gladno pole v Pelagoniji Slovaška Tehelné pole (Bratislava) Veľké Pole Srbija Banovo Polje Bapsko Polje Belo Polje, ime več naselij v Srbiji in Kosovu Bresno Polje Dobro Polje, Boljevac Dobro Polje, Crna Trava Dugo Polje Gvozdačko Polje Kalipolje Leskovačko polje Liso Polje Lozničko Polje Marijino polje Negotinsko Polje Niško polje Peštersko polje Petropolje Petrovo Polje Pirotsko polje Prijepolje Rajno Polje Suvo Polje Tometino Polje Vele Polje Veliko Polje, Kragujevac Veliko Polje, Obrenovac Velje Polje (Občina Tutin, Srbija) Vlaško Polje Vrhpolje, Ljubovija Zemun polje, Beograd Žičko Polje Ukrajina Guljajpole (ukrajinsko Huljajpole) (Zaporoška oblast) Drugo (glej tudi) Dvorec Ravno polje pri Ptuju Kompolje Letališče Polje Poljče Poljčane Poljica Poljice Poljska Rudopolje (razločitev) Vrhpolje (razločitev) Zapolje (razločitev) Sredi polja Kamp Polje v Meniški vasi pri Dolenjskih Toplicah Kvantna teorija polja Leži, leži ravno polje Moje ravno polje, prvi album komornega zbora Orfej (1997) Šel bom na ravno polje, skladba Pavla Šivica Čez to ravno polje Od Celja do Žalca je ravno polje Psihiatrična bolnišnica Ljubljana (pogovorno "v Polju") Železniška postaja Ljubljana Polje Dvor Mokro polje KS Zlato polje v občinah Kranj in Lukovica priimke Poljak, Polak, Pollak, Polajnar, Polanc, Poljanec, Poljanski, Poljakov Naselja v Sloveniji Naselja v Zvezni deželi Koroška


text: Popolno število je v matematiki pozitivno celo število n, za katerega je vsota pozitivnih pravih deliteljev enaka: oziroma vsota deliteljev: Pravi delitelji števila n ne vsebujejo. 6 je najmanjše popolno število, saj je 6 = 1 + 2 + 3. Velja tudi 6 = 1 * 2 * 3; edino glede tega tudi izstopa kot število skladnosti. Naslednji popolni števili sta 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 in 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248. Popolna števila so povezana z Mersennovimi praštevili Mn. Že Evklid je v deveti knjigi Elementov dokazal naslednjo trditev: če je Mn Mersennovo praštevilo, potem je Mn (Mn + 1)/2 popolno število. Če je vsota prvih n členov geometrijskega zaporedja kvadratov praštevilo, potem je zmnožek te vsote in n-tega člena popolno število. Za prva popolna števila tako velja: Euler je leta 1770 v svojem delu Algebra naprej pokazal, da so takšne oblike vsa soda popolna števila. S tem je odkril tesno povezavo med Mersennovimi praštevili in popolnimi števili. Nikomah (okoli 100) je v svoji knjigi Uvod v aritmetiko navedel štiri tedaj znana popolna števila manjša od 10.000. Prvi dve, 6 in 28, so poznali že pitagorejci. 496 in 8128 pa je dobil Evklid s svojo enačbo. Ni popolnega števila s 5. števkami. 5. popolno število 33.550.336 se končuje sicer na 6 in so ga našli šele v 15. stoletju. Tako pa se končuje tudi 6. popolno število 8.589.869.056. Velja pa, da se vsako popolno število končuje na 6 ali na 8. Tako po Evklidu velja, da so popolna števila Pn vsa tista Mersennova števila Mn, ki so praštevila: Pn = Mn(2n-1). Šesto in sedmo popolno število za n = 17, 19 je našel Cataldi (1548-1626) leta 1588. Naslednje štiri za n = 31, 67, 127, 257 pa je leta 1644 brez dokaza najavil Mersenne (1588-1648). Šele Euler je leta 1772 dokazal, da je Mersennovo število M31 praštevilo in s tem našel 8. popolno število 2305843008139952128 = 230(231-1). Trenutno ( ) poznamo le 47 Mersennovih praštevil in s tem tudi 47 sodih popolnih števil. Ne ve se ali obstaja neskončno število popolnih števil. Ne vemo tudi ali obstaja še kakšno popolno število manjše od 41., oziroma med zadnjimi sedmimi. Ne ve se tudi ali obstajajo liha popolna števila. Veliko rezultatov nam še ni pomagalo razvozlati njihovega obstoja. Če obstaja liho popolno število, mora biti večje od 10300. Poleg tega mora imeti tudi vsaj 8 različnih prafaktorjev (in vsaj 11, če ni deljivo s 3), ter mora biti vsaj en prafaktor večji od 107, dva prafaktorja večja od 104 in trije prafaktorji večji od 100. Upoštevajmo, da lahko vsota pravih deliteljev števila n da različna števila od n. Števila, katerih vsota je manjša od števila samega, se imenujejo nezadostna števila, števila, katerih vsota pa je večja, se imenujejo obilna števila. Ta števila skupaj s popolnimi števili izhajajo iz grške numerologije. Števili, katerih vsota njihovih pravih deliteljev je križno enaka, se imenujeta prijateljski števili, večji cikel takšnih števil pa se imenuje družabno število. Število, ki je samo sebi prijateljsko, je popolno število. Popolno število je tudi družabno število s periodo 1. Zvezo med prvimi 15. Mersennovimi in popolnimi števili podaja naslednja razpredelnica: Značilnosti Popolna števila imajo še nekaj drugih značilnosti. Vsako popolno število je trikotniško in je oblike: pri nekem celem n. Vsako popolno število je oblike: Prva števila takšne oblike, ki niso popolna, so : 0, 1, 120, 2016, 32640, 130816, 523776, 2096128, 8386560, ... Tudi za ta števila velja enaka značilnost geometrijskega zaporedja kvadratov: Vsako sodo popolno število razen 6 je vsota zaporednih lihih kubov. Na primer: 28 = 13 + 33, 496 = 13 + 33 + 53 + 73, 8128 = 13 + 33 + 53 + 73 + 93 + 113 + 133 + 153. Števčni koren vsakega sodega popolnega števila je enak 1. Na primer: 33550336 => 3+3+5+5+0+3+3+6 = 28 => 2+8 = 10 => 1+0 = 1, 8589869056 => 8+5+8+9+8+6+9+0+5+6 = 64 => 6+4 = 10 => 1+0 = 1, 137438691328 => 1+3+7+4+3+8+6+9+1+3+2+8 = 55 => 5+5 = 10 => 1+0 = 1, 2305843008139952128 => 2+3+0+5+8+4+3+0+0+8+1+3+9+9+5+2+1+2+8 = 73 => 7+3 = 10 => 1+0 = 1. Vsota obratnih vrednosti vseh deliteljev sodega popolnega števila Pn je enaka 2. Na primer za popolno število 8128: 1/1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+1/127+1/254+1/508+1/1016+1/2032+1/4064+1/8128 = 2. Nobeno popolno število ni nedotakljivo. Glej tudi alikvotno zaporedje navidezno popolno število unitarno popolno število Zunanje povezave 44 popolnih števil Funkcija deliteljev Celoštevilska zaporedja Nerešeni matematični problemi


text: Posébna teoríja rélativnosti ali ~ ~ relatívnosti (skrajšano PTR) je fizikalna teorija, ki opisuje gibanje teles izven gravitacijskega polja. Leta 1905 jo je razvil Albert Einstein. Pred tem je v fiziki prevladovalo mnenje, da so fizikalne količine kot hitrost ali sila absolutne in neodvisne od opazovalca oziroma opazovalnega sistema, v katerem jih merimo. Lorentz in nekateri drugi fiziki pa so opozarjali na dejstvo, da se Maxwellove enačbe pri zamenjavi koordinatnega sistema ne vedejo v skladu s klasično mehaniko, da torej isti fizikalni pojav dva opazovalca, ki se relativno gibljeta drug glede na drugega, različno opišeta (po zamisli o transformaciji fizikalnih zakonov med opazovalnimi sistemi, ki se gibljejo relativno drug na drugega, je teorija dobila svoje ime). Pri tem teorija tudi zavestno zanemari vpliv gravitacije na oba opazovalca. Lorentz je razvil tudi popravek, znan kot Lorentzeva transformacija, s katerim Maxwellove enačbe uskladimo z zakoni klasične mehanike. Načela posebne teorije relativnosti Posebna teorija relativnosti v Einsteinovi formulaciji sloni na dveh osnovnih načelih: načelo relativnosti — zakoni narave imajo v vseh inercialnih opazovalnih sistemih enako obliko. Vsi inercialni opazovalni sistemi so med seboj enakovredni. načelo o hitrosti svetlobe — hitrost svetlobe oziroma hitrost elektromagnetnega valovanja v praznem prostoru je v vseh inercialnih opazovalnih sistemih konstantna. Implicitno posebna teorija relativnosti privzame tudi načelo o homogenosti časa ter o homogenosti in izotropnosti prostora, ki ga Einstein ni izrecno navedel kot osnovno načelo. Teorija pravi, da čas ni absoluten, ampak se lahko spreminja, odvisno od hitrosti opazovalca. Če je ta večja, mu teče čas počasneje. Glej tudi dvojna posebna relativnost splošna teorija relativnosti Viri Janez Strnad, Posebna teorija relativnosti, Društvo matematikov, fizikov in astronomov, Ljubljana 1979. Janez Strnad, Fizika, 3. del. Posebna teorija relativnosti, kvantna mehanika, atomi, Državna založba Slovenije, Ljubljana 1981, str. 11-102. Zunanje povezave Sašo Dolenc, O prostoru in času - uvod v posebno teorijo relativnosti , Kvarkadabra 6, oktober 2000. Albert Einstein, Zur Elektrodynamik bewegter Körper, Ann Phys Chem 17 (1905) 891-921. http://www.wiley-vch.de/berlin/journals/adp/890_921.pdf : http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Special_relativity.html 1905 v znanosti Albert Einstein Fizikalne teorije


text: Práfáktor ali mogoče tudi práštevílski delítelj nekega celega števila je v matematiki vsak njegov faktor, ki je praštevilo in da skupaj z drugimi prafaktorji ali z 1 kot enoličen zmnožek število samo. Praštevilo p ima točno en pravi delitelj (1) in en prafaktor (število p samo), sestavljeno število pa ima več različnih pravih deliteljev in hkrati več različnih ali enakih prafaktorjev. Na primer praštevilo 2003 ima edini pravi delitelj 1 in prafaktor 2003, število 2004 pa ima 11 pravih deliteljev {1, 2, 3, 4, 6, 12, 167, 334, 501, 668, 1002} in 4 prafaktorje {2, 2, 3, 167}, od katerih sta dva enaka. Ker po definiciji število 1 ni praštevilo, tudi ni prafaktor, in ker tudi ni sestavljeno število, nima prafaktorjev. 1 je prazni produkt. Praštevilo nima faktorjev. Aritmetične funkcije Skupno število vseh prafaktorjev celega števila n, ki se lahko ponovijo večkrat, je aritmetična popolno aditivna funkcija Ω(n) . Skupno število vseh različnih prafaktorjev celega števila n, je aditivna funkcija ω(n) . Tudi vsota vseh prafaktorjev (sopfr(n)) ni popolno aditivna funkcija. Glej tudi zelo sestavljeno število, klinasto število deljivost brez kvadrata, Möbiusova funkcija tabela prafaktorjev števil Teorija števil


text: Práštevílo je naravno število n > 1, če ima točno dva pozitivna delitelja (faktorja), število 1 in samega sebe kot edini prafaktor. Pri tem je 1 edini pravi delitelj tega števila. Po definiciji število 1 ne more biti praštevilo, saj sta tukaj oba 'njegova' pozitivna delitelja v bistvu enaka (faktor in prafaktor) in celo enaka številu samemu. Zato praštevilo tudi nima faktorjev. Število 2 je po definiciji edino praštevilo, ki je tudi zelo sestavljeno število in hkrati edino sodo praštevilo. Množica prvih 25 pozitivnih praštevil je : P25 = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 }. To je ena od definicij. Celo število večje od 1, ki ni praštevilo, je sestavljeno število. Število 1 tudi ni sestavljeno število. Predstavitev naravnih števil Pomemben rezultat je osnovni izrek aritmetike, po katerem lahko vsako naravno število zapišemo kot produkt praštevil na točno en način. S tem so praštevila »osnovni gradniki« naravnih števil. Lahko, na primer zapišemo: 23244 = 22 · 3 · 13 · 149. Množica praštevil Obstaja neskončno mnogo praštevil. Najstarejši dokaz za to je podal grški matematik Evklid: Privzemimo, da obstaja samo končno mnogo praštevil. Če zmnožimo vsa praštevila med seboj in prištejemo 1, bo imelo dobljeno število, pri deljenju s poljubnih praštevilom ostanek 1. Zatorej, ga ne moremo deliti s poljubnim praštevilom. To je protislovje, in tako mora biti zgornji privzetek, da obstaja samo končno mnogo praštevil, napačen. Veliko matematikov je podalo svoje dokaze o številu praštevil, na primer Kummer, verjetno najbolj elegantnega, in Furstenberg s topološkimi prijemi. Čeprav je skupno število praštevil neskončno, je še vedno veliko zanimivih vprašanj v zvezi z njimi. Na takšna in podobna vprašanja odgovarja praštevilski izrek. Največje znano praštevilo (GIMPS, Missouri, september 2015) je Mersennovo število: Struktura praštevil Znane in opredeljene so vsaj tri strukture v porazdelitvi praštevil: lokalna (vključuje razrede ostankov in aritmetična zaporedja). Eratostenovo sito je na primer po Tau enakovredno »eliminiranju lokalne informacije na drugem mestu.« asimptotična (posledica praštevilskega izreka) statistična (sploh v povezavi z rekurzivno definiranimi praštevili (superpraštevili)) Tao je leta 2006 uvedel domnevno četrto strukturo, imenovano eksotična, po kateri naj bi za praštevila veljala kakšna eksotična struktura, ki je ne predvideva Cramérjev naključni model, in bi lahko bila nepričakovano gosta na kakšni strukturirani množici. Ker se ne ve ali imajo praštevila kakšno dodatno eksotično strukturo, ni bilo moč rešiti mnogo problemov o praštevilih. V Cramérjevem modelu je verjetnost , da je v intervalu k praštevil, enaka: kar je Poissonova verjetnostna porazdelitev. Neskončni verižni ulomek Konstanta neskončnega verižnega ulomka za praštevila je: . Glej tudi Čenovo praštevilo Fermatova praštevila Gaussovo praštevilo Higgsovo praštevilo popolna števila regularno praštevilo polpraštevilo praštevilska vrzel praštevilski dvojček število praštevil verjetno praštevilo tabela prafaktorjev števil Eratostenovo sito Sklici Viri Zunanje povezave Chris K. Caldwell: »Praštevilske strani« Chris K. Caldwell: »Nelegalno praštevilo« J. O'Connor and E. F. Robertson: »MacTutorjeva zgodovina o praštevilih«