text: А́лгебра (от «восполнение») — раздел математики, который можно нестрого охарактеризовать как обобщение и расширение арифметики; в этом разделе числа и другие математические объекты обозначаются буквами и другими символами, что позволяет записывать и исследовать их свойства в самом общем виде. Слово «алгебра» также употребляется в общей алгебре в названиях различных алгебраических систем. В более широком смысле под алгеброй понимают раздел математики, посвящённый изучению операций над элементами множеств произвольной природы, обобщающий обычные операции сложения и умножения чисел. Классификация Алгебра как раздел математики традиционно включает следующие категории. Элементарная алгебра, которая изучает свойства операций с вещественными числами. В ней постоянные и переменные обозначаются буквенными символами. Элементарная алгебра содержит правила преобразования алгебраических выражений и уравнений с использованием этих символов. Обычно преподаётся в школе под названием алгебра. Общая алгебра, иногда называемая современной алгеброй или абстрактной алгеброй, где аксиоматизируются и изучаются максимально общие алгебраические структуры, такие, как группы, кольца и поля. Универсальная алгебра, в которой изучаются свойства, общие для всех алгебраических структур (считается подразделом общей алгебры). Линейная алгебра, в которой изучаются свойства векторных пространств (включая матрицы). Алгебраическая комбинаторика, в которой методы абстрактной алгебры используются для изучения вопросов комбинаторики. Элементарная алгебра Элементарная алгебра — раздел алгебры, который изучает самые базовые понятия. Обычно изучается после изучения основных понятий арифметики. В арифметике изучаются числа и простейшие (+, −, ×, ÷) действия с ними. В алгебре числа заменяются на переменные ( и так далее). Такой подход полезен, потому что: Позволяет получить общее представление законов арифметики (например, для любых и ), что является первым шагом к систематическому изучению свойств действительных чисел. Позволяет ввести понятие «неизвестного», сформулировать уравнения и изучать способы их решения. (Для примера, «Найти число x, такое что » или, в более общем случае, «Найти число x, такое, что ». Это приводит к выводу, что нахождение значения переменной кроется не в природе чисел из уравнения, а в операциях между ними.) Позволяет сформулировать понятие функции. (Для примера, «Если вы продали билетов, то ваша прибыль составит рублей, или , где — функция, и — число, от которого зависит функция») Линейная алгебра Линейная алгебра — часть алгебры, изучающая векторы, векторные, или линейные пространства, линейные отображения и системы линейных уравнений. К линейной алгебре также относят теорию определителей, теорию матриц, теорию форм (например, квадратичных), теорию инвариантов (частично), тензорное исчисление (частично). Современная линейная алгебра делает акцент на изучении векторных пространств. Линейное, или векторное пространство над полем — это упорядоченная четвёрка , где — непустое множество элементов произвольной природы, которые называются векторами; — (алгебраическое) поле, элементы которого называются скалярами; — операция сложения векторов, сопоставляющая каждой паре элементов множества единственный элемент множества , обозначаемый ; — операция умножения векторов на скаляры, сопоставляющая каждому элементу поля и каждому элементу множества единственный элемент множества , обозначаемый ; причём заданные операции удовлетворяют следующим аксиомам — аксиомам линейного (векторного) пространства: , для любых (коммутативность сложения); , для любых (ассоциативность сложения); существует такой элемент , что для любого (существование нейтрального элемента относительно сложения), в частности не пусто; для любого существует такой элемент , что (существование противоположного элемента относительно сложения). (ассоциативность умножения на скаляр); (унитарность: умножение на нейтральный (по умножению) элемент поля F сохраняет вектор). (дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров); (дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов). Евклидовы пространства, аффинные пространства, а также многие другие пространства, изучаемые в геометрии, определяются на основе векторного пространства. Автоморфизмы векторного пространства над полем образуют группу относительно умножения, изоморфную группе невырожденных квадратных матриц, что связывает линейную алгебру с теорией групп, в частности, с теорией линейных представлений групп. Переход от используемых в линейной алгебре n-мерных векторных пространств к бесконечномерным линейным пространствам нашёл своё отражение в некоторых разделах функционального анализа. Другим естественным обобщением является использование не поля, а произвольного кольца. Для модуля над произвольным кольцом не выполняются основные теоремы линейной алгебры. Общие свойства векторных пространств над полем и модулей над кольцом изучаются в алгебраической К-теории. Общая алгебра Общая алгебра занимается изучением различных алгебраических систем. В ней рассматриваются свойства операций над объектами независимо от собственно природы объектов. Она включает в себя в первую очередь теории групп и колец. Общие свойства, характерные для обоих видов алгебраических систем, привели к рассмотрению новых алгебраических систем: решёток, категорий, универсальных алгебр, моделей, полугрупп и квазигрупп. Упорядоченные и топологические алгебры, частично упорядоченные и топологические группы и кольца, также относятся к общей алгебре. Точная граница общей алгебры не определена. К ней можно также отнести теорию полей, конечных групп, конечномерных алгебр Ли. Теория групп Непустое множество с заданной на нём бинарной операцией называется группой , если выполнены следующие аксиомы: ассоциативность: ; наличие нейтрального элемента: ; наличие обратного элемента: Понятие группы возникло в результате формального описания симметрии и эквивалентности геометрических объектов. В теории Галуа, которая и дала начало понятию группы, группы используются для описания симметрии уравнений, корнями которых являются корни некоторого полиномиального уравнения. Группы повсеместно используются в математике и естественных науках, часто для обнаружения внутренней симметрии объектов (группы автоморфизмов). Почти все структуры общей алгебры — частные случаи групп. Теория колец Кольцо — это множество R, на котором заданы две бинарные операции: + и × (называемые сложение и умножение), со следующими свойствами: — коммутативность сложения; — ассоциативность сложения; — существование нейтрального элемента относительно сложения; — существование противоположного элемента относительно сложения; — ассоциативность умножения (некоторые авторы не требуют выполнения этой аксиомы) — дистрибутивность. Универсальная алгебра Универсальная алгебра является специальным разделом общей алгебры, который занимается изучением характерных для всех алгебраических систем свойств. Алгебраическая система представляет собой произвольное непустое множество с заданным (возможно, бесконечным) набором конечноарных операций над ним и конечноарных отношений: , , . Множество в этом случае называется носителем (или основным множеством) системы, набор функциональных и предикатных символов с их арностями — её сигнатурой. Система с пустым множеством отношений называется универсальной алгеброй (в контексте предмета — чаще просто алгеброй), а с пустым множеством операций — моделью или системой отношений, реляционной системой. В терминах универсальной алгебры, например, кольцо — это универсальная алгебра , такая, что алгебра — абелева группа, и операция дистрибутивна слева и справа относительно . Кольцо называется ассоциативным, если мультипликативный группоид является полугруппой. Раздел рассматривает как собственно универсальные алгебры, так и сопутствующие структуры: моноид всех эндоморфизмов , группа всех автоморфизмов , решётки всех подалгебр и всех конгруэнций . Универсальная алгебра находится на стыке логики и алгебры. Исторический очерк Истоки алгебры уходят к временам глубокой древности. Арифметические действия над натуральными числами и дробями — простейшие алгебраические операции — встречаются в ранних математических текстах. Ещё в 1650 году до н. э. египетские писцы могли решать отвлечённые уравнения первой степени и простейшие уравнения второй степени, к ним относятся задачи 26 и 33 из папируса Ринда и задача 6 из Московского папируса (так называемые задачи на «аха»). Предполагается, что решение задач было основано на правиле ложного положения. Это же правило, правда, крайне редко, использовали вавилоняне. Вавилонские математики умели решать квадратные уравнения. Они имели дело только с положительными коэффициентами и корнями уравнения, так как не знали отрицательных чисел. По разным реконструкциям в Вавилоне знали либо правило для квадрата суммы, либо правило для произведения суммы и разности, вместе с тем метод вычисления корня полностью соответствует современной формуле. Встречаются и уравнения третьей степени. Кроме того, в Вавилоне была введена особая терминология, использовались шумерские клинописные знаки для обозначения первого неизвестного («длины»), второго неизвестного («ширины»), третьего неизвестного («глубины»), а также различных производных величин («поля» как произведения «длины» и «ширины», «объёма» как произведения «длины», «ширины» и «глубины»), которые можно считать математическими символами, так как в обычной речи уже использовался аккадский язык. Несмотря на явное геометрическое происхождение задач и терминов, использовались они отвлечённо, в частности, «площадь» и «длина» считались однородными. Для решения квадратных уравнений было необходимо уметь осуществлять различные тождественные алгебраические преобразования, оперировать неизвестными величинами. Таким образом был выделен целый класс задач, для решения которых необходимо пользоваться алгебраическими приёмами. После того как была открыта несоизмеримость стороны и диагонали квадрата, греческая математика переживала кризис, разрешению которого способствовал выбор геометрии как основы математики и определение алгебраических операций для геометрических величин. Геометрической алгебре посвящена вторая книга «Начал» Евклида, работы Архимеда и Аполлония. С использованием отрезков, прямоугольников и параллелепипедов были определены сложение и вычитание, произведение (построенный на двух отрезках прямоугольник). Такое представление позволило доказать дистрибутивный закон умножения относительно сложения, тождество для квадрата суммы. Алгебра первоначально была основана на планиметрии и приспособлена в первую очередь для решения квадратных уравнений. Вместе с тем к алгебраическим уравнениям сводятся сформулированные пифагорейцами задачи об удвоении куба и трисекции угла, построение правильных многоугольников. Решение кубических уравнений получило своё развитие в работах Архимеда (сочинения «О шаре и цилиндре» и «О коноидах и сфероидах»), который исследовал в общем виде уравнение . Отдельные задачи решались с помощью конических сечений. Неожиданный переход к алгебре, основанной на арифметике, произошёл в работах Диофанта, который ввёл буквенные обозначения: неизвестное число он назвал «число», вторую степень неизвестного — «квадрат», третью — «куб», четвёртую — «квадрато-квадрат», пятую — «квадрато-куб», шестую — «кубо-куб». Также он ввёл обозначения для отрицательных степеней, свободного члена, отрицательного числа (или вычитания) и знака равенства. Диофант знал и использовал правило переноса вычитаемого из одной части уравнения в другую и правило сокращения равных членов. Исследуя уравнения третьей и четвёртой степеней, Диофант для нахождения рациональной точки на кривой использует такие методы геометрической алгебры, как провести касательную в рациональной точке кривой или провести прямую через две рациональные точки. В X веке «Арифметика» Диофанта, в которой он изложил свои методы, была переведена на арабский язык, а в XVI веке достигла Западной Европы, оказав влияние на работы Ферма и Виета. Идеи Диофанта можно заметить также в работах Эйлера, Якоби, Пуанкаре и других математиков вплоть до начала XX века. В настоящее время проблемы Диофанта принято относить к алгебраической геометрии. За 2000 лет до нашего времени китайские учёные решали уравнения первой степени и их системы, а также квадратные уравнения (см. Математика в девяти книгах). Они уже знали отрицательные и иррациональные числа. Поскольку в китайском языке каждый символ обозначает понятие, то сокращений не было. В XIII веке китайцы открыли закон образования биномиальных коэффициентов, ныне известный как «треугольник Паскаля». В Европе он был открыт лишь 250 лет спустя. Термин «алгебра» взят из сочинения среднеазиатского учёного Аль-Хорезми «Краткая книга об исчислении аль-джабра и аль-мукабалы» (825 год). Слово «аль-джабр» при этом означало операцию переноса вычитаемых из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, и его буквальный смысл — «восполнение». «Аль-мукабала» означало отбрасывание в обеих частях равенства равных членов (противоположение). «Аль-джабр» при переводе на латинский язык превратилось в «algebra», а аль-мукабала была отброшена: так появилось название «алгебра». В XII веке алгебра попала в Европу. С этого времени начинается её бурное развитие. Были открыты способы решения уравнений 3 и 4 степеней. Распространение получили отрицательные и комплексные числа. Было доказано, что любое уравнение выше 4 степени нельзя решить алгебраическим способом. Вплоть до второй половины XX века практическое применение алгебры ограничивалось, в основном, решением алгебраических уравнений и систем уравнений с несколькими переменными. Во второй половине XX века началось бурное развитие ряда новых отраслей техники. Появились электронно-вычислительные машины, устройства для хранения, переработки и передачи информации, системы наблюдения типа радара. Проектирование новых видов техники и их использование немыслимо без применения современной алгебры. Так, электронно-вычислительные машины устроены по принципу конечных автоматов. Для проектирования электронно-вычислительных машин и электронных схем используются методы булевой алгебры. Современные языки программирования для ЭВМ основаны на принципах теории алгоритмов. Теория множеств используется в системах компьютерного поиска и хранения информации. Теория категорий используется в задачах распознавания образов, определении семантики языков программирования, и других практических задачах. Кодирование и декодирование информации производится методами теории групп. Теория рекуррентных последовательностей используется в работе радаров. Экономические расчёты невозможны без использования теории графов. Математическое моделирование широко использует все разделы алгебры. Примечания Литература Ссылки Информация на начало XX века:


source: wikipedia

text: Группой Ли над полем ( или ) называется группа , снабжённая структурой дифференцируемого (гладкого) многообразия над , причём отображения и , определённые так: , являются гладкими (в случае поля требуют голоморфности введённых отображений). Другими словами, группой Ли называется топологическая группа, если она является параметрической и если функция, задающая закон умножения, является вещественно-аналитичной. Всякая комплексная -мерная группа Ли является вещественной группой Ли размерности . Всякая комплексная группа Ли по определению является аналитическим многообразием, но и в вещественном случае на любой группе Ли существует аналитический атлас, в котором отображения и записываются аналитическими функциями. Изучение групп Ли было начато независимо Вильгельмом Киллингом и Софусом Ли. Группы Ли естественно возникают при рассмотрении непрерывных симметрий. Например, движения плоскости образуют группу Ли. Группы Ли являются в смысле богатства структуры лучшими из многообразий и как таковые очень важны в дифференциальной геометрии и топологии. Они также играют важную роль в геометрии, физике, теории дифференциальных уравнений. Типы групп Ли Группы Ли классифицируются по своим алгебраическим свойствам (простоте, полупростоте, разрешимости, нильпотентности, абелевости), а также по топологическим свойствам (связности, односвязности и компактности). Подгруппы Ли Подгруппа группы Ли называется её подгруппой Ли, если она является подмногообразием в многообразии , то есть найдётся , такое, что задаётся в окрестности каждой своей точки системой из функций, имеющей в ранг . Не всякая подгруппа является подгруппой Ли: например, подгруппа пар вида в торе не является подгруппой Ли (она даёт всюду плотную обмотку тора). Подгруппа Ли всегда замкнута. В вещественном случае верно и обратное: замкнутая подгруппа является подгруппой Ли. В комплексном случае это не так: бывают вещественные подгруппы Ли комплексной группы Ли, имеющие нечетную размерность, например, унитарные матрицы в группе обратимых комплексных матриц . Пусть — подгруппа Ли группы Ли . Множество смежных классов (безразлично, левых или правых) можно единственным образом наделить структурой дифференцируемого многообразия так, чтобы каноническая проекция была дифференцируемым отображением. При этом получится локально тривиальное расслоение, и если — нормальная подгруппа, то факторгруппа будет группой Ли. Гомоморфизмы и изоморфизмы Пусть и — группы Ли над одним и тем же полем. Гомоморфизмом групп Ли называется отображение , являющееся гомоморфизмом групп и одновременно аналитическим отображением многообразий (можно показать, что для выполнения последнего условия достаточно непрерывности ). Композиция гомоморфизмов групп Ли снова будет гомоморфизмом групп Ли. Классы всех вещественных и всех комплексных групп Ли вместе с соответствующими гомоморфизмами образуют категории и . Гомоморфизм групп Ли называется изоморфизмом, если существует обратный. Две группы Ли, между которыми существует изоморфизм, как обычно в абстрактной алгебре, называются изоморфными. Как обычно, группы Ли различают лишь с точностью до изоморфизма. Например, группа Ли поворотов плоскости с операцией композиции и группа Ли комплексных чисел, равных по модулю единице, с операцией умножения являются изоморфными. Пример иррациональной обмотки тора показывает, что образ группы Ли при гомоморфизме не всегда является подгруппой Ли. Однако прообраз подгруппы Ли при гомоморфизме всегда является подгруппой Ли. Гомоморфизм группы Ли над полем в группу невырожденных линейных преобразований векторного пространства над полем называется представлением группы в пространстве . Действия групп Ли Группы Ли часто выступают как симметрии какой-либо структуры на некотором многообразии, а потому естественно, что изучение действий групп Ли на различных многообразиях является важным разделом теории. Говорят, что группа Ли G действует на гладком многообразии M, если задан гомоморфизм групп a: G → Diff M, где Diff M — группа диффеоморфизмов M. Таким образом, каждому элементу g группы G должно соответствовать диффеоморфное преобразование ag многообразия M, причём произведению элементов и взятию обратного элемента отвечают соответственно композиция диффеоморфизмов и обратный диффеоморфизм. Если из контекста ясно, о каком действии идёт речь, то образ ag(m) точки m при диффеоморфизме, определяемом элементом g, обозначается просто gm. Группа Ли естественно действует на себе левыми и правыми сдвигами, а также сопряжениями. Эти действия традиционно обозначаются l, r и a: , , . Другим примером действия является действие группы Ли на множестве смежных классов этой группы по какой-нибудь подгруппе Ли : , Действие группы Ли на дифференцируемом многообразии M называется транзитивным, если любую точку можно перевести в любую другую посредством действия некоторого элемента . Многообразие, на котором задано транзитивное действие группы Ли, называется однородным пространством этой группы. Однородные пространства играют важную роль во многих разделах геометрии. Однородное пространство группы диффеоморфно , где — стабилизатор произвольной точки. Алгебра Ли группы Ли Алгебра Ли полностью определяет локальную структуру своей группы Ли. Векторное поле на группе Ли называется левоинвариантным, если оно коммутирует с левыми сдвигами, то есть для всех из , и любой дифференцируемой функции . Эквивалентно, для всех , из . Очевидно, любое левоинвариантное векторное поле на группе Ли полностью определяется своим значением в единице. Наоборот, задав произвольный вектор в касательном пространстве к единице, можно разнести его левыми сдвигами по всей группе. Получается взаимно однозначное соответствие между касательным пространством к группе в единице и пространством левоинвариантных векторных полей. Скобка Ли левоинвариантных векторных полей будет левоинвариантным векторным полем. Поэтому является алгеброй Ли. Эта алгебра называется алгеброй Ли группы . (Обычно алгебра обозначается соответствующей малой готической буквой.) См. также Алгебра Ли Дифференциальная геометрия и топология Простая группа Ли Примечания Литература Винберг Э. Б., Онищик А. Л. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам. 1988, 1995 Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т.20. Группы Ли и алгебры Ли — 1. — М.: ВИНИТИ, 1988. Адамс Дж. Ф. Лекции по группам Ли. — М.: Наука, 1979. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. Главы I—III. — М.: Мир, 1976. — 496 с. Бурбаки Н.'' Группы и алгебры Ли. Глава IX. — М.: Мир, 1986. — 174 с. Ресурсы физико-математической библиотеки сайта EqWorld Мир математических уравнений : Семинар «Софус Ли». Теория алгебр Ли. Топология групп Ли. — М.: ИЛ, 1962 (djvu) Серр Ж.-П. Алгебры Ли и группы Ли. — М.: Мир, 1969 (djvu) Симметрия


text: Геоме́трия (от ← «земля» + «мерить; оценивать») — раздел математики, изучающий пространственные структуры и отношения, а также их обобщения. Геометрия как систематическая наука появилась в Древней Греции, её аксиоматические построения описаны в «Началах» Евклида. Евклидова геометрия занималась изучением простейших фигур на плоскости и в пространстве, вычислением их площади и объёма. Предложенный Декартом в 1637 году координатный метод лёг в основу аналитической и дифференциальной геометрии, а задачи, связанные с черчением, привели к созданию начертательной и проективной геометрии. При этом все построения оставались в рамках аксиоматического подхода Евклида. Коренные изменения связаны с работами Лобачевского в 1829 году, который отказался от аксиомы параллельности и создал новую неевклидову геометрию, определив таким образом путь дальнейшего развития науки и создания новых теорий. Классификация геометрии, предложенная Клейном в «Эрлангенской программе» в 1872 году и содержащая в своей основе инвариантность геометрических объектов относительно различных групп преобразований, сохраняется до сих пор. Предмет геометрии Геометрия занимается взаимным расположением тел, которое выражается в прикосновении или прилегании друг к другу, расположением «между», «внутри» и так далее; величиной тел, то есть понятиями о равенстве тел, «больше» или «меньше»; а также преобразованиями тел. Геометрическое тело представляет собой абстракцию ещё со времён Евклида, который полагал, что «линия есть длина без ширины», «поверхность есть то, что имеет длину и ширину». Точка представляет собой абстракцию, связанную с неограниченным уменьшением всех размеров тела, или пределом бесконечного деления. Расположение, размеры и преобразования геометрических фигур определяются пространственными отношениями. Исследуя реальные предметы, геометрия рассматривает только их форму и взаимное расположение, отвлекаясь от других свойств предметов, таких как плотность, вес, цвет. Это позволяет перейти от пространственных отношений между реальными объектами к любым отношениям и формам, возникающим при рассмотрении однородных объектов, и сходным с пространственными. В частности, геометрия позволяет рассматривать расстояния между функциями. Классификация Классификацию различных разделов геометрии предложил Феликс Клейн в своей «Эрлангенской программе» (1872). Согласно Клейну, каждый раздел изучает те свойства геометрических объектов, которые сохраняются (инвариантны) при действии некоторой группы преобразований, специфичной для каждого раздела. В соответствии с этой классификацией, в классической геометрии можно выделить следующие основные разделы. Евклидова геометрия, в которой предполагается, что размеры отрезков и углов при перемещении фигур на плоскости не меняются. Другими словами, это теория тех свойств фигур, которые сохраняются при их переносе, вращении и отражении. Планиметрия — раздел евклидовой геометрии, исследующий фигуры на плоскости. Стереометрия — раздел евклидовой геометрии, в котором изучаются фигуры в пространстве. Проективная геометрия, изучающая проективные свойства фигур, то есть свойства, сохраняющиеся при их проективных преобразованиях. Аффинная геометрия, изучающая свойства фигур, сохраняющиеся при аффинных преобразованиях. Начертательная геометрия — инженерная дисциплина, в основе которой лежит метод проекций. Этот метод использует две и более проекций (ортогональных или косоугольных), что позволяет представить трехмерный объект на плоскости. Современная геометрия включает в себя следующие дополнительные разделы. Многомерная геометрия. Неевклидовы геометрии. Сферическая геометрия. Геометрия Лобачевского. Риманова геометрия. Геометрия многообразий. Топология — наука о непрерывных преобразованиях самого общего вида, то есть свойства объектов, которые остаются неизменными при непрерывных деформациях. В топологии не рассматриваются никакие метрические свойства объектов. По используемым методам выделяют также такие инструментальные подразделы. Аналитическая геометрия — геометрия координатного метода. В ней геометрические объекты описываются алгебраическими уравнениями в декартовых (иногда аффинных) координатах и затем исследуются методами алгебры и анализа. Алгебраическая геометрия — изучает алгебраические многообразия (то есть множества, которые задаются полиномиальными уравнениями) с помощью методов современной общей алгебры. Дифференциальная геометрия — изучает линии и поверхности, задающиеся дифференцируемыми функциями, с помощью дифференциальных уравнений, внешней алгебры и методов топологии. Аксиоматика Аксиомы евклидовой геометрии, сформулированные в III—IV веке до н. э., составляли основу геометрии до второй половины XIX века, так как хорошо описывали физическое пространство и отождествлялись с ним. Пяти постулатов Евклида было недостаточно для полного описания геометрии и в 1899 году Гильберт предложил свою систему аксиом. Гильберт разделил аксиомы на несколько групп: аксиомы принадлежности, конгруэнтности, непрерывности (в том числе аксиома Архимеда), полноты и параллельности. Позднее Шур заменил аксиомы конгруэнтности аксиомами движения, а вместо аксиомы полноты стали использовать аксиому Кантора. Система аксиом евклидовой геометрии позволяет доказать все известные школьные теоремы. Существуют и другие системы аксиом, в основе которых, помимо точки, прямой и плоскости, лежит не движение, а конгруэнтность, как у Гильберта, или расстояние, как у Кагана. Другая система аксиом связана с понятием вектора. Все они выводятся одна из другой, то есть аксиомы в одной системе можно доказать как теоремы в другой. Для доказательства непротиворечивости и полноты аксиом евклидовой геометрии строят её арифметическую модель и показывают, что любая модель изоморфна арифметической, а значит они изоморфны между собой. Независимость аксиом евклидовой геометрии показать сложнее из-за большого количества аксиом. Аксиома параллельности не зависит от других, так как на противоположном утверждении строится геометрия Лобачевского. Аналогично была показана независимость аксиомы Архимеда (в качестве координат вместо тройки вещественных чисел используется тройка комплексных чисел), аксиомы Кантора (в качестве координат вместо тройки любых вещественных чисел используются вещественные числа, построенные определённым образом), а также одной из аксиом принадлежности, которая фактически определяет размерность пространства (вместо трёхмерного пространства можно построить четырёхмерное, и любое многомерное пространство с конечным числом измерений). Постулаты Евклида Постулаты Евклида представляют собой правила построения с помощью идеального циркуля и идеальной линейки: Всякие две точки можно соединить прямой линией; Ограниченную прямую линию можно неограниченно продолжить; Из всякого центра всяким радиусом можно описать окружность; Все прямые углы равны между собой; Если прямая падает на две прямые и образует внутренние односторонние углы в сумме меньше двух прямых, то при неограниченном продолжении этих двух прямых они пересекутся с той стороны, где углы меньше двух прямых. Другая формулировка пятого постулата (аксиомы параллельности), гласит: Через точку вне прямой в их плоскости можно провести не более одной прямой, не пересекающей данную прямую. Аксиомы евклидовой геометрии В «Энциклопедии элементарной математики» предлагается следующая система аксиом: Аксиомы принадлежности: Через каждые две различные точки проходит прямая и притом одна; На каждой прямой имеется по крайней мере две точки; Существуют три точки, не лежащие на одной прямой; Через каждые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость и притом только одна; На каждой плоскости имеется по крайней мере одна точка; Если две точки лежат на плоскости, то и проходящая через них прямая лежит на этой плоскости; Если две плоскости имеют общую точку, они имеют по крайней мере ещё одну общую точку; Существуют четыре точки, не лежащие на одной плоскости. Аксиомы порядка: Из любых трёх различных точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими; Для всяких двух точек прямой существует на этой прямой такая третья точка, что вторая точка лежит между первой и третьей; Если прямая l, лежащая в плоскости ABC, не проходит ни через одну из точек A, B, C и содержит одну точку отрезка AB, то она имеет общую точку с хотя бы одним из отрезков AC, BC; Аксиомы движения: Всякое движение является взаимно однозначным отображением пространства на себя; Пусть f — произвольное движение. Тогда, если точки A, B, C расположены на одной прямой, причём C лежит между A и B, то точки f(A), f(B), f(C) также расположены на одной прямой, причём f(C) лежит между f(A) и f(B); Два движения, произведённые один за другим, равносильны некоторому одному движению; Для всяких двух реперов, взятых в определённом порядке, существует одно и только одно движение, переводящее первый репер во второй; Аксиомы непрерывности: Аксиома Архимеда. Пусть A0, A1, B — три точки, лежащие на одной прямой, причём точка A1 находится между A0 и B. Пусть далее f — движение, переводящее точку A0 в A1 и луч A0B в A1B. Положим f(A1)=A2, f(A2)=A3, .... Тогда существует такое натуральное число n, что точка B находится на отрезке An-1An. Аксиома Кантора. Пусть A1, A2, ... и B1, B2, ... — такие две последовательности точек, расположенных на одной прямой l, что для любого n точки An и Bn различны между собой и лежат на отрезке An-1Bn-1. Тогда на прямой l существует такая точка C, которая находится на отрезке AnBn при всех значениях n. Аксиома параллельности: Через точку A, не лежащую на прямой l, можно провести в их плоскости не более одной прямой, не пересекающей прямую l. Если убрать из системы аксиомы 4-8, относящиеся к пространственной геометрии, то получится система аксиом евклидовой плоскости. Геометрические преобразования Преобразованием множества называют его взаимно-однозначное отображение на себя. В таком смысле этот термин используется в геометрии, хотя иногда его используют и как синоним отображения или отображения множества в себя. Говоря о «геометрических преобразованиях», обычно имеют в виду некоторые конкретные типы преобразований, играющие фундаментальную роль в геометрии — движения, преобразования подобия, аффинные, проективные, круговые преобразования (в последних двух случаях плоскость или пространство дополняют бесконечно удаленными точками). Эту фундаментальную роль выявил немецкий математик Феликс Клейн в своей лекции в университете г. Эрланген в 1872 г., известной как Эрлангенская программа. Согласно концепции Клейна, геометрия изучает свойства фигур, сохраняющиеся при всех преобразованиях некоторой группы преобразований. Рассматривая группы преобразований указанных выше видов, получают разные геометрии — евклидову (для преобразований подобия), аффинную и т. д. История Традиционно считается, что родоначальниками геометрии как систематической науки являются древние греки, перенявшие у египтян ремесло землемерия и измерения объёмов тел и превратившие его в строгую научную дисциплину. При этом античные геометры от набора рецептов перешли к установлению общих закономерностей, составили первые систематические и доказательные труды по геометрии. Центральное место среди них занимают написанные в III веке «Начала» Евклида. Этот труд более двух тысячелетий считался образцовым изложением в духе аксиоматического метода: все положения выводятся логическим путём из небольшого числа явно указанных и не доказываемых предположений — аксиом. Первые же доказательства геометрических утверждений появились в работах Фалеса и использовали, по всей видимости, принцип наложения, когда фигуры, равенство которых необходимо доказать, накладывались друг на друга. Геометрия греков, называемая сегодня евклидовой или элементарной, занималась изучением простейших форм: прямых, плоскостей, отрезков, правильных многоугольников и многогранников, конических сечений, а также шаров, цилиндров, призм, пирамид и конусов. Вычислялись их площади и объёмы. Преобразования в основном ограничивались подобием. В Греции в работах Гиппарха и Менелая также появились тригонометрия и геометрия на сфере. Средние века немного дали геометрии, и следующим великим событием в её истории стало открытие Декартом в XVII веке координатного метода (трактат «Геометрия», 1637). Точкам пространства сопоставляются наборы чисел, это позволяет изучать отношения между геометрическими формами методами алгебры. Так появилась аналитическая геометрия, изучающая фигуры и преобразования, которые в координатах задаются алгебраическими уравнениями. Систематическое изложение аналитической геометрии было предложено Эйлером в 1748 году. В начале XVII века Паскалем и Дезаргом начато исследование свойств плоских фигур, не меняющихся при проектировании с одной плоскости на другую. Этот раздел получил название проективной геометрии и был впервые обобщён Понселе в 1822 году. Ещё раньше, в 1799 году Монж развил начертательную геометрию, связанную напрямую с задачами черчения. Метод координат лежит в основе появившейся несколько позже дифференциальной геометрии, где фигуры и преобразования все ещё задаются в координатах, но уже произвольными достаточно гладкими функциями. Дифференциальная геометрия была систематизирована Монжем в 1795 году, её развитием, в частности теорией кривых и теорией поверхностей, занимался Гаусс. На стыке геометрии, алгебры и анализа возникли векторное исчисление, тензорное исчисление, метод дифференциальных форм. В 1826 году Лобачевский, отказавшись от аксиомы параллельности Евклида построил неевклидову геометрию, названную его именем. Аксиома Лобачевского гласит, что через точку, не лежащую на прямой можно провести более одной прямой, параллельной данной. Лобачевский, используя эту аксиому вместе с другими положениями, построил новую геометрию, которая в силу отсутствия наглядности, оставалась гипотетической до 1868 года, когда было дано её полное обоснование. Лобачевский, таким образом, открыл принципы построения новых геометрических теорий и способствовал развитию аксиоматического метода. Следующим шагом явилось определение абстрактного математического пространства. Проективные, аффинные и конформные преобразования, сохраняющиеся при этом свойства фигур, привели к созданию проективной, аффинной и конформной геометрий. Переход от трёхмерного пространства к n-мерному впервые был осуществлён в работах Грассмана и Кэли в 1844 году и привёл к созданию многомерной геометрии. Другим обобщением пространства стала риманова геометрия, предложенная Риманом в 1854 году. Ф. Клейн в «Эрлангенской программе» систематизировал все виды однородных геометрий; согласно ему, геометрия изучает все те свойства фигур, которые инвариантны относительно преобразований из некоторой группы. При этом каждая группа задаёт свою геометрию. Так, изометрии (движения) задаёт евклидову геометрию, группа аффинных преобразований — аффинную геометрию. В 70-х годах XIX века возникла теория множеств, с точки зрения которой фигура определяется как множество точек. Данный подход позволил по новому взглянуть на евклидову геометрию и проанализировать её основы, которые подверглись некоторым уточнениям в работах Гильберта. Геометрия в философии и искусстве Со времён Древней Греции в основе геометрии лежат философские понятия. Определяя точку как «то, что не имеет частей», подход к ней отличается у Пифагора, который отождествляет точку с числовой единицей и у которого точка имеет только положение в пространстве и не имеет размера, и у Демокрита, который строя атомистическую теорию, даёт точке «сверхчувственно малый» размер. К атомистическим представлениям восходят также определения линии и поверхности, где неделимыми являются «ширина» и «глубина», соответственно. Геометрия является пятым из семи свободных искусств по уровню обучения. Ей предшествует тривиум, состоящий из Грамматики, Риторики и Диалектики, а также Арифметика — старшая наука в квадривиуме, к которому также относятся Музыка и Астрономия. Марциан Капелла в своём трактате «Свадьба Философии и Меркурия» создал визуальные образы всех семи искусств и в том числе Геометрии. Искусства олицетворяли женщины с соответствующими атрибутами, которые сопровождались известными представителями сферы. Геометрия держит в своих руках глобус и циркуль, которым она может мерить, реже угольник, линейку или компасы. Её сопровождает Евклид. В честь геометрии назван астероид (376) Геометрия, открытый в 1893 году. Примечания Литература


text: Фундамента́льная гру́ппа — определённая группа, которая сопоставляется топологическому пространству. Грубо говоря, эта группа измеряет количество «дырок» в пространстве. Наличие «дырки» определяется невозможностью непрерывно продеформировать ("стянуть") некоторую замкнутую кривую в точку. Фундаментальная группа пространства обычно обозначается или , последнее обозначение применимо для связных пространств. Тривиальность фундаментальной группы обычно записывается как , хотя обозначение более уместно. Определение Пусть — топологическое пространство с отмеченной точкой . Рассмотрим множество петель в из ; то есть множество непрерывных отображений , таких что . Две петли и считаются эквивалентными, если они гомотопны друг другу в классе петель, то есть найдется соединяющая их гомотопия , удовлетворяющая свойству . Соответствующие классы эквивалентности (обозначаются ) называются гомотопическими классами. Произведением двух петель называется петля, определяемая их последовательным прохождением: Произведением двух гомотопических классов и называется гомотопический класс произведения петель. Можно показать, что он не зависит от выбора петель в классах. Множество гомотопических классов петель с таким произведением становится группой. Эта группа и называется фундаментальной группой пространства с отмеченной точкой и обозначается . Комментарии Про можно думать как о паре пространств . Единицей группы является класс тождественной, или неподвижной петли, обратным элементом — класс петли, пройденной в обратном направлении. Если — линейно связное пространство, то с точностью до изоморфизма фундаментальная группа не зависит от отмеченной точки. Поэтому для таких пространств можно писать вместо не боясь вызвать путаницу. Однако для двух точек канонический изоморфизм между и существует лишь если фундаментальная группа абелева. Связанные определения Каждое непрерывное отображение пунктированных пространств индуцирует гомоморфизм , определяемый формулой . Таким образом, взятие фундаментальной группы вместе с описанной операцией образует функтор . Пространство называется односвязным, если оно линейно связно и группа тривиальна (состоит только из единицы). Примеры В есть только один гомотопический класс петель. Следовательно, фундаментальная группа тривиальна, . То же верно и для любого пространства — выпуклого подмножества . В окружности , каждый гомотопический класс состоит из петель, которые навиваются на окружность заданное число раз, которое может быть положительным или отрицательным в зависимости от направления. Следовательно, фундаментальная группа окружности изоморфна аддитивной группе целых чисел . Фундаментальная группа -мерной сферы тривиальна при всех . Фундаментальная группа восьмёрки неабелева — это свободное произведение . Справедлив более общий результат, следующий из теоремы ван Кампена: если и — линейно связные пространства и локально односвязны, то фундаментальная группа их букета (склейки по выделенной точке) изоморфна свободному произведению их фундаментальных групп: Фундаментальная группа плоскости c выколотыми точками — свободная группа с порождающими. Фундаментальная группа ориентированной замкнутой поверхности рода может быть задана образующими с единственным соотношением: . Свойства Фундаментальная группа пространства зависит только от его гомотопического типа. Обратное верно для линейно связных асферических пространств; см. также K(G,n) пространство. Если — ретракт , содержащий отмеченную точку , то гомоморфизм , индуцированный вложением , инъективен. В частности, фундаментальная группа компоненты линейной связности , содержащей отмеченную точку, изоморфна фундаментальной группе всего . Если — строгий деформационный ретракт , то является изоморфизмом. сохраняет произведение: для любой пары топологических пространств с отмеченными точками и существует изоморфизм естественный по и . Теорема ван Кампена: Если — объединение линейно связных открытых множеств , каждое из которых содержит отмеченную точку , и если каждое пересечение линейно связно, то гомоморфизм , индуцированный вложениями , сюрьективен. Кроме того, если каждое пересечение линейно связно, то ядро гомоморфизма — это наименьшая нормальная подгруппа , содержащая все элементы вида (где индуцирован вложением ), а потому индуцирует изоморфизм (первая теорема об изоморфизме). В частности, сохраняет копроизведения: естественно по всем . (случай двух ): условие для тройных пересечений становится излишним, и получается, что , что является ограниченной (случаем линейно связного ) формой сохранения толчков. Фундаментальная группа топологической группы абелева, как демонстрирует аргумент Экманна-Хилтона. Свободные группы и только они могут быть реализованы как фундаментальные группы графов (действительно, стягивание остовного дерева в точку реализует гомотопическую эквивалентность графа и букета окружностей, также можно применить теорему ван Кампена). Произвольная группа может быть реализована как фундаментальная группа двумерного клеточного комплекса. Произвольная конечно заданная группа может быть реализована как фундаментальная группа замкнутого 4-мерного многообразия. Фундаментальная группа пространства действует сдвигами на универсальном накрытии этого пространства (если универсальное накрытие определено). Вариации и обобщения Фундаментальная группа является первой из гомотопических групп. пространства называют группоид , объектами которого являются точки , а морфизмами — гомотопические классы путей с композицией путей. При этом , и если линейно связно, то вложение является эквивалентностью категорий. Примечания Литература Матвеев С. В. Фундаментальная группа: Лекции по курсу «Топология». — Челябинск: ЧелГУ, 2001. — 16 с. (есть pdf) Алгебраическая топология Топологические инварианты


text: Тополо́гия — раздел математики, который является разновидностью геометрии, посвященной изучению качественных свойств геометрических фигур, не зависящих от расстояний, величин углов, площадей и объёмов. В отличие от геометрии, эквивалентными в топологии, по определению, считаются те фигуры, которые получаются друг из друга произвольной обратимой непрерывной деформацией. Такие деформации называются гомеоморфизмами. Например, сглаживая углы треугольника, его можно деформировать в круг, а затем, заостряя края круга, — в пятиугольник или любой другой выпуклый многоугольник, поэтому с точки зрения топологии все эти фигуры эквивалентны. Кроме того, кружка с ручкой и бублик гомеоморфны. Напротив, бублик и шар, а также кольцо и круг по некоторым причинам не гомеоморфны. Первостепенной задачей топологии является задача классификации. Решение данной задачи требует топологических инвариантов, то есть таких характеристик пространства, которые сохраняются при гомеоморфизме. Изучение подобных характеристик послужило важным стимулом для развития топологии и восходит к открытию тождества Эйлера — соотношения между количествами вершин (В), рёбер (Р) и граней (Г) выпуклого многогранника: В Р Г . Объяснение этого тождества с точки зрения топологии в том, что выражение слева от равенства является топологическим инвариантом, а все выпуклые многогранники гомеоморфны между собой (и гомеоморфны шару). Впоследствии тождество Эйлера позволило установить топологический инвариант совершенно произвольного топологического пространства — его эйлерову характеристику. В частности, этот инвариант позволяет отличить шар от бублика и круг от кольца. Основными объектами исследования в топологии являются топологические пространства, которые в первом приближении представляют собой классы эквивалентности по описанному выше отношению (то есть гомеоморфности) геометрических фигур и произвольных метрических пространств. За счёт того, что основные понятия топологии не требуют для своего определения никаких классических геометрических понятий, эта теория применяется к объектам, далёким от геометрических, проникает практически во все области математики и допускает многочисленные приложения. Этимология Слово «топология» происходит от сочетания двух древнегреческих существительных: — место и — слово, учение. Буквально оно означает изучение места (пространства) или локальное исследование. Таким образом, топология занимается определением того, что такое пространство и каковы его свойства. Термин «топология» впервые появился в 1847 году в работе Листинга. Листинг определяет топологию так: «Под топологией будем понимать учение о модальных отношениях пространственных образов — или о законах связности, взаимного положения и следования точек, линий, поверхностей, тел и их частей или их совокупности в пространстве, независимо от отношений мер и величин». Когда топология ещё только зарождалась (XVIII—XIX века), её называли геометрией размещения () или анализом размещения (). История Топология берёт своё начало с изучения некоторых геометрических задач. Различные источники указывают на первые топологические по духу результаты в работах Лейбница и Эйлера. Приблизительно с 1925 по 1975 годы топология являлась одной из самых бурно развивающихся отраслей математики. Общая топология зародилась в конце XIX века — и оформилась в самостоятельную математическую дисциплину в начале XX века. Основополагающие работы принадлежат: Хаусдорфу, Пуанкаре (цикл статей Analysis situs), Александрову, Урысону, Брауэру. Разделы топологии Общая топология Общая топология, или теоретико-множественная топология, — раздел топологии о непрерывности в чистом виде. Она посвящена, в частности, исследованию фундаментальных топологических свойств, таких как связность и компактность. Маломерная топология Маломерная топология — раздел топологии, сосредоточенный в основном вокруг многообразий малой размерности, то есть узлов, кос, поверхностей, трёхмерных и четырёхмерных многообразий. Алгебраическая топология Алгебраическая топология — раздел топологии о непрерывности с использованием алгебраических объектов, вроде гомотопических групп и гомологий. Дифференциальная топология Дифференциальная топология — раздел топологии о гладких многообразиях с точностью до диффеоморфизма и их включениях (размещениях) в других многообразиях. Вычислительная топология Вычислительная топология — раздел, находящийся на пересечении топологии, вычислительной геометрии и теории вычислительной сложности. Занимается созданием эффективных алгоритмов для решения топологических проблем и применением топологических методов для решения алгоритмических проблем, возникающих в других областях науки. См. также Топологическое пространство Глоссарий общей топологии Примечания Литература Болтянский В. Г., Ефремович В. А. Наглядная топология. — М.: Наука, 1982. (Библиотечка «Квант», Вып. 21). Борисович Ю. Г., Близняков Н. М., Израилевич Я. А., Введение в топологию. — Изд. 3-е. — М.: ЛЕНАНД, 2015 Васильев В. А. Топология для младшекурсников. — М.: МЦНМО, 2014 Вербицкий М. Лекции и задачи по топологии. — 2009. Виро О. Я., Иванов О. А., Харламов В. М., Нецветаев Н. Ю. Элементарная топология. — 2007. Коснёвски Ч. Начальный курс алгебраической топологии. — М.: Мир, 1983. Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология. Начальный курс. — М.: Мир, 1972. Милнор Дж., Сташеф Дж. Характеристические классы. — М.: Мир, 1979. Прасолов В. В. Наглядная топология. — М.: МЦНМО, 1995. Стюарт Я. Топология. // Квант, No 7, 1992. Гарднер М. Нульсторонний профессор — рассказ, описывающий предмет топологии в занимательном ключе Ссылки Раздел «Алгебраические многообразия и топология» физико-математической библиотеки сайта «Мир математических уравнений» Топология как геометрия XX века // Лекция математика Сергея Ландо в проекте ПостНаука (13.04.2013)


text: Алгебраи́ческая тополо́гия (устаревшее название: комбинаторная топология) — раздел топологии, изучающий топологические пространства путём сопоставления им алгебраических объектов (групп, колец и т. д.), а также поведение этих объектов под действием различных топологических операций. Основные методы Методы алгебраической топологии основаны на предположении, что общеалгебраические структуры устроены проще, чем топологические. Важным инструментом алгебраической топологии являются так называемые группы гомологий (например, симплициальные или сингулярные). Каждому топологическому пространству соответствует в каждой размерности своя абелева группа гомологий , а каждому непрерывному отображению соответствует гомоморфизм групп , причём композиции отображений соответствует композиция гомоморфизмов , а тождественному отображению соответствует тождественный гомоморфизм . На языке теории категорий это означает, что -ая группа гомологий является ковариантным функтором из категории топологических пространств в категорию абелевых групп. Помимо различных теорий гомологий (сейчас очень большое значение приобрели экстраординарные гомологии, например, теория бордизмов или -теория), для алгебраической топологии важны гомотопические группы . Из них главной является — так называемая фундаментальная группа, которая, в отличие от групп всех других размерностей, может быть неабелевой. Пример методики Одним из классических примеров применения методов алгебраической топологии является доказательство теоремы Брауэра о неподвижной точке. Утверждение теоремы состоит в том, что всякое непрерывное отображение замкнутого -мерного шара в себя обладает неподвижной точкой, то есть . Для доказательства используется следующая лемма: не существует ретракции -мерного шара на свою границу, -мерную сферу (такого непрерывного отображения что для всех точек границы). В самом деле: если у отображения нет неподвижных точек, то возможно построить отображение шара на сферу, проведя для каждой точки шара луч, выходящий из и проходящий через (в случае отсутствия неподвижных точек это разные точки); пусть — точка пересечения луча со сферой , и . Отображение непрерывно, и если принадлежит сфере, то . Таким образом, получена ретракция шара на сферу, что по лемме невозможно. Следовательно, хотя бы одна неподвижная точка существует. Для доказательства леммы предполагается, что существует такая ретракция . Для вложения сферы в шар выполнено следующее свойство: композиция отображений — тождественное отображение сферы (вначале , затем ). Далее показывается, что , а . Тогда отображение будет отображением в 0, но, с другой стороны, так как , имеем — является не нулевым гомоморфизмом, а тождественным изоморфизмом. Известны и неалгебраические доказательства теоремы Брауэра, но введение гомологий сразу позволило легко доказать множество утверждений, ранее казавшихся не связанными друг с другом. История Некоторые теоремы алгебраической топологии были известны ещё Эйлеру, например, что для всякого выпуклого многогранника с числом вершин , рёбер и граней имеет место . Топологическими вопросами интересовались Гаусс и Риман. Но основную роль в создании алгебраической топологии как науки сыграл Пуанкаре — именно ему принадлежат понятия симплициальных гомологий и фундаментальной группы. Большой вклад внесли Александер, Веблен, Лефшец, Уайтхед, Борсук, Гуревич, Стинрод, Эйленберг, Серр, Том, Атья, Хирцебрух, Ботт, Адамс, Смейл, Милнор, Квиллен; из советских/российских математиков необходимо отметить П. С. Александрова, Колмогорова, Понтрягина, Люстерника, Рохлина, Новикова, Фоменко, Концевича, Воеводского, Перельмана. Литература Васильев В. А. Введение в топологию. — М.: Фазис, 1997 Вик Дж. У. Теория гомологий. Введение в алгебраическую топологию. — М.: МЦНМО, 2005 Виро О. Я., Иванов О. А., Харламов В. М., Нецветаев Н. Ю. Задачный учебник по топологии Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. — М.: Мир, 1976 Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — М.: Наука, 1979 Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы теории гомологий. — М.: Наука, 1984 Зейферт Г., Трельфалль В. Топология. — Ижевск: РХД, 2001 Коснёвски Ч. Начальный курс алгебраической топологии. — М.: Мир, 1983 Лефшец С. Алгебраическая топология. — М.: ИЛ, 1949 Новиков П. С. Топология. — 2 изд., испр. и доп. — Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002 Прасолов В. В. Элементы теории гомологий. — М.: МЦНМО,2006 Свитцер Р. М. Алгебраическая топология — гомотопии и гомологии. — М.: Наука, 1985 Спеньер Э. Алгебраическая топология. — М.: Мир, 1971 Стинрод Н., Эйленберг С. Основания алгебраической топологии. — М.: Физматгиз, 1958 Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. — М.: Наука, 1989 Хатчер А., Алгебраическая топология — М.: МЦМНО, 2011. (Оригинал: Hatcher A. Algebraic Topology ) Алгебраическая топология


text: Расу́л Гамза́тович Гамза́тов (; 8 сентября 1923 — 3 ноября 2003) — аварский советский поэт, прозаик, публицист, советский и российский общественный и политический деятель, переводчик. Герой Социалистического Труда (1974), народный поэт Дагестанской АССР (1959), заслуженный деятель искусств Республики Дагестан (2003), лауреат Сталинской III степени (1952), Ленинской (1963) и РСФСР имени М. Горького (1980) премий. Кавалер ордена Святого апостола Андрея Первозванного (2003) и четырёх орденов Ленина (1960, 1973, 1974, 1983). Биография Расул Гамзатов родился 8 сентября 1923 года в аварском ауле Цада Хунзахского района Дагестана в семье народного поэта Дагестана Гамзата Цадасы. По другим данным, родился в селении Средний Арадирих, где его отец в 1922—1923 годах работал имамом мечети. По национальности аварец. Учился в Аранинской средней школе. В 1939 году окончил Аварское педучилище. До 1941 года служил школьным учителем, затем — помощником режиссёра в театре, журналистом в газетах и на радио. Награждён медалью «За доблестный труд в Великой Отечественной войне 1941—1945 гг.» С 1945 по 1950 год учился в Литературном институте имени А. М. Горького в Москве. Избирался депутатом Верховного Совета Дагестанской АССР, заместителем Председателя Президиума Верховного Совета Дагестанской АССР (1980—1990), депутатом и членом президиума Верховного Совета СССР. Несколько десятилетий был делегатом писательских съездов Дагестана, РСФСР и СССР, членом бюро солидарности писателей стран Азии и Африки, членом Комитета по Ленинской и Государственной премиям СССР, членом правления Советского комитета защиты мира, заместителем Председателя Советского комитета солидарности народов Азии и Африки. Депутат Совета Союза Верховного Совета СССР 6-11 созывов (1962—1989) от Дагестанской АССР. В 1962—1966 годах и с 1971 года был членом Президиума Верховного Совета СССР. Народный депутат СССР (1989—1991). Действительный член Петровской академии наук и искусств. В 1973 году подписал письмо группы советских писателей в редакцию газеты «Правда» о Солженицыне и Сахарове. Скончался 3 ноября 2003 года на 81-м году жизни в Центральной клинической больнице города Москвы. Похоронен на старом мусульманском кладбище в Тарки у подножья горы Тарки-Тау, рядом с могилой жены. Творческая деятельность Расул Гамзатов начал писать стихи в 1932 году, когда ему было 9 лет. Потом его стихи начали печатать в 1937 году, в республиканской аварской газете «Большевик гор». Первая книга на аварском языке вышла в 1943 году. Также он переводил на него классическую и современную русскую литературу, в том числе А. С. Пушкина и М. Ю. Лермонтова, В. В. Маяковского и С. А. Есенина. В Литературном институте имени А. М. Горького Гамзатов познакомился и подружился с молодыми поэтами, Наумом Гребневым, Яковом Козловским, Еленой Николаевской, Владимиром Солоухиным, которые начали переводить его стихи на русский язык. Поэмы и стихи Гамзатова переводили также Илья Сельвинский, Сергей Городецкий, Семён Липкин, Яков Хелемский, Юлия Нейман, Роберт Рождественский, Андрей Вознесенский, Юнна Мориц, Юрий Агеев, Дмитрий Филимонов, Шапи Казиев, Марина Ахмедова-Колюбакина, Сергей Соколкин. Науму Гребневу принадлежит перевод особенно широко известных «Журавлей», которые стали песней по инициативе и в исполнении М. Н. Бернеса в 1969 году. Произведения Гамзатова переведены на десятки языков народов России и мира. Среди других стихов Гамзатова, ставших песнями, например, «Исчезли солнечные дни». С Гамзатовым тесно работали многие композиторы, в том числе Дмитрий Кабалевский, Ян Френкель, Оскар Фельцман, Раймонд Паулс, Юрий Антонов, Александра Пахмутова; среди исполнителей песен на его стихи — Анна Герман, Галина Вишневская, Муслим Магомаев, Иосиф Кобзон, Валерий Леонтьев, София Ротару, Вахтанг Кикабидзе, Марк Бернес, Дмитрий Хворостовский, Валерия, Александр Панайотов. Расул Гамзатов неоднократно выступал на творческих вечерах лезгинских писателей, таких как Кияс Меджидов, Алирза Саидов, Шах-Эмир Мурадов, Байрам Салимов, был близким другом народного художника Дагестана Салавата Салаватова, который нарисовал обложку к одной из его грампластинок и серию портретов его отца — Гамзата Цадасы. Тесно общался с Иосифом Кобзоном и Евгением Примаковым. Р. Гамзатов был членом редколлегии журналов «Новый мир», «Дружба народов», газет «Литературная газета», «Литературная Россия», других газет и журналов. С 1951 года и до конца жизни возглавлял писательскую организацию Дагестана. Изданы десятки его поэтических, прозаических и публицистических книг на аварском и русском языках, на многих языках Дагестана, Кавказа и всего мира. Семья Отец умер в 1951 году, а мать — в 1965-ом. Двое старших братьев не вернулись с Великой Отечественной войны: Магомет (1916—1943), умер в эвакогоспитале No 1687 (г. Балашов Саратовской области), Ахильчи (1918—1943) пропал без вести. Младший брат Гаджи (1926—2011) — литературовед, академик РАН. Жена Патимат Саидовна (1931—2000, с 1964 года возглавляла Дагестанский музей изобразительных искусств). Три дочери (Зарема, Патимат, Салихат) и четыре внучки, среди которых известные Шахри Амирханова и Таус Махачева Дочь Патимат (род. 1959) — искусствовед, член-корреспондент РАХ. Зять — археолог, академик РАН Хизри Амирханов. Дочь Салихат (род. 1965) — директор Дагестанского музея изобразительных искусств им. П. С. Гамзатовой. Награды Герой Социалистического Труда (27 сентября 1974) Орден Святого апостола Андрея Первозванного (8 сентября 2003) — за выдающийся вклад в развитие отечественной литературы и активную общественную деятельность Орден «За заслуги перед Отечеством» III степени (18 апреля 1999) — за выдающийся вклад в развитие многонациональной культуры России Орден Дружбы народов (6 сентября 1993) — за большой вклад в развитие многонациональной отечественной литературы и плодотворную общественную деятельность Четыре ордена Ленина (4 мая 1960; 7 сентября 1973; 27 сентября 1974; 7 сентября 1983) Орден Октябрьской Революции Три ордена Трудового Красного Знамени (?, ?, 28 октября 1967) Орден Золотого руна (Грузия, 2003) Орден «Кирилл и Мефодий» (НРБ) Медали СССР Ленинская премия (1963) — за книгу «Высокие звёзды» Сталинская премия третьей степени (1952) — за сборник стихов и поэм «Год моего рождения» Государственная премия РСФСР имени М. Горького (1980) — за поэму «Берегите матерей» Народный поэт Дагестанской АССР (1959) Заслуженный деятель искусств Республики Дагестан (21 июля 2003) — за заслуги в области литературы и искусства Почётная грамота Президиума Верховного совета Российской Федерации (27 августа 1993) — за большой личный вклад в развитие российской литературы и в связи с 70-летием со дня рождения. Международная премия «Лучший поэт XX века» Премия писателей Азии и Африки «Лотос» Премия Джавахарлала Неру Премия Фирдоуси Международная премия имени Христо Ботева (1981) Международная премия имени М. А. Шолохова в области литературы и искусства (1998) Литературная премия имени Михаила Лермонтова Литературная премия имени Александра Фадеева Премия Батырая Премия Махмуда Премия С. Стальского Премия Г. Цадасы и другие Почётный доктор СПбГУ (2001) Произведения и публикации </big> Оценки Книги выходили миллионными тиражами на десятках языков мира. Творческие вечера проходили при полных залах, даже таких больших как «Лужники» (Москва, 1983 г.) и киноконцертный зал «Россия» (Москва, 2003 г.). Творчество Расула Гамзатова получило высокую оценку в отзывах и высказываниях многих выдающихся деятелей культуры. Это высказывания С. Маршака (он автор предисловия «Набирающий высоту» к двухтомнику Гамзатова 1964 года), А. Твардовского, К. Чуковского, Е. Евтушенко, И. Юсупов, Ч. Айтматова, Р. Рождественского, К. Кулиева, С. Михалкова, В. Астафьева, М. Исаковского, И. Андронникова и многих других. Многие авторы оставили воспоминания о нестандартных и остроумных выступлениях Расула Гамзатова, о его прекрасных человеческих качествах. Известны его афоризмы Увековечение памяти Фильмы Документальные и телевизионные фильмы: «Мой Дагестан. Исповедь» (режиссёр — Мурад Ибрагимбеков, авторы сценария — Рустам Ибрагимбеков и Рамазан Абдулатипов, 2014 год) «Наш Расул» «В горах моё сердце» «Кавказец родом из Цада» «Расул Гамзатов и Грузия» «Моя дорога» «Расул Гамзатов. Третий час» Театральные постановки «Последняя цена» (Лакский музыкально-драматический театр им. Э. Капиева). Режиссёр-постановщик — Дмитрий Павлов. Статьи Юрий Михайлович Агеев. Детство Расула Гамзатова. 2012. Валерий Васильевич Деме́нтьев. Песнь о Дагестане. 1985. Казбек Султанов «Снова мучаюсь, снова пишу...» О некоторых творческих уроках Р. Гамзатова // Дагестан. 2003. No 4-5 Шапи Казиев «Я просто писал стихи о любви» Предисловие к книге Р. Гамзатова. Памятники Памятник Расулу Гамзатову был открыт 16 сентября 2010 года на площади перед зданием Русского драматического театра в Махачкале. В 2013 году установлен памятник на Яузском бульваре в Москве (скульпторы Игорь Новиков и Шамиль Канайгаджиев, архитектор Алексей Тихонов). Памятники Расулу Гамзатову есть также: в Южно-Сухокумске (2008, ск. Магомедали Алиев), Цаде (2008, ск. Магомедали Алиев). 26 августа 2014 года в турецком городе Ялова, являющемся побратимом дагестанской столицы, был торжественно открыт бюст поэта, в церемонии открытии которой приняли участие мэр города Ялова Вефа Салман, мэр Хасавюрта Сайгидпаша Умаханов, заместитель главы Представительства РД при Торгпредстве РФ в Турции Магомед Алиев, дочь поэта Салихат Гамзатова, представители консульства России в Стамбуле, а также гости XI Международного фестиваля танцев и музыки народов Кавказа. В сентябре 2013 года, в столице Республики Южная Осетия-Государство Алания в городе Цхинвал открыт сквер и памятный камень в честь поэта. 24 декабря 2013 года во внутреннем дворике филологического факультета Санкт-Петербургского государственного университета состоялось торжественное открытие бюста Расулу Гамзатову (автор — дагестанский художник и скульптор Гимбат Гимбатов). Библиотеки Хасавюртовской центральной городской библиотеке присвоено имя Р. Гамзатова в октябре 2001 года. На основании Указа Государственного Совета РД от 18 февраля 2004 года за No 35 «Об увековечении памяти Расула Гамзатова» библиотеке было присвоено имя народного поэта Дагестана, а Постановлением Правительства Республики Дагестан от 19 сентября 2006 г. No 198 библиотека была переименована в Национальную библиотеку РД им. Р. Гамзатова. Учебные заведения В 2004 году Буйнакскому педагогическому колледжу присвоили имя Гамзатова. Махачкалинская СОШ No 50 с 1996 носит имя Расула Гамзатова. Дербентской школе No 20 присвоено в 2006 году имя великого поэта. Кизилюртовская средняя школа No 7 также является носительницей имени Р. Гамзатова. В сентябре 2013 года открыта Краснооктябрьская средняя школа имени Расула Гамзатова Кизлярского района. 19 января 2014 года в Новолакском районе открыли Новомехельтинскую среднюю школу имени Расула Гамзатова. Бавтугайская специализированная школа-интернат им. Р. Г. Гамзатова(почему в сайте школы показана им. М. Г. Гамзатова?). Аранинская средняя школа имени Р. Гамзатова. Улицы Именем Гамзатова названы улицы в следующих городах Дагестана: В Махачкале, центральный проспект Ленина после смерти Гамзатова был переименован в проспект Р. Гамзатова. В Каспийске одна из главных улиц носит имя Расула Гамзатова. В Дагестанских Огнях и Избербаше есть улицы, названные именем Р. Гамзатова. Также в сельских населённых пунктах имеются улицы Гамзатова: в Бабаюрте, Карабудахкенте, Манасауле, Миатли. В Волгограде также есть улица им. Расула Гамзатова. В 2023 году в Санкт-Петербурге именем Расула Гамзатова назван безымянный сквер, который находится на улице Руставели восточнее пересечения с проспектом Луначарского. В Москве в поселении Мосрентген есть улица Расула Гамзатова. 4 октября 2023 года на 30-м заседании Горсовета Уфы, депутаты приняли решение присвоить одной из столичных улиц имя известного поэта Расула Гамзатова. Мемориальные доски 23 сентября 2011 года в Москве на доме по Тверской улице, дом 27/5 (пересечение Тверской улицы и Благовещенского переулка), где жил поэт с 1974 по 2003 год, открыта мемориальная доска; авторы: скульптор Паата Мерабишвили, архитектор Евгений Хайлов. 20 ноября 2013 года в селе Средний Арадерих Гумбетовского района была установлена мемориальная доска на стене дома, где родился народный поэт Дагестана Расул Гамзатов. Музей 8 сентября 2008 года в Махачкале открыт Государственный литературный музей Расула Гамзатова. Медали Медаль была разработана и учреждёна правлением Международного общественного Фонда имени Расула Гамзатова в 2006 году и отчеканена на Санкт-Петербургском монетном дворе. Награждаются люди (общественные деятели, меценаты, миротворцы, правозащитники) Дагестана, России и мира. Среди награждённых: Евгений Примаков (9 февраля 2011 года), скульптор Магомед-Али Алиев (9 декабря 2010 года), гендиректор Первого канала Константин Эрнст, руководитель ВПК «Защитник Отечества» Рутульского района Гасангусейн Абдулжелилов, директор музея изобразительных искусств, дочь поэта Салихат Гамзатова и председатель Правления Союза музыкантов Дагестана, пианист, заслуженный деятель искусств России, профессор Хан Баширов, директор Хасавюртовской библиотеки им. Расула Гамзатова Эльмир Якубов (27 декабря 2013 года). Вторая медаль учреждена городской мэрией Хасавюрта. Третья медаль учреждена Российским Лермонтовским комитетом (одним из основателей которого был сам Расул Гамзатов). Этой медалью награждёны Президент Международного Фестиваля Дружбы народов «Белые журавли России», Заслуженный работник культуры Российской Федерации, писатель Сергей Соколкин, Председатель Правления Московской городской организации Союза писателей России Владимир Бояринов и член Правления Московской городской организации Союза писателей России, Секретарь Правления Союза писателей России Иван Голубничий (9 сентября 2013 года) Директор Аварского муздрамтеатра им. Г. Цадасы Магомедрасул Магомедрасулов (2021 г.). Песни Магомедтамир Синдиков — Песня о Расуле Гамзатове. В исполнении Казбека Рубаева, слова Чермена Дудаева — «Расул». ГЭС 1 июня 2004 года имя Расула Гамзатова было присвоено Гунибской ГЭС на реке Каракойсу в Дагестане. Транспортные средства Ту-154М RA-85828 а/к «Дагестанские Авиалинии» был назван в честь Расула Гамзатова. Сухогруз Махачкалинского международного морского порта. Пограничный сторожевой корабль. Премии и стипендии Республиканская премия Дагестана им. Расула Гамзатова. Учреждена в 2005 году. Награждаются авторы за создание наиболее талантливых произведений в области поэзии. Присуждается раз в два года. В 2013 году этой премии удостоены: литературовед, известный писатель Дагестана Максуд Зайнулабидов (за книги «Прометей Кавказа» о поэзии Расула Гамзатова и «Махмуд Абдулхаликов» о народном артисте Дагестана и России, аварском Молла Насреддине, актёре, драматурге и мемуаристе); Чакар Юсупова за книгу «Расул в расколотом мире» (о Расуле Гамзатове). Стипендии имени Р. Гамзатова. Стипендия лучшим студентам и аспирантам назначается сроком на 1 год. Фестивали С 1986 года в Дагестане каждый год в сентябре (до 2003 года — в августе) проводится праздник «Белые журавли». В эти дни в школах Дагестана проходят уроки, посвящённые жизни и творчеству поэта, а в библиотеках — Гамзатовские чтения. С 2011 года в Москве в Центральном Доме литераторов и Доме творчества «Переделкино» по инициативе Заслуженного работника культуры России писателя Сергея Соколкина силами писателей и музыкантов проводится Международный литературно-музыкальный фестиваль Дружбы народов «Белые журавли России», поддержанный Главами РД М. М. Магомедовым, Р. Г. Абдулатиповым и Главой РИ Ю. Б. Евкуровым. Астероид Астероид No 7509 назван именем Расула Гамзатова (7509 Gamzatov). Был открыт 9 марта 1977 года советским астрономом Николаем Черных. Спортивные соревнования Всероссийский турнир по волейболу «Кубок Дружбы» (с 2013 года) проводится ежегодно в Каспийске. Турнир по мини-футболу в посёлке Тюбе Кумторкалинского района. В филателии В 2013 году в рамках серии «Кавалеры ордена Святого апостола Андрея Первозванного» была выпущена почтовая марка с изображением Расула Гамзатова. Литература Казиев Ш. М. Расул Гамзатов. — М.: Молодая гвардия, 2018. — (Жизнь замечательных людей) Дементьев В. В. Расул Гамзатов. Жизнь и творчество. М., 1984. Огнев В. Ф. Расул Гамзатов. М., 1964. Султанов К. К. «Снова мучаюсь, снова пишу...» О некоторых творческих уроках Р. Гамзатова // Дагестан. — 2003. — No 4—5. Примечания Ссылки Расул Гамзатов: стихи Слово мудреца. Статья о юбилее Р. Гамзатова в журнале «РФ сегодня» Некролог в Газете. Ру Некролог в «Дагестанской Правде» Петрова И. Во дворике филфака СПбГУ можно увидеть и памятник Расулу Гамзатову // Санкт-Петербургские ведомости. — 2023. — 27 апр. Расул Гамзатов Аварские писатели Аварские поэты Лауреаты Государственной премии РСФСР имени М. Горького Народные депутаты СССР от округов РСФСР Лауреаты литературной премии имени Михаила Лермонтова Лауреаты литературной премии имени Александра Фадеева Писатели-соцреалисты Члены Союза писателей СССР Выпускники Литературного института имени А. М. Горького Депутаты Совета Союза 11-го созыва Депутаты Совета Союза 10-го созыва Депутаты Совета Союза 9-го созыва Депутаты Совета Союза 8-го созыва Депутаты Совета Союза 7-го созыва Депутаты Совета Союза 6-го созыва Депутаты Верховного Совета Дагестанской АССР Похороненные в Махачкале Члены Президиума Верховного Совета СССРЧлены Президиума Верховного Совета СССР 9-го созыва Члены Президиума Верховного Совета Дагестанской АССР Поэты Дагестана Поэты-песенники Почётные доктора СПбГУ Персоналии:Аварский музыкально-драматический театр Делегаты XXII съезда КПСС Лауреаты республиканской премии имени Сулеймана Стальского Лауреаты республиканской премии имени Гамзата Цадасы Лауреаты республиканской премии имени Омарлы Батырая Лауреаты республиканской премии имени Махмуда из Кахабросо Лауреаты премии имени Коста Хетагурова (Северная Осетия) Председатели Союза писателей Дагестана Делегаты XXIV съезда КПСС Делегаты XXIII съезда КПСС Почётные граждане Махачкалы Делегаты XXVII съезда КПСС Делегаты XXVI съезда КПСС Делегаты XXV съезда КПСС Награждённые Почётной грамотой Президиума Верховного Совета Российской Федерации Лауреаты международной премии имени М. А. Шолохова в области литературы и искусства Лауреаты международной премии имени Христо Ботева


text: Гамзатов — дагестанская фамилия; женская форма . Известные носители Гамзатов, Гаджи Гамзатович (1926—2011) — советский и российский учёный, литературовед, фольклорист, социолингвист и востоковед, действительный член Российской академии наук. Гамзатов, Гамзат Магомедович (1938—2018) — заслуженный энергетик России, председатель Общественной палаты РД. Гамзатов, Гусейн Абдулаевич (1962—2021) — советский спортсмен и российский политик. Гамзатов, Джавид Шакирович (род. 1989) — белорусский борец вольного стиля. Гамзатов, Рамиз Ризванович (род. 1996) — российский борец вольного стиля. Гамзатов, Расул Гамзатович (1923—2003) — советский русский и аварский писатель, поэт, переводчик, публицист, политик; Герой Социалистического Труда. Гамзатов, Руслан Магомедович (род. 1965) — советский и российский дзюдоист. Гамзатов, Шамиль Раджабович (род. 1990) — российский боец смешанных единоборств.