text: Elektronikk er den delen av elektroteknikken som beskjeftiger seg med å styre elektroner i såkalt forsterkende, eller aktive, komponenter. De viktigste aktive komponentene er radiorør og transistorer. Elektronikk behandler hovedsakelig elektrisk strøm og spenning, samt lys, men også magnetisme, varme og elektromagnetiske felt. I dagligtale benyttes gjerne begrepet også om apparater som inneholder elektroniske komponenter, for eksempel radio, fjernsyn og datamaskiner. De viktigste komponentene som anvendes i elektronikken er motstand, kondensator og transistor (eller tidligere vakuumrør), samt spole, transformator og diode. Det gjøres et skille mellom elektronikk og elektrisk og elektromekanisk vitenskap og teknologi, som omhandler produksjon, distribusjon, lagring og omgjøring av elektrisk energi til og fra andre energiformer med kabler, motorer, generatorer batterier, brytere, reléer, transformatorer og andre passive komponenter. Dette skillet startet omkring 1906 da Lee De Forest fant opp trioden, som gjorde elektrisk forsterking av svake radiosignaler og lydsignaler mulig med en ikke-mekanisk innretning. Fram til 1950 ble dette feltet kalt «radioteknologi» fordi design og teori først og fremst var i bruk i radio radiosendere og -mottakere og vakuumrør. Når lys tas i bruk kalles teknologien optoelektronikk. Den bruker i hovedsak lysdioder (LED), optokoplere og fotosensorer samt kilder, vendere og mottakere for signalmodulert lys i lysbølgeledere. Fotosensorer kan være enkle og reagere på lysmengde eller -farge, eller sammensatte for retningsbestemmelse eller avbildning av objekter som i digitalkameraer. Moderne apparater er i stand til å fremstille komponenter med ekstremt små dimensjoner og plassere et stort antall komponenter på et enkelt lite krystall. Her er det først og fremst transistorer og motstander, men også kondensatorer og dioder det dreier seg om. Slike komplekse komponenter blir kalt integrerte kretser, og slike finnes i både digitale og analoge utførelser, samt i blandinger. Ledere som forbinder komponenter er så godt som alltid av kobber. Det er få unntak, som sølv når små tap er påkrevd, og aluminium inne i integrerte kretser. Komponentene forbindes ved smelting av et forbindelsesmetall, kalt loddetinn. Loddetinn består av 38% bly, 2 % kopper og 60 % tinn og smelter ved 185 °C, lavere enn enkeltmetallene. I 2006 ble det forbudt å bruke bly i loddetinn (Restrictions of Hazardous Substances, RoHS). Tinn for lodding tilføres da små mengder kopper og sølv og av og til andre stoffer. Smeltetemperaturen er 217-220 °C når blyet utelates. Historie I 1873 oppdaget Frederick Guthrie det grunnleggende prinsippet bak av termioniske dioder. Guthrie fant at et positivt ladet elektroskop kunne utløses ved å bringe en jordet hvitglødende metallbit nær det (men ikke berøre det). Det samme gjelder ikke for et negativt ladet elektroskop, noe som indikerte at strømmen bare var mulig i én retning. Thomas Edison gjenoppdaget prinsippet uavhengig av Guthrie i 1880. John Ambrose Fleming hadde vært ansatt av Edison, men jobbet i Marconi Company da han i 1904 tok patent på det første vakuumrøret. Denne oppfinnelsen har av flere blitt kalt «en av de viktigste utviklingene innen elektronikkens historie», og banet vei for ytterlige framskritt i årene som fulgte. I 1906 tok både østerrikeren Robert von Lieben og amerikaneren Lee De Forest uavhengig av hverandre ut patenter på teknologi som skulle bli viktige for utviklingen av trioden. Med slik teknologi var man i stand til å forsterke radiosignaler med en ikke-mekanisk innretning. Utviklingen skjøt virkelig fart under andre verdenskrig hvor man så utviklingen av komponenter som magnetroner og klystroner. Dagens elektronikk benytter seg i stor grad av halvledere. Det første patentet på en innretning som skulle erstatte trioden ble tatt ut allerede i 1925, men denne manglet en fungerende prototype. Produksjonen av materialer som fungerte godt som halvledere var heller ikke kommet langt nok til at teknologien kunne utvikles effektivt. Det var ikke før John Bardeen, Walter Brattain og William Shockley presenterte den første transistoren i 1948 at arbeidet med halvledere i elektronikkomponenter skjøt fart. Trioen fikk også nobelprisen i fysikk for denne prestasjonen i 1956. Fordi transistoren var mindre spenningskrevende og plasskrevende, mer solid og rimeligere å produsere tok det ikke lang tid før den utkonkurrerte trioden. Etterhvert som stadig mer effektive halvledere så dagens lys ble komponentene stadig mindre, og i dag er det plass til flere millioner komponenter per kvadratmillimeter. Elektroniske komponenter En elektronisk komponent er en fysisk enhet i et elektronisk system som brukes til å påvirke elektronene eller deres tilknyttede felt på en måte som er i samsvar med den tiltenkte funksjonen til systemet. Komponentene er vanligvis ment å bli koblet sammen, vanligvis ved å bli loddet til et kretskort, for å skape en elektronisk krets med en bestemt funksjon (for eksempel en forsterker, radiomottaker, eller elektronisk oscillator). Komponenter kan pakkes enkeltvis, eller i mer komplekse grupper som integrerte kretser. Noen vanlige elektroniske komponenter er kondensatorer, spoler, motstander, diodeer, transistorer, etc. Komponenter kategoriseres ofte som aktive (f.eks transistorer og tyristorer) eller passive (f.eks motstander og kondensatorer). Vakuumrør var en av de tidligste elektroniske komponentene. De dominerte elektronikken før 1950. Siden den gang har transistorene så godt som helt tatt over. Vakuumrør er fortsatt i bruk i enkelte spesialiserte apparater som rørforsterkere, katodestrålerør, spesialist-lydutstyr og noen mikrobølgeenheter. Analog og digital elektronikk I prinsippet er all elektronikk analog, men oppdelingen mellom analog og digital elektronikk er likevel meget nyttig. Begge former for elektronikk er i rivende utvikling og nye utførelser av komponenter av alle slag ser stadig dagens lys. Særlig i den digitale verden stiger mulighetene mens prisene faller. Analog elektronikk I analog elektronikk er signalstyrken generelt av en slik natur at den ikke benytter nivåer som danner grenser, som ved klipping. Analog elektronikk benytter seg av kontinuerlige endringer i strøm og spenning. Radioer og audioforsterkere er eksempler på bruk av analog elektronikk. Disse er gjerne bygd opp av passive komponenter som motstander, kondensatorer og spoler og aktive komponenter som for eksempel transistorer og operasjonsforsterkere. Transistorer og operasjonsforsterkere har ofte stor spredning i parametre som forsterkning og båndbredde, så det blir ofte benyttet negativ tilbakekobling for å kontrollere forsterkning, båndbredde, osv. Digital elektronikk Digital elektronikk har to forskjellige betydninger. Når det gjelder ett enkelt signal går det alltid til en grense gitt av elektronikken som signalet befinner seg i. 0 er ofte jordnivå, 1 er ofte spenningsforsyningens nivå, og overgangen mellom disse er hurtig. Signalet klippes stadig på nytt. Den andre betydningen ser en i en annen målestokk som gjelder organiseringen av flere enkeltsignaler, som for eksempel i bytes á åtte enkeltsignaler (bits). I den digitale elektronikken blir kretsene laget slik at spenningen i kretsen bare kan ha to stabile diskrete verdier (for eksempel 0 og 5 volt) som da tilsvarer de logiske verdiene '0' og '1'. Digital elektronikk er oppbygd av transistorer. Historisk har det eksistert ulike logikkfamilier, for eksempel TTL og NMOS, men i dag er nesten all digital elektronikk basert på CMOS. CMOS-teknologien er sammensatt av komplementære felteffekttransistorer. De komplementære transistorene kan settes sammen til større byggeklosser som invertere, logiske porter og multipleksere. Disse byggesteinene kan på et høyere nivå settes sammen til enda større funksjonsblokker som for eksempel register, tellere og aritmetiske enheter, som i sin tur kan kombineres med andre enheter til mikrokontrollere, grafikkprosessore og lignende. På denne måten har elektronikkonstruktører mange ulike hierarki av abstraksjonsnivå å holde seg til. De ferdige enhetene implementeres i form av FPGAer eller ASICer. Byggesteiner: Logiske porter Adderere Flip-flop Tellere Registre Multipleksere Schmittriggere Høyintegrerte enheter: Mikroprosessore Mikrokontrollere ASIC Digitale signalprosessorer FPGA Utdanning Mange universiteter og høgskoler i landet tilbyr kurs innenfor elektronikk, både på bachelornivå og masternivå. Tidligere kunne man utdanne seg til høgskoleingeniør og sivilingeniør i elektronikk, men disse titlene er i dag byttet ut med Bachelor i ingeniørfag (3 år etter videregående skole) og Master i ingeniørfag (2 år etter Bachelor). En ufullstendig liste over elektronikkutdanning i Norge: Sivilingenørstudiet (master) ved f.eks. NTNU Bachelor ved f.eks. HiG, OsloMet, HiB, UiA Masterstudium ved UiO Masterstudium ved UiT Spesialiserte elektronikkutdanninger: Bachelor og master i romteknologi ved HiN Bachelor i audioteknologi ved HIBU Se også Elektriske komponenter Teknologi Referanser 1000 artikler enhver Wikipedia bør ha


source: wikipedia

text: Eugene Wesley «Gene» Roddenberry (født 19. august 1921 i El Paso i Texas, død 24. oktober 1991) var en amerikansk TV-produsent som skapte Star Trek. Biografi Personlig liv Roddenberry var gift to ganger. Han fikk to barn med sin første kone, Eileen Rexroat (som han var gift med i 26 år), Dawn og Darleen. Hans andre kone var Majel Barrett, som spilte sykepleier Christine Chapel i den originale 1960-tallsserien (Star Trek: The Original Series), og er velkjent som stemmen til datamaskinen i de senere seriene ogLwaxana Troi, moren til Deanna Troi i Star Trek: The Next Generation. Majel og Gene hadde møtt hverandre i flere år, da han bestemte at det var tid for å gifte seg, og spurte henne om å bli med på det, selv om han besøkte Japan på den tiden. Gene tilhørte ingen spesiell religion, men siden de var i Japan, valgte de et shinto-buddhistisk bryllup 6. august 1969. De anså begge dette som sitt virkelige bryllup, men hans skilsmisse var ikke endelig ennå, og de gjorde ekteskapet lovlig med en sivil seremoni, 29. desember 1969. De fikk sønnen Rod Roddenberry, 5. februar 1974. Nichelle Nichols innrømmet i sin selvbiografi at hun en gang hadde en forhold med Roddenberry. Etter hans død ble hans aske kapslet inn i en liten kapsel og sendt ut i rommet for å kretse rundt jorden i seks år til det brant opp i jordens atmosfære. Referanser Eksterne lenker Official Roddenberry family website Eugene Wesley "Gene" Roddenberry The Museum of Broadcast Communication Roddenberry's original March 1964 pitch outline for Star Trek Originally published in The Humanist, March/April 1991 Strange New Worlds: The Humanist Philosophy of Star Trek by Robert Bowman, Christian Research Journal, Fall 1991, pp. 20 ff. Gene Roddenberry Planetarium StarTrek.com biography Website of Susan Sackett Retrovisionmag on Roddenberry's The Questor Tapes. Gene Roddenberry's Andromeda The Official Roddenberry Productions Myspace Maintained by the Roddenberry.Com Team. Filmprodusenter fra USA Science fiction-forfattere fra USA Star Trek Science Fiction Hall of Fame Hollywood Walk of Fame Humanister Personer fra El Paso


text: Erich Priebke (født 29. juli 1913 ved Hennigsdorf i Brandenburg i Tyskland, død 11. oktober 2013 i Roma) var en tysk SS-offiser som er blitt holdt medansvarlig for massakrene i Ardentinerhulene utenfor Roma i Italia i mars 1944. Her ble 335 sivile italienere – derav 75 jøder – drept som hevn etter at italienske partisaner hadde drept 33 tyske soldater. Han kom seg imidlertid unna etter Tysklands kapitulasjon i 1945, og bodde i Argentina i over 50 år. I 1994, 50 år etter massakren, følte Priebke seg såpass trygg at han stod åpent frem og fortalte om hendelsen til en reporter fra ABC News. Dette vakte stor harme fra folk som ikke på langt nær hadde glemt hendelsen, og dette ble starten på en rettslig prosess som skulle ta over fire år. Historie Italia kapitulerer Under andre verdenskrig var Italia og Tyskland allierte. Blant annet måtte Hitler ordne opp i det mislykkede angrepet som Mussolini førte på Albania våren 1941. I løpet av 1943 snudde krigslykken seg for fascistene. Mussolini ble avsatt, og kong Viktor Emanuel utnevnte en ny regjering. Da de allierte gikk i land på det italienske fastlandet, ga regjeringen ordre om at soldatene skulle legge ned sine våpen. Italia hadde kapitulert. Mussolini ble arrestert, men ble snart befridd av tyske fallskjermjegere og satt til å lede en norditaliensk fascistrepublikk. Blant de italienske styrkene oppstod det forvirring. Noen ble avvæpnet av tyskerne, mens andre stilte seg til de alliertes disposisjon. Det hendte til og med at noen soldater reiste hjem. Fra å være et land alliert med Tyskland, gikk Italia nå over til å være et land okkupert av Tyskland. Tyskerne så tidlig hvilken retning utviklingen gikk og okkuperte Italia lynraskt i den såkalte operasjon «Axis». Massakren ved Ardentinerhulene Det var under denne tyske okkupasjonen at en gruppe italienske partisaner aksjonerte mot tyskerne en marsdag i 1944. 33 tyske soldater ble drept. Straks Hitler fikk vite om dette beordret han at represalier skulle iverksettes innen 24 timer. Øverste leder for de tyske styrkene i Italia, generalfeltmarskalk Albert Kesselring, sørget derfor for at ti italienske sivile skulle henrettes for hver drepte tyske soldat. De fleste av de henrettede italienerne ble plukket ut blant internerte fanger, men andre, deriblant en rekke jøder, ble hentet fra sine hjem eller grepet på gaten. Ofrene ble kjørt til Ardentinerhulene i grupper på fem. De ble så ledet inn i hulene med hendene bundet bak, og så skutt i nakken. Mange ble tvunget til å knele på kroppene til dem som hadde blitt drept før dem. Det ble drept fem flere enn hva som var beordret på forhånd. At 75 av ofrene var jødiske gjorde også denne massakren til den største enkelmassakren av jøder i Italia. Dette er en av årsakene til at en rekke jødiske organisasjoner har fronet arbeidet med å få brakt de ansvarlige for retten. I medias søkelys I 1994 lagde reporteren Sam Donaldson en reportasje om Priebke til ABCs nyhetsshow «Primetime». Her stod Priebke frem og fortalte om sin rolle i massakren. Men han unnskyldte sine handlinger med at han kun fulgte ordrer fra Herbert Kappler. Oberstløytnant Kappler var sjef for SD og Gestapo i Roma. I et vitnemål etter krigen forklarte Kappler at Priebke hadde blitt beordret til å sørge for at alle ofrene skulle bli brakt til hulene for å henrettes, og til å kontrollere navnelisten over dem som skulle bli drept. I 1948 ble Kappler dømt til livstid for sine ugjerninger av en militær domstol, men fikk i 1977 hjelp av sin kone til å flykte fra sitt fangenskap i Roma. En fri mann Priebke skulle også ha blitt anklaget for sin rolle i massakren, men han klarte å flykte fra en britisk fangeleir i nordøst-Italia i 1946 og to år senere ankom han Argentina. Her ble han værende. Priebke fortalte Donaldson at ofrene – deriblant gutter på fjorten og menn på syttifire – ikke var noe annet enn «terrorister». Han innrømmet at det var han som utferdiget listen over dem som skulle henrettes, deriblant rundt sytti jøder. I tillegg til massakren mener man at Priebke var ansvarlig for frakten av 6 000-7 000 jøder fra Italia til Auschwitz, og for å ha torturert politiske fanger. Rettsprosessen Utleveringen av Priebke Donaldsons reportasje om Priebke viste både hvor åpent han kunne leve i Argentina og hvor lite anger han følte for sine handlinger. Dette fikk folk til å reagere. Italia søkte om å få utlevert Priebke, og det tok ikke lang tid før han ble arrestert av argentinske myndigheter. På grunn av sin alder og dårlige helse ble han ikke fengslet, men satt i husarrest i sitt hjem i Bariloche, et skiområde, hvor han har bodd åpent siden 1949. Prosessene rundt utleveringen møtte flere forsinkelser. Priebkes advokater forlangte blant annet at alle italienske dokumenter skulle oversettes til spansk, en prosess som kunne tatt to år. Den argentinske retten avviste til slutt denne prosessen, men anker og andre forsinkelser førte til at behandlingen av saken tok nesten et år. Forsvarsadvokatene argumenterte med at det ikke forelå noe rettslig grunnlag for utlevering ettersom grensen på 15 år for forelding av drapssaker var løpt ut. I mars 1995, etter ni måneder med utsettelser, fikk presidenten for den jødiske organisasjonen B’nai B’rith et løfte fra blant annet den argentinske presidenten at saken skulle bli avsluttet og Priebke skulle bli sendt til Italia på slutten av måneden. Til tross for disse løftene bestemte den argentinske høyesteretten at saken skulle overføres til den lokale retten i Bariloche hvor saken opprinnelig ble tatt opp. Dette åpnet mulighetene for flere år med forsinkelser fra fremtidige anker, mens en aldrene Priebke kunne leve i ro og mak i sitt hjem i husarrest. I mai 1995 godkjente en føderal dommer den italienske begjæringen om utlevering på grunnlag av at forbrytelser mot menneskeheten ikke kunne foreldes. Men ankene fortsatte, og det gikk rykter om at retten kanskje ville omgjøre kjennelsen. I august samme året avgjorde en ankedomstol at Priebke ikke skulle utleveres, på grunnlag av at saken var foreldet. For å legge press på den argentinske regjeringen begjærte Tyskland en utlevering samme dag. En aktor fra Italias militærvesen, Antonio Intelisano, argumenterte med at FN-avtaler som Argentina har gått med på, tilsier at krigsforbrytelser og forbrytelser mot menneskeheten ikke kan foreldes. Til slutt, etter 17 måneder med forsinkelser, bestemte argentinsk høyesterett at Erich Priebke skulle utleveres. Han ble satt på et direktefly som brukte 18 timer fra Bariloche til Ciampino, en militær flyplass ikke langt fra Ardentinerhulene hvor massakren foregikk. Priebke i retten I retten erklærte Priebke seg ikke skyldig. Han benektet ikke de faktiske omstendigheter, men han nektet straffeskyld. Priebke la skylden for massakren på de italienske sivile som stod bak angrepet der 33 tyske soldater ble drept. Ordren kom direkte fra Hitler, og han mente at det var en «legitim represalie». Det kom også frem at Priebke selv hadde skutt to italienere. Dette fremgikk også av et vitnemål han avla i 1946 før han klarte å rømme: Rundt midt på dagen den 24. mars 1944 dro mellom 80 og 90 menn fra Avdeling III og IV til Ardentinerhulene, Roma. (...) Da jeg ankom, så jeg dem ved hulen. Alle var bundet med tau med hendene bak på ryggen, og navnene deres ble lest opp, og de gikk inn i hulen i grupper på fem og fem. ... Jeg gikk inn med den andre eller tredje gruppen og drepte en mann med en italiensk maskinpistol. Mot slutten drepte jeg en annen mann med den samme maskinpistolen. Henrettelsene sluttet da det ble mørkt om kvelden... Etter skytingen ble hulene sprengt igjen. Det ble ikke bevist at det forelå de skjerpede omstendighetene som er nødvendig for å overstyre Italias regel om tretti års foreldelsesfrist. Priebke ble derfor frifunnet på alle punkter den 1. august 1996. Retten ga ordre om at Priebke skulle løslates øyeblikkelig, men senere kunne den italienske justisministeren fortelle at Priebke kunne bli arrestert på nytt. Det kom an på en avgjørelse hvorvidt man skulle utlevere ham til Tyskland hvor han hadde mordanklager mot seg. Tidligere hadde italienske myndigheter sagt at Priebke ikke kunne bli arrestert på nytt, på grunn av avtaler som ble gjort i forbindelse med utleveringen fra Argentina, men etter et møte med de dømmende myndighetene gikk justisministeren ut og fortalte om regjeringens hensikter. Den argentinske regjeringen sa klart ifra at de ikke ville la ham returnere til Argentina hvis han gikk fri. Dette utspillet baserte de på lover som sa at folk som kunne «forstyrre allmenn ro og orden» ikke skulle ha tilgang til riket. Priebke kunne ikke engang forlate rettssalen, for i over syv timer blokkerte protestanter og opprørte slektninger rettshuset. Dommerpanelet stemte 2 mot 1 for å dømme den 83 år gamle Priebke for å ha tatt del i represaliemordene, men de frikjente ham for å ha handlet med grusomhet og overlegg, fordi han bare fulgte ordre. Reaksjonene fra familiemedlemmene uteble ikke. De ble stengt ute fra rettssalen da dommen ble lest opp. Da de så senere fikk vite hvordan domsavsigelsen lød, begynte de å komme med utrop mot forsvarerne. De mente dette var en oppfordring til «morgendagens forbrytere», og at dommerne ikke verdsatte menneskeliv. «Med dette tillater Italia overgrep og kriminalitet mot menneskeheten», sa Shimon Samuels, leder i Simon Wiesenthal-senteret. Anken Selv om Priebke var blitt frikjent, kunne han likevel ikke føle seg trygg fordi aktor valgte å anke frikjennelsen. Dagen etter ba Tyskland om at Italia måtte holde Priebke fengslet inntil deres krav om å få ham utlevert til Tyskland var behandlet. De ville ha ham stilt for retten for drapet på de to ofrene som Priebke egenhendig hadde skutt. Utenfor rettshuset hadde det oppstått en del tumulter som politiet hadde problemer med. Da det ble kjent at Priebke hadde blitt arrestert igjen, roet dette seg. Reaksjonene kom ikke bare fra vanlige folk, men fra både pressekorps, politikere og til og med den italienske statsministeren, Romano Prodi, reagerte. Han foretok – sammen med en stor folkemengde – en tur til Ardennerhulene for å minnes de døde. Italiensk høyesterett kom frem til at den forrige retten som hadde frikjent Priebke, var inhabil, og lot derfor aktors anke slippe igjennom. Det ble blant annet stilt spørsmål om hvorfor det ikke ble tatt hensyn til Nürnberg-dommen. Den har slått fast prinsippet om individets personlige ansvar for sine gjerninger. Grunnen til at Priebke hadde blitt løslatt var at han hadde handlet etter ordre. Han hadde påstått at dersom han hadde nektet å adlyde ordre ville han selv blitt stilt for tysk krigsrett og henrettet. Dette ville ikke ankedomstolen godta. I mars 1997 ble det slått fast at Priebke ikke kunne utleveres til Tyskland. Grunnen til dette var at han nå ble stilt for en ny rettssak for akkurat det samme som Tyskland ville ha ham stilt for. Han skulle ikke kunne stilles for retten to ganger for den samme forbrytelsen. Den 14. april 1997 begynte den nye rettssaken for Priebke. Her tok man ikke like mye hensyn til at Priebke handlet etter ordrer. Priebke selv ble dømt til 15 år, mens en annen som var med på massakren, Karl Hass, ble dømt til 10 år. Aktor hadde lagt ned påstand om livstid for Priebke og 24 år for Hass. Men det skulle vise seg at straffen skulle bli enda mildere. Pga. et amnesti som ble gitt noen år tidligere, ble straffene deres redusert med 10 år. Priebke måtte sone 5 år, mens Hass kunne forlate retten som en fri mann. I tillegg kunne Priebke trekke fra den tiden han hadde sittet i husarrest og varetekt i Italia. Dermed ble straffen maksimum to eller tre år. Priebke anker saken Priebke nektet straffeskyld, og anket saken videre. Ankedomstolen pekte på at Hass og Priebke hadde utført drapene med overlegg og grusomhet. Retten mente derfor at begge burde dømmes til livsvarig fengsel. Selv hevdet Priebke at han var offer for et intenst hat, og at han fikk skylden for alle misgjerninger som ble gjort under andre verdenskrig: Jeg ga Argentina 50 år av mitt liv, og de vil ikke ha meg. (...) Jeg kjempet for Tyskland under krigen, og nå vil de stille meg for retten for å ha utført deres ordrer. Priebke anket saken inn for menneskerettighetsdomstolen i Strasbourg. Europas eldste fange I juni 2007 ble han sluppet ut av husarresten under forutsetning av at han møtte på arbeid. Han hadde nemlig fått en deltidsjobb hos sin advokat Paolo Giachini. Beslutningen møtte kraftige folkelige protester og Priebke ble snart satt i arrest igjen. I 2011 var Erich Priebke 98 år. Dette tok italienske myndigheter hensyn til ved å spare ham for de strenge forholdene som et vanlig fengsel byr på - siden 1998 ble han holdt i husarrest – den samme løsningen som ble valgt for hans medsammensvorne og overordnede Karl Hass, som døde i 2004. Myndighetene håpet utvilsomt at Priebkes død skulle sette et endelig og naturlig punktum for den videre behandlingen av hans sak. Både Herbert Kappler og Walter Reder måtte tilbringe henholdsvis 30 og 37 år i italiensk fengsel før friheten ventet. Referanser Eksterne lenker «Unrepentant Nazi criminal Priebke chills Rome», fra BBCs nettsider, 29. juli 2013 Personer fra Landkreis Oberhavel SS-offiserer Gestapo-personell Tyskere fra andre verdenskrig Personer tilknyttet det tredje rike Medvirkende til Holocaust Medlemmer av NSDAP (innmeldt 1933–1945) Tyske krigsfanger under andre verdenskrig Tyskere dømt for forbrytelser begått under andre verdenskrig Tyskere dømt for krigsforbrytelser Tyskere dømt for forbrytelser mot menneskeheten Nazister i Sør-Amerika Hundreåringer


text: Euklid eller Evklid (gresk: Εὐκλείδης – Eukleídēs; levde omkring 300 f.Kr.) var en gresk matematiker som virket i Alexandria. Han er omtalt som «geometriens grunnlegger», «geometriens far» og «den mest innflytelsesrike matematiker noesinne». Euklids mest kjent verk, Elementer, er blitt karakterisert som «den største og mest betydningsfulle lærebok i matematikk som er skrevet». Den systematiske oppbyggingen av læreverket, med bruk av postulater, definisjoner, setninger og bevis, har hatt svært stor betydning for all senere matematikk. Lite er kjent om Euklids liv. Den lille kunnskapen vi har, stammer i all hovedsak fra Det evdemiske sammendraget til Proklos. Opprinnelige greske utgaver av Euklids verker har også mer eller mindre gått tapt. Elementer ble bevart i arabiske oversettelser og fra disse oversettelsene gjenintrodusert til europeisk kultur. Euklid skrev også om andre emner enn matematikk, for eksempel om astronomi og optikk. Geometri basert på Euklids postulater fra Elementer er i ettertiden kalt euklidsk geometri. I mange tusen år ble postulatene oppfattet som selvinnlysende, inntil matematikere på 1800-tallet viste at alternative ikke-euklidsk geometrier er mulig. Kilder Den nyplatonske filosofen Proklos er hovedkilden til kunnskapen om Euklid. Han levde på 400-tallet etter Kristus, over sju hundre år etter Euklid. Proklos skrev et kommentarverk til bok I av Elementer, og i dette har han en introduksjon med et sammendrag av et tidligere historieverk, Evdemos' Geometriens historie. Dette historieverket har gått tapt, og alt som finnes igjen er Proklos' sammendrag, i ettertiden kalt Det evdemiske sammendraget. Dette har en kort omtale av Euklid. I tillegg til omtalen til Proklos, er Euklid nevnt mer eller mindre sporadisk av andre kilder, inkludert Arkimedes og Pappos. På samme måte som Proklos var det en rekke forfattere som skrev kommentarverk til Elementer, inkludert Heron, Pappos, Porfyrios og Simplicius. Den første kjente romerske kilden som nevner Euklid, er Cicero. Antagelig var ikke Elementer oversatt til latin på Ciceros tid, da teoretisk geometri ikke vekte særlig interesse blant romerne. Flere arabiske kilder gir biografiske opplysninger om Euklid, men disse er vurdert som lite troverdige. Kildene reflekterer arabisk tendens til å ville knytte kjente grekere til østen, og også en arabisk vektlegging av stamtreet til kjente personer. Arabiske kilder gir også en feilaktig tolking an navnet Euklid, som de gjengir som Uklides eller Ikludes. Navnet ble tolket som sammensatt av Ukli («nøkkel») og dis («mål» eller «geometri») og skulle altså bety «nøkkelen til geometri». I mange kilder fra middelalderen er Euklid omtalt som Evklid fra Megara, men dette er en sammenblanding med en filosof som levde samtidig med Platon. Den første kjente forekomst av denne sammenblandingen er fra Valerius Maximus, som i første århundre etter Kristus skriver at Platon sendte bud på Euklid for å få hjelp til problemet med kubens fordobling. Navnet Euklid Navnet Euklid var relativt vanlig i antikkens Hellas, og flere personer med dette navnet er omtalt i kilder. For å poengtere hvilken Euklid det er snakk om, kalles matematikeren også for Euklid fra Alexandria. Navnet er sammensatt av Εὐ («god»), κλέος («ære») og patronym-endingen ἴδης. Som helhet kan navnet tolkes som «den ærerike». Biografi Fødested til Euklid er ikke kjent. Når noen biografier i dag oppgir Alexandria som fødested, må dette betraktes som en gjetning. Proklos har ikke hatt kunnskap om Euklids fødested og leveår. Alt han gir er et omtrentlig levetidspunkt, ved å relatere Euklid til andre greske personer. Euklid skal ha levd i «Ptolamaios' tid», en referanse til Ptolemaios I Soter, som regjerte fra 306 til 283 f.Kr. Det kan også fastslås med sikkerhet at Euklid virket før Arkimedes og Eratostenes, men etter de første elevene til Platon. Arkimedes levde fra 287 til 212 f.Kr., og Platon døde rundt 348 f.Kr. Fra dette kan en fastslå at Euklid må ha levd og virket omkring 300 før Kristus. Fødselsåret er blitt anslått til omkring 325 f.Kr. og dødsåret til ca. 265 f.Kr. Den egyptisk-arabiske historikeren al-Qifti (død 1248) hevder at Euklid ble født i Tyr i Libanon og betraktet Damaskus som sin hjemby, men dette regnes som en tvilsom kilde. Samme kilde oppgir også at far til Euklid skal ha hatt navnet Naukrates. Proklos framstiller Euklid som platoniker, men dette er usikkert. Det er likevel sannsynlig at Euklid fikk matematisk opplæring i Athen, fra Platons elever. Ikke så mange andre kunne ha gitt Euklid den nødvendige opplæringen. I verkene til Euklid finner en ingen spor av den metafysiske tankegangen til Platon, som betraktet geometriske former som grunnleggende elementer i universet. Euklid er kanskje mer farget av Aristoteles og hans logikk-lære. Pappos forteller at Apollonoios «oppholdt seg lenge hos Euklids elever i Alexandria». Dette er grunnlaget for å si at Euklid dannet en skole i Alexandria. Biblioteket i Alexandria ble opprettet av Ptolemaios I eller av sønnen og etterfølgeren Ptolemaios II, omtrent på den tiden da Euklid var i byen. Det er ikke usannsynlig at Ptolemaios I hentet Euklid til Alexandria, som et ledd i dette arbeidet. Ifølge Proklos er det Ptolemaiois I som skal ha spurt Euklid om det finnes en enklere vei for å lære geometri enn gjennom Elementer, hvorpå Euklid skal ha svart at «det er ingen kongelig vei til geometri». Heller ikke hvor Euklid døde er kjent med sikkerhet, selv om det er antatt at han ble værende i Alexandria og døde der. Ut fra den grundige oppbyggingen av læreboka Elementer kan en anta at Euklid har vært en god pedagog. En fortelling om pedagogen Euklid er fortalt av Stobaios: En av Euklids elever, etter å ha lært det første teoremet, skal ha spurt læreren om nytten av å studere matematikk. Euklid tilkalte en slave en slave og sa: «Gi ham en obol, siden han føler han må tjene på det han lærer». En obol var en mynt som svarte til seks drakmer. Mangel på biografiske kilder har fått enkelte til å spekulere i om Euklid ikke er en historisk person, men at navnet har vært et pseudonym som har vært benyttet av flere matematikere fra Alexandria. En annen hypotese er at personen Euklid har ledet en gruppe matematikere som alle har bidratt til verkene. Et argument for begge disse teoriene er en variasjon i skrivestil som en kan finne i verkene. En slik variasjon er imidlertid ikke uvanlig også fra en og samme forfatter, og tilhengerne av disse teoriene er i mindretall. Euklid er kjent som lærer og forfatter, men selv er ikke Euklid blitt tillagt nye matematiske resultater. Det som i dag kalles Euklids algoritme i tallteori, var kjent lenge før Euklid. Elementer Det er vanlig å tilskrive personen Euklid æren for å ha skrevet Elementer, selv om det historisk grunnlaget for dette er spinkelt. Verket består av 13 bøker, ofte nummerert med romertall. De fire første bindene omhandler plangeometri. Bind V til bind IX drøfter en form for tallteori, men i geometrisk form. Bind X behandler inkommensurable størrelser. Bind XI-XIII tar for seg romgeometri. Det eksisterer også to tilleggsbind som i middelalderen feilaktig ble inkludert i Elementer, men disse to bindene tror en i dag er skrevet av henholdsvis Hypsikles og Isidoros fra Milet. Hypsikles levde i den andre århundre før Kristus, mens Isidoros levde i det femte århundre etter Kristus. Mesteparten av stoffet i Elementer var kjent før Euklid, og verket er i hovedsak basert på materiale fra andre greske matematikere. Storparten av materialet i bind I og II var kjent fra pytagoreerne. Teorien i bind III og VI var kjent på Hippokrates' tid. Innholdet i bind V er alminnelig antatt å komme fra Evdoksos. Euklid skriver selv ingenting om opphavet til de ulike delene av verket. Det store bidraget til Euklid er systematikken, med den stegvise oppbyggingen av en helhetlig teori, basert på et grunnleggende sett av postulater og definisjoner. Bruken av grunnbegreper er farget av vitenskapslæren til Aristoteles, som skilte skarpt mellom postulater og bruk av «allmenn innsikt» eller aksiomer. Aksiomer var betraktet som mer selvinnlysende utsagn, som alle ville være enig i. Postulater kunne være mindre opplagte og gjorde ikke krav på allmenn aksept, men ble tatt som forutsetning i en gitt undersøkelse. Det er vanlig å framstille Elementer som i bind I å inneholde fem postulater og fem «allmenne innsikter». Kildene er imidlertid ikke konsistente om dette, og noen kilder grupperer alle ti sammen. I nyere matematikk er det ikke vanlig å skille mellom «postulater» og «aksiomer». Elementer er basert på syntese, ved alltid å bygge på kjente og beviste setninger, og fra disse utlede nye resultater. Der det har vært nødvendig for sammenhengen, har Euklid konstruert nye bevis, hvis rekkefølgen i verket har gjort at kjente bevis ikke har fungert. Respekt for tradisjonen viser seg ved at han tar med enkelte eldre resultat som ikke blir brukt videre i verket. Elementer var ikke et forsøk på å samle all tilgjengelig kunnskap, men en lærebok i matematikk, tenkt som en introduksjon til emnet. Det greske navnet på Elementer er Stoikheion, et ord som kunne bety både «bokstaver i alfabetet», «geometriske former» og «byggesteiner». Euklid er ofte omtalt som stoikheiotes istedenfor ved navn, det vil si som «forfatter av Elementer». Flere greske matematikere hadde gitt ut verk med samme navn før Euklid, men ingen av disse verkene er bevart. Platon brukte ordet stoikheion ofte, om en type grunnleggende kosmologiske elementer som bygger opp alle ting. Andre verk I tillegg til Elementer har en bevart flere andre av Euklids verk: Data. Dette verket drøfter hva det vil si at data er «gitt» i geometriske problem, og innholdet ligger tett opp til de fire første bøkene i Elementer. Fra et «gitt» linjestykke vil det for eksempelvære mulig å lage kopier. Om deling (av figurer). Verket er bare ufullstendig kjent, fra arabiske oversettelser. Verket diskuterer oppdeling av figurer, etter gitte krav og spesifikasjoner. Phenomena. Omhandler sfærisk astronomi. Dette verket er bevart på originalspråket gresk. Optikk. Om perspektiv og synsinntrykk. Euklid følger en tradisjon etter Platon og beskriver at synsinntrykk oppstår ved at øyet sender ut stråler, som reflekteres fra objektet en ser på. Catoptrica («Om speil»). Dette verket har blitt tillagt Euklid, men det er mer sannsynlig at det er skrevet av en annen forfatter, kanskje Teon fra Alexandria. Elementer av musikk. Dette verket er tillagt Euklid av Proklos og av Marinos. To verk som kan svare til denne beskrivelsen er bevart, men det er usikkert om Euklid er forfatteren. I tillegg kjenner en flere verk av Euklid av omtale, men dette er verk som ikke er bevart i dag: Kjeglesnitt. Ifølge Pappos skrev Euklid fire bøker om kjeglesnitt, og disse ble komplettert av Apollonios, som skrev fire tilleggsbind. Antagelig var Euklids bøker om kjeglesnitt alt tapt på Pappos' levetid. Porismata. Innholdet i verket er bare kjent gjennom en beskrivelse fra Pappos. En hypotese er at verket var et biprodukt av arbeidet med kjeglesnittene, med drøfting av kurver. Tolkingen av tittelen på verket er omdiskutert. En «porisme» kunne ifølge Proklos bety to ulike ting: Det kunne tilsvare et korrolar, en slutning som kan utledes fra en større setning. Den andre betydningen - som antagelig er brukt i tittelen på Euklids' verk - er uklar, omtalt av Proklos som «verken problem eller teorem». En tolking er at en porisme er «ufullstendige teorem som uttrykker en relasjon mellom variable». Dette kan være det nærmeste gresk matematikk kom ligninger for å beskrive en kurve. Porismata var et avansert verk, og Thomas Heath omtaler det som «kanskje det viktigste av alle Euklids verk». Psevdaria. Proklus kaller dette verket «Boken om feilslutninger». Dette var antagelig et verk om elementær geometri, med presentasjon av korrekte og feilaktige logiske slutninger. Flatepunkt. Også tittelen på dette verket er uklar. Arabiske kilder tillegger Euklid også forfatterskapet til flere bøker om mekanikk, inkludert Boken om det tunge og det lette. Verkene Porismata og Flatepunkt skal ha inngått i en samling omtalt av Proklos og Pappos som «Analysens skattkiste». Også verk av Aristaios og Appolonios skal ha vært inkludert i denne samlingen. Ifølge Pappos skal samlingen ha vært spesiell verdifull for alle som ønsket å løse problemer som involverte kurver. Euklid i ettertiden Overlevering av verkene Som tidligere nevnt var det en rekke matematikere som skrev kommentarverk til Euklids Elementer. Teon fra Alexandria (ca. 335-405 e.Kr.) reviderte Elementer, både språklig og innholdsmessig. I revisjonen fyller han ut steg i bevisene og ga alternative bevis. Det er Teons versjon som er bevart i de fleste greske fragmentene vi i dag har at verket. Noen eldre kilder hevder at Boëthius (ca. 480-525) oversatte Euklid til latin. Det geometriske verket som i dag er kjent etter Boëthius, er imidlertid høyst sannsynlig satt sammen fra flere kilder på 1100-tallet. Verket inneholder et fåtall deler av de fire første bindene av Elementer. Tegn tyder på at den som laget sammensetningen, kan ha hatt tilgang til eldre oversettelser til latin, av uvisst opphav. Til den arabiske verden kon Elementer i det åttende århundre, ved utveksling med det østromerske riket. Flere arabiske oversettelser av deler av verket er bevart. Fra arabisk ble verket igjen oversatt til latin, blant annet av Adelard fra Bath (ca.1075-1160) og Gerard fra Cremona (ca. 1114-1187). Den første trykte utgaven av Elementer ble gitt ut i Venezia i 1482. En fullstendig utgave på engelsk kom første gang i 1570, i oversettelse av Henry Billingsley. En viktig oversettelse til latin ble utført av Isaac Barrow i 1655, fulgt av en engelsk versjon i 1660. Barrow var professor ved universitetet i Cambridge. François Peyrard (1760-1822) oversatte Elementer til fransk. Under arbeidet fant Peyrard i Vatikanet en versjon av Elementer som ikke inneholdt Teons revisjoner. Det er antatt at denne versjonen er eldre enn Teons. Versjonen er i dag omtalt bare som «P», til ære for finneren. Den italienske misjonæren Matteo Ricci oversatte på begynnelsen av 1700-tallet deler av Elementer til kinesisk, fra en latinsk versjon. Tidlig på 1800-tallet ble det også laget en versjon på sanskrit, basert på en arabisk versjon. En nyere oversettelsen til engelsk ble gjort av Thomas Heath, gitt ut første gang i 1908. En generell utfordring med Euklids verker har vært å forsøke å føre disse tilbake til originalversjonene. Oversettelser, tillegg og andre redigeringer gjør at verkene finnes i mange ulike utgaver. Elementer som lærebok Fram til 1200-tallet ble studiet av matematikk i Europa for en stor del neglisjert. Da de første universitetene ble grunnlagt i middelalderen, ble studiet av matematikk svært ofte en del av undervisningen. I de frie kunstene som var grunnlaget for undervisningen, inngikk aritmetikk og geometri. Euklids Elementer ble en viktig lærebok, men hvor mye som krevdes, kunne variere fra universitet til universitet. Undervisning basert på Elementer ble gitt i Wien (grunnlagt 1365), Heidelberg (1386) og i Køln (1388). Wien krevde gjennomgang av første bind for lavere grad, men kjennskap til de fem første bindene for å få lisens til å undervise. I Paris ble undervisning i geometri på 1300-tallet neglisjert, mens ved universitetet i Praha ble det til den høyere graden krevd at en hadde gjennomgått de seks første bindene av Elementer. I Oxford, midt på 1500-tallet, var studiet av de to første bindene obligatorisk. Isaac Newton skal ha kjøpt sin første utgave av Elementer i 1662 eller 1663, og han startet matematikkstudiet i 1664. Euklidsk geometri Geometri basert på Euklids postulater i Elementer er i dag kalt euklidsk geometri. Ettertiden har erkjent at grunnlaget som Euklid la for geometrien, ikke er tilstrekkelig rigorøst. For å rette på dette, er det foreslått flere moderne versjoner av aksiomene for euklidsk geometri, blant annet av David Hilbert i 1899. I planet begrenset Euklid seg i Elementer til studiet av punkt, linjer og sirkler, mens det i dag ikke ligger noen begrensning hvilke typer objekter en studerer i euklidsk geometri. I tradisjonen etter Euklid har en skilt mellom elementær geometri (punkt, linjer, sirkler) og høyere geometri (kjeglesnitt, transendentale kurver). Geometrisk konstruksjon er i elementær geometri begrenset til kun å omfatte konstruksjoner som lar seg gjennomføre med passer og linjal. Disse hjelpemidlene kan også bare brukes i overensstemmelse med Euklids postulater og kalles da euklidske hjelpemidler. Detaljer om hvordan disse reglene kom til å bli etablert er ikke kjent, men de ble praktisert før Euklid virket. Tradisjonen har knyttet opphavet til Platon, men det er tegn på at reglene var i bruk også før Platon. Platon mente at linjer og sirkler var mer ideelle objekter enn andre typer kurver. Elementer fikk svært stor betydning for overføring av gresk matematikk til resten av Europa og for revitaliseringen av matematikk i middelalderen. Begrensningene som er innebygget i verket, var kanskje også et hinder for videreutvikling av nyere matematiske retninger. Carl Boyer spekulerer i om kanskje noen av Euklids verker som i dag er tapt, har hatt større betydning for utvikling av analytisk geometri, for eksempel Porismata og Flatepunkter. Parallellpostulatet Euklids fire første postulater ble lenge betraktet som selvinnlysende. Det femte, parallellpostulatet, skapte imidlertid hodebry og kontroverser. Mange matematikere var misfornøyd med dette postulatet og forsøkte enten å finne alternative formuleringer eller å bevise det ved hjelp av de fire første postulatene. Både Ptolemaios og Proklos forsøkte å finne et slikt bevis. Diskusjonen om parallellpostulatet skulle forfølge matematikere i flere tusen år. Først med utviklingen av ikke-euklidsk geometrier i første halvdel av 1800-tallet ble det vist at postulatet ikke er nødvendig. Geometri basert kun på de fire første (reviderte) postulatene kalles nøytral geometri. Ved å erstatte parallellpostulatet, kan en definere alternative ikke-euklidske geometrier. Referanser Litteratur Eksterne lenker Om Euklid Om Euklids verker Greske matematikere fra oldtiden Geometere Personer fra Alexandria 1000 artikler enhver Wikipedia bør ha


text: Elementer (gresk: Στοιχεῖα, Stoikheia) er et læreverk i matematikk skrevet av grekeren Euklid omkring 300 f.Kr. Euklid ledet en skole i Alexandria, anagelig tilknyttet biblioteket i Alexandria. De 13 bøkene i verket er en grunnleggende innføring i geometri, både plan- og romgeometri, samt tallteori. Den systematiske oppbyggingen av læreverket, med bruk av postulater, definisjoner, setninger og bevis, har hatt svært stor betydning for all senere matematikk. Elementer er blitt karakterisert som «den største og mest betydningsfulle lærebok i matematikk som er skrevet» og som «den mest innflytelsesrike lærebok gjennom tidene». Verket og kommentarverk er gitt ut på en lang rekke språk over hele verden. I den vestlige verden er det antagelig bare Bibelen som har blitt distribuert videre og studert nøyere. Elementer ble bevart i fragmenter på originalspråket og i arabiske oversettelser. I europeisk kultur ble verket gjenintrodusert i middelalderen, ved oversettelse fra arabisk til latin. Oversettelsene fikk stor betydning for revitaliseringen av matematikk i middelalderen. Verket fikk også betydning for utvikling av logikk og filosofi. Gjennom de følgende århundrene er verket blitt spredd i et utall oversettelser og bearbeidelser. På 1800-tallet førte studiet av Elementer til en fornying av det aksiomatiske grunnlaget for geometri. Det ble også oppdaget at det er mulig å definere flere alternative geometrier. Euklid På tross av den store betydningen til Elementer er svært lite kjent om Euklid. Mesteparten av kunnskapen kommer fra Det eudemiske sammendraget til Proklos, skrevet over 700 år etter at Euklid levde. Sammendraget er basert på et eldre verk, Geometriens historie av Eudemos, et verk som er gått tapt. Proklos er ikke kjent med nøyaktige leveår for Euklid, men relaterer ham i tid til andre kjente greske personer. Ut fra dette er det anslått at Euklid levde omkring 300 f.Kr., kanskje fra omkring 325 f.Kr. til ca. 265 f.Kr. Proklos framstiller Euklid som platoniker, og Euklid har antagelig fått opplæring av elever av Platon i Athen. Platon la stor vekt på hypoteser og definisjoner. Elementer er imidlertid ikke påvirket av den metafysiske tenkningen til Platon, som betraktet geometriske former som fundamentale byggesteiner i universet. Verket er mer preget av logikk-læren til Aristoteles. Fra Pappos er det kjent at Euklid virket i Alexandria og dannet en skole i matematikk der. Euklid var kjent som en god pedagog, men han er ikke selv blitt tillagt nye matematiske resultater. Euklid store bidrag er at han har samlet materiale, systematisert det og gitt det en helhetlig form. Proklos skriver i Det eudemiske sammendraget at «... Euklid, som satte sammen Elementer, samlet mange av teoremene til Eudoksos, perfeksjonerte resultatene til Teaetetos og viste også på en ugjendrivelig måte resultater som forgjengere bare hadde vært vist løselig». Eudoksos har fått æren for teorien om forholdstall, som er gjengitt i Elementer bind V. Teaetetos er tillagt materialet i bind X, om inkommensurable lengder. Ifølge Proklos er det Ptolemaiois I som skal ha spurt Euklid om det finnes en enklere vei for å lære geometri enn gjennom Elementer, hvorpå Euklid skal ha svart at «det er ingen kongelig vei til geometri». Euklid skrev også flere andre verk, både i matematikk, i optikk og i astronomi. Mangel på biografiske kilder har fått enkelte til å spekulere i om Euklid ikke er en historisk person, men at navnet har vært et pseudonym som har vært benyttet av flere matematikere fra Alexandria. En annen hypotese er at personen Euklid har ledet en gruppe matematikere som alle har bidratt til verkene. Et argument for begge disse teoriene er en variasjon i skrivestil som en kan finne i verkene etter Euklid. En slik variasjon er imidlertid ikke uvanlig også fra en og samme forfatter, og tilhengerne av disse teoriene er i mindretall. Tittelen Elementer Det greske navnet på Elementer er Stoikheia, et ord som kunne brukes både om «bokstaver i alfabetet», «geometriske former» og «byggesteiner». Grunnformen av ordet hadde betydning «en i en rekke». Bokstavene i alfabetet ble kalt «stoikheia» fordi de hadde en viss rekkefølge og orden. I omtalen av Elementer sier Proklos at verket forholder seg til resten av matematikken på samme måte som bokstavene i alfabetet forholder seg til språk. Platon brukte ordet «stoikheia» ofte, som en betegnelse på grunnleggende kosmologiske elementer som bygger opp alle ting. Flere grekere før Euklid hadde gitt ut læreverk i matematikk, og noen av disse hadde også brukt tittelen Elementer. Disse verkene er imidlertid tap og kun kjent gjennom senere omtale. Den første kjente forfatteren av Elementer er Hippokrates fra Khíos. Andre kjente forfattere som har brukt samme tittel, er Leon og Teudios. Euklid er ofte omtalt som stoikheiotes istedenfor ved navn, det vil si som «elementator» eller «forfatter av Elementer». På norsk er verket blitt omtalt både som Elementer og som Elementene. Noen presentasjoner bruker begge titler side om side. Oppbygging av læreverket Organisering Elementer består av 13 bind eller bøker, i referanser ofte nummerert med romertall. Bruken av grunnbegreper i læreverket er farget av vitenskapslæren til Aristoteles, som skilte skarpt mellom postulater og bruk av «allmenn innsikt» eller aksiomer. Aksiomer var betraktet som selvinnlysende utsagn, som alle ville være enig i, gyldig i alle vitenskaper. Postulater kunne være mindre opplagte og gjorde ikke krav på allmen aksept, men ble tatt som forutsetning i en gitt undersøkelse eller i en gitt vitenskap. Bind I blir som oftest framstilt som å inneholde fem postulater og fem «allmenne innsikter». De eldre kildene er imidlertid ikke konsistente om dette, og noen kilder grupperer alle ti sammen. I dagens matematikk er det ikke vanlig å skille mellom «postulater» og «aksiomer». Hoveddelen av verket består av setninger eller teoremer, med tilhørende bevis. Gresk matematikk skilte mellom analyse og syntese: I analyse blir et komplekst problem brutt ned til kjente elementer, mens syntese går ut på å utlede nye resultater fra kjente og beviste setninger. Elementer er helt og fullt gjennomført basert på syntese. Verket inkluderer figurer, men ellers er formen verbal, uten bruk av ligninger eller formler. Definisjoner Elementer har verken forord eller innledning. Første bind går rett på sak med 23 definisjoner, der de tre første er slik: Et punkt er det som ikke har noen del. En linje er en lengde uten bredde. Starten og slutten på en linje er punkter. En linje trenger ikke være rett, men blir betraktet som endelig, det vi i dag omtaler som et linjestykke. Fortsettelsen inkluderer definisjon av vinkler, både rette, spisse og stumpe. En sirkel blir definert, med sentrum og diameter. En av definisjonene inkluderer et teorem tillagt Tales fra Milet, om at diameteren deler sirkelen i to. Trekanter blir også presentert, inkludert spesielle trekanter som likesidet, likebeint og rettvinklet. Firkantene kvadrat, rektangel, rombe og trapes er definert, men ikke parallellogrammet. I bind I har Euklid til en viss grad bygd på definisjoner kjent fra Platons skole, men har også reformulert noen av disse. Et par av definisjonene er antatt å være laget av Euklid selv. Bind VI definerer for eksempel formlike figurer. Bind X definerer kommensurable og inkommensurable størrelser. Gresk geometri hadde ingen definisjoner av lengde, areal eller volum, og det ble ikke knyttet tallverdier til slike størrelser. Et spørsmål som «hva er arealet av en sirkel» ville derfor ikke gi mening i gresk geometri. Derimot kunne en sammenligne to størrelser av samme type, for eksempel ved å definere forholdet mellom to areal. Respekt for tradisjonen viser seg ved at Euklid tar med enkelte definisjoner som ikke blir brukt videre i verket. Dette gjelder for eksempel definisjonen av en rombe. Postulater De fem grunnleggende postulatene er gitt i bind I: Mellom to punkter kan det trekkes en entydig linje. En linje kan forlenges vilkårlig i hver retning. Rundt hvert punkt kan beskrives en sirkel med en vilkårlig radius. Alle rette vinkler er like store. Hvis en rett linje skjærer to rette linjer slik at summen av de indre vinklene på samme side er mindre enn to rette vinkler, da skjærer de to rette linjene hverandre på den siden hvor de indre vinklene befinner seg, når linjene forlenges vilkårlig langt. Postulat 4 er ofte omtalt som et teorem, men trengs som et postulat for at innholdet i postulat 5 skal ha mening. Postulat 5 er det berømte parallellpostulatet. Parallelle linjer er introdusert i den siste definisjonen i bind I, men postulatet er formulert uten å nevne slike linjer. Postulatet gir et vilkår for at to linjer ikke er parallelle. Thomas Heath mener at formuleringen av både det fjerde og det femte postulatet, muligens alle fem, må komme fra Euklid selv. Aksiomer De fem «allmenne innsiktene» eller aksiomene i Elementer er, i oversettelse fra engelsk: Ting som er lik samme ting, er også like hverandre. Dersom likt blir lagt til likt, så er det hele også likt. Dersom likt blir tatt fra likt, så er resten også likt. Ting som er sammenfallende, er like. Det hele er større enn hver enkelt del. Thomas Heath påpeker at aksiom 4 er knyttet til geometri og derfor ikke helt i samsvar med Aristoteles definisjon av aksiomer, som allmenne sannheter. Etter Heaths mening er det sannsynlig at de to siste aksiomene ikke er laget av Euklid, men er lagt til verket i ettertid. Setninger og bevis Hvert bind inneholder en rekke setninger eller teoremer som stegvis bygger på hverandre, med tilhørende bevis for hver setning. Referanse til en setning blir i dag vanligvis gitt ved numeret på bindet og setningsnummeret. Pytagoras’ læresetning er for eksempel gitt i slutten av bind I, som setning I.47. Til en setning skulle det høre «data», det vil si former og objekter som var «gitt». Tilsvarende starter en i dag ofte geometriske problem med utsagn av typen «Gitt en rett linje og en sirkel med sentrum som ikke ligger på linjen». Euklid drøfter i et annet verk, Data, hva som ligger i at data er «gitt». Dette verket ligger tett opp til de fire første bøkene i Elementer. Der det har vært nødvendig for sammenhengen, har Euklid konstruert nye bevis, hvis rekkefølgen i verket har gjort at kjente bevis ikke har fungert. Beviset for Pytagoras’ setning er antagelig konstruert av Euklid selv. Innhold i bøkene Bok I - IV: Plangeometri De første fire bindene inneholder plageometri. Storparten av materialet i bind I og II var kjent fra pytagoreerne. Teorien i bind III og VI var kjent fra Hippokrates' tid. Siden formlike trekanter blir introdusert først i bind VI, så er alle bevisene gjennomført uten bruk av teori for formlikhet. Et produkt av to størrelser ble i gresk geometri alltid behandlet som et areal. Geometrisk algebra var etter pytagoreerne en form for geometri og aritmetikk for areal. Behandling av areal var helt grunnleggende i gresk matematikk og opptrer for eksempel i beviset for Pytagoras’ læresetning. Til en gitt lengde kunne en definere produktet , som arealet av et kvadrat konstruert med som sidelengde. Grekerne sammenlignet aldri et areal med en lengde, og en ligning som ville derfor ikke gitt greske matematikere mening. Bind I: Postulatene og aksiomene som presenteres i bind I, er felles for alle de 13 bøkene. Bindet inneholder grunnleggende plangeometri, med setninger for linjer, vinkler, trekanter og firkanter. Setning I.32 viser for eksempel at vinkelsummen i en trekant er lik to rette vinkler. Bindet avsluttes med den pytagoreiske læresetningen I.47 og det omvendte teoremet I.48. Bind II: Geometrisk algebra. Her vises en rekke setninger som vi i dag vil uttrykke med algebra, for eksempel kvadratsetningene. Setning II.11 gir en geometrisk løsning til ligningen . Setningene II.12 og II.13 er geometriske former for cosinussetningen, for henholdsvis en spissvinklet og stumpvinklet trekant. Bind III: Grunnleggende geometri for sirkler. Setning III.31 svarer til Tales’ teorem om en rett vinkel i en halvsirkel. De to siste setningene behandler et punkts potens med hensyn på en sirkel. Bind IV: Setninger om innskrevne og omskrevne sirkler til trekanter og til regulære polygoner med 4, 5, 6 og 15 sider. Bok V - VI: Proporsjoner Tall som vi i dag omtaler som rasjonale tall eller brøker ble av grekerne behandlet geometrisk, som et forhold mellom to linjestykker eller to areal. En proporsjon er likhet mellom to eller flere tallforhold og kan for eksempel uttrykkes i dagens formspråk som Størrelsene og må være av samme type (heltall, linjestykke, areal, volum), men trenger ikke være av samme type som og . Bind V: Teori for proporsjoner, ofte tilskrevet Eudoksos. Thomas Heath skriver at «gresk geometri kan ikke skryte av noen finere enn denne teorien». Teorien er gjeldende for alle typer størrelser, både rette linjer, areal, volum eller heltall, så lenge størrelsene som inngår er av samme type. Bind VI: Bindet bruker teorien i fra bind V til plangeometri. Her defineres likedannede eller formlike figurer. Geometrisk algebra brukes til å finne løsning på generelle former for kvadratiske ligninger. Løsningene er alltid begrenset til å være positive størrelser. Bok VII - IX: Tallteori Tre bøker omhandler elementær tallteori. Platon omtaler slik tallteori for «aritmetikk», en bruk av ordet som ikke samsvarer med moderne definisjon av aritmetikk. Grekerne skilte mellom tallteori (aritmetikk) og beregning med tall, omtalt som «logistikk». I logistikk studerte en addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon av heltall. De tre bøkene omtales som «de aritmetiske bøkene i Elementer». For Euklid var et tall alltid et positivt heltall. I definisjonene i bind VII er 1 ikke regnet som et tall, men som en grunnleggende enhet. Bind VII: Grunnleggende tallteori. Innledningsvis defineres blant annet partall og oddetall, primtall og sammensatte tall. Et plant tall er et tall som kan skrives som et produkt av to tall, mens et romlig tall er et produkt av tre tall. Setning VII.2 beskriver det som i dag kalles Euklids algoritme for å beregne største felles divisor for to heltall. Algoritmen var kjent lenge før Euklid. Bind VIII: Konstruksjon av geometriske følger. Også dobbelte proporsjoner blir behandlet, slik som . Bind IX: Bruker resultatene fra bind VII og VIII. Setning IX.14 gir en form av aritmetikkens fundamentalteorem, som sier at en primtallsfaktorisering av et vilkårlig tall alltid er entydig. Om setningen er helt samsvarende med fundamentalteoremet eller gir et noe svakere resultat, er omdiskutert. Setning IX.20 sier at antall primtall er uendelig. Setning IX.35 gir et uttrykk for summen av et endelig antall ledd i en geometrisk følge. Den siste setningen IX.36 viser hvordan en kan finne perfekte tall. Bok X: Inkommensurable størrelser Thomas Heath beskriver bok X sm den mest bemerkelsesverdige av alle de 13 bindene og den boka som er mest perfekt i form. Carl Boyer skriver også at dette var den boka som var mest fryktet. Boka omhandler inkommensurable størrelser, svarende til irrasjonale tall. Innholdet i bindet er hele tiden i en geometrisk form. Oppdagelsen av de første tilfellene av inkommensurable størrelser skal ha vært gjort av pytagoreerne, og antagelig var en lengde svarende til den første som ble oppdaget. Teodors fra Kyrene viste at størrelser svarende til tallene er inkommensurable. Æren for det mer generelle innholdet i bind X er i hovedsak gitt Teaetetos. Bok X starter med å legge grunnlaget for det som i dag betegnes som ekshausjonsbevis eller «utfyllingsprinsippet». Dette er en bevisform hvor en kontinuerlig størrelse, en lengde, et areal eller et volum, blir tilnærmet med stadig mindre enheter. For eksempel kan en sirkel tilnørmes med regulære mangekanter av stadig høyere orden. En slik prosess ligger nært opp til en moderne uendelig grenseprosess. For grekerne var det imidlertid alltid en prosess som ble avsluttet med en rest, etter et endelig antall steg. I bok X er det videre drøftet linjer som (i moderne notasjon) kan konstrueres som uttrykk av typen når og er to kommensurable størrelser. Hver enkelt form er i Elementer gitt sitt eget navn. Bok XI - XIII: Romgeometri De tre bøkene XI, XII og XIII drøfter geometri i tre dimensjoner. Arkimedes gir Eudoksos æren for å ha vært den første som beregnet volumet av en kjegle og en pyramide. Bind XI: Definisjonene i dette bindet gjelder alle tre bindene om romgeometri. Her defineres blant annet romlige legemer, en normal til et plan, vinkelen mellom plan og romvinkler. Mange av setningene i bindet er paralleller til setninger i plangeometri gitt i bind I og IV. Boka drøfter også formlike parallellepiped. Bind XII: Beregning av volum av ulike romlegemer, som kjegle og pyramide, ved hjelp av utfyllingsprinsippet. Dette prinsippet blir også brukt til å vise at forholdet mellom arealet av to sirkler er lik forholdet mellom kvadratet av diameterne. Bind XIII: Konstruksjon av de fem platonske legemene inne i en kuleflate. Tabelloversikt Den følgende tabellen gir en oversikt over innholdet i Euklids Elementer. Apokryfe verker To ekstra bind XIV og XV ble i middelalderen tillagt Elementer, men i dag er det kjent at disse to er apokryfer, antageligvis skrevet av henholdsvis Hypsikles og Isidoros fra Milet. Hypsikles levde i den andre århundre før Kristus, mens Isidoros levde i det femte århundre etter Kristus. Begge de to apokryfe bindene omhandler romgeometri. Overlevering av verket Ingen originalversjon av Elementer er bevart. Biblioteket i Alexandria, der Euklid virket, ble ødelagt under ulike stridigheter og kriger en gang før år 300 e.Kr. Da verket ble reintrodusert i europeisk kultur, omkring 1100 e.Kr., ble oversettelsene til latin basert på arabiske tekster. Det er også funnet fragmenter av ulike versjoner av Elementer samt kommentarverk på gresk. Teon fra Alexandria (ca. 335-405 e.Kr.) reviderte Elementer, både språklig og innholdsmessig. I revisjonen fyller han ut steg i bevisene og ga alternative bevis. Det er Teons versjon som er bevart i de fleste greske fragmentene vi i dag har at verket. En stor utfordring for ettertiden har vært å rekonstruere Elementer, slik en tror Euklid laget verket. En rekke greske forfattere skrev kommentarverk til Elementer, inkludert Heron, Pappos, Porfyrios, Proklos og Simplicius. Noen av disse er skolia, det vil si verk med kommentarer plassert i margen. Den første romerske kilden som nevner Euklid er Cicero, men antagelig var ikke Elementer oversatt til latin på dette tidspunktet, da teoretisk geometri ikke vekte særlig interesse blant romerne. Noen eldre kilder hevder at Boëthius (ca. 480-525) oversatte Euklid til latin. Det geometriske verket som i dag er kjent etter Boëthius, er imidlertid høyst sannsynlig satt sammen fra flere kilder på 1100-talet. Verket inneholder et fåtall deler av de fire første bindene av Elementer, uten noen av bevisene. Tegn tyder på at den som laget sammensetningen, kan ha hatt tilgang til eldre oversettelser til latin, av uvisst opphav. Til den arabiske verden kom Elementer som en følge av kontakten med østromerriket. Kalif Al-Mansur (regjeringstid 754-775) skal ha vært den første som fikk en utgave. I Bagdad var Visdommens hus et bibliotek, et verksted for oversettelser og et senter for vitenskap, opprettet av abbasidene. Et stort antall manuskripter på gresk, hebraisk og syrisk ble oversatt til arabisk. Svært viktig for oversettelser av matematiske verk ble Thābit ibn Qurra (826-901), som ledet en gruppe av oversettere i Bagdad. I tillegg til å få laget svært gode oversettelser, leverte han også egne bidrag i matematikk, for eksempel et alternativt bevis for Pytagoras' setning I.47. Noen av de arabiske oversettelsene av greske manuskripter er bevarte i dag. I Europa ble matematikk lenge neglisjert, inntil interessen våknet opp igjen i middelalderen. Den engelske munken Adelard fra Bath (ca.1075-1160) er den første vi kjenner til som oversatte Elementer til latin, og innslag av arabiske ord i oversettelsen viser at kilden må ha vært arabiske manuskript. Hovedkanalene for utveksling mellom den muslimske verden og Europa var gjennom Spania, Sicilia og Øst-Europa, men det er ikke kjent i detalj hvordan Adelard kom i kontakt med muslimsk kultur. Italieneren Gerard fra Cremona (ca. 1114-1187) arbeidet i Toledo i Spania, og han laget en ord-for-ord oversettelse av en revidert utgave av Thābit ibn Qurras arabiske versjon av Elementer. En tredje oversettelse ble laget av Johannes Campanus (ca. 1220-1296). Verket Practica geometriae av Leonardo Fibonacci er fra 1220, og innholdet er delvis basert på Elementer, men også flere andre greske verk. Den første trykte utgaven av Elementer ble gitt ut i Venezia i 1482, av Erhard Ratdolt. Denne var basert på oversettelsen til Johannes Campanus. Hvordan Ratdolt greide å trykke figurene, er ikke kjent med sikkerhet. Andre utgaver ble gitt ut i 1486 i Ulm i Tyskland og i 1491 i Vicenza i Italia. Siden disse første versjonene, er det gitt ut over tusen utgaver av verket. Som den viktigste oversettelsen av Elementer til latin, regnes utgaven til Federico Commandino. Denne oversettelsen kom ut i Italia i 1572. Verket var basert på både greske or arabiske tekster. I tillegg til eldre merknader inneholdt denne utgaven også kommentarer fra Commandino selv. En fullstendig utgave på engelsk kom første gang i 1570, i oversettelse av Henry Billingsley. En viktig oversettelse til latin ble utført av Isaac Barrow i 1655, fulgt av en engelsk versjon i 1660. Barrow var professor ved universitetet i Cambridge. François Peyrard (1760-1822) oversatte Elementer til fransk. Under arbeidet fant Peyrard i Vatikanet en versjon av Elementer som ikke inneholdt Teons revisjoner. Det er antatt at denne versjonen er eldre enn Teons. Versonen er i dag omtalt bare som «P», til ære for finneren. Den italienske misjonæren Matteo Ricci oversatte på begynnelsen av 1700-tallet deler av Elementer til kinesisk, fra en latinsk versjon. Tidlig på 1800-tallet ble det også laget en versjon på sanskrit, basert på en arabisk versjon. En nyere oversettelsen til engelsk ble gjort av Thomas Heath, gitt ut første gang i 1908. Elementer som lærebok Da de første universitetene ble grunnlagt i middelalderen, ble studiet av matematikk svært ofte en del av undervisningen. I de frie kunstene som var grunnlag for undervisningen, inngikk aritmetikk og geometri. Euklids Elementer ble en ofte brukt lærebok. Hvor mye som krevdes, kunne variere fra universitet til universitet. For mange stoppet undervisningen etter ganske få setninger. Den femte setningen I.5 (om vinkler i en likebeint trekant) er noe foraktelig blitt kalt pons asinorum, latin for «eselbroen». Denne setningen ble betraktet av mange studenter som siste hindring i studiet av matematikk. Robert Bacon brukte også navnet «elefuga» og «fuga miserorum» om setningen, fra latin fuga («flukt») og gresk elegia («misere, tristhet»), altså «flukten fra miseren». Undervisning basert på Elementer ble gitt i Wien (grunnlagt 1365), Heidelberg (1386) og i Køln (1388). Wien krevde gjennomgang av første bind for lavere grad, men de fem første bindene for å få lisens til å undervise. I Paris ble undervisning i geometri på 1300-tallet neglisjert, mens ved universitetet i Praha ble det til den høyere graden krevd at en hadde gjennomgått de seks første bindene av Elementer. I Oxford, midt på 1500-tallet, var studiet av de to første bindene obligatorisk. Isaac Newton begynte på universitetet i Cambridge i 1661, 18 år gammel. Han skal ha kjøpt sin første utgave av Elementer i 1663, men begynte å studere verket for alvor først i 1664, et år som regnes som svært viktig for Newtons utvikling som vitenskapsmann. Han skal først ha tatt lett på lesingen, for mange av resultatene syntes ham banalt riktige. En historie forteller at Isaac Barrow eksaminerte Newton i Elementer og konkluderte med at studenten manglet kunnskap om emnet. Newton tok opp lesingen på nytt, med større grundighet, og han skal ha blitt spesielt påvirket av bind II, V, VII og X. Newtons sekretær fortalte at han aldri hadde hørt Newton le, bortsett fra den ene gangen da han ble spurt om en kunne ha nytte av å studere Elementer. Da Newton døde, arvet slektninger boksamlingen etter ham. Deler av samlingen ble solgt på auksjon i 1920 som «diverse bøker», uten at selgeren forsto verdien av bøkene. Newtons utgave av Barrows' Elementer, med håndskrevne kommentarer, ble solgt for fem shilling! Joachim Frederik Ramus (1685-1769) var norsk-født og professor i matematikk ved universitetet i København. I 1737 fikk han utgitt de seks første bøkene av Elementer på latin, til undervisningsformål. Et nytt opplag kom ut i 1740. Elementer og utvikling av moderne matematikk Geometri basert på postulatene i Elementer er i dag kalt euklidsk geometri. Innholdet i Elementer er i planet begrenset til studiet av punkt, linjer og sirkler, mens det i dag ikke ligger noen begrensning hvilke typer objekter en studerer i euklidsk geometri. I tradisjonen etter Euklid har en skilt mellom elementær geometri (punkt, linjer, sirkler) og høyere geometri (kjeglesnitt, transendentale kurver). Geometrisk konstruksjon er i elementær geometri begrenset til kun å omfatte konstruksjoner som lar seg gjennomføre med passer og linjal. Disse hjelpemidlene kan også bare brukes i overensstemmelse med Euklids postulater og kalles da euklidske hjelpemidler. Detaljer om hvordan disse reglene kom til å bli etablert er ikke kjent, men de ble praktisert før Euklid virket. Tradisjonen har knyttet opphavet til Platon, men det er tegn på at reglene var i bruk også før Platon. Platon mente at linjer og sirkler var mer ideelle objekter en andre typer kurver. Euklids fire første postulater ble lenge betraktet som selvinnlysende. Det femte postulatet, parallellpostulatet, skapte imidlertid hodebry og kontroverser. Mange matematikere var misfornøyd med dette postulatet og forsøkte enten å finne alternative formuleringer eller å bevise det ved hjelp av de fire første postulatene. Både Ptolemaios og Proklos forsøkte å finne et slikt bevis. Under dette arbeidet ble det oppdaget mange alternative formuleringer av det femte postulatet. En ofte brukt formulering ble først gitt av Proklos og kalles i dag Playfairs aksiom, etter den skotske matematikeren John Playfair. Elementer fikk svært stor betydning for overføring av gresk matematikk til resten av Europa og for revitaliseringen av matematikk i middelalderen. Men begrensningene som er innebygget i verket var kanskje også et hinder for videreutvikling av nyere matematiske retninger. Carl Boyer spekulerer i om kanskje noen av Euklids verker som i dag er tapt, har hatt større betydning for utvikling av analytisk geometri, for eksempel Porismata og Flatepunkter. Analytisk geometri er basert på bruk av koordinater, mens koordinatfri geometri - slik som en finner det i Elementer - omtales som syntetisk geometri eller ren geometri. Da infinitesimalregning ble introdusert på slutten av 1600-tallet, hadde mange matematikere motforestillinger, blant annet fordi en mente at teorien stod i strid med innholdet i Elementer.. Ettertiden har erkjent at grunnlaget som Euklid la for geometri, ikke er tilstrekkelig rigorøst, verken i definisjonene, postulatene eller aksiomene. For å rette på dette, er det foreslått flere moderne versjoner av grunnlaget for euklidsk geometri, blant annet av David Hilbert i 1899. Geometri var lenge synonymt med euklidsk geometri. På 1800-tallet ble det innsett at det femte postulatet ikke er en absolutt sannhet. Det er mulig å definere geometrier både ved å utelate parallellpostulatet og ved å erstatte det med alternativ. Geometri basert kun på Hilberts aksiomer, uten parallellpostulatet, kalles nøytral geometri eller absolutt geometri. Ved å erstatte parallellpostulatet med alternativ, kan en definere ikke-euklidske geometrier. Referanser Litteratur Eksterne lenker Euklidsk geometri Matematiske verk


text: Euklidsk geometri er et matematisk system tilskrevet den greske matematikeren Euklid fra Alexandria. Euklids bok Elementer var den første systematiske diskusjonen av geometri. Denne boken har vært en av de mest innflytelsesrike bøkene gjennom historien. Den var geometrilærebok i den vestlige verden i nærmere 2000 år. Metoden gikk ut på å godta noen få aksiomer og deretter utrede flere teoremer fra disse aksiomene. Mange av Euklids resultater hadde allerede blitt bevist av greske matematikere, men Euklid var den første til å vise at disse resultatene kunne bli satt i sammenheng i et avansert deduktivt system. I 1482 kom den første trykte utgaven - av Erhard Ratdolt (Venezia) Referanser Eksterne lenker «Euklidsk og ikke-euklidsk geometri»; beskrivelse av undervisning i emnet hos Matematisk Institutt ved Universitetet i Bergen:


text: Estisk er et østersjøfinsk språk som tales av ca. 900 000 estere i Estland, hvor det også er offisielt språk. Estisk er nest etter islandsk det minste språket som fungerer som hovedspråk i en selvstendig nasjonalstat. Estisk har flere dialekter, hvorav noen skiller seg mye fra standardspråket i Nord-Estland, bl.a. Võro-språket i Sør-Estland. Estisk er ikke i slekt med russisk eller de baltiske språkene latvisk og litauisk, men er i nær slekt med finsk og det nå utdødde språket livisk. Estere og finner kan ikke uten videre forstå hverandre, men den som kan det ene språket, kan uten store vansker lære det andre. Språket har et rikt bøyningssystem, med blant annet 14 kasus for nomen (substantiv, adjektiv og pronomen) og en rik verbmorfologi. Estisk har, i likhet med de skandinaviske språkene, tatt opp mange lånord fra lavtysk. Selv om basisordforrådet uten tvil er finsk-ugrisk, har estisk lånt svært mye fra indoeuropeiske språk, både når det gjelder ordstammer, «oversettingslån», idiomatiske uttrykk og til en viss grad syntaks. Som kasusspråk har estisk relativt fri ordstilling, men den vanligste ordstillingen i helsetninger er i likhet med norsk SVO. Estisk blir skrevet med det latinske alfabetet med tillegg av vokalene ä, ö, ü og õ. Estisk er nokså ungt som skriftspråk, og det hadde i mange hundre år lav status som et allmuespråk, mens makthaverne talte tysk og russisk. Den første boken på estisk, en katekismeoversettelse, ble utgitt i 1535, og senere en del religiøse tekster, men det var først på 1800-tallet at estisk begynte å utvikles som kulturspråk. Hele tiden fantes en sterk folkediktningstradisjon. Referanser Eksterne lenker Estonian - UCLA Language Materials Project, University of California Los Angeles (UCLA). Den europeiske unions offisielle språk Agglutinerende språk


text: Etymologi (fra gresk ἔτυμος, étymos, «virkelig, sann» og -λογία, -logía, «lære») er ordhistorie, altså studiet av hvordan ord har kommet inn i språket eller utviklet seg fra tidligere språkstadier. Etymologien til et ord vil derfor i praksis ofte enten si oss hvilken form og betydning vi tror den opprinnelige ordstammen hadde, eller hvilket fremmedspråk ordet er lånt ifra. For mange språk – også norsk – finnes etymologiske ordbøker som kan gi oss slike opplysninger. Også vanlige ordbøker og leksika kan inneholde etymologiske opplysninger. Jf. folkeetymologi. Etymologiske ordbøker og databaser Norsk Harald Bjorvand og Fredrik Otto Lindeman: Våre arveord – etymologisk ordbok, Institutt for sammenlignende kulturforskning. Serie B, 2000, ISBN 82-7099-319-0. Yann de Caprona: Norsk etymologisk ordbok, Oslo: Kagge forlag, 2013, ISBN 978-82-489-1054-1. Hjamar Falk og Alf Torp: Etymologisk ordbog over det norske og det danske sprog, Bjørn Ringstrøms Antikvariat, Faksimileutgave, 1992, ISBN 82-90520-16-6. Utkom første gang 1900-06. A.Torps etymologiske ordbok Samisk Álgu Litteratur Oddvar Nes: Etymologiske ordbøker over germanske språk. I: Maal og Minne 1999 s. 19-56. / ISBN 82-521-5464-6. Eksterne lenker Søkbare norske etymologiske ordbøker Hjalmar Falk og Alf Torp: Etymologisk ordbog over det norske og det danske sprog (utgitt av Bjørn Ringstrøms 1991) Johan Hammond Rosbach: Levende ord : etymologi for alle (utgitt av Aventura 1984) Sverre Klouman: Moro med ord : litt om ordenes vandringer, historie, slektskap og hemmeligheter (utgitt av Aschehoug 1999) Norsk stadnamnleksikon (utgitt av Samlaget 1997) Danske og svenske ordbøker Ordbog over det danske sprog (med etymologi og forklaringer av danske ord) Dansk etymologisk Ordbog (1893) Svenska Akademiens ordbok (med etymologi og forklaringer av svenske ord) Svensk etymologisk ordbok (1922) Andre språk Online Etymology Dictionary (engelske ord) Engelske etymologiske ordbøker Etymologi