text: Les élections législatives en France déterminent les représentants siégeant à la chambre basse du Parlement. Cette chambre a eu plusieurs dénominations au cours de l'histoire, notamment : Assemblée législative sous la Révolution, Chambre des députés sous la Restauration, la monarchie de Juillet et la République, puis enfin Assemblée nationale sous les et Républiques. Sous la Cinquième République, toutes les élections législatives ont eu lieu au scrutin uninominal majoritaire à deux tours sauf les élections de 1986. Les dernières élections législatives ont eu lieu en métropole les et et un jour plus tôt pour les territoires ultramarins. Mode de scrutin Actuel À la différence de l'élection présidentielle, le mode de scrutin pour les élections législatives n'est pas fixé par la Constitution. L'article 25 de la constitution précise seulement qu'une loi organique fixe la durée des pouvoirs de chaque assemblée, le nombre de ses membres, leur indemnité, les conditions d'éligibilité, le régime des inéligibilités et des incompatibilités. Il limite par ailleurs le nombre de députés à 577 depuis la révision constitutionnelle de juillet 2008. Les modalités du scrutin sont fixées par le code électoral qui prescrit un scrutin uninominal majoritaire à deux tours : un député est élu dans chacune des 577 circonscriptions législatives. Chaque électeur dispose d'une voix : au premier tour de scrutin, un candidat doit pour être élu recueillir la majorité absolue des suffrages exprimés représentant au moins 25 % des électeurs inscrits (et pas seulement des suffrages exprimés). Si aucun candidat n'est élu, un second tour a lieu et il est organisé comme suit : se présentent les candidats ayant obtenu un nombre de suffrages égal à au moins 12,5 % des électeurs inscrits s'il y a au moins deux de tels candidats sinon, si un seul candidat ou aucun candidat ne remplit cette condition, peuvent se présenter les deux candidats ayant obtenu le plus de voix au premier tour Au second tour, le candidat obtenant le plus de suffrages exprimés est élu, même s'il ne s'agit pas de la majorité absolue, ce qui signifie qu'un candidat peut-être élu avec moins de 12,5 % des votes des électeurs inscrits, surtout si l'absention est particulèrement élévée. En cas d'égalité, le candidat le plus âgé est élu. En même temps que chaque député, et sur le même bulletin de vote, un suppléant est élu dans le but de remplacer le député, si son mandat prend fin dans certaines circonstances. Historique Depuis l'instauration du suffrage universel (seulement masculin jusqu'en 1945) pour les élections législatives, celles-ci se sont déroulées selon différents modes de scrutin. Les règles fixant les conditions d'accès des candidats au second tour dans le cadre du scrutin uninominal majoritaire à deux tours ont évolué au fil du temps. À partir de 1958, il faut avoir recueilli au moins des suffrages exprimés. Cette disposition, qui avait été prise par ordonnance, est introduite en octobre 1964 dans le code électoral à l'article L162. La loi du 29 décembre 1966 modifie cet article en fixant le seuil d'accès au second tour à du nombre d'électeurs inscrits. Cette disposition est à nouveau modifiée par la loi du 19 juillet 1976 qui augmente le seuil à du nombre d'électeurs inscrits. Dates du scrutin Le mandat de l'Assemblée nationale est de cinq ans. La loi organique 2001-419 du fixe au du mois de juin la fin des pouvoirs de l'Assemblée nationale, cinq ans après son élection. Cette loi a allongé le mandat de la afin que les élections législatives aient lieu après l'élection présidentielle. Comme le mandat présidentiel a également été fixé à cinq ans en 2000, les élections législatives ont lieu tous les cinq ans quelques semaines après l'élection présidentielle. Ce changement de calendrier permet au président nouvellement élu ou réélu de disposer d'une majorité à l'Assemblée nationale et de diminuer les risques d'une cohabitation, le fait majoritaire. Néanmoins, plusieurs évènements peuvent modifier ce rapprochement électoral, notamment lors d'une démission ou d'un décès du Président de la République et également lors de la dissolution de l'Assemblée nationale. Les élections doivent se tenir dans les soixante jours qui précèdent l'expiration des pouvoirs de l'Assemblée sortante. La date exacte du scrutin est fixée par le gouvernement. Durant une législature, sauf durant sa dernière année, si un député démissionne ou que le scrutin est invalidé par le conseil constitutionnel, une élection législative partielle est organisée afin de remplacer le siège. Les circonscriptions Le dernier découpage législatif (le ) date de 2009. Il est voté en 2010 et appliqué depuis les élections législatives de 2012. Mais les circonscriptions sont constituées de cantons (plusieurs communes) et parfois d'une partie d'une commune. Le découpage des cantons a été modifié par des lois votées en 2013 pour les élections départementales de 2015 (président du conseil général). . De plus, certaines circonscriptions qui sont peu peuplées (DOM, COM, TAAF) ne permettent pas un découpage pour atteindre par circonscription ou député. Il y a en tout 577 circonscriptions réparties de la sorte : France métropolitaine : 539 ; Départements d'outre-mer : 19 ; Collectivités d'outre-mer : 8 ; Français établis hors de France : 11. Pour des raisons organisationnelles, ce sont d'abord les électeurs français de l'étranger qui votent, puis les électeurs des territoires d'outre-mer ou ultramarins et enfin les électeurs de la métropole. Électeurs Le scrutin législatif est ouvert à tous les électeurs des scrutins nationaux inscrits sur les listes électorales, c’est-à-dire à toute personne : âgée de 18 ans au moins à la date du premier tour n'étant pas déchue de ses droits civiques de nationalité française jouissant de ses droits civils et politiques inscrite sur une liste électorale. Candidats Pour se présenter, un candidat doit être électeur. Il n'est pas obligé de se présenter dans la circonscription où il est inscrit mais il est en revanche interdit de se présenter dans plusieurs circonscriptions (ce qui était autorisé sous la République jusqu'à une loi de 1889 à la suite du parcours de Georges Boulanger). L'inscription sur les listes électorales n'est pas une obligation, seule la qualité d'électeur l'est. Le cumul du mandat de député avec certains autres mandats est interdit. Ainsi, un député ne peut être : sénateur ; député européen. De manière générale, il est interdit d'exercer plus de deux mandats électifs simultanément (sauf un mandat municipal d'une commune de moins de 3500 habitants). En outre, le cumul de la fonction de député sera interdit à compter des élections de 2017 avec les fonctions de : maire, maire d'arrondissement, maire délégué ou adjoint au maire ; président ou vice-président d'un établissement public de coopération intercommunale ou d'un syndicat mixte ; président ou vice-président d'un conseil départemental, conseil régional ou d'une autre assemblée délibérante de collectivité territoriale ; président ou membre du conseil exécutif de Corse ou de Martinique ; président ou membre du bureau de l'Assemblée des Français de l'étranger et de vice-président de conseil consulaire. Enfin, un député ne peut pas être ministre : si un député est nommé au gouvernement, il est remplacé par son suppléant pendant la durée de ses fonctions gouvernementales. Financement des partis Une partie du financement public des partis politiques est déterminée par les résultats des élections législatives. Chaque parti ayant présenté des candidats ayant obtenu chacun au moins 1 % des suffrages exprimés dans au moins cinquante circonscriptions se voit attribuer une fraction de l'aide publique prévue, au prorata du nombre de suffrages de ses candidats. Des dispositions particulières sont applicables pour les partis des collectivités d'outre-mer. Ce financement est modulé par l'application de la parité (proportion d'hommes et de femmes présentés aux élections législatives), conformément à la loi n°88-227 du relative à la transparence financière de la vie politique modifiée par la loi n°2000-493 du . Une autre partie de l'aide publique est attribuée aux partis proportionnellement au nombre de députés et sénateurs qui y sont inscrits ou rattachés. Lors de la législature 2007-2012, chaque suffrage rapportait environ 1,70 euro par an et chaque parlementaire environ par an. Majorité parlementaire Sous la République, toutes les élections législatives ont eu lieu selon le mode de scrutin uninominal majoritaire à deux tours, sauf celle de 1986 qui eut lieu à la proportionnelle au scrutin de liste. Neuf ont résulté de la fin d'une législature, les cinq autres d'une dissolution de l'Assemblée nationale par décret du président de la République. Conséquences sur la direction du pays La Constitution voulue par le général de Gaulle visait à renforcer les prérogatives du chef de l'État et du gouvernement au détriment du Parlement. Au cours de la République, la hiérarchisation au profit du président élu au suffrage universel et non en faveur du chef du gouvernement responsable devant le Parlement, a montré qu'il n'existait pas toujours de réelle prééminence, en particulier lors des périodes de cohabitation. Le « phénomène majoritaire » de l'Assemblée nationale est une des clefs de voûte du système institutionnel. En 1958, Michel Debré l'évoquait en s'exclamant : . Paradoxalement, malgré la volonté initiale de supprimer le « régime des partis », la République a renforcé, législature après législature, un système partisan fondé sur les grands groupes parlementaires. Ainsi, et même si la décision appartient au seul chef de l'État, tous les premiers ministres sont nommés en fonction de la majorité qui se dégage à l'Assemblée nationale à l'issue des élections législatives, rappelant, sans pour autant que ce mécanisme soit formalisé par la Constitution, les régimes parlementaires étrangers qui portent systématiquement à la tête du gouvernement le chef de la coalition victorieuse aux élections. Notes et références Voir aussi Articles connexes Liste des élections législatives françaises (Cinquième République), Liste des législatures françaises Assemblée nationale (France) Composition de l'Assemblée nationale française par législature Démission des ministres battus aux élections législatives Liens externes Le site du ministère de l'Intérieur : candidatures et résultats des élections législatives 2017 Le site du gouvernement Les professions de foi et bulletins de vote des élections législatives de la Ve république conservés au Centre de recherches politiques de Sciences Po (CEVIPOF) ont été numérisés en partenariat avec la bibliothèque de Sciences Po et sont disponibles en ligne.


source: wikipedia

text: La géométrie est à l'origine la branche des mathématiques étudiant les figures du plan et de l'espace (géométrie euclidienne). Depuis la fin du , la géométrie étudie également les figures appartenant à d'autres types d'espaces (géométrie projective, géométrie non euclidienne ). Depuis le début du , certaines méthodes d'étude de figures de ces espaces se sont transformées en branches autonomes des mathématiques : topologie, géométrie différentielle et géométrie algébrique. Si l'on veut englober toutes ces acceptions, il est difficile de définir ce qu'est, aujourd'hui, la géométrie. C'est que l'unité des diverses branches de la « géométrie contemporaine » réside plus dans des origines historiques que dans une communauté de méthodes ou d'objets. Étymologie Le terme géométrie dérive du grec , « géomètre, arpenteur », qui vient de , « terre », et , « mesure ». Ce serait donc « la science de la mesure du terrain ». Typologie Au , Felix Klein réalise un important travail de synthèse qui participe à la classification des différents types de géométrie : le programme d'Erlangen (1872). Dans son approche, la géométrie est l'étude des espaces de points sur lesquels opèrent des groupes de transformations et des invariants associés. Suivant cette classification, le plan et la sphère (tous deux des espaces homogènes et isotropes de dimension 2) diffèrent par leurs groupes de symétrie (le groupe euclidien pour l'un, le groupe des rotations pour l'autre). Ce travail mène à distinguer cinq branches à la géométrie : la géométrie affine, projective, métrique, euclidienne et non euclidienne (regroupée avec la géométrie métrique parabolique). Ces disciplines apparues avant le constituent la géométrie classique. Au , la géométrie s'enrichit de nouvelles disciplines grâce aux liens faits avec l'algèbre (géométrie algébrique, topologie). Les travaux d'Élie Cartan et de Sophus Lie mènent de leur côté à la géométrie différentielle. Enfin, Alain Connes introduit la géométrie non commutative, qui trouve des applications en physique quantique. Au , la géométrie se divise ainsi principalement en six sous-domaines : la géométrie euclidienne, la géométrie analytique, la géométrie projective, la géométrie différentielle, les géométries non euclidiennes et la topologie. Géométrie classique Henri Poincaré définit un espace géométrique par la liste des propriétés suivantes : Géométrie affine La géométrie affine est l'étude des points et des droites, sans notions de distance et d'angle. Géométrie projective La géométrie projective ajoute aux espaces de la géométrie affine des points à l'infini. La géométrie projective est la plus minimaliste, ce qui en fait un tronc commun pour les autres géométries. Elle est fondée sur des axiomes : D'incidence (ou d'appartenance) dont la caractéristique la plus notable est : « Deux droites distinctes coplanaires possèdent un unique point commun » ; D'ordre : permet notamment d'ordonner les points d'une droite. De ce point de vue, une droite projective s'apparente à un cercle car deux points définissent deux segments ; De continuité : dans tout espace géométrique, on peut joindre un point à un autre par un cheminement continu. Il est l'axiome d'Archimède en géométrie euclidienne. Distinguer dans la géométrie projective des éléments impropres caractérise la géométrie arguésienne. Puis la géométrie affine naît de l'élimination de ces éléments impropres. Cette suppression de points crée la notion de parallélisme puisque désormais certaines paires de droites coplanaires cessent d'intersecter. Le point impropre supprimé est assimilable à la direction de ces droites. De plus, deux points ne définissent plus qu'un segment (celui des deux qui ne contient pas le point impropre) et rend familière la notion de sens ou orientation (c'est-à-dire, cela permet de distinguer de ). Géométrie euclidienne La géométrie euclidienne est l'étude de l'espace usuel avec les notions de distance et d'angle. Le cinquième axiome ou « postulat de parallèles » de la géométrie d'Euclide fonde la géométrie euclidienne : Voir l'axiomatique de Hilbert ou les Éléments d'Euclide pour des énoncés plus complet de la géométrie euclidienne. Géométrie non-euclidienne La géométrie non euclidienne est une variante de la géométrie euclidienne et n'en diffère que par la modification de l'énoncé du cinquième postulat d'Euclide. Cette géométrie est contraire à l'intuition usuelle. Elle comprend la géométrie hyperbolique, la géométrie elliptique et la géométrie sphérique. La réfutation du postulat de parallèles de la géométrie d'Euclide a conduit à l'élaboration de deux géométries non euclidiennes : la géométrie hyperbolique par Gauss, Lobatchevski, Bolyai et la géométrie elliptique par Riemann. Généralisation Les géométries ci-dessus peuvent être généralisées en faisant varier la dimension des espaces, en changeant le corps des scalaires (utiliser des droites différentes de la droite réelle) ou en donnant une courbure à l'espace. Ces géométries sont encore dites classiques. Par ailleurs, la géométrie classique peut être axiomatisée ou étudiée de différentes façons : la géométrie d'incidence et la géométrie synthétique (ou géométrie pure), qui utilisent une approche axiomatique ayant généralement comme données premières les points, les droites, les plans, ainsi que les relations qui les gouvernent et les grandeurs qui leur sont associées ; la géométrie analytique, qui utilise les coordonnées et qui associe à chaque point des triplets (ou une suite de longueur donnée) d'éléments d'un corps ; l'algèbre linéaire, qui généralise la géométrie analytique en remplaçant l'utilisation des coordonnées par celle des espaces vectoriels abstraits ; la géométrie des groupes, qui étudie les actions de groupe et leurs invariants. C'est là le programme d'Erlangen de Felix Klein. On s'intéresse particulièrement aux groupes (abstraits, algébriques ou de Lie) classiques, c'est-à-dire aux groupes liés aux groupes linéaires, orthogonaux, unitaires ou symplectiques, et a leurs espaces homogènes classiques (espaces symétriques, variétés de drapeaux, par exemple). La théorie des invariants est intimement liée à cet aspect de la géométrie : elle permet d'associer à des configurations des quantités (birapports, distances, angles) qui permettent de classer les orbites. On peut aussi étendre cette approche à la géométrie des groupes exceptionnels (algébriques ou de Lie) ; la théorie des immeubles de Tits, qui est liée à la géométrie des groupes classiques et exceptionnels (algébriques ou non), et qui étudie des structures combinatoires liés aux diagrammes de Coxeter. Par exemple, l'ensemble de toutes les chaînes de sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel de dimension finie sur un corps est un immeuble, et l'ensemble de toutes les chaînes de sous-espaces projectifs d'un espace projectif P de dimension finie sur corps commutatif qui sont inclus dans une même quadrique projective de P est un immeuble. Il est remarquable que l'algèbre linéaire (espaces vectoriels, formes quadratiques, formes bilinéaires alternées, formes hermitiennes et antihermitiennes) permette de construire des modèles explicites de la plupart des structures rencontrées dans ces géométries. Cela confère donc à la géométrie classique une certaine unité. Groupes en géométrie classique Il y a en géométrie différentielle et en géométrie algébrique des groupes de Lie et des groupes algébriques, qui eux ont des espaces homogènes, et la géométrie classique se ramène souvent à l'étude de ces espaces homogènes. Les géométries affine et projective sont liées aux groupes linéaires, et les géométries euclidienne, sphérique, elliptique et hyperbolique sont liées aux groupes orthogonaux. Lorsqu'il y a des classifications explicites des groupes de Lie ou algébriques ou de leurs espaces homogènes vérifiant certaines hypothèses (groupes de Lie ou algébriques simples, espaces symétriques, variétés de drapeaux généralisées, espaces de courbure constante, par exemple), les principaux éléments de ces classifications sont parfois issus de la géométrie classique, et les groupes auxquels sont associés ces géométries classiques sont liés aux groupes dits classiques (groupes linéaires, orthogonaux, symplectiques, par exemple). La plupart des géométries classiques sont liées aux groupes de Lie ou algébriques simples, dit classiques (ils sont issus de l'algèbre linéaire). Il y a d'autres groupes de Lie ou algébriques simples, et ils sont dits « exceptionnels » et ils donnent lieu à la géométrie exceptionnelle, avec certaines analogies avec la géométrie classique. Cette distinction est due au fait que les groupes simples sont (sous certaines hypothèses) classés en plusieurs séries infinies (souvent quatre) et en un nombre fini d'autres groupes (souvent cinq), et ce sont ces derniers groupes qui sont exceptionnels, et ils ne relèvent pas de l'algèbre linéaire (du moins pas de la même manière) : ils sont souvent liés à des structures algébriques non associatives (algèbres d'octonions, algèbres de Jordan exceptionnelles, par exemple). Aux groupes de Lie ou algébriques simples sont associés des diagrammes de Dynkin (des sortes de graphes), et certaines propriétés de ces géométries peuvent se lire dans ces diagrammes. Géométries des s Topologie Géométrie algébrique La géométrie algébrique utilise l'algèbre abstraite et la topologie. Elle étudie des espaces qui, localement, sont des ensembles de points définis par des équations algébriques, tels les sous-espaces affines, les coniques et les quadriques. Géométrie différentielle La géométrie différentielle utilise l'analyse, la topologie et l'algèbre linéaire. Elle étudie des espaces qui, localement, sont des espaces euclidiens, et sur lesquels on peut faire du calcul différentiel et du calcul intégral. La géométrie différentielle englobe la géométrie riemannienne et la géométrie symplectique. Géométrie non commutative Autres géométries Géométrie riemannienne La géométrie riemannienne peut être vue comme une extension de la géométrie euclidienne. Son étude porte sur les propriétés géométriques d'espaces (variétés) présentant une notion de vecteurs tangents, et équipés d'une métrique (métrique riemannienne) permettant de mesurer ces vecteurs. Les premiers exemples rencontrés sont les surfaces de l'espace euclidien de dont les propriétés métriques ont été étudiées par Gauss dans les années 1820. Le produit euclidien induit une métrique sur la surface étudiée par restriction aux différents plans tangents. La définition intrinsèque de métrique fut formalisée en dimension supérieure par Riemann. La notion de transport parallèle autorise la comparaison des espaces tangents en deux points distincts de la variété : elle vise à transporter de manière cohérente un vecteur le long d'une courbe tracée sur la variété riemannienne. La courbure d'une variété riemannienne mesure par définition la dépendance éventuelle du transport parallèle d'un point à un autre par rapport à la courbe les reliant. La métrique donne lieu à la définition de la longueur des courbes, d'où dérive la définition de la distance riemannienne. Mais les propriétés métriques des triangles peuvent différer de la trigonométrie euclidienne. Cette différence est en partie étudiée à travers le théorème de Toponogov, qui permet de comparer du moins localement la variété riemannienne étudiée à des espaces modèles, selon des inégalités supposées connues sur la courbure sectionnelle. Parmi les espaces modèles : l'espace euclidien est une variété riemannienne de courbure nulle ; la sphère de dimension n est une variété riemannienne de courbure positive constante 1 ; l' de dimension n est une variété riemannienne de courbure négative -1. Géométrie complexe La géométrie complexe porte sur les propriétés d'espaces pouvant localement s'identifier à . Ces objets (variété complexe) présentent une certaine rigidité, découlant de l'unicité d'un prolongement analytique d'une fonction à plusieurs variables. Géométries symplectique et de contact La géométrie symplectique est une branche de la géométrie différentielle et peut être introduite comme une généralisation en dimension supérieure de la notion d'aire orientées rencontrée en dimension 2. Elle est liée aux formes bilinéaires alternées. Les objets de cette géométrie sont les variétés symplectiques, qui sont des variétés différentielles munie d'un champ de formes bilinéaires alternées. Par exemple, un espace affine attaché à un espace vectoriel muni d'une forme bilinéaire alternée non dégénérée est une variété symplectique. La géométrie de contact est une branche de la géométrie différentielle qui étudie les variétés de contact, qui sont des variétés différentielles munies d'un champ d'hyperplans des espaces tangents vérifiant certaines propriétés. Par exemple, l'espace projectif déduit un espace vectoriel muni d'une forme bilinéaire alternée non dégénérée est une variété de contact. Géométries discrète et convexe Géométries arithmétique Utilisation du terme La géométrie admet de nombreuses acceptions selon les auteurs. Dans un sens strict, la géométrie est « l'étude des formes et des grandeurs de figures ». Cette définition est conforme à l'émergence de la géométrie en tant que science sous la civilisation grecque durant l'époque classique. Selon un rapport de Jean-Pierre Kahane, cette définition coïncide avec l'idée que se font les gens de la géométrie comme matière enseignée : c'est « le lieu où on apprend à appréhender l'espace ». En 1739, Leonhard Euler étudie le problème des sept ponts de Königsberg ; ses travaux sont considérés comme l'un des premiers résultats de géométrie ne dépendant d'aucune mesure, des résultats qu'on qualifiera de topologiques. Les questions posées durant le ont conduit à repenser les notions de forme et d'espace, en écartant la rigidité des distances euclidiennes. Il a été envisagé la possibilité de déformer continûment une surface sans préserver la métrique induite, par exemple de déformer une sphère en un ellipsoïde. : ses objets d'étude sont des ensembles, les espaces topologiques, dont la notion de proximité et de continuité est définie ensemblistement par la notion de voisinage. Selon certains mathématiciens, la topologie fait pleinement partie de la géométrie, voire en est une branche fondamentale. Cette classification peut être remise en cause par d'autres. Selon le point de vue de Felix Klein (1849-1925), la géométrie analytique « synthétisait en fait deux caractères ultérieurement dissociés : son caractère fondamentalement métrique, et l'homogénéité ». Le premier caractère se retrouve dans la géométrie métrique, qui étudie les propriétés géométriques des distances. Le second est au fondement du programme d'Erlangen, qui définit la géométrie comme l'étude des invariants d'actions de groupe. Les travaux actuels, dans des domaines de recherche portant le nom de géométrie, tendent à remettre en cause la première définition donnée. Selon Jean-Jacques Szczeciniarcz, la géométrie ne se construit pas sur « la simple référence à l'espace, ni même [sur] la figuration ou [sur] la visualisation » mais se comprend à travers son développement : « la géométrie est absorbée mais en même temps nous parait attribuer un sens aux concepts en donnant par ailleurs l'impression d'un retour au sens initial ». Jean-Jacques Sczeciniarcz relève deux mouvements dans la recherche mathématique qui a conduit à un élargissement ou à un morcellement de la géométrie : la procédure d'idéalisation consistant à montrer l'importance d'une structure en l'ajoutant aux objets mathématiques déjà étudiés ; au contraire, la procédure de thématisation consistant à dégager une nouvelle structure sous-jacente à des objets géométriques déjà étudiés. Dans le prolongement, la géométrie peut être abordée non plus comme une discipline unifiée mais comme une vision des mathématiques ou une approche des objets. Selon Gerhard Heinzmann, la géométrie se caractérise par « un usage de termes et de contenus géométriques, comme « points », « distance » ou « dimension » en tant que cadre langagier dans les domaines les plus divers », accompagné par un équilibre entre une approche empirique et une approche théorique. Histoire L'invention de la géométrie remonte à l'Égypte antique. Applications Longtemps, géométrie et astronomie ont été liées. À un niveau élémentaire, le calcul des tailles de la lune, du Soleil et de leurs distances respectives à la Terre fait appel au théorème de Thalès. Dans les premiers modèles du système solaire, à chaque planète était associé un solide platonicien. Depuis les observations astronomiques de Kepler, confirmées par les travaux de Newton, il est prouvé que les planètes suivent une orbite elliptique dont le Soleil constitue un des foyers. De telles considérations de nature géométrique peuvent intervenir couramment en mécanique classique pour décrire qualitativement les trajectoires. En ce sens, la géométrie intervient en ingénierie dans l'étude de la stabilité d'un système mécanique. Mais elle intervient encore plus naturellement dans le dessin industriel. Le dessin industriel montre les coupes ou les projections d'un objet tridimensionnel, et est annoté des longueurs et angles. C'est la première étape de la mise en place d'un projet de conception industrielle. Récemment, le mariage de la géométrie avec l'informatique a permis l'arrivée de la conception assistée par ordinateur (CAO), des calculs par éléments finis et de l'infographie. La trigonométrie euclidienne intervient en optique pour traiter par exemple de la diffraction de la lumière. Elle est également à l'origine du développement de la navigation : navigation maritime aux étoiles (avec les sextants), cartographie, navigation aérienne (pilotage aux instruments à partir des signaux des balises). Les nouvelles avancées en géométrie au trouvent des échos en physique. Il est souvent dit que la géométrie riemannienne a été initialement motivée par les interrogations de Gauss sur la cartographie de la Terre. Elle rend compte en particulier de la géométrie des surfaces dans l'espace. Une de ses extensions, la géométrie lorentzienne, a fourni le formalisme idéal pour formuler les lois de la relativité générale. La géométrie différentielle trouve de nouvelles applications dans la physique post-newtonienne avec la théorie des cordes ou des membranes. La géométrie non commutative, inventée par Alain Connes, tend à s'imposer pour présenter les bonnes structures mathématiques avec lesquelles travailler pour mettre en place de nouvelles théories physiques. Enseignement La géométrie occupe une place privilégiée dans l'enseignement des mathématiques. : elle permet aux élèves de développer une réflexion sur des problèmes, de visualiser des figures du plan et de l'espace, de rédiger des démonstrations, de déduire des résultats d'hypothèses énoncées. Mais plus encore, « le raisonnement géométrique est beaucoup plus riche que la simple déduction formelle », car il s'appuie sur l'intuition née de l'« observation des figures ». Dans les années 1960, l'enseignement des mathématiques en France insistait sur la mise en pratique des problèmes relevant de la géométrie dans la vie courante. En particulier, le théorème de Pythagore était illustré par la règle du 3, 4, 5 et son utilisation en charpenterie. Les involutions, les divisions harmoniques, et les birapports étaient au programme du secondaire. Mais la réforme des mathématiques modernes, née aux États-Unis et adaptée en Europe, a conduit à réduire considérablement les connaissances enseignées en géométrie pour introduire de l'algèbre linéaire dans le second degré. Dans de nombreux pays, . Un rapport de Jean-Pierre Kahane dénonce le manque d'« une véritable réflexion didactique préalable » sur l'apport de la géométrie : en particulier, une « pratique de la géométrie vectorielle » prépare l'élève à une meilleure assimilation des notions formelles d'espace vectoriel, de forme bilinéaire... . Notes et références Notes Références Voir aussi Bibliographie . Nikolai I. Lobachevsky, Pangeometry, traduction et édition: A. Papadopoulos, , Vol. 4, European Mathematical Society, 2010. Liens connexes (376) Geometria, astéroïde Liens externes Advances in Geometry Éponyme d'un objet céleste


text: Un groupe est un ensemble d'individus ou d'objets possédant des caractéristiques communes ou rassemblés dans le même objectif. Selon les domaines, il peut faire référence à : Armée Groupe, à l'armée : corps de troupe Arts Groupe en peinture, en sculpture : ensemble de plusieurs personnages représentés comme un tout Groupe, en musique Économie Un groupe est une relation plus ou moins étroite entre différentes entreprises : soit une relation essentiellement financière, groupe d'entreprises ; soit une relation motivée par un intérêt commun : le GIE (groupement d'intérêt économique) ou le groupement d'achat. Sciences exactes Groupe, en mathématiques : structure algébrique abstraite Groupe, en chimie : éléments chimiques d'une même colonne du tableau périodique Groupe, en chimie organique : partie de molécule pouvant lui conférer une fonction Groupe, en informatique, pointe une collection d'utilisateurs ou d'autres objets Groupe (Unix) Sciences humaines En sociologie, en psychologie sociale : groupe, ensemble de personnes réunies en raison d'une certaine relation Dynamique de groupe : ensemble des phénomènes psycho-sociologiques qui émergent et se développent dans les petits groupes sociaux Pensée de groupe : processus selon lequel les individus d'un groupe ont tendance à rechercher le consensus plutôt qu'à appréhender de manière réaliste la situation Groupe de travail est un regroupement dont l'objet est la réalisation d'un travail en médecine, un groupe à risque commence à partir de trois personnes prédisposées à une pathologie ou dont le comportement inclut des conduites à risque En linguistique : groupe, unité syntaxique contingente plus ou moins complexe équivalant à « syntagme » Sciences naturelles En botanique : un Groupe (avec un majuscule, ou groupe de cultivars), est un rang de la classification horticole, regroupant des plantes cultivées, dans le cadre du Code international pour la nomenclature des plantes cultivées En géologie : groupe en stratigraphie, unité stratigraphique faisant partie d'une strate géologique. Sport Groupe, dans le cadre d'une compétition intégrant une phase de poules : les équipes se rencontrent d'abord au sein d'un groupe, généralement désigné par une lettre. Technologie Groupe : ensemble des éléments d'un vélo qui permettent la transmission de la puissance de pédalage aux roues, composé notamment des dérailleurs, des pignons, de la chaine, des commandes des vitesses, etc. Groupe, dans le règlement de la Fédération internationale de l'automobile1 (FIA) Groupe A : catégorie relative aux voitures de tourisme modifiées, Groupe B : catégorie relative aux voitures de grand tourisme modifiées produites à 200 exemplaires (créée en 1982) Groupe N : catégorie relative aux voitures de production Voir aussi Groupe 47 : association d'écrivains de langue allemande créé en 1947 et dissous en 1967 Groupe de recherches musicales : centre de recherche musicale créé par Pierre Schaeffer en 1958 Groupe du musée de l'Homme : mouvement de la Résistance française à l'occupation nazie, lors de la Seconde Guerre mondiale 1939-1944 Groupe L'Avenir : groupe de presse de la République démocratique du Congo Groupe parlementaire : association de députés ou de sénateurs en fonction de leurs choix politiques Groupe μ : Centre d'Études poétiques de l'Université de Liège (Belgique) créé en 1967


text: La géométrie non commutative, développée par Alain Connes, est une branche des mathématiques, et plus précisément un type de géométrie algébrique distincte de la géométrie algébrique telle qu'on l'entend habituellement (celle développée par Alexandre Grothendieck), car s'intéressant à des objets définis à partir de structures algébriques non commutatives. L'idée principale est qu'un espace au sens de la géométrie usuelle peut être décrit par l'ensemble des fonctions numériques définies sur cet espace. Cet ensemble de fonctions forme une algèbre associative sur un corps, qui est aussi commutative : le produit de deux fonctions ne dépend pas du choix d'un ordre. On peut alors songer à voir les algèbres associatives non commutatives comme des « algèbres de fonctions » sur des « espaces non commutatifs », comme le tore non commutatif. Motivations L'approche moderne de nombreuses questions géométriques est de s'intéresser à des fonctions définies sur l'espace qu'on veut étudier. Par exemple, l'étude de la géométrie des variétés riemanniennes passe par celle des fonctions méromorphes définies sur la variété, avec comme outil central le théorème de Riemann-Roch et ses généralisations ; la géométrie algébrique, dans sa version refondue par Grothendieck, est tout entière consacrée à l'étude de fonctions généralisées (les schémas). Ces ensembles de fonctions forment, pour l'addition et la multiplication, des anneaux commutatifs, qui caractérisent dans de nombreux cas l'espace correspondant ; on peut dire ainsi que ces espaces ont, en un certain sens, une topologie commutative. Le « rêve » d'une géométrie non commutative est d'associer de même à des anneaux non commutatifs des « espaces » qu'on pourrait interpréter comme le support des éléments de l'anneau, considérés comme des « fonctions ». Les généralisations correspondantes, hautement non triviales, sont appelées des espaces non commutatifs, munis de topologies non commutatives. Motivations venant de la théorie ergodique D'un point de vue technique, une partie de la théorie développée par Alain Connes prend ses racines dans des approches plus anciennes, venant en particulier de la théorie ergodique. Vers 1970, George Mackey avait ainsi créé une théorie des sous-groupes virtuels, qui seraient des espaces homogènes (en un sens étendu) pour les actions de groupe ergodiques ; cette théorie est désormais interprétée comme un cas particulier de géométrie non commutative. Applications en physique En 1997, Alain Connes découvrit des applications de la géométrie non commutative à la théorie M, ce qui amena des physiciens à s'y intéresser ; des applications variées et inattendues en résultèrent, en particulier en théorie quantique des champs. C*-algèbres non commutatives et algèbres de von Neumann La associe à une C*-algèbre commutative (par dualité) un espace séparé localement compact ; même dans le cas non commutatif, on peut associer à une C*-algèbre S un espace topologique Ŝ appelé son spectre ; on dit souvent alors que Ŝ est un espace non commutatif. Il y a également une dualité entre les espaces mesurés σ-finis et les algèbres de Von Neumann commutatives, on associe de même aux algèbres de Von Neumann non commutatives des objets appelés pour cette raison espaces mesurés non-commutatifs. Variétés riemanniennes non commutatives Une variété riemannienne M est un espace topologique muni de structures additionnelles ; l'algèbre C(M) des fonctions continues sur M ne permet de reconstituer que la topologie. Un invariant algébrique permettant de reconstituer la structure riemannienne a été introduit par Alain Connes sous le nom de , en s'inspirant du théorème de l'indice d'Atiyah-Singer. Il est construit à partir d'un fibré vectoriel lisse E au-dessus de M, le fibré de l'algèbre extérieure. L'espace de Hilbert L2(M, E) des sections de E de carré intégrable représente C(M) (par les opérateurs de multiplication) ; on peut définir un opérateur non borné D sur L2(M, E) d'ensemble résolvant compact tel que les commutateurs [D, f] sont bornés quand f est différentiable. En 2008, Alain Connes a démontré que M, en tant que variété riemannienne, est caractérisée par ce triplet. Cela conduit à définir une variété riemannienne non commutative comme un triplet (A, H, D) formé d'une représentation d'une C*-algèbre A (non commutative) sur un espace de Hilbert H, et d'un opérateur non borné D sur H, d'ensemble résolvant compact, tel que [D, a] est borné pour tous les a d'une certaine sous-algèbre dense de A. La recherche à ce sujet est très active, et de nombreux exemples de variétés riemanniennes non commutatives ont été construits. Schémas non commutatifs affines et projectifs La dualité entre schémas affines et anneaux commutatifs conduit à définir par analogie une catégorie des schémas affines non commutatifs comme le dual de la catégorie des anneaux unitaires. Dans ce contexte, certaines généralisations de la topologie de Zariski permettent d'associer ces schémas affines à des objets plus généraux. La sur un anneau commutatif gradué peut aussi être étendue au cas non commutatif, en suivant les lignes d'un théorème de Serre sur la catégorie des faisceaux cohérents. Cette extension est prise comme définition de la géométrie projective non commutative par Michael Artin et J. J. Zhang. Invariants d'espaces non commutatifs Une des questions motivant la théorie est la possibilité d'étendre des invariants topologiques classiques, comme l'homologie, au cas non commutatif, et plus précisément à les définir par dualité à partir d'algèbres d'opérateurs non commutatives. L'un des points de départ d'Alain Connes dans cette direction est sa découverte d'une nouvelle théorie cohomologique, la cohomologie cyclique, ainsi que sa relation avec la K-théorie algébrique (par l'intermédiaire des caractères de Connes–Chern). La théorie des classes caractéristiques des variétés différentiables peut s'étendre aux triplets spectraux à l'aide des outils de la cohomologie cyclique ; ainsi, la classe caractéristique fondamentale dans cette extension, le , généralise le caractère de Chern. Plusieurs généralisations du théorème de l'indice permettent l'extraction effective d'invariants numériques à partir des triplets. Exemples d'espaces non commutatifs Le tore non commutatif est une de l'algèbre des fonctions sur le tore ordinaire, qui peut être interprété comme un triplet spectral. Cet exemple a été étudié intensivement, et sert souvent de modèle pour des situations plus complexes. Partant de la formalisation de la mécanique quantique en termes d'espace des phases, cet espace symplectique peut être , obtenant un espace de phase non commutatif engendré par les opérateurs de position et d'impulsion. Notes et références Voir aussi Articles connexes Groupe quantique Algèbre de Banach C*-algèbre Espace de Hilbert Théorie des supercordes Conjecture de Baum-Connes Tore non commutatif Bibliographie Liens externes Alain Connes, Non-commutative geometry (livre gratuit à télécharger) Conférence d'Alain Connes Alain Connes - Géométrie non commutative An informal introduction to the ideas and concepts of noncommutative geometry par T. Masson du Laboratoire de Physique Théorique (UMR 8627) à Orsay.