text: Le (GPS) (en français : « Système mondial de positionnement » [littéralement] ou « Géo-positionnement par satellite »), originellement connu sous le nom de Navstar GPS, est un système de positionnement par satellites appartenant au gouvernement fédéral des États-Unis. Mis en place par le département de la Défense des États-Unis à des fins militaires à partir de 1973, le système avec vingt-quatre satellites est totalement opérationnel en 1995. Les signaux transmis par les satellites peuvent être librement reçus et exploités par quiconque. L'utilisateur, qu'il soit sur terre, sur mer ou dans les airs, peut connaître sa position à toute heure et en tout lieu sur la surface ou au voisinage de la surface de la Terre avec une précision sans précédent, dès lors qu'il est équipé d'un récepteur GPS et du logiciel nécessaire au traitement des informations reçues. Le principe de fonctionnement repose sur la trilatération de signaux électromagnétiques synchronisés émis par les satellites. Pour assurer la précision du positionnement, le système GPS utilise des technologies sophistiquées : horloges atomiques embarquées, compensation d'effets relativistes, mise en place de stations d'observation et de synchronisation. Les coordonnées terrestres calculées se réfèrent au système géodésique . Commercialement, le GPS connaît un grand succès et engendre de nombreux développements dans une multitude de domaines : navigations maritime, terrestre et aérienne, localisation de flottilles commerciales (bateaux, avions, camions), suivi et traçage de parcours, évaluation de la pertinence d'itinéraire. L'intégration de « puces GPS » dans les smartphones multiplie les usages domestiques ou individuels. Dans le milieu scientifique, la précision de la localisation et de la synchronisation permettent de développer et d'exploiter de nouvelles applications : géodésie, synchronisation entre horloges atomiques, étude de l'atmosphère L'Europe, la Chine, la Russie et l'Inde, conscients de l'intérêt stratégique d'un tel système de positionnement par satellites, développent depuis quelques années des systèmes concurrents. Présentation Le GPS comprend au moins vingt-quatre satellites circulant à d'altitude. Ils se répartissent sur six orbites distinctes à raison de quatre satellites par orbite. Ces satellites émettent en permanence sur deux () et L2 () modulées en phase (BPSK) par un ou plusieurs codes pseudo-aléatoires, datés précisément grâce à leur horloge atomique, et par un message de navigation. Ce message, transmis à , inclut en particulier les éphémérides permettant le calcul de la position des satellites, ainsi que des informations sur leur horloge interne. Les codes sont un (acronyme de « », en français : « acquisition brute ») de débit et de période , et un (pour « précis ») de débit et de période . Le premier est librement accessible, le second est réservé aux utilisateurs autorisés car il est le plus souvent chiffré : on parle alors de . Les récepteurs commercialisés dans le domaine civil utilisent le . Quelques récepteurs pour des applications de haute précision, comme la géodésie, mettent en œuvre des techniques permettant d'utiliser le malgré son chiffrage en . Ainsi, un récepteur GPS qui capte les signaux d'au moins quatre satellites équipés de plusieurs horloges atomiques peut, en calculant les temps de propagation de ces signaux entre les satellites et lui, connaître sa distance par rapport à ceux-ci et, par trilatération, situer précisément en trois dimensions n'importe quel point placé en visibilité des satellites GPS, avec une précision de pour le système standard. Le GPS est ainsi utilisé pour localiser des véhicules roulants, des navires, des avions, des missiles et même des satellites évoluant en orbite basse. Concernant la précision, il est courant d'avoir une position horizontale à près. Le GPS étant un système développé pour les militaires américains, une disponibilité sélective a été prévue : certaines informations, en particulier celles concernant l'horloge des satellites, peuvent être volontairement dégradées et priver les récepteurs qui ne disposent pas des codes correspondants de la précision maximale. Ainsi, pendant quelques années, les civils n'ont eu accès qu'à une faible précision (environ ). Le , le président Bill Clinton a annoncé qu'il mettait fin à cette dégradation volontaire du service. Certains systèmes GPS conçus pour des usages très particuliers peuvent fournir une localisation à quelques millimètres près. Le GPS différentiel (DGPS) corrige ainsi la position obtenue par GPS conventionnel par les données envoyées par une station terrestre de référence localisée très précisément. D'autres systèmes autonomes, affinant leur localisation au cours de huit heures d'exposition parviennent à des résultats équivalents. Dans certains cas, seuls trois satellites peuvent suffire. La localisation en altitude (axe des Z) n'est pas d'emblée correcte alors que la longitude et la latitude (axe des X et des Y) sont encore bonnes. On peut donc se contenter de trois satellites lorsque l'on évolue au-dessus d'une surface « plane » (océan, mer). Ce type d'exception est surtout utile au positionnement d'engins volants (tels les avions) qui ne peuvent pas se reposer sur le seul GPS, trop imprécis pour leur donner leur altitude. Mais il existe néanmoins un modèle de géoïde mondial nommé « Earth Gravity Model 1996 » ou EGM96 associé au qui permet, à partir des coordonnées , de déterminer des altitudes rapportées au niveau moyen des mers avec une précision d'environ . Des récepteurs GPS évolués incluent ce modèle pour fournir des altitudes plus conformes à la réalité. Histoire À l'origine, le GPS était un projet de recherche des Forces armées des États-Unis. Il a été lancé à la fin des années 1960 à la demande du président Richard Nixon. La réalisation a été confiée à qui a conçu le principe d'un groupe de satellites gravitant en orbite et émettant des ondes radio UHF captées par des récepteurs GPS. Il est basé sur des programmes précédents dont SECOR, une série de satellites utilisés pour effectuer des mesures géodésiques. Le premier satellite est lancé en 1978. En 1995, le déploiement des opérationnels (plus 4 en réserve) est achevé. Le système devient alors fonctionnel. En 1983, le président Ronald Reagan, à la suite de la mort des du vol Korean Air Lines 007, propose que la technologie GPS soit disponible gratuitement aux civils, une fois opérationnelle. Une seconde série de satellites est lancée à partir de 1989 en vue de constituer une flotte suffisante. En 1995, le nombre de satellites disponibles permet de rendre le GPS opérationnel en permanence sur l'ensemble de la planète, avec une précision limitée à une centaine de mètres pour un usage civil. En 2000, le président Bill Clinton confirme l'intérêt de la technologie à des fins civiles et autorise une diffusion non restreinte des signaux GPS, permettant une précision d'une dizaine de mètres et une démocratisation de la technologie au grand public à partir du milieu des . Les États-Unis continuent de développer leur système par le remplacement et l'ajout de satellites ainsi que par la mise à disposition de signaux GPS complémentaires, plus précis et demandant moins de puissance aux appareils de réception. Un accord d'interopérabilité a également été confirmé entre les systèmes GPS et Galileo afin que les deux systèmes puissent utiliser les mêmes fréquences et assurer une compatibilité entre eux. Deux autres systèmes ont été mis au point par la Russie, le GLONASS à partir de 1980, et par la Chine, le Beidou initié en 2000. Composition Le GPS se compose de trois groupes d'éléments (appelés segments) : des satellites en orbite autour de la Terre (segment spatial) ; des stations de contrôle au sol (segment contrôle) ; et les récepteurs GPS des utilisateurs (segment utilisateur). Segment spatial Le segment spatial est constitué d'une constellation de en fonctionnement, mais le nombre de satellites en service à une date précise peut varier (cf. tableau) selon les opérations décidées par le segment de contrôle. La constellation est organisée autour de principaux qui assurent la disponibilité mondiale du GPS, ce qui suppose d'avoir au moins quatre satellites visibles du sol partout dans le monde. Il y a toujours plus de satellites en orbite afin de maintenir ces complets même en cas de panne. Depuis 2011, la configuration de la constellation principale est augmentée à afin de fournir une meilleure couverture mondiale. Les satellites évoluent sur six plans orbitaux ayant une inclinaison d'environ 55° sur l'équateur. Ils suivent une orbite quasi circulaire de rayon environ (soit une altitude de ) qu'ils parcourent en , soit un demi-jour sidéral. Ainsi, les satellites, vus du sol, reprennent la même position dans le ciel au bout d'un jour sidéral. Les générations successives de satellites sont désignées sous le nom de « Blocs » : Bloc I : les satellites du Bloc I sont les satellites du système, mis en orbite entre 1978 et 1985, fabriqués par Rockwell International, ils étaient prévus pour une mission moyenne de et une durée de vie de cinq ans, mais leur durée de vie moyenne s'éleva à ; l'un d'entre eux est même resté pendant en activité. Leur mission principale était de valider les différents concepts du GPS. Aujourd'hui, les satellites du Bloc I ne sont plus en service ; Bloc II : les satellites du Bloc II sont les premiers satellites opérationnels du GPS. De nombreuses améliorations ont été apportées à ces satellites par rapport à la version précédente, notamment en ce qui concerne leur autonomie. Ils sont capables de rester sans contact avec le segment sol tout en gardant une précision suffisante. Neuf satellites furent lancés en 1989 et 1990. Bien qu'on ait estimé leur durée de vie à , la plupart d'entre eux sont restés en fonction pendant plus de dix ans. Il ne reste plus de satellite du Bloc II actif ; Bloc IIA : les satellites du Bloc IIA (Advanced), au nombre de 19 et lancés entre 1990 et 1997, correspondent à une version perfectionnée des satellites du Bloc II initial. Ils sont équipés de deux horloges atomiques au césium et de deux horloges au rubidium. Ils ont marqué à partir de 1993 le début de la phase opérationnelle du GPS. Début 2016, le dernier satellite du Bloc IIA a cessé de fonctionner après de service ; Bloc IIR : les satellites du Bloc IIR (Replenishment) sont dotés d'une meilleure autonomie, fabriqués par Lockheed Martin Corporation, et mis en orbite entre 1997 et 2009, ils peuvent se transmettre mutuellement des messages sans aucun contact au sol, permettant ainsi aux opérateurs du système de pouvoir communiquer avec des satellites qui leur sont inaccessibles dans une communication directe. Ils sont équipés de trois horloges atomiques au rubidium. Vingt-et-un satellites du Bloc IIR sont lancés, le dernier le . Les huit derniers sont désignés sous le sigle IIR-M (Modernized) parce qu'ils émettent un nouveau code civil (L2C) sur la fréquence L2 et de nouveaux codes militaires (M) sur les fréquences L1 et L2. Le satellite IIR-M7 est modifié pour émettre le nouveau signal sur la fréquence L5 (1176,45 MHz), implanté sur les satellites du Bloc IIF ; : les satellites du Bloc IIF (Follow-On) construits par Boeing sont au nombre de 12, le premier de la série a été lancé en , le dernier en . Ces satellites émettent un nouveau signal civil sur la fréquence L5 ; : les dix premiers satellites du Bloc III sont construits par Lockheed Martin Corporation. Ils émettent un nouveau signal civil (L1C) sur la fréquence L1. Le premier satellite du bloc III est lancé le . Segment de contrôle C'est la partie qui permet de piloter et de surveiller le système. Il est composé de cinq stations au sol du de l'Air Force Space Command, basé à la dans le Colorado (la station maîtresse est basée à Colorado Springs) dans la base de Cheyenne Mountain. Leur rôle est de mettre à jour les informations transmises par les satellites (éphémérides, paramètres d'horloge) et contrôler leur bon fonctionnement. Segment utilisateur Le segment utilisateur regroupe l'ensemble des récepteurs GPS militaires et civils qui reçoivent et exploitent les signaux des satellites GPS pour calculer des données de position, de vitesse ou de temps. Comme les utilisateurs ne font que recevoir (ils n'émettent pas vers les satellites), le système ne peut être saturé et le nombre maximum d'utilisateurs GPS est illimité. En 2014, le nombre total de récepteur GPS est estimé à . Les smartphones avec GPS intégré sont les plus nombreux avec , suivi par les d'assistants de navigation pour des applications routières. Le nombre restant d'appareils est réparti entre des applications variées : autres transports (aviation, ferroviaire, maritime), topographie, agriculture, infrastructure critique. Principe de fonctionnement Le GPS fonctionne grâce au calcul de la distance qui sépare un récepteur GPS de plusieurs satellites. Les informations nécessaires au calcul de la position des satellites étant transmises régulièrement au récepteur, celui-ci peut, grâce à la connaissance de la distance qui le sépare des satellites, connaître ses coordonnées. Signaux émis Les satellites GPS émettent plusieurs signaux codés, à destination civile ou militaire. Le signal civil pour l'utilisation libre correspond au code C/A, émis sur la porteuse de . Sur cette porteuse, le signal de modulation est une séquence résultant de l'addition modulo 2 du code pseudo-aléatoire C/A à et des données à contenant les éphémérides des satellites et d'autres informations de navigation. C'est le code C/A qui sert dans les récepteurs par corrélation avec le signal reçu à déterminer l'instant exact d'émission de celui-ci. Cet instant d'émission de référence du code C/A peut être modulé, à nouveau par un code pseudo-aléatoire, pour dégrader la détermination de position au sol. Ce chiffrement est appelé « » (SA), faisant passer la précision du système de environ à . Il a été abandonné en 2000 sous la pression des utilisateurs civils, et en raison du développement du DGPS qui le compensait en grande partie. Cette possibilité est cependant toujours présente à bord des satellites. La SA comporte aussi la possibilité de dégrader les informations permettant de calculer la position des satellites sur leur orbite ; elle n'a jamais été utilisée. Mesure de la distance du récepteur par rapport à un satellite Les satellites envoient des ondes électromagnétiques (micro-ondes) qui se propagent à la vitesse de la lumière. Connaissant celle-ci, on peut alors calculer la distance qui sépare le satellite du récepteur en connaissant le temps que l'onde a mis pour parcourir ce trajet. Pour mesurer le temps mis par l'onde pour lui parvenir, le récepteur GPS compare l'heure d'émission à l'heure de réception de l'onde par le récepteur. Cette mesure, après multiplication par la vitesse du signal, fournit une pseudo-distance, assimilable à une distance, mais entachée d'une erreur de synchronisation des horloges du satellite et du récepteur, et de dégradations comme celles dues à la traversée de l'atmosphère. L'erreur d'horloge peut être modélisée sur une période assez courte à partir des mesures sur plusieurs satellites. Calcul de la position Connaissant les positions des satellites à l'heure d'émission des signaux, et les pseudo-distances mesurées (éventuellement corrigées de divers facteurs liés notamment à la propagation des ondes), le calculateur du récepteur est en mesure de résoudre un système d'équations dont les quatre inconnues sont la position du récepteur (trois inconnues) et le décalage de son horloge par rapport au temps GPS. Ce calcul est possible dès que l'on dispose des mesures relatives à quatre satellites ; un calcul en mode dégradé est possible avec trois satellites seulement si l'on connaît l'altitude ; lorsque plus de quatre satellites sont visibles (ce qui est très souvent le cas), le système d'équations à résoudre est surabondant : la précision du calcul est améliorée, et on peut estimer les erreurs sur la position et le temps. La précision de la position obtenue dépend, toutes choses égales par ailleurs, de la géométrie du système : si les satellites visibles se trouvent tous dans un cône d'observation de faible ouverture angulaire, la précision sera moins bonne que s'ils sont répartis régulièrement dans un large cône. Les effets de la géométrie du système de mesure sur la précision sont décrits par un paramètre : le DOP (pour « Dilution of Precision », en français « atténuation » ou « diminution de la précision ») : le HDOP se réfère à la précision horizontale, le TDOP à la précision sur le temps, le VDOP à la précision sur l'altitude. La précision espérée est d'autant meilleure que le DOP est petit. Résolution de l'équation de navigation La résolution de l'équation de navigation peut se faire par la méthode des moindres carrés et la méthode de Bancroft. Elle nécessite au moins quatre équations (quatre satellites). Chaque signal satellite donne au récepteur l'équation suivante : avec : la distance théorique (i.e. pour une synchronisation parfaite de l'horloge interne du récepteur, soit ) au satellite ; la position du satellite ; la position du récepteur ; la vitesse de la lumière dans le vide ; le décalage de l'horloge interne du récepteur (le récepteur ne dispose pas d'horloge interne assez précise) ; le temps de réception du signal émis à par le satellite . En passant au carré, on obtient : Puis en développant : On peut alors introduire , et le pseudo-produit scalaire de Lorentz défini pour tout quadrivecteur et par . L'équation précédente se réécrit en : En mettant sous forme matricielle tous les signaux dont on dispose, on obtient : avec : Remarque : le nombre de lignes de , et doit être le même et supérieur ou égal à 4. En considérant comme une constante, on peut résoudre l'équation précédente par la méthode des moindres carrés qui donne pour solution : avec . On peut ensuite utiliser et résoudre l'équation sur ainsi définie dont les solutions sont les racines d'un polynôme du second degré : On obtient finalement le résultat cherché, contenu dans , en réinjectant dans l'équation . Notez que le résultat n'est pas unique (car n'est pas unique). Le choix de résultat final se fait sur des critères de validité de l'intervalle dans lequel se trouve le résultat. Décalage de l'horloge du récepteur La difficulté est de synchroniser les horloges des satellites et celle du récepteur. Une erreur d'un millionième de seconde provoque une erreur de sur la position. Le récepteur ne peut bien entendu pas bénéficier d'une horloge atomique comme les satellites ; il doit néanmoins disposer d'une horloge assez stable, mais dont l'heure n'est a priori pas synchronisée avec celle des satellites. Les signaux de quatre satellites au moins sont nécessaires pour déterminer ce décalage, puisqu'il faut résoudre un système d'au moins quatre équations mathématiques à quatre inconnues qui sont la position dans les trois dimensions plus le décalage de l'horloge du récepteur avec l'heure GPS (voir ci-dessus). Erreurs possibles La plupart des récepteurs sont capables d'affiner leurs calculs en utilisant plus de quatre satellites (ce qui rend les résultats des calculs plus précis) tout en ôtant les sources qui semblent peu fiables, ou trop proches l'une de l'autre pour fournir une mesure correcte, comme précisé ci-dessus. Cependant, le GPS n'est pas utilisable dans toutes les situations. En particulier la géolocalisation par GPS est quasiment impossible à l'intérieur des bâtiments. Les smartphones, par exemple, capables de se géolocaliser en intérieur n’utilisent pas le positionnement GPS dans ces conditions particulières mais les différents réseaux WIFI disponibles pour ce faire. Le signal émis par les satellites NAVSTAR étant assez faible et différents facteurs peuvent affecter la précision de la localisation : la traversée des couches de l'atmosphère avec entre autres la présence de gouttes d'eau, les simples feuilles des arbres peuvent absorber tout ou partie du signal, et l'« effet canyon » particulièrement sensible dans les gorges, en montagne (d'où son nom) ou en milieu urbain (phénomène de ). Il consiste en l'occultation d'un satellite par le relief (un bâtiment par exemple) ; ou pire encore, en un écho du signal contre une surface qui n'empêchera pas la localisation mais fournira une localisation fausse : c'est le problème des multi-trajets des signaux GPS. D'autres erreurs, n'ayant pas de corrélation avec le milieu de prise de mesure ni la nature atmosphérique, peuvent être présentes. Ce sont des erreurs systématiques, telles les décalages orbitaux ou encore un retard dans l'horloge atomique qui calcule le temps auquel la mesure est prise. Un mauvais étalonnage du récepteur (ou autres appareils électroniques du système) peut aussi produire une erreur de mesure. Corrections troposphérique et ionosphérique En l'absence d'obstacles, il reste cependant des facteurs de perturbation importants nécessitant une correction des résultats de calcul. Le premier est la traversée des couches basses de l'atmosphère, la troposphère. La présence d'humidité et les modifications de pression de la troposphère modifient l'indice de réfraction n et donc la vitesse et la direction de propagation du signal radio. Si le terme hydrostatique est actuellement bien connu, les perturbations dues à l'humidité nécessitent, pour être corrigées, la mesure du profil exact de vapeur d'eau en fonction de l'altitude, une information difficilement collectable, sauf par des moyens extrêmement onéreux comme les lidars, qui ne donnent que des résultats parcellaires. Les récepteurs courants intègrent un modèle de correction. Le deuxième facteur de perturbation est l'ionosphère. Cette couche ionisée par le rayonnement solaire modifie la vitesse de propagation du signal. La plupart des récepteurs intègrent un algorithme de correction, mais en période de forte activité solaire, cette correction n'est plus assez précise. Pour corriger plus finement cet effet, certains récepteurs bi-fréquences utilisent le fait que les deux et L2 du signal GPS ne sont pas affectées de la même façon et recalculent ainsi la perturbation réelle. En 2017, seize années de données de perturbation du systèmes GPS par le rayonnement solaire, enregistrées par une constellation de vingt-trois satellites, ont été ouvertes aux scientifiques de la météorologie par le Laboratoire national de Los Alamos (Nouveau-Mexique). Amélioration locale du calcul DGPS Le GPS différentiel (Differential global positioning system : DGPS) permet d'améliorer la précision du GPS en réduisant la marge d'erreur du système. SBAS Des systèmes complémentaires d'amélioration de la précision et de l'intégrité ont été déployés (SBAS, Satellite based augmentation system) comme WAAS en Amérique du Nord, MSAS au Japon, EGNOS en Europe ou GAGAN en Inde. Ils reposent tous sur le même principe : un réseau régional ou continental de stations au sol, une ou plusieurs stations maîtres qui centralisent les données des stations et transmettent aux satellites géostationnaires qui rediffusent vers le sol les informations permettant d'améliorer la fiabilité et la précision des données du GPS et d'alerter l'utilisateur en cas de défaillance d'un des satellites. D'autres pays préparent le déploiement d'un système SBAS : le SDCM pour la fédération de Russie, le BDSBAS pour la Chine et le K-SBAS pour la Corée du Sud. Conversion des informations obtenues Positionnement Les coordonnées terrestre du récepteur sont calculées dans un repère cartésien géocentrique à trois axes (X,Y,Z) qui a pour origine le centre de gravité des masses terrestres (système dit système géodésique). Pour que ces coordonnées soient facilement exploitables, il faut les convertir en coordonnées géographiques (latitude, longitude, altitude), système très largement utilisé en représentation cartographique. C'est le post-traitement du récepteur GPS qui effectue cette conversion en utilisant par défaut le système géodésique (World Geodetic System 84). Ce système, le plus utilisé dans le monde, constitue une référence répondant aux objectifs du système mondial de navigation. L'altitude n'est pas toujours directement exploitable, du fait de l'écart entre la hauteur ellipsoïdale calculé dans le système géodésique et l'altitude géodésique. Cette variation peut atteindre localement plusieurs dizaines de mètres. Les récepteurs les plus élaborés disposent de modèles de correction géodésique, et indiquent une altitude similaire à celle des cartes. Les coordonnées obtenues peuvent être exprimées dans d'autres systèmes géodésiques, propres par exemple à une région ou un pays, ou dans un autre système de projection cartographique. En France, le système de référence est encore souvent la NTF, bien que le système géodésique officiel soit désormais le RGF93, qui diffère très peu du . Temps et synchronisation Le calcul des coordonnées géographiques nécessite le calcul du décalage de l'horloge interne du récepteur avec le « temps GPS » et donc le décalage avec le temps UTC. L'horloge du récepteur est synchronisée à celles des satellites à cent milliardièmes de seconde près. Cet accès très précis au temps UTC permet d'asservir très précisément en fréquence une horloge extérieure ou de synchroniser des horloges distantes. Cette possibilité est largement exploitée dans le monde scientifique. Par exemple, l'intégration du temps GPS aux réseaux de surveillance sismique permet aux chercheurs de localiser rapidement l'épicentre des tremblements de terre et d'autres phénomènes telluriques. Dans le monde des transmissions, les grands réseaux de télécommunications nécessitent les équipements parfaitement synchronisés pour fonctionner correctement. Les réseaux de téléphonie mobile et de données se servent du temps GPS pour assurer la parfaite synchronisation de toutes leurs stations de base. Visualisation cartographique Les récepteurs GPS terrestre ou les smartphones disposant d'une puce GPS incorporent généralement un module de post-traitement disposant des fonctions de visualisation cartographique. Ces fonctions reposent sur des bases de données géographiques intégrées. Elles s'appuient sur l'utilisation de la théorie mathématique des graphes (nœuds) et sur l'utilisation d'algorithmes tel que Gps-less location, Floyd-Warshall, Dijkstra et permettent, par exemple, de déterminer l'itinéraire le plus court entre deux points. La firme Broadcom annonce pour 2018 la sortie d'une puce GPS affichant la position avec une précision de . Des cartographies peuvent être embarquées dans des récepteurs GPS. GPS et théorie de la relativité Le GPS est l'application concrète la plus courante dont le fonctionnement met en jeu la théorie de la relativité. Si ses effets n'étaient pas pris en compte, la navigation par GPS serait entachée d'erreurs trop importantes. Le temps est en particulier influencé par deux conditions : le déplacement à grande vitesse et l'altitude dans le champ gravitationnel. Ces deux effets expliquent que la même horloge atomique n'a pas la même fréquence au sol ou en orbite. Pour l'horloge d'un satellite GPS, les deux effets sont contraires : se déplaçant à une grande vitesse circulaire, son temps est ralenti de () par jour, alors que située plus haut dans le champ gravitationnel terrestre, son temps est accéléré de par jour (voir calcul en Tests expérimentaux de la relativité générale). La somme des deux fait que le temps de l'horloge d'un satellite GPS vue du sol avance de par jour. Cela correspond donc à une erreur spatiale de où c est la vitesse de la lumière et donc une dérive de . Ces deux effets principaux sont modélisés dans la théorie de la relativité : la lenteur du temps sur un objet ou une horloge atomique se déplaçant à grande vitesse est théorisée et modélisée dans la théorie de la relativité restreinte ; la rapidité du temps sur un objet ou une horloge atomique situé plus haut dans un même champ gravitationnel correspond à la relativité générale. Historiquement, en 1977, lors de la première mise en orbite d'une horloge atomique au césium dans le satellite NTS-2, les effets de la relativité avaient été calculés, mais certains doutaient de la véracité des effets relativistes. Les premières émissions du satellite n'incorporaient pas les corrections relativistes, mais l'on avait prévu un synthétiseur de fréquence activable à distance qui pourrait le faire. Après vingt jours en orbite, l'horloge atomique en orbite a été mesurée dérivant de par rapport au sol, ce qui était proche du calcul théorique de l'époque donnant . Par la suite, le synthétiseur a été activé de manière permanente. La valeur de la dérive peut paraître faible, mais elle est bien plus importante que la précision d'une horloge atomique au césium qui est de l'ordre de . Ce décalage est depuis pris en compte dans toutes les horloges atomiques des satellites GPS sous différentes formes. Pour les horloges au césium, la correction est réalisée au sol avant la mise en orbite. Le cas des horloges atomiques au rubidium est plus complexe, car elles peuvent subir des sauts de fréquence imprédictibles pendant le lancement. La fréquence est mesurée une fois en orbite, mais elle n'est plus corrigée directement : les corrections nécessaires sont incluses dans le message de navigation. D'autres effets relativistes existent dans le GPS. Certains sont négligeables au vu de la précision recherchée pour les applications de positionnement, d'autres doivent être pris en compte : par exemple, les récepteurs GPS corrigent l'effet Sagnac dû à la rotation de la Terre. Inconvénients du GPS Dépendance stratégique Le GPS est un système conçu par et pour l'armée des États-Unis et sous son contrôle. Le signal pourrait être dégradé, occasionnant ainsi une perte importante de sa précision, si le gouvernement des États-Unis le désirait. C'est un des arguments en faveur de la mise en place du système européen Galileo qui est, lui, civil et dont la précision théorique est supérieure. La qualité du signal du GPS a été dégradée volontairement par les États-Unis jusqu'au mois de mai 2000, la précision d'un GPS en mode autonome était alors d'environ . Depuis l'arrêt de ce brouillage volontaire, supprimé par le président Bill Clinton, la précision est de l'ordre de 5 à . Le système GPS est fréquemment utilisé pour la synchronisation de l'heure entre les différents composants des réseaux de téléphonie mobile GSM, UMTS et LTE ; les conséquences d'une dégradation du signal se répercuterait sur une infrastructure critique. Limitations des récepteurs civils Les récepteurs GPS civils sont limités afin qu'ils ne puissent pas être utilisés dans des systèmes d'armement rapides tels que les missiles balistiques. En pratique, un récepteur ne doit plus fournir de données de navigation au-delà d'un maximum de vitesse ou d'altitude. Historiquement, ces limites étaient fixées à une vitesse maximale de () et une altitude maximale de (). Elles étaient appelées limites CoCom du nom du Coordinating Committee for Multilateral Export Controls (CoCom), qui a été dissous après la chute du bloc soviétique en 1994. Par la suite, les réglementations sur les récepteurs GPS sont restées en vigueur aux États-Unis selon l'International Traffic in Arms Regulations (ITAR) qui régule les exportations de technologies sensibles américaines et internationalement selon le Régime de contrôle de la technologie des missiles (MTCR) créé en 1987. Depuis 2013, le MTCR ne limite plus le domaine d'utilisation des GPS civils en altitude et a augmenté la limite de vitesse à . Depuis 2014, les restrictions ITAR aux États-Unis appliquent la même limite. Risque de surveillance abusive Dans l'esprit du grand public, un lien direct est effectué entre GPS et surveillance abusive, le terme familier péjoratif de « flicage » est généralement employé par les détracteurs de tels systèmes. Toutefois, les outils de surveillance n'incorporent le GPS que comme l'un des éléments technologiques nécessaires à la surveillance abusive. Le dispositif de localisation GPS en lui-même est un système passif qui se contente de recevoir les signaux des satellites et d'en déduire une position. Le réseau des satellites GPS ne reçoit donc aucune information d'éventuels systèmes de surveillance au sol (ou embarqués dans un aéronef ou un navire) et demeure techniquement incapable d'effectuer la surveillance d'un territoire d'une quelconque façon. En revanche, notamment dans le domaine des transports, des systèmes déployés dans les véhicules adjoignent un dispositif de transmission de l'information obtenue avec le GPS. Ce dispositif peut fonctionner en temps réel, il s'agit alors bien souvent d'une liaison de transmission de données par téléphonie mobile ; ou fonctionner en temps différé, les données sont alors déchargées a posteriori par un système physique ou de radio à courte portée. Leur application est généralement réservée aux professionnels pour suivre une flotte de camions, véhicules de transports de passagers (y compris les taxis), de véhicules de commerciaux, de dépannage ou d'intervention. Les objectifs de ces outils de suivi de flotte sont pour un employeur de s'assurer que son salarié effectue effectivement le travail demandé ou que le véhicule n'a pas été détourné. Il permet aussi d'améliorer la gestion d'une flotte de véhicules. Les individus peuvent également faire l'objet d'une géolocalisation en continu (par exemple pour les données de trafic). Il existe deux méthodes de collecte d'informations : le tracking ; la localisation sous demande. La première va identifier et remonter l'information à une période constante, par exemple toutes les deux ou cinq minutes. Tandis que la localisation sous demande consiste à n'envoyer l'information qu'en cas de demande du porteur du terminal ou de l'aidant. Dans tous les cas, le porteur du terminal doit être informé et d'accord sur la fonctionnalité de géolocalisation. Les systèmes de localisation automatique de sécurité, comme l'AIS en navigation maritime et aérienne, combinent un récepteur GPS et un émetteur, améliorant la sécurité anti-collision et la recherche des naufragés. L'APRS utilise le même principe, il est géré par des radioamateurs bénévoles. Réinitialisation de la Numérotation du calendrier GPS WNRO ou GPS week number rollover (en français Réinitialisation de la Numérotation du calendrier GPS) provoque l'obsolescence des logiciels usant du système américain, à cause de la remise à zéro de la référence temps toutes les (dû à la limitation du comptage interne de satellites) ; le dernier a eu lieu le et invalide par conséquent les matériels devenus absents des mises à jour des constructeurs. Confiance exagérée dans ses performances Autres systèmes de positionnement par satellites Il existe d'autres systèmes de positionnement par satellite, sans atteindre cependant la couverture ou la précision du GPS : GLONASS est le système russe, qui est de nouveau pleinement opérationnel depuis ; Beidou est le système de positionnement créé par la république populaire de Chine ; il est opérationnel uniquement sur le territoire chinois et les régions limitrophes (il utilise des satellites géostationnaires, au nombre de quatre actuellement) ; son successeur Compass sera global et atteindra une précision de au sol ; l'Inde prépare également son système de positionnement, l'IRNSS ; Galileo est le système civil de l'Union européenne, ; le Japon prépare le système QZSS (Quasi-Zenith Satellite System) pour 2017-2018. Notes et références Notes Références Voir aussi Bibliographie F. Duquenne , GPS localisation et navigation par satellites, revue et augmentée, Hermes, 2005 SHOM, GPS et Navigation maritime, 1996 GPS Modernization sur U.S. Coast Guard Navigation Center Neil Harper, Server-side GPS and assisted-GPS in JavaTM, 2010 Articles connexes Liens externes Le Système de Positionnement Mondial au service de la planète, informations officielles en langue française du gouvernement des États-Unis sur le système de positionnement global (GPS) et sujets connexes, sur gps.gov. Positionnement par satellites Instrument de navigation Satellite militaire Programme spatial militaire américain Satellite de navigation Constellation de satellites Instrument de navigation maritime Instrument de navigation aérienne


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text: Le Graphics Interchange Format (littéralement « format d'échange d'images »), plus connu sous l'acronyme GIF (prononcé en français : , ou ), est un format d'image numérique couramment utilisé sur Internet. Origine Le format GIF a été mis au point en 1987 par le groupe CompuServe, dirigé par l'informaticien Steve Wilhite , pour permettre le téléchargement d'images en couleur. Ce format utilise l'algorithme de compression sans perte LZW, nettement plus efficace que l'algorithme RLE utilisé par la plupart des formats alors disponibles (PCX, ILBM puis BMP). Caractéristiques Couleurs Une caractéristique particulière du GIF est le nombre de couleurs supportées : il permet une palette qui peut aller de 2 jusqu'à un maximum de 256 couleurs choisies dans une palette RVB 24-bits (). Chaque pixel est donc représenté sur 8 bits au plus. Le nombre maximal de couleurs présentes dans chaque calque d'une même image est donc restreint à 256 (le format GIF89a supportant plusieurs calques). L'usage d'une palette de 256 couleurs permettait l'affichage sans étape préalable de réduction du nombre de couleurs (par diffusion d'erreur) sur certaines cartes graphiques de l'époque, notamment la VGA qui, ayant elle-même jusqu'à un octet par pixel, est sortie la même année. Transparence Le format GIF89a permet de spécifier une entrée transparente dans la palette. Cette fonctionnalité est utile lorsqu'une image non rectangulaire est intégrée à un document comme une page web : on peut voir le document à travers les pixels transparents. La transparence est toutefois binaire; il ne s'agit pas d'un canal alpha permettant plusieurs degrés d'opacité, comme le propose le format PNG. Chargement rapide GIF propose un mode entrelacé permettant de commencer par transmettre quelques lignes d'une image, puis les lignes placées entre elles. Ce mode permet de donner plus rapidement un aperçu de l'image lorsque la transmission est lente. Animation Le format GIF permet de stocker plusieurs images dans un seul fichier et de les afficher en succession. Il est donc possible de stocker des diaporamas et des animations dans un fichier GIF. Chaque image d'une animation peut avoir sa propre palette. La deuxième version du format GIF, le GIF89a, permet d'assigner une durée distincte à chaque image faisant partie du fichier. Avec la transparence du GIF89a, il est possible de laisser l'image précédente visible à travers les pixels transparents de la nouvelle image affichée. En jouant sur cette fonction, sur les durées et sur l'utilisation de palettes différentes pour chaque image, on peut contourner la limite de , mais en créant des fichiers de grande taille. Il existe une multitude de logiciels d'animation, dont plusieurs sont gratuits, permettant de sauvegarder en format GIF. Les logiciels d'animation permettent surtout de modifier la vitesse de défilement des images. De nombreux logiciels de messagerie instantanée ou moteurs de sites, proposent de convertir automatiquement le format GIF animé en fichier mp4, cela permet de compresser davantage le fichier, mais fait perdre la transparence. C'est le cas du site Giphy par exemple. Compression Le principe de compression consiste à simplifier le code des parties à rangées de pixels de même couleur. C'est pour cela que ce format est utilisé sur les images comportant un nombre plutôt limité de couleurs et sans dégradés, avec de préférence de grandes zones de couleur unie. La limitation à 256 couleurs n'est pas gênante pour les logos, les graphiques et la plupart des images synthétiques, ainsi que les photographies en noir et blanc. En revanche une photographie couleur de qualité nécessite plus de nuances. Prononciation GIF est un acronyme, cette extension se prononce donc comme un mot complet. La version 8.33 de la FAQ donne la prononciation officielle [], ce qui donne donc par analogie la prononciation francophone [] (« gif »). En français, cette prononciation est assez naturelle, puisque la lettre G est la plupart du temps prononcé comme un J devant les lettres E et I (sauf pour certains mots empruntés à l'étranger, tel l'anglicisme gimmick). En anglais, cependant le G devant les lettres E et I peut être prononcé de deux façons (par exemple "gift" et "gin"). Cela lança un débat au début des années 2010 sur la prononciation ([] ou [] ("djif") pour les anglophones, [] ou [] pour les francophones) sur Internet. L'ex-président des États-Unis Barack Obama a indiqué son choix de [] dans un échange télévisé, ce qui entérine une prononciation la plus répandue en anglais. De son côté, le dirigeant de Compuserve à l'époque de leur création de ce format de fichier, Steve Wilhite est intervenu pour réaffirmer la prononciation [dʒif] (« jif ») . Les dictionnaires anglais quant à eux indiquent que les deux prononciations sont possibles. En 2012, le mot gif a été élu « Mot de l’année » pour l’édition américaine du dictionnaire d’Oxford University Press. Utilisation sur le Web En 1993, le navigateur web NCSA Mosaic a été le premier à permettre l'intégration d'images aux pages web : les formats GIF et XBM étaient supportés. Le support du format JPEG a été introduit en 1994 par Netscape Navigator. Comme expliqué plus haut, le manque de couleurs de GIF le rend peu adapté pour les dégradés très colorés, tandis que la compression avec pertes du JPEG provoque des flous sur les images dessinées directement sur ordinateur. Pour les images fixes, la répartition des rôles est donc : JPEG pour les photographies, GIF pour les images synthétiques. Cependant, en réaction aux limitations de GIF, et aux exigences de royalties d'Unisys, un nouveau format a été proposé, PNG (Portable Network Graphics, mais si explicitement conçu en concurrent de GIF qu'une plaisanterie réinterprète l'abréviation en « PNG's Not Gif »). PNG gère de couleurs, une variation des degrés de transparence, et a un algorithme de compression plus élaboré, ce qui rend en général les images plus légères qu'en GIF, sans pertes. PNG a toutefois mis longtemps à s'imposer, car non seulement les navigateurs anciens ne le supportaient pas (son support commence avec Internet Explorer 4), mais les navigateurs censés le supporter avaient de nombreux bugs dans ce domaine, surtout avec la transparence. Les GIF animés sur internet Dans les années 1990, le format GIF était populaire pour produire des effets d'animation. Toutefois de tels effets « flashy » (tout comme l'élément HTML ) ont ensuite été vus comme lourds et démodés (exemple parodique avec une page utilisant un GIF animé en fond). Dans les années 2000, Adobe Flash est largement utilisé comme nouveau format d'animation. Il propose des fonctions très supérieures au GIF, surtout d'interactivité (des éléments de l'animation peuvent déclencher des actions en passant la souris ou en cliquant dessus). Les développeurs de PNG n'ont pas repris cette fonction du GIF. Il existe des variantes animées (MNG et APNG), mais plus rarement supportées par les navigateurs. Finalement, le GIF revient. Son support universel est apprécié, alors que celui de Flash est incertain, surtout sur les smartphones. Des logiciels permettent la création automatique de GIF d'assez bonne qualité à partir de films, pour les exporter sur les plateformes n'acceptant pas les vidéos. Les créateurs de mèmes internet l'utilisent pour des animations humoristiques simples. Le retour du GIF se confirme en 2014 quand Twitter dote son site et ses applications mobiles d'un lecteur de GIF à l'intérieur des tweets. Les GIF sont un moyen d'expression pour les artistes du net.art. La recherche sur les GIF tend désormais à se distancier de celle concernant les mèmes, notamment par rapport à l'usage des GIF, prompts à permettre l'expression d'état mentaux et émotionnels complexes dans les interactions numériques - une nouveauté qui permet à certains chercheurs de les considérer comme un nouveau langage humain. Les plateformes de GIF animés Depuis la fin de validité du dernier brevet d'IBM concernant le format GIF en 2006, quelques plateformes se sont lancées pour fournir des GIF aux réseaux sociaux, messageries, sites web et applications. Le secteur a été dominé pendant un temps par le duopole américain Facebook / Google car la plateforme la plus populaire dans le domaine « Giphy » fut acquise par Facebook en 2020 et la deuxième plateforme du marché « Tenor GIF » fut acquise par Google en 2018. Le 23 mai 2023, Facebook est contraint de revendre Giphy à Shutterstock, à la suite de la décision de l'autorité de la concurrence britannique CMA (Competition and Markets Authority) pour abus de position dominante. Une autre plateforme de GIF a essayé d’émerger sur le marché, avec une levée de fonds de 10 millions de dollars, il s’agit de Gfycat, acquise par Snapchat en 2020. Le service fermera 3 ans après l'acquisition. Apple propose également une fonctionnalité GIF dans sa messagerie iMessage depuis iOS 10 mais ne dispose pas de sa propre plateforme, les GIF proviennent en réalité du moteur de recherche Bing. Au niveau européen, la plateforme Heypster-gif se démarque par son contenu approuvé par une équipe de modération et son respect de la vie privée. Droits En décembre 1994, Unisys, détenteur de deux brevets sur la compression LZW, a soudainement annoncé que les auteurs de logiciels produisant des images GIF devaient payer des royalties. Le dernier brevet d'Unisys est arrivé à expiration le aux États-Unis, le dans la plupart des pays d'Europe, le au Japon et le au Canada. Cependant, IBM détenait encore un brevet valide jusqu'au aux États-Unis (et peut-être après dans d'autres pays). Le format GIF est dorénavant (depuis au moins 2006) dans le domaine public, il est ainsi possible de l'utiliser librement. Notes et références Annexe Bibliographie Liens externes Graphics Interchange Format (GIF) Specification, 15 juin 1987 GIF89a Specification Pourquoi il n'y a pas de fichiers GIF sur le site de GNU - Détails sur les brevets touchant GIF True-Color GIF Example - Démonstration de GIF contenant plus de 256 couleurs Brevet américain 4,464,650 couvrant LZ78 appartenant à Unisys Brevet américain 4,558,302 couvrant LZW appartenant à Unisys Brevet américain 4,814,746 couvrant LZW appartenant à IBM Format de fichier graphique Format ouvert Culture Internet


text: est un terme japonais qui pourrait se traduire par « Voie de la protection du corps ». Même si certains aiment à définir le Goshindo comme un cocktail explosif de techniques de défense, il s’agit avant tout d’un art martial en constante évolution, fruit du travail d’Alain Sailly, qui s’appuie sur les enseignements de plusieurs écoles traditionnelles telles que la et la . Ces écoles sont à l’origine des formes modernes de judo, de ju-jitsu, ou encore d’aikido. Historique Jusqu’en 1978, Alain Sailly étudia les arts martiaux traditionnels d’origine japonaise. Il constata que l’utilisation du corps dans l’art du combat n’était pas optimale. Il remarqua en outre que les formes de projections telles qu’elles étaient pratiquées en Judo, en Sambo, ou dans d’autres formes de Ju-Jitsu étaient complémentaires. Son constat fut le même en ce qui concernait les formes frappées, les clés, les contrôles... Il entreprit alors de rechercher d’autres formes de techniques, d’autres approches d'autodéfense. Pendant 10 ans, Alain Sailly apprit de ses rencontres avec différents professeurs de plusieurs styles. S'appuyant sur les écoles traditionnelles qui donnèrent naissance aux formes modernes de Judo, de Ju-Jitsu, ou encore d'Aïkido, le fondateur du Goshindo commença à construire un programme de techniques qui, sans perdre de leur efficacité martiale, contribuent au développement du corps et de l'esprit. Il sélectionna un large éventail de techniques et fit un travail de synthèse autour de ces éléments, tout en refusant de se laisser enfermer dans un courant particulier. Cette origine fait du Goshindo un art martial en constante évolution et qui reflète, d’une certaine manière, la mondialisation des arts martiaux. C’est depuis 1989 qu’Alain Sailly travaille plus particulièrement à l’optimisation de chaque technique. Il en développe ainsi les aspects pédagogiques autour de trois points essentiels : la recherche d’une forme harmonieuse permettant l’épanouissement de l’individu. la recherche d’une forme efficace permettant d’affronter les situations conflictuelles la recherche d’une forme esthétique permettant de protéger son corps en trouvant les positions adéquates. La F.F.G.D. (Formation Fédérale de Goshindo en 2001, appelée "Fédération Française de Goshindo" en 2000) était affiliée à la World Kobudo Federation, organisation vouée à la promotion des arts martiaux dans le monde. En 2002, le Goshindo comptait environ de pratiquants en France. Descriptif Du fait de ses origines, le Goshindo se construit comme un ensemble de techniques comprenant à la fois des projections, des clés, des étranglements, des formes de contrôle, mais aussi des frappes et des mouvements en rotation tels qu’ils peuvent exister dans d’autres arts martiaux. Il comprend également le travail des armes comme le bâton court, le couteau ou le bô. La manipulation de ces armes est enseignée dans une optique de maîtrise tant sur le plan de la défense « avec » ou « contre » que sur le plan de la qualité d'apport gestuel et technique du corps en mouvement. Sans perdre de leur efficacité et de leur sens martial, ces techniques contribuent tout autant au développement du corps que de l'esprit. Conception générale Comme pour beaucoup d’arts martiaux, la principale caractéristique du Goshindo est de prétexter une certaine confrontation physique pour permettre à chacun d’affirmer sa personnalité. Au-delà de cette affirmation, il permet d’accéder à une meilleure maîtrise de soi, tout en pratiquant des techniques susceptibles d’assurer sa protection. Il propose ainsi un principe d’éducation marqué par la découverte et l’affirmation de soi, tout en respectant autrui. Le Goshindo est donc un moyen d’épanouissement de l’individu, aussi bien physiquement que mentalement, et socialement. Physiquement, tout d’abord, en développant l’habileté en termes de posture et d’équilibre, mais également en maîtrisant mieux ses déplacements et sa gestuelle. L’acquisition d’éléments techniques fondamentaux sert de base aux exercices de développement de l’adresse générale du pratiquant. Il est également un moyen de se développer physiquement non seulement par les renforcements musculaire et ligamentaire, mais également par le travail d’endurance. C’est pourquoi la séance d’entraînement laisse une place importante à la préparation physique et à l'échauffement, qui se composent d'exercices de musculation, d'assouplissement, et d'étirement. Mentalement, ensuite, à travers l’apport d’une certaine discipline imposée par la pratique d’un art martial, que ce soit à travers la démarche nécessaire pour vaincre les appréhensions ou par la pratique d’un effort volontaire. En effet, le pratiquant est inscrit dans une logique de recherche de progrès dans sa maîtrise. Ceci se traduit, sur le plan mental, par la nécessité de respecter des règles de base comme le respect du lieu de travail, le respect de l’enseignant et de son enseignement, le respect des partenaires de travail, l’obligation d’une attention soutenue et d’une concentration sur la pratique, la persévérance dans l’effort, et une constante remise en question. Socialement, enfin, par la canalisation de l’agressivité, la sincérité obligatoire envers les autres, l’élimination de la méfiance, l’entraide, et le respect des autres pratiquants et du professeur. Le Goshindo en pratique Le Goshindo est destiné à la fois à un public d’enfants et à un public d’adolescents et d’adultes. Pour un public d’adolescents et d’adultes, l’apprentissage du Goshindo passe par la mise en place d’une méthodologie précise qui s’appuie sur quatre ensembles d’outils pédagogiques : l’étude de techniques fondamentales, les exercices à thème, les Randori dits " souples " et le travail des armes. Les techniques fondamentales : La pratique des techniques fondamentales est orchestrée autour de situations d’agression spécifiques. Les pratiquants répondent à ces agressions avec l’enchaînement technique présenté par l’enseignant. Il s’agit essentiellement d’exercices conçus à partir de l’analyse des bases techniques (postures, déplacements, formes de contrôles, déséquilibres, etc.). Ces éléments de base sont ensuite assemblés pour construire une défense variant suivant l’agression. Les mouvements ne sont pas figés pour autant, puisque les éléments techniques d’un enchaînement peuvent être réutilisés dans un autre. Cette modularité favorise ainsi la perception et la répétition des déplacements et des formes de contrôles, et donc l’apprentissage de gestes justes. Cet outil pédagogique repose essentiellement sur le développement de la motricité et de qualités physiques telles que l’équilibre, l’agilité, la précision et la coordination. Ces exercices constituent un parcours progressif et précis avec pour objectif de développer un Goshindo équilibré et personnel. Exercices à thème : Il s’agit d’exercices variés se pratiquant à deux, dans lesquels au moins une directive est imposée aux pratiquants. L’objectif principal de ce travail est d’obliger les pratiquants à construire eux-mêmes leurs enchaînements à partir des techniques qu’ils connaissent. Ces exercices permettent aux pratiquants de mieux ressentir les déplacements et les déséquilibres qui pourront les amener à utiliser une technique particulière. C’est également une manière de mieux leur faire ressentir le rythme et la sensation de leur enchaînement. Ainsi, malgré le cadre précis de ce type d’exercice, les pratiquants sont libres d’enchaîner et de s’approprier les techniques. Ce travail requiert non seulement un certain niveau technique (postures, frappes, déplacements élémentaires, chutes...) mais demande aussi à chacun des pratiquants de se mettre sans réticence au service de son partenaire. Il est alors important de lui faire confiance, de savoir se relâcher et de se contrôler physiquement et mentalement. Le randori "souple" : Le randori souple est un jeu d’opposition durant lequel les deux partenaires s’attaquent l’un après l’autre. Cet exercice n’exclut en aucun cas l’intensité et l’engagement mais doit toujours s’inscrire dans une relation de confiance, où le pratiquant subissant l’action doit se mettre au service de l’autre. Il s’agit donc de composer un enchaînement technique afin de vaincre son "adversaire" par la maîtrise des déplacements, des contrôles, des rythmes... Ces exercices peuvent être adaptés selon le niveau de pratique pour laisser plus ou moins de champ à la spontanéité de chaque pratiquant, pour aller jusqu’à les laisser combattre librement. Cette forme de travail incite donc les pratiquants à "prendre le risque" d’exécuter tel ou tel enchaînement en laissant au partenaire la possibilité de riposter. Il s’agit alors de "défier" (amicalement) en adresse et en technique les autres pratiquants. Cette approche a plusieurs avantages, dont la mise en pratique et la possibilité de tester ainsi l’efficacité de ses connaissances techniques. Les déplacements sont plus nombreux, plus divers et plus spontanés. Les attaques sont moins codifiées, plus variées et subtiles. Par conséquent, le travail de défense doit être plus instinctif, ce qui permet de développer considérablement le potentiel technique, l’adresse, la vitesse, et l’efficacité des mouvements. Ce type d’exercice apparaît comme une permanente recherche de frappes, de saisies et de déséquilibres par confusions, enchaînements, changements de rythme, le tout dans un travail en déplacement. Le travail des armes : La pratique des armes est utilisée comme un moyen de ressentir ses propres déséquilibres et les mouvements de son propre corps. Il s’agit d’une pratique indispensable à la progression de tous les pratiquants. Le Goshindo engage les pratiquants dans une recherche d’efficacité technique où le travail des armes est la garantie de la mise au défi de son propre équilibre. Ce travail passe notamment par des exercices de Bô, un bâton d’environ 1,80 m, avec lequel des enchaînements de frappes et de blocages peuvent être pratiqués. Le développement de l’adresse dans la manipulation de cette arme passe nécessairement par un travail sur l’équilibre, les placements et les mouvements du corps. Dans son exigence, elle est aussi la seule façon d’aborder certains aspects fondamentaux des déplacements et de la puissance des frappes, qu’ils soient physiques ou mentaux, techniques ou tactiques. Il s’agit d’un des vecteurs essentiels de la maturation globale du pratiquant. Références Voir aussi Arts martiaux Art martial japonais


text: Le Great Internet Mersenne Prime Search, ou GIMPS, est un projet de calcul partagé où les volontaires utilisent un logiciel client pour chercher les nombres premiers de Mersenne. Le projet a été fondé par George Woltman, qui est aussi le créateur du logiciel de calcul distribué employé. L'algorithme utilisé est le test de primalité de Lucas-Lehmer pour les nombres de Mersenne. Ce projet a permis de trouver les quinze plus grands nombres premiers de Mersenne connus qui sont aussi les quinze plus grands nombres premiers connus. Le plus grand connu depuis est 2 − 1, un nombre de 24 862 048 chiffres. Ainsi, le GIMPS a pu remporter le , la première récompense de offerte par l'Electronic Frontier Foundation pour la découverte du premier nombre premier de plus d'un million de chiffres (avec M6 972 593 de chiffres). Des règles de répartition de la récompense sont prévues par le GIMPS entre l'internaute qui trouve le nombre, le GIMPS, des œuvres caritatives et les autres internautes qui participent au GIMPS et trouvent des nombres premiers. L'Electronic Frontier Foundation offre d'autres récompenses de 100 000, et de pour, respectivement, la découverte de nombres premiers de plus de 10, 10 et 10 chiffres. Le GIMPS ayant trouvé le , M43 112 609, un nombre premier de chiffres, a remporté le second prix de . Nombres premiers découverts Un nombre premier de Mersenne, noté Mp, est un nombre premier s'écrivant sous la forme , p étant un nombre premier. Avec la notation Mn, n est le rang du nombre de Mersenne. Au , M44 (2-1) est le plus grand nombre premier de Mersenne pour lequel on sait qu'il n'y a pas d'autre nombre premier de Mersenne plus petit encore inconnu. La vérification est en cours pour les nombres plus grands. Notons que les nombres ne sont pas forcément découverts dans l'ordre croissant, puisque la découverte se fait par un travail collaboratif de milliers d'ordinateurs. Au tous les exposants inférieurs à 47 730 973 ont été testés et contrôlées ce qui garantit que M46 est bien le 46 M et tous les exposants inférieurs à 84 589 913 ont été testés au moins une fois ce qui pré-garantit que tous les nombres de Mersenne inférieur à M51 ont été trouvés. Note Voir aussi Prime95 Calcul distribué Plus grand nombre premier connu Nombre de Mersenne premier Liens externes Site officiel en anglais Wiki officiel Calcul distribué Nombre premier de Mersenne Test de primalité


text: Global 200 fait référence aux 238 régions écologiques définies par le World Wildlife Fund (WWF) comme étant les plus représentatives des principaux types d'habitats terrestres, marins, et d'eau douce. Le choix de ces régions s'est fondé sur différents critères tels que la richesse en espèces le caractère endémique des espèces le caractère unique des taxons les plus évolués l'existence d'une situation particulière la rareté du type d'habitat associé Le WWF considère les régions dites « Global 200 » comme exceptionnelles au niveau biologique et prioritaires en matière de conservation. 142 sont des écorégions terrestres. 53 sont des écorégions d'eau douce. 43 sont des écorégions marines. Contexte Le WWF a identifié 867 écorégions terrestres sur la surface de la Terre, ainsi que des écorégions d'eau douce et marines. Le but de ce système de classification est d’assurer que l'ensemble des écosystèmes soit représenté dans les stratégies régionales de conservation et de développement. Parmi ces écorégions, le WWF a sélectionné les Global 200 comme les écorégions les plus essentielles à la conservation de la biodiversité mondiale. La liste des Global 200 contient 238 écorégions, composée de 142 écorégions terrestres, 53 écorégions d'eau douce et 43 écorégions marines. Les protecteurs de la nature intéressés dans la préservation de la biodiversité sont généralement focalisés dans la préservation des forêts tropicales humides car il a été estimé qu'elles sont le refuge de la moitié des espèces de la planète. Par ailleurs, le WWF a déterminé qu'une stratégie plus globale pour la conservation de la biodiversité mondiale devait aussi considérer l'autre moitié des espèces, ainsi que les écosystèmes qui les soutiennent. Plusieurs habitats, tel que le biome forêts, bois et broussailles méditerranéens, sont connus pour être plus menacés que les forêts tropicales humides, et donc nécessitent une action de conservation concertée. WWF soutient que , c'est pourquoi les stratégies de conservation en fonction de l'écorégion sont considérées comme essentielles. Classification Historiquement, les zoologues et les botanistes ont développé divers systèmes de classification qui prennent en compte les communautés de plantes et d'animaux. Deux des systèmes de classifications mondiales les plus utilisés aujourd'hui ont été résumés par Myklos Udvardy en 1975. La surface terrestre de la Terre peut être divisée en huit régions biogéographiques (appelées écozones par le WWF) qui représentent les plus grandes communautés d'animaux et de plantes, et sont une synthèse des systèmes antérieurs des provinces floristiques et des régions faunistiques. Le système de biome classifie le monde en types d'écosystèmes (forêts, prairies, etc.) en fonction du climat et de la végétation. Chaque région biogéographique contient plusieurs biomes, et les biomes se trouvent sur plusieurs régions biogéographiques. Un système de provinces biogéographiques a été développé pour identifier les zones géographiques spécifiques dans chaque région biogéographique qui étaient d'un type de biome cohérent, et qui partageaient différentes communautés de plantes et d'animaux. Le système WWF représente un affinement plus avancé dans le système des biomes (que le WWF appelle , région biogéographiques, et provinces biogéographiques (le plan du WWF divise la plupart des provinces biogéographiques en plusieurs écorégions plus petites). Processus de sélection Fondé sur une liste complète des écorégions, le Global 200 comprend tous les types d'habitats principaux (biomes), tous les types d'écosystèmes, et les espèces provenant de tous les types d'habitats principaux. Il se focalise sur chaque type d'habitat principal de chaque continent (tel que la forêt tropicale ou le récif corallien). Il utilise des écorégions comme unité de mesure de comparaison. Le WWF indique que les écorégions pourraient être considérées comme des unités à l'échelle régionale car elles présentent des communautés biologiques similaires. Certaines écorégions ont été choisies par rapport à d'autres écorégions du même type d'habitat principal (biome) ou écozone. La sélection des Global 200 s'est faite à partir d'études approfondies de 19 types d'habitats principaux terrestres, marins ou d'eau douce. La sélection des écorégions est fondées sur l'analyse de la richesse spécifique, l'endémisme spécifique, les unique higher taxa, les phénomènes évolutifs ou écologiques inhabituels, et la rareté globale du principal type d'habitat. La liste des écorégions Global 200 est la plus utile aux efforts de conservation à l'échelle régionale : la déforestation locale, la destruction des zones humides, la dégradation des sols, etc. Pourtant, certains phénomènes, tel que la migration des baleines ou des oiseaux, dépend de paramètres plus complexes inutilisés pour définir la base de données actuelle, tels que les courants atmosphériques et les écosystèmes pélagiques dynamiques. Ils nécessitent de rassembler davantage d'information, et de coordination d'effort entre les différentes écorégions. Toutefois, la liste peut soutenir ces efforts en identifiant les sites habitat et les sites de repos pour les animaux migrants. Cela pourrait aussi aider à identifier la provenance d'espèces invasives, et permettre de comprendre comment ralentir ou stopper leur intrusion. Liste des écorégions Écorégions terrestres Écorégions d'eau douce Écorégions marines Voir aussi Espèce Écorégion Écologie


text: En mathématiques, et plus précisément en théorie des nombres, le dernier théorème de Fermat, ou grand théorème de Fermat, ou depuis sa démonstration théorème de Fermat-Wiles, s'énonce comme suit : Énoncé par Pierre de Fermat d'une manière similaire dans une note marginale de son exemplaire d'un livre de Diophante, il a cependant attendu plus de trois siècles une preuve publiée et validée, établie par le mathématicien britannique Andrew Wiles en 1994. C'est surtout par les idées qu'il a fallu mettre en œuvre pour le démontrer, par les outils qui ont été mis en place pour ce faire, qu'il a pris une valeur considérable. Contexte Dans le cas où , l'équation correspond à l'addition usuelle et a donc une infinité de solutions. Dans le cas où cette équation a encore une infinité de solutions en nombres entiers positifs non nuls, les triplets pythagoriciens, dont le plus petit est (3, 4, 5) : 3 + 4 = 5. Le théorème de Fermat-Wiles établit que pour , cette équation n'a pas de solution en entiers positifs non nuls (les autres solutions, de la forme , sont souvent appelées solutions triviales). Si l'équation n'a pas de solution (en entiers positifs non nuls) pour un exposant donné, elle n'en a pour aucun des multiples de (puisque ) et donc il suffit, pour démontrer le théorème général, de le démontrer pour premier impair et pour . Historique Énoncé de Fermat Le théorème doit son nom à Pierre de Fermat, qui l'énonce en marge d'une traduction (du grec au latin) des Arithmétiques de Diophante, en regard d'un problème ayant trait aux triplets pythagoriciens : . On ignore la destination de ces notes marginales, qui paraissent cependant avoir été réservées au seul usage du mathématicien, même si on peut trouver qu'elles sont écrites « dans un style qui suppose la présence d’un lecteur ». Elles nous sont parvenues par une transcription réalisée par son fils Samuel, qui a publié une réédition du Diophante de Bachet augmentée des annotations de son père 5 ans après la mort de celui-ci. On n'a pas d'autre description de l'exemplaire portant les annotations de Fermat, qui a été perdu très tôt, peut-être détruit par son fils pour cette édition. Cette note est le seul témoignage dont on dispose de la part de Fermat sur cet énoncé dans le cas général. A fortiori aucune démonstration ou tentative de démonstration n'a été retrouvée. En revanche, Fermat évoque à plusieurs reprises le cas des cubes et des puissances quatrièmes, et on possède des preuves de lui et de contemporains sur le cas des puissances quatrièmes. Le nom du théorème Les résultats de Fermat (presque toujours annoncés sous forme de problèmes, et sans démonstration) n'ont en général pas reçu de nom, à l'exception de son petit théorème, appelé simplement « théorème de Fermat » par Gauss ; le résultat énoncé dans la note marginale, découvert après la mort de son auteur, fut logiquement appelé alors « dernier théorème de Fermat », nom qui devint également le sien dans la plupart des langues étrangères : en anglais, en danois, et dans les langues romanes, mais aussi en japonais et en coréen, en arabe, en hébreu et en turc. Au début du , la dénomination de « petit théorème de Fermat » devint fréquente, et le « dernier théorème de Fermat » (entre-temps souvent énoncé sous le nom de « conjecture de Fermat ») prit alternativement, par contraste, le nom de « grand théorème de Fermat », par exemple en allemand ou en chinois. Enfin, depuis sa démonstration par Wiles, on rencontre de plus en plus fréquemment la dénomination de « théorème de Fermat-Wiles », ou parfois même simplement « théorème de Fermat ». Premières approches En 1670, le fils de Fermat réédite les Arithmétiques, contenant entre autres le « théorème de Fermat sur les triangles rectangles », qui résout le cas . Il ne reste alors qu'à démontrer le théorème pour un exposant premier impair, cas dans lequel le théorème peut s'énoncer sous cette forme symétrique : pour tout nombre premier impair, l'équation n'a pas de solution en entiers relatifs , , non nuls. En 1753, Euler transforme l'équation en . L'étude des propriétés des nombres de la forme sera omise de sa preuve. . En 1816, l'Académie des sciences de Paris offre une médaille d'or et un prix de à celui qui résoudrait la question. En 1825, Lejeune Dirichlet et Legendre prouvent le cas . Simultanément, Legendre expose un sous-produit de l'attaque globale (vouée à l'échec) tentée par Germain : le « théorème de Sophie Germain », qui permet entre autres de démontrer le premier cas du théorème de Fermat (celui où les valeurs des variables sous l'exposant premier sont toutes trois non divisibles par ) pour les exposants premiers inférieurs à 100. En 1832, Dirichlet prouve le cas . En 1839, Lamé prouve le cas . En 1977, H. M. Edwards a exprimé des doutes sur la validité de la démonstration de Lamé, mais selon C. Goldstein, cette démonstration est correcte. Contrairement aux démonstrations qui avaient été données pour les exposants 3 et 5, elle ne fait intervenir que les propriétés élémentaires de divisibilité dans l'anneau des entiers relatifs. En 1847, Lamé et Cauchy proposent chacun de leur côté une démonstration du grand théorème, qu’ils présentent d’ailleurs comme incomplète, mais tous deux s’étaient engagés dans une voie sans issue. En 1850, le prix de l'Académie est renouvelé. À partir de 1847, Ernst Kummer franchit un pas décisif en démontrant le dernier théorème de Fermat pour tout exposant inférieur à 100. À cette fin, il introduit l'étude systématique des corps cyclotomiques, qui le conduit à introduire les nombres idéaux. Il en déduit que ce dernier théorème tombe dans le cas de nombres premiers réguliers (cette première étape est obtenue en 1847 ; le cas des trois nombres irréguliers inférieurs à 100, c'est-à-dire 37, 59 et 67, sera résolu en 1857). Ces études renouvellent également l'intérêt pour les nombres de Bernoulli. Ainsi, apparaît le réel intérêt de ce théorème négatif : c'est un moteur puissant qui va obliger pour le résoudre à étudier les structures algébriques d'objets dont on aurait eu peine à imaginer l'existence au temps de Fermat. L'idée s'affirme alors que ce dernier théorème, loin d'être une fin en soi, n'est qu'un début pour l'étude de questions bien plus profondes et qui sont au cœur de l'invention mathématique contemporaine. En 1856, Johann August Grunert publie des résultats élémentaires sur la taille des solutions éventuelles. En 1894, Ernst Wendt donne un critère pour appliquer les théorèmes de Sophie Germain et leur généralisation. Ces études se prolongeront en 1935 avec Emma Lehmer, et en 1959, avec Leonard Carlitz. En 1908, l'université de Göttingen et la fondation Wolfskehl offrent un prix de à qui trouverait la démonstration avant cent ans. Le prix a été alloué le 27 juin 1997 à Andrew Wiles qui récolta la somme de 50 000 $ En 1909, Arthur Wieferich montre que le premier cas (celui où le produit n’est pas divisible par ) est vérifié si p ne divise pas 2 – 1. En 1931, Massoutié et Pomey donnent des conditions de divisibilité sur d'éventuelles solutions. Paulo Ribenboim considère ces résultats comme marginaux et en dit autant de certains résultats, très différents, de Swistak (1969), de M. Mihaljinec (1952) et de Rameswar Rao (1969). En 1952, Harry Vandiver utilise un ordinateur SWAC pour le démontrer pour tous les exposants inférieurs à 2000. Les progrès fulgurants des trente années précédant la démonstration de Wiles sont liés à des travaux de Jean-Pierre Serre, d'Yves Hellegouarch et de Robert Langlands sur la représentation des courbes elliptiques par les fonctions modulaires. On peut également interpréter ce théorème géométriquement en considérant les courbes d'équation : . Si , le théorème affirme que ces courbes ne passent par aucun point à coordonnées rationnelles non nulles. Bien que cette approche ait échoué à démontrer la conjecture, le théorème de Faltings prouve du moins que ces courbes n'admettent qu'un nombre fini de points rationnels. Fermat l'avait-il démontré ? L'énoncé de Fermat n'a été connu que cinq ans après sa mort, grâce à la publication par son fils des notes en marge de son exemplaire des Arithmétiques de Diophante, et on ne trouve pas d'autre mention du cas général dans ses travaux. Par ailleurs, les démonstrations partielles données au cours des siècles qui ont suivi ont nécessité des outils mathématiques qui n'existaient pas au temps de Fermat. La quasi-totalité des mathématiciens estiment donc aujourd'hui que Fermat avait seulement cru démontrer le résultat général, mais qu'il s'était trompé. Avant les travaux de Wiles, peu de professionnels tentaient encore de s'attaquer directement à ce théorème. Malgré cela, de nombreux amateurs optimistes étaient et sont encore persuadés d'avoir découvert une preuve très simple (pas nécessairement celle de Fermat) ; leurs erreurs sont le plus souvent d'un niveau très élémentaire. Dans toute l'œuvre mathématique laissée par Fermat, on ne trouve qu'une démonstration : celle du fait qu'« il n’y a aucun triangle rectangle dont l’aire soit carrée », fait dont le cas du « grand théorème » se déduit immédiatement. Le cas plus délicat n'a été démontré qu'un siècle plus tard par Euler, encore sa preuve publiée en 1770 est-elle incomplète, l'un des arguments étant erroné. Cependant, Fermat y fait référence dans cinq de ses lettres, de juin 1638 à août 1659 : deux à Mersenne, deux à Digby et une à Huygens par l’intermédiaire de Carcavi : . Il « savait comment le prouver » et défiait ses contemporains d'y parvenir. Par ailleurs, il est possible de démontrer le cas par la méthode de descente infinie, même si elle est plus difficile à mettre en œuvre que pour le cas . Aussi les historiens estiment-ils possible, voire probable, que Fermat ait disposé également d'une démonstration du théorème dans le cas , ou au moins des grandes lignes de celle-ci. Mais les historiens des mathématiques ne sont pas certains que Fermat lui-même ait été longtemps convaincu d'avoir une preuve dans le cas général. En effet, les annotations marginales de Fermat sont des notes de lectures destinées à son usage personnel qui ne sont pas datées. Pour la chronologie de ses découvertes les historiens s'appuient sur sa correspondance. Or, si Fermat mentionne bien dans celle-ci les cas particuliers du théorème pour et , il n'aborde jamais explicitement le cas général, ce qui est la seule exception parmi ses énoncés de théorie des nombres. La mention de ces deux cas particuliers laisse cependant penser que la note en marge date du début de son intérêt pour le domaine, et que Fermat s'était lui-même rapidement rendu compte qu'il n'avait pas de démonstration de son Grand Théorème dans le cas général, ni même simplement dans le cas ; il n'avait pas à se rétracter puisque la conjecture était restée privée. Un autre argument est évoqué par l'historien Michael Sean Mahoney, qui fait la comparaison avec la conjecture de Fermat, fausse celle-ci, sur la primalité des nombres dits depuis « nombres de . En effet après avoir écrit plusieurs fois à ses correspondants qu'il n'avait pas de démonstration de ce résultat, il assure en posséder une par descente infinie dans une lettre de 1659 à Carcavi. Or la conjecture de Fermat est en défaut pour ( n'est pas premier car divisible par 641), ce qui conduit Mahoney à supposer que Fermat n'aurait vérifié précisément cette conjecture que jusqu'à , par une méthode dont il se serait persuadé à tort qu'elle fonctionnait au-delà, et procédé de même pour son « dernier théorème ». On ignore à ce jour s'il est possible de prouver le théorème de Fermat par des raisonnements n'utilisant que les propriétés arithmétiques et algébriques des entiers déjà connues de son temps, mais l'on sait que certaines pistes, telles que la méthode de descente infinie, échouent sous la forme qui réussit pour les petites valeurs de . La plupart des spécialistes estiment pour cette raison qu'une approche « élémentaire » est vouée à l'échec. Démonstration par Andrew Wiles Après avoir été l'objet de fiévreuses recherches pendant près de 350 ans, n'aboutissant qu'à des résultats partiels, le théorème est finalement démontré par le mathématicien Andrew Wiles, au bout de huit ans de recherches intenses, dont sept dans le secret le plus total. La démonstration, publiée en 1995, recourt à des outils très puissants de la théorie des nombres : Wiles a prouvé un cas particulier de la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil, dont on savait depuis quelque temps déjà, via les travaux de Yves Hellegouarch en 1971 (note au CRAS), puis de Gerhard Frey, Jean-Pierre Serre et Ken Ribet, qu'elle impliquait le théorème. La démonstration fait appel aux formes modulaires, aux représentations galoisiennes, à la cohomologie galoisienne, aux représentations automorphes, à une ... La présentation de la démonstration par Andrew Wiles s'est faite en deux temps : En juin 1993, en conclusion d'une conférence de trois jours, il annonce que le grand théorème de Fermat est un corollaire de ses principaux résultats exposés. Dans les mois qui suivent, la dernière mouture de sa preuve est soumise à une équipe de six spécialistes (trois suffisent d'habitude) nommés par Barry Mazur ; chacun doit évaluer une partie du travail de Wiles. Parmi eux figurent Nick Katz et Luc Illusie, que Katz a appelé en juillet pour l'aider ; la partie de la preuve dont il a la charge est en effet très compliquée : on doit réussir à appliquer le système d'Euler. Font aussi partie des jurés Gerd Faltings, Ken Ribet et Richard Taylor. On travaille dans la plus grande confidentialité, l’atmosphère est tendue, le poids du secret est lourd à porter. Après que Katz a transmis à Wiles quelques points à préciser, que celui-ci clarifie rapidement, les choses commencent à se gâter : Nick Katz et Luc Illusie finissent par admettre qu'on ne peut pas établir dans la preuve, pour l’appliquer ensuite, le système d'Euler, alors que cet élément est considéré comme vital pour la faire fonctionner. Peter Sarnak, que Wiles avait mis dans la confidence de sa découverte avant la conférence de juin, lui conseille alors de se faire aider par Taylor. Les tentatives pour combler la faille se révèlent pourtant de plus en plus désespérées, et Wiles, maintenant sous le feu des projecteurs, vit une période très difficile, il est à bout de forces, il pense qu'il a échoué et se résigne. Ce n’est que neuf mois plus tard que se produira le dénouement. À l’automne, Taylor suggère de reprendre la ligne d’attaque (Flach-Kolyvagin) utilisée trois ans auparavant. Wiles, bien que convaincu que ça ne marcherait pas, accepte, mais surtout pour convaincre Taylor qu'elle ne pourrait pas marcher. Wiles y travaille environ deux semaines et soudain (19 septembre 1994) : Alors que, prises séparément, Flach-Kolyvagin et Iwasawa étaient inadéquates, ensemble, elles se complètent. Le 25 octobre 1994, deux manuscrits sont diffusés : Les courbes modulaires elliptiques et le dernier théorème de Fermat (par Andrew Wiles), et Les propriétés annulaires théoriques de certaines fonctions de Hecke (par Richard Taylor et Andrew Wiles). Le premier, très long, annonce entre autres la preuve, en se fondant sur le second pour un point crucial. Le document final est publié en 1995. Méthode de la démonstration Principe La démonstration d'Andrew Wiles s'appuie sur de nombreux travaux antérieurs et peut se résumer comme suit : on se ramène d'abord aux cas d'exposants premiers supérieurs à 5 ; à une solution non triviale (c'est-à-dire ) avec les entiers relatifs premiers entre eux, on associe une courbe elliptique particulière (Frey, reprenant des idées d'Hellegouarch), définie sur le corps Q des nombres rationnels ; on démontre que la courbe de Frey-Hellegouarch ne peut pas être paramétrée par des fonctions modulaires (théorème de Ribet, démontrant une conjecture de Serre) ; on démontre que toute courbe elliptique définie sur le corps Q des nombres rationnels — ou une classe suffisamment importante pour contenir celle de Frey-Hellegouarch — est paramétrée par des fonctions modulaires : c'est la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil, si importante en théorie des nombres, démontrée par Wiles pour une classe de courbes elliptiques suffisante. La contradiction qui en résulte montre que l'équation de Fermat ne peut avoir de solutions en entiers non nuls. Notions utilisées Courbes elliptiques Une courbe elliptique est une courbe algébrique non singulière dont l'équation (dans un repère convenable) peut se mettre sous la forme : (les coefficients , , , et sont des éléments d'un corps sur lequel on dit que la courbe est définie). Une telle équation correspond à une courbe non singulière (c'est-à-dire sans point de rebroussement, ni point double) si et seulement si un certain polynôme sur les coefficients, le discriminant, ne s'annule pas. L'équation d'une cubique de ce type définie sur le corps des nombres réels ou plus généralement sur un corps de caractéristique 0, peut être mise sous une forme encore plus simple (dite équation de Weierstrass) : Le discriminant de cette courbe est . S'il est non nul, la courbe est non singulière, et donc est une courbe elliptique. Courbe de Frey-Hellegouarch En 1984, Gerhard Frey crut pouvoir démontrer que, si est un contre-exemple au théorème de Fermat, la courbe elliptique introduite par Yves Hellegouarch, d'équation , fournissait un contre-exemple à la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil selon laquelle toute courbe elliptique est paramétrable par des fonctions modulaires. L'argument de Frey n'était pas entièrement correct, mais Jean-Pierre Serre a vu ce qu'il fallait rajouter pour qu'il marche, ce qui l'a conduit à formuler sa de telle sorte que Shimura-Taniyama-Weil + ε implique Fermat. Comme dans d'autres situations en mathématiques, le fait d'intégrer le problème de Fermat dans un cadre plus général et apparemment beaucoup plus difficile a permis de grandes avancées, parce que l'on dispose alors de tout un outillage développé pour ce cadre. Démonstration de Kenneth Ribet En 1986, après pratiquement deux ans d'effort, l'Américain Ken Ribet réussit à démontrer la conjecture ε de Serre, dont une des conséquences est que la courbe de Frey-Hellegouarch n'est pas paramétrable par des fonctions modulaires. Il ne restait plus qu'à démontrer la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil : « Toute courbe elliptique est paramétrable par des fonctions modulaires. » Conjecture de Shimura-Taniyama-Weil La conjecture de Shimura-Taniyama-Weil précise que les courbes elliptiques sur Q peuvent toujours être associées à (ou paramétrées par) des fonctions spéciales dites modulaires (généralisation des fonctions trigonométriques). Pour démontrer cette conjecture, Andrew Wiles utilisa entre autres les notions mathématiques suivantes : les fonctions L ; les formes modulaires ; les groupes de Galois absolus ; la théorie des déformations des représentations galoisiennes. La démonstration complète pour les courbes elliptiques semi-stables a été publiée en 1995 dans Annals of Mathematics. Les conséquences de la découverte Dès 1987, Serre avait montré que les résultats de Ribet permettraient, si la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil était vraie, de résoudre des équations de Fermat généralisées telles que (pour ) ; sous la même hypothèse, Henri Darmon et Andrew Granville ont pu adapter ces techniques à la résolution des équations et par exemple. Mais pour faire aboutir sa démonstration, Wiles a dû combiner un impressionnant arsenal de résultats obtenus avant lui, et surtout inventer des techniques complètement nouvelles qui ont révolutionné la théorie des nombres. Ces techniques, améliorées ensuite par d'autres mathématiciens, ont permis des avancées spectaculaires dans le programme mis au point par Robert Langlands. Une des retombées de ces avancées a été la démonstration (à l'été 2009) de la conjecture de Satō-Tate. En 2016, Wiles reçoit le prix Abel Dans la culture Surtout avant la démonstration de Wiles, le théorème et la recherche de la démonstration de Fermat sont souvent apparus dans la littérature « populaire » (par exemple, Lisbeth Salander en trouve une démonstration élémentaire à la fin de La Fille qui rêvait d'un bidon d'essence et d'une allumette ; Arthur Porges en fait le prix d'un pacte avec le Diable dans The Devil and Simon Flagg, etc.). De même, à la télévision, plusieurs mentions du théorème apparaissent dans la série Star Trek : dans Star Trek : La Nouvelle Génération, dans l'épisode The Royale (saison 2, épisode 12, diffusé en 1989, 5 ans avant que le théorème eût été démontré), le théorème de Fermat est décrit comme irrésolu au , soit 700 ans après les écrits de Fermat ; dans l'épisode Facets (saison 3, épisode 25, diffusé le 12 juin 1995) de Star Trek: Deep Space Nine, une nouvelle démonstration du dernier théorème de Fermat est découverte au 23 siècle, Jadzia Dax déclarant que . Les romans suivants sont plus centrés sur le théorème lui-même : Denis Guedj, Le Théorème du Perroquet, Le Seuil, 1998. Guillermo Martínez, , NiL Éditions, 2004. Jean d'Aillon, La Conjecture de Fermat, Lattès, 2006. Notes et références Notes Références Annexes Bibliographie , version préliminaire. et 2014 t. 1 (1891), 2 (1894) et 4 (1912) Articles connexes Conjecture d'Euler (généralisant celle de Fermat à des sommes de puissances -ièmes, mais réfutée en 1966) Conjecture de Beal (une autre généralisation de celle de Fermat) Conjecture abc (laquelle entraîne par exemple le théorème de Fermat pour des exposants suffisamment grands) Conjecture de Fermat-Catalan, combinant les idées du dernier théorème de Fermat et la conjecture de Catalan. Liens externes « L'incroyable histoire de la conjecture de Fermat », Mathador, chaîne Youtube, 9 septembre 2022. Un documentaire télévisé de vulgarisation de Simon Singh The Mathematics of Fermat's Last Theorem, un réseau de sites permettant une approche complète de la démonstration de Wiles. Équation diophantienne Fermat-Wiles Fermat-Wiles Arithmétique modulaire Fermat Pierre de Fermat


text: Le genre comprend des insectes hémiptères hétéroptères (punaises) de la famille des Lygaeidae, et de la sous-famille des Geocorinae. Ce sont des prédateurs. Les larves et les adultes ont pour proies principalement les acariens, les psylles, les pucerons et les thrips sur les arbres fruitiers, la vigne et les cultures légumières. Historique et dénomination Le genre Geocoris a été décrit par l'entomologiste suédois Carl Frederick Fallén en 1814. Taxinomie Liste des sous-genres et des espèces Sous-genre Geocoris (Eilatus) Geocoris chloroticus Puton, 1888 Geocoris confalonierii (de Bergevin, 1932) Sous-genre Geocoris (Geocoris) Fallén, 1814 Geocoris albipennis Fabricius Geocoris arenarius (Jakovlev, 1867) Geocoris ater (Fabricius, 1787) Geocoris dispar (Waga, 1839) Geocoris erytrops (Dufour, 1857) Geocoris grylloides (Linnaeus, 1761) Geocoris lapponicus Zetterstedt, 1838 Geocoris lineola (Rambur, 1839) Geocoris megacephalus (Rossi, 1790) Geocoris pallidipennis (A. Costa, 1843) Sous-genre Geocoris (Piocoris) Stål, 1872 Geocoris erythrocephalus (Lepeletier & Serville, 1825) Espèces non classées dans un sous-genre Geocoris acuticeps Signoret, 1881 Geocoris collaris Puton, 1878 Geocoris desertorum (Jakovlev, 1871) Geocoris oschanini (Jakovlev, 1871) Geocoris phaeopterus (Germar, 1838) Geocoris pubescens (Jakovlev, 1871) Geocoris punctipes (Say, 1832) Liens externes Notes et références Geocoridae Genre d'Hétéroptères (nom scientifique) Insecte auxiliaire Insecte décrit en 1814


text: Le gujarati ou goudjarati (, , prononcé en gujarati et en français) est une langue indienne appartenant au groupe indo-iranien de la famille des langues indo-européennes. Il est parlé principalement dans l'État de Gujarat (Goudjerat), dans l'ouest de l'Inde. C'est une langue officielle reconnue par la Constitution fédérale, dérivée de prâkrits, et très proche du rajasthani dont il dérive ; les locuteurs musulmans et parsis ont, de fait, apporté un grand nombre de termes arabo-persans à son lexique. Le gujarati est noté au moyen d'un alphasyllabaire très similaire à la devanagari mais sans la ligne continue caractéristique qui relie le sommet des caractères. Il compte environ de locuteurs. Répartition géographique Le gujarati est parlé par environ de personnes dans le monde. Selon le recensement indien de 2011, de l'Inde ont le gujarati comme langue maternelle, dont au Gujarat, au Maharashtra et dans les autres états. Les locuteurs étrangers sont environ en Tanzanie, en Ouganda, au Pakistan, au Kenya et au Zimbabwe. La langue compte également des locuteurs en Afrique du Sud qui, selon l'article 6 de sa constitution, en fait la promotion. En Inde, le gujarati est la langue principale de l'État du Gujarat et des territoires Daman et Diu et Dadra et Nagar Haveli. Un nombre important de locuteurs vivent aux États-Unis (dans les États du New Jersey, de New York, du Texas et de Californie) et au Royaume-Uni (Leicester et Wembley), mais aussi dans les îles de l'Océan indien, Maurice, Madagascar, Réunion et l'archipel des Comores. Statut officiel Le gujarati est langue officielle de l'État du Gujarat, en Inde. Histoire Après la fondation de l'État du Gujarat en 1960 sur la base de la langue gujarati, il y a un besoin de littérature disponible pour le public gujarati. Après des années d'efforts de la part de l'écrivain gujarati , le est créé en et est constitué de nombreux universitaires et personnalités de diverses disciplines. Le travail de création d'une encyclopédie en 25 volumes en langue gujarati commence cette même année sous la direction de Dhirubhai Thaker : la Gujarati Vishwakosh. Classification Le gujarati est une langue appartenant au groupe indo-iranien des langues indo-européennes. C'est une des langues les plus proches du sanskrit. Dialectes Langues dérivées Kutchhy Écriture Le gujarati est noté au moyen d'un alphasyllabaire, l’alphasyllabaire gujarati, très similaire à la devanagari mais sans la ligne continue caractéristique qui relie le sommet des caractères. Phonologie Voyelles Note 1 : la voyelle n'existe que dans des mots empruntés à l'anglais. Il existe une distinction entre les voyelles orales et nasales, ainsi qu'entre les voyelles murmurées et non murmurées (sauf pour et ) Le gujarati ne différencie plus les voyelles courtes et longues. Il reste cependant des vestiges de cette distinction : les voyelles et ont deux graphies chacune, la première (ઇ ; ઉ) correspondant à une voyelle qui était autrefois courte, et la seconde (ઈ ; ઊ) à une voyelle qui était longue. Toutefois, toutes les voyelles sont généralement longues quand elles sont nasalisées ou dans une syllabe finale. La nasalisation (anusvāra) est indiquée par un bindu (ં). Consonnes Note 1 : la consonne n'existe que dans des mots d'origine sanskrit, ou dans certains dialectes minoritaires. Sinon, le caractère ફ représente la consonne . Note 2 : certains locuteurs utilisent dans les mots empruntés au persan et à l'anglais. Cependant, dans les emprunts provenant du persan, les consonnes et remplacent généralement . Note 3 : le symbole le plus adapté serait , mais celui-ci n'apparaît pas correctement sur la plupart des navigateurs. Les consonnes , et ont pour allophones respectifs , et . Les consonnes , et ont pour allophones respectifs , et . La consonne a pour allophones et . Grammaire Le gujarati possède trois genres grammaticaux (masculin, féminin et neutre), deux nombres (singulier et pluriel) ainsi que trois cas (nominatif, oblique/vocatif et locatif). Les noms peuvent être divisés en deux catégories selon leurs déclinaisons : les noms marqués dont la terminaison change et les non-marqués dont la terminaison ne change pas. Voici le paradigme des déclinaisons : En gujarati, il existe aussi une marque du pluriel -ઓ (o). Cependant, ce suffixe n'est pas obligatoire : il n'est généralement pas présent quand la pluralité est indiquée par un autre élément (ex: un accord ou une quantité explicitement exprimée). Toutefois, dans le système de déclinaison, il est souvent marqué. Cette redondance est appelée double pluriel. Voici toutes les terminaisons possibles pour les noms gujaratis : Exemples Lexique હા (Hā) — Oui ના (Nā) — Non નમસ્તે (Namastē) — Bonjour આવજો (Āvajō) — Au revoir. આભાર (Ābhāra) — Merci Phrases મારું નામ સીમા છે. (Māruṁ nāma Sīmā chē.) — Je m’appelle Sima. તમારું નામ શું છે? (Tamāruṁ nāma śuṁ chē?) — Comment vous appelez-vous ? તારું નામ શું છે? (Tāruṁ nāma śuṁ chē?) — Comment t’appelles-tu ? કેમ છો (Kēma chō) — Ça va / bonjour / salut. Notes et références Voir aussi Articles connexes Linguistique Liste de langues Langues par famille Langues indo-européennes Langues indo-iraniennes Langues indo-aryennes Langues par zone géographique Langues en Inde Alphasyllabaire gujarati Écritures indiennes et informatique Liens externes Inventaire de langues Langue indique occidentale Langue ayant des voyelles nasales Langue en Inde Langue au Gujarat