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text: Die Entropiekodierung ist eine Methode zur verlustfreien Datenkompression, die einen aus einzelnen Zeichen bestehenden Text in eine Bitfolge umwandelt. Typische Vertreter sind die Huffman-Kodierung und die arithmetische Kodierung. Im Gegensatz dazu stehen Stringersatzverfahren, die eine Folge von Zeichen des Originaltextes durch eine Folge von Zeichen eines anderen Alphabets ersetzen. Da eine bestimmte Mindestanzahl von Bits notwendig ist, um alle Zeichen voneinander zu unterscheiden, kann die Anzahl der Bits, die den Zeichen zugeordnet werden, nicht unbegrenzt klein werden. Die optimale Anzahl von Bits, die einem Zeichen mit einer gegebenen Wahrscheinlichkeit zugeordnet werden sollte, wird durch die Entropie bestimmt. Entropiekodierer werden häufig mit anderen Kodierern kombiniert. Dabei dienen vorgeschaltete Verfahren dazu, die Entropie der Daten zu verringern. Häufig sind dies Prädiktionsverfahren, Verfahren wie die Burrows-Wheeler-Transformation, aber oft auch andere Komprimierer. LHarc zum Beispiel verwendet einen LZ-Kodierer und gibt die von diesem Kodierer ausgegebenen Zeichen an einen Huffman-Kodierer weiter. Auch Deflate und Bzip besitzen als letzte Stufe einen Entropiekodierer. Kodierung Die Entropiekodierung bestimmt zunächst die Häufigkeit von Symbolen (Zeichen). Jedes Symbol wird durch ein bestimmtes Bitmuster dargestellt. Dabei sollen häufige Symbole durch kurze Bitmuster dargestellt werden, um die Gesamtzahl der benötigten Bits zu minimieren. Mathematische Algorithmen zur Abschätzung der optimalen Länge des Codes eines jeden Symbols führen meist zu nicht ganzzahligen Ergebnissen. Bei der Anwendung müssen die Längen auf ganzzahlige Werte gerundet werden, wodurch man einen Teil der Verdichtung verliert. Mit ganzen Bits Die Shannon-Fano-Kodierung schlägt eine Möglichkeit vor, die die Anzahl der Bits auf ganze Zahlen rundet. Dieser Algorithmus liefert aber in bestimmten Fällen nicht die optimale Lösung. Deshalb wurde der Huffman-Code entwickelt, der beweisbar immer eine der optimalen Lösungen mit ganzen Bits liefert. Beide Algorithmen erzeugen einen präfixfreien Code variabler Länge, indem ein binärer Baum konstruiert wird. In diesem Baum stehen die „Blätter“ für die zu kodierenden Symbole und die inneren Knoten für die abzulegenden Bits. Neben diesen Verfahren, die individuelle Tabellen speziell angepasst auf die zu kodierenden Daten erstellen, gibt es auch Varianten, die feste Codetabellen verwenden. Der Golomb-Code kann zum Beispiel bei Daten verwendet werden, bei denen die Häufigkeitsverteilung bestimmten Regeln unterliegt. Diese Codes haben Parameter, um ihn auf die exakten Parameter der Verteilung der Häufigkeiten anzupassen. Verbesserung Diese Verfahren treffen aber die von der Entropie vorgeschriebene Anzahl von Bits nur in Ausnahmefällen. Das führt zu einer nicht optimalen Kompression. Ein Beispiel: Eine Zeichenkette mit nur 2 verschiedenen Symbolen soll komprimiert werden. Das eine Zeichen hat eine Wahrscheinlichkeit von , das andere von . Die Verfahren von Shannon und Huffman führen dazu, dass beide Zeichen mit je einem Bit abgespeichert werden. Das führt zu einer Ausgabe, die so viele Bits enthält wie die Eingabe an Zeichen. Ein optimaler Entropie-Kodierer würde aber nur Bits für das Zeichen A verwenden und dafür Bits für B. Das führt zu einer Ausgabe, die nur Bits pro Zeichen enthält (maximale Entropie), also fast 20 % Ersparnis. Mit einem arithmetischen Kodierer kann man sich der optimalen Codierung weiter annähern. Dieses Verfahren sorgt implizit für eine gleichmäßigere Verteilung der Bits auf die zu codierenden Zeichen, ohne dass explizit für jedes Zeichen ein individuelles Codezeichen konstruiert wird. Aber auch mit diesem Verfahren kann im Allgemeinen nicht die maximale Entropie erreicht werden. Dies liegt daran, dass es weiterhin einen „Verschnitt“ gibt, der darauf beruht, dass nur ganzzahlige Bitwerte tatsächlich auftreten können, während die Entropie meist Bruchteile von Bits erfordert. Im oben genannten Beispiel erreicht auch der Arithmetische Codierer nur eine Codelänge von einem Bit. Der Verschnitt verschwindet allerdings im Allgemeinen mit zunehmender Länge der zu codierenden Daten, so dass im Grenzwert die Entropie maximiert werden kann. Modell Um die Anzahl der Bits für jedes Zeichen festlegen zu können, muss man zu jedem Zeitpunkt des Kodierungsprozesses möglichst genaue Angaben über die Wahrscheinlichkeit der einzelnen Zeichen machen. Diese Aufgabe hat das Modell. Je besser das Modell die Wahrscheinlichkeiten vorhersagt, desto besser die Kompression. Das Modell muss beim Komprimieren und Dekomprimieren genau die gleichen Werte liefern. Im Laufe der Zeit wurden verschiedene Modelle entwickelt. Statisches Modell Das Statische Modell nimmt an, dass jedes Zeichen für sich genommen eine bestimmte Auftrittswahrscheinlichkeit hat, die sich innerhalb der Zeichenfolge nicht ändert. Vor dem eigentlichen Kodieren werden die Auftrittswahrscheinlichkeiten der einzelnen Zeichen in der gesamten Zeichenfolge bestimmt und ergeben eine Wahrscheinlichkeitstabelle. Die Auftrittswahrscheinlichkeiten werden anschließend zur Kodierung der gesamten Zeichenfolge verwendet. Vorteile: Die Kodiertabelle lässt sich einfach und schnell berechnen. Die Kodiertabelle muss nicht für weitere Zeichenfolgen aufbewahrt werden. Die reine Ausgabe der Kodierung (also ohne die Wahrscheinlichkeitstabelle) ist garantiert nicht größer als die Eingabezeichenfolge. Nachteile: Beim Kodieren muss die gesamte Zeichenfolge zugreifbar sein, da sie zweimal durchlaufen wird. Dadurch lässt das Modell keinen Datenstromalgorithmus zu. Die Wahrscheinlichkeitstabelle muss an den Dekodierer übermittelt werden und erhöht dadurch den Speicherbedarf der kodierten Daten. Die Auftrittswahrscheinlichkeiten beziehen sich auf die gesamte Zeichenfolge, d. h. die Wahrscheinlichkeiten passen sich nicht an lokale Veränderungen in der Eingabezeichenfolge an. Dynamisches Modell In diesem Modell verändern sich die Wahrscheinlichkeiten im Laufe des Kodierungsprozesses. Dabei gibt es mehrere Möglichkeiten: Vorwärts dynamisch Die Wahrscheinlichkeiten beziehen sich auf bereits kodierte Zeichen, das heißt, hier wird nach dem Kodieren eines Zeichens die Wahrscheinlichkeit dieses Zeichens erhöht. Rückwärts dynamisch Hier wird vor dem Kodieren ausgezählt, wie oft jedes Zeichen vorkommt. Aus diesen Zählern lassen sich genaue Wahrscheinlichkeiten ermitteln. Im Laufe des Kodierungsprozesses wird für jedes kodierte Zeichen der dazugehörende Zähler um 1 verringert. Da gegen Ende die Zähler für alle Zeichen gegen 0 streben, werden die Wahrscheinlichkeiten für nicht mehr vorkommende Zeichen auch 0. Diese Zeichen können nicht mehr kodiert werden. Andere Zeichen können dafür mit weniger Bits kodiert werden, da deren Wahrscheinlichkeit steigt. Die Kodiereffizienz steigt auf diese Weise so weit an, dass das letzte Zeichen mit 0 Bits kodiert werden kann. Vorteile: Anpassung des Modells an lokale Gegebenheiten Statistik-Informationen müssen im vorwärts-dynamischen Modell nicht übertragen werden. Nachteile: Tabellen müssen nach jedem Zeichen überarbeitet werden. Das kostet Rechenzeit. Die Statistik eilt den wahren Gegebenheiten hinterher. Im schlimmsten Fall stimmt die Statistik nie mit den wahren Wahrscheinlichkeiten überein, was dazu führt, dass mehr Bits benötigt werden. Normalerweise arbeitet man bei dynamischen Modellen nicht mit Wahrscheinlichkeiten, sondern mit den Häufigkeiten der Zeichen. Dynamische Modelle lassen auch noch andere Variationsmöglichkeiten zu. Man kann Statistik-Daten altern, indem man von Zeit zu Zeit die Häufigkeiten der Zeichen halbiert. Damit verringert man den Einfluss von weit zurückliegenden Zeichen. Für noch nie vorgekommene Zeichen gibt es mehrere Varianten: Man nimmt eine Häufigkeit von mindestens 1 für jedes Zeichen an, so dass alle Zeichen kodiert werden können. Man fügt dem Alphabet ein neues Zeichen hinzu. Dieses Zeichen deutet ein Verlassen des Kontextes an. Nachdem diese Zeichen kodiert wurden, können alle Zeichen des Alphabetes mit einem festen Code geschrieben oder gelesen werden. Das Zeichen wird normalerweise Escape-Zeichen genannt. Einige der besten Komprimieralgorithmen, die der Familie PPM, benutzen dieses Vorgehen. Level des Modells Das Level eines Modells bezieht sich darauf, wie viele Zeichen der Historie vom Modell für die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten herangezogen werden. Ein Level-0-Modell betrachtet keine Historie und gibt die Wahrscheinlichkeiten global an. Ein Level-1-Modell dagegen betrachtet das Vorgängerzeichen und trifft in Abhängigkeit von diesem Zeichen seine Aussage über die Wahrscheinlichkeit. (Soll deutscher Text kodiert werden, ist zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit des Buchstabens „U“ nach einem „Q“ viel höher, oder die Wahrscheinlichkeit eines Großbuchstabens in der Mitte eines Wortes viel kleiner als nach einem Leerzeichen). Das Level kann theoretisch beliebig hoch sein, erfordert dann aber enormen Speicherplatz und große Datenmengen, um aussagekräftige Statistiken zu erhalten. PPM-Algorithmen verwenden einen arithmetischen Kodierer mit einem dynamischen Modell des Levels 5. Literatur Mark Nelson, Jean-Loup Gailly: The Data Compression Book, zweite Ausgabe. M & T Books, New York 1996, ISBN 1-55851-434-1. Dieses Buch bereitet einen relativ guten Einstieg. Es beschäftigt sich allerdings mehr mit der Implementierung in C als mit der Theorie der Datenkompression. Khalid Sayood: Introduction to Data Compression, zweite Ausgabe. Morgan Kaufmann Publishers, San Francisco 2005, ISBN 1-55860-558-4. Dieses Buch ist ein Standardwerk zu den theoretischen und anwendungsrelevanten Grundlagen der Datenkompression. Stefan Weinzierl (Hrsg.): Handbuch der Audiotechnik. Springer Verlag, Berlin 2008, ISBN 978-3-540-34300-4. Tilo Strutz: Bilddatenkompression. Grundlagen, Codierung, Wavelets, JPEG, MPEG, H.264. 4. überarbeitete und ergänzte Auflage, Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2009, ISBN 978-3-8348-0472-3. Datenkompression Informationstheorie


text: Als Engerling (aus mittel- bzw. althochdeutsch engerlinc/engerinc bzw. engiring = kleiner Wurm, Made), manchmal auch Emmerling, bezeichnet man die Käferlarven der Überfamilie Scarabaeoidea. Dazu gehören als bekannteste Käferarten nicht nur die Mai- und Junikäfer, sondern u. a. auch die Gartenlaubkäfer, Rosenkäfer und Nashornkäfer. Nützlinge, gesetzlicher Schutz Während die Larven von Mai-, Juni- und Gartenlaubkäfer als Schädlinge gelten, sind die Larven der Rosen- und Nashornkäfer Nützlinge, die sehr wertvoll in Komposthaufen sind. In Deutschland sind sie gemäß Bundesartenschutzverordnung „besonders geschützte“ Arten. Nach Bundesnaturschutzgesetz ist es danach verboten, „sie zu fangen, zu verletzen oder zu töten oder ihre Entwicklungsformen aus der Natur zu entnehmen, zu beschädigen oder zu zerstören“. Außerdem dürfen ihre „Fortpflanzungs- oder Ruhestätten“ nicht beschädigt oder zerstört werden; es ist außerdem verboten, sie zu kaufen, zu verkaufen oder in Besitz zu nehmen. Bekämpfung Zur biologischen Bekämpfung der Engerlinge des Mai-, Juni- und Gartenlaubkäfers können z. B. Pilze wie Beauveria und Metarhizium eingesetzt werden. Unterscheidung Mai- und Junikäfer-Larven sind vorn und hinten etwa gleich dick, am Kopf haben sie sehr lange, kräftige Beine mit deutlich ausgebildeten „Knicken“. Sie erreichen eine Länge von 5–7 cm und sind im Kompost praktisch nie zu finden. Maikäfer-Engerlinge schlüpfen nach vier bis sechs Wochen aus dem Ei und werden fünf bis sechs Zentimeter lang. Der Körper ist eher weißlich, wohingegen der Kopf braun ist. Sie leben je nach Art zwischen zwei und vier Jahre in der Erde. Zunächst ernähren sie sich von Humus, dann von zarten Gras- und Krautwurzeln (z. B. Löwenzahnwurzeln) und später auch von Baumwurzeln. Der Wurzelfraß kann im Extremfall zum Absterben von ausgewachsenen Buchen führen. Wegen der Ernährung von lebenden Pflanzenwurzeln ist Kompost ein völlig ungeeigneter Lebensraum für diese Art. Bei günstiger Sommerwitterung verpuppt sich der Maikäfer-Engerling und wird nach vier bis sechs Wochen zum Käfer. In dieser Form überwintert er in einer Erdhöhle und gräbt sich, je nach Witterung, im April bis Mai des folgenden Jahres aus dem Erdboden. Rosenkäfer-Larven (Cetonia aurata) sind hinten etwas dicker als vorn, haben nur kleine Stummelbeinchen, kommen typischerweise im Kompost vor und werden zu Unrecht oft aus Angst vor Pflanzenschäden getötet. Sie ernähren sich von verrottendem Holz und Pflanzenmaterial und sind durch die damit einhergehende beschleunigte Zersetzung sehr nützlich und wertvoll im Kompost. Die Larven des Nashornkäfers (Oryctes nasicornis) sind sehr groß. Sie werden etwa 7 cm groß, oft sogar noch größer. Weblinks Einzelnachweise Entomologie Larve Forstschädling en:Scarabaeidae#White grub


text: Eiffel bezeichnet: eine Programmiersprache, siehe Eiffel (Programmiersprache) ein Bauunternehmen, siehe Eiffel Deutschland Stahltechnologie Eiffel (Band), eine französische Rockband Eiffel ist Bestandteil des Namens: eines Bauwerks in Paris, siehe Eiffelturm einer Musikgruppe, siehe Eiffel 65 Eiffel ist der Familienname folgender Personen: Erika Eiffel (* 1972), US-amerikanische Bogenschützin und Sex-Aktivistin Gustave Eiffel (1832–1923), französischer Ingenieur, Konstrukteur des Eiffelturms Savin Yeatman-Eiffel (* 1970), französischer Regisseur Siehe auch: Eifel (Begriffsklärung) Effel


text: Eine Epaulette (veraltet das Epaulett; frz. épaulette, zu épaule „Schulter“) zählt zu dem Schulterbesatz einer Uniform. Im Deutschen bezeichnet man so üblicherweise eine spezielle Form, die sich von der einfachen Schulterklappe oder dem eleganteren Schulterstück unterscheidet. Der Epaulette sehr ähnlich sind die Schulterschuppen, bei denen Schieber und oft auch das Feld komplett mit Metallschuppen besetzt sind. Dies war bspw. bei der sächsischen Kavallerie bis 1914 Praxis. Bei der US-Kavallerie gehörten sie, unter der Bezeichnung shoulder scales, bis zu Beginn des Sezessionskrieges zur Paradeuniform der Mannschaften. Nur sehr entfernt verwandt sind die Schulterketten aus engmaschigen Metallgeflecht. Solche shoulder chains werden in der britischen Yeomanry von Mannschaften und Offizieren, von letzteren mit Rangsternen, getragen. Schulterketten kamen zuerst in der Kavallerie der britischen Indienarmee auf. Sie können als Überbleibsel der mittelalterlichen Kettenrüstung angesehen werden. In abgewandelter Form haben sich Epauletten und Schulterketten längst auch zu Accessoires der Zivilkleidung entwickelt und sind bspw. bei der Rocker- und Punkmode, aber auch bei festlicher Damengarderobe anzutreffen. Aufbau und Trageweise Eine Epaulette besteht im Wesentlichen aus vier Elementen: Schieber bzw. (selten) Zunge, entstanden aus der Versteifung der ledernen oder tuchenen Knopfleiste. Fallsweise waren Schieber (und dann meist auch das Feld) mit Metallschuppen besetzt. In diesem handelte es sich dann nicht um Epauletten, sondern um sog. „Schulterschuppen“. Feld bzw. (selten) Körper, gerundete bzw. ovale Verbreiterung des schulternahen Endes der Knopfleiste Halbmond, Gespinst- oder Metalleinfassung des Feldes als Option: (dünne) Fransen bzw. (dicke) Kantillen Als zwei ergänzende Uniformelemente kommen hinzu: Knopf, zum Einknöpfen der Epaulette, Passant(e) bzw. Steg oder Attente (früher auch Achseltresse) als Epaulettenhalter. Der Passant(e) ist in der Regel aus dem Grundtuch des Uniformrocks gefertigt. Fallweise sind die Passanten sowie der seitliche und/oder der obere Rand des Schiebers mit Tresse (sehr selten: Metallkettchen) besetzt. Bei einigen Uniformen (z. B. bei Offizieren der französischen Marine) haben sich die Attentes zu eigenen Ranginsignien entwickelt, ohne Epauletten. Die Epaulette wird durch Einschieben unter die Passante und das anschließende Einknöpfen befestigt. Werden, statt der Epauletten, Schulterstücke getragen, sind diese ebenfalls einzuknöpfen, doch über den Passanten zu tragen, die dann unter den Schulterstücken hervorragen. Im ersten Drittel des 19. Jahrhunderts galt das lose Tragen der Epauletten in einigen Staaten, wie etwa in Russland, als modisch. Die nur vom Schulterknopf gehaltene Epaulette saß dabei lose vor der Schulter. Der Epaulettenhalter, sofern existent, wurden nicht verwendet. Abzeichen der Offiziere und Elitetruppen Mit Ausnahme Österreichs hielt die Epaulette bis Anfang des 19. Jahrhunderts in den meisten Ländern Europs Einzug. Neben Ringkragen und Sponton diente sie als einheitliches Statussymbol der Offiziere. Später waren, anhand der Trageweise (linke, rechte oder beide Schultern) und/oder des Dekors (Fransen, Kronen, Rangsterne oder -streifen usw.), der individuelle Rang oder zumindest die Dienstgradgruppe des Trägers ablesbar. Daneben wurde sie auch Teil der Gala-Uniform vieler höherer Zivilbeamte. Generale hatten Epauletten mit dicken Raupen bzw. starren Kantillen und die Stabsoffiziere mit dünnen Fransen bzw. losen Kantillen. In Frankreich trugen zur Zeit Napoleon Bonapartes höhere Offiziere unterhalb des Oberstleutnants sowie die Kompanieoffiziere je eine Epaulette (mit dicken Kantillen bzw. dünnen Fransen) und Konterepaulette (ohne Fransen). In den meisten anderen Staaten führten Stabsoffiziere zwei befranste Epauletten, die Kompanieoffiziere jedoch zwei fransenlose (Konter-)Epauletten. Im französischen Heer trugen, bei verschiedenen Garde- und Elite-Truppenteilen, auch die Mannschaften Epauletten (einzelne Truppenteile bis heute). Diese sind traditionell aus gefärbter Wolle gefertigt. Diese Mode setzte sich unter napoleonischem Einfluss vorübergehend auch in einigen Rheinbundstaaten und bei anderen Verbündeten Frankreichs durch. In Preußen trugen nur die Mannschaften der Ulanen den Offiziersepauletten ähnliche Epauletten, bei den übrigen deutschen Staaten wurde dies im Verlauf des 19. Jahrhunderts übernommen. Seit dem letzten Drittel des 19. Jahrhunderts ersetzten bei Offizieren der deutschen und russischen Armee im Feld Schulterstücke die Epauletten. Die Offiziere der deutschen Marine trugen bis 1939 Epauletten zur Großen Uniform. Geschichte Epauletten als Teil militärischer und später auch ziviler Uniformen (Diplomaten, Beamte, Polizei) kamen Mitte des 18. Jahrhunderts auf. Hervorgegangen sind sie wahrscheinlich aus dem um 1680 aufgekommenen Dragoner, einem auf der linken Schulter getragenen, knöpfbaren Bandelierhalter, aus Tuch oder Leder. Möglich erscheint auch eine Verbindung zu jenen zu Bündeln zusammengefassten bunten Stoffstreifen, die Teil der um 1660/1670 neu eingeführten Uniformen waren. Auf beiden Schultern getragen, dienten sie der Dekoration, sollten aber vermutlich auch ein Abrutschen des Bandeliers verhindern. Spätestens um das Jahr 1700 kamen sie aus der Mode. Falsch ist die seit dem späten 19. Jahrhundert verbreitete Annahme, die Epauletten hätten sich aus den Schwebescheiben mittelalterlicher Plattenpanzer entwickelt. Letztere mögen jedoch das martialische Design späterer Epauletten beeinflusst haben, die fallweise mit aufgelegten Metallschuppen und wuchtigen Halbmonden auch als Schutz vor Säbelhieben dienten. Die Einführung der knöpfbaren Epauletten beendete den kostspieligen Brauch, den Dienstgrad anhand aufwändiger Silber- oder Goldstickereien anzuzeigen, die in die Ärmelaufschläge, die Rocktaschen und entlang der Kopflöcher und Knopfleisten des Uniformrocks und teils auch in die Weste eingearbeitet waren. Im Unterschied zu aufgenähten Tressen oder Posamenten, die bei Bedarf problemlos von alten Textilien zu lösen waren, war dies bei Stickereien nicht möglich. Gold- oder silberbestickte Kleidung wurde meist verbrannt, um das verwendete Edelmetall auszuschmelzen. Dessen Materialwert deckte aber bei weitem nicht die Kosten neuer Gold- oder Silberstickereien, sofern dieser von der bisherigen Machart und Güte sein sollten. Die Epauletten hingegen konnten umstandsfrei wiederverwendet werden, falls der bisherige Uniformrock verschlissen und ein neuer anzuschaffen war. Frankreich, 1759 Als erstes Land führte Frankreich Epauletten ein, per Reglement vom 12. Januar 1759. Kriegsminister Belle-Isle verordnete sie anfangs nur den Offizieren einiger Truppengattungen (französische Infanterie, Kavallerie, Dragoner). Belle-Isles Nachfolger Choiseul befahl die Epauletten zwischen 1762 und 1769 den Offizieren aller Truppengattungen, mit Ausnahme der Husaren (die zur Rangunterscheidung Ärmeltressen trugen). Viele Offiziere fühlten sich in ihren alten Vorrechten beeinträchtigt und diffamierten die neuen Gradabzeichen als „Choiseul-Lumpen“ (Guenille à Choiseul). Russland, 1763 1763 wurde in Russland den meisten Truppenteilen ein auf der linken Schulter zu tragendes befranstes Achselstück befohlen, als ein Regimentsabzeichen für alle Dienstgrade. Dieses Achselstück sah den späteren Epauletten bereits sehr ähnlich und zeigte bei Offizieren, anhand von Sternen, den Rang an. Noch vorher aufgekommen waren, in der Kavallerie und in der Garde-Infanterie, rechts getragene Achselbänder. Achselstücke und -bänder verschwanden 1796, als eine schlichte Achselklappe sie ersetzte. Wirkliche Epauletten wurden erst 1807, für Offiziere, eingeführt: mit der Divisionsnummer und zunächst nur auf der linken Schulter (anstelle des Achselstücks), seit 1809 dann auf beiden Schultern. Schon viel früher, seit 1742, hatte die Leib-Kompanie der Zarin Elisabeth befranste, epaulettähnliche Achselstücke getragen. Die aus den vormaligen Grenadieren des Preobraschenski Leib-Garderegiments gebildete Truppe verlor den Schulterschmuck 1762, mit der Rückeingliederung in das Stamm-Regiment. Spanien, 1768 Dreifache rote Schulterbänder (Alamares) kennzeichneten in Spanien bereits seit Beginn des 18. Jahrhunderts die Füsiliere der Artillerie. Sie wurden auf beiden Schultern getragen. Die Artillerie-Offiziere trugen, ebenfalls beidschultrig, goldfarbene Alamares, erhielten aber 1764 stattdessen goldfarbene Schulterknoten bzw. Schulterschnüre (Charretera de cordón bzw. Presilla) mit langen Quasten. Die Dienstgrade waren anhand der Alamares etc. noch nicht unterscheidbar. 1768 kam es zur Wiedereinführung der Alamares, diesmal jedoch für sämtliche Kompanieoffiziere aller Waffengattungen. Die Alamares folgten der Farbe der Knöpfe (Gold oder Silber). Hauptleute 1. wie 2. Klasse führten sie auf beiden Schultern, Leutnante nur rechts, Unterleutnante bzw. Fähnriche nur links. Nach dem gleichen Prinzip ersetzten kurz darauf „echte“ Epauletten (Charreteras) die Alamares. Später führten Offiziere auf einer epaulettenlosen Schulter eine Konter-Epaulette (Capona oder Hombrera, ein Schulterstück oder eine Schulterklappe ohne Fransen). Die im selben Jahr für die Sargentos eingeführten Epauletten bestanden aus Seide. Sie wurden Ginetas genannt und folgten der Abzeichenfarbe. Der Sargento primero trug sie beidseitig, der Sargento (secundo) nur rechts. Die Sergeanten-Epauletten wurden 1844 durch metallfarbene Ärmelstreifen nach französischen Muster abgelöst. Grenadiere und Füsiliere hatten auf der rechten Schulter ebenfalls eine Epaulette, doch war diese war aus Wolle gefertigt. Höhere Regimentsoffiziere (Jefes) und Generale hatten zunächst keine Epauletten, ihr Rang war an bis zu drei Metalltressen (bei Generalen goldfarben) abzulesen, die auf den Ärmelaufschlägen horizontal angeordnet waren. Generale trugen dazu, nach französischem Vorbild, eine goldbetresste dunkelblaue Uniform, mit roten Ärmelaufschlägen und roter, betresster Weste. Großbritannien, 1768 Gleichfalls im Jahr 1768 erging in Großbritannien ein Erlass (Warrant), der den Kompanieoffizieren bis einschließlich Hauptmann, die Foot Guards ausgenommen, Epauletten vorschrieb: bei Grenadieren, Füsilieren und Highlandern waren dies zwei Epauletten mit Metallfransen. Alle übrigen Kompanieoffiziere der Fußregimenter eine Epaulette rechts. Sergeanten zwei, Corporale eine befranste Seidenepaulette rechts (statt der vorherigen Achselschnur bzw. Schulterknotens des Corporals). Bei der Kavallerie ebenso, wobei niedere Offiziere der Dragoons Guards und Dragoons je eine Epaulette links trugen, während Light Dragoons und Horse-Regimenter (Schwere Kavallerie) zwei Epauletten trugen. Die einfachen Mannschaften trugen Schulterklappen. 1791 erhielten auch Generale, zur Dienstuniform (frock), und Stabsoffiziere je zwei Epauletten, mit Kantillen statt Fransen. Bei Grenadieren, Füsilieren, Rifles, Leichter Infanterie und Highlandern hatten die Stabsoffiziere ihre Epauletten auf den beidseitig getragenen Schwalbennestern bzw. „Schulterflügeln“ (Wings) zu tragen. Bayern, 1778 1778 führte Bayerns Kurfürst Karl Theodor, wohl als erster, Epauletten in Deutschland ein: Er verordnete sie den Offizieren der Bayerischen Armee als Rangabzeichen: Stabsoffiziere hatten zwei silberne oder goldene Epauletten mit Bouillons, Kompanieoffiziere nur eine Epaulette mit Fransen, auf der linken Schulter. Als Gradauszeichnung bei den Stabsoffizieren ein bis drei Rosen, die Kompanieoffiziere ein bis drei quer Börtchen quer darüber. Die Epauletten wurden 1785 als Gradabzeichen abgeschafft. 1789 kehrten sie, in stark veränderter Form, wieder: Bayerns Kriegsminister Graf Rumford bestimmte sie der der Armee für alle Dienstgrade: nicht mehr als Rangabzeichen, sondern als Bestandteil der von ihm konzipierten neuen Einheitsuniform, inklusive „Rumford-Kaskett“. Rheinbund, 1806 Ab 1806 übernahmen auch die meisten Rheinbundstaaten die Epauletten als Offiziersabzeichen (Ausnahme: Bayern führte Kragenlitzen - und borten) und Auszeichnung von Elitetruppen, wie den Grenadieren. Preußen, 1808 In Preußen kennzeichneten Epauletten seit 1808 die Ulanenoffiziere, seit 1813 die Stabsoffiziere, seit 1814 dann nahezu alle Offiziere Alleine die Husaren führten Schulterschnüre bzw. -litzen. Ulanenoffziere trugen bereits seit 1808 Epauletten, mit unterschiedlichen Dekors für Leutnante, Rittmeister und Stabsoffiziere. In Preußen war lange befürchtet worden, den inneren Zusammenhalt des Offizierskorps durch die Einführung hierarchisierender Symbole zu gefährden. Bis dahin war ein Oberst von einem Leutnant äußerlich kaum zu unterscheiden gewesen. Gegenwart In den Streitkräften Frankreichs tragen einige Einheiten Stoffepauletten. Heute werden Epauletten ebenfalls in der Mode zur Betonung der Schulter verwendet. Sonstiges Im Schach gibt es das Epaulettenmatt. Hier stehen an beiden „Schulterseiten“ des Königs eigene Figuren und versperren Fluchtfelder. Die Flughundart Epomophorus pusillus trägt aufgrund der epaulettenähnlichen Haarbüschel an den Schultern der Männchen den Namen Peters’ Kleiner Epaulettenflughund (engl. Peters's dwarf epauletted fruit bat). Literatur John Mollo: Military Fashion: A Comparative History of the Uniforms of the Great Armies from the 17th Century to the First World War, Putnam's, 1972, ISBN 0-214-65349-8 Reallexikon zur Deutschen Kunstgeschichte (RDK), Stuttgart 1937 Einzelnachweise Weblinks RDK Labor. Forschungsstelle Realienkunde, Zentralinstitut für Kunstgeschichte Militäruniform Abzeichentyp


text: Die Eulersche Zahl, mit dem Symbol bezeichnet, ist eine Konstante, die in der gesamten Analysis und allen damit verbundenen Teilgebieten der Mathematik, besonders in der Differential- und Integralrechnung, aber auch in der Stochastik (Kombinatorik, Normalverteilung) eine zentrale Rolle spielt. Ihr numerischer Wert beträgt ist eine transzendente und somit auch irrationale reelle Zahl. Sie ist die Basis des natürlichen Logarithmus und der (natürlichen) Exponentialfunktion. In der angewandten Mathematik spielt die Exponentialfunktion und somit eine bedeutende Rolle bei der Beschreibung von Vorgängen wie dem radioaktiven Zerfall und dem natürlichen Wachstum. Es gibt zahlreiche äquivalente Definitionen von , die bekannteste lautet: Die Zahl wurde nach dem Schweizer Mathematiker Leonhard Euler benannt, der zahlreiche Eigenschaften von beschrieb. Gelegentlich wird sie auch nach dem schottischen Mathematiker John Napier als Napiers Konstante (oder Nepersche Konstante) bezeichnet. Sie gehört zu den wichtigsten Konstanten der Mathematik. Es gibt einen internationalen Tag der eulerschen Zahl . In Ländern, in denen wie in Deutschland beim Datum der Tag vor dem Monat (27. 1.) geschrieben wird, ist er am 27. Januar. In Ländern, in denen wie in den USA der Monat vor dem Tag geschrieben wird (2/7), am 7. Februar. Definition Die Zahl wurde von Leonhard Euler durch die folgende Reihe definiert: Für ist dabei die Fakultät von , also im Falle das Produkt der natürlichen Zahlen von bis , während definiert ist. Wie schon Euler bewies, erhält man die Eulersche Zahl auch als funktionalen Grenzwert. Die Zahl kann auch als Grenzwert der Folge mit geschrieben werden: Dem liegt zugrunde, dass gilt, also der Funktionswert der Exponentialfunktion (oder auch „-Funktion“) an der Stelle ist. Die obige Reihendarstellung von ergibt sich in diesem Zusammenhang dadurch, dass man die Taylorreihe der Exponentialfunktion um die Entwicklungsstelle an der Stelle auswertet. Ein alternativer Zugang zur Definition der Eulerschen Zahl ist derjenige über Intervallschachtelungen, etwa in der Weise, wie es in Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen von Konrad Knopp dargestellt wird. Danach gilt für alle : Die Entstehung der Zahl lässt sich auch grafisch veranschaulichen. Aus der Abbildung ergibt sich folgender Zusammenhang: (Lösung des Integrals) (Multiplikation mit n) (Anwendung eines Logarithmengesetzes) (Grenzwertbildung) (Stetigkeit der Logarithmus-Funktion) (Umkehrfunktion der Exponentialfunktion) Die Vorgeschichte vor Euler Die Geschichte der Eulerschen Zahl beginnt bereits im 16. Jahrhundert mit drei Problembereichen, in denen eine Zahl auftaucht, der sich damals die Mathematiker näherten und die später genannt wurde: Als Basis von Logarithmen in den Logarithmentafeln von John Napier und Jost Bürgi. Beide hatten ihre Tafeln unabhängig voneinander entwickelt, wobei sie eine Idee von Michael Stifel aufnahmen und Ergebnisse von Stifel und anderen Mathematikern des 16. Jahrhunderts benutzten. Bürgi veröffentlichte 1620 seine „Arithmetische und geometrische Progreß-Tabulen“. Als Basis seines Logarithmensystems verwendet Bürgi offenbar instinktiv eine Zahl, die nahe bei liegt. Napier veröffentlichte 1614 seine „Mirifici logarithmorum canonis descriptio“ und benutzt dabei eine zu proportionale Basis. Napier und Bürgi wollten mit Hilfe der Logarithmentafeln Multiplikationen auf Additionen zurückführen, um so umfangreiche Rechnungen einfacher und weniger zeitaufwändig zu gestalten. Als Grenzwert einer Folge in der Zinseszinsrechnung. 1669 stellte Jacob Bernoulli die Aufgabe: „Eine Summe Geldes sei auf Zinsen angelegt, dass in den einzelnen Augenblicken ein proportionaler Teil der Jahreszinsen zum Kapital geschlagen wird.“ Diesen proportionalen Zinszuschlag nennen wir heute „stetige Verzinsung“. Bernoulli fragt, ob durch Verträge, bei denen die einzelnen Augenblicke immer kürzer werden, beliebig große Vielfache der Ausgangssumme erzielt werden können, und erreicht als Lösung eine Zahl, die wir heute als Eulersche Zahl kennen. Als unendliche Reihe (Fläche der Hyperbel des Apollonios von Perge). Es ging (in heutiger Sprache) um die Frage, wie weit sich eine Fläche unter der Hyperbel von nach rechts erstreckt, die genauso groß wie die Fläche des Einheitsquadrats ist. Der flämische Mathematiker Grégoire de Saint-Vincent (latinisiert Gregorius a Sancto Vincentino) entwickelte zur Lösung eine Funktion, die wir heute natürlichen Logarithmus nennen und mit bezeichnen. Er entdeckte interessante Eigenschaften, darunter eine Gleichung, die wir heute Funktionalgleichung des Logarithmus nennen, die auch Napier und Bürgi zur Konstruktion und bei der Benutzung ihrer Logarithmentafeln benutzten. Es ist nicht gesichert, ob ihm bewusst war, dass die Basis dieses Logarithmus die Zahl ist, die später genannt wurde. Aufgefallen ist dies erst nach Erscheinen seines Werkes. Spätestens sein Schüler und Co-Autor Alphonse Antonio de Sarasa stellte den Zusammenhang durch eine Logarithmusfunktion dar. In einem Aufsatz, der die Verbreitung der Ideen von Saint-Vincent durch de Sarasa behandelt, heißt es, dass „die Beziehung zwischen Logarithmen und der Hyperbel in allen Eigenschaften durch Saint-Vincent gefunden wurde, nur nicht im Namen.“ Durch Arbeiten von Newton und Euler wurde dann klar, dass die Basis ist. Leibniz war offensichtlich der Erste, der einen Buchstaben für diese Zahl benutzte. In seiner Korrespondenz mit Christiaan Huygens von 1690/1 benutzte er den Buchstaben b als Basis einer Potenz. Herkunft des Symbols e Als frühestes Dokument, das die Verwendung des Buchstabens für diese Zahl durch Leonhard Euler aufweist, gilt ein Brief Eulers an Christian Goldbach vom 25. November 1731. Noch früher, 1727 oder 1728, begann Euler, den Buchstaben zu benutzen, und zwar im Artikel „Meditatio in experimenta explosione tormentorum nuper instituta“ über Explosivkräfte in Kanonen, der allerdings erst 1862 veröffentlicht wurde. Als nächste gesicherte Quelle für die Verwendung dieses Buchstabens gilt Eulers Werk Mechanica sive motus scientia analytice exposita, II aus dem Jahre 1736. In der im Jahre 1748 erschienenen Introductio in Analysin Infinitorum greift Euler diese Bezeichnung wieder auf. Es gibt keine Hinweise darauf, dass diese Wahl des Buchstabens in Anlehnung an seinen Namen geschah. Unklar ist auch, ob er dies in Anlehnung an die Exponentialfunktion oder aus praktischen Erwägungen der Abgrenzung zu den viel benutzten Buchstaben a, b, c oder d machte. Obwohl auch andere Bezeichnungen in Gebrauch waren, etwa c in d’Alemberts Histoire de l’Académie, hat sich durchgesetzt. Im Formelsatz wird nach DIN 1338 und ISO 80000-2 nicht kursiv gesetzt, um die Zahl von einer Variablen zu unterscheiden. Allerdings ist auch die kursive Schreibweise verbreitet. Eigenschaften Die Eulersche Zahl ist eine transzendente (Beweis nach Charles Hermite, 1873) und damit irrationale Zahl (Beweis mit Kettenbrüchen für und somit bereits 1737 von Euler, Beweis im Beweisarchiv bzw. Artikel). Sie lässt sich also (wie auch die Kreiszahl nach Ferdinand von Lindemann 1882) nicht als Bruch zweier natürlicher Zahlen (sogar nicht einmal als Lösung einer algebraischen Gleichung) darstellen und besitzt folglich eine unendliche nichtperiodische Dezimalbruchentwicklung. Das Irrationalitätsmaß von ist 2 und somit so klein wie möglich für eine irrationale Zahl, insbesondere ist nicht liouvillesch. Es ist nicht bekannt, ob zu irgendeiner Basis normal ist. In der Eulerschen Identität werden fundamentale mathematische Konstanten in Zusammenhang gesetzt: Die ganze Zahl 1, die Eulersche Zahl , die imaginäre Einheit der komplexen Zahlen und die Kreiszahl . Die Eulersche Zahl tritt auch in der asymptotischen Abschätzung der Fakultät auf (siehe Stirlingformel): Die Cauchy-Produktformel für die beiden (jeweils absolut konvergenten) Reihen und der binomische Lehrsatz ergeben und daraus folgt sofort: Geometrische Interpretation Eine geometrische Interpretation der Eulerschen Zahl liefert die Integralrechnung. Danach ist diejenige eindeutig bestimmte Zahl , für die der Inhalt der Fläche unterhalb des Funktionsgraphen der reellen Kehrwertfunktion im Intervall exakt gleich ist: Weitere Darstellungen für die Eulersche Zahl Die Eulersche Zahl lässt sich auch durch oder durch den Grenzwert des Quotienten aus Fakultät und Subfakultät beschreiben: Eine Verbindung zur Verteilung der Primzahlen wird über die Formeln deutlich, wobei die Primzahlfunktion und das Symbol das Primorial der Zahl bedeutet. Auch eher von exotischem Reiz als von praktischer Bedeutung ist die catalansche Darstellung Kettenbruchentwicklungen Im Zusammenhang mit der Zahl gibt es spätestens seit dem Erscheinen von Leonhard Eulers Introductio in Analysin Infinitorum im Jahre 1748 eine große Anzahl Kettenbruchentwicklungen für und aus ableitbare Größen. So hat Euler die folgende klassische Identität für gefunden: () Die Identität (1) weist offenbar ein regelmäßiges Muster auf, das sich bis ins Unendliche fortsetzt. Sie gibt einen regulären Kettenbruch wieder, der von Euler aus dem folgenden abgeleitet wurde: () Dieser Kettenbruch ist seinerseits ein Spezialfall des folgenden mit : Eine andere klassische Kettenbruchentwicklung, die jedoch nicht regelmäßig ist, stammt ebenfalls von Euler: () Auf Euler und Ernesto Cesàro geht eine weitere Kettenbruchentwicklung der Eulerschen Zahl zurück, die von anderem Muster als in (1) ist: Im Zusammenhang mit der Eulerschen Zahl existiert darüber hinaus eine große Anzahl von allgemeinen kettenbruchtheoretischen Funktionalgleichungen. So nennt Oskar Perron als eine von mehreren die folgende allgemeingültige Darstellung der -Funktion: Ein weiteres Beispiel hierfür ist die von Johann Heinrich Lambert stammende Entwicklung des Tangens hyperbolicus, die zu den lambertschen Kettenbrüchen gerechnet wird: Erst 2019 wurde mit Hilfe eines Computerprogrammes, das nach Srinivasa Ramanujan als Ramanujan-Maschine benannt wurde, letztlich basierend auf einer Trial-and-error-Methode, durch ein Team um Gal Raayoni am Technion eine weitere und bisher unbekannte Kettenbruchentwicklung für die Eulersche Zahl gefunden. Gegenüber allen bisher bekannten Kettenbruchentwicklungen, die alle von einer beliebigen ganzzahligen Zahl, die kleiner als die Eulersche Zahl ist, aufsteigen, handelt es sich hier erstmals um eine, die von der ganzen Zahl 3, einer ganzen Zahl, die größer ist als die Eulersche Zahl, absteigt. Allein die Auffindung eines (einzigen) solchen absteigenden Kettenbruchs von einer ganzen Zahl größer als die Eulersche Zahl legt die Vermutung nahe, dass es unendlich viele solcher absteigenden Kettenbrüche von ganzen Zahlen mit gibt, die ebenfalls auf die Eulersche Zahl führen. Anschauliche Interpretationen der Eulerschen Zahl Zinseszinsrechnung Das folgende Beispiel macht die Berechnung der Eulerschen Zahl nicht nur anschaulicher, sondern es beschreibt auch die Geschichte der Entdeckung der Eulerschen Zahl: Ihre ersten Stellen wurden von Jakob I Bernoulli bei der Untersuchung der Zinseszinsrechnung gefunden. Den Grenzwert der ersten Formel kann man folgendermaßen deuten: Jemand zahlt am 1. Januar einen Euro auf der Bank ein. Die Bank garantiert ihm eine momentane Verzinsung zu einem Zinssatz pro Jahr. Wie groß ist sein Guthaben am 1. Januar des nächsten Jahres, wenn er die Zinsen zu gleichen Bedingungen anlegt? Nach der Zinseszinsformel wird aus dem Startkapital nach Verzinsungen mit Zinssatz das Kapital In diesem Beispiel sind und , wenn der Zinszuschlag jährlich erfolgt, oder , wenn der Zinszuschlag -mal im Jahr erfolgt, also bei unterjähriger Verzinsung. Bei jährlichem Zuschlag wäre Bei halbjährlichem Zuschlag hat man , also schon etwas mehr. Bei täglicher Verzinsung erhält man Wenn die Verzinsung kontinuierlich in jedem Augenblick erfolgt, wird unendlich groß, und man bekommt die oben angegebene erste Formel für . Wahrscheinlichkeitsrechnung ist auch häufig in der Wahrscheinlichkeitstheorie anzutreffen: Beispielsweise sei angenommen, dass ein Bäcker für jedes Brötchen eine Rosine in den Teig gibt und diesen gut durchknetet. Danach enthält statistisch gesehen jedes -te Brötchen keine Rosine. Die Wahrscheinlichkeit , dass bei Brötchen keine der Rosinen in einem fest gewählten ist, ergibt im Grenzwert für (37-%-Regel): Es werden Briefe und die zugehörigen Briefumschläge mit den Adressen unabhängig voneinander geschrieben. Dann werden ohne hinzusehen, also rein zufällig, die Briefe in die Briefumschläge gesteckt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass kein Brief im richtigen Umschlag steckt? Euler löste diese Aufgabe und veröffentlichte sie 1751 im Aufsatz „Calcul de la probabilité dans le jeu de rencontre.“ Bemerkenswert ist, dass sich ab einer Anzahl von 7 Briefen die Wahrscheinlichkeit fast nicht mehr ändert. Sie wird sehr gut durch angenähert, den Grenzwert der Wahrscheinlichkeiten, wenn die Anzahl an Briefen immer größer wird. Einem Jäger steht nur ein Schuss zur Verfügung. Er soll aus einer Schar Tauben, deren Anzahl er kennt, die in zufälliger Reihenfolge an ihm vorbeifliegen, die größte schießen. Mit welcher Strategie sind seine Chancen maximal, die größte Taube zu treffen? Dieses Taubenproblem wurde vom amerikanischen Mathematiker Herbert Robbins (* 1915) formuliert. Dasselbe Entscheidungsproblem besteht auch bei der Anstellung des besten Mitarbeiters bei n Bewerbern (Sekretärinnenproblem) und ähnlichen Einkleidungen. Lösung: Die optimale Strategie besteht darin, erst Tauben vorbeifliegen zu lassen, und dann auf die nächste Taube zu schießen, die größer als alle bisher vorbeigeflogenen ist, oder auf die allerletzte, wenn bis dahin keine größere vorbeigeflogen ist. Die Wahrscheinlichkeit, die größte Taube zu erwischen, beträgt bei dieser optimalen Strategie ungefähr unabhängig von n, das jedoch nicht zu klein sein sollte. Wenn wir als Schätzwert für wählen, dann folgt: . Also sollte man bei 27 Tauben erst 10 vorbeifliegen lassen. Bemerkenswert ist, dass man bei rund aller Fälle nicht die gewünschte optimale Lösung erhält. Bei der Poisson-, der Exponential- und der Normalverteilung wird neben anderen Größen zur Beschreibung der Verteilung benutzt. Bedeutung in der Mathematik Die Eulersche Zahl taucht an verschiedenen wichtigen Stellen in der Mathematik auf: Sie dient zur Definition der Normalverteilung, einer Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie dient zur Definition der Poisson-Verteilung, einer Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie ist in der Stirling-Formel für die Fakultät enthalten. Sie ist in der Definition der Gammafunktion enthalten. Sie ist in der Formel für die Subfakultät enthalten. Die Exponentialfunktion zur Basis der Eulerschen Zahl lautet: Die Ableitungsfunktion lautet: Daraus folgt, dass diese Exponentialfunktion mit ihrer Ableitungsfunktion identisch ist: Dies bedeutet anschaulich, dass die Steigung dieser Exponentialfunktion an jeder Stelle genauso groß ist wie der Funktionswert. Auch in der Differentialrechnung kommt die Eulersche Zahl vor. An der Stelle liegt das Maximum der Funktion . Außerdem befindet sich an der Stelle das Minimum der Funktion . Das kann jeweils mithilfe der Ableitungsfunktion gezeigt werden. Charakterisierung der Eulerschen Zahl nach Steiner Im vierzigsten Band von Crelles Journal aus dem Jahre 1850 gibt der Schweizer Mathematiker Jakob Steiner eine Charakterisierung der Eulerschen Zahl , wonach als Lösung einer Extremwertaufgabe verstanden werden kann. Steiner zeigte nämlich, dass die Zahl charakterisierbar ist als diejenige eindeutig bestimmte positive reelle Zahl, die beim Wurzelziehen mit sich selbst die größte Wurzel liefert. Wörtlich schreibt Steiner: „Wird jede Zahl durch sich selbst radicirt, so gewährt die Zahl e die allergrößte Wurzel.“ Steiner behandelt hier die Frage, ob für die Funktion das globale Maximum existiert und wie es zu bestimmen ist. Seine Aussage ist, dass es existiert und dass es angenommen wird in und nur in . In seinem Buch Triumph der Mathematik gibt Heinrich Dörrie eine elementare Lösung dieser Extremwertaufgabe. Sein Ansatz geht von der folgenden wahren Aussage über die reelle Exponentialfunktion aus: Nach der Substitution folgt für alle reellen Zahlen mittels einfacher Umformungen weiter und schließlich für alle positiven durch Radizieren Bruchnäherungen Für die Zahl und daraus abgeleitete Größen gibt es verschiedene näherungsweise Darstellungen mittels Brüchen. So fand Charles Hermite die folgenden Bruchnäherungen: Hier weicht der erstgenannte Bruch um weniger als 0,0003 Prozent von ab. Die optimale Bruchnäherung im dreistelligen Zahlenbereich, also die optimale Bruchnäherung mit , ist . Diese Näherung ist jedoch nicht die beste Bruchnäherung im Sinne der Forderung, dass der Nenner höchstens dreistellig sein soll. Die in diesem Sinne beste Bruchnäherung ergibt sich als 9. Näherungsbruch der Kettenbruchentwicklung der Eulerschen Zahl: Aus den Näherungsbrüchen der zu gehörenden Kettenbruchentwicklungen (s. o.) ergeben sich Bruchnäherungen beliebiger Genauigkeit für und daraus abgeleitete Größen. Mit diesen findet man sehr effizient beste Bruchnäherungen der Eulerschen Zahl in beliebigen Zahlenbereichen. So erhält etwa im fünfstelligen Zahlenbereich die beste Bruchnäherung , die zeigt, dass die von Charles Hermite für die Eulersche Zahl im fünfstelligen Zahlenbereich gefundene Bruchnäherung noch nicht optimal war. In gleicher Weise hat etwa C. D. Olds gezeigt, dass durch die Näherung für die Eulersche Zahl eine weitere Verbesserung, nämlich , zu erzielen ist. Insgesamt beginnt die Folge der besten Näherungsbrüche der Eulerschen Zahl, die sich aus ihrer regelmäßigen Kettenbruchdarstellung ergeben, folgendermaßen: Berechnung der Nachkommastellen Zur Berechnung der Nachkommastellen wird meist die Reihendarstellung ausgewertet, die schnell konvergiert. Wichtig bei der Implementierung ist dabei Langzahlarithmetik, damit die Rundungsfehler nicht das Ergebnis verfälschen. Ein Verfahren, das ebenfalls auf dieser Formel beruht, aber ohne aufwendige Implementierung auskommt, ist der Tröpfelalgorithmus zur Berechnung der Nachkommastellen von , den A. H. J. Sale fand. Die Eulersche Zahl in den Medien In der Fernsehserie Die Simpsons und ihrer Nachfolgeserie Futurama kommen viele mathematische Bezüge vor, einige haben auch mit der eulerschen Zahl und Euler zu tun. 1995 gewährte in der Fernsehserie Akte X – Die unheimlichen Fälle des FBI die Zahlenreihe 2-7-1-8-2-8 zwei FBI-Agenten den Zutritt zu einem geheimen Archiv. Dort war nicht von der Eulerschen Zahl, sondern von Napiers Konstante die Rede. Literatur Brian J. McCartin: e: The Master of All. Mathematical Intelligencer, Band 28, 2006, Nr. 2, S. 10–21. Der Artikel erhielt den Chauvenet-Preis. mathdl.maa.org Weblinks Matheguru, Die Zahl e, Verständliche Erklärung und Herleitung der Eulerschen Zahl e auf eine Million Stellen bei Project Gutenberg (englisch) Xavier Gourdon, Pascal Sebah, The constant e and its computation, Ausführliche Informationen und Angaben zu relevanter Literatur (englisch) The number e, MacTutor History of Mathematics Einzelnachweise und Fußnoten Analysis Besondere Zahl Folgen und Reihen Leonhard Euler als Namensgeber


text: Die Etymologie, auch Wortherkunft und zudem kurz Herkunft genannt, befasst sich mit der Herkunft, Geschichte und Bedeutung der Wörter. Etymologie ist die historische Untersuchung der Herkunft von Wörtern. Im Verständnis der Sprachwissenschaft ist die Wortherkunft die Erklärung der Entstehung eines Wortes oder Morphems in einer gegebenen Gestalt und Bedeutung. Als sprachgeschichtlich (diachron) ausgerichtete Erklärungsweise ist sie Bestandteil der historischen Sprachwissenschaft, ihre Ergebnisse werden in etymologischen Wörterbüchern gesammelt und als Zusatzinformation auch in Wörterbüchern und Lexika anderer Art aufgenommen. Früheren Epochen diente die Etymologie als „Ableitung eines Wortes aus seiner Wurzel und Nachweisung seiner eigentlichen, wahren Bedeutung“ zur Erklärung einer im Wort angelegten „Wahrheit“ (), die mithilfe von Ähnlichkeiten der Wortgestalt zu anderen Wörtern erschlossen und als Aussage über die vom Wort bezeichnete Sache oder als eigentliche, ursprüngliche Wortbedeutung verstanden wurde. Als rhetorisches Argument () dient die Etymologie in Form eines Hinweises oder einer Berufung auf die angenommene Herkunft und ursprüngliche Bedeutung eines Worts traditionell dem Zweck, die eigene Argumentation durch einen objektiven sprachlichen Sachverhalt zu stützen und ihr so besondere Überzeugungskraft zu verleihen. Herkunft des Wortes Etymologie ist ein griechisches Fremdwort und leitet sich von dem altgriechischen Wort her. Dieses enthält seinerseits die Bestandteile („wahr, wahrhaft, echt, wirklich“; siehe auch Etymon) und (hier „Wort“) und bedeutet in einem umfassenderen Sinn so viel wie „Erklärung der einem Wort innewohnenden Wahrheit“. Im Deutschen wird dafür auch das Synonym Wortherkunft verwendet. Die Verbindung der Bestandteile ist im Griechischen seit dem 1. Jahrhundert v. Chr. belegt (Dionysios von Halikarnassos), ebenso schon die Entlehnung ins Lateinische (Varro), doch soll nach dem späteren Zeugnis von Diogenes Laertius (VII.7) auch schon Chrysippos im 3. Jahrhundert v. Chr. Werke mit dem Titel („Über etymologische Themen“) und („Etymologisches“) verfasst haben. Geschichte der Etymologie Altertum Bereits im griechischen Altertum gab es philosophische Strömungen, die der Richtigkeit der Namen nachgingen. Für diese Tätigkeit wurde in der Regel nicht der Begriff Etymologie verwendet. So fragte sich bereits Heraklit von Ephesos (um 500 v. Chr.), inwiefern der Name eines Dinges die Wahrheit einer Sache widerspiegele und damit, inwiefern der Name tatsächlich dem durch ihn bezeichneten Gegenstand entspreche. Später beschäftigte sich Platon in seinem Dialog Kratylos eingehend mit der Richtigkeit der Namen. In diesem Dialog lässt Platon einen Vertreter der mystisch-religiösen These, laut derer alle Wörter ihre Bedeutung von Natur aus haben und keiner Definition bedürfen, gegen einen Vertreter der eher modernen, im Kratylos erstmals bezeugten Gegenthese antreten, laut derer der Zusammenhang von Wörtern und ihrer Bedeutung auf der willkürlichen Festlegung durch den Menschen beruht. (Zur Diskussion um die Sprachrichtigkeit in der Antike vgl. Siebenborn 1976.) Die Etymologie war Teil der antiken Grammatik und wurde neben den Philosophen vornehmlich von den sogenannten Grammatikern betrieben, allerdings aus heutiger Sicht ohne verlässliche Methodik, so dass die auf bloßer Spekulation aufgrund vager Analogien in Klang oder Schriftbild beruhenden Herleitungen einer kritischen Prüfung durch die moderne Sprachwissenschaft meist nicht standgehalten haben. Man spricht daher von Pseudetymologien (auch Pseudo-Etymologien), die sich nicht wesentlich von sogenannten Vulgäretymologien oder Volksetymologien unterscheiden, einem Phänomen, das auch heute noch im außerwissenschaftlichen Bereich eine nicht unerhebliche Rolle spielt und nicht selten sogar argumentative Verwendung findet, z. B. die fälschliche Herleitung des Wortes „Dichten“ von „dicht“ statt vom lateinischen . Die Etymologie eines Worts wurde in der Antike als so bedeutender Teil der Bedeutungserklärung angesehen, dass sogar Enzyklopädien, wie die des spätantiken Grammatikers Isidor von Sevilla den Titel (kurz: Etymologiae, „Etymologien“) tragen konnten. Auch andere Kulturen, insbesondere solche mit langer Schrifttradition wie Indien und China, haben sich früh mit Etymologie beschäftigt, die ihnen unter anderem ein tieferes Verständnis überlieferter Texte ermöglichen sollte. Mittelalter Den Höhepunkt der „wahrheitssuchenden Etymologie“ finden wir bei Isidor von Sevilla Anfang des 7. Jahrhunderts n. Chr., also im Frühmittelalter. In seinem Hauptwerk Etymologiae libri viginti gibt er zahlreiche Beispiele von Etymologien, deren Wahrheitsgehalt jedoch im Zweifel steht. Auch Isidor von Sevilla benannte viele Etymologien, um Dinge verständlich zu erklären, die historisch gesehen zu bezweifeln sind. Zum Beispiel: „persona est Exegese, Physiologus“, (der Tiernamen aus der Wortgestalt zu erklären sucht), oder die Legenda aurea, die vor der Vita eines Heiligen zunächst seinem Namen breite Aufmerksamkeit widmet. Auch Petrus Helie versteht die etymologische Bedeutung von Wörtern als Synonym für einen „Wahrspruch“ an sich (): „denn wer etymologisiert, zeigt den wahren, d. h. den ersten Ursprung des Worts an.“ (Übersetzung in: Arens 1969, 39) Gegenwart Heute ist Etymologie innerhalb der historisch vergleichenden Sprachwissenschaft die Disziplin, welche Entstehung und geschichtliche Veränderung einzelner Wörter aufspürt und in etymologischen Wörterbüchern festhält. Historische Linguistik sucht nach wiederkehrenden Erscheinungen des Sprachwandels und leitet aus ihnen Lautgesetze ab, die es ihrerseits erleichtern, Veränderungen eines Worts im Verlaufe der Geschichte zu beobachten. Zusätzlich zur rein linguistischen Beschäftigung mit Etymologie bringt die sprachgeschichtliche Forschung außerdem Nutzen für das genauere Verständnis von Texten und einzelnen Begriffen. Ein weiteres Anwendungsgebiet besteht in der Übertragung der Ergebnisse auf die Archäologie. Hier können sprachgeschichtliche Verhältnisse Anhaltspunkte für verschiedene archäologische Fragestellungen liefern, so etwa im Fall der Rekonstruktion von frühzeitlichen Wanderungsbewegungen. Auch soziolinguistische Rückschlüsse auf Sozial- und Kulturgeschichte stehen dabei im Blickfeld. Die von 1996 bis 2015 publizierte Zeitschrift Studia Etymologica Cracoviensia befasst sich ausschließlich mit etymologischen Themen. Etymologie in Wissenschaft und Gesellschaft Im Rahmen der Sprachwissenschaft will Etymologie mehr über die einzelnen Phänomene der geschichtlichen Veränderung einer Sprache herausfinden. Aus dem so gewonnenen Wissen soll ein erweitertes Verständnis über die Entwicklungsgeschichte einer Einzelsprache sowie der Umstände des Sprachwandels im Allgemeinen folgen. Das klassische Verständnis der Etymologie und praktische Anwendungen wie oben erwähnt steht dabei zumeist im Hintergrund. In der alltäglichen, nicht-wissenschaftlichen Beschäftigung mit Etymologie hat sich hingegen der normative Charakter der frühen Etymologie mehr oder weniger ausgeprägt erhalten. So wird etwa anhand der Geschichte eines Worts demonstriert, dass eine bestimmte, moderne Verwendungsweise falsch ist, da sie nicht der historischen entspricht bzw. sich nicht an der in der Wortgeschichte offenbar werdenden eigentlichen Wortbedeutung orientiert. Vertreter einer abgeschwächten Variante dieses Arguments lehnen diese moderne Auffassung nicht grundsätzlich ab, erhoffen sich jedoch aus der Beschäftigung mit der Entwicklungsgeschichte eines Worts neue und weitere, vertiefende Aspekte für ein Verständnis seiner Bedeutung. Hier wird davon ausgegangen, dass diese Aspekte im Lauf der Zeit gleichsam verlorengegangen sind und durch sprachgeschichtliche Untersuchungen wieder bewusst gemacht werden können. Begründet wird dies damit, dass das Denken nur in den Bildern der Wahrnehmung als Abbild der Wirklichkeit erfolgen könne und somit allein schon die Wahrnehmung und in der Folge auch das Denken sowohl vom bewussten wie auch vom unbewussten Inhalt eines Begriffs wie auch dessen Gestalt geprägt sei. Die Etymologie wird hier als Weg gesehen, diese unbewussten Teile wahrnehmbar zu machen und so der Wahrnehmung und dem Denken diese verloren gegangenen Inhalte erneut erschließen zu können. So soll – ganz in der Tradition antiker Denker – ein Beitrag zum Reichtum der Sprache und des Denkens geleistet werden. Unabhängig von der Frage, ob die jeweils angeführte wortgeschichtliche Herleitung inhaltlich korrekt ist oder nicht, geraten Vertreter beider Auffassungen in Widerspruch zu modernen sprachwissenschaftlichen Grundannahmen, wenn sie auf einer engen und unmittelbaren Beziehung zwischen einem gedanklichen Konzept und der Gestalt des Worts, mit dem es ausgedrückt wird, bestehen. Dieser Auffassung steht die funktionale Ansicht der Sprachwissenschaft entgegen, dass eine konkrete Wortform ihre Bedeutung ausschließlich per Arbitrarität und Konvention erhalte. Arbitrarität und Konvention sind Schlüsselbegriffe des Verständnisses von Zeichen in der Linguistik seit Beginn des 20. Jahrhunderts; man beruft sich dazu auf Ferdinand de Saussure (frz. 1916; dt. Übers. 1931/1967). Sie besagen, dass das Verhältnis zwischen der Form und der Bedeutung von Zeichen, d. h. auch von Wörtern, arbiträr (willkürlich) und durch gesellschaftliche Konvention bedingt sei. Für sich genommen habe ein Wort somit keine Bedeutung und Wirkung außer der, die sich in der jeweiligen Gegenwart aus der üblichen Verwendung ergibt. Die Existenz einer darüber hinaus dem Wort in irgendeiner Weise noch zusätzlich anhängenden Bedeutung, die in irgendeiner Form herausgefunden werden könnte oder sollte, wird hier bezweifelt. Unter einer solchen Annahme können die von den „normativen“ Etymologen vorgebrachten Interpretationen der Wortbedeutung nicht mehr Gültigkeit für sich beanspruchen als jede alternativ vorgeschlagene Neuinterpretation auch. Die Auffassung von der Arbitrarität der Zeichen wird durch die Natürlichkeitstheorie in der modernen Linguistik durch die Entdeckung ergänzt, dass viele Aspekte der Sprache ikonisch (abbildend) sind, also gar nicht ausschließlich arbiträr (willkürlich). Etymologische Erklärungen werden darüber hinaus auch häufig zur Untermauerung von Ideologien jedweder Couleur herangezogen, z. B. Esoterik, politischer Religionen, u. v. a. m. So versuchen beispielsweise Nationalisten die vermeintliche Überlegenheit der eigenen Kultur anhand ihrer Wirkung auf den Wortschatz einer anderen Sprache zu beweisen oder erwünschte verwandtschaftliche Beziehungen zweier Kulturen aus einer vermuteten Sprachverwandtschaft zu rekonstruieren. Der etymologischen Erklärung scheint eine besondere, unmittelbar einleuchtende Beweiskraft zu eigen zu sein, indem schon Bekanntes (ein Wort) von bislang unbekannter Seite dargestellt wird. Siehe auch Kindesetymologie Volksetymologie Etymologisches Spektrum Phono-semantische Angleichung Literatur Für etymologische Wörterbücher siehe den Artikel Etymologisches Wörterbuch. Hans Arens: Sprachwissenschaft. Der Gang ihrer Entwicklung von der Antike bis zur Gegenwart. 2., durchgesehene und stark erweiterte Auflage. Alber, Freiburg/München 1969. Helmut Birkhan: Etymologie des Deutschen. Peter Lang, Bern u. a. 1985, ISBN 3-261-03206-5. (= Germanistische Lehrbuchsammlung, 15) Harri Meier: Prinzipien der etymologischen Forschung. Carl Winter-Universitätsverlag, Heidelberg 1986, ISBN 3-533-03645-6. Heike Olschansky: Volksetymologie. Niemeyer, Tübingen 1996, ISBN 3-484-31175-4. (= Germanistische Linguistik, 175) Heike Olschansky: Täuschende Wörter – Kleines Lexikon der Volksetymologien, Philipp Reclam jun., Stuttgart 2004, ISBN 3-15-010549-8. Vittore Pisani: Die Etymologie. Geschichte – Fragen – Methode. Fink, München 1975. Rüdiger Schmidt (Hrsg.): Etymologie. Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1977 (= Wege der Forschung, 373), ISBN 3-534-06946-3. Wolfgang Schweickard: «Etymologia est origo vocabulorum...». Zum Verständnis der Etymologiedefinition Isidors von Sevilla. In: Historiographia linguistica, 12, 1985, S. 1–25. Elmar Seebold: Etymologie. Eine Einführung am Beispiel der deutschen Sprache. Beck, München 1981, ISBN 3-406-08037-5. Jost Trier: Etymologie. In: Joachim Ritter (Hrsg.): Historisches Wörterbuch der Philosophie. Band 2, Basel 1972, Sp. 816–818. Jost Trier, Hans Schwarz: Wege der Etymologie. E. Schmidt, Berlin 1981. Weblinks Studia Etymologica Cracoviensia (Mehrsprachiges Fachblatt) Einzelnachweise Historische Linguistik


text: Als Endemiten (von ; ungenau oft auch Endemismen im Plural) werden in der Biologie Pflanzen oder Tiere bezeichnet, die im Gegensatz zu den Kosmopoliten nur in einer bestimmten, räumlich abgegrenzten Umgebung vorkommen. Diese sind in diesem Gebiet endemisch. Dabei kann es sich um Arten, Gattungen oder Familien von Lebewesen handeln, die ausschließlich auf bestimmten Inseln oder Inselgruppen, Gebirgen, in einzelnen Tälern oder Gewässersystemen heimisch sind. Beispiel: Die Darwinfinken sind auf den Galapagosinseln endemisch, da sie weltweit nirgendwo sonst vorkommen. Eine Festlegung, bis zu welcher Flächengröße dieser Begriff verwendet wird, gibt es nicht. Für einen ganzen Kontinent endemische Arten, aber auch höhere taxonomische Einheiten, finden sich etwa für Amerika („Neuwelt“-Spezies) oder Australien. Kontinentübergreifende Vorkommen finden sich dann beispielsweise in der Pflanzenfamilie der Bromeliengewächse, ursprünglich in Amerika und sonst nur in einer Region Westafrikas. Einteilung Vor allem in der Botanik ist die Unterscheidung in „Paläoendemiten“ (auch: Reliktendemiten) und „Neoendemiten“ (auch: Entstehungsendemismus) üblich. Paläoendemiten sind Arten mit ursprünglich vermutlich weiterer Verbreitung, die durch Änderung der Lebensbedingungen oder neue Konkurrenten in ein Reliktareal, meist eine Insel oder ein Gebirge, abgedrängt worden sind. Ein Beispiel wäre der Wurzelnde Kettenfarn (Woodwardia radicans), der heute in den Lorbeerwäldern der Kanarischen Inseln und in eng begrenzten Gebieten (meist auf den Inseln) am Mittelmeer mit ähnlich niederschlagsreichem Lokalklima vorkommt. Man nimmt an, dass es sich um das Reliktareal einer im Tertiär unter wärmeren und feuchteren Lebensbedingungen weiter verbreiteten Art handelt. Neoendemiten sind Arten, die sich erst vor (erdgeschichtlich) kurzer Zeit aus weit verbreiteten Pflanzentaxa unter besonderen Standortbedingungen entwickelt haben. Dies nimmt man zum Beispiel für die zahlreichen Arten der Nelkengattung Dianthus auf Berggipfeln im Mittelmeerraum oder für die zahlreichen Tragant-(Astragalus-)Arten in abgegrenzten Regionen Zentralanatoliens an. Als Kuriosum kommen sogar sogenannte heimatlose Arten vor. Dies sind neophytische Neo-Endemiten, die sich (meist durch Hybridisierung) erst seit wenigen hundert Jahren in ihrer neuen Heimat aus ursprünglich vom Menschen aus anderen Erdteilen eingeführten Arten entwickelt haben. Bekannt ist dies etwa von Kleinarten der Nachtkerzen (Oenothera) aus dem biennis-Artkomplex. Subendemiten Arten, deren Verbreitungsgebiet in einer bestimmten Region ihren absoluten Schwerpunkt besitzt, von dort aus aber wenig in benachbarte Regionen übergreift, werden Subendemiten genannt. Diese können entweder Neoendemiten oder „progressive“ Paläoendemiten sein, das sind solche, die sich sekundär von einem kleinen Reliktareal wieder ein wenig ausbreiten konnten. Es gibt mehr Subendemiten, wenn die Bezugsregion nicht biogeographisch, sondern politisch abgegrenzt worden ist, da Staatsgrenzen auch sehr kleine biogeographische Regionen durchschneiden können. Subendemiten sind für den Naturschutz bedeutsam, wenn es um die Definition nationaler „Verantwortungsarten“ geht, das sind solche bedrohten Arten, für die ein bestimmter Staat eine besondere Verantwortung für ihr Überleben trägt, weil sich der größte Teil ihres Bestands oder ihres Verbreitungsgebiets innerhalb seiner Grenzen befindet. In einer Monographie speziell für Österreich wurden Subendemiten so definiert, dass sich mindestens 75 Prozent der Fundorte (oder der Rasterfelder einer Verbreitungskarte) innerhalb der Staatsgrenzen befinden müssen. Ausschließlich in der Schweiz ist, neben Subendemiten, auch der synonyme Ausdruck Teilendemiten gebräuchlich. Neben den Subendemiten gibt es in zahlreichen taxonomisch unzureichend bekannten oder schlecht erforschten Organismengruppen solche Arten, deren Vorkommen nur aus einem beschränkten Areal, manchmal nur von der Typlokalität, nachgewiesen ist, bei denen man aber annimmt, das sie in Wirklichkeit weiter verbreitet sind. Diese Arten werden gelegentlich Pseudoendemiten genannt. Beispielsweise sind in der faunistisch sehr schlecht erforschten Tiergruppe der Rädertierchen aus Österreich 760 Arten bekannt, von denen 33 bisher nur in Österreich selbst oder unmittelbaren Nachbarregionen (der Alpen) gefunden worden sind, davon mehr als zwei Drittel nur von der Typlokalität. Nur zwei dieser Arten gelten nach Expertenschätzung tatsächlich als (Sub)-Endemiten. Bedrohung Je kleiner der zur Verfügung stehende Lebensraum ist, desto größer ist meist die Gefährdung der endemischen Taxa. Schon geringe Veränderungen im Habitat können zum Aussterben des gesamten Taxons führen. Die Anwendung des Begriffs „Endemit“ auf politische Grenzen ist nur im Rahmen der Roten Liste gefährdeter Arten üblich. Inselendemiten Als Inselendemiten bezeichnet man Arten, welche sich an den Lebensraum einer bestimmten Insel angepasst haben. Als Inselendemit ist ein Tier/eine Pflanze zu bezeichnen, dessen/deren Vorfahren an eine Insel (meist weiter vom Festland entfernt) angetrieben wurden und sich da aufgrund von bestimmten abiotischen oder biotischen Umweltfaktoren der selbigen verändert haben, so dass diese Tiere bzw. Pflanzen infolgedessen nur auf dieser Insel heimisch sind. Interessant unter diesen ist unter anderem auch, dass sich bei einigen Arten besonders angepasste Unterarten gebildet haben, die jeweils verschiedene Lebensräume der Insel bewohnen. Die meisten dieser Unterarten gehen allerdings auf eine Art zurück, welche die Insel erreichte. Interessante Beispiele hierfür sind unter anderem auch die Anolis-Echsen auf den Westindischen Inseln, die Finken auf einigen Pazifikinseln (Galapagos, Hawaii) oder die Riesenschildkröten auf den Galapagosinseln. Eine weitere Besonderheit unter Inselendemiten ist ein langsamer Fortpflanzungszyklus, durch den die Individuenzahl der jeweiligen Arten nur langsam oder nicht ansteigen kann. So können viele endemische Vögel nur ein Ei pro Jahr legen, was sich so auswirkt wie eine „Bevölkerungsregulierung“ in der Evolution. Hier einige Beispiele für Inselendemiten: die Kleidervögel Hawaiis die Atlantisralle auf der Atlantikinsel Inaccessible die Darwinfinken der Galapagosinseln die Kiwis auf Neuseeland die Anolis Kubas die Krontaube auf Neuguinea Inselgigantismus und Inselverzwergung Bei einigen Endemiten ist es aufgrund des Nichtvorhandenseins von Fressfeinden wie Raubtieren oder anderen Bedrohungen zum Inselgigantismus gekommen. Inselgigantismus kann auftreten, wenn eine bestimmte Art auf eine Insel gelangt ist, auf der für sie kaum Gefahr besteht und auf der sie einen idealen Lebensraum vorfindet. Infolgedessen sind auf einigen Inseln zum Teil riesige Arten entstanden. Hier einige Beispiele: die Moas auf Neuseeland (ausgestorben) die Komodowarane auf Komodo und den umliegenden Inseln die Galápagos-Riesenschildkröten die Dodos auf La Réunion und Mauritius (ausgestorben) die Seychellen-Riesenschildkröten der St.-Helena-Riesenohrwurm (möglicherweise ausgestorben) die Elefantenvögel auf Madagaskar (ausgestorben). Inselverzwergung jedoch tritt ein, wenn innerhalb einer Art aufgrund eines geringeren Nahrungsangebotes die kleineren Exemplare durch ihren geringeren Nahrungsbedarf besser angepasst sind, oder wenn bei Selektion durch Raubtiere kleinere Exemplare bessere Möglichkeiten haben, sich den Beutegreifern zu entziehen. Hier einige Beispiele: der Homo floresiensis auf der Insel Flores (ausgestorben) der Insel-Graufuchs auf den kalifornischen Kanalinseln Madagassische Flusspferde (ausgestorben) Sizilianischer Zwergelefant (ausgestorben) das Zwergfaultier auf der Insel Isla escudo de veraguas vor Panama. Beispiele endemitenreicher Regionen Inseln Neukaledonien Hawaii-Emperor-Kette Galapagosinseln Kuba Sokotra der Malaiische Archipel Sumatra und Borneo Madagaskar Neuguinea und Sulawesi der Fiordland-Nationalpark in Neuseeland Gebirge und Gewässer das Hochland von Abessinien die Usambara-Berge in Tansania Baikalsee Malawisee Tanganjikasee Victoriasee Endemiten in Deutschland Beispiele endemischer Arten in Deutschland Die Rhönquellschnecke (Bythinella compressa) kommt nur in der Rhön und im Vogelsberg (Hessen) vor. Der Badische Riesenregenwurm (Lumbricus badensis) ist die größte Lumbricus-Art Europas und bewohnt ein kleines Areal im Südschwarzwald. Das Bayerische Löffelkraut (Cochlearia bavarica) ist ein nur im südlichen Teil Bayerns endemisch vorkommender Angehöriger der Kreuzblütengewächse (Brassicaceae). Das Violette Galmei-Stiefmütterchen (Viola guestphalica) kommt weltweit ausschließlich an einem Wuchsort im Grenzgebiet der Kreise Paderborn, Höxter und Hochsauerlandkreis vor. Das Gelbe Galmei-Veilchen (Viola calaminaria) wächst ausschließlich auf schwermetallhaltigen Böden in der Umgebung von Aachen. Der Ammersee-Kilch (Coregonus bavaricus) ist eine seltene Fischart aus der Gattung Coregonus. Er ist im bayerischen Ammersee entlang der Ortschaften Dießen, Utting und Schondorf endemisch. Der Schierlings-Wasserfenchel (Oenanthe conioides) ist eine Wasser- und Sumpfpflanzenart aus der Familie der Doldenblütler, die endemisch im tidebeeinflussten Bereich der Unterelbe vorkommt. Endemiten in Österreich und der Schweiz In Österreich gibt es mit 741 Endemiten, davon 575 Tier- und 150 Pflanzenarten, den höchsten Anteil endemischer Arten in Mitteleuropa. Das einzige endemische Säugetier Österreichs ist die Bayerische Kurzohrmaus. Siehe auch: Endemische Pflanzen Österreichs In der Schweiz gibt es 39 Endemiten: 33 Tier- und 6 Pflanzenarten. Siehe auch autochthone Art (im aktuellen Verbreitungsgebiet entstandene Lebewesen) indigene Pflanzen (einheimisch – in Abgrenzung zu eingewanderten Neophyten und ferner Archäophyten) Literatur Lexikon der Biologie. Band 5, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2004, ISBN 3-8274-0330-8. Weblinks Westfalen regional – Endemiten in Westfalen Einzelnachweise Biogeographie


text: Eine Epidemie (von ‚auf, bei, dazu‘ und ‚Volk‘), auch Seuche genannt, ist ein zeitlich und örtlich begrenztes vermehrtes Auftreten von Krankheitsfällen einheitlicher Ursache innerhalb einer menschlichen Population und entspricht damit einem großen Ausbruch einer Krankheit. Der Begriff war und ist nicht auf Infektionskrankheiten beschränkt. In der Epidemiologie wird von einer Epidemie gesprochen, wenn die Anzahl an neuen Erkrankungsfällen (Inzidenzen) über einen gewissen Zeitraum in einer bestimmten Region zunimmt. Nach der Geschwindigkeit der Zunahme der Erkrankungsfälle werden Explosiv- und Tardivepidemie unterschieden. Bei einer Länder und Kontinente übergreifenden Ausbreitung wird von einer Pandemie gesprochen. Ein Rückgang der Erkrankungshäufigkeit wird als Regression bezeichnet. Als eine Endemie wird demgegenüber das andauernd gehäufte Auftreten einer Krankheit in einer umschriebenen Population bezeichnet; hierbei bleibt die Inzidenz annähernd gleich, ist aber gegenüber nichtendemischen Gebieten erhöht. Da sich die Endung -demie sprachlich auf Menschen bezieht, sind in der Veterinärmedizin auch die Bezeichnungen Epizootie statt Epidemie und ebenso Panzootie statt Pandemie üblich. Wortherkunft Das Wort Epidemie, Adjektiv epidemisch, ist die im 18. Jahrhundert eingedeutschte Form einer Entlehnung aus mittellateinisch epidemia, Adjektiv , dieses aus griechisch (dorisch) ‚im Volk verbreitet‘; zu ‚Aufenthalt an einem Orte‘ bzw. ‚im Volk verbreitete [Krankheit]‘ mit der Zusammensetzung aus ‚auf, bei, dazu‘ und ‚Volk‘. Das deutsche Wort Seuche () ist abgeleitet vom Adjektiv siech. Es wird mit der Bedeutung ‚sich ausbreitende Krankheit‘ heute häufiger für epidemisch auftretende Tierkrankheiten (z. B. Maul- und Klauenseuche) verwendet, deren überregionale Ausbreitung oft auch als Seuchenzug bezeichnet wird. Epidemiologische Beschreibung Im Unterschied zu einer Endemie – bei der eine Krankheit innerhalb einer Population fortwährend mit etwa gleicher Fallzahl auftritt (Reproduktionsrate = 1) – verbreitet sich eine Epidemie mit einer größeren Reproduktionsrate (> 1). Dies bedeutet bei einer Infektionskrankheit, dass die Zahl an Infizierten zunimmt und die Zahl an Neuinfektionen ansteigt. Für die Ausbreitung bedeutsam ist die Rate, mit der durch Kontakt mit Infizierten neue Infizierte auftreten; sie entspricht zu Beginn der Basisreproduktionszahl (R0). Anfangs erhöht sich die Zahl an neuen Infektionsfällen pro Zeitintervall im Vergleich zum vorigen um einen ungefähr gleichen Anteil und wächst exponentiell. Der Anstieg neuer Infektionsfälle in absoluten Zahlen fällt daher zunächst eher gering aus und wächst mit fortschreitendem Geschehen stärker an. Diese dynamische Entwicklung kann gedämpft werden, wenn die Zahl an infektiösen Kontakten eingeschränkt wird – beispielsweise durch Quarantäne oder ein verändertes Sozialverhalten mit Distanzierung und geeigneten Hygienemaßnahmen – und die Zahl der pro Fall übertragenen Zweitinfektionen absinkt. Bei einer Nettoreproduktionszahl (Rt) ≤ 1 nimmt die Zahl an neu auftretenden Krankheitsfällen nicht mehr zu. Kann eine Epidemie während des Verlaufs nicht eingedämmt werden, kommt es hierzu erst, nachdem die Krankheit sich in der Bevölkerung soweit ausgebreitet hat, dass der Anteil anfälliger (suszeptibler), noch nicht infizierter Individuen stark reduziert ist. In Folge sinkt die Zahl der Neuinfektionen nach einiger Zeit immer weiter ab, bis die Krankheit einen endemischen Status erreicht oder in der Population ausstirbt (Populationsdynamik). Als Begründer der Historischen Seuchenpathologie gilt Justus Hecker, der sich mit der Geschichte von Seuchen wie dem Schwarzen Tod befasste. Vorhersage Das vermehrte Auftreten neuer Krankheitsfälle möglichst früh zu erfassen, ist für den Schutz der Bevölkerung wesentlich. Viele Betroffene suchen im Internet nach Information zu Krankheiten. Die Auswertung der Daten von Suchmaschinen kann daher Hinweise geben, um Epidemien frühzeitig zu erkennen. Auch die Auswertung von persönlichen Nachrichtendiensten im Internet kann für diese Bewertung herangezogen werden. Allerdings ist eine gehäufte Suche nach einer Krankheit oder deren Erwähnung im Internet nicht unbedingt immer Folge einer erhöhten Prävalenz oder Inzidenz dieser Krankheit. Daher können überhöhte Prognosen gestellt werden, wenn nicht andere zusätzliche Datenquellen in die Bewertung einfließen. Beispiele für Epidemien Zu den epidemisch auftretenden Krankheiten (epidemische Krankheiten) gehören verschiedene Tropenkrankheiten wie etwa Dengue, aber auch beispielsweise Cholera, Grippe, Typhus und Polio. Früher traten Milzbrand-Epidemien öfter im Abstromgebiet von Gerbereien auf. Die wohl verheerendsten Epidemien der Menschheitsgeschichte wurden von der Pest ausgelöst; darunter etwa der Schwarze Tod und die Justinianische Pest. Die Ebolafieber-Epidemie 2014 bis 2016 in Westafrika und die Ebolafieber-Epidemie 2018 bis 2020 im Osten der Demokratischen Republik Kongo sind nach Fallzahlen und zeitlichem Verlauf ebenfalls Beispiele für epidemische Ausbrüche des Ebolafiebers. Im Falle der Grippe spricht man von einer Grippewelle, wenn während einer Saison in verschiedenen Regionen erhebliche Anteile der Bevölkerung infiziert sind. Das US-amerikanische Centers for Disease Control and Prevention spricht von einer Influenza-Epidemie, wenn in einem bestimmten Winter die Übersterblichkeit an Grippe und Lungenentzündung gegenüber einem durchschnittlichen Winter deutlich erhöht ist. Im Falle der Chlamydiose, bei Jugendlichen als einer in dieser Bevölkerungsgruppe kaum bekannten sexuell übertragbaren Erkrankung, wird auch von einer heimlichen Epidemie gesprochen. Arten von Epidemien Epidemien lassen sich des Weiteren nach räumlichen und zeitlichen Merkmalen des Geschehens sowie nach den Bedingungen des Auftretens und Ausbreitens kennzeichnen. So können folgende Arten von Epidemien unterschieden werden: Epidemie mit Punktquelle: Eine Epidemie, deren Krankheitserreger sich kurzzeitig und gleichzeitig von einer Punktquelle ausgebreitet haben. Kleinraumepidemie: Eine Häufung von Inzidenzen in einem räumlich begrenzten Milieu, z. B. in einem Heim, einer Kindereinrichtungen oder einer Schule. Streuepidemie: Vermehrtes Auftreten von Infektionen an verschiedenen Orten, denen eine gemeinsame Ursache zugrunde liegt, die z. B. durch Bevölkerungsbewegungen oder Lebensmitteltransporte gestreut wird. Explosivepidemie: Bei der Explosivepidemie handelt es sich um eine Epidemie mit schlagartigem Anstieg der Erkrankungszahlen. Häufig sind Epidemien dieser Art mit bestimmten Übertragungsfaktoren assoziiert, beispielsweise als Infektionen, die über Lebensmittel oder Trinkwasser übertragen werden. Mischepidemie: Eine Mischung aus einer Explosivepidemie und einer Tardivepidemie, bei der das Infektionsgeschehen zunächst explosiv ist und sich im Verlauf eine Tardivepidemie entwickelt. Tardivepidemie (lateinisch tardus/tardivus „langsam“, „verspätet“) heißt eine Epidemie mit langsam, aber stetig ansteigenden Erkrankungszahlen. Die Tardivepidemie ist neben der Explosivepidemie eine der beiden klassischen Grundtypen der Epidemie; eingeführt wurde der Begriff von Karl Kißkalt. Im Unterschied etwa zum Begriff der Kontaktepidemie soll mit dem Begriff der Tardivepidemie, ähnlich wie bei der Explosivepidemie, der zeitliche Ablauf einer Epidemie charakterisiert werden, der Übertragungsmodus ist hierbei weitgehend unerheblich. Tardivepidemien können u. a. durch lange Inkubationszeiten begründet sein, durch Infektionswege, die lediglich zur Ansteckung eines einzelnen Menschen führen (sexuell übertragbare Erkrankungen), durch eine geringe Zahl der Überträger, durch eine stark ausgebildete Immunität (etwa infolge vorheriger latenter oder manifester Infektion) oder durch das Zusammenwirken verschiedener Faktoren. Erkrankungen, die zu einer typischen Tardivepidemie führen können, sind beispielsweise Pest, Pocken, Grippe, HIV. Kontaktepidemie: Bei dieser Art von Epidemie nehmen Infektionen und Erkrankungen durch direkte Mensch-zu-Mensch-Kontakte zu, z. B. durch Tröpfcheninfektionen, Kontaktinfektionen, oder sexuell übertragbare Krankheiten. Versandepidemie: Aufgrund des Versands kontaminierter Lebensmittel treten an verschiedenen Orten vermehrt lebensmittelbedingte Infektionen auf. Epidemie über ein allgemein zugängliches Medium: Eine Epidemie, deren Krankheitsauslöser sich über ein allgemein zugängliches Medium wie z. B. Luft, Trinkwasser oder Lebensmittel ausgebreitet haben. Pfropfepidemie: Eine Epidemie, die aus einer Endemie hervorgeht. Provokationsepidemie: Eine Epidemie, entstanden nach Aktivierung latenter Infektionen infolge einer Resistenzsenkung in der Bevölkerung. Summenepidemie: Eine Epidemie, die aus einer endemischen Situation heraus durch eine Summation von Infektionen (Verdichtungswelle, Attraktionswelle) entsteht, weil sich empfängliche Individuen angesammelt haben und sich ein Krankheitserreger mit hoher Kontagiosität ausbreitet. Komplexe Epidemie: Eine Epidemie, die durch mehrere Krankheitsauslöser induziert wird. Als Pseudoepidemie, auch Scheinepidemie oder Quotientepidemie, wird ein örtlich vermehrtes Auftreten von Fällen einer Infektionskrankheit bezeichnet, das auf eine vermehrte Manifestation von Infektionen durch eine plötzliche Zunahme der Empfänglichkeit (Suszeptibilität) in der Population zurückgeht oder durch erhöhte diagnostische Aktivitäten zustande kommt und nicht durch eine echte Zunahme von Neuinfektionen ausgelöst ist. Die Bezeichnung Pseudoepidemie wurde von Bernhard de Rudder geprägt, wohingegen die Bezeichnung Quotientepidemie Ulrich Friedemann prägte. De Rudder unterschied „echte Epidemien“ und „Pseudoepidemien“ mit wirklichen Anstiegen der Infektionszahlen und Pseudoepidemien, bei denen es sich nur um Interferenzschwankungen handelt. Gesellschaftlicher Umgang mit Epidemien in der Geschichte Der Kulturwissenschaftler Joseph Vogl zitiert Michel Foucault, der drei Arten des Umgangs mit den seit der Antike behandelten Epidemien in der Geschichte darstellt: Auf die Lepra im Mittelalter habe die Regierungsmacht mit Verbannung, Aussonderung und Ausschließung der Kranken reagiert; angesichts der Pest in der frühen Neuzeit habe sie Strategien der Überwachung und Einschließung, dann auch Disziplinarmechanismen, Kontrollnetze und eine minutiöse Beobachtung von Individuen entwickelt; auf die Pocken ab Ende des 18. Jahrhunderts habe sie mit Impfmaßnahmen, Immunitätsstrategien, statistischen Erhebungen und Risikoabschätzungen reagiert. Angesichts der AIDS-Epidemie habe man zunächst Homosexuelle verfolgt und ‚Risikogruppen‘ denunziert, später habe sich der Umgang mit der Epidemie stärker auf Bereiche außerhalb des geschlossenen Bereichs der medizinischen Beobachtung verlagert. Siehe auch Liste von Epidemien und Pandemien Disease X Kohortenstudie Populationsdynamik Literatur Stefan H. E. Kaufmann u. a. (Hrsg.): Wächst die Seuchengefahr? Globale Epidemien und Armut: Strategien zur Seucheneindämmung in einer vernetzten Welt. (= Fischer TB. Nr. 17664). S. Fischer Verlag, Frankfurt am Main 2008, ISBN 978-3-596-17664-9. J. Andrew Mendelsohn: Von der „Ausrottung“ zum Gleichgewicht. Wie Epidemien nach dem Ersten Weltkrieg komplex wurden. In: Christoph Gradmann, Thomas Schlich (Hrsg.): Strategien der Kausalität. Konzepte der Krankheitsverursachung im 19. und 20. Jahrhundert. (= Neuere Medizin- und Wissenschaftsgeschichte. Band 5). Centaurus Verlagsgesellschaft, Pfaffenweiler 1998, ISBN 3-8255-0173-6, S. 227–268. Auch in: Philipp Sarasin, Silvia Berger, Marianne Hänseler, Myriam Spoerri (Hrsg.): Bakteriologie und Moderne. Studien zur Biopolitik des Unsichtbaren 1870–1920. Frankfurt am Main 2007, S, 239–284. Vivian Nutton: Epidemische Krankheiten. In: Der Neue Pauly – Enzyklopädie der Antike. Band 3. Stuttgart/Weimar 1997, Sp. 1102–1104. Oliver Razum, Jürgen Breckenkamp, Patrick Brzoska: Epidemiologie für Dummies. 3., aktualisierte und überarbeitete Auflage. Wiley-VCH Verlag, Weinheim 2017, ISBN 978-3-527-71269-4. Jacques Ruffié, Jean-Charles Sournia: Die Seuchen in der Geschichte der Menschheit. Originaltitel: Les épidémies dans l’histoire de l’homme. Aus dem Französischen übersetzt von Brunhild Seeler. Klett-Cotta, Stuttgart 1987; 4., erweiterte Auflage ebenda 2000, ISBN 3-608-94001-4. Julius Rosenbaum: Geschichte der Lustseuche im Alterthume für Ärzte, Philologen und Altertumsforscher dargestellt. Halle 1839; 7., revidierte und mit einem Anhange vermehrte Auflage, Verlag von H[ermann] Barsdorf, Berlin 1904 (Titel: Geschichte der Lustseuche im Altertume nebst ausführlichen Untersuchungen über den Venus- und Phalluskultus, Bordelle, Νοῦσος θήλεια der Skythen, Paederastie und andere geschlechtliche Ausschweifungen der Alten als Beiträge zur richtigen Erklärung ihrer Schriften dargestellt.). Nachdruck: Zentralantiquariat der Deutschen Demokratischen Republik, Leipzig 1971 (Ausgabe für S. Karger, Basel/München/...). S. 314–327 (Genius epidemicus). Jacques Ruffié, Jean-Charles Sournia: Die Seuchen in der Geschichte der Menschheit. [Übersetzung von Les épidemies dans l’histoire de l’homme ins Deutsche von Brunhild Seeler]. Klett-Cotta, Stuttgart 1987; 4., erweiterte Auflage ebenda 2000, ISBN 3-608-94001-4. Malte Thießen (Hrsg.): Infiziertes Europa. Seuchen im langen 20. Jahrhundert. De Gruyter Oldenbourg, München 2014, ISBN 978-3-11-036434-7. Manfred Vasold: Pest, Not und schwere Plagen. Seuchen und Epidemien vom Mittelalter bis heute. C. H. Beck, München 1991, ISBN 3-406-35401-7. Jörg Vögele, Stefanie Knöll, Thorsten Noack (Hrsg.): Epidemien und Pandemien in historischer Perspektive. Springer VS, Wiesbaden 2016, ISBN 978-3-658-13874-5. Stefan Winkle: Geißeln der Menschheit. Kulturgeschichte der Seuchen. Komet, Düsseldorf/Zürich 1997, ISBN 3-538-07049-0; 3., verbesserte und erweiterte Auflage. Artemis & Winkler, Düsseldorf/Zürich 2005, ISBN 978-3-538-07159-9 (Neudruck unter dem Titel Die Geschichte der Seuchen. Anaconda, Köln 2021, ISBN 978-3-7306-0963-7). Weblinks Website des Europäischen Zentrums für die Prävention und Bekämpfung von Seuchen (englisch) Europe's journal on infectious disease surveillance, epidemiology, prevention and control (englisch) Epidemiologisches Bulletin auf der Website des Robert Koch-Instituts Berthold Seewald: Pest, Cholera & Co – So wüteten die größten Epidemien in der Geschichte. In: Welt.de, 2. März 2020 Dossier „Religion und Verschwörungstheorien in Zeiten der Corona-Epidemie“ des Exzellenzcluster „Religion und Politik“ der Westfälischen Wilhelms-Universität Münster. Einzelnachweise Mikrobiologie Katastrophentyp


text: Évariste Galois (* 25. Oktober 1811 in Bourg-la-Reine; † 31. Mai 1832 in Paris) war ein französischer Mathematiker. Er starb im Alter von nur 20 Jahren bei einem Duell, erlangte allerdings durch seine Arbeiten zur Lösung algebraischer Gleichungen, der so genannten Galoistheorie, postum Anerkennung. Leben Galois besuchte das College Louis-le-Grand in Paris, scheiterte zweimal an der Aufnahmeprüfung zur École polytechnique und begann ein Studium an der École normale supérieure. Mit 17 Jahren veröffentlichte er eine erste Arbeit über Kettenbrüche; wenig später reichte er bei der Académie des Sciences eine Arbeit über die Gleichungsauflösung ein, die den Kern der heute nach ihm benannten Galoistheorie enthielt. Die Akademie lehnte das Manuskript ab, ermutigte Galois aber, eine verbesserte und erweiterte Fassung einzureichen. Dieser Vorgang wiederholte sich zweimal unter Beteiligung von Augustin-Louis Cauchy, Joseph Fourier und Siméon Denis Poisson. Galois reagierte verbittert, beschuldigte die Akademie, Manuskripte veruntreut zu haben, und beschloss, sein Werk auf eigene Kosten drucken zu lassen. Als Republikaner war Galois vom Ausgang der Julirevolution enttäuscht und exponierte sich politisch zunehmend; er wurde von seiner Hochschule verwiesen und zweimal verhaftet. Der ersten Verhaftung wegen eines bei einem Bankett mit dem blanken Messer in der Hand ausgebrachten Trinkspruchs auf den neuen König Louis-Philippe, der als versteckte Morddrohung ausgelegt wurde, folgte am 15. Juni 1831 ein Freispruch. Nur einen Monat später nahm Galois in der Uniform der wegen politischer Unzuverlässigkeit inzwischen aufgelösten Artillerie-Garde und schwer bewaffnet an einer Demonstration zum 14. Juli teil, wurde erneut verhaftet und nach dreimonatiger Untersuchungshaft zu sechs Monaten Haft im Gefängnis Sainte-Pélagie verurteilt. Im März 1832 wurde er wegen einer Cholera-Epidemie mit anderen Häftlingen ins Sanatorium Sieur Faultrier verlegt. Am 29. April wurde er aus der Haft entlassen. Am Morgen des 30. Mai 1832 erlitt Galois bei einem Pistolenduell in der Nähe des Sieur Faultrier einen Bauchdurchschuss, wurde von seinem Gegner und seinem eigenen Sekundanten allein zurückgelassen, Stunden später von einem Bauern aufgefunden und in ein Krankenhaus gebracht, wo er tags darauf „in den Armen“ seines Bruders Alfred starb. Der Duellgegner war ein republikanischer Gesinnungsgenosse, Perschin d’Herbinville, und nicht, wie von Leopold Infeld in Wen die Götter lieben vorgebracht, ein agent provocateur der Regierung. Der Anlass für das Duell war ein Mädchen, Stéphanie-Félicie Poterin du Motel, die Tochter eines am Sieur Faultrier tätigen Arztes. Mit ihr tauschte Galois nach seiner Entlassung aus dem Sanatorium Briefe aus, und ihr Name findet sich auf seinem letzten Manuskript; sie scheint sich aber von ihm distanziert zu haben. Ian Stewart zitiert aus der französischen Tageszeitung Le Précurseur die folgende Meldung vom 4. Juni 1832: „Paris, 1. Juni. Ein bedauerliches Duell hat gestern die exakten Wissenschaften um einen jungen Mann gebracht, der zu den höchsten Erwartungen Anlass gab, dessen gefeierte Frühreife jedoch in letzter Zeit von seinen politischen Aktivitäten überschattet wurde. Der Junge Évariste Galois kämpfte mit einem seiner alten Freunde, der bekanntermaßen ebenfalls in einem politischen Prozess eine Rolle spielte. Gerüchten zufolge lag dem Duell eine Liebesgeschichte zugrunde. Die Gegner wählten Pistolen als Waffe, doch wegen ihrer alten Freundschaft konnten sie sich dabei nicht in die Augen schauen und überließen die Entscheidung dem Zufall. Aus nächster Nähe feuerte jeder seine Pistole ab. Nur eine Pistole war geladen. Galois wurde von der Kugel seines Gegners durchbohrt; man brachte ihn ins Krankenhaus, wo er nach etwa zwei Stunden starb. Er war 22 Jahre alt. L. D., sein Widersacher, ist etwas jünger.“ Trotzdem halten sich hartnäckig Stimmen, die sagen, das Duell sei inszeniert gewesen, da Galois kaum Interesse an Stéphanie hatte und sein Gegner ein bekannter Schütze war, ja es wurde sogar behauptet, er hätte sich in diesem Duell für die republikanische Sache geopfert. Andere Einschätzungen sprechen von inszeniertem Selbstmord aufgrund seiner unglücklichen Liebe. Solche Duelle „um der Ehre willen“ waren andererseits damals ziemlich häufig. In der Nacht vor seinem Duell schrieb er einen Brief an seinen Freund Auguste Chevalier, in dem er diesem die Bedeutung seiner mathematischen Entdeckungen ans Herz legte und ihn bat, seine Manuskripte Carl Friedrich Gauß und Carl Gustav Jacob Jacobi vorzulegen; außerdem fügte er Randbemerkungen wie „je n’ai pas le temps“ (mir fehlt die Zeit) in seine Schriften ein. Chevalier schrieb Galois’ Arbeiten ab und brachte sie unter den Mathematikern seiner Zeit in Umlauf, u. a. auch an Gauß und Jacobi, von denen aber keine Reaktion bekannt ist. Die Bedeutung der Schriften erkannte erst 1843 Joseph Liouville, der den Zusammenhang mit Cauchys Theorie der Permutationen sah und sie in seinem Journal veröffentlichte. Der antiklerikal und antimonarchistisch eingestellte Galois erlangte nach seinem Tod aufgrund seiner ungestümen Art und seinem Hang zum Alkohol zunächst einen schlechten Ruf. Dazu trug bei, dass es sowohl bei der Beerdigung seines Vaters wie auch bei seiner eigenen zu Schlägereien kam. Werk Galois begründete die heute nach ihm benannte Galoistheorie, die sich mit der Auflösung algebraischer Gleichungen, d. h. mit der Faktorisierung von Polynomen befasst. Das damalige Grundproblem der Algebra umfasste die allgemeine Lösung algebraischer Gleichungen mit Radikalen (d. h. Wurzeln im Sinne von Potenzen mit gebrochenen Exponenten), wie sie für Gleichungen zweiten, dritten und vierten Grades schon länger bekannt waren. Galois erkannte die dahinter stehenden Konstruktionen der Gruppentheorie. Unabhängig (und Galois nicht bekannt) hatte Niels Henrik Abel bewiesen, dass eine allgemeine polynomiale Gleichung von höherem Grad als 4 im Allgemeinen nicht durch Radikale aufgelöst werden kann. Galois untersuchte Gruppen von Vertauschungen der Nullstellen des Gleichungspolynoms (auch Wurzeln genannt), insbesondere die sogenannte Galoissche Gruppe G, deren Definition bei Galois noch ziemlich kompliziert war. In heutiger Sprache ist das die Gruppe der Automorphismen des Erweiterungskörpers L über dem Grundkörper, der durch Adjunktion aller Nullstellen definiert ist. Galois erkannte, dass sich die Untergruppen von G und die Unterkörper von L bijektiv entsprechen. Man zeigt dann zum Beispiel, dass im Falle der allgemeinen Gleichung 5. Grades für die zugehörige Gruppe – die Symmetrische Gruppe S5 der Permutationen von 5 Objekten – keine Kompositionsreihe einer Kette von Normalteilern mit zyklischen Faktorgruppen existiert, die den Automorphismengruppen der durch Adjunktion von Wurzeln gebildeten Zwischenkörpern entsprechen. S5 ist keine auflösbare Gruppe, da sie als echten Normalteiler nur die einfache Untergruppe A5 enthält, die alternierende Gruppe der geraden Permutationen von 5 Objekten. Das verallgemeinert sich in dem Satz, dass für n > 4 die symmetrische Gruppe Sn den einzigen echten nichttrivialen Normalteiler An besitzt, der nichtzyklisch und einfach ist, d. h. ohne nichttriviale Normalteiler. Daraus folgt die allgemeine Nichtauflösbarkeit von Gleichungen höheren als 4. Grades durch Radikale. Wegen dieser von ihm gefundenen Begriffe und Sätze ist Galois einer der Begründer der Gruppentheorie. In Anerkennung seiner grundlegenden Arbeit wurden die mathematischen Strukturen Galoiskörper (endlicher Körper), Galoisverbindung und Galoiskohomologie nach ihm benannt. Wie anderen, besonders berühmten Mathematikern ist auch ihm ein Symbol gewidmet: GF(q) steht für Galois Field (Galoiskörper) mit q Elementen und ist in der Literatur so etabliert wie etwa die Gaußklammer oder das Kronecker-Symbol. Er lieferte damit auch die Grundlagen für Beweise der allgemeinen Unlösbarkeit von zwei der drei klassischen Probleme der antiken Mathematik, der Dreiteilung des Winkels und der Verdoppelung des Würfels (jeweils mit Zirkel und Lineal, also mit Quadratwurzeln und linearen Gleichungen). Diese Beweise können jedoch auch einfacher, also ohne Galoistheorie, geführt werden. Das dritte Problem, die Quadratur des Kreises, wurde durch den Beweis der Transzendenz von durch Ferdinand Lindemann ad acta gelegt. In dem Brief an Auguste Chevalier deutet Galois auch Arbeiten über elliptische Funktionen an. Eponyme Seit 1970 trägt der Mondkrater Galois auf der Mondrückseite seinen Namen, und seit dem 2. Februar 1999 der Asteroid (9130) Galois. Schriften Analyse algébrique. Démonstration d’un théorème sur les fractions continues périodiques, Annales de Mathématiques pures et appliquées 19, 1828–1829, S. 294–301. Jules Tannery (Hrsg.): Manuscrits de Évariste Galois. Gauthier-Villars, Paris 1908 (bei der University of Michigan: französisch) Robert Bourgne, Jean-Pierre Azra (Hrsg.): Écrits et mémoires mathématiques d’Évariste Galois. Édition critique intégrale de ses manuscrits et publications. Gauthiers-Villars, Paris 1962 (französisch) Œuvres mathématiques publiées en 1846 dans le Journal de Liouville, Jacques Gabay, 1989 (bei Gallica: Faksimile) Peter Neumann (Herausgeber) The mathematical writings of Evariste Galois, European Mathematical Society 2011 Übersetzungen Hermann Maser (Hrsg.): Abhandlungen über die algebraische Auflösung der Gleichungen von N. H. Abel und E. Galois, Julius Springer, Berlin 1889 (mit Übersetzung von Bemerkungen von Joseph Liouville und eines Briefes von Galois an Auguste Chevalier) Эварист Галуа Сочинения (Evarist Galua sotschinenija = Évariste Galois' Werke), Moskau 1936 (bei der Cornell University: russisch) Literatur Joseph Bertrand: Sur „La vie d’Évariste Galois“ par Paul Dupuy. Journal des savants, Juli 1899, S. 389–400 (bei Gallica: französisch) Paul Dupuy: La vie d’Évariste Galois. Annales scientifiques de l’École Normale Supérieure 3e série, 13, 1896, S. 197–266. Felix Klein: Abschnitte Galois und Die Galoissche Theorie in Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert. Julius Springer, Berlin 1926, S. 88–93 (Reprint: Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 1979, ISBN 3-540-09234-X) B. Melvin Kiernan: The Development of Galois theory from Lagrange to Artin. Archive for History of Exact Sciences 8, 1971, S. 40–154. Louis Kollros: Évariste Galois. Birkhäuser, Basel 1948. (= Elemente der Mathematik. Supplemente; 7.) Tony Rothman: Genius and biographers: the fictionalization of Évariste Galois. American Mathematical Monthly 89, 1982, S. 84–106 (, oder bei der MAA) Laura Toti Rigatelli: Evariste Galois. Birkhäuser, Boston 1996, ISBN 3-7643-5410-0. George Sarton: Evariste Galois. The Scientific Monthly 13, 1921, S. 363–375, wieder in George Sarton: The Life of Science. Essays in the History of Civilization. Indiana University Press, Bloomington 1960, S. 83–100 und mehrfache weitere Wiederabdrucke (im Internet-Archiv: ) Marcus du Sautoy: Die Mondscheinsucher. Mathematiker entschlüsseln das Geheimnis der Symmetrie. C. H. Beck 2008, ISBN 978-3-406-57670-6. Ian Stewart: Größen der Mathematik: 25 Denker, die Geschichte schrieben, rororo, Reinbek bei Hamburg 2018, ISBN 978-3-499-63394-2, S. 194–210. René Taton: Les relations d’Évariste Galois avec les mathématiciens de son temps. Revue d’histoire des sciences et de leurs applications 1(1), 1947, S. 114–130 (französisch) René Taton: Evariste Galois and his contemporaries. Bulletin London Mathematical Society, Band 15, 1983, S. 107–118 (Vorlesung vor der LMS 1982) René Taton: Sur les relations scientifiques d’Augustin Cauchy et d’Évariste Galois. Revue d’histoire des sciences et de leurs applications 24(2), 1971, S. 123–148 (französisch) als Roman Tom Petsinis: Der französische Mathematiker. RM Buch und Medien, Reihe Club Premiere, Gütersloh 1997, ohne ISBN (Hardcover); wieder btb-Taschenbuch Goldmann, München 2000, ISBN 3-442-72473-2 (aus dem Englischen, biographischer Roman). Zugleich M. A. Abschlussarbeit, Victoria University Melbourne im Bereich Mathematik Weblinks Das Galois-Archiv – Biographie, Briefe und Texte in fünf Sprachen Galois' Welt – Leidenschaft und Mathematik (MP3; 26,6 MB) – Podcast der Sendung SWR2-Wissen; abgerufen am 2. November 2011 Einzelnachweise und Anmerkungen Mathematiker (19. Jahrhundert) Person (Duell) Person als Namensgeber für einen Asteroiden Person als Namensgeber für einen Mondkrater Franzose Geboren 1811 Gestorben 1832 Mann