text: Frank Patrick Herbert (* 8. Oktober 1920 in Tacoma, Washington; † 11. Februar 1986 in Madison, Wisconsin) war ein US-amerikanischer Fantasy- und Science-Fiction-Autor. Als sein wichtigstes Werk gilt der Romanzyklus Dune, der sich über zwölf Millionen Mal verkaufte und bereits mehrfach verfilmt wurde. Leben Nach eigener Aussage hegte Herbert bereits zu seinem achten Geburtstag den Wunsch, Schriftsteller zu werden. Da seine Familie jedoch in Armut lebte, boten sich ihm kaum Perspektiven, diesen Traum in die Wirklichkeit umzusetzen. Im Alter von 18 Jahren zog er schließlich zu Verwandten nach Salem, wo er die Schule beendete und als freier Journalist zu arbeiten begann. Um an Aufträge zu gelangen, fälschte er unter anderem seine Dokumente, um älter zu erscheinen. Nach Ausbruch des Zweiten Weltkrieges wurde Herbert in die Marine eingezogen, für die er als Fotograf zum Einsatz kam. 1940 heiratete er seine erste Frau Flora Parkinson. Die Ehe hielt lediglich fünf Jahre. 1946 lernte Herbert während des Studiums an der Universität von Washington in einem Seminar für kreatives Schreiben seine zweite Frau, Beverly Ann Stuart, kennen, mit welcher er zwei Söhne hatte. Brian, der 1947 geboren wurde, ist ebenfalls schriftstellerisch tätig. Bruce, der 1951 zur Welt kam und 1993 an HIV starb, war Aktivist im Kampf für die Rechte von Schwulen und Lesben. Sein Studium brach Herbert bald wieder ab und begann in Seattle erneut, für unterschiedliche Tageszeitungen als Journalist zu arbeiten. Nebenbei schrieb er erste Kurzgeschichten, die unter anderem im Esquire sowie unterschiedlichen Pulpmagazinen veröffentlicht wurden. Nach sechs Jahren der Recherche und des Schreibens versuchte Herbert zuerst erfolglos, einen Verleger für das erste Buch seines Romanzyklus Dune zu finden. Zwanzig Absagen später erschien es endlich 1965, im hauptsächlich auf Ratgeberpublikationen spezialisierten Verlagshaus Chilton, und leitete den Beginn seiner literarischen Karriere ein. Unter anderem erhielt das Werk 1966 sowohl den erstmals vergebenen Nebula Award wie auch den renommierten Hugo Award. In dem Science-Fiction-Roman verknüpft Herbert Probleme der Ökologie mit philosophischen, politischen und sozialen Fragestellungen. Die spezifische Erzähltechnik, aus der Perspektive verschiedener Handlungsträger die Erzählung zu verknüpfen, nutzte er auch in seinen späteren Veröffentlichungen. Ab 1970 unterrichtete Herbert selbst als Dozent an der Universität von Washington. 1972 wurde er schließlich Vollzeitschriftsteller und hatte seit etwa 1980 neben seinem Wohnsitz im Bundesstaat Washington auch ein Haus auf Hawaii. Bis in die 1980er Jahre hinein war Herbert höchst produktiv. Es entstanden viele seiner bekanntesten Werke, darunter auch einige in Zusammenarbeit mit Bill Ransom. Nachdem seine Frau im Februar 1984 gestorben war, heiratete er Ende 1985 seine dritte Frau, Theresa Shackleford. Nur wenige Monate später starb Herbert im Alter von 65 Jahren an den Folgen eines Bauchspeicheldrüsenkrebses in Madison. 2006 wurde er postum in die Science Fiction Hall of Fame aufgenommen. Werke Dune-Zyklus Herberts bekanntestes Werk ist der in viele Sprachen übersetzte und aus sechs Büchern bestehende Romanzyklus Dune (dt. Der Wüstenplanet). Der erste Band wurde mit zahlreichen renommierten Preisen ausgezeichnet und erstmals 1984 von David Lynch für die Kinoleinwand verfilmt, 2000 folgte ein Remake von John Harrison fürs Fernsehen und zuletzt eine Kinoverfilmung von Denis Villeneuve 2021. Die Teile des Romanzyklus sind: Dune (1963–1964 und 1965 als Fortsetzungsromane; umgearbeitete Fassung 1966 als Buch; Übersetzung des Buches 1967 dt. Der Wüstenplanet) Dune Messiah (Juli bis Nov. 1969 als Fortsetzungsroman; 1969 dt. Der Herr des Wüstenplaneten) Children of Dune (Jan. bis April 1976 als Fortsetzungsroman; 1976 dt. Die Kinder des Wüstenplaneten) God Emperor of Dune (1981 dt. Der Gottkaiser des Wüstenplaneten) Heretics of Dune (1984 dt. Die Ketzer des Wüstenplaneten) Chapterhouse Dune (1985 dt. Die Ordensburg des Wüstenplaneten) Herbert arbeitete am siebten und letzten Band des Romanzyklus, als er verstarb. Aufzeichnungen zu diesem Roman und weitere Fragmente haben bereits als Vorlagen für eine Reihe von in der Vorgeschichte angesiedelten Romanen gedient, die von Herberts Sohn Brian Herbert in Zusammenarbeit mit Kevin J. Anderson geschrieben wurden. Die Vollendung des Romanzyklus haben jene beiden Autoren 2007 abgeschlossen. Der siebte Band wurde zweigeteilt publiziert: Hunters of Dune (2007 dt. Die Jäger des Wüstenplaneten) Sandworms of Dune (2008 dt. Die Erlöser des Wüstenplaneten) Diese Romane stellen jedoch nach Ansicht vieler Fans eine Abkehr von Herberts eigener Darstellung komplexer Ideen und der Auseinandersetzung mit dem menschlichen Leben dar. Auch der Stil der neuen Bücher ist weniger dicht und intensiv; es finden sich vermehrt reine Abenteuerelemente. Unabhängig davon erschien 1985 von Herbert die Kurzgeschichte The Road to Dune (1985 dt. Auf dem Wüstenplaneten), ein Auszug aus dem fiktiven „Imperiumsführer“, einer Art Touristenführer. Der siebzehnseitige Text erschien 1990 exklusiv im Sammelband Auge mit Illustrationen von Jim Burns. Caleban-Zyklus Der Caleban-Zyklus Herberts wird in zwei Kurzgeschichten und zwei Romanen behandelt. A Matter of Traces (dt. Aufs Geschirr kommt es an, Kurzgeschichte in Auge, 1958) The Tactful Saboteur (dt. Der taktvolle Saboteur, Kurzgeschichte in Auge, 1964) Whipping Star (dt. Der letzte Caleban, 1970) The Dosadi Experiment (Mai bis Aug. 1977 als Fortsetzungsroman, 1977 dt. Das Dosadi-Experiment) Schiff-Zyklus (mit Bill Ransom) Do I Sleep or Wake (altern. Version von Destination Void, 1965) Destination: Void (1966, dt. Ein Cyborg fällt aus, 1971 u. Neuaufl. 1987) Destination: Void – Revised Edition (1978) The Jesus Incident (1979, dt. Der Jesus-Zwischenfall 1981) The Lazarus Effect (1983, dt. Der Lazarus-Effekt 1986) The Ascension Factor (1988, dt. Der Himmelfahrtsfaktor 1989) Weitere Romane The Dragon in the Sea (Nov. 1955 bis Jan. 1956 als Fortsetzungsroman Under Pressure, erste Buchausg. 1956; dt. Atom-U-Boot S 1881; auch in Der Tod einer Stadt unter dem Titel Der Drache in der See) The Green Brain (1965 als Fortsetzungsroman unter dem Titel Greenslaves, 1966 als Buch; dt. Das grüne Herz; auch in Der Tod einer Stadt als Der Insektenkrieg) Destination: Void (1965 als Fortsetzungsroman unter dem Titel Do I Wake or Dream?, sowie als Buch unter dem Titel Do I Sleep or Wake; 1966 in veränderter Fassung als Buch; dt. Ein Cyborg fällt aus); erster Band des Schiff-Zyklus; 1978 als Revised Edition (umfangreiche Neubearbeitung) The Eyes of Heisenberg (Juni bis Aug. 1966 als Fortsetzungsroman unter dem Titel Heisenberg's Eyes.; 1966 Buchausgabe; 1968 dt. Revolte gegen die Unsterblichen und 1983 dt. Die Augen Heisenbergs) The Heaven Makers (April bis Juni 1967 als Fortsetzungsroman; 1968 als Buch; dt. Gefangen in der Ewigkeit oder Die Unsterblichen) The Santaroga Barrier (Okt. 1967 bis Feb. 1968 als Fortsetzungsroman; 1968 Buchausgabe; dt. Die Leute von Santaroga) Whipping Star (Jan. bis April 1970 als Fortsetzungsroman; 1970 Buchausgabe, dt. Der letzte Caleban) Soul Catcher (1972) The Godmakers (Mai 1958 als Fortsetzungsroman unter dem Titel You Take the High Road, Mai 1958 als Fortsetzungsroman unter dem Titel Operation Haystack, Febr. 1960 als Fortsetzungsroman unter dem Titel The Priests of Psi; 1972 Buchausgabe; dt. Die Riten der Götter) Hellstrom's Hive (Nov. 1972 bis März 1973 als Fortsetzungsroman unter dem Titel Project 40; 1973 Buchausgabe; dt. Hellstrøms Brut). Direct Descent (1954 als Fortsetzungsroman, 1980 Buchausgabe) The White Plague (1982, dt. Die weiße Pest) Man of Two Worlds (1986, mit Brian Herbert, dt. Mann zweier Welten) High-Opp (posthum), WordFire Press 2012 ISBN 978-1-614-75038-3. Kurzgeschichten Survival of the Cunning, in „Esquire“, März 1945. Yellow Fire, in „Alaska Life“ („Alaska Territorial Magazine“), Juni 1947. Looking for Something? Startling Stories, April 1952. Operation Syndrome, in Astounding, Juni 1954. ebenfalls in T.E. Diktys Best Science Fiction Stories and Novels, 1955. The Gone Dogs, in „Amazing“, November 1954. Packrat Planet, in „Astounding“, Dezember 1954. Rat Race, in „Astounding“, Juli 1955. Occupation Force, in „Fantastic“, August 1955. Under Pressure (dreiteilig), in Astounding, November 1955 – Januar 1956. The Nothing, in „Fantastic Universe“, Januar 1956. Cease Fire in „Astounding“, Januar 1956. Old Rambling House, in Galaxy, April 1958. A Matter of Traces, in „Fantastic Universe“, November 1958. Missing Link, in „Astounding“, Februar 1959. ebenfalls in „Author's Choice“ Ed. Harry Harrison, New York: Berkley, 1968. Egg and Ashes, in „Worlds of If“, November 1960. Operation Haystack, in „Astounding“, Mai 1959. The Priests of Psi, in „Fantastic“, Februar 1960. A-W-F Unlimited, in „Galaxy“, Juni 1961. Try to Remember, in „Amazing“, Oktober 1961. Mating Call, in „Galaxy“, Oktober 1961. Mindfield, in „Amazing“, März 1962. Dune World, (dreiteilig) in „Analog“ Dezember 1963 – Februar 1964. The Mary Celeste Move, in „Analog“, Oktober 1964. Tactful Saboteur, in „Galaxy“, Oktober 1964. The Prophet of Dune (fünfteilig) in „Analog“, Januar – Mai 1965. Greenslaves, in „Amazing“, März 1965. Committee of the Whole, in „Galaxy“, April 1965. The GM Effect, in „Analog“, Juni 1965. Do I Wake or Dream?, in „Galaxy“, August 1965. The Primitives, in „Galaxy“, April 1966. Escape Felicity, in „Analog“, Juni 1966. Heisenberg's Eyes, (zweiteilig) in „Galaxy“, Juni – August 1966. By the Book, in „Analog“, August 1966. The Featherbedders, in „Analog“, August 1967. The Heaven Makers, (zweiteilig) in „Amazing“, April – Juni 1967. The Santaroga Barrier, (dreiteilig) in „Amazing“, Oktober 1967 – Februar 1968. Dune Messiah, (fünfteilig) in „Galaxy“, Juli – November 1969. The Mind Bomb, in „Worlds of If“, Oktober 1969. Seed Stock, in „Analog“, April 1970. Whipping Star, (dreiteilig) in „Worlds of If“, Januar – April 1970. Murder Will In, in „The Magazine of Fantasy and Science Fiction“, Mai 1970. Project 40 (dreiteilig) in „Galaxy“, November 1972 – März 1973. ebenfalls in „Five Fates“ by Keith Laumer, Poul Anderson, Frank Herbert, Gordon Dickson and Harlan Ellson. New York: Doubleday, 1970. Encounter in a Lonely Place in „The Book of Frank Herbert“, 1973. Gambling Device, in „The Book of Frank Herbert“, 1973. Passage for Piano, in „The Book of Frank Herbert“, 1973. The Death of a City, in „Future City“, 1973. Children of Dune (vierteilig) in „Analog“, Januar – April 1976. The Dosadi Experiment (vierteilig) in „Galaxy“, Mai – August 1977. Come to the Party, in „Analog“, Dezember 1978. Songs of a Sentient Flute, in „Analog“, Februar 1979. Frogs and Scientists, Eye, 1985. Kurzgeschichtensammlungen in deutscher Sprache The Book of Frank Herbert (dt. Herrscher der Erde TERRA-Taschenbuch Nr. 249, 1974): Der Mann ohne Talente (auch „Der Nichts“); Herrscher der Erde (auch „Suchen Sie Was?“); Hundepest (auch „Die verschwundenen Hunde“); Platz für Piano (auch „Transit für einen Flügel“); ESP (auch „Begegnung an einem einsamen Ort“); Epidemie des Wahnsinns (auch „Das Zerhackersyndrom“); Die Invasoren (auch „Besatzungsmacht“) Eye (dt. Auge, illustriert von Jim Burns, 1985): Rattenrennen; Der Drache in der See; Feuer einstellen!; Aufs Geschirr kommt es an; Erinnert Euch!; Der taktvolle Saboteur; Auf dem Wüstenplaneten; Streng nach Vorschrift; Saatgut; Komm zu mir, mein Mörder!; Transit für einen Flügel; Der Tod einer Stadt, Frösche und Forscher Der Tod einer Stadt (Heyne, 1994; alle Kurzgeschichten außer „Auf dem Wüstenplaneten“): Suchen Sie Was?; Zerhackersyndrom; Die verschwundenen Hunde; Rattenrennen; Besatzungsmacht; Der Drache in der See; Der Nichts; Feuer einstellen!; Das wandernde Haus; Aufs Geschirr kommt es an; Werben mit beschränkter Haftung; Paarungsruf; Erinnert Euch!; Gedankenfeld; Unter Einschluss der Öffentlichkeit; Die Mary-Celest-Umzüge; Der taktvolle Saboteur; Der Insektenkrieg; Der GG-Effekt; Jenseits der Dunkelwolke; Streng nach Vorschrift; Jeder Floh hat seine Flöhe; Die Denkbombe; Saatgut; Komm zu mir, mein Mörder!; Transit für einen Flügel; Der Spielautomat; Begegnung an einem einsamen Ort; Der Tod einer Stadt, Frösche und Forscher Literatur Monographien Brian Herbert: Dreamer of Dune. The Biography of Frank Herbert. Tor, New York 2003, ISBN 0-7653-0646-8. William F. Touponce: Frank Herbert. Twayne, Boston 1988, ISBN 0-8057-7514-5. Lexika Hans Joachim Alpers, Werner Fuchs, Ronald M. Hahn: Reclams Science-fiction-Führer. Reclam, Stuttgart 1982, ISBN 3-15-010312-6, S. 201–204. Hans Joachim Alpers, Werner Fuchs, Ronald M. Hahn, Wolfgang Jeschke: Lexikon der Science Fiction Literatur. Heyne, München 1991, ISBN 3-453-02453-2, S. 539–541. Don D’Ammassa: Encyclopedia of Science Fiction. Facts On File, New York 2005, ISBN 0-8160-5924-1, S. 184 f. Malcolm Edwards, John Clute: Herbert, Frank. In: John Clute, Peter Nicholls: The Encyclopedia of Science Fiction. 3. Auflage (Online-Ausgabe), Version vom 5. Januar 2018. Gina Macdonald: Herbert, Frank (Patrick). In: Noelle Watson, Paul E. Schellinger: Twentieth-Century Science-Fiction Writers. St. James Press, Chicago 1991, ISBN 1-55862-111-3, S. 370–373. George Mann: The Mammoth Encyclopedia of Science Fiction. Robinson, London 2001, ISBN 1-84119-177-9, S. 173–176. Robert Reginald: Science Fiction and Fantasy Literature. A Checklist, 1700–1974 with Contemporary Science Fiction Authors II. Gale, Detroit 1979, ISBN 0-8103-1051-1, S. 935. Robert Reginald: Contemporary Science Fiction Authors. Arno Press, New York 1974, ISBN 0-405-06332-6, S. 130. Donald H. Tuck: The Encyclopedia of Science Fiction and Fantasy through 1968. Advent, Chicago 1974, ISBN 0-911682-20-1, S. 217 f. Artikel Linus Hauser: Wurmgott Heilbringer. Der techno-theologische Messiasgedanke in Frank Herberts Wüstenplanet-Romanen. In: Wolfgang Jeschke (Hrsg.): Das Science-Fiction-Magazin #12. München 1985, ISBN 3-453-31125-6, S. 133–169. Dietrich Wachler: Das Experiment mit dem Menschen. Frank Herberts maßvolle Beschreibung einer maßlosen Versuchung. In: Wolfgang Jeschke (Hrsg.): Das Science-Fiction-Magazin #12. München 1985, ISBN 3-453-31125-6, S. 105–132. Weblinks Frank Herbert in der Science Fiction Awards+ Database Frank Herbert in Fantastic Fiction (englisch) Frank Herbert in der Fancyclopedia 3 (englisch) Einzelnachweise Autor Literatur (20. Jahrhundert) Literatur (Englisch) Literatur (Vereinigte Staaten) Science-Fiction-Literatur Fantasyliteratur Sachliteratur Dune Roman, Epik Kurzgeschichte Erzählung Essay Science Fiction and Fantasy Hall of Fame Träger des Hugo Award Träger des Nebula Award US-Amerikaner Geboren 1920 Gestorben 1986 Mann


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text: Leonardo da Pisa, auch Fibonacci (Italienisch: [fiboˈnattʃi]) genannt (* um 1170 in Pisa; † nach 1240 ebenda), war Rechenmeister in Pisa, in Italien, und gilt als einer der bedeutendsten Mathematiker des Mittelalters. Auf seinen Reisen nach Afrika, Byzanz und Syrien machte er sich mit der arabischen Mathematik vertraut und verfasste mit den dabei gewonnenen Erkenntnissen das Rechenbuch Liber ab(b)aci im Jahre 1202 (Überarbeitung der Liber ab(b)aci 1228). Bekannt ist daraus heute vor allem die nach ihm benannte Fibonacci-Folge, die im Zusammenhang mit dem Goldenen Schnitt steht. Namensherkunft Leonardo wird in den Handschriften als Leonardus Pisanus, Leonardus filius Bonacij, Leonardus Pisanus de filiis Bonaccij und Leonardus Bigollus bezeichnet. Bonaccio (von lat. bonatius „gütig, günstig, angenehm“) war der Großvatername, den Leonardos Vater Guglielmo wie auch dessen Brüder Alberto und Matteo als Patronym führten und der sich in Leonardos eigener Generation bereits zum Familiennamen verstetigt hatte. Aus filius Bonacii bzw. figlio di Bonaccio („Sohn des Bonaccio“) wurde im Italienischen dann durch Kontraktion die in Leonardos eigener Zeit noch nicht bezeugte Zunamensform Fibonacci, unter der Leonardo vor allem wegen der seit Édouard Lucas nach ihm benannten Fibonacci-Folge heute noch am besten bekannt ist. Der Beiname Bigollus, jeweils nur im Genitiv in der Form Leonardi Bigolli belegt und wohl darum in der Literatur zuweilen irrtümlich als Patronym Leonardo Bigolli wiedergegeben, ist in seiner Deutung nicht sicher, wird aber meist im Sinne von „der Weitgereiste“ interpretiert. Leben und Schriften Über die Biographie Leonardos ist nur wenig bekannt, die meisten Angaben gehen zurück auf den Widmungsprolog seines Rechenbuchs Liber abbaci und auf ein Dokument der Kommune von Siena. Leonardo wurde in der zweiten Hälfte des 12. Jahrhunderts als einer von mindestens zwei Söhnen des Guglielmo Bonacci in Pisa geboren, wo sich die Familie bis auf den Urgroßvater Leonardos, einen Anfang des 12. Jahrhunderts gestorbenen Bonito, zurückverfolgen lässt. Als der Vater von der Stadt als Notar in die Niederlassung der Pisaner Kaufmannschaft im algerischen Bougie, dem heutigen Bejaia, entsandt wurde – wofür man als Datum um 1192 annimmt –, ließ er auch Leonardo zu sich kommen, um ihn dort im Rechnen unterrichten zu lassen. Leonardo lernte dort das Rechnen mit den novem figurae indorum („neun Ziffern der Inder“), unseren heutigen (indo-arabischen) Ziffern, die den arabischen Mathematikern in Bagdad seit der zweiten Hälfte des 8. Jahrhunderts aus Indien bekannt geworden waren und im 12. Jahrhundert von Spanien (Toledo) aus durch lateinische Übersetzungen aus den arabischen Schriften des Al-Chwarizmi auch im Westen allmählich verbreitet wurden. Leonardo war in den neunziger Jahren des 12. Jahrhunderts folglich nicht der erste Lateiner, der das Rechnen mit den neuen Ziffern erlernte, aber er erwarb in Bougie offenbar mathematische Grundlagen, die er höher schätzte als alles, was er bei weiteren Studien an Handelsorten „in Ägypten, Syrien, Griechenland, Sizilien und Südfrankreich“ noch erlernte. Als von ihm vergleichsweise gering, „gleichsam als Irrtum“ eingeschätzte Methoden nennt er besonders den „Algorismus“, worunter das elementare Ziffernrechnen nach Al-Chwarizmi verstanden wurde, von dem sich Leonardos eigene Mathematik eigentlich nur durch die anspruchsvollere Anwendung der Verfahren unterschied, sowie eine von ihm als „Bögen des Pythagoras“ umschriebene Methode: gemeint ist das abazistische Rechnen auf dem im 10. bis 12. Jahrhundert gebräuchlich gewesenen, zu Leonardos Zeit wieder weitgehend außer Gebrauch gekommenen Gerbertschen Abakus, der als Erfindung des Pythagoras galt und auf dem im Unterschied zu den späteren mittelalterlichen Rechenbrettern mit bezifferten Rechensteinen (beziffert mit arabischen Ghubar-Ziffern 1–9) gerechnet wurde. Seine Reisen scheinen ihn gegen Ende des 12. Jahrhunderts auch nach Konstantinopel geführt zu haben, da er von einer der Aufgaben in seinem Liber abbaci angibt, dass sie ihm in Konstantinopel von einem dorther stammenden, hochgelehrten Meister namens „Muscus“ (a peritissimo magistro musco constantinopolitano, ed. Boncompagni, vol. I, S. 249) vorgelegt worden sei. Ein Mathematiker dieses Namens, vermutlich Μόσκος, ist anderweitig nicht bekannt. Nachdem Leonardo, wie er im Widmungsprolog ausführt, seine Kenntnisse weiter vertieft hatte, teils durch eigene Beobachtungen und teils durch Studium der Geometrie Euklids, legte er schließlich die „summa“ seiner mathematischen Kenntnisse in seinem Hauptwerk, dem Liber abbaci nieder. Der Titel ist am besten mit „Buch der Rechenkunst“ zu übersetzen, da die ursprüngliche, an das Rechenbrett gebundene Bedeutung von ab(b)acus sich in Italien erweitert hatte und zu Leonardos Zeit die allgemeine Bedeutung „Rechenkunst“ angenommen hatte. Die erste, heute nicht mehr erhaltene Fassung dieses Werks soll bereits 1202 (oder 1201) entstanden sein, allerdings ist dieses Datum nur aus dem Kolophon einer Handschrift der zweiten, einzigen erhaltenen Fassung bekannt. Zudem besteht bei den expliziten Datierungen von Leonardos Schriften generell die Schwierigkeit, dass das Jahr nach dem mos pisanus am 25. März des – aus Sicht gewöhnlicher Jahreszählung – vorausgegangenen Jahres begann, so dass von solchen Jahresangaben ein Jahr abzuziehen ist, sofern die Datierung nicht im letzten Jahresviertel (von Januar bis 24. März) erfolgte. Von Leonardo sind noch einige weitere Werke erhalten: eine Practica geometriae von 1220 (1219), gewidmet einem Freund und Lehrer Dominicus, die im 15. Jahrhundert von Cristoforo Gherardo di Dino auch ins Italienische übertragen wurde; ein Liber quadratorum von 1225 (1224?), der Friedrich II. gewidmet ist und erwähnt, dass dieser bereits ein Buch Leonardos gelesen habe, was man auf den Liber abbaci zu beziehen pflegt; ferner eine nicht datierte Schrift Flos super solutionibus quarumdam questionum ad numerum et ad geometriam uel ad utrumque pertinentium, welche dem Kardinal Raniero Capocci von Viterbo gewidmet ist und Fragen behandelt, die Leonardo im Beisein Friedrichs II. von einem Magister Johannes aus Palermo vorgelegt worden sein sollen; und schließlich ein Brief an einen Magister Theodorus. Aus Leonardos Schriften geht hervor, dass er auch noch zwei weitere, heute nicht mehr erhaltene Schriften verfasste, ein kürzeres Rechenbuch und einen Kommentar zum zehnten Buch der Elemente Euklids. Die zweite Fassung des Liber abbaci entstand dem Widmungsprolog zufolge für Michael Scotus († um 1236), nachdem dieser von Leonardo eine Abschrift des Werkes erbeten und Leonardo aus diesem Anlass einige Ergänzungen und Kürzungen vorgenommen hatte. Da Michael Scotus ab Herbst 1227 am Hof Friedrichs II. bezeugt ist, hat man 1227 auch als Entstehungsdatum für die erhaltene zweite Fassung des Liber abbaci angenommen, tatsächlich kann sie aber auch früher oder später entstanden sein, jedoch nicht vor 1220 (1219?), da sie bereits auf die Practica geometriae verweist. Die letzte Erwähnung Leonardos findet sich in einem Dekret der Kommune von Pisa, das ihn als geachteten Magister Leonardus Bigollus für seine Verdienste als Steuerschätzer und Rechenmeister der Stadt würdigt und ihm für künftige Dienste dieser Art ein Jahresgehalt von zwanzig Pfund Pfennigen zuzüglich der bei solchen Beamten üblichen Naturalien gewährt. Der Herausgeber Bonaini hatte das im Text nicht datierte Dokument auf 1241 datiert, allerdings ohne Angabe von Gründen. Falls die Datierung zutrifft, starb Leonardo nicht vor 1241 (wegen der Divergenz des mos pisanus in der Forschung manchmal auch „nicht vor 1240“ angegeben), so dass er, wenn man das Geburtsjahr um 1180 ansetzt, ein für die Zeit nicht unbeachtliches Alter von mindestens sechzig Jahren erreicht hätte und auch in diesem Alter von der Kommune noch für weitere Dienste vorgesehen gewesen wäre. Der Inhalt des Liber abbaci Der Liber abbaci legt den Schwerpunkt ausdrücklich mehr auf die Theorie als die Praxis (magis ad theoricam spectat quam ad practicam) und geht tatsächlich in seinen Ansprüchen weit über alles hinaus, was dem lateinischen Mittelalter bis dahin bekannt geworden war oder bis zum 16. Jahrhundert noch bekannt wurde. Die Besonderheit liegt dabei nicht so sehr in der Schwierigkeit der Aufgaben, sondern in der mathematischen Intelligenz des Autors, seiner Durchdringung der Materie und dem besonderen Wert, den er darauf legt, Lösungen und Regeln nicht nur vorzuführen, sondern auch mathematisch zu beweisen. Der Liber abbaci ist in 15 capitula unterteilt: De cognitione nouem figurarum yndorum, et qualiter cum eis omnis numerus scribatur; et qui numeri, et qualiter retineri debeant in manibus, et de introductionibus abbaci: Von der Kenntnis der neun Zahlzeichen der Inder, und wie mit ihnen jegliche Zahl geschrieben wird; und wie die Zahlen mit den Händen gemerkt werden sollen, und von der Einführung der Rechenkunst. De multiplicatione integrorum numerorum: Von der Multiplikation natürlicher Zahlen. De additione ipsorum ad invicem: Von der Addition derselben miteinander. De extractione minorum numerorum ex maioribus: Von der Subtraktion kleinerer Zahlen von größeren. De divisione integrarum (sic) numerorum per integros: Von der Teilung natürlicher Zahlen durch natürliche Zahlen. De multiplicatione integrarum (sic) numerorum cum ruptis atque ruptorum sine sanis: Von der Multiplikation natürlicher Zahlen mit Brüchen und der Multiplikation von Brüchen ohne Ganze. De additione ac extractione et divisione numerorum integrarum cum ruptis atque partium numerorum in singulis partibus reductione: Von der Addition und Subtraktion und Division natürlicher Zahlen mit Brüchen und der Zerlegung von Brüchen in Stammbrüche. De emptione et venditione rerum venalium et similium: Vom Kauf und Verkauf von Waren und ähnlicher Dinge. – Behandelt Dreisatz, Umrechnung von Währungen, Tuch- und andere Maße sowie Gewichte. De baractis rerum venalium et de emptione bolsonalie, et quibusdam regulis similibus: Vom Tauschhandel mit Waren und dem Kauf von Bolsonalien (Münzen, deren Wert sich nach ihrem Silberanteil richtet), und einigen ähnlichen Regeln. De societatibus factis inter consocios: Von den Gesellschaften unter Gesellschaftern. – Behandelt werden zunächst Rechenaufgaben zu Viehfutter, Baumschlag und Nahrung, dann dem Titel gemäß die Gewinnaufteilung unter Gesellschaftern nach ihrem Anteil am eingesetzten Kapital. De consolamine monetarum atque eorum regulis, que ad consolamen pertinent: Von der Legierung des Geldes und den Regeln, die die Legierung betreffen. – Es geht speziell darum, aus Kupfer-Silber-Legierungen mit bekanntem Silberanteil eine neue Legierung mit vorgegebenem Silberanteil herzustellen. De solutionibus multarum positarum questionum quas erraticas appellamus: Von den Lösungen vieler Fragen, die wir als erratische bezeichnen. – Das umfangreichste Kapitel, das etwa ein Drittel des Gesamtwerks einnimmt, ist seinerseits in neun Unterkapitel eingeteilt: De collectionibus numerorum, et quarundam aliarum similium questionum: Von den Sammlungen der Zahlen und einigen ähnlichen Fragen. – Behandelt wird die Summierung arithmetischer Reihen. De proportionibus numerorum: Von Zahlenproportionen. – Behandelt Systeme von linearen Gleichungen. De questionibus arborum, atque aliarum similium, quarum solutiones fiunt: Von Aufgaben mit Bäumen, und anderen ähnlichen Aufgaben, deren Lösungen sie (d. h. die Proportionen) bieten. – Anwendung der im vorigen Unterkapitel besprochenen Regeln. De inventione bursarum: Von der Findung von Geldbörsen. – Fortsetzung des Themas mit Rechenaufgaben, die sich um gefundene Geldbörsen drehen. De emptione equorum inter consocios, secundum datam proportionem: Vom Kauf von Pferden unter Gesellschaftern, gemäß einer gegebenen Proportion. De viagiis, atque equorum questionum, que habent similitudinem viagiorum questionibus: Von Reisen und Aufgaben mit Pferden, die den Aufgaben mit Reisen ähneln. – Behandelt u. a. Zinsaufgaben. De reliquis erraticis, que ad invicem in eorum regulis variantur: Von den übrigen erratischen Aufgaben, die sich untereinander in ihren Lösungswegen unterscheiden. – Enthält u. a. die berühmte Kaninchenaufgabe, die Leonardo eher kurz und beiläufig behandelt, und die in seinen Schriften offenbar auch der einzige Anwendungsfall der Fibonacci-Folge ist. De quibusdam divinationibus: Von einigen Rateaufgaben. – Aufgaben zu Resteproblemen, bei denen z. B. eine Zahl anhand der Reste ihrer Teilung durch mehrere andere Zahlen zu erraten ist. De Duplicatione scacherii, et quibusdam aliis questionibus: Von der Verdoppelung auf dem Schachbrett, und einigen anderen Aufgaben. – Aufgaben rund um die Zahl (2^64)-1 De regula elcataym qualiter per ipsam fere omnes erratice questiones solvantur: Von der Regel „al-hata‘ain“, wie durch diese fast alle falschen Aufgaben gelöst werden können. – Behandelt die Regel vom zweifachen falschen Ansatz (regula duarum falsarum posicionum), heute auch regula falsi oder „lineares Eingabeln“ genannt, die bei linearen Problemen aus zwei falschen Lösungen die richtige berechnet. De reperiendis radicibus quadratis et cubitis ex multiplicatione et divisione seu extractione earum inter se, et de tractatu binomiorum et recisorum et eorum radicum: Vom Auffinden von Quadrat- und Kubikwurzeln durch deren Multiplikation und Division oder Subtraktion untereinander, und von Binomen und Differenzen und deren Wurzeln. De regulis proportionibus geometrie pertinentibus: de questionibus aliebre almuchabale: Von den Regeln, die die Proportionen der Geometrie betreffen: von den Aufgaben der Algebra und Almuchabala. – Zu quadratischen Gleichungen. Biographische Zeugnisse Aus dem Widmungsprolog des Liber abbaci, ed. B. Boncompagni, vol. I, Rom 1857, S. 1: Aus dem Constitutum usus pisanae civitatis, Zitat und Übersetzung nach H. Lüneburg: Leonardo Pisanos Liber abbaci. In: Der Mathematik-Unterricht 42,3 (1996), S. 31–42, S. 31: Zur Statue Leonardos In Pisa befindet sich im Kreuzgang des historischen Friedhofes Camposanto eine Statue Leonardos, welche die Inschrift: A Leonardo Fibonacci Insigne Matematico Pisano del Secolo XII trägt. Als Porträt ist die Darstellung ein Produkt künstlerischer Phantasie, da aus Leonardos eigener Zeit keine Abbildungen und keine Überlieferung über dessen Aussehen existieren. Die Statue geht zurück auf die Initiative von zwei Mitgliedern der provisorischen Regierung des ehemaligen Großherzogtums Toskana, Bettino Ricasoli und Cosimo Ridolfi, die am 23. September 1859 ein Dekret zur Finanzierung der Statue herbeiführten. Beauftragt wurde der Florentiner Bildhauer Giovanni Paganucci, der das Werk 1863 vollendete. Die Statue wurde in Pisa auf dem Campo Santo aufgestellt, wo Grabmonumente Pisaner Bürger zusammen mit antiken Sarkophagen und neu hinzugefügten Kunstwerken seit dem Mittelalter ein einzigartiges Grab- und Gedenkensemble bilden. Zur Zeit des Faschismus entschieden die Behörden in Pisa, die Statue Leonardos 1926 ebenso wie zwei Statuen anderer namhafter Bürger Pisas aus der sakralen Abgeschiedenheit des Campo Santo heraus an öffentlich besser sichtbare Standorte zu versetzen. Die Statue Leonardos wurde am südlichen Ende des Ponte di Mezzo aufgestellt. Während des Zweiten Weltkrieges wurde 1944 bei den Kämpfen um Pisa die Brücke zerstört und auch die Statue beschädigt, die zunächst an ihrem Standort verblieb, dann in einem Lager verwahrt wurde und zeitweise in Vergessenheit geriet. In den 1950er Jahren wurde sie wiederentdeckt, notdürftig restauriert und im Park Giardino Scotto am östlichen Eingang der Altstadt aufgestellt. Erst in den 1990er Jahren entschloss sich die pisanische Stadtverwaltung, die Statue zu restaurieren und sie wieder an ihrem ursprünglichen Platz im Campo Santo aufstellen zu lassen. Trivia Der Asteroid (6765) Fibonacci wurde nach ihm benannt. Ausgaben Baldassare Boncompagni, Tre scritti inediti di Leonardo Pisano pubblicati da Baldassare Boncompagni secondo la lezione di un codice della Biblioteca Ambrosiana di Milano, Florenz: Tipografia Galileiana di M. Cellini e C., 1854 (Digitalisat bei Google Books), 2. Ausgabe: Opuscoli di Leonardo Pisano pubblicati da Baldassare Boncompagni secondo la lezione di un codice della Biblioteca Ambrosiana di Milano, Seconda edizione, Florenz: Tipografia Galileiana di M. Cellini e C., 1856 (Digitalisat bei Google Books; Digitalisat im Göttinger Digitalisierungszentrum) Baldassare Boncompagni, Scritti di Leonardo Pisano matematico del secolo decimoterzo, Roma: Tipografia delle scienze matematiche e fisiche; vol. I: Il liber abbaci pubblicato secondo la lezione del codice Magliabechiano C. I, 2616, Badia Fiorentina, no. 73 (1857); vol. II: Practica Geometriae et Opuscoli (1862) (Digitalisate beider Bände im Göttinger Digitalisierungszentrum; Digitalisate von Band 1 und Band 2 im Münchener Digitalisierungszentrum) Paul ver Eecke, Léonard de Pise, Le livre des nombres carrées. Traduit pour la première fois du latin médiéval en français, avec une introduction et des notes. Brügge: Desclée, De Brouwer, 1952 Gino Arrighi, La pratica di geometria volgarizzata da Cristofano di Gherardo di Dino, cittadino pisano, dal codice 2186 della Biblioteca Riccardiana di Firenze. Pisa: Domus Galilaeana, 1966 (= Testimonianze di storia della scienza, 3) Lucia Salomone, È chasi della terza parte del XV capitolo del Liber Abaci nella trascelta a cura di maestro Benedetto: secondo la lezione del codice L.IV.21 (sec. XV) dell Biblioteca Comunale di Siena. Siena: Servizio Editoriale dell'Università, 1984 (= Quaderni del Centro Studi della Matematica Medioevale, 10) Laurence E. Sigler, Leonardo Pisano Fibonacci, The book of squares: an annotated translation into modern English, Boston/London: Academic Press, 1987, ISBN 0-12-643130-2 Jean-Pierre Levet, Léonard de Pise, Des chiffres hindous aux racines cubiques: extraits du Liber abaci, introduction, traduction et brefs commentaires mathématiques et philologiques, Poitiers: IREM, 1997 (= Cahiers d’histoire des mathématiques et d’épistémologie) Jean-Pierre Levet, Léonard de Pise, Divisions et portions, perles et animaux, Poitiers: IREM, 1997 (= Cahiers d’histoire des mathématiques et d’épistémologie) Laurence E. Sigler, Fibonacci's Liber Abaci. A Translation into Modern English of Leonardo Pisano's Book of Calculation, New York: Springer, 2002, ISBN 0-387-95419-8, dazu kritisch Heinz Lüneburg, Barnabas Hughes, Fibonacci's De Practica Geometrie, New York: Springer, 2008, ISBN 978-0-387-72930-5 (engl. Übersetzung mit Kommentar, ohne Wiedergabe des lateinischen Textes) Literatur Leonardo Fibonacci: matematica e società nel Mediterraneo nel secolo XIII, Pisa: Istituti editoriali e poligrafici internazionali, 2005, ISBN 88-8147-374-7, Sondernummern des Bollettino di storia delle scienze matematiche, anno 23, num. 2 (Dez. 2003), anno 24, num. 1 (Juni 2004) Heinz Lüneburg: Liber Abbaci oder Lesevergnügen eines Mathematikers. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage, Mannheim [et al.]: BI Wissenschaftsverlag, 1999, ISBN 3-411-15462-4 Heinz Lüneburg: Leonardo Pisanos Liber abbaci. In: Der Mathematik-Unterricht 42,3 (1996), S. 31–42 Marcello Morelli / Marco Tangheroni (Hrsg.): Leonardo Fibonacci: il tempo, le opere, l'eredita scientifica. Pisa: Pacini, 1994 Helmuth Gericke: Mathematik im Abendland: Von den römischen Feldmessern bis zu Descartes. Berlin [et al.]: Springer, 1990, S. 96–104, ISBN 3-540-51206-3 Moritz Cantor: Vorlesungen über Geschichte der Mathematik, II: Vom Jahre 1200 bis zum Jahre 1668. 2. Aufl. 1900, Repr. New York / Stuttgart 1965 (= Bibliotheca mathematica Teubneriana, 7) Édouard Lucas: Recherches sur plusieurs ouvrages de Léonard de Pise et sur diverses questions d'arithmétique supérieure. In: Bulletino di bibliografia e di storia delle scienze matematiche e fisiche 10 (1877), S. 129–193, S. 239–293 Francesco Bonaini: Memoria unica sincrona di Leonardo Fibonacci, nuovamente trovata. Pisa: Nistri, 1858 Baldassare Boncompagni: Intorno ad alcune opere di Leonardo Pisano, matematico del secolo decimoterzo. Rom: Tipografia delle Belle Arti, 1854 (Digitalisat bei Google Books; Digitalisat im Münchener Digitalisierungszentrum) Baldassare Boncompagni: Della vita e delle opere di Leonardo Pisano matematico del secolo decimoterzo. In: Atti dell‘Accademia Pontifica dei Nuovi Lincei 5 (1852), S. 5–91, S. 208–246 Keith Devlin: Finding Fibonacci – The Quest to Rediscover the Forgotten Mathematical Genius Who Changed the World. Princeton: Princeton University Press, 2017. R. Flood, R. Wilson: Fibonacci. In: The Great Mathematicians, Arcturus, London 2012, ISBN 978-1-84858-843-1, S. 89–92 Weblinks Auszüge aus dem Liber abbaci (Università di Pisa, Area della ricerca linguistica, Testi di Pisa) Charles Burnett: Leonard of Pisa (Fibonacci) and Arabic Arithmetic, 14. Januar 2005 (zuletzt aufgerufen am 12. April 2008) Heinz Lüneburg: (Zum Pisaner Statut) Heinz Lüneburg: (Zur englischen Ausgabe des Liber abbaci von Laurence E. Sigler, 2002) (2002) (Druckausgabe Florenz 2002): Clara Silvia Roero: Marco Tangheroni: Enrico Giusti: Elisabetta Ulivi: Luigi Pepe: Ricardo Moreno: , Centro Virtual de Divulgación de las Matemáticas , Centro de Competência Nónio Malha Atlântica Fibonacci. Un ponte sul Mediterraneo. Virtuelle Ausstellung an der ETH-Bibliothek, Zürich. (englisch) Fibonacci, Liber abbaci Bibliotheca Augustana Mathematiker des Mittelalters Autor Literatur (Mittellatein) Person als Namensgeber für einen Asteroiden Historische Person (Italien) Geboren im 12. Jahrhundert Gestorben im 13. Jahrhundert Mann


text: Die Fibonacci-Folge ist die unendliche Folge natürlicher Zahlen, die mit zweimal der Zahl 1 beginnt, und bei der jede Zahl die Summe der beiden ihr vorangehenden Zahlen ist. In moderner Schreibweise wird diese Folge zusätzlich mit einer führenden Zahl 0 versehen: Die darin enthaltenen Zahlen heißen Fibonacci-Zahlen. Benannt ist die Folge nach Leonardo Fibonacci, der damit im Jahr 1202 das Wachstum einer Kaninchenpopulation beschrieb. Die Folge war aber schon in der Antike sowohl den Griechen als auch den Indern bekannt. Weitere Untersuchungen zeigten, dass die Fibonacci-Folge auch noch zahlreiche andere Wachstumsvorgänge in der Natur beschreibt. Es scheint, als sei sie eine Art Wachstumsmuster in der Natur. Die Fibonacci-Zahlen weisen einige bemerkenswerte mathematische Besonderheiten auf: Aufgrund der Beziehung zur vorherigen und zur folgenden Zahl scheint Wachstum in der Natur einem Additionsgesetz zu folgen. Zwischen Fibonacci-Folge und Goldenem Schnitt besteht eine Verwandtschaft. Je weiter man in der Folge fortschreitet, desto mehr nähert sich der Quotient aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen dem Teilungsverhältnis des Goldenen Schnittes (beispielsweise 13:8 = 1,6250; 21:13 ≈ 1,6154; 34:21 ≈ 1,6190; 55:34 ≈ 1,6176; etc.). Diese Näherung ist alternierend, d. h., die Quotienten sind abwechselnd kleiner und größer als . Definition der Fibonacci-Folge Die Fibonacci-Folge ist durch das rekursive Bildungsgesetz für mit den Anfangswerten definiert. Das bedeutet in Worten: Für die beiden ersten Zahlen wird der Wert vorgegeben. Jede weitere Zahl ist die Summe ihrer beiden Vorgänger in der Folge. Daraus ergibt sich: {| class="wikitable" style="text-align:right; border:0;" ! n || fn || rowspan="11" style="border:0; background:white; | ! n || fn || rowspan="11" style="border:0; background:white" | ! n || fn || rowspan="11" style="border:0; background:white" | ! n || fn || rowspan="11" style="border:0; background:white" | ! n || fn || rowspan="11" style="border:0; background:white" | |- | 1 || 1 | 11 || 89 | 21 || 10 946 | 31 || 1 346 269 | 41 || 165 580 141 |- | 2 || 1 | 12 || 144 | 22 || 17 711 | 32 || 2 178 309 | 42 || 267 914 296 |- | 3 || 2 | 13 || 233 | 23 || 28 657 | 33 || 3 524 578 | 43 || 433 494 437 |- | 4 || 3 | 14 || 377 | 24 || 46 368 | 34 || 5 702 887 | 44 || 701 408 733 |- | 5 || 5 | 15 || 610 | 25 || 75 025 | 35 || 9 227 465 | 45 || 1 134 903 170 |- | 6 || 8 | 16 || 987 | 26 || 121 393 | 36 || 14 930 352 | 46 || 1 836 311 903 |- | 7 || 13 | 17 || 1 597 | 27 || 196 418 | 37 || 24 157 817 | 47 || 2 971 215 073 |- | 8 || 21 | 18 || 2 584 | 28 || 317 811 | 38 || 39 088 169 | 48 || 4 807 526 976 |- | 9 || 34 | 19 || 4 181 | 29 || 514 229 | 39 || 63 245 986 | 49 || 7 778 742 049 |- | 10 || 55 | 20 || 6 765 | 30 || 832 040 | 40 || 102 334 155 | 50 || 12 586 269 025 |- |} Aus der Forderung, dass die Rekursion auch für ganze Zahlen gelten soll, erhält man eine eindeutige Fortsetzung auf den Index 0 und auf negative Indizes. Es gilt: für alle Die so erweiterte Fibonacci-Folge lautet dann {| class="wikitable" style="text-align:right" |- | | | | | | | | | | | | | | | | | |- | | 13 | −8 | 5 | −3 | 2 | −1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | |} und heißt Folge der negaFibonacci-Zahlen. Darüber hinaus ist eine Verallgemeinerung der Fibonacci-Zahlen auf komplexe Zahlen, proendliche Zahlen und auf Vektorräume möglich. Eigenschaften Zu den zahlreichen bemerkenswerten Eigenschaften der Fibonacci-Zahlen gehört, dass sie dem Benfordschen Gesetz genügen. Verwandtschaft mit dem Goldenen Schnitt Wie von Johannes Kepler festgestellt wurde, kommen die Quotienten zweier aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen dem Goldenen Schnitt beliebig nahe. Dies folgt unmittelbar aus der Näherungsformel für große Zahlen : Diese Quotienten zweier aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen haben eine bemerkenswerte Kettenbruchdarstellung: mit der -Notation aus dem Artikel Kettenbruch. Da diese Quotienten gegen den Goldenen Schnitt konvergieren, lässt sich dieser als der unendliche periodische Kettenbruch: darstellen. Die Zahl ist irrational. Das bedeutet, dass sie sich nicht durch ein Verhältnis zweier ganzer Zahlen darstellen lässt. Am besten lässt sich durch Quotienten zweier aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen approximieren. Dies gilt auch für verallgemeinerte Fibonaccifolgen, bei denen und beliebige natürliche Zahlen annehmen. Beziehungen zwischen den Folgengliedern Identitäten: mit der Lucas-Folge (mit ), insbesondere: (Identität von Catalan) (Identität von Cassini, Spezialfall der Catalan-Identität) (Identität von d’Ocagne) Teilbarkeit: Je zwei benachbarte Fibonaccizahlen sind teilerfremd, d. h. . ; für gilt auch die Umkehrung. Insbesondere kann für nur dann eine Primzahl sein, wenn eine Primzahl ist. (Genau jede dritte Fibonacci-Zahl ist durch 2 teilbar.) (Genau jede vierte Fibonacci-Zahl ist durch 3 teilbar.) (Genau jede sechste Fibonacci-Zahl ist durch 4 teilbar.) (Genau jede fünfte Fibonacci-Zahl ist durch 5 teilbar.) (Genau jede achte Fibonacci-Zahl ist durch 7 teilbar.) (Genau jede zwölfte Fibonacci-Zahl ist durch 16 teilbar.) Für die Teilbarkeit durch Primzahlen gilt unter Verwendung des Jacobi-Symbols: Summenformeln: Es gibt noch zahlreiche weitere derartige Formeln. Reziproke: Zeckendorf-Theorem Das nach Edouard Zeckendorf benannte Zeckendorf-Theorem besagt, dass jede natürliche Zahl eindeutig als Summe voneinander verschiedener, nicht direkt aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen geschrieben werden kann. Das heißt, es gibt für jedes eine eindeutige Darstellung der Form mit und für alle . Die entstehende Folge von Nullen und Einsen wird Zeckendorf-Sequenz genannt. Sehr eng hängt damit der Fibonacci-Kode zusammen. Berechnung Formel von Moivre-Binet Das explizite Bildungsgesetz für die Glieder der Fibonacci-Folge wurde unabhängig voneinander von den französischen Mathematikern Abraham de Moivre im Jahr 1718 und Jacques Philippe Marie Binet im Jahr 1843 entdeckt. Dazwischen war es aber auch den Mathematikern Leonhard Euler und Daniel Bernoulli bekannt, Letzterer lieferte 1728 auch den vermutlich ersten Beweis. Die Fibonacci-Zahlen lassen sich direkt mittels berechnen, wobei die beiden Lösungen der charakteristischen Gleichung sind. Mit gilt explizit: Bemerkenswert ist das Zusammenspiel zweier irrationaler Zahlen und , das zu einem ganzzahligen Ergebnis führt. Die Abbildung zeigt die beiden Folgen und sowie als deren Differenz. Näherungsformel für große Zahlen Der Einfluss von geht rasch gegen Null, bspw. ist . Das kann man verwenden, um die Berechnung abzukürzen, indem man den Term für genügend große ignoriert und das Ergebnis zur nächsten natürlichen Zahl rundet: (Gaußsche Rundungsklammer ) Tatsächlich geht das schon für . Induktiver Beweis Einer der einfachsten Beweise gelingt induktiv. Wegen und ist der Induktionsanfang erfüllt. Angenommen, die Formel gelte für alle Werte von bis (starke Induktionsvoraussetzung). Wir zeigen, dass sie dann notwendigerweise auch für gilt: Dabei haben wir benutzt, dass und der charakteristischen Gleichung genügen. Nach dem Prinzip der vollständigen Induktion muss nun die Formel für alle gelten. Herleitung über ein Eigenwertproblem Die Formel von Binet kann mit Matrizenrechnung und dem Eigenwertproblem in der linearen Algebra hergeleitet werden mittels folgendem Ansatz: Nun transformiert man die Matrix in eine Diagonalmatrix durch Betrachtung als Eigenwertproblem. Es gilt , wobei die Matrix der Eigenvektoren und die Diagonalmatrix mit den Eigenwerten ist. Damit folgt: Herleitung mittels Differenzengleichung Eine andere Herleitungsmöglichkeit folgt aus der Theorie der linearen Differenzengleichungen: Sei eine geometrische Folge, so ergibt sich: Wenn also so gewählt wird, dass die charakteristische Gleichung erfüllt ist (also oder ), wird , d. h., erfüllt die Fibonacci-Rekursion mit dem Rekursionsanfang und . Die durch , , rekursiv definierte Folge hat die explizite Darstellung . Ebenso , , . Mit und genügt wegen der Superpositionseigenschaft auch jede Linearkombination der Fibonacci-Rekursion . Mit Hilfe eines linearen Gleichungssystems ergibt sich und , damit und . Folglich ergibt sich explizit . Für ergibt sich und , d. h. die klassische Lucas-Folge mit explizit . Herleitung mittels z-Transformation Da Differenzengleichungen sehr elegant mittels z-Transformation beschrieben werden können, kann man die z-Transformation auch zur Herleitung der expliziten Formel für Fibonacci-Zahlen einsetzen. Im Artikel Einsatz der z-Transformation zur Bestimmung expliziter Formeln von Rekursionsvorschriften wird die allgemeine Vorgehensweise beschrieben und dann am Beispiel der Fibonacci-Zahlenfolge erläutert. Alternierende Näherung Die Quotienten aufeinanderfolgender Glieder der Fibonacci-Folge sind abwechselnd kleiner und größer als der Goldene Schnitt: Die Differenz dieser oberen und unteren Schranke von konvergiert für wachsende rasch gegen Null wegen Bei der Vereinfachung des Zählers wurde die Identität von Cassini nebst verwendet. Erzeugende Funktion Eine erzeugende Funktion der Fibonacci-Zahlen ist Die auf der linken Seite stehende Potenzreihe konvergiert für . Über die angegebene Partialbruchzerlegung erhält man wieder die Formel von Moivre-Binet. Mit einer geeigneten erzeugenden Funktion lässt sich ein Zusammenhang zwischen den Fibonacci-Zahlen und den Binomialkoeffizienten darstellen: Wegen für und kann auch ohne Gaußklammern geschrieben werden: Die Schreibweise für die erzeugende Funktion erlaubt auch die Darstellung Verbindung zum reziproken Wert der Zahl 89 Wertet man die erzeugende Funktion an der Stelle aus, so erhält man , folglich lässt sich in eine unendliche Summe von Fibonacci-Zahlen zur Basis zerlegen. Darstellung mit Matrizen Die Fibonacci-Zahlen tauchen auch als Einträge der Potenzen der Matrix auf: Aus der Relation ergibt sich beispielsweise die erste oben angegebene Formel für . beschreibt zugleich die Summationsvorschrift der Fibonacci-Folge, denn ihr Produkt mit einem Paar aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen (als Spaltenmatrix geschrieben) ergibt das nächste Paar; entsprechend erzeugt das -te Paar aus dem Startpaar . Dies und die Tatsache, dass die Eigenwerte von gerade der Goldene Schnitt und dessen Kehrwert (Letzterer mit negativem Vorzeichen) sind, führen wieder auf die oben genannte Formel von Binet. Verwandtschaft mit dem Pascalschen Dreieck Die Fibonacci-Zahlen können mithilfe des Pascalschen Dreiecks beschrieben werden. Um die -te Fibonacci-Zahl zu bestimmen, nimmt man aus der -ten Zeile des Pascalschen Dreiecks jede zweite Zahl und gewichtet sie mit der entsprechenden Fünfer-Potenz – anfangend mit 0 in aufsteigender Reihenfolge, d. h. , , usw. Anschließend addiert man diese gewichteten Elemente zusammen und dividiert durch . Das Bild unten veranschaulicht die Berechnung der ersten sieben Fibonacci-Zahlen aus dem Pascalschen Dreieck. Zum leichteren Verständnis sind die nicht benutzten Elemente des Pascalschen Dreiecks im Bild ausgegraut, die Gewichtung mit den aufsteigenden Fünfer-Potenzen rot und die Exponenten cyan hervorgehoben. Reihen von Reziproken Da die Fibonacci-Zahlen exponentiell mit dem Index wachsen, konvergieren die reziproken Reihen absolut. Die unendliche Summe der Kehrwerte der Fibonacci-Zahlen mit geradem Index lässt sich mithilfe der Lambert-Reihe bei ausdrücken: {| |- |style="width:25em;"| || ≈ 1,535370508836252985029852896651599 |} Die unendliche Summe der Kehrwerte der Fibonacci-Zahlen mit ungeradem Index lässt sich durch eine Jacobische Thetafunktion ausdrücken: {| |- |style="width:25em;"| || ≈ 1,824515157406924568142158406267328 |} Ebenfalls geschlossen lässt sich die Formel für die Summe darstellen, wenn der Nenner um 1 erhöht wird: Die unendliche Summe der Kehrwerte aller Fibonacci-Zahlen {| |- |style="width:25em;"| || ≈ 3,359885666243177553172011302918927 |} ist irrational (André-Jeannin; 1989). Die unendliche Summe der Kehrwerte der Quadrate der Fibonaccizahlen findet sich bei Borwein: {| |- |style="width:25em;"| || ≈ 2,426320751167241187741569412926620 |} Zudem zeigten Good (1974) und Hoggatt (1976): Verallgemeinerungen Die klassische („kanonische“) Fibonacci-Folge ist durch drei Kriterien charakterisiert: Eine lineare Iteration, welche die beiden vorangehenden Folgenglieder einbezieht Eine Linearkombination dieser Folgenglieder, in der beide Vorgänger den Koeffizienten +1 tragen Beide Startglieder gleich +1 Jedes dieser Kriterien erlaubt eine Verallgemeinerung: Die Wahl anderer Startglieder und liefert eine Folge , die mit der kanonischen Folge nach der Beziehung zusammenhängt. Ein Beispiel hierfür ist die Lucas-Folge . Für die Glieder einer solchen Folge gilt ein gegenüber der Formel von Moivre-Binet verallgemeinertes explizites Bildungsgesetz: mit und . Die kanonische Folge stellt sich hier als Spezialfall mit dar, was wegen der charakteristischen Gleichung sofort und liefert. Die Wahl anderer Koeffizienten für die Linearkombination liefert eine Folge, für die eine andere charakteristische Gleichung gilt. Eine Folge mit der Iterationsvorschrift besitzt die charakteristische Gleichung . Die Wurzeln dieser Gleichung bestimmen das explizite Bildungsgesetz. Wenn die charakteristische Gleichung die Wurzeln und hat, dann lautet das Bildungsgesetz wobei und wieder durch die Startglieder bestimmt sind. Eine Iteration, die mehr als zwei vorangehende Folgenglieder einbezieht, besitzt dementsprechend ein Polynom höheren Grades als charakteristische Gleichung, wobei die Wurzeln dieser Gleichung wieder im Bildungsgesetz auftauchen und die Koeffizienten durch die Anfangswerte bestimmt sind. Es gilt dann . Beispiele für derartige Folgen sind die Tribonacci- und die Tetranacci-Folge. Die Perrin-Folge und die Padovan-Folge folgen der Regel . Eine Iteration, die nur das unmittelbar vorhergehende Glied verwendet, liefert in diesem Zusammenhang als entartete Fibonacci-Folge eine reine Potenzfolge. Fibonacci-Folgen in der Natur Phyllotaxis Die Blätter (Phyllotaxis) oder Fruchtstände vieler Pflanzen sind in Spiralen angeordnet, wobei die Anzahl dieser Spiralen den Fibonacci-Zahlen entsprechen. In diesem Fall ist der Winkel zwischen architektonisch benachbarten Blättern oder Früchten bezüglich der Pflanzenachse der Goldene Winkel. Das liegt daran, dass Brüche von aufeinanderfolgenden Fibonacci-Zahlen den zugrunde liegenden Goldenen Schnitt am besten approximieren. Die Spiralen werden daher von Pflanzenelementen gebildet, deren Platznummern sich durch die Fibonacci-Zahl im Nenner unterscheiden und damit fast in die gleiche Richtung weisen. Durch diese spiralförmige Anordnung der Blätter um die Sprossachse erzielt die Pflanze die beste Lichtausbeute. Der Versatz der Blätter um das irrationale Verhältnis des Goldenen Winkels sorgt dafür, dass nie Perioden auftauchen, wie es z. B. bei 1/4 der Fall wäre (0° 90° 180° 270° | 0° 90° ...). Dadurch wird der denkbar ungünstigste Fall vermieden, dass ein Blatt genau senkrecht über dem anderen steht und so die Blätter maximalen Schatten auf darunterliegenden Blättern erzeugen oder maximale „Lichtlücken“ entstehen. Beispielsweise tragen die Körbe der Silberdistel (Carlina acaulis) hunderte gleichgestaltiger Blüten, die in kleineren Körben in einer 21-zu-55-Stellung, in größeren Körben in 34-zu-89- und 55-zu-144-Stellung in den Korbboden eingefügt sind. Auch die Schuppen von Fichtenzapfen wie auch von Ananasfrüchten bilden im und gegen den Uhrzeigersinn Spiralen, deren Schuppenanzahl durch zwei aufeinanderfolgende Fibonaccizahlen gegeben ist. Wissenschaftshistorisch sei hier auf das Buch On Growth and Form von D’Arcy Wentworth Thompson (1917) verwiesen. Stammbäume Männchen der Honigbiene (Apis mellifera) werden als Drohnen bezeichnet. Interessanterweise beschreibt die Fibonacci-Folge die Anzahl der Ahnen einer Drohne. Das erklärt sich dadurch, dass eine Drohne (Generation n = 1) sich aus einem unbefruchteten Ei entwickelt, das ausschließlich Erbgut ihrer Mutter, der Bienenkönigin (Generation n = 2), enthält; eine Drohne hat keinen Vater. Eine Königin jedoch hat zwei Eltern, nämlich als Mutter eine andere Königin und als Vater eine Drohne (Generation n = 3) usw. Die Anzahl aller Ahnen einer Drohne in je einer so definierten n-ten Generation ist die n-te Fibonacci-Zahl . Um das einzusehen, lässt sich die Zeichnung zur Anzahl der Kaninchen in Fibonaccis Modell im Abschnitt Antike und Mittelalter in Europa verwenden. Jedes Paar nicht geschlechtsreifer Kaninchen entspricht einer Drohne, jedes Paar geschlechtsreifer Kaninchen einer Königin. In den Gleichungen der Modellierung ist dann die Anzahl der Drohnen, die Anzahl der Königinnen (jeweils in der n-ten Generation) und die Anzahl der Ahnen einer Drohne in der betrachteten Generation. Fettsäuren Unverzweigte aliphatische Monocarbonsäuren (hier: uaM), zu denen im Regelfall die Fettsäuren gehören, können verschieden viele Doppelbindungen an verschiedenen Positionen aufweisen. Die Anzahl der uaM gehorcht als Funktion der Kettenlänge der Fibonacci-Folge. Das folgt daraus, dass Doppelbindungen bei uaM nicht benachbart sind; die seltenen Ausnahmen sind hier vernachlässigt. Speziell gibt es nur eine aliphatische Monocarbonsäure mit einem C-Atom: Ameisensäure, eine mit zwei C-Atomen: Essigsäure, zwei mit dreien: Propionsäure und Acrylsäure usw. Bei 18 C-Atomen ergeben sich 2.584 Varianten (wovon Stearinsäure, Ölsäure, Linolsäure und Linolensäure vier Beispiele sind). Auch hier lässt sich, um das einzusehen, die Zeichnung zur Anzahl der Kaninchen in Fibonaccis Modell im Abschnitt Antike und Mittelalter in Europa verwenden. Ein Kaninchenpaar der -ten Generation entspricht dem -ten Kohlenstoffatom einer uaM, wobei die Zählung bei der Carboxygruppe beginnt. Jedes Paar nicht geschlechtsreifer Kaninchen entspricht einem Kohlenstoffatom , auf das keine Doppelbindung folgen kann, jedes Paar geschlechtsreifer Kaninchen einem Kohlenstoffatom , auf das eine Doppelbindung folgen kann (oder nicht). Die Verbindungsstrecken von nach oder von nach entsprechen Einfachbindungen, die Verbindungsstrecken von nach Doppelbindungen. In den Gleichungen der Modellierung ist dann (bzw. ) die Anzahl der Kohlenstoffatome (bzw. ). – Jeder Pfad von zu einem Kohlenstoffatom der -ten Generation entspricht genau einer uaM mit Kohlenstoffatomen; die Zuordnung ist bijektiv. Also ist die Anzahl der in der -ten Generation betrachteten Kohlenstoffatome gleich der Anzahl der uaM mit Kohlenstoffatomen. Geschichte Altes Indien Ihre früheste bekannte Erwähnung findet sich unter dem Namen mātrāmeru („Berg der Kadenz“) in der Chhandah-shāstra („Kunst der Prosodie“) des Sanskrit-Grammatikers Pingala (um 450 v. Chr. oder nach anderer Datierung um 200 v. Chr.). In ausführlicherer Form behandelten später auch Virahanka (6. Jh.) und besonders dann Acharya Hemachandra (1089–1172) diese Zahlenfolge, um die rechnerische Möglichkeit der Bildung von Metren durch regelmäßige Verteilung kurzer und langer Silben zu beschreiben. Antike und Mittelalter in Europa In der westlichen Welt war diese Folge ebenfalls schon in der Antike Nikomachos von Gerasa (um 100 n. Chr.) bekannt. Sie ist aber mit dem Namen des italienischen Mathematikers Leonardo da Pisa, genannt Fibonacci („figlio di Bonacci“, Sohn des Bonacci), verbunden, der in seinem Liber abbaci („Buch der Rechenkunst“, Erstfassung von 1202 nicht erhalten, zweite Fassung von ca. 1227) diese Zahlenfolge mit dem Beispiel eines Kaninchenzüchters beschrieb, der herausfinden will, wie viele Kaninchenpaare innerhalb eines Jahres aus einem einzigen Paar entstehen, wenn jedes Paar ab dem zweiten Lebensmonat ein weiteres Paar pro Monat zur Welt bringt: Fibonacci illustrierte diese Folge durch die einfache mathematische Modellierung des Wachstums einer Population von Kaninchen nach folgenden Regeln: Jedes Paar Kaninchen wirft pro Monat ein weiteres Paar Kaninchen. Ein neugeborenes Paar bekommt erst im zweiten Lebensmonat Nachwuchs (die Austragungszeit reicht von einem Monat in den nächsten). Die Tiere befinden sich in einem abgeschlossenen Raum („in quodam loco, qui erat undique pariete circumdatus“), sodass kein Tier die Population verlassen und keines von außen hinzukommen kann. Fibonacci begann die Folge, nicht ganz konsequent, nicht mit einem neugeborenen, sondern mit einem trächtigen Paar, das seinen Nachwuchs bereits im ersten Monat wirft, sodass im ersten Monat bereits 2 Paare zu zählen sind. In jedem Folgemonat kommt dann zu der Anzahl der Paare, die im Vormonat gelebt haben, eine Anzahl von neugeborenen Paaren hinzu, die gleich der Anzahl derjenigen Paare ist, die bereits im vorvergangenen Monat gelebt hatten, da der Nachwuchs des Vormonats noch zu jung ist, um jetzt schon seinerseits Nachwuchs zu werfen. Fibonacci führte den Sachverhalt für die zwölf Monate eines Jahres vor (2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377) und wies auf das Bildungsgesetz der Folge durch Summierung jeweils zweier aufeinanderfolgender Folgenglieder (2+3 = 5, 3+5 = 8, 5+8 = 13 usw.) hin. Er merkte außerdem an, dass die Folge sich nach diesem Prinzip für eine unendliche Zahl von Monaten fortsetzen lässt, was dann allerdings unsterbliche Kaninchen voraussetzt: „et sic posses facere per ordinem de infinitis numeris mensibus.“ Weitere Beachtung hatte er dem Prinzip in seinen erhaltenen Werken nicht geschenkt. Eine 2014 erschienene, mathematisch-historische Analyse zum Leben des Leonardo von Pisa, insbesondere zu seinem Aufenthalt in der nordafrikanischen Hafenstadt Bejaia (im heutigen Algerien), kam zu dem Schluss, dass der Hintergrund der Fibonacci-Folge gar nicht bei einem Modell der Vermehrung von Kaninchen zu suchen ist (was schon länger vermutet wurde), sondern vielmehr bei den Bienenzüchtern von Bejaia und ihrer Kenntnis des Bienenstammbaums zu finden ist. Zu Leonardos Zeit war Bejaia ein wichtiger Exporteur von Bienenwachs, worauf noch heute der französische Name der Stadt (Bougie, wie das frz. Wort für Kerze) hinweist. Nachdem spätere Mathematiker wie Gabriel Lamé (1795–1870) die Entdeckung dieser Zahlenfolge für sich beansprucht hatten, brachten Édouard Lucas (1842–1891) und andere wieder in Erinnerung, dass der zu dieser Zeit älteste bekannte Beleg von Leonardo da Pisa stammte, und unter dem Namen „Fibonacci-Folge“ („suite de Fibonacci“, „Fibonacci sequence“, „successione di Fibonacci“) ist sie seither in den meisten westlichen Sprachen geläufig. {| class="wikitable" style="width:100%" | Mathematische Modellierung des Wachstums von Fibonaccis Kaninchen-Population Sei die Anzahl der geschlechtsreifen bzw. die Anzahl der nicht geschlechtsreifen Kaninchen der -ten Generation, entsprechend für die Generationen und . Nach den oben angegebenen Regeln ist mit diesen Bezeichnungen: (1) (1’) (2) Einsetzen von (1’) in (1) und anschließende Addition von (2) ergibt , für die Gesamtzahl , , von Kaninchen der jeweiligen Generation also , was dem angegebenen rekursiven Bildungsgesetz der Fibonacci-Folge äquivalent ist. Mit beschreibt dieses Modell die in der Zeichnung angegebenene Generationenfolge. |} Neuzeit Die Zahlentheoretiker Édouard Lucas und J. Wasteels (1865–1909) zeigten Jahrhunderte später, dass aufeinanderfolgende Fibonacci-Zahlen der Gleichung genügen, und damit deren Bedeutung für die Zahlentheorie. Bei der Fibonacci-Hyperbel sind sowie bei der (nach geeigneter Transformation daraus erhaltenen) Gleichung sind die (einzigen) ganzzahligen Lösungen im 1. Quadranten. Rezeption in Kunst und Unterhaltung In der Unterhaltungsmathematik basieren das Schachbrett-Paradoxon und ähnliche geometrische Trugschlüsse auf den Eigenschaften der Fibonacci-Folge. Das Systemgedicht alfabet (1981) der dänischen Schriftstellerin Inger Christensen basiert auf der Fibonacci-Folge. Das Cover des Debütalbums der kanadischen Band The Organ, Grab That Gun, wurde von David Cuesta mithilfe eines auf der Fibonacci-Folge basierenden Rasters entworfen. Die Künstler Mario Merz und Petra Paffenholz setzten sich in ihren Installationen mit der Fibonacci-Folge auseinander und kreierten unter anderem das Kunstwerk „Ziffern im Wald“ auf dem Mönchsberg in Salzburg. Der Gesang im Lied Lateralus der Progressive-Metal-Band Tool basiert auf Fibonacci-Zahlen. Die Künstlerin Martina Schettina beschäftigt sich in ihren mathematischen Bildern ebenfalls mit den Fibonacci-Zahlen. Dan Brown verwendet in seinem Thriller The Da Vinci Code (2003) (deutsch: Sakrileg, 2004) die Fibonacci-Folge als geheime Botschaft. Im Film π – System im Chaos von Darren Aronofsky, in dem der Protagonist nach dem „Muster der Welt“ in den Kursdaten von Aktien und in der Zahl π sucht, wird die Fibonacci-Folge erwähnt. In der Serie Criminal Minds (Staffel 4, Folge 8) entführt ein Killer seine Opfer anhand der Fibonacci-Folge. In Lars von Triers Film Nymphomaniac wird im Kapitel 5 – kleine Orgelschule – die Fibonacci-Folge mit einem Bach-Orgelsatz in Verbindung gebracht. In dem Videospiel Watch Dogs von Ubisoft, in der Serienkiller-Mission als Zahlen, die an den einzelnen Tatorten der Opfer aufzufinden sind. In dem Song What’s Goes? von Die Orsons rappt KAAS die Fibonacci-Folge bis zur Zahl 144. Am Kernkraftwerk Leibstadt (CH) ist die Süd-Front des Maschinenhauses mit einer nach rechts progressiv ansteigenden Kurve aus sechs orangen Rechteckelementen bemalt, deren einzelne (aber auch addierte) Höhen der Fibonacci-Folge entsprechen. In dem Videospiel Dishonored: Death of the Outsider wird die Fibonacci-Folge als Kombination für einen Banktresor verwendet. In dem Manga Jojo’s Bizzare Adventure: Steel Ball Run wird die Fibonacci-Darstellung als Darstellung der Kraft des Protagonisten verwendet. In dem Kinderbuch Britta Tausendfuß von Irmela Wendt lernt das Mädchen Britta nach und nach zählen. Zuerst kann sie nur bis 5 zählen. Zum achten Geburtstag ihres Bruders schenkt sie ihm 8 Pferdchen aus Rübenschnitzeln. Als ihr Vater für den Bauernhof einen Traktor mit 13 PS anschafft, zählt sie 13 Gründe auf, warum das Familienpferd trotzdem 13 Mal besser ist. Der Buchtitel kommt daher, dass Britta für Zahlen, die ihr Verständnis übersteigen, einfach tausend sagt. Fibonacci-Datenstrukturen Die Fibonacci-Folge ist namensgebend für folgende Datenstrukturen, bei deren mathematischer Analyse sie auftritt. Fibonacci-Baum Fibonacci-Heap Verwandte der Fibonacci-Folge Die Prinzipien der Fibonacci-Folge können auch auf ähnliche Zahlenfolgen angewendet werden. So besteht die Tribonacci-Folge gleichfalls aus aufeinanderaddierten Zahlen. Hierbei werden aber die drei vorangegangenen Zahlen addiert, um die jeweils nächste zu bilden. für Die ersten Glieder lauten: 0, 1, 1, 2, 4, 7, ... Die Tribonaccizahlen tauchen bei einigen geometrischen Figuren auf. Genau so, wie die Fibonaccizahlen aus 2 und die Tribonaccizahlen aus 3 Gliedern errechenbar sind, lassen sich die n-Bonaccizahlen (so auch Tetra- und Pentanaccizahlen) aus Gliedern bilden. Die Stern-Brocot-Folge hat ein ähnliches Bildungsgesetz und weist ähnlich vielfältige mathematische Besonderheiten auf wie die Fibonacci-Folge. Anmerkungen Literatur Thomas Koshy: Fibonacci and Lucas Numbers with Applications. Wiley, 2001, ISBN 978-1-118-03131-5. John H. Conway, Richard K. Guy: The Book of Numbers. Copernicus NY 1996, ISBN 0-387-97993-X. Richard A. Dunlap: The Golden Ratio and Fibonacci Numbers. 2. Auflage. World Scientific, Singapur, 1999, ISBN 981-02-3264-0. Huberta Lausch: Fibonacci und die Folge(n). Oldenbourg 2010, ISBN 978-3-486-58910-8. Paulo Ribenboim: The New Book of Prime Number Records. Springer-Verlag 1996, ISBN 0-387-94457-5. Paulo Ribenboim: Meine Zahlen, meine Freunde. Glanzlichter der Zahlentheorie. Springer-Lehrbuch, 2009, ISBN 978-3-540-87955-8. The Fibonacci Quarterly. Seit 1963 vierteljährlich erscheinende Zeitschrift, die sich der Fibonacci- und verwandten Folgen widmet. Weblinks . – Sehr ausführliche Seite mit weiterführenden Themen. Fibonacci Numbers and the Golden Section. (englisch). Fibonacci und der Goldene Schnitt. (PDF; 823 kB). Albrecht Beutelspacher: Die Fibonacci-Zahlen. Aus der Fernsehsendung Mathematik zum Anfassen des Senders BR-alpha. Einzelnachweise Folge ganzer Zahlen Zahlentheorie Theoretische Biologie Proportionalität


text: Der faradaysche Käfig (auch Faraday-Käfig) ist eine allseitig geschlossene Hülle aus einem elektrischen Leiter (z. B. Drahtgeflecht oder Blech), die als elektrische Abschirmung wirkt. Bei äußeren statischen oder quasistatischen elektrischen Feldern bleibt der innere Bereich infolge der Influenz feldfrei. Bei zeitlich veränderlichen Vorgängen wie elektromagnetischen Wellen beruht die Abschirmwirkung auf den sich in der leitfähigen Hülle ausbildenden Wirbelströmen, die dem äußeren elektromagnetischen Feld entgegenwirken. Statische oder langsam variierende Magnetfelder (wie das Erdmagnetfeld) werden durch einen faradayschen Käfig nicht abgeschirmt. Der Begriff geht auf den englischen Physiker Michael Faraday (1791–1867) zurück. Entdeckt wurde das Verschwinden des elektrischen Feldes innerhalb von Metallbehältern etwa ein Jahrhundert vor Faraday durch Benjamin Franklin (1706–1790). Die Quantität der Schirmwirkung wird über die Schirmdämpfung (zum Beispiel einer Abschirmung) erfasst. Effekte Ein faradayscher Käfig führt unter anderem zu folgenden Effekten: Wird eine elektrische Entladung innerhalb eines faradayschen Käfigs erzeugt, bleiben dagegen außenstehende Beobachter ungefährdet. Dieses Prinzip wird bei der metallischen Auskleidung in Hochspannungslaboren ausgenutzt. Abschirmung elektrostatischer Felder Die Abschirmung von elektrostatischen bzw. quasistationären elektrischen Feldern beruht auf der Wirkung der Influenz. Wird eine elektrisch leitende Hülle, beispielsweise eine Hohlkugel, in ein von außen aufgebrachtes elektrostatisches Feld E gebracht, kommt es aufgrund der Kraftwirkung auf die in der Hülle frei beweglichen Ladungen Q zur räumlichen Umverteilung der Ladungen an der Oberfläche, bis die tangential auf der Oberfläche stehende elektrische äußere Feldkomponente null wird und damit ein Ausgleich gefunden ist. Dadurch entspringt bzw. endet im statischen Fall der elektrische Fluss an der Oberfläche der Hülle, womit das Innere der Hülle feldfrei bleibt. Diese Schirmwirkung ist nicht an eine bestimmte Form der Hülle gebunden und tritt bei beliebig geformten Hohlkörpern auf, sofern sie elektrisch leitfähig sind. Die Dämpfung ist bei einer komplett geschlossenen leitenden Hülle im statischen Fall ideal und unendlich groß, bei quasistationären Feldern ist dies mit guter Näherung erfüllt. Mit Hilfe des gaußschen Gesetzes lässt sich für die Normalkomponenten des elektrischen Feldes im leeren Außenraum unmittelbar über der Hülle: und im Innenraum zu bestimmen, mit der Flächenladungsdichte und der Dielektrizitätskonstante. Die leitfähige Hülle ist eine Äquipotentialfläche, die im Sprachgebrauch elektrische Wand genannt wird. Wesentlich ist, dass die Schirmwirkung nur gegen äußere elektrische Felder wirkt. Ein elektrischer Fluss, der durch eine von der Hülle isolierte Ladungsansammlung im Inneren der Hülle entspringt, die davon getrennte Ladung mit umgekehrtem Vorzeichen befindet sich im Außenbereich, führt so auch im Außenraum zu einem elektrischen Feld. Besteht hingegen eine elektrische Verbindung zwischen den ladungstragenden Innenbereichen und der Hülle, werden die elektrische Ladungen zur Oberfläche verschoben und der innere Bereich bleibt feldfrei. Dieses Prinzip der Ladungsverschiebung wird bei manchen Hochspannungsgeneratoren wie dem Van-de-Graaff-Generator zur Ladungsspeicherung und zur Erzeugung von hohen elektrischen Spannungen genutzt. Bei nicht zu hochfrequenten Wechselfeldern kann ein faradayscher Käfig statt aus einer geschlossenen Leiter-Wand auch aus einem Käfig aus Leiterstäben, -drähten oder aus einem Blech mit kleinen Öffnungen bestehen. Die Schirmdämpfung hängt mit der Maschenweite zusammen, die etwa 1/10 der Wellenlänge nicht überschreiten sollte. Abschirmung von Wechselfeldern (Elektrodynamik) Ein idealer faradayscher Käfig schirmt auch hochfrequente Wechselfelder ab, weil auf der Oberfläche des Käfigs Wirbelströme induziert werden, die dem äußeren Feld nach der Lenzschen Regel entgegenwirken. Die Schirmwirkung ist in diesem Fall aber nicht ideal, sondern durch endliche Schirmdämpfungen und Eindringtiefen in den Schirm gekennzeichnet. Faradaysche Käfige aus nicht-ferromagnetischem Metall schirmen aufgrund ihrer endlichen Leitfähigkeit dann hochfrequente Wechselfelder ab, wenn die Metallschicht deutlich dicker als die Eindringtiefe der induzierten Ströme ist. Schlitze führen zur Unterbrechung der Induktionsströme im Schirm. Elektromagnetische Wellen durchdringen den Schirm vergleichsweise gut, wenn Schlitze im Schirm parallel zur Magnetfeldkomponente der Welle liegen. Die Schirmdämpfung lässt mit zunehmender Apertur nach und wird gering, wenn die Wellenlänge der ankommenden elektromagnetischen Welle in der Größenordnung der Schlitzabmessungen liegt. Anwendungen Faradaysche Käfige werden häufig dort angewandt, wo Einflüsse von äußeren elektrischen oder elektromagnetischen Feldern die Funktionsweise eines Gerätes negativ beeinflussen können oder wo innere elektromagnetische Felder nicht nach außen gelangen sollen. Beispielsweise wird er zur Abschirmung von Messinstrumenten, elektrischen Leitungen oder Messräumen, z. B. vor Sendern, verwendet. Der faradaysche Käfig ist dann z. B. das Gehäuse aus einem leitenden Material oder eine dünne metallische Folie, mit welcher der zu schützende Raum umhüllt ist. Die Abschirmung kann ganze Räume umfassen, zum Beispiel geschirmte Räume als elektromagnetisch beruhigte Prüfumgebung in EMV-Laboren (Absorberhalle). Das Prinzip des faradayschen Käfigs findet auch Anwendung beim Blitzschutz für Gebäude. Hier ist er durch eine grobe Struktur aus Blitzableitern und geerdeten Gebäudeteilen angenähert. Auch Autos und Flugzeuge mit einer leitfähigen Hülle wirken wie faradaysche Käfige. Elektromagnetische Felder, deren Wellenlängen im Vergleich zu den elektrisch offenen Fugen und Spalten der Karosserie klein sind, werden allerdings nicht effizient geschirmt. Dies erklärt, warum im Auto Mobilfunk-Empfang möglich ist. Kleine, oft aus Weißblech gefertigte Abschirmkäfige findet man um die Hochfrequenz-Baugruppen in elektronischen Geräten (Mobiltelefone, Radio- und Fernseh-Tuner, drahtlose Babyfone usw.). Der Mikrowellenherd ist ein Beispiel für einen faradayschen Käfig, bei dem gewissermaßen Innen und Außen vertauscht sind. Der metallene Garraum schirmt die Umgebung von der starken Mikrowellenstrahlung innerhalb des Ofens ab. An der Tür befindet sich meist eine Resonanzdichtung, die nur für eine ganz bestimmte Wellenlänge wirksam ist. Das metallische Gehäuse eines Magnetrons sorgt dafür, dass das hochenergetische elektromagnetische Feld im Inneren des Magnetrons bleibt. Ein geringer Teil des Feldes wird durch den Antennenanschluss nach außen geleitet. Die vereinfachte, zweidimensionale Ausführung eines faradayschen Käfigs wird als Koronaring bezeichnet und wird im Hochspannungsbereich beispielsweise bei Isolatoren und Überspannungsableitern (Varistoren) eingesetzt. Im Ringinneren ist die Feldstärke sehr gering, deshalb kann dort auch an Ecken und Spitzen wie dem Montagegeschirr keine verlustbringende Feldemission auftreten. Literatur Weblinks Der Faradaysche Käfig: Was ist er und wie funktioniert er? Elektrostatik Elektromagnetische Entstörung Michael Faraday Wikipedia:Artikel mit Video Physikalisches Demonstrationsexperiment


text: Flora (von lateinisch flos = „Blüte“) steht für: Flora (Pflanzenwelt), die Gesamtheit aller Pflanzensippen eines Gebietes und die Systematik des Pflanzenreiches die Gesamtheit der Mikroorganismen, die bestimmte Körperregionen von Menschen oder Tieren besiedeln und die für den Wirtsorganismus von entscheidender Bedeutung sind, siehe z. B. Darmflora (8) Flora, ein Asteroid Flora (Mythologie), die Göttin der Blüte und des Frühlings in der römischen Mythologie Flora (Oper) oder Hob in the Well, eine englische Oper des 18. Jahrhunderts Flora (Rebsorte), eine Rebsorte Flora (Verzeichnis), ein Katalog der Pflanzen eines bestimmten Gebietes Flora – Sächsische Gesellschaft für Botanik und Gartenbau, botanische Vereinigung Flora (Vorname), ein weiblicher Vorname Flora (Schiff), ein ehemaliges Hilfsschiff des DRK Flora (Massys), ein Gemälde von Jan Massys Flora-Stil, eine Keramikstil aus der kretisch-minoischen Neupalastzeit Flora Tallinn, ein estnischer Fußballverein eine österreichische Lokomotive, siehe KFNB – Vindobona II bis Flora Radio flora, ein hannoveranisches Bürgerradio Zeche Flora, ein ehemaliges Steinkohlebergwerk in Bochum-Weitmar Zeitschriften: Flora (Zeitschrift), eine Frauenzeitschrift Flora (Zeitschrift 1820–1833), eine Unterhaltungszeitschrift aus München Illustrierte Flora, österreichische botanische Zeitschrift, die zwischen 1890 und 1955 erschien Flora (Zeitschrift 1985–2002), botanische Zeitschrift Flora: Morphology, Distribution, Functional Ecology of Plants, internationale, botanische Fachzeitschrift Gelände und Gebäude: Flora (Charlottenburg), eine ehemalige Vergnügungsstätte im heutigen Berlin Flora (Erfurt), ein ehemaliges Gaststättenensemble in Erfurt Rote Flora, das ehemalige „Concerthaus“ und spätere Theater Flora im heutigen Hamburg Neue Flora, ein Musicaltheater in Hamburg Flora (Köln), ein botanischer Garten in Köln-Riehl ehemaliges Haus zur Flora, Leipzig, Geschäfts- und Messehaus eine Stadtvilla in München, siehe Villa Flora (München) Flora (Quedlinburg), ein Denkmal in Quedlinburg Flora Westfalica, das Landesgartenschaugelände in Rheda-Wiedenbrück (Nordrhein-Westfalen) eine Stadtvilla in Winterthur (Schweiz), siehe Villa Flora (Winterthur) Berge: Flora (Berg), ein Berg im Lowosero-Tundra-Massiv auf der russischen Halbinsel Kola Orte: Flora (Apayao), eine Stadtgemeinde in der Provinz Apayao, Philippinen Flora (Bergisch Gladbach), Ortsteil und ehemaliges Gasthaus im Stadtteil Paffrath der Stadt Bergisch Gladbach im Rheinisch-Bergischen Kreis Flora (Norwegen), eine ehemalige norwegische Kommune mit Verwaltungssitz in Florø Flora (Ukraine), ukrainisches Dorf in der Oblast Odessa Floure, französische Gemeinde im Département Aude auf Okzitanisch in den Vereinigten Staaten: Flora (Illinois) Flora (Indiana) Flora (Indiana) Flora (Louisiana) Flora (Mississippi) Flora (North Dakota) Flora (Ohio) Flora (Oklahoma) Flora (Oregon) Flora (Pennsylvania) Flora (Texas) Flora Vista (New Mexico) Sonstiges: FLORA-2 ist eine objektorientierte Programmiersprache zur Wissensverarbeitung. Flora, NATO-Codename für das sowjetische Jagdflugzeug Jakowlew Jak-23 Flora (Agrarflugzeug), Projekt eines in der DDR entwickelten Agrarflugzeuges Skulptur „Flora mit Putto“, barock wirkende Frauenskulptur (um 1926) mit Putto von Burkhart Ebe Flora als eine Figur von Flora und Jolanthe, Propagandafiguren in der DDR Flora als eine Figur von Flora & Ulysses, Kinderbuch und Verfilmung von Kate DiCamillo Flora (Margarine), siehe Unilever#Geschäftsbereiche, Marken und Produkte (Becel) Flora (Schrift), von Gerard Unger für International Typeface Corporation und H. Berthold AG, 1989 Flora Farnese, Skulpturentypus in der römischen Kunst Flora ist der Familienname folgender Personen: Fabiano Flora (* 1985), portugiesischer Fußballtrainer Gerhard Flora (* 1930), österreichischer Mediziner Håkan Florå (1962–2009), schwedischer Punkmusiker, bekannt als Onkel Kånkel Heinrich Flora (1829–1902), österreichischer Gemeindearzt und Waldbauer James Flora (1914–1998), amerikanischer Gebrauchsgrafiker und bildender Künstler, Kinderbuchautor Lars Flora (* 1978), US-amerikanischer Skilangläufer Paul Flora (1922–2009), österreichischer Zeichner, Karikaturist und Illustrator Peter Flora (* 1944), österreichischer Soziologe, Sohn von Paul Flora Thalia Flora-Karavia (1871–1960), griechische Künstlerin Siehe auch: Florea Florapark Villa Flora Flora Township Floristik Vlora (Begriffsklärung)