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text: Die Geschichte der Flugzeugträger umfasst die technischen und organisatorischen Entwicklungen bezüglich Kriegsschiffen, die als seegestützte Luftwaffenbasis dienen, (Flugzeugträger) von den Anfängen zu Beginn des 20. Jahrhunderts bis zur Gegenwart. Erste Versuche 1910 Als Vorgänger aller Flugzeugträger gilt die französische Foudre. Der erste Start eines Flugzeugs von einem Schiff fand Ende 1910 in den Vereinigten Staaten statt. Der Flugakrobat Eugene Burton Ely startete mit seinem Curtiss-Doppeldecker von einer Rampe, die auf Deck des Kreuzers USS Birmingham errichtet wurde. Die Landung fand jedoch noch an Land statt. Zwei Monate später gelang es ihm bei einem weiteren Versuch, auf einem anderen Schiff, der USS Pennsylvania zu landen. Die Auffanganlage für sein Flugzeug bestand dabei aus Tauen, die einfach quer über das Deck gelegt und durch Sandsäcke an den Enden gebremst wurden. Dadurch war bewiesen, dass Schiffe als Start- und Landeplattform für Flugzeuge dienen können. Erster Weltkrieg Bis zur Entwicklung echter Flugzeugträger, auf denen Flugzeuge starten und landen konnten, unterhielten einige Marinen Flugzeugmutterschiffe. Diese dienten als Operationsbasis für Wasserflugzeuge, die teilweise von Katapulten gestartet wurden. Sie landeten neben dem Schiff auf dem Wasser und wurden mittels Kran wieder an Bord geholt. Die HMS Furious der britischen Marine, ein umgebauter Kreuzer, besaß ab 1917 ein knapp 70 Meter langes Flugdeck vor den Schiffsaufbauten, auf dem Flugzeuge starten, aber nicht landen konnten. Die Maschinen mussten daher auf dem Wasser landen und gingen größtenteils dabei verloren. Von der Furious ging der erste Luftangriff von Bord eines Schiffes aus; die beiden deutschen Zeppelinhallen in Tondern wurden erfolgreich angegriffen und zerstört. Das Konzept wurde zwischen den Weltkriegen zum Seeflugzeugträger weiterentwickelt. Der erste funktionsfähige Flugzeugträger, auf dem Flugzeuge mit Radfahrwerk sicher starten und landen konnten, war die HMS Argus der britischen Marine. Sie entstand 1918 durch den Umbau eines halbfertigen Passagierdampfers, kam aber im Ersten Weltkrieg nicht mehr zum Einsatz. Es war der erste Träger mit einem glatten Flugdeck über die gesamte Länge des Schiffes. Entwicklungen bis zum Zweiten Weltkrieg Die USA bauten von 1920 bis 1922 den Marine-Kohlentransporter Jupiter zu ihrem ersten Flugzeugträger, der Langley, um. Auch die beiden folgenden Träger, die Lexington und die Saratoga, die beide 1927 in Dienst gestellt wurden, waren Umbauten. Allerdings entstanden sie aus den Rümpfen zweier nicht vollendeter Schlachtkreuzer. Auch die Briten bauten weitere Schiffe um. So entstanden die Courageous und die Glorious aus Schlachtkreuzern (besser gesagt aus Large Light Battlecruisers – ein Hybrid aus Schlachtkreuzern und Leichten Kreuzern). Die ersten Flugzeugträger, die von vornherein als Träger entwickelt wurden, waren die 1922 in Dienst gestellte japanische Hōshō und die 1924 von den Briten fertiggestellte Hermes, deren Bau noch vor der Hōshō begonnen worden war. Die USA folgten 1934 mit der Ranger. Von 1931 bis 1935 besaß die US-Marine zwei Starrluftschiffe, die Akron und die Macon, die in der Lage waren Jagd- und Aufklärungsflugzeuge abzusetzen und wieder aufzunehmen. Diese Luftschiffe kamen vor allem als Aufklärer zum Einsatz. Beide Luftschiffe gingen durch Unfälle verloren. Deutschland baute ab 1936 zwei große Flugzeugträger der Graf-Zeppelin-Klasse. 1940 wurde ein Baustopp verhängt, als die Graf Zeppelin in der Endausrüstung war, während der zweite Träger noch auf Stapel lag und dort abgebrochen wurde. 1942 wurde das Flugzeugträgerbauprogramm wieder aufgenommen. An der Graf Zeppelin wurde nun weitergebaut und Passagierschiffe und Kreuzer wurden zum Umbau in Flugzeugträger vorgesehen. Als im Januar 1943 das Trägerbauprogramm erneut eingestellt wurde, waren vier Schiffe im Umbau oder Fertigbau zum Flugzeugträger. Die weitgehend fertiggestellte Graf Zeppelin wurde im April 1945 in einem Oderarm bei Stettin auf Grund gesetzt, von den Russen erbeutet und nach Sprengversuchen am Schiff 1947 in der Ostsee versenkt. Ende Juli 2006 wurde das Wrack etwa 30 Seemeilen nördlich von Wladyslawowo (Ellerwald) wiedergefunden. Zweiter Weltkrieg Im Zweiten Weltkrieg zeigte sich, wie verwundbar Schiffe durch Flugzeuge waren. Als markantes Symbol dafür gilt die Versenkung der Bismarck am 27. Mai 1941. Flugzeugträger lösten die Schlachtschiffe als kampfstärkste Einheiten ab. (siehe Zerstörung der Force Z) Bedeutende Einsätze von Flugzeugträgern im Zweiten Weltkrieg: der britische Angriff auf den italienischen Hafen Tarent am 11. November 1940 mit Maschinen vom Typ Fairey Swordfish gilt quasi als Vorbild für den Angriff der Japaner auf Pearl Harbor der japanische Angriff auf Pearl Harbor 1941; maßgeblich beteiligt waren sechs japanische Flugzeugträger (Akagi, Kaga, Hiryū, Sōryū, Zuikaku und Shōkaku). die Schlacht im Korallenmeer Mai 1942 die Schlacht um Midway Juni 1942, bei der trägergestützte US-Sturzkampfflugzeuge in einem Blitzangriff zunächst drei, später auch den vierten der japanischen Flugzeugträger vernichten konnten. die Schlacht in der Philippinensee am 19. und 20. Juni 1944 Die Japaner versuchten zum Ende des Pazifikkriegs, vor allem der Übermacht der amerikanischen Flugzeugträger mit ihrer Shimpū-Spezialeinsatztruppe Herr zu werden. Nicht zur Ausführung gelangte das Projekt eines riesigen britischen Flugzeugträgers aus Eis unter dem Projektnamen Habbakuk, allerdings wurden diverse Vorarbeiten hierzu geleistet. Entwicklung nach dem Zweiten Weltkrieg Nach dem Zweiten Weltkrieg wurden zwei entscheidend wichtige Verbesserungen bei Flugzeugträgern vorgenommen: Winkeldeck – Start- und Landebetrieb ist gleichzeitig möglich, und landende Flugzeuge können beim Verfehlen der Fangseile durchstarten Dampfkatapult – auch die immer schwerer werdenden modernen Düsenflugzeuge mit immer höherer Mindestgeschwindigkeit können noch vom Flugzeugträger gestartet werden Außerdem wurde erstmals Kernkraft zur Energieerzeugung eingesetzt. Der erste Flugzeugträger mit Atomantrieb (acht Atomreaktoren) war die Enterprise der amerikanischen Marine. Sie wurde auf der Schiffswerft von Newport News Shipbuilding gebaut und war von 1961 bis 2017 im Dienst. Die gegenwärtig größten Flugzeugträger der Welt sind die amerikanischen Träger der Nimitz-Klasse mit einer Verdrängung von knapp 100.000 Tonnen. Es wurden zehn Stück gebaut, die durch die neue Gerald-R.-Ford-Klasse ersetzt werden. Das Typschiff, die Gerald R. Ford, wurde am 22. Juli 2017 in Dienst gestellt und ersetzte die Enterprise. Weitere Nationen mit Flugzeugträgern sind Großbritannien, Frankreich, Russland, Volksrepublik China, Spanien, Südkorea, Italien, Indien, Thailand und Brasilien. Auf Grund der immensen Kosten für einen Flugzeugträger sind die Träger dieser Länder jedoch deutlich kleiner als die amerikanischen. Frankreich versuchte mit der 1997 in Dienst gestellten Charles de Gaulle ein Gegenstück zu den amerikanischen Trägern zu präsentieren. Sie war der erste europäische Träger mit Atomantrieb und deutlich größer als die anderen europäischen Flugzeugträger. Der Erfolg blieb jedoch aus. Bereits während der Bauzeit schossen die Kosten in astronomische Höhen. Seit der Indienststellung hat das Schiff immer wieder mit technischen Problemen zu kämpfen, unter anderen brach bereits bei der ersten Fahrt der Propeller und der Reaktor überhitzte. 2019 stellte Großbritannien den letzten der insgesamt zwei neuen Flugzeugträger der Queen-Elizabeth-Klasse in Dienst. Die Indienststellung des ersten Trägers hatte indes bereits 2017 stattgefunden. Inzwischen hat auch Frankreich sein Interesse an diesem Projekt bekundet, um eventuell die zehn Jahre alte Charles de Gaulle durch einen Träger dieser Bauart zu ergänzen. Verweise Liste historischer Flugzeugträger Liste aktiver Flugzeugträger Weblinks http://www.fas.org/man/index.html !Flugzeugtraeger


text: Marcus Annius Florianus († September 276 bei Tarsus) war ein römischer Kaiser. Leben Aufgrund der dürftigen Quellenlage ist über Florianus wenig Sicheres bekannt. Er wurde von seinem Halbbruder Marcus Claudius Tacitus (beide hatten vermutlich dieselbe Mutter) nach dessen Ernennung zum Kaiser als Prätorianerpräfekt eingesetzt. Die Halbbrüder kämpften in Kleinasien zunächst gemeinsam gegen die Goten. Als er vom Tod seines Halbbruders erfuhr, erklärte sich Florianus im April 276 umgehend selbst zum neuen Kaiser. Obwohl er weder Zustimmung von den Soldaten noch vom Senat erhielt, gab es keinen Widerspruch. Florianus ging nach seiner Amtsaufnahme umgehend wieder gegen die Goten vor und erzielte angeblich große Erfolge. Doch kurz vor einem Ende dieses Feldzugs ereilte ihn die Nachricht, dass Marcus Aurelius Probus, Kommandant der an der Ostgrenze stehenden Legionen, zum Kaiser ausgerufen worden wäre. Florianus brach sofort sämtliche Militäroperationen gegen die Goten ab und warf alle entbehrlichen Kräfte nach Süden. Zunächst schien es, dass an Florianus’ Sieg kein Zweifel bestehen könne, da seine Truppen zahlenmäßig deutlich überlegen waren. Doch bald stellte sich – so die Quellen – heraus, dass seine hauptsächlich aus Mitteleuropa stammenden Soldaten mit dem heißen Wüstenklima nicht zurechtkamen. Durch die Hinhaltetaktik des Probus und um sich greifende Seuchen bröckelte die Moral der kaiserlichen Truppen zusehends. Im Juni 276 liefen viele von Florianus’ Soldaten zu Probus über. Als der Kaiser versuchte, die Loyalität seiner Truppen wieder zu sichern, wurde er im September 276 nach einer Herrschaft von angeblich nur 88 Tagen durch die eigenen Soldaten ermordet. Höchstwahrscheinlich geschah die Tat auf direkten Befehl des Probus, der in der Folge die Herrschaft übernahm. Literatur Michael Peachin: Roman Imperial Titulature and Chronology, A. D. 235–284. Gieben, Amsterdam 1990, ISBN 90-5063-034-0, S. 46 f. (Erörterung der Chronologie) und 419–422 (Zusammenstellung der Belege in numismatischen, inschriftlichen und erzählenden Quellen). Eberhard Sauer: M. Annius Florianus. Ein Drei-Monate-Kaiser und die ihm zu Ehren aufgestellten Steinmonumente (276 n. Chr.). In: Historia. Band 47, Heft 2, 1998, S. 174–203. Weblinks Kaiser (Rom) Prätorianerpräfekt Florianus, Marcus Annius Herrscher (3. Jahrhundert) Geboren im 2. oder 3. Jahrhundert Gestorben 276 Mann


text: Der Februar ( „reinigen“) ist der zweite Monat des Jahres im gregorianischen Kalender. Schon seit 153 v. Chr. war er auch der zweite Monat des römischen Kalenders. Er wurde nach dem römischen Reinigungsfest Februa benannt. In Österreich sowie Teilen Südtirols wird er auch Feber genannt, insbesondere in der Amtssprache (siehe auch Artikel Österreichisches Deutsch). Zahl der Tage Der Monat umfasst in Gemeinjahren 28 Tage und in Schaltjahren 29 Tage. Der eigentliche Schalttag ist der 24. Februar, d. h. in Schaltjahren wird nach dem 23. Februar ein Tag eingeschoben, was jedoch nur für die kirchlichen Feiertage und Namenstage von Bedeutung ist, die sich vom 24. Februar und den folgenden Tagen in Schaltjahren auf den 25. Februar etc. verschieben. Dies erklärt, weshalb das Schaltjahr bspw. im Französischen année bissextile heißt: In der Antike wurde der 24. Februar (eigentlich der 25. Februar, der sechstletzte Tag vom 1. März aus gerechnet, lat. sex) doppelt (lat. bis) gerechnet. Der 25. Februar hieß in Schaltjahren also dies sextus, der 24. Februar dies bisextus der 23. Februar dies septus und so weiter. Im römischen Kalender war der Februarius ursprünglich der letzte Monat. Aus diesem Grund erhielt genau dieser Monat damals überzählige Schalttage angehängt, ein Brauch, der sich durch die julianische und gregorianische Kalenderreform hindurch erhalten hat. Der Februar beginnt in Nicht-Schaltjahren mit dem gleichen Wochentag wie der März (28 geteilt durch 7 ist 4, daraus folgt, dass der Februar exakt vier Wochen lang ist und der Folgemonat mit dem gleichen Wochentag beginnt) und der November, in Schaltjahren wie der August. Der Februar beginnt immer mit dem gleichen Wochentag wie der Juni des Vorjahres, weil niemals ein Schalttag (29. Februar) zwischen beiden Monaten liegt. Banktechnisch hat der Februar wie jeder andere Rechnungsmonat (nach deutscher Zinsberechnungsmethode) 30 Zinstage, so dass Zinsabrechnungen zum 30. Februar durchaus sinnvoll sind. Geschichte Alte Namen Unter Kaiser Commodus wurde der Monat in Invictus umbenannt, nach dem Tod des Kaisers erhielt er allerdings seinen alten Namen zurück. Der alte deutsche Name für den Februar ist Hornung, weil der reife Rothirsch in diesem Monat die Stangen seines Geweihes abwirft und beginnt, ein neues Geweih zu schieben. Eine andere Theorie geht davon aus, dass Hornung „der im Winkel/Geheimen gezeugte Bastard“ bedeutet, da er in der Anzahl der Tage zu kurz kommt. Im Elsass wird dieser Monat auch heute noch so bezeichnet. Auch im Pennsylvaniadeutsch ist der alte Monatsname als Hanning erhalten geblieben. Im Rheinland und in den Niederlanden verwendete man früher für den Februar die Bezeichnung Sporkel, Spörkel bzw. Spürkel. Dieser Ausdruck leitet sich vom lateinischen Begriff Spurcalia her, mit dem im Mittelalter von der Kirche die vom Volk gefeierten „sittenlose Feste“ in der Karnevalszeit bezeichnet wurden. Auch die Bezeichnung Narrenmond für den Februar rührt daher, dass in dieser Zeit die alten Vorfrühlings- und Fruchtbarkeitsrituale abgehalten wurden, um die Dämonen des Winters zu vertreiben. Unter dem Einfluss der Christianisierung wurden diese ausgelassenen Feierlichkeiten als Fastnacht (Fassenacht, Fasnet) oder Fasching auf die Tage vor dem Aschermittwoch beschränkt, so dass diese Narrenzeit (meistens) im Februar endet. Ein weiterer gebräuchlicher Name war Schmelzmond und bei Gärtnern war früher auch die Bezeichnung Taumonat (Taumond) üblich. Kalenderumstellungen Bei Kalenderumstellungen, insbesondere der vom Julianischen auf den Gregorianischen Kalender, wurde der Februar aufgrund der gegenüber den übrigen Monaten abweichenden Zahl der Tage mehrfach genutzt, die Differenzen auszugleichen. Das geschah im Jahr 1700, als die protestantischen Territorien im Deutschen Reich und Dänemark die Reform vollzogen, Schweden nutzte den Monat Februar bei der Aufgabe des Schwedischen Kalenders 1712 – was zu einem 30. Februar führte – und nach der Oktoberrevolution in Russland erfolgte auch hier die Kalenderumstellung ebenfalls im Februar. Siehe auch Bewegliche Feiertage Bewegliche Gedenktage Februa (Reinigungsfest) Wetter- und Bauernregeln für den Februar Weblinks feste-der-religionen.de (private Seite) Anmerkungen Einzelnachweise Monat des gregorianischen und julianischen Kalenders


text: Florenz ( ) ist eine italienische Großstadt mit Einwohnern (Stand ). Nach Einwohnern ist sie die achtgrößte Stadt Italiens. Florenz ist die Hauptstadt sowie größte Stadt der Region Toskana und der Metropolitanstadt Florenz, in der etwa eine Million Menschen leben. Florenz ist für seine Geschichte berühmt. Als Zentrum des spätmittelalterlichen europäischen Handels- und Finanzwesens war sie eine der reichsten Städte des 15. und 16. Jahrhunderts. Florenz gilt als die Wiege der Renaissance. Aufgrund ihrer kulturellen Bedeutung – insbesondere für die bildende Kunst – wurde sie schon im 19. Jahrhundert auch als das „italienische Athen“ bezeichnet. Durch die mächtige Dynastie der Familie Medici stieg Florenz in der Renaissance zu einer der florierendsten Metropolen Europas auf. Zahlreiche Kunstschaffende und Geistliche waren hier beheimatet: Leonardo da Vinci verbrachte große Teile seiner Jugend in Florenz, Michelangelo fand Unterschlupf in der Kirche der Medici, Galileo Galilei wohnte als Hofmathematiker in den Palästen der Medici. Von 1865 bis 1871 war die Stadt die Hauptstadt des neu gegründeten Königreichs Italien. Das historische Zentrum von Florenz zieht Jahr für Jahr Millionen von Touristen an. Euromonitor International platziert die Stadt mit fast 4,2 Millionen Besuchern im Jahr 2015 weltweit an 40. Stelle unter den meistbesuchten Städten. Die historische Innenstadt wurde von der UNESCO im Jahre 1982 zum Weltkulturerbe erklärt. Aufgrund des künstlerischen und architektonischen Erbes hat das Forbes Magazine Florenz als eine der schönsten Städte der Welt ausgewählt. Hingewiesen wird vor allem auf den Reichtum an Museen, Palästen und Denkmälern. Geographie Lage Florenz liegt am Arno, der durch die Altstadt fließt, und am Mugnone, der von Norden kommend westlich der Altstadt in den Arno mündet. Von Süden kommend tritt der Ema dem Greve bei Galluzzo zu, zusammen münden sie danach im Stadtgebiet von Florenz im Arno. Der Arno war ebenso wichtig für die Versorgung der Menschen durch den Handel, sorgte allerdings durch Überflutungen auch für Zerstörung und Leid. Nördlich von Florenz erstreckt sich der Höhenzug des toskanisch-emilianischen Apennins, im Süden grenzen die Hügel des Chianti an die Stadt. Klima Florenz befindet sich noch in der gemäßigten Klimazone mit sehr warmen Sommern und kalten und feuchten Wintern. Aufgrund seiner Lage und des damit verbundenen Mangels an Ventilation ist es in Florenz im Sommer spürbar wärmer als an der Küste. Die höchste gemessene Temperatur lag bei 44 °C im Juli 1983. Die tiefste festgestellte Temperatur war −23 °C im Januar 1985. Stadtgliederung Im Mittelalter war Florenz in vier Stadtviertel (Quartieri) eingeteilt, welche nach den Stadttoren benannt waren: San Piero, Duomo oder Vescovo, San Pancrazio und Santa Maria. Später wurden daraus sechs sogenannte Sestieri: San Piero, Duomo, San Pancrazio, San Piero a Scheraggio, Borgo, Oltrarno. Hinzu kommen die Vororte westlich und östlich der Ausfallstraßen und der markanten Hügel San Miniato, Belvedere und Bellosguardo im Süden sowie Careggi, Montughi, Fiesole und Settignano im Norden. Die moderne Verwaltungsgliederung in fünf Stadtviertel ab 1990 orientiert sich im Außenbereich an den Grenzen der traditionellen Stadtviertel: Die fünf modernen Verwaltungseinheiten im Überblick, mit zugehörigen Stadtteilen: Bevölkerung Bevölkerungsentwicklung Der Aufstieg der Stadt von einem Armeelager zu einer Hochburg der Renaissance vollzog sich langsam. 1330 zählte die Stadt ungefähr 30.000 Einwohner. Bis zum Jahr 1348 wuchs die Zahl der Einwohner auf bis zu 100.000 an. Die Pestpandemie traf Florenz besonders hart und forderte in Florenz geschätzte 70.000 Tote, nur knapp ein Fünftel der Bevölkerung überlebte. Mitte des 19. Jahrhunderts war wieder ein kontinuierlicher Anstieg zu verzeichnen, die Stadt zählte 150.000 Einwohner. Diese Zahl verdoppelte sich bis zu Beginn der 1930er-Jahre auf 300.000 Einwohner. Nach Ende des Zweiten Weltkriegs 1945 stieg die Zahl weiter, Anfang der 1970er-Jahre wurde mit über 450.000 Einwohnern ein historischer Höchststand erreicht. In den 1980er Jahren waren starke Abwanderungsströme und Geburtenrückgänge zu erkennen, weshalb seitdem die Einwohnerzahl in Florenz rückläufig ist. Ethnien und Migration Am 31. Dezember 2019 lebten in Florenz 59.567 nicht-italienische Staatsbürger. Die meisten von ihnen stammen aus folgenden Ländern: – 8.461 China – 6.409 – 5.910 – 5.108 – 4.939 – 2.541 – 1.942 – 1.801 – 1.418 – 1.175 Politik Oberbürgermeister (ital. Sindaco) von Florenz ist seit 26. Mai 2014 Dario Nardella, Mitglied der PD (Partito Democratico). Der ehemalige Ministerpräsident Italiens Matteo Renzi war von 2009 bis 2014 Bürgermeister der Stadt. Bildung Die 1321 gegründete Universität Florenz ist zentral, das Europäische Hochschulinstitut in Fiesole gelegen, wo sich ebenfalls die Zentren für Renaissance-Studien der Harvard University (Villa I Tatti), New York University (Villa La Pietra) und Georgetown University (Villa Le Balze) befinden. Die Accademia di Belle Arti ist eine der ältesten europäischen Kunsthochschulen. Des Weiteren befindet sich in Florenz der Zweitsitz der Elite-Universität Scuola Normale Superiore neben Pisa. Geschichte Die Geschichte von Florenz ist heute u. a. deshalb so bekannt, weil sie um das Jahr 1520 von Niccolò Machiavelli (1469–1527) erstmals aufgeschrieben wurde. Machiavelli schrieb seine Istorie fiorentine im Auftrag der Medici und überreichte das umfangreiche Werk im Jahre 1525 Giulio de’ Medici, auch bekannt als Papst Clemens VII. Machiavelli begann schon in seiner Jugendzeit, die Geschichte seiner Heimatstadt aufzuschreiben und nannte sein erstes Buch Decannale. Später knüpfte er daran an und wurde einer der ersten Historiker der Neuzeit. Antike Florenz wurde nach 59 v. Chr. von Julius Cäsar als Colonia mit dem Namen Florentia (nach der römischen Göttin der Blumen und des Pflanzenwachstums) im fruchtbaren, aber noch teilweise sumpfigen Arnotal errichtet. Die Colonia bestand erstens aus einem Militärlager, dem Castrum, dessen quadratische Anlage sich auch heute noch im Straßenverlauf widerspiegelt (Via Tornabuoni, Via Cerretani, Via del Proconsolo und Piazza della Signoria). Das Forum befand sich am heutigen Platz der Republik. Florentia verfügte auch über Thermalbäder und ein Amphitheater. Zur Colonia gehörten auch die Ansiedlungen der Veteranen der Garnison außerhalb des Castrum, die gemäß der Lex Julia nach der Entlassung aus dem Militärdienst eine Landparzelle zur Bebauung zugewiesen erhielten, die aufgrund der Vergabepraxis in Form einer Verlosung partes genannt wurde. Die günstige Lage am Kreuzungspunkt der nach Rom führenden Via Cassia, der von Volterra kommenden Etruskerstraße (Volterana) und der ebenfalls etruskischen Pisana, die über Pisa ans Meer führte, begünstigte das rasche Aufblühen der Stadt auf Basis des Handels und der Handwerksbetriebe. Die älteren etruskischen Ansiedlungen, vor allem das auf einem Hügel nördlich der neuen Stadt gelegene bedeutende Fiesole (Gründung 7. Jahrhundert vor Christus) gerieten dadurch rasch ins Hintertreffen. Nachdem man neben Fiesole auch den Etruskerstädten Volterra und Chiusi sowie den römischen Coloniae Pistoia und Lucca den Rang abgelaufen hatte, ernannte Kaiser Diokletian Florenz zur Hauptstadt der Siebenten Region (Toskana und Umbrien). Mittelalter Im Zuge der byzantinischen Rückeroberungskriege wurde die Stadt fast vollständig zerstört und nahm erst wieder unter den Langobarden einen Aufschwung. Da die Langobardenherzöge jedoch in Lucca bzw. Pisa residierten, konnte Florenz bis ins 12. Jahrhundert nicht an die Bedeutung vor der Völkerwanderungszeit anschließen. Entscheidend für den Wiederaufstieg wurde die um 1000 erfolgte Verlegung des Amtssitzes des von den Karolingern eingesetzten Markgrafen Hugo nach Florenz. Mit dem Aufkommen des Feudalismus expandierte die Stadt im 12. Jahrhundert und wurde schließlich autonom. Die Bürgerschaft gewann an Macht, es kam zu erbitterten Streitereien zwischen den kaisertreuen Ghibellinen und den später siegreichen Anhängern des Papstes, den Guelfen. Renaissance: Aufstieg und Fall der Medici In den Jahren 1347 bis 1352 starben etwa 40 % der Bevölkerung an einer Pestepidemie (Schwarzer Tod). Im 14. und 15. Jahrhundert blühte Florenz auf und setzte Maßstäbe in der europäischen Kunst und Kultur. Viele Künstler und Gelehrte siedelten sich an, darunter Donatello, Botticelli; später Michelangelo, Machiavelli, Leonardo da Vinci und Galileo Galilei. Es entwickelte sich die kulturgeschichtliche Epoche der Renaissance (italienisch Rinascimento). Zugleich wurde Florenz zum Handels- und Finanzzentrum. Die reiche Familie der Medici stieg im 15. und 16. Jahrhundert zu einer Großmacht auf und prägte die Stadt wie keine andere Familie. Der erste bedeutende Medici war Cosimo, der sich die Stadt nach und nach untertan machte. Cosimo lebte kurze Zeit im Exil, als die Medici durch gegnerische Familien gestürzt worden waren. Da jedoch die Wirtschaft aufgrund der Abwesenheit der Medici zum Erliegen kam, kehrte Cosimo aus seinem Exil zurück und übernahm wieder die Regentschaft. Durch geschicktes Agieren und eine präzise ausgewählte Kundschaft schuf sich Cosimo ein Netzwerk aus bedeutenden Politikern, Handelsleuten und bis in die höchsten Ränge der katholischen Kirche. Die Tatsache, dass die Medici als die privaten Bankiers des Papstes fungierten, machte sie schnell zu einer angesehenen Bankiersfamilie. Hinter den Kulissen wurde die Politik jener Zeit aber von Intrigen und Skandalen erschüttert. Der Einfluss der Medici, ihr Geschick und ihr ausgeprägter Geschäftssinn ließen Florenz prosperieren und zur Kulturhochburg zweier Jahrhunderte in Europa aufsteigen. Stellvertretend steht hierfür unter anderem die Fertigstellung der Kuppel der Santa Maria del Fiore, die als technische Meisterleistung gilt. Die kulturelle Bedeutung von Florenz schwand im 17. Jahrhundert. Die Medici, die lange Zeit die Stadt geprägt hatten, starben aus. Mit ihrem Nachfolger, Franz I. Stephan, dem Ehemann von Maria Theresia, als Franz II. Großherzog der Toskana (1737–1765) gelangte Florenz in den Besitz der Habsburger. Von 1799 bis zum Frieden von Lunéville war Florenz zwischen französischen Revolutionstruppen und Anhängern des Hauses Habsburg-Lothringen umkämpft. Von 1801 bis 1807 war es Hauptstadt des Königreichs Etrurien, einem Vasallenstaat des napoleonischen Frankreich. Von Mai 1808 bis zum Ersten Pariser Frieden (30./31. Mai 1814) war das Gebiet, weiterhin mit der Hauptstadt Florenz, als Département Arno von Frankreich annektiert. 19. und 20. Jahrhundert Erst im 19. Jahrhundert begann ein neuer wirtschaftlicher Aufschwung. Florenz wurde das Ziel von Bildungsreisen, den Grands Tours. Nach dem Wiener Kongress 1815 kam das Großherzogtum Toskana mit der Stadt Florenz wieder an das Haus Habsburg-Lothringen zurück und wurde ein Teil des Kaisertums Österreich. Aber 1859 verloren die Österreicher den Sardinischen Krieg gegen Frankreich und das Königreich von Sardinien-Piemont. Damit wurde Florenz 1861 Teil des vereinigten Italiens (→ Risorgimento). Aufgrund der italienisch-französischen Septemberkonvention wurde die Stadt 1865 italienische Hauptstadt und beherbergte so – nach Turin, das bis dahin Hauptstadt gewesen war – das erste Parlament des neuen Staates. Während dieser Zeit wurden in der Stadt ganze Viertel neu gebaut, breite Boulevards nach Pariser Vorbild rund um die Altstadt angelegt und auch viele Bauten im Zentrum der Stadt für die repräsentativen Bedürfnisse des noch jungen Staates errichtet. Insgesamt waren die Pläne Georges-Eugène Haussmanns in Paris maßgebend für die allgemeine Neugestaltung der Stadt. Nach italienischer Annexion des Kirchenstaats verlor sie diese Würde aber bereits im Februar 1871 an Rom. Im Sommer 1871 zog die Regierung von Florenz nach Rom. Nachdem die Stadtbevölkerung sich im 19. Jahrhundert verdoppelt hatte, verdreifachte sie sich im 20. Jahrhundert (siehe auch Demografie Italiens) und profitierte stark von Tourismus und der Industrie; auch Fernhandel und Finanzwirtschaft blühten auf. Nach der nationalsozialistischen Machtergreifung in Deutschland (→ NS-Staat) siedelten sich viele deutsche Intellektuelle in und um Florenz an. Nicht alle von ihnen waren Emigranten im klassischen Sinne, sondern verließen Deutschland „nur“, weil ihnen das politische und kulturelle Klima in der Heimat nicht behagte. Das gilt etwa für den Kreis um Hans Purrmann, der ab 1935 die Villa Romana in Florenz leitete. Politisch und rassistisch Verfolgte fanden sich dagegen eher in den Kreisen um den Verleger Kurt Wolff, die Schriftsteller Alfred Neumann und Karl Wolfskehl oder am Landschulheim Florenz. Nach der Verabschiedung der italienischen Rassengesetze von 1938 waren auch in Florenz und Umgebung viele jüdische Emigranten zur abermaligen Flucht gezwungen oder hatten, wie etwa Karl Wolfskehl, diesen Schritt schon nach dem Hitlerbesuch in Italien im Frühjahr 1938 vollzogen. Noch prekärer wurde die Situation ab September 1943: Nach dem Seitenwechsel Italiens besetzte die Wehrmacht Italien (Fall Achse); es kam zu Razzien und anschließenden Deportationen in das Vernichtungslager Auschwitz. Mit dem Herannahen westalliierter Truppen im Sommer 1944 wurde der Schutz der Kunst- und Kulturstadt Florenz von deutscher und alliierter Seite geschickt für eigene Propagandazwecke ausgenutzt. Trotz der vermeintlichen deutschen Verlautbarungen, Florenz zur offenen Stadt zu erklären und des von Kesselring am 27. Juni 1944 erlassenen Befehls die Stadt zu räumen, befanden sich weiterhin zahlreiche militärische Dienststellen und Truppenteile in der Stadt. Auch die Intervention des Kardinals Elia Dalla Costa und des deutschen Konsuls in Florenz Gerhard Wolf bei deutschen Dienststellen, sich eindeutig für den Status der offenen Stadt zu bekennen, blieben ungehört. Von deutscher Seite wurde im Gegenteil weiterhin die Zerstörung ziviler Infrastrukturen wie Eisenbahnanlagen, Umspannwerke, Telefonleitungen vorangetrieben. Aufgrund der unklaren deutschen Haltung weigerten sich die Alliierten ihrerseits, Florenz als offene Stadt anzuerkennen. Am 27. Juli 1944 ließ das Komitee der nationalen Befreiung der Resistenza verkünden, den deutschen Verlautbarungen bezüglich der offenen Stadt nicht zu glauben. Am 30. Juli 1944 wurde auf Befehl des Stadtkommandant Fuchs ein breiter Streifen auf beiden Seiten des Arno geräumt, wovon etwa ein Drittel der Bevölkerung betroffen war. Am Tag darauf wurden alle Brücken über den Arno gesperrt und deren Sprengung mit Ausnahme des Ponte Vecchio vorbereitet. In der Nacht vom 3. auf den 4. August 1944 wurden die Brücken gesprengt. Anstelle des Ponte Vecchio sprengten die Deutschen auf beiden Uferseiten die zur Brücke führenden Straßenzüge. Wenige Stunden danach erreichten am 4. August 1944 britische Truppen der 8. Armee den südlichen Stadtrand von Florenz. In den folgenden Tagen entwickelte sich in den von den Deutschen gehaltenen Stadtteilen am rechten Arnoufer ein Häuserkampf mit dem italienischen Widerstand, während sich die Westalliierten am linken Flussufer abwartend verhielten. Am 12. August setzten die ersten alliierten Einheiten über den Arno. Die Kämpfe mit den langsam abziehenden deutschen Truppen dauerten noch bis Ende August an. Beim landesweiten Referendum am 2. und 3. Juni 1946 über die zukünftige Staatsform Italiens, stimmten die Florentiner gegen den Erhalt des Königreichs und für die Republik Italien. Von 1946 bis 1950 regierte eine Koalition aus Sozialisten und Kommunisten die Stadt. Es vollzog sich ein rascher wirtschaftlicher und sozialer Wandel und Aufschwung. Die Jahre bis 1964 waren durch den christlich-sozialen Politiker Giorgio La Pira geprägt, der Bürgermeister von 1950 bis 1956 und wieder von 1960 bis 1964 war. Die Überschwemmung in Florenz 1966 beschädigte viele Kunstschätze und forderte 34 Menschenleben, wobei die genauen Angaben von den Behörden jahrzehntelang unter Verschluss gehalten wurden. Kultur Bildende Kunst Florenz hat ein großes und bedeutendes künstlerisches Erbe. Cimabue und Giotto, die „Väter“ der italienischen Malerei, lebten in Florenz sowie Arnolfo und Andrea Pisano. Weitere bedeutende Pioniere in Architektur und Skulptur waren Brunelleschi, Donatello und Masaccio, allesamt verbrachten sie große Zeit ihres künstlerischen Lebens in Florenz. Auch der Universalgelehrte Leonardo da Vinci gilt als einer der herausragendsten Denker und Erfinder seiner Zeit. Er verbrachte einen großen Teil seines Lebens in der Stadt. Die Kunst vieler Maler und Bildhauer wird in den zahlreichen Museen in Florenz ausgestellt, die vor allem in den Sommermonaten ausverkauft sind oder sich Schlangen mit stundenlangen Wartezeiten bilden. Die bekanntesten Museen sind die Uffizien und der Palazzo Pitti, mit einer herausragenden Sammlung. Musik Seit 1933 findet in Florenz das Opernfestival Maggio Musicale Fiorentino statt. Mit der Opera di Firenze gibt es ein Opernhaus, ferner ist die Stadt Sitz des Orchestra Regionale Toscana. Sprache und Dialekt In Florenz wird Florentinisch (fiorentino) gesprochen. Florentinisch ist ein toskanischer Dialekt, der in vielen Teilen identisch mit dem Standarditalienischen ist, in der Aussprache aber Besonderheiten aufweist. Recht Im Jahr 1786 endeten mit Abschaffung von Todesstrafe und Folter durch Peter Leopold (1765 bis 1790 Großherzog der Toskana) diese Methoden in Florenz. Das Großherzogtum Toskana war damit der erste Staat der Welt, der die Todesstrafe abschaffte. Religion Die Bevölkerung ist zu etwa 99 % römisch-katholisch, bedingt durch den wichtigen Sitz des Erzbischofs und der Bischofskirche Santa Maria del Fiore. Das Bistum Florenz bestand bereits zur Zeit des Römischen Reiches und wurde 1419 Erzbistum mit Sitz eines Metropoliten. Neben dem römisch-katholischen Erzbistum existieren mehrere Kirchen anderer christlicher Glaubensgemeinschaften sowie eine Synagoge und Moschee. Sehenswürdigkeiten Die historische Altstadt von Florenz spiegelt die überragenden Leistungen der Stadt auf dem Gebiet der Architektur wider. Hierbei sind insbesondere zahllose Bauten von der Zeit der Protorenaissance bis zur Herrschaft der Medici im 15. und 16. Jahrhundert entstanden, die die enorme wirtschaftliche und kulturelle Bedeutung der Stadt zu dieser Zeit belegen. Die Entstehung vieler Bauten der Stadt wurde dabei durch die Bankiers und Kaufleute der Stadt gefördert. Die florentinische Architektur ist insbesondere durch die zu Beginn des 15. Jahrhunderts durch Brunelleschi, Donatello und Masaccio formulierten Prinzipien der Renaissancearchitektur geprägt, die weit über die Stadt hinaus Bedeutung erlangt haben. Die historische Altstadt von Florenz wurde 1982 in das UNESCO-Welterbe aufgenommen, wobei es hierzu im Antrag heißt, dass „jede Rechtfertigung hierfür lächerlich und unverfroren“ sei, da sich hier die „weltgrößte Anhäufung universell bekannter Kunstwerke“ befinde. Plätze, Straßen und Brücken Piazza della Signoria Zentrum der historischen Altstadt ist die Piazza della Signoria. Hier sandten die Florentiner Dante 1301 ins Exil, hier verbrannten sie 1497 auf Aufforderung des Girolamo Savonarola im „Fegefeuer der Eitelkeiten“ Schmuck, Kosmetika, Spiegel, Musikinstrumente und Ähnliches und im darauffolgenden Jahr nach päpstlichem Urteil Savonarola selbst. Auf dem Platz befand sich ursprünglich Michelangelos Statue David an der Frontseite des Palazzo Vecchio. Die Statue wurde jedoch mittlerweile durch eine Kopie ersetzt, das Original befindet sich in der Accademia di Belle Arti. Auf dem Platz befindet sich zudem Bartolomeo Ammanatis marmorner Neptunbrunnen. Er bildet den Endpunkt eines noch funktionsfähigen Aquädukts aus der Antike. Außer dem Palazzo Vecchio liegt die Loggia dei Lanzi an diesem wichtigsten Platz der Stadt. Piazza della Repubblica An der Stelle des römischen Zentrums liegt der Platz mit dem Triumphbogen. Er wurde geplant, als Florenz ab 1865 italienische Hauptstadt war und vor allem um 1890 historistisch gestaltet. Ponte Vecchio Die einzige Brücke, die den Zweiten Weltkrieg unbeschadet überstand, ist der Ponte Vecchio. Die das erste Mal von den Etruskern gebaute Brücke verbindet die Uffizien mit dem Palast der Medici. Sie zeichnet sich heute vor allem durch entlang ihrer beiden Brüstungsverläufe erbaute Schmuckläden aus, deren Baulichkeiten teils über die Brücke hinausragen. Kirchen Zentrum der Florentiner Kirchen ist die romanisch-gotische Kathedrale Santa Maria del Fiore mit ihrer eindrucksvollen Kuppel von Filippo Brunelleschi. Die vom 12. bis 14. Jahrhundert gebaute Kirche steht Touristen offen. Zum Domkomplex gehören weiter der Campanile des Giotto südlich an der Kathedrale und das westlich vor der Kirche gelegene Baptisterium San Giovanni mit Paradiespforte. Wichtige Skulpturen aus der Kirche wie die Pietà Palestrina, die früher Michelangelo zugeschrieben wurde, sind im Dommuseum zu besichtigen. Die Basilica di San Lorenzo stammt in ihrer ersten Version von 390 (von Ambrosius geweiht) und wurde ab 1421 von Brunelleschi in den Formen der Frührenaissance umgebaut. Auf Grund zwischenzeitlichen Geldmangels ruhten die Bauarbeiten mehrfach. Die Ausführung der Pläne Brunelleschis konnte so erst nach seinem Tode vollendet werden, dennoch blieb die Fassade trotz eines spektakulären Entwurfs Michelangelos von 1518 bis heute unvollendet. An ihren Chor schließt sich zwischen den beiden Sakristeien des Brunelleschi und des Michelangelo die Medici-Kapelle an, die wie diese Grablegen der Familie Medici beherbergt. An einem Kreuzgang südlich der Kirche liegt die Biblioteca Medicea Laurenziana, gleichfalls nach Plänen des Michelangelo geschaffen. Romanisch: Baptisterium San Giovanni (11./12. Jahrhundert), San Miniato al Monte (11. Jahrhundert), Santi Apostoli (11. Jahrhundert) Romanisch-gotisch: Badia Fiorentina (13./14. Jahrhundert), Orsanmichele (1337) Gotisch: Santa Trinita, Santa Maria Novella, San Salvatore al Monte, Santa Croce (mit Grabmälern von Michelangelo, Galileo Galilei, Machiavelli, Gioachino Rossini, Ugo Foscolo) Renaissance: Santo Spirito, Santissima Annunziata Paläste Der Palazzo Pitti, gegenüber der Piazza della Signoria jenseits des Arno gelegen, beherbergt heute die ehemalige Privatsammlung der Medici. Angeschlossen an den Palast ist der Boboli-Garten mit eindrucksvoller Landschaftsgestaltung und vielen Skulpturen, dahinter das Belvedere, das einen Blick über die Stadt erlaubt. Unter den mittelalterlichen Palästen erwähnenswert sind ferner: Palazzo del Bargello (Palazzo del Podestà), heute ein Museum der Bildhauerkunst Palazzo Davanzati Palazzo Vecchio Sehenswerte Renaissancepaläste sind: Palazzo Gherardi Palazzo Medici Riccardi Palazzo Rucellai Palazzo Bartolini Salimbeni Palazzo Strozzi Palazzo Pandolfini Museen (Auswahl) Uffizien Die Uffizien neben der Piazza della Signoria, die unter der Herrschaft der Medici als Verwaltungsgebäude für das Großherzogtum Toskana entstanden, beherbergen eines der weltweit bedeutendsten Museen für klassische Kunst, insbesondere der italienischen Malerei. Accademia Der Accademia di Belle Arti unterstellt und im gleichen Häuserblock an der Piazza delle Belle Arti gelegen sind das Kunstmuseum Galleria dell’Accademia (Via Ricasoli 58/60) und das Museum der renommierten florentinischen Restaurierungswerkstätten Opificio delle Pietre Dure (Via degli Alfani 78). Museo Nazionale del Bargello Der Palazzo del Bargello (Palazzo del Podestà) beherbergt ein Museum mit Werken der Bildhauerkunst, darunter Arbeiten von Donatello, Giambologna und Michelangelo sowie z. B. auch Werke der Malerei wie die des namentlich nicht bekannten, nach seinem Werk im Museum benannten Meister des Bargello-Tondo. Palazzo Pitti Der Palazzo Pitti, jenseits des Arno gelegen, beherbergt die ehemalige Privatsammlung der Medici, mit einem umfassenden Fundus aus der Zeit der Renaissance, darunter unter anderem Gemälde von Raffael. Museo dell’Opera di Duomo (Dommuseum) In dem Haus der ehemaligen Dombauhütte sind heute eine bedeutende Skulpturensammlung mit Werken von Michelangelo, Donatello u. a. und zahlreiche Ausstattungsstücke des Doms, des Campanile und des Baptisteriums zu sehen. Nach annähernd dreijähriger Bauzeit und Kosten von fast fünfzig Millionen Euro wurde im November 2015 das neue Museum, unter der Leitung von Timothy Verdon, eröffnet. Durch Nutzung des angrenzenden ehemaligen Teatro degli Intrepidi (Theater der Furchtlosen) konnte die Ausstellungsfläche auf 6000 Quadratmeter erweitert werden. Andere Museen Das Museo Archeologico Nazionale (Archäologisches Museum) und das Museo di Storia Naturale (Naturhistorisches Museum) sind Teil der Universität. Gärten Boboli-Garten (Palazzo Pitti) Giardino Bardini, unweit des Boboli-Gartens und des Forte Belvedere Giardino delle Rose, unterhalb der Piazzale Michelangelo in westlicher Richtung in der Viale Giuseppe Poggi Giardino dell’Iris, ebenfalls in der Nähe des Piazzale Michelangelo, jedoch nur im Mai öffentlich zugänglich. Parco delle Cascine, besser bekannt unter dem Namen Le Cascine, ist der größte öffentliche Park von Florenz (160 Hektar). Er hat die Form eines flachen Streifens von fast 3,5 Kilometern Länge und nur 640 Metern Breite, der sich am rechten Ufer des Arno vom Stadtzentrum westlich bis zur Einmündung des Flusses Mugnone erstreckt. Weitere Sehenswürdigkeiten Farmacia di Santa Maria Novella, die älteste Apotheke in Europa Biblioteca Medicea Laurenziana nach Plänen von Michelangelo neben der Basilika San Lorenzo Universität Große Synagoge von Florenz Santa Maria Maddalena dei Pazzi San Marco Villa Medici La Petraia Villa La Pietra Villa Gamberaia Der Vasarikorridor verbindet den Palazzo Vecchio mit dem Palazzo Pitti Steinernes Wappen auf der Piazza della Signoria Wirtschaft Der Hauptwirtschaftszweig von Florenz ist der Fremdenverkehr. In den Sommermonaten liegt die Zahl der Touristen deutlich über der der Florentiner. Die großen Museen der Stadt sind regelmäßig ausverkauft. Florenz beherbergt das Hauptquartier der Haute-couture-Firma Gucci, das damit eines der wenigen italienischen Modehäuser ist, das nicht in Mailand ansässig ist. Bedeutende Zweigstellen in Florenz oder der näheren Umgebung betreiben darüber hinaus auch Prada, Pucci, Ferragamo und Roberto Cavalli. Im Jahr 2008 stand die Stadt bezüglich des Durchschnittseinkommens auf Platz 17 von 119 italienischen Städten. Als Handelsstadt profitiert Florenz als größte Stadt der Toskana und kann so einen umfangreichen Weinhandel beherbergen. Kulinarisch ist Florenz auch für die Produktion von Cantuccini bekannt. Verkehr Luftverkehr Im Nordwesten von Florenz liegt der kleine internationale Flughafen Amerigo Vespucci, der unter anderem von Alitalia und Lufthansa angeflogen wird. Der Flughafen wird durch Buslinien und eine im Jahr 2019 eröffnete Straßenbahnlinie bedient. Die Linie 2 der Straßenbahn Florenz verbindet seit Februar 2019 den Flughafen mit dem Hauptbahnhof und der historischen Altstadt. Die Fahrtzeit zum Hauptbahnhof beträgt ca. 20 Minuten. Straße Florenz liegt an den Autobahnen E45–A1 (Mailand–Rom) und A11 (Pisa–Florenz). Hinzu kommen verschiedene Schnellstraßen. Außerdem ist Florenz seit 1928 Knotenpunkt für Staatsstraßen: die von Rom kommende und endende SS2, die nach Bologna führende SS65, die nach Piteglio-La Lima führende SS66 und die die Stadt durchquerende SS67 Pisa–Porto Corsini. In der historischen Altstadt herrscht für auswärtige PKW und Mietwagen – außer für Anwohner und an Feiertagen – ein striktes Einfahrverbot (Zone mit beschränktem Verkehr, zona a traffico limitato, kurz ZTL). An den Einfahrten in die Verkehrszone überprüfen Überwachungskameras – ähnlich wie in London – in Echtzeit anhand des Kennzeichens, ob eine Einfahrtsgenehmigung vorliegt oder nicht. Einfahrten ohne Genehmigung werden sofort mit hohen Geldstrafen geahndet. Eisenbahn Durch Florenz verläuft die wichtigste Nord-Süd-Eisenbahnverbindung Italiens von Norditalien nach Rom und Neapel (Schnellfahrstrecke Bologna–Florenz und Direttissima Florenz–Rom) und damit auch die TEN-Achse Nr. 1 Berlin–Palermo. Nebst dem Hauptbahnhof Firenze S.M.N. gibt es noch zwei weitere Fernbahnhöfe auf Stadtgebiet, Campo di Marte und Rifredi. Es ist zudem geplant, mittelfristig einen neuen Hochgeschwindigkeitsbahnhof (Firenze Belfiore) zu bauen. Nahverkehr Die erste Linie der Straßenbahn Florenz verbindet den Hauptbahnhof Firenze S.M.N. mit der Nachbarstadt Scandicci. Sie wurde am 14. Februar 2010 in Betrieb genommen und hat auf einer Länge von 7,8 Kilometern 14 Stationen. Die Stadt rechnete vor der Inbetriebnahme mit etwa 9,8 Millionen Fahrgästen im Jahr. Sie wird im Rahmen einer nach einer Ausschreibung zugeteilten Konzession mit einer Laufzeit von 30 Jahren von RATP Dev, einer Filiale des Betreibers der Pariser Metro RATP betrieben und gewartet. Sport Fußball Der Fußballverein AC Florenz, italienisch ACF Fiorentina, auch einfach Fiorentina genannt, ist der größte Fußballverein in Florenz. Er wurde am 29. August 1926 von Luigi Rudolfi gegründet. Der Verein gewann zwei italienische Meisterschaften, zuletzt 1969, im Jahre 1961 den Europapokal der Pokalsieger und sechsmal den italienischen Pokal. Die Fiorentina stand als erster italienischer Verein 1957 im Finale des Europapokals der Landesmeister. Die Heimspiele werden im 1931 erbauten Stadio Comunale Artemio Franchi ausgetragen, in dem auch mehrere Spiele der Weltmeisterschaften 1934 und 1990 stattfanden. Bei der Europameisterschaft 1968 wurde ein Halbfinalspiel dort ausgetragen. Andere Fußballvereine in Florenz sind die Associazione Sportiva Dilettantistica Ponte Rondinella Marzocco, die in den 1980er Jahren in der Serie C gespielt hat und Polisportiva Firenze Ovest A.S.D., die an regionalen Amateurmeisterschaften teilgenommen haben. In Florenz befindet sich der Sitz der italienischen Lega Italiana Calcio Professionistico, besser bekannt als Lega Pro, welche die Meisterschaft der Serie C, den Coppa Italia Serie C, den Supercoppa di Serie C, den Campionato nazionale Dante Berretti und ab 2018 den Supercoppa Dante Berretti der dritten Profiliga des italienischen Fußballs organisiert. Bis 2014 organisierte der Verband auch die Lega Pro Seconda Divisione und den Supercoppa di Lega di Seconda Divisione. Im Bezirk Coverciano befindet sich das nationale Trainings- und Leistungszentrum der italienischen Fußballnationalmannschaft. Dort trainiert die italienische Nationalmannschaft in Vorbereitung auf die offiziellen Spiele der Weltmeisterschaften und Europameisterschaften. Calcio Storico Eine besondere Tradition ist das Calcio Storico (historischer Fußball), auch Calcio Fiorentino genannt, ist eine frühe Mischform aus Fußball, Kampfsport und Rugby, die im Italien des 16. Jahrhunderts ihren Ursprung hatte und heute nur in Florenz gespielt wird. Einst weit verbreitet, soll der Sport auf der Piazza Santa Croce in Florenz begonnen haben. Dort wurde es als giuoco del calcio fiorentino, das florentinische Kickspiel, bekannt. Das Spiel könnte als eine Wiederbelebung des griechisch-römischen Sports Harpaston begonnen haben. Persönlichkeiten Bekannte Persönlichkeiten der Stadt sind in der Liste von Persönlichkeiten der Stadt Florenz aufgeführt. Städtepartnerschaften Florenz unterhält mit folgenden Städten Partnerschaften: Musik Florentinische Sinfonie von Joseph Rheinberger, op. 87, 1875 Souvenir de Florence, Streichsextett von Peter Tschaikowski, entstand 1890 nach einem mehrmonatigen Aufenthalt des Komponisten in Florenz. Eine florentinische Tragödie, Oper von Alexander von Zemlinsky, 1915/16, Uraufführung 1917 Il cappello di paglia di Firenze (Der florentiner Strohhut), Oper von Nino Rota, 1946, Uraufführung 1955 Florentinische Nächte, Schlager von Rudi Schuricke, 1950 Sehnsucht nach Florenz, Austropop-Lied von Stefanie Werger, 1987 Filmproduktionen Die folgende Liste zeigt eine Auswahl von komplett oder teilweise in Florenz gedrehten Filmen und Serien: Paisà, 1946, 134 Minuten, Regie: Roberto Rossellini Vitelloni (Die Müßiggänger) (Originaltitel: I vitelloni), 1953, 100 Minuten, Regie: Federico Fellini Der Unverstandene (Originaltitel: Incompreso), 1966, 105 Minuten, Regie: Luigi Comencini Ein irres Klassentreffen (Originaltitel: Amici miei), 1975, 140 Minuten, Regie: Mario Monicelli Schwarzer Engel (Originaltitel: Obsession), 1976, 95 Minuten, Regie: Brian De Palma Der Feuersturm (Originaltitel: Winds of War), Fernsehserie, 1983 Zimmer mit Aussicht (Originaltitel: A Room with a View), 1985, 116 Minuten, Regie: James Ivory Allen geht’s gut (Originaltitel: Stanno tutti bene), 1990, 125 Minuten, Regie: Giuseppe Tornatore Tee mit Mussolini (Originaltitel: Tea with Mussolini), 1999, 111 Minuten, Regie: Franco Zeffirelli Hannibal, 2001, 131 Minuten, Regie: Ridley Scott Die besten Jahre (Originaltitel: La meglio gioventù), 2003, 366 Minuten, Regie: Marco Tullio Giordana Die Medici – Herrscher von Florenz (Originaltitel: I Medici), Fernsehserie, 2016 Inferno, 2016, 122 Minuten, Regie: Ron Howard Literatur Irina Chernetsky: The mythological origins of Renaissance Florence: the city as New Athens, Rome, and Jerusalem. Cambridge University Press, Cambridge 2022. – Rezension von Susanna De Beer, Bryn Mawr Classical Review 2023.10.41 Weblinks Internetpräsenz der Stadt Florenz (italienisch, englisch) Florence: Virtual travel in the city of Renaissance (italienisch, englisch, spanisch) Einzelnachweise Ort in der Toskana Hauptstadt in Italien Provinzhauptstadt in Italien Ehemalige Hauptstadt (Toskana) Hochschul- oder Universitätsstadt in Italien Ort am Franziskusweg Träger der Tapferkeitsmedaille in Gold (Italien)


text: Francis William Aston (* 1. September 1877 in Harborne / seit 1891 zu Birmingham; † 20. November 1945 in Cambridge) war ein englischer Chemiker und Physiker sowie Nobelpreisträger (Chemie 1922). Leben und Wirken Francis William Aston studierte nach Abschluss seiner Schulzeit zunächst Chemie. Die damaligen Entwicklungen in der Physik bewogen ihn, über ein Stipendium 1903 ein weiteres Studium der Physik an der Universität von Birmingham nahe seinem Geburtsort Harborne aufzunehmen, nach dessen Abschluss er sich auf die Physik der Gasentladungsröhre konzentrierte. Bei diesen Arbeiten entdeckte er während einer Glimmentladung direkt an der Kathode vor dem ersten Kathodenlichtsaum eine hauchfeine, dunkle Schicht, die nach ihm der „Astonsche Dunkelraum“ („Aston Dark Space“) benannt wurde. 1909 folgte er einer Einladung von Sir Joseph John Thomson an das Cavendish-Laboratorium in Cambridge und befasste sich dort mit der Identifizierung der Neonisotope. Dazu hielt er Vorlesungen am Trinity College. Seine Arbeiten wurden durch den Ersten Weltkrieg unterbrochen, nach dessen Ende er 1919 wieder an seine Arbeiten zurückkehrte. Er entwickelte während seiner Forschung 1901 eine Methode der elektromagnetischen Fokussierung von Partikelstrahlen (elektromagnetischer Massenspektrograph), die zur Entwicklung des ersten Massenspektrometers (1918) führte. Mit dessen Hilfe identifizierte er mehr als 200 der 287 natürlich vorkommenden Isotope. Bereits 1919 postulierte er die extrem energiereiche Fusion von Wasserstoff zu Helium. 1922 erhielt er den Nobelpreis in Chemie „für seine Entdeckung von Isotopen, darunter weitgehend die nicht-radioaktiver Elemente unter Zuhilfenahme seines Massenspektrographen und für seine Formulierung der ‚Regel der Ganzzahligkeit‘.“ Diese Regel (Whole Number Rule – Ganzzahlregel), nach ihm auch die „Astonsche Regel“ oder „(Astonsche) Isotopenregel“ benannt, besagt: Chemische Elemente mit ungerader Ordnungszahl haben nie mehr als zwei stabile Isotope, solche mit gerader Ordnungszahl besitzen hingegen oft bedeutend mehr. Francis William Aston machte dies am Sauerstoffisotop 16O fest, indem er formulierte: „Bei definierter Masse des Sauerstoffisotops [16O] haben alle anderen Isotope [des Sauerstoffs] Massen, die ziemlich nahe ganzer Zahlen liegen.“ Bereits vor seiner Nobelpreisverleihung wurde er 1921 in die Royal Society aufgenommen. Seit Dezember 1924 war er auswärtiges korrespondierendes Mitglied der Russischen Akademie der Wissenschaften. Herausragend unter seinen Veröffentlichungen sind die Werke Isotopen (Isotopes, 1922) und Massenspektren und Isotopen (Mass-Spectra and Isotopes, 1933). 1932 erhielt er den Liversidge Award der Royal Society of Chemistry, 1938 wurde ihm die Royal Medal der Royal Society verliehen. Zu seinen Ehren wurde der Mondkrater „Aston“ sowie die Version 1.0 der Software OpenChrom benannt. Weblinks Einzelnachweise Nobelpreisträger für Chemie Chemiker (20. Jahrhundert) Physiker (20. Jahrhundert) Massenspektrometriker Mitglied der Royal Society Person als Namensgeber für einen Mondkrater Korrespondierendes Mitglied der Russischen Akademie der Wissenschaften Ehrendoktor der University of Calcutta Absolvent der University of Cambridge Brite Engländer Geboren 1877 Gestorben 1945 Mann


text: Die Fourier-Analysis (Aussprache: ), die auch als Fourier-Analyse oder klassische harmonische Analyse bekannt ist, ist die Theorie der Fourierreihen und Fourier-Integrale. Sie wird vor allem verwendet, um zeitliche Signale in ihre Frequenzanteile zu zerlegen. Aus der Summe dieser Frequenzanteile lässt sich das Signal wieder rekonstruieren. Ihre Ursprünge reichen in das 18. Jahrhundert zurück. Benannt ist sie nach dem französischen Mathematiker Jean Baptiste Joseph Fourier, der im Jahr 1822 in seiner Théorie analytique de la chaleur Fourier-Reihen untersuchte. Die Fourier-Analysis ist in vielen Wissenschafts- und Technikzweigen von außerordentlicher praktischer Bedeutung. Die Anwendungen reichen von der Physik (Akustik, Optik, Gezeiten, Astrophysik) über viele Teilgebiete der Mathematik (Zahlentheorie, Statistik, Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitstheorie), die Signalverarbeitung und Kryptographie bis zu Meereskunde und Wirtschaftswissenschaften. Je nach Anwendungszweig erfährt die Zerlegung vielerlei Interpretationen. In der Akustik ist sie beispielsweise die Frequenz-Transformation des Schalls in Oberschwingungen. Aus Sicht der abstrakten harmonischen Analyse sind sowohl die Fourier-Reihen und die Fourier-Integrale als auch die Laplace-Transformation, die Mellin-Transformation oder auch die Hadamard-Transformation Spezialfälle einer allgemeineren (Fourier-)Transformation. Die Fourier-Analysis ist jedoch nicht auf zeitliche Signale begrenzt. Sie kann sinngemäß auch bei örtlichen oder anderen Phänomenen verwendet werden. Z. B.: In der Bildverarbeitung wird eine 2-dimensionale Fourier-Analyse verwendet (siehe den entsprechenden Absatz in „Diskrete Fourier-Transformation“). Und die Fourier-Analyse kann auch auf Fourier-Spektren selbst angewendet werden, um Periodizitäten in Spektren oder andere Regelmäßigkeiten zu erkennen (siehe: Cepstrum, Hilbert-Transformation). Varianten der Fourier-Transformation Die verschiedenen Begriffe in diesem Zusammenhang werden in der Literatur nicht einheitlich gebraucht und es existieren mehrere Namen für den gleichen Vorgang. So nutzt man Fourier-Transformation sehr oft als Synonym der kontinuierlichen Fourier-Transformation, und mit Fourier-Analyse wird oft die Zerlegung in eine Fourier-Reihe gemeint, manchmal aber auch die kontinuierliche Transformation. Je nach den Eigenschaften der zu untersuchenden Funktion gibt es vier Varianten, wie in nebenstehender Abbildung dargestellt: Eine in einem endlichen Intervall periodische fortgesetzte Funktion kann in eine Fourierreihe zerlegt werden. Das Spektrum ist somit diskret. Ein Vorgang, der aperiodisch bis ins Unendliche reicht, erfordert die kontinuierliche Fourier-Transformation (auch Fourier-Integral). Dabei wird ein kontinuierliches Zeitsignal in ein kontinuierliches Spektrum transformiert. Sind von einem Vorgang nur Werte an diskreten, äquidistanten Zeitpunkten in einem endlichen Intervall bekannt – durch diese Intervallbildung entsteht eine periodische Fortsetzung – wird die diskrete Fourier-Transformation (DFT) angewendet und ein diskretes Frequenzspektrum mit Spiegelspektren entsteht. Die DFT und deren Optimierungen in Form der schnellen Fourier-Transformation (FFT) spielen in der digitalen Signalverarbeitung eine bedeutende Rolle. Ein Beispiel für einen solchen Vorgang ist ein Musikstück, von welchem zur Speicherung auf einer herkömmlichen Audio-CD pro Sekunde 44.100 Amplitudenwerte des Audiosignals am Ausgang eines Mikrophons abgetastet werden. Mit der DFT verwandt ist die Fouriertransformation für zeitdiskrete Signale (, DTFT), welche ebenfalls von zeitlich diskreten Werten ausgeht, aber im Gegensatz zur DFT ein kontinuierliches Spektrum bildet. Sie ist damit für die Spektralanalyse auf Digitalcomputern nicht unmittelbar anwendbar, findet aber bei der theoretischen Analyse von Signalen im Spektrum Anwendung, da sich dabei das Spektrum statt in einer Folge unter Umständen als ein geschlossener mathematischer Ausdruck angeben lässt. Man erhält bei allen Transformationen ein Frequenzspektrum, das je nach Variante diskret (unendlich scharfe Linien) oder kontinuierlich ist: Fourierreihen Jede stetig differenzierbare Funktion, die auf dem Intervall definiert ist, lässt sich in eine Fourierreihe entwickeln, das heißt, beide Seiten der Transformation existieren. Mit der Grundfrequenz und den Kreisfrequenzen gilt: . Es können allgemeinere Typen von Funktionen in eine Fourier-Reihe entwickelt werden, so abschnittsweise stetige, beschränkte Funktionen oder allgemeiner messbare quadratintegrable Funktionen. Sprungstellenverfahren für Polygonzüge Bei einem periodischen Polygonzug (Punkte durch gerade Linien verbunden) liefern die Knick- und eventuell vorhandene Sprungstellen die Beiträge zu den Fourierkoeffizienten für . Mit diesen und dem Mittelwert einer Periode lässt sich die Ausgangsfunktion als die harmonische Summe synthetisieren. Die Abszissen der Stützwerte (bei Sprüngen: Stützwertpaare und ) müssen in derselben Periode liegen, aufsteigend geordnet sein und erfüllen. Die Wertsprünge an den Sprungstellen werden jeweils als Differenz ihres rechts- und linksseitigen Grenzwerts bzw. berechnet, die Ableitungssprünge an den Knickstellen analog als Differenz der rechts- und linksseitigen ersten Ableitung. Die Koeffizienten betragen das -fache der -Werte; bei dieser Eichung der Fourierkoeffizienten sind die Amplituden der Harmonischen gleich den Beträgen von . Kontinuierliche Fourier-Transformation Die kontinuierliche Fourier-Transformation ist definiert durch . Die Rücktransformation lautet dazu: . In der Literatur findet man auch andere Definitionen, die als Vorfaktor statt nur oder 1 haben. Dies hängt von den jeweils verwendeten Normierungskonventionen ab. Die hier verwendete Variante hat den ästhetischen Vorteil, dass der Vorfaktor bei Hin- und Rücktransformation gleich ist. Außerdem vereinfacht sie die Darstellung des Satzes von Parseval: . Diese Bedingung ist zum Beispiel in der Physik wichtig für die Energieerhaltung durch die Fourier-Transformation. Mathematisch gesehen bedeutet die Gleichung, dass die Fourier-Transformation eine unitäre Abbildung ist, was unter anderem in der Quantenmechanik fundamental ist. Manchmal, zum Beispiel in der Signaltheorie, bevorzugt man die – ebenfalls energieerhaltende – Version der Fourier-Transformation, bei der die – auch Spektralfunktion genannte – Fourier-Transformierte von der Frequenz statt der Winkelgeschwindigkeit abhängt: . Die Beziehung zwischen beiden Arten der Fourier-Transformation wird durch vermittelt. Die Rücktransformation lautet dann . Da hier über die Variable statt integriert wird, entfällt in dieser Darstellungsform der Vorfaktor. Diskrete Fourier-Transformation Es gibt keine Einschränkungen in der Anwendung der Transformation und der Entwicklungsformel. Sind positive Zahlen mit , und sind beliebige ganzzahlige Verschiebungen, so kann eine allgemeinere Variante der Transformationsformeln angegeben werden. Mit und gilt und Zur Berechnung der diskreten Fourier-Transformation wird oft die schnelle Fourier-Transformation (FFT) verwendet, ein Algorithmus, bei dem die Anzahl der Rechenschritte zur Berechnung der Fourier-Koeffizienten wesentlich kleiner ist als bei einer direkten Implementation der Integration. Fourier-Synthese Alle Transformationen, die in der Fourier-Analysis betrachtet werden, haben die Eigenschaft, dass eine entsprechende inverse Transformation existiert. In den Ingenieurwissenschaften, der Physik und der numerischen Mathematik nennt man das Zerlegen einer Funktion in ihr Spektrum ebenfalls Fourier-Analyse. Der Begriff beschreibt also nicht nur dieses Teilgebiet der Funktionalanalysis, sondern auch den Prozess der Zerlegung einer Funktion. Das Darstellen der Ausgangsfunktion mit Hilfe des Spektrums aus der Fourier-Analyse wird als Fourier-Synthese bezeichnet. Da diese Begriffsbildung besonders in den angewandten Wissenschaften üblich ist, tritt diese auch eher im Zusammenhang mit der diskreten Fourier-Transformation und der schnellen Fourier-Transformation auf. Anwendungen Die Fouriertransformation besitzt vor allem in den Ingenieurwissenschaften, wie der Signalverarbeitung und in der Physik, bedeutende Anwendungsbereiche. (siehe auch Fourier-Transformation#Anwendungsfälle) Einer der ersten Anwendungen der Fourier-Analysis waren Modelle zur Vorhersage der Gezeiten im 19. Jahrhundert. Die Gezeiten hängen von mehreren oszillierenden Phänomenen ab, wie der Rotation der Erde gegenüber Sonne und Mond, und eignen sich daher von Natur aus für eine Fourier-Analysis. Basierend auf diesen Modellen wurden Gezeitenrechenmaschinen entwickelt. Je nach Anwendung werden auch spezielle Begriffe und Nomenklaturen verwendet: Zeitbereich () Erfolgt die Analyse oder Darstellung in Abhängigkeit von der Zeit, so spricht man vom Zeitbereich. Beschreibt die veränderliche Variable eine Position im Raum (z. B. bei der digitalen Bildverarbeitung), so wird der Bereich auch als Ortsbereich oder Ortsraum bezeichnet. Zeitsignal Unter einem Zeitsignal versteht man die Beschreibung des Signalverlaufs im Zeitbereich, d. h. als Funktion der Zeit. Man verwendet den Ausdruck Zeitsignal auch im Zusammenhang mit der Fourier-Transformation, wenn man sich ausdrücklich auf die Rücktransformierte bezieht. D. h. wenn klargestellt werden soll, dass sich die nun folgende Beschreibung nicht auf das Spektrum des Signals bezieht. Frequenzbereich Als Frequenzbereich oder -raum () wird der Bildbereich nach erfolgter Transformation (z. B. durch Fourier- oder Laplace-Transformation) bezeichnet. Diese Bezeichnungen gehen auf Arbeiten aus Ende der 1940er Jahre am MIT Research Laboratory of Electronics zurück. In technisch motivierten Anwendungen wird der Bezug zwischen dem Zeitbereich mit der Originalfunktion und dem Frequenzbereich mit der Bildfunktion auch mit folgender Symbolik dargestellt: In der Physik stellt die Fouriertransformation in der Wellenmechanik die Verknüpfung zwischen Zeitbereich und Frequenzraum dar. Werden statt Zeitsignale Signale als Funktion des Ortes betrachtet, stellt die Fouriertransformation eine Verknüpfung zwischen dem Ortsraum und den im Frequenzraum vorhandenen Ortsfrequenzen bzw. Wellenzahlen dar. In mehreren Dimensionen werden die Wellenzahlen in Form von Wellenvektoren beschrieben. In der Kristallographie heißt der zum Ortsraum reziproke Frequenzraum reziproker Raum. In der Quantenmechanik entsprechen, bis auf einen Proportionalitätsfaktor, die Wellenzahlen dem Impuls des Teilchens, woraus sich ein Zusammenhang mit der heisenbergschen Unschärferelation ergibt. Da Orts- und Impulsraum durch die Fouriertransformation verknüpft sind, führt die Verknüpfung der Ausdehnungen zu einer Unschärfe. Analog ergibt sich auch die Energie-Zeit-Unschärfe aus der Fouriertransformation, wobei hier die Frequenz bis auf den Proportionalitätsfaktor der Energie entspricht und somit eine Verknüpfung von Energie und Zeit durch die Fouriertransformation gegeben ist, die zu einer Unschärfe führt. Geschichte Schon ab 1740 diskutierten Mathematiker wie Daniel Bernoulli und d’Alembert die Möglichkeit, periodische Funktionen als trigonometrische Reihen darzustellen. Die heute bekannte Reihenentwicklung für periodische Funktionen geht auf den französischen Mathematiker Fourier zurück. Zu Beginn des 19. Jahrhunderts veröffentlichte er sein Werk Théorie analytique de la chaleur, in dem er davon ausgeht, dass jede Funktion in eine trigonometrische Reihe entwickelt werden könne. Er benutzte diese Reihen insbesondere zum Lösen der Wärmeleitungsgleichung. In diesem Werk führte er auch die kontinuierliche Fourier-Transformation in Form einer Kosinus-Transformation ein. Mit dieser versuchte er, die Wärmeleitungsgleichung auf unbeschränkten Mengen, insbesondere auf der reellen Achse, zu lösen. Peter Gustav Lejeune Dirichlet untersuchte diese trigonometrischen Reihen, die heute Fourier-Reihen heißen, weiter und konnte erste Konvergenzeigenschaften beweisen. So konnte er 1829 zeigen, dass die Fourier-Reihe punktweise konvergiert, wenn die Ausgangsfunktion Lipschitz-stetig ist. Zur exakten Berechnung der Fourier-Koeffizienten führte Bernhard Riemann dann seinen Integralbegriff ein und entdeckte 1853 das Lokalisationsprinzip. Das besagt, dass die Konvergenz beziehungsweise Divergenz sowie gegebenenfalls der Wert der Fourier-Reihe einer Funktion bei durch das Verhalten von in einer beliebig kleinen Umgebung von eindeutig bestimmt ist. Erst 1876 fand Paul Du Bois-Reymond eine stetige Funktion, deren Fourier-Reihe nicht punktweise konvergiert. In seinem Satz konnte Fejér 1904 jedoch zeigen, dass die Fourier-Reihe für jede stetige Funktion im arithmetischen Mittel konvergiert. Im Jahr 1915 warf Nikolai Nikolajewitsch Lusin die Frage auf, ob die Fourier-Reihe für jede Funktion konvergiert. Dies konnte erst 1968 von Lennart Carleson positiv beantwortet werden und Hunt verallgemeinerte 1968 das Ergebnis auf Funktionen mit . Die Voraussetzung ist allerdings wesentlich, wie das Beispiel einer integrierbaren Funktion mit überall divergenter Fourier-Reihe, das Kolmogorow 1926 fand, zeigt. Da die Fourier-Transformation auch außerhalb der Mathematik einen großen Anwendungsbereich hat, ist man an einem Algorithmus interessiert, mit dem ein Computer die Fourier-Koeffizienten mit möglichst wenig Aufwand berechnen kann. Solche Verfahren nennt man Schnelle Fourier-Transformation. Der bekannteste Algorithmus stammt von James Cooley und John W. Tukey, die ihn 1965 veröffentlichten. Jedoch wurde ein Algorithmus schon 1805 von Carl Friedrich Gauß entwickelt. Er benutzte ihn zur Berechnung der Flugbahnen der Asteroiden (2) Pallas und (3) Juno. Zum ersten Male wurde eine Variante des Algorithmus von Carl Runge im Jahre 1903 beziehungsweise 1905 veröffentlicht. Darüber hinaus wurden vor Cooley und Tukey schon eingeschränkte Varianten der schnellen Fourier-Transformation veröffentlicht. So hat zum Beispiel Irving John Good 1960 ebenfalls einen solchen Algorithmus veröffentlicht. Mathematische Motivation Mathematische Grundlagen Wir betrachten stetige, von der Zeit reell abhängige Funktionen bzw. Vorgänge (z. B. als vektorwertige Funktionen) , die sich nach einer Zeit wiederholen, also periodisch mit Periode sind, . Joseph Fourier postulierte in seiner Arbeit, dass sich aus periodischen, harmonischen Schwingungen, also Sinus- oder Kosinusfunktionen, verschiedener Phase und Amplitude und genau definierter Frequenz zusammensetzen lässt. Betrachten wir eine solche zusammengesetzte Funktion mit Summanden: Die einzelnen Schwingungen haben die Kreisfrequenz , also die Frequenz . Damit hat die erste Schwingung (Grundschwingung) die Frequenz , die nächsten , , ... Weil ein Sinus nur ein phasenverschobener Kosinus ist, konnte die Reihendarstellung auf Kosinus-Funktionen beschränkt werden. Wir erhalten sofort auch die Sinusterme, wenn wir die Additionstheoreme benutzen: Zusammen mit erhalten wir eine phasenfreie Darstellung Im nächsten Schritt soll die Summe mit Hilfe komplexer Zahlen umgeschrieben werden. Es sind dann komplexe Koeffizienten erlaubt, und die Reihe wird komplexwertig. Sofern reellwertige Funktionen betrachtet werden, kann diese als Realteil der Summe zurückgewonnen werden. Aus der Euler-Formel oder auch nach der Definition der trigonometrischen Funktionen mit der Exponentialfunktion folgt und , somit Mit den komplexen Koeffizienten , und für n>0 erhalten wir eine Summe mit auch negativen Indizes Fourier-Reihe Wir kennen jetzt also die trigonometrische Summe in verschiedenen Darstellungen. Es war aber gefragt, eine periodische stetige Funktion mittels solch einer Summe zu approximieren. Dazu stellen wir fest, dass die komplexen Koeffizienten , und damit auch die der anderen Darstellungen, sich aus der Summenfunktion zurückgewinnen lassen. Dazu wird die obige Gleichung mit multipliziert und sodann auf beiden Seiten über dem Intervall , d. h. über eine Periode integriert. Mit Umformungen erreicht man folgende Aussage: Daraus folgt Für das -te Integral auf der rechten Seite gilt: Es liefert also nur der Summand für n=0 einen Beitrag, es vereinfacht sich das Integral also zu Wir können nun versuchen, die trigonometrische Summe durch eine beliebige stetige periodische Funktion f zu ersetzen, die Koeffizienten nach obigen Formeln zu bestimmen und die mit diesen Koeffizienten gebildeten trigonometrischen Summen mit der Ausgangsfunktion vergleichen: Mit dem Dirichlet-Kern Aperiodische Vorgänge (Fourier-Integral) Voraussetzung für die hergeleitete Fourier-Reihe ist die Periodizität von über dem Zeitintervall . Selbstverständlich gibt es auch nichtperiodische Funktionen, die diese Voraussetzung für kein endliches Zeitintervall erfüllen. Wie schon gezeigt, hat die -te Oberschwingung die Frequenz . Die Differenz der -ten Oberfrequenz von der vorherigen ist , das heißt, die Oberfrequenzen haben den Abstand . Für gegen unendlich geht ihr Abstand gegen Null – die Summe wird im Grenzfall zum Riemann-Integral. Das Fourier-Integral, die kontinuierliche Fourier-Transformation, ist also gegeben durch mit Aus der Folge ist nun das kontinuierliche Spektrum geworden. Man bezeichnet genau genommen die zweite Transformation als Fourier-Transformation, die erste, deren inverse, ist die Fourier-Synthese. Die zweite Gleichung kann analog wie für die Reihe hergeleitet werden. Das angegebene Beziehungspaar gilt u. a. erneut für quadratintegrierbare Funktionen. Differentialgleichungen Die Fourier-Transformation wird oft eingesetzt, um Differentialgleichungen zu lösen. Denn die bzw. die sind Eigenfunktionen der Differentiation, und die Transformation wandelt lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten in normale algebraische Gleichungen um. So ist zum Beispiel in einem linearen zeitinvarianten physikalischen System die Frequenz eine Erhaltungsgröße, und das Verhalten kann für jede Frequenz einzeln gelöst werden. Die Anwendung der Fourier-Transformation auf die Differentialgleichung ergibt den Frequenzgang des Systems. Abstrakte harmonische Analyse Die abstrakte harmonische Analyse ist die Weiterentwicklung der Fourier-Analysis auf lokalkompakte topologische Gruppen. Auf diesen Gruppen kann man mit Hilfe des Haar-Maßes, das das Lebesgue-Maß als Spezialfall umfasst, ein Integral definieren. Zentral in der abstrakten harmonischen Analyse ist der Begriff der Charakters, der von Lew Semjonowitsch Pontrjagin eingeführt wurde. Das ist ein stetiger Gruppenhomomorphismus von der lokalkompakten, abelschen Gruppe in die Sphäre. In Analogie zu linearen Funktionalen und den Dualräumen bilden ihre Gesamtheit die Dualgruppe . Der Begriff Dualgruppe wird durch den Dualitätssatz von Pontrjagin gerechtfertigt. Aus Sicht der abstrakten harmonischen Analyse versteht man dann unter der Abbildung die Fourier-Transformation. Wählt man und so ist und man erhält die klassische kontinuierliche Fourier-Transformation. In der abstrakten harmonischen Analyse gibt es genauso wie in der klassischen Fourier-Analysis für diese Transformation auch eine Rücktransformation. Außerdem umfasst diese abstrakte Fourier-Transformation auch die Fourier-Reihe sowie die Laplace-Transformation, die Mellin-Transformation und andere Transformationen als Spezialfälle. Literatur S. Bochner, K. Chandrasekharan: Fourier Transforms. Princeton University Press, Princeton NJ 1949 (Annals of mathematics studies 19, ). Otto Föllinger: Laplace-, Fourier- und z-Transformation. Bearbeitet von Mathias Kluw. 8. überarbeitete Auflage. Hüthig, Heidelberg 2003, ISBN 3-7785-2911-0 (Studium). Burkhard Lenze: Einführung in die Fourier-Analysis. 3. durchgesehene Auflage. Logos Verlag, Berlin 2010, ISBN 3-931216-46-2. M. J. Lighthill: Introduction to Fourier Analysis and Generalised Functions. Cambridge University Press, Cambridge 2003, ISBN 0-521-09128-4 (Cambridge Monographs on Mechanics and Applied Mathematics). Athanasios Papoulis: The Fourier Integral and Its Applications. Reissued. McGraw-Hill, New York NY u. a. 1987, ISBN 0-07-048447-3 (McGraw-Hill Classic Textbook Reissue Series). Elias M. Stein, Rami Shakarchi: Princeton Lectures in Analysis. Band 1: Fourier Analysis. An Introduction. Princeton University Press, Princeton NJ 2003, ISBN 0-691-11384-X. Jörg Lange, Tatjana Lange: Fourier-Transformation zur Signal- und Systembeschreibung. Kompakt, visuell, intuitiv verständlich. Springer Vieweg 2019, ISBN 978-3-658-24849-9. Weblinks Fourier Series Applet – Java-Applet zur Demonstration der Fourier-Synthese (englisch, benötigt Java). Fouriersynthese – Webseite zur Demonstration der Fouriersynthese (benötigt JavaScript). Vorlesungsskript Anwendungen der Fourier-Transformation, Teile 1–6. Fourier-Analyse mit mechanischen Hilfsmitteln, Archivlink abgerufen am 19. Juli 2022 Fourier- und Wavelettransformation einmal anders erklärt Einzelnachweise Harmonische Analyse Digitale Signalverarbeitung Joseph Fourier als Namensgeber


text: In der Mathematik ist eine Funktion () oder Abbildung eine Beziehung (Relation) zwischen zwei Mengen, die jedem Element der einen Menge (Funktionsargument, unabhängige Variable, -Wert) genau ein Element der anderen Menge (Funktionswert, abhängige Variable, -Wert) zuordnet. Der Funktionsbegriff wird in der Literatur unterschiedlich definiert, jedoch geht man generell von der Vorstellung aus, dass Funktionen mathematischen Objekten mathematische Objekte zuordnen, zum Beispiel jeder reellen Zahl deren Quadrat. Das Konzept der Funktion oder Abbildung nimmt in der modernen Mathematik eine zentrale Stellung ein; es enthält als Spezialfälle unter anderem parametrische Kurven, Skalar- und Vektorfelder, Transformationen, Operationen, Operatoren und vieles mehr. Begriffsgeschichte Erste Ansätze zu einer impliziten Verwendung des Funktionsbegriffs in Tabellenform (Schattenlänge abhängig von der Tageszeit, Sehnenlängen abhängig vom Zentriwinkel etc.) sind bereits in der Antike zu erkennen. Den ersten Beleg einer expliziten Definition des Funktionsbegriffs findet man bei Nikolaus von Oresme, der im 14. Jahrhundert Abhängigkeiten sich ändernder Größen (Wärme, Bewegung etc.) graphisch durch senkrecht aufeinander stehende Strecken (longitudo, latitudo) darstellte. Am Beginn des Prozesses zur Entwicklung des Funktionsbegriffs stehen Descartes und Fermat, die mit Hilfe der von Vieta eingeführten Variablen die analytische Methode der Einführung von Funktionen entwickelten. Funktionale Abhängigkeiten sollten durch Gleichungen wie zum Beispiel dargestellt werden. In der Schulmathematik wurde dieser naive Funktionsbegriff bis weit in die zweite Hälfte des 20. Jahrhunderts beibehalten. Die erste Umschreibung des Funktionsbegriffs nach dieser Idee stammt von Gregory in seinem 1667 erschienenen Buch Vera circuli et hyperbolae quadratura. Der Begriff Funktion kommt wohl erstmals 1673 in einem Manuskript von Leibniz vor, der in seiner Abhandlung von 1692 De linea ex lineis numero infinitis ordinatim ductis auch die Begriffe „Konstante“, „Variable“, „Ordinate“ und „Abszisse“ benutzt. Im Schriftwechsel zwischen Leibniz und Johann I Bernoulli wird der Funktionsbegriff von der Geometrie losgelöst und in die Algebra übertragen. In Beiträgen von 1706, 1708 und 1718 stellt Bernoulli diese Entwicklung dar. 1748 präzisiert Leonhard Euler, ein Schüler Johann Bernoullis, in seinem Buch Introductio in analysin infinitorum den Funktionsbegriff weiter. Bei Euler findet man zwei verschiedene Erklärungen des Funktionsbegriffs: Zum einen stellt jeder „analytische Ausdruck“ in eine Funktion dar, zum anderen wird im Koordinatensystem durch eine freihändig gezeichnete Kurve definiert. 1755 formuliert er diese Vorstellungen ohne Verwendung des Terminus „analytischer Ausdruck“ um. Außerdem führte er bereits 1734 die Schreibweise ein. Er unterscheidet zwischen eindeutigen und mehrdeutigen Funktionen. Bei Euler ist damit auch die Umkehrung der Normalparabel, bei der jeder nicht-negativen reellen Zahl sowohl ihre positive als auch ihre negative Wurzel zugeordnet wird, als Funktion zugelassen. Für Lagrange sind nur Funktionen zulässig, die durch Potenzreihen definiert sind, wie er 1797 in seiner Théorie des fonctions analytiques festlegt. Eine fruchtbare Auseinandersetzung über das Bewegungsgesetz einer schwingenden Saite, zu dem d’Alembert 1747, Euler 1748 und Daniel Bernoulli 1753 unterschiedliche Lösungen vorstellten, führte zur Entdeckung der Definitionsmenge und einem weiter präzisierten Funktionsbegriff, in dem schon so etwas wie eindeutige Zuordnung umschrieben wird, durch Fourier in seinem 1822 erschienenen Buch Théorie analytique de la chaleur. Ähnliches formuliert Cauchy 1823 in Résumé des leçons ... sur le calcul infinitésimal. Als die Analysis im 19. Jahrhundert mit einem exakten Grenzwertbegriff auf eine neue Grundlage gestellt wurde, wurden Eigenschaften, die bisher als für Funktionen konstituierend aufgefasst wurden, in einem Exaktifizierungsprozess als selbständige Begriffe eingeführt und vom Funktionsbegriff losgelöst. Dirichlet, ein Schüler Fouriers, formulierte diese neue Sicht: „Ideen an die Stelle von Rechnungen“ und stellte 1837 seine Ideen dar. Stokes führte in Arbeiten 1848 und 1849 ähnliche Ansichten aus. So verfuhr Riemann, Schüler von Dirichlet, 1851 in Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Größe mit der Stetigkeit, später folgten Integrierbarkeit und Differenzierbarkeit. Eine Zusammenfassung dieser Entwicklung macht Hankel 1870 in Untersuchungen über die unendlich oft oscillierenden und unstetigen Functionen. Auch hier wird noch nicht zwischen der Funktion und dem Funktionswert an der Stelle unterschieden. Weierstraß, Dedekind und andere entdeckten, dass Grenzwerte unendlicher Folgen „klassischer“ Funktionen sprunghaft sein können und sich nicht immer durch „geschlossene“ Formeln, d. h. mit endlich vielen Rechenoperationen, ausdrücken lassen. Das erzwang eine schrittweise Ausweitung des Funktionsbegriffs. Davon unabhängig wurde im 19. Jahrhundert die Gruppentheorie begründet, mit der man systematisch untersuchen kann, wie sich algebraische Gleichungen unter der Wirkung aufeinanderfolgender Transformationen verändern. Bei der Anwendung dieser Theorie auf geometrische Probleme wurden gleichbedeutend mit Transformation auch die Begriffe Bewegung und Abbildung gebraucht. Als Anfang des 20. Jahrhunderts die Grundlagen der Mathematik einheitlich in der Sprache der Mengenlehre formuliert wurden, stellten sich die mathematischen Begriffe Funktion und Abbildung als deckungsgleich heraus. Im Sprachgebrauch wirken die unterschiedlichen Traditionen jedoch fort. In der Analysis spricht man heute häufig noch von Funktionen, während man in der Algebra und in der Geometrie von Abbildungen spricht. Einige Mathematiker unterscheiden auch heute noch streng zwischen einer Abbildung und einer Funktion. Diese verstehen unter einer Funktion eine Abbildung in den reellen oder komplexen Zahlenkörper ( bzw. ) oder auch Potenzen davon ( bzw. ), andererseits ist es in der Booleschen Algebra gebräuchlich, von Booleschen Funktionen zu sprechen. Weitere Synonyme für Funktion in spezielleren Zusammenhängen sind unter anderem Operator in der Analysis, Operation, Verknüpfung und (etwas verallgemeinert) Morphismus in der Algebra. Heute sehen manche Autoren den Funktionsbegriff (genauso wie den Relationsbegriff) nicht unbedingt als auf Mengen beschränkt an, sondern lassen jede aus geordneten Paaren bestehende Klasse, die keine verschiedenen Elemente mit gleicher linker Komponente enthält, als Funktion gelten. Mengentheoretisch ausgedrückt werden Funktionen also als rechtseindeutige Relationen definiert. Definition Grundidee Eine Funktion ordnet jedem Element einer Definitionsmenge genau ein Element einer Zielmenge zu. Schreibweise: oder äquivalent auch Für das dem Element zugeordnete Element der Zielmenge schreibt man im Allgemeinen . Anmerkungen: Die Umkehrung gilt nicht: Ein Element der Zielmenge kann genau einem, mehreren, aber auch keinem Element der Definitionsmenge zugeordnet sein, in letzterem Fall gehört es nicht zur Bildmenge.Beispiel: Die Betragsfunktion ordnet den Zahlen +1 und −1 der Definitionsmenge die Zahl +1 der Zielmenge zu. Der Zahl +1 der Zielmenge sind also zwei Zahlen der Definitionsmenge zugeordnet. Andererseits ist der Zahl −2 keine Zahl der Definitionsmenge zugeordnet. Oft ist an Stelle der Definitionsmenge zunächst eine Quellmenge gegeben. Wenn als Rechenvorschrift gegeben ist, erhält man die Definitionsmenge , indem man von diejenigen Elemente ausschließt, für die nicht definiert ist. Siehe auch Abschnitt „Partielle Funktionen“. Mengentheoretische Definition Mengentheoretisch ist eine Funktion eine spezielle Relation: Eine Funktion von der Menge in die Menge ist eine Menge , die die folgenden Eigenschaften hat: ist eine Teilmenge des kartesischen Produkts von und , d. h., ist eine Relation zwischen und . Für jedes Element aus existiert mindestens ein Element in , sodass das geordnete Paar Element der Relation ist. ist also linkstotal. Zu jedem Element von gibt es höchstens ein Element von , sodass das Paar in liegt. ist damit rechtseindeutig oder funktional. Die letzten beiden Eigenschaften lassen sich auch wie folgt zusammenfassen: Zu jedem Element von gibt es genau ein Element von , sodass das Paar Element der Relation ist. Oft möchte man aber auch die Zielmenge explizit zu einem Teil der Funktion machen, zum Beispiel um Aussagen zur Surjektivität (als eine Eigenschaft der betrachteten Funktion selbst) anstellen zu können: Ein Paar , bestehend aus einer Menge und einer Menge von Paaren mit einer weiteren Menge , heißt Funktion von der Menge nach , wenn gilt: Zu jedem Element von gibt es genau ein Element von (geschrieben ), sodass das Paar Element von ist. wird dann auch der Graph der Funktion genannt. Die Definitionsmenge der Funktion ist dabei durch ihren Graphen eindeutig bestimmt und besteht aus den ersten Komponenten aller Elemente des Graphen. Stimmen zwei Funktionen in ihren Graphen überein, so sagt man auch, sie seien im Wesentlichen gleich. Insbesondere ist jede Funktion im Wesentlichen gleich mit der surjektiven Funktion mit der Bildmenge . Oft empfiehlt es sich, auch noch die Definitionsmenge hinzuzunehmen und eine Funktion entsprechend als ein Tripel zu definieren. Diese Definition stimmt dann überein mit der entsprechenden ausführlichen Definition bei Relationen, sodass auch Multifunktionen und partielle Funktionen auf gleiche Weise erfasst sind. Notation Schreibweisen Eine Zuordnung kann unter anderem in einer der folgenden Formen beschrieben werden: Funktionsgleichung mit Definitionsmenge Eindeutige Zuordnungsvorschrift (englisch: maplet) mit Definitionsmenge Eindeutige Zuordnungsvorschrift mit Definitions- und Zielmenge oder äquivalent Familienschreibweise (mit der Bezeichnung Indexmenge für die Definitionsmenge) Wertetabelle (für endliche, aber auch abzählbar unendliche Definitionsmengen) {| cellpadding="3" cellspacing="0" style="text-align:right; margin-left:2em;" |style="width:2ex; border-right:1px double black; border-bottom:1px solid black" | |style="width:2ex; border-right:1px solid black; border-bottom:1px solid black" | 1 |style="width:2ex; border-right:1px solid black; border-bottom:1px solid black" | 2 |style="width:2ex; border-right:1px solid black; border-bottom:1px solid black" | 3 |style="width:2ex; border-right:1px solid black; border-bottom:1px solid black" | 4 |style="width:2ex; border-right:1px solid black; border-bottom:1px solid black" | 5 |style="width:2ex; border-right:1px solid black; border-bottom:1px solid black" | 6 |style="width:2ex; border-right:1px solid black; border-bottom:1px solid black" | 7 |style="width:2ex; border-bottom:1px solid black" | ... |- |style="border-right:1px double black;" | |style="border-right:1px solid black" | 1 |style="border-right:1px solid black" | 4 |style="border-right:1px solid black" | 9 |style="border-right:1px solid black" | 16 |style="border-right:1px solid black" | 25 |style="border-right:1px solid black" | 36 |style="border-right:1px solid black" | 49 | ... |} Relation, insbesondere auch als beschrieben oder aufgezählt dargestellte Menge Ergebnis von Verknüpfungen und Operationen (zum Beispiel Komposition, Bildung der Umkehrfunktion, Ableitung u. Ä.), die auf andere Funktionen angewendet werden Sprechweisen Für die Zuordnung eines Funktionswertes zu einem Argument gibt es eine Reihe verschiedener Sprech- oder ausführlicher Schreibweisen, die alle mehr oder weniger gleichwertig sind und vor allem in Abhängigkeit von dem, was vordergründig ausgedrückt werden soll, vom jeweiligen Kontext, der benutzten Symbolik und auch vom Geschmack des Sprechers (Schreibers) gewählt werden. Hier einige Beispiele: wird abgebildet auf von . von wird eindeutig zugeordnet (vornehmlich, wenn das -Symbol in der Symbolik steht). gleich von (vornehmlich, wenn ein Gleichheitszeichen in der Symbolik steht). ist das Bild von unter der Abbildung . Davon zu unterscheiden ist die Sprech- und Schreibweise: „ ist eine Funktion von “, die vor allem in der Physik sehr nahestehenden Bereichen der Mathematik auftaucht. Sie ist die ältere und ursprüngliche Sprech- und Schreibweise und beschreibt die Abhängigkeit einer Variablen von einer anderen Variablen , im Gegensatz dazu, dass mit Hilfe der Variablen und (stellvertretend) die Zuordnung bestimmter Elemente von Mengen beschrieben wird. Die „physikalische“ Sprechweise stammt von dem Vorgehen, zunächst zwei veränderlichen Größen (der physikalischen Realität) Symbole, nämlich die Variablen und , zuzuordnen und danach deren Abhängigkeit festzustellen. Steht beispielsweise für die Raumtemperatur und für die Zeit, so wird man feststellen können, dass sich die Raumtemperatur in Abhängigkeit von der Zeit ändert und somit „die Raumtemperatur eine Funktion der Zeit ist“ oder stellvertretend „ eine Funktion von ist.“ Statt Definitionsmenge wird auch Definitionsbereich, Urbildmenge oder schlicht Urbild gesagt. Die Elemente von heißen Funktionsargumente, Funktionsstellen oder Urbilder, salopp auch -Werte. Die Elemente der Zielmenge heißen Zielwerte oder Zielelemente, salopp auch -Werte. Diejenigen Elemente von , die tatsächlich auch als Bild eines Arguments auftreten, heißen Funktionswerte, Bildelemente oder schlicht Bilder. Sie bilden die Wertemenge oder den Wertebereich, der oft nur eine echte Teilmenge von ist. Darstellung Eine Funktion , kann man visualisieren, indem man ihren Graphen in ein (zweidimensionales) Koordinatensystem zeichnet. Der Funktionsgraph einer Funktion kann mathematisch definiert werden als die Menge aller Elementepaare , für die ist. Der Graph einer stetigen Funktion auf einem zusammenhängenden Intervall bildet eine zusammenhängende Kurve (genauer: Die Menge der Punkte der Kurve, aufgefasst als Unterraum des topologischen Raumes ist zusammenhängend). Analog kann man Funktionen und visualisieren, indem man sie in ein dreidimensionales Koordinatensystem zeichnet. Ist stetig, so ergibt sich eine Kurve (die auch Ecken haben kann), die sich durch das Koordinatensystem „schlängelt“. Ist stetig, so ergibt sich eine Fläche als Bild, typischerweise in Form einer „Gebirgslandschaft“. Computerprogramme zur Darstellung von Funktionen heißen Funktionenplotter. Funktionsprogramme gehören auch zum Funktionsumfang von Computeralgebrasystemen (CAS), matrizenfähigen Programmierumgebungen wie MATLAB, Scilab, GNU Octave und anderen Systemen. Die wesentlichen Fähigkeiten eines Funktionenplotters sind auch auf einem graphikfähigen Taschenrechner verfügbar. Es gibt auch Web-gestützte Angebote, die nur einen aktuellen Browser benötigen. Grundeigenschaften Bild und Urbild Das Bild eines Elements der Definitionsmenge ist einfach der Funktionswert . Das Bild einer Funktion ist die Menge der Bilder aller Elemente der Definitionsmenge , also . Das Bild einer Funktion ist folglich eine Teilmenge der Zielmenge und wird Bild- oder Wertemenge genannt. Ist allgemeiner eine Teilmenge von , dann ist das Bild von unter der Funktion . Das Urbild eines Elements der Zielmenge ist die Menge aller Elemente der Definitionsmenge, deren Bild ist. Es ist , ( ist im Allgemeinen keine eindeutige Funktion, sondern eine Multifunktion, zur Schreibweise siehe dort sowie bei Relation (Mathematik)#Relationen und Funktionen und Korrespondenz (Mathematik)). Oft werden diese Fasern einfach mit bezeichnet, was aber im Fall (eindeutig) umkehrbarer Funktionen einerseits x, andererseits {x} bezeichnet. Das Urbild einer Teilmenge der Zielmenge ist die Menge aller Elemente der Definitionsmenge, deren Bild Element dieser Teilmenge ist: Injektivität, Surjektivität, Bijektivität Eine Funktion ist injektiv, wenn jedes Element der Zielmenge höchstens ein Urbild hat – d. h., wenn gilt: Aus folgt Sie ist surjektiv, wenn jedes Element der Zielmenge mindestens ein Urbild hat – d. h., wenn gilt: Zu jedem gibt es ein , sodass Sie ist bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist, wenn also jedes Element der Zielmenge genau ein Urbild hat. Stelligkeit Eine Funktion , deren Definitionsmenge eine Produktmenge ist, heißt oft zweistellig. Den Wert von , der bei Anwendung von auf das Paar erhalten wird, schreibt man (unter Weglassung eines Klammernpaares) als . Analoges gilt für höhere Stelligkeiten. Eine Funktion bezeichnet man üblicherweise als dreistellig. Eine Funktion, deren Definitionsmenge keine Produktmenge ist (oder bei der die innere Struktur der Definitionsmenge keine Rolle spielt), bezeichnet man als einstellig. Unter einer nullstelligen Funktion versteht man eine Funktion, deren Definitionsmenge das leere Produkt ist, bei einem beliebigen Funktionswert. Daher können nullstellige Funktionen als Konstanten aufgefasst werden, was bei algebraischen Strukturen (wie auch bei heterogenen Algebren) Anwendung findet. Statt nullstellig, einstellig, zweistellig, dreistellig sagt man auch oft unär, binär, ternär; Stelligkeit wird daher auch als „Arität“ (englisch: arity) bezeichnet. Menge der Funktionen Mit oder wird die Menge aller Abbildungen von nach bezeichnet: Für die Mächtigkeit gilt: Operationen Einschränkung Die Einschränkung einer Funktion auf eine Teilmenge der Definitionsmenge ist die Funktion , deren Graph durch gegeben ist. Umkehrfunktion Zu jeder bijektiven Funktion gibt es eine Umkehrfunktion , sodass das eindeutig bestimmte Element ist, für das gilt. Die Umkehrfunktion erfüllt damit für alle . Bijektive Funktionen werden daher auch als eindeutig umkehrbare Funktionen bezeichnet. Verkettung Zwei Funktionen und , bei denen der Wertebereich der ersten Funktion mit dem Definitionsbereich der zweiten Funktion übereinstimmt (oder als Teilmenge enthalten ist), können verkettet werden. Die Verkettung oder Hintereinanderausführung dieser beiden Funktionen ist dann eine neue Funktion, die durch gegeben ist. In dieser Notation steht meist die zuerst angewandte Abbildung rechts, das heißt, bei wird zuerst die Funktion angewandt und dann die Funktion („g nach f“). Gelegentlich wird in der Literatur allerdings auch die umgekehrte Reihung verwendet und geschrieben („g vor f“). Verknüpfung Ist auf der Zielmenge eine innere zweistellige Verknüpfung gegeben, so lässt sich auch für Funktionen eine innere zweistellige Verknüpfung definieren: . Beispiele hierfür sind die punktweise Addition und Multiplikation von Funktionen. Weiter lässt sich mit Hilfe einer äußeren zweistelligen Verknüpfung der Form auch die Verknüpfung einer Funktion mit einem Element aus definieren: Beispiel hierfür ist die punktweise Multiplikation einer Funktion mit einem Skalar. Analog lässt sich so auch eine äußere Verknüpfung der Form definieren. Sind Verknüpfungen der gleichen Art sowohl auf der Definitionsmenge als auch auf der Zielmenge gegeben, dann heißt eine Funktion verträglich mit diesen Verknüpfungen, wenn sich die Bilder bezüglich der einen Verknüpfung genauso verhalten wie die Urbilder bezüglich der anderen Verknüpfung. Weitere Eigenschaften Algebraische Eigenschaften Eine Funktion ist idempotent, wenn – d. h., wenn für alle Elemente der Definitionsmenge gilt. Sie ist eine Involution, wenn – d. h., wenn für alle Elemente der Definitionsmenge gilt. Die Identität erfüllt natürlich diese Bedingung, wird aber in seltenen Fällen dennoch nicht als Involution angesehen. Ein Fixpunkt ist ein Element der Definitionsmenge von , für das gilt. Analytische Eigenschaften Beschränktheit Periodizität Monotonie Symmetrie Stetigkeit Differenzierbarkeit Glattheit Holomorphie Homogenität Messbarkeit Integrierbarkeit Konvexität Spezielle Funktionen Reellwertige Funktion, die sich dadurch auszeichnet, dass ihre Zielmenge innerhalb der reellen Zahlen liegt Komplexwertige Funktion, die sich dadurch auszeichnet, dass ihre Zielmenge innerhalb der komplexen Zahlen liegt Homogene lineare Funktion (auch: Proportionalität): allgemein beschrieben durch ; ist ein Homomorphismus bezüglich der Addition Allgemeine lineare Funktion (oder affine Funktion): allgemein beschrieben durch ; siehe auch affine Abbildung Quadratische Funktion: allgemein beschrieben durch (s. Quadratische Gleichung) Potenzfunktion Polynomfunktion, auch ganzrationale Funktion: allg. beschrieben durch oder Rationale Funktion, insbesondere gebrochen-rationale Funktion: Quotient zweier Polynomfunktionen, Wurzelfunktion: Umkehrung der Potenzfunktionen und selbst Potenzfunktion Exponentialfunktion Logarithmus Trigonometrische Funktion: sin, cos, tan, cot, sec, csc Betragsfunktion Maximumsfunktion und Minimumsfunktion Gaußsche Ganzzahlfunktion Funktionale Vor allem in der Funktionalanalysis finden Funktionale große Anwendung. Als Funktional bezeichnet man eine Funktion, deren Definitionsmenge als Teilmenge in einem Vektorraum enthalten ist, während ihre Zielmenge in dem zugehörigen Skalarkörper liegt. Sei ein -Vektorraum mit . Ein Funktional ist eine Abbildung Funktionale können somit als Argumente selbst Funktionen haben. Ein lineares Funktional auf dem Vektorraum , der Funktionen auf der reellen Achse, ist bspw. das Auswertungsfunktional an der Stelle Null Dieses Funktional heißt Delta-Distribution oder Dirac-Delta. Ein anderes Beispiel ist das Funktional , das jeder quadratintegrierbaren Funktion den Wert zuordnet. Verwendung Ein fundamentales Konzept in der Mathematik stellen Strukturen dar, die dadurch entstehen, dass Mengen in Verbindung mit dazugehörigen Abbildungen gesehen werden. Derartige Strukturen bilden die Grundlage praktisch aller mathematischen Disziplinen, sobald sie über elementare Mengenlehre, kombinatorische Probleme oder grundlegende mathematisch-philosophische Fragestellungen hinausgehen. Mengen können beispielsweise durch sogenannte Verknüpfungen strukturiert werden. Der wichtigste Spezialfall ist die innere zweistellige Verknüpfung, dabei handelt es sich um eine Abbildung der Form . Beispiele für innere zweistellige Verknüpfungen sind Rechenoperationen wie die Addition oder Multiplikation auf Zahlenmengen. Dementsprechend wird das Bild eines Paares unter einer Verknüpfung üblicherweise in der Form geschrieben. Weitere wichtige Beispiele solcher Strukturen sind algebraische, geometrische und topologische Strukturen, wie beispielsweise Skalarprodukte, Normen und Metriken. Verallgemeinerungen Multifunktionen Eine Multifunktion (auch mehrwertige Funktion oder Korrespondenz genannt) ist eine linkstotale Relation. Das heißt, die Elemente der Definitionsmenge können auf mehrere Elemente der Zielmenge abgebildet werden. Man schreibt auch . Wenn eine Menge ist, dann kann man jede Multifunktion auch als eine Funktion darstellen, die in die Potenzmenge von geht: Im Fall stellt eine mehrwertige Funktion eine Transitionsrelation dar, und ist die zugehörige Transitionsfunktion. Die Verkettung von Multifunktionen lässt sich genauso definieren wie für (eindeutige) Funktionen, mengentheoretisch ist dies äquivalent einer Verkettung zweier zweistelliger Relationen. Umkehrungen von Funktionen als Multifunktionen Ein Beispiel für Multifunktionen sind die Umkehrfunktionen (Umkehrungen) von nicht injektiven Funktionen. Wenn surjektiv ist, gilt automatisch: ist eine Multifunktion. Die Darstellung der Umkehrfunktion in die Potenzmenge von liefert mit die Fasern von (siehe oben). Die Verkettung einer Funktion mit ihrer (im Allgemeinen nicht eindeutigen) Umkehrung in der Form ist eine Äquivalenzrelation, die durch induzierte Äquivalenzrelation. Zwei Elemente aus dem Definitionsbereich sind genau dann äquivalent, wenn sie denselben Funktionswert haben. Partielle Funktionen Wohl zu unterscheiden vom Begriff der Funktion ist der Begriff der partiellen Funktion, man spricht auch von einer „nicht überall definierten Funktion“ oder „funktionalen Relation“. Hier darf es Elemente der Quellmenge (-Werte) geben, denen kein Wert der Zielmenge (kein -Wert) zugeordnet ist. Hier ist dann die Nennung der Quellmenge in der obigen Tripelschreibweise tatsächlich notwendig. Allerdings darf es auch dort für einen -Wert nicht mehr als einen -Wert geben. Um partielle Funktionen von Funktionen zu unterscheiden, bezeichnet man Letztere auch als totale oder überall definierte Funktionen. Die Menge der partiellen Abbildungen von nach ist die Vereinigung der totalen Abbildungen von Teilmengen von nach : Sind die Mengen endlich, so gilt für ihre Kardinalzahlen , schließlich kann man jede partielle Abbildung auf D umkehrbar eindeutig zu einer totalen Abbildung fortsetzen, indem man einen beliebigen festen Funktionswert festschreibt, der nicht in enthalten ist; und diese Operation stellt eine bijektive Abbildung auf dar. Jede partielle Funktion ist im Wesentlichen gleich mit der (totalen) Funktion mit der Urbildmenge . Funktionen mit Werten in einer echten Klasse Häufig liegen die Werte einer Funktion nicht in einer Zielmenge, sondern lediglich in einer echten Klasse, beispielsweise sind Mengenfolgen „Funktionen“ mit Definitionsmenge und Werten in der Allklasse. Um die mengentheoretischen Probleme, die sich daraus ergeben, zu vermeiden, betrachtet man nur noch den Graph der entsprechenden Funktion, genauer: Ein funktionsartiger Graph ist eine Menge von Paaren , sodass keine zwei Paare im ersten Eintrag übereinstimmen: Definitions- und Wertemenge sind tatsächlich Mengen, aber es ist nicht nötig, sich von vornherein auf eine Zielmenge festzulegen, solange die Funktionen im Wesentlichen gleich sind. Bei partiellen Funktionen gilt Gleiches für den Ziel- und Quellbereich. Beide können einzeln oder zusammen echte Klassen sein; mengentheoretische Probleme entstehen nicht, solange der Graph eine Menge bleibt. Symbolik Für Funktionen gibt es etliche symbolische Schreibweisen, die jeweils einige spezielle Eigenschaften der Funktion ausdrücken. Im Folgenden werden einige wichtige genannt. Die Symbole können auch, wo sinnvoll, miteinander kombiniert werden. Literatur Heinz-Dieter Ebbinghaus: Einführung in die Mengenlehre. 4. Auflage. Spektrum, Akademischer Verlag, Heidelberg u. a. 2003, ISBN 3-8274-1411-3. Paul R. Halmos: Naive Mengenlehre (= Moderne Mathematik in elementarer Darstellung. Bd. 6). Übersetzt von Manfred Armbrust und Fritz Ostermann. 5. Auflage. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1994, ISBN 3-525-40527-8. Arnold Oberschelp: Allgemeine Mengenlehre. BI-Wissenschafts-Verlag, Mannheim u. a. 1994, ISBN 3-411-17271-1. Adolf P. Youschkevitch: The Concept of Function up to the Middle of the 19th Century. In: Archive of the History of Exact Sciences. 16 Springer Verlag, Berlin 1976. Weblinks Einzelnachweise und Anmerkungen Mengenlehre Mathematischer Grundbegriff