source: wikipedia

text: La indumentària tradicional, indumentària típica o vestits tradicionals són els vestits que es feien servir antigament per ballar o fer algun tipus de dansa. A Catalunya, Balears i País Valencià s'han conservat com a part de la cultura popular en els balls i danses tradicionals. Procedència De la seva procedència, en Joan Amades, un dels folkloristes catalans més rellevants diu: "El vestit usat gairebé per totes les diferents menes de ball d'espectacle de Catalunya té un regust hel·lènic... És remarcable observar que en aquesta indumentària, per exemple, el pantaló és més aviat estret, i podríem dir que és el típic calçotet llarg que portaven els nostres homes del camp, lligat arran del turmell per unes vetes... El calçat és també de reminiscència pagesa, generalment espardenya amb sola de cànem." Així doncs actualment, són els esbarts dansaires els que a través de la dansa conserven, ni que sigui actualitzat, els vestits tradicionals dels pagesos i els ornaments rituals simbòlics. Peces de roba tradicional Tronc i braços Camisa: peça de lli o cotó que cobreix des dels muscles fins al genoll, frunzida, adaptada al coll amb obertura central tancada amb botons, màniga llarga i molt ampla. Brusa: peça típica del semblant a la camisa però més folgada. Cobreix des dels muscles fins davall de la cintura, està oberta per davant en la seua totalitat o bé fins a la meitat, ajustada al maluc amb una volta o una cinta. A vegades es col·locava sota la faixa. Jupa: peça que cobreix el cos des dels muscles fins a la cintura, que disposa de mànegues llargues i estretes, i pot tenir o no coll. En el cas de dur coll, aquest és triangular o rectangular, i es pot guarnir amb passamaneria, cordons i borles. Jupetí: peça sense mànigues amb escot i cordat de dalt baix, que cobreix el cos adaptat a ell des dels muscles fins a la cintura. Pot dur coll amb tireta alta acompanyat de solapes triangulars, botons de llautó o plata, teixits de sedes vistosa i velluts amb ratlles flors o un altre tipus de dibuixos. Mitena: per a les dones, peça reixada que cobreix el braç del colze a la mà fins a la meitat del polze i el començament dels altres dits. Cintura i cames Saragüells: peça de lli o cotó de dos camals molt amples cenyits a la cintura per una cinta, que cobreix des de la cintura fins a la part superior dels genolls, que va unit un quadrat de tela a l'altura de l'entrecuixa per a donar-li folgança. Generalment es portava el saragüell blanc, però en hivern es podia posar al damunt un altre més curt, negre i de llana. Calçotet: peça de roba interior masculina de lli o cotó que protegia les cames dels fregaments del calçó o pantaló exterior. Deriva del saragüell i d'ell deriva l'actual calçotet. Calçó: peça de dos camals units en la part superior en una sola peça que es va estretint progressivament cap als genolls i subjecte amb una tira a manera de cinturó amb la suficient amplitud per a permetre els moviments del cos. La part inferior dels camals té obertures que es tanquen amb botons o vetes i cobrixen els genolls. Es portava com a peça aïllada o a joc amb la jaqueta. Depenent del seu ús podia ser de llana, cotó o seda. Calces: peces de llana o cotó teixides a mà, podien cobrir el peu i la cama (calces o mitges) o només la cama (Calces redones i taloneres). Pantaló llarg: Amb la mateixa estructura que el calçó curt però més llarg i recte fins als turmells, va començar a usar-se en el , acompanyada amb jupetins i jupeses però sobretot amb bruses. Faixa: tira de tela, cotó, llana o seda d'entre 30 i 50 cm. d'ampla i uns dos metres de llarg, servia per a subjectar els saragüells o pantalons, amb flocs en els laterals, de diversos colors i dibuixos, ratlles, rombes, espiguetes, es teixien en telers i subjectaven i protegien la zona lumbar. Lligacames: tires de tela llargues d'aproximadament un metre, algunes rematades amb borles o flocs, les més fines podien ser de seda (encara que n'hi havia d'altres materials). Es col·locaven en la cama just en el lloc on acabava la calça, rodejant-la i lligant-la en forma de llaç proporcionant-li subjecció. Faldilla: ampla i amb vol, generalment negra o d'un color viu. Enagos: combinació generalment blanca per a donar cos a la faldilla. Cap Mocador: peça quadrada que es doblegava en triangle i es col·locava de forma que una punta penjara i les altres dos rodejaren el cap, fins a arribar a nugar-se entre si, formant una espècie de turbant, teixits de seda i cotó amb molts colors i dibuixos. Els mètodes de col·locar-se el mocador són molt variats depenent de regions o del gust de cada persona. Còfia: bossa de tela en la qual s'arreplegava el cabell, ja que l'home de l'època el solia portar llarg, s'usava per comoditat per a treballar encara que també s'usaven per a festes les de teixits més fins. Podien rematar-se amb borles. Barret: peça amb moltes variants; la gorra que solia ser de drap, amb caigudes cap als costats cobrint les orelles. El barret es solia posar sobre el mocador o la còfia, podien ser de feltre o de vellut negre, amb les ales girades, amb la part superior de forma cònica, alguns portaven grans pompons. Encara que en realitat hi havia barrets d'innumerables mides, tipus i formes. Ret: per a les dones, peça reixada que els cobreix els cabells. Gandalla: als balls tradicionals les solen portar les dones, són peces luxoses de puntes de fil fi que cobreixen els cabells. Peus Espardenya: sola d'espart, la puntera i taló del mateix material o un altre, servixen per a ajustar el taló i els dits dels peus, recolzats en la sola per mitjà de cintes, (vetes), encreuades sobre l'empenya. Este calçat s'usava des de temps molt antics en l'època de l'ocupació musulmana. Sabata: en la seua major part eren de color negre, amb sola de cuiro i la resta de pell o d'algun teixit, amb llengüeta alta sobre la qual es posava un llaç o sivella Complements Capa: és una peça d'abrigar, llarga fins als turmells, solta amb grans vols i sense mànegues, portaven una xicoteta capa superposada que arribava fins als colzes anomenada esclavina. Podia ser de drap o vellut, eren negres encara que de vegades podien ser de colors, s'usava en esdeveniments importants. Mantellina o mantell: pot ser de blonda o d'altres teixits, que les dones porten per a cobrir-se les espatlles. Alforja: amb grans butxaques, es portava recolzada en el muscle, era una peça de llana principalment de forma rectangular, amb grans butxaques en els dos extrems, per poder portar diferents objectes, podien anar rematades amb flocs o borles. Joies: no eren peces de gran valor, tenien més aviat funció ornamental, predominaven les de motius religiosos destacant les medalles, creus i rosaris. Referències Vegeu també Barretina Vestit tradicional pasiego Peces de roba tradicionals


text: Els idiòfons són, segons la classificació de Sachs-Hornbostel, instruments que produeixen el so a través de la vibració del seu propi cos. No hi ha una diferència específica entre la part que genera el so i la caixa de ressonància. Habitualment, tant aquests com els membranòfons es consideren instruments de percussió i els toquen els percussionistes encara que no tots siguin realment percudits. La principal forma de classificació d'aquests instruments és segons l'acció que es fa per fer-los sonar i la seva capacitat o no d'emetre notes musicals (so determinat o indeterminat): Instruments directament percudits colpejats, gairebé sempre amb una o més baquetes: So indeterminat: cortina, triangle, plats xinesos, caixa xinesa, gong, etc. So determinat: marimba, xilòfon, metal·lòfon, celesta, vibràfon, litòfon, campanes, carilló Instruments directament percudits entrexocats, que consisteixen en dues parts o meitats, simètriques o iguals que piquen entre elles: So indeterminat: castanyoles, claus, plats, etc. Instruments fregats: So determinat: harmònica de vidre. Instruments indirectament percudits raspats: So indeterminat: güiro, xerrac. Instruments indirectament percudits sacsejats: So indeterminat: sonall, sistre, pandereta, maraques, cascavells, pal de pluja, etc. Instruments pinçats: So determinat: capsa de música o la mbira, o sansa. So indeterminat: arpa de boca Existeixen alguns instruments que són mixtos, idiòfons i membranòfons a la vegada, com la pandereta. Els instruments aeròfons de llengüeta lliure són considerats per alguns com a idiòfons en tant que allò que hi vibra (en bufar o insuflar-hi aire) és la llengüeta, sovint metàl·lica o de canya. Vegeu també Kokiriko Washboard Reco-reco


text: Aquesta és una llista de les illes del món ordenades per població. S'inclouen totes les illes amb una població superior a 1.000.000 d'habitants. Per a comparar, també s'inclouen les masses continentals. Masses continentals Àfrica-Euràsia – 5.000.000.000 d'habitants Amèrica – 900.000.000 d'habitants Austràlia – 20.200.000 d'habitants Antàrtida – Deshabitada Illes Notes – Austràlia es considera generalment un continent i no una illa. Amb 20.200.000 habitants estaria situada en vuitena posició si es considerara una illa. – L'Antàrtida no té residents permanents, però normalment hi ha almenys 1.000 persones vivint a les seves bases, la major part d'ells personal d'investigació. – Composta per 6 províncies, excloent les 4 regències que componen l'illa de Madura – Composta per 34 prefectures, incloent illes menors pròximes – Composta per 8 províncies, incloent illes menors pròximes – Composta per 7 regions administratives, excloent les províncies – Composta per 6 administrative regions, excloent les províncies insulars – Composta per 4 províncies indonèsies, per 2 estats malais i per l'estat sobirà de Brunei – Composta per 6 províncies – Composta per 7 prefectures – Composta per les corporacions municipals del Gran Bombai i Thane – La dada es refereix a la província de Hainan – Composta per 14 províncies de Papua Nova Guinea i 2 províncies d'Indonèsia – La dada es refereix al Districte de Bhola, incloent illes menors pròximes – La dada es refereix a la ciutat-prefectura de Zhongshan, al districte de Xiangzhou de la ciutat-prefectura de Zhuhai) i a Macau. – Composta per 5 regències indonèsies i l'estat sobirà de Timor-Leste – Composta per 4 províncies – Composta per 3 províncies Referències Vegeu també Llista d'illes per àrea Illes de la mar Mediterrània Llista d'illes de Grècia Llista d'illes d'Itàlia Llista d'illots de les Balears i les Pitiüses Illots de Catalunya Llista d'illes del Japó Enllaços externs UN Environment Programme Islands Directory Illes més poblades


text: Iber és un nucli de la ciutat d'Einbeck al districte de Northeim. El 2010 tenia 323 habitants. És un dels nuclis més antics de la ciutat d'Einbeck. Fins a la seva incorporació a la ciutat d'Einbeck l'1 de març del 1974 va ser un municipi independent. Referències Einbeck


text: La indumentària o el vestuari és el conjunt d'induments (vestiments o vestidures), és a dir, és el nom genèric de tota mena de peces que s'usen per a vestir. Inclou les lligadures (de qualsevol material, sense excloure els cascos metàl·lics); la roba; el calçat; els complements (per exemple, el guant i el cinturó) i ornaments (com ara les joies); etc., etc. Per exemple, la indumentària d'un individu és el conjunt de peces de vestir que porta. Per a la història general dels induments, vegeu la secció històrica de l'article roba. El terme indumentària s'usa en particular referent a l'estudi de les vestidures, especialment en l'aspecte històric o arqueològic. Classificació de la indumentària La indumentària es pot classificar segons diversos paràmetres: segons la part del cos que cobreix o on es col·loca, es parla, essencialment, de: lligadures (per al cap); roba (per a tronc i extremitats); calçat (per als peus); complements o accessoris (que més que vestir es duen a sobre i són fàcils de treure); i ornaments. segons el tipus de material. segons el sexe del portador, es distingeix entre indumentària masculina i indumentària femenina; modernament també es parla d'indumentària unisex, portada indistintament per ambdós sexes (i que en general es tracta d'indumentària originàriament masculina adoptada també per les dones). segons l'ús a què es destina, es discrimina, bàsicament, entre indumentària d'ús general i indumentària especialitzada. segons la condició social del portador, es diferencia entre indumentària civil, indumentària militar i indumentària eclesiàstica, cadascuna amb especificitat ben marcada. La indumentària com a disciplina erudita També s'anomena indumentària la disciplina que estudia els induments; és una ciència auxiliar de la història, relacionada estretament, així mateix, amb l'antropologia, la història de l'art, etc. Existeixen tres grans branques especialitzades d'estudis d'indumentària: Indumentària civil o general; Uniformologia, que estudia la indumentària militar; Indumentària eclesiàstica. A voltes la classificació interna de la disciplina indumentària és quadriparteix, en distingir entre una indumentària civil dedicada a l'estudi de la vestimenta que vigeix internacionalment (almenys en un àmbit cultural determinat com, per exemple, l'euròpid); i una indumentària popular o folklòrica, que estudia aquells tipus de vestimenta que són específics de certes ètnies o cultures, o bé de les classes populars per contrast amb unes classes altes vestides a l'estil internacional. Historiografia de la indumentària Des d'antic hi ha hagut interès per la vestimenta des de múltiples punts de vista (comparació entre cultures, moralització, simple curiositat, etc.). En el apareixen els primers estudis centrats en la història de la indumentària, profusament il·lustrats, amb Christoph Weiditz (1529), François Desprez (1562) i, sobretot, Cesare Vecellio (1590). Ja en el , André Lens (Le costume, 1776) sistematitza el camp d'estudi amb voluntat científica. Al llarg del la disciplina d'estudi sistemàtic i científic sobre tipologia i història de la indumentària ateny la maduresa amb les obres de Charles Bonnard (Costumes historiques..., 1829-1830, obra continuada per Georges Duplessis, 1867), Giulio Ferrario (Il costume antico e moderno, 1840), Raphaël Jacquemin (Histoire générale du costume civil, religieux et militaire..., 1876), Paul Lacroix (Moeurs, usages et costumes au Moyen âge et à l'époque de la Renaissance, 1877), Hermann Weiss (Kostümkunde, 1860-1872, 6 volums), Friedrich Hottenroth (Trachten..., 1884-1889) i, sobretot, Auguste Racinet (1825-1893), amb el clàssic i monumental Le costume historique (1876-1888, 6 volums). En la primera meitat del destaquen Camille Piton (Le costume civil en France..., 1913), André Blum (Histoire du costume, 1928), Raymonde Sée (Le costume de la révolution à nos jours, 1929) i la història clàssica per excel·lència, Die Mode (1907-1925, 8 volums), de Max von Boehn (1860-1932); més modesta, continua vigent la panoràmica de Carl Köhler (Praktische Kostümkunde, 1920). A partir de la segona postguerra mundial el camp s'amplia i diversifica, i sorgeixen els estudis sociològics sobre la moda, la interpretació semiòtica, l'anàlisi fisiològica, etc., etc., sense oblidar panoràmiques divulgatives com les de Michèle Beaulieu (Le costume antique et médiéval i Le costume moderne et contemporain, Que sais-je?, 1951). Entre els autors influents en les darreres dècades cal citar James Laver i Alison Lurie. Als Països Catalans els primers reculls il·lustrats d'indumentària apareixen a partir de 1846, a Barcelona, i al principi són traduccions o refregits de les obres franceses de renom. La disciplina va desenvolupant-se i sistematizant-se al llarg de la segona meitat del , sota forta influència de l'escola francesa i amb uns primers estudiosos que ofereixen panoràmiques universals i alhora presten atenció especial a la indumentària, bé espanyola, bé catalana, com Francesc Danvila i Collado (Trajes y armas de los españoles desde los tiempos prehistóricos..., 1877) i Josep Puiggarí i Llobet (Monografía histórica é iconográfica del traje, 1886). En el canvi de segle els estudis catalans sobre història i tipologia de la indumentària atenyen nivell acadèmic, se centren en el patrimoni indumentari i tèxtil del país (civil, popular-tradicional i eclesiàstic) i es desenvolupen en estreta relació amb el col·leccionisme, els estudis històrics i artístics i la museologia. Sobretot al Principat, es realitzen majoritàriament en llengua catalana (per exemple, els catàlegs de la Col·lecció Rocamora, 1933-1935) i amb òptica autocentrada; també es produeixen manualets divulgatius al si de col·leccions enciclopèdiques (Nocions d'indumentària, de Lluís Labarta, Minerva, 1917; Del vestit i de la seva conservació, de Rosa Sensat, Minerva, v. 1918; Els teixits, de Joan Carreras i Palet, Barcino, 1928). D'altra banda, seran editorials barcelonines les que publicaran en traducció espanyola les obres magnes de Hottenroth (Historia del traje, Montaner y Simon, 1893, 2 volums) i de Boehn (La moda, Salvat, 1928-1929, 8 volums, amb 4 volums addicionals en 1947-1950), així com, des de Vilassar, Beaulieu (1971 i 1987). Amb el parèntesi del franquisme (Un siglo de modas barcelonesas, de Manuel Rocamora, Aymà, 1944), actualment hi ha una producció considerable d'estudis indumentaris i sobre la moda en català, molt especialitzats (universitats, IEC, museus) i també de divulgació (com Cinc-cents anys d'indumentària a Catalunya, de Cristina Borau, Terra Nostra, 1992, i els diversos llibres de la col·lecció Orígens de l'Editorial Albertí, en curs de publicació). Hi destaca, així mateix, la producció del Museu del Disseny de Barcelona i del Centre de Documentació i Museu Tèxtil de Terrassa. Bibliografia Carbonell Basté, Sílvia. El col·leccionisme i l'estudi dels teixits i la indumentària a Catalunya: segles -XX [tesi doctoral]. Bellaterra: UAB, Departament d'Història de l'Art i Musicologia, 2016. Deslandres, Yvonne. El traje, imagen del hombre. Barcelona: Tusquets, 1985. (Los 5 sentidos; 22) Lurie, Alison. El lenguaje de la moda: una interpretación de las formas de vestir. [Traducció de Fernando Inglés Bonilla] Bzarcelona; Buenos Aires; México: Paidós, 1994. (Paidós contextos; 17) Racinet, Auguste. The complete costume history: from ancient times to the 19th century = Vollständige Kostümgeschichte: vom Altertum bis zum 19 Jahrhundert = Le costume historique: du monde antique au XIXe siècle. Köln [etc.]: Taschen, 2006. (cart.) Vegeu també Indumentària al segle XVIII Berg Encyclopedia of World Dress and Fashion Enllaços externs http://news.bbc.co.uk/local/wiltshire/hi/people_and_places/history/newsid_8299000/8299700.stm http://www.itaaonline.org/template.asp?intPageId=1 http://www.german-hosiery-museum.de/hosiery-museum.htm http://www.eva.mpg.de/genetics/pdf/Kittler.CurBiol.2003.pdf http://hearth.library.cornell.edu/


text: In vivo és una expressió llatina que s'utilitza per descriure experiments químics, físics o farmacològics que tenen lloc dins d'un organisme viu, per oposició als que es duen a terme en un ambient artificial (in vitro). Investigació in vivo Aquest tipus d'investigació s'aproxima al subjecte d'experimentació holísticament. És sovint més apropiat per a l'observació d'efectes finals i totals per a un experiment en el subjecte vivent. En la biologia molecular, in vivo es refereix a experimentació a nivell cel·lular, on aquestes poden ser trencades i analitzades. En el passat, els conillets d'índies van ser tan comunament usats in vivo com a subjecte experimental, que es va fer part de l'idioma català tant com l'anglès: "ser un conillet d'índies per a algú/alguna cosa". No obstant això, aquests animals han estat reemplaçats per un tipus de rata que és més petit, barat i ràpid en reproducció. També pot fer referència a qualsevol tipus d'experimentació per oposició a aquella que es fa in vitro, per exemple, els experiments de propagació de plantes que es fan en vivers es consideren in vivo, contrari al que succeeix quan es propaguen plantes en tubs d'assaig, que es considera in vitro. En ambdós casos el subjecte d'experimentació és viu. Vegeu també in vitro in utero in planta in silico in situ ex vivo Biologia


text: In vitro és una expressió llatina que s'utilitza per descriure experiments bioquímics que es duen a terme en un ambient artificial. En canvi, s'utilitza l'expressió in vivo per descriure processos estudiats dins d'un organisme viu. Generalment, les condicions en el medi cel·lular poden ser molt diferents de les que es donen en un tub d'assaig. Per tant, la distinció in vivo-in vitro és important en bioquímica o biologia molecular. Investigació in vitro Molts experiments en biologia cel·lular són portats a terme fora de l'organisme. Els experiments in vitro poden produir resultats poc exactes perquè les condicions poden, de vegades, no correspondre a les condicions dins de l'organisme. Conseqüentment, aquests resultats experimentals són sovint denominats in vitro, per distingir-los dels experiments in vivo, en què els teixits estudiats romanen dins de l'organisme en el qual normalment es troba. Vegeu també Indústria del diagnòstic in vitro Biologia Frases en llatí


text: Els isòtops d'un element químic són àtoms amb el mateix nombre atòmic (nombre de protons), però diferent nombre màssic (protons més neutrons). És a dir, els seus nuclis atòmics tenen el mateix nombre de protons però diferent nombre de neutrons . El nom, basat en els mots grecs ἰσο-, iso-, mateix, i τόπος, topos, lloc, fou adoptat pel radioquímic anglès Frederick Soddy, a partir d'un suggeriment de la metgessa i escriptora Margaret Todd, a causa del fet que els isòtops ocupen el mateix lloc en la taula periòdica dels elements. En el llenguatge comú és habitual utilitzar la paraula isòtop per a referir-se a cada espècie caracteritzada per un determinat conjunt del valor i . Estrictament, tal espècie hauria de ser denominada núclid, i reservar-se la paraula isòtop per als núclids que pertanyen a un mateix element. Així, els núclids carboni 12 i carboni 14 són isòtops de l'element carboni. Història L'existència dels isòtops fou descoberta a conseqüència de l'estudi de les substàncies radioactives naturals. Frederick Soddy (1877-1956) treballà amb el físic britànic Ernest Rutherford (1871-1937) estudiant la desintegració dels elements radioactius i el 1913 fou un dels primers a arribar a la conclusió del fet que existien alguns elements químics que tenien un nombre màssic diferent, però que no es podien diferenciar ni separar químicament. El 1921 fou guardonat amb el Premi Nobel de Química per la seva contribució al coneixement de la química de les substàncies radioactives i les seves investigacions sobre l'origen i la natura dels isòtops. A principis del segle XX començaren a descobrir-se alguns productes intermedis de les cadenes de desintegració dels elements radioactius. Segons Frederick Soddy mateix, la història dels isòtops començà amb el descobriment del radio-tori pel químic escocès William Ramsay (1852-1916) i l'alemany Otto Hahn (1879-1968) el 1905, llavors un nou producte de la desintegració del tori que avui coneixem com a tori 228. El mateix any, el químic polonès Tadeusz Godlewski (1878-1921) descobrí l'actini X (223Ra). El 1907 Otto Hahn descobrí el meso-tori un producte intermedi entre el tori i el radio-tori i el 1908 trobà que en realitat n'eren dos productes. Es feren molts intents d'aïllar el radio-tori, però tots els esforços foren debades. Finalment, s'arribà a la conclusió del fet que no era possible separar-lo per mitjans químics i es trobà que el meso-tori esdevenia radio-tori espontàniament (com a producte del procés de la seva desintegració radioactiva. Característiques Tots els elements químics tenen un o més isòtops. La majoria dels elements naturals són formats per diversos isòtops, les seves proporcions no canvien mai a conseqüència de reaccions químiques, són només el resultat de reaccions nuclears. Les propietats químiques dels isòtops d'un mateix àtom són les mateixes, són determinades pel nombre d'electrons, no pas per la massa del nucli. En canvi, les propietats físiques dels nuclis atòmics poden ser molt diferents. Per exemple, el temps de vida mitjana dels isòtops 12 i 14 del carboni és molt diferent, cosa que es pot aprofitar per datar mostres d'interès històric o arqueològic d'origen orgànic. Els isòtops només poden ser separats per procediments físics (difusió, centrifugació, espectrometria de masses, destil·lació fraccionada i electròlisi). Hom classifica els isòtops en estables, amb una vida mitjana de l'ordre de 3 000 milions d'anys, i inestables o radioactius, que emeten radiacions i es converteixen en altres isòtops o elements. Si la relació entre el nombre de protons i de neutrons no és l'apropiat per a obtenir l'estabilitat nuclear, l'isòtop és inestable, i per tant radioactiu. Nomenclatura Els isòtops poden anomenar-se de tres maneres diferents indicant sempre el nom de l'element o el seu símbol químic i el seu nombre màssic: Amb el nom de l'element, un espai, i a continuació el nombre màssic, com ara calci 48 o urani 235. Amb el símbol de l'element, un guió i el nombre màssic. És el cas de Ca-48 o U-235. Amb el símbol de l'element i el nombre màssic situat com a superíndex a l'esquerra del símbol. Pels isòtops anteriors seria 48Ca i 235U. Separació d'isòtops Separació electromagnètica El mètode electromagnètic de separació d'isòtops de l'urani fou estudiat inicialment pel físic estatunidenc Alfred Nier (1911-1994) de la Universitat de Minnesota. Nier emprà un espectròmetre de masses per enviar un corrent de partícules carregades accelerades dins d'un camp elèctric a través d'un fort camp magnètic. Els àtoms de l'isòtop més lleuger (U-235) es desviarien més pel camp magnètic que els de l'isòtop més pesat (U-238), resultant en dos corrents que podrien ser recollits per receptors diferents. Ernest O. Lawrence (1901-1958) del Laboratori de Radiació de la Universitat de Califòrnia a Berkeley convertí el seu gegantí ciclotró per aconseguir aquesta forma de separació de manera més eficient. Aquest model conduí al posterior disseny i construcció de l'enorme complex a Oak Ridge, Tennessee. Degut al seu cost exorbitant, la separació electromagnètica fou gairebé abandonada després de la guerra per a la producció d'armes, però jugà un paper important en el desenvolupament del camp de la medicina nuclear. Centrifugació Una centrifugadora fou el primer dispositiu utilitzat per separar isòtops. El clor 35 fou separat del clor 37 el 1934 pel físic estatunidenc Jesse Beams (1898-1977) de la Universitat de Virgínia. Els físics nord-americans consideraren que la centrifugadora era la millor opció per a l'enriquiment de l'urani per a fins militars a gran escala l'any 1940, i Beams rebé finançament del govern per intentar l'enriquiment d'urani mitjançant centrifugació. La força centrífuga en un cilindre que gira ràpidament sobre el seu eix vertical podria separar una mescla gasosa de dos isòtops. Això és a causa que l'isotop més lleuger, l'U-235, seria menys afectat per l'acció i podria ser extret a la part superior central del cilindre. Un sistema en cascada format per milers de centrifugadores podria produir una mescla enriquida. Tanmateix la centrifugadora de Beams requeria una enorme quantitat d'energia i només podia funcionar durant un curt període temps per la qual cosa no era adequada per a la producció industrial. Els científics del Projecte Manhattan optaren el 1944 per la difusió gasosa en lloc de les centrifugadores de gas com a mètode principal per a la separació dels isotops d'urani. No obstant això, a principis de la dècada de 1950, un presoner de guerra alemany a la Unió Soviètica construí una centrifugadora eficient i duradora. Mentre les centrifugadores es consideraven una causa perduda en l'enginyeria nuclear nord-americana, els científics estrangers continuaven treballant en aquest àmbit. Els físics soviètics van pensar, amb encert, que la difusió gasosa no tenia sentit, ja que consumiria més energia del que podria produir. Max Steenbeck (1904-1981) i Gernot Zippe (1917-2008), presoners de guerra d'Alemanya i Àustria treballant en un camp de presoners de guerra realitzaren diverses millores en el disseny de Beams. El rotor de la centrifugadora es fe girar sobre la punta d'una agulla, com una baldufa, eliminant així la fricció, mentre que la centrifugadora es feia girar mitjançant un camp electromagnètic. Després de ser alliberat del camp de presoners, Steeneck tornà a Alemanya de l'Est, mentre que Zippe comercialitzà la seva centrifugadora per tot el món. A finals de la dècada de 1950, Zippe treballà com a investigador a la Universitat de Virgínia, on els oficials de la Comissió d'Energia Atòmica es maravellaren de la simplicitat del seu disseny i la tasca per construir una centrifugadora progressà amb molta facilitat. Aquest disseny s'estengué per esdevenir el mètode principal d'enriquiment d'urani i continua sent-ho avui en dia. Producció Hi ha isòtops que es troben a la naturalesa perquè són estables i altres són inestables però es van produint per les cadenes de desintegració dels isòtops de l'urani, del tori o del neptuni. Malgrat aquests són inestables, el seus període de semidesintegració són molt grans i es van desintegrant molt lentament en isòtops inestables que, en desintegrar-se, en generen altres fins a arribar als isòtops del plom que són estables. Per altra banda, mitjançant reaccions nuclears es poden sintetitzar isòtops inestables que no existeixen a la naturalesa. Aquests, en desintegrar-se donen lloc a altres isòtops fins que s'arriba a un que sigui estable. Producció mitjançant reactors Els isòtops poden ser produïts en reactors nuclears exposant materials diana adequats al flux intens de neutrons del reactor durant un temps apropiat. En reactors del tipus de piscina moderats amb aigua lleugera, el nucli compacte és accessible des de la part superior de la piscina. Els materials diana a irradiar són tancats en càpsules, carregats en muntatges senzills i baixats a posicions predeterminades del nucli per a la irradiació. Posteriorment, les dianes irradiades són carregades en recipients adequats de protecció i transportades als laboratoris de química calenta per al seu processament. En reactors moderats amb aigua pesant, del tipus de tanc, alimentats amb urani, s'utilitzen muntatges sofisticats que contenen nombroses càpsules diana per a les irradiacions. En ambdós enfocaments, la qualitat i l'activitat específica dels isòtops produïts depenen tant del material diana com de les condicions de irradiació. Una àmplia gamma d'isòtops es produeixen en reactors, des d'elements tan lleugers com el carboni 14 fins a tan pesants com el mercuri 203, amb irradiacions que varien des de minuts fins a setmanes. Per exemple, el molibdè 99, progenitor del radioisòtop de diagnòstic mèdic àmpliament utilitzat Tc-99m, generalment es produeix mitjançant fissió nuclear induïda per neutrons de dianes amb urani 235, amb un temps d'irradiació de 4 a 8 dies. També es produeix per irradiació amb neutrons d'una diana de Mo-98, segons la reacció: ^98_42Mo + ^1_0n -> ^99_42Mo + \gamma Producció mitjançant acceleradors Els acceleradors de partícules són utilitzats per bombardejar dianes de producció amb feixos de nuclis carregats que impacten en les dianes per produir una àmplia gamma d'isòtops, incloent molts nuclis rics en protons (F-18, C-11) que no estan disponibles en reactors. La reacció del fluor 18, molt emprat en medicina, empra aigua enriquida amb oxigen 18 que es bombardejada amb protons: ^18_8O + ^1_1p -> ^18_9F + ^1_0n Els acceleradors principalment s'utilitzen feixos de protons i deuterons, però en principi també són possibles partícules α i feixos d'ions més pesants. Alternativament, es poden bombardejar dianes primàries per a produir neutrons o fotons, que després impacten en la diana de producció per a formar els isotops d'interès. El rang d'energies i intensitats de partícules varia entre les instal·lacions (per exemple, de 10 a 100 MeV per a ciclotrons comercials dedicats a la producció d'isòtops, o fins a 200 MeV en alguns acceleradors de recerca). Per exemple, el Brookhaven Linac Isotope Producer (BLIP) al Brookhaven National Laboratory utilitza un feix de protons de 200 MeV i 140 μA procedent del Alternating Gradient Synchrotron per a bombardejar mostres i produir Ge-68/Ga-68, Sr-82/Rb-82, així com Zn-65, Mg-28, Fe-52 i Rb-83. Un altre exemple és la Isotope Production Facility (IPF) al Los Alamos National Laboratory, que utilitza un feix de protons de 100 MeV i 250 μA procedent del LANSCE linac per a produir Ge-68/Ga-68 i Sr-82/Rb-82, així com quantitats menors d'Al-26 i Si-32. Per exemple el Mo-99 es produeix en acceleradors mitjançant les següents reaccions, entre altres: ^100_42Mo + ^1_1p -> ^99_42Mo + ^1_1p + ^1_0n^100_42Mo + ^1_0n -> ^99_42Mo + 2 ^1_0n^100_42Mo + \gamma -> ^99_42Mo + ^1_0n Isòtops d'elements químicsmolt pesants i altament inestables se sintetitzen en acceleradors emprant cations d'elements lleugers que impacten contra nuclis d'elements pesants. Per exemple la síntesi del nihoni 278 es realitzà bombardejaren un núclid de bismut 209 amb cations zinc 70: _83^209Bi + _30^70Zn -> _113^278Nh + _0^1n Aplicacions dels isòtops Existeixen nombroses aplicacions que utilitzen les diferències de propietats entre diferents isòtops del mateix element. Marcatge isotòpic Amb el marcatge isotòpic, s'usen isòtops inusuals com a marcadors de reaccions químiques per conèixer el mecanisme que segueixen. Els isòtops afegits reaccionen químicament igual que els presents, però després es poden identificar per espectrometria de masses o espectroscòpia infraroja. Si es fan servir radioisòtops, es poden detectar també gràcies a les radiacions que emeten i la tècnica s'anomena marcatge radioactiu o marcatge radioisotòpic. Són molt emprats en bioquímica i química orgànica els isòtops estables deuteri, carboni 13, nitrogen 15 i oxigen 18. Datació radioactiva La datació radioactiva és una tècnica similar, però en la qual es compara la proporció de certs isòtops d'una mostra, amb la proporció que es troba en la natura. Potser la més important és la datació per radiocarboni, basada en el càlcul de la quantitat de carboni 14 que conté la resta arqueològica d'un ésser viu i en el fet que aquest isòtop, després de la mort, es redueix a la meitat cada 5 730 anys. En geologia es fa servir la datació per potassi-argó, tècnica de datació absoluta de materials geològics formats per solidificació basada en el procés de transformació radioactiva del potassi 40 en argó 40. També és molt utilitzada en arqueologia la datació per urani-tori, tècnica de datació radioactiva basada en la ruptura de l'equilibri secular de la sèrie radioactiva de l'urani 238 i en el procés de desintegració radioactiva d'aquest en tori 230. Substitució isotòpica La substitució isotòpica, es pot usar per a determinar el mecanisme d'una reacció gràcies a l'efecte cinètic isotòpic. Aquest efecte és la disminució de la velocitat de reacció que es produeix quan en una reacció se substitueix un àtom d'un reactiu per un isòtop seu més pesant. Es distingeix entre l'efecte isotòpic cinètic primari, que s'observa quan l'etapa determinant de la velocitat comporta el trencament d'un enllaç en el qual està implicat l'isòtop pesant, i l'efecte isotòpic cinètic secundari, que s'observa encara que en el transcurs de la reacció no es trenqui cap enllaç que impliqui l'isòtop pesant. Ambdós tipus es deuen als canvis que provoca la substitució isotòpica en l'energia vibracional de punt zero del sistema reactant. Anàlisi isotòpica L'anàlisi isotòpica és la tècnica de determinació de l’abundància relativa dels diversos isòtops d’un cert element en un producte donat. L’anàlisi isotòpica utilitza, bé les propietats que depenen només de la diferència de massa entre els isòtops (mesura de densitats, mesura de conductivitat tèrmica de gasos, espectrometria de massa, mesura de les freqüències espectrals característiques en els espectres atòmics i moleculars), bé les propietats intrínsecament nuclears (ressonància magnètica nuclear i, en el cas dels isòtops radioactius, detecció i mesura de la radiació emesa). Per exemple restes de teixits recuperats en jaciments arqueològics, com ara ossos, dents, residus orgànics, cabells o closques marines, poden ser analitzats isotòpicament. La distribució dels isòtops del carboni i del nitrogen s'usen per reconstruir la dieta, i els isòtops de l'oxigen solen determinar l'origen geogràfic i el paleoambient. Els isòtops d'estronci i de plom es poden utilitzar per analitzar els moviments de les poblacions, hàbits migratoris i mobilitat estacional. En arqueologia és comú combinar elements en l'anàlisi isotòpic per reconstruir la dieta, el canvi en les fonts d'aigua, les migracions i les interaccions culturals. Els isòtops de carboni entren en la cadena alimentària quan els herbívors consumeixen plantes, i els isòtops d'oxigen s'introdueixen en la cadena alimentària en consumir aigua lliure i l'aigua continguda en la dieta. Examinant la proporció dels isòtops 12C/13C, és possible determinar si els animals van menjar predominantment plantes dels tipus C3 o C4. Fonts alimentàries potencials del tipus C3 inclouen l'arròs, els tubercles, les fruites, els fruits secs i moltes verdures, mentre que les fonts alimentàries del tipus C4 inclouen el mill i la canya de sucre. Els isòtops de carboni també es poden utilitzar per distingir entre fonts d'aliments marins, d'aigua dolça i terrestres. Ressonància magnètica nuclear Diferents varietats de l'espectroscòpia, es basen en les propietats úniques de núclids específics. Per exemple, l'espectroscòpia per ressonància magnètica nuclear (RMN), permet estudiar només isòtops amb un spin diferent de zero, i els núclids més usats són 1H, 2H, 13C, i 31P. Espectroscòpia Mössbauer L'espectroscòpia Mössbauer, també es basa en les transicions nuclears de núclids específics, com el 57Fe. Energia nuclear Els radionúclids, també tenen aplicacions importants, les centrals nuclears i les armes nuclears requereixen quantitats elevades de certs núclids. Els processos de separació isotòpica o enriquiment isotòpic, representen un desafiament tecnològic important ja que pocs isòtops són fissibles. Per exemple a la natura l'isòtop més abundant (99,27 %) de l'urani és l'urani 238 que no és fissible, però sí ho és l'urani 235, que és poc abundant (0,72 %). La reacció de fissió general de l'urani 235 i un exemple són: Vegeu també Taula d'isòtops Índex de pàgines d'isòtops Núclid Isòbar Referències Bibliografia Enllaços externs Taula periòdica amb informació detallada dels isòtops Física nuclear


text: Un imperi és un gran estat multiètnic, on el poder polític està dominat per una part o una persona, habitualment l'emperador, que té poder absolut. El càrrec d'emperador històricament ha sigut generalment hereditari. El terme modern prové del llatí imperium gràcies a l'Imperi Romà, fundat el 31 aC. Tanmateix, el concepte polític efectiu del que és un imperi va néixer alguns milers d'anys abans que els romans. Probablement el primer exemple fos l'imperi accadi. Un imperi pot tenir diverses formes. Tradicionalment, els imperis eren els regnes d'una monarquia potent, sota el comandament d'un emperador. Històricament, el naixement d'un imperi és conseqüència del fet que militarment el regne més fort ha conquerit altres regnes i inclosos en els seus territoris creant una unió política més gran. Sovint, aquests estats multiètnics troben força en la unió d'una mateixa religió. Així mateix passà amb la Roma de Constantí I el Gran. El descobriment del nou món va possibilitar que molts regnes comencessin amb el model del colonialisme, que es refereix al control dels territoris colonitzats per part de les potències europees. La Primera Guerra Mundial fou precisament una lluita per la supremacia dels diferents imperis europeus, ja que en el conflicte hi batallaren l'Imperi Rus, l'otomà, l'austríac, etc. Subimperi és un estat relacionat amb altres potències, però que depèn d'una altra potència imperial. Per exemple, durant la guerra freda, Cuba (al costat de l'URSS) i Sud-àfrica (Estats Units) van batallar a Angola en lloc de l'URSS i els Estats Units respectivament. Alguns títols utilitzats pels caps d'imperis eren cèsar (Roma), tsar (Rússia), emperador o kàiser. Imperis més importants Entre els diferents imperis de la història hi ha: Imperis americans (precolombins): Imperi Asteca Imperi Inca Imperis africans: Imperi abissini Imperi del Congo Imperis asiàtics: Imperi accadi Imperi àrab-musulmà Imperi gupta Imperi japonès Imperi mogol Imperi Mongol Imperi meda Imperi Otomà Imperi Persa Imperi safàvida Imperi xinès Imperis europeus: Imperi alemany Imperi Austrohongarès Imperi Romà d'Orient Imperi Britànic Imperi Espanyol Primer Imperi Francès Imperi italià Imperi Portuguès Imperi Romà Imperi Rus Sacre Imperi Romanogermànic Imperi suec


text: fou un prolífic autor de còmics. Fou el creador de gran quantitat de sèries humorístiques, com Mortadel·lo i Filemó. A Espanya moltes de les seves sèries es perceben encara com una icona essencial de la vida de diverses generacions i molts altres dibuixants posteriors de còmic reconeixen la seva enorme influència. Els seus àlbums han aconseguit vendre més de 150 milions d'exemplars, un fenomen comercial que rivalitza amb els grans èxits de mercats consolidats com el japonès. Així, Ibáñez s'ha convertit en un dels autors més importants de la història del còmic i en l'autor català que ha aconseguit vendre més exemplars de les seves obres. Biografia Francisco Ibáñez va néixer a Barcelona, quatre mesos abans de l'esclat de la Guerra Civil, en una família de classe treballadora, fill de pare alacantí i mare andalusa. Després d'estudiar a les Escoles Guimerà, va treballar en el Banco Nacional de Credito mentre publicava els seus primers dibuixos, fins que, el 1957, va decidir dedicar-se per complet al còmic i va entrar a formar part de la plantilla de l'editorial Bruguera, de la que se'n convertiria en un dels autors clau. El 1958 apareix la primera entrega de Mortadel·lo i Filemó a la revista Pulgarcito. Des de llavors i durant la dècada dels 60 Ibáñez va crear alguns dels seus millors personatges per a diferents revistes de l'editorial: La familia Trapisonda (Pulgarcito núm. 1418, 7 de juliol de 1958), 13, Rue del Percebe (Tío Vivo, 1961), El botones Sacarino (DDT, 1963), Rompetechos (Tío Vivo, 1964) i Pepe Gotera y Otilio (Tío Vivo, 1966). Durant la dècada dels 60 Ibáñez esdevé l'autor més popular i prolífic de l'editorial Bruguera, mostra d'això és el fet que a partir dels anys 70 la capçalera estrella de la casa serà la revista Mortadelo, mentre que a la resta de revistes el personatge de portada serà un d'Ibáñez, com El botones Sacarino o Pepe Gotera y Otilio. En aquesta època Ibáñez arribaria a dibuixar i guionitzar més de 20 pàgines setmanals. Inclús malgrat aquest esforç, l'editorial demandava més pàgines dels seus personatges, sobretot Mortadel·lo i Filemó, així que, a desgrat del mateix Ibáñez, la direcció de Bruguera va contractar nous dibuixants perquè feren historietes apòcrifes de les seues creacions, que ell mai va signar. Malgrat això, Ibáñez va continuar escrivint les històries llargues de Mortadel·lo i Filemó (aquelles més rendibles per a Bruguera, ja que es venien a Espanya, però també al mercat estranger) fins que va abandonar l'editorial, poc abans que fes fallida. El 1985 Ibáñez va abandonar l'editorial Bruguera i va començar a treballar per a Grijalbo. Bruguera s'havia quedat amb els drets dels seus personatges, de manera que l'Ibáñez va haver de crear nous personatges per a la revista Guai!: així van néixer Chicha, Tato y Clodoveo, de profesión sin empleo i 7, Rebolling Street. El 1988 arriba a un acord amb Edicions B, empresa "hereva" dels drets de Bruguera, quebrada en 1986, i des de llavors segueix realitzant historietes dels seus personatges. Per a aquesta nova etapa va anar afegint als còmics, progressivament, elements d'actualitat o de modes de l'època, aconseguint mantenir l'èxit de públic. Des de llavors realitza 6 nous àlbums de Mortadel·lo i Filemó per any, a més d'escriure puntualment noves pàgines de dues de les seues sèries preferides: Rompetechos i 13, Rue del Percebe. El 1994 va rebre el Gran Premi del Saló del Còmic de Barcelona pel conjunt de la seva obra i el 2001 se li atorgà la Medalla d'Or al Mèrit en les Belles Arts. Fins a l'any 2014 vivia a Lliçà d'Amunt, al barri de Can Salgot. Una part dels còmics originals de la seva etapa a l'Editorial Bruguera es van cedir a l'Ajuntmament de Parets del Vallès, juntament amb la masia Can Cot amb la condició de crear el museu del còmic i exhibir-los, actualment aquests còmics estan emmagatzemats en unes dependències municipals, la resta van desaparèixer durant la venda de la impremta que tenia el Grupo Z Grupo Zeta al mateix municipi, on hi havia l'arxiu de l' Editorial Bruguera. Caricaturitzat a la seva obra El mateix Ibáñez es va caricaturitzar nombroses vegades en les seves historietes, arribant a ser un personatge principal en algunes, com si fos un personatge més. Era habitual que es rigués d'ell mateix, presentant-se com un individu envanit que cobra molts diners per dibuixar i també (això potser més proper a la realitat) que treballa moltíssim, encara que els seus propis personatges feien burla de la seva capacitat per a dibuixar bé. També era habitual, en els seus temps en l'Editorial Bruguera que, en nombrosos especials, la redacció fos caricaturitzada i els treballadors i dibuixants més coneguts exercissin de personatges en una trama historietística. En alguna de les historietes més recordades on es parodiava la redacció, Ibáñez també feia acudits sobre l'avançada edat dels seus companys dibuixants. De fet, per l'estima i compenetració que tenia amb aquests dibuixants, com Raf i Escobar, s'han d'entendre aquests acudits, no com una broma, sinó com un homenatge als seus amics. De fet, els últims anys, amb la desaparició dels seus companys historietistes, el mateix Ibáñez es va caricaturitzar i va fer acudits a les seves historietes sobre la seva pròpia edat. Obra Kokolo, editorial Marco (1952-1958) Melenas, editorial Marco (1954) Don Usura, editorial Marco (1955) Haciendo el indio, editorial Marco (1955) Dreson, editorial Nueva (1955) La família Repollino, editorial Marco (1956) Curiosidades y rarezas de todo el mundo, editorial Marco (1956) Pepe Roña, editorial Gestión (1957) El caballero Buscabollos, editorial Gestión (1957) El tío Tranca, editorial Gestión (1957) Loony, editorial Gestión (1957) Furgensio, editorial Marco (1957) Pie Sucio, editorial Marco (1957) Don Adelfo, editorial Bruguera (1958) Ellas y... editorial Bruguera (1958) Mortadel·lo i Filemó, agència d'informació, editorial Bruguera (1958) La familia Trapisonda, un grupito que es la monda, editorial Bruguera (1958) Felisa y Colás, editorial Bruguera (1958) La Historia esa, vista por Hollywood, editorial Bruguera (1959) Increíble pero mentira, editorial Bruguera (1960) Claro que... editorial Bruguera (1960) Ríase..., editorial Bruguera (1960) El escudero Bartolo o ¡qué calor hace, Manolo!. Sense editorial (1960-1962) Ande, ríase usté con el arca de Noé, editorial Bruguera (1961) 13, Rue del Percebe, editorial Bruguera (1961) Godofredo y Pascualino viven del deporte fino, editorial Bruguera (1961) Polito, tipo duro, editorial Bruguera (1961) Cabeza de Ajo, el penúltimo navajo, editorial Bruguera (1962) Kitín, el amigo de los niños, editorial Bruguera (1962) Balín y Balón, editorial Bruguera (1962) Increíble pero mentira (1961) El botones Sacarino, de El Aullido Vespertino, editorial Bruguera (1963) Jo, editorial Bruguera (1963) Rompetechos, editorial Bruguera (1964) Uhu y el niño Prudencio, editorial Bruguera (1964) Don Pedrito que está como nunca, editorial Bruguera (1965) El Doctor Esparadrapo y su ayudante Gazapo, editorial Bruguera (1965) El Sherif de Porra City, editorial Bruguera (1965) Policarpo, editorial Bruguera (1965) Pepe Gotera y Otilio, chapuzas a domicilio, editorial Bruguera (1966) Pepsi-Cola presenta a Pepsiman, editorial Bruguera (1966) Doña Pura y Doña Pera, vecinas de la escalera, editorial Bruguera (1966) Kina San Clemente presenta Kinito, editorial Bruguera (1966) Tete Cohete, editorial Bruguera (1983) Chicha, Tato y Clodoveo, de profesión sin empleo, editorial Gribaljo (1986) 7, Rebolling Street, editorial Gribaljo (1986) Doña Pura y Doña Pera, vecinas de la escalera La historia esa vista por Hollywood (sèrie creada per Vázquez i continuada per ell) Personatges poc coneguts Molts personatges d'Ibáñez varen tindre una vida efímera. Alguns varen aparèixer només ocassionalment o bé a publicacions de poca circulació. Entre aquests cal mencionar: Felisa y Colás (1958) Don Adelfo (1958) Polito, tipo duro (1961) Balín y Balón (1961) El escudero Bartolo o ¡que calor hace, Manolo! (1961) Cabeza de Ajo, el penúltimo Navajo (1962) Policarpo (1965) El sheriff de Porra City (1966) Remigio Capirote, geniecillo con bigote (?) Personatges publicitaris Kinito, mascota de la Kina San Clemente Don Pedrito que está como nunca, mascota del cognac FUNDADOR Pepsi Man Uhu y el niño Prudencio'' Referències Bibliografia Enllaços externs F. Ibáñez a Humoristan, el museu digital dedicat a l'humor gràfic. Entrevista a Ibáñez a 13, rue Bruguera. Francisco Ibáñez a Lambiek.net Mortadel·lo i Filemó Francisco Ibáñez Guanyadors del Gran Premi del Saló Internacional del Còmic de Barcelona Creus de Sant Jordi 2021 Naixements del 1936 Morts el 2023 Morts a Barcelona


text: Indi (element) abreviatura tradicional d'Insuficient, qualificació escolar de suspens o avaluació negativa Domini .in


text: El concepte d'infinit apareix en diverses branques de la filosofia, la matemàtica i l'astronomia, en referència a una quantitat sense límit o final, contraposat al concepte de finitud. En matemàtiques l'infinit, representat amb el símbol ∞ (), és la fita superior del conjunt del nombres reals. Tanmateix, no es tracta d'un nombre en si, sinó d'un concepte al qual hom només s'hi pot aproximar mitjançant límits. Per exemple, en la funció , quan x tendeix a 0 (és a dir, s'aproxima cada cop més a 0), tendeix a l'infinit (es fa cada cop més gran), però no es diu que arriba al valor "infinit". Símbol El símbol de l'infinit va ser introduït pel matemàtic anglès John Wallis el 1655, en la seva obra De sectionibus conicis, i poc després en lArithmetica Infinitorum: esto enim ∞ nota numeri infiniti. Té la forma de la Lemniscata de Bernoulli, encara que realment es desconeix d'on Wallis va treure la idea. Molts comenten que té la forma d'una banda de Moebius, però no és cert, ja que el descobriment d'August Möbius va ser posterior. Hi ha tres hipòtesis pel que fa a l'origen d'aquesta elecció. La més habitualment admesa és que es tracta d'una evolució de la xifra que designa '1.000' en numeració romana: de manera successiva X, després CIƆ, abans d'esdevenir M. L'evolució gràfica del segon símbol hauria donat . Paral·lelament, s'observa l'ús de la paraula llatina mille en plural per a designar un nombre arbitràriament gran i desconegut. En català, es diu n'hi ha milers amb aquest mateix sentit. El símbol actual seria doncs simplement l'evolució del dígraf en minúscula cıɔ en escriptura manuscrita uncial. Una hipòtesi rival és que el símbol procediria de la lletra grega ω, última lletra de l'alfabet grec, i metàfora habitual per designar l'extrem final (com en l'expressió l'alfa i l'omega). A partir de Georg Cantor, per altra banda, es fan servir lletres gregues per designar els nombres ordinals infinits. El nombre ordinal infinit més petit, que correspon a l'ordre usual sobre els nombres naturals, s'anota ω. Finalment, Georges Ifrah, en la seva enciclopèdia La història universal de les xifres, explica que la grafia de l'infinit es remunta a la civilització índia, i més particularment a la mitologia índia. L'Ananta (terme sànscrit que significa 'infinit'), la «serp infinita» del déu Vishnu, es representa enrotllat sobre ell mateix a la manera d'un «vuit caigut». Història L'infinit potencial a l’antiguitat Els matemàtics han fet servir de sempre la pertinença i la inclusió, però han tingut grans dificultats per associar a aquests conceptes els de nombre i grandària. Es conformaven amb la possibilitat d'augmentar tota grandària donada, o de disminuir-la si es tracta d'una grandària continua. Els grecs són la primera civilització de la qual ens consta que van arribar a establir un concepte d'infinit. Se li atribueixen les primeres aparicions en la seva història a Anaximandre (c. 610 - c. 546 aC), un filòsof pre-socràtic nadiu de Milet, qui nombra l’infinit com apeiron, que vol dir sense límits, infinit, indefinit o indeterminat. Tanmateix, aquesta paraula fou també utilitzada per descriure el caos original des del qual es va originar el món. No és estrany, doncs, que el mot apeiron fos pejoratiu. L'observació tradicional portà a la necessitat d’un concepte d’infinit: sembla que es pot subdividir una línia indefinidament, no es pot trobar el principi ni el final del temps, sempre podem trobar un nombre natural més gran que el donat anteriorment... Cal entendre que molts conceptes matemàtics desenvolupats a l’època necessiten l'infinit. Treballs com els dels pitagòrics, que veuen que la diagonal del quadrat no és mesurable amb el seu costat o definicions com les que fa Euclides als seus Elements sobre els nombres primers “hi ha més nombres primers que en qualsevol col·lecció de nombres primers” eludeixen clarament a aquest concepte. En efecte, no ser mesurable respecte al costat del quadrat significa no poder ser expressat com una fracció de nombres enters, per tant, ésser un nombre irracional (infinites xifres decimals no periòdiques). D’altra banda, el fet d’haver-hi més nombres que en qualsevol col·lecció indica haver-hi infinits nombres. Veiem, doncs, que la postura grega davant tal concepte implica una dificultat afegida a l’avenç en aquests estudis. Al llarg d’aquesta època, distints pensadors s’enfronten a l’infinit i tracten amb aquest problema. Zenó d'Elea i les seves paradoxes Trobem en Zenó d’Elea (c. 490 - 430 aC) un exemple del rebuig o terror que se sentia cap a l’infinit. Pensador pre-socràtic, formulà problemes per als seus alumnes, paradoxes que juguen amb el concepte i que s’han fet famoses i han perdurat a través de la història. En conservem nou, comentades a la Física d'Aristòtil. Es consideren un dels primers vestigis de la reducció ad absurdum o per contradictio. Tres de les més famoses són: Aquil·les i la tortuga. “En una cursa, el corredor més ràpid no pot mai sobrepassar al més lent, ja que el perseguidor ha d’arribar primer al punt on el perseguit ha començat, de manera que el més lent sempre manté un avantatge.”En aquesta paradoxa, Zenó planteja la situació d’una cursa entre Aquil·les i una tortuga. Aquest li dona avantatge a la tortuga al començar i s’imposa la condició que haurà d’arribar sempre primer al punt on la tortuga hagi arribat abans d’avançar-la. Per tant, com que hi ha un nombre infinit de punts al que Aquil·les haurà d’arribar abans de poder sobrepassar la tortuga, no podrà superar-la mai. La paradoxa de la dicotomia. “Aquesta és en la que la locomoció ha d’arribar a la meitat del camí que s’està recorrent abans d’arribar al destí.”En aquesta paradoxa, es planteja la situació en què abans d’arribar al destí, primer hem de viatjar la meitat del camí que queda fins a arribar al destí. Així doncs, si volem viatjar una distància d'1, primer hauríem de viatjar . Però si volem viatjar , primer hauríem de viatjar ... I així successivament. Presenta dos problemes principalment. El primer, evidentment, és que implica un nombre infinit de tasques a dur a terme (sempre podem dividir la distància entre dos), de la qual, la resolució de Zenó resulta que tal procés és impossible. L’altre problema, llavors, és que no hi pot haver una distància primera per començar a recórrer, ja que tot nombre pot ser meitat d’un altre. Podem expressar-ho amb la sèrie . La conclusió és, doncs, que tal distància no pot ser ni començada ni acabada. La paradoxa de la fletxa. “Si tot allò quan ocupa un espai igual està en repòs, i quan està en locomoció sempre ocupa tal espai en tot moment, llavors el vol d’una fletxa és sense moviment”.En aquesta paradoxa, Zenó argumenta que per haver-hi moviment, un objecte ha de canviar la posició que ocupa. Durant el vol d’una fletxa, en qualsevol moment (per tant, sense duració) la fletxa no es mou ni cap on és ni cap on no és: no es pot moure on està perquè ja ocupa aquesta posició, no es pot moure cap on no està perquè no hi ha un període suficient per canviar la seva posició. Per tant, en cap instant de temps hi ha moviment. I si tot és sense moviment en qualsevol instant i el temps està compost d’instants, llavors el moviment seria impossible. Aquests problemes han estat analitzats per matemàtics i filòsofs durant els dos mil·lennis posteriors. Tanmateix, són les respostes dels mateixos grecs les que ens interessen, ja que demostren prou bé el fort rebuig que sentien cap a l’acceptació de l'existència d’infinit. Èudox de Cnidos Com s’ha mencionat abans, aquest concepte suposà un escàndol al món pitagòric, la filosofia dels quals estava fortament assentada en la perfecció de les formes i la mesurabilitat. Els nombres irracionals mai foren acceptats i per tal d’evitar la confrontació amb aquests i salvar el problema de la diagonal del quadrat, s’establí una distinció entre nombre i magnitud del segment. Èudox de Cnidos (c. 400 - 347 aC) s’enfrontarà precisament a aquest problema, vorejant el concepte d’infinit sense caure en ell. Nadiu de Cnidos, una colònia grega de l’Àsia menor, arribà a Atenes com a assistent d’un doctor, on assistí a algunes classes de l'Acadèmia de Plató. A partir d’aquí, segurament per l’herència pitagòrica, farà aportacions a la teoria de proporció. Arquímedes li atribueix el fet de trobar una manera de comparar dues magnituds incommensurables, teoria que trobem al llibre V dels Elements d'Euclides, esmentada com l'axioma d’Èudox:Definició 4: “Es diu que les magnituds guarden raó entre si quan, al multiplicar-se, poden excedir l’una a l’altra.”En el cas concret del problema dels pitagòrics, la comparació entre nombres irracionals i racionals queda solucionada. Si considerem el quadrat de costat i de diagonal , llavors, , cosa que ens permet comparar qualsevol tipus de línies. Relacionat directament amb les seves aportacions a la teoria de la proporció, tenint en compte que ja es pot comparar nombres irracionals, Èudox desenvolupa un mètode anàleg a l’actual integració: el mètode d'exhaustió. Aquest està basat en el treball d'Antifont d’Atenes, un filòsof anterior a ell, sobre l’aproximació de l’àrea del cercle mitjançant la inscripció de polígons regulars de cada cop més costats. Utilitzarà aquest resultat per demostrar certs teoremes, fent-lo més rigorós. La clau del mètode consisteix que la diferència entre l’àrea del n-èsim polígon inscrit i la de la circumferència que el conté esdevé arbitràriament petita si n es fa cada cop major. A mesura que això passa, els possibles valors que pot assolir l’àrea de la circumferència són exhaurits pels valors de les àrees de la seqüència de polígons inscrits. Com podem apreciar, aquest fa servir el concepte que avui en dia anomenem límit: l’àrea dels polígons inscrits tendeix a l’àrea de la circumferència a l’infinit. Ja que aquest pas no es podia donar, Èudox soluciona el problema definint allò tan petit com es vulgui. Euclides, qui ja hem vist que no contempla l’ús del concepte d’infinit, usarà aquest mètode al llibre XII dels Elements per demostrar les següents proposicions (sobre cercles):Proposició 2: Els cercles són l’un a l’altre com els quadrats dels seus diàmetres.Proposició 3: Tota piràmide que té com a base un triangle es divideix en dues piràmides iguals, semblants una a l’altra i a la piràmide sencera, que tenen triangles com a base, i es divideix en dos prismes iguals; i els dos prismes són majors que la meitat de la piràmide sencera.Proposició 10: Qualsevol con és la tercera part del cilindre que té la mateixa base i la mateixa altura.Proposició 11: Els cons i els cilindres que tenen la mateixa altura són un a l’altre com les seves bases.Proposició 12: Els cons i cilindres semblants guarden entre si una raó triplicada de la que guarden els diàmetres de les seves bases.Proposició 18: Les esferes guarden una amb l’altra una raó triplicada de la raó dels seus respectius diàmetres.Poc més tard, Arquímedes l’utilitzarà per als seus problemes de càlcul de quadratures i corbes. Aristòtil i l'infinit potencial El gran filòsof que s’encara al concepte d’infinit i tracta de solucionar els problemes que suposa és Aristòtil (384 - 322 aC). Recull les idees dels seus antecessors i contemporanis: tant els pitagòrics com Plató consideren l’infinit com una cosa en si mateixa, més que un atribut d’alguna cosa més; d’altra banda, autors com Anaxàgores i Demòcrit, als que considera físics, defineixen l’infinit com un atribut d’una substància, més que una entitat en si mateixa. Aristòtil comença a tractar l’infinit al llibre tercer de la Física. La ciència, explica, és l'estudi de la naturalesa i aquesta és definida amb el principi del canvi i la permanència. El canvi s’entén com una cosa continua i, per tant, infinitament divisible. Així que el concepte d’infinit surt directament del concepte de natura i no només com a curiositat filosòfica. Llavors, prossegueix, és evident que els físics -que són aquells que estudien la naturalesa- investiguin si l’infinit existeix o no i, en el cas que existeixi, discuteixin de quina manera. Donarà cinc raons per fonamentar el seu raonament sobre l'existència i essència de l’infinit:-Per la natura del temps, ja que aquest no té final.-Per la divisió de les magnituds, els matemàtics utilitzen també la noció de l’infinit.-Si el fet de néixer i morir no acaba mai és perquè d’allà d’on venen les coses és infinit.-Perquè allò limitat sempre troba el seu límit en alguna cosa, llavors no hi deu haver límit si tot està limitat per alguna cosa diferent de si mateixa.-La més important de totes, la raó més apropiada i que comporta la dificultat que tothom entén, tant els nombres com les magnituds matemàtiques i tot allò més enllà del cel són suposadament infinites perquè no acaben mai en el nostre pensament.Aquesta última raó és la que millor justifica la necessitat d’un infinit, ja que no podem concebre algunes coses - com les sèries de nombres, el començament i el final del temps, una línia indivisible - amb un fi concret. Aristòtil explica, als dos capítols anteriors de la Física que és impossible que l’infinit existeixi en matèria, com és igualment impossible trobar un cos amb una superfície infinitament gran. Així doncs, per sil·logisme disjuntiu arriba a la conclusió que l’infinit ha d’existir de manera potencial. “Si, llavors, tenint en compte les consideracions anteriors, cap de les alternatives sembla possible, hem de cridar un àrbitre; veiem clarament que hi ha un sentit en el qual l’infinit existeix i un altre en el que no.”Segons ell, la nostra capacitat de comprendre el món depèn de la nostra habilitat de comprendre les substàncies i l’actualitat i no podríem fer això si les definicions d’aquests conceptes fossin infinitament complexes. És a dir, rebutjant l’actual infinit Aristòtil posa el potencial infinit com a concepte clau dels seus arguments. Ens recorda, al llibre sisè de la Física:“Ésser pren molts significats, i nosaltres diem que l’infinit és de la mateixa manera que diem avui és de dia o avui són els jocs [Olímpics], perquè una cosa rere l’altre sempre acaben existint. Entre aquestes coses la distinció entre potencial i existència actual es manté. Diem que són els Jocs Olímpics, en els dos sentits: en el sentit que ho seran i en el sentit que estan ocorrent.” Podem extreure una idea bàsica del pensament d'Aristòtil. Els conceptes d'infinit potencial i infinit actual són molt diferents. El primer queda molt ben exemplificat per la cita “generalment, l’infinit té aquest mode d’existència: sempre es pot treure una cosa rere l’altre, i cada cosa que es treu és sempre finita, però sempre diferent" (Física, llibre 3, capítol 6). És a dir, allò incomplet, sempre podem afegir algun element més, però mai arribem a l’infinit. És el cas, per exemple, dels nombres naturals. Contràriament, l'actual infinit es defineix com un concepte, una abstracció, que representa la totalitat, la completitud, l’assoliment de l’infinit. Aquest darrer és el realment rebutjat per Aristòtil, mentre que l'infinit potencial és el que perdurarà a la història grega. Arquímedes i les aproximacions al càlcul integral Gairebé 100 anys després, Arquimedes (c. 287 - 212 aC) reprèn aquests conceptes. Per una banda, utilitza el procés d’exahució rigorosament per demostrar certs resultats, com en La quadratura de la paràbola on demostra que l’àrea del segment parabòlic és l’àrea del triangle inscrit: Essencialment, i precisament per això diem que és un prompte vestigi de càlcul integral, Arquimedes obté la següent progressió (sabent que l'àrea de cada subdivisió del triangle en triangles inferiors és quatre vegades menor a l’anterior, la suma total de totes les àrees, com podem veure a la imatge anterior, donarà lloc a l’àrea de la paràbola buscada): Pel mètode de l'exhaustió, l’àrea dels triangles van exhaurint l’àrea del segment parabòlic i fa el pas al que actualment anomenaríem límit: tendeixen a l’àrea de la paràbola. Aquest mateix procés fou utilitzat en altres resultats tals com calcular la quadratura de l'espiral o la suma dels quadrats enters. En la seva famosa obra El Mètode es fan presents, altre cop, els conceptes d'infinit potencial i d'infinit actual. Arquimedes no argumenta que pot inscriure infinits triangles al segment parabòlic, si no que pot fer aquesta aproximació tan bona com es vulgui, d’on veiem la clara definició que dona Aristòtil a la Física de l'infinit potencial. Tanmateix, recents descobriments sobre l’obra arquimediana demostren que arribà a treballar amb l'infinit actual. En unes pàgines trobades en molt mal estat, calcula el volum d’un cos amb la forma semblant a una ungla mitjançant l'envoltura de superfícies planes. En lloc de fer aproximacions cada cop millors, com fa amb la paràbola, descriu un tall bidimensional a través del volum gran que conté el petit. Precisament, Arquimedes troba una relació entre l’àrea que descriu la secció del contenidor de figures planes i l’àrea que descriu la secció de la corba. Argumenta que pot utilitzar aquesta relació per calcular el volum complet de la forma corbada, perquè ambdues figures contenen el mateix nombre de talls. Notem que arriba a parlar de nombre (plethos) i, per tant, aquest és un dels únics vestigis d’un matemàtic grec que accepta la consideració de l’infinit com un nombre, id est, que parla directament de l’actual infinit. Els àrabs es convertiran en custodis de l’herència grega, avançant i explorant cada cop més els conceptes matemàtics ja establerts, com en el cas de l’aritmètica i l’àlgebra. Concretament, treballaran amb més llibertat que no pas els seus antecessors amb els nombres irracionals, tot i que l’infinit no serà tractat com a tal fins gairebé mil anys després. Altres Galileu es fixa que hi ha una correspondència biunívoca entre els nombres naturals i els seus quadrats, d'on dedueix que l'afirmació habitual: «el tot és més gran que la part» no es verifica quan es parla de quantitats infinites. Tanmateix, lluny de trobar-hi una motivació per a l'estudi dels conjunts infinits, hi veu la prova del caràcter no operatiu de l'infinit, posició aprovada més de dos segles més tard per Cauchy. Així doncs, fins bastant abans de l'època moderna, els matemàtics es prohibien fer servir directament els conjunts infinits i preferien raonar sobre les propietats dels seus elements. Això no va impedir el naixement del càlcul infinitesimal, tal com reconeix Bourbaki, L'infinit potencial i els constructivistes moderns Procedent de la «crisi dels fonaments» del començament del , el corrent intuïcionista, promogut per Brouwer, rebutja els mètodes de la lògica clàssica, que considera que no és aplicable en qualsevol cas als objectes infinits. Avui aquest terme, intuïcionista, s'aplica a una axiomatització ben precisa de la lògica sense terç exclòs. Una forma de filosofia matemàtica que es reivindica normalment de la de Brouwer és la del corrent constructivista, un representant notori del qual, Roger Apéry ha exposat així el concepte de l'infinit : Si extrapola la realitat, el matemàtic constructiu refusa les hipòtesis fantàstiques dels platònics; en efecte (...) constata que la matemàtica es desenvolupa en el temps. (...) la seva immortalitat li permet assolir nombres tan grans com vulgui, però no definir tots els nombres; creu en l'infinit potencial, no en l'infinit actual. És la incursió del temps que, en efecte, per als constructivistes distingeix l'infinit potencial, les parts del qual es construeixen de manera successiva, de l'infinit actual, les parts del qual es donen de manera simultània; ara bé, per a ells, es tracta, en efecte, d'una activitat humana; «No hi ha matemàtiques sense matemàtic», diu Apéry. L'infinit actual i el temps A l'edat mitjana, sant Bonaventura havia afirmat que des d'un pur punt de vista lògic -independentment del que deia la Bíblia- era impossible que el món sempre hagués existit; Tomàs d'Aquino va refutar aquesta asserció per un raonament formal, res en absència d'informació no permet excloure a priori una eternitat completada en l'actualitat. Un sofisma cèlebre, imaginat pel creacionista americà W. L. Craig segons una paràbola de Bertrand Russell l'objectiu de la qual era un altre, pretén demostrar la impossibilitat d'una duració infinita acabada i, per tant, provar que el món ha tingut un començament, a partir de la història de Tristram Shandy, que escriu la seva autobiografia al ritme d'un any d'escriptura per jornada viscuda, i ha fet això cada any del passat. Per tant, si el temps no ha començat mai, quin dia de la seva vida Tristram Shandy ha començat aquest any? No pot ser cap dia del passat, per tant és impossible que el temps no tingui un origen. La superxeria és evident per a qui coneix les coordenades cartesianes: el guió implica una contradicció: Tristram Shandy, que escriu 365,25 vegades més a poc a poc que el rellotge ha començat necessàriament la seva autobiografia algun dia, cosa que en cap cas no prova la necessitat lògica d'un començament del temps. L'infinit en matemàtiques El cos estès dels nombres reals Linfinit no és un nombre real, però pot ser considerat part del conjunt estès dels nombres reals, on les operacions aritmètiques amb l'infinit es poden dur a terme. No és realment un nombre. Tot nombre dividit per zero, excepte el zero, dona com a resultat l'infinit. Indica la impossibilitat de realitzar alguna operació sobre cert valor numèric. A pesar de tot, si s'observen punts molt pròxims (això vol dir cercar el límit), es comprova que apropant-s'hi prou, els resultats poden superar qualsevol valor prefixat per molt gran que sigui. Operacions de l'infinit amb ell mateix Operacions de l'infinit amb nombres reals . i Si aleshores i . Si aleshores i . Operacions no definides i i També s'ha de dir que , ja que 0 vegades infinit no està definit. Anàlisi no estàndard La formulació original del càlcul infinitesimal feta per Newton i Leibniz feia servir quantitats infinitesimals. Al , es va demostrar que aquest tractament es podria fonamentar de manera rigorosa mitjançant diversos sistemes lògics, entre els quals hi ha l'anàlisi no estàndard. Aquí, els infinitesimals tenen inversa respecte de la multiplicació, i els les seves inverses són nombres infinits. Els infinits en aquest sentit són part d'un cos; no hi ha cap equivalència entre aquests com amb els transfinits de Cantor. Per exemple, si H és un nombre infinit, llavors H + H = 2H i H + 1 són nombres infinits diferents. Aquesta aproximació a càlcul no estàndard es desenvolupa plenament en el llibre de H. Jerome Keisler. Anàlisi complexa Com en l'anàlisi real, en l'anàlisi complexa el símbol , anomenat "infinit", denota un límit infinit sense signe. vol dir que la magnitud de x augmenta més enllà de qualsevol valor assignat. Es pot afegir un punt etiquetat al pla complex com un espai topològic que queda compacte en afegir-hi aquest punt. Quan es fa això, l'espai que resulta és una varietat complexa unidimensional, o superfície de Riemann, anomenada el pla complex estès o l'''esfera de Riemann. També es poden definir operacions aritmètiques similars a les que es defineixen pels nombres reals estesos, encara que no hi ha cap distinció en els signes (per això, una excepció és que l'infinit no es pot sumar a si mateix). D'altra banda, aquesta classe d'infinit permet la divisió entre zero, és a dir per a qualsevol nombre complex z. En aquest context, sovint és útil considerar funcions meromorfes com aplicacions a l'esfera Riemann que prenen el valor de als pols. El domini d'una funció amb valors complexos també es pot estendre per incloure-hi el punt de l'infinit. Un exemple important de tals funcions és el grup de transformacions de Möbius. Geometria i topologia Els espais de dimensió infinita es fan servir àmpliament en geometria i topologia. Els exemples comuns en són l'espai projectiu complex de dimensió infinita K(Z,2) i l'espai projectiu real de dimensió infinita K(Z/2Z,1). Teoria de conjunts Infinit de primer ordre Formalment, el concepte d'infinit neix amb la creació, per part principalment de Georg Cantor, de la teoria de conjunts. En aquesta, es treballa amb col·leccions tancades (respecte a l'operador intern) d'elements de qualsevol mena; doncs bé, un dels primers aspectes definidors d'aquest conjunt que apareix de manera natural és com és de gran aquest conjunt. Òbviament, en el càlcul de potències de conjunts finits, la definició és òbvia i evident, però no en el cas de conjunts formats per un nombre "infinit" de termes. Quan un conjunt té un nombre indeterminat d'elements, no es poden comptar (el mateix article n'explica el perquè), així doncs l'única cosa que resta per fer serà comparar el conjunt d'infinits elements amb algun que se'n faci servir de patró. Històricament, es va agafar el conjunt dels nombres naturals com a patró, i s'hi va associar la potència ; un cop fet això, es procedeix a escollir qualsevol altre conjunt de nombre indeterminat d'elements i procedir a la seva comparança (si un conjunt té per potència se'n diu numerable). Imagineu que s'escull el conjunt de nombres racionals, hom pot pensar que, per estar els nombres racionals definits per la divisió no sencera de dos nombres sencers, es tenen dos graus de llibertat i, per tant, la cardinalitat del conjunt en qüestió és major que la del patró escollit abans (). Res més lluny de la realitat, com es pot deduir ràpidament, una manera de comprovar la potència del nostre conjunt respecte de la del conjunt de nombres naturals és posar-los en relació biunívoca, és a dir, relacionar-los d'un a un. Doncs bé, una manera de relacionar-los seria considerar qualsevol nombre racional com , on a i b son nombres coprimers; si es fa una llista amb un cert criteri, per exemple ascendent, aquesta quedarà ordenada directament (vegeu que, en aquest cas, per ser el conjunt de nombres naturals un conjunt totalment ordenat, es pot fer aquesta afirmació). Doncs, si s'aplica el criteri d'alçada a l'hora d'ordenar la llista, definint com a alçada la suma de valors absoluts de numerador i denominador, es té que l'únic nombre racional que té alçada 1 és el , d'alçada dos en tenim i , d'alçada 3 seran , , i ... Com es pot veure, és possible crear una taula tal com: Aquesta taula, òbviament, continua fins allà on es vulga. Es pot comprovar com les diagonals ascendents (les que ascendeixen d'esquerra a dreta) tenen sempre un valor constant, aquest valor és precisament l'alçada abans esmentada, i el nombre de nombres racionals que les compleixen són els valors de la primera fila i primera columna de cada element de la diagonal. Així les coses, els nombres racionals d'alçada 4 seran (tot veient la taula) , i , i a aquests se'ls han d'afegir els corresponents negatius, en total sis nombres racionals. Per tant, cada alçada n tindrà 2*(n-1) nombres racionals associats. Arribats a aquest punt, cal comentar que, a l'hora de construir la taula, s'han afegit nombres racionals reductibles (és a dir, que els seus numerador i denominador no són coprimers), això però no hi afecta, en estar comparant un conjunt major que el dels racionals. Així doncs, es veu com es pot establir una relació biunívoca entre un nombre natural qualsevol n i un conjunt finit d'elements de nombre 2*(n-1). Per últim, queda demostrar si la suma numerable de conjunts finits o numerables és numerable. Aquest lema, exactament igual a com s'ha demostrat l'anterior, utilitza taules que permetin relacionar cadascun dels cinjunts amb els nombres naturals. Ara ja s'ha vist que el conjunt de nombres racionals és numerable, i per extensió, que la suma numerable de conjunts numerables és numerable; per tant, es pot intuir que el conjunt format per totes les possibles potències associades a conjunts segueix un comportament vers els seus operadors interns certament especial. Infinit de segon ordre: demostració Un cop vist un conjunt de potència igual a la dels naturals, vegeu un exemple de conjunt de potència major que la dels naturals: els nombres reals. Per demostrar-ho, cal provar que, per a qualsevol successió de nombres reals, sempre es pot trobar un nombre real que no pertany a la successió. Una manera de trobar-ne un és amb la diagonalització de Cantor. Una altra forma es pot explicar intuïtivament de la següent manera: es tracta de construir una successió numerable d'intervals tancats tal que la intersecció de tots no contingui cap nombre de la successió. Com que la intersecció de tots aquests intervals no és buida, pel capbaix hi ha sempre un nombre real que no pertany a la successió. Una manera de construir aquests intervals és començar amb un interval, per exemple [0,1], anar repassant els nombres de la successió fins a trobar-ne un que quedi dins de l'interval; llavors, es mira de quin extrem queda més a prop i es defineix un nou interval que conservi l'altre extrem i deixi fora el nombre de la successió, a partir d'aquí es repeteix el procés amb el nou interval. De manera més formal: es construeixen dues successions , definides per recurrència tals que la proposició següent sigui verdadera: S'inicialitzen les dues successions amb les definicions següents: És evident que la propietat (1) és vertadera si n és igual a 0. Es defineixen, llavors, les successions per . L'interval està inclòs dins l'interval , no pot contenir d'element de la successió d'ordre estrictament inferior a per hipòtesi de recurrència. Per construcció de les successions i l'interval no pot contenir tampoc i es verifica la propietat (1). és una successió d'intervals tancats encaixats. La seva intersecció és no buida i, per tant, conté almenys un element . Per acabar, n'hi ha prou amb fixar-se que no és mai un valor de la successió per als primers valors. Com que és qualsevol, s'ha demostrat la proposició. Conseqüències El fet que els reals tinguin una potència superior a la dels naturals és, però, més profund que el simple fet que no puguem relacionar ambdós conjunts de manera biunívoca. El fet és que, anteriorment, s'ha enunciat un lema segons el qual la suma numerable de conjunts numerables és numerable i, per altra banda, s'ha dit que el conjunt dels reals està format per la unió no numerable de conjunts numerables (els naturals); per tant, aquí s'observa que, en realitat, a l'hora de conformar la recta real, el que es fa és compactar el conjunt dels naturals per crear densitat numerable i els forats restants, els cobrim amb nombres irracionals; això prova que, entre dos nombres irracionals, hi ha de racionals. Per tant, ja s'ha vist que el nombre infinit no és més que la representació de la potència d'un conjunt infinit, i que aquest pot tenir diferents potències segons a quina mena de conjunt vagi associat. Matemàtiques sense infinit Leopold Kronecker rebutjava la idea d'infinit i va començar una escola de pensament, en la filosofia de les matemàtiques, anomenada finitisme, que va influir en l'escola filosòfica i matemàtica del constructivisme matemàtic. Infinit en física En física, es fan servir aproximacions de nombres reals per a càlculs amb quantitats contínues i els nombres naturals es fan servir per a càlculs discrets (per exemple, comptar). Però es dona per descomptat per part dels físics que cap magnitud observable pot no pot assolir un valor infinit; per exemple, prenent un valor infinit en un sistema de nombres reals estesos (o també en el sistema de nombres hiperreals), o que exigeixi el recompte d'un nombre infinit d'esdeveniments. Se suposa, per exemple, impossible que qualsevol cos tingui infinita massa o infinita energia. Existeix el concepte d'entitats infinites (com per exemple, una ona plana infinita) però no hi ha cap mitjà de generar aquests objectes i es fan servir només com a idealitzacions per a simplificar els càlculs. Aquest punt de vista no significa que l'infinit no es pugui fer servir en física. Per motius de conveniència, els càlculs, les equacions, les teories i les aproximacions sovint fan servir sèries infinites, funcions il·limitades, etc., i poden implicar quantitats infinites. Els físics, tanmateix, exigeixen que el resultat final n'hagi de ser físicament significatiu. En teoria quàntica de camps, sorgeixen infinits i han de ser interpretats per obtenir resultats físicament significatius amb un procés anomenat renormalització. Tanmateix, hi ha algunes circumstàncies teòriques en què el resultat final és infinit. N'és un exemple la singularitat en la descripció dels forats negres. Algunes solucions de les equacions de la teoria general de la relativitat permeten distribucions de massa finita, però de mida zero i, per tant, de densitat infinita. Això és un exemple del que s'anomena una singularitat matemàtica. Això no significa necessàriament que els infinits físics existeixin; pot significar simplement que la teoria sigui incapaç de descriure la situació adequadament. Altres dos exemples es donen en camps de forces que segueixen la llei de la inversa del quadrat: l'equació de la força de la gravetat newtoniana i la llei de Coulomb de l'electroestàtica. En r=0, aquestes equacions donen infinits. Infinit en cosmologia Una qüestió intrigant és si l'infinit existeix en l'Univers físic: hi ha un nombre infinit d'estels? L'univers té volum infinit? L'espai "continua per sempre"? Això és una qüestió oberta important de cosmologia. Fixeu-vos que la qüestió de ser infinit està, des d'un punt de vista lògic, separada de la pregunta de tenir o no límits. La superfície bidimensional de la Terra, per exemple, és finita, tot i així no té cap límit. Viatjant en "línia recta" (per exemple, seguint un meridià) es torna al lloc exacte des del qual s'ha començat. L'univers, com a mínim en principi, podria tenir una topologia similar; si un viatja en línia "recta" a través de l'Univers potser finalment retornaria al punt de partida. Si, d'altra banda, l'Univers no es corba com una esfera sinó que té una topologia plana, podria ser tant il·limitat com infinit. La curvatura de l'Univers es pot mesurar mitjançant el moment multipolar en l'espectre de la radiació còsmica de fons. Fins a la data, per l'anàlisi dels diagrames de radiació enregistrats pel satèl·lit WMAP, sembla que l'Univers té una topologia plana. Això seria coherent amb un univers físic infinit. S'espera que el satèl·lit Planck planificat per a ser llençat el 2009 n'enregistri la radiació còsmica de fons amb una precisió deu vegades més alta, i donarà més informació sobre la qüestió tant si l'Univers és infinit com si no. Representació informàtica de l'infinit L'estàndard IEEE 754 sobre aritmètica de coma flotant especifica valors d'infinit positius i negatius; aquests poden ser el resultat d'un overflow aritmètic, d'una divisió entre zero, o d'altres operacions excepcionals. Alguns llenguatges de programació (per exemple, J i UNITY (llenguatge de programació) n'estableixen uns elements màxim i mínim; és a dir, valors que són comparativament (respectivament) més gran que o més petits que qualsevol altres valors. També es poden qualificar més infinit o menys infinit; són útils com a valors sentinella en algorismes que impliquen ordenació o cerca. En llenguatges que no tenen elements més grans i més petis, però permeten sobrecarregar operadors relacionals, és possible crear elements més grans i més petits (amb petit cost computacional, i el risc d'incompatibilitat entre aplicacions). Els nombres molt grans En l'expressió popular, l'adjectiu «infinit» de vegades es fa servir per a qualificar extensions molt vastes o quantitats molt grans. Fixeu-vos que, fins i tot finits, els nombres molt grans poden ser difícils de concebre. Així, les successions de Goodstein són successions definides de manera molt simple, que donen lloc a nombres que superen l'enteniment, tot i ser encara considerablement més petits que aquells engendrats pel castor enfeinat. Infinit més u En la cultura popular infantil, l'infinit més u és una frase amb relació a l'infinit', que pretén designar un concepte de magnitud major a infinit. Un exemple:Nen: Jo sóc millor que tu!Nena: Doncs jo et doblo!Nen: Et triplico!Nena: Sóc un milió de vegades millor que tu!Nen: Jo infinites vegades més que tu!Nena: Doncs, jo infinites vegades més una!No obstant això, en matemàtiques només té sentit dins l'àmbit de l'anàlisi hiperreal. En un context infantil o popular, és a dir dins l'anàlisi estàndard, l'expressió manca de sentit, ja que l'infinit no n'és un nombre i per tant no s'hi pot aplicar l'operació suma. Vegeu també Asímptota. Infinitesimal. Límit. Nombres infinits. Paradoxa sobre l'hotel infinit. Notes i referències Bibliografia D. P. Agrawal (2000). Ancient Jaina Mathematics: an Introduction, Infinity Foundation. L. C. Jain (1973). "Set theory in the Jaina school of mathematics", Indian Journal of History of Science. John J. O'Connor and Edmund F. Robertson (1998). 'Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor' , MacTutor History of Mathematics archive. John J. O'Connor and Edmund F. Robertson (2000). 'Jaina mathematics' , MacTutor History of Mathematics archive. Ian Pearce (2002). 'Jainism', MacTutor History of Mathematics archive. N. Singh (1988). 'Jaina Theory of Actual Infinity and Transfinite Numbers', Journal of Asiatic Society, Vol. 30. Carles Dorce Polo. Història de la Matemàtica. Des de Mesopotàmia fins al Reinaxament. Enllaços externs A Crash Course in the Mathematics of Infinite Sets , by Peter Suber. From the St. John's Review, XLIV, 2 (1998) 1-59. The stand-alone appendix to Infinite Reflections, below. A concise introduction to Cantor's mathematics of infinite sets. Infinite Reflections '', by Peter Suber. How Cantor's mathematics of the infinite solves a handful of ancient philosophical problems of the infinite. From the St. John's Review, XLIV, 2 (1998) 1-59. Infinity, Principia Cybernetica. Source page on medieval and modern writing on Infinity. The Mystery Of The Aleph: Mathematics, the Kabbalah, and the Search for Infinity. Dictionary of the Infinite (compilation of articles about infinity in physics, mathematics, and philosophy). Nombres


text: L'expressió identitat d'Euler, és una fórmula matemàtica (batejada pel físic estatunidenc Richard Feynman en homenatge a Leonard Euler) que uneix de forma simple diversos camps d'aquesta disciplina: un nombre associat a la geometria. un nombre associat a l'anàlisi matemàtica. un nombre bàsic en l'àlgebra. L'1 i el 0 que són una de les bases de l'aritmètica per ser els elements neutres de la multiplicació i l'addició. Aquesta identitat és un cas particular de la fórmula d'Euler: per a x = 0 i y = π. Explicació Des del punt de vista de l'anàlisi complexa, la identitat d'Euler és un cas particular de la fórmula d'Euler, que afirma que per qualsevol nombre real , on els valors de les funcions trigonomètriques sinus i cosinus venen donats en radiants. En particular quan: = , o mig gir (180°), al voltant d'una circumferència : Com que i també l'equació queda d'on s'obté la identitat d'Euler: Això redueix el problema a la demostració de la fórmula d'Euler, qüestió que es remunta als fonaments de l'anàlisi complexa. La demostració depèn de com s'hagi definit la funció exponencial complexa o, equivalentment, de com s'hagi definit l'extensió de la potenciació als nombres complexos. Euler


text: Un ideograma és una representació gràfica d'una idea que no sigui per mitjà de paraules, és una icona, imatge convencional o símbol, que representa un ésser, relació abstracta o idees, però no paraules o frases que els signifiquin, encara que en l'escriptura de certes llengües significa una paraula, un morfema, una frase determinada o idees completes, sense representar cadascuna de les seves síl·labes o fonemes. Les escriptures íntegrament ideogràmiques diferents a les nostres, i és el més comú que els ideogrames es combinin amb un altre tipus de logogrames que no representen directament idees o conceptes. Les escriptures que fan servir alguns ideogrames, com la jeroglífica egípcia, la sumèria o la xinesa, ràpidament van començar a utilitzar aquest signe per a grups d'idees semànticament relacionades o per paraules amb un so similar, però per a les quals era més difícil crear un pictograma realista del concepte. Aquests fets fan que moltes d'aquestes escriptures evolucionessin cap a principis de representació mixtos que deixaven de ser estrictament ideogràmics. Els ideogrames solen formar-se per la combinació de pictogrames, caràcters que indiquen una idea mitjançant la seva representació gràfica. Ambdós estan molt lligats històricament, encara que els ideogrames són posteriors. En certes escriptures com la xinesa, la japonesa, en el seu moment la nàhuatl o la nsibidi, determinats símbols representen paraules o idees completes. Per exemple, en l'escriptura xinesa, el pictograma 人 (pronunciat rén) significa persona, i és una representació deformada del perfil d'un home. Basant-se en això, l'ideograma 囚 (qiú) representa una persona dins d'un requadre, i significa "presoner". Altres exemples semblants són 木 (Mu), que significa arbre, ja que en representa la forma d'un, i 林 (lín) on es dibuixen dos arbres, la qual cosa s'interpreta en català com "bosc". Vegeu també Caràcter xinès Alfabet Heurístic Existencialisme Idealisme Referències Sistemes d'escriptura Grafemes