اس حوالے کی بنیاد پر امتزاج میں برن سائیڈ کے لیما کے کچھ عملی استعمال کیا ہیں؟
برن سائیڈ کا لیما، جسے بعض اوقات برن سائیڈ کا گنتی تھیوری بھی کہا جاتا ہے، کاچی–فروبینیئس لیما، مدار گننے والا تھیوری، یا وہ لیما جو برن سائیڈ کا نہیں ہے، گروپ تھیوری کا نتیجہ ہے جو ریاضیاتی اشیاء کی گنتی کرتے وقت توازن کو مدنظر رکھتے ہوئے اکثر مفید ہوتا ہے۔ اس کے مختلف مترادفات ولیم برن سائیڈ، جارج پولیا، آگسٹن لوئس کاچی اور فرڈینینڈ جارج فروبینیئس پر مبنی ہیں۔ نتیجہ خود برن سائیڈ کی وجہ سے نہیں ہے، جس نے محض اپنی کتاب 'آن دی تھیوری آف گروپس آف فائنائٹ آرڈر' میں اس کا حوالہ دیتے ہوئے اسے فروبینیئس (1887) سے منسوب کیا ہے۔ برن سائیڈ کی لیمما "مداروں" کو شمار کرتی ہے، جو کہ ایک توازن کو مدنظر رکھتے ہوئے الگ الگ اشیاء کی گنتی کے مترادف ہے۔ یہ کہنے کے دوسرے طریقے ایک مساوی تعلق R تک الگ الگ اشیاء کو گن رہے ہیں، یا ایسی اشیاء کو گن رہے ہیں جو کینونیکل شکل میں ہیں۔   مندرجہ ذیل میں، G کو ایک محدود گروپ بننے دیں جو ایک سیٹ X پر عمل کرتا ہے۔ G میں ہر ایک g کے لیے، Xg کو X میں عناصر کے سیٹ کی نشاندہی کرنے دیں جو کہ g کے ذریعے طے کیے گئے ہیں (یہ بھی کہا جاتا ہے کہ g کے ذریعے غیر متغیر کہا جاتا ہے)، یعنی , Xg = { x ∈ X | gx = x }۔ برن سائیڈ کا لیما مداروں کی تعداد کے لیے درج ذیل فارمولے پر زور دیتا ہے، جس کی نشاندہی |X/G|:[2]   |  � /   � |   =  1  |  � |   ∑  � ∈   � |   � � |    .  {\displaystyle |X/G|={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}|X^{g}|.} اس طرح مداروں کی تعداد (ایک قدرتی عدد یا  + ∞) G کے عنصر کے ذریعہ مقرر کردہ پوائنٹس کی اوسط تعداد کے برابر ہے (جو ایک قدرتی نمبر یا انفینٹی بھی ہے)۔ اگر G لامحدود ہے تو | G| کے ذریعے تقسیم ہو سکتا ہے اچھی طرح سے متعین نہ ہو؛ اس معاملے میں کارڈنل ریاضی میں درج ذیل بیان ہے:   |  � |   |  � /   � |   =  ∑  � ∈   � |   � � |    . {\  displaystyle |G||X/G  | =\sum _{g\in G}|X ^  {g}|  3: 000، 001، 011، اور 111 کی لمبائی کے 2 رنگوں کے ہار، کیونکہ 100 اور 010 گردش کے لحاظ سے 001 کے برابر ہیں۔ اسی طرح 110 اور 101 011 کے مساوی ہیں۔ فارمولہ گردشوں کی تعداد پر مبنی ہے، جو اس صورت میں 3 ہے (بشمول null گردش)، اور بٹ ویکٹر کی تعداد جو ہر ایک گردش سے بغیر کسی تبدیلی کے رہ جاتی ہے۔ تمام 8 بٹ ویکٹر null گردش کے ذریعہ تبدیل نہیں ہوتے ہیں، اور دو (000 اور 111) دیگر دو گردشوں میں سے ہر ایک کے ذریعہ تبدیل نہیں ہوتے ہیں، یہ دیتے ہوئے:  4  =  1  3  (  8  +  2  +  2  )  {\displaystyle 4={\frac { 1}{3}}(8+2+2)}۔   لمبائی 4 کے لیے، 16 ممکنہ بٹ ویکٹر ہیں۔ 4 گردشیں؛ null گردش تمام 16 بٹ ویکٹر کو بغیر کسی تبدیلی کے چھوڑ دیتی ہے۔ 1-روٹیشن اور 3-گرومیشن ہر ایک میں دو بٹ ویکٹر کو کوئی تبدیلی نہیں کی جاتی ہے (0000 اور 1111)؛ 2 گردش 4 بٹ ویکٹر کو بغیر کسی تبدیلی کے چھوڑ دیتی ہے (0000، 0101، 1010، اور 1111)؛ دینا:  6  =  1  4  (  16  +  2  +  4  +  2  )  {\displaystyle 6={\frac {1}{4}}(16+2+4+2)}۔ یہ ہیں: 0000، 0001، 0011، 0101، 0111، اور 1111۔   ایک مکعب کے رنگ  تین رنگوں کا استعمال کرتے ہوئے کیوب کے چہروں کے گردشی طور پر مختلف رنگوں کی تعداد کا تعین اس فارمولے سے اس طرح کیا جا سکتا ہے۔   X کو چہرے کے رنگوں کے 36 ممکنہ مجموعوں کا مجموعہ ہونے دیں جو ایک مخصوص سمت میں کیوب پر لاگو کیا جا سکتا ہے، اور مکعب کے گردش گروپ G کو قدرتی انداز میں X پر عمل کرنے دیں۔ پھر X کے دو عناصر بالکل اسی مدار سے تعلق رکھتے ہیں جب ایک صرف دوسرے کی گردش ہے۔ اس طرح گردشی طور پر الگ الگ رنگوں کی تعداد مداروں کی تعداد کے برابر ہے اور جی کیوب کے 24 عناصر کے لیے مقررہ سیٹوں کے سائز کو گن کر پایا جا    سکتا ہے  ۔  90-ڈگری چہرے کی گردشیں، جن میں سے ہر ایک X کے 33 عناصر کو بغیر تبدیلی کے  تین 180-ڈگری چہرے کی گردشوں کو چھوڑتا ہے، جن میں سے ہر ایک X کے عناصر میں سے 34 کو بغیر کسی تبدیلی کے  آٹھ 120-ڈگری عمودی گردشوں کو چھوڑتا ہے، جن میں سے ہر ایک 32 عناصر کو چھوڑتا ہے۔ X کی  چھ 180 ڈگری کناروں کی گردشوں میں کوئی تبدیلی نہیں کی گئی، جن میں سے ہر ایک X کے عناصر میں سے 33 کو کوئی تبدیلی نہیں چھوڑتا ہے،  ان آٹومورفیزم کا تفصیلی جائزہ یہاں پایا جا سکتا ہے۔   اس طرح اوسط طے شدہ سائز ہے   1  24  (  3  6  +  6  ⋅  3  3  +  3  ⋅  3  4  +  8  ⋅  3  2  +  6  ⋅  3  3  )  =  57۔  {\frac {1}{24}}\left(3^ {6}+6\cdot 3^{3}+3\cdot 3^{4}+8\cdot 3^{2}+6\cdot 3^{3}\right)=57۔  اس لیے ایک مکعب کے چہروں کے تین رنگوں میں 57 گردشی طور پر الگ الگ رنگ ہوتے ہیں۔ عام طور پر، n رنگوں میں ایک مکعب کے چہروں کے گردشی طور پر مختلف رنگوں کی تعداد   1  24  (  � 6   +  3  � 4   +  12  � 3   +  8  � 2   ) سے دی جاتی ہے  ۔  {\frac {1}{24}}\left(n^{6}+3n^{4}+12n^{3}+8n^{2}\ right)۔  8 کوئنز پہیلی  آٹھ کوئنز پہیلی میں 92 حل ہیں، جن میں سے 12 بنیادی حل بورڈ کی گردش اور عکاسی تک الگ ہیں۔ گردش اور عکاسی کے 8 مجموعے ہیں، بشمول null ایکشن۔ کالعدم کارروائی تمام 92 حلوں کو بغیر کسی تبدیلی کے چھوڑ دیتی ہے۔ 92 میں سے چار محلول سڈول ہیں، جو 180° گردش سے تبدیل نہیں ہوتے۔ یہ دیتا ہے:  12  =  1  8  (  92  +  4  )  {\displaystyle 12={\frac {1}{8}}(92+4)}۔[3]
* ہار گننے کا مسئلہ: مختلف لمبائیوں کے گھومنے والے الگ الگ ہاروں کی گنتی جہاں ہر مالا دو رنگوں میں سے ایک ہو سکتا ہے۔ مضمون میں 3 اور 4 لمبائی کے ہار شمار کیے گئے ہیں، اور جواب بالترتیب 4 اور 6 ہے۔  * کیوب کے مسئلے کے رنگ: مکعب کے چہروں کے گردشی طور پر الگ الگ رنگوں کو شمار کریں۔ مضمون ایک کیس پر غور کرتا ہے جب 3 رنگ استعمال کیے جاتے ہیں اور جواب 57 ہے۔  * 8 کوئینز پہیلی: مسئلہ کا ایک کلاسیکی ورژن 8 شطرنج کی رانیوں کو 8x8 بورڈ پر رکھنے کے مختلف طریقے گن رہا ہے تاکہ کوئی ملکہ دوسرے پر حملہ نہ کرے (جواب ہے 92)۔ برن سائیڈ کی لیمما ایپلی کیشن کے ساتھ مضمون گردش اور عکاسی تک ملکہ کی مختلف جگہوں کی تعداد کو شمار کرتا ہے، جواب کے طور پر 12 پر پہنچتا ہے۔