جھوٹ الجبرا کی وضاحت کریں۔
ریاضی میں، ایک سادہ جھوٹ گروپ ایک منسلک غیر ابیلیئن لائ گروپ جی ہے جس میں غیر معمولی جڑے ہوئے عام ذیلی گروپ نہیں ہیں۔ سادہ جھوٹ کے گروپوں کی فہرست کو سادہ جھوٹ الجبرا اور ریمانیئن ہم آہنگی خالی جگہوں کی فہرست کو پڑھنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔   حقیقی اعداد،  \mathbb {R}، اور یونٹ-میگنیٹیوڈ کمپلیکس نمبرز، U(1) (اکائی کا دائرہ) کے متغیر جھوٹ کے گروپ کے ساتھ، سادہ جھوٹ کے گروپ ایٹم "بلاکس" دیتے ہیں جو سب کو بناتے ہیں۔ (محدود جہتی) گروپ ایکسٹینشن کے آپریشن کے ذریعے جھوٹ گروپوں سے منسلک۔ عام طور پر سامنے آنے والے جھوٹ کے بہت سے گروپ یا تو سادہ ہوتے ہیں یا سادہ ہونے کے 'قریب' ہوتے ہیں: مثال کے طور پر، نام نہاد "خصوصی لکیری گروپ" SL(n) کا n بذریعہ n میٹرکس جس کا تعین 1 کے برابر ہوتا ہے تمام n > 1 کے لیے آسان ہے۔   سادہ جھوٹ گروپوں کی پہلی درجہ بندی ولہیم کلنگ نے کی تھی، اور اس کام کو بعد میں ایلی کارٹن نے مکمل کیا۔ حتمی درجہ بندی کو اکثر کلنگ کارٹن درجہ بندی کہا جاتا ہے۔
بدقسمتی سے، سادہ جھوٹ گروپ کی کوئی عالمی طور پر قبول شدہ تعریف نہیں ہے۔ خاص طور پر، یہ ہمیشہ جھوٹ گروپ کے طور پر بیان نہیں کیا جاتا ہے جو ایک خلاصہ گروپ کے طور پر آسان ہے. مصنفین میں اس بات پر اختلاف ہے کہ آیا ایک سادہ Lie گروپ کو جوڑنا ہے، یا اس کو ایک غیر معمولی مرکز رکھنے کی اجازت ہے، یا کیا   � \ mathbb {R} ایک سادہ Lie گروپ ہے۔   سب سے عام تعریف یہ ہے کہ جھوٹ گروپ سادہ ہوتا ہے اگر یہ جڑا ہوا ہو، نان ابیلیئن، اور ہر بند منسلک عام ذیلی گروپ یا تو شناخت یا پورا گروپ ہوتا ہے۔ خاص طور پر، سادہ گروپوں کو ایک غیر معمولی مرکز رکھنے کی اجازت ہے، لیکن   � \ mathbb {R} سادہ نہیں ہے۔   اس مضمون میں معمولی مرکز کے ساتھ جڑے ہوئے سادہ جھوٹ کے گروپ درج ہیں۔ ایک بار یہ معلوم ہوجانے کے بعد، غیر معمولی مرکز والے افراد کو درج ذیل کے طور پر درج کرنا آسان ہے۔ معمولی مرکز والے کسی بھی سادہ جھوٹ کا ایک عالمگیر احاطہ ہوتا ہے، جس کا مرکز سادہ جھوٹ گروپ کا بنیادی گروپ ہوتا ہے۔ غیر معمولی مرکز کے ساتھ متعلقہ سادہ جھوٹ گروپوں کو مرکز کے ذیلی گروپ کے ذریعہ اس عالمگیر کور کے حصص کے طور پر حاصل کیا جاسکتا ہے۔   متبادلات جھوٹ  کے خط و کتابت سے ایک سادہ لی گروپ کی مساوی تعریف کی جاتی ہے: ایک جڑا ہوا جھوٹ گروپ سادہ ہے اگر اس کا جھوٹ الجبرا سادہ ہو۔ ایک اہم تکنیکی نکتہ یہ ہے کہ ایک سادہ Lie گروپ میں مجرد عام ذیلی گروپس شامل ہو سکتے ہیں۔ اس وجہ سے، ایک سادہ جھوٹ گروپ کی تعریف جھوٹ گروپ کی تعریف کے برابر نہیں ہے جو ایک خلاصہ گروپ کے طور پر سادہ ہے.   سادہ جھوٹ کے گروپوں میں بہت سے کلاسیکی جھوٹ گروپ شامل ہیں، جو فیلکس کلین کے ایرلانجن پروگرام کے معنی میں کروی جیومیٹری، پروجیکٹیو جیومیٹری اور متعلقہ جیومیٹری کے لیے ایک گروپ تھیوریٹک انڈرپننگ فراہم کرتے ہیں۔ سادہ جھوٹ گروپوں کی درجہ بندی کے دوران یہ بات سامنے آئی کہ ایسے کئی غیر معمولی امکانات بھی موجود ہیں جو کسی مانوس جیومیٹری سے مطابقت نہیں رکھتے۔ یہ غیر معمولی گروہ ریاضی کی دوسری شاخوں کے ساتھ ساتھ عصری نظریاتی طبیعیات میں بہت سی خاص مثالوں اور تشکیلات کا سبب بنتے ہیں۔   جوابی مثال کے طور پر، عمومی لکیری گروپ نہ تو سادہ ہے اور نہ ہی نیم سادہ۔ اس کی وجہ یہ ہے کہ شناخت کے ملٹیلز ایک غیر معمولی عام ذیلی گروپ بناتے ہیں، اس طرح تعریف سے بچ جاتے ہیں۔ مساوی طور پر، متعلقہ لائی الجبرا میں ایک انحطاط شدہ قتل کی شکل ہوتی ہے، کیونکہ شناختی نقشے کے ضرب الجبرا کے صفر عنصر پر ہوتے ہیں۔ اس طرح، متعلقہ جھوٹ الجبرا بھی نہ تو سادہ ہے اور نہ ہی نیم سادہ۔ ایک اور جوابی مثال یکساں جہت میں خصوصی آرتھوگونل گروپس ہیں۔ ان میں میٹرکس  −   � -I مرکز میں ہے، اور یہ عنصر شناختی عنصر سے راستے سے جڑا ہوا ہے، اور اس لیے یہ گروہ تعریف سے گریز کرتے ہیں۔ یہ دونوں تخفیف کرنے والے گروپ ہیں۔