ماڈرن پورٹ فولیو تھیوری میں پورٹ فولیو کی واپسی اور تغیر کا حساب لگانے کے لیے ریاضی کے لیٹیکس مارک ڈاؤن فارمیٹ میں فارمولے نکالیں https://en.wikipedia.org/wiki/Modern_portfolio_theory
MPT فرض کرتا ہے کہ سرمایہ کار خطرے سے بچتے ہیں، مطلب یہ ہے کہ دو پورٹ فولیو دیے گئے جو ایک ہی متوقع منافع پیش کرتے ہیں، سرمایہ کار کم خطرے والے کو ترجیح دیں گے۔ اس طرح، ایک سرمایہ کار صرف اس صورت میں بڑھتا ہوا خطرہ مول لے گا جب زیادہ متوقع منافع کی تلافی ہو۔ اس کے برعکس، ایک سرمایہ کار جو زیادہ متوقع منافع چاہتا ہے زیادہ خطرہ قبول کرنا چاہیے۔ تمام سرمایہ کاروں کے لیے درست تجارت یکساں نہیں ہوگی۔ مختلف سرمایہ کار انفرادی خطرے سے بچنے کی خصوصیات کی بنیاد پر تجارت کا مختلف انداز میں جائزہ لیں گے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ ایک عقلی سرمایہ کار پورٹ فولیو میں سرمایہ کاری نہیں کرے گا اگر دوسرا پورٹ فولیو زیادہ سازگار خطرے سے متعلق متوقع ریٹرن پروفائل کے ساتھ موجود ہو — یعنی، اگر خطرے کی اس سطح کے لیے ایک متبادل پورٹ فولیو موجود ہو جس سے بہتر متوقع منافع ہو۔   ماڈل کے تحت:   پورٹ فولیو کی واپسی جزوی اثاثوں کے ریٹرن کا تناسب وزن والا مجموعہ ہے۔  پورٹ فولیو کی واپسی کا اتار چڑھاؤ  \sigma _{p} تمام اثاثوں کے جوڑوں (i، j) کے لیے، اجزاء کے اثاثوں کے ارتباط ρij کا ایک فنکشن ہے۔ اتار چڑھاؤ اس خطرے کی بصیرت فراہم کرتا ہے جو سرمایہ کاری سے وابستہ ہے۔ اتار چڑھاؤ جتنا زیادہ ہوگا، خطرہ اتنا ہی زیادہ ہوگا۔
- متوقع واپسی:  $$  \mathrm{E}\left(R_p\right)=\sum_i w_i \mathrm{E}\left(R_i\right)  $$  جہاں $R_p$ پورٹ فولیو پر واپسی ہے، $R_i$ اثاثہ $i$ پر واپسی ہے اور $w_i$ جزو اثاثہ $i$ کا وزن ہے (یعنی پورٹ فولیو میں اثاثہ "i" کا تناسب، تاکہ $\sum_i w_i=1$)۔  - پورٹ فولیو کی واپسی کا تغیر:  $$  \sigma_p^2=\sum_i w_i^2 \sigma_i^2+\sum_i \sum_{j \neq i} w_i w_j \sigma_i \sigma_j \rho_{ij} $$ جہاں $\  sigma_i  $ ایک اثاثہ $i$ پر متواتر واپسی کا (نمونہ) معیاری انحراف ہے، اور $\rho_{ij}$ اثاثوں پر واپسی $i$ اور $j$ کے درمیان ارتباط کا گتانک ہے۔ متبادل طور پر اظہار اس طرح لکھا جا سکتا ہے:  $$  \sigma_p^2=\sum_i \sum_j w_i w_j \sigma_i \sigma_j \rho_{ij}  $$  جہاں $\rho_{ij}=1$ $i=j$ کے لیے، یا  $$  \sigma_p^2=\sum_i \sum_j w_i w_j \sigma_{ij}  $$  جہاں $\sigma_{ij}=\sigma_i \sigma_j \rho_{ij}$ پر متواتر واپسیوں کا (نمونہ) ہم آہنگی ہے دو اثاثے، یا متبادل طور پر $\sigma(i, j)$، $\operatorname{cov}{ }_{ij}$ یا $\operatorname{cov}(i, j)$ کے طور پر ظاہر کیا جاتا ہے۔  - پورٹ فولیو کی واپسی کا اتار چڑھاؤ (معیاری انحراف):  $$  \sigma_p=\sqrt{\sigma_p^2}  $$  دو اثاثوں کے پورٹ فولیو کے لیے:  - پورٹ فولیو کی واپسی:  $$\mathrm{E}\left(R_p\right)= w_A \mathrm{E}\left(R_A\right)+w_B \mathrm{E}\left(R_B\right)=w_A \mathrm{E}\left(R_A\right)+\left(1-w_A\right) ) \mathrm{E}\left(R_B\right)$$   - پورٹ فولیو تغیر:  $$\sigma_p^2=w_A^2 \sigma_A^2+w_B^2 \sigma_B^2+2 w_A w_B \sigma_A \sigma_B \ rho_{AB}$$  تین اثاثوں کے پورٹ فولیو کے لیے:  - پورٹ فولیو کی واپسی:  $$\mathrm{E}\left(R_p\right)=w_A \mathrm{E}\left(R_A\right)+w_B \mathrm{ E}\left(R_B\right)+w_C \mathrm{E}\left(R_C\right)$$  - پورٹ فولیو تغیر:  $$\sigma_p^2=w_A^2 \sigma_A^2+w_B^2 \sigma_B^ 2+w_C^2 \sigma_C^2+2 w_A w_B \sigma_A \sigma_B \rho_{AB}+2 w_A w_C \sigma_A \sigma_C \rho_{AC}+2 w_B w_C \sigma_B \sigma_C \rho_{BC}