مجھے ایک ثبوت دیں کہ 2 کا مربع جڑ غیر معقول ہے۔
-
یہاں تضاد سے ایک ثبوت ہے کہ 2 کا مربع جڑ غیر معقول ہے۔ سب سے پہلے، یاد رکھیں کہ غیر معقول اعداد وہ اعداد ہیں جنہیں p اور q کے عدد کے لیے p/q نہیں لکھا جا سکتا۔ تضاد کے لیے فرض کریں کہ 2 کا مربع جڑ ناطق ہے، جس کا مطلب یہ ہوگا کہ کچھ عدد p اور q کے لیے sqrt(2) = p/q۔ عمومیت کے نقصان کے بغیر مزید فرض کریں کہ یہ کسر کم شکل میں ہے، یعنی p اور q میں کوئی مشترک عوامل نہیں ہیں۔ ہم یہ فرض کر سکتے ہیں کیونکہ کسی بھی عددی کسر کو اس طرح کم شکل میں لکھا جا سکتا ہے، اس لیے sqrt(2) کے لیے کسی بھی عقلی نمائندگی کا وجود کم شکل میں ایک کا وجود ظاہر کرے گا۔ اب ہم مندرجہ بالا مساوات کے دونوں اطراف کو مربع کرتے ہیں،   کچھ عدد p اور q کے لیے 2 = p^2 / q^2 حاصل کرتے ہیں جو کسی عام فیکٹر کو شیئر نہیں کرتے ہیں۔   اب   2 * q^2 = p^2 حاصل کرنے کے لیے q^2 سے ضرب   کریں نوٹ کریں کہ بائیں ہاتھ کی سائیڈ 2 کے فیکٹر کی وجہ سے بھی ہے، تو دائیں ہاتھ کی طرف p^2 بھی برابر ہے۔ اس کا مطلب ہے کہ p یکساں ہونا چاہیے، ورنہ p^2 برابر نہیں ہوگا۔ تو p کو کچھ عدد x کے لیے 2*x لکھا جا سکتا ہے۔ اس کو مندرجہ بالا مساوات میں بدلتے ہوئے، ہمیں   2 * q^2 = (2 * x)^2 = 2^2 * x^2 ملتے   ہیں نوٹ کریں کہ مساوات کے دونوں اطراف میں 2 کا عنصر ہے جسے ہم منسوخ کر سکتے ہیں۔ ایسا کرنے سے، ہمیں q^2 = 2 * x^2   ملتا ہے   اوپر والی دلیل سے، ہم یہ نتیجہ اخذ کر سکتے ہیں کہ q برابر ہے۔ تاہم یہ ہمارے اس قیاس کی تردید کرتا ہے کہ p اور q میں کوئی مشترک عوامل مشترک نہیں ہیں۔ لہذا ہمارا ابتدائی مفروضہ کہ sqrt(2) عقلی ہے غلط تھا، جسے ہم ثابت کرنے کے لیے نکلے ہیں۔