text: {"text": [{"balls": {"number": "A1", "exponent": null}, "text": "Найдите \[ \[ \[ \left|\frac{1+e^{ix}}{1+e^{iy}}+\frac{1+e^{iy}}{1+e^{ix}}\right|. \[ \left|\frac{1+e^{ix}}{1+e^{iy}}+\frac{1+e^{iy}}{1+e^{ix}}\right|. \[ \left|\frac{1+e^{ix}}{1+e^{iy}}+\frac{1+e^{iy}}{1+e^{ix}}\right|. \] \[ \left|\frac{1+e^{ix}}{1+e^{iy}}+\frac{1+e^{iy}}{1+e^{ix}}\right|. \] \[ \left|\frac{1+e^{ix}}{1+e^{iy}}+\frac{1+e^{iy}}{1+e^{ix}}\right|. \] Подсказка: $|z|^2 = z \cdot \overline{z}$, $\overline{e^{ix}} = e^{-ix}$. Кроме того, сопряжение перестановочно с любыми алгебраическими операциями: \[ \left|\frac{1+e^{ix}}{1+e^{iy}}+\frac{1+e^{iy}}{1+e^{ix}}\right|. \] Подсказка: $|z|^2 = z \cdot \overline{z}$, $\overline{e^{ix}} = e^{-ix}$. Кроме того, сопряжение перестановочно с любыми алгебраическими операциями: \[ \left|\frac{1+e^{ix}}{1+e^{iy}}+\frac{1+e^{iy}}{1+e^{ix}}\right|. \] Подсказка: $|z|^2 = z \cdot \overline{z}$, $\overline{e^{ix}} = e^{-ix}$. Кроме того, сопряжение перестановочно с любыми алгебраическими операциями: $$ \[ \left|\frac{1+e^{ix}}{1+e^{iy}}+\frac{1+e^{iy}}{1+e^{ix}}\right|. \] Подсказка: $|z|^2 = z \cdot \overline{z}$, $\overline{e^{ix}} = e^{-ix}$. Кроме того, сопряжение перестановочно с любыми алгебраическими операциями: $$ \[ \left|\frac{1+e^{ix}}{1+e^{iy}}+\frac{1+e^{iy}}{1+e^{ix}}\right|. \] Подсказка: $|z|^2 = z \cdot \overline{z}$, $\overline{e^{ix}} = e^{-ix}$. Кроме того, сопряжение перестановочно с любыми алгебраическими операциями: $$ \overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}, \qquad \overline{z_1 \cdot z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2}, \qquad \overline{z_1 / z_2} = \overline{z_1} /\overline{z_2} \[ \left|\frac{1+e^{ix}}{1+e^{iy}}+\frac{1+e^{iy}}{1+e^{ix}}\right|. \] Подсказка: $|z|^2 = z \cdot \overline{z}$, $\overline{e^{ix}} = e^{-ix}$. Кроме того, сопряжение перестановочно с любыми алгебраическими операциями: $$ \overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}, \qquad \overline{z_1 \cdot z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2}, \qquad \overline{z_1 / z_2} = \overline{z_1} /\overline{z_2} \[ \left|\frac{1+e^{ix}}{1+e^{iy}}+\frac{1+e^{iy}}{1+e^{ix}}\right|. \] Подсказка: $|z|^2 = z \cdot \overline{z}$, $\overline{e^{ix}} = e^{-ix}$. Кроме того, сопряжение перестановочно с любыми алгебраическими операциями: $$ \overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}, \qquad \overline{z_1 \cdot z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2}, \qquad \overline{z_1 / z_2} = \overline{z_1} /\overline{z_2} $$ \[ \left|\frac{1+e^{ix}}{1+e^{iy}}+\frac{1+e^{iy}}{1+e^{ix}}\right|. \] Подсказка: $|z|^2 = z \cdot \overline{z}$, $\overline{e^{ix}} = e^{-ix}$. Кроме того, сопряжение перестановочно с любыми алгебраическими операциями: $$ \overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}, \qquad \overline{z_1 \cdot z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2}, \qquad \overline{z_1 / z_2} = \overline{z_1} /\overline{z_2} $$ \[ \left|\frac{1+e^{ix}}{1+e^{iy}}+\frac{1+e^{iy}}{1+e^{ix}}\right|. \] Подсказка: $|z|^2 = z \cdot \overline{z}$, $\overline{e^{ix}} = e^{-ix}$. Кроме того, сопряжение перестановочно с любыми алгебраическими операциями: $$ \overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}, \qquad \overline{z_1 \cdot z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2}, \qquad \overline{z_1 / z_2} = \overline{z_1} /\overline{z_2} $$ \[ \left|\frac{1+e^{ix}}{1+e^{iy}}+\frac{1+e^{iy}}{1+e^{ix}}\right|. \] Подсказка: $|z|^2 = z \cdot \overline{z}$, $\overline{e^{ix}} = e^{-ix}$. Кроме того, сопряжение перестановочно с любыми алгебраическими операциями: $$ \overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}, \qquad \overline{z_1 \cdot z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2}, \qquad \overline{z_1 / z_2} = \overline{z_1} /\overline{z_2} $$ \[ \left|\frac{1+e^{ix}}{1+e^{iy}}+\frac{1+e^{iy}}{1+e^{ix}}\right|. \] Подсказка: $|z|^2 = z \cdot \overline{z}$, $\overline{e^{ix}} = e^{-ix}$. Кроме того, сопряжение перестановочно с любыми алгебраическими операциями: $$ \overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}, \qquad \overline{z_1 \cdot z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2}, \qquad \overline{z_1 / z_2} = \overline{z_1} /\overline{z_2} $$ \[ \left|\frac{1+e^{ix}}{1+e^{iy}}+\frac{1+e^{iy}}{1+e^{ix}}\right|. \] Подсказка: $|z|^2 = z \cdot \overline{z}$, $\overline{e^{ix}} = e^{-ix}$. Кроме того, сопряжение перестановочно с любыми алгебраическими операциями: $$ \overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}, \qquad \overline{z_1 \cdot z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2}, \qquad \overline{z_1 / z_2} = \overline{z_1} /\overline{z_2} $$ \[ \left|\frac{1+e^{ix}}{1+e^{iy}}+\frac{1+e^{iy}}{1+e^{ix}}\right|. \] Подсказка: $|z|^2 = z \cdot \overline{z}$, $\overline{e^{ix}} = e^{-ix}$. Кроме того, сопряжение перестановочно с любыми алгебраическими операциями: $$ \overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}, \qquad \overline{z_1 \cdot z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2}, \qquad \overline{z_1 / z_2} = \overline{z_1} /\overline{z_2} $$"}, {"balls": {"number": "A2", "exponent": null}, "text": "Представьте в показательной форме: \[ \[ \[ \frac{2+\sqrt{3} + i}{1 + e^{ix}} \[ \frac{2+\sqrt{3} + i}{1 + e^{ix}} \[ \frac{2+\sqrt{3} + i}{1 + e^{ix}} \] \[ \frac{2+\sqrt{3} + i}{1 + e^{ix}} \] \[ \frac{2+\sqrt{3} + i}{1 + e^{ix}} \] \[ \frac{2+\sqrt{3} + i}{1 + e^{ix}} \] \[ \frac{2+\sqrt{3} + i}{1 + e^{ix}} \] \[ \frac{2+\sqrt{3} + i}{1 + e^{ix}} \] \[ \frac{2+\sqrt{3} + i}{1 + e^{ix}} \]"}, {"balls": {"number": "A3", "exponent": null}, "text": "Разложите $\sin^5 x$ в сумму первых степеней тригонометрических функций кратных аргументов ($\cos x$, $\cos 2x$, ...). Как можно заранее понять какие функции войдут в ответ?"}, {"balls": {"number": "A4", "exponent": null}, "text": "Представьте $\cos 4x$ в виде многочлена от $\cos x$."}, {"balls": {"number": "A5", "exponent": null}, "text": "Найти амплитуду колебания, которое возникает в результате сложения трех колебаний одного направления: $x_1 = a \cos \omega t $, $x_1 = a \cos \omega t $, $x_1 = a \cos \omega t $, $x_2=2a \sin \omega t$, $x_1 = a \cos \omega t $, $x_2=2a \sin \omega t$, $x_1 = a \cos \omega t $, $x_2=2a \sin \omega t$, $x_3 = 1,5 a \cos (\omega t + \pi /3)$. $x_1 = a \cos \omega t $, $x_2=2a \sin \omega t$, $x_3 = 1,5 a \cos (\omega t + \pi /3)$. $x_1 = a \cos \omega t $, $x_2=2a \sin \omega t$, $x_3 = 1,5 a \cos (\omega t + \pi /3)$. Решить задачу графически и с помощью комплексных чисел. $x_1 = a \cos \omega t $, $x_2=2a \sin \omega t$, $x_3 = 1,5 a \cos (\omega t + \pi /3)$. Решить задачу графически и с помощью комплексных чисел. $x_1 = a \cos \omega t $, $x_2=2a \sin \omega t$, $x_3 = 1,5 a \cos (\omega t + \pi /3)$. Решить задачу графически и с помощью комплексных чисел. $x_1 = a \cos \omega t $, $x_2=2a \sin \omega t$, $x_3 = 1,5 a \cos (\omega t + \pi /3)$. Решить задачу графически и с помощью комплексных чисел. $x_1 = a \cos \omega t $, $x_2=2a \sin \omega t$, $x_3 = 1,5 a \cos (\omega t + \pi /3)$. Решить задачу графически и с помощью комплексных чисел. $x_1 = a \cos \omega t $, $x_2=2a \sin \omega t$, $x_3 = 1,5 a \cos (\omega t + \pi /3)$. Решить задачу графически и с помощью комплексных чисел. $x_1 = a \cos \omega t $, $x_2=2a \sin \omega t$, $x_3 = 1,5 a \cos (\omega t + \pi /3)$. Решить задачу графически и с помощью комплексных чисел."}, {"balls": {"number": "B1", "exponent": null}, "text": "Вычислите ряд \[ \[ \[ \sum_{k=0}^{\infty}r^k \sin{kx} \[ \sum_{k=0}^{\infty}r^k \sin{kx} \[ \sum_{k=0}^{\infty}r^k \sin{kx} \] \[ \sum_{k=0}^{\infty}r^k \sin{kx} \] \[ \sum_{k=0}^{\infty}r^k \sin{kx} \] \[ \sum_{k=0}^{\infty}r^k \sin{kx} \] \[ \sum_{k=0}^{\infty}r^k \sin{kx} \] \[ \sum_{k=0}^{\infty}r^k \sin{kx} \] \[ \sum_{k=0}^{\infty}r^k \sin{kx} \]"}, {"balls": {"number": "B2", "exponent": null}, "text": "Вычислите сумму \[ \[ \[ C_n^1-C_n^3+C_n^5-... \[ C_n^1-C_n^3+C_n^5-... \[ C_n^1-C_n^3+C_n^5-... \] \[ C_n^1-C_n^3+C_n^5-... \] \[ C_n^1-C_n^3+C_n^5-... \] \[ C_n^1-C_n^3+C_n^5-... \] \[ C_n^1-C_n^3+C_n^5-... \] \[ C_n^1-C_n^3+C_n^5-... \] \[ C_n^1-C_n^3+C_n^5-... \]"}, {"balls": {"number": "B3", "exponent": null}, "text": "Вычислите сумму \[ \[ \[ \sum_{k=1}^n k \cos kx \[ \sum_{k=1}^n k \cos kx \[ \sum_{k=1}^n k \cos kx \] \[ \sum_{k=1}^n k \cos kx \] \[ \sum_{k=1}^n k \cos kx \] \[ \sum_{k=1}^n k \cos kx \] \[ \sum_{k=1}^n k \cos kx \] \[ \sum_{k=1}^n k \cos kx \] \[ \sum_{k=1}^n k \cos kx \]"}, {"balls": {"number": "B4.1*", "exponent": null}, "text": "Проверьте, что уравнение \[ \[ \[ az + b \overline{z} + c = 0, \qquad при\; |a| = |b|, c=0 \; или \; a = \overline{b}, c \in \mathbb{R} \[ az + b \overline{z} + c = 0, \qquad при\; |a| = |b|, c=0 \; или \; a = \overline{b}, c \in \mathbb{R} \[ az + b \overline{z} + c = 0, \qquad при\; |a| = |b|, c=0 \; или \; a = \overline{b}, c \in \mathbb{R} \] \[ az + b \overline{z} + c = 0, \qquad при\; |a| = |b|, c=0 \; или \; a = \overline{b}, c \in \mathbb{R} \] \[ az + b \overline{z} + c = 0, \qquad при\; |a| = |b|, c=0 \; или \; a = \overline{b}, c \in \mathbb{R} \] задает прямую на комплексной плоскости, и что уравнение \[ az + b \overline{z} + c = 0, \qquad при\; |a| = |b|, c=0 \; или \; a = \overline{b}, c \in \mathbb{R} \] задает прямую на комплексной плоскости, и что уравнение \[ az + b \overline{z} + c = 0, \qquad при\; |a| = |b|, c=0 \; или \; a = \overline{b}, c \in \mathbb{R} \] задает прямую на комплексной плоскости, и что уравнение \[ \[ az + b \overline{z} + c = 0, \qquad при\; |a| = |b|, c=0 \; или \; a = \overline{b}, c \in \mathbb{R} \] задает прямую на комплексной плоскости, и что уравнение \[ \[ az + b \overline{z} + c = 0, \qquad при\; |a| = |b|, c=0 \; или \; a = \overline{b}, c \in \mathbb{R} \] задает прямую на комплексной плоскости, и что уравнение \[ z \overline{z} + b \overline{z} + \overline{b} z + c = 0, \qquad при\; c \in \mathbb{R}, b \overline{b} > c \[ az + b \overline{z} + c = 0, \qquad при\; |a| = |b|, c=0 \; или \; a = \overline{b}, c \in \mathbb{R} \] задает прямую на комплексной плоскости, и что уравнение \[ z \overline{z} + b \overline{z} + \overline{b} z + c = 0, \qquad при\; c \in \mathbb{R}, b \overline{b} > c \[ az + b \overline{z} + c = 0, \qquad при\; |a| = |b|, c=0 \; или \; a = \overline{b}, c \in \mathbb{R} \] задает прямую на комплексной плоскости, и что уравнение \[ z \overline{z} + b \overline{z} + \overline{b} z + c = 0, \qquad при\; c \in \mathbb{R}, b \overline{b} > c \] \[ az + b \overline{z} + c = 0, \qquad при\; |a| = |b|, c=0 \; или \; a = \overline{b}, c \in \mathbb{R} \] задает прямую на комплексной плоскости, и что уравнение \[ z \overline{z} + b \overline{z} + \overline{b} z + c = 0, \qquad при\; c \in \mathbb{R}, b \overline{b} > c \] \[ az + b \overline{z} + c = 0, \qquad при\; |a| = |b|, c=0 \; или \; a = \overline{b}, c \in \mathbb{R} \] задает прямую на комплексной плоскости, и что уравнение \[ z \overline{z} + b \overline{z} + \overline{b} z + c = 0, \qquad при\; c \in \mathbb{R}, b \overline{b} > c \] задает окружность. \[ az + b \overline{z} + c = 0, \qquad при\; |a| = |b|, c=0 \; или \; a = \overline{b}, c \in \mathbb{R} \] задает прямую на комплексной плоскости, и что уравнение \[ z \overline{z} + b \overline{z} + \overline{b} z + c = 0, \qquad при\; c \in \mathbb{R}, b \overline{b} > c \] задает окружность. \[ az + b \overline{z} + c = 0, \qquad при\; |a| = |b|, c=0 \; или \; a = \overline{b}, c \in \mathbb{R} \] задает прямую на комплексной плоскости, и что уравнение \[ z \overline{z} + b \overline{z} + \overline{b} z + c = 0, \qquad при\; c \in \mathbb{R}, b \overline{b} > c \] задает окружность. \[ az + b \overline{z} + c = 0, \qquad при\; |a| = |b|, c=0 \; или \; a = \overline{b}, c \in \mathbb{R} \] задает прямую на комплексной плоскости, и что уравнение \[ z \overline{z} + b \overline{z} + \overline{b} z + c = 0, \qquad при\; c \in \mathbb{R}, b \overline{b} > c \] задает окружность. \[ az + b \overline{z} + c = 0, \qquad при\; |a| = |b|, c=0 \; или \; a = \overline{b}, c \in \mathbb{R} \] задает прямую на комплексной плоскости, и что уравнение \[ z \overline{z} + b \overline{z} + \overline{b} z + c = 0, \qquad при\; c \in \mathbb{R}, b \overline{b} > c \] задает окружность. \[ az + b \overline{z} + c = 0, \qquad при\; |a| = |b|, c=0 \; или \; a = \overline{b}, c \in \mathbb{R} \] задает прямую на комплексной плоскости, и что уравнение \[ z \overline{z} + b \overline{z} + \overline{b} z + c = 0, \qquad при\; c \in \mathbb{R}, b \overline{b} > c \] задает окружность. \[ az + b \overline{z} + c = 0, \qquad при\; |a| = |b|, c=0 \; или \; a = \overline{b}, c \in \mathbb{R} \] задает прямую на комплексной плоскости, и что уравнение \[ z \overline{z} + b \overline{z} + \overline{b} z + c = 0, \qquad при\; c \in \mathbb{R}, b \overline{b} > c \] задает окружность. На самом деле, все прямые и окружности задаются такими уравнениями с подходящими коэффициентами."}, {"balls": {"number": "B4.2*", "exponent": null}, "text": "Рассмотрим преобразование $z \mapsto 1/\overline{z}$ плоскости комплексных чисел. Докажите, что прямые и окружности под его действием переходят в (возможно другие) прямые и окружности."}, {"balls": {"number": "B5*", "exponent": null}, "text": "Найдите среднее значение $\sin^{100} x$, т.е. \[ \[ \[ \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} \sin^{100} x \, dx \[ \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} \sin^{100} x \, dx \[ \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} \sin^{100} x \, dx \] \[ \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} \sin^{100} x \, dx \] \[ \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} \sin^{100} x \, dx \] \[ \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} \sin^{100} x \, dx \] \[ \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} \sin^{100} x \, dx \] \[ \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} \sin^{100} x \, dx \] \[ \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} \sin^{100} x \, dx \] Факт: $$ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, dx = \sqrt{\pi}. $$ Интегралы такого типа называются гауссовыми."}, {"balls": {"number": "C1", "exponent": null}, "text": "Вычислите $$ $$ $$ \int_{-\infty}^{+\infty} dx\, e^{-a x^2 + b x}. $$ \int_{-\infty}^{+\infty} dx\, e^{-a x^2 + b x}. $$ \int_{-\infty}^{+\infty} dx\, e^{-a x^2 + b x}. $$ $$ \int_{-\infty}^{+\infty} dx\, e^{-a x^2 + b x}. $$ $$ \int_{-\infty}^{+\infty} dx\, e^{-a x^2 + b x}. $$ $$ \int_{-\infty}^{+\infty} dx\, e^{-a x^2 + b x}. $$ $$ \int_{-\infty}^{+\infty} dx\, e^{-a x^2 + b x}. $$ $$ \int_{-\infty}^{+\infty} dx\, e^{-a x^2 + b x}. $$ $$ \int_{-\infty}^{+\infty} dx\, e^{-a x^2 + b x}. $$"}, {"balls": {"number": "C2", "exponent": null}, "text": "Дифференцируя интеграл выше по параметру $b$, найдите значения интегралов $$ $$ $$ \int_{-\infty}^{+\infty} dx\, x^2 e^{-a x^2}, \quad \int_{-\infty}^{+\infty} dx\, x^4 e^{-a x^2} $$ \int_{-\infty}^{+\infty} dx\, x^2 e^{-a x^2}, \quad \int_{-\infty}^{+\infty} dx\, x^4 e^{-a x^2} $$ \int_{-\infty}^{+\infty} dx\, x^2 e^{-a x^2}, \quad \int_{-\infty}^{+\infty} dx\, x^4 e^{-a x^2} $$ $$ \int_{-\infty}^{+\infty} dx\, x^2 e^{-a x^2}, \quad \int_{-\infty}^{+\infty} dx\, x^4 e^{-a x^2} $$ $$ \int_{-\infty}^{+\infty} dx\, x^2 e^{-a x^2}, \quad \int_{-\infty}^{+\infty} dx\, x^4 e^{-a x^2} $$ $$ \int_{-\infty}^{+\infty} dx\, x^2 e^{-a x^2}, \quad \int_{-\infty}^{+\infty} dx\, x^4 e^{-a x^2} $$ $$ \int_{-\infty}^{+\infty} dx\, x^2 e^{-a x^2}, \quad \int_{-\infty}^{+\infty} dx\, x^4 e^{-a x^2} $$ $$ \int_{-\infty}^{+\infty} dx\, x^2 e^{-a x^2}, \quad \int_{-\infty}^{+\infty} dx\, x^4 e^{-a x^2} $$ $$ \int_{-\infty}^{+\infty} dx\, x^2 e^{-a x^2}, \quad \int_{-\infty}^{+\infty} dx\, x^4 e^{-a x^2} $$"}, {"balls": {"number": "C3", "exponent": null}, "text": "Предположим, что формула для $\int_{-\infty}^{\infty} dx\, e^{-a x^2}$ годится и для комплексных $a$. Вычислите с помощью этой формулы интегралы Вычислите с помощью этой формулы интегралы Вычислите с помощью этой формулы интегралы $$ Вычислите с помощью этой формулы интегралы $$ Вычислите с помощью этой формулы интегралы $$ \int_{-\infty}^{+\infty} dx\, \cos (x^2), \quad \int_{-\infty}^{+\infty} dx\, \sin (x^2). Вычислите с помощью этой формулы интегралы $$ \int_{-\infty}^{+\infty} dx\, \cos (x^2), \quad \int_{-\infty}^{+\infty} dx\, \sin (x^2). Вычислите с помощью этой формулы интегралы $$ \int_{-\infty}^{+\infty} dx\, \cos (x^2), \quad \int_{-\infty}^{+\infty} dx\, \sin (x^2). $$ Вычислите с помощью этой формулы интегралы $$ \int_{-\infty}^{+\infty} dx\, \cos (x^2), \quad \int_{-\infty}^{+\infty} dx\, \sin (x^2). $$ Вычислите с помощью этой формулы интегралы $$ \int_{-\infty}^{+\infty} dx\, \cos (x^2), \quad \int_{-\infty}^{+\infty} dx\, \sin (x^2). $$ Вычислите с помощью этой формулы интегралы $$ \int_{-\infty}^{+\infty} dx\, \cos (x^2), \quad \int_{-\infty}^{+\infty} dx\, \sin (x^2). $$ Вычислите с помощью этой формулы интегралы $$ \int_{-\infty}^{+\infty} dx\, \cos (x^2), \quad \int_{-\infty}^{+\infty} dx\, \sin (x^2). $$ Вычислите с помощью этой формулы интегралы $$ \int_{-\infty}^{+\infty} dx\, \cos (x^2), \quad \int_{-\infty}^{+\infty} dx\, \sin (x^2). $$ Вычислите с помощью этой формулы интегралы $$ \int_{-\infty}^{+\infty} dx\, \cos (x^2), \quad \int_{-\infty}^{+\infty} dx\, \sin (x^2). $$"}, {"balls": {"number": "D1", "exponent": null}, "text": "Для уравнения \[ \[ \[ (\sin \sqrt{x})y''(x) + 12 y(x) = 0 \[ (\sin \sqrt{x})y''(x) + 12 y(x) = 0 \[ (\sin \sqrt{x})y''(x) + 12 y(x) = 0 \] \[ (\sin \sqrt{x})y''(x) + 12 y(x) = 0 \] \[ (\sin \sqrt{x})y''(x) + 12 y(x) = 0 \] с начальным условием $y(3) = 1$, $y'(3) = 0$, приближенно найдите $y(4)$. \[ (\sin \sqrt{x})y''(x) + 12 y(x) = 0 \] с начальным условием $y(3) = 1$, $y'(3) = 0$, приближенно найдите $y(4)$. \[ (\sin \sqrt{x})y''(x) + 12 y(x) = 0 \] с начальным условием $y(3) = 1$, $y'(3) = 0$, приближенно найдите $y(4)$. \[ (\sin \sqrt{x})y''(x) + 12 y(x) = 0 \] с начальным условием $y(3) = 1$, $y'(3) = 0$, приближенно найдите $y(4)$. \[ (\sin \sqrt{x})y''(x) + 12 y(x) = 0 \] с начальным условием $y(3) = 1$, $y'(3) = 0$, приближенно найдите $y(4)$. \[ (\sin \sqrt{x})y''(x) + 12 y(x) = 0 \] с начальным условием $y(3) = 1$, $y'(3) = 0$, приближенно найдите $y(4)$. \[ (\sin \sqrt{x})y''(x) + 12 y(x) = 0 \] с начальным условием $y(3) = 1$, $y'(3) = 0$, приближенно найдите $y(4)$."}, {"balls": {"number": "D2", "exponent": null}, "text": "Найти период колебаний \[ \[ \[ \ddot{x} + x^{3/2} = 0 \[ \ddot{x} + x^{3/2} = 0 \[ \ddot{x} + x^{3/2} = 0 \] \[ \ddot{x} + x^{3/2} = 0 \] \[ \ddot{x} + x^{3/2} = 0 \] если $x(0) = a$, $\dot{x}(0) = 0$. В ответе можно оставить невычисленным интеграл, но он не должен зависеть от $a$. \[ \ddot{x} + x^{3/2} = 0 \] если $x(0) = a$, $\dot{x}(0) = 0$. В ответе можно оставить невычисленным интеграл, но он не должен зависеть от $a$. \[ \ddot{x} + x^{3/2} = 0 \] если $x(0) = a$, $\dot{x}(0) = 0$. В ответе можно оставить невычисленным интеграл, но он не должен зависеть от $a$. \[ \ddot{x} + x^{3/2} = 0 \] если $x(0) = a$, $\dot{x}(0) = 0$. В ответе можно оставить невычисленным интеграл, но он не должен зависеть от $a$. \[ \ddot{x} + x^{3/2} = 0 \] если $x(0) = a$, $\dot{x}(0) = 0$. В ответе можно оставить невычисленным интеграл, но он не должен зависеть от $a$. \[ \ddot{x} + x^{3/2} = 0 \] если $x(0) = a$, $\dot{x}(0) = 0$. В ответе можно оставить невычисленным интеграл, но он не должен зависеть от $a$. \[ \ddot{x} + x^{3/2} = 0 \] если $x(0) = a$, $\dot{x}(0) = 0$. В ответе можно оставить невычисленным интеграл, но он не должен зависеть от $a$."}]}
answer: [{"condition": "Найдите  \[  \left|\frac{1+e^{ix}}{1+e^{iy}}+\frac{1+e^{iy}}{1+e^{ix}}\right|.  \]  Подсказка: $|z|^2 = z \cdot \overline{z}$, $\overline{e^{ix}} = e^{-ix}$. Кроме того, сопряжение перестановочно с любыми алгебраическими операциями:  $$  \overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}, \qquad \overline{z_1 \cdot z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2}, \qquad \overline{z_1 / z_2} = \overline{z_1} /\overline{z_2}  $$ ", "solution": {"text": "$$ \left|\frac{1+e^{ix}}{1+e^{iy}} + \frac{1+e^{iy}}{1+e^{ix}}\right|^2= (\frac{1+e^{ix}}{1+e^{iy}} + \frac{1+e^{iy}}{1+e^{ix}}) \cdot \overline{(\frac{1+e^{ix}}{1+e^{iy}} + \frac{1+e^{iy}}{1+e^{ix}})} = \\ =(\frac{1+e^{ix}}{1+e^{iy}} + \frac{1+e^{iy}}{1+e^{ix}}) \cdot (\frac{1+e^{-ix}}{1+e^{-iy}} + \frac{1+e^{-iy}}{1+e^{-ix}})=\\=\frac{2 + 2\cos x}{2+2\cos y} + \frac{2 + 2\cos y}{2 + 2\sin y} +\frac{(1+e^{ix})(1+e^{-iy})}{(1+e^{iy})(1+e^{-ix})} + \overline{\frac{(1+e^{ix})(1+e^{-iy})}{(1+e^{iy})(1+e^{-ix})} } = \\ =\frac{1+\cos x}{1 + \cos y} + \frac{1+\cos y}{1+\cos x} + 2 \text{Re}(e^{i(x-y)})= \frac{1+\cos x}{1 + \cos y} + \frac{1+\cos y}{1+\cos x} + 2 \cos(x-y) $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ \sqrt{\frac{1+\cos x}{1 + \cos y} + \frac{1+\cos y}{1+\cos x} + 2 \cos(x-y)} $$"]}, "number_part": "A1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Представьте в показательной форме:  \[  \frac{2+\sqrt{3} + i}{1 + e^{ix}}  \] ", "solution": {"text": "Модуль: $$ \left|\frac{2+\sqrt{3}+i}{1+e^{ix}}\right|^2=\frac{(2+\sqrt{3})^2+1}{2(1+\cos x)}=\frac{4+2\sqrt{3}}{1+\cos x} $$ Аргумент: $$ \arctan \frac{1}{2+\sqrt{3}}-\arctan \frac{\sin x}{1 + \cos x}=\frac{\pi}{12}-\frac{x}{2} $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ \sqrt{\frac{4+2\sqrt{3}}{1+\cos x}}e^{i(\frac{\pi}{12}-\frac{x}{2})} $$"]}, "number_part": "A2", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Разложите $\sin^5 x$ в сумму первых степеней тригонометрических функций кратных аргументов ($\cos x$, $\cos 2x$, ...). Как можно заранее понять какие функции войдут в ответ? ", "solution": {"text": "$$ \sin^5 x = (\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i})^5=\frac{e^{5ix} - 5e^{3ix}+10e^{ix}-10e^{-ix}+5e^{-3ix}+e^{-5ix}}{32i}=\\ $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ \frac{1}{16}\sin 5x - \frac{5}{16}\sin 3x + \frac{5}{8}\sin x $$"]}, "number_part": "A3", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Представьте $\cos 4x$ в виде многочлена от $\cos x$. ", "solution": {"text": "$$ \cos 4x = \text{Re} (e^{4ix})=\text{Re}(\cos x + i \sin x)^4=\\ =\text{Re}(\cos^4 x - 6 \cos^2 x \sin^2 x + \sin^4 x)=\\ =\cos^4 x - 6\cos^2 x (1 - \cos^2 x) + (1 - \cos^2 x)^2=\\ =8\cos^4 x - 8\cos^2 x+1 $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ 8\cos^4 x - 8\cos^2 x+1 $$"]}, "number_part": "A4", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Найти амплитуду колебания, которое возникает в результате сложения трех колебаний одного направления:  $x_1 = a \cos \omega t $,  $x_2=2a \sin \omega t$,  $x_3 = 1,5 a \cos (\omega t + \pi /3)$.  Решить задачу графически и с помощью комплексных чисел. ", "solution": {"text": "Найдем комплексную амплитуду результирующего колебания, сложив комплексные амплитуды исходных:$$z=a+2ai+\frac{3}{2}ae^{i\pi/3} = a(1-2i+\frac{3}{4}+\frac{3\sqrt{3}}{4}i)$$Искомая амплитуда - это модуль $|z|$, т.е."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\sqrt{(\frac{7}{4})^2+(-2+\frac{3\sqrt{3}}{4})^2}=\frac{1}{2}\sqrt{35-12\sqrt{3}}$$"]}, "number_part": "A5", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Вычислите ряд  \[  \sum_{k=0}^{\infty}r^k \sin{kx}  \] ", "solution": {"text": "Это равно$$\text{Im} \sum_{k=0}^{\infty}r^k e^{ikx} = \text{Im} \sum_{k=0}^{\infty} (r e^{ix})^k=\text{Im} \frac{1}{1-re^{ix}}=\text{Im}\frac{1-re^{-ix}}{1-2r\cos x + r^2}=$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\frac{r\sin x}{1-2r\cos x + r^2}$$"]}, "number_part": "B1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Вычислите сумму  \[  C_n^1-C_n^3+C_n^5-...  \] ", "solution": {"text": "Это равно$$\text{Im}(1+i)^n=2^{n/2}\text{Im}\,e^{in\pi/4}=2^{n/2}\sin \frac{\pi n}{4}$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$2^{n/2}\sin \frac{\pi n}{4}$$"]}, "number_part": "B2", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Вычислите сумму  \[  \sum_{k=1}^n k \cos kx  \] ", "solution": {"text": "Нам нужна вещественная часть от $\sum_{k=1}^n k (e^{ix})^k$. Обозначим $q = e^{ix}$.$$\sum_{k=1}^{n}kq^k=\sum_{k=1}^{n}(k+1)q^k - \sum_{k=1}^{n}q^k=\\=\frac{\partial}{\partial q}\sum_{k=1}^{n}q^{k+1} - \sum_{k=1}^{n}q^k=\frac{\partial}{\partial q} \frac{q^2(1-q^{n})}{1-q}-\frac{q(1-q^{n})}{1-q}=\\=\frac{2q(1-q^{n})}{1-q}+\frac{nq^n}{1-q}+\frac{q^2(1-q^{n})}{(1-q)^2}-\frac{q(1-q^{n})}{1-q}=\\=\frac{q(1-q^{n})}{1-q}+\frac{nq^n}{1-q}+\frac{q^2(1-q^{n})}{(1-q)^2}=\\=\frac{nq^{n+2}-(n+1)q^{n+1}+q}{(q-1)^2}$$Осталось взять вещественную часть:$$\text{Re}\frac{nq^{n+2}-(n+1)q^{n+1}+q}{(q-1)^2}=\text{Re}\frac{nq^{n+1}-(n+1)q^{n}+1}{(q-1)(1-\overline{q})}=$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ \frac{-n\cos (n+1)x + (n+1)\cos nx-1}{2(1-\cos x)} $$"]}, "number_part": "B3", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Проверьте, что уравнение  \[  az + b \overline{z} + c = 0, \qquad при\; |a| = |b|, c=0 \; или \; a = \overline{b}, c \in \mathbb{R}  \]  задает прямую на комплексной плоскости, и что уравнение  \[  z \overline{z} + b \overline{z} + \overline{b} z + c = 0, \qquad при\; c \in \mathbb{R}, b \overline{b} > c  \]  задает окружность. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "B4.1*", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Рассмотрим преобразование $z \mapsto 1/\overline{z}$ плоскости комплексных чисел. Докажите, что прямые и окружности под его действием переходят в (возможно другие) прямые и окружности. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "B4.2*", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Найдите среднее значение $\sin^{100} x$, т.е.  \[  \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} \sin^{100} x \, dx  \] ", "solution": {"text": "В разложении $$ \sin^{100} x = (\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i})^{100} $$ будут только осциллирующие члены (среднее значение которых равно нулю) и константа, равная"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ \frac{1}{2^{100}}C_{100}^{50} $$"]}, "number_part": "B5*", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Вычислите  $$  \int_{-\infty}^{+\infty} dx\, e^{-a x^2 + b x}.  $$ ", "solution": {"text": "$$ \int_{-\infty}^{\infty}dx\, e^{-ax^2+bx}= \int_{-\infty}^{\infty}dx\, e^{-a(x-\frac{b}{2a})^2+\frac{b^2}{4a}}= $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ e^{\frac{b^2}{4a}}\sqrt{\frac{\pi}{a}} $$"]}, "number_part": "C1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Дифференцируя интеграл выше по параметру $b$, найдите значения интегралов  $$  \int_{-\infty}^{+\infty} dx\, x^2 e^{-a x^2}, \quad \int_{-\infty}^{+\infty} dx\, x^4 e^{-a x^2}  $$ ", "solution": {"text": "$$\int_{-\infty}^{\infty}dx\, e^{-ax^2}x^2=\frac{\partial^2}{\partial^2 b}\Bigg|_{b=0}\int_{-\infty}^{\infty}dx\, e^{-ax^2+bx}=\frac{\partial^2}{\partial^2 b}\Bigg|_{b=0}\left(e^{\frac{b^2}{4a}}\sqrt{\frac{\pi}{a}}\right)=$$ $$\int_{-\infty}^{\infty}dx\, e^{-ax^2}x^2=\frac{\partial^4}{\partial^4 b}\Bigg|_{b=0}\int_{-\infty}^{\infty}dx\, e^{-ax^2+bx}=\frac{\partial^4}{\partial^4 b}\Bigg|_{b=0}\left(e^{\frac{b^2}{4a}}\sqrt{\frac{\pi}{a}}\right)=$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$e^{\frac{b^2}{4a}}\sqrt{\frac{\pi}{a}}$$  $$\int_{-\infty}^{\infty}dx\, e^{-ax^2}x^2=\frac{\partial^4}{\partial^4 b}\Bigg|_{b=0}\int_{-\infty}^{\infty}dx\, e^{-ax^2+bx}=\frac{\partial^4}{\partial^4 b}\Bigg|_{b=0}\left(e^{\frac{b^2}{4a}}\sqrt{\frac{\pi}{a}}\right)=$$", "Ответ: $$\frac{3}{4a^2}\sqrt{\frac{\pi}{a}}$$"]}, "number_part": "C2", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Предположим, что формула для $\int_{-\infty}^{\infty} dx\, e^{-a x^2}$ годится и для комплексных $a$.  Вычислите с помощью этой формулы интегралы  $$  \int_{-\infty}^{+\infty} dx\, \cos (x^2), \quad \int_{-\infty}^{+\infty} dx\, \sin (x^2).  $$ ", "solution": {"text": "Нужные интегралы - это вещественная и мнимая части интеграла $$ \int_{-\infty}^{\infty}dx\, e^{ix^2}=\sqrt{\frac{\pi}{-i}}=\sqrt{\frac{\pi}{2}}(i + 1) $$ (мы выбираем этот корень, т.к. очевидно $\int_{-\infty}^{\infty}dx\, cos(x^2) > 0$). Остается взять вещественную и мнимую части. Для обоих интегралов ответ"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ \sqrt{\frac{\pi}{2}} $$"]}, "number_part": "C3", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Для уравнения  \[  (\sin \sqrt{x})y''(x) + 12 y(x) = 0  \]  с начальным условием $y(3) = 1$, $y'(3) = 0$, приближенно найдите $y(4)$. ", "solution": {"text": "Нужно заметить, что на данном отрезке $\sin \sqrt{x}$ примерно постоянен."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ y(4)\approx -0.92 $$"]}, "number_part": "D1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Найти период колебаний  \[  \ddot{x} + x^{3/2} = 0  \]  если $x(0) = a$, $\dot{x}(0) = 0$. В ответе можно оставить невычисленным интеграл, но он не должен зависеть от $a$. ", "solution": {"text": "Мы можем интерпретировать это уравнение как 2-ой закон Ньютона для силы $F=-x^{3/2}$, и массы $m=1$. Сила зависит только от координаты, значит потенциальна. Ее потенциальная энергия находится интегрированием:$$U(x) = \frac{2}{5}x^{5/2}$$Кинетическая энергия, как всегда, равна$$K = \frac{\dot{x}^2}{2}$$Запишем ЗСЭ:$$\frac{\dot{x}^2}{2}+\frac{2}{5}x^{5/2}=E=\frac{2}{5}a^{5/2}$$Откуда$$\frac{dx}{dt}=\dot{x}=\sqrt{\frac{4}{5}(a^{5/2} - x^{5/2})}$$Значит период (как 4 четверть-периода):$$T=4 \int_0^{x_0} \frac{dx}{\sqrt{\frac{4}{5}(a^{5/2} - x^{5/2})}} = 2\sqrt{5} a^{-1/4} \int_0^{1} \frac{du}{\sqrt{(1 - u^{5/2})}}$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$T= 2\sqrt{5} a^{-3/2} \int_0^{1} \frac{du}{\sqrt{(1 - u^{5/2})}}$$"]}, "number_part": "D2", "exponent_part": "??"}]