text: {"text": [{"text": "В выданном вам черном ящике находится катушка с большим числом витков. Ось катушки совпадает с осью отверстия в черном ящике. В этой работе ваша задача – определить параметры катушки, исследуя ее взаимодействие с постоянным магнитом (магнитным шариком). Магнитные свойства постоянных магнитов характеризуются магнитным моментом $p_m$. Магнитный момент шарика направлен вдоль оси латунной трубки, поэтому в рамках данной задачи сила, действующая на шарик со стороны катушки, направлена по оси катушки и определяется выражением $$F=p_m\frac{\partial B(x)}{\partial x}{,}$$ где $p_m = (0,067 \pm 0,007)\text{А}\cdot\text{м}^2{,}\,B$ – индукция магнитного поля на оси катушки, $x$ – расстояние между шариком и центром катушки. Соберите установку так, чтобы магнитный шарик, прикрепленный к латунной трубке, мог перемещаться вдоль оси катушки. Запишите номер установки Подайте на катушку напряжение $U=12~В$ с помощью блока питания. Убедитесь, что переключатель на блоке питания установлен в положение «$12~В$». Если это не так, обратитесь к преподавателю. Известно, что масса медной обмотки составляет $70\%$ массы черного ящика. Плотность меди $\rho = 8{,}96\, \text{г}/\text{см}^3{.}$ Удельная проводимость (величина, обратная удельному сопротивлению) меди $\lambda = 59\cdot10^6\, \text{Ом}^{−1}\cdot \text{м}^{−1}{.}$"}, {"balls": {"number": "A1", "exponent": "6,00"}, "text": "Снимите зависимость силы $F$, действующей на магнитный шарик со стороны катушки, от расстояния $x$ между шариком и центром катушки. Учтите, что центр катушки может не совпадать с центром черного ящика. Постройте график этой зависимости."}, {"balls": {"number": "A2", "exponent": "2,50"}, "text": "Определите индукцию магнитного поля $B_0$ в центре катушки."}, {"balls": {"number": "A3", "exponent": "2,00"}, "text": "Получите теоретическую формулу для индукции магнитного поля $B$ на оси витка радиуса $r$ на расстоянии $x$ от центра витка, по которому течет ток $I$."}, {"balls": {"number": "A4", "exponent": "1,50"}, "text": "Определите радиус катушки $R$ в предположении, что высота катушки много меньше диаметра, а все витки имеют один радиус (короткая катушка)."}, {"balls": {"number": "A5", "exponent": "2,00"}, "text": "Определите количество витков в катушке $N$ и диаметр проволоки $d$, по-прежнему считая катушку короткой."}, {"balls": {"number": "A6", "exponent": "1,00"}, "text": "Оцените погрешности найденных величин. <img_0> $\textit{Примечание:}\;$Согласно закону Био-Савара-Лапласа, индукция магнитного поля, создаваемого в точке $C$ элементом тока $I$ длиной $dl$, находящимся в точке $D$, равна $dB =\cfrac{kI dl \sin\alpha} {r^2}{,}$ где $r$ – длина отрезка $CD{,}$ $\alpha$ – угол между отрезком $CD$ и направлением тока${,}\,k = 10^{−7} \text{Гн}/\text{м}{.}$ Вектор индукции поля перпендикулярен как направлению тока, так и отрезку $CD{.}$"}]}
answer: [{"condition": "Снимите зависимость силы $F$, действующей на магнитный шарик со стороны катушки, от расстояния $x$ между шариком и центром катушки. Учтите, что центр катушки может не совпадать с центром черного ящика. Постройте график этой зависимости. ", "solution": {"text": "Установка: крепим зажимом типа «бульдог» латунную трубку в выемку в штативе. Линейку крепим тем же зажимом к штативу. Перемещая трубку с «бульдогом» относительно линейки, будем изменять высоту магнита. Под шарик располагаем весы, на который ставим кубик, на кубик ящик с катушкой. Прищепку используем для закрепления провода питания, чтобы его перемещения не влияли на показания весов. Включаем весы, убеждаемся, что при выключенном питании на них $00.0$, при необходимости сбрасываем. Включением и выключением питания катушки убеждаемся в воспроизводимости показаний весов и снимаем зависимость показаний от координаты $h$ (снятой с линейки). Заметим, что при нахождении магнита в центре катушки сила равна нулю (так как индукция магнитного поля максимальна), что позволяет определить координату центра катушки и получить искомую зависимость простым сдвигом. F,мН-9,114-6.174-3.528 -1.1761.8625.2928.134x,мм-7-5-3-1135F,мН10.09412.44614.30816.85617.34617.54216.366x,мм791113151719F,мН14.308 11.172 14.30816.85617.34617.54216.366x,мм25303540455055F,мН2.352 1.666 1.176 0.98 0.882 0.686 x,мм606570758085 Построим $F(x)$ <img_1> | F,мН | \-9,114 | \-6\.174 | \-3\.528 | \-1\.176 | 1\.862 | 5\.292 | 8\.134 | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | x,мм | \-7 | \-5 | \-3 | \-1 | 1 | 3 | 5 | | F,мН | 10\.094 | 12\.446 | 14\.308 | 16\.856 | 17\.346 | 17\.542 | 16\.366 | | x,мм | 7 | 9 | 11 | 13 | 15 | 17 | 19 | | F,мН | 14\.308 | 11\.172 | 14\.308 | 16\.856 | 17\.346 | 17\.542 | 16\.366 | | x,мм | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 | 50 | 55 | | F,мН | 2\.352 | 1\.666 | 1\.176 | 0\.98 | 0\.882 | 0\.686 | | | x,мм | 60 | 65 | 70 | 75 | 80 | 85 | |"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "A1", "exponent_part": "6,00"}, {"condition": "Определите индукцию магнитного поля $B_0$ в центре катушки. ", "solution": {"text": "Так как сила зависит, согласно условию задачи, от градиента поля $$F=p_m\cfrac{\partial{B}}{\partial{x}}{,}$$ то изменение поля будет пропорционально силе, т.е. $$\Delta B =\cfrac{F}{p_m}\Delta x{.}$$ Вычислим изменение поля при движении по оси из «бесконечности», найдя площадь под графиком силы от перемещения. Так как магнитным полем Земли можно пренебречь, т.е. вдали от катушки поле 0, то это изменение и есть поле катушки. Его можно определить по площади под графиком F(x): $$B_0 =\cfrac{1}{p_m}\int F dx = 5{,}95 · 10^{−3} \;\text{Тл}$$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "A2", "exponent_part": "2,50"}, {"condition": "Получите теоретическую формулу для индукции магнитного поля $B$ на оси витка радиуса $r$ на расстоянии $x$ от центра витка, по которому течет ток $I$. ", "solution": {"text": "Разобьем кольцо на элементы с угловым размером $d\theta$ и найдем индукцию от такого элемента: $$d\vec{B}=\cfrac{\mu_0}{4\pi}\cfrac{[d\vec{l}\times\vec{r}]}{r^3}I=\cfrac{\mu_0}{4\pi}\cfrac{Rd\theta }{r^2}I\vec{e}_z{.}$$Из симметрии понятно, что полная индукция направлена по оси кольца. Найдем ее значение, проинтегрировав соответствующие компоненты индукции элементов кольца:$$(\vec{B}\cdot\vec{e}_r)=\int_0^{2\pi}\cfrac{\mu_0}{4\pi}\cfrac{R}{r^2}I\sin{\varphi} d\theta{.}$$Окончательно получаем:$$B=\cfrac{\mu_0}{2}\cfrac{R}{r^2}I\sin{\varphi}=\cfrac{\mu_0}{2}\cfrac{R^2}{(R^2+x^2)^{1{,}5}}I{.}$$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "A3", "exponent_part": "2,00"}, {"condition": "Определите радиус катушки $R$ в предположении, что высота катушки много меньше диаметра, а все витки имеют один радиус (короткая катушка). ", "solution": {"text": "$\textit{Способ 1.}$ Обозначим $k=\cfrac{\mu_0}{4\pi}{.}$Поскольку катушка считается короткой, воспользуемся формулой из предыдущего пункта для витков катушки радиусом $R$. Обозначим за $I$ сумму токов вовсех витках катушки ($I = NI_1$, где $I_1$ — ток в одном витке). Найдем первуюпроизводную магнитного поля, которая будет пропорциональна силе, и вторую производную, показывающую градиент силы:$$\cfrac{dB}{dx} = −\cfrac{6\pi kIR^2x}{(R^2 + x^2)^{5/2}}$$$$\cfrac{d^2B}{dx^2}=−\cfrac{6\pi kIR^2(4x^2 − R^2)}{(R^2 + x^2)^{7/2}}$$Отсюда видно, что максимум силы достигается при$x = R/2$Снимая с графика положение максимума $x_0 = 1{,}7$ см, получаем $R = 3{,}4\text{см}{.}$Теперь рассмотрим второй вариант. $\textit{Способ 2.}$Из выражения для $\cfrac{d^2B}{dx^2}$ получаем производную силы при $x = 0{:}$$$\cfrac{dF}{dx} = k_0 = p_m\cdot \cfrac{6\pi kI}{R^3}{.}$$Определяем $k_0$ по наклону графика в нуле: $k_0 = 1{,}6\text{Н}/\text{м}{.}$Из выражения для индукция от кольца найдем индукцию поля в центре катушки:$$B_0 =\cfrac{2\pi kI}{R}{.}$$Зная $B_0$ и $k_0$, найдем радиус катушки:$$\cfrac{p_mB0}{k_0}=\cfrac{R^2}{3}\Rightarrow R =r\sqrt{\cfrac{3p_mB_0}{k_0}}= 3{,}3 \text{см}{.}$$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "A4", "exponent_part": "1,50"}, {"condition": "Определите количество витков в катушке $N$ и диаметр проволоки $d$, по-прежнему считая катушку короткой. ", "solution": {"text": "Из выражения для индукции в центре кольца:$$I =\cfrac{B_0R}{2\pi k}{.}$$Напряжение на одном витке катушки: $U_1 =\cfrac{U}{N}{,}$Из закона Ома для одного витка: $$\cfrac{U_1}{I_1}=\cfrac{U}{I}=\cfrac{2\pi R}{\gamma\pi d^2/4}=\cfrac{8R}{\gamma d^2}$$$$d =\sqrt{\cfrac{8IR}{\gamma U}} $$Чтобы найти массу черного ящика, поставим кубик на весы и обнулим их показания. После этого положим на кубик черный ящик. Зная массу черного ящика,рассчитаем массу катушки: $M = 204\text{г}{.}$ Для определения количества витков $N$ выпишем:$$\cfrac{M}{\rho}=\cfrac{\pi d^2}{4}N^2\pi R \Rightarrow N d^2 =\cfrac{2M}{\pi^2R\rho}$$$$N =\cfrac{\gamma UM}{4\pi^2IR^2\rho}{.}$$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "A5", "exponent_part": "2,00"}, {"condition": "Оцените погрешности найденных величин. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "A6", "exponent_part": "1,00"}]