text: {"text": [{"text": "<img_0> Как показано на рисунке, очень длинная нерастяжимая нить постоянной линейной плотности $\lambda$ продета через блок радиусом $R$, ось которого находится на высоте $L$ от пола. Изначально система находится в равновесии. В момент времени $t = 0$, блок мгновенно приобретает угловую скорость $\omega$, вращаясь против часовой стрелки, и сохраняет её потом. Коэффициент трения скольжения между нитью и блоков равен $\mu$. Это также приводит нить в движение. Подвешенные части нити остаются вертикальными в процессе движения, а её концы всегда остаются на полу. Натяжение нити слева и справа от блока обозначены $T_1$ и $T_2$ соответственно. Ускорение свободного падения равно $g$."}, {"balls": {"number": "1", "exponent": "20,00"}, "text": "Запишите систему уравнений движения для каждой точки нити в трёх случаях: для частей нити, лежащих слева и справа об блока, и части нити, лежащей на блоке."}, {"balls": {"number": "2", "exponent": "15,00"}, "text": "Найдите максимально возможную скорость $v_{max}$ движения нити в описанном процессе. $\textit{Примечание}$: Можно воспользоваться следующими равенствами:$$\frac{dy}{dx} + \alpha y = e^{- \alpha x} \frac{d\left(ye^{\alpha x}\right)}{dx},$$ $$\int e^{\alpha x} \cos{x} dx = \frac{e^{\alpha x}}{1 + \alpha^2}(\alpha \cos{x} + \sin{x}) + C_1,$$ $$\int e^{\alpha x} \sin{x} dx = \frac{e^{\alpha x}}{1 + \alpha^2}(\alpha \sin{x} + \cos{x}) + C_2,$$ где $C_1$ и $C_2$ — константы интегрирования."}]}
answer: [{"condition": "Запишите систему уравнений движения для каждой точки нити в трёх случаях: для частей нити, лежащих слева и справа об блока, и части нити, лежащей на блоке. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: Для подвешенной части нити слева от блока:$$-T_1 + \lambda Lg = \lambda L \frac{dv}{dt};$$для подвешенной части нити справа от блока:$$T_2 - \lambda v^2 - \lambda Lg = \lambda L \frac{dv}{dt};$$для части нити, лежащей на блоке:$$\frac{\mathrm{d} T}{\mathrm{~d} \varphi}+\mu T-\lambda R g(\cos \varphi-\mu \sin \varphi)=\lambda R\left(\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} t}+\mu \frac{v^{2}}{R}\right).$$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "20,00"}, {"condition": "Найдите максимально возможную скорость $v_{max}$ движения нити в описанном процессе. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$v_{max} = R \omega.$$"]}, "number_part": "2", "exponent_part": "15,00"}]