text: {"text": [{"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Определите максимальную амплитуду гармонических колебаний системы из двух брусков и двух невесомых пружин, изображенной на рисунке. <img_0> Жесткость правой пружины $k=10~Н/м$, жесткость левой $2 k=20~Н/м$, масса каждого бруска $m=100~г$, коэффициент трения между брусками $\mu=0.5$. В положении равновесия правая пружина растянута на длину $\Delta x_{01}=2~см$. Трения между нижним бруском и опорой нет."}]}
answer: [{"condition": "Определите максимальную амплитуду гармонических колебаний системы из двух брусков и двух невесомых пружин, изображенной на рисунке. ", "solution": {"text": "В случае, когда бруски находятся в равновесии, $F_{1}=F_{2}$ (см. рисунок), т. е. $$k \Delta x_{01}=2 k \Delta x_{02}.$$Таким образом, $\Delta x_{02}=1~см$. <img_1> Система совершает гармонические колебания, следовательно, скольжения одного бруска по другому нет. Поскольку общая масса системы равна $2 m$, a эффективная жесткость пружин равна $3 k$, уравнение движения будет иметь вид: $$2 m a=-3 k x,$$где $x$ — текущее смещение от положения равновесия, $a$ — ускорение системы. Для того, чтобы верхний брусок двигался с ускорением $a$, сила трения $F_{тр}$ должна удовлетворять уравнению:$$m a=-2 k\left(x+\Delta x_{02}\right)+F_{тр},$$откуда$$F_{тр}=\frac{k x}{2}+2 k \Delta x_{02}.$$Поскольку сила трения не может превышать величины $\mu m g$, то для максимальной амплитуды $A$ имеем:$$\mu m g=\frac{k A}{2}+2 k \Delta x_{02}$$и$$A=\frac{2\left(\mu m g-2 k \Delta x_{02}\right)}{k} \approx 6~см.$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ A=\frac{2\left(\mu m g-2 k \Delta x_{02}\right)}{k} \approx 6~см. $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]