text: {"text": [{"text": "Маглев — это технология магнитной подвески (левитации) и разгона поездов или других транспортных средств. В виду отсутствия трения между поездом и рельсами, такие поезда могут развивать скорости до 600 км/ч. Существует три типа Маглев систем — EMS (Electromagnetic Suspension, электромагнитная подвеска), EDS (Electrodynamic Suspension, электродинамическая подвеска) и экспериментальная технология Inductrack. В этой задаче изучаются физические принципы этой технологии на упрощенной модели маглева. Мы не будем рассматривать принцип ускорения поезда с помощью магнитных сил, т.к. он имеет много общего с физикой магнитной левитации. На рис. 1 изображен схематический вид поезда, использующего технологию Inductrack. В состоянии покоя или движения с маленькой скоростью маглев опирается колесами о рельсы, как обычный поезд. Однако при достижении некоторой скорости отрыва $v_t$ поезд отрывается от рельс и начинет левитировать. Для этого к поезду прикреплены два длинных параллельных ряда, состоящих из постоянных кубических магнитов, каждый размером $a = 5$ см. Дипольные моменты соседних магнитов наклонены под углом $45^{\circ}$ (так называемая сборка Халбаха). В результате под каждым рядом образуется постоянное магнитное поле с компонентами $B_x$ и $B_y$: \begin{equation} B_x = B_0 \exp \left( - k y \right) \sin \left( k x \right), \tag{1} \label{eq: B_x} \end{equation} \begin{equation} B_y = B_0 \exp \left( - k y \right) \cos \left( k x \right), \tag{2} \label{eq: B_y} \end{equation} где координата $x$ отсчитывается от заднего конца поезда вдоль направления движения, а координата $y$ отсчитывается от дна поезда в направлении вниз. Здесь параметр $k$ это волновое число магнитного поля. Амплитуда магнитного поля $B_0 = 1.4$ Тл. <img_0> Два индукционных ряда, состоящих из горизонтальных прямоугольных рамок ширины $a$ (совпадающей с размерами магнитов), расположены вдоль рельсов, как показано на рис. 2. Длина рамок и расстояние между ними равны $b$. Каждый индукционный ряд расположен ниже соответствующей сборки Халбаха на расстоянии, равном координате $y$ индукционного ряда (см. рис. 1). Считайте, что магнитное поле задается уравнениями (1) и (2) только около индукционных рамок, расположенных ниже поезда, а в остальном пространстве магнитное поле равно нулю. <img_1> $\textit{Примечание:}$ в реальных поездах рамки индукционных рядов соединены и образуют непрерывный ряд, похожий на лестницу. Однако для упрощения вычислений мы используем упрощенную модель, изображенную на рис. 2. Вам могут понадобиться следующие соотношения: \begin{equation} \sin x - \sin y = 2 \sin \left( \frac{x - y}{2} \right) \cos \left( \frac{x + y}{2} \right), \end{equation} \begin{equation} \cos x - \cos y = 2 \sin \left( \frac{y - x }{2} \right) \sin \left( \frac{x + y}{2} \right). \end{equation} В частях $\mathrm{A}$ и $\mathrm{B}$ считайте, что длина поезда бесконечно большая (т.е. уравнения \eqref{eq: B_x} и \eqref{eq: B_y} выполняются для любых значений $x$)."}, {"text": "Часть А. ЭДС в индукционных рамках (2.2 балла)"}, {"balls": {"number": "A1", "exponent": "0,30"}, "text": "Выразите волновое число $k$ магнитного поля через размер магнитов $a$. Также найдите его численное значение. Пусть поезд движется с постоянной скоростью $v$ вдоль положительного направления оси $x$. Рассмотрим рамку, центр которой в начальный момент $t=0$ имеет координату $x_c$ относительно поезда."}, {"balls": {"number": "A2", "exponent": "1,50"}, "text": "Найдите ЭДС индукции $\mathcal{E}_{ind}(t)$ в момент времени $t$."}, {"text": "Часть B. Ток в индукционных рамках (2.0 балла) Каждая рамка обладает индуктивностью $L$ и сопротивлением $R$. Взаимной индукцией разных рамок можно пренебречь по сравнению с $L$. Индуцированный в рамке ток $I$ имеет вид \begin{equation} I(t) = I_0 \sin \left( \omega t - k x_c + \psi \right). \end{equation}"}, {"balls": {"number": "A3", "exponent": "0,40"}, "text": "Найдите циклическую частоту $\omega$ ЭДС индукции."}, {"text": "Часть C. Динамика поезда (5.8 балла)"}, {"balls": {"number": "B1", "exponent": "2,00"}, "text": "Найдите амплитуду тока $I_0$ и фазу $\psi$. $\textit{Примечание:}$ положительное направление тока выбирается так, чтобы оно было согласоваано с положительным направлением оси $y$ правилом правой руки. $\textit{Примечание:}$ положительное направление тока выбирается так, чтобы оно было согласоваано с положительным направлением оси $y$ правилом правой руки. $\textit{Примечание:}$ положительное направление тока выбирается так, чтобы оно было согласоваано с положительным направлением оси $y$ правилом правой руки. $\textit{Примечание:}$ положительное направление тока выбирается так, чтобы оно было согласоваано с положительным направлением оси $y$ правилом правой руки. $\textit{Примечание:}$ положительное направление тока выбирается так, чтобы оно было согласоваано с положительным направлением оси $y$ правилом правой руки. $\textit{Примечание:}$ положительное направление тока выбирается так, чтобы оно было согласоваано с положительным направлением оси $y$ правилом правой руки. $\textit{Примечание:}$ положительное направление тока выбирается так, чтобы оно было согласоваано с положительным направлением оси $y$ правилом правой руки. $\textit{Примечание:}$ положительное направление тока выбирается так, чтобы оно было согласоваано с положительным направлением оси $y$ правилом правой руки. $\textit{Примечание:}$ положительное направление тока выбирается так, чтобы оно было согласоваано с положительным направлением оси $y$ правилом правой руки."}, {"balls": {"number": "C1", "exponent": "3,00"}, "text": "Найдите средние по времени силы $\overline{F}_x$ и $\overline{F}_y$, действующие на одну рамку. Ответ выразите через скорость поезда $v$, расстояние между сборкой Халбаха и индукционным рядом $y$ и введенные раннее параметры. Постройте качественные графики $\overline{F}_x(v)$ и $\overline{F}_y(v)$ при фиксированном $y$. Постройте качественные графики $\overline{F}_x(v)$ и $\overline{F}_y(v)$ при фиксированном $y$. Постройте качественные графики $\overline{F}_x(v)$ и $\overline{F}_y(v)$ при фиксированном $y$. Постройте качественные графики $\overline{F}_x(v)$ и $\overline{F}_y(v)$ при фиксированном $y$. Постройте качественные графики $\overline{F}_x(v)$ и $\overline{F}_y(v)$ при фиксированном $y$. Постройте качественные графики $\overline{F}_x(v)$ и $\overline{F}_y(v)$ при фиксированном $y$. Постройте качественные графики $\overline{F}_x(v)$ и $\overline{F}_y(v)$ при фиксированном $y$."}, {"balls": {"number": "C2", "exponent": "1,20"}, "text": "Рассмотрим поезд большой, но не бесконечной длины $l$ ($l \gg b$). Найдите (вертикальную) подъемную силу $F_L$ и (горизонтальную) силу тяги $F_D$."}, {"balls": {"number": "C3", "exponent": "1,00"}, "text": "При заданном $a$, найдите минимальное отношение $b/a$, при котором подъемная сила максимальная при фиксированных $y$, $v$, $R$ и $L$. Рассмотрим поезд длины $l = 10~\text{м}$ и массы $m = 1{.}0\cdot10^4~\text{кг}$. Отношение $b/a$ совпадает с оптимальным, найденным в пункте $\mathrm{C3}$. Индуктивность и сопротивление индукционных рамок равны $L = 1{.}0\cdot10^{-7}~\text{Гн}$ и $R = 1{.}0\cdot10^{-5}~\text{Ом}$. Ускорение свободного падения $g = 9{.}8~\text{м}/\text{с}^2$. Считайте, что расстояние между сборкой Халбаха и индукционным рядом $y$ равно $0$, когда поезд покоится."}, {"balls": {"number": "C4", "exponent": "0,30"}, "text": "Найдите скорость отрыва $v_t$, при которой поезд перестает контактировать с рельсами."}, {"balls": {"number": "C5", "exponent": "0,30"}, "text": "Найдите расстояние $y$ между поездом и рельсами, если поезд движется со скоростью $v = 360~\text{км}/\text{ч}$."}]}
answer: [{"condition": "Выразите волновое число $k$ магнитного поля через размер магнитов $a$. Также найдите его численное значение. ", "solution": {"text": "Т.к. ориентация магнитного момента поворачивается на $2\pi$ каждый 8 кубиков, длина волны $\lambda = 8 a$. Отсюда находим волновое число:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \begin{equation*} k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{\pi}{4 a} = 15.7~\text{м}^{-1}.\end{equation*}"]}, "number_part": "A1", "exponent_part": "0,30"}, {"condition": "Найдите ЭДС индукции $\mathcal{E}_{ind}(t)$ в момент времени $t$. ", "solution": {"text": "Обозначим через $x'(t)$ координату центра рамки в момент времени $t$:\begin{equation*} x' = x_c - v t.\end{equation*}Через участок рамки с координатой от $x$ до $x+dx$ проходит поток $d \Phi = B_y a dx$. Интегрируя, получаем\begin{multline*} \Phi = \int_{x'-b/2}^{x'+b/2} a B_0 \exp\left(-k y\right) \cos \left( k x \right) dx = \\ = \frac{a B_0 {\exp \left(-k y\right)}}{k} \left[ \sin\left(k x'+ k b/2\right) - \sin\left(k x' - k b/2\right) \right] = \\ = \frac{a B_0 {\exp \left(-k y\right)}}{k} \cdot 2 \sin \frac{k b}{2} \cos \left( k v t - k x_c \right).\end{multline*}Дифференцирую по времени, находим ЭДС индукции:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \begin{equation*} \mathcal{E}_{\text{ind}} = -\frac{d\Phi}{dt} = 2 a B_0 v {\exp \left(-k y\right)} \sin \frac{k b}{2} \sin \left( k v t - k x_c \right).\end{equation*}"]}, "number_part": "A2", "exponent_part": "1,50"}, {"condition": "Найдите циклическую частоту $\omega$ ЭДС индукции. ", "solution": {"text": "Из выражения для $\mathcal{E}_{\text{ind}}$ получаем:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \begin{equation*} \omega = k v.\end{equation*}"]}, "number_part": "A3", "exponent_part": "0,40"}, {"condition": "Найдите амплитуду тока $I_0$ и фазу $\psi$.  $\textit{Примечание:}$ положительное направление тока выбирается так, чтобы оно было согласоваано с положительным направлением оси $y$ правилом правой руки.  ", "solution": {"text": "Перейдем к комплексным току и напряжению: $\tilde{I} = I_0 e^{i\left(\omega t - k x_c + \psi\right)}$, $\tilde{\mathcal{E}} = \mathcal{E}_0 e^{i \left(\omega t - k x_c\right)}$, где $\mathcal{E}_0 = 2 a B_0 v \cdot {\exp \left(-k y\right)} \sin \frac{k b}{2}$. Записывая закон Кирхгофа, получаем\begin{equation*} \left( i \omega L + R \right) \tilde{I} = \tilde{\mathcal{E}},\end{equation*}откуда находим ток:\begin{equation*} \tilde{I} = \frac{\tilde{\mathcal{E}}}{R^2 + \omega^2 L^2} \cdot \left( R - i \omega L \right).\end{equation*}Взяв модуль от обеих частей, получим\begin{equation*} I_0 = \frac{\mathcal{E}_0}{\sqrt{\omega^2 L^2 + R^2}} = \frac{2 a B_0 v \cdot {\exp \left(-k y\right)} \sin \frac{k b}{2}}{\sqrt{\omega^2 L^2 + R^2}}.\end{equation*}Рассмотрим аргументы обеих частей:\begin{equation*} \omega t - k x_c + \psi = \omega t - k x_c - \arctan \frac{\omega L}{R},\end{equation*}откуда находим $\psi$:\begin{equation*} \psi = - \arctan \frac{\omega L}{R}.\end{equation*}"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \begin{equation*} I_0 = \frac{2 a B_0 v \cdot {\exp \left(-k y\right)} \sin \frac{k b}{2}}{\sqrt{\omega^2 L^2 + R^2}}.\end{equation*}", "Ответ: \begin{equation*} \psi = - \arctan \frac{\omega L}{R}.\end{equation*}"]}, "number_part": "B1", "exponent_part": "2,00"}, {"condition": "Найдите средние по времени силы $\overline{F}_x$ и $\overline{F}_y$, действующие на одну рамку. Ответ выразите через скорость поезда $v$, расстояние между сборкой Халбаха и индукционным рядом $y$ и введенные раннее параметры.  Постройте качественные графики $\overline{F}_x(v)$ и $\overline{F}_y(v)$ при фиксированном $y$. ", "solution": {"text": "Найдем силу $F_y$. На стороны рамки, параллельные оси $x$, действует сила, перпендикулярная как $x$, так и $y$, поэтому ее мы рассматривать не будем. Записав силы, действующие на переднюю и заднюю стороны рамки, получим\begin{multline*} F_y = a I \left[ B_x\left(x'+b/2\right) - B_x\left(x'-b/2\right) \right] = - a I_0 B_0 \exp\left(-k y\right) \sin \frac{k b}{2} \cdot 2 \sin\left(\omega t - k x_c + \psi \right) \cos \left(\omega t - k x_c \right)\end{multline*}Для усреднения разложим произведение синуса и косинуса в сумму:\begin{equation*} \langle 2 \sin\left(\omega t - k x_c + \psi \right) \cos \left(\omega t - k x_c \right) \rangle = \langle \sin \left(2 \omega t - 2 k x_c + \psi\right) + \sin\psi \rangle = \sin \psi.\end{equation*}Выразим $\sin \psi$ через тангенс: $\sin \psi = \frac{\tan \psi}{\sqrt{1 + \tan^2 \psi}}$. Получаем итоговое выражение для $\overline{F}_y$:\begin{equation*} \overline{F}_y = \frac{2 a^2 B_0^2 v^2 k L}{R^2 + k^2 v^2 L^2} \exp\left(-2k y\right) \sin^2 \frac{k b}{2}\end{equation*}Произведем аналогичные выкладки для $F_x$:\begin{equation*} F_x = I a \left[ B_y \left(x + b/2\right) - B_y \left(x - b/2\right) \right],\end{equation*}\begin{equation*} F_x = 2 a I_0 B_0 \exp\left(-ky\right) \sin \frac{k b}{2} \sin \left(\omega t - k x_c\right) \sin \left(\omega t - k x_c + \psi \right),\end{equation*}\begin{equation*} \langle 2\sin \left(\omega t - k x _c\right) \sin \left(\omega t - k x_c + \psi \right) \rangle = \langle \cos\psi - \cos \left( 2 \omega t - 2 k x_c + \psi \right) \rangle = \cos \psi,\end{equation*}\begin{equation*} \overline{F}_x = \frac{2 a^2 B_0^2 R v}{R^2 + k^2 v^2 L^2} \sin^2 \frac{k b}{2} \exp\left(-2 k y\right).\end{equation*}Изобразим качественно $\overline{F}_x$ и $\overline{F}_y$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: \begin{equation*} \overline{F}_x = \frac{2 a^2 B_0^2 R v}{R^2 + k^2 v^2 L^2} \sin^2 \frac{k b}{2} \exp\left(-2 k y\right).\end{equation*}", "Ответ: \begin{equation*} \overline{F}_y = \frac{2 a^2 B_0^2 v^2 k L}{R^2 + k^2 v^2 L^2} \exp\left(-2k y\right) \sin^2 \frac{k b}{2}\end{equation*}", "<img_2>"]}, "number_part": "C1", "exponent_part": "3,00"}, {"condition": "Рассмотрим поезд большой, но не бесконечной длины $l$ ($l \gg b$). Найдите (вертикальную) подъемную силу $F_L$ и (горизонтальную) силу тяги $F_D$. ", "solution": {"text": "В каждом ряде $N = \frac{l}{2 b}$ рамок, т.е. всего их $2 N = \frac{l}{b}$. Сила, действующая на поезд, по модулю равна сумме сил, действующих на рамки, и направлена противоположно ей."}, "answer": {"answers": ["Ответ: \begin{equation*} F_L = \frac{2 a^2 B_0^2 v^2 k L l}{b \left(R^2 + k^2 v^2 L^2\right)} \exp\left(-2k y\right) \sin^2 \frac{k b}{2}, \end{equation*}"]}, "number_part": "C2", "exponent_part": "1,20"}, {"condition": "При заданном $a$, найдите минимальное отношение $b/a$, при котором подъемная сила максимальная при фиксированных $y$, $v$, $R$ и $L$. ", "solution": {"text": "Обозначим $x = b/a$. Тогда подъемная сила будет пропорциональна\begin{equation*} f(x) = \frac{\sin^2 \frac{\pi x}{8}}{x}.\end{equation*}Она достигает максимума при $f'(x) = 0$, что можно записать как \begin{equation*} x = \frac{4}{\pi} \tan \frac{\pi x}{8}.\end{equation*}Решая численно это уравнение, находим ответ."}, "answer": {"answers": ["Ответ: \begin{equation*} b/a = 2.968.\end{equation*}"]}, "number_part": "C3", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Найдите скорость отрыва $v_t$, при которой поезд перестает контактировать с рельсами. ", "solution": {"text": "Условие отрыва записывается как $F_L(y=0) = m g$:\begin{equation*} \frac{2 a B_0^2 v_t^2 k L l}{R^2 + k^2 v_t^2 L^2} \exp\left(-2k y\right) \frac{\sin^2 \frac{k b}{2}}{b/a} = m g,\end{equation*}откуда находим $v_t$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: \begin{equation*} v_t = R \sqrt{\frac{m g}{\frac{\pi}{2}\frac{\sin^2 \left(k b/2\right)}{b/a} B^2 L l - m g k^2 L^2}} = 3.93~\text{м}/\text{с}.\end{equation*}"]}, "number_part": "C4", "exponent_part": "0,30"}, {"condition": "Найдите расстояние $y$ между поездом и рельсами, если поезд движется со скоростью $v = 360~\text{км}/\text{ч}$. ", "solution": {"text": "Из условия $F_L = m g$ находим $y$:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \begin{equation*} y = \frac{1}{2 k} \ln \left( \frac{B^2 b^2 L l}{R^2 + k^2 v^2 L^2} \frac{1}{m g} \cdot \frac{\pi}{2} \frac{\sin^2 \frac{k b}{2}}{b/a} \right) = 4.1~\text{см}.\end{equation*}"]}, "number_part": "C5", "exponent_part": "0,30"}]