text: {"text": [{"text": "Масса Харона, недавно открытого спутника Плутона, в $8$ раз меньше массы планеты. Плутон и Харон обращаются по круговым орбитам вокруг общего центра масс, причем они все время «смотрят друг на друга», т. е. система вращается как единое твердое тело. Расстояние между центрами планеты и ее спутника $R=19640~км$, радиус Харона $r=593~км$."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Определите относительное различие в ускорениях свободного падения на Хароне в точке, наиболее близкой к Плутону, и в точке, наиболее удаленной от него."}]}
answer: [{"condition": "Определите относительное различие в ускорениях свободного падения на Хароне в точке, наиболее близкой к Плутону, и в точке, наиболее удаленной от него. ", "solution": {"text": "Обозначим радиус орбиты Харона через $x$. Уравнение движения Харона по круговой орбите радиуса $x$ имеет вид: $$ G \frac{M m}{R^{2}}=m \omega^{2} x, \quad (1) $$ где $M$ — масса Плутона, $m$ — масса Харона, $\omega$ — угловая скорость вращения. Ускорение свободного падения на поверхности Харона в точке, наиболее близкой к Плутону $$ g_{1}=G \frac{m}{r^{2}}-G \frac{M}{(R-r)^{2}}+\omega^{2}(x-r). $$ Первый член в данном выражении соответствует гравитационному полю Харона, второй член — гравитационному полю Плутона. Последнее слагаемое вызвано движением Харона по круговой орбите. Аналогичное выражение для ускорения свободного падения в наиболее удаленной к Плутону точке имеет вид: $$ g_{2}=G \frac{m}{r^{2}}+G \frac{M}{(R+r)^{2}}-\omega^{2}(x+r). $$ Абсолютное различие в ускорениях свободного падения для данных точек Харона $$ \Delta g=g_{2}-g_{1}=G M\left[\frac{1}{(R+r)^{2}}+\frac{1}{(R-r)^{2}}\right]-2 \omega^{2} x. $$ Выражая $\omega^{2} x$ из уравнения $(1)$, получим: $$ \Delta g=2 G \frac{M}{R^{2}}\left[\frac{1+\beta^{2}}{\left(1-\beta^{2}\right)^{2}}\right] \approx 6 G \frac{M}{R^{2}} \beta^{2}, $$ здесь $\beta=\frac{r}{R}$. Относительное различие в ускорениях свободного падения $$ \frac{\Delta g}{g}=\left(6 G \frac{M \beta^{2}}{R^{2}}\right) / G \frac{m}{r^{2}}=6 \frac{M}{m} \beta^{4}=4 \cdot 10^{-5}. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ \frac{\Delta g}{g}=6 \frac{M}{m} \beta^{4}=4 \cdot 10^{-5}. $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]