text: {"text": [{"text": "Автомобиль массой $m=1~т$ движется по горизонтальной дороге. Коэффициент трения покрышек об асфальт $\mu=0.1$. Трения в осях нет: все колеса автомобиля ведущие. Сила сопротивления воздуха пропорциональна квадрату скорости автомобиля: $F_{сопр}=-k v^{2}$, где $k=0.2 \frac{кг}{м}$."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Определите, как зависит максимальная скорость $v_{\max}$, которую может развить автомобиль, от мощности $N$ установленного на нем двигателя."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Нарисуйте график этой зависимости для $0< N <100~кВт$."}]}
answer: [{"condition": "Определите, как зависит максимальная скорость $v_{\max}$, которую может развить автомобиль, от мощности $N$ установленного на нем двигателя. ", "solution": {"text": "При движении с постоянной скоростью $v$ на автомобиль по горизонтали действуют две силы: $F_{сопр}=k v^{2}$ (направлена назад), $F_{тр}$ (направлена вперед). Если скорость $v$ велика настолько, что $F_{сопр}>F_{тр \max} = \mu m g$, то движущая сила $F=F_{тр} < F_{сопр}$, и автомобиль будет тормозиться. Даже если мощность двигателя достаточно велика, колеса будут проскальзывать, и снова $F=F_{тр \max} < F_{сопр}$. Значит, есть предельная скорость $v_{0}$, не зависящая от мощности двигателя. При этой скорости $F_{сопр}=F_{тр \max }$, то есть $k v_{0}^{2}=\mu m g$, откуда $v_{0}=\sqrt{\frac{\mu m g}{k}} \approx 71~м/с$. С другой стороны, для поддержания постоянной скорости $v$ требуется мощность $N=F_{сопр} \cdot v=k v^{3}$. Значит, $v_{\max }(N)=\left(\frac{N}{k}\right)^{\frac{1}{3}}$. Обобщим полученные результаты (см. рисунок): $$ v_{\max }=\min \left(\left(\frac{N}{K}\right)^{\frac{1}{3}} ; \sqrt{\frac{\mu m g}{k}}\right). $$ Начиная с мощности $N_{0}$, $v_{\max }$ перестает расти, то есть $v_{\max }=v_{0}$ при $\left(\frac{N}{k}\right)^{\frac{1}{3}} \geqslant \sqrt{\frac{\mu m g}{k}}$, или при $N \geqslant \sqrt{\frac{\mu m g}{k}} \mu m g \approx 70~кВт$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ v_{\max }=\min \left(\left(\frac{N}{K}\right)^{\frac{1}{3}} ; \sqrt{\frac{\mu m g}{k}}\right). $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}, {"condition": "Нарисуйте график этой зависимости для $0< N <100~кВт$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["<img_0>"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]