text: {"text": [{"text": "После добавления в сосуд с водой некоторого количество льда в нем устанавливается тепловое равновесие. На рисунке приведена диаграмма, на которой выделены области с указанием конечного состояния содержимого сосуда в зависимости от температуры $t_л$ и массы $m_л$ добавленного льда."}, {"balls": {"number": "1", "exponent": "2,00"}, "text": "Какая температура установится в сосуде, если в него добавить $0{,}5~кг$ льда при температуре $-10~^{\circ}\text{C}$?"}, {"balls": {"number": "2", "exponent": "10,00"}, "text": "Определите начальную температуру $t$ и массу $m$ воды в сосуде. Тепловыми потерями и теплоемкостью сосуда можно пренебречь. Содержимое из сосуда не выливается. Удельная теплота плавления льда $\lambda = 330~кДж/кг$, удельная теплоемкость льда $c_л = 2100~Дж/(кг\cdot^{\circ}\text{C})$, удельная теплоемкость воды $c = 4200~Дж/(кг\cdot^{\circ}\text{C})$. <img_0>"}]}
answer: [{"condition": "Какая температура установится в сосуде, если в него добавить $0{,}5~кг$ льда при температуре $-10~^{\circ}\text{C}$? ", "solution": {"text": "Ответ на первый вопрос задачи можно найти сразу с помощью диаграммы состояний. Для $0{,}5~кг$ льда $1/m_л = 2~кг^{-1}$. Точка соответствующая такой массе и температуре –10°C попадает в область между зонами льда и воды, а значит соответствует смеси, находящейся в равновесном состоянии при температуре $0~^\circ С$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $0~^\circ С$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "2,00"}, {"condition": "Определите начальную температуру $t$ и массу $m$ воды в сосуде. ", "solution": {"text": "Чтобы найти начальную массу и температуру воды запишем уравнения теплового баланса для геометрического множества точек границ зон льда и воды. Все точки правой границы зоны льда соответствуют конечному состоянию, в котором все содержимое сосуда окажется в виде льда при $0~^\circ С$. \[ m_лc_л(0-t_л) = mc(t-0)+m\lambda, \] откуда \[t_л = -\dfrac{m(ct+\lambda)}{c_л}\cdot\dfrac{1}{m_л}\] Коэффициент наклона $\dfrac{m(ct+\lambda)}{c_л}$ находим из графика. Он равен $k_1 = 55~^\circ С\cdot кг$. Все точки левой границы зоны воды соответствуют конечному состоянию, в котором все содержимое сосуда окажется в виде воды при $0~^\circ С$. \[ m_лc_л(0-t_л) + m_л\lambda = mc(t-0),\] откуда \[ t_л = \dfrac{\lambda}{c_л} - \dfrac{mct}{c_л}\cdot\dfrac{1}{m_л} \] Коэффициент наклона $\dfrac{mct}{c_л}$ находим из графика. Он равен $k_2 = 29~^\circ С\cdot кг$. Остается решить систему уравнений: $\left \{ \begin{aligned} &\dfrac{m(ct+\lambda)}{c_л} = k_1, \\ &\dfrac{mct}{c_л} = k_2 \end{aligned} \right.$ Разделим верхнее уравнение на нижнее $1+\dfrac{\lambda}{ct} = \dfrac{k_1}{k_2},$ и найдём: Массу воды можно найти, подставив найденную температуру, например, во второе уравнение системы. Учитывая, что исходные данные взяты из графика, допускаются отклонения от авторских значений для температуры в диапазоне от $84~^\circ С$ до $92~^\circ С$, а для массы от $160~г$ до $170~г$. Альтернативное решение "по двум точкам": На правой прямой при температуре льда равной нулю остывание воды до нуля полностью плавит лед: $ m_{л2}\lambda = mct$, где $m_{л2}=1/5{,}4~кг$ На левой прямой лед, нагреваясь до нуля, охлаждает воду до нуля и кристаллизует ее. Берем любую точку на этой прямой, например $m_1=1/0{,}4~кг$ и $t_{л1} = -22~^\circ С$, уравнение имеет вид: \[ m_{л1}c_лt_{л1} = mct+m\lambda \] Вычитая из второго уравнения первое получаем: \[ m = 0{,}165~кг \] \[ t = 88~^\circ С \]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $t = 88~^\circ С$  Массу воды можно найти, подставив найденную температуру, например, во второе уравнение системы.", "Ответ: \[ m = \dfrac{c_лk_2}{ct} = 165~г \]  Учитывая, что исходные данные взяты из графика, допускаются отклонения от авторских значений для температуры в диапазоне от $84~^\circ С$ до $92~^\circ С$, а для массы от $160~г$ до $170~г$. Альтернативное решение "по двум точкам": На правой прямой при температуре льда равной нулю остывание воды до нуля полностью плавит лед: $ m_{л2}\lambda = mct$, где $m_{л2}=1/5{,}4~кг$ На левой прямой лед, нагреваясь до нуля, охлаждает воду до нуля и кристаллизует ее. Берем любую точку на этой прямой, например $m_1=1/0{,}4~кг$ и $t_{л1} = -22~^\circ С$, уравнение имеет вид: \[ m_{л1}c_лt_{л1} = mct+m\lambda \] Вычитая из второго уравнения первое получаем: \[ m = 0{,}165~кг \] \[ t = 88~^\circ С \]"]}, "number_part": "2", "exponent_part": "10,00"}]