text: {"text": [{"text": "Для разделения материалов различных магнитных свойств используется метод магнитного разделения. Например, месторождения титановых руд содержат такие минералы, как циркон ($\rm ZrSiO_4$), монацит ($\rm \left[Ce{,}La{,}Th\right]PO_4$), ильменит ($\rm FeTiO_3$), рутил ($\rm TiO_2$), среди которых экономическое значение титансодержащих минералов сложно переоценить. Рутил и ильменит используются в производстве нетоксичных пигментов, применяемых в чернилах, пластиках, керамике и многом другом. Поэтому, рутил и ильменит должны быть отделены из титановых руд. Магнитное разделение использует магнитные силы для разделения магнитных материалов. Принцип работы магнитного сепаратора показан на рис. 1. <img_0> Основная часть магнитного сепаратора состоит из двух роликов $L_1$ и $L_2$ (диаметр $D$), соединённых с помощью конвейерной ленты (рис. 1). Толщиной ленты по сравнению с радиусом роликов можно пренебречь. Ролик $L_1$ немагнитный. Ролик $L_2$ является магнитным, и магнитное поле вокруг меняется по следующему закону $$B(r)=\left|\vec{B}\right|=B_0e^{-r/a} $$ где $r$ – расстояние от поверхности ролика в радиальном направлении, $a$ – некоторая константа. Магнитный ролик вращается с угловой скоростью $\omega$, которая поддерживается электромотор. Частицы минералов поступают из ящика на ленту конвейера, а по ней – к магнитному ролику. Трение между лентой и магнитным роликом достаточно велико, чтобы предотвратить проскальзывание между ними Следующие математические формулы могут быть полезны: $$\coth{x}=\cfrac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}= \begin{cases} 1+e^{-2x}\quad\text{для}\quad x\to{\infty}\\ \cfrac{1}{x}+\cfrac{x}{3}-\cfrac{x^3}{45}\quad\text{для}\quad x\to{0} \end{cases}, $$ $$e^x=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\cfrac{x^n}{n!}\approx{1+\cfrac{x}{1!}+\cfrac{x^2}{2!}+\cfrac{x^3}{3!}+{...}} $$ В данной части мы обсудим модель этого магнитного сепаратора, учитывая только магнитные и гравитационные силы."}, {"text": "Часть А. Магнитная восприимчивость материалов Изучим свойства парамагнитных материалов. Рассмотрим минерал, состоящий из магнитных атомов $X$ концентрацией $n$, каждый атом обладает магнитным моментом $p$ . Концентрация мала, поэтому можно пренебречь взаимодействием магнитных моментов атомов друг с другом. В отсутствии внешнего магнитного поля магнитные моменты атомов направлены случайным образом, в результате намагниченность $\vec{M}$ равна нулю. Намагниченность вещества – магнитный момент единицы объёма вещества. Во внешнем магнитном поле атомы упорядочиваются вдоль направления внешнего магнитного поля $\vec{B}$, у материала появляется магнитный момент, получается ненулевая намагниченность. Согласно квантовой механике, проекция магнитного момента атома на направление поля (выберем ось $z$ вдоль него) равна: $$p_z=g_j\mu_Bm $$ где $m$ – число, принимает значения из множества $\{j,j-1,j-2,\dots,-j\}$ где $j$ – неотрицательное целое или полуцелое число, характеризующее атом $X$, $\mu_B=0{,}93\cdot{10^{-23}}~\text{А}\cdot{\text{м}^2}$ – магнетон Бора, и $g_j$ – так называемый фактор Ланде. Вероятность $W(p_z)$ проекции магнитного момента на направление магнитного поля принять значение $p_z$ равна $$W(p_z)=Ae^{-\frac{U_B}{kT}} $$ где $A$ – нормировочная константа, $U_B$ – энергия магнитного момента в магнитном поле, $T$ – температура, $k$ – постоянная Больцмана. Можно показать, что средние значения проекции магнитного момента на оси $x$ и $y$ равны нулю."}, {"balls": {"number": "A1", "exponent": "1,10"}, "text": "Найдите среднее значение $\langle p_z\rangle$ компоненты магнитного момента атома $X$ на ось $z$, находящегося в магнитном поле $\vec{B}$ при температуре $T$, как функцию параметра $\alpha=\frac{g_j\mu_BB}{kT}$."}, {"balls": {"number": "A2", "exponent": "1,10"}, "text": "Укажите выражение для $\langle p_z\rangle$ в предельном случае $\alpha\to{0}$ (то есть для случаев, когда магнитная энергия намного меньше тепловой энергии). Рассмотрите так же случай $\alpha\to{\infty}$. Приведите схематический график зависимости $\langle p_z\rangle$ от параметра $\alpha$. Магнитная восприимчивость $\chi$ характеризует магнитные свойства вещества. В слабом магнитном поле $\vec{B}$ восприимчивость определяется как $\chi=\frac{\mu_0M}{B}$, где $M$ намагниченность, $\mu_0$ – магнитная проницаемость вакуума. Считайте магнитное поле слабым, то есть параметр $\alpha\ll{1}$."}, {"text": "Часть B. Магнитный сепаратор Давайте рассмотрим описанную выше модель магнитных сепараторов. Зависимость индукции магнитного поля $B$ в точке от расстояния $r$ от этой точки до поверхности магнитного ролика вдоль радиального направления представлена в таблице:"}, {"balls": {"number": "A3", "exponent": "0,90"}, "text": "Вычислите магнитную восприимчивость $\chi$. Ответ выразите через концентрацию атомов $n$, температуру $T$, фактор Ланде $g_j$, параметр $j$, и фундаментальные константы."}, {"balls": {"number": "B1", "exponent": "0,80"}, "text": "Используя данные в таблице, определите численные значения параметров $B_0$ и $a$ из уравнения (1). Запишите формулы, по которым вы их определили. Здесь и далее для расчётов используйте следующие численные значения параметров задачи: Рассмотрим частицы из одного парамагнитного минерала со средней магнитной восприимчивостью $\chi_1$ и плотностью $\rho_1$. Считайте частицы сферическими. Также считайте, что магнитные моменты частиц, помещённых в магнитное поле ролика, находятся в их центре. Радиус частиц – $R_0$. Сборный лоток располагается под магнитным роликом на расстоянии $d$ от него (рис. 1). Угловая скорость ролика равна $\omega_0$. Взаимодействием между магнитными моментами частиц можно пренебречь. Магнитной силой, действующей на частицы, которые покинули ролик, также можно пренебречь. Когда индукция магнитного поля меняется на малую величину $dB$ изменение энергии частицы записывается как $dE=-\vec{P} \cdot d\vec{B}$, где $\vec{P}$ – магнитный момент частицы."}, {"balls": {"number": "B2", "exponent": "0,80"}, "text": "Чему равна энергия частицы в поле $\vec{B}$? Выразите ответ через индукцию магнитного поля $B$, магнитную восприимчивость материала частицы $\chi_1$ и её объём $V$."}, {"balls": {"number": "B3", "exponent": "1,10"}, "text": "Найдите выражение для положения лотка $x$, в котором он собирает минеральные частицы. Найдите численное значение для $x$. Предположим, что минеральные частицы являются сферами разных радиусов. Относительное отклонение радиуса от среднего не превышает $10\%$, то есть $\left|\frac{R_0-R}{R_0}\right|\leq{0.1}$, где $R$ и $R_0$ – радиус конкретной частицы и средний радиус всех частиц соответственно. Угловая скорость ролика $\omega_0$."}, {"balls": {"number": "B4", "exponent": "1,10"}, "text": "Найдите выражение и численное значение для ширины пучка частиц $\Delta_0$ в направлении оси $x$ около лотка. Смесь из частиц состоящих из двух разных минералов с магнитными проницаемостями $\chi_1$ и $\chi_2$ и плотностями $\rho_1$ и $\rho_2$ соответственно. Считайте средние радиусы частиц двух разных минералов равными $R_0$."}, {"balls": {"number": "B5", "exponent": "1,10"}, "text": "Найдите выражение для угловой скорости магнитного ролика $\omega$, при которой можно отдельно получить частицы двух типов. Найдите численное значение $\omega$. Считайте известной ширину обоих лотков $\Delta$."}]}
answer: [{"condition": "Найдите среднее значение $\langle p_z\rangle$ компоненты магнитного момента атома $X$ на ось $z$, находящегося в магнитном поле $\vec{B}$ при температуре $T$, как функцию параметра $\alpha=\frac{g_j\mu_BB}{kT}$. ", "solution": {"text": "Энергия магнитного диполя $\vec{p}$ в магнитном поле $\vec{B}$ равна $-\vec{p} \cdot \vec{B}$ поэтому $U_B = -p_z B$.Вероятность того, что $m$ конкретного атома принимает хоть какое-то значение должна быть равна 1, поэтому\[ \sum_{m=-j}^{j} A e^{\frac{g_j\mu_BB}{kT}m}=A \sum_{m=-j}^{j} e^{\alpha m} = A e^{-\alpha j} \frac{e^{(2j+1)\alpha} - 1}{e^{\alpha} - 1} = A\frac{\sinh \left(j+\frac{1}{2}\right)\alpha}{\sinh \frac{\alpha}{2}} = 1.\]Среднее значение $\langle p_z \rangle$ найдем по определению:\[ \langle p_z \rangle = \sum p_z W(p_z) = A g_j \mu_B \sum_{m=-j}^{j} m e^{\alpha m}. \]Сумму $\sum\limits_{m=-j}^{j} m e^{\alpha m}$ можно найти, как\[\sum\limits_{m=-j}^{j} m e^{\alpha m} = \frac{d}{d\alpha} \left( \sum\limits_{m=-j}^{j} e^{\alpha m} \right) = \frac{\left( j + \frac{1}{2} \right) \cosh \left[ \left( j + \frac{1}{2} \right) \alpha \right] \sinh \frac{\alpha}{2} - \frac{1}{2} \cos \frac{\alpha}{2} \sinh \left[ \left( j + \frac{1}{2} \right)\alpha \right]}{\sinh^2 \frac{\alpha}{2}}.\] Итого\[ \langle p_z \rangle = g_j \mu_B \left( \left(j+\frac{1}{2} \right) \coth \left[ \left(j + \frac{1} {2} \right) \alpha \right] - \frac{1}{2} \coth \frac{\alpha}{2}\right) \]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[ \langle p_z \rangle = g_j \mu_B \left( \left(j+\frac{1}{2} \right) \coth \left[ \left(j + \frac{1} {2} \right) \alpha \right] - \frac{1}{2} \coth \frac{\alpha}{2}\right) \]"]}, "number_part": "A1", "exponent_part": "1,10"}, {"condition": "Укажите выражение для $\langle p_z\rangle$ в предельном случае $\alpha\to{0}$ (то есть для случаев, когда магнитная энергия намного меньше тепловой энергии). Рассмотрите так же случай $\alpha\to{\infty}$. Приведите схематический график зависимости $\langle p_z\rangle$ от параметра $\alpha$. ", "solution": {"text": "Для $\alpha \to 0$ воспользуемся формулой $\coth x \simeq 1/x+x/3$ и получим\[\left(j+\frac{1}{2} \right) \coth \left[ \left(j + \frac{1} {2} \right) \alpha \right] - \frac{1}{2} \coth \frac{\alpha}{2} \simeq \frac{\alpha}{3}j(j+1)\]то есть при $\alpha \to 0$\[\langle p_z \rangle \simeq \frac{j(j+1)}{3} \alpha g_j \mu_B. \] Для $\alpha \to \infty$ воспользуемся формулой $\coth x \simeq 1 + e^{-2x}$ и получим (при $j \neq 0$)\[\left(j+\frac{1}{2} \right) \coth \left[ \left(j + \frac{1} {2} \right) \alpha \right] - \frac{1}{2} \coth \frac{\alpha}{2} \simeq j - \frac{1}{2} e^{-\alpha}\]то есть при $\alpha \to \infty$\[\langle p_z \rangle \simeq g_j \mu_B \left( j - \frac{1}{2} e^{-\alpha} \right). \] <img_1>"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\langle p_z \rangle \simeq\begin{cases}\frac{j(j+1)}{3} \alpha g_j \mu_B, \quad &\alpha \to 0\\jg_j \mu_B, \quad &\alpha \to \infty\end{cases}\]"]}, "number_part": "A2", "exponent_part": "1,10"}, {"condition": "Вычислите магнитную восприимчивость $\chi$. Ответ выразите через концентрацию атомов $n$, температуру $T$, фактор Ланде $g_j$, параметр $j$, и фундаментальные константы. ", "solution": {"text": "По определению $M$ - объемная намагниченность, то есть $M = n \langle p_z \rangle$. Таким образом\[ \chi \simeq \frac{j(j+1)}{3} \frac{n \mu_0 g_j^2 \mu^2_B}{kT} \]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[ \chi \simeq \frac{j(j+1)}{3} \frac{n \mu_0 g_j^2 \mu^2_B}{kT} \]"]}, "number_part": "A3", "exponent_part": "0,90"}, {"condition": "Используя данные в таблице, определите численные значения параметров $B_0$ и $a$ из уравнения (1). Запишите формулы, по которым вы их определили. ", "solution": {"text": "Зависимость $\ln (B/\text{Тл})$ от $r$ должна быть линейной:\[ \ln \frac{B}{\text{Тл}} = \ln \frac{B_0}{\text{Тл}} - \frac{r}{a}.\]Пересчет точек и нахождение коэффициентов с помощью МНК приводит к таким результатам:\[ B_0 = 1.0~\text{Тл}, \quad a=2.25~\text{мм}\]"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "B1", "exponent_part": "0,80"}, {"condition": "Чему равна энергия частицы в поле $\vec{B}$? Выразите ответ через индукцию магнитного поля $B$, магнитную восприимчивость материала частицы $\chi_1$ и её объём $V$. ", "solution": {"text": "Магнитный момент частицы:\[P = VM = V \frac{\chi_1 B}{\mu_0}.\]Изменение энергии частицы при увеличении внешнего поля:\[ dE = -V \frac{\chi_1}{\mu_0} B dB,\]поэтому\[E = -\frac{V \chi_1 B^2}{2\mu_0}\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[E = -\frac{V \chi_1 B^2}{2\mu_0}\]"]}, "number_part": "B2", "exponent_part": "0,80"}, {"condition": "Найдите выражение для положения лотка $x$, в котором он собирает минеральные частицы. Найдите численное значение для $x$. ", "solution": {"text": "Найдем силу $F$ с которой частица взаимодействует с роликом:\[ F = -\frac{dE}{dr} = -\frac{dE}{dB} \frac{dB}{dr} \bigg|_{r=R_0} = -V \frac{\chi_1 B_0^2}{\mu_0 a} e^{-2R_0/a},\]где знак минус указывает на притяжение. В момент отрыва сила нормальной реакции равна нулю, поэтому условие отрыва:\[ F = mg \cos \alpha + m \omega^2\frac{D}{2}.\] <img_2> Тогда угол $\alpha$, которому соответствует отрыв:\[ \cos \alpha = \frac{\chi_1B_0^2}{\mu_0 a \rho_1 g} e^{-2R_0/a} - \frac{\omega^2D}{2g} > 1, \tag{1}\]значит отрыв происходит при $\alpha=0$.Будем пренебрегать $D$ по сравнению с $d$. Тогда частица при любых $\alpha$ в масштабах $d$ вылетает из одной точки под углом $\alpha$ к горизонтали в момент отрыва. Найдем время полета $t$:\[ d = \frac{\omega D}{2} \sin \alpha t + \frac{gt^2}{2} \quad \Rightarrow \quad t = -\frac{\omega D}{2g} \sin \alpha + \sqrt{\frac{\omega^2 D^2}{4g^2} \sin^2 \alpha + \frac{2d}{g}} \tag{2}\]Воспользуемся тем, что $(\omega D / g)^2 \ll d/g$: $t=\sqrt{2d/g}$. Тогда с учетом $\alpha = 0$\[ x = \frac{D}{2} \sin \alpha - \frac{\omega D}{2} \cos \alpha \sqrt{\frac{2d}{g}} =-\frac{\omega D}{2} \sqrt{\frac{2d}{g}}\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[x =-\frac{\omega D}{2} \sqrt{\frac{2d}{g}}=-22.7~\text{см}\]"]}, "number_part": "B3", "exponent_part": "1,10"}, {"condition": "Найдите выражение и численное значение для ширины пучка частиц $\Delta_0$ в направлении оси $x$ около лотка. ", "solution": {"text": "Для частиц разного размера может отличаться $\cos \alpha$ и эффективный диаметр $D$. Для указанного диапазона размеров все частицы отрываются в нижней точке, а $D$ меняется в диапазоне $[D+1.8R_0,D+2.2R_0]$. Также в ширину пучка вносит вклад размер самих частицы\[\Delta_0 = \left|\frac{dx}{dD}\right| \cdot 0.4R_0 + 2R_0 = 2.1~\text{мм}\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\Delta_0 = \left|\frac{dx}{dD}\right| \cdot 0.4R_0 + 2R_0 = 2.1~\text{мм}\]"]}, "number_part": "B4", "exponent_part": "1,10"}, {"condition": "Найдите выражение для угловой скорости магнитного ролика $\omega$, при которой можно отдельно получить частицы двух типов. Найдите численное значение $\omega$. Считайте известной ширину обоих лотков $\Delta$. ", "solution": {"text": "Согласно уравнению (1) максимально значение $\cos \alpha$, то есть минимальный угол $\alpha_\text{min}$, когда происходит отрыв, задается выражением\[ \cos \alpha_\text{min}= \frac{\chi B_0^2}{\mu_0 a \rho g} e^{-2R_0/a} \quad \Rightarrow \quad \cos \alpha_\text{min,1}=2.44, \quad \cos \alpha_\text{min,2}=0.29,\]таким образом частицы 1-го типа могут отрываться в любом месте диска, а частицы 2-го типа при $\alpha \geq \alpha_\text{min,2}=\arccos 0.29$.Нижнее ограничение на угловую скорость мы получаем в том случае, когда частицы первого типа отрываются в самом низу, а частицы второго типа отрываются при каком-то $\alpha_2$.Верхнее ограничение на угловую скорость мы получаем в том случае, когда частицы первого типа отрываются при каком-то $\alpha_1$, а частицы второго типа отрываются немного ниже.Расстояние $\Delta x$ между частицами двух типов приравняем к $\Delta$, считая это критерием разделения.Для первого случая найдем угол $\alpha_1$, когда частицы 2-го типа должны отрываться (частицы 1-го типа отрываются при $\alpha=0$):\[ \left( \frac{D}{2} \sin \alpha - \frac{\omega D}{2} \cos \alpha \sqrt{\frac{2d}{g}} \right) - \left(-\frac{\omega D}{2} \sqrt{\frac{2d}{g}}\right) = \Delta \]для анализа удобнее выразить $\omega$ из уравнения (1) и подставить:\[ \sin \alpha + \left(1 - \cos \alpha \right) \sqrt{\frac{d}{D}} \sqrt{ \frac{\chi_2 B_0^2}{\mu_0 a \rho_2 g}e^{-2R_0/a}-\cos \alpha} = 1.\]Это уравнение не имеет решений, поэтому нижняя граница реализуется в случае, когда $\alpha_2=\pi/2$:\[\frac{D}{2} + \frac{\omega D}{2} \sqrt{\frac{2d}{g}}=\Delta, \quad \omega_\text{min} = \left( \frac{2 \Delta}{D} - 1 \right) \sqrt{\frac{g}{2d}}=2\pi \cdot 190 ~ \text{мин}^{-1}\]Для второго случая\[ \frac{D}{2} - \left( \frac{D}{2} \sin \alpha - \frac{\omega D}{2} \cos \alpha \sqrt{\frac{2d}{g}} \right) = \Delta.\]Также выразим $\omega$ через $\alpha$ с помощью уравнения (1), описывающего отрыв:\[ \sin \alpha - \cos \alpha \sqrt{\frac{d}{D}} \sqrt{ \frac{\chi_2 B_0^2}{\mu_0 a \rho_2 g}e^{-2R_0/a}-\cos \alpha} = 1 - \frac{2\Delta}{D}.\]Это уравнение также не имеет решений, значит нужно перестать работать в приближении $(\omega D/g)^2 \ll d/g$ то есть заменить $\sqrt{2d/g}$ на $\frac{\omega D}{2g} \sin \alpha + \sqrt{\frac{\omega^2 D^2}{4g^2} \sin^2 \alpha + \frac{2d}{g}}$ согласно (2). Тогда численное решение дает $\alpha_1=0.629$ и $\omega_\text{max}=2\pi \cdot 270~\text{мин}^{-1}$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[ \omega_\text{min} = \left( \frac{2 \Delta}{D} - 1 \right) \sqrt{\frac{g}{2d}}=2\pi \cdot 190 ~ \text{мин}^{-1}\]\[\omega_\text{max}=2\pi \cdot 270~\text{мин}^{-1}\]"]}, "number_part": "B5", "exponent_part": "1,10"}]