text: {"text": [{"text": "С молем идеального газа произвели замкнутый цикл (см. рисунок), где $3-1$ — адиабата. <img_0>"}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Определите максимальное давление газа за цикл, его теплоемкость $C_{V}$ при постоянном объеме и вычислите (с точностью большей, чем дает прямое измерение по графику) «тангенс» угла $(К/м^{3})$ между изотермой и адиабатой в точке $1$ на $(T, V)$ плоскости."}]}
answer: [{"condition": "Определите максимальное давление газа за цикл, его теплоемкость $C_{V}$ при постоянном объеме и вычислите (с точностью большей, чем дает прямое измерение по графику) «тангенс» угла $(К/м^{3})$ между изотермой и адиабатой в точке $1$ на $(T, V)$ плоскости. ", "solution": {"text": "Ha $(T, V)$-плоскости изобара имеет вид прямой линии, выходящей из начала координат, согласно закона Менделеева-Клапейрона: $p=\frac{R T}{V}$. Тангенс угла наклона изобары $\operatorname{tg} \theta=\frac{p}{R}$. Из графика (см. рисунок) видно, что изобара с наибольшим наклоном проходит через точку $1$. <img_1> Отсюда $p_{\max}=R \operatorname{tg} \theta=2.9~кПа$. Рассмотрим адиабатический процесс $3-1$:$$\Delta Q=p \Delta V+C_{V} \Delta T=0, \text { откуда } p \Delta V=-C_{V} \Delta T.$$Подставив сюда выражение для $p$, получим $T \Delta V=-\frac{C_{V}}{R} V \Delta T$.Просуммируем это равенство вдоль адиабаты $1-3$. Выражения $\Sigma T \Delta V$ и $\Sigma V \Delta T$ численно равны площадям $S_{1}$ и $S_{2}$ на графике (см. рисунок). Отсюда$$C_{V}=\frac{S_{1}}{S_{2}} R=(20.5 \pm 0.2)~Дж/(моль \cdot К).$$Уравнение адиабаты для идеального газа:$$T V^{\gamma-1}=C, \text { откуда } T=C V^{1-\gamma},$$где $C$ — некоторая константа. Продифференцируем это выражение по $V$ :$$\frac{d T}{d V}=C(1-\gamma) V^{\gamma}, \text { или, после}\\\text{преобразований, } \frac{d T}{d V}=-\frac{p}{C_{V}} .$$Искомый тангенс угла наклона адиабаты$$\operatorname{tg} \varphi=\frac{p_{\max }}{C_{V}}=(141.8 \pm 1.4) \frac{К}{м^{3}} .$$ Примечание: Задача может быть решена и без использования уравнения адиабатического процесса."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ p_{\max}=R \operatorname{tg} \theta=2.9~кПа. $$ $$ C_{V}=\frac{S_{1}}{S_{2}} R=(20.5 \pm 0.2)~Дж/(моль \cdot К). $$ $$ \operatorname{tg} \varphi=\frac{p_{\max }}{C_{V}}=(141.8 \pm 1.4) \frac{К}{м^{3}} . $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]