text: {"text": [{"text": "Лёгкий провод намотан на цилиндрическую катушку, которая надета на горизонтальный стержень. Для того, чтобы катушка равномерно вращалась на стержне, необходимо тянуть за конец провода вертикально вниз с силой $F_{1}$ (см. рисунок) или тянуть горизонтально, вдоль касательной к нижнему краю катушки, с силой $F_{2}$. В обоих случаях центр масс катушки неподвижен. <img_0>"}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Какова масса $m$ катушки?"}]}
answer: [{"condition": "Какова масса $m$ катушки? ", "solution": {"text": "Пусть $R$ — внешний радиус катушки, $r$ — внутренний радиус, $\mu$ — коэффициент трения между стержнем и катушкой. На рисунках ниже показаны силы, действующие на катушку в процессе ее равномерного разматывания под действием силы $F$. <img_1> <img_2> Здесь $\vec{P}=m \vec{g}$ — сила тяжести, $\vec{Q}$ — полная реакция опоры, которую можно представить как сумму силы нормальной реакции опоры $\vec{N}$ и силы трения скольжения $\vec{F_{тр}}\left(\vec{Q}=\vec{F}_{тр}+\vec{N}\right)$. Из равенства нулю равнодействующей всех сил, приложенных к катушке $$ \vec{Q}+\vec{F}+\vec{P}=0 $$ следует, что в случае вертикального провода все силы направлены вдоль одной прямой и $$ Q_{1}=F_{1}+P. $$ В случае горизонтального провода сила натяжения провода и сила тяжести направлены перпендикулярно друг другу и $$ Q_{2}=\sqrt{F_{2}^{2}+P^{2}}. $$ Заметим, что отношение модулей сил трения $F_{тр}$ и реакции опоры $Q$ зависит только от коэффициента трения, но не от силы $F$. Отсюда $$ \frac{F_{тр 1}}{F_{тр 2}}=\frac{Q_{1}}{Q_{2}}. $$ Из равенства моментов сил относительно центра катушки $$ F R=F_{тр} r $$ получаем $$ \frac{F_{тр 1}}{F_{тр 2}}=\frac{F_{1}}{F_{2}}=\frac{Q_{1}}{Q_{2}}. $$ Подставив в это равенства выражения для $Q_{1}$ и $Q_{2}$, находим уравнение на силу тяжести $P$ $$ \frac{F_{1}}{F_{2}}=\frac{F_{1}+P}{\sqrt{F_{2}^{2}+P^{2}}}, $$ из которого получаем искомую массу: $$ m=\frac{2 F_{1} F_{2}^{2}}{g\left(F_{1}^{2}-F_{2}^{2}\right)}. $$ $\textit{Примечание}$. Формально одним из решений является $P=0$, однако тогда равнодействующая силы реакции и силы трения должна быть противоположна силе $F_{1}$ и направлена по той же прямой. Это возможно только в случае, если $R=r$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ m=\frac{2 F_{1} F_{2}^{2}}{g\left(F_{1}^{2}-F_{2}^{2}\right)}. $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]