text: {"text": [{"text": "В вертикальную U-образную трубку малого постоянного сечения $s=8.00~\text{см}^2$ налита вода плотностью $\rho=1.00~\text{г/см}^3$, общая длина которой в обоих коленах составляет $l=50.0~\text{см}$. В одно колено трубки помещают два поршня, между которыми имеется пружина жесткости $k=1.00~\text{Н/м}$. Поршни воду не пропускают и могут скользить по трубке без трения. В начальный момент на верхний поршень ставят груз массой $m=10.0~\text{г}$. Массой поршней и пружины можно пренебречь, ускорение свободного падения равно $g=9.80~\text{м/с}^2$. Воду считайте идеальной несжимаемой жидкостью. <img_0>"}, {"balls": {"number": "1", "exponent": "4,00"}, "text": "Определите возможные частоты малых гармонических колебаний системы возле нового положения равновесия."}]}
answer: [{"condition": "Определите возможные частоты малых гармонических колебаний системы возле нового положения равновесия. ", "solution": {"text": "Пусть $ x$ — сжатие пружины, а $ y $ — изменение уровня воды в том колене трубки, в котором находятся поршни. При движении воды в трубке на тело будет действовать сила инерции, которая равна $ F=-m \ddot{y}$, так что уравнение движения тела записывается как $ m \ddot{x}=-k x+m g-m \ddot{y} $. Уравнение движения воды в трубке имеет вид $ \rho s l \ddot{y}=-2 \rho s g y+k x $ Новое положение равновесия определяется условиями $ x=x_{0}= \mathrm{const}$ и $ y=y_{0}= \mathrm{const}$, так что подстановка в уравнения движения дает $$ x_{0}=\frac{m g}{k} \\ y_{0}=\frac{k x_{0}}{2 \rho g s}=\frac{m}{2 \rho s} $$ По условию сказано, что система совершает гармонические колебания около нового положения равновесия, поэтому ищем решение уравнений движения в следующем виде $$ x=x_{0}+A \cos \omega t \\ y=y_{0}+B \cos \omega t $$ и после подстановки получаем следующую систему уравнений $$ A\left(\omega_{1}^{2}-\omega^{2}\right)=B \omega^{2} \\ A \omega_{3}^{2}=B\left(\omega_{2}^{2}-\omega^{2}\right) $$ где $ \omega_{1}^{2}=\cfrac{k}{m}, \omega_{2}^{2}=\cfrac{2 g}{l}, \omega_{3}^{2}=\cfrac{k}{\rho s l} $ Решая совместно, получаем квадратное уравнение для возможных частот колебаний \[ \left(\omega_{1}^{2}-\omega^{2}\right)\left(\omega_{2}^{2}-\omega^{2}\right)=\omega^{2} \omega_{3}^{2} \] которое имеет решения \[ \omega_{1,2}^{2}=\frac{\omega_{1}^{2}+\omega_{2}^{2}+\omega_{3}^{2} \pm \sqrt{\left(\omega_{1}^{2}+\omega_{2}^{2}+\omega_{3}^{2}\right)^{2}-4 \omega_{1}^{2} \omega_{2}^{2}}}{2} \] Отметим, что оба корня всегда являются положительными и дают следующие возможные частоты гармонических колебаний"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ \omega_{1}=\sqrt{\frac{\omega_{1}^{2}+\omega_{2}^{2}+\omega_{3}^{2}-\sqrt{\left(\omega_{1}^{2}+\omega_{2}^{2}+\omega_{3}^{2}\right)^{2}-4 \omega_{1}^{2} \omega_{2}^{2}}}{2}}=5.19~\text{с}^{-1}\\ \omega_{2}=\sqrt{\frac{\omega_{1}^{2}+\omega_{2}^{2}+\omega_{3}^{2}+\sqrt{\left(\omega_{1}^{2}+\omega_{2}^{2}+\omega_{3}^{2}\right)^{2}-4 \omega_{1}^{2} \omega_{2}^{2}}}{2}}=12.07~\text{с}^{-1}\\ $$ В реальности движение системы будет представлять собой сложение гармонических колебаний с найденными частотами."]}, "number_part": "1", "exponent_part": "4,00"}]