text: {"text": [{"text": "Горка представляет собой плавный переход между двумя плоскими поверхностями, отстоящими друг от друга по высоте на $h$ (см. рисунок). <img_0> На горке и плоских поверхностях достаточно часто расположены небольшие шероховатые массивные валики (расстояние между осями соседних валиков равно $l$ ), по которым катится длинный тяжелый ковер."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Определите установившуюся скорость $v$ ковра. Масса $m$ валика сосредоточена на его ободе. Трением в осях валиков можно пренебречь. Первоначально валики были неподвижны. Погонная плотность ковра равна $\rho$. Гибкость ковра позволяет ему повторить профиль горки, но, вместе с тем, не дает переднему краю провалиться между валиками."}]}
answer: [{"condition": "Определите установившуюся скорость $v$ ковра. ", "solution": {"text": "Уменьшение потенциальной энергии ковра идет на увеличение кинетической энергии валиков и на выделение теплоты, так как при раскручивании валика происходит проскальзывание. Закон изменения скорости и точек обода валика найдем, приравнивая работу раскручивающей силы трения $F$ изменению кинетической энергии валика: $$ F u \Delta t=\Delta\left(\frac{m u^{2}}{2}\right)=m u \Delta u, \text { откуда } F \Delta t=m \Delta u . $$ Время раскручивания точек обода валика до скорости $v$ равно $\tau=\frac{m v}{F}$. За это время тормозящая сила $F$ совершает над ковром работу $F v \tau=m v^{2}$. За время $t$ ковер проедет расстояние $v t$ и раскрутит $N=\frac{v t}{l}$ валиков. При этом потенциальная энергия ковра уменьшится на $g h \Delta m$, где $\Delta m=\rho v t$ — масса части ковра, «исчезнувшей» вверху и «появившейся» внизу. Из закона сохранения энергии $g h \Delta m=N m v^{2}$ находим $v = \sqrt{\frac{\rho g h l}{m}}$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ v = \sqrt{\frac{\rho g h l}{m}}. $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]