text: {"text": [{"text": "<img_0> Квантовая тепловая машина — это тепловая машина, использующая в качестве рабочего тела вещество с квантовыми свойствами. Принцип работы такой машины описан в этой задаче на примере двухуровневой атомной системы. Средняя энергия двухуровневого атома определяется как $\langle E \rangle = p_0 \cdot E_0 + p_1 \cdot E_1$, где $E_0$, $p_0$ и $E_1$, $p_1$ представляют собой энергию и вероятность атома находиться в состоянии с такой энергией для основного и возбуждённого состояний соответственно. Для удобства полагаем $E_0 = 0$. Разность энергий двух состояний является регулируемой в ходе эксперимента величиной. Вероятность нахождения атома в состоянии с энергией $E$ определяется согласно распределению Больцмана как $p \propto e^{-E/k_BT}$, где $T$ — термодинамическая температура, $k_B$ — константа Больцмана. В квазистатическом процессе изменение средней энергии равно $d \langle E \rangle = p_1dE_1 + E_1dp_1$, и тогда $p_1 dE_1$, вызванное изменением уровня энергии, соответствует работе $dW$, а $E_1 dp_1$, вызванное изменением вероятности, соответствует подведённой к системе теплоте $dQ$."}, {"balls": {"number": "1", "exponent": "6,00"}, "text": "Двухуровневая система находится в контакте и термостатом температурой $T$. Найдите вероятности $p_0$ и $p_1$ нахождения атома в основном и возбуждённом состояниях соответственно."}, {"balls": {"number": "2", "exponent": "10,00"}, "text": "На рисунке показана $P-V$ диаграмма так называемого цикла Отто, где $A \to B$ $C \to D$ — изохорические, а $B \to C$ и $D \to A$ — адиабатические процессы. Изобразите на схематичной диаграмме, как при этом меняются величины $E_1$ и $p_1$, найдите подведённую/отведённую теплоту, изменение внутренней энергии и совершённую работу для каждого из процессов цикла."}, {"balls": {"number": "3", "exponent": "24,00"}, "text": "Аналогичным образом найдите подведённую/отведённую теплоту, изменение внутренней энергии и совершённую работу для каждого из процессов квантового цикла Карно. Если температуры нагревателя и холодильника в цикле Карно равны соответственно $T_h$ и $T_l$ и совпадают с максимальной и минимальной температурами, достигающимися в цикле Отто, сравните КПД этих двух циклов."}]}
answer: [{"condition": "Двухуровневая система находится в контакте и термостатом температурой $T$. Найдите вероятности $p_0$ и $p_1$ нахождения атома в основном и возбуждённом состояниях соответственно. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$p_0 = \frac{1}{1 + e^{-E_1/(k_BT)}},\ p_1 = \frac{1}{1 + e^{E_1/(k_BT)}}.$$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "6,00"}, {"condition": "На рисунке показана $P-V$ диаграмма так называемого цикла Отто, где $A \to B$ $C \to D$ — изохорические, а $B \to C$ и $D \to A$ — адиабатические процессы. Изобразите на схематичной диаграмме, как при этом меняются величины $E_1$ и $p_1$, найдите подведённую/отведённую теплоту, изменение внутренней энергии и совершённую работу для каждого из процессов цикла. ", "solution": {"text": "<img_1>"}, "answer": {"answers": ["Ответ: В $A \to B$: $Q_1 = \Delta_1 \langle E \rangle = E_B (p_B - p_A),\,W_1 = 0;$ в $B \to C$: $W_2 = -\Delta_2 \langle E \rangle = (E_B - E_C) p_B,\,Q_2 = 0;$ в $C \to D$: $Q_3 = -\Delta_3 \langle E \rangle = E_D (p_B - p_A),\,W_3 = 0;$ в $D \to A$: $W_4 = -\Delta_4 \langle E \rangle = (E_D - E_A) p_A,\,Q_4 = 0.$"]}, "number_part": "2", "exponent_part": "10,00"}, {"condition": "Аналогичным образом найдите подведённую/отведённую теплоту, изменение внутренней энергии и совершённую работу для каждого из процессов квантового цикла Карно. Если температуры нагревателя и холодильника в цикле Карно равны соответственно $T_h$ и $T_l$ и совпадают с максимальной и минимальной температурами, достигающимися в цикле Отто, сравните КПД этих двух циклов. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: В $A \to B$: $$Q_1 = \frac{E_{\mathrm{A}}}{1+e^{-E_A/(k_B T_h)}}-\frac{E_{\mathrm{B}}}{1+e^{-E_B/(k_B T_h)}}+k_{\mathrm{B}} T_{h} \ln \frac{1+e^{E_B/(k_B T_h)}}{1+e^{E_A/(k_B T_h)}},$$ $$\Delta E_1 = -\frac{E_{\mathrm{A}}}{1+e^{E_A/(k_B T_h)}}+\frac{E_{\mathrm{B}}}{1+e^{E_B/(k_B T_h)}},$$ $$W_1 = E_{\mathrm{A}}-E_{\mathrm{B}}+k_{\mathrm{B}} T_{h} \ln \frac{1+e^{E_B/(k_B T_h)}}{1+e^{E_A/(k_B T_h)}};$$ в $B \to C$: $$Q_2 = 0,$$ $$W_2 = -\Delta E_2 = -\frac{E_{\mathrm{C}}}{1+e^{E_C/(k_B T_h)}}+\frac{E_{\mathrm{B}}}{1+e^{E_B/(k_B T_h)}};$$ в $C \to D$: $$Q_3 = \frac{\frac{T_{l}}{T_{h}} E_{\mathrm{A}}}{1+e^{-E_A/(k_B T_h)}}-\frac{\frac{T_{l}}{T_{h}} E_{\mathrm{B}}}{1+e^{-E_B/(k_B T_h)}}+k_{\mathrm{B}} T_{l} \ln \frac{1+e^{E_B/(k_B T_h)}}{1+e^{E_A/(k_B T_h)}},$$ $$\Delta E_{3}=\frac{1}{1+e^{E_D/(k_B T_l)}} E_{\mathrm{D}}-\frac{1}{1+e^{E_C/(k_B T_l)}} E_{\mathrm{C}},$$ $$W_3 = E_C - E_D + k_{\mathrm{B}} T_{l} \ln \frac{1+e^{E_B/(k_B T_h)}}{1+e^{E_A/(k_B T_h)}};$$ в $D \to A$: $$Q_4 = 0,$$ $$W_4 = -\Delta E_4 = -\frac{E_{\mathrm{A}}}{1+e^{E_A/(k_B T_h)}}+\frac{E_{\mathrm{D}}}{1+e^{E_D/(k_B T_h)}}.$$ $\eta_{\text{Отто}} = 1 - \frac{T_C}{T_h} < \eta_{\text{Карно}}$"]}, "number_part": "3", "exponent_part": "24,00"}]