text: {"text": [{"text": "При рассмотрении различных физических явлений крайне важным шагом является выбор подходящей системы отсчета. И хотя в большинстве случаев выбор настолько очевиден, что даже не упоминается, важно знать, какая система отсчета имеется в виду. Главная причина заключается в том, что"}, {"text": "Часть А В этой части задачи все процессы рассматриваются в системе отсчета $Oxyz$, которая вращается с угловой скоростью $\vec\omega=\omega\hat z$ относительно некоторой инерциальной системы отсчета. Ось вращения проходит через центр $O$. Все ответы должны быть даны во вращающейся системе отсчета. Для начала рассмотрим простой случай, когда на материальную точку массы $m$ не действуют внешние силы ($\vec F=0$). Пусть в момент времени $t=0$ координаты материальной точки были $x=0, y=R$ и $z=0$, а ее скорость $\vec v_0=-v_0\hat y$. В этом случае уравнение движения имеет решение: \begin{array}{l} x(t) = -\omega Rt\cos \omega t + (R-v_0 t)\sin\omega t \\ y(t) = (R-v_0 t)\cos \omega t + \omega Rt\sin\omega t \end{array}"}, {"balls": {"number": "A1", "exponent": "1,00"}, "text": "Покажите, что решение, приведенное выше, удовлетворяет уравнению (1). Если рассматривать начало движения (малые времена), то для определенных значений начальной скорости можно пренебречь одной из двух фиктивных сил. И таким образом, траектория становится круговой."}, {"balls": {"number": "A2", "exponent": "2,00"}, "text": "В данном вам приложении создаются видео во вращающейся системе отсчета (длительность видео 1~c, частота кадров 240~fps (кадров в секунду)). Угловая скорость системы отсчета неизвестна. Камера вращается вместе с системой отсчета. Масштаб длины в создаваемых видео также неизвестен: расстояния на кадрах можно измерять в условных единицах. Чтобы определить эти две неизвестные, можно провести следующий эксперимент: из некоторой точки, находящейся на расстоянии $R=1~у.е.$ от начала координат, запускается тело (на видео показано синим цветом) со скоростью $v_0$, направленной к началу координат. Начало координат отмечено красной точкой на видео, ось вращения проходит через него и она перпендикулярна плоскости картинки."}, {"balls": {"number": "A3", "exponent": "1,50"}}, {"balls": {"number": "A4", "exponent": "2,00"}, "text": "Для пяти различных начальных скоростей определите угловую скорость вращения $\omega$ системы отсчета. В своем отчете приведите необходимые величины и шаги расчетов. Получите среднее значение величины $\omega$ и ее погрешность. Чтобы получить баллы за экспериментальные данные к отчету нужно приложить полный набор данных, которые вы используете для расчетов. Если вы строите графики, то это нужно делать либо на миллиметровке, либо на компьютере. Если вы строите графики на компьютере, приложите к отчету дополнительный pdf-файл, в котором приведены пронумерованные графики с соответствующими подписями. В отчете ссылайтесь на графики из этого файла по номеру."}, {"balls": {"number": "A5", "exponent": "0,50"}, "text": "Какую пушку нужно использовать, чтобы найти коэффициент пересчета условных единиц длины в единицы длины в системе СИ? Объясните свой выбор. Если выбрать правильную пушку, можно заметить, что скорость тела за время измерений значительно меняется. Поэтому измерения начальной скорости тела в $у.е./с$ будут очень шумными и содержать значительную погрешность (не делайте так). Чтобы получить полный балл, нужно придумать метод получше. : можно использовать решение уравнения (1)."}, {"balls": {"number": "A6", "exponent": "1,00"}, "text": "Опишите метод, с помощью которого можно найти коэффициент пересчета $у.е./см$."}, {"text": "Часть B Ветер — это общее название для любого движения воздуха в нижних слоях атмосферы. Мы можем моделировать его поведение, используя гидродинамику вместе с термодинамическими уравнениями и законами сохранения. Однако в некоторых случаях мы можем использовать простую механическую модель ветра. Заметим, что в этой задаче размер рассматриваемого объема воздуха не важен, поэтому удобнее использовать ускорения, а не силы. В этой части используются следующие предположения: В первых пунктах мы не будем рассматривать вращение выбранного объема воздуха в горизонтальной плоскости, поэтому не будем учитывать центробежную силу."}, {"balls": {"number": "A7", "exponent": "2,00"}, "text": "Для пяти различных начальных скоростей определите коэффициент пересчета $у.е./см$. В своем отчете приведите необходимые величины и шаги расчетов. Приведите графики, если это необходимо. Получите среднее значение коэффициента пересчета и его погрешность."}, {"balls": {"number": "B1", "exponent": "1,00"}, "text": "Выразите условие стационарности и сделайте схематический рисунок, показывающий направления трех ускорений."}, {"balls": {"number": "B2", "exponent": "1,00"}, "text": "Получите соотношение между силой трения и силой Кориолиса, выраженное через угол $\alpha$ между направлением скорости и направлением ускорения, создаваемого градиентом давления. Получите из этого соотношения коэффициент трения $k$. На картах, которые находится в папке \textbf{Maps1} изображены изобары (линии постоянного атмосферного давления), а также направления ветра (белые линии), рассматриваемое на уровне земли. Разность давлений между между двумя соседними изобарами $\Delta P = 2~мбар$. Имя каждого файла — широта, отвечающая отмеченной точке."}, {"balls": {"number": "B3", "exponent": "2,00"}, "text": "Используйте карты, которые приведены в папке \textbf{Maps1}, чтобы измерить угол $\alpha$ вблизи поверхности Земли, и вычислить для каждого из них коэффициент $k$. : Каждое изображение можно легко открыть в программе Tracker, использованной в предыдущей части, и использовать транспортир для измерения углов. По всем деталям использования этой программы обращайтесь к технической инструкции."}, {"balls": {"number": "B4", "exponent": "0,50"}, "text": "Используя исследованные изображения, сделайте вывод о соотношении между коэффициентами трения над поверхностью земли и над водой. Давайте используем сделанные наблюдения для того, чтобы получить закон, который в метеорологии называется законом Бейс-Балло. Представьте, что вы стоите спиной к ветру (он толкает вас вперед)."}, {"balls": {"number": "B5", "exponent": "0,50"}, "text": "Где по отношению к вам находится область с наибольшим давлением? На больших высотах, где поверхность Земли уже не влияет на динамику атмосферы,"}, {"balls": {"number": "B6", "exponent": "0,50"}, "text": "С учетом всего, что обсуждалось в этой части задачи, объясните, почему метеорологи иногда используют данные, полученные на уровне выше поверхности земли (примерно на $600~м$). Точность использованного выше приближения можно охарактеризовать с помощью числа Роcсби. Малость этого числа означает, что геострофическое приближение применимо. Число Россби можно вычислить по формуле $\mathrm{Ro} = \dfrac{U}{f L}$. Здесь $U$ — характерная величина скорости в системе, в качестве которой мы будем использовать скорость ветрa, $L$ — характерный размер системы, в качестве которого мы будем использовать радиус кривизны изобары в данной точке, $f = 2 \Omega \sin \phi$. Для того, чтобы вычислить радиус кривизны в данной точке, приблизьте изобару в ее окрестности дугой окружности и используйте методы из приложения 1. В качестве другого способа можно рассмотреть касательные к изобаре и продолжить нормали к ним до пересечения в центре кривизны. Откалибруйте линейку в Tracker используя расстояния, обозначенные на карте."}, {"balls": {"number": "B7", "exponent": "2,00"}, "text": "Используя карты, приведенные в папке \textbf{Maps2} и информацию из следующей таблицы, оцените порядок величины числа Россби в обозначенных красных точках. Используя описание геострофического приближения, определите, применимо ли оно для полученных чисел Россби или нет. Получите общее условие на числа Россби, при которых можно использовать геострофическое приближение. На картах давлений, подобных тем, которые мы использовали, области высокого атмосферного давления обозначаются буквой $H$ и называются антициклонами, а области низкого давления обозначаются $L$ и называют циклонами. Эти области можно сравнить с горами и долинами, так что изобары рядом с циклонами и антициклонами представляют собой замкнутые линии, аналогично уровням постоянной высоты на топографических картах."}, {"balls": {"number": "B8", "exponent": "0,50"}, "text": "Определите направление движения (по часовой стрелке или против) для циклонов в южном полушарии. Объясните ваш ответ! Тропические циклоны — одно из вызывающих наибольшее беспокойство атмосферных явлений, особенно в связи с изменением климата. В зависимости от региона, их называют ураганами, тайфунами и т.д. В папке \textbf{Maps3} вы можете найти карту, на которой показан ураган. Центр вращения урагана называется «глазом». Цель этого задания — проанализировать применимость геострофического приближения для изучения тропических циклонов и, если потребуется, заменить его на более подходящее приближение. <img_0> Широта урагана $\phi \approx 33^\circ$. Для того, чтобы измерить радиус урагана, используем следующее приближение. Откалибруйте линейку в Tracker по ширине (расстояние от самой левой до самой правой точек) острова Гаити (Hispaniola Island, на котором расположены Доминиканская Республика и Порт-о-Пренс), которая равна примерно $650~км$."}, {"balls": {"number": "B9", "exponent": "1,00"}, "text": "Оцените число Россби для урагана, принимая за характерную скорость значение, указанное на изображении, а за характерное расстояние — расстояние от отмеченной точки до «глаза» урагана."}, {"balls": {"number": "B10", "exponent": "1,00"}, "text": "Сравните число Россби для урагана со значениями, полученными в \textbf{B6} и прокомментируйте применимость геострофического приближения. Если потребуется, используйте определение числа Россби и условие баланса сил, чтобы получить лучшее приближение для потока на достаточно большой высоте, на которой можно пренебречь трением о поверхность земли. Карты, используемые в этой части, получены с Windy.com. Пусть задан набор точек $(x_i,\, y_i)$, лежащих на кривой, которую предполагается приблизить окружностью. Мы хотим определить радиус этой окружности. Для этого мы предлагаем два метода. По трем заданным точкам на плоскости, можно следующим способом построить проходящую через них окружность: Если на плоскости задана кривая $y(x)$, ее радиус кривизны в некоторой точке $y_0$ можно вычислить по формуле $$ R = \left| \frac{(1 + y^{\prime 2}(x_0))^{3/2}}{y''(x_0)}\right|. $$ Для кривой, которая описывается дискретным набором точек $(x_i,\, y_i)$, мы можем приблизить первую и вторую производные численно. \begin{align*} y'(x_i) &\approx \frac{y_{i+1} - y_{i-1}}{x_{i+1}- x_{i-1}},\\ y''(x_i) &\approx \frac{y'(x_{i+1}) - y'(x_{i-1})}{x_{i+1}- x_{i-1}}. \end{align*} <img_1>"}]}
answer: [{"condition": "Покажите, что решение, приведенное выше, удовлетворяет уравнению (1). ", "solution": {"text": "Запишем уравнения движения в проекциях на оси:\begin{align*}\ddot{x} &= 2 \omega \dot{y} + \omega^2 x; \\ \ddot{y} &= - 2 \omega \dot{x} + \omega^2 y.\end{align*}Прямое дифференцирование решений из условия дает\begin{align*}\dot{x} &= - \omega v_0 t \cos \omega t + (\omega^2 R t - v_0) \sin \omega t;\\\ddot{x} &= (\omega^3 R t - 2 \omega v_0) \cos \omega t + \omega^2 (R + v_0 t) \sin \omega t;\\\dot{y} &= (\omega^2 R t - v_0) \cos \omega t +\omega v_0 t \sin \omega t;\\\ddot{y} &= \omega^2 (R + v_0 t) \cos \omega t + (- \omega^3 R t + 2 \omega v_0) \sin \omega t.\end{align*}Подставляя эти выражения в уравнения движения получим, что они действительно выполняются:\begin{multline*} (\omega^3 R t - 2 \omega v_0) \cos \omega t + \omega^2 (R + v_0 t) \sin \omega t = 2 \omega ((\omega^2 R t - v_0) \cos \omega t + \omega v_0 t \sin \omega t) + \omega^2 (-\omega Rt\cos \omega t + (R-v_0 t)\sin\omega t) = \\= (2 \omega^3 R t - 2 \omega v_0 - \omega^3 Rt) \cos \omega t + (2 \omega^2 v_0 t + \omega^2 R - \omega^2 v_0 t) \sin \omega t.\end{multline*}\begin{multline*} \omega^2 (R + v_0 t) \cos \omega t + (- \omega^3 R t + 2 \omega v_0) \sin \omega t = - 2 \omega (- \omega v_0 t \cos \omega t + (\omega^2 R t - v_0) \sin \omega t) + \omega^2 ((R-v_0 t)\cos \omega t + \omega Rt\sin\omega t) = \\= (2 \omega^3 R t + \omega^2 R - \omega^2 v_0 t) \cos \omega t + (- 2\omega^2 R t + 2 \omega v_0 + \omega^3 R t)\sin \omega t .\end{multline*}"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "A1", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Какой силой из двух нужно пренебречь, чтобы получить круговую траекторию движения?Покажите, что в рассматриваемые моменты времени, два выражения выше сводятся к круговой траектории движения. Найдите ее радиус и координаты центра.Для каких начальных скоростей (высоких или низких) это приближение приемлемо? ", "solution": {"text": "Если пренебречь центробежной силой, получим круговые траектории. Действительно, тогда действующая на частицу сила Кориолиса будет все время перпендикулярна скорости и постоянна по модулю (поскольку сама скорость постоянна по модулю). А значит вектор скорости вращается с постоянной угловой скоростью, а сама частица движется по окружности. Движение под действием силы Кориолиса аналогично движению заряженной частицы в магнитном поле. Для того, чтобы приближение работало, слагаемое вида $\omega^2 x$ должно быть много меньше слагаемых вида $ 2 \omega \dot{y}$. Заменяя переменные на их характерные значения $x \sim y \sim R$, $\dot{y} \sim v_0$, получим условие применимости приближения в виде$$\frac{\omega R}{v_0} \ll 1.$$В частности, при заданных $R$ и $\omega$ приближение лучше работает при больших значениях $v_0$.Приближение достаточно хорошо работает на временах, достаточно близких к времени начала движения. Поэтому мы требуем, чтобы рассматриваемые времена были много меньше характерного движения $R/v_0$, что задает дополнительное условие$$\frac{v_0 t}{R} \ll 1.$$ Запишем эти два условия как $$\frac{\omega R}{v_0} = \varepsilon \alpha, \quad \frac{v_0t }{R} =\varepsilon \beta, $$где $\varepsilon \ll 1$, а $\alpha$ и $\beta$ — безразмерные параметры порядка единицы или меньше.Тогда уравнения движения можно переписать через приведенные выше параметры как\begin{align*}x(\beta) &= \frac{v_0}{\omega} \left[ - \varepsilon^2 \alpha \beta \sin (\varepsilon ^2 \alpha \beta) + \varepsilon \alpha (\sin (\varepsilon^2 \alpha \beta) - \varepsilon^2 \alpha \beta \cos (\varepsilon^2 \alpha \beta))\right];\\y(\beta) &= \frac{v_0}{\omega} \left[ - \varepsilon^2 \alpha \beta \cos(\varepsilon ^2 \alpha \beta) + \varepsilon \alpha (\cos (\varepsilon^2 \alpha \beta) + \varepsilon^2 \alpha \beta \sin (\varepsilon^2 \alpha \beta))\right].\end{align*}Разложим эти выражения по степеням $\varepsilon$ таким образом, чтобы сохранить зависимость от времени (то есть от параметра $\beta$). Для этого нам потребуется разложение до четвертого порядка для $x$ и до второго порядка для $y$:$$x(\beta) \approx - \frac{v_0}{\omega} \varepsilon^4 \alpha^2 \beta^2; \quad y(\beta) \approx \frac{v_0}{\omega} (\varepsilon \alpha - \varepsilon^2 \alpha \beta).$$Это разложение также можно приблизить с помощью тригонометрических функций:\begin{align*}x(\beta) &\approx - \frac{v_0}{\omega} \sin^2 (\varepsilon^2 \alpha \beta) = -\frac{v_0}{2\omega}\left( 1 - \cos (2 \varepsilon^2 \alpha \beta)\right);\\ y(\beta) &\approx \frac{v_0}{\omega} \varepsilon \alpha - \frac{v_0}{2\omega} \sin (2 \varepsilon^2 \alpha \beta).\end{align*}Эти уравнения описывают окружность радиуса $\dfrac{v_0}{2 \omega}$ с центром в точке $\left( - \dfrac{v_0}{2 \omega}, R \right)$. Точечная масса движется по окружности с угловой скоростью $2 \omega$. Этот результат согласуется с тем, что можно получить, решая уравнения движения без центробежной силы."}, "answer": {"answers": ["Ответ: Окружность радиуса $\dfrac{v_0}{2 \omega}$ с центром в точке $\left( - \dfrac{v_0}{2 \omega}, R \right)$, приближение работает при больших скоростях."]}, "number_part": "A2", "exponent_part": "2,00"}, {"condition": "Какую пушку нужно использовать, чтобы получить почти круговую траекторию движения? Объясните свой выбор.Объясните, как, запуская тела с помощью пушек, можно собрать данные, чтобы найти угловую скорость вращения $\omega$ системы отсчета. Рекомендуется использовать Приложение 1. ", "solution": {"text": "Согласно предыдущему вопросу, желательно иметь как можно большую скорость начального движения $v_0$, чтобы траектории были близки к круговым. Поэтому мы выберем пушку 2 в этой части эксперимента. Для этой пушки мы не знаем ни скорости снаряда при запуске, ни коэффициента пропорциональности между условными единицами и метрами. Однако мы можем обойти эту проблему, заметив, что единицы измерения длины не влияют на результат измерения $\omega$.Из предыдущего вопроса мы знаем, что $\omega = \dfrac{v_0}{2 r}$, где $r$ — радиус круговой траектории, $v_0$ — скорость движения точечной массы вдоль траектории. Поэтому, если мы будем измерять $v_0$ в $у.е./с$, а $r$ в у.е. (оба измерения можно сделать с помощью приложения Tracker), мы получим значение $\omega$ в $с^{-1}$.Обработку данных можно проводить весьма разными способами. Опишем один из них. Получим с помощью Tracker таблицу значений координат снаряда $x_n$, $y_n$ в моменты времени $t_n$. Для каждого момента времени вычислим значение угла $\phi_n$, который скорость образует с отрицательным направлением оси $y$. Поскольку эти углы на видимом участке траектории острые, их можно вычислить по формуле $$\varphi_n = \arctan \frac{\Delta x}{\Delta y} = \arctan \frac{x_{n-1} - x_{n+1}}{ y_{n-1} -y_{n+1}}.$$Для того, чтобы увеличить точность вычисления производной, берем разность координат в двух соседних симметрично расположенных точках (при этом значения угла в первой и последней точках не вычисляются).Снаряд движется по окружности некоторого радиуса с угловой скоростью $2 \omega$, поэтому зависимость угла от времени имеет вид $\varphi = 2 \omega t$. Построив график $\varphi (t)$ или с помощью МНК, определим значение $\omega$ как коэффициент наклона графика. Заметим, что хотя погрешность отдельных точек может быть достаточно большой, погрешность самой угловой скорости существенно уменьшается за счет большого числа используемых точек."}, "answer": {"answers": ["Ответ: Используем пушку 2"]}, "number_part": "A3", "exponent_part": "1,50"}, {"condition": "Для пяти различных начальных скоростей определите угловую скорость вращения $\omega$ системы отсчета. В своем отчете приведите необходимые величины и шаги расчетов. Получите среднее значение величины $\omega$ и ее погрешность. ", "solution": {"text": "Типичный пример графика $\varphi (t)$ имеет вид <img_2> Снимем зависимости для 5 разных запусков снаряда. Полученные значения угловой скорости представлены в таблице ниже. Погрешность рассчитывалась с помощью МНК. Окончательный ответ получим как среднее от этих результатов. Точное (заложенное в программу) значение $\omega = \pi/2 = 1.571~\text{с}^{-1}$. Видим, что все экспериментальные значения несколько завышены. Номер измерения$\omega$, $с^{-1}$$\Delta \omega$, $с^{-1}$11.5900.00521.5800.02231.5990.01041.5920.02251.5900.021 | Номер измерения | $\\omega$, $с^{\-1}$ | $\\Delta \\omega$, $с^{\-1}$ | | --- | --- | --- | | 1 | 1\.590 | 0\.005 | | 2 | 1\.580 | 0\.022 | | 3 | 1\.599 | 0\.010 | | 4 | 1\.592 | 0\.022 | | 5 | 1\.590 | 0\.021 |"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\omega = (1.59\pm 0.01 )~\text{с}^{-1}$$"]}, "number_part": "A4", "exponent_part": "2,00"}, {"condition": "Какую пушку нужно использовать, чтобы найти коэффициент пересчета условных единиц длины в единицы длины в системе СИ? Объясните свой выбор. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: Пушка 1 позволяет задавать определенные значения скорости (а значит получить известную величину, размерность которой содержит метры, а не условные единицы). Поэтому нужно использовать ее."]}, "number_part": "A5", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Опишите метод, с помощью которого можно найти коэффициент пересчета $у.е./см$. ", "solution": {"text": "Как и раньше, получим зависимость координат снаряда от времени для заданного значения $v_0$. Однако теперь не будем считать траекторию круговой. Поскольку зависимость $x(t)$ имеет вид $$x = - \omega R t \cos \omega t + (R - v_0 t) \sin \omega t,$$зависимость величины $- x - \omega R t \cos \omega t + R \sin \omega t$ от $t \sin \omega t$ линейна, причем коэффициент наклона равен $v_0$, измеренной в $у.е./\text{с}$, поскольку нам известны значения $x$ и $R = 1$ в у.е. С другой стороны, нам известно значение $v_0$ в $см/с$. Сравнивая эти две величины, получим соотношение между у.е. и см."}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "A6", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Для пяти различных начальных скоростей определите коэффициент пересчета $у.е./см$. В своем отчете приведите необходимые величины и шаги расчетов. Приведите графики, если это необходимо. Получите среднее значение коэффициента пересчета и его погрешность. ", "solution": {"text": "Ниже приведен типичный график (при $v = 5 ~см/с$) зависимости и таблица измерений для различных скоростей от 5 см/с до 30 см/с с шагом 5 см/с. <img_3> $v_0$, см/с$v_0$, y.е/су.е., см50.21023.81100.42423.58150.63823.51200.85123.50251.06423.50301.27223.58 Оцененные по МНК погрешности скорости все время меньше единицы последнего разряда. При этом по графикам видно, что при малых скоростях разброс точек возрастает, поэтому в качестве окончательного ответа разумно выбрать значения, полученные при больших значениях скорости, а погрешность оценить по разбросу этих значений. | $v\_0$, см/с | $v\_0$, y.е/с | у.е., см | | --- | --- | --- | | 5 | 0\.210 | 23\.81 | | 10 | 0\.424 | 23\.58 | | 15 | 0\.638 | 23\.51 | | 20 | 0\.851 | 23\.50 | | 25 | 1\.064 | 23\.50 | | 30 | 1\.272 | 23\.58 |"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$1 ~у.е. = (23.53 \pm 0.03)~ см$$"]}, "number_part": "A7", "exponent_part": "2,00"}, {"condition": "Выразите условие стационарности и сделайте схематический рисунок, показывающий направления трех ускорений. ", "solution": {"text": "Сила, вызванная градиентом давлений, действует перпендикулярно изобарам. Сила трения направлена против скорости движения, а сила Кориолиса — перпендикулярна скорости. При этом в стационарном случае суммарное ускорение, создаваемое этими силами, должно быть равно нулю:$$\vec{a}_p + \vec{a} _f + \vec{a}_c = 0.$$"}, "answer": {"answers": ["<img_4>"]}, "number_part": "B1", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Получите соотношение между силой трения и силой Кориолиса, выраженное через угол $\alpha$ между направлением скорости и направлением ускорения, создаваемого градиентом давления. Получите из этого соотношения коэффициент трения $k$. ", "solution": {"text": "Из треугольника ускорений получим соотношение$$\tan \alpha = \frac{a_c}{a_f} = \frac{2 \Omega v \sin \phi}{k v} = \frac{2 \Omega \sin \varphi}{k}.$$Отсюда получим"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$k = \frac{2 \Omega \sin \varphi}{\tan \alpha}.$$"]}, "number_part": "B2", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Используйте карты, которые приведены в папке \textbf{Maps1}, чтобы измерить угол $\alpha$ вблизи поверхности Земли, и вычислить для каждого из них коэффициент $k$. ", "solution": {"text": "На рисунке приведен пример измерения угла с помощью транспортира в программе Tracker. Результаты измерений приведены в таблице ниже. <img_5> | $\\varphi, ^\\circ$ | $\\alpha, ^\\circ$ | $k\\, (10^{\-5},\\, 1/с)$ | Поверхность | | --- | --- | --- | --- | | 20\.98 | 60\.9 | 2\.9 | Вода | | 59\.15 | 58\.2 | 7\.7 | Земля | | 62\.8 | 65 | 6\.0 | Вода | | 83\.88 | 70 | 5\.3 | Вода |"}, "answer": {"answers": ["Ответ: | $\\varphi, ^\\circ$ | $\\alpha, ^\\circ$ | $k\\, (10^{\-5},\\, 1/с)$ | Поверхность | | --- | --- | --- | --- | | 20\.98 | 60\.9 | 2\.9 | Вода | | 59\.15 | 58\.2 | 7\.7 | Земля | | 62\.8 | 65 | 6\.0 | Вода | | 83\.88 | 70 | 5\.3 | Вода | Ответ: $\varphi, ^\circ$$\alpha, ^\circ$$k\, (10^{-5},\, 1/с)$Поверхность20.9860.92.9Вода59.1558.27.7Земля62.8656.0Вода83.88705.3Вода"]}, "number_part": "B3", "exponent_part": "2,00"}, {"condition": "Используя исследованные изображения, сделайте вывод о соотношении между коэффициентами трения над поверхностью земли и над водой. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: Можно заметить, что все значения коэффициентов трения над водой меньше, чем коэффициент трения над землей. Однако во всех случаях значения коэффициента трения одного порядка."]}, "number_part": "B4", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Где по отношению к вам находится область с наибольшим давлением? ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: Как следует из рисунка в B1, в северном полушарии область с низким давлением находится слева и спереди человека. Однако в южном полушарии сила Кориолиса меняет направление на противоположное, поэтому область низкого давления будет находиться справа от наблюдателя."]}, "number_part": "B5", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "С учетом всего, что обсуждалось в этой части задачи, объясните, почему метеорологи иногда используют данные, полученные на уровне выше поверхности земли (примерно на $600~м$). ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: На большей высоте трение о поверхность земли не влияет на движение воздуха. Поэтому если даже мы не можем пренебречь силой трения вблизи поверхности земли, мы можем рассмотреть потоки воздуха на большей высоте."]}, "number_part": "B6", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Используя карты, приведенные в папке \textbf{Maps2} и информацию из следующей таблицы, оцените порядок величины числа Россби в обозначенных красных точках. Используя описание геострофического приближения, определите, применимо ли оно для полученных чисел Россби или нет. Получите общее условие на числа Россби, при которых можно использовать геострофическое приближение. ", "solution": {"text": "Пример построения для определения радиуса кривизны изобары. Результаты измерений приведены в таблице. <img_6> В первом файле кривизна небольшая, поэтому в первом приближении их можно заменить на прямые. В файле 2 у изобар значительная кривизна, ей нельзя пренебречь. Геострофическое приближение работает при $Ro \ll 1$. | Номер файла | $f, (10^{\-5},\\, 1/с)$ | R, км | Ro | | --- | --- | --- | --- | | 1 | 3\.300 | 800 | 0\.2 | | 2 | 5\.570 | 115 | 1 |"}, "answer": {"answers": ["Ответ: | Номер файла | $f, (10^{\-5},\\, 1/с)$ | R, км | Ro | | --- | --- | --- | --- | | 1 | 3\.300 | 800 | 0\.2 | | 2 | 5\.570 | 115 | 1 | Ответ: Номер файла$f, (10^{-5},\, 1/с)$R, кмRo13.3008000.225.5701151  В первом файле кривизна небольшая, поэтому в первом приближении их можно заменить на прямые. В файле 2 у изобар значительная кривизна, ей нельзя пренебречь. Геострофическое приближение работает при $Ro \ll 1$."]}, "number_part": "B7", "exponent_part": "2,00"}, {"condition": "Определите направление движения (по часовой стрелке или против) для циклонов в южном полушарии. Объясните ваш ответ! ", "solution": {"text": "<img_7>"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "B8", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Оцените число Россби для урагана, принимая за характерную скорость значение, указанное на изображении, а за характерное расстояние — расстояние от отмеченной точки до «глаза» урагана. ", "solution": {"text": "Пример использования Tracker для измерения: <img_8> Измерения по карте дают расстояние от глаза урагана до отмеченной точки $R \approx 140~км$. Отсюда мы получим значение"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $Ro \approx 5$"]}, "number_part": "B9", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Сравните число Россби для урагана со значениями, полученными в \textbf{B6} и прокомментируйте применимость геострофического приближения.  Если потребуется, используйте определение числа Россби и условие баланса сил, чтобы получить лучшее приближение для потока на достаточно большой высоте, на которой можно пренебречь трением о поверхность земли. ", "solution": {"text": "Из определения числа Россби следует, что когда оно велико, сила Кориолиса мала по сравнению с силой градиента давления. Поэтому геострофическое приближение неприменимо. Сила градиента давления в основном компенсируется центробежной силой, которая в геострофическом приближении не учитывается.Мы можем предложить новое приближение, в котором мы пренебрегаем силой Кориолиса и учитываем только баланс сил градиента давления и центробежной силы, мы также не учитываем силу трения о земную поверхность. Тогда мы получим новое уравнение движения Примечание: это приближение называется циклотронным и оно применяется при моделировании торнадо (для которых $Ro \sim 10^3$, за счет малого радиуса и большой скорости) и внутренней части тропических циклонов."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\frac{dP}{dR} = \frac{ \rho u^2}{R}$$  Примечание: это приближение называется циклотронным и оно применяется при моделировании торнадо (для которых $Ro \sim 10^3$, за счет малого радиуса и большой скорости) и внутренней части тропических циклонов."]}, "number_part": "B10", "exponent_part": "1,00"}]