text: {"text": [{"text": "Рассмотрим пузырёк с воздухом радиусом $R$, погруженный в воду плотности $\rho$. В равновесном состоянии давление внутри и снаружи пузырька $p_0$, если не учитывать поверхностное натяжение воды. Считайте воздух идеальным двухатомным газом. После небольшого возмущения пузырёк начинает радиально колебаться с некоторой частотой. Последующие шаги помогут вам найти эту частоту. Это можно сделать, представив потенциальную энергию колеблющегося пузырька как $Ax^2$, a кинетическую энергию как $B\left(dx/dt\right)^2$, где $x$ – малое изменение радиуса. Тогда частота будет равна $\omega=\sqrt{A/B}$."}, {"balls": {"number": "A1", "exponent": "0,70"}, "text": "Найдите возвращающую силу давления, действующую на малую площадь $dS$ поверхности пузырька, при адиабатическом изменении его радиуса от $R$ до $R+x$, ($x\ll{R}$)."}, {"balls": {"number": "A2", "exponent": "1,00"}, "text": "Найдите энергию, необходимую для изменения $x$ от $0$ до некоторого малого значения $x_0$."}, {"balls": {"number": "A3", "exponent": "1,00"}, "text": "Радиальная скорость воды у поверхности пузырька равна $dx/dt$. Учитывая, что вода несжимаема, найдите радиальную скорость воды на расстоянии $r$ ($r>R$) от центра пузырька."}, {"balls": {"number": "A4", "exponent": "1,00"}, "text": "Найдите полную кинетическую энергию воды."}, {"balls": {"number": "A5", "exponent": "0,50"}, "text": "Если пренебречь массой воздуха, кинетическая энергия, найденная в предыдущем пункте, и будет кинетической энергией колеблющегося пузырька. Найдите частоту колебаний. Теперь учтем влияние поверхностного натяжения. Коэффициент поверхностного натяжения $\sigma$ определяется как энергия, необходимая для создания поверхности единичной площади ($W=\sigma S$)."}, {"balls": {"number": "B1", "exponent": "0,20"}, "text": "Найдите вклад поверхностного натяжения в энергию, необходимую для создания в воде пузырька радиуса $R$."}, {"balls": {"number": "B2", "exponent": "1,60"}, "text": "Найдите частоту колебаний пузыря, учтя влияние поверхностного натяжения воды. Давление снаружи пузырька считайте равным $p_0$."}]}
answer: [{"condition": "Найдите возвращающую силу давления, действующую на малую площадь $dS$ поверхности пузырька, при адиабатическом изменении его радиуса от $R$ до $R+x$, ($x\ll{R}$). ", "solution": {"text": "Поскольку процесс для газа в пузырьке адиабиабатический, а изменение радиуса мало — выполняется уравнение Пуассона:$$pV^\gamma=p_0V^{\gamma}_0=const\quad \gamma=\cfrac{C_p}{C_V}=\cfrac{7}{5}$$Поскольку $V=4\pi(R+x)^3/3$ — уравнение Пуассона можно переписать в следующем виде:$$p(R+x)^{3\gamma}=p_0R^{3\gamma}=const\Rightarrow dpR^{3\gamma}+3\gamma pR^{3\gamma-1}x=0\Rightarrow dp=-\cfrac{3\gamma p_0x}{R}$$Для возвращающей силы получим:$$dF=(p_0-p)dS\approx -dpdS$$или окончательно:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$dF=\cfrac{3\gamma p_0xdS}{R}=\cfrac{21p_0xdS}{5R}$$"]}, "number_part": "A1", "exponent_part": "0,70"}, {"condition": "Найдите энергию, необходимую для изменения $x$ от $0$ до некоторого малого значения $x_0$. ", "solution": {"text": "Первое решение: Для изменения $x$ от $0$ до $x_0$ над элементом поверхности пузырька необходимо совершить работу $\delta{A}$, равную: $$\delta{A}=\int\limits_{0}^{x_0}dFdx=\cfrac{3\gamma p_0dS}{R}\int\limits_{0}^{x_0}xdx=\cfrac{3\gamma p_0x^2_0dS}{2R}$$ Полная площадь $S$ пузырька равна $4\pi{R}^2$, поэтому: $$A=6\pi\gamma p_0Rx^2$$ Поскольку совершённая работа $A$ равна необходимой энергии, получим: Второе решение: Изменение внутренней энергии пузырька складывается из необходимой энергии $W$ и работы, совершённой силой давления со стороны воды: $$\Delta{U}=W+p_0(V_0-V)\Rightarrow W=p_0(V-V_0)+\Delta{U}$$ Найдём внутреннюю энергию $U$ газа в пузырьке как функцию его объёма: $$U=\cfrac{pV}{\gamma-1}=\cfrac{p_0V_0}{\gamma-1}\left(\cfrac{V}{V_0}\right)^{1-\gamma}$$ Таким образом: $$W=\cfrac{4\pi{R}^3p_0}{3}\left((1+\alpha)^3-1+\cfrac{(1+\alpha)^{3(1-\gamma)}-1}{\gamma-1}\right)$$ где $\alpha=x/R$. Разложим по формуле Тейлора до $\alpha^2$ функции $(1+\alpha)^3$ и $(1+\alpha)^{3(1-\gamma)}$: $$(1+\alpha)^3=1+3\alpha+3\alpha^3+\alpha^3\approx 1+3\alpha+3\alpha^2$$ $$(1+\alpha)^{3(1-\gamma)}\approx 1+\left(\cfrac{d(1+\alpha)^{3(1-\gamma)}}{d\alpha}\right)_0\alpha+\left(\cfrac{d^2(1+\alpha)^{3(1-\gamma)}}{d\alpha^2}\right)_0\cfrac{\alpha^2}{2}$$ Вычисляя производные: $$(1+\alpha)^{3(1-\gamma)}\approx 1+3(1-\gamma)\alpha+\cfrac{3(1-\gamma)(2-3\gamma)\alpha^2}{2}$$ Таким образом: $$W\approx \cfrac{4\pi{R}^3p_0}{3}\left(1+3\alpha+3\alpha^2-1+\cfrac{1+3(1-\gamma)\alpha+\cfrac{3(1-\gamma)(2-3\gamma)\alpha^2}{2}-1}{\gamma-1}\right)=6\pi\gamma p_0R^3\alpha^2$$ Подставляя $\alpha$, получим:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$W=6\pi\gamma p_0Rx^2=\cfrac{42\pi p_0Rx^2}{5}$$  Второе решение: Изменение внутренней энергии пузырька складывается из необходимой энергии $W$ и работы, совершённой силой давления со стороны воды: $$\Delta{U}=W+p_0(V_0-V)\Rightarrow W=p_0(V-V_0)+\Delta{U}$$ Найдём внутреннюю энергию $U$ газа в пузырьке как функцию его объёма: $$U=\cfrac{pV}{\gamma-1}=\cfrac{p_0V_0}{\gamma-1}\left(\cfrac{V}{V_0}\right)^{1-\gamma}$$ Таким образом: $$W=\cfrac{4\pi{R}^3p_0}{3}\left((1+\alpha)^3-1+\cfrac{(1+\alpha)^{3(1-\gamma)}-1}{\gamma-1}\right)$$ где $\alpha=x/R$. Разложим по формуле Тейлора до $\alpha^2$ функции $(1+\alpha)^3$ и $(1+\alpha)^{3(1-\gamma)}$: $$(1+\alpha)^3=1+3\alpha+3\alpha^3+\alpha^3\approx 1+3\alpha+3\alpha^2$$ $$(1+\alpha)^{3(1-\gamma)}\approx 1+\left(\cfrac{d(1+\alpha)^{3(1-\gamma)}}{d\alpha}\right)_0\alpha+\left(\cfrac{d^2(1+\alpha)^{3(1-\gamma)}}{d\alpha^2}\right)_0\cfrac{\alpha^2}{2}$$ Вычисляя производные: $$(1+\alpha)^{3(1-\gamma)}\approx 1+3(1-\gamma)\alpha+\cfrac{3(1-\gamma)(2-3\gamma)\alpha^2}{2}$$ Таким образом: $$W\approx \cfrac{4\pi{R}^3p_0}{3}\left(1+3\alpha+3\alpha^2-1+\cfrac{1+3(1-\gamma)\alpha+\cfrac{3(1-\gamma)(2-3\gamma)\alpha^2}{2}-1}{\gamma-1}\right)=6\pi\gamma p_0R^3\alpha^2$$ Подставляя $\alpha$, получим:", "Ответ: $$W=6\pi\gamma p_0Rx^2=\cfrac{42\pi p_0Rx^2}{5}$$"]}, "number_part": "A2", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Радиальная скорость воды у поверхности пузырька равна $dx/dt$. Учитывая, что вода несжимаема, найдите радиальную скорость воды на расстоянии $r$ ($r>R$) от центра пузырька. ", "solution": {"text": "Поскольку вода несжимаема — её масса в зазоре между концентрическими сферами радиусами $R$ и $r{>}R$ должна оставаться постоянной. Тогда объёмы воды, втекающие и вытекающие из данной области в единицу времени, должны быть равны:$$4\pi{R}^2\cfrac{dx}{dt}=4\pi{r}^2v(r)$$откуда:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$v(r)=\cfrac{R^2}{r^2}\cfrac{dx}{dt}$$"]}, "number_part": "A3", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Найдите полную кинетическую энергию воды. ", "solution": {"text": "Кинетическая энергия воды, расположенной в зазоре между сферами радиусами $r$ и $r+dr$, равна:$$dE_k=\cfrac{dmv^2(r)}{2}=\cfrac{4\pi\rho{r}^2dr\cdot v^2(r)}{2}=2\pi\rho{R}^4\left(\cfrac{dx}{dt}\right)^2\cfrac{dr}{r^2}$$Полная кинетическая энергия воды даётся выражением:$$E_k=2\pi\rho{R}^4\left(\cfrac{dx}{dt}\right)^2\int\limits_{R}^{\infty}\cfrac{dr}{r^2}$$Вычисляя интеграл, получим:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$E_k=2\pi\rho R^3\left(\cfrac{dx}{dt}\right)^2$$"]}, "number_part": "A4", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Если пренебречь массой воздуха, кинетическая энергия, найденная в предыдущем пункте, и будет кинетической энергией колеблющегося пузырька. Найдите частоту колебаний. ", "solution": {"text": "Для кинетической и потенциальной энергий системы имеем:$$W_p=Ax^2=6\pi\gamma p_0Rx^2 \qquad E_k=B\dot{x}^2=2\pi\rho R^3\dot{x}^2$$откуда:$$A=6\pi\gamma p_0R\qquad B=2\pi\rho R^3$$Для циклической частоты колебаний находим:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\omega=\sqrt{\cfrac{3\gamma p_0}{\rho R^2}}=\sqrt{\cfrac{21p_0}{5\rho R^2}}$$"]}, "number_part": "A5", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Найдите вклад поверхностного натяжения в энергию, необходимую для создания в воде пузырька радиуса $R$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$W_\sigma=4\pi{R}^2\sigma$$"]}, "number_part": "B1", "exponent_part": "0,20"}, {"condition": "Найдите частоту колебаний пузыря, учтя влияние поверхностного натяжения воды. Давление снаружи пузырька считайте равным $p_0$. ", "solution": {"text": "Обозначим за $p_1$ давление внутри пузырька в состоянии равновесия и определим его из формула Лапласа:$$p_1=p_0+p_\text{Л}=p_0+\cfrac{2\sigma}{R}$$Запишем уравнение Пуассона для воздуха внутри пузырька:$$p(R+x)^{3\gamma}=p_1R^{3\gamma}$$Далее вновь можно поступить двумя способами. Первое решение: Продифференцируем уравнение Пуассона: $$dpR^{3\gamma}+3\gamma p_1R^{3\gamma-1}x=0\Rightarrow dp=-\cfrac{3\gamma p_1x}{R}=-\cfrac{3\gamma x}{R}\left(p_0+\cfrac{2\sigma}{R}\right)$$ Изменение Лапласова давления при этом составит: $$dp_\text{Л}=-\cfrac{2\sigma x}{R^2}$$ Тогда для возвращающей силы, действующей на малый элемент площади $dS$ поверхности пузыря, имеем: $$dF=(p_0+p_\text{Л}-p)dS=(-dp+dp_\text{Л})dS=\left(\cfrac{3\gamma p_0}{R}+\cfrac{2\sigma(3\gamma-1)}{R^2}\right)xdS$$ Аналогично пункту $\mathrm{A2}$: $$dW=\left(\cfrac{3\gamma p_0}{R}+\cfrac{2\sigma(3\gamma-1)}{R^2}\right)dS\int\limits_{0}^{x_0}xdx=\left(\cfrac{3\gamma p_0}{R}+\cfrac{2\sigma(3\gamma-1)}{R^2}\right)\cfrac{x^2_0dS}{2}$$ откуда: $$W=2\pi{R}^2\left(\cfrac{3\gamma p_0}{R}+\cfrac{2\sigma(3\gamma-1)}{R^2}\right)x^2_0$$ Выражение для кинетической энергии при этом остаётся тем же, что и в части $A$: $$E_k=2\pi\rho{R}^3\dot{x}^2$$ Таким образом: Второе решение: Аналогично пункту $\mathrm{A2}$: $$W-p_0(V-V_0)=\Delta{U}+\Delta{W}_\sigma\Rightarrow W=p_0(V-V_0)+\Delta{U}+\Delta{W}_\sigma$$ откуда: $$W=\cfrac{4\pi p_0R^3}{3}\left((1+\alpha)^3-1+\left(1+\cfrac{2\sigma}{p_0R}\right)\cfrac{(1+\alpha)^{3(1-\gamma)}-1}{\gamma-1}\right)+4\pi R^2\sigma((1+\alpha)^2-1)$$ Используя разложения, полученные в пункте $\mathrm{A2}$: $$W\approx \cfrac{4\pi p_0{R}^3}{3}\left(3\alpha+3\alpha^2+\left(1+\cfrac{2\sigma}{p_0R}\right)\left(-3\alpha+\cfrac{3(3\gamma-2)\alpha^2}{2}\right)\right)+4\pi{R}^2\sigma(2\alpha+\alpha^2)$$ После преобразования имеем: $$W\approx 6\pi\gamma p_0R^3\alpha^2+4\pi(3\gamma-2)R^2\sigma\alpha^2=\left(6\pi\gamma p_0R+4\pi(3\gamma-2)\sigma\right)x^2$$ Выражение для кинетической энергии при этом остаётся тем же, что и в части $A$: $$E_k=2\pi\rho{R}^3\dot{x}^2$$ Таким образом:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\omega=\sqrt{\cfrac{3\gamma p_0}{\rho{R}^2}+\cfrac{2\sigma(3\gamma-1)}{\rho{R}^3}}=\sqrt{\cfrac{21p_0}{5\rho R^2}+\cfrac{32\sigma}{5\rho{R}^3}}$$  Второе решение: Аналогично пункту $\mathrm{A2}$: $$W-p_0(V-V_0)=\Delta{U}+\Delta{W}_\sigma\Rightarrow W=p_0(V-V_0)+\Delta{U}+\Delta{W}_\sigma$$ откуда: $$W=\cfrac{4\pi p_0R^3}{3}\left((1+\alpha)^3-1+\left(1+\cfrac{2\sigma}{p_0R}\right)\cfrac{(1+\alpha)^{3(1-\gamma)}-1}{\gamma-1}\right)+4\pi R^2\sigma((1+\alpha)^2-1)$$ Используя разложения, полученные в пункте $\mathrm{A2}$: $$W\approx \cfrac{4\pi p_0{R}^3}{3}\left(3\alpha+3\alpha^2+\left(1+\cfrac{2\sigma}{p_0R}\right)\left(-3\alpha+\cfrac{3(3\gamma-2)\alpha^2}{2}\right)\right)+4\pi{R}^2\sigma(2\alpha+\alpha^2)$$ После преобразования имеем: $$W\approx 6\pi\gamma p_0R^3\alpha^2+4\pi(3\gamma-2)R^2\sigma\alpha^2=\left(6\pi\gamma p_0R+4\pi(3\gamma-2)\sigma\right)x^2$$ Выражение для кинетической энергии при этом остаётся тем же, что и в части $A$: $$E_k=2\pi\rho{R}^3\dot{x}^2$$ Таким образом:", "Ответ: $$\omega=\sqrt{\cfrac{3\gamma p_0}{\rho{R}^2}+\cfrac{2\sigma(3\gamma-1)}{\rho{R}^3}}=\sqrt{\cfrac{21p_0}{5\rho R^2}+\cfrac{32\sigma}{5\rho{R}^3}}$$"]}, "number_part": "B2", "exponent_part": "1,60"}]