text: {"text": [{"text": "Катушка массой $M$ с намотанной на нее легкой нитью стоит на горизонтальном столе и упирается в два гвоздя, вбитых вертикально в стол. Один конец нити закреплен на катушке, а к свободному концу нити, свешивающемуся в прорезь стола, привязан груз (см. рисунок). <img_0>"}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "При каких значениях массы $m$ груза система будет в равновесии? Радиус барабанов катушки $R$, радиус намотки нити $r$. Коэффициент трения катушки о гвозди $\mu_{1}$, коэффициент трения катушки о поверхность стола $\mu_{2}$."}]}
answer: [{"condition": "При каких значениях массы $m$ груза система будет в равновесии? ", "solution": {"text": "Допустим, что существует масса $m_{0}$ такая, что для массы груза $m>m_{0}$ катушка начнет проскальзывать. При массе груза $m=m_{0}$ (см. рисунок) на катушку действуют силы трения\begin{equation}F_{1}=\mu_{1} N_{1}, \tag1\end{equation}\begin{equation}F_{2}=\mu_{2} N_{2}. \tag2\end{equation} <img_1> Запишем для катушки второй закон Ньютона в проекции на координатные оси:\begin{equation}O x: F_{2}-N_{1}=0,\tag3\end{equation}\begin{equation}O y: N_{2}+F_{1}-M g-T=0.\tag4\end{equation}Натяжение нити\begin{equation}T=m_{0}g.\tag5\end{equation}Момент приложенных к катушке сил относительно полюса $O$, лежащего на оси катушки, равен нулю, так как катушка находится в равновесии:\begin{equation}T r-F_{1} r-F_{2} R=0.\tag6\end{equation}Решая систему уравнений $(1)-(6)$, получим:$$m_{0}=M \frac{\mu_{2}\left(1+\frac{r}{R} \mu_{1}\right)}{\frac{r}{R}-\mu_{2}} .$$Таким образом, если $\mu_{2}<\frac{r}{R}$, то система будет в равновесии при$$m < m_{0}=M \frac{\mu_{2}\left(1+\frac{r}{R} \mu_{1}\right)}{\frac{r}{R}-\mu_{2}},$$а при $m>m_{0}$ катушка будет вращаться.Если увеличивать $\mu_{2}$, приближая его к $\frac{r}{R}$, то $m_{0}$ будет неограниченно возрастать; при $\mu_{2}=\frac{r}{R}$ система находится в равновесии при любых $m$. При $\mu_{2} \geqslant \frac{r}{R}$ равновесие не нарушится ни при каком $m$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: Система будет в равновесии при$$m < m_{0}=M \frac{\mu_{2}\left(1+\frac{r}{R} \mu_{1}\right)}{\frac{r}{R}-\mu_{2}}.$$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]