text: {"text": [{"text": "По двум гладким наклонным плоскостям, образующим одинаковые углы $\alpha$ с горизонтом, движутся, касаясь друг друга, цилиндр и клин (см. рис). <img_0>"}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Найдите, с какой силой клин давит на цилиндр. Масса цилиндра $m_1$, масса клина $m_2$."}]}
answer: [{"condition": "Найдите, с какой силой клин давит на цилиндр. Масса цилиндра $m_1$, масса клина $m_2$. ", "solution": {"text": "Про однородность цилиндра и коэффициент трения между клином и цилиндром ничего не сказано. Поэтому будем считать, что трения между клином и цилиндром нет. <img_1> Мы считаем, что цилиндр во время скольжения между клином и стенкой не вращается, а движется только поступательно.Так как цилиндр и клин движутся поступательно и все время касаются, то расстояние между их центрами масс по горизонтали постоянно.Значит $\vec a_1$ и $\vec a_2$, ускорения центров масс цилиндра и клина соответственно, имеют равные проекции на горизонтальное направление. Поэтому с учетом (Второй закон Ньютона)$$m_1\vec a_1=m_1 \vec g+\vec N +\vec N_l \\ m_2\vec a_2=m_2\vec g+\vec N\cdot (-1)+\vec N_r $$получаем $$\frac{N}{m_1}-\frac{N_l\sin\alpha}{m_1}=\frac{N_r\sin\alpha}{m_2}-\frac{N}{m_2}. \tag{1}$$ <img_2> Поскольку и клин, и цилиндр движутся поступательно и не отрываясь от стенки, то $\vec a_1$ параллельно левой поверхности, а $\vec a_2$ — правой поверхности.Значит,$$N_l=N\sin\alpha+m_1g\cos\alpha, \tag{2}$$$$N_r=N\sin\alpha+m_2g\cos\alpha. \tag{3}$$Подставляем $(2)$ и $(3)$ в $(1)$ и получаем $$\frac{N}{m_1}-\frac{\sin\alpha}{m_1}\left(N\sin\alpha+m_1g\cos\alpha\right)=\frac{\sin\alpha}{m_2}\left(N\sin\alpha+m_2 g\cos\alpha\right)-\frac{N}{m_2}, \\N\left(\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2}\right)\cos^{2}\alpha=2g\sin\alpha\cos\alpha=g\cdot \sin 2\alpha$$$$N=\frac{2gm_1m_2}{m_1+m_2}\operatorname{tg}\alpha.$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$N=\frac{2gm_1m_2}{m_1+m_2}\operatorname{tg}\alpha.$$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]